Datasets:
Vikhrmodels
/
programming_books_rus

Dataset card Data Studio Files
xet
Community
1
text
stringlengths
0
1.95k
1 660 964
10 000 000 000
19.9
1 000 000 19 931 569 1 000 000 000 000
Для сравнения и классификации скоростей роста функций, выража-
ющих время работы алгоритмов, нам необходим специальный математиче-
1.5. Асимптотические обозначения
19
ский аппарат. Он должен давать возможность делать выводы о том, что два
алгоритма при больших 𝑛 работают с одинаковым временем или один алго-
ритм эффективнее другого. Ответы на эти вопросы дает асимптотический
анализ (asymptotic analysis), который позволяет оценивать скорость роста
функций 𝑇 (𝑛) при стремлении размера входных данных к бесконечности
(при 𝑛 → ∞).
1.5. Асимптотические обозначения
Как было показано ранее, время выполнения алгоритма в худшем,
среднем и лучшем случаях можно представить, как функцию 𝑇 (𝑛) от раз-
мера его входных данных. Однако анализировать эффективность алгорит-
мов по таким функциям достаточно трудно по ряду причин. Как правило,
функция 𝑇 (𝑛) времени выполнения алгоритма имеет большое количество
локальных экстремумов – неровный график с выпуклостями и впадинами
(рис. 1.3, а). Например, возможна ситуация, когда время выполнения ал-
горитма на входных массивах с нечетной длиной будет больше времени
выполнения на массивах с четной длиной. В этом случае график 𝑇 (𝑛) бу-
дет иметь пилообразный вид, как на рис. 1.3, б. Поэтому намного проще
работать с верхней и нижней границами (оценками) времени выполнения
алгоритма. Так для примера на рис. 1.3. б вместо пилообразной функции
𝑇 (𝑛) можно использовать ее верхнюю границу 5𝑛 + 15 или другую.
а
б
Рис. 1.3. Пример возможных верхней и нижней границ времени 𝑇 (𝑛)
выполнения алгоритмов.
Для указания границ функций 𝑇 (𝑛) в теории вычислительной слож-
ности алгоритмов (computational complexity theory) используют асимп-
тотические обозначения: 𝑂 (о большое), Ω (омега большое), Θ (тета боль-
шое), а также 𝑜 (о малое) и 𝜔 (омега малое). Далее будем считать, что
областью определения функций 𝑓 (𝑛) и 𝑔(𝑛), которые выражают число
операций алгоритма, является множество неотрицательных целых чисел
00,20,40,60,811,21T(n)nn0Верхняяграница T(n)Нижняя границаT(n)T(n)020406080100120140135791113151719T(n)n𝑇𝑛= 5𝑛+10,если𝑛нечетное,5𝑛,если𝑛четноеВерхняяграница Нижняя граница 20
Глава 1. Алгоритмы и их эффективность
(𝑛 ∈ {0, 1, 2, . . .}). Функции 𝑓 (𝑛) и 𝑔(𝑛) являются асимптотически неот-
рицательными – при больших значениях 𝑛 они принимают значения,
б´ольшие или равные нулю. Применительно к анализу сложности алго-
ритмов последнее требование выполняется всегда, так функции выражают
число операций алгоритма или объем потребляемой им памяти, которые не
могут быть отрицательными.
1.5.1. 𝑂-обозначение
𝑂-обозначение используют, если необходимо указать асимптотиче-
скую верхнюю границу (asymptotic upper bound) для функции 𝑓 (𝑛), числа
операций алгоритма. Говорят, что функция 𝑓 (𝑛) принадлежит множеству
функций 𝑂(𝑔(𝑛)), что записывается как 𝑓 (𝑛) ∈ 𝑂(𝑔(𝑛)), если существуют
положительная константа 𝑐 > 0 и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие что для любых
𝑛 ≥ 𝑛0
0 ≤ 𝑓 (𝑛) ≤ 𝑐𝑔(𝑛).
Формально множество 𝑂(𝑔(𝑛)) определяется следующим образом:
{︃
𝑂(𝑔(𝑛)) =
𝑓 (𝑛) :
∃𝑐 > 0, 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, такие, что
0 ≤ 𝑓 (𝑛) ≤ 𝑐𝑔(𝑛),
∀𝑛 ≥ 𝑛0.
}︃
(1.2)
Иначе говоря, 𝑂(𝑔(𝑛)) – это множество всех функций, значения которых
при больших 𝑛 не превышают значение 𝑐𝑔(𝑛). Обычно факт принадлеж-
ности функции 𝑓 (𝑛) множеству 𝑂(𝑔(𝑛)) записывают как 𝑓 (𝑛) = 𝑂(𝑔(𝑛)).
Читается как «𝑓 от 𝑛 есть о большое от 𝑔 от 𝑛».
Для доказательства, 𝑓 (𝑛) = 𝑂(𝑔(𝑛)), требуется найти константы 𝑐 > 0
и 𝑛0 ∈ {0, 1, 2, . . .}, которые обеспечивают выполнение неравенств (1.2).