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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have H := SubharmonicOn.hartogs (fun n ↦ (uneven_nonuniform_subharmonic u n).mono trs) fb
(fun z zs ↦ unevenLog_nonuniform_bound u (cs zs)) (isCompact_closedBall _ _) ks | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
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H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | specialize H (r1 / s).log (by bound) | case intro.intro.intro
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | refine H.mp ((Filter.eventually_gt_atTop 0).mp (Filter.eventually_of_forall ?_)) | case intro.intro.intro
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E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | intro n np h z zs | case intro.intro.intro
E : Type
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⊢ ∀ (x : ℕ),
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(∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u x z ≤ (r1 / s).log) → ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 x‖ ≤ s⁻¹ ^ x
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | specialize h z zs | case intro.intro.intro
E : Type
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STATE:
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E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [unevenSeries_norm] | case intro.intro.intro
E : Type
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E : Type
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STATE:
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E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [unevenLog, inv_mul_le_iff (Nat.cast_pos.mpr np : 0 < (n : ℝ))] at h | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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n : ℕ
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E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖ ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | simp only [norm_smul, abs_of_pos u.r1p, norm_pow, Real.norm_eq_abs] at h | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
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n : ℕ
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⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
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zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖ ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have a := le_of_maxLog_le h | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
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ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ (↑n * (r1 / s).log).exp
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [Real.exp_nat_mul, Real.exp_log (div_pos u.r1p sp), div_eq_mul_inv, mul_pow] at a | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
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ts : s < t
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tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ (↑n * (r1 / s).log).exp
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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sr : s < r1
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ts : s < t
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trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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r r0 r1 b✝ e : ℝ
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tp : t > 0
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ (↑n * (r1 / s).log).exp
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | exact (mul_le_mul_left (by bound)).mp a | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [interior_closedBall _ tp.ne'] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ closedBall c1 s ⊆ ball c1 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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ts : s < t
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⊢ closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | exact Metric.closedBall_subset_ball ts | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
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ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ closedBall c1 s ⊆ ball c1 t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ closedBall c1 s ⊆ ball c1 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ (r1 / s).log > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ (r1 / s).log > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ 0 < r1 ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ 0 < r1 ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | rcases Filter.eventually_atTop.mp (unevenSeries_strong_bound u sp sr) with ⟨n, h⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | set g := fun z1 ↦ partialSups (fun k ↦ s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | have gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s) := by
apply ContinuousOn.partialSups; intro n; apply ContinuousOn.mul continuousOn_const
apply ContinuousOn.norm
exact (unevenSeries_analytic u n).continuousOn.mono (Metric.closedBall_subset_ball sr) | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | rcases ((isCompact_closedBall _ _).bddAbove_image gc).exists_ge 0 with ⟨b, bp, gb⟩ | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ y ∈ g '' closedBall c1 s, y ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
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s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | simp only [Set.forall_mem_image, partialSups_le_iff, g] at gb | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ y ∈ g '' closedBall c1 s, y ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ y ∈ g '' closedBall c1 s, y ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | use max 1 b, le_max_of_le_right bp | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | intro k z zs | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | by_cases kn : k ≤ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : ¬k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply ContinuousOn.partialSups | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ContinuousOn g (closedBall c1 s) | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ContinuousOn g (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | intro n | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply ContinuousOn.mul continuousOn_const | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply ContinuousOn.norm | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | case fc.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => unevenSeries u x n) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | exact (unevenSeries_analytic u n).continuousOn.mono (Metric.closedBall_subset_ball sr) | case fc.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => unevenSeries u x n) (closedBall c1 s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => unevenSeries u x n) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | specialize gb zs k kn | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | calc ‖unevenSeries u z k‖
_ = s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) := by ring_nf; field_simp [(pow_pos sp _).ne']
_ ≤ s⁻¹ ^ k * b := by bound
_ = b * s⁻¹ ^ k := by ring_nf
_ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k := by bound | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | ring_nf | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s ^ k * s⁻¹ ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | field_simp [(pow_pos sp _).ne'] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s ^ k * s⁻¹ ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s ^ k * s⁻¹ ^ k * ‖unevenSeries u z k‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) ≤ s⁻¹ ^ k * b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) ≤ s⁻¹ ^ k * b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | ring_nf | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * b = b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * b = b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ b * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ b * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | simp only [not_le] at kn | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : ¬k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : ¬k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply le_trans (h k kn.le z zs) | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | calc s⁻¹ ^ k
_ = 1 * s⁻¹ ^ k := by simp only [one_mul]
_ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k := by bound | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | simp only [one_mul] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k = 1 * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k = 1 * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ 1 * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ 1 * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | fst_snd_eq | [766, 1] | [766, 95] | simp only [Prod.mk.eta] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
A B : Type
p : A × B
⊢ (p.1, p.2) = p | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
A B : Type
p : A × B
⊢ (p.1, p.2) = p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | rcases exists_between sr with ⟨t, ts, tr⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have tp : t > 0 := _root_.trans ts sp | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
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ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | rcases unevenSeries_strong_bound' u tp tr with ⟨c, cp, ch⟩ | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
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sp : s > 0
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t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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f : ℂ × ℂ → E
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sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | use c * (1 - s / t)⁻¹, by bound | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
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c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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tp : t > 0
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | intro z zs | case right
E : Type
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⊢ ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : z ∈ ball (c0, c1) s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
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⊢ ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [Prod.dist_eq, Metric.mem_ball, max_lt_iff] at zs | case right
E : Type
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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ts : s < t
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t := by
simp only [Metric.mem_closedBall]; exact le_trans zs.2.le ts.le | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology E
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1 := Metric.closedBall_subset_closedBall tr.le z1t | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have ds : z.1 - c0 ∈ Metric.ball (0 : ℂ) s := by
simp only [Complex.dist_eq] at zs
simp only [zs.1, mem_ball_zero_iff, Complex.norm_eq_abs] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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r r0 r1 b e : ℝ
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ts : s < t
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball (0 : ℂ) (ENNReal.ofReal s) := by rwa [Metric.emetric_ball] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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ts : s < t
tr : t < r1
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have hs := (u.has_series sp sr.le z1r).hasSum ds' | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (unevenSeries' u s z.2 n) fun x => z.1 - c0) (f (c0 + (z.1 - c0), z.2))
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [unevenSeries_eq u sp sr.le z1r,
FormalMultilinearSeries.apply_eq_pow_smul_coeff, add_sub_cancel, Prod.mk.eta] at hs | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (unevenSeries' u s z.2 n) fun x => z.1 - c0) (f (c0 + (z.1 - c0), z.2))
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (unevenSeries' u s z.2 n) fun x => z.1 - c0) (f (c0 + (z.1 - c0), z.2))
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | set g := fun n : ℕ ↦ c * (s / t) ^ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
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c : ℝ
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹) := HasSum.mul_left _
(hasSum_geometric_of_lt_one (by bound) (by bound)) | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | apply HasSum.norm_le_of_bounded hs gs | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
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ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖(z.1 - c0) ^ i • (unevenSeries u z.2).coeff i‖ ≤ g i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | intro n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖(z.1 - c0) ^ i • (unevenSeries u z.2).coeff i‖ ≤ g i | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖(z.1 - c0) ^ i • (unevenSeries u z.2).coeff i‖ ≤ g i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [mem_ball_zero_iff, Complex.norm_eq_abs] at ds | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, Complex.abs_pow,
←FormalMultilinearSeries.norm_apply_eq_norm_coef] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ g n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | calc abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖
_ ≤ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n) := by bound [ch n _ z1t]
_ = c * (s ^ n * t⁻¹ ^ n) := by ring_nf
_ = c * (s / t) ^ n := by rw [← mul_pow, ← div_eq_mul_inv] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ g n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ g n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ c * (1 - s / t)⁻¹ ≥ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ c * (1 - s / t)⁻¹ ≥ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [Metric.mem_closedBall] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ z.2 ∈ closedBall c1 t | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ dist z.2 c1 ≤ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ z.2 ∈ closedBall c1 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | exact le_trans zs.2.le ts.le | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ dist z.2 c1 ≤ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ dist z.2 c1 ≤ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [Complex.dist_eq] at zs | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : Complex.abs (z.1 - c0) < s ∧ Complex.abs (z.2 - c1) < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [zs.1, mem_ball_zero_iff, Complex.norm_eq_abs] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : Complex.abs (z.1 - c0) < s ∧ Complex.abs (z.2 - c1) < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sr : s < r1
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ts : s < t
tr : t < r1
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : Complex.abs (z.1 - c0) < s ∧ Complex.abs (z.2 - c1) < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | rwa [Metric.emetric_ball] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sr : s < r1
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ts : s < t
tr : t < r1
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ts : s < t
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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ts : s < t
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ 0 ≤ s / t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sr : s < r1
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ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ 0 ≤ s / t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sr : s < r1
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ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ s / t < 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ s / t < 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound [ch n _ z1t] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
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sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
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ts : s < t
tr : t < r1
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | ring_nf | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n) = c * (s ^ n * t⁻¹ ^ n) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n) = c * (s ^ n * t⁻¹ ^ n)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | rw [← mul_pow, ← div_eq_mul_inv] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ c * (s ^ n * t⁻¹ ^ n) = c * (s / t) ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ c * (s ^ n * t⁻¹ ^ n) = c * (s / t) ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | have h : Har f s := ⟨fa0, fa1⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
⊢ AnalyticOn ℂ f s | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
⊢ AnalyticOn ℂ f s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
⊢ AnalyticOn ℂ f s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | intro c cs | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
⊢ AnalyticOn ℂ f s | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
⊢ AnalyticOn ℂ f s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | rcases Metric.isOpen_iff.mp so c cs with ⟨r, rp, rs⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | rcases exists_between rp with ⟨t, tp, tr⟩ | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
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fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | have bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s := by
refine _root_.trans ?_ rs; simp only [fst_snd_eq]; exact Metric.closedBall_subset_ball tr | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
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h : Har f s
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t : ℝ
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⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
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rp : r > 0
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⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | rcases to_uneven (h.mono bs) tp with ⟨c0', r0, r1, us, c0s, u⟩ | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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h : Har f s
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r : ℝ
rp : r > 0
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⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
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tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
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⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | have cr : abs (c.1 - c0') < r1 := by
simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_ball] at c0s; exact c0s | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
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cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
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t : ℝ
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | rcases exists_between cr with ⟨v, vc, vr⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
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c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | rcases uneven_bounded u (lt_of_le_of_lt (Complex.abs.nonneg _) vc) vr with ⟨b, _, fb⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | have fa := of_bounded (h.mono ?_) Metric.isOpen_ball fb | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
fa : AnalyticOn ℂ f (ball (c0', c.2) v)
⊢ AnalyticAt ℂ f c
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball (c0', c.2) v ⊆ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | refine _root_.trans ?_ rs | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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h : Har f s
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cs : c ∈ s
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rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall (c.1, c.2) t ⊆ ball c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
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⊢ closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | simp only [fst_snd_eq] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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h : Har f s
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tp : 0 < t
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⊢ closedBall (c.1, c.2) t ⊆ ball c r | E : Type
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so : IsOpen s
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h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ ball c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
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c : ℂ × ℂ
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r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
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⊢ closedBall (c.1, c.2) t ⊆ ball c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | exact Metric.closedBall_subset_ball tr | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ ball c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ ball c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_ball] at c0s | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
⊢ Complex.abs (c.1 - c0') < r1 | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
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rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
c0s : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
⊢ Complex.abs (c.1 - c0') < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
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r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
⊢ Complex.abs (c.1 - c0') < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | exact c0s | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
c0s : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
⊢ Complex.abs (c.1 - c0') < r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
c0s : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
⊢ Complex.abs (c.1 - c0') < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | apply fa | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
fa : AnalyticOn ℂ f (ball (c0', c.2) v)
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.a
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
fa : AnalyticOn ℂ f (ball (c0', c.2) v)
⊢ c ∈ ball (c0', c.2) v | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
fa : AnalyticOn ℂ f (ball (c0', c.2) v)
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | simp only [Metric.mem_ball, Prod.dist_eq, Complex.dist_eq, dist_self, ge_iff_le, apply_nonneg,
max_eq_left, vc] | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.a
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
fa : AnalyticOn ℂ f (ball (c0', c.2) v)
⊢ c ∈ ball (c0', c.2) v | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.a
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
fa : AnalyticOn ℂ f (ball (c0', c.2) v)
⊢ c ∈ ball (c0', c.2) v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | refine _root_.trans ?_ bs | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball (c0', c.2) v ⊆ s | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
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t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball (c0', c.2) v ⊆ closedBall (c.1, c.2) t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
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fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball (c0', c.2) v ⊆ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | simp_rw [← ball_prod_same, ← closedBall_prod_same, Set.prod_subset_prod_iff] | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
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vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball (c0', c.2) v ⊆ closedBall (c.1, c.2) t | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
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rp : r > 0
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c0' : ℂ
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cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
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b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c0' v ⊆ closedBall c.1 t ∧ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t ∨ ball c0' v = ∅ ∨ ball c.2 v = ∅ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
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vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball (c0', c.2) v ⊆ closedBall (c.1, c.2) t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | apply Or.inl | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
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left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c0' v ⊆ closedBall c.1 t ∧ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t ∨ ball c0' v = ∅ ∨ ball c.2 v = ∅ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
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c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
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b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c0' v ⊆ closedBall c.1 t ∧ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
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rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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c0' : ℂ
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c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
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b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c0' v ⊆ closedBall c.1 t ∧ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t ∨ ball c0' v = ∅ ∨ ball c.2 v = ∅
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | use _root_.trans (Metric.ball_subset_ball vr.le) us | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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tp : 0 < t
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
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vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c0' v ⊆ closedBall c.1 t ∧ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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c0' : ℂ
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left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
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cs : c ∈ s
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rp : r > 0
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c0' : ℂ
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us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
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⊢ ball c0' v ⊆ closedBall c.1 t ∧ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | have r1t := le_of_ball_subset_closedBall u.r1p.le tp.le us | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
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us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
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v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
r1t : r1 ≤ t
⊢ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
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tp : 0 < t
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
⊢ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs | [803, 1] | [827, 71] | exact _root_.trans Metric.ball_subset_closedBall
(Metric.closedBall_subset_closedBall (_root_.trans vr.le r1t)) | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
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tp : 0 < t
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c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
r1t : r1 ≤ t
⊢ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
so : IsOpen s
fa0 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, c1)) c0
fa1 : ∀ (c0 c1 : ℂ), (c0, c1) ∈ s → AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (c0, z1)) c1
h : Har f s
c : ℂ × ℂ
cs : c ∈ s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
bs : closedBall (c.1, c.2) t ⊆ s
c0' : ℂ
r0 r1 : ℝ
us : ball c0' r1 ⊆ closedBall c.1 t
c0s : c.1 ∈ ball c0' r1
u : Uneven f c0' c.2 r0 r1
cr : Complex.abs (c.1 - c0') < r1
v : ℝ
vc : Complex.abs (c.1 - c0') < v
vr : v < r1
b : ℝ
left✝ : b ≥ 0
fb : ∀ z ∈ ball (c0', c.2) v, ‖f z‖ ≤ b
r1t : r1 ≤ t
⊢ ball c.2 v ⊆ closedBall c.2 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs_at | [830, 1] | [835, 82] | rcases eventually_nhds_iff.mp (fa0.and fa1) with ⟨s, fa, o, cs⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
c : ℂ × ℂ
fa0 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, p.2)) p.1
fa1 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (p.1, z1)) p.2
⊢ AnalyticAt ℂ f c | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
c : ℂ × ℂ
fa0 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, p.2)) p.1
fa1 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (p.1, z1)) p.2
s : Set (ℂ × ℂ)
fa : ∀ x ∈ s, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (x.1, z1)) x.2
o : IsOpen s
cs : c ∈ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
c : ℂ × ℂ
fa0 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, p.2)) p.1
fa1 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (p.1, z1)) p.2
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | Pair.hartogs_at | [830, 1] | [835, 82] | exact Pair.hartogs o (fun c0 c1 m ↦ (fa _ m).1) (fun c0 c1 m ↦ (fa _ m).2) c cs | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
c : ℂ × ℂ
fa0 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, p.2)) p.1
fa1 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (p.1, z1)) p.2
s : Set (ℂ × ℂ)
fa : ∀ x ∈ s, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (x.1, z1)) x.2
o : IsOpen s
cs : c ∈ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
c : ℂ × ℂ
fa0 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, p.2)) p.1
fa1 : ∀ᶠ (p : ℂ × ℂ) in 𝓝 c, AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (p.1, z1)) p.2
s : Set (ℂ × ℂ)
fa : ∀ x ∈ s, AnalyticAt ℂ (fun z0 => f (z0, x.2)) x.1 ∧ AnalyticAt ℂ (fun z1 => f (x.1, z1)) x.2
o : IsOpen s
cs : c ∈ s
⊢ AnalyticAt ℂ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/BottcherNearM.lean | attracts_shift | [48, 1] | [50, 60] | simp only [Attracts, ← Function.iterate_add_apply] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f✝ : ℂ → S → S
c : ℂ
a✝ z✝ : S
d n : ℕ
f : S → S
z a : S
k : ℕ
⊢ Attracts f (f^[k] z) a ↔ Attracts f z a | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f✝ : ℂ → S → S
c : ℂ
a✝ z✝ : S
d n : ℕ
f : S → S
z a : S
k : ℕ
⊢ Tendsto (fun n => f^[n + k] z) atTop (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun n => f^[n] z) atTop (𝓝 a) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f✝ : ℂ → S → S
c : ℂ
a✝ z✝ : S
d n : ℕ
f : S → S
z a : S
k : ℕ
⊢ Attracts f (f^[k] z) a ↔ Attracts f z a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/BottcherNearM.lean | attracts_shift | [48, 1] | [50, 60] | apply @Filter.tendsto_add_atTop_iff_nat _ fun n ↦ f^[n] z | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f✝ : ℂ → S → S
c : ℂ
a✝ z✝ : S
d n : ℕ
f : S → S
z a : S
k : ℕ
⊢ Tendsto (fun n => f^[n + k] z) atTop (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun n => f^[n] z) atTop (𝓝 a) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f✝ : ℂ → S → S
c : ℂ
a✝ z✝ : S
d n : ℕ
f : S → S
z a : S
k : ℕ
⊢ Tendsto (fun n => f^[n + k] z) atTop (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun n => f^[n] z) atTop (𝓝 a)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/BottcherNearM.lean | Super.dp | [69, 1] | [69, 74] | norm_num | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ 0 < 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ 0 < 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/BottcherNearM.lean | Super.d1 | [71, 1] | [71, 80] | norm_num | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ 1 < 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
⊢ 1 < 2
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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