content stringlengths 0 209k |
|---|
৪.১ মৌলিক ফাংশনের জন্য নিয়ম |
৪.২ সংযুক্ত ফাংশনের নিয়ম |
৫ ব্যবহার |
৬ উদাহরণ |
৭ সন্ততা এবং অন্তরকলন |
৮ উচ্চতর অন্তরকলজ |
৯ অন্তরকলজ বের করার নিয়ম |
১০ কয়েকটি সূত্র |
১১ আরও দেখুন |
আবিষ্কার[সম্পাদনা] |
অনেক আগে থেকেই অন্তরকলনের কিছু বিষয় সম্পর্কে ভারতীয় গণিতবিদদের ধারণা ছিল |
ভাস্করাচার্য, কেরলের মাধবাচার্য প্রমুখ রোলির উপপাদ্য,পাই এর মান, সাইনের অসীম শ্রেণি প্রভৃতি আবিষ্কার করেন |
তবে তাঁরা কখনও একে পরিমাপের একটি স্বতন্ত্র পদ্ধতি হিসেবে প্রতিষ্ঠিত করতে পারেননি |
কারণ তাঁরা অভ্যাসবশতই কিছু পদ্ধতি প্রয়োগ করতেন যেগুলো ছিল গণিতের সাধারণ পদ্ধতির বিশেষ প্রয়োগ |
পরবর্তীকালে দুইটি রাশির একটির সূক্ষ্মাতিসূক্ষ্ম পরিবর্তনের জন্য অন্যটির পরিবর্তন অর্থাৎ একটির সাপেক্ষে অন্যটির পরিবর্তনের হার নিয়ে অনেকেই বিশদ চিন্তাভাবনা করেন |
এভাবেই একসময় বক্ররেখা বেষ্টিত কোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ঘনবস্তুর আয়তন প্রভৃতি নির্ণয়ের জন্য সমাকলন পদ্ধতির প্রয়োগ শুরু হয় |
আর এই প্রায়োগিক আবিষ্কারের অংশীদার যৌথভাবে ইংরেজ বিজ্ঞানী স্যার আইজাক নিউটন এবং জার্মান বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস |
সপ্তদশ শতাব্দীর শেষ ভাগে এই আবিষ্কারের ঘটনা ঘটে এবং নিউটন এবং লাইবনিৎস পরস্পর স্বাধীনভাবে এটি আবিষ্কার করেন |
এজন্য দীর্ঘদিন পর্যন্ত নিউটন ও লাইবনিৎস সমর্থকদের মধ্যে এ আবিষ্কার নিয়ে দ্বন্দ্ব ছিল |
অন্তরীকরণ ও অন্তরজ[সম্পাদনা] |
মূল নিবন্ধ: অন্তরজ |
= ( ) {\ =()} ফাংশনের স্বাধীন চলরাশি {\ } এর মান ক্ষুদ্র পরিমাণে বৃদ্ধির সাপেক্ষে অধীন চলরাশি {\ } এর মানে বৃদ্ধি ঘটলে, এদের অনুপাতের সীমাস্থ মানই হবে {\ } এর সাপেক্ষে {\ } এর অন্তরক সহগ বা অন্তরজ |
অন্তরীকরণ হল অন্তরজ নির্ণয়ের একটি প্রক্রিয়া |
কোনো ফাংশন () এর চলক এর জন্য এর অন্তরজ ঐ চলকের পরিবর্তনের সাপেক্ষে ফাংশনের পরিবর্তনের হার পরিমাপ করে |
এটাকে বলে এর সাপেক্ষে এর অন্তরজ |
যদি ও বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে বনাম এর লেখচিত্র আঁকলে এর প্রতিটি বিন্দুতে অন্তরজের মান এর ঐ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মানের সমান |
ধ্রুব ফাংশন বাদ দিয়ে সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্র হয় তখন, যখন , এর একটি রৈখিক ফাংশন হয় |
এটার মানে হলো বনাম এর লেখচিত্র একটি সরলরেখা |
এই শর্তে, = () = + , ও বাস্তব সংখ্যা এবং ঢাল হয় |
= = Δ Δ , {\ ={\ {{\{ }}}{{\{ }}}}={\ {\ }{\ }},} |
যেখানে Δ (ডেল্টা) প্রতীকটি "পরিবর্তন" প্রকাশ করে |
এই সূত্রটি সত্য কারণ |
সুতরাং, |
+ Δ = + Δ , {\ +\ =+\,\ ,} |
এভাবে, |
Δ = Δ . {\ \ =\,\ .} |
এটি সরলরেখাটির একদম সঠিক ঢাল বের করে দেয় |
যদি ফাংশনটি সরলরৈখিক না হয় (উদাহরণটির লেখচিত্র সরলরেখা নয়) বা যাই হোক না কেন সেক্ষেত্রে এর পরিবর্তন ও এর পরিবর্তন এর অনুপাত পরিবর্তনশীল হবে |
অন্তরীকরণ হল এমন প্রক্রিয়া যা দিয়ে এর দেওয়া যেকোনো মানের জন্য পরিবর্তনের হারের একদম সঠিক মান পাওয়া যায় |
১ থেকে ৩ নং চিত্রের ধারণাটি Δ এর অতিক্ষুদ্র মানের জন্য পরিবর্তনদ্বয়ের অনুপাতের সীমান্ত মান, {\ {\ {}{}}\,\!} বা পরিবর্তনের হার হিসাব করার জন্য ব্যবহৃত হয় |
অবিচ্ছিন্নতা ও অন্তরীকরণযোগ্যতা[সম্পাদনা] |
চিহ্নিত বিন্দুতে ফাংশনটির কোনো অন্তরজ নেই, যেহেতু সেখনে তা অবিচ্ছিন্ন নয় (প্রকৃতপক্ষে, এটি বিচ্ছিন্নভাবে শুরু হয়েছে) |
যদি, = (), বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তবে কে অবশ্যই বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে |
উদাহরণস্বরূপ, একটি বিন্দু নিই এবং ধরি হল একটি ধাপে বিচ্ছিন্ন ফাংশন যা একটি মান প্রদান করবে |
এর মান এর চেয়ে ছোটো হলে ১ প্রদান করে এবং এর মান এর চেয়ে বড়ো বা সমান হলে একটি ভিন্ন মান ১০ প্রদান করে |
তাই, তে এর কোনো অন্তরজ থাকতে পারে না |
যদি ঋনাত্মক হয় তবে + হয় ধাপের নিম্ন অংশ তাই থেকে + বিন্দুগামী ছেদক রেখা খুব খাড়া হবে অর্থাৎ, শূন্যের কাছে পৌঁছালে ঢাল অসীমের কাছে পৌঁছায় |
আবার যদি, ধনাত্মক হয় তবে + হবে ধাপের উঁচু অংশ |
তাই ও + এর ছেদবিন্দুগামী রেখার ঢাল শূন্য |
ফলে, ছেদক রেখার ঢাল কোনো একক ঢালের নিকটবর্তী হয় না |
তাই পার্থক্য ভাগফলের সীমার কোন অস্তিত্ব নেই |
পরমমান ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন কিন্তু =0 বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নয় - কেননা বামদিক ও ডানদিক থেকে স্পর্শকের ঢাল একই মানে পৌঁছায় না |
এমনকী কোনো ফাংশন একটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হওয়া সত্ত্বেও সেখানে অন্তরীকরণযোগ্য নাও হতে পারে |
উদাহরণস্বরূপ, পরম মান ফাংশন = | |, = 0, বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন কিন্তু অন্তরীকরণযোগ্য নয় |
যদি ধনাত্মক হয় তবে 0 থেকে এ ছেদকারী রেখার ঢাল হবে ১ কিন্তু যদি ঋনাত্মক হয়, তবে 0 থেকে এ ছেদকারী রেখার ঢাল হবে ঋনাত্মক ১ |
এটা লেখচিত্রে = 0 তে "শিখর" মনে হবে |
এমনকী একটি ফাংশনের লেখচিত্র সুষম হলেও যেখানে এর স্পর্শক উলম্ব সেখানে তা অন্তরীকরণযোগ্য নয় |
উদাহরণস্বরূপ, = 1/3 ফাংশন = 0 তে অন্তরীকরণযোগ্য নয় |
সংক্ষেপে বলা যায়: একটি ফাংশন এর অন্তরজ থাকার জন্য ফাংশন কে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে, কিন্তু কেবল একা অবিচ্ছিন্নতা ধরে রাখা যথেষ্ট নয় |
বাস্তবে সর্বাধিক ফাংশনের সব বিন্দুতেই বা প্রায় প্রতিটি বিন্দুতেই অন্তরজ আছে |
প্রারম্ভিক ক্যালকুলাসের ইতিহাসে, অনেক গণিতবিদ ধারণা করেন যে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন প্রায় সব বিন্দুতেই অন্তরীকরণযোগ্য |
মধ্য সময়ের দিকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন একটি মনোটোনি ফাংশন বা লিপসিজ ফাংশন হলে তা সত্য হয় |
যাইহোক, ১৯৭২ সালে, হুইসট্রাস এমন একটি ফাংশন খুঁজে পান যা অবিচ্ছিন্ন কিন্তু অন্তরীকরণযোগ্য নয় |
এটি হুইসট্রাস ফাংশন হিসাবে পরিচিত |
১৯৩১ সালে, স্টিফান ব্যানাচ প্রমাণ করেণ যে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সেটের জগতে একটি ক্ষুদ্র সেট যার কিছু বিন্দুতে এর একটি অন্তরজ আছে |
.[৩] অনানুষ্ঠানিকভাবে, এটা বোঝায় যে খুব কম অবিচ্ছিন্ন ফাংশেনেরই অন্তত একটি বিন্দুতে অন্তরজ আছে |
অন্তরীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় সূত্র[সম্পাদনা] |
মৌলিক ফাংশনের জন্য নিয়ম[সম্পাদনা] |
বেশিরভাগ ফাংশনের অন্তরজ নির্ণেয়ের জন্য কিছু সাধারণ ফাংশনের অন্তরজ দরকার পরে |
এই অসম্পূর্ণ তালিকায় এক চলকের সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত কিছু ফাংশনের অন্তরজ দেওয়া হলো |
ঘাতের অন্তরজ: যদি |
( ) = , {\ ()=^{},} |
যেখানে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা, তাহলে |
′ ( ) = − 1 , {\ '()=^{-1},} |
যেখানে এই ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত |
উদাহরণস্বরূপ, যদি ( ) = 1 / 4 {\ ()=^{1/4}} হয় তাহলে, |
′ ( ) = ( 1 / 4 ) − 3 / 4 , {\ '()=(1/4)^{-3/4},} |
এবং অন্তরজ ফাংশন কেবলমাত্র এর ধনাত্মক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত |
=0 এর জন্য নয় যখন =0. এই নিয়ম এটাই বোঝায় যে ≠ 0 এর জন্য ′() এর মান 0, যা সবসময় ধ্রুব নিয়ম (নিচে বিবৃত) |
সূচকীয় ও লগারিদমিক ফাংশন: |
= . {\ {\ {}{}}^{}=^{}.} |
= ( ) . {\ {\ {}{}}^{}=\()^{}.} |
( ) = 1 , > 0. {\ {\ {}{}}\()={\ {1}{}},\ >0.} |
( ) = 1 ( ) . {\ {\ {}{}}\ _{}()={\ {1}{\()}}.} |
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন: |
( ) = ( ) . {\ {\ {}{}}\()=\().} |
( ) = − ( ) . {\ {\ {}{}}\()=-\().} |
( ) = 2 ( ) = 1 2 ( ) = 1 + 2 ( ) . {\ {\ {}{}}\()=\ ^{2}()={\ {1}{\ ^{2}()}}=1+\ ^{2}().} |
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বা বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন |
( ) = 1 1 − 2 , − 1 < < 1. {\ {\ {}{}}\()={\ {1}{\ {1-^{2}}}},-1<<1.} |
( ) = − 1 1 − 2 , − 1 < < 1. {\ {\ {}{}}\()=-{\ {1}{\ {1-^{2}}}},-1<<1.} |
( ) = 1 1 + 2 {\ {\ {}{}}\()={\ {1}{1+^{2}}}} |
সংযুক্ত ফাংশনের নিয়ম[সম্পাদনা] |
অনেক ক্ষেত্রে দেখা যায়, অন্তরজ নির্ণয়ের সময় নিউটনের পার্থক্য ভাগফলের সরাসরি ব্যবহার জটিল সীমার জন্য এড়ানো হয় |
সবচেয়ে সাধারণ নিয়ম কিছু হলো |
ধ্রুবকের সূত্র: যদি () ধ্রুবক হয়, তবে |
′ = 0. {\ '=0.\,} |
যোগের সূত্র: |
যেকোনো ফাংশন ও এবং \ \ কোনো বাস্তব সংখ্যা হলে, ( α + β ) ′ = α ′ + β ′ {\ (\ +\ )'=\ '+\ '\,} |
গুণের সূত্র; |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.