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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | exact continuousOn_const.integrableOn_compact sc | case intro.intro.bound_integrable
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁷ : MeasureSpace X
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝⁴ : MeasureSpace Y
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : BorelSpace Y
A : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace A
f : ℕ → X → E
g : X → E
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
sc : IsCompact s
b : ℝ
left✝ : 0 ≤ b
bh : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
⊢ Integrable (fun x => b) (volume.restrict s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.bound_integrable
E : Type
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⊢ Integrable (fun x => b) (volume.restrict s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | intro n | case intro.intro.h_bound
E : Type
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⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, ‖f n a‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound
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⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, ‖f n a‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | specialize bh n | case intro.intro.h_bound
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bh : ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, ‖f n a‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | rw [ae_restrict_iff' sc.measurableSet] | case intro.intro.h_bound
E : Type
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inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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sc : IsCompact s
b : ℝ
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bh : ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, ‖f n a‖ ≤ b | case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : CompleteSpace E
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u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → ‖f n x‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound
E : Type
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | exact ae_of_all _ bh | case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
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b : ℝ
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n : ℕ
bh : ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → ‖f n x‖ ≤ b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound
E : Type
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STATE:
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E : Type
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inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
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inst✝⁵ : BorelSpace X
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g : X → E
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u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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sc : IsCompact s
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | apply ae_of_all | case intro.intro.h_lim
E : Type
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inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
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E : Type
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inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
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STATE:
case intro.intro.h_lim
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁷ : MeasureSpace X
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝⁴ : MeasureSpace Y
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : BorelSpace Y
A : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace A
f : ℕ → X → E
g : X → E
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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sc : IsCompact s
b : ℝ
left✝ : 0 ≤ b
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⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | intro x xs | case intro.intro.h_lim.a
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁷ : MeasureSpace X
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝⁴ : MeasureSpace Y
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : BorelSpace Y
A : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace A
f : ℕ → X → E
g : X → E
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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b : ℝ
left✝ : 0 ≤ b
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⊢ ∀ a ∈ s, Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (g a)) | case intro.intro.h_lim.a
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁷ : MeasureSpace X
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝⁴ : MeasureSpace Y
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : BorelSpace Y
A : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace A
f : ℕ → X → E
g : X → E
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
sc : IsCompact s
b : ℝ
left✝ : 0 ≤ b
bh : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_lim.a
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁷ : MeasureSpace X
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝⁴ : MeasureSpace Y
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : BorelSpace Y
A : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace A
f : ℕ → X → E
g : X → E
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
sc : IsCompact s
b : ℝ
left✝ : 0 ≤ b
bh : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
⊢ ∀ a ∈ s, Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (g a))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | TendstoUniformlyOn.integral_tendsto | [107, 1] | [117, 95] | exact u.tendsto_at xs | case intro.intro.h_lim.a
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁷ : MeasureSpace X
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝⁴ : MeasureSpace Y
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : BorelSpace Y
A : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace A
f : ℕ → X → E
g : X → E
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
sc : IsCompact s
b : ℝ
left✝ : 0 ≤ b
bh : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_lim.a
E : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁷ : MeasureSpace X
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝⁴ : MeasureSpace Y
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : BorelSpace Y
A : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace A
f : ℕ → X → E
g : X → E
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure volume
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
sc : IsCompact s
b : ℝ
left✝ : 0 ≤ b
bh : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | itau_volume | [123, 1] | [124, 46] | simp only [itau, Real.volume_Ioc, sub_zero] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ ↑volume itau = ENNReal.ofReal (2 * π) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ ↑volume itau = ENNReal.ofReal (2 * π)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | itau_real_volume | [125, 1] | [126, 68] | simp only [itau_volume, ENNReal.toReal_ofReal Real.two_pi_pos.le] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ (↑volume itau).toReal = 2 * π | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ (↑volume itau).toReal = 2 * π
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | NiceVolume.itau | [127, 1] | [132, 46] | simp only [_root_.itau, gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_pos_iff_of_pos_left, not_lt,
ge_iff_le, measurableSet_Ioc] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ MeasurableSet _root_.itau | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ MeasurableSet _root_.itau
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | NiceVolume.itau | [127, 1] | [132, 46] | simp only [itau_volume, ENNReal.ofReal_lt_top] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ ↑volume _root_.itau < ⊤ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ ↑volume _root_.itau < ⊤
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | NiceVolume.itau | [127, 1] | [132, 46] | simp only [itau_volume, gt_iff_lt, ENNReal.ofReal_pos, zero_lt_two,
mul_pos_iff_of_pos_left, Real.pi_pos] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ ↑volume _root_.itau > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ ↑volume _root_.itau > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | measurableSet_itau | [133, 1] | [134, 38] | simp only [itau, measurableSet_Ioc] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ MeasurableSet itau | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ MeasurableSet itau
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | tau_mem_itau | [135, 1] | [137, 23] | simp only [itau, Set.mem_Ioc, gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_pos_iff_of_pos_left, Real.pi_pos,
le_refl, and_self] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ 2 * π ∈ itau | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
⊢ 2 * π ∈ itau
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.integrableOn_sphere | [140, 1] | [145, 48] | apply Continuous.integrableOn_Ioc | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ IntegrableOn (fun t => f (circleMap c r t)) itau volume | case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ Continuous fun t => f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ IntegrableOn (fun t => f (circleMap c r t)) itau volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.integrableOn_sphere | [140, 1] | [145, 48] | apply fc.comp_continuous (continuous_circleMap _ _) | case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ Continuous fun t => f (circleMap c r t) | case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ ∀ (x : ℝ), circleMap c r x ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ Continuous fun t => f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.integrableOn_sphere | [140, 1] | [145, 48] | intro t | case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ ∀ (x : ℝ), circleMap c r x ∈ closedBall c r | case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
t : ℝ
⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
⊢ ∀ (x : ℝ), circleMap c r x ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.integrableOn_sphere | [140, 1] | [145, 48] | simp only [Metric.mem_closedBall, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center,
abs_circleMap_zero, abs_of_pos rp, le_refl] | case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
t : ℝ
⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (closedBall c r)
rp : 0 < r
t : ℝ
⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | Average.add | [153, 1] | [155, 53] | simp_rw [average_eq, integral_add fi gi, smul_add] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
gi : IntegrableOn g s volume
⊢ ⨍ (z : X) in s, f z + g z = (⨍ (z : X) in s, f z) + ⨍ (z : X) in s, g z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
gi : IntegrableOn g s volume
⊢ ⨍ (z : X) in s, f z + g z = (⨍ (z : X) in s, f z) + ⨍ (z : X) in s, g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | Average.sub | [158, 1] | [160, 53] | simp_rw [average_eq, integral_sub fi gi, smul_sub] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
gi : IntegrableOn g s volume
⊢ ⨍ (z : X) in s, f z - g z = (⨍ (z : X) in s, f z) - ⨍ (z : X) in s, g z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
gi : IntegrableOn g s volume
⊢ ⨍ (z : X) in s, f z - g z = (⨍ (z : X) in s, f z) - ⨍ (z : X) in s, g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | average_linear_comm | [163, 1] | [169, 52] | simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
LinearMapClass.map_smul] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
⊢ ⨍ (x : X) in s, g (f x) = g (⨍ (x : X) in s, f x) | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
⊢ ⨍ (x : X) in s, g (f x) = g (⨍ (x : X) in s, f x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | average_linear_comm | [163, 1] | [169, 52] | by_cases v0 : (volume s).toReal = 0 | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x) | case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : (↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x)
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | average_linear_comm | [163, 1] | [169, 52] | simp [v0] | case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : (↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x)
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x) | case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : (↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x)
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | average_linear_comm | [163, 1] | [169, 52] | rw [(Ne.isUnit v0).inv.smul_left_cancel] | case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x) | case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ ∫ (x : X) in s, g (f x) = g (∫ (x : X) in s, f x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, g (f x) = (↑volume s).toReal⁻¹ • g (∫ (x : X) in s, f x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | average_linear_comm | [163, 1] | [169, 52] | exact ContinuousLinearMap.integral_comp_comm _ fi | case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ ∫ (x : X) in s, g (f x) = g (∫ (x : X) in s, f x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → E
s : Set X
fi : IntegrableOn f s volume
g : E →L[ℝ] F
v0 : ¬(↑volume s).toReal = 0
⊢ ∫ (x : X) in s, g (f x) = g (∫ (x : X) in s, f x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | average_congr_on | [172, 1] | [174, 75] | simp only [← ae_restrict_iff' sn.measurable] at h | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
sn : NiceVolume s
h : ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍ (x : X) in s, f x = ⨍ (x : X) in s, g x | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
sn : NiceVolume s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂volume.restrict s, f x = g x
⊢ ⨍ (x : X) in s, f x = ⨍ (x : X) in s, g x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
sn : NiceVolume s
h : ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x = g x
⊢ ⨍ (x : X) in s, f x = ⨍ (x : X) in s, g x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | average_congr_on | [172, 1] | [174, 75] | exact average_congr h | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
sn : NiceVolume s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂volume.restrict s, f x = g x
⊢ ⨍ (x : X) in s, f x = ⨍ (x : X) in s, g x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : X → E
s : Set X
sn : NiceVolume s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂volume.restrict s, f x = g x
⊢ ⨍ (x : X) in s, f x = ⨍ (x : X) in s, g x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | rw [average_eq, smul_eq_mul] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
⊢ ⨍ (x : X) in s, f x ≤ b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
⊢ ⨍ (x : X) in s, f x ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | have bi := sn.integrableOn_const b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | have ib := setIntegral_mono_on fi bi sn.measurable fb | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | simp only [MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, ge_iff_le] at ib ⊢ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | trans (volume s).toReal⁻¹ * ((volume s).toReal * b) | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((↑volume s).toReal * b)
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((↑volume s).toReal * b) ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | gcongr | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((↑volume s).toReal * b) | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ≤ (↑volume s).toReal * b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x ≤ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((↑volume s).toReal * b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | apply le_trans ib | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ≤ (↑volume s).toReal * b | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ ∫ (x : X) in s, b ≤ (↑volume s).toReal * b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ≤ (↑volume s).toReal * b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | simp only [integral_const, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
smul_eq_mul, le_refl] | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ ∫ (x : X) in s, b ≤ (↑volume s).toReal * b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ ∫ (x : X) in s, b ≤ (↑volume s).toReal * b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_bound | [177, 1] | [187, 66] | rw [←mul_assoc _ _ b, inv_mul_cancel sn.real_nonneg, one_mul] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((↑volume s).toReal * b) ≤ b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
fi : IntegrableOn f s volume
fb : ∀ z ∈ s, f z ≤ b
bi : IntegrableOn (fun x => b) s volume
ib : ∫ (x : X) in s, f x ≤ ∫ (x : X) in s, b
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((↑volume s).toReal * b) ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | intro x r xs rp | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
⊢ LocalVolumeSet s | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
⊢ LocalVolumeSet s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | have xci := ci xs | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | rcases Metric.mem_closure_iff.mp xci r rp with ⟨y, ys, xy⟩ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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A : Type
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ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
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rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior y ys with ⟨e, ep, ye⟩ | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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A : Type
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bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | set t := min e (r - dist x y) | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | have es : ball y t ⊆ s ∩ ball x r := by
simp only [Set.subset_inter_iff]; constructor
exact _root_.trans (Metric.ball_subset_ball (by bound)) (_root_.trans ye interior_subset)
apply Metric.ball_subset_ball'
trans r - dist x y + dist y x; bound; simp [dist_comm] | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
es : ball y t ⊆ s ∩ ball x r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | exact lt_of_lt_of_le (bp y t (by bound)) (measure_mono es) | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
es : ball y t ⊆ s ∩ ball x r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
es : ball y t ⊆ s ∩ ball x r
⊢ 0 < ↑volume (s ∩ ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | simp only [Set.subset_inter_iff] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s ∩ ball x r | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s ∧ ball y t ⊆ ball x r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s ∩ ball x r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | constructor | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s ∧ ball y t ⊆ ball x r | case left
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s
case right
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ ball x r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s ∧ ball y t ⊆ ball x r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | exact _root_.trans (Metric.ball_subset_ball (by bound)) (_root_.trans ye interior_subset) | case left
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s
case right
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ ball x r | case right
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ ball x r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case left
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ s
case right
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ ball x r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | apply Metric.ball_subset_ball' | case right
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ ball x r | case right.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t + dist y x ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ ball y t ⊆ ball x r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | trans r - dist x y + dist y x | case right.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t + dist y x ≤ r | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t + dist y x ≤ r - dist x y + dist y x
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ r - dist x y + dist y x ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t + dist y x ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | bound | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t + dist y x ≤ r - dist x y + dist y x
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ r - dist x y + dist y x ≤ r | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ r - dist x y + dist y x ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t + dist y x ≤ r - dist x y + dist y x
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ r - dist x y + dist y x ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | simp [dist_comm] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ r - dist x y + dist y x ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ r - dist x y + dist y x ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | bound | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t ≤ e | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
⊢ t ≤ e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.closure_interior | [194, 1] | [206, 61] | bound | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
es : ball y t ⊆ s ∩ ball x r
⊢ t > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
bp : ∀ (x : X), ∀ r > 0, ↑volume (ball x r) > 0
ci : s ⊆ closure (interior s)
x : X
r : ℝ
xs : x ∈ s
rp : 0 < r
xci : x ∈ closure (interior s)
y : X
ys : y ∈ interior s
xy : dist x y < r
e : ℝ
ep : e > 0
ye : ball y e ⊆ interior s
t : ℝ := min e (r - dist x y)
es : ball y t ⊆ s ∩ ball x r
⊢ t > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.Ioc | [209, 1] | [216, 70] | apply LocalVolume.closure_interior | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ LocalVolumeSet (Set.Ioc a b) | case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ ∀ (x r : ℝ), r > 0 → ↑volume (ball x r) > 0
case ci
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ LocalVolumeSet (Set.Ioc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.Ioc | [209, 1] | [216, 70] | intro x r rp | case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ ∀ (x r : ℝ), r > 0 → ↑volume (ball x r) > 0 | case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ ↑volume (ball x r) > 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ ∀ (x r : ℝ), r > 0 → ↑volume (ball x r) > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.Ioc | [209, 1] | [216, 70] | simp only [Real.volume_ball, gt_iff_lt, ENNReal.ofReal_pos, mul_pos_iff_of_pos_left,
zero_lt_bit0, zero_lt_one] | case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ ↑volume (ball x r) > 0 | case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ 0 < 2 * r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ ↑volume (ball x r) > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.Ioc | [209, 1] | [216, 70] | bound | case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ 0 < 2 * r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ 0 < 2 * r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.Ioc | [209, 1] | [216, 70] | by_cases ab : a = b | case ci
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b)) | case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : ¬a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case ci
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.Ioc | [209, 1] | [216, 70] | simp only [interior_Ioc, closure_Ioo ab, Set.Ioc_subset_Icc_self] | case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : ¬a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : ¬a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | LocalVolume.Ioc | [209, 1] | [216, 70] | simp only [ab, Set.Ioc_self, Set.empty_subset] | case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | contrapose lo | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
lo : b ≤ ⨍ (x : X) in s, f x
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
⊢ ∀ x ∈ s, f x = b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ ¬b ≤ ⨍ (x : X) in s, f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
lo : b ≤ ⨍ (x : X) in s, f x
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
⊢ ∀ x ∈ s, f x = b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [average_eq] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ ¬b ≤ ⨍ (x : X) in s, f x | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ ¬b ≤ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ ¬b ≤ ⨍ (x : X) in s, f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp only [Algebra.id.smul_eq_mul, not_le] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ ¬b ≤ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, f x | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ ¬b ≤ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : X) in s, f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp only [not_forall] at lo | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), ¬f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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A : Type
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b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ¬∀ x ∈ s, f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rcases lo with ⟨x, xs, fx'⟩ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), ¬f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx' : ¬f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
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b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
lo : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), ¬f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have fx := lt_of_le_of_ne (hi x xs) fx' | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx' : ¬f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx' : ¬f x = b
fx : f x < b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
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b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx' : ¬f x = b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | clear fx' | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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lv : LocalVolumeSet s
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx' : ¬f x = b
fx : f x < b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx' : ¬f x = b
fx : f x < b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rcases Metric.continuousOn_iff.mp fc x xs ((b - f x) / 2) (by linarith) with ⟨e, ep, he⟩ | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
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s : Set X
b : ℝ
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lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have vtp' := lv x e xs ep | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
vtp' : 0 < ↑volume (s ∩ ball x e)
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | generalize ht : s ∩ ball x e = t | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
vtp' : 0 < ↑volume (s ∩ ball x e)
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
vtp' : 0 < ↑volume (s ∩ ball x e)
t : Set X
ht : s ∩ ball x e = t
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
vtp' : 0 < ↑volume (s ∩ ball x e)
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [ht] at vtp' | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
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vtp' : 0 < ↑volume (s ∩ ball x e)
t : Set X
ht : s ∩ ball x e = t
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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A : Type
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b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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t : Set X
ht : s ∩ ball x e = t
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have ts : t ⊆ s := by rw [← ht]; exact Set.inter_subset_left _ _ | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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E : Type
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ts : t ⊆ s
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have tf : volume t < ⊤ := lt_of_le_of_lt (measure_mono ts) sn.finite | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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tf : ↑volume t < ⊤
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have tm : MeasurableSet t := by
rw [← ht]; exact MeasurableSet.inter sn.measurable measurableSet_ball | case intro.intro.intro.intro
E : Type
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E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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E : Type
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
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E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
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STATE:
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E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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A : Type
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s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
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e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
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⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | nth_rw 2 [← sc] | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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inst✝¹ : BorelSpace Y
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b : ℝ
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lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
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tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s \ t ∪ t, f x < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ (↑(volume.restrict s) Set.univ).toReal⁻¹ * ∫ (x : X) in s, f x < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [integral_union] | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp only [MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, gt_iff_lt] | case intro.intro.intro.intro
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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Y : Type
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A : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
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fx : f x < b
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vtp' : 0 < ↑volume t
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ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ IntegrableOn (fun x => f x) (s \ t) volume
case intro.intro.intro.intro.hft
E : Type
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ IntegrableOn (fun x => f x) t volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | linarith | E : Type
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x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
⊢ (b - f x) / 2 > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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⊢ (b - f x) / 2 > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [← ht] | E : Type
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X : Type
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STATE:
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F : Type
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X : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact Set.inter_subset_left _ _ | E : Type
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X : Type
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
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⊢ s ∩ ball x e ⊆ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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⊢ s ∩ ball x e ⊆ s
TACTIC:
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inst✝⁶ : MeasureSpace X
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STATE:
E : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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fi : IntegrableOn f s volume
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t : Set X
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⊢ MeasurableSet t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact MeasurableSet.inter sn.measurable measurableSet_ball | E : Type
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vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
⊢ MeasurableSet (s ∩ ball x e) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝³ : MeasureSpace Y
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lv : LocalVolumeSet s
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⊢ MeasurableSet (s ∩ ball x e)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | set m := (b + f x) / 2 | case intro.intro.intro.intro
E : Type
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lv : LocalVolumeSet s
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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X : Type
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s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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tm : MeasurableSet t
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STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x) < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | set vs := (volume s).toReal | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
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ep : e > 0
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t : Set X
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tm : MeasurableSet t
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E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
⊢ vs⁻¹ * ((∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x) < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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sn : NiceVolume s
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fi : IntegrableOn f s volume
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
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⊢ (↑volume s).toReal⁻¹ * ((∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x) < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | set vt := (volume t).toReal | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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E : Type
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⊢ vs⁻¹ * ((∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x) < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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F : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have vsp : vs > 0 := sn.real_pos | case intro.intro.intro.intro
E : Type
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⊢ vs⁻¹ * ((∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x) < b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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t : Set X
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have vtp : vt > 0 := ENNReal.toReal_pos (vtp'.ne') (lt_top_iff_ne_top.mp tf) | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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A : Type
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lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
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E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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STATE:
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E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [inv_mul_lt_iff' vsp] | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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Y : Type
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inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
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inst✝ : TopologicalSpace A
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lv : LocalVolumeSet s
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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vtp : vt > 0
⊢ vs⁻¹ * ((∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x) < b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
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STATE:
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have mb : m < b := by
calc (b + f x) / 2
_ < (b + b) / 2 := (div_lt_div_right (by norm_num)).mpr (by bound)
_ = b := by ring | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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ht : s ∩ ball x e = t
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tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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sc : s \ t ∪ t = s
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⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
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tm : MeasurableSet t
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m : ℝ := (b + f x) / 2
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have i0 : ∫ x in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b := by
have df : volume (s \ t) < ⊤ := lt_of_le_of_lt (measure_mono (Set.diff_subset _ _)) sn.finite
have dm : MeasurableSet (s \ t) := MeasurableSet.diff sn.measurable tm
have fb := @setIntegral_mono_on _ _ volume f (fun _ ↦ b) (s \ t)
(fi.mono (Set.diff_subset _ _) (le_refl _)) (integrableOn_const.mpr (Or.inr df)) dm ?_
simp [measure_diff ts tm (lt_top_iff_ne_top.mp tf),
ENNReal.toReal_sub_of_le (measure_mono ts) (lt_top_iff_ne_top.mp sn.finite)] at fb
exact fb
intro y yd; simp at yd; exact hi y yd.left | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
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sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have i1 : ∫ x in t, f x ≤ vt * m := by
have fm := @setIntegral_mono_on _ _ volume f (fun _ ↦ m) t (fi.mono ts (le_refl _))
(integrableOn_const.mpr (Or.inr tf)) tm ?_
simp at fm; exact fm
intro y yt
rw [← ht] at yt; simp at ht yt
specialize he y yt.left yt.right
simp [Real.dist_eq] at he
calc f y
_ = f x + (f y - f x) := by ring
_ ≤ f x + |f y - f x| := by bound
_ ≤ f x + (b - f x) / 2 := by bound
_ = (b + f x) / 2 := by ring | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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Y : Type
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
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tm : MeasurableSet t
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
i1 : ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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A : Type
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s : Set X
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | calc (∫ x : X in s \ t, f x) + ∫ x : X in t, f x
_ ≤ (vs - vt) * b + vt * m := by bound
_ = vs * b - vt * (b - m) := by ring
_ < vs * b - 0 := (sub_lt_sub_left (by bound) _)
_ = b * vs := by ring | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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xs : x ∈ s
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he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
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vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
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tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
i1 : ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
i1 : ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x < b * vs
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | calc (b + f x) / 2
_ < (b + b) / 2 := (div_lt_div_right (by norm_num)).mpr (by bound)
_ = b := by ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ m < b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ m < b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | norm_num | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
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fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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tm : MeasurableSet t
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ 0 < 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
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fx : f x < b
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he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ 0 < 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | bound | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ b + f x < b + b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ b + f x < b + b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ (b + b) / 2 = b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
⊢ (b + b) / 2 = b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have df : volume (s \ t) < ⊤ := lt_of_le_of_lt (measure_mono (Set.diff_subset _ _)) sn.finite | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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X : Type
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⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have dm : MeasurableSet (s \ t) := MeasurableSet.diff sn.measurable tm | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
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fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vs : ℝ := (↑volume s).toReal
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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sn : NiceVolume s
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he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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TACTIC:
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