module string | startPos dict | endPos dict | nextStartPos dict | goals list | goalsAfter list | ppTac string | elaborator string | kind string |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic | {
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{
"pp": "case pos\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsCancelMulZero R\nhR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R\np : R := Classical.choose hR\nspec : Irreducible (Classical.choose hR) ∧ ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (Classical.choose hR ^ n) x :=\n Classical.choose_spec hR\nx : R\nhx : x ≠ 0... | [
"case neg\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsCancelMulZero R\nhR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R\np : R := Classical.choose hR\nspec : Irreducible (Classical.choose hR) ∧ ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (Classical.choose hR ^ n) x :=\n Classical.choose_spec hR\nx : R\nhx : x ≠ 0\nq : R\nhq ... | · simp only [hm, one_mul, pow_zero] at h ⊢
right
exact h | Lean.Elab.Tactic.evalTacticCDot | Lean.cdot |
Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing | {
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{
"pp": "case neg.inl\nR : Type u_1\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type u_2\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nH : ∀ (x : K), IsLocalization.IsInteger R x ∨ IsLocalization.IsInteger R x⁻¹\na b : R\nha : (algebraMap R K) a ≠ 0\nhb : (algebraMap R K) b ≠ 0\nc : R\... | [] | exact ⟨c, Or.inr e⟩ | Lean.Elab.Tactic.evalExact | Lean.Parser.Tactic.exact |
Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic | {
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} | [
{
"pp": "K : Type u_1\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\ninst✝ : Nontrivial Γ₀\nv : Valuation K Γ₀\nx : K\nhx : IsUnit x\n⊢ v x ≠ 0",
"ppTerm": "?m.11",
"assigned": true,
"usedConstants": [
"Eq.mpr",
"GroupWithZero.toMonoidWithZero",
... | [
"K : Type u_1\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\ninst✝ : Nontrivial Γ₀\nv : Valuation K Γ₀\nx : K\nhx : IsUnit x\n⊢ ¬x = 0"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring | {
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{
"pp": "R : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nh : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P\nI : Ideal R\nhI : I.IsRadical\nx : R\nhx : x ∈ I.jacobson\n⊢ ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} → x ∈ I_1",
"ppTerm": "?m.63",
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"usedConstants": [
"Semiring.toModule",
... | [
"R : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nh : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P\nI : Ideal R\nhI : I.IsRadical\nx : R\nhx : x ∈ I.jacobson\nP : Ideal R\nhP : P ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}\n⊢ x ∈ P"
] | intro P hP | Lean.Elab.Tactic.evalIntro | Lean.Parser.Tactic.intro |
Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring | {
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{
"pp": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : CommRing S\ninst✝² : Algebra R S\ninst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S\ninst✝ : IsJacobsonRing R\n⊢ ∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P",
"ppTerm": "?m.12",
"assigned": true,
"usedConstants": [
"CommSemiring.toSemiring",
... | [
"R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : CommRing S\ninst✝² : Algebra R S\ninst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S\ninst✝ : IsJacobsonRing R\nP : Ideal S\nhP : P.IsPrime\n⊢ P.jacobson = P"
] | intro P hP | Lean.Elab.Tactic.evalIntro | Lean.Parser.Tactic.intro |
Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring | {
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{
"pp": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : CommRing S\ninst✝² : Algebra R S\ninst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S\ninst✝ : IsJacobsonRing R\nP : Ideal S\nhP : P.IsPrime\nhP_top : ¬comap (algebraMap R S) P = ⊤\nthis : Nontrivial (R ⧸ comap (algebraMap R S) P)\nJ : Ideal (R ⧸ comap (algebraMap ... | [
"R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : CommRing S\ninst✝² : Algebra R S\ninst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S\ninst✝ : IsJacobsonRing R\nP : Ideal S\nhP : P.IsPrime\nhP_top : ¬comap (algebraMap R S) P = ⊤\nthis : Nontrivial (R ⧸ comap (algebraMap R S) P)\nJ : Ideal (R ⧸ comap (algebraMap R S) P)\nhJ ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx y : R\nh : v (y - x) < v x\nthis : v (y - x + x) = v x\n⊢ v y = v x",
"ppTerm": "?m.42",
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"R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx y : R\nh : v (y - x) < v x\nthis : v (y - x + x) = v x\n⊢ v y = v x"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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{
"pp": "case pos\nR : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx y : R\nhx : v x = 0\nhy : v y = 0\n⊢ v (x - y) = v y",
"ppTerm": "?pos✝",
"assigned": true,
"usedConstants": [
"Eq.mpr",
"AddGroupWithOne.toAddGroup",
... | [
"case pos\nR : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx y : R\nhx : v x = 0\nhy : v y = 0\n⊢ v (x - y) = 0"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nh : v x < v 1\n⊢ v (1 + x) = 1",
"ppTerm": "?m.26",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"usedFVars": [],
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] | [
"R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nh : v x < v 1\n⊢ v (1 + x) = 1"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid R\nh₁ : ∃ p, Irreducible p\nh₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q\nI : Ideal R\nI0 : ¬I = ⊥\np : R\nleft✝ : Irreducible p\nH : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x\nn : ℕ\nu : Rˣ\nhxI : p ^ n * ↑u ∈ I\... | [
"R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid R\nh₁ : ∃ p, Irreducible p\nh₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q\nI : Ideal R\nI0 : ¬I = ⊥\np : R\nleft✝ : Irreducible p\nH : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x\nn : ℕ\nu : Rˣ\nhxI : p ^ n * ↑u ∈ I\nhx0 : p ^ n... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic | {
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{
"pp": "R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nh : v (-x) < v 1\n⊢ v (1 + -x) = 1",
"ppTerm": "?m.40",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"usedFVars": [],
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}
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"R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nh : v (-x) < v 1\n⊢ v (1 + -x) = 1"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic | {
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{
"pp": "case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid R\nh₁ : ∃ p, Irreducible p\nh₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q\nI : Ideal R\nI0 : ¬I = ⊥\nx : R\nhxI : x ∈ I\nhx0 : x ≠ 0\np : R\nleft✝ : Irreducible p\nH : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^... | [
"case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid R\nh₁ : ∃ p, Irreducible p\nh₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q\nI : Ideal R\nI0 : ¬I = ⊥\nx : R\nhxI : x ∈ I\nhx0 : x ≠ 0\np : R\nleft✝ : Irreducible p\nH : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x\nex : ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic | {
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{
"pp": "case refine_3\nR : Type u\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid R\nh₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q\nPID : IsPrincipalIdealRing R\np : R\nhp : Irreducible p\nI : Ideal R\n⊢ (fun P ↦ P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) (R ∙ Submodule.IsPrincipal.gene... | [
"case refine_3\nR : Type u\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid R\nh₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q\nPID : IsPrincipalIdealRing R\np : R\nhp : Irreducible p\nI : Ideal R\nI0 : R ∙ Submodule.IsPrincipal.generator I ≠ ⊥\nhI : IsPrime (R ∙ Submodu... | rintro ⟨I0, hI⟩ | _private.Lean.Elab.Tactic.RCases.0.Lean.Elab.Tactic.RCases.evalRIntro | Lean.Parser.Tactic.rintro |
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic | {
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"pp": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsDomain R\nhR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R\nthis : UniqueFactorizationMonoid R := HasUnitMulPowIrreducibleFactorization.toUniqueFactorizationMonoid hR\n⊢ IsDiscreteValuationRing R",
"ppTerm": "?m.13",
"assigned": true,
"usedConstants": ... | [
"R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsDomain R\nhR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R\nthis : UniqueFactorizationMonoid R := ⋯\n⊢ ∃ p, Irreducible p"
] | apply of_ufd_of_unique_irreducible _ hR.unique_irreducible | Lean.Elab.Tactic.evalApply | Lean.Parser.Tactic.apply |
Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing | {
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{
"pp": "𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝¹ : IsDomain 𝒪\nthis✝ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis : IsDomain 𝒪\nx✝ y✝ : 𝒪\nhab : (algebraMa... | [
"𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝¹ : IsDomain 𝒪\nthis✝ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis : IsDomain 𝒪\nx✝ y✝ : 𝒪\nhab : (algebraMap 𝒪 K) x✝ =... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "case pos\nK : Type u_1\nF : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\nΓ''₀ : Type u_6\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx✝ y✝ x y : R\nh : v x ≠ 0\nH : ¬v (x + y) = 0\nhy : v y = 0\n⊢ v (x + y) ≤ v x",
"ppTerm": "?... | [
"case pos\nK : Type u_1\nF : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\nΓ''₀ : Type u_6\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx✝ y✝ x y : R\nh : v x ≠ 0\nH : ¬v (x + y) = 0\nhy : v y = 0\n⊢ v (x + y) ≤ v x"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝¹ : IsDomain 𝒪\nthis✝ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis : IsDomain 𝒪\nx : K\na : 𝒪\nha : x = (alg... | [
"𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝¹ : IsDomain 𝒪\nthis✝ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis : IsDomain 𝒪\nx : K\na : 𝒪\nha : x = (algebraMap 𝒪 K... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝¹ : IsDomain 𝒪\nthis✝ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis : IsDomain 𝒪\nx : K\na : 𝒪\nha : x = (alg... | [
"𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝¹ : IsDomain 𝒪\nthis✝ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis : IsDomain 𝒪\nx : K\na : 𝒪\nha : x = (algebraMap 𝒪 K... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "case pos\nK : Type u_1\nF : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\nΓ''₀ : Type u_6\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx✝ y✝ x y : R\nh : v y ≠ 0\nH : ¬v (x + y) = 0\nhy : v x = 0\n⊢ v (x + y) ≤ v y",
"ppTerm": "?... | [
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"case neg\n𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝² : IsDomain 𝒪\nthis✝¹ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis✝ : IsDomain 𝒪\nx : K\na : 𝒪\nha : x = (alg... | ← one_div, | Lean.Elab.Tactic.evalRewriteSeq | null |
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic | {
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"pp": "R : Type u_1\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsDiscreteValuationRing R\nK : Type u_2\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nϖ : R\nhϖ : Irreducible ϖ\ny : R\nhy : y ∈ nonZeroDivisors R\nn : ℕ\nu : Rˣ\nhx : (algebraMap R K) (↑u * ϖ ^ n) / (algebraMap R K... | [
"R : Type u_1\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsDiscreteValuationRing R\nK : Type u_2\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nϖ : R\nhϖ : Irreducible ϖ\ny : R\nhy : y ∈ nonZeroDivisors R\nn : ℕ\nu : Rˣ\nhx : (algebraMap R K) (↑u * ϖ ^ n) / (algebraMap R K) y ≠ 0\n⊢ ¬... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "R : Type u_1\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsDiscreteValuationRing R\nK : Type u_2\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nϖ : R\nhϖ : Irreducible ϖ\nn : ℕ\nu : Rˣ\nm : ℕ\nv : Rˣ\nhy : ↑v * ϖ ^ m ∈ nonZeroDivisors R\nhx : (algebraMap R K) (↑u * ϖ ^ n) ... | [
"R : Type u_1\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsDiscreteValuationRing R\nK : Type u_2\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nϖ : R\nhϖ : Irreducible ϖ\nn : ℕ\nu : Rˣ\nm : ℕ\nv : Rˣ\nhy : ↑v * ϖ ^ m ∈ nonZeroDivisors R\nhx : (algebraMap R K) (↑u * ϖ ^ n) / (algebraMa... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing | {
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{
"pp": "𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝² : IsDomain 𝒪\nthis✝¹ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis✝ : IsDomain 𝒪\nx : K\na : 𝒪\nh0 : ¬a = 0... | [
"𝒪 : Type u\nK : Type v\ninst✝² : CommRing 𝒪\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : Algebra 𝒪 K\nh : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a\nhinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)\nthis✝² : IsDomain 𝒪\nthis✝¹ : FaithfulSMul 𝒪 K\nthis✝ : IsDomain 𝒪\nx : K\na : 𝒪\nh0 : ¬a = 0\nthis : (al... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic | {
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{
"pp": "case neg\nK : Type u_1\nF : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\nΓ''₀ : Type u_6\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx✝ y✝ x y : R\nH : v x = 0 ∧ v y = 0\n⊢ (↑(restrict₀ (ofClass v))).toFun (x + y) ≤\n max ((↑(re... | [
"case neg\nK : Type u_1\nF : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\nΓ''₀ : Type u_6\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx✝ y✝ x y : R\nH : v x = 0 ∧ v y = 0\n⊢ v (x + y) = 0"
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{
"pp": "R : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring R\ntfae_1_to_3 : KrullDimLE 0 R ∧ IsLocalRing R → ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x\nH : ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x\ne : nilradical R = ⊤\nn : ℕ\nhn : 1 ^ n ∈ 0\n⊢ 1 = 0",
"ppTerm": "?m.114",
"assigned": false,
"usedConstants": [],
"usedFV... | [
"R : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring R\ntfae_1_to_3 : KrullDimLE 0 R ∧ IsLocalRing R → ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x\nH : ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x\ne : nilradical R = ⊤\nn : ℕ\nhn : 1 ^ n ∈ 0\n⊢ 1 = 0"
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{
"pp": "case refine_1.inl.refine_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : CommRing R\nRₘ : Type u_3\nSₘ : Type u_4\ninst✝⁵ : CommRing Rₘ\ninst✝⁴ : CommRing Sₘ\nP : Ideal R[X]\npX : R[X]\nhpX : pX ∈ P\ninst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ\ninst✝² : IsLocalization.Away (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ\ni... | [
"case refine_1.inl.refine_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : CommRing R\nRₘ : Type u_3\nSₘ : Type u_4\ninst✝⁵ : CommRing Rₘ\ninst✝⁴ : CommRing Sₘ\nP : Ideal R[X]\npX : R[X]\nhpX : pX ∈ P\ninst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ\ninst✝² : IsLocalization.Away (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ\ninst✝¹ : Alge... | Quotient.eq_zero_iff_mem, | Lean.Elab.Tactic.evalRewriteSeq | null |
Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic | {
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{
"pp": "R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ : (ofClass v).ValueGroup₀ˣ\nu : ↥(ofClass v).valueGroup := WithZero.unzero ⋯\nhu_def : u = WithZero.unzero ⋯\na : R\nha : (ofClass v) a ≠ 0\nx : R\nhax : (ofClass v) a * ↑↑u = (ofClass v) x\nh... | [
"R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ : (ofClass v).ValueGroup₀ˣ\nu : ↥(ofClass v).valueGroup := WithZero.unzero ⋯\nhu_def : u = WithZero.unzero ⋯\na : R\nha : (ofClass v) a ≠ 0\nx : R\nhax : (ofClass v) a * ↑↑u = (ofClass v) x\nhx : 0 < v x\... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic | {
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{
"pp": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDiscreteValuationRing R\nϖ : R\nhϖ : Irreducible ϖ\n⊢ (addVal R) ϖ = 1",
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"R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDiscreteValuationRing R\nϖ : R\nhϖ : Irreducible ϖ\n⊢ (addVal R) ϖ = 1"
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{
"pp": "K : Type u_7\ninst✝¹ : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_8\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation K Γ₀\nh : v.IsNontrivial\n⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ v x < 1",
"ppTerm": "?m.26",
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"usedConstants": [
"LinearOrderedCommGroupWithZero.toLinearOrderedCommMonoidWithZero",... | [
"K : Type u_7\ninst✝¹ : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_8\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation K Γ₀\nh : v.IsNontrivial\n⊢ ∃ x, ¬x = 0 ∧ v x < 1"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ppTerm": "?m.21",
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"K : Type u_7\ninst✝¹ : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_8\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation K Γ₀\nh : v.IsNontrivial\n⊢ ∃ x, 1 < v x"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic | {
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{
"pp": "R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\ninst✝² : Ring R\ninst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀\nv₁ : Valuation R Γ₀\nv₂ : Valuation R Γ'₀\nh : v₁.IsEquiv v₂\nr s : R\n⊢ v₁ r = v₁ s ↔ v₂ r = v₂ s",
"ppTerm": "?m.21",
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"... | [
"R : Type u_3\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\ninst✝² : Ring R\ninst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀\ninst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀\nv₁ : Valuation R Γ₀\nv₂ : Valuation R Γ'₀\nh : v₁.IsEquiv v₂\nr s : R\n⊢ v₁ r ≤ v₁ s ∧ v₁ s ≤ v₁ r ↔ v₂ r ≤ v₂ s ∧ v₂ s ≤ v₂ r"
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Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic | {
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{
"pp": "case pos\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDiscreteValuationRing R\nx y : R\nh : (addVal R) x = (addVal R) y\nhx : x = 0\n⊢ Associated x y",
"ppTerm": "?pos✝",
"assigned": true,
"usedConstants": [
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... | [
"case neg\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDiscreteValuationRing R\nx y : R\nh : (addVal R) x = (addVal R) y\nhx : ¬x = 0\n⊢ Associated x y"
] | · simp_all only [AddValuation.map_zero]
rw [addVal_eq_top_iff.mp h.symm] | Lean.Elab.Tactic.evalTacticCDot | Lean.cdot |
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE | {
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"pp": "case a\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsNoetherianRing R\ninst✝¹ : IsLocalRing R\ninst✝ : IsDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nh : ¬IsField R\nx : R\nhx : maximalIdeal R = Ideal.span {x}\nhI' : ¬I = ⊤\nH : ∀ (r : R), ¬IsUnit r ↔ x ∣ r\nthis✝ : x ≠ 0\nhx' : Irreducible x\nH' : ∀ (r : R), r... | [] | rw [hx, Ideal.span_singleton_pow, Ideal.span_le, Set.singleton_subset_iff]
exact Nat.find_spec this | Lean.Elab.Tactic.evalTacticSeq1Indented | Lean.Parser.Tactic.tacticSeq1Indented |
Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE | {
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{
"pp": "case a\nR : Type u_1\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsNoetherianRing R\ninst✝¹ : IsLocalRing R\ninst✝ : IsDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nh : ¬IsField R\nx : R\nhx : maximalIdeal R = Ideal.span {x}\nhI' : ¬I = ⊤\nH : ∀ (r : R), ¬IsUnit r ↔ x ∣ r\nthis✝ : x ≠ 0\nhx' : Irreducible x\nH' : ∀ (r : R), r... | [] | rw [hx, Ideal.span_singleton_pow, Ideal.span_le, Set.singleton_subset_iff]
exact Nat.find_spec this | Lean.Elab.Tactic.evalTacticSeq | Lean.Parser.Tactic.tacticSeq |
Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor | {
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{
"pp": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\n⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))",
"ppTerm": "?m.25",
"assigned": true,
"usedConstants": [
"Eq.mpr",
"Submodule",
"Semiring.toModule... | [
"R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\n⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor | {
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{
"pp": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\n⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))",
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"assigned": true,
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"Eq.mpr",
"Submodule",
"Semiring.t... | [
"R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\n⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))"
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} | [
{
"pp": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝¹ : IsJacobsonRing R\ninst✝ : Nontrivial R\nhP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0\nP' : Ideal R := comap C P\nhP'_prime : P'.IsPrime\nm : R[X]\nhmem_P : m ∈ P\nhm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0\n⊢ m ≠ 0",
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"assigned": tru... | [
"R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝¹ : IsJacobsonRing R\ninst✝ : Nontrivial R\nhP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0\nP' : Ideal R := comap C P\nhP'_prime : P'.IsPrime\nm : R[X]\nhmem_P : m ∈ P\nhm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0\n⊢ ¬m = 0"
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Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring | {
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{
"pp": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝¹ : IsJacobsonRing R\ninst✝ : Nontrivial R\nhP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0\nP' : Ideal R := comap C P\nhP'_prime : P'.IsPrime\nm : R[X]\nhmem_P : m ∈ P\nhm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0\nhm' : m ≠ 0\nφ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap ... | [
"R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝¹ : IsJacobsonRing R\ninst✝ : Nontrivial R\nhP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0\nP' : Ideal R := comap C P\nhP'_prime : P'.IsPrime\nm : R[X]\nhmem_P : m ∈ P\nhm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0\nhm' : m ≠ 0\nφ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯\na : R... | Quotient.eq_zero_iff_mem, | Lean.Elab.Tactic.evalRewriteSeq | null |
Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring | {
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"pp": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝¹ : IsJacobsonRing R\ninst✝ : Nontrivial R\nhP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0\nP' : Ideal R := comap C P\nhP'_prime : P'.IsPrime\nm : R[X]\nhmem_P : m ∈ P\nhm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0\nhm' : m ≠ 0\nφ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap ... | [
"R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝¹ : IsJacobsonRing R\ninst✝ : Nontrivial R\nhP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0\nP' : Ideal R := comap C P\nhP'_prime : P'.IsPrime\nm : R[X]\nhmem_P : m ∈ P\nhm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0\nhm' : m ≠ 0\nφ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯\na : R... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.RingTheory.Flat.TorsionFree | {
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{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : Flat R M\nm : M\nr : R\nhr : r ∈ R⁰\nh : ⟨r, hr⟩ • m = 0\n⊢ (fun x ↦ r • x) m = (fun x ↦ r • x) 0",
"ppTerm": "?m.47",
"assigned": true,
"usedConstants": [
"Eq.mpr",
"instHSMul... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : Flat R M\nm : M\nr : R\nhr : r ∈ R⁰\nh : ⟨r, hr⟩ • m = 0\n⊢ r • m = 0"
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Mathlib.RingTheory.Flat.TorsionFree | {
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} | {
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"column": 2
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{
"pp": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDomain R\nh✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], ValuationRing (Localization P.primeCompl)\nh : torsion R M = ⊥\n⊢ ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], Flat R (LocalizedModule P.primeCompl M)",... | [
"R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDomain R\nh✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], ValuationRing (Localization P.primeCompl)\nh : torsion R M = ⊥\nP : Ideal R\nhP : P.IsMaximal\n⊢ Flat R (LocalizedModule P.primeCompl M)"
] | intro P hP | Lean.Elab.Tactic.evalIntro | Lean.Parser.Tactic.intro |
Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring | {
"line": 538,
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} | {
"line": 538,
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} | {
"line": 538,
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{
"pp": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝ : IsJacobsonRing R\nP' : Ideal R := comap C P\nthis✝ : P'.IsPrime\nf : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Ideal.Quotient.mk P')\nhf : Function.Surjective ⇑f\nhPJ : P = comap f (Ideal.map f P)\nthis : (Ideal.map (mapRingHom (Ide... | [
"R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nP : Ideal R[X]\nhP : P.IsMaximal\ninst✝ : IsJacobsonRing R\nP' : Ideal R := comap C P\nthis✝ : P'.IsPrime\nf : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Ideal.Quotient.mk P')\nhf : Function.Surjective ⇑f\nhPJ : P = comap f (Ideal.map f P)\nthis : (Ideal.map (mapRingHom (Ideal.Quotient.... | Quotient.eq_zero_iff_mem, | Lean.Elab.Tactic.evalRewriteSeq | null |
Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseChange | {
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"pp": "ι : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\ninst✝¹² : Field L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup N\ninst✝⁹ : Module L M\ninst✝⁸ : Module L N\nP : RootPairing ι L M N\nK : Type u_5\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : Module K N\ninst✝³ : IsSc... | [
"ι : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\ninst✝¹² : Field L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup N\ninst✝⁹ : Module L M\ninst✝⁸ : Module L N\nP : RootPairing ι L M N\nK : Type u_5\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : Module K N\ninst✝³ : IsScalarTower K ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseChange | {
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{
"pp": "ι : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\ninst✝¹² : Field L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup N\ninst✝⁹ : Module L M\ninst✝⁸ : Module L N\nP : RootPairing ι L M N\nK : Type u_5\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : Module K N\ninst✝³ : IsSc... | [
"ι : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\ninst✝¹² : Field L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup N\ninst✝⁹ : Module L M\ninst✝⁸ : Module L N\nP : RootPairing ι L M N\nK : Type u_5\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : Module K N\ninst✝³ : IsScalarTower K ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseChange | {
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"ι : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\ninst✝¹² : Field L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup N\ninst✝⁹ : Module L M\ninst✝⁸ : Module L N\nP : RootPairing ι L M N\nK : Type u_5\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : Module K N\ninst✝³ : IsScalarTower K ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case neg.hxy\nK : Type u_1\nF : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝⁴ : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\nΓ''₀ : Type u_6\ninst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\ninst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀\ninst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ''₀\ninst✝ : Ring R\nv : Valuation R Γ₀\nw : Valuation R... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ι : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\ninst✝¹² : Field L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup N\ninst✝⁹ : Module L M\ninst✝⁸ : Module L N\nP : RootPairing ι L M N\nK : Type u_5\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : Module K N\ninst✝³ : IsScalarTower K ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ι : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\ninst✝¹² : Field L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup N\ninst✝⁹ : Module L M\ninst✝⁸ : Module L N\nP : RootPairing ι L M N\nK : Type u_5\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : Module K N\ninst✝³ : IsScalarTower K ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case neg.hxy\nK : Type u_1\nF : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝⁴ : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\nΓ''₀ : Type u_6\ninst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\ninst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀\ninst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ''₀\ninst✝ : Ring R\nv : Valuation R Γ₀\nw : Valuation R... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : AddCommGroup N\ninst✝⁴ : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\nS : Type u_6\ninst✝³ : CommRing S\ninst✝² : Algebra S R\ninst✝¹ : FaithfulSMul S R\ninst✝ : P.IsValuedIn S\ni j k l : ι\n... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : AddCommGroup N\ninst✝⁶ : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\nS : Type u_6\ninst✝⁵ : CommRing S\ninst✝⁴ : Algebra S R\ninst✝³ : FaithfulSMul S R\ninst✝² : P.IsValuedIn S\ninst✝¹ : Mo... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : AddCommGroup N\ninst✝⁴ : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\nS : Type u_6\ninst✝³ : CommRing S\ninst✝² : Module S M\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : NeZero 2\n⊢ ∃ x, ¬P.root x = 0"
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"pp": "case add\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\ni : ι\nx y z : M\nhy : y ∈ span R (range ⇑P.root)\nhz : z ∈ span R (range ⇑P.root)\nhy' : y ∈ Submod... | [
"case add\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\ni : ι\nx y z : M\nhy : y ∈ span R (range ⇑P.root)\nhz : z ∈ span R (range ⇑P.root)\nhy' : y ∈ Submodule.comap (↑... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case smul\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\ni : ι\nx : M\ny : R\nt : M\nhy : t ∈ span R (range ⇑P.root)\nhy' : t ∈ Submodule.comap (↑(P.reflection i)) (spa... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case neg.mp.inl\nK : Type u_1\ninst✝² : DivisionRing K\nΓ₀ : Type u_4\nΓ'₀ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀\nv : Valuation K Γ₀\nv' : Valuation K Γ'₀\nh : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1\nx : K\nhx : ¬x = 0\nhh : v x = 1\nh_1 : ¬v' x = 1\nh_2 : v' x <... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝⁹ : CommRing S\ninst✝⁸ : LinearOrder S\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Algebra S R\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\ninst✝¹ : P.IsValuedIn S\nB : RootPositiv... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_4\nN : Type u_5\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : AddCommGroup N\ninst✝⁷ : Module R N\nP : RootPairing ι R M N\nS : Type u_6\ninst✝⁶ : CommRing S\ninst✝⁵ : Algebra S R\ninst✝⁴ : P.IsValuedIn S\ninst✝³ : Module S M\ninst✝² : Module ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nx : L\nhx : x ∈ rootSpace H ⇑(cha... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nx : L\nhx : x ∈ rootS... | [
"K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nx : L\nhx : x ∈ rootSpace H ⇑(cha... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"ppTerm": "?m.... | [
"ι : Type u_1\nK : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : Finite ι\ninst✝ : Infinite K\np : ι → Submodule K M\nh : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤\n_i : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι\nthis : ⋃ i, ↑(p i) ⊂ univ\n⊢ ∃ x, ∀ (i : ι), x ∉ p i"
] | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"pp": "ι : Type u_1\nK : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : Finite ι\ninst✝ : Infinite K\np : ι → Submodule K M\nh : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤\n_i : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι\n⊢ ⋃ i, ↑(p i) ⊂ univ",
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... | [
"ι : Type u_1\nK : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : Finite ι\ninst✝ : Infinite K\np : ι → Submodule K M\nh : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤\n_i : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι\n⊢ ⋃ i, ↑(p i) ⊂ univ"
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"pp": "case mp\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nMᵢ : ι → Type u_8\ninst✝⁷ : CommSemiring R\ninst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)\ninst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)\nP : Type u_10\ninst✝⁴ : Fintype ι\ninst✝³ : AddCommMonoid P\ninst✝² : PartialOrder P\ninst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P\ninst✝ : Module R P\nQ : (i :... | [
"ι : Type u_1\nR : Type u_2\nMᵢ : ι → Type u_8\ninst✝⁷ : CommSemiring R\ninst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)\ninst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)\nP : Type u_10\ninst✝⁴ : Fintype ι\ninst✝³ : AddCommMonoid P\ninst✝² : PartialOrder P\ninst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P\ninst✝ : Module R P\nQ : (i : ι) → QuadraticMap R ... | convert! h (Pi.single i x) using 1 | Mathlib.Tactic._aux_Mathlib_Tactic_Convert___macroRules_Mathlib_Tactic_convert!_1 | Mathlib.Tactic.convert! |
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"pp": "ι : Type u_1\nK : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : Finite ι\ninst✝ : Infinite K\nf : ι → Dual K M\np : ι → Submodule K M := fun i ↦ LinearMap.ker (f i)\nh : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤\nx : M\nhx : ∀ (i : ι), x ∉ p i\n⊢ ∀ (i : ι), (f i) x ≠ 0",
... | [
"ι : Type u_1\nK : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : Finite ι\ninst✝ : Infinite K\nf : ι → Dual K M\np : ι → Submodule K M := fun i ↦ LinearMap.ker (f i)\nh : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤\nx : M\nhx : ∀ (i : ι), x ∉ p i\n⊢ ∀ (i : ι), ¬(f i) x = 0"
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"pp": "ι : Type u_1\nK : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : Field K\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : Finite ι\ninst✝ : Infinite K\nf : ι → Dual K M\np : ι → Submodule K M := fun i ↦ LinearMap.ker (f i)\nh : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤\nx : M\nhx : ∀ (i : ι), x ∉ p i\n⊢ ∀ (i : ι), (f i) x ≠ 0",
... | [] | by simpa [p] using hx | [anonymous] | Lean.Parser.Term.byTactic |
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"pp": "case mp\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nMᵢ : ι → Type u_8\ninst✝⁷ : CommSemiring R\ninst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)\ninst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)\nP : Type u_10\ninst✝⁴ : Fintype ι\ninst✝³ : AddCommMonoid P\ninst✝² : PartialOrder P\ninst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P\ninst✝ : Module R P\nQ : (i :... | [] | classical
convert! h (Pi.single i x) using 1
rw [Finset.sum_eq_single_of_mem i (Finset.mem_univ _) fun j _ hji => ?_, Pi.single_eq_same]
rw [Pi.single_eq_of_ne hji, map_zero] | Lean.Elab.Tactic.evalClassical | Lean.Parser.Tactic.classical |
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rw [← chainBotCoeff_add_chainTopCoeff, ← chainBotCoeff_add_chainTopCoeff, add_comm,
Weight.coe_neg, chainTopCoeff_neg, chainBotCoeff_neg] | [anonymous] | Lean.Parser.Term.byTactic |
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"ι : Type u_4\nR : Type u_5\nM : Type u_6\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LinearOrder R\ninst✝² : IsStrictOrderedRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nB : LinearMap.BilinForm R M\nhB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef\nf : Module.Dual R M\nv : ι → M\nhp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)\nhn : Pairwise fun i ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case inr\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nh✝ : No... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nh : ¬rootSpace H ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"case inr.inl\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nh... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
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"K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH✝ : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L\nα β : Weight K (↥H✝) L\nhα : α.IsNonZero\nk : K\nh : ... | simpa using | Lean.Elab.Tactic.Simpa.evalSimpa | null |
Subsets and Splits
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