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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | UpperSemicontinuous.potential | [202, 1] | [208, 87] | simp only [uncurry, UpperSemicontinuousAt, s.potential_eq_one (not_exists.mp r)] | case neg
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⊢ UpperSemicontinuousAt (uncurry s.potential) (c, z) | case neg
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⊢ ∀ (y : ℝ), 1 < y → ∀ᶠ (x' : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x'.1 x'.2 < y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ UpperSemicontinuousAt (uncurry s.potential) (c, z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | UpperSemicontinuous.potential | [202, 1] | [208, 87] | exact fun y y1 ↦ eventually_of_forall fun p ↦ lt_of_le_of_lt s.potential_le_one y1 | case neg
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STATE:
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⊢ ∀ (y : ℝ), 1 < y → ∀ᶠ (x' : ℂ × S) in 𝓝 (c, z), s.potential x'.1 x'.2 < y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.preimage_eq' | [216, 1] | [217, 69] | have e := o.eq_a c z | S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.preimage_eq' | [216, 1] | [217, 69] | refine ⟨e, ?_⟩ | S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.preimage_eq' | [216, 1] | [217, 69] | intro e | S : Type
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.preimage_eq' | [216, 1] | [217, 69] | simp only [e, s.f0] | S : Type
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.preimage_eq | [219, 1] | [222, 62] | induction' n with n h | S : Type
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⊢ (f c)^[n + 1] z = a ↔ z = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.preimage_eq | [219, 1] | [222, 62] | simp only [Function.iterate_zero_apply] | case zero
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.preimage_eq | [219, 1] | [222, 62] | simp only [Function.iterate_succ_apply', s.preimage_eq', h] | case succ
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inst✝⁴ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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n : ℕ
h : (f c)^[n] z = a ↔ z = a
⊢ (f c)^[n + 1] z = a ↔ z = a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq_zero_of_onePreimage | [224, 1] | [228, 42] | constructor | S : Type
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|
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq_zero_of_onePreimage | [224, 1] | [228, 42] | rcases h with ⟨n, h⟩ | case mp
S : Type
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq_zero_of_onePreimage | [224, 1] | [228, 42] | rw [s.preimage_eq] at h | case mp.intro
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq_zero_of_onePreimage | [224, 1] | [228, 42] | exact h | case mp.intro
S : Type
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a z : S
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s : Super f d a
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq_zero_of_onePreimage | [224, 1] | [228, 42] | intro h | case mpr
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ z = a → s.potential c z = 0 | case mpr
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
h : z = a
⊢ s.potential c z = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ z = a → s.potential c z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_eq_zero_of_onePreimage | [224, 1] | [228, 42] | simp only [h, s.potential_a] | case mpr
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
h : z = a
⊢ s.potential c z = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
h : z = a
⊢ s.potential c z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_ne_zero | [230, 1] | [231, 89] | simp only [Ne, s.potential_eq_zero_of_onePreimage] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ s.potential c z ≠ 0 ↔ z ≠ a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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⊢ s.potential c z ≠ 0 ↔ z ≠ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_pos | [233, 1] | [236, 61] | rw [← s.potential_ne_zero c] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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⊢ 0 < s.potential c z ↔ z ≠ a | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ 0 < s.potential c z ↔ s.potential c z ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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c : ℂ
⊢ 0 < s.potential c z ↔ z ≠ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_pos | [233, 1] | [236, 61] | use ne_of_gt, fun ne ↦ ne.symm.lt_of_le s.potential_nonneg | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ 0 < s.potential c z ↔ s.potential c z ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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⊢ 0 < s.potential c z ↔ s.potential c z ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | have h : ∀ q : ℂ × S, f q.1 q.2 = a → q.2 = a := fun _ ↦ by simp only [s.preimage_eq', imp_self] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
⊢ ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
⊢ ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
⊢ ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | contrapose h | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
⊢ ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ¬∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
⊢ ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [Filter.not_eventually, not_forall, exists_prop] at h | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ¬∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ¬∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∀ (q : ℂ × S), p = s.fp q → q ∈ n
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | set t := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | have tc : IsClosed t := by
refine (IsCompact.image ?_ s.fpa.continuous).isClosed
exact ((isCompact_closedBall _ _).prod isCompact_univ).inter_right no.isClosed_compl | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | have th : ∃ᶠ p in 𝓝 (c, a), p ∈ t := by
have mb : ∀ᶠ p : ℂ × S in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1 :=
continuousAt_fst.eventually_mem_nhd (Metric.closedBall_mem_nhds _ zero_lt_one)
refine (h.and_eventually mb).mp (eventually_of_forall fun p i ↦ ?_)
rcases i with ⟨⟨q, qp, m⟩, b⟩
simp only [Prod.ext_iff] at qp; simp only [qp.1] at b
simp only [Set.mem_image, Set.mem_compl_iff, Set.mem_inter_iff, Set.mem_prod_eq, Set.mem_univ,
and_true_iff, Prod.ext_iff, t]
use q, ⟨b, m⟩, qp.1.symm, qp.2.symm | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | have m := th.mem_of_closed tc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m : (c, a) ∈ t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | rcases(Set.mem_image _ _ _).mp m with ⟨p, m, pa⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m : (c, a) ∈ t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : s.fp p = (c, a)
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m : (c, a) ∈ t
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [Super.fp, Prod.mk.inj_iff] at pa | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
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tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : s.fp p = (c, a)
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : s.fp p = (c, a)
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [not_forall] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ∃ x, ∃ (_ : f x.1 x.2 = a), ¬x.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ¬∀ (q : ℂ × S), f q.1 q.2 = a → q.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | use p, pa.2 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ∃ x, ∃ (_ : f x.1 x.2 = a), ¬x.2 = a | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ¬p.2 = a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ∃ x, ∃ (_ : f x.1 x.2 = a), ¬x.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | contrapose m | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ¬p.2 = a | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : ¬¬p.2 = a
⊢ p ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
m : p ∈ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
⊢ ¬p.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [not_not, Set.mem_compl_iff] at m ⊢ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : ¬¬p.2 = a
⊢ p ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : p.2 = a
⊢ p ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : ¬¬p.2 = a
⊢ p ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | rw [← @Prod.mk.eta _ _ p, pa.1, m] | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : p.2 = a
⊢ p ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : p.2 = a
⊢ (c, a) ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : p.2 = a
⊢ p ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [Set.mem_inter_iff, Set.prod_mk_mem_set_prod_eq, Metric.mem_closedBall, dist_self,
zero_le_one, Set.mem_univ, Set.mem_compl_iff, true_and_iff, Set.not_not_mem, not_not,
na] | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : p.2 = a
⊢ (c, a) ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
th : ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
m✝ : (c, a) ∈ t
p : ℂ × S
pa : p.1 = c ∧ f p.1 p.2 = a
m : p.2 = a
⊢ (c, a) ∉ closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [s.preimage_eq', imp_self] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
x✝ : ℂ × S
⊢ f x✝.1 x✝.2 = a → x✝.2 = a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
x✝ : ℂ × S
⊢ f x✝.1 x✝.2 = a → x✝.2 = a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | refine (IsCompact.image ?_ s.fpa.continuous).isClosed | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ IsClosed t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ IsCompact (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ IsClosed t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | exact ((isCompact_closedBall _ _).prod isCompact_univ).inter_right no.isClosed_compl | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ IsCompact (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
⊢ IsCompact (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | have mb : ∀ᶠ p : ℂ × S in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1 :=
continuousAt_fst.eventually_mem_nhd (Metric.closedBall_mem_nhds _ zero_lt_one) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
⊢ ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
⊢ ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
⊢ ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | refine (h.and_eventually mb).mp (eventually_of_forall fun p i ↦ ?_) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
⊢ ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
i : (∃ x, p = s.fp x ∧ x ∉ n) ∧ p.1 ∈ closedBall c 1
⊢ p ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
⊢ ∃ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | rcases i with ⟨⟨q, qp, m⟩, b⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
i : (∃ x, p = s.fp x ∧ x ∉ n) ∧ p.1 ∈ closedBall c 1
⊢ p ∈ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
b : p.1 ∈ closedBall c 1
q : ℂ × S
qp : p = s.fp q
m : q ∉ n
⊢ p ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
i : (∃ x, p = s.fp x ∧ x ∉ n) ∧ p.1 ∈ closedBall c 1
⊢ p ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [Prod.ext_iff] at qp | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
b : p.1 ∈ closedBall c 1
q : ℂ × S
qp : p = s.fp q
m : q ∉ n
⊢ p ∈ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
b : p.1 ∈ closedBall c 1
q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
⊢ p ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
b : p.1 ∈ closedBall c 1
q : ℂ × S
qp : p = s.fp q
m : q ∉ n
⊢ p ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [qp.1] at b | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
b : p.1 ∈ closedBall c 1
q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
⊢ p ∈ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
b : (s.fp q).1 ∈ closedBall c 1
⊢ p ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p : ℂ × S
b : p.1 ∈ closedBall c 1
q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
⊢ p ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | simp only [Set.mem_image, Set.mem_compl_iff, Set.mem_inter_iff, Set.mem_prod_eq, Set.mem_univ,
and_true_iff, Prod.ext_iff, t] | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
b : (s.fp q).1 ∈ closedBall c 1
⊢ p ∈ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
b : (s.fp q).1 ∈ closedBall c 1
⊢ ∃ x, (x.1 ∈ closedBall c 1 ∧ x ∉ n) ∧ (s.fp x).1 = p.1 ∧ (s.fp x).2 = p.2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
b : (s.fp q).1 ∈ closedBall c 1
⊢ p ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.no_jump | [239, 1] | [265, 8] | use q, ⟨b, m⟩, qp.1.symm, qp.2.symm | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
b : (s.fp q).1 ∈ closedBall c 1
⊢ ∃ x, (x.1 ∈ closedBall c 1 ∧ x ∉ n) ∧ (s.fp x).1 = p.1 ∧ (s.fp x).2 = p.2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
h : ∃ᶠ (x : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), ∃ x_1, x = s.fp x_1 ∧ x_1 ∉ n
t : Set (ℂ × S) := s.fp '' (closedBall c 1 ×ˢ univ ∩ nᶜ)
tc : IsClosed t
mb : ∀ᶠ (p : ℂ × S) in 𝓝 (c, a), p.1 ∈ closedBall c 1
p q : ℂ × S
m : q ∉ n
qp : p.1 = (s.fp q).1 ∧ p.2 = (s.fp q).2
b : (s.fp q).1 ∈ closedBall c 1
⊢ ∃ x, (x.1 ∈ closedBall c 1 ∧ x ∉ n) ∧ (s.fp x).1 = p.1 ∧ (s.fp x).2 = p.2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | set n' := n ∩ s.near | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | have nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a) :=
Filter.inter_mem (no.mem_nhds na) (s.isOpen_near.mem_nhds (s.mem_near c)) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
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⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | rcases (Filter.hasBasis_iff.mp (compact_basis_nhds (c, a)) n').mp nn' with ⟨u, ⟨un, uc⟩, us⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s : Super f d a
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n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
us : u ⊆ n'
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
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n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | simp only [Set.subset_inter_iff, n'] at us | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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no : IsOpen n
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n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
us : u ⊆ n'
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
us : u ⊆ n'
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | rcases eventually_nhds_iff.mp
(s.no_jump c (interior u) isOpen_interior (mem_interior_iff_mem_nhds.mpr un)) with
⟨i, ih, io, ia⟩ | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | rcases mem_nhds_prod_iff'.mp (Filter.inter_mem un (io.mem_nhds ia)) with
⟨i0, i1, i0o, i0m, i1o, i1m, ii⟩ | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∩ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | simp only [Set.subset_inter_iff] at ii | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∩ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∩ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | set t := u \ univ ×ˢ i1 | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | have ta : ∀ e, (e, a) ∉ t := fun e ↦
Set.not_mem_diff_of_mem (Set.mk_mem_prod (Set.mem_univ _) i1m) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
c : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | use t | case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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c : ℂ
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s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
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i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∃ t, Barrier s c n t | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
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i0 : Set ℂ
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t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ Barrier s c n t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
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i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∃ t, Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | refine ⟨uc.diff (isOpen_univ.prod i1o), _root_.trans (Set.diff_subset _ _) us.1,
_root_.trans (Set.diff_subset _ _) us.2, ta, ?_⟩ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ Barrier s c n t | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
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n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∉ n → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ Barrier s c n t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | rw [eventually_nhds_iff] | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
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i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∉ n → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∃ t_1, (∀ x ∈ t_1, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t) ∧ IsOpen t_1 ∧ c ∈ t_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∀ᶠ (e : ℂ) in 𝓝 c, ∀ (z : S), (e, z) ∉ n → Attracts (f e) z a → ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | use i0 | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∃ t_1, (∀ x ∈ t_1, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t) ∧ IsOpen t_1 ∧ c ∈ t_1 | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ (∀ x ∈ i0, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t) ∧ IsOpen i0 ∧ c ∈ i0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∃ t_1, (∀ x ∈ t_1, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t) ∧ IsOpen t_1 ∧ c ∈ t_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | refine ⟨?_, i0o, i0m⟩ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ (∀ x ∈ i0, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t) ∧ IsOpen i0 ∧ c ∈ i0 | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
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i1o : IsOpen i1
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∀ x ∈ i0, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
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io : IsOpen i
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ (∀ x ∈ i0, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t) ∧ IsOpen i0 ∧ c ∈ i0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | intro e em z zm za | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
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i0 : Set ℂ
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⊢ ∀ x ∈ i0, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t | case h
S : Type
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inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
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s : Super f d a
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io : IsOpen i
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e : ℂ
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z : S
zm : (e, z) ∉ n
za : Attracts (f e) z a
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
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uc : IsCompact u
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i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
⊢ ∀ x ∈ i0, ∀ (z : S), (x, z) ∉ n → Attracts (f x) z a → ∃ n, (x, (f x)^[n] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | rcases tendsto_atTop_nhds.mp za i1 i1m i1o with ⟨m, mh⟩ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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e : ℂ
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z : S
zm : (e, z) ∉ n
za : Attracts (f e) z a
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
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i0o : IsOpen i0
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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z : S
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m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
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n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
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i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
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z : S
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za : Attracts (f e) z a
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | have en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1 := ⟨m, mh m (le_refl _)⟩ | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
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ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
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m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
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i0 : Set ℂ
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mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | set n := Nat.find en | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
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i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
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t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n
na : (c, a) ∈ n
n' : Set (ℂ × S) := n ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | use n - 1 | case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
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zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
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io : IsOpen i
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i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
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i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
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en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
⊢ ∃ n, (e, (f e)^[n] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | have ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1 := Nat.find_spec en | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
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e : ℂ
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za : Attracts (f e) z a
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en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
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za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | have n0 : n ≠ 0 := by
contrapose zm; simp only [Set.not_not_mem]
simp only [Nat.sub, Ne, Nat.find_eq_zero en, Function.iterate_zero, id,
Set.not_not_mem] at zm
exact us.1 (ii.1 (Set.mk_mem_prod em zm)) | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
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i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
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z : S
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za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
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ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
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za : Attracts (f e) z a
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mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
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ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
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⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
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i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
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em : e ∈ i0
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za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | have nt : (f e)^[n-1] z ∉ i1 := Nat.find_min en (Nat.pred_lt n0) | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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a z✝ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
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i : Set (ℂ × S)
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za : Attracts (f e) z a
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ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
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i1 : Set S
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nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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za : Attracts (f e) z a
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mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
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ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
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⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | apply Set.mem_diff_of_mem | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
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za : Attracts (f e) z a
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mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
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ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
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nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t | case h.h1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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f : ℂ → S → S
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inst✝ : OnePreimage s
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
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em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ u
case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
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em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
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n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∉ univ ×ˢ i1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
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z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | contrapose zm | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ n ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
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n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
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nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
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i0 : Set ℂ
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
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z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : ¬n ≠ 0
⊢ ¬(e, z) ∉ n✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
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i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
⊢ n ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | simp only [Set.not_not_mem] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : ¬n ≠ 0
⊢ ¬(e, z) ∉ n✝ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
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n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
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i0 : Set ℂ
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e : ℂ
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z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : ¬n ≠ 0
⊢ (e, z) ∈ n✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : ¬n ≠ 0
⊢ ¬(e, z) ∉ n✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | simp only [Nat.sub, Ne, Nat.find_eq_zero en, Function.iterate_zero, id,
Set.not_not_mem] at zm | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : ¬n ≠ 0
⊢ (e, z) ∈ n✝ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : z ∈ i1
⊢ (e, z) ∈ n✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
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za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : ¬n ≠ 0
⊢ (e, z) ∈ n✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | exact us.1 (ii.1 (Set.mk_mem_prod em zm)) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : z ∈ i1
⊢ (e, z) ∈ n✝ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
zm : z ∈ i1
⊢ (e, z) ∈ n✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | apply interior_subset | case h.h1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ u | case h.h1.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ interior u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | apply ih (e, (f e)^[n] z) (ii.2 (Set.mk_mem_prod em ni1)) | case h.h1.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ interior u | case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = s.fp (e, (f e)^[n - 1] z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h1.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∈ interior u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | simp only [Super.fp] | case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
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za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
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en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = s.fp (e, (f e)^[n - 1] z) | case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
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ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = (e, f e ((f e)^[n - 1] z)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = s.fp (e, (f e)^[n - 1] z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | rw [← Function.iterate_succ_apply' (f e) (n - 1)] | case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = (e, f e ((f e)^[n - 1] z)) | case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = (e, (f e)^[(n - 1).succ] z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = (e, f e ((f e)^[n - 1] z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | simp only [Nat.succ_eq_add_one, Nat.sub_add_cancel (Nat.one_le_of_lt (Nat.pos_of_ne_zero n0))] | case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = (e, (f e)^[(n - 1).succ] z) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h1.a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n] z) = (e, (f e)^[(n - 1).succ] z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | contrapose nt | case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∉ univ ×ˢ i1 | case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : ¬(e, (f e)^[n - 1] z) ∉ univ ×ˢ i1
⊢ ¬(f e)^[n - 1] z ∉ i1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : (f e)^[n - 1] z ∉ i1
⊢ (e, (f e)^[n - 1] z) ∉ univ ×ˢ i1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | simp only [Set.prod_mk_mem_set_prod_eq, not_and, not_forall, Set.not_not_mem,
exists_prop] at nt ⊢ | case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : ¬(e, (f e)^[n - 1] z) ∉ univ ×ˢ i1
⊢ ¬(f e)^[n - 1] z ∉ i1 | case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : e ∈ univ ∧ (f e)^[n - 1] z ∈ i1
⊢ (f e)^[n - 1] z ∈ i1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : ¬(e, (f e)^[n - 1] z) ∉ univ ×ˢ i1
⊢ ¬(f e)^[n - 1] z ∉ i1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.barrier | [277, 1] | [316, 15] | exact nt.2 | case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : e ∈ univ ∧ (f e)^[n - 1] z ∈ i1
⊢ (f e)^[n - 1] z ∈ i1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝¹ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n✝ : Set (ℂ × S)
no : IsOpen n✝
na : (c, a) ∈ n✝
n' : Set (ℂ × S) := n✝ ∩ s.near
nn' : n' ∈ 𝓝 (c, a)
u : Set (ℂ × S)
un : u ∈ 𝓝 (c, a)
uc : IsCompact u
us : u ⊆ n✝ ∧ u ⊆ s.near
i : Set (ℂ × S)
ih : ∀ x ∈ i, ∀ (q : ℂ × S), x = s.fp q → q ∈ interior u
io : IsOpen i
ia : (c, a) ∈ i
i0 : Set ℂ
i1 : Set S
i0o : IsOpen i0
i0m : c ∈ i0
i1o : IsOpen i1
i1m : a ∈ i1
ii : i0 ×ˢ i1 ⊆ u ∧ i0 ×ˢ i1 ⊆ i
t : Set (ℂ × S) := u \ univ ×ˢ i1
ta : ∀ (e : ℂ), (e, a) ∉ t
e : ℂ
em : e ∈ i0
z : S
zm : (e, z) ∉ n✝
za : Attracts (f e) z a
m : ℕ
mh : ∀ (n : ℕ), m ≤ n → (f e)^[n] z ∈ i1
en : ∃ n, (f e)^[n] z ∈ i1
n : ℕ := Nat.find en
ni1 : (f e)^[n] z ∈ i1
n0 : n ≠ 0
nt : e ∈ univ ∧ (f e)^[n - 1] z ∈ i1
⊢ (f e)^[n - 1] z ∈ i1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | by_cases t0 : t = ∅ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : ¬t = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | simp only [← ne_eq, ← Set.nonempty_iff_ne_empty] at t0 | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : ¬t = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : ¬t = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | have pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t := by
refine ContinuousOn.mono ?_ b.near
intro ⟨c, z⟩ m; apply ContinuousAt.continuousWithinAt
apply ContinuousAt.potential_of_reaches s; use 0; simpa only [Function.iterate_zero_apply] | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | rcases b.compact.exists_isMinOn t0 pc with ⟨⟨e, z⟩, ps, pm⟩ | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | case neg.intro.mk.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | use s.potential e z | case neg.intro.mk.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ s.potential e z > 0 ∧ ∀ (e_1 : ℂ) (z_1 : S), (e_1, z_1) ∈ t → s.potential e z ≤ s.potential e_1 z_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.mk.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | constructor | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ s.potential e z > 0 ∧ ∀ (e_1 : ℂ) (z_1 : S), (e_1, z_1) ∈ t → s.potential e z ≤ s.potential e_1 z_1 | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ s.potential e z > 0
case h.right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ ∀ (e_1 : ℂ) (z_1 : S), (e_1, z_1) ∈ t → s.potential e z ≤ s.potential e_1 z_1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ s.potential e z > 0 ∧ ∀ (e_1 : ℂ) (z_1 : S), (e_1, z_1) ∈ t → s.potential e z ≤ s.potential e_1 z_1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | use 1, zero_lt_one | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t = ∅
⊢ ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → 1 ≤ s.potential e z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → r ≤ s.potential e z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | simp only [t0, gt_iff_lt, Set.mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, forall_const,
imp_true_iff, and_true_iff] | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t = ∅
⊢ ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → 1 ≤ s.potential e z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t = ∅
⊢ ∀ (e : ℂ) (z : S), (e, z) ∈ t → 1 ≤ s.potential e z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | refine ContinuousOn.mono ?_ b.near | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ContinuousOn (uncurry s.potential) t | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ContinuousOn (uncurry s.potential) s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ContinuousOn (uncurry s.potential) t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | intro ⟨c, z⟩ m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ContinuousOn (uncurry s.potential) s.near | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ContinuousWithinAt (uncurry s.potential) s.near (c, z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
⊢ ContinuousOn (uncurry s.potential) s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | apply ContinuousAt.continuousWithinAt | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ContinuousWithinAt (uncurry s.potential) s.near (c, z) | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ContinuousAt (uncurry s.potential) (c, z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ContinuousWithinAt (uncurry s.potential) s.near (c, z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | apply ContinuousAt.potential_of_reaches s | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ContinuousAt (uncurry s.potential) (c, z) | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ContinuousAt (uncurry s.potential) (c, z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | use 0 | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | simpa only [Function.iterate_zero_apply] | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c✝ n t
t0 : t.Nonempty
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.near
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | have h := b.hole e | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ s.potential e z > 0 | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : (e, a) ∉ t
⊢ s.potential e z > 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
⊢ s.potential e z > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | contrapose h | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : (e, a) ∉ t
⊢ s.potential e z > 0 | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : ¬s.potential e z > 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : (e, a) ∉ t
⊢ s.potential e z > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | simp only [not_lt] at h | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : ¬s.potential e z > 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : ¬s.potential e z > 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | have h' := le_antisymm h s.potential_nonneg | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
h' : s.potential e z = 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | simp only [s.potential_eq_zero, s.preimage_eq, exists_const] at h' | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
h' : s.potential e z = 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
h' : z = a
⊢ ¬(e, a) ∉ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
h' : s.potential e z = 0
⊢ ¬(e, a) ∉ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Barrier.potential_large | [319, 1] | [336, 72] | simp only [not_not, ← h', ps] | case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
h' : z = a
⊢ ¬(e, a) ∉ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.left
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n t : Set (ℂ × S)
b : Barrier s c n t
t0 : t.Nonempty
pc : ContinuousOn (uncurry s.potential) t
e : ℂ
z : S
ps : (e, z) ∈ t
pm : IsMinOn (uncurry s.potential) t (e, z)
h : s.potential e z ≤ 0
h' : z = a
⊢ ¬(e, a) ∉ t
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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