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2.09M
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2.09M
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
apply map_add_eq_of_lt_left
|
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v x ≤ 1
hx' : ↑v x < 1
⊢ ↑v (1 + x) = ↑v 1
|
case h
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v x ≤ 1
hx' : ↑v x < 1
⊢ ↑v x < ↑v 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
simpa
|
case h
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v x ≤ 1
hx' : ↑v x < 1
⊢ ↑v x < ↑v 1
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
simp
|
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v x ≤ 1
hx' : ↑v x < 1
this : ↑v' (1 + x) = 1
⊢ x = -1 + (1 + x)
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
rw [h] at hx'
|
case mpr.h.mp.inr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v x ≤ 1
hx' : ↑v x = 1
⊢ ↑v' x ≤ 1
|
case mpr.h.mp.inr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v x ≤ 1
hx' : ↑v' x = 1
⊢ ↑v' x ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
exact le_of_eq hx'
|
case mpr.h.mp.inr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
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inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v x ≤ 1
hx' : ↑v' x = 1
⊢ ↑v' x ≤ 1
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
intro hx
|
case mpr.h.mpr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
⊢ ↑v' x ≤ 1 → ↑v x ≤ 1
|
case mpr.h.mpr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
cases' lt_or_eq_of_le hx with hx' hx'
|
case mpr.h.mpr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
⊢ ↑v x ≤ 1
case mpr.h.mpr.inr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
have : v' (1 + x) = 1 := by
rw [← v'.map_one]
apply map_add_eq_of_lt_left
simpa
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v' (1 + x) = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
rw [← h] at this
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v' (1 + x) = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v (1 + x) = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
rw [show x = -1 + (1 + x) by simp]
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v (1 + x) = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v (1 + x) = 1
⊢ ↑v (-1 + (1 + x)) ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
refine' le_trans (v.map_add _ _) _
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v (1 + x) = 1
⊢ ↑v (-1 + (1 + x)) ≤ 1
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v (1 + x) = 1
⊢ max (↑v (-1)) (↑v (1 + x)) ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
simp [this]
|
case mpr.h.mpr.inl
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v (1 + x) = 1
⊢ max (↑v (-1)) (↑v (1 + x)) ≤ 1
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
rw [← v'.map_one]
|
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
⊢ ↑v' (1 + x) = 1
|
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
⊢ ↑v' (1 + x) = ↑v' 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
apply map_add_eq_of_lt_left
|
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
⊢ ↑v' (1 + x) = ↑v' 1
|
case h
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
⊢ ↑v' x < ↑v' 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
simpa
|
case h
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
⊢ ↑v' x < ↑v' 1
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
simp
|
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x < 1
this : ↑v (1 + x) = 1
⊢ x = -1 + (1 + x)
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
rw [← h] at hx'
|
case mpr.h.mpr.inr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v' x = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
case mpr.h.mpr.inr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v x = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
null
|
null
|
Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
|
Valuation.isEquiv_iff_val_eq_one
|
[450, 1]
|
[483, 27]
|
exact le_of_eq hx'
|
case mpr.h.mpr.inr
K : Type u_3
F : Type ?u.3253919
R : Type ?u.3253922
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_1
Γ'₀ : Type u_2
Γ''₀ : Type ?u.3253934
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, ↑v x = 1 ↔ ↑v' x = 1
x : K
hx : ↑v' x ≤ 1
hx' : ↑v x = 1
⊢ ↑v x ≤ 1
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
|
CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfEquivalence_inv_π
|
[396, 1]
|
[402, 7]
|
simp only [HasLimit.isoOfEquivalence, IsLimit.conePointsIsoOfEquivalence_hom]
|
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category J
K : Type u₂
inst✝³ : Category K
C : Type u
inst✝² : Category C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ (isoOfEquivalence e w).inv ≫ limit.π F j = limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
|
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category J
K : Type u₂
inst✝³ : Category K
C : Type u
inst✝² : Category C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ (IsLimit.conePointsIsoOfEquivalence (limit.isLimit F) (limit.isLimit G) e w).inv ≫ limit.π F j =
limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
|
CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfEquivalence_inv_π
|
[396, 1]
|
[402, 7]
|
dsimp
|
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category J
K : Type u₂
inst✝³ : Category K
C : Type u
inst✝² : Category C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ (IsLimit.conePointsIsoOfEquivalence (limit.isLimit F) (limit.isLimit G) e w).inv ≫ limit.π F j =
limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
|
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category J
K : Type u₂
inst✝³ : Category K
C : Type u
inst✝² : Category C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ limit.lift F ((Cones.postcompose w.hom).obj (Cone.whisker e.functor (limit.cone G))) ≫ limit.π F j =
limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
|
CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfEquivalence_inv_π
|
[396, 1]
|
[402, 7]
|
simp
|
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category J
K : Type u₂
inst✝³ : Category K
C : Type u
inst✝² : Category C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ limit.lift F ((Cones.postcompose w.hom).obj (Cone.whisker e.functor (limit.cone G))) ≫ limit.π F j =
limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
iteratedFDerivWithin_univ
|
[1573, 1]
|
[1578, 101]
|
induction' n with n IH
|
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ = iteratedFDeriv 𝕜 n f
|
case zero
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 Nat.zero f univ = iteratedFDeriv 𝕜 Nat.zero f
case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
IH : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ = iteratedFDeriv 𝕜 n f
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f univ = iteratedFDeriv 𝕜 (Nat.succ n) f
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
iteratedFDerivWithin_univ
|
[1573, 1]
|
[1578, 101]
|
ext x
|
case zero
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 Nat.zero f univ = iteratedFDeriv 𝕜 Nat.zero f
|
case zero.h.H
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝¹ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
x✝ : Fin Nat.zero → E
⊢ ↑(iteratedFDerivWithin 𝕜 Nat.zero f univ x) x✝ = ↑(iteratedFDeriv 𝕜 Nat.zero f x) x✝
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
iteratedFDerivWithin_univ
|
[1573, 1]
|
[1578, 101]
|
simp
|
case zero.h.H
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝¹ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
x✝ : Fin Nat.zero → E
⊢ ↑(iteratedFDerivWithin 𝕜 Nat.zero f univ x) x✝ = ↑(iteratedFDeriv 𝕜 Nat.zero f x) x✝
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
iteratedFDerivWithin_univ
|
[1573, 1]
|
[1578, 101]
|
ext (x m)
|
case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
IH : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ = iteratedFDeriv 𝕜 n f
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f univ = iteratedFDeriv 𝕜 (Nat.succ n) f
|
case succ.h.H
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
IH : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ = iteratedFDeriv 𝕜 n f
x : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ ↑(iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f univ x) m = ↑(iteratedFDeriv 𝕜 (Nat.succ n) f x) m
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
iteratedFDerivWithin_univ
|
[1573, 1]
|
[1578, 101]
|
rw [iteratedFDeriv_succ_apply_left, iteratedFDerivWithin_succ_apply_left, IH, fderivWithin_univ]
|
case succ.h.H
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
IH : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ = iteratedFDeriv 𝕜 n f
x : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ ↑(iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) f univ x) m = ↑(iteratedFDeriv 𝕜 (Nat.succ n) f x) m
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
ext (⟨b, ⟨⟩⟩⟨a, j_property⟩)
|
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
i : ι
⊢ ↑(matrixDecomposition o) (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) i = 1
|
case a.mk.refl.h.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
⊢ ↑(matrixDecomposition o) (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) ((fun b => f b) b)
{ val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } { val := a, property := j_property } =
OfNat.ofNat 1 { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) }
{ val := a, property := j_property }
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
simp only [Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff] at j_property
|
case a.mk.refl.h.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
⊢ ↑(matrixDecomposition o) (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) ((fun b => f b) b)
{ val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } { val := a, property := j_property } =
OfNat.ofNat 1 { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) }
{ val := a, property := j_property }
|
case a.mk.refl.h.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
⊢ ↑(matrixDecomposition o) (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) ((fun b => f b) b)
{ val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } { val := a, property := j_property✝ } =
OfNat.ofNat 1 { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) }
{ val := a, property := j_property✝ }
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
simp only [Category.comp_id, Category.id_comp, Category.assoc, End.one_def, eqToHom_refl,
Matrix.one_apply, HomOrthogonal.matrixDecomposition_apply, biproduct.components]
|
case a.mk.refl.h.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
⊢ ↑(matrixDecomposition o) (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) ((fun b => f b) b)
{ val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } { val := a, property := j_property✝ } =
OfNat.ofNat 1 { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) }
{ val := a, property := j_property✝ }
|
case a.mk.refl.h.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
if { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } = { val := a, property := j_property✝ } then
𝟙 (s (f b))
else 0
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
split_ifs with h
|
case a.mk.refl.h.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
if { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } = { val := a, property := j_property✝ } then
𝟙 (s (f b))
else 0
|
case a.mk.refl.h.mk.inl
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } = { val := a, property := j_property✝ }
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
𝟙 (s (f b))
case a.mk.refl.h.mk.inr
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : ¬{ val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } = { val := a, property := j_property✝ }
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
0
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
cases h
|
case a.mk.refl.h.mk.inl
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : { val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } = { val := a, property := j_property✝ }
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
𝟙 (s (f b))
|
case a.mk.refl.h.mk.inl.refl
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b : α
j_property✝ : b ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f b = f b
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := b, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) b ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
𝟙 (s (f b))
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
simp
|
case a.mk.refl.h.mk.inl.refl
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b : α
j_property✝ : b ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f b = f b
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := b, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) b ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
𝟙 (s (f b))
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
simp at h
|
case a.mk.refl.h.mk.inr
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : ¬{ val := b, property := (_ : (fun b => f b) b = (fun b => f b) b) } = { val := a, property := j_property✝ }
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
0
|
case a.mk.refl.h.mk.inr
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : ¬b = a
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
0
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
have : biproduct.ι (fun a ↦ s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b ↦ s (f b)) b = 0 := by
simpa using biproduct.ι_π_ne _ (Ne.symm h)
|
case a.mk.refl.h.mk.inr
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : ¬b = a
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
0
|
case a.mk.refl.h.mk.inr
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : ¬b = a
this : biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b = 0
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
0
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
rw [this, comp_zero]
|
case a.mk.refl.h.mk.inr
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : ¬b = a
this : biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b = 0
⊢ eqToHom (_ : s (f b) = s (f ↑{ val := a, property := j_property✝ })) ≫
biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b =
0
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
|
CategoryTheory.HomOrthogonal.matrixDecomposition_id
|
[138, 1]
|
[151, 25]
|
simpa using biproduct.ι_π_ne _ (Ne.symm h)
|
C : Type u
inst✝³ : Category C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Fintype α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ (fun a => f a) ⁻¹' {(fun b => f b) b}
j_property : f a = f b
h : ¬b = a
⊢ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b = 0
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
rcases h.contDiffOn' (ENat.add_one_le_of_lt hmn) with ⟨u, uo, xu, hu⟩
|
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f (insert x s ∩ u)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
set t := insert x s ∩ u
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f (insert x s ∩ u)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
have A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s := by
simp only [set_eventuallyEq_iff_inf_principal, ← nhdsWithin_inter']
rw [← inter_assoc, nhdsWithin_inter_of_mem', ← diff_eq_compl_inter, insert_diff_of_mem,
diff_eq_compl_inter]
exacts [rfl, mem_nhdsWithin_of_mem_nhds (uo.mem_nhds xu)]
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
have B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t :=
iteratedFDerivWithin_eventually_congr_set' _ A.symm _
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
have C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x :=
hu.differentiableOn_iteratedFDerivWithin (Nat.cast_lt.2 m.lt_succ_self) (hs.inter uo) x
⟨mem_insert _ _, xu⟩
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
rw [differentiableWithinAt_congr_set' _ A] at C
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
exact C.congr_of_eventuallyEq (B.filter_mono inf_le_left) B.self_of_nhds
|
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
simp only [set_eventuallyEq_iff_inf_principal, ← nhdsWithin_inter']
|
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ t =ᶠ[𝓝[{x}ᶜ] x] s
|
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ 𝓝[{x}ᶜ ∩ (insert x s ∩ u)] x = 𝓝[{x}ᶜ ∩ s] x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
rw [← inter_assoc, nhdsWithin_inter_of_mem', ← diff_eq_compl_inter, insert_diff_of_mem,
diff_eq_compl_inter]
|
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ 𝓝[{x}ᶜ ∩ (insert x s ∩ u)] x = 𝓝[{x}ᶜ ∩ s] x
|
case h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ x ∈ {x}
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ u ∈ 𝓝[{x}ᶜ ∩ insert x s] x
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiffDef.lean
|
ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
|
[1081, 1]
|
[1097, 75]
|
exacts [rfl, mem_nhdsWithin_of_mem_nhds (uo.mem_nhds xu)]
|
case h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ x ∈ {x}
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ u ∈ 𝓝[{x}ᶜ ∩ insert x s] x
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
|
CircleDeg1Lift.translate_zpow
|
[308, 1]
|
[310, 62]
|
simp only [← zsmul_eq_mul, ofAdd_zsmul, MonoidHom.map_zpow]
|
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℤ
⊢ ↑translate (↑Multiplicative.ofAdd x) ^ n = ↑translate (↑Multiplicative.ofAdd (↑n * x))
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
|
Order.iso_of_countable_dense
|
[223, 1]
|
[235, 50]
|
rcases(F a).prop with ⟨f, hf, ha⟩
|
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Encodable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Encodable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun a => funOfIdeal a our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inl a) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
G : (b : β) → { a // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun b => invOfIdeal b our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inr b) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
a : α
b : β
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
|
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Encodable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Encodable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun a => funOfIdeal a our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inl a) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
G : (b : β) → { a // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun b => invOfIdeal b our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inr b) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
|
null
|
null
|
Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
|
Order.iso_of_countable_dense
|
[223, 1]
|
[235, 50]
|
rcases(G b).prop with ⟨g, hg, hb⟩
|
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Encodable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Encodable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun a => funOfIdeal a our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inl a) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
G : (b : β) → { a // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun b => invOfIdeal b our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inr b) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
|
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Encodable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Encodable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun a => funOfIdeal a our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inl a) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
G : (b : β) → { a // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun b => invOfIdeal b our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inr b) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
|
null
|
null
|
Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
|
Order.iso_of_countable_dense
|
[223, 1]
|
[235, 50]
|
rcases our_ideal.directed _ hf _ hg with ⟨m, _, fm, gm⟩
|
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Encodable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Encodable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun a => funOfIdeal a our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inl a) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
G : (b : β) → { a // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun b => invOfIdeal b our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inr b) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Encodable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Encodable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun a => funOfIdeal a our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inl a) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
G : (b : β) → { a // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun b => invOfIdeal b our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inr b) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
m : PartialIso α β
left✝ : m ∈ ↑our_ideal
fm : f ≤ m
gm : g ≤ m
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
|
null
|
null
|
Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
|
Order.iso_of_countable_dense
|
[223, 1]
|
[235, 50]
|
exact m.prop (a, _) (fm ha) (_, b) (gm hb)
|
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Encodable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Encodable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun a => funOfIdeal a our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inl a) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
G : (b : β) → { a // ∃ f, f ∈ our_ideal ∧ (a, b) ∈ ↑f } :=
fun b => invOfIdeal b our_ideal (_ : ∃ x, x ∈ to_cofinal (Sum.inr b) ∧ x ∈ idealOfCofinals default to_cofinal)
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
m : PartialIso α β
left✝ : m ∈ ↑our_ideal
fm : f ≤ m
gm : g ≤ m
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
|
BoxIntegral.Prepartition.compl_congr
|
[375, 1]
|
[378, 9]
|
dsimp only [compl]
|
ι : Type u_1
M : Type ?u.58340
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π₁ π₂ : Prepartition I
h : Prepartition.iUnion π₁ = Prepartition.iUnion π₂
⊢ compl π₁ = compl π₂
|
ι : Type u_1
M : Type ?u.58340
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π₁ π₂ : Prepartition I
h : Prepartition.iUnion π₁ = Prepartition.iUnion π₂
⊢ Exists.choose (_ : ∃ π', Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₁) =
Exists.choose (_ : ∃ π', Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₂)
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
|
BoxIntegral.Prepartition.compl_congr
|
[375, 1]
|
[378, 9]
|
congr 1
|
ι : Type u_1
M : Type ?u.58340
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π₁ π₂ : Prepartition I
h : Prepartition.iUnion π₁ = Prepartition.iUnion π₂
⊢ Exists.choose (_ : ∃ π', Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₁) =
Exists.choose (_ : ∃ π', Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₂)
|
case e_p
ι : Type u_1
M : Type ?u.58340
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π₁ π₂ : Prepartition I
h : Prepartition.iUnion π₁ = Prepartition.iUnion π₂
⊢ (fun π' => Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₁) = fun π' =>
Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₂
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
|
BoxIntegral.Prepartition.compl_congr
|
[375, 1]
|
[378, 9]
|
rw [h]
|
case e_p
ι : Type u_1
M : Type ?u.58340
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π₁ π₂ : Prepartition I
h : Prepartition.iUnion π₁ = Prepartition.iUnion π₂
⊢ (fun π' => Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₁) = fun π' =>
Prepartition.iUnion π' = ↑I \ Prepartition.iUnion π₂
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Data/Real/ENNReal.lean
|
ENNReal.iUnion_Ioc_coe_nat
|
[873, 1]
|
[874, 75]
|
simp only [← Ioi_inter_Iic, ← inter_iUnion, iUnion_Iic_coe_nat, diff_eq]
|
α : Type ?u.133965
β : Type ?u.133968
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ (⋃ (n : ℕ), Ioc a ↑n) = Ioi a \ {⊤}
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
|
Finset.not_mem_sdiff_of_not_mem_left
|
[2064, 1]
|
[2064, 77]
|
simp [h]
|
α : Type u_1
β : Type ?u.223921
γ : Type ?u.223924
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : ¬a ∈ s
⊢ ¬a ∈ s \ t
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
|
Metric.mem_cthickening_of_dist_le
|
[1037, 1]
|
[1041, 36]
|
apply mem_cthickening_of_edist_le x y δ E h
|
ι : Sort ?u.98897
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ x ∈ cthickening δ E
|
ι : Sort ?u.98897
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
|
Metric.mem_cthickening_of_dist_le
|
[1037, 1]
|
[1041, 36]
|
rw [edist_dist]
|
ι : Sort ?u.98897
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ
|
ι : Sort ?u.98897
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ ENNReal.ofReal δ
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
|
Metric.mem_cthickening_of_dist_le
|
[1037, 1]
|
[1041, 36]
|
exact ENNReal.ofReal_le_ofReal h'
|
ι : Sort ?u.98897
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
⊢ ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ ENNReal.ofReal δ
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
|
BilinForm.mul_toMatrix_mul
|
[404, 1]
|
[407, 74]
|
simp only [B.toMatrix_comp b c, toMatrix_toLin, transpose_transpose]
|
R : Type ?u.1640706
M✝ : Type ?u.1640709
inst✝²⁰ : Semiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.1640745
M₁ : Type ?u.1640748
inst✝¹⁷ : Ring R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1641547
M₃ : Type ?u.1641550
inst✝¹¹ : CommRing R₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₃
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1642138
K : Type ?u.1642141
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
B✝ : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_4
o : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_5
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
B : BilinForm R₂ M₂
M : Matrix o n R₂
N : Matrix n o R₂
⊢ M ⬝ ↑(toMatrix b) B ⬝ N = ↑(toMatrix c) (comp B (↑(Matrix.toLin c b) Mᵀ) (↑(Matrix.toLin c b) N))
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
|
Set.Nontrivial.infsep_exists_of_finite
|
[520, 1]
|
[528, 55]
|
classical
cases nonempty_fintype s
simp_rw [hs.infsep_of_fintype]
rcases@Finset.exists_mem_eq_inf' _ _ _ s.offDiag.toFinset (by simpa) (uncurry dist) with
⟨w, hxy, hed⟩
simp_rw [mem_toFinset] at hxy
exact ⟨w.fst, hxy.1, w.snd, hxy.2.1, hxy.2.2, hed⟩
|
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, infsep s = dist x y
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
|
Set.Nontrivial.infsep_exists_of_finite
|
[520, 1]
|
[528, 55]
|
cases nonempty_fintype s
|
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, infsep s = dist x y
|
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, infsep s = dist x y
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
|
Set.Nontrivial.infsep_exists_of_finite
|
[520, 1]
|
[528, 55]
|
simp_rw [hs.infsep_of_fintype]
|
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ x x_1 y x_2 _hxy, infsep s = dist x y
|
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) (_ : Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s))) (uncurry dist) = dist x y
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
|
Set.Nontrivial.infsep_exists_of_finite
|
[520, 1]
|
[528, 55]
|
rcases@Finset.exists_mem_eq_inf' _ _ _ s.offDiag.toFinset (by simpa) (uncurry dist) with
⟨w, hxy, hed⟩
|
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) (_ : Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s))) (uncurry dist) = dist x y
|
case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
w : α × α
hxy : w ∈ toFinset (offDiag s)
hed : Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) ?m.80020 (uncurry dist) = uncurry dist w
⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) (_ : Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s))) (uncurry dist) = dist x y
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
|
Set.Nontrivial.infsep_exists_of_finite
|
[520, 1]
|
[528, 55]
|
simp_rw [mem_toFinset] at hxy
|
case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
w : α × α
hxy : w ∈ toFinset (offDiag s)
hed : Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) ?m.80020 (uncurry dist) = uncurry dist w
⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) (_ : Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s))) (uncurry dist) = dist x y
|
case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
w : α × α
hed : Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) ?m.80020 (uncurry dist) = uncurry dist w
hxy : w ∈ offDiag s
⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) (_ : Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s))) (uncurry dist) = dist x y
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
|
Set.Nontrivial.infsep_exists_of_finite
|
[520, 1]
|
[528, 55]
|
exact ⟨w.fst, hxy.1, w.snd, hxy.2.1, hxy.2.2, hed⟩
|
case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
w : α × α
hed : Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) ?m.80020 (uncurry dist) = uncurry dist w
hxy : w ∈ offDiag s
⊢ ∃ x h y h h, Finset.inf' (toFinset (offDiag s)) (_ : Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s))) (uncurry dist) = dist x y
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
|
Set.Nontrivial.infsep_exists_of_finite
|
[520, 1]
|
[528, 55]
|
simpa
|
α : Type u_1
β : Type ?u.77742
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : Set.Nontrivial s
val✝ : Fintype ↑s
⊢ Finset.Nonempty (toFinset (offDiag s))
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Algebra/Order/Ring/Lemmas.lean
|
posMulStrictMono_iff_mulPosStrictMono
|
[1030, 1]
|
[1031, 59]
|
simp only [PosMulStrictMono, MulPosStrictMono, mul_comm]
|
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : CommSemigroup α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α
⊢ PosMulStrictMono α ↔ MulPosStrictMono α
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/Basic.lean
|
DenseRange.comp
|
[1847, 1]
|
[1850, 29]
|
rw [DenseRange, range_comp]
|
α : Type ?u.176030
β : Type u_2
γ : Type u_1
δ : Type ?u.176039
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
κ : Type u_3
ι : Type ?u.176054
f✝ : κ → β
g✝ g : β → γ
f : κ → β
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
⊢ DenseRange (g ∘ f)
|
α : Type ?u.176030
β : Type u_2
γ : Type u_1
δ : Type ?u.176039
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
κ : Type u_3
ι : Type ?u.176054
f✝ : κ → β
g✝ g : β → γ
f : κ → β
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
⊢ Dense (g '' range f)
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/Basic.lean
|
DenseRange.comp
|
[1847, 1]
|
[1850, 29]
|
exact hg.dense_image cg hf
|
α : Type ?u.176030
β : Type u_2
γ : Type u_1
δ : Type ?u.176039
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
κ : Type u_3
ι : Type ?u.176054
f✝ : κ → β
g✝ g : β → γ
f : κ → β
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
⊢ Dense (g '' range f)
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
|
LieSubmodule.lie_abelian_iff_lie_self_eq_bot
|
[308, 1]
|
[316, 92]
|
simp only [_root_.eq_bot_iff, lieIdeal_oper_eq_span, LieSubmodule.lieSpan_le,
LieSubmodule.bot_coe, Set.subset_singleton_iff, Set.mem_setOf_eq, exists_imp]
|
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ IsLieAbelian { x // x ∈ ↑I } ↔ ⁅I, I⁆ = ⊥
|
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ IsLieAbelian { x // x ∈ ↑I } ↔ ∀ (y : L) (x : { x // x ∈ I }) (x_1 : { x // x ∈ I }), ⁅↑x, ↑x_1⁆ = y → y = 0
|
null
|
null
|
Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
|
LieSubmodule.lie_abelian_iff_lie_self_eq_bot
|
[308, 1]
|
[316, 92]
|
refine'
⟨fun h z x y hz =>
hz.symm.trans
(((I : LieSubalgebra R L).coe_bracket x y).symm.trans
((coe_zero_iff_zero _ _).mpr (by apply h.trivial))),
fun h => ⟨fun x y => ((I : LieSubalgebra R L).coe_zero_iff_zero _).mp (h _ x y rfl)⟩⟩
|
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ IsLieAbelian { x // x ∈ ↑I } ↔ ∀ (y : L) (x : { x // x ∈ I }) (x_1 : { x // x ∈ I }), ⁅↑x, ↑x_1⁆ = y → y = 0
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
|
LieSubmodule.lie_abelian_iff_lie_self_eq_bot
|
[308, 1]
|
[316, 92]
|
apply h.trivial
|
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
h : IsLieAbelian { x // x ∈ ↑I }
z : L
x : { x // x ∈ I }
y : { x // x ∈ I }
hz : ⁅↑x, ↑y⁆ = z
⊢ ⁅x, y⁆ = 0
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
|
Complex.map_isometryOfOrthonormal
|
[659, 1]
|
[663, 39]
|
simp [Complex.isometryOfOrthonormal, LinearIsometryEquiv.trans_assoc, OrthonormalBasis.map]
|
ι : Type ?u.1334907
ι' : Type ?u.1334910
𝕜 : Type ?u.1334913
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
E : Type ?u.1334919
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1334939
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
⊢ isometryOfOrthonormal (OrthonormalBasis.map v f) = LinearIsometryEquiv.trans (isometryOfOrthonormal v) f
|
ι : Type ?u.1334907
ι' : Type ?u.1334910
𝕜 : Type ?u.1334913
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
E : Type ?u.1334919
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1334939
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
⊢ LinearIsometryEquiv.trans orthonormalBasisOneI.repr (LinearIsometryEquiv.trans (LinearIsometryEquiv.symm v.repr) f) =
LinearIsometryEquiv.trans (LinearIsometryEquiv.trans orthonormalBasisOneI.repr (LinearIsometryEquiv.symm v.repr)) f
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
|
Complex.map_isometryOfOrthonormal
|
[659, 1]
|
[663, 39]
|
rw [LinearIsometryEquiv.trans_assoc]
|
ι : Type ?u.1334907
ι' : Type ?u.1334910
𝕜 : Type ?u.1334913
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
E : Type ?u.1334919
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type ?u.1334939
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
⊢ LinearIsometryEquiv.trans orthonormalBasisOneI.repr (LinearIsometryEquiv.trans (LinearIsometryEquiv.symm v.repr) f) =
LinearIsometryEquiv.trans (LinearIsometryEquiv.trans orthonormalBasisOneI.repr (LinearIsometryEquiv.symm v.repr)) f
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
|
UpperSet.coe_eq_univ
|
[525, 1]
|
[525, 79]
|
simp [SetLike.ext'_iff]
|
α : Type u_1
β : Type ?u.45708
γ : Type ?u.45711
ι : Sort ?u.45714
κ : ι → Sort ?u.45719
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
⊢ ↑s = univ ↔ s = ⊥
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
|
HasDerivWithinAt.inv
|
[135, 1]
|
[138, 13]
|
convert (hasDerivAt_inv hx).comp_hasDerivWithinAt x hc using 1
|
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) s x
|
case h.e'_7
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0
⊢ -c' / c x ^ 2 = -(c x ^ 2)⁻¹ * c'
|
null
|
null
|
Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
|
HasDerivWithinAt.inv
|
[135, 1]
|
[138, 13]
|
field_simp
|
case h.e'_7
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0
⊢ -c' / c x ^ 2 = -(c x ^ 2)⁻¹ * c'
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Algebra/Order/Ring/Defs.lean
|
mul_lt_mul''
|
[559, 1]
|
[560, 31]
|
classical
exact Decidable.mul_lt_mul''
|
α : Type u
β : Type ?u.60876
inst✝ : StrictOrderedSemiring α
a b c d : α
⊢ a < c → b < d → 0 ≤ a → 0 ≤ b → a * b < c * d
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Algebra/Order/Ring/Defs.lean
|
mul_lt_mul''
|
[559, 1]
|
[560, 31]
|
exact Decidable.mul_lt_mul''
|
α : Type u
β : Type ?u.60876
inst✝ : StrictOrderedSemiring α
a b c d : α
⊢ a < c → b < d → 0 ≤ a → 0 ≤ b → a * b < c * d
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
|
IsLocallyConstant.desc
|
[219, 1]
|
[222, 19]
|
rw [← preimage_image_eq s inj, preimage_preimage]
|
X : Type u_3
Y : Type ?u.7897
Z : Type ?u.7900
α✝ : Type ?u.7903
inst✝ : TopologicalSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
f : X → α
g : α → β
h : IsLocallyConstant (g ∘ f)
inj : Function.Injective g
s : Set α
⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
|
X : Type u_3
Y : Type ?u.7897
Z : Type ?u.7900
α✝ : Type ?u.7903
inst✝ : TopologicalSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
f : X → α
g : α → β
h : IsLocallyConstant (g ∘ f)
inj : Function.Injective g
s : Set α
⊢ IsOpen ((fun x => g (f x)) ⁻¹' (g '' s))
|
null
|
null
|
Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
|
IsLocallyConstant.desc
|
[219, 1]
|
[222, 19]
|
exact h (g '' s)
|
X : Type u_3
Y : Type ?u.7897
Z : Type ?u.7900
α✝ : Type ?u.7903
inst✝ : TopologicalSpace X
α : Type u_1
β : Type u_2
f : X → α
g : α → β
h : IsLocallyConstant (g ∘ f)
inj : Function.Injective g
s : Set α
⊢ IsOpen ((fun x => g (f x)) ⁻¹' (g '' s))
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
|
Order.Ioo_pred_left_of_not_isMin
|
[679, 1]
|
[680, 64]
|
rw [← Ioi_inter_Iio, Ioi_pred_of_not_isMin ha, Ici_inter_Iio]
|
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Ioo (pred a) b = Ico a b
|
no goals
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/Basic.lean
|
List.append_nil
|
[93, 9]
|
[97, 59]
|
induction as with
| nil => rfl
| cons a as ih =>
simp_all [HAppend.hAppend, Append.append, List.append]
|
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
as : List α
⊢ as ++ nil = as
|
no goals
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/Basic.lean
|
List.append_nil
|
[93, 9]
|
[97, 59]
|
rfl
|
case nil
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ nil ++ nil = nil
|
no goals
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/Basic.lean
|
List.append_nil
|
[93, 9]
|
[97, 59]
|
simp_all [HAppend.hAppend, Append.append, List.append]
|
case cons
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
as : List α
ih : as ++ nil = as
⊢ a :: as ++ nil = a :: as
|
no goals
|
null
|
null
|
Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
|
Equiv.Perm.toList_one
|
[225, 1]
|
[225, 81]
|
simp [toList, cycleOf_one]
|
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
⊢ toList 1 x = []
|
no goals
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
by_cases hab : a < b
|
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
⊢ a :: as = b :: bs
|
case inl
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : a < b
⊢ a :: as = b :: bs
case inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
⊢ a :: as = b :: bs
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
exact False.elim <| h₂ (List.lt.head _ _ hab)
|
case inl
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : a < b
⊢ a :: as = b :: bs
|
no goals
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
by_cases hba : b < a
|
case inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
⊢ a :: as = b :: bs
|
case inr.inl
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : b < a
⊢ a :: as = b :: bs
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
⊢ a :: as = b :: bs
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
exact False.elim <| h₁ (List.lt.head _ _ hba)
|
case inr.inl
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : b < a
⊢ a :: as = b :: bs
|
no goals
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
have h₁ : as ≤ bs := fun h => h₁ (List.lt.tail hba hab h)
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
⊢ a :: as = b :: bs
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
⊢ a :: as = b :: bs
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
have h₂ : bs ≤ as := fun h => h₂ (List.lt.tail hab hba h)
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
⊢ a :: as = b :: bs
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂✝ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
h₂ : bs ≤ as
⊢ a :: as = b :: bs
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
have ih : as = bs := le_antisymm h₁ h₂
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂✝ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
h₂ : bs ≤ as
⊢ a :: as = b :: bs
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂✝ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
h₂ : bs ≤ as
ih : as = bs
⊢ a :: as = b :: bs
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
have : a = b := s.antisymm hab hba
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂✝ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
h₂ : bs ≤ as
ih : as = bs
⊢ a :: as = b :: bs
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂✝ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
h₂ : bs ≤ as
ih : as = bs
this : a = b
⊢ a :: as = b :: bs
|
null
|
null
|
src/lean/Init/Data/List/BasicAux.lean
|
List.le_antisymm
|
[168, 1]
|
[182, 24]
|
simp [this, ih]
|
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as✝ bs✝ : List α
a : α
as : List α
b : α
bs : List α
h₁✝ : a :: as ≤ b :: bs
h₂✝ : b :: bs ≤ a :: as
hab : ¬a < b
hba : ¬b < a
h₁ : as ≤ bs
h₂ : bs ≤ as
ih : as = bs
this : a = b
⊢ a :: as = b :: bs
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no goals
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Subsets and Splits
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