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2.09M
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
intro c cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r0, r0p, r0s⟩
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
rcases fs.submean' c cs with ⟨r1, r1p, sm⟩
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
have r01p : min r0 r1 > 0 := by bound
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
exists min r0 r1, r01p
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < min r0 r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
intro t tp tr
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < min r0 r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < min r0 r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
specialize sm t tp (lt_of_lt_of_le tr (by bound))
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
have hs : (fun u ↦ f (circleMap c t u)) =ᵐ[volume.restrict itau]
fun u ↦ g (circleMap c t u) := by
rw [Filter.EventuallyEq]; rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau]
apply Filter.eventually_of_forall
intro u _; apply h.symm
apply _root_.trans r0s interior_subset
simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos tp]
exact lt_of_lt_of_le tr (by bound)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
rw [average_eq] at sm ⊢
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
rwa [← h.symm (interior_subset cs), ← integral_congr_ae hs]
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x)
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
bound
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ min r0 r1 > 0
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ min r0 r1 > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
bound
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ min r0 r1 ≤ r1
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ min r0 r1 ≤ r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
rw [Filter.EventuallyEq]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
apply Filter.eventually_of_forall
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
|
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
intro u _
|
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
|
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
apply h.symm
|
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u)
|
case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ s
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
apply _root_.trans r0s interior_subset
|
case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ s
|
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos tp]
|
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0
|
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
exact lt_of_lt_of_le tr (by bound)
|
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.congr
|
[116, 1]
|
[137, 68]
|
bound
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ min r0 r1 ≤ r0
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ min r0 r1 ≤ r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.const
|
[145, 1]
|
[150, 50]
|
intro c r _ _
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.const
|
[145, 1]
|
[150, 50]
|
rw [average_eq]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.const
|
[145, 1]
|
[150, 50]
|
simp [← smul_assoc, smul_eq_mul]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ((↑volume itau).toReal⁻¹ * (↑volume itau).toReal) • a
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.const
|
[145, 1]
|
[150, 50]
|
field_simp [NiceVolume.itau.real_pos.ne']
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ((↑volume itau).toReal⁻¹ * (↑volume itau).toReal) • a
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ((↑volume itau).toReal⁻¹ * (↑volume itau).toReal) • a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.sub
|
[153, 1]
|
[159, 54]
|
intro c r rp cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.sub
|
[153, 1]
|
[159, 54]
|
simp [fh.mean c r rp cs, gh.mean c r rp cs]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) - ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) =
⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (f - g) c = ⨍ (t : ℝ) in itau, (f - g) (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.sub
|
[153, 1]
|
[159, 54]
|
rw [Average.sub ((fh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)
((gh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) - ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) =
⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t)
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) - ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) =
⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
intro c cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
⊢ ∀ c ∈ interior s,
∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
⊢ ∀ c ∈ interior s,
∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
rcases fs.submean' c cs with ⟨r0, r0p, r0m⟩
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
rcases gs.submean' c cs with ⟨r1, r1p, r1m⟩
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r2, r2p, r2s⟩
|
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
set r := min r0 (min r1 r2)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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SubharmonicOn.add
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[162, 1]
|
[182, 31]
|
have rr1 : r ≤ r1 := le_trans (min_le_right _ _) (by bound)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r0 : ℝ
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
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rr1 : r ≤ r1
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
have rr2 : r ≤ r2 := le_trans (min_le_right _ _) (by bound)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
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r0 : ℝ
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
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r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
use r
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
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r1 : ℝ
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
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|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
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r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
use by bound
|
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
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⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
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case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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r0 : ℝ
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r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
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rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
intro u up ur
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
have us : closedBall c u ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball (lt_of_lt_of_le ur (by bound)))
(_root_.trans r2s interior_subset)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
rw [Average.add ((fs.cont.mono us).integrableOn_sphere up)
((gs.cont.mono us).integrableOn_sphere up)]
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
have m0 := r0m u up (lt_of_lt_of_le ur (by bound))
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
have m1 := r1m u up (lt_of_lt_of_le ur (by bound))
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
m1 : g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.add
|
[162, 1]
|
[182, 31]
|
exact add_le_add m0 m1
|
case right
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|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
|
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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no goals
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STATE:
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F : Type
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no goals
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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S : Type
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S : Type
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no goals
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ r ≤ r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.neg
|
[185, 1]
|
[188, 12]
|
have nh := HarmonicOn.sub (HarmonicOn.const 0) fh
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (-f) s
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
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⊢ HarmonicOn (-f) s
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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⊢ HarmonicOn (-f) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.neg
|
[185, 1]
|
[188, 12]
|
have e : (fun _ : ℂ ↦ (0 : E)) - f = -f := by ext; simp
|
S : Type
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E : Type
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s : Set ℂ
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⊢ HarmonicOn (-f) s
|
S : Type
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s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
nh : HarmonicOn ((fun x => 0) - f) s
e : (fun x => 0) - f = -f
⊢ HarmonicOn (-f) s
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.neg
|
[185, 1]
|
[188, 12]
|
rwa [← e]
|
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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e : (fun x => 0) - f = -f
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.neg
|
[185, 1]
|
[188, 12]
|
ext
|
S : Type
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|
case h
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|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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H : Type
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s : Set ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.neg
|
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|
[188, 12]
|
simp
|
case h
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T : Type
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|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
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T : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.add
|
[191, 1]
|
[194, 30]
|
have e : f + g = f - -g := by ext; simp
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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⊢ HarmonicOn (f + g) s
|
S : Type
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T : Type
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H : Type
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s : Set ℂ
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gh : HarmonicOn g s
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|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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s : Set ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.add
|
[191, 1]
|
[194, 30]
|
rw [e]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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|
S : Type
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|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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H : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.add
|
[191, 1]
|
[194, 30]
|
exact fh.sub gh.neg
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.add
|
[191, 1]
|
[194, 30]
|
ext
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ f + g = f - -g
|
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
⊢ f + g = f - -g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.add
|
[191, 1]
|
[194, 30]
|
simp
|
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
x✝ : ℂ
⊢ (f + g) x✝ = (f - -g) x✝
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
x✝ : ℂ
⊢ (f + g) x✝ = (f - -g) x✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.const_mul
|
[197, 1]
|
[202, 97]
|
intro c r rp cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.const_mul
|
[197, 1]
|
[202, 97]
|
rw [average_eq]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.const_mul
|
[197, 1]
|
[202, 97]
|
simp_rw [← smul_eq_mul, integral_smul, smul_comm _ a, ← average_eq, ← fh.mean c r rp cs]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x)
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no goals
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → S
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
a : S
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
intro c cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
rcases fs.submean' c cs with ⟨r, rp, rm⟩
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
use r, rp
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
intro s sp sr
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
specialize rm s sp sr
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
smul_eq_mul] at rm ⊢
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
calc a * f c
_ ≤ a * ((volume itau).toReal⁻¹ * ∫ t in itau, f (circleMap c s t)) := by bound
_ = (volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ t in itau, f (circleMap c s t)) := by ring
_ = (volume itau).toReal⁻¹ * ∫ t in itau, a * f (circleMap c s t) := by
rw [integral_mul_left]
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
bound
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * f c ≤ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
ring
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.constMul
|
[205, 1]
|
[217, 35]
|
rw [integral_mul_left]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s✝ : Set ℂ
a : ℝ
fs : SubharmonicOn f s✝
ap : 0 ≤ a
c : ℂ
cs : c ∈ interior s✝
r : ℝ
rp : 0 < r
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r
rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) =
(↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.circle_mean_eq
|
[220, 1]
|
[234, 69]
|
have h := Complex.circleIntegral_sub_inv_smul_of_differentiable_on_off_countable
Set.countable_empty (Metric.mem_ball_self rp) fa.continuousOn ?_
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.circle_mean_eq
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[220, 1]
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[234, 69]
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simp_rw [circleIntegral, deriv_circleMap, circleMap_sub_center, smul_smul, mul_comm _ I] at h
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.circle_mean_eq
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[220, 1]
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[234, 69]
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field_simp [circleMap_ne_center rp.ne'] at h
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.circle_mean_eq
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[220, 1]
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[234, 69]
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rw [← smul_smul, IsUnit.smul_left_cancel (Ne.isUnit Complex.I_ne_zero)] at h
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.circle_mean_eq
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[220, 1]
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[234, 69]
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rw [intervalIntegral.integral_of_le Real.two_pi_pos.le] at h
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.circle_mean_eq
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[220, 1]
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[234, 69]
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rw [average_eq, itau, h]
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.circle_mean_eq
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[220, 1]
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[234, 69]
|
simp only [gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_pos_iff_of_pos_left, not_lt, ge_iff_le, MeasurableSet.univ,
Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, Real.volume_Ioc, sub_zero, mul_nonneg_iff_of_pos_left]
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.circle_mean_eq
|
[220, 1]
|
[234, 69]
|
rw [ENNReal.toReal_ofReal Real.two_pi_pos.le]
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
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case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.circle_mean_eq
|
[220, 1]
|
[234, 69]
|
rw [← smul_assoc, Complex.real_smul]
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.circle_mean_eq
|
[220, 1]
|
[234, 69]
|
field_simp [Real.pi_ne_zero]
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c
⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.circle_mean_eq
|
[220, 1]
|
[234, 69]
|
intro z zs
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r \ ∅
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.circle_mean_eq
|
[220, 1]
|
[234, 69]
|
rw [Set.diff_empty] at zs
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r \ ∅
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r \ ∅
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.circle_mean_eq
|
[220, 1]
|
[234, 69]
|
exact (fa z (Metric.ball_subset_closedBall zs)).differentiableAt
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
c : ℂ
r : ℝ
fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r)
rp : r > 0
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ DifferentiableAt ℂ f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.harmonicOn
|
[237, 1]
|
[239, 70]
|
intro c r rp cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.harmonicOn
|
[237, 1]
|
[239, 70]
|
rw [(fa.mono cs).circle_mean_eq rp]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.linear
|
[242, 1]
|
[248, 31]
|
intro c r rp cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.linear
|
[242, 1]
|
[248, 31]
|
rw [average_linear_comm ((fh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.linear
|
[242, 1]
|
[248, 31]
|
rw [fh.mean c r rp cs]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x))
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
g : E →L[ℝ] F
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.re
|
[251, 1]
|
[252, 95]
|
simp only [← Complex.reCLM_apply]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (f z).re) s
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (f z).re) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.re
|
[251, 1]
|
[252, 95]
|
exact fh.linear _
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.conj
|
[255, 1]
|
[256, 91]
|
simp only [← conjCLM_apply]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (starRingEnd ℂ) (f z)) s
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => (starRingEnd ℂ) (f z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
HarmonicOn.conj
|
[255, 1]
|
[256, 91]
|
exact fh.linear _
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r, rp, rs⟩
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
use r, rp
|
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
intro t tp tr
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
rw [average_eq]
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
have fg : ∀ (u) (_ : u ∈ itau), f c ≤ f (circleMap c t u) := fun _ _ ↦ fm _
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
have ss : closedBall c t ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rs interior_subset)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
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