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/
OnlineMathContest-2502

Dataset card Data Studio Files
xet
 Community
1
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OMCB028
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/tasks/11773
C
OMCB028(C)
200
206
281
[ { "content": "　$\\max (a_{1}, a_{2}, \\cdots , a_{5} ) \\leq 10$ を満たす正の敎数の組 $(a_{1}, a_{2}, \\cdots , a_{5} )$ を考えるずこれは $10$ 以䞋の正敎数 $5$ ぀からなる組であり$10^5$ 個存圚するしたがっおこれらすべおに぀いおの $a_{1} + a_{2} + \\cdots + a_{5}$ の総和に぀いお$a_1$ の寄䞎は\r\n$$(1+2+\\dots +10)\\cdot 10^4$$\r\nである$a_2,a_3,a_4,a_5$ に぀いおも同様であるので結局$a...
　正の敎数の組 $(a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4} , a_{5})$ であっお $$ \max ( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} , a_{5} )=10 $$ を満たすものすべおに぀いお$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ の総和を求めおください
OMCB028
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/tasks/10103
D
OMCB028(D)
200
196
230
[ { "content": "　$C$ さんが持぀カヌドに曞かれた数を $x,y,z,w$ ずする䞀番目の条件から $x+y+z+w$ は奇数であるここで$x,y,z,w$ のうちに偶数が $3$ ぀含たれるずするず䞉番目の条件からそれらは $4,8,10$ たたは $6,8,10$ であるがどちらの堎合も二番目の条件を満たさないよっお$x,y,z,w$ のうちに偶数は $1$ ぀のみ含たれるこのずき総和が $30$ 以䞊ずなる組み合わせは $5,7,9,10$ のみであり$A$ さんず $B$ さんそれぞれが持぀カヌドの曞かれた数の総和は $12$ であるあずは二番目の条件から考えれば$B$ ...
　$10$ 枚のカヌドがありそれぞれに $1$ から $10$ たでの敎数のうち $1$ ぀が䞀床ず぀曞かれおいたすこれらのカヌドを $A$ さん$B$ さん$C$ さんの $3$ 人に䜙りなく配ったずころ以䞋が成り立ちたした - $A$ さんず $B$ さんそれぞれが持぀カヌドに曞かれた数の総和は等しい - $B$ さんが持぀カヌドに曞かれた数の総積は $16$ で割り切れる - $C$ さんはカヌドを $4$ 枚持ち曞かれた数の総和は $30$ 以䞊である このずき$A$ さんが持぀カヌドに曞かれた数の総積ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMCB028
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/tasks/10925
E
OMCB028(E)
300
85
170
[ { "content": "　正の実数 $y$ の敎数郚分を $\\lfloor y \\rfloor$ で衚すこずずするず$\\\\{ y \\\\} = y - \\lfloor y \\rfloor$ である正の敎数 $m,n$ により $m = \\lfloor x^{2} \\rfloor, ~ n = x - \\\\{ x^2 \\\\}$ ずおくず次をすべお満たす $(m,n,x)$ の組を考えればよいずわかる\r\n$$ x - x^2 + m = n, \\quad m \\le x^2 \\lt m+1, \\quad n \\le 100 $$\r\nここで $x^2 = x+m-n$...
　正の実数 $x$ であっお$ x - \\{ x^2 \\} $ が $100$ 以䞋の正の敎数であるものはいく぀ありたすかただし正実数 $y$ に察しお $ \\{ y \\} $ で $y$ の小数郚分を衚したす
OMCB028
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/tasks/9710
F
OMCB028(F)
400
31
82
[ { "content": "　$4$ ぀の栌子点を頂点ずする䞀蟺の長さが $1$ の正方圢の**内郚の領域**を**小正方圢**ず呌ぶこずにする点 $E(100,0)$ をずるず䞉角圢 $CDE$ は䞉角圢 $BAC$ を $O$ (これは栌子点である) を䞭心に $90^\\circ$ 回転させたものであるよっお求める倀は四角圢 $ACED$ の内郚呚を含むに含たれ線分 $CD$ ず共有点を持たないような小正方圢の個数である\\\r\n　たず䞉角圢 $OAD$ は等しい二蟺の長さが $100\\sqrt{5}$ の盎角二等蟺䞉角圢であるからこの内郚呚を含むに含たれる小正方圢の個数は\r\...
　$xy$ 平面䞊に $4$ ぀の点 $A(0,100 \sqrt{5} ), B(-100,0), C(0,100), D(100 \sqrt{5} ,0)$ がありたすこのずき$4$ ぀の栌子点を頂点ずする䞀蟺の長さが $1$ の正方圢であっおその正方圢党䜓が四角圢 $ABCD$ の内郚呚も含むに含たれるようなものはいく぀ありたすか 
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/12643
A
OMCB027(A)
100
314
318
[ { "content": "　$a+b+c+d+e=S$ ずするず䞎匏は\r\n$$\\begin{cases}\r\nS-e=16 \\\\\\\\ \r\nS-a=15 \\\\\\\\ \r\nS-b=11 \\\\\\\\\r\nS-c=12 \\\\\\\\\r\nS-d=14 \\\\\\\\\r\n\\end{cases}$$ \r\nずなるのでこれらの䞡蟺を党お足すこずで\r\n\r\n$$5S-(a+b+c+d+e)=68$$\r\n\r\nから $S=17$ を埗るしたがっお\r\n\r\n$$(a,b,c,d,e)=(2,6,5,3,1)$$\r\n\r\nより解答すべき倀は $\\tex...
　$5$ ぀の実数 $a,b,c,d,e$ が次の匏を満たしおいるずき$abcde$ の倀を求めおください $$\begin{cases} a+b+c+d=16 \\\\ b+c+d+e=15 \\\\ c+d+e+a=11 \\\\ d+e+a+b=12 \\\\ e+a+b+c=14 \\\\ \end{cases}$$
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/9866
B
OMCB027(B)
100
304
311
[ { "content": "　盎角䞉角圢の盞䌌により $BD:AD=AD:CD$ であるこずから$BD(169-BD)=60^2$ が成り立぀これを解くず $\\\\{BD,CD\\\\}=\\\\{25,144\\\\}$ ずなるので求める倀は $25^2+144^2=\\mathbf{21361}$ ず蚈算できる\\\r\n　しかし実際には以䞋のように$BD,CD$ の具䜓的な倀は蚈算しなくおもよい\r\n$$BD^2+CD^2=(BD+CD)^2-2BD\\times CD=BC^2-2AD^2=169^2-2\\times60^2=\\mathbf{21361}.$$\r\n　あるいは解ず係数...
　$\angle{A}=90^{\circ},~BC=169$ なる盎角䞉角圢 $ABC$ においお$A$ から蟺 $BC$ に䞋ろした垂線の足を $D$ ずするず$AD=60$ が成り立ちたしたこのずき$BD^2+CD^2$ の倀を求めおください
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/8531
C
OMCB027(C)
100
297
306
[ { "content": "　以䞋により $\\mathbf{6}$ 通りあるずわかる\r\n\r\n- $1,2$ 文字目を $1,3$ ず解釈するか$13$ ず解釈するかで $2$ 通り\r\n- $3,4,5$ 文字目を $1,1,8$ ず解釈するか$11,8$ ず解釈するか$1,18$ ず解釈するかで $3$ 通り\r\n- これらは独立に遞ぶこずができる残りは $20,8$ しかありえない", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/8531" } ]
　英倧文字からなる文字列 $s$ に察しお各文字をそれがアルファベット順に $A$ から数えお䜕番目にあるかを衚す敎数で眮き換えた文字列を $f(s)$ ずしたす䟋えば $$ f(ABC)=f(LC)=f(AW)=123 $$ ずなりたす$f(s)=13118208$ をみたす文字列 $s$ はいく぀ありたすかただし英倧文字は党郚で $26$ ぀ありたす
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/3721
D
OMCB027(D)
100
283
296
[ { "content": "$$\\underbrace{111\\cdots111}\\_{n \\text{ 個}}=\\dfrac{10^n -1}{9}$$\r\nず衚珟されるから$10^n-1$ が $3^2\\times 7\\times 37$ で割り切れるこずず同倀であるここで $3^2$ では垞に割り切れ\r\n$$7\\mid 10^n-1 \\iff 6\\mid n,\\quad 37\\mid 10^n-1\\iff 3\\mid n$$\r\nであるから党䜓で条件は $6\\mid n$ であり求める総和は $\\sum_{k=1}^{129} \\limits 6k=$ $\\...
　$\underbrace{111\cdots111}_{n \text{ 個}}$ が $777$ で割り切れるような$777$ 以䞋の正敎数 $n$ の総和を求めおください
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/12407
E
OMCB027(E)
200
101
209
[ { "content": "　$x$ の敎数郚分を $n~(1\\leq n\\leq 100)$ ずする$x=n+\\lbrace x \\rbrace$ ず衚せるので次が成り立぀\r\n$$\\lbrace x^{2} \\rbrace = \\lbrace n^{2} + 2 n \\lbrace x \\rbrace + \\lbrace x \\rbrace ^{2}\\rbrace=\\lbrace 2 n \\lbrace x \\rbrace + \\lbrace x \\rbrace ^{2}\\rbrace$$\r\nこれが $\\lbrace x \\rbrace ^...
　$1$ 以䞊 $101$ 未満の実数 $x$ であっお以䞋の等匏をみたすものの総和を求めおください $$\lbrace x^{2} \rbrace =\lbrace x \rbrace ^{2} $$ 　ただし正の実数 $r$ の小数郚分を $\lbrace r \rbrace$ ず衚すものずしたす
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/9006
F
OMCB027(F)
300
172
273
[ { "content": "　$k^{\\frac{72}{k}}$ が正敎数倀であるずき$k= m^{\\frac{k}{\\gcd(72,k)}}$ なる正敎数 $m$ が存圚する$n=k\\/\\gcd(72,k)$ ずおけばこれは぀ねに正敎数である以䞋が成り立぀\r\n$$m^n=n\\gcd(72,m^n).$$\r\n　いた$k$ が $72$ の玄数であれば぀ねに条件をみたすこれは $n=1$ の堎合に察応するから$n \\geq 2$ のずきを考える$m^n\\leq 72n$ ずなるこずに留意しお絞り蟌むず\r\n$$(m,n) = (4,2),(12,2),(3,3),(6,...
　$k^{\frac{72}{k}}$ が敎数倀ずなるような正敎数 $k$ の総和を求めおください
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/9594
G
OMCB027(G)
300
141
171
[ { "content": "　$DC = AF$ か぀ $DC \\parallel AF$ であるから四角圢 $ADCF$ は平行四蟺圢であるよっお$E$ は蟺 $AC$ の䞭点であるから二等分線の性質より $AD : CD = AE : CE = 1:1$ が成り立ち四角圢 $ADCF$ は特にひし圢であるしたがっお䞉角圢 $ABD$ ず䞉角圢 ${ADE}$ の面積は等しく$\\angle AED = 90^\\circ$ である\\\r\n　ここで$\\angle{BAD} = \\angle{DAC}$ であり䞉角圢 $ABD}$ ず䞉角圢 $AED$ の面積が等しいため$AB = ...
　$AB \lt AC$ なる䞉角圢 $ABC$ に぀いお$\angle{BAC}$ の二等分線ず蟺 $BC$ ずの亀点を $D$ ずしたす$\angle{ADC}$ の二等分線が 蟺 $AC$$A$ を通り盎線 $BC$ に平行な盎線ずそれぞれ $E, F$ ず亀わっおいたす$$AB = 1,\quad AF = CD$$ が成り立ちさらに䞉角圢 $ABD$ ず䞉角圢 $AEF$ の面積が等しいずき四角圢 $ABCF$ の面積の $2$ 乗を求めおくださいただし求める答えは互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac ab$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMCB027
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/tasks/11286
H
OMCB027(H)
300
61
102
[ { "content": "　䞎匏を倉圢するず以䞋のようになる\r\n $$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\dfrac{y^2}{x^2}+\\dfrac{z^2}{y^2}-\\dfrac{2y}{x}+\\dfrac{2z}{y}+\\dfrac{3x}{z}& =\\left(\\dfrac{y}{x}-\\dfrac{z}{y}\\right)^2+\\dfrac{2z}{x}-2\\left(\\dfrac{y}{x}-\\dfrac{z}{y}\\right)+\\dfrac{3x}{z}\\\\\\\\\r\n& =\\left(\\dfrac{y}{x}-\\dfrac{z}{...
　正の実数 $x , y , z$ に぀いお $$ \dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}-\dfrac{2y}{x}+\dfrac{2z}{y}+\dfrac{3x}{z} $$ の最小倀を求めおください ただし求める倀は正の敎数 $a , b$ を甚いお $\sqrt{a}-b$ ず衚せるので $a+b$ の倀を解答しおください
OMC234
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/tasks/10893
A
OMC234(A)
200
290
305
[ { "content": "　 $N=2^{44}-1$ ずする $N$ を因数分解するこずで以䞋のようになる\r\n $$\r\n\\begin{aligned}\r\nN& =\\left(2^{22}-1\\right)\\left(2^{22}+1\\right)\\\\\\\\\r\n& =\\left(2^{11}-1\\right)\\left(2^{11}+1\\right)\\left(2\\times2^{10}-2\\times2^{5}+1\\right)\\left(2\\times2^{10}+2\\times2^5+1\\right)\\\\\\\\\r\n& =2047\\time...
　 $2^{44}-1$ は盞異なる $7$ ぀の玠数の積ずしお衚すこずができたすそれら $7$ ぀の玠数の総和を求めおください
OMC234
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/tasks/11471
B
OMC234(B)
300
140
212
[ { "content": "　たず䞎えられた倀が正になるこずから $mn-6\\gt0$ が必芁であるたた盞加・盞乗平均の䞍等匏より\r\n$$ (m^2+4)(n^2+9)=(3m+2n)^2+(mn-6)^2\\geq2(3m+2n)(mn-6) $$\r\nが成り立぀こずから䞎匏がずりうる正敎数倀は $1$ のみでありさらに䞎匏が $1$ であるこずは䞊匏で等号成立条件を考えるこずで $3m+2n=mn-6$ ず同倀であるこれは $(m-2)(n-3)=12$ ず蚀い換えられこれをみたすのは\r\n $$\r\n(m , n)=(3,15),(4,9),(5,7),(6,6),(8,5),(1...
　正敎数の組 $(m,n)$ であっお $$ \dfrac{2(3m+2n)(mn-6)}{(m^2+4)(n^2+9)} $$ が正敎数ずなるものすべおに぀いお$mn$ の総和を求めおください
OMC234
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/tasks/11129
C
OMC234(C)
400
95
189
[ { "content": "　䞀般に $2$ 行 $n$ 列のマス目を塗り分けるこずを考える以䞋$x$ 行 $y$ 列のマス目が黒で塗られおいるこずを $(x,y)=B$癜で塗られおいるこずを $(x,y)=W$ ず衚す\\\r\n　問題文の条件を満たす塗り分け方であっお$(1,1)=(2,1)=W$ である塗り分け方の数$(1,1)=W,(2,1)=B$ である塗り分け方の数$(1,1)=(2,1)=B$ である塗り分け方の数をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ ずする\r\n\r\n　$(1,1)=(2,1)=W$ であるずき次のいずれかが成り立぀ただし$n\\geq 4$ ずしおいる\...
　$2\times 10$ のマス目があり各マスを黒たたは癜で塗りたす次の条件を満たすマスを**良いマス**ず呌びたす - そのマスず蟺を共有しお隣接しおいるマスのうち黒癜で塗られたものの数をそれぞれ $B,W$ ずするず$B\geq W\geq1$ が成り立぀ 黒で塗られたマスが党お良いマスであるような塗り方は䜕通りありたすか\ 　ただし回転や反転で䞀臎するものは区別し党お癜たたは党お黒で塗っおもよいものずしたす
OMC234
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/tasks/11368
D
OMC234(D)
400
28
70
[ { "content": "　$C,G$ から盎線 $AB$ に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q$ ずし$DM$ ず $\\omega$ の亀点のうち $D$ でない方を $F$ ずする\\\r\n　$MG=GE$ より $MQ=QE$ であるこれず $MQ:MP=MG:MC=1:3$ であるこずより$ME=\\dfrac{2}{3}MP$ を埗るたた次の角床蚈算により$AB\\parallel CF$ がわかる\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle ABF+\\angle BFC&=\\angle ABC+\\angle FDC +(180^\\circ-\\angl...
　 $AC\lt BC$ を満たす䞉角圢 $ABC$ があり倖心を $O$重心を $G$倖接円を $\omega$ ずしたす $AB$ の䞭点を $M$ ずし䞉角圢 $OMC$ の倖接円ず $\omega$ ずの亀点のうち $C$ でない方を $D$ $CD$ ず $AB$ の亀点を $E$ ずした時以䞋が成り立ちたした $$ AB=10,\quad EG=MG,\quad DG=2\sqrt{7} $$ この時$CM^2$ の倀を求めおください
OMC234
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/tasks/12339
E
OMC234(E)
500
30
44
[ { "content": "　$a_nb_n\\neq\\pm1$ であるずするず\r\n $$\r\na_{n+1}=\\dfrac{a_n+b_n}{1-a_nb_n},\\quad b_{n+1}=\\dfrac{a_n-b_n}{1+a_nb_n}\r\n $$\r\nずなりこの結果ず $a_1b_1\\neq\\pm1$ から垞に $a_nb_n\\neq\\pm1$ であるので䞊の匏も垞に成り立぀こずがわかるここで$180^\\circ$ を法ずしお\r\n $$\r\na_n=\\tan{\\alpha_n},\\quad b_n=\\tan{\\beta_n}\r\n $$\r\nずおくず...
　実数列 $\lbrace a_n\rbrace,\lbrace b_n\rbrace$ が $a_1=\tan\dfrac{2\pi}{111}, b_1=\tan\dfrac{\pi}{111}$ をみたしさらに任意の正の敎数 $n$ に察しお以䞋をみたしおいたす $$ a_n=b_n+b_{n+1}+a_nb_nb_{n+1},\quad a_{n+1}=a_n+b_n+a_nb_na_{n+1} $$ このずき以䞋の極限倀が定たりたす $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_1}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{b_k^3}{(\sqrt2)^k(b_k^2-1)...
OMC234
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/tasks/12304
F
OMC234(F)
500
13
27
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$ ずするこのずき有名事実ずしお $M$ は線分 $DH$ の䞭点である\r\n<details>\r\n<summary>$M$ が線分 $DH$ の䞭点であるこずの蚌明<\\/summary>\r\n　盎線 $BH$ ず盎線 $CD$ はずもに盎線 $AC$ ず垂盎であるからこの $2$ 盎線は平行である同様に盎線 $CH$ ず盎線 $BD$ も平行であるから四角圢 $BDCH$ は平行四蟺圢であるよっお$M$ はこの平行四蟺圢の察角線の亀点であるから特に線分 $DH$ の䞭点である\r\n<\\/details>\r\n\r\...
　$AB\lt AC$ なる鋭角䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\Gamma$ ずしたす蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずし線分 $AD$ が $\Gamma$ の盎埄ずなるような点 $D$ をずりたすさらに盎線 $DM$ ず $\Gamma$ ずの亀点のうち $D$ でない方を $E$ ずするず䞉角圢 $CEM$ の倖接円ず線分 $AB$ の亀点がちょうど䞀぀存圚したのでそれを $F$ ずしたすこのずき以䞋が成り立ちたした $$ CE : EF =4 : 1,\quad DM : EM=4 : 9,\quad BF=1 $$ このずき $BC^2$ の倀を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正...
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A
NF杯2024(A)
100
195
201
[ { "content": "　䞉平方の定理の逆から $\\angle BAC=\\angle BAD=\\angle CAD=90^\\circ$ が分かるので四面䜓 $ABCD$ の䜓積は\r\n\r\n$$\\dfrac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{2}\\cdot AB\\cdot AC\\cdot AD=\\sqrt{\\frac{2}{9}}$$\r\n\r\nずなる解答すべき倀は $\\bold{11}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/edi...
$$AB=\sqrt{1}, \quad AC=\sqrt{2}, \quad BC=\sqrt{3}, $$ $$ AD=\sqrt{4}, \quad BD=\sqrt{5}, \quad CD=\sqrt{6}$$ を満たす四面䜓 $ABCD$ の䜓積を求めおください求める倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
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B
NF杯2024(B)
100
153
183
[ { "content": "　繰り䞊がりは高々 $1$ であるこずず $む\\neq げ$ から\r\n$$む=1, \\quad げ=0, \\quad い=8,9$$\r\nがわかるどの文字も盞異なる数を衚すこずに泚意しお党おの $う$ に぀いお調べ䞊げるこずで\r\n$$(い,う,げ,の,む,ん)=(9,2,0,4,1,8),(8,3,0,6,1,2),(9,6,0,2,1,5)$$\r\n぀たり\r\n$$むのう=142, ~ 163, ~ 126$$\r\nがわかるので求める倀は $\\mathbf{431}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https:/...
　今幎床の11月祭 (NF) の統䞀テヌマは「無限の才胜。略しお無胜」です 　$い,う,げ,の,む,ん$ を盞異なる $0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数ずしたす $$むげんの-いのう=むのう$$ が成り立぀ずき$むのう$ ずしおありうる倀の総和を答えおください 　ただし平仮名を䞊べたものは察応する数字を暪に䞊べお十進法で読んだ敎数を指しおいたすたずえば $む=1,の=2,う=3$ のずき $むのう=123$ ですたた$い,む$ は $0$ でないずしたす
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C
NF杯2024(C)
100
151
166
[ { "content": "　十進法で $2,3,7,8$ のみを桁に持぀自然数の集合を $S_0$ ずおく\r\n$S_0$ の芁玠で桁数が $k$ 以䞋であるものは $4^k+4^{k-1}+\\dots+4^1=\\frac{4^{k+1}-4}{3}$ 個あるこずに泚意する\r\n\r\n　条件を満たす $n$ は $N\\in S_0$ ず $M=0,1,2,\\dots$ を甚いお $n=N^{(2^M)}$ ず衚せるそこで䞍等匏 $N^{(2^{M})} \\lt 10000$ を各 $M$ に぀いお考える\r\n\r\n- $M=0,1,2$ のずきそれぞれ $N \\lt 10^{4},...
　以䞋の条件を満たす $1$ 以䞊 $10000$ 以䞋の敎数 $n$ の個数を求めおください - $n$ から始めお平方根を取り続けお埗られる正の実数列 $n, \sqrt{n}, \sqrt{\sqrt{n}}, \dots$ の䞭に十進法衚瀺で $2, 3, 7, 8$ のみを甚いお衚せる正の敎数が存圚する
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D
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100
128
135
[ { "content": "　$\\angle ACB=\\angle ACD=45^\\circ$$\\angle AFE=\\angle AFD$ より$A$ は䞉角圢 $CEF$ の傍心ずなるしたがっお $\\angle AEB=\\angle AEF=\\angle CEF$ ずなりこれらはすべお $60^\\circ$ に等しいよっお$AB:BE=\\sqrt{3}:1$ ず $AB=6$ より \r\n$$BE=2\\sqrt{3}CE=BC-BE=6-2\\sqrt{3}$$\r\nがわかり$CE:CF=1:\\sqrt{3}$ より \r\n$$CF=6\\sqrt{3}-6DF=C...
　䞀蟺の長さが $6$ である正方圢 $ABCD$ の蟺 $BC$ 䞊端点を陀くに点 $E$蟺 $CD$ 䞊端点を陀くに点 $F$ をずるず $$\angle AEF=\angle CEF,\quad \angle AFE=\angle AFD$$ が成り立ちたしたこのずき線分 $DF$ の長さは正の敎数 $a,b$ を甚いお $a-\sqrt{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
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E
NF杯2024(E)
200
135
150
[ { "content": "　$S=x_1+x_2+\\cdots+x_{10}$ ずするず条件より $i=1,2,\\cdots,10$ に察しお $S$ ず $S-2x_i$ はずもに敎数であるから$2x_i$ は敎数でありある $y_i \\in \\\\{ 0, 1, 2, 3, 4 \\\\}$ によっお $x_i=\\dfrac{y_i}{2}$ ずおけるこのずき $S$ が敎数であれば\r\n$$\\pm x_1 \\pm x_2 \\pm x_3 \\pm \\cdots \\pm x_{10}$$\r\nずいう圢で衚される実数はすべお敎数ずなるので条件は $y_i$ が奇数ずなるような $...
　$0$ 以䞊 $2$ 以䞋の実数の組 $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{10})$ であっお $$\pm x_1 \pm x_2 \pm x_3 \pm \cdots \pm x_{10}$$ ずいう圢で衚される $2^{10}$ 個の実数がすべお敎数ずなるようなものの個数を解答しおください
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F
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200
74
82
[ { "content": "　$S_n = \\displaystyle\\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ および $T_{n}=\\displaystyle\\sum_{k=1}^{n} S_{k}$ ずする$\\\\{a_{n}\\\\}$ の挞化匏は\r\n$$\r\na_{n+1} =\\frac{n^{3}+4n^{2}+6n+3}{n^{2}+n+1}a_{n}\r\n=\\frac{(n+1)(n^{2}+3n+3)}{n^{2}+n+1}a_{n}\r\n$$\r\nよりこれを倉圢しお\r\n$$\r\n\\frac{1}{(n+1)^2 + (n+1) + 1} \\cdot \\fra...
　実数列 $\\{a_{n}\\}\_{n=1,2,\ldots}$ を $a_1 = 3$ および $$a_{n+1}=\dfrac{n^3+4n^2+6n+3}{n^2+n+1}a_{n} \quad (n= 1, 2, 3, \ldots) $$ によっお定めたすこのずき $$T = \sum_{n=1}^{2024} \sum_{k=1}^{n}a_{k}$$ は $100$ 桁以䞊の正の敎数ずなるので$T$ の䞋 $100$ 桁の各䜍の和を解答しおください <details><summary>解答圢匏の䟋<\/summary> 　たずえば$1234567890$ の䞋 $4$ 桁の各䜍の和は ...
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G
NF杯2024(G)
200
46
56
[ { "content": "　$3$ 亀点を通る円を $C$ ずしおその方皋匏を $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ずする$2$ 曲線の亀点を $(\\alpha_1,\\alpha_1^2),(\\alpha_2,\\alpha_2^2),(\\alpha_3,\\alpha_3^2)$ ずする$\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3$ は次の $3$ 次方皋匏の $3$ 解である\r\n$$x^3-x^2-\\frac{17}{12}x+\\frac{7}{22}=0$$\r\n点 $(\\alpha_1,\\alpha_1^2),(\\alpha_2,\\alpha_2^2),...
　$xy$ 平面においお曲線 $y=x^2$ ず曲線 $y=x^3-\dfrac{17}{12}x+\dfrac{7}{22}$ は $3$ ぀の亀点をもちこれらは同䞀盎線䞊にはありたせんこの $3$ 点を通る円の半埄は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ず衚されるため$a+b$ の倀を解答しおください
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H
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200
68
72
[ { "content": "　$\\Gamma$ の䞭心を $O$ ずし盎線 $BF$ ず盎線 $DG$ の亀点を $X$ ずする円呚角の定理などから\r\n$$\\angle ADB=\\angle ACB=\\angle GCE=\\angle GDE=\\angle ADX$$\r\nより$2$ 点 $B, X$ は $\\Gamma$ の盎埄 $AD$ に぀いお察称であり$AX=AB=20$ がわかるたた円呚角の定理などから\r\n$$\\angle GAE=\\angle FAE=\\angle GBE=\\angle CBX=\\angle CAX=\\angle GAX$$\r\nおよび...
　$AB = 20, ~ AC = 24$ をみたす鋭角䞉角圢 $ABC$ がありその倖接円を $\Gamma$ ずしたす線分 $AD$ が $\Gamma$ の盎埄ずなるような点 $D$ をずり盎線 $AD$ ず蟺 $BC$ の亀点を $E$ ずしたす䞉角圢 $ABE,CDE$ それぞれの倖接円が蟺 $AC$ ず点 $F (\neq A),~ G (\neq C)$ で亀わっおおりさらに盎線 $BF$ ず盎線 $DG$ は $\Gamma$ 䞊で亀わりたしたこのずき$\Gamma$ の半埄は正の敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{a}-b$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
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I
NF杯2024(I)
200
100
115
[ { "content": "　$S_i = \\dfrac{i(i+1)}{2}$ ずおき条件を満たさない $n$ が$3$ および非負敎数 $k$ によっお $2^k$ ず衚される正敎数のみであるこずを瀺そう\r\n\r\n　たず$n=3$ ず $n=2^k$ が条件を満たさないこずを瀺す$n=1,2,3$ のずきは明らか$n=2^k$ $(k\\geq 2)$ のずき$1\\leq a\\lt b\\leq 2^k-1$ なる敎数 $a,b$ であっお $S_a\\equiv S_b\\pmod{2^k}$ をみたすものがあるずするず\r\n $$\\frac{1}{2}(b-a)(a+b+...
　$1$ 以䞊 $100$ 以䞋の敎数 $n$ であっお $$ 1 + 2 + \cdots + a \equiv 1 + 2 + \cdots + b \pmod{n} $$ を満たす盞異なる $1$ 以䞊 $n$ 未満の敎数 $a,b$ が存圚するものの総和を求めおください
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J
NF杯2024(J)
200
81
100
[ { "content": "　$nnunou$ の $ou$ に察しお操䜜を行うず $nnunno$ ずなるので$nnunno$ に有限回の操䜜を行うこずで埗られる文字列の総数を求めればよい \r\n　$nnunn$ に操䜜を行うこずで埗られる文字列に぀いお考察する$n$ のうち巊から奇数番目にあるものの数を $n_l$偶数番目にあるものの数を $n_r$ ずするず操䜜によっお $n_l-n_r$ の数は䞍倉なので条件を満たす文字列に぀いお $n_l=n_r$ が成り立぀ \r\n　たた$nnunn$ は $2$ 回の操䜜で $uuuuu$ にするこずができ任意の $1\\leq i\\lt j\...
　各文字が $u,n,o$ のいずれかである文字列を**良い文字列**ずよびたす良い文字列に察しお**操䜜**を次のように定矩したす - **操䜜**隣り合う $2$ 文字を遞びそれらの䜍眮を入れ替えた埌に双方の文字をそれぞれ $180^\circ$ 回転する$2$ 文字をひずかたたりにしお $180^\circ$ 回転させるず考えおもよい ただし$180^\circ$ 回転によっお $n$ は $u$ に$o$ は $o$ に$u$ は $n$ に倉化するずしたすたずえば$no$ に操䜜を行うず $ou$ になりたすこのずき有限回の操䜜を行うこずで $$nnunou$$ にするこずができ...
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K
NF杯2024(K)
200
50
59
[ { "content": "　たず以䞋を瀺す\r\n\r\n **補題 1** 正の敎数 $x, y$ が $x^y = y^x$ を満たすならば\r\n$(x,y) = (k,k), (2,4), (4,2)$ である $(k$ は正の敎数$)$\r\n\r\n<details>\r\n<summary> 蚌明 <\\/summary>\r\n　$2\\leq x \\lt y$ であるような解が $x = 2, y=4$ に限るこずを瀺せばよい有理数 $a\\gt 1$によっお $y = ax$ ず眮くず $(x^{a})^{x} = (ax)^{x}$ずなるのでこれを解くず $x = a^{\\f...
　$\\{ 1,2,\dots, 2024\\} $ の郚分集合$2^{2024}$ 個すべおを定矩域ずし$1$ 以䞊 $2024$ 以䞋の敎数倀をずる関数 $f$ であっお任意の郚分集合 $X, Y \subset \\{ 1,2,\dots, 2024\\}$ に察しお $$f(X)^{f(Y)} = f(X\cup Y)^{f(X\cap Y)}$$ を満たすものの個数を解答しおください
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L
NF杯2024(L)
300
55
98
[ { "content": "　$f(n)=(n^{2024}-1)n^{11}$ ずし答えを $M$ ずしたす \r\n\r\n玠数 $p$ に぀いお 任意の敎数 $n$ に察しお $f(n)$ が$p$ で割り切れるための必芁十分条件は任意の $p$ で割り切れない敎数 $n$ に察しお $n^{2024}-1$ が $p$ の倍数ずなるこずです\r\n\r\n$n$ が $\\mathrm{mod} ~ p$ における原始根でも成り立っおいる必芁があるため $p-1$ が $2024$ の玄数であるこずが必芁です\r\n\r\n逆に $p-1$ が $2024$ の玄数であるならば $M$ は $...
　任意の敎数 $n$ に察しお $$\dfrac{(n^{2024}-1)n^{11}}{m}$$ が敎数ずなるような正敎数 $m$ のうち最倧のものを求めおください
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M
NF杯2024(M)
300
32
41
[ { "content": "　$S=\\\\{1,\\ldots,999\\\\}$ ずおく茝く曞き蟌み $K$ に察し$i\\in S$ であっお $i$ 行 $i$ 列目に曞き蟌たれおいるものを $K$ の**茝く数**ずよび$i\\in S$ のうち $K$ の茝く数でないものを $K$ の**茝かない数**ずよぶ\r\n\r\n　$S$ の郚分集合 $A$ に察しお茝く曞き蟌みのうち以䞋の $2$ 条件を満たすものの集合を $E(A)$ ずする\r\n\r\n- $i\\in A$ ならば$i$ は $i$ 行目のマスに曞き蟌たれおいる\r\n- $i\\not\\in A$ ならば$i$ ...
　$999×999$ のマス目がありたすいく぀かのマスに $1$ 以䞊 $999$ 以䞋の敎数を $1$ ぀ず぀曞き蟌む方法であっお以䞋の条件をずもに満たすようなものを**茝く曞き蟌み**ず呌びたす - どの行列に぀いおも曞き蟌たれる数字はちょうど $1$ ぀である - $i=1,2,\dots,999$ に぀いお $i$ は $i$ 行目たたは $i$ 列目のマスに曞き蟌たれおいる 茝く曞き蟌みにおいお$i$ が $i$ 行 $i$ 列目のマスに曞き蟌たれおいるような $1$ 以䞊 $999$ 以䞋の敎数 $i$ の個数を $n$ ずするずきこの曞き蟌み方の**茝床**を $2^n$ によっお定めたす...
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N
NF杯2024(N)
300
28
37
[ { "content": "　倚項匏 $f(x)$ に察しお $p_{i}(f)$ $(i=0,1,\\dots,5)$ を$f$ の $x^k$ の係数のうち $k$ が $6$ で割っお $i$ 䜙るものの総和ずする任意の倚項匏 $f, g$ および倚項匏\r\n\r\n$$Q(x)=a_5x^5+\\cdots +a_1x+a_0$$\r\n\r\nに察しお\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\np_i(f+g)=p_i(f)+p_i(g),\\quad p_i(Qf)=\\sum_{k=0}^{5}a_kp_{i-k}(f)\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nが成...
　箱の䞭に $1$ 以䞊 $2024$ 以䞋の敎数のうち $1$ ぀が曞かれたカヌドがそれぞれ $1$ 枚ず぀合蚈 $2024$ 枚入っおいたす箱の䞭から無䜜為にカヌドを $1$ 枚取り出し曞かれた敎数を蚘録しお箱の䞭に戻すずいう操䜜を考えたす正の敎数 $n$ ず $0$ 以䞊 $5$ 以䞋の敎数 $i$ に察しこの操䜜を $n$ 回行ったずきに蚘録された $n$ 個の敎数の和 $S_n$ が $S_n\equiv i \pmod 6$ をみたす確率を $P(n,i)$ ずしたすこのずき $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\max_{0\leq i\leq 5}P(n,i)-\min_{0...
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O
NF杯2024(O)
300
29
32
[ { "content": "　$N=101$ ずおく以䞋単に䞉角圢ずいえば $P$ に属する $3$ 点からなる䞉角圢のこずを指すものずする$O$ を内郚に含むような䞉角圢党䜓の集合を $X_3$ ずし$P$ に属する $4$ 点の組であっおその凞包が $O$ を含むようなもの党䜓の集合を $X_4$ ずするたた$X_3$ に属する䞉角圢ず $P$ に属する $1$ 点の組であっお遞んだ $1$ 点が䞉角圢の頂点でないようなもの党䜓の集合を $Y$ ずするこのずき, $|Y|=(2N-3)|X_3|$ が成り立぀こずが容易に分かる$X_4$ に属する $4$ 点の組 $Q$ をずるずき$Q$ の...
　$\alpha=\dfrac{2\pi}{101}$ ずし$O$ を原点ずする座暙平面䞊の点からなる集合 $P$ を $$P=\big\\{ (n\cos n\alpha, n\sin n\alpha\big)\ \big|\ n=1, 2, \ldots, 202\big\\}$$ によっお定めたす$P$ から盞異なる $4$ 点を遞ぶ方法であっおその凞包の内郚倖呚を含むに $O$ が含たれるようなものは䜕通りありたすか
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P
NF杯2024(P)
400
15
23
[ { "content": "　特に断らない限り合同匏は $5$ を法ずする$f(1)=1$ は $5$ の倍数ではない$n\\geq 2$ においお\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(n) & = \\sum_{k=1}^n\\frac{nk}{\\text{gcd}(n,k)}\\\\\\\\\r\n& = n\\sum_{d|n} \\sum_{\\substack{1\\leq k\\leq n\\\\\\\\ \\text{gcd}(n,k)=d}}\\frac{k}{d}\\\\\\\\\r\n&=n\\sum_{d|n}\\sum_{\\substack{1\\leq m...
　$100$ 以䞋の玠数 $25$ 個の総積を $N$ ずしたすたた正の敎数 $n$ に察し $$f(n)=\sum_{k=1}^n{\mathrm{lcm}(n,k)}$$ ずおきたす$N^{2024}$ の正の玄数 $2025^{25}$ 個から $1$ ぀を無䜜為に遞ぶずき$f(n)$ が $5$ の倍数ずなる確率は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
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Q
NF杯2024(Q)
400
12
18
[ { "content": "　$S$ を問題の総和ずするたた以䞋では合同匏の法は $3$ であるずし$x_{10+k}=x_{k}, y_{10+k}=y_{k}$ ずなるように $x_{11}, y_{11}, x_{12}, y_{12}, \\dots$ を定める\r\n\r\n　$A= \\\\{ (1,3), (3,1), (1,1), (3,3), (2,2) \\\\}$$B = \\\\{ (2,1), (1,2), (2,3), (3,2) \\\\}$ ずおく$(a,b) \\in A$ であるずき$a^y + y^b \\bmod{3}$ を $y=4,5,6$ に察しお蚈算するず...
　各項が $1$ 以䞊 $3$ 以䞋の敎数列 $X=(x_1,x_2,\dots, x_{10})$ ず各項が $4$ 以䞊 $6$ 以䞋の敎数列 $Y=(y_1,y_2,\dots, y_{10})$ の組 $(X,Y)$ であっお $$ x_{1}^{y_1} + y_1^{x_2} + x_2^{y_2} + y_2^{x_3} + \dots + x_9^{y_9} +y_{9}^{x_{10}} + x_{10}^{y_{10}} + y_{10}^{x_{1}} $$ が $3$ の倍数ずなるようなものの個数を解答しおください
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R
NF杯2024(R)
400
10
15
[ { "content": "　盎線 $RH$ ず $\\Gamma$ の亀点を $S$ $(S\\neq R)$ ずする$H$ ず $P$ は盎線 $AC$ に関しお察称であり$H$ ず $Q$ は盎線 $AB$ に関しお察称であるから$A$ を䞭心ずし $H$ を通る円を $\\Omega$ ずするず$\\Omega$ は $P, Q$ を通る線分 $AR$ が $\\Gamma$ の盎埄であるこずから $\\angle{APR}=\\angle{AQR}=90^\\circ$ であり$\\Omega$ は盎線 $PR, QR$ ずそれぞれ $P, Q$ で接するたた$O$ を䞭心ずし$M, N$...
　半埄 $2024$ の円 $\Gamma$ に内接する䞉角圢 $ABC$ がありその垂心を $H$倖心を $O$ ずしたす盎線 $BH, CH, AO$ ず $\Gamma$ が再び亀わる点をそれぞれ $P(\neq B),~ Q(\neq C), ~ R(\neq A)$ ずしたす線分 $PR, QR$ の䞭点をそれぞれ $M, N$ ずし盎線 $MN$ ず盎線 $BC$ の亀点を $X$ ずするずき䞉角圢 $AHO$ ず䞉角圢 $RXH$ は盞䌌でした点は䞊び順の通りに察応するこのずき線分 $XR$ の長さの二乗は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b...
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S
NF杯2024(S)
400
5
11
[ { "content": "　䞎えられた挞化匏は\r\n$$ x_{n+1}=\\frac{x_n^2+x_{n+2}^2}{x_n+x_{n+2}} $$\r\nずいう圢や\r\n$$x_{n+2}(x_{n+2}-x_{n+1})=x_{n}(x_{n+1}-x_{n})$$\r\nずいう圢に倉圢できるこずに泚意するこれより\r\n$$S_{k}(n)=x_{n}x_{n+1}(x_{n+1}-x_{n})$$\r\nずするず任意の $n$ に぀いお $S_{k}(n)=S_{k}(n+1)$ がいえるたた任意の $n$ に぀いお $x_{n}, S_{k}(n)$ はどちらも正なので$x_{n}\...
　$k$ を $314$ 未満の正実数ずし正の実数列 $\\{ x_n \\}\_{n=1,2,\ldots}$ を $x_1 = k, ~ x_2 = 314$ および $$ x_{n+2} = \frac{1}{2} \Big( x_{n+1} + \sqrt{x_{n+1}^2 + 4x_nx_{n+1} - 4x_n^2} \Big) \quad (n = 1, 2, \ldots)$$ によっお定めたす各 $k$ に぀いお $x_m \leq 2024$ なる最倧の正の敎数 $m$ を $m_k$ ずするずき右極限 $$\lim_{k\to +0}km_k$$ は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\...
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T
NF杯2024(T)
500
4
7
[ { "content": "　平面 $AER$ を $p$ ずする$A,E,F,G,M,P,Q,R$ はすべお $p$ 䞊にあるこずに泚意する$E_1,E_2,E_3$ および $E^\\prime$ をそれぞれ\r\n$$\\overrightarrow{EE_1}=\\overrightarrow{EB}+\\overrightarrow{EC}$$\r\n$$\\overrightarrow{EE_2}=\\overrightarrow{EC}+\\overrightarrow{ED}$$\r\n$$\\overrightarrow{EE_3}=\\overrightarrow{ED}+\\overrigh...
　$5$ 点 $A,B,C,D,E$ がある球面 $\mu$ 䞊にあり以䞋を満たしおいたす - 盎線 $AE$ は平面 $BCD$ ず盎亀する - $\angle BEC=\angle CED=\angle DEB=90°$ 　䞉角圢 $BCD$ の重心を $G$盎線 $AG$ ず $\mu$ ずの亀点のうち $A$ でない方を $F$盎線 $EF$ ず平面 $BCD$ ずの亀点を $P$盎線 $AP$ ず $\mu$ ずの亀点のうち $A$ でない方を $Q$盎線 $GQ$ ず $\mu$ ずの亀点のうち $Q$ でないものを $R$線分 $ER$ の䞭点を $M$ ずしたす平面 $ABE$平面...
OMC233
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A
OMC233(A)
100
276
293
[ { "content": "　$\\big(4^{\\sin{\\alpha}}\\big)^{\\cos{\\alpha}} = 2^{2\\sin{\\alpha}\\cos{\\alpha}} = 2^{\\sin{2\\alpha}}$ が成り立぀から条件は $\\sin{2\\alpha}=\\dfrac{1}{2}$ ず同倀であるこのずき非負敎数 $n$ を甚いお $2\\alpha = \\biggl(\\dfrac{1}{6} + 2n\\biggr) \\pi$ たたは $2\\alpha = \\biggl(\\dfrac{5}{6} + 2n\\biggr) \\pi$ ず衚せるから$...
　$\big(4^{\sin{\alpha}}\big)^{\cos{\alpha}} = \sqrt{2}$ をみたす正の実数 $\alpha$ のうち小さい方から $20$ 番目にあたるものを求めお䞋さいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b} \pi$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC233
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B
OMC233(B)
300
134
225
[ { "content": "**補題.**　$ ζ = \\cos 72^\\circ + i \\sin 72^\\circ$ ずしたずき有理数 $a,b,c,d,e$ に察しお次が成り立぀\r\n$$ a + bζ + cζ^2 + dζ^3 + eζ^4 = 0 \\iff a = b = c = d = e.$$\r\n\r\n**蚌明.**　$\\zeta$ の最小倚項匏が $X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ であるこずから埓う\r\n\r\n----\r\n\r\n　$\\mathcal{S}$ に $T$ が $n$ 文字含たれおいるずし$k=2,3,\\ldots$ に察しお...
　座暙平面䞊の原点に OMC 君がおり$x$ 軞の正方向を向いおいたすいた各文字が $G$ ず $T$ のみからなる䞀方のみでもよい長さ $25$ の文字列 $\mathcal S$ がありこれに基づいお以䞋のような $25$ 回の操䜜を行いたす - $i$ 回目の操䜜 ($1 \leq i \leq 25$) では$\mathcal S$ の $i$ 文字目が $G$ ならば OMC 君をいた向いおいる方向に $1$ 進め$T$ ならばその堎で OMC 君の向いおいる方向を反時蚈回りに $72 ^ \circ$ 回転させる移動はしない すべおの操䜜が終わった埌に OMC 君が原点にいたずき文字...
OMC233
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C
OMC233(C)
300
62
88
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖接円䞊に $$ 点 $B, D, E, C$ がこの順に䞊ぶずしおよい諞々の長さを\r\n$$ BC= a, ~~ AD = d, ~~ AE = e, ~~ BD=DE=EC = x, ~~ BE = DC = y $$\r\nずおく四角圢 $ABDC, ~ ABEC$ に察するトレミヌの定理より\r\n$$ 13x + 5y = ad, \\quad 5x + 13y = ae $$\r\nを埗るので\r\n$$ x = \\frac{13d - 5e}{144} a, \\quad y = \\frac{13e - 5d}{144} a $$\r\n...
　$AB = 5, AC = 13$ をみたす䞉角圢 $ABC$ においお$\angle BAC$ の䞉等分線ず䞉角圢 $ABC$ の倖接円の亀点のうち $A$ でない方を $D, E$ ずするず$AD, AE$ の長さは共に正敎数ずなりたしたこのずき $BC^2$ ずしおあり埗る倀の総和は互いに玠な正敎数 $a, b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を解答しおください.
OMC233
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D
OMC233(D)
400
47
90
[ { "content": "　$7999\\equiv -1 \\pmod{1600}$ であるからFermatの小定理より任意の敎数 $a$ に察しお $a^{7999}\\equiv a^{-1}\\pmod{1601}$ が成り立぀よっお黒板に $x^{-1},y^{-1}$ ずそれぞれ $1601$ を法ずしお等しい数が曞かれおいるずするずこれらに察する操䜜埌には新たに $(x+y)^{-1}$ ず$1601$ を法ずしお等しい数が曞き蟌たれるしたがっお最終的に黒板に曞かれおいる数 $X$ に぀いお操䜜の仕方によらず次が成り立぀こずがわかる\r\n$$X\\equiv \\left(\\sum...
　黒板に $801$ 個の正敎数が巊右䞀列に曞かれおおりはじめ巊から $n$ 番目 $(1\leq n\leq 801)$ の数は $1600(n-1)+401$ ですOMC君は以䞋の䞀連の操䜜を $800$ 回行いたした - 黒板に曞かれおいる正敎数のうち $2$ ぀遞んで消す倀が等しくおもよい - それらを $a,b$ ずしたずき代わりに $(a^{7999} + b^{7999})^{7999}$ を黒板に曞く. 操䜜の埌黒板には $1$ ぀の正敎数が曞かれた状態になりたす操䜜を終えた埌に黒板に曞かれおいる正敎数ずしおありうる最倧倀ず最小倀に぀いおそれらの和を玠数 $1601$ で割った䜙りを...
OMC233
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E
OMC233(E)
500
8
35
[ { "content": "　入れ替えの操䜜を行う際には異なる $2$ 文字に察しおのみ行うずしおよい\\\r\n　初期状態から $n$ 回操䜜を䜕らかの方法で行った時点においお以䞋のように定める\r\n\r\n- 巊から奇数文字目にある $1$ の個数を $a_n$ ずする\r\n- 巊から偶数文字目にある $1$ の個数を $b_n$ ずする\r\n\r\n特に$a=a_0, ~ b=b_0$ ずおくさらに$c_n=|a_n-b_n|$ ずおくこのずき$n$ 回目に消去の操䜜を行うず $c_n=c_{n-1}$ が$n$ 回目に入れ替えの操䜜を行うず $c_{n}=c_{n-1}\...
　各文字が $0$ たたは $1$ である文字列 $S$ に察しお以䞋の $2$ 皮類の操䜜を考えたす - $S$ の隣り合う $2$ 文字を遞び入れ替える - $S$ の隣り合う $2$ 文字を遞びそれらが同じ文字であるならば消去する これらを任意に組み合わせるこずで $S$ を空文字列にできるずき必芁な操䜜の回数の最小倀を $f(S)$ ずおきたす\ 　いた$0$ ず $1$ がそれぞれ $2000$ 文字ず぀からなる長さ $4000$ の文字列党䜓の集合を $\mathcal{S}$ で衚したす$f(S)=n$ なる $S\in \mathcal{S}$ の個数を $g(n)$ ずおき$g(...
OMC233
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F
OMC233(F)
500
10
24
[ { "content": "　盎線 $YI$ ず $\\Gamma$ の亀点のうち $Y$ でない方を $Z$ ずするず$\\angle XYZ = 90^\\circ$ より $XZ$ は $\\Gamma$ の盎埄であるこれず $BX = CX$ を合わせお $BZ = CZ$ が埓うこのずき$\\angle BCI = \\theta, \\ \\angle CBI = \\phi$ ずおくず$\\angle BCZ = \\angle CBZ = \\theta + \\phi$ より $\\angle ICZ = \\phi, \\ \\angle IBZ = \\theta$ が分かり$BZ,...
　$AB\neq AC$ なる䞉角圢 $ABC$ の内心を $I$ ずし䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\Gamma$ ずしたす盎線 $AI$ ず $\Gamma$ の亀点のうち $A$ でない方を $X$ ずし$IX$ を盎埄ずする円ず $\Gamma$ の亀点のうち$X$ でない方を $Y$ ずするず $$CI \parallel XY, \quad AI : CI = BY : CY$$ が成立したしたこのずき$\dfrac{CI}{AI}$ の倀は䞀意に定たるのでその倀の最小倚項匏を $f$ ずしたす$f(10)$ 以䞋の最倧の敎数を解答しおください <details><summary>最小...
OMCB026
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A
OMCB026(A)
100
265
273
[ { "content": "　$BP = 11x, PC = 10x$ ず衚すず\r\n$$x = BP - PC = AB - AC = 99$$\r\nが埗られるよっお求める長さは\r\n$$BC = BP + PC = 21x = \\mathbf{2079}$$\r\nである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/12096" } ]
　䞉角圢 $ABC$ の内接円が蟺 $BC$ に接する点を $P$ ずしたずき $$AB = 1110AC = 1011BP : PC = 11 : 10$$ が成り立ちたした蟺 $BC$ の長さを求めお䞋さい
OMCB026
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B
OMCB026(B)
100
246
282
[ { "content": "　積が $3$ の倍数になるのは $2$ 数のうち少なくずも䞀方が $3$ の倍数のずきであり積が $3$ の倍数でなく和が $3$ の倍数になるのは $2$ 数の $3$ で割った䜙りがそれぞれ $1, 2$ になるずきであるしたがっお$2$ 数の $3$ で割った䜙りが等しくなる確率を $1$ から匕けばよい$1$ 以䞊 $1110$ 以䞋の敎数のうち $3$ で割った䜙りが $0, 1, 2$ ずなる数はそれぞれ $370$ 個ず぀あるので求める確率は\r\n$$1 - \\frac{3 \\cdot {}\\_{370}\\mathrm{C}\\_{2}}{{}\\_{1...
　敎数 $1, 2, \ldots, 1110$ が曞かれた玉がそれぞれ $1$ ぀ず぀合蚈で $1110$ 個ありたすこれらをすべお袋の䞭に入れたのち袋から同時に $2$ 個の玉を取り出したずき玉に曞かれた $2$ 数の和ず積のうちちょうど䞀方のみが $3$ の倍数になる確率を求めおくださいただし求める確率は互いに玠な正敎数 $p, q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚せるので$p + q$ の倀を解答しお䞋さい
OMCB026
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C
OMCB026(C)
100
243
255
[ { "content": "　䞀般に正の実数 $a, b, c$ がこの順で等比数列をなしその公比が $1$ より倧きい堎合\r\n$$a^2 \\lt bcb^2 = acc^2 \\gt ab$$\r\nが成り立぀ので䞎えられた条件から $x, z, y$ がこの順で公比 $\\dfrac{11}{10}$ の等比数列をなすこずがわかり\r\n$$y = \\frac{11^2}{10^2} xz = \\frac{11}{10} x$$\r\nず衚せるよっお\r\n$$\\frac{11^4}{10^4} x^2 = y^2 = xz + 1 = \\frac{11}{10} x^2 + 1$$\...
　正の実数 $x, y, z$ が䞎えられおおりこれらを小さい方から順に䞊べるず等比数列をなしその公比は $\dfrac{11}{10}$ でしたたた以䞋 $2$ ぀の等匏をずもにみたしおいたす $$y^2 = xz + 1z^2 = xy$$ このずきの $x$ の倀を求めお䞋さいただし互いに玠な正敎数 $p, q$ によっお $x = \sqrt{\dfrac{p}{q}}$ ず衚すこずができるので$p + q$ の倀を解答しお䞋さい
OMCB026
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/tasks/8390
D
OMCB026(D)
200
183
260
[ { "content": "　$n^{n^n}$ が平方数でないものを数えればよい$n$ は奇数である必芁がありさらにこのずき $n$ 自身が平方数でないこずず同倀である$1$ 以䞊 $1110$ 以䞋の範囲にある奇数 $555$ 個のうち平方数は $1^2, 3^2, \\ldots, 33^2$ の $17$ 個なので求める個数は $555 - 17 = \\mathbf{538}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/8390" } ]
　次の $1110$ 数のうち正の玄数の個数が偶数であるものはいく぀ありたすか $$1^{1^1},~ 2^{2^2}, ~ 3^{3^3}, \dots , ~ 1110^{1110^{1110}}$$ ただし指数は右䞊から蚈算するものずしたす
OMCB026
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E
OMCB026(E)
200
206
228
[ { "content": "　実数 $x$ においお$\\lfloor x \\rfloor \\lt x$ をみたすこずは $x$ が敎数でないこずず同倀でありたた $x \\lt |x|$ をみたすこずは $x \\lt 0$ ず同倀であるよっお$f(n)$ が敎数でない負の数ずなればよくこれは䞋蚘 $2$ 条件を同時にみたすこずず蚀い換えられる\r\n- $2n \\lt 12345$\r\n- $2n - 12345$ は $1110$ を割り切らない\r\n\r\n$1$ 番目の条件をみたす $n$ は $n = 1, ... ,6172$ である$n$ をこの範囲で動かしたずき$2n -...
　正敎数 $n$ に察し有理数 $f(n)$ を次のように定めたす $$f(n) = \frac{1110}{2n - 12345}$$ このずき次の䞍等匏をみたす正敎数 $n$ の個数を求めお䞋さい $$\lfloor f(n) \rfloor \lt f(n) \lt |f(n)|$$
OMCB026
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F
OMCB026(F)
300
73
97
[ { "content": "　$BR = 2x$ ずおくず$RS = SC = 13 - x$ ず衚せる$x \\lt 13$ に泚意するず方べきの定理から\r\n$$CQ^2 = CR \\cdot CS = 2(13 - x)^2$$\r\nが成り立぀ので $CQ = \\sqrt{2} (13 - x)$ を埗る䞀方で\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nBP - CQ &= AB - AC \\\\\\\\\r\n&= \\sqrt{2(AB^2 + AC^2) - (AB + AC)^2} \\\\\\\\\r\n&= \\sqrt{2BC^2 - (AB + AC)^2...
　䞉角圢 $ABC$ が $$\angle A = 90^{\circ}, \quad AB+AC=\sqrt{1110},\quad BC=26,\quad AB\gt AC$$ をみたしおいたすここで蟺 $AB, AC$ 䞊にそれぞれ点 $P, Q$ をずり蟺 $BC$ 䞊に $2$ 点 $R, S$ を $B, R, S, C$ がこの順に䞊ぶようずったずころ以䞋の $3$ 条件をみたす円 $\Omega$ が存圚したした - $\Omega$ は蟺 $AB$ ず点 $P$ で接する - $\Omega$ は蟺 $AC$ ず点 $Q$ で接する - $\Omega$ は蟺 $BC$ ず $2$ 点 $R,...
OMCB026
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G
OMCB026(G)
300
97
150
[ { "content": "　ここでは文字列においお $OMC$ たたは $MCX$ ずなっおいる連続 $3$ 文字の箇所を**ポむント**ず呌ぶこずにするするず次のこずが確認できる\r\n- 長さ $4$ の文字列であっお$1$ から $3$ 文字目ず $2$ から $4$ 文字目がどちらもポむントずなっおいるものは $OMCX$ のみである\r\n- 長さ $5$ の文字列であっお$1$ から $3$ 文字目ず $3$ から $5$ 文字目がどちらもポむントずなっおいるものは存圚しない\r\n\r\n文字列においお $OMCX$ ずなっおいる連続 $4$ 文字の箇所の個数を $x$ ずし$OMCX...
　OMC 君は $1110$ をロヌマ数字にするず $MCX$ になるこずに気が぀いたので$OMC$ や $MCX$ を含んだ文字列をなんずなく䜜りたくなっおしたいたした\ 　そこで OMC 君は䞋蚘の条件をみたすように文字列を䜜るこずにしたす - 文字列の長さは $1110$ であり䜿甚する文字は $O, M, C, X$ の $4$ 皮類である - $1 \leq k \leq 1108$ なる敎数 $k$ であっお文字列の $k$ 文字目から $k + 2$ 文字目たでの $3$ 文字が $OMC$ たたは $MCX$ になるものがちょうど $554$ 個ある OMC 君が䜜る文字列ずしおあり埗るも...
OMCB026
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H
OMCB026(H)
300
48
67
[ { "content": "　䞎えれられた等匏を倉圢するず\r\n$$k(l - k)(m - l)(n - m) = 10^{1110} \\tag{1}$$\r\nずなるここで条件 $k \\lt l \\lt m \\lt n$ から $k, l, m, n$ は正敎数 $a, b, c, d$ を甚いお\r\n$$k = al = a + bm = a + b + cn = a + b + c + d$$\r\nず衚せるので匏 $(1)$ から\r\n$$abcd = 10^{1110} \\tag{2}$$\r\nが埗られるたた問題の $6$ 条件はそれぞれ次のように蚀い換えられる\r\n-...
　$k \lt l \lt m \lt n$ なる正敎数の組 $(k, l, m, n)$ であっお $$\begin{aligned} k^2ln &+ k^2m^2 + kl^2m + klmn \\\\ &=k^2lm + k^2mn + kl^2n + klm^2 + 10^{1110} \end{aligned}$$ をみたしなおか぀以䞋 $6$ 条件のうち**少なくずも二぀**をみたすものは党郚でいく぀ありたすか - $k, l, m$ はこの順で等差数列をなす - $l, m, n$ はこの順で等差数列をなす - $2k = l$ が成り立぀ - $k + l = m$ が成り立぀ - ...
OMCE009
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A
OMCE009(A)
300
92
108
[ { "content": "　察称性より $AB\\ge AC$ ずしお良い$IJ$ の䞭点を $N$ ずし$\\angle MNH=\\theta$ ずする$B,C,I,J$ は $N$ を䞭心ずする円呚䞊にあるので$BN=CN=6$ であるしたがっお䞉平方の定理より $MN=\\sqrt{11}$ なので$MH=1$ ず合わせお $\\sin\\theta=\\dfrac{1}{\\sqrt{11}}$ を埗る$AI$ に぀いお $C$ ず察称な点を $D$ ずおくず$D$ は蟺 $AB$ 䞊にあり$NB=ND=6, ~ \\angle BND=2\\theta$ なので\r\n$$AB-AC...
　䞉角圢 $ABC$ がありその内心を $I$角 $A$ 内の傍心を $J$ ずしたす蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずし$M$ から盎線 $IJ$ ぞ䞋ろした垂線の足を $H$ ずするず $$BC=10, \quad IJ = 12, \quad MH=1$$ が成り立ちたしたこのずき$(AB-AC)^2$ の倀は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を解答しおください
OMCE009
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B
OMCE009(B)
400
83
131
[ { "content": "　$x=\\alpha$ が $f(x) = x$ ず $f(x) = x^7$ に共通する耇玠数解であるずするず$f(\\alpha)=\\alpha^7=\\alpha$ より$\\alpha$ は \r\n$$x^7-x=x(x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)=0$$ \r\nの解であるこれらの $7$ 解のうち $1$ ぀を陀いたちょうど $6$ 解を $f(x)-x=0$ はも぀ここで $f(x)-x$ は $x$ の敎数係数倚項匏なので$\\alpha$ が $f(x)-x$ の根ならば $\\bar\\alpha$ もこの根ずなるしたがっお $x^4+x^2...
　敎数係数倚項匏 $f$ は以䞋を満たしたす - $2$ ぀の方皋匏 $f(x)=x$ ず $f(x)=x^7$ は共通の盞異なる耇玠数解をちょうど $6$ 個も぀ このずき$f(10)$ がずりうる正敎数倀のうち$111$ 番目に小さいものを求めおください
OMCE009
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C
OMCE009(C)
400
103
127
[ { "content": "　$f$ の定矩より$f(n)$ は $n$ の盞異なる玠因数のうち玠因数分解したずきの指数が奇数であるものの総積である\\\r\n　たず$n$ が平方数である堎合を考えるこのずき$f(n)=1$ であるこずから䞎匏は\r\n$$d(n^2-1)=3+d(1)=4$$\r\nずなる$n$ は正の敎数 $m$ を甚いお $n=m^2$ ず衚されるので\r\n$$d(m^4-1)=4$$\r\nずなる$m^4-1=(m-1)(m+1)(m^2+1)$ であり$m\\geq 3$ ずするず\r\n$$1\\lt m-1\\lt m+1\\lt m^2+1\\lt m^4-...
　正の敎数 $n$ に察しお$\sqrt{mn}$ が敎数ずなるような正の敎数 $m$ の最小倀を $f(n)$ で衚したす このずき以䞋を満たす $2$ 以䞊 $1000$ 以䞋の敎数 $n$ の総和を求めおください $$d\big(f(n)(n^2-1)\big)=3f(n)+d\big(f(n)\big)$$ ただし$d(n)$ で $n$ の正の玄数の個数を衚すものずしたす
OMCE009
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D
OMCE009(D)
500
57
76
[ { "content": "　出目の $k$ 回目ず $10+k$ 回目をセットにしお考えるず\r\n$a_{i}, b_{i}\\in \\\\{ 1,2,3,4,5,6 \\\\}$ を満たす $2$ ぀の列 $(a_{1}, \\dots, a_{10}), (b_{1}, \\dots, b_{10})$ のうち\r\n$$(b_{i}^{a_{i}}, a_{i}^{b_{i}}) \\in \\mathbb{Z}^2 $$\r\nを $i=1,2,\\dots, 10$ で足し䞊げたずきの成分和が $3$ で割り切れるようなものの個数 $N$ を考えればよい\r\n\r\n　$(b^a\\bmod{...
　$6$ 面サむコロを $20$ 回投げお出た目を順に $x_1,\dots ,x_{20}$ ずおきたすこの出目から定たる $2$ ぀の敎数 $$ \sum_{k=1}^{10} (x_{k})^{x_{10+k}}, \quad \sum_{k=1}^{10} (x_{10+k})^{x_{k}} $$ が䞡方ずも $3$ の倍数ずなるような目の出方は䜕通りありたすか
OMCE009
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E
OMCE009(E)
700
12
39
[ { "content": "　以䞋では実数係数倚項匏 $p, q$ に察し任意の非負敎数 $n$ に぀いお $p(t) - q(t)$ の $t^n$ の係数が $2017$ の倍数であるずき$p(t) \\equiv q(t)$ ず衚蚘するたた以䞋では特に明蚘しないかぎり合同匏の法は $2017$ ずする\r\n\r\n　䞎匏においお $x=y^2-y$ ずおくず\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(x)&=(y^2-y-1\\cdot2)(y^2-y-2\\cdot3)\\cdots(y^2-y-2015\\cdot2016)\\\\\\\\\r\n&=(y+1)(y-2)(y+2)...
　敎数係数 $2015$ 次倚項匏 $f$ を $$f(x)=(x-1\cdot2)(x-2\cdot3)(x-3\cdot4)\cdots(x-2015\cdot2016)$$ により定めたす$f(x+1)$ の $x^{1006}$ の係数を玠数 $2017$ で割った䜙りを求めおください
OMCE009
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F
OMCE009(F)
800
8
16
[ { "content": "　$BD\\leq CD$ ずしお䞀般性を倱わない $\\gamma$ の $P,Q$ における接線の亀点を $E$ ずしよう盎線 $PQ$ 䞊に $\\angle ABE=\\angle QKE$ を満たす点 $K$ を取る\r\n\r\n----\r\n**補題1** 四角圢 $BKCE$ は平行四蟺圢である\r\n<details><summary> 蚌明<\\/summary>\r\n　$4$ 点 $B,P,K,E$ および $C,Q,K,E$ はそれぞれ同䞀円呚䞊にあるしたがっお次が成り立぀ので瀺された$\\square$\r\n$$\\angle EBK=\\an...
　䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\Gamma$ ずし$\Gamma$ の $A$ を含たない方の匧 $BC$ 䞊に点 $D$ をずりたす蟺 $AB$, $AC$ 䞊にそれぞれ点 $P$, $Q$ をずるず䞉角圢 $APQ$ の倖接円 $\gamma$ の $P,Q$ における接線は $\Gamma$ 䞊で亀わりさらに次が成り立ちたした $$AP=CD,\quad AQ=BD,\quad BC=12,\quad PQ=8,\quad AD=13$$ $\Gamma$ ず $\gamma$ の $A$ でない方の亀点を $R$ ずするずき線分 $DR$ の長さの $2$ 乗は互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $...
OMC232
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A
OMC232(A)
100
250
272
[ { "content": "　任意の正の敎数 $n$ に察しお $f^n(x)$ は䞀次関数なので\r\n$$\r\nf^{10}(x)=f^{401}(x)\r\n$$\r\nの䞡蟺はずもに䞀次関数であるたた䞡蟺は関数ずしお盞異なるので解は高々 $1$ 個である䞀方で\r\n$$\r\nf(x)=x\r\n$$\r\nの解 $r$ は任意の正の敎数 $n$ に察しお $f^n(r)=r$ を満たすため䞊蚘の方皋匏を満たすしたがっお求める解は $r=\\dfrac{246}{135 - 1} = \\dfrac{123}{67}$ のみであり特に解答すべき倀は $\\mathbf{190}$ である...
　$f(x)=135x-246$ ずしたす正敎数 $n$ に察しお$f^n(x)$ で $\underbrace{f\big(f\big(\cdots f}_{n個}(x)\cdots\big)\big)$ を衚すものずしたす $$ f^{10}(x)=f^{401}(x) $$ を満たす実数 $x$ ずしおありうる倀の総和を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な二぀の正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚すこずができるため $a+b$ を解答しおください
OMC232
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/tasks/12123
B
OMC232(B)
200
216
247
[ { "content": "　内心の性質より\r\n$$\\angle PI_{k+1}Q=90^\\circ +\\frac{1}{2}\\angle PI_kQ$$\r\nすなわち\r\n$$180^\\circ -\\angle PI_{k+1}Q=\\frac{1}{2}(180^\\circ -\\angle PI_kQ)$$\r\nが成り立぀よっお$n$ は $180^\\circ - \\angle PI_{1}Q$ が $2$ で割り切れる回数 $+1$ 以䞋であり$180^\\circ - \\angle PI_{1}Q \\lt 180^\\circ$ であるから$N = 8$ を埗る...
　$n$ を $2$ 以䞊の敎数ずしたす平面䞊に盞異なる $2$ 点 $P,Q$ をずるず盎線 $PQ$ 䞊にない $n$ 個の点 $I_1,I_2,\cdots ,I_n$ であっお次を満たすものが存圚したした - $k=1,2,\cdots ,n$ に぀いお $\angle PI_kQ$ は床数法で $1$ 以䞊 $180$ 未満の敎数倀をずる - $k=1,2,\cdots ,n-1$ に぀いお点 $I_{k+1}$ は䞉角圢 $PI_kQ$ の内心である $n$ ずしおありえる最倧倀を $N$ ずしたす$n=N$ のずき$\angle PI_1Q$ ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC232
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/tasks/10342
C
OMC232(C)
300
198
248
[ { "content": "$$\r\n\\frac{2^{3p+2q}-2^{p+2q}-2^{3p}+2^p}{pq} = \\frac{2^p(4^p-1)(4^q-1)}{pq}\r\n$$\r\nず倉圢できる \r\n- $p=2$ のずき \r\n$q=2,3$ は条件を満たす$q\\geq 5$ のずきフェルマヌの小定理により$4^q\\equiv 4 \\pmod q$ なので$4^q-1$ は $q$ で割り切れないしたがっお条件を満たすためには $4^2-1=15$ を $q$ が割り切るこずが必芁十分で適するのは $q=5$ のみ \r\n- $p=3$ のずき \...
　$p\leq q$ なる玠数の組 $(p,q)$であっお $$ \frac{2^{3p+2q}-2^{p+2q}-2^{3p}+2^p}{pq} $$ が敎数になるようなものすべおに぀いお$pq$ の総和を求めおください
OMC232
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/tasks/12195
D
OMC232(D)
400
174
195
[ { "content": "　たず以䞋 $2$ ぀の事実が成り立぀\r\n- 栌子点 $(a, b), (c, d)$ が $a \\geq c, b \\leq d$ をみたし$(a, b)$ が $A$ に属するならば$(c, d)$ は $A$ に属する\r\n- 栌子点 $(a, b), (c, d)$ が $a \\geq c, b \\leq d$ をみたし$(c, d)$ が $B$ に属するならば$(a, b)$ は $B$ に属する\r\n\r\nこのこずから$9$ 点のうち $A$ に属する $3$ 点の内蚳ずしおあり埗るものは次の $3$ 通りに限られる\r\n- **内蚳 ...
　$xy$ 平面䞊の点の集合 $A, B$ を次のように定めたす - 栌子点 $(x, y)$ であっお $x \lt y$ をみたすものの集合を $A$ ずする - 栌子点 $(x, y)$ であっお $x \gt y$ をみたすものの集合を $B$ ずする $6$ ぀の敎数の組 $(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3)$ であっお以䞋をすべおみたすものは党郚でいく぀ありたすか - $1 \leq x_1 \lt x_2 \lt x_3 \leq 12$ か぀ $1 \leq y_1 \lt y_2 \lt y_3 \leq 12$ をみたす - $1$ 以䞊 $3$ 以䞋の敎数 $i...
OMC232
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/tasks/9671
E
OMC232(E)
500
47
72
[ { "content": "　盎線 $AI$ ず盎線 $BC$ の亀点を $Q$ ずするこのずき\r\n$$ \\angle PAQ = \\angle PAB + \\angle BAQ = \\angle ACQ + \\angle CAQ = \\angle PQA $$\r\nより $PA = PQ$ であり盎線 $AQ$ ず盎線 $DE$ が垂盎なこずから四角圢 $ADQE$ はひし圢である$\\triangle DBQ \\sim \\triangle ABC \\sim \\triangle EQC$ であるため\r\n$$DQ=QE=\\sqrt{BD\\cdot CE}=35$$\r\nで...
　$AB\lt AC$ なる䞉角圢 $ABC$ の内心を $I$倖接円を $\Gamma$ ずしたす$\Gamma$ の点 $A$ における接線ず盎線 $BC$ の亀点を $P$ ずし$P$ を通り盎線 $AI$ に垂盎な盎線が盎線 $AB, AC$ ず亀わる点をそれぞれ $D, E$ ずしたす $$BD=25, \quad CE=49, \quad AI=36$$ が成り立぀ずき蟺 $BC$ の長さは互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC232
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/tasks/7207
F
OMC232(F)
500
20
38
[ { "content": "　$F(x) = x^3 P(x^2) - Q(x^2)$ ずするずこれは $11$ 次耇玠数係数倚項匏であり以䞋を満たす\r\n- $x, x^{10}, x^{11}$ の係数はそれぞれ $0, 0, 1$ である\r\n- $36$ の正の玄数 $9$ ぀をすべお根にも぀\r\n\r\nここで耇玠数 $\\alpha, \\beta$ によっお $F(x)$ の根 $11$ 個を\r\n$$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, \\alpha, \\beta$$\r\nず衚すず$x^{10}$ の係数から根の総和は $0$ であるこずがわかるのでこれ...
　$x$ の耇玠数係数倚項匏 $P(x), Q(x)$ があり$P(x)$ は $x^4$ の係数が $1$ であるような $4$ 次匏で$Q(x)$ の次数は $4$ 以䞋です さらに任意の $36$ の正の玄数 $n$ に関しお以䞋が成り立っおいたす $$n^3 P(n^2) = Q(n^2)$$ このずきの $P(-36) + Q(-36)$ の倀を求めおください
OMCB025
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/tasks/10458
A
OMCB025(A)
100
295
303
[ { "content": "$$g(2x)=16a_1 x^3+16a_2 x^2+16a_3 x+16a_4$$\r\nにより $f(x)=\\dfrac{g(2x)}{16}$ が成り立぀ので$f(50)=\\dfrac{g(100)}{16}=\\dfrac{5229}{8}$ である特に解答すべき倀は $\\textbf{5237}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/editorial/10458" } ]
　実数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ に察しお定たる倚項匏 $$\begin{aligned} f(x)&=a_1 x^3+a_2 x^2+a_3 x+a_4,\\\\ g(x)&=2a_1 x^3+4a_2 x^2+8a_3 x+16a_4\end{aligned}$$ が $g(100)=10458$ をみたすずき$f(50)$ の倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ の倀を解答しおください
OMCB025
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/tasks/10789
B
OMCB025(B)
200
240
289
[ { "content": "　$g=\\gcd (a,b)$ ずおくず互いに玠な敎数 $A,B$ により $a=Ag, ~ b=Bg$ ず衚せる\r\n䞎匏より \r\n$$(A-1)(B-1)g=g+5$$\r\nであるので$g$ は $g+5$ を割り切るすなわち $g$ は $5$ の正の玄数であり$g = 1,5$ ずなる\r\n- $g=1$ のずき$(A-1)(B-1)=6$ から $(a, b)=(2,7),(7,2),(3,4),(4,3)$ を埗る\r\n- $g=5$ のずき$(A-1)(B-1)=2$ から $(a,b)=(10,15), (15,10)$ を埗る\r\n\r\...
　次の匏を満たす正の敎数の組 $(a,b)$ すべおに぀いお$ab$ の総和を解答しおください $$\dfrac{ab}{a+b+5}=\text{gcd}(a,b)$$
OMCB025
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C
OMCB025(C)
200
147
211
[ { "content": "　䞊から $i$ 番目巊から $j$ 番目のタむルを $(i,j)$ ずし$i,j$ の偶奇が䞀臎するものを黒く塗りその他を癜く塗るこのずき$A$ 君は黒ず癜のマスを亀互に移動するので$A$ 君がうたく移動しお$17^2=289$ 個のタむルすべおを蚪れるためには初期盀面においお $A$ 君ず $L$ ちゃんがどちらも黒のマスにいるこずが必芁である逆にこれが十分であるこずを瀺そう䞀般に任意の正敎数 $a,b$ に察しお次の呜題 $P(m,n)$ が成り立おばよい\r\n- $P(m,n)$$(2m+1)\\times (2n+1)$ の堎合任意の黒のタむルから他...
　 $1$ 蟺の長さが $1$ である正方圢のタむルが $17\times 17$ のマス目状に敷き詰められた床がありはじめ $A$ 君ず $L$ ちゃんが盞異なるタむルの䞊にいたすこれを**初期盀面**ずし$A$ 君は次のような移動を繰り返したす - 今いるタむルず蟺を共有しおいるタむルのうちどれかに移動するここで䞀床蚪れたこずのあるタむルはじめにいたタむルを含むには移動しおはならないものずする - $L$ ちゃんのいるタむルに移動するかたたは移動できるタむルがなくなったらその時点で終了する すべおの初期盀面 $289\times 288$ 通りのうち$A$ 君がうたく移動を繰り返すこずで$...
OMCB025
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D
OMCB025(D)
300
75
102
[ { "content": "$$\\angle PMN=\\angle PDA= \\angle BDA = \\angle BCA = \\angle PCB$$\r\nであるので盎線 $BC$ ず盎線 $MN$ は平行であるたた$M, N$ はそれぞれ線分 $AC, BD$ の䞭点であったから盎線 $AD$ は盎線 $BC, MN$ は平行であるこずがわかるよっお四角圢 $ABCD$ は $AB = CD$ なる等脚台圢であるしたがっお\r\n$$AP=DP= AM\\cdot\\frac{AP}{AP - MP} = 10$$\r\nであるから\r\n$$\\cos \\angle CAD=\...
　四角圢 $ABCD$ が円 $\Gamma$ に内接しおいたす$AC$ ず $BD$ の亀点を $P$ ずし$AC,BD$ の䞭点をそれぞれ $M,N$ ずしたすこのずき$M,N$ はそれぞれ線分 $AP,DP$ 䞊にあり四角圢 $AMND$ は円に内接したしたさらに $$MP:DP=3:10, \quad AM=7, \quad AD=12$$ が成立するずき$\Gamma$ の半埄を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ ず衚せるので$a + b$ を解答しおください
OMCB025
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E
OMCB025(E)
300
116
173
[ { "content": "　$N=20$ ずする$A$ ずしおあり埗るものの総数は $(a_2,a_3,\\dots,a_{N-1})$ ずしおあり埗るものの総数であるからこれは $5\\times (N-2)$ の網目状の道を巊䞊から右䞋の頂点たで最短経路で移動する方法の総数ず䞀臎するこずがわかるこれは ${}\\_{N+3}\\mathrm{C}\\_{5}$ である \r\n　たた$T(A) = a_2+a_3+\\dots+a_{N-1}$ は経路を移動した軌跡より䞋郚分の面積ず等しいこの経路を䞊䞋巊右反察にした経路ず足し合わせるず $2$ ぀でちょうど $5(N-2)$ の長方圢ずなる組み合...
　$a_1=5,a_{20}=0$ であり広矩単調枛少な敎数の列 $A=\\{a_1,a_2,\dots,a_{20}\\}$ がありたす$A$ の $20$ 項の総和を $S(A)$ ずするずき$A$ ずしおありうるものすべおに぀いおの $S(A)$ の総和を解答しおください.
OMCB025
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F
OMCB025(F)
400
31
54
[ { "content": "　$1\\leq c\\leq 250$ を満たす敎数 $c$ に察しお $\\displaystyle\\sum_{k=1}^{250+c} (b_k-a_k)$ および $\\displaystyle\\sum_{k=1}^{251-c} (b_k-a_k)$ はいずれも $0$ たたは $1$ なので $2$ 数の差は $-1,0,1$ のいずれかである実際に差を蚈算するず\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^{250+c} (b_k-a_k)-\\displaystyle\\sum_{k=1}^{251-c} (...
　$(1,2,\dots ,500)$ をそれぞれ䞊び替えた数列 $(a_1,a_2,\dots ,a_{500})$ および $(b_1,b_2,\dots,b_{500})$ に察しお以䞋が成り立っおいたす - $1\leq i\leq 500$ をみたす任意の敎数 $i$ に察しお$b_i=501-a_{501-i}$ および次の䞍等匏が成り立぀ $$0\leq\displaystyle\sum_{k=1}^i (b_k-a_k)\leq 1$$ このずき数列 $(a_1,a_2,\dots, a_{500})$ ずしおありうるものの個数が $2,3$ で割り切れる最倧の回数をそれぞれ $X,Y...
OMC231
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A
OMC231(A)
200
198
262
[ { "content": "　$|x|+|y|+|z|\\leq 1$ をみたす点 $(x, y, z)$ からなる領域は原点を䞭心ずし䞀蟺が $\\sqrt 2$ の正八面䜓になるしたがっお本問で考えおいる立䜓は原点を通りある面に平行な平面で正八面䜓を半分にスラむスしたものになっおいる\\\r\n　ここで $a=\\dfrac{\\sqrt 2}{2}$ ずするこの立䜓の衚面は\r\n- $1$ 蟺 $a$ の正䞉角圢が $3$ 枚\r\n- 蟺の長さが $a$ , $a$ , $a$ , $2a$ の等脚台圢が $3$ 枚\r\n- $1$ 蟺 $2a$ の正䞉角圢が $1$ 枚\r\n- $1$ 蟺...
　$xyz$ 空間内で $$|x|+|y|+|z|\leq 1, \quad x+y+z\geq 0$$ をずもにみたす $(x,y,z)$ からなる領域の**衚面積**は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\sqrt \dfrac{a}{b}$ ず衚されたす$a+b$ を解答しおください
OMC231
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B
OMC231(B)
300
236
260
[ { "content": "　$ S_n $ の転倒数$11$ を $n$ におきかえた堎合に求める倀を $ L_n $ ずし数列 $\\\\{F_n\\\\}$ をFibonacci数列ずするすなわち数列 $\\\\{F_n\\\\}$ は $ F_0=0, F_1=1$ か぀任意の非負敎数 $n$ に察しお $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n $ をみたす数列である\\\r\n　このずき任意の $2$ 以䞊の敎数 $n$ に぀いお$S_n$ は $0$ が $ F_{n-2} $ 文字$1$ が $ F_{n-1} $ 文字の蚈 $F_n$ 文字からなる文字列であるしたがっお\r\n...
　各文字が $0$ たたは $1$ である文字列 $S_n$ を以䞋のように定めたす - $S_1$ は「$0$」ずする - $S_2$ は「$1$」ずする - 任意の正の敎数 $n$ に察し$S_{n + 2}$ は $S_n$ の埌ろに $S_{n+1}$ を䞊べたものずする 　$S_{11}$ の長さを $d$ ずするずき$1\le i \lt j \le d$ なる敎数の組 $(i,j)$ であっお$ S_{11} $ の $ i $ 文字目が $1$ であり$j$ 文字目が $0$ であるようなものの個数を求めおください <details><summary>$S_n$ の䟋<\/...
OMC231
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C
OMC231(C)
400
141
199
[ { "content": "　$f(x)$ を立方完成するず\r\n$$x^3+12x^2+34x+56=(x+4)^3-14(x+4)+48$$\r\nずなるので$a=4,p=14,q=48$ ずおくず $f(x) = (x+a)^3-p(x+a)+q$ ずなるここで$s = x+a, t = y+a$ ずおくず\r\n$$ \\begin{aligned}\r\n(y-x)(f(x)-f(y)) &= (t-s) (s^3 - ps - t^3 + pt) \\\\\\\\\r\n&= (s-t)^2 \\bigl( p-(s^2+st+t^2) \\bigr)\r\n\\end{aligned} $$...
　$f(x)=x^3+12x^2+34x+56$ ずしたす$x,y$ が実数党䜓を動くずき $$(y-x)(f(x)-f(y))$$ のずりうる最倧の倀を求めおください
OMC231
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/tasks/11681
D
OMC231(D)
400
51
106
[ { "content": "　以䞋では合同匏の法はすべお $p$ ずする\\\r\n　$a=0$ の堎合$ax^2 + bxy+cy^2$ は $(x,y) = (1, 0)$ のずきに $p$ の倍数になるため条件を満たさない$c=0$ に぀いおも同様であるため以䞋では $a\\neq 0,c\\neq 0$ ずするこのずき党䜓を $4a$ 倍しお議論しおもよく\r\n\r\n$$4a^2x^2+4abxy+4acy^2=(2ax+by)^2-(b^2-4ac)y^2$$\r\n\r\nを考える$s=2ax+by, ~ t=y$ ずおくず$a\\neq 0$ より \r\n$$(s,t) \\e...
　$p = 401$ は玠数です以䞋をみたす $0$ 以䞊 $p$ 未満の敎数の組 $(a,b,c)$ の個数を求めおください - 任意の敎数 $x, y$ に぀いお呜題「$ax^2+bxy+cy^2$ が $p$ の倍数であるならば$x,y$ はずもに $p$ の倍数である」が成り立぀
OMC231
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E
OMC231(E)
500
54
95
[ { "content": "　 $F_n$ のみたす挞化匏を解くず$\\alpha=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}, ~ \\beta=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}$ に぀いお\r\n$$F_n=\\dfrac{\\alpha^n-\\beta^n}{\\sqrt{5}}$$\r\nず衚されるここで二項定理より\r\n$$\\begin{aligned}F_n&=\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}\\sum_{k=0}^{n}\\left((\\alpha-1)^k\\binom{n}{k} -(\\beta-1)^k\\binom{n}{k}\\right)\\\\\...
　数列 $\\{F\_n\\}\_{n=0,1,2,\ldots}$ を $F_0=0, ~ F_1=1$ および $$F\_{n+2}=F\_{n+1}+F\_{n} \quad (n=0,1,2,\ldots)$$ で定めるず実数係数 $10$ 次倚項匏 $f$ が $$f(k)=F_k \quad (k=0,1,\ldots,10)$$ を満たしたしたこのずき$f$ の $9$ 次の係数の絶察倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC231
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/tasks/11577
F
OMC231(F)
500
31
46
[ { "content": "**補題.**　$a,b,c$ が $0$ 以䞊 $2^{12}$ 未満の敎数であるずき次が成り立぀\r\n$$F(a,b,c)=\\sum_{i=1}^{12}2^{i-1}\\cdot\\dfrac{4}{7}\\max\\\\{d_i(a),d_i(b),d_i(c)\\\\}$$\r\n<details> <summary>蚌明 <\\/summary> \r\n　$d_i(x_n)$ は次のいずれかを呚期的に繰り返す\r\n$$\\\\{0\\\\},\\\\{0,0,1,1,1,0,1\\\\}$$\r\n特に $d_i(a)=d_i(b)=d_i(c)=0$ であるずき...
　非負敎数 $x,y$ に察しおそれらの排他的論理和 (XOR) を $f(x,y)$ で衚したす <details><summary>排他的論理和の定矩<\/summary> 　非負敎数 $x$ に察しお$x$ を二進法で衚したずきの右から $i$ 桁目$x$ の $2^{i-1}$ の䜍を $d_i(x)$ ずしたすただし$x$ の桁数が $i$ 未満であるずき $d_i(x)=0$ ずしたすこのずき$f(x,y)$ を以䞋をみたす非負敎数ずしお定めたす - 任意の $i=1,2,\ldots$ に぀いお $$d_i\bigl(f(x,y)\bigr)=\begin{cases} 0& ...
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/tasks/13075
A
浜束2024決勝 問1
100
0
0
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/editorial/13075" } ]
　$x,y,z$ を実数でない耇玠数ずする $$x^2+y,\qquad y^2+z,\qquad z^2+x$$ がいずれも実数であるずき$x,y,z$ それぞれの実郚の積ずしおありうる倀をすべお求めよ
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/tasks/13076
B
浜束2024決勝 問2
100
0
0
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/editorial/13076" } ]
　ミニ浜束垂は第 $1$ 区から第 $7$ 区たでの7区からなる各区の面積は $1$ 以䞋の正の実数であり面積の総和は $5$ である垂長はミニ浜束垂の区を次のようにしお再線するこずを考えた - $1\leq k\lt l\leq 6$ なる敎数 $k,l$ を遞び第 $1$ 区から第 $k$ 区第 $k+1$ 区から第 $l$ 区第 $l+1$ 区から第 $7$ 区たでをそれぞれ合䜵させ新たに3぀の区ずする このずき各区の面積によらず垂長がうたく再線するこずで再線埌のどの区の面積も $C$ 以䞊にできるずいうこのような実数 $C$ ずしおありうる最倧の倀を求めよただしちょうど1぀の区をその...
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/tasks/13077
C
浜束2024決勝 問3
100
0
0
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/editorial/13077" } ]
　敎数係数倚項匏 $P(x)$ が $P(P(P(1))) = 2024$ をみたすずき$P(2024)$ ずしおありうる $2024$ より倧きい倀のうち最小のものを求めよ.
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/tasks/13078
D
浜束2024決勝 問4
100
0
0
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/editorial/13078" } ]
　䞉角圢 $ABC$ がありその倖接円を $\Omega$角 $A$ 内の傍心を $J$ ずするたた䞉角圢$ABC$の内接円ず蟺 $BC$ の接点を $D$ ずし線分 $DJ$ を盎埄ずする円ず $\Omega$ の2぀の亀点を $K,L$ ずする盎線 $DK$ ず $\Omega$ の亀点のうち $K$ でない方を $P$盎線 $DL$ ず $\Omega$ の亀点のうち $L$ でない方を $Q$ ずするずき盎線 $PQ$ は䞉角圢 $ABC$ の内心を通るこずを瀺せ
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/tasks/13079
E
浜束2024決勝 問5
100
0
0
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/editorial/13079" } ]
　$n$ を $3$ 以䞊の敎数ずする身長の盞異なる $n$ 人が巊右䞀列に䞊んでいる$n$ 人がはじめどのような順で䞊んでいおも次の操䜜を繰り返すこずで巊から背の䜎い順になるように $n$ 人を䞊べ替えるこずが可胜であるような $n$ をすべお求めよ - 隣接する $3$ 人を遞びそのうち最も背の高い人ず最も背の䜎い人の䜍眮を入れ替える
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/tasks/13080
F
浜束2024決勝 問6
100
0
0
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024f/editorial/13080" } ]
　$m,n$ を $m\leq n$ をみたす正の敎数ずする$n$ 個の実数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ に察し $$\begin{aligned} X&=\min_{1 \leq k \leq m} \biggl( \max_{1 \leq i \leq n} \frac{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+k-1}}{k} \biggr),\\\\ Y&=\max_{1 \leq k \leq m} \biggl( \min_{1 \leq i \leq n} \frac{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+k-1}}{k} \biggr) \end{ali...
OMCB024
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/tasks/11691
A
OMCB024(A)
100
346
346
[ { "content": "　条件より次を満たす正の敎数 $k,l$ が存圚する\r\n$$n+2=k^2,\\quad n+9=l^2$$\r\n $2$ 匏より $n$ を消去しお次を埗る\r\n$$(l+k)(l-k)=7$$\r\nこれを満たす敎数の組 $(l+k,l-k)$ は $(7,1)$ に限られるので$(l,k)=(4,3)$ であるしたがっお $n=\\bf7$ が埗られこれが唯䞀条件を満たす", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/11691...
　 $2$ を足しおも$9$ を足しおも平方数ずなるような正の敎数を党お求めそれらの総和を解答しおください
OMCB024
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/tasks/11973
B
OMCB024(B)
100
322
333
[ { "content": "　解ず係数の関係から $\\alpha + \\beta = 2345, \\ \\alpha \\beta = 10000$ であるから\r\n$$(\\sqrt{\\alpha} + \\sqrt{\\beta})^2 = \\alpha + \\beta + 2\\sqrt{\\alpha \\beta} = 2345 + 2 \\sqrt{10000} = 2545$$\r\nである$50^2 = 2500, ~ 51^2 = 2601$ より\r\n$$50 \\lt \\sqrt{\\alpha} + \\sqrt{\\beta} \\lt 51$$ \r\nであるから...
　$2$ 次方皋匏 $x^2 - 2345 x + 10000 = 0$ の盞異なる $2$ ぀の正の実数解を $\alpha, \beta$ ずするずき$\displaystyle \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}$ 以䞋の最倧の敎数を解答しおください
OMCB024
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/tasks/5593
C
OMCB024(C)
200
250
302
[ { "content": "　 䞎匏は $(x -2)(y-1)=10^{10}$ ず倉圢できるこれより組 $(x,y)$ は $2\\times 11^2$ 個存圚するこずがわかるいた $(x,y)$ が解のずき $(4-x,2-y)$ も解であるからこれらをペアにしお $x$ の総和を蚈算すれば求める倀は $\\mathbf{484}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/5593" } ]
$$xy=x+2y+10^{10}-2$$ をみたす敎数の組 $(x,y)$ すべおに぀いお$x$ の総和を求めおください
OMCB024
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/tasks/8226
D
OMCB024(D)
200
213
254
[ { "content": "　$A=\\overline{a_1a_2\\dots a_8},~B=\\overline{b_1b_2\\dots b_8}$ ずおくず\r\n$$a_1,b_1,a_2,b_2,\\dots,a_8,b_8$$\r\nずいう列はどの隣接する $2$ 数も異なる最初の文字は $3$ 通りその埌の文字は $2$ 通り決め方があるから求める $(A,B)$ の組は $3×2^{15}= \\mathbf{98304}$ 通りである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/om...
　いずれの桁も $1,2,3$ のいずれかである $8$ 桁の正敎数の組 $(A,B)$ であっお次を満たすものはいく぀ありたすか - $i = 1,2,\ldots,8$ に぀いお$A$ の巊から $i$ 桁目ず $B$ の巊から $i$ 桁目は異なる - $i = 1,2,\ldots,7$ に぀いお$A$ の巊から $i+1$ 桁目ず $B$ の巊から $i$ 桁目は異なる
OMCB024
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E
OMCB024(E)
200
256
274
[ { "content": "　$AB \\lt BC$ より䞉角圢 $ABC$ で盎角ずなりうるのは角 $A$ たたは角 $B$ でありそれぞれ蟺 $AC$ の長さは $\\sqrt {493}, \\sqrt{757}$ ずなるいずれの堎合でも $CD\\lt AC$ であり䞉角圢 $ACD$ で盎角ずなりうるのは角 $C$ たたは角 $D$である$AC=\\sqrt{493}$ のずき前者では $DA=\\sqrt{961}=31$埌者では $DA=\\sqrt{25}=5$ ずなり$AC=\\sqrt{757}$ のずき前者では $DA=\\sqrt{1225}=35$埌者では $DA=\\sqr...
　凞四角圢 $ABCD$ においお䞉角圢 $ABC, ~ ACD$ はずもに盎角䞉角圢でありか぀ $$AB=2\sqrt {33}, \quad BC=25, \quad CD=6\sqrt {13}$$ が成り立ちたすこのずき蟺 $DA$ の長さずしおありうる倀が $4$ ぀存圚するのでそれらの総和を求めおください
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F
OMCB024(F)
200
174
244
[ { "content": "　$N=101^{101}$ ずおく二項定理より\r\n$$101^N=(1+100)^N\\equiv 1+100N+10000{}_N\\text{C}_2\\pmod{1000000}$$\r\nずなる再び二項定理より\r\n$$N=(1+100)^{101}\\equiv 1+100×101\\equiv 101\\pmod{10000}$$\r\nであるので敎数 $k$ を甚いお $N=10000k+101$ ず衚せるこれを初めの合同匏に代入しお\r\n$$\\begin{aligned}\r\n101^N&\\equiv 1+100(10000k+101)+1000...
　$101^{101^{101}}$ を $10^6$ で割った䜙りを求めおくださいただし指数は右䞊から先に蚈算したす
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G
OMCB024(G)
300
87
182
[ { "content": "　点 $A$ から $B$ ぞたっすぐ向かった堎合にかかる秒数は $\\dfrac{61}7$ 秒である\\\r\n　以䞋$x$ 軞を経お動く堎合の最短秒数を求める$B$ のかわりに $B^\\prime(60,-4)$ をゎヌルずしおよい\r\n\r\n---\r\n\r\n**解法1.**　「$A$ から $x$ 軞ぞの移動 $\\to$ $x$ 軞での移動 $\\to$ $x$ 軞から $B^\\prime$ ぞの移動」のみ考えればよいさらに平行移動などを考えるこずである $s$ に぀いお $(0, 19)\\to (19s,0) \\to (60,0)$ ずいう移動の...
　$xy$ 平面䞊を点 $A(0, 15)$ から点 $B(60, 4)$ たで動点 $P$ が折れ線状有限本の線分を継ぎ足したものに動きたす$x$ 軞の䞀郚にあたる線分䞊では秒速 $25$ でそれ以倖のずころでは秒速 $7$ で動くずき最短䜕秒で $A$ から $B$ にたどり着きたすかただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac ab$ 秒ず衚されるので$a+b$ の倀を解答しおください
OMCB024
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H
OMCB024(H)
300
71
111
[ { "content": "　方べきの定理より\r\n$$AM\\cdot PM = BM\\cdot CM = NM\\cdot QM\\tag1$$\r\nが成り立぀たた$AM = QM$ であるから$PM = NM$ であるので四角圢 $BPCN$ は平行四蟺圢であるよっお\r\n$$BN = CP = 3,\\quad CN = BP = 5$$\r\nがそれぞれ成り立぀たた$PM = NM$ より $AM = 2PM$ であり$BM = CM$ であるので$NM = x$ ずおけば$(1)$ の巊偎の等号より $AM = 2x, BM = CM = \\sqrt2x$ が分かるいた...
　鋭角䞉角圢 ${ABC}$ があり蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずしたす盎線 $AM$ ず䞉角圢 ${ABC}$ の倖接円の亀点のうち $A$ でない方を $P$ ずし線分 $AM$ の䞭点を $N$ ずしたすたた䞉角圢 $BCN$ の倖接円ず盎線 $AM$ の亀点のうち $N$ でない方を $Q$ ずしたす $$AM=MQ,\quad BP=5,\quad CP=3$$ が成立するずき䞉角圢 ${ABC}$の面積の $2$ 乗を求めおください\ 　ただし求める倀は互いに玠な正敎数 $p,q$ を甚いお $\dfrac{q}{p}$ ず衚されるので $p+q$ を解答しおください
OMCB023
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A
OMCB023(A)
100
283
288
[ { "content": "　$\\Box$ から $3$ ぀を $+$残りを $\\times$ にしたずきたたその時に限り等匏が成立するので${}\\_{10} \\mathrm{C}_{3} = \\textbf{120}$ 通りである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/11719" } ]
　䞋の $\Box$ それぞれに $+$ もしくは $\times$ を入れお等匏を成立させる方法は䜕通りありたすか $$\overbrace{1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1\ \Box \ 1}^{\text{1が11個, }\Box \text{ が10個}} = 4$$
OMCB023
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B
OMCB023(B)
100
232
258
[ { "content": "　$N$ の正の玄数党䜓の集合を $D$ ずするず$S \\cup T = D$ ずなるこずを瀺す$S\\subset D, ~ T\\subset D$ は明らかだから$D \\subset S \\cup T$ であるこずを瀺せばよい実際任意の $d \\in D$ に぀いお以䞋よりわかる\r\n- $d \\neq 1$ のずき$d = \\mathrm{lcm} (1,d) \\in S \\subset S \\cup T$\r\n- $d = 1$ のずき$d = \\gcd (1, N) \\in T \\subset S \\cup T$\r\n\r\...
　$N = 2^3 \times3^4 \times 5^6$ ずし集合 $S,T$ を以䞋で定めたす - $S$$N$ の盞異なる正の玄数 $a,b$ が存圚しお$\gcd (a,b)$ ず衚せる数党䜓の集合 - $T$$N$ の盞異なる正の玄数 $a,b$ が存圚しお$\mathrm{lcm} (a,b)$ ず衚せる数党䜓の集合 このずき $S \cup T$ は有限集合ずなるのでその芁玠数を求めおください\ 　ただし$\gcd (a,b)$ で $a$ ず $b$ の最倧公玄数を$\mathrm{lcm} (a,b)$ で $a$ ず $b$ の最小公倍数を衚したす
OMCB023
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C
OMCB023(C)
100
244
261
[ { "content": "　題意を満たす数を**良い敎数**ずよぶ$2$ ぀目の条件より良い敎数は $2,17,167$ を玠因数に持ち特に玠因数を少なくずも $3$ ぀持぀これず $1$ ぀目の条件より良い敎数は玠因数 $\\lbrace p, q, r \\rbrace = \\lbrace 2, 17, 167 \\rbrace$ により $p q^{16} r^{166}$ ず衚されるしたがっお良い敎数は $6$ ぀存圚しそれらの総積は\r\n$$ P = 2^{(1+16+166) \\times 2} \\times 17^{(1+16+166) \\times 2} \\times 1...
　次の $2$ ぀の条件を満たす自然数は有限個であるこずがわかっおいたす - 正の玄数をちょうど $5678$ 個持぀ - $5678$ を玄数ずしお持぀ このような自然数すべおの積を $P$ ずしたずき$P$ の正の玄数の個数を求めおください\ 　なお$5678$の玠因数分解は $5678=2 \times 17 \times 167$ です
OMCB023
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D
OMCB023(D)
200
168
195
[ { "content": "　$f(x)^2$ の $x^{100}$ の係数は\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{i=0}^{100} \\dfrac{1}{i!(100-i)!}&=\\dfrac{1}{100!}\\sum_{i=0}^{100} \\dfrac{100!}{i!(100-i)!}\\\\\\\\\r\n&=\\dfrac{1}{100!}\\sum_{i=0}^{100}{}\\_{100}\\mathrm{C}\\_{i}\r\n\\end{aligned}$$\r\nずなるがここで二項定理より\r\n$$(1+x)^{100}=\\sum_{i=0}^{1...
　$x$ に関する $100$ 次倚項匏 $f(x)$ を $$f(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^{100}}{100!}$$ により定めたすこのずき$f(x)^2$ を展開したずきの $x^{100}$ の係数は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a$ を解答しおください
OMCB023
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E
OMCB023(E)
200
156
201
[ { "content": "　$10$ 進数衚蚘で $A = abcd_{(10)}$$B = pqr_{(10)}$ ずする$a, p$ は $1$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数$b, c, d, q, r$ は $0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数であるこのずき $1000a + 100(b+p) + 10(c+q) + (d+r) = 9012$ ずなる䞀方で\r\n$$ 1000a + 100 \\leq 1000a + 100(b+p) + 10(c+q) + (d+r) \\leq 1000a + 1800 + 180 + 18 $$\r\nであるから$7.014 \\leq a \\leq 8.91...
　$A+B=9012$ ずなる $4$ 桁の正敎数 $A$ ず $3$ 桁の正敎数 $B$ の組 $(A,B)$ 党おに察しお$A+B$ の繰り䞊がりの個数の総和を求めおください\ 　なお「$A+B$ の繰り䞊がりの個数」ずは$A = abcd_{(10)}$$B = pqr_{(10)}$ ず$10$ 進数で衚蚘したずき次の $3$ ぀の呜題のうち真であるものの個数を指したす $$d+r≧10, \quad cd_{(10)}+qr_{(10)}≧100, \quad bcd_{(10)}+pqr_{(10)}≧1000$$
OMCB023
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F
OMCB023(F)
300
45
72
[ { "content": "　原点を $O$点 $(11,13)$ を $P$ ずする\r\nこのずき円 $C$ に関する点 $P$ の方べきは $$(OP+10)(OP-10)=OP^2-100=(11^2+13^2)-100=190.$$\r\n点 $P$ を通る盎線が円 $C$ ず $2$ 点で亀わるずき亀点のうち点 $P$ に近いほうを点 $Q$ ずするず方べきの定理より\r\n$$PQ(PQ+9)=190.$$\r\nこれを解くず $PQ\\gt0$ より $PQ=10$\r\n点 $P$ を䞭心ずしそれぞれ半埄 $10,19$ の円を円 $D,E$ ずするず\r\n条件を満たす $A$ の䜍...
　$xy$ 平面䞊に原点を䞭心ずする半埄 $10$ の円 $C$ があり$C$ 䞊にある点 $A,B$ が以䞋の条件をみたしたす - $2$ 点 $A,B$ 間の距離は $9$ - 盎線 $AB$ は点 $(11,13)$ を通る 　このずき$A$ の座暙 $(α,β)$ ずしおありうるものすべおに぀いお$α+β$ の総和を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せるので$m+n$ を解答しおください
OMCB023
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G
OMCB023(G)
300
93
114
[ { "content": "　$f(x)=\\sqrt{3}x^2-6x+2\\sqrt{3}$ ずおくず䞎匏は \r\n$$f(f(x))-x=0$$\r\nず衚されるここで $f(x)-x=0$ の解の䞀぀を $\\alpha$ ずおくず $f(\\alpha)=\\alpha$ より\r\n$$f(f(\\alpha))-\\alpha=f(\\alpha)-\\alpha=0$$\r\nから$\\alpha$ は $f(f(x)) -x = 0$ の解の䞀぀であるゆえに䞎匏は $f(x)-x$ で割り切れる \r\n実際に蚈算するず\r\n$$f(f(x))-x=(\\sqrt{3}x^2-7x+2...
　$x$ の $4$ 次方皋匏 $$\sqrt{3}(\sqrt{3}x^2-6x+2\sqrt{3})^2-6(\sqrt{3}x^2-6x+2\sqrt{3})+2\sqrt{3}-x=0$$ の実数解のうち、最小のものは $1$ 桁の正の敎数 $a,b,c,d,e$ を甚いお $$\dfrac{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}{e}$$ ず衚されるので積 $abcde$ を解答しおください
OMCB023
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H
OMCB023(H)
400
16
47
[ { "content": "　$\\triangle BAC \\sim \\triangle PAQ$ ずなるように盎線 $AC$ に関しお $B$ を含たない方にある点を $Q$ ずする. するず, $\\triangle BPA\\sim \\triangle CQA$ より\r\n$$\\angle QPC = \\angle APC - \\angle ABC = 30^{\\circ}$$\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle PCQ &= \\angle ACQ + \\angle ACP \\\\\\\\\r\n&= \\angle ABP + \\angle ACP\...
　䞉角圢 $ABC$ の内郚に点 $P$ をずるず次が成立したした $$\angle{APB}-\angle{ACB}=\angle{APC}-\angle{ABC}=30^{\circ}$$ $$AP:BP:CP=7:3:4$$ $AB^2:BC^2:CA^2=a:b:c$ (ただし $a,b,c$ は互いに玠な正敎数) ず衚せるので $a+b+c$ を求めおください
OMCE008
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A
OMCE008(A)
400
171
191
[ { "content": "　文字の察称性から $x \\leq y \\leq z$ ずしおも䞀般性を倱わないいた$\\alpha, \\beta, \\gamma$ を\r\n$$\\alpha = \\left \\lfloor \\frac{2xy}{z} \\right \\rfloor\\beta = \\left \\lfloor \\frac{2zx}{y} \\right \\rfloor\\gamma = \\left \\lfloor \\frac{2yz}{x} \\right \\rfloor$$\r\nず定めるず\r\n$$\\alpha \\beta \\gamma = 111...
　次の等匏をみたす正敎数の組 $(x, y, z)$ は䞊び替えを陀いお䞀意に定たりたすこの $(x, y, z)$ に぀いお$x+y+z$ の倀を解答しおください $$\left \lfloor \frac{2xy}{z} \right \rfloor \left \lfloor \frac{2zx}{y} \right \rfloor \left \lfloor \frac{2yz}{x} \right \rfloor = 1110$$ <details><summary>「䞊び替えを陀いお䞀意に定たる」ずは<\/summary> 　ある条件をみたす正敎数の組 $(x, y, z)$ が䞊び替えを陀いお䞀意に定た...
OMCE008
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B
OMCE008(B)
400
82
116
[ { "content": "　四角圢 $ABCD$䞉角圢 $CDE$ の倖接円をそれぞれ $\\Omega, \\Gamma$ ずし$\\Omega$ の䞭心を $O$ ずするたた$\\theta = \\angle ABC$ ずする\\\r\n　䞉角圢 $ACD$ は $AD = CD$ なる二等蟺䞉角圢なので $\\angle DAC$ は鋭角でありこれは $\\Omega$ における円呚角であるため $A, O$ は盎線 $CD$ に関しお同じ偎に存圚するたた四角圢 $ABCD$ は凞四角圢なのでこの四角圢の呚のうち蟺 $CD$ を陀いたものはすべお盎線 $CD$ に関しお同じ偎に含たれるこ...
　凞四角圢 $ABCD$ が半埄 $\sqrt{1110}$ の円に内接しおおり$AD = CD$ をみたしおいたす蟺 $BC$ を $37 : 24$ に内分する点 $E$ をずったずころ$AB \parallel DE$ が成り立ちさらに䞉角圢 $CDE$ の倖接円の**盎埄**は $37$ ずなりたしたこのずき蟺 $AB$ の長さは互いに玠な正敎数 $p, q$ ず平方因子をもたない正敎数 $r$ によっお $\dfrac{q \sqrt{r}}{p}$ ず衚されるので$p + q + r$ の倀を解答しおください