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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_holomorphicOn | [80, 1] | [83, 89] | intro ⟨c, z⟩ m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ HolomorphicOn (I.prod I) I (uncurry s.bottcher) s.post | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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m : (c, z) ∈ s.post
⊢ HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry s.bottcher) (c, z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ HolomorphicOn (I.prod I) I (uncurry s.bottcher) s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_holomorphicOn | [80, 1] | [83, 89] | apply ((choose_spec s.ray_inv).1 _ m).congr | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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⊢ HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry s.bottcher) (c, z) | S : Type
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STATE:
S : Type
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s : Super f d a
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m : (c, z) ∈ s.post
⊢ HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry s.bottcher) (c, z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_holomorphicOn | [80, 1] | [83, 89] | exact s.eqOn_bottcher_bottcherPost.symm.eventuallyEq_of_mem (s.isOpen_post.mem_nhds m) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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⊢ (𝓝 (c, z)).EventuallyEq (uncurry (choose ⋯)) (uncurry s.bottcher) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ (𝓝 (c, z)).EventuallyEq (uncurry (choose ⋯)) (uncurry s.bottcher)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_ray | [86, 1] | [88, 86] | rw [s.bottcher_eq_bottcherPost (s.ray_post m)] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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m : (c, x) ∈ s.ext
⊢ s.bottcher c (s.ray c x) = x | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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⊢ s.bottcherPost c (s.ray c x) = x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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⊢ s.bottcher c (s.ray c x) = x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_ray | [86, 1] | [88, 86] | exact (choose_spec s.ray_inv).2 _ m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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m : (c, x) ∈ s.ext
⊢ s.bottcherPost c (s.ray c x) = x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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m : (c, x) ∈ s.ext
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.ray_bottcher | [91, 1] | [93, 65] | rcases s.ray_surj m with ⟨x, m, e⟩ | S : Type
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.ray c (s.bottcher c z) = z | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ s.ray c (s.bottcher c z) = z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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a z : S
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y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.ray c (s.bottcher c z) = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.ray_bottcher | [91, 1] | [93, 65] | rw [← e, s.bottcher_ray m] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ s.ray c (s.bottcher c z) = z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ s.ray c (s.bottcher c z) = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_ext | [96, 1] | [98, 74] | rcases s.ray_surj m with ⟨x, m, e⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ (c, s.bottcher c z) ∈ s.ext | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
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m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ (c, s.bottcher c z) ∈ s.ext | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ (c, s.bottcher c z) ∈ s.ext
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_ext | [96, 1] | [98, 74] | rw [← e, s.bottcher_ray m] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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a z : S
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m✝ : (c, z) ∈ s.post
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m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ (c, s.bottcher c z) ∈ s.ext | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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a z : S
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s✝ : Super f d a
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m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ (c, x) ∈ s.ext | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
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m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ (c, s.bottcher c z) ∈ s.ext
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_ext | [96, 1] | [98, 74] | exact m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ (c, x) ∈ s.ext | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ (c, x) ∈ s.ext
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eq_bottcherNear | [101, 1] | [108, 45] | have eq := (s.ray_nontrivial (s.mem_ext c)).nhds_eq_map_nhds | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
d n : ℕ
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eq_bottcherNear | [101, 1] | [108, 45] | simp only [s.ray_zero] at eq | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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f : ℂ → S → S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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eq : 𝓝 (s.ray c 0) = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 (s.ray c 0) = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eq_bottcherNear | [101, 1] | [108, 45] | simp only [eq, Filter.eventually_map] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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y : ℂ × ℂ
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c : ℂ
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⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (a_1 : ℂ) in 𝓝 0, s.bottcher c (s.ray c a_1) = s.bottcherNear c (s.ray c a_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eq_bottcherNear | [101, 1] | [108, 45] | apply ((continuousAt_const.prod continuousAt_id).eventually (s.ray_eqn_zero c)).mp | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (a_1 : ℂ) in 𝓝 0, s.bottcher c (s.ray c a_1) = s.bottcherNear c (s.ray c a_1) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 0,
s.bottcherNear (c, id x).1 (s.ray (c, id x).1 (c, id x).2) = (c, id x).2 →
s.bottcher c (s.ray c x) = s.bottcherNear c (s.ray c x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (a_1 : ℂ) in 𝓝 0, s.bottcher c (s.ray c a_1) = s.bottcherNear c (s.ray c a_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eq_bottcherNear | [101, 1] | [108, 45] | refine ((s.isOpen_ext.snd_preimage c).eventually_mem (s.mem_ext c)).mp
(eventually_of_forall fun z m e ↦ ?_) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 0,
s.bottcherNear (c, id x).1 (s.ray (c, id x).1 (c, id x).2) = (c, id x).2 →
s.bottcher c (s.ray c x) = s.bottcherNear c (s.ray c x) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
z : ℂ
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.ext}
e : s.bottcherNear (c, id z).1 (s.ray (c, id z).1 (c, id z).2) = (c, id z).2
⊢ s.bottcher c (s.ray c z) = s.bottcherNear c (s.ray c z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 0,
s.bottcherNear (c, id x).1 (s.ray (c, id x).1 (c, id x).2) = (c, id x).2 →
s.bottcher c (s.ray c x) = s.bottcherNear c (s.ray c x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eq_bottcherNear | [101, 1] | [108, 45] | simp only [s.bottcher_ray m] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
z : ℂ
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.ext}
e : s.bottcherNear (c, id z).1 (s.ray (c, id z).1 (c, id z).2) = (c, id z).2
⊢ s.bottcher c (s.ray c z) = s.bottcherNear c (s.ray c z) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
z : ℂ
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.ext}
e : s.bottcherNear (c, id z).1 (s.ray (c, id z).1 (c, id z).2) = (c, id z).2
⊢ z = s.bottcherNear c (s.ray c z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
z : ℂ
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.ext}
e : s.bottcherNear (c, id z).1 (s.ray (c, id z).1 (c, id z).2) = (c, id z).2
⊢ s.bottcher c (s.ray c z) = s.bottcherNear c (s.ray c z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eq_bottcherNear | [101, 1] | [108, 45] | exact e.symm | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
z : ℂ
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.ext}
e : s.bottcherNear (c, id z).1 (s.ray (c, id z).1 (c, id z).2) = (c, id z).2
⊢ z = s.bottcherNear c (s.ray c z) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
eq : 𝓝 a = Filter.map (s.ray c) (𝓝 0)
z : ℂ
m : z ∈ {b | (c, b) ∈ s.ext}
e : s.bottcherNear (c, id z).1 (s.ray (c, id z).1 (c, id z).2) = (c, id z).2
⊢ z = s.bottcherNear c (s.ray c z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.post_connected | [149, 1] | [151, 66] | have e : s.post = s.homeomorph '' s.ext := s.homeomorph.image_source_eq_target.symm | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ IsConnected s.post | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
e : s.post = ↑s.homeomorph '' s.ext
⊢ IsConnected s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ IsConnected s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.post_connected | [149, 1] | [151, 66] | rw [e] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
e : s.post = ↑s.homeomorph '' s.ext
⊢ IsConnected s.post | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
e : s.post = ↑s.homeomorph '' s.ext
⊢ IsConnected (↑s.homeomorph '' s.ext) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
e : s.post = ↑s.homeomorph '' s.ext
⊢ IsConnected s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.post_connected | [149, 1] | [151, 66] | exact s.ext_connected.image _ s.homeomorph.continuousOn | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
e : s.post = ↑s.homeomorph '' s.ext
⊢ IsConnected (↑s.homeomorph '' s.ext) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
e : s.post = ↑s.homeomorph '' s.ext
⊢ IsConnected (↑s.homeomorph '' s.ext)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.post_slice_connected | [154, 1] | [158, 85] | have e : {z | (c, z) ∈ s.post} = s.homeomorphSlice c '' {x | (c, x) ∈ s.ext} :=
(s.homeomorphSlice c).image_source_eq_target.symm | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ IsConnected {z | (c, z) ∈ s.post} | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
e : {z | (c, z) ∈ s.post} = ↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ IsConnected {z | (c, z) ∈ s.post} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
⊢ IsConnected {z | (c, z) ∈ s.post}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.post_slice_connected | [154, 1] | [158, 85] | rw [e] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
e : {z | (c, z) ∈ s.post} = ↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ IsConnected {z | (c, z) ∈ s.post} | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
e : {z | (c, z) ∈ s.post} = ↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ IsConnected (↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
e : {z | (c, z) ∈ s.post} = ↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ IsConnected {z | (c, z) ∈ s.post}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.post_slice_connected | [154, 1] | [158, 85] | exact (s.ext_slice_connected c).image _ (s.homeomorphSlice c).continuousOn | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
e : {z | (c, z) ∈ s.post} = ↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ IsConnected (↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
e : {z | (c, z) ∈ s.post} = ↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ IsConnected (↑(s.homeomorphSlice c) '' {x | (c, x) ∈ s.ext})
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | have p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post := by
contrapose m; simp only [not_not] at m ⊢; rcases m with ⟨n, m⟩
rcases s.post_basin m with ⟨k, m⟩
simp only [← Function.iterate_add_apply] at m; exact ⟨k + n, m⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c z = 1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c z = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c z = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | simp only [Super.bottcher, p] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c z = 1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (if h : False then (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] z)) else 1) = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c z = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | rw [dif_neg] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (if h : False then (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] z)) else 1) = 1 | case hnc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ¬False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (if h : False then (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] z)) else 1) = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | exact not_false | case hnc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ¬False | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hnc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
p : ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ¬False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | contrapose m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : ¬¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ¬(c, z) ∉ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ ¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | simp only [not_not] at m ⊢ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : ¬¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ¬(c, z) ∉ s.basin | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : ¬¬∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ¬(c, z) ∉ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | rcases m with ⟨n, m⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
m : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.basin | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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⊢ (c, z) ∈ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | rcases s.post_basin m with ⟨k, m⟩ | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.basin | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
k : ℕ
m : ((c, (f c)^[n] z).1, (f (c, (f c)^[n] z).1)^[k] (c, (f c)^[n] z).2) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | simp only [← Function.iterate_add_apply] at m | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
k : ℕ
m : ((c, (f c)^[n] z).1, (f (c, (f c)^[n] z).1)^[k] (c, (f c)^[n] z).2) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
k : ℕ
m : (c, (f c)^[k + n] z) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
k : ℕ
m : ((c, (f c)^[n] z).1, (f (c, (f c)^[n] z).1)^[k] (c, (f c)^[n] z).2) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_not_basin | [161, 1] | [167, 63] | exact ⟨k + n, m⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
k : ℕ
m : (c, (f c)^[k + n] z) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
m✝ : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
k : ℕ
m : (c, (f c)^[k + n] z) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | have h0 : ∀ {c z}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d := by
intro c z m
suffices e : ∀ᶠ w in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d by
refine (HolomorphicOn.eq_of_locally_eq ?_ (fun z m ↦
(s.bottcher_holomorphicOn (c, z) m).along_snd.pow) (s.post_slice_connected c).isPreconnected
⟨a, s.post_a c, e⟩).self_of_nhdsSet m
intro z m
exact (s.bottcher_holomorphicOn _ (s.stays_post m)).along_snd.comp (s.fa _).along_snd
have e := s.bottcher_eq_bottcherNear c
have fc := (s.fa (c, a)).along_snd.continuousAt; simp only [ContinuousAt, s.f0] at fc
apply e.mp; apply (fc.eventually e).mp
apply ((s.isOpen_near.snd_preimage c).eventually_mem (s.mem_near c)).mp
refine eventually_of_forall fun w m e0 e1 ↦ ?_; simp only at m e0 e1
simp only [e0, e1]; exact s.bottcherNear_eqn m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | by_cases p : (c, z) ∈ s.post | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [h0 p] | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | by_cases m : (c, z) ∈ s.basin | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | have m1 : (c, f c z) ∉ s.basin := by
contrapose m; simp only [not_not] at m ⊢
rcases m with ⟨n, m⟩; use n + 1; simp only at m ⊢; rwa [Function.iterate_succ_apply] | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
m1 : (c, f c z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [s.bottcher_not_basin m, s.bottcher_not_basin m1, one_pow] | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
m1 : (c, f c z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
m1 : (c, f c z) ∉ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | intro c z m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | suffices e : ∀ᶠ w in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d by
refine (HolomorphicOn.eq_of_locally_eq ?_ (fun z m ↦
(s.bottcher_holomorphicOn (c, z) m).along_snd.pow) (s.post_slice_connected c).isPreconnected
⟨a, s.post_a c, e⟩).self_of_nhdsSet m
intro z m
exact (s.bottcher_holomorphicOn _ (s.stays_post m)).along_snd.comp (s.fa _).along_snd | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | have e := s.bottcher_eq_bottcherNear c | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | have fc := (s.fa (c, a)).along_snd.continuousAt | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : ContinuousAt (fun y => f c y) a
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [ContinuousAt, s.f0] at fc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : ContinuousAt (fun y => f c y) a
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : ContinuousAt (fun y => f c y) a
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | apply e.mp | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a, s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | apply (fc.eventually e).mp | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a, s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
s.bottcher c (f c x) = s.bottcherNear c (f c x) →
s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a, s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | apply ((s.isOpen_near.snd_preimage c).eventually_mem (s.mem_near c)).mp | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
s.bottcher c (f c x) = s.bottcherNear c (f c x) →
s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
x ∈ {b | (c, b) ∈ s.near} →
s.bottcher c (f c x) = s.bottcherNear c (f c x) →
s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
s.bottcher c (f c x) = s.bottcherNear c (f c x) →
s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | refine eventually_of_forall fun w m e0 e1 ↦ ?_ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
x ∈ {b | (c, b) ∈ s.near} →
s.bottcher c (f c x) = s.bottcherNear c (f c x) →
s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
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e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
w : S
m : w ∈ {b | (c, b) ∈ s.near}
e0 : s.bottcher c (f c w) = s.bottcherNear c (f c w)
e1 : s.bottcher c w = s.bottcherNear c w
⊢ s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (x : S) in 𝓝 a,
x ∈ {b | (c, b) ∈ s.near} →
s.bottcher c (f c x) = s.bottcherNear c (f c x) →
s.bottcher c x = s.bottcherNear c x → s.bottcher c (f c x) = s.bottcher c x ^ d
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [e0, e1] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
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m : w ∈ {b | (c, b) ∈ s.near}
e0 : s.bottcher c (f c w) = s.bottcherNear c (f c w)
e1 : s.bottcher c w = s.bottcherNear c w
⊢ s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d | S : Type
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e0 : s.bottcher c (f c w) = s.bottcherNear c (f c w)
e1 : s.bottcher c w = s.bottcherNear c w
⊢ s.bottcherNear c (f c w) = s.bottcherNear c w ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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e1 : s.bottcher c w = s.bottcherNear c w
⊢ s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | exact s.bottcherNear_eqn m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
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e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
w : S
m : w ∈ {b | (c, b) ∈ s.near}
e0 : s.bottcher c (f c w) = s.bottcherNear c (f c w)
e1 : s.bottcher c w = s.bottcherNear c w
⊢ s.bottcherNear c (f c w) = s.bottcherNear c w ^ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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f : ℂ → S → S
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e : ∀ᶠ (z : S) in 𝓝 a, s.bottcher c z = s.bottcherNear c z
fc : Tendsto (fun y => f c y) (𝓝 a) (𝓝 a)
w : S
m : w ∈ {b | (c, b) ∈ s.near}
e0 : s.bottcher c (f c w) = s.bottcherNear c (f c w)
e1 : s.bottcher c w = s.bottcherNear c w
⊢ s.bottcherNear c (f c w) = s.bottcherNear c w ^ d
TACTIC:
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(s.bottcher_holomorphicOn (c, z) m).along_snd.pow) (s.post_slice_connected c).isPreconnected
⟨a, s.post_a c, e⟩).self_of_nhdsSet m | S : Type
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s✝ : Super f d a
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m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | S : Type
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e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
⊢ HolomorphicOn I I (fun x => s.bottcher c (f c x)) fun z => s.post (c, z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
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inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
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inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
⊢ HolomorphicOn I I (fun x => s.bottcher c (f c x)) fun z => s.post (c, z) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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a z✝¹ : S
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m✝ : (c, z✝) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
z : S
m : z ∈ fun z => s.post (c, z)
⊢ HolomorphicAt I I (fun x => s.bottcher c (f c x)) z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
⊢ HolomorphicOn I I (fun x => s.bottcher c (f c x)) fun z => s.post (c, z)
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | exact (s.bottcher_holomorphicOn _ (s.stays_post m)).along_snd.comp (s.fa _).along_snd | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝¹ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z✝ : S
m✝ : (c, z✝) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
z : S
m : z ∈ fun z => s.post (c, z)
⊢ HolomorphicAt I I (fun x => s.bottcher c (f c x)) z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝¹ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
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m✝ : (c, z✝) ∈ s.post
e : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 a, s.bottcher c (f c w) = s.bottcher c w ^ d
z : S
m : z ∈ fun z => s.post (c, z)
⊢ HolomorphicAt I I (fun x => s.bottcher c (f c x)) z
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | have e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post := s.basin_post m | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | have e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post := by
rcases e0 with ⟨n, e0⟩; use n
simp only [← Function.iterate_succ_apply, Function.iterate_succ_apply']
exact s.stays_post e0 | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [Super.bottcher, e0, e1, dif_pos] | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] (f c z))) =
(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] z)) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
⊢ s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | generalize hk0 : Nat.find e0 = k0 | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] (f c z))) =
(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] z)) ^ d | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] (f c z))) =
(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k0] (s.bottcherPost c ((f c)^[k0] z)) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] (f c z))) =
(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] z)) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | generalize hk1 : Nat.find e1 = k1 | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] (f c z))) =
(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k0] (s.bottcherPost c ((f c)^[k0] z)) ^ d | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k1] (s.bottcherPost c ((f c)^[k1] (f c z))) =
(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k0] (s.bottcherPost c ((f c)^[k0] z)) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[Nat.find ⋯] (s.bottcherPost c ((f c)^[Nat.find ⋯] (f c z))) =
(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k0] (s.bottcherPost c ((f c)^[k0] z)) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [kk, ← Function.iterate_succ_apply, Function.iterate_succ_apply'] | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
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hk1 : Nat.find e1 = k1
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(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k0] (s.bottcherPost c ((f c)^[k0] z)) ^ d | case pos
S : Type
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inst✝⁴ : CompactSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
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k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
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((fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k1] (s.bottcherPost c (f c ((f c)^[k1] z))) ^ (↑d)⁻¹) ^ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
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m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
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hk1 : Nat.find e1 = k1
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(fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k0] (s.bottcherPost c ((f c)^[k0] z)) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | rw [Complex.cpow_nat_inv_pow _ s.d0] | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
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k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
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hk1 : Nat.find e1 = k1
kk : k0 = k1 + 1
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k1] (s.bottcherPost c (f c ((f c)^[k1] z))) =
((fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k1] (s.bottcherPost c (f c ((f c)^[k1] z))) ^ (↑d)⁻¹) ^ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
kk : k0 = k1 + 1
⊢ (fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k1] (s.bottcherPost c (f c ((f c)^[k1] z))) =
((fun w => w ^ (↑d)⁻¹)^[k1] (s.bottcherPost c (f c ((f c)^[k1] z))) ^ (↑d)⁻¹) ^ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | rcases e0 with ⟨n, e0⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | use n | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [← Function.iterate_succ_apply, Function.iterate_succ_apply'] | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, f c ((f c)^[n] z)) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | exact s.stays_post e0 | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, f c ((f c)^[n] z)) ∈ s.post | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
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m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
e0 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ (c, f c ((f c)^[n] z)) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | rw [← hk0, ← hk1] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
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hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ k0 = k1 + 1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e0 = Nat.find e1 + 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ k0 = k1 + 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | apply le_antisymm | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e0 = Nat.find e1 + 1 | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e0 ≤ Nat.find e1 + 1
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n : ℕ
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y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e1 + 1 ≤ Nat.find e0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e0 = Nat.find e1 + 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | apply Nat.find_le | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e0 ≤ Nat.find e1 + 1 | case a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n : ℕ
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h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ (c, (f c)^[Nat.find e1 + 1] z) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
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m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e0 ≤ Nat.find e1 + 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [Function.iterate_succ_apply] | case a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ (c, (f c)^[Nat.find e1 + 1] z) ∈ s.post | case a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ (c, (f c)^[Nat.find e1] (f c z)) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ (c, (f c)^[Nat.find e1 + 1] z) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | exact Nat.find_spec e1 | case a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ (c, (f c)^[Nat.find e1] (f c z)) ∈ s.post | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ (c, (f c)^[Nat.find e1] (f c z)) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | rw [Nat.succ_le_iff, Nat.lt_find_iff] | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e1 + 1 ≤ Nat.find e0 | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ ∀ m ≤ Nat.find e1, (c, (f c)^[m] z) ∉ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ Nat.find e1 + 1 ≤ Nat.find e0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | intro n n1 | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ ∀ m ≤ Nat.find e1, (c, (f c)^[m] z) ∉ s.post | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : n ≤ Nat.find e1
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∉ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
⊢ ∀ m ≤ Nat.find e1, (c, (f c)^[m] z) ∉ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | contrapose n1 | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : n ≤ Nat.find e1
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∉ s.post | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : ¬(c, (f c)^[n] z) ∉ s.post
⊢ ¬n ≤ Nat.find e1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : n ≤ Nat.find e1
⊢ (c, (f c)^[n] z) ∉ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [not_not, not_le] at n1 ⊢ | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : ¬(c, (f c)^[n] z) ∉ s.post
⊢ ¬n ≤ Nat.find e1 | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ Nat.find e1 < n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : ¬(c, (f c)^[n] z) ∉ s.post
⊢ ¬n ≤ Nat.find e1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | have n0 : n ≠ 0 := by
contrapose p; simp only [not_not] at p ⊢
simp only [p, Function.iterate_zero_apply] at n1; exact n1 | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ Nat.find e1 < n | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 < n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ Nat.find e1 < n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | rw [← Nat.succ_le_iff, Nat.succ_eq_add_one, ← Nat.sub_add_cancel (Nat.pos_of_ne_zero n0)] | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 < n | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 + 1 ≤ n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 < n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | apply Nat.succ_le_succ | case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 + 1 ≤ n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 | case a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 ≤ n - Nat.succ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 + 1 ≤ n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | apply Nat.find_le | case a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 ≤ n - Nat.succ 0 | case a.a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n - Nat.succ 0] (f c z)) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ Nat.find e1 ≤ n - Nat.succ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [← Function.iterate_succ_apply, Nat.succ_eq_add_one,
Nat.sub_add_cancel (Nat.pos_of_ne_zero n0), n1, zero_add] | case a.a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n - Nat.succ 0] (f c z)) ∈ s.post | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.hn
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
n0 : n ≠ 0
⊢ (c, (f c)^[n - Nat.succ 0] (f c z)) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | contrapose p | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ n ≠ 0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
p : ¬n ≠ 0
⊢ ¬(c, z) ∉ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ n ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [not_not] at p ⊢ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
p : ¬n ≠ 0
⊢ ¬(c, z) ∉ s.post | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
p : n = 0
⊢ (c, z) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
p : ¬n ≠ 0
⊢ ¬(c, z) ∉ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [p, Function.iterate_zero_apply] at n1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
p : n = 0
⊢ (c, z) ∈ s.post | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
p : n = 0
n1 : (c, z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.post | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
n1 : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
p : n = 0
⊢ (c, z) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | exact n1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
p : n = 0
n1 : (c, z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.post | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
m : (c, z) ∈ s.basin
e0 : ∃ n, (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
e1 : ∃ n, (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.post
k0 : ℕ
hk0 : Nat.find e0 = k0
k1 : ℕ
hk1 : Nat.find e1 = k1
n : ℕ
p : n = 0
n1 : (c, z) ∈ s.post
⊢ (c, z) ∈ s.post
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | contrapose m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ (c, f c z) ∉ s.basin | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : ¬(c, f c z) ∉ s.basin
⊢ ¬(c, z) ∉ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ (c, f c z) ∉ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only [not_not] at m ⊢ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : ¬(c, f c z) ∉ s.basin
⊢ ¬(c, z) ∉ s.basin | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, f c z) ∈ s.basin
⊢ (c, z) ∈ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : ¬(c, f c z) ∉ s.basin
⊢ ¬(c, z) ∉ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | rcases m with ⟨n, m⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, f c z) ∈ s.basin
⊢ (c, z) ∈ s.basin | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : ((c, f c z).1, (f (c, f c z).1)^[n] (c, f c z).2) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
m : (c, f c z) ∈ s.basin
⊢ (c, z) ∈ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | use n + 1 | case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : ((c, f c z).1, (f (c, f c z).1)^[n] (c, f c z).2) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : ((c, f c z).1, (f (c, f c z).1)^[n] (c, f c z).2) ∈ s.near
⊢ ((c, z).1, (f (c, z).1)^[n + 1] (c, z).2) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : ((c, f c z).1, (f (c, f c z).1)^[n] (c, f c z).2) ∈ s.near
⊢ (c, z) ∈ s.basin
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | simp only at m ⊢ | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : ((c, f c z).1, (f (c, f c z).1)^[n] (c, f c z).2) ∈ s.near
⊢ ((c, z).1, (f (c, z).1)^[n + 1] (c, z).2) ∈ s.near | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.near
⊢ (c, (f c)^[n + 1] z) ∈ s.near | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : ((c, f c z).1, (f (c, f c z).1)^[n] (c, f c z).2) ∈ s.near
⊢ ((c, z).1, (f (c, z).1)^[n + 1] (c, z).2) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn | [174, 1] | [218, 71] | rwa [Function.iterate_succ_apply] | case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.near
⊢ (c, (f c)^[n + 1] z) ∈ s.near | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
h0 : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → s.bottcher c (f c z) = s.bottcher c z ^ d
p : (c, z) ∉ s.post
n : ℕ
m : (c, (f c)^[n] (f c z)) ∈ s.near
⊢ (c, (f c)^[n + 1] z) ∈ s.near
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn_iter | [221, 1] | [224, 83] | induction' n with n h | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n | case zero
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.bottcher c ((f c)^[0] z) = s.bottcher c z ^ d ^ 0
case succ
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
h : s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n + 1] z) = s.bottcher c z ^ d ^ (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn_iter | [221, 1] | [224, 83] | simp only [Function.iterate_zero_apply, pow_zero, pow_one] | case zero
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.bottcher c ((f c)^[0] z) = s.bottcher c z ^ d ^ 0
case succ
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
h : s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n + 1] z) = s.bottcher c z ^ d ^ (n + 1) | case succ
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
h : s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n + 1] z) = s.bottcher c z ^ d ^ (n + 1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ s.bottcher c ((f c)^[0] z) = s.bottcher c z ^ d ^ 0
case succ
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
h : s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n + 1] z) = s.bottcher c z ^ d ^ (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.bottcher_eqn_iter | [221, 1] | [224, 83] | simp only [Function.iterate_succ_apply', s.bottcher_eqn, h, ← pow_mul, pow_succ] | case succ
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
h : s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n + 1] z) = s.bottcher c z ^ d ^ (n + 1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
n : ℕ
h : s.bottcher c ((f c)^[n] z) = s.bottcher c z ^ d ^ n
⊢ s.bottcher c ((f c)^[n + 1] z) = s.bottcher c z ^ d ^ (n + 1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | have base : ∀ {c z}, (c, z) ∈ s.post → abs (s.bottcher c z) = s.potential c z := by
intro c z m; rcases s.ray_surj m with ⟨x, m, e⟩; rw [← e, s.bottcher_ray m, s.ray_potential m] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | by_cases m : (c, z) ∈ s.basin | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∈ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | intro c z m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | rcases s.ray_surj m with ⟨x, m, e⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m : (c, z) ∈ s.post
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | rw [← e, s.bottcher_ray m, s.ray_potential m] | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
c : ℂ
z : S
m✝ : (c, z) ∈ s.post
x : ℂ
m : (c, x) ∈ s.ext
e : s.ray c x = z
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | rcases s.basin_post m with ⟨n, p⟩ | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∈ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
p : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∈ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | rw [← Real.pow_rpow_inv_natCast (Complex.abs.nonneg _) (pow_ne_zero n s.d0), ←
Complex.abs.map_pow, ← s.bottcher_eqn_iter n, base p, s.potential_eqn_iter,
Real.pow_rpow_inv_natCast s.potential_nonneg (pow_ne_zero n s.d0)] | case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
p : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∈ s.basin
n : ℕ
p : (c, (f c)^[n] z) ∈ s.post
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | have m' := m | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m m' : (c, z) ∉ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∉ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Bottcher.lean | Super.abs_bottcher | [227, 1] | [237, 83] | simp only [Super.basin, not_exists, mem_setOf] at m' | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m m' : (c, z) ∉ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m : (c, z) ∉ s.basin
m' : ∀ (x : ℕ), (c, (f c)^[x] z) ∉ s.near
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
base : ∀ {c : ℂ} {z : S}, (c, z) ∈ s.post → Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
m m' : (c, z) ∉ s.basin
⊢ Complex.abs (s.bottcher c z) = s.potential c z
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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