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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [← hq] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ 0 < q | S : Type
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q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ 0 < q
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | have mc := csInf_mem_closure ne below | S : Type
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⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [IsClosed.closure_eq] at mc | S : Type
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S : Type
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STATE:
S : Type
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⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [mem_image] at mc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ s.potential c '' tᶜ
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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q : ℝ
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⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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c✝ : ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rcases mc with ⟨z, m, e⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
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z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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q : ℝ
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qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : ∃ x ∈ tᶜ, s.potential c x = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [← e] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
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q : ℝ
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z : S
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e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < sInf (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | contrapose m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s : Super f d a
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q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
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z : S
m : z ∈ tᶜ
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
⊢ 0 < s.potential c z | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : ¬0 < s.potential c z
⊢ z ∉ tᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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⊢ 0 < s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | replace m := le_antisymm (not_lt.mp m) s.potential_nonneg | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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n : t ∈ 𝓝 a
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z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : ¬0 < s.potential c z
⊢ z ∉ tᶜ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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c : ℂ
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n : t ∈ 𝓝 a
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pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : s.potential c z = 0
⊢ z ∉ tᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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n : t ∈ 𝓝 a
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below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
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z : S
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⊢ z ∉ tᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | rw [s.potential_eq_zero_of_onePreimage] at m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
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ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : s.potential c z = 0
⊢ z ∉ tᶜ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ z ∉ tᶜ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : s.potential c z = 0
⊢ z ∉ tᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | simp only [m, not_mem_compl_iff] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ z ∉ tᶜ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ a ∈ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ z ∉ tᶜ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact mem_of_mem_nhds n | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ a ∈ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
z : S
e : s.potential c z = sInf (s.potential c '' tᶜ)
m : z = a
⊢ a ∈ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis' | [425, 1] | [449, 16] | exact (o.isClosed_compl.isCompact.image (Continuous.potential s).along_snd).isClosed | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ IsClosed (s.potential c '' tᶜ) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
o : IsOpen t
ne : (s.potential c '' tᶜ).Nonempty
pos : ∀ p ∈ s.potential c '' tᶜ, 0 ≤ p
below : BddBelow (s.potential c '' tᶜ)
q : ℝ
hq : sInf (s.potential c '' tᶜ) = q
qt : ∀ (z : S), s.potential c z < q → z ∈ t
mc : sInf (s.potential c '' tᶜ) ∈ closure (s.potential c '' tᶜ)
⊢ IsClosed (s.potential c '' tᶜ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | rcases mem_nhds_iff.mp n with ⟨t', tt, o, m⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | rcases s.potential_basis' c (o.mem_nhds m) o with ⟨p, pp, sub⟩ | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
p : ℝ
pp : 0 < p
sub : {z | s.potential c z < p} ⊆ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.potential_basis | [452, 1] | [456, 33] | use p, pp, _root_.trans sub tt | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
p : ℝ
pp : 0 < p
sub : {z | s.potential c z < p} ⊆ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
t : Set S
n : t ∈ 𝓝 a
t' : Set S
tt : t' ⊆ t
o : IsOpen t'
m : a ∈ t'
p : ℝ
pp : 0 < p
sub : {z | s.potential c z < p} ⊆ t'
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ {z | s.potential c z < p} ⊆ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | intro z zp | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c 0 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c 0 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | have za := le_antisymm zp s.potential_nonneg | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | simp only [s.potential_eq_zero_of_onePreimage] at za | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : s.potential c z = 0
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | rw [za, Function.iterate_zero_apply] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, (f c)^[0] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | use s.mem_near c | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ (c, a) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | intro k _ | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
⊢ ∀ (k : ℕ), 0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | rw [s.iter_a] | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0 | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) a ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] a) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNice_zero | [465, 1] | [470, 67] | exact s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) a ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
inst✝ : OnePreimage s
z : S
zp : s.potential c z ≤ 0
za : z = a
k : ℕ
a✝ : 0 ≤ k
⊢ mfderiv I I (s.bottcherNear c) a ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | intro z zp | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.IsNiceN c p n1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
⊢ s.IsNiceN c p n1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | rcases nice z zp with ⟨m, nc⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
nc : ∀ (k : ℕ), n0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.isNiceN_mono | [472, 1] | [475, 72] | use s.iter_stays_near' m n01, fun k n1k ↦ nc k (_root_.trans n01 n1k) | case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
nc : ∀ (k : ℕ), n0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
n0 n1 : ℕ
nice : s.IsNiceN c p n0
n01 : n0 ≤ n1
z : S
zp : s.potential c z ≤ p
m : (c, (f c)^[n0] z) ∈ s.near
nc : ∀ (k : ℕ), n0 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n1] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n1 ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | have et : ∀ᶠ z in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0 := by
apply
(mfderiv_ne_zero_eventually (s.bottcherNear_holomorphic _ (s.mem_near c)).along_snd
(s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c)).mp
apply ((s.isOpen_near.snd_preimage c).eventually_mem (s.mem_near c)).mp
refine eventually_of_forall fun z m nc ↦ ?_; use m, nc | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases et.exists_mem with ⟨t, m, h⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases s.potential_basis c m with ⟨q, qp, qt⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | clear et m | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
et : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
t : Set S
m : t ∈ 𝓝 a
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | rcases exists_pow_lt_of_lt_one qp p1 with ⟨n, pq⟩ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | use n | case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ s.IsNiceN c p n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ ∃ n, s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | intro z m | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ s.IsNiceN c p n | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
⊢ s.IsNiceN c p n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | replace m : ∀ k, n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q := by
intro k nk; refine lt_of_le_of_lt ?_ pq; simp only [s.potential_eqn_iter]
have dn := (Nat.lt_pow_self s.d1 k).le
apply _root_.trans (pow_le_pow_of_le_one s.potential_nonneg s.potential_le_one dn)
refine _root_.trans (pow_le_pow_left s.potential_nonneg m _) ?_
exact pow_le_pow_of_le_one (_root_.trans s.potential_nonneg m) p1.le nk | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : ∀ (k : ℕ), n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | use(h _ (qt (m n (le_refl _)))).1, fun k nk ↦ (h _ (qt (m k nk))).2 | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : ∀ (k : ℕ), n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : ∀ (k : ℕ), n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∈ s.near ∧ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → mfderiv I I (s.bottcherNear c) ((f c)^[k] z) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | apply
(mfderiv_ne_zero_eventually (s.bottcherNear_holomorphic _ (s.mem_near c)).along_snd
(s.bottcherNear_mfderiv_ne_zero c)).mp | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) x ≠ 0 → (c, x) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) x ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | apply ((s.isOpen_near.snd_preimage c).eventually_mem (s.mem_near c)).mp | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) x ≠ 0 → (c, x) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) x ≠ 0 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
x ∈ {b | (c, b) ∈ s.near} →
mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) x ≠ 0 → (c, x) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) x ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) x ≠ 0 → (c, x) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) x ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | refine eventually_of_forall fun z m nc ↦ ?_ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
x ∈ {b | (c, b) ∈ s.near} →
mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) x ≠ 0 → (c, x) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) x ≠ 0 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
z : S
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.near}
nc : mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) z ≠ 0
⊢ (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
x ∈ {b | (c, b) ∈ s.near} →
mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) x ≠ 0 → (c, x) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) x ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | use m, nc | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
z : S
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.near}
nc : mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) z ≠ 0
⊢ (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
z : S
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.near}
nc : mfderiv I I (fun y => s.bottcherNear c y) z ≠ 0
⊢ (c, z) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) z ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | intro k nk | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c ((f c)^[k] z) < q | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
⊢ ∀ (k : ℕ), n ≤ k → s.potential c ((f c)^[k] z) < q
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | refine lt_of_le_of_lt ?_ pq | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c ((f c)^[k] z) < q | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c ((f c)^[k] z) ≤ p ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c ((f c)^[k] z) < q
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | simp only [s.potential_eqn_iter] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c ((f c)^[k] z) ≤ p ^ n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c z ^ d ^ k ≤ p ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c ((f c)^[k] z) ≤ p ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | have dn := (Nat.lt_pow_self s.d1 k).le | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c z ^ d ^ k ≤ p ^ n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ s.potential c z ^ d ^ k ≤ p ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
⊢ s.potential c z ^ d ^ k ≤ p ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | apply _root_.trans (pow_le_pow_of_le_one s.potential_nonneg s.potential_le_one dn) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ s.potential c z ^ d ^ k ≤ p ^ n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ s.potential c z ^ k ≤ p ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s : Super f d a
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p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
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n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ s.potential c z ^ d ^ k ≤ p ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | refine _root_.trans (pow_le_pow_left s.potential_nonneg m _) ?_ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ s.potential c z ^ k ≤ p ^ n | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
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inst✝ : AnalyticManifold I S
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op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ p ^ k ≤ p ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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op : OnePreimage s
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n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ s.potential c z ^ k ≤ p ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.has_nice_n | [477, 1] | [495, 70] | exact pow_le_pow_of_le_one (_root_.trans s.potential_nonneg m) p1.le nk | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
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inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ p ^ k ≤ p ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n✝ : ℕ
s : Super f d a
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p1 : p < 1
op : OnePreimage s
t : Set S
h : ∀ y ∈ t, (c, y) ∈ s.near ∧ mfderiv I I (s.bottcherNear c) y ≠ 0
q : ℝ
qp : 0 < q
qt : {z | s.potential c z < q} ⊆ t
n : ℕ
pq : p ^ n < q
z : S
m : s.potential c z ≤ p
k : ℕ
nk : n ≤ k
dn : k ≤ d ^ k
⊢ p ^ k ≤ p ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.nice_np | [501, 1] | [505, 42] | have q : p < 1 ∧ OnePreimage s := ⟨p1, op⟩ | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
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p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (s.np c p) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
q : p < 1 ∧ OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (s.np c p) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
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a z : S
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s : Super f d a
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op : OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (s.np c p)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.nice_np | [501, 1] | [505, 42] | simp only [Super.np, q, true_and_iff, dif_pos] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
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p1 : p < 1
op : OnePreimage s
q : p < 1 ∧ OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (s.np c p) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
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p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
q : p < 1 ∧ OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (Nat.find ⋯) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
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s : Super f d a
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p1 : p < 1
op : OnePreimage s
q : p < 1 ∧ OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (s.np c p)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.nice_np | [501, 1] | [505, 42] | exact Nat.find_spec (s.has_nice_n c p1) | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p : ℝ
p1 : p < 1
op : OnePreimage s
q : p < 1 ∧ OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (Nat.find ⋯) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
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p1 : p < 1
op : OnePreimage s
q : p < 1 ∧ OnePreimage s
⊢ s.IsNiceN c p (Nat.find ⋯)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.np_zero | [507, 1] | [508, 100] | simp only [Super.np, zero_lt_one, op, true_and_iff, dif_pos, Nat.find_eq_zero, Super.isNice_zero] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
op : OnePreimage s
⊢ s.np c 0 = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
op : OnePreimage s
⊢ s.np c 0 = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.np_mono | [510, 1] | [515, 87] | have p01 : p0 < 1 := lt_of_le_of_lt le p11 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.np_mono | [510, 1] | [515, 87] | have e : s.np c p0 = Nat.find (s.has_nice_n c p01) := by
simp only [Super.np, p01, op, true_and_iff, dif_pos] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.np_mono | [510, 1] | [515, 87] | rw [e] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1 | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ Nat.find ⋯ ≤ s.np c p1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ s.np c p0 ≤ s.np c p1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.np_mono | [510, 1] | [515, 87] | apply Nat.find_min' | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ Nat.find ⋯ ≤ s.np c p1 | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ s.IsNiceN c p0 (s.np c p1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
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inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ Nat.find ⋯ ≤ s.np c p1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.np_mono | [510, 1] | [515, 87] | exact fun z zp ↦ s.nice_np c p11 _ (_root_.trans zp le) | case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ s.IsNiceN c p0 (s.np c p1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
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inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
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d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
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le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
e : s.np c p0 = Nat.find ⋯
⊢ s.IsNiceN c p0 (s.np c p1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Potential.lean | Super.np_mono | [510, 1] | [515, 87] | simp only [Super.np, p01, op, true_and_iff, dif_pos] | S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
⊢ s.np c p0 = Nat.find ⋯ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
c : ℂ
p0 p1 : ℝ
le : p0 ≤ p1
p11 : p1 < 1
op : OnePreimage s
p01 : p0 < 1
⊢ s.np c p0 = Nat.find ⋯
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.orderAt_unique | [42, 1] | [49, 39] | have fa : AnalyticAt 𝕜 f c := ⟨p, fp⟩ | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = p.order | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = p.order | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
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fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = p.order
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.orderAt_unique | [42, 1] | [49, 39] | simp only [orderAt, fa, dif_pos] | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
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p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
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inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
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inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
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inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ (choose ⋯).order = p.order | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = p.order
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.orderAt_unique | [42, 1] | [49, 39] | have s := choose_spec fa | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
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p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
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fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ (choose ⋯).order = p.order | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
s : HasFPowerSeriesAt f (choose fa) c
⊢ (choose ⋯).order = p.order | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ (choose ⋯).order = p.order
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.orderAt_unique | [42, 1] | [49, 39] | generalize hq : choose fa = q | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
s : HasFPowerSeriesAt f (choose fa) c
⊢ (choose ⋯).order = p.order | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
s : HasFPowerSeriesAt f (choose fa) c
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
hq : choose fa = q
⊢ q.order = p.order | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
s : HasFPowerSeriesAt f (choose fa) c
⊢ (choose ⋯).order = p.order
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.orderAt_unique | [42, 1] | [49, 39] | simp_rw [hq] at s | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
s : HasFPowerSeriesAt f (choose fa) c
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
hq : choose fa = q
⊢ q.order = p.order | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
hq : choose fa = q
s : HasFPowerSeriesAt f q c
⊢ q.order = p.order | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
s : HasFPowerSeriesAt f (choose fa) c
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
hq : choose fa = q
⊢ q.order = p.order
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | HasFPowerSeriesAt.orderAt_unique | [42, 1] | [49, 39] | rw [fp.eq_formalMultilinearSeries s] | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
hq : choose fa = q
s : HasFPowerSeriesAt f q c
⊢ q.order = p.order | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
c : 𝕜
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
hq : choose fa = q
s : HasFPowerSeriesAt f q c
⊢ q.order = p.order
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | by_cases fp : AnalyticAt 𝕜 f c | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
⊢ orderAt f c = 0 | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
fp : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
fp : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
⊢ orderAt f c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | rcases fp with ⟨p, fp⟩ | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
fp : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
fp : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | rw [fp.orderAt_unique] | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | rw [← fp.coeff_zero 1] at f0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order = 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | rw [FormalMultilinearSeries.order_eq_zero_iff'] | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order = 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | right | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 | case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p 0 ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | contrapose f0 | case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p 0 ≠ 0 | case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
f0 : ¬p 0 ≠ 0
⊢ ¬(p 0) 1 ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f0 : (p 0) 1 ≠ 0
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p 0 ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | simp only [not_not] at f0 | case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
f0 : ¬p 0 ≠ 0
⊢ ¬(p 0) 1 ≠ 0 | case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
f0 : p 0 = 0
⊢ ¬(p 0) 1 ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
f0 : ¬p 0 ≠ 0
⊢ ¬(p 0) 1 ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | simp only [f0, ContinuousMultilinearMap.zero_apply, Ne, eq_self_iff_true, not_true,
not_false_iff] | case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
f0 : p 0 = 0
⊢ ¬(p 0) 1 ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
f0 : p 0 = 0
⊢ ¬(p 0) 1 ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero | [52, 1] | [59, 23] | simp [orderAt, fp] | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
fp : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
fp : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero_iff | [62, 1] | [69, 64] | rcases fa with ⟨p, fp⟩ | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ f c ≠ 0 | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ orderAt f c = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero_iff | [62, 1] | [69, 64] | simp only [fp.orderAt_unique, ←fp.coeff_zero fun _ ↦ 0,
FormalMultilinearSeries.order_eq_zero_iff'] | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ f c ≠ 0 | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ ((p 0) fun x => 0) ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ orderAt f c = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero_iff | [62, 1] | [69, 64] | rw [←@norm_ne_zero_iff _ _ (p 0 fun _ ↦ 0), ContinuousMultilinearMap.fin0_apply_norm,
norm_ne_zero_iff] | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ ((p 0) fun x => 0) ≠ 0 | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ p 0 ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ ((p 0) fun x => 0) ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero_iff | [62, 1] | [69, 64] | apply or_congr_left' | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ p 0 ≠ 0 | case intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ ¬p 0 ≠ 0 → (p = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 ∨ p 0 ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero_iff | [62, 1] | [69, 64] | intro _ | case intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ ¬p 0 ≠ 0 → (p = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0) | case intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a✝ : ¬p 0 ≠ 0
⊢ p = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ ¬p 0 ≠ 0 → (p = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | orderAt_eq_zero_iff | [62, 1] | [69, 64] | exact fp.locally_zero_iff.symm | case intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a✝ : ¬p 0 ≠ 0
⊢ p = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.h
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a✝ : ¬p 0 ≠ 0
⊢ p = 0 ↔ (𝓝 c).EventuallyEq f 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | by_cases fa : AnalyticAt 𝕜 f c | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
⊢ deriv f c ≠ 0 | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ deriv f c ≠ 0
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ deriv f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | rcases fa with ⟨p, fp⟩ | case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ deriv f c ≠ 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ deriv f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | rw [fp.orderAt_unique] at o | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ deriv f c ≠ 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ deriv f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | have o0 : p.order ≠ 0 := by rw [o]; exact one_ne_zero | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ deriv f c ≠ 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | have p0 := FormalMultilinearSeries.apply_order_ne_zero' o0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
p0 : p p.order ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | rw [o] at p0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
p0 : p p.order ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0 | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
p0 : p 1 ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
p0 : p p.order ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | simpa only [fp.deriv, FormalMultilinearSeries.apply_eq_pow_smul_coeff, one_pow, one_smul,
FormalMultilinearSeries.coeff_eq_zero, Ne] | case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
p0 : p 1 ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
o0 : p.order ≠ 0
p0 : p 1 ≠ 0
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | rw [o] | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order ≠ 0 | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ 1 ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ p.order ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | exact one_ne_zero | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ 1 ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
o : p.order = 1
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ 1 ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | simp only [orderAt, fa] at o | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ deriv f c ≠ 0 | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ deriv f c ≠ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
o : orderAt f c = 1
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | rw [dif_neg] at o | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ deriv f c ≠ 0 | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : 0 = 1
⊢ deriv f c ≠ 0
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ ¬False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ deriv f c ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | norm_num at o | case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : 0 = 1
⊢ deriv f c ≠ 0
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ ¬False | case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ ¬False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : 0 = 1
⊢ deriv f c ≠ 0
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ ¬False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | deriv_ne_zero_of_orderAt_eq_one | [72, 1] | [82, 84] | exact not_false | case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ ¬False | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : ¬AnalyticAt 𝕜 f c
o : (if h : False then (choose ⋯).order else 0) = 1
⊢ ¬False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | leadingCoeff_of_ne_zero | [89, 1] | [90, 76] | simp only [leadingCoeff, orderAt_eq_zero f0, Function.iterate_zero_apply] | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
⊢ leadingCoeff f c = f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
f0 : f c ≠ 0
⊢ leadingCoeff f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | rcases fa with ⟨p, fp⟩ | 𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • leadingCoeff f c) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • leadingCoeff f c) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
fa : AnalyticAt 𝕜 f c
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • leadingCoeff f c) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | generalize ha : leadingCoeff f c = a | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • leadingCoeff f c) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • leadingCoeff f c) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | generalize hd : orderAt f c = d | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
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H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
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f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ orderAt f c • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ orderAt f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | have ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a := by rw [← ha, ← hd, leadingCoeff] | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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inst✝⁹ : CompleteSpace E
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inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
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ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
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G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
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inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
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inst✝ : CompleteSpace H
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p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | have e := fp.eq_pow_order_mul_iterate_dslope | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ p.order • (Function.swap dslope c)^[p.order] f z
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | simp_rw [← fp.orderAt_unique, hd] at e | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ p.order • (Function.swap dslope c)^[p.order] f z
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ d • (Function.swap dslope c)^[d] f z
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ p.order • (Function.swap dslope c)^[p.order] f z
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | apply Asymptotics.IsLittleO.of_isBigOWith | case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ d • (Function.swap dslope c)^[d] f z
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d | case intro.a
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ d • (Function.swap dslope c)^[d] f z
⊢ ∀ ⦃c_1 : ℝ⦄, 0 < c_1 → Asymptotics.IsBigOWith c_1 (𝓝 c) (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) fun z => (z - c) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ d • (Function.swap dslope c)^[d] f z
⊢ (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) =o[𝓝 c] fun z => (z - c) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Analytic/Analytic.lean | AnalyticAt.leading_approx | [93, 1] | [115, 46] | intro k kp | case intro.a
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ d • (Function.swap dslope c)^[d] f z
⊢ ∀ ⦃c_1 : ℝ⦄, 0 < c_1 → Asymptotics.IsBigOWith c_1 (𝓝 c) (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) fun z => (z - c) ^ d | case intro.a
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ d • (Function.swap dslope c)^[d] f z
k : ℝ
kp : 0 < k
⊢ Asymptotics.IsBigOWith k (𝓝 c) (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) fun z => (z - c) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.a
𝕜 : Type
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace G
H : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace H
f : 𝕜 → E
c : 𝕜
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
fp : HasFPowerSeriesAt f p c
a : E
ha : leadingCoeff f c = a
d : ℕ
hd : orderAt f c = d
ha' : (Function.swap dslope c)^[d] f c = a
e : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 c, f z = (z - c) ^ d • (Function.swap dslope c)^[d] f z
⊢ ∀ ⦃c_1 : ℝ⦄, 0 < c_1 → Asymptotics.IsBigOWith c_1 (𝓝 c) (fun z => f z - (z - c) ^ d • a) fun z => (z - c) ^ d
TACTIC:
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