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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have mb : m < b := by
calc (b + f x) / 2
_ < (b + b) / 2 := (div_lt_div_right (by norm_num)).mpr (by bound)
_ = b := by ring | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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Y : Type
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A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
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fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
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sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
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F : Type
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A : Type
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f : X → ℝ
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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fx : f x < b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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tf : ↑volume t < ⊤
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sc : s \ t ∪ t = s
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have i0 : ∫ x in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b := by
have df : volume (s \ t) < ⊤ := lt_of_le_of_lt (measure_mono (Set.diff_subset _ _)) sn.finite
have dm : MeasurableSet (s \ t) := MeasurableSet.diff sn.measurable tm
have fb := @setIntegral_mono_on _ _ volume f (fun _ ↦ b) (s \ t)
(fi.mono (Set.diff_subset _ _) (le_refl _)) (integrableOn_const.mpr (Or.inr df)) dm ?_
simp [measure_diff ts tm (lt_top_iff_ne_top.mp tf),
ENNReal.toReal_sub_of_le (measure_mono ts) (lt_top_iff_ne_top.mp sn.finite)] at fb
exact fb
intro y yd; simp at yd; exact hi y yd.left | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝ : TopologicalSpace A
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vtp : vt > 0
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E : Type
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X : Type
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
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STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have i1 : ∫ x in t, f x ≤ vt * m := by
have fm := @setIntegral_mono_on _ _ volume f (fun _ ↦ m) t (fi.mono ts (le_refl _))
(integrableOn_const.mpr (Or.inr tf)) tm ?_
simp at fm; exact fm
intro y yt
rw [← ht] at yt; simp at ht yt
specialize he y yt.left yt.right
simp [Real.dist_eq] at he
calc f y
_ = f x + (f y - f x) := by ring
_ ≤ f x + |f y - f x| := by bound
_ ≤ f x + (b - f x) / 2 := by bound
_ = (b + f x) / 2 := by ring | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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xs : x ∈ s
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e : ℝ
ep : e > 0
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t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
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STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | calc (∫ x : X in s \ t, f x) + ∫ x : X in t, f x
_ ≤ (vs - vt) * b + vt * m := by bound
_ = vs * b - vt * (b - m) := by ring
_ < vs * b - 0 := (sub_lt_sub_left (by bound) _)
_ = b * vs := by ring | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
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⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
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ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
i1 : ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | calc (b + f x) / 2
_ < (b + b) / 2 := (div_lt_div_right (by norm_num)).mpr (by bound)
_ = b := by ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ m < b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ m < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | norm_num | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ 0 < 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ 0 < 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | bound | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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A : Type
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f : X → ℝ
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ b + f x < b + b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ b + f x < b + b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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⊢ (b + b) / 2 = b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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X : Type
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Y : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have df : volume (s \ t) < ⊤ := lt_of_le_of_lt (measure_mono (Set.diff_subset _ _)) sn.finite | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
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Y : Type
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A : Type
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ep : e > 0
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t : Set X
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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Y : Type
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A : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have dm : MeasurableSet (s \ t) := MeasurableSet.diff sn.measurable tm | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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Y : Type
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
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⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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t : Set X
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STATE:
E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have fb := @setIntegral_mono_on _ _ volume f (fun _ ↦ b) (s \ t)
(fi.mono (Set.diff_subset _ _) (le_refl _)) (integrableOn_const.mpr (Or.inr df)) dm ?_ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
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dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b | case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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dm : MeasurableSet (s \ t)
fb : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ ∫ (x : X) in s \ t, (fun x => b) x
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
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dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp [measure_diff ts tm (lt_top_iff_ne_top.mp tf),
ENNReal.toReal_sub_of_le (measure_mono ts) (lt_top_iff_ne_top.mp sn.finite)] at fb | case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
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t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
fb : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ ∫ (x : X) in s \ t, (fun x => b) x
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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fx : f x < b
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ep : e > 0
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t : Set X
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ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x | case refine_2
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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A : Type
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f : X → ℝ
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fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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tm : MeasurableSet t
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dm : MeasurableSet (s \ t)
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⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
case refine_1
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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b : ℝ
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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vsp : vs > 0
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mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
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F : Type
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Y : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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tm : MeasurableSet t
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
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dm : MeasurableSet (s \ t)
fb : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ ∫ (x : X) in s \ t, (fun x => b) x
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
case refine_1
E : Type
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact fb | case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
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mb : m < b
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⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
fb : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ ((↑volume s).toReal - (↑volume t).toReal) * b
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
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df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | intro y yd | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
y : X
yd : y ∈ s \ t
⊢ f y ≤ (fun x => b) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp at yd | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
y : X
yd : y ∈ s \ t
⊢ f y ≤ (fun x => b) y | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact hi y yd.left | case refine_1
E : Type
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have fm := @setIntegral_mono_on _ _ volume f (fun _ ↦ m) t (fi.mono ts (le_refl _))
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case refine_1
E : Type
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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|
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E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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E : Type
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E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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E : Type
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case refine_2
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E : Type
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|
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E : Type
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F : Type
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X : Type
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E : Type
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F : Type
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
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⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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b : ℝ
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lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
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ht : s ∩ ball x e = t
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tm : MeasurableSet t
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
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mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | intro y yt | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
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mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ t
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [← ht] at yt | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ t
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
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vtp : vt > 0
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i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∩ ball x e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ t
⊢ f y ≤ (fun x => m) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp at ht yt | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∩ ball x e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
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ep : e > 0
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tm : MeasurableSet t
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vtp : vt > 0
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i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝² : MetricSpace Y
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A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
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i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
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⊢ f y ≤ (fun x => m) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | specialize he y yt.left yt.right | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
he : dist (f y) (f x) < (b - f x) / 2
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp [Real.dist_eq] at he | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
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x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
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y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
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⊢ f y ≤ (fun x => m) y | case refine_1
E : Type
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F : Type
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X : Type
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STATE:
case refine_1
E : Type
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | calc f y
_ = f x + (f y - f x) := by ring
_ ≤ f x + |f y - f x| := by bound
_ ≤ f x + (b - f x) / 2 := by bound
_ = (b + f x) / 2 := by ring | case refine_1
E : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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F : Type
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STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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he : |f y - f x| < (b - f x) / 2
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STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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STATE:
E : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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STATE:
E : Type
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TACTIC:
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STATE:
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⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x ≤ (vs - vt) * b + vt * m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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Y : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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STATE:
E : Type
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | bound | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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STATE:
E : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
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STATE:
E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [disjoint_comm] | case intro.intro.intro.intro.hst
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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STATE:
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E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact Set.disjoint_sdiff_right | case intro.intro.intro.intro.hst
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
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t : Set X
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sc : s \ t ∪ t = s
⊢ Disjoint t (s \ t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.hst
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact tm | case intro.intro.intro.intro.ht
E : Type
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact fi.mono (Set.diff_subset _ _) (le_refl _) | case intro.intro.intro.intro.hfs
E : Type
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⊢ IntegrableOn (fun x => f x) (s \ t) volume | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.hfs
E : Type
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
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inst✝ : TopologicalSpace A
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s : Set X
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact fi.mono ts (le_refl _) | case intro.intro.intro.intro.hft
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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s : Set X
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lv : LocalVolumeSet s
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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sc : s \ t ∪ t = s
⊢ IntegrableOn (fun x => f x) t volume | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.hft
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ IntegrableOn (fun x => f x) t volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rcases ((sc.prod isCompact_Icc).bddAbove_image fc.norm).exists_ge 0 with ⟨c, _, fb⟩ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ y ∈ (fun x => ‖uncurry f x‖) '' s ×ˢ Icc a b, y ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp only [Set.forall_mem_image] at fb | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ y ∈ (fun x => ‖uncurry f x‖) '' s ×ˢ Icc a b, y ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ ⦃x : X × ℝ⦄, x ∈ s ×ˢ Icc a b → ‖uncurry f x‖ ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ → E
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
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fb : ∀ y ∈ (fun x => ‖uncurry f x‖) '' s ×ˢ Icc a b, y ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp only [Set.forall_prod_set, uncurry] at fb | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
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inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
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fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ ⦃x : X × ℝ⦄, x ∈ s ×ˢ Icc a b → ‖uncurry f x‖ ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
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fb : ∀ ⦃x : X × ℝ⦄, x ∈ s ×ˢ Icc a b → ‖uncurry f x‖ ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | have e : ∀ x t, f x t = (uncurry f) (x, t) := by
simp only [Function.uncurry_apply_pair, eq_self_iff_true, forall_const, imp_true_iff] | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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f : X → ℝ → E
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sc : IsCompact s
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left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
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fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
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fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
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⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro x xs | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
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f : X → ℝ → E
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sc : IsCompact s
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left✝ : 0 ≤ c
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⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
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a b : ℝ
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sc : IsCompact s
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fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
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sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
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fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply intervalIntegral.continuousWithinAt_of_dominated_interval (bound := fun _ ↦ c) | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
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inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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s : Set X
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fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
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fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s x | case intro.intro.hF_meas
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
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left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b))
case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c
case intro.intro.bound_integrable
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) volume a b
case intro.intro.h_cont
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp only [Function.uncurry_apply_pair, eq_self_iff_true, forall_const, imp_true_iff] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
⊢ ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
⊢ ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply eventually_nhdsWithin_of_forall | case intro.intro.hF_meas
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b)) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro y ys | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b)) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => f y t) (volume.restrict (Ι a b)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ → E
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
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e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | refine ContinuousOn.aestronglyMeasurable ?_ measurableSet_Ioc | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => f y t) (volume.restrict (Ι a b)) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ι a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => f y t) (volume.restrict (Ι a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rw [Set.uIoc_of_le ab] | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ι a b) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ioc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
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fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
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e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ι a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp_rw [e] | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ioc a b) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => uncurry f (y, t)) (Ioc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ → E
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
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left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ioc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply fc.comp | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => uncurry f (y, t)) (Ioc a b) | case intro.intro.hF_meas.h.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => (y, t)) (Ioc a b)
case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => (y, t)) (Ioc a b) (s ×ˢ Icc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => uncurry f (y, t)) (Ioc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply Continuous.continuousOn | case intro.intro.hF_meas.h.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => (y, t)) (Ioc a b) | case intro.intro.hF_meas.h.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Continuous fun t => (y, t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => (y, t)) (Ioc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Continuous.Prod.mk y | case intro.intro.hF_meas.h.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Continuous fun t => (y, t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Continuous fun t => (y, t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro t ts | case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => (y, t)) (Ioc a b) (s ×ˢ Icc a b) | case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ (fun t => (y, t)) t ∈ s ×ˢ Icc a b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => (y, t)) (Ioc a b) (s ×ˢ Icc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Set.mk_mem_prod ys (Set.Ioc_subset_Icc_self ts) | case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ (fun t => (y, t)) t ∈ s ×ˢ Icc a b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ (fun t => (y, t)) t ∈ s ×ˢ Icc a b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply eventually_nhdsWithin_of_forall | case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro y ys | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f y t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rw [Set.uIoc_of_le ab] | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f y t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ioc a b → ‖f y t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f y t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply ae_of_all | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ioc a b → ‖f y t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ioc a b, ‖f y a_1‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ioc a b → ‖f y t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro t ts | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ioc a b, ‖f y a_1‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ ‖f y t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ioc a b, ‖f y a_1‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply fb _ ys _ (Set.Ioc_subset_Icc_self ts) | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ ‖f y t‖ ≤ c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ ‖f y t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact intervalIntegrable_const | case intro.intro.bound_integrable
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) volume a b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.bound_integrable
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) volume a b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply ae_of_all | case intro.intro.h_cont
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ι a b, ContinuousWithinAt (fun x => f x a_1) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro t ts | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ι a b, ContinuousWithinAt (fun x => f x a_1) s x | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ι a b, ContinuousWithinAt (fun x => f x a_1) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp_rw [e] | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => uncurry f (x, t)) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply fc.comp | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => uncurry f (x, t)) s x | case intro.intro.h_cont.a.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x, t)) s
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b)
case intro.intro.h_cont.a.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ x ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => uncurry f (x, t)) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply Continuous.continuousOn | case intro.intro.h_cont.a.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x, t)) s | case intro.intro.h_cont.a.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Continuous fun x => (x, t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x, t)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Continuous.Prod.mk_left t | case intro.intro.h_cont.a.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Continuous fun x => (x, t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Continuous fun x => (x, t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rw [Set.uIoc_of_le ab] at ts | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b) | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro y ys | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b) | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
y : X
ys : y ∈ s
⊢ (fun x => (x, t)) y ∈ s ×ˢ Icc a b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Set.mk_mem_prod ys (Set.Ioc_subset_Icc_self ts) | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
y : X
ys : y ∈ s
⊢ (fun x => (x, t)) y ∈ s ×ˢ Icc a b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
y : X
ys : y ∈ s
⊢ (fun x => (x, t)) y ∈ s ×ˢ Icc a b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | assumption | case intro.intro.h_cont.a.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ x ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ x ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | simp_rw [uc.toHasBasis.liminf_eq_iSup_iInf] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => liminf (fun n => f n x) u) μ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => liminf (fun n => f n x) u) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | refine aemeasurable_biSup _ uc.countable ?_ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ ∀ i ∈ fun i => p i, AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨅ a ∈ s i, f a x) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | intro i _ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ ∀ i ∈ fun i => p i, AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
i : I'
a✝ : i ∈ fun i => p i
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ ∀ i ∈ fun i => p i, AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | exact aemeasurable_biInf _ (sc i) (fun n _ ↦ fm n) | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
i : I'
a✝ : i ∈ fun i => p i
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
i : I'
a✝ : i ∈ fun i => p i
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | set_lintegral_mono_aEMeasurable | [320, 1] | [322, 74] | apply lintegral_mono_ae | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : X) in s, f x ≤ ∫⁻ (x : X) in s, g x | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, f a ≤ g a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : X) in s, f x ≤ ∫⁻ (x : X) in s, g x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | set_lintegral_mono_aEMeasurable | [320, 1] | [322, 74] | rw [ae_restrict_iff' sm] | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, f a ≤ g a | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x ≤ g x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, f a ≤ g a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | set_lintegral_mono_aEMeasurable | [320, 1] | [322, 74] | exact ae_of_all _ fg | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x ≤ g x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x ≤ g x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | induction' n with n h generalizing k z z' | c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
k n : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2) | case zero
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k 0;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k (n + 1);
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
k n : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simpa only [iterate', le_refl, ge_iff_le, tsub_eq_zero_of_le, Function.iterate_zero, id_eq,
IsEmpty.forall_iff, and_true, true_and] | case zero
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k 0;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k 0;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simp only [iterate', Floating.val_lt_val] | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k (n + 1);
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ k ≤
(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else
iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ let i := iterate' c z rs k (n + 1);
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | generalize hzr2 : z.re.sqr = zr2 | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ k ≤
(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else
iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
⊢ k ≤
(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
⊢ k ≤
(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else
iterate' c ({ re := z.re.sqr - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | generalize hzi2 : z.im.sqr = zi2 | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
⊢ k ≤
(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
⊢ k ≤
(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
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(f' 2
c')^[(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
⊢ k ≤
(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
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c')^[(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
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k]
z' ∈
approx
(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
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((if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
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if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if zr2.lo.add z.im.sqr.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add z.im.sqr.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - z.im.sqr, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | generalize hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2 | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
⊢ k ≤
(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
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(f' 2
c')^[(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
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Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
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k]
z') ^
2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
⊢ k ≤
(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if zr2.lo.add zi2.lo false = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < (zr2.lo.add zi2.lo false).val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | generalize hw : (⟨zr2 - zi2, (z.re * z.im).scaleB 1⟩ : Box) + c = w | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c ({ re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c) rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | have we : w = z.sqr + c := by rw [←hw, Box.sqr, hzr2, hzi2] | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | have wa : f' 2 c' z' ∈ approx w := by rw [we, f']; mono | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
wa : f' 2 c' z' ∈ approx w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | generalize hw' : f' 2 c' z' = w' at wa | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
wa : f' 2 c' z' ∈ approx w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
wa : f' 2 c' z' ∈ approx w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | by_cases z2n : z2 = nan | case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : z2 = nan
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | by_cases rz : rs.val < z2.val | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | rw [←hw, Box.sqr, hzr2, hzi2] | c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
⊢ w = z.sqr + c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
⊢ w = z.sqr + c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | rw [we, f'] | c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ f' 2 c' z' ∈ approx w | c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ z' ^ 2 + c' ∈ approx (z.sqr + c) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ f' 2 c' z' ∈ approx w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | mono | c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ z' ^ 2 + c' ∈ approx (z.sqr + c) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
⊢ z' ^ 2 + c' ∈ approx (z.sqr + c)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simpa only [z2n, ite_true, le_refl, ge_iff_le, tsub_eq_zero_of_le, Function.iterate_zero,
id_eq, IsEmpty.forall_iff, and_true, true_and] | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : z2 = nan
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : z2 = nan
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simp only [z2n, rz, ite_true, le_refl, ge_iff_le, tsub_eq_zero_of_le, Function.iterate_zero,
id_eq, zm, forall_true_left, true_and, Complex.abs_def,
Real.sq_sqrt (Complex.normSq_nonneg _), if_false] | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ rs' < Complex.normSq z' | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | refine lt_of_le_of_lt rsm (lt_of_lt_of_le rz ?_) | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ rs' < Complex.normSq z' | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ z2.val ≤ Complex.normSq z' | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ rs' < Complex.normSq z'
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simp only [Complex.normSq_apply, ←sq, ←hz2, ←hzr2, ←hzi2] at z2n ⊢ | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ z2.val ≤ Complex.normSq z' | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : rs.val < z2.val
⊢ z2.val ≤ Complex.normSq z'
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | rcases Floating.ne_nan_of_add z2n with ⟨nr, ni⟩ | case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2 | case pos.intro
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : z.re.sqr.lo ≠ nan
ni : z.im.sqr.lo ≠ nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simp only [ne_eq, Interval.lo_eq_nan] at nr ni | case pos.intro
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : z.re.sqr.lo ≠ nan
ni : z.im.sqr.lo ≠ nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2 | case pos.intro
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : z.re.sqr.lo ≠ nan
ni : z.im.sqr.lo ≠ nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2
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