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values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2012 | T1 | 8 | null | French_tests | Soit $\mathrm{n}>0$ un entier. Anne écrit au tableau n entiers strictement positifs distincts. Bernard efface alors certains de ces nombres (éventuellement aucun, mais pas tous). Devant chacun des nombres restants, il écrit un + ou un -, et effectue l'addition correspondante. Si le résultat est divisible par 2013, c'es... | Montrons que si $n \geqslant 11$ alors Bernard a une stratégie gagnante. En effet, si $x_{1}, \ldots, x_{n}$ sont des nombres entiers, d'après le principe des tiroirs les restes modulo 2013 des entiers de la forme $a_{1} \chi_{1}+$ $\cdots+a_{n} x_{n}\left(a_{i} \in\{0,1\}\right)$ ne peuvent pas être tous distincts pui... | {
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2012 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante et non constante d'entiers strictement positifs tels que $a_{n}$ divise $n^{2}$ pour tout $n \geqslant 1$. Prouver que l'une des affirmations suivantes est vraie:
a) Il existe un entier $n_{1}>0$ tel que $a_{n}=n$ pour tout $n \geqslant n_{1}$.
b) Il exi... | Tout d'abord, puisque pour tout entier $n$, on a $a_{n} \in \mathbb{N}^{*}$, et que la suite ( $a_{n}$ ) est croissante et non constante, il existe un entier $n_{0}$ tel que $a_{n} \geqslant 2$ pour tout $n \geqslant n_{0}$. Par conséquent, pour tout nombre premier $p>n_{0}$, on a $a_{p}=p$ ou $a_{p}=p^{2}$.
- Supposo... | {
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2012 | T1 | 4 | null | French_tests | Dans le plan, on considère l'ensemble $S$ des points de coordonnées $(x, y)$, où $x, y \in$ $\{1,2, \ldots, 2013\}$. Deux points de $S$ sont dits voisins s'ils sont à une distance 1 l'un de l'autre. A chaque seconde, une mouche et des araignées se déplacent sur les points de $S$ de la façon suivante : tout d'abord, la ... | Une seule araignée ne peut attraper la mouche : en effet, la mouche peut attendre jusqu'à ce que l'araignée soit sur un point voisin de celui sur lequel elle se trouve. A partir de ce moment, elle se déplace à chaque fois sur un point diagonalement opposé à celui sur lequel est l'araignée si celle-ci est sur un point v... | {
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2012 | T1 | 6 | null | French_tests | 1) Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a^{n}+b^{n}$ est un entier pour $n=1,2,3,4$. Montrer que $a^{n}+b^{n}$ est un entier pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$.
2) Est-il vrai que si $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a^{n}+b^{n}$ est un entier pour $\boldsymbol{n}=1,2,3$ alors $a^{n}+b^{n}$ est un en... | 1) Notons $s=a+b$ et $p=a b$. Soit $S_{n}=a^{n}+b^{n}$. Par hypothèse, $S_{n}$ est un entier pour $1 \leqslant n \leqslant 4$. Comme pour tout $\mathrm{n} \geqslant 1$ on a
$$
S_{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}=(a+b)\left(a^{n}+b^{n}\right)-a b\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)=S_{1} S_{n}-p S_{n-1},
$$
si on montre que $p$ est un en... | {
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2012 | T1 | 7 | null | French_tests | Partant d'un triplet d'entiers relatifs $(x, y, z)$, une opération consiste à ajouter à l'un de ces trois entiers un multiple de l'un des deux autres (ce multiple peut être positif ou négatif). Prouver que si $a, b, c$ sont des entiers premiers entre eux dans leur ensemble, on peut passer du triplet ( $a, b, c$ ) au tr... | Si $b$ et $c$ sont nuls alors, puisque $\operatorname{pgcd}(a, b, c)=1$, on doit avoir $a=1$ ou $a=-1$. Dans le premier cas, il n'y a rien à faire. Dans le second, par trois opérations successives, on peut passer de $(-1,0,0)$ à $(-1,1,0)$, puis à $(1,1,0)$ et enfin à $(1,0,0)$.
On peut donc supposer que b ou c est no... | {
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} | 111 | 961 |
2012 | T1 | 8 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle. Soient $D \in[A C]$ et $E \in[A B]$ tels que $B E=C D$. Soit $P$ le point d'intersection de (BD) et ( $C E$ ). Les cercles circonscrits à BEP et CDP se recoupent en Q. Soient $K$ et $L$ les milieux respectifs de [BE] et [CD]. Soit R l'intersection entre la perpendiculaire à (QK) passant par K ... | Rappelons d'abord la méthode de construction du centre d'une similitude directe qui envoie deux points distincts $A$ et $B$ sur deux points distincts $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ respectivement.
Supposons que $A \neq A^{\prime}, B \neq B^{\prime}$, et que les droites $\left(A A^{\prime}\right)$ et $\left(B B^{\prime}\... | {
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} | 188 | 1,299 |
2012 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $k \geqslant 2$ un entier.
1) Soit $n>k$ un entier.
Existe-t-il $n$ entiers strictement positifs tels que $k$ quelconques ne sont jamais premiers entre eux dans leur ensemble, mais $k+1$ quelconques sont toujours premiers entre eux dans leur ensemble?
2) Existe-t-il une suite infinie d'entiers strictement positi... | 1) Soit $A$ l'ensemble des parties de $\{1, \ldots, n\}$ de cardinal $k$. Comme l'ensemble des nombres premiers est infini, il existe une famille $\left(p_{I}\right)_{I \in A}$ de nombres premiers deux à deux distincts indexée par $A$. Pour tout $i$, notons $A(i)$ l'ensemble des parties $I$ de $\{1, \ldots, n\}$ de car... | {
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2012 | T1 | 4 | null | French_tests | Déterminer tous les entiers naturels $m, n$ et tous les nombres premiers $p$ tels que
$$
m\left(4 m^{2}+m+12\right)=3\left(p^{n}-1\right)
$$ | On récrit l'équation sous la forme
$$
3 p^{n}=4 m^{3}+m^{2}+12 m+3=(4 m+1)\left(m^{2}+3\right)
$$
On en déduit qu'il existe $u, v, a, b$ entiers naturels tels que $4 m+1=3^{u} p^{a}$ et $m^{2}+3=3^{v} p^{b}$ avec $u+v=1$ et $a+b=n$.
Si $m=0$, l'équation devient $3 p^{n}=3$, donc $n=0$ et tout nombre premier convient.... | {
"problem_match": "## Exercice 4.",
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2013 | T1 | 2 | null | French_tests | Sur une droite se trouvent 400 points bleus et 200 points verts. Montrer que l'on peut trouver un segment qui contient exactement 200 points bleus et 100 points verts. | Notons $A_{1}, \ldots, A_{600}$ les points de la droite, alignés dans cet ordre. Il s'agit de montrer qu'il existe un entier $k \in\{0, \ldots, 300\}$ tel que, parmi les points $A_{k+1}, \ldots, A_{k+300}$, il y en a exactement 100 verts (il y en aura alors forcément 200 bleus).
Introduisons la fonction $\mathrm{f}:\{0... | {
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2013 | T1 | 4 | null | French_tests | Soient deux cercles extérieurs $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}$ de centres $O$ et $\mathrm{O}^{\prime}$. On mène deux rayons parallèles de même sens $[O M]$ et $\left[O^{\prime} M^{\prime}\right]$, et deux autres rayons parallèles de même sens [OP] et $\left[\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{P}^{\prime}\right]$. La dr... | Les triangles OMP et $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{M}^{\prime} \mathrm{P}^{\prime}$ sont isocèles en O et $\mathrm{O}^{\prime}$ respectivement. De plus, les angles $(\overrightarrow{\mathrm{OM}}, \overrightarrow{\mathrm{OP}})$ et $\left(\overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{M}^{\prime}}, \overrightarrow{\mathrm{O}... | {
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} | 192 | 558 |
2013 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $n>0$ un entier, et $a, b, c$ des entiers strictement positifs tels que
$$
(a+b c)(b+a c)=19^{n}
$$
Prouver que n est pair. | Procédons par l'absurde, et supposons qu'il existe un triplet ( $a, b, c$ ) tel que $(\mathrm{a}+\mathrm{bc})(\mathrm{b}+\mathrm{ac})=19^{\mathrm{n}}$, où $n$ est un entier impair. Sans perte de généralité, on peut supposer que $a \geqslant b$ et que la somme $a+b+c$ est minimale.
Puisque 19 est premier, on sait que $b... | {
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2013 | T1 | 6 | null | French_tests | Soient $n$ et $p$ des entiers $\geqslant 1$. Dans une assemblée de $n$ personnes, deux personnes quelconques ont au plus $p$ connaissances communes ; bien sûr, si A connaît B, alors B connaît $A$. Montrer que le nombre de paires non ordonnées $\{A, B\}$ de personnes qui se connaissent est inférieur ou égal à $\sqrt{\ma... | Notons $A_{1}, \cdots, A_{n}$ les personnes et, considérons le graphe simple et non orienté dont les sommets sont les $A_{i}$, et où deux personnes $A_{i}$ et $A_{j}$ sont reliées par une arête si et seulement si elles se connaissent.
Pour tout $i$, notons $d_{i}$ le degré de $A_{i}$ (c'est-à-dire le nombre de personne... | {
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} | 105 | 633 |
2013 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $n \geqslant 1$ un entier. Déterminer tous les entiers $p \geqslant 1$ pour lesquels il existe des entiers strictement positifs $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}$ tels que
$$
\frac{1}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}+\cdots+\frac{n}{x_{n}}=p
$$ | Nous allons montrer que l'ensemble des solutions est l'ensemble $\{1,2, \ldots, n\}$. Soient $p \geqslant 1$ un entier et des entiers strictement positifs $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}$ tels que
$$
\frac{1}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}+\cdots+\frac{n}{x_{n}}=p
$$
On remarque tout d'abord que $p \leqslant n$. En effet, si $i$ e... | {
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} | 101 | 615 |
2013 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle dont les angles sont aigus, et tel que $A B \neq A C$. On note $D$ le pied de la bissectrice de $\widehat{B A C}$. Le point $E$ (resp. $F$ ) désigne le pied de la hauteur issue de $B$ (resp. de C). Le cercle circonscrit au triangle DBF rencontre le cercle circonscrit au triangle DCE en un point... | Lemme 1. Les cercles AEF, BDF et CDE sont concourants en $M$.
Cela découle immédiatement du théorème de Miquel mais rappelons tout de même la démonstration:
$(M F, M E)=(M F, M D)+(M D, M E)=(B F, B D)+(C D, C E)=(A B, C D)+(C D, A C)=$ ( $A B, A C$ ) donc $A, E, F, M$ sont cocycliques.
Lemme 2. Les triangles $A E F$ ... | {
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} | 127 | 1,229 |
2013 | T1 | 5 | null | French_tests | On dit qu'une suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est Sicilienne si $u_{1}$ est un entier strictement positif, et si pour tout $n$,
$$
u_{n+1}= \begin{cases}u_{n} / 2 & \text { si } u_{n} \text { est pair, et } \\ u_{n}+\left[\sqrt{u_{n}}\right] & \text { si } u_{n} \text { est impair. }\end{cases}
$$
Existe-t... | Commençons par une simple remarque. Soit $\mathrm{f}: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ la fonction qui, à tout entier naturel non nul $n$, associe l'entier $n / 2$ si $n$ est pair, et $n+[\sqrt{n}]$ si $n$ est impair. Il est clair que l'image $f(n)$ est bien un entier naturel non nul.
Nous allons maintenant ... | {
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} | 204 | 1,153 |
2013 | T1 | 6 | null | French_tests | Déterminer tous les couples d'entiers positifs ou nuls $(x, y)$ pour lesquels $x^{2}+y^{2}$ divise à la fois $x^{3}+y$ et $x+y^{3}$. | Tout d'abord, remarquons que les couples $(x, y) \in\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ sont solutions.
On se place maintenant dans le cas où $(x, y)$ est une solution éventuelle autre que celles-ci. De plus, $x$ et $y$ jouant des rôles symétriques, on suppose ici que $x \leqslant y$, donc que $y \geqslant 2$. Si $x=0$, le p... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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} | 55 | 583 |
2013 | T1 | 7 | null | French_tests | On répartit des poids de respectivement $1 \mathrm{~g}, 2 \mathrm{~g}, \ldots, 200 \mathrm{~g}$ sur les deux plateaux d'une balance de sorte que chaque plateau contienne 100 poids.
Prouver que l'on peut échanger 50 poids d'un plateau avec 50 poids de l'autre plateau pour que la balance devienne équilibrée. | Dans cette solution, on dira que deux poids sont complémentaires s'ils pèsent 201 grammes à eux deux.
Considérons alors les 100 poids situés sur le plateau de gauche. On peut les classer en trois catégories:
1. les poids $a_{1}, \ldots, a_{n}$ de 100 grammes ou moins, dont le complémentaire est également sur le plate... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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} | 97 | 760 |
2013 | T1 | 3 | null | French_tests | Montrer qu'il existe une infinité d'entiers positifs $n$ tels que le plus grand facteur premier de $n^{4}+n^{2}+1$ soit égal au plus grand facteur premier de $(n+1)^{4}+(n+1)^{2}+1$. | Pour tout $n \geq 1$, on note $p_{n}$ le plus grand diviseur premier de $n^{4}+n^{2}+1$, et $q_{n}$ le plus grand diviseur premier de $n^{2}+n+1$.
On donc $p_{n}=q_{n^{2}}$.
De plus, de l'identité
$$
n^{4}+n^{2}+1=\left(n^{2}+n+1\right)\left(n^{2}-n+1\right)=\left(n^{2}+n+1\right)\left((n-1)^{2}+(n-1)+1\right)
$$
il ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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} | 69 | 792 |
2013 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $n$ un entier strictement positif et $x_{1}, \ldots, x_{n}$ des réels strictement positifs. Montrer qu'il existe des nombres $a_{1}, \ldots, a_{n} \in\{-1,1\}$ tels que :
$$
a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2} \geqslant\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}\right)^{2} .
$$ | Commençons par ordonner les réels $x_{k}$ de sorte à ce que $x_{1} \geq x_{2} \geq \ldots \geq x_{n}>0$.
Montrons par récurrence forte qu'une solution est fournie par la suite de coefficients définie par $a_{k}=1$ si $k$ est impair et $a_{k}=-1$ si $k$ est pair.
$\triangleright \operatorname{Si} n=1, a_{1} x_{1}^{2}=\l... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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} | 148 | 846 |
2014 | T1 | 2 | null | French_tests | Déterminer tous les polynômes P à coefficients dans $\mathbb{Z}$ tels que, pour tous $p$ premier et $u$ et $v$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $p \mid u v-1$ on ait : $p \mid P(u) P(v)-1$. | Soit f un tel polynôme, et $\mathrm{n} \geqslant 0$ son degré. Clairement $\mathrm{f} \mathrm{n}^{\prime}$ est pas le polynôme nul.
Posons $g(X)=X^{n} f\left(\frac{1}{X}\right)$. Alors $g$ est un polynôme à coefficients entiers.
Soit $x$ un entier non nul, et $p$ un nombre premier avec $p>\max \left(|x|,\left|f(x) g(x)... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
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} | 72 | 540 |
2014 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle non isocèle en $A$ et $\Gamma$ son cercle circonscrit. Soit $N$ le milieu de l'arc de $\Gamma$ entre $B$ et $C$ qui contient $A$. Soient $I$ le centre du cercle inscrit à $A B C, J$ le centre du cercle $A$-exinscrit à $A B C$ et $K$ le point d'intersection de ( $B C)$ avec la bissectrice extéri... | Notons $\mathrm{J}_{\mathrm{b}}$ et $\mathrm{J}_{\mathrm{c}}$ les centres des cercles exinscrits dans les angles $\widehat{\mathrm{B}}$ et $\widehat{\mathrm{C}}$. Alors I est l'orthocentre de $J_{b} J_{c}$. En utilisant le fait que $B$ et $C$ sont sur le cercle de diamètre $J_{b} J_{c}$, et que $A, B, C, N$ sont cocycl... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 3"
} | 146 | 826 |
2014 | T1 | 4 | null | French_tests | Déterminer tous les polynômes P et Q à coefficients entiers tels que, si l'on définit la suite $\left(x_{n}\right)$ par $x_{0}=2015, x_{2 n+1}=P\left(x_{2 n}\right)$ et $x_{2 n+2}=\mathrm{Q}\left(x_{2 n+1}\right)$ pour tout $n \geqslant 0$, alors tout entier $\mathrm{m}>0$ divise au moins un terme non nul de la suite. | Soit P et Q deux tels polynômes.
On dira qu'une suite $\left(\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)$ d'entiers possède la propriété D si tout entier $\mathrm{m}>0$ divise au moins un terme non nul de cette suite. On dira qu'un polynôme T à coefficients entiers possède la propriété D s'il existe un entier a tel que la suite $\l... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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} | 123 | 2,376 |
2014 | T1 | 3 | null | French_tests | On dit qu'un entier strictement positif $n$ est amusant si pour tout diviseur strictement positif $d$ de $n$, l'entier $d+2$ est premier. Déterminer tous les entiers amusants dont le nombre de diviseurs est maximum. | Soit $n$ un entier amusant et $p$ un diviseur premier de $n$. Alors $p$ est impair, puisque $p+2$ est premier.
Supposons que $p \geqslant 5$. Alors $p+2$ est premier, et $p+2>3$, donc $p+2$ n'est pas divisible par 3. On en déduit que $p$ n'est pas congru à 1 modulo 3 . Il est clair que $p \mathrm{n}^{\prime}$ est pas ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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} | 66 | 861 |
2014 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $n$ un entier strictement positif tel que $n(n+2015)$ est le carré d'un entier.
a) Prouver que $n$ n'est pas un nombre premier.
b) Donner un exemple d'un tel entier $n$. | a) Supposons que $n$ est premier et qu'il existe un entier $m$ vérifiant $n(n+2015)=m^{2}$. Alors $n$ divise $m^{2}$, donc $n$ divise $m$. On peut donc écrire $m=n r$. Il vient $n(n+2015)=n^{2} r^{2}$, puis $n+2015=n r^{2}$. Par conséquent, $2015=n r^{2}-n=n\left(r^{2}-1\right)$ est divisible par $n$.
Or, $2015=5 \time... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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} | 62 | 565 |
2014 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $A B C D$ un trapèze tel que $(A B) / /(C D)$. Deux cercles $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sont situés à l'intérieur du trapèze de sorte que $\omega_{1}$ est tangent à $(D A),(A B),(B C)$ et $\omega_{2}$ est tangent à $(B C),(C D),(D A)$. Soit $d_{1}$ une droite passant par $A$, autre que $(A D)$, tangente à $\omega... | Par continuité, on peut supposer que $A B \neq C D$. De plus, quitte à échanger $A$ et $B$ avec $C$ et $D$, ainsi que $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$, on peut supposer $A B>C D$.
Soit $E$ l'intersection de $(A D)$ et $(B C)$. Supposons que $(C D)$ coupe $\omega_{1}$.
On note $P, Q, R, S$ les points de contact de $\omega_... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 170 | 609 |
2014 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $a, b, c, n$ des entiers, avec $n \geq 2$. Soit $p$ un nombre premier qui divise $a^{2}+a b+b^{2}$ et $a^{n}+b^{n}+c^{n}$, mais qui ne divise pas $a+b+c$.
Prouver que $n$ et $p-1$ ne sont pas premiers entre eux. | Si $p$ divise $a$ et $b$, alors $p$ divise $c^{n}$ donc $p$ divise $c$, ce qui contredit la dernière assertion. Donc, quitte à échanger $a$ et $b$, on suppose que $p$ ne divise pas $b$. Quitte à multiplier $a, b, c$ par un inverse de $b$ modulo $p$, on peut supposer que $b=1$ et donc
$$
p\left|a^{2}+a+1, \quad p\right... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2014-2015-ofm-2014-2015-test-janvier-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 97 | 740 |
2015 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}$ des réels tels que $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}=0$.
Prouver qu'il existe au moins $2 n-1$ couples $\left(a_{i}, a_{j}\right)$ avec $i<j$ tels que $a_{i}+a_{j} \geqslant 0$. | Sans perte de généralité, on peut supposer que $a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{2 n}$. On distingue deux cas :
- Si $a_{n}+a_{2 n-1} \geq 0$ alors on a $a_{i}+a_{2 n-1} \geq 0$ pour $i=n, \cdots, 2 n-2$, et $a_{i}+a_{2 n} \geq 0$ pour $i=n \cdots, 2 n-1$. Cela fournit bien $2 n-1$ sommes positives ou nulles.
- Si... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-decembre-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 100 | 1,060 |
2015 | T1 | 3 | null | French_tests | Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^{*}$, on note $v_{3}(n)$ la valuation 3 -adique de $n$, c'est-à-dire le plus grand entier $k$ tel que $n$ est divisible par $3^{k}$. On pose $u_{1}=2$ et $u_{n}=4 v_{3}(n)+2-\frac{2}{u_{n-1}}$ pour tout $n \geqslant 2$ (si tant est que $u_{n-1}$ soit défini et non nul).
Montrer que, p... | Tout d'abord, notons que $u_{1}=2, u_{2}=1, u_{3}=3, u_{4}=\frac{3}{2}, u_{5}=\frac{2}{3}$ et $u_{6}=3$. On prouve par récurrence que, pour tout entier $n \geq 2$, on a $0<u_{n}$ et
$$
0<u_{3 n-1}<1<u_{3 n-2}<2<u_{3 n}=2+u_{n}:
$$
c'est déjà vrai pour $n=2$.
Puisque $u_{3 n}=u_{n}+2$, on montre successivement que $u_... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-decembre-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 3"
} | 175 | 1,025 |
2015 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $n \geq 1$ un entier. Un groupe de $2 n$ personnes se réunit. Chacune de ces personnes possède au moins $n$ amies dans ce groupe (en particulier, si $A$ est amie avec $B$ alors $B$ est amie avec $A$, et on n'est pas ami avec soi-même). Prouver que l'on peut disposer ces $2 n$ personnes autour d'une table ronde de ... | Considérons une disposition arbitraire des invités :
AB.... $A$.
où $A, B$ désignent des personnes différentes, mais les deux $A$ représentent la même personne (on est autour d'une table ronde).
Dans ce qui suit, on considérera la disposition comme une suite de personnes, ordonnée de gauche à droite.
Si deux voisins ne... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 117 | 627 |
2015 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$, dont l'angle en $A$ n'est pas droit. Soit $D$ le point de $(B C)$ tel que $(A D) \perp(A B)$. Soit $E$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(A C)$. Soit enfin $H$ le milieu de $[B C]$. Montrer que $A H=H E$. | Tout d'abord, comme les angles $\widehat{A H D}$ et $\widehat{A E D}$ sont droits, les points $A, H, E, D$ sont sur le cercle de diamètre $[A D]$.
Notons $\theta=\widehat{C B A}=\widehat{A C B}$. Comme $A H C$ est rectangle en $H, \widehat{H A C}=90^{\circ}-\theta$. Comme $B A D$ est rectangle en $A, \widehat{A D B}=90... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 1"
} | 99 | 528 |
2015 | T1 | 3 | null | French_tests | On considère 7 îles $A_{1}, \ldots, A_{7}$. On est autorisé à construire des ponts, soit entre une île $A_{i}$ et l'île suivante $A_{i+1}$ (pour $i \in\{1,2, \ldots, 6\}$ ), soit entre une île $A_{i}$ et la dernière $A_{7}$ (pour $i \in\{1,2, \ldots, 6\}$ ). De combien de manières peut-on réaliser ces constructions ave... | On dira qu'une configuration est bonne si elle satisfait les conditions de l'énoncé.
Notons $a_{n}$ le nombre de bonnes configurations avec $n$ îles. On a $a_{1}=a_{2}=1$ et $a_{3}=3$.
Partant d'une bonne configuration avec $n$ îles telle que $A_{n-1}$ et $A_{n}$ ne soient pas reliées, alors $A_{n-1}$ et $A_{n-2}$ sont... | {
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 280 | 534 |
2015 | T1 | 5 | null | French_tests | a) Trouver tous les entiers $m \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$ tels que $\frac{5^{m}+2^{n+1}}{5^{m}-2^{n+1}}$ soit le carré d'un entier.
b) Plus généralement, trouver tous les entiers $m \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$, ainsi que les nombres premiers $p$, tels que $\frac{5^{m}+2^{n} p}{5^{m}-2^{n} p}$ soit le carré d'u... | a) Voir exercice 2 ci-dessus.
b) Supposons que $p=5$. Alors $\frac{5^{m-1}+2^{n}}{5^{m-1}-2^{n}}$ est le carré d'un entier. D'après la partie a) (qui marchait aussi dans le cas d'entiers $\geqslant 0$, on a $m=n=2$.
Supposons enfin $p \neq 2$ et $p \neq 5$. Soit $d$ le PGCD de $5^{m}+2^{n} p$ et de $5^{m}-2^{n} p$. Alo... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 145 | 927 |
2015 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $I$ le centre du cercle inscrit à un triangle $A B C$. Soit $D$ le point diamétralement opposé à $A$ sur le cercle circonscrit. On suppose que le point $E$ de la demi-droite $[B A)$ et le point $F$ de la demi-droite $[C A)$ satisfont la condition
$$
B E=C F=\frac{A B+B C+C A}{2} .
$$
Montrer que $(E F) \perp(D I... | Notons $a, b, c$ les longueurs des côtés, $r$ le rayon du cercle inscrit et $p=(a+b+c) / 2$. Comme $[A D]$ est un diamètre, les angles $\widehat{A B D}$ et $\widehat{A C D}$ sont droits donc
$$
\begin{aligned}
D E^{2}-D F^{2} & =\left(D B^{2}+B E^{2}\right)-\left(D C^{2}+C F^{2}\right)=D B^{2}-D C^{2} \\
& =\left(A D^... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 123 | 856 |
2016 | T1 | 3 | null | French_tests | On considère 2017 droites du plan, qui se rencontrent deux à deux en des points distincts. On appelle $E$ l'ensemble de ces points d'intersection.
On veut attribuer une couleur à chacun des points de $E$ de sorte que deux quelconques de ces points qui appartiennent à une même droite et dont le segment qui les relient n... | Le minimum $m$ cherché est $m=3$ et, avec ce qui suit, il sera assez évident que le résultat reste vrai pour $n \geq 3$ droites.
Tout d'abord, on note que, dans la configuration obtenue, il y a au moins une région non subdivisée qui est un triangle. En effet, trois droites non concourantes et deux jamais parallèles for... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 120 | 607 |
2016 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $a_{0}, a_{1}, . ., a_{99}, b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{99}$ des réels strictement positifs.
Pour $k=0,1, \ldots, 198$, on pose $S_{k}=\sum_{i=0}^{198} a_{i} b_{k-i}$, avec $a_{j}=0$ et $b_{j}=0$ si $j<0$ ou $j>99$.
Est-il possible que les nombres $S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{198}$ soient tous égaux? | Non. Raisonnons par l'absurde. En effet, comme $a_{0} b_{0}=a_{0} b_{99}+\cdots+a_{99} b_{0}$ où les $\cdots$ représentent des termes strictement positifs, on a $a_{0} b_{0}>a_{0} b_{99}$ donc $b_{0}>b_{99}$, et de même $a_{0}>a_{99}$. Par conséquent, $S_{0}=a_{0} b_{0}>a_{99} b_{99}=S_{198}$, ce qui est contradictoire... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 152 | 518 |
2016 | T1 | 6 | null | French_tests | 1) Pierre répartit les entiers $1,2, \ldots, 2012$ en deux groupes disjoints dont les sommes respectives des éléments sont égales.
Sans même regarder la répartion choisie par Pierre, Clara affirme alors que l'on peut éliminer deux nombres de chaque groupe de sorte que, dans chaque groupe, les sommes respectives des élé... | On colorie les éléments du groupe $G_{1}$ en rouge, et ceux de $G_{2}$ en bleu. Sans perte de généralité, on peut supposer que 1 est rouge. Lorsque deux entiers consécutifs ne sont pas dans le même groupe, on dit que l'on a une alternance.
- Si l'on a au moins quatre alternances, on peut trouver la configuration ...rb... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 218 | 903 |
2016 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $a \in[0 ; 1]$. On définit la suite $\left(x_{n}\right)$ par
$x_{0}=a$ et $x_{n+1}=1-\left|1-2 x_{n}\right|$, pour tout $n \geq 0$.
Prouver que la suite $\left(x_{n}\right)$ est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si $a$ est un nombre rationnel.
(Note: on dit que $\left(x_{n}\right)$ est périodiq... | On note tout d'abord que si $x_{n} \in[0 ; 1]$ alors $-1 \leq 1-2 x_{n} \leq 1$, d'où $0 \leq x_{n+1} \leq 1$. Puisque $x_{0} \in[0 ; 1]$, on déduit ainsi par récurrence que $x_{n} \in[0 ; 1]$ pour tout $n \geq 0$.
- Supposons que $a$ soit un nombre rationnel. Une récurrence immédiate assure alors que, pour tout $\mat... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2016-2017-ofm-2016-2017-test-janvier-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 175 | 873 |
2016 | T1 | 6 | null | French_tests | Prouver qu'il existe un entier $n>0$ tel que parmi les 2016 chiffres de droite dans $l^{\prime}$ écriture décimale de $2^{n}$, il y a au moins 1008 chiffres 9. | On peut légitimement se demander quand trouver des 9 à la droite de l'écriture décimale de $2^{n}$. On peut penser que c'est quand la puissance de 2 est légèrement inférieure à une puissance de 10 . On va donc chercher des nombres de la forme $2^{n}+1$ qui sont divisibles par 5 selon une puissance élevée. Pour un tel n... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 63 | 722 |
2016 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle. On note $P$ le symétrique de $B$ par rapport à $(A C)$ et $Q$ le symétrique de $C$ par rapport à $(A B)$.
Soit $T$ l'intersection entre $(P Q)$ et la tangente en $A$ au cercle circonscrit à $(A P Q)$.
Montrer que le symétrique de $T$ par rapport à $A$ appartient à $(B C)$. | Soient $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ les symétriques de $B$ et $C$ par rapport à $A$. Comme le triangle $A B^{\prime} P$ est isocèle en $A$, on a $\widehat{A B^{\prime} P}=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\widehat{B^{\prime} A P}\right)=\frac{1}{2} \widehat{P A B}=\widehat{B A C}$, donc $\left(B^{\prime} P\right) \|(A C)$.
... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2016-2017-ofm-2016-2017-test-novembre-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 2"
} | 110 | 670 |
2016 | T1 | 3 | null | French_tests | Déterminer tous les entiers $a>0$ pour lesquels il existe des entiers strictement positifs $n, s, m_{1}, \cdots, m_{n}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ tels que
$$
\left(a^{m_{1}}-1\right) \cdots\left(a^{m_{n}}-1\right)=\left(a^{k_{1}}+1\right) \cdots\left(a^{k_{s}}+1\right)
$$ | On va prouver que les entiers $a$ cherchés sont $a=2$ et $a=3$.
Tout d'abord, on constate que $2^{2}-1=2+1$ et que $(3-1)(3-1)=3+1$, ce qui assure que $a=2$ et $a=3$ sont effectivement des solutions du problème.
Réciproquement, soit $a, n, s, m_{1}, \cdots, m_{n}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ des entiers strictement positifs ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2016-2017-ofm-2016-2017-test-novembre-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 119 | 1,697 |
2017 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit q un nombre réel. Margaret a écrit 10 nombres réels, deux à deux distincts, sur une ligne. Puis elle ajoute trois lignes comme suit :
$\triangleright$ sur la $2^{\text {nde }}$ ligne, elle écrit tous les nombres de la forme $a-b$, où $a$ et $b$ sont deux réels (non nécessairement distincts) de la $1{ }^{\text {ère... | On va dire qu'un réel q est bon s'il a la propriété demandée dans l'énoncé. Tout d'abord, il est clair que, si q est bon, alors - q l'est aussi, et réciproquement. D'autre part, $q=0$ est manifestement bon. On cherche donc les bons réels $q>0$, s'il y en a.
Soit $\lambda$ un grand nombre réel et soit $\varepsilon=1 / \... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2017-2018-Corrige-03-2018.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 314 | 718 |
2017 | T1 | 3 | null | French_tests | Trouver toutes les valeurs possibles pour $f(2018)$ où $f$ est une fonction de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}_{+}$vérifiant les trois conditions suivantes:
- $f(2)=1 / 2$ ；
- pour tout rationnel $x$, si $f(x) \leqslant 1$, alors $f(x+1) \leqslant 1$;
- $f(x y)=f(x) f(y)$ pour tous rationnels $x$ et $y$. | Tout d'abord, l'égalité $1 / 2=f(2)=f(1 \times 2)=f(1) f(2)=f(1) / 2$ montre que $f(1)=1$, et donc que $f(n) \leqslant 1$ pour tout entier naturel non nul $n$.
Notons de plus que pour tous $x, y$ avec $y \neq 0$ on a $f(y) \neq 0$, et $f(x / y)=f(x) / f(y)$ puisque $f(x / y) f(y)=f((x / y) y)=f(x)$. En particulier, $f(... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 121 | 596 |
2017 | T1 | 2 | null | French_tests | On fixe un entier naturel $n \geqslant 2$. Déterminer tous les nombres réels $x \geqslant-1$ tels que pour tous nombres réels $a_{1}, \ldots, a_{n} \geqslant 1$ on ait
$$
\frac{a_{1}+x}{2} \times \cdots \times \frac{a_{n}+x}{2} \leqslant \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}+x}{2} .
$$ | En prenant $a_{i}=1$ pour tout $i$, on obtient la condition $\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n} \leqslant \frac{1+x}{2}$. Notons $y=\frac{1+x}{2}$. Par hypothèse, $y \geqslant 0$. Comme $y^{n} \leqslant y$, on a $y^{n-1} \leqslant 1$ donc $y \leqslant 1$, ce qui implique $x \leqslant 1$.
Réciproquement, montrons que tout $... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 132 | 520 |
2017 | T1 | 6 | null | French_tests | Dans un pays se trouvent 64 villes. Il existe des routes qui relient certaines paires de villes, mais Bob ne sait pas lesquelles (les routes ne se croisent pas mais peuvent éventuellement passer les unes au-dessus des autres ; de plus, les routes peuvent être parcourues dans les deux sens). Alice, elle, connaît parfait... | On remarque que $2016=64 \times 63 / 2=\binom{64}{2}$, donc il y a exactement 2016 paires de villes. Le réseau routier est un graphe non orienté ayant 64 sommets. Chaque paire de villes correspond à une
question, et on veut savoir si en moins de 2016 questions Bob peut déterminer si le graphe est connexe. Supposons par... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 206 | 932 |
2017 | T1 | 2 | null | French_tests | Trouver toutes les paires (m,n) d'entiers strictement positifs telles que
$$
\mathrm{m}!+\mathrm{n}!=\mathrm{m}^{\mathrm{n}}
$$
Remarque. Pour tout entier $n$, on rappelle que $n$ ! désigne l'entier $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$. | On vérifie facilement que les paires $(2,2)$ et $(2,3)$ sont solutions. On va montrer que ce sont les seules.
On commence par traiter le cas où $m$ ou $n$ vaut 1 ou 2 . Si $m=1$, alors $m^{n}=1$ mais $m!+n!\geqslant 2$, donc il n'y a pas de solution. Si $m=2$, l'équation devient $2+n!=2^{n-1}$. Si $n \geqslant 4$, alor... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2017-2018-pofm-2017-2018-test-mai-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 91 | 589 |
2017 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C D$ un trapèze tel que $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles. On suppose que $A D<$ $C D$ et que $A B C D$ est inscrit dans un cercle $\Gamma$. Soit $P$ sur $\Gamma$ tel que (DP) est parallèle à ( $A C$ ). La tangente à $\Gamma$ en $D$ recoupe $(A B)$ en $E$, et les cordes $[B P]$ et $[C D]$ s'intersectent en $... | On sait que (CQ) est parallèle à $(\mathrm{AE})$, donc l'énoncé revient à montrer que $A C Q E$ est un parallélogramme, donc il suffit de montrer que (EQ) et (AC) sont parallèles. Le quadrilatère BQDE est un trapèze, avec $(B E)$ et (DQ) parallèles. On va d'abord montrer que c'est un trapèze isocèle. En effet, on a
$$... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2017-2018-pofm-2017-2018-test-mai-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 136 | 530 |
2017 | T1 | 5 | null | French_tests | Déterminer tous les entiers $n \geqslant 2$ vérifiant la propriété suivante : pour tous entiers $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ dont la somme n'est pas divisible par $n$, $i l$ existe un indice $i$ tel qu'aucun des nombres
$$
a_{i}, a_{i}+a_{i+1}, \ldots, a_{i}+\cdots+a_{i+n-1}
$$
n'est divisible par $n$ (pour $i>n$, o... | Ce sont exactement les nombres premiers!
En effet, si $n=a b$, on peut prendre $a_{1}=0$ et $a_{2}=\cdots=a_{n}=a$. La somme des $a_{i}$ vaut $a(n-1)$ donc n'est pas divisible par $n$. Cependant, soit $1 \leqslant i \leqslant n$. Si $i+b-1 \leqslant n$, alors le nombre $a_{i}+\cdots+a_{i+b-1}=a b=n$ est divisible par ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 138 | 897 |
2017 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle avec $A B \neq A C$, et soit $\omega$ le cercle $A$-exinscrit à $A B C$. On note $D, E$ et $F$ les points de tangence de $\omega$ avec $[B C],[A C)$ et $[A B)$. Le cercle circonscrit à $A E F$ recoupe ( $B C$ ) en $P$ et $Q$. On note $M$ le milieu de $[A D]$. Montrer que le cercle circonscrit à... | On note $\Gamma$ le cercle passant par $A, E, F, P$ et $Q$. Soit $T$ le second point d'intersection de (AD) avec $\omega$. On va montrer que $\omega$ et le cercle circonscrit à MPQ sont tangents en $T$. On commence pour cela par montrer que $M, P, Q$ et $T$ sont cocycliques.
Soient $J$ le centre de $\omega$, et $N$ le ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2017-2018-pofm-2017-2018-test-mai-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 216 | 581 |
2017 | T1 | 1 | null | French_tests | Trouver tous les quadruplets ( $\mathfrak{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r}, \mathfrak{n}$ ) d'entiers strictement positifs vérifiant les trois conditions suivantes:
- $p$ et $q$ sont premiers,
- $p+q$ n'est $^{\text {pas divisible par 3, }}$
$-p+q=r(p-q)^{n}$. | On suppose d'abord que $\mathrm{p} \neq 3$ et $\mathrm{q} \neq 3$, et on considère p et q modulo 3. Puisque $p+q \not \equiv 0[3]$, on n'a pas $p \equiv 1[3]$ et $q \equiv 2[3]$, ni $p \equiv 2[3]$ et $q \equiv 1[3]$. On est donc assuré que $p \equiv q \equiv 1[3]$ ou bien que $p \equiv q \equiv 2$ [3]. Dans ces deux c... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2017-2018-pofm-2017-2018-test-novembre-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 94 | 759 |
2017 | T1 | 2 | null | French_tests | Soient deux cercles $\omega_{1}, \omega_{2}$ tangents l'un à l'autre en un point $T$, tels que $\omega_{1}$ soit à l'intérieur de $\omega_{2}$. Soient $M$ et $N$ deux points distincts sur $\omega_{1}$, différents de $T$. Soient [AB] et [CD] deux cordes du cercle $\omega_{2}$ passant respectivement par $M$ et $N$. On su... | Soit $E$ et $F$ les points d'intersection respectifs de (TM) et (TN) avec $\omega_{2}$, autres que $T$. Puisque $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sont tangents en $T$, l'homothétie de centre T et qui envoie $\omega_{1}$ sur $\omega_{2}$ envoie également $M$ sur $E$ et $N$ sur $F$. On en déduit que
$$
\frac{\mathrm{TM}}{\ma... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2017-2018-pofm-2017-2018-test-novembre-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 161 | 925 |
2017 | T1 | 3 | null | French_tests | Dans les cases d'un tableau rectangulaire à $n$ lignes et $m$ colonnes sont écrits des nombres réels. On suppose que pour toute ligne ou colonne, la somme des nombres écrits sur cette ligne ou colonne est un entier. Montrer qu'il est possible de remplacer chaque réel $x$ par l'entier $\lfloor x\rfloor$ ou $\lceil x\rce... | Quitte à soustraire sa partie entière à chaque entrée du tableau, on peut supposer que chaque nombre est compris entre 0 et 1 . On dit qu'une case est « fractionnaire $\gg$ si son nombre n'est pas entier. Remarquons que, si C est une case fractionnaire, alors il existe nécessairement une autre case fractionnaire sur la... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2017-2018-pofm-2017-2018-test-novembre-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 208 | 823 |
2018 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $n$ un entier naturel. Un escalier de taille $n$ est constitué de petits carrés $1 \times 1$, avec 1 carré pour la première marche, 2 carrés pour la deuxième marche, et ainsi de suite, jusqu'à $n$ carrés pour la $n^{\text {ème }}$ marche.
On dispose de pierres carrées (de coté entier) de toutes les tailles pour co... | Commençons par quelques définitions et observations générales. Dans la suite, on note $(i, j)$ le petit carré $1 \times 1$ situé au jème étage de la $i^{\text {ème }}$ marche. On appellera carré supérieur chaque petit carré ( $k, k$ ), c'est-à-dire chaque carré situé tout en haut d'une marche.
On considère une construc... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 283 | 1,409 |
2018 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $n$ un entier impair, et soit $S$ un ensemble de $n$ points du plan à coordonnées entières. On considère une permutation $\mathrm{f}: \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}$ qui satisfait la propriété suivante :
Pour toute paire de points $A$ et $B$ appartenant à $S$, la distance entre $f(A)$ et $f(B)$ est supérieure o... | Puisque $S$ est de cardinal impair, f admet une orbite de cardinal impair. Sans perte de généralité, on peut donc supposer que $S$ est égal à cette orbite, et même que $S=\left\{P_{1}, \ldots, P_{n}\right\}$ avec $f\left(P_{i}\right)=P_{i+1}$ pour tout $i \leqslant n$, en posant $P_{1}=n+1$.
Si f n'a aucun point fixe, ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-09-01-Corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 138 | 721 |
2018 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $S$ un ensemble d'entiers. On dit que $S$ est insommable si, pour tous les entiers $x$ et $y$ appartenant à $S$, la somme $x+y$ n'appartient pas à $S$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $s_{n}$ le nombre de sous-ensembles de $\{1,2, \ldots, 2 n\}$ qui sont insommables.
Démontrer que $s_{n} \geqslant 2^{n}$... | Soit $S$ une partie de $\{n+1, \ldots, 2 n\}$. Une telle partie est insommable, puisque, pour tous les entiers $x, y$ et $z$ appartenant à $S$, on a $x+y \geqslant 2(n+1)>2 n \geqslant z$. Or, il existe $2^{n}$ parties de $\{n+1, \ldots, 2 n\}$. On en déduit bien que $s_{n} \geqslant 2^{n}$.
Note : On peut en fait dém... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-15-05-Corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 130 | 713 |
2018 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle, et soit $M$ le pied de la médiane issue de $A$. Soit également $\ell_{\mathrm{b}}$ la bissectrice de $\widehat{A M B}$ et $\ell_{c}$ la bissectrice de $\widehat{A M C}$. Enfin, soit $B^{\prime}$ le projeté orthogonal de $B$ sur $\ell_{b}$, soit $C^{\prime}$ le projeté orthogonal de $C$ sur $\e... | Soit $\beta$ l'angle $\widehat{A M B^{\prime}}$ et $\gamma$ l'angle $\widehat{A M C^{\prime}}$. Par construction, on sait que $2(\beta+\gamma)=180^{\circ}$, donc que $\widehat{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{MC}^{\prime}}=\beta+\gamma=90^{\circ}$. Ainsi, la droite $\ell_{\mathrm{b}}=\left(\mathrm{MB}^{\prime}\right)$ est p... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-15-05-Corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 182 | 722 |
2018 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $A, B, C$ et $P$ quatre points du plan tels que $A B C$ soit un triangle équilatéral et que $A P<B P<C P$. On suppose que la seule donnée des longueurs $A P, B P$ et $C P$ nous permet de déterminer, de manière unique, la longueur $A B$.
Démontrer que P appartient au cercle circonscrit à $A B C$. | Soit $\Gamma_{\mathrm{a}}, \Gamma_{\mathrm{b}}$ et $\Gamma_{\mathrm{c}}$ les cercles de centre P et passant respectivement par $A$, $B$ et $C$. Soit également $C^{\bullet}$ le symétrique de $C$ par rapport à ( $A P$ ). Notons que $C^{\bullet}$ est le seul point de $\Gamma_{\mathrm{c}}$, autre que C lui-même, tel que $A... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 105 | 674 |
2018 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{d}$ des entiers tels que $\operatorname{PGCD}\left(a_{0}, a_{1}\right)=1$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose
$$
u_{n}=\sum_{k=0}^{d} a_{k} \varphi(n+k)
$$
Démontrer que 1 est le seul entier naturel divisant tous les entiers $u_{n}$.
On rappelle que $\varphi(n+k)$ est le nombre d... | Procédons par l'absurde, et supposons qu'il existe un nombre premier $p$ qui divise tous les entiers $u_{n}$.
Tout d'abord, puisque $\varphi(1)=\varphi(2)=1$ et que $\varphi(\mathfrak{n})$ est pair pour tout $\mathfrak{n} \geqslant 2$, on remarque que $u_{1} \equiv a_{0}+a_{1}(\bmod 2)$ et que $u_{2} \equiv a_{0}(\bmod... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-15-05-Corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 157 | 1,577 |
2018 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{d}$ des entiers tels que $\operatorname{PGCD}\left(a_{0}, a_{1}\right)=1$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose
$$
u_{n}=\sum_{k=0}^{d} a_{k} \varphi(n+k)
$$
Démontrer que 1 est le seul entier naturel divisant tous les entiers $u_{n}$.
On rappelle que $\varphi(n+k)$ est le nombre d... | Tout d'abord, Clara peut effectuer $9 \mathfrak{n}^{2}-3$ en procédant comme illustré ci-dessous dans le cas où $\mathrm{n}=3$.
Montrons maintenant qu'elle ne peut pas mieux faire. Tout d'abord, on identifie chaque case en ligne $i$ (en partant du bas) et en colonne $j$ (en partant de la gauche) à la paire ( $i, j$ ),... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-15-05-Corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 157 | 541 |
2018 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $a, b, c$ des nombres réels positifs ou nuls tels que $a+b+c=1$.
Démontrer que
$$
\frac{5+2 b+c^{2}}{1+a}+\frac{5+2 c+a^{2}}{1+b}+\frac{5+2 a+b^{2}}{1+c} \geqslant 13
$$ | Soit $S$ la somme
$$
\frac{5+2 b+c^{2}}{1+a}+\frac{5+2 c+a^{2}}{1+b}+\frac{5+2 a+b^{2}}{1+c}
$$
Notons également $x_{i}$ le $i^{\text {ème }}$ plus petit élément de l'ensemble $\{a, b, c\}$. L'inégalité du réordonnement indique que
$$
\begin{aligned}
& \frac{b}{1+a}+\frac{c}{1+b}+\frac{a}{1+c} \geqslant \frac{x_{1}}... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-20-03-Corrigé-web.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 2"
} | 91 | 668 |
2018 | T1 | 3 | null | French_tests | On dit qu'une paire d'entiers ( $\mathbf{a}, \mathrm{b}$ ) est chypriote si $\mathrm{a} \geqslant \mathrm{b} \geqslant 2$, si a et b sont premiers entre eux, et si $a+b$ divise $a^{b}+b^{a}$.
Démontrer qu'il existe une infinité de paires chypriotes distinctes. | Posons $k=a-b$. Puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, on sait que $a \neq b$, donc que $k \geqslant 1$. Ainsi,
$$
a^{b}+b^{a} \equiv a^{b}+(-a)^{a} \equiv a^{b}\left(1+(-1)^{a} a^{k}\right) \quad(\bmod a+b)
$$
Or, $a$ est premier avec $b$ donc avec $a+b$ aussi.
D'après le théorème de Gauss, on souhaite donc que... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-20-03-Corrigé-web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 100 | 571 |
2018 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $\mathcal{C}$ un cercle de rayon 1 , et soit $T$ un nombre réel. On dit qu'un ensemble de triangles est T-méraire s'il satisfait les trois conditions suivantes:
$\triangleright$ les sommets de chaque triangle appartiennent à $\mathcal{C}$;
$\triangleright$ les triangles sont d'intérieurs deux à deux disjoints (mai... | Nous allons démontrer que les réels recherchés sont exactement les réels $\mathbf{T} \leqslant 4$. Pour ce faire, fixons on réel $\mathbf{T} \leqslant 4$. On commence par montrer qu'il existe des ensembles T-méraires de n'importe quelle taille, grâce à la construction suivante. Soit $[A B]$ un diamètre de $\mathcal{C}$... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-20-03-Corrigé-web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 173 | 1,204 |
2018 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit u un entier naturel non nul.
Démontrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de triplets d'entiers naturels ( $a, b, n$ ) tels que $\mathrm{n}!=\mathrm{u}^{\mathrm{a}}-\mathrm{u}^{\mathrm{b}}$.
Note : on rappelle que $0!=1!=1$. | Soit $p$ un nombre premier impair qui ne divise pas $u$, et soit $k$ un entier tel que $p^{k}>u^{p-1}-1$. Posons $q=p^{k-1}$. On montre tout d'abord que $u$ n'est $^{\text {pres }}$ une puissance $q^{\text {ème }}\left(\bmod p^{k}\right)$. En effet, si $u$ était une puissance $q^{\text {ème }}\left(\bmod p^{k}\right)$,... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-20-03-Corrigé-web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 88 | 1,693 |
2018 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle, soit I le centre du cercle inscrit dans $A B C$. Soit $A^{\prime}, B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ trois points respectivement situés sur (AI), (BI) et (CI). On suppose que $A^{\prime}, B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ sont distincts de $A, B, C$ et $I$, et qu'ils sont alignés. Enfin, soit $P_{A}$ le p... | On commence par tracer une figure comme ci-dessous, sans oublier la droite $\ell$ qui passe par $A^{\prime}, B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ ni les cercles $\Omega$ et $\Gamma$, respectivement circonscrits à $A B C$ et à $\mathrm{P}_{\mathrm{A}} \mathrm{P}_{\mathrm{B}} \mathrm{P}_{\mathrm{C}}$.
Au vu de l'énoncé, une appr... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-20-03-Corrigé-web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 284 | 3,035 |
2018 | T1 | 1 | null | French_tests | Carine et Cyril jouent au jeu suivant. Tout d'abord, Cyril choisit un entier $\mathrm{n} \geqslant 1$. Puis, dans chacune des cases d'une grille $3 \times 3$ (apparentée à un jeu de morpion), il écrit un entier.
Vient ensuite le tour de Carine. Elle peut, autant de fois qu'elle le souhaite, effectuer l'opération suivan... | On va montrer que Carine a une stratégie gagnante. Tout d'abord, adoptons quelques notations. On note ( $\mathfrak{i}, \mathfrak{j}$ ) la case située en ligne $\boldsymbol{i}$ et en colonne $\mathfrak{j}$, et on note $k_{i, j}$ l'entier écrit sur cette case. Sans perte de généralité, on suppose que nos entiers sont écr... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-27-02-Corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 195 | 515 |
2018 | T1 | 2 | null | French_tests | Trouver les fonctions $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ telles que, pour tous les réels $x$ et $y$, on ait:
$$
f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}
$$ | Tout d'abord, il est clair que la fonction $\mathrm{f}: x \mapsto x$ est une solution. On va montrer que c'est la seule.
Dans la suite, on notera $E_{x, y}$ l'équation $f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}$. En premier lieu, $E_{0, y}$ indique que $f(f(y))=y+f(0)+f(0)^{2}$, ce qui montre que $f$ est à la fois inj... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test-27-02-Corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 70 | 942 |
2018 | T1 | 2 | null | French_tests | On dispose, dans le plan, 16 points deux à deux distincts, que l'on note $A_{i, j}$ pour $i, j \in\{1,2,3,4\}$. Ces points vérifient les relations d'alignement et de cocyclicité suivantes :
$\triangleright$ pour tout $i \in\{1,2,3,4\}$, les points $A_{i, 1}, A_{i, 2}, A_{i, 3}$ et $A_{i, 4}$ sont alignés;
$\trianglerig... | Ci-dessous, on notera $\Delta_{i}$ la droite $\left(A_{i, 1} A_{i, 2}\right)$ et $\Delta^{j}$ la droite $\left(A_{1, j} A_{2, j}\right)$. Une figure et une chasse aux angles nous montrent que les droites $\Delta_{1}$ et $\Delta_{3}$ sont parallèles, puisque ( $\Delta_{1}, \Delta^{1}$ ) $\equiv$ $\left(\Delta^{2}, \Delt... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test_RMM_28_novembre_corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 435 | 1,342 |
2018 | T1 | 3 | null | French_tests | On dit qu'un entier $k$ est olympique s'il existe quatre entiers $a, b, c$ et $d$, tous premiers avec $k$, tels que $k$ divise $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}$. Soit $n$ un entier quelconque.
Montrer que $n^{2}-2$ est olympique. | Soit $p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$ la décomposition de $n^{2}-2$ en produits de facteurs premiers. Grâce au théorème Chinois, il nous suffit en fait de montrer que chacun des entiers $p_{i}^{\alpha_{i}}$ est olympique.
Supposons tout d'abord que $p_{i}=2$. Puisque $n^{2}-2 \equiv\{2,3\}(\bmod 4)$... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2018-2019-Test_RMM_28_novembre_corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 93 | 1,528 |
2019 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $x$ et $y$ deux nombres réels. On pose
$$
M=\max \{x y+1, x y-x-y+3,-2 x y+x+y+2\} .
$$
Démontrer que $M \geqslant 2$, et déterminer les cas d'égalité. | $n^{\circ} 2$ Avoir pensé à introduire les variables $p$ et $s$, comme dans la première solution, ou bien à utiliser directement l'égalité $x y-x-y+3=2$ pour obtenir une factorisation, comme dans la deuxième solution, pourrait passer pour miraculeux. Il n'en est bien sûr rien, et ces approchent découlent en fait de ce ... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web-05-2020.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 73 | 905 |
2019 | T1 | 2 | null | French_tests | Dans le train, alors qu'elles rentrent de EGMOnd an Zee, Clara et Edwige jouent au jeu suivant. Initialement, l'entier $n=1 \times 2 \times \cdots \times 20$ est écrit sur une feuille de papier. Puis, chacune à son tour, et en commençant par Clara, les joueuses remplacent l'entier $n$ par un des nombres $k n / 10$, où ... | Intéressons-nous au nombre $n$ écrit sur la feuille de papier au moment où la joueuse X s'apprête à jouer, et avant que la partie ne se termine. On factorise partiellement $n$ comme produit de nombres premiers : $n=2^{x} \times 5^{y} \times m$, où $x$ et $y$ sont des entiers naturels et $m$ est un entier naturel non nu... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web-05-2020.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 188 | 811 |
2019 | T1 | 2 | null | French_tests | Dans le train, alors qu'elles rentrent de EGMOnd an Zee, Clara et Edwige jouent au jeu suivant. Initialement, l'entier $n=1 \times 2 \times \cdots \times 20$ est écrit sur une feuille de papier. Puis, chacune à son tour, et en commençant par Clara, les joueuses remplacent l'entier $n$ par un des nombres $k n / 10$, où ... | $n^{\circ} 1$ Nous allons de nouveau fournir une stratégie gagnante pour Edwige, qui diffère légèrement de la stratégie précédente. Cette stratégie est toute simple (même si montrer qu'elle convient l'est moins) : si Clara vient de transformer son nombre $n$ en un nouveau nombre $n^{\prime}=k n / 10$, alors Edwige tran... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web-05-2020.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 188 | 1,061 |
2019 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $S$ un ensemble d'entiers relatifs. On dit que $S$ est beau s'il contient tous les entiers de la forme $2^{a}-2^{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls. On dit également que $S$ est fort si, pour tout polynôme $P(X)$ non constant et à coefficients dans $S$, les racines entières de $P(X)$ appartienne... | L'ensemble $\mathbb{Z}$ est clairement beau et fort. Nous allons démontrer que c'est le seul. Pour ce faire, considérons un ensemble $S$ beau et fort : nous allons en fait prouver, par récurrence forte sur $n$, que les entiers $n$ et $-n$ appartiennent nécessairement à $S$.
Tout d'abord, puisque $S$ est beau, il contie... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web-05-2020.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 125 | 2,539 |
2019 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $S$ un ensemble d'entiers relatifs. On dit que $S$ est beau s'il contient tous les entiers de la forme $2^{a}-2^{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls. On dit également que $S$ est fort si, pour tout polynôme $P(X)$ non constant et à coefficients dans $S$, les racines entières de $P(X)$ appartienne... | a) Soit $f$ la fonction définie par $f(0)=0$ et $f(n)=2^{v_{2}(n)+1}$, où $v_{2}(n)$ est la valuation 2 adique de $n$. Tout d'abord, il est clair que 0 est $f$-rare, puisque son seul antécédent par $f$ est 0 lui-même.
D'autre part, soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs : en posant $v_{2}(0)=\infty$ et $\infty+1=\infty$... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web-05-2020.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 125 | 1,089 |
2019 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $a_{1}, a_{2}, \ldots$ la suite d'entiers telle que $a_{1}=1$ et, pour tout entier $n \geqslant 1$,
$$
a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}+1
$$
Démontrer, pour tout entier $n \geqslant 1$, que $a_{n}^{2}+1$ divise $a_{n+1}^{2}+1$. | Pour tout entier $n \geqslant 1$, posons $b_{n}=a_{n}^{2}+1$. On conclut en constatant directement que
$$
b_{n+1} \equiv\left(a_{n}^{2}+a_{n}+1\right)^{2}+1 \equiv\left(b_{n}+a_{n}\right)^{2}+1 \equiv a_{n}^{2}+1 \equiv b_{n} \equiv 0 \quad\left(\bmod b_{n}\right)
$$
$\underline{\text { Solution alternative } n^{\cir... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 118 | 545 |
2019 | T1 | 2 | null | French_tests | On répartit les entiers de $1,2, \ldots, 8$ en deux ensembles $A$ et $B$, puis on note $P_{A}$ le produit de tous les éléments de $A$ et $P_{B}$ le produit de tous les éléments de $B$.
Quelles sont les valeurs minimale et maximale que peut prendre la somme $P_{A}+P_{B}$ ?
Note : si un ensemble $E$ est vide, on considér... | Soit $A$ et $B$ deux ensembles disjoints dont la réunion est égale à l'ensemble $E=\{1, \ldots, 8\}$.
Tâchons tout d'abord de maximiser la somme $P_{A}+P_{B}$. Sans perte de généralité, on peut supposer que $P_{A} \leqslant P_{B}$. Puis, si $A$ contient un entier $k \geqslant 2$, on pose $A^{\prime}=A \backslash\{k\}$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 121 | 1,165 |
2019 | T1 | 2 | null | French_tests | On répartit les entiers de $1,2, \ldots, 8$ en deux ensembles $A$ et $B$, puis on note $P_{A}$ le produit de tous les éléments de $A$ et $P_{B}$ le produit de tous les éléments de $B$.
Quelles sont les valeurs minimale et maximale que peut prendre la somme $P_{A}+P_{B}$ ?
Note : si un ensemble $E$ est vide, on considér... | $n^{\circ} 1$ Soit $A$ et $B$ deux ensembles disjoints dont la réunion est égale à l'ensemble $E=\{1, \ldots, 8\}$, et soit $c=\sqrt{8}$ !. Sans perte de généralité, on peut supposer que $P_{A} \leqslant P_{B} ;$ puisque $P_{A} \times P_{B}=P_{E}=c^{2}$, cela signifie que $P_{A} \leqslant c$.
Mais alors $P_{A}+P_{B}=f\... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 121 | 1,143 |
2019 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle et soit $\omega$ son cercle circonscrit. Soit $\ell_{B}$ et $\ell_{C}$ deux droites parallèles l'une à l'autre, passant respectivement par les points $B$ et $C$. On note $D$ le point d'intersection, autre que $B$, entre $\omega$ et la droite $\ell_{B}$. De même, on note $E$ le point d'intersect... | Commençons par tracer une figure, en prenant soin de faire apparaître le triangle $O O_{1} O_{2}$, puisque $P$ en est le centre du cercle circonscrit. On en profite pour noter $\omega_{1}, \omega_{2}$ et $\omega^{\prime}$ les cercles circonscrits à $A D G$, à $A E F$ et à $O O_{1} O_{2}$.
On remarque tout de suite que... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 280 | 2,308 |
2019 | T1 | 4 | null | French_tests | Au pays des merveilles se trouvent $n$ villes. Chaque paire de villes est reliée par une route à sens unique, qui part d'une des deux villes et arrive à l'autre. Afin de s'y retrouver, Alice interroge le roi de cœur : à chaque question, Alice choisit une paire de villes, et le roi de cœur lui dit quelle est la ville de... | Nous allons décrire une stratégie qu'Alice peut mettre en place pour aboutir à ses fins en $5 n$ questions ou moins. À tout moment, on dira qu'une ville $v$ est mauvaise si Alice a déjà trouvé deux routes qui partent de $v$, et que $v$ est bonne sinon. De même, on dira qu'une paire de villes $\{v, w\}$ est explorée si ... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 135 | 858 |
2019 | T1 | 5 | null | French_tests | Au pays des merveilles se trouvent $n$ villes. Chaque paire de villes est reliée par une route à sens unique, qui part d'une des deux villes et arrive à l'autre. Afin de s'y retrouver, Alice interroge le roi de cœur : à chaque question, Alice choisit une paire de villes, et le roi de cœur lui dit quelle est la ville de... | Nous allons décrire une stratégie qu'Alice peut mettre en place pour aboutir à ses fins en $5 n$ questions ou moins. À tout moment, on dira qu'une ville $v$ est mauvaise si Alice a déjà trouvé deux routes qui partent de $v$, et que $v$ est bonne sinon. De même, on dira qu'une paire de villes $\{v, w\}$ est explorée si ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 135 | 853 |
2019 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle acutangle tel que $\widehat{C A B}>\widehat{B C A}$ et soit $P$ le point du segment $[B C]$ tel que $\widehat{P A B}=\widehat{B C A}$. Soit $Q$ le point d'intersection, autre que $A$, entre le cercle circonscrit à $A B P$ et la droite $(A C)$. Soit ensuite $D$ le point du segment $[A P]$ tel qu... | Commençons par tracer une figure. Une première difficulté est de construire le point $P$ : une manière simple de procéder est alors de construire le point d'intersection, autre que $A$, entre le cercle circonscrit à $A B C$ et le cercle de centre $B$ et de rayon $A$. En effet, si l'on note $P^{\prime}$ ce point, les ar... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 248 | 1,168 |
2019 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $C$ un entier naturel non nul. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ telles que, pour tous les entiers $a$ et $b$ de somme $a+b \geqslant C$, l'entier $a+f(b)$ divise $a^{2}+b f(a)$. | Tout d'abord, toute fonction linéaire strictement croissante est solution. En effet, pour tout entier $k \geqslant 1$, l'entier $a+k b$ divise bien $a^{2}+b \times(k a)=a(a+k b)$. Réciproquement, montrons que toute solution est une fonction linéaire (qui sera strictement croissante, puisque à valeurs dans $\mathbb{N}^{... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 94 | 1,198 |
2019 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $C$ un entier naturel non nul. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ telles que, pour tous les entiers $a$ et $b$ de somme $a+b \geqslant C$, l'entier $a+f(b)$ divise $a^{2}+b f(a)$. | $n^{\circ} 1$ Comme précédemment, on pose $\varphi=f(1)$, et on démontre que, si $f$ est une fonction solution, alors $f(n)=\varphi n$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
Tout d'abord, pour tout entier $n \geqslant C$, l'énoncé indique que $1+f(n)$ divise $1+n \varphi$. On en déduit que $1+f(n) \leqslant 1+n \varphi$, do... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 94 | 899 |
2019 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $C$ un entier naturel non nul. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ telles que, pour tous les entiers $a$ et $b$ de somme $a+b \geqslant C$, l'entier $a+f(b)$ divise $a^{2}+b f(a)$. | $n^{\circ} 2$ On présente une autre façon, légèrement différente, de conclure une fois que l'on a montré que $p$ divise $f(p)$ pour tout nombre premier $p$.
Soit $p$ un nombre premier, et soit $g(p)$ l'entier $f(p) / p$. Puisque $g(p) \leqslant \varphi$ dès lors que $p \geqslant C$, la fonction $g$ est bornée. Il exist... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-Corrigé-Web.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 94 | 951 |
2019 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $n$ un entier naturel non nul. On dit qu'une fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est $n$-positive si, pour tous les réels $x_{1}, \ldots, x_{n}$ tels que $x_{1}+\ldots+x_{n}=0$, on a $f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right) \geqslant 0$.
a) Toute fonction 2020-positive est-elle nécessairement 10... | Dans les deux solutions, on pose $n=1010$.
a) Soit $f$ une fonction $2 n$-positive, et soit $x_{1}, \ldots, x_{n}$ des réels tels que $x_{1}+\ldots+x_{n}=0$. En notant que $x_{1}+\ldots+x_{n}+x_{1}+\ldots+x_{n}=0$ et que $f$ est $2 n$-positive, on constate que
$$
0 \leqslant f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\rig... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-janvier.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 158 | 765 |
2019 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ une suite d'entiers naturels non nuls, et soit $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ la suite telle que $b_{n}=\operatorname{PGCD}\left(a_{n}, a_{n+1}\right)$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Est-il possible que tout entier naturel non nul soit égal à exactement un des termes $b_{0}, b_{1}, ... | La réponse est oui!
Dans la suite, on dira qu'une suite $\left(b_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ est agréable si, pour tout $k \geqslant 0$, les entiers $b_{k}$ et $b_{k+2}$ sont premiers entre eux. Étant donnée une suite $\left(b_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ agréable, posons $a_{0}=b_{0}$ puis $a_{k}=b_{k-1} b_{k}$ pour t... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-janvier.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 134 | 1,212 |
2019 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ une suite d'entiers naturels non nuls, et soit $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ la suite telle que $b_{n}=\operatorname{PGCD}\left(a_{n}, a_{n+1}\right)$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Est-il possible que tout entier naturel non nul soit égal à exactement un des termes $b_{0}, b_{1}, ... | La réponse est oui！
Dans la suite, on dira qu'une suite $\left(b_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ est agréable si, pour tout $k \geqslant 0$, les entiers $b_{k}$ et $b_{k+2}$ sont premiers entre eux. Étant donnée une suite $\left(b_{k}\right)_{k \geqslant 0}$ agréable, posons $a_{0}=b_{0}$ puis $a_{k}=b_{k-1} b_{k}$ pour t... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-janvier.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 134 | 1,225 |
2019 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que
$$
f(x+f(y))+x=f(f(2 x)+y)
$$
pour tous les réels $x$ et $y$. | Tout d'abord, on constate aisément que, pour tout réel $a$, la fonction $f: x \rightarrow x+a$ est une solution du problème. Réciproquement, on va montrer qu'il n'existe pas d'autre solution.
Dans ce qui suit, on considère une fonction solution $f$, on pose $a=f(0)$, et on notera $\mathbf{E}(x, y)$ l'équation
$$
f(x+f... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-janvier.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 57 | 707 |
2019 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que
$$
f(x+f(y))+x=f(f(2 x)+y)
$$
pour tous les réels $x$ et $y$. | $n^{\circ} 1$ Comme précédemment, constate que les fonctions de la forme $f$ : $x \rightarrow x+a$ sont des solutions, et on va montrer que ce sont les seules. À cette fin, on pose $a=f(0)$ et on note $\mathbf{E}(x, y)$ l'équation
$$
f(x+f(y))+x=f(f(2 x)+y)
$$
Soit alors $y$ un nombre réel quelconque, et $x=y+a-f(y)$... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-janvier.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 57 | 876 |
2019 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $k$ et $n$ deux entiers naturels non nuls, tels que $k \leqslant 2^{n}$. Morgane a écrit, sur son cahier, l'ensemble des $n$-uplets formés de 0 et de 1 :il y en a $2^{n}$. On dit que deux $n$-uplets $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ et $\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ sont voisins s'ils ont $n-1$ termes en co... | Dans toute la suite, on assimilera nos $n$-uplets à des vecteurs de $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^{n}$, c'est-à-dire des vecteurs dont les $n$ coordonnées sont des éléments de $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$. Ainsi, on note
$\triangleright 0$ le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles,
$\triangleright \mathbf{a}_{i}... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-janvier.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 265 | 2,214 |
2019 | T1 | 7 | null | French_tests | Soit $k$ et $n$ deux entiers naturels non nuls, tels que $k \leqslant 2^{n}$. Morgane a écrit, sur son cahier, l'ensemble des $n$-uplets formés de 0 et de 1 :il y en a $2^{n}$. On dit que deux $n$-uplets $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ et $\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ sont voisins s'ils ont $n-1$ termes en co... | $n^{\circ} 1$ On démontre comme ci-dessus que tout entier $k \geqslant 1+\lceil n / 2\rceil$ convient, et il ne nous reste maintenant plus qu'à montrer que l'on doit nécessairement avoir $k \geqslant 1+\lceil n / 2\rceil$. Pour ce faire, on va procéder par récurrence sur $n$.
Tout d'abord, pour $n=1$ et $n=2$, si Morga... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-janvier.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 265 | 1,342 |
2019 | T1 | 1 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle dont tous les angles sont aigus, avec $A B \neq A C$. Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit à $A B C$, et $D$ le milieu de l'arc $\widehat{B C}$ ne contenant pas $A$. Soit $E$ et $F$ des points appartenant respectivement aux segments $[A B]$ et $[A C]$, de sorte que $A E=A F$. Soit $P$ le point d... | Commençons par tracer une figure, et notons $X$ le milieu de $[B C]$, que l'on espère être également le point d'intersection des droites $(B C)$ et $(J K)$. Sans perte de généralité, on suppose également que $A B>A C$.
Une première remarque que l'on peut formuler est que, puisque les arcs $\widehat{B D}$ et $\widehat{... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-novembre.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 258 | 1,845 |
2019 | T1 | 2 | null | French_tests | Chaque case d'un tableau de taille $8 \times 8$ peut être coloriée en blanc ou en noir, de telle sorte que chaque rectangle de taille $2 \times 3$ ou $3 \times 2$ contient deux cases noires ayant un côté en commun. Déterminer le nombre minimal de cases noires qu'il peut y avoir sur le tableau. | Comme d'habitude dans ce genre de problèmes, on commence par rechercher des bornes supérieures (en exhibant une configuration) et inférieures (par des arguments de double comptage et/ou de pavage) sur le nombre minimal de cases noires que doit contenir le tableau.
Par exemple, la configuration ci-dessous (à gauche) nou... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-novembre.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 81 | 878 |
2019 | T1 | 2 | null | French_tests | Chaque case d'un tableau de taille $8 \times 8$ peut être coloriée en blanc ou en noir, de telle sorte que chaque rectangle de taille $2 \times 3$ ou $3 \times 2$ contient deux cases noires ayant un côté en commun. Déterminer le nombre minimal de cases noires qu'il peut y avoir sur le tableau. | $n^{\circ} 1$ Voici une autre manière de démontrer que 24 cases noires sont nécessaires une fois que l'on sait que chaque case située au centre de l'échiquier a au moins deux voisines noires. En effet, cela signifie que chaque occurrence du motif représenté ci-dessous doit contenir au moins deux cases noires.
On peut ... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-novembre.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 81 | 677 |
2019 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2019}$ des polynômes non constants à coefficients réels tels que
$$
P_{1}\left(P_{2}(x)\right)=P_{2}\left(P_{3}(x)\right)=\ldots=P_{2019}\left(P_{1}(x)\right)
$$
pour tout réel $x$. Démontrer que $P_{1}=P_{2}=\ldots=P_{2019}$. | Nous allons en fait démontrer le résultat plus général suivant : si $P_{1}, \ldots, P_{2 n+1}$ sont des polynômes non constants à coefficients réels et tels que $P_{1} \circ P_{2}=$ $P_{2} \circ P_{3}=\ldots=P_{2 n+1} \circ P_{1}$, alors $P_{1}=\ldots=P_{2 n+1}$. Par commodité, dans la suite, on pose $P_{2 n+1+k}=P_{k}... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2019-2020-corrigé-test-novembre.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 117 | 2,062 |
2020 | T1 | 1 | null | French_tests | Une grille de dimensions $20 \times 20$ est divisée en 400 cases unité de dimensions $1 \times 1$. Clara colorie chaque case en blanc ou en noir, puis Isabelle découpe la grille en rectangles dont les côtés sont contenus dans la grille. Chacun de ces rectangles doit contenir au plus 2 cases noires, et elle donne un cho... | Nous allons démontrer pour tout entier $n \geqslant 3$ que, si Clara et Isabelle jouent sur une grille de dimensions $n \times n$, Isabelle donnera $n$ chocolats à Clara.
Tout d'abord, pour limiter le nombre de chocolats qu'elle donnera à Clara, Isabelle peut procéder comme suit. Elle commence par découper le rectangle... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 171 | 1,503 |
2020 | T1 | 2 | null | French_tests | On dit qu'une suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ d'entiers naturels non nuls est sicilienne si $^{-10}$
$$
u_{n+1} \in\left\{u_{n} / 2, u_{n} / 3,2 u_{n}+1,3 u_{n}+1\right\}
$$
pour tout $n \geqslant 0$. Démontrer que, pour tout entier $k \geqslant 1$, il existe une suite sicilienne $\left(u_{n}\right)_{n \ge... | Nous allons démontrer, pour tout entier $k \geqslant 2$, la propriété $\mathcal{P}_{k}$ suivante : il existe une suite sicilienne finie $\left(u_{0}, \ldots, u_{\ell}\right)$ telle que $u_{0}=k$ et $u_{\ell}<k$.
La propriété $\mathcal{P}_{k}$ est immédiate si $k$ est pair, puisqu'il suffit de choisir $u_{1}=k / 2$. On ... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 183 | 913 |
2020 | T1 | 3 | null | French_tests | Soit $A B C$ un triangle dont les angles sont aigus, et soit $D$ le pied de la hauteur issue du sommet $A$. Soit $X$ et $Y$ les deux points du cercle circonscrit à $A B C$ tels que $A X=A Y=A D$, et tels que $B$ et $X$ se trouvent du même côté de la droite $(A D)$. Soit $E$ le point d'intersection des droites $(B X)$ e... | $n^{\circ} 1$ Dans la suite, on note $\mathcal{C}_{U V W}$ le cercle circonscrit au triangle $U V W . \mathrm{Si}$ $A B C$ est isocèle en $A$, la droite $(A D)$ constitue un axe de symétrie de la figure et le résultat est immédiat. On suppose donc, sans perte de généralité, que $A B \neq A C$.
Lorsque l'on trace la fig... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 190 | 1,565 |
2020 | T1 | 2 | null | French_tests | Soit $n$ et $k$ deux entiers, tels que $n \geqslant 3$. Théo organise les élections des délégués de sa classe de $n$ élèves : chaque élève doit voter pour un de ses camarades (tout le monde est candidat), et nul ne vote pour lui-même. Puis Théo répartit les élèves en groupes de sorte que, si un élève est dans un groupe... | Tout d'abord, si on a trois élèves (disons Anna, Martin et Vincent) tels qu'Anna a voté pour Martin, Martin a voté pour Vincent, et Vincent a voté pour Anna, il est clair que Théo aura besoin d'au moins trois groupes.
Réciproquement, démontrons par récurrence sur $n$ que Théo peut s'en sortir avec trois groupes seuleme... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 159 | 682 |
2020 | T1 | 3 | null | French_tests | On définit la suite $a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots$ de la façon suivante : $a_{1}=63$ et, pour tout entier $n \geqslant 2, a_{n}$ est le plus petit multiple de $n$ qui soit supérieur ou égal à $a_{n-1}$. Démontrer que les termes de notre suite sont deux à deux distincts. | $n^{\circ} 1$ Comme dans la solution précédente, il est clair que la suite $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est croissante. Il s'agit donc de démontrer, pour tout entier $n \geqslant 1$, que $a_{n} \neq a_{n+1}$, c'est-à-dire que $n(n+1)$ ne divise pas $a_{n}$.
On calcule alors les premiers termes de la suite, jusq... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 97 | 755 |
2020 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ un polygone convexe à 2021 sommets tel que, pour chaque sommet $P_{i}$, les 2018 diagonales issues de $P_{i}$ divisent l'angle $\widehat{P}_{i}$ en 2019 angles égaux.
Démontrer que $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ est un polygone régulier, c'est-à-dire un polygone dont tous les angles on... | Dans la suite, on pose $n=2019$ et, pour tout sommet $P_{i}$, on note $a_{i}$ l'angle $\widehat{P}_{i} / n$. Soit alors $P_{k}$, $P_{k+1}, P_{k+2}, P_{k+3}$ et $P_{k+4}$ quatre sommets consécutifs, les indices des sommets étant considérés modulo $n+2$.
La somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$. En considéran... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 144 | 723 |
2020 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ un polygone convexe à 2021 sommets tel que, pour chaque sommet $P_{i}$, les 2018 diagonales issues de $P_{i}$ divisent l'angle $\widehat{P}_{i}$ en 2019 angles égaux.
Démontrer que $P_{1} P_{2} \ldots P_{2021}$ est un polygone régulier, c'est-à-dire un polygone dont tous les angles on... | $n^{\circ} 2$ Comme précédemment, on démontre l'égalité (1). Si l'on pose $b_{i}=a_{i}-180^{\circ} /(n+2)$, cette égalité se réécrit comme $b_{i}+n b_{i+1}+b_{i+2}=0$.
La suite $\left(b_{i}\right)_{i \geqslant 1}$ est donc récurrente linéaire. Si l'on note $r_{+}$et $r_{-}$les deux racines du polynôme $1+n X+X^{2}$, c'... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2020-2021-Corrigé-Test-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 144 | 603 |
Subsets and Splits
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