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"ι : Type u_1\nK : Type u_3\ninst✝³ : Field K\nn : ℕ\nM : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module K M\ninst✝ : FiniteDimensional K M\nf : ι → End K M\nh : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)\nh' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤\nh_dim :... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H\nM : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\ns : Set (↥H → R)\nhs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case ind.inr\nι : Type u_1\nK : Type u_3\ninst✝³ : Field K\nn : ℕ\nM : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module K M\ninst✝ : FiniteDimensional K M\nf : ι → End K M\nh : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)\nh' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"α : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq α\nm : Multiset α\ns : Finset (α × ℕ)\nhsm : s ⊆ m.toEnumFinset\na : α\nha : (filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card > 0\nh : ∀ n ≥ (filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card - 1, (a, n) ∉ s\n⊢ ∀ (a_1 : ℕ), (a, a_1) ∈ s → a_1 + 1 < (filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card"
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"α : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq α\nm : Multiset α\ns : Finset (α × ℕ)\nhsm : s ⊆ m.toEnumFinset\na : α\nha : (filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card > 0\nh : {x ∈ s | x.1 = a} ⊆ {a} ×ˢ Finset.range ((filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card - 1)\n⊢ (filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card ≤ (filter (fun x ↦ a = x.1) s.va... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case h.mk\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\ninst✝² : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : IsArtinian R M\nx : L\nk : ℕ\... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : Module.Free R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\np : Submodule R M\nf : M →ₗ[R] M\nhf : ∀ (x : M), f x ∈ p\nhf' : ∀ x ∈ p, f x ∈ p\nι : Type u_2 := Module.Free.Ch... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "R : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂... | [
"R : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : L... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure | {
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"line": 74,
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"line": 74,
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{
"pp": "k : Type u\ninst✝ : Field k\ns : Finset (Monics k)\nf : Monics k\nhf : f ∈ s\n⊢ (∏ x ∈ s, map (algebraMap k (∏ f ∈ s, ↑f).SplittingField) ↑x).Splits",
"ppTerm": "?m.61",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"usedFVars": [],
"usedGoals": []
}
] | [
"k : Type u\ninst✝ : Field k\ns : Finset (Monics k)\nf : Monics k\nhf : f ∈ s\n⊢ (∏ x ∈ s, map (algebraMap k (∏ f ∈ s, ↑f).SplittingField) ↑x).Splits"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic | {
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"line": 531,
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"line": 531,
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{
"pp": "case h\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Mod... | [
"case h\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\nin... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic | {
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} | {
"line": 552,
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{
"pp": "R : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂... | [] | exact LieSubmodule.map_mono (map_posFittingComp_le _) | Lean.Elab.Tactic.evalExact | Lean.Parser.Tactic.exact |
Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic | {
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"line": 575,
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{
"pp": "R : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : LieRing.IsNilpotent L\nx : L\nχ : L → R\n⊢ LieSubmodule.map (genWeightSpaceOf M (χ x) x... | [
"R : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : LieRing.IsNilpotent L\nx : L\nχ : L → R\n⊢ genWeightSpace M χ ≤ genWeightSpaceOf M (χ x) x"
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Mathlib.Algebra.Lie.Killing | {
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} | {
"line": 128,
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"line": 128,
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{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : LieRing L\ninst✝³ : LieAlgebra R L\nL' : Type u_4\ninst✝² : LieRing L'\ninst✝¹ : LieAlgebra R L'\ninst✝ : IsKilling R L\ne : L ≃ₗ⁅R⁆ L'\nx' : L'\nhx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0\nthis : e.symm x' ∈ ⊥\n⊢ x' ∈ ⊥",
"ppTe... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : LieRing L\ninst✝³ : LieAlgebra R L\nL' : Type u_4\ninst✝² : LieRing L'\ninst✝¹ : LieAlgebra R L'\ninst✝ : IsKilling R L\ne : L ≃ₗ⁅R⁆ L'\nx' : L'\nhx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0\nthis : e.symm x' ∈ ⊥\n⊢ x' = 0"
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Mathlib.Algebra.Lie.Killing | {
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"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : LieRing L\ninst✝³ : LieAlgebra R L\nL' : Type u_4\ninst✝² : LieRing L'\ninst✝¹ : LieAlgebra R L'\ninst✝ : IsKilling R L\ne : L ≃ₗ⁅R⁆ L'\nx' : L'\nhx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0\ny : L\n⊢ ∀ (y' : L'), ((killingForm R L') ... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : LieRing L\ninst✝³ : LieAlgebra R L\nL' : Type u_4\ninst✝² : LieRing L'\ninst✝¹ : LieAlgebra R L'\ninst✝ : IsKilling R L\ne : L ≃ₗ⁅R⁆ L'\nx' : L'\nhx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0\ny : L\n⊢ ∀ (y' : L'), ((killingForm R L') x') y' = 0"
... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁴ : Field R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : Module.Finite R L\ninst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L\nD : LieDerivation R L L\nhD : D ∈ (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule\nx : L\n⊢ ... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁴ : Field R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : Module.Finite R L\ninst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L\nD : LieDerivation R L L\nhD : D ∈ (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule\nx : L\n⊢ D x = 0"
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Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic | {
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"line": 662,
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{
"pp": "R : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\ninst✝² : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Module.IsTorsionFree R M\nχ₁ : L →... | [
"R : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\ninst✝² : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Module.IsTorsionFree R M\nχ₁ : L → R\na✝ : χ₁ ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.TensorProduct | {
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"line": 152,
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} | {
"line": 152,
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{
"pp": "R : Type uR\nA : Type uA\nM₂ : Type uM₂\ninst✝⁵ : CommSemiring R\ninst✝⁴ : CommSemiring A\ninst✝³ : AddCommMonoid M₂\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Module R M₂\ninst✝ : FaithfulSMul R A\nB : BilinForm R M₂\nh : BilinForm.baseChange A B = 0\nm m' : M₂\n⊢ (B m) m' = (0 m) m'",
"ppTerm": "?m.61",
... | [
"R : Type uR\nA : Type uA\nM₂ : Type uM₂\ninst✝⁵ : CommSemiring R\ninst✝⁴ : CommSemiring A\ninst✝³ : AddCommMonoid M₂\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Module R M₂\ninst✝ : FaithfulSMul R A\nB : BilinForm R M₂\nh : BilinForm.baseChange A B = 0\nm m' : M₂\n⊢ (B m) m' = 0"
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} | {
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{
"pp": "R : Type u_1\ninst✝² : CommSemiring R\nι : Type u_3\ninst✝¹ : DecidableEq ι\ninst✝ : Fintype ι\nA : Matrix ι ι R\nh : ∀ (v : ι → R), ∃ n, Aᵀ ^ n *ᵥ v = 0\ni : ι\nn : ℕ\nhn : Aᵀ ^ n *ᵥ Pi.single i 1 = 0\n⊢ (A ^ n).row i = 0",
"ppTerm": "?m.61",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"us... | [
"R : Type u_1\ninst✝² : CommSemiring R\nι : Type u_3\ninst✝¹ : DecidableEq ι\ninst✝ : Fintype ι\nA : Matrix ι ι R\nh : ∀ (v : ι → R), ∃ n, Aᵀ ^ n *ᵥ v = 0\ni : ι\nn : ℕ\nhn : Aᵀ ^ n *ᵥ Pi.single i 1 = 0\n⊢ (A ^ n).row i = 0"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
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} | {
"line": 53,
"column": 29
} | {
"line": 53,
"column": 30
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{
"pp": "L : Type u_2\ninst✝ : LieRing L\nh e f : L\nht : IsSl2Triple h e f\n⊢ -h ≠ 0",
"ppTerm": "?m.24",
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"usedConstants": [
"Eq.mpr",
"NegZeroClass.toNeg",
"LieRing.toAddCommGroup",
"congrArg",
"neg_eq_zero._simp_1",
"id",
"Ne",
"Su... | [
"L : Type u_2\ninst✝ : LieRing L\nh e f : L\nht : IsSl2Triple h e f\n⊢ ¬h = 0"
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"line": 70,
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} | [
{
"pp": "L : Type u_2\ninst✝ : LieRing L\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nthis : e = 0\n⊢ h = 0",
"ppTerm": "?m.29",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"usedFVars": [],
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}
] | [
"L : Type u_2\ninst✝ : LieRing L\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nthis : e = 0\n⊢ h = 0"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
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} | {
"line": 75,
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"line": 75,
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} | [
{
"pp": "L : Type u_2\ninst✝ : LieRing L\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nthis : f = 0\n⊢ h = 0",
"ppTerm": "?m.29",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"usedFVars": [],
"usedGoals": []
}
] | [
"L : Type u_2\ninst✝ : LieRing L\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nthis : f = 0\n⊢ h = 0"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
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} | {
"line": 95,
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"line": 95,
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{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\nh e f : L\ninst✝ : IsAddTorsionFree M\nt : IsSl2Triple h e f\nm : M\nμ ρ : R\nhm : m ≠ 0\nhm' :... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\nh e f : L\ninst✝ : IsAddTorsionFree M\nt : IsSl2Triple h e f\nm : M\nμ ρ : R\nhm : m ≠ 0\nhm' : ⁅h, m⁆ = μ ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
"line": 109,
"column": 31
} | {
"line": 109,
"column": 57
} | {
"line": 109,
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} | [
{
"pp": "case add\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nx y : L\nhy : y ∈ span R {e, f, h}\nu v : L\nhu : u ... | [
"case add\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nx y : L\nhy : y ∈ span R {e, f, h}\nu v : L\nhu : u ∈ span R {e,... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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{
"pp": "case smul\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt✝ : IsSl2Triple h e f\nx y : L\nhy : y ∈ span R {e, f, h}\nt : R\nu : L\n... | [
"case smul\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt✝ : IsSl2Triple h e f\nx y : L\nhy : y ∈ span R {e, f, h}\nt : R\nu : L\nhu : u ∈ spa... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
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"line": 114,
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"line": 114,
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{
"pp": "case mem.add\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nx y u✝ : L\nhu✝ : u✝ ∈ {e, f, h}\nu v : L\nhu : ... | [
"case mem.add\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt : IsSl2Triple h e f\nx y u✝ : L\nhu✝ : u✝ ∈ {e, f, h}\nu v : L\nhu : u ∈ span R {... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
"line": 115,
"column": 27
} | {
"line": 115,
"column": 54
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"line": 115,
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{
"pp": "case mem.smul\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt✝ : IsSl2Triple h e f\nx y u✝ : L\nhu : u✝ ∈ {e, f, h}\nt : R\nu : L\... | [
"case mem.smul\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nt✝ : IsSl2Triple h e f\nx y u✝ : L\nhu : u✝ ∈ {e, f, h}\nt : R\nu : L\nhv : u ∈ sp... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple | {
"line": 56,
"column": 62
} | {
"line": 56,
"column": 73
} | {
"line": 56,
"column": 74
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nf g : End R M\nμ : R\nk : ℕ∞\nm : M\nhss : g.IsFinitelySemisimple\nhnil : IsNilpotent (f - g)\nl : ℕ\np : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l\nhm : m ∈ p\nh₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p\nh₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMa... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nf g : End R M\nμ : R\nk : ℕ∞\nm : M\nhss : g.IsFinitelySemisimple\nhnil : IsNilpotent (f - g)\nl : ℕ\np : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l\nhm : m ∈ p\nh₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p\nh₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple | {
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"column": 4
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"line": 57,
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"line": 57,
"column": 56
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{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nf g : End R M\nμ : R\nk : ℕ∞\nm : M\nhss : g.IsFinitelySemisimple\nhnil : IsNilpotent (f - g)\nl : ℕ\np : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l\nhm : m ∈ p\nh₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p\nh₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMa... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nf g : End R M\nμ : R\nk : ℕ∞\nm : M\nhss : g.IsFinitelySemisimple\nhnil : IsNilpotent (f - g)\nl : ℕ\np : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l\nhm : m ∈ p\nh₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p\nh₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple | {
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} | {
"line": 58,
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} | {
"line": 58,
"column": 45
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{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nf g : End R M\nμ : R\nk : ℕ∞\nm : M\nhss : g.IsFinitelySemisimple\nhnil : IsNilpotent (f - g)\nl : ℕ\np : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l\nhm : m ∈ p\nh₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p\nh₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMa... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nf g : End R M\nμ : R\nk : ℕ∞\nm : M\nhss : g.IsFinitelySemisimple\nhnil : IsNilpotent (f - g)\nl : ℕ\np : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l\nhm : m ∈ p\nh₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p\nh₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
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} | {
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} | [
{
"pp": "case zero\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\n⊢ ⁅... | [
"case zero\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\n⊢ ⁅h, m⁆ = μ • ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple | {
"line": 81,
"column": 2
} | {
"line": 81,
"column": 98
} | {
"line": 82,
"column": 4
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{
"pp": "K : Type u_3\nV : Type u_4\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : IsAlgClosed K\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module K V\ninst✝ : FiniteDimensional K V\nf : End K V\nhf : f.IsSemisimple\n⊢ ⨆ μ, f.eigenspace μ = ⊤",
"ppTerm": "?m.34",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"usedFVars": [],
... | [
"K : Type u_3\nV : Type u_4\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : IsAlgClosed K\ninst✝² : AddCommGroup V\ninst✝¹ : Module K V\ninst✝ : FiniteDimensional K V\nf : End K V\nhf : f.IsSemisimple\n⊢ ⨆ μ, f.eigenspace μ = ⊤"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
"line": 207,
"column": 24
} | {
"line": 207,
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} | {
"line": 207,
"column": 36
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝² : Char... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝² : CharZero R\ninst... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
"line": 211,
"column": 6
} | {
"line": 211,
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} | {
"line": 211,
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} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝² : Char... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝² : CharZero R\ninst... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain | {
"line": 85,
"column": 4
} | {
"line": 85,
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} | {
"line": 85,
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{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\nχ₁ χ₂ : L → R\ninst✝³ : IsAddTorsionFree R\ninst✝² : IsDomain... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\nχ₁ χ₂ : L → R\ninst✝³ : IsAddTorsionFree R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ :... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
"line": 226,
"column": 51
} | {
"line": 226,
"column": 82
} | {
"line": 226,
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{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh✝ e f : L\nm✝ : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h✝ e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m✝ μ\ninst✝³ :... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh✝ e f : L\nm✝ : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h✝ e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m✝ μ\ninst✝³ : IsDomain R\... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
"line": 241,
"column": 12
} | {
"line": 241,
"column": 23
} | {
"line": 241,
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{
"pp": "case zero\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nhm : ⁅h, m⁆ = μ • m\n⊢ ⁅h, ((toEnd R ... | [
"case zero\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nhm : ⁅h, m⁆ = μ • m\n⊢ ⁅h, m⁆ = μ • m"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.Sl2 | {
"line": 263,
"column": 6
} | {
"line": 263,
"column": 75
} | {
"line": 263,
"column": 76
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : LieModule R L M\nh e f : L\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : CharZero R\ninst✝³ : Nontrivial M\ninst✝² : IsTorsi... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : LieModule R L M\nh e f : L\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : CharZero R\ninst✝³ : Nontrivial M\ninst✝² : IsTorsionFree R M\n... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 101,
"column": 6
} | {
"line": 101,
"column": 23
} | {
"line": 101,
"column": 24
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y z : L\n⊢ (⁅x, traceForm R L M⁆ y) z = (0 y) z",
"ppTerm": "?m.37",
"assigned": true,... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y z : L\n⊢ (⁅x, (traceForm R L M) y⁆ - (traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = (0 y) z"
] | LieHom.lie_apply, | Lean.Elab.Tactic.evalRewriteSeq | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 107,
"column": 2
} | {
"line": 107,
"column": 84
} | {
"line": 108,
"column": 2
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : IsReduced R\ninst✝ : IsNilpotent L M\nx y : L\n⊢ ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y",
... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : IsReduced R\ninst✝ : IsNilpotent L M\nx y : L\n⊢ _root_.IsNilpotent ((trace R M) (φ x ∘ₗ φ y))"
] | simp only [traceForm_apply_apply, LinearMap.zero_apply, ← isNilpotent_iff_eq_zero] | Lean.Elab.Tactic.evalSimp | Lean.Parser.Tactic.simp |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 131,
"column": 6
} | {
"line": 131,
"column": 29
} | {
"line": 131,
"column": 30
} | [
{
"pp": "case mem\nR : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh : traceForm R L M = 0\ny : End R M\nhy : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range\nx a b c : ... | [
"case mem\nR : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh : traceForm R L M = 0\ny : End R M\nhy : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range\nx a b c : L\nhbc : ⁅φ ... | Module.End.mul_eq_comp, | Lean.Elab.Tactic.evalRewriteSeq | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 145,
"column": 4
} | {
"line": 145,
"column": 43
} | {
"line": 145,
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{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : LieModule R L M\ninst✝⁵ : Free R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieRing.Is... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : LieModule R L M\ninst✝⁵ : Free R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieRing.IsNilpotent L\... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 164,
"column": 29
} | {
"line": 164,
"column": 40
} | {
"line": 164,
"column": 41
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y : L\nhx : x ∈ ⊤.lcs L 0\nhy : y ∈ LieSubmodule.ucs 0 ⊥\n⊢ y = 0",
"ppTerm": "?m.73",
... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y : L\nhx : x ∈ ⊤.lcs L 0\nhy : y ∈ LieSubmodule.ucs 0 ⊥\n⊢ y = 0"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 182,
"column": 4
} | {
"line": 182,
"column": 15
} | {
"line": 182,
"column": 16
} | [
{
"pp": "case hx\nR : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y : L\nhx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhy : y ∈ LieAlgebra.center R L\n⊢ x ∈ ⊤.l... | [
"case hx\nR : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y : L\nhx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhy : y ∈ LieAlgebra.center R L\n⊢ x ∈ ⁅⊤, ⊤⁆"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 183,
"column": 4
} | {
"line": 183,
"column": 15
} | {
"line": 183,
"column": 16
} | [
{
"pp": "case hy\nR : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y : L\nhx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhy : y ∈ LieAlgebra.center R L\n⊢ y ∈ Lie... | [
"case hy\nR : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nx y : L\nhx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhy : y ∈ LieAlgebra.center R L\n⊢ ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ =... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic | {
"line": 163,
"column": 38
} | {
"line": 163,
"column": 49
} | {
"line": 163,
"column": 50
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\np : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R\ninst✝ : p.IsPerfPair\nV : Submodule R N\nh : p.IsPerfectCompl ⊤ V\n⊢ IsCompl V ⊥",
"ppTerm": "?m.64",
"assigned": fal... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\np : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R\ninst✝ : p.IsPerfPair\nV : Submodule R N\nh : p.IsPerfectCompl ⊤ V\n⊢ IsCompl V ⊥"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
"line": 208,
"column": 30
} | {
"line": 208,
"column": 53
} | {
"line": 208,
"column": 54
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : LieRing.IsNilpotent L\nB : LinearMap.BilinForm R M\nm₀ m₁ : M\nhm₀ : m₀ ∈ genWeightSpac... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : LieRing.IsNilpotent L\nB : LinearMap.BilinForm R M\nm₀ m₁ : M\nhm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0\nhm₁ :... | Module.End.mul_eq_comp, | Lean.Elab.Tactic.Conv.evalRewrite | null |
Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic | {
"line": 166,
"column": 27
} | {
"line": 166,
"column": 38
} | {
"line": 166,
"column": 39
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\np : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R\ninst✝ : p.IsPerfPair\nV : Submodule R N\nh : V = ⊤\n⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)",
"p... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\np : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R\ninst✝ : p.IsPerfPair\nV : Submodule R N\nh : V = ⊤\n⊢ IsCompl ⊤ ⊥"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic | {
"line": 167,
"column": 28
} | {
"line": 167,
"column": 39
} | {
"line": 167,
"column": 40
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\np : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R\ninst✝ : p.IsPerfPair\nV : Submodule R N\nh : V = ⊤\n⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.flip.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)",
... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\np : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R\ninst✝ : p.IsPerfPair\nV : Submodule R N\nh : V = ⊤\n⊢ IsCompl ⊤ ⊥"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic | {
"line": 203,
"column": 2
} | {
"line": 203,
"column": 34
} | {
"line": 204,
"column": 2
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : IsReflexive R M\ne : N ≃ₗ[R] Dual R M\n⊢ Bijective ⇑(Dual.eval R N)",
"ppTerm": "?m.32",
"assigned": true,
"usedConstants": [
... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_3\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : IsReflexive R M\ne : N ≃ₗ[R] Dual R M\n⊢ Bijective ⇑↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap)"
] | rw [← trans_dualMap_symm_flip e] | Lean.Parser.Tactic._aux_Init_Tactics___macroRules_Lean_Parser_Tactic_rwSeq_1 | Lean.Parser.Tactic.rwSeq |
Mathlib.LinearAlgebra.FiniteSpan | {
"line": 39,
"column": 34
} | {
"line": 39,
"column": 71
} | {
"line": 39,
"column": 72
} | [
{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nΦ : Set M\nhΦ₁ : Φ.Finite\nhΦ₂ : span R Φ = ⊤\ne : M ≃ₗ[R] M\nhe : BijOn (⇑e) Φ Φ\ne' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he\nthis : Finite ↑Φ\nk : ℕ\nhk₀ : k > 0\nhk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1\nm : M\nhm ... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nΦ : Set M\nhΦ₁ : Φ.Finite\nhΦ₂ : span R Φ = ⊤\ne : M ≃ₗ[R] M\nhe : BijOn (⇑e) Φ Φ\ne' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he\nthis : Finite ↑Φ\nk : ℕ\nhk₀ : k > 0\nhk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1\nm : M\nhm : m ∈ span R... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm | {
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"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk : ℕ\nx : L\nhk : 1 ≤ k\nhx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk : ℕ\nx : L\nhk : 1 ≤ k\nhx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L L 0, ⁅x_1, ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "case h₁\nR : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\n⊢ ↑S '' Set.Iio m ⊆ ↑(degreeLT R m)",
"ppTerm": "?h₁",
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"Polynomial",
"Nat.... | [
"case h₁\nR : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\nP : R[X]\nhP : P ∈ ↑S '' Set.Iio m\n⊢ P ∈ ↑(degreeLT R m)"
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"pp": "case h₂\nR : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\n⊢ degreeLT R m ≤ span R (↑S '' Set.Iio m)",
"ppTerm": "?h₂",
"assigned": true,
"usedConstants": [
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"Submodule",
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"Mem... | [
"case h₂\nR : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\nP : R[X]\nhP : P ∈ degreeLT R m\n⊢ P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)"
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"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝³ : IsAddTorsionFree R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : Is... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝³ : IsAddTorsionFree R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsTorsionFree ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "case neg\nR : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\na✝ : Nontrivial R\nn : ℕ\nih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)\nP : R[X]\nhP : P ∈ degreeLT R m\nhp : P.natDegree = n\np_ne_zero : P ... | [
"case neg\nR : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\na✝ : Nontrivial R\nn : ℕ\nih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)\nP : R[X]\nhP : P ∈ degreeLT R m\nhp : P.natDegree = n\np_ne_zero : P ≠ 0\nhn : n ... | apply sub_mem_iff_left _ head_mem_span |>.mp | Lean.Elab.Tactic.evalApply | Lean.Parser.Tactic.apply |
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"pp": "R : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\na✝ : Nontrivial R\nn : ℕ\nih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)\nP : R[X]\nhP : P ∈ degreeLT R m\nhp : P.natDegree = n\np_ne_zero : P ≠ 0\nhn : ... | [
"R : Type u_1\ninst✝ : Ring R\nS : Sequence R\nm : ℕ\nhCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff\na✝ : Nontrivial R\nn : ℕ\nih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)\nP : R[X]\nhP : P ∈ degreeLT R m\nhp : P.natDegree = n\np_ne_zero : P ≠ 0\nhn : n < m\nu : R... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝³ : IsAddTorsionFree R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : Is... | [
"R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝³ : IsAddTorsionFree R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsTorsionFree ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝³ : IsAddTorsionFree R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsTorsionFree ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : LieAlgebra K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : ↥H → K\nx y : L\nhx : x ∈ rootSpace H α\nhy : y ∈ rootSpace H β\nhαβ : α + β ≠ 0\nσ... | [
"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : LieAlgebra K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : ↥H → K\nx y : L\nhx : x ∈ rootSpace H α\nhy : y ∈ rootSpace H β\nhαβ : α + β ≠ 0\nσ : (↥H → K) ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "K : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : LieAlgebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : LieModule K L M\ninst✝³ : FiniteDimensional K M\ninst✝² : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝¹ : LinearWeights K L M\nins... | [
"K : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : LieAlgebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : LieModule K L M\ninst✝³ : FiniteDimensional K M\ninst✝² : LieRing.IsNilpotent L\ninst✝¹ : LinearWeights K L M\ninst✝ : IsTrian... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\ninst✝² : IsKilling K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα : Weight K (↥H) L\nh : α.IsNonZero\ne : (-α).IsZero\n⊢ α.IsZero"
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"line": 209,
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"pp": "K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : LieAlgebra K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsKilling K L\nx : L\nhx : x ∈ H\nhx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)\nthis : ⟨x, hx⟩ = 0\n⊢ x = 0",
"ppTerm": "... | [] | exact (AddSubmonoid.mk_eq_zero H.toAddSubmonoid).mp this | Lean.Elab.Tactic.evalExact | Lean.Parser.Tactic.exact |
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"pp": "K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : LieAlgebra K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsKilling K L\nx : ↥H\nhx : x ∈ corootSpace 0\nthis : {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0}\n⊢ x ∈ ⊥",
"ppTerm"... | [
"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : LieAlgebra K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsKilling K L\nx : ↥H\nhx : x ∈ corootSpace 0\nthis : {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0}\n⊢ x = 0"
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"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : LieAlgebra K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsKilling K L\nx : ↥H\nhx : x ∈ corootSpace 0\ny : L\nhy : y ∈ H\nz : L\nhz : z ∈ H\nthis : ⁅⟨y, hy⟩, ⟨z, hz⟩⁆ = 0\n⊢ ⁅y, z⁆ = 0"
... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case hx\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα : Weight K (↥H) L\ne f : L\nheα : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhfα : f ∈ ro... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα : Weight K (↥H) L\ne f : L\nheα : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhfα : f ∈ rootSpace H... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα : Weight K (↥H) L\ne : L\nhe : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e\nheα : e ∈ root... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nthis : range (Weight.toLinear K (↥H) L) ⊆ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsKilling K L\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : PerfectField K\nα : ↥H → K\nx : L\nh : ↥H\nhx : ((ad K L) ↑h) x = α ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case inl\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsKilling K L\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : CharZero K\nx : ↥H\nhαx : 0 x = 0\nhx : x ∈ corootSpace 0\... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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