data_source stringclasses 1
value | prompt listlengths 1 1 | ability stringclasses 1
value | reward_model dict | extra_info dict | original_index int64 0 102k | difficulty float64 1 10 | topic stringclasses 82
values | difficulty_level stringclasses 3
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\mathcal{H}^{\\oplus n}\\)을 n차원 힐베르트 공간이라 하자. 다음과 같이 선형 연산자 \\(A = [a_{i,j}]: \\mathcal{H}^{\\oplus n} \\to \\mathcal{H}^{\\oplus n}\\)를 정의하자:\n\\[\nA\\begin{bmatrix}\nh_{1}\\\\\n\\vdots\\\\\nh_{n}\n\\end{bmatrix}=\n \\begin{bmatrix}\n\\sum_{k=1}^{n}a_{1k}h_{k}\\\\\n \\vdots\\\\\n\\sum_{k=1}^... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 200,
"split": "train"
} | 200 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{M}{a}x \\big(1-\\exp(-\\frac{x}{a})\\big)^{M-1}\\exp(-\\frac{x}{a})dx \\)를 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "a \\sum_{k=1}^{M} \\frac{1}{k}",
"style": "rule"
} | {
"index": 201,
"split": "train"
} | 201 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\gamma \\)가 꼭짓점이 \\( (0, -1), (3, -1), (3, 1), (0, 1) \\)인 직사각형일 때, 다음 폐곡선 적분을 계산하시오: \\( \\int_{\\gamma}{\\frac{e^{z^{2}}}{z-1}dz} \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2\\pi i e",
"style": "rule"
} | {
"index": 202,
"split": "train"
} | 202 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(y \\in \\mathbb{R}^n \\setminus \\{0_n\\}\\)이고 \\(X \\subset \\mathbb{R}^n\\)가 콤팩트 다면체라고 하자. 모든 \\(\\lambda \\geq \\lambda_0\\)에 대하여 \\(\\lambda y\\)의 \\(X\\)에 대한 사영(projection)이 \\(x_0\\)가 되는 \\((x_0, \\lambda_0) \\in X \\times \\mathbb{R}_+\\)가 존재하는지 판단하고, 그 답을 정당화하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\bo... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 203,
"split": "train"
} | 203 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Vectors | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "두 독립 연속 확률 변수 \\( x \\)와 \\( y \\)가 구간 \\([0,b]\\)에서 균등 분포를 가지며, 결합 확률 밀도 함수가 \\( f(x,y) = \\frac{1}{b^2} \\)일 때, 다음 조각별 함수 \\( u(x,y) \\)의 기댓값을 구하세요:\n\n\\[\nu(x,y) = \\begin{cases} \n0 & \\text{if } x,y < b/2 \\\\ \nb/2 & \\text{if } (y < b/2 \\text{ and } x > b/2) \\text{ or } (x < b/2 \\text{ ... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{5b}{12}",
"style": "rule"
} | {
"index": 204,
"split": "train"
} | 204 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "급수 \\( \\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{\\sin(\\frac{\\pi}{n})}{n^p} \\)가 수렴하는 \\( p \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "p > 0",
"style": "rule"
} | {
"index": 205,
"split": "train"
} | 205 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "구간 \\([0, 10]\\)에서 정의된 함수 \\( f(x) = x \\)의 대칭 감소 재배열(symmetric-decreasing rearrangement)을 계산하세요. 단, 구간 밖에서는 \\( f(x) = 0 \\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "10 - 2|x - 5|",
"style": "rule"
} | {
"index": 206,
"split": "train"
} | 206 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "직교하지만 정규화되지 않은 0이 아닌 행을 가진 정방행렬을 고려하자. 행렬의 열들도 직교하려면 각 행에 정확히 하나의 0이 아닌 원소가 있어야 하는가? 예 또는 아니오로 대답하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 207,
"split": "train"
} | 207 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x\\to\\infty} x\\left(\\sqrt{x^2+2x}-2\\sqrt{x^2+x}+x\\right) \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\dfrac{1}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 208,
"split": "train"
} | 208 | 5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(13^{498} \\mod 997\\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 209,
"split": "train"
} | 209 | 4 | Mathematics -> Number Theory -> Congruences | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "고정된 \\( a \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 함수 \\( f(x) = |x-a|^q \\)가 엄격하게 볼록(strictly convex)이 되는 \\( q \\ge 1 \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "q > 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 210,
"split": "train"
} | 210 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\sum_{r=0}^{n}(2r+1)\\binom{n}{r}=2^{n+4}\\)를 만족하는 \\( n \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "15",
"style": "rule"
} | {
"index": 211,
"split": "train"
} | 211 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f \\)가 \\( a \\)에서 미분 가능할 때, 다음 극한을 구하시오: \n\\[\n\\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a - h^2) - f(a)}{h}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 212,
"split": "train"
} | 212 | 4 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 수렴 급수의 값을 구하시오: \\[ \\sum_{n=0}^\\infty 3^{n-1}\\sin^3\\left(\\frac{\\pi}{3^{n+1}}\\right) \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{12}",
"style": "rule"
} | {
"index": 213,
"split": "train"
} | 213 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\frac{3^{1001}}{82} \\)의 소수 부분(분수 부분)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{3}{82}",
"style": "rule"
} | {
"index": 214,
"split": "train"
} | 214 | 6 | Mathematics -> Number Theory -> Congruences | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 적분을 계산하세요: \\[ \\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^{-2}} \\, dx \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 215,
"split": "train"
} | 215 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "구간 \\([0,1)\\)에서 구간 \\((0,1)\\)로 가는 연속 전사 함수가 존재하는지 여부를 결정하고, 그에 대한 근거를 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 216,
"split": "train"
} | 216 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "초기 조건 \\(a_1 > 0\\), \\(a_2 > 0\\)와 점화식 \\(a_{n+2} = \\sqrt{a_n} + \\sqrt{a_{n+1}}\\)로 정의된 수열이 수렴하는지 발산하는지 결정하세요. 만약 수렴한다면, 극한값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "4",
"style": "rule"
} | {
"index": 217,
"split": "train"
} | 217 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "평면 \\(2x + y + z - 2 = 0\\)와 원뿔 \\(x^2 + y^2 = z^2\\)의 교선이 이루는 원뿔곡선의 종류를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "hyperbola",
"style": "rule"
} | {
"index": 218,
"split": "train"
} | 218 | 5 | Mathematics -> Geometry -> Solid Geometry -> 3D Shapes | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "꼭지점이 \\((0, 0)\\), \\((\\pi, 0)\\), \\((\\pi/2, \\pi/2)\\)인 삼각형 영역 \\( B \\) 위에서 이중 적분 \\( \\int_{B} \\int \\sin(y + x) \\, dB \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 219,
"split": "train"
} | 219 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( e^{\\left(\\frac{1}{z^2}\\right)} \\)의 \\( z = 0 \\)에서의 잔여류(residue)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 220,
"split": "train"
} | 220 | 8.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "극한 순서수에 대한 순서수 거듭제곱의 정의를 사용하여 표현식 \\(1^\\omega\\)를 평가하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 221,
"split": "train"
} | 221 | 4 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "평균이 1인 독립적이고 동일하게 분포된 포아송 확률변수 \\( Y_1, Y_2, \\ldots \\)에 대하여, 수열 \\( U_n = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum\\limits_{i=1}^n Y_i^2} \\)의 극한 분포를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sqrt{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 222,
"split": "train"
} | 222 | 7.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "수열 \\( S_n = \\int_{0}^{1} \\frac{nx^{n-1}}{1+x}dx \\)의 극한 \\(\\lim_{n \\to \\infty} S_n\\)을 구하세요. 다음 보기 중에서 올바른 답을 고르시오:\n\n- \\(0\\)\n- \\(\\frac{1}{2}\\)\n- \\(1\\)\n- \\(+\\infty\\)\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "B",
"style": "rule"
} | {
"index": 223,
"split": "train"
} | 223 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "환 \\( A = \\mathbb{Q}[\\pi,\\sqrt{11},x,y]/I \\)의 Krull 차원을 구하시오. 여기서 \\( I = \\langle x^2 - y^3 + xy + 3 \\rangle \\)이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 224,
"split": "train"
} | 224 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소해석학 기법을 사용하여 적분 \\( \\int\\limits_{|x|=2}\\frac{x}{\\cos (x)}\\mathrm{dx} \\)를 평가하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-2\\pi^2 i",
"style": "rule"
} | {
"index": 225,
"split": "train"
} | 225 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소 적분 \\( \\int_{|z|=2} \\frac{z^3}{z^2-2z+1} \\, dz \\)를 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "6\\pi i",
"style": "rule"
} | {
"index": 226,
"split": "train"
} | 226 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( X_1, X_2, \\ldots, X_n \\sim N(\\mu, 1) \\)일 때, 평균 제곱 \\( g(\\mu) = \\mu^2 \\)의 추정량 \\( \\hat{g} = \\overline{X}^2 \\)에 대해 \\( E_{\\mu}(\\overline{X}^2) - \\mu^2 \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{n}",
"style": "rule"
} | {
"index": 227,
"split": "train"
} | 227 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소수 \\( z \\)의 켤레복소수 \\( \\overline{z} \\)에 대하여, 폐곡선 \\( C = \\{ z \\mid |z| = 1 \\} \\) 위에서 함수 \\( z^2 + z \\overline{z} \\)의 적분을 계산하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 228,
"split": "train"
} | 228 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "방정식 \\(2^{-3x^3+5x^2-x}=\\frac{x^2+1}{x}\\)의 모든 가능한 \\(x\\) 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 229,
"split": "train"
} | 229 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다항식 \\( f \\in \\mathbb{Z}[x] \\)에 대하여 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하시오: \\( \\deg(\\gcd_{\\mathbb{Z}_q}(f, x^p - 1)) \\geq \\deg(\\gcd_{\\mathbb{Q}}(f, x^p - 1)) \\)인가? 여기서 \\( \\mathbb{Z}_q = \\mathbb{Z}/q\\mathbb{Z} \\)이며, \\( q \\)는 어떤 소수이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}... | math | {
"ground_truth": "참",
"style": "rule"
} | {
"index": 230,
"split": "train"
} | 230 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( t_n \\)을 위한 지수 생성함수를 구하세요. 여기서 \\( t_n \\)은 교사가 \\( n \\)명의 학생을 여러 그룹으로 나누고, 각 그룹 내에서 한 명을 회장으로, 다른 한 명을 부회장으로 지정하는 경우의 수를 나타냅니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{x^2 e^x}",
"style": "rule"
} | {
"index": 231,
"split": "train"
} | 231 | 6.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$R$를 전순서(total ordering)를 갖는 적분영역(integral domain)이라고 하자. $R$의 분수체(field of fractions) $F$에 대하여, $R$의 순서에 의해 자연스럽게 유도되는 전순서를 $F$에 부여할 수 있는지 결정하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 232,
"split": "train"
} | 232 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\alpha \\)를 체 \\( \\mathbb{F}_5 \\) 위의 다항식 \\( f(x) = x^2 - x + 2 \\)의 근이라고 하자. 체 확장 \\( \\mathbb{F} = \\mathbb{F}_5(\\alpha) \\)를 고려할 때, 곱셈군 \\( \\mathbb{F}^* \\)에서 \\( \\alpha \\)의 순서를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "24",
"style": "rule"
} | {
"index": 233,
"split": "train"
} | 233 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\(f\\)가 구간 \\([0,1]\\)에서 연속이라고 하자. 수열 \\(S(n) = \\int_0^1 x^n \\, n f(x) \\, dx\\)로 정의된다. \\(n\\)이 무한대로 갈 때 \\(S(n)\\)의 극한을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "f(1)",
"style": "rule"
} | {
"index": 234,
"split": "train"
} | 234 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "힐베르트 공간에서 단측 이동 연산자 \\(S\\)와 콤팩트 연산자들의 집합 \\(\\mathbb{K}(\\mathcal{H})\\) 사이의 거리를 다음과 같이 정의할 때,\n\\[\nd(S, \\mathbb{K}(\\mathcal{H})) = \\inf\\{\\|S - K\\| : K \\in \\mathbb{K}(\\mathcal{H})\\},\n\\]\n여기서 \\(S \\in \\mathbb{B}(\\mathcal{H})\\)는 단측 이동 연산자이고, \\(\\mathbb{K}(\\mathcal{H})\\)는 콤팩트 연산자... | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 235,
"split": "train"
} | 235 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "몫군 \\( \\frac{\\mathbb{Z}\\times\\mathbb{Z}\\times\\mathbb{Z}}{\\langle(1,1,1),(1,3,2)\\rangle} \\) 을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\mathbb{Z}",
"style": "rule"
} | {
"index": 236,
"split": "train"
} | 236 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(t) = 1 - t^2 \\) (단, \\(|t| < 1\\))이고 그 외 구간에서는 \\( f(t) = 0 \\)일 때, 이 함수의 푸리에 변환을 구하세요. 그리고 그 결과를 이용하여 다음 적분을 평가하세요:\n\\[\n\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{\\sin t - t \\cos t}{t^3} \\, dt.\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 237,
"split": "train"
} | 237 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "대수적으로 닫힌 체 \\(k\\) 위에 정의된 장수 \\(g > 2\\)인 매끄러운 사영 곡선 \\(X\\)가 주어져 있을 때, 차수 \\((g-1)\\)인 직선 다발 \\(L\\)이 존재하여 \\(H^0(X, L) = 0\\)인지를 판별하고, 그에 대한 근거를 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 238,
"split": "train"
} | 238 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(1^i\\)의 값은 무엇인가요?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 239,
"split": "train"
} | 239 | 2.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "반지름이 \\( a \\)이고 중심이 \\( (a,0) \\)인 원판 영역 \\( R \\) 위에서 이중적분 \\( \\int\\int_R \\frac{1}{x} \\, dx \\, dy \\)를 계산하세요. 극좌표를 사용하여 적분을 표현하고, \\(\\theta\\)에 대한 적절한 적분 구간을 결정하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2\\pi a",
"style": "rule"
} | {
"index": 240,
"split": "train"
} | 240 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "원소가 \\( T_{ijkl} \\)이고 \\( i,j,k,l = 1,2,3,4 \\)인 배열 \\(\\mathbb{T}\\)가 있다. 다음 조건이 주어져 있다:\n\\[\nT_{ijkl} = T_{jikl} = T_{ijlk} = -T_{klij}\n\\]\n모든 \\( i,j,k,l \\)에 대해 성립한다. 이 배열의 독립적인 성분의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "45",
"style": "rule"
} | {
"index": 241,
"split": "train"
} | 241 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \n$$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(\\dfrac{(2n)!}{n^n\\cdot n!}\\right)^{1/n}$$\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{4}{e}",
"style": "rule"
} | {
"index": 242,
"split": "train"
} | 242 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( S = \\{ x \\in \\mathbb{R}_+^n \\mid \\sum_{i=1}^n x_i = 1 \\} \\)로 정의된 \\(n\\)-심플렉스 \\(S\\)가 있고, \\(\\mathbb{R}^n\\)에서 공차원 2인 선형 부분공간 \\(E\\)가 \\(\\mathring{S}\\)와 교차한다고 하자. \\(E \\cap S\\)의 한 면 \\(F\\)에 대하여, \\(\\mathring{F} \\subset \\mathring{G}\\)이고 \\(E \\cap G = F\\)인 \\(S\\)의 유일한 면 \\(... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 243,
"split": "train"
} | 243 | 8.5 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Manifolds | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다항식 \\( t^3 + t^2 + t + 1 \\) 에 대하여, 부분공간 \\( M \\subset P_4 \\)에서의 최적 근사 다항식을 구하시오. 여기서 \\( M = \\{ p \\in P_4 : \\deg{p} \\leq 2, p(t) = p(-t) \\} \\) 이고, 내적은 다음과 같이 정의된다: \\( \\langle q, p \\rangle = \\int_{-1}^{1} p(t) \\cdot q(t) \\, dt \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role"... | math | {
"ground_truth": "t^2 + 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 244,
"split": "train"
} | 244 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Vectors | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f_1(x) = \\psi(x)\\cos(\\phi(x)) \\)와 \\( f_2(x) = \\psi(x)\\sin(\\phi(x)) \\)를 \\((0, \\infty)\\)에서 정의하였고, 여기서 \\( \\psi: [0, \\infty) \\to [0, \\infty) \\)는 부드럽고(strictly increasing) 증가하는 함수이며 \\( \\psi(0) = 0 \\), \\( \\psi'(0) > 0 \\)이고, \\( \\phi: (0, \\infty) \\to \\mathbb{R} \\)는 부드러... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 245,
"split": "train"
} | 245 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "거대한 파이가 \\(N\\)명의 손님들에게 나누어집니다. 첫 번째 손님은 파이의 \\(\\frac{1}{N}\\)만큼을 받습니다. \\(1 \\leq k \\leq N\\)에 대해, \\(k\\)번째 손님은 남은 파이의 \\(\\frac{k}{N}\\)만큼을 받습니다. 어떤 손님의 몫이 원래 파이의 평균 몫인 \\(\\frac{1}{N}\\)보다 엄격히 크면, 그 손님을 행운의 손님(fortunate guest)이라고 합니다. \\(f(N)\\)을 전체 \\(N\\)명의 손님 중 행운의 손님의 수라고 할 때, 다음 극한 상한값을... | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 246,
"split": "train"
} | 246 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "유한 상태 공간 \\(0, 1, \\ldots, N\\) 위에서, 상태 \\(0\\)과 \\(N\\)에 흡수 장벽이 있는 랜덤 워크를 고려하자. 각 상태 \\(1, \\ldots, N-1\\)에서 인접한 상태로 이동할 확률은 각각 \\(\\frac{1}{2}\\)이다. 상태 \\(0\\)과 \\(N\\)에서는 과정이 흡수되어 확률 1로 같은 상태에 머문다. 이 마르코프 연쇄는 몇 개의 정지 분포(stationary measures)를 가지는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"r... | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 247,
"split": "train"
} | 247 | 4.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정수 \\(x, y, z\\)가 \\(x + y + z = 3n\\)을 만족할 때, \\(xyz\\)의 최대값을 구하시오. 여기서 \\(n\\)은 일정한 정수입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "n^3",
"style": "rule"
} | {
"index": 248,
"split": "train"
} | 248 | 4.5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Equations and Inequalities | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 실수 \\(x, y, z\\)가 \\(xy + yz + zx = 0\\)을 만족할 때 다음 등식이 성립하는 모든 다항식 \\(P(x)\\)를 구하시오:\n\\[\nP\\left((x - y)^2\\right) + P\\left((y - z)^2\\right) + P\\left((z - x)^2\\right) = 18P\\left(\\left(\\frac{(x + y + z)^2}{3}\\right)^2\\right)\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "u... | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 249,
"split": "train"
} | 249 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "극좌표를 사용하여 다음 이중적분 \\( \\int_{0}^1\\int_0^{\\sqrt{2y - y^2}} dx\\,dy \\)를 계산하고 그 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 250,
"split": "train"
} | 250 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\( \\lim_{n \\to \\infty} \\int_{0}^{\\pi/3} \\frac{1}{1+\\tan^n(x)}\\,dx \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 251,
"split": "train"
} | 251 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$\\mathbb{Q}$ 위에서 $\\zeta_9 + \\zeta_9^{-1}$의 최소 다항식을 구하시오. 단, $\\mathbb{Q}(\\zeta_9 + \\zeta_9^{-1})$의 $\\mathbb{Q}$에 대한 차수가 3임을 가정한다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "x^3 - 3x + 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 252,
"split": "train"
} | 252 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "단위 정사각형 \\(ABCD\\)가 있다고 하자. 임의로 단위 정사각형 내부에 점 \\(E\\)를 하나 선택하자. \\(E\\)를 지나는 \\(AB\\)와 평행한 직선이 \\(AD\\)와 만나는 점을 \\(F\\), 그리고 \\(E\\)를 지나는 \\(BC\\)와 평행한 직선이 \\(DC\\)와 만나는 점을 \\(G\\)라고 하자. 직사각형 \\(EFDG\\)의 넓이의 기댓값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 253,
"split": "train"
} | 253 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적절한 치환과 항등식 \\( \\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}} = \\frac{d}{dx} \\arcsin(x) \\)를 이용하여 다음 적분 \\( I = \\int_{-r}^r \\int_{-\\sqrt{r^2 - x^2}}^{\\sqrt{r^2 - x^2}} \\sqrt{1 - \\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - r^2}} \\, dy \\, dx \\)를 평가하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2\\pi r^2",
"style": "rule"
} | {
"index": 254,
"split": "train"
} | 254 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$u: M \\rightarrow N$를 $A$-가군 준동형이라고 하고, $N'$를 $u$의 상(image)라고 하자. $a$를 $A$의 아이디얼(ideal)이라고 할 때, 유도된 사상 \\(\\bar{u}: M/aM \\rightarrow N/aN\\)가 전사함을 가정하자. 이때, 몫가군 \\(N/N' / a(N/N')\\)가 영가군(zero module)임을 증명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 255,
"split": "train"
} | 255 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(z = 0\\)에서 \\(z = i\\)까지의 선분 위에서 \\(|e^{\\sin(z)}|\\)의 크기의 상한을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 256,
"split": "train"
} | 256 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "독립적인 가우시안 확률변수 \\(x_i \\sim N(0,1)\\), \\(i=1, \\dots, n\\) 와 상수 \\(c_i \\geq 0\\)가 주어졌을 때, 가장 작은 \\(c_i\\)에 해당하는 \\(k\\)개의 인덱스 집합을 \\(K\\)라고 하자. 이때, 다음 확률을 구하시오:\n\\[\nP\\left(\\sum_{i \\in K} c_i x_i \\leq 0 \\right).\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 257,
"split": "train"
} | 257 | 7 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\mathbb{C}^{n+1}\\)에서 \\(r(z_0, z_1, \\ldots, z_n) = (-z_0, z_1, \\ldots, z_n)\\)에 의해 유도되는 사상 \\(\\bar{r} : \\mathbb{CP}^n \\rightarrow \\mathbb{CP}^n\\)의 차수를 구하시오. \\(n\\)이 짝수일 때와 홀수일 때의 경우를 고려하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 258,
"split": "train"
} | 258 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\( \\lim_{n\\to\\infty}\\left( \\frac{4n^2+5n-6}{4n^2+3n-10}\\right)^{3-4n} \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{-2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 259,
"split": "train"
} | 259 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\((M, d)\\)를 거리 공간이라고 하고, \\(K\\)를 콤팩트 집합, \\(G\\)를 열린 집합이라고 하자. 그리고 \\(K \\subset G\\)라고 하자. 이때, 다음이 성립하는가?\n\n\\[\n\\exists \\epsilon > 0 \\text{ such that } K \\subset K_\\epsilon \\subset G,\n\\]\n\n여기서 \\(K_\\epsilon = \\{x \\in M : d(x, K) \\leq \\epsilon\\}\\)이고, \\(d(x, K) = \\inf \\{d(x,... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 260,
"split": "train"
} | 260 | 6.5 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "허수 단위 \\(i\\)에 대하여 \\(i^i\\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{-\\pi/2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 261,
"split": "train"
} | 261 | 4.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "수열의 극한을 구하시오: \\( \\lim_{n \\to \\infty} (\\sqrt[3]{1-n^3} + n) \\)\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 262,
"split": "train"
} | 262 | 4.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하시오: 임의의 콤팩트 거리 공간 \\( X \\)에서, 모든 수열 \\( \\{x_n\\} \\subset X \\)는 \\( X \\) 내에 적어도 하나의 축적점을 가지지만, 반드시 \\( X \\) 내에서 극한을 가지는 것은 아니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "A",
"style": "rule"
} | {
"index": 263,
"split": "train"
} | 263 | 6 | Mathematics -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_{-\\infty}^{+\\infty} 2^{-4^t}(1-2^{-4^t})\\,dt \\)를 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 264,
"split": "train"
} | 264 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분의 리만 합으로 인식하여 다음 극한값을 구하세요: \n\\[\n\\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^{n^2} \\frac{e^{i/n}}{ne^n}.\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 265,
"split": "train"
} | 265 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(D \\in \\mathbb{R}^{n,n}\\)를 대각 성분 \\(d_{ii}\\)가 모두 0이 아닌 대각 행렬이라고 하자. \\(\\tilde{D} \\in \\mathbb{R}^{n,n}\\)는 \\(D\\)와 같은 대각 성분을 가지지만, 순서가 바뀐 대각 행렬이라고 하자. 이때, \\(UDU^H = \\tilde{D}\\)를 만족하는 단위 행렬 \\(U\\)가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 266,
"split": "train"
} | 266 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하시오: \\[ \\lim_{x\\rightarrow 0^+} \\frac{\\ln(x)}{\\ln(\\sin x)} \\] 단, 로피탈의 정리는 사용하지 마시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 267,
"split": "train"
} | 267 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "방정식 \\( z^2 = \\bar{z} \\)에 대해 켤레 복소수 \\( \\bar{z} \\)를 \\( z \\)의 함수로 표현하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\bar{z} = z^2",
"style": "rule"
} | {
"index": 268,
"split": "train"
} | 268 | 3.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "입력을 160비트 문자열로 매핑하는 해시 함수 \\( H(x) \\rightarrow \\{ 0,1 \\}^{160} \\)가 있을 때, 충돌을 찾기 위한 최소 시도 횟수, 즉 서로 다른 두 입력 \\( x_1 \\)과 \\( x_2 \\)에 대해 \\( H(x_1) = H(x_2) \\)가 성립하는 경우를 찾기 위한 최소 시도 횟수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2^{80}",
"style": "rule"
} | {
"index": 269,
"split": "train"
} | 269 | 5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Algorithms | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "공정한 동전 던지기에서 처음으로 HTH 순서가 나타나는 시점의 기댓값 \\(E[S]\\)를 optional stopping theorem(선택 정지 정리)를 사용하여 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "10",
"style": "rule"
} | {
"index": 270,
"split": "train"
} | 270 | 8 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "하우스도르프 공간에서 가산콤팩트한 부분집합이 모두 닫혀 있는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 271,
"split": "train"
} | 271 | 7 | Mathematics -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "제약 조건 \\( 2x - y = 0 \\) 및 \\( x + z = 0 \\) 하에서 함수 \\( f(x,y,z) = xy + z^2 \\)를 최대화하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 272,
"split": "train"
} | 272 | 3.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하시오: \\[\n\\lim_{(x,y) \\to (0,0)} \\frac{3\\tan(x^3+y^3)-(x^3+y^3)}{(x^3+y^3)^3}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 273,
"split": "train"
} | 273 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음과 같이 정의된 공간 \\( C[0,1] \\) 위의 유계 콤팩트 연산자 \\( A \\)의 노름을 구하시오:\n\\[ Ax(t) = 2x(0) - tx(1), \\quad t \\in [0,1] \\]\n\\( \\|A\\| \\)는 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3",
"style": "rule"
} | {
"index": 274,
"split": "train"
} | 274 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{(x,y) \\to (0,2)} \\left(1+x \\right)^{y/x} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^2",
"style": "rule"
} | {
"index": 275,
"split": "train"
} | 275 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "별-린델뢰프 공간이면서 DCCC가 아닌 공간이 존재하는지 판별하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 276,
"split": "train"
} | 276 | 8 | Mathematics -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "총이 무한한 실수 직선의 원점에 위치해 있으며, 양의 x축 방향으로 초당 한 발씩 총알을 발사한다고 가정합니다. 각 총알의 속도는 0에서 1 m/s 사이의 균등 분포에서 무작위로 선택됩니다. 만약 두 총알이 충돌하면, 두 총알은 폭발하여 사라집니다. 적어도 한 발의 총알이 다른 총알과 충돌하지 않고 무한히 멀리 나아갈 확률은 얼마입니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 277,
"split": "train"
} | 277 | 7.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( X \\sim \\mathcal{N}(0,1) \\)이 표준 정규 확률변수일 때, \\( \\mathbb{E}[\\cos(X)] \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{-1/2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 278,
"split": "train"
} | 278 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 함의가 참인지 판별하시오: 만약 \\( u(x,t) \\in W^{1,1}([0,T],L^2(\\Omega^d)) \\)라면, \\( u \\in L^{\\infty}([0,T],L^2(\\Omega^d)) \\)인가? 여기서 \\( \\Omega \\subset \\mathbf{R}^d \\) (\\(d=2,3\\))는 경계 \\( \\Gamma \\)가 매끄러운 영역이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "참",
"style": "rule"
} | {
"index": 279,
"split": "train"
} | 279 | 8 | Mathematics -> Differential Equations -> Partial Differential Equations (PDEs) | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "그린 정리를 사용하여 선적분 \\( \\int_{\\gamma} y\\,dx + x^2\\,dy \\)의 값을 구하시오. 여기서 \\( \\gamma \\)는 \\( g(t) = (\\cos t, \\sin t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi \\)로 주어진 원입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 280,
"split": "train"
} | 280 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 계산하세요: \\[\n\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{(-1)^n\\cdot 6^n - 5^{1+n}}{5^n - (-1)^{n+1}\\cdot 6^{n+1}}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{6}",
"style": "rule"
} | {
"index": 281,
"split": "train"
} | 281 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) = \\cos(n \\arccos(x)) \\)를 구간 \\([-1, 1]\\)에서 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 입체의 부피가 \\( \\frac{14\\pi}{15} \\)일 때, 자연수 \\( n \\)을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 282,
"split": "train"
} | 282 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\(g(x) = 100|e^{x+1} - 1| - \\sum_{k=1}^n |e^{x^k + 1} - 1|\\)가 실수 전체 집합 \\(\\mathbb{R}\\)에서 미분 가능하도록 하는 모든 자연수 \\(n\\)의 합을 구하시오. 여기서 \\(n \\in \\mathbb{N}\\)이다. 답을 하나의 숫자로 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "39",
"style": "rule"
} | {
"index": 283,
"split": "train"
} | 283 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\lim_{x \\to 0^+} \\ln(x\\ln a)\\ln\\bigg(\\frac{\\ln(ax)}{\\ln(\\frac{x}{a})}\\bigg)=6 \\)이 되도록 하는 \\(a\\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^3",
"style": "rule"
} | {
"index": 284,
"split": "train"
} | 284 | 6.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 밀도 함수가 \\( f(x) = \\frac{2x}{49} \\)인 분포가 주어졌을 때, 표본에서 5번째로 작은 관측값이 0.01을 초과할 확률을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 285,
"split": "train"
} | 285 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( X \\)와 \\( Y \\)가 독립적인 표준 정규 확률변수일 때, 조건부 기댓값 \\( \\mathbb{E}(X \\mid XY) \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 286,
"split": "train"
} | 286 | 8 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 두 확률 변수 쌍 사이의 상관계수가 \\( \\rho \\)인 \\( n \\times n \\) 상관행렬에서 가능한 가장 작은 상관계수 \\( \\rho \\)의 값은 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\dfrac{1}{n-1}",
"style": "rule"
} | {
"index": 287,
"split": "train"
} | 287 | 7 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 밀도 함수가 \\( f(x;\\lambda) = 1 - \\frac{2}{3}\\lambda + \\lambda\\sqrt{x} \\) (단, \\(0 \\le x \\le 1\\), 그 외에는 0)일 때, 두 개의 독립적인 관측값 \\( x_1 = \\frac{1}{4} \\)와 \\( x_2 = \\frac{9}{16} \\)를 바탕으로 모수 \\(\\lambda\\)의 최대 우도 추정량을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-3",
"style": "rule"
} | {
"index": 288,
"split": "train"
} | 288 | 5.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x,y): \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 매끄러운 함수(\\( {\\cal C}^\\infty \\))이고, 모든 \\( y \\in \\mathbb{R} \\)에 대해 \\( f(0,y)=0 \\)이며 \\( x \\neq 0 \\)일 때 \\( f(x,y)>0 \\)라고 하자. 다음을 판단하시오: 어떤 \\( y_0 \\in \\mathbb{R} \\)와 \\( \\varepsilon >0 \\)가 존재하여, \\( |x|<\\varepsilon, x \\neq... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 289,
"split": "train"
} | 289 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "1번부터 100번까지 번호가 붙은 정확히 100개의 좌석이 있는 홀에 입장하기 위해 줄을 서 있는 100명이 있다. 줄에서 첫 번째 사람이 홀에 들어가 임의의 좌석을 선택하여 앉는다. 그 다음부터 2번째 사람부터 100번째 사람까지는 자신의 번호에 해당하는 좌석이 비어 있으면 그 좌석에 앉고, 그렇지 않으면 남아 있는 임의의 빈 좌석에 앉는다. 100번째 사람이 100번 좌석에 앉도록 좌석이 채워지는 경우의 총 가짓수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "u... | math | {
"ground_truth": "2^{98}",
"style": "rule"
} | {
"index": 290,
"split": "train"
} | 290 | 6 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "스트록스 정리를 이용하여 선적분 \\( \\int_C \\vec{F} \\cdot d\\vec{r} \\)를 계산하시오. 여기서 \\( \\vec{F} = (xz, xy, y^2) \\)이고, 곡선 \\( C \\)는 원기둥 \\( z = 4 - x^2 \\)의 표면 경계로, 제1팔면체에서 평면 \\( x=2 \\)와 \\( y=3 \\)에 의해 제한된다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "45",
"style": "rule"
} | {
"index": 291,
"split": "train"
} | 291 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$A$와 $B$를 적분 영역인 $C$-대수라고 하고, $f: A \\to B$가 단사인 환 준동형이라고 가정하자. 또한 $f$가 유한 사상(finite morphism)이라고 하자. 즉, $B$가 $A$-가군으로서 유한 생성 모듈 구조를 갖는다고 하자. $M$을 유한 생성된 $A$-가군이라고 하고, $m \\in M$에 대해 $m' \\in M$과 $b \\in B$가 존재하여 $M \\otimes_A B$에서\n\\[\nm \\otimes 1 = m' \\otimes b\n\\]\n가 성립한다고 하자. 이로부터 $b$가 $f$... | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 292,
"split": "train"
} | 292 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "푸리에 사인 급수 \\( A\\sin x + B\\sin 2x + C\\sin 3x + \\cdots \\)가 구간 \\([0, \\pi]\\)와 \\([- \\pi, 0]\\)에서 함수 \\( x \\)를 나타낸다고 할 때, 이 급수가 주기 \\(2\\pi\\)인 \"톱니파(sawtooth function)\"를 표현한다고 가정한다. 이때 \\( x = \\pi \\)에서 급수의 합을 구하시오.\n\n즉, 주기 \\(2\\pi\\)를 갖는 톱니파의 푸리에 사인 급수가 \\( x \\)를 나타낼 때, \\( x = \\pi \\... | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 293,
"split": "train"
} | 293 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 변수 \\(Z = XY\\)의 확률 밀도 함수 \\(f_Z(z)\\)를 구하세요. 여기서 \\(X\\)와 \\(Y\\)는 독립이고 동일한 분포를 가지며, 밀도 함수는 \\(f(x) = 3x^2\\) (단, \\(x \\in (0, 1)\\))입니다. 곱의 분포 공식(product distribution formula)을 사용하여 \\(f_Z(z)\\)를 구하고, 계산에 사용된 적분의 수렴성도 확인하세요. 단, \\(X, Y > 0\\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
... | math | {
"ground_truth": "-9 z^2 \\ln(z)",
"style": "rule"
} | {
"index": 294,
"split": "train"
} | 294 | 5.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: $$\\lim_{x\\to0} \\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$$\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\dfrac{e}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 295,
"split": "train"
} | 295 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) = x^3 + x \\) 와 \\( g(x) = x^3 - x \\) 가 모든 \\( x \\in \\mathbb{R} \\) 에 대해 정의되어 있다. 합성 함수 \\( g \\circ f^{-1} \\) 의 도함수를 \\( x = 2 \\) 에서 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 296,
"split": "train"
} | 296 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int^a_0{\\cfrac{dx}{x + \\sqrt{a^2 - x^2}}} \\)을 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 297,
"split": "train"
} | 297 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "원의 둘레에 내접하는 삼각형 \\(ABC\\)에서, \\(AB\\)의 수직이등분선이 \\(BC\\)와 \\(AC\\)의 연장선과 각각 \\(M\\), \\(N\\)에서 만난다. 원의 중심을 \\(O\\), 그리고 \\(H\\)를 \\(AB\\)의 중점이라 할 때, \\(OH = OM = MN\\)일 때, \\(\\angle OCB\\)의 크기를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "18.5^\\circ",
"style": "rule"
} | {
"index": 298,
"split": "train"
} | 298 | 5.5 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Angles | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( Q(b) \\)를 표준 가우시안 확률변수의 우측 꼬리 확률이라고 하자. \\( X \\)와 \\( Y \\)가 각각 \\( X \\sim N(3, 8) \\), \\( Y \\sim N(10, 5) \\)를 따르는 결합 가우시안 확률변수이고, 두 변수 간 상관계수가 0.8일 때, \\( P[Y > 0 \\mid X = 3] = Q(b) \\)가 되도록 하는 \\( b \\)의 값을 구하시오. 다음 선택지 중에서 고르시오:\n\n- \\(-7.453\\)\n- \\(-4.431\\)\n- \\(2.639\\)\n- \\(-... | math | {
"ground_truth": "-7.453",
"style": "rule"
} | {
"index": 299,
"split": "train"
} | 299 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
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