year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
values | problem_label stringclasses 119
values | problem_type stringclasses 13
values | exam stringclasses 28
values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2020 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Een verzameling $S$ die bestaat uit 2019 (verschillende) positieve gehele getallen heeft de volgende eigenschap: het product van elke 100 elementen van $S$ is een deler van het product van de overige 1919 elementen. Wat is het maximale aantal priemgetallen dat $S$ kan bevatten? | Het maximale aantal priemgetallen is 1819.
We beginnen met de constructie. Kies verschillende priemgetallen $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{1819}$ en zij $P=p_{1} p_{2} \cdots p_{1819}$. Neem
$$
S=\left\{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{1819}, P, P \cdot p_{1}, \ldots, P \cdot p_{199}\right\}
$$
Voor elke $p_{i}$ geldt dat er 201... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-B2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 90 | 865 |
2020 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle polynomen $P(x)$ met reële coëfficiënten waarvoor geldt
$$
P\left(x^{2}\right)+2 P(x)=P(x)^{2}+2 .
$$ | Herschrijf de gegeven vergelijking naar
$$
P\left(x^{2}\right)-1=(P(x)-1)^{2} \text {. }
$$
Schrijf $Q(x)=P(x)-1$, dan is $Q$ een polynoom met reële coëfficiënten waarvoor geldt dat
$$
Q\left(x^{2}\right)=Q(x)^{2}
$$
Stel dat $Q$ constant is, zeg $Q(x)=c$ met $c \in \mathbb{R}$. Dan geldt $c=c^{2}$, dus $c=0$ of $c... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-C2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 50 | 574 |
2020 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle polynomen $P(x)$ met reële coëfficiënten waarvoor geldt
$$
P\left(x^{2}\right)+2 P(x)=P(x)^{2}+2 .
$$ | Stel dat $P$ constant is, zeg $P(x)=c$ met $c \in \mathbb{R}$. Dan geldt $c+2 c=c^{2}+2$, dus $c^{2}-3 c+2=0$, dus $(c-2)(c-1)=0$, dus $c=2$ of $c=1$. Beide mogelijkheden voldoen. We kunnen nu verder aannemen dat $P$ niet constant is, dus kunnen we schrijven $P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$ met $... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-C2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 50 | 986 |
2020 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Voor een positief geheel getal $n$ bekijken we een $n \times n$-bord en tegels met afmetingen $1 \times 1,1 \times 2, \ldots, 1 \times n$. Op hoeveel manieren kunnen er precies $\frac{1}{2} n(n+1)$ vakjes van het bord rood worden gekleurd, zodat de rode vakjes allemaal bedekt kunnen worden door de $n$ tegels allemaal h... | Het aantal rode vakjes is het precies gelijk aan het totaal aantal vakjes dat door de $n$ tegels bedekt kan worden, dus de tegels worden alleen op rode vakjes gelegd. Bekijk een kleuring van het bord en de bijbehorende horizontale bedekking van de tegels (waarin alle tegels horizontaal liggen) en verticale bedekking. W... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-C2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 171 | 1,665 |
2020 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Voor een positief geheel getal $n$ bekijken we een $n \times n$-bord en tegels met afmetingen $1 \times 1,1 \times 2, \ldots, 1 \times n$. Op hoeveel manieren kunnen er precies $\frac{1}{2} n(n+1)$ vakjes van het bord rood worden gekleurd, zodat de rode vakjes allemaal bedekt kunnen worden door de $n$ tegels allemaal h... | Net als in oplossing I leiden we af dat er in de horizontale bedekking in elke rij precies één tegel moet liggen en in de verticale bedekking in elke kolom precies één tegel. Bekijk nu eerst een volgorde voor de tegels in de verticale bedekking. We gaan afleiden aan welke eisen deze volgorde moet voldoen en hoeveel mog... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-C2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 171 | 938 |
2020 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Laat $\mathrm{a}, \mathrm{b} \geq 2$ positieve gehele getallen met $\operatorname{ggd}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=1$ zijn. Zij r de kleinste positieve waarde die aangenomen wordt bij een uitdrukking van de vorm $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}$, met C en d positieve gehele getallen die voldoen aan $\mathbf{c} \leq \mathrm{a}$ en ... | We laten eerst zien dat het mogelijk is om $\mathbf{C}$ en $\mathbf{d}$ zo te kiezen dat $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{1}{b d}$.
Omdat $\operatorname{ggd}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=1$, bestaat er een multiplicatieve inverse $\mathrm{b}^{-1}$ van b modulo a . Kies nu c met $1 \leq \mathrm{c} \leq \mathrm{a}$ zo dat $\mat... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-C2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 147 | 971 |
2020 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Gegeven zijn reële getallen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2020}$, niet noodzakelijk verschillend. Voor elke $n \geq 2020$ wordt nu $a_{n+1}$ gedefinieerd als het kleinste reële nulpunt van het polynoom
$$
P_{n}(x)=x^{2 n}+a_{1} x^{2 n-2}+a_{2} x^{2 n-4}+\ldots+a_{n-1} x^{2}+a_{n}
$$
als dat bestaat. Veronderstel dat $a_{... | Als $x=\alpha$ een nulpunt van $P_{n}$ is, dan is $x=-\alpha$ ook een nulpunt, aangezien alle termen in $P_{n}(x)$ een even graad hebben. Het kleinste nulpunt van $P_{n}$ kan dus nooit positief zijn. Er geldt daarom $a_{n} \leq 0$ voor alle $n>2020$. Er geldt $P_{n+1}(x)=x^{2} \cdot P_{n}(x)+a_{n+1}$. Vul nu $x=a_{n+1}... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-D2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 200 | 778 |
2020 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Ward en Gabriëlle spelen een spel op een groot vel papier. In het begin staan er 999 enen op het papier geschreven. Ward en Gabriëlle zijn om en om aan de beurt, waarbij Ward begint. Een speler die aan de beurt is, mag twee getallen $a$ en $b$ van het papier uitkiezen waarvoor geldt $\operatorname{ggd}(a, b)=1$, deze g... | Gabriëlle kan winnen met de volgende strategie: ze kiest steeds de grootste twee getallen op het papier als $a$ en $b$. We bewijzen met inductie naar $k$ dat ze dit altijd mag doen en dat na haar $k$-de zet het getal $2 k+1$ en verder $998-2 k$ enen op het papier staan.
In de eerste beurt van Ward kan hij alleen maar ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-D2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 156 | 698 |
2020 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Bepaal alle paren $(a, b)$ van positieve gehele getallen waarvoor
$$
a+b=\varphi(a)+\varphi(b)+\operatorname{ggd}(a, b) .
$$
Hier is $\varphi(n)$ het aantal getallen $k$ uit $\{1,2, \ldots, n\}$ met $\operatorname{ggd}(n, k)=1$. | Stel eerst dat $a=1$. Er geldt $\varphi(1)=1$. Voor alle positieve gehele $b$ is nu $\operatorname{ggd}(a, b)=1$, dus de vergelijking wordt $1+b=1+\varphi(b)+1$, dus $\varphi(b)=b-1$. Er is dus precies één getal uit $\{1,2, \ldots, b\}$ dat niet copriem met $b$ is; dat moet $b$ zelf zijn (want $\operatorname{ggd}(b, b)... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-D2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 91 | 833 |
2020 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Bepaal alle paren $(a, b)$ van positieve gehele getallen waarvoor
$$
a+b=\varphi(a)+\varphi(b)+\operatorname{ggd}(a, b) .
$$
Hier is $\varphi(n)$ het aantal getallen $k$ uit $\{1,2, \ldots, n\}$ met $\operatorname{ggd}(n, k)=1$. | Schrijf $a=x d, b=y d$ met $d=\operatorname{ggd}(a, b)$. Dan gaat de vergelijking over in
$$
x d+y d=\varphi(x d)+\varphi(y d)+d
$$
Van de getallen $\{1,2, \ldots, x\}$ zijn er $\varphi(x)$ die copriem zijn met $x$, dus hooguit $\varphi(x)$ die copriem zijn met $x d$. Hetzelfde geldt voor de getallen $\{x+1, x+2, \ld... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-D2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 91 | 673 |
2020 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een scherphoekige driehoek en zij $P$ het snijpunt van de raaklijnen in $B$ en $C$ aan de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$. De lijn door $A$ loodrecht op $A B$ en de lijn door $C$ loodrecht op $A C$ snijden in $X$. De lijn door $A$ loodrecht op $A C$ en de lijn door $B$ loodrecht op $A B$ snijden i... | Zij $M$ het midden van de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$ en schrijf $\alpha=$ $\angle B A C$. We bewijzen eerst dat $\triangle B Y A \sim \triangle B M P$ en vervolgens dat $\triangle Y B M \sim \triangle A B P$. Wegens de middelpunt-omtrekshoekstelling geldt $\angle B M C=2 \angle B A C=2 \alpha$. Vierhoek ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-D2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 221 | 636 |
2020 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een scherphoekige driehoek en zij $P$ het snijpunt van de raaklijnen in $B$ en $C$ aan de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$. De lijn door $A$ loodrecht op $A B$ en de lijn door $C$ loodrecht op $A C$ snijden in $X$. De lijn door $A$ loodrecht op $A C$ en de lijn door $B$ loodrecht op $A B$ snijden i... | Zij $S$ het snijpunt van $C X$ en $B Y$. De lijnen $A X$ en $B Y$ staan allebei loodrecht op $A B$, dus geldt $A X \| B Y$, en analoog $A Y \| C X$. Dus $A X S Y$ is een parallellogram. Daarnaast geldt $\angle A B S=90^{\circ}=\angle A C S$, dus wegens Thales is $A S$ een middellijn van de omgeschreven cirkel van $\tri... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-D2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 221 | 673 |
2020 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Voor een positief getal $n$ schrijven we $d(n)$ voor het aantal positieve delers van $n$. Bepaal alle positieve gehele getallen $k$ waarvoor er positieve gehele getallen $a$ en $b$ bestaan met de eigenschap
$$
k=d(a)=d(b)=d(2 a+3 b)
$$ | Voor $i \geq 0$ kiezen we $a=2 \cdot 5^{i}$ en $b=3 \cdot 5^{i}$. Dan hebben $a$ en $b$ elk $2(i+1)$ delers. Verder is $2 a+3 b=4 \cdot 5^{i}+9 \cdot 5^{i}=13 \cdot 5^{i}$ en dat heeft ook $2(i+1)$ delers. Dus dit voldoet met $k=2(i+1)$. We zien dat alle even waarden van $k$ voldoen.
Stel nu dat $k$ oneven is. Dan hee... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-E2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 86 | 1,079 |
2020 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ die voldoen aan
$$
f(-f(x)-f(y))=1-x-y
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{Z}$. | Invullen van $x=y=1$ geeft $f(-2 f(1))=-1$. Invullen van $x=n, y=1$ geeft $f(-f(n)-f(1))=-n$. Nu kiezen we $x=-f(n)-f(1)$ en $y=-2 f(1)$, dat geeft
$$
f(-f(-f(n)-f(1))-f(-2 f(1)))=1-(-f(n)-f(1))-(-2 f(1))
$$
waarbij we de linkerkant verder kunnen uitrekenen als $f(--n--1)=f(n+1)$ en de rechterkant verder als $1+f(n)+... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-E2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 60 | 571 |
2020 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven zijn twee positieve gehele getallen $k$ en $n$ met $k \leq n \leq 2 k-1$. Julian heeft een grote stapel rechthoekige $k \times 1$-tegels. Merlijn noemt een positief geheel getal $m$ en ontvangt van Julian $m$ tegels om op een $n \times n$-bord te plaatsen. Op elke tegel schrijft Julian eerst of het een horizont... | We bewijzen dat de grootste $m$ die Merlijn kan noemen, gelijk is aan $\min (n, 3(n-$ $k)+1$. Eerst bewijzen we dat $m \leq \min (n, 3(n-k)+1)$. Als Merlijn $n+1$ tegels bestelt, kan Julian ze allemaal als horizontaal bestempelen. Aangezien $n \leq 2 k-1$ is het niet mogelijk om meer dan één horizontale tegel in dezelf... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2020-E2020_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 194 | 1,063 |
2021 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal alle drietallen $(x, y, z)$ van reële getallen waarvoor geldt
$$
\begin{aligned}
& x^{2}-y z=|y-z|+1, \\
& y^{2}-z x=|z-x|+1, \\
& z^{2}-x y=|x-y|+1
\end{aligned}
$$ | Het stelsel vergelijkingen is symmetrisch: verwissel je bijvoorbeeld $x$ en $y$, dan blijft de derde vergelijking hetzelfde en wisselen de eerste twee vergelijkingen om. We kunnen dus zonder verlies van algemeenheid aannemen dat $x \geq y \geq z$. Dan wordt het stelsel:
$$
\begin{aligned}
& x^{2}-y z=y-z+1, \\
& y^{2}... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-B2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 84 | 969 |
2021 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $p$ een priemgetal groter dan 2. Patricia wil 7 niet-noodzakelijk verschillende getallen uit $\{1,2, \ldots, p\}$ aan de zwarte stippen in onderstaande figuur toekennen, op zo'n manier dat het product van drie getallen op een lijn of cirkel altijd dezelfde rest bij deling door $p$ heeft.
 Met 'lijnen' bedoelen we in het vervolg van dit onderdeel de zes lijnen en de cirkel. Zodra het getal $p$ ergens gebruikt wordt, is er een 'lijn' met product deelbaar door $p$, dus met rest 0 na deling door $p$. Alle 'lijnen' moeten dan rest 0 geven, dus alle 'lijnen' bevatten minstens één keer $p$. Dit kunnen we b... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-B2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing I."
} | 281 | 903 |
2021 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $p$ een priemgetal groter dan 2. Patricia wil 7 niet-noodzakelijk verschillende getallen uit $\{1,2, \ldots, p\}$ aan de zwarte stippen in onderstaande figuur toekennen, op zo'n manier dat het product van drie getallen op een lijn of cirkel altijd dezelfde rest bij deling door $p$ heeft.
 laten we zien dat ofwel alle zeven getallen hetzelfde zijn, dan wel dat er een 'lijn' $k$ is waarvan de drie punten waarde $x$ hebben terwijl de overige vier punten waarde $-x$ hebben. Merk op dat $-x \not \equiv x$ wegens $p>2$.
Merk op dat deze toekenningen in ieder geva... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-B2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 281 | 849 |
2021 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Jesse en Tjeerd spelen een spelletje. Jesse heeft de beschikking over $n \geq 2$ stenen. Er zijn twee dozen: in de zwarte doos is ruimte voor de helft van de stenen (naar beneden afgerond) en in de witte doos is ruimte voor de helft van de stenen (naar boven afgerond). Jesse en Tjeerd zijn om en om aan de beurt, waarbi... | Als $n$ even is, komen er in allebei de dozen precies evenveel stenen. Jesse kan nu winnen door de eerste $n-1$ stenen allemaal waarde 2 te geven en ze in een willekeurige doos te stoppen. Tjeerd verplaatst na elke zet van Jesse eventueel een steen. Als Jesse's laatste steen in de zwarte doos moet, geeft hij deze steen... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-B2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 314 | 898 |
2021 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Jesse en Tjeerd spelen een spelletje. Jesse heeft de beschikking over $n \geq 2$ stenen. Er zijn twee dozen: in de zwarte doos is ruimte voor de helft van de stenen (naar beneden afgerond) en in de witte doos is ruimte voor de helft van de stenen (naar boven afgerond). Jesse en Tjeerd zijn om en om aan de beurt, waarbi... | De volgende oplossing laat zien dat het niet uitmaakt hoe groot de capaciteit van de twee dozen is, als de capaciteit in totaal maar $n$ is (en minstens 1 per stuk). Jesse kan altijd winnen en doet dat door eerst de tweemacht $2^{0}=1$ te spelen, en vervolgens telkens de eerstvolgende kleinere of grotere tweemacht. Dus... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-B2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 314 | 627 |
2021 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Gegeven is een driehoek $A B C$ met de eigenschap dat $|A B|+|A C|=3|B C|$. Zij $T$ het punt op lijnstuk $A C$ zodat $|A C|=4|A T|$. Laat $K$ en $L$ punten zijn op het inwendige van respectievelijk lijnstukken $A B$ en $A C$ zodat ten eerste $K L \| B C$ en ten tweede $K L$ raakt aan de ingeschreven cirkel van $\triang... | De vierhoek $K B C L$ raakt met alle zijden aan de ingeschreven cirkel van $\triangle A B C$. Bij elk hoekpunt zitten twee gelijke raaklijnstukjes. Twee overstaande zijden van de vierhoek bestaan samen precies uit de vier verschillende raaklijnstukjes, dus geldt $|K B|+|L C|=|K L|+|B C|$.
Vanwege $K L \| B C$ geldt $\... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-B2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 255 | 720 |
2021 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | De rij positieve gehele getallen $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ is gedefinieerd door $a_{0}=3$ en
$$
a_{n+1}-a_{n}=n\left(a_{n}-1\right)
$$
voor alle $n \geq 0$. Bepaal alle gehele getallen $m \geq 2$ waarvoor geldt dat $\operatorname{ggd}\left(m, a_{n}\right)=1$ voor alle $n \geq 0$. | Een directe formule voor de rij wordt gegeven door $a_{n}=2 \cdot n!+1$ voor $n \geq 0$. (We gebruiken de gangbare definitie $0!=1$, die voldoet aan $1!=1 \cdot 0$ !, zoals ook voor grotere $n$ geldt $n!=n \cdot(n-1)!$.) We bewijzen de directe formule met inductie. Er geldt $a_{0}=3$ en dat is gelijk aan $2 \cdot 0!+1$... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-C2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 127 | 565 |
2021 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle viertallen $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ van reële getallen zodat de volgende zes gelijkheden gelden:
$$
\begin{aligned}
& x_{1}+x_{2}=x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+6 x_{3} x_{4}, \\
& x_{1}+x_{3}=x_{2}^{2}+x_{4}^{2}+6 x_{2} x_{4}, \\
& x_{1}+x_{4}=x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+6 x_{2} x_{3}, \\
& x_{2}+x_{3}=x_{1}^... | De eerste twee vergelijkingen van elkaar afhalen geeft $x_{2}-x_{3}=x_{3}^{2}-x_{2}^{2}+$ $6 x_{4}\left(x_{3}-x_{2}\right)$, wat we kunnen ontbinden als $0=\left(x_{3}-x_{2}\right)\left(x_{3}+x_{2}+1+6 x_{4}\right)$. We zien dat $x_{2}=x_{3}$ of $x_{2}+x_{3}+1+6 x_{4}=0$. Analoog geldt ook dat $x_{2}=x_{3}$ of $x_{2}+x... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-C2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 274 | 985 |
2021 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle viertallen $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ van reële getallen zodat de volgende zes gelijkheden gelden:
$$
\begin{aligned}
& x_{1}+x_{2}=x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+6 x_{3} x_{4}, \\
& x_{1}+x_{3}=x_{2}^{2}+x_{4}^{2}+6 x_{2} x_{4}, \\
& x_{1}+x_{4}=x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+6 x_{2} x_{3}, \\
& x_{2}+x_{3}=x_{1}^... | Alle gelijkheden optellen geeft
$$
3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)=3\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)+6\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{1} x_{4}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{4}\right) .
$$
De rechterkant laat zich ontbinden als $3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{2}$. Schrijf $s=x_{1}... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-C2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 274 | 1,621 |
2021 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een scherphoekige en niet-gelijkbenige driehoek met hoogtepunt $H$. Zij $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ en zij $K$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A H O$. Bewijs dat de spiegeling van $K$ in $O H$ op $B C$ ligt.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2... | We bekijken de configuratie zoals in de figuur. Andere configuraties gaan analoog. Noem $D$ het tweede snijpunt van $A H$ met de omgeschreven cirkel van $\triangle A B C$. Noem $S$ het tweede snijpunt van de omgeschreven cirkel van $A B C$ en de omgeschreven cirkel van $A H O$. (Omdat $\triangle A B C$ scherphoekig is,... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-C2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 186 | 610 |
2021 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Op een rechthoekig bord met $m \times n$ vakjes ( $m, n \geq 3$ ) liggen domino's ( $2 \times 1$ of $1 \times 2$-tegels), die elkaar niet overlappen en niet uitsteken buiten het bord. Elke domino bedekt precies twee vakjes van het bord. Neem aan dat de bedekking met domino's de eigenschap heeft dat er geen enkele domin... | Koppel elk leeg vakje aan de domino die direct rechts van dit vakje ligt (tenzij het vakje aan de rechterrand van het bord ligt). Stel dat er nu twee lege vakjes aan dezelfde domino gekoppeld worden, dan moet deze domino verticaal liggen en zijn beide vakjes links van hem leeg. Echter, dan zou er daar nog een extra dom... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-C2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 168 | 624 |
2021 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $\Gamma$ de omgeschreven cirkel van een driehoek $A B C$ en zij $D$ een punt op lijnstuk $B C$. De cirkel door $B$ en $D$ die raakt aan $\Gamma$ en de cirkel door $C$ en $D$ die raakt aan $\Gamma$ snijden in een punt $E \neq D$. De lijn $D E$ snijdt $\Gamma$ in twee punten $X$ en $Y$. Bewijs dat $|E X|=|E Y|$. | We bekijken de configuratie zoals in de figuur, waarbij $E$ minstens zo dicht bij $B$ ligt als bij $C$. De configuratie waarbij dit andersom is, gaat analoog. Zij $O$ het middelpunt van $\Gamma$. De hoek tussen de lijn $B C$ en de gemeenschappelijke raaklijn in $B$ is volgens de raaklijnomtrekshoekstelling enerzijds ge... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-D2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 129 | 522 |
2021 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $\Gamma$ de omgeschreven cirkel van een driehoek $A B C$ en zij $D$ een punt op lijnstuk $B C$. De cirkel door $B$ en $D$ die raakt aan $\Gamma$ en de cirkel door $C$ en $D$ die raakt aan $\Gamma$ snijden in een punt $E \neq D$. De lijn $D E$ snijdt $\Gamma$ in twee punten $X$ en $Y$. Bewijs dat $|E X|=|E Y|$. | Zij $O$ het middelpunt van $\Gamma$, zij $\Gamma_{B}$ de cirkel door $B, D$ en $E$ en zij $\Gamma_{C}$ de cirkel door $C$, $D$ en $E$. De gemeenschappelijke raaklijn van $\Gamma$ en $\Gamma_{B}$ is de machtlijn van deze twee cirkels; zo ook is de raaklijn in $C$ de machtlijn van $\Gamma$ en $\Gamma_{C}$. Noem $P$ het s... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-D2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 129 | 566 |
2021 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Stekel en Prik spelen een spel op een $m \times n$-bord, waarbij $m$ en $n$ positieve gehele getallen zijn. Ze zijn afwisselend aan de beurt, waarbij Stekel begint. Stekel zet in zijn beurt steeds een pion op een vakje waar nog geen pion staat. Prik doet in zijn beurt hetzelde, maar zijn pion moet altijd komen in een v... | Als $m$ (het aantal rijen) even is, dan koppelen we de vakjes van het bord in tweetallen aan elkaar: in elke kolom vormen de bovenste twee vakjes een tweetal, en het derde en vierde vakje, enzovoorts. Omdat er een even aantal rijen is, lukt dit. Prik kan nu de volgende strategie hanteren: als Stekel een vakje van zo'n ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-D2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 210 | 1,057 |
2021 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ met de volgende eigenschap: voor ieder drietal $(a, b, c)$ van positieve reële getallen is er een drietal $(k, \ell, m)$ van niet-negatieve gehele getallen zodat dat $a n^{k}, b n^{\ell}$ en $c n^{m}$ de lengtes van de zijden van een (niet-gedegenereerde) driehoek vormen. | Het is duidelijk dat $n=1$ niet voldoet, want niet elke drie positieve reële getallen $a, b$ en $c$ zijn de lengtes van een driehoek. We bewijzen nu eerst dat $n \geq 5$ niet voldoet door het drietal $(1,2,3)$ te bekijken. Stel dat er $k, \ell, m$ bestaan zodat $n^{k}, 2 n^{\ell}$ en $3 n^{m}$ de lengtes van de zijden ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-D2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 114 | 2,076 |
2021 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Laat $m$ en $n$ natuurlijke getallen zijn met $m n$ even. Jetze gaat een $m \times n$ bord (dus bestaande uit $m$ rijen en $n$ kolommen) bedekken met dominostenen, zodat elke dominosteen precies twee vakjes bedekt, dominostenen niet uitsteken of overlappen, en alle vakjes bedekt worden door een dominosteen. Merlijn gaa... | Stel eerst dat $n$ oneven is. Dan is het duidelijk dat $V \geq 1$; het verschil is immers altijd oneven. We laten zien dat $V=1$ altijd mogelijk is. Kleur hiertoe de verticale dominostenen in oneven kolommen rood en de verticale dominostenen in even kolommen blauw. Omdat in elke rij elke horizontale dominosteen een vak... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 219 | 1,075 |
2021 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Laat $m$ en $n$ natuurlijke getallen zijn met $m n$ even. Jetze gaat een $m \times n$ bord (dus bestaande uit $m$ rijen en $n$ kolommen) bedekken met dominostenen, zodat elke dominosteen precies twee vakjes bedekt, dominostenen niet uitsteken of overlappen, en alle vakjes bedekt worden door een dominosteen. Merlijn gaa... | Nummer de rijen van boven naar beneden van 1 tot en met $m$ en zij $b_{i}$ $(1 \leq i \leq m-1)$ het aantal verticale dominostenen waarvan het bovenste vakje in rij $i$ ligt en het onderste vakje in rij $i+1$. Definieer $b_{0}=0$ en $b_{m}=0$.
Stel eerst dat $n$ oneven is. Schrijf $n=\frac{1}{2}(n-1)+\frac{1}{2}(n+1)$... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 219 | 1,794 |
2021 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een rechthoekige driehoek met $\angle C=90^{\circ}$ en zij $D$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $C$. Zij $E$ het zwaartepunt van driehoek $A C D$ en zij $F$ het zwaartepunt van driehoek $B C D$. Het punt $P$ voldoet aan $\angle C E P=90^{\circ}$ en $|C P|=|A P|$, terwijl het punt $Q$ voldoet aan $\angle C... | Noem $M, N, R$ en $S$ de middens van respectievelijk zijden $B C, C A, B D$ en $A D$. Zij $Z$ het zwaartepunt van $\triangle A B C$. Vierhoek $Q F M C$ is een koordenveriehoek wegens rechte hoeken $\angle Q F C=90^{\circ}=\angle Q M C$. Merk op dat $C Q$ dus de middellijn van de omgeschreven cirkel is. Analoog zien we ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 262 | 529 |
2021 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $A B C$ een rechthoekige driehoek met $\angle C=90^{\circ}$ en zij $D$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $C$. Zij $E$ het zwaartepunt van driehoek $A C D$ en zij $F$ het zwaartepunt van driehoek $B C D$. Het punt $P$ voldoet aan $\angle C E P=90^{\circ}$ en $|C P|=|A P|$, terwijl het punt $Q$ voldoet aan $\angle C... | Noem $M, N, K$ en $L$ de middens van respectievelijk zijden $B C, C A, A B$ en $C D$. Zij $Z$ het zwaartepunt van $\triangle A B C$. Omdat $M L$ een middenparallel in driehoek $B C D$ is, geldt $M L \| B D$ en dus $M L \| A B$. Zo is ook $N L \| A B$, dus $M, N$ en $L$ liggen op een lijn $\ell$ evenwijdig aan $A B$. Ve... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 262 | 822 |
2021 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ met
$$
f(x+y f(x+y))=y^{2}+f(x) f(y)
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Merk op dat de functie $f(x)=0$ voor alle $x$ niet voldoet. Er is dus een $a$ met $f(a) \neq 0$. Vul $x=a$ en $y=0$ in, dat geeft $f(a)=f(a) f(0)$, dus $f(0)=1$. Vul nu $x=1$ en $y=-1$ in, dat geeft $f(1-f(0))=1+f(1) f(-1)$. Omdat $f(0)=1$, staat hier $1=1+f(1) f(-1)$, dus $f(1)=0$ of $f(-1)=0$. We onderscheiden deze t... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 62 | 931 |
2021 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ met
$$
f(x+y f(x+y))=y^{2}+f(x) f(y)
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$. | Net als in de eerste oplossing leiden we af dat $f(0)=1$ en dat $f(1)=0$ of $f(-1)=0$.
Stel eerst dat $f(1)=0$. Invullen van $x=t-1$ en $y=1$ geeft $f(t-1+f(t))=1$. Anderzijds geldt ook $f(0)=1$. We laten nu zien dat $f(z)=1$ impliceert dat $z=0$. Stel $f(z)=1$. Invullen van $x=1$ en $y=z-1$ geeft $f(1+(z-1) f(z))=(z-... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 62 | 640 |
2021 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $p>10$ een priemgetal. Bewijs dat er positieve gehele getallen $m$ en $n$ met $m+n<p$ bestaan waarvoor $p$ een deler is van $5^{m} 7^{n}-1$. | Wegens de kleine stelling van Fermat geldt $a^{p-1} \equiv 1 \bmod p$ voor alle $a$ met $p \nmid a$. Omdat $p>10$ is $p$ oneven, dus $p-1$ is even. Er geldt
$$
\left(a^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac{p-1}{2}}+1\right)=a^{p-1}-1 \equiv 0 \quad \bmod p
$$
Dus $p \left\lvert\,\left(a^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 63 | 913 |
2021 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $p>10$ een priemgetal. Bewijs dat er positieve gehele getallen $m$ en $n$ met $m+n<p$ bestaan waarvoor $p$ een deler is van $5^{m} 7^{n}-1$. | We bekijken alle getallen van de vorm $5^{i} 7^{j}$ voor $1 \leq i, j \leq p-1$. Dit zijn $(p-1)^{2}$ getallen. Modulo $p$ nemen deze getallen nooit de waarde 0 aan, want vanwege $p>10$ geldt $p \neq 5,7$. Dus modulo $p$ worden er hooguit $p-1$ verschillende waarden aangenomen. Vanwege het ladenprincipe is er nu een wa... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2021-E2021_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 63 | 1,204 |
2022 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven zijn positieve, reële getallen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ met $n \geq 2$ waarvoor geldt dat $a_{1} a_{2} \cdots a_{n}=1$. Bewijs dat
$$
\left(\frac{a_{1}}{a_{2}}\right)^{n-1}+\left(\frac{a_{2}}{a_{3}}\right)^{n-1}+\ldots+\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right)^{n-1}+\left(\frac{a_{n}}{a_{1}}\right)^{n-1} \geq a_... | We nemen het rekenkundig-meetkundig gemiddelde op $\frac{1}{2} n(n-1)$ termen:
$$
\begin{aligned}
\frac{(n-1)\left(\frac{a_{1}}{a_{2}}\right)^{n-1}+(n-2)\left(\frac{a_{2}}{a_{3}}\right)^{n-1}+\ldots+\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right)^{n-1}}{\frac{1}{2} n(n-1)} & \geq\left(\left(\frac{a_{1}}{a_{2}}\right)^{(n-1)^{2}}\l... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-B2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 202 | 982 |
2022 | T1 | 5 | null | Dutch_TST | Op een vismarkt staan 10 kraampjes die allemaal dezelfde 10 vissoorten verkopen. Alle vissen zijn gevangen in de Noordzee of de Middellandse Zee, en elk kraampje heeft per vissoort maar één zee van afkomst. Een aantal, $k$, klanten koopt van elk kraampje één vis zo dat ze één vis van elke soort hebben. Verder weten we ... | Het antwoord is $2^{10}-10$. Ten eerste merken we op dat er $2^{10}$ mogelijke combinaties zijn voor de afkomsten per vissoort. We gaan laten zien dat er altijd minstens 10 uitzonderingen zijn (mogelijkheden die afvallen) en dat er een marktopzet is waarbij er precies 10 uitzonderingen zijn.
We ordenen zowel de kraamp... | {
"problem_match": "\nOpgave 5.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-B2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 165 | 1,001 |
2022 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Gegeven zijn twee cirkels $\Gamma_{1}$ en $\Gamma_{2}$ met middelpunten $O_{1}$ en $O_{2}$ en gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen $\ell_{1}$ en $\ell_{2}$. De lijn $\ell_{1}$ raakt $\Gamma_{1}$ in $A$ en $\Gamma_{2}$ in $B$. Zij $X$ een punt op het lijnstuk $O_{1} O_{2}$, maar niet op $\Gamma_{1}$ of $\Gamma_{2}$.... | We bekijken de configuratie waarbij $Y$ tussen $A$ en $X$ ligt; andere configuraties gaan analoog. Zij $C$ het raakpunt van $\ell_{2}$ aan $\Gamma_{1}$. Dan is $C$ de spiegeling van $A$ in $O_{1} O_{2}$. Er geldt
$$
\begin{array}{rrr}
\angle O_{1} Y X & =180^{\circ}-\angle O_{1} Y A & \text { (gestrekte hoek) } \\
& =... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-C2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 297 | 575 |
2022 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Voor reële getallen $x$ en $y$ definiëren we $M(x, y)$ als het maximum van de drie getallen $x y,(x-1)(y-1)$ en $x+y-2 x y$. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van $M(x, y)$ over alle reële getallen $x$ en $y$ met $0 \leq x, y \leq 1$. | We laten zien dat de minimale waarde $\frac{4}{9}$ is. Deze waarde kan bereikt worden door $x=y=\frac{2}{3}$ te nemen. Dan geldt $x y=\frac{4}{9},(x-1)(y-1)=\frac{1}{9}$ en $x+y-2 x y=\frac{4}{9}$, dus dan is het maximum inderdaad $\frac{4}{9}$.
Nu gaan we bewijzen dat $M(x, y) \geq \frac{4}{9}$ voor alle $x$ en $y$. ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-C2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 99 | 819 |
2022 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Voor reële getallen $x$ en $y$ definiëren we $M(x, y)$ als het maximum van de drie getallen $x y,(x-1)(y-1)$ en $x+y-2 x y$. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van $M(x, y)$ over alle reële getallen $x$ en $y$ met $0 \leq x, y \leq 1$. | We laten zien dat de minimale waarde $\frac{4}{9}$ is. Net als in de eerste oplossing zien we dat deze waarde bereikt kan worden door $x=y=\frac{2}{3}$ te nemen. Nu gaan we bewijzen dat $M(x, y) \geq \frac{4}{9}$ voor alle $x$ en $y$. Dit doen we in feite door de niveaukrommen te vergelijken waarop de uitdrukkingen $x ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-C2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 99 | 1,047 |
2022 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In een getallenrij $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{1000}$ van 1000 verschillende getallen heet een paar $\left(a_{i}, a_{j}\right)$ met $i<j$ stijgend als $a_{i}<a_{j}$ en dalend als $a_{i}>a_{j}$. Bepaal de grootste positieve gehele $k$ met de eigenschap dat in elke rij van 1000 verschillende getallen ten minste $k$ niet-ov... | We gaan bewijzen dat de grootste $k$ gelijk aan 333 is. Bekijk ten eerste de rij $1000,999,998, \ldots, 669,668,1,2,3, \ldots, 666,667$. De eerste 333 getallen in de rij zijn niet bruikbaar in een stijgend paar, omdat voor elk van deze getallen geldt dat links van dit getal alleen maar grotere getallen staan en rechts ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-C2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 151 | 1,071 |
2022 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | In een scherphoekige driehoek $A B C$ geldt $|A B|>|C A|>|B C|$. De punten $D, E$ en $F$ zijn de voetpunten van de hoogtelijnen vanuit respectievelijk $A, B$ en $C$. De lijn door $F$ evenwijdig aan $D E$ snijdt $B C$ in $M$. De bissectrice van $\angle M F E$ snijdt $D E$ in $N$. Bewijs dat $F$ het middelpunt van de omg... | Vanwege de lengte-eis in de opgave ligt de configuratie vast: $M$ ligt op de halfrechte $C B$ voorbij $B$, en $N$ ligt op de halfrechte $E D$ voorbij $D$. Zie de figuur. Noem $\alpha=\angle B A C$ en $\beta=\angle A B C$. Noem verder $H$ het hoogtepunt van de driehoek (oftewel het snijpunt
van $A D, B E$ en $C F)$. Weg... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-D2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 180 | 1,186 |
2022 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal. Voor een reëel getal $x \geq 1$ geldt dat $\left\lfloor x^{n+1}\right\rfloor$, $\left\lfloor x^{n+2}\right\rfloor, \ldots,\left\lfloor x^{4 n}\right\rfloor$ allemaal kwadraten van positieve gehele getallen zijn. Bewijs dat $\lfloor x\rfloor$ ook het kwadraat van een positief geheel ge... | We bewijzen dit eerst voor $n=1$. Schrijf $x=a+r$, met $a \geq 1$ geheel en $0 \leq r<1$. Stel $\left\lfloor x^{2}\right\rfloor$, $\left\lfloor x^{3}\right\rfloor$ en $\left\lfloor x^{4}\right\rfloor$ zijn kwadraten. Er geldt dus $a \leq x<a+1$, waaruit volgt dat $a^{2} \leq x^{2}<(a+1)^{2}$. Daarmee hebben we $x^{2}$ ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-D2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 154 | 883 |
2022 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Aan het plafond van een kamer hangen 15 lampen, genummerd van 1 tot en met 15. In het begin zijn de lampen allemaal uit. In een andere kamer zijn 15 schakelaars: een schakelaar voor lamp 1 en 2 , een schakelaar voor lamp 2 en 3 , een schakelaar voor lamp 3 en 4, enzovoorts, tot en met een schakelaar voor lamp 15 en 1. ... | Met drie keer lopen kan Raymond het nooit met zekerheid weten. Immers, als je voor elke schakelaar noteert of hij in de drie rondes in de beginstand of juist de omgezette stand staat, dan kun je $2^{3}=8$ verschillende patronen krijgen. Er zijn echter 15 schakelaars, dus er zijn meerdere schakelaars met hetzelfde patro... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-D2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 306 | 1,131 |
2022 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Bepaal alle positieve gehele getallen $d$ waarvoor er een $k \geq 3$ bestaat zodat je de getallen $d, 2 d, 3 d, \ldots, k d$ op een rij kan zetten op zo'n manier dat voor elk tweetal buurgetallen geldt dat de som van die twee getallen een kwadraat is. | Voor $d=1$ nemen we $k=15$ en de rij
$$
8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9
$$
Twee buurgetallen in deze rij zijn samen altijd 9 , 16 of 25 . Voor $d>1$ een kwadraat nemen we ook $k=15$ en dezelfde rij als hierboven, maar dan met alle getallen vermenigvuldigd met $d$. Twee buurgetallen in die rij zijn dan altijd $9 d... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-D2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 90 | 686 |
2022 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Vind alle viertallen $(a, b, c, d)$ van niet-negatieve gehele getallen zodat $a b=$ $2(1+c d)$ en er een niet-ontaarde driehoek bestaat met zijden van lengte $a-c, b-d$ en $c+d$. | Er geldt $a>c$ en $b>d$ omdat $a-c$ en $b-d$ zijden van een driehoek moeten zijn. Dus $a \geq c+1$ en $b \geq d+1$, aangezien het om gehele getallen gaat. We onderscheiden nu twee gevallen: $a>2 c$ en $a \leq 2 c$.
Stel dat $a>2 c$ geldt. Dan is $a b>2 b c \geq 2 c \cdot(d+1)=2 c d+2 c$. Anderzijds is $a b=2+2 c d$, d... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 71 | 525 |
2022 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $n>1$ een geheel getal. Op een rij staan $n$ dozen, en we hebben $n+1$ identieke stenen. Een verdeling is een manier om de stenen over de dozen te verdelen, waarbij elke steen in precies één doos zit. We zeggen dat twee van zulke verdelingen zich op een steenworp afstand van elkaar bevinden als we de ene verdeling ... | We tellen het aantal, $N_{k}$, verdelingen dat precies $k$ lege dozen bevat met $0 \leq k \leq n-1$ (aangezien niet alle dozen leeg kunnen zijn). Er zijn $\binom{n}{k}$ manieren om de lege dozen te kiezen en wegens het paaseierenprincipe $\binom{(k+1)+(n-k)-1}{k+1}=\binom{n}{k+1}$ manieren om de overige $n-k$ dozen te ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 288 | 538 |
2022 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $n>1$ een geheel getal. Op een rij staan $n$ dozen, en we hebben $n+1$ identieke stenen. Een verdeling is een manier om de stenen over de dozen te verdelen, waarbij elke steen in precies één doos zit. We zeggen dat twee van zulke verdelingen zich op een steenworp afstand van elkaar bevinden als we de ene verdeling ... | Zij $V$ het totale aantal verdelingen en zij $E$ het aantal (geordende) paren verdelingen $(a, b)$ waarvan $a$ en $b$ buren zijn. Wegens het paaseierenprincipe weten we dat $V=\binom{(n+1)+n-1}{n+1}=\binom{2 n}{n+1}$.
Neem nu een paar buren $(a, b)$ en stel dat $b$ verkregen kan worden uit $a$ door een steen van doos ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 288 | 514 |
2022 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $n>1$ een geheel getal. Op een rij staan $n$ dozen, en we hebben $n+1$ identieke stenen. Een verdeling is een manier om de stenen over de dozen te verdelen, waarbij elke steen in precies één doos zit. We zeggen dat twee van zulke verdelingen zich op een steenworp afstand van elkaar bevinden als we de ene verdeling ... | Net als in de eerste oplossing rekenen we uit dat er voor elke $0 \leq k \leq n-1$ precies $N_{k}=\binom{n}{k} \cdot\binom{n}{k+1}$ verdelingen zijn met gezelligheid $(n-k)(n-1)$. Om de totale gezelligheid uit te rekenen, bewijzen we dat
$$
\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}(n-k)\binom{n}{k+1}=n\binom{2 n-1}{n}
$$
De recht... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 288 | 552 |
2022 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij $n>1$ een geheel getal. Op een rij staan $n$ dozen, en we hebben $n+1$ identieke stenen. Een verdeling is een manier om de stenen over de dozen te verdelen, waarbij elke steen in precies één doos zit. We zeggen dat twee van zulke verdelingen zich op een steenworp afstand van elkaar bevinden als we de ene verdeling ... | Definieer $f(a)$ als het aantal niet-lege dozen in een verdeling $a$. Net als in de andere oplossingen geeft elke niet-lege doos $i$ van $a$ geeft precies $n-1$ buren van $a$, namelijk door een een steen van $i$ naar een willekeurige andere doos te gooien. Dus de gemiddelde gezelligheid is gelijk aan $n-1$ maal de gemi... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing IV."
} | 288 | 587 |
2022 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor er een geheel getal $a>2$ bestaat zo dat $a^{d}+2^{d} \mid a^{n}-2^{n}$ voor alle positieve delers $d \neq n$ van $n$. | Antwoord: $n$ is priem of een tweemacht (incl. $n=1$ ).
Inderdaad, als $n$ een oneven priemgetal is, dan is de enige deler $d=1$. Kies $a=2^{k}-2$ met $3 \leq k \leq n+1$, bijvoorbeeld $a=6$. Dan moeten we controleren dat $2^{k}-2+2=2^{k}$ een deler is $\left(2^{k}-2\right)^{n}-2^{n}$. Dit is het verschil tussen twee t... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 64 | 956 |
2022 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een driehoek met een rechte hoek in $C$ en $|A C|>|B C|$, zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel en zij $H$ de projectie van $C$ op het lijnstuk $A B$. De ingeschreven cirkel $\omega$ van $\triangle A B C$ raakt de zijden $B C, C A$ en $A B$ in respectievelijk de punten $A_{1}, B_{1}$ e... | Merk op dat de lijnstukken $B C_{1}$ en $B A_{1}$ even lang zijn omdat het raaklijnen zijn vanuit $B$ aan de zelfde cirkel $\omega$. Dat betekent dat $\triangle A_{1} B C_{1}$ een gelijkbenige driehoek is met tophoek $B$. Omdat de bissectrice en hoogtelijn in een gelijkbenige driehoek samenvallen, staat de bissectrice ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "# Oplossing I."
} | 267 | 966 |
2022 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een driehoek met een rechte hoek in $C$ en $|A C|>|B C|$, zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel en zij $H$ de projectie van $C$ op het lijnstuk $A B$. De ingeschreven cirkel $\omega$ van $\triangle A B C$ raakt de zijden $B C, C A$ en $A B$ in respectievelijk de punten $A_{1}, B_{1}$ e... | Je kan $X$ op verschillende manieren invoeren en het bewijs afmaken. Merk op dat $C H$ lijnstuk $A_{1} C_{1}$ inwendig snijdt wegens $|B C|<|A C|$. Dus $E K$ snijdt koorde $A_{1} C_{1}$ van $\omega$ ook inwendig, omdat $E K$ het spiegelbeeld is van $C H$. Definieer $X$ nu bijvoorbeeld als het snijpunt van $E K$ en $\om... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2022-E2022_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 267 | 561 |
2023 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 1$ een geheel getal. Ruben maakt een toets met $n$ vragen. Elke vraag op deze toets is een ander aantal punten waard. De eerste vraag is 1 punt waard, de tweede vraag 2 , de derde 3 en zo door tot en met de laatste vraag die $n$ punten waard is. Elke vraag is goed of fout. Voor een vraag krijgt hij dus óf g... | Ten overvloede merken we op dat $f(1)=0, f(2)=f(3)=f(4)=1$, $f(5)=f(6)=2, f(7)=f(8)=3, f(9)=f(10)=5$. Vanaf dat moment is $f(n)$ strikt stijgend als functie van $n$. Er zijn dus slechts een eindig aantal van de gezochte paren.
Zij $S_{n}$ een verzameling van goede antwoorden, gezien als deelverzameling van $\{1,2, \ld... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-B2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 194 | 649 |
2023 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor geldt dat
$$
f(a-b) f(c-d)+f(a-d) f(b-c) \leq(a-c) f(b-d)
$$
voor alle reële getallen $a, b, c$ en $d$.
N.B. rechts van het ongelijkheidsteken staat dus maar één $f$. | De oplossingen zijn $f(x)=0$ voor alle $x$ en $f(x)=x$ voor alle $x$. Voor $f(x)=0$ vinden we eenvoudig dat altijd gelijkheid geldt. Voor $f(x)=x$ controleren we dat
$$
\begin{aligned}
(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c) & =a c-a d-b c+b d+a b-a c-b d+c d \\
& =-a d-b c+a b+c d \\
& =(a-c)(b-d),
\end{aligned}
$$
dus ook in dat gev... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-B2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 96 | 668 |
2023 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | We spelen een spelletje stoelendans met $n$ stoelen genummerd 1 tot en met $n$. Je hangt $n$ blaadjes, genummerd 1 tot en met $n$, op de stoelen zodanig dat het nummer op een blaadje niet overeenkomt met het nummer op de stoel.
Op elke stoel zit een speler. Wanneer je klapt, kijkt elke speler naar het nummer op het bl... | Als $m=n$, dan kan je op stoel $i$ het blaadje ophangen met nummer $i+1$. Iedereen schuift dan elke klap een stoel op en de eerste keer dat iemand weer op zijn eigen stoel zit is na $n$ klappen. En dan zit ook iedereen weer op zijn eigen stoel. Stel nu dat $m<n$.
Aangezien $m$ geen priemmacht is kunnen we $m$ schrijve... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-B2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 195 | 728 |
2023 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | In een driehoek $\triangle A B C$ met $\angle A B C<\angle B C A$ definiëren we $K$ als het middelpunt van de aangeschreven cirkel aan $A C$. De lijnen $A K$ en $B C$ snijden in een punt $D$. Laat $E$ het middelpunt zijn van de omgeschreven cirkel van $\triangle B K C$. Bewijs dat
$$
\frac{1}{|K A|}=\frac{1}{|K D|}+\f... | We gebruiken de notatie $\angle C A B=2 \alpha, \angle A B C=2 \beta$ en $\angle B C A=2 \gamma$. Merk op dat $\alpha+\beta+\gamma=\frac{1}{2}(\angle C A B+\angle A B C+\angle B C A)=\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}=90^{\circ}$.
We bewijzen eerst dat $K, A$ en $E$ collineair zijn. Omdat $K$ op de binnenbissectrice van $\... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-B2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 211 | 921 |
2023 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Bepaal het grootste reële getal $M$ zodanig dat voor elke oneindige rij $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots$ van reële getallen die voldoet aan
a) $x_{0}=1$ en $x_{1}=3$,
b) $x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n-1} \geq 3 x_{n}-x_{n+1}$,
geldt dat
$$
\frac{x_{n+1}}{x_{n}}>M
$$
voor alle $n \geq 0$. | Antwoord: de grootst mogelijke constante waarvoor dit geldt is $M=2$.
Deze opgave is een typisch voorbeeld waarbij het baat om een sterkere inductiehypothese te nemen dan je strikt nodig hebt: we laten met inductie zien dat $x_{n+1}>2 x_{n}>x_{n}+x_{n-1}+$ $\ldots+x_{0}$. Voor $n=0$ staat hier dat $x_{1}>2 x_{0}>x_{0}$... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-C2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 143 | 979 |
2023 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor er $n$ verschillende natuurlijke getallen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ bestaan, geen van alle groter dan $n^{2}$, zo dat de som
$$
\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=1 .
$$ | Het antwoord is alle $n \neq 2$. Voor $n=1$, werkt de verzameling $\{1\}$. Voor $n=2$, voldoet geen enkele verzameling. Als $a_{1}$ of $a_{2}$ gelijk is aan 1 , dan is $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}>1$. Als $a_{1}$ en $a_{2}$ allebei minstens twee zijn, dan is de één minstens 2 en de ander minstens 3. Dus $\frac{1}{a... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-C2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 98 | 904 |
2023 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor er $n$ verschillende natuurlijke getallen $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ bestaan, geen van alle groter dan $n^{2}$, zo dat de som
$$
\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=1 .
$$ | We geven een alternatieve oplossing voor het geval dat $n$ te schrijven is als $k(k+1)$. Als eerste merken we op dat $k(k+1)$ even is. Dus we kunnen de breuken
$\frac{1}{n}+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{2}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1) / 2}$ samennemen. Tegelijkertijd splitsen we $\frac{1}{6}=\frac{1}{8}+\frac{1}{24}$. Merk op dat ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-C2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 98 | 945 |
2023 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven een natuurlijk getal $n$ definiëren we $\tau(n)$ als het aantal natuurlijke getallen dat $n$ deelt, en definiëren we $\sigma(n)$ als de som van deze delers. Vind alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor geldt dat
$$
\sigma(n)=\tau(n) \cdot\lceil\sqrt{n}\rceil .
$$
Voor een reëel getal $x$ bedoelen we met de not... | Antwoord: dit geldt alleen voor 1, 3, 5, 6 .
Voor deze vier gevallen geldt inderdaad respectievelijk dat $1=1 \cdot 1,4=2 \cdot\lceil\sqrt{3}\rceil, 6=2 \cdot\lceil\sqrt{5}\rceil$ en $12=4 \cdot\lceil\sqrt{6}\rceil$. Vanaf nu nemen we aan dat $n \neq 1$.
Als $n$ een kwadraat is, dan heeft $n$ een oneven aantal delers ... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-C2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 135 | 1,603 |
2023 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven een natuurlijk getal $n$ definiëren we $\tau(n)$ als het aantal natuurlijke getallen dat $n$ deelt, en definiëren we $\sigma(n)$ als de som van deze delers. Vind alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor geldt dat
$$
\sigma(n)=\tau(n) \cdot\lceil\sqrt{n}\rceil .
$$
Voor een reëel getal $x$ bedoelen we met de not... | Het geval dat $n$ geen kwadraat is kunnen we ook als volgt aanpakken. In plaats van het laatste paar $(1, n)$ af te schatten voor $n \geq 8$, kunnen we het herschikkingsargument ook herhaaldelijk toepassen in vergelijking met het vorige paar (gezien vanuit het midden): $d_{k-i}+d_{k+1+i}>d_{k-i+1}+d_{k+i}$. Hieruit vol... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-C2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 135 | 1,459 |
2023 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij $n$ een positief geheel getal. Bewijs dat de getallen
$$
1^{1}, 3^{3}, 5^{5}, \ldots,\left(2^{n}-1\right)^{2^{n}-1}
$$
in verschillende restklassen zitten modulo $2^{n}$. | We bewijzen het gevraagde met inductie. Voor $n=1$ kijken we enkel naar het getal $1^{1}$, dus is het gevraagde triviaal waar.
Stel nu als inductiehypothese dat $1^{1}, 3^{3}, 5^{5}, \ldots,\left(2^{n}-1\right)^{2^{n}-1}$ in verschillende restklassen zitten modulo $2^{n}$. Ten eerste zitten deze getallen dan ook in ve... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-D2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 75 | 1,099 |
2023 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Gegeven is een driehoek $A B C$ en een punt $D$ op het lijnstuk $A C$. Zij $M$ het midden van $C D$ en zij $\Omega$ de cirkel door $B$ en $D$ die raakt aan $A B$. Zij $E$ het punt zodat $\triangle M D B \sim \triangle M B E$ en zodat $D$ en $E$ aan weerszijden van de lijn $M B$ liggen.
Toon aan dat $E$ op $\Omega$ lig... | Zij $H$ het tweede snijpunt van $C D$ met $\Omega$. Dan geldt vanwege de raaklijnomtrekhoekstelling dat $\angle A B D=\angle B H D$.
Als $\angle A B D=\angle M B C$, geldt er dus dat $\angle M B C=\angle B H D=\angle B H M$, waaruit met hh volgt dat $\triangle M B C \sim \triangle M H B$. Daaruit volgt dat
$$
\frac{|... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-D2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 219 | 593 |
2023 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind de kleinst mogelijke waarde van
$$
x y+y z+z x+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z},
$$
voor positieve reële getallen $x, y$ en $z$. | Antwoord: de kleinst mogelijke waarde is $3 \sqrt[3]{36}$.
Met de ongelijkheid van het rekenkundig-meetkundig gemiddelde vinden we
$$
\begin{aligned}
x y+\frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y} & \geq 3 \sqrt[3]{x y \frac{1}{3 x} \frac{1}{2 y}}=3 \sqrt[3]{\frac{1}{6}} \\
y z+\frac{3}{2 y}+\frac{3}{z} & \geq 3 \sqrt[3]{y z \frac{3... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-D2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 58 | 1,531 |
2023 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $n \geq 3$ een vast natuurlijk getal. Er zijn $n$ dozen $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$, elk met een aantal stenen erin $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ zo dat $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n$. Een zet bestaat uit de volgende handelingen:
kies een doos en verdeel alle stenen in de doos over de $n$ dozen (inclusief de geko... | Antwoord: $M=3 n-4$ en $f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=3 n-4$ dan en slechts dan als $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}=3$.
Allereerst merken we op dat er voor elke verdeling een zet bestaat zo dat $\max \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ minstens een omhoog gaat, tenzij alle stenen in één doos zitten. Inderdaad, ki... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-D2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 448 | 1,919 |
2023 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Vind alle priemgetallen $p$ waarvoor het natuurlijke getal
$$
3^{p}+4^{p}+5^{p}+9^{p}-98
$$
hoogstens 6 positieve delers heeft.
Opmerking. Je mag gebruiken dat 9049 een priemgetal is. | Antwoord: de enige priemgetallen waarvoor dit geldt zijn 2, 3 en 5.
We schrijven $f(p)=3^{p}+4^{p}+5^{p}+9^{p}-98$. Dan berekenen we de priemfactorisaties $f(2)=3 \cdot 11, f(3)=7 \cdot 11^{2}$ en $f(5)=7 \cdot 9049$. Die hebben dus respectievelijk 4,6 en 4 delers. Het aantal delers van $p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \cd... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-E2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 77 | 1,195 |
2023 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Elke scholier in Nederland krijgt een eindig aantal kaartjes. Op elk kaartje staat een reël getal in het interval $[0,1]$. (De getallen op verschillende kaartjes hoeven niet verschillend te zijn.) Vind het kleinste reële getal $c>0$ waarvoor het volgende geldt, onafhankelijk van de getallen op de kaartjes die iedereen ... | Stel dat een van de scholieren 1001 kaartjes heeft gekregen met elk het getal $\frac{1000}{1001}$. Aangezien de som van de kaartjes 1000 is, moet deze scholier de kaartjes over de 100 dozen kunnen verdelen. Wegens het ladenprincipe is er minstens een doos met 11 kaartjes. De som van deze 11 kaartjes is $11 \cdot \frac{... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-E2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 165 | 927 |
2023 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een gelijkbenige driehoek met $|A B|=|A C|$. Gegeven is een punt $P$ in $\triangle A B C$ ongelijk aan het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zij $\omega$ de cirkel door $C$ met middelpunt $P$. Gegeven is dat de cirkel $\omega$ de lijnstukken $B C$ en $A C$ een tweede keer snijdt in respectiev... | Omdat $|F P|=|P E|$ zijn de hoeken op deze koorden van $\Gamma$ ook gelijk: $\angle F A P=\angle P A E=\angle P A C$. Dan vinden we met behulp van koordenvierhoek $A E P F$ dat $\angle P F A=180^{\circ}-\angle P E A=\angle P E C$. Dus met hoekensom volgt
$$
\begin{aligned}
\angle A P F & =180^{\circ}-\angle P F A-\ang... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-E2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 271 | 518 |
2023 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een gelijkbenige driehoek met $|A B|=|A C|$. Gegeven is een punt $P$ in $\triangle A B C$ ongelijk aan het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zij $\omega$ de cirkel door $C$ met middelpunt $P$. Gegeven is dat de cirkel $\omega$ de lijnstukken $B C$ en $A C$ een tweede keer snijdt in respectiev... | Zij $G$ het snijpunt van $D P$ en $A B$. Wegens de gelijkbenigheid en dat $P$ het middelpunt is van $\omega$ geldt dat
$$
\begin{aligned}
\angle G A E & =\angle B A C \\
& =180^{\circ}-2 \angle A C B \\
& =180^{\circ}-2 \angle E C D \\
& =180^{\circ}-\angle E P D \\
& =180^{\circ}-\angle E P G .
\end{aligned}
$$
Dus ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-E2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 271 | 518 |
2023 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}$ zodanig dat
$$
f(x)+f(y)=\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y))
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{Q}^{+}$. | Antwoord: de enige functie die voldoet is $f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}$. Deze functie voldoet inderdaad want
$$
\begin{aligned}
\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y)) & =\left((x+y)-\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}\right)\left(1-x y+x y-\frac{1}{x y}\right) \\
& =(x+y)\left(1-\frac{1}{x y}\ri... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2023-E2023_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 82 | 3,167 |
2024 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | We definiëren een rij met $a_{1}=850$ en
$$
a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}-1}
$$
voor $n \geq 1$. Bepaal alle waarden van $n$ waarvoor geldt dat $\left\lfloor a_{n}\right\rfloor=2024$.
Hierbij staat de entier $\lfloor a\rfloor$ van een reëel getal a voor het grootste gehele getal kleiner of gelijk aan a. | Antwoord: de enige waarde die voldoet is $n=1175$.
Als eerst merken we op dat we de recursie kunnen herschrijven als
$$
a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}-1+1}{a_{n}-1}=\frac{a_{n}^{2}-1}{a_{n}-1}+\frac{1}{a_{n}-1}=a_{n}+1+\frac{1}{a_{n}-1} .
$$
Omdat het verschil van $a_{n+1}-a_{n}>1$, is er hoogstens één waarde van $n$ die vo... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-B2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 1."
} | 129 | 692 |
2024 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | We definiëren een rij met $a_{1}=850$ en
$$
a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}-1}
$$
voor $n \geq 1$. Bepaal alle waarden van $n$ waarvoor geldt dat $\left\lfloor a_{n}\right\rfloor=2024$.
Hierbij staat de entier $\lfloor a\rfloor$ van een reëel getal a voor het grootste gehele getal kleiner of gelijk aan a. | In oplossing 1 hebben we groepjes van opvolgende breuken afgeschat op de grootste breuk in elk groepje. Naast andere groepjes kunnen we het ook anders aanpakken door paren breuken te maken vanuit het midden. Dan is de som van elk paar breuken kleiner dan het paar van de breuken aan de uiteinden. Inderdaad, voor $0<x<11... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-B2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 2."
} | 129 | 539 |
2024 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Vind alle paren $(a, b)$ van positieve gehele getallen zodat $f(x)=x$ de enige functie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is die voldoet aan
$$
f^{a}(x) f^{b}(y)+f^{b}(x) f^{a}(y)=2 x y
$$
voor alle $x, y \in \mathbb{R}$.
Hierin staat $f^{n}(x)$ voor het $n$ keer toepassen van $f$ op $x$, dus $f^{1}(x)=f(x)$ en $... | We gaan bewijzen dat precies alle paren $(a, b)$ met $\operatorname{ggd}(a, b)=1$ en met $a+b$ oneven voldoen.
Neem eerst aan dat $\operatorname{ggd}(a, b)=n \neq 1$. Bekijk de functie
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{lll}
x+1 & \text { als }\lfloor x\rfloor \not \equiv 0 & \bmod n \\
x+1-n & \text { als }\lfloor x\rfloo... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-B2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 1."
} | 165 | 1,559 |
2024 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | We hebben een $n \times n$-bord met $n \geq 3$ waarvan elk vakje afzonderlijk wit of zwart gekleurd kan worden. Elke zet veranderen we de kleur van vijf gekozen vakjes in het pentomino patroon
... | Antwoord: dit kan precies als $n$ deelbaar is door 2 of 3 , met uizondering van 3 zelf.
We laten eerst zien dat voor $n=3$ de herkleuring niet mogelijk is. We beschouwen de vakjes $A, B$ en $M$ in het volgende figuur.
| | $B$ | |
| :---: | :---: | :---: |
| $A$ | $M$ | |
| | | |
Dan bevat elke pentomino vakje $M$ en... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-B2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 189 | 716 |
2024 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Voor een positief geheel getal $n$ definieren we $\alpha(n)$ als het gemiddelde van alle positieve delers van $n$, en $\beta(n)$ als het gemiddelde van alle positieve gehele getallen $k \leq n$ zodat $\operatorname{ggd}(k, n)=1$.
Vind alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor geldt dat $\alpha(n)=\beta(n)$. | Antwoord: $n=1$ en $n=6$.
We merken eerst op dat $n=1$ voldoet.
We bewijzen nu dat $\beta(n)=\frac{n}{2}$ voor $n \geq 2$. Er geldt namelijk $\operatorname{ggd}(k, n)=\operatorname{ggd}(k-n, n)=$ $\operatorname{ggd}(n-k, n)$, dus $\operatorname{ggd}(k, n)=1$ dan en slechts dan als $\operatorname{ggd}(n-k, n)=1$. Dit l... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-C2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 106 | 992 |
2024 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan
$$
2 x^{3} z f(z)+y f(y) \geq 3 y z^{2} f(x)
$$
voor alle $x, y, z \in \mathbb{R}_{\geq 0}$. | Antwoord: alle functies van de vorm $f_{c, d}(x)=\left\{\begin{array}{ll}c x^{2} & \text { als } x>0 \\ d & \text { als } x=0\end{array}\right.$ met $c \geq 0$ en $d \leq 0$.
Invullen van $x=0$ en $y=1$ levert $f(1) \geq 3 f(0) z^{2}$ voor alle $z \geq 0$. Als $f(0)>0$, dan is de rechterkant van deze ongelijkheid onbe... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-C2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 87 | 969 |
2024 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Speler Zero en speler One spelen een spel op een $n \times n$-bord $(n \geq 1)$. De kolommen van dit $n \times n$-bord zijn genummerd met tweemachten, dus we hebben kolom 1 , kolom 2, kolom 4 tot en met kolom $2^{n-1}$. Om en om zetten de spelers hun eigen getal (dus Zero een 0 en One een 1) in één van de lege vakjes. ... | Speler Zero heeft de volgende tactiek: zet geen 0 in de eerste twee kolommen tenzij je niets anders meer kan doen. Zet in dat geval een 0 in een rij waarbij het andere vakje van de eerste twee vakjes al een 1 bevat, indien mogelijk. Als zo'n vakje niet bestaat zet je hem in een rij, die nog geen 0 in de eerste twee vak... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-C2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 2."
} | 903 | 1,530 |
2024 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een scherphoekige driehoek zodanig dat $|A B|<|A C|$ met omgeschreven cirkel $\Gamma$ met middelpunt $O$. De punten $D, E$ en $F$ worden geconstrueerd als de voetpunten van de hoogtelijnen vanuit resp. $A, B$ en $C$. Het snijpunt van de raaklijnen aan $\Gamma$ door $B$ en $C$ noemen we $P$. De lij... | Aangezien $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel is, rekenen we uit dat
$$
\begin{aligned}
\angle B A O & =\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A O B\right) \\
& =90^{\circ}-\angle A C B \\
& =90^{\circ}-\angle E F A \\
& =\angle F A R,
\end{aligned}
$$
waar we ook hebben gebruikt dat $B C E F$ een koordenvierh... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-C2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 1."
} | 270 | 683 |
2024 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Zij $\triangle A B C$ een scherphoekige driehoek zodanig dat $|A B|<|A C|$ met omgeschreven cirkel $\Gamma$ met middelpunt $O$. De punten $D, E$ en $F$ worden geconstrueerd als de voetpunten van de hoogtelijnen vanuit resp. $A, B$ en $C$. Het snijpunt van de raaklijnen aan $\Gamma$ door $B$ en $C$ noemen we $P$. De lij... | Net als in oplossing 1 geldt dat $A, R$ en $O$ collineair zijn. We gaan weer bewijzen dat $\frac{|A R|}{|A D|}=\frac{|A O|}{|A Q|}$.
Wegens de koordenvierhoek $B C E F$ geldt dat $\triangle A E F \sim \triangle A B C$. Onder deze gelijkvormigheid gaat de hoogtelijn $A R$ over in de hoogtelijn $A D$. Noem $M$ het midde... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-C2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 2."
} | 270 | 588 |
2024 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij gegeven driehoek $\triangle A B C$ met hoogtepunt $H$, en omgeschreven cirkel $\Gamma$. Zij verder $D$ de spiegeling van $A$ in $B$, en zij $E$ de spiegeling van $A$ in $C$. Het midden van lijnstuk $D E$ noemen we $M$.
Bewijs dat de raaklijn aan $\Gamma$ in $A$ loodrecht staat op $H M$.
, dus de loodlijn vanuit $A$ op $B C$ staat ook loodrecht op $D E$. Zij $F$ het voetpunt van $A$ op $D E$, en $H^{\prime}$ het hoogtepunt van driehoek $A D E$, dan weten we dus dat $A, H$, $H^{\prime}$ en $F$ collinear zijn... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-D2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 3."
} | 186 | 1,081 |
2024 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Zij gegeven driehoek $\triangle A B C$ met hoogtepunt $H$, en omgeschreven cirkel $\Gamma$. Zij verder $D$ de spiegeling van $A$ in $B$, en zij $E$ de spiegeling van $A$ in $C$. Het midden van lijnstuk $D E$ noemen we $M$.
Bewijs dat de raaklijn aan $\Gamma$ in $A$ loodrecht staat op $H M$.
, dan hebben we een driehoek $\triangle X Y M$, met middendriehoek $\... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-D2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 4."
} | 186 | 588 |
2024 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ zo dat voor alle positieve gehele getallen $m$, $n$ en $a$ geldt dat
a) $f(f(m) f(n))=m n$,
b) $f(2024 a+1)=2024 a+1$. | Als we $a=0$ zouden mogen invullen, vinden we $f(1)=1$. Met $n=1$ krijgen we dan $f(f(m))=m$, dus $f$ is bijectief. Helaas mogen we $a=0$ niet invullen, maar het zet ons wel op het goede spoor.
We beginnen met invullen van $n=1$. Dit geeft dat $f(f(m) f(1))=m$, wat betekent dat $f$ bijectief is. Inderdaad, als $f(m)=f... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-D2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 1."
} | 89 | 1,362 |
2024 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Vind alle functies $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ zo dat voor alle positieve gehele getallen $m$, $n$ en $a$ geldt dat
a) $f(f(m) f(n))=m n$,
b) $f(2024 a+1)=2024 a+1$. | We bewijzen eerst dat $f$ injectief is. Stel dat $f(k)=f(\ell)$. Dan volgt uit a) dat
$$
k=f(f(k) f(1))=f(f(\ell) f(1))=\ell
$$
Dus $f$ is injectief. Nu geldt wegens b) met $a=1$ dat
$$
f(2025 f(1))=f(f(2025) f(1))=2025=f(2025)
$$
Dus wegens injectiviteit geldt $2025 f(1)=2025$, oftewel $f(1)=1$.
Nu geldt
$$
f(f(m... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-D2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 2."
} | 89 | 556 |
2024 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Gegeven zijn reële getallen $a, b$ en $c$ waarvoor geldt dat $0 \leq a \leq b \leq c$ en $a+b+c=1$. Bewijs dat
$$
a b \sqrt{b-a}+b c \sqrt{c-b}+a c \sqrt{c-a}<\frac{1}{4}
$$ | Voor elke $x \leq y$ hebben we wegens de rekenkundig-meetkundig gemiddelde ongelijkheid dat $\sqrt{y-x} \leq \frac{y-x+1}{2}$ met gelijkheid dan en slechts dan als $y-x=1$. Verder merken we op dat $1-a=b+c$ en de symmetrische varianten, omdat $a+b+c=1$. Als we dit toepassen op de wortels aan de linkerkant krijgen we
$... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-D2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 86 | 737 |
2024 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven is een natuurlijk getal $n$. Er zijn $n$ eilanden met $n-1$ bruggen ertussen zo dat je van elk eiland bij elk ander eiland kan komen. Op een middag breekt er brand uit op een van de eilanden. Elke morgen verspreidt het vuur zich naar alle naburige eilanden (die eilanden die met een brug zijn verbonden). Om het ... | Het antwoord is $\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor$.
Voor $n=k^{2}+1$ beschouwen we de eilandengroep met $k^{2}$ eilanden in een $k \times k$-grid, waarin de eilanden per rij verbonden worden en alle eilanden in de meest linker kolom nog met het laatste eiland worden verbonden, waar ook de brand start. Dan zijn er na $\ell<k$ n... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-D2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 191 | 925 |
2024 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Op een $2023 \times 2023$ bord staan er op sommige vakjes een kever, met hoogstens één kever per vakje. Na een minuut gaat elke kever een vakje naar links of rechts, of een vakje naar boven of beneden. Na elke volgende minuut gaat elke kever weer een vakje verder, maar ze maken altijd een bocht van 90 graden. Als een k... | Het antwoord is $2022^{2}+1$.
Eerst laten we zien dat $2022^{2}$ inderdaad onvoldoende is. Hiervoor delen we een $2022 \times 2022$ deelbord op in $2 \times 2$ bordjes. In elk zo'n bordje kunnen we vier kevers plaatsen zodanig dat ze in een met de klok mee een cirkeltje (vierkantje) lopen.
Stel nu dat we meer dan $202... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-E2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 214 | 684 |
2024 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $P(x)$ een polynoom met gehele coëfficienten van graad $n>1$ waarvoor geldt dat $Q(x)=P(P(P(x)))-P(x)$ precies $n^{3}$ verschillende reële nulpunten heeft. Bewijs dat de nulpunten $\operatorname{van} Q(x)$ in twee groepen verdeeld kunnen worden waarvan het rekenkundig gemiddelde hetzelfde is. | We schrijven $\gamma_{i}$ met $1 \leq i \leq n^{3}$ voor de verschillende wortels zijn van $Q(x)$. Dat betekent dat $P\left(P\left(P\left(\gamma_{i}\right)\right)\right)-P\left(\gamma_{i}\right)=0$, dus $P\left(\gamma_{i}\right)$ is een nulpunt van het polynoom $P(P(x))-x$. De graad van $P(P(x))-x$ is $n^{2}$, dus dit ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-E2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 1."
} | 106 | 666 |
2024 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Zij $P(x)$ een polynoom met gehele coëfficienten van graad $n>1$ waarvoor geldt dat $Q(x)=P(P(P(x)))-P(x)$ precies $n^{3}$ verschillende reële nulpunten heeft. Bewijs dat de nulpunten $\operatorname{van} Q(x)$ in twee groepen verdeeld kunnen worden waarvan het rekenkundig gemiddelde hetzelfde is. | We beginnen met een klein lemma: als $K(x)$ en $L(x)$ twee polynomen zijn met gehele coëfficienten zo dat voor alle gehele $x$ geldt dat $K(x) \mid L(x)$ als getallen, dan geldt dat $K(x) \mid L(x)$ als polynomen. Voor het bewijs schrijven we $L(x)=K(x) M(x)+$ $r(x)$ voor polynomen $M(x)$ en $r(x)$ zo dat de graad van ... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-E2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing 2."
} | 106 | 1,207 |
2024 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Initieel staat er een positief geheel getal $N$ op het schoolbord. We vervangen het getal herhaaldelijk aan de hand van de volgende regels:
- vervang het getal op het bord door een positief veelvoud van zichzelf,
- vervang het getal door een getal met dezelfde cijfers in een andere volgorde. (Het is toegestaan dat het... | Antwoord: dit is mogelijk precies als $N \not \equiv 0 \bmod 3$. Inderdaad als 3 wel een deler is $N$, dan is dat na beide stappen nog zo: elk veelvoud van $N$ is deelbaar door 3 , en het verwisselen van de cijfers verandert de som van de cijfers niet.
Nu nemen we aan dat $N \not \equiv 0 \bmod 3$. We gaan nu eerst la... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2024-E2024_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing."
} | 177 | 1,406 |
2025 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij \(n \ge 2\) een geheel getal, en laat \(z_1, \dots, z_n\) positieve gehele getallen zijn die voldoen aan:
- \(z_j \le j\) voor \(j = 1, \dots, n\);
- \(z_1 + \dots + z_n\) is even.
Bewijs dat er \(s_1, \dots, s_n \in \{-1, 1\}\) bestaan zodat:
\[s_1 z_1 + s_2 z_2 + \dots + s_n z_n = 0.\] | We bewijzen dit met tweestapsinductie naar \(n\). Voor \(n = 2\) volgt uit de voorwaarden dat \(z_1 = z_2 = 1\), en dan geldt dus dat \(z_1 - z_2 = 0\). Voor \(n = 3\) volgt uit de voorwaarde dat \((z_1, z_2, z_3)\) gelijk is aan \((1, 1, 2)\), \((1, 2, 1)\) of \((1, 2, 3)\). Daarvoor kiezen we respectievelijk \((s_1, ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2025-B2025_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 142 | 725 |
2025 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij \(n \ge 2\) een geheel getal, en laat \(z_1, \dots, z_n\) positieve gehele getallen zijn die voldoen aan:
- \(z_j \le j\) voor \(j = 1, \dots, n\);
- \(z_1 + \dots + z_n\) is even.
Bewijs dat er \(s_1, \dots, s_n \in \{-1, 1\}\) bestaan zodat:
\[s_1 z_1 + s_2 z_2 + \dots + s_n z_n = 0.\] | We construeren recursief \(s_n, s_{n-1}, \dots, s_1\), op de volgende manier. Om te beginnen kiezen we \(s_n = 1\). Bekijk vervolgens een \(k \in \{2, \dots, n\}\) en stel dat we \(s_k, \dots, s_n\) gekozen hebben. Definieer \(b_k = s_k z_k + \dots + s_n z_n\), en kies:
\[s_{k-1} = \begin{cases} -1 & \text{als } b_k ... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2025-B2025_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 142 | 601 |
2025 | T1 | 2 | null | Dutch_TST | Zij \(n \ge 2\) een geheel getal, en laat \(z_1, \dots, z_n\) positieve gehele getallen zijn die voldoen aan:
- \(z_j \le j\) voor \(j = 1, \dots, n\);
- \(z_1 + \dots + z_n\) is even.
Bewijs dat er \(s_1, \dots, s_n \in \{-1, 1\}\) bestaan zodat:
\[s_1 z_1 + s_2 z_2 + \dots + s_n z_n = 0.\] | We bewijzen de volgende sterkere claim, waaruit de opgave volgt door voor \(m = \frac{1}{2}S\) te kiezen.
**Claim.** Zij \(n\) een positief geheel getal, en laat \(z_1, \dots, z_n\) positieve gehele getallen zo dat \(z_j \le j\) voor \(j = 1, \dots, n\). Zij \(S = z_1 + \dots + z_n\) (niet-noodzakelijk even) en \(0 \... | {
"problem_match": "\nOpgave 2.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2025-B2025_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing III."
} | 142 | 1,296 |
2025 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Een groep van 4050 vrienden speelt een videospel-toernooi. Daarvoor staan er 2025 computers in een zaal gelabeld \(a_1, \dots, a_{2025}\) en 2025 computers in een andere zaal gelabeld \(b_1, \dots, b_{2025}\). De speler op computer \(a_i\) speelt altijd tegen de spelers \(b_i\), \(b_{i+2}\), \(b_{i+3}\) en \(b_{i+4}\) ... | Voor de tegenstandercomputers van \(a_i\) bekijken we tegen welke \(a_j\) zij spelen in de volgende tabel.
<table><tr><td>\(b_i\) :</td><td>\(a_{i-4}\)</td><td>\(a_{i-3}\)</td><td>\(a_{i-2}\)</td><td>\(a_i\)</td></tr></table>
<table><tr><td>\(b_{i+2}\) :</td><td>\(a_{i-2}\)</td><td>\(a_{i-1}\)</td><td>\(a_i\)</td><t... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2025-B2025_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 259 | 832 |
2025 | T1 | 3 | null | Dutch_TST | Een groep van 4050 vrienden speelt een videospel-toernooi. Daarvoor staan er 2025 computers in een zaal gelabeld \(a_1, \dots, a_{2025}\) en 2025 computers in een andere zaal gelabeld \(b_1, \dots, b_{2025}\). De speler op computer \(a_i\) speelt altijd tegen de spelers \(b_i\), \(b_{i+2}\), \(b_{i+3}\) en \(b_{i+4}\) ... | We noemen twee computers *superconnected* als ze twee tegenstandercomputers gemeen hebben. We merken op dat de enige computers superconnected met \(a_i\) de computers \(a_{i-2}\), \(a_{i-1}\), \(a_{i+1}\) en \(a_{i+2}\) zijn. Nu gaan we kijken naar drietallen die superconnected zijn.
- Er zijn twee computers supercon... | {
"problem_match": "\nOpgave 3.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2025-B2025_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing II."
} | 259 | 741 |
2025 | T1 | 4 | null | Dutch_TST | Gegeven is \(\triangle ABC\) met omgeschreven cirkel \(\Gamma\). Zij \(M\) het midden van de boog \(BC\) van \(\Gamma\) waar \(A\) niet op ligt. Het punt \(N\) op \(\Gamma\) is de antipode van \(A\). De lijn door \(B\) loodrecht op \(AM\) snijdt \(AM\) in het punt \(D\) en snijdt \(\Gamma\) een tweede keer in het punt ... | We noteren de helft van de hoek bij \(A\) als \(\alpha = \frac{1}{2} \angle BAC = \angle BAM = \angle MAC\), want \(M\) is het midden van boog \(BC\). Dan merken we op dat \(\angle ABP = \angle ABD = 90^\circ - \angle DAB = 90^\circ - \alpha\) en dat \(\angle EDA = 90^\circ - \angle DAE = 90^\circ - \alpha\). Ook reken... | {
"problem_match": "\nOpgave 4.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2025-B2025_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 240 | 589 |
2025 | T1 | 1 | null | Dutch_TST | Beschouw de rij \(y_0, y_1, \ldots\) met \(y_0 = -\frac{1}{4}\) en \(y_1 = 0\) en die verder voldoet aan
\[y_{n+1} + y_{n-1} = 4y_n + 1\]
voor alle \(n \ge 1\). Bewijs dat voor alle \(n \ge 0\) de uitdrukking \(2y_{2n} + \frac{3}{2}\)
a) een positief geheel getal is en
b) het kwadraat van een geheel getal is. | We maken de substitutie \(x_n = 4y_n + 2\). Dan wordt de vergelijking homogeen:
\[x_{n+1} + x_{n-1} = 4y_{n+1} + 2 + 4y_{n-1} + 2 = 4(4y_n + 1) + 4 = 16y_n + 8 = 4x_n,\]
met beginvoorwaarden \(x_0 = 4(-\frac{1}{4}) + 2 = 1\) en \(x_1 = 4 \cdot 0 + 2 = 2\). Alle getallen in de rij \((x_i)\) zijn dus geheel en we zien... | {
"problem_match": "\nOpgave 1.",
"resource_path": "Dutch_TST/segmented/nl-2025-C2025_uitwerkingen.jsonl",
"solution_match": "\nOplossing I."
} | 149 | 1,056 |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.