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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: En 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante en latin. Les questions soulevées intéressent les mathématiciens de l'époque. Pierre de Fermat propose un gra...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Les équations diophantiennes fascinent, le titre d'un des livres de Bachet de Méziriac est évocateur : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, on peut citer e...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et p...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Jusqu'à l'aube du XIXe siècle les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple s...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Le quatrième n'est pas illustré dans l'exemple, il correspond à la descente infinie utilisée dans la démonstration d'Euler du théorème des deux carrés. Elle consiste à trouver à part...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si a et b sont premier...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours du temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Ga...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens code...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: En 1976 une nouvelle famille de codes est découverte, fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A.. Elle ...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier n étant fixé, le calcul modulo n consiste à identifier tous les entiers à leur reste da...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté ℤ/nℤ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'ad...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss a = α + iβ est associée la norme α2 + β2, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division ...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fonda...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la théorie des groupes s'applique à l'arithmétique et à l...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'anneaux euclidiens. Le concept de relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux pr...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible via l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Gal...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, les anneaux d'entiers algébriques, construits selon la méthode de Ga...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Ernst Kummer utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils remplacent les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres ...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction f qui, à un message en clair m et une clé k, associe un message chiff...
### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction f qui, à un message en clair m et une clé k, associe un message chiff...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en cryptogra...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers p et q, dont...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: La cryptographie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire. Celle-ci ne joue pas le même rôle fondateur en cryptographie symétrique, mais n'en...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat. Si un nombre p est premier, alors pour tout entier a, ap est congru à a modulo p. La ré...
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### Instruction: Use the Input below to create an instruction, which could have been used to generate the input using an LLM ### Input: La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat. Si un nombre p est premier, alors pour tout entier a, ap est congru à a modulo p. La ré...