conversations listlengths 2 2 |
|---|
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) για τις οποίες ορίζεται η παράσταση:\n$$Α=\\ln{x}+\\ln{(x+6)}$$\nβ) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$\\ln{x}+\\ln{(x+6)}=\\ln{7}$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η παράσταση \\(Α\\) ορίζεται για τις τιμές του... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία \\(θ\\) ώστε \\(ημθ=\\dfrac{1}{2}\\) και \\(συνθ=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Έστω \\(θ\\) μια γωνία με \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2}, 2π)\\) για την οποία ισχύει \\(συνθ=\\dfrac{1}{2}\\). Να βρείτε το \\(ημθ\\)."
},
{
"from": "assistant",
... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=2συν^{2}(π-x)-3ημ(\\dfrac{π}{2}+x)+α\\), με \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(f(x)=2συν^{2}x-3συνx+α\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \\(f\\) είναι άρτια ή περιττή.\nγ) Να βρείτε το \\(α\\) αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=e^{\\ln{2}}+10^{2\\log{\\sqrt{5}}}$$\nΝα αποδείξετε ότι:\nα) \\(Α=7\\).\nβ) \\(0<\\log{Α}<1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$ Α=e^{\\ln{2}}+10^{2\\log{\\sqrt{5}}} $$\n$$ =e^{\\ln{2}}+10^{\\log{(\\sqrt{5})^{2}}} $$\n$$... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x∈ℝ\\) ορίζεται η εξίσωση:\n\\(\\log(x+1)=−\\log2−\\log(1−x)(1).\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(\\log(x+1)=\\log\\Big( \\dfrac{1}{2}\\Big)−\\log(1−x).\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να ορίζεται η εξίσωση (1) π... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ότι \\(ημ18^{0}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{4}\\). Να βρείτε τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αιτιολογώντας την απάντησή σας.\nα) \\(συν72^{0}\\)\nβ) \\(συν108^{0}\\)\nγ) \\(ημ162^{0}\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "Αναγωγή στο \\(1^0\\) τεταρτ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ότι \\(ημθ=\\dfrac{ημ\\dfrac{2π}{3}-συν\\dfrac{π}{3}}{συν^{2}\\dfrac{π}{4}}\\).\nα) Να δείξετε ότι:\n\\(ημ\\dfrac{2π}{3}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(ημθ=\\sqrt{3}-1\\)\nβ) Αν για την γωνία \\(θ\\) έχουμε \\(θ∈(0,\\dfrac{π}{2})\\), να βρείτε το \\(συνθ\\)."
},
{... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται τα πολυώνυμα:\n$$P(x)=-2x^3+4x^2+2(x^3-1)+9$$\nκαι\n$$Q(x)=αx^2+7,\\ α\\in \\Bbb{R}.$$\nα) Είναι το πολυώνυμο \\(P(x)\\) \\(3^\\text{ου}\\) βαθμού; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να βρείτε την τιμή του \\(α\\), ώστε τα πολυώνυμα \\(P(x)\\) και \\(Q(x)\\) να είνα... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\log x\\), \\(x>0\\).\nα) Να υπολογίσετε τους αριθμούς \\(f(100)\\), \\(f(\\sqrt{10})\\)\nβ) Για \\(x>1\\), να επιλύσετε την εξίσωση \\(f(x+1)+f(x-1)=\\log10-\\log5\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) \\(f(100)=\\log100=2\\),... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^3+x^2-3x+1\\)\nα) Να αποδείξετε ότι το \\(1\\) και το \\(-1\\) δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.\nβ) Να κάνετε τη διαίρεση του \\(P(x): (x^2+x-1)\\) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είνα... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το γραμμικό σύστημα:\n\\begin{cases} 3x+2y=8 \\\\\n2x-y=3\\end{cases}\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί το ζεύγος \\((0,\\ 4)\\) δεν αποτελεί λύση του παραπάνω συστήματος.\nβ) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα.\nγ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών \\((ε_1):... |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) ισχύει \\(συνΑ = -\\dfrac{3}{5}.\\)\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. \nβ) Να βρείτε το \\(ημΑ.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ο αριθμός \\(Α\\) περιέχεται στο διάστημα \\((0,\\ π)\\) και επειδή ισχύει \\(συνΑ\\l... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται γωνία \\(ω\\), με \\(π<ω<\\dfrac{3π}{2}\\), για την οποία ισχύει \\(συνω=-\\dfrac{4}{5}\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(ημω=-\\dfrac{3}{5}\\).\nβ) Να υπολογίστε την τιμή της παράστασης \\(Α=\\dfrac{ημω+συνω}{1+εφω}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Α... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=\\ln{2}\\) και \\(β=\\ln{3}\\).\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί \\(0<α<β\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(β-α<1\\).\nΔίνεται \\(e≃2.71\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι\n$$1<2<3$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{1}<\\ln{2}<\\ln{3}$$\n$$\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=3συν2x,\\ x\\in \\Bbb{R}.\\)\nα)\nΝα βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \\(f.\\)\nΝα βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \\(f.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=−3\\) στο \\(\\Bbb{R}.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"val... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\), με \\(𝜅\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(𝜅\\in \\Bbb{R}\\) για την οποία \\(𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)\\), για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}.\\)\nβ) Για \\(𝜅=0\\),\nνα δείξετε ότι η συνάρτηση \\(𝑓\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\(log(x^2+1)=1+log3-log6.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γράφεται \\(log(x^2+1)=log5.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε:\n\\begin{align} 1+log3-log6 & =log10+log3-log6 ... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(\\ln{(x+1)}=\\ln{(2x)}\\).\nβ)Να λύσετε την ανίσωση: \\(\\ln{(x+1)}>\\ln{(2x)}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)Γνωρίζουμε ότι για \\(α>0\\), \\(α≠1\\) και \\(x_{1},x_{2}>0\\) ισχύει η ισοδυναμία:\n$$\\log_{α}{x_{1}}=\\log_{... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2(x-1)^{20}-3(x-1)^{10}+5x^2-3x-2.\\)\nα) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο \\(P(x)\\) έχει παράγοντα το \\(x-1\\).\nβ) i. Να υπολογίσετε την τιμή \\(P(0)\\).\nii. Είναι το \\(x\\) παράγοντας του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=2συν(\\dfrac{π}{2}-θ)+ημ(-θ)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Α=ημθ\\).\nβ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Α\\), όταν \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2},2π)\\) και \\(συνθ=\\dfrac{12}{13}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι γνωστό ότι \... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4\\).\nα) Να αποδείξετε ότι έχει παράγοντα το \\((x-2)\\).\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(P(x)=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το πολυώνυμο έχει παράγοντα το \\((x-2)\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Θεωρούμε τη συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\sqrt{2}\\cdot 𝜎𝜐𝜈𝑥,\\ 𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nα)\ni. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης.\nii. Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμής της.\nβ) Να υπολογίσετε τον αριθμό \\(𝑓(2025𝜋).\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Κα... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln(e^x-1).\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση: \\(f(x)=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$... |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε έναν κύκλο ακτίνας \\(ρ\\) θεωρούμε ένα τόξο \\(AB\\) με μήκος ίσο με \\(2ρ\\).\nα) Να βρείτε πόσα ακτίνια είναι η αντίστοιχη στο τόξο \\(ΑΒ\\), επίκεντρη γωνία \\(ω\\).\nβ) Αν \\(ω=2\\) ακτίνια, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία \\(ω\\)."
},
{
"from": "assistant... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}+1}{x}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.\nβ) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το \\(Ο(0,0)\\).\nγ) Να υπολογίσετε την παράσταση \\(f(\\ln{2})+f(\\ln{\\dfrac{1}{2}})\\).\nδ) Να αποδείξετε ότι \\(f(... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=ημ\\left(\\dfrac{π}{2}-x\\right)+ημ(π+x),x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(f(x)=συνx-ημx\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(-2\\le f(x)\\le 2\\). Κατόπιν να εξετάσετε αν ο αριθμός \\(2\\) είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.\nγ) Να βρείτε:\n... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=2\\log{5}+2\\log{2}$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(Α=2\\).\nβ) Να βρεθεί η τιμή του \\(λ\\) για την οποία ισχύει ότι: \\(e^{λ}=Α\\).\nγ) Για την τιμή του \\(λ\\) που βρήκατε στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι: \\(\\ln{λ}<0\\)."
},
{
"from": "assis... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=ln2,\\ β=ln4,\\ γ=ln8.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(2β=α+γ.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(β+γ=5α.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι\n\\begin{align} α+γ & =ln2+ln8 \\\\\n& = ln(2\\cdot 8) \\\\\n& = ln16 \\\\\n& = ln4^2 \\\\\n& = 2... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να γράψετε το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^3+x^2−x\\) ως γινόμενο ενός πρωτοβάθμιου και ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου.\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(P(x)=0.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Στο πολυώνυμο μπορούμε να εξάγουμε κοινό παράγοντα το \\(x\\) και έχουμε... |
[
{
"from": "human",
"value": "Η διαίρεση ενός πολυωνύμου \\(P(x)\\) με το \\(x-3\\) έχει πηλίκο \\(x^2+2\\) και υπόλοιπο \\(4.\\)\nα) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης.\nβ) Να δείξετε ότι \\(P(x)=x^3-3x^2+2x-2.\\)\nγ) Είναι το \\(x=3\\) ρίζα του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^{3}-8x^{2}+7x-1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nβ) Έστω \\(Q(x)\\) πολυώνυμο το οποίο δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\ni.Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο \\(R_{1}(x)=P(x)+Q(x)\\) δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nii.... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=2ημx+1\\), \\(x∈\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \\(f\\).\nβ)Για ποια τιμή του \\(x∈[0,2π]\\) η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Γνωρίζουμε ότι μια... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\log (10^𝑥 − 1)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα \\((0,+∞)\\).\nβ) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\).\nγ) Να αποδείξετε ό... |
[
{
"from": "human",
"value": "Ο Κώστας καταθέτει σε μια τράπεζα \\(15\\) χαρτονομίσματα των \\(20\\) € και \\(50\\) €. Συμβολίζουμε με \\(x\\) και \\(y\\) το πλήθος των χαρτονομισμάτων των \\(20\\) € και \\(50\\) € αντίστοιχα.\nα)\ni.Δίνονται οι εξισώσεις:\n\\(y=15 - x\\)\n\\(y-x=15\\)\nΝα επιλέξετε ποια από... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\ln(𝑥^2−2𝑥+3)\\), με \\(𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να βρείτε το \\(𝑓(3).\\)\nβ) Να δείξετε ότι \\(\\ln 3+3\\ln2−𝑓(3)=\\ln 4.\\)\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(𝑓(𝑥)=\\ln4.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι \\(𝑓(3)=\\ln(... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι ευθείες: \\(ε_{1}:\\ 2x+y=6\\) και \\(ε_{2}:\\ x-2y=-2\\).\nα) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο \\(M\\).\nβ) Να δείξετε ότι η ευθεία \\(ε_{3}:\\ 3x+y=8\\) διέρχεται από το \\(M\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να προσδιορίσ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\log_4 3+\\log_4α-\\log_4β\\), όπου \\(α, β\\) θετικοί αριθμοί.\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Α=\\log_4 \\dfrac{3α}{β}\\)\nβ) Αν για τους αριθμούς \\(α, β\\) ισχύει \\(3α=16β\\), να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Α.\\)"
},
{
"from": "assistant",
... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}-4x+5\\), \\(x∈\\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι η \\(f\\) γράφεται στη μορφή \\(f(x)=(x-2)^2+1\\).\nβ) Να αναφέρετε με ποιες μετατοπίσεις της \\(y(x)=x^{2}\\) προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\), την οποία και να χαράξετε στο... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=\\ln{(}x^{2}+4)\\) και \\(g(x)=\\ln{x}+\\ln{4}\\).\nα) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=g(x)\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύει \\(x^{2}+4>0\\) για ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=x^4-x^3-5x^2+7x-2.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \\(1\\) είναι ρίζα του πολυωνύμου.\nβ) Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο έχει και άλλη ακέραια ρίζα."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Επειδή\n\\begin{align} P(1) & =1^4-1^3-5\\cdot 1... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίδεται το πολυώνυμο \\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\\).\nα) Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Ποιο είναι το πηλίκο \\(π(x)\\) και το υπόλοιπο \\(υ(x)\\) που προκύπτει από την διαίρεση \\(P(x):(x-2)\\);"
},
{
"from": "assist... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln (e^x-1).\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι κάτω από τον \\(x'x\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})\\), \\(x∈R\\).\nα) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης \\(f\\).\nγ) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(xx'\\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Νεύτωνα, η θερμοκρασία \\(θ\\), σε βαθμούς Κελσίου, ενός αντικειμένου μειώνεται με την πάροδο του χρόνου \\(t\\), σε λεπτά, σύμφωνα με τη συνάρτηση \\(θ(t)=T+(θ_{0}-Τ)e^{kt}\\), όπου \\(k\\) μια σταθερά με \\(k\\lt 0\\), \\(θ_{0}\\) η αρχική ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=2𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)−2𝜂𝜇\\left(\\dfrac{𝜋}{2}−𝑥\\right).\\)\nα) Να δείξετε ότι \\(𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)=−𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nβ) Να δείξετε ότι \\(𝑓(𝑥)=−4𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(𝑓(𝑥)=−2.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται μία συνάρτηση \\(f\\) για την οποία ισχύει ότι \\(f(-1)=2\\) και \\(f(1)=0\\). Να αιτιολογήσετε (αλγεβρικά ή γραφικά):\nα) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι άρτια,\nβ) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι περιττή,\nγ) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι γνησίως αύξουσα... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να αποδείξετε οτι \\(εφ500^0=εφ140^0\\).\nβ)\nΝα βρείτε το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \\(εφ500^0\\)\nΝα βρείτε το πρόσημο της παράστασης \\(Α=εφ500^0\\cdot ημ250^0\\cdot συν300^0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι γνωστό οτι \\(εφ(κ\\cd... |
[
{
"from": "human",
"value": "Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε επόμενη σειρά έχει τέσσερα καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η έβδομη σειρά έχει \\(36\\) καθίσματα.\nα) Αποτελούν τα καθίσματα κάθε σειράς του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Αιτιολογήσετε τον συλλογισμό ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση: \\(Α=|3x-6|+2\\), όπου ο \\(x\\) είναι πραγματικός αριθμός.\nα) Να αποδείξετε ότι:\nγια κάθε \\(x\\ge 2\\), \\(Α=3x-4\\).\nγια κάθε \\(x<2\\), \\(Α=8-3x\\)\nβ) Αν για τον \\(x\\) ισχύει ότι \\(x\\ge 2\\) να αποδείξετε ότι:\n$$\\dfrac{9x^{2}-16}{|3x-6|+2}=3x... |
[
{
"from": "human",
"value": "Ένα κλειστό στάδιο έχει \\(25\\) σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει \\(12\\) καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη.\nα) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.\nβ) Να υπολογίσετε τη χωρητι... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}+2x-15\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να υπολογίσετε το άθροισμα: \\(f(-5)+f(0)+f(3)\\).\nβ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n$$f(-5)... |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν για τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει \\(|2x|<2\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(-1 < x < 1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x\\in (-1,1)\\), ισχύει \\(x^{2}<1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|2x|<2 \\Rightarrow 2|x|<2$$... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\sqrt{x^{2}+4}-\\sqrt{x-4}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \\(x\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Αν \\(x=4\\), να αποδείξετε ότι \\(A^{2}-A=... |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε μια αριθμητική πρόοδο \\((α_{ν})\\), ο \\(3^{ος}\\) όρος είναι \\(α_{3}=8\\) και ο \\(8^{ος}\\) όρος είναι \\(α_{8}=23\\).\nα) Να βρείτε τον \\(1^ο\\) όρο \\(α_{1}\\) και τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου.\nΑν \\(α_{1}=2\\) και \\(ω=3\\),\nβ) Να υπολογίσετε τον \\(31^ο\\) όρο ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) με \\(α > 0\\) και \\(β > 0\\). Να δείξετε ότι:\nα) \\(α+\\dfrac{4}{α}\\ge 4\\).\nβ) \\(\\left(α+\\dfrac{4}{α}\\right)\\left(β+\\dfrac{4}{β}\\right)\\ge 16\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=|3x-12|-|2x-8|-3|x^2-16|\\).\nΑν \\(|x|\\leq4\\), τότε:\nα) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης \\(f\\) χωρίς τις απόλυτες τιμές.\nβ) Αν \\(f(x)=3x^2-x-44\\).i. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τους άξονες.\ni... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να δείξετε ότι: \\(3\\lt \\sqrt[3]{30} \\lt 4\\)\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς \\(\\sqrt[3]{30}\\) και \\(6-\\sqrt{30}\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:\n$$3 \\lt \\sqrt{30} \\lt 4$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{3^{... |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι αριθμοί \\(x+6,\\ 5x+2,\\ 11x-6\\) είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_{1}\\) και διαφορά \\(ω\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\) και να αποδείξετε ότι \\(ω=4.\\)\nβ) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_{1}=0\\), να... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν}),\\ ν\\in \\mathbb{N}^*\\) της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι είναι:\n$$α_{1}=x$$\n$$α_{2}=2x^{2}-3x-4$$\n$$α_{3}=x^{2}-2$$\nμε \\(x\\) ακέραιο.\nα) Να αποδείξετε ότι \\(x=3\\).\nβ) Να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου και να αποδείξετε ότ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι πλευρές \\(x_1, x_2\\) ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης\n$$x^2-4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)x+16=0$$\nόπου \\(λ > 0\\).\nα) Να βρείτε: i. την περίμετρο \\(Π\\) του ορθογωνίου συναρτήσει του \\(λ\\).\n ii. το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου.\nβ) Να απο... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η ανίσωση \\(|2x-5|<3\\).\nα) Να λύσετε την ανίσωση.\nβ) αν ο αριθμός \\(α\\) είναι μια λύση της ανίσωσης να βρείτε το πρόσημο του γινομένου:\n$$A=(α-1)(α-5)$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$|2x-5|<3 $$\n$$\\Leftrightarrow -3<2x-5<3 $$\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Θεωρούμε το τριώνυμο \\(f(x)=x^2-x-3\\).\nα) Να βρείτε τις ρίζες του \\(f(x)\\).\nβ) Να επιλύσετε την ανίσωση \\(-2\\cdot f(x) < 0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι\n\\begin{align}Δ&=(-1)^2-4\\cdot 1\\cdot (-3)\\\\\n&=1+12\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η ακολουθία \\((α_ν)\\) με γενικό τύπο \\(α_ν=10+3ν\\).\nα) i. Να δείξετε ότι η ακολουθία \\((α_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος.\nii. Nα βρείτε τον πρώτο όρο της \\(α_1\\) και τη διαφορά \\(ω\\) της παραπάνω αριθμητικής προόδου.\nβ) Να βρείτε ποιοι όροι της \\((α_ν)\\) βρ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι παραστάσεις \\(Α=|2x-4|\\) και \\(B=|x-3|\\), με \\(x\\) πραγματικό αριθμό.\nα) Να αποδείξετε ότι αν \\(2\\le x<3\\), τότε \\(Α+Β=x-1\\).\nβ) Υπάρχει \\(x\\in [2,3)\\) ώστε να ισχύει \\(Α+Β=2\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",... |
[
{
"from": "human",
"value": "Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στη θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της \\(1^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(3\\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.), στο τέλος της \\(2^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(6\\) τ.μ, στο τέλος της \\(3^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτε... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι ευθείες \\(ε_1:\\ y=(3α+4)x-4\\) και \\(ε_2:\\ y=(3-4α)x+4,\\ α\\in \\Bbb{R}\\).\nα) Αν \\(α=1\\), να βρείτε:\ni. Τις εξισώσεις των ευθειών.\nii. Το είδος της γωνίας που σχηματίζει καθεμιά από τις ευθείες με τον άξονα \\(x'x.\\)\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(α... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λυθεί η ανίσωση \\(|y – 3| < 1\\).\nβ) Αν \\(x\\), \\(y\\) είναι μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με \\(1 < x < 3\\) και \\(2 < y < 4\\) τότε να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται η τιμή του εμβαδού \\(Ε\\) του ορθογωνίου."
},
{
"from": "assist... |
[
{
"from": "human",
"value": "Η θερμοκρασία \\(Τ\\) σε βαθμούς Κελσίου (\\(^0\\ C\\)), σε βάθος \\(x\\) χιλιομέτρων κάτω από την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση:\n$$T=15+25\\cdot x\\ \\ \\text{, όταν}\\ \\ 0\\le x\\le 200$$\nα) Να βρείτε τη θερμοκρασία ενός σημείου, το οποίο βρίσκετα... |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε αριθμητική πρόοδο \\((α_ν)\\) είναι \\(α_{1}=2\\) και \\(α_{5}=14\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι ίση με \\(3\\).\nβ) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου \\((α_ν)\\) πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να εί... |
[
{
"from": "human",
"value": "Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου (Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι μετατροπές της θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφονται από τις προτάσεις \\(Π1\\) και \\(Π2\\):\n\\(Π1\\): Για ν... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=(x-1)^2, x\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(f(\\sqrt{3})+f(-\\sqrt{3})=8\\).\nβ) Να βρείτε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της \\(f\\), με συντεταγμένες ακέραιους αριθμούς, τα οποία βρίσκονται κάτω από την ευθεία \\(y=4\\).\nγ) Έστω \... |
[
{
"from": "human",
"value": "Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς \\(3, 7, 11, 15,...\\) και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το \\(4\\). Σταματάει όταν έχει γράψει τους \\(40\\) πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.\nα) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολο... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(f(x)=-x^{2}+2x+3\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου:\n$$f(2,999)\\cdot f(-1,002)$$\nγ) Α... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν μια επιχείρηση που γεμίζει τόνερ (toner) για φωτοτυπικά μηχανήματα.\nΤα πάγια μηνιαία έξοδα της εταιρείας ανέρχονται στο ποσό των \\(6500\\) ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, μισθούς, φόρους, κ.α.).\nΤο κόστος γεμίσματος ενός τόνερ ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν \\(α\\), \\(β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:\n$$α+β=2\\ \\ \\text{και}\\ \\ α^{2}β+αβ^{2}=−30$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(α\\cdot β=−15\\).\nβ) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(α\\), \\(β\\) και να τους βρείτε."
},
{
... |
[
{
"from": "human",
"value": "Έστω \\(α,β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: \\(0<α<β.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\dfrac{3}{β} \\lt \\dfrac{3}{α}\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(α^3+\\dfrac{3}{β}<β^3+\\dfrac{3}{α}.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Με \\(0<α<β\\) έχουμε \\(\\d... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-1}.$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, \\(A\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(f(x)=x^2-6x+8,\\ x\\in A\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) δεν είναι πάνω από την ευθεία \\(y=3\\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί: \\(A=\\dfrac{1}{5+\\sqrt{5}}\\), \\(B=\\dfrac{1}{5−\\sqrt{5}}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni) \\(A+B=\\dfrac{1}{2}\\)\ni) \\(A\\cdot B=\\dfrac{1}{20}\\)\nβ) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(Α\\) και \\(Β\\)."
},
{
"f... |
[
{
"from": "human",
"value": "Έστω μία αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με διαφορά \\(ω=3\\). Αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα \\(Δ=[2,8]\\) υπάρχουν ακριβώς \\(3\\) διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\),\nα) Να εξετάσετε αν ο αριθμός μηδέν είναι όρος της \\((α_{ν})\\).\nβ) Να βρείτε τους \... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \\(x\\) για τον οποίο ισχύει \\(|x-3| < 5\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(x\\in(-2,8)\\).\nβ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(|x-3| < 5\\).\nγ) Αν \\(A\\) το σύνολο που έχει στοιχεία τις ακέραιες τιμές του \\(x\\) που βρή... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(2x^2+3x-5\\).\nα) Να εξετάσετε αν το \\(1\\), είναι ρίζα του τριωνύμου\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Παρατηρούμε ότι: \\(2\\cdot 1^2 + 3\\cdot 1 -5=2+3-5=0\\), οπότε το \\(x_1=1\\) είναι ρίζα του ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με \\(f(x)=\\dfrac{x^2-4}{x-2}.\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(A\\) της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Ανήκει το σημείο \\(M(1,\\ 3)\\) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\);\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας \\((α_ν)\\) είναι\n$$α_1+α_2+\\dots+α_ν=S_ν=2ν^2 + 3ν,$$\nμε \\(ν\\in\\mathbb{N}\\) και \\(ν\\geq 1\\).\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι\n$$S_{ν-1} = 2ν^2-ν-1,\\ ν\\geq2.$$\nγ) Να αποδείξε... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x+\\dfrac{1}{x},\\ \\ x\\ne 0\\).\nα) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \\(A=f(\\dfrac{1}{2})+f(1)−f(2)\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=\\dfrac{5}{2}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύουν:\n$$f(\\dfrac{1}{2})=\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\((λ-1)x=λ^{2}-1\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R},\\ (1)\\)\nα) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές τιμές για το \\(λ\\), να γράψετε τρεις εξισώσεις.\nβ)\ni. Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), ώστε η \\((1)\\) να έχει μια και μοναδική λύση.\nii.... |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν οι αριθμοί \\(2α-1\\) και \\(β-1\\) είναι αντίστροφοι, με \\(α \\ne 1\\) και \\(β\\ne 1\\) να δείξετε ότι:\nα) \\(2α+β=2αβ\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(x=α-β\\) και \\(y=α(1-2β)+2β\\) είναι αντίθετοι."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Εφόσον οι αριθμοί \\(2α-1\\)... |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε ένα γυμναστήριο με \\(10\\) σειρές καθισμάτων, η πρώτη σειρά έχει \\(120\\) καθίσματα και κάθε σειρά έχει \\(20\\) καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της.\nα) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος των καθισμάτων της \\(ν\\)-οστής σειράς.\nβ) Πόσα καθίσματα έ... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να αποδείξετε ότι \\((2-\\sqrt{5})^{2}=9-4\\sqrt{5}\\) και να υπολογίσετε το ανάπτυγμα \\((2+\\sqrt{5})^{2}\\).\nβ) Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών \\(9-4\\sqrt{5}\\) και \\(9+4\\sqrt{5}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$(2-\\sq... |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(2x^2 - x - 6=0\\ \\ \\ \\ (1)\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση: \\(|x-1|<2\\ \\ \\ \\ (2)\\).\nγ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του \\(x\\) που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις \\((1)\\) και \\((2)\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α,\\ β\\) για τους οποίους ισχύει \\(2\\leq α\\leq 3\\) και \\(-2\\leq β\\leq -1\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(|α-3|=3-α\\) και \\(|β+2|=β+2\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(0\\leq α+β\\leq 2\\).\nγ) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης \\(|α+β|+|α-3|-|β+... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{2}-x-2=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό \\(-1\\).\nβ) Να βρείτε και τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\).\nγ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \\(Α=\\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}+x}\\), \\(x\\ne 0\\), \\(x\\ne -1\\)."
},... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\sqrt{x-2}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.\nβ) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \\(f\\) για όποιους από τους αριθμούς \\(-1,\\ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2},\\ 6\\) είναι αυτό δυνατό."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \\((α_ν)\\), για την οποία ισχύει \\(\\dfrac{α_{5}}{α_{2}}=27\\).\nα) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι \\(λ = 3.\\)\nβ) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι \\(200\\), να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\)."
},
{
... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(A=\\sqrt{(x-2)^{2}}\\) και \\(B=\\sqrt[3]{(2-x)^{3}}\\), όπου \\(x\\) πραγματικός αριθμός.\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(A\\) ;\nβ) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(B\\) ;\nγ) Να δείξετε ότι, για κάθε \\... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με θετικό λόγο \\(λ\\), για την οποία ισχύει: \\(α_{3}=1\\) και \\(α_{5}=4\\).\nα) Να βρείτε τον λόγο \\(λ\\) της προόδου και τον πρώτο όρο της.\nβ) Να δείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: \\(α_{ν}=2^{ν-3}\\)."
},
{
"fr... |
[
{
"from": "human",
"value": "Ο Θοδωρής γράφει διαδοχικά και επαναλαμβανόμενα τα γράμματα της λέξης «ΑΛΓΕΒΡΑ». Στην πρώτη θέση το \\(Α\\), στη δεύτερη το \\(Λ\\), κοκ. Έτσι, σχηματίζεται η διαδοχή γραμμάτων\n$$ΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑ\\dots$$\nα) Να αποδείξετε ότι οι θέσεις, στην διαδοχή, όπου συναντάμε ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μια ημέρα, η εταιρία \\(Α\\) χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο:\n$$y=60+0,20x$$\nΌπου \\(x\\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \\(km\\) και \\(y\\) το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.\nα) Τι ποσό θα πληρώσει ένας π... |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι αριθμοί \\(Α=1\\), \\(Β=x+4\\), \\(Γ=x+8\\), είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\).\nβ) Αν \\(x=1\\) και ο αριθμός \\(Α\\) είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\).\ni. να υπολ... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με όρους \\(α_{2}=0\\), \\(α_{4}=4\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(ω=2\\) και \\(α_{1}=-2\\), όπου \\(ω\\) είναι η διαφορά της προόδου και \\(α_{1}\\) ο πρώτος όρος της.\nβ) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστος όρος της προόδου είναι ίσος με \\(α_... |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\(λx=x+λ^{2}-1\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:\n$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)\\ \\ \\text{,}\\ \\ λ\\in \\mathbb{R}$$\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\) για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώ... |
End of preview. Expand in Data Studio
No dataset card yet
- Downloads last month
- 6