question14_3.md

# 升級版前測（10 題）

每題選項都可保留：
**A / B / C / D / 不清楚或不會**

## 1. 偏導數定義

若要計算函數 $f(x,y)$ 在點 $(a,b)$ 對 $x$ 的偏導數 $f_x(a,b)$，下列哪一個式子正確？

A. $ \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x} $

B. $ \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(a+\Delta x,b+\Delta x)-f(a,b)}{\Delta x} $

C. $ \lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y} $

D. $ \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(a,b+\Delta x)-f(a,b)}{\Delta x} $

**答案：A**

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## 2. 幾何意義

設 $z=f(x,y)$，則 $f_x(a,b)$ 對應的是哪一條截線在點 $P=(a,b,f(a,b))$ 的切線斜率？

A. 曲面與平面 $x=a$ 的截線

B. 曲面與平面 $y=b$ 的截線

C. 曲面與平面 $z=f(a,b)$ 的截線

D. 曲面上任意方向曲線的切線斜率

**答案：B**

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## 3. 基本偏導提升版

若 $f(x,y)=x^2e^y+\sin(xy)$，則 $f_x(x,y)=$

A. $2xe^y+\cos(xy)$

B. $2xe^y+y\cos(xy)$

C. $x^2e^y+y\cos(xy)$

D. $2xe^y+x\cos(xy)$

**答案：B**

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## 4. 偏導函數代點

若 $f(x,y)=x^2e^y+\sin(xy)$，則 $f_y(1,0)=$

A. $1$

B. $2$

C. $e$

D. $0$

**答案：B**

因為
$f_y=x^2e^y+x\cos(xy)$，
所以 $f_y(1,0)=1+1=2$。

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## 5. 偏導函數 vs 偏導數值

若已知 $f_x(x,y)=2xy-3y$，則 $f_x(1,4)=$

A. $4$

B. $-4$

C. $-2$

D. $2$

**答案：B**

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## 6. 鏈鎖律型偏導

若 $f(x,y)=\sin(x^2y-3xy)$，則 $f_y(x,y)=$

A. $(x^2-3x)\sin(x^2y-3xy)$

B. $(2xy-3y)\cos(x^2y-3xy)$

C. $(x^2-3x)\cos(x^2y-3xy)$

D. $(2x-3)\cos(x^2y-3xy)$

**答案：C**

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## 7. 線性估計

若已知 $f(2,1)=5$，且 $f_x(2,1)=-3$，當只有 $x$ 由 $2$ 變成 $2.1$ 時，依線性估計，$f(2.1,1)$ 最接近哪一個值？

A. $4.7$

B. $5.3$

C. $2$

D. $-0.3$

**答案：A**

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## 8. 混合偏導

若 $f(x,y)=x^2y^3-e^{xy}$，則 $f_{xy}(1,0)=$

A. $0$

B. $1$

C. $-1$

D. $-2$

**答案：C**

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## 9. 原點偏導存在性

定義
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0),\
0, & (x,y)=(0,0)。
\end{cases}
$$
則 $f_x(0,0)$ 為何？

A. $0$

B. $1$

C. 不存在

D. $-1$

**答案：C**

因為
$$
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
=\lim_{h\to 0}\frac{1-0}{h}
$$
極限不存在。

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## 10. 隱函數偏微分入門

若
$$
x^2+y^2+z^2=6
$$
其中 $z$ 為 $x,y$ 的函數，則在點 $(1,1,2)$，
$$
\frac{\partial z}{\partial x}
$$
的值為何？

A. $-\dfrac12$

B. $\dfrac12$

C. $-1$

D. $1$

**答案：A**

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# 升級版後測（10 題）

這份我設計成和前測大致等值，但再多一點整合性。

## 1. 偏導數定義

若要計算函數 $f(x,y)$ 在點 $(a,b)$ 對 $y$ 的偏導數 $f_y(a,b)$，下列哪一個式子正確？

A. $ \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x} $

B. $ \lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y} $

C. $ \lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{f(a+\Delta y,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y} $

D. $ \lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{f(a+\Delta y,b)-f(a,b)}{\Delta y} $

**答案：B**

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## 2. 幾何意義進階版

下列哪一個敘述正確？

A. $f_x(a,b)$ 是曲面與平面 $x=a$ 的截線切線斜率，$f_y(a,b)$ 是曲面與平面 $y=b$ 的截線切線斜率

B. $f_x(a,b)$ 是曲面與平面 $y=b$ 的截線切線斜率，$f_y(a,b)$ 是曲面與平面 $x=a$ 的截線切線斜率

C. $f_x(a,b)$ 與 $f_y(a,b)$ 都是同一條截線的切線斜率

D. $f_x(a,b)$ 與 $f_y(a,b)$ 都是曲面法向量的分量

**答案：B**

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## 3. 基本偏導提升版

若 $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)+xe^{xy}$，則 $f_x(1,1)=$

A. $1+e$

B. $1+2e$

C. $2+e$

D. $2+2e$

**答案：B**

因為
$$
f_x=\frac{2x}{x^2+y^2}+e^{xy}+xye^{xy}
$$
代入 $(1,1)$ 得
$$
1+e+e=1+2e。
$$

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## 4. 偏導函數代點

若 $f(x,y)=(x^2+3y)e^{xy}$，則 $f_y(1,1)=$

A. $4e$

B. $5e$

C. $7e$

D. $8e$

**答案：C**

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## 5. 鏈鎖律型偏導

若 $f(x,y)=\cos(x^2y+y^2)$，則 $f_x(x,y)=$

A. $-(2xy)\sin(x^2y+y^2)$

B. $(2xy)\sin(x^2y+y^2)$

C. $-(x^2+2y)\sin(x^2y+y^2)$

D. $(x^2+2y)\cos(x^2y+y^2)$

**答案：A**

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## 6. 線性估計

若已知 $f(1,2)=-1$，且 $f_y(1,2)=4.5$。當只有 $y$ 由 $2$ 變成 $1.98$ 時，依線性估計，$f(1,1.98)$ 最接近哪一個值？

A. $-0.91$

B. $-1.09$

C. $-5.5$

D. $3.5$

**答案：B**

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## 7. Clairaut 定理

若 $f_{xy}$ 與 $f_{yx}$ 在某區域內皆存在且連續，則下列何者正確？

A. $f_{xy}=-f_{yx}$

B. $f_{xy}=f_{yx}$

C. $f_{xy}=0$

D. $f_{xy}$ 一定不存在

**答案：B**

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## 8. 混合偏導

若 $f(x,y)=xe^{xy}+y\cos x$，則 $f_{xy}(0,1)=$

A. $-1$

B. $0$

C. $1$

D. $2$

**答案：B**

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## 9. 三變數偏導

若
$$
f(x,y,z)=e^{xz}\ln(y+z),
$$
則 $f_z(1,1,1)=$

A. $e\ln 2$

B. $\dfrac e2$

C. $e\left(\ln 2+\dfrac12\right)$

D. $e\left(\ln 2+1\right)$

**答案：C**

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## 10. 隱函數偏微分應用題

已知
$$
x^2+y^2+z^2+xyz=4,
$$
其中 $z$ 為 $x,y$ 的函數。則
$$
\frac{\partial z}{\partial x}
$$
為何？

A. $-\dfrac{2x+yz}{2z+xy}$

B. $-\dfrac{2x+xy}{2z+yz}$

C. $\dfrac{2x+yz}{2z+xy}$

D. $-\dfrac{2z+xy}{2x+yz}$

**答案：A**

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# 這樣升難度，會比上一版更好的地方

這版不是單純把計算變長，而是把難度提高在這幾個地方：

1. **多一步推理**
   不是只問「公式是什麼」，而是要先判斷對哪個變數微分，再做運算。

2. **偏導函數與點值分開考**
   很多學生會把 $f_x(x,y)$ 和 $f_x(1,2)$ 混在一起，這類題很有鑑別力。

3. **鏈鎖律和混合偏導變多**
   這比純粹基本偏導更能分出程度。

4. **後測保留 1 題真正的整合應用**
   這樣後測還是比較能看出學後能力，但不會整份卷子都超難。

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