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values | file_path stringlengths 7 101 | full_name stringlengths 1 94 | start stringlengths 6 10 | end stringlengths 6 11 | tactic stringlengths 1 11.2k | state_before stringlengths 3 2.09M | state_after stringlengths 6 2.09M | input stringlengths 73 2.09M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | let hmt_eq := hmt.exists_smul_eq | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
⊢ k ∈ G | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
⊢ k ∈ G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
⊢ k ∈ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | let x' := j.trans x | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
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j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
⊢ k ∈ G | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
⊢ k ∈ G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
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k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
⊢ k ∈ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | obtain ⟨g, hg'⟩ := hmt_eq x' (k • x') | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
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inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
⊢ k ∈ G | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ k ∈ G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
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j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
⊢ k ∈ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | suffices k = g by rw [this]; exact SetLike.coe_mem g | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
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j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ k ∈ G | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ k = ↑g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ k ∈ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | have hx : ∀ x : Fin (Fintype.card α) ↪ α, Function.Surjective x.toFun := by
intro x
apply Function.Bijective.surjective
rw [Fintype.bijective_iff_injective_and_card]
exact ⟨EmbeddingLike.injective x, Fintype.card_fin (Fintype.card α)⟩ | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ k = ↑g | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
⊢ k = ↑g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ k = ↑g
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | have hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)) (_ : i.val < Fintype.card α - 1),
(g • x) i = (k • x) i := by
intro i hi
exact Function.Embedding.ext_iff.mpr hg' ⟨i.val, hi⟩ | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
⊢ k = ↑g | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
⊢ k = ↑g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
⊢ k = ↑g
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | apply Equiv.Perm.ext | case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
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k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
⊢ k = ↑g | case intro.H
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
⊢ ∀ (x : α), k x = ↑g x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
⊢ k = ↑g
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | intro a | case intro.H
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
⊢ ∀ (x : α), k x = ↑g x | case intro.H
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
a : α
⊢ k a = ↑g a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.H
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
⊢ ∀ (x : α), k x = ↑g x
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | obtain ⟨i, rfl⟩ := (hx x) a | case intro.H
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
a : α
⊢ k a = ↑g a | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
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hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.H
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
a : α
⊢ k a = ↑g a
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | let zi := hgk i | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i) | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
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hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
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zi : (g • x) i = (k • x) i := hgk i
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | simp only [Function.Embedding.smul_apply, Equiv.Perm.smul_def] at zi | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : (g • x) i = (k • x) i := hgk i
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i) | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : (g • x) i = (k • x) i := hgk i
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | simp only [Function.Embedding.toFun_eq_coe] | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i) | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
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k : Equiv.Perm α
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hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
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hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ k (x i) = ↑g (x i) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
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i : Fin (Fintype.card α)
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⊢ k (x.toFun i) = ↑g (x.toFun i)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [← zi] | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ k (x i) = ↑g (x i) | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ g • x i = ↑g (x i) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ k (x i) = ↑g (x i)
TACTIC:
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https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rfl | case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ g • x i = ↑g (x i) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.H.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
hgk : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
zi : g • x i = k (x i) := hgk i
⊢ g • x i = ↑g (x i)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [this] | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
this : k = ↑g
⊢ k ∈ G | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
this : k = ↑g
⊢ ↑g ∈ G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
this : k = ↑g
⊢ k ∈ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | exact SetLike.coe_mem g | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
this : k = ↑g
⊢ ↑g ∈ G | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
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k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
this : k = ↑g
⊢ ↑g ∈ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | intro x | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Surjective x.toFun | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
⊢ ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | apply Function.Bijective.surjective | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Surjective x.toFun | case hf
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Bijective x.toFun | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Surjective x.toFun
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [Fintype.bijective_iff_injective_and_card] | case hf
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Bijective x.toFun | case hf
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Injective x.toFun ∧ Fintype.card (Fin (Fintype.card α)) = Fintype.card α | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Bijective x.toFun
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | exact ⟨EmbeddingLike.injective x, Fintype.card_fin (Fintype.card α)⟩ | case hf
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Injective x.toFun ∧ Fintype.card (Fin (Fintype.card α)) = Fintype.card α | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Injective x.toFun ∧ Fintype.card (Fin (Fintype.card α)) = Fintype.card α
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | intro i hi | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
⊢ ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
⊢ ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
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https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | exact Function.Embedding.ext_iff.mpr hg' ⟨i.val, hi⟩ | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | intro i | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
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⊢ ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
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hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
⊢ (g • x) i = (k • x) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
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k : Equiv.Perm α
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hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
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hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
⊢ ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | cases' aux_lt_iff_lt_or_eq i.prop with hi hi | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
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i : Fin (Fintype.card α)
⊢ (g • x) i = (k • x) i | case inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i
case inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
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hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
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hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
⊢ (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | exact hgk' i hi | case inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
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k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
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hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | obtain ⟨j, hxj : (k • x) j = (g • x) i⟩ := hx (k • x) ((g • x) i) | case inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | case inr.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
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j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
⊢ (g • x) i = (k • x) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
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x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j x
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i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | cases' aux_lt_iff_lt_or_eq j.prop with hj hj | case inr.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
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i : Fin (Fintype.card α)
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j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
⊢ (g • x) i = (k • x) i | case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i
case inr.intro.inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
⊢ (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | exfalso | case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
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hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
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j : Fin (Fintype.card α)
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hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
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hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
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i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | suffices i = j by rw [← this, ← hi] at hj ; refine' lt_irrefl _ hj | case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
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hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
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i : Fin (Fintype.card α)
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j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
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⊢ False | case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
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j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
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hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
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hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ i = j | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
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k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | apply EmbeddingLike.injective (g • x) | case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ i = j | case inr.intro.inl.a
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (g • x) j | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inl
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
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x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
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hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ i = j
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [hgk' j hj] | case inr.intro.inl.a
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (g • x) j | case inr.intro.inl.a
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) j | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inl.a
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (g • x) j
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [hxj] | case inr.intro.inl.a
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) j | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inl.a
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) j
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [← this, ← hi] at hj | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
this : i = j
⊢ False | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑i < ↑i
this : i = j
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j < Fintype.card α - 1
this : i = j
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | refine' lt_irrefl _ hj | M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑i < ↑i
this : i = j
⊢ False | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑i < ↑i
this : i = j
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [← hxj] | case inr.intro.inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i | case inr.intro.inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ (k • x) j = (k • x) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ (g • x) i = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | apply congr_arg | case inr.intro.inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ (k • x) j = (k • x) i | case inr.intro.inr.h
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ j = i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inr
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ (k • x) j = (k • x) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.eq_top_of_is_full_minus_one_pretransitive | [1025, 1] | [1065, 6] | rw [Fin.ext_iff, hi, hj] | case inr.intro.inr.h
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ j = i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.inr.h
M : Type ?u.248388
α : Type u_1
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : Fintype α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j✝ : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := (Fin.castLEEmb ⋯).toEmbedding
k : Equiv.Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := Equiv.toEmbedding (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm
hmt_eq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := Function.Embedding.trans j✝ x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
hx : ∀ (x : Fin (Fintype.card α) ↪ α), Function.Surjective x.toFun
hgk' : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), ↑i < Fintype.card α - 1 → (g • x) i = (k • x) i
i : Fin (Fintype.card α)
hi : ↑i = Fintype.card α - 1
j : Fin (Fintype.card α)
hxj : (k • x) j = (g • x) i
hj : ↑j = Fintype.card α - 1
⊢ j = i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | cases' lt_or_ge (Fintype.card α) 2 with h2 h2 | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | case inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α < 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
case inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | obtain ⟨n, hn⟩ := Nat.le.dest h2 | case inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : 2 + n = Fintype.card α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | have hn' : Fintype.card α - 2 = n := tsub_eq_of_eq_add_rev hn.symm | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : 2 + n = Fintype.card α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : 2 + n = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : 2 + n = Fintype.card α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [add_comm] at hn | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : 2 + n = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : 2 + n = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | have hn_le : n ≤ Fintype.card α := by rw [← hn]; exact le_self_add | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | apply IsPretransitive.mk | case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 2) ↪ α), ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [hn'] | case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 2) ↪ α), ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∀ (x y : Fin n ↪ α), ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∀ (x y : Fin (Fintype.card α - 2) ↪ α), ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | intro x y | case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∀ (x y : Fin n ↪ α), ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∀ (x y : Fin n ↪ α), ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | obtain ⟨x', hx'⟩ := may_extend hn_le (le_of_eq PartENat.card_eq_coe_fintype_card.symm) x | case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | obtain ⟨y', hy'⟩ := may_extend hn_le (le_of_eq PartENat.card_eq_coe_fintype_card.symm) y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | let heq := (Equiv.Perm.isMultiplyPretransitive α (Fintype.card α)).exists_smul_eq | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | obtain ⟨g, hg⟩ := heq x' y' | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | cases' Int.units_eq_one_or (Equiv.Perm.sign g) with h h | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
⊢ ∃ g, g • x = y
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [Nat.sub_eq_zero_of_le (le_of_lt h2)] | case inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α < 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2) | case inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α < 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α < 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Fintype.card α - 2)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | apply is_zero_pretransitive | case inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α < 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α < 2
⊢ IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α 0
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [← hn] | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ n ≤ Fintype.card α | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ n ≤ n + 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ n ≤ Fintype.card α
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | exact le_self_add | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ n ≤ n + 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
⊢ n ≤ n + 2
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | use ⟨g, Equiv.Perm.mem_alternatingGroup.mpr h⟩ | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
⊢ ∃ g, g • x = y | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
⊢ { val := g, property := ⋯ } • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inl
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | ext i | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
⊢ { val := g, property := ⋯ } • x = y | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ ({ val := g, property := ⋯ } • x) i = y i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
⊢ { val := g, property := ⋯ } • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [Function.Embedding.smul_apply] | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ ({ val := g, property := ⋯ } • x) i = y i | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ { val := g, property := ⋯ } • x i = y i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ ({ val := g, property := ⋯ } • x) i = y i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [← hx', ← hy', ← hg] | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ { val := g, property := ⋯ } • x i = y i | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ { val := g, property := ⋯ } • (Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x') i =
(Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding (g • x')) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ { val := g, property := ⋯ } • x i = y i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rfl | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ { val := g, property := ⋯ } • (Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x') i =
(Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding (g • x')) i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = 1
i : Fin n
⊢ { val := g, property := ⋯ } • (Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x') i =
(Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding (g • x')) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | have hg'1 : n + 1 < Fintype.card α := by
rw [← hn]; exact Nat.lt.base (n + 1) | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | have hg'2 : n < Fintype.card α := by
apply lt_trans _ hg'1; exact lt_add_one n | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | let g' := Equiv.swap (y'.toFun ⟨n + 1, hg'1⟩) (y'.toFun ⟨n, hg'2⟩) | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
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hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | have hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1 := by
rw [Equiv.Perm.IsSwap.sign_eq]
use y'.toFun ⟨n + 1, hg'1⟩; use y'.toFun ⟨n, hg'2⟩
simp only [toFun_eq_coe, ne_eq, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, Fin.mk.injEq,
add_right_eq_self, one_ne_zero, not_false_eq_true, and_self, g'] | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ ∃ g, g • x = y | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ ∃ g, g • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | use ⟨g' * g, ?_⟩ | case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ ∃ g, g • x = y | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ { val := g' * g, property := ?w } • x = y
case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ g' * g ∈ alternatingGroup α | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.exists_smul_eq.intro.intro.intro.inr
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ ∃ g, g • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | swap | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ { val := g' * g, property := ?w } • x = y
case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ g' * g ∈ alternatingGroup α | case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ g' * g ∈ alternatingGroup α
case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ { val := g' * g, property := ?w } • x = y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ { val := g' * g, property := ?w } • x = y
case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ g' * g ∈ alternatingGroup α
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | ext i | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ { val := g' * g, property := ⋯ } • x = y | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ ({ val := g' * g, property := ⋯ } • x) i = y i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ { val := g' * g, property := ⋯ } • x = y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | suffices (g' * g) • x i = y i by exact this | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ ({ val := g' * g, property := ⋯ } • x) i = y i | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ (g' * g) • x i = y i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ ({ val := g' * g, property := ⋯ } • x) i = y i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [toFun_eq_coe, Equiv.Perm.smul_def, Equiv.Perm.coe_mul, Function.comp_apply] | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ (g' * g) • x i = y i | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g (x i)) = y i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ (g' * g) • x i = y i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [← hx', ← hy', ← hg] | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g (x i)) = y i | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g ((Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x') i)) =
(Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding (g • x')) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g (x i)) = y i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [smul_apply, Equiv.Perm.smul_def, Fin.castLEEmb_toEmbedding, trans_apply, coeFn_mk] | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g ((Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x') i)) =
(Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding (g • x')) i | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g (x' (Fin.castLE hn_le i))) = g (x' (Fin.castLE hn_le i)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g ((Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x') i)) =
(Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding (g • x')) i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | have : ∀ i, g (x' i) = y' i := fun i ↦ by
rw [← hg, smul_apply, Equiv.Perm.smul_def] | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g (x' (Fin.castLE hn_le i))) = g (x' (Fin.castLE hn_le i)) | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ g' (g (x' (Fin.castLE hn_le i))) = g (x' (Fin.castLE hn_le i)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
⊢ g' (g (x' (Fin.castLE hn_le i))) = g (x' (Fin.castLE hn_le i))
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [← Equiv.Perm.smul_def, ← smul_apply, hg] | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ g' (g (x' (Fin.castLE hn_le i))) = g (x' (Fin.castLE hn_le i)) | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ (g' • y') (Fin.castLE hn_le i) = y' (Fin.castLE hn_le i) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ g' (g (x' (Fin.castLE hn_le i))) = g (x' (Fin.castLE hn_le i))
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | apply Equiv.swap_apply_of_ne_of_ne | case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ (g' • y') (Fin.castLE hn_le i) = y' (Fin.castLE hn_le i) | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ y' (Fin.castLE hn_le i) ≠ y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ y' (Fin.castLE hn_le i) ≠ y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 } | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ (g' • y') (Fin.castLE hn_le i) = y' (Fin.castLE hn_le i)
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [← hn] | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ n + 1 < Fintype.card α | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ n + 1 < n + 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ n + 1 < Fintype.card α
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | exact Nat.lt.base (n + 1) | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ n + 1 < n + 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
⊢ n + 1 < n + 2
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | apply lt_trans _ hg'1 | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ n < Fintype.card α | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ n < n + 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ n < Fintype.card α
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | exact lt_add_one n | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ n < n + 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
⊢ n < n + 1
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [Equiv.Perm.IsSwap.sign_eq] | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ Equiv.Perm.sign g' = -1 | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ Equiv.Perm.IsSwap g' | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ Equiv.Perm.sign g' = -1
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | use y'.toFun ⟨n + 1, hg'1⟩ | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ Equiv.Perm.IsSwap g' | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ ∃ y, y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 } ≠ y ∧ g' = Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ Equiv.Perm.IsSwap g'
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | use y'.toFun ⟨n, hg'2⟩ | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ ∃ y, y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 } ≠ y ∧ g' = Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) y | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 } ≠ y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 } ∧
g' = Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 }) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ ∃ y, y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 } ≠ y ∧ g' = Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) y
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [toFun_eq_coe, ne_eq, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, Fin.mk.injEq,
add_right_eq_self, one_ne_zero, not_false_eq_true, and_self, g'] | case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 } ≠ y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 } ∧
g' = Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 }) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
⊢ y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 } ≠ y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 } ∧
g' = Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [Equiv.Perm.mem_alternatingGroup] | case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ g' * g ∈ alternatingGroup α | case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ Equiv.Perm.sign (g' * g) = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ g' * g ∈ alternatingGroup α
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [Equiv.Perm.sign_mul, h, hg'] | case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ Equiv.Perm.sign (g' * g) = 1 | case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ -1 * -1 = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ Equiv.Perm.sign (g' * g) = 1
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | norm_num | case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ -1 * -1 = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case w
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
⊢ -1 * -1 = 1
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | exact this | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : (g' * g) • x i = y i
⊢ ({ val := g' * g, property := ⋯ } • x) i = y i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : (g' * g) • x i = y i
⊢ ({ val := g' * g, property := ⋯ } • x) i = y i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | rw [← hg, smul_apply, Equiv.Perm.smul_def] | M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i✝ : Fin n
i : Fin (Fintype.card α)
⊢ g (x' i) = y' i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i✝ : Fin n
i : Fin (Fintype.card α)
⊢ g (x' i) = y' i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | intro h | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ y' (Fin.castLE hn_le i) ≠ y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 } | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : y' (Fin.castLE hn_le i) = y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ y' (Fin.castLE hn_le i) ≠ y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [toFun_eq_coe, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq,
← Fin.val_inj, Fin.coe_castLE] at h | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : y' (Fin.castLE hn_le i) = y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }
⊢ False | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : y' (Fin.castLE hn_le i) = y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | apply not_lt.mpr (le_succ n) | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ False | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ succ n < n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | convert i.prop | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ succ n < n | case h.e'_3
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ succ n = ↑i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ succ n < n
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | exact h.symm | case h.e'_3
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ succ n = ↑i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n + 1
⊢ succ n = ↑i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | intro h | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ y' (Fin.castLE hn_le i) ≠ y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 } | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : y' (Fin.castLE hn_le i) = y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 }
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
⊢ y' (Fin.castLE hn_le i) ≠ y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 }
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | simp only [toFun_eq_coe, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq,
← Fin.val_inj, Fin.coe_castLE] at h | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : y' (Fin.castLE hn_le i) = y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 }
⊢ False | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : y' (Fin.castLE hn_le i) = y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 }
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | apply lt_irrefl n | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ False | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ n < n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | convert i.prop | case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ n < n | case h.e'_3
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ n = ↑i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h.a
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ n < n
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_of_sub_two | [1075, 1] | [1133, 19] | exact h.symm | case h.e'_3
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ n = ↑i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3
M : Type ?u.254050
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h2 : Fintype.card α ≥ 2
n : ℕ
hn : n + 2 = Fintype.card α
hn' : Fintype.card α - 2 = n
hn_le : n ≤ Fintype.card α
x y : Fin n ↪ α
x' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hx' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding x' = x
y' : Fin (Fintype.card α) ↪ α
hy' : Function.Embedding.trans (Fin.castLEEmb hn_le).toEmbedding y' = y
heq : ∀ (x y : Fin (Fintype.card α) ↪ α), ∃ g, g • x = y := IsPretransitive.exists_smul_eq
g : Equiv.Perm α
hg : g • x' = y'
h✝ : Equiv.Perm.sign g = -1
hg'1 : n + 1 < Fintype.card α
hg'2 : n < Fintype.card α
g' : Equiv.Perm α := Equiv.swap (y'.toFun { val := n + 1, isLt := hg'1 }) (y'.toFun { val := n, isLt := hg'2 })
hg' : Equiv.Perm.sign g' = -1
i : Fin n
this : ∀ (i : Fin (Fintype.card α)), g (x' i) = y' i
h : ↑i = n
⊢ n = ↑i
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_le_of_sub_two | [1140, 1] | [1167, 32] | cases' Nat.lt_or_ge (Fintype.card α) 2 with hα1 hα | M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
⊢ alternatingGroup α ≤ G | case inl
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα1 : Fintype.card α < 2
⊢ alternatingGroup α ≤ G
case inr
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ alternatingGroup α ≤ G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
⊢ alternatingGroup α ≤ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_le_of_sub_two | [1140, 1] | [1167, 32] | apply large_subgroup_of_perm_contains_alternating | case inr
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ alternatingGroup α ≤ G | case inr.hG
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ Fintype.card (Equiv.Perm α) ≤ 2 * Fintype.card ↥G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ alternatingGroup α ≤ G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_le_of_sub_two | [1140, 1] | [1167, 32] | rw [Fintype.card_equiv (Equiv.refl _)] | case inr.hG
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ Fintype.card (Equiv.Perm α) ≤ 2 * Fintype.card ↥G | case inr.hG
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ (Fintype.card α)! ≤ 2 * Fintype.card ↥G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.hG
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ Fintype.card (Equiv.Perm α) ≤ 2 * Fintype.card ↥G
TACTIC:
|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/Jordan4.git | d49910c127be01229697737a55a2d756e908d3e1 | Jordan/MultipleTransitivity.lean | MulAction.IsMultiplyPretransitive.alternatingGroup_le_of_sub_two | [1140, 1] | [1167, 32] | obtain ⟨s, _, hs⟩ := Set.exists_smaller_set (Set.univ : Set α) (Fintype.card α - 2)
(by
rw [Set.ncard_univ, Nat.card_eq_fintype_card]
exact sub_le (Fintype.card α) 2) | case inr.hG
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ (Fintype.card α)! ≤ 2 * Fintype.card ↥G | case inr.hG.intro.intro
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
s : Set α
left✝ : s ⊆ Set.univ
hs : Set.ncard s = Fintype.card α - 2
⊢ (Fintype.card α)! ≤ 2 * Fintype.card ↥G | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.hG
M : Type ?u.274186
α : Type u_1
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Equiv.Perm α)
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 2)
hα : Fintype.card α ≥ 2
⊢ (Fintype.card α)! ≤ 2 * Fintype.card ↥G
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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