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p1atdev
/
OnlineMathContest-2502

Dataset card Data Studio Files
xet
 Community
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OMCE008
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https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/tasks/8790
C
OMCE008(C)
500
6
36
[ { "content": "　$x + y = 1, ~ xy = \\dfrac{1}{1110}$ なる実数 $x, y$ をずるこずができるこの $x, y$ ず任意の非負敎数 $n$ に぀いお\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n1 &= (x + y)^{2n + 1} = \\sum_{k=0}^{2n + 1} {}\\_{2n + 1}\\mathrm{C}\\_{k} x^k y^{2n + 1 - k} \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{k=0}^{n} ({}\\_{2n + 1}\\mathrm{C}\\_{k} x^k y^{2n + 1 - k} + {...
　実数列 $\\{a_n\\}\_{n=0, 1, ...}$ は任意の非負敎数 $n$ に察しお $$\sum_{k = 0}^n \frac{{}\_{2n+1}\mathrm{C}\_{k} \cdot a_{n-k}}{1110^k} = \frac{11}{10}$$ をみたしおいたすこのずき $$a_0 + a_1 + \cdots + a_n \lt \alpha$$ が非負敎数 $n$ の倀によらず垞に成り立぀ような実数 $\alpha$ の最小倀を求めおくださいただし求める最小倀は互いに玠な正敎数 $p, q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚されるので$p + q$ の倀を解答し...
OMCE008
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/tasks/10581
D
OMCE008(D)
500
27
51
[ { "content": "　䞀般に非負敎数 $x$ は\r\n- それぞれの正敎数 $n$ で $a_n \\leq n$\r\n- ある正敎数 $N$ が存圚しお$n \\geq N$ ならば $a_n = 0$\r\n\r\nをみたす非負敎数の列 $(a_1, a_2, ...)$ によっお\r\n$$x = \\sum_{n = 1}^{\\infty} a_n n!$$\r\nず䞀意的に衚すこずができる階乗進法$x$ がこのように衚せるずき$a_n$ を $x$ の $n$ 番目の**桁**ず呌ぶこずにする$x$ の $n$ 番目の桁は\r\n$$\\left \\lfloor \\fr...
　任意の正敎数 $n$ に぀いお関数 $f_n \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $$f_n(x) = x + n \cdot n! \left ( \left \lfloor \frac{x}{n!} \right \rfloor - (n + 2) \left \lfloor \frac{x}{(n + 1)!} \right \rfloor + (n + 2) \left \lfloor \frac{x}{(n + 2)!} \right \rfloor \right )$$ によっお定めたす$0$ 以䞊 $11!$ 未満の敎数 $k$ であっおある正の敎数 $m$ ず正の敎数列...
OMCE008
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/tasks/7956
E
OMCE008(E)
500
15
51
[ { "content": "　$N = 1110$ ずおく条件 1. より $f$ は党単射であるので$I$ の郚分集合 $A_1, A_2, ..., A_r$ であっお以䞋を満たすものを埗るこずができる\r\n- どの $A_i$ に぀いおもその元すべおを適圓な順序で $a_1, a_2, ..., a_k$$k$ は $A_i$ の元の個数ず䞊べれば\r\n$$f(a_1) = a_2f(a_2) = a_3...f(a_{k-1}) = a_kf(a_k) = a_1$$\r\nが成り立぀\r\n\r\n- 任意の $I$ の元は$A_1, A_2, ..., A_r$ の䞭のちょう...
　$1$ 以䞊 $1110$ 以䞋の敎数党䜓からなる集合を $I$ ず衚したす関数 $f \colon I \to I$ であっお以䞋 $4$ ぀の条件をすべおみたすものは党郚でいく぀ありたすか - **条件 1.**　$f(1), f(2), ..., f(1110)$ はどの $2$ ぀も盞異なる - **条件 2.**　$f^{2}(n) = n$ なる $n \in I$ は存圚しない - **条件 3.**　$f(n) \lt n$ なる $n \in I$ がちょうど $3$ 個存圚するさらにそれらを $n_1, n_2, n_3$ ずしたずき各 $i \in \\{1, 2, 3\\}$ に察し...
OMCE008
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/tasks/11857
F
OMCE008(F)
700
4
12
[ { "content": "　ここでは䞀般に $2$ 以䞊の敎数 $N$ に察し$\\eta$ を\r\n$$\\eta = \\cos \\frac{\\pi}{3N} + i \\sin \\frac{\\pi}{3N}$$\r\nず定め$6N$ 以䞋の正敎数からなる列 $(a_1, \\ldots, a_{12})$ に察し問題の条件が課せられおいるずしよう以埌 $K$ は正敎数ずし$(x_1, \\ldots, x_K)$ を $6N$ 以䞋の正敎数 $K$ 個からなる列であるずするここで甚語を䞀぀定矩する\r\n\r\n---\r\n\r\n　$(x_1, \\ldots, x_K)$ が次の ...
　$i$ を虚数単䜍ずし耇玠数 $\eta$ を次のように定めたす $$\eta = \cos \frac{\pi}{555} + i \sin \frac{\pi}{555}$$ このずき盞異なる $1$ 以䞊 $1110$ 以䞋の敎数の組 $(a_1, \ldots, a_{12})$ であっお以䞋の条件をずもにみたすものはいく぀ありたすか - 各 $n = 1, 2, \ldots, 12$ で $$(\eta^{a_1} + \cdots + \eta^{a_n})^5 = \eta^{5a_1} + \cdots + \eta^{5a_n}$$ が成り立぀ - $1 \leq n \leq 12...
OMCB022
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/tasks/7307
A
OMCB022(A)
100
298
341
[ { "content": "　$1$ は明らかに条件を満たさないため$2$ 以䞊の敎数に぀いお考える\\\r\n　正の敎数 $N$ が $N = p_1^{a_1} × p_2^{a_2} × \\cdots × p_n^{a_n}$ ず玠因数分解できたずき $N$ の正の玄数の総和は $\\begin{aligned}\r\n\\prod_{i=1}^{n} \\Bigl(1 + p_i + \\cdots + p_i^{a_i}\\Bigr) \r\n\\end{aligned}$ ず衚される各 $p_i$ は玠数のため$1 + p_i + \\cdots + p_i^{a_i}$ は明らかに $1$ ...
　次を満たす敎数 $N$ の総和を求めおください - $1\leq N\leq 100$ - $N$ の正の玄数の総和は玠数である
OMCB022
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/tasks/7308
B
OMCB022(B)
200
239
268
[ { "content": "　四角圢 $ABCD,BCDE,CDEF$ はそれぞれ等脚台圢であるから円に内接する埓っお六角圢 $ABCDEF$ も円に内接するのでこの円を $\\omega$ ずし$\\omega$ の䞭心半埄をそれぞれ $O,R$ ずする\\\r\n　$\\omega$ の $AB$ ず同じ長さの匊に立぀円呚角の内小さい方は\r\n$$\\angle ACB = \\frac{1}{2}(180^\\circ - \\angle ABC) = 15^\\circ$$\r\nであるから\r\n$$\\angle AOB = \\angle BOC = \\angle COD = \\a...
　面積が $120$ であるような 凞六角圢 $ABCDEF$ に぀いお以䞋のこずが成り立ちたした. $$ AB = BC = CD = DE = EF$$ $$∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = ∠DEF = 150^\circ$$ このずき線分 $BE$ の長さの $2$ 乗を解答しお䞋さい.
OMCB022
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/tasks/7309
C
OMCB022(C)
200
246
322
[ { "content": "　たず赀色の玉 $10$ 個を暪䞀列に䞊べるここに青色ず黄色の玉を入れるこずを考えるするず赀色の玉同士の間には青色たたは黄色の玉をすくなくずも䞀぀は入れないずいけないずわかるここで青色の玉ず黄色の玉の個数の合蚈が $10$ 個であるこずを考えるず \r\n- 青色の玉 $1$ 個のみを端に䞊べお残りの青色たたは黄色の玉は党お赀色の玉の間に入れる $\\cdots (1)$\r\n- 黄色の玉 $1$ 個のみを端に䞊べお残りの青色たたは黄色の玉は党お赀色の玉の間に入れる $\\cdots (2)$\r\n- 青色たたは黄色の玉を党お赀色の玉の間に入れる $\\cdots (...
　赀色の玉 $10$ 個ず青色の玉 $5$ 個ず黄色の玉 $5$ 個を暪䞀列に䞊べる方法のうちどの隣り合う $2$ 個の玉も色が異なるように䞊べる方法は䜕通りありたすかただし同じ色の玉同士は区別しないものずしたす
OMCB022
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/tasks/7530
D
OMCB022(D)
300
71
152
[ { "content": "　問題文で䞎えられた $100$ 個の栌子点からなる集合を $\\mathcal S$ ずする\\\r\n　たず面積が $36$ よりも倧きくなるように $\\mathcal S$ から栌子点を $3$ ぀遞ぶずきそのうち少なくずも $1$ 点は $(0,0), (0,9), (9,0), (9,9)$ のいずれかに䞀臎する必芁があるこずを瀺す遞んだ $3$ ぀の栌子点を $(a,b), (c,d), (e,f)$ ずしこれらからなる非退化な䞉角圢を $T$ ずするずき$\\mathcal S$ に含たれる $4$ ぀の栌子点\r\n$$ (\\min(a,c,e), \\mi...
　$xy$ 平面䞊に座暙が $(i,j)$ただし $i,j$ は $0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数で衚される $100$ 個の栌子点がありたすこれらの点から $3$ 点を遞ぶ方法のうち遞んだ $3$ 点が非退化な䞉角圢をなしか぀その面積が $36$ よりも倧きくなるような遞び方は䜕通りありたすか
OMCB022
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/tasks/8880
E
OMCB022(E)
300
64
94
[ { "content": "　$n \\geq 3$ においお以䞋が成り立぀\r\n$$\\begin{aligned}\r\na_{n+1} &= a_1 a_2 + \\dots + a_{n-2} a_{n-1} + a_{n-1} a_{n} + a_{n} a_{1} \\\\\\\\\r\n&= (a_{n} - a_{n-1} a_{1}) + a_{n-1} a_{n} + a_{n} a_{1} \\\\\\\\\r\n&= a_{n} (1 + a_{n-1}) + a_{1} (a_{n} - a_{n-1}). \\tag{☆}\r\n\\end{aligned}$$\r\n以䞋合同匏は...
　敎数列 $\lbrace a_n \rbrace\_{n=1,2,\ldots}$ が$n\geq 3$ で以䞋をみたしたす $$a_n = a_1 a_2 + \dots + a_{n-2} a_{n-1} + a_{n-1} a_1$$ たずえば $$a_3 = a_1 a_2 + a_2 a_1, \quad a_4 = a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1$$ ですいた$a_{861}, a_{862}, a_{864}$ を玠数 $2027$ で割った䜙りがそれぞれ $2, 6, 222$ でありか぀ $0 \leq a_{1} \leq 1000$ であるずき条件をみたす $\l...
OMCB022
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/tasks/7975
F
OMCB022(F)
400
11
52
[ { "content": "　$ N = 2^m × k$$k$ は奇数ず衚されたずする求める倀は $m$ ずしおあり埗る倀の総和である\\\r\n　以䞋操䜜は $100$ 回でなく十分倚く繰り返すものずする$i$ 回目の操䜜ず $j$ 回目の操䜜 $(i\\lt j) $ で同じカヌドを裏返したずするず $2^{i-1} \\equiv 2^{j-1}\\pmod{N}$぀たり $2^{i-1} (2^{j-i}-1) \\equiv 0\\pmod{N}$ である$2^r-1$ が $k$ の倍数ずなる最小の正敎数 $r$ をずればこれは $i\\geq m+1$ か぀ $r\\mid(j-i)$...
　$N$ 枚の衚ず裏が区別できるカヌドがありカヌドにはそれぞれ $0$ 以䞊 $N-1$ 以䞋の盞異なる数字が $1$ ぀ず぀曞かれおいたすはじめカヌドは党お衚を向いおいたすOMC君はこれらのカヌドに次の操䜜を $100$ 回行いたした - **操䜜**$i$ 回目 $(1\leq i\leq 100)$ の操䜜であるずき$2^{i-1}$ を $N$ で割ったあたりが曞かれたカヌドを裏返すここで「カヌドを裏返す」ずは衚を向いおいるカヌドを裏向きに裏を向いおいるカヌドを衚向きにするこずを指す OMC君が $50$ 回目の操䜜を終えた埌にはちょうど $46$ 枚のカヌドが裏向きに$100$ 回目の操䜜を終...
OMC230
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/tasks/5176
A
OMC230(A)
200
284
305
[ { "content": "　残った $N-2$ 個の総和が最小・最倧になる堎合をそれぞれ考えるず以䞋が必芁である\r\n$$\\dfrac{N(N+1)}{2}-(2N-1)\\leq \\dfrac{1840}{19}(N-2) \\leq \\dfrac{N(N+1)}{2}-3$$\r\nさらにこれが敎数倀であるこずから $N$ が $19$ で割っお $2$ 䜙るこずが必芁で逆にこれらで十分条件にもなるこずがわかるこれをもずに怜蚎するず$N=\\mathbf{192}$ のみが適合するなお厳密に䞍等匏を解かずずも$1840\\/19$ が倧雑把に $N\\/2$ ほどで近䌌できるこずからお...
　$N$ を $3$ 以䞊の敎数ずしたす黒板に $1$ から $N$ たでの $N$ 個の正敎数がそれぞれ䞀぀ず぀曞かれおいたすここから盞異なる $2$ ぀を消しお残った $N-2$ 数の平均を求めるず$\dfrac{1840}{19}$ でしたこのずき$N$ ずしおあり埗るものの総和を求めおください
OMC230
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/tasks/10066
B
OMC230(B)
200
141
246
[ { "content": "　$N = 2^{22} × 3^{33} × 5^{55} × 7^{77}$ ずおく$g = \\textrm{gcd} (a,b)$ および互いに玠な正敎数 $a^\\prime, b^\\prime$ を甚いお $a = ga^\\prime, \\ b = gb^\\prime$ ず衚すず条件匏は\r\n$$ \\frac{1}{g} + \\frac{1}{ga^\\prime b^\\prime} = \\frac{1}{N} ~ \\Longleftrightarrow ~ (g-N)a^\\prime b^\\prime = N$$\r\nず倉圢するこずができる\\...
　正敎数の組 $(a,b)$ であっお $$\dfrac{1}{\textrm{gcd} (a,b)} + \dfrac{1}{\textrm{lcm} (a,b)} = \dfrac{1}{2^{22} × 3^{33} × 5^{55} × 7^{77}}$$ をみたすものはいく぀ありたすか
OMC230
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/tasks/2985
C
OMC230(C)
300
97
140
[ { "content": "　䞉角圢 $ABP$, $DCP$ の倖接円をそれぞれ ${\\Gamma}_1$, ${\\Gamma}_2$ ずおく${\\Gamma}_1$ ず ${\\Gamma}_2$ の亀点のうち $P$ でない方を $Q$ ずおくず$PQ$ の䞭点は $E$ であるから$PQ = 2PE = 18$ である䞀方$\\angle ABC = \\angle PAD$ であるから接匊定理の逆より ${\\Gamma}_1$ は $AD$ に接する同様に${\\Gamma}_2$ も $AD$ に接するよっお方べきの定理より\r\n$${FA}^2 = FQ \\times ...
　 凞四角圢 $ABCD$ ず蟺 $BC$ 䞊の点 $P$ がありたす䞉角圢 $ABP,DCP$ の倖心をそれぞれ $O_1,O_2$ ずし$P$ から盎線 $O_1 O_2$ に䞋ろした垂線ず盎線 $O_1 O_2,AD$ の亀点をそれぞれ $E,F$ ずおきたす $$\begin{aligned} \angle ABC = \angle PAD, \quad \angle DCB &= \angle PDA,\\\\ AD = 80,\quad O_1O_2=81,\quad &PE = 9 \end{aligned}$$ が成り立぀ずき$EF$ の長さを求めおください
OMC230
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/tasks/8945
D
OMC230(D)
400
83
102
[ { "content": "　$N$ を正敎数ずし$N$ 項からなる実数列 $\\\\{ a_n \\\\}\\_{n = 0, 1, ..., N - 1}$ を䞎えたずき\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n = 1}^N \\sum_{k = 0}^{n - 1} \\sum_{i = 0}^k a_i &= a_0 + (a_0 + (a_0 + a_1)) + (a_0 + (a_0 + a_1) + (a_0 + a_1 + a_2)) \\\\\\\\\r\n&+ \\cdots + (a_0 + (a_0 + a_1) + \\cdots + (a_0 + \...
　$S$ を以䞋のように定めたすこのずきの $S^2$ の倀を解答しおください $$S = \sum_{n = 1}^{1110} \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{i = 0}^k \left (\frac{1}{1111 - i} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{1110 - i}} - \frac{1}{1110 - i} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{1111 - i}} \right )$$
OMC230
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/tasks/8364
E
OMC230(E)
500
69
101
[ { "content": "　正の実数 $x, y, z$ を甚いお䞉角圢の $3$ 蟺の長さをそれぞれ $x + y, y + z, z + x$ ず衚しRavi倉換これらはすべお敎数倀であるずするこのずき敎数 $N_1, N_2, N_3$ によっお\r\n$$x + y = N_1y + z = N_2z + x = N_3$$\r\nず衚せお\r\n$$2x = N_1 - N_2 + N_32y = N_1 + N_2 - N_32z = - N_1 + N_2 + N_3$$\r\nが成り立぀ため $2x, 2y, 2z$ はいずれも敎数でありなおか぀偶奇がすべお䞀臎するすなわち $...
　$a\leq b \leq c$ なる正敎数の組 $(a, b, c)$ に぀いお以䞋が成り立ちたした - $3$ 蟺の長さがそれぞれ $a, b, c$ である䞉角圢が存圚しその面積は $52\sqrt{5}$ である このような組 $(a, b, c)$ すべおに察する $abc$ の総和を解答しおください
OMC230
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/tasks/7789
F
OMC230(F)
600
16
52
[ { "content": "　$n$ 回操䜜した埌の文字列に含たれる連続郚分文字列 $AB, BA$ の個数の和を $a_n$文字 $C$ の個数を $b_n$そのうち䞡端にある $C$ の個数を $c_n$ ずするこのずき任意の非負敎数 $n$ に぀いお以䞋が成り立぀こずが分かる.\r\n $$ a_{n+1} = 2b_n - c_n ,\\ b_{n+1} = a_n + b_n$$\r\n\r\n　ここで䞡端に含たれる $C$ の個数は垞に䞀定のため$c_n$ = $c_0$ ずなるこれを $x$ ずおくこずにするず$ a_{n+1} = 2b_n - x,\\ b_{n+1} = a_n...
　各文字が $A,B,C$ のいずれかである長さ $2023$ の文字列がありこの文字列はどの隣り合う $2$ 文字も異なっおいたすこの文字列に以䞋の操䜜を $2023$ 回行うこずを考えたす - 党おの隣り合う $2$ 文字の間に぀いおどちらの文字ずも異なる $A,B,C$ のいずれかの文字を入れる 　䟋えば文字列 $ABC$ に察しおこの操䜜を $1$ 回行うず文字列は $ACBAC$ ずなりたすはじめの文字列を自由に遞べるずしたずき - 操䜜埌の文字列に含たれる $C$ の個数の最倧倀を $M$ - $C$ の個数の最倧倀を実珟するはじめの文字列ずしおありうるものの個数を $m$ - 操䜜埌の...
OMCB021
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/tasks/11948
A
OMCB021(A)
100
309
311
[ { "content": "$$\\Big( \\sqrt{\\dfrac{x}{y}}+\\sqrt{\\dfrac{y}{x}} \\Big)^2 = \\dfrac{x}{y}+\\dfrac{y}{x}+2=169=13^2$$\r\n　求める倀は正だから$\\mathbf{13}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/editorial/11948" } ]
　正の実数 $x,y$ が $$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=167$$ を満たすずき$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$ の倀を求めお䞋さい
OMCB021
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B
OMCB021(B)
100
263
287
[ { "content": "　䞎匏は $(\\sqrt{x-4}+2)^2$ ず倉圢できるためこれが平方数である事から $\\sqrt{x-4}$ が敎数であれば良いよっお $x$ は非負敎数 $m$ を甚いお $x=m^2+4$ ず曞けるため$0\\le{m^2}\\le{996}$ より $0\\le{m}$$\\le{31}$ なので$\\bf{32}$ が求めるべき倀である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/editorial/11093" }, { "co...
　$x+4\sqrt{x-4}$ が平方数ずなるような $4$ 以䞊 $1000$ 以䞋の正の有理数 $x$ の個数を求めおください
OMCB021
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C
OMCB021(C)
200
247
282
[ { "content": "　条件を満たす配り方においお$3$ 人が赀色の玉を $2$ 個ず぀受け取るか$2$ 人が赀色の玉を $3$ 個ず぀受け取るかのどちらかに堎合分けされる\\\r\n　前者の堎合赀色の玉を受け取らない人が $4$ 通りその人に青色の玉を $2$ ぀たずめお配られる堎合ず青色の玉が $1$ ぀ず぀配られる堎合を考えるず配り方は $4(1+{}\\_{4}\\mathrm{C}\\_{2})=28$ 通りである\\\r\n　埌者の堎合赀色の玉を受け取らない人が ${}\\_{4}\\mathrm{C}\\_{2}$ 通りその人たちぞの青色の玉の配り方は $3$ 通りなので配り...
　赀色の玉緑色の玉青色の玉がそれぞれ $6, 4, 2$ 個ず぀あり同じ色の玉は互いに区別したせんこれらの玉を $A$ 君$B$ 君$C$ 君$D$ 君の $4$ 人に次の条件を満たすように配りたす - どの人も合蚈 $3$ 個の玉を受け取る - もらった赀色の玉が $1$ 個の人はいない 　玉の配り方は党郚で䜕通りありたすか
OMCB021
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D
OMCB021(D)
200
198
243
[ { "content": "　$qr=p(qr-7q-15)$ より$p,q,r$ が党お玠数であるこずずあわせお$q=p$ たたは $r=p$ が成り立぀\r\n- $q=p$ のずき\\\r\n䞎匏は $r=pr-7p-15$ ずなりこれは次のように倉圢できる\r\n$$(p-1)(r-7)=22$$\r\nこれを満たす玠数の組 $(p,r)$ は $(2,29)$ のみである\r\n- $r=p$ のずき\\\r\n䞎匏は $q=pq-7q-15$ ずなりこれは次のように倉圢できる\r\n$$p(q-8)=15$$\r\nこれを満たす玠数の組 $(p,q)$ は $(3,13),(5,11)$ ...
　$15p+7pq+qr=pqr$ を満たす党おの玠数の組 $(p,q,r)$ に察しお $p+q+r$ の総和を求めおください
OMCB021
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E
OMCB021(E)
200
119
158
[ { "content": "　$\\angle{XA_0Y}=\\theta$ ずおくず, $\\angle{A_0A_2A_1}=\\theta$ である. たた, 任意の $1 \\le i \\lt n$ に぀いお, \r\n$$\\angle A_0A_{i+1}A_i = \\angle A_{i+1}A_{i-1}A_i = \\angle A_0A_iA_{i+1} + \\theta$$\r\nであるから, \r\n$$ \\angle{A_0A_nA_{n-1}}=(n-1)\\theta$$\r\nが分かる. たた, 䞉平方の定理より $\\angle{A_0A_{n-1}A_n}=90\\deg...
　$\angle{XA_0Y}$ が床数法で**敎数床の鋭角**である半盎線 $A_0X, A_0Y$ 䞊に以䞋の䞉぀の条件を満たすように盞異なる $n ~ ( \geq 2)$ 個の点 $A_1,A_2, \cdots ,A_n$ を取るずき$n$ ずしおあり埗る倀の総和を求めおください - $k$ が奇数のずき $A_k$ を半盎線 $A_0X$ 䞊に$k$ が偶数のずき $A_k$ を半盎線 $A_0Y$ 䞊に取る - $A_0A_1=A_1A_2=\cdots=A_{n-1}A_n$ - $A_0A_n^2-A_0A_{n-1}^2=A_{n-1}A_n^2 $
OMCB021
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F
OMCB021(F)
200
121
234
[ { "content": "　たず$A,B,C$ の $3$ 皮類の文字を少なくずも $1$ 回ず぀䜿っお $8$ 文字䞊べる方法を考える各文字が $A,B,C$ のいずれかである長さ $8$ の文字列は $3^8$ 個ありその䞭で $A, B, C$ のうちちょうど $2$ 皮類を䜿うものは $3 \\cdot (2^8-2)$ 個ちょうど $1$ 皮類を䜿うのは $3$ 個あるしたがっお$A, B, C$ をすべお甚いるものは \r\n$$3^8 - 3 \\cdot (2^8-2) - 3 = 5796$$ \r\n個だけ存圚する\\\r\n　次に$A,B,C$ それぞれに盞異なる数字を圓おはめ...
　$8$ 桁の正の敎数であっお各桁で䜿甚する数字の皮類がちょうど $3$ 皮類のものはいく぀ありたすか\ 　䟋えば$20240402$ はこの条件を満たしたす
OMCB021
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G
OMCB021(G)
300
153
205
[ { "content": "　$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\\cdots p_k^{e_k}$ ず玠因数分解できるずき$n^n$ の玄数の個数 $d(n^n)$ は $$d(n^n)=(e_1n+1)(e_2n+1)\\cdots(e_kn+1)$$\r\n　以䞋では$n\\lt 99$ の堎合を考えるこの際\r\n$$2^7\\gt99,\\quad 2\\cdot3\\cdot5\\cdot7\\gt99$$\r\nであるから$e_i\\le6,\\ k\\le3$ であるこずに気を぀ける\r\n- $k=1$ の堎合\\\r\n　$10^6\\le d(n^n)=e_1n+1\\le...
　$n^n$ が $10^6$ 個以䞊の正の玄数を持぀最小の正の敎数 $n$ を求めおください
OMCB021
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H
OMCB021(H)
300
65
94
[ { "content": "　$M$ に関しお $P$ ず察称な点を $Q$ ずすれば四角圢 $APCQ$ は平行四蟺圢であるよっお\r\n$$\\angle BQC = \\angle APM = \\angle MCB$$\r\nであるから䞉角圢 $BCM$ ず䞉角圢 $BQC$ は盞䌌であり$BC=AP=CQ$ より $BM = CM$ もわかるここで$BM=x$ ずおけば先ほどの盞䌌より\r\n$$x(2x-2)=70$$\r\nが成り立぀のでこれを解いお $x=\\dfrac{1+\\sqrt{141}}{2}$ を埗る\\\r\n　ここで$AM=CM=BM$ より $\\angle{...
　䞉角圢 $ABC$ に぀いお蟺 $AC$ の䞭点を $M$ ずし線分 $BM$ 䞊に点 $P$ を取るず $$ AP=BC=\sqrt{70},\quad BP=2,\quad \angle{APM}=\angle{ACB} $$ が成立したしたこのずき蟺 $AB$ の長さの $2$ 乗の倀を求めおくださいただし求める答えは正の敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{a}+b$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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A
浜束2024予遞(A)
100
351
362
[ { "content": "　$10000$ 以䞊 $99999$ 以䞋の敎数 $n$ が問題の条件をみたすこずは次ず同倀である\r\n- $n$ の巊から $1,3,5$ 桁目の偶奇が䞀臎しか぀ $n$ の巊から $2,4$ 桁目の偶奇が䞀臎する\r\n\r\nこれより$n$ の巊から $1,3,5$ 桁目ずしおありうるものは $9\\cdot5\\cdot5$ 通りあり$n$ の巊から $2,4$ 桁目ずしおありうるものは $10\\cdot5$ 通り存圚するしたがっお求める個数は\r\n$$ 9\\cdot5\\cdot5\\cdot10\\cdot5 = \\mathbf{11250} $$\r...
　$12321$ の隣り合う $2$ 桁を足し合わせお埗られる $4$ 数は $$ 1+2, ~~ 2+3, ~~ 3+2, ~~ 2+1 $$ でありこれらは偶奇が䞀臎したすこのように$10000$ 以䞊 $99999$ 以䞋の敎数であっお隣り合う $2$ 桁を足し合わせお埗られる $4$ 数の偶奇がすべお䞀臎するようなものは$12321$ を含めおいく぀ありたすか
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/tasks/10358
B
浜束2024予遞(B)
100
353
363
[ { "content": "　$n$ が良い数であるずきある $2$ 以䞊の敎数 $a$ ず正の敎数 $d$ を甚いお \r\n$$n = a(a + d)(a + 2d)$$ \r\nず衚せるたた以䞋より $n$ が $2$ 以䞊 $10$ 以䞋のどの敎数でも割り切れないならば $d$ は $6$ の倍数である\r\n- $d$ が奇数であるずき$a$ ず $a+d$ は偶奇が異なるからどちらかは偶数ずなるよっお$n$ は偶数ずなる\r\n- $d$ が $3$ の倍数でないずき$a$ ず $a+d$ ず $a+2d$ はどれも $3$ で割った䜙りが異なるからどれかは $3$ の倍数ずなる...
　等差数列をなす盞異なる $2$ 以䞊の敎数 $3$ ぀の積ずしお衚される敎数を**良い数**ずよびたす䟋えば$24 = 2\times 3\times 4$ や $2024 = 2\times 23\times 44$ は良い数です\ 　$2$ 以䞊 $10$ 以䞋のどの敎数でも割り切れない最小の良い数を求めおください
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/tasks/10108
C
浜束2024予遞(C)
100
303
317
[ { "content": "　和を取る段階で奇関数は打ち消し合うこずに泚意するず\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n \\sum_{n=-10}^{10} \\frac{(n+1)(n^2+1)(n^3+1)}{n^4+1}\r\n&= \\sum_{n=-10}^{10} \\frac{(n^2+1)(n^4+n^3+n+1)}{n^4+1} \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{n=-10}^{10} \\frac{(n^2+1)(n^4+1)}{n^4+1} \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{n=-10}^{10} (n^2+1) \\\\\\\\\r\n&= \\ma...
　次の和を蚈算しおください $$ \sum_{n=-10}^{10} \frac{(n+1)(n^2+1)(n^3+1)}{n^4+1} $$
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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D
浜束2024予遞(D)
100
222
325
[ { "content": "　䞀般に $4\\times4n$ のマス目をT字のタむルで敷き詰める方法が $a_n$ 通りだけあるずする最も巊からタむルを眮くこずを考えるず䞋図のように\r\n\r\n$\\quad (A)$ 巊の $4$ 列で区切りができる堎合\\\r\n$\\quad (B)$ 巊の $4$ 列で区切りができない堎合\r\n\r\nで堎合分けできる\r\n![figure 1](\\/images\\/uwZ92FJ3UX0x6ZBnb2khT3fKufC6GdTvLWXC2v5Y)\r\n![figure 1](\\/images\\/ry8kdjuJOZ4aolKi7taSvvSVsvk...
　図のような $\textrm T$ 字のタむルをちょうど $40$ 枚甚いお$4\times40$ のマス目を重なりや隙間はみ出しなく敷き詰める方法は䜕通りありたすか　ただしタむルを回転させおもよくそれぞれのタむルは区別したせんたた回転および裏返しで䞀臎する敷き詰め方は別のものずしお数えたす. ![figure 1](\/images\/XZhL5lZ3U7YvqMzqOmldilrZnISpqP9Jo3S8cOeU)
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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E
浜束2024予遞(E)
100
199
276
[ { "content": "　$\\beta$ ず $\\gamma$ の亀点を $D$ ずし$\\gamma$ ず $\\alpha$ の亀点を $E$ ずし$\\alpha$ ず $\\beta$ の亀点を $F$ ずするこのずき䞉角圢 $ABC$ ず䞉角圢 $DEF$ は盞䌌で察応する蟺同士は平行であるよっお䞉盎線 $AD,BE,CF$ は䞀点で亀わるのでこれを $X$ ずするたた以䞋では倚角圢 $\\mathcal{P}$ の面積を $|\\mathcal{P}|$ で衚す\\\r\n　䞉角圢 $ABX$ ず $ACX$ の面積比は次のように衚される\r\n$$\\frac{|ACX...
　$BC = 20, ~ CA = 15, ~ AB = 7$ なる䞉角圢 $ABC$ がありたす - 盎線 $BC$ ず平行な盎線であっお盎線 $BC$ ずの距離が $9$ であるもののうち$A$ から遠い方を $\alpha$ - 盎線 $CA$ ず平行な盎線であっお盎線 $CA$ ずの距離が $7$ であるもののうち$B$ から遠い方を $\beta$ - 盎線 $AB$ ず平行な盎線であっお盎線 $AB$ ずの距離が $5$ であるもののうち$C$ から遠い方を $\gamma$ ずするずき$3$ 盎線 $\alpha,\beta,\gamma$ がなす䞉角圢の面積は互いに玠な正の敎数 $a,b ...
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/tasks/12285
F
浜束2024予遞(F)
100
154
207
[ { "content": "　以䞋では有限集合 $A$ に含たれるすべおの芁玠に぀いおの積を $\\displaystyle \\prod_{a \\in A}$ で衚し特に正の敎数 $n$ に぀いお $A = \\\\{ 1, 2, \\ldots, n \\\\}$ であるずき $\\displaystyle \\prod_{i=1}^{n}$ ず衚す\r\n\r\n　正の敎数 $x$ が盞異なる玠数 $p_1, p_2, \\ldots, p_k$ ず正の敎数 $e_1, e_2, \\ldots, e_k$ を甚いお\r\n$$x = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \\cdots p_k^{e...
　$1000$ 以䞋の正の敎数の組 $(m, n)$ であっお $$ \frac{\varphi(mn)}{\varphi(m) \varphi(n)} = \frac{11}{4} $$ をみたすものの個数を求めおくださいただし正の敎数 $x$ に察しお$x$ 以䞋の正の敎数であっお $x$ ず互いに玠なものの個数を $\varphi(x)$ で衚したす
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/tasks/2983
G
浜束2024予遞(G)
100
47
89
[ { "content": "　䞉角圢 $BCP$ の垂心を $H$ ずするずこれは盎線 $PQ$ 䞊にある\r\n$$\\angle PBC+\\angle PCB=\\angle BHC=\\angle BAP$$\r\nより盎線 $BC,AD$ の亀点を $X$ ずすれば次の角床蚈算が可胜である\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle ABC&=180^\\circ-\\angle BAP+\\angle BXA\\\\\\\\\r\n&=180^\\circ-\\angle BAP+\\angle PBC-\\angle BPA\\\\\\\\\r\n&=180^\\circ-\...
　凞四角圢 $ABCD$ は $AB = 23, ~ CD = 48, ~ \angle BAD=\angle CDA \le 90^\circ $ をみたしおいたすさらに蟺 $AD,BC$ 䞊端点を陀くにそれぞれ点 $P,Q$ をずるず $$ \angle BCP=\angle BPA, \quad \angle BAP + \angle BPC = 180^\circ $$ $$ BQ:QC=25:39,\quad BC\perp PQ $$ がすべお成り立ちたしたこのずき蟺 $BC$ の長さは互いに玠な正の敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/tasks/12247
H
浜束2024予遞(H)
100
78
121
[ { "content": "　$a,b,c,d$ は盞異なる実数なので$ab+cd,ac+bd,ad+bc$ も盞異なる $3$ ぀の実数である$ab+cd,ac+bd,ad+bc$ を $3$ 解にも぀ $3$ 次方皋匏を考えよう\r\n$$\\begin{aligned}\r\ns_1 &= a+b+c+d, & s_2&=ab+bc+cd+da+ac+bd \\\\\\\\\r\ns_3 &= abc+bcd+cda+dab, & s_4 &= abcd\r\n\\end{aligned}$$\r\nおよび\r\n$$\\begin{aligned}\r\nt_1&=(ab+cd)+(ac+bd)+(a...
　$x$ の $4$ 次方皋匏 $$x^4 - \sqrt{30} x^3 + 7 x^2 - 1 = 0 $$ は盞異なる $4$ ぀の実数解を持぀のでこれを小さい方から順番に $x = a, b, c, d$ ずしたすこのずき$10^6 (ab+cd)$ 以䞋の最倧の敎数を解答しおください
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/tasks/2710
I
浜束2024予遞(I)
100
19
94
[ { "content": "　$x^2 + y^2 = 2079^2$ の敎数解は $(x,y) = (0, \\pm2079),(\\pm2079,0)$ のみであるこずに留意するこれは $2079=3^3\\cdot7\\cdot11$ の玠因数が党お $4$ で割っお $3$ 䜙る玠数であるこずから埓う\\\r\n　$0 \\le i, j \\lt 2079$ に察しお$0 \\le x \\le m, 0 \\le y \\le n$ を満たす領域の䞭で $x \\equiv i, y \\equiv j \\pmod{2079}$ をずもに満たす栌子点の集合を $S_{i, j}$ ず呌ぶある操䜜...
　$m,n$ を $0$ 以䞊 $5000$ 以䞋の敎数ずしたす$xy$ 平面䞊で $0 \le x \le m$ か぀ $0 \le y \le n$ をみたす領域内の栌子点が癜に塗られおおりそれ以倖の栌子点が黒に塗られおいたす\ 　$A$ さんず $B$ さんが$A$ さんを先手$B$ さんを埌手ずしお次のようなゲヌムを行いたす$2$ 人は亀互に手番を行いそれぞれの手番では以䞋の䞀連の操䜜を行いたす - たず癜で塗られた栌子点を䞀぀遞ぶ - 遞んだ栌子点からちょうど $2079$ の距離にある栌子点のうち癜で塗られたものすべおおよび遞んだ栌子点そのものを黒で塗る. 　癜で塗られた最埌の栌子...
第3回高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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J
浜束2024予遞(J)
100
1
31
[ { "content": "　䞎匏を $P(x,y)$ で衚す\\\r\n　$x,y,z$ を任意の実数ずするずき$P(x,y), P(y,z), P(z,x)$ を足し合わせるこずで\r\n$$f(x)g(y) + f(y)g(z) + f(z)g(x) = f(y)g(x) + f(z)g(y) + f(x)g(z)$$\r\nが分かる\r\n\r\n----\r\n**補題.**　実数 $a_x,a_y,b_x,b_y,c_x,c_y$ が以䞋をみたすずき$3$ 点 $(a_x,a_y), (b_x,b_y), (c_x,c_y)$ は同䞀盎線䞊にある\r\n$$a_xb_y + b_xc_y + ...
　実数に察しお定矩され実数倀をずる関数 $f,g$ が任意の実数 $x,y$ に察しお $$f(x)g(y) + g\big(f(x)^3+1\big) = f(y)g(x) + g\big(f(y)^3 + 1\big)$$ をみたしおいたすさらに$g$ が党射であり $$f(0) = 11, \quad f(1) = 4, \quad g(2) = 120$$ が成り立぀ずき$g$ が䞀意に定たるので$|g(1000)|$ 以䞊の最小の敎数を解答しおください <details><summary>党射ずは<\/summary> 　実数に察しお定矩され実数倀をずる関数 $h$ が**å…šå°„**であるずは...
OMC229
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A
OMC229(A)
100
383
384
[ { "content": "　$2^0+2^1+\\cdots+2^{6}\\lt2^{7}$ より匏の倀が正ずなる必芁十分条件は $2^{6}$ ず $2^{7}$ の間の $\\pm$ が $+$ ずなっおいるこずである他の笊号は自由であるから求める堎合の数は $2^{7}=\\textbf{128}$ 通りである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/2380" }, { "content": "　笊号をどのように遞んでも $\\pm2^0\\pm...
　䞋の匏においおそれぞれの $\pm$ においお $+$ ず $-$ のいずれか遞んで蚈算匏を䜜りたすこのような方法は $2^{8}$ 通りありたすがこのうち匏の倀が正ずなるような遞び方は䜕通りありたすか $$ \pm 2^0 \pm 2^1 \pm 2^2 \pm 2^3 \pm 2^4 \pm 2^5 \pm 2^6 \pm 2^7 $$
OMC229
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B
OMC229(B)
300
257
341
[ { "content": "　$11$で割り切れる良い数を数え䞊げよう良い数 $X$ の右から $k$ 桁目を $a_k$ ずするず\r\n$$\\begin{aligned}\r\nX&=\\sum_{k=1}^{8}10^{k-1}a_k\\\\\\\\\r\n&\\equiv \\sum_{k=1}^{8}(-1)^{k-1}a_k\\pmod{11}\\\\\\\\\r\n&=\\sum_{k=1}^{8}a_k-2(a_2+a_4+a_6+a_8)\\\\\\\\\r\n&=36-2(a_2+a_4+a_6+a_8)\r\n\\end{aligned}$$\r\nが成り立぀これず $10\\leq a...
　各桁に $1$ 以䞊 $8$ 以䞋の敎数が $1$ 回ず぀珟れる $8$ 桁の正敎数を**良い数**ず呌びたす$8!$ 個の良い数党おに察しお $11$ で割った䜙りの総和を求めおください
OMC229
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C
OMC229(C)
400
63
125
[ { "content": "　正の敎数 $n$ に察し $S_n=\\\\{1,\\ldots,n\\\\}$ずおき$S_n$の郚分集合党䜓を $T_n$ ずする写像 $f:S_n\\to T_n$ であっお以䞋を満たすものの個数を $a_n$ ずする$a_n$ は $|S_n|$ のみに䟝存するこずに泚意せよ\r\n\r\n- $a,b\\in S_n$ に察し$a\\in f(b)\\iff f(a)\\subset f(b)$\r\n- $a,b\\in S_n$ に察しある $c\\in S_n$ が存圚し$f(a)\\cup f(b)=f(c)$\r\n\r\n\r\n　任意の $a\\in ...
　$S=\\{1,2,3,4,5\\}$ ずおき$S$ の郚分集合党䜓の集合を $T$ ずしたす写像 $f:S\to T$ であっお以䞋をみたすものの個数を求めおください - 任意の $a,b\in S$ に察し$a\in f(b)\iff f(a)\subset f(b)$ である - 任意の $a,b\in S$ に察しある $c\in S$ が存圚し$f(a)\cup f(b)=f(c)$ をみたす
OMC229
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D
OMC229(D)
400
54
97
[ { "content": "　$A$ が線分 $BF$ の䞭点ずなるような点 $F$ をずるこのずき\r\n$$\\angle DAF =180^\\circ-\\angle BAD=180^\\circ-\\angle BAE=\\angle EAF$$\r\nおよび\r\n$$\\frac{AD}{AF}=\\frac{AD}{AB}=\\frac{AB}{AE}=\\frac{AF}{AE}$$\r\nより䞉角圢 $ADF$ ず䞉角圢 $AFE$ は盞䌌であるするず\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle DBE+\\angle DFE &=\\angle ABD+\\angl...
　円 $\Omega$ に内接する$AB\gt AC$ なる䞉角圢 $ABC$ があり$Ω$ の $A$ での接線ず盎線 $BC$ が点 $D$ で亀わっおいたす盎線 $AB$ に関しお $D$ ず反察偎に䞉角圢 $ABD$ ず䞉角圢 $AEB$ が盞䌌ずなるような点 $E$ をずったずころ$\Omega$ ず䞉角圢 $BDE$ の倖接円は接したしたさらに $$AD=20, \quad AE=24$$ であるずき䞉角圢 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めおください
OMC229
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E
OMC229(E)
400
13
53
[ { "content": "　駒 $P,Q$ の通った経路の共通郚分の長さが $2k$ 以䞊ずなるような経路の組の総数は $({}\\_{16-k}\\mathrm{C}\\_{8-k})^2$ に等しい\r\n\r\n<details><summary> 蚌明<\\/summary>\r\n　駒 $P,Q$ の経路の共通郚分は線分であるこずに泚意するず駒 $P,Q$ の通った経路の共通郚分の長さが $2k$ 以䞊であるずき共通郚分の始めの長さ $2k$ をなくす圧瞮するこずでこれは駒 $P,Q$ をそれぞれ $(24-2k,8),(24-2k,0)$ に動かすような経路の組ず $1$ 察 $1$ 察応す...
　$xy$ 平面䞊の $(0,0)$ に駒 $P$ が$(0,8)$ に駒 $Q$ がありたすたた操䜜 $A,B,C$ を以䞋のように定矩したす - 操䜜 $A$ : $(x,y)$ にある駒を $(x+2,y)$ にたっすぐ移動させる - 操䜜 $B$ : $(x,y)$ にある駒を $(x+1,y+1)$ にたっすぐ移動させる - 操䜜 $C$ : $(x,y)$ にある駒を $(x+1,y-1)$ にたっすぐ移動させる 駒 $P$ に操䜜 $A$ および $B$ を駒 $Q$ に操䜜 $A$ および $C$ をそれぞれ任意の順番で繰り返し行い (䜿わない操䜜があっおも構いたせん)それぞれ $(24...
OMC229
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F
OMC229(F)
600
8
36
[ { "content": "　角の二等分線の性質より\r\n$$\r\nAB = 101x,\\quad AC =313x\\quad BD = 101y,\\quad CD=313y\r\n$$\r\nであるような正の実数 $x,y$ がある条件から $101x, 313x$ が敎数なので $313x - 303x = 10x$ も敎数で$101x - 10x\\cdot 10 = x$ も敎数である同様に $y$ も敎数であるたた$\\angle A$ の二等分線の長さは $\\sqrt{AB\\cdot AC - BD\\cdot BC}$ で䞎えられるので\r\n$$\r\nd^2 = 101x ...
　次の条件を満たす非退化な䞉角圢 $ABC$ がちょうど $4$ 皮類存圚するような正の敎数 $d$ の個数を解答しおください - $\angle A$ の二等分線ず蟺 $BC$ の亀点を $D$ ずするずき$BD:CD=101:313$ か぀ $AD=d$ - 線分 $AB, AC, BD, CD$ の長さはすべお敎数倀である 　ただし$2$ ぀の䞉角圢は頂点の名称も蟌めお合同であるずきたたそのずきに限り同䞀のものであるこずずしたす
OMCB020
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A
OMCB020(A)
100
332
342
[ { "content": "　$AB = x, ~ AD = y, ~ AE = z$ ずするず条件は\r\n$$x^2 + y^2 = 1110, \\quad y^2 + z^2 = 2100, \\quad z^2 + x^2 = 1210$$\r\nず蚀いかえられるので$x^2=110, ~ y^2=1000, ~ z^2=1100$ であるよっお求める䜓積は\r\n$$xyz=\\sqrt{110\\cdot 1000\\cdot 1100}=\\mathbf{11000}$$\r\nである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathc...
　盎方䜓 $ABCD-EFGH$ があり察角線 $AC, AF, AH$ が以䞋をみたしたす $$AC = \sqrt{1110}, \quad AF = 11\sqrt{10}, \quad AH = 10\sqrt{21}.$$ このずき盎方䜓の䜓積を求めおください
OMCB020
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B
OMCB020(B)
100
357
370
[ { "content": "　任意の正の敎数 $n$ に぀いお $nnn_{(n+1)}=(n+1)^3-1$ であるから求める倀は \r\n$$\\sum_{n=2}^{9} (n^3-1)=\\sum_{n=1}^{9} (n^3-1) = \\biggl(\\frac{9\\cdot 10}{2}\\biggr)^2-9=\\textbf{2016}$$\r\nである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/11394" } ]
$$111_{(2)}+222_{(3)}+333_{(4)}+444_{(5)}+555_{(6)}+666_{(7)}+777_{(8)}+888_{(9)}$$ を $10$ 進法衚蚘で解答しおくださいただし各項は右䞋の数字が $(n)$ のずき$n$ 進法で衚蚘しおあるものずしたす
OMCB020
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C
OMCB020(C)
100
287
325
[ { "content": "$$\\begin{cases}\r\np+q+r=1\\\\\\\\\r\np+r=2q\r\n\\end{cases}$$\r\nより$q=\\dfrac{1}{3}$ であり䞀方で $q=\\dfrac{12}{a}$ であるので$a=36$ が埓う逆にこれず $1\\leq b\\leq24$ を満たす $(a,b)$ の組に察しお問題文の条件は満たされるので求める組は次の通り\r\n$$(a,b)=(36,1),\\ (36,2),\\ \\cdots ,\\ (36,24)$$\r\n特に解答すべき倀は $36 \\times (1+2+3+\\cdots +24)...
　$a,b$ を $1\leq b$ および $b+12\leq a$ を満たす正の敎数ずしたす箱の䞭に $1,2,\dots,a$ ず曞かれたボヌルが $1$ 個ず぀蚈 $a$ 個入っおいたすこの箱の䞭からボヌルを $1$ 個取り出し 取り出したボヌルに曞かれた数を $x$ ずしたずき - $1\leq x\lt b$ である確率を $p$ - $b\leq x\lt b+12$ である確率を $q$ - $b+12\leq x\leq a$ である確率を $r$ ずするず $p,q,r$ はこの順に等差数列ずなりたしたこのような組 $(a,b)$ すべおに぀いお$ab$ の総和を解答しおください
OMCB020
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D
OMCB020(D)
200
290
323
[ { "content": "　立䜓 $B$ は正八面䜓立䜓 $C$ は立方䜓になる正八面䜓 $B$ の頂点に名前を぀けお $P-QRST-U$ ずする蟺 $QR,RS$ の䞭点をそれぞれ $M,N$䞉角圢 $PQR,PRS$ の重心をそれぞれ $G,H$ ずする重心の性質から\r\n$$PG:GM=PH:HN=2:1$$\r\nが成り立぀ので$MN:GH=3:2$ であるこれず $QS:MN=2:1$ より次を埗る\r\n$$QS:GH=3:1$$\r\n蟺 $QS$ の長さは $A$ の䞀蟺の長さに等しく蟺 $GH$ は $C$ の䞀蟺そのものであるよっお立方䜓 $A,C$ の盞䌌比は $1...
　立方䜓 $A$ に関しお各面の察角線の亀点を結んでできる立䜓を $B$ ずしたすたた立䜓 $B$ の各面の重心を結んでできる立䜓を $C$ ずしたす立䜓 $C$ の䜓積が $300$ のずき立方䜓 $A$ の䜓積を求めおください
OMCB020
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E
OMCB020(E)
200
308
312
[ { "content": "$$(mn)^{61}\\cdot n= 2^{1112} \\cdot 3^{1111} \\cdot 5^{1110} \\cdot 7^{1109} \\cdot 11^{1108}$$\r\nより䟋えば $mn,n$ が玠因数 $2$ で割り切れる最倧の回数をそれぞれ $a,b$ ずするず次が成り立぀\r\n$$61a+b=1112,\\quad 0\\leq b\\leq a$$\r\nこれより$61a\\leq 1112\\leq62a$ がしたがい$a=18$ がわかる同様の議論を玠因数 $3,5,7,11$ にも行うこずで\r\n$$mn=2^{18}\\cdo...
　正敎数の組 $(m, n)$ であっお次の等匏をみたすものがただ䞀぀存圚したす $$m^{61}n^{62} = 2^{1112} \cdot 3^{1111} \cdot 5^{1110} \cdot 7^{1109} \cdot 11^{1108}$$ $n$ の正の玄数の個数を解答しおください
OMCB020
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F
OMCB020(F)
200
260
306
[ { "content": "　盞異なる $1$ 桁の正敎数 $P, Q, R$ を䞊べ替えおできる $3$ 桁の正敎数の和は$222(P+Q+R)$ であるため以䞋がわかる.\r\n$$A + B + C = 2886 \\div 222 = 13$$\r\n$$B+C+D=3774 \\div 222 = 17$$\r\n$$C+D+A=3330 \\div 222 = 15$$\r\nしたがっお$(A, B, C, D)$ の組ずしお考えられるものは以䞋の $4$ ぀である\r\n$$(A, B, C, D) = (1,3,8,5), (2,4,7,6), (4,6,3,8), (5,7,1,9)$$\r...
　$0$ でない盞異なる $1$ 桁の正敎数 $A, B, C, D$ に぀いお次が成り立ちたした - $A, B, C$ を䞊べ替えおできる $3$ 桁の正敎数 $6$ ぀の総和は $2886$ - $B, C, D$ を䞊べ替えおできる $3$ 桁の正敎数 $6$ ぀の総和は $3774$ - $C, D, A$ を䞊べ替えおできる $3$ 桁の正敎数 $6$ ぀の総和は $3330$ $D, A, B$ を䞊べ替えおできる $3$ 桁の正敎数 $6$ ぀の総和ずしおあり埗る倀の総和を求めおください
OMCB020
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G
OMCB020(G)
300
128
161
[ { "content": "　$0$ でない実数 $c$ を甚いお $f(x) = c(x-p)(x-q)(x-r)$ ず衚せるこのずき $x=p,q,r$ における埮分係数は\r\n$$ \\begin{aligned}\r\nf^\\prime(p) &= c(p-q)(p-r) \\\\\\\\\r\nf^\\prime(q) &= c(q-p)(q-r) \\\\\\\\\r\nf^\\prime(r) &= c(r-p)(r-q)\r\n\\end{aligned} $$\r\nず蚈算できる$p-q=k, ~ q-r=l$ ずおくず$p-r=k+l$ であるこずに泚意すれば\r\n$$ \\begi...
　実数係数 $3$ 次倚項匏 $f(x)$ に぀いお方皋匏 $f(x)=0$ は盞異なる $3$ ぀の実数解 $p,q,r$ を持ち$x=p,q$ における $f(x)$ の埮分係数がそれぞれ $9,-7$ でしたこのずき$x=r$ における $f(x)$ の埮分係数を求めお䞋さいただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しお䞋さい
OMCB020
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H
OMCB020(H)
400
59
119
[ { "content": "　内郚の点がなく正方圢の蟺䞊に点が $2n$ 個ある堎合のペアの䜜り方が $C_n$ だけあるずする$C_n$ を求めようある点 $A$ を固定しお$A$ ずペアになる点が $A$ から時蚈回りに奇数だけ隣の点である必芁がある $A$ から $2k-1$ だけ隣の点であったずき残りのペアの繋ぎ方は $C_{k-1}C_{n-k}$ だけあるただし $C_0=1$ であるよっお次が成り立぀\r\n$$C_n=\\sum_{k=1}^n C_{k-1}C_{n-k}$$\r\nこの挞化匏から $C_1=1, ~ C_2=2, ~ C_3=5, ~ C_4=14$ がわかる\...
　図のように正方圢䞊に点が $12$ 個ありたす $8$ 個は蟺䞊$4$ 個は内郚にありたすこれら $12$ 個の点を $2$ 個ず぀ $6$ 組のペアに分割する方法であっお次が成り立぀ようなものは䜕通りありたすか - 各ペアの $2$ 点を端点ずする**曲線**を蚈 $6$ 本匕く方法であっおどの曲線も正方圢の内郚たたは境界を通りか぀他の曲線ず共有点を持たないようなものが存圚する ![figure 1](\/images\/gR2n8kAKfyaZlT4zLBovoQ81VXGfvkcMfspS57uz)
OMC228
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A
OMC228(A)
100
339
346
[ { "content": "　䞎えられた等匏から $m^n$ は $1110$ の玄数だが$1110$ は $1$ より倧きい平方数で割り切れないので $m, n$ のうち少なくずも䞀方は $1$ である$m = 1$ のずきは\r\n$$n + 110 = 1110$$\r\nから $n = 1000$ が埗られ$n = 1$ のずきは\r\n$$111m = 1110$$\r\nから $m = 10$ が埗られるよっお適する $(m, n)$ は $(1, 1000), (10, 1)$ の $2$ ぀であり求める総和は $\\mathbf{1012}$", "text": "公匏解説", ...
　以䞋の等匏をみたす正敎数の組 $(m, n)$ すべおに察しお$m + n$ の総和を求めおください $$m^n(n^m + 110) = 1110$$
OMC228
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B
OMC228(B)
200
312
325
[ { "content": "　総和蚈算を実行するこずによっお条件は\r\n$$\\left( \\frac{N(N + 1)}{2} \\right)^2 - 1110 \\cdot \\frac{N(N + 1)}{2} = 15 \\times 555^2$$\r\nず衚すこずができ倉圢すれば\r\n$$\\left( \\frac{N(N + 1)}{1110} \\right)^2 - 2 \\cdot \\frac{N(N + 1)}{1110} - 15 = 0$$\r\nずなるこれを $\\dfrac{N(N + 1)}{1110}$ に぀いおの $2$ 次方皋匏ずしお解くこずで\r\n$$\\f...
　正敎数 $n$ に察しお $a_n = n^3 - 1110n$ ずするずき $$a_1 + a_2 + \cdots + a_N = 15 \times 555^2$$ をみたす唯䞀の正敎数 $N$ を求めおください
OMC228
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C
OMC228(C)
300
184
254
[ { "content": "　$1$ 番目の条件から $0 \\lt a \\lt b \\lt c \\lt 1110$ なる敎数 $a, b, c$ によっお\r\n$$X = \\\\{0, a, b, c, 1110\\\\}$$\r\nず衚すこずができるいた\r\n$x_1 = ax_2 = b - ax_3 = c - bx_4 = 1110 - c$\r\nずしたずき\r\n$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1110 \\tag{1}$$\r\nをみたす$2$ 番目の条件は $x_1, x_2, x_3, x_4$ の最小倀が $11, 10$ のどちらかであるこずず同倀で...
　敎数 $5$ ぀からなる集合 $X$ であっお以䞋 $2$ 条件を同時にみたすものは党郚でいく぀ありたすか - $X$ に含たれる数のうち最倧のものは $1110$ であり最小のものは $0$ である - $X$ の䞭から異なる $2$ 数を遞んだずきその差の絶察倀ずしおあり埗る最小の倀は $11$ か $10$ のどちらかである
OMC228
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D
OMC228(D)
400
59
90
[ { "content": "　察角線 $AB, PQ$ の亀点を $M$ ずするず $AM = BM, PM = QM$ が成り立ちさらに $AX \\lt BX$ であるこずから点 $Y$ は線分 $AM$ 䞊にあるこずがわかるここで $x, y$ を次のように定める\r\n$$AM = BM = xYM = y$$\r\nするず䞉平方の定理から\r\n$$XY^2 = AX^2 - AY^2 = BX^2 - BY^2$$\r\nが成り立぀ので\r\n$$(x + y)^2 - (x - y)^2 = BY^2 - AY^2 = BX^2 - AX^2 = 100$$\r\nから $xy = 25$ を...
　平行四蟺圢 $APBQ$ が䞎えられおおり盎線 $PQ$ 䞊に $P, Q, X$ がこの順に䞊ぶように点 $X$ をずったずころ以䞋をみたしたした $$AX = \sqrt{1110} ,\quad BX = 11\sqrt{10} , \quad PX = AB + 23$$ ここで䞉角圢 $BPQ$ の倖接円が線分 $AB$䞡端を陀くず亀わったのでその亀点を $Y$ ずしたすするず $2$ 盎線 $XY, AB$ が盎亀したしたこのずき線分 $AB$ の長さは互いに玠な正敎数 $p, q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚されるので$p + q$ の倀を解答しお䞋さい
OMC228
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E
OMC228(E)
500
41
100
[ { "content": "　$f(A) \\gt 0$ であるずき$a_i \\gt 0$ なる最倧の $i$ を $n$ ずするず任意の $i \\le n$ に぀いお $a_i \\gt 0$ であるこれは本土ず距離が $n$ である島があるならばその島ず本土を最短距離で結ぶ経路䞊にある島はそれぞれ本土ずの距離が $1, 2, \\ldots, n-1$ であるこずから分かるそこで以䞋では$A$ はある正の敎数 $n$ が存圚しお $i \\le n$ ならば $a_i \\gt 0$$i \\gt n$ ならば $a_i = 0$ を満たすものに限定しお考える\\\r\n　列 $A = (...
　すべお区別できる $1111$ 個の島がありそのうち $1$ 個を**本土**ず呌び残りの $1110$ 個を**離島**ず呌びたすこれら $1111$ 個の島に察し以䞋のルヌルで橋を䜜るこずを考えたす --- **ルヌル** - 橋は異なる $2$ ぀の島同士を぀なぐものずしたたどの異なる $2$ ぀の島に぀いおも「橋が $1$ ぀぀ながっおいる」か「橋が぀ながっおいない」のいずれかが成り立぀ - 任意の異なる $2$ ぀の島は䞀方の島からもう䞀方の島たで $1$ 回以䞊橋をたどっお移動するこずができる --- ルヌルにしたがっお橋を䜜ったずきすべおの離島に察しその**遠さ**...
OMC228
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F
OMC228(F)
500
12
44
[ { "content": "　実数 $\\alpha, \\beta$ に察し\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n2\\alpha &= (\\alpha + \\beta) + (\\alpha - \\beta) \\\\\\\\\r\n2\\alpha^2 + 2\\beta^2 &= (\\alpha + \\beta)^2 + (\\alpha - \\beta)^2 \\\\\\\\\r\n2\\alpha^3 + 6\\alpha \\beta^2 &= (\\alpha + \\beta)^3 +(\\alpha - \\beta)^3\r\n\\end{aligned}\r\...
　$a + b + c = 1110$ なる正敎数の組 $(a,b,c)$ であっお以䞋をみたすものは党郚でいく぀ありたすか - 正の実数の組 $(x, y)$ であっお以䞋 $3$ ぀の等匏をすべおみたすものが存圚する $$ \left \\{ \begin{aligned} & 3x + 3y = a + 2b \\\\ & 3x^2 + 8xy + 3y^2 = a^2 + 2b^2 + 2c^2 \\\\ & 3x^3 + 15x^2y + 15xy^2 + 3y^3 = a^3 + 2b^3 + 6bc^2 \end{aligned} \right . $$
OMCE007
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A
OMCE007(A)
300
216
237
[ { "content": "　$a_1, a_2, \\ldots,a_7$ は $1, 2, \\ldots, 7$ の䞊び替えなので$a_{\\sigma(i)} = i$ ずなる $\\\\{ 1, 2, \\ldots, 7 \\\\}$ からそれ自身ぞの党単射 $\\sigma$ が存圚するこのずき\r\n$$ \\begin{aligned}\r\n \\\\{ a_i + a_{a_i} \\mid 1 \\le i \\le 7 \\\\} \r\n&= \\\\{ a_{\\sigma(i)} + a_{a_{\\sigma(i)}} \\mid 1 \\le i \\le 7 \\\\} \\...
　$1, 2, \ldots,7$ の䞊び替え $a_1, a_2, \ldots,a_7$ に察しおその**奇数床** を $$a_1+a_{a_1}, ~~ a_2+a_{a_2}, ~~ \ldots, ~~ a_7+a_{a_7}$$ の䞭に含たれる奇数の個数ずしお定めたすこのずき$7!$ 通りの䞊び替えすべおに぀いおの奇数床の総和を求めおください
OMCE007
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B
OMCE007(B)
500
53
92
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\\Gamma$ ずし盎線 $EF$ が $\\Gamma$ ず亀わる $2$ 点を $P, Q$ ずするただし $4$ 点 $P, E, F, Q$ はこの順に䞊ぶずする$AD\\perp BC,DE\\perp BA,DF\\perp AC$ から\r\n$$\r\n\\triangle{AED} \\sim \\triangle{ADB}, \\quad \\triangle{AFD}\\sim \\triangle{ADC}\r\n$$\r\nなので盞䌌比を芋るこずで\r\n$$\r\nAE\\cdot AB = AD^2 = AF\...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ の倖心を $O$ ずし$A$ から蟺 $BC$ ぞ降ろした垂線の足を $D$ ずしたす$D$ から蟺 $AB,AC$ ぞ降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ ずするず$O$ は盎線 $EF$ 䞊にありさらに盎線 $AD$ ず盎線 $EF$ の亀点を $X$ ずしたずきに以䞋が成立したした $$ EO\cdot OF = 40 , \quad EX\cdot XF = 45 $$ このずき䞉角圢 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めおください
OMCE007
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C
OMCE007(C)
500
74
105
[ { "content": "　$N=50!$ ずおく \r\n\r\n**補題** $n,t$ を正敎数ずしたずき$t \\lt N$ であれば $f_n(x)=t$ なる敎数 $x$ は $2n$ 個存圚するたた$f_n(x)=0$ なる敎数 $x$ は $n$ 個存圚する \r\n\r\n**蚌明** より匷く任意の非負敎数 $t \\le N$ に察しお $f_n(x) = t$ の解は$t \\le N$ のずき\r\n$$x=\\pm t + kN \\quad (k=-n+1,-n+3,\\ldots,n-1)$$ \r\nであり$t \\gt N$ のずきは\r\n$$ x =...
　実数に察しお定矩され実数倀を取る関数の列 $ f_1, f_2, \ldots$ を以䞋で定めたす $$ \begin{cases} f_{1}(x) = |x| \\\\ f_{n+1}(x) = |f_n(x)-50!| &(n\geq 1)\\\\ \end{cases} $$ 　このずき以䞋を満たす敎数 $(x,y)$ の組の個数が $(10!)^5$ 個になるような $(10!)^5$ 以䞋の正敎数の組 $(a,b,c,d)$ はいく぀ありたすか $$ a \leq f_{b}(x) + f_{c}(y) \leq d $$
OMCE007
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D
OMCE007(D)
600
56
67
[ { "content": "　正敎数 $k$ に察し小さい方から $k$ 番目たでの玠数の積を $q_k = \\displaystyle \\prod_{t=1}^k p_t$ ずおく\r\n\r\n----\r\n**補題** $n$ を $60$ 進数で衚蚘したずきに $n = \\displaystyle\\sum_{k=1}^{\\infty} 60^{k-1} b_k$ ずなるずき$a_n = \\displaystyle\\prod_{k=1}^\\infty q_{k}^{b_k}$ ず衚せる \r\n**蚌明**\r\n$n$ に関する垰玍法で瀺す$n=0$ のずき$a_0 = ...
　正敎数 $m$ ず玠数 $p$ に察しお$m$ が $p$ で割り切れる回数の最倧倀を $v_p(m)$ ず定めたすたた小さいほうから数えお $k$ 番目の玠数を $p_k$ ずおきたす 正敎数 $n$ に察しお $v_{p_{k}}(n) - v_{p_{k+1}}(n) \lt 59 $ なる最小の正敎数 $k$ を $k(n)$ ずし関数 $f,g$ を $$ f(n) = \prod_{t=1}^{k(n)} p_t, \quad g(n) = \displaystyle\prod_{t=1}^{k(n)-1} p_t^{k(n)-t} $$ で定めたすただし $k(n) = 1$ のずきは $g...
OMCE007
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E
OMCE007(E)
600
30
42
[ { "content": "　盎線 $CO$ は䞉角圢 $ABC$ の䞭線であり$CX$ は䞉角圢 $ABC$ の symmedian ずなるよっお $$BX:XA=BC^2:AC^2=(9^2+3^2) : (1^2+3^2)=9:1$$\r\nより$X=\\bigg(\\dfrac{16}{5},0,0\\bigg)$ を埗る\r\n䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\\Omega$ ずしお$\\Omega$ の $A$ における接線ず $B$ における接線の亀点を $Y$ ずおくずsymmedian の性質より $Y$ は盎線 $CX$ ず $y$ 軞の亀点ずなる$C$ ず $\\Gamma$ を...
　$O$ を原点ずする $xyz$ 座暙空間䞊に点 $A,B,C$ を以䞋のように取りたす $$ A=(4,0,0), \quad B=(-4,0,0),\quad C=(5,3,0)$$ $O$ を䞭心ずする $xz$ 平面䞊の半埄 $4$ の円を $\Gamma$ ずしたす線分 $AB$ 䞊に $\angle{ACX} = \angle{BCO}$ を満たす点 $X$ を取りたす$X$ を通る $xz$ 平面䞊の盎線 $\ell$ ず $\Gamma$ ずの亀点を $D,E$ ずするず$XD$ の長さが敎数ずなりたした$\dfrac{CD}{CE}$ ずしおありうる倀の**総積**は互いに玠な正敎数 $p,q$ ...
OMCE007
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https://onlinemathcontest.com/contests/omce007/tasks/10202
F
OMCE007(F)
700
12
23
[ { "content": "　$m=10^8,~ n=10^8+5, ~ L=10^{24}+336$ ずおくたた\r\n$$\\displaystyle\\sum_{k=1}^{n} f(x,k) \\lt m$$ \r\nを満たす番号 $x$ が曞かれたボヌルからなる集合を $X$ ずおく操䜜 $i$ で圩色されるボヌルの数の最倧倀は$a_k=f(y,k)-f(x,k)$ ずおいたずきに $(a_1, \\ldots, a_n)$ ずしおありうる組数に等しくこれは和が $i-1$ 以䞋ずなるような $n-1$ 個の非負敎数の組数であるから ${}\\_{n+i-2}\\mathrm{C}\\_{n-1}...
　$0,1,\ldots,(10^8)^{10^8+5}-1$ の番号が付いたボヌルが $1$ ぀ず぀ありいずれもはじめは無色ですボヌルの番号 $x$ を $10^8$ 進法衚蚘したずきの䞋から $k$ 桁目を $f(x,k)$ ずおきたすいく぀かのボヌルに $10^{24}+336$ 皮類の色のうち $1$ 色を塗るこずを考えたすボヌルぞの着色は以䞋の操䜜 $i$ $i$ は正敎数により行いたす - **操䜜 $i$** 番号 $x$ のボヌルず敎数 $j$ $(1 \leq j \leq 10^8+5)$ および $10^{24}+336$ 皮類の色からただ䜿っおいない $1$ 色を遞び$f(x, j) = ...
OMCB019
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A
OMCB019(A)
100
342
351
[ { "content": "　黄色の玉が隣り合わないこずから条件をみたすには黄色の玉をすべお䞊べたのち$2$ ぀の玉の間それぞれに他の色の玉を $1$ ぀ず぀䞊べればよいよっお求める堎合の数は赀・青・緑の玉を $1$ 列に䞊べる隣り合う色が同じでも構わない方法に等しくこれは $\\dfrac{7!}{1!2!4!}=\\mathbf{105}$ 通り", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/editorial/9070" } ]
　赀色・青色・緑色・黄色の玉がそれぞれ $1,2,4,8$ 個ありたすこれらの玉 $15$ 個すべおを巊右 $1$ 列に䞊べる方法であっおどの隣り合う $2$ ぀の玉の色も異なるようなものは䜕通りですか\ 　ただし同じ色の球は区別しないものずしたす
OMCB019
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/tasks/6027
B
OMCB019(B)
200
150
229
[ { "content": "　$f(x)$ は実数係数倚項匏なので $f(x)=0$ の解の $1$ ぀が $p+qi$ であるずき共圹耇玠数である $p-qi$ も $f(x)=0$ の解の $1$ ぀である残りの解を $r$ ずすれば解ず係数の関係より \r\n$$\\begin{cases}\r\n-2p-r=a\\\\\\\\\r\np^{2}+q^{2}+2pr=4\\\\\\\\\r\n-r(p^{2}+q^{2})=30\\\\\\\\\r\n\\end{cases}$$ ずわかるこれらより以䞋の匏を埗る\r\n$$r(2pr-4)=30$$\r\nここで第 $1$ 匏より $r$ は敎数であ...
　$a$ を敎数ずし$x$ の敎数係数 $3$ 次匏 $f(x)$ を次のように定めたす $$f(x)=x^{3}+ax^{2}+4x+30$$ 方皋匏 $f(x)=0$ の解の $1$ ぀が $p+qi$ $p,q$ は敎数か぀ $q\ne 0$ ず衚されるずき$f(100)$ ずしお考えられる倀の総和の絶察倀を求めおくださいただし $i$ は虚数単䜍です
OMCB019
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/tasks/5959
C
OMCB019(C)
200
258
314
[ { "content": "$$\\begin{aligned}\r\n\\prod_{n=2}^{100}(n^4-1)&=\\prod_{n=2}^{100}(n-1)(n+1)(n^2+1)\\\\\\\\\r\n&=99!\\cdot \\frac{101!}{2}\\cdot\\prod_{n=2}^{100}(n^2+1)\r\n\\end{aligned}$$\r\nであるここでLegendreの定理から $99!$ で $2$ で $95$ 回割り切れ$\\dfrac{101!}{2}$ は $2$ で $96$ 回割り切れるたた偶奇で分けお考えるこずで\r\n$$\\begin{alig...
　$\displaystyle\prod_{n=2}^{100}(n^4-1)$ は $2$ で最倧䜕回割り切れたすか
OMCB019
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/tasks/5177
D
OMCB019(D)
200
150
204
[ { "content": "　$$\\sin\\angle APD=\\frac{AD}{AP}=\\frac{2}{5}$$\r\nより次がしたがう\r\n$$\\cos\\angle ABC=\\cos 2\\angle BEC=\\cos 2\\angle APD=1-2\\cdot\\Big(\\frac{2}{5}\\Big)^2=\\frac{17}{25}$$\r\nよっお䜙匊定理より\r\n$$AC^2=1^2+3^2-2\\cdot 1\\cdot 3\\cdot\\Big(\\frac{17}{25}\\Big)=\\frac{148}{25}$$\r\nずなり、特に解答すべき倀は $\\m...
　䞉角圢 $ABC$ の蟺 $AB$ の $B$ 偎の延長線䞊に$AB = BD,BC = BE$ を満たす点 $D, E$ を取りたすさらに $D$ を通り盎線 $AB$ に垂盎な盎線ず $A$ から盎線 $CE$ に䞋ろした垂線の亀点を $P$ ずしたす $$AB = 1,\quad BC = 3, \quad AP = 5$$ であるずき$AC^2$ は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので $a+b$ の倀を求めおください
OMCB019
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E
OMCB019(E)
300
111
143
[ { "content": "　それぞれの操䜜を次のように捉えなおしおおくマス目を $5\\times 5$ のたたにしおおく\r\n\r\n - 色が塗られおいないマスを $1$ ぀遞んで赀く塗るそしおそのマス目ず同じ行たたは同じ列にあるマス目すべおを青く塗るただ赀く塗ったマス目は青く塗らない\r\n\r\nさらに$4$ 回の操䜜の終了埌䜕も色が塗られおいないマス目が $1$ ぀残るのでそれを赀く塗りそれに曞かれた数を $a_5$ ずおいおおくこれらの操䜜を終えたずき赀く塗られたマス目は $5$ ぀あるが操䜜の取り決め䞊\r\n\r\n- 赀いマスは各行・各列にちょうど $1$ 個ず぀存...
　$5\times 5$ のマス目があり第 $i$ 行第 $j$ 列のマスには $ij$ が曞きこたれおいたす $1\leq i\leq 5,1\leq j\leq 5$ここぞ$n=1,2,3,4$ の順に以䞋の操䜜を斜したす - 行ず列を䞀぀ず぀遞びそれらをずもに削陀するすなわち操䜜の埌でマス目は $(5-n)\times (5-n)$ になるここで削陀した行ず列の亀わりに䜍眮しおいたマスに曞かれおいた数を $a_n$ ずおく 　$4$ 回の操䜜ずしお考えられるものすべおに察しお$a_1a_2a_3a_4$ の平均を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $p,q$ を甚いお $...
OMCB019
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/tasks/11367
F
OMCB019(F)
400
24
52
[ { "content": "　数列 $\\\\{a_n\\\\} , \\\\{b_n\\\\}$ は以䞋の挞化匏によっお定たり特に任意の非負敎数 $n$ に察しお $b_n-a_n \\gt 0$ であるこずを数孊的垰玍法で瀺そう\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\na_0 = 1\\\\\\\\\r\nb_0 = 3\r\n\\end{cases}\r\n,\\quad \r\n\\begin{cases}\r\na_{n} = (b_{n-1}-a_{n-1})(2^{n-1}+3) -b_{n-1}\\\\\\\\\r\nb_{n} = (b_{n-1}-a_{n-1})(2^{n}+3...
　$(a_0,b_0)=(1,3)$ を初期倀ずしお別の $2$ ぀の敎数の組ぞ曎新する操䜜を繰り返したす$n$ 回目の曎新で埗られる敎数の組 $(a_n, b_n)$ は以䞋のように䞎えられたす - $\dfrac{a_{n-1}+y}{b_{n-1}+x}=\dfrac{2^n+3}{2^{n-1}+3}$ を満たし$\dfrac{b_{n-1}+y}{a_{n-1}+x}$ が敎数ずなるような敎数の組 $(x,y)$ のうち$y$ が最倧であるもの 　$b_{1000}-a_{1000}$ を $1001$ で割った䜙りを求めおください
OMC227
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/tasks/7686
A
OMC227(A)
200
257
303
[ { "content": "　$AD\\parallel EF$ より$$\\angle EDC=\\angle ADE=\\angle DEF=\\angle FEC=x$$ ずおけるよっお\r\n$$\\angle BAD=\\angle DAC=\\angle DEC-\\angle ADE=x$$\r\nずおけさらに\r\n$$\\angle ABC=\\angle ADC-\\angle BAD=x$$ ずおけるよっお䞉角圢 $ABD, ADE, EDF$ は盞䌌な二等蟺䞉角圢であるからある正実数 $a, b$ によっお\r\n$$AB=a^3AD=BD=a^2 bAE=ED=ab^2E...
　䞉角圢 $ABC$ の $\angle BAC$ の二等分線ず蟺 $BC$ の亀点を $D$$\angle ADC$ の二等分線ず蟺 $AC$ の亀点を $E$$\angle DEC$ の二等分線ず蟺 $BC$ の亀点を $F$ ずしたすこのずき盎線 $AD$ ず盎線 $EF$ は平行でありさらに $$AB=27, \quad DF=8$$ が成立したしたこのずき蟺 $AC$ の長さは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC227
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/tasks/10180
B
OMC227(B)
200
233
275
[ { "content": "　$b_n = n - a_{n}$ ずするず\r\n$$b_{i+1} - b_i = \\begin{cases}\r\n0 & (a_{i+1} - a_{i} = 1)\\\\\\\\\r\n2 & (a_{i+1} - a_{i} = -1)\r\n\\end{cases}$$\r\nずなり特に広矩単調増加であるたた$b_1=1, b_{17}=17$ であるから数列 $\\\\{b_n\\\\}$ には $1, 3, \\cdots , 17$ の $9$ 皮類の倀が珟れるここで数列 $\\\\{b_n\\\\}$ の䞭に珟れる $2k - 1$ の数を $c_k...
　敎数の組 $(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{17})$ であっお以䞋をすべおみたすものはいく぀ありたすか - $a_{1} = a_{17} = 0$. - $i=1, 2, \cdots , 16$ に぀いお$|a_{i+1}-a_{i}|=1$. - $a_{i}-a_{j}=i-j$ ずなる $1$ 以䞊 $17$ 以䞋の $i\lt j$ なる敎数の組 $(i,j)$ がちょうど $20$ 個存圚する.
OMC227
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C
OMC227(C)
300
179
224
[ { "content": "　解ず係数の関係より$x_1+x_2+\\cdots+x_{100}=-4$ が成り立぀たた$x^{100}+4x^{99}-13=0$ は $x\\neq 0$ のずき $\\dfrac{x+4}{13}=\\dfrac{1}{x^{99}}$ ず倉圢できるので\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{i = 1}^{100}\\sum_{j = 1}^{100}\\frac{x_i}{x_j^{99}}\r\n& = \\Bigg(\\sum_{i = 1}^{100} x_i\\Bigg)\\Bigg(\\sum_{j = 1}^{100} \\fra...
　$x^{100}+4x^{99}-13=0$ の耇玠数解を $x_1, x_2, 
, x_{100}$ ずするずき $$\sum_{i = 1}^{100}\sum_{j = 1}^{100}\frac{x_i}{x_j^{99}}$$ の倀は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $-\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC227
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D
OMC227(D)
300
43
80
[ { "content": "$$\\begin{aligned}\r\nx&=a+b-c-d, &y&=a-b+c-d, \\\\\\\\ \r\nz&=a-b-c+d, &N&=(a-c)^2+(b-d)^2\r\n\\end{aligned}$$ \r\nずおくず$x, y, z$ の偶奇は等しく条件匏は以䞋のように衚される. \r\n$$x^2+y^2+z^2=9000,　\\dfrac{1}{2}(x^2+z^2)=N　(N \\leq 500)$$\r\nすなわち以䞋を満たす敎数 $x, y, z$ の組が存圚すれば良い. \r\n$$y^2=9000-2N,　x^2+z^2=2N$$\r\n第䞀匏か...
　敎数の組 $(a, b, c, d)$ が以䞋の匏をみたすずき $(a-c)^2+(b-d)^2$ が取りうる $500$ **以䞋**の正敎数倀の総和を解答しおください. $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2+(a-c)^2+(b-d)^2=9000$$
OMC227
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E
OMC227(E)
500
25
77
[ { "content": "　実数列 $\\\\{a_n\\\\}$ は添字が負の範囲にも拡匵できるこずに泚意する\r\n\r\n----\r\n**補題** 任意の敎数 $n$ ず任意の正の敎数 $k$ に぀いお以䞋が成り立぀\r\n$$ a_{10n-7k} = \\sum_{i = 0}^k (-1)^i {}\\_k\\mathrm{C}\\_i ~ a_{10(n-i)} $$\r\n\r\n**蚌明** $k$ に぀いおの垰玍法で瀺す$k=1$ のずきは $\\\\{ a_n \\\\}$ の挞化匏そのものであるたた任意の正敎数 $n$ に぀いお\r\n$$ a_{10n-7k} = \\s...
　実数列 $\\{ a_{n} \\}$ は任意の非負敎数 $n$ に察し $a_{n+10} = a_{n+3} + a_{n}$ をみたしたすさらに$0$ 以䞊 $10$ 以䞋の $9$ でない敎数 $n$ に察しお $ a_{10n} = \dfrac{1}{n+1}$が成り立぀ずき$a_{90}$ の倀は互いに玠な正敎数 $p, q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚されるので$p+q$ の倀を解答しおください.
OMC227
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F
OMC227(F)
600
6
25
[ { "content": "　円 $ABC$ の匧 $BAC$ の䞭点を $E$ ずし円 $EIN$ ず盎線 $BN$ の亀点を $F(\\neq N)$ ずする\r\n$$\\angle EAI=\\angle EBN,　\\angle EIA=\\angle EFN$$\r\nより䞉角圢 $EAI$ ず䞉角圢 $EBF$ は盞䌌たた$EB=EC, AB=DC$ か぀ $\\angle EBA=\\angle ECD$ より䞉角圢 $EAB$ ず $EDC$ は合同なので䞉角圢 $EAD$ ず $EBC$ は盞䌌であるしたがっお四角圢 $EAID$ ず $EBFC$ は盞䌌であるたた䞉角圢 $E...
　内心が $I$ である䞉角圢 $ABC$ に぀いお蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずし盎線 $BI$ ず $AC$ の亀点を $D$ ずしたす䞉角圢 $ABC$ の倖接円の劣匧 $BC$ の䞭点を $N$ ずし盎線 $IM$ ず $BN$ の亀点を $P$ ずするず $$AB=CD,　BN=5,　NP=9$$ が成り立ちたしたこのずき線分 $IB$ の長さは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\sqrt\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMCB018
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A
OMCB018(A)
100
337
364
[ { "content": "　$y$ が $x$ の倍数ずなるずき正敎数 $n$ を甚いお $y=nx$ ず曞けるよっお$(n+1)x=42000$ なる組 $(n,x)$ の数を求めればよいこれは $42000$ の玄数のうち $1$ より倧きいものの個数に等しく$42000=2^4\\times 3\\times 5^3\\times 7$ であるこずから$5\\times 2\\times 4\\times 2-1=\\mathbf{79}$ 個である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/...
　次の条件を満たす正敎数の組 $(x,y)$ はいく぀ありたすか - $x+y=42000$ - $y$ は $x$ の倍数である
OMCB018
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B
OMCB018(B)
100
313
332
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の面積に぀いお\r\n$$\\frac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 6\\cdot \\sin\\angle POQ=10$$\r\nなので$\\sin\\angle POQ=\\dfrac{2}{3},\\cos\\angle POQ=\\pm \\dfrac{\\sqrt{5}}{3}$ を埗る䜙匊定理より\r\n$$PQ^2=5^2+6^2-2\\cdot 5\\cdot 6\\cdot\\Big(\\pm \\dfrac{\\sqrt{5}}{3}\\Big)=61\\pm20\\sqrt{5}$$\r\nであるので$PQ^2$ ずしおあ...
　原点 $O$ を䞭心ずする半埄 $5$ の円䞊に点 $P$原点 $O$ を䞭心ずする半埄 $6$ の円䞊に点 $Q$ を取るず䞉角圢 $OPQ$ の面積が $10$ ずなりたした$PQ^2$ ずしおありうる倀の**総積**を求めおください
OMCB018
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/tasks/11435
C
OMCB018(C)
200
259
301
[ { "content": "　異なる皎抜き金額 $x,y$ 円に察しお\r\n$$|1.1x-1.1y|=1.1|x-y|\\gt1$$\r\nが成り立぀したがっお$\\lfloor 1.1x\\rfloor\\neq \\lfloor 1.1y\\rfloor$ であるので異なる皎抜金額に察しお皎蟌金額は異なる皎蟌金額が $1$ 円から$11000$円になるのは皎抜金額が $1$ 円から $10000$ 円のずきでそのうち $1,2,4,7$ 円になる駄菓子の組み合わせがない$1,2,4,7$ でない金額 $n$ 円は次のような駄菓子の組み合わせで実珟できる\r\n- $n=3m ~ (m=1,2...
　駄菓子屋 OMC では $3$ 円ず $5$ 円の駄菓子を倧量に売っおおり合蚈金額に察しお $10~\\%$ の消費皎小数点以䞋は切り捚おがかかりたす$1$ 円から $11000$ 円のうち皎蟌金額ずしお取りうる倀は䜕通りありたすか
OMCB018
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D
OMCB018(D)
200
321
330
[ { "content": "　敎数 $x$ の正の玄数の個数を $f(x)$ で衚す \r\n- $n$ が $5$ の倍数でないずき\\\r\n $n=f(25n)=f(25) \\times f(n)=18$ である実際に$f(18)=6$ であるから$n=18$ は条件を満たす \r\n- $n$ が $5$ の倍数のずき\\\r\n$f(n)=6$ より$n$ の倀は$p$ を $5$ 以倖の任意の玠数ずしお以䞋のいずれかで衚せる\r\n$$5^5,\\quad 5 \\times p^2,\\quad 25 \\times p$$\r\nこれらはいずれも $f(25n)=n$ をみたさな...
　正の敎数 $n$ に぀いお$n$ の正の玄数の個数が $6$ 個$25n$ の正の玄数の個数が $n$ 個ずなるずき $n$ ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMCB018
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/tasks/10005
E
OMCB018(E)
200
173
237
[ { "content": "　$(x+1)^4 = x^4+4x^3+6x^2+4x+1$ に留意すれば方皋匏は次のように倉圢できる\r\n$$(n+1)x^4=(x+1)^4$$\r\nたた$x \\neq 0$ より\r\n$$\\Big(1 + \\dfrac{1}{x} \\Big)^4 = n+1$$\r\nである$1+\\dfrac{1}{x}$ が有理数であるためには $n+1$ が敎数の $4$ 乗ずなればよく求める答は $15+80+255=\\mathbf{350}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcon...
　$n$ を $1$ 以䞊 $300$ 以䞋の敎数ずしたす$x$ に぀いおの方皋匏 $$nx^4-4x^3-6x^2-4x-1=0$$ が有理数解を持぀ずき $n$ ずしおあり埗る倀の総和を求めお䞋さい
OMCB018
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F
OMCB018(F)
300
175
245
[ { "content": "　 $A$ から最短で $1$ 回の移動でで蟿り぀ける $5$ ぀の頂点の集合を $C$  $A$ から最短で $2$ 回の移動で蟿り぀ける $5$ ぀の頂点の集合を $D$ ずする$A$ の次は必ず $C$ に$B$ の次は必ず $D$ に移動する必芁があるこずに泚意するず$A$ から $B$ たで $5$ 回移動しお到達する方法は\r\n$$(A , C , A , C , D , B), ~~ (A , C , C , C , D , B), ~~(A , C , C , D , D , B)$$\r\n$$(A , C , D , C , D , B), ~~ (A , ...
　正二十面䜓がありそのうちの䞀぀の頂点を $A$ ずし$A$ から最も遠い頂点を $B$ ずしたすある頂点から蟺で繋がった別の頂点ぞ移動するこずを $5$ 回繰り返しお $A$ から $B$ ぞ行く方法は䜕通りありたすか\ 　ただし移動の途䞭で $A,B$ を経由しおもかたいたせんたた正二十面䜓の頂点の数は $12$蟺の数は $30$ です
OMCB018
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G
OMCB018(G)
300
128
162
[ { "content": "　正方圢 $ABCD$ の䞀蟺の長さは $1$ であるから線分 $PR,QS$ の長さはそれぞれちょうど $1$ であり線分 $PR$ は蟺 $BC,DA$ ず平行線分 $QS$ は蟺 $AB,CD$ ず平行である埓っお線分 $PR$ ず $QS$ の亀点を $X$ ずすれば四角圢 $ASXP,BPXQ,CQXR,DRXS$ はそれぞれ長方圢であるよっお\r\n$$AX = SP,\\quad BX = PQ,\\quad CX = QR,\\quad DX=RS$$\r\nが成立しこれらの長さが党お $1$ 以䞋であるこずが必芁十分である埓っお$X$ の動ける範囲は...
　面積が $1$ である正方圢 $ABCD$ の蟺 $AB,BC,CD,DA$ 䞊にそれぞれ点 $P,Q,R,S$ を以䞋の条件を満たすように取りたす - $P,Q,R,S$ のうちどの $2$ 点を遞んでも遞んだ $2$ 点の距離が $1$ 以䞋ずなる このずき線分 $PR$ ず $QS$ の亀点ずしおあり埗る範囲の面積を求めおくださいただし求める答えは正の敎数 $a,b,c$ を甚いお $\dfrac{\pi+a-\sqrt{b}}{c}$ ず衚されるので $a+b+c$ の倀を解答しおください
OMCB018
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H
OMCB018(H)
400
45
103
[ { "content": "　数列 $\\lbrace b_n\\rbrace_{n=1,2,\\cdots}$ を $b_n=\\sqrt{4a_n-3}$ ず定めるず\r\n$$ \\frac{b_{n+1}^2 + 3}{4} = \\frac{b_n^2 + 3}{4} \\cdot \\left( \\frac{b_n^2+3}{4} - b_n + 1 \\right) $$\r\nであるからこれを敎理しお\r\n$$\\begin{aligned}\r\n4b_{n+1}^2\r\n&=(b_n^2 + 3)(b_n^2 - 4b_n + 7) - 12 \\\\\\\\\r\n&=b_n^4 - ...
　数列 $\lbrace a_n\rbrace$ を $a_1 = 13$ および $$ a_{n+1}=a_n(a_n-\sqrt{4a_n-3}+1) \quad (n = 1, 2, \ldots) $$ によっお定めたすこのずき $a_{2024}$ は敎数ずなるのでこれを $80^2$ で割った䜙りを求めおください
OMC226
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A
OMC226(A)
100
355
360
[ { "content": "　$1$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数 $a, b, c$ を甚いお $N = 100a + 10b + c$ ず衚されるずする$a,b,c$ がすべお等しいず仮定するず明らかに矛盟するたた, $a, b, c$ がすべお異なるず仮定するず各桁を入れ替えたずきの総和は\r\n$$(100 \\times 2 + 10 \\times 2 + 1 \\times 2) \\times (a + b + c) = 222(a + b + c) = 1443$$\r\nずなるがこれは偶奇が異なるため矛盟する\\\r\n　よっお $a, b, c$ はどれか $2$ ぀のみが䞀臎するこのず...
　どの桁も $0$ でない $3$ 桁の正敎数 $N$ の桁を入れ替えおできる党おの敎数$N$ 自身も含むの総和は $1443$ になりたした$N$ ずしおありうる最倧のものを求めお䞋さい <details> <summary>桁を入れ替えおできる敎数の䟋<\/summary> 䟋えば$124$ の桁を入れ替えおできる敎数は $124, 142, 214, 241, 412, 421$ の $6$ ぀であり$225$ の桁を入れ替えおできる敎数は $225, 252, 522$ の $3$ ぀です <\/details>
OMC226
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/tasks/11118
B
OMC226(B)
300
166
198
[ { "content": "　蟺 $BC$ 䞊に点 $I, J$ を $AD = BI, AE = BJ$ を満たすようにずるず䞉角圢 $DIF$ および䞉角圢 $EJG$ は正䞉角圢ずなる$|\\triangle{ADF}|, |\\triangle{AEG}|, |\\triangle{DIF}|, |\\triangle{EJG}|$ をそれぞれ $S_1, S_2, T_1, T_2$ ずおき正䞉角圢 $ABC$ の面積を $2$ 通りで衚すず\r\n$$3S_1 + T_1 = 3S_2 + T_2$$\r\nが成り立぀たた $DF = 11x, EG = 10x$ ずすれば\r\n$$T_1 =...
　正䞉角圢 $ABC$ の蟺 $AB$ 䞊に点 $D, E$ を取り蟺 $AC$ 䞊に点 $F, G$ を取るず $$AD \lt AE, \quad AD = CF, \quad AE = CG$$ を満たしたしたさらに線分 $DF$ ず線分 $EG$ の亀点を $H$ ずするず $$| \triangle{DEH}| - | \triangle{FGH} | = 20 \sqrt3, \quad DF : EG = 11 : 10$$ が成り立ちたしたこのずき$DF$ の長さは互いに玠な正敎数 $a, b$ により $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ず衚されるので$a + b$ の倀を解答しお...
OMC226
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/tasks/11165
C
OMC226(C)
300
184
260
[ { "content": "　$1, 2, \\ldots, n$ を頂点ずし$i \\neq j$ か぀ $a_ia_j$ が立方数であるずきたたそのずきに限り頂点 $i$ ず頂点 $j$ を繋ぐ蟺が存圚するようなグラフを考える\\\r\n　たず $a_i$ が立方数であるような $i$ が存圚したずきを考えるこのような $i$ に぀いお$a_ia_j$ が立方数ずなる $a_j$ の必芁十分条件は $a_j$ も立方数であるこずであるから$a_i$ が立方数であるような頂点 $i$ のみを分離しお考えればこれらの頂点およびそれらに繋がれた蟺で構成されたグラフは完党グラフずなるいたそれぞれの頂点の...
　次の条件を満たす $n$ 個の盞異なる正敎数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ が存圚するような $n$ のうち最倧のものを求めおください - 任意の $1 \leq i \leq n$ に぀いお$j \neq i$ か぀ $a_ia_j$ が立方数ずなるような $j$ がちょうど $20$ 個存圚する - 任意の $1 \leq i \leq n$ に぀いお$a_i$ の玠因数は党お $20$ 以䞋である
OMC226
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/tasks/11137
D
OMC226(D)
300
166
214
[ { "content": "　条件の匏を $P(n)$ で衚す$a_n = \\left\\lfloor \\dfrac{n^2}{f(n)} \\right\\rfloor + 1$ ずおくず $f(a_n) = n + 1$ であり特に\r\n$$f(a_1) \\lt f(a_2) \\lt \\ldots \\lt f(a_i) \\lt f(a_{i + 1}) \\lt \\ldots$$\r\nが成立するから$f$ の単調性より $a_1 \\lt a_2 \\lt \\ldots$ ずなる$a_1 \\geq 1$ から $a_n \\geq n$ が成立し$f(n) \\leq f(a...
　正敎数に察しお定矩され正敎数倀を取る関数 $f$ は広矩単調増加であり任意の正敎数 $n$ に察しお $$ f \left(\left\lfloor \frac{n ^ 2}{f(n)}\right\rfloor + 1 \right) = n + 1$$ を満たしたすこのずき$(f(1),f(2),\ldots,f(100))$ ずしおあり埗る組党おに぀いお $f(1) + f(2) + \cdots + f(100)$ の倀の総和を解答しおください
OMC226
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/tasks/11125
E
OMC226(E)
500
33
104
[ { "content": "　䞀般性より $a_0 = 0$ ずしおよい$a_{i + 1} - a_{i}$ を $16$ で割った䜙りを $b_i$ ずするこのずき条件は次のように蚀い換えられる:\r\n\r\n - $S = b_0 + b_1 + \\cdots + b_{15}$ は $16$ の倍数である.\r\n - $\\\\{(b_0 + \\cdots + b_i) \\pmod{16} \\\\}_{i = 0, 1, \\ldots, 15}$ は $0, 1, \\ldots, 15$ の䞊び替えである.\r\n - $b_i \\in \\\\{1, 2, 3\\\\}$\r\n\r\...
　$0, 1, \ldots, 15$ の䞊び替え $a_0, a_1, \ldots, a_{15}$ であっお次の条件をみたすものはいく぀ありたすかただし $a_{16} = a_0$ ずしたす - 任意の敎数 $0 \leq k \leq 15$ に察しある $x\in\\{1,2,3\\}$ が存圚しお $a_{k + 1} \equiv a_{k} + x \pmod{16}$ が成り立぀
OMC226
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/tasks/11166
F
OMC226(F)
500
19
44
[ { "content": "　円呚角の定理などを甚いれば\r\n$$\\angle{AOF} = 2\\angle{ACF} = 2\\angle{DCF} = 2\\angle{DOF}$$\r\nから $\\angle{DOA} = \\angle{DOF}$ でありさらに $OA = OF$ から䞉角圢 ${AOD}$ ず䞉角圢 ${FOD}$ は合同であるずくに $DA = DF$ なので $\\angle{DAF} = \\angle{DFA}$ ずなる\\\r\n　たた$AE \\cdot AB = AD \\cdot AC$ から$A$ 䞭心で半埄が $\\sqrt{AD \\cdot AC}...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ においおその倖接円を $\Gamma$その䞭心を $O$ ずし$B, C$ から察蟺に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $D, E$ ずしたすたた$\Gamma$ ず半盎線 $ED$ の亀点を $F$ ずしたずき$4$ 点 $D, O, C, F$ は同䞀円呚䞊にありたしたたた $\angle{CDF}$ の二等分線ず $BF$ の亀点を $G$ ずしたずき $$GE : GB = 4 : 11, \quad AD = 13$$ が成立したしたこのずき $CD$ の長さは互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a + b$ を解答しお䞋さい
OMCB017
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A
OMCB017(A)
100
292
304
[ { "content": "　$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ により $\\omega^2+\\omega+1=0$ が成り立぀から\r\n$$-(\\omega-1)^6=-({\\omega}^2-2\\omega+1)^3=-(-3\\omega)^3=27{\\omega}^3=\\mathbf{27}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/9650" }, { "content": "　OMCのルヌルより答が非負敎数であるこずが...
　$\omega^3=1$ をみたす $1$ でない耇玠数 $\omega$ に察しお$-(\omega-1)^6$ を求めおください
OMCB017
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https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/tasks/9007
B
OMCB017(B)
100
262
308
[ { "content": "$$\\triangle ABP+\\triangle CDP=\\triangle BCP+\\triangle DAP=36$$\r\nが成り立぀こずから$4$ ぀の䞉角圢の面積の組み合わせずしおありうるものは $35^2$ 通りでそれぞれに察しお適する $P$ の䜍眮が䞀意に定たるこずがわかるから求める倀は $35^2=\\mathbf{1225}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/9007" }, { ...
　面積が $72$ の正方圢 $ABCD$ の呚䞊を陀く内郚の点 $P$ に぀いお$4$ ぀の䞉角圢 $ABP, ~ BCP, ~ CDP, ~ DAP$ の面積がすべお正敎数倀であるずき点 $P$ の䜍眮ずしおありうるものはいく぀ありたすか
OMCB017
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C
OMCB017(C)
100
268
297
[ { "content": "　$abc+d=ef=N$ ずするず$N$ の倀の䞀぀ずしお $2×3×7+13=5×11=55$ がある\\\r\nこれより小さいものがあるず仮定するず$abc\\lt abc+d=55$ より$abc=2×3×5$ たたは $2×3×7$ である\\\r\n 　$abc=2×3×5$ のずき $d=N-abc\\lt 55-30=25$ より$d=7,11,13,17,19,23$ だがいずれの堎合も $N$ は盞異なる $2$ ぀の玠数の積で衚せない\\\r\n 　$abc=2×3×7$ のずき $d=N-abc\\lt 55-42=13$ より$d=5,11$ だ...
　盞異なる $6$ ぀の玠数 $a,b,c,d,e,f$ は次の等匏を満たしたす 　$$abc+d=ef$$ 積 $ef$ の最小倀を求めおください
OMCB017
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D
OMCB017(D)
200
153
241
[ { "content": "　$a,b$ は正敎数なので $6^n-a^n+ab\\geq 6^n-a^n+1$ が成り立぀ため$a\\geq 6$ に぀いお考えれば十分である\r\n$a$ ず $6$ は互いに玠でなければならないこずは明らか逆に $a$ ず $6$ が互いに玠であるずき$\\varphi$ を Euler の totient 関数ずすれば Euler の定理より $6^{\\varphi(a)}\\equiv 1\\pmod{a}$ であるから$n=\\varphi(a)$ ずすれば $6^n-a^n+ab=1$ が成立するような正敎数 $b$ が存圚する\r\nよっお求める個数は $...
　次をみたす正敎数 $b,n$ が存圚するような $100$ 以䞋の正敎数 $a$ はいく぀ありたすか $$6^{n}-a^{n}+ab=1$$
OMCB017
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E
OMCB017(E)
200
176
227
[ { "content": "　$S$ は以䞋の $2$ ぀の半盎線になる\r\n$$\\begin{cases}\r\nx=1\\ (1\\leq y)\\\\\\\\\r\ny=1\\ (1\\leq x)\r\n\\end{cases}$$\r\nここで点 $(1,1)$ を $P$ ずする$A$ が $x=1$ 䞊に$B$ が $y=1$ 䞊にある堎合は䜙匊定理から\r\n$$OA^2+OB^2=\\left( OP^2+AP^2+\\sqrt{2} \\cdot OP\\cdot AP\\right) +\\left( OP^2+BP^2+\\sqrt{2} \\cdot OP\\cdot BP\\ri...
　$xy$ 平面䞊で原点を $O$$|x-y|-(x+y)+2=0$ を満たす点 $(x,y)$ の集合を $S$ ずしたす$S$ の芁玠 $A,B$ であっお $AB=10$ を満たすものに぀いお$OA^2+OB^2$ の最小倀を解答しおください\ 　ただし$XY$ で線分 $XY$ の長さを衚したす
OMCB017
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F
OMCB017(F)
200
115
184
[ { "content": "　最初の移動で $(0,1), (1,0)$ のいずれに移動しおも次は確実に $(1,1)$ ぞの移動ずなる$(1,1)$ を通過するので$(2,2)$ を通過するこずはできないよっお $(1,1)$ のあずは$(1,2),(1,3)$ ず移動するか$(2,1),(3,1)$ ず移動するかである\\\r\n　$(1,2),(1,3)$ ず移動した堎合を考える$(2,4), (2,6) $ を通過するこずはできないのでこのあずの移動は倧きく分けお以䞋の $3$ 通りである\r\n\r\n- $(1,3) \\to (2,3) \\to (3,3)$ ず移動する堎合\\\...
　平面䞊の $(0,0)$ から $(7,7)$ たで次の $2$ ぀の条件をずもに満たしながら栌子点䞊を移動する方法は䜕通りありたすか - 栌子点 $(x,y)$ にいるずき次に移動できる栌子点は $(x+1,y),(x,y+1)$ のいずれかである - 移動の途䞭で $(0, 0)$ でない栌子点 $(x,y)$ を通過した堎合栌子点 $(2x, 2y)$ を通過するこずはできない
OMCB017
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G
OMCB017(G)
300
67
102
[ { "content": "　$C$ を通り盎線 $AB$ ず平行な盎線ず盎線 $AD$ の亀点を $P$, 盎線 $AD$ ず盎線 $BC$ ずの亀点を $Q$ ずする. 䞉角圢 $PCD$ は\r\n$$PC=PD, \\quad \\angle CPD=30^\\circ$$\r\nを満たすので, 䜙匊定理より $PC=PD=5$ ず蚈算できる. さらに, 䞉角圢 $QAB$ ず䞉角圢 $QPC$ は盞䌌であるから, \r\n$$AQ = AP\\times \\frac{AB}{CP - AB} = 2$$\r\nが分かる. これず $AB = 1, \\angle QAB = 30^\\circ$ を合わせ...
　凞四角圢 $ABCD$ は $$AB=1, \quad AD=3,\quad CD^{2}=50-25\sqrt{3}, \quad \angle BAD=150^\circ,\quad \angle ADC=105^\circ$$ を満たしたす. このずき, 蟺 $BC$ の長さの二乗は $3$ ぀の正敎数 $a, b, c$ を甚いお, $a-b\sqrt{c}$ ず衚されるので $a+b+c$ の倀を求めおください. ただし $c$ は平方因子をもたないものずしたす.
OMCB017
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H
OMCB017(H)
300
69
111
[ { "content": "　$a,b,c$ を解に持぀ような $3$ 次方皋匏を考えるず\r\n$$x^3=(a+b+c)x^2 - (ab+bc+ca)x +abc$$\r\nであるからこれに $x=a,b,c$ を代入するこずで $a^3,b^3,c^3$ はいずれも $80=2^4\\cdot 5$ の倍数ずなるこずが必芁であるすなわち $a,b,c$ はいずれも $20=2^2 \\cdot 5$ の倍数ずなるので $a=20a_1$ などずおくず以䞋が分かる\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\gcd (a+b+c,ab+bc+ca,abc) &= 20\\cdot \\gcd ...
　**盞異なる** $3$ ぀の正敎数 $a,b,c$ が次の匏を満たしたす $$\gcd (a+b+c, ab+bc+ca, abc) =80$$ $a^2+b^2+c^2$ ずしおあり埗る最小倀を求めおください
OMCE006
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A
OMCE006(A)
100
223
252
[ { "content": "　黒く塗り぀ぶされるマスの条件は\r\n 1. $a,\\\\, b$ の少なくずも䞀方が $10$ の倍数\r\n 1. $a,\\\\, b$ の少なくずも䞀方が $1$\r\n 1. $a,\\\\, b$ がずもに $1$ 桁\r\n 1. $a \\gt b$\r\n\r\nであるからこれらを䞀぀ず぀適甚するこずを考えるただし巊䞊から右䞋ぞの察角線䞊にあるマスを単に「察角線䞊にある」ず衚珟するこずずし察角線䞊にあるマスずそうでないマスを分けお考える \r\n　たず 1. ず 2. を適甚する$2$ 桁以䞋の正の敎数のうち$10$ の倍数でも $1$ でもない...
　九九を芚えた TKG 君は二桁以䞋の正敎数同士のかけ算の結果 $99^2$ 個も暗蚘したいず思い䞊から $i$ 行目巊から $j$ 列目のマスが $i \times j$ に察応するような $99 \times 99$ のマス目九九衚を延長したものを甚意したしたそしお以䞋のうち少なくずも䞀぀をみたす二桁以䞋の正敎数 $a, b$ に぀いお$a \times b$ に察応するマスは新たに芚える必芁がないずしお黒く塗り぀ぶしたした * $a \gt b$ である * $a, b$ がずもに䞀桁である * $a, b$ の少なくずも䞀方が $1$ に等しい * $a, b$ の少なくずも䞀方が $10...
OMCE006
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B
OMCE006(B)
300
104
141
[ { "content": "　$B, D, H, P$ の共円より $\\angle BPH = 90^\\circ$ であり同様に $\\angle CQH = 90^\\circ$ も成り立぀から$B, C, Q, P$ の共円より四角圢 $BCQP$ は長方圢よっお $BQ$ ず $CP$ の亀点 $O$ は䞉角圢 $ABC$ の倖心である$O$ から $AH$ に䞋した垂線の足を $E$䞉角圢 $ABC$ の倖接円ず $AH$ の亀点を $F$ ずするず\r\n$$ AE = FE,\\qquad HE = DE,\\qquad HD = FD $$\r\nずなり特に $AD : AE = 4 ...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$ ずし$A$ から蟺 $BC$ に䞋ろした垂線の足を $D$ ずしたす䞉角圢 $BDH, CDH$ の倖接円が䞉角圢 $ABC$ の倖接円ずそれぞれ $B, C$ ではない点 $P, Q$ で亀わっおおり$3$ 点 $H, P, Q$ は同䞀盎線䞊にありたした 　䞉角圢 $ABQ, ACP$ の面積がそれぞれ $\displaystyle\frac{23}{14}, \frac{41}{32}$ であるずき䞉角圢 $ABC$ の面積は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac ab$ ず衚せるので$a + b$ を解答しおください
OMCE006
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C
OMCE006(C)
500
84
120
[ { "content": "　$s(n) = \\lfloor\\sqrt n\\rfloor, p(n) = n - s(n)^2$ ずするず\r\n$$ \\left\\lfloor\\sqrt n + 0.5\\right\\rfloor = \\left\\lfloor\\sqrt n\\right\\rfloor \\iff p(n) \\le s(n)$$\r\nであるたた$n\\gt0$ のずき $n-1, n-2\\left\\lfloor \\sqrt{n}\\right\\rfloor + 1$ はずもに $n$ より小さいから$0 \\in S$ である\\\r\n　ここで座暙平面䞊の...
　以䞋の条件を党お満たす非負敎数の集合 $S$ はいく぀ありたすか * $\max S = 1234. $ * 任意の $n \in S$ に察し $\left\lfloor\sqrt n + 0.5\right\rfloor = \left\lfloor\sqrt n\right\rfloor$ および$$\\#(S \cap \left\\{n - 1,\\, n - 2 \left\lfloor\sqrt n\right\rfloor + 1\right\\}) = 1$$が成り立ちさらに $n \lt 1234$ ならば$$\\#(S \cap \left\\{n + 1,\\, n + 2 \left\lfloor...
OMCE006
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D
OMCE006(D)
500
51
101
[ { "content": "　$K = k + 1$ ずおき$2$ ぀目の条件を考えるただし各所で $n \\ge 5$ を甚いるたず $n = 5, 6$ のずきを考えるず$K \\equiv 2 \\pmod 4$ を埗る$n^{d(n)}$ は平方数より任意の $n$ で $n^{d(n)} + K - 1$ は $4$ の倍数でないから$4 \\nmid \\varphi(n)$ の堎合のみを考えればよいたた $\\varphi(n)$ は偶数より$n^{d(n)} + K - 1$ が偶数である堎合すなわち $n$ が奇数である堎合のみ考えればよい以䞊をたずめるず$n$ が$ 4N...
　以䞋の条件をすべおみたすような最小の非負敎数 $k$ を求めおください * $k + 1$ は正の玄数をちょうど $100$ 個も぀ * 任意の敎数 $n \ge 5$ に察し$n^{d(n)} + k$ は $\varphi(n)$ の倍数**でない** ただし$d(n)$ は $n$ の正の玄数の個数$\varphi(n)$ は $n$ ず互いに玠な $n$ 以䞋の正敎数の個数を衚したす
OMCE006
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E
OMCE006(E)
700
7
24
[ { "content": "　$\\Gamma$ の盎埄を $d = 2 \\cdot 10^5$ ずするたた問題䞭の半埄 $a$ の円を $\\omega_A$ ずし$\\omega_A$ ず $AB, AC$ ずの接点をそれぞれ $T, U$ ずするたた䞉角圢 $ABC$ の内心角 $A$ に察する傍心をそれぞれ $I, J$ ずするさらに$A$ を䞭心ずする半埄 $\\sqrt{AB\\times AC}$ の円で反転した埌盎線 $AI$ で察称移動する操䜜を $\\tau$ ずする\\\r\n　このずき$\\tau(J) = I, \\tau(\\Gamma) = BC$ であるから$\...
　䞉角圢 $ABC$ は半埄 $10^5$ の円 $\Gamma$ に内接しおいたす$\Gamma$ ず倖接する円であっお半盎線 $AB, AC$ にも接するもの半盎線 $BA, BC$ にも接するもの半盎線 $CA, CB$ にも接するものの半埄をそれぞれ $a, b, c$ ずしたす このずき $\left\lceil11a + 13b + 17c \right\rceil$ ずしおありうる最小倀を求めおください
OMCE006
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F
OMCE006(F)
800
1
14
[ { "content": "　$a,\\\\, b$ の匏は\r\n$$ a^2 + \\left(3b + 1\\right) a - \\left(b^3 + 2b^2 + 4b + 2\\right) = 0 $$\r\nず曞き換えられ\r\n$$ \\left(b + 1\\right)^2 \\left(4b + 9\\right) = \\left(3b + 1\\right)^2 + 4 \\left(b^3 + 2b^2 + 4b + 2\\right) \\ge 0, $$\r\n$$ \\left(b^2 + 6b + 10\\right)^2 - 4 \\left(b + 1\\right)^...
　実数 $a,\\, b$ は $b \neq -1$ および $$ \left(a + b - 1\right) \left(a + 2b + 2\right) = b \left(b + 2\right)^2 $$ を満たしたすたた実数列 $\mathclose{\left\\{x\_n\right\\}},\left\\{y\_n\right\\}$ は$x\_1 = a,\hspace{314705sp} y\_1 = b$ および連立挞化匏 $$ \begin{cases} x\_{n+1} = x\_n^2 - 2y\_n^2 + 2 \\\\ y\_{n+1} = y\_n^2 - 2x\_n \end...