Vikhrmodels/programming_books_rus · Datasets at Hugging Face

text stringlengths 0 1.95k
Если доказано, что 𝑓 (𝑛) = 𝑂(𝑔(𝑛)), то говорят: «функция 𝑓 асимптотически
ограничена сверху функцией 𝑔 с точностью до постоянного множителя».
Таким образом, произведение 𝑐𝑔(𝑛) является асимптотической оценкой
сверху времени 𝑓 (𝑛) работы алгоритма.

Пример. Докажем, что 2𝑛 − 10 = 𝑂(𝑛). Для этого требуется найти
соответствующие константы 𝑐 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}. Доказательство:
возьмем 𝑐 = 2, 𝑛0 = 5. Эти значения обеспечивают выполнение неравенства
0 ≤ 2𝑛 − 10 ≤ 2𝑛 для любых 𝑛 ≥ 5. На рис. 1.4 видно, что прямая 2𝑛
проходит выше прямой 2𝑛 − 10. Можно было взять и другие значения 𝑐 и
𝑛0, главное – это то, что мы показали их существование.

Аналогично можно доказать корректность следующих утверждений.
1. 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 = 𝑂(𝑛2). Для доказательства возьмем 𝑐 = 4, 𝑛0 = 101,
при любых 𝑛 ≥ 101 справедливо неравенство 0 ≤ 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 ≤ 4𝑛2.
2. 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 = 𝑂(𝑛3). Возьмем 𝑐 = 1, 𝑛0 = 12, для любых 𝑛 ≥ 12

справедливо 0 ≤ 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 ≤ 𝑛3.

1.5. Асимптотические обозначения

21

Рис. 1.4. Иллюстрация принадлежности функции 2𝑛 − 10 множеству 𝑂(𝑛).

3. 0.000001𝑛3 ̸= 𝑂(𝑛2), так как не существует констант 𝑐 > 0 и 𝑛0, ко-
торые обеспечивают выполнение неравенств (1.2). Для любых 𝑐 > 0 и
𝑛 ≥ 𝑐/0.000001 имеет место неравенство 0.000001𝑛3 > 𝑐𝑛2.

а

б

в

Рис. 1.5. Иллюстрация асимптотических обозначений:
а – 𝑓 (𝑛) = 𝑂(𝑔(𝑛)); б – 𝑓 (𝑛) = Ω(𝑔(𝑛)); в – 𝑓 (𝑛) = Θ(𝑔(𝑛)).

На рис. 1.5 приведены иллюстрации основных асимптотических обо-

значений.

-20-1001020304050135791113151719nf(n) = 2n–102nn0 00,20,40,60,811,21nn0f(n)cg(n)nn0f(n)cg(n) 00,20,40,60,811,21nn0f(n)cg(n) 00,20,40,60,811,21nn0f(n)c1g(n)c2g(n)22

Глава 1. Алгоритмы и их эффективность

1.5.2. Ω-обозначение

Ω-обозначение используется для записи асимптотической нижней
границы (asymptotic lower bound) для функции 𝑓 (𝑛). Говорят, функция
𝑓 (𝑛) принадлежит множеству Ω(𝑔(𝑛)) (записывается как 𝑓 (𝑛) ∈ Ω(𝑔(𝑛))),
если существуют константа 𝑐 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие что для любых
𝑛 ≥ 𝑛0

0 ≤ 𝑐𝑔(𝑛) ≤ 𝑓 (𝑛).

Читается как «𝑓 от 𝑛 есть омега большое от 𝑔 от 𝑛». Формально множество
Ω(𝑔(𝑛)) определяется следующим образом

{︃

Ω(𝑔(𝑛)) =

𝑓 (𝑛) :

∃𝑐 > 0, 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие, что

0 ≤ 𝑐𝑔(𝑛) ≤ 𝑓 (𝑛),

∀𝑛 ≥ 𝑛0.

}︃

(1.3)

Другими словами, Ω(𝑔(𝑛)) – это множество всех функций, значения кото-
рых при больших 𝑛 не меньше значения 𝑐𝑔(𝑛). Для доказательства при-
надлежности функции 𝑓 (𝑛) множеству Ω(𝑔(𝑛)) требуется найти константы
𝑐 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, которые обеспечивают выполнение неравенств
(1.3). Если доказано, что 𝑓 (𝑛) = Ω(𝑔(𝑛)), то говорят: «функция 𝑓 асимп-
тотически ограничена снизу функцией 𝑔 с точностью до постоянного мно-
жителя». Таким образом, произведение 𝑐𝑔(𝑛) является асимптотической
оценкой снизу времени 𝑓 (𝑛) работы алгоритма.

Пример. Докажем справедливость отношения 𝑛3 + 5 = Ω(𝑛2). Следуя
определению, нам необходимо показать существование констант 𝑐 > 0 и
𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, при которых 𝑛2 ≤ 4𝑛3 + 5 для любых 𝑛 ≥ 𝑛0. Для доказа-
тельства достаточно взять 𝑐 = 1 и 𝑛0 = 0.

1.5.3. Θ-обозначение

Θ-обозначение позволяет записать асимптотически точную оценку
(asymptotic tight bound) для функции 𝑓 (𝑛). Функция 𝑓 (𝑛) принадлежит
множеству функций Θ(𝑔(𝑛)), записывается как 𝑓 (𝑛) ∈ Θ(𝑔(𝑛)), если суще-
ствуют положительные константы 𝑐1 > 0, 𝑐2 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие
что для любых 𝑛 ≥ 𝑛0

0 ≤ 𝑐1𝑔(𝑛) ≤ 𝑓 (𝑛) ≤ 𝑐2𝑔(𝑛).

Читается как «𝑓 от 𝑛 есть тета большое от 𝑔 от 𝑛». Множество Θ(𝑔(𝑛))

Если доказано, что 𝑓 (𝑛) = 𝑂(𝑔(𝑛)), то говорят: «функция 𝑓 асимптотически

ограничена сверху функцией 𝑔 с точностью до постоянного множителя».

Таким образом, произведение 𝑐𝑔(𝑛) является асимптотической оценкой

сверху времени 𝑓 (𝑛) работы алгоритма.

Пример. Докажем, что 2𝑛 − 10 = 𝑂(𝑛). Для этого требуется найти

соответствующие константы 𝑐 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}. Доказательство:

возьмем 𝑐 = 2, 𝑛0 = 5. Эти значения обеспечивают выполнение неравенства

0 ≤ 2𝑛 − 10 ≤ 2𝑛 для любых 𝑛 ≥ 5. На рис. 1.4 видно, что прямая 2𝑛

проходит выше прямой 2𝑛 − 10. Можно было взять и другие значения 𝑐 и

𝑛0, главное – это то, что мы показали их существование.

Аналогично можно доказать корректность следующих утверждений.

1. 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 = 𝑂(𝑛2). Для доказательства возьмем 𝑐 = 4, 𝑛0 = 101,

при любых 𝑛 ≥ 101 справедливо неравенство 0 ≤ 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 ≤ 4𝑛2.

2. 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 = 𝑂(𝑛3). Возьмем 𝑐 = 1, 𝑛0 = 12, для любых 𝑛 ≥ 12

справедливо 0 ≤ 3𝑛2 + 100𝑛 + 8 ≤ 𝑛3.

1.5. Асимптотические обозначения

21

Рис. 1.4. Иллюстрация принадлежности функции 2𝑛 − 10 множеству 𝑂(𝑛).

3. 0.000001𝑛3 ̸= 𝑂(𝑛2), так как не существует констант 𝑐 > 0 и 𝑛0, ко-

торые обеспечивают выполнение неравенств (1.2). Для любых 𝑐 > 0 и

𝑛 ≥ 𝑐/0.000001 имеет место неравенство 0.000001𝑛3 > 𝑐𝑛2.

а

б

в

Рис. 1.5. Иллюстрация асимптотических обозначений:

а – 𝑓 (𝑛) = 𝑂(𝑔(𝑛)); б – 𝑓 (𝑛) = Ω(𝑔(𝑛)); в – 𝑓 (𝑛) = Θ(𝑔(𝑛)).

На рис. 1.5 приведены иллюстрации основных асимптотических обо-

значений.

-20-1001020304050135791113151719nf(n) = 2n–102nn0 00,20,40,60,811,21nn0f(n)cg(n)nn0f(n)cg(n) 00,20,40,60,811,21nn0f(n)cg(n) 00,20,40,60,811,21nn0f(n)c1g(n)c2g(n)22

Глава 1. Алгоритмы и их эффективность

1.5.2. Ω-обозначение

Ω-обозначение используется для записи асимптотической нижней

границы (asymptotic lower bound) для функции 𝑓 (𝑛). Говорят, функция

𝑓 (𝑛) принадлежит множеству Ω(𝑔(𝑛)) (записывается как 𝑓 (𝑛) ∈ Ω(𝑔(𝑛))),

если существуют константа 𝑐 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие что для любых

𝑛 ≥ 𝑛0

0 ≤ 𝑐𝑔(𝑛) ≤ 𝑓 (𝑛).

Читается как «𝑓 от 𝑛 есть омега большое от 𝑔 от 𝑛». Формально множество

Ω(𝑔(𝑛)) определяется следующим образом

{︃

Ω(𝑔(𝑛)) =

𝑓 (𝑛) :

∃𝑐 > 0, 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие, что

0 ≤ 𝑐𝑔(𝑛) ≤ 𝑓 (𝑛),

∀𝑛 ≥ 𝑛0.

}︃

(1.3)

Другими словами, Ω(𝑔(𝑛)) – это множество всех функций, значения кото-

рых при больших 𝑛 не меньше значения 𝑐𝑔(𝑛). Для доказательства при-

надлежности функции 𝑓 (𝑛) множеству Ω(𝑔(𝑛)) требуется найти константы

𝑐 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, которые обеспечивают выполнение неравенств

(1.3). Если доказано, что 𝑓 (𝑛) = Ω(𝑔(𝑛)), то говорят: «функция 𝑓 асимп-

тотически ограничена снизу функцией 𝑔 с точностью до постоянного мно-

жителя». Таким образом, произведение 𝑐𝑔(𝑛) является асимптотической

оценкой снизу времени 𝑓 (𝑛) работы алгоритма.

Пример. Докажем справедливость отношения 𝑛3 + 5 = Ω(𝑛2). Следуя

определению, нам необходимо показать существование констант 𝑐 > 0 и

𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, при которых 𝑛2 ≤ 4𝑛3 + 5 для любых 𝑛 ≥ 𝑛0. Для доказа-

тельства достаточно взять 𝑐 = 1 и 𝑛0 = 0.

1.5.3. Θ-обозначение

Θ-обозначение позволяет записать асимптотически точную оценку

(asymptotic tight bound) для функции 𝑓 (𝑛). Функция 𝑓 (𝑛) принадлежит

множеству функций Θ(𝑔(𝑛)), записывается как 𝑓 (𝑛) ∈ Θ(𝑔(𝑛)), если суще-

ствуют положительные константы 𝑐1 > 0, 𝑐2 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие

что для любых 𝑛 ≥ 𝑛0

0 ≤ 𝑐1𝑔(𝑛) ≤ 𝑓 (𝑛) ≤ 𝑐2𝑔(𝑛).

Читается как «𝑓 от 𝑛 есть тета большое от 𝑔 от 𝑛». Множество Θ(𝑔(𝑛))