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利率模型公式與變數說明

本文件整理了債券模擬系統中使用的四種利率模型的隨機微分方程 (SDE) 及其變數定義。

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1. Vasicek 模型

此模型用於模擬**債券風險利率 (drf)**，其特點是利率會朝一個長期平均值回歸。

• 公式:

  dr_t = k(θ - r_t)dt + σdW_t
  

• 變數說明:

  • r_t: 時間 t 的瞬時利率。
  • k (kappa): 均值回歸速度，代表利率回復到長期均值的速度。
  • θ (theta): 長期平均利率或均衡水平。
  • σ (sigma): 波動率，代表利率隨機波動的幅度。
  • dW_t: 維納過程或布朗運動，代表隨機衝擊。

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2. Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 模型

此模型用於模擬 dr_cir，是 Vasicek 模型的延伸，透過引入 √r_t 項來確保利率恆為正值（在 2kθ > σ² 的條件下）。

• 公式:

  dr_t = k(θ - r_t)dt + σ√r_t dW_t
  

• 變數說明:

  • r_t: 時間 t 的瞬時利率。
  • k (kappa_cir): 均值回歸速度。
  • θ (theta_cir): 長期平均利率。
  • σ (sigma_cir): 波動率。
  • dW_t: 維納過程。

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3. 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion, GBM)

此模型常用於模擬股價，在此系統中作為一個簡化的綜合利率 (dr) 模型。其離散化形式為 r_t = r_{t-1} * exp((μ - 0.5σ²)Δt + σ√Δt W_t)。

• 公式 (SDE):

  dr_t = μr_t dt + σr_t dW_t
  

• 變數說明:

  • r_t: 時間 t 的瞬時利率。
  • μ (mu_r): 長期漂移趨勢或預期回報率。
  • σ (sigma_r): 年化波動率。
  • dW_t: 維納過程。

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4. 有風險利率 (Risky Rate) 模型

此模型在一個已模擬的債券風險利率 (drf) 基礎上，加上一個隨機變動的**信用利差 (spread)，形成有風險利率 (drs)**。

• 公式:

  drs_t = drf_t + spread_t
  

  其中，信用利差的變動 d(spread_t) 遵循以下隨機過程：

  d(spread_t) = σ_s dW_s
  

  而利差的隨機衝擊 dW_s 與債券風險利率的隨機衝擊 dW_f 相關：

  dW_s = ρ * dW_f + √(1 - ρ²) * dZ_t
  

• 變數說明:

  • drs_t: 有風險利率。
  • drf_t: 債券風險利率 (來自 Vasicek 模型)。
  • spread_t: 信用利差。
  • σ_s (sigma_spread): 信用利差的波動率。
  • ρ (correlation): drf 與 spread 變動之間的相關係數。
  • dW_s, dW_f: 分別為利差和債券風險利率的維納過程。
  • dZ_t: 一個與 dW_f 獨立的標準維納過程。