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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | exact eq.eventuallyEq_of_mem (uo.mem_nhds (iu ⟨zs, zr⟩)) | case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
n : {z | p g z ∧ p f z} ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s ∩ Metric.ball x r ⊆ u
up : u ⊆ {z | p g z ∧ p f z}
uc : IsPreconnected u
eq : EqOn g f u
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, g x = f x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right.intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
n : {z | p g z ∧ p f z} ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r)
u : Set E
uo : IsOpen u
iu : s ∩ Metric.ball x r ⊆ u
up : u ⊆ {z | p g z ∧ p f z}
uc : IsPreconnected u
eq : EqOn g f u
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, g x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | refine Filter.inter_mem ?_ ?_ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ {z | p g z ∧ p f z} ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r) | case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ (fun z => p g z) ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r)
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ (fun z => p f z) ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ {z | p g z ∧ p f z} ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | exact nhdsSet_mono (inter_subset_right _ _)
(Filter.mem_of_superset isOpen_ball.mem_nhdsSet_self pg) | case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ (fun z => p g z) ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ (fun z => p g z) ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ball | [53, 1] | [71, 59] | exact nhdsSet_mono (inter_subset_left _ _) b.start | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ (fun z => p f z) ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
g : E → α
pg✝ : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, p g z
e✝ : ∃ᶠ (z : E) in 𝓝 x, z ∈ s ∧ g z = f z
r : ℝ
rp : r > 0
pg : ∀ y ∈ Metric.ball x r, p g y
y : E
yb : y ∈ Metric.ball x r
ys : y ∈ s
e : g y = f y
z : E
zs : z ∈ s
zr : z ∈ Metric.ball x r
⊢ (fun z => p f z) ∈ 𝓝ˢ (s ∩ Metric.ball x r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.exists_cover | [95, 1] | [100, 74] | refine b.compact.elim_finite_subcover (fun x : closure s ↦ Metric.ball (x : E) (b.r x))
(fun _ ↦ isOpen_ball) ?_ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∃ c, closure s ⊆ ⋃ x ∈ c, Metric.ball (↑x) (b.r x) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ closure s ⊆ ⋃ i, (fun x => Metric.ball (↑x) (b.r x)) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∃ c, closure s ⊆ ⋃ x ∈ c, Metric.ball (↑x) (b.r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.exists_cover | [95, 1] | [100, 74] | intro x m | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ closure s ⊆ ⋃ i, (fun x => Metric.ball (↑x) (b.r x)) i | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
⊢ x ∈ ⋃ i, (fun x => Metric.ball (↑x) (b.r x)) i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ closure s ⊆ ⋃ i, (fun x => Metric.ball (↑x) (b.r x)) i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.exists_cover | [95, 1] | [100, 74] | exact mem_iUnion_of_mem ⟨x, m⟩ (mem_ball_self (b.rp ⟨x, m⟩)) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
⊢ x ∈ ⋃ i, (fun x => Metric.ball (↑x) (b.r x)) i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ closure s
⊢ x ∈ ⋃ i, (fun x => Metric.ball (↑x) (b.r x)) i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.yt | [114, 1] | [115, 96] | simp only [Base.t, Base.y, mem_iUnion₂, mem_iUnion] at m ⊢ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
m : z ∈ b.t
⊢ z ∈ Metric.ball (↑(b.y m)) (b.r (b.y m)) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
m✝ : z ∈ b.t
m : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ b.c), z ∈ Metric.ball (↑i) (b.r i)
⊢ z ∈ Metric.ball (↑(choose ⋯)) (b.r (choose ⋯)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
m : z ∈ b.t
⊢ z ∈ Metric.ball (↑(b.y m)) (b.r (b.y m))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.yt | [114, 1] | [115, 96] | exact choose_spec (choose_spec m) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
m✝ : z ∈ b.t
m : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ b.c), z ∈ Metric.ball (↑i) (b.r i)
⊢ z ∈ Metric.ball (↑(choose ⋯)) (b.r (choose ⋯)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
m✝ : z ∈ b.t
m : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ b.c), z ∈ Metric.ball (↑i) (b.r i)
⊢ z ∈ Metric.ball (↑(choose ⋯)) (b.r (choose ⋯))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases x0 with ⟨x0, m0⟩ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
x0 x1 : ↑(closure s)
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑x0) r0 ∩ ball (↑x1) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑x0) r0 ∩ ball (↑x1) r1 | case mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
x1 : ↑(closure s)
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑x1) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑x1) r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
x0 x1 : ↑(closure s)
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑x0) r0 ∩ ball (↑x1) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑x0) r0 ∩ ball (↑x1) r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases x1 with ⟨x1, m1⟩ | case mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
x1 : ↑(closure s)
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑x1) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑x1) r1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
x1 : ↑(closure s)
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑x1) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑x1) r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [Subtype.coe_mk] | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1 := by
rcases ne with ⟨z, m0, m1⟩; simp only [mem_ball, dist_eq_norm] at m0 m1
calc ‖x1 - x0‖
_ = ‖z - x0 - (z - x1)‖ := by abel_nf
_ ≤ ‖z - x0‖ + ‖z - x1‖ := (norm_sub_le _ _)
_ < r0 + r1 := add_lt_add m0 m1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x) := by
intro x a b ap bp; have rnz := (add_pos ap bp).ne'
calc (a / (a + b)) • x - x
_ = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) • x := by simp only [one_smul, sub_smul, div_self rnz]
_ = -((b / (a + b)) • x) := by rw [← sub_div, sub_add_cancel_left, neg_div, neg_smul] | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a := by
intro a ap; apply lt_of_lt_of_le (mul_lt_mul_of_pos_left x01 (div_pos ap (add_pos r0p r1p)))
rw [div_mul_cancel₀ _ (add_pos r0p r1p).ne'] | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have f : ∃ᶠ p : E × E in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s := by
simp only [nhds_prod_eq]; rw [Prod.frequently (p := fun x ↦ x ∈ s) (q := fun x ↦ x ∈ s)]
use mem_closure_iff_frequently.mp m0, mem_closure_iff_frequently.mp m1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases(f.and_eventually e).exists with ⟨⟨z0, z1⟩, ⟨m0, m1⟩, m⟩ | case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | refine ⟨_, ⟨?_, m.1⟩, m.2⟩ | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ ∃ w, w ∈ s ∩ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | apply c m0 m1 | case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ s | case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ 0 ≤ r1 / (r0 + r1)
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
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z0 z1 : E
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⊢ 0 ≤ r0 / (r0 + r1)
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
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m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
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r0p : 0 < r0
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ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
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le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
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m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | bound | case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
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m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ 0 ≤ r1 / (r0 + r1)
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
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case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
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E : Type
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case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
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⊢ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ 0 ≤ r1 / (r0 + r1)
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | bound | case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
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case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
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E : Type
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STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
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f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ 0 ≤ r0 / (r0 + r1)
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [← add_div, add_comm r1 r0, div_self (add_pos r0p r1p).ne'] | case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mk.mk.intro.mk.intro.intro.a
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f✝ : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
f : ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
z0 z1 : E
m : (r1 / (r0 + r1)) • (z0, z1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (z0, z1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
m0 : (z0, z1).1 ∈ s
m1 : (z0, z1).2 ∈ s
⊢ r1 / (r0 + r1) + r0 / (r0 + r1) = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rcases ne with ⟨z, m0, m1⟩ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1 | case intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
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c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0
m1 : z ∈ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [mem_ball, dist_eq_norm] at m0 m1 | case intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0
m1 : z ∈ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1 | case intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
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z✝ : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : ‖z - x0‖ < r0
m1 : ‖z - x1‖ < r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : z ∈ ball (↑⟨x0, m0✝⟩) r0
m1 : z ∈ ball (↑⟨x1, m1✝⟩) r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | calc ‖x1 - x0‖
_ = ‖z - x0 - (z - x1)‖ := by abel_nf
_ ≤ ‖z - x0‖ + ‖z - x1‖ := (norm_sub_le _ _)
_ < r0 + r1 := add_lt_add m0 m1 | case intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : ‖z - x0‖ < r0
m1 : ‖z - x1‖ < r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : ‖z - x0‖ < r0
m1 : ‖z - x1‖ < r1
⊢ ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | abel_nf | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : ‖z - x0‖ < r0
m1 : ‖z - x1‖ < r1
⊢ ‖x1 - x0‖ = ‖z - x0 - (z - x1)‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0✝ : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1✝ : x1 ∈ closure s
z : E
m0 : ‖z - x0‖ < r0
m1 : ‖z - x1‖ < r1
⊢ ‖x1 - x0‖ = ‖z - x0 - (z - x1)‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | intro x a b ap bp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
⊢ ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
⊢ (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
⊢ ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | have rnz := (add_pos ap bp).ne' | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
⊢ (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b ≠ 0
⊢ (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
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s : Set E
f : E → α
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c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
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x0 : E
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x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
⊢ (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | calc (a / (a + b)) • x - x
_ = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) • x := by simp only [one_smul, sub_smul, div_self rnz]
_ = -((b / (a + b)) • x) := by rw [← sub_div, sub_add_cancel_left, neg_div, neg_smul] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
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x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b ≠ 0
⊢ (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
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x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b ≠ 0
⊢ (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [one_smul, sub_smul, div_self rnz] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b ≠ 0
⊢ (a / (a + b)) • x - x = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) • x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b ≠ 0
⊢ (a / (a + b)) • x - x = (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) • x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rw [← sub_div, sub_add_cancel_left, neg_div, neg_smul] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b ≠ 0
⊢ (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) • x = -((b / (a + b)) • x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
x : E
a b : ℝ
ap : 0 < a
bp : 0 < b
rnz : a + b ≠ 0
⊢ (a / (a + b) - (a + b) / (a + b)) • x = -((b / (a + b)) • x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | intro a ap | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
⊢ ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
a : ℝ
ap : 0 < a
⊢ a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
⊢ ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | apply lt_of_lt_of_le (mul_lt_mul_of_pos_left x01 (div_pos ap (add_pos r0p r1p))) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
a : ℝ
ap : 0 < a
⊢ a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
a : ℝ
ap : 0 < a
⊢ a / (r0 + r1) * (r0 + r1) ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
a : ℝ
ap : 0 < a
⊢ a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rw [div_mul_cancel₀ _ (add_pos r0p r1p).ne'] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
a : ℝ
ap : 0 < a
⊢ a / (r0 + r1) * (r0 + r1) ≤ a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
a : ℝ
ap : 0 < a
⊢ a / (r0 + r1) * (r0 + r1) ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | refine ContinuousAt.eventually_mem ?_ ((isOpen_ball.inter isOpen_ball).mem_nhds ?_) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ContinuousAt (fun p => (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2) (x0, x1)
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ (r1 / (r0 + r1)) • (x0, x1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (x0, x1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | exact ((continuous_fst.const_smul _).add (continuous_snd.const_smul _)).continuousAt | case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ContinuousAt (fun p => (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2) (x0, x1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ContinuousAt (fun p => (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2) (x0, x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [mem_inter_iff, mem_ball, dist_eq_norm, ← sub_add_eq_add_sub _ x0 _,
add_sub_assoc _ _ x1] | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ (r1 / (r0 + r1)) • (x0, x1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (x0, x1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1 | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧
‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + ((r0 / (r0 + r1)) • x1 - x1)‖ < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ (r1 / (r0 + r1)) • (x0, x1).1 + (r0 / (r0 + r1)) • (x0, x1).2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | nth_rw 1 [add_comm r0 r1] | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧
‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + ((r0 / (r0 + r1)) • x1 - x1)‖ < r1 | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖(r1 / (r1 + r0)) • x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧
‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + ((r0 / (r0 + r1)) • x1 - x1)‖ < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧
‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + ((r0 / (r0 + r1)) • x1 - x1)‖ < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [sub _ r0p r1p, sub _ r1p r0p] | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖(r1 / (r1 + r0)) • x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧
‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + ((r0 / (r0 + r1)) • x1 - x1)‖ < r1 | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖-((r0 / (r1 + r0)) • x0) + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧ ‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + -((r1 / (r0 + r1)) • x1)‖ < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖(r1 / (r1 + r0)) • x0 - x0 + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧
‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + ((r0 / (r0 + r1)) • x1 - x1)‖ < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [add_comm r1 r0, neg_add_eq_sub, ← sub_eq_add_neg, ← smul_sub, norm_smul,
Real.norm_eq_abs, abs_div, abs_of_pos r0p, abs_of_pos r1p, abs_of_pos (add_pos r0p r1p),
norm_sub_rev (x0 : E) x1] | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖-((r0 / (r1 + r0)) • x0) + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧ ‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + -((r1 / (r0 + r1)) • x1)‖ < r1 | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ r0 / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < r0 ∧ r1 / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < r1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ ‖-((r0 / (r1 + r0)) • x0) + (r0 / (r0 + r1)) • x1‖ < r0 ∧ ‖(r1 / (r0 + r1)) • x0 + -((r1 / (r0 + r1)) • x1)‖ < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | use le r0p, le r1p | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ r0 / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < r0 ∧ r1 / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
⊢ r0 / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < r0 ∧ r1 / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | simp only [nhds_prod_eq] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 x0 ×ˢ 𝓝 x1, p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | rw [Prod.frequently (p := fun x ↦ x ∈ s) (q := fun x ↦ x ∈ s)] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 x0 ×ˢ 𝓝 x1, p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ (∃ᶠ (a : E) in 𝓝 x0, a ∈ s) ∧ ∃ᶠ (b : E) in 𝓝 x1, b ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ ∃ᶠ (p : E × E) in 𝓝 x0 ×ˢ 𝓝 x1, p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Convex.inter_ball | [124, 1] | [159, 72] | use mem_closure_iff_frequently.mp m0, mem_closure_iff_frequently.mp m1 | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ (∃ᶠ (a : E) in 𝓝 x0, a ∈ s) ∧ ∃ᶠ (b : E) in 𝓝 x1, b ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
c : Convex ℝ s
r0 r1 : ℝ
r0p : 0 < r0
r1p : 0 < r1
x0 : E
m0 : x0 ∈ closure s
x1 : E
m1 : x1 ∈ closure s
ne : ∃ z, z ∈ ball (↑⟨x0, m0⟩) r0 ∩ ball (↑⟨x1, m1⟩) r1
x01 : ‖x1 - x0‖ < r0 + r1
sub : ∀ (x : E) {a b : ℝ}, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x - x = -((b / (a + b)) • x)
le : ∀ {a : ℝ}, 0 < a → a / (r0 + r1) * ‖x1 - x0‖ < a
e : ∀ᶠ (p : E × E) in 𝓝 (x0, x1), (r1 / (r0 + r1)) • p.1 + (r0 / (r0 + r1)) • p.2 ∈ ball x0 r0 ∩ ball x1 r1
⊢ (∃ᶠ (a : E) in 𝓝 x0, a ∈ s) ∧ ∃ᶠ (b : E) in 𝓝 x1, b ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | intro z ⟨zt, m⟩ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
⊢ EqOn b.u (b.g x) (b.t ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x)) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ b.u z = b.g x z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
⊢ EqOn b.u (b.g x) (b.t ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | simp only [Base.u, zt, dif_pos] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ b.u z = b.g x z | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ b.g (b.y ⋯) z = b.g x z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ b.u z = b.g x z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | refine b.unique (isOpen_ball.inter isOpen_ball)
((convex_ball _ _).inter (convex_ball _ _)).isPreconnected
(fun _ m ↦ b.gp _ (inter_subset_left _ _ m)) (fun _ m ↦ b.gp _ (inter_subset_right _ _ m))
?_ ⟨b.yt zt, m⟩ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ b.g (b.y ⋯) z = b.g x z | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∃ x_1 ∈ Metric.ball (↑(b.y ⋯)) (b.r (b.y ⋯)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x), b.g (b.y ⋯) x_1 = b.g x x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ b.g (b.y ⋯) z = b.g x z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | rcases b.convex.inter_ball (b.y zt) x (b.rp _) (b.rp _) ⟨_, ⟨b.yt zt, m⟩⟩ with ⟨w, m⟩ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∃ x_1 ∈ Metric.ball (↑(b.y ⋯)) (b.r (b.y ⋯)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x), b.g (b.y ⋯) x_1 = b.g x x_1 | case intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m✝ : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
w : E
m : w ∈ s ∩ Metric.ball (↑(b.y zt)) (b.r (b.y zt)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∃ x_1 ∈ Metric.ball (↑(b.y ⋯)) (b.r (b.y ⋯)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x), b.g (b.y ⋯) x_1 = b.g x x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∃ x_1 ∈ Metric.ball (↑(b.y ⋯)) (b.r (b.y ⋯)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x), b.g (b.y ⋯) x_1 = b.g x x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.ug | [166, 1] | [175, 50] | exact ⟨w, ⟨m.1.2, m.2⟩, _root_.trans ((b.gf _).self_of_nhdsSet ⟨m.1.1, m.1.2⟩)
((b.gf x).self_of_nhdsSet ⟨m.1.1, m.2⟩).symm⟩ | case intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m✝ : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
w : E
m : w ∈ s ∩ Metric.ball (↑(b.y zt)) (b.r (b.y zt)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∃ x_1 ∈ Metric.ball (↑(b.y ⋯)) (b.r (b.y ⋯)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x), b.g (b.y ⋯) x_1 = b.g x x_1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
x : ↑(closure s)
z : E
zt : z ∈ b.t
m✝ : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
w : E
m : w ∈ s ∩ Metric.ball (↑(b.y zt)) (b.r (b.y zt)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∃ x_1 ∈ Metric.ball (↑(b.y ⋯)) (b.r (b.y ⋯)) ∩ Metric.ball (↑x) (b.r x), b.g (b.y ⋯) x_1 = b.g x x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | simp only [Filter.EventuallyEq, Filter.eventually_iff, mem_nhdsSet_iff_forall] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq b.u f | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ x ∈ s, {x | b.u x = f x} ∈ 𝓝 x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ (𝓝ˢ s).EventuallyEq b.u f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | intro z m | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ x ∈ s, {x | b.u x = f x} ∈ 𝓝 x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
⊢ {x | b.u x = f x} ∈ 𝓝 z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ x ∈ s, {x | b.u x = f x} ∈ 𝓝 x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | simp only [← Filter.eventually_iff] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
⊢ {x | b.u x = f x} ∈ 𝓝 z | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
⊢ {x | b.u x = f x} ∈ 𝓝 z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | set x : closure s := ⟨z, subset_closure m⟩ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | have zs : z ∈ Metric.ball (x : E) (b.r x) := mem_ball_self (b.rp x) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
zs : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | have ug := (b.ug x).eventuallyEq_of_mem ((b.ot.inter isOpen_ball).mem_nhds
⟨b.cover (subset_closure m), zs⟩) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
zs : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
zs : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
ug : (𝓝 z).EventuallyEq b.u (b.g x)
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
zs : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.uf | [178, 1] | [185, 66] | exact ug.trans ((b.gf x).filter_mono (nhds_le_nhdsSet ⟨m, zs⟩)) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
zs : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
ug : (𝓝 z).EventuallyEq b.u (b.g x)
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z✝ : E
b : Base p s f
z : E
m : z ∈ s
x : ↑(closure s) := ⟨z, ⋯⟩
zs : z ∈ Metric.ball (↑x) (b.r x)
ug : (𝓝 z).EventuallyEq b.u (b.g x)
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 z, b.u x = f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | apply Filter.eventually_of_mem (b.ot.mem_nhdsSet.mpr b.cover) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝ˢ (closure s), p b.u z | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ x ∈ b.t, p b.u x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝ˢ (closure s), p b.u z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | intro x m | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ x ∈ b.t, p b.u x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ b.t
⊢ p b.u x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
⊢ ∀ x ∈ b.t, p b.u x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | refine b.congr (b.gp (b.y m) (b.yt m)) ?_ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ b.t
⊢ p b.u x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ b.t
⊢ (𝓝 x).EventuallyEq (b.g (b.y m)) b.u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ b.t
⊢ p b.u x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Misc/Continuation.lean | Base.up | [188, 1] | [191, 92] | exact ((b.ug _).eventuallyEq_of_mem ((b.ot.inter isOpen_ball).mem_nhds ⟨m, b.yt m⟩)).symm | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ b.t
⊢ (𝓝 x).EventuallyEq (b.g (b.y m)) b.u | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
α : Type
p : (E → α) → E → Prop
s : Set E
f : E → α
z : E
b : Base p s f
x : E
m : x ∈ b.t
⊢ (𝓝 x).EventuallyEq (b.g (b.y m)) b.u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | dualVector_le | [47, 1] | [52, 38] | rw [← Complex.norm_eq_abs] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ Complex.abs ((dualVector x) y) ≤ ‖y‖ | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ ‖(dualVector x) y‖ ≤ ‖y‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ Complex.abs ((dualVector x) y) ≤ ‖y‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | dualVector_le | [47, 1] | [52, 38] | calc ‖dualVector x y‖
_ ≤ ‖dualVector x‖ * ‖y‖ := (dualVector x).le_op_norm y
_ ≤ 1 * ‖y‖ := by bound
_ = ‖y‖ := by simp only [one_mul] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ ‖(dualVector x) y‖ ≤ ‖y‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ ‖(dualVector x) y‖ ≤ ‖y‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | dualVector_le | [47, 1] | [52, 38] | bound | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ ‖dualVector x‖ * ‖y‖ ≤ 1 * ‖y‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ ‖dualVector x‖ * ‖y‖ ≤ 1 * ‖y‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | dualVector_le | [47, 1] | [52, 38] | simp only [one_mul] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ 1 * ‖y‖ = ‖y‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
x y : E
⊢ 1 * ‖y‖ = ‖y‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | LipschitzWith.is_const | [58, 1] | [59, 101] | intro x y | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
g0 : LipschitzWith 0 g
⊢ ∀ (x y : ℝ), g x = g y | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
g0 : LipschitzWith 0 g
x y : ℝ
⊢ g x = g y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
g0 : LipschitzWith 0 g
⊢ ∀ (x y : ℝ), g x = g y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | LipschitzWith.is_const | [58, 1] | [59, 101] | simpa only [ENNReal.coe_zero, zero_mul, nonpos_iff_eq_zero, edist_eq_zero] using g0 x y | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
g0 : LipschitzWith 0 g
x y : ℝ
⊢ g x = g y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
g0 : LipschitzWith 0 g
x y : ℝ
⊢ g x = g y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | duals_bddAbove | [62, 1] | [67, 54] | rw [bddAbove_def] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ BddAbove (range fun n => g ‖(duals n) x‖) | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∃ x_1, ∀ y ∈ range fun n => g ‖(duals n) x‖, y ≤ x_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ BddAbove (range fun n => g ‖(duals n) x‖)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | duals_bddAbove | [62, 1] | [67, 54] | use g ‖x‖ | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∃ x_1, ∀ y ∈ range fun n => g ‖(duals n) x‖, y ≤ x_1 | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∀ y ∈ range fun n => g ‖(duals n) x‖, y ≤ g ‖x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∃ x_1, ∀ y ∈ range fun n => g ‖(duals n) x‖, y ≤ x_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | duals_bddAbove | [62, 1] | [67, 54] | simp only [Complex.norm_eq_abs, Set.mem_range, forall_exists_index,
forall_apply_eq_imp_iff'] | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∀ y ∈ range fun n => g ‖(duals n) x‖, y ≤ g ‖x‖ | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∀ (y : ℝ) (x_1 : ℕ), g (Complex.abs ((duals x_1) x)) = y → y ≤ g ‖x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∀ y ∈ range fun n => g ‖(duals n) x‖, y ≤ g ‖x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | duals_bddAbove | [62, 1] | [67, 54] | intro _ _ h | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∀ (y : ℝ) (x_1 : ℕ), g (Complex.abs ((duals x_1) x)) = y → y ≤ g ‖x‖ | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ y✝ ≤ g ‖x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
⊢ ∀ (y : ℝ) (x_1 : ℕ), g (Complex.abs ((duals x_1) x)) = y → y ≤ g ‖x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | duals_bddAbove | [62, 1] | [67, 54] | rw [←h] | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ y✝ ≤ g ‖x‖ | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ g (Complex.abs ((duals x✝) x)) ≤ g ‖x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ y✝ ≤ g ‖x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | duals_bddAbove | [62, 1] | [67, 54] | apply gm | case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ g (Complex.abs ((duals x✝) x)) ≤ g ‖x‖ | case h.a
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ Complex.abs ((duals x✝) x) ≤ ‖x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ g (Complex.abs ((duals x✝) x)) ≤ g ‖x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | duals_bddAbove | [62, 1] | [67, 54] | apply dualVector_le | case h.a
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ Complex.abs ((duals x✝) x) ≤ ‖x‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.a
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
gm : Monotone g
x : E
y✝ : ℝ
x✝ : ℕ
h : g (Complex.abs ((duals x✝) x)) = y✝
⊢ Complex.abs ((duals x✝) x) ≤ ‖x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | LipschitzWith.le | [70, 1] | [76, 63] | calc f x
_ = f y + (f x - f y) := by ring_nf
_ ≤ f y + |f x - f y| := by bound
_ = f y + dist (f x) (f y) := by rw [Real.dist_eq]
_ ≤ f y + k * dist x y := by linarith [fk.dist_le_mul x y] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f x ≤ f y + ↑k * dist x y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f x ≤ f y + ↑k * dist x y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | LipschitzWith.le | [70, 1] | [76, 63] | ring_nf | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f x = f y + (f x - f y) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f x = f y + (f x - f y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | LipschitzWith.le | [70, 1] | [76, 63] | bound | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f y + (f x - f y) ≤ f y + |f x - f y| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f y + (f x - f y) ≤ f y + |f x - f y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | LipschitzWith.le | [70, 1] | [76, 63] | rw [Real.dist_eq] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f y + |f x - f y| = f y + dist (f x) (f y) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f y + |f x - f y| = f y + dist (f x) (f y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | LipschitzWith.le | [70, 1] | [76, 63] | linarith [fk.dist_le_mul x y] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f y + dist (f x) (f y) ≤ f y + ↑k * dist x y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : G → ℝ
k : ℝ≥0
fk : LipschitzWith k f
x y : G
⊢ f y + dist (f x) (f y) ≤ f y + ↑k * dist x y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | by_cases k0 : k = 0 | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
case neg
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | have kp : 0 < (k : ℝ) := by simp only [NNReal.coe_pos]; exact Ne.bot_lt k0 | case neg
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | case neg
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | apply le_antisymm | case neg
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | case neg.a
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ g ‖x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
case neg.a
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ ≤ g ‖x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | rw [k0] at gk | case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith 0 g
x : E
k0 : k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | have g0 := gk.is_const 0 | case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith 0 g
x : E
k0 : k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith 0 g
x : E
k0 : k = 0
g0 : ∀ (y : ℝ), g 0 = g y
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith 0 g
x : E
k0 : k = 0
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | simp only [← g0 _, ciSup_const] | case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith 0 g
x : E
k0 : k = 0
g0 : ∀ (y : ℝ), g 0 = g y
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith 0 g
x : E
k0 : k = 0
g0 : ∀ (y : ℝ), g 0 = g y
⊢ g ‖x‖ = ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | simp only [NNReal.coe_pos] | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ 0 < ↑k | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ 0 < k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ 0 < ↑k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | exact Ne.bot_lt k0 | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ 0 < k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
⊢ 0 < k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | apply le_of_forall_pos_le_add | case neg.a
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ g ‖x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ | case neg.a.h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + ε | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ g ‖x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | intro e ep | case neg.a.h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + ε | case neg.a.h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + ε
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | rcases Metric.denseRange_iff.mp (TopologicalSpace.denseRange_denseSeq E)
x (e / 2 / k) (by bound) with ⟨n, nx⟩ | case neg.a.h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
nx : dist x (TopologicalSpace.denseSeq E n) < e / 2 / ↑k
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | generalize hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
nx : dist x (TopologicalSpace.denseSeq E n) < e / 2 / ↑k
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
nx : dist x (TopologicalSpace.denseSeq E n) < e / 2 / ↑k
y : E
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
nx : dist x (TopologicalSpace.denseSeq E n) < e / 2 / ↑k
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | rw [hy] at nx | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
nx : dist x (TopologicalSpace.denseSeq E n) < e / 2 / ↑k
y : E
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
nx : dist x (TopologicalSpace.denseSeq E n) < e / 2 / ↑k
y : E
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | have hn : duals n = dualVector y := by rw [← hy, duals] | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | have h := le_ciSup (duals_bddAbove gm x) n | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
h : g ‖(duals n) x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | generalize hs : ⨆ n, g ‖duals n x‖ = s | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
h : g ‖(duals n) x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
h : g ‖(duals n) x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
s : ℝ
hs : ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ = s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
h : g ‖(duals n) x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
⊢ g ‖x‖ ≤ (⨆ n, g ‖(duals n) x‖) + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | simp_rw [hs, hn] at h | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
h : g ‖(duals n) x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
s : ℝ
hs : ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ = s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
s : ℝ
hs : ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ = s
h : g ‖(dualVector y) x‖ ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
h : g ‖(duals n) x‖ ≤ ⨆ n, g ‖(duals n) x‖
s : ℝ
hs : ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ = s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | clear hs hn hy | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
s : ℝ
hs : ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ = s
h : g ‖(dualVector y) x‖ ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g ‖(dualVector y) x‖ ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
hy : TopologicalSpace.denseSeq E n = y
hn : duals n = dualVector y
s : ℝ
hs : ⨆ n, g ‖(duals n) x‖ = s
h : g ‖(dualVector y) x‖ ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | simp only [Complex.norm_eq_abs] at h | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g ‖(dualVector y) x‖ ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g (Complex.abs ((dualVector y) x)) ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g ‖(dualVector y) x‖ ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | have gk' : LipschitzWith k fun x ↦ g (abs (dualVector y x)) := by
have k11 : (k : ℝ≥0) = k * 1 * 1 := by norm_num
rw [k11]
simp_rw [←Complex.norm_eq_abs]; apply (gk.comp lipschitzWith_one_norm).comp
exact (dualVector y).lipschitz.weaken (dualVector_nnnorm y) | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g (Complex.abs ((dualVector y) x)) ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g (Complex.abs ((dualVector y) x)) ≤ s
gk' : LipschitzWith k fun x => g (Complex.abs ((dualVector y) x))
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g (Complex.abs ((dualVector y) x)) ≤ s
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | calc g ‖x‖
_ ≤ g ‖y‖ + k * 1 * dist x y := (gk.comp lipschitzWith_one_norm).le x y
_ ≤ g ‖y‖ + k * 1 * (e / 2 / k) := by bound
_ = g ‖y‖ + k / k * e / 2 := by ring
_ ≤ g ‖y‖ + 1 * e / 2 := by bound
_ = g ‖y‖ + e / 2 := by simp only [one_mul]
_ = g (abs (dualVector y y)) + e / 2 := by
simp only [dualVector_apply, Complex.abs_ofReal, abs_norm]
_ ≤ g (abs (dualVector y x)) + k * dist y x + e / 2 := by bound [gk'.le]
_ ≤ s + k * dist y x + e / 2 := by linarith
_ = s + k * dist x y + e / 2 := by rw [dist_comm]
_ ≤ s + k * (e / 2 / k) + e / 2 := by bound
_ = s + k / k * e / 2 + e / 2 := by ring_nf
_ ≤ s + 1 * e / 2 + e / 2 := by bound
_ = s + e := by ring_nf | case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g (Complex.abs ((dualVector y) x)) ≤ s
gk' : LipschitzWith k fun x => g (Complex.abs ((dualVector y) x))
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.a.h.intro
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
n : ℕ
y : E
nx : dist x y < e / 2 / ↑k
s : ℝ
h : g (Complex.abs ((dualVector y) x)) ≤ s
gk' : LipschitzWith k fun x => g (Complex.abs ((dualVector y) x))
⊢ g ‖x‖ ≤ s + e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Duals.lean | norm_eq_duals_supr' | [79, 1] | [112, 92] | bound | G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
⊢ e / 2 / ↑k > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
G : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : SecondCountableTopology E
g : ℝ → ℝ
k : ℝ≥0
gm : Monotone g
gk : LipschitzWith k g
x : E
k0 : ¬k = 0
kp : 0 < ↑k
e : ℝ
ep : 0 < e
⊢ e / 2 / ↑k > 0
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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