year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
values | problem_label stringclasses 119
values | problem_type stringclasses 13
values | exam stringclasses 28
values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2020 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ un polygone convexe à 2021 sommets tel que, pour chaque sommet $P_{i}$, les 2018 diagonales issues de $P_{i}$ divisent l'angle $\widehat{P}_{i}$ en 2019 angles égaux.
Démontrer que $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ est un polygone régulier, c'est-à-dire un polygone dont tous les angles on... | $n^{\circ} 3$ Comme précédemment, on démontre l'égalité (1). En écrivant cette égalité pour deux entiers $i$ consécutifs, et en soustrayant les deux égalités obtenues, on constate que
$$
a_{i}+(n-1) a_{i+1}-(n-1) a_{i+2}-a_{i+3}=0 .
$$
La suite $a_{i}$ est donc récurrente linéaire. Cette fois-ci, les racines du polyn... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 144 | 718 |
2020 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ un polygone convexe à 2021 sommets tel que, pour chaque sommet $P_{i}$, les 2018 diagonales issues de $P_{i}$ divisent l'angle $\widehat{P}_{i}$ en 2019 angles égaux.
Démontrer que $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ est un polygone régulier, c'est-à-dire un polygone dont tous les angles on... | Dans la suite, on pose $n=2019$ et, pour tout sommet $P_{i}$, on note $a_{i}$ l'angle $\widehat{P}_{i} / n$. Soit alors $P_{k}$, $P_{k+1}, P_{k+2}, P_{k+3}$ et $P_{k+4}$ quatre sommets consécutifs, les indices des sommets étant considérés modulo $n+2$.
La somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$. En considéran... | {
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 144 | 725 |
2020 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ un polygone convexe à 2021 sommets tel que, pour chaque sommet $P_{i}$, les 2018 diagonales issues de $P_{i}$ divisent l'angle $\widehat{P}_{i}$ en 2019 angles égaux.
Démontrer que $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ est un polygone régulier, c'est-à-dire un polygone dont tous les angles on... | $n^{\circ} 2$ Comme précédemment, on démontre l'égalité (1). Si l'on pose $b_{i}=a_{i}-180^{\circ} /(n+2)$, cette égalité se réécrit comme $b_{i}+n b_{i+1}+b_{i+2}=0$.
La suite $\left(b_{i}\right)_{i \geqslant 1}$ est donc récurrente linéaire. Si l'on note $r_{+}$et $r_{-}$les deux racines du polynôme $1+n X+X^{2}$, c'... | {
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} | 144 | 603 |
2020 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ un polygone convexe à 2021 sommets tel que, pour chaque sommet $P_{i}$, les 2018 diagonales issues de $P_{i}$ divisent l'angle $\widehat{P}_{i}$ en 2019 angles égaux.
Démontrer que $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ est un polygone régulier, c'est-à-dire un polygone dont tous les angles on... | $n^{\circ} 3$ Comme précédemment, on démontre l'égalité (1). En écrivant cette égalité pour deux entiers $i$ consécutifs, et en soustrayant les deux égalités obtenues, on constate que
$$
a_{i}+(n-1) a_{i+1}-(n-1) a_{i+2}-a_{i+3}=0 .
$$
La suite $a_{i}$ est donc récurrente linéaire. Cette fois-ci, les racines du polyn... | {
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"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 144 | 1,409 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Les suites $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ sont définies par
$$
\left\{\begin{array} { l l }
{ a _ { n } = 0 } & { \text { si } n = 0 ; } \\
{ a _ { n } = 2 a _ { \lfloor n / 2 \rfloor } + n } & { \text { si } n \geqslant 1 ; }
\end{array} \quad \text { et } \quad \left\{\... | On montre tout d'abord, par récurrence sur $n$, que $a_{n} \leqslant n\left\lfloor\log _{2}(2 n)\right\rfloor$ pour tout entier $n \geqslant 1$, avec égalité lorsque $n$ est une puissance de 2 . En effet, pour $n=1$, on a bien $a_{n}=1=n \log _{2}(2 n)$. Puis, si $n \geqslant 2$,
$$
a_{n}=2 a_{\lfloor n / 2\rfloor}+n ... | {
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} | 245 | 1,619 |
2020 | T1 | 7 | null | French_tests | Morgane a écrit les trois entiers 3, 4 et 12 au tableau. Elle effectue ensuite des changements successifs en procédant comme suit : elle choisit deux nombres $a$ et $b$ écrits au tableau, les efface, et les remplace par $(3 a+4 b) / 5$ et $(4 a-3 b) / 5$.
Morgane peut-elle, après un nombre fini de tels changements,
a) ... | Nous allons démontrer que la réponse est négative dans les deux cas. Soit $\mathcal{S}$ la somme des carrés des nombres écrits au tableau, et soit $f$ et $g$ les fonctions définies par $f:(x, y) \rightarrow(3 x+4 y) / 5$ et $g:(x, y) \rightarrow(4 x-3 y) / 5$. La relation
$$
f(x, y)^{2}+g(x, y)^{2}=x^{2}+y^{2}
$$
nou... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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} | 136 | 3,373 |
2020 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $a, b, c$ et $d$ quatre nombres réels. On suppose qu'il existe une permutation $(x, y, z, t)$ des nombres $a, b, c$ et $d$ telle que
$$
x \leqslant 2 a-b, y \leqslant 2 b-c, z \leqslant 2 c-d \text { et } t \leqslant 2 d-a .
$$
Démontrer que $a=b=c=d$. | Pour mieux exploiter la première inégalité, que l'on réécrit comme $x+b \leqslant 2 a$, l'idéal serait que $x$ et $b$ soient maximaux, ou bien que $a$ soit minimal. Évidemment, il se pourrait très bien que ni $a$, ni $b$, ni $x$ ne soit extrémal. Néanmoins, puisque les variables jouent des rôles cycliques, on peut tout... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
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} | 113 | 620 |
2020 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $a, b, c$ et $d$ quatre nombres réels. On suppose qu'il existe une permutation $(x, y, z, t)$ des nombres $a, b, c$ et $d$ telle que
$$
x \leqslant 2 a-b, y \leqslant 2 b-c, z \leqslant 2 c-d \text { et } t \leqslant 2 d-a .
$$
Démontrer que $a=b=c=d$. | $n^{\circ} 4$ On procède de manière brutale, étudiant séparément chacune des $4!=24$ permutations $(x, y, z, t)$ possibles. Dans chaque cas, nous allons exprimer les nombres $a-b, b-c, c-d$ et $d-a$ comme combinaisons linéaires, à coefficients positifs, des
nombres $\alpha=(2 a-b-x) / 60, \beta=(2 b-c-y) / 60, \gamma=(... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
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"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 113 | 2,918 |
2020 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle dont les angles sont aigus. On note $D$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $A B C$, puis $E$ le milieu du segment $[A D]$, et $\omega$ le cercle de diamètre $[A D]$. Ensuite, soit $X$ le point d'intersection entre $\omega$ et la droite $(B E)$, tel que $B$ et $X$ soient situés ... | $n^{\circ} 1$ Notons $\omega_{b}$ et $\omega_{c}$ les cercles circonscrits à $B D X Z$ et à $C D Y Z$. La droite $(D Z)$ est l'axe radical de ces deux cercles. Puisque $E$ appartient à cet axe radical, il a mêmes puissances par rapport aux cercles $\omega_{b}$ et $\omega_{c}$, ce qui signifie que $E X \cdot E B=E Y \cd... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
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} | 239 | 1,035 |
2020 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $k \geqslant 1$ un entier, et soit $A$ un sous-ensemble de $\{1,2, \ldots, 3 k\}$ tel que, pour tous les éléments $a, b, c$ de $A$, si $a+b=2 c$, alors $a=b=c$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $r_{k}(n)$ le plus petit entier naturel non nul tel que $3 k$ divise $n-r_{k}(n)$. En outre, on dit que $n$ est ... | Cet énoncé peut paraître long et compliqué. Il contient donc d'en retenir les éléments saillants, pour mieux comprendre ce qui se passe. Ici, on souhaite que l'ensemble $A$ ne contienne pas de progression arithmétique ( $a, c, b$ ). Il s'agit donc de trouver deux entiers $x$ et $d$ pour lesquels, quand bien même $x, x+... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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} | 387 | 1,482 |
2020 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $\left(F_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ la suite définie par $F_{0}=0, F_{1}=1$, et $F_{k+2}=F_{k}+F_{k+1}$ pour tout entier $k \geqslant 0$. Soit ensuite $n \geqslant 1$ un entier. Démontrer qu'il existe exactement $F_{n+1}$ façons d'ordonner les nombres $1,2, \ldots, n$ de manière à obtenir un $n$-uplet $\left(a_{1... | On dit qu'une permutation $\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ des entiers $1,2, \ldots, n$ est jolie si elle satisfait les inégalités $a_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}$.
Tout d'abord, soit a une jolie permutation. S'il existe un entier $k$ pour lequel $a_{k} \leqslant k-2$, o... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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} | 205 | 725 |
2020 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $\left(F_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ la suite définie par $F_{0}=0, F_{1}=1$, et $F_{k+2}=F_{k}+F_{k+1}$ pour tout entier $k \geqslant 0$. Soit ensuite $n \geqslant 1$ un entier. Démontrer qu'il existe exactement $F_{n+1}$ façons d'ordonner les nombres $1,2, \ldots, n$ de manière à obtenir un $n$-uplet $\left(a_{1... | $n^{\circ} 1$ Comme précédemment, on considère une permutation a puis l'entier $\ell$ tel que $a_{\ell}=n$. Puisque $n a_{k} \geqslant k a_{k} \geqslant \ell a_{\ell}=\ell$ n pour tout $k \geqslant \ell$, on sait que a induit une permutation de $1,2, \ldots, \ell-1$ et de $\ell, \ell+1, \ldots, n$.
Si $\ell \leqslant n... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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} | 205 | 759 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver le plus grand entier $n \geqslant 3$ pour lequel il existe un ensemble $\mathcal{S}$ de $n$ points du plan avec la propriété suivante : tout triangle (même plat) dont les sommets appartiennent à $\mathcal{S}$ est isocèle mais pas équilatéral. | On dit qu'un ensemble $\mathcal{S}$ ayant la propriété requise est mignon. Nous allons démontrer que tout ensemble mignon contient au plus 6 éléments. En outre, on notera $\omega_{A, B}$ le cercle de centre $A$ passant par $B$, et par $\ell_{A, B}$ la médiatrice du segment $[A B]$.
Tout d'abord, si $\mathcal{S}$ est fo... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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} | 76 | 1,439 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver le plus grand entier $n \geqslant 3$ pour lequel il existe un ensemble $\mathcal{S}$ de $n$ points du plan avec la propriété suivante : tout triangle (même plat) dont les sommets appartiennent à $\mathcal{S}$ est isocèle mais pas équilatéral. | Supposons que $n \geqslant 7$ et que le cercle $\omega_{A, B}$ contient $k \geqslant 2$ points de $\mathcal{S}$. Les lemmes 1 et 2 nous assurent respectivement que $\ell_{A, B}$ contient au plus deux points de $\mathcal{S}$, et que $A$ est le seul point de $\mathcal{S}$ appartenant à $\omega_{B, A}$. On en déduit que $... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-3-Web.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration:"
} | 76 | 673 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver le plus grand entier $n \geqslant 3$ pour lequel il existe un ensemble $\mathcal{S}$ de $n$ points du plan avec la propriété suivante : tout triangle (même plat) dont les sommets appartiennent à $\mathcal{S}$ est isocèle mais pas équilatéral. | $n^{\circ} 1$ Réutilisons les notations de la solution ci-dessus. On démontre comme précédemment qu'il existe un ensemble mignon à 6 éléments, et on procède désormais par l'absurde, en supposant que l'on dispose d'un ensemble $\mathcal{S}$ mignon à 7 éléments. Comme dans la solution précédente, on démontre que 3 points... | {
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} | 76 | 2,044 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver le plus grand entier $n \geqslant 3$ pour lequel il existe un ensemble $\mathcal{S}$ de $n$ points du plan avec la propriété suivante : tout triangle (même plat) dont les sommets appartiennent à $\mathcal{S}$ est isocèle mais pas équilatéral. | $n^{\circ} 2$ Réutilisons les notations de la solution ci-dessus. On démontre comme précédemment qu'il existe un ensemble mignon à 6 éléments, et on procède désormais par l'absurde, en supposant que l'on dispose d'un ensemble $\mathcal{S}$ mignon à 7 éléments. Comme dans la solution précédente, on démontre que 3 points... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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} | 76 | 1,462 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver le plus grand entier $n \geqslant 3$ pour lequel il existe un ensemble $\mathcal{S}$ de $n$ points du plan avec la propriété suivante : tout triangle (même plat) dont les sommets appartiennent à $\mathcal{S}$ est isocèle mais pas équilatéral. | $n^{\circ} 3$ Voici une autre manière de démontrer que tout ensemble mignon compte au plus 6 éléments. Comme ci-dessus, on procède par l'absurde, et l'on suppose que l'on dispose d'un ensemble $\mathcal{S}$ mignon à 7 éléments. Une fois de plus, on démontre que 3 points de $\mathcal{S}$ ne sont jamais alignés.
Le score... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-3-Web.jsonl",
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} | 76 | 1,474 |
2020 | T1 | 7 | null | French_tests | On note $\mathbb{R}_{>0}$ l'ensemble des réels strictement positifs. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R}_{>0} \mapsto \mathbb{R}_{>0}$ telles que
$$
f(x+f(x y))+y=f(x) f(y)+1
$$
pour tous les réels strictement positifs $x$ et $y$. | Soit $f$ une solution éventuelle du problème. Dans la suite, on notera $\mathbf{E}_{x, y}$ l'égalité de l'énoncé. Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $f(a)=f(b)$. Les égalités $\mathbf{E}_{1, a}$ et $\mathbf{E}_{1, b}$ indiquent que
$$
a=f(1) f(a)+1-f(1+f(a))=f(1) f(b)+1-f(1+f(b))=b
$$
ce qui sig... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-3-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 91 | 1,421 |
2020 | T1 | 8 | null | French_tests | Soit $\left(F_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ la suite définie par $F_{0}=0, F_{1}=1$, et $F_{k+2}=F_{k}+F_{k+1}$ pour tout entier $k \geqslant 0$. Soit ensuite $n \geqslant 1$ un entier. Démontrer qu'il existe exactement $F_{n+1}$ façons d'ordonner les nombres $1,2, \ldots, n$ de manière à obtenir un $n$-uplet $\left(a_{1... | On dit qu'une permutation $\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ des entiers $1,2, \ldots, n$ est jolie si elle satisfait les inégalités $a_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}$.
Tout d'abord, soit a une jolie permutation. S'il existe un entier $k$ pour lequel $a_{k} \leqslant k-2$, o... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-3-Web.jsonl",
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} | 204 | 725 |
2020 | T1 | 8 | null | French_tests | Soit $\left(F_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ la suite définie par $F_{0}=0, F_{1}=1$, et $F_{k+2}=F_{k}+F_{k+1}$ pour tout entier $k \geqslant 0$. Soit ensuite $n \geqslant 1$ un entier. Démontrer qu'il existe exactement $F_{n+1}$ façons d'ordonner les nombres $1,2, \ldots, n$ de manière à obtenir un $n$-uplet $\left(a_{1... | $n^{\circ} 1$ Comme précédemment, on considère une permutation a puis l'entier $\ell$ tel que $a_{\ell}=n$. Puisque $n a_{k} \geqslant k a_{k} \geqslant \ell a_{\ell}=\ell$ n pour tout $k \geqslant \ell$, on sait que a induit une permutation de $1,2, \ldots, \ell-1$ et de $\ell, \ell+1, \ldots, n$.
Si $\ell \leqslant n... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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} | 204 | 752 |
2020 | T1 | 9 | null | French_tests | Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que l'écriture de l'entier $n\left(2^{n}-1\right)$ en base 2 compte exactement $n$ occurrences du chiffre 1. | Notons $s_{n}$ l'entier $n\left(2^{n}-1\right)$. Puisque $s_{0}=0$ et $s_{1}=1$, l'énoncé est bien vérifié lorsque $n \leqslant 1$. On suppose donc désormais que $n \geqslant 2$.
On pose alors $t=2^{n}-n$ et $s=n-1$, de sorte que $n\left(2^{n}-1\right)=2^{n} s+t$ et que $s+t=2^{n}-1$. En vertu du binôme de Newton, on s... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-3-Web.jsonl",
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} | 55 | 805 |
2020 | T1 | 10 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle. On note $H_{A}$ le pied de la hauteur de $A B C$ issue de $A$, et $A^{\prime}$ le milieu du segment $[B C]$. On note ensuite $Q_{A}$ le symétrique de $H_{A}$ par rapport à $A^{\prime}$. On définit de même les points $Q_{B}$ et $Q_{C}$. Enfin, on note $R$ le point d'intersection, autre que $Q_{... | Soit $H$ l'orthocentre de $A B C, O$ le centre du cercle circonscrit à $A B C$, et $R^{\prime}$ le symétrique de $H$ par rapport à $O$. Les projetés orthogonaux de $H$ et $O \operatorname{sur}(B C)$ sont $H_{a}$ et $A^{\prime}$, donc le projeté orthogonal de $R^{\prime}$ sur $(B C)$ est $Q_{A}$. De même, les projetés o... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-3-Web.jsonl",
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} | 183 | 1,351 |
2020 | T1 | 10 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle. On note $H_{A}$ le pied de la hauteur de $A B C$ issue de $A$, et $A^{\prime}$ le milieu du segment $[B C]$. On note ensuite $Q_{A}$ le symétrique de $H_{A}$ par rapport à $A^{\prime}$. On définit de même les points $Q_{B}$ et $Q_{C}$. Enfin, on note $R$ le point d'intersection, autre que $Q_{... | $n^{\circ} 2$ On reprend les notations de la solution précédente. Puisque la droite $\left(Q_{A} R\right)$ est l'axe radical des cercles $\Gamma_{B}$ et $\Gamma_{C}$, il est tentant de rechercher les axes radicaux de ces deux cercles avec un autre cercle. À cette fin, on pourrait considérer le cercle $\Gamma_{A}$, et c... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-3-Web.jsonl",
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} | 183 | 1,063 |
2020 | T1 | 1 | null | French_tests | Morgane et Bosphore jouent au jeu suivant. Morgane a écrit les entiers de 1 à 8 sur les sommets d'un octogone régulier : chaque entier est écrit sur un des huit sommets de l'octogone. Bosphore choisit ensuite un sommet et calcule la somme des nombres écrits sur ce sommet et sur ses deux voisins. Il note $s$ cette somme... | $n^{\circ} 3$ Voici encore une manière de démontrer que Bosphore pourra nécessairement se débrouiller pour donner au plus 12 bonbons à Morgane. À la différence des solutions précédentes, celle-ci ne fournit pas de stratégie explicite pour Bosphore.
Supposons que Morgane ait trouvé une configuration qui force Bosphore à... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-4-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 175 | 1,205 |
2020 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $x, y$ et $z$ trois nombres réels tels que $0 \leqslant x \leqslant y \leqslant z$ et $x+y+z=1$. Trouver la valeur maximale que peut prendre l'expression
$$
(x-y z)^{2}+(y-z x)^{2}+(z-x y)^{2} .
$$ | $n^{\circ} 2$ Les inégalités $0 \leqslant x \leqslant y \leqslant z \leqslant x+y+z=1$ indiquent que $z \geqslant y \geqslant x y$ et $y \geqslant x \geqslant z x$, de sorte que la quantité que l'on souhaite maximiser satisfait l'inégalité
$$
\mathcal{S} \leqslant \max \{x, y z\}^{2}+y^{2}+z^{2}
$$
Puisque $x^{2}+y^{... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-4-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 87 | 842 |
2020 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle tel que $90^{\circ}>\widehat{A B C}>\widehat{B C A}$. Soit $D$ le point sur le segment $[B C]$ tel que $2 \widehat{D A C}=\widehat{A B C}-\widehat{B C A}$. On note $E$ le point d'intersection, autre que $A$, entre $(A B)$ et le cercle circonscrit à $A C D$, puis $P$ le point d'intersection entr... | Comme d'habitude, on commence par une figure suffisamment belle et grande pour servir de support à la réflexion. À cette fin, on construit tout d'abord un triangle $A^{\prime} B C^{\prime}$ isométrique à $A B C$, tel que $C^{\prime}$ se trouve sur la demi-droite $[B A)$, puis on trace la bissectrice de l'angle $\wideha... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-4-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 230 | 957 |
2020 | T1 | 4 | null | French_tests | Trouver tous les triplets d'entiers naturels non nuls $(a, b, c)$ tels que
$$
2021^{a}+4=3^{b} \times 5^{c}
$$ | Dans une équation diophantienne, on commence toujours par regarder de petites valeurs des paramètres. Ici, il suffit de factoriser $2021^{a}+4$ en produit de facteurs premiers, donc on regarde les petites valeurs de $a$. Ici, lorsque $a=1$, l'équation devient $2025=3^{b} \times 5^{c}$, donc $(a, b, c)=(1,4,2)$ est solu... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-4-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 50 | 1,581 |
2020 | T1 | 5 | null | French_tests | On note $\mathbb{Z}[x, y, z]$ l'ensemble des polynômes à coefficients entiers en les trois variables $x, y$ et $z$. On dit ensuite qu'un polynôme $P \in \mathbb{Z}[x, y, z]$ est olympique si $\mathbb{Z}[x, y, z]$ contient des polynômes $A, B$ et $C$ tels que
$$
P(x, y, z)=(x+y+z) A(x, y, z)+(x y+y z+z x) B(x, y, z)+x ... | Posons $s_{1}=x+y+z, s_{2}=x y+y z+z x$ et $s_{3}=x y z$. On constate que
$$
\begin{cases}x^{3} \equiv-x^{2}(y+z) \equiv-x(x y+x z) \equiv x y z \equiv 0 & \left(\bmod s_{1}, s_{2}, s_{3}\right) \\ x^{2} y^{2} \equiv x y(-x z-y z) \equiv-x y z(x+y) \equiv 0 & \left(\bmod s_{1}, s_{2}, s_{3}\right)\end{cases}
$$
ce qu... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-4-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 359 | 1,214 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$, puis $D$ un point du segment $[B C]$ tel que $B D \neq C D$. Soit $P$ et $Q$ les projetés orthogonaux de $D$ sur $(A B)$ et $(A C)$. Enfin, soit $E$ le point d'intersection, autre que $A$, entre les cercles circonscrits à $A B C$ et $A P Q$.
Démontrer que, si les droites $(E P),... | Un premier réflexe est de dessiner une figure où le triangle $A B C$ est isocèle rectangle, mais sans indiquer qu'il l'est. De nombreuses symétries apparaissent alors. Notons $X$ le point d'intersection des droites $(A C)$, et $(E P), \ell$ la médiatrice de $[P Q]$, $O$ le centre du cercle circonscrit à $A B C$ et $M$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-4-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 156 | 875 |
2020 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 6$ un entier. On a disposé, dans le plan, $n$ disques $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ deux à deux disjoints, de rayons $r_{1} \geqslant r_{2} \geqslant \ldots \geqslant r_{n}$. Pour tout entier $i \leqslant n$, on considère un point $P_{i}$ à l'intérieur du disque $D_{i}$. Enfin, soit $A$ un point quelc... | Soit $O_{i}$ le centre du disque $D_{i}$. Si $A$ coïncide avec l'un des points $O_{i}$, le résultat désiré est immédiat. Sinon, on trie les centres $O_{i}$ dans le sens horaire autour de $A$. Ceux-ci définissent six angles de somme $360^{\circ}$, donc l'un des angles, disons $\widehat{O_{i} A O_{j}}$, vaut au plus $60^... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-4-Web.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration."
} | 188 | 1,250 |
2020 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $A B C D E$ un pentagone convexe tel que $\widehat{A B E}=\widehat{A C E}=\widehat{A D E}=90^{\circ}$ et $B C=C D$. Enfin, soit $K$ un point sur la demi-droite $[A B]$ tel que $A K=A D$, et soit $L$ un point sur la demi-droite $[E D)$ tel que $E L=B E$. Démontrer que les points $B, D, K$ et $L$ appartiennent à un ... | Au vu des angles droits dont on dispose en $B, C$ et $D$, les points $A$, $B, C, D$ et $E$ appartiennent à un même demi-cercle de diamètre $[A E]$. Comme $B C=C D$, le point $C$ est donc le pôle Sud issu de $A$ dans le triangle $A B D$. Ainsi, $(A C)$ est la bissectrice de $\widehat{D A B}$, c'est-à-dire la médiatrice ... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 138 | 569 |
2020 | T1 | 2 | null | French_tests | Trouver tous les quadruplets d'entiers relatifs $(a, b, c, p)$ tels que $p$ soit un nombre premier et pour lesquels
$$
73 p^{2}+6=9 a^{2}+17 b^{2}+17 c^{2}
$$ | L'égalité de l'énoncé met en jeu de nombreux carrés. La première chose à faire consiste donc à l'étudier modulo un nombre $n$ pour lequel il y a peu de résidus quadratiques. On étudie donc le cas $n=8$, car les carrés modulo 8 sont 0,1 et 4 .
En particulier, si $p$ est impair, l'équation devient $a^{2}+b^{2}+c^{2} \equ... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 69 | 899 |
2020 | T1 | 3 | null | French_tests | Pour s'entraîner en prévision du dernier test POFM de l'année, Jean-Baptiste et Marie-Odile ont collecté 100 problèmes de mathématiques, et s'attellent désormais à la confection d'un programme de révisions. Pendant les 100 jours qui les séparent du test POFM, chacun devra traiter un problème par jour. On note $x$ le no... | Tout d'abord, il existe 100! manières de choisir l'ordre dans lequel Jean-Baptiste traitera les problèmes. Ces 100! manières jouent toutes des rôles symétriques. Sans perte de généralité, on numérote les problèmes de 1 à 100, dans l'ordre où Jean-Baptiste les traite, et il s'agit de démontrer qu'il existe au moins $2^{... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 199 | 1,131 |
2020 | T1 | 4 | null | French_tests | Trouver tous les nombres réels $x$ et $y$ tels que
$$
\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(y-\sqrt{y^{2}+1}\right)=1 \text { et }\left(x^{2}+y+2\right)\left(y^{2}+x+2\right)=8 .
$$ | Soit $(x, y)$ une solution éventuelle. Les égalités
$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)=x^{2}-\left(x^{2}+1\right)=-1 \\
\left(y-\sqrt{y^{2}+1}\right)\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)=y^{2}-\left(y^{2}+1\right)=-1
\end{array}\right.
$$
indiquent en fait que
$$
\left\{\be... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 81 | 962 |
2020 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe dont les angles en $B$ et en $D$ sont obtus, et dont les angles en $A$ et en $C$ sont égaux l'un à l'autre. Soit $E$ et $F$ les symétriques de $A$ par rapport à $(B C)$ et $(C D)$. Soit $K$ et $L$ les points d'intersection de $(B D)$ avec $(A E)$ et $(A F)$. Démontrer que les cerc... | La manière la plus pratique de construire le point $A$ est d'en construire tout d'abord son symétrique $A^{\prime}$ par rapport à $(B D)$, puisque $A^{\prime}$ est cocyclique avec $B, C$ et $D$. Ce faisant, on constate que $A^{\prime}$ semble appartenir aux deux cercles circonscrits aux triangles $B E K$ et $D F L$, et... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 150 | 1,362 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Pour tout entier $k \geqslant 0$, on note $F_{k}$ le $k^{\text {ème }}$ nombre de Fibonacci, défini par $F_{0}=0$, $F_{1}=1$, et $F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1}$ lorsque $k \geqslant 2$. Soit $n \geqslant 2$ un entier, et soit $S$ un ensemble d'entiers ayant la propriété suivante :
Pour tout entier $k$ tel que $2 \leqslant k \... | Tout d'abord, soit $m=\lceil n / 2\rceil$, et soit $S$ l'ensemble $\left\{F_{2 \ell}: 0 \leqslant \ell \leqslant m\right\}$. Pour tout entier $k$ tel que $2 \leqslant k \leqslant n$, on choisit $x=F_{k}$ et $y=F_{0}=0$ si $k$ est pair, ou bien $x=F_{k+1}$ et $y=F_{k-1}$ si $k$ est impair. Dans les deux cas, $x$ et $y$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 187 | 711 |
2020 | T1 | 6 | null | French_tests | Pour tout entier $k \geqslant 0$, on note $F_{k}$ le $k^{\text {ème }}$ nombre de Fibonacci, défini par $F_{0}=0$, $F_{1}=1$, et $F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1}$ lorsque $k \geqslant 2$. Soit $n \geqslant 2$ un entier, et soit $S$ un ensemble d'entiers ayant la propriété suivante :
Pour tout entier $k$ tel que $2 \leqslant k \... | $n^{\circ} 1$ On dit qu'un ensemble tel que décrit dans l'énoncé est $n$-mignon. Soit $S_{n}$ un ensemble $n$-mignon de cardinal aussi petit que possible. Nous allons démontrer, par récurrence sur $n$, que $\left|S_{n}\right| \geqslant\lceil n / 2\rceil+1$. Tout d'abord, pour $n=2$, le résultat désiré est immédiat. On ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 187 | 1,089 |
2020 | T1 | 7 | null | French_tests | Trouver les fonctions $f: \mathbb{N}_{\geqslant 1} \mapsto \mathbb{N}_{\geqslant 0}$ vérifiant les deux conditions suivantes :
1. $f(x y)=f(x)+f(y)$ pour tous les entiers $x \geqslant 1$ et $y \geqslant 1$;
2. il existe une infinité d'entiers $n \geqslant 1$ tels que l'égalité $f(k)=f(n-k)$ est vraie pour tout entier ... | Les fonctions recherchées sont les fonctions de la forme $f: n \mapsto c v_{p}(n)$, où $c$ est un entier naturel, $p$ est un nombre premier, et $v_{p}(n)$ et la valuation $p$-adique de $n$. Tout d'abord, il est clair que ces fonctions sont bien solutions du problème.
Réciproquement, soit $f$ une solution non nulle du p... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 218 | 677 |
2020 | T1 | 7 | null | French_tests | Trouver les fonctions $f: \mathbb{N}_{\geqslant 1} \mapsto \mathbb{N}_{\geqslant 0}$ vérifiant les deux conditions suivantes :
1. $f(x y)=f(x)+f(y)$ pour tous les entiers $x \geqslant 1$ et $y \geqslant 1$;
2. il existe une infinité d'entiers $n \geqslant 1$ tels que l'égalité $f(k)=f(n-k)$ est vraie pour tout entier ... | $n^{\circ} 1$ Une fois acquis le fait que tout entier joli est de la forme $a p^{b}$, avec $b$ entier et $1 \leqslant a \leqslant p-1$, et que tout diviseur d'un entier joli est joli, on peut aussi procéder comme suit.
Supposons qu'il existe un nombre premier $q \neq p$ pour lequel $f(q)>0$, et soit $q$ le plus petit t... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 218 | 669 |
2021 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $A B C D$ un parallélogramme. La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{B A C}$ coupe le segment $[B C]$ en $E$ tandis que sa bissectrice extérieure coupe la droite ( $C D)$ en $F$. Soit $M$ le milieu du segment $[A E]$.
Démontrer que les droites $(E F)$ et $(B M)$ sont parallèles. | $n^{\circ} 2$ Nous allons utiliser les coordonnées barycentriques dans le triangle $A B C$, en notant $a, b$ et $c$ les longueurs $B C, C A$ et $A B$. Nous identifierons chaque point $X$ à ses coordonnées barycentriques normalisées $(x, y, z)$ telles que $x+y+z=1$.
Avec cette convention, si quatre points $S, T, U, V$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 106 | 1,587 |
2021 | T1 | 2 | null | French_tests | Une permutation de l'ensemble $\{1, \ldots, 2021\}$ est une suite $\sigma=\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{2021}\right)$ telle que chaque élément de l'ensemble $\{1, \ldots, 2021\}$ soit égal à exactement un terme $\sigma_{i}$. On définit le poids d'une telle permutation $\sigma$ comme la somme
$$
\sum_{i=1}^{2020}\l... | Soit $n=2021$, et soit $\sigma$ une permutation de $\{1,2, \ldots, n\}$ et soit $\mathbf{W}(\sigma)$ son poids. Pour tout entier $k \leqslant n$, on pose
$$
\alpha_{k}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { si } k \neq n \text { et } \sigma(k)>\sigma(k+1) \\
0 & \text { si } k=n \\
-1 & \text { si } k \neq n \text { et ... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 163 | 2,536 |
2021 | T1 | 2 | null | French_tests | Une permutation de l'ensemble $\{1, \ldots, 2021\}$ est une suite $\sigma=\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{2021}\right)$ telle que chaque élément de l'ensemble $\{1, \ldots, 2021\}$ soit égal à exactement un terme $\sigma_{i}$. On définit le poids d'une telle permutation $\sigma$ comme la somme
$$
\sum_{i=1}^{2020}\l... | $n^{\circ} 2$ Soit $n=2021$, puis $k=(n-1) / 2=1010$, et soit $\sigma$ une permutation de $\{1,2, \ldots, n\}$ de poids maximal. Le poids de $\sigma$ vaut
$$
\sum_{i=1}^{2 k} \max \left(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}\right)-\sum_{i=1}^{2 k} \min \left(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}\right)
$$
Or, chaque entier compris entre 1 et ... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 163 | 530 |
2021 | T1 | 2 | null | French_tests | Une permutation de l'ensemble $\{1, \ldots, 2021\}$ est une suite $\sigma=\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{2021}\right)$ telle que chaque élément de l'ensemble $\{1, \ldots, 2021\}$ soit égal à exactement un terme $\sigma_{i}$. On définit le poids d'une telle permutation $\sigma$ comme la somme
$$
\sum_{i=1}^{2020}\l... | $n^{\circ} 3$ Représentons-nous le problème d'une autre façon. On considère 2021 villes numérotées de 1 à 2021, et la ville numéro $k$ est placée sur l'axe des abscisses, au point de coordonnées $(k, 0)$. Les villes $i$ et $j$ sont donc à distance $|i-j|$. Un voyageur désire visiter toutes les villes une seule fois : i... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 163 | 1,108 |
2021 | T1 | 3 | null | French_tests | Étant donnés deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on dit que $b$ est $a$-gréable si, pour toute liste $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}$ de diviseurs de $b$, non nécessairement distincts, telle que
$$
\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\ldots+\frac{1}{d_{k}}>a
$$
il existe un ensemble $I$ inclus dans $\{1,2, \ldots, k\... | Tout d'abord, soit $b$ un entier qui admet au moins deux facteurs premiers distincts $p<q$. On pose alors $d_{1}=p$ et $d_{2}=d_{3}=\ldots=d_{a q}=q$, de sorte que
$$
\sum_{i=1}^{a q} \frac{1}{d_{i}}=a+\frac{1}{p}-\frac{1}{q}>a
$$
Cependant, si $1 \notin I$, on sait que
$$
\sum_{i \in I} \frac{1}{d_{i}}=\frac{|I|}{q... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 181 | 702 |
2021 | T1 | 3 | null | French_tests | Étant donnés deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on dit que $b$ est $a$-gréable si, pour toute liste $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}$ de diviseurs de $b$, non nécessairement distincts, telle que
$$
\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\ldots+\frac{1}{d_{k}}>a
$$
il existe un ensemble $I$ inclus dans $\{1,2, \ldots, k\... | $n^{\circ} 1$ Voici une manière alternative de démontrer que toute puissance de nombre premier est $a$-gréable. Nous allons démontrer par récurrence forte sur $k$ la propriété $\mathcal{P}_{k}$ suivante:
Pour tout entier $a \geqslant 0$, toute puissance de nombre premier $n=p^{\alpha}$ et toute suite $\left(d_{i}\righ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 181 | 1,654 |
2021 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction croissante telle que $f(y)-f(x)<y-x$ pour tous les réels $x$ et $y$ tels que $y>x$. Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ une suite telle que $u_{n+2}=f\left(u_{n+1}\right)-f\left(u_{n}\right)$ pour tout entier $n \geqslant 0$.
Démontrer que la suite $\left(u... | Pour tout bon entier $m$, on note $\psi(m)$ le plus petit bon entier supérieur ou égal à $m+2$. Ici, le lemme 2 et une récurrence montrent que $\left|u_{m}\right| \geqslant\left|u_{\psi^{k}(m)}\right| \geqslant\left|u_{\ell}\right|$ pour tout entier $\ell$ tel que $\psi^{k}(m) \leqslant \ell \leqslant \psi^{k+1}(m)$, d... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration."
} | 213 | 529 |
2021 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction croissante telle que $f(y)-f(x)<y-x$ pour tous les réels $x$ et $y$ tels que $y>x$. Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ une suite telle que $u_{n+2}=f\left(u_{n+1}\right)-f\left(u_{n}\right)$ pour tout entier $n \geqslant 0$.
Démontrer que la suite $\left(u... | On traite les deux cas séparément:
$\triangleright$ si $x \leqslant 0$ et $y \geqslant \ell / 2$, alors
$$
\begin{aligned}
f(y)-f(x) & =f(y)-f(\ell / 2)+f(\ell / 2)-f(0)+f(0)-f(x) \\
& \leqslant(y-\ell / 2)+(\ell / 2-\varepsilon)+(0-x)=y-x-\varepsilon
\end{aligned}
$$
$\triangleright$ si $x \geqslant \ell$ et $y \leq... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration."
} | 213 | 1,433 |
2021 | T1 | 2 | null | French_tests | Aline et Théo jouent au jeu suivant. Tout d'abord, Théo choisit des nombres premiers $p_{1}, p_{2}, \ldots$ Puis Aline choisit des entiers naturels non nuls $n_{1}, n_{2}, \ldots$ deux à deux distincts. Théo choisit ensuite deux entiers $k \geqslant 1$ et $\ell \geqslant 1$. Il gagne la partie s'il existe une infinité ... | a) C'est Aline qui dispose d'une stratégie gagnante. Une telle stratégie consiste, par exemple, à choisir
$$
n_{i}=\left(p_{1} \times p_{2} \times \cdots \times p_{i}\right)^{i}
$$
pour tout $i$. En effet, tout entier $p_{k}^{\ell}$ divise chacun des entiers $\left(p_{1} \times p_{2} \times \cdots \times p_{i}\right)... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 2"
} | 251 | 932 |
2021 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle et $\Omega$ son cercle circonscrit. Soit $D$ le pied de la hauteur issue du sommet $A$. La bissectrice issue du sommet $A$ coupe le segment $[B C]$ au point $P$ et recoupe le cercle $\Omega$ au point $S$. Soit $A^{\prime}$ le point diamétralement opposé au sommet $A$ dans le cercle $\Omega$. Dé... | Soit $X$ le point où la droite $\left(A^{\prime} P\right)$ recoupe le cercle $\Omega$. Nous allons démontrer que les points $D, S$ et $X$ sont alignés.
Soit $O$ le centre de $\Omega$. Le point $S$ n'est autre que le pôle Sud de $A B C$ issu de $A$, donc il appartient à la médiatrice de $[B C]$, qui n'est autre que la d... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 139 | 819 |
2021 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $n$ un entier naturel non nul. Anna a écrit $4 n+2$ entiers deux à deux distincts et compris entre 0 et $5^{n}$ inclus. Démontrer que, parmi les entiers qu'elle a écrits, il en existe trois, disons $a, b$ et $c$, tels que $a<b<c$ et $c+2 a>3 b$. | Soit $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{4 n+2}$ les $4 n+2$ entiers qu'Anna a écrits. Nous allons démontrer qu'il existe un entier $k \leqslant 4 n$ tel que $x_{4 n+2}+2 x_{k}>3 x_{k+1}$.
En effet, dans le cas contraire, posons $y_{k}=x_{4 n+2}-x_{k}$ pour tout entier $k$, de sorte que
$$
3 y_{k+1}=3 x_{4 n+2}-3 x_{k+1} \leqslant... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 94 | 603 |
2021 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $n$ un entier naturel non nul. Anna a écrit $4 n+2$ entiers deux à deux distincts et compris entre 0 et $5^{n}$ inclus. Démontrer que, parmi les entiers qu'elle a écrits, il en existe trois, disons $a, b$ et $c$, tels que $a<b<c$ et $c+2 a>3 b$. | Soit $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{4 n+2}$ les $4 n+2$ entiers qu'Anna a écrits. Nous allons démontrer qu'il existe un entier $k \leqslant 4 n$ tel que $x_{4 n+2}+2 x_{k}>3 x_{k+1}$.
En effet, dans le cas contraire, posons $y_{k}=x_{4 n+2}-x_{k}$ pour tout entier $k$, de sorte que
$$
3 y_{k+1}=3 x_{4 n+2}-3 x_{k+1} \leqslant... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 94 | 598 |
2021 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver tous les entiers $n \geqslant 1$ ayant la propriété suivante : il existe une permutation $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}$ des diviseurs positifs de $n$ telle que, pour tout $i \leqslant k$, la somme $d_{1}+d_{2}+\ldots+d_{i}$ soit un carré parfait. | Soit $n$ un des entiers recherchés, et $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}$ une permutation adéquate des diviseurs positifs de $n$. Pour tout entier $i \leqslant k$, on pose $s_{i}=\sqrt{d_{1}+d_{2}+\ldots+d_{i}}$. On dit qu'un entier $\ell$ est bon si $s_{i}=i$ et $d_{i}=2 i-1$ pour tout $i \leqslant \ell$. Ci-dessous, nous ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 94 | 1,163 |
2021 | T1 | 7 | null | French_tests | Trouver tous les entiers $n \geqslant 3$ pour lesquels tout $n$-gone convexe dont les côtés sont de longueur 1 contient un triangle équilatéral de côté 1. | Tout d'abord, nul entier $n$ pair ne figure parmi les entiers recherchés. En effet, le cercle inscrit d'un triangle équilatéral de côté 1 a pour aire $\mathcal{A}=\sqrt{3} / 4$ et pour rayon $r=2 \mathcal{A} / 3=\sqrt{3} / 6$. Par conséquent, l'amande ci-dessous, dessinée dans le cas où $n=6$, et elle-même contenue dan... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 52 | 2,015 |
2021 | T1 | 3 | null | French_tests | Maena et Théodore jouent à un jeu. Ils jouent sur une grille carrée formée de $99 \times 99$ cases. On considère que deux cases sont adjacentes si elles ont un sommet ou un côté en commun.
Initialement, Maéna numérote les cases de la grille de 1 à $99^{2}$, de façon arbitraire. Théodore place alors un jeton sur l'une d... | Tout d'abord, Théodore peut toujours se débrouiller pour effectuer au moins trois mouvements. Pour ce faire, il lui suffit de sélectionner un carré de taille $2 \times 2$ à l'intérieur du carré de taille $99 \times 99$, puis d'en parcourir les quatre cases, qui sont nécessairement adjacentes puisqu'elles ont un sommet ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 200 | 702 |
2021 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts, tels que $p<2 q$ et $q<2 p$. Démontrer qu'il existe deux entiers consécutifs dont l'un a $p$ pour plus grand facteur premier et l'autre a $q$ pour plus grand facteur premier. | Supposons sans perte de généralité que $p<q$. Le théorème de Bézout indique qu'il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $a p+b q=1$.
On peut toujours remplacer un tel couple $(a, b) \operatorname{par}(a \pm q, b \mp p)$. Par conséquent, si on cherche un couple pour lequel la valeur de $|a|$ est minimale, on sait que $... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 73 | 687 |
2021 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $\mathcal{S}$ un ensemble infini d'entiers naturels non nuls contenant quatre entiers $a, b, c, d$ deux à deux distincts tels que $\operatorname{pgcd}(a, b) \neq \operatorname{pgcd}(c, d)$. Démontrer que $\mathcal{S}$ contient trois entiers $x, y, z$ deux à deux distincts tels que $\operatorname{pgcd}(x, y)=\opera... | Ci-dessous, on note $m \wedge n$ le plus grand diviseur commun à deux entiers $m$ et $n$. On considère alors le graphe colorié infini dont les sommets sont les éléments de $\mathcal{S}$, et où chaque paire de sommets $(u, v)$ distincts l'un de l'autre est reliée par une arête de couleur $u \wedge v$.
Supposons que les ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 136 | 540 |
2021 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $\mathcal{S}$ un ensemble infini d'entiers naturels non nuls contenant quatre entiers $a, b, c, d$ deux à deux distincts tels que $\operatorname{pgcd}(a, b) \neq \operatorname{pgcd}(c, d)$. Démontrer que $\mathcal{S}$ contient trois entiers $x, y, z$ deux à deux distincts tels que $\operatorname{pgcd}(x, y)=\opera... | $n^{\circ} 1$ Soit $k$ le PGCD des éléments de $\mathcal{S}$. Si l'on divise chaque élément de $\mathcal{S}$ par $k$, on obtient un ensemble $\mathcal{S}^{\prime}$ qui vérifie toujours l'énoncé et, réciproquement, si $\mathcal{S}^{\prime}$ vérifie l'énoncé, $\mathcal{S}$ le vérifie aussi. On remplace donc $\mathcal{S}$... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 136 | 854 |
2021 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $A, B, C$ et $D$ quatre points situés sur un cercle $\Omega$. Soit $E$ et $F$ les points d'intersection des demi-droites $[B A)$ et $[B C)$ avec la tangente à $\Omega$ en $D$. Soit $T$ un point, situé à l'intérieur du triangle $A B C$, tel que $(T E)$ soit parallèle à $(C D)$ et que $(T F)$ soit parallèle à $(A D)... | Soit $P$ et $Q$ les points d'intersection des droites (TE) et (TF) avec $(A C)$. Puisque $(E D)$ est tangente à $\Omega$, on sait que
$$
(P A, P E)=(C A, C D)=(D A, D E)
$$
donc que les points $A, D, E$ et $P$ sont appartiennent à un même cercle $\alpha$. On démontre de même que les points $C, D, F$ et $Q$ appartienn... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 172 | 860 |
2021 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 2$ un entier. Une grenouille se déplace dans une grille de $3 n \times 3 n$ cases, sautant chaque fois d'une case vers la case située juste au-dessus ou juste à droite. Elle souhaite aller du coin en bas à gauche, marqué d'un $S$, au coin en haut à droite, marqué d'un F. Malheureusement, certaines cas... | Colorions notre grille en trois couleurs:
$\triangleright$ en noir, les cases piégées;
$\triangleright$ en rose, les cases non piégées auxquelles la grenouille peut accéder depuis la case S;
$\triangleright$ en vert, les cases non piégées depuis lesquelles la grenouille peut accéder à la case $F$.
Notons que notre gril... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 344 | 2,548 |
2021 | T1 | 9 | null | French_tests | Trouver les entiers $n$ pour lesquels l'égalité
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left\lfloor\frac{i \times j}{n+1}\right\rfloor=\frac{n^{2}(n-1)}{4}
$$
est vérifiée.
On rappelle que, pour tout nombre réel $x$, la notation $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière de $x$, c'est-à-dire le plus grand entier inférieur... | Pour tout entier $k$, on note $r_{n+1}(k)$ le reste de la division euclidienne de $k$ par $n+1$, c'est-à-dire le plus petit entier naturel tel que $n+1$ divise $k-r_{n+1}(k)$. La double somme de gauche se réécrit alors comme
$$
\begin{aligned}
\mathcal{S} & =\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^{n} \frac{i j-r_{n+1}(i j)}{n+1} \... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 131 | 1,832 |
2021 | T1 | 10 | null | French_tests | Soit $n$ un entier naturel. On dit qu'un ensemble fini d'entiers est $n$-équilibré s'il y a exactement $n$ manières de le partitionner en deux sous-ensembles de même somme. Par exemple, l'ensemble $\{1,3,4,5,6,7\}$ est 2-équilibré, car les seules manières de le partitionner en deux sous-ensembles de même somme sont de ... | Tout d'abord, l'ensemble $\{1\}$ est 0 -équilibré et l'ensemble $\{1,2,3\}$ est 1-équilibré.
Étant donné un entier $n \geqslant 2$, nous allons démontrer que l'ensemble
$$
E=\{k: 3 n \leqslant k \leqslant 4 n-1\} \cup\{k: 4 n+1 \leqslant k \leqslant 5 n\} \cup\{8 n(n-2)\}
$$
est $n$-équilibré. En effet, si l'on note ... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 10"
} | 191 | 657 |
2021 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $n$ un entier tel que $n \geqslant 3$. Lucie dispose $n$ feuilles blanches en cercle, puis elle écrit un nombre réel sur chaque feuille. Trouver tous les entiers $k$ tels que $1 \leqslant k \leqslant n$ pour lesquels la propriété suivante est vraie :
Si au moins un des nombres qu'a écrits Lucie n'est pas nul, il ... | Dans la suite, on numérote les feuilles de 1 à $n$, dans le sens des aiguilles d'une montre, et on note $x_{i}$ le nombre que Lucie écrit sur la feuille $i$. Les indices seront considérés modulo $n$. L'énoncé revient donc à trouver les entiers $k$ pour lesquels il est impossible que toute somme $\mathcal{S}_{a}=x_{a+1}... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 126 | 912 |
2021 | T1 | 3 | null | French_tests | Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $f_{n}$ la somme de tous les restes obtenus en divisant $n$ par les nombres $1,2, \ldots, n$. Par exemple, si on divise 5 par $1,2,3,4$ et 5 , les restes que l'on obtient sont $0,1,2,1$ et 0 , de sorte que $f_{5}=0+1+2+1+0=4$.
Trouver tous les entiers $n \geqslant 2$ tels que $... | Pour tous les entiers $a$ et $b$ tels que $1 \leqslant a \leqslant b$, on note $r_{a}(b)$ le reste obtenu en divisant $b$ par $a$. Puisque
$$
f_{n}-f_{n-1}=\sum_{i=1}^{n} r_{i}(n)-\sum_{i=1}^{n-1} r_{i}(n-1)=\sum_{i=2}^{n-1} r_{i}(n)-\sum_{i=2}^{n-1} r_{i}(n-1)=\sum_{i=2}^{n-1}\left(r_{i}(n)-r_{i}(n-1)\right),
$$
on ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 152 | 583 |
2021 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $m$ et $n$ deux entiers tels que $m>n \geqslant 3$. Morgane a disposé $m$ jetons en cercle, et s'apprête à les peindre en utilisant $n$ couleurs distinctes. Elle souhaite que, parmi $n+1$ jetons consécutifs, il y ait toujours au moins un jeton de chacune des $n$ couleurs. Si elle peut y parvenir, on dira que l'ent... | Tout d'abord, si $m \geqslant n^{2}-n$, Morgane peut réaliser son souhait en procédant comme suit, montrant au passage que $m$ est $n$-coloriable.
Soit $a$ le résidu de $m$ modulo $n$, c'est-à-dire le plus petit entier naturel tel que $a \equiv m(\bmod n)$. Morgane commence par placer $m-a$ jetons, qu'elle choisit de c... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 197 | 1,113 |
2021 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $m$ et $n$ deux entiers tels que $m>n \geqslant 3$. Morgane a disposé $m$ jetons en cercle, et s'apprête à les peindre en utilisant $n$ couleurs distinctes. Elle souhaite que, parmi $n+1$ jetons consécutifs, il y ait toujours au moins un jeton de chacune des $n$ couleurs. Si elle peut y parvenir, on dira que l'ent... | Tout d'abord, si $m \geqslant n^{2}-n$, Morgane peut réaliser son souhait en procédant comme suit, montrant au passage que $m$ est $n$-coloriable.
Soit $a$ le résidu de $m$ modulo $n$, c'est-à-dire le plus petit entier naturel tel que $a \equiv m(\bmod n)$. Morgane commence par placer $m-a$ jetons, qu'elle choisit de c... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 197 | 1,120 |
2021 | T1 | 6 | null | French_tests | Une permutation des entiers 1 à 2022 est une suite $\sigma=\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{2022}\right)$ telle que chaque élément de l'ensemble $\{1, \ldots, 2022\}$ soit égal à exactement un terme $\sigma_{i}$. Quelle est la plus petite valeur possible que peut prendre la somme
$$
\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\... | De manière générale, notons $\mathcal{S}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ la somme
$$
\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor,
$$
et $\mathcal{S}_{n}$ la plus petite valeur que peut prendre $\mathcal{S}\left(a_{1}, a_{2}... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 207 | 1,640 |
2021 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ une suite d'entiers naturels non nuls telle que $a_{n+2 m}$ divise $a_{n}+a_{n+m}$ pour tous les entiers $m \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$. Démontrer que cette suite est ultimement périodique, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers $N \geqslant 1$ et $d \geqslant 1$ tels que $... | Supposons qu'il existe un entier $k \geqslant 9$ tel que $a_{i}<a_{k}$ pour tout $i \leqslant k-1$. Dans ces conditions, et pour tout entier $i<k / 2$, on sait que $a_{k-2 i}+a_{k-i}$ est un multiple de $a_{k}$ et que $a_{k-2 i}+a_{k-i}<2 a_{k}$, de sorte que $a_{k-2 i}+a_{k-i}=a_{k}$. En choisissant $i=1$, $i=2$ et $i... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 152 | 1,393 |
2021 | T1 | 1 | null | French_tests | Trouver tous les entiers naturels non nuls $a, b$ et $c$ pour lesquels il existe des entiers naturels non nuls $x, y$ et $z$ tels que $x!=a b+1, y!=b c+1$ et $z!=c a+1$.
Remarque : Pour tout entier naturel non nul $n$, l'entier $n!$ désigne le produit $1 \times 2 \times \cdots \times n$. | Soit $(a, b, c)$ un triplet solution éventuel. Sans perte de généralité, et puisque $a, b$ et $c$ jouent des rôles symétriques, on suppose que $a \leqslant b \leqslant c$, de sorte que $x \leqslant z \leqslant y$ et que $x$ ! divise à la fois $y!$ et $z!$.
Soit $d$ un diviseur de $x$ !, $c^{\prime}$ est-à-dire un divis... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 114 | 528 |
2021 | T1 | 2 | null | French_tests | Le gouvernement de Bosnie-Herzégovine a décidé de mettre en place un nouveau système de plaques d'immatriculations. Chaque plaque d'immatriculation devra contenir 8 chiffres, chacun pouvant valoir $0,1,2,3,4,5,6,7,8$ ou 9 . En outre, deux plaques d'immatriculation distinctes devront toujours avoir au moins deux chiffre... | Nous allons montrer que le nombre maximal de plaques disponibles est égal à $10^{7}$.
Tout d'abord, on dit que deux plaques font partie de la même famille si leur sept premiers chiffres sont différents. Chaque famille contient dix plaques, donc il y a $10^{7}$ familles distinctes. Or, le gouvernement ne peut pas mettre... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 165 | 585 |
2021 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $x, y$ et $z$ trois nombres réels tels que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Trouver les valeurs minimale et maximale possibles du nombre réel $x y+y z-z x$. | $n^{\circ} 1$ On peut aussi démontrer l'inégalité $x y+y z-z x \geqslant-1$ comme suit. Il s'agit d'appliquer directement l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux triplets $(x, y, z)$ et $(y, z,-x)$, pour constater que
$$
(x y+y z-z x)^{2} \leqslant\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=1
$$
donc que $x y+y z-z x \geqslant-1$.
... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 58 | 799 |
2021 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $A B C D$ un parallélogramme tel que $A C=B C$. Soit $P$ un point situé sur le prolongement du segment $[A B]$ au-delà de $B$. Soit $Q$ le point d'intersection, autre que $D$, entre le segment $[P D]$ et le cercle circonscrit à $A C D$. Soit ensuite $R$ le point d'intersection, autre que $P$, entre le segment $[P ... | Tout d'abord, on constate que
$$
(R A, R C)=(R A, R P)=(Q A, Q P)=(Q A, Q D)=(C A, C D)=(A C, A B)=(B A, B C),
$$
ce qui signifie que les points $A, B, C$ et $R$ sont cocycliques.
De même, si l'on note $X$ le point d'intersection des droites $(A Q)$ et ( $C D)$, on constate que
$$
(Q R, Q X)=(Q R, Q A)=(P R, P A)=(C... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 151 | 522 |
2021 | T1 | 6 | null | French_tests | Un chasseur et un lapin invisible jouent sur une grille infinie à maille carrée, c'est-à-dire où chaque case a quatre voisines : à gauche, à droite, en haut et en bas. Tout d'abord, le chasseur colorie chaque case de la grille, mais ne peut utiliser qu'un nombre fini de couleurs. Le lapin choisit ensuite une case de la... | Le chasseur dispose en effet d'une stratégie gagnante, par exemple celle que nous donnons ci-dessous. Tout d'abord, il identifie la grille à l'ensemble $\mathbb{Z}^{2}$, puis il associe à chaque case $\mathbf{c}=(x, y)$ le triplet $\varphi(\mathbf{c})=(x, y, x+y)$.
Chaque fois que le lapin se déplace, deux composantes ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 263 | 1,064 |
2021 | T1 | 6 | null | French_tests | Un chasseur et un lapin invisible jouent sur une grille infinie à maille carrée, c'est-à-dire où chaque case a quatre voisines : à gauche, à droite, en haut et en bas. Tout d'abord, le chasseur colorie chaque case de la grille, mais ne peut utiliser qu'un nombre fini de couleurs. Le lapin choisit ensuite une case de la... | $n^{\circ} 1$ Afin de suivre à la trace les mouvements du lapin, et au lieu de superposer trois pavages unidimensionnels utilisant chacun trois couleurs, le chasseur aurait tout aussi bien pu utiliser une coloration du plan en cinq couleurs, avec la fonction de coloriage $\operatorname{col}(x, y)=x+2 y(\bmod 5)$.
Voici... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 263 | 934 |
2021 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 , et soit $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ des réels strictement positifs tels que $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=1$. Démontrer que
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{1-a_{k}}\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k-1}\right)^{2}<\frac{1}{3}
$$ | Pour tout entier $k$, puisque $0<a_{k}<1$, on pose $s_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}$ et $b_{k}=a_{k} s_{k-1}^{2} /\left(1-a_{k}\right)$, avec la convention selon laquelle $s_{0}=0$. Nous allons démontrer l'inégalité
$$
b_{k}<\left(s_{k}^{3}-s_{k-1}^{3}\right) / 3
$$
Celle-ci découle du fait que
$$
\text { (1) } \begi... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 127 | 562 |
2021 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 , et soit $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ des réels strictement positifs tels que $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=1$. Démontrer que
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{1-a_{k}}\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k-1}\right)^{2}<\frac{1}{3}
$$ | $n^{\circ} 1$ On remarque tout d'abord que $\left(1-a_{k}\right) s_{k}=s_{k-1}+a_{k}\left(1-s_{k}\right) \geqslant s_{k-1}$. On en conclut que
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} b_{k} & \leqslant \sum_{k=1}^{n} a_{k} s_{k-1} s_{k}=\sum_{k=1}^{n} s_{k-1} a_{k}\left(s_{k-1}+a_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left(s_{k-1}... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2021-2022-Corrigé-Web-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 127 | 2,061 |
2022 | T1 | 1 | null | French_tests | Trouver tous les quadruplets de réels $(a, b, c, d)$ tels que
$$
a=b c+c d, b=c d+d a, c=d a+a b \text { et } d=a b+b c
$$ | Soit $(a, b, c, d)$ une solution éventuelle. Une première étape consiste à factoriser les membres de droite de nos égalités :
$$
a=c \times(b+d), b=d \times(a+c), c=a \times(b+d) \text { et } d=b \times(a+c) \text {. }
$$
Maintenant, si $a=0$, l'énoncé indique que $c=0 \times(b+d)=0$, puis que $b=d \times 0=0$ et que... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 54 | 724 |
2022 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle et $\Gamma$ son cercle circonscrit. Soit $A_{1}$ le milieu de l'arc $\widehat{B C}$ ne contenant pas $A ; B_{1}$ le milieu de l'arc $\overparen{C A}$ ne contenant pas $B ; C_{1}$ le milieu de l'arc $\overparen{A B}$ ne contenant pas $C$. Enfin, soit $A_{2}$ le point pour lequel $A B_{1} A_{2} C... | On cherche tout d'abord à démontrer que $O A_{2}=O B_{2}$. Puisque $A_{1} B_{2}=B C_{1}=A C_{1}=B_{1} A_{2}$ et que $A_{1} O=B_{1} O$, l'égalité $O A_{2}=O B_{2}$ équivaut au fait que les triangles $O A_{1} B_{2}$ et $O B_{1} A_{2}$ soient isométriques l'un de l'autre, c'est-à-dire au fait que $\widehat{O A_{1} B}=\wid... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 3"
} | 237 | 1,318 |
2022 | T1 | 4 | null | French_tests | Un jardinier et un pivert jouent au jeu suivant, dans leur jardin dont la forme est celle d'une grille $2022 \times 2022$ formée de $2022^{2}$ cases. Deux cases sont considérées comme voisines si elles ont un sommet ou une arête en commun. Initialement, chaque case abrite un arbre de taille 0 . Puis, à chaque tour de j... | Nous allons démontrer que l'entier recherché est $A=5 n=2271380$, où l'on a posé $n=674^{2}=(2022 / 3)^{2}$.
Tout d'abord, voici une stratégie pour le pivert. Il numérote les lignes et les colonnes de 1 à 2022, puis colorie en noir chaque case située dans une colonne $c$ et une ligne $\ell$ pour lesquelles 3 ne divise ... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 294 | 1,671 |
2022 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $a_{1}, a_{2}, \ldots$ des nombres réels strictement positifs tels que
$$
a_{n+1}^{2}+a_{n} a_{n+2} \leqslant a_{n}+a_{n+2}
$$
pour tout entier $n \geqslant 1$. Démontrer que $a_{2023} \leqslant 1$. | L'inégalité donnée dans l'énoncé et celle qu'il nous est demandé de démontrer suggèrent de s'intéresser aux termes de la forme $b_{n}=a_{n}-1$, car alors l'équation de l'énoncé se réécrit comme
$$
b_{n+1}\left(b_{n+1}+2\right)+b_{n} b_{n+2} \leqslant 0,
$$
et il s'agit de démontrer que $b_{2023} \leqslant 0$.
Soit $n... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 101 | 721 |
2022 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $A, B, C, D$ quatre points situés dans cet ordre sur un cercle $\omega$. Soit $P$ et $Q$ deux points situés sur la droite $(A B)$, de sorte que les points $Q, A, B, P$ soient alignés dans cet ordre, que le cercle circonscrit à $A D Q$ soit tangent à la droite ( $A C$ ), et que le cercle circonscrit à $B C P$ soit ... | $n^{\circ} 1$ Une fois n'est pas coutume, on peut utiliser brutalement des coordonnées cartésiennes. On identifie chaque point à ses coordonnées, puis on note $O$ et $O_{2}$ les centres des cercles circonscrits à $Q A D$ et à $Q A N$. On choisit en outre le repère de sorte que $A=(0,0)$ et $B=(1,0)$, puis on pose $C=(x... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 208 | 1,341 |
2022 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 1$ un entier. Morgane écrit au tableau, en base 10 , les nombres $2023,2023 \times 2, \ldots, 2023 \times n$. Pour tout chiffre $c$ compris entre 1 et 9 , elle note alors $\mathrm{d}_{c}(n)$ le nombre d'apparitions du chiffre $c$ sur le tableau. Par exemple, si $n=3$, elle écrit les nombres 2023, 4046... | Soit $k$ un multiple de $\varphi(2023)$, soit $\ell=\left(10^{k}-1\right) / 2023$. Nous allons démontrer que $\ell$ est une solution. Pour ce faire, on introduit l'ensemble
$$
\Omega=\{2023 n: 1 \leqslant n \leqslant \ell\}
$$
Les éléments de $\Omega$ décrivent précisément l'ensemble des résidus modulo $10^{k}-1$ qui... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 309 | 1,067 |
2022 | T1 | 8 | null | French_tests | Un jardinier et un pivert jouent au jeu suivant, dans leur jardin dont la forme est celle d'une grille $2022 \times 2022$ formée de $2022^{2}$ cases. Deux cases sont considérées comme voisines si elles ont un sommet ou une arête en commun. Initialement, chaque case abrite un arbre de taille 0 . Puis, à chaque tour de j... | Nous allons démontrer que l'entier recherché est $A=5 n=2271380$, où l'on a posé $n=674^{2}=(2022 / 3)^{2}$.
Tout d'abord, voici une stratégie pour le pivert. Il numérote les lignes et les colonnes de 1 à 2022, puis colorie en noir chaque case située dans une colonne $c$ et une ligne $\ell$ pour lesquelles 3 ne divise ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 294 | 1,004 |
2022 | T1 | 9 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle, et soit $E$ le milieu de $[B C]$. Soit $m$ la médiatrice de $[A C]$, et soit $D$ un point de $m$ tel que le cercle circonscrit à $A B D$ soit tangent à $m$. Enfin, soit $K$ le point d'intersection, autre que $A$, entre le cercle circonscrit à $A B D$ et la droite $(A C)$, et soit $F$ le milieu... | Une première difficulté est de tracer la figure : comment tracer un point tangent à une droite et passant par deux points donnés? Une stratégie usuelle, en pareil cas, est d'inverser le tracé : on commence par placer les points $A, B$ et $D$, puis on en déduit la tangente $m$ et le point $C$.
Notons maintenant $\Omega$... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-3.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 150 | 935 |
2022 | T1 | 10 | null | French_tests | Soit $k \geqslant 2$ un entier. Trouver le plus petit entier $n \geqslant k+1$ pour lequel il existe un ensemble $E$ de $n$ réels, deux à deux distincts, dont chaque élément peut s'écrire comme la somme de $k$ autres éléments de $E$, qui sont eux-mêmes deux à deux distincts. | Soit $n$ un entier et $E$ un ensemble tels que décrits dans l'énoncé. On trie les éléments de $E$ dans l'ordre croissant : ce sont $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{k}$. Enfin, soit $s$ la somme de tous les éléments de $S$.
Puisque $x_{1} \geqslant x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{k+1}$ et $x_{n} \leqslant x_{n-1-k}+x_{n-k}+\cdots+x_{n-1}$,... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 10"
} | 91 | 1,127 |
2022 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. Démontrer que
$$
4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\right) \geqslant 3(a+1)(b+1)(c+1) .
$$ | Dans cette inégalité, les termes en $a, b$ et $c$ sont additionnés les uns aux autres (et de degré 3) dans le membre de gauche, tandis qu'ils sont multipliés les uns aux autres (et chacun de degré 1) dans le membre de droite. Une première idée est donc d'utiliser l'inégalité arithmético-géométrique pour se retrouver, d... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 69 | 845 |
2022 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$ dont tous les angles sont aigus, et soit $D$ un point situé sur le segment $[B C]$. Soit $\ell$ la droite parallèle à $(B C)$ passant par $A$, puis $X$ le point de $\ell$ pour lequel $(X D)$ est perpendiculaire à $(B C)$, et $\Gamma$ le cercle de centre $X$ passant par $D$. Le ce... | Notons $T$ le point d'intersection des bissectrices de $\widehat{E Y A}$ et $\widehat{F Z A}, U$ le point d'intersection des droites $(E Y)$ et $(F Z)$, et $\mathcal{C}$ le cercle de rayon $[A U]$. Puisque les angles $\widehat{U E A}$ et $\widehat{A F U}$ sont droits, $E$ et $F$ appartiennent à $\mathcal{C}$.
Par aille... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 251 | 1,171 |
2022 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle dont tous les angles sont aigus. Soit $F$ le pied de la hauteur de $A B C$ issue de $A$, et soit $P$ un point situé sur le segment $[A F]$. On note $D$ le point de ( $B C)$ tel que $(P D)$ soit parallèle à $(A C)$, puis $X$ le point où se recoupent le cercle circonscrit à $A B D$ et le cercle d... | Dans un tel problème, le plus simple est d'essayer d'éliminer au mieux les points qui pourraient s'avérer peu utiles pour la suite. Ici, c'est par exemple le cas du point $P$, qui ne sert qu'à construire les points $D$ et $E$ en tant qu'images de $B$ et $C$ par une même homothétie de centre $F$. Ainsi, $F E \times F C=... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-4.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 218 | 805 |
2022 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 1$ un entier. Morgane dispose initialement de $n$ piles dont chacune contient une pièce. Elle s'autorise ensuite des opérations de la forme suivante : elle choisit deux piles, prélève autant de pièces de la première pile que de la deuxième, et forme une nouvelle pile avec les pièces qu'elle a prélevée... | Si $n$ est une puissance de 2, Morgane peut se débrouiller pour n'obtenir qu'une seule pile, en procédant comme suit : elle fusionne les $n$ piles de taille 1 en $n / 2$ piles de taille 2 , puis fusionne ces $n / 2$ piles en $n / 4$ piles de taille 4 , et ainsi de suite.
Réciproquement, lorsque Morgane extrait $k$ pièc... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 125 | 1,568 |
2022 | T1 | 7 | null | French_tests | Trouver tous les entiers $n \geqslant 2$ pour lesquels il existe un nombre réel $r>0$ et $n$ nombres réels $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ tels que les $n(n-1) / 2$ différences $a_{j}-a_{i}$ obtenues lorsque $1 \leqslant i<j \leqslant n$ sont égales, à l'ordre près, aux nombres $r^{1}, r^{2}, \ldots, r^{n(n-1) / 2}$. | Dans un tel problème, il est indispensable de commencer par étudier les petits cas.
$\triangleright$ Lorsque $n=2$, il suffit de choisir $a_{1}=0$ et $a_{2}=r=1$. Par conséquent, $n=2$ convient.
$\triangleright$ Lorsque $n=3$, il suffit de choisir $a_{1}=0, a_{2}=r=\phi$ et $a_{3}=\phi^{3}$, où $\phi=(1+\sqrt{5}) / 2$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 138 | 2,283 |
2022 | T1 | 7 | null | French_tests | Trouver tous les entiers $n \geqslant 2$ pour lesquels il existe un nombre réel $r>0$ et $n$ nombres réels $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ tels que les $n(n-1) / 2$ différences $a_{j}-a_{i}$ obtenues lorsque $1 \leqslant i<j \leqslant n$ sont égales, à l'ordre près, aux nombres $r^{1}, r^{2}, \ldots, r^{n(n-1) / 2}$. | $n^{\circ} 1$ On montre comme dans la solution précédente que les entiers $n=2$, $n=3$ et $n=4$ conviennent, et que l'on peut supposer que $r>1$. On pose également $m=n(n-1) / 2$.
On considère maintenant une solution $n \geqslant 4$, et des réels $a_{i}$ et $r$ adaptés. On note $\mathrm{p}(i, j)$ l'entier pour lequel $... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 138 | 3,567 |
2022 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle tel que $\widehat{C A B}<\widehat{A B C}<\widehat{B C A}<90^{\circ}$. Soit $\omega$ le cercle circonscrit à $A B C, \gamma_{a}$ le cercle de centre $A$ et de rayon $[A C]$, et $\gamma_{b}$ le cercle de centre $B$ et de rayon $[B C]$. Enfin, soit $D$ le point d'intersection, autre que $C$, entre... | Par construction, $(C E)$ est l'axe radical des cercles $\gamma_{a}$ et $\gamma_{b}$, donc $C$ et $E$ sont symétriques l'un de l'autre par rapport à $(A B)$. En outre, on sait que $B C=B D=B E$. On dispose donc de multiples égalités d'angles et de longueurs, et la manière la plus simple d'obtenir l'alignement recherché... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 1"
} | 184 | 589 |
2022 | T1 | 2 | null | French_tests | Anna et Baptiste joue au jeu suivant. Au début du jeu sont placées devant eux 2022 cases blanches, numérotées de 1 à 2022. Puis, chacun son tour, en commençant par Anna, ils choisissent une case blanche et la colorient de la couleur de leur choix : soit en rouge, soit en bleu. La partie s'arrête au bout de 2022 tours d... | Pour plus de simplicité, on dira que deux entiers $a$ et $b$ sont amis si $a=b \pm 3$. On dira que $a$ est joli si $a=b-3$ et si $a$ et $b$ sont coloriés de la même couleur, et que $a$ est laid si $a=b-3$ et si $a$ et $b$ s'ils sont coloriés de couleurs différentes : Anna souhaite donc maximiser le nombre d'entiers jol... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 239 | 1,471 |
2022 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 1$ un entier. Bosphore a écrit $n$ fois le nombre 2 au tableau. Il effectue ensuite, $n-1$ fois d'affilée, l'opération suivante : il choisit deux nombres écrits au tableau, qu'il appelle $a$ et $b$, puis les efface et écrit le nombre $\sqrt{(a b+1) / 2}$ à la place. Enfin, il appelle $x$ le nombre écr... | Dans la suite, notons $x_{n}$ le plus petit réel $x$ auquel peut aboutir Bosphore en partant de $n$ entiers égaux à 2 , et posons $y_{n}=\sqrt{(n+3) / n}$. Il s'agit de démontrer que $x_{n} \geqslant y_{n}$, avec égalité une infinité de fois et inégalité stricte une infinité de fois. Une étude des petits cas suggère la... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 236 | 1,567 |
2022 | T1 | 5 | null | French_tests | Une suite olympique est une suite $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{2023}$ dont chacun des 2023 termes est égal à 1 ou à -1 . Une suite peu croissante est une suite d'entiers $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}$ telle que $1 \leqslant t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n} \leqslant 2023$, et dont chacune des $n-1$ différences $t_{i+1}-t_{i}$ vaut... | Une étude des petits cas nous pousse à nous intéresser à la suite $\left(s_{i}\right)$ dont les termes valent $+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1, \ldots$, et qui semble être un «pire» cas. On la subdivise en 1011 blocs de longueur 2 , notés $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{1011}$, et un bloc $B_{1012}$ de longueur 1 : la suite vaut $(-... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 275 | 1,382 |
2022 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $a \geqslant 2$ et $d \geqslant 2$ deux entiers premiers entre eux. On pose $x_{1}=1$; puis, pour tout entier $k \geqslant 1$, on pose $x_{k+1}=x_{k} / a$ si $a$ divise $x_{k}$, et $x_{k+1}=x_{k}+d$ sinon.
Trouver, en fonction de $a$ et de $d$, l'entier $\ell$ maximal pour lequel $a^{\ell}$ divise l'un des termes ... | Pour tout entier $n \geqslant 1$, soit $f(n)$ le plus petit entier tel que $a f(n) \geqslant n$ et $a f(n) \equiv n(\bmod d)$, et soit $\delta(n)=(a f(n)-n) / d$. Par construction, si l'on dispose d'un terme $x_{k}=n$ de la suite, les termes suivants de la suite seront $x_{k+1}=n+d, x_{k+2}=n+2 d, \ldots$, $x_{k+\delta... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrige-Test-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 157 | 1,174 |
2022 | T1 | 1 | null | French_tests | Pour tout entier $k \geqslant 0$, on note $a_{k}$ le premier chiffre du nombre $2^{k}$, écrit en base 10. Par exemple, $a_{5}=3$ est le premier chiffre de $2^{5}=32$.
Soit $n \geqslant 1$ un entier. Démontrer que, parmi les chiffres de 1 à 9 , il y en a un qui est égal à au plus $n / 17$ des $n$ chiffres $a_{0}, a_{1},... | Soit $\mathrm{c}(k)$ le nombre de fois où le chiffre $k$ figure parmi les chiffres $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$. Lorsque $a_{i} \geqslant 2$, on sait que $i \geqslant 1$ et que $a_{i-1}=\left\lfloor a_{i} / 2\right\rfloor$.
Ainsi, pour tout chiffre $k \leqslant 5$, on a $a_{i}=k$ si et seulement si $a_{i+1}=2... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 147 | 525 |
2022 | T1 | 1 | null | French_tests | Pour tout entier $k \geqslant 0$, on note $a_{k}$ le premier chiffre du nombre $2^{k}$, écrit en base 10. Par exemple, $a_{5}=3$ est le premier chiffre de $2^{5}=32$.
Soit $n \geqslant 1$ un entier. Démontrer que, parmi les chiffres de 1 à 9 , il y en a un qui est égal à au plus $n / 17$ des $n$ chiffres $a_{0}, a_{1},... | $n^{\circ} 1$ Reprenons les notations de la solution précédente. Pour tout événement $\mathbf{E}$, on notera $\mathbf{1}_{\mathrm{E}}$ l'entier qui vaut 1 lorsque $\mathbf{E}$ se produit, et 0 sinon.
Pour tout chiffre $k \leqslant 5$, on a
$$
\mathrm{c}(k)=\mathrm{c}(2 k)+\mathrm{c}(2 k+1)+\mathbf{1}_{a_{n-1}=k} .
$$
... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 147 | 545 |
2022 | T1 | 1 | null | French_tests | Pour tout entier $k \geqslant 0$, on note $a_{k}$ le premier chiffre du nombre $2^{k}$, écrit en base 10. Par exemple, $a_{5}=3$ est le premier chiffre de $2^{5}=32$.
Soit $n \geqslant 1$ un entier. Démontrer que, parmi les chiffres de 1 à 9 , il y en a un qui est égal à au plus $n / 17$ des $n$ chiffres $a_{0}, a_{1},... | $n^{\circ} 2$ Réutilisons une fois de plus les notations des solutions précédentes. Cette fois-ci, on découpe la suite en sous-suites croissantes dont le dernier élément vaut 1
et le dernier élément vaut au moins 5 . Il s'agit des cinq sous-suites de la forme $1,2,4,8$; $1,2,4,9 ; 1,2,5 ; 1,3,6$; et $1,3,7$.
Comme chac... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 147 | 1,962 |
2022 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $A B C D$ un parallélogramme et soit $G$ le centre de gravité du triangle $A B D$. Soit $P$ et $Q$ les points de la droite $(B D)$ tels que les droites $(G P)$ et $(P C)$ sont perpendiculaires et les droites $(G Q)$ et $(Q C)$ sont perpendiculaires.
Démontrer que la droite $(A G)$ est la bissectrice de l'angle $\w... | Tout d'abord, puisque $A B C D$ est un parallélogramme, la médiane $(A G)$ du triangle $A B D$ et la diagonale $(A C)$ passent toutes deux par le milieu $N$ de $[B D]$.
Puisque $C G P$ et $C G Q$ sont rectangles en $P$ et en $Q$, les points $P$ et $Q$ sont les deux points d'intersection de $(B D)$ avec le cercle de dia... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 121 | 922 |
2022 | T1 | 3 | null | French_tests | On dit qu'un entier $n \geqslant 1$ est nippon s'il admet trois diviseurs $d_{1}, d_{2}$ et $d_{3}$ tels que $1 \leqslant d_{1}<d_{2}<d_{3}$ et $d_{1}+d_{2}+d_{3}=2022$.
Quel est le plus petit entier nippon? | Tout d'abord, on remarque que $2 \times 2019$ est nippon, puisque les entiers 1, 2 et 2019 figurent parmi ses diviseurs.
Soit $n$ l'entier nippon minimal : il s'agit du PPCM des entiers $d_{1}, d_{2}$ et $d_{3}$. On pose alors $a_{k}=n / d_{k}$, de sorte que $1 \leqslant a_{3}<a_{2}<a_{1}$, que $\operatorname{PGCD}\lef... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2022-2023-Corrigé-Web-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 97 | 1,004 |
Subsets and Splits
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