year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
values | problem_label stringclasses 119
values | problem_type stringclasses 13
values | exam stringclasses 28
values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2013 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Laat $a, b$ en $c$ positieve reële getallen zijn met $a b c=1$. Bewijs dat
$$
a+b+c \geq \sqrt{\frac{(a+2)(b+2)(c+2)}{3}}
$$ | Laat $x, y$ en $z$ positieve reële getallen zijn zodat $x^{3}=a, y^{3}=b$ en $z^{3}=c$. Dan geldt $x^{3} y^{3} z^{3}=1$, dus ook $x y z=1$. We kunnen nu $a+2$ schrijven als $x^{3}+2 x y z=x\left(x^{2}+2 y z\right)$, en analoog kunnen we $b+2$ en $c+2$ herschrijven, waarmee we krijgen
$(a+2)(b+2)(c+2)=x y z\left(x^{2}+2... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 60 | 1,027 |
2013 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Laat $a, b$ en $c$ positieve reële getallen zijn met $a b c=1$. Bewijs dat
$$
a+b+c \geq \sqrt{\frac{(a+2)(b+2)(c+2)}{3}}
$$ | Merk op dat $a, b$ en $c$ positief zijn, zodat we hieronder steeds rekenkundigmeetkundig mogen toepassen. Allereerst passen we rekenkundig-meetkundig toe op $a^{2}$ en 1 :
$$
a^{2}+1 \geq 2 \sqrt{a^{2}}=2 a
$$
Dit kunnen we cyclisch doordraaien en optellen, zodat we vinden:
$$
a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq 2 a+2 b+2 c
$$... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 60 | 651 |
2013 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Bewijs dat
$$
\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^{2}}
$$
het kwadraat van een geheel getal is. | Door 2013 te vervangen door 1, 2, 3 en 4 en de som dan uit te rekenen, krijg je een vermoeden voor welk getal in het kwadraat deze som oplevert. De faculteiten suggereren dat je het in de binomiaalcoëfficiënten moet zoeken. We bewijzen iets algemeners:
$$
\sum_{n=0}^{m} \frac{(2 m)!}{(n!(m-n)!)^{2}}=\binom{2 m}{m}^{2}... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 58 | 532 |
2013 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $P$ het snijpunt van de diagonalen van een convexe vierhoek $A B C D$. Laat $X, Y$ en $Z$ punten op het inwendige van respectievelijk $A B, B C$ en $C D$ zijn zodat
$$
\frac{|A X|}{|X B|}=\frac{|B Y|}{|Y C|}=\frac{|C Z|}{|Z D|}=2
$$
Veronderstel bovendien dat $X Y$ raakt aan de omgeschreven cirkel van $\triangle ... | Vanwege de raaklijnomtrekshoekstelling is $\angle C Z Y=\angle B Y X$ en $\angle B X Y=$ $\angle C Y Z$. Hieruit volgt ten eerste dat
$$
\angle X Y Z=180^{\circ}-\angle B Y X-\angle C Y Z=180^{\circ}-\angle B Y X-\angle B X Y=\angle X B Y=\angle A B C .
$$
Ten tweede zien we dat $\triangle X B Y \sim \triangle Y C Z$... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 179 | 542 |
2013 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Gegeven is een onbekende rij $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ van gehele getallen die voldoet aan de volgende eigenschap: voor elk priemgetal $p$ en elk positief geheel getal $k$ geldt
$$
a_{p k+1}=p a_{k}-3 a_{p}+13
$$
Bepaal alle mogelijke waarden van $a_{2013}$. | Laat $q$ en $t$ priemgetallen zijn. Vul in $k=q, p=t$ :
$$
a_{q t+1}=t a_{q}-3 a_{t}+13
$$
Vul ook in $k=t, p=q$ :
$$
a_{q t+1}=q a_{t}-3 a_{q}+13
$$
Beide uitdrukkingen rechts zijn dus gelijk aan elkaar, waaruit volgt
$$
t a_{q}-3 a_{t}=q a_{t}-3 a_{q}
$$
oftewel
$$
(t+3) a_{q}=(q+3) a_{t}
$$
In het bijzonder ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 111 | 542 |
2013 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bepaal alle gehele getallen $n \geq 2$ waarvoor geldt dat
$$
i+j \equiv\binom{n}{i}+\binom{n}{j} \quad \bmod 2
$$
voor alle $i$ en $j$ met $0 \leq i \leq j \leq n$. | We laten eerst zien dat $n$ voldoet dan en slechts dan als $\binom{n}{i} \equiv i+1 \bmod 2$ voor alle $i$ met $0 \leq i \leq n$. Stel dat $\binom{n}{i} \equiv i+1 \bmod 2$ voor alle $i$, dan geldt $\binom{n}{i}+\binom{n}{j} \equiv$ $i+1+j+1 \equiv i+j \bmod 2$ voor alle $i$ en $j$. Dus $n$ voldoet dan aan de voorwaard... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 78 | 1,257 |
2013 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | In een koordenzeshoek $A B C D E F$ geldt $A B \perp B D$ en $|B C|=|E F|$. Noem $P$ het snijpunt van $B C$ en $A D$ en noem $Q$ het snijpunt van $E F$ en $A D$. Neem aan dat $P$ en $Q$ allebei aan de kant van $D$ liggen waar $A$ niet ligt. Zij $S$ het midden van $A D$. Laat $K$ en $L$ de middelpunten zijn van de inges... | Het is bij deze opgave nuttig om te analyseren wat er gebeurt als je met punten schuift. Je kunt namelijk lijnstuk EF verschuiven zonder dat dat invloed op $K$ heeft. Dus L kan onafhankelijk van $K$ bewegen. Kennelijk beweegt $L$ dan wel altijd over een lijn door D die loodrecht op KD staat. De hoek $\angle L D S$ is b... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2013-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 181 | 779 |
2014 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Laat $m \geq 3$ en $n$ positieve gehele getallen zijn met $n>m(m-2)$. Vind het grootste positieve gehele getal $d$ zodat $d \mid n$ ! en $k \nmid d$ voor alle $k \in\{m, m+1, \ldots, n\}$. | We gaan bewijzen dat $d=m-1$ de grootste is die voldoet. Merk eerst op dat $m-1 \mid n$ ! en dat voor $k \geq m$ geldt $k \nmid m-1$, dus $d=m-1$ voldoet inderdaad.
Stel nu dat voor zekere $d$ geldt: $d \mid n$ ! en $k \nmid d$ voor alle $k \in\{m, m+1, \ldots, n\}$. We gaan bewijzen dat $d \leq m-1$. Schrijf $d=p_{1} ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 86 | 629 |
2014 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal. Daniël en Merlijn spelen een spel. Daniël heeft $k$ vellen papier die naast elkaar op tafel liggen, waarbij $k$ een positief geheel getal is. Hij schrijft op elk vel papier een aantal van de getallen 1 tot en met $n$ (geen enkel getal mag ook, alle getallen mag ook). Op de achterkant ... | We geven de vellen papier van Daniël allemaal een andere kleur. Verder hebben we $n$ doosjes met daarop de getallen 1 tot en met $n$. We zorgen ook voor voldoende beschikbare fiches in precies de kleuren van de vellen papier van Daniël. Per vel bekijkt hij de getallen op de voorkant van het vel en stopt een fiche met d... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 243 | 726 |
2014 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal. Daniël en Merlijn spelen een spel. Daniël heeft $k$ vellen papier die naast elkaar op tafel liggen, waarbij $k$ een positief geheel getal is. Hij schrijft op elk vel papier een aantal van de getallen 1 tot en met $n$ (geen enkel getal mag ook, alle getallen mag ook). Op de achterkant ... | We gaan laten zien dat Merlijn kan winnen dan en slechts dan als $2^{k}>n$. De kleinste $k$ waarvoor Merlijn wint, is dan dus de kleinste $k$ met $2^{k}>n$.
Stel dat $2^{k}>n$. Merlijn kiest één voor één bij elk vel of hij het wel of niet omdraait. Bij het eerste vel legt hij de kant boven waar de meeste getallen op st... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 243 | 990 |
2014 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Bepaal alle paren $(a, b)$ van positieve gehele getallen waarvoor
$$
a^{2}+b \mid a^{2} b+a \quad \text { en } \quad b^{2}-a \mid a b^{2}+b .
$$ | Uit $a^{2}+b \mid a^{2} b+a$ volgt
$$
a^{2}+b \mid\left(a^{2} b+a\right)-b\left(a^{2}+b\right)=a-b^{2}
$$
Uit $b^{2}-a \mid a b^{2}+b$ volgt
$$
b^{2}-a \mid\left(a b^{2}+b\right)-a\left(b^{2}-a\right)=b+a^{2} .
$$
We zien dus dat $a^{2}+b\left|a-b^{2}\right| a^{2}+b$. Dat betekent dat $a^{2}+b$ op eventueel het tek... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 62 | 625 |
2014 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een driehoek. Zij $M$ het midden van $B C$ en zij $D$ een punt op het inwendige van zijde $A B$. Het snijpunt van $A M$ en $C D$ noemen we $E$. Veronderstel dat $|A D|=|D E|$. Bewijs dat $|A B|=|C E|$. | We bewijzen eerst dat $A$ en $B$ aan dezelfde kant van de middelloodlijn van $B C$ liggen. Stel namelijk dat $A$ en $C$ juist aan dezelfde kant liggen of $A$ op de middelloodlijn ligt. Dan geldt $|A B| \geq|A C|$ en zegt de bissectricestelling dus dat de bissectrice vanuit hoek $A$ de zijde $B C$ snijdt tussen $M$ en $... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing IV."
} | 96 | 549 |
2014 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Laat $a, b$ en $c$ rationale getallen zijn waarvoor $a+b c, b+a c$ en $a+b$ allemaal ongelijk aan 0 zijn en waarvoor geldt dat
$$
\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{1}{a+b}
$$
Bewijs dat $\sqrt{(c-3)(c+1)}$ rationaal is. | Er geldt
$$
\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{(b+a c)+(a+b c)}{(a+b c)(b+a c)}=\frac{(a+b)+(a+b) c}{a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}}
$$
Uit de gegeven gelijkheid volgt dus
$$
(a+b)((a+b)+(a+b) c)=a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}
$$
oftewel
$$
\begin{aligned}
(a+b)^{2} & =a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}-(a+b)^{2} c \\... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing I."
} | 98 | 562 |
2014 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Laat $a, b$ en $c$ rationale getallen zijn waarvoor $a+b c, b+a c$ en $a+b$ allemaal ongelijk aan 0 zijn en waarvoor geldt dat
$$
\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{1}{a+b}
$$
Bewijs dat $\sqrt{(c-3)(c+1)}$ rationaal is. | Er geldt
$$
\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{(b+a c)+(a+b c)}{(a+b c)(b+a c)}=\frac{a+b+a c+b c}{a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}} .
$$
Uit de gegeven gelijkheid volgt dus
$$
(a+b)(a+b+a c+b c)=a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{2}
$$
oftewel
$$
a^{2}+a b+a^{2} c+a b c+a b+b^{2}+a b c+b^{2} c=a b+a^{2} c+b^{2} c+a b c^{... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 98 | 510 |
2014 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een driehoek met $|A C|=2|A B|$ en zij $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zij $D$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle A$ met $B C$. Zij $E$ de loodrechte projectie van $O$ op $A D$ en zij $F \neq D$ het punt op $A D$ waarvoor $|C D|=|C F|$. Bewijs dat $\angle E B F=\angle E C F... | Als $E=F$ zijn hoeken $E B F$ en $E C F$ beide 0 , dus aan elkaar gelijk. We nemen dus verder aan dat $E \neq F$. Zij $G$ het tweede snijpunt van $A D$ en de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$. Er zijn meerdere configuraties mogelijk. We bekijken de configuratie waarbij de punten op de lijn $A D$ in de volgorde ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 132 | 697 |
2014 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Op een $2014 \times 2014$-bord staat op elk van de $2014^{2}$ vakjes een lamp. Lampen kunnen aan of uit staan. In de beginsituatie is een aantal van de lampen aan. In een zet kies je een rij of kolom waarin minstens 1007 lampen aan staan en verander je van alle 2014 lampen in die rij of kolom de status (van aan naar ui... | Nummer de rijen van 1 tot en met 2014 en de kolommen ook. Bekijk de volgende beginsituatie: in rij $i$ zijn de lampen in de kolommen $i, i+1, \ldots, i+1005$ aan en de rest uit, waarbij we de kolomnummers modulo 2014 rekenen. Nu zijn in elke rij en in elke kolom precies 1006 lampen aan. Er is dus geen zet mogelijk. Het... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 175 | 1,456 |
2014 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ een functie waarvoor geldt: voor alle $n>1$ is er een priemdeler $p$ van $n$ zodat
$$
f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)
$$
Bovendien is gegeven dat $f\left(2^{2014}\right)+f\left(3^{2015}\right)+f\left(5^{2016}\right)=2013$.
Bereken $f\left(2014^{2}\right)+f\left(2015... | Als $n=q$ met $q$ priem, dan is er maar één priemdeler van $n$, namelijk $q$, dus moet gelden dat $f(q)=f(1)-f(q)$, dus $f(q)=\frac{1}{2} f(1)$. Als $n=q^{2}$ met $q$ priem, dan heeft $n$ ook maar één priemdeler, dus geldt $f\left(q^{2}\right)=f(q)-f(q)=0$. We bewijzen nu met inductie naar $k$ dat $f\left(q^{k}\right)=... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 174 | 1,046 |
2014 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | De verzamelingen $A$ en $B$ zijn deelverzamelingen van de positieve gehele getallen. De som van elke twee verschillende elementen uit $A$ is een element van $B$. Het quotiënt van elke twee verschillende elementen van $B$ (waarbij we de grootste door de kleinste delen) is een element van $A$. Bepaal het maximale aantal ... | Stel dat $A$ minstens drie elementen bevat, zeg $a<b<c$. Dan bevat $B$ de drie verschillende elementen $a+b<a+c<b+c$. Dus $A$ bevat in elk geval het element $\frac{b+c}{a+c}$. Deze breuk is kennelijk geheel, dus $a+c \mid b+c$. Maar dan volgt $a+c \mid(b+c)-(a+c)=b-a$. We weten $b>a$, dus $b-a$ is positief, dus moet ge... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 105 | 657 |
2014 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $H$ het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek $A B C$. De lijn door $A$ loodrecht op $A C$ en de lijn door $B$ loodrecht op $B C$ snijden elkaar in $D$. De cirkel met middelpunt $C$ door $H$ snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ in de punten $E$ en $F$. Bewijs dat $|D E|=|D F|=|A B|$. | De driehoek is scherphoekig, dus $H$ ligt binnen de driehoek. Dat betekent dat $E$ en $F$ op de korte bogen $A C$ en $B C$ liggen. Neem aan dat $E$ op de korte boog $A C$ ligt en $F$ op de korte boog $B C$.
Als we $H$ spiegelen in $A C$, komt het spiegelbeeld $H^{\prime}$ op de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 130 | 568 |
2014 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Zij $P(x)$ een polynoom met gehele coëfficiënten en graad $n \leq 10$ waarvoor geldt dat er voor elke $k \in\{1,2, \ldots, 10\}$ een gehele $m$ is met $P(m)=k$. Verder is gegeven dat $|P(10)-P(0)|<1000$. Bewijs dat er voor elke gehele $k$ een gehele $m$ is met $P(m)=k$. | Laat voor $i=1,2, \ldots, 10$ het gehele getal $c_{i}$ zo zijn dat $P\left(c_{i}\right)=i$. Er geldt voor $i \in\{1,2, \ldots, 9\}$ dat
$$
c_{i+1}-c_{i} \mid P\left(c_{i+1}\right)-P\left(c_{i}\right)=(i+1)-i=1
$$
dus $c_{i+1}-c_{i}= \pm 1$ voor alle $i \in\{1,2, \ldots, 9\}$. Verder geldt dat $c_{i} \neq c_{j}$ voor ... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2014-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 128 | 1,623 |
2015 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 2$ een positief geheel getal. Ieder vakje van een $n \times n$-bord wordt rood of blauw gekleurd. We leggen dominostenen op het bord, die elk twee vakjes bedekken. We noemen een dominosteen effen als hij op twee rode of twee blauwe vakjes ligt en kleurrijk als hij op een rood en een blauw vakje ligt. Vind h... | We bewijzen dat $k=\left\lfloor\frac{n^{2}}{4}\right\rfloor$ de grootst mogelijke waarde is.
Stel dat $n$ even is. Dan is het mogelijk om het bord te bedekken met $\frac{n^{2}}{2}$ dominostenen (zonder op kleuren te letten). Omdat er $\frac{n^{2}}{2}$ dominostenen zijn die allemaal kleurrijk of effen zijn, zijn er of m... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 185 | 928 |
2015 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In een driehoek $A B C$ is $D$ het snijpunt van de binnenbissectrice van $\angle B A C$ met zijde $B C$. Zij $P$ het tweede snijpunt van de buitenbissectrice van $\angle B A C$ met de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$. Een cirkel door $A$ en $P$ snijdt lijnstuk $B P$ inwendig in $E$ en lijnstuk $C P$ inwendig i... | We bekijken de configuratie waarbij de punten $A, C, B$ en $P$ in die volgorde op de omgeschreven cirkel liggen. Het andere geval gaat analoog.
Vanwege de omtrekshoekstelling in de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ geldt
$$
\angle A B E=\angle A B P=\angle A C P=\angle A C F .
$$
Verder is wegens de omtreksho... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 140 | 743 |
2015 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ met
$$
\left(x^{2}+y^{2}\right) f(x y)=f(x) f(y) f\left(x^{2}+y^{2}\right)
$$
voor alle reële $x$ en $y$. | Vul in $x=y=0$, dan staat er $0=f(0)^{3}$, dus $f(0)=0$. We bekijken nu twee gevallen: $f$ is nog ergens anders ook 0 of juist niet. Voor het eerste geval nemen we dus aan dat er nog een $a \neq 0$ is zodat $f(a)=0$. Dan geeft $x=a$ invullen dat $\left(a^{2}+y^{2}\right) f(a y)=0$ voor alle $y$. Omdat $a^{2}+y^{2}>0$ a... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 76 | 1,528 |
2015 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Voor vierhoek $A B C D$ geldt $\angle A=\angle C=90^{\circ}$. Zij $E$ een punt binnen de vierhoek. Zij $M$ het midden van $B E$. Bewijs dat $\angle A D B=\angle E D C$ dan en slechts dan als $|M A|=|M C|$. | Zij $N$ het midden van $B D$. Wegens Thales gaat de cirkel met middellijn $B D$ ook door $A$ en $C$ en punt $N$ is hiervan het middelpunt. Verder geldt dat $M N \| D E$ : als $E$ niet op $B D$ ligt, is $M N$ een middenparallel in driehoek $B D E$, en als $E$ wel op $B D$ ligt, dan zijn $M N$ en $D E$ dezelfde lijn.
De ... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 84 | 519 |
2015 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle polynomen $P(x)$ met reële coëfficiënten waarvoor het polynoom
$$
Q(x)=(x+1) P(x-1)-(x-1) P(x)
$$
constant is. | Stel dat $P(x)$ een constant polynoom is, zeg $P(x)=a$ met $a \in \mathbb{R}$. Dan is
$$
Q(x)=(x+1) a-(x-1) a=a x+a-a x+a=2 a,
$$
en dat is constant. Dus elk constant polynoom $P(x)$ voldoet.
We nemen nu verder aan dat $P$ niet constant is. We kunnen dan schrijven $P(x)=a_{n} x^{n}+$ $a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 53 | 883 |
2015 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle polynomen $P(x)$ met reële coëfficiënten waarvoor het polynoom
$$
Q(x)=(x+1) P(x-1)-(x-1) P(x)
$$
constant is. | We noemen $p=P(1)$ en $q$ de constante waarde die $Q(x)$ aanneemt. We bewijzen met inductie naar $m$ dat $P(m)=\frac{1}{2} m(m+1) p-\left(\frac{1}{2} m(m+1)-1\right) \cdot \frac{q}{2}$ voor alle gehele $m \geq 1$.
Voor $m=1$ staat er $P(1)=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot p-\left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2-1\right) \... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 53 | 880 |
2015 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal. We bekijken rijtjes getallen $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}$ en $b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{k}$ die voldoen aan $a_{0}=b_{0}=1$ en $a_{k}=b_{k}=n$ en waarbij voor elke $i$ met $1 \leq i \leq k$ geldt dat $\left(a_{i}, b_{i}\right)$ gelijk is aan ofwel $\left(1+a_{i-1}, b_{i-1}\right)$ ofw... | We definiëren een rijtje van $k$ letters: de $i$-de letter in het rijtje is gelijk aan $A$ als $a_{i}=1+a_{i-1}$ en gelijk aan $B$ als $b_{i}=1+b_{i-1}$. Omdat de rijtjes $a_{i}$ en $b_{i}$ beide van 1 naar $n$ gaan, moet er $n-1$ keer een $A$ staan en $n-1$ keer een $B$. Als voor zekere $i$ de $i$-de letter gelijk is ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 271 | 635 |
2015 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal. We bekijken rijtjes getallen $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}$ en $b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{k}$ die voldoen aan $a_{0}=b_{0}=1$ en $a_{k}=b_{k}=n$ en waarbij voor elke $i$ met $1 \leq i \leq k$ geldt dat $\left(a_{i}, b_{i}\right)$ gelijk is aan ofwel $\left(1+a_{i-1}, b_{i-1}\right)$ ofw... | We definiëren een rijtje van $k$ letters: de $i$-de letter in het rijtje is gelijk aan $A$ als $a_{i}=1+a_{i-1}$ en gelijk aan $B$ als $b_{i}=1+b_{i-1}$. Verder definiëren we voor $1 \leq i \leq k$
$$
d_{i}= \begin{cases}b_{i} & \text { als } a_{i}=a_{i-1} \\ a_{i} & \text { als } b_{i}=b_{i-1}\end{cases}
$$
Als voor... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 271 | 568 |
2015 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Laat cirkels $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$, met middelpunten respectievelijk $O_{1}$ en $O_{2}$, elkaar snijden in twee verschillende punten $A$ en $B$. De lijn $O_{1} A$ snijdt $\Gamma_{2}$ nogmaals in $C$ en de lijn $O_{2} A$ snijdt $\Gamma_{1}$ nogmaals in $D$. De lijn door $B$ evenwijdig met $A D$ snijdt $\Gamma_{1}... | In alle oplossingen bekijken we de configuratie waarin $A, B, E$ en $D$ in die volgorde op een cirkel liggen, $O_{1}, A$ en $C$ in die volgorde op een lijn en $O_{2}, A$ en $D$ in die volgorde op een lijn. De andere configuraties gaan analoog.
Vanwege koordenvierhoek $A B E D$ geldt $\angle B E D=180^{\circ}-\angle D A... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 180 | 516 |
2015 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Laat cirkels $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$, met middelpunten respectievelijk $O_{1}$ en $O_{2}$, elkaar snijden in twee verschillende punten $A$ en $B$. De lijn $O_{1} A$ snijdt $\Gamma_{2}$ nogmaals in $C$ en de lijn $O_{2} A$ snijdt $\Gamma_{1}$ nogmaals in $D$. De lijn door $B$ evenwijdig met $A D$ snijdt $\Gamma_{1}... | Noem $\alpha=\angle D E B$. Zij $S$ het snijpunt van $B E$ en $A C$, zodat $E S A D$ een parallellogram is. Dus is $\angle D A O_{1}=\angle D A S=\angle D E S=\angle D E B=\alpha$. Omdat driehoek $A O_{1} D$ gelijkbenig is met top $O_{1}$, geldt $\angle O_{1} A D=\angle D A O_{1}=\alpha$. Wegens overstaande hoeken en d... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 180 | 588 |
2015 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Laat cirkels $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$, met middelpunten respectievelijk $O_{1}$ en $O_{2}$, elkaar snijden in twee verschillende punten $A$ en $B$. De lijn $O_{1} A$ snijdt $\Gamma_{2}$ nogmaals in $C$ en de lijn $O_{2} A$ snijdt $\Gamma_{1}$ nogmaals in $D$. De lijn door $B$ evenwijdig met $A D$ snijdt $\Gamma_{1}... | Zij $S$ het snijpunt van $B E$ en $A C$, zodat $E S A D$ een parallellogram is. Zij $T$ het snijpunt van $B E$ en $C O_{2}$. Er geldt $\angle C S T=\angle A S B=\angle D A S$ vanwege $B E \| A D$ en $\angle D A S=\angle O_{2} A C=\angle O_{2} C A=\angle T C S$ omdat $\left|O_{2} A\right|=\left|O_{2} C\right|$. Dus $\an... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 180 | 858 |
2015 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Voor een positief geheel getal $n$ definiëren we $D_{n}$ als het grootste getal dat een deler is van $a^{n}+(a+1)^{n}+(a+2)^{n}$ voor alle positieve gehele $a$.
a) Bewijs dat voor elke positieve gehele $n$ het getal $D_{n}$ van de vorm $3^{k}$ is met $k \geq 0$.
b) Bewijs dat er voor elke $k \geq 0$ een positieve gehel... | a) $\mathrm{Zij} p$ een priemgetal en stel dat $p$ een deler is van $D_{n}$. Dan is $p$ een deler van
$$
\left((a+1)^{n}+(a+2)^{n}+(a+3)^{n}\right)-\left(a^{n}+(a+1)^{n}+(a+2)^{n}\right)=(a+3)^{n}-a^{n}
$$
voor alle positieve gehele $a$. Kies nu $a=p$, dan $p \mid(p+3)^{n}-p^{n}$, oftewel $(p+3)^{n}-p^{n} \equiv$ $0 ... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing."
} | 153 | 1,432 |
2015 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Laat $a$ en $b$ twee positieve gehele getallen zijn die voldoen aan $\operatorname{ggd}(a, b)=1$. Beschouw een pion die op roosterpunt $(x, y)$ staat. Een stap van type A bestaat uit het verplaatsen van de pion naar één van de volgende velden: $(x+a, y+a),(x+a, y-a),(x-$ $a, y+a)$ of $(x-a, y-a)$. Een stap van type B b... | We gaan bewijzen dat een roosterpunt $(x, y)$ bereikbaar is dan en slechts dan als $x+y \equiv 0 \bmod 2$.
Als we de pion verplaatsen van $(x, y)$ naar $(x \pm a, y \pm a)$, dan wordt de som van de nieuwe coördinaten gelijk aan $x+y+2 a, x+y$ of $x+y-2 a$, dus modulo 2 congruent aan de som van de oude coördinaten. Hetz... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 273 | 1,251 |
2015 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor er positieve gehele getallen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ bestaan met
$$
a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots+n a_{n}=6 n
$$
en
$$
\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\frac{3}{a_{3}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}=2+\frac{1}{n}
$$ | Als we de ongelijkheid van het rekenkundig en harmonisch gemiddelde toepassen op $a_{1}$, twee keer $a_{2}$, drie keer $a_{3}, \ldots, n$ keer $a_{n}$, dan vinden we
$$
\frac{6 n}{\frac{1}{2} n(n+1)}=\frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots+n a_{n}}{\frac{1}{2} n(n+1)} \geq \frac{\frac{1}{2} n(n+1)}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 128 | 678 |
2015 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Gegeven is een gelijkzijdige driehoek $A B C$. Op de lijn door $B$ evenwijdig aan $A C$ ligt een punt $D$, zodat $D$ en $C$ aan dezelfde kant van lijn $A B$ liggen. De middelloodlijn van $C D$ snijdt de lijn $A B$ in $E$. Bewijs dat driehoek $C D E$ gelijkzijdig is. | We bekijken in alle oplossingen de configuratie waarin $E$ tussen $A$ en $B$ ligt. Het geval dat $B$ tussen $A$ en $E$ ligt gaat analoog. (En vanwege de voorwaarde dat $D$ en $C$ aan dezelfde kant van $A B$ liggen, kan $A$ niet tussen $B$ en $E$ liggen, dus hebben we zo alle gevallen gehad.)
Omdat $E$ op de middelloodl... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 114 | 533 |
2015 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Je mag elk van de getallen 1 tot en met 2014 een kleur geven, waarbij precies de helft rood moet worden en de andere helft blauw. Vervolgens bekijk je het aantal $k$ van positieve gehele getallen die te schrijven zijn als de som van een rood en een blauw getal. Bepaal de maximale waarde van $k$ die je kunt bereiken. | Noem $n=2014$. We gaan bewijzen dat de maximale $k$ gelijk is aan $2 n-5$. Het kleinste getal dat je zou kunnen schrijven als de som van een rood en een blauw getal is $1+2=3$ en het grootste getal is $(n-1)+n=2 n-1$. Er zijn dus hoogstens $2 n-3$ getallen te schrijven als de som van een rood en een blauw getal.
Stel d... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 102 | 1,200 |
2015 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ zodat $f(1)=2$ en zodat voor alle $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$ geldt dat $\min (2 m+2 n, f(m+n)+1)$ deelbaar is door $\max (f(m)+f(n), m+n)$. | Invullen van $m=n$ geeft dat $\min (4 n, f(2 n)+1)$ deelbaar is door $\max (2 f(n), 2 n)$. Een getal hoogstens gelijk aan $4 n$ is dus deelbaar door een getal minstens gelijk aan $2 f(n)$. Daaruit volgt $4 n \geq 2 f(n)$, dus $f(n) \leq 2 n$ voor alle $n$.
Invullen van $m=n=1$ geeft dat $\min (4, f(2)+1)$ deelbaar is d... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2015-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 95 | 1,303 |
2016 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Voor een positief geheel getal $n$ dat geen tweemacht is, definiëren we $t(n)$ als de grootste oneven deler van $n$ en $r(n)$ als de kleinste positieve oneven deler van $n$ die ongelijk aan 1 is. Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ die geen tweemacht zijn en waarvoor geldt
$$
n=3 t(n)+5 r(n)
$$ | Als $n$ oneven is, geldt $t(n)=n$ dus is $3 t(n)$ groter dan $n$, tegenspraak. Als $n$ deelbaar door 2 is maar niet deelbaar door 4 , dan geldt $t(n)=\frac{1}{2} n$ en is $3 t(n)$ weer groter dan $n$, opnieuw tegenspraak. We kunnen concluderen dat $n$ in elk geval deelbaar door 4 moet zijn. Als $n$ deelbaar door 16 is,... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 107 | 544 |
2016 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een rechthoekige driehoek met $\angle A=90^{\circ}$ en omgeschreven cirkel $\Gamma$. De ingeschreven cirkel raakt aan $B C$ in een punt $D$. Zij $E$ het midden van de boog $A B$ van $\Gamma$ waar $C$ niet op ligt en zij $F$ het midden van de boog $A C$ van $\Gamma$ waar $B$ niet op ligt.
a) Bewijs... | a) Het midden $E$ van boog $A B$ waar $C$ niet op ligt, ligt op de bissectrice $C I$. Net zo ligt $F$ op $B I$. Er geldt $\angle I F C=\angle B F C=\angle B A C=90^{\circ}$ omdat $A B C F$ een koordenvierhoek is en $\angle I D C=90^{\circ}$ omdat $D$ het raakpunt van de ingeschreven cirkel aan $B C$ is. Dus $\angle I F... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing I."
} | 176 | 534 |
2016 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een rechthoekige driehoek met $\angle A=90^{\circ}$ en omgeschreven cirkel $\Gamma$. De ingeschreven cirkel raakt aan $B C$ in een punt $D$. Zij $E$ het midden van de boog $A B$ van $\Gamma$ waar $C$ niet op ligt en zij $F$ het midden van de boog $A C$ van $\Gamma$ waar $B$ niet op ligt.
a) Bewijs... | a) Zoals in de eerste oplossing bewijzen we dat FIDC een koordenvierhoek is. Vanwege de buitenhoekstelling is $\angle C I F=\angle I C B+\angle I B C=\frac{1}{2} \angle A C B+\frac{1}{2} \angle A B C=90^{\circ}-$ $\frac{1}{2} \angle B A C=45^{\circ}$. Dus $\angle C D F=\angle C I F=45^{\circ}$. Analoog is $\angle B D E... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing II."
} | 176 | 796 |
2016 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een rechthoekige driehoek met $\angle A=90^{\circ}$ en omgeschreven cirkel $\Gamma$. De ingeschreven cirkel raakt aan $B C$ in een punt $D$. Zij $E$ het midden van de boog $A B$ van $\Gamma$ waar $C$ niet op ligt en zij $F$ het midden van de boog $A C$ van $\Gamma$ waar $B$ niet op ligt.
a) Bewijs... | a) Zoals in de vorige oplossing bewijzen we dat $\angle C D F=45^{\circ}=\angle B D E$. Zij nu $F^{\prime}$ de spiegeling van $F$ in $B C$. Omdat $B C$ de middellijn van $\Gamma$ is, ligt $F^{\prime}$ weer op $\Gamma$. Verder is $\angle C D F^{\prime}=\angle C D F=45^{\circ}$ en $\angle C D E=180^{\circ}-\angle B D E=1... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing III."
} | 176 | 685 |
2016 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal en bekijk een vierkant met afmetingen $2^{n} \times 2^{n}$. We bedekken dit vierkant met een aantal (minstens 2) niet-overlappende rechthoeken, zodat elke rechthoek gehele afmetingen heeft en een tweemacht als oppervlakte. Bewijs dat twee van de rechthoeken in de bedekking dezelfde afm... | Merk eerst op dat een rechthoek met gehele afmetingen een tweemacht als oppervlakte heeft precies dan als de afmetingen beide tweemachten zijn.
Bekijk een bedekking waarin geen twee rechthoeken met dezelfde afmetingen voorkomen. We bewijzen eerst dat er dan geen rechthoeken met breedte 1 voorkomen. Stel namelijk dat er... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 160 | 565 |
2016 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle positieve gehele $k$ waarvoor de vergelijking
$$
\operatorname{kgv}(m, n)-\operatorname{ggd}(m, n)=k(m-n)
$$
geen positieve gehele oplossingen $(m, n)$ met $m \neq n$ heeft. | Noem $d=\operatorname{ggd}(m, n)$ en schrijf $m=d a$ en $n=d b$. Er geldt $\operatorname{kgv}(m, n)$. $\operatorname{ggd}(m, n)=m n$, dus we kunnen de gegeven vergelijking schrijven als
$$
\frac{d a \cdot d b}{d}-d=k(d a-d b)
$$
oftewel
$$
a b-1=k(a-b) .
$$
We kijken vanaf nu naar het equivalente vraagstuk: vind al... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 74 | 965 |
2016 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan
$$
f(x y-1)+f(x) f(y)=2 x y-1
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Als $f$ constant is, staat links altijd hetzelfde, terwijl rechts kan variëren, tegenspraak. Dus $f$ is niet constant. Vul nu $x=0$ in: $f(-1)+f(0) f(y)=-1$, dus $f(0) f(y)$ neemt voor alle $y \in \mathbb{R}$ dezelfde waarde aan. Omdat $f$ niet constant is, geeft dit $f(0)=0$. We kunnen dan ook onmiddellijk concluderen... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 65 | 1,232 |
2016 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle paren $(a, b)$ van gehele getallen met de volgende eigenschap: er is een gehele $d \geq 2$ zodat $a^{n}+b^{n}+1$ deelbaar is door $d$ voor alle positieve gehele getallen $n$. | Bekijk een paar $(a, b)$ dat voldoet, met bijbehorende $d$. Zij $p$ een priemdeler van $d$ (die bestaat omdat $d \geq 2$ ). Omdat $d \mid a^{n}+b^{n}+1$ voor alle $n$, geldt ook $p \mid a^{n}+b^{n}+1$ voor alle $n$. Bekijk nu $n=p-1$. Dan geldt $a^{n} \equiv 0 \bmod p$ als $p \mid a$ en $a^{n} \equiv 1 \bmod p$ als $p ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 74 | 574 |
2016 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een gelijkbenige driehoek met $|A B|=|A C|$. Laat $D, E$ en $F$ punten zijn op de respectievelijke lijnstukken $B C, C A$ en $A B$ zodat $|B F|=|B E|$ en zodat $E D$ de binnenbissectrice van $\angle B E C$ is.
Bewijs dat $|B D|=|E F|$ dan en slechts dan als $|A F|=|E C|$. | Stel eerst $|B D|=|E F|$. Vanwege de buitenhoekstelling en het gegeven dat $|B F|=|B E|$ geldt $\angle A E F=\angle B F E-\angle F A E=\angle B E F-\angle F A E$. Dus
$180^{\circ}-2 \angle B E D=\angle A E F+\angle B E F=2 \angle B E F-\angle F A E=2 \angle B E F-\left(180^{\circ}-2 \angle A B C\right)$.
Hieruit volgt
... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 128 | 662 |
2016 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bepaal het aantal verzamelingen $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{1000}\right\}$ van positieve gehele getallen met $a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{1000} \leq 2014$, waarvoor geldt dat de verzameling
$$
S=\left\{a_{i}+a_{j} \mid 1 \leq i, j \leq 1000 \text { en } i+j \in A\right\}
$$
een deelverzameling is van $A$. | We bewijzen dat er $2^{14}$ zulke verzamelingen zijn. We bewijzen in het bijzonder dat de verzamelingen $A$ die voldoen van de vorm $B \cup C$ zijn, met $C$ een deelverzameling van $\{2001, \ldots, 2014\}$ en $B=\{1,2, \ldots, 1000-|C|\}$. Noem verzamelingen van die vorm "leuk". Omdat er $2^{14}$ deelverzamelingen van ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 146 | 987 |
2016 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een natuurlijk getal. In een dorp wonen $n$ jongens en $n$ meisjes. Voor het jaarlijkse bal moeten $n$ danskoppels worden gevormd, die elk uit één jongen en één meisje bestaan. Elk meisje geeft een lijstje door, bestaande uit de naam van de jongen met wie ze het liefst zou willen dansen, plus nul of meer namen ... | Noem bij elk meisje de jongen met wie ze het liefst zou willen dansen, haar lievelingsjongen. We bewijzen de opgave met inductie naar $n$. Als $n=1$, dan danst het meisje met de enige jongen, dus danst ze met haar lievelingsjongen. Zij nu $k \geq 1$ en neem aan dat we de opgave bewezen hebben voor $n=k$. Bekijk vervolg... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 206 | 519 |
2016 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Voor reële getallen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, allemaal verschillend, berekenen we de $\frac{n(n-1)}{2}$ sommen $a_{i}+a_{j}$ met $1 \leq i<j \leq n$ en sorteren deze vervolgens van klein naar groot. Bepaal alle gehele $n \geq 3$ waarvoor er $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ bestaan zodat dit rijtje van $\frac{n(n-1)}{... | Voor $n=3$ bekijken we $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=(1,2,3)$. De sommen van steeds twee elementen zijn gelijk aan 3,4 en 5 , dus die vormen een rekenkundige rij. Voor $n=4$ bekijken we $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)=(1,3,4,5)$. De sommen van steeds twee elementen zijn gelijk aan $4,5,6,7,8$ en 9 , dus di... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 173 | 1,007 |
2016 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $k$ een positief geheel getal en geef de som van de cijfers van een positief geheel getal $n$ aan met $s(n)$. Bewijs dat er onder de positieve gehele getallen met $k$ cijfers evenveel getallen $n$ zijn die voldoen aan $s(n)<s(2 n)$ als getallen $n$ die voldoen aan $s(n)>s(2 n)$. | We bewijzen dat er onder de positieve gehele getallen met hoogstens $k$ cijfers evenveel getallen $n$ zijn die voldoen aan $s(n)<s(2 n)$ als getallen die voldoen aan $s(n)>s(2 n)$. Het gevraagde volgt hieruit door dit resultaat voor $k$ en voor $k-1$ te combineren.
We gaan nu elk getal $n$ met hoogstens $k$ cijfers kop... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 105 | 762 |
2016 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven zijn cirkels $\Gamma_{1}$ met middelpunt $A$ en $\Gamma_{2}$ met middelpunt $B$, waarbij $A$ op $\Gamma_{2}$ ligt. Op $\Gamma_{2}$ ligt verder een variabel punt $P$, niet op $A B$. Een lijn door $P$ die $\Gamma_{1}$ raakt in $S$, snijdt $\Gamma_{2}$ nogmaals in $Q$, waarbij $P$ en $Q$ aan dezelfde kant van $A B... | Punt $P$ ligt buiten $\Gamma_{1}$, omdat er anders geen raaklijn $P S$ aan $\Gamma_{1}$ bestaat. Aangezien $P$ en $Q$ aan dezelfde kant van $A B$ liggen, ligt $S$ op het deel van $\Gamma_{1}$ aan diezelfde kant van $A B$ dat buiten $\Gamma_{2}$ ligt. (In het extreme geval dat $P$ op $A B$ zou liggen, zou $S$ namelijk i... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2016-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 227 | 673 |
2017 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een even positief geheel getal. Een rijtje van $n$ reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele $m$ met $1 \leq m \leq n$ geldt dat de som van de eerste $m$ termen of de som van de laatste $m$ termen van het rijtje geheel is. Bepaal het minimale aantal gehele getallen in een volledig rijtje van $n$ ge... | We bewijzen dat het minimale aantal gehele getallen in een volledig rijtje gelijk aan 2 is. Bekijk eerst het geval $n=2$. Noem $a_{1}$ en $a_{2}$ de getallen in het rijtje. Dan is $a_{1}$ of $a_{2}$ geheel, zeg zonder verlies van algemeenheid $a_{1}$. Verder is $a_{1}+a_{2}$ geheel, maar dan is ook $a_{2}$ geheel. Dus ... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 115 | 723 |
2017 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Gegeven is de functie $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}$ die voldoet aan de eigenschappen:
(i) $f(p)=1$ voor alle priemgetallen $p$,
(ii) $f(x y)=y f(x)+x f(y)$ voor alle $x, y \in \mathbb{Z}_{>0}$.
Bepaal de kleinste $n \geq 2016$ met $f(n)=n$. | We bewijzen allereerst dat voor priemgetallen $p$ en positieve gehele getallen $k$ geldt dat $f\left(p^{k}\right)=k p^{k-1}$. Dit doen we met inductie naar $k$. Voor $k=1$ staat er $f(p)=1$ en dat is gegeven. Zij nu $l \geq 1$ en stel dat we het bewezen hebben voor $k=l$. Bekijk $k=l+1$. Dan passen we de tweede eigensc... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 113 | 1,738 |
2017 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Een viertal $(a, b, c, d)$ van positieve gehele getallen met $a \leq b \leq c \leq d$ noemen we goed indien we ieder geheel getal rood, blauw, groen of paars kunnen kleuren zodat
- van iedere $a$ opeenvolgende getallen er tenminste één rood is;
- van iedere $b$ opeenvolgende getallen er tenminste één blauw is;
- van i... | We bekijken steeds alleen viertallen $(a, b, c, d)$ van positieve gehele getallen met $a \leq b \leq c \leq d$. Ieder viertal met $b \geq 6$ voldoet: we kleuren dan de even getallen rood en de oneven getallen achtereenvolgens blauw, groen, paars, blauw, groen, paars, etc. Verder voldoet ieder viertal met $b \geq 4$ en ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 177 | 507 |
2017 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal. Gegeven zijn cirkelvormige schijven met stralen $1,2, \ldots, n$. Van elke grootte hebben we twee schijven: een doorzichtige en een ondoorzichtige. In elke schijf zit een gaatje, precies in het midden, waarmee we de schijven op een rechtopstaand staafje kunnen stapelen. We willen nu s... | Noem een stapel geldig als hij aan de voorwaarden voldoet. Zij $a_{n}$ het aantal geldige stapels met $n$ schijven (met straal $1,2, \ldots, n$ ). We bewijzen met inductie dat $a_{n}=(n+1)!$. Voor $n=1$ kunnen we twee stapels maken: met de doorzichtige schijf met straal 1 en met de ondoorzichtige schijf met straal 1 , ... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 286 | 643 |
2017 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 4$ een geheel getal. Bekijk een regelmatige $2 n$-hoek waarbij aan elk hoekpunt een geheel getal is toegekend, wat we de waarde van dat hoekpunt noemen. Als vier verschillende hoekpunten van deze $2 n$-hoek een rechthoek vormen, dan noemen we de som van de waarden van deze hoekpunten een rechthoekssom.
Bepa... | Nummer de hoekpunten van de $2 n$-hoek met de klok mee 1 tot en met $2 n$ en zij $a_{i}$ de waarde van hoekpunt $i$. Omdat het aantal hoekpunten van de veelhoek even is, kunnen we elk hoekpunt koppelen aan het punt er precies tegenover. We tellen de waarden van elk tweetal tegenoverliggende hoekpunten bij elkaar op en ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 213 | 1,390 |
2017 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Bepaal alle mogelijke waarden van $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ als $x$ en $y$ reële getallen (ongelijk aan $0)$ zijn die voldoen aan $x^{3}+y^{3}+3 x^{2} y^{2}=x^{3} y^{3}$. | We herschrijven het gegeven naar $x^{3}+y^{3}-x^{3} y^{3}=-3 x^{2} y^{2}$, waarmee we vinden
$$
\begin{aligned}
(x+y)^{3}-x^{3} y^{3} & =x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}-x^{3} y^{3} \\
& =-3 x^{2} y^{2}+3 x^{2} y+3 x y^{2}=3 x y(-x y+x+y)
\end{aligned}
$$
Door te gebruiken dat $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\r... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 77 | 1,207 |
2017 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In driehoek $A B C$ is $M$ het midden van $A B$ en $N$ het midden van $C M$. Zij $X$ een punt dat voldoet aan $\angle X M C=\angle M B C$ en $\angle X C M=\angle M C B$, zo dat $X$ en $B$ aan verschillende kanten van $C M$ liggen. $\mathrm{Zij} \Omega$ de omgeschreven cirkel van driehoek $A M X$.
a) Bewijs dat $C M$ ra... | We bekijken de configuratie in de figuur; andere configuraties gaan analoog.
a) Uit de gegevens volgt dat $\triangle X M C \sim \triangle M B C$. Er geldt nu $\angle A M X=180^{\circ}-$ $\angle X M C-\angle B M C=180^{\circ}-\angle X M C-\angle M X C=\angle M C X$ en
$$
\frac{|A M|}{|M X|}=\frac{|B M|}{|M X|}=\frac{|M... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 238 | 862 |
2017 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | De ingeschreven cirkel van een niet-gelijkbenige driehoek $\triangle A B C$ heeft middelpunt $I$ en raakt aan $B C$ en $C A$ in respectievelijk $D$ en $E$. Zij $H$ het hoogtepunt van $\triangle A B I$, zij $K$ het snijpunt van $A I$ en $B H$ en zij $L$ het snijpunt van $B I$ en $A H$. Bewijs dat de omgeschreven cirkels... | We bekijken de configuratie in de figuur; andere configuraties gaan analoog. Er geldt $\angle I D B=90^{\circ}=\angle I K B$, dus $B K D I$ is een koordenvierhoek. Verder is $\angle A L B=$ $90^{\circ}=\angle A K B$, dus ook $B K L A$ is een koordenvierhoek. Dus
$$
\angle B K D=180^{\circ}-\angle B I D=180^{\circ}-\le... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 229 | 680 |
2017 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $k>2$ een geheel getal. Een positief geheel getal $\ell$ noemen we $k$-pabel als we de getallen $1,3,5, \ldots, 2 k-1$ kunnen opdelen in twee verzamelingen $A$ en $B$ zodat de som van de elementen van $A$ precies $\ell$ keer zo groot is als de som van de elementen van $B$. Bewijs dat het kleinste $k$-pabele getal r... | We gaan bewijzen dat als $p$ de kleinste priemdeler van $k$ is, dat dan $p-1$ het kleinste $k$-pabele getal is. Hieruit volgt het gevraagde, want er geldt dan $\operatorname{ggd}(p-1, k)=1$. Er geldt $1+3+5+\ldots+(2 k-1)=k^{2}$. Als $\ell$ een $k$-pabel getal is en $s$ is de bijbehorende som van de elementen uit $B$, ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 129 | 894 |
2017 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bepaal alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ zodat
$$
(y+1) f(x)+f(x f(y)+f(x+y))=y
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Invullen van $x=0$ geeft $(y+1) f(0)+f(f(y))=y$, dus $f(f(y))=y \cdot(1-$ $f(0))-f(0)$. Als $f(0) \neq 1$, is de rechterkant een bijectieve functie in $y$ en de linkerkant dus ook. Daarmee is in dit geval $f$ bijectief.
We gaan nu laten zien dat in het geval $f(0)=1$ ook geldt dat $f$ bijectief is. Dus stel $f(0)=1$. D... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 65 | 892 |
2017 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | $\mathrm{Zij} a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ een rijtje reële getallen zodat $a_{1}+\cdots+a_{n}=0$ en definieer $b_{i}=a_{1}+\cdots+a_{i}$ voor $1 \leq i \leq n$. Veronderstel dat $b_{i}\left(a_{j+1}-a_{i+1}\right) \geq 0$ voor alle $1 \leq i \leq$ $j \leq n-1$. Bewijs dat
$$
\max _{1 \leq \ell \leq n}\left|a_{\ell}\ri... | Er geldt $b_{n}=0$. Stel dat er een $i \leq n-1$ is met $b_{i}>0$ en $a_{i+1} \geq 0$. Dan volgt uit $b_{i}\left(a_{j+1}-a_{i+1}\right) \geq 0$ dat $a_{j+1} \geq a_{i+1} \geq 0$ voor alle $i \leq j \leq n-1$. Dus $b_{n}=b_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+\ldots+a_{n} \geq b_{i}>0$, tegenspraak. We concluderen dat uit $b_{i}>0$ volg... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 188 | 554 |
2017 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | $\mathrm{Zij} a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ een rijtje reële getallen zodat $a_{1}+\cdots+a_{n}=0$ en definieer $b_{i}=a_{1}+\cdots+a_{i}$ voor $1 \leq i \leq n$. Veronderstel dat $b_{i}\left(a_{j+1}-a_{i+1}\right) \geq 0$ voor alle $1 \leq i \leq$ $j \leq n-1$. Bewijs dat
$$
\max _{1 \leq \ell \leq n}\left|a_{\ell}\ri... | Net als in oplossing I vinden we dat uit $b_{i}>0$ volgt dat $a_{i+1}<0$ en uit $b_{i}<0$ volgt $a_{i+1}>0$. Zij nu $M=\max _{1 \leq \ell \leq n}\left|a_{\ell}\right|$. We bewijzen met inductie naar $t$ dat $\left|b_{t}\right| \leq M$ voor $1 \leq t \leq n$. Voor $t=1$ geldt $\left|b_{1}\right|=\left|a_{1}\right| \leq ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 188 | 529 |
2017 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 2$ een geheel getal. Bepaal de kleinste positieve gehele $m$ zodat geldt: gegeven $n$ punten in het vlak, geen drie op een lijn, zijn er $m$ lijnen te vinden, zodat geen enkele lijn door één van de gegeven punten gaat en zodat voor elk tweetal gegeven punten $X \neq Y$ geldt dat er een lijn is waarvan $X$ e... | We bewijzen dat de kleinste $m$ gelijk is aan $\frac{n}{2}$ als $n$ even is en $\frac{n+1}{2}$ als $n$ oneven. Kies de $n$ punten allemaal op dezelfde cirkel en noem ze $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ in de volgorde waarin ze op de cirkel liggen. De $n$ lijnstukken $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n} P_{1}$ moeten a... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2017-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 132 | 1,263 |
2018 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | We hebben 1000 ballen in 40 verschillende kleuren, waarbij er van elke kleur precies 25 ballen zijn. Bepaal de kleinste waarde van $n$ met de volgende eigenschap: als je de 1000 ballen willekeurig in een cirkel legt, zijn er altijd $n$ ballen naast elkaar te vinden waarbij minstens 20 verschillende kleuren voorkomen. | Bekijk de cirkel van ballen waarbij de 25 ballen van één kleur steeds allemaal naast elkaar liggen. Om nu 20 verschillende kleuren te hebben, moet je minstens 18 van deze groepen nemen plus nog een bal aan de ene kant daarvan en een bal aan de andere kant. Totaal heb je dus minimaal $18 \cdot 25+2=452$ ballen naast elk... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 107 | 511 |
2018 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een driehoek waarvan de zijdelengtes positieve gehele getallen zijn die paarsgewijs relatief priem zijn. De raaklijn in $A$ aan de omgeschreven cirkel snijdt de lijn $B C$ in $D$. Bewijs dat $|B D|$ geen geheel getal is.
$, dus $\f... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 163 | 556 |
2018 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $p$ een priemgetal. Bewijs dat het mogelijk is om een permutatie $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p}$ van $1,2, \ldots, p$ te kiezen zodat de getallen $a_{1}, a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, \ldots, a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{p}$ allemaal verschillende resten geven na deling door $p$. | Noem $b_{i}=a_{1} a_{2} \cdots a_{i}$, voor $1 \leq i \leq p$. We bewijzen dat het mogelijk is de permutatie zo te kiezen dat $b_{i} \equiv i \bmod p$ voor alle $i$. Voor $i \geq 2$ is $a_{i} \equiv b_{i} \cdot b_{i-1}^{-1} \bmod p$ als $b_{i-1} \not \equiv 0 \bmod p$. We kiezen nu dus $a_{1}=1$ en $a_{i} \equiv i \cdo... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 125 | 597 |
2018 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Gegeven is een positief geheel getal $n$. Bepaal alle positieve reële getallen $x$ met
$$
n x^{2}+\frac{2^{2}}{x+1}+\frac{3^{2}}{x+2}+\ldots+\frac{(n+1)^{2}}{x+n}=n x+\frac{n(n+3)}{2} .
$$ | Voor $1 \leq i \leq n$ geldt
$\frac{(i+1)^{2}}{x+i}=i+1+\frac{(i+1)^{2}-(i+1)(x+i)}{x+i}=i+1+\frac{i+1-(i+1) x}{x+i}=i+1+\frac{(i+1)(1-x)}{x+i}$,
dus kunnen we de linkerkant van de gegeven vergelijking herschrijven tot
$$
n x^{2}+2+3+\ldots+(n+1)+\frac{2(1-x)}{x+1}+\frac{3(1-x)}{x+2}+\ldots+\frac{(n+1)(1-x)}{x+n}
$$
... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 91 | 637 |
2018 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Gegeven is een bord met $2 m$ rijen en $2 n$ kolommen, waarbij $m$ en $n$ positieve gehele getallen zijn. Je mag één pion plaatsen op een vakje van dit bord, maar niet het vakje linksonder of het vakje rechtsboven. Vervolgens begint een slak een wandeling te maken over het bord. De slak begint in het vakje linksonder e... | Nummer de rijen van beneden naar boven met 1 tot en met $2 m$ en nummer de kolommen van links naar rechts met 1 tot en met $2 n$. De slak begint dus in vakje $(1,1)$ en eindigt in vakje $(2 m, 2 n)$. Kleur nu de vakjes als een schaakbord, waarbij vakje $(i, j)$ zwart wordt als $i+j$ even is en wit als $i+j$ oneven is. ... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 186 | 904 |
2018 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 0$ een geheel getal. Een rij $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ van gehele getallen wordt als volgt gedefinieerd: er geldt $a_{0}=n$ en voor $k \geq 1$ is $a_{k}$ het kleinste gehele getal groter dan $a_{k-1}$ waarvoor $a_{k}+a_{k-1}$ het kwadraat van een geheel getal is. Bewijs dat er precies $\lfloor\sqrt{2 n}... | Zij $m=\lfloor\sqrt{2 n}\rfloor$. We bewijzen eerst dat de rij kwadraten $a_{0}+a_{1}, a_{1}+a_{2}$, ... precies de rij $(m+1)^{2},(m+2)^{2}, \ldots$ is. Vervolgens laten we zien dat de verschillen $a_{i}-a_{i-1}$ een rij opeenvolgende even getallen en een rij opeenvolgende oneven getallen vormen. Hiermee kunnen we daa... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 181 | 1,500 |
2018 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | a) Als $c\left(a^{3}+b^{3}\right)=a\left(b^{3}+c^{3}\right)=b\left(c^{3}+a^{3}\right)$ voor positieve reële getallen $a, b, c$, geldt dan noodzakelijk $a=b=c$ ?
b) Als $a\left(a^{3}+b^{3}\right)=b\left(b^{3}+c^{3}\right)=c\left(c^{3}+a^{3}\right)$ voor positieve reële getallen $a, b, c$, geldt dan noodzakelijk $a=b=c$ ... | a) We beweren dat $(a, b, c)=(2,2,-1+\sqrt{5})$ aan de gegeven gelijkheden voldoet. In dit drietal zijn alle getallen positief reëel en ze zijn niet allemaal gelijk, dus het antwoord op de vraag is dan nee.
We berekenen $c^{3}=(-1+\sqrt{5})^{3}=-1+3 \cdot \sqrt{5}-3 \cdot 5+5 \sqrt{5}=-16+8 \sqrt{5}$. Nu geldt $c\left(... | {
"problem_match": "# Opgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing I."
} | 146 | 1,088 |
2018 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor er een positief geheel getal $k$ bestaat zodat voor iedere positieve deler $d$ van $n$ geldt dat ook $d-k$ een (niet noodzakelijk positieve) deler van $n$ is. | Als $n=1$ of $n$ is een priemgetal, dan zijn de enige positieve delers van $n$ gelijk aan 1 en $n$ (die samenvallen in het geval $n=1$ ). Neem nu $k=n+1$, dan moeten $1-(n+1)=-n$ en $n-(n+1)=-1$ ook delers zijn van $n$. Dat klopt precies. Dus $n=1$ en $n$ is priem voldoen met $k=n+1$. Als $n=4$, zijn de positieve deler... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 72 | 947 |
2018 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor er een positief geheel getal $k$ bestaat zodat voor iedere positieve deler $d$ van $n$ geldt dat ook $d-k$ een (niet noodzakelijk positieve) deler van $n$ is. | Bekijk een $n \geq 2$ die voldoet. Omdat 1 een positieve deler van $n$ is, is $1-k$ een deler van $n$. Dit moet een negatieve deler zijn, aangezien $k$ positief geheel is. Als we deze deler als $-d$ schrijven met $d$ een positieve deler van $n$, geldt $1-k=-d$, dus $d+1=k$. Omdat $n$ een positieve deler van $n$ is, is ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 72 | 784 |
2018 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een scherphoekige driehoek en zij $D$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$. Op $A D$ liggen verschillende punten $E$ en $F$ zodat $|A E|=|B E|$ en $|A F|=|C F|$. Een punt $T \neq D$ voldoet aan $\angle B T E=\angle C T F=90^{\circ}$. Toon aan dat $|T A|^{2}=|T B| \cdot|T C|$.
![](https://cdn.mathpix.com/c... | Zij $M$ het midden van $A B$ en zij $N$ het midden van $A C$. Uit de gegevens volgt dat $E$ op de middelloodlijn van $A B$ ligt, dus $\angle B M E=90^{\circ}$. Omdat ook $\angle B T E=90^{\circ}$ en $\angle B D E=90^{\circ}$, is $B D T E M$ een koordenvijfhoek wegens Thales. Zo ook is $C F D T N$ een koordenvijfhoek. E... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 228 | 670 |
2018 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In een klas van minstens vier mensen geldt het volgende: als er vier van hen aan een ronde tafel gaan zitten, is er altijd iemand die allebei zijn buren kent of allebei zijn buren niet kent. Bewijs dat het mogelijk is om de mensen over twee groepen (waarvan er eentje leeg mag zijn) te verdelen, zodat in de ene groep ie... | Van alle mogelijke groepen mensen die we in deze klas kunnen maken, bekijken we de groepen waarin iedereen elkaar kent en daarvan nemen we er eentje met zoveel mogelijk mensen erin. (Deze grootste groep bestaat: er zijn eindig veel mensen en er is in elk geval een groep van mensen die elkaar allemaal kennen, namelijk e... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 142 | 637 |
2018 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In een klas van minstens vier mensen geldt het volgende: als er vier van hen aan een ronde tafel gaan zitten, is er altijd iemand die allebei zijn buren kent of allebei zijn buren niet kent. Bewijs dat het mogelijk is om de mensen over twee groepen (waarvan er eentje leeg mag zijn) te verdelen, zodat in de ene groep ie... | We bewijzen dit met inductie naar het aantal mensen $n$ in de klas. We nemen $n=3$ als inductiebasis; het gegeven over vier mensen aan een tafel is dan een lege eis. We delen de drie mensen willekeurig in in een groep van één en een groep van twee. Die twee mensen kennen elkaar wel of niet; in beide gevallen klopt het.... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 142 | 1,064 |
2018 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Een verzameling lijnen in het vlak noemen we mooi indien elke lijn in de verzameling een oneven aantal van de andere lijnen in de verzameling snijdt.
Bepaal het kleinste gehele getal $k \geq 0$ met de volgende eigenschap: voor iedere 2018 verschillende lijnen $\ell_{1}, \ell_{2}, \ldots, \ell_{2018}$ in het vlak bestaa... | We bewijzen eerst dat in een mooie verzameling het aantal lijnen even moet zijn. Stel namelijk dat het aantal lijnen oneven zou zijn. Dan ligt op elk van het oneven aantal lijnen een oneven aantal snijpunten, dus het totale aantal snijpunten is dan ook oneven. Elk snijpunt wordt hier echter twee keer geteld (één keer v... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 192 | 866 |
2018 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor
$$
f\left(x^{2}\right)-f\left(y^{2}\right) \leq(f(x)+y)(x-f(y))
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Invullen van $x=y=0$ geeft $0 \leq f(0) \cdot-f(0)$. Maar kwadraten zijn nietnegatief, dus hieruit volgt $f(0)^{2}=0$ en daarmee $f(0)=0$. Nu geeft $x=0$ en $y=t$ dat $-f\left(t^{2}\right) \leq t \cdot-f(t)$, terwijl $x=t$ en $y=0$ geeft dat $f\left(t^{2}\right) \leq f(t) \cdot t$. We vinden $t f(t) \leq f\left(t^{2}\r... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 74 | 656 |
2018 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor
$$
f\left(x^{2}\right)-f\left(y^{2}\right) \leq(f(x)+y)(x-f(y))
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Net als in oplossing I leiden we af dat $f(0)=0$ en $f\left(t^{2}\right)=t f(t)$ voor alle $t \in \mathbb{R}$. Daaruit volgt
$$
t f(t)=f\left(t^{2}\right)=f\left((-t)^{2}\right)=-t f(-t)
$$
dus voor $t \neq 0$ geldt $f(-t)=-f(t)$. We wisten al $f(0)=0$, dus dit geldt ook voor $t=0$. Vul nu $y=-x$ in in de functieonge... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 74 | 798 |
2018 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In een niet-gelijkbenige driehoek $A B C$ is $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel. De bissectrice van $\angle B A C$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ nogmaals in $D$. De lijn door $I$ loodrecht op $A D$ snijdt $B C$ in $F$. Het midden van boog $B C$ waar $A$ op ligt, noemen we $M$. De lijn $... | Omdat $\angle D A C=\angle B A D$ is $D$ het midden van de boog $B C$ waar $A$ niet op ligt. De lijn $D M$ is dus een middellijn van de cirkel. Met Thales zien we dan dat $\angle D B M=90^{\circ}$. Zij nu $K$ het snijpunt van $B C$ en $D M$. Omdat $D M$ de middelloodlijn van $B C$ is, geldt nu $\angle B K M=90^{\circ}=... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 291 | 769 |
2018 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In een niet-gelijkbenige driehoek $A B C$ is $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel. De bissectrice van $\angle B A C$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ nogmaals in $D$. De lijn door $I$ loodrecht op $A D$ snijdt $B C$ in $F$. Het midden van boog $B C$ waar $A$ op ligt, noemen we $M$. De lijn $... | We definiëren net als in oplossing I punt $K$ als het snijpunt van $B C$ en $D M$ en leiden af dat $\angle B K M=90^{\circ}$. Verder geldt wegens Thales dat $\angle D C M=90^{\circ}=\angle C K D$, dus $\triangle D C M \sim \triangle D K C$ (hh). Dus $\frac{|D C|}{|D M|}=\frac{|D K|}{|D C|}$, dus $|D C|^{2}=|D M| \cdot|... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2018-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 291 | 594 |
2019 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bestaan er een positief geheel getal $k$ en een niet-constante rij $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ van positieve gehele getallen zodat $a_{n}=\operatorname{ggd}\left(a_{n+k}, a_{n+k+1}\right)$ voor alle positieve gehele getallen $n$ ? | Zo'n $k$ en bijbehorende rij bestaan niet. We bewijzen dit uit het ongerijmde, dus stel dat ze wel bestaan. Merk op dat $a_{n} \mid a_{n+k}$ en $a_{n} \mid a_{n+k+1}$ voor alle $n \geq 1$. Met een eenvoudige inductie volgt ook dat $a_{n} \mid a_{n+\ell k}$ en $a_{n} \mid a_{n+\ell k+\ell}$ voor alle $l \geq 0$. We bewi... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 88 | 563 |
2019 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bestaan er een positief geheel getal $k$ en een niet-constante rij $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ van positieve gehele getallen zodat $a_{n}=\operatorname{ggd}\left(a_{n+k}, a_{n+k+1}\right)$ voor alle positieve gehele getallen $n$ ? | Zo'n $k$ en bijbehorende rij bestaan niet. We bewijzen dit uit het ongerijmde, dus stel dat ze wel bestaan. Merk op dat $a_{n} \mid a_{n+k}$ en $a_{n} \mid a_{n+k+1}$ voor alle $n \geq 1$. Zij nu $0 \leq \ell \leq k$ een geheel getal. Dan geldt $k^{2}+\ell=(k-\ell) \cdot k+\ell \cdot(k+1)$. Door de eerste deelbaarheid ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 88 | 585 |
2019 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | In een land zijn 2018 steden, waarvan sommige met elkaar verbonden zijn door wegen. Elke stad is verbonden met ten minste drie andere steden. Het is mogelijk om van elke willekeurige stad naar elke andere willekeurige stad te reizen via één of meer wegen. Bekijk voor elk tweetal steden de kortste route tussen deze twee... | Het grootste aantal wegen dat in een kortste route kan voorkomen, is 1511. We geven eerst een land waarvoor dit aantal aangenomen wordt. Deel de steden op in 504 groepen: twee groepen van vijf steden $\left(A_{0}, B_{0}, C_{0}, D_{0}, E_{0}\right)$ en $\left(A_{503}, B_{503}, C_{503}, D_{503}, E_{503}\right)$ en verder... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-B_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 111 | 1,364 |
2019 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Gegeven is een kwadratisch polynoom $P(x)$ met twee verschillende reële nulpunten. Voor alle reële getallen $a$ en $b$ met $|a|,|b| \geq 2017$ geldt dat $P\left(a^{2}+b^{2}\right) \geq P(2 a b)$. Bewijs dat minstens één van de nulpunten van $P$ negatief is. | Schrijf $P(x)=c(x-d)(x-e)$, waarbij $d$ en $e$ de nulpunten zijn, dus $d \neq e$. Verder geldt $c \neq 0$, anders is $P$ niet kwadratisch. Voor $|a|,|b| \geq 2017$ volgt nu uit $P\left(a^{2}+b^{2}\right) \geq P(2 a b)$ dat
$$
c\left(a^{2}+b^{2}-d\right)\left(a^{2}+b^{2}-e\right) \geq c(2 a b-d)(2 a b-e)
$$
We werken ... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 108 | 720 |
2019 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Gegeven is een kwadratisch polynoom $P(x)$ met twee verschillende reële nulpunten. Voor alle reële getallen $a$ en $b$ met $|a|,|b| \geq 2017$ geldt dat $P\left(a^{2}+b^{2}\right) \geq P(2 a b)$. Bewijs dat minstens één van de nulpunten van $P$ negatief is. | Schrijf $P(x)=c(x-d)(x-e)$, waarbij $d$ en $e$ de nulpunten zijn, dus $d \neq e$. Verder geldt $c \neq 0$, anders is $P$ niet kwadratisch. We onderscheiden twee gevallen. Stel eerst dat $c>0$. We nemen $b=-a=2017$ in $P\left(a^{2}+b^{2}\right) \geq P(2 a b)$, waardoor we krijgen $P\left(2 a^{2}\right) \geq P\left(-2 a^... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 108 | 626 |
2019 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Schrijf $S_{n}$ voor de verzameling $\{1,2, \ldots, n\}$. Bepaal alle positieve gehele $n$ waarvoor er functies $f: S_{n} \rightarrow S_{n}$ en $g: S_{n} \rightarrow S_{n}$ bestaan zodat voor elke $x$ precies één van de gelijkheden $f(g(x))=x$ en $g(f(x))=x$ waar is. | We laten eerst zien dat als $n=2 m$ voor zekere positieve gehele $m$, er dan zulke functies bestaan. Definieer
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x & \text { als } 1 \leq x \leq m, \\
x-m & \text { als } m+1 \leq x \leq 2 m,
\end{array} \quad g(x)= \begin{cases}x+m & \text { als } 1 \leq x \leq m \\
x & \text { als } m+... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 111 | 883 |
2019 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Gegeven is een positief geheel getal $n$. Bepaal de maximale waarde van $\operatorname{ggd}(a, b)+\operatorname{ggd}(b, c)+\operatorname{ggd}(c, a)$, onder de voorwaarde dat $a, b$ en $c$ positieve gehele getallen zijn met $a+b+c=5 n$. | Schrijf $G=\operatorname{ggd}(a, b)+\operatorname{ggd}(b, c)+\operatorname{ggd}(c, a)$. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat $a \leq b \leq c$. Nu geldt $\operatorname{ggd}(a, b) \leq a, \operatorname{ggd}(b, c) \leq b$ en $\operatorname{ggd}(c, a) \leq a$. Dus
$$
G \leq a+b+a \leq a+b+c=5 n
$$
Als $3 \mi... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 89 | 776 |
2019 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Gegeven is een positief geheel getal $n$. Bepaal de maximale waarde van $\operatorname{ggd}(a, b)+\operatorname{ggd}(b, c)+\operatorname{ggd}(c, a)$, onder de voorwaarde dat $a, b$ en $c$ positieve gehele getallen zijn met $a+b+c=5 n$. | We bewijzen op een alternatieve manier dat $G \leq 4 n$ voor het geval $3 \nmid n$. We nemen hier in eerste instantie niet aan dat $a \leq b \leq c$. We onderscheiden twee gevallen.
Geval 1: twee van $a, b$ en $c$ zijn gelijk, zeg $a=b$. Schrijf $d=\operatorname{ggd}(a, c)$. Dan geldt $G=a+d+d$. Verder is $5 n=a+b+c=2... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-C_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 89 | 595 |
2019 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Op een middelbare school zit in elke klas een oneven aantal leerlingen. Verder heeft elke leerling een beste vriend (mogelijk uit een andere klas). Iedereen is de beste vriend van zijn of haar beste vriend. Bij de stedenreis gaat elke leerling naar Rome of Parijs. Bewijs dat de leerlingen over de twee bestemmingen kunn... | Noem een losse leerling een leerling van wie de beste vriend in een andere klas zit. We gaan nu eerst alle losse leerlingen een bestemming geven. Begin met een willekeurige losse leerling $A_{1}$ en stuur deze naar Parijs samen met zijn beste vriend $A_{2}$. Kies in de klas van $A_{2}$ een andere losse leerling $A_{3}$... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 150 | 998 |
2019 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle viertallen $(a, b, c, d)$ van positieve reële getallen die voldoen aan $a+b+c+d=1$ en
$$
\max \left(\frac{a^{2}}{b}, \frac{b^{2}}{a}\right) \cdot \max \left(\frac{c^{2}}{d}, \frac{d^{2}}{c}\right)=(\min (a+b, c+d))^{4}
$$ | Als $a \geq b$ dan $\frac{a}{b} \geq \frac{b}{a}$ en als juist $a \leq b$ dan $\frac{a}{b} \leq \frac{b}{a}$, dus het rijtje $(a, b)$ en het rijtje $\left(\frac{a}{b}, \frac{b}{a}\right)$ zijn gelijk geordend. De herschikkingsongelijkheid zegt nu dat
$$
a \cdot \frac{a}{b}+b \cdot \frac{b}{a} \geq a \cdot \frac{b}{a}+... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 107 | 917 |
2019 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle viertallen $(a, b, c, d)$ van positieve reële getallen die voldoen aan $a+b+c+d=1$ en
$$
\max \left(\frac{a^{2}}{b}, \frac{b^{2}}{a}\right) \cdot \max \left(\frac{c^{2}}{d}, \frac{d^{2}}{c}\right)=(\min (a+b, c+d))^{4}
$$ | Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat $a+b \leq c+d$, aangezien $a$ en $b$ samen te verwisselen zijn met $c$ en $d$ zonder dat de opgave verandert. Ook kunnen
we aannemen dat $a \leq b$ en $c \leq d$, omdat $a$ en $b$ onderling te verwisselen en zijn en $c$ en $d$ onderling ook. Nu geldt $a^{3} \leq b^{3}$ d... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 107 | 675 |
2019 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een scherphoekige driehoek met $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Punt $Q$ ligt op de omgeschreven cirkel van $\triangle B O C$ zodat $O Q$ een middellijn is. Punt $M$ ligt op $C Q$ en punt $N$ ligt inwendig op lijnstuk $B C$ zodat $A N C M$ een parallellogram is. Bewijs dat de omgeschreven cirk... | Definieer $T$ als het snijpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle B O C$ en de lijn $A Q$. We gaan bewijzen dat $T$ op $N M$ ligt. Schrijf $\alpha=\angle B A C$. Dan geldt $\angle B O C=2 \alpha$ vanwege de middelpuntsomtrekshoekstelling. Aangezien $|O B|=|O C|$ en $\angle O C Q=90^{\circ}=$ $\angle O B Q$ wegen... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 227 | 594 |
2019 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ die voldoen aan
- $f(p)>0$ voor alle priemgetallen $p$,
- $p \mid(f(x)+f(p))^{f(p)}-x$ voor alle $x \in \mathbb{Z}$ en alle priemgetallen $p$. | Vul $x=p$ in: $p \mid(2 f(p))^{f(p)}-p$ en $p$ is priem, dus $p \mid 2 f(p)$. We zien dat $p=2$ of $p \mid f(p)$. Vul nu $x=0$ in: $p \mid(f(0)+f(p))^{f(p)}-0$ en $p$ is priem, dus $p \mid f(0)+f(p)$. Aangezien $p \mid f(p)$ voor $p \neq 2$, zien we nu ook $p \mid f(0)$ voor $p \neq 2$. Dus $f(0)$ is deelbaar door onei... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-D_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 84 | 705 |
2019 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ die voldoen aan de volgende twee voorwaarden:
(i) voor alle gehele getallen $x$ geldt $f(f(x))=x$;
(ii) voor alle gehele getallen $x$ en $y$ zodat $x+y$ oneven is geldt er dat $f(x)+f(y) \geq x+y$. | De functie $f(x)=x$ voor alle $x$ voldoet. Neem nu verder aan dat niet voor alle $x$ geldt $f(x)=x$. Vanwege (i) is er dan zowel een waarde van $x$ met $f(x)>x$ als een waarde van $x$ met $f(x)<x$. We nemen nu een $a \in \mathbb{Z}$ met $f(a)<a$ en bekijken een willekeurige $x$ met $x \not \equiv a \bmod 2$. Er geldt d... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 101 | 923 |
2019 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Aan een wiskundewedstrijd doen 300 deelnemers mee. Na de wedstrijd spelen sommige deelnemers wat potjes schaak. Elke twee deelnemers spelen hooguit één keer tegen elkaar. Er zijn geen drie deelnemers bij deze wedstrijd die onderling allemaal tegen elkaar schaken. Bepaal de maximale $n$ waarvoor het mogelijk is dat aan ... | We laten zien dat $n$ maximaal 200 is. We geven eerst een voorbeeld waarin $n=200$ geldt. Bekijk spelers $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{200}$ en $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{100}$. Dit zijn 300 spelers in totaal. Laat $B_{i}$ schaak spelen tegen de spelers $A_{j}$ met $1 \leq j \leq i+100$, terwijl verder geen andere deelnemer... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2019-E_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 170 | 784 |
2020 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Voor een geheel getal $n \geq 3$ bekijken we een cirkel met $n$ punten erop. We plaatsen een positief geheel getal bij elk punt, waarbij de getallen niet noodzakelijk verschillend hoeven te zijn. Zo'n plaatsing van getallen heet stabiel als drie getallen naast elkaar altijd product $n$ hebben. Voor hoeveel waarden van ... | Stel dat $n$ geen veelvoud van 3 is en dat we een stabiele plaatsing hebben van de getallen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, die in die volgorde op de cirkel liggen. Er geldt dan $a_{i} a_{i+1} a_{i+2}=3$ voor alle $i$, waarbij we de indices modulo $n$ rekenen. Dus
$$
a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}=n=a_{i} a_{i+1} a_{i+2}
$$
... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-B2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 130 | 757 |
2020 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | In een scherphoekige driehoek $A B C$ is $D$ het voetpunt van de hoogtelijn vanuit $A$. Laat $D_{1}$ en $D_{2}$ de spiegelbeelden zijn van $D$ in respectievelijk $A B$ en $A C$. Het snijpunt van $B C$ en de lijn door $D_{1}$ evenwijdig aan $A B$, noemen we $E_{1}$. Het snijpunt van $B C$ en de lijn door $D_{2}$ evenwij... | Het midden van $D D_{1}$ noemen we $K$ en het midden van $D D_{2}$ noemen we $L$. Dan ligt $K$ op $A B$ en $L$ op $A C$. Wegens $\angle A K D=90^{\circ}=\angle A L D$ is $A K D L$ een koordenvierhoek. Dus $\angle D L K=\angle D A K=\angle D A B=90^{\circ}-\angle A B C$. Verder is $K L$ een middenparallel in driehoek $D... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-B2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 275 | 779 |
2020 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan
$$
f\left(x^{2} y\right)+2 f\left(y^{2}\right)=\left(x^{2}+f(y)\right) \cdot f(y)
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Invullen van $x=1$ geeft $f(y)+2 f\left(y^{2}\right)=(1+f(y)) f(y)$, dus
$$
2 f\left(y^{2}\right)=f(y)^{2}
$$
We kunnen hiermee in de oorspronkelijke functievergelijking de term $2 f\left(y^{2}\right)$ links wegstrepen tegen $f(y)^{2}$ rechts:
$$
f\left(x^{2} y\right)=x^{2} f(y) .
$$
Invullen van $y=1$ hierin geeft... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-B2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 85 | 772 |
2020 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan
$$
f\left(x^{2} y\right)+2 f\left(y^{2}\right)=\left(x^{2}+f(y)\right) \cdot f(y)
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Invullen van $y=0$ geeft $f(0)+2 f(0)=\left(x^{2}+f(0)\right) f(0)$. Dus $f(0)=0$ of $3=x^{2}+f(0)$ voor alle $x \in \mathbb{R}$. Dat laatste kan niet waar zijn, dus $f(0)=0$.
Vul nu in $x=0, y=1$. Dan krijgen we $f(0)+2 f(1)=f(1)^{2}$, dus $2 f(1)=f(1)^{2}$, dus $f(1)=0$ of $f(1)=2$. Vervolgens geeft $y=1$ dat $f\lef... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-B2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 85 | 1,165 |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.