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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
OMC044 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/tasks/1895 | B | OMC044(B) | 300 | 195 | 222 | [
{
"content": " 半直線 $AB$ 上に点 $P$ を $\\angle APC=2\\angle C$ となるようにとり, $Q$ を直線 $AH$ と直線 $PC$ の交点とすると,\r\n$$AP=AC,\\quad AH=HQ$$\r\nが成立する. これより, メネラウスの定理を使うと\r\n$$\\dfrac{BH}{HC}=\\dfrac{2BP}{AP}-1=\\dfrac{AC-2AB}{AC}=\\dfrac{21}{2021}$$\r\nを得るから, 求めるべき値は $a+b=21+2021=\\textbf{2042}$ である. なお, 三角関数を使って解くこともできる.",
... | 三角形 $ABC$ は $AB:AC=1000:2021$ および $\angle ABC=3\angle ACB$ をみたします. $A$ から直線 $BC$ におろした垂線の足を $H$ とするとき, $\dfrac{BH}{HC}$ を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC044 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/tasks/1983 | C | OMC044(C) | 400 | 56 | 144 | [
{
"content": " 二項定理, $2^{p-1}\\equiv 1\\pmod p$ (Fermatの小定理), $2^{p^2-p}\\equiv 1\\pmod{p^2}$ (Eulerの定理) より, $p^2$ を法として\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=0}^{p-1} (kp+2)^{kp+2} &\\equiv \\sum_{k=0}^{p-1} \\left({}\\_{kp+2}{\\rm C}\\_1\\times kp\\times 2^{kp+1}+2^{kp+2}\\right) \\\\\\\\\r\n&\\equiv \\sum\\_{k=0... | 素数 $p=10^9+7$ について, $\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} (kp+2)^{kp+2}$ を $p^2$ で割ったあまりを $a$ としたとき, $p^2-a$ を求めてください. |
OMC044 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/tasks/1894 | D | OMC044(D) | 500 | 44 | 152 | [
{
"content": " 求める最小値は $1\\/12$ であることを示す. 例えば以下の場合を考えることで $c\\geq 1\\/12$ がわかる. $$ (x,y,z)=\\left(\\frac{3+\\sqrt{3}}{6},\\frac{3-\\sqrt{3}}{6},0 \\right) $$\r\n $x=y=z=0$ のとき, 不等式は常に成立するから, 以下 $x+y+z\\gt 0$ とする. このとき, 与式は斉次式であることに留意すれば, $x+y+z=1$ の場合に帰着してよい. すなわち, 以下を最大化すればよい.\r\n$$ x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z) ... | 任意の非負実数の組 $(x,y,z)$ について, 以下の不等式が成り立つような定数 $c$ の最小値を求めてください：
$$ c(x+y+z)^5\geq x^4(y+z)+y^4(z+x)+z^4(x+y) $$
ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC044 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/tasks/1890 | E | OMC044(E) | 600 | 3 | 13 | [
{
"content": " 直線 $BC$ に対し $A$ と反対側に, 以下をみたす点 $X$ をとると, $XB=XC=9$ である.\r\n$$\\cos\\angle XBC=\\cos\\angle XCB=\\dfrac{8}{9}$$\r\nさらに, 接弦定理より三角形 $ABP$ の外接円と直線 $XB$, 三角形 $AQC$ の外接円と直線 $XC$ はそれぞれ接するから, $X$ は三角形 $ABP$ の外接円および三角形 $AQC$ の外接円の根軸上にある. すなわち $A,R,X$ は同一直線にある.\\\r\n よって, $RX=x, AB=y$ とおくと, $\\triangle XBE... | $BC=16$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に以下をみたす点 $P, Q$ をとりました.
$$\cos\angle BAP=\cos\angle CAQ=\frac{8}{9}$$
このとき, 三角形 $ABP$ の外接円と三角形 $ACQ$ の外接円は, $A$ でない三角形 $ABC$ の内部の点 $R$ で交わり,
$$AR=12,\quad BR=7$$
が成立しました. $AB$ の長さを求めてください. ただし, 求める値は正の整数 $a,b,c,d$ (ここで $b$ は平方因子を持たず, $a,c,d$ の最大公約数は $1$ ) を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}+c}... |
OMC044 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/tasks/1891 | F | OMC044(F) | 700 | 13 | 34 | [
{
"content": " すべての辺が青く塗られた三角形を**青い三角形**などと呼ぶこととする. ある塗り方について, そのスコアは\r\n$$(青い三角形の組の個数)+(赤い三角形の組の個数)-2\\times(青い三角形と赤い三角形のペアの個数)$$\r\nここで, **青い三角形の組**は順序付いた $2$ つの青い三角形の組を指し, 同じ三角形 $2$ つの選択を許容するものとする.\\\r\n ここで, 色を考えず三角形 $2$ つを選択したとき, これが辺を共有していないならば色の選択によって上式の各項の寄与が打ち消されることがわかる. 一方で, 辺を共有しているならば (一致を含む), これらが同... | 正 $2021$ 角形 $P$ があり, その頂点のうち $2$ つを結ぶ $2041210$ 本の線分が, それぞれ赤または青で塗られています. それぞれの塗り方について, その**スコア**を, $P$ の頂点を結んでできるすべての辺が赤い三角形の個数と, $P$ の頂点を結んでできるすべての辺が青い三角形の個数の差の $2$ 乗として定めます. 線分の塗り方すべてについて, スコアの(相加)平均を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC043 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/tasks/1264 | A | OMC043(A) | 100 | 211 | 214 | [
{
"content": "**解法1.** $B,C$ を固定して $AH$ の長さを最大化する問題と等価である. このとき, $A$ は $BC$ を直径とする円周上を動き, $AH$ すなわち $A$ から $BC$ への距離のとりうる最大値は明らかに $BC\\/2$ である.\\\r\n したがって, 元の問題において求める最小値は $18$ である.\r\n\r\n**解法2.** $\\triangle ABH$ と $\\triangle CAH$ の相似より ${AH}^2=BH\\times CH$ が成立するから, 相加・相乗平均の関係より \r\n$$BC = BH + CH \\ge 2 \... | 角 $A$ が直角であるような三角形 $ABC$ において, $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると, $AH=9$ が成り立ちました. このとき, $BC$ の長さとしてあり得る最小値を求めてください. |
OMC043 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/tasks/197 | B | OMC043(B) | 200 | 150 | 197 | [
{
"content": " 最初に表が出たとき, 次は必ず裏であることに留意すれば, 以下の漸化式を容易に得る.\r\n$$p_{n}=\\dfrac{1}{2}p_{n-1}+\\dfrac{1}{4}p_{n-2}$$\r\n特に $q_{n}=2^{n}p_{n}$ はFibonacci数列をなす. $q_1=2,q_2=3$ から計算すれば,\r\n$$\\cdots\\gt p_{11}=\\dfrac{233}{2048}\\gt 0.1\\gt p_{12}=\\dfrac{377}{4096}\\gt\\cdots$$\r\nより, 求める最小値は $\\textbf{12}$ である.",
... | 表と裏が等確率に出るコインを $n$ 回投げ, 一度も表が連続して出ない確率を $P_n$ とします.\
$P_n\leq 0.1$ をみたす最小の正整数 $n$ を求めてください. |
OMC043 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/tasks/1705 | C | OMC043(C) | 300 | 133 | 164 | [
{
"content": " $C$ が極小値をとる点は $(1,-2)$, 変曲点は $(0,0)$ である. それぞれでの $C$ の接線は $y=-2,y=-3x$ であり, これらは点 $(2\\/3,-2)$ で交わることに留意する. まず $C$ と $\\ell_1$ で囲まれた領域の面積について\r\n$$\\int_{-2}^{1}((x^3-3x)-(-2))dx=\\int_{-2}^{1}(x+2)(x-1)^2dx=\\dfrac{(1-(-2))^4}{12}=\\dfrac{27}{4}$$\r\n一方で, これの $\\ell_2$ に関する分割について, $(1,-2)$ を含む方の... | 曲線 $C:y=x^3-3x$ について, 極小値をとる唯一の点における接線を $\ell_1$, 唯一の変曲点における接線を $\ell_2$ とします. $C$ と $\ell_1$ で囲まれた領域を $\ell_2$ で分割したとき、$2$ つの領域の面積比は互いに素な正整数 $a,b$ によって $a:b$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. ただし, **変曲点**とは曲線の凹凸が切り替わる境目の点を指します. |
OMC043 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/tasks/218 | D | OMC043(D) | 400 | 32 | 82 | [
{
"content": " $10^i$ の位 $(i=0,\\cdots,19)$ が $t$ であるような $10^{20}-1$ 以下の正整数の総和を $S(t,i)$ とおくと,\r\n$$\\begin{aligned}\r\n S(t,i) &= (0+1+\\cdots+9)(1+10+\\cdots+10^{i-1}+10^{i+1}+\\cdots+10^{19})\\times 10^{18}+10^{i}t\\times 10^{19} \\\\\\\\ \r\n &= 45\\left(\\frac{1}{9}(10^{20}-1)-10^i\\right)\\times 10^{18}+1... | 正の整数 $n$ について, その十進法での各位の和を $f(n)$ で表すとき, 以下を求めてください.
$$\displaystyle f\Biggl(\sum^{10^{20}-1}_{n=1} nf(n)\Biggr)$$ |
OMC042 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/tasks/1699 | A | OMC042(A) | 100 | 219 | 250 | [
{
"content": " $2$ 回用いる文字が $2$ 個あるか, $3$ 回用いる文字が $1$ 個あるかのいずれかである.\\\r\n 前者のとき, 例えば $A,A,C,C,G,N$ の並び替えは $6\\times5\\times_4\\mathrm{C}_2=180$ 通りであり, $2$ 回用いる文字の選び方が $_4\\mathrm{C}_2=6$ 通りであるので, 全体では $180\\times6=1080$通りである.\\\r\n 後者のとき, 例えば $A,A,A,C,G,N$ の並び替えは $6\\times5\\times4=120$ 通りであり, $3$ 回用いる文字の選び方が $4... | $A,C,G,N$ を横一列に計 $6$ 個並べてできる文字列はいくつありますか？\
ただし, どのアルファベットも少なくとも $1$ 回は用いるものとします. |
OMC042 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/tasks/1700 | B | OMC042(B) | 200 | 198 | 211 | [
{
"content": "$$N^3=A^3+B^3+C^3={(111\\cdots11)}^3\\times(3^3+4^3+5^3)={(111\\cdots11)}^3\\times216$$\r\nより, $N=\\overbrace{666\\cdots66}^{10^{100}-1個}$ である. したがって,\r\n$$S=6\\times(10^{100}-1)=6\\overbrace{000\\cdots00}^{100個}-6=5\\overbrace{999\\cdots99}^{99個}4$$\r\nであるから, $T=5+9\\times99+4=\\textbf{900}$ である.... | $$A=\overbrace{333\cdots33}^{10^{100}-1個},\quad B=\overbrace{444\cdots44}^{10^{100}-1個},\quad C=\overbrace{555\cdots55}^{10^{100}-1個}$$
について, $N^3=A^3+B^3+C^3$ なる整数 $N$ の各桁の和を $S$, $S$ の各桁の和を $T$ とします. $T$ を求めてください. |
OMC042 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/tasks/1789 | C | OMC042(C) | 200 | 170 | 201 | [
{
"content": "$$\\triangle LMN=\\triangle PRT=\\triangle ABC-3\\times\\triangle ATR=1-\\frac{3\\times20\\times(20+21)}{(20+21+20)^2}=\\frac{1261}{3721}$$\r\nより, 求める値は $1261+3721=\\textbf{4982}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1789"
}
] | 面積が $1$ である正三角形 $ABC$ において, 以下で $6$ 点 $P,Q,R,S,T,U$ を定め, それらを通る円 $O$ を考えます.
- 辺 $BC$ を $20:21:20$ に内分する点を順に $P,Q$ とする.
- 辺 $CA$ を $20:21:20$ に内分する点を順に $R,S$ とする.
- 辺 $AB$ を $20:21:20$ に内分する点を順に $T,U$ とする.
さらに, $O$ において劣弧 $PQ,RS,TU$ の中点をそれぞれ $L,M,N$ とします. このとき, 三角形 $LMN$ の面積は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と... |
OMC042 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/tasks/1701 | D | OMC042(D) | 400 | 182 | 206 | [
{
"content": "$$2520^3=(2^3\\times3^2\\times5\\times7)^3=2^9\\times3^6\\times5^3\\times7^3$$\r\nであるから, $a$ を $9$ 以下の非負整数, $b,c$ を $3$ 以下の非負整数として,\r\n\r\n- $2520^3$ の正の約数のうち, $3$で割って $1$ 余るものは $2^a\\times5^b\\times7^c\\ $($a,b$ の偶奇が一致) の形.\r\n- $2520^3$ の正の約数のうち, $3$で割って $2$ 余るものは $2^a\\times5^b\\times7^c\\ $($a... | $2520^3$ の正の約数のうち, $3$ で割って $1,2$ 余るものの総和をそれぞれ $S,T$ とするとき, $S-T$ を求めてください. |
OMC042 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/tasks/1790 | E | OMC042(E) | 500 | 59 | 131 | [
{
"content": " $p=33333331$ とおき, 合同式の法は以下すべて $p$ とする. Fermatの小定理より, 求めるべき総和は\r\n$$S\\equiv(1\\times2\\times3\\times4)^{-1}+(2\\times3\\times4\\times5)^{-1}+\\cdots+((p-4)(p-3)(p-2)(p-1))^{-1}$$\r\nここで, 部分分数分解の要領で以下が成立することに留意する：\r\n$$(k(k+1)(k+2)(k+3))^{-1}\\equiv3^{-1}((k(k+1)(k+2))^{-1}-((k+1)(k+2)(k+3))^{-1})... | $\displaystyle S=\sum_{k=1}^{33333327} (k(k+1)(k+2)(k+3))^{33333329}$ を素数 $33333331$ で割った余りを求めてください. |
OMC042 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/tasks/1702 | F | OMC042(F) | 600 | 42 | 76 | [
{
"content": " 以下のように文字をおけば, 条件より $a+c=100,b+d=111,ef=2468$ である.\r\n$$AB=a,\\quad BC=b,\\quad CD=c,\\quad DA=d,\\quad AC=e,\\quad BD=f$$\r\nここで $\\Gamma$ において, 劣弧 $AB$ と劣弧 $CD$ の円周角の和は直角であることなどから, $\\Gamma$ の半径を $R$ とすれば\r\n$$a^2+c^2=(2R)^2=b^2+d^2$$\r\n一方でPtolemyの定理より $ac+bd=ef$ であるから,\r\n$$8R^2=a^2+b^2+c^2+d^... | 円 $\Gamma$ に内接する四角形 $ABCD$ は, 面積が $1234$ であり, さらに以下の条件をみたします：
$$AB+CD=100,\quad BC+DA=111,\quad AC\perp BD$$
このとき $\Gamma$ の面積は, 互いに素な正の整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}\pi$ と表されます. $m+n$ を解答してください. |
OMC041 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/tasks/1578 | A | OMC041(A) | 100 | 222 | 228 | [
{
"content": " 日章の直径は $100×2\\/3×3\\/5=40\\\\,[\\text{cm}]$ であるから, 日章の面積は $20×20×π=400π\\\\,[\\text{cm}^{2}]$である。ここで $3.1415\\lt\\pi\\lt3.1416$ より $1256.6\\lt S\\lt 1256.64$ が成立するから, 解答すべき値は $\\textbf{1257}$ である。",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/editorial/1578"
}... | **国旗及び国歌に関する法律**によると, 日章旗 (現行の日本の国旗) の縦の長さは横の長さの $2\/3$ で, 日章 (国旗中央にある紅色の円) の直径は縦の長さの $3\/5$ であると定められています. この法律に従って**横の長さ**が厳密に $1\\,\text{m}$ である日章旗を作ると, 日章の部分の面積は $S\\,\text{cm}^{2}$ になります. $S$ を**小数第一位で四捨五入して**整数値で解答してください.\
ここで, 円周率 $\pi$ について $3.1415\lt \pi\lt 3.1416$ を用いても構いません. |
OMC041 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/tasks/1579 | B | OMC041(B) | 200 | 208 | 226 | [
{
"content": " 相加・相乗平均の関係より $p+q+r\\geq 3\\sqrt[3]{pqr}=147$ であり, 等号は $p=q=r=49$ でのみ成立することから, $p+q+r\\geq 148$ である. さらに $p+q+r=148$ とすると, $p,q,r$ の少なくとも一つは $2$ であり, このとき大小関係をみたさないことが容易にわかる.\\\r\n 逆に $(p,q,r)=(43,53,53)$ のとき $pqr\\geq 7^6$ かつ $p+q+r=149$ であり, 求める最小値は $\\textbf{149}$ である.",
"text": "公式解説",
... | **素数** $p,q,r$ が $pqr\geq 7^{6}$ をみたすとき, $p+q+r$ がとりうる最小値を求めてください. |
OMC041 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/tasks/1580 | C | OMC041(C) | 300 | 156 | 192 | [
{
"content": " 条件をみたす塗り方について, すべての色を反転させてもやはり条件をみたすことから, 二つ目の条件は「左端のタイルは赤色に塗られている」と置き換えてもよい. このとき, 隣り合う $2$ 枚のタイルの組 $15$ 個から任意に $4$ 個を選ぶことで, 条件をみたす塗り方がそれぞれ唯一つ定まるから, 解答すべき値は ${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{4}=\\textbf{1365}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/editorial/... | 横一列に $16$ 枚並んだタイルを, 以下の条件をみたすように赤と青の $2$ 色で塗ります：
- 隣り合う $2$ 枚のタイルの組であって, 異なる色で塗られているようなものがちょうど $4$ つある.
- 左から $7$ 枚目のタイルは赤色に塗られている.
回転や反転によって一致するような塗り方を区別するとき, あり得る塗り方は何通りありますか？ |
OMC041 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/tasks/1299 | D | OMC041(D) | 400 | 147 | 162 | [
{
"content": " 条件より, 正整数 $n$ によって $x+1\\/x=2n$ と表せば, $x=n\\pm\\sqrt{n^2-1}$ である.\\\r\n $x=n+\\sqrt{n^2-1}$ のとき, $n-1\\leq\\sqrt{n^2-1}\\lt n$ より条件は\r\n$$ (n-1)+0.08 \\leq \\sqrt{n^2-1} \\lt (n-1)+0.09 \\implies 1.0\\lt n\\lt1.9 $$\r\n $x=n-\\sqrt{n^2-1}$ のとき, 上と同様に $x\\leq 1$ がわかるから, 条件は\r\n$$n-0.09\\lt \\sqrt{... | 正の実数 $x$ が, 以下の条件をともにみたします.
- $x$ の小数部分は $0.08$ 以上 $0.09$ 未満である.
- $x+\dfrac{1}{x}$ は整数であり, 特に偶数である.
このような $x$ の総和は, 正整数 $a,b$ によって $a-\sqrt{b}$ と表されるので, $a + b$ を解答してください. |
OMC040 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/tasks/242 | A | OMC040(A) | 200 | 209 | 212 | [
{
"content": " $10^{10}$ は正の約数を $121$ 個持つ. $d$ が約数ならば $10^{10}\\/d$ も約数であり, $10^{10}$ は平方数であることに留意すれば, その正の約数の総積は $(10^{10})^{60}\\times10^{5}=10^{605}$ であり, これは $2$ で $\\textbf{605}$ 回割り切れる.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/242"
}
] | $10^{10}$ の正の約数の総積は $2$ でちょうど何回割り切れますか？ |
OMC040 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/tasks/245 | B | OMC040(B) | 300 | 65 | 195 | [
{
"content": " $P,X$ の位置ベクトルを $p,x$ などと表せば, 操作 $f_X$ は $p$ を $-p+2x$ に移す. したがって, 例えば $f_A,f_B,f_C,\\cdots$ の順に施せば $p$ は\r\n$$p\\mapsto -p+2a\\mapsto p-2a+2b\\mapsto -p+2a-2b+2c\\mapsto\\cdots$$\r\nと遷移する. これに留意すれば, 条件は各操作を奇数番目と偶数番目に一度ずつ施すことと同値である. したがって, 求める場合の数は $(5!)^2=\\textbf{14400}$ 通りである.",
"text": "公式... | 空間内に $6$ 点 $A,B,C,D,E,P$ があり. 点 $P$ を点 $X$ に関して対称に移動する操作を $f_X$ で表します.\
$f_A,f_B,f_C,f_D,f_E$ をそれぞれ $2$ 回ずつ施す方法であって, $6$ 点の配置によらず $P$ が必ず最初の位置に戻ってくるような順序は何通りありますか？ |
OMC040 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/tasks/246 | C | OMC040(C) | 400 | 134 | 155 | [
{
"content": " 対角線の交点を $E$ とすれば, $BCE$ と $CDE$ は相似な直角三角形である. したがって, $BE=x,DE=y$ とおけば $CE=\\sqrt{xy},AE=x+y-\\sqrt{xy}$ であるから, 三角形 $ADE$ において三平方の定理より\r\n$$(x+y-\\sqtt{xy})^2+y^2=(x+y)^2$$\r\nこれを整理して $y=4x$ を得る. 一方で三角形 $ABE$ に着目すれば, $AP=5x\\/3$ が容易にわかるから. $x=6$ である. 以上より, 求める面積は $AC\\times BD\\/2=\\textbf{450}$ で... | $AC=AD=BD$ なる凸四角形 $ABCD$ において, 角 $C$ は直角であり, $2$ 本の対角線は直角で交わります. 線分 $AC$ 上の点 $P$ が $AP=BP=10$ をみたすとき, $ABCD$ の面積を求めてください. |
OMC040 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/tasks/267 | D | OMC040(D) | 600 | 30 | 85 | [
{
"content": " $e=a\\/3,f=c\\/3$ とおけば, 条件は $x$ の方程式\r\n$$f(x)=x^5+ex^4+bx^3+3x^2+fx+d=0$$\r\nの複素数解の絶対値がすべて $1$ であることと同値である. ここで $f$ は奇数次であることから, (重複度込みで) 実数根を奇数個もつから, $f$ は $x\\pm1$ の一方で奇数回割れる. また虚数 $\\alpha$ が根であるとき, $\\overline \\alpha=\\alpha^{-1}$ も根であり, $f$ は\r\n$$(x-\\alpha)(x-\\overline \\alpha)=x^2-2\\m... | 整数の組 $(a,b,c,d)$ に対して, 以下の $x$ の五次方程式の複素数解はすべて絶対値が $3$ でした.
$$x^5+ax^4+9bx^3+81x^2+27cx+243d=0$$
このような組すべてに対して, 値 $a\times b\times c\times d$ の**総積**を求めてください. \
ただし, 複素数 $a+bi$ ($a,b$ は実数)の**絶対値**は $\sqrt{a^2+b^2}$ で定義されます. |
OMC040 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/tasks/253 | E | OMC040(E) | 700 | 36 | 87 | [
{
"content": " 残り $2$ 数が $p\\lt q$ であるとすると, 明らかに先に $q$ を取るべきであることに留意せよ.\\\r\n 一般に $2000$ を $2n(\\geq 4)$ とおき, $2n-2$ を先に取った方が必勝であることを示す. すなわち, $m=2n-2$ のとき $X=A$, そうでないとき $X=B$ とし, $Y$ を $X$ でない方とすれば, $X$ が必勝であることを示す. $X$ は残り $2$ 数までは以下の戦略を取るものとする.\r\n\r\n- 残りの数のうち $2n-2$ 以下で最大のものを選ぶ.\r\n\r\n(i) $Y$ が $2n-1,2n$... | $A,B$ の二人が以下のルールに基づき, $2000$ 以下の正整数一つずつを取り合うゲームを行います：
- 残り $2$ 数になるまでは, $A$ を先攻として交互に数を一つずつ選んで取る.
- 残り $2$ 数になった時点で, $A,B$ の取った $999$ 数の最大値をそれぞれ $M_A,M_B$ とする.
- $M_A\lt M_B$ ならば $A$ が, $M_A\gt M_B$ ならば $B$ が一方の数を選んで取り, もう一方が最後の一つを取る.
- 最後に $A,B$ が取った数をそれぞれ $a,b$ とする.
- $aM_A\gt bM_B$ ならば $A$ の勝ち, $aM_A\lt bM_B... |
OMC040 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/tasks/277 | F | OMC040(F) | 900 | 11 | 17 | [
{
"content": " $x$ の二次方程式 $x^2-x-N=0$ は相異なる二つの実数解をもつから, それらを $\\alpha\\gt\\beta$ とすれば, 以下が成立することがわかる. ただし, 解と係数の関係より $\\alpha+\\beta=1$ であることを用いた.\r\n$$a_n=\\dfrac{\\alpha^n-\\beta^n}{\\alpha-\\beta}$$\r\n----\r\n**補題1.** $a_{n+m}=a_{n}a_{m+1}+Na_{n-1}a_{m}$.\\\r\n**証明.** $\\alpha\\beta=-N$ に留意すれば, straightforw... | $N$ を正整数とします. 数列 $\lbrace a_n\rbrace_{n=1,2,\cdots}$ を
$$a_1=a_2=1,\ \ a_{n+2}=a_{n+1}+Na_{n}\ \ (n=1,2,\cdots)$$
で定めるとき, $a_n=p^m$ なる**合成数** $n$, **素数** $p$, $3$ **以上の整数** $m$ の組の個数を $f(N)$ とします. このとき
$$f(1)+f(2)+\cdots+f\left(\dfrac{3^{12}-1}{2}\right)$$
を求めてください. ただし, いずれも小数第 $4$ 位で四捨五入した値として, 以下が保証されます.
$$\lo... |
OMC039 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/tasks/1213 | A | OMC039(A) | 100 | 204 | 204 | [
{
"content": " 二つの総和は分解できる. すなわち \r\n$$\\sum_{i=1}^{9}\\sum_{j=1}^{9}ij=\\sum_{i=1}^{9}\\left(i\\left(\\sum_{j=1}^{9}j\\right)\\right)=\\textbf{2025}$$\r\n なお, 以下のように解釈しても良い.\r\n$$\\sum_{i=1}^{9}\\sum_{j=1}^{9}ij=\\left(\\sum_{i=1}^{9}i\\right)\\times\\left(\\sum_{j=1}^{9}j\\right)=\\textbf{2025}$$",
"text"... | 九九の表に積として現れる $81$ 個の数の総和を求めてください.\
形式的には, 以下で与えられる総和を計算してください：
$$\sum_{i=1}^{9}\sum_{j=1}^{9}ij$$ |
OMC039 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/tasks/2 | B | OMC039(B) | 200 | 179 | 198 | [
{
"content": " $A,B,C$ および $D,E,F$ はそれぞれ相異なる $3$ 色で塗られる必要がある. $A,B,C$ の塗り方を定めたとき, 適する $D,E,F$ の塗り方が $3$ 通りあり得るから, $M=3!\\times 3=\\textbf{18}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/2"
}
] | 平面上に正六角形 $ABCDEF$ があり, 点 $A$ と $C$ , 点 $D$ と $F$ がそれぞれ線分で結ばれています. 以下の条件をみたすように $6$ 頂点を白, 黒, 赤の $3$ 色で塗り分ける方法は $M$ 通りあります. $M$ を解答してください.
- 辺または線分で結ばれている $2$ 頂点は異なる色で塗る.
ただし, 回転や裏返しで一致するものも区別して数えます. |
OMC039 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/tasks/1568 | C | OMC039(C) | 300 | 144 | 170 | [
{
"content": " 三平方の定理より\r\n$$12^2=AE^2+BE^2,\\quad 13^2=CE^2+DE^2$$\r\nであるから, Cauchy–Schwarzの不等式および方べきの定理より\r\n$$12^2\\times 13^2=(AE^2+BE^2)(CE^2+DE^2)≥(AE\\times CE+BE\\times DE)^2=(2\\times AE\\times CE)^2$$\r\nこれより $AE\\times CE\\leq 78$ が成り立つ. 逆に\r\n$$AE=BE=6\\sqrt{2},\\quad CE=DE=\\cfrac{13\\sqrt{2}}{2}$$... | 円に内接する四角形 $ABCD$ において, $2$ 本の対角線は $E$ で垂直に交わります. $AB=12,CD=13$ であるとき, $AE\times CE$ のとり得る最大値を求めてください. |
OMC039 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/tasks/262 | D | OMC039(D) | 400 | 70 | 155 | [
{
"content": "**補題.** $n$ が二進法表記によって\r\n$$n=2^{a_k} +2^{a_{k-1}}+ \\dots +2^{a_2}+2^{a_1}\\ (a_{k}\\gt a_{k-1}\\gt\\cdots\\gt a_2\\gt a_1 \\geq 0)$$\r\nと表されるとき, $n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $f(n)$ は $n-k$ である.\r\n\r\n**証明.** $n=1$ のとき明らかに成立するから, 以下ある $m\\geq 2$ について $n\\lt m$ で成立を仮定し, $m=n$ で成立を示せばよい. $m$ が偶数のとき, 帰納法... | 正の整数 $n$ について, $n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数が $n-4$ であるとき, これを**良い**数と呼びます.\
$2^{100}$ 未満の良い数はいくつありますか？ |
OMC038 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/tasks/1209 | A | OMC038(A) | 100 | 214 | 223 | [
{
"content": " $3$ 本の辺を伝うのが最短である. 正二十面体の各頂点は $5$ 本の辺と接続しており, $1$ 本目の辺を固定したとき $2$ 本目の辺として選べるものは $2$ 本であるから, 求める経路は $\\textbf{10}$ 通り存在する.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/1209"
}
] | 正二十面体において, ある特定の頂点からそれと向かい合う頂点まで, 辺上を伝って最短距離で移動する方法は何通りありますか？ただし, 正二十面体のある頂点 $X$ と向かい合う頂点とは, 正二十面体の中心について $X$ と対称な点です. |
OMC038 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/tasks/1288 | B | OMC038(B) | 200 | 201 | 205 | [
{
"content": " 与不等式は, 以下のように因数分解できる.\r\n$$(x^2-2x+4)(x^2-6x+4)\\leq 0$$\r\nここで $x^2-2x+4=(x-1)^2+3$ は常に正であるから, 考えるべき不等式は結局\r\n$$x^2-6x+4\\leq 0$$\r\nこれを解いて $3-\\sqrt{5}\\leq x\\leq 3+\\sqrt{5}$ を得るから, 特に解答すべき値は $\\textbf{16}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/e... | 実数 $x$ についての不等式
$$x^4-8x^3+20x^2-32x+16\leq0$$
の解は, 正の整数 $a,b,c,d$ を用いて $a-\sqrt{b}\leq x\leq c+\sqrt{d}$ と表されます. $a+b+c+d$ を解答してください. |
OMC038 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/tasks/280 | C | OMC038(C) | 300 | 122 | 169 | [
{
"content": " 塗り分け方を無視すれば, 移動経路としてあり得るものは ${}\\_{200}\\mathrm{C}\\_{100}$ 通り存在する. このうち一つを固定したとき, それが答えに算入される回数を考えると, 経路上にある $201$ マスが白いような塗り分け方の場合の数に等しい. これは残りの $10000$ マスを任意に塗ることに他ならないから, $2^{10000}$ 通りである. すなわち, $M=2^{10000}\\times{}\\_{200}\\mathrm{C}\\_{100}$ であり, Legendreの定理よりこれが $2$ で割り切れる最大の回数は $\\tex... | $101 \times 101$ のマス目があり, 上から $i$ 行目，左から $j$ 列目のマスを $(i,j)$ と表すことにします．\
OMC君はこのマス目の各マスを白または黒で塗り分けることにしました．ただし $(1,1)$ および $(101,101)$ は常に白く塗ることとします. このような塗り分け方は全部で $2^{10199}$ 通り考えられますが, そのすべてに対してそれぞれ以下の**問題**を解き, それらの答えの総和 $M$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください：
- **問題**：CMO 君は現在マス $(1,1)$ におり, 右か下に隣り合う白いマスへの移動を繰り返してマス $... |
OMC038 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/tasks/235 | D | OMC038(D) | 400 | 83 | 118 | [
{
"content": " まず $\\Gamma_{1},\\Gamma_{2},\\Gamma_{3}$ がそれらの $3$ 中心の重心を中心とする同心円がであるとしても, 求める領域は不変であることが容易にわかる. 初めに $P_2,P_3$ を固定し $P_1$ を動かせば, $P_1P_2$ の中点は半径 $10$ の円周上を動く. さらに $P_2$ を動かせば, この軌跡の通過する領域は半径 $20.5$ の円盤から半径 $0.5$ の円盤を除いたものになる. 同様にして, 最終的に求める領域は半径 $2062\\/3$ の円盤から半径 $660$ の円盤を除いたものであることがわかり, その面積は ... | 半径をそれぞれ $20,21,2021$ とする円周 $\Gamma_{1},\Gamma_{2},\Gamma_{3}$ が平面上にあり, 互いに共有点を持たないものとします. 各円周上を任意に動く点 $P_{1},P_{2},P_{3}$ について, これらの重心 (幾何中心) の通過し得る領域の面積を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}\pi$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC038 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/tasks/233 | E | OMC038(E) | 500 | 30 | 88 | [
{
"content": " $b$ と $c$ の最大公約数を $g$ とし, $b=gp,c=gq$ とおく. このとき $a$ は $p$ で割り切れるから, その商を $k$ とおけば $d=kq$ であり, 以下をみたす正整数の組の個数を求めることに帰着される.\r\n$$kg(p^2+q^2)=29^{1000},\\ \\ p\\\\,\\text{と}\\\\,q\\\\,\\text{は互いに素}$$\r\n ここで正整数 $n$ に対し, $p^2+q^2=29^{n}$ なる互いに素な正整数の組 $(p,q)$ は常に $2$ 組であるから, 結局求める組の数は $2\\times(1+\\cd... | $ab+cd=29^{1000}$ かつ $ac=bd$ をみたす正整数の組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか？ |
OMC038 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/tasks/1453 | F | OMC038(F) | 500 | 24 | 74 | [
{
"content": " $N=10^{999}$ とおく. $(x,y-x,z-y)$ を $(x,y,z)$ と置きなおすことで, 以下の問題を解くことと等価である.\r\n\r\n- $x\\gt y+z$ かつ $3x+2y+z=60N$ をみたす**正整数**の組 $(x,y,z)$ はいくつあるか？\r\n\r\nさらにここから $z$ を消去すれば, 以下の問題を解くことと等価である.\r\n\r\n- $3x+2y\\lt 60N\\lt4x+y$ をみたす正整数の組 $(x,y)$ はいくつあるか？\r\n\r\nこれは座標平面上で以下を $3$ 頂点とする三角形領域 $S$ の内部の格子点を数... | $x\lt y\lt z\lt 2x$ かつ $x+y+z=6\times 10^{1000}$ をみたす整数の組 $(x,y,z)$ は $M$ 個あります.\
$M$ の (十進法での) 各位の数の和を求めてください. |
OMC037 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/tasks/1599 | A | OMC037(A) | 100 | 201 | 201 | [
{
"content": " 解と係数の関係より, $\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}=\\dfrac{a+b}{ab}=\\dfrac{200}{5}=\\textbf{40}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1599"
}
] | $x$ の二次方程式 $x^2-200x+5=0$ の $2$ 解を $x=a,b$ としたとき, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ を求めてください. |
OMC037 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/tasks/1601 | B | OMC037(B) | 200 | 158 | 196 | [
{
"content": " 選んだ $3$ 数が $\\\\{1,2,3\\\\},\\\\{1,1,2\\\\},\\\\{1,1,3\\\\}$ であるとき, 三角形を作ることができない. ボールをすべて区別するとき, 一つ目になる選び方は $10^3$ 通り, 二つ目および三つ目になる選び方は ${}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 10$ 通りであるから, 求める確率は\r\n$$1-\\dfrac{10^3+2\\times({}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 10)}{{}\\_{30}\\mathrm{C}\\_{3}}=\\dfrac{1... | 箱の中に $1,2,3$ と書かれた球がそれぞれ $10$ 個ずつ, 計 $30$ 個入っています. ここから $3$ つの球を同時に取り出したとき, それらに書かれた $3$ 数を三辺の長さとする非退化な三角形が作れる確率は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せます. $a+b$ を解答してください. ここで, $3$ 頂点が同一直線上にないような三角形を**非退化**であると呼びます. |
OMC037 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/tasks/1434 | C | OMC037(C) | 300 | 166 | 191 | [
{
"content": " $ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)$ と因数分解されることに留意せよ. ある非負整数 $n$ を $2$ つの非負整数の和に分解する方法は $n+1$ 通りあるから, すべての $1000$ の正の約数 $t$ について\r\n$$(t+1)\\left(\\frac{1000}{t}+1\\right)=t+\\dfrac{1000}{t}+1001$$\r\nの総和を求めればよい. $1000=2^3\\times5^3$ は正の約数を $16$ 個もち, それらの総和は $2340$ であるから, これは\r\n$$2340\\times 2+1001\\times 1... | $ab+bc+cd+da=1000$ なる非負整数の組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか？ |
OMC037 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/tasks/1595 | D | OMC037(D) | 400 | 43 | 112 | [
{
"content": " 有名事実として $DC=DA+DB$ である. 一方で, 簡単な角度計算から三角形 $DEB$ と $DFC$ は相似であるから, これらより $DB=6,DC=8$ を得る. よって, 三角形 $BCD$ における余弦定理より $BC=2\\sqrt{13}$ であるから, 求めるべき面積は $13\\sqrt{3}=\\sqrt{\\textbf{507}}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1595"
}
] | 正三角形 $ABC$ において, その外接円の弧 $AB$ ($C$ を含まない方) 上に点 $D$ が, 辺 $AB$ 上に点 $E$ があります. ここで, $ADE$ の外接円と線分 $AC$ が $A$ でない点で交わったのでこれを $F$ としたところ, 以下の条件が成立しました：
$$DA=2,\quad DE=3,\quad DF=4$$
このとき, $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください. |
OMC036 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/tasks/17 | A | OMC036(A) | 200 | 270 | 275 | [
{
"content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n $a,b,c$ はすべて相異なることに留意する. これらがすべて平方数であるとき, $V$ は $1\\times 4\\times 9=36$ 以上である. 少なくとも一つが平方数でないとき, 三ついずれも平方数ではない. このとき $V\\lt 36... | **注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.
----
$\mathfrak{C}$ は各辺の長さが正整数値であり, 面 $ABCD,ABFE,ADHE$ の面積はそれぞれ相異なる平方数値です. このとき, $V(\mathfrak{C})$ としてあり得る最小値を求めてください. |
OMC036 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/tasks/18 | B | OMC036(B) | 400 | 190 | 235 | [
{
"content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n $\\mathfrak{C}$ において, 小立方体を組み合わせてできる部分直方体 $1$ つに対し, 良い三角形 $8$ つが対応することが容易にわかる. 部分直方体は ${}\\_{a+1}\\textrm{C}\\_{2} \\times {}\\... | **注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.
----
$\mathfrak{C}$ は各辺の長さが正整数値であり, 一辺 $1$ の小立方体に分割されています. ある小立方体の頂点であるような相異なる $3$ 点を繋いでできる三角形が**良い**とは, 以下の条件をみたすことをいいます.
- 各辺はそれぞれある $\mathfrak{C}$ の面と平行である.
- 三角形のなす平面は $\mathfrak{C}$ のどの面とも平行でない.
良い三角形が $2^6\ti... |
OMC036 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/tasks/192 | C | OMC036(C) | 600 | 106 | 146 | [
{
"content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n 三角形 $AP_1P_6$ と $GP_4P_3$ の相似より直線 $AG,P_1P_4,P_3P_6$ は一点で交わり, これは $Q_1$ に一致する. したがって $AQ_1:GQ_1=P_1P_6:P_3P_4=1:2$ であるから, $OQ_1... | **注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.
----
$\mathfrak{C}$ において, 線分 $AB,BF,FG ,GH,HD,DA,AG,BH,DF$ (両端を除く)が平面 $\alpha$ とすべて交わっています. その交点をそれぞれ $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,Q_1,Q_2,Q_3$ としたとき, 以下の条件がそれぞれ成立しました.
$$ P_1P_2:P_4P_5=5:3,\ \ P_2P_3:P_5P_6=1:3,\ \ P_3P_4:P... |
OMC036 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/tasks/193 | D | OMC036(D) | 700 | 45 | 95 | [
{
"content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n $AD=x,A^{\\prime}B^{\\prime}=y, A^{\\prime}D^{\\prime}=z$ とおく. このとき, $A^{\\prime}E^{\\prime}=y+z, AE=x+y, AB=x+y+z$ と表される. \r\n... | **注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.
----
$\mathfrak{C}$ および体積 $1$ の直方体 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}-E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$ が, 以下の条件をそれぞれみたします.
$$\begin{aligned}
&A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}D^{\prime}=A^{\prime}E^{\prime... |
OMC036 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/tasks/195 | E | OMC036(E) | 700 | 23 | 53 | [
{
"content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n 対角線 $AG$ の中点を $O$ とすれば, 明らかにこれは $O_1O_2$ の中点でもある. また $OB=OD=OG$ より $OO_2$ は面 $BDG$ に垂直であるから, $BDG$ の外接円の半径は $\\sqrt{OG^2-OO_2^2... | **注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.
----
$\mathfrak{C}$ において, 三角形 $AFH,BDG$ の外心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし, 線分 $BD$ の中点を $N$ とすると,
$$ AG=10\sqrt{13},\ \ O_1O_2=12,\ \ O_2N=6\sqrt{2} $$
が成立しました. このとき, $V(\mathfrak{C})^2$ を求めてください. |
OMC036 (Wolfram Cup) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/tasks/194 | F | OMC036(F) | 700 | 23 | 47 | [
{
"content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n $m=250$ とおく. $i,j,k$ がすべて偶数,奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和をそれぞれ $S_{eee},S_{ooo}$ などとして, 偶奇 $8$ 通りに対して総和を定める. さらに以下のように定める.\r\n$$S_{oo... | **注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.
----
$\mathfrak{C}$ は各辺の長さが正の**偶数**値であり, 一辺 $1$ の小立方体に分割されています. 上から $i$ 番目, 左から $j$ 番目, 手前から $k$ 番目の小立方体には非負整数 $N(i,j,k)$ が割り当てられています.\
ここで, ある非負整数の割り当て方が**優しい**とは, 以下の条件をみたすことをいいます.
- $N(i,j,k)$ の**総和**は $1000$ である.... |
OMC035 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/tasks/299 | A | OMC035(A) | 100 | 196 | 215 | [
{
"content": " レベル $n$ のスライムを生み出すために, 少なくとも $2^n-1$ 回の結合が必要であることがわかる. したがって, $2^n-1\\leq10^5$ なる最大の $n$ を求めればよく, これは $n=\\textbf{16}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/editorial/299"
}
] | レベル $0$ のスライムが無数にあります. 勇者であるあなたは, これらのスライムを**結合**させることができます. これは, レベル $n$ のスライム $2$ 体を消し去り, かわりにレベル $n+1$ のスライム $1$ 体を生み出す行為です. あなたは $10^5$ 回までスライムを結合させることができます. スライムのレベルの最大値としてあり得る最大の値を求めてください. |
OMC035 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/tasks/1331 | B | OMC035(B) | 200 | 159 | 181 | [
{
"content": "$$i(k-i+1)=-\\biggl(i-\\displaystyle\\frac{k+1}{2} \\biggr)^2+\\displaystyle\\frac{(k+1)^2}{4}$$\r\nより, $k$ が奇数 $2m-1$ のとき $M_k=m^2$, 偶数 $2m$ のとき $M_k=m(m+1)$ である. よって求める総和は\r\n$$\\displaystyle\\sum_{m=1}^{60}m^2+\\displaystyle\\sum_{m=1}^{59}m(m+1)=\\textbf{145790}$$",
"text": "公式解説",
"ur... | $k=1,2,\cdots,119$ のそれぞれに対し, $k$ 項からなる数列 $\\{a_{k,i}\\}\_{i=1,2,\cdots k}$ を
$$a\_{k,i}=i(k-i+1)\ \ (i=1,2,\cdots k)$$
で定め, その中での最大値を $M_k$ とおきます. $M_1+M_2+\cdots M_{119}$ を求めてください. |
OMC035 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/tasks/1406 | C | OMC035(C) | 300 | 129 | 154 | [
{
"content": " $x+y=p,xy=q$ とおき, さらに $p+q=r,pq=s$ とおけば, 与方程式は\r\n\r\n- $41=(x+y)xy+x+y+xy=pq+p+q=r+s$\r\n- $330=(x+y+xy)(x+y)xy=(p+q)pq=rs$\r\n\r\nよって $r,s$ は $t$ の二次方程式 $t^2-41t+330=0$ の $2$ 解であるから,\r\n$$(p+q,pq)=(11,30),(30,11)$$\r\nであり, 同様に二次方程式を解くことで\r\n$$(x+y,xy)=(5,6),(6,5),(15+\\sqrt{214},15-\\sqrt{214})... | 以下の連立方程式をみたす実数の組 $(x,y)$ について, $x+y$ の最大値を求めてください.
- $x^2y+xy^2+xy+x+y=41$
- $x^3y^2+x^3y+x^2y^3+2x^2y^2+xy^3=330$
ただし, 答えは正整数 $a,b$ によって $a+\sqrt{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC035 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/tasks/303 | D | OMC035(D) | 400 | 35 | 60 | [
{
"content": " $Q_2$ を通り $Q_1Q_2$ に垂直な直線と $P_2P_3$ の交点を $Y$ とすれば, 三角形 $P_1Q_2X$ と $P_2Q_2Y$ が合同であることが容易にわかるから,\r\n$$(P_2Q_1-P_1X)^2=(P_2Q_1-P_2Y)^2=Q_1Y^2=\\left(\\dfrac{5}{\\cos18^\\circ}\\right)^2=50-10\\sqrt{5}$$\r\n特に解答すべき値は $50+500=\\textbf{550}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcon... | 平面上に正五角形 $P_1P_2P_3P_4P_5$ および正二十角形 $Q_1Q_2\cdots Q_{19}Q_{20}$ があり (ただし頂点の番号はいずれも時計回りであるとする), 以下の条件をともにみたしています.
- 正五角形の中心は $Q_2$ である.
- $4$ 点 $Q_1,P_3,P_2,Q_4$ はこの順に同一直線上にある.
正二十角形の一辺の長さが $5$ であるとき, $P_1P_2$ と $Q_2Q_3$ の交点 $X$ について $(P_2Q_1-P_1X)^2$ を求めてください. ただし, 求める値は正整数 $a,b$ によって $a-\sqrt{b}$ と表せるので, $a+b... |
OMC034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/tasks/263 | A | OMC034(A) | 100 | 252 | 252 | [
{
"content": " 「笑っている写真」が $x$ 枚, 「泣いている写真」が $y$ 枚であったとすると, 条件は以下のように表現できる.\r\n$$x:y=9:7,\\ \\ (x-6):(y-6)=13:10$$\r\nこれを解くと $x=162, y=126$ であるから, アルバム内の写真は全部で $162+126-6=\\textbf{282}$ 枚である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/263"
}
] | TKG君はあるアルバムを見つけました. アルバム内のすべての写真にはTKG君が一人で写っています. これに目を通すと, 以下のことがわかりました.
- 「笑っている写真」と「泣いている写真」の枚数比は $9:7$ だった.
- 「笑っているが泣いてはいない写真」と「泣いているが笑っていない写真」の枚数比は $13:10$ だった.
- 「笑い泣きしている写真」はちょうど $6$ 枚あった.
- 「笑っても泣いてもいない写真」は存在しなかった.
このアルバムには, 全部で何枚の写真がありますか？ ただし, 「笑い泣きしている」とは, 「笑っている」かつ「泣いている」状態を指すものとします. |
OMC034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/tasks/261 | B | OMC034(B) | 300 | 128 | 206 | [
{
"content": " $S_k$ について, 最下行に配置する $k$ 個のコマを先に定め, 残りは他 $46$ 行に任意に配置できることから,\r\n$$S\\_k={}\\_{2021}\\mathrm{C}\\_{k}\\times46^{2021-k}$$\r\nしたがって, $\\dfrac{S_{k+1}}{S_k}=\\dfrac{2021-k}{46(k+1)}$ と $1$ の大小を考えることで, 以下が従う：\r\n$$S_1\\lt S_2\\lt \\cdots\\lt S_{43}\\gt S_{44}\\gt\\cdots\\gt S_{2021}$$\r\nすなわち, $S=S_... | $47$ 行 $2021$ 列のマス目があり, その最上行の $2021$ マスには同一のコマがそれぞれ一つずつ置かれています. これらのコマに対し, 以下の操作を $46$ 回にわたって行います. 具体的には, $n$ 回目の操作は以下で定義されます：
- 上から数えて $n$ 行目に置かれているコマから一つ以上を選び, 隣接した真下のマスに移動させる.
$46$ 回の操作の後, 最下行に $k$ 個のコマがあるような配置としてあり得るものの総数を $S_k$ とおきます.\
$S_1,S_2,\cdots,S_{2021}$ における最大値を $S$ とするとき, $S$ が $2$ で割り切れる最大の回数... |
OMC034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/tasks/269 | C | OMC034(C) | 300 | 60 | 95 | [
{
"content": " 新しい飲料 $A,B$ をそれぞれ $21$ 本ずつもっている状況を考えると, まずこれらの交換で飲料 $A,B$ がそれぞれ $3,7$ 本得られ, さらにこれらの交換で飲料 $A,B$ がともに $1$ 本ずつ得られる. すなわち, 各 $20$ 本ずつの新しい飲料 $A,B$ を失うと同時に, それぞれ $24,28$ 本ずつを飲んだと見なすことができる. よって, 今回の状況において\r\n$$M=\\dfrac{(2\\times10^{2023}+21)-1}{20}\\times(24+28)+2=52\\times10^{2022}+54=52\\underbrace{0... | ある店では $2$ 種類の飲料 $A,B$ が売られています. この店では, 飲料 $A$ の空容器 $3$ 本を $1$ 本の新しい飲料 $B$ に, また飲料 $B$ の空容器 $7$ 本を $1$ 本の新しい飲料 $A$ に交換してもらうことができます.\
いま, OMC君が新しい飲料 $A,B$ をそれぞれ $2\underbrace{0000...00000}_{2021\text{個}}21$ 本もっているとき, 彼は最終的に合計で最大 $M$ 本の飲料 $A,B$ を飲むことができます. $M$ の (十進法での) 各位の数のうち, $0$ でないものの**積**を解答してください.\
ただし, 交換によって... |
OMC034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/tasks/275 | D | OMC034(D) | 400 | 69 | 137 | [
{
"content": " 線分 $AC$ の中点を $F$ とし, 線分 $DE$ 上に $AB\\parallel FG \\parallel CE$ なる点 $G$ をとると, $ABF$ は正三角形であり,\r\n$$\\angle BFG=\\angle ABF=60^\\circ=\\angle BDG$$\r\nより $B,D,F,G$ は共円, さらに $BDG$ も正三角形である. したがって\r\n$$DF:DC=DG:DE=BD:DE=2:5$$\r\nここで $AC=12x$ とおき, $AF$ の中点を $M$ とすれば, $BDM$ における三平方の定理より\r\n$$28x^2=(3... | $\angle A=60^\circ, \angle B=90^\circ$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $AC$ 上の点 $D$ が $BD=2$ をみたしました. さらに, 点 $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に $\angle BDE=60^\circ$ なる点 $E$ をとると, $DE=5$ が成り立ちました.\
このとき $AC$ の長さは, 互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/tasks/279 | E | OMC034(E) | 500 | 50 | 84 | [
{
"content": " $7$ が $3$ の倍数でないことから, $x=y=z$ なる解が存在し, 特に $b$ は $3$ の倍数である. したがって $b=3k$ と定め, $x-k,y-k,z-k$ を $x,y,z$ とおきなおせば, 与条件は以下のように書き換えられる.\r\n$$x^2+y^2+z^2\\leq \\frac{3}{25}a^2-3k^2,\\ \\ x+y+z=0$$\r\n 整数 $(x,y,z)$ が $x+y+z=0$ をみたしながら動くとき, $x^2+y^2+z^2$ のとり得る値を小さいほうから考える. まず $(0,0,0)$ で $0$ をとり, 続いて $(1... | 以下の $2$ 式をともにみたす整数の組 $(x,y,z)$ がちょうど $7$ つ存在するような正整数の組 $(a,b)$ をすべて求め, それらの $a+b$ の総和を解答してください.
$$ x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{25}a^2,\ \ x+y+z=b $$ |
OMC034 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/tasks/1279 | F | OMC034(F) | 500 | 44 | 75 | [
{
"content": " $f(x)=0$ の解を (重複込みで) $x=a_1,a_2,...,a_{2021}$ とすれば,\r\n$$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\\cdots (x-a_{2021})$$\r\n$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるための必要条件は, 任意の $i$ に対しある $j$ が存在して $a_i^2=a_j$ となることである.\r\n----\r\n**補題.** 任意の $i$ について $a_i\\in\\\\{1,0,-1\\\\}$ である.\r\n\r\n**証明.** $M=\\max\\\\{|a_1|,...,|a_{2021}|\\\\... | 以下の条件をすべてみたす実数係数多項式 $f(x)$ はいくつありますか？
- $2021$ 次で, $x^{2021}$ の係数は $1$ である.
- $f(x)=0$ の複素数解はすべて実数である.
- $f(x^2)$ は $f(x)$ で割り切れる. |
OMC033 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/tasks/254 | A | OMC033(A) | 100 | 189 | 197 | [
{
"content": "$$\\frac{1}{S(n)}=\\frac{2}{n(n+1)}=2\\left(\\frac 1n-\\frac{1}{n+1}\\right)$$\r\nが成り立つから, 求める総和は\r\n$$2\\left\\\\{\\left(1-\\frac 12\\right)+\\left(\\frac 12-\\frac 13\\right)+\\cdots +\\left(\\frac{1}{2021}-\\frac{1}{2022}\\right)\\right\\\\}=2\\left(1-\\frac{1}{2022}\\right)=\\frac{2021}{1011}$... | $n$ 以下の正整数の総和を $S(n)$ で表すとき, 以下の総和を求めてください.
$$\frac{1}{S(1)}+\frac{1}{S(2)}+\cdots+\frac{1}{S(2021)}$$
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC033 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/tasks/240 | B | OMC033(B) | 200 | 174 | 189 | [
{
"content": " 前 $2$ 回の出目を固定したとき, $N$ としてあり得る数は $6$ つの連続する整数であることから, 特にそのうち $6$ の倍数がちょうど一つ存在する. よって求める確率は $1\\/6$ であり, 解答すべき値は $\\textbf{7}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/editorial/240"
}
] | $1$ から $6$ までの目が等確率で出るサイコロを $3$ 回振り, 出た目を順に左から並べてできる $3$ 桁の数を $7$ 進法で解釈して整数 $N$ を作ります. このとき, $N$ が $6$ で割り切れる確率を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC033 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/tasks/256 | C | OMC033(C) | 300 | 61 | 97 | [
{
"content": " 直線 $AB$ と $\\ell$ の交点を $M$ とすれば, 方べきの定理より\r\n$$MP^2=AM\\times BM=MQ^2$$\r\nすなわち $M$ は $PQ$ の中点であるから, 中線定理より\r\n$$AP^2+AQ^2=2\\left(AM^2+PM^2\\right)\\implies AM=\\sqrt{\\frac{5^2+7^2}{2}-3^2}=2\\sqrt 7$$\r\nこれより, $BM=AM\\pm AB$ を上の方べきの式に代入することで $AB=19\\/2\\sqrt{7}$ を得るから, 特に解答すべき値は $361+28=\\text... | 相異なる $2$ 点 $A,B$ で交わる $2$ 円 $C_1,C_2$ が平面上にあります. これらの共通接線の $1$ つを $\ell$ とし, その $C_1,C_2$ との接点をそれぞれ $P,Q$ とするとき, 以下の式が成り立ちました。
$$AP=5,\ \ AQ=7,\ \ PQ=6$$
このとき, 線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC033 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/tasks/1515 | D | OMC033(D) | 400 | 104 | 140 | [
{
"content": " 不定方程式 $3m-7n=2021$ の非負整数解は, 非負整数 $k$ を用いて\r\n$$(m,n)=(7k+676,3k+1)$$\r\nと表される. このとき, $m=\\left\\lfloor x^2\\right\\rfloor,n=\\left\\lfloor 3x\\right\\rfloor$ となるような $k,x$ の条件を考えれば\r\n$$ 7k+676\\le x^2\\lt 7k+677,\\quad k+\\frac13\\le x\\lt k+\\frac 23$$\r\nこれを同時にみたす正の実数 $x$ が存在するためには, $2$ つの区間\r\... | 以下の $x$ についての方程式
$$3\left\lfloor x^2\right\rfloor-7\lfloor3x\rfloor=2021$$
の**正の実数解**は, 実数 $a,b$ を用いて $a\leq x\lt b$ と表せます. $a^2+b^2$ を解答してください.\
ただし、$\lfloor x\rfloor$ で $x$ を超えない最大の整数を表します. |
OMC032 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/11 | A | OMC032(A) | 100 | 217 | 219 | [
{
"content": " $\\angle CAD+\\angle DBE+\\angle ACE+\\angle ADB+\\angle BEC=180^{\\circ}$ より, $M=\\textbf{46}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/11"
}
] | 凸五角形 $ABCDE$ が以下の条件をみたします.
$$\angle DBE=\angle ACE=\angle ADB=36^\circ,\ \ \angle BEC=26^\circ$$
このとき $\angle CAD$ の大きさは度数法で $M^\circ$ です(ただし $0\lt M\lt 180$). $M$ を解答してください. |
OMC032 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/12 | B | OMC032(B) | 400 | 109 | 184 | [
{
"content": " 戦闘力の (十進法での) 桁和と所持金の和が常に一定である. $2^{63}-1$ 以下で最大の桁和は\r\n$$9\\times 10^{18}-1=8,999,999,999,999,999,999$$\r\nでの $170$ だから, 求める最小値は $\\textbf{171}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/12"
}
] | 勇者・しおしおは魔王・死魔死魔を倒すため**戦闘力**を上げたいです. しおしおは $1$ 円を払うことで戦闘力を $1$ 上げることができ, さらに戦闘力が $x$ に上がると同時にボーナスとして $9\times(x\text{が}10\text{で割り切れる回数})$ 円が支給されます. 所持金が $0$ 円になると, それ以上戦闘力を上げることはできません.\
現在しおしおは戦闘力 $0$ で所持金が $n$ 円です. しおしおが戦闘力を
$$2^{63}-1=9,223,372,036,854,775,807$$
まで上げられるような, $n$ としてあり得る最小の正整数を求めて下さい. |
OMC032 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/13 | C | OMC032(C) | 400 | 75 | 127 | [
{
"content": " $3$ 点 $B,G,I$ および $C,G,H$ も同一直線上にあることに留意せよ.\\\r\n 三角形 $BEG$ の面積を $s$ とおけば, $CEH$ の面積も $s$ である. $BG$ と $EH$ の平行より $GH:HC=BE:EC$ であるから, 面積比を考えて $1:s=s:(s+1)$, すなわち $s=(1+\\sqrt{5})\\/2$ を得る. よって\r\n$$S=4+6s=7+3\\sqrt{5}$$\r\n ここで $T=7-3\\sqrt{5}$ とおけば, $ST=4,S+T=14,S^2+T^2=188$ であり,\r\n$$ S^{n+1}+T... | 面積 $S$ の正三角形 $ABC$ の辺 $AB,BC,CA$ 上にそれぞれ点 $D,E,F$ があり, $AD=BE=CF$ をみたしています. $DE,EF,FD$ の中点をそれぞれ $G,H,I$ とすると, 三点 $A,H,I$ は同一直線上に存在し, 三角形 $GHI$ の面積は $1$ でした.\
ところで, 実数 $x$ に対し「$x$ を $10$ 進数展開したときの $1$ の位」を $f(x)$ で表すものとします. 例えば
$$f(2021)=1,\ \ f(\sqrt{2021})=4,\ \ f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$$
です. このとき, 以下の総和を求めて... |
OMC032 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/14 | D | OMC032(D) | 600 | 55 | 66 | [
{
"content": " $6\\times10^8$ 子を除く全員が先に撫でる人を予め決めておくとすれば, $x$ 子の操作は以下のように読み替えられる.\r\n\r\n- 予め決めた人を $x^2$ 回撫でる. ただし全ての人は, 自分が撫でられた直後にも予め決めた人を撫でる.\r\n\r\n $n\\leq 3\\times10^8+7$ について $n$ 子の操作を考えると, $3\\times10^8+8$ 子が撫でられることは\r\n\r\n- $3\\times10^8+8\\text{子},3\\times10^8+9\\text{子},\\cdots,6\\times10^8$ 子の中で最初に ... | sima姉妹は $6\times10^8$人の女子からなり, 生まれが早い方から $1\text{子},2\text{子},\cdots,6\times10^8$ 子と名付けられています. ここで各人の生年月日は異なるものとします. 各 $x=1,2\cdots,6\times10^8-1$ の順に, $x$ 子が以下の操作を行います.
- 自分の妹 $(6\times10^8-x)$ 人から等確率に一人を選び, $(\text{今まで自分が撫でられた回数}+x^2)回$ 撫でる.
このとき $3\times10^8+8$ 子が撫でられる回数の期待値を求めてください.\
ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$... |
OMC032 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/15 | E | OMC032(E) | 700 | 11 | 35 | [
{
"content": " ある黒マスから $1179$ 手以内で移れる範囲を表現する図形 $S$ を考える.\r\n\r\nすると, これによって無限マス目は隙間や重複なく充填可能である.\r\n\r\n\r\n上の各図は $5$ 手の場合を示しているが, $1179$ 手の場合も同様である.\r\n\r\n この充填において, 適当に $10^{13413... | 魔王・死魔死魔に敗れた勇者・しおしおの飛ばされた異世界では, 将棋のルールに**草将**という駒が追加されていました. この駒は, 以下に示された $6$ マスのいずれかに $1$ 手で移動できます.
$10^{1341398}\times 10^{1341398}$ の正方形状のマス目があり, そのうちいくつかのマスを黒く塗ります. どの黒マスに草将を置いても, 他の黒マスへ草将が $2358$ 手以内に移ることができない状態を「**草cial distance**」**が保たれている**... |
OMC032 (for experts) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/16 | F | OMC032(F) | 700 | 7 | 62 | [
{
"content": " 操作において $a,b,c$ を消して書かれる数の天井記号の中身を $f(a,b,c)$ とする.\\\r\n 適当な正整数 $a,b,c$ および素数 $p$ について, $a,b,c$ が $p$ で割り切れる回数をそれぞれ $x,y,z$ 回とする. $x\\geq y\\geq z$ としても一般性を失わない. このとき, $abc$ は $p$ で $x+y+z$ 回, $\\gcd(a,b,c)$ は $p$ で $z$ 回, $\\textrm{lcm}(a,b,c)$ は $p$ で $x$ 回割り切れるから, $f(a,b,c)$ は正整数であり, 特に $p$ で $... | 黒板に $1$ から $121$ までの整数が一つずつ書かれています. siosio君は, 黒板に書かれている数がちょうど一つになるまで, 以下の操作を繰り返し行います.
- 黒板から $3$ 数 $a,b,c$ を選んで消し, 新たに $\left\lceil \dfrac{abc}{\gcd(a,b,c)\times\textrm{lcm}(a,b,c)} \right\rceil$ を書き足す.
このとき, 最後に黒板に残る数 $M$ としてあり得る最大値を求めてください.\
ここで, 整数 $a,b,c$ に対しこれらの最大公約数を $\gcd(a,b,c)$ で, 最小公倍数を $\textrm{lcm}... |
OMC031 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/tasks/1390 | A | OMC031(A) | 100 | 249 | 250 | [
{
"content": " 0105くんが最終的に手に入れたお小遣いは $3N$ 円であるから,\r\n$$N+5000=2(3N-5000)$$\r\nが成立し, これを解くことで $N=\\textbf{3000}$ を得る.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/editorial/1390"
}
] | ATくんと0105くんはお小遣いをもらいました. しかし, 0105くんはATくんの半分のお小遣いしかもらえず, 同情したATくんはお小遣いから $5000$ 円を0105くんに譲りました. すると, 最終的に0105くんが手に入れたお小遣いはATくんの $3$ 倍の金額になりました. 最終的にATくんが手に入れたお小遣いが $N$ 円であったとき, $N$ を解答してください. |
OMC031 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/tasks/219 | B | OMC031(B) | 200 | 217 | 245 | [
{
"content": " $101$ 以上の素数を(重複度込みで) $2$ つ以上素因数に持つことは出来ない. また $97$ を素因数に持ち, かつ $96$ 以下の素数を素因数に持たない数は, $97$ のほかに $97^2,97\\times101,97\\times103$ の $3$ つである. 以上より, 求める数の集合はこれらに $97$ 以上 $10000$ 以下の素数を加えたもので, これは $\\textbf{1208}$ 元からなる.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc031... | $2$ 以上 $10000$ 以下の整数であって, $96$ 以下のどの素数でも割り切れないようなものはいくつありますか？\
ただし, $96$ 以下の素数は $24$ 個, $10000$ 以下の素数は $1229$ 個であることが保証されます. |
OMC031 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/tasks/301 | C | OMC031(C) | 300 | 108 | 191 | [
{
"content": " 三角形 $A_2A_3A_4$ の中心を $H$ とすれば, $A_1G:A_1H=3:4$ より $A_1G$ の中点 $M_1$ について $A_1M:A_1H=3:8$ の成立がわかる. これより, 二つ目の条件を $PA_1\\geq PG$ に限って考えれば, 求める領域は $T$ から相似比 $3\\/8$ の正四面体を取り除いた部分である. 同様に他の $3$ 頂点についても考えることで, 求める値は\r\n$$M=1-4\\times\\left(\\dfrac{3}{8}\\right)^3=\\dfrac{101}{128}$$\r\nすなわち解答すべき値は $\\t... | $A_1,A_2,A_3,A_4$ を $4$ 頂点とする正四面体 $T$ において, その中心 ($4$ 頂点の幾何重心) を $G$ とします. 以下の条件をともにみたす点 $P$ の存在し得る領域の体積は, $T$ の体積の $M$ 倍です.
- $T$ の内部 (外周を含む) にある.
- 各 $i=1,2,3,4$ に対して $PA_i\geq PG$ をみたす.
このとき, $M$ は互いに素な正整数 $a,b$ によって $M=\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. |
OMC031 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/tasks/1308 | D | OMC031(D) | 400 | 55 | 120 | [
{
"content": " Pickの定理より, 格子多角形のスコアは $2(\\text{面積}+1)$ に等しいから, 四角形の面積の期待値 $E$ について考えればよい. ここで, 各四角形は $S$ から $4$ 個の三角形を除いたものであるとみなすことで, $E$ について\r\n$$E = 101^2 - 4\\left(\\frac{1}{2}\\left(\\frac{101}{2}\\right)^2\\right)=\\dfrac{10201}{2}$$\r\nを得る. 以上より, 求めるスコアの総和は\r\n$$2\\left(\\dfrac{10201}{2} +1\\right) \\... | 直交座標平面上の格子点を頂点とする四角形 $R$ について, その**スコア**を以下で定めます.
$$R\ \text{の辺上の格子点の個数} + 2\times(R\ \text{の内部にある格子点の個数})$$
ただし, $R$ の内部に辺上は含まないものとします.\
$4$ 点 $(0,0),(101,0),(101,101),(0,101)$ を頂点とする正方形を $S$ とします. $S$ の $4$ 辺 (端点を除く) それぞれから格子点を一つずつ選び, それらを頂点とする四角形を考えます. このような四角形としてあり得るものは $100^4$ 通りありますが, それらすべてについてスコアの総和を求めてくださ... |
OMC030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/tasks/1261 | A | OMC030(A) | 100 | 272 | 281 | [
{
"content": " 各人が相続する階の価値の合計は $2525$ 万ドルであるから, 求める最大値 $M$ について不等式\r\n$$\\dfrac{1}{2}M(M+1)=1+2+\\cdots+M\\leq 2525$$\r\nが成立する. これより $M\\leq 70$ である. 逆に, 太郎君は例えば\r\n$$1,2,\\cdots,58,59,61,62,\\cdots,69,70,100$$\r\n階を相続することで条件をみたすから, $M=\\textbf{70}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathconte... | $100$ 階建てのビルがあり, その $n$ 階の価値は $n$ 万ドルです ($n$ は $100$ 以下の正整数). 地下階は存在しません.\
このビルのそれぞれの階が, 太郎君と次郎君のいずれかに相続されることになりました. ここで, 両者の保有する階の価値の総和が等しくなるようにします. \
太郎君は出来るだけたくさんの数のフロアを手に入れたいです. 太郎君が最大で手に入れることができるフロアの数を求めてください. |
OMC030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/tasks/1340 | B | OMC030(B) | 200 | 236 | 252 | [
{
"content": " $P$ から $AB,CD$ におろした垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とおけば, 三平方の定理より\r\n$$\\begin{aligned}\r\nPA^2 + PC^2 &= (AX^2+PX^2)+(CY^2+PY^2) \\\\\\\\\r\n&= DY^2+PX^2+BX^2+PY^2 \\\\\\\\\r\n&= (BX^2+PX^2)+(DY^2+PY^2) \\\\\\\\\r\n& = PB^2 + PD^2\r\n\\end{aligned}$$\r\n特に $PD = \\sqrt{28^2 + 29^2 - 16^2} = \\textbf{37}$ である.... | 正方形 $ABCD$ とその内部の点 $P$ について,
$$PA = 28,\quad PB = 16,\quad PC=29$$
であるとき、$PD$ の長さを求めてください. |
OMC030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/tasks/227 | C | OMC030(C) | 300 | 154 | 221 | [
{
"content": " $\\max\\lbrace a,b,c\\rbrace=k$ である組 $(a,b,c)$ の数を $a_k$ とおくと, $f(N)$ は以下のように表せる.\r\n$$f(N)=\\sum_{k=1}^{N}ka_{k}$$\r\nここで $a_{k}=k^3-(k-1)^3$ であり, $ka_{k}=(k^4-(k-1)^4)-(k-1)^3$ であるから,\r\n$$4f(N)=4\\left(N^4-\\sum_{k=1}^{N}(k-1)^3\\right)=N^2(N+1)(3N-1)$$\r\nここに $N=10^{2021}$ を代入した値は, 以下のように表される... | $N$ 以下の正整数の組 $(a,b,c)$ すべてについて, $\max\\{a,b,c\\}$ の総和を $f(N)$ とおきます.\
$4f(10^{2021})$ の各位の数の総和を求めてください. |
OMC030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/tasks/276 | D | OMC030(D) | 400 | 93 | 178 | [
{
"content": " 下から $i$ 本目の道を $i$ **行目の道**, 左から $j$ 本目の道を $j$ **列目の道**と呼ぶ. 対称性より初めに上へ向かって進む場合のみ考えればよい. このとき, ある $a,b,c,d$ について $1$ 列目, $a$ 行目, $b$ 列目, $c$ 行目, $d$ 列目, $12$ 行目の道を順に進むことになり, 特に $1\\leq a,b,c,d\\leq12$ は以下の条件をみたす.\r\n$$a,b\\neq 1,\\ \\ c,d\\neq12,\\ \\ a\\neq c,\\ \\ b\\neq d,\\ \\ (a,b)\\neq(12,12)... | 縦横それぞれ $12$ 本からなる碁盤の目状の道があり, 下から $i$ 本目の道と左から $j$ 本目の道の交点を点 $(i,j)$ と表します. 点 $(1,1)$ から出て, ちょうど $5$ 回曲がって**初めて**点 $(12,12)$ に到達するような経路はいくつありますか？\
ただし, 同じ道や交点を何度通ってもよいですが, 直前に来た道を引き返すことはできません. |
OMC030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/tasks/236 | E | OMC030(E) | 500 | 55 | 73 | [
{
"content": "**補題1.** $S(1,n)$ が平方数であることは, $n$ が $2$ べきであることと同値である.\r\n\r\n**証明.** $\\varphi$ をEulerのトーシェントとし, $n$ のもつ素因数 $p_1\\lt p_2\\lt\\cdots\\lt p_k$ について $p_k\\gt 2$ と仮定する. このとき, $r$ が $n$ と互いに素ならば $n-r$ も互いに素であることから,\r\n$$S(1,n)=n\\times\\dfrac{\\varphi(n)}{2}=\\dfrac{n^2}{2}\\prod_{i=1}^{k}\\dfrac{p_i-... | $m,n$ を $10^6$ 以下の正整数とします. ただし $n$ は $1$ ではないとします.\
$n$ と互いに素な $mn$ 以下の正整数の総和を $S(m,n)$ とおいたとき, $S(m,n)$ が平方数となるような組 $(m,n)$ すべてについて $mn$ の総和を $T$ とします. $\dfrac{T}{10^6}$ を解答してください. |
OMC030 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/tasks/234 | F | OMC030(F) | 600 | 58 | 110 | [
{
"content": " $B$ から $AP$ におろした垂線の足を $Q$, $AC$ と $BQ$ の交点を $R$ とする. このとき,\r\n$$AQ:AP=AR:AC=AB:AC=15:19$$\r\nおよび $QD:DP=BD:DC=15:19$ が成立するから, $AD=285x$ とおけば $DP=38x$ である.\\\r\n ここで $A,C,H,P$ は共円であるから, 三角形 $ACD$ と $HPD$ の相似より $CD=722x$ がわかり, 特に\r\n$$AD:BC=285x:\\dfrac{15+19}{19}\\times 722x=15:68$$\r\nすなわち解答すべき値... | $AB=15,AC=19$ なる三角形 $ABC$ において, 角 $A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とし, 点 $A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$, 点 $C$ から $AD$ におろした垂線の足を $P$ とします. $HP=1$ が成立するとき, 比 $AD:BC$ は互いに素な正整数 $p,q$ によって $p:q$ と表されるので, $p+q$ を解答してください. |
OMC029 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/tasks/7 | A | OMC029(A) | 100 | 251 | 254 | [
{
"content": " $(\\text{与式})=\\dfrac{(111\\times(9+8+7))\\cdots(111\\times(6+5+4))}{(111\\times(5+4+3))\\cdots(111\\times(2+1+0))}=\\dfrac{(8\\times3)(7\\times3)(6\\times3)(5\\times3)}{(4\\times3)(3\\times3)(2\\times3)(1\\times3)}=\\textbf{70}$.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/co... | 以下の計算を実行してください.
$$\dfrac{(987+879+798)\times(876+768+687)\times(765+657+576)\times(654+546+465)}{(543+435+354)\times(432+324+243)\times(321+213+132)\times(210+102+21)}$$ |
OMC029 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/tasks/8 | B | OMC029(B) | 200 | 218 | 251 | [
{
"content": " $360=2^3\\times3^2\\times5$ であることから, その正の約数は $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ 個, それらの総和は\r\n$$(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5)=1170$$\r\nであることに留意する. 正 $n$ 角形において一つの内角の大きさは $180-(360\\/n)$ 度であるから, $360$ の正の約数 $n\\geq 3$ に対してこれの総和を求めればよく, これは $180\\times(24-2)-(1170-360-180)=\\textbf{3330}$ である.",
"text": "公式解... | 正多角形の一つの内角の(度数法での)大きさとしてあり得る正整数の総和を求めてください. |
OMC029 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/tasks/9 | C | OMC029(C) | 300 | 117 | 222 | [
{
"content": " ひし形の中心を $O$ とすると, これは $PQ$ 上にあり, さらに $\\angle APB=90^{\\circ}=\\angle AOB$ より $A,B,O,P$ は共円である. よって $\\angle BPR=\\angle BAO=65^{\\circ}$ であり, $\\angle BRP=\\angle 180^{\\circ}-\\angle BPR-\\angle PBR=\\textbf{95}^{\\circ}$ を得る.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/cont... | $\angle ABC=50^{\circ}$ なるひし形 $ABCD$ において, 内部の点 $P,Q$ が
$$\angle PAB=\angle QCD=60^{\circ},\ \angle PBA=\angle QDC=30^{\circ}$$
をみたしました. このとき, 直線 $BC$ と $PQ$ の交点 $R$ について, $\angle BRP$ の大きさを度数法で求めてください. |
OMC029 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/tasks/10 | D | OMC029(D) | 400 | 67 | 135 | [
{
"content": " すべての面について赤い辺の数を合計すると, これは偶数になることから, 赤い辺を奇数本もつ面は偶数個である. 特に条件より各面の赤い辺は $2$ 本または $3$ 本であるから, $n$ は偶数である.\r\n\r\n 逆に, 各辺を以下のように塗れば, まだ塗られていない辺 $6$ 本をどのように塗っても条件をみたすから, $n=0,2,\\cdots,12$ はすべて適する. 特に求める値は $\\textbf{1010101010101}$ である.\r\n\r\n | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/212 | A | OMCG001(A) | 200 | 53 | 71 | [
{
"content": "**解法1.** 全体を $169$ 倍に拡大して考えてもよい. このとき,\r\n$$A:(0,845),\\ \\ B:(0,0),\\ \\ C:(2028,0)$$\r\nとして直交座標を定めると, 以下のように順次計算できる.\r\n$$D:(120,795),\\ \\ E:(915,675),\\ \\ F:(732,540)$$\r\nこれより $BF:FE=4:1$ および $CF:FD=36:17$ を得るから, 解答すべき値は $144+17=\\textbf{161}$ である. \r\n\r\n**解法2.** $B$ から $AC$ におろした垂線の足を $H$... | $AB=5,BC=12,AC=13$ なる三角形 $ABC$ において, $AC$ を $10:159$ に内分する点を $D$ とし,$$BD=DE,\ \ \angle{BDE}=90^\circ$$なる点 $E$ を直線 $DB$ に関して点 $A$ と反対側にとります. $AC$ と $BE$ の交点を点 $F$ とするとき, 三角形 $BCF$ と $DEF$ の面積比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されます. $a+b$ を解答してください. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/210 | B | OMCG001(B) | 200 | 67 | 73 | [
{
"content": " 三角形 $BPQ$ は常に正三角形であるから, 円周角の定理より $ABQ$ の外接円 $O^\\prime$ は不変である. $A$ における $O$ の接線と $O^\\prime$ の交点を $C(\\neq A)$ とすれば, 求める領域は (円 $O$ の) 劣弧 $AB$ , (円 $O^\\prime$ の)劣弧 $BC$, 線分 $CA$ に囲まれた部分であり, その面積は一辺が $\\sqrt{3}$ の正三角形のそれと等しい. 特に解答すべき値は $27+16=\\textbf{43}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "h... | 半径 $1$ の円周 $O$ 上に $2$ 点 $A,B$ があり, $AB=\sqrt{3}$ をみたしています. 劣弧 $AB$ 上の点 $P$ について, 直線 $AP$ の $P$ 側の延長線上に $PQ=BP$ なる点 $Q$ をとります. $P$ が 劣弧 $AB$ 上 (端点を除く) を動くとき, 線分 $PQ$ が通過する領域の面積は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ と表されます. $a+b$ を解答してください. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/206 | C | OMCG001(C) | 200 | 43 | 50 | [
{
"content": "**解法1.** 簡単な角度計算によって $\\angle BAR=\\angle BRA$ および $\\angle CAP=\\angle CPA$ が従う. すなわち $CR=x$ とおけば $AB=16,AC=8+x$ である. 一方で $AB:AC=BQ:QC$ であるから, 以上より $x=8\\/5$ を得る. 特に解答すべき値は $88＋5=\\textbf{93}$ である.\r\n\r\n**解法2.** 三角形 $ABC$ の内心を $I$ とすると, $\\angle{IBP}=\\angle{PAI}$ より $4$ 点 $A,B,I,P$ は共円であり, 同様に... | 三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $B,P,Q,R,C$ がこの順にあり, 以下の条件をみたしています.
$$\begin{aligned}
\angle BAQ=\angle QAC,\ \ \angle ABQ&=2 \angle PAQ,\ \ \angle{ACQ}=2 \angle{QAR}\\\\
BP=8,\ \ PQ&=3,\ \ QR=5
\end{aligned}$$
このとき, 辺 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/207 | D | OMCG001(D) | 300 | 54 | 56 | [
{
"content": " $AB$ と $DO$ が直交することから $AD=BD$ である. このとき $AB$ の中点を $M$ とすると, $AM=4,AO=5$ より $OM=3$ であるから, $DM=8$ より $BC=AD=4\\sqrt{5}$ を得る. ところで $CD$ は $\\Omega$ に接するから方べきの定理より $CE=CD^2\\/BC=16\\/\\sqrt{5}$ である. 以上より $BE:EC=1:4$ で, 解答すべき値は $\\textbf{5}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcon... | $\angle{A}\lt 90^\circ$ かつ $AB\lt BD$ かつ $AB=8$ なる平行四辺形 $ABCD$ において, 三角形 $ABD$ の外接円を $\Omega$, 外心を $O$ とすると, $\Omega$ の半径は $5$ で, $CD$ と $DO$ は直交しました. このとき, $\Omega$ と辺 $BC$ の交点のうち $B$ でない方を $E$ とすると, 比 $BE:EC$ は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されます. $a+b$ を解答してください. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/214 | E | OMCG001(E) | 300 | 43 | 47 | [
{
"content": " $I,E$ から $AB$ におろした垂線の足をそれぞれ $J,K$ とすれば, $AJ:JK=3:1$ および $AJ=EK$ が成り立つから, $EK=12\\/5,JK=4\\/5$ がわかる. よって, $E$ から $BC$ におろした垂線の足を $L$ とすれば, 求める値は\r\n$$EF^2=EL^2+FL^2=(BE^2-BL^2)+FL^2=BE^2-EK^2+JK^2=\\dfrac{497}{25}$$\r\nとなり, 特に解答すべき値は $\\textbf{522}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://... | 正方形 $ABCD$ の内部に正方形 $EFGH$ があり, $F,G$ はそれぞれ辺 $BC,CD$ 上にあります. また, 線分 $AE$ 上に $BC\parallel HI$ をみたす点 $I$ をとったところ, 以下が成り立ちました.
$$AI=3\ \ IE=1,\ \ EB=5$$
このとき, 正方形 $EFGH$ の面積は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されます. $a+b$ を解答してください. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/211 | F | OMCG001(F) | 400 | 52 | 54 | [
{
"content": " $D$ から $CE$ におろした垂線の足を $F$, $F$ について $D$ と対称な点を $G$ とすれば, $CG=CD=25$ より $BG=15$ である. ここで $AFG$ と $DEG$ は相似な二等辺三角形であるから, $DG=13\\sqrt{10}$ より簡単な辺比計算によって $DE=65\\/3$ を得る. 特に解答すべき値は $\\textbf{68}$ である.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/211"
... | 角 $A,B$ がともに直角である四角形 $ABCD$ が $AD=13、AB=24、BC=20$ をみたしています. 辺 $AB$ 上の点 $E$ が $\angle{BEC}=\angle{CED}$ をみたすとき, $DE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されます. $a+b$ を解答して下さい. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/208 | G | OMCG001(G) | 600 | 12 | 19 | [
{
"content": " $A$ から対辺におろした垂線の足を $A_H$ とし, $H$ を $A_H$ について対称移動した点を $H^\\prime$ とすると, 有名事実として $H^\\prime$ は円 $ABC$ 上にある. また有名事実として外心と垂心は等角共役の関係にあることに留意して適当に角度を考えれば, $DH$ と $AO$ の平行および $O,D,H^\\prime$ の共線がわかる. これより円 $ABC$ の半径は $13$ とわかるほか, $HA_H=32\\/5$ と計算できるから, $BC$ の中点を $M$ とすれば相似から $OM=4,DM=3$ を得る. これより $BD... | $AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において, 外心を $O$, 垂心を $H$, 角 $A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると, 以下が成り立ちました.
$$AH=DH=8,\ \ DO=5$$
このとき, $BD$ の長さは整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}+b$ と表されるので, $a+b$ を解答してください. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/209 | H | OMCG001(H) | 600 | 3 | 6 | [
{
"content": " $\\Omega$ の $D,G$ での接線の交点 $P$ は根心を考えることで $AB$ 上にある. さらに $ABC$ の外心を $O$ とすれば $D,G,M,O$ は $OP$ を直径とする円上にある. 同様に $D,H,N,O$ も共円である. ここで $\\triangle{ABC}$ の外接円の半径の長さを $R$ とすれば, Ptolemyの定理より以下が成立することが容易にわかる.\r\n$$\\dfrac{MD-MG}{DG}\\times\\dfrac{ND-NH}{DH}=\\dfrac{MO}{R}\\times\\dfrac{NO}{R}=\\cos B\\t... | $AB=16,BC=19,CA=21$ なる三角形 $ABC$ において, その外接円 $\Omega$ および辺 $AB,AC$ に接する円 $\omega$ があり, 各接点を $D,E,F$ とします. また, $\omega$ にそれぞれ $E,F$ で外接し $\Omega$ に内接する $2$ 円について, それぞれと $\Omega$ の接点を $G,H$ とします. このとき, $AB,AC$ の中点 $M,N$ について, 以下の値を求めてください.
$$\dfrac{(MD-MG)(ND-NH)}{DG\times DH}$$
ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\displayst... |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/213 | I | OMCG001(I) | 700 | 8 | 12 | [
{
"content": " $BCDP$ がひし形となるような点 $P$ をとると, 簡単な角度計算によって $\\angle APE$ は直角である. これより, $AE$ の中点を $M$ とすれば $ABPM$ および $EDPM$ は凧形であり, 五角形 $ABCDE$ の面積は直角三角形 $BDM$ の面積の $2$ 倍である. 三角形 $ABE$ および $ADE$ における中線定理より $BM=\\sqrt{19},DM=\\sqrt{13}$ を得るから, 解答すべき値は $19\\times13=\\textbf{247}$ である.",
"text": "公式解説",
"url"... | 角 $A,E$ がともに鈍角である凸五角形 $ABCDE$ が, 以下の条件をみたしています.
$$\begin{aligned}
&AB=BC=CD=DE,\quad AE=4,\\\\
&AB^2+AD^2=34,\quad BE^2+DE^2=46,\\\\
&\angle{B}+\angle{D}=180^\circ
\end{aligned}$$
このとき, 五角形 $ABCDE$ の面積の $2$ 乗を求めてください. |
OMCG001 (幾何コンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/tasks/215 | J | OMCG001(J) | 1000 | 1 | 6 | [
{
"content": " まず有名事実として, 以下の補題1を認める.\r\n\r\n**補題1.** どの $3$ 点も同一直線上に無く, かつ垂心系をなさない $4$ 点 $V,W,Y,Z$ について, 以下で定められる $8$ 円はすべてある一点 (Poncelet点) を通る.\r\n\r\n- 三角形 $VWY,WYZ,YZV,ZVW$ の九点円\r\n- $Z$ についての三角形 $VWY$ の垂足円, および同様に定まる $3$ 円\r\n\r\n**補題2.** 辺 $BC$ と内接円の接点を $D$ とする. $I$ について $D$ と対称な点を $P$ とすれば, 一般に $M,P,Fe$ ... | $AB\neq AC$ なる三角形 $ABC$ は, 中心が $O$ で半径が $x$ の外接円と, 中心が $I$ で半径が $10000$ の内接円をもちます. $AI$ の中点を $M$ とし, 三角形 $ABC$ のフォイエルバッハ点を $Fe$ とすると, $3$ 点 $M,O,Fe$ は相異なり, かつ同一直線上にありました. このとき, $x$ としてありうる最小の整数値を求めてください.
ただし, $1.414213\lt\sqrt{2}\lt1.414214$ および $1.73205\lt\sqrt{3}\lt1.732051$ が保証されます.
**注意.** 三角形の内接円と九点円は必ず接する... |
OMC028 (とある数学のコンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/tasks/226 | A | OMC028(A) | 100 | 304 | 309 | [
{
"content": " 三平方の定理より $BD=5$ である. すると $BD^2+BC^2=CD^2$ が成り立つから $\\angle BDC$ も直角であり, $ABCD$ の面積 $S$ について\r\n$$S=\\frac 12\\times 1\\times 2\\sqrt{6}+\\frac 12\\times 5\\times 2\\sqrt{6}=6\\sqrt{6}$$\r\n特に解答すべき値は $\\textbf{216}$ である. ",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc... | 凸四角形 $ABCD$ が以下の条件
$$AB=1,\ \ BC=7,\ \ CD=DA=2\sqrt{6},\ \ \angle DAB=90^\circ$$
をみたすとき, その面積の $2$ 乗を求めてください. |
OMC028 (とある数学のコンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/tasks/203 | B | OMC028(B) | 200 | 273 | 294 | [
{
"content": " $\\lbrace a_n\\rbrace$ の公差を $d$, 最大化すべき値を $S$ とおけば, 以下が成立する. すなわち $S=50+25d$ である.\r\n$$100=\\sum_{k=1}^{100}a_i=\\sum_{k=1}^{50}(2a_{2k}-d)=2S-50d$$\r\n一方で $2=\\dfrac{100}{50}=a_1+a_{100}=2a_1+99d$ であり, $a_1\\geq 0$ より $d\\leq\\dfrac{2}{99}$ を得る. 以上より\r\n$$S\\leq50+25\\times\\dfrac{2}{99}=\\dfrac... | $100$ 項からなり, 各項がすべて $0$ 以上の等差数列 $\lbrace a_n\rbrace\_{n=1,2,\cdots,100}$ において,
$$a_1+a_2+\cdots+a_{100}=100$$
が成り立つとき, $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{100}$ としてあり得る最大値を求めてください.\
ただし, 求める値は互いに素な正整数 $x,y$ によって $\dfrac{x}{y}$ と表されるので, $x+y$ を解答してください. |
OMC028 (とある数学のコンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/tasks/228 | C | OMC028(C) | 300 | 220 | 283 | [
{
"content": " $3\\times 3$ のマス目の各マスに $0$ と $1$ を書き込んだとき, 各行および各列にならぶ数字の和がどれも偶数となるような書き込み方を考えると, これは $2^4$ 通りある. このうち, $1$ が登場する回数が $0$ 回のものが $1$ 通り, $4$ 回のものが $9$ 通り, $6$ 回のものが $6$ 通りである. $0$ の場所を $1$ 以上 $18$ 以下の偶数, $1$ の場所を $1$ 以上 $18$ 以下の奇数に置き換えることを考えれば, 解答すべき値について\r\n$$\\dfrac{M}{9!}=\\dfrac{{}\\_9\\mathrm{... | $3\times 3$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $18$ 以下の整数を**重複なく**書き込みます. このとき, 各行および各列にならぶ整数の和がどれも偶数となるような書き込み方は $M$ 通りあります. $\displaystyle \frac{M}{9!}$ を求めてください.\
ただし, 回転や反転によって一致するものも区別して数えるものとします. |
OMC028 (とある数学のコンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/tasks/225 | D | OMC028(D) | 500 | 82 | 152 | [
{
"content": " まず $\\angle BDC=\\angle BOC=2\\angle BAC$ より $AD=CD$ が従い, 同様に $AE=BE$ である. また, 三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ は相似であることに留意する.\\\r\n ここで $BC=x$ とおく. このとき三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ の相似比は $2:x$ であるから,\r\n$$AD=CD=\\frac{10}{x},\\ \\ AE=BE=\\frac{8}{x}$$\r\nが成り立ち, 四角形 $BCED$ にPtolemyの定理を適用することで\r\n$$2x+\\left(4-\\frac... | $AB=4$, $AC=5$ なる三角形 $ABC$ において, 外心を $O$ とすると, 三角形 $OBC$ の外接円は線分 $AB$ と $B$ でない点 $D$ で, 線分 $AC$ と $C$ でない点 $E$ で交わり, $DE=2$ が成り立ちました. このとき $BC$ の長さを求めてください. ただし, 答えは整数 $a, b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表されるので $a+b$ を解答してください. |
OMC028 (とある数学のコンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/tasks/204 | E | OMC028(E) | 600 | 51 | 159 | [
{
"content": " $a\\geq b$ の範囲で考えればよい. 条件で定まる最小の $c$ を $f(a,b)$ とおいたとき, 以下が成り立つことを示す.\r\n$$\r\nf(a,b)=\\begin{cases}\r\n\\mathrm{LCM}(a,b)-a-b &(b\\nmid a) \\\\\\\\\r\na-b &(a\\neq b\\ \\text{かつ}\\ b\\mid a) \\\\\\\\\r\na &(a=b) \r\n\\end{cases}\r\n$$\r\n $b\\mid a$ の場合は明らかであるから, $b\\nmid a$ の場合を確認する. ここで, $\\df... | 以下の条件をみたす正整数の組 $(a,b)$ はいくつありますか？
- 条件：$\dfrac{a+c}{b}$ と $\dfrac{b+c}{a}$ がともに整数となるような最小の正整数 $c$ は $80000$ である. |
OMC028 (とある数学のコンテスト) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/tasks/205 | F | OMC028(F) | 700 | 23 | 65 | [
{
"content": " まず二つ目の条件, すなわち以下をみたす組について考える.\r\n$$\\lbrace x_1\\rbrace=\\dfrac{1}{x_2},\\ \\lbrace x_2\\rbrace=\\dfrac{1}{x_3},\\ \\lbrace x_3\\rbrace=\\dfrac{1}{x_4},\\ \\lbrace x_4\\rbrace=\\dfrac{1}{x_5},\\ \\lbrace x_5\\rbrace=\\dfrac{1}{x_1}$$\r\n明らかに $x_i$ らは整数でなく, かつ $1$ より大きい. $a_i,b_i$ をそれぞれ $x_i$ の整数部... | 以下の条件をともにみたす実数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ はいくつありますか？
- $0\lt x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5\lt100$
- $\lbrace x_1\rbrace x_2=\lbrace x_2\rbrace x_3=\lbrace x_3\rbrace x_4=\lbrace x_4\rbrace x_5=\lbrace x_5\rbrace x_1=1$
ただし, 正の実数 $x$ に対し, $\lbrace x\rbrace$ で $x$ の小数部分を表します. |
OMC027 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc027/tasks/4 | A | OMC027(A) | 100 | 233 | 237 | [
{
"content": " $A, B, E, F$ には合計 $880\\text{ml}$ のコーヒーが入っていることと, $B, E, F$ には合計 $624\\text{ml}$ のコーヒーが入っていることから, $A$ には $256\\text{ml}$ のコーヒーが入っていることがわかる. また, $A, C, F$ には合計 $630\\text{ml}$ のコーヒーが入っていること, $A, B, D, E$ には合計 $636\\text{ml}$ のコーヒーが入っていること, $A$ には $256\\text{ml}$ のコーヒーが入っていることから, $A, B, C, D, E, F$... | $A, B, C, D, E, F$ の $6$ つのコーヒーカップがあります. $A, B, E, F$ には平均 $220\text{ml}$ のコーヒーが, $A, C, F$ には平均 $210\text{ml}$ のコーヒーが, $B, E, F$ には平均 $208\text{ml}$ のコーヒーが, $A, B, D, E$ には平均 $159\text{ml}$ のコーヒーが入っています. このとき, $A, B, C, D, E, F$ 全体では $x\text{ml}$ のコーヒーがあります. $x$ を解答してください. |
OMC027 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc027/tasks/3 | B | OMC027(B) | 200 | 199 | 230 | [
{
"content": " マスに書き込まれた数を左上から順に $A,B,C;D,E,F;G,H,I$ とする.\\\r\n $9$ は $1,2$ としか隣り合えないことに留意して, 対称性より $(A,B,D)=(9,1,2)$ としてよい. さらに $8$ は $1,2,3$ としか隣り合えないことに留意して, 対称性より $(C,F)=(8,3)$ としてよい. 残りの $4,5,6,7$ については, $H=4$ とするほかなく, このとき残り $3$ 数の書き込み方は任意である. 以上より $M=4\\times2\\times2\\times3!=\\textbf{96}$ である.",
"t... | $3\times 3$ のマス目に $1$ 以上 $9$ 以下の整数を $1$ 回ずつ書き込みます. このとき, どの隣り合う $2$ マスについても, 数の和が $11$ 以下となるような書き込み方は $M$ 通りあります. $M$ を解答してください.\
ただし, 回転や反転で一致するものも区別するものとします. |
OMC027 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc027/tasks/6 | C | OMC027(C) | 300 | 63 | 111 | [
{
"content": " $AD_{i},BE_{j},CF_{k}$ が一点で交わる条件は, Cevaの定理より\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\frac{BD_{i}}{D_{i}C}\\times\\frac{CE_{j}}{E_{j}A}\\times\\frac{AF_{k}}{F_{k}B}=1 &\\iff \\frac{ijk}{(2p-i)(2p-j)(2p-k)}=1 \\\\\\\\\r\n&\\iff p[4p^2-2(i+j+k)p+(ij+jk+ki)]=ijk\r\n\\end{aligned}$$\r\nこれより $i,j,k$ の少なくとも一つは $p$ で... | $p$ を素数とします. 三角形 $ABC$ において, 辺 $BC,CA,AB$ を $i:2p-i$ に内分する点をそれぞれ $D_{i},E_{i},F_{i}\ (i=1,\cdots,2p-1)$ としたとき, $3$ 直線 $AD_{i},BE_{j},CF_{k}$ が一点で交わるような組 $(i,j,k)$ が $1033$ 個存在しました. $p$ としてあり得る値すべてについて, それらの総和を求めてください. |
OMC027 (for beginners) | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc027/tasks/5 | D | OMC027(D) | 400 | 44 | 114 | [
{
"content": " 一般に $234$ を $m$ とおく. $Q(x)=1-xP(x)$ とおくと, 因数定理よりこれは $(x-1)(x-2)\\cdots(x-m)$ で割り切れ, $Q(0)=1$ と合わせて $Q(x)=\\dfrac{(-1)^m}{m!}(x-1)\\cdots(x-m)$ である.\r\n\r\n ここで, $(x-1)\\cdots(x-m)$ の $m-2$ 次の係数は\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{1\\leq i\\lt j\\leq m} ij\r\n&=\\frac12\\left(\\sum_{i=1}^{m}\\sum_{j=... | $233$ 次の多項式 $P(x)$ は, 任意の $n=1,2,\cdots,234$ について $P(n)=\dfrac{1}{n}$ をみたします. このとき $P(x)$ の $231$ 次の係数は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $-\dfrac{a}{b}$ と表せます. $b$ が $2$ で割り切れる回数を求めてください. |
OMC026 | https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1 | https://onlinemathcontest.com/contests/omc026/tasks/154 | A | OMC026(A) | 100 | 306 | 306 | [
{
"content": " $10S+8(20-S)=174$ を解くことで $S=\\textbf{7}$ を得る.",
"text": "公式解説",
"url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc026/editorial/154"
}
] | イカとタコが合わせて $20$ 匹います. 足の本数が合計で $174$ 本であるとき, イカは $S$ 匹です.\
$S$ を解答してください. ただし, イカとタコはそれぞれ足を $10$ 本, $8$ 本もつものとします. |
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