url
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2.09M
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2.09M
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
have n := NiceVolume.itau
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
have m := setIntegral_ge_of_const_le n.measurable n.ne_top fg
((fc.mono ss).integrableOn_sphere tp)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
simp only [MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, smul_eq_mul, ge_iff_le]
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
⊢ f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
Minimum.submean
|
[264, 1]
|
[276, 65]
|
simpa only [mul_comm, ← div_eq_mul_inv, le_div_iff n.real_pos]
|
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
⊢ f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
c : ℂ
fc : ContinuousOn f s
cs : c ∈ interior s
fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u)
ss : closedBall c t ⊆ s
n : NiceVolume itau
m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
⊢ f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
intro c cs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
⊢ ∀ c ∈ interior s,
∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
⊢ ∀ c ∈ interior s,
∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
by_cases bf : b.exp ≥ abs (f c)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : ¬b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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simp only [not_le] at bf
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case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : ¬b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : ¬b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
have anz : ‖f c‖ ≠ 0 := (lt_trans (Real.exp_pos _) bf).ne'
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
|
[322, 83]
|
have fac : ContinuousAt f c :=
fa.continuousOn.continuousAt (mem_interior_iff_mem_nhds.mp cs)
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
|
[322, 83]
|
generalize hh : (fun z ↦ Complex.log (Complex.abs (f c) / f c * f z)) = h
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
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Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
generalize hg : (fun z ↦ (h z).re) = g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
have ha : AnalyticAt ℂ h c := by
rw [← hh]
apply (analyticAt_const.mul (fa c (interior_subset cs))).log
field_simp [Complex.abs.ne_zero_iff.mp anz]
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
rcases Metric.isOpen_iff.mp (isOpen_analyticAt ℂ h) c ha with ⟨r0, r0p, r0a⟩
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
rcases Metric.continuousAt_iff.mp fac (abs (f c) - b.exp) (sub_pos.mpr bf) with
⟨r1, r1p, r1h⟩
|
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
set r := min r0 r1
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
have fg : Set.EqOn (fun z ↦ maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) := by
intro z zs
simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq] at zs r1h
specialize r1h (lt_of_lt_of_le zs (by bound))
have zp : abs (f z) > b.exp := by
calc abs (f z)
_ = abs (f c + (f z - f c)) := by ring_nf
_ ≥ abs (f c) - abs (f z - f c) := by bound
_ > abs (f c) - (abs (f c) - b.exp) := by bound
_ = b.exp := by abel
simp only [maxLog_eq_log zp.le]
rw [←hg, ←hh]
simp only [Complex.norm_eq_abs] at anz
simp only [Complex.log_re, AbsoluteValue.map_mul, map_div₀, Complex.abs_ofReal,
Complex.abs_abs, div_self anz, one_mul]
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
have gs : SubharmonicOn g (ball c r) := by
rw [← hg]; apply AnalyticOn.reSubharmonicOn; intro z zs
exact r0a (Metric.ball_subset_ball (by bound) zs)
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn g (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
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STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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rw [subharmonicOn_congr fg.symm] at gs
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case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn g (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
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case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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cs : c ∈ interior s
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h : ℂ → ℂ
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r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
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r1p : r1 > 0
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gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
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STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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f : ℂ → ℂ
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anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
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hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn g (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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refine gs.submean' c ?_
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case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
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case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
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cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
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r1 : ℝ
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gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ c ∈ interior (ball c r)
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STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
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cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
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r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
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r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
rw [Metric.isOpen_ball.interior_eq]
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case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ c ∈ interior (ball c r)
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case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
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ha : AnalyticAt ℂ h c
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r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ c ∈ ball c r
|
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STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ c ∈ interior (ball c r)
TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
exact Metric.mem_ball_self (by bound)
|
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ c ∈ ball c r
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ c ∈ ball c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
apply Minimum.submean (fa.continuousOn.maxLog_norm b) cs
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∀ (z : ℂ), maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∃ r,
0 < r ∧
∀ (s : ℝ),
0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
intro z
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∀ (z : ℂ), maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
z : ℂ
⊢ maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
|
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STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
⊢ ∀ (z : ℂ), maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
simp only [maxLog_eq_b bf, le_maxLog, Complex.norm_eq_abs]
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
z : ℂ
⊢ maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
|
no goals
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STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c)
z : ℂ
⊢ maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
rw [← hh]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ AnalyticAt ℂ h c
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) c
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ AnalyticAt ℂ h c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
apply (analyticAt_const.mul (fa c (interior_subset cs))).log
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) c
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ ↑(Complex.abs (f c)) / f c * f c ∈ Complex.slitPlane
|
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
field_simp [Complex.abs.ne_zero_iff.mp anz]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ ↑(Complex.abs (f c)) / f c * f c ∈ Complex.slitPlane
|
no goals
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
⊢ ↑(Complex.abs (f c)) / f c * f c ∈ Complex.slitPlane
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
intro z zs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
⊢ Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
|
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
⊢ Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq] at zs r1h
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
|
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
specialize r1h (lt_of_lt_of_le zs (by bound))
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
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cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℂ
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anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
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g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
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⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
|
[322, 83]
|
have zp : abs (f z) > b.exp := by
calc abs (f z)
_ = abs (f c + (f z - f c)) := by ring_nf
_ ≥ abs (f c) - abs (f z - f c) := by bound
_ > abs (f c) - (abs (f c) - b.exp) := by bound
_ = b.exp := by abel
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
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fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
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hg : (fun z => (h z).re) = g
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r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
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z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
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r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
|
[322, 83]
|
simp only [maxLog_eq_log zp.le]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
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fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
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g : ℂ → ℝ
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ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
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⊢ (Complex.abs (f z)).log = g z
|
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
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fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
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zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
rw [←hg, ←hh]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = g z
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
simp only [Complex.norm_eq_abs] at anz
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
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ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
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zs : Complex.abs (z - c) < r
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zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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s : Set ℂ
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g : ℂ → ℝ
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ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
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r1 : ℝ
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zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
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g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
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r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
simp only [Complex.log_re, AbsoluteValue.map_mul, map_div₀, Complex.abs_ofReal,
Complex.abs_abs, div_self anz, one_mul]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : Complex.abs (f c) ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
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no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : Complex.abs (f c) ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
zp : Complex.abs (f z) > b.exp
⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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bound
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
⊢ r ≤ r1
|
no goals
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
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b : ℝ
c : ℂ
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h : ℂ → ℂ
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g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
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r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
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zs : Complex.abs (z - c) < r
⊢ r ≤ r1
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
|
[322, 83]
|
calc abs (f z)
_ = abs (f c + (f z - f c)) := by ring_nf
_ ≥ abs (f c) - abs (f z - f c) := by bound
_ > abs (f c) - (abs (f c) - b.exp) := by bound
_ = b.exp := by abel
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
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zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ Complex.abs (f z) > b.exp
|
no goals
|
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
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r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ Complex.abs (f z) > b.exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
ring_nf
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ Complex.abs (f z) = Complex.abs (f c + (f z - f c))
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no goals
|
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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h : ℂ → ℂ
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TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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bound
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
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c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
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fac : ContinuousAt f c
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hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
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fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
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⊢ Complex.abs (f c + (f z - f c)) ≥ Complex.abs (f c) - Complex.abs (f z - f c)
TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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bound
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ Complex.abs (f c) - Complex.abs (f z - f c) > Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp)
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no goals
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ Complex.abs (f c) - Complex.abs (f z - f c) > Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp)
TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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abel
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
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zs : Complex.abs (z - c) < r
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⊢ Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp) = b.exp
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no goals
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r : ℝ := min r0 r1
z : ℂ
zs : Complex.abs (z - c) < r
r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
⊢ Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp) = b.exp
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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rw [← hg]
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
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fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ SubharmonicOn g (ball c r)
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
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r1p : r1 > 0
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fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ SubharmonicOn (fun z => (h z).re) (ball c r)
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ SubharmonicOn g (ball c r)
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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apply AnalyticOn.reSubharmonicOn
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ SubharmonicOn (fun z => (h z).re) (ball c r)
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case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
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r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => h z) (ball c r)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ SubharmonicOn (fun z => (h z).re) (ball c r)
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
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[279, 1]
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[322, 83]
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intro z zs
|
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => h z) (ball c r)
|
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => h z) z
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => h z) (ball c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
exact r0a (Metric.ball_subset_ball (by bound) zs)
|
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => h z) z
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => h z) z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
bound
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ r ≤ r0
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
z : ℂ
zs : z ∈ ball c r
⊢ r ≤ r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
|
[279, 1]
|
[322, 83]
|
bound
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ 0 < r
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
bf : b.exp < Complex.abs (f c)
anz : ‖f c‖ ≠ 0
fac : ContinuousAt f c
h : ℂ → ℂ
hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h
g : ℂ → ℝ
hg : (fun z => (h z).re) = g
ha : AnalyticAt ℂ h c
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x}
r1 : ℝ
r1p : r1 > 0
r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp
r : ℝ := min r0 r1
fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r)
⊢ 0 < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
intro cm g gs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f (closedBall c r) c → ∀ z ∈ closedBall c r, f c = f z
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f (closedBall c r) c → ∀ z ∈ closedBall c r, f c = f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
by_cases gc : g = c
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
⊢ f c = f g
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : g = c
⊢ f c = f g
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
generalize hu : Complex.abs (g - c) = u
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have u0 : u > 0 := by
simp only [← hu, gt_iff_lt, AbsoluteValue.pos_iff, Ne]
contrapose gc; simp only [not_not, sub_eq_zero] at gc ⊢; exact gc
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have ur : u ≤ r := by
simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall] at gs; simp only [←hu, gs]
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
generalize hy : (g - c) / u = y
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
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gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have y1 : abs y = 1 := by
simp only [← hy, ← hu, map_div₀, Complex.abs_ofReal, Complex.abs_abs, ne_eq,
Complex.abs.map_sub_eq_zero_iff, div_self (Complex.abs.ne_zero_iff.mpr (sub_ne_zero.mpr gc))]
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
generalize hs : (fun t : ℝ ↦ f (c + t * y)) ⁻¹' {f c} = s
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have s0 : (0 : ℝ) ∈ s := by
simp only [← hs, Set.mem_preimage, Complex.ofReal_zero, MulZeroClass.zero_mul, add_zero,
Set.mem_singleton]
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [← hs, ← hy, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff] at us
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : u ∈ s
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : u ∈ s
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have unz : (u : ℂ) ≠ 0 := by
simp only [u0.ne', Ne, Complex.ofReal_eq_zero, not_false_iff]
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
unz : ↑u ≠ 0
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
field_simp [unz] at us
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
unz : ↑u ≠ 0
⊢ f c = f g
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
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s0 : 0 ∈ s
unz : ↑u ≠ 0
us : f g = f c
⊢ f c = f g
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
unz : ↑u ≠ 0
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
exact us.symm
|
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
unz : ↑u ≠ 0
us : f g = f c
⊢ f c = f g
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
unz : ↑u ≠ 0
us : f g = f c
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rw [gc]
|
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : g = c
⊢ f c = f g
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : g = c
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [← hu, gt_iff_lt, AbsoluteValue.pos_iff, Ne]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ u > 0
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ ¬g - c = 0
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ u > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
contrapose gc
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ ¬g - c = 0
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : ¬¬g - c = 0
⊢ ¬¬g = c
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ ¬g - c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [not_not, sub_eq_zero] at gc ⊢
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : ¬¬g - c = 0
⊢ ¬¬g = c
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : g = c
⊢ g = c
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : ¬¬g - c = 0
⊢ ¬¬g = c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
exact gc
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : g = c
⊢ g = c
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : g = c
⊢ g = c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall] at gs
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
⊢ u ≤ r
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
gs : Complex.abs (g - c) ≤ r
⊢ u ≤ r
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
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g : ℂ
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gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
⊢ u ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [←hu, gs]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
gs : Complex.abs (g - c) ≤ r
⊢ u ≤ r
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
gs : Complex.abs (g - c) ≤ r
⊢ u ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [← hy, ← hu, map_div₀, Complex.abs_ofReal, Complex.abs_abs, ne_eq,
Complex.abs.map_sub_eq_zero_iff, div_self (Complex.abs.ne_zero_iff.mpr (sub_ne_zero.mpr gc))]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
⊢ Complex.abs y = 1
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
⊢ Complex.abs y = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [← hs, Set.mem_preimage, Complex.ofReal_zero, MulZeroClass.zero_mul, add_zero,
Set.mem_singleton]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
⊢ 0 ∈ s
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
⊢ 0 ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
refine IsClosed.mem_of_ge_of_forall_exists_gt ?_ s0 u0.le ?_
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ u ∈ s
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (s ∩ Icc 0 u)
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico 0 u, (s ∩ Ioc x u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ u ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rw [← hs]
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (s ∩ Icc 0 u)
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed ((fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} ∩ Icc 0 u)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (s ∩ Icc 0 u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rw [Set.inter_comm]
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed ((fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} ∩ Icc 0 u)
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (Icc 0 u ∩ (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c})
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed ((fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} ∩ Icc 0 u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
refine ContinuousOn.preimage_isClosed_of_isClosed ?_ isClosed_Icc isClosed_singleton
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (Icc 0 u ∩ (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c})
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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gc : ¬g = c
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ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f (c + ↑t * y)) (Icc 0 u)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (Icc 0 u ∩ (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c})
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
apply fs.cont.comp (Continuous.continuousOn _) _
|
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f (c + ↑t * y)) (Icc 0 u)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Continuous fun t => c + ↑t * y
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => c + ↑t * y) (Icc 0 u) (closedBall c r)
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f (c + ↑t * y)) (Icc 0 u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
exact continuous_const.add (Continuous.mul Complex.continuous_ofReal continuous_const)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Continuous fun t => c + ↑t * y
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Continuous fun t => c + ↑t * y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
intro t ts
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => c + ↑t * y) (Icc 0 u) (closedBall c r)
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Icc 0 u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => c + ↑t * y) (Icc 0 u) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [Set.mem_Icc] at ts
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Icc 0 u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : 0 ≤ t ∧ t ≤ u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Icc 0 u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [y1, abs_of_nonneg ts.1, _root_.trans ts.2 ur, Metric.mem_closedBall,
dist_self_add_left, Complex.norm_eq_abs, AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal,
mul_one]
|
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : 0 ≤ t ∧ t ≤ u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
|
no goals
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : 0 ≤ t ∧ t ≤ u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
intro t ts
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico 0 u, (s ∩ Ioc x u).Nonempty
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
r : ℝ
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gs : g ∈ closedBall c r
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u0 : u > 0
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hy : (g - c) / ↑u = y
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s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ s ∩ Set.Ico 0 u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico 0 u, (s ∩ Ioc x u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [← hs, Set.mem_inter_iff, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff,
Set.mem_Ico] at ts
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
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s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ s ∩ Set.Ico 0 u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ s ∩ Set.Ico 0 u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
generalize hz : c + t * y = z
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
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u : ℝ
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rcases ts with ⟨fz, tp, tu⟩
|
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have tz : abs (z - c) = t := by
simp only [y1, abs_of_nonneg tp, add_sub_cancel_left, AbsoluteValue.map_mul,
Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz]
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have zs : z ∈ ball c r := by
simp only [y1, abs_of_nonneg tp, Metric.mem_ball, dist_self_add_left, Complex.norm_eq_abs,
AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz]
exact lt_of_lt_of_le tu ur
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rw [← interior_closedBall _ rp.ne'] at zs
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rcases fs.submean' z zs with ⟨e, ep, lo⟩
|
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
generalize he' : min (e / 2) (u - t) = e'
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have e'p : e' > 0 := by rw [←he']; exact lt_min (half_pos ep) (by linarith)
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have e's : e' < e := by rw [← he']; exact lt_of_le_of_lt (min_le_left _ _) (half_lt_self ep)
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
specialize lo e' e'p e's
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
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tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rw [← hz, fz] at lo
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r := by
apply Metric.closedBall_subset_closedBall'; rw [Complex.dist_eq, tz]; linarith
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
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e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
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gs : g ∈ closedBall c r
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
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z : ℂ
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tu : t < u
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
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ep : 0 < e
e' : ℝ
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e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have hi : ∀ x, x ∈ itau → f (circleMap z e' x) ≤ f c := by
intro x _; apply isMaxOn_iff.mp cm; apply ss
simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos e'p, le_refl]
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
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ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
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hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
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tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
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⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have fcc : ContinuousOn (fun a ↦ f (circleMap z e' a)) itau := by
apply (fs.cont.mono ss).comp (continuous_circleMap _ _).continuousOn; intro a _
simp only [Complex.dist_eq, abs_of_pos e'p, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center,
abs_circleMap_zero, le_refl]
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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ep : 0 < e
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e'p : e' > 0
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hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rw [hz] at lo
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
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e'p : e' > 0
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hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
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|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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g : ℂ
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
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u0 : u > 0
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y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
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s : Set ℝ
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e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have fw := mean_squeeze NiceVolume.itau LocalVolume.itau fcc
((fs.cont.mono ss).integrableOn_sphere e'p) lo hi
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
have eys : z + e' * y ∈ sphere z e' := by
simp only [abs_of_pos e'p, y1, mem_sphere_iff_norm, add_sub_cancel_left,
Complex.norm_eq_abs, AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one]
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
rcases circleMap_Ioc eys with ⟨a, as, aey⟩
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
specialize fw a as
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (circleMap z e' a) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git
|
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
|
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
|
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
|
[325, 1]
|
[404, 16]
|
simp only [← aey] at fw
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (circleMap z e' a) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
|
Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
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e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
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fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
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a : ℝ
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⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
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Subsets and Splits
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