Split (1)

train · 465 rows

conversations listlengths 2 2
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f\$, με:\n$$f(x)=\\begin{cases} 2x-5, x \\le 3 \\\\ x^2, 3 < x < 10 \\end{cases}$$\nα) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \$f\$ σε μορφή διαστήματος.\nβ) Να υπολογίσετε τις τιμές \$f(-1)\$, \$f(-3)\$ και \$f(5)\$.\nγ) Διέρχεται η γραφικ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \$f(x)=\\begin{cases} 2x-1\\ \\text{,}\\ & x<0 \\\\ x^{2}+1\\ \\text{,}\\ & x\\ge 0 \\end{cases}\$\nα) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \$f(-1)\$ και \$f(1)\$.\nβ) Για \$x\\ge 0\$ να λύσετε την ανίσωση: \$f(x)\\ge 2\$." }, { "from": "ass...
[ { "from": "human", "value": "Για τους πραγματικούς αριθμούς \$α , β\\in \\mathbb{R}\$ ισχύει ότι: \$\|α-2\|<1\$ και \$\|β-3\|\\le 2\$.\nα) Να αποδείξετε ότι \$1<α<3\$.\nβ) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο \$β\$.\nγ) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της παράστασης \\(2α-...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ανισώσεις \$\|x-1\|< 2\$ και \$x^2-3x+2\\geq0\$.\nα) Να βρείτε τις λύσεις τους.\nβ) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για \$x\\in(-1,1]\\cup[2,3)\$.\nγ) i. Αν οι αριθμοί \$ρ_1\$ και \$ρ_2\$, με \$ρ_1< ρ_2\$, είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με \\(ρ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος (\$α_ν\$) με διαφορά \$ω\$.\nα) Να δείξετε ότι: \$\\dfrac{α_{15}-α_{9}}{α_{10}-α_{7}}=2\$.\nβ) Αν \$α_{15}-α_{9}=18\$, να βρείτε τη διαφορά \$ω\$ της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\dfrac{α_{15}-α_{9...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=\\dfrac{x^{2}-5\|x\|+6}{\|x\|-3}\$.\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \$Α\$ της \$f\$.\nβ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \$x\\in Α\$ ισχύει \$f(x)=\|x\|-2\$.\nγ) Για \$x\\in Α\$, να λύσετε την εξίσωση \$(f(x)+2)^{2}-4f(x)-5=0\$." }, { "fro...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \$f(x)=(x-1)^{2}-4\$ και \$g(x)=\|x-1\|+2\$ με \$x\\in \\mathbb{R}\$.\nα) Να βρείτε τις τιμές του \$x\$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης \$f\$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα \$x'x\$.\nβ) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του \$x\$ ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=\\frac{x^7-x}{x^3-x}\$.\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \$Α\$ της \$f\$.\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \$f\$ έχει κοινά σημεία με τους άξονες \$x'x\$ και \$y'y\$.\nγ) Να δείξετε ότι \$f(x)=x^4+x^2+1\$ για κάθε \$x\\in A\$.\...
[ { "from": "human", "value": "Σε μία αριθμητική πρόοδο (\$α_ν\$) δίνονται \$α_{1}=41\$ και \$α_{6}=26\$.\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \$ω\$ της προόδου είναι ίση με \$-3\$.\nβ) Να βρείτε το θετικό ακέραιο \$ν\$, ώστε \$α_{ν}=ν\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(\|α-1\|-3)x=α+2\\quad (1),$$\nμε παράμετρο \$α\\in\\mathbb{R}\$.\nα) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση για \$α=0\$ και \$α=5\$.\nβ) i. Να βρείτε για ποιες τιμές του \$α\$ ισχύει \$\|α-1\|=3\$.\nii. Να λύσετε την εξίσωση \$(1)\$ για τις τιμές του \\(α\\...
[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την ανίσωση \$3x-1\\lt x+9\$.\nβ) Να λύσετε την ανίσωση \$2-\\dfrac{x}{2}\\le x+\\dfrac{1}{2}\$.\nγ) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) και να τις γράψετε σε μορφήδιαστήματος." }, ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{2}−2βx+(β^{2}−4)\\ \\ \\ \\ (1)$$\nμε παράμετρο \$β\\in \\mathbb{R}\$.\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση \$(1)\$ έχει ρίζες τις: \$x_{1}=β−2\$ και \$x_{2}=β+2\$.\nβ) Αν \$x_{1}\$, \$x_{2}\$ είναι οι ρίζες της \$(1)\$, να εξετάσετε αν οι αριθμοί...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \$y=αx+β\$, η οποία έχει κλίση \$-2\$ και διέρχεται από το σημείο \$(1, 1).\$\nα) Να βρείτε τις τιμές των \$α\$ και \$β.\$\nβ) Να βρείτε το σημείο τομής της παραπάνω ευθείας με τον άξονα \$y'y.\$\nγ) Να χαράξετε σε σύστημα συντεταγμένων την παραπάνω ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \$f(x)=\\dfrac{x^{2}-1}{x-2}\$.\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \$f\$.\nβ)\ni. Να βρείτε τις τιμές του \$x\$ για τις οποίες ισχύει \$f(x)=0\$.\nii. Να βρείτε τις τιμές \$f(0)\$ και \$f(3)\$.\nγ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστα...
[ { "from": "human", "value": "α) Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \$x,y\$ ισχύει:\n$$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=x^{2}+y^{2}-2x+6y+10$$\n(Μονάδες12)\nβ) Να βρείτε τους αριθμούς \$x,\\ y\$, ώστε:\n$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+10=0$$\n(Μονάδες13)" }, { "from": "assistant", "value": "α) ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \$(α_{ν})\$ με λόγο \$λ\$ για την οποία ισχύουν:\n\$α_{3}=4,α_{5}=16\$ και \$λ>0\$.\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \$α_{1}\$ και τον λόγο \$λ\$ της προόδου.\nβ) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία \$(β_{ν})\$, με \$β_{ν}=\\dfrac{1}{α_{ν}}\$, \...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \$α\$ και \$β\$ για τους οποίους ισχύει:\n$$(α-1)(1-β)>0$$\nα) Να δείξετε ότι το \$1\$ είναι μεταξύ των \$α\$ και \$β\$.\n(Μονάδες13)\nβ) Αν επιπλέον \$\|β-α\|=4\$, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης\n$$Κ=\|α-1\|+\|1-β\|$$" }, { ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \$B=\\sqrt[5]{(x-2)^{5}}\$.\nα) Για ποιες τιμές του \$x\$ ορίζεται η παράσταση \$Β\$; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος.\nβ) Για \$x=4\$, να αποδείξετε ότι: \$B^{2}+6B=B^{4}\$."...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=\|x-1\|-\|x-2\|$$\nα) Για \$1 < x < 2\$, να δείξετε ότι: \$Α=2x-3\$.\nβ) Για \$x<1\$, να δείξετε ότι η παράσταση \$Α\$ έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του \$x\$), την οποία και να προσδιορίσετε." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ι...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \$f(x)=\\dfrac{x^{2}-2x-3}{x+1}\$ με \$x\\ne -1\$.\nα) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης και να δείξετε ότι \$f(x)=x-3\$ για κάθε \$x\\ne -1\$.\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης \$f\$ διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,-4)\\...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ορθογώνιο μήκους \$α\$, πλάτους \$β\$ και εμβαδού \$Ε\$. Οι αριθμοί \$α\$ ,\$Ε\$, \$β\$, με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.\nα) Να υπολογίσετε την τιμή του εμβαδού \$Ε\$.\nβ) Αν \$Ε=1\$ και \$α+β=10\$,\nνα κατασκ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη \$x\$ και \$y\$, για τα οποία ισχύουν:\n$$\|x-3\|\\le 2\\ \\ \\text{και}\\ \\ \|y-6\|\\le 4$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \$1\\le x\\le 5\$ και \$2\\le y\\le 10\$.\nβ) Να βρείτε την μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \$f(x)=\\begin{cases} x^{2}-1\\ \\text{,}\\ & x<0 \\\\ 2x+2\\ \\text{,}\\ & x\\ge 0 \\end{cases}\$.\nα) Να βρείτε τις τιμές \$f(3)\$ και \$f(-3)\$.\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \$x\\in \\mathbb{R}\$ για τις οποίες ισχύει: \$f(x)=8\$." }, { "...
[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τη συνάρτηση \$f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}\$ με τύπο \$f(x)=-x+\\sqrt{2},\\ x\\in\\mathbb{R}\$.\nα) Να υπολογίσετε τις τιμές \$f(0),\\ f(\\sqrt{2}),\\ f(-\\sqrt{2}),\\ [f(-\\sqrt{2})]^2\$.\nβ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ανίσωση\n$$\|x-1\|\\leq 3\\quad (1).$$\nα) Να λύσετε την ανίσωση \$(1)\$.\nβ) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης \$(1)\$.\nγ) Να βρείτε μία ανίσωση \$2^\\text{ου}\$ βαθμού που να έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με την \$(1)\$.\nδ) Να δείξετε ότι αν το ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$αx^2-2αx-2α-2=0,\\text{ με }α\\in\\mathbb{R}^\\quad (1).$$\nα) Να βρείτε τις τιμές του \$α\\in\\mathbb{R}^\$ για τις οποίες η εξίσωση \$(1)\$ έχει ρίζα το \$3\$.\nβ) Για \$α=2\$ να λύσετε την εξίσωση \$(1)\$." }, { "from": "assistant", ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \$y\$, για τους οποίους ισχύει: \$\|y-2\|<1\$.\nα) Να αποδείξετε ότι: \$y\\in (1,3)\$.\nβ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \$Κ=\\dfrac{\|y-1\|+\|y-3\|}{2}\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\|y-2\|<1 $$\n$$\\Leftrig...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f\$ με τύπο \$f(x)=\\dfrac{x^2-x}{x^2-3x+2}\$.\nα) i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού \$A\$ της συνάρτησης \$f\$.\n ii. Να δείξετε ότι \$f(x)=\\dfrac{x}{x-2}\$ για κάθε \$x\\in A\$.\nβ) Να εξετάσετε αν η ευθεία \$y=1\$ έχει κοινά σημεία με τη γραφι...
[ { "from": "human", "value": "Για κάθε πραγματικό αριθμό \$x\$ με την ιδιότητα \$5 < x < 10\$,\nα) να γράψετε τις παραστάσεις \$\|x-5\|\$ και \$\|x-10\|\$ χωρίς τις απόλυτες τιμές.\nβ) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$Α=\\dfrac{\|x-5\|}{x-5}+\\dfrac{\|x-10\|}{x-10}$$" }, { "from": "assistan...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου \$(α_ν)\$:\n$$\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2},\\ \\dfrac{81}{2},\\ \\dfrac{81\\sqrt{3}}{2}.$$\nα) Να αποδείξετε ότι:i. Οι παραπάνω όροι δεν μπορούν να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nii.\\(\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{...
[ { "from": "human", "value": "Ένα εργοστάσιο κατασκευής πολυτελών αυτοκινήτων κατασκευάζει ένα νέο μοντέλο. Τον πρώτο μήνα κατασκευάστηκαν \$5\$ τέτοια οχήματα. Στη συνέχεια όμως, κάθε μήνα κατασκευάζονταν \$13\$ νέα οχήματα.\nα) Πόσα αυτοκίνητα θα είναι κατασκευασμένα συνολικά στο τέλος κάθε μήνα στο δι...
[ { "from": "human", "value": "Ο \$1^{ος}\$ όρος μιας αριθμητικής προόδου \$(α_{ν})\$ ισούται με \$2\$ και ο \$3^{ος}\$ όρος ισούται με \$8\$.\nα) Να βρείτε τη διαφορά \$ω\$ της προόδου.\nβ) Αν είναι \$ω=3\$, να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με \$35\$." }, { "from": "assistan...
[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \$x\$ για τους οποίους ισχύει \$\|x-4\|<2\$.\nβ) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό \$x\$ του οποίου η απόσταση από το \$4\$ πάνω στο άξονα των πραγματικών είναι μικρότερη από \$2\$.\nΝα δείξετε ότι \$3x-4>0\$.\nΝα αποδείξετε ότι η από...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \$Κ=\|x+1\|+2\$, όπου \$x\\in \\mathbb{R}\$.\nα) Να δείξετε ότι \$Κ=\\begin{cases} x+3\\ \\text{,}\\ & \\text{αν}\\ x\\ge -1 \\\\ 1-x\\ \\text{,}\\ & \\text{αν}\\ x<-1 \\end{cases}\$.\nβ)\ni. Να λυθεί η εξίσωση \$\|x-2\|=4\$.\nii. Να βρείτε την τιμή της π...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=\\dfrac{x}{x^3-2x^2+x}\$.\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \$Α\$ της \$f\$.\nβ) Να αποδείξετε ότι \$f(x)=\\dfrac{1}{(x-1)^2}\$, για κάθε \$x\\in Α\$.\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \$f(x)=1\$.\nδ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \$x\$ η γραφική πα...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \$(λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0\$, \$(1)\$ με παράμετρο \$λ\\in \\mathbb{R}\$.\nα) Να βρείτε τις τιμές του \$λ\\in \\mathbb{R}\$, για τις οποίες η \$(1)\$ είναι εξίσωση \$2ου\$ βαθμού.\nβ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του \\(λ\\in \\mathbb{R}...
[ { "from": "human", "value": "α) Αν \$α,β\\in \\mathbb{R}-\\{0\\}\$, να δείξετε ότι:\n$$\\left\|\\dfrac{α}{β}\\right\|+\\left\|\\dfrac{β}{α}\\right\|\\ge 2\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Πότε ισχύει η ισότητα στην \$(1)\$; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f,\$ με\n$$f(x)=\\begin{cases} 8-x,\\ \\text{ αν } x\\lt 0 \\\\ 2x+5,\\ \\text{ αν } x\\ge 0 \\end{cases}$$\nα) Να δείξετε ότι \$f(-5)=f(4)\$.\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \$x\\in \\mathbb{R},\$ ώστε \$f(x)=9\$." }, { "from": "assistant", ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \$ΑΒΓ\$ (\$A=90^0\$) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη \$x\$ και \$y\$ τέτοια, ώστε \$x+y=10\$.\nα) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \$Ε\$ του ορθογωνίου τριγώνου ως συνάρτηση του \$x\$ δίνεται από τον τύπο \$Ε(x)=\\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\$...
[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε αριθμητική πρόοδο \$(α_ν),\\ ν\\in\\mathbb{N}^\$ με \$α_3=8\$ και \$α_{11}=32\$ και την αριθμητική πρόοδο \$(β_ν),\\ ν\\in\\mathbb{N}^\$ που περιέχει τους περιττούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του \$56\$.\nα) Να αποδείξετε ότι \$α_1=2\$ και \$ω=3\$.\n...
[ { "from": "human", "value": "Σε μια γραπτή εξέταση \$100\$ ερωτήσεων Σ-Λ (Σωστό - Λάθος) σε κάποιο Πανεπιστήμιο, κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με \$1\$ μονάδα και κάθε λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται με \$-\\frac{1}{3}\$ της μονάδας (για κάθε τριάδα λανθασμένων απαντήσεων αφαιρείται μια μονάδα)....
[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε, για ποιες τιμές του \$x\$, οι αριθμοί \$x+4\$, \$2-x\$, \$6-x\$ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.\nβ) Αν \$x=5\$ και ο \$6-x\$ είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, να βρείτε:\nτο λόγο \$λ\$ της γε...
[ { "from": "human", "value": "Αν είναι \$Α=2-\\sqrt{3}\$, \$Β=2+\\sqrt{3}\$, τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \$A\\cdot B=1\$.\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \$Π=Α^{2}+Β^{2}\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align} A\\cdot B & =(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})\...
[ { "from": "human", "value": "α)\nΝα βρείτε για ποιες τιμές του \$x\\in \\mathbb{R}\$, ορίζεται η παράσταση: \$Α=\\dfrac{x}{x-\|x\|}\$.\nΓια τις τιμές του \$x\$ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση \$Α\$, να δείξετε ότι \$Α=\\dfrac{1}{2}\$.\nβ) Για \$x<0\$, να λύσετε την εξίσωση: \\(\\dfrac{x^{3}}{x...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \$αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\$, με παράμετρο \$α\\ne 0\$.\nα) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: \$Δ=(α^{2}+1)^{2}\$.\nβ) Να βρείτε τις ρίζες \$ρ_{1}\$ και \$ρ_{2}\$ της εξίσωσης, ως συνάρτηση του \$α\$.\nΑν οι ρίζες της εξίσωσης είναι...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=αx+β\$, όπου \$α,β\$ πραγματικοί αριθμοί.\nα) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης \$f\$ διέρχεται από τα σημεία \$Α(1,6)\$, \$Β(-1,4)\$, να βρείτε τις τιμές των \$α\$, \$β\$.\nβ) Αν \$α=1\$ και \$β=5\$, να προσδιορίσετε τα σημεία τ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$A=(\\sqrt{x-4}+\\sqrt{x+1})\\cdot (\\sqrt{x-4}-\\sqrt{x+1})$$\nα) Για ποιες τιμές του \$x\$ ορίζεται η παράσταση \$Α\$; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση \$Α\$ είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \$x\$." }, ...
[ { "from": "human", "value": "Οι αριθμοί \$κ-2\$, \$2κ\$ και \$7κ+4\$, \$κ\\in Ν\$ είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου \$(α_{ν})\$.\nα) Να αποδείξετε ότι \$κ=4\$ και να βρείτε το λόγο \$λ\$ της προόδου.\nβ)\nΝα εκφράσετε τον \$2^ο\$ όρο, τον \$5^ο\$ και...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=\\dfrac{1}{x^2+1}\$ και η ευθεία \$y=α,α\\in\\mathbb{R}\$.\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση \$C_f\$ της \$f\$ είναι πάνω από τον άξονα \$x'x\$.\nβ) Να αποδείξετε ότι αν \$0 < α < 1\$, τότε η \$C_f\$ έχει με την ευθεία δυο κο...
[ { "from": "human", "value": "Ένα ελικόπτερο απογειώνεται από το ελικοδρόμιο και το ύψος του \$Y_1(t)\$, σε μέτρα, από την επιφάνεια της θάλασσας τα πρώτα \$5\$ λεπτά της κίνησής του δίνεται από τη συνάρτηση:\n$$Y_1(t)=150+50t, \\ \\ \\ t\\in[0,5]$$\nΤα επόμενα πέντε λεπτά κινείται σε σταθερό ύψος και στ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \$x^{2}-1=0\$.\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \$x\\in \\mathbb{R}\$ ισχύει: \$\|x\|+x=0\$.\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \$x\\in \\mathbb{R}\$ ισχύει: \$\|x\|+\|x^{2}-1\|+x=0\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=\\dfrac{x+2}{\\sqrt{9-x^{2}}}\$.\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \$f\$.\nβ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \$f\$ με τους άξονες.\nγ) Αν \$Α\$ και \$Β\$ είναι τα σημεία τομής της γραφικής παρά...
[ { "from": "human", "value": "α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \$x^{2}-5x+6\$\nβ) Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}$$\nΝα βρείτε τι πεδίο ορισμού \$Α\$ της συνάρτησης.\nΝα αποδείξετε ότι για κάθε \$x\\in A\$ ισχύει\n$$f(x)=\\dfrac{1}{x-3}$$" }, { "from": "assistant", ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση: \$x^{2}-2x+λ=0\$, με παράμετρο \$λ<1\$.\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες \$x_{1}\$, \$x_{2}\$ διαφορετικές μεταξύ τους.\nβ) Να δείξετε ότι: \$x_{1}+x_{2}=2\$.\nγ) Αν για τις ρίζες \$x_{1}\$, \$x_{2}\$ ισχύει επιπλέον \\(\|x_{1}-2\|...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=\\dfrac{9-x^2}{3-\|x\|}\$.\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \$x\$ ορίζεται η συνάρτηση \$f\$.\nβ) Για τις τιμές του \$x\$ που ορίζεται η συνάρτηση \$f\$ να δείξετε ότι \$f(x)=3+\|x\|\$.\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης \\...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο \$-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+\\sqrt{3}\$.\nα) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι :\n$$Δ=(\\sqrt{3}+1)^{2}$$\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το αρχικό τριώνυμο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+...
[ { "from": "human", "value": "Θέμα 4\nΣε ένα γήπεδο καλαθοσφαίρισης, σε μία από τις κερκίδες του, η οποία διαθέτει \$40\$ σειρές καθισμάτων, στη 10η σειρά υπάρχουν \$50\$ καθίσματα. Μετά την πρώτη σειρά κάθε επόμενη διαθέτει \$2\$ καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά.\nα) Αν \$α_ν\$ το πλή...
[ { "from": "human", "value": "Η ευθεία \$(ε_1)\$ έχει εξίσωση \$y=-\\dfrac{1}{2}x-2\$ και μια ευθεία \$(ε_2)\$ διέρχεται από το σημείο Α (-4, 1) και είναι παράλληλη στην \$(ε_1)\$.\nα) Να γράψετε την κλίση της ευθείας \$(ε_1)\$ και το σημείο τομής της ευθείας αυτής με τον άξονα \$y'y\$.\n( \nβ) Ν...
[ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τις συναρτήσεις:\n$$f(x)=x^{2}+1$$\nκαι\n$$g(x)=x+α$$\nμε \$x\\in \\mathbb{R}\$ και \$α\\in \\mathbb{R}\$.\nα) Για \$α=1\$, να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \$f\$ και \$g\$.\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \$α\$, ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n\$x^{2}-x+λ-λ^{2}=0\$, με παράμετρο \$λ\\in \\mathbb{R}\\ \\ \\ \\ (1)\$\nα) Να βρείτε τη διακρίνουσα \$Δ\$ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε \$λ\\in \\mathbb{R}\$.\nβ) Για ποια τιμή του \$λ\$ η εξίσωση \...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \$x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\\ \\ \\ (1)\$ με παράμετρο \$λ\\in \\mathbb{R}\$.\nα) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του \$λ\\in \\mathbb{R}\$, η \$(1)\$ έχει δύο ρίζες άνισες.\nβ) Αν \$x_{1}\$ και \$x_{2}\$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης \$(1)\$, τό...
[ { "from": "human", "value": "Σε μία αριθμητική πρόοδο \$(α_{ν})\$ ισχύουν: \$α_{1}=2\$ και \$α_{25}=α_{12}+39\$.\nα) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \$ω=3\$.\nβ) Να βρείτε ποιός όρος της προόδου είναι ίσος με \$152\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α_{2...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο:\n$$2x^{2}+x-1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Αν \$x_{1}\$, \$x_{2}\$ είναι ρίζες του τριωνύμου \$(1)\$, να βρείτε την τιμή των παραστάσεων \$x_{1}+x_{2}\$, \$x_{1}x_{2}\$ και \$\\dfrac{1}{x_{1}}+\\dfrac{1}{x_{2}}\$.\nβ) Αν \$\\dfrac{1}{x_{1}}=-1\$ και \...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος \$(α_{ν})\$ για την οποία ισχύει ότι: \$α_{1}=19\$ και \$α_{10}-α_{6}=24\$.\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \$ω=6\$.\nβ) Να βρείτε τον \$α_{20}\$.\nγ) Να βρείτε το άθροισμα των \$20\$ πρώτων όρων της προόδου." }, { ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \$\|2x+4\|=10\$.\n(Μονάδες9)\nβ) Nα λύσετε την ανίσωση: \$\|x-5\|>1\$.\nγ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\n(Μονάδες7)" }, { "from": "assistant", ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση:\n$$f(x)=\\frac{(x+2)(x+1)^2}{1+(x+2)x}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.\nβ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση.\nγ) Αν είναι \$f(x)=x+2,\\ x\\neq -1\$, τότε: i. Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει η γραφική παράσ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την ανίσωση: \$\\ -\\dfrac{3-2x}{7}\\geq 5\$.\nβ) Να λύσετε την ανίσωση: \$\|-x-1\|\\leq 23\$.\nγ) Να βρείτε τις τιμές του \$x\$ για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις." }, { "from": "assistant", "value": "α) H δοθείσα ανίσωση γράφεται \\(...
[ { "from": "human", "value": "*α) Να λύσετε την εξίσωση \$\|2x-1\|=3\$.\nβ) Αν \$α,\\ β\$ με \$α<β\$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση \$αx^{2}+βx+3=0\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\|2x–1\|=3$$\n$$\\Leftrightarrow 2x–1=3 \\tex...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2-6x+λ=0\\quad(1)$$\nόπου \$λ\\in\\mathbb{R}\$.\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \$λ\$ εξίσωση \$(1)\$ έχει πραγματικές ρίζες.\nβ) Αν δύο πραγματικοί αριθμοί \$α\$ και \$β\$ έχουν σταθερό άθροισμα \$6\$ και γινόμενο \$α\\cdot β=λ\$, τότε:i. ...
[ { "from": "human", "value": "Έστω \$α,\\ β,\\ γ\$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν \$α+β+γ=0\$ και \$αβγ\\neq0\$.\nα) Να αποδείξετε ότι\n\$β+γ=-α\$.\n\$\\dfrac{α^2}{β+γ}=-α\$.\nβ) Με παρόμοιο τρόπο να απλοποιήσετε τα κλάσματα \$\\dfrac{β^2}{γ+α},\\ \\dfrac{γ^2}{α+β}\$ και να αποδείξε...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί:\n$$Α=\\dfrac{1}{3-\\sqrt{7}} \\text{ και }Β=\\dfrac{1}{3+\\sqrt{7}}$$\nα) Να δείξετε ότι:\n$$A+B=3 \\text{ και } A\\cdot B=\\dfrac{1}{2}$$\nβ) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \$Α,\\ Β\$." }, { "from": "assista...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \$f(x)=\\cases{2x+4,\\ x < 0 \\\\ x - 1,\\ x \\ge 0}\$\nα) Να δείξετε ότι: \$f(-1)=f(3)\$.\nβ) Να προσδιορίσετε τις τιμές του \$x\\in \\mathbb{R}\$, ώστε: \$f(x)=0\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$f(-1)=2\\cdot (-1)...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=3x^2+6αx+6β,\\ α,β\\in\\mathbb{R}.$$\nα) Να δείξετε ότι:\n$$f(α)+f(β)\\geq β^2-36.$$\nβ) Να βρείτε τις τιμές των \$α, β\\in\\mathbb{R}\$ για τις οποίες ισχύει\n$$f(α)+f(β)=β^2-36.$$\nγ) Αν \$α=2\$ και \$β=-6\$: i. Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=6...
[ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι \$x^{2}+4x+5>0\$, για κάθε πραγματικό αριθμό \$x\$.\nβ) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση:\n$$Β=\|x^{2}+4x+5\|-\|x^{2}+4x+4\|$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \$x^{2}+4x+5\$ έχει \$α=1\$, \$β=4\$, \\(γ=5\...
[ { "from": "human", "value": "Έστω \$α\$ ένας πραγματικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει \$α=\|3\\sqrt{2}-4\|+2\|\\sqrt{2}-2\|\$.\nα) Να αποδείξετε ότι \$α=\\sqrt{2}\$. (Θεωρήστε ότι \$\\sqrt{2}=1,41\$)\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι \$α^{3}=2α\$.\nγ) Να βρείτε την αριθμητική ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:\n$$Α=\\big(\\sqrt{2}\\big)^{6},\\ B=\\big(\\sqrt[3]{3}\\big)^{6},\\ Γ=\\big(\\sqrt[6]{6}\\big)^{6}$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \$A+Β+Γ=23\$\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: \$\\sqrt[3]{3}\$ και \$\\sqrt[6]{6}\$." }, { "from": "as...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=x^2+x+1,\\ x\\in\\mathbb{R}\$.\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \$f\$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα \$x'x\$.\nβ) Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \$α\\neq -\\frac{1}{2}\$, τα σημεία της γραφικής παράστ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=x^{2}-μx-2, μ\\in \\mathbb{R}\$.\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \$f(x)=0\$ έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \$μ\\in \\mathbb{R}\$.\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \$μ\\in \\mathbb{R}\$ για τις οποίες οι αριθμοί \$x=-2\$ και \$x=3\$ ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να δείξετε ότι \$x^{2}+2x+4>0\$ για κάθε \$x\\in \\mathbb{R}\$.\nΔίνεται η συνάρτηση \$f(x)=\\left\|\\dfrac{x^{3}-8}{x-2}\\right\|\$.\nβ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \$Α\$.\nγ) Να δείξετε ότι \$f(x)=x^{2}+2x+4\$ για κάθε \$x\\in Α\$.\nδ) Να εξετάσετε αν η γρα...
[ { "from": "human", "value": "Σε αριθμητική πρόοδο (\$α_ν\$) με διαφορά \$ω = 4\$, ισχύει: \$α_{6}+α_{11}=40\$.\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \$α_{1}\$ της προόδου.\nβ) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε τις εξισώσεις\n$$3x^{2}-14x+8=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι\n$$8x^{2}-14x+3=0\\ \\ \\ \\ (2)$$\n(Μονάδες10)\nβ) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης \$(2)\$ είναι οι αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης \$(1)\$ και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οπο...
[ { "from": "human", "value": "Οι αριθμοί : \$x^{2}+5,\\ x^{2}+x,\\ 2x+4\$, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nα) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού \$x\$.\nβ) Αν \$x=3\$ και ο αριθμός \$x^{2}+5\$ είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:\ni. τη διαφορά \$ω\$...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=αx+β,\$ με \$α,β\\in \\mathbb{R}\$ για την οποία ισχύει:\n$$f(0)=5 \\text{ και } f(1)=3$$\nα) Να αποδείξετε ότι \$α=-2\$ και \$β = 5.\$\nβ) Να βρείτε τα σημεία, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \$f\$ τέμνει τους άξονες \$x'x\$...
[ { "from": "human", "value": "Η απόσταση \$y\$ (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μία πόλη \$Α\$, μετά από \$x\$ λεπτά, δίνεται από τη σχέση:\n$$y=35+0,8x$$\nα) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη \$Α\$ μετά από \$25\$ λεπτά;\nβ) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$x^{2}-2x-3=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Αν \$x_{1}\$, \$x_{2}\$ με \$x_{1} < x_{2}\$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης \$(1)\$, να εξετάσετε αν οι αριθμοί \$x_{1}\$, \$1\$, \$x_{2}\$ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδ...
[ { "from": "human", "value": "Οι πλευρές \$x_{1}\$ και \$x_{2}\$ ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \$x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\$, με \$λ\\in (0,2)\$.\nα) Να βρείτε\nτην περίμετρο \$Π\$ του ορθογωνίου.\nτο εμβαδόν \$Ε\$ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \$λ\$.\nβ) Να δείξετε ότι \$Ε\\le 1\$, γι...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \$α,\\ β\$ με \$α=1+\\sqrt{2}\$ και \$β=1-\\sqrt{2}\$.\nα) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \$Α=α^2-β^2\$.\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \$Β=\\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}\$.\nγ) Αν \$Α=4\\sqrt{2}\$ και \$Β=2\$, να δείξετ...
[ { "from": "human", "value": "Αν \$α\$ και \$β\$ πραγματικοί αριθμοί με \$2\\le α\\le 4\$ και \$-4\\le β\\le -3\$, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:\nα) \$α+2β\$.\nβ) \$α-β\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$2\\le α\\...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \$1−𝑥,\\ \\dfrac{𝑥}{2},\\ 2𝑥 - 1,\\ 𝑥\\in \\Bbb{R}.\$\nα) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω αριθμοί, με αυτή τη σειρά, είναι πάντοτε διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.\nβ) Να βρείτε την τιμή του \$𝑥\$, αν γνωρίζουμε ότι η διαφορά ω αυτής της προόδ...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \$f(x)=x^2-4x+5,\\ x\\in\\mathbb{R}\$ και η ευθεία \$y=2x+β,\\ β\\in\\mathbb{R}\$.\nα) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό \$x\$ ισχύει \$f(2+x)=f(2-x)\$.\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) ή με όποιο άλλο τρόπο θέλετε, να υπολογίσετ...
[ { "from": "human", "value": "Για τον πραγματικό αριθμό \$x\$ ισχύει: \$d(2x,3)=3-2x\$.\nα) Να αποδείξετε ότι \$x\\le \\dfrac{3}{2}\$.\nβ) Αν \$x\\le \\dfrac{3}{2}\$, να αποδείξετε ότι η παράσταση: \$Κ=\|2x-3\|-2\|3-x\|\$ είναι ανεξάρτητη του \$x\$." }, { "from": "assistant", "value": "...
[ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \$y=αx+β\$.\nα) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \$α\$ και \$β\$ αν η γραφική παράσταση της \$f\$ σχηματίζει με τον άξονα \$x'x\$ γωνία \$45^ο\$ και διέρχεται από το σημείο \$A(0, 3)\$.\nβ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \$λ\$ και κ αν ...
[ { "from": "human", "value": "Έστω \$α,\\ β\$ πραγματικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, για τους οποίους ισχύουν \$α^2=2α+β\$ και \$β^2=2β+α.\$\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni. \$α^2-β^2=α-β.\$\nii. \$α+β=1.\$\nβ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \$Α=α^2+β^2.\$" }, { "from": "assistant", ...
[ { "from": "human", "value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \$x\$, \$y\$ ισχύει η σχέση:\n$$(x- 2y)^{2}- 2(3 - 2xy)= 5y^{2}– 1$$\nα) Να αποδείξετε ότι:\n$$x^{2}-y^{2}= 5$$\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$P=(x+y)^{3}(x - y)^{3}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν...
[ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις\n$$A=\\frac{-x^2+4\|x\|-3}{\|x\|-1}$$\nκαι\n$$B=\\frac{x^2-4\|x\|+4}{\|x\|-2}.$$\nα) Για ποιες τιμές του \$x\\in\\mathbb{R}\$ ορίζονται οι παραστάσεις \$Α\$ και \$Β\$;\nβ) Να δείξετε ότι \$A=3-\|x\|\$ και \$B=\|x\|-2\$.\nγ) Να λύσετε την ανίσωση:\n$$B-A < 2...
[ { "from": "human", "value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \$α,β≠0\$, ισχύει ότι:\n$$(α+β)\\Big(\\dfrac{1}{α}+\\dfrac{1}{β}\\Big)=4$$\nτότε να αποδείξετε ότι:\nα) \$\\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}=2.\$\nβ) \$α=β.\$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Κάνοντας πράξεις στη δοθείσα σχέση ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την ανίσωση \$x^{2}-5x-6<0\$.\nβ) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \$Κ=\\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)^{2}+5\\cdot \\dfrac{46}{47}-6\$ αιτιολογώντας την απάντησή σας.\nγ) Αν \$α\\in (-6,6)\$, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης \$Λ=α^{2}-5\|α\|-6\$ αιτιολογ...
[ { "from": "human", "value": "Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει \$9\$ θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει \$12\$ θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \$360\$ θερμίδες.\nα) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο \$32\$ λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυμπήσει...
[ { "from": "human", "value": "Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν \$204800\$ βακτήρια. Μετά από \$1\$ ώρα υπάρχουν \$102400\$ βακτήρια, μετά από \$2\$ ώρες υπάρχουν \$51200\$ βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.\nα) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από \$6\$ ώ...
[ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του \$y\$ ισχύει:\n\$\|y-3\|\\lt 1\$.\nβ) Αν για τους \$x,y\$ ισχύουν \$1\\lt x \\lt 3\$ και \$2\\lt y\\lt 4\$, τότε να αποδείξετε ότι \$3\\lt x+y\\lt 7\$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\|y-3\| \\...

Subsets and Splits

No community queries yet

The top public SQL queries from the community will appear here once available.