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https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
generalize hg : (fun n1 : β„• ↦ w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f ⊒ HasSum f a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g ⊒ HasSum f a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f ⊒ HasSum f a TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
generalize ha' : βˆ‘' n, f n = a'
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g ⊒ HasSum f a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum f a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g ⊒ HasSum f a TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
have gs : HasSum g a := by rw [← hg, ← ha]; exact cauchy2_hasSum_n1n0 h w0m w1m
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum f a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a ⊒ HasSum f a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum f a TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
have fs : βˆ€ n1 : β„•, HasSum (fun n0 ↦ f ⟨n1, n0⟩) (g n1) := by intro n1; rw [← hf, ← hg]; simp only simp_rw [smul_comm (w0 ^ _) _]; apply HasSum.const_smul; exact cauchy2_hasSum_n0 h w0m n1
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a ⊒ HasSum f a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) ⊒ HasSum f a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a ⊒ HasSum f a TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
have fs' : HasSum f a' := by rw [← ha']; exact sf.hasSum
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f ⊒ HasSum f a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f fs' : HasSum f a' ⊒ HasSum f a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f ⊒ HasSum f a TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
have gs' := HasSum.prod_fiberwise fs' fs
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f fs' : HasSum f a' ⊒ HasSum f a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f fs' : HasSum f a' gs' : HasSum (fun b => g b) a' ⊒ HasSum f a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f fs' : HasSum f a' ⊒ HasSum f a TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rwa [HasSum.unique gs gs']
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f fs' : HasSum f a' gs' : HasSum (fun b => g b) a' ⊒ HasSum f a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f fs' : HasSum f a' gs' : HasSum (fun b => g b) a' ⊒ HasSum f a TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rw [← hg, ← ha]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum g a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) (f✝ (c0 + w0, c1 + w1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum g a TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
exact cauchy2_hasSum_n1n0 h w0m w1m
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) (f✝ (c0 + w0, c1 + w1))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' ⊒ HasSum (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) (f✝ (c0 + w0, c1 + w1)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
intro n1
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a ⊒ βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a ⊒ βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rw [← hf, ← hg]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) (n1, n0)) ((fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) n1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
simp only
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) (n1, n0)) ((fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) n1)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => w0 ^ n0 β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff n0 n1) (w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) (n1, n0)) ((fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) n1) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
simp_rw [smul_comm (w0 ^ _) _]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => w0 ^ n0 β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff n0 n1) (w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => w1 ^ n1 β€’ w0 ^ n0 β€’ h.series2Coeff n0 n1) (w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => w0 ^ n0 β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff n0 n1) (w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
apply HasSum.const_smul
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => w1 ^ n1 β€’ w0 ^ n0 β€’ h.series2Coeff n0 n1) (w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0)
case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun i => w0 ^ i β€’ h.series2Coeff i n1) (h.series2CoeffN0Sum n1 w0)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun n0 => w1 ^ n1 β€’ w0 ^ n0 β€’ h.series2Coeff n0 n1) (w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
exact cauchy2_hasSum_n0 h w0m n1
case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun i => w0 ^ i β€’ h.series2Coeff i n1) (h.series2CoeffN0Sum n1 w0)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a n1 : β„• ⊒ HasSum (fun i => w0 ^ i β€’ h.series2Coeff i n1) (h.series2CoeffN0Sum n1 w0) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
intro n
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) ⊒ βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) ⊒ βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rw [← hf]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–(fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
simp
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–(fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2) * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–(fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rw [norm_smul, norm_smul, mul_assoc]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2) * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–w0 ^ n.2β€– * (β€–w1 ^ n.1β€– * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€–) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2) * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1) TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rw [Complex.norm_eq_abs, Complex.norm_eq_abs, ← mul_assoc]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–w0 ^ n.2β€– * (β€–w1 ^ n.1β€– * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€–) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs (w0 ^ n.2) * Complex.abs (w1 ^ n.1) * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ β€–w0 ^ n.2β€– * (β€–w1 ^ n.1β€– * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€–) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1)) TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
simp
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs (w0 ^ n.2) * Complex.abs (w1 ^ n.1) * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs (w0 ^ n.2) * Complex.abs (w1 ^ n.1) * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1)) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
trans abs w0 ^ n.snd * abs w1 ^ n.fst * (b * r⁻¹ ^ (n.snd + n.fst))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * r⁻¹ ^ (n.2 + n.1)) E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * r⁻¹ ^ (n.2 + n.1)) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1)) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
bound [series2Coeff_bound h n.snd n.fst]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * r⁻¹ ^ (n.2 + n.1))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * β€–h.series2Coeff n.2 n.1β€– ≀ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * r⁻¹ ^ (n.2 + n.1)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rw [pow_add, div_eq_mul_inv, div_eq_mul_inv, inv_pow, inv_pow]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * r⁻¹ ^ (n.2 + n.1)) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * ((r ^ n.2)⁻¹ * (r ^ n.1)⁻¹)) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 * (r ^ n.2)⁻¹ * (Complex.abs w1 ^ n.1 * (r ^ n.1)⁻¹))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * r⁻¹ ^ (n.2 + n.1)) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 / r ^ n.2 * (Complex.abs w1 ^ n.1 / r ^ n.1)) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
ring_nf
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * ((r ^ n.2)⁻¹ * (r ^ n.1)⁻¹)) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 * (r ^ n.2)⁻¹ * (Complex.abs w1 ^ n.1 * (r ^ n.1)⁻¹))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * b * r⁻¹ ^ n.2 * r⁻¹ ^ n.1 ≀ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * b * r⁻¹ ^ n.2 * r⁻¹ ^ n.1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * (b * ((r ^ n.2)⁻¹ * (r ^ n.1)⁻¹)) ≀ b * (Complex.abs w0 ^ n.2 * (r ^ n.2)⁻¹ * (Complex.abs w1 ^ n.1 * (r ^ n.1)⁻¹)) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
rfl
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * b * r⁻¹ ^ n.2 * r⁻¹ ^ n.1 ≀ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * b * r⁻¹ ^ n.2 * r⁻¹ ^ n.1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) n : β„• Γ— β„• ⊒ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * b * r⁻¹ ^ n.2 * r⁻¹ ^ n.1 ≀ Complex.abs w0 ^ n.2 * Complex.abs w1 ^ n.1 * b * r⁻¹ ^ n.2 * r⁻¹ ^ n.1 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
simp only [Metric.mem_ball, dist_zero_right, Complex.norm_eq_abs] at w0m w1m
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 ⊒ Summable f
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable f
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 ⊒ Summable f TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
refine .of_norm_bounded _ ?_ fb
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable f
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => b * (Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable f TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
simp_rw [mul_assoc]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => b * (Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => b * ((Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => b * (Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1 TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
apply Summable.mul_left
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => b * ((Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1)
case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => (Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => b * ((Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
simp_rw [mul_comm ((abs w0 / r) ^ _) _]
case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => (Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1
case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => (Complex.abs w1 / r) ^ i.1 * (Complex.abs w0 / r) ^ i.2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => (Complex.abs w0 / r) ^ i.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ i.1 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
apply Summable.mul_of_nonneg
case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => (Complex.abs w1 / r) ^ i.1 * (Complex.abs w0 / r) ^ i.2
case hf.hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable (HPow.hPow (Complex.abs w1 / r)) case hf.hg E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable (HPow.hPow (Complex.abs w0 / r)) case hf.hf' E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ 0 ≀ HPow.hPow (Complex.abs w1 / r) case hf.hg' E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ 0 ≀ HPow.hPow (Complex.abs w0 / r)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable fun i => (Complex.abs w1 / r) ^ i.1 * (Complex.abs w0 / r) ^ i.2 TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
exact summable_geometric_of_lt_one (by bound) ((div_lt_one h.rp).mpr w1m)
case hf.hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable (HPow.hPow (Complex.abs w1 / r))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case hf.hf E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable (HPow.hPow (Complex.abs w1 / r)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
bound
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ 0 ≀ Complex.abs w1 / r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ 0 ≀ Complex.abs w1 / r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
exact summable_geometric_of_lt_one (by bound) ((div_lt_one h.rp).mpr w0m)
case hf.hg E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable (HPow.hPow (Complex.abs w0 / r))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case hf.hg E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ Summable (HPow.hPow (Complex.abs w0 / r)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
bound
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ 0 ≀ Complex.abs w0 / r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ 0 ≀ Complex.abs w0 / r TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
intro n
case hf.hf' E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 w0m : Complex.abs w0 < r w1m : Complex.abs w1 < r ⊒ 0 ≀ HPow.hPow (Complex.abs w1 / r)
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bound
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[517, 29]
intro n
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[517, 29]
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
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rw [← ha']
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f ⊒ HasSum f a'
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f ⊒ HasSum f (βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f ⊒ HasSum f a' TACTIC:
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cauchy2_hasSum_2d
[487, 1]
[517, 29]
exact sf.hasSum
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f ⊒ HasSum f (βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f✝ c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ha : f✝ (c0 + w0, c1 + w1) = a f : β„• Γ— β„• β†’ E hf : (fun n => w0 ^ n.2 β€’ w1 ^ n.1 β€’ h.series2Coeff n.2 n.1) = f g : β„• β†’ E hg : (fun n1 => w1 ^ n1 β€’ h.series2CoeffN0Sum n1 w0) = g a' : E ha' : βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n = a' gs : HasSum g a fs : βˆ€ (n1 : β„•), HasSum (fun n0 => f (n1, n0)) (g n1) fb : βˆ€ (n : β„• Γ— β„•), β€–f nβ€– ≀ b * (Complex.abs w0 / r) ^ n.2 * (Complex.abs w1 / r) ^ n.1 sf : Summable f ⊒ HasSum f (βˆ‘' (n : β„• Γ— β„•), f n) TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
generalize hg : (fun n ↦ (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 ↦ f (n1, n - n1)) = g
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum f a ⊒ HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum f a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ HasSum g a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum f a ⊒ HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) a TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
rw [←Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd.hasSum_iff] at h
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum f a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ HasSum g a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ HasSum g a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum f a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ HasSum g a TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
have fg : βˆ€ n, HasSum (fun d : Finset.antidiagonal n ↦ (f ∘ Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n) := by intro n; simp only [Function.comp_apply, Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd_apply] have fs := hasSum_fintype fun d : β†₯(Finset.antidiagonal n) ↦ f ↑d have e : (Finset.univ.sum fun d : β†₯(Finset.antidiagonal n) ↦ f ↑d) = g n := by rw [Finset.sum_coe_sort, Finset.Nat.sum_antidiagonal_eq_sum_range_succ_mk, ← hg] rwa [← e]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ HasSum g a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g fg : βˆ€ (n : β„•), HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n) ⊒ HasSum g a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ HasSum g a TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
exact HasSum.sigma h fg
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g fg : βˆ€ (n : β„•), HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n) ⊒ HasSum g a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g fg : βˆ€ (n : β„•), HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n) ⊒ HasSum g a TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
intro n
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ βˆ€ (n : β„•), HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• ⊒ HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g ⊒ βˆ€ (n : β„•), HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n) TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
simp only [Function.comp_apply, Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd_apply]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• ⊒ HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• ⊒ HasSum (fun d => (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) ⟨n, d⟩) (g n) TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
have fs := hasSum_fintype fun d : β†₯(Finset.antidiagonal n) ↦ f ↑d
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n) TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
have e : (Finset.univ.sum fun d : β†₯(Finset.antidiagonal n) ↦ f ↑d) = g n := by rw [Finset.sum_coe_sort, Finset.Nat.sum_antidiagonal_eq_sum_range_succ_mk, ← hg]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) e : (Finset.univ.sum fun d => f ↑d) = g n ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n) TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
rwa [← e]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) e : (Finset.univ.sum fun d => f ↑d) = g n ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) e : (Finset.univ.sum fun d => f ↑d) = g n ⊒ HasSum (fun d => f ↑d) (g n) TACTIC:
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HasSum.antidiagonal_of_2d
[520, 1]
[532, 26]
rw [Finset.sum_coe_sort, Finset.Nat.sum_antidiagonal_eq_sum_range_succ_mk, ← hg]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) ⊒ (Finset.univ.sum fun d => f ↑d) = g n
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f✝ : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ f : β„• Γ— β„• β†’ E a : E h : HasSum (f ∘ ⇑Finset.sigmaAntidiagonalEquivProd) a g : β„• β†’ E hg : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => f (n1, n - n1)) = g n : β„• fs : HasSum (fun d => f ↑d) (Finset.univ.sum fun b => f ↑b) ⊒ (Finset.univ.sum fun d => f ↑d) = g n TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
have sum := (cauchy2_hasSum_2d h w0m w1m).antidiagonal_of_2d
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n1, n - n1).2 β€’ w1 ^ (n1, n - n1).1 β€’ h.series2Coeff (n1, n - n1).2 (n1, n - n1).1) (f (c0 + w0, c1 + w1)) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1)) TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
simp only [ge_iff_le] at sum
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n1, n - n1).2 β€’ w1 ^ (n1, n - n1).1 β€’ h.series2Coeff (n1, n - n1).2 (n1, n - n1).1) (f (c0 + w0, c1 + w1)) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) (f (c0 + w0, c1 + w1)) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n1, n - n1).2 β€’ w1 ^ (n1, n - n1).1 β€’ h.series2Coeff (n1, n - n1).2 (n1, n - n1).1) (f (c0 + w0, c1 + w1)) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1)) TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
generalize ha : f (c0 + w0, c1 + w1) = a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) (f (c0 + w0, c1 + w1)) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) (f (c0 + w0, c1 + w1)) a : E ha : f (c0 + w0, c1 + w1) = a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) (f (c0 + w0, c1 + w1)) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f (c0 + w0, c1 + w1)) TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
rw [ha] at sum
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) (f (c0 + w0, c1 + w1)) a : E ha : f (c0 + w0, c1 + w1) = a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ha : f (c0 + w0, c1 + w1) = a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) (f (c0 + w0, c1 + w1)) a : E ha : f (c0 + w0, c1 + w1) = a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
clear ha
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ha : f (c0 + w0, c1 + w1) = a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ha : f (c0 + w0, c1 + w1) = a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
have e : (fun n ↦ (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 ↦ w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n ↦ series2 h n fun _ : Fin n ↦ (w0, w1) := by clear sum; funext n rw [series2]; simp only [ge_iff_le, ContinuousMultilinearMap.sum_apply] simp_rw [termCmmap_apply] nth_rw 1 [← Finset.sum_range_reflect]; simp apply Finset.sum_congr rfl intro n0 n0n'; simp only [Finset.mem_range] at n0n' have n0n := Nat.le_of_lt_succ n0n' rw [Nat.sub_sub_self n0n, min_eq_left n0n]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a e : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
rwa [←e]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a e : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a e : (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1) ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) a TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
clear sum
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ⊒ (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ⊒ (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E sum : HasSum (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - x) β€’ w1 ^ x β€’ h.series2Coeff (n - x) x) a ⊒ (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1) TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
funext n
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ⊒ (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (series2 h n) fun x => (w0, w1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E ⊒ (fun n => (Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1) TACTIC:
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cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
rw [series2]
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (series2 h n) fun x => (w0, w1)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = ((Finset.range (n + 1)).sum fun n0 => termCmmap β„‚ n n0 (h.series2Coeff n0 (n - n0))) fun x => (w0, w1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (series2 h n) fun x => (w0, w1) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
simp only [ge_iff_le, ContinuousMultilinearMap.sum_apply]
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = ((Finset.range (n + 1)).sum fun n0 => termCmmap β„‚ n n0 (h.series2Coeff n0 (n - n0))) fun x => (w0, w1)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (Finset.range (n + 1)).sum fun a => (termCmmap β„‚ n a (h.series2Coeff a (n - a))) fun x => (w0, w1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = ((Finset.range (n + 1)).sum fun n0 => termCmmap β„‚ n n0 (h.series2Coeff n0 (n - n0))) fun x => (w0, w1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
simp_rw [termCmmap_apply]
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (Finset.range (n + 1)).sum fun a => (termCmmap β„‚ n a (h.series2Coeff a (n - a))) fun x => (w0, w1)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (Finset.range (n + 1)).sum fun a => (termCmmap β„‚ n a (h.series2Coeff a (n - a))) fun x => (w0, w1) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
nth_rw 1 [← Finset.sum_range_reflect]
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun j => w0 ^ (n - (n + 1 - 1 - j)) β€’ w1 ^ (n + 1 - 1 - j) β€’ h.series2Coeff (n - (n + 1 - 1 - j)) (n + 1 - 1 - j)) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun n1 => w0 ^ (n - n1) β€’ w1 ^ n1 β€’ h.series2Coeff (n - n1) n1) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
simp
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun j => w0 ^ (n - (n + 1 - 1 - j)) β€’ w1 ^ (n + 1 - 1 - j) β€’ h.series2Coeff (n - (n + 1 - 1 - j)) (n + 1 - 1 - j)) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - (n - x)) β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff (n - (n - x)) (n - x)) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun j => w0 ^ (n - (n + 1 - 1 - j)) β€’ w1 ^ (n + 1 - 1 - j) β€’ h.series2Coeff (n - (n + 1 - 1 - j)) (n + 1 - 1 - j)) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
apply Finset.sum_congr rfl
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - (n - x)) β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff (n - (n - x)) (n - x)) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ βˆ€ x ∈ Finset.range (n + 1), w0 ^ (n - (n - x)) β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff (n - (n - x)) (n - x) = w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ ((Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ (n - (n - x)) β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff (n - (n - x)) (n - x)) = (Finset.range (n + 1)).sum fun x => w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
intro n0 n0n'
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ βˆ€ x ∈ Finset.range (n + 1), w0 ^ (n - (n - x)) β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff (n - (n - x)) (n - x) = w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 ∈ Finset.range (n + 1) ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n : β„• ⊒ βˆ€ x ∈ Finset.range (n + 1), w0 ^ (n - (n - x)) β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff (n - (n - x)) (n - x) = w0 ^ min x n β€’ w1 ^ (n - x) β€’ h.series2Coeff x (n - x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
simp only [Finset.mem_range] at n0n'
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 ∈ Finset.range (n + 1) ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 < n + 1 ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 ∈ Finset.range (n + 1) ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
have n0n := Nat.le_of_lt_succ n0n'
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 < n + 1 ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0)
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 < n + 1 n0n : n0 ≀ n ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 < n + 1 ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
cauchy2_hasSum
[535, 1]
[551, 11]
rw [Nat.sub_sub_self n0n, min_eq_left n0n]
case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 < n + 1 n0n : n0 ≀ n ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r a : E n n0 : β„• n0n' : n0 < n + 1 n0n : n0 ≀ n ⊒ w0 ^ (n - (n - n0)) β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff (n - (n - n0)) (n - n0) = w0 ^ min n0 n β€’ w1 ^ (n - n0) β€’ h.series2Coeff n0 (n - n0) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
simp
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ 0 < ENNReal.ofReal r
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ 0 < r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ 0 < ENNReal.ofReal r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
exact h.rp
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ 0 < r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ 0 < r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
simp only [Metric.emetric_ball, Metric.mem_ball, dist_zero_right, Prod.forall]
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ βˆ€ {y : β„‚ Γ— β„‚}, y ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal r) β†’ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => y) (f ((c0, c1) + y))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ βˆ€ (a b_1 : β„‚), β€–(a, b_1)β€– < r β†’ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (a, b_1)) (f ((c0, c1) + (a, b_1)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ βˆ€ {y : β„‚ Γ— β„‚}, y ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal r) β†’ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => y) (f ((c0, c1) + y)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
intro w0 w1 wr
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ βˆ€ (a b_1 : β„‚), β€–(a, b_1)β€– < r β†’ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (a, b_1)) (f ((c0, c1) + (a, b_1)))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : β€–(w0, w1)β€– < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0 w1 : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s ⊒ βˆ€ (a b_1 : β„‚), β€–(a, b_1)β€– < r β†’ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (a, b_1)) (f ((c0, c1) + (a, b_1))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
rw [Prod.norm_def] at wr
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : β€–(w0, w1)β€– < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : max β€–(w0, w1).1β€– β€–(w0, w1).2β€– < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : β€–(w0, w1)β€– < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1))) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
simp only [Complex.norm_eq_abs, ge_iff_le, max_lt_iff] at wr
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : max β€–(w0, w1).1β€– β€–(w0, w1).2β€– < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : max β€–(w0, w1).1β€– β€–(w0, w1).2β€– < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1))) TACTIC:
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osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
have w0m : w0 ∈ ball (0 : β„‚) r := by simp; exact wr.left
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1))) TACTIC:
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osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
have w1m : w1 ∈ ball (0 : β„‚) r := by simp; exact wr.right
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1))) TACTIC:
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osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
exact cauchy2_hasSum h w0m w1m
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1)))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r w1m : w1 ∈ ball 0 r ⊒ HasSum (fun n => (series2 h n) fun x => (w0, w1)) (f ((c0, c1) + (w0, w1))) TACTIC:
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osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
simp
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ w0 ∈ ball 0 r
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ Complex.abs w0 < r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ w0 ∈ ball 0 r TACTIC:
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osgood_h
[554, 1]
[564, 39]
exact wr.left
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ Complex.abs w0 < r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r ⊒ Complex.abs w0 < r TACTIC:
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[554, 1]
[564, 39]
simp
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ w1 ∈ ball 0 r
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ Complex.abs w1 < r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ w1 ∈ ball 0 r TACTIC:
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[554, 1]
[564, 39]
exact wr.right
E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ Complex.abs w1 < r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) c0 c1 w0✝ w1✝ : β„‚ r b : ℝ h : Separate f c0 c1 r b s w0 w1 : β„‚ wr : Complex.abs w0 < r ∧ Complex.abs w1 < r w0m : w0 ∈ ball 0 r ⊒ Complex.abs w1 < r TACTIC:
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osgood
[570, 1]
[592, 35]
intro c cs
E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 ⊒ AnalyticOn β„‚ f s
E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 ⊒ AnalyticOn β„‚ f s TACTIC:
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osgood
[570, 1]
[592, 35]
rcases Metric.isOpen_iff.mp o c cs with ⟨r, rp, rs⟩
E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
case intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r βŠ† s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood
[570, 1]
[592, 35]
have rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s := le_trans (Metric.closedBall_subset_ball (by linarith)) rs
case intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r βŠ† s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
case intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r βŠ† s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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osgood
[570, 1]
[592, 35]
rcases ((isCompact_closedBall _ _).bddAbove_image (ContinuousOn.mono fc rs).norm).exists_ge 0 with ⟨b, bp, bh⟩
case intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ y ∈ (fun x => β€–f xβ€–) '' closedBall c (r / 2), y ≀ b ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood
[570, 1]
[592, 35]
simp only [Set.forall_mem_image] at bh
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ y ∈ (fun x => β€–f xβ€–) '' closedBall c (r / 2), y ≀ b ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ y ∈ (fun x => β€–f xβ€–) '' closedBall c (r / 2), y ≀ b ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood
[570, 1]
[592, 35]
have h : Separate f c.fst c.snd (r / 2) b s := { rp := by linarith so := o rs := rs fc := fc fa0 := fa0 _ _ fa1 := fa1 _ _ bp := bp fb := fun {z0 z1} z0m z1m ↦ @bh (z0, z1) (spheres_subset_closedBall (Set.mk_mem_prod z0m z1m)) }
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b h : Separate f c.1 c.2 (r / 2) b s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood
[570, 1]
[592, 35]
have a := (osgood_h h).analyticAt
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b h : Separate f c.1 c.2 (r / 2) b s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b h : Separate f c.1 c.2 (r / 2) b s a : AnalyticAt β„‚ f (c.1, c.2) ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b h : Separate f c.1 c.2 (r / 2) b s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood
[570, 1]
[592, 35]
simpa only [Prod.mk.eta] using a
case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b h : Separate f c.1 c.2 (r / 2) b s a : AnalyticAt β„‚ f (c.1, c.2) ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b h : Separate f c.1 c.2 (r / 2) b s a : AnalyticAt β„‚ f (c.1, c.2) ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood
[570, 1]
[592, 35]
linarith
E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r βŠ† s ⊒ r / 2 < r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r βŠ† s ⊒ r / 2 < r TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood
[570, 1]
[592, 35]
linarith
E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b ⊒ 0 < r / 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E s : Set (β„‚ Γ— β„‚) inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E o : IsOpen s fc : ContinuousOn f s fa0 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z0 => f (z0, z1)) z0 fa1 : βˆ€ (z0 z1 : β„‚), (z0, z1) ∈ s β†’ AnalyticAt β„‚ (fun z1 => f (z0, z1)) z1 c : β„‚ Γ— β„‚ cs : c ∈ s r : ℝ rp : r > 0 rs✝ : ball c r βŠ† s rs : closedBall c (r / 2) βŠ† s b : ℝ bp : 0 ≀ b bh : βˆ€ ⦃x : β„‚ Γ— ℂ⦄, x ∈ closedBall c (r / 2) β†’ β€–f xβ€– ≀ b ⊒ 0 < r / 2 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_at'
[596, 1]
[603, 35]
rcases eventually_nhds_iff.mp h with ⟨s, h, o, cs⟩
E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E c : β„‚ Γ— β„‚ inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E h : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 c, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
case intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E c : β„‚ Γ— β„‚ inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E h✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 c, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 s : Set (β„‚ Γ— β„‚) h : βˆ€ x ∈ s, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 o : IsOpen s cs : c ∈ s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E c : β„‚ Γ— β„‚ inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E h : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 c, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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Ray/Hartogs/Osgood.lean
osgood_at'
[596, 1]
[603, 35]
exact osgood o (fun _ m ↦ (h _ m).1.continuousWithinAt) (fun _ _ m ↦ (h _ m).2.1) (fun _ _ m ↦ (h _ m).2.2) c cs
case intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E c : β„‚ Γ— β„‚ inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E h✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 c, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 s : Set (β„‚ Γ— β„‚) h : βˆ€ x ∈ s, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 o : IsOpen s cs : c ∈ s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro E : Type f : β„‚ Γ— β„‚ β†’ E c : β„‚ Γ— β„‚ inst✝² : NormedAddCommGroup E inst✝¹ : NormedSpace β„‚ E inst✝ : CompleteSpace E h✝ : βˆ€αΆ  (x : β„‚ Γ— β„‚) in 𝓝 c, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 s : Set (β„‚ Γ— β„‚) h : βˆ€ x ∈ s, ContinuousAt f x ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (z, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt β„‚ (fun z => f (x.1, z)) x.2 o : IsOpen s cs : c ∈ s ⊒ AnalyticAt β„‚ f c TACTIC:
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Ray/Misc/Measure.lean
ae_minus_null
[31, 1]
[37, 37]
simp only [Filter.EventuallyEq, Pi.sdiff_apply, eq_iff_iff]
E : Type inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E inst✝¹¹ : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E F : Type inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F X : Type inst✝⁢ : MeasureSpace X inst✝⁡ : MetricSpace X inst✝⁴ : BorelSpace X Y : Type inst✝³ : MeasureSpace Y inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : BorelSpace Y A : Type inst✝ : TopologicalSpace A s t : Set X tz : ↑volume t = 0 ⊒ volume.ae.EventuallyEq s (s \ t)
E : Type inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E inst✝¹¹ : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E F : Type inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F X : Type inst✝⁢ : MeasureSpace X inst✝⁡ : MetricSpace X inst✝⁴ : BorelSpace X Y : Type inst✝³ : MeasureSpace Y inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : BorelSpace Y A : Type inst✝ : TopologicalSpace A s t : Set X tz : ↑volume t = 0 ⊒ βˆ€α΅ (x : X), s x ↔ s x \ t x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E inst✝¹¹ : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E F : Type inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F X : Type inst✝⁢ : MeasureSpace X inst✝⁡ : MetricSpace X inst✝⁴ : BorelSpace X Y : Type inst✝³ : MeasureSpace Y inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : BorelSpace Y A : Type inst✝ : TopologicalSpace A s t : Set X tz : ↑volume t = 0 ⊒ volume.ae.EventuallyEq s (s \ t) TACTIC:
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Ray/Misc/Measure.lean
ae_minus_null
[31, 1]
[37, 37]
have e : βˆ€ x, x βˆ‰ t β†’ (x ∈ s ↔ x ∈ s \ t) := by intro x h; simp only [Set.mem_diff, h, not_false_iff, and_true_iff]
E : Type inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E inst✝¹¹ : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E F : Type inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F X : Type inst✝⁢ : MeasureSpace X inst✝⁡ : MetricSpace X inst✝⁴ : BorelSpace X Y : Type inst✝³ : MeasureSpace Y inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : BorelSpace Y A : Type inst✝ : TopologicalSpace A s t : Set X tz : ↑volume t = 0 ⊒ βˆ€α΅ (x : X), s x ↔ s x \ t x
E : Type inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E inst✝¹¹ : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E F : Type inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F X : Type inst✝⁢ : MeasureSpace X inst✝⁡ : MetricSpace X inst✝⁴ : BorelSpace X Y : Type inst✝³ : MeasureSpace Y inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : BorelSpace Y A : Type inst✝ : TopologicalSpace A s t : Set X tz : ↑volume t = 0 e : βˆ€ x βˆ‰ t, x ∈ s ↔ x ∈ s \ t ⊒ βˆ€α΅ (x : X), s x ↔ s x \ t x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: E : Type inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E inst✝¹² : NormedSpace ℝ E inst✝¹¹ : CompleteSpace E inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E F : Type inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F inst✝⁷ : CompleteSpace F X : Type inst✝⁢ : MeasureSpace X inst✝⁡ : MetricSpace X inst✝⁴ : BorelSpace X Y : Type inst✝³ : MeasureSpace Y inst✝² : MetricSpace Y inst✝¹ : BorelSpace Y A : Type inst✝ : TopologicalSpace A s t : Set X tz : ↑volume t = 0 ⊒ βˆ€α΅ (x : X), s x ↔ s x \ t x TACTIC: