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stringlengths 2
100
| traced_tactics
list | end
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stringclasses 4
values | url
stringclasses 4
values | start
list |
|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib/Topology/SubsetProperties.lean
|
isClopen_range_sigmaMk
|
[] |
[
1652,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1650,
1
] |
src/lean/Init/Data/Range.lean
|
Membership.mem.upper
|
[
{
"state_after": "i : Nat\nr : Std.Range\nh : r.start ≤ i ∧ i < r.stop\n⊢ i < r.stop",
"state_before": "i : Nat\nr : Std.Range\nh : i ∈ r\n⊢ i < r.stop",
"tactic": "simp [Membership.mem] at h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "i : Nat\nr : Std.Range\nh : r.start ≤ i ∧ i < r.stop\n⊢ i < r.stop",
"tactic": "exact h.2"
}
] |
[
81,
12
] |
d5348dfac847a56a4595fb6230fd0708dcb4e7e9
|
https://github.com/leanprover/lean4
|
[
79,
1
] |
Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
|
Int.ModEq.mul_right'
|
[
{
"state_after": "m n a b c d : ℤ\nh : a ≡ b [ZMOD n]\n⊢ c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]",
"state_before": "m n a b c d : ℤ\nh : a ≡ b [ZMOD n]\n⊢ a * c ≡ b * c [ZMOD n * c]",
"tactic": "rw [mul_comm a, mul_comm b, mul_comm n]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m n a b c d : ℤ\nh : a ≡ b [ZMOD n]\n⊢ c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]",
"tactic": "exact h.mul_left'"
}
] |
[
140,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
139,
11
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Dimension.lean
|
Basis.le_span
|
[
{
"state_after": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"tactic": "haveI := nontrivial_of_invariantBasisNumber R"
},
{
"state_after": "case inl\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Fintype ↑J\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)\n\ncase inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"tactic": "cases fintypeOrInfinite J"
},
{
"state_after": "case inl\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Fintype ↑J\n⊢ lift (#ι) ≤ lift ↑(Fintype.card ↑J)",
"state_before": "case inl\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Fintype ↑J\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"tactic": "rw [← Cardinal.lift_le, Cardinal.mk_range_eq_of_injective v.injective, Cardinal.mk_fintype J]"
},
{
"state_after": "case h.e'_4\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Fintype ↑J\n⊢ lift ↑(Fintype.card ↑J) = lift ↑(Fintype.card ↑J)",
"state_before": "case inl\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Fintype ↑J\n⊢ lift (#ι) ≤ lift ↑(Fintype.card ↑J)",
"tactic": "convert Cardinal.lift_le.{w, v}.2 (basis_le_span' v hJ)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_4\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Fintype ↑J\n⊢ lift ↑(Fintype.card ↑J) = lift ↑(Fintype.card ↑J)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"state_before": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"tactic": "let S : J → Set ι := fun j => ↑(v.repr j).support"
},
{
"state_after": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"state_before": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"tactic": "let S' : J → Set M := fun j => v '' S j"
},
{
"state_after": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ False",
"state_before": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\n⊢ (#↑(range ↑v)) ≤ (#↑J)",
"tactic": "refine' le_of_not_lt fun IJ => _"
},
{
"state_after": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ (#↑(⋃ (j : ↑J), S' j)) < (#↑(range ↑v))",
"state_before": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ False",
"tactic": "suffices (#⋃ j, S' j) < (#range v) by exact not_le_of_lt this ⟨Set.embeddingOfSubset _ _ hs⟩"
},
{
"state_after": "case inr.refine'_1\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ ∀ (i : ↑J), (#↑(S' i)) ≤ (fun x => ℵ₀) i\n\ncase inr.refine'_2\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ (sum fun x => ℵ₀) < (#↑(range ↑v))",
"state_before": "case inr\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ (#↑(⋃ (j : ↑J), S' j)) < (#↑(range ↑v))",
"tactic": "refine' lt_of_le_of_lt (le_trans Cardinal.mk_iUnion_le_sum_mk\n (Cardinal.sum_le_sum _ (fun _ => ℵ₀) _)) _"
},
{
"state_after": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\n⊢ range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "intro b hb"
},
{
"state_after": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "rcases mem_range.1 hb with ⟨i, hi⟩"
},
{
"state_after": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : span R J ≤ comap (↑v.repr) (Finsupp.supported R R (⋃ (j : ↑J), S j))\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "have : span R J ≤ comap v.repr.toLinearMap (Finsupp.supported R R (⋃ j, S j)) :=\n span_le.2 fun j hj x hx => ⟨_, ⟨⟨j, hj⟩, rfl⟩, hx⟩"
},
{
"state_after": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : ⊤ ≤ comap (↑v.repr) (Finsupp.supported R R (⋃ (j : ↑J), S j))\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : span R J ≤ comap (↑v.repr) (Finsupp.supported R R (⋃ (j : ↑J), S j))\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "rw [hJ] at this"
},
{
"state_after": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : ↑v.repr (↑v i) ∈ Finsupp.supported R R (⋃ (j : ↑J), S j)\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : ⊤ ≤ comap (↑v.repr) (Finsupp.supported R R (⋃ (j : ↑J), S j))\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "replace : v.repr (v i) ∈ Finsupp.supported R R (⋃ j, S j) := this trivial"
},
{
"state_after": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : ↑{i} ⊆ ⋃ (j : ↑J), S j\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : ↑v.repr (↑v i) ∈ Finsupp.supported R R (⋃ (j : ↑J), S j)\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "rw [v.repr_self, Finsupp.mem_supported, Finsupp.support_single_ne_zero _ one_ne_zero] at this"
},
{
"state_after": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\ni : ι\nthis : ↑{i} ⊆ ⋃ (j : ↑J), S j\nhb : ↑v i ∈ range ↑v\n⊢ ↑v i ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nb : M\nhb : b ∈ range ↑v\ni : ι\nhi : ↑v i = b\nthis : ↑{i} ⊆ ⋃ (j : ↑J), S j\n⊢ b ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "subst b"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\ni : ι\nthis : ↑{i} ⊆ ⋃ (j : ↑J), S j\nhb : ↑v i ∈ range ↑v\nj : ↑J\nhj : i ∈ S j\n⊢ ↑v i ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"state_before": "case intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\ni : ι\nthis : ↑{i} ⊆ ⋃ (j : ↑J), S j\nhb : ↑v i ∈ range ↑v\n⊢ ↑v i ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "rcases mem_iUnion.1 (this (Finset.mem_singleton_self _)) with ⟨j, hj⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\ni : ι\nthis : ↑{i} ⊆ ⋃ (j : ↑J), S j\nhb : ↑v i ∈ range ↑v\nj : ↑J\nhj : i ∈ S j\n⊢ ↑v i ∈ ⋃ (j : ↑J), S' j",
"tactic": "exact mem_iUnion.2 ⟨j, (mem_image _ _ _).2 ⟨i, hj, rfl⟩⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis✝ : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\nthis : (#↑(⋃ (j : ↑J), S' j)) < (#↑(range ↑v))\n⊢ False",
"tactic": "exact not_le_of_lt this ⟨Set.embeddingOfSubset _ _ hs⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.refine'_1\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ ∀ (i : ↑J), (#↑(S' i)) ≤ (fun x => ℵ₀) i",
"tactic": "exact fun j => (Cardinal.lt_aleph0_of_finite _).le"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.refine'_2\nK : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.310827\nR : Type u\ninst✝³ : Ring R\ninst✝² : RankCondition R\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nJ : Set M\nv : Basis ι R M\nhJ : span R J = ⊤\nthis : Nontrivial R\nval✝ : Infinite ↑J\nS : ↑J → Set ι := fun j => ↑(↑v.repr ↑j).support\nS' : ↑J → Set M := fun j => ↑v '' S j\nhs : range ↑v ⊆ ⋃ (j : ↑J), S' j\nIJ : (#↑J) < (#↑(range ↑v))\n⊢ (sum fun x => ℵ₀) < (#↑(range ↑v))",
"tactic": "simpa"
}
] |
[
644,
12
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
620,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
|
AddLECancellable.lt_tsub_iff_right
|
[] |
[
435,
77
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
434,
11
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
|
affineIndependent_def
|
[] |
[
66,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
62,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
|
CategoryTheory.Limits.eq_zero_of_image_eq_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u'\ninst✝² : Category D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasImage f\nw : image.ι f = 0\n⊢ f = 0",
"tactic": "rw [← image.fac f, w, HasZeroMorphisms.comp_zero]"
}
] |
[
151,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
150,
1
] |
Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
|
ProbabilityTheory.indepSet_iff_measure_inter_eq_mul
|
[] |
[
611,
85
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
608,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity.lean
|
SimpleGraph.Walk.coe_support
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "V : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\np : Walk G u v\n⊢ ↑(support p) = {u} + ↑(List.tail (support p))",
"tactic": "cases p <;> rfl"
}
] |
[
629,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
628,
1
] |
Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
|
exists_eq_pow_of_mul_eq_pow_of_coprime
|
[
{
"state_after": "M : Type ?u.9200\ninst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M\ninst✝⁴ : Finite M\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : GCDMonoid R\ninst✝ : Unique Rˣ\na b c : R\nn : ℕ\ncp : IsCoprime a b\nh : a * b = c ^ n\n⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ 1",
"state_before": "M : Type ?u.9200\ninst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M\ninst✝⁴ : Finite M\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : GCDMonoid R\ninst✝ : Unique Rˣ\na b c : R\nn : ℕ\ncp : IsCoprime a b\nh : a * b = c ^ n\n⊢ ∃ d, a = d ^ n",
"tactic": "refine' exists_eq_pow_of_mul_eq_pow (isUnit_of_dvd_one _) h"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nM : Type ?u.9200\ninst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M\ninst✝⁴ : Finite M\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : GCDMonoid R\ninst✝ : Unique Rˣ\na b c : R\nn : ℕ\nh : a * b = c ^ n\nx y : R\nhxy : x * a + y * b = 1\n⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ 1",
"state_before": "M : Type ?u.9200\ninst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M\ninst✝⁴ : Finite M\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : GCDMonoid R\ninst✝ : Unique Rˣ\na b c : R\nn : ℕ\ncp : IsCoprime a b\nh : a * b = c ^ n\n⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ 1",
"tactic": "obtain ⟨x, y, hxy⟩ := cp"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nM : Type ?u.9200\ninst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M\ninst✝⁴ : Finite M\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : GCDMonoid R\ninst✝ : Unique Rˣ\na b c : R\nn : ℕ\nh : a * b = c ^ n\nx y : R\nhxy : x * a + y * b = 1\n⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ x * a + y * b",
"state_before": "case intro.intro\nM : Type ?u.9200\ninst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M\ninst✝⁴ : Finite M\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : GCDMonoid R\ninst✝ : Unique Rˣ\na b c : R\nn : ℕ\nh : a * b = c ^ n\nx y : R\nhxy : x * a + y * b = 1\n⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ 1",
"tactic": "rw [← hxy]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nM : Type ?u.9200\ninst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M\ninst✝⁴ : Finite M\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : GCDMonoid R\ninst✝ : Unique Rˣ\na b c : R\nn : ℕ\nh : a * b = c ^ n\nx y : R\nhxy : x * a + y * b = 1\n⊢ GCDMonoid.gcd a b ∣ x * a + y * b",
"tactic": "exact dvd_add (dvd_mul_of_dvd_right (GCDMonoid.gcd_dvd_left _ _) _)\n (dvd_mul_of_dvd_right (GCDMonoid.gcd_dvd_right _ _) _)"
}
] |
[
71,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
63,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
|
Set.Pairwise.insert
|
[] |
[
168,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
166,
11
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
|
ContinuousLinearMap.eqOn_closure_span
|
[] |
[
538,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
536,
1
] |
Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
|
UniqueFactorizationMonoid.induction_on_coprime
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\n⊢ P a",
"state_before": "α : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\n⊢ P a",
"tactic": "letI := Classical.decEq α"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\n⊢ P a",
"state_before": "α : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\n⊢ P a",
"tactic": "have P_of_associated : ∀ {x y}, Associated x y → P x → P y := by\n rintro x y ⟨u, rfl⟩ hx\n exact hcp (fun p _ hpx => isUnit_of_dvd_unit hpx u.isUnit) hx (h1 u.isUnit)"
},
{
"state_after": "case pos\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : a = 0\n⊢ P a\n\ncase neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\n⊢ P a",
"state_before": "α : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\n⊢ P a",
"tactic": "by_cases ha0 : a = 0"
},
{
"state_after": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis : Nontrivial α\n⊢ P a",
"state_before": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\n⊢ P a",
"tactic": "haveI : Nontrivial α := ⟨⟨_, _, ha0⟩⟩"
},
{
"state_after": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ P a",
"state_before": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis : Nontrivial α\n⊢ P a",
"tactic": "letI : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid"
},
{
"state_after": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ P (Multiset.prod (normalizedFactors a))",
"state_before": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ P a",
"tactic": "refine' P_of_associated (normalizedFactors_prod ha0) _"
},
{
"state_after": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ P (∏ m in Multiset.toFinset (normalizedFactors a), id m ^ Multiset.count m (normalizedFactors a))",
"state_before": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ P (Multiset.prod (normalizedFactors a))",
"tactic": "rw [← (normalizedFactors a).map_id, Finset.prod_multiset_map_count]"
},
{
"state_after": "case neg.refine'_1\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ ∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a → Prime p\n\ncase neg.refine'_2\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ ∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a → ∀ (q : α), q ∈ normalizedFactors a → p ∣ q → p = q",
"state_before": "case neg\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ P (∏ m in Multiset.toFinset (normalizedFactors a), id m ^ Multiset.count m (normalizedFactors a))",
"tactic": "refine' induction_on_prime_power _ _ _ _ @h1 @hpr @hcp <;> simp only [Multiset.mem_toFinset]"
},
{
"state_after": "case intro\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nx : α\nu : αˣ\nhx : P x\n⊢ P (x * ↑u)",
"state_before": "α : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\n⊢ ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y",
"tactic": "rintro x y ⟨u, rfl⟩ hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nx : α\nu : αˣ\nhx : P x\n⊢ P (x * ↑u)",
"tactic": "exact hcp (fun p _ hpx => isUnit_of_dvd_unit hpx u.isUnit) hx (h1 u.isUnit)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : a = 0\n⊢ P a",
"tactic": "rwa [ha0]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.refine'_1\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ ∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a → Prime p",
"tactic": "apply prime_of_normalized_factor"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.refine'_2\nα : Type u_1\nR : Type ?u.1571585\ninst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R\ninst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α\nβ : Type ?u.1571612\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero β\nP : α → Prop\na : α\nh0 : P 0\nh1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x\nhpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)\nhcp : ∀ {x y : α}, (∀ (p : α), p ∣ x → p ∣ y → IsUnit p) → P x → P y → P (x * y)\nthis✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α\nP_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y\nha0 : ¬a = 0\nthis✝ : Nontrivial α\nthis : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid\n⊢ ∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a → ∀ (q : α), q ∈ normalizedFactors a → p ∣ q → p = q",
"tactic": "apply normalizedFactors_eq_of_dvd"
}
] |
[
1112,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1097,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
|
Finset.inf'_cons
|
[] |
[
918,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
916,
1
] |
Mathlib/Data/Option/Basic.lean
|
Option.map_injective'
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.3918\nδ : Type ?u.3921\nf g : α → β\nh : Option.map f = Option.map g\nx : α\n⊢ some (f x) = some (g x)",
"tactic": "simp only [← map_some', h]"
}
] |
[
118,
67
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
117,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Pi.lean
|
Set.image_mulSingle_Ioc_right
|
[] |
[
270,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
268,
1
] |
Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
|
Basis.coe_toOrthonormalBasis_repr
|
[] |
[
502,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
500,
1
] |
Mathlib/Order/SymmDiff.lean
|
bihimp_bihimp_self
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.82995\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.83001\nπ : ι → Type ?u.83006\ninst✝ : BooleanAlgebra α\na b c d : α\n⊢ a ⇔ b ⇔ a = b",
"tactic": "rw [bihimp_comm, bihimp_bihimp_cancel_left]"
}
] |
[
653,
93
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
653,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basis.lean
|
Basis.ext_multilinear_fin
|
[
{
"state_after": "case zero\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nM : Fin Nat.zero → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin Nat.zero) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin Nat.zero) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin Nat.zero → Type u_4\ne : (i : Fin Nat.zero) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin Nat.zero) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ f = g\n\ncase succ\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ f = g",
"state_before": "R : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁶ : CommSemiring R\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M₃\ninst✝³ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝² : (i : Fin n) → Module R (M i)\ninst✝¹ : Module R M₂\ninst✝ : Module R M₃\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin n → Type u_4\ne : (i : Fin n) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ f = g",
"tactic": "induction' n with m hm"
},
{
"state_after": "case zero.H\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nM : Fin Nat.zero → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin Nat.zero) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin Nat.zero) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin Nat.zero → Type u_4\ne : (i : Fin Nat.zero) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin Nat.zero) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\nx : (i : Fin Nat.zero) → M i\n⊢ ↑f x = ↑g x",
"state_before": "case zero\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nM : Fin Nat.zero → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin Nat.zero) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin Nat.zero) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin Nat.zero → Type u_4\ne : (i : Fin Nat.zero) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin Nat.zero) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ f = g",
"tactic": "ext x"
},
{
"state_after": "case h.e'_3.h.e'_6.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nM : Fin Nat.zero → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin Nat.zero) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin Nat.zero) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin Nat.zero → Type u_4\ne : (i : Fin Nat.zero) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin Nat.zero) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\nx✝ : (i : Fin Nat.zero) → M i\nx : Fin Nat.zero\n⊢ x✝ x = ↑(e x) (finZeroElim x)",
"state_before": "case h.e'_3.h.e'_6.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nM : Fin Nat.zero → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin Nat.zero) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin Nat.zero) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin Nat.zero → Type u_4\ne : (i : Fin Nat.zero) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin Nat.zero) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\nx : (i : Fin Nat.zero) → M i\nx✝ : Fin Nat.zero\n⊢ x x✝ = ↑(e x✝) (finZeroElim x✝)",
"tactic": "rename_i x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_3.h.e'_6.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nM : Fin Nat.zero → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin Nat.zero) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin Nat.zero) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin Nat.zero → Type u_4\ne : (i : Fin Nat.zero) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin Nat.zero) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\nx✝ : (i : Fin Nat.zero) → M i\nx : Fin Nat.zero\n⊢ x✝ x = ↑(e x) (finZeroElim x)",
"tactic": "apply finZeroElim x"
},
{
"state_after": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ (fun x => curryLeft x) f = (fun x => curryLeft x) g",
"state_before": "case succ\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ f = g",
"tactic": "apply Function.LeftInverse.injective uncurry_curryLeft"
},
{
"state_after": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ ∀ (i : ι₁ 0), ↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i) = ↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)",
"state_before": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ (fun x => curryLeft x) f = (fun x => curryLeft x) g",
"tactic": "refine' Basis.ext (e 0) _"
},
{
"state_after": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\n⊢ ↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i) = ↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)",
"state_before": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\n⊢ ∀ (i : ι₁ 0), ↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i) = ↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)",
"tactic": "intro i"
},
{
"state_after": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\n⊢ ∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)),\n (↑(↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (v i)) =\n ↑(↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (v i)",
"state_before": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\n⊢ ↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i) = ↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)",
"tactic": "apply hm (Fin.tail e)"
},
{
"state_after": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ (↑(↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) =\n ↑(↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)",
"state_before": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\n⊢ ∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)),\n (↑(↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (v i)) =\n ↑(↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (v i)",
"tactic": "intro j"
},
{
"state_after": "case h.e'_2\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ (↑(↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) = ↑f fun i_1 => ↑(e i_1) (Fin.cons i j i_1)\n\ncase h.e'_3\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ (↑(↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) = ↑g fun i_1 => ↑(e i_1) (Fin.cons i j i_1)",
"state_before": "case succ.a\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ (↑(↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) =\n ↑(↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)",
"tactic": "convert h (Fin.cons i j)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_2\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ (↑(↑((fun x => curryLeft x) f) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) = ↑f fun i_1 => ↑(e i_1) (Fin.cons i j i_1)\n\ncase h.e'_3\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ (↑(↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) = ↑g fun i_1 => ↑(e i_1) (Fin.cons i j i_1)",
"tactic": "iterate 2\n rw [curryLeft_apply]\n congr 1 with x\n refine' Fin.cases rfl (fun x => _) x\n dsimp [Fin.tail]\n rw [Fin.cons_succ, Fin.cons_succ]"
},
{
"state_after": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ ↑g (Fin.cons (↑(e 0) i) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) = ↑g fun i_1 => ↑(e i_1) (Fin.cons i j i_1)",
"state_before": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ (↑(↑((fun x => curryLeft x) g) (↑(e 0) i)) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) = ↑g fun i_1 => ↑(e i_1) (Fin.cons i j i_1)",
"tactic": "rw [curryLeft_apply]"
},
{
"state_after": "case h.e'_3.h.e_6.h.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\nx : Fin (m + 1)\n⊢ Fin.cons (↑(e 0) i) (fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) x = ↑(e x) (Fin.cons i j x)",
"state_before": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\n⊢ ↑g (Fin.cons (↑(e 0) i) fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) = ↑g fun i_1 => ↑(e i_1) (Fin.cons i j i_1)",
"tactic": "congr 1 with x"
},
{
"state_after": "case h.e'_3.h.e_6.h.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\nx✝ : Fin (m + 1)\nx : Fin m\n⊢ Fin.cons (↑(e 0) i) (fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) (Fin.succ x) = ↑(e (Fin.succ x)) (Fin.cons i j (Fin.succ x))",
"state_before": "case h.e'_3.h.e_6.h.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\nx : Fin (m + 1)\n⊢ Fin.cons (↑(e 0) i) (fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) x = ↑(e x) (Fin.cons i j x)",
"tactic": "refine' Fin.cases rfl (fun x => _) x"
},
{
"state_after": "case h.e'_3.h.e_6.h.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\nx✝ : Fin (m + 1)\nx : Fin m\n⊢ Fin.cons (↑(e 0) i) (fun i => ↑(e (Fin.succ i)) (j i)) (Fin.succ x) = ↑(e (Fin.succ x)) (Fin.cons i j (Fin.succ x))",
"state_before": "case h.e'_3.h.e_6.h.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\nx✝ : Fin (m + 1)\nx : Fin m\n⊢ Fin.cons (↑(e 0) i) (fun i => ↑(Fin.tail e i) (j i)) (Fin.succ x) = ↑(e (Fin.succ x)) (Fin.cons i j (Fin.succ x))",
"tactic": "dsimp [Fin.tail]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_3.h.e_6.h.h\nR : Type u_1\nι : Type ?u.528\nn : ℕ\nM✝ : Fin n → Type u_2\nM₂ : Type u_3\nM₃ : Type ?u.541\ninst✝⁸ : CommSemiring R\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁵ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M✝ i)\ninst✝⁴ : (i : Fin n) → Module R (M✝ i)\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Module R M₃\nf✝ g✝ : MultilinearMap R M✝ M₂\nι₁✝ : Fin n → Type u_4\ne✝ : (i : Fin n) → Basis (ι₁✝ i) R (M✝ i)\nh✝ : ∀ (v : (i : Fin n) → ι₁✝ i), (↑f✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)) = ↑g✝ fun i => ↑(e✝ i) (v i)\nm : ℕ\nhm :\n ∀ {M : Fin m → Type u_2} [inst : (i : Fin m) → AddCommMonoid (M i)] [inst_1 : (i : Fin m) → Module R (M i)]\n {f g : MultilinearMap R M M₂} {ι₁ : Fin m → Type u_4} (e : (i : Fin m) → Basis (ι₁ i) R (M i)),\n (∀ (v : (i : Fin m) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)) → f = g\nM : Fin (Nat.succ m) → Type u_2\ninst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ m)) → AddCommMonoid (M i)\ninst✝ : (i : Fin (Nat.succ m)) → Module R (M i)\nf g : MultilinearMap R M M₂\nι₁ : Fin (Nat.succ m) → Type u_4\ne : (i : Fin (Nat.succ m)) → Basis (ι₁ i) R (M i)\nh : ∀ (v : (i : Fin (Nat.succ m)) → ι₁ i), (↑f fun i => ↑(e i) (v i)) = ↑g fun i => ↑(e i) (v i)\ni : ι₁ 0\nj : (i : Fin m) → ι₁ (Fin.succ i)\nx✝ : Fin (m + 1)\nx : Fin m\n⊢ Fin.cons (↑(e 0) i) (fun i => ↑(e (Fin.succ i)) (j i)) (Fin.succ x) = ↑(e (Fin.succ x)) (Fin.cons i j (Fin.succ x))",
"tactic": "rw [Fin.cons_succ, Fin.cons_succ]"
}
] |
[
57,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
37,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
|
Finset.comp_inf'_eq_inf'_comp
|
[] |
[
961,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
959,
1
] |
Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
|
UniqueFactorizationMonoid.exists_mem_factors
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\nx : α\nhx : x ≠ 0\nh : ¬IsUnit x\np' : α\nhp' : Irreducible p'\nhp'x : p' ∣ x\n⊢ ∃ p, p ∈ factors x",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\nx : α\nhx : x ≠ 0\nh : ¬IsUnit x\n⊢ ∃ p, p ∈ factors x",
"tactic": "obtain ⟨p', hp', hp'x⟩ := WfDvdMonoid.exists_irreducible_factor h hx"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\nx : α\nhx : x ≠ 0\nh : ¬IsUnit x\np' : α\nhp' : Irreducible p'\nhp'x : p' ∣ x\np : α\nhp : p ∈ factors x\nright✝ : p' ~ᵤ p\n⊢ ∃ p, p ∈ factors x",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\nx : α\nhx : x ≠ 0\nh : ¬IsUnit x\np' : α\nhp' : Irreducible p'\nhp'x : p' ∣ x\n⊢ ∃ p, p ∈ factors x",
"tactic": "obtain ⟨p, hp, _⟩ := exists_mem_factors_of_dvd hx hp' hp'x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\nx : α\nhx : x ≠ 0\nh : ¬IsUnit x\np' : α\nhp' : Irreducible p'\nhp'x : p' ∣ x\np : α\nhp : p ∈ factors x\nright✝ : p' ~ᵤ p\n⊢ ∃ p, p ∈ factors x",
"tactic": "exact ⟨p, hp⟩"
}
] |
[
506,
16
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
503,
1
] |
Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
|
IsROrC.im_eq_complex_im
|
[] |
[
434,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
433,
1
] |
Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
|
AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish.of_P
|
[
{
"state_after": "case h\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nn : ℕ\nj : Fin (n + 1)\nhj₁ : n + 1 ≤ ↑j + 0\n⊢ False",
"state_before": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nn : ℕ\nj : Fin (n + 1)\nhj₁ : n + 1 ≤ ↑j + 0\n⊢ HomologicalComplex.Hom.f (P 0) (n + 1) ≫ δ X (Fin.succ j) = 0",
"tactic": "exfalso"
},
{
"state_after": "case h\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nn : ℕ\nj : Fin (n + 1)\nhj₁ : n + 1 ≤ ↑j + 0\nhj₂ : ↑j < n + 1\n⊢ False",
"state_before": "case h\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nn : ℕ\nj : Fin (n + 1)\nhj₁ : n + 1 ≤ ↑j + 0\n⊢ False",
"tactic": "have hj₂ := Fin.is_lt j"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nn : ℕ\nj : Fin (n + 1)\nhj₁ : n + 1 ≤ ↑j + 0\nhj₂ : ↑j < n + 1\n⊢ False",
"tactic": "linarith"
},
{
"state_after": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nq n : ℕ\n⊢ HigherFacesVanish (q + 1) (HomologicalComplex.Hom.f (P q ≫ (𝟙 K[X] + Hσ q)) (n + 1))",
"state_before": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nq n : ℕ\n⊢ HigherFacesVanish (q + 1) (HomologicalComplex.Hom.f (P (q + 1)) (n + 1))",
"tactic": "simp only [P_succ]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category C\ninst✝ : Preadditive C\nX : SimplicialObject C\nq n : ℕ\n⊢ HigherFacesVanish (q + 1) (HomologicalComplex.Hom.f (P q ≫ (𝟙 K[X] + Hσ q)) (n + 1))",
"tactic": "exact (of_P q n).induction"
}
] |
[
118,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
111,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm.lean
|
ContinuousLinearMap.op_norm_le_of_shell
|
[] |
[
233,
100
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
231,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
|
Matrix.UnitaryGroup.coe_toGL
|
[] |
[
178,
71
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
178,
1
] |
Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Maximal.lean
|
PrimeSpectrum.iInf_localization_eq_bot
|
[
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (x ∈\n ⨅ (v : PrimeSpectrum R),\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl v.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl v.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) ↔\n x ∈ ⊥",
"state_before": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\n⊢ (⨅ (v : PrimeSpectrum R),\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl v.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl v.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) =\n ⊥",
"tactic": "ext x"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) ↔\n x ∈ ⊥",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (x ∈\n ⨅ (v : PrimeSpectrum R),\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl v.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl v.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) ↔\n x ∈ ⊥",
"tactic": "rw [Algebra.mem_iInf]"
},
{
"state_after": "case h.mp\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) →\n x ∈ ⊥\n\ncase h.mpr\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ x ∈ ⊥ →\n ∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) ↔\n x ∈ ⊥",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case h.mp\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) →\n ∀ (i : MaximalSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"state_before": "case h.mp\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) →\n x ∈ ⊥",
"tactic": "rw [← MaximalSpectrum.iInf_localization_eq_bot, Algebra.mem_iInf]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.mp\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)) →\n ∀ (i : MaximalSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"tactic": "exact fun hx ⟨v, hv⟩ => hx ⟨v, hv.isPrime⟩"
},
{
"state_after": "case h.mpr\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ x ∈ Set.range ↑(algebraMap R K) →\n ∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"state_before": "case h.mpr\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ x ∈ ⊥ →\n ∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"tactic": "rw [Algebra.mem_bot]"
},
{
"state_after": "case h.mpr.intro.mk\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\ny : R\nv : Ideal R\nhv : Ideal.IsPrime v\n⊢ ↑(algebraMap R K) y ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl { asIdeal := v, IsPrime := hv }.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl { asIdeal := v, IsPrime := hv }.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"state_before": "case h.mpr\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ x ∈ Set.range ↑(algebraMap R K) →\n ∀ (i : PrimeSpectrum R),\n x ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl i.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl i.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"tactic": "rintro ⟨y, rfl⟩ ⟨v, hv⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.mpr.intro.mk\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\ny : R\nv : Ideal R\nhv : Ideal.IsPrime v\n⊢ ↑(algebraMap R K) y ∈\n Localization.subalgebra.ofField K (Ideal.primeCompl { asIdeal := v, IsPrime := hv }.asIdeal)\n (_ : Ideal.primeCompl { asIdeal := v, IsPrime := hv }.asIdeal ≤ nonZeroDivisors R)",
"tactic": "exact ⟨y, 1, v.ne_top_iff_one.mp hv.ne_top, by rw [map_one, inv_one, mul_one]⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\ny : R\nv : Ideal R\nhv : Ideal.IsPrime v\n⊢ ↑(algebraMap R K) y = ↑(algebraMap R K) y * (↑(algebraMap R K) 1)⁻¹",
"tactic": "rw [map_one, inv_one, mul_one]"
}
] |
[
143,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
134,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Subring/Basic.lean
|
Subring.mem_comap
|
[] |
[
580,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
579,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
|
tendsto_const_mul_pow_nhds_iff'
|
[
{
"state_after": "case inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nc d : 𝕜\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ 0) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ 0 = 0) ∧ c = d\n\ncase inr\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"tactic": "rcases eq_or_ne n 0 with (rfl | hn)"
},
{
"state_after": "case inr.inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : c < 0\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d\n\ncase inr.inr.inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nd : 𝕜\nhn : n ≠ 0\n⊢ Tendsto (fun x => 0 * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (0 = 0 ∨ n = 0) ∧ 0 = d\n\ncase inr.inr.inr\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : 0 < c\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"state_before": "case inr\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"tactic": "rcases lt_trichotomy c 0 with (hc | rfl | hc)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nc d : 𝕜\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ 0) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ 0 = 0) ∧ c = d",
"tactic": "simp [tendsto_const_nhds_iff]"
},
{
"state_after": "case inr.inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : c < 0\nthis : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atBot\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"state_before": "case inr.inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : c < 0\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"tactic": "have := tendsto_const_mul_pow_atBot_iff.2 ⟨hn, hc⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : c < 0\nthis : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atBot\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"tactic": "simp [not_tendsto_nhds_of_tendsto_atBot this, hc.ne, hn]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.inl\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nd : 𝕜\nhn : n ≠ 0\n⊢ Tendsto (fun x => 0 * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (0 = 0 ∨ n = 0) ∧ 0 = d",
"tactic": "simp [tendsto_const_nhds_iff]"
},
{
"state_after": "case inr.inr.inr\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : 0 < c\nthis : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"state_before": "case inr.inr.inr\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : 0 < c\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"tactic": "have := tendsto_const_mul_pow_atTop_iff.2 ⟨hn, hc⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.inr\n𝕜 : Type u_1\nα : Type ?u.36297\ninst✝² : LinearOrderedField 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\nl : Filter α\nf g : α → 𝕜\nn : ℕ\nc d : 𝕜\nhn : n ≠ 0\nhc : 0 < c\nthis : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d",
"tactic": "simp [not_tendsto_nhds_of_tendsto_atTop this, hc.ne', hn]"
}
] |
[
185,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
176,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Pointwise.lean
|
AddSubmonoid.pow_subset_pow
|
[] |
[
692,
53
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
691,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
|
UniformInducing.denseInducing
|
[] |
[
118,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
115,
1
] |
Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
|
Equiv.sumProdDistrib_apply_right
|
[] |
[
917,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
915,
1
] |
Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
|
Stream'.WSeq.join_nil
|
[] |
[
756,
15
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
755,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
|
Ordinal.nfp_mul_zero
|
[
{
"state_after": "a : Ordinal\n⊢ ∀ (n : ℕ), ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0",
"state_before": "a : Ordinal\n⊢ nfp (fun x => a * x) 0 = 0",
"tactic": "rw [← Ordinal.le_zero, nfp_le_iff]"
},
{
"state_after": "a : Ordinal\nn : ℕ\n⊢ ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0",
"state_before": "a : Ordinal\n⊢ ∀ (n : ℕ), ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0",
"tactic": "intro n"
},
{
"state_after": "case zero\na : Ordinal\n⊢ ((fun x => a * x)^[Nat.zero]) 0 ≤ 0\n\ncase succ\na : Ordinal\nn : ℕ\nhn : ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0\n⊢ ((fun x => a * x)^[Nat.succ n]) 0 ≤ 0",
"state_before": "a : Ordinal\nn : ℕ\n⊢ ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0",
"tactic": "induction' n with n hn"
},
{
"state_after": "case succ\na : Ordinal\nn : ℕ\nhn : ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0\n⊢ ((fun x => a * x)^[Nat.succ n]) 0 ≤ 0",
"state_before": "case succ\na : Ordinal\nn : ℕ\nhn : ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0\n⊢ ((fun x => a * x)^[Nat.succ n]) 0 ≤ 0",
"tactic": "dsimp only"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ\na : Ordinal\nn : ℕ\nhn : ((fun x => a * x)^[n]) 0 ≤ 0\n⊢ ((fun x => a * x)^[Nat.succ n]) 0 ≤ 0",
"tactic": "rwa [iterate_succ_apply, mul_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case zero\na : Ordinal\n⊢ ((fun x => a * x)^[Nat.zero]) 0 ≤ 0",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
633,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
629,
1
] |
Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
|
Vector.mk_toList
|
[] |
[
86,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
85,
1
] |
Mathlib/Tactic/IrreducibleDef.lean
|
Lean.Elab.Command.$n_def
|
[] |
[
110,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
105,
39
] |
Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
|
Int.Prime.dvd_mul
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m n : ℤ\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nh : ↑p ∣ m * n\n⊢ p ∣ natAbs m ∨ p ∣ natAbs n",
"tactic": "rwa [← hp.dvd_mul, ← Int.natAbs_mul, ←Int.coe_nat_dvd_left]"
}
] |
[
272,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
270,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/Free.lean
|
FreeLieAlgebra.lift_of_apply
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nX : Type v\ninst✝² : CommRing R\nL : Type w\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nf : X → L\nx : X\n⊢ ↑(↑(lift R) f) (of R x) = f x",
"tactic": "rw [← @Function.comp_apply _ _ _ (lift R f) (of R) x, of_comp_lift]"
}
] |
[
261,
71
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
260,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm.lean
|
MeasurableEquiv.memℒp_map_measure_iff
|
[] |
[
948,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
946,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Dimension.lean
|
LinearMap.rank_comp_le_left
|
[
{
"state_after": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.1108176\ninst✝⁸ : Ring K\ninst✝⁷ : AddCommGroup V\ninst✝⁶ : Module K V\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁴ : Module K V₁\ninst✝³ : AddCommGroup V'\ninst✝² : Module K V'\ninst✝¹ : AddCommGroup V''\ninst✝ : Module K V''\ng : V →ₗ[K] V'\nf : V' →ₗ[K] V''\n⊢ range (comp f g) ≤ range f",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.1108176\ninst✝⁸ : Ring K\ninst✝⁷ : AddCommGroup V\ninst✝⁶ : Module K V\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁴ : Module K V₁\ninst✝³ : AddCommGroup V'\ninst✝² : Module K V'\ninst✝¹ : AddCommGroup V''\ninst✝ : Module K V''\ng : V →ₗ[K] V'\nf : V' →ₗ[K] V''\n⊢ rank (comp f g) ≤ rank f",
"tactic": "refine' rank_le_of_submodule _ _ _"
},
{
"state_after": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.1108176\ninst✝⁸ : Ring K\ninst✝⁷ : AddCommGroup V\ninst✝⁶ : Module K V\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁴ : Module K V₁\ninst✝³ : AddCommGroup V'\ninst✝² : Module K V'\ninst✝¹ : AddCommGroup V''\ninst✝ : Module K V''\ng : V →ₗ[K] V'\nf : V' →ₗ[K] V''\n⊢ Submodule.map f (range g) ≤ range f",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.1108176\ninst✝⁸ : Ring K\ninst✝⁷ : AddCommGroup V\ninst✝⁶ : Module K V\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁴ : Module K V₁\ninst✝³ : AddCommGroup V'\ninst✝² : Module K V'\ninst✝¹ : AddCommGroup V''\ninst✝ : Module K V''\ng : V →ₗ[K] V'\nf : V' →ₗ[K] V''\n⊢ range (comp f g) ≤ range f",
"tactic": "rw [LinearMap.range_comp]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "K : Type u\nV V₁ V₂ V₃ : Type v\nV' V'₁ : Type v'\nV'' : Type v''\nι : Type w\nι' : Type w'\nη : Type u₁'\nφ : η → Type ?u.1108176\ninst✝⁸ : Ring K\ninst✝⁷ : AddCommGroup V\ninst✝⁶ : Module K V\ninst✝⁵ : AddCommGroup V₁\ninst✝⁴ : Module K V₁\ninst✝³ : AddCommGroup V'\ninst✝² : Module K V'\ninst✝¹ : AddCommGroup V''\ninst✝ : Module K V''\ng : V →ₗ[K] V'\nf : V' →ₗ[K] V''\n⊢ Submodule.map f (range g) ≤ range f",
"tactic": "exact LinearMap.map_le_range"
}
] |
[
1336,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1333,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
|
Ordinal.blsub_eq_blsub
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.349286\nβ : Type ?u.349289\nγ : Type ?u.349292\nr✝ : α → α → Prop\ns : β → β → Prop\nt : γ → γ → Prop\nι : Type u\nr r' : ι → ι → Prop\ninst✝¹ : IsWellOrder ι r\ninst✝ : IsWellOrder ι r'\nf : ι → Ordinal\n⊢ blsub (type r) (bfamilyOfFamily' r f) = blsub (type r') (bfamilyOfFamily' r' f)",
"tactic": "rw [blsub_eq_lsub', blsub_eq_lsub']"
}
] |
[
1788,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1785,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/OuterMeasure.lean
|
MeasureTheory.OuterMeasure.map_ofFunction
|
[
{
"state_after": "α : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\n⊢ ↑(OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty) s ≤ ↑(↑(map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s",
"state_before": "α : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\n⊢ ↑(map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty",
"tactic": "refine' (map_ofFunction_le _).antisymm fun s => _"
},
{
"state_after": "α : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\n⊢ ∀ (i : ℕ → Set α),\n f ⁻¹' s ⊆ iUnion i → (⨅ (t : ℕ → Set β) (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n)) ≤ ∑' (n : ℕ), m (i n)",
"state_before": "α : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\n⊢ ↑(OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty) s ≤ ↑(↑(map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s",
"tactic": "simp only [ofFunction_apply, map_apply, le_iInf_iff]"
},
{
"state_after": "α : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ (⨅ (t : ℕ → Set β) (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n)) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)",
"state_before": "α : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\n⊢ ∀ (i : ℕ → Set α),\n f ⁻¹' s ⊆ iUnion i → (⨅ (t : ℕ → Set β) (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n)) ≤ ∑' (n : ℕ), m (i n)",
"tactic": "intro t ht"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ s ⊆ ⋃ (n : ℕ), range fᶜ ∪ f '' t n\n\ncase refine'_2\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ (∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' (fun n => range fᶜ ∪ f '' t n) n)) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)",
"state_before": "α : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ (⨅ (t : ℕ → Set β) (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n)) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)",
"tactic": "refine' iInf_le_of_le (fun n => range fᶜ ∪ f '' t n) (iInf_le_of_le _ _)"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ f '' (f ⁻¹' s) ⊆ f '' ⋃ (i : ℕ), t i",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ s ⊆ ⋃ (n : ℕ), range fᶜ ∪ f '' t n",
"tactic": "rw [← union_iUnion, ← inter_subset, ← image_preimage_eq_inter_range, ← image_iUnion]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ f '' (f ⁻¹' s) ⊆ f '' ⋃ (i : ℕ), t i",
"tactic": "exact image_subset _ ht"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\nn : ℕ\n⊢ m (f ⁻¹' (fun n => range fᶜ ∪ f '' t n) n) = m (t n)",
"state_before": "case refine'_2\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\n⊢ (∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' (fun n => range fᶜ ∪ f '' t n) n)) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)",
"tactic": "refine' ENNReal.tsum_le_tsum fun n => le_of_eq _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2\nα : Type u_2\nm : Set α → ℝ≥0∞\nm_empty : m ∅ = 0\nβ : Type u_1\nf : α → β\nhf : Injective f\ns : Set β\nt : ℕ → Set α\nht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t\nn : ℕ\n⊢ m (f ⁻¹' (fun n => range fᶜ ∪ f '' t n) n) = m (t n)",
"tactic": "simp [hf.preimage_image]"
}
] |
[
809,
29
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
799,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
|
Filter.mem_comap
|
[] |
[
2054,
76
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2054,
9
] |
Mathlib/Data/Nat/Size.lean
|
Nat.size_eq_zero
|
[
{
"state_after": "n : ℕ\nthis : 0 < size n ↔ 0 < n\n⊢ size n = 0 ↔ n = 0",
"state_before": "n : ℕ\n⊢ size n = 0 ↔ n = 0",
"tactic": "have := @size_pos n"
},
{
"state_after": "n : ℕ\nthis : ¬size n = 0 ↔ ¬n = 0\n⊢ size n = 0 ↔ n = 0",
"state_before": "n : ℕ\nthis : 0 < size n ↔ 0 < n\n⊢ size n = 0 ↔ n = 0",
"tactic": "simp [pos_iff_ne_zero] at this"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : ℕ\nthis : ¬size n = 0 ↔ ¬n = 0\n⊢ size n = 0 ↔ n = 0",
"tactic": "exact Decidable.not_iff_not.1 this"
}
] |
[
166,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
165,
1
] |
Mathlib/FieldTheory/RatFunc.lean
|
RatFunc.mk_coe_def
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "K : Type u\ninst✝¹ : CommRing K\ninst✝ : IsDomain K\np : K[X]\nq : { x // x ∈ K[X]⁰ }\n⊢ RatFunc.mk p ↑q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p q }",
"tactic": "simp only [mk_eq_div', ← Localization.mk_eq_mk', FractionRing.mk_eq_div]"
}
] |
[
210,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
207,
1
] |
Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
|
Ordnode.Valid'.node4L_lemma₃
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.284064\ninst✝ : Preorder α\nb c d : ℕ\nmr₁ : 2 * d ≤ b + c + 1\nmm₁ : b ≤ 3 * c\n⊢ d ≤ 3 * c",
"tactic": "linarith"
}
] |
[
1150,
14
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1149,
1
] |
Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
|
Associates.mem_factors'_of_dvd
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) } ∈ factors' a",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\n⊢ { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) } ∈ factors' a",
"tactic": "obtain ⟨q, hq, hpq⟩ := exists_mem_factors_of_dvd ha0 hp hd"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ ∃ a_1 h,\n { val := Associates.mk a_1, property := (_ : Irreducible (Associates.mk a_1)) } =\n { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) }",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) } ∈ factors' a",
"tactic": "apply Multiset.mem_pmap.mpr"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ ∃ h,\n { val := Associates.mk q, property := (_ : Irreducible (Associates.mk q)) } =\n { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) }",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ ∃ a_1 h,\n { val := Associates.mk a_1, property := (_ : Irreducible (Associates.mk a_1)) } =\n { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) }",
"tactic": "use q"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ { val := Associates.mk q, property := (_ : Irreducible (Associates.mk q)) } =\n { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) }",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ ∃ h,\n { val := Associates.mk q, property := (_ : Irreducible (Associates.mk q)) } =\n { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) }",
"tactic": "use hq"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ndec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\ndec : DecidableEq α\ndec' : DecidableEq (Associates α)\na p : α\nha0 : a ≠ 0\nhp : Irreducible p\nhd : p ∣ a\nq : α\nhq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a\nhpq : p ~ᵤ q\n⊢ { val := Associates.mk q, property := (_ : Irreducible (Associates.mk q)) } =\n { val := Associates.mk p, property := (_ : Irreducible (Associates.mk p)) }",
"tactic": "exact Subtype.eq (Eq.symm (mk_eq_mk_iff_associated.mpr hpq))"
}
] |
[
1609,
63
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1605,
1
] |
Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Power.lean
|
zpow_bit1₀
|
[
{
"state_after": "G₀ : Type u_1\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na : G₀\nn : ℤ\n⊢ a ≠ 0 ∨ bit0 n + 1 ≠ 0 ∨ bit0 n = 0 ∧ 1 = 0",
"state_before": "G₀ : Type u_1\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na : G₀\nn : ℤ\n⊢ a ^ bit1 n = a ^ n * a ^ n * a",
"tactic": "rw [← zpow_bit0, bit1, zpow_add', zpow_one]"
},
{
"state_after": "case h\nG₀ : Type u_1\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na : G₀\nn : ℤ\n⊢ bit0 n + 1 ≠ 0 ∨ bit0 n = 0 ∧ 1 = 0",
"state_before": "G₀ : Type u_1\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na : G₀\nn : ℤ\n⊢ a ≠ 0 ∨ bit0 n + 1 ≠ 0 ∨ bit0 n = 0 ∧ 1 = 0",
"tactic": "right"
},
{
"state_after": "case h.h\nG₀ : Type u_1\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na : G₀\nn : ℤ\n⊢ bit0 n + 1 ≠ 0",
"state_before": "case h\nG₀ : Type u_1\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na : G₀\nn : ℤ\n⊢ bit0 n + 1 ≠ 0 ∨ bit0 n = 0 ∧ 1 = 0",
"tactic": "left"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.h\nG₀ : Type u_1\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na : G₀\nn : ℤ\n⊢ bit0 n + 1 ≠ 0",
"tactic": "apply bit1_ne_zero"
}
] |
[
151,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
148,
1
] |
Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
|
GaloisConnection.l_limsup_le
|
[
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nι : Type ?u.205644\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β\ninst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ\nf : Filter α\nv : α → β\nl : β → γ\nu : γ → β\ngc : GaloisConnection l u\nhlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝\nhv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝\nc : γ\nhc : ∀ᶠ (n : γ) in map (fun x => l (v x)) f, n ≤ c\n⊢ l (limsup v f) ≤ c",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nι : Type ?u.205644\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β\ninst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ\nf : Filter α\nv : α → β\nl : β → γ\nu : γ → β\ngc : GaloisConnection l u\nhlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝\nhv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝\n⊢ l (limsup v f) ≤ limsup (fun x => l (v x)) f",
"tactic": "refine' le_limsSup_of_le hlv fun c hc => _"
},
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nι : Type ?u.205644\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β\ninst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ\nf : Filter α\nv : α → β\nl : β → γ\nu : γ → β\ngc : GaloisConnection l u\nhlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝\nhv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝\nc : γ\nhc : ∀ᶠ (a : α) in f, l (v a) ≤ c\n⊢ l (limsup v f) ≤ c",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nι : Type ?u.205644\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β\ninst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ\nf : Filter α\nv : α → β\nl : β → γ\nu : γ → β\ngc : GaloisConnection l u\nhlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝\nhv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝\nc : γ\nhc : ∀ᶠ (n : γ) in map (fun x => l (v x)) f, n ≤ c\n⊢ l (limsup v f) ≤ c",
"tactic": "rw [Filter.eventually_map] at hc"
},
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nι : Type ?u.205644\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β\ninst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ\nf : Filter α\nv : α → β\nl : β → γ\nu : γ → β\ngc : GaloisConnection l u\nhlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝\nhv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝\nc : γ\nhc : ∀ᶠ (a : α) in f, v a ≤ u c\n⊢ limsup v f ≤ u c",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nι : Type ?u.205644\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β\ninst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ\nf : Filter α\nv : α → β\nl : β → γ\nu : γ → β\ngc : GaloisConnection l u\nhlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝\nhv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝\nc : γ\nhc : ∀ᶠ (a : α) in f, l (v a) ≤ c\n⊢ l (limsup v f) ≤ c",
"tactic": "simp_rw [gc _ _] at hc⊢"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nι : Type ?u.205644\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β\ninst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ\nf : Filter α\nv : α → β\nl : β → γ\nu : γ → β\ngc : GaloisConnection l u\nhlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝\nhv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝\nc : γ\nhc : ∀ᶠ (a : α) in f, v a ≤ u c\n⊢ limsup v f ≤ u c",
"tactic": "exact limsSup_le_of_le hv_co hc"
}
] |
[
1214,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1205,
1
] |
Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
|
BoxIntegral.Prepartition.forall_biUnionTagged
|
[
{
"state_after": "ι : Type u_1\nI J : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\n⊢ (∀ (J : Box ι), (∃ J', J' ∈ π ∧ J ∈ πi J') → p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J) J) ↔\n ∀ (J : Box ι), J ∈ π → ∀ (J' : Box ι), J' ∈ πi J → p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'",
"state_before": "ι : Type u_1\nI J : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\n⊢ (∀ (J : Box ι), J ∈ biUnionTagged π πi → p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J) J) ↔\n ∀ (J : Box ι), J ∈ π → ∀ (J' : Box ι), J' ∈ πi J → p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'",
"tactic": "simp only [mem_biUnionTagged]"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), (∃ J', J' ∈ π ∧ J ∈ πi J') → p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J) J\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nJ' : Box ι\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'\n\ncase refine'_2\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), J ∈ π → ∀ (J' : Box ι), J' ∈ πi J → p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'\nJ' : Box ι\nx✝ : ∃ J'_1, J'_1 ∈ π ∧ J' ∈ πi J'_1\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J') J'",
"state_before": "ι : Type u_1\nI J : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\n⊢ (∀ (J : Box ι), (∃ J', J' ∈ π ∧ J ∈ πi J') → p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J) J) ↔\n ∀ (J : Box ι), J ∈ π → ∀ (J' : Box ι), J' ∈ πi J → p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'",
"tactic": "refine' ⟨fun H J hJ J' hJ' => _, fun H J' ⟨J, hJ, hJ'⟩ => _⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), (∃ J', J' ∈ π ∧ J ∈ πi J') → p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J) J\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nJ' : Box ι\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J') J'",
"state_before": "case refine'_1\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), (∃ J', J' ∈ π ∧ J ∈ πi J') → p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J) J\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nJ' : Box ι\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'",
"tactic": "rw [← π.tag_biUnionTagged hJ hJ']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), (∃ J', J' ∈ π ∧ J ∈ πi J') → p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J) J\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nJ' : Box ι\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J') J'",
"tactic": "exact H J' ⟨J, hJ, hJ'⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), J ∈ π → ∀ (J' : Box ι), J' ∈ πi J → p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'\nJ' : Box ι\nx✝ : ∃ J'_1, J'_1 ∈ π ∧ J' ∈ πi J'_1\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'",
"state_before": "case refine'_2\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), J ∈ π → ∀ (J' : Box ι), J' ∈ πi J → p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'\nJ' : Box ι\nx✝ : ∃ J'_1, J'_1 ∈ π ∧ J' ∈ πi J'_1\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (biUnionTagged π πi) J') J'",
"tactic": "rw [π.tag_biUnionTagged hJ hJ']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2\nι : Type u_1\nI J✝ : Box ι\np : (ι → ℝ) → Box ι → Prop\nπ : Prepartition I\nπi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J\nH : ∀ (J : Box ι), J ∈ π → ∀ (J' : Box ι), J' ∈ πi J → p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'\nJ' : Box ι\nx✝ : ∃ J'_1, J'_1 ∈ π ∧ J' ∈ πi J'_1\nJ : Box ι\nhJ : J ∈ π\nhJ' : J' ∈ πi J\n⊢ p (TaggedPrepartition.tag (πi J) J') J'",
"tactic": "exact H J hJ J' hJ'"
}
] |
[
164,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
155,
1
] |
Mathlib/Order/Hom/Bounded.lean
|
BoundedOrderHom.comp_apply
|
[] |
[
653,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
651,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
|
Filter.one_neBot
|
[] |
[
110,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
109,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
|
Polynomial.natTrailingDegree_le_of_trailingDegree_le
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np q r : R[X]\nn : ℕ\nhp : p ≠ 0\nH : ↑n ≤ ↑(natTrailingDegree p)\n⊢ n ≤ natTrailingDegree p",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np q r : R[X]\nn : ℕ\nhp : p ≠ 0\nH : ↑n ≤ trailingDegree p\n⊢ n ≤ natTrailingDegree p",
"tactic": "rw [trailingDegree_eq_natTrailingDegree hp] at H"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np q r : R[X]\nn : ℕ\nhp : p ≠ 0\nH : ↑n ≤ ↑(natTrailingDegree p)\n⊢ n ≤ natTrailingDegree p",
"tactic": "exact WithTop.coe_le_coe.mp H"
}
] |
[
189,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
186,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
|
tsum_geometric_nNReal
|
[] |
[
274,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
273,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
|
Submodule.le_orthogonalBilin_orthogonalBilin
|
[] |
[
349,
84
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
348,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
|
CategoryTheory.Limits.has_smallest_coproducts_of_hasCoproducts
|
[] |
[
304,
100
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
302,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
|
MeasureTheory.tendstoInMeasure_of_tendsto_Lp
|
[] |
[
363,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
359,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Basic.lean
|
CategoryTheory.Preadditive.hasCoequalizer_of_hasCokernel
|
[] |
[
424,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
421,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Equicontinuity.lean
|
Metric.equicontinuousAt_of_continuity_modulus
|
[
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\nι✝ : Type ?u.3074\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nι : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace β\nx₀ : β\nb : β → ℝ\nb_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)\nF : ι → β → α\nH : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x\n⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\nι✝ : Type ?u.3074\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nι : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace β\nx₀ : β\nb : β → ℝ\nb_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)\nF : ι → β → α\nH : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x\n⊢ EquicontinuousAt F x₀",
"tactic": "rw [Metric.equicontinuousAt_iff_right]"
},
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\nι✝ : Type ?u.3074\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nι : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace β\nx₀ : β\nb : β → ℝ\nb_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)\nF : ι → β → α\nH : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x\nε : ℝ\nε0 : ε > 0\n⊢ ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\nι✝ : Type ?u.3074\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nι : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace β\nx₀ : β\nb : β → ℝ\nb_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)\nF : ι → β → α\nH : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x\n⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε",
"tactic": "intro ε ε0"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\nι✝ : Type ?u.3074\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nι : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace β\nx₀ : β\nb : β → ℝ\nb_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)\nF : ι → β → α\nH : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x\nε : ℝ\nε0 : ε > 0\n⊢ ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε",
"tactic": "filter_upwards [Filter.mem_map.mp <| b_lim (Iio_mem_nhds ε0), H] using\n fun x hx₁ hx₂ i => (hx₂ i).trans_lt hx₁"
}
] |
[
100,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
93,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
|
MeasureTheory.Lp.simpleFunc.coe_indicatorConst
|
[] |
[
710,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
708,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
|
HasFDerivWithinAt.congr'
|
[] |
[
889,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
887,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Prod.lean
|
Set.prod_nonempty_iff
|
[] |
[
321,
51
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
320,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff.lean
|
ContDiffWithinAt.comp
|
[
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\n⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) s x",
"tactic": "intro m hm"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"tactic": "rcases hg.contDiffOn hm with ⟨u, u_nhd, _, hu⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"state_before": "case intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"tactic": "rcases hf.contDiffOn hm with ⟨v, v_nhd, vs, hv⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"tactic": "have xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v :=\n ⟨(mem_of_mem_nhdsWithin (mem_insert (f x) _) u_nhd : _),\n mem_of_mem_nhdsWithin (mem_insert x s) v_nhd⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"tactic": "have : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x := by\n apply hf.continuousWithinAt.insert_self.preimage_mem_nhdsWithin'\n apply nhdsWithin_mono _ _ u_nhd\n rw [image_insert_eq]\n exact insert_subset_insert (image_subset_iff.mpr st)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"tactic": "have Z :=\n (hu.comp (hv.mono (inter_subset_right (f ⁻¹' u) v)) (inter_subset_left _ _)).contDiffWithinAt\n xmem m le_rfl"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis✝ : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\nthis : 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"tactic": "have : 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x := by\n have A : f ⁻¹' u ∩ v = insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v) := by\n apply Subset.antisymm _ (inter_subset_right _ _)\n rintro y ⟨hy1, hy2⟩\n simpa only [mem_inter_iff, mem_preimage, hy2, and_true, true_and, vs hy2] using hy1\n rw [A, ← nhdsWithin_restrict'']\n exact Filter.inter_mem this v_nhd"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis✝ : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\nthis : 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x\n⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u",
"tactic": "rwa [insert_eq_of_mem xmem, this] at Z"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ u ∈ 𝓝[f '' insert x s] f x",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x",
"tactic": "apply hf.continuousWithinAt.insert_self.preimage_mem_nhdsWithin'"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ f '' insert x s ⊆ insert (f x) t",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ u ∈ 𝓝[f '' insert x s] f x",
"tactic": "apply nhdsWithin_mono _ _ u_nhd"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ insert (f x) (f '' s) ⊆ insert (f x) t",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ f '' insert x s ⊆ insert (f x) t",
"tactic": "rw [image_insert_eq]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\n⊢ insert (f x) (f '' s) ⊆ insert (f x) t",
"tactic": "exact insert_subset_insert (image_subset_iff.mpr st)"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\nA : f ⁻¹' u ∩ v = insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)\n⊢ 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\n⊢ 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x",
"tactic": "have A : f ⁻¹' u ∩ v = insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v) := by\n apply Subset.antisymm _ (inter_subset_right _ _)\n rintro y ⟨hy1, hy2⟩\n simpa only [mem_inter_iff, mem_preimage, hy2, and_true, true_and, vs hy2] using hy1"
},
{
"state_after": "case h\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\nA : f ⁻¹' u ∩ v = insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)\n⊢ f ⁻¹' u ∩ v ∈ 𝓝[insert x s] x",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\nA : f ⁻¹' u ∩ v = insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)\n⊢ 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x",
"tactic": "rw [A, ← nhdsWithin_restrict'']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\nA : f ⁻¹' u ∩ v = insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)\n⊢ f ⁻¹' u ∩ v ∈ 𝓝[insert x s] x",
"tactic": "exact Filter.inter_mem this v_nhd"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\n⊢ f ⁻¹' u ∩ v ⊆ insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\n⊢ f ⁻¹' u ∩ v = insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)",
"tactic": "apply Subset.antisymm _ (inter_subset_right _ _)"
},
{
"state_after": "case intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\ny : E\nhy1 : y ∈ f ⁻¹' u\nhy2 : y ∈ v\n⊢ y ∈ insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\n⊢ f ⁻¹' u ∩ v ⊆ insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)",
"tactic": "rintro y ⟨hy1, hy2⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.771367\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns✝ s₁ t✝ u✝ : Set E\nf✝ f₁ : E → F\ng✝ : F → G\nx✝ x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm✝ n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ns : Set E\nt : Set F\ng : F → G\nf : E → F\nx : E\nhg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)\nhf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x\nst : s ⊆ f ⁻¹' t\nm : ℕ\nhm : ↑m ≤ n\nu : Set F\nu_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x\nleft✝ : u ⊆ insert (f x) t\nhu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u\nv : Set E\nv_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x\nvs : v ⊆ insert x s\nhv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v\nxmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v\nthis : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x\nZ : ∃ u_1, u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1\ny : E\nhy1 : y ∈ f ⁻¹' u\nhy2 : y ∈ v\n⊢ y ∈ insert x s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)",
"tactic": "simpa only [mem_inter_iff, mem_preimage, hy2, and_true, true_and, vs hy2] using hy1"
}
] |
[
697,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
673,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace.lean
|
MeasurableEquiv.measurable
|
[] |
[
1188,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1187,
11
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear.lean
|
ContinuousMultilinearMap.map_smul_univ
|
[] |
[
472,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
470,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
|
Ideal.radical_minimalPrimes
|
[
{
"state_after": "R : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J : Ideal R\n⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} =\n minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J : Ideal R\n⊢ Ideal.minimalPrimes (radical I) = Ideal.minimalPrimes I",
"tactic": "rw [Ideal.minimalPrimes, Ideal.minimalPrimes]"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J : Ideal R\n⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} =\n minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J : Ideal R\n⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} =\n minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}",
"tactic": "congr"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} ↔\n p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J : Ideal R\n⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} =\n minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}",
"tactic": "ext p"
},
{
"state_after": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}\n\ncase h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p}",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} ↔\n p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}",
"tactic": "refine' ⟨_, _⟩ <;> rintro ⟨⟨a, ha⟩, b⟩"
},
{
"state_after": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p}",
"state_before": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}\n\ncase h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p}",
"tactic": ". refine' ⟨⟨a, a.radical_le_iff.1 ha⟩, _⟩\n . simp only [Set.mem_setOf_eq, and_imp] at *\n exact fun _ h2 h3 h4 => b h2 (h2.radical_le_iff.2 h3) h4"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p}",
"tactic": ". refine' ⟨⟨a, a.radical_le_iff.2 ha⟩, _⟩\n . simp only [Set.mem_setOf_eq, and_imp] at *\n exact fun _ h2 h3 h4 => b h2 (h2.radical_le_iff.1 h3) h4"
},
{
"state_after": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b",
"state_before": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}",
"tactic": "refine' ⟨⟨a, a.radical_le_iff.1 ha⟩, _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b",
"tactic": ". simp only [Set.mem_setOf_eq, and_imp] at *\n exact fun _ h2 h3 h4 => b h2 (h2.radical_le_iff.2 h3) h4"
},
{
"state_after": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → radical I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b",
"state_before": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b",
"tactic": "simp only [Set.mem_setOf_eq, and_imp] at *"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.refine'_1.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\na : IsPrime p\nha : radical I ≤ p\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → radical I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b",
"tactic": "exact fun _ h2 h3 h4 => b h2 (h2.radical_le_iff.2 h3) h4"
},
{
"state_after": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b",
"state_before": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ p ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p}",
"tactic": "refine' ⟨⟨a, a.radical_le_iff.2 ha⟩, _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b",
"tactic": ". simp only [Set.mem_setOf_eq, and_imp] at *\n exact fun _ h2 h3 h4 => b h2 (h2.radical_le_iff.1 h3) h4"
},
{
"state_after": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → radical I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b",
"state_before": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | IsPrime p ∧ radical I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b p → (fun x x_1 => x ≤ x_1) p b",
"tactic": "simp only [Set.mem_setOf_eq, and_imp] at *"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.refine'_2.intro.intro\nR : Type u_1\nS : Type ?u.3948\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nI J p : Ideal R\na : IsPrime p\nha : I ≤ p\nb : ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b\n⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, IsPrime b → radical I ≤ b → b ≤ p → p ≤ b",
"tactic": "exact fun _ h2 h3 h4 => b h2 (h2.radical_le_iff.1 h3) h4"
}
] |
[
85,
63
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
75,
1
] |
Std/Data/String/Lemmas.lean
|
String.extract_cons_addChar
|
[
{
"state_after": "c : Char\ncs : List Char\nb e : Pos\n⊢ (if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then \"\" else { data := extract.go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) }) =\n if b.byteIdx ≥ e.byteIdx then \"\" else { data := extract.go₁ cs 0 b e }",
"state_before": "c : Char\ncs : List Char\nb e : Pos\n⊢ extract { data := c :: cs } (b + c) (e + c) = extract { data := cs } b e",
"tactic": "simp [extract, Nat.add_le_add_iff_le_right]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "c : Char\ncs : List Char\nb e : Pos\n⊢ (if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then \"\" else { data := extract.go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) }) =\n if b.byteIdx ≥ e.byteIdx then \"\" else { data := extract.go₁ cs 0 b e }",
"tactic": "split <;> [rfl; rw [extract.go₁_cons_addChar]]"
}
] |
[
436,
49
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
433,
1
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean
|
List.filterMap_append
|
[
{
"state_after": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nl' : List α\nf : α → Option β\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\ntail_ih✝ : filterMap f (tail✝ ++ l') = filterMap f tail✝ ++ filterMap f l'\n⊢ (match f head✝ with\n | none => filterMap f (tail✝ ++ l')\n | some b => b :: filterMap f (tail✝ ++ l')) =\n (match f head✝ with\n | none => filterMap f tail✝\n | some b => b :: filterMap f tail✝) ++\n filterMap f l'",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nl l' : List α\nf : α → Option β\n⊢ filterMap f (l ++ l') = filterMap f l ++ filterMap f l'",
"tactic": "induction l <;> simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nl' : List α\nf : α → Option β\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\ntail_ih✝ : filterMap f (tail✝ ++ l') = filterMap f tail✝ ++ filterMap f l'\n⊢ (match f head✝ with\n | none => filterMap f (tail✝ ++ l')\n | some b => b :: filterMap f (tail✝ ++ l')) =\n (match f head✝ with\n | none => filterMap f tail✝\n | some b => b :: filterMap f tail✝) ++\n filterMap f l'",
"tactic": "split <;> simp [*]"
}
] |
[
1164,
43
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
1162,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
|
Nat.factorial_mul_factorial_dvd_factorial
|
[
{
"state_after": "n k : ℕ\nhk : k ≤ n\n⊢ k ! * (n - k)! ∣ choose n k * (k ! * (n - k)!)",
"state_before": "n k : ℕ\nhk : k ≤ n\n⊢ k ! * (n - k)! ∣ n !",
"tactic": "rw [← choose_mul_factorial_mul_factorial hk, mul_assoc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n k : ℕ\nhk : k ≤ n\n⊢ k ! * (n - k)! ∣ choose n k * (k ! * (n - k)!)",
"tactic": "exact dvd_mul_left _ _"
}
] |
[
185,
82
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
184,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
|
MeasureTheory.aecover_Iic
|
[] |
[
139,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
139,
1
] |
Mathlib/Topology/Constructions.lean
|
IsClosed.closedEmbedding_subtype_val
|
[] |
[
1038,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1036,
8
] |
Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
|
Localization.localRingHom_comp
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type ?u.339407\ninst✝⁴ : CommSemiring R\nM : Submonoid R\nS✝ : Type ?u.339596\ninst✝³ : CommSemiring S✝\ninst✝² : Algebra R S✝\nP : Type ?u.339776\ninst✝¹ : CommSemiring P\nI : Ideal R\nhI : Ideal.IsPrime I\nS : Type ?u.339916\ninst✝ : CommSemiring S\nJ : Ideal S\nhJ : Ideal.IsPrime J\nK : Ideal P\nhK : Ideal.IsPrime K\nf : R →+* S\nhIJ : I = Ideal.comap f J\ng : S →+* P\nhJK : J = Ideal.comap g K\n⊢ I = Ideal.comap (RingHom.comp g f) K",
"tactic": "rw [hIJ, hJK, Ideal.comap_comap f g]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_3\ninst✝⁴ : CommSemiring R\nM : Submonoid R\nS✝ : Type ?u.339596\ninst✝³ : CommSemiring S✝\ninst✝² : Algebra R S✝\nP : Type u_2\ninst✝¹ : CommSemiring P\nI : Ideal R\nhI : Ideal.IsPrime I\nS : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring S\nJ : Ideal S\nhJ : Ideal.IsPrime J\nK : Ideal P\nhK : Ideal.IsPrime K\nf : R →+* S\nhIJ : I = Ideal.comap f J\ng : S →+* P\nhJK : J = Ideal.comap g K\nr : R\n⊢ ↑(RingHom.comp (localRingHom J K g hJK) (localRingHom I J f hIJ)) (↑(algebraMap R (Localization.AtPrime I)) r) =\n ↑(algebraMap ((fun x => P) r) (Localization.AtPrime K)) (↑(RingHom.comp g f) r)",
"tactic": "simp only [Function.comp_apply, RingHom.coe_comp, localRingHom_to_map]"
}
] |
[
266,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
261,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
|
measurable_of_tendsto_ennreal
|
[] |
[
48,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
46,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Basic.lean
|
MvPolynomial.C_injective
|
[] |
[
240,
29
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
238,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Function.lean
|
Set.SurjOn.leftInvOn_of_rightInvOn
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.62981\nι : Sort ?u.62984\nπ : α → Type ?u.62989\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : SurjOn f s t\nhf' : RightInvOn f f' s\ny : β\nhy : y ∈ t\nx : α\nhx : x ∈ s\nheq : f x = y\n⊢ f (f' y) = y",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.62981\nι : Sort ?u.62984\nπ : α → Type ?u.62989\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : SurjOn f s t\nhf' : RightInvOn f f' s\ny : β\nhy : y ∈ t\n⊢ f (f' y) = y",
"tactic": "let ⟨x, hx, heq⟩ := hf hy"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.62981\nι : Sort ?u.62984\nπ : α → Type ?u.62989\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : SurjOn f s t\nhf' : RightInvOn f f' s\ny : β\nhy : y ∈ t\nx : α\nhx : x ∈ s\nheq : f x = y\n⊢ f (f' y) = y",
"tactic": "rw [← heq, hf' hx]"
}
] |
[
1161,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1158,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
|
Real.logb_ne_zero_of_pos_of_ne_one
|
[] |
[
240,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
239,
1
] |
Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
|
Mathlib.Tactic.Ring.add_pf_add_overlap
|
[
{
"state_after": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na₁ b₁ a₂ b₂ : R\n⊢ a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = a₁ + b₁ + (a₂ + b₂)",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ : R\nx✝¹ : a₁ + b₁ = c₁\nx✝ : a₂ + b₂ = c₂\n⊢ a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = c₁ + c₂",
"tactic": "subst_vars"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na₁ b₁ a₂ b₂ : R\n⊢ a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = a₁ + b₁ + (a₂ + b₂)",
"tactic": "simp [add_assoc, add_left_comm]"
}
] |
[
315,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
313,
1
] |
Mathlib/Topology/Basic.lean
|
mapClusterPt_iff
|
[
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\nx : α\nF : Filter ι\nu : ι → α\n⊢ (∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in 𝓝 x, p x) → ∃ᶠ (a : ι) in F, p (u a)) ↔\n ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 x → ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\nx : α\nF : Filter ι\nu : ι → α\n⊢ MapClusterPt x F u ↔ ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 x → ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s",
"tactic": "simp_rw [MapClusterPt, ClusterPt, inf_neBot_iff_frequently_left, frequently_map]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\nx : α\nF : Filter ι\nu : ι → α\n⊢ (∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in 𝓝 x, p x) → ∃ᶠ (a : ι) in F, p (u a)) ↔\n ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 x → ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
1153,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1150,
1
] |
Std/Logic.lean
|
forall_and
|
[] |
[
424,
82
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
423,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
|
Matrix.TransvectionStruct.mul_sumInl_toMatrix_prod
|
[
{
"state_after": "case nil\nn : Type u_1\np : Type u_2\nR : Type u₂\n𝕜 : Type ?u.68668\ninst✝⁵ : Field 𝕜\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : DecidableEq p\ninst✝² : CommRing R\ni j : n\ninst✝¹ : Fintype n\ninst✝ : Fintype p\nM✝ : Matrix n n R\nN✝ : Matrix p p R\nM : Matrix n n R\nN : Matrix p p R\n⊢ fromBlocks M 0 0 N ⬝ List.prod (List.map (toMatrix ∘ sumInl p) []) =\n fromBlocks (M ⬝ List.prod (List.map toMatrix [])) 0 0 N\n\ncase cons\nn : Type u_1\np : Type u_2\nR : Type u₂\n𝕜 : Type ?u.68668\ninst✝⁵ : Field 𝕜\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : DecidableEq p\ninst✝² : CommRing R\ni j : n\ninst✝¹ : Fintype n\ninst✝ : Fintype p\nM✝ : Matrix n n R\nN✝ : Matrix p p R\nt : TransvectionStruct n R\nL : List (TransvectionStruct n R)\nIH :\n ∀ (M : Matrix n n R) (N : Matrix p p R),\n fromBlocks M 0 0 N ⬝ List.prod (List.map (toMatrix ∘ sumInl p) L) =\n fromBlocks (M ⬝ List.prod (List.map toMatrix L)) 0 0 N\nM : Matrix n n R\nN : Matrix p p R\n⊢ fromBlocks M 0 0 N ⬝ List.prod (List.map (toMatrix ∘ sumInl p) (t :: L)) =\n fromBlocks (M ⬝ List.prod (List.map toMatrix (t :: L))) 0 0 N",
"state_before": "n : Type u_1\np : Type u_2\nR : Type u₂\n𝕜 : Type ?u.68668\ninst✝⁵ : Field 𝕜\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : DecidableEq p\ninst✝² : CommRing R\ni j : n\ninst✝¹ : Fintype n\ninst✝ : Fintype p\nM : Matrix n n R\nL : List (TransvectionStruct n R)\nN : Matrix p p R\n⊢ fromBlocks M 0 0 N ⬝ List.prod (List.map (toMatrix ∘ sumInl p) L) =\n fromBlocks (M ⬝ List.prod (List.map toMatrix L)) 0 0 N",
"tactic": "induction' L with t L IH generalizing M N"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case nil\nn : Type u_1\np : Type u_2\nR : Type u₂\n𝕜 : Type ?u.68668\ninst✝⁵ : Field 𝕜\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : DecidableEq p\ninst✝² : CommRing R\ni j : n\ninst✝¹ : Fintype n\ninst✝ : Fintype p\nM✝ : Matrix n n R\nN✝ : Matrix p p R\nM : Matrix n n R\nN : Matrix p p R\n⊢ fromBlocks M 0 0 N ⬝ List.prod (List.map (toMatrix ∘ sumInl p) []) =\n fromBlocks (M ⬝ List.prod (List.map toMatrix [])) 0 0 N",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case cons\nn : Type u_1\np : Type u_2\nR : Type u₂\n𝕜 : Type ?u.68668\ninst✝⁵ : Field 𝕜\ninst✝⁴ : DecidableEq n\ninst✝³ : DecidableEq p\ninst✝² : CommRing R\ni j : n\ninst✝¹ : Fintype n\ninst✝ : Fintype p\nM✝ : Matrix n n R\nN✝ : Matrix p p R\nt : TransvectionStruct n R\nL : List (TransvectionStruct n R)\nIH :\n ∀ (M : Matrix n n R) (N : Matrix p p R),\n fromBlocks M 0 0 N ⬝ List.prod (List.map (toMatrix ∘ sumInl p) L) =\n fromBlocks (M ⬝ List.prod (List.map toMatrix L)) 0 0 N\nM : Matrix n n R\nN : Matrix p p R\n⊢ fromBlocks M 0 0 N ⬝ List.prod (List.map (toMatrix ∘ sumInl p) (t :: L)) =\n fromBlocks (M ⬝ List.prod (List.map toMatrix (t :: L))) 0 0 N",
"tactic": "simp [IH, toMatrix_sumInl, fromBlocks_multiply]"
}
] |
[
283,
52
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
277,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullbacks.lean
|
CategoryTheory.Limits.pullback_symmetry_hom_of_epi_eq
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninst✝² : Category C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category D\nW X Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : Epi f\n⊢ (pushoutSymmetry f f).hom = 𝟙 (pushout f f)",
"tactic": "ext <;> simp [inl_eq_inr_of_epi_eq]"
}
] |
[
1972,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1971,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Variables.lean
|
MvPolynomial.degrees_C
|
[] |
[
114,
45
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
113,
1
] |
Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
|
Turing.Tape.move_right_mk'
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Γ : Type u_1\ninst✝ : Inhabited Γ\nL R : ListBlank Γ\n⊢ move Dir.right (mk' L R) = mk' (ListBlank.cons (ListBlank.head R) L) (ListBlank.tail R)",
"tactic": "simp only [Tape.move, Tape.mk', ListBlank.head_cons, eq_self_iff_true, ListBlank.cons_head_tail,\n and_self_iff, ListBlank.tail_cons]"
}
] |
[
594,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
591,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
|
intervalIntegral.integral_add_adjacent_intervals
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.15374404\n𝕜 : Type ?u.15374407\nE : Type u_1\nF : Type ?u.15374413\nA : Type ?u.15374416\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : CompleteSpace E\ninst✝ : NormedSpace ℝ E\na b c d : ℝ\nf g : ℝ → E\nμ : MeasureTheory.Measure ℝ\nhab : IntervalIntegrable f μ a b\nhbc : IntervalIntegrable f μ b c\n⊢ ((∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ",
"tactic": "rw [← add_neg_eq_zero, ← integral_symm, integral_add_adjacent_intervals_cancel hab hbc]"
}
] |
[
905,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
902,
1
] |
Mathlib/Init/Function.lean
|
Function.LeftInverse.injective
|
[] |
[
99,
35
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
98,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Splits.lean
|
Polynomial.splits_mul
|
[
{
"state_after": "case h.e'_4\nF : Type u\nK : Type v\nL : Type w\ninst✝² : CommRing K\ninst✝¹ : Field L\ninst✝ : Field F\ni : K →+* L\nf g : K[X]\nhf : Splits i f\nhg : Splits i g\nh : ¬map i (f * g) = 0\np : L[X]\nhp : Irreducible p\nhpf : p ∣ map i (f * g)\n⊢ map i f * map i g = map i (f * g)",
"state_before": "F : Type u\nK : Type v\nL : Type w\ninst✝² : CommRing K\ninst✝¹ : Field L\ninst✝ : Field F\ni : K →+* L\nf g : K[X]\nhf : Splits i f\nhg : Splits i g\nh : ¬map i (f * g) = 0\np : L[X]\nhp : Irreducible p\nhpf : p ∣ map i (f * g)\n⊢ p ∣ map i f * map i g",
"tactic": "convert hpf"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_4\nF : Type u\nK : Type v\nL : Type w\ninst✝² : CommRing K\ninst✝¹ : Field L\ninst✝ : Field F\ni : K →+* L\nf g : K[X]\nhf : Splits i f\nhg : Splits i g\nh : ¬map i (f * g) = 0\np : L[X]\nhp : Irreducible p\nhpf : p ∣ map i (f * g)\n⊢ map i f * map i g = map i (f * g)",
"tactic": "rw [Polynomial.map_mul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type u\nK : Type v\nL : Type w\ninst✝² : CommRing K\ninst✝¹ : Field L\ninst✝ : Field F\ni : K →+* L\nf g : K[X]\nhf✝ : Splits i f\nhg : Splits i g\nh : ¬map i (f * g) = 0\np : L[X]\nhp : Irreducible p\nhpf : p ∣ map i (f * g)\nhf : map i f = 0\n⊢ False",
"tactic": "simp [hf] at h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type u\nK : Type v\nL : Type w\ninst✝² : CommRing K\ninst✝¹ : Field L\ninst✝ : Field F\ni : K →+* L\nf g : K[X]\nhf : Splits i f\nhg✝ : Splits i g\nh : ¬map i (f * g) = 0\np : L[X]\nhp : Irreducible p\nhpf : p ∣ map i (f * g)\nhg : map i g = 0\n⊢ False",
"tactic": "simp [hg] at h"
}
] |
[
121,
59
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
114,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
|
MeasureTheory.Lp.antitone
|
[] |
[
182,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
181,
11
] |
Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
|
Associates.out_injective
|
[] |
[
264,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
263,
1
] |
Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
|
HasFPowerSeriesOnBall.analyticAt
|
[] |
[
424,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
423,
1
] |
Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
|
NNReal.sqrt_eq_iff_sq_eq
|
[] |
[
64,
56
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
63,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/Banach.lean
|
ContinuousLinearMap.coe_ofIsClosedGraph
|
[
{
"state_after": "case h\n𝕜 : Type u_3\ninst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup F\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 F\nf : E →L[𝕜] F\ninst✝¹ : CompleteSpace F\ninst✝ : CompleteSpace E\ng : E →ₗ[𝕜] F\nhg : IsClosed ↑(LinearMap.graph g)\nx✝ : E\n⊢ ↑↑(ofIsClosedGraph hg) x✝ = ↑g x✝",
"state_before": "𝕜 : Type u_3\ninst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup F\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 F\nf : E →L[𝕜] F\ninst✝¹ : CompleteSpace F\ninst✝ : CompleteSpace E\ng : E →ₗ[𝕜] F\nhg : IsClosed ↑(LinearMap.graph g)\n⊢ ↑(ofIsClosedGraph hg) = g",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\n𝕜 : Type u_3\ninst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup F\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 F\nf : E →L[𝕜] F\ninst✝¹ : CompleteSpace F\ninst✝ : CompleteSpace E\ng : E →ₗ[𝕜] F\nhg : IsClosed ↑(LinearMap.graph g)\nx✝ : E\n⊢ ↑↑(ofIsClosedGraph hg) x✝ = ↑g x✝",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
500,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
497,
1
] |
Mathlib/Logic/Relation.lean
|
Equivalence.comap
|
[] |
[
117,
73
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
116,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
|
Finset.div_subset_div_left
|
[] |
[
644,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
643,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
|
toBoolRing_inj
|
[] |
[
424,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
423,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
|
toIocMod_eq_toIocMod
|
[
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c\n⊢ c - b = (toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b) • p\n\ncase refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : ∃ n, c - b = n • p\n⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\n⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c ↔ ∃ n, c - b = n • p",
"tactic": "refine' ⟨fun h => ⟨toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b, _⟩, fun h => _⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c\n⊢ toIocMod hp a c + toIocDiv hp a c • p - (toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p) =\n (toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b) • p",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c\n⊢ c - b = (toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b) • p",
"tactic": "conv_lhs => rw [← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a b, ← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a c]"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c\n⊢ toIocMod hp a c + toIocDiv hp a c • p - (toIocMod hp a c + toIocDiv hp a b • p) =\n toIocDiv hp a c • p - toIocDiv hp a b • p",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c\n⊢ toIocMod hp a c + toIocDiv hp a c • p - (toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p) =\n (toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b) • p",
"tactic": "rw [h, sub_smul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c\n⊢ toIocMod hp a c + toIocDiv hp a c • p - (toIocMod hp a c + toIocDiv hp a b • p) =\n toIocDiv hp a c • p - toIocDiv hp a b • p",
"tactic": "abel"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn z : ℤ\nhz : c - b = z • p\n⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c",
"state_before": "case refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : ∃ n, c - b = n • p\n⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c",
"tactic": "rcases h with ⟨z, hz⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn z : ℤ\nhz : c = z • p + b\n⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c",
"state_before": "case refine'_2.intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn z : ℤ\nhz : c - b = z • p\n⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c",
"tactic": "rw [sub_eq_iff_eq_add] at hz"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2.intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn z : ℤ\nhz : c = z • p + b\n⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c",
"tactic": "rw [hz, toIocMod_zsmul_add]"
}
] |
[
583,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
576,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
|
LucasLehmer.sMod_lt
|
[
{
"state_after": "p : ℕ\nw : 0 < p\ni : ℕ\n⊢ sMod p i % (2 ^ p - 1) < 2 ^ p - 1",
"state_before": "p : ℕ\nw : 0 < p\ni : ℕ\n⊢ sMod p i < 2 ^ p - 1",
"tactic": "rw [← sMod_mod]"
},
{
"state_after": "p : ℕ\nw : 0 < p\ni : ℕ\n⊢ abs (2 ^ p - 1) = 2 ^ p - 1",
"state_before": "p : ℕ\nw : 0 < p\ni : ℕ\n⊢ sMod p i % (2 ^ p - 1) < 2 ^ p - 1",
"tactic": "refine (Int.emod_lt _ (mersenne_int_ne_zero p w)).trans_eq ?_"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "p : ℕ\nw : 0 < p\ni : ℕ\n⊢ abs (2 ^ p - 1) = 2 ^ p - 1",
"tactic": "exact abs_of_nonneg (mersenne_int_pos w).le"
}
] |
[
120,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
117,
1
] |
Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
|
iInf_subtype
|
[] |
[
1202,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1201,
1
] |
Mathlib/Data/Real/Sign.lean
|
Real.inv_sign
|
[
{
"state_after": "case inl\nr : ℝ\nhn : sign r = -1\n⊢ (sign r)⁻¹ = sign r\n\ncase inr.inl\nr : ℝ\nhz : sign r = 0\n⊢ (sign r)⁻¹ = sign r\n\ncase inr.inr\nr : ℝ\nhp : sign r = 1\n⊢ (sign r)⁻¹ = sign r",
"state_before": "r : ℝ\n⊢ (sign r)⁻¹ = sign r",
"tactic": "obtain hn | hz | hp := sign_apply_eq r"
},
{
"state_after": "case inl\nr : ℝ\nhn : sign r = -1\n⊢ (-1)⁻¹ = -1",
"state_before": "case inl\nr : ℝ\nhn : sign r = -1\n⊢ (sign r)⁻¹ = sign r",
"tactic": "rw [hn]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nr : ℝ\nhn : sign r = -1\n⊢ (-1)⁻¹ = -1",
"tactic": "norm_num"
},
{
"state_after": "case inr.inl\nr : ℝ\nhz : sign r = 0\n⊢ 0⁻¹ = 0",
"state_before": "case inr.inl\nr : ℝ\nhz : sign r = 0\n⊢ (sign r)⁻¹ = sign r",
"tactic": "rw [hz]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inl\nr : ℝ\nhz : sign r = 0\n⊢ 0⁻¹ = 0",
"tactic": "exact inv_zero"
},
{
"state_after": "case inr.inr\nr : ℝ\nhp : sign r = 1\n⊢ 1⁻¹ = 1",
"state_before": "case inr.inr\nr : ℝ\nhp : sign r = 1\n⊢ (sign r)⁻¹ = sign r",
"tactic": "rw [hp]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr\nr : ℝ\nhp : sign r = 1\n⊢ 1⁻¹ = 1",
"tactic": "exact inv_one"
}
] |
[
115,
18
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
108,
1
] |
Mathlib/Algebra/Hom/Ring.lean
|
NonUnitalRingHom.ext
|
[] |
[
181,
18
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
180,
1
] |
Mathlib/Topology/Basic.lean
|
isClosed_iff_clusterPt
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι : Sort w\na : α\ns✝ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\ns : Set α\n⊢ closure s ⊆ s ↔ ∀ (a : α), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s",
"tactic": "simp only [subset_def, mem_closure_iff_clusterPt]"
}
] |
[
1368,
95
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1365,
1
] |
Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
|
ChainComplex.mk_d_2_0
|
[
{
"state_after": "ι : Type ?u.184152\nV : Type u\ninst✝¹ : Category V\ninst✝ : HasZeroMorphisms V\nX₀ X₁ X₂ : V\nd₀ : X₁ ⟶ X₀\nd₁ : X₂ ⟶ X₁\ns : d₁ ≫ d₀ = 0\nsucc :\n (t : (X₀ : V) ×' (X₁ : V) ×' (X₂ : V) ×' (d₀ : X₁ ⟶ X₀) ×' (d₁ : X₂ ⟶ X₁) ×' d₁ ≫ d₀ = 0) →\n (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ t.snd.snd.fst) ×' d₂ ≫ t.snd.snd.snd.snd.fst = 0\n⊢ (if 2 = 1 + 1 then 𝟙 X₂ ≫ d₁ else 0) = d₁",
"state_before": "ι : Type ?u.184152\nV : Type u\ninst✝¹ : Category V\ninst✝ : HasZeroMorphisms V\nX₀ X₁ X₂ : V\nd₀ : X₁ ⟶ X₀\nd₁ : X₂ ⟶ X₁\ns : d₁ ≫ d₀ = 0\nsucc :\n (t : (X₀ : V) ×' (X₁ : V) ×' (X₂ : V) ×' (d₀ : X₁ ⟶ X₀) ×' (d₁ : X₂ ⟶ X₁) ×' d₁ ≫ d₀ = 0) →\n (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ t.snd.snd.fst) ×' d₂ ≫ t.snd.snd.snd.snd.fst = 0\n⊢ HomologicalComplex.d (mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ) 2 1 = d₁",
"tactic": "change ite (2 = 1 + 1) (𝟙 X₂ ≫ d₁) 0 = d₁"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.184152\nV : Type u\ninst✝¹ : Category V\ninst✝ : HasZeroMorphisms V\nX₀ X₁ X₂ : V\nd₀ : X₁ ⟶ X₀\nd₁ : X₂ ⟶ X₁\ns : d₁ ≫ d₀ = 0\nsucc :\n (t : (X₀ : V) ×' (X₁ : V) ×' (X₂ : V) ×' (d₀ : X₁ ⟶ X₀) ×' (d₁ : X₂ ⟶ X₁) ×' d₁ ≫ d₀ = 0) →\n (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ t.snd.snd.fst) ×' d₂ ≫ t.snd.snd.snd.snd.fst = 0\n⊢ (if 2 = 1 + 1 then 𝟙 X₂ ≫ d₁ else 0) = d₁",
"tactic": "rw [if_pos rfl, Category.id_comp]"
}
] |
[
744,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
742,
1
] |
Subsets and Splits
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