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df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | intro y yd | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x | case refine_1
E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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Y : Type
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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dm : MeasurableSet (s \ t)
y : X
yd : y ∈ s \ t
⊢ f y ≤ (fun x => b) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
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f : X → ℝ
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
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sc : s \ t ∪ t = s
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vsp : vs > 0
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df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp at yd | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vsp : vs > 0
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df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
y : X
yd : y ∈ s \ t
⊢ f y ≤ (fun x => b) y | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
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X : Type
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Y : Type
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lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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⊢ f y ≤ (fun x => b) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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mb : m < b
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dm : MeasurableSet (s \ t)
y : X
yd : y ∈ s \ t
⊢ f y ≤ (fun x => b) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact hi y yd.left | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
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vsp : vs > 0
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df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
y : X
yd : y ∈ s ∧ y ∉ t
⊢ f y ≤ (fun x => b) y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
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vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
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dm : MeasurableSet (s \ t)
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⊢ f y ≤ (fun x => b) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | have fm := @setIntegral_mono_on _ _ volume f (fun _ ↦ m) t (fi.mono ts (le_refl _))
(integrableOn_const.mpr (Or.inr tf)) tm ?_ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
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he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
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sc : s \ t ∪ t = s
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vtp : vt > 0
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⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m | case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vtp : vt > 0
mb : m < b
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⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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tm : MeasurableSet t
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
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vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
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mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp at fm | case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
fm : ∫ (x : X) in t, f x ≤ ∫ (x : X) in t, (fun x => m) x
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
case refine_1
E : Type
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
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vtp : vt > 0
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⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
case refine_1
E : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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Y : Type
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⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact fm | case refine_2
E : Type
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F : Type
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⊢ ∫ (x : X) in t, f x ≤ vt * m
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝ : TopologicalSpace A
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
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fi : IntegrableOn f s volume
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mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
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mb : m < b
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⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
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tm : MeasurableSet t
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case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
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⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | intro y yt | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
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t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
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ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
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y : X
yt : y ∈ t
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
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he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
⊢ ∀ x ∈ t, f x ≤ (fun x => m) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [← ht] at yt | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
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sc : s \ t ∪ t = s
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ t
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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xs : x ∈ s
fx : f x < b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
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vtp : vt > 0
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i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
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⊢ f y ≤ (fun x => m) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
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⊢ f y ≤ (fun x => m) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp at ht yt | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∩ ball x e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
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y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
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vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
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y : X
yt : y ∈ s ∩ ball x e
⊢ f y ≤ (fun x => m) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | specialize he y yt.left yt.right | case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | simp [Real.dist_eq] at he | case refine_1
E : Type
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E : Type
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STATE:
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E : Type
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TACTIC:
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E : Type
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yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
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STATE:
case refine_1
E : Type
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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STATE:
E : Type
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⊢ f x + (f y - f x) ≤ f x + |f y - f x| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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⊢ f x + (f y - f x) ≤ f x + |f y - f x|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | bound | E : Type
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F : Type
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X : Type
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⊢ f x + |f y - f x| ≤ f x + (b - f x) / 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
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X : Type
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Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
i0 : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b
y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
he : |f y - f x| < (b - f x) / 2
⊢ f x + |f y - f x| ≤ f x + (b - f x) / 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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X : Type
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sn : NiceVolume s
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
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sc : s \ t ∪ t = s
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vsp : vs > 0
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y : X
yt : y ∈ s ∧ dist y x < e
he : |f y - f x| < (b - f x) / 2
⊢ f x + (b - f x) / 2 = (b + f x) / 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
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fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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y : X
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he : |f y - f x| < (b - f x) / 2
⊢ f x + (b - f x) / 2 = (b + f x) / 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | bound | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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⊢ (∫ (x : X) in s \ t, f x) + ∫ (x : X) in t, f x ≤ (vs - vt) * b + vt * m | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
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hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
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ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
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STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
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vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | bound | E : Type
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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X : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | ring | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
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F : Type
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f : X → ℝ
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lv : LocalVolumeSet s
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STATE:
E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | rw [disjoint_comm] | case intro.intro.intro.intro.hst
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lv : LocalVolumeSet s
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ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ Disjoint (s \ t) t | case intro.intro.intro.intro.hst
E : Type
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F : Type
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A : Type
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
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tm : MeasurableSet t
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⊢ Disjoint t (s \ t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.hst
E : Type
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ep : e > 0
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact Set.disjoint_sdiff_right | case intro.intro.intro.intro.hst
E : Type
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tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
⊢ Disjoint t (s \ t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.hst
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
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inst✝³ : MeasureSpace Y
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A : Type
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sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
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⊢ Disjoint t (s \ t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact tm | case intro.intro.intro.intro.ht
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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Y : Type
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STATE:
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⊢ MeasurableSet t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | mean_squeeze | [222, 1] | [281, 33] | exact fi.mono (Set.diff_subset _ _) (le_refl _) | case intro.intro.intro.intro.hfs
E : Type
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⊢ IntegrableOn (fun x => f x) (s \ t) volume | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.hfs
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TACTIC:
|
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sc : s \ t ∪ t = s
⊢ IntegrableOn (fun x => f x) t volume | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
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⊢ IntegrableOn (fun x => f x) t volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rcases ((sc.prod isCompact_Icc).bddAbove_image fc.norm).exists_ge 0 with ⟨c, _, fb⟩ | E : Type
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E : Type
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⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp only [Set.forall_mem_image] at fb | case intro.intro
E : Type
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inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
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E : Type
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STATE:
case intro.intro
E : Type
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X : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp only [Set.forall_prod_set, uncurry] at fb | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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X : Type
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⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | case intro.intro
E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | have e : ∀ x t, f x t = (uncurry f) (x, t) := by
simp only [Function.uncurry_apply_pair, eq_self_iff_true, forall_const, imp_true_iff] | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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E : Type
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STATE:
case intro.intro
E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro x xs | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s | case intro.intro
E : Type
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inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
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left✝ : 0 ≤ c
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x : X
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⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
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inst✝⁴ : BorelSpace X
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inst✝³ : MeasureSpace Y
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ab : a ≤ b
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply intervalIntegral.continuousWithinAt_of_dominated_interval (bound := fun _ ↦ c) | case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s x | case intro.intro.hF_meas
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b))
case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c
case intro.intro.bound_integrable
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) volume a b
case intro.intro.h_cont
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, f x t) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp only [Function.uncurry_apply_pair, eq_self_iff_true, forall_const, imp_true_iff] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
⊢ ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
⊢ ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply eventually_nhdsWithin_of_forall | case intro.intro.hF_meas
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b)) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro y ys | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b)) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => f y t) (volume.restrict (Ι a b)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fun t => f x t) (volume.restrict (Ι a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | refine ContinuousOn.aestronglyMeasurable ?_ measurableSet_Ioc | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => f y t) (volume.restrict (Ι a b)) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ι a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => f y t) (volume.restrict (Ι a b))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rw [Set.uIoc_of_le ab] | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ι a b) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ioc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ι a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp_rw [e] | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ioc a b) | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => uncurry f (y, t)) (Ioc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f y t) (Ioc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply fc.comp | case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => uncurry f (y, t)) (Ioc a b) | case intro.intro.hF_meas.h.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => (y, t)) (Ioc a b)
case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => (y, t)) (Ioc a b) (s ×ˢ Icc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => uncurry f (y, t)) (Ioc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply Continuous.continuousOn | case intro.intro.hF_meas.h.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => (y, t)) (Ioc a b) | case intro.intro.hF_meas.h.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Continuous fun t => (y, t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => (y, t)) (Ioc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Continuous.Prod.mk y | case intro.intro.hF_meas.h.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Continuous fun t => (y, t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Continuous fun t => (y, t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro t ts | case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => (y, t)) (Ioc a b) (s ×ˢ Icc a b) | case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ (fun t => (y, t)) t ∈ s ×ˢ Icc a b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => (y, t)) (Ioc a b) (s ×ˢ Icc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Set.mk_mem_prod ys (Set.Ioc_subset_Icc_self ts) | case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ (fun t => (y, t)) t ∈ s ×ˢ Icc a b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hF_meas.h.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ (fun t => (y, t)) t ∈ s ×ˢ Icc a b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply eventually_nhdsWithin_of_forall | case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro y ys | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f y t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f x t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rw [Set.uIoc_of_le ab] | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f y t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ioc a b → ‖f y t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ‖f y t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply ae_of_all | case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ioc a b → ‖f y t‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ioc a b, ‖f y a_1‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ioc a b → ‖f y t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro t ts | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ioc a b, ‖f y a_1‖ ≤ c | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ ‖f y t‖ ≤ c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ioc a b, ‖f y a_1‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply fb _ ys _ (Set.Ioc_subset_Icc_self ts) | case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ ‖f y t‖ ≤ c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_bound.h.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
y : X
ys : y ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ ‖f y t‖ ≤ c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact intervalIntegrable_const | case intro.intro.bound_integrable
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) volume a b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.bound_integrable
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ IntervalIntegrable (fun x => c) volume a b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply ae_of_all | case intro.intro.h_cont
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ι a b, ContinuousWithinAt (fun x => f x a_1) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume, t ∈ Ι a b → ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro t ts | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ι a b, ContinuousWithinAt (fun x => f x a_1) s x | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
⊢ ∀ a_1 ∈ Ι a b, ContinuousWithinAt (fun x => f x a_1) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | simp_rw [e] | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => uncurry f (x, t)) s x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x t) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply fc.comp | case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => uncurry f (x, t)) s x | case intro.intro.h_cont.a.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x, t)) s
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
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s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b)
case intro.intro.h_cont.a.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
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inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
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s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ x ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => uncurry f (x, t)) s x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | apply Continuous.continuousOn | case intro.intro.h_cont.a.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x, t)) s | case intro.intro.h_cont.a.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Continuous fun x => (x, t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.hf
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
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A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
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a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
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ts : t ∈ Ι a b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x, t)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Continuous.Prod.mk_left t | case intro.intro.h_cont.a.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Continuous fun x => (x, t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.hf.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Continuous fun x => (x, t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | rw [Set.uIoc_of_le ab] at ts | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b) | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
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e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | intro y ys | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b) | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
y : X
ys : y ∈ s
⊢ (fun x => (x, t)) y ∈ s ×ˢ Icc a b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
⊢ Set.MapsTo (fun x => (x, t)) s (s ×ˢ Icc a b)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | exact Set.mk_mem_prod ys (Set.Ioc_subset_Icc_self ts) | case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
y : X
ys : y ∈ s
⊢ (fun x => (x, t)) y ∈ s ×ˢ Icc a b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ioc a b
y : X
ys : y ∈ s
⊢ (fun x => (x, t)) y ∈ s ×ˢ Icc a b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | ContinuousOn.intervalIntegral | [283, 1] | [305, 17] | assumption | case intro.intro.h_cont.a.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ x ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.h_cont.a.a
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ → E
s : Set X
a b : ℝ
fc : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ Icc a b)
sc : IsCompact s
ab : a ≤ b
c : ℝ
left✝ : 0 ≤ c
fb : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ Icc a b, ‖f x y‖ ≤ c
e : ∀ (x : X) (t : ℝ), f x t = uncurry f (x, t)
x : X
xs : x ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Ι a b
⊢ x ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | simp_rw [uc.toHasBasis.liminf_eq_iSup_iInf] | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => liminf (fun n => f n x) u) μ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => liminf (fun n => f n x) u) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | refine aemeasurable_biSup _ uc.countable ?_ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ ∀ i ∈ fun i => p i, AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨅ a ∈ s i, f a x) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | intro i _ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ ∀ i ∈ fun i => p i, AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
i : I'
a✝ : i ∈ fun i => p i
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
⊢ ∀ i ∈ fun i => p i, AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | aEMeasurable_liminf' | [308, 1] | [313, 64] | exact aemeasurable_biInf _ (sc i) (fun n _ ↦ fm n) | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
i : I'
a✝ : i ∈ fun i => p i
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
I I' : Type
u : Filter I
f : I → X → ℝ≥0∞
μ : Measure X
p : I' → Prop
s : I' → Set I
fm : ∀ (n : I), AEMeasurable (f n) μ
uc : u.HasCountableBasis p s
sc : ∀ (i : I'), (s i).Countable
i : I'
a✝ : i ∈ fun i => p i
⊢ AEMeasurable (fun x => ⨅ a ∈ s i, f a x) μ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | set_lintegral_mono_aEMeasurable | [320, 1] | [322, 74] | apply lintegral_mono_ae | E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : X) in s, f x ≤ ∫⁻ (x : X) in s, g x | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, f a ≤ g a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : X) in s, f x ≤ ∫⁻ (x : X) in s, g x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | set_lintegral_mono_aEMeasurable | [320, 1] | [322, 74] | rw [ae_restrict_iff' sm] | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, f a ≤ g a | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x ≤ g x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂volume.restrict s, f a ≤ g a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Measure.lean | set_lintegral_mono_aEMeasurable | [320, 1] | [322, 74] | exact ae_of_all _ fg | case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x ≤ g x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
s : Set X
f g : X → ℝ≥0∞
sm : MeasurableSet s
fg : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
⊢ ∀ᵐ (x : X), x ∈ s → f x ≤ g x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.pow_le_pow_right_of_le_one_or_one_le | [220, 1] | [225, 40] | rcases h with ⟨a1, nm⟩ | ⟨a0, a1, mn⟩ | α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h : 1 ≤ a ∧ n ≤ m ∨ 0 ≤ a ∧ a ≤ 1 ∧ m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | case inl.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
h : 1 ≤ a ∧ n ≤ m ∨ 0 ≤ a ∧ a ≤ 1 ∧ m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.pow_le_pow_right_of_le_one_or_one_le | [220, 1] | [225, 40] | exact pow_le_pow_right a1 nm | case inl.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inl.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.pow_le_pow_right_of_le_one_or_one_le | [220, 1] | [225, 40] | exact pow_le_pow_of_le_one a0 a1 mn | case inr.intro.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b c : α
R : Type
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
n m : ℕ
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le_or_ge | [227, 1] | [232, 52] | rcases h with ⟨x1, yz⟩ | ⟨x0, x1, zy⟩ | α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
h : 1 ≤ x ∧ y ≤ z ∨ 0 < x ∧ x ≤ 1 ∧ z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | case inl.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x1 : 1 ≤ x
yz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x0 : 0 < x
x1 : x ≤ 1
zy : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
h : 1 ≤ x ∧ y ≤ z ∨ 0 < x ∧ x ≤ 1 ∧ z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le_or_ge | [227, 1] | [232, 52] | exact Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le x1 yz | case inl.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x1 : 1 ≤ x
yz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inl.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x1 : 1 ≤ x
yz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Tactic/Bound.lean | Bound.Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le_or_ge | [227, 1] | [232, 52] | exact Real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge x0 x1 zy | case inr.intro.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x0 : 0 < x
x1 : x ≤ 1
zy : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case inr.intro.intro
α : Type
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
x y z : ℝ
x0 : 0 < x
x1 : x ≤ 1
zy : z ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | ext x | A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
⊢ swap '' (swap '' s) = s | case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ x ∈ swap '' (swap '' s) ↔ x ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
⊢ swap '' (swap '' s) = s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | simp only [Set.mem_image, Prod.exists] | case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ x ∈ swap '' (swap '' s) ↔ x ∈ s | case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ (∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x) ↔ x ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ x ∈ swap '' (swap '' s) ↔ x ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | constructor | case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ (∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x) ↔ x ∈ s | case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ (∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x) → x ∈ s
case h.mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ x ∈ s → ∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ (∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x) ↔ x ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | intro ⟨a,b,⟨⟨c,d,e,f⟩,g⟩⟩ | case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ (∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x) → x ∈ s | case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
a : B
b c : A
d : B
e : (c, d) ∈ s
f : (c, d).swap = (a, b)
g : (a, b).swap = x
⊢ x ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ (∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x) → x ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | rw [←g, ←f] | case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
a : B
b c : A
d : B
e : (c, d) ∈ s
f : (c, d).swap = (a, b)
g : (a, b).swap = x
⊢ x ∈ s | case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
a : B
b c : A
d : B
e : (c, d) ∈ s
f : (c, d).swap = (a, b)
g : (a, b).swap = x
⊢ (c, d).swap.swap ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
a : B
b c : A
d : B
e : (c, d) ∈ s
f : (c, d).swap = (a, b)
g : (a, b).swap = x
⊢ x ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | simpa only [swap] | case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
a : B
b c : A
d : B
e : (c, d) ∈ s
f : (c, d).swap = (a, b)
g : (a, b).swap = x
⊢ (c, d).swap.swap ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
a : B
b c : A
d : B
e : (c, d) ∈ s
f : (c, d).swap = (a, b)
g : (a, b).swap = x
⊢ (c, d).swap.swap ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | intro m | case h.mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ x ∈ s → ∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x | case h.mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
m : x ∈ s
⊢ ∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
⊢ x ∈ s → ∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_swap | [25, 1] | [28, 49] | exact ⟨x.2,x.1,⟨x.1,x.2,m,rfl⟩,rfl⟩ | case h.mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
m : x ∈ s
⊢ ∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
x : A × B
m : x ∈ s
⊢ ∃ a b, (∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ (a_1, b_1).swap = (a, b)) ∧ (a, b).swap = x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | isOpen_swap | [41, 1] | [43, 78] | rw [Set.image_swap_eq_preimage_swap] | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSpace B
⊢ IsOpen s → IsOpen (swap '' s) | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSpace B
⊢ IsOpen s → IsOpen (swap ⁻¹' s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSpace B
⊢ IsOpen s → IsOpen (swap '' s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | isOpen_swap | [41, 1] | [43, 78] | exact IsOpen.preimage continuous_swap | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSpace B
⊢ IsOpen s → IsOpen (swap ⁻¹' s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set (A × B)
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSpace B
⊢ IsOpen s → IsOpen (swap ⁻¹' s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem | [45, 1] | [47, 47] | constructor | A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (b, a) ∈ swap '' s ↔ (a, b) ∈ s | case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (b, a) ∈ swap '' s → (a, b) ∈ s
case mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (a, b) ∈ s → (b, a) ∈ swap '' s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (b, a) ∈ swap '' s ↔ (a, b) ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem | [45, 1] | [47, 47] | intro m | case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (b, a) ∈ swap '' s → (a, b) ∈ s | case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : (b, a) ∈ swap '' s
⊢ (a, b) ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (b, a) ∈ swap '' s → (a, b) ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem | [45, 1] | [47, 47] | simp at m | case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : (b, a) ∈ swap '' s
⊢ (a, b) ∈ s | case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : ∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ b_1 = b ∧ a_1 = a
⊢ (a, b) ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : (b, a) ∈ swap '' s
⊢ (a, b) ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem | [45, 1] | [47, 47] | rcases m with ⟨a', b', m, hb, ha⟩ | case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : ∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ b_1 = b ∧ a_1 = a
⊢ (a, b) ∈ s | case mp.intro.intro.intro.intro
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
a' : A
b' : B
m : (a', b') ∈ s
hb : b' = b
ha : a' = a
⊢ (a, b) ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : ∃ a_1 b_1, (a_1, b_1) ∈ s ∧ b_1 = b ∧ a_1 = a
⊢ (a, b) ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem | [45, 1] | [47, 47] | rwa [← ha, ← hb] | case mp.intro.intro.intro.intro
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
a' : A
b' : B
m : (a', b') ∈ s
hb : b' = b
ha : a' = a
⊢ (a, b) ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp.intro.intro.intro.intro
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
a' : A
b' : B
m : (a', b') ∈ s
hb : b' = b
ha : a' = a
⊢ (a, b) ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem | [45, 1] | [47, 47] | intro m | case mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (a, b) ∈ s → (b, a) ∈ swap '' s | case mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : (a, b) ∈ s
⊢ (b, a) ∈ swap '' s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
⊢ (a, b) ∈ s → (b, a) ∈ swap '' s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem | [45, 1] | [47, 47] | exact Set.mem_image_of_mem swap m | case mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : (a, b) ∈ s
⊢ (b, a) ∈ swap '' s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
a : A
b : B
s : Set (A × B)
m : (a, b) ∈ s
⊢ (b, a) ∈ swap '' s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem' | [49, 1] | [50, 62] | have h := @swap_mem _ _ x.snd x.fst s | A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
⊢ x ∈ swap '' s ↔ x.swap ∈ s | A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
h : (x.1, x.2) ∈ swap '' s ↔ (x.2, x.1) ∈ s
⊢ x ∈ swap '' s ↔ x.swap ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
⊢ x ∈ swap '' s ↔ x.swap ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem' | [49, 1] | [50, 62] | simp at h ⊢ | A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
h : (x.1, x.2) ∈ swap '' s ↔ (x.2, x.1) ∈ s
⊢ x ∈ swap '' s ↔ x.swap ∈ s | A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
h : (∃ a b, (a, b) ∈ s ∧ (b, a) = x) ↔ (x.2, x.1) ∈ s
⊢ (∃ a b, (a, b) ∈ s ∧ (b, a) = x) ↔ x.swap ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
h : (x.1, x.2) ∈ swap '' s ↔ (x.2, x.1) ∈ s
⊢ x ∈ swap '' s ↔ x.swap ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | swap_mem' | [49, 1] | [50, 62] | exact h | A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
h : (∃ a b, (a, b) ∈ s ∧ (b, a) = x) ↔ (x.2, x.1) ∈ s
⊢ (∃ a b, (a, b) ∈ s ∧ (b, a) = x) ↔ x.swap ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : A × B
s : Set (B × A)
h : (∃ a b, (a, b) ∈ s ∧ (b, a) = x) ↔ (x.2, x.1) ∈ s
⊢ (∃ a b, (a, b) ∈ s ∧ (b, a) = x) ↔ x.swap ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | ball_prod_same' | [52, 1] | [55, 45] | have s := ball_prod_same x.fst x.snd r | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
s : ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r = ball (x.1, x.2) r
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | ball_prod_same' | [52, 1] | [55, 45] | simp only [Prod.mk.eta] at s | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
s : ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r = ball (x.1, x.2) r
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
s : ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r = ball x r
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
s : ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r = ball (x.1, x.2) r
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | ball_prod_same' | [52, 1] | [55, 45] | exact s.symm | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
s : ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r = ball x r
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
s : ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r = ball x r
⊢ ball x r = ball x.1 r ×ˢ ball x.2 r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | ball_swap | [57, 1] | [61, 76] | apply Set.ext | A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
⊢ ball x.swap r = swap '' ball x r | case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
⊢ ∀ (x_1 : B × A), x_1 ∈ ball x.swap r ↔ x_1 ∈ swap '' ball x r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
⊢ ball x.swap r = swap '' ball x r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Prod.lean | ball_swap | [57, 1] | [61, 76] | intro y | case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
⊢ ∀ (x_1 : B × A), x_1 ∈ ball x.swap r ↔ x_1 ∈ swap '' ball x r | case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
y : B × A
⊢ y ∈ ball x.swap r ↔ y ∈ swap '' ball x r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
A B C 𝕜 : Type
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : PseudoMetricSpace A
inst✝ : PseudoMetricSpace B
x : A × B
r : ℝ
⊢ ∀ (x_1 : B × A), x_1 ∈ ball x.swap r ↔ x_1 ∈ swap '' ball x r
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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