year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
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values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2022 | T1 | 3 | null | French_tests | On dit qu'un entier $n \geqslant 1$ est nippon s'il admet trois diviseurs $d_{1}, d_{2}$ et $d_{3}$ tels que $1 \leqslant d_{1}<d_{2}<d_{3}$ et $d_{1}+d_{2}+d_{3}=2022$.
Quel est le plus petit entier nippon? | $n^{\circ} 1$ On peut simplifier l'étude des triplets $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ effectuée au dernier paragraphe de la solution ci-dessus, pour limiter les calculs à effectuer. En effet,
$\triangleright$ si $a_{3} \geqslant 2$, alors $a_{2} \geqslant 3$ et $a_{1} \geqslant 4$, donc
$$
\frac{p}{q} \leqslant \fr... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 97 | 1,443 |
2022 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 3$ un entier, et $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ des nombres réels appartenant à l'intervalle $[0,1]$. On suppose que la somme $s=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}$ vérifie l'inégalité $s \geqslant 3$. Démontrer qu'il existe des entiers $i$ et $j$ tels que $2^{j-i} x_{i} x_{j}>2^{s-3}$. | Dans la suite, on pose $x_{t}=0$ si $t \leqslant 0$ ou $t \geqslant n+1$, ce qui ne change rien au problème. Soit $u$ et $v$ deux indices pour lesquels $2^{u-v} x_{u} x_{v}$ est maximal. Ce produit vaut au moins $\max \left\{x_{i}^{2}\right\} \geqslant(s / n)^{2}$, donc il est non nul, de sorte que $x_{u}$ et $x_{v}$ s... | {
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} | 134 | 1,040 |
2022 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 3$ un entier, et $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ des nombres réels appartenant à l'intervalle $[0,1]$. On suppose que la somme $s=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}$ vérifie l'inégalité $s \geqslant 3$. Démontrer qu'il existe des entiers $i$ et $j$ tels que $2^{j-i} x_{i} x_{j}>2^{s-3}$. | $n^{\circ} 1$ Voici une approche analogue à l'approche précédente. Ces deux approches diffèrent en ce que, alors que l'on s'intéressait ci-dessus à une forme de « milieu » de la suite $\left(x_{n}\right)$, on s'appuie ici sur les termes d'indices extrémaux.
Intéressons-nous aux deux fonctions $f: i \mapsto 2^{-i} x_{i}... | {
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} | 134 | 2,400 |
2022 | T1 | 1 | null | French_tests | Martin a écrit le couple d'entiers $(1011,1012)$ au tableau. Puis, chaque minute, si le couple $(a, b)$ est écrit au tableau, il l'efface et le remplace, selon son choix, par l'un des couples $(b, a),(b+1, a-1)$ ou $(b-2, a+2)$, en s'imposant uniquement de n'écrire que des couples dont les deux nombres sont positifs ou... | Nulle opération ne change la somme des entiers écrits au tableau, donc Martin ne peut écrire que des couples de la forme ( $a, 2013-a$ ), avec $0 \leqslant a \leqslant 2013$.
En outre, si Martin part d'un couple $(a, b)$ pour lequel $a \geqslant 1$, il peut écrire successivement les couples $(b+1, a-1)$ et $(a-1, b+1)$... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
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} | 138 | 813 |
2022 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $x, y$ et $z$ des réels strictement positifs tels que $x y+y z+z x=3$.
Démontrer que
$$
\frac{x+3}{y+z}+\frac{y+3}{z+x}+\frac{z+3}{x+y}+3 \geqslant 27 \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{(x+y+z)^{3}}
$$ | Posons $s=x+y+z$, et soit $L$ et $R$ les membres de gauche et de droite de notre inégalité. On peut réécrire $L$ comme
$$
L=\frac{x+3}{y+z}+1+\frac{y+3}{z+x}+1+\frac{z+3}{x+y}+1=(s+3)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right) .
$$
Or, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, appliquée aux vecteurs
$$
\left(\frac{1... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 107 | 963 |
2022 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $x, y$ et $z$ des réels strictement positifs tels que $x y+y z+z x=3$.
Démontrer que
$$
\frac{x+3}{y+z}+\frac{y+3}{z+x}+\frac{z+3}{x+y}+3 \geqslant 27 \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{(x+y+z)^{3}}
$$ | $n^{\circ} 2$ Puisque la fonction $f: t \mapsto 1 / t$ est convexe, on sait que
$$
L=(s+3)(f(y+z)+f(z+x)+f(x+y)) \geqslant 3(s+3) f(2 s / 3)=9(s+3) /(2 s) .
$$
De même, l'inégalité du réordonnement, appliquée aux termes $\sqrt{x}, \sqrt{y}$ et $\sqrt{z}$, indique que
$$
R \leqslant 27 \frac{3 s}{s^{3}}=\frac{81}{s^{... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 107 | 718 |
2022 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 3$ un entier. Pour chaque couple de nombres premiers $p$ et $q$ tels que $p<q \leqslant n$, Morgane a écrit la somme $p+q$ au tableau. Elle note ensuite $\mathcal{P}(n)$ le produit de toutes ces sommes. Par exemple, $\mathcal{P}(5)=(2+3) \times(2+5) \times(3+5)=280$.
Trouver toutes les valeurs de $n \... | Soit $n$ une solution éventuelle, et soit $r$ le plus grand nombre premier tel que $r \leqslant n$. Puisque $r$ divise $n$ !, il divise $\mathcal{P}(n)$, donc il existe deux nombres premiers $p$ et $q$ tels que $p<q \leqslant n$ et $r$ divise $p+q$. Par maximalité de $r$, on sait que $p+q<2 r$, de sorte que $p+q=r$. Pu... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 211 | 622 |
2022 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 3$ un entier. Pour chaque couple de nombres premiers $p$ et $q$ tels que $p<q \leqslant n$, Morgane a écrit la somme $p+q$ au tableau. Elle note ensuite $\mathcal{P}(n)$ le produit de toutes ces sommes. Par exemple, $\mathcal{P}(5)=(2+3) \times(2+5) \times(3+5)=280$.
Trouver toutes les valeurs de $n \... | Soit $n$ une solution éventuelle, et soit $r$ le plus grand nombre premier tel que $r \leqslant n$. Puisque $r$ divise $n$ !, il divise $\mathcal{P}(n)$, donc il existe deux nombres premiers $p$ et $q$ tels que $p<q \leqslant n$ et $r$ divise $p+q$. Par maximalité de $r$, on sait que $p+q<2 r$, de sorte que $p+q=r$. Pu... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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} | 211 | 837 |
2022 | T1 | 6 | null | French_tests | On note $\mathcal{F}$ l'ensemble des fonctions $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ telles que
$$
f(x+f(y))=f(x)+f(y)
$$
pour tous les réels $x$ et $y$. Trouver tous les nombres rationnels $q$ tels que, pour toute fonction $f \in \mathcal{F}$, il existe un réel $z$ tel que $f(z)=q z$. | Soit $f$ une fonction appartenant à $\mathcal{F}$. Pour tous réels $x$ et $y$, on montre par récurrence immédiate que $f(x+k f(y))=f(x)+k f(y)$ pour tout entier $k \geqslant 0$. On note $E_{k}(x, y)$ cette égalité.
Si l'on pose $x^{\prime}=x-k f(y)$, on constate aussi que $f\left(x^{\prime}\right)=f\left(x^{\prime}+k f... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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} | 109 | 1,308 |
2022 | T1 | 7 | null | French_tests | Lucile a écrit au tableau s 2023-uplets d'entiers. Elle s'autorise alors des opérations de la forme suivante : elle choisit deux 2023-uplets $\mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2023}\right)$ et $\mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{2023}\right)$, non nécessairement distincts, parmi ceux qu'elle a déjà écrit... | Tout d'abord, si $s=1$, Lucile a écrit un seul vecteur $\mathbf{u}$. Tout vecteur $\mathbf{x}$ qu'elle pourra ensuite écrire aura des coordonnées de même signe que $\mathbf{u}$, et elle ne pourra donc pas écrire tous les vecteurs possibles.
Ensuite, si $s=2$, soit $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ les deux vecteurs que Luci... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrigé-Web-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 316 | 1,561 |
2002 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Man beweise: Sind x, y, z die Längen der Winkelhalbierenden eines Dreiecks mit dem Umfang 6, dann gilt
$$
\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{y}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{z}^{2}} \geq 1
$$ | Man beachte nebenstehende Figur.
DP und DQ sind die Parallelen durch D zu AB und
AC. Da $A D=x$ die Winkelhalbierende von $\alpha$ ist, ist AQDP eine Raute, deren Seitenlänge mit $u$ bezeichnet wurde.
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke PDC mit QBD folgt $\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{c}-\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
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"solution_match": "# Lösung\n"
} | 82 | 554 |
2002 | T1 | 2 | null | Germany_TST | In ein spitzwinkliges Dreieck $A B C$ wird ein Quadrat mit Mittelpunkt $A_{1}$ so einbeschrieben, dass zwei Ecken auf $B C$ und je eine auf $A B$ bzw. $A C$ liegen. Analog sind die Quadrate mit den Mittelpunkten $B_{1}$ bzw. $C_{1}$ definiert.
Man beweise, dass die Geraden $A A_{1}, B B_{1}$ und $C C_{1}$ einen gemeins... | Zusätzlich zur gegebenen Figur betrachten wir das nach außen errichtete Quadrat über der Seite $A B$ mit dem Mittelpunkt $C_{2}$. Da es eine zentrische Streckung gibt, welche das einbeschriebene Quadrat mit Mittelpunkt $C_{1}$ in das nach außen errichtete Quadrat überführt, liegen $C, C_{1}$ und $C_{2}$ auf einer Gerad... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2002-loes_awkl2_02.jsonl",
"solution_match": "# Lösung\n"
} | 123 | 1,171 |
2002 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Man beweise, dass es keine positive ganze Zahl $n$ mit der folgenden Eigenschaft gibt: Für $k=1,2, \ldots, 9$ ist die - in dezimaler Schreibweise - linke Ziffer von $(n+k)$ ! gleich $k$. | Wir nehmen an, dass es eine Zahl $n$ mit der verlangten Eigenschaft gibt. Dann kann keine der Fakultäten eine Zehnerpotenz sein, weil ab 3! alle Fakultäten durch 3 teilbar sind und die ersten Fakultäten offensichtlich nicht die verlangte Eigenschaft haben. Es kann auch keine der Zahlen $n+2, \ldots, n+9$ eine Zehnerpot... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "# Lösung\n"
} | 62 | 632 |
2003 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man bestimme alle Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit der Eigenschaft
$$
f(f(x)+y)=2 x+f(f(y)-x)
$$
für alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Für eine beliebige reelle Zahl $z$ setzen wir $a=f(z), b=z+f(0), n=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ und $m=f(0)-\frac{a+b}{2}$. Wegen $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}$ sind $a, b, n$ und $m$ wohlbestimmt. Einsetzen von $x=0$, $y=z$ in $(*)$ liefert $f(z+f(0))=f(f(z))$, also $f(a)=f(b)$ (I).
Einsetzen von $x=m$ und $y=a$ bzw. $y=... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2003-loes_awkl2_03.jsonl",
"solution_match": "# Lösung\n"
} | 62 | 633 |
2003 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $B$ ein beliebiger Punkt auf einem Kreis $k_{1}$ und es sei $A$ ein von $B$ verschiedener Punkt auf der Tangente an $k_{1}$ in $B$. Ferner sei $C$ ein Punkt außerhalb von $k_{1}$ mit der Eigenschaft, dass die Strecke $A C$ den Kreis $k_{1}$ in zwei verschiedenen Punkten schneidet. Schließlich sei $k_{2}$ der Kre... | Wir bezeichnen die Mittelpunkte der Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ mit $O_{1}$ bzw. $O_{2}$. Die Lösung setzt nun voraus, dass $\angle C D B$ stumpf ist (siehe Fig.); andernfalls sind lediglich einige Winkel modulo $180^{\circ}$ zu vertauschen.
Es sei $P$ der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BDC; dann ist nach dem Satz vom ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2003-loes_awkl2_03.jsonl",
"solution_match": "# Lösung\n"
} | 202 | 994 |
2003 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $n$ eine ungerade natürliche Zahl. Die Felder eines $n \times n$-Schachbretts seien abwechselnd schwarz und weiß gefärbt, wobei die Eckfelder schwarz sind. Ferner sei ein Trimino definiert als eine L-förmige Figur aus drei verbundenen Einheitsquadraten.
a) Für welche Werte von $n$ ist es möglich, alle schwarzen ... | a) und b): Wir zählen die Reihen des Schachbretts von oben. Das $n \times n$-Schachbrett hat $\frac{n+1}{2}$ Reihen mit ungerader Nummer und in jeder dieser Reihen $\frac{n+1}{2}$ schwarze Felder. Jedes dieser $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}$ schwarzen Quadrate muss von einem anderen Trimino überdeckt werden, daher sin... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2003-loes_awkl2_03.jsonl",
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} | 180 | 638 |
2004 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Gegeben sind die sechs reellen Zahlen $a, b, c$ und $x, y, z$ so, dass
a) $0<b-c<a<b+c$
b) $a x+b y+c z=0$
Man ermittle (mit Begründung!) das Vorzeichen von $a y z+b x z+c x y$. | Aus $0<b-c<a<b+c$ folgt, dass $a, b$ und $c$ positiv sind. Außerdem kann man mit Strecken dieser Längen ein Dreieck konstruieren. Daraus folgt, dass die Zahlen $-a+b+c, \quad a-b+c$ und $a+b-c$ positiv sind.
Aus $a x+b y+c z=0$ folgt $x=-\frac{b y+c z}{a}$.
Es ergibt sich
$$
a y z+b z x+c x y=a y z-\frac{1}{a}(b y+c z... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2004-loes_awkl1_04.jsonl",
"solution_match": "# Lösung\n"
} | 77 | 706 |
2004 | T1 | 1 | null | Germany_TST | In der Ebene liegen n abgeschlossene Kreisscheiben $\mathrm{K}_{1}, \mathrm{~K}_{2}, \ldots ; \mathrm{K}_{\mathrm{n}}$ mit gleichem Radius r . Jeder Punkt der Ebene ist dabei in höchstens 2003 dieser Kreisscheiben enthalten. Man beweise, dass jede Kreisscheibe $K_{\mathrm{i}}$ höchstens 14020 andere Kreisscheiben schne... | Wir führen einen Beweis durch Widerspruch. Dazu nehmen wir zusätzlich zur Voraussetzung an, dass eine Kreisscheibe (oBdA sei dies $K_{1}$ ) mindestens 14021 andere Kreisscheiben schneidet. Die Mittelpunkte dieser Scheiben liegen dann offensichtlich alle in einer Kreisscheibe mit Radius $2 r$ um den Mittelpunkt $M_{1}$ ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2004-loes_awkl2_04.jsonl",
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} | 112 | 530 |
2005 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Gegeben sind die positiven reellen Zahle $a$ und $b$ und die natürliche Zahl $n$.
Man ermittle in Abhängigkeit von $a, b$ und $n$ das größte der $n+1$ Glieder in der Entwicklung von $(a+b)^{n}$. | Das $k$-te Glied $\mathrm{G}(\mathrm{k})$ in der Entwicklung von $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{\mathrm{n}}$ ist gegeben durch die Formel: $G(k)=\binom{n}{k-1} \cdot a^{n-k+1} \cdot b^{k-1}$, wobei $\binom{n}{0}=1$ und $1 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{n}+1$.
Da es endlich viele Glieder gibt und jede endliche Zahlenmenge (min... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2005-loes_awkl1_05.jsonl",
"solution_match": "# Lösung\n"
} | 69 | 545 |
2005 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Sei $E=\{-1,0,1\}$ und $M$ eine Menge von Gitterpunkten der Ebene. Die Punkte aus $M$ sind so durch ein Streckennetz (S) miteinander verbunden, dass man von jedem Punkt aus M zu jedem anderen Punkt aus M gelangen kann ohne ( S ) zu verlassen. Dabei können die Strecken des Streckennetzes außer den Gitterpunkten auch and... | Teil a): Aus Symmetriegründen reicht es zunächst das günstigste Streckennetz für die Punkte $O(0,0)$, $A(1,0)$ und $C(0,1)$ zu finden. Durch Spiegelung an O erhält man dann das gewünschte Netz für die Punkte aus M. Durch eine Drehung der Ebene $x O y$ um O mit Drehwinkel $60^{\circ}$ (Fig. 1) wird das Dreieck $\triangl... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
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"solution_match": "# Lösung\n"
} | 178 | 709 |
2005 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Eine unendliche Folge $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ reeller Zahlen erfüllt die Bedingung $a_{n}=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$ für alle $n \geq 0$, wobei $a_{0}$ und $a_{1}$ verschiedene positive Zahlen sind.
Kann diese Folge beschränkt sein? Die Antwort ist zu begründen. | Zunächst beweisen wir, dass zwei aufeinander folgende Glieder niemals gleich sein können. Aus $a_{n}=a_{n+1}=c$ folgte nämlich sofort $a_{n-1}=0$ und $a_{n-2}=a_{n-3}=c \quad(n>2)$. Schließlich müsste $a_{0}=a_{1}$ oder $a_{0}=0$ bzw. $a_{1}=0$ sein, was ausgeschlossen ist. Daher gilt auch $a_{n}>0$ für alle n.
Auflöse... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2005-loes_awkl2_05.jsonl",
"solution_match": "# Lösung\n"
} | 106 | 681 |
2005 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Gegeben seien zwei positive ganze Zahlen $n$ und $k$. In der Ebene liegen $n$ Kreise ( $\mathrm{n} \geq 2$ ), so dass jeder Kreis jeden anderen zweimal schneidet und alle diese Schnittpunkte paarweise verschieden sind.
Jeder Schnittpunkt wird mit einer von n Farben so gefärbt, dass jede Farbe wenigstens einmal verwende... | Die Antwort lautet: $2 \leq k \leq n \leq 3$ oder $3 \leq k \leq n$.
Offensichtlich gilt $k \leq n$ nach Aufgabenstellung sowie $k \geq 2$, weil für $k=1$ alle Punkte dieselbe Farbe hätten, während die Anzahl $n$ der Farben $\geq 2$ sein soll. Wir nummerieren die Kreise und die Farben von 1 bis n und bezeichnen mit $F(... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2005-loes_awkl2_05.jsonl",
"solution_match": "# Lösung\n"
} | 141 | 1,027 |
2006 | T1 | 2 | null | Germany_TST | In einem Raum stehen 2005 Obstkisten, von denen jede eine oder mehrere Sorten Obst enthält, von jeder Obstsorte ganzzahlig viele Früchte.
a) Man zeige, dass man stets 669 Obstkisten auswählen kann, die zusammen sowohl mindestens ein Drittel aller Äpfel als auch mindestens ein Drittel aller Birnen enthalten.
b) Können d... | a) Es sei $N$ eine Kiste, die eine maximale Anzahl von Äpfeln enthält, sagen wir $n$ Stück. Sie werde zunächst beiseite gestellt. Wir betrachten nun alle Möglichkeiten, die verbleibenden $2004=3 \cdot 668$ Kisten in drei Haufen, $A, B$ und $C$ zu je 668 Kisten aufzuteilen. Die Gesamtzahl an Äpfeln in diesen Kisten sei ... | {
"problem_match": "2. Aufgabe\n",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2006-loes_awkl1_06.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 128 | 968 |
2006 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Lassen sich für jede positive ganze Zahl $n$ nicht-negative ganze Zahlen $a, b, c, d, e, f, g$, $h$ mit
$$
n=\frac{2^{a}-2^{b}}{2^{c}-2^{d}} \cdot \frac{2^{e}-2^{f}}{2^{g}-2^{h}}
$$
finden? Die Antwort ist zu begründen.
Vorbemerkung: Im Folgenden sei $n$ ungerade. Ohne Einschränkung ist $a>b, c>d, e>f$, $g>h$. Die Be... | Die Zahl $n=19$ ist nicht darstellbar. Man nutzt die Beziehung ggT( $2^{x}-1$, $\left.2^{y}-1\right)=2^{\operatorname{ggT}(x, y)}-1$, um zu zeigen: Aus $\left(2^{x}-1\right) \mid\left(2^{y}-1\right)\left(2^{z}-1\right)$ folgt $x \mid y$ oder $x \mid z$.
Hieraus folgt mit (*), dass sich 19 als
$$
19=\frac{2^{a}-1}{2^{c... | {
"problem_match": "3. Aufgabe\n",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2006-loes_awkl1_06.jsonl",
"solution_match": "\n2. Lösung (skizziert):"
} | 287 | 718 |
2006 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man bestimme mit Beweis alle Funktionen $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$mit der Eigenschaft
$$
f(x) f(y)=2 f(x+y f(x))
$$
für alle positiven reellen Zahlen $x, y$. | Offensichtlich erfüllt die Funktion $f(x)=2$ für alle $x \in \mathbb{R}^{+}$die gegebene Funktionalgleichung. Wir werden zeigen, dass dies die einzige Lösung ist.
Lemma 1: Für alle $x \in \mathbb{R}^{+}$gilt $f(x) \geq 1$.
Zum Beweis nehmen wir $f(x)<1$ für ein geeignetes $x$ an und setzen $y=\frac{x}{1-f(x)}$. Dann is... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2006-loes_awkl2_06.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 69 | 1,283 |
2006 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Gegeben sei ein Dreieck $A B C$ mit $\overline{A B}+\overline{B C}=3 \overline{A C}$. Sein Inkreis habe den Mittelpunkt $I$ und berühre die Seiten $A B$ in $D$ bzw. $B C$ in $E$. Weiter seien $K$ und $L$ die Spiegelpunkte von $D$ bzw. $E$ bezüglich $I$.
Man beweise, dass das Viereck $A C K L$ ein Sehnenviereck ist. | Zu den in der Aufgabenstellung genannten Punkten bezeichnen wir den Berührpunkt des Inkreises mit $A C$ mit $F$, den Mittelpunkt von AC mit $S$, den Schnittpunkt von $w_{\beta}$ und der Mittelsenkrechten $m_{A C}$ mit $P$, den Spiegelpunkt von $B$ an $I$ mit $R$, den Mittelpunkt von $B I$ mit $T$ und die paarweise glei... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2006-loes_awkl2_06.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 129 | 1,066 |
2006 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Wir betrachten ein $m \times n$-Rechteck aus $m n$ Einheitsquadraten. Zwei seiner Einheitsquadrate heißen benachbart, wenn sie eine gemeinsame Seitenkante haben, und ein Pfad ist eine Folge von Einheitsquadraten, in der je zwei aufeinander folgende Elemente benachbart sind.
Jedes Einheitsquadrat des Rechtecks kann entw... | Wir werden die Behauptung verallgemeinern. Dazu lassen wir zu, dass das $m \times n$ Rechteck auf beiden Seiten gefärbt wird und dass einige der Einheitsquadrate transparent sind. Solche Felder brauchen nur auf einer Seite gefärbt zu werden und sehen dann auf beiden Seiten gleich aus. Ein nicht transparentes Einheitsqu... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 244 | 1,021 |
2007 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Es seien $n$ eine positive ganze Zahl größer als Eins und $B=\left\{1,2, \ldots, 2^{n}\right\}$. Eine Teilmenge $A$ von $B$ heiße ulkig, wenn sie von je zwei verschiedenen Elementen $x, y$ von $B$, deren Summe eine Zweierpotenz ist, genau eines enthält. Wie viele ulkige Teilmengen hat $B$ ? | Die Anzahl ist $2^{n+1}$. Wir argumentieren mit vollständiger Induktion nach $n$ und setzen hierzu $B_{n}=\left\{1,2, \ldots, 2^{n}\right\}$. Induktionsanfang, $n=1$. Dieser Fall ist klar: alle vier Teilmengen von $B_{1}=\{1,2\}$ sind ulkig. Induktionsschritt, $n \longrightarrow n+1$. Es sei also bereits bekannt, daß $... | {
"problem_match": "1. Aufgabe\n",
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"solution_match": "\nLösung."
} | 100 | 1,097 |
2007 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Man finde alle Quadrupel positiver ganzer Zahlen ( $m, n, p, q$ ) mit der Eigenschaft
$$
p^{m} q^{n}=(p+q)^{2}+1
$$ | Hilfssatz: Sind $k, l, a$ positive ganze Zahlen mit $a=\left(k^{2}+l^{2}+1\right) /(k l)$, folgt $a=3$. Beweis des Hilfssatzes: Zu gegebenem Wert von $a$ betrachten wir ein Paar $(k, l)$ mit $k^{2}+l^{2}+1=a k l$ und minimaler Summe $k+l$ unter allen derartigen Paaren. Ohne Einschränkung ist $k \leq l$.
Zunächst sei $k... | {
"problem_match": "2. Aufgabe\n",
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"solution_match": "\n1. Lösung."
} | 50 | 650 |
2007 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Man finde alle Quadrupel positiver ganzer Zahlen ( $m, n, p, q$ ) mit der Eigenschaft
$$
p^{m} q^{n}=(p+q)^{2}+1
$$ | Alle Summanden der Ausgangsgleichung bis auf $q^{2}+1$ sind Vielfache von $p$, daher gilt $p \mid q^{2}+1$. Damit lassen sich die Fälle $q=1,2, \ldots, 6$ mittels Durchprobieren behandeln, man erhält Lösungsquadrupel aus 1. Lösung. Für $p \geq q \geq 7$ (analog: $p \geq p \geq 7$ ) gibt es keine Lösungen:
1. Fall: $m>... | {
"problem_match": "2. Aufgabe\n",
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"solution_match": "\n2. Lösung."
} | 50 | 574 |
2007 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Der Punkt $P$ liege im Inneren des Dreiecks $A B C$ und erfülle
$$
\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B .
$$
Man beweise, dass dann gilt:
$$
\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B}
$$
Zunäc... | Setze $\varangle A C P=\gamma^{\prime}, \varangle P B C=\gamma^{\prime \prime}, \varangle P B A=\beta^{\prime \prime}$. Nun ist nach Sinussatz
$\frac{\sin \beta^{\prime \prime}}{\sin \gamma^{\prime}}=\frac{\sin \beta^{\prime \prime}}{A P} \cdot \frac{A P}{\sin \gamma^{\prime}}=\frac{\sin \left(60^{\circ}+\gamma\right)}... | {
"problem_match": "3. Aufgabe\n",
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"solution_match": "\n8. Lösung."
} | 324 | 740 |
2007 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Eine $F$ olge $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ reeller Zahlen ist rekursiv definiert durch
$$
a_{0}=-1, \quad \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{n-k}}{k+1}=0 \quad \text { für } n \geq 1 .
$$
$M$ an beweise, dass $a_{n}>0$ für alle $n \geq 1$ gilt. | Für $n=1$ gilt $a_{1}+\frac{1}{2} a_{0}=0$, also $a_{1}=\frac{1}{2}>0$. Nun gelte $a_{i}>0$ für $1 \leq i<n$. A us dem Gegebenen folgt $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_{n-k}}{k+1}+\frac{a_{n}}{1}+\frac{a_{0}}{n+1}=0 \Leftrightarrow a_{n}=\frac{1}{n+1}-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_{n-k}}{k+1}(*)$ und ebenso $0=\sum_{k=0}^{n-1} \fr... | {
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} | 115 | 506 |
2007 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Für jede reelle Zahl $x$ mit $0<x<1$ sei $y \in] 0 ; 1[$ diejenige Zahl, deren $n$-te Nachkommastelle die (2n)-te Nachkommastelle von $x$ ist. $M$ an beweise: Wenn $x$ rational ist, dann ist auch $y$ rational. | Eine rationale Zahl besitzt eine abbrechende oder eine periodische Dezimalbruchentwicklung. Eine abbrechende Dezimalbruchentwicklung lässt sich durch Anhängen von Nullen ins U nendliche fortsetzen und entspricht daher einer periodischen Dezimalbruchentwicklung mit der Periodenlänge 1.
Im Folgenden betrachten wir nur di... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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} | 83 | 510 |
2008 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man zeige, dass es in der Dezimaldarstellung von $\sqrt[3]{3}$ zwischen der 1000000. und 3141592. Nachkommastelle eine von 2 verschiedene Ziffer gibt. | Hätte $\sqrt[3]{3}$ zwischen der 1000000. und 3141592. Nachkommastelle nur die Ziffer 2, wäre mit $a=\left[10^{1000000} \sqrt[3]{3}\right]<10^{1000001}$ also $\left|\sqrt[3]{3}-(a+2 / 9) 10^{-1000000}\right|<10^{-3141592}$ oder äquivalent
$$
\left|\sqrt[3]{3\left(9 \cdot 10^{1000000}\right)^{3}}-(9 a+2)\right|<9 \cdot... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 55 | 882 |
2008 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Man zeige, dass es eine ganze Zahl $a$ gibt, für die $a^{3}-36 a^{2}+51 a-97$ ein Vielfaches von $3^{2008}$ ist. | Definiere das Polynom $P(x)=x^{3}-36 x^{2}+51 x-97$. Ausgehend von $P_{0}(x)=\frac{1}{81} P(9 x+1)=9 x^{3}-33 x^{2}-2 x-1$, definiere rekursiv Polynome $P_{k}(x)=$ $3 a_{k} x^{3}+3 b_{k} x^{2}+c_{k} x+d_{k}$ mit ganzen Zahlen $a_{k}, b_{k}, c_{k}, d_{k}$, wobei $c_{k}$ nicht durch 3 teilbar ist, und $P_{k+1}(x)=\frac{1... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\n1. Lösung:"
} | 50 | 631 |
2008 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Man zeige, dass es eine ganze Zahl $a$ gibt, für die $a^{3}-36 a^{2}+51 a-97$ ein Vielfaches von $3^{2008}$ ist. | Definiere das Polynom $P(x)=x^{3}-36 x^{2}+51 x-97$. Für $k \geq 4$ werden induktiv ganze Zahlen $a_{k}$ mit $a_{k} \equiv 1 \bmod 9$ und $3^{k} \mid P\left(a_{k}\right)$ konstruiert; die Aufgabenstellung erfüllt dann $a=a_{2008}$ :
Verankerung $k=4$ : Für $a_{4}=1$ ist $3^{4} \mid P\left(a_{4}\right)$.
Induktionsschri... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\n2. Lösung:"
} | 50 | 1,135 |
2008 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $k$ und $n$ mit folgender Eigenschaft:
Die Zahl $k^{4}+n^{2}$ ist ohne Rest durch die Zahl $7^{k}-3^{n}$ teilbar. | Das einzige Lösungspaar ist $(k ; n)=(2 ; 4)$. Für jedes Lösungspaar sind $k^{4}+n^{2}$ und $7^{k}-3^{n}$ ganzzahlig, wobei $7^{k}-3^{n}$ nicht notwendig positiv sein muss. Weil $7^{k}$ und $3^{n}$ ungerade sind, gilt $2 \mid 7^{k}-3^{n}$ und daher $2 \mid k^{4}+n^{2}$. Deshalb müssen $k$ und $n$ entweder beide gerade ... | {
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 54 | 1,610 |
2008 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Ein Quadrat wird so in $n>1$ Rechtecke zerlegt, dass die Seiten der Rechtecke parallel zu den Seiten des gegebenen Quadrats verlaufen. Jede Gerade, die parallel zu einer der Seiten des Quadrats verläuft und das Innere des Quadrats schneidet, soll dabei auch im Inneren wenigstens eines der Rechtecke verlaufen.
Man bewe... | Wir beweisen die Kontraposition und nehmen dazu an, dass jedes Rechteck der Zerlegung mindestens einen Punkt mit dem Rand des Quadrates gemeinsam hat. Nach den Voraussetzungen hat es dann wenigstens eine seiner Seiten mit dem Rand des Quadrates gemeinsam. Daher lässt sich der Rand des Quadrates abschnittweise eindeutig... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 120 | 665 |
2009 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Es sei $p>7$ eine Primzahl, die bei Division durch 6 den Rest 1 lässt. Setze $m=2^{p}-1$. Man beweise, dass $2^{m-1}-1$ ohne Rest durch $127 m$ teilbar ist. | Die Lösung besteht aus drei Schritten:
1. $2^{m-1}-1$ ist durch 127 teilbar.
2. $2^{m-1}-1$ ist durch $m$ teilbar.
3. 127 und $m$ sind teilerfremd.
Zu 1: Es gilt $2^{6} \equiv 1 \bmod 7$. Aus $p \equiv 1 \bmod 6$ folgt $2^{p} \equiv 2 \bmod 7$, also $7 \mid m-1$. Mit $2^{7} \equiv 1 \bmod 127$ folgt daraus $2^{m-1} \... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 62 | 547 |
2009 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Auf einer Tafel stehe am Anfang eine positive ganze Zahl. Wenn eine Zahl $x$ auf der Tafel steht, darf man die Zahlen $2 x+1$ und $\frac{x}{x+2}$ dazuschreiben. Irgendwann stehe auch die Zahl 2008 auf der Tafel. Man beweise, dass sie von Anfang an dastand. | Anfangs stehe die Zahl $a$ auf der Tafel. Der Übergang von $x$ zu $2 x+1$ oder $\frac{x}{x+2}$ werde als Transformation bezeichnet. Alle Zahlen auf der Tafel sind positiv. 1. Variante: Aus der Zahl $a$ entstehen durch $k$ Transformationen stets Zahlen der Form $\frac{m a+m-1}{\left(2^{k}-m\right) a+2^{k}-m+1}$ mit ganz... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\nLösungsskizze:"
} | 89 | 1,103 |
2009 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Es sei $p$ eine Primzahl. Weiter seien $a, b, c$ ganze Zahlen, welche die Gleichungen $a^{2}+p b=b^{2}+p c=c^{2}+p a$ erfüllen.
Man beweise, dass dann $a=b=c$ gilt. | Wenn zwei der drei Zahlen $a, b, c$ gleich sind, können wir wegen der zyklischen Vertauschbarkeit oBdA $a=b$ annehmen. Damit wird die linke gegebene Gleichung zu $a^{2}+p b=a^{2}+p c$, woraus wegen $p \neq 0$ direkt $b=c$ folgt, so dass die Behauptung erfüllt ist. Im Folgenden können wir daher $a \neq b \neq c \neq a$ ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 69 | 713 |
2009 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Ausgehend von einem konvexen Viereck $A B C D$ ohne ein Paar paralleler Seiten seien $P$ und $Q$ Punkte innerhalb $A B C D$, so dass $P Q D A$ und $Q P B C$ beides Sehnenvierecke sind. Wir nehmen außerdem an, dass es einen Punkt $E$ auf der Strecke $P Q$ mit der Eigenschaft gibt, dass $\varangle P A E=\varangle E D Q$ ... | Es sei $F$ der Schnittpunkt der Parallelen zu $A P$ durch $E$ mit $A D$. Dann ist wegen $\Varangle E F D=\Varangle P A D$ auch $E Q D F$ ein Sehnenviereck und es folgt $\Varangle E F Q=\Varangle E D Q=\Varangle P A E$.
Somit sind die Dreiecke $A P E$ und $F E Q$ ähnlich. Für $\overline{P E} \neq \overline{E Q}$ lassen ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2009-loes_awkl2_09.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 149 | 537 |
2009 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Die 16 Felder eines 4x4-Schachbretts lassen sich wie folgt in 18 Linien ordnen: die vier Zeilen, die vier Spalten, fünf Diagonalen von Nordwest nach Südost und fünf Diagonalen von Nordost nach Südwest. Dabei bestehen diese Diagonalen aus 2, 3 oder 4 über Eck benachbarten Feldern jeweils gleicher Farbe; die Eckfelder de... | Die größtmögliche erreichbare Punktzahl ist 17, wie das abgebildete Beispiel zeigt. Es bleibt zu zeigen, dass die Maximalpunktzahl 18 nicht erreicht werden kann. Dazu nehmen wir die Existenz einer Belegung mit 18 Punkten an und betrachten zunächst die Zeilen bzw. Spalten. Weder in einer Zeile noch in einer Spalte kann ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 269 | 530 |
2010 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Man beweise oder widerlege, dass für alle positiven reellen Zahlen $a, b$ und $c$ die Ungleichung
$$
3 \leq \frac{4 a+b}{a+4 b}+\frac{4 b+c}{b+4 c}+\frac{4 c+a}{c+4 a}<\frac{33}{4}
$$ | Beweis von $3 \leq \frac{4 a+b}{a+4 b}+\frac{4 b+c}{b+4 c}+\frac{4 c+a}{c+4 a}$ :
1. Variante: Multiplizieren mit Hauptnenner und Vereinfachen führt zur äquivalenten Ungleichung $45 a b c \leq 7\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right)+8\left(a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}\right)$. Dies folgt aus der Ungleichung zwischen arithmet... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2010-loes_awkl1_10.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 82 | 1,134 |
2010 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Gegeben sei ein Sehnenviereck $A B C D$, dessen Diagonalen $A C$ und $B D$ sich im Punkt $E$ schneiden und dessen Seiten $A D$ und $B C$ auf Geraden liegen, die sich im Punkt $F$ schneiden. Die Mittelpunkte der Strecken $A B$ und $C D$ seien mit $G$ bzw. $H$ bezeichnet. Man beweise, dass die Gerade $E F$ in $E$ den Kre... | Eine zentrische Streckung mit Zentrum $E$ und Streckfaktor 2 bildet $G$ auf $G^{\prime}$ und $H$ auf $H^{\prime}$ ab. Dann ist (1) $\Varangle G H E=\Varangle G^{\prime} H^{\prime} E$. Wegen $\Varangle A B F=180^{\circ}-\Varangle C B A=\Varangle A D C$ und $\Varangle F A B=180^{\circ}-\Varangle B A D=\Varangle D C B$ (S... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2010-loes_awkl2_10.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 136 | 1,044 |
2011 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Zwei Kreise $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$ mögen sich in den beiden voneinander verschiedenen Punkten $A$ und $B$ schneiden. Eine Gerade durch $B$ schneide $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$ so in $C$ bzw. $D$, dass $B$ zwischen $C$ und $D$ liege. Eine weitere Gerade durch $B$ schneide $\Gamma$ und $\Gamma^{\prime}$ derart... | (1) Die Dreiecke $A C D$ und $A E F$ gleichsinnig kongruent: Wir arbeiten mit orientierten Winkeln modulo $\pi$. Es ist $\varangle A D C=\varangle A D B=\varangle A F B=\varangle A F E$ und $\varangle D C A=\varangle B C A=\varangle B E A=\varangle F E A$ (für das mittlere Gleichheitszeichen wurde beide Male der Satz v... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1 ",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2011-loes_awkl1_11.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 255 | 1,052 |
2011 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $n$ eine positive ganze Zahl und $b$ die größte ganze Zahl, die kleiner als $(\sqrt[3]{28}-3)^{-n}$ ist. Man beweise, dass $b$ nicht durch 6 teilbar sein kann. | Die komplexe Zahl $\omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ ist bekanntlich eine dritte Einheitswurzel und erfüllt $\omega^{2}=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}$, $\omega^{3}=1$ und $\omega^{2}+\omega+1=0$, insbesondere gilt
$$
1+\omega^{j}+\omega^{2 j}= \begin{cases}3, & \text { falls } j \text { durch drei teilbar ist } \\ 0 & \text {... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 57 | 1,224 |
2011 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es bezeichne $\mathbb{Q}^{+}$die Menge der positiven rationalen Zahlen. Eine Funktion $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$heiße elastisch, wenn für alle $x, y \in \mathbb{Q}^{+}$die Ungleichung
$$
f(x)+f(y) \geq 4 f(x+y)
$$
gilt.
(a) [5 Punkte] Man zeige: Ist $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$el... | (a) Es gilt
$$
4 f(x)+f(y)+f(z) \stackrel{(*)}{\geq} 4(f(x)+f(y+z)) \stackrel{(*)}{\geq} 16 f(x+y+z) .
$$
Addiert man dazu die zyklisch vertauschten Versionen $f(x)+4 f(y)+f(z) \geq \ldots$ und $f(x)+f(y)+4 f(z) \geq \ldots$, erhält man $6(f(x)+f(y)+f(z)) \geq 48 f(x+y+z)$ und nach Division durch 6 die Behauptung.
(b... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 252 | 531 |
2011 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Eine Folge $x_{1}, x_{2}, \ldots$ ist definiert durch $x_{1}=1$ und $x_{2 k}=-x_{k}, x_{2 k-1}=(-1)^{k+1} x_{k}$ für alle $k \geq 1$. Man zeige, dass für alle $n \geq 1$ gilt: $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n} \geq 0$. | Wir bezeichnen $S_{n}=x_{1}+\ldots+x_{n}$ und führen einen Induktionsbeweis. Nachrechnen ergibt $x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=1, x_{4}=1$ und damit $S_{n} \geq 0$ für $1 \leq n \leq 4$.
Nun nehmen wir an, dass $S_{k} \geq 0$ für alle natürlichen $k<n$ gilt, und behaupten $S_{n} \geq 0$.
Dazu unterscheiden wir vier Fälle.
F... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2011-loes_awkl2_11.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 109 | 688 |
2011 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Gegeben sei ein konvexes Fünfeck $A B C D E$ mit den Eigenschaften $B C \| A E$ und $\overline{A B}=\overline{A E}$. Weiter sei $F$ ein Punkt auf der Strecke $A E$, so dass $\overline{A B}=\overline{B C}+\overline{A F}$ sowie $\Varangle C B A=\Varangle F D C$ erfüllt ist. Schließlich sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke... | Aus den Bedingungen folgt $\overline{F E}=\overline{A E}-\overline{A F}=\overline{A B}-(\overline{A B}-\overline{B C})=\overline{B C}$.
Daher ist $B C E F$ ein Parallelogramm, dessen beide Diagonalen $C F$ und $B E$ einander in $M$ halbieren.
Wegen der Punktsymmetrie an M gilt $\Varangle C B E=\Varangle A E B$, und da ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2011-loes_awkl2_11.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 180 | 544 |
2012 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man bestimme die kleinste positive Zahl $k$, für die folgendes der Fall ist: Wenn Kain in solcher Weise ganze Zahlen in die Zellen eines $2011 \times 2011$-Schachbrettes schreibt, dass die 4022 Summen, die man durch Addition aller Zahlen einer Zeile oder Spalte erhalten kann, paarweise übereinstimmen, so ist es für Abe... | $k=2681$. Beweis von $k \geq 2681$ : Abel muss mindestens 4021 der Summen ändern, o. B. d. A. alle Spaltensummen und alle bis auf höchstens eine Zeilensumme. Um die Spaltensummen zu ändern, muss Abel in jeder Spalte mindestens einen Eintrag abändern. Dies erledige Abel o. B. d. A. zuerst und pausiere dann. Zum Zeitpunk... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1 ",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2012-loes_awkl1_12.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 136 | 790 |
2012 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $\Gamma$ der Umkreis des bei $C$ gleichschenkligen Dreiecks $A B C$. Im Inneren der Seite $\overline{B C}$ liege der Punkt $M$. Es gebe einen Punkt $N$ auf dem Strahl $A M$, für den $M$ zwischen $A$ und $N$ liegt und der $|A N|=|A C|$ erfüllt. Der Umkreis des Dreiecks $C M N$ schneide $\Gamma$ in den beiden vers... | Die Idee zur Lösung geht von der Beobachtung aus, dass die Forderung $|A N|=|A C|=|B C|$ unverändert bleibt, wenn man $A$ und $C$ sowie $N$ und $B$ miteinander vertauscht. Dies legt nahe, dass man auch den Umkreis des Dreiecks $A M B$ betrachten sollte. Der zweite Schnittpunkt der Umkreise von $A M B$ und $C M N$ lässt... | {
"problem_match": "\nAufgabe 2 ",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2012-loes_awkl1_12.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 171 | 618 |
2012 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es seien $a, b$ und $c$ drei positive reelle Zahlen mit $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$. Man beweise, dass
$$
\frac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)}+\frac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\frac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)} \geq \frac{3}{2}
$$ | Die Funktion $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x+2}{(x+1)(x+5)}$ ist streng monoton fallend und konvex, denn die erste Ableitung
$$
f^{\prime}(x)=-\frac{x^{2}+4 x+7}{(x+1)^{2}(x+5)^{2}}
$$
ist negativ, und die zweite Ableitung
$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2\left(x^{3}+6 x^{2}+21 x+32\right)}{(x+1)^{... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 120 | 943 |
2012 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Für neun verschiedene positive ganze Zahlen $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{9}$ betrachten wir das Polynom $P(n)=\left(n+d_{1}\right)\left(n+d_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(n+d_{9}\right)$.
Man zeige, dass eine ganze Zahl $N$ mit folgender Eigenschaft existiert:
Für alle ganzen Zahlen $n \geq N$ ist die Zahl $P(n)$ durc... | Wir können der Aufgabenstellung gemäß $N>0$ und $d_{1}<d_{2}<\ldots<d_{9}$ annehmen. Dann ist $k=d_{9}-d_{1}=\max _{1 \leq q<r \leq 9}\left(d_{r}-d_{q}\right)$. Es sei $z \in \mathbb{N}$ so gewählt, dass $2^{z}>k$.
Behauptung: Mit $N=2^{z} \cdot 3^{z} \cdot 5^{z} \cdot 7^{z} \cdot 11^{z} \cdot 13^{z} \cdot 17^{z} \cdot... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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} | 120 | 788 |
2012 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein spitzwinkliges Dreieck mit dem Umkreismittelpunkt $O$. Ferner sei $k$ ein Kreis mit folgenden Eigenschaften:
(1) Der Mittelpunkt $K$ von $k$ liegt im Inneren der Seite $B C$.
(2) $k$ berührt $A B$ in $B^{\prime}$ und $A C$ in $C^{\prime}$.
(3) $O$ liegt auf dem kürzeren der beiden Bogenstücke $B^{\pr... | Der Punkt $O^{\prime}$ ist Bildpunkt von $O$ bei der Spiegelung an der Geraden $B C$. $S$ ist der Schnittpunkt von $K O^{\prime}$ mit dem Umkreis $u$ (siehe Figur).
Nach dem Satz vom Mittelpunktswinkel ist $\Varangle B O C=2 \alpha$. Weil $C^{\prime}$ und $B^{\prime}$ im Inneren der Strecken $A C$ bzw. $A B$ liegen un... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
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} | 167 | 742 |
2012 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es seien $f$ und $g$ zwei reelle Funktionen, die für jede reelle Zahl definiert sind. Ferner soll für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ die Gleichung gelten:
$$
g(f(x+y))=f(x)+(2 x+y) g(y)
$$
Man bestimme alle möglichen Paare $(f, g)$. | Aus der gegebenen Gleichung (1) erhalten wir für $y=-2 x: g(f(-x))=f(x)$ (2). Damit wird (1) zu $f(-x-y)=f(x)+(2 x+y) g(y)$ (3) und mit $x=0$ zu $f(-y)=f(0)+y g(y)$ (4).
Ersetzen von $f$ in (3) gemäß (4) liefert nach Subtraktion von $f(0)$ :
$(x+y) g(x+y)=(2 x+y) g(y)-x g(-x)$ (5). Mit $y=0$ ergibt sich für $x \neq 0: ... | {
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} | 86 | 675 |
2013 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Es sei $n$ eine ungerade natürliche Zahl und $x$ und $y$ seien zwei rationale Zahlen mit
$$
x^{n}+2 y=y^{n}+2 x
$$
Man zeige, dass $x=y$. | Wir überlegen uns zuerst
( $\boxtimes)$ Es sei $n \geqslant 3$ eine ungerade natürliche Zahl. Weiterhin seien $a, b$ und $c$ drei ganze Zahlen mit
$$
a^{n-1}+a^{n-2} b+\ldots+b^{n-1}=2 c^{n-1}
$$
Sodann ist $a=b=c=0$.
Wenn dies bei einem gewissen $n$ falsch wäre, könnten wir zu diesem ein Gegenbeispiel ( $a, b, c$ ) ... | {
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} | 57 | 956 |
2013 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es seien $m, n \geqslant 4$ zwei ganze Zahlen. Wir betrachten ein $m \times n$-Gitterrechtteck, das von $m+1$ horizontalen und $n+1$ vertikalen Strecken gebildet wird. Die Schnittpunkte dieser Strecken heißen Ecken. Es sei $P$ ein von Selbstüberschneidungen freier, geschlossener Weg, der durch jede der $(m-1)(n-1)$ inn... | Es sei $D$ die Anzahl der Gitterquadrate, von denen genau eine Seite zu $P$ gehört, $E$ die Anzahl der Gitterquadrate, von denen genau zwei Seiten zu $P$ gehören, die zudem benachbart sind, und schließlich $F$ die Anzahl der Gitterquadrate von denen genau drei Seiten zu $P$ gehören. Wegen $m, n \geqslant 4$ ist unter d... | {
"problem_match": "2. Aufgabe.",
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} | 328 | 631 |
2013 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein spitzwinkliges Dreieck mit Umkreis $\omega$. Man beweise, dass es einen Punkt $J$ mit der folgenden Eigenschaft gibt: Ist $X$ cin innerer Punkt von $A B C$, treffen die Strahlen $A X$, $B X$ und $C X$ den Kreis $w$ erneut in den Punkten $A_{1}, B_{1}$ und $C_{1}$ und liegen die Punkte $A_{2}$, $B_{2}... | Wir zeigen, dass der normalerweise $H$ genannte Höhenschnittpunkt $J$ des Dreiecks $A B C$ die beschriebene Eigenschaft aufweisi. Hierzu sei a die durch $A$ gezogene Parallele zu $B C$ und dic Geraden $b$ und $c$ seien analog definiert. Keine zwei der drei Geraden $a, b$ und $c$ sind parallel und folglich existieren de... | {
"problem_match": "3. Aufgabe\n",
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} | 222 | 778 |
2013 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Im Folgenden betrachten wir Paare von Elementen der Menge $\{1,2, \ldots, n\}$, die jeweils kein gemeinsames Element haben.
Man bestimme mit Beweis die größtmögliche Anzahl solcher Paare, für welche die Summen ihrer Elemente paarweise verschieden und nicht größer als $n$ sind.
... | Es sei $k$ die Anzahl möglicher Paare. Dann lässt sich die Summe $S$ der in ihnen vorkommenden $2 k$ Zahlen in zwei Richtungen abschätzen:
$S \geq 1+2+\ldots+2 k=k(2 k+1)$ (alle Zahlen sind verschieden) und
$S \leq n+(n-1)+\ldots+(n-k+1)=n k-\frac{1}{2} k(k-1)$ (alle Summen sind verschieden und $\left.\leq n\right)$.
D... | {
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} | 127 | 961 |
2014 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Die Zentralbank von Sikinien prägt Münzen im Wert von 11 und 12 Kulotnik. Bei einem Einbruch haben 11 sikinische Ganoven einen Tresor geknackt und Münzen im Gesamtwert von 5940 Kulotnik erbeutet. Sie versuchen für eine Weile, die Beute gerecht unter sich aufzuteilen - also so, dass jeder gleich viel erhält - aber es wi... | Die Ganoven mögen $a$ Münzen im Wert von 11 Kulotnik und $b$ Münzen im Wert von 12 Kulotnik erbeutet haben. Dabei sind $a$ und $b$ zwei nichtnegative ganze Zahlen mit
$$
11 a+12 b=5940=11 \cdot 540=12 \cdot 495
$$
Wir nehmen nun $b>0$ an und versuchen, eine gerechte Aufteilung der Beute auf die Ganoven zu finden.
Nac... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1.",
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"solution_match": "\nLösung."
} | 161 | 652 |
2014 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $A B C D$ ein konvexes Sehnenviereck mit $|A D|=|B D|$. Seine Diagonalen $\overline{A C}$ und $\overline{B D}$ mögen sich in E schneiden. Der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks BCE heiße I. Der Umkreis des Dreiecks BIE schneide das Innere der Strecke $\overline{A E}$ im Punkt $N$.
Man beweise, dass
$$
|A N|... | Setzt man $\varphi=\Varangle D A B$, so muss auch $\Varangle A B D=\varphi$ sein, denn das Dreieck $A B D$ wurde als gleichschenklig vorausgesetzt. Hieraus ergibt sich $\Varangle B D A=180^{\circ}-2 \varphi$ und mit Hilfe des Peripheriewinkelsatzes folgt $\Varangle B C E=\Varangle B C A=180^{\circ}-2 \varphi$.
Als näc... | {
"problem_match": "\nAufgabe 2.",
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"solution_match": "\nLösung."
} | 139 | 637 |
2014 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Eine natürliche Zahl $n$ habe die folgende Eigenschaft:
Für beliebige reelle Zahlen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{d}$, die sowohl $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{d}=2013$ als auch $0 \leq a_{i} \leq 1$ für $i=1,2, \ldots, d$ erfüllen, existiert eine Zerlegung der Menge dieser reeller Zahlen in $n$ paarweise disjunkte Teilmengen (vo... | Die kleinste Zahl $n$ mit dieser Eigenschaft ist 4025.
Wir zeigen zunächst $n \geq 4025$. Dazu wählen wir $d=4025$ sowie $a_{1}=\ldots=a_{4025}=\frac{2013}{4025}>\frac{1}{2}$. Dann ist $a_{1}+\ldots+a_{4025}=2013$ und wegen $a_{i}+a_{j}=\frac{4026}{4025}>1$ für alle $1 \leq i \neq j \leq 4025$ werden hier 4025 Teilmeng... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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} | 175 | 563 |
2014 | T1 | 3 | null | Germany_TST | In einem spitzwinkligen Dreieck $A B C$ seien die Innenwinkel $\alpha, \beta, \gamma$ wie üblich bezeichnet. Ferner seien der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von $\alpha$ und $B C$ mit $D$ sowie der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von $\beta$ und $A C$ mit $E$ bezeichnet.
Nun wird dem Viereck $A B D E$ eine Rau... | Die Ecken der Raute werden mit $K(K \in A E), L$ $(L \in A B), M(M \in B D)$ und $N(N \in D E)$ benannt. Mit $d(X, Y Z)$ sei der Abstand eines Punktes $X$ von einer Geraden $Y Z$ bezeichnet. Weil $D$ und $E$ auf den jeweiligen Winkelhalbierenden liegen, gilt $d(D, A B)=d(D, A C)$, $d(E, A B)=d(E, B C)$ und $d(D, B C)=d... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 179 | 655 |
2015 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man bestimme die kleinste positive ganze Zahl $n$, für die es ein Polynom
$$
P(X)=a_{2 n} X^{2 n}+a_{2 n-1} X^{2 n-1}+\ldots+a_{1} X+a_{0}
$$
mit reellen Koeffizienten gibt, das die beiden folgenden Eigenschaften aufweist:
- Für $i=0,1, \ldots, 2 n$ gilt $2014 \leq a_{i} \leq 2015$.
- Es gibt eine reelle Zahl $\xi$ ... | Es ist $n=2014$. Zunächst definiere für eine spezielle Wahl der Koeffizienten $a_{k}$, nämlich 2014 für gerades $k$ und 2015 für ungerades $k$, das Polynom $Q_{n}(X)=2014 X^{2 n}+2015 X^{2 n-1}+2014 X^{2 n-2}+\ldots+2015 X+2014$. Es ist $Q_{2014}(-1)=0$, die gesuchte Zahl ist also höchstens 2014. Es bleibt zu zeigen, d... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 144 | 1,742 |
2015 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Eine positive ganze Zahl $n$ heißt neckisch, wenn man sie in der Form $n=a^{b}+b$ mit zwei ganzen Zahlen $a, b \geq 2$ schreiben kann.
Man entscheide, ob es 102 aufeinanderfolgende positive ganze Zahlen gibt, von denen genau 100 neckisch sind. | Es gibt solche Zahlen. Für eine positive ganze Zahl $m$ sei $f(m)$ die Anzahl der neckischen Zahlen unter den 102 aufeinander folgenden Zahlen $m, m+1, m+2, \ldots, m+101$. Es sei $N$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $2,3,4, \ldots, 101$. Dann ist $f\left(2^{N}\right) \geq 100$, da für alle $b=2,3, \ldots, ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 79 | 559 |
2015 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein spitzwinkliges Dreieck mit $|A B| \neq|A C|$. Die Mittelpunkte der Seiten $\overline{A B}$ und $\overline{A C}$ seien $D$ beziehungsweise $E$. Die Umkreise der Dreiecke $B C D$ und $B C E$ mögen den Umkreis des Dreiecks $A D E$ in $P$ beziehungsweise $Q$ schneiden, wobei $P \neq D$ und $Q \neq E$.
Ma... | Ohne Einschränkung sei $|A C|>|A B|$. Da $D$ und $E$ Mitten der Seiten $\overline{A B}$ und $\overline{A C}$ sind, ist nach Strahlensatz $D E$ parallel zu $B C$. Im Falle $E=P$ oder $D=Q$ wäre $C E D B$ Sehnenviereck mit parallelen Seiten $B C$ und $D E$, also gleichschenkliges Trapez mit $|B D|=|E C|$, somit $|A B|=|A... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\n1. Lösung:"
} | 151 | 985 |
2015 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein spitzwinkliges Dreieck mit $|A B| \neq|A C|$. Die Mittelpunkte der Seiten $\overline{A B}$ und $\overline{A C}$ seien $D$ beziehungsweise $E$. Die Umkreise der Dreiecke $B C D$ und $B C E$ mögen den Umkreis des Dreiecks $A D E$ in $P$ beziehungsweise $Q$ schneiden, wobei $P \neq D$ und $Q \neq E$.
Ma... | Man invertiere an einem Kreis mit Mittelpunkt $A$ und Radius 1. Der Bildpunkt eines Punkts $X$ sei mit $X^{\prime}$ bezeichnet. Da $D$ und $E$ die Mitten der Seiten $\overline{A B}$ und $\overline{A C}$ sind, sind $B^{\prime}$ und $C^{\prime}$ die Mitten der Seiten $\overline{A D^{\prime}}$ und $\overline{A E^{\prime}}... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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"solution_match": "\n2. Lösung (mit Inversion am Kreis):"
} | 151 | 783 |
2015 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man bestimme alle Paare ( $x, y$ ) ganzer Zahlen, welche die Gleichung
$$
\sqrt[3]{7 x^{2}-13 x y+7 y^{2}}=|x-y|+1
$$
erfüllen. | Die Gleichung (1) ist symmetrisch in $x$ und $y$, so dass wir zunächst $x \geq y$ annehmen können und für $x \neq y$ zu jeder Lösung $(x, y)$ auch $(y, x)$ als Lösung erhalten. Mit
$d=x-y \geq 0$ folgt $\sqrt[3]{7 d^{2}+x y}=d+1$. Potenzieren liefert $x^{2}-d x+\left(-d^{3}+4 d^{2}-3 d-1\right)=0$ mit der Diskriminante... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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"solution_match": "\nLösung:"
} | 61 | 557 |
2015 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein spitzwinkliges Dreieck mit dem Umkreis $k$ und dem Inkreismittelpunkt $I$. Die Orthogonale zu $C I$ durch I schneide die Seite $B C$ in $U$ und $k$ in $V$, wobei $V$ und $A$ auf verschiedenen Seiten von $B C$ liegen. Die Parallele zu $A I$ durch $U$ schneide $A V$ im Punkt $X$.
Man beweise: Wenn die... | In der Figur ist $M$ zunächst nur der Schnittpunkt von $X I$ und $A C . N$ ist der Schnittpunkt von $X U$ und $A B$ und $Y$ der Schnittpunkt von $X I$ und $A B$. Die halben Innenwinkel des Dreiecks $A B C$ sind mit $\alpha, \beta$ bzw. $\gamma$ bezeichnet. Wegen $\Varangle U I C=90^{\circ}$ ist $\Varangle C U I=\alpha+... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2015-loes_awkl_15.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 164 | 753 |
2016 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $m$ mit folgender Eigenschaft:
Die Folge $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ mit $a_{0}=\frac{2 m+1}{2}$ und $a_{k+1}=a_{k}\left\lfloor a_{k}\right\rfloor$ für $k=0,1,2, \ldots$ enthält wenigstens eine ganze Zahl.
Hinweis: $\lfloor x\rfloor$ bezeichnet den größten ganzen Teil (intege... | Es gilt $a_{0}=m+\frac{1}{2}$ und $a_{1}=a_{0}\left\lfloor a_{0}\right\rfloor=\left(m+\frac{1}{2}\right) \cdot m=m^{2}+\frac{m}{2}$. Dieser Ausdruck ist für gerades $m$ offensichtlich ganz, so dass hier die gesuchte Eigenschaft der Folge vorliegt.
Weiterhin gilt bei $m=1$, dass $a_{0}=\frac{3}{2},\left\lfloor a_{0}\rig... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2016-loes_awkl_16.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 134 | 657 |
2016 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Man bestimme alle Funktionen $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$, die für alle $x, y \in \mathbb{Z}$ die Gleichung $f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1$
erfüllen. | Die Gleichung (1) wird genau von den Funktionen $f_{1}: x \rightarrow-1$ und $f_{2}: x \rightarrow x+1$ erfüllt. Durch Einsetzen wird leicht bestätigt, dass beide Funktionen Lösungen sind.
Nun sei $f$ eine Funktion, die (1) für alle $x, y \in \mathbb{Z}$ erfüllt. Durch Einsetzen von $x=0$ und $y=f(0)$ erhalten wir mit ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2016-loes_awkl_16.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 64 | 566 |
2016 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit $\varangle A C B=\gamma=90^{\circ}$. Ferner sei $H$ der Fußpunkt der Höhe von $C$ auf $A B$.
Nun wählen wir einen Punkt $D$ so im Inneren des Dreiecks $H B C$, dass $C H$ die Strecke $A D$ halbiert, und bezeichnen den Schnittpunkt von $C H$ und $B D$ mit $P$. Über der Strec... | Wie in der Figur sei $K$ der Fußpunkt des Lotes von $D$ auf $A B$ und $T$ der Schnittpunkt von $A D$ mit $k$. Wegen $\varangle A T B=\varangle A C B=90^{\circ}$ liegt $T$ auch auf dem Umkreis von $A B C$. Wegen $C H \| D K$ gilt $|A H|=|H K|$.
Um nachzuweisen, dass $C, Q$ und $T$ kollinear sind, betrachten wir den Sch... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2016-loes_awkl_16.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 203 | 629 |
2017 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Gegeben seien positive ganze Zahlen $k$ und $n$ mit $n>k$. Unter einem Binärwort der Länge $n$ verstehen wir eine Folge aus $n$ Folgengliedern, die alle 0 oder 1 sind. Anja wählt unter allen möglichen Binärwörtern der Länge $n$ eines aus. Dann schreibt sie alle Binärwörter der Länge $n$, die sich von ihrem gewählten Wo... | Die Antwort lautet: Falls $n \neq 2 k$ kann Bernhard das von Anja gewählte Wort stets im ersten Versuch erraten, im Fall $n=2 k$ braucht er zwei Versuche um das Wort mit Sicherheit zu erraten. Wir bezeichnen das von Anja zu Beginn gewählte Wort mit $u$.
Fall 1: $n \neq 2 k$. Es sei $1 \leq i \leq n$ beliebig. Von alle... | {
"problem_match": "1. Aufgabe.",
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} | 226 | 794 |
2017 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Die Menge der positiven ganzen Zahlen sei mit $\mathbb{N}$ bezeichnet. Man bestimme alle Funktionen $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ mit der folgenden Eigenschaft: Für alle positiven ganzen Zahlen $m$ und $n$ ist die Zahl $f(m)+f(n)-m n$ von 0 verschieden und ist ein Teiler der Zahl $m f(m)+n f(n)$. | Antwort: Es gibt genau eine Funktion, die die beschriebene Bedingung erfüllt, nämlich $f(k)=k^{2}$ für alle $k$. Zum Beweis sei $f$ wie verlangt. Schritt 1: Einsetzen von $m=n=1$ liefert $2 f(1)-1 \mid 2 f(1)$, also auch $2 f(1)-1 \mid 2 f(1)-(2 f(1)-1)=1$ und damit $2 f(1)-1=1$, also $f(1)=1$. Schritt 2: Von nun an st... | {
"problem_match": "3. Aufgabe.",
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} | 102 | 1,071 |
2017 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein Dreieck mit $A B=A C \neq B C$. Ferner sei $I$ der Inkreismittelpunkt von $A B C$.
Die Gerade $B I$ schneidet $A C$ im Punkt $D$, und die Orthogonale zu $A C$ durch $D$ schneidet $A I$ im Punkt $E$. Man beweise, dass der Spiegelpunkt von $I$ bei Spiegelung an der Achse $A C$ auf dem Umkreis des Dreie... | Zunächst beweisen wir (schon mit den zur Aufgabe passenden Bezeichnungen) folgendes Lemma: Die Mittelsenkrechte einer Seite $B I I^{\prime}$ und die Winkelhalbierende durch den dritten Eckpunkt $D$ schneiden sich auf dem Umkreis jedes nicht gleichschenkligen Dreiecks $B I^{\prime} D$. („Südpolsatz") Beweis des Lemmas: ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
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} | 133 | 1,145 |
2018 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei eine positive ganze Zahl $d$ und eine Folge $\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3, \ldots}$ positiver ganzer Zahlen gegeben. Wir nehmen an, dass folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:
- Jede positive ganze Zahl taucht genau einmal in der Folge auf.
- Für alle Indizes $i \geq 10^{100}$ gilt $\left|a_{i+1}-a_{i}\right| \... | Angenommen, die Behauptung wäre nicht erfüllt. Dann existiert ein Index $N>10^{100}$, sodass für alle $i \geq N$ entweder $a_{i} \leq i-d$ oder $a_{i} \geq i+d$ gilt. Im ersten Fall gilt wegen $i \geq N>10^{100}$ laut der zweiten Voraussetzung an die Folge auch
$$
a_{i+1} \leq a_{i}+2 d \leq i-d+2 d=(i+1)+(d-1)
$$
es... | {
"problem_match": "\nAufgabe 2.",
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"solution_match": "\nLösung."
} | 154 | 662 |
2018 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $A B C$ ein Dreieck. Der dem Punkt $A$ gegenüberliegende Ankreis $\omega$ berühre die Strecke $\overline{B C}$ sowie die Strahlen $A C$ und $A B$ in den Punkten $D, E$ bzw. $F$. Der Umkreis des Dreiecks $A E F$ schneide die Gerade $B C$ in den Punkten $P$ und $Q$. Schließlich sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke ... | Es sei $J$ der Mittelpunkt des Ankreises $\omega$. Dann gilt $J E \perp A E$ und $J F \perp$ $A F$, der Thaleskreis $\Omega$ von $\overline{A J}$ verläuft also durch $E$ und $F$, und damit auch durch $P$ und $Q$. Der Strahl $A D$ schneide $\Omega$ und $\omega$ erneut in $N$ bzw. $T$.
Dann ist $J N$ die Lotgerade von $... | {
"problem_match": "\nAufgabe 3.",
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} | 152 | 522 |
2018 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Es seien $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, k$ und $M$ positive ganze Zahlen mit den Eigenschaften
$$
\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}=k \quad \text { und } \quad a_{1} a_{2} \ldots a_{n}=M .
$$
Man beweise: Für $M>1$ hat das Polynom
$$
P(x)=M(x+1)^{k}-\left(x+a_{1}\right)\left(x+a_{2}\right) \ldots... | Wir zeigen $P(x)<0$ für alle $x>0$, also $M(x+1)^{k}<\left(x+a_{1}\right) \ldots\left(x+a_{n}\right) \Leftrightarrow$ $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}(x+1)^{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}}<\left(x+a_{1}\right) \ldots\left(x+a_{n}\right) \Leftrightarrow \prod_{i=1}^{n} a_{i}(x+1)^{\frac{1}{a_{i}}}<\prod... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
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} | 165 | 513 |
2018 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es sei $A B C D E$ ein konvexes Fünfeck mit den Eigenschaften
$$
\overline{A B}=\overline{B C}=\overline{C D}, \angle B A E=\angle D C B \text { und } \angle E D C=\angle C B A .
$$
Man beweise, dass die Lotgerade von $E$ auf $B C$ durch den Schnittpunkt von $A C$ und $B D$ verläuft. | Wegen der Voraussetzungen sind $\triangle A B C$ und $\triangle B C D$ gleichschenklig. Daher geht die Mittelsenkrechte zu $A C$ durch $B$ und die Mittelsenkrechte zu $B D$ durch $C$. Beide schneiden sich im Punkt $I$ (siehe Figur).
Wegen $B D \perp C I$ und $A C \perp B I$ schneiden sich $A C$ und $B D$ im Höhenschnit... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2018-loes_awkl_18.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 113 | 721 |
2018 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Man bestimme alle ganzen Zahlen $n \geq 2$ mit der folgenden Eigenschaft:
Für beliebige, nicht notwendigerweise verschiedene ganze Zahlen $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$, deren Summe nicht durch $n$ teilbar ist, existiert ein Index $i(1 \leq i \leq n)$, so dass keine der Zahlen
$$
m_{i}, m_{i}+m_{i+1}, m_{i}+m_{i+1}+m_{... | Bei den gesuchten Zahlen handelt es sich genau um die Primzahlen.
Teilbeweis 1: Keine Nichtprimzahl crfüllt allc Voraussctzungen.
Es sei $n=a \cdot b$ mit $1<a, b<n$ eine Zerlegung von $n$ in zwei echte Teiler. Wir wählen $m_{i}=a$ für $1 \leq i<n$ sowie $m_{n}=0$. Dann ist die Summe $m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=(n-1) a$ ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2018-loes_awkl_18.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 184 | 971 |
2019 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Die Menge aller positiver rationaler Zahlen sei mit $\mathbb{Q}^{+}$bezeichnet. Man bestimme alle Funktionen $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$mit der Eigenschaft $f\left(x^{2} f(y)^{2}\right)=f\left(x^{2}\right) f(y)\left(^{*}\right)$ für alle $x, y \in \mathbb{Q}^{+}$. | Wir beginnen mit einigen für die Lösungsmenge wichtigen Eigenschaften der Grundmenge $\mathbb{Q}^{+}$. Bekanntlich liegt das Produkt $a b$ zweier Zahlen $a, b \in \mathbb{Q}^{+}$wieder in $\mathbb{Q}^{+}$, ebenso wie das Inverse $\frac{1}{a}$ zu jeder Zahl $a \in \mathbb{Q}^{+}$(was für $\sqrt{a}$ nicht immer erfüllt i... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2019-loes_awkl_19.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 110 | 2,285 |
2019 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Finden Sie alle Paare $(a, b)$ positiver ganzer Zahlen, für die eine positive ganze Zahl $n$ existiert, sodass die Anzahl der Teiler von $n a$ und $n b$ identisch ist. | Die gesuchten Paare sind jene, für die eine der drei Bedingungen $a=b, a \nmid b$ oder $b \nmid a$ erfüllt ist, also alle Paare positiver ganzer Zahlen mit Ausnahme solcher, für die eine der Zahlen $a, b$ ein echter Teiler der anderen ist.
Im gesamten Beweis werden wir die Anzahl aller Teiler einer positiven ganzen Zah... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2019-loes_awkl_19.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 52 | 1,048 |
2019 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Entscheiden Sie, ob es eine Menge $M$ positiver ganzer Zahlen gibt, die folgende Eigenschaft hat: Für jede positive rationale Zahl $r<1$ existiert genau eine endliche Teilmenge $S$ von $M$, sodass $\sum_{s \in S} 1 / s=r$ gilt, das heißt die Summe der Kehrwerte aller Elemente von $S$ ist gleich $r$. | Eine solche Menge existiert nicht, was wir mithilfe eines Widerpsruchsbeweises zeigen werden. Angenommen, $S$ hat die angegebene Eigenschaft. Offenbar ist $M$ dann unendlich, und wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $1 \notin M$. Wir bezeichnen die Elemente von $M$ der Größe nach geordnet mit $... | {
"problem_match": "\nAufgabe 2.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2019-loes_awkl_19.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 94 | 683 |
2019 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Wir betrachten ein Dreieck $A B C$ und einen Punkt $P$ in dessen Inneren. Die Spiegelpunkte von $P$ an den Seiten $\overline{B C}, \overline{C A}$ und $\overline{A B}$ seien mit $A_{1}, B_{1}$ und $C_{1}$ bezeichnet. Ferner sei $\Omega$ der Umkreis des Dreiecks $A_{1} B_{1} C_{1}$ und schließlich seien $A_{2}, B_{2}$ u... | Wir arbeiten mit gerichteten Winkeln modulo $180^{\circ}$.
In dieser Skizze entspricht $T$ dem Punkt $P$.
Schritt 1: Zunächst stellen wir fest, dass es sich bei $C A$ und $C B$ um die Mittelsenkrechten der Strecken $\overline{P B_{1}}$ und $\overline{P A_{1}}$ handelt, also ist $C$ der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ... | {
"problem_match": "\nAufgabe 3.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2019-loes_awkl_19.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 201 | 690 |
2020 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es seien $m$ und $n$ zwei positive ganze Zahlen. Man beweise, dass die ganze Zahl $m^{2}+\left\lceil\frac{4 m^{2}}{n}\right\rceil$ keine Quadratzahl ist.
(Dabei bezeichnet $\lceil x\rceil$ die kleinste ganze Zahl, die nicht kleiner als $x$ ist.) | Für einen indirekten Beweis nehmen wir an, dass es ein $k \in \mathbb{N}$ gibt mit $m^{2}+\left\lceil\frac{4 m^{2}}{n}\right\rceil=(m+k)^{2}$, d.h. $\left\lceil\frac{(2 m)^{2}}{n}\right\rceil=(2 m+k) k$. Offensichtlich ist $k \geq 1$. Also hat die Gleichung $\left\lceil\frac{c^{2}}{n}\right\rceil=(c+k) k(1)$ eine posit... | {
"problem_match": "\nAufgabe 3:",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2020-loes_awkl_20.jsonl",
"solution_match": "\nLösung:"
} | 83 | 957 |
2020 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Ein Pirat möchte einen Schatz, bestehend aus 1000 Goldmünzen, die jeweils mindestens 1 g und zusammen genau 2 kg wiegen, in zwei Teile aufteilen, die in ihrer Masse jeweils um höchstens 1 g von 1 kg abweichen. Beweisen Sie, dass dies möglich ist. | Die Massen der 1000 Münzen in Gramm, in aufsteigender Reihenfolge geordnet, seien mit $m_{1} \leq m_{2} \leq \cdots \leq m_{1000}$ bezeichnet. Wir beweisen nun zunächst mit vollständiger Induktion nach $\ell=1, \ldots, 1000$ die folgende Aussage.
Lemma. Für alle $1 \leq \ell \leq 1000$ und jede reelle Zahl $0 \leq x \l... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2020-loes_awkl_20.jsonl",
"solution_match": "\n1. Lösung (Vollständige Induktion)."
} | 81 | 867 |
2020 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Ein Pirat möchte einen Schatz, bestehend aus 1000 Goldmünzen, die jeweils mindestens 1 g und zusammen genau 2 kg wiegen, in zwei Teile aufteilen, die in ihrer Masse jeweils um höchstens 1 g von 1 kg abweichen. Beweisen Sie, dass dies möglich ist. | Wir verwenden die gleiche Notation wie in der ersten Lösung. Der Pirat verteilt die Münzen nach folgendem Verfahren: Er legt alle Münzen, in absteigender Reihenfolge ihrer Massen (also beginnend mit der schwersten Münze mit Masse $m_{1000}$ ), nach und nach auf zwei Haufen $H_{1}$ und $H_{2}$, wobei er jede Münze auf d... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2020-loes_awkl_20.jsonl",
"solution_match": "\n2. Lösung (Greedy-Algorithmus)."
} | 81 | 767 |
2020 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Es seien ein Dreieck $A B C$ mit Umkreis $\Omega$ sowie Punkte $A_{1}, B_{1}$ und $C_{1}$ auf den Dreiecksseiten $\overline{B C}, \overline{C A}$ und $\overline{A B}$ gegeben, sodass die drei Geraden $A A_{1}, B B_{1}$ und $C C_{1}$ einen Punkt $P$ gemeinsam haben.
Es ist zu zeigen, dass höchstens zwei der drei Spiegel... | Wegen $\measuredangle B P C+\measuredangle C P A+\measuredangle A P B=360^{\circ}=\left(180^{\circ}-\measuredangle B A C\right)+\left(180^{\circ}-\measuredangle C B A\right)+$ $\left(180^{\circ}-\measuredangle A C B\right)$ dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $\measuredangle A P B \leq$ $180^{... | {
"problem_match": "\nAufgabe 2.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2020-loes_awkl_20.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 159 | 1,070 |
2020 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Es sei $\varepsilon>0$ gegeben. Zeigen Sie, dass es ganze Zahlen $a, b$ und $c$ gibt, die nicht alle 0 sind, sodass die Ungleichung $|a \sqrt{2}+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}|<\varepsilon$ erfüllt ist.
Beweisen Sie außerdem, dass in jedem Tripel $(a, b, c) \neq(0,0,0)$ ganzer Zahlen, für das diese Ungleichung gilt, mindestens ... | Im ersten Beweis des ersten Teils bezeichnen wir für eine reelle Zahl $x$ sei $[x]$ die größte ganze Zahl, die nicht größer als $x$ ist (Gauß-Klammer), die Zahl $\langle x\rangle:=x-[x] \in[0,1)$ wird als als gebrochener Anteil von $x$ bezeichnet.
Wir wählen eine ganze Zahl $n>\sqrt{2} \varepsilon^{-1}$. Nach dem Schu... | {
"problem_match": "\nAufgabe 3.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2020-loes_awkl_20.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 164 | 1,172 |
2021 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Die Ecken eines regelmäßigen 100-Ecks $P$ seien so entweder rot oder blau gefärbt, dass jede Farbe mindestens 24 -mal vorkommt.
Beweisen Sie, dass es 24 paarweise disjunkte Vierecke $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{24}$ gibt, deren Eckpunkte auch Ecken von $P$ sind, sodass jedes Viereck $Q_{i}$ entweder einen oder drei rote ... | Wir zeigen per Induktion nach $n$ die folgende Aussage:
Wenn die Ecken eines konvexen $4 n$-Ecks $P$ so rot und blau gefärbt wurden, dass jede Farbe mindestens $(n-1)$-mal vorkommt, finden wir $(n-1)$ paarweise disjunkte Vierecke $Q_{1}, \ldots, Q_{n-1}$, deren Ecken auch Ecken von P sind.
Für $n=25$ erhalten wir die B... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2021-2021_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 125 | 1,192 |
2021 | T1 | 2 | null | Germany_TST | In einem gleichschenkligen Dreieck $A B C$ mit $\overline{B C}=\overline{C A}$ sei $D$ ein Punkt im Inneren der Seite $A B$, für den $\overline{A D}<\overline{D B}$ gilt. Weiter seien $P$ und $Q$ zwei Punkte im Inneren der Seiten $B C$ bzw. $C A$, so dass $\angle D P B=\angle A Q D=90^{\circ}$ gilt. Die Mittelsenkrecht... | Wie in der ersten Lösung ausgeführt, stellen wir fest, dass die Punkte $P, C, F, Q, D$ und der Mittelpunkt $M$ von $A B$ auf dem Kreis $k$ mit Durchmesser $C D$ liegen, und dass die Mittelsenkrechte $m$ von $P Q$ durch $M$ verläuft.
Es sei $G$ der Schnittpunkt von $B F$ und $C M$ und wir bezeichnen $\alpha=\angle F B A... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2021-2021_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "# Zweite Lösung:"
} | 239 | 528 |
2021 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Wir betrachten alle positiven reellen Zahlen $a, b, c, d$, für die $(a+c)(b+d)=a c+b d$ gilt.
Bestimmen Sie den kleinsten Wert, den $S=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ annehmen kann. | Die Verschiebung $(a, b, c, d) \rightarrow(b, c, d, a)$ ändert weder den Wert von $S$ noch die
Nebenbedingung. Daher können wir oBdA $a c \geq b d$ annehmen und setzen $t=\sqrt{\frac{a c}{b d}}$ mit $t \geq 1$.
Aus der Bedingung folgt $t^{2}+1=\frac{a c+b d}{b d}=(a+c)\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right) \geq 2 \sqrt{a... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2021-2021_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "# Zweite Lösung:"
} | 80 | 848 |
2022 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Der größte gemeinsame Teiler zweier positiver ganzer Zahlen $m$ und $n$ sei mit $\operatorname{ggT}(m, n)$ bezeichnet.
Es sei eine unendliche Menge $S$ positiver ganzer Zahlen gegeben, sodass es vier paarweise verschiedene Zahlen $v, w, x, y \in S$ gibt, für die $\operatorname{ggT}(v, w) \neq \operatorname{ggT}(x, y)$... | Im folgenden nennen wir eine dreielementige Teilmenge $\{s, t, u\} \subset S$ ein ausgewogenes Dreieck, falls die Menge $\{\mathrm{ggT}(s, t), \operatorname{ggT}(s, u), \operatorname{ggT}(t, u)\}$ genau zwei verschiedene Elemente hat. Es ist zu zeigen, dass es ein ausgewogenes Dreieck gibt.
Lemma. Für paarweise versch... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2022-2022_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "\nErste Lösung."
} | 176 | 695 |
2022 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Der größte gemeinsame Teiler zweier positiver ganzer Zahlen $m$ und $n$ sei mit $\operatorname{ggT}(m, n)$ bezeichnet.
Es sei eine unendliche Menge $S$ positiver ganzer Zahlen gegeben, sodass es vier paarweise verschiedene Zahlen $v, w, x, y \in S$ gibt, für die $\operatorname{ggT}(v, w) \neq \operatorname{ggT}(x, y)$... | Wir dürfen o.B.d.A. voraussetzen, dass keine ganze Zahl $g>1$ alle Zahlen aus $S$ teilt, da wir sonst die größte derartige Zahl $g$ wählen und $S$ durch die Menge $S^{\prime}=\{s / g \mid s \in S\}$ ersetzen könnten: Falls die Behauptung für $S^{\prime}$ gilt, dann auch für $S$.
## BUNDESWEITE <br> MATHEMATIK-WETTBEWE... | {
"problem_match": "\nAufgabe 1.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2022-2022_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "\nZweite Lösung."
} | 176 | 634 |
2022 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Bestimmen Sie ${ }^{1}$ den kleinsten Wert, den der Ausdruck
$$
\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{2022}}{2022}\right\rfloor
$$
annehmen kann, wobei $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022} \geq 1$ reelle Zahlen sind, sodass $\left|a_{i}-a_{j}\right| \... | Aus der Voraussetzung folgt, dass die kleinste der Zahlen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022}$ mindestens 1, die zweitkleinste mindestens 2 ist, usw. bis zur 2022-ten, die mindestens 2022 sein muss. Wenn wir nun die Zahlen $a_{1}, \ldots, a_{2022}$ sukzessive der Größe nach durch $1,2, \ldots, 2022$ ersetzen, so wird die S... | {
"problem_match": "\nAufgabe 3.",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2022-2022_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "\nLösung."
} | 223 | 1,378 |
2022 | T1 | 1 | null | Germany_TST | Für eine feste positive ganze Zahl $m$ sei $A$ eine Teilmenge von $\left\{0,1,2, \ldots, 5^{m}\right\}$, die aus $4 m+$ Elementen besteht.
Beweisen Sie, dass es in $A$ stets drei Zahlen $a, b, c$ gibt, für die $a<b<c$ und $c+2 a>3 b$ gil | Wir bezeichnen das gröBte Element von $A$ mit $c$. Für $k=0, \ldots, 4 m-1$ definieren wir $A_{k}=\left\{x \in A \left\lvert\,\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\right) c \leq x<\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{k+1}\right) c\right.\right\}$.
Wegen $\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{4 m}\right) c=c-\left(\frac{16}{81}... | {
"problem_match": "# Aufgabe 1",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2022-2022_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "# Zweite Lösung:"
} | 96 | 555 |
2022 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen $n \geq 1$, für die es ein Paar $(a, b)$ von positiven ganzen Zahlen mit folgenden Eigenschaften gibt:
i) Keine dritte Potenz einer Primzahl teilt $a^{2}+b+3$.
ii) Es gilt $\frac{a b+3 b+8}{a^{2}+b+3}=n$.
Antwort: Die einzige ganze Zahl mit diesen Eigenschaften ist $n=2$. | Es sei $p$ ein beliebiger Primfaktor von $a^{2}+b+3$ (ein solcher existiert, weil $a^{2}+b+3 \geq 5$ gilt). Dann ist $b \equiv-a^{2}-3 \bmod p$. Wegen der Ganzzahligkeit von $n$ muss $p$ aber auch ein Primfaktor von $a b+3 b+8$ sein. Somit gilt $0 \equiv a b+3 b+8 \equiv a\left(-a^{2}-3\right)+3\left(-a^{2}-3\right)+8 ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2022-2022_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "# Erste Lösung:"
} | 113 | 528 |
2022 | T1 | 2 | null | Germany_TST | Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen $n \geq 1$, für die es ein Paar $(a, b)$ von positiven ganzen Zahlen mit folgenden Eigenschaften gibt:
i) Keine dritte Potenz einer Primzahl teilt $a^{2}+b+3$.
ii) Es gilt $\frac{a b+3 b+8}{a^{2}+b+3}=n$.
Antwort: Die einzige ganze Zahl mit diesen Eigenschaften ist $n=2$. | Wenn wir die Bedingung $i i)$ nach $b$ auflösen, erhalten wir $b=\frac{n a^{2}+3 n-8}{a+3-n}$.
Fall 1: $n=a+3$. Hier muss wegen $b \in \mathbb{Z}^{+}$auch der Zähler verschwinden, was nach Einsetzen $(a+1)^{3}=0$, also $a=-1$ liefert - ein Widerspruch zu $a \in \mathbb{Z}^{+}$.
Fall 2: $n \neq a+3$. Aus (1) folgt
$a^{2... | {
"problem_match": "# Aufgabe 2",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2022-2022_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "# Zweite Lösung:"
} | 113 | 584 |
2022 | T1 | 3 | null | Germany_TST | Für eine feste positive ganze Zahl $k$ sei $K$ die Menge aller Gitterpunkte $(x, y)$ in der Ebene, deren beide Koordinaten $x$ und $y$ nichtnegative ganze Zahlen kleiner als $2 k$ sind. Es gilt also $|K|=4 k^{2}$.
Eine Menge $V$ bestehe nun aus $k^{2}$ nicht-ausgearteten Vierecken mit folgenden Eigenschaften:
i) Die Ec... | Jeder Punkt aus $K$ ist Eckpunkt eines eindeutig definierten zentralen Quadrats. Daher ist die Menge $Q$ aller zentralen Quadrate akzeptabel. Wir zeigen $S(V) \leq S(Q)=S(k)$
woraus die Antwort folgt.
Wir benutzen das folgende
Lemma 1. Für jedes Viereck $V=A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ und jeden beliebigen Punkt $O$ in der ... | {
"problem_match": "# Aufgabe 3",
"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2022-2022_IMO_Auswahlklausuren_Lsg_HP.jsonl",
"solution_match": "# Erste Lösung:"
} | 397 | 792 |
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