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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
OMC059 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/tasks/1467 | F | OMC059(F) | 600 | 5 | 22 | [
{
"content": " $\\ell$ の両端を $A,B$ とし, $\\omega_1,\\omega_2$ と $\\ell$ の接点をそれぞれ $U_1,U_2$ とする.\\\r\n このとき, well-known factとして $S_1U_1$ および $S_2U_2$ の交点 $M$ は弧 $AB$ の中点にあたり, さらに \r\n$$MS_1\\times MU_1=MA^2=MS_2\\times MU_2$$\r\nより $4$ 点 $S_1,S_2,U_1,U_2$ は共円である. この円と $\\omega_1,\\omega_2$ の根心は $M$ であることから, 点 $T$... | 点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円 $\Gamma$ およびその弦 $\ell$ があります. 互いに $T$ で外接する円 $\omega_1$ および $\omega_2$ は, 中心がともに $\Gamma$ の内部の $\ell$ に関して同じ側にあり, どちらも $\Gamma$ および $\ell$ の両方と接しています. このとき, $\omega_1,\omega_2$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $S_1,S_2$ とすると, $\angle S_1OS_2=120^\circ$ が成り立ちました.\
さらに $T$ と $\ell$ の距離 $d$ について, $OT:d=7:10$ が... |
OMC058 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/tasks/2245 | A | OMC058(A) | 100 | 156 | 173 | [
{
"content": " どの $2$ 本も端点を共有しないことから, 引ける対角線は高々 $[2021\\/2]=1010$ 本であり, さらに $1010$ 本を引こうとすると辺を含んでしまうことが容易にわかる. 逆に, 各頂点を順に $A_1,A_2,\\cdots,A_{2021}$ とすると,\r\n$$A_2A_{2021} ,\\quad A_3A_{2020} ,\\quad\\cdots, \\quad A_{1010}A_{1013}$$\r\nとして $1009$ 本の対角線を引くことができるから, 求める最大値は $\\textbf{1009}$ である.",
"text": "公... | 正 $2021$ 角形において, その対角線を $1$ 本ずつ引いていきます. このとき, 新しく引く対角線は, それまでに引いたどの対角線とも共有点（**端点を含む**）をもってはいけません. 引くことのできる対角線は最大で何本ですか？ |
OMC058 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/tasks/1999 | B | OMC058(B) | 200 | 101 | 139 | [
{
"content": "$$S_k=\\sum_{i=4}^{k}\\dfrac{1}{2}i(i-3)=\\sum_{i=1}^{k-3}\\dfrac{1}{2}i(i+3)=\\dfrac{1}{6}(k-3)(k-2)(k+2)$$\r\n$2021=43\\times 47$ より $k=\\textbf{45}$ で $S_k$ は $2021$ の倍数となり, 最小性も容易に従う.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/editorial/1999"
}
] | $k\geq 4$ なる整数 $k$ に対し, 凸 $k$ 角形の対角線の本数を $a_k$ とし, さらに $S_k$ を以下で定めます：
$$S_k=a_4+a_5+\cdots+a_k$$
このとき, $S_k$ が $2021$ の倍数となる最小の $k$ を求めてください. |
OMC058 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/tasks/2230 | C | OMC058(C) | 300 | 66 | 84 | [
{
"content": " 方程式が $2021$ 個の負の整数解を持つから, 定数項の素因数分解を考えることで $f$ は\r\n$$(x+1)^{2020}(x+2021),\\quad (x+1)^{2019}(x+43)(x+47)$$\r\nのいずれかである. それぞれについて $S=f(1)-2022$ を合計すると, \r\n$$T=(2^{2020}×2022-2022)+(2^{2019}×44×48-2022)=2^{2021}×3^4×19-4044$$\r\nしたがって, 解答すべき値は $2+2021+3+4+19=\\bf2049$ である.",
"text": "公式解説",
... | 実数を係数とする $x$ の $2021$ 次方程式
$$x^{2021}+a_1x^{2020}+a_2x^{2019}+･････+a_{2020}x+2021=0$$
が, 重複を込めて $2021$ 個の負の整数解をもつような組 $(a_1, \cdots, a_{2020})$ すべてについて, $S=a_1+\cdots+a_{2020}$ の総和を $T$ とします. このとき, $T+4044$ は $a,c,e$ を相異なる素数として素因数分解の形で
$$T+4044=a^b\times c^d\times e$$
と表せるので, $a+b+c+d+e$ の値を解答してください. |
OMC058 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/tasks/1605 | D | OMC058(D) | 300 | 55 | 70 | [
{
"content": " 等式 $\\dbinom{k+1}{n+1}=\\dbinom{k}{n+1}+\\dbinom{k}{n}$ を繰り返し用いることにより,\r\n$$\\binom{k+1}{n+1}=\\binom{n+1}{n+1}+\\sum_{i=n+1}^{k}\\binom{i}{n}=\\sum_{i=n}^{k}\\binom{i}{n}$$\r\nが成り立つから, 求める $n$ について以下が成立する.\r\n$$\\binom{2021}{n}=\\binom{2021}{n+1}$$\r\nすなわち $n+(n+1)=2021$ であるから, $n=\\textbf{1010}... | 以下の等式をみたすような, $2020$ 以下の正整数 $n$ の総和を求めてください.
$${}\_{2021}\mathrm{C}\_{n}=\sum_{i=n}^{2020}{}\_{i}\mathrm{C}\_{n}$$ |
OMC058 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/tasks/1777 | E | OMC058(E) | 300 | 47 | 63 | [
{
"content": " 点 $P$ から平面 $BCDE,ABFD$ におろした垂線の足をそれぞれ $G,H$ とおくと, British flag theoremより (詳細は[**OMC030(B)の解説**](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc030\\/editorial\\/1340)を参照せよ) 以下が成立する：\r\n$$BG^2+DG^2=CG^2+EG^2,\\quad AH^2+FH^2=BH^2+DH^2$$\r\nこのとき, 第一式の両辺に $2PG^2$ を, 第二式の両辺に $2PH^2$ を加えることで\r\n$$C... | 正八面体 $A-BCDE-F$ およびその外部にある点 $P$ が
$$BP=24,\quad CP=27,\quad DP=32$$
をみたしているとき, $AP^2+EP^2+FP^2 $の値を求めてください. |
OMC058 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/tasks/1656 | F | OMC058(F) | 400 | 15 | 42 | [
{
"content": " 観覧車が時計回りであるとし, 一周の長さを $75$ とする. また行動 $A,B$ をそれぞれ以下のように定義する：\r\n\r\n- $A$：$9$ 時の方向から上昇し, $12$ 時の方向に達するより先に落下して乗り移り, 再び $9$ 時の方向に達する.\r\n- $B$：$9$ 時の方向から上昇して $12$ 時の方向に達して以降に落下して乗り移り, $6$ 時の方向に達する.\r\n\r\n行動 $B$ は高々一回である. このとき $i\\ (0\\leq i\\leq 37)$ 機先のゴンドラに乗り移ったとする. ここで $i=0$ をもって行動 $B$ を行わなかった場... | 大きさの無視できる $75$ 基のゴンドラが円周上に等間隔に設置され, 一定の速度で回転する観覧車があります. 最下点から乗り込み, $25$ 分かけて一周したら必ず降ります. しかし, OMC君はこの観覧車に出来るだけ長く乗っていたいので, 以下の術を体得しました：
- 乗っているゴンドラの真下に別のゴンドラがあるとき, そのゴンドラまで落下して乗り移ることができる. ただし, 落下時間は無視できるものとする.
OMC君がゴンドラに乗り込んでから $2021$ 分後に初めて再び最下点にいるような移動方法の総数は, 非負整数 $a$ によって $2F_a$ と表されるので, $a$ の値を解答してください. ここで,... |
OMC057 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/tasks/1883 | A | OMC057(A) | 200 | 187 | 192 | [
{
"content": " 中国剰余定理より, $3$ つの余りの組は $(0,0,0)$ を除いてちょうど一つずつ現れるから, 求める総和は\r\n\r\n$$\\sum_{i=0}^{6}\\sum_{j=0}^{10}\\sum_{k=0}^{12}ijk=\\sum_{i=0}^{6}i\\sum_{j=0}^{10}j\\sum_{k=0}^{12}k=\\dfrac{6\\times 7}{2}\\times\\dfrac{10\\times 11}{2}\\times\\dfrac{12\\times 13}{2}=\\textbf{90090}.$$",
"text": "公式解説",
... | 正整数 $n,m$ に対し, $n$ を $m$ で割った余りを $n\ \mathrm{mod}\ m$ で表すとき, 以下の総和を求めてください：
$$\sum_{n=1}^{1000}(n\ \mathrm{mod}\ 7)(n\ \mathrm{mod}\ 11)(n\ \mathrm{mod}\ 13)$$ |
OMC057 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/tasks/1831 | B | OMC057(B) | 300 | 111 | 156 | [
{
"content": " 共通部分は正六角錐を上下に $2$ つ貼り合わせた立体である. これは元の立方体から三角錐を $6$ つ取り除いたと解釈でき, その体積は $1-6\\times\\left(\\dfrac{1}{6}\\times\\dfrac{1}{2}\\times\\dfrac{1}{2}\\right)=\\dfrac{3}{4}$ であるから, 特に解答すべき値は $\\textbf{7}$ である.\r\n",
"text": "公式解説",
... | 一辺の長さが $1$ の立方体について, ある体対角線を軸に $60^\circ$ 回転させて得られる立方体との共通部分の体積を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $x,y$ によって $\dfrac{x}{y}$ と表せるので, $x+y$ を解答してください. \
なお, 立方体において**体対角線**とは, 同じ面上にない $2$ 頂点を結んで得られる線分のことを指します. |
OMC057 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/tasks/1314 | C | OMC057(C) | 500 | 64 | 136 | [
{
"content": " $f(n)$ は「$n$ を二進数で表記したときの各桁の総和」であることが容易にわかる. ここで $f(n)=k$ かつ二進数で表記して $i$ 桁目が $1$ であるような $n$ は, $i$ によらず\r\n$$\\binom{N-1}{k-1}= \\frac{k}{N}\\binom{N}{k}$$\r\n個存在するから,\r\n$$\\sum_{f(n)=k,n\\lt 2^N}nf(n)=\\sum_{i=1}^{N}k2^{i-1}\\binom{N}{k}\\frac{k}{N}=\\frac{k^2}{N}\\binom{N}{k}(2^N-1)$$\r\n----\... | 非負整数に対して定義される関数 $f$ は, $f(0)=0$ および正整数 $n$ に対して
$$f(n)=\begin{cases} f(n\/2) & (n\ \text{が偶数のとき}) \\\\ f((n-1)\/2)+1 & (n\ \text{が奇数のとき}) \end{cases}$$
をみたします. このとき, $N=2^{20}-1(=1048575)$ に対し以下の総和
$$M=\sum_{n=0}^{2^N-1}nf(n)$$
が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください. |
OMC057 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/tasks/2040 | D | OMC057(D) | 500 | 155 | 166 | [
{
"content": " 三角形の各辺を $x+y,y+z,z+x$ と表し,面積を $S$, 外接円・内接円の半径をそれぞれ $R,r$ とすれば,\r\n$$S=\\sqrt{xyz(x+y+z)},\\quad r=\\dfrac{S}{x+y+z}=\\sqrt{\\dfrac{xyz}{x+y+z}}$$\r\nこれより $Sr=xyz=1001$ であり, さらに $x+y+z=\\dfrac{S^2}{xyz}=31$ である.したがって,\r\n$$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=4RS=8640$$\r\nより $xy+yz+zx=311$ を得るから... | 面積が $\sqrt{31031}$, 外接円の半径が $\dfrac{2160}{\sqrt{31031}}$, 内接円の半径が $\sqrt{\dfrac{1001}{31}}$ であるような三角形において, $2$ 番目に長い辺の長さを求めてください. ただし, 求める三角形においてすべての辺の長さが異なることが保証されます. |
OMC057 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/tasks/1709 | E | OMC057(E) | 600 | 62 | 99 | [
{
"content": " $\\displaystyle S_n=\\sum_{k=0}^{F_n-1}f(k)$ と定めれば, これは漸化式 $S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}+F_{n-2}$ をみたすから, これを解いて \r\n$$S_n=\\dfrac{1}{5}\\left((n-2)F_{n}+nF_{n-2}\\right)\\quad (n=2,3,\\cdots)$$\r\nここで $2021=F_{17}+F_{14}+F_{9}+F_{7}$ であるから, 以下のように区間を分割して計算すればよい：\r\n- $0\\leq k\\lt F_{17}$ について, $S_{17}... | 数列 $\\{F_{n}\\}$ は以下の条件をみたします：
$$F_0=0,\quad F_1=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\ (n=2,3,\cdots)$$
非負整数 $k$ に対して関数 $f(k)$ を $f(0)=0$ および以下の規則で定めたとき, $\displaystyle \sum_{k=0}^{2020}f(k)$ を求めてください.
- $k\geq 1$ について, $F_n\leq k \lt F_{n+1}$ であるような唯一の非負整数を $n$ として, $f(k)=f(k-F_n)+1$. |
OMC057 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/tasks/2193 | F | OMC057(F) | 700 | 10 | 32 | [
{
"content": " $N=1$ の寄与は明らかであるから, 以下 $N\\geq 2$ であるとする. まず固定された $\\sigma\\in S_N$ について $\\prod$ の中身を考える. $3$ を底とした対数をとれば, 結局 $\\textrm{inv}(\\tau)$ の総和を考えればよく, これは各組 $1\\leq i\\lt j\\leq N$ の寄与を考えることで計算できる. 具体的には, これらをともに含む $\\tau$ は $2^{N-2}$ 個あり, $\\sigma(i)\\gt\\sigma(j)$ であるときのみ勘定されるから, \r\n$$\\sum_{\\tau\... | 以下で定まる $X$ について, 「$2$ で割り切れる最大回数」を素数 $2017$ で割った余りを求めてください.
$$X=\prod_{N=1}^{2^{2021}-1}\sum_{\sigma \in S_N}\prod_{\tau\subseteq \sigma}3^{\textrm{inv}(\tau)}$$
ただし, それぞれの記号の定義は以下の通りです.
- 正の整数 $N$ に対し, $S_N$ は $1$ から $N$ までがちょうど一つずつ現れる数列 $N!$ 個全体の集合である.
- $\tau\subseteq \sigma$ の総積とは, $\tau$ が $\sigma$ の**連続す... |
OMC056 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/tasks/230 | A | OMC056(A) | 100 | 205 | 206 | [
{
"content": " $P,Q$ の $x$ 座標を $a$ とおけば, 線分 $PQ$ の長さは\r\n$$|(a^2+100)-(6a-700)|=|(a-3)^2+791|$$\r\nよって, 求める最小値は $\\textbf{791}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/editorial/230"
}
] | $xy$ 平面内のグラフ $y=x^2+100$ 上に点 $P$ が, グラフ $y=6x-700$ 上に点 $Q$ があり, 直線 $PQ$ が $y$ 軸に平行なとき, 線分 $PQ$ の長さとしてあり得る最小値を求めてください. |
OMC056 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/tasks/291 | B | OMC056(B) | 300 | 185 | 199 | [
{
"content": " 条件は $27a+3c=9b+d$ と同値である. このとき $d=3d^\\prime\\ (d^\\prime=1,2)$ とおけて, $9a+c=3b+d^\\prime$ で, 特に $c=d^\\prime$ または $c=d^\\prime+3$ である. $c=d^\\prime$ のとき $(a,b)=(1,3),(2,6)$, $c=d^\\prime+3$ のとき $(a,b)=(1,4)$ と定まるから, 求める確率は $6\\/6^4=1\\/216$ であり, 解答すべき値は $\\textbf{217}$ である.",
"text": "公式解説",
... | $1$ から $6$ の目が等確率で出るサイコロを $4$ 回振り, その出目を順に $a,b,c,d$ とするとき, 多項式 $ax^3+bx^2+cx+d$ が $x+3$ で割り切れる確率を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $p,q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので, $p+q$ を解答してください. |
OMC056 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/tasks/1239 | C | OMC056(C) | 300 | 123 | 171 | [
{
"content": " それぞれの対角線について, $101$ 個の数の総和は操作によらず $515201$ で一定であることが容易にわかる. したがって, $2$ 本の対角線が重複する中央のマスが $10201$ となる場合が最小で, これをみたす操作は明らかに存在するから, その値は $2\\times 515201-10201=\\textbf{1020201}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/editorial/1239"
}
] | $101$ 行 $101$ 列のマス目に, 次のように $1$ から $10201$ までの整数を一つずつ書き込みます：
- $i$ 行目 $j$ 列目のマスには $101(i-1)+j$ を書き込む.
例えば, $1$ 行目には $1,2,\cdots,100,101$ が左から順に書き込まれます.\
ここに, 以下の二種類の操作を, 任意の順序で任意の回数 ($0$ 回でもよい) 行います.
- 任意に行を二つ選び, それらを行ごとすべて入れ替える.
- 任意に列を二つ選び, それらを列ごとすべて入れ替える.
このとき, 最終的に出来上がったマス目について, その対角線上の数の総和として考えられ... |
OMC056 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/tasks/304 | D | OMC056(D) | 400 | 39 | 64 | [
{
"content": " $G,H$ はそれぞれ $AD,ED$ を $2:1$ に内分する点であるから, 三角形 $FGH$ の面積は $DGH$ の面積に等しく, さらにこれは $ADE$ の面積の $1\\/9$ にあたる. したがって, 三角形 $ADE$ の面積を最大化すればよく, $AC$ を直径とする円と $AD$ の交点を $D^\\prime$ とすれば, この最大値は $E$ が優弧 $AD^\\prime$ の中点 $M$ に一致する場合に達成される.\\\r\n ここで中線定理より $AD=2\\sqrt{7}$, 三平方の定理より $DD^\\prime=3\\/\\sqrt{7}$ で... | $AB=5,BC=6,CA=7$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ の中点を $D$ とします. さらに $AC$ を直径とする円周上の点 $E$ について, $2\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DF}$ なる点 $F$ をとり, 三角形 $ABC,EBC$ の重心をそれぞれ $G,H$ とおきます. このとき, 三角形 $FGH$ の面積としてあり得る最大値は, 正整数 $a,b,c,d,e$ によって $\dfrac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せます. ただし, $b,d$ は $1$ より大きい平方数で割り切れず, $a,c,e$ は互いに素... |
OMC056 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/tasks/268 | E | OMC056(E) | 500 | 95 | 167 | [
{
"content": " $x$ の二次方程式 $x^2-ax+b=0,x^2-bx+a=0$ の判別式をそれぞれ $D_1,D_2$ とする. すなわち\r\n$$ D_1=a^2-4b,\\ \\ D_2=b^2-4a $$\r\n条件より, このうち少なくとも一方は非負である. ここで一方が正で一方が負のとき, すなわち以下のいずれかが成り立つとき, 条件は常に成立する.\r\n\r\n- $a^2\\gt 4b$ かつ $b^2\\lt 4a$\r\n- $a^2\\lt 4b$ かつ $b^2\\gt 4a$\r\n\r\n したがって, 以下 $D_1,D_2$ がともに非負である場合について考えれ... | $x$ の四次方程式
$$(x^2 - ax + b)(x^2 - bx + a) = 0$$
が相異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような, $-6$ 以上 $6$ 以下の**整数**の組 $(a,b)$ はいくつありますか？ |
OMC056 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/tasks/1735 | F | OMC056(F) | 500 | 37 | 56 | [
{
"content": " $4997-k$ を $p$ で割った商を $x$ とおき, $4997+k$ を $p+2$ で割った商との差によって場合分けを行う.\r\n\r\n- 差が $0$ であるとき, $x=k$ であるが, このとき $4997=(p+1)k$ より偶奇を考えれば不適である.\r\n- 差が $1$ であるとき, $px$ および $(p+2)(x\\pm 1)$ の偶奇が一致することからやはり不適である.\r\n\r\n 以下, 差が $2$ である場合について考える. まず\r\n$$4997-k=px,\\quad 4997+k=(p+2)(x+2)$$\r\nと書けるとする. こ... | $4997$ 未満の正整数 $k$ および素数 $p$ が, 以下の条件をみたします：
- $p+2$ も素数であり, $4997-k,4997+k$ はそれぞれ $p,p+2$ で割り切れる.
このような組で $\left\lvert \dfrac{4997-k}{p} - \dfrac{4997+k}{p+2} \right\rvert$ が最小値をとるものすべてについて, $k+p$ の総和を求めてください.\
なお, [**こちら**](https:\/\/www.mathsisfun.com\/numbers\/prime-numbers-to-10k.html)の素数表を用いても構いません. |
OMC055 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/tasks/300 | A | OMC055(A) | 100 | 209 | 211 | [
{
"content": " $3^{45}$ の一の位を求めればよい. ここで $3^n$ の一の位は $3\\to 9\\to 7\\to 1$ の周期を繰り返すことに留意すれば, 求めるあまりは $\\textbf{3}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/300"
}
] | $123^{45}$ を $10$ で割った余りはいくつですか？ |
OMC055 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/tasks/199 | B | OMC055(B) | 200 | 154 | 197 | [
{
"content": " $ABCD$ に対する $P,Q$ の位置関係は $2$ 通りあり得るが, そのうち $BP$ と $CQ$ が交わる方が最小値を実現する. 一辺の長さを $k$ とし, $P$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とすれば, 三角形 $BHP$ における三平方の定理より\r\n$$\\left(\\dfrac{k}{2}+1\\right)^2+\\left(\\dfrac{k}{2}\\right)^2=3^2$$\r\nこれを解いて$k\\gt 0$ より $k=\\sqrt{17}-1$ を得るから, 解答すべき値は $\\textbf{16}$ である.",
... | 正方形 $ABCD$ の内部に $2$ 点 $P,Q$ があり, 以下の条件をみたします.
$$AP=BP=CQ=DQ=3,\ \ PQ=2$$
このとき, $ABCD$ の一辺の長さとしてあり得る最小値を求めて下さい.\
ただし答えは整数 $p,q$ によって $p+\sqrt{q}$ と表されるので, $p+q$ を解答してください. |
OMC055 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/tasks/222 | C | OMC055(C) | 200 | 134 | 162 | [
{
"content": " 命題は「$1$ 以上 $N^2$ 未満の整数の総和は $9N^3+9N^2$ である」と表現できるから, 方程式\r\n$$\\dfrac{1}{2}(N^2-1)N^2=9N^3+9N^2$$\r\nを解いて $N=\\textbf{19}$ を得る.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/222"
}
] | 「$1$ 以上 $100$ **未満**の整数の総和は $9900$ である」という命題が $N$ 進法表記で解釈すると真であるとき, $N$ としてあり得る $10$ 以上の整数の総和を求めてください.\
ただし, 記数の割り当て順序は一般的なもの ($0,1,\cdots,9,a,b,\cdots$) に従います. |
OMC055 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/tasks/258 | D | OMC055(D) | 300 | 111 | 160 | [
{
"content": " 一般に棒の長さが奇数 $n$ である場合を考え, 棒の左端を $O$, 右端を $O^\\prime$ とする. $OA=a,AB=b$ として左側から節目 $A,B$ を選択したとき, これが条件をみたすことは以下のように表現できる：\r\n$$a\\leq\\dfrac{n-1}{2},\\quad b\\leq\\dfrac{n-1}{2},\\quad a+b\\geq\\dfrac{n+1}{2}$$\r\n ここで $a$ を固定すれば, $b$ としてあり得るものは $\\dfrac{n+1}{2}-a$ 以上 $\\dfrac{n-1}{2}$ まで $a$ 個であるから... | 長さ $2021$ の棒があります. この棒には端から長さ $1$ の間隔で節目が付いており, それらで棒を自由に折り曲げることができます. 次の条件をみたすような $2$ 個の節目の選び方はいくつありますか？
- 条件：$2$ 個の節目で棒を折り曲げたとき, 棒の両端点を合わせて三角形を作ることができる.
ただし, 節目はすべて区別でき, 節目の部分の長さは無視できるほど短いものとします. |
OMC055 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/tasks/259 | E | OMC055(E) | 300 | 38 | 80 | [
{
"content": " $B$ を通り $AC$ に平行な直線 $\\ell$ について, $AP,AQ$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし, $A$ からおろした垂線の足を $F$ とすれば, 以下のようにそれぞれの長さを計算できる：\r\n$$AF=BF=1,\\quad BD=DF-BF=\\sqrt{3}-1,\\quad DE=AD=2$$\r\nこれより, $BP:PC=(\\sqrt{3}-1):\\sqrt{3}$ および $BQ:QC=(\\sqrt{3}+1):\\sqrt{3}$ であるから\r\n$$BP:PQ:QC=(5-\\sqrt{3}):2\\sqrt{3}:(6-\\sqr... | $AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},\angle A=45^\circ$ なる三角形において, 辺 $BC$ 上の点 $P,Q$が
$$\angle BAP = \angle PAQ = \angle QAC = 15^\circ $$
をみたすとき, 三角形 $APQ$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を求めてください. |
OMC055 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/tasks/305 | F | OMC055(F) | 400 | 17 | 50 | [
{
"content": " 各マスに対して必要な操作の最小回数は, 左下から順次定まり, 以下のような再帰的構造が確認できる：\r\n$$\\begin{matrix}\r\n15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 \\\\\\\\\r\n15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 \\\\\\\\\r\n15 & 14 & 13 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 & 15 ... | 図1に示す $3$ マスからなる図形を**タイル**と呼びます. いま $2^{2021}\times2^{2021}$ のマス目があり, 左から $i$ 番目, 下から $j$ 番目のマスを $(i,j)$ で表します. Noya君は, このタイルとマス目を用いて次のようなゲームを行います.\
まずNoya君は準備として, このマス目にタイルを配置します. ここでタイルの配置は, 以下で定まる $2$ 規則によって再帰的に定義されます. それぞれの規則は部分マス目に対して適用され, まず初めにマス目全体に規則1を適用します.
- 規則1：正方形の領域に適用される. 領域が $1\times 1$ のとき, 何もしない.... |
OMC054 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/tasks/1479 | A | OMC054(A) | 200 | 135 | 184 | [
{
"content": " $(a-2021)(b-2021)=2021^2$ と与式を変形すれば, $2021^2$ の約数 (負も許す) の個数を求めることと問題は等価であり, $2021^2=43^2\\times47^2$ と素因数分解できるからこれは $2\\times 3^2=18$ 個である. ただし $(a,b)=(0,0)$ を除外することに留意すれば, 求めるべき値は $\\textbf{17}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/editorial/1479"... | $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2021}$ をみたす順序付きの**整数**の組 $(a,b)$ はいくつありますか？ ただし $2021=43\times 47$ です. |
OMC054 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/tasks/2070 | B | OMC054(B) | 200 | 140 | 161 | [
{
"content": " 与えられた立体を一辺の長さが $4$ の正四面体の内部に適切に埋め込むことを考えれば, 貼り合わせによって隣り合った面は同一平面上にある. よって題意の三角形は辺の長さが $2\\sqrt{3}, 2\\sqrt{3}, 2$ の二等辺三角形で, その面積は $\\sqrt{\\textbf{11}}$.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/editorial/2070"
}
] | 一辺の長さが $2$ の正四面体と, すべての辺の長さが $2$ の正四角錐があります. それぞれから適当に正三角形の面を選び, それらに沿って $2$ 立体を外側に (面を除いて共通部分をもたないように) 貼り合わせたとき, 貼り合わせに用いなかった $3$ 頂点からなる三角形の面積の $2$ 乗を求めてください. |
OMC054 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/tasks/1912 | C | OMC054(C) | 300 | 105 | 153 | [
{
"content": " $X=2^x3^y5^z7^w$ と表せ, $y+z+w\\leq 3$ である. 以下, $y+z+w$ の値に応じて場合分けを行う.\r\n\r\n(i) $y+z+w=0$ のとき, $s,b,l$ は $1,2,4,8$ のいずれかであり, $x$ は $0$ 以上 $9$ 以下の整数値をとり得る.\r\n\r\n(ii) $y+z+w=1$ のとき, 基本的に上と同様に $x$ は $0$ 以上 $6$ 以下の整数値をとり得るが, $y=1$ の場合に限り $3$ を $6$ に置き換えることで $x=7$ とできる. すなわち, $7\\times 3+1=22$ 通りである... | あるスポーツ種目は $S,B,L$ の $3$ 部分からなり, 各選手はこれらすべてに参加します. $S,B,L$ におけるある選手の順位をそれぞれ $s,b,l$ としたとき, その選手の獲得するポイント $X$ は $X=sbl$ と定義されます. この種目に $8$ 人の選手が参加したとき, ある選手が獲得するポイント $X$ としてあり得る正整数値はいくつありますか？\
ただし, 各部分の順位は $1$ 位から $8$ 位までの正整数値が重複なく付くものとします. |
OMC054 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/tasks/2009 | D | OMC054(D) | 400 | 64 | 78 | [
{
"content": " $T$ の各項について,\r\n$$ \\frac{n^3}{n^4+4} =\\frac{1}{2}\\left(\\frac{n-1}{(n-1)^2+1}+\\frac{n+1}{(n+1)^2+1}\\right) $$\r\nと整理できるから,\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS-T &=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{1^2+1}+\\frac{99}{99^2+1}\\right)-\\frac{1}{2}\\left(\\frac{0}{0^2+1}+\\frac{100}{100^2+1}\\right) \\\\\\\\\r... | 以下の $2$ 種類の分数の和 $S,T$ について, その差の絶対値を求めてください：
$$ S = \frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\cdots+\frac{n}{n^2+1}+\cdots+\frac{99}{99^2+1} $$
$$ T=\frac{1}{5}+\frac{8}{20}+\frac{27}{85}+\cdots+\frac{n^3}{n^4+4}+\cdots+\frac{99^3}{99^4+4} $$
ただし, 求める差の絶対値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので, $p+q$ を解答してください. |
OMC054 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/tasks/1942 | E | OMC054(E) | 500 | 92 | 130 | [
{
"content": " $3^n$ の一の位は $n$ が $4$ で割って $2$ 余るときに $9$ となるから, $3^{4m+2}$ の最高位が $9$ であるような最小の $m$ を求めればよい. このことは, $3^{4m}$ と $3^{4m+2}$ の桁数が等しいこと, すなわち $4m\\log_{10}3$ と $(4m+2)\\log_{10}3$ の整数部分が等しいことと同値である. この整数部分を $i$ とすると, 条件はさらに次のように書くことができる：\r\n$$ \\frac{i}{2m}\\lt 2\\log_{10}3 \\lt \\frac{i+1}{2m+1} $$\r... | $10$ 以上の整数 $x$ について, $f(x)$ で $x$ の (十進数表記での) 最高位の数字と一の位の数字の積を表します. 例えば $f(2021)=2$ です. $n$ を $3$ 以上の整数とするとき, $f(3^n)$ が最大値をとるような $n$ のうち, 最小のものを求めてください.\
ただし必要であれば, $\log_{10}3=0.4771212547\cdots$ を利用しても構いません. |
OMC054 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/tasks/2305 | F | OMC054(F) | 500 | 19 | 44 | [
{
"content": " $N=54$ とおき, ここではカードやパケットの番号を $0$ から始めて数えるものとする.\\\r\n デッキの上から $n$ 枚目のカードが, 一度の $d$-シャッフルで上からデッキの上から $g(n)$ 枚目に移動するとする. $n$ の $d$ による割り算を $n=jd+k$ と表すと, 前半の手順でパケット $k$ の上から $j$ 枚目に移るから, \r\n$$g(n)= N-k\\times\\dfrac{N}{d}-j-1\\equiv -\\dfrac{N}{d}\\times n \\pmod{N-1} $$\r\nここで $0$ 枚目と $N-1$ 枚目は一回... | 相異なる全 $54$ 枚のカードを重ねたものを**デッキ**と呼び, デッキをいくつかに分割したものを**パケット**と呼びます. また, デッキに対して以下で定義される一連の操作を **$d$-シャッフル**と定義します.
- 操作前にデッキに重ねられたカードを**上から**順に $1$ 枚目, $2$ 枚目, ... , $54$ 枚目とする.
- デッキをパケット $1$ からパケット $d$ に分割する. パケット $i$ は $i$ 枚目, $i+d$ 枚目, ... からなる.
- 各パケット内の上下をすべて入れ替え, パケット $i$ の上にパケット $i+1$ を積む要領で, デッキを再構成する.
... |
OMC053 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/tasks/292 | A | OMC053(A) | 200 | 147 | 177 | [
{
"content": " まず以下のように変数変換を行う：\r\n$$a=2x,\\ \\ b=3y,\\ \\ c=5z,\\ \\ d=7p,\\ \\ e=11q,\\ \\ f=13r$$ \r\nこのとき, 与方程式の係数にはPascalの三角形が現れる：\r\n$$\\begin{aligned}\r\n|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|&=32 \\\\\\\\\r\n1a+1b+1c+1d+1e+1f&=0 \\\\\\\\\r\n5a+4b+3c+2d+1e&=0 \\\\\\\\\r\n10a+6b+3c+1d&=0 \\\\\\\\\r\n10a+4b+1c&=0 \\\\\\\... | 以下の連立方程式
$$\begin{aligned}
|2x|+|3y|+|5z|+|7p|+|11q|+|13r|&=32 \\\\
2x+3y+5z+7p+11q+13r&=0 \\\\
10x+12y+15z+14p+11q&=0 \\\\
20x+18y+15z+7p&=0 \\\\
20x+12y+5z&=0 \\\\
10x+3y&=0
\end{aligned}$$
の実数解 $(x,y,z,p,q,r)$ すべてについて, 以下の値の総和を求めてください.
$$|x|+|y|+|z|+|p|+|q|+|r|$$
ただし, 答えは互いに素な正整数 $u,v$ によって $\dfrac{u}{... |
OMC053 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/tasks/1641 | B | OMC053(B) | 500 | 56 | 119 | [
{
"content": " 以下 $A_{i+1024}=A_i$ とする. まず, $\\displaystyle \\sum_{i=1}^{1024} f(A_i,A_{i+1})$ の最小値を求めればよい. なんとなれば, 添字を適当に巡回させて $A_1$ を全体集合とすれば, 求める最小値はこれより $55$ を減じたものとして得られるからである.\\\r\n いま, $A_i$ に含まれるが $A_j$ には含まれないカードに書かれた数の合計を $g(A_i,A_j)$ とおけば,\r\n$$\\displaystyle \\sum_{i=1}^{1024} f(A_i,A_{i+1})=55 \\ti... | $1$ から $10$ の整数がついたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ, 計 $10$ 枚あります. これらのカードから何枚かを選んだ集合 (空を許す) は $1024$ 個ありますが, これらを適当に並べ替えて $A_1,A_2,\cdots,A_{1024}$ で表します. $A_i$ および $A_j$ の少なくとも一方に含まれているカードに書かれた数の合計を $f(A_i,A_j)$ とおきます. 例えば
$$f(\lbrace 1,4,5 \rbrace,\lbrace 3,4,5,9 \rbrace)=1+3+4+5+9=22$$
です. このとき, $\displaystyle \sum_{i=1}^{1023... |
OMC053 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/tasks/1259 | C | OMC053(C) | 500 | 24 | 53 | [
{
"content": " 操作は以下のように言い換えても等価である.\r\n\r\n- $a_i=a_{i+1}$ または $b_i=b_{i+1}$ なる $i$ を選択し, $a_i$ と $a_{i+1}$ および $b_i$ と $b_{i+1}$ の値をそれぞれ交換する. \r\n\r\n このとき $(a_i,b_i)$ は常に連動して動くから, ペアとして考えればよい. ペア $(0,0)$ と $(1,1)$ およびペア $(0,1)$ と $(1,0)$ は交換できないが, それ以外は交換できることに留意すれば, 以下の性質が従う.\r\n\r\n- $a_i=b_i$ なるすべてのペアの相対的... | ここでは**バイナリ列**で各項が $0$ または $1$ であるような有限列を指すものとします．\
長さが $5183(=71 \times 73)$ である二つのバイナリ列 $a,b$ があり，初めはそれぞれ以下のように定義されます．
- $a$ は「'$0$' が連続して $26$ 個続いたあと '$1$' が連続して $47$ 個続く単位」を $71$ 回繰り返した列である．
- $b$ は「'$0$' が連続して $29$ 個続いたあと '$1$' が連続して $42$ 個続く単位」を $73$ 回繰り返した列である．
siosio君はこれらのバイナリ列に，以下の $2$ 操作を好きな順序で $0$ ... |
OMC053 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/tasks/1419 | D | OMC053(D) | 700 | 16 | 42 | [
{
"content": " 与式を適当に変形することで\r\n$$(f(y)-(f^2(x)+1))^2+(x-z)((f(x)-x)-(f(z)-z))\\geq 1$$\r\n特にここに $z=x$ を代入すれば\r\n$$(f(y)-(f^2(x)+1))^2\\geq 1$$\r\n$y=f(x)$ を代入すると,\r\n$$(x-z)((f(x)-x)-(f(z)-z))\\geq 0$$\r\n逆にこれらが成立すれば与式も成立するから, 条件はこれら $2$ 式に分離された. さらに,\r\n\r\n- $(f(y)-(f^2(x)+1))^2\\geq 1$ は $f^2(x)+1 \\neq f(y... | 正整数全体で定義され, 正整数値を取る関数 $f$ は, 任意の正の整数 $x,y,z$ について
$$\begin{aligned}
&f^2(x)^2+2f^2(x)+f(y)^2+xf(x)+zf(z) \\\\
\geq ~ &2f^2(x)f(y)+2f(y)+xf(z)+zf(x)+(x-z)^2
\end{aligned}$$
をみたします. このとき $f^{16}(2)$ としてあり得る最小値を求めて下さい. ただし, 正整数 $n$ に対し $f^{n}$ は $f$ の $n$ 回合成です. すなわち $f^1(x)=f(x),\\, f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))$ です. |
OMC053 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/tasks/1414 | E | OMC053(E) | 700 | 4 | 11 | [
{
"content": " 三角形 $ABC$ の内心を $Z$, 内接円を $O^{\\prime}$ とする. 有名事実として $D$ は三角形 $ABC$ の角 $A$ 内の傍接円が $BC$ と接する点である.また, $E$ から $BC$ におろした垂線の足を $P$ とすると, $AB-AC=BP-CP$ より $P$ は $O^{\\prime}$ が $BC$ と接する点であり, 有名事実として $E$ は内接円において $P$ の対蹠点となる. 特に $O^{\\prime}$ は $FG$ と接するから, 円 $O$ 上に $RFG$ の内接円が $O^{\\prime}$ となるような点 $R... | 外接円を $O$ とする鋭角三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ が, 線分 $AD$ 上に点 $E$ があり, $E$ を通り $BC$ に平行な直線を $m$ とします. $m$ と $O$ の劣弧 $AB,AC$ の交点をそれぞれ $F,G$ とし, 劣弧 $BC$ 上に点 $H$ をとると, $FGH$ は鋭角三角形となりました. さらに $AB,BC$ と $FH$ の交点をそれぞれ $I,J$, $AC,BC$ と $GH$ の交点をそれぞれ $K,L$ とすると, 三角形 $HJL$ の周長は $494$ で, 三角形 $BIJ$ の周長は三角形 $CKL$ の周長より $154$ 長く, 加えて
$... |
OMC053 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/tasks/1446 | F | OMC053(F) | 700 | 0 | 4 | [
{
"content": " 一回で移動できる正整数の組に有向辺を張ると, 以下のようなグラフを得る (自己辺や多重辺は適当に除去).\r\n\r\n\r\n $50000005000000$ は三角数であるから, 上から $10^7$ 段のみ考えればよい. 辺の傾きは $3$ 種類存在するが, 最短経路として適するものでは高々 $2$ 種類しか用いない. このうち,対称性より横向きの辺を使わず, 上から下へ向かうものを数えればよい. このとき, 下から $n$ 段目のある固定された数から... | 数直線上の正整数 $a$ の位置にいるsimasima君は, 正整数 $b$ の位置にいるPCT君に会いたいです.\
simasima君が位置 $x$ にいるとき, 以下の $6$ 条件のうち $1$ つ以上をみたす**正整数**の位置に一回で移動できます：
- $x+1$
- $x-1$
- $x$ **未満**で最大の三角数 $y$ について, $2y-x+2$ ($x=1$ では考えない)
- $x$ **以下**で最大の三角数 $z$ について, $2z-x+1$
- $x$ **以上**で最小の三角数 $s$ について, $2s-x+1$
- 上と同じ $s$ について, $2s-x+2$
こ... |
OMC053 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/tasks/216 | G | OMC053(G) | 900 | 3 | 10 | [
{
"content": " $k\\equiv 2\\pmod 4$ より $x^k+y^k$ が $x^2+y^2$ で割り切れることに留意すれば, LTEの補題より\r\n$$n=v_{p}(x^k+y^k)=v_{p}(x^2+y^2)+v_{p}(k\\/2)$$\r\nしたがって特に $x^k+y^k\\leq k\\/2\\times (x^2+y^2)$ であり, このとき $k=2$ が必要であることが容易にわかる.\\\r\n ここでwell-known factとして $p\\equiv 1 \\pmod 4$ であり, さらに $x^2+y^2=p^n$ をみたす正整数 $x\\leq y$ ... | 正の整数の組 $(k,n,p,x,y)$ は以下の条件をみたします.
- $k$ は $4$ で割って $2$ 余る
- $n\leq 2^{1000}$
- $p$ は $3\leq p\leq 19$ なる素数
- $x\leq y$
- $x^k+y^k=p^n$
このような組すべてについて $xy$ の**総積**を考え, これが $2$ で割り切れる回数を $Q$ とします.\
$Q$ を $2^{998}-1$ で割った余りを $R$ としたとき, $(2^{998}-1)-R$ を求めてください. |
OMC052 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/tasks/1726 | A | OMC052(A) | 100 | 177 | 185 | [
{
"content": " $\\angle{BCP}=108^\\circ-67^{\\circ}=\\angle PAB$ より, 三角形 $ABP$ と $CBP$ は合同であることがわかる. よって求める角度は $108^\\circ\\/2=\\textbf{54}^\\circ$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/editorial/1726"
}
] | 正五角形 $ABCDE$ の内部に点 $P$ があり, 度数法で $\angle{PAB}=41^{\circ}$ および $\angle{PCD}=67^{\circ}$ をみたします. このとき, $\angle PBC$ の大きさを度数法で求めてください. |
OMC052 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/tasks/2066 | B | OMC052(B) | 200 | 183 | 188 | [
{
"content": " 適当にボタンを押すことで新たに追加できるそうめんつゆの最大量は, その時点で容器に入っているそうめんつゆの量に対して単調に増加する. したがって, ある時点で容器に入ったそうめんつゆの量を $a\\\\,\\textrm{ml}$ とすると, $a+40\\gt 1.1a$ すなわち $a\\lt 400$ のときは赤いボタンを, そうでないときは緑のボタンを押すのが最善の戦略となる\\\r\n つまり, 初めに赤いボタンを $10$ 回続けて押してから緑のボタンを $5$ 回続けて押した状況を考えればよく,\r\n$$\\displaystyle [N]=\\left[(40\\ti... | Masa君は**そうめんつゆサーバー**を使って $1\\,\textrm{L}$ の空の容器にそうめんつゆを入れようとしています. そうめんつゆサーバーには $40\textrm{ml}$ のそうめんつゆを容器に追加する赤いボタンと, 容器に既に入っている量の $0.1$ 倍の量のそうめんつゆを追加する緑のボタンがあります. Masa君が合計で $15$ 回ボタンを押すとき, 容器に入れられるそうめんつゆの最大値は実数 $N$ によって $N\textrm{ml}$ と表せるので, $N$ 以下の最大の整数を求めてください. |
OMC052 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/tasks/1837 | C | OMC052(C) | 300 | 117 | 162 | [
{
"content": " 正方形の面に $8$ 以下が書き込まれることは無いから, 正方形の面にはちょうど $2$ 種類の数が書き込まれている. ここで $5$ および $7$ が書き込まれた面が同じ正方形の面に隣接しているとき, 明らかに正方形の面には $3$ 種類以上の数が書き込まれることに留意すれば, 適当に三角形の各面に文字を割り振ることで, 条件は以下のように表現できる：\r\n$$X=abc=ade=cdf,\\quad Y=abe=bcf=def$$\r\nここで $X,Y$ は $\\textrm{lcm}(1,2,3,4,6,8)=24$ の倍数であり, $XY=abcdef=2\\times ... | **立方八面体**とは, 立方体の各頂点について以下の操作を行うことで得られる立体です：
- 各頂点について, それを端点とする $3$ 辺の中点を通る平面を考え, これに沿って頂点側を切り落とす.
Masa君は立方八面体のサイコロに数を書き込みたいです. 彼はまず正三角形の面に $1$ から $8$ までの整数を一つずつ書き込み, それぞれの正方形の面に隣接する正三角形の面に書き込まれた $4$ 数の積を書き込みました. すると, サイコロにはちょうど $10$ 種類の整数が書き込まれていました. 書き込まれる整数としてあり得る最大値を求めてください. |
OMC052 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/tasks/1901 | D | OMC052(D) | 300 | 45 | 86 | [
{
"content": " $X={}\\_{2021}\\mathrm{C}\\_{5}$ とおき, ${}\\_{2021}\\mathrm{C}\\_{6}=336X$ に留意する. 条件は $3$ つの排反な事象に分類される：\r\n\r\n- まず, 反時計回りに $6$ 点 $ABCDEF$ をとり, 対角線 $AD,BE,CF$ を引く方法は $336X$ 通りである.\r\n- 次に, 反時計回りに $6$ 点 $ABCDEF$ をとり, 対角線 $AD,BF,CE$ を引く方法は $1008X$ 通りである.\r\n- 最後に, 反時計回りに $5$ 点 $ABCDE$ をとり, 対角線 $AC,... | 正 $2021$ 角形を $6$ 個以上の領域に分割する対角線 $3$ 本の引き方は $N$ 通りあります. $\dfrac{N}{{}\_{2021}\mathrm{C}\_{5}}$ を求めてください.\
ただし, 正 $2021$ 角形の頂点はすべて区別して考えるものとします. |
OMC052 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/tasks/1902 | E | OMC052(E) | 400 | 22 | 45 | [
{
"content": " $x=2^j$ とおくと $f(\\log_2x)$ は $x$ の $99$ 次式となり, 条件よりそれらの根は $2^0,2^1,\\cdots,2^{98}$ である. すなわち, \r\n$$f(j)=a_{99}(2^j-2^0)(2^j-2^1)\\cdots(2^j-2^{98})$$\r\nこれより, $f(100)$ について以下のように変形できる：\r\n$$\\frac{f(100)}{f(99)}=2^{98}\\times\\frac{2^{100}-2^0}{2^{99}-2^{98}}=2^{100}-1$$\r\nよって, $f(100)=99(2^{10... | $a_0,a_1,\cdots,a_{99}$ を実数とし, 非負整数 $j$ に対して定義される関数 $f$ を
$$f(j)=\sum_{i=0}^{99} a_i2^{ij}$$
で定めると, 以下が成立しました. このとき, $\log_2{f(100)}$ の整数部分を解答してください.
$$f(0)=f(1)=\cdots=f(98)=0,\quad f(99)=99$$ |
OMC052 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/tasks/2067 | F | OMC052(F) | 400 | 28 | 59 | [
{
"content": " $B$ に関して $E$ と対称な点を $F$ とすれば, $D,E,F$ は $A$ を中心とする同一円周上にあり, $CD$ はこれに接する. したがって, 正整数 $a,b$ を用いて $BE=a, CE=b$ と表せば, 方べきの定理より\r\n$$b(2a+b)=CE\\times CF=CD^2=2^{20}\\times 3^2$$\r\nしたがって, $b$ としてあり得るものは $2^{20}\\times 3^{2}$ の約数であるような $2^{10}\\times 3$ 未満の偶数であり,\r\n$$2^{11}\\lt 2^{10}\\times 3\\lt 2... | $\angle B,\angle D$ がともに直角である凸四角形 $ABCD$ は, $AB\lt AD$ および $CD=3\times 2^{10}$ をみたします. ここで辺 $BC$ 上に $AD=AE$ なる点 $E$ をとると, $BE,CE$ の長さはともに正整数値となりました.\
このとき, $CE$ の長さとしてあり得る値の総和を求めてください. |
OMC051 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/tasks/307 | A | OMC051(A) | 100 | 189 | 194 | [
{
"content": " ペナルティも含めた最終的な時間はそれぞれ $60+6n$ 分, $75.5+3n$ 分, $98+n$ 分と表せる. したがって\r\n$$60+6n\\geq 75.5+3n,\\ \\ 98+n\\geq 75.5+3n$$\r\nを解けばよく, これより $n=6,7,8,9,10,11$ を得る. 特にこれらの総和は $\\textbf{51}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/307"
}
] | あるOMC上のコンテストがこのコンテストと同じルールで開催されました. $A$ 君, $B$ 君, $C$ 君の $3$ 人がSolverとして参加し, 最終的に全員が時間内に全問でCAを出しました. さらに, WAを出した回数はそれぞれ $6$ 回, $3$ 回, $1$ 回で, 最後にCAを出すまでの経過時間はそれぞれ $60$ 分ちょうど, $75$ 分 $30$ 秒, $98$ 分ちょうどでした.\
$B$ 君は競技システムのHackに成功したので, このコンテストのペナルティを任意の正整数 $n$ について $n$ 分に設定できるようになりました. このとき, $B$ 君が $3$ 人の中でトップ(同率でも良い) に... |
OMC051 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/tasks/308 | B | OMC051(B) | 300 | 128 | 167 | [
{
"content": " $s=x+y, t=x-y$ とおけば, 操作によって $s,t$ はそれぞれ独立に等確率に $\\pm1$ されるものと思える. このとき, $st=2021$ となる確率を求めればよい. 対称性より $(s,t)=(43,47)$ に到達する場合のみ考えればよい. このとき $s$ は $57$ 回のうち $50$ 回で $+1$, $t$ は $57$ 回のうち $52$ 回で $+1$ される必要があるから, そのような確率は以下で与えられる. 特に, 全体で求める確率はこれの $4$ 倍である.\r\n$$\\frac{{}\\_{57}\\mathrm{C}\\_{50}}... | 聖火リレーの最終ランナーであるるさ君は, いま座標平面の原点におり, 以下の行動を $57$ 回続けて行います：
- それぞれ $U,D,L,R$ と書かれた $4$ 枚のカードから $1$ 枚を引き, 引いたカードに書かれた文字が $U$ ならば $y$ 座標を $+1$ , $D$ ならば $y$ 座標を $-1$ , $R$ ならば $x$ 座標を $+1$ , $L$ ならば $x$ 座標を $-1$ した場所に移動する.
$57$ 回の行動の後, 曲線 $x^2-y^2=2021$ 上にいればるさ君は聖火台へ点火することができます.\
どのカードが引かれる確率も同様に確からしいものとしたとき, るさ君が無... |
OMC051 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/tasks/310 | C | OMC051(C) | 400 | 81 | 140 | [
{
"content": " $CF=EF, \\angle CFE=108^\\circ$ より, 正五角形 $CFEGH$ をとれる. このとき, $CE=EH=FH$ より $B$ は $H$ に一致することがわかる. さらに $\\angle AEG=60^\\circ,AE=GE$ より $\\triangle AEG$ は正三角形である. よって, $G$ は三角形 $ABE$ の外心であり, $\\angle ABE=\\angle AGE\\/2=30^\\circ$ が従うから, $\\angle EBC=72^\\circ$ と併せて $\\angle ABC=\\textbf{102}^\\ci... | 凸四角形 $ABCD$ において, 辺 $BC$ の垂直二等分線と辺 $AD$ の交点を $E$, 辺 $CE$ の垂直二等分線と辺 $CD$ の交点を $F$ とすれば, 以下の条件が成り立ちました：
$$AE=BC,\ \ BE=BF,\ \ \angle CDE=96^\circ,\ \ \angle DEF=12^\circ$$
このとき, 角 $ABC$ の大きさを度数法で求めてください. |
OMC051 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/tasks/309 | D | OMC051(D) | 500 | 65 | 95 | [
{
"content": " $\\Delta$ は複数の集合に対してちょうど奇数個に属する元からなる集合を返すから, 特に結合的にであることに留意せよ.\\\r\n 以下, $S_n$ は「$n$ の約数 $x$ であって $n\\/x$ が平方因子をもたないもの」全体からなる集合であることを帰納法で示す. ある正整数 $n\\geq 2$ について, $n$ 未満で成立を仮定し, $n$ での成立を示せばよい. $n$ 自身および $n$ の約数でない数については明らかである. $n$ の約数 $x\\lt n$ が上の条件をみたすとき, 任意の $x$ で割り切れる $n$ の約数 $d\\lt n$ について... | 二つの集合 $A, B$ に対し $A, B$ のちょうど一方のみに含まれる要素全体の集合を $A \Delta B$ で表します. 厳密には
$$A\Delta B=(A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B)$$
です. このとき, それぞれ正整数からなる有限集合 $S_1,S_2,\cdots$ が, 任意の整数 $i\geq 2$ に対し以下をみたしました：
- $i$ のすべての正の約数を $d_1\lt d_2\lt \cdots\lt d_n$ とすれば, $(\cdots((S_{d_1} \Delta S_{d_2}) \Delta S_{d_3})\cd... |
OMC051 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/tasks/311 | E | OMC051(E) | 600 | 21 | 41 | [
{
"content": "**解法1.** 与式を利用して適当に加減を行うことで, 多項式\r\n$$P(x)=x(x-1)(x-2)(x-333)(x-335)\\cdots (x-2021)$$\r\nについて以下が成立する.\r\n$$ S=\\sum_{k=0}^{2021} P(k)a_k = -(334!)\\times(2021-334)!\\times a_{334}$$\r\nしたがって, 求める $m$ は結局 $334!\\times(2021-334)!$ が $5$ で割り切れる回数 $\\textbf{500}$ である.\r\n\r\n**解法2.** 与式を利用して適当に加減を行う... | ある数列 $A=\\{a_0,a_1,\cdots,a_{2021}\\}$ について, 以下の条件が成立しました. ただし, $0^0=1$ とします.
$$ \sum_{k=0}^{2021} k^{i}a_{k}= \begin{cases}
0 & (i=0,1,\cdots,2020) \\\\
S\neq 0 & (i=2021)
\end{cases}$$
特に $S$ が整数 $m,n$ を用いて $S=5^m \times n\times a_{334}$ と表せるとき, $m$ としてあり得る最大の値を求めて下さい. |
OMC051 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/tasks/312 | F | OMC051(F) | 700 | 1 | 28 | [
{
"content": " スコアを最大化する $X$ について考える．ある整数 $a$ を十進法表記したとき $a = \\overline{a_1a_2 \\cdots a_{2021}}$ と表せるとする. さらに $b_i = 9 - a_i$ とすれば，$a \\in X$ となるための必要十分条件は $\\oplus$ を排他的論理和として\r\n$$b_1 \\oplus b_2 \\oplus \\cdots \\oplus b_{2021} = 0 \\tag{1}$$\r\nとなることを示す．スコアの定義より，$S$ の元を大きい方から順に見て，$X$ の元となり得るものを貪欲に選択していくのが... | $S = \\{0, 1, 2, \ldots,10^{2021}-1\\}$ とし，$S$ の部分集合 $\\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$ に対しその**スコア**を以下で定めます：
$$2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_n}$$
以下の条件をみたす $S$ の部分集合 $X$ であって，そのスコアが最大になるものは一意に存在することが保証されます．その元の個数を素数 $1009$ で割った余りを求めてください．
- 任意の $a,b \in X$ に対して，$a,b$ の十進法表記で各桁を比較すると，ちょうど $2020$ ヵ所が一致することはない．
... |
OMC卬高杯2 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/tasks/2127 | A | OMC卬高杯2(A) | 200 | 37 | 45 | [
{
"content": " $2$ 点 $(x_s,y_s,z_s), (x_t,y_t,z_t)$ に対し, これらを $33:4$ に内部する点\r\n$$\\left(\\dfrac{4x_s+33x_t}{37},\\dfrac{4y_s+33y_t}{37},\\dfrac{4z_s+33z_t}{37}\\right)\\$$\r\nが格子点となる条件は, $2$ 点の座標が $37$ を法として一致することだから, 求める最小値は $37^3+1=\\textbf{50654}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcont... | $xyz$ 空間内に相異なる $k$ 個 ($k\geq2$) の格子点 $P_1,P_2,\cdots,P_k$ をとります. $1\leq i \lt j \leq k$ なる整数の組 $(i,j)$ すべてに対して, 線分 $P_iP_j$ を $33:4$ に内分する点をとり, これらの点の集合を $N$ とします. $P_1,P_2,\cdots,P_k$ のとり方によらず, $N$ に格子点が含まれるような $k$ の最小値を求めてください. |
OMC卬高杯2 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/tasks/2126 | B | OMC卬高杯2(B) | 300 | 34 | 38 | [
{
"content": "$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=1}^{2032}a_{4k-3}=a_{1}+a_{5}+\\cdots+a_{8125}=A\\\\\\\\\r\n\\sum_{k=1}^{2032}a_{4k-2}=a_{2}+a_{6}+\\cdots+a_{8126}=B\\\\\\\\\r\n\\sum_{k=1}^{2032}a_{4k-1}=a_{3}+a_{7}+\\cdots+a_{8127}=C\\\\\\\\\r\n\\sum_{k=1}^{2032}a_{4k}=a_{4}+a_{8}+\\cdots+a_{8128}=D\\\\\\\\\r\n\\... | 実数 $a_1,a_2,\cdots,a_{8128}$ は $1\leq n\leq 8126$ なる任意の整数 $n$ に対して $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ をみたします.
$$\begin{aligned} x&=a_1-a_3+\cdots +a_{8125}-a_{8127}\\\\ y&=a_2-a_4+\cdots+a_{8126}-a_{8128}\end{aligned}$$
とするとき, $a_1+a_2+\cdots+a_{8128}$ は整数 $a,b$ を用いて $ax+by$ と常に表せるので, $|a+b|$ を解答してください. |
OMC卬高杯2 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/tasks/2201 | C | OMC卬高杯2(C) | 400 | 38 | 42 | [
{
"content": " $n$ を素因数分解して $n={p_1}^{\\alpha_1}{p_2}^{\\alpha_2}\\cdots{p_m}^{\\alpha_m}$ とすれば, 与式は\r\n$$\\dfrac{n}{{(T(n^2)})^2}=\\dfrac{{p_1}^{\\alpha_1}{p_2}^{\\alpha_2}\\cdots{p_m}^{\\alpha_m}}\r\n{\\left\\\\{\r\n(2{\\alpha_1}+1)(2{\\alpha_2}+1)\\cdots(2{\\alpha_m}+1)\r\n\\right\\\\}^2\r\n}$$\r\nここで ${f_p}... | 正整数 $n$ に対し, $T(n)$ で $n$ のもつ正の約数の個数を表します. このとき,
$$\dfrac{n}{(T(n^2))^2}$$
のとりえる最小値は, 互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC卬高杯2 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/tasks/2196 | D | OMC卬高杯2(D) | 500 | 12 | 16 | [
{
"content": " 正整数 $k$ に対して, 以下が $n$ に関する恒等式になるような実数 $b_1,\\cdots,b_k$ を考える.\r\n$$n^k={b_1}\\cdot{\\_n}\\mathrm{C}\\_1+{b_2}\\cdot{\\_n}\\mathrm{C}\\_2+\\cdots+{b_{k-1}}\\cdot{\\_n}\\mathrm{C}\\_{k-1}+{b_k}\\cdot{\\_n}\\mathrm{C}\\_k\r\n$$\r\nそのうち添え字の偶奇が $k$ と一致するものの和を $C(k)$ とし, そうでないものの和を $D(k)$ とすると,\r\n$$\r... | 任意の正整数 $k$ に対して,
$$kn^k={a_1}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_1+{a_2}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_2+\cdots+{a_{k-1}}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{k-1}+{a_k}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_k
$$
が正整数 $n$ に関する恒等式となるような実数 $a_1,\cdots,a_k$ が一意に定まります. このとき, $a_1,\cdots,a_k$ のうち添え字の偶奇が $k$ と一致するものの和を $A(k)$ とし, そうでないものの和を $B(k)$ として, 以下の値を求めてください.
$$\sum_... |
OMC卬高杯2 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/tasks/2205 | E | OMC卬高杯2(E) | 700 | 5 | 16 | [
{
"content": " $n=2^{2020}$ とする. 総和が奇数の条件を無視すれば ${\\_{4n}}\\mathrm{C}\\_{2n}$ 通りである. このうち, すべてが偶数かつ $a_{2i-1}=a_{2i}$ をみたすもの ${\\_{2n}}\\mathrm{C}\\_{n}$ 通りを除き, 総和が偶数のものと奇数のものが一対一に対応することを確認しよう. 実際に, 条件「$a_{2i-1}=a_{2i}$ かつこれらが偶数である」をみたさない最小の $i$ をとれば, 以下のように対応が得られる.\r\n\r\n- $a_{2i-1}$ が奇数のとき, $a_{2i-1} \\longm... | 総和が奇数である整数の組 $0\leq a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_{2^{2021}}\leq 2^{2021}$ は $M$ 通りあります. $M$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください. |
OMC卬高杯2 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/tasks/2202 | F | OMC卬高杯2(F) | 900 | 0 | 3 | [
{
"content": " 以下の両補題を有名事実として認める：\r\n\r\n----\r\n**補題1.** 内心を $I$ とする三角形 $ABC$ において, $AB,AC$ に接し同時に $\\Gamma$ に内接する円を $C_A$ とし, $C_A$ と $AB,AC$ の接点をそれぞれ $X,Y$ とする.このとき, $3$ 点 $X,I,Y$ は同一直線上にある.\r\n\r\n----\r\n**補題2.** 角 $A$ 内の傍心を $I_A$ とする三角形 $ABC$ において, $AB,AC$ に接し同時に $\\Gamma$ に外接する円を $D_A$ とし, $D_A$ と $AB,A... | 内接円を $\omega$, 角 $A$ の傍接円を $\omega_A$, 外接円を $\Gamma$ とする三角形 $ABC$ において, $\omega$, $\omega_A$, $\Gamma$ すべてに接する円 $\gamma$ を考えます. ただし $\omega$ が $\gamma$ に内接するものとします. $\gamma$ の半径が $20$ であり, $AC-AB=21$ が成り立っているとき, $\omega$, $\omega_A$ の半径をそれぞれ $r$,$r_A$ として, $\dfrac{r_A}{r}$ のとりえる最小値を求めてください. ただし, 解答すべき値は正整数 $a,b,c,d$ ... |
OMC050 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/tasks/1802 | A | OMC050(A) | 200 | 183 | 191 | [
{
"content": " 解と係数の関係より,\r\n$$x+y+z=-111,\\quad xy+yz+zx=222,\\quad xyz=-333$$\r\nであることに留意すれば, 求める値は\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\frac{y+z}{x}+\\frac{z+x}{y}+\\frac{x+y}{z}&=\\left(\\frac{x+y+z}{x}-1\\right)+\\left(\\frac{x+y+z}{y}-1\\right)+\\left(\\frac{x+y+z}{z}-1\\right)\\\\\\\\\r\n&=(x+y+z)\\left(\\frac{1}{... | $t$ についての三次方程式
$$t^3+111t^2+222t+333=0$$
の $3$ つの複素数解を $t=x,y,z$ とするとき, 以下の式の値を求めてください：
$$\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}$$ |
OMC050 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/tasks/251 | B | OMC050(B) | 300 | 117 | 152 | [
{
"content": " 中点連結定理より $PQRS$ は平行四辺形であり, 条件の共点を $T$ とすればこれはその中心である. $DT$ と $PQ$ が平行であることより $D$ は $QR$ の中点であり, すなわち $BC$ の中点である. このとき, 三角形 $ABC$ における中線定理より $AD^2=31\\/4$ であるから, 三角形 $TQR$ における中線定理より\r\n$$PR^2+QS^2=4(QT^2+RT^2)=8(DT^2+DQ^2)=\\dfrac{1}{2}(AD^2+BC^2)=\\dfrac{707}{8}$$\r\n特に解答すべき値は $\\textbf{715}$ で... | 三角形 $ABC$ および辺 $BC$ 上の点 $D$ について, 線分 $AB,BD,DC,CA$ の中点をそれぞれ $P,Q,R,S$ とすれば, $AD,PR,QS$ は一点で交わりました. $AB=6,BC=13,CA=8$ であるとき, $PR^2+QS^2$ を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC050 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/tasks/1943 | C | OMC050(C) | 300 | 102 | 129 | [
{
"content": " 正六角形の頂点に最も近い正三角形 (図の黄色) の埋め方を考えれば順次周りから埋まり, 両端の $2$ 通りのみが適する. これによって, 一辺の長さが $2$ 小さい場合に帰着されるから, 求めるべき場合の数は $2^{20\\/2}=\\bm{1024}$ 通りである.\r\n",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/editorial/... | 一辺の長さが $20$ の正六角形が, 以下の要領で一辺の長さが $1$ の正三角形に分割されています. また, 一辺の長さが $1$ の正三角形 $4$ つを以下のように組み合わせた**タイル**が無数にあります. 正六角形を隙間や重複なくタイルで敷き詰める方法は何通りありますか？ただし, 回転したり裏返したりして一致するものも異なるものとして数えます.
 |
OMC050 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/tasks/282 | D | OMC050(D) | 400 | 92 | 150 | [
{
"content": " $f$ は整数値のみをとることから, 以下の不等式と $f(10^6)=111222$ を併せればその最大値は $111222$ である.\r\n$$f(n)\\leq \\dfrac{111222444888}{n}\\times\\dfrac{n}{10^6}=111222.444888$$\r\nしたがって, 以下 $f(n)=111222$ なる $n$ について考えればよい. $111222=2\\times3^2\\times37\\times 167$ に留意せよ.\\\r\n このとき $m=[n\\/10^6](\\leq 111222)$ について, $m$ は $1... | 正整数に対して定義される関数 $f$ は, 任意の正整数 $n$ に対して以下をみたします：
$$f(n)=\biggl[\dfrac{111222444888}{n}\biggr]\biggl[\dfrac{n}{10^6}\biggr]$$
このとき, $f(n)$ が最大値をとるような正整数 $n$ はいくつありますか？\
ただし, 実数 $x$ に対し $[x]$ で $x$ を超えない最大の整数を表します. |
OMC050 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/tasks/1583 | E | OMC050(E) | 500 | 39 | 61 | [
{
"content": " $ABD$ および $BCD$ にそれぞれ余弦定理を適用して $BD^2$ を $2$ 通りに表現することで $AD=7$ を得る. このとき $XAD$ と $XCB$ は相似比 $1:2$ の関係にあることから, $XA=15,XD=13$ を容易に得る.\\\r\n ここで $\\Gamma,\\Omega_{B},\\Omega_{C}$ の中心をそれぞれ $O,O_B,O_C$, $XB$ の中点を $M$, $\\Gamma$ における $B$ の対蹠点を $B^\\prime$ とすれば, $O_B$ は $BX$ の垂直二等分線と $BO$ の交点であり, $\\angl... | $AB=11,BC=14,CD=17,\angle C=60^\circ$ なる四角形 $ABCD$ が円 $\Gamma$ に内接しています. $2$ 直線 $AB,CD$ の交点 $X$ を通り, それぞれ点 $B,C$ で $\Gamma$ に接する円を $\Omega_{B},\Omega_{C}$ とすれば, それらの半径比は互いに素な正整数 $a,b$ によって $a:b$ と表されます. $a+b$ を解答してください. |
OMC050 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/tasks/1752 | F | OMC050(F) | 500 | 24 | 78 | [
{
"content": " $\\alpha=\\cos\\theta_0 +2$ なる実数 $2\\pi\\/3\\leq\\theta_0\\leq\\pi$ が一意に存在することに留意する. さらに $x_n=\\cos\\theta+2$ について,\r\n$$\\begin{aligned}\r\nx_{n+1}=2(\\cos\\theta+2)^2-8(\\cos\\theta+2)+9=2\\cos^2\\theta+1=\\cos2\\theta+2\r\n\\end{aligned}$$\r\nしたがって, $\\cos2^{10}\\theta_0=\\cos\\theta_0$ なる $\\... | $1$ 以上 $3\/2$ 以下の実数 $\alpha$ であって, 以下で定まる実数列 $\\{x_n\\}$ が $x_{10}=x_0$ をみたすものはいくつありますか？
$$\begin{aligned}
x_0=\alpha,\quad x_{n+1}=2x_n^2-8x_n+9\quad (n=0,1,\cdots)
\end{aligned}$$ |
OMC卬高杯1 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/tasks/2125 | A | OMC卬高杯1(A) | 100 | 94 | 96 | [
{
"content": " $AB=3a$ とすれば, 図1および図3について斜線部の周長はそれぞれ $30a,50a$ であり, 解答すべき値は $\\textbf{8}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/editorial/2125"
}
] | 静高生のBirdy君は, 次に示す方法で図3のような静岡高校の校章を描くことにしました.
- 正五角形 $ACEGI$ から図1の十角形 $ABCDEFGHIJ$ を作る.
- 辺 $AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IJ, JA$ をそれぞれ $3$ 等分する点をとる.
- 図2のように, それらの点を通る正五角形を $2$ つ作る.
このとき, 図1の斜線部分の周の長さと図3の斜線部分の周の長さの比は, 互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $a:b$ と表せるので, $a+b$ を解答して下さい.
 | 300 | 62 | 79 | [
{
"content": " $(A_s,A_t,A_u)$ を固定し, その総和への寄与を考えることで, 以下の成立が容易にわかる.\r\n$$M=\\binom{2021}{3}\\times\\binom{2021}{3}\\times 2018!=\\dfrac{1}{6^2}\\times 2019\\times 2020\\times 2021\\times 2021!$$\r\nLegendreの定理より, これが $2$ で割り切れる回数は $\\textbf{2013}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest... | $(1,2,\cdots,2021)$ の置換として得られる組 $(A_1,A_2,\cdots,A_{2021})$ すべてに対し, 以下の値の総和を $M$ とします.
- $s\lt t\lt u$ かつ $A_s\gt A_t\gt A_u$ なる組 $(s,t,u)$ の個数
このとき, $M$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください. |
OMC卬高杯1 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/tasks/1365 | C | OMC卬高杯1(C) | 300 | 60 | 72 | [
{
"content": " $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$ とおけば, 条件を整理することで以下を得る：\r\n$$ r-2q+3p=4,\\quad r-3q+8p=20,\\quad r-4q+15p=54 $$\r\nこれを解くと $p=9,q=29,r=35$ を得る. 同様に $f(4)$ においても分母を払えば\r\n$$f(4)(r-4q+16p-64)=4(q-8p+48)$$\r\nこれより $|f(4)|=|-20|=\\textbf{20}$ を得る.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.... | いずれも $1,2,3,4$ でない複素数 $x,y,z$ について,
$$f(k)=\dfrac{k}{x-k}+\dfrac{k}{y-k}+\dfrac{k}{z-k}$$
とおくと, $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$ が成立しました. このとき, $|f(4)|$ を求めてください. |
OMC卬高杯1 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/tasks/2194 | D | OMC卬高杯1(D) | 400 | 56 | 61 | [
{
"content": " ${\\dfrac{1}{s_i}+\\dfrac{1}{s_{2021-i}}=1}$ を変形して $(s_i-1)(s_{2021-i}-1)=1$ を得るから,\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{i=1}^{2021}\\dfrac{1}{{s_i}^3-3{s_i}^2+3{s_i}}&=\\sum_{i=1}^{2021}\\dfrac{1}{(s_i-1)^3+1}\\\\\\\\\r\n&=1+\\sum_{i=1}^{1010}\\left(\\frac{1}{(s_i-1)^3+1}+\\frac{1}{(s_{2021-i... | $s_i=\dfrac{2021}{i}$ について, 以下の総和を求めてください：
$$\displaystyle\sum_{i=1}^{2021}\frac{1}{{s_i}^3-3{s_i}^2+3{s_i}}$$ |
OMC卬高杯1 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/tasks/2142 | E | OMC卬高杯1(E) | 400 | 32 | 50 | [
{
"content": " 任意の人について, 組み換えによらず属するグループの偶奇は一定であるから, 条件ははじめあなたが奇数個のグループに属することである. すなわち, ${\\_{2021}}\\mathrm{C}\\_{m}$ が奇数となる $0\\leq m\\leq2021$ の個数を数えればよい. これはLucasの定理より $m$ と $2021$ の論理積が $m$ に一致することと同値で, $2021_{(10)}=11111100101_{(2)}$ より $2^8=\\textbf{256}$ 個である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://o... | $n$ を $1$ 以上 $2022$ 以下の整数とします. $2021$ 人の人とあなたがおり, 何人かからなる**グループ**がいくつか存在します. はじめ, グループはすべて $n$ 人からなり, 逆に任意の $n$ 人から構成されるグループがちょうど一つ存在します.\
いま, これらのグループについて, グループが一つになるまで以下の要領で組み換えを行います.
- 適当なグループ $A\neq B$ を選び, それぞれを解消する.
- $A$ と $B$ のちょうど一方に属していた人からなるグループを新しく作る.
組み換えの方法によらず, 最後に残ったグループにあなたが含まれているような $n$ はい... |
OMC卬高杯1 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/tasks/2130 | F | OMC卬高杯1(F) | 700 | 4 | 16 | [
{
"content": " $\\triangle{ABC}$ の周長を $S$ とすると, 以下が容易に分かるから, $A$ と $BC$ の距離を求めればよい.\r\n$$S_BS_C=\\dfrac{S}{2}-AD$$\r\n辺 $AB,AC$ の中点を $M,N$ とし, $F_B,F_C$ の中心をそれぞれ $O_B,O_C$ とする. 直線 $MN$ と直線 $O_BB,O_CC$ の交点をそれぞれ $Q,R$ とし, $B$ から $AO_B$ に下ろした垂線の足を $H$ とする.\\\r\n $4$ 点 $B,O_B,S_B,H$ は $BO_B$ を直径とする円周上にあるから, 簡単な角度計算... | $AB=4,AC=5$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に点 $D$ をとり, 三角形 $ABD$ の角 $BAD$ 内の傍接円を $F_B$, 三角形 $ACD$ の角 $CAD$ 内の傍接円を $F_C$ とします. また, $F_B$ と $BC,AD$ の接点をそれぞれ $S_B,T_B$, 同様に $F_C$ と $BC,AD$ の接点をそれぞれ $S_C,T_C$ として, $S_BT_B$ と $S_CT_C$ の交点を $P$ とします. \
いま, $D$ が辺 $BC$ 上を動いたとき, $P$ はある半径 $4$ の円周上を動きました. このとき, 線分 $S_BS_C$ の長さがと... |
OMC卬高杯1 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/tasks/2150 | G | OMC卬高杯1(G) | 800 | 1 | 12 | [
{
"content": " 平面上のいくつかの点の集合について, どの $3$ 点も同一直線上になくどの $4$ 点も同一円周上にないとき, これを**整った**と呼ぶこととする. 以下, 単に**円**や**三角形**などといえば, その頂点は整った点の集合から選ばれた $3$ 点であるとする.\r\n\r\n----\r\n**補題1.** 整った $s$ 個の点に対して, 他のすべての点を内部に含む円が存在する. つまり $M=s-3$ である.\\\r\n**証明.** $s$ 個の点の凸包を $P_1\\cdots P_k$ とし, $\\angle{P_1P_3P_2},\\cdots,\\angle{... | 平面上に $1000$ 個の点があり, どの $3$ 点も同一直線上になく, どの $4$ 点も同一円周上にありません. ここから $3$ 点を選ぶ方法であって, それらを通る円の内部 (周上を含まない) にちょうど $k$ 個の点を含むようなものの個数を $f(k)$ で表します. いま, $3$ 点を通る円が内部に含むことのできる点の個数の最大値を $M$ とすると, $f(M)=500$ が成立しました. このとき, 以下のとりえる最大値を求めてください.
$$f(1)+2f(2)+\cdots+(M-1)f(M-1)+Mf(M)$$ |
OMC049 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/tasks/1544 | A | OMC049(A) | 100 | 225 | 227 | [
{
"content": " 凸多角形の外角の和は $360$ 度であるから, 正しさは $5$ 以上になり得ない.\\\r\n 逆に長方形の正しさは $\\textbf{4}$ であるから, これが求める最大値である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/editorial/1544"
}
] | 凸多角形に対して, その内角のうち直角であるものの数をその**正しさ**と定義します.\
正しさのとり得る最大の値はいくつですか？ |
OMC049 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/tasks/220 | B | OMC049(B) | 200 | 191 | 216 | [
{
"content": " 与式は $(ab-1)(c+d-1)=10$ と変形される.\r\n\r\n- $(ab,c+d)=(2,11)$ のとき, $2\\times10=20$ 通り.\r\n- $(ab,c+d)=(3,6)$ のとき, $2\\times5=10$ 通り.\r\n- $(ab,c+d)=(6,3)$ のとき, $4\\times2=8$ 通り.\r\n- $(ab,c+d)=(11,2)$ のとき, $2\\times1=2$ 通り.\r\n\r\n以上より求める組の数は $\\textbf{40}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "http... | 以下をみたす正整数の順序付いた組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか？
$$abc+abd=ab+c+d+9$$ |
OMC049 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/tasks/221 | C | OMC049(C) | 200 | 125 | 182 | [
{
"content": " $a+b+c+d=19$ なる整数 $0\\leq a,b,c,d\\leq 9$ の組を数え上げればよい.\r\n\r\n**解法1.** $(a+b,c+d)=(1,18)$ なるものは $2\\times1=2$ 通り, $(a+b,c+d)=(2,17)$ なるものは $3\\times2=6$ 通りあり, 同様にこれを $(18,1)$ まで考えることで求める場合の数は\r\n$$2\\times 1+3\\times2+\\cdots+10\\times 9+9\\times 10+\\cdots+1\\times 2=\\textbf{660}$$\r\n\r\n**解法2... | 十進法で各位の和が $19$ であるような $9999$ 以下の正整数はいくつありますか？ |
OMC049 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/tasks/1506 | D | OMC049(D) | 300 | 101 | 136 | [
{
"content": " 定義から $\\\\{3x^2\\\\}$ は常に $0$ 以上 $1$ 未満であるから,\r\n$$\\frac{3}{2}\\lt \\left\\lfloor\\frac{1}{2}x\\right\\rfloor\\le\\frac{5}{2} \\implies \\left\\lfloor\\frac{1}{2}x\\right\\rfloor=2$$\r\nすなわち $4\\le x\\lt 6$ である. ここで $\\\\{3x^2\\\\}=3x^2-m$ ($m=48,\\cdots,107$) とおけば,\r\n$$ \\\\{3x^2\\\\}+\\left\... | 次の方程式の実数解の**平方の総和**を求めてください：
$$ \\{3x^2\\}+\left\lfloor\frac{1}{2}x\right\rfloor=\frac{5}{2}$$
ただし実数 $a$ に対して, $\lfloor a\rfloor$ で $a$ を超えない最大の整数を表し、$\\{a\\}$ で $a-\lfloor a\rfloor$ を表すものとします. |
OMC049 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/tasks/1269 | E | OMC049(E) | 300 | 123 | 147 | [
{
"content": " $ACR$ が正三角形となるような点 $R(\\neq B)$ について, $AQ$ と $CR$ の交点を $S$ とすれば, $ABP$ と $ACS$ は合同であり, かつ $AR$ と $CQ$ は平行であるから, $AR:CQ=RS:SC=10:11$ を得る. 特に $CQ=\\dfrac{231}{10}$ であるから, 解答すべき値は $\\textbf{241}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/editorial/1269"
... | 一辺 $21$ の正三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に点 $P$ が, 辺 $BC$ の $C$ 側への延長線上に点 $Q$ があり, $BP=11$ および $\angle BAP=\angle CAQ$ をみたしています. このとき, $CQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC049 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/tasks/1437 | F | OMC049(F) | 400 | 83 | 122 | [
{
"content": " 経路によって分割される $2$ 領域のうち, 上側に含まれるマスの個数を $x$ とすれば, $x$ としてあり得る値は\r\n$$x=0,2,5,8,17,20,23,25$$\r\nあとは各 $x$ について, 以下の条件をみたす組 $(a,b,c,d,e)$ の個数 $p(x)$ を求めればよい.\r\n\r\n- すべて $0$ 以上 $5$ 以下の整数である.\r\n- $a\\leq b\\leq c\\leq d\\leq e$\r\n- $a+b+c+d+e=x$\r\n\r\nここで $a,b,c,d,e$ は各行について上側の領域に属するマスの個数に対応する.\\\r... | $5\times 5$ のマス目において, 左下の点から右上の点まで辺上を最短で移動する (すなわち $10$ 本の辺を通る) ような経路のうち, 以下の条件をみたすものはいくつありますか？
- 経路によってマス目が分割されてできた $2$ 領域について, それぞれ含まれるマスの個数の差 (の絶対値) が合成数である.
ただし, マス目が $0$ マスおよび $25$ マスへ分割される場合も,「$2$ 領域に分割される」とみなすものとします.\
ここで, 合成数とは $2$ 以上の素数でない整数を指します. |
OMC048 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/tasks/1613 | A | OMC048(A) | 300 | 148 | 183 | [
{
"content": "**解法1.** 与方程式は $x=0$ を解に持たないから, $20x^{2020}=1-\\dfrac{21}{x}$ とすれば, 解の逆数和を求めればよい. ここで,\r\n$$21y^{2021}-y^{2020}+20=y^{2021}\\left(20\\left(\\frac{1}{y}\\right)^{2021}-\\dfrac{1}{y}+21\\right)=0$$\r\nは, 与方程式のそれぞれの解 $x=X$ に対して $y=1\\/X$ を解にもつ方程式であるから, 解と係数の関係より与方程式の解の逆数和は $1\\/21$ であり, 特に求める総和は $(20... | $x$ の方程式 $20x^{2021}-x+21=0$ の（重複を込めて）$2021$ 個の複素数解すべてについて，それぞれの $2020$ 乗の総和を求めてください． |
OMC048 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/tasks/1615 | B | OMC048(B) | 400 | 93 | 157 | [
{
"content": " $105$ 以下の正整数は, $3,5,7$ で割った余りをそれぞれ定めることで一意に定まることに留意せよ.\\\r\n $S$ において, $3,5,7$ の倍数はそれぞれ高々一つであるから, いずれの倍数でもない元について考える. これらについて, $3,5,7$ で割った余りは高々 $1,2,3$ 通りであるから, $N\\leq 3+1\\times 2\\times 3=9$ が従う.\\\r\n 以下, $N=9$ なる良い集合を数え上げる. 例えば $7$ で割った余りについて, $(1,6),(2,5),(3,4)$ の各ペアから一つずつを選択することになる. また, 例... | 集合 $\\{1,2,3,\cdots,105\\}$ の $2$ 元以上からなる部分集合について, どの相異なる $2$ 元についてもその和が $105$ と互いに素であるとき, これを**良い**集合と呼びます. 良い集合の要素数としてあり得る最大値を $N$ としたとき, $N$ 元からなる良い集合はいくつありますか？ |
OMC048 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/tasks/288 | C | OMC048(C) | 500 | 72 | 125 | [
{
"content": " $39305$ 秒後までに $X$ が $k$ 回移動する確率は ${}\\_{39305}\\textrm{C}\\_{k}\\/2^{39305}$ であるから, 求める確率 $P$ は\r\n$$P=\\dfrac{1}{2^{39305}}\\left({}\\_{39305}\\textrm{C}\\_{0}+{}\\_{39305}\\textrm{C}\\_{4}+\\cdots+{}\\_{39305}\\textrm{C}\\_{39304}\\right)$$\r\nところで, 二項定理より以下の四式がそれぞれ成立する：\r\n$$\\begin{alignedat}... | 正方形のある頂点に一つの粒子 $X$ があり, ちょうど $1$ 秒経つごとに $50\\%$ の確率で時計回りに隣の頂点に移動し, 残りの $50\\%$ の確率で移動しない性質をもちます. $X$ が $39305.5$ 秒後に元と同じ頂点にいる確率は, 互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されます. $a$ のもつ最小の素因数と, $a$ がそれで割り切れる最大の回数の**積**を求めてください. \
なお, 粒子は (連続的ではなく) 瞬間的に移動するものとします. |
OMC048 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/tasks/1611 | D | OMC048(D) | 600 | 69 | 81 | [
{
"content": " 漸化式より以下が従うから, $\\alpha^2+\\beta^2=1$ である.\r\n$$a_{n+1}^2+b_{n+1}^2=(\\alpha^2+\\beta^2)(a_n^2+b_n^2)$$\r\nすなわち, ある $\\theta$ によって $(\\alpha,\\beta)=(\\cos\\theta,\\sin\\theta)$ とおけ, ある $\\theta_n$ によって\r\n$$(a_n,b_n)=5\\sqrt{26}(\\cos\\theta_n,\\sin\\theta_n)$$\r\nと表せば $\\theta_{n+1}\\equiv\\thet... | 私 natu_math の誕生日は $2004$ 年 $5$ 月 $25$ 日です. ところで, 実数 $\alpha,\beta$ に対し,
$$(a_0,b_0)=(5,25),\quad a_{n+1}=\alpha a_{n}-\beta b_{n},\quad b_{n+1}=\beta a_{n}+\alpha b_{n}\quad (n=0,1,\cdots)$$
によって数列 $\\{a_n\\},\\{b_n\\}$ を定めると, $(a_x,b_x)=(a_0,b_0)$ なる正整数 $x$ が存在し, その最小値は $2004$ でした.\
このコンテストは $2021$ 年 $9$ 月 $30$ 日... |
OMC048 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/tasks/1933 | E | OMC048(E) | 700 | 41 | 66 | [
{
"content": " $Q(x)=(x-1)P(x)$ とおくと, 問題文の条件より以下のように表せる：\r\n$$Q(x)=\\sum^t_{i=1}x^{A_i}-\\sum^s_{i=1}x^{B_i}-8$$\r\nただし, $A_i$ および $B_i$ に重複はなく, $A_1=17$ とする. また $Q(1)=0$ より $t=s+8$ であり, このとき $Q$ と問題の前半の条件をみたす $P$ は一対一に対応する. さらに, 簡単な評価によって $P$ は $1$ を根にもたないから, 以下 $1$ 以外の有理数根をもつ $Q$ について考えればよい. 有理数根 $q$ の候補は $-1... | 整数係数の $x$ の $16$ 次多項式
$$P(x)=a_{16}x^{16}+a_{15}x^{15}+\cdots+a_1x+a_0$$
について，$a_{16} =1,~ a_0=8$ であり，$i=1,2,\ldots,16$ に対して $|a_i - a_{i-1}|\leq 1$ が成立しています．このような $P$ であって，$x$ の方程式 $P(x)=0$ が有理数解をもつものはいくつありますか？ |
OMC048 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/tasks/1609 | F | OMC048(F) | 800 | 11 | 32 | [
{
"content": " 一般に $BC=a,AC=b,AB=c,ID=r\\\\,(b\\neq c)$ として考える. ただし, 点 $I$ は $ABC$ の内心である. \\\r\n 簡単な角度計算によって $P$ は $IBC$ の垂心であることが分かるから, $PD$ は $\\omega$ の直径である. これより, 直線 $AP$ と $BC$ の交点を $S_A$ などとすれば, well-known factとして $BS_A=CD$ である. 一方で $BS_C=CS_B=a$ であるから, これらよりCevaの定理を用いて立式すれば, $3a=b+c$ が成立することが確認できる.\\\r... | $AB=18416,AC=17296$ なる三角形 $ABC$ において, 内接円を $\omega$ とし, $\omega$ 上の点 $P$ が以下をみたします：
$$\angle PBC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C,\quad \angle PCB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B$$
$\omega$ と $BC$ の接点を $D$ とし, 直線 $AD$ が $\omega$ と再び交わる点を $K$, 直線 $AD$ が三角形 $BCK$ の外接円と再び交わる点を $L$ とします. $LD=LX,\angle PXL=90^\circ$ をみたす点 $... |
OMC047 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/tasks/1995 | A | OMC047(A) | 100 | 242 | 250 | [
{
"content": " 各 $4$ 数の選び方に対し, 条件をみたす $4$ 桁の整数が $1$ つずつ対応するから, 求める値について ${}_9 \\mathrm{ C }_4=\\bf{ 126 }$ 通り.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/editorial/1995"
}
] | $1$ 以上 $9$ 以下の整数から, 相異なる $4$ つを並べて $4$ 桁の正整数を作るとき, 次の条件をみたすものはいくつありますか？
- 千の位, 百の位, 十の位, 一の位の数をそれぞれ $a,b,c,d$ としたとき, $a \lt b \lt c \lt d$ が成立する. |
OMC047 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/tasks/1836 | B | OMC047(B) | 200 | 229 | 238 | [
{
"content": " 条件より $(x+3)(y+1)=2025$ であり, 相加・相乗平均の関係より\r\n$$x+y+4\\geq 2\\sqrt{(x+3)(y+1)}=90$$\r\nを得る. 逆に $(x,y)=(42,44)$ で等号が成立するから, 求める最小値は $\\textbf{86}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/editorial/1836"
}
] | $xy+x+3y=2022$ なる正の実数 $x,y$ について, $x+y$ のとり得る最小値を求めてください. |
OMC047 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/tasks/1921 | C | OMC047(C) | 300 | 179 | 216 | [
{
"content": " 一般に $2n$ 角形で考える. 直角三角形の選択にあたって, 斜辺となる直径を固定することで, 求めるスコアの総和は\r\n$$\\begin{aligned}\r\nM&= \\displaystyle \\sum_{t=1}^n \\left(\\displaystyle \\sum_{i=1}^{2n}(i+2t+n) - (3t+n) - (3t+2n) \\right ) \\\\\\\\\r\n&=6n^3-3n^2-3n\r\n\\end{aligned}$$\r\nただし後ろの $2$ 項は, 直径の両端を $3$ 点目として選択する可能性を減じている. \r\n\r\... | ある正 $100$ 角形 $P_1P_2\cdots P_{100}$ において, $3$ 頂点を選んでできる三角形の**スコア**をそれぞれ頂点の添字番号の総和で定めます. このとき, **直角三角形**すべてについてスコアの総和を求めてください. \
ただし, 同じ三角形について, 頂点番号の順序が異なるものは区別して数えないものとします. |
OMC047 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/tasks/2018 | D | OMC047(D) | 300 | 138 | 204 | [
{
"content": " 以下の要領で, $2$ 個以下の $2$ と残りすべて $3$ という状況 ($\\textrm{mod}\\ 3$ を考えればこれは一意) に帰着できる：\r\n\r\n- $1$ を含む場合は, 適当なものに $1$ 加算する.\r\n- $2$ を $3$ 個含む場合は, これを $2$ 個の $3$ に置き換える.\r\n- $4$ を含む場合は, これを $2$ 個の $2$ に置き換える.\r\n- $5$ 以上の整数 $a$ を含む場合はこれを $2,a-2$ に置き換える.\r\n\r\nしたがって, $2021=2+3\\times 673$ より $M=2\\time... | 総和が $2021$ である**相異なるとは限らない**いくつかの正整数に対して，その総積としてあり得る最大値を $M$ とします．$M$ を素因数分解したとき，指数の総和を求めてください．例えば $2\times5^{20}\times 7^{21}$ ならば $42$ を解答してください． |
OMC047 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/tasks/1960 | E | OMC047(E) | 400 | 47 | 126 | [
{
"content": " $\\angle CDP$ の二等分線と $CP$ の交点を $Q$ とすると, $CQ:QP=10:7$ である. また\r\n$$\\angle QDC=\\angle BDC\\/2=\\angle BAC\\/2=\\angle ACB=\\angle ADB$$\r\nおよび $\\angle QCD=\\angle ACD=\\angle ABD$ より三角形 $ABD$ と $QCD$ は相似であるから $AD:DQ=7:5$ である. これは $AP:PQ$ に等しいから, 以上より以下の比を得る.\r\n$$AP:PQ:QC=49:35:50$$\r\nよって方べきの定... | 円に内接する四角形 $ABCD$ において, 対角線の交点を $P$ としたところ, 以下の条件が成立しました：
$$BP=PD=7,\quad CD=10,\quad \angle BAC=2\angle ACB$$
このとき, $CP$ の長さの $2$ 乗を求めてください. |
OMC047 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/tasks/2015 | F | OMC047(D2) | 500 | 75 | 138 | [
{
"content": " いくつかの正整数を小さい順に $a_1,a_2,\\cdots,a_n$ とする. まず, 以下の自明な不等式に注意する：\r\n$$m\\gt n+1 \\implies (m-1)(n+1)\\gt mn$$\r\nこれを繰り返し利用すれば $a_1$ 以上 $a_n$ 以下の正整数において, 登場しないものは高々 $1$ つとしてよいことがわかる. また, 先問と同様にして (ただし大小関係を崩さないよう注意する) $a_1=2$ または $a_1=3$ であるとしてよい. \\\r\n なお, $a_1=4$ については $(4,a_2)\\to(2,2,a_2)\\to(2,... | 総和が $2021$ である**相異なる**いくつかの正整数に対して，その総積としてあり得る最大値を $M$ とします．$M$ は $2$ で最大何回割り切れますか？ |
OMC046 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/tasks/1815 | A | OMC046(A) | 100 | 240 | 241 | [
{
"content": " 以下に点の位置関係を示す. 線分 $EF$ で分割して考えると，四角形 $AEFD$ および $BEFC$ は平行四辺形であり, 三角形 $EFG,EFH$ はそれぞれの $1\\/4$ にあたる. よって, 求める $ABCD$ の面積は $7\\times4=\\textbf{28}$ である． \r\n\r\n",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests... | 平行四辺形 $ABCD$ において, 辺 $AB,CD$ の中点をそれぞれ $E,F$ とし, 線分 $AF$ と $DE$ の交点を $G$, $BF$ と $CE$ の交点を $H$とすると, 四角形 $EGFH$ の面積は $7$ でした. このとき, $ABCD$ の面積を求めてください. |
OMC046 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/tasks/1370 | B | OMC046(B) | 300 | 150 | 229 | [
{
"content": " $n=500$ とし, 一般に $2n\\times 2n$ のマス目に $2n^2-1$ 個の石を条件をみたすように置くことを考える. 各行には高々 $n$ 個しか石を置けないことから, ある $k$ について上から $k$ 行目に $n-1$ 個, 残りの $2n-1$ 行に $n$ 個の石を置くしかない. 対称性より $k\\leq n$ の場合を考えて $2$ 倍すればよい.\\\r\n ここで, マス目全体を白黒の市松模様に塗り分けることを考えよう. このとき $k$ 行目以下の石はすべて同じ色のマスに置かれている. 一般性を失わずこれが黒色である場合のみを考えて $2$ 倍... | $1000\times 1000$ のマス目上に, 以下の条件をみたすように $499999$ 個の石を置く方法は何通りありますか？
- 各マスに置かれた石は高々 $1$ 個である.
- 互いに隣り合う任意の $2$ マスの組について, その両方に石が置かれていることはない. |
OMC046 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/tasks/1816 | C | OMC046(C) | 300 | 120 | 164 | [
{
"content": " $xa$ 平面で考えると, 放物線 $x^2-2x-a-3=0$ と領域 $x^2-4x+a^2-5\\leq0$ が共有点をもつ $a$ の範囲を求めれば良い．2式を連立させて解くと, 境界の交点として\r\n$$(x,a)=(-1,0),(2,-3),\\left(\\dfrac{3\\pm\\sqrt{17}}{2},\\dfrac{1\\pm\\sqrt{17}}{2}\\right)$$\r\n(復号同順) が得られるため, グラフを書くと以下のようになることがわかる：\r\n\r\n と表せるので, $s+t+u$ を解答してください. |
OMC046 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/tasks/1817 | D | OMC046(D) | 400 | 142 | 192 | [
{
"content": " 一般に $N=500$ とし, まず点 $(0,0,0)$ から移動を繰り返して点 $(2N,2N,2N)$ まで到達する方法を考える. $y$ 座標の変化に着目すると，移動 $A$ と移動 $B$ を合わせてちょうど $2N$ 回行う必要がある. 同様にして, 結局はそれぞれの移動を $N$ 回ずつ行う必要があることがわかる. したがって, この問題は次のように言い換えることができる.\r\n\r\n- 記号 $A,B,C$ がそれぞれ $N$ 個ずつある. これらを一列に並べる方法のうち, 異なる記号同士が隣り合っている箇所がちょうど $4$ 箇所であるようなものは何通りか？\r\n... | $xyz$ 空間において, 点 $(0,0,0)$ から次のいずれかの移動を繰り返して点 $(1000,1000,1000)$ まで到達する移動経路を考えます. このような移動経路のうち, 直前と異なる移動方法を用いる回数がちょうど $4$ 回となるようなものは何通りありますか？
- 移動 $A$ : $(x,y,z)$ から $(x+1,y+1,z)$ に移動する.
- 移動 $B$ : $(x,y,z)$ から $(x,y+1,z+1)$ に移動する.
- 移動 $C$ : $(x,y,z)$ から $(x+1,y,z+1)$ に移動する.
例えば, $AAABBCAABBB$ と移動したとき, 直前と異なる... |
OMC046 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/tasks/1819 | E | OMC046(E) | 500 | 70 | 98 | [
{
"content": " $x,y,z$ はいずれも $0$ でないことが容易に分かる. 上式を変形することで以下を得る.\r\n$$x^2y^2z^2-2xyz(x+y+z)+x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=102^2$$\r\n一方で, 下式を変形することで以下を得る.\r\n$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)-2(xy+yz+zx)+1=91^2$$\r\nこれらを辺々足し合わせることで, 以下を得る.\r\n$$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=5\\times 37\\times 101=(2^2+1)(6^2+1)(10^2+1)$$\r\n... | 以下をみたす整数の順序付いた組 $(x,y,z)$ すべてについて, $x+y+z$ の総和を求めてください.
$$\begin{cases}xyz=x+y+z+102\\\\xy+yz+zx=92\end{cases}$$ |
OMC046 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/tasks/1407 | F | OMC046(F) | 600 | 12 | 55 | [
{
"content": " $90^\\circ+\\angle BAC\\/2=\\angle BIC=180^\\circ-\\angle BAC$ より $\\angle BAC=60^\\circ$ である. このとき正弦定理より $BC=18$ であり, $AB=x,AC=y$ とおけば余弦定理より $x^2-xy+y^2=18^2$ である. また $\\angle DAI=30^\\circ$ であるから, 三角形 $ADI$ に対する正弦定理より $DI=2\\sqrt{3}$ である.\\\r\n ここで, 角の二等分線定理より $AE:EC=x:18$ および $DI:IC=x:(y+18)$ ... | 内心を $I$ とする三角形 $ABC$ において, その外接円の半径は $6\sqrt{3}$ です. また, $AB$ と $CI$ の交点を $D$, $AC$ と $BI$ の交点を $E$ とすると, $4$ 点 $A,D,E,I$ は半径 $2\sqrt{3}$ の円周上にありました. このとき, 正整数 $p,q$ によって $AB+AC=p+\sqrt{q}$ と表せるので, $p+q$ の値を解答してください.\
ただし, $XY$ で線分 $XY$ の長さを表します. |
OMC045 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/tasks/239 | A | OMC045(A) | 100 | 186 | 252 | [
{
"content": " 二つの解を $pi$ および $qi$ とすれば, $p,q$ は $x$ の二次方程式\r\n$$(x-4)^2=16-n$$\r\nの $2$ 解である. したがって, これが相異なる二つの実数解をもつことが必要十分条件で, これは $n\\lt 16$ と同値である. 以上より, 求める総和は $1+2+\\cdots+15=\\textbf{120}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/239"
}
] | $n$ を正の整数，$i$ を虚数単位とします．$z$ についての二次方程式
$$z^2-8iz=n$$
が $2$ つの相異なる純虚数の解を持つとき，$n$ としてありうる値の総和を求めてください．ただし，ここでは**純虚数**とは，$0$ でない実数 $a$ によって $ai$ と表される数をさすものとします． |
OMC045 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/tasks/1371 | B | OMC045(B) | 200 | 192 | 211 | [
{
"content": " $\\ell$ を固定して, $f$ を与える光源の位置を $A_M$, $g$ を与える光源の位置を $A_m$, 棒の上端を $B$, $R$ から鉛直方向に高さ $30$ メートルの点（壁の上端）を $C$, 点 $A_m$ に光源を置いたときに $W$ に映る点 $B$ の影の位置を $K$ とする. 点 $A_M$ に光源を置いたときに $W$ に映る点 $B$ の影の位置は $R$ であるから, 棒の長さによらず三角形 $A_MA_mB$ と $RKB$ は相似であり, これより以下のように評価できる. 逆に明らかに等号は実現可能で, これが求める最大値である.\r\n$$... | 水平な地面上に $3$ 点 $P,Q,R$ が同一直線上にこの順に並んでおり, $PQ,QR$ 間の距離はそれぞれ $16$ メートル, $24$ メートルです. また, 点 $R$ を通り直線 $PQ$ に垂直な, 高さ $30$ メートル・長さ無限の壁 $W$ が立っています.\
いま, 点 $P$ から鉛直方向に高さ $x$ メートル ($x\geq0$) の地点に点光源を置き, 点 $Q$ に鉛直な長さ $\ell$ メートル ($\ell\gt 0$) の棒を立てます. この棒の上端部分の点光源による影が, $W$ に映るような $x$ の最大値を $f(\ell)$, 最小値を $g(\ell)$ とするとき, $... |
OMC045 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/tasks/241 | C | OMC045(C) | 200 | 153 | 212 | [
{
"content": " 求める総和を $S$ とすれば, 以下の等式が成立することが容易にわかる.\r\n$$\\left(\\sum_{n=1}^{10}n\\right)^3=6S+3\\left(\\sum_{n=1}^{10}n\\right)\\left(\\sum_{n=1}^{10}n^2\\right)-2\\sum_{n=1}^{10}n^3$$\r\nこれより, $S=\\textbf{18150}$ と計算できる.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editoria... | $1$ 以上 $10$ 以下の整数から相異なる $3$ つを選ぶことを考えます. そのような選び方すべてについて, $3$ 数の積の総和を求めてください. |
OMC045 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/tasks/255 | D | OMC045(D) | 300 | 138 | 191 | [
{
"content": " $a\\leq c\\leq a$ がわかるから, 特に等号が成立する. すなわち条件は \r\n$$b\\leq d\\leq 1000-a$$\r\nここで $a$ を固定し, $k=1000-a$ とおきなおせば, 組 $(b,d)$ としてあり得るものは $\\dfrac{k^2+k}{2}$ 個であることが容易にわかるから, 求める場合の数は\r\n$$ \\sum_{k=1}^{999}\\dfrac{k^2+k}{2}=\\dfrac{999\\times1000\\times1001}{6}=\\textbf{166666500}$$",
"text": "公式解... | 以下の不等式を満たす正整数の組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか？
$$a+b\leq b+c\leq c+d\leq d+a\leq1000$$ |
OMC045 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/tasks/1694 | E | OMC045(E) | 400 | 45 | 88 | [
{
"content": " $(1+x)^n(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{3n}$ について, 両辺で $x^n$ の係数を比較することで以下を得る：\r\n$$\\sum_{p+q+r=n}\\binom{n}{p}\\binom{n}{q}\\binom{n}{r}=\\binom{3n}{n}$$\r\n一方で, 以下の等式が成立することがわかる：\r\n$$\\frac{1}{p!q!r!(p+q)!(q+r)!(r+p)!}=\\frac{1}{(10!)^3}\\binom{10}{p}\\binom{10}{q}\\binom{10}{r}$$\r\nしたがって, $S$ について以下の... | $p+q+r=10$ なる非負整数の組 $(p,q,r)$ すべてについて, 以下の値の総和を $S$ とします.
$$\frac{1}{p!q!r!(p+q)!(q+r)!(r+p)!}$$
$S$ を既約分数に表現したとき, その分子となる正整数を解答してください. |
OMC045 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/tasks/295 | F | OMC045(F) | 400 | 85 | 96 | [
{
"content": " $\\angle AXC=90^\\circ$ より点 $X$ は正方形 $ABCD$ の外接円の劣弧 $AB$ 上を動く. これより\r\n$$\\angle AXD=\\angle ABD=45^\\circ=\\angle AXZ$$\r\nであるから $D,Z,X$ は同一直線上にあり, さらに $A$ と $Y$ はこの直線に関して対称である. したがって,\r\n\r\n- $DA=DY$ より, 点 $Y$ は $D$ を中心とし $A,C$ を通る円の劣弧 $AC$ 上 (曲線 $K$ とする) を動く.\r\n- $\\angle AZD=135^\\circ$ より... | 面積 $2021$ の正方形 $ABCD$ があり, $4$ 点 $P,X,Y,Z$ が以下の条件をみたします.
- $P$ は辺 $AB$ 上にある.
- $X$ と $Y$ は直線 $CP$ 上にあり, $3$ 点 $C,Y,X$ はこの順に並ぶ.
- 四角形 $AXYZ$ は正方形である.
$P$ が辺 $AB$ 上を動くとき, 線分 $XZ$ の通過する領域と線分 $YZ$ の通過する領域の共通部分の面積を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC044 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/tasks/1 | A | OMC044(A) | 200 | 219 | 230 | [
{
"content": " ある点について, 距離が $1$ 以上の点が少なくとも $3$ つ存在すると, 条件よりこれらの $3$ 点の間の距離はいずれも $1$ 未満であるが, このときこれら $3$ 点からなる三角形は条件をみたさない. したがって, 各点について距離が $1$ 以上の点は高々 $2$ つであり, 同様にして各点について距離が $1$ 以下の点も高々 $2$ つであるから, これは $n\\leq 5$ を表す. 逆に正五角形を考えることで $n=5$ が適することがわかるから, 求める最大値は $\\textbf{5}$ である.",
"text": "公式解説",
"url... | 次の条件をみたす平面上の相異なる $n$ 点が存在するような, 正整数 $n$ の最大値を求めてください：
- 任意の $3$ 点のなす三角形について, 長さが $1$ より大きい辺と $1$ より小さい辺がともに存在する. |
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