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Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
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Basis.maximal
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[
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"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\n⊢ w ≤ Set.range ↑b",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\n⊢ Set.range ↑b = w",
"tactic": "apply le_antisymm h"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\n⊢ x ∈ Set.range ↑b",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\n⊢ w ≤ Set.range ↑b",
"tactic": "intro x p"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\n⊢ x ∈ Set.range ↑b",
"tactic": "by_contra q"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\ne : ↑(Finsupp.total ι M R ↑b) (↑b.repr x) = x\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\n⊢ False",
"tactic": "have e := b.total_repr x"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\ne : ↑(Finsupp.total ι M R ↑b) (↑b.repr x) = x\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\ne : ↑(Finsupp.total ι M R ↑b) (↑b.repr x) = x\n⊢ False",
"tactic": "let u : ι ↪ w :=\n ⟨fun i => ⟨b i, h ⟨i, rfl⟩⟩, fun i i' r =>\n b.injective (by simpa only [Subtype.mk_eq_mk] using r)⟩"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\ne : (Finsupp.sum (↑b.repr x) fun i a => a • ↑b i) = x\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\ne : ↑(Finsupp.total ι M R ↑b) (↑b.repr x) = x\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n⊢ False",
"tactic": "simp_rw [Finsupp.total_apply] at e"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : (Finsupp.sum (↑b.repr x) fun i a => a • ↑(↑u i)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\ne : (Finsupp.sum (↑b.repr x) fun i a => a • ↑b i) = x\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n⊢ False",
"tactic": "replace e : ((b.repr x).sum fun (i : ι) (a : R) ↦ a • (u i : M)) =\n ((⟨x, p⟩ : w) : M) := e"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : (Finsupp.sum (↑b.repr x) fun i a => a • ↑(↑u i)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ False",
"tactic": "rw [← Finsupp.sum_embDomain (f := u) (g := fun x r ↦ r • (x : M)), ← Finsupp.total_apply] at e"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ ¬{ val := x, property := p } ∈ (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)).support",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ False",
"tactic": "refine' hi.total_ne_of_not_mem_support _ _ e"
},
{
"state_after": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ ¬∃ a,\n a ∈ (↑b.repr x).support ∧\n ↑{ toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n a =\n { val := x, property := p }",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ ¬{ val := x, property := p } ∈ (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)).support",
"tactic": "simp only [Finset.mem_map, Finsupp.support_embDomain]"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\nj : ι\nW :\n ↑{ toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n j =\n { val := x, property := p }\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\n⊢ ¬∃ a,\n a ∈ (↑b.repr x).support ∧\n ↑{ toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n a =\n { val := x, property := p }",
"tactic": "rintro ⟨j, -, W⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\nj : ι\nW : ↑b j = x\n⊢ False",
"state_before": "case intro.intro\nι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\nj : ι\nW :\n ↑{ toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\n j =\n { val := x, property := p }\n⊢ False",
"tactic": "simp only [Embedding.coeFn_mk, Subtype.mk_eq_mk] at W"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\nu : ι ↪ ↑w :=\n { toFun := fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) },\n inj' :=\n (_ :\n ∀ (i i' : ι),\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i =\n (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i' →\n i = i') }\ne : ↑(Finsupp.total (↑w) M R fun x => ↑x) (Finsupp.embDomain u (↑b.repr x)) = ↑{ val := x, property := p }\nj : ι\nW : ↑b j = x\n⊢ False",
"tactic": "apply q ⟨j, W⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_2\nι' : Type ?u.778808\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.778814\nK : Type ?u.778817\nM : Type u_3\nM' : Type ?u.778823\nM'' : Type ?u.778826\nV : Type u\nV' : Type ?u.778831\nv : ι → M\ninst✝⁹ : Ring R\ninst✝⁸ : CommRing R₂\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : AddCommGroup M'\ninst✝⁵ : AddCommGroup M''\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R₂ M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\nc d : R\nx✝ y : M\nb✝ : Basis ι R M\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R M\nw : Set M\nhi : LinearIndependent R Subtype.val\nh : Set.range ↑b ≤ w\nx : M\np : x ∈ w\nq : ¬x ∈ Set.range ↑b\ne : ↑(Finsupp.total ι M R ↑b) (↑b.repr x) = x\ni i' : ι\nr : (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i = (fun i => { val := ↑b i, property := (_ : ↑b i ∈ w) }) i'\n⊢ ↑b i = ↑b i'",
"tactic": "simpa only [Subtype.mk_eq_mk] using r"
}
] |
[
1115,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1092,
1
] |
Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
|
algebraicIndependent_of_subsingleton
|
[] |
[
181,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
180,
1
] |
Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
|
Polynomial.div_eq_quo_add_rem_div
|
[
{
"state_after": "case refine'_1\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\n⊢ degree (f %ₘ g) < degree g\n\ncase refine'_2\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\n⊢ ↑(algebraMap R[X] K) f / ↑(algebraMap R[X] K) g =\n ↑(algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) + ↑(algebraMap R[X] K) (f %ₘ g) / ↑(algebraMap R[X] K) g",
"state_before": "R : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\n⊢ ∃ q r,\n degree r < degree g ∧\n ↑(algebraMap R[X] K) f / ↑(algebraMap R[X] K) g =\n ↑(algebraMap R[X] K) q + ↑(algebraMap R[X] K) r / ↑(algebraMap R[X] K) g",
"tactic": "refine' ⟨f /ₘ g, f %ₘ g, _, _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\n⊢ degree (f %ₘ g) < degree g",
"tactic": "exact degree_modByMonic_lt _ hg"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\nhg' : ↑(algebraMap R[X] K) g ≠ 0\n⊢ ↑(algebraMap R[X] K) f / ↑(algebraMap R[X] K) g =\n ↑(algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) + ↑(algebraMap R[X] K) (f %ₘ g) / ↑(algebraMap R[X] K) g",
"state_before": "case refine'_2\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\n⊢ ↑(algebraMap R[X] K) f / ↑(algebraMap R[X] K) g =\n ↑(algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) + ↑(algebraMap R[X] K) (f %ₘ g) / ↑(algebraMap R[X] K) g",
"tactic": "have hg' : algebraMap R[X] K g ≠ 0 :=\n (map_ne_zero_iff _ (IsFractionRing.injective R[X] K)).mpr (Monic.ne_zero hg)"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\nhg' : ↑(algebraMap R[X] K) g ≠ 0\n⊢ ↑(algebraMap R[X] K) f = ↑(algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) * ↑(algebraMap R[X] K) g + ↑(algebraMap R[X] K) (f %ₘ g)",
"state_before": "case refine'_2\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\nhg' : ↑(algebraMap R[X] K) g ≠ 0\n⊢ ↑(algebraMap R[X] K) f / ↑(algebraMap R[X] K) g =\n ↑(algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) + ↑(algebraMap R[X] K) (f %ₘ g) / ↑(algebraMap R[X] K) g",
"tactic": "field_simp [hg']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2\nR : Type u_1\nG : Type ?u.275691\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : Group G\nK : Type\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R[X] K\ninst✝ : IsFractionRing R[X] K\nf g : R[X]\nhg : Monic g\nhg' : ↑(algebraMap R[X] K) g ≠ 0\n⊢ ↑(algebraMap R[X] K) f = ↑(algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) * ↑(algebraMap R[X] K) g + ↑(algebraMap R[X] K) (f %ₘ g)",
"tactic": "rw [add_comm, mul_comm, ← map_mul, ← map_add, modByMonic_add_div f hg]"
}
] |
[
188,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
177,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
|
dist_dist_dist_le
|
[] |
[
1784,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1782,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Variables.lean
|
MvPolynomial.vars_add_subset
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.157002\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\np q : MvPolynomial σ R\nx : σ\nhx : x ∈ vars (p + q)\n⊢ x ∈ vars p ∪ vars q",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.157002\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\np q : MvPolynomial σ R\n⊢ vars (p + q) ⊆ vars p ∪ vars q",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.157002\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\np q : MvPolynomial σ R\nx : σ\nhx : x ∈ degrees (p + q)\n⊢ x ∈ degrees p ∨ x ∈ degrees q",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.157002\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\np q : MvPolynomial σ R\nx : σ\nhx : x ∈ vars (p + q)\n⊢ x ∈ vars p ∪ vars q",
"tactic": "simp only [vars_def, Finset.mem_union, Multiset.mem_toFinset] at hx⊢"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.157002\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\np q : MvPolynomial σ R\nx : σ\nhx : x ∈ degrees (p + q)\n⊢ x ∈ degrees p ∨ x ∈ degrees q",
"tactic": "simpa using Multiset.mem_of_le (degrees_add _ _) hx"
}
] |
[
330,
54
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
326,
1
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean
|
List.prefix_append_right_inj
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α✝ : Type u_1\nl₁ l₂ l r : List α✝\n⊢ l ++ l₁ ++ r = l ++ l₂ ↔ l₁ ++ r = l₂",
"tactic": "rw [append_assoc, append_right_inj]"
}
] |
[
1710,
63
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
1709,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
|
Nat.sum_totient'
|
[
{
"state_after": "case h.e'_2\nn : ℕ\n⊢ ∑ m in filter (fun x => x ∣ n) (range (succ n)), φ m = Finset.sum (divisors n) φ",
"state_before": "n : ℕ\n⊢ ∑ m in filter (fun x => x ∣ n) (range (succ n)), φ m = n",
"tactic": "convert sum_totient _ using 1"
},
{
"state_after": "case h.e'_2\nn : ℕ\n⊢ (∑ a in Ico 0 (succ n), if a ∣ n then φ a else 0) = ∑ a in Ico 1 (n + 1), if a ∣ n then φ a else 0",
"state_before": "case h.e'_2\nn : ℕ\n⊢ ∑ m in filter (fun x => x ∣ n) (range (succ n)), φ m = Finset.sum (divisors n) φ",
"tactic": "simp only [Nat.divisors, sum_filter, range_eq_Ico]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_2\nn : ℕ\n⊢ (∑ a in Ico 0 (succ n), if a ∣ n then φ a else 0) = ∑ a in Ico 1 (n + 1), if a ∣ n then φ a else 0",
"tactic": "rw [sum_eq_sum_Ico_succ_bot] <;> simp"
}
] |
[
188,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
185,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
|
Ideal.subset_union_prime
|
[
{
"state_after": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nthis : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\naux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x x_1, I ≤ f x\n⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nthis : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\n⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "have aux := fun h => (bex_def.2 <| this h)"
},
{
"state_after": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nthis aux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x, x ∈ s ∧ I ≤ f x\n⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nthis : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\naux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x x_1, I ≤ f x\n⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "simp_rw [exists_prop] at aux"
},
{
"state_after": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nthis aux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x, x ∈ s ∧ I ≤ f x\nx✝ : ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\ni : ι\nhis : i ∈ s\nhi : I ≤ f i\n⊢ ↑(f i) ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nthis aux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x, x ∈ s ∧ I ≤ f x\n⊢ (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "refine ⟨aux, fun ⟨i, his, hi⟩ ↦ Set.Subset.trans hi ?_⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nthis aux : (↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)) → ∃ x, x ∈ s ∧ I ≤ f x\nx✝ : ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\ni : ι\nhis : i ∈ s\nhi : I ≤ f i\n⊢ ↑(f i) ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)",
"tactic": "apply Set.subset_biUnion_of_mem (show i ∈ (↑s : Set ι) from his)"
},
{
"state_after": "case pos\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : a ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\n\ncase neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "by_cases has : a ∈ s"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : a ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "obtain ⟨t, hat, rfl⟩ : ∃ t, a ∉ t ∧ insert a t = s :=\n ⟨s.erase a, Finset.not_mem_erase a s, Finset.insert_erase has⟩"
},
{
"state_after": "case pos\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : b ∈ t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i\n\ncase neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "by_cases hbt : b ∈ t"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : b ∈ t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "obtain ⟨u, hbu, rfl⟩ : ∃ u, b ∉ u ∧ insert b u = t :=\n ⟨t.erase b, Finset.not_mem_erase b t, Finset.insert_erase hbt⟩"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\nhp' : ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i",
"tactic": "have hp' : ∀ i ∈ u, IsPrime (f i) := by\n intro i hiu\n refine' hp i (Finset.mem_insert_of_mem (Finset.mem_insert_of_mem hiu)) _ _ <;>\n rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i, i ∈ u ∧ I ≤ f i\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\nhp' : ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\nhp' : ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i",
"tactic": "rw [Finset.coe_insert, Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, Set.biUnion_insert, ←\n Set.union_assoc, subset_union_prime' hp'] at h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i, i ∈ u ∧ I ≤ f i\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\nhp' : ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a (insert b u) ∧ I ≤ f i",
"tactic": "rwa [Finset.exists_mem_insert, Finset.exists_mem_insert]"
},
{
"state_after": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\ni : ι\nhiu : i ∈ u\n⊢ IsPrime (f i)",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\n⊢ ∀ (i : ι), i ∈ u → IsPrime (f i)",
"tactic": "intro i hiu"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nu : Finset ι\nhbu : ¬b ∈ u\nhat : ¬a ∈ insert b u\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a (insert b u) → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a (insert b u))), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a (insert b u)\nhbt : b ∈ insert b u\ni : ι\nhiu : i ∈ u\n⊢ IsPrime (f i)",
"tactic": "refine' hp i (Finset.mem_insert_of_mem (Finset.mem_insert_of_mem hiu)) _ _ <;>\n rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
},
{
"state_after": "case neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "have hp' : ∀ j ∈ t, IsPrime (f j) := by\n intro j hj\n refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
},
{
"state_after": "case neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : I ≤ f a ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "rw [Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, ← Set.union_self (f a : Set R),\n subset_union_prime' hp', ← or_assoc, or_self_iff] at h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : I ≤ f a ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert a t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "rwa [Finset.exists_mem_insert]"
},
{
"state_after": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ IsPrime (f j)",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\n⊢ ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)",
"tactic": "intro j hj"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhat : ¬a ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert a t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert a t)), ↑(f i)\nhas : a ∈ insert a t\nhbt : ¬b ∈ t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ IsPrime (f j)",
"tactic": "refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
},
{
"state_after": "case pos\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : b ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\n\ncase neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "by_cases hbs : b ∈ s"
},
{
"state_after": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\nhse : s = ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i\n\ncase neg.inr\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\nhsne : Finset.Nonempty s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "cases' s.eq_empty_or_nonempty with hse hsne"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : b ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "obtain ⟨t, hbt, rfl⟩ : ∃ t, b ∉ t ∧ insert b t = s :=\n ⟨s.erase b, Finset.not_mem_erase b s, Finset.insert_erase hbs⟩"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\n⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "have hp' : ∀ j ∈ t, IsPrime (f j) := by\n intro j hj\n refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : I ≤ f b ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "rw [Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, ← Set.union_self (f b : Set R),\n subset_union_prime' hp', ← or_assoc, or_self_iff] at h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : I ≤ f b ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i, i ∈ insert b t ∧ I ≤ f i",
"tactic": "rwa [Finset.exists_mem_insert]"
},
{
"state_after": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ IsPrime (f j)",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\n⊢ ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)",
"tactic": "intro j hj"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nt : Finset ι\nhbt : ¬b ∈ t\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ insert b t → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑(insert b t)), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ insert b t\nhbs : b ∈ insert b t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ IsPrime (f j)",
"tactic": "refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
},
{
"state_after": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑∅), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ ∅\nhbs : ¬b ∈ ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\nhse : s = ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "subst hse"
},
{
"state_after": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I = ∅\nhas : ¬a ∈ ∅\nhbs : ¬b ∈ ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑∅), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ ∅\nhbs : ¬b ∈ ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i",
"tactic": "rw [Finset.coe_empty, Set.biUnion_empty, Set.subset_empty_iff] at h"
},
{
"state_after": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I = ∅\nhas : ¬a ∈ ∅\nhbs : ¬b ∈ ∅\nthis : ↑I ≠ ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I = ∅\nhas : ¬a ∈ ∅\nhbs : ¬b ∈ ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i",
"tactic": "have : (I : Set R) ≠ ∅ := Set.Nonempty.ne_empty (Set.nonempty_of_mem I.zero_mem)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.inl\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nh : ↑I = ∅\nhas : ¬a ∈ ∅\nhbs : ¬b ∈ ∅\nthis : ↑I ≠ ∅\n⊢ ∃ i, i ∈ ∅ ∧ I ≤ f i",
"tactic": "exact absurd h this"
},
{
"state_after": "case neg.inr.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\nhsne : Finset.Nonempty s\ni : ι\nhis : i ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"state_before": "case neg.inr\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\nhsne : Finset.Nonempty s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "cases' hsne.bex with i his"
},
{
"state_after": "case neg.inr.intro.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\n⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1",
"state_before": "case neg.inr.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\ns : Finset ι\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nhp : ∀ (i : ι), i ∈ s → i ≠ a → i ≠ b → IsPrime (f i)\nI : Ideal R\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ↑s), ↑(f i)\nhas : ¬a ∈ s\nhbs : ¬b ∈ s\nhsne : Finset.Nonempty s\ni : ι\nhis : i ∈ s\n⊢ ∃ i, i ∈ s ∧ I ≤ f i",
"tactic": "obtain ⟨t, _, rfl⟩ : ∃ t, i ∉ t ∧ insert i t = s :=\n ⟨s.erase i, Finset.not_mem_erase i s, Finset.insert_erase his⟩"
},
{
"state_after": "case neg.inr.intro.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1",
"state_before": "case neg.inr.intro.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\n⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1",
"tactic": "have hp' : ∀ j ∈ t, IsPrime (f j) := by\n intro j hj\n refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
},
{
"state_after": "case neg.inr.intro.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : I ≤ f i ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1",
"state_before": "case neg.inr.intro.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1",
"tactic": "rw [Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, ← Set.union_self (f i : Set R),\n subset_union_prime' hp', ← or_assoc, or_self_iff] at h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.inr.intro.intro.intro\nR✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : I ≤ f i ∨ ∃ i, i ∈ t ∧ I ≤ f i\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\nhp' : ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)\n⊢ ∃ i_1, i_1 ∈ insert i t ∧ I ≤ f i_1",
"tactic": "rwa [Finset.exists_mem_insert]"
},
{
"state_after": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ IsPrime (f j)",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\n⊢ ∀ (j : ι), j ∈ t → IsPrime (f j)",
"tactic": "intro j hj"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R✝ : Type u\nι : Type u_1\ninst✝¹ : CommSemiring R✝\nI✝ J K L : Ideal R✝\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : ι → Ideal R\na b : ι\nI : Ideal R\ni : ι\nt : Finset ι\nleft✝ : ¬i ∈ t\nhp : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i t → i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → IsPrime (f i_1)\nh : ↑I ⊆ ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ ↑(insert i t)), ↑(f i_1)\nhas : ¬a ∈ insert i t\nhbs : ¬b ∈ insert i t\nhsne : Finset.Nonempty (insert i t)\nhis : i ∈ insert i t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ IsPrime (f j)",
"tactic": "refine' hp j (Finset.mem_insert_of_mem hj) _ _ <;> rintro rfl <;>\n solve_by_elim only [Finset.mem_insert_of_mem, *]"
}
] |
[
1255,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1200,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
|
CategoryTheory.GrothendieckTopology.sheafificationWhiskerRightIso_hom_app
|
[
{
"state_after": "C : Type u\ninst✝⁸ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w₁\ninst✝⁷ : Category D\nE : Type w₂\ninst✝⁶ : Category E\nF : D ⥤ E\ninst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D\ninst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E\ninst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\ninst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ E\ninst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ F\ninst✝ : (X : C) → (W : Cover J X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (Cover.index W P)) F\nP : Cᵒᵖ ⥤ D\n⊢ 𝟙 (plusObj J (plusObj J P) ⋙ F) ≫\n (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫\n (𝟙 (plusObj J (plusObj J P ⋙ F)) ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom) ≫ 𝟙 (plusObj J (plusObj J (P ⋙ F))) =\n (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom",
"state_before": "C : Type u\ninst✝⁸ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w₁\ninst✝⁷ : Category D\nE : Type w₂\ninst✝⁶ : Category E\nF : D ⥤ E\ninst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D\ninst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E\ninst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\ninst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ E\ninst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ F\ninst✝ : (X : C) → (W : Cover J X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (Cover.index W P)) F\nP : Cᵒᵖ ⥤ D\n⊢ (sheafificationWhiskerRightIso J F).hom.app P = (sheafifyCompIso J F P).hom",
"tactic": "dsimp [sheafificationWhiskerRightIso, sheafifyCompIso]"
},
{
"state_after": "C : Type u\ninst✝⁸ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w₁\ninst✝⁷ : Category D\nE : Type w₂\ninst✝⁶ : Category E\nF : D ⥤ E\ninst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D\ninst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E\ninst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\ninst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ E\ninst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ F\ninst✝ : (X : C) → (W : Cover J X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (Cover.index W P)) F\nP : Cᵒᵖ ⥤ D\n⊢ 𝟙 (plusObj J (plusObj J P) ⋙ F) ≫ (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom =\n (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom",
"state_before": "C : Type u\ninst✝⁸ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w₁\ninst✝⁷ : Category D\nE : Type w₂\ninst✝⁶ : Category E\nF : D ⥤ E\ninst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D\ninst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E\ninst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\ninst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ E\ninst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ F\ninst✝ : (X : C) → (W : Cover J X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (Cover.index W P)) F\nP : Cᵒᵖ ⥤ D\n⊢ 𝟙 (plusObj J (plusObj J P) ⋙ F) ≫\n (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫\n (𝟙 (plusObj J (plusObj J P ⋙ F)) ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom) ≫ 𝟙 (plusObj J (plusObj J (P ⋙ F))) =\n (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom",
"tactic": "simp only [Category.id_comp, Category.comp_id]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninst✝⁸ : Category C\nJ : GrothendieckTopology C\nD : Type w₁\ninst✝⁷ : Category D\nE : Type w₂\ninst✝⁶ : Category E\nF : D ⥤ E\ninst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D\ninst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E\ninst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ D\ninst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ E\ninst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (Cover J X)ᵒᵖ F\ninst✝ : (X : C) → (W : Cover J X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (Cover.index W P)) F\nP : Cᵒᵖ ⥤ D\n⊢ 𝟙 (plusObj J (plusObj J P) ⋙ F) ≫ (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom =\n (plusCompIso J F (plusObj J P)).hom ≫ plusMap J (plusCompIso J F P).hom",
"tactic": "erw [Category.id_comp]"
}
] |
[
118,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
114,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
|
MeasureTheory.Subsingleton.aestronglyMeasurable
|
[] |
[
1165,
59
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1163,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Basic.lean
|
MvPolynomial.mapAlgHom_id
|
[] |
[
1404,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1402,
1
] |
Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean
|
FirstOrder.Language.BoundedFormula.not_all_isQF
|
[
{
"state_after": "case of_isAtomic\nL : Language\nL' : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.113613\nP : Type ?u.113616\ninst✝² : Structure L M\ninst✝¹ : Structure L N\ninst✝ : Structure L P\nα : Type u'\nβ : Type v'\nγ : Type ?u.113644\nn l : ℕ\nφ✝ ψ : BoundedFormula L α l\nθ : BoundedFormula L α (Nat.succ l)\nv : α → M\nxs : Fin l → M\nφ : BoundedFormula L α (n + 1)\ncon : IsAtomic (all φ)\n⊢ False",
"state_before": "L : Language\nL' : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.113613\nP : Type ?u.113616\ninst✝² : Structure L M\ninst✝¹ : Structure L N\ninst✝ : Structure L P\nα : Type u'\nβ : Type v'\nγ : Type ?u.113644\nn l : ℕ\nφ✝ ψ : BoundedFormula L α l\nθ : BoundedFormula L α (Nat.succ l)\nv : α → M\nxs : Fin l → M\nφ : BoundedFormula L α (n + 1)\ncon : IsQF (all φ)\n⊢ False",
"tactic": "cases' con with _ con"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case of_isAtomic\nL : Language\nL' : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.113613\nP : Type ?u.113616\ninst✝² : Structure L M\ninst✝¹ : Structure L N\ninst✝ : Structure L P\nα : Type u'\nβ : Type v'\nγ : Type ?u.113644\nn l : ℕ\nφ✝ ψ : BoundedFormula L α l\nθ : BoundedFormula L α (Nat.succ l)\nv : α → M\nxs : Fin l → M\nφ : BoundedFormula L α (n + 1)\ncon : IsAtomic (all φ)\n⊢ False",
"tactic": "exact φ.not_all_isAtomic con"
}
] |
[
742,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
740,
1
] |
Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
|
ContinuousMap.pow_comp
|
[] |
[
167,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
165,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
|
ConvexCone.mem_add
|
[] |
[
478,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
476,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
|
Filter.atTop_neBot
|
[] |
[
153,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
152,
1
] |
Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
|
Set.Countable.substructure_closure
|
[
{
"state_after": "L : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.35964\nP : Type ?u.35967\ninst✝³ : Structure L M\ninst✝² : Structure L N\ninst✝¹ : Structure L P\nS : Substructure L M\ns : Set M\ninst✝ : Countable ((l : ℕ) × Functions L l)\nh : Set.Countable s\nthis : Countable ↑s\n⊢ Countable { x // x ∈ LowerAdjoint.toFun (closure L) s }",
"state_before": "L : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.35964\nP : Type ?u.35967\ninst✝³ : Structure L M\ninst✝² : Structure L N\ninst✝¹ : Structure L P\nS : Substructure L M\ns : Set M\ninst✝ : Countable ((l : ℕ) × Functions L l)\nh : Set.Countable s\n⊢ Countable { x // x ∈ LowerAdjoint.toFun (closure L) s }",
"tactic": "haveI : Countable s := h.to_subtype"
},
{
"state_after": "L : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.35964\nP : Type ?u.35967\ninst✝³ : Structure L M\ninst✝² : Structure L N\ninst✝¹ : Structure L P\nS : Substructure L M\ns : Set M\ninst✝ : Countable ((l : ℕ) × Functions L l)\nh : Set.Countable s\nthis : Countable ↑s\n⊢ lift (#{ x // x ∈ LowerAdjoint.toFun (closure L) s }) ≤ ℵ₀",
"state_before": "L : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.35964\nP : Type ?u.35967\ninst✝³ : Structure L M\ninst✝² : Structure L N\ninst✝¹ : Structure L P\nS : Substructure L M\ns : Set M\ninst✝ : Countable ((l : ℕ) × Functions L l)\nh : Set.Countable s\nthis : Countable ↑s\n⊢ Countable { x // x ∈ LowerAdjoint.toFun (closure L) s }",
"tactic": "rw [← mk_le_aleph0_iff, ← lift_le_aleph0]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "L : Language\nM : Type w\nN : Type ?u.35964\nP : Type ?u.35967\ninst✝³ : Structure L M\ninst✝² : Structure L N\ninst✝¹ : Structure L P\nS : Substructure L M\ns : Set M\ninst✝ : Countable ((l : ℕ) × Functions L l)\nh : Set.Countable s\nthis : Countable ↑s\n⊢ lift (#{ x // x ∈ LowerAdjoint.toFun (closure L) s }) ≤ ℵ₀",
"tactic": "exact lift_card_closure_le_card_term.trans mk_le_aleph0"
}
] |
[
343,
58
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
339,
1
] |
Mathlib/Data/Sum/Order.lean
|
Sum.le_def
|
[] |
[
124,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
123,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
|
Pell.yn_modEq_a_sub_one
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ℕ\na1 : 1 < a\n⊢ yn a1 0 ≡ 0 [MOD a - 1]",
"tactic": "simp [Nat.ModEq.refl]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ℕ\na1 : 1 < a\n⊢ yn a1 1 ≡ 1 [MOD a - 1]",
"tactic": "simp [Nat.ModEq.refl]"
},
{
"state_after": "a : ℕ\na1 : 1 < a\nn : ℕ\n⊢ 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * (n + 1) [MOD a - 1]",
"state_before": "a : ℕ\na1 : 1 < a\nn : ℕ\n⊢ yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ n + 2 + n [MOD a - 1]",
"tactic": "rw [yn_succ_succ, (by ring : n + 2 + n = 2 * (n + 1))]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ℕ\na1 : 1 < a\nn : ℕ\n⊢ 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * (n + 1) [MOD a - 1]",
"tactic": "exact ((modEq_sub a1.le).mul_left 2).mul (yn_modEq_a_sub_one (n + 1))"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ℕ\na1 : 1 < a\nn : ℕ\n⊢ n + 2 + n = 2 * (n + 1)",
"tactic": "ring"
}
] |
[
553,
76
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
547,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Degree/Definitions.lean
|
Polynomial.degree_X_pow
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝¹ : Semiring R\ninst✝ : Nontrivial R\np q : R[X]\nn : ℕ\n⊢ degree (X ^ n) = ↑n",
"tactic": "rw [X_pow_eq_monomial, degree_monomial _ (one_ne_zero' R)]"
}
] |
[
1258,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1257,
1
] |
Mathlib/AlgebraicTopology/AlternatingFaceMapComplex.lean
|
AlgebraicTopology.alternatingFaceMapComplex_obj_X
|
[] |
[
178,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
176,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
|
Cardinal.mk_pNat
|
[] |
[
1891,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1890,
1
] |
Mathlib/Data/Int/Basic.lean
|
Int.succ_neg_succ
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ℤ\n⊢ succ (-succ a) = -a",
"tactic": "rw [neg_succ, succ_pred]"
}
] |
[
161,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
161,
1
] |
Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
|
QuaternionAlgebra.mul_imK
|
[] |
[
340,
93
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
340,
9
] |
Mathlib/Computability/Partrec.lean
|
Computable.comp₂
|
[] |
[
536,
13
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
534,
1
] |
Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
|
FirstOrder.Language.Theory.IsComplete.models_not_iff
|
[
{
"state_after": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ\n\ncase inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ\n⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ",
"state_before": "L : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\n⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ",
"tactic": "cases' h.2 φ with hφ hφn"
},
{
"state_after": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ¬T ⊨ᵇ Formula.not φ",
"state_before": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ",
"tactic": "simp only [hφ, not_true, iff_false_iff]"
},
{
"state_after": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ∃ x, ¬↑x ⊨ Formula.not φ",
"state_before": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ¬T ⊨ᵇ Formula.not φ",
"tactic": "rw [models_sentence_iff, not_forall]"
},
{
"state_after": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ¬↑(Nonempty.some (_ : IsSatisfiable T)) ⊨ Formula.not φ",
"state_before": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ∃ x, ¬↑x ⊨ Formula.not φ",
"tactic": "refine' ⟨h.1.some, _⟩"
},
{
"state_after": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ↑(Nonempty.some (_ : IsSatisfiable T)) ⊨ φ",
"state_before": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ¬↑(Nonempty.some (_ : IsSatisfiable T)) ⊨ Formula.not φ",
"tactic": "simp only [Sentence.realize_not, Classical.not_not]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ ↑(Nonempty.some (_ : IsSatisfiable T)) ⊨ φ",
"tactic": "exact models_sentence_iff.1 hφ _"
},
{
"state_after": "case inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ\n⊢ ¬T ⊨ᵇ φ",
"state_before": "case inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ\n⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ",
"tactic": "simp only [hφn, true_iff_iff]"
},
{
"state_after": "case inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ False",
"state_before": "case inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ\n⊢ ¬T ⊨ᵇ φ",
"tactic": "intro hφ"
},
{
"state_after": "case inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : ∀ (M : ModelType T), ↑M ⊨ Formula.not φ\nhφ : ∀ (M : ModelType T), ↑M ⊨ φ\n⊢ False",
"state_before": "case inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ\nhφ : T ⊨ᵇ φ\n⊢ False",
"tactic": "rw [models_sentence_iff] at *"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nL : Language\nT : Theory L\nα : Type w\nn : ℕ\nh : IsComplete T\nφ : Sentence L\nhφn : ∀ (M : ModelType T), ↑M ⊨ Formula.not φ\nhφ : ∀ (M : ModelType T), ↑M ⊨ φ\n⊢ False",
"tactic": "exact hφn h.1.some (hφ _)"
}
] |
[
376,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
366,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
|
Cardinal.blsub_lt_ord_of_isRegular
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.159211\nr : α → α → Prop\no : Ordinal\nf : (a : Ordinal) → a < o → Ordinal\nc : Cardinal\nhc : IsRegular c\nho : card o < c\n⊢ card o < Ordinal.cof (ord c)",
"tactic": "rwa [hc.cof_eq]"
}
] |
[
1089,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1087,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
|
Real.volume_Ioc
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.121824\ninst✝ : Fintype ι\na b : ℝ\n⊢ ↑↑volume (Ioc a b) = ofReal (b - a)",
"tactic": "simp [volume_val]"
}
] |
[
95,
89
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
95,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
|
Cardinal.one_le_aleph0
|
[] |
[
1418,
19
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1417,
1
] |
Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
|
DirectSum.decompose_neg
|
[] |
[
209,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
208,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
|
MeasureTheory.VectorMeasure.MutuallySingular.zero_left
|
[] |
[
1208,
18
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1207,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpaceDef.lean
|
MeasurableSpace.generateFrom_mono
|
[] |
[
433,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
432,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Basic.lean
|
Set.subset_of_mem_powerset
|
[] |
[
2137,
73
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2137,
1
] |
Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
|
Monotone.map_sInf_of_continuousAt
|
[] |
[
2688,
77
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2686,
1
] |
Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
|
isLUB_Ioo
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nι : Sort x\ninst✝³ : Preorder α\ninst✝² : Preorder β\ns t : Set α\na✝ b✝ : α\ninst✝¹ : SemilatticeInf γ\ninst✝ : DenselyOrdered γ\na b : γ\nhab : a < b\n⊢ IsLUB (Ioo a b) b",
"tactic": "simpa only [dual_Ioo] using isGLB_Ioo hab.dual"
}
] |
[
768,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
767,
1
] |
Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
|
IsUnit.exists_left_inv
|
[
{
"state_after": "case intro.mk\nα : Type u\nM : Type u_1\nN : Type ?u.57084\ninst✝ : Monoid M\na b : M\nval_inv✝ : a * b = 1\nhba : b * a = 1\n⊢ ∃ b_1, b_1 * ↑{ val := a, inv := b, val_inv := val_inv✝, inv_val := hba } = 1",
"state_before": "α : Type u\nM : Type u_1\nN : Type ?u.57084\ninst✝ : Monoid M\na : M\nh : IsUnit a\n⊢ ∃ b, b * a = 1",
"tactic": "rcases h with ⟨⟨a, b, _, hba⟩, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.mk\nα : Type u\nM : Type u_1\nN : Type ?u.57084\ninst✝ : Monoid M\na b : M\nval_inv✝ : a * b = 1\nhba : b * a = 1\n⊢ ∃ b_1, b_1 * ↑{ val := a, inv := b, val_inv := val_inv✝, inv_val := hba } = 1",
"tactic": "exact ⟨b, hba⟩"
}
] |
[
644,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
642,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
|
IsCyclic.card_pow_eq_one_le
|
[
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\n⊢ (fun x x_1 => x ^ x_1) (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)))\n ↑(m / (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) =\n x",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : (fun x x_1 => x ^ x_1) g m = x\n⊢ (fun x x_1 => x ^ x_1) (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)))\n ↑(m / (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) =\n x",
"tactic": "dsimp at hm"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ (fun x x_1 => x ^ x_1) (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)))\n ↑(m / (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) =\n x",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\n⊢ (fun x x_1 => x ^ x_1) (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)))\n ↑(m / (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) =\n x",
"tactic": "have hgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1 := by\n rw [pow_mul, hm, ← pow_gcd_card_eq_one_iff]; exact (mem_filter.1 hx).2"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) ^ ↑(m / (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) = x",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ (fun x x_1 => x ^ x_1) (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)))\n ↑(m / (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) =\n x",
"tactic": "dsimp only"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α) ∣ m",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) ^ ↑(m / (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) = x",
"tactic": "rw [zpow_ofNat, ← pow_mul, Nat.mul_div_cancel_left', hm]"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α) * Nat.gcd n (Fintype.card α) ∣ m * Nat.gcd n (Fintype.card α)",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α) ∣ m",
"tactic": "refine' Nat.dvd_of_mul_dvd_mul_right (gcd_pos_of_pos_left (Fintype.card α) hn0) _"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ orderOf g ∣ m * Nat.gcd n (Fintype.card α)",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α) * Nat.gcd n (Fintype.card α) ∣ m * Nat.gcd n (Fintype.card α)",
"tactic": "conv_lhs =>\n rw [Nat.div_mul_cancel (Nat.gcd_dvd_right _ _), ←\n orderOf_eq_card_of_forall_mem_zpowers hg]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\nhgmn : g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1\n⊢ orderOf g ∣ m * Nat.gcd n (Fintype.card α)",
"tactic": "exact orderOf_dvd_of_pow_eq_one hgmn"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\n⊢ x ^ n = 1",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\n⊢ g ^ (m * Nat.gcd n (Fintype.card α)) = 1",
"tactic": "rw [pow_mul, hm, ← pow_gcd_card_eq_one_iff]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nx : α\nhx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ\nm : ℕ\nhm : g ^ m = x\n⊢ x ^ n = 1",
"tactic": "exact (mem_filter.1 hx).2"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\n⊢ card (Set.toFinset ↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))))) ≤ n",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\n⊢ card (Set.toFinset ↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))))) ≤ n",
"tactic": "let ⟨m, hm⟩ := Nat.gcd_dvd_right n (Fintype.card α)"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ card (Set.toFinset ↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))))) ≤ n",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\n⊢ card (Set.toFinset ↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))))) ≤ n",
"tactic": "have hm0 : 0 < m :=\n Nat.pos_of_ne_zero fun hm0 => by\n rw [hm0, MulZeroClass.mul_zero, Fintype.card_eq_zero_iff] at hm\n exact hm.elim' 1"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card { x // x ∈ zpowers (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) } ≤ n",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ card (Set.toFinset ↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))))) ≤ n",
"tactic": "simp only [Set.toFinset_card, SetLike.coe_sort_coe]"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd (Fintype.card α) (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)) ≤ n",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card { x // x ∈ zpowers (g ^ (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α))) } ≤ n",
"tactic": "rw [← orderOf_eq_card_zpowers, orderOf_pow g, orderOf_eq_card_of_forall_mem_zpowers hg]"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd (Nat.gcd n (Fintype.card α) * m) (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)) ≤ n",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd (Fintype.card α) (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)) ≤ n",
"tactic": "nth_rw 2 [hm]"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card α /\n Nat.gcd (Nat.gcd n (Fintype.card α) * m) (Nat.gcd n (Fintype.card α) * m / Nat.gcd n (Fintype.card α)) ≤\n n",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card α / Nat.gcd (Nat.gcd n (Fintype.card α) * m) (Fintype.card α / Nat.gcd n (Fintype.card α)) ≤ n",
"tactic": "nth_rw 3 [hm]"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Nat.gcd n (Fintype.card α) ≤ n",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Fintype.card α /\n Nat.gcd (Nat.gcd n (Fintype.card α) * m) (Nat.gcd n (Fintype.card α) * m / Nat.gcd n (Fintype.card α)) ≤\n n",
"tactic": "rw [Nat.mul_div_cancel_left _ (gcd_pos_of_pos_left _ hn0), gcd_mul_left_left, hm,\n Nat.mul_div_cancel _ hm0]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : 0 < m\n⊢ Nat.gcd n (Fintype.card α) ≤ n",
"tactic": "exact le_of_dvd hn0 (Nat.gcd_dvd_left _ _)"
},
{
"state_after": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : IsEmpty α\nhm0 : m = 0\n⊢ False",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : Fintype.card α = Nat.gcd n (Fintype.card α) * m\nhm0 : m = 0\n⊢ False",
"tactic": "rw [hm0, MulZeroClass.mul_zero, Fintype.card_eq_zero_iff] at hm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\na : α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : IsCyclic α\nn : ℕ\nhn0 : 0 < n\ng : α\nhg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g\nm : ℕ\nhm : IsEmpty α\nhm0 : m = 0\n⊢ False",
"tactic": "exact hm.elim' 1"
}
] |
[
276,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
245,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Order/LeftRightLim.lean
|
Antitone.tendsto_leftLim
|
[] |
[
338,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
337,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
|
Submodule.exists_sub_one_mem_and_smul_eq_zero_of_fg_of_le_smul
|
[
{
"state_after": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhn : ∃ S, Set.Finite S ∧ span R S = N\nhin : N ≤ I • N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"state_before": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhn : FG N\nhin : N ≤ I • N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "rw [fg_def] at hn"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"state_before": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhn : ∃ S, Set.Finite S ∧ span R S = N\nhin : N ≤ I • N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "rcases hn with ⟨s, hfs, hs⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nthis : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"state_before": "case intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nthis : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "clear hin hs"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\n⊢ (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"state_before": "case intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nthis : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "revert this"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nH : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅) ∧ ∅ ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\n\ncase intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nH : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s)) ∧ insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"state_before": "case intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\n⊢ (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "refine' Set.Finite.dinduction_on _ hfs (fun H => _) @fun i s _ _ ih H => _"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nH : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s)) ∧ insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nH : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s)) ∧ insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "apply ih"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s))\nhs : insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nH : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s)) ∧ insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"tactic": "rcases H with ⟨r, hr1, hrn, hs⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s))\nhs : insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"tactic": "rw [← Set.singleton_union, span_union, smul_sup] at hrn"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : insert i s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"tactic": "rw [Set.insert_subset] at hs"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nthis : ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"tactic": "rcases this with ⟨c, hc1, hci⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\n⊢ c * r - 1 ∈ I\n\ncase intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\n⊢ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"tactic": "refine' ⟨c * r, _, _, hs.2⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ 1 - 1 ∈ I\n\ncase refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) 1) (I • span R s)\n\ncase refine'_3\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ s ⊆ ↑N",
"state_before": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N",
"tactic": "refine' ⟨1, _, _, _⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ 0 ∈ I",
"state_before": "case refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ 1 - 1 ∈ I",
"tactic": "rw [sub_self]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ 0 ∈ I",
"tactic": "exact I.zero_mem"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) 1) (I • N)",
"state_before": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) 1) (I • span R s)",
"tactic": "rw [hs]"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) 1) (I • N)",
"state_before": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) 1) (I • N)",
"tactic": "intro n hn"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) 1) n ∈ I • N",
"state_before": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) 1) (I • N)",
"tactic": "rw [mem_comap]"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ 1 • n ∈ I • N",
"state_before": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) 1) n ∈ I • N",
"tactic": "change (1 : R) • n ∈ I • N"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ n ∈ I • N",
"state_before": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ 1 • n ∈ I • N",
"tactic": "rw [one_smul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ n ∈ I • N",
"tactic": "exact hin hn"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_3\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\nhin : N ≤ I • N\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nhs : span R s = N\n⊢ s ⊆ ↑N",
"tactic": "rw [← span_le, hs]"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅)\nright✝ : ∅ ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"state_before": "case intro.intro.refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nH : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅) ∧ ∅ ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "rcases H with ⟨r, hr1, hrn, _⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅)\nright✝ : ∅ ⊆ ↑N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ r • n = 0",
"state_before": "case intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅)\nright✝ : ∅ ⊆ ↑N\n⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0",
"tactic": "refine' ⟨r, hr1, fun n hn => _⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nright✝ : ∅ ⊆ ↑N\nn : M\nhn : n ∈ N\nhrn : n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅)\n⊢ r • n = 0",
"state_before": "case intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅)\nright✝ : ∅ ⊆ ↑N\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ r • n = 0",
"tactic": "specialize hrn hn"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns : Set M\nhfs : Set.Finite s\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nright✝ : ∅ ⊆ ↑N\nn : M\nhn : n ∈ N\nhrn : n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅)\n⊢ r • n = 0",
"tactic": "rwa [mem_comap, span_empty, smul_bot, mem_bot] at hrn"
},
{
"state_after": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nhrn : i ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"state_before": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"tactic": "specialize hrn hs.1"
},
{
"state_after": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nhrn : ∃ y, y ∈ I • span R {i} ∧ ∃ z, z ∈ I • span R s ∧ y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"state_before": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nhrn : i ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"tactic": "rw [mem_comap, mem_sup] at hrn"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"state_before": "R✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nhrn : ∃ y, y ∈ I • span R {i} ∧ ∃ z, z ∈ I • span R s ∧ y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"tactic": "rcases hrn with ⟨y, hy, z, hz, hyz⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"tactic": "dsimp at hyz"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\ny : M\nhy : ∃ y_1, y_1 ∈ I ∧ y_1 • i = y\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"tactic": "rw [mem_smul_span_singleton] at hy"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\ny : M\nhy : ∃ y_1, y_1 ∈ I ∧ y_1 • i = y\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"tactic": "rcases hy with ⟨c, hci, rfl⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ r - c - 1 ∈ I ∧ (r - c) • i ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ ∃ c, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s",
"tactic": "use r - c"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.left\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ r - c - 1 ∈ I\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.right\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ (r - c) • i ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ r - c - 1 ∈ I ∧ (r - c) • i ∈ I • span R s",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.left\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ r - 1 - c ∈ I",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.left\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ r - c - 1 ∈ I",
"tactic": "rw [sub_right_comm]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.left\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ r - 1 - c ∈ I",
"tactic": "exact I.sub_mem hr1 hci"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.right\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ z ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.right\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ (r - c) • i ∈ I • span R s",
"tactic": "rw [sub_smul, ← hyz, add_sub_cancel']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.right\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nc : R\nhci : c ∈ I\nhyz : c • i + z = r • i\n⊢ z ∈ I • span R s",
"tactic": "exact hz"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\n⊢ c * r - 1 ∈ I",
"tactic": "simpa only [mul_sub, mul_one, sub_add_sub_cancel] using I.add_mem (I.mul_mem_left c hr1) hc1"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\n⊢ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "intro n hn"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nhrn : n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhrn : N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "specialize hrn hn"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nhrn : ∃ y, y ∈ I • span R {i} ∧ ∃ z, z ∈ I • span R s ∧ y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nhrn : n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "rw [mem_comap, mem_sup] at hrn"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nhrn : ∃ y, y ∈ I • span R {i} ∧ ∃ z, z ∈ I • span R s ∧ y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "rcases hrn with ⟨y, hy, z, hz, hyz⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = ↑(↑(LinearMap.lsmul R M) r) n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "dsimp at hyz"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\ny : M\nhy : ∃ y_1, y_1 ∈ I ∧ y_1 • i = y\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\ny : M\nhy : y ∈ I • span R {i}\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "rw [mem_smul_span_singleton] at hy"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nd : R\nleft✝ : d ∈ I\nhyz : d • i + z = r • n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\ny : M\nhy : ∃ y_1, y_1 ∈ I ∧ y_1 • i = y\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nhyz : y + z = r • n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "rcases hy with ⟨d, _, rfl⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nd : R\nleft✝ : d ∈ I\nhyz : d • i + z = r • n\n⊢ (c * r) • n ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nd : R\nleft✝ : d ∈ I\nhyz : d • i + z = r • n\n⊢ n ∈ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)",
"tactic": "simp only [mem_comap, LinearMap.lsmul_apply]"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nd : R\nleft✝ : d ∈ I\nhyz : d • i + z = r • n\n⊢ d • c • i + c • z ∈ I • span R s",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nd : R\nleft✝ : d ∈ I\nhyz : d • i + z = r • n\n⊢ (c * r) • n ∈ I • span R s",
"tactic": "rw [mul_smul, ← hyz, smul_add, smul_smul, mul_comm, mul_smul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR✝ : Type ?u.23931\nM✝ : Type ?u.23934\ninst✝⁵ : Semiring R✝\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M✝\ninst✝³ : Module R✝ M✝\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nM : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nN : Submodule R M\ns✝ : Set M\nhfs : Set.Finite s✝\ni : M\ns : Set M\nx✝¹ : ¬i ∈ s\nx✝ : Set.Finite s\nih :\n (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap (↑(LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) →\n ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ (n : M), n ∈ N → r • n = 0\nr : R\nhr1 : r - 1 ∈ I\nhs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N\nc : R\nhc1 : c - 1 ∈ I\nhci : c • i ∈ I • span R s\nn : M\nhn : n ∈ N\nz : M\nhz : z ∈ I • span R s\nd : R\nleft✝ : d ∈ I\nhyz : d • i + z = r • n\n⊢ d • c • i + c • z ∈ I • span R s",
"tactic": "exact add_mem (smul_mem _ _ hci) (smul_mem _ _ hz)"
}
] |
[
136,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
84,
1
] |
Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
|
WithTop.pred_coe
|
[] |
[
1105,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1104,
1
] |
Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
|
Complex.abs_cos_add_sin_mul_I
|
[
{
"state_after": "x : ℝ\nthis : Real.sin x ^ 2 + Real.cos x ^ 2 = 1\n⊢ ↑abs (cos ↑x + sin ↑x * I) = 1",
"state_before": "x : ℝ\n⊢ ↑abs (cos ↑x + sin ↑x * I) = 1",
"tactic": "have := Real.sin_sq_add_cos_sq x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x : ℝ\nthis : Real.sin x ^ 2 + Real.cos x ^ 2 = 1\n⊢ ↑abs (cos ↑x + sin ↑x * I) = 1",
"tactic": "simp_all [add_comm, abs, normSq, sq, sin_ofReal_re, cos_ofReal_re, mul_re]"
}
] |
[
2025,
77
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2023,
1
] |
Mathlib/Order/Minimal.lean
|
maximals_subset
|
[] |
[
45,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
44,
1
] |
Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
|
Order.isMax_iterate_succ_of_eq_of_lt
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\n⊢ succ ((succ^[n]) a) ≤ (succ^[m]) a",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\n⊢ IsMax ((succ^[n]) a)",
"tactic": "refine' max_of_succ_le (le_trans _ h_eq.symm.le)"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\nthis : succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a\n⊢ succ ((succ^[n]) a) ≤ (succ^[m]) a",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\n⊢ succ ((succ^[n]) a) ≤ (succ^[m]) a",
"tactic": "have : succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a := by rw [Function.iterate_succ', comp]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\nthis : succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a\n⊢ (succ^[n + 1]) a ≤ (succ^[m]) a",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\nthis : succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a\n⊢ succ ((succ^[n]) a) ≤ (succ^[m]) a",
"tactic": "rw [this]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\nthis : succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a\nh_le : n + 1 ≤ m\n⊢ (succ^[n + 1]) a ≤ (succ^[m]) a",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\nthis : succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a\n⊢ (succ^[n + 1]) a ≤ (succ^[m]) a",
"tactic": "have h_le : n + 1 ≤ m := Nat.succ_le_of_lt h_lt"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\nthis : succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a\nh_le : n + 1 ≤ m\n⊢ (succ^[n + 1]) a ≤ (succ^[m]) a",
"tactic": "exact Monotone.monotone_iterate_of_le_map succ_mono (le_succ a) h_le"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : SuccOrder α\na b : α\nn m : ℕ\nh_eq : (succ^[n]) a = (succ^[m]) a\nh_lt : n < m\n⊢ succ ((succ^[n]) a) = (succ^[n + 1]) a",
"tactic": "rw [Function.iterate_succ', comp]"
}
] |
[
292,
71
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
286,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
|
Metric.subsingleton_sphere
|
[] |
[
2912,
63
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2911,
1
] |
Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
|
Function.Surjective.sigma_map
|
[
{
"state_after": "α : Type ?u.7362\nα₁ : Type u_1\nα₂ : Type u_2\nβ : α → Type ?u.7373\nβ₁ : α₁ → Type u_3\nβ₂ : α₂ → Type u_4\nf₁ : α₁ → α₂\nf₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)\nh₁ : Surjective f₁\nh₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)\n⊢ ∀ (x : α₁) (b : β₂ (f₁ x)), ∃ a, Sigma.map f₁ f₂ a = { fst := f₁ x, snd := b }",
"state_before": "α : Type ?u.7362\nα₁ : Type u_1\nα₂ : Type u_2\nβ : α → Type ?u.7373\nβ₁ : α₁ → Type u_3\nβ₂ : α₂ → Type u_4\nf₁ : α₁ → α₂\nf₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)\nh₁ : Surjective f₁\nh₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)\n⊢ Surjective (Sigma.map f₁ f₂)",
"tactic": "simp only [Function.Surjective, Sigma.forall, h₁.forall]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.7362\nα₁ : Type u_1\nα₂ : Type u_2\nβ : α → Type ?u.7373\nβ₁ : α₁ → Type u_3\nβ₂ : α₂ → Type u_4\nf₁ : α₁ → α₂\nf₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)\nh₁ : Surjective f₁\nh₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)\n⊢ ∀ (x : α₁) (b : β₂ (f₁ x)), ∃ a, Sigma.map f₁ f₂ a = { fst := f₁ x, snd := b }",
"tactic": "exact fun i ↦ (h₂ _).forall.2 fun x ↦ ⟨⟨i, x⟩, rfl⟩"
}
] |
[
138,
54
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
134,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
|
padicNormE.is_norm
|
[] |
[
819,
69
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
819,
11
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/WithBotTop.lean
|
WithTop.preimage_coe_Icc
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝ : PartialOrder α\na b : α\n⊢ some ⁻¹' Icc ↑a ↑b = Icc a b",
"tactic": "simp [← Ici_inter_Iic]"
}
] |
[
60,
101
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
60,
1
] |
Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
|
DirectSum.coe_of_mul_apply_of_le
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_3\nσ : Type u_2\nS : Type ?u.381766\nR : Type u_1\ninst✝⁸ : DecidableEq ι\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : SetLike σ R\ninst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ R\nA : ι → σ\ninst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddMonoid ι\ninst✝³ : SetLike.GradedMonoid A\ninst✝² : Sub ι\ninst✝¹ : OrderedSub ι\ninst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ni : ι\nr : { x // x ∈ A i }\nr' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }\nn : ι\nh : i ≤ n\nx : ι\n⊢ i + x = n ↔ x = n - i",
"tactic": "rw [eq_tsub_iff_add_eq_of_le h, add_comm]"
}
] |
[
265,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
263,
1
] |
Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Group.lean
|
le_ciInf_mul
|
[] |
[
43,
81
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
41,
1
] |
Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
|
sSup_singleton
|
[] |
[
185,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
184,
1
] |
Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
|
Set.IsWf.min_mem
|
[] |
[
623,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
622,
1
] |
Mathlib/Data/IsROrC/Basic.lean
|
IsROrC.conjLie_apply
|
[] |
[
956,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
955,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
|
CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor_comp
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "B : Type u\ninst✝ : Bicategory B\na b c d e : B\nf : a ⟶ b\ng : b ⟶ c\n⊢ (λ_ (f ≫ g)).hom = (α_ (𝟙 a) f g).inv ≫ (λ_ f).hom ▷ g",
"tactic": "simp"
}
] |
[
465,
70
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
464,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
|
MeasureTheory.hasFiniteIntegral_iff_ofNNReal
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.702248\nγ : Type ?u.702251\nδ : Type ?u.702254\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝² : MeasurableSpace δ\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup β\ninst✝ : NormedAddCommGroup γ\nf : α → ℝ≥0\n⊢ (HasFiniteIntegral fun x => ↑(f x)) ↔ (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ) < ⊤",
"tactic": "simp [hasFiniteIntegral_iff_norm]"
}
] |
[
137,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
135,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
|
Matrix.det_vandermonde_ne_zero_iff
|
[
{
"state_after": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsDomain R\nn : ℕ\nv : Fin n → R\n⊢ det (vandermonde v) ≠ 0 ↔ ∀ ⦃a₁ a₂ : Fin n⦄, v a₁ = v a₂ → a₁ = a₂",
"state_before": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsDomain R\nn : ℕ\nv : Fin n → R\n⊢ det (vandermonde v) ≠ 0 ↔ Function.Injective v",
"tactic": "unfold Function.Injective"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsDomain R\nn : ℕ\nv : Fin n → R\n⊢ det (vandermonde v) ≠ 0 ↔ ∀ ⦃a₁ a₂ : Fin n⦄, v a₁ = v a₂ → a₁ = a₂",
"tactic": "simp only [det_vandermonde_eq_zero_iff, Ne.def, not_exists, not_and, Classical.not_not]"
}
] |
[
157,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
154,
1
] |
Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
|
DirectSum.sigmaLcurry_apply
|
[] |
[
264,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
262,
1
] |
Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
|
FiniteField.card'
|
[] |
[
164,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
162,
1
] |
Mathlib/Order/BoundedOrder.lean
|
Subtype.mk_bot
|
[] |
[
763,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
762,
1
] |
Mathlib/Data/SetLike/Basic.lean
|
SetLike.coe_mem
|
[] |
[
177,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
176,
1
] |
Mathlib/Data/List/Count.lean
|
List.count_tail
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nl : List α\ninst✝ : DecidableEq α\nhead : α\ntail : List α\na : α\nh : 0 < length (head :: tail)\n⊢ count a (List.tail (head :: tail)) =\n (count a tail + if a = head then 1 else 0) - if a = get (head :: tail) { val := 0, isLt := h } then 1 else 0",
"state_before": "α : Type u_1\nl : List α\ninst✝ : DecidableEq α\nhead : α\ntail : List α\na : α\nh : 0 < length (head :: tail)\n⊢ count a (List.tail (head :: tail)) =\n count a (head :: tail) - if a = get (head :: tail) { val := 0, isLt := h } then 1 else 0",
"tactic": "rw [count_cons']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nl : List α\ninst✝ : DecidableEq α\nhead : α\ntail : List α\na : α\nh : 0 < length (head :: tail)\n⊢ count a (List.tail (head :: tail)) =\n (count a tail + if a = head then 1 else 0) - if a = get (head :: tail) { val := 0, isLt := h } then 1 else 0",
"tactic": "split_ifs <;> simp at * <;> contradiction"
}
] |
[
206,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
201,
1
] |
Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
|
QuasiErgodic.ae_empty_or_univ'
|
[
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\nm : MeasurableSpace α\nf : α → α\ns : Set α\nμ : MeasureTheory.Measure α\nhf : QuasiErgodic f\nhs : MeasurableSet s\nhs' : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s\nt : Set α\nh₀ : MeasurableSet t\nh₁ : t =ᶠ[ae μ] s\nh₂ : f ⁻¹' t = t\n⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ",
"state_before": "α : Type u_1\nm : MeasurableSpace α\nf : α → α\ns : Set α\nμ : MeasureTheory.Measure α\nhf : QuasiErgodic f\nhs : MeasurableSet s\nhs' : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s\n⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ",
"tactic": "obtain ⟨t, h₀, h₁, h₂⟩ := hf.toQuasiMeasurePreserving.exists_preimage_eq_of_preimage_ae hs hs'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\nm : MeasurableSpace α\nf : α → α\ns : Set α\nμ : MeasureTheory.Measure α\nhf : QuasiErgodic f\nhs : MeasurableSet s\nhs' : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s\nt : Set α\nh₀ : MeasurableSet t\nh₁ : t =ᶠ[ae μ] s\nh₂ : f ⁻¹' t = t\n⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ",
"tactic": "rcases hf.ae_empty_or_univ h₀ h₂ with (h₃ | h₃) <;> [left; right] <;> exact ae_eq_trans h₁.symm h₃"
}
] |
[
126,
101
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
123,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
|
Filter.atBot_Iic_eq
|
[] |
[
1592,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1591,
1
] |
Mathlib/Algebra/Homology/Exact.lean
|
CategoryTheory.exact_comp_inv_hom_comp
|
[] |
[
183,
35
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
182,
1
] |
Std/Data/String/Lemmas.lean
|
Substring.ValidFor.dropWhile
|
[
{
"state_after": "l m r : List Char\np : Char → Bool\n⊢ ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r\n { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }",
"state_before": "l m r : List Char\np : Char → Bool\n⊢ ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r\n (Substring.dropWhile\n { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }\n p)",
"tactic": "simp only [Substring.dropWhile, takeWhileAux_of_valid]"
},
{
"state_after": "case refine'_3\nl m r : List Char\np : Char → Bool\n⊢ utf8Len l + utf8Len m = utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) + utf8Len (List.dropWhile p m)",
"state_before": "l m r : List Char\np : Char → Bool\n⊢ ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r\n { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }",
"tactic": "refine' .of_eq .. <;> simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_3\nl m r : List Char\np : Char → Bool\n⊢ utf8Len l + utf8Len m = utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) + utf8Len (List.dropWhile p m)",
"tactic": "rw [Nat.add_assoc, ← utf8Len_append (m.takeWhile p), List.takeWhile_append_dropWhile]"
}
] |
[
949,
90
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
944,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
|
WellFounded.rank_strictMono
|
[] |
[
2576,
86
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2575,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
|
CategoryTheory.cancel_epi_id
|
[
{
"state_after": "case h.e'_1.h.e'_3.h\nC : Type u\ninst✝¹ : Category C\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : Epi f\nh : Y ⟶ Y\n⊢ f = f ≫ 𝟙 Y",
"state_before": "C : Type u\ninst✝¹ : Category C\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : Epi f\nh : Y ⟶ Y\n⊢ f ≫ h = f ↔ h = 𝟙 Y",
"tactic": "convert cancel_epi f"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_1.h.e'_3.h\nC : Type u\ninst✝¹ : Category C\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : Epi f\nh : Y ⟶ Y\n⊢ f = f ≫ 𝟙 Y",
"tactic": "simp"
}
] |
[
297,
7
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
295,
1
] |
Std/Data/String/Lemmas.lean
|
Substring.ValidFor.extract
|
[
{
"state_after": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\n⊢ ∃ l' r',\n ValidFor l' mm r'\n (if utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml then { str := \"\", startPos := 0, stopPos := 0 }\n else\n { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) },\n startPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }),\n stopPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) })",
"state_before": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\n⊢ ∃ l' r',\n ValidFor l' mm r'\n (Substring.extract\n { str := { data := l ++ (ml ++ mm ++ mr) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (ml ++ mm ++ mr) } }\n { byteIdx := utf8Len ml } { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm })",
"tactic": "simp [Substring.extract]"
},
{
"state_after": "case inl\nl m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh✝ : utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r', ValidFor l' mm r' { str := \"\", startPos := 0, stopPos := 0 }\n\ncase inr\nl m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh✝ : ¬utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r',\n ValidFor l' mm r'\n { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) },\n startPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }),\n stopPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) }",
"state_before": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\n⊢ ∃ l' r',\n ValidFor l' mm r'\n (if utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml then { str := \"\", startPos := 0, stopPos := 0 }\n else\n { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) },\n startPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }),\n stopPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) })",
"tactic": "split"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nl m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh✝ : utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r', ValidFor l' mm r' { str := \"\", startPos := 0, stopPos := 0 }",
"tactic": "next h =>\nrw [utf8Len_eq_zero.1 <| Nat.le_zero.1 <| (Nat.add_le_add_iff_le_left _ _ 0).1 h]\nexact ⟨[], [], ⟨⟩⟩"
},
{
"state_after": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh : utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r', ValidFor l' [] r' { str := \"\", startPos := 0, stopPos := 0 }",
"state_before": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh : utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r', ValidFor l' mm r' { str := \"\", startPos := 0, stopPos := 0 }",
"tactic": "rw [utf8Len_eq_zero.1 <| Nat.le_zero.1 <| (Nat.add_le_add_iff_le_left _ _ 0).1 h]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh : utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r', ValidFor l' [] r' { str := \"\", startPos := 0, stopPos := 0 }",
"tactic": "exact ⟨[], [], ⟨⟩⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nl m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh✝ : ¬utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r',\n ValidFor l' mm r'\n { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) },\n startPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }),\n stopPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) }",
"tactic": "next h =>\nrefine ⟨l ++ ml, mr ++ r, .of_eq _ (by simp) ?_ ?_⟩ <;>\n simp [Nat.min_eq_min] <;> rw [Nat.min_eq_right] <;>\n simp [Nat.add_le_add_iff_le_left, Nat.le_add_right]\nrw [Nat.add_assoc]"
},
{
"state_after": "case refine_2\nl m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh : ¬utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ utf8Len l + (utf8Len ml + utf8Len mm) = utf8Len l + utf8Len ml + utf8Len mm",
"state_before": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh : ¬utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ ∃ l' r',\n ValidFor l' mm r'\n { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) },\n startPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }),\n stopPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) }",
"tactic": "refine ⟨l ++ ml, mr ++ r, .of_eq _ (by simp) ?_ ?_⟩ <;>\n simp [Nat.min_eq_min] <;> rw [Nat.min_eq_right] <;>\n simp [Nat.add_le_add_iff_le_left, Nat.le_add_right]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine_2\nl m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh : ¬utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ utf8Len l + (utf8Len ml + utf8Len mm) = utf8Len l + utf8Len ml + utf8Len mm",
"tactic": "rw [Nat.add_assoc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "l m r ml mm mr : List Char\nb e : Pos\nh : ¬utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml\n⊢ { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) },\n startPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }),\n stopPos :=\n Pos.min { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) }.str.data =\n l ++ ml ++ mm ++ (mr ++ r)",
"tactic": "simp"
}
] |
[
918,
25
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
907,
1
] |
Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
|
finSuccEquiv'_zero
|
[] |
[
222,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
221,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
|
LieAlgebra.derivedSeries_def
|
[] |
[
80,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
79,
1
] |
Mathlib/Init/Data/Nat/Lemmas.lean
|
Nat.bit0_ne
|
[] |
[
140,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
139,
11
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
|
Set.smul_set_sdiff
|
[] |
[
937,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
936,
1
] |
Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory.lean
|
CategoryTheory.NatTrans.mapHomotopyCategory_comp
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁶ : Category V\ninst✝⁵ : Preadditive V\nc✝ : ComplexShape ι\nW : Type u_3\ninst✝⁴ : Category W\ninst✝³ : Preadditive W\nc : ComplexShape ι\nF G H : V ⥤ W\ninst✝² : Functor.Additive F\ninst✝¹ : Functor.Additive G\ninst✝ : Functor.Additive H\nα : F ⟶ G\nβ : G ⟶ H\n⊢ mapHomotopyCategory (α ≫ β) c = mapHomotopyCategory α c ≫ mapHomotopyCategory β c",
"tactic": "aesop_cat"
}
] |
[
224,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
221,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
|
IsometryEquiv.comp_continuousOn_iff
|
[] |
[
524,
43
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
522,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
|
Filter.lift_lift_same_le_lift
|
[] |
[
158,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
156,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
|
Finset.smul_finset_subset_iff
|
[
{
"state_after": "F : Type ?u.837747\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.837756\ninst✝² : DecidableEq β\ninst✝¹ : Group α\ninst✝ : MulAction α β\ns t : Finset β\na : α\nb : β\n⊢ ↑(a • s) ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ ↑(a⁻¹ • t)",
"state_before": "F : Type ?u.837747\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.837756\ninst✝² : DecidableEq β\ninst✝¹ : Group α\ninst✝ : MulAction α β\ns t : Finset β\na : α\nb : β\n⊢ a • s ⊆ t ↔ s ⊆ a⁻¹ • t",
"tactic": "simp_rw [← coe_subset]"
},
{
"state_after": "F : Type ?u.837747\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.837756\ninst✝² : DecidableEq β\ninst✝¹ : Group α\ninst✝ : MulAction α β\ns t : Finset β\na : α\nb : β\n⊢ a • ↑s ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ a⁻¹ • ↑t",
"state_before": "F : Type ?u.837747\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.837756\ninst✝² : DecidableEq β\ninst✝¹ : Group α\ninst✝ : MulAction α β\ns t : Finset β\na : α\nb : β\n⊢ ↑(a • s) ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ ↑(a⁻¹ • t)",
"tactic": "push_cast"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type ?u.837747\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.837756\ninst✝² : DecidableEq β\ninst✝¹ : Group α\ninst✝ : MulAction α β\ns t : Finset β\na : α\nb : β\n⊢ a • ↑s ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ a⁻¹ • ↑t",
"tactic": "exact Set.set_smul_subset_iff"
}
] |
[
1978,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1975,
1
] |
Std/Data/Int/Lemmas.lean
|
Int.natAbs_negOfNat
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : Nat\n⊢ natAbs (negOfNat n) = n",
"tactic": "cases n <;> rfl"
}
] |
[
169,
18
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
168,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
|
Metric.closedBall_mem_nhds
|
[] |
[
1017,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1016,
1
] |
Mathlib/Data/Stream/Init.lean
|
Stream'.drop_succ
|
[] |
[
93,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
92,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
|
add_tsub_cancel_left
|
[] |
[
364,
54
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
363,
1
] |
Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
|
Real.cosh_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x y : ℝ\n⊢ cosh 0 = 1",
"tactic": "simp [cosh]"
}
] |
[
1365,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1365,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
|
MeasureTheory.integrable_comp_smul_iff
|
[
{
"state_after": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\n⊢ ∀ {g : E → F}, Integrable g → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable fun x => g (S • x)",
"state_before": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\n⊢ (Integrable fun x => f (R • x)) ↔ Integrable f",
"tactic": "suffices\n ∀ {g : E → F} (hg : Integrable g μ) {S : ℝ} (hS : S ≠ 0), Integrable (fun x => g (S • x)) μ by\n refine' ⟨fun hf => _, fun hf => this hf hR⟩\n convert this hf (inv_ne_zero hR)\n rw [← mul_smul, mul_inv_cancel hR, one_smul]"
},
{
"state_after": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\ng : E → F\nhg : Integrable g\nS : ℝ\nhS : S ≠ 0\n⊢ Integrable fun x => g (S • x)",
"state_before": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\n⊢ ∀ {g : E → F}, Integrable g → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable fun x => g (S • x)",
"tactic": "intro g hg S hS"
},
{
"state_after": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\ng : E → F\nhg : Integrable g\nS : ℝ\nhS : S ≠ 0\nt : E ≃ᵐ E := Homeomorph.toMeasurableEquiv (Homeomorph.smul (IsUnit.unit (_ : IsUnit S)))\n⊢ Integrable fun x => g (S • x)",
"state_before": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\ng : E → F\nhg : Integrable g\nS : ℝ\nhS : S ≠ 0\n⊢ Integrable fun x => g (S • x)",
"tactic": "let t := ((Homeomorph.smul (isUnit_iff_ne_zero.2 hS).unit).toMeasurableEquiv : E ≃ᵐ E)"
},
{
"state_after": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\ng : E → F\nhg : Integrable g\nS : ℝ\nhS : S ≠ 0\nt : E ≃ᵐ E := Homeomorph.toMeasurableEquiv (Homeomorph.smul (IsUnit.unit (_ : IsUnit S)))\n⊢ ENNReal.ofReal (abs (S ^ finrank ℝ E)⁻¹) ≠ 0",
"state_before": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\ng : E → F\nhg : Integrable g\nS : ℝ\nhS : S ≠ 0\nt : E ≃ᵐ E := Homeomorph.toMeasurableEquiv (Homeomorph.smul (IsUnit.unit (_ : IsUnit S)))\n⊢ Integrable g",
"tactic": "rwa [map_add_haar_smul μ hS, integrable_smul_measure _ ENNReal.ofReal_ne_top]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\ng : E → F\nhg : Integrable g\nS : ℝ\nhS : S ≠ 0\nt : E ≃ᵐ E := Homeomorph.toMeasurableEquiv (Homeomorph.smul (IsUnit.unit (_ : IsUnit S)))\n⊢ ENNReal.ofReal (abs (S ^ finrank ℝ E)⁻¹) ≠ 0",
"tactic": "simpa only [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, abs_pos] using inv_ne_zero (pow_ne_zero _ hS)"
},
{
"state_after": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\nthis : ∀ {g : E → F}, Integrable g → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable fun x => g (S • x)\nhf : Integrable fun x => f (R • x)\n⊢ Integrable f",
"state_before": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\nthis : ∀ {g : E → F}, Integrable g → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable fun x => g (S • x)\n⊢ (Integrable fun x => f (R • x)) ↔ Integrable f",
"tactic": "refine' ⟨fun hf => _, fun hf => this hf hR⟩"
},
{
"state_after": "case h.e'_5.h.h.e'_1\nF : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\nthis : ∀ {g : E → F}, Integrable g → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable fun x => g (S • x)\nhf : Integrable fun x => f (R • x)\nx✝ : E\n⊢ x✝ = R • R⁻¹ • x✝",
"state_before": "F : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\nthis : ∀ {g : E → F}, Integrable g → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable fun x => g (S • x)\nhf : Integrable fun x => f (R • x)\n⊢ Integrable f",
"tactic": "convert this hf (inv_ne_zero hR)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_5.h.h.e'_1\nF : Type u_2\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup F\nE : Type u_1\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\ninst✝³ : MeasurableSpace E\ninst✝² : BorelSpace E\ninst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E\nμ : Measure E\ninst✝ : IsAddHaarMeasure μ\nf : E → F\nR : ℝ\nhR : R ≠ 0\nthis : ∀ {g : E → F}, Integrable g → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable fun x => g (S • x)\nhf : Integrable fun x => f (R • x)\nx✝ : E\n⊢ x✝ = R • R⁻¹ • x✝",
"tactic": "rw [← mul_smul, mul_inv_cancel hR, one_smul]"
}
] |
[
152,
100
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
138,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
|
Real.arccos_eq_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x : ℝ\n⊢ arccos x = 0 ↔ 1 ≤ x",
"tactic": "simp [arccos, sub_eq_zero]"
}
] |
[
395,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
395,
1
] |
Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
|
PhragmenLindelof.horizontal_strip
|
[
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a = z.im ∨ a < z.im\nhzb : z.im = b ∨ z.im < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a ≤ z.im\nhzb : z.im ≤ b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "rw [le_iff_eq_or_lt] at hza hzb"
},
{
"state_after": "case inl\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im = b ∨ z.im < b\nhza : a = z.im\n⊢ ‖f z‖ ≤ C\n\ncase inr\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im = b ∨ z.im < b\nhza : a < z.im\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a = z.im ∨ a < z.im\nhzb : z.im = b ∨ z.im < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "cases' hza with hza hza"
},
{
"state_after": "case inr.inl\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im = b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C\n\ncase inr.inr\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case inr\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im = b ∨ z.im < b\nhza : a < z.im\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "cases' hzb with hzb hzb"
},
{
"state_after": "case inr.inr.inr\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\n⊢ ‖f z‖ ≤ C\n\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nC : ℝ\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : 0 < C\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case inr.inr\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "wlog hC₀ : 0 < C generalizing C"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (a + b - (a - b)) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nC : ℝ\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : 0 < C\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "obtain ⟨a, b, rfl, rfl⟩ : ∃ a' b', a = a' - b' ∧ b = a' + b' :=\n ⟨(a + b) / 2, (b - a) / 2, by ring, by ring⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (a + b - (a - b)) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (a + b - (a - b)) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "have hab : a - b < a + b := hza.trans hzb"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (a + b - (a - b)) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (a + b - (a - b)) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "have hb : 0 < b := by simpa only [sub_eq_add_neg, add_lt_add_iff_left, neg_lt_self_iff] using hab"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / 2 / b ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (a + b - (a - b)) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "rw [add_sub_sub_cancel, ← two_mul, div_mul_eq_div_div] at hB"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / 2 / b ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / 2 / b ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "have hπb : 0 < π / 2 / b := div_pos Real.pi_div_two_pos hb"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / 2 / b ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "rcases hB with ⟨c, hc, B, hO⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "obtain ⟨d, ⟨hcd, hd₀⟩, hd⟩ : ∃ d, (c < d ∧ 0 < d) ∧ d < π / 2 / b := by\n simpa only [max_lt_iff] using exists_between (max_lt hc hπb)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "have hb' : d * b < π / 2 := (lt_div_iff hb).1 hd"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "set aff := (fun w => d * (w - a * I) : ℂ → ℂ)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "set g := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) => exp (ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nthis : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C\n⊢ ‖f z‖ ≤ C\n\ncase this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\n⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "suffices : ∀ᶠ ε : ℝ in 𝓝[<] (0 : ℝ), ‖g ε z • f z‖ ≤ C"
},
{
"state_after": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε ∈ Iio 0\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\n⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C",
"tactic": "filter_upwards [self_mem_nhdsWithin] with ε ε₀"
},
{
"state_after": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε ∈ Iio 0\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"tactic": "change ε < 0 at ε₀"
},
{
"state_after": "case h.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case h.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"tactic": "have hg₁ : ∀ w, im w = a - b ∨ im w = a + b → abs (g ε w) ≤ 1 := by\n refine' fun w hw => (hδ <| hw.by_cases _ _).trans (Real.exp_le_one_iff.2 _)\n exacts [fun h => h.symm ▸ left_mem_Icc.2 hab.le, fun h => h.symm ▸ right_mem_Icc.2 hab.le,\n mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg δ₀.le (Real.exp_pos _).le]"
},
{
"state_after": "case h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"tactic": "have hR₀ : 0 < R := (_root_.abs_nonneg _).trans_lt hzR"
},
{
"state_after": "case h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"tactic": "have hgd : Differentiable ℂ (g ε) :=\n ((((differentiable_id.sub_const _).const_mul _).cexp.add\n ((differentiable_id.sub_const _).const_mul _).neg.cexp).const_mul _).cexp"
},
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"state_after": "case hd\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\n⊢ DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n\ncase h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"tactic": "replace hd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))"
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"state_after": "case h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"state_before": "case hd\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\n⊢ DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n\ncase h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"tactic": "exact (hgd.diffContOnCl.smul hfd).mono (inter_subset_right _ _)"
},
{
"state_after": "case h.intro.intro.intro.intro.convert_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ frontier (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C\n\ncase h.intro.intro.intro.intro.convert_4\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ z ∈ closure (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (z - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (z - ↑a * I))))) • f z‖ ≤ C",
"tactic": "convert norm_le_of_forall_mem_frontier_norm_le ((bounded_Ioo _ _).reProdIm (bounded_Ioo _ _)) hd\n (fun w hw => _) _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im = b ∨ z.im < b\nhza : a = z.im\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "exact hle_a _ hza.symm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inl\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im = b\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "exact hle_b _ hzb"
},
{
"state_after": "case inr.inr.inr.refine'_1\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\nw : ℂ\nhw : w.im = a\n⊢ ‖f w‖ ≤ C'\n\ncase inr.inr.inr.refine'_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\nw : ℂ\nhw : w.im = b\n⊢ ‖f w‖ ≤ C'\n\ncase inr.inr.inr.refine'_3\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\n⊢ 0 < C'",
"state_before": "case inr.inr.inr\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "refine' le_of_forall_le_of_dense fun C' hC' => this (fun w hw => _) (fun w hw => _) _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.inr.refine'_1\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\nw : ℂ\nhw : w.im = a\n⊢ ‖f w‖ ≤ C'",
"tactic": "exact (hle_a _ hw).trans hC'.le"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.inr.refine'_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\nw : ℂ\nhw : w.im = b\n⊢ ‖f w‖ ≤ C'",
"tactic": "exact (hle_b _ hw).trans hC'.le"
},
{
"state_after": "case inr.inr.inr.refine'_3\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\n⊢ (↑a * I).im = a",
"state_before": "case inr.inr.inr.refine'_3\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\n⊢ 0 < C'",
"tactic": "refine' ((norm_nonneg (f (a * I))).trans (hle_a _ _)).trans_lt hC'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.inr.refine'_3\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nthis : ∀ {C : ℝ}, (∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C) → (∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C) → 0 < C → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : ¬0 < C\nC' : ℝ\nhC' : C < C'\n⊢ (↑a * I).im = a",
"tactic": "rw [mul_I_im, ofReal_re]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nC : ℝ\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : 0 < C\n⊢ a = (a + b) / 2 - (b - a) / 2",
"tactic": "ring"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\na b C✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (b - a) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhza : a < z.im\nhzb : z.im < b\nC : ℝ\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C\nhC₀ : 0 < C\n⊢ b = (a + b) / 2 + (b - a) / 2",
"tactic": "ring"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhB :\n ∃ c,\n c < π / (a + b - (a - b)) ∧\n ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nhab : a - b < a + b\n⊢ 0 < b",
"tactic": "simpa only [sub_eq_add_neg, add_lt_add_iff_left, neg_lt_self_iff] using hab"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\n⊢ ∃ d, (c < d ∧ 0 < d) ∧ d < π / 2 / b",
"tactic": "simpa only [max_lt_iff] using exists_between (max_lt hc hπb)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nthis : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C\n⊢ Tendsto (fun c => ‖g c z • f z‖) (𝓝 0) (𝓝 ‖f z‖)",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nthis : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C\n⊢ ‖f z‖ ≤ C",
"tactic": "refine' le_of_tendsto (Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds) this"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nthis : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C\n⊢ ‖exp (↑0 * (exp (aff z) + exp (-aff z))) • f z‖ = ‖f z‖",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nthis : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C\n⊢ Tendsto (fun c => ‖g c z • f z‖) (𝓝 0) (𝓝 ‖f z‖)",
"tactic": "apply ((continuous_ofReal.mul continuous_const).cexp.smul continuous_const).norm.tendsto'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nthis : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[Iio 0] 0, ‖g ε z • f z‖ ≤ C\n⊢ ‖exp (↑0 * (exp (aff z) + exp (-aff z))) • f z‖ = ‖f z‖",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (ε * Real.cos (d * b) * expR (d * Abs.abs w.re))",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\n⊢ ∃ δ, δ < 0 ∧ ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))",
"tactic": "refine'\n ⟨ε * Real.cos (d * b),\n mul_neg_of_neg_of_pos ε₀\n (Real.cos_pos_of_mem_Ioo <| abs_lt.1 <| (abs_of_pos (mul_pos hd₀ hb)).symm ▸ hb'),\n fun w hw => _⟩"
},
{
"state_after": "case hw\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ Abs.abs (aff w).im ≤ d * b\n\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : Abs.abs (aff w).im ≤ d * b\n⊢ ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (ε * Real.cos (d * b) * expR (d * Abs.abs w.re))",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (ε * Real.cos (d * b) * expR (d * Abs.abs w.re))",
"tactic": "replace hw : |im (aff w)| ≤ d * b"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : Abs.abs (aff w).im ≤ d * b\n⊢ ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (ε * Real.cos (d * b) * expR (d * Abs.abs w.re))",
"tactic": "simpa only [ofReal_mul_re, _root_.abs_mul, abs_of_pos hd₀, sub_re, mul_I_re, ofReal_im,\n zero_mul, neg_zero, sub_zero] using\n abs_exp_mul_exp_add_exp_neg_le_of_abs_im_le ε₀.le hw hb'.le"
},
{
"state_after": "case hw\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : w.im ∈ closedBall a b\n⊢ Abs.abs (aff w).im ≤ d * b",
"state_before": "case hw\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ Abs.abs (aff w).im ≤ d * b",
"tactic": "rw [← Real.closedBall_eq_Icc] at hw"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hw\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nw : ℂ\nhw : w.im ∈ closedBall a b\n⊢ Abs.abs (aff w).im ≤ d * b",
"tactic": "rwa [ofReal_mul_im, sub_im, mul_I_im, ofReal_re, _root_.abs_mul, abs_of_pos hd₀,\n mul_le_mul_left hd₀]"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nw : ℂ\nhw : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ w.im = a - b → w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n\ncase refine'_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nw : ℂ\nhw : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ w.im = a + b → w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n\ncase refine'_3\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nw : ℂ\nhw : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ δ * expR (d * Abs.abs w.re) ≤ 0",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\n⊢ ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1",
"tactic": "refine' fun w hw => (hδ <| hw.by_cases _ _).trans (Real.exp_le_one_iff.2 _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nw : ℂ\nhw : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ w.im = a - b → w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n\ncase refine'_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nw : ℂ\nhw : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ w.im = a + b → w.im ∈ Icc (a - b) (a + b)\n\ncase refine'_3\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nw : ℂ\nhw : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ δ * expR (d * Abs.abs w.re) ≤ 0",
"tactic": "exacts [fun h => h.symm ▸ left_mem_Icc.2 hab.le, fun h => h.symm ▸ right_mem_Icc.2 hab.le,\n mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg δ₀.le (Real.exp_pos _).le]"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\n⊢ ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\n⊢ ∃ R, Abs.abs z.re < R ∧ ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "refine' ((eventually_gt_atTop _).and _).exists"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n IsBigOWith A (comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun z =>\n expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\n⊢ ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\n⊢ ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "rcases hO.exists_pos with ⟨A, hA₀, hA⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\n⊢ ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\n\ncase this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "suffices :\n Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)"
},
{
"state_after": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot",
"state_before": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "refine' Real.tendsto_exp_atBot.comp _"
},
{
"state_after": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nH : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))\n⊢ Tendsto (fun R => δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot\n\ncase H\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))",
"state_before": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot",
"tactic": "suffices H : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))"
},
{
"state_after": "case H\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 0)",
"state_before": "case H\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))",
"tactic": "refine' tendsto_const_nhds.add (tendsto_const_nhds.mul _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case H\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\n⊢ Tendsto (fun R => (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "exact tendsto_inv_atTop_zero.comp <| Real.tendsto_exp_atTop.comp <|\n tendsto_const_nhds.mul_atTop (sub_pos.2 hcd) tendsto_id"
},
{
"state_after": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\nR : ℝ\nhR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C\nHle :\n ∀ (a_1 : ℂ), Abs.abs a_1.re = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nw : ℂ\nhre : Abs.abs w.re = R\nhim : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (w - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (w - ↑a * I))))) • f w‖ ≤ C",
"state_before": "case intro.intro\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\n⊢ ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "filter_upwards [this.eventually (ge_mem_nhds hC₀), hA] with R hR Hle w hre him"
},
{
"state_after": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\nR : ℝ\nhR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C\nHle :\n ∀ (a_1 : ℂ), Abs.abs a_1.re = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nw : ℂ\nhre : Abs.abs w.re = R\nhim : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)",
"state_before": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\nR : ℝ\nhR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C\nHle :\n ∀ (a_1 : ℂ), Abs.abs a_1.re = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nw : ℂ\nhre : Abs.abs w.re = R\nhim : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖exp (↑ε * (exp (↑d * (w - ↑a * I)) + exp (-(↑d * (w - ↑a * I))))) • f w‖ ≤ C",
"tactic": "calc\n ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) := ?_\n _ ≤ C := hR"
},
{
"state_after": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\nR : ℝ\nhR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C\nHle :\n ∀ (a_1 : ℂ), Abs.abs a_1.re = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nw : ℂ\nhre : Abs.abs w.re = R\nhim : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w‖ * ‖f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re)) * (A * expR (B * expR (c * Abs.abs w.re)))",
"state_before": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\nR : ℝ\nhR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C\nHle :\n ∀ (a_1 : ℂ), Abs.abs a_1.re = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nw : ℂ\nhre : Abs.abs w.re = R\nhim : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)",
"tactic": "rw [norm_smul, Real.exp_add, ← hre, Real.exp_add, Real.exp_log hA₀, mul_assoc, mul_comm _ A]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nthis : Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)\nR : ℝ\nhR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C\nHle :\n ∀ (a_1 : ℂ), Abs.abs a_1.re = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nw : ℂ\nhre : Abs.abs w.re = R\nhim : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w‖ * ‖f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re)) * (A * expR (B * expR (c * Abs.abs w.re)))",
"tactic": "exact mul_le_mul (hδ <| Ioo_subset_Icc_self him) (Hle _ hre him) (norm_nonneg _)\n (Real.exp_pos _).le"
},
{
"state_after": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nH : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun R => δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot",
"state_before": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nH : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))\n⊢ Tendsto (fun R => δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot",
"tactic": "rw [mul_zero, add_zero] at H"
},
{
"state_after": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nH : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun R => δ * expR (d * R) + B * expR (c * R)) atTop atBot",
"state_before": "case this\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhd : d < π / 2 / b\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nA : ℝ\nhA₀ : 0 < A\nhA :\n ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,\n ∀ (a_1 : ℂ),\n Abs.abs a_1.re = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * Abs.abs a_1.re))\nH : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 δ)\n⊢ Tendsto (fun R => δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot",
"tactic": "refine' Tendsto.atBot_add _ tendsto_const_nhds"
},
{
"state_after": "case h.intro.intro.intro.intro.convert_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro.convert_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ frontier (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "rw [frontier_reProdIm, closure_Ioo (neg_lt_self hR₀).ne, frontier_Ioo hab, closure_Ioo hab.ne,\n frontier_Ioo (neg_lt_self hR₀)] at hw"
},
{
"state_after": "case pos\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C\n\ncase neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro.convert_2\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "by_cases him : w.im = a - b ∨ w.im = a + b"
},
{
"state_after": "case pos\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ ‖g ε w‖ * ‖f w‖ ≤ 1 * C",
"state_before": "case pos\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "rw [norm_smul, ← one_mul C]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : w.im = a - b ∨ w.im = a + b\n⊢ ‖g ε w‖ * ‖f w‖ ≤ 1 * C",
"tactic": "exact mul_le_mul (hg₁ _ him) (him.by_cases (hle_a _) (hle_b _)) (norm_nonneg _) zero_le_one"
},
{
"state_after": "case hw\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\n⊢ w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n\ncase neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "case neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "replace hw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)"
},
{
"state_after": "case neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "case hw\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhw : w ∈ Icc (-R) R ×ℂ {a - b, a + b} ∪ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\n⊢ w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n\ncase neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "exact hw.resolve_left fun h => him h.2"
},
{
"state_after": "case neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhw' : w.im = a - b ∨ w.im = a + b ∨ w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "case neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "have hw' := eq_endpoints_or_mem_Ioo_of_mem_Icc hw.2"
},
{
"state_after": "case neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhw' : (w.im = a - b ∨ w.im = a + b) ∨ w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"state_before": "case neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhw' : w.im = a - b ∨ w.im = a + b ∨ w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "rw [← or_assoc] at hw'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\nw : ℂ\nhim : ¬(w.im = a - b ∨ w.im = a + b)\nhw : w ∈ {-R, R} ×ℂ Icc (a - b) (a + b)\nhw' : (w.im = a - b ∨ w.im = a + b) ∨ w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)\n⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C",
"tactic": "exact hR _ ((abs_eq hR₀.le).2 hw.1.symm) (hw'.resolve_left him)"
},
{
"state_after": "case h.intro.intro.intro.intro.convert_4\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ z ∈ Icc (-R) R ×ℂ Icc (a - b) (a + b)",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro.convert_4\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ z ∈ closure (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))",
"tactic": "rw [closure_reProdIm, closure_Ioo hab.ne, closure_Ioo (neg_lt_self hR₀).ne]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.intro.intro.intro.intro.convert_4\nE : Type u_1\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝ : NormedSpace ℂ E\nC✝ : ℝ\nf g✝ : ℂ → E\nz : ℂ\nC : ℝ\nhC₀ : 0 < C\na b : ℝ\nhza : a - b < z.im\nhle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C\nhzb : z.im < a + b\nhle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C\nhfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))\nhab : a - b < a + b\nhb : 0 < b\nhπb : 0 < π / 2 / b\nc : ℝ\nhc : c < π / 2 / b\nB : ℝ\nhO : f =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))\nd : ℝ\nhcd : c < d\nhd₀ : 0 < d\nhb' : d * b < π / 2\naff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)\ng : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => exp (↑ε * (exp (aff w) + exp (-aff w)))\nε : ℝ\nε₀ : ε < 0\nδ : ℝ\nδ₀ : δ < 0\nhδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * Abs.abs w.re))\nhg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ↑Complex.abs (g ε w) ≤ 1\nR : ℝ\nhzR : Abs.abs z.re < R\nhR : ∀ (w : ℂ), Abs.abs w.re = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C\nhR₀ : 0 < R\nhgd : Differentiable ℂ (g ε)\nhd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))\n⊢ z ∈ Icc (-R) R ×ℂ Icc (a - b) (a + b)",
"tactic": "exact ⟨abs_le.1 hzR.le, ⟨hza.le, hzb.le⟩⟩"
}
] |
[
231,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
125,
1
] |
Mathlib/Algebra/Star/StarAlgHom.lean
|
NonUnitalStarAlgHom.coe_toNonUnitalAlgHom
|
[] |
[
141,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
140,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
|
MeasureTheory.AEEqFun.comp₂_eq_mk
|
[
{
"state_after": "α : Type u_4\nβ : Type u_2\nγ : Type u_1\nδ : Type u_3\ninst✝³ : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝² : TopologicalSpace β\ninst✝¹ : TopologicalSpace γ\ninst✝ : TopologicalSpace δ\ng : β → γ → δ\nhg : Continuous (uncurry g)\nf₁ : α →ₘ[μ] β\nf₂ : α →ₘ[μ] γ\n⊢ mk (uncurry g ∘ fun x => (↑f₁ x, ↑f₂ x)) (_ : AEStronglyMeasurable (fun x => uncurry g (↑f₁ x, ↑f₂ x)) μ) =\n mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) (_ : AEStronglyMeasurable (fun x => uncurry g (↑f₁ x, ↑f₂ x)) μ)",
"state_before": "α : Type u_4\nβ : Type u_2\nγ : Type u_1\nδ : Type u_3\ninst✝³ : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝² : TopologicalSpace β\ninst✝¹ : TopologicalSpace γ\ninst✝ : TopologicalSpace δ\ng : β → γ → δ\nhg : Continuous (uncurry g)\nf₁ : α →ₘ[μ] β\nf₂ : α →ₘ[μ] γ\n⊢ comp₂ g hg f₁ f₂ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) (_ : AEStronglyMeasurable (fun x => uncurry g (↑f₁ x, ↑f₂ x)) μ)",
"tactic": "rw [comp₂_eq_pair, pair_eq_mk, comp_mk]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_4\nβ : Type u_2\nγ : Type u_1\nδ : Type u_3\ninst✝³ : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝² : TopologicalSpace β\ninst✝¹ : TopologicalSpace γ\ninst✝ : TopologicalSpace δ\ng : β → γ → δ\nhg : Continuous (uncurry g)\nf₁ : α →ₘ[μ] β\nf₂ : α →ₘ[μ] γ\n⊢ mk (uncurry g ∘ fun x => (↑f₁ x, ↑f₂ x)) (_ : AEStronglyMeasurable (fun x => uncurry g (↑f₁ x, ↑f₂ x)) μ) =\n mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) (_ : AEStronglyMeasurable (fun x => uncurry g (↑f₁ x, ↑f₂ x)) μ)",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
318,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
313,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
|
LucasLehmer.sMod_mod
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "p i : ℕ\n⊢ sMod p i % (2 ^ p - 1) = sMod p i",
"tactic": "cases i <;> simp [sMod]"
}
] |
[
114,
93
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
114,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullbacks.lean
|
CategoryTheory.Limits.pullback.congrHom_inv
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ f₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f₁",
"tactic": "simp [h₁]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ g₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 Y ≫ g₁",
"tactic": "simp [h₂]"
},
{
"state_after": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst =\n map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) (_ : f₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f₁) (_ : g₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 Y ≫ g₁) ≫ fst\n\ncase h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd =\n map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) (_ : f₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f₁) (_ : g₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 Y ≫ g₁) ≫ snd",
"state_before": "C : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) (_ : f₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f₁) (_ : g₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 Y ≫ g₁)",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst = fst ≫ 𝟙 X",
"state_before": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst =\n map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) (_ : f₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f₁) (_ : g₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 Y ≫ g₁) ≫ fst",
"tactic": "erw [pullback.lift_fst]"
},
{
"state_after": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ fst = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ fst ≫ 𝟙 X",
"state_before": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst = fst ≫ 𝟙 X",
"tactic": "rw [Iso.inv_comp_eq]"
},
{
"state_after": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ fst = (fst ≫ 𝟙 X) ≫ 𝟙 X",
"state_before": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ fst = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ fst ≫ 𝟙 X",
"tactic": "erw [pullback.lift_fst_assoc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h₀\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ fst = (fst ≫ 𝟙 X) ≫ 𝟙 X",
"tactic": "rw [Category.comp_id, Category.comp_id]"
},
{
"state_after": "case h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd = snd ≫ 𝟙 Y",
"state_before": "case h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd =\n map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) (_ : f₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f₁) (_ : g₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 Y ≫ g₁) ≫ snd",
"tactic": "erw [pullback.lift_snd]"
},
{
"state_after": "case h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ snd = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ snd ≫ 𝟙 Y",
"state_before": "case h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd = snd ≫ 𝟙 Y",
"tactic": "rw [Iso.inv_comp_eq]"
},
{
"state_after": "case h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ snd = (snd ≫ 𝟙 Y) ≫ 𝟙 Y",
"state_before": "case h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ snd = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ snd ≫ 𝟙 Y",
"tactic": "erw [pullback.lift_snd_assoc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h₁\nC : Type u\ninst✝³ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category D\nW X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C\nf₁ f₂ : X ⟶ Z\ng₁ g₂ : Y ⟶ Z\nh₁ : f₁ = f₂\nh₂ : g₁ = g₂\ninst✝¹ : HasPullback f₁ g₁\ninst✝ : HasPullback f₂ g₂\n⊢ snd = (snd ≫ 𝟙 Y) ≫ 𝟙 Y",
"tactic": "rw [Category.comp_id, Category.comp_id]"
}
] |
[
1377,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1365,
1
] |
Mathlib/Data/Fin/Interval.lean
|
Fin.map_valEmbedding_Ici
|
[
{
"state_after": "case a\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ x ∈ map valEmbedding (Ici a) ↔ x ∈ Icc (↑a) (n - 1)",
"state_before": "n : ℕ\na b : Fin n\n⊢ map valEmbedding (Ici a) = Icc (↑a) (n - 1)",
"tactic": "ext x"
},
{
"state_after": "case a\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ (∃ a_1, a ≤ a_1 ∧ ↑valEmbedding a_1 = x) ↔ ↑a ≤ x ∧ x ≤ n - 1",
"state_before": "case a\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ x ∈ map valEmbedding (Ici a) ↔ x ∈ Icc (↑a) (n - 1)",
"tactic": "simp only [exists_prop, Embedding.coe_subtype, mem_Ici, mem_map, mem_Icc]"
},
{
"state_after": "case a.mp\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ (∃ a_1, a ≤ a_1 ∧ ↑valEmbedding a_1 = x) → ↑a ≤ x ∧ x ≤ n - 1\n\ncase a.mpr\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ ↑a ≤ x ∧ x ≤ n - 1 → ∃ a_2, a ≤ a_2 ∧ ↑valEmbedding a_2 = x",
"state_before": "case a\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ (∃ a_1, a ≤ a_1 ∧ ↑valEmbedding a_1 = x) ↔ ↑a ≤ x ∧ x ≤ n - 1",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case a.mpr.zero\nx : ℕ\na b : Fin Nat.zero\n⊢ ↑a ≤ x ∧ x ≤ Nat.zero - 1 → ∃ a_2, a ≤ a_2 ∧ ↑valEmbedding a_2 = x\n\ncase a.mpr.succ\nx n✝ : ℕ\na b : Fin (Nat.succ n✝)\n⊢ ↑a ≤ x ∧ x ≤ Nat.succ n✝ - 1 → ∃ a_2, a ≤ a_2 ∧ ↑valEmbedding a_2 = x",
"state_before": "case a.mpr\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ ↑a ≤ x ∧ x ≤ n - 1 → ∃ a_2, a ≤ a_2 ∧ ↑valEmbedding a_2 = x",
"tactic": "cases n"
},
{
"state_after": "case a.mp.intro.intro\nn : ℕ\na b x : Fin n\nhx : a ≤ x\n⊢ ↑a ≤ ↑valEmbedding x ∧ ↑valEmbedding x ≤ n - 1",
"state_before": "case a.mp\nn : ℕ\na b : Fin n\nx : ℕ\n⊢ (∃ a_1, a ≤ a_1 ∧ ↑valEmbedding a_1 = x) → ↑a ≤ x ∧ x ≤ n - 1",
"tactic": "rintro ⟨x, hx, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.mp.intro.intro\nn : ℕ\na b x : Fin n\nhx : a ≤ x\n⊢ ↑a ≤ ↑valEmbedding x ∧ ↑valEmbedding x ≤ n - 1",
"tactic": "exact ⟨hx, le_tsub_of_add_le_right <| x.2⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.mpr.zero\nx : ℕ\na b : Fin Nat.zero\n⊢ ↑a ≤ x ∧ x ≤ Nat.zero - 1 → ∃ a_2, a ≤ a_2 ∧ ↑valEmbedding a_2 = x",
"tactic": "exact Fin.elim0 a"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.mpr.succ\nx n✝ : ℕ\na b : Fin (Nat.succ n✝)\n⊢ ↑a ≤ x ∧ x ≤ Nat.succ n✝ - 1 → ∃ a_2, a ≤ a_2 ∧ ↑valEmbedding a_2 = x",
"tactic": "exact fun hx => ⟨⟨x, Nat.lt_succ_iff.2 hx.2⟩, hx.1, rfl⟩"
}
] |
[
149,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
141,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
|
AbstractCompletion.map_id
|
[] |
[
220,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
219,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
|
Finset.disjoint_insert_right
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.126146\nγ : Type ?u.126149\ninst✝ : DecidableEq α\ns t u v : Finset α\na b : α\n⊢ _root_.Disjoint (insert a t) s ↔ ¬a ∈ s ∧ _root_.Disjoint s t",
"tactic": "rw [disjoint_insert_left, _root_.disjoint_comm]"
}
] |
[
1278,
76
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1277,
1
] |
Mathlib/Topology/PathConnected.lean
|
IsPathConnected.exists_path_through_family'
|
[
{
"state_after": "case intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nhγ : range ↑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ↑γ\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"state_before": "X✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"tactic": "rcases h.exists_path_through_family p hp with ⟨γ, hγ⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : range ↑γ ⊆ s\nh₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ↑γ\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"state_before": "case intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nhγ : range ↑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ↑γ\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"tactic": "rcases hγ with ⟨h₁, h₂⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : range ↑γ ⊆ s\nh₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∃ y, ↑γ y = p i\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"state_before": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : range ↑γ ⊆ s\nh₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ↑γ\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"tactic": "simp only [range, mem_setOf_eq] at h₂"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : ∀ (y : ↑I), ↑γ y ∈ s\nh₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∃ y, ↑γ y = p i\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"state_before": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : range ↑γ ⊆ s\nh₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∃ y, ↑γ y = p i\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"tactic": "rw [range_subset_iff] at h₁"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : ∀ (y : ↑I), ↑γ y ∈ s\nt : Fin (n + 1) → ↑I\nht : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"state_before": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : ∀ (y : ↑I), ↑γ y ∈ s\nh₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∃ y, ↑γ y = p i\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"tactic": "choose! t ht using h₂"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nX✝ : Type ?u.681883\nY : Type ?u.681886\ninst✝² : TopologicalSpace X✝\ninst✝¹ : TopologicalSpace Y\nx y z : X✝\nι : Type ?u.681901\nF : Set X✝\nX : Type u_1\ninst✝ : TopologicalSpace X\nn : ℕ\ns : Set X\nh : IsPathConnected s\np : Fin (n + 1) → X\nhp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s\nγ : Path (p 0) (p ↑n)\nh₁ : ∀ (y : ↑I), ↑γ y ∈ s\nt : Fin (n + 1) → ↑I\nht : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i\n⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), ↑γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑γ (t i) = p i",
"tactic": "exact ⟨γ, t, h₁, ht⟩"
}
] |
[
1080,
23
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1072,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
|
collinear_pair
|
[
{
"state_after": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ : P\n⊢ ∃ p₀ v, ∀ (p : P), p ∈ {p₁, p₂} → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀",
"state_before": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ : P\n⊢ Collinear k {p₁, p₂}",
"tactic": "rw [collinear_iff_exists_forall_eq_smul_vadd]"
},
{
"state_after": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ : P\n⊢ ∀ (p : P), p ∈ {p₁, p₂} → ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"state_before": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ : P\n⊢ ∃ p₀ v, ∀ (p : P), p ∈ {p₁, p₂} → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀",
"tactic": "use p₁, p₂ -ᵥ p₁"
},
{
"state_after": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p ∈ {p₁, p₂}\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"state_before": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ : P\n⊢ ∀ (p : P), p ∈ {p₁, p₂} → ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"tactic": "intro p hp"
},
{
"state_after": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₁ ∨ p = p₂\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"state_before": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p ∈ {p₁, p₂}\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"tactic": "rw [Set.mem_insert_iff, Set.mem_singleton_iff] at hp"
},
{
"state_after": "case inl\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₁\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁\n\ncase inr\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₂\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"state_before": "k : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₁ ∨ p = p₂\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"tactic": "cases' hp with hp hp"
},
{
"state_after": "case inl\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₁\n⊢ p = 0 • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"state_before": "case inl\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₁\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"tactic": "use 0"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₁\n⊢ p = 0 • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"tactic": "simp [hp]"
},
{
"state_after": "case inr\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₂\n⊢ p = 1 • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"state_before": "case inr\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₂\n⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"tactic": "use 1"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nk : Type u_1\nV : Type u_2\nP : Type u_3\nι : Type ?u.267878\ninst✝³ : DivisionRing k\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module k V\ninst✝ : AffineSpace V P\np₁ p₂ p : P\nhp : p = p₂\n⊢ p = 1 • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁",
"tactic": "simp [hp]"
}
] |
[
439,
14
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
430,
1
] |
Mathlib/Order/Max.lean
|
IsMin.not_lt
|
[] |
[
313,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
313,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Functor.lean
|
Finset.pure_def
|
[] |
[
62,
64
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
62,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Order/Basic.lean
|
Nat.bit1_le
|
[] |
[
692,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
691,
11
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
|
Complex.exp_eq_exp_iff_exp_sub_eq_one
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x y : ℂ\n⊢ exp x = exp y ↔ exp (x - y) = 1",
"tactic": "rw [exp_sub, div_eq_one_iff_eq (exp_ne_zero _)]"
}
] |
[
156,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
155,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Group.lean
|
inv_smul_eq_iff
|
[] |
[
113,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
112,
1
] |
Mathlib/Data/List/Zip.lean
|
List.nthLe_zipWith
|
[] |
[
414,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
410,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/CommRing.lean
|
MvPolynomial.coeff_sub
|
[] |
[
83,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
82,
1
] |
Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
|
AddCircle.coe_eq_zero_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nB : Type ?u.32898\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝ : OrderTopology 𝕜\np x : 𝕜\n⊢ ↑x = 0 ↔ ∃ n, n • p = x",
"tactic": "simp [AddSubgroup.mem_zmultiples_iff]"
}
] |
[
175,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
174,
1
] |
Std/Data/Int/DivMod.lean
|
Int.ediv_left_inj
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a b d : Int\nhda : d ∣ a\nhdb : d ∣ b\nh : a / d = b / d\n⊢ a = b",
"tactic": "rw [← Int.mul_ediv_cancel' hda, ← Int.mul_ediv_cancel' hdb, h]"
}
] |
[
822,
65
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
819,
19
] |
Subsets and Splits
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