year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
values | problem_label stringclasses 119
values | problem_type stringclasses 13
values | exam stringclasses 28
values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2008 | T2 | 5 | null | Canada_MO | A self-avoiding rook walk on a chessboard (a rectangular grid of squares) is a path traced by a sequence of rook moves parallel to an edge of the board from one unit square to another, such that each begins where the previous move ended and such that no move ever crosses a square that has previously been crossed, i.e.,... | Let $r_{n}=R(3, n)$. It can be checked directly that $r_{1}=1$ and $r_{2}=4$. Let $1 \leq i \leq 3$ and $1 \leq j$; let $(i, j)$ denote the cell in the $i$ th row from the bottom and the $j$ th column from the left, so that the paths in question go from $(1,1)$ to $(3,1)$.
Suppose that $n \geq 3$. The rook walks fall ... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2008.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 1."
} | 200 | 927 |
2008 | T2 | 5 | null | Canada_MO | A self-avoiding rook walk on a chessboard (a rectangular grid of squares) is a path traced by a sequence of rook moves parallel to an edge of the board from one unit square to another, such that each begins where the previous move ended and such that no move ever crosses a square that has previously been crossed, i.e.,... | Employ the same notation as in Solution 1. We have that $r_{1}=1, r_{2}=4$ and $r_{3}=11$. Let $n \geq 3$. Consider the situation that there are $r_{n+1}$ columns. There are basically three types of rook walks.
Type 1. There are four rook walks that enter only the first two columns.
Type 2. There are $3 r_{n-1}$ rook... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2008.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 2."
} | 200 | 849 |
2008 | T2 | 5 | null | Canada_MO | A self-avoiding rook walk on a chessboard (a rectangular grid of squares) is a path traced by a sequence of rook moves parallel to an edge of the board from one unit square to another, such that each begins where the previous move ended and such that no move ever crosses a square that has previously been crossed, i.e.,... | Let $S(3, n)$ be the set of self-avoiding rook walks in which the rook occupies column $n$ but does not occupy column $n+1$. Then $R(3, n)=|S(3,1)|+|S(3,2)|+\cdots+|S(3, n)|$. Furthermore, topological considerations allow us to break $S(3, n)$ into three disjoint subsets $S_{1}(3, n)$, the set of paths in which corner ... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2008.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 3."
} | 200 | 1,116 |
2009 | T2 | 3 | null | Canada_MO | Define
$$
f(x, y, z)=\frac{(x y+y z+z x)(x+y+z)}{(x+y)(x+z)(y+z)} .
$$
Determine the set of real numbers $r$ for which there exists a triplet $(x, y, z)$ of positive real numbers satisfying $f(x, y, z)=r$. | We prove that $1<f(x, y, z) \leq \frac{9}{8}$, and that $f(x, y, z)$ can take on any value within the range $\left(1, \frac{9}{8}\right]$.
The expression for $f(x, y, z)$ can be simplified to
$$
f(x, y, z)=1+\frac{x y z}{(x+y)(x+z)(y+z)} .
$$
Since $x, y, z$ are positive, we get $1<f(x, y, z)$.
The inequality $f(x,... | {
"problem_match": "\nPRoblem 3.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2009.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 76 | 537 |
2010 | T2 | 1 | null | Canada_MO | For a positive integer $n$, an $n$-staircase is a figure consisting of unit squares, with one square in the first row, two squares in the second row, and so on, up to $n$ squares in the $n^{\text {th }}$ row, such that all the left-most squares in each row are aligned vertically. For example, the 5 -staircase is shown ... | (a) A diagonal square in an $n$-staircase is a unit square that lies on the diagonal going from the top-left to the bottom-right. A minimal tiling of an $n$-staircase is a tiling consisting of $f(n)$ square tiles.
Observe that $f(n) \geq n$ for all $n$. There are $n$ diagonal squares in an $n$-staircase, and a square ... | {
"problem_match": "\n(1) ",
"resource_path": "CANADA_MO/segmented/en-sol2010.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 321 | 1,543 |
2010 | T2 | 3 | null | Canada_MO | Three speed skaters have a friendly race on a skating oval. They all start from the same point and skate in the same direction, but with different speeds that they maintain throughout the race. The slowest skater does 1 lap a minute, the fastest one does 3.14 laps a minute, and the middle one does $L$ laps a minute for... | Assume that the length of the oval is one unit. Let $x(t)$ be the difference of distances that the slowest and the fastest skaters have skated by time $t$. Similarly, let $y(t)$ be the difference between the middle skater and the slowest skater. The path $(x(t), y(t))$ is a straight ray $R$ in $\mathbb{R}^{2}$, startin... | {
"problem_match": "\n(3) ",
"resource_path": "CANADA_MO/segmented/en-sol2010.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 199 | 517 |
2010 | T2 | 3 | null | Canada_MO | Three speed skaters have a friendly race on a skating oval. They all start from the same point and skate in the same direction, but with different speeds that they maintain throughout the race. The slowest skater does 1 lap a minute, the fastest one does 3.14 laps a minute, and the middle one does $L$ laps a minute for... | First, let us name our skaters. From fastest to slowest, call them: $A, B$ and $C$. (Abel, Bernoulli and Cayley?)
Now, it is helpful to consider the race from the viewpoint of $C$. Relative to $C$, both $A$ and $B$ complete a whole number of laps, since they both start and finish at $C$.
Let $n$ be the number of laps... | {
"problem_match": "\n(3) ",
"resource_path": "CANADA_MO/segmented/en-sol2010.jsonl",
"solution_match": "\nAlternate Solution."
} | 199 | 750 |
2010 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Each vertex of a finite graph can be colored either black or white. Initially all vertices are black. We are allowed to pick a vertex $\mathrm{P}$ and change the color of $P$ and all of its neighbours. Is it possible to change the colour of every vertex from black to white by a sequence of operations of this type? | The answer is yes. Proof by induction on the number $n$ of vertices. If $n=1$, this is obvious. For the induction assumption, suppose we can do this for any graph with $n-1$ vertices for some $n \geq 2$ and let $X$ be a graph with $n$ vertices which we will denote by $P_{1}, \ldots, P_{n+1}$.
Let us denote the "basic"... | {
"problem_match": "\n(4) ",
"resource_path": "CANADA_MO/segmented/en-sol2010.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 69 | 521 |
2012 | T2 | 2 | null | Canada_MO | For any positive integers $n$ and $k$, let $L(n, k)$ be the least common multiple of the $k$ consecutive integers $n, n+1, \ldots, n+k-1$. Show that for any integer $b$, there exist integers $n$ and $k$ such that $L(n, k)>b L(n+1, k)$. | I. Let $p>b$ be prime, let $n=p^{3}$ and $k=p^{2}$. If $p^{3}<i<p^{3}+p^{2}$, then no power of $p$ greater than 1 divides $i$, while $p$ divides $p^{3}+p$. It follows that $L\left(p^{3}, p^{2}\right)=$ $p^{2} L\left(p^{3}+1, p^{2}-1\right)$. A similar calculation shows that $L\left(p^{3}+1, p^{2}\right)=p L\left(p^{3}+... | {
"problem_match": "\n2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2012.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 81 | 517 |
2012 | T2 | 3 | null | Canada_MO | Let $A B C D$ be a convex quadrilateral and let $P$ be the point of intersection of $A C$ and $B D$. Suppose that $A C+A D=B C+B D$. Prove that the internal angle bisectors of $\angle A C B, \angle A D B$, and $\angle A P B$ meet at a common point. | I. Construct $A^{\prime}$ on $C A$ so that $A A^{\prime}=A D$ and $B^{\prime}$ on $C B$ such that $B B^{\prime}=B D$. Then we have three angle bisectors that correspond to the perpendicular bisectors of $A^{\prime} B^{\prime}, A^{\prime} D$, and $B^{\prime} D$. These perpendicular bisectors are concurrent, so the angle... | {
"problem_match": "\n3.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2012.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 78 | 650 |
2012 | T2 | 4 | null | Canada_MO | A number of robots are placed on the squares of a finite, rectangular grid of squares. A square can hold any number of robots. Every edge of each square of the grid is classified as either passable or impassable. All edges on the boundary of the grid are impassable.
You can give any of the commands up, down, left, or ... | We will prove any two robots can be moved to the same square. From that point on, they will always be on the same square. We can then similarly move
## Sun Life Financial Canadian Mathematical Olympiad
a third robot onto the same square as these two, and then a fourth, and so on, until all robots are on the same squa... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2012.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 209 | 529 |
2013 | T2 | 2 | null | Canada_MO | The sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ consists of the numbers $1,2, \ldots, n$ in some order. For which positive integers $n$ is it possible that $0, a_{1}, a_{1}+a_{2}, \ldots, a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$ all have different remainders when divided by $n+1$ ? | It is possible if and only if $n$ is odd.
If $n$ is even, then $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=1+2+\ldots+n=\frac{n}{2} \cdot(n+1)$, which is congruent to $0 \bmod n+1$. Therefore, the task is impossible.
Now suppose $n$ is odd. We will show that we can construct $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ that satisfy the conditions gi... | {
"problem_match": "\n2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2013.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 99 | 793 |
2013 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Let $n$ be a positive integer. For any positive integer $j$ and positive real number $r$, define
$$
f_{j}(r)=\min (j r, n)+\min \left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text { and } \quad g_{j}(r)=\min (\lceil j r\rceil, n)+\min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right) \text {, }
$$
where $\lceil x\rceil$ denote... | We first prove the left hand side inequality. We begin by drawing an $n \times n$ board, with corners at $(0,0),(n, 0),(0, n)$ and $(n, n)$ on the Cartesian plane.
Consider the line $\ell$ with slope $r$ passing through $(0,0)$. For each $j \in\{1, \ldots, n\}$, consider the point $(j, \min (j r, n))$. Note that each ... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2013.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 1:"
} | 183 | 874 |
2013 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Let $n$ be a positive integer. For any positive integer $j$ and positive real number $r$, define
$$
f_{j}(r)=\min (j r, n)+\min \left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text { and } \quad g_{j}(r)=\min (\lceil j r\rceil, n)+\min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right) \text {, }
$$
where $\lceil x\rceil$ denote... | We first prove the left inequality. Define the function $f(r)=$ $\sum_{j=1}^{n} f_{j}(r)$. Note that $f(r)=f(1 / r)$ for all $r>0$. Therefore, we may assume that $r \geq 1$.
Let $m=\lfloor n / r\rfloor$, where $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to $x$. Then $\min (j r, n)=j r$ for all $j... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2013.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 2:"
} | 183 | 1,978 |
2013 | T2 | 5 | null | Canada_MO | Let $O$ denote the circumcentre of an acute-angled triangle $A B C$. A circle $\Gamma$ passing through vertex $A$ intersects segments $A B$ and $A C$ at points $P$ and $Q$ such that $\angle B O P=\angle A B C$ and $\angle C O Q=\angle A C B$. Prove that the reflection of $B C$ in the line $P Q$ is tangent to $\Gamma$. | Let the circumcircle of triangle $O B P$ intersect side $B C$ at the points $R$ and $B$ and let $\angle A, \angle B$ and $\angle C$ denote the angles at vertices $A, B$ and $C$, respectively.
Now note that since $\angle B O P=\angle B$ and $\angle C O Q=\angle C$, it follows that
$\angle P O Q=360^{\circ}-\angle B O ... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2013.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 98 | 511 |
2014 | T2 | 1 | null | Canada_MO | Let $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ be positive real numbers whose product is 1 . Show that the sum $\frac{a_{1}}{1+a_{1}}+\frac{a_{2}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)}+\frac{a_{3}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)\left(1+a_{3}\right)}+\cdots+\frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\l... | Note for that every positive integer $m$,
$$
\begin{aligned}
\frac{a_{m}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{m}\right)} & =\frac{1+a_{m}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{m}\right)}-\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{m}\right)} \\
& =\frac... | {
"problem_match": "\n1.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2014.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 169 | 611 |
2014 | T2 | 2 | null | Canada_MO | Let $m$ and $n$ be odd positive integers. Each square of an $m$ by $n$ board is coloured red or blue. A row is said to be red-dominated if there are more red squares than blue squares in the row. A column is said to be blue-dominated if there are more blue squares than red squares in the column. Determine the maximum p... | The answer is $m+n-2$ if $m, n \geq 3$ and $\max \{m, n\}$ if one of $m, n$ is equal to 1 .
Note that it is not possible that all rows are red-dominated and all columns are blue-dominated. This is true, since the number of rows and columns are both odd, the number of squares is odd. Hence, there are more squares of on... | {
"problem_match": "\n2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2014.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 106 | 805 |
2014 | T2 | 3 | null | Canada_MO | Let $p$ be a fixed odd prime. A $p$-tuple $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{p}\right)$ of integers is said to be good if
(i) $0 \leq a_{i} \leq p-1$ for all $i$, and
(ii) $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{p}$ is not divisible by $p$, and
(iii) $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+\cdots+a_{p} a_{1}$ is divisible by ... | Let $S$ be the set of all sequences $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{p}\right)$ of numbers from the set $\{0,1,2, \ldots, p-1\}$ such that $b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{p}$ is not divisible by $p$. We show that $|S|=p^{p}-p^{p-1}$. For let $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{p-1}$ be an arbitrary sequence of numbers chosen from $\{0,1,2... | {
"problem_match": "\n3.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2014.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 168 | 982 |
2014 | T2 | 5 | null | Canada_MO | Fix positive integers $n$ and $k \geq 2$. A list of $n$ integers is written in a row on a blackboard. You can choose a contiguous block of integers, and I will either add 1 to all of them or subtract 1 from all of them. You can repeat this step as often as you like, possibly adapting your selections based on what I do.... | We will think of all numbers as being residues mod $k$. Consider the following strategy:
- If there are less than $k-1$ non-zero numbers, then stop.
- If the first number is 0 , then recursively solve on the remaining numbers.
- If the first number is $j$ with $0<j<k$, then choose the interval stretching from the firs... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2014.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 125 | 535 |
2015 | T2 | 1 | null | Canada_MO | Let $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ be the set of positive integers. Find all functions $f$, defined on $\mathbb{N}$ and taking values in $\mathbb{N}$, such that $(n-1)^{2}<f(n) f(f(n))<n^{2}+n$ for every positive integer $n$. | The only such function is $f(n)=n$.
Assume that $f$ satisfies the given condition. It will be shown by induction that $f(n)=n$ for all $n \in \mathbb{N}$. Substituting $n=1$ yields that $0<f(1) f(f(1))<2$ which implies the base case $f(1)=1$. Now assume that $f(k)=k$ for all $k<n$ and assume for contradiction that $f(... | {
"problem_match": "\nProblem 1.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2015.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 84 | 630 |
2015 | T2 | 2 | null | Canada_MO | Let $A B C$ be an acute-angled triangle with altitudes $A D, B E$, and $C F$. Let $H$ be the orthocentre, that is, the point where the altitudes meet. Prove that
$$
\frac{A B \cdot A C+B C \cdot B A+C A \cdot C B}{A H \cdot A D+B H \cdot B E+C H \cdot C F} \leq 2 .
$$ | Method 1: Let $A B=c, A C=b$, and $B C=a$ denote the three side lengths of the triangle.
As $\angle B F H=\angle B D H=90^{\circ}, F H D B$ is a cyclic quadrilateral. By the Power-of-a-Point Theorem, $A H \cdot A D=A F \cdot A B$. (We can derive this result in other ways: for example, see Method 2, below.)
Since $A F... | {
"problem_match": "\nProblem 2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2015.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 102 | 887 |
2015 | T2 | 3 | null | Canada_MO | On a $(4 n+2) \times(4 n+2)$ square grid, a turtle can move between squares sharing a side. The turtle begins in a corner square of the grid and enters each square exactly once, ending in the square where she started. In terms of $n$, what is the largest positive integer $k$ such that there must be a row or column that... | We shall prove that the answer is $2 n+2$. Number the rows in increasing order, from top to bottom, and number the columns from left to right. By symmetry, we may (and shall) assume that the turtle starts in the top right corner square.
First we shall prove that some row or column must be entered at least $2 n+2$ time... | {
"problem_match": "\nProblem 3.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2015.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 91 | 716 |
2015 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Let $A B C$ be an acute-angled triangle with circumcenter $O$. Let $\Gamma$ be a circle with centre on the altitude from $A$ in $A B C$, passing through vertex $A$ and points $P$ and $Q$ on sides $A B$ and $A C$. Assume that $B P \cdot C Q=A P \cdot A Q$. Prove that $\Gamma$ is tangent to the circumcircle of triangle B... | Let $\omega$ be the circumcircle of $B O C$. Let $M$ be the point diametrically opposite to $O$ on $\omega$ and let the line $A M$ intersect $\omega$ at $M$ and $K$. Since $O$ is the circumcenter of $A B C$, it follows that $O B=O C$ and therefore that $O$ is the midpoint of the $\operatorname{arc} \widehat{B O C}$ of ... | {
"problem_match": "\nProblem 4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2015.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 99 | 739 |
2015 | T2 | 5 | null | Canada_MO | Let $p$ be a prime number for which $\frac{p-1}{2}$ is also prime, and let a, $b, c$ be integers not divisible by $p$. Prove that there are at most $1+\sqrt{2 p}$ positive integers $n$ such that $n<p$ and $p$ divides $a^{n}+b^{n}+c^{n}$. | First suppose $b \equiv \pm a(\bmod p)$ and $c \equiv \pm b(\bmod p)$. Then, for any $n$, we have $a^{n}+b^{n}+c^{n} \equiv \pm a^{n}$ or $\pm 3 a^{n}(\bmod p)$. We are given that $p \neq 3\left(\right.$ since $\frac{3-1}{2}$ is not prime) and $p \not a$, so it follows that $a^{n}+b^{n}+c^{n} \not \equiv 0(\bmod p)$. T... | {
"problem_match": "\nProblem 5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2015.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 87 | 979 |
2016 | T2 | 2 | null | Canada_MO | Consider the following system of 10 equations in 10 real variables $v_{1}, \ldots, v_{10}$ :
$$
v_{i}=1+\frac{6 v_{i}^{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{10}^{2}} \quad(i=1, \ldots, 10) .
$$
Find all 10-tuples $\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{10}\right)$ that are solutions of this system.
## Sun
Life Financial | For a particular solution $\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{10}\right)$, let $s=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{10}^{2}$. Then
$$
v_{i}=1+\frac{6 v_{i}^{2}}{s} \Rightarrow 6 v_{i}^{2}-s v_{i}+s=0
$$
Let $a$ and $b$ be the roots of the quadratic $6 x^{2}-s x+s=0$, so for each $i, v_{i}=a$ or $v_{i}=b$. We also have $a b=s... | {
"problem_match": "\n2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2016.jsonl",
"solution_match": "\n## Solution:"
} | 132 | 556 |
2016 | T2 | 3 | null | Canada_MO | Find all polynomials $P(x)$ with integer coefficients such that $P(P(n)+$ $n$ ) is a prime number for infinitely many integers $n$.
Answer: $P(n)=p$ where $p$ is a prime number and $P(n)=-2 n+b$ where $b$ is odd. | Note that if $P(n)=0$ then $P(P(n)+n)=P(n)=0$ which is not prime. Let $P(x)$ be a degree $k$ polynomial of the form $P(x)=a_{k} x^{k}+a_{k-1} x^{k-1}+\cdots+a_{0}$ and note that if $P(n) \neq 0$ then
$$
\begin{aligned}
& P(P(n)+n)-P(n)= \\
& \quad a_{k}\left[(P(n)+n)^{k}-n^{k}\right]+a_{k-1}\left[(P(n)+n)^{k-1}-n^{k-1... | {
"problem_match": "\n3.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2016.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 68 | 661 |
2016 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Lavaman versus the Flea. Let $A, B$, and $F$ be positive integers, and assume $A<B<2 A$. A flea is at the number 0 on the number line. The flea can move by jumping to the right by $A$ or by $B$. Before the flea starts jumping, Lavaman chooses finitely many intervals $\{m+$ $1, m+2, \ldots, m+A\}$ consisting of $A$ cons... | Let $B=A+C$ where $A /(n+1) \leq C<A / n$.
First, here is an informal sketch of the proof.
Lavaman's strategy: Use only safe intervals with $n A+C-1$ integers. The flea will start at position $[1, C]$ from the left, which puts him at position $[n A, n A+C-1]$ from the right. After $n-1$ jumps, he will still have $n A... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2016.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 248 | 2,520 |
2016 | T2 | 5 | null | Canada_MO | Let $\triangle A B C$ be an acute-angled triangle with altitudes $A D$ and $B E$ meeting at $H$. Let $M$ be the midpoint of segment $A B$, and suppose that the circumcircles of $\triangle D E M$ and $\triangle A B H$ meet at points $P$ and $Q$ with $P$ on the same side of $C H$ as $A$. Prove that the lines $E D$, $P H$... | Let $R$ denote the intersection of lines $E D$ and $P H$. Since quadrilaterals $E C D H$ and $A P H B$ are cyclic, we have $\angle R D A=180^{\circ}-\angle E D A=$ $180^{\circ}-\angle E D H=180^{\circ}-\angle E C H=90^{\circ}+A$, and $\angle R P A=\angle H P A=$ $180^{\circ}-\angle H B A=90^{\circ}+A$. Therefore, $A P ... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2016.jsonl",
"solution_match": "\n## Solution:"
} | 126 | 966 |
2017 | T2 | 2 | null | Canada_MO | Let $f$ be a function from the set of positive integers to itself such that, for every $n$, the number of positive integer divisors of $n$ is equal to $f(f(n))$. For example, $f(f(6))=4$ and $f(f(25))=3$. Prove that if $p$ is prime then $f(p)$ is also prime. | Let $d(n)=f(f(n))$ denote the number of divisors of $n$ and observe that $f(d(n))=$ $f(f(f(n)))=d(f(n))$ for all $n$. Also note that because all divisors of $n$ are distinct positive integers between 1 and $n$, including 1 and $n$, and excluding $n-1$ if $n>2$, it follows that $2 \leq d(n)<n$ for all $n>2$. Furthermore... | {
"problem_match": "\n2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2017.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 84 | 549 |
2017 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Points $P$ and $Q$ lie inside parallelogram $A B C D$ and are such that triangles $A B P$ and $B C Q$ are equilateral. Prove that the line through $P$ perpendicular to $D P$ and the line through $Q$ perpendicular to $D Q$ meet on the altitude from $B$ in triangle $A B C$. | Let $\angle A B C=m$ and let $O$ be the circumcenter of triangle $D P Q$. Since $P$ and $Q$ are in the interior of $A B C D$, it follows that $m=\angle A B C>60^{\circ}$ and $\angle D A B=180^{\circ}-m>60^{\circ}$ which together imply that $60^{\circ}<m<120^{\circ}$. Now note that $\angle D A P=\angle D A B-60^{\circ}=... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2017.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 82 | 547 |
2018 | T2 | 1 | null | Canada_MO | Consider an arrangement of tokens in the plane, not necessarily at distinct points. We are allowed to apply a sequence of moves of the following kind: Select a pair of tokens at points $A$ and $B$ and move both of them to the midpoint of $A$ and $B$.
We say that an arrangement of $n$ tokens is collapsible if it is pos... | For a given positive integer $n$, consider an arrangement of $n$ tokens in the plane, where the tokens are at points $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$. Let $G$ be the centroid of the $n$ points, so as vectors (after an arbitrary choice of origin),
$$
\vec{G}=\frac{\vec{A}_{1}+\vec{A}_{2}+\cdots+\vec{A}_{n}}{n}
$$
Note th... | {
"problem_match": "\n1.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2018.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 124 | 1,210 |
2018 | T2 | 3 | null | Canada_MO | Two positive integers $a$ and $b$ are prime-related if $a=p b$ or $b=p a$ for some prime $p$. Find all positive integers $n$, such that $n$ has at least three divisors, and all the divisors can be arranged without repetition in a circle so that any two adjacent divisors are prime-related.
Note that 1 and $n$ are inclu... | We say that a positive integer is good if it has the given property. Let $n$ be a good number, and let $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}$ be the divisors of $n$ in the circle, in that order. Then for all $1 \leq i \leq k, d_{i+1} / d_{i}$ (taking the indices modulo $k$ ) is equal to either $p_{i}$ or $1 / p_{i}$ for some pr... | {
"problem_match": "\n3.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2018.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 88 | 1,277 |
2018 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Find all polynomials $p(x)$ with real coefficients that have the following property: There exists a polynomial $q(x)$ with real coefficients such that
$$
p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n) q(n)
$$
for all positive integers $n$. | The property clearly holds whenever $p(x)$ is a constant polynomial, since we can take $q(x)=x$. Assume henceforth that $p(x)$ is nonconstant and has the stated property. Let $d$ be the degree of $p(x)$, so $p(x)$ is of the form
$$
p(x)=c x^{d}+\cdots .
$$
By a Lemma (which we will prove at the end), $\sum_{k=1}^{n} ... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2018.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 66 | 1,928 |
2018 | T2 | 5 | null | Canada_MO | Let $k$ be a given even positive integer. Sarah first picks a positive integer $N$ greater than 1 and proceeds to alter it as follows: every minute, she chooses a prime divisor $p$ of the current value of $N$, and multiplies the current $N$ by $p^{k}-p^{-1}$ to produce the next value of $N$. Prove that there are infini... | Note that 1009 is prime. We will show that if $k=1009^{m}-1$ for some positive integer $m$, then Sarah's number must at some point be divisible by 2018 . Let $P$ be the largest divisor of $N$ not divisible by a prime congruent to 1 modulo 1009. Assume for contradiction that $N$ is never divisible by 2018. We will show ... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2018.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 119 | 672 |
2019 | T2 | 1 | null | Canada_MO | Amy has drawn three points in a plane, $A, B$, and $C$, such that $A B=B C=C A=6$. Amy is allowed to draw a new point if it is the circumcenter of a triangle whose vertices she has already drawn. For example, she can draw the circumcenter $O$ of triangle $A B C$, and then afterwards she can draw the circumcenter of tri... | (a) Given triangle $\triangle A B C$, Amy can draw the following points:
- $O$ is the circumcenter of $\triangle A B C$
- $A_{1}$ is the circumcenter of $\triangle B O C$
- $A_{2}$ is the circumcenter of $\triangle O B A_{1}$
- $A_{3}$ is the circumcenter of $\triangle B A_{2} A_{1}$
We claim that $A A_{3}>7$. We pre... | {
"problem_match": "\n1.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2019.jsonl",
"solution_match": "\n## Solution."
} | 164 | 1,326 |
2019 | T2 | 2 | null | Canada_MO | Let $a$ and $b$ be positive integers such that $a+b^{3}$ is divisible by $a^{2}+3 a b+3 b^{2}-1$. Prove that $a^{2}+3 a b+3 b^{2}-1$ is divisible by the cube of an integer greater than 1 . | Let $Z=a^{2}+3 a b+3 b^{2}-1$. By assumption, there is a positive integer $c$ such that $c Z=a+b^{3}$. Noticing the resemblance between the first three terms of $Z$ and those of the expansion of $(a+b)^{3}$, we are led to
$$
(a+b)^{3}=a\left(a^{2}+3 a b+3 b^{2}\right)+b^{3}=a(Z+1)+b^{3}=a Z+a+b^{3}=a Z+c Z .
$$
Thus ... | {
"problem_match": "\n2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2019.jsonl",
"solution_match": "\n## Solution."
} | 72 | 528 |
2019 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Let $n$ be an integer greater than 1 , and let $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ be real numbers with $a_{1}=a_{n-1}=0$. Prove that for any real number $k$,
$$
\left|a_{0}\right|-\left|a_{n}\right| \leq \sum_{i=0}^{n-2}\left|a_{i}-k a_{i+1}-a_{i+2}\right|
$$ | Let $Q(x)=x^{2}-k x-1$ and let $P(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$. Note that the product of the two roots of $Q(x)$ is -1 and thus one of the two roots has magnitude at most 1. Let $z$ be this root. Now note that since $a_{1}=a_{n-1}=0$, we have that
$$
\begin{aligned}
0=Q(z) P(z) & =-a_{0}-k a_{0} z+\sum_{i=0}^{... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2019.jsonl",
"solution_match": "\n## First Solution."
} | 116 | 550 |
2019 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Let $n$ be an integer greater than 1 , and let $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ be real numbers with $a_{1}=a_{n-1}=0$. Prove that for any real number $k$,
$$
\left|a_{0}\right|-\left|a_{n}\right| \leq \sum_{i=0}^{n-2}\left|a_{i}-k a_{i+1}-a_{i+2}\right|
$$ | Let $k$ be a real number. Put
$$
R= \begin{cases}\sqrt{k^{2}+4} & \text { if } k \geq 0 \\ -\sqrt{k^{2}+4} & \text { if } k<0\end{cases}
$$
Define the polynomial
$$
S(x)=x^{2}+R x+1
$$
The roots of $S$ are
$$
b=\frac{-R-k}{2} \quad \text { and } \quad c=\frac{-R+k}{2}
$$
Then we have
$$
b-c=-k, \quad b c=1, \qua... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2019.jsonl",
"solution_match": "\n## Second Solution."
} | 116 | 591 |
2019 | T2 | 5 | null | Canada_MO | David and Jacob are playing a game of connecting $n \geq 3$ points drawn in a plane. No three of the points are collinear. On each player's turn, he chooses two points to connect by a new line segment. The first player to complete a cycle consisting of an odd number of line segments loses the game. (Both endpoints of e... | Answer: David has a winning strategy if and only if $n \equiv 2(\bmod 4)$.
Call a move illegal if it would cause an odd cycle to be formed for the first time. First we show that if $n$ is odd, then any strategy where Jacob picks a legal move if one is available to him causes him to win. Assume for contradiction that J... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2019.jsonl",
"solution_match": "\n## Solution:"
} | 117 | 909 |
2020 | T2 | 2 | null | Canada_MO | A circle is inscribed in a rhombus $A B C D$. Points $P$ and $Q$ vary on line segments $\overline{A B}$ and $\overline{A D}$, respectively, so that $\overline{P Q}$ is tangent to the circle. Show that for all such line segments $\overline{P Q}$, the area of triangle $C P Q$ is constant.
![](https://cdn.mathpix.com/cro... | Let the circle be tangent to $\overline{P Q}, \overline{A B}, \overline{A D}$ at $T, U$, and $V$, respectively. Let $p=P T=P U$ and $q=Q T=Q V$. Let $a=A U=A V$ and $b=B U=D V$. Then the side length of the rhombus is $a+b$.
Let $\theta=\angle B A D$, so $\angle A B C=\angle A D C=180^{\circ}-\theta$. Then (using the n... | {
"problem_match": "\n2.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2020.jsonl",
"solution_match": "\n## Solution."
} | 159 | 811 |
2020 | T2 | 4 | null | Canada_MO | Let $S=\{1,4,8,9,16, \ldots\}$ be the set of perfect powers of integers, i.e. numbers of the form $n^{k}$ where $n, k$ are positive integers and $k \geq 2$. Write $S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots\right\}$ with terms in increasing order, so that $a_{1}<a_{2}<a_{3} \cdots$. Prove that there exist infinitely many inte... | The idea is that most perfect powers are squares. If $a_{n}=x^{2}$ and $a_{n+1}=(x+1)^{2}$, then $a_{n+1}-a_{n}=2 x+1$. Note that $9999 \mid 2 x+1$ is equivalent to $x \equiv 4999(\bmod 9999)$. Hence we will be done if we can show that there exist infinitely many $x \equiv 4999(\bmod 9999)$ such that there are no perfe... | {
"problem_match": "\n4.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2020.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 144 | 632 |
2020 | T2 | 5 | null | Canada_MO | There are 19,998 people on a social media platform, where any pair of them may or may not be friends. For any group of 9,999 people, there are at least 9,999 pairs of them that are friends. What is the least number of friendships, that is, the least number of pairs of people that are friends, that must be among the 19,... | It is $5 \cdot 9999=49995$. One possible construction is as follows: have the 19,998 people form 3,333 groups of 6 people, and within each group every pair of people are friends. Now, for any group of 9,999 people, say that there are $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{3333}$ people in each of the 6 groups, respectively. Then th... | {
"problem_match": "\n5.",
"resource_path": "Canada_MO/segmented/en-sol2020.jsonl",
"solution_match": "\nSolution:"
} | 93 | 604 |
2006 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Als we een verzameling punten in de ruimte hebben, mogen we een punt van de verzameling spiegelen in een ander punt van de verzameling en het beeld hiervan toevoegen aan de verzameling.
Als we beginnen met een verzameling bestaande uit zeven van de acht hoekpunten van een kubus, kunnen we dan het achtste hoekpunt in de... | Als we op de getallenlijn een punt $x$ spiegelen in een punt $y$, dan krijgen we als spiegelbeeld het punt $S_{y}(x)=y-(x-y)=2 y-x$. Hetzelfde geldt voor punten in de ruimte: spiegelen we een willekeurig punt $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ in een punt $\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$, dan krijgen we $S_{\left(y_{... | {
"problem_match": "# Opgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2006-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing:"
} | 109 | 543 |
2006 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | In een groep van scholieren spreken 50 scholieren Duits, 50 scholieren Frans en 50 scholieren Spaans. Sommige scholieren spreken meer dan één taal.
Bewijs dat de scholieren in 5 groepen verdeeld kunnen worden zodat in elke groep precies 10 scholieren Duits spreken, 10 Frans en 10 Spaans. | Scholieren die geen enkele taal spreken kunnen we buiten beschouwing laten, want we kunnen ze willekeurig over de groepen verdelen.
We onderscheiden zeven typen scholieren, al naar gelang de talen die ze spreken: DFS, FS, SD, DF, D, F en S, waarbij bijvoorbeeld een S-scholier alleen Spaans spreekt.
Maak een Venn-diagra... | {
"problem_match": "# Opgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2006-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing:"
} | 103 | 761 |
2006 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Cirkels $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ snijden elkaar in $P$ en $Q$. Zij $A$ een punt op $\Gamma_{1}$ niet gelijk aan $P$ of $Q$. De lijnen $A P$ en $A Q$ snijden $\Gamma_{2}$ nogmaals in respectievelijk $B$ en $C$.
Bewijs dat de hoogtelijn uit $A$ in driehoek $A B C$ door een punt gaat dat onafhankelijk is van de keuze ... | Door het tekenen van verscheidene nette plaatjes hebben we het vermoeden gekregen dat de genoemde hoogtelijn altijd door het middelpunt van $\Gamma_{1}$ gaat. Dat dat ook daadwerkelijk zo is, gaan we nu bewijzen.
Het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$ op (het verlengde van) $B C$ noemen we $K$, en het andere snijpunt v... | {
"problem_match": "# Opgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2006-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing:"
} | 128 | 919 |
2006 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $\mathbb{R}_{>0}$ de verzameling van positieve reële getallen. Laat $a \in \mathbb{R}_{>0}$ gegeven zijn. Vind alle functies $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ zodanig dat $f(a)=1$ en
$$
\forall x, y \in \mathbb{R}_{>0}: f(x) f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right) f\left(\frac{a}{y}\right)=2 f(x y)
$$ | Invullen van $x=a$ en $y=1$ in (1) geeft $f(a) f(1)+f\left(\frac{a}{a}\right) f\left(\frac{a}{1}\right)=2 f(a \cdot 1)$, wat wegens $f(a)=1$ leidt tot $f(1)+f(1)=2$, dus
$$
f(1)=1
$$
Invullen van $y=1$ in (1) geeft $f(x) f(1)+f\left(\frac{a}{x}\right) f\left(\frac{a}{1}\right)=2 f(x \cdot 1)$, wat wegens $f(a)=f(1)=1... | {
"problem_match": "# Opgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2006-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing:"
} | 135 | 623 |
2006 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $\lfloor x\rfloor$ het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan $x$. Laat $n \in \mathbb{N}, n \geq 7$ gegeven zijn.
Bewijs dat $\binom{n}{7}-\left\lfloor\frac{n}{7}\right\rfloor$ deelbaar is door 7 . | Schrijf $n=7 k+\ell$ voor gehele $k$ en $\ell$ met $0 \leq \ell \leq 6$, dan geldt $\left\lfloor\frac{n}{7}\right\rfloor=\left\lfloor k+\frac{\ell}{7}\right\rfloor=k$.
Te bewijzen: $\binom{n}{7} \equiv k(\bmod 7)$.
Bewijs: Het uitschrijven van de binomiaalcoëfficiënt geeft
$$
\binom{n}{7}=\frac{n!}{7!(n-7)!}=\frac{n(n... | {
"problem_match": "# Opgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2006-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing:"
} | 88 | 562 |
2007 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $m$ een positief geheel getal. Bewijs dat voor alle positieve reële getallen $a$ en $b$ geldt:
$$
\left(1+\frac{a}{b}\right)^{m}+\left(1+\frac{b}{a}\right)^{m} \geq 2^{m+1}
$$ | We gebruiken dat $x+\frac{1}{x} \geq 2$ voor alle $x \in \mathbb{R}_{>0}$. Er geldt
$$
\begin{aligned}
\left(1+\frac{a}{b}\right)^{m}+\left(1+\frac{b}{a}\right)^{m} & =\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}\left(\frac{a}{b}\right)^{i}+\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}\left(\frac{b}{a}\right)^{i} \\
& =\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}\left(\le... | {
"problem_match": "\n1. ",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2007-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOpgave 1."
} | 80 | 583 |
2008 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Julian en Johan spelen een spel met een even aantal, zeg $2 n$, kaarten ( $n \in \mathbb{Z}_{>0}$ ). Op elke kaart staat een positief geheel getal. De kaarten worden geschud en in een rij op tafel gelegd met de getallen zichtbaar. Een speler die aan de beurt is, mag ofwel de meest linker kaart ofwel de meest rechter ka... | Zij $2 n$ het aantal kaarten en ga ervan uit dat de kaarten in de rij achtereenvolgens $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}$ zijn. We bewijzen met inductie naar $n$ dat Johan dan altijd kan zorgen dat hij naar keuze alle oneven kaarten $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$ pakt of juist alle even kaarten $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots... | {
"problem_match": "\n2. ",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2008-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOpgave 2."
} | 186 | 525 |
2008 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Laat $m, n$ positieve gehele getallen zijn. Bekijk een rijtje positieve gehele getallen $a_{1}$, $a_{2}, \ldots, a_{n}$ dat voldoet aan $m=a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{n} \geq 1$. Voor $1 \leq i \leq m$ definiëren we
$$
b_{i}=\#\left\{j \in\{1,2, \ldots, n\}: a_{j} \geq i\right\}
$$
dus $b_{i}$ is het aantal ... | (a) Oplossing 1. Merk op dat voor $1 \leq i \leq m$ en $1 \leq j \leq n$ geldt:
| $a_{j} \geq i$ | $\Longleftrightarrow$ |
| ---: | :--- |
| $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{j} \geq i$ | $\Longleftrightarrow$ |
| minstens $j$ van de $a^{\prime}$ 'tjes zijn groter of gelijk aan $i$ | $\Longleftrightarrow$ |
| $b_{i} \geq j$ |... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2008-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Opgave 3."
} | 412 | 1,305 |
2008 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Laat $\triangle A B C$ een rechthoekige driehoek zijn met $\angle B=90^{\circ}$ en $|A B|>|B C|$; en zij $\Gamma$ de halve cirkel met middellijn $A B$ aan de kant van $A B$ waar ook $C$ ligt. Zij punt $P$ op $\Gamma$ zo dat $|B P|=|B C|$ en zij $Q$ op lijnstuk $A B$ zo dat $|A P|=|A Q|$. Bewijs dat het midden van $C Q$... | Oplossing 1. Zij $S$ het snijpunt van $\Gamma$ en $C Q$. We moeten bewijzen dat $|Q S|=|S C|$.
De lijn $B C$ is een raaklijn aan $\Gamma$, dus geldt $\angle C B P=\angle B A P=\angle Q A P$. Omdat de driehoeken $C B P$ en $Q A P$ beide gelijkbenig zijn, zijn ze gelijkvormig. Zij $\alpha=\angle B C P$, dan geldt
$$
\al... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2008-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOpgave 5."
} | 143 | 824 |
2009 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 10$ een geheel getal. We schrijven $n$ in het tientallig stelsel. Zij $S(n)$ de som van de cijfers van $n$. Een stomp van $n$ is een positief geheel getal dat verkregen is door een aantal (minstens één, maar niet alle) cijfers van $n$ aan het rechteruiteinde weg te halen. Bijvoorbeeld: 23 is een stomp van 2... | Van rechts naar links geven we de cijfers van $n$ aan met $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}$. Er geldt dus
$$
n=a_{0}+10 a_{1}+\cdots+10^{k} a_{k} .
$$
Een stomp van $n$ bestaat van rechts naar links uit de cijfers $a_{i}, a_{i+1}, \ldots, a_{k}$ waarbij $1 \leq i \leq k$. Zo'n stomp is dan gelijk aan $a_{i}+10 a_{i+1}+\c... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2009-uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 155 | 691 |
2010 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan
$$
f(x) f(y)=f(x+y)+x y
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Merk eerst op dat de functie $f(x)=0$ voor alle $x \in \mathbb{R}$ niet voldoet. Er is dus zeker een $x_{0} \in \mathbb{R}$ waarvoor $f\left(x_{0}\right) \neq 0$. Vul nu $x=x_{0}$ en $y=0$ in: $f\left(x_{0}\right) f(0)=f\left(x_{0}\right)$. We mogen delen door $f\left(x_{0}\right)$, waardoor we krijgen: $f(0)=1$. Vul n... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 60 | 649 |
2010 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $N$ het aantal geordende vijftallen $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right)$ van positieve gehele getallen waarvoor geldt
$$
\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}=1 .
$$
(Bij geordende vijftallen doet de volgorde er toe, dus $(2,3,15,15,30)$ en $(15,2,15,3,30)$ zi... | Bekijk een ongeordend vijftal dat voldoet en stel dat het uit de verschillende getallen $b_{1}, \ldots, b_{k}$ bestaat (met $k \leq 5$ ), waarbij $b_{i}$ precies $t_{i}$ keer voorkomt. Er geldt dus $t_{1}+\cdots+t_{k}=5$. Nu geldt dat dit vijftal op $\frac{5!}{t_{1}!\cdots t_{k}!}$ manieren geordend kan worden. Dit is ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 175 | 538 |
2010 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $N$ het aantal geordende vijftallen $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right)$ van positieve gehele getallen waarvoor geldt
$$
\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}=1 .
$$
(Bij geordende vijftallen doet de volgorde er toe, dus $(2,3,15,15,30)$ en $(15,2,15,3,30)$ zi... | $\mathrm{Zij}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right)$ een geordend vijftal dat voldoet. Dan voldoet ook het vijftal $\left(a_{2}, a_{1}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right)$. Als $a_{1} \neq a_{2}$, is dit echt een ander vijftal. Zo zien we dat er een even aantal oplossingen $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 175 | 612 |
2010 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | De twee cirkels $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ snijden elkaar in $P$ en $Q$. De gemeenschappelijke raaklijn aan de kant van $P$ raakt de cirkels in $A$ resp. $B$. De raaklijn aan $\Gamma_{1}$ in $P$ snijdt $\Gamma_{2}$ voor de tweede keer in $C$ en de raaklijn aan $\Gamma_{2}$ in $P$ snijdt $\Gamma_{1}$ voor de tweede ke... | We gaan alle relevante hoeken uitdrukken in $\alpha=\angle B A P$ en $\beta=\angle P B A$. Het midden van $A B$ is per definitie ook het midden van $P M$, dus de diagonalen van vierhoek $A P B M$ snijden elkaar middendoor. Daarom is $A P B M$ een parallellogram en geldt $\angle A M B=\angle A P B$. Wegens hoekensom van... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 218 | 541 |
2010 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Voor een niet-negatief geheel getal $n$ noemen we een permutatie $\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ van $\{0,1, \ldots, n\}$ kwadratisch als $k+a_{k}$ een kwadraat is voor $k=0,1, \ldots, n$. Bewijs dat er voor elke niet-negatieve gehele $n$ een kwadratische permutatie van $\{0,1, \ldots, n\}$ bestaat. | We bewijzen dit met inductie naar $n$. Voor $n=0$ werkt de permutatie ( 0 ), want $0+0$ is een kwadraat. Zij nu $l \geq 0$ en neem aan dat er voor elke $n \leq l$ een kwadratische permutatie bestaat (de inductiehypothese). We bekijken $n=l+1$. Zij $m$ zodat $m^{2}$ het kleinste kwadraat groter dan of gelijk aan $l+1$ i... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 129 | 538 |
2010 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Vind alle drietallen $(x, y, z)$ van reële (maar niet noodzakelijk positieve) getallen die voldoen aan
$$
\begin{aligned}
3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) & =1 \\
x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2} & =x y z(x+y+z)^{3} .
\end{aligned}
$$ | We gaan laten zien dat voor reële getallen $x, y$ en $z$ die aan de eerste voorwaarde voldoen, geldt
$$
x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2} \geq x y z(x+y+z)^{3} .
$$
De oplossingen die we zoeken, zijn dus de gelijkheidsgevallen van deze ongelijkheid.
Laat $a, b$ en $c$ reële getallen zijn. Er geldt $(a-b)^{2} \geq 0... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 110 | 1,806 |
2010 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Bekijk rijen $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van $a_{2010}$ als gegeven is:
(i) $a_{n}<a_{n+1}$ voor alle $n \geq 1$,
(ii) $a_{i}+a_{l}>a_{j}+a_{k}$ voor alle viertallen $(i, j, k, l)$ met $1 \leq i<j \leq k<l$. | We bewijzen met inductie dat $a_{n}-a_{1} \geq 2^{n-1}-1$ voor alle $n \geq 2$. Voor $n=2$ staat hier $a_{2}-a_{1} \geq 1$ en dat volgt uit voorwaarde (i). $\mathrm{Zij} \mathrm{nu} m \geq 2$ en stel dat $a_{m}-a_{1} \geq 2^{m-1}-1$. We passen voorwaarde (ii) toe met $i=1, j=k=m$ en $l=m+1$. We vinden dat $a_{1}+a_{m+1... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 129 | 599 |
2010 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | (a) Laat $a$ en $b$ positieve gehele getallen zijn zodat $M(a, b)=a-\frac{1}{b}+b\left(b+\frac{3}{a}\right)$ een geheel getal is. Bewijs dat $M(a, b)$ een kwadraat is.
(b) Vind gehele getallen $a$ en $b$, beide ongelijk aan nul, zodat $M(a, b)$ een positief geheel getal is, maar geen kwadraat. | (a) Omdat $a+b^{2}$ een geheel getal is, is ook $-\frac{1}{b}+\frac{3 b}{a}$ een geheel getal. Dit kunnen we schrijven als $\frac{-a+3 b^{2}}{a b}$. We zien dat $a b$ een deler is van $3 b^{2}-a$. In het bijzonder is $b$ een deler van $3 b^{2}-a$ en dus geldt $b \mid a$. Maar dat betekent dat $b^{2}$ een deler is van $... | {
"problem_match": "# Opgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing."
} | 123 | 672 |
2010 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven is een vierkant $A B C D$ met omgeschreven cirkel $\Gamma_{1}$. Zij $P$ een punt op boog $A C$ waar ook $B$ op ligt. Een cirkel $\Gamma_{2}$ raakt inwendig aan $\Gamma_{1}$ in $P$ en raakt daarnaast diagonal $A C$ in $Q$. Zij $R$ een punt op $\Gamma_{2}$ zodat de lijn $D R$ raakt aan $\Gamma_{2}$. Bewijs dat $|... | Zij $M$ het snijpunt van $A C$ en $B D$ (oftewel het middelpunt van $\Gamma_{1}$ ) en zij $N$ het middelpunt van $\Gamma_{2}$. We gaan allereerst bewijzen dat $P, Q$ en $D$ op een lijn liggen. Als $P=B$, dan is $Q=M$ en is het triviaal. Zo niet, definieer dan $S$ als het snijpunt van $P Q$ en $B D$. We willen bewijzen ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2010-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 136 | 503 |
2011 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:
- Er zijn zowel rode als groene getallen.
- De som van drie (niet noodzakelijk verschillende) rode getallen is rood.
- De som van drie (niet noodzakelijk verschillende) groene getallen is groen.
Vind alle mo... | Stel dat we het getal $k$ rood kleuren. We bewijzen met inductie naar $n$ dat dan ook $(2 n+1) k$ rood is voor alle $n \geq 0$. Voor $n=0$ is dit natuurlijk waar. Stel dat $(2 n-1) k$ rood is voor zekere $n$, dan is ook $k+k+(2 n-1) k=(2 n+1) k$ rood. Dit voltooit de inductie. Analoog geldt dat als $k$ groen gekleurd i... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 107 | 508 |
2011 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | In de scherphoekige driehoek $A B C$ is $\angle C$ groter dan $\angle A$. Zij $E$ zodat $A E$ een middellijn is van de omgeschreven cirkel $\Gamma$ van $\triangle A B C$. Zij $K$ het snijpunt van $A C$ en de raaklijn in $B$ aan $\Gamma$. Zij $L$ het voetpunt van de loodlijn vanuit $K$ op $A E$ en zij $D$ het snijpunt v... | Door de voorwaarden in de opgave ligt de configuratie vast. Omdat $\angle L A D=$ $\angle E A B=\angle E C B$ vanwege de omtrekshoekstelling op koorde $E B$ van $\Gamma$, geldt
$$
\begin{gathered}
\angle B D K=\angle A D L=180^{\circ}-\angle D L A-\angle L A D=90^{\circ}-\angle L A D=90^{\circ}-\angle E C B \\
=\angle... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 163 | 555 |
2011 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle drietallen reële getallen $(x, y, z)$ die voldoen aan
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=x y+y z+z x+|x-2 y+z|
$$ | We herschrijven de gegeven vergelijking als
$$
\frac{1}{2} x^{2}-x y+\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{2} y^{2}-y z+\frac{1}{2} z^{2}+\frac{1}{2} z^{2}-z x+\frac{1}{2} x^{2}+1=|x-2 y+z|,
$$
oftewel als
$$
\frac{1}{2}(x-y)^{2}+\frac{1}{2}(y-z)^{2}+\frac{1}{2}(z-x)^{2}+1=|(x-y)+(z-y)| .
$$
Substitueer nu $a=x-y$ en $b=z-y$.... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 56 | 734 |
2011 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle drietallen reële getallen $(x, y, z)$ die voldoen aan
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=x y+y z+z x+|x-2 y+z|
$$ | We onderscheiden twee gevallen: $x-2 y+z \geq 0$ of $x-2 y+z<0$. In het eerste geval wordt de vergelijking
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=x y+y z+z x+x-2 y+z .
$$
We kunnen dit beschouwen als kwadratische vergelijking in $x$ :
$$
x^{2}+(-y-z-1) x+\left(y^{2}+z^{2}+1-y z+2 y-z\right)=0 .
$$
We berekenen hiervan de discrimin... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 56 | 797 |
2011 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 2$ een geheel getal. Zij $a$ het grootste positieve gehele getal waarvoor geldt $2^{a} \mid 5^{n}-3^{n}$. Zij $b$ het grootste positieve gehele getal waarvoor geldt $2^{b} \leq n$. Bewijs dat $a \leq b+3$. | We bewijzen dit allereerst voor oneven getallen $n$. Hiervoor geldt modulo 4 dat $5^{n} \equiv 1^{n}=1$ en $3^{n} \equiv(-1)^{n} \equiv-1$, dus $5^{n}-3^{n} \equiv 2 \bmod 4$. Dus als $n$ oneven is, geldt $a=1$. Omdat $b \geq 1$, is nu voldaan aan $a \leq b+3$.
Stel nu dat $n \equiv 2 \bmod 4$. Schrijf $n=2 k$ met $k$ ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 94 | 1,257 |
2011 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Gegeven is een trapezium $A B C D$ met $B C \| A D$. Neem aan dat de bissectrices van de hoeken $B A D$ en $C D A$ elkaar snijden op de middelloodlijn van lijnstuk $B C$. Bewijs dat $|A B|=|C D|$ of $|A B|+|C D|=|A D|$. | Zij $M$ het midden van $B C$ en zij $P$ het snijpunt van de middelloodlijn van $B C$ met $A D$. Noem $K$ het snijpunt van $M P$ en de twee bissectrices. Laat $L$ en $N$ de voetpunten zijn van $K$ op respectievelijk zijden $A B$ en $D C$. Omdat $A K$ en $D K$ bissectrices zijn, geldt $|K L|=|K P|=|K N|$. Verder ligt $K$... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 94 | 644 |
2011 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Gegeven is een trapezium $A B C D$ met $B C \| A D$. Neem aan dat de bissectrices van de hoeken $B A D$ en $C D A$ elkaar snijden op de middelloodlijn van lijnstuk $B C$. Bewijs dat $|A B|=|C D|$ of $|A B|+|C D|=|A D|$. | Zij $K$ het snijpunt van de middelloodlijn van $B C$ en de twee bissectrices. Spiegel $B$ in de lijn $A K$ en noem het beeld $E$. Omdat $A K$ een bissectrice is, ligt $E$ op $A D$, geldt $|A B|=|A E|$ en is $A K$ de middelloodlijn van $B E$, zodat $|K B|=|K E|$. Spiegel nu ook $C$ in $D K$ en noem het beeld $F$. Ook $F... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 94 | 507 |
2011 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | We bekijken betegelingen van een rechthoekig $m \times n$-bord met $1 \times 2$-tegels. De tegels mogen zowel horizontaal als verticaal liggen, maar ze mogen elkaar niet overlappen en niet buiten het bord uitsteken. Alle velden van het bord moeten bedekt worden door een tegel.
a) Bewijs dat bij elke betegeling van een ... | a) Noem een rechte lijn die het bord in twee stukken verdeelt zodat elke tegel in zijn geheel binnen één van de stukken ligt, een scheidingslijn. Stel dat er een betegeling bestaat waar geen scheidingslijn te vinden is. Bekijk de kolommen $k$ en $k+1$, met $1 \leq k \leq 2009$. Er moet dan een horizontale tegel zijn di... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing."
} | 244 | 1,064 |
2011 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bepaal alle gehele getallen $n$ waarvoor het polynoom $P(x)=3 x^{3}-n x-n-2$ te schrijven is als het product van twee niet-constante polynomen met gehele coëfficiënten. | Stel dat $P(x)$ te schrijven is als $P(x)=A(x) B(x)$ met $A$ en $B$ niet-constante polynomen met gehele coëfficiënten. Omdat $A$ en $B$ niet constant zijn, hebben ze elk graad minstens 1. De som van de twee graden is gelijk aan de graad van $P$, dus gelijk aan 3. Dit betekent dat de twee graden 1 en 2 moeten zijn. We k... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 61 | 1,150 |
2011 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bepaal alle gehele getallen $n$ waarvoor het polynoom $P(x)=3 x^{3}-n x-n-2$ te schrijven is als het product van twee niet-constante polynomen met gehele coëfficiënten. | Net als in oplossing I schrijven we schrijven $P(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right)(d x+e)$ en leiden we af dat $a=1$ en $d=3$, of $a=3$ en $d=1$. Door het vergelijken van de coëfficiënten krijgen we nog drie voorwaarden:
$$
\begin{aligned}
a e+b d & =0, \\
b e+d c & =-n, \\
c e & =-n-2 .
\end{aligned}
$$
Stel eerst dat $... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 61 | 751 |
2011 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een driehoek met $|A B|>|B C|$. Zij $D$ het midden van $A C$. Zij $E$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle A B C$ met de lijn $A C$. Zij $F$ op $B E$ zo dat $C F$ loodrecht op $B E$ staat. Zij verder $G$ het snijpunt van $C F$ en $B D$.
Bewijs dat $D F$ het lijnstuk $E G$ doormidden snijdt. | Merk op dat vanwege de voorwaarde $|A B|>|B C|$ de punten $D$ en $E$ verschillend zijn en de volgorde van punten op de lijn $A C$ is: $A, D, E, C$. Verder is $\angle B C A>\angle C A B$, dus $\angle B C A+\frac{1}{2} \angle A B C>90^{\circ}$, waaruit volgt dat $F$ op het inwendige van $B E$ ligt. Daarmee ligt ook $G$ o... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 139 | 1,111 |
2011 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een driehoek met $|A B|>|B C|$. Zij $D$ het midden van $A C$. Zij $E$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle A B C$ met de lijn $A C$. Zij $F$ op $B E$ zo dat $C F$ loodrecht op $B E$ staat. Zij verder $G$ het snijpunt van $C F$ en $B D$.
Bewijs dat $D F$ het lijnstuk $E G$ doormidden snijdt. | Net als in bovenstaande oplossing leiden we af dat $D F \| A K$. Daarmee wordt $D F$ ook de middenparallel van $\triangle A B C$, dus het snijpunt $H$ van $D F$ en $B C$ is het midden van $B C$. Zij nu $G^{\prime}$ het snijpunt van $C F$ en de lijn door $E$ evenwijdig aan $C B$. Zij $T$ het snijpunt van $D H$ en $E G^{... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 139 | 535 |
2011 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Laat $n \geq 2$ en $k \geq 1$ gehele getallen zijn. In een land zijn $n$ steden en tussen elk paar steden is een busverbinding in twee richtingen. Laat $A$ en $B$ twee verschillende steden zijn. Bewijs dat het aantal manieren waarop je van $A$ naar $B$ kunt reizen met precies $k$ bussen gelijk is aan
$$
\frac{(n-1)^{k... | Zij $\alpha(k)$ het aantal manieren om van stad $A$ naar stad $B \neq A$ te reizen met $k$ bussen. Zij $\beta(k)$ het aantal manieren om van stad $A$ naar stad $A$ te reizen met $k$ bussen. Als we beginnen in stad $A$ en daarna $k$ keer een bus nemen, dan kan dat op $(n-1)^{k}$ manieren. In $\beta(k)$ van de gevallen k... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 124 | 737 |
2011 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor geldt dat
$$
x f(x+x y)=x f(x)+f\left(x^{2}\right) f(y)
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Invullen van $x=0$ en $y=0$ geeft $0=f(0)^{2}$, dus $f(0)=0$. Invullen van $x=1$ en $y=-1$ geeft $f(0)=f(1)+f(1) f(-1)$, dus $0=f(1)(1+f(-1))$, dus $f(1)=0$ of $f(-1)=-1$. Invullen van $x=-1$ geeft
$$
-f(-1-y)=-f(-1)+f(1) f(y) \quad \text { voor alle } y \in \mathbb{R}
$$
Stel dat $f(1)=0$, dan staat hier $-f(-1-y)=-... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 69 | 916 |
2011 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Laat $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ twee snijdende cirkels met middelpunten respectievelijk $O_{1}$ en $O_{2}$ zijn, zodat $\Gamma_{2}$ het lijnstuk $O_{1} O_{2}$ snijdt in een punt $A$. De snijpunten van $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ zijn $C$ en $D$. De lijn $A D$ snijdt $\Gamma_{1}$ een tweede keer in $S$. De lijn $C S$... | We gaan $\angle O_{1} E A$ berekenen. Omdat driehoek $O_{1} E D$ gelijkbenig is met top $O_{1}$ en omdat $A E F D$ een koordenvierhoek is, geldt
$$
\angle O_{1} E A=\angle O_{1} E D-\angle A E D=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle E O_{1} D-\angle A F D .
$$
Verder is
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \angle E O_{1} D & =\an... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 216 | 599 |
2011 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Laat $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ twee snijdende cirkels met middelpunten respectievelijk $O_{1}$ en $O_{2}$ zijn, zodat $\Gamma_{2}$ het lijnstuk $O_{1} O_{2}$ snijdt in een punt $A$. De snijpunten van $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ zijn $C$ en $D$. De lijn $A D$ snijdt $\Gamma_{1}$ een tweede keer in $S$. De lijn $C S$... | Het snijpunt van $O_{1} O_{2}$ met de boog $S D$ van $\Gamma_{1}$ waar $C$ op ligt, noemen we $T$. Omdat $A$ in het inwendige van $\Gamma_{1}$ ligt, weten we nu
$$
\begin{array}{rlr}
\angle O_{1} A S & =\angle A T S+\angle T S A & \quad \text { buitenhoekstelling in } \triangle A T S \\
& =\angle O_{1} T S+\angle T S ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 216 | 592 |
2011 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bewijs dat er geen oneindige rij priemgetallen $p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots$ bestaat met de eigenschap dat voor alle positieve gehele $k$ geldt:
$$
p_{k}=2 p_{k-1}+1 \quad \text { of } \quad p_{k}=2 p_{k-1}-1
$$ | Stel dat er zo'n oneindige rij bestaat. Door eventueel de eerste twee elementen weg te laten, kunnen we zorgen dat het eerste priemgetal in de rij minstens 5 is. We nemen dus zonder verlies van algemeenheid aan dat $p_{0} \geq 5$. Dan weten we dat $p_{0} \not \equiv 0 \bmod 3$.
Stel dat $p_{0} \equiv 1 \bmod 3$. We bew... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 91 | 748 |
2011 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Vind alle drietallen $(a, b, c)$ van positieve gehele getallen met $a+b+c=10$ zodat er $a$ rode, $b$ blauwe en $c$ groene punten (allemaal verschillend) in het vlak bestaan met de volgende eigenschappen:
- voor elk rood punt en elk blauw punt bekijken we de afstand tussen deze twee punten; de som van al deze afstanden... | We maken driehoeken bestaande uit een blauw, een rood en een groen punt. Deze driehoeken mogen ook gedegenereerd zijn. In elk van de driehoeken geldt de (nietstrikte) driehoeksongelijkheid: de afstand tussen het blauwe en het rode punt is hoogstens gelijk aan de som van de afstanden tussen het blauwe en het groene en t... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2011-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 179 | 1,185 |
2012 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een driehoek en zij $X$ een punt binnen de driehoek. De lijnen $X A$, $X B$ en $X C$ snijden de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ nogmaals in respectievelijk $P, Q$ en $R$. Zij $U$ een punt op de halfrechte $X P$ (d.w.z. op de lijn $X P$ zodat $P$ en $U$ aan dezelfde kant van $X$ liggen). De lijn do... | Omdat $A B$ en $U V$ evenwijdig zijn, geldt $\triangle A B X \sim \triangle U V X$ (hh). Zo ook is $\triangle A C X \sim \triangle U W X$. Uit deze gelijkvormigheden verkrijgen we de verhoudingen
$$
\frac{|X A|}{|X B|}=\frac{|X U|}{|X V|} \quad \text { en } \quad \frac{|X A|}{|X C|}=\frac{|X U|}{|X W|}
$$
Hieruit vol... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 208 | 504 |
2012 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een driehoek en zij $X$ een punt binnen de driehoek. De lijnen $X A$, $X B$ en $X C$ snijden de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ nogmaals in respectievelijk $P, Q$ en $R$. Zij $U$ een punt op de halfrechte $X P$ (d.w.z. op de lijn $X P$ zodat $P$ en $U$ aan dezelfde kant van $X$ liggen). De lijn do... | Als $V=Q$ of $W=R$, dan zijn de vier punten $W, R$, $V$ en $Q$ er in feite maar drie (of nog minder), die dus zeker samen op een cirkel liggen. Bekijk nu de configuratie dat $U$ tussen $X$ en $P$ ligt, $V$ tussen $Q$ en $X$, en $W$ tussen $X$ en $R$. Het bewijs in andere configuraties gaat analoog, tenzij $U=P$. Dat ge... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 208 | 582 |
2012 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Bepaal alle paren positieve gehele getallen $(x, y)$ waarvoor
$$
x^{3}+y^{3}=4\left(x^{2} y+x y^{2}-5\right) .
$$ | We kunnen de vergelijking als volgt herschrijven:
$$
(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)=4 x y(x+y)-20
$$
Nu is $x+y$ een deler van de linkerkant en van de eerste term rechts, dus ook van de tweede term rechts: $x+y \mid 20$. Omdat $x+y \geq 2$, geeft dit voor $x+y$ de mogelijkheden $2,4,5,10,20$. Als van $x$ en $y$ er... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 50 | 522 |
2012 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Bepaal alle paren positieve gehele getallen $(x, y)$ waarvoor
$$
x^{3}+y^{3}=4\left(x^{2} y+x y^{2}-5\right) .
$$ | Er geldt $(x+y)^{3}=x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}$, dus uit de gegeven vergelijking volgt
$$
\begin{aligned}
(x+y)^{3} & =x^{3}+y^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2} \\
& =4\left(x^{2} y+x y^{2}-5\right)+3 x^{2} y+3 x y^{2} \\
& =7 x^{2} y+7 x y^{2}-20 \\
& =7 x y(x+y)-20 .
\end{aligned}
$$
Omdat $x+y$ een deler is van $(x+y)^... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 50 | 547 |
2012 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $A B C D$ een convexe vierhoek (d.w.z. alle binnenhoeken zijn kleiner dan $180^{\circ}$ ), zodat er een punt $M$ op lijnstuk $A B$ en een punt $N$ op lijnstuk $B C$ bestaan met de eigenschap dat $A N$ de vierhoek in twee stukken van gelijke oppervlakte deelt, en $C M$ dat ook doet.
Bewijs dat $M N$ de diagonaal $B ... | Noteer de oppervlakte van veelhoek $\mathcal{P}$ met $O(\mathcal{P})$. Laat $S$ het snijpunt van $A N$ en $C M$ zijn. Er geldt
$O(A S M)+O(S M B N)=O(A B N)=\frac{1}{2} O(A B C D)=O(C B M)=O(C N S)+O(S M B N)$,
dus $O(A S M)=O(C N S)$. Als we hier links en rechts $O(S M N)$ bij optellen, vinden we dat $O(M N A)=O(M N C... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 130 | 797 |
2012 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Laat $A$ een verzameling van positieve gehele getallen zijn met de volgende eigenschap: voor elk positief geheel getal $n$ zit precies één van de drie getallen $n, 2 n$ en $3 n$ in $A$. Verder is gegeven dat $2 \in A$. Bewijs dat $13824 \notin A$. | We bewijzen de volgende twee beweringen:
(i) Als $m \in A$ met $2 \mid m$, dan $6 m \in A$.
(ii) Als $m \in A$ met $3 \mid m$, dan $\frac{4}{3} m \in A$.
Eerst bewering (i). Neem aan dat $m \in A$ met $2 \mid m$. Door $n=\frac{m}{2}$ te kiezen, zien we dat $\frac{m}{2}$ en $\frac{3}{2} m$ niet in $A$ zitten. Door $n=m... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 91 | 707 |
2012 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek $A B C$. Een lijn door $I$ snijdt het inwendige van lijnstuk $A B$ in $M$ en het inwendige van lijnstuk $B C$ in $N$. We nemen aan dat $B M N$ een scherphoekige driehoek is. Laat nu $K$ en $L$ punten op lijnstuk $A C$ zijn zodat $\angle B M I=\angle I L A$ ... | Noem $D, E$ en $F$ de voetpunten van $I$ op respectievelijk $B C, C A$ en $A B$. Er geldt dat $N$ tussen $C$ en $D$ ligt: als namelijk $N$ tussen $D$ en $B$ ligt, dan is $\angle B N I$ groter dan $\angle B D I=90^{\circ}$, maar gegeven is dat $\triangle B M N$ scherphoekig is. Dus $N$ ligt tussen $C$ en $D$. Zo ook lig... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 167 | 544 |
2012 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal deelbaar door 4. We bekijken permutaties $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ van $(1,2, \ldots, n)$ met de volgende eigenschap: voor elke $j$ geldt dat als we $i=a_{j}$ nemen, dan $a_{i}+j=n+1$. Bewijs dat er precies $\frac{\left(\frac{1}{2} n\right)!}{\left(\frac{1}{4} n\right)... | Zij $t \in\{1,2, \ldots, n\}$. Stel dat $a_{t}=t$, dan kunnen we $i=j=t$ kiezen en geldt dus $a_{t}+t=n+1$, dus $2 t=n+1$. Maar $n$ is deelbaar door 4 , dus $n+1$ is oneven. Tegenspraak. Stel nu dat $a_{t}=n+1-t$. Dan kunnen we $i=n+1-t$ en $j=t$ kiezen en geldt dus $a_{n+1-t}+t=n+1$, dus $a_{n+1-t}=n+1-t$. We hebben e... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 144 | 1,093 |
2012 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $\Gamma$ de omgeschreven cirkel van de scherphoekige driehoek $A B C$. De bissectrice van hoek $A B C$ snijdt $A C$ in het punt $B_{1}$ en de korte boog $A C$ van $\Gamma$ in het punt $P$. De lijn door $B_{1}$ loodrecht op $B C$ snijdt de korte boog $B C$ van $\Gamma$ in $K$. De lijn door $B$ loodrecht op $A K$ sni... | Dat de bissectrice van hoek $A B C$ de korte boog $A C$ snijdt in $P$, betekent dat $P$ precies midden in deze boog $A C$ ligt. We moeten bewijzen dat $K L$ ook door $P$ gaat, dus dat $K L$ de boog $A C$ doormidden snijdt. Omdat $K$ op $\Gamma$ ligt, betekent dat dat we moeten bewijzen dat $K L$ de bissectrice van $\an... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 160 | 591 |
2012 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Voor positieve gehele getallen $a$ en $b$ definiëren we $a \ominus b=\frac{a-b}{\operatorname{ggd}(a, b)}$. Bewijs dat voor elk geheel getal $n>1$ geldt: $n$ is een priemmacht (d.w.z. dat $n$ te schrijven is als $n=p^{k}$ met $p$ een priemgetal en $k$ een positief geheel getal) dan en slechts dan als voor alle positiev... | Stel eerst dat $n=p^{k}$ met $p$ priem en $k>0$. We moeten bewijzen dat $\operatorname{ggd}(n, n \ominus m)=1$ voor alle $m<n$. Dus bekijk een willekeurig positief geheel getal $m<n$. We schrijven $m=p^{l} s$ met $p \nmid s$ en $0 \leq l<k$. Nu is $\operatorname{ggd}(n, m)=\operatorname{ggd}\left(p^{k}, p^{l} s\right)=... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 150 | 558 |
2012 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | We hebben twee dozen met ballen. In de ene doos zitten $m$ ballen, in de andere doos $n$ ballen, waarbij $m, n>0$. Twee verschillende handelingen zijn toegestaan:
(i) Verwijder uit beide dozen een gelijk aantal ballen.
(ii) Vergroot het aantal ballen in één van de dozen met een factor $k$.
Is het altijd mogelijk om al... | Bekijk eerst het geval $k=2$. We kunnen alle ballen uit beide dozen verwijderen op de volgende manier.
Als $m=n$, dan halen we $m$ ballen uit beide dozen en zijn we klaar. Als $m \neq n$, kunnen we zonder verlies van algemeenheid aannemen dat $m<n$. Als bovendien geldt $2 m<n$, dan verdubbelen we het aantal ballen in d... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 131 | 687 |
2012 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Bepaal alle paren $(x, y)$ van positieve gehele getallen die voldoen aan
$$
x+y+1 \mid 2 x y \quad \text { en } \quad x+y-1 \mid x^{2}+y^{2}-1
$$ | Er geldt
$$
\left(x^{2}+y^{2}-1\right)-(x+y+1)(x+y-1)=\left(x^{2}+y^{2}-1\right)-\left(x^{2}+y^{2}+2 x y-1\right)=-2 x y .
$$
Omdat $x+y-1$ een deler is van $x^{2}+y^{2}-1$ en natuurlijk ook van $(x+y+1)(x+y-1)$, zien we dat $x+y-1$ een deler is van $2 x y$. We weten dat $x+y+1$ ook een deler is van $2 x y$. Maar de ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 63 | 761 |
2012 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven is een driehoek $A B C$. De bissectrice van $\angle C A B$ snijdt $B C$ in $L$. Op het inwendige van zijden $A C$ en $A B$ liggen respectievelijk de punten $M$ en $N$, zodat $A L$, $B M$ en $C N$ door één punt gaan en zodat $\angle A M N=\angle A L B$. Bewijs dat $\angle N M L=90^{\circ}$. | Noem $T$ het snijpunt van $M N$ en $B C$. Merk op dat omdat $\angle A C B=\angle A L B-$ $\angle L A C=\angle A M N-\angle L A C<\angle A M N$, geldt dat $T$ aan dezelfde kant van $C$ ligt als $B$ (en aan dezelfde kant van $M$ als $N$. Omdat $\angle A M T=\angle A M N=\angle A L B=\angle A L T$, is $A M L T$ een koorde... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 121 | 507 |
2012 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan
$$
f(x+x y+f(y))=\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right)
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Vul in $y=-1$, dan staat er:
$$
f(f(-1))=\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(-1)+\frac{1}{2}\right) .
$$
Als $f(-1) \neq-\frac{1}{2}$, dan kunnen we delen door $f(-1)+\frac{1}{2}$ en krijgen we
$$
f(x)+\frac{1}{2}=\frac{f(f(-1))}{f(-1)+\frac{1}{2}},
$$
wat betekent dat $f$ constant is. Dan is er dus een $c \in \ma... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2012-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 81 | 1,095 |
2013 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Gegeven is een drietal verschillende positieve gehele getallen $(a, b, c)$ met $a+b+c=2013$. Een stap bestaat uit het vervangen van het drietal $(x, y, z)$ door het drietal $(y+z-x, z+x-y, x+y-z)$. Bewijs dat we uitgaande van het drietal $(a, b, c)$ na 10 stappen een drietal krijgen dat minstens één negatief getal beva... | Noem $S=x+y+z$. Dan wordt het drietal $(x, y, z)$ in een stap vervangen door het drietal $(S-2 x, S-2 y, S-2 z)$. De som van deze drie getallen is $3 S-2 S=S$. De som van de getallen van een drietal verandert dus niet als je een stap uitvoert.
$\mathrm{Zij}\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right)$ het drietal dat je krijgt na ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 114 | 884 |
2013 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle drietallen $(x, n, p)$ van positieve gehele getallen $x$ en $n$ en priemgetallen $p$ waarvoor geldt
$$
x^{3}+3 x+14=2 \cdot p^{n} \text {. }
$$ | Omdat de rechterkant een product is van priemfactoren, zou het handig zijn als de linkerkant ook een product is. Het zou dan te factoriseren moeten zijn in een eerstegraads en een tweedegraads polynoom in $x$. Proberen geeft dan de volgende ontbinding. We kunnen de linkerkant ontbinden als $(x+2)\left(x^{2}-2 x+7\right... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 66 | 1,033 |
2013 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $A B C D$ een koordenvierhoek met $|A D|=|B D|$. Zij $M$ het snijpunt van $A C$ en $B D$. Zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel van $\triangle B C M$. Zij $N$ het tweede snijpunt van $A C$ met de omgeschreven cirkel van $\triangle B M I$. Bewijs dat $|A N| \cdot|N C|=$ $|C D| \cdot|B N|$. | Zij $\alpha=\angle D A B$. Omdat $|A D|=|B D|$, is dan ook $\angle A B D=\alpha$. Vanwege de omtrekshoekstelling vinden we ook $\angle A C D=\alpha$, terwijl de koordenvierhoekstelling geeft dat $\angle B C D=180^{\circ}-\alpha$. Dus $\angle B C A=180^{\circ}-2 \alpha$. De hoekensom in driehoek $B I M$ geeft, samen met... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 132 | 662 |
2013 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle gehele getallen $n$ waarvoor $\frac{4 n-2}{n+5}$ het kwadraat van een rationaal getal is. (Een rationaal getal is een getal in $\mathbb{Q}$.) | Stel dat $\frac{4 n-2}{n+5}$ het kwadraat van een rationaal getal is. Dan kunnen we het dus schrijven als $\frac{p^{2}}{q^{2}}$ met $p, q$ niet-negatieve gehele getallen, $q \neq 0$ en $\operatorname{ggd}(p, q)=1$. Vanwege de voorwaarde $\operatorname{ggd}(p, q)=1$, is $\frac{p^{2}}{q^{2}}$ de meest vereenvoudigde vers... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 57 | 704 |
2013 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Gegeven is een driehoek $A B C . \mathrm{Zij} \Gamma_{1}$ de cirkel door $B$ die raakt aan zijde $A C$ in $A$. Zij $\Gamma_{2}$ de cirkel door $C$ die raakt aan zijde $A B$ in $A$. Het tweede snijpunt van $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ noemen we $D$. De lijn $A D$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ nog e... | We bekijken de configuratie waar $D$ binnen $\triangle A B C$ ligt. De andere configuratie gaat analoog. Vanwege de raaklijnomtrekshoekstelling in $\Gamma_{2}$ geldt $\angle D A B=\angle D C A$. De buitenhoekstelling geeft nu dat
$$
\angle C D E=\angle D C A+\angle C A D=\angle D A B+\angle C A D=\angle C A B .
$$
No... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 149 | 542 |
2013 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Gegeven is een driehoek $A B C . \mathrm{Zij} \Gamma_{1}$ de cirkel door $B$ die raakt aan zijde $A C$ in $A$. Zij $\Gamma_{2}$ de cirkel door $C$ die raakt aan zijde $A B$ in $A$. Het tweede snijpunt van $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ noemen we $D$. De lijn $A D$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ nog e... | Vanwege de raaklijnomtrekshoekstelling in $\Gamma_{1}$ geldt $\angle D A C=\angle D B A$. Vanwege de raaklijnomtrekshoekstelling in $\Gamma_{2}$ geldt $\angle D A B=\angle D C A$. Er geldt dus $\triangle A B D \sim \triangle C A D(\mathrm{hh})$. Noem nu $M$ het midden van $A B$ en $N$ het midden van $A C$. Dan is $D M$... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 149 | 559 |
2013 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 3$ een geheel getal en bekijk een $n \times n$-bord, opgedeeld in $n^{2}$ eenheidsvierkantjes. We hebben voor elke $m \geq 1$ willekeurig veel $1 \times m$-rechthoeken (type I) en willekeurig veel $m \times 1$-rechthoeken (type II) beschikbaar. We bedekken het bord met $N$ van deze rechthoeken, die elkaar n... | We bewijzen dat de minimale waarde $N=2 n-1$ is. We construeren eerst een voorbeeld door middel van inductie.
Inductiebasis. Voor $n=3$ is $N=5$ mogelijk, door in het middelste veld een $1 \times 1$-rechthoek te leggen en de overige velden te bedekken met vier $2 \times 1$ - en $1 \times 2$-rechthoeken. Er zijn dan dri... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 227 | 973 |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.