data_source stringclasses 1
value | prompt listlengths 1 1 | ability stringclasses 1
value | reward_model dict | extra_info dict | original_index int64 0 102k | difficulty float64 1 10 | topic stringclasses 82
values | difficulty_level stringclasses 3
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 공간에서 사건들의 집합 \\( E = \\{E_1, \\ldots, E_k\\} \\)가 주어지고, \\( p = \\sum \\Pr(E_i) \\)라고 하자. 고정된 \\( n \\leq k \\)에 대하여, \\( P_n \\)을 \\( E \\)에서 서로 독립인 \\( n \\)개의 사건이 발생하는 사건으로 정의하자. \\( P_n \\)의 확률이 다음과 같이 상계됨을 보이시오: \n\\[\n\\Pr(P_n) \\leq \\frac{p^n}{n!}.\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적... | math | {
"ground_truth": "\\Pr(P_n) \\leq \\dfrac{p^n}{n!}",
"style": "rule"
} | {
"index": 400,
"split": "train"
} | 400 | 7 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\left( x^2 \\cos^2 x - \\sin^2 x \\right)\\left( x^3 - \\sin^3 x \\right)}{\\left( e^x + e^{-x} - x^2 - 2 \\right)^2 \\sin x} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-48",
"style": "rule"
} | {
"index": 401,
"split": "train"
} | 401 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( X_1, X_2, \\ldots, X_n \\)이 \\( N(2\\theta, \\theta^2) \\) 모집단에서 추출된 임의 표본이고, 여기서 \\( \\theta > 0 \\)일 때, 다음 중 \\( \\theta \\)에 대한 일치추정량은 무엇인가?\n\n(A) \\( \\dfrac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}X_i \\)\n\n(B) \\( \\left(\\dfrac{5}{n}\\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}} \\)\n\n(C) \\( \\dfrac{1}{... | math | {
"ground_truth": "D",
"style": "rule"
} | {
"index": 402,
"split": "train"
} | 402 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "급수 \\(\\sum_{k=1}^\\infty \\frac{1}{(k+1)[\\ln(k+1)]^\\alpha}\\)가 수렴하는 \\(\\alpha\\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\alpha > 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 403,
"split": "train"
} | 403 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "반지름이 2이고 중심이 0인 원 \\(\\gamma\\)를 따라 \\( \\int_{\\gamma}\\frac{z^2-1}{z^2+1}dz \\) 적분을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 404,
"split": "train"
} | 404 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "만약 \\(X\\)가 무한 집합이라면, 모든 원소의 차수가 최대 2인 군 구조를 \\(X\\) 위에 정의하는 것이 항상 가능합니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 405,
"split": "train"
} | 405 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "식 \\(-\\sqrt{\\lambda}t - \\lambda\\left(1 - e^{\\frac{t}{\\sqrt{\\lambda}}}\\right)\\)을 간단히 하고, \\(\\lambda \\to \\infty\\)일 때 이 식이 \\(\\frac{t^2}{2}\\)에 수렴함을 보이시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{t^2}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 406,
"split": "train"
} | 406 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$H_{1}$와 $H_{2}$를 각각 차원이 \\(n_{1}\\), \\(n_{2}\\)인 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 선형 연산자 \\(T: H_{1} \\to H_{2}\\)를 고려하자. 임의의 정규 직교 기저 \\(\\{ e_{i} \\}\\) (for \\(H_{1}\\))와 \\(\\{ f_{j} \\}\\) (for \\(H_{2}\\))에 대하여, 어떤 \\(\\varepsilon > 0\\)에 대해 부등식\n\\[\n|\\langle f_{j}, Te_{i} \\rangle| \\leq (1-\\varep... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 407,
"split": "train"
} | 407 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "디락 델타 함수의 도함수 \\( \\delta'(t) \\)의 라플라스 변환을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "s",
"style": "rule"
} | {
"index": 408,
"split": "train"
} | 408 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \n$$\\lim_{x\\to 0}\\frac{x^2}{\\sqrt[5]{1+5x}-1-x}$$ \n단, 로피탈 법칙이나 테일러 급수를 사용하지 마세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 409,
"split": "train"
} | 409 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "실수열 \\((a_n)\\)를 생각하자. 모든 양의 정수에서 양의 정수로 가는 함수 \\(f\\)에 대하여, \\(a_{n+f(n)} - a_n\\)이 \\(n \\to \\infty\\)일 때 0으로 수렴한다고 하자. 이것이 \\((a_n)\\)이 수렴함을 의미하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 410,
"split": "train"
} | 410 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\{i, e^{\\frac{2i \\pi}{5}}, -1\\} \\)에 의해 생성되는 \\( \\mathbb{C}^\\times \\)의 부분군의 차수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "20",
"style": "rule"
} | {
"index": 411,
"split": "train"
} | 411 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "실수열 \\(\\{a_n : n \\geq 1\\}\\)에 대하여, 급수 \\(\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n\\)는 수렴하지만 \\(\\sum_{n=1}^{\\infty} |a_n|\\)는 발산한다고 하자. 멱급수 \\(\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n x^n\\)의 수렴 반경 \\(R\\)을 구하시오. \\(R\\)은 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 412,
"split": "train"
} | 412 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "부등식들로 정의된 \\(\\mathbb{R}^3\\)의 영역 \\(K\\)의 부피를 구하시오: \n$$K = \\{(x, y, z) \\mid x \\ge y^2, \\quad x - y \\le 2, \\quad 0 \\le z \\le x\\}.$$\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{36}{5}",
"style": "rule"
} | {
"index": 413,
"split": "train"
} | 413 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x \\to a} \\frac{\\tan x - \\tan a}{\\ln x - \\ln a} \\] 여기서 \\( a \\)는 미지의 상수입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "a \\sec^2 a",
"style": "rule"
} | {
"index": 414,
"split": "train"
} | 414 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( k(x) = 4\\sqrt{x} + \\frac{2}{\\sqrt{x}} \\)가 구간 \\([\\frac{1}{4}, 1]\\)에서 주어질 때, 평균값 정리를 만족하는 값 \\( c \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 415,
"split": "train"
} | 415 | 3 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "벡터장 \\( F(x,y,z) = (xy, -x^2, x+z) \\)의 표면적분을 다음 표면 \\( S \\) 위에서 계산하세요. 여기서 \\( S \\)는 첫 번째 옥탄트(즉, \\( x, y, z \\geq 0 \\))에 속하는 평면 \\( 2x + 2y + z = 6 \\)의 일부입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{27}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 416,
"split": "train"
} | 416 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(z) = z^2 \\sin\\left(\\frac{1}{z^2}\\right) \\)의 \\( z = 0 \\)에서의 잔류(residue)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 417,
"split": "train"
} | 417 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하시오: \\[ \\lim_{n\\to\\infty} n^3\\int_n^{2n} \\frac{x}{1+x^5}\\, dx. \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{7}{24}",
"style": "rule"
} | {
"index": 418,
"split": "train"
} | 418 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다항함수 \\( y = x^5 + x^3 + x + 1 \\)가 일대일 함수라고 가정할 때, \\( f^{-1}(-41) \\)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-2",
"style": "rule"
} | {
"index": 419,
"split": "train"
} | 419 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) \\in L^1([0,1]) \\)라고 가정하고, 푸리에 계수를 \\(\\{a_n\\}_{n=-\\infty}^{\\infty}\\)라 하자. 부분합 \\( S_n(x) = \\sum_{k=-n}^{n} a_k e^{ikx} \\)가 \\([0,1]\\)에서 거의 모든 점에서 점별 수렴한다면, 이것이 반드시 원래 함수 \\( f(x) \\)에 수렴하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 420,
"split": "train"
} | 420 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "변환 \\( v = e^{\\alpha x} u \\)가 방정식 \\( u_t = u_{xx} + cu_x + au \\)에서 일차 도함수 항 \\( v_x \\)를 없애도록 하는 \\( \\alpha \\in \\mathbb{R} \\)의 값을 구하시오. 여기서 \\( a, c \\in \\mathbb{R} \\), 구간은 \\((-L, L)\\)이며, 동차 디리클레 경계조건이 주어진다. 또한 \\( u \\in L^2([-L, L]) \\)이고 \\( c \\neq 0 \\)임을 가정한다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 ... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{c}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 421,
"split": "train"
} | 421 | 6 | Mathematics -> Differential Equations -> Partial Differential Equations (PDEs) | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 변수 \\( X \\)의 특성 함수가 \\(\\varphi_{X}(t) = \\frac{1}{7}\\left(2+e^{-it}+e^{it}+3e^{2it}\\right)\\)일 때, 확률 \\(\\mathbb{P}(-1\\leqslant X\\leqslant\\frac{1}{2})\\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{3}{7}",
"style": "rule"
} | {
"index": 422,
"split": "train"
} | 422 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{n\\to\\infty}\\frac{\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n+2}+\\dots+\\sqrt{2n}}{\\sqrt{1}+\\sqrt{2}+\\dots+\\sqrt{n}} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2\\sqrt{2} - 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 423,
"split": "train"
} | 423 | 5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소수 \\( z = \\frac{2}{1+ki} - \\frac{i}{k-i} \\)가 직선 \\( y = 2x \\) 위에 놓이도록 하는 실수 스칼라 \\( k \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-2",
"style": "rule"
} | {
"index": 424,
"split": "train"
} | 424 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 명제가 참인지 거짓인지 판별하시오: 구간 \\([a,b]\\)에서 적분 가능한 함수 \\(f(x)\\)가 주어졌다고 하자. 만약 \\([a,b]\\)에서 \\(|f(x)| \\geq 1\\)이라면, \\(\\frac{1}{f(x)}\\)도 \\([a,b]\\)에서 적분 가능하다. 이에 대한 근거를 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "A",
"style": "rule"
} | {
"index": 425,
"split": "train"
} | 425 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Integrals | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "대수적으로 닫힌 체 \\( k \\) 위의 아핀 다양체 \\( X \\)가 주어져 있을 때, 정칙 함수의 환 \\( k[X] \\)는 항상 가산 기저를 갖는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 426,
"split": "train"
} | 426 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "이중 합 \\( \\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=i}^{i+1}(3i+j) \\)를 \\( \\sum_{j}^{}\\sum_{i}^{}(3i+j) \\)의 형태로 바꾸고 결과를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "4n^2 + 5n",
"style": "rule"
} | {
"index": 427,
"split": "train"
} | 427 | 4 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정수 쌍 \\((x, y)\\) 중에서 \\(x^3 = y^3 + 2y + 1\\)을 만족하는 모든 해를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(1, 0)",
"style": "rule"
} | {
"index": 428,
"split": "train"
} | 428 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Equations and Inequalities | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$S$를 종수 3인 닫힌 가향 곡면이라고 하고, $R \\rightarrow S$가 차수 2인 덮개 사상이라고 하자. 곡면 $R$의 종수를 구하시오. \\(\\text{(힌트: 오일러 표수를 위상 불변량으로 사용하시오.)}\\)\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "5",
"style": "rule"
} | {
"index": 429,
"split": "train"
} | 429 | 6 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Manifolds | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(X, Y, Z\\)가 서로 독립이고 동일하게 분포된 표준 정규 확률 변수일 때, 확률 \\(P(X > YZ)\\)를 구하세요. 답은 하나의 확률 값으로 표현하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 430,
"split": "train"
} | 430 | 8 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 계산하세요: \\[ \\lim_{k \\to \\infty}(1+2^{k+1})^{(2^{k-2})-2}\\cdot\\frac{(2^k-1)^2}{(2^k-1)!!} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 431,
"split": "train"
} | 431 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(a_j, b_j, c_j, d_j > 0\\)이고 \\(j = 1, \\ldots, n\\)에 대하여 \\(d_j \\le c_j\\)라고 하자. 각 \\(k = 1, \\ldots, n\\)에 대해 \n\\[\n\\prod_{j=1}^k \\frac{a_j}{b_j} \\le \\prod_{j=1}^k \\frac{c_j^2}{d_j^2}\n\\]\n가 성립한다고 할 때, \n\\[\n\\frac{\\sum_{j=1}^n a_j}{\\sum_{j=1}^n b_j} \\le \\left(\\frac{\\sum_{j=1}^n... | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 432,
"split": "train"
} | 432 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 삼각함수 항등식을 증명하세요: \\( \\sum_{i=1}^{n-1} \\cos \\frac{2ik\\pi}{n}\\sin \\frac{2il\\pi}{n}=0 \\), 여기서 \\( 1\\leq k,l \\leq n-1 \\)이고 \\( k,l \\in \\mathbb{N} \\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 433,
"split": "train"
} | 433 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Trigonometric Functions | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "집합 \\( \\{z \\in \\mathbb{C} : z^{60} = -1 , z^k \\neq -1, 0<k<60 \\} \\)의 원소의 개수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "32",
"style": "rule"
} | {
"index": 434,
"split": "train"
} | 434 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "만약 \\( \\int_a^b f(x) \\, dx \\le \\int_a^b g(x) \\, dx \\) 라면, \\( [a, b] \\) 내에 \\( f(c) \\le g(c) \\) 를 만족하는 어떤 \\( c \\)가 존재하는가? 답을 정당화하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 435,
"split": "train"
} | 435 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "군 \\(\\{ A \\in GL_2(\\mathbb{R}) : A^T = A^{-1} \\}\\) 내에 무한 차수(infinite order)를 갖는 행렬 \\(A\\)가 존재하는지 여부를 결정하고, 그에 대한 근거를 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 436,
"split": "train"
} | 436 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수형 \\( I[y]=\\int_{a}^{b}(y'^2+y^4)dx \\)에서 유도된 오일러-라그랑주 방정식의 해가 경계 조건 \\( y(a)=0 \\) 및 \\( y(b)=0 \\) 하에서 영함수만인지 판별하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 437,
"split": "train"
} | 437 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x \\to 0}((-2^x+1)^{\\sin(x)}) \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 438,
"split": "train"
} | 438 | 4 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "무한급수 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n(n+1)}{n!} \\)의 합을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3e",
"style": "rule"
} | {
"index": 439,
"split": "train"
} | 439 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "길이가 10인 양의 정수항 등차수열에서 포함될 수 있는 완전제곱수의 최대 개수는 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "5",
"style": "rule"
} | {
"index": 440,
"split": "train"
} | 440 | 6.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "Tonelli 정리를 사용하여 다음 적분을 계산하세요: \n\\[\n\\int_{0}^{\\infty} \\left( \\int_{0}^{\\infty} x e^{-x^2(1+y^2)} \\, d\\lambda(y) \\right) \\, d\\lambda(x).\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 441,
"split": "train"
} | 441 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "합 \\( S = \\sum_{i=2}^{10^7} (i^7 + i^5) \\)의 마지막 세 자리를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "998",
"style": "rule"
} | {
"index": 442,
"split": "train"
} | 442 | 6 | Mathematics -> Number Theory -> Congruences | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\( \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\exp\\left(-x^{-2}\\right)}{x^{3}} \\)\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 443,
"split": "train"
} | 443 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "유한 집합 \\(X\\)와 그 위의 위상 \\(T\\)가 주어졌다고 하자. \\(T\\)가 합집합에 대해 닫혀 있고 교집합에 대해서도 닫혀 있다고 할 때, \\(T\\)가 Frankl의 합집합 닫힘 집합 추측(Frankl's union-closed set conjecture)을 만족하는지 여부를 결정하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 444,
"split": "train"
} | 444 | 5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "한 남자의 체중이 90kg이다. 만약 그가 14일 동안 칼로리를 전혀 섭취하지 않으면, 그의 질량은 20% 감소한다. 그렇다면 그가 자신의 질량을 90kg으로 유지하는 데 필요한 칼로리의 3/4만 섭취할 경우, 동일한 비율로 질량이 감소하는 데 얼마의 시간이 걸리는가? 일일 칼로리 섭취량을 고정된 양 \\( C \\)라고 가정하고, 미분 방정식 \\( \\frac{dt}{dm} = \\frac{1}{a(C - bm)} \\) (여기서 \\( a \\)와 \\( b \\)는 상수)로 모델링한다. 시간을 일수로 계산하시오.\n단계별... | math | {
"ground_truth": "101",
"style": "rule"
} | {
"index": 445,
"split": "train"
} | 445 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "표현식 \\(E[E[X|Y]|X]\\)의 값을 구하세요. 결과는 무엇인가요?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "X",
"style": "rule"
} | {
"index": 446,
"split": "train"
} | 446 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) \\)가 구간 \\([0, 1]\\)에서 다음과 같이 정의되어 있다고 하자: \\( x \\)가 유리수일 때 \\( f(x) = x \\), \\( x \\)가 무리수일 때 \\( f(x) = 1 - x \\). 함수 \\( f \\)가 구간 \\([0, 1]\\) 내에서 연속인 점을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 447,
"split": "train"
} | 447 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "지수 \\(2^n\\)인 군에서 다음 등식이 성립하는가?\n\n\\[\n[x^{2^{n-1}}, \\underbrace{y^{2^{n-1}}, \\ldots, y^{2^{n-1}}}_n] = 1.\n\\]\n\n여기서 \\([a, b, c] = [[a, b], c]\\)이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 448,
"split": "train"
} | 448 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 명제가 참인지 거짓인지 판별하시오: 소수 \\( p > 2 \\) 및 \\( n \\in \\mathbb{N} \\)에 대하여, 조합 계수의 합 \n\\[\n\\sum_{i=0}^{\\lfloor n/p \\rfloor} (-1)^i {n \\choose ip} = 0\n\\]\n일 때 그리고 오직 그 때에만 \\( n = (2k - 1)p \\)인 \\( k \\in \\mathbb{N} \\)가 존재한다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}... | math | {
"ground_truth": "참",
"style": "rule"
} | {
"index": 449,
"split": "train"
} | 449 | 8 | Mathematics -> Number Theory -> Prime Numbers | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) = (x + 2)^{-2} \\)의 그래프에 접하는 접선과 x축, y축이 이루는 삼각형의 넓이 중에서 1사분면에 위치하는 최대 넓이를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 450,
"split": "train"
} | 450 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하시오: \\[ \\lim_{(x,y)\\to (1,2)} \\frac{xy^2-4xy-y^2+4x+4y-4}{x^2+y^2-2x-4y+5} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 451,
"split": "train"
} | 451 | 4.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정사각형 \\(ABCD\\)의 내부에서 임의로 점 \\(S\\)를 선택하였을 때, 선분 \\(AS\\), \\(SB\\), \\(AC\\)가 삼각형을 이룰 확률 \\(P\\)를 구하시오. 여기서 \\(AB\\)는 한 변이고, \\(AC\\)는 대각선이다. 확률 \\(P\\)를 다음 형태로 표현하라: \n\\[\nP = \\frac{a - \\pi \\sqrt{b} - \\sqrt{c}}{d}\n\\]\n단, \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(d\\)는 양의 정수이고, \\(d\\)는 가능한 최소값이다. 이때 ... | math | {
"ground_truth": "160",
"style": "rule"
} | {
"index": 452,
"split": "train"
} | 452 | 6 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangulations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$E$를 두 원기둥 \\( x^{2} + y^{2} \\leq 1 \\) 및 \\( y^{2} + z^{2} \\leq 1 \\)의 교집합이라고 하자. 벡터장 \\(\\vec{F} = (x y^{2} + \\cos(y z)) \\hat{i} - (x^{2} + \\sin(z x)) \\hat{j} + (z + \\cos(x y)) \\hat{k}\\)에 대하여, 경계면 \\(\\partial E\\)에서 바깥쪽으로 향하는 방향으로의 플럭스 \\(\\iint_{\\partial E} \\vec{F} \\cdot d\\vec{S}\... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{32}{5}",
"style": "rule"
} | {
"index": 453,
"split": "train"
} | 453 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "표준 브라운 운동 \\((W_t)_{t \\ge 0}\\)에 대하여 조건부 확률 \\( P\\left(\\inf_{t\\in [1,2]} W_t < 0 ~ \\middle| ~ W_1 >0,~ W_2 >0\\right) \\)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{3}",
"style": "rule"
} | {
"index": 454,
"split": "train"
} | 454 | 9 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "구면 \\(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z=3\\)에 접하는 평면 \\(2x-2y+z+12=0\\)의 접점을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(-1, 4, -2)",
"style": "rule"
} | {
"index": 455,
"split": "train"
} | 455 | 5 | Mathematics -> Geometry -> Solid Geometry -> 3D Shapes | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 공간 \\((\\Omega, \\mathcal{A}, P)\\)와 실 힐베르트 공간 \\(\\mathcal{H}\\)를 고려하자. 두 \\(\\mathcal{H}\\)-값 확률 변수 \\(X: \\Omega \\to \\mathcal{H}\\)와 \\(Y: \\Omega \\to \\mathcal{H}\\)가 주어졌고, 모든 \\(\\omega \\in \\Omega\\)에 대해 \\(X(\\omega)\\)와 \\(Y(\\omega)\\)가 원점을 중심으로 반지름 \\(\\frac{r}{2}\\)인 공집합 \\(C \\s... | math | {
"ground_truth": "\\|X - Y\\|^2 \\leq r^2",
"style": "rule"
} | {
"index": 456,
"split": "train"
} | 456 | 6.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Vectors | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 식을 \\(\\frac{n}{m}\\) 꼴로 약분하되, \\(n\\)과 \\(m\\)이 서로소가 되도록 하세요: \n\\[\n\\frac{2^{2017}+1}{3 \\cdot 2^{2017}}\n\\]\n이때, \\(m+n\\)을 1000으로 나눈 나머지를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "763",
"style": "rule"
} | {
"index": 457,
"split": "train"
} | 457 | 4.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\phi: \\mathbb{Z}_{20} \\to \\mathbb{Z}_{20}\\)가 자동사상(automorphism)이고 \\(\\phi(5) = 5\\)일 때, \\(\\phi(x)\\)의 가능한 사상(mapping)의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "4",
"style": "rule"
} | {
"index": 458,
"split": "train"
} | 458 | 4.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\phi \\)가 적분 방정식 \\(\\int_{0}^{x} (1 - x^2 + t^2) \\phi(t) dt = \\frac{x^2}{2}\\)의 해라고 할 때, \\(\\phi(\\sqrt{2})\\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sqrt{2} e^{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 459,
"split": "train"
} | 459 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[\n\\lim_{t \\to \\infty} t\\log\\left(\\dfrac{\\dfrac{\\log(\\alpha + 1)}{t} - \\dfrac{\\log(t + \\alpha)}{t}}{ 1 - \\dfrac{1}{t(t + \\alpha)}} + 1\\right)\n\\]\n단, \\( t \\in \\mathbb{N} \\)이고 \\( \\alpha > 0 \\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
... | math | {
"ground_truth": "-\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 460,
"split": "train"
} | 460 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "유한 차원 반단순 리 대수 \\(\\mathfrak{g}\\) 위의 \\(\\mathfrak{g}\\)-가군에 대한 다음과 같은 짧은 완전열을 고려하자:\n\\[ 0 \\rightarrow X \\rightarrow Y \\rightarrow Z \\rightarrow 0 \\]\n여기서 \\(X\\)와 \\(Z\\)가 범주 \\(\\mathcal{O}\\)에 속한다고 할 때, \\(Y\\)도 범주 \\(\\mathcal{O}\\)에 속하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"r... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 461,
"split": "train"
} | 461 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln (1+x \\arctan x)-e^{x^2}+1}{\\sqrt{1+2x^4}-1} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\dfrac{4}{3}",
"style": "rule"
} | {
"index": 462,
"split": "train"
} | 462 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( I = \\langle x^2 + 4x + 4, xy + x + 2y + 2, y^3 + 3y^2 + 3y + 1 \\rangle \\)일 때, 벡터 공간 \\( \\mathbb{C}[x,y]/I \\)의 \\(\\mathbb{C}\\) 위의 차원을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "4",
"style": "rule"
} | {
"index": 463,
"split": "train"
} | 463 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "동전을 반복해서 던지는데, 연속으로 앞면 두 개 또는 뒷면 두 개가 나올 때까지 던진다. 게임은 연속된 뒷면 두 개가 나와서 끝났다. 이때, 게임이 앞면으로 시작했을 확률을 분수로 나타내시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{3}",
"style": "rule"
} | {
"index": 464,
"split": "train"
} | 464 | 2.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "소수 \\( p \\)에 대하여, 체 \\( \\mathbb{Q}_p^{ext} = \\mathbb{Z}((X))_{conti}/(X-p) \\) 위의 대수적 폐포의 확장 차수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 465,
"split": "train"
} | 465 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_{-2}^2 \\int_{-\\sqrt{4-x^2}}^{\\sqrt{4-x^2}} \\int_{-\\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\\sqrt{4-x^2-y^2}} (z^3 \\cos xyz - 3) \\, dz \\, dy \\, dx \\) 을 적분을 사용하지 않고 계산하세요. 간단한 이유를 덧붙이시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-32\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 466,
"split": "train"
} | 466 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "초기 조건이 \\(a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0\\), \\(a_5 = 1\\)이고, 점화식이\n\\[\na_{n+6} = \\frac{a_{n+5} + a_{n+4} + a_{n+3} + a_{n+2} + a_{n+1} + a_n}{6}\n\\]\n일 때, \\(n \\to \\infty\\)일 때의 \\(\\lim_{n \\to \\infty} a_n\\) 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{2}{7}",
"style": "rule"
} | {
"index": 467,
"split": "train"
} | 467 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( c_n = \\begin{cases} 1 &; \\lceil np \\rceil - \\lceil (n-1)p \\rceil = 1 \\\\ -1 &; \\lceil np \\rceil - \\lceil (n-1)p \\rceil = 0 \\end{cases} \\)일 때, 급수 \\( \\sum_{n=1}^\\infty c_n \\cdot \\frac{1}{n} \\)가 수렴하는 \\( p \\in (0,1) \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"ro... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 468,
"split": "train"
} | 468 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 실수 \\( x \\)와 \\( y \\)에 대하여 다음 식을 만족하는 연속 함수 \\( f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R} \\)를 모두 구하시오: \n\\[\nf\\left(\\frac{x+y}{2}\\right) = \\frac{f(x) + f(y)}{2}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "f(x) = ax + b",
"style": "rule"
} | {
"index": 469,
"split": "train"
} | 469 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "아주 큰 기수 공리인 \\(I_0\\), \\(I_1\\), 그리고 \\(I_2\\)가 연속체 가설(CH) 및 일반화 연속체 가설(GCH)과 일관되는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 470,
"split": "train"
} | 470 | 9.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$\\mathbb{Q}(\\sqrt[4]{2})$에서 $\\mathbb{R}$로 가는 체 준동형 사상(field homomorphism)의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 471,
"split": "train"
} | 471 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(14 \\times 14\\) 행렬 \\(A\\)가 있고, \\(\\text{rank}(A) = 12\\)이며, \\(\\lambda = 0\\)이 대수적 중복도(algebraic multiplicity)가 4인 고유값이라고 하자. 다음 중 참인 명제를 구하시오:\n\n1. \\(\\text{rank}(A^2) = 12\\).\n2. \\(\\text{rank}(A^3) \\leq 11\\).\n3. 주어진 조건을 만족하는 행렬은 존재하지 않는다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
... | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 472,
"split": "train"
} | 472 | 6.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 연립방정식을 풀어라: \\[ \\begin{cases} x + y^2 = 7 \\\\ x^2 + y = 11 \\end{cases} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(3, 2)",
"style": "rule"
} | {
"index": 473,
"split": "train"
} | 473 | 3 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Equations and Inequalities | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "제약 조건 \\( 0 \\leq x+y, y+z, z+x \\leq 1 \\) 및 \\( 0 \\leq x, y, z \\leq 1 \\) 하에서 함수 \\( F(x,y,z) = \\frac{1}{x+y} + \\frac{1}{x+z} - \\frac{1}{x+y+z} \\)의 최솟값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 474,
"split": "train"
} | 474 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "타원 \\(\\frac{x^2}{25} + \\frac{y^2}{36} = 1\\) 위의 폐곡선 \\(C\\)에 대해 선적분 \\( \\oint_C P\\,dx + Q\\,dy \\)를 계산하시오. 여기서 벡터장은 다음과 같이 주어진다:\n\\[\nP = \\frac{-y}{(x-1)^2 + y^2}, \\quad Q = \\frac{x-1}{(x-1)^2 + y^2}\n\\]\n벡터장이 타원 내부의 점 \\((1,0)\\)에서 정의되지 않음을 고려하여 적분값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에... | math | {
"ground_truth": "2\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 475,
"split": "train"
} | 475 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "단일 균등 분포 확률 변수 \\(0 \\leq x < 1\\)를 평균 0, 표준편차 1인 정규 분포 값으로 변환할 수 있는 계산 가능한 함수가 존재합니까? 만약 정확한 함수가 존재하지 않는다면, 근사 함수는 있습니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\Phi^{-1}(x)",
"style": "rule"
} | {
"index": 476,
"split": "train"
} | 476 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "숫자의 자릿수가 무한대로 갈 때, 숫자의 평균 소인수 개수에 대한 점근적 표현을 구하시오. 보다 엄밀하게, 다음의 점근적 거동을 \\( N \\to \\infty \\)일 때 구하시오:\n\\[ \\frac{\\sum_{1\\le k\\le N} M(k)}{N} \\]\n단, \n\\[ M(p_1^{d_1}p_2^{d_2}\\cdots p_k^{d_k}) = d_1+d_2+\\cdots+d_k \\]\n예를 들어, \\( M(24) = M(2^3 \\cdot 3) = 4 \\)이다. 답을 \\( N \\)에 대한 식으로 제시하시... | math | {
"ground_truth": "\\log \\log N",
"style": "rule"
} | {
"index": 477,
"split": "train"
} | 477 | 8 | Mathematics -> Number Theory -> Prime Numbers | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "반지름이 \\( r \\)이고 원점에 중심을 둔 원 내부의 정수 점의 개수를 \\( f(r) \\)라 할 때, 다음 극한을 구하시오: \n\\[\n\\lim_{r \\to \\infty} \\frac{f(r)}{\\pi r^2}.\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 478,
"split": "train"
} | 478 | 7.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "사상 \\( f : S^1 \\to S^1 \\)가 차수 \\( m \\)인 경우, 공간 \\( X = D^2 \\cup_f S^1 \\)에 대해 두 번째 호모토피 군 \\( \\pi_2(X) \\)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\mathbb{Z}",
"style": "rule"
} | {
"index": 479,
"split": "train"
} | 479 | 8.5 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Manifolds | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "반지름이 1인 원 \\(w\\)에 내접하는 삼각형 \\(\\Delta ABC\\)에서, \\(\\angle BAC = 60^\\circ\\)이다. \\(\\Delta ABC\\)에 내접하는 원의 중심이 \\(I\\)일 때, 선분 \\(AI\\)가 원 \\(w\\)와 두 번째로 만나는 점을 \\(D\\)라 한다. \\(ID\\)의 길이를 구하시오. \\(\\text{답은 하나의 숫자로 표현하시오.}\\)\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 480,
"split": "train"
} | 480 | 6.5 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangulations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_{0}^{y} \\sqrt{x^4 + (y - y^2)^2} \\, dx \\) 를 최대화하는 \\( y \\in [0, 1] \\) 의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 481,
"split": "train"
} | 481 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x,y) = x^2 \\sin(y) \\)를 영역 \\([0,1] \\times [0,\\pi]\\) 위에서 \\( g(x,y) = 2x - 2y \\)로 정의된 곡면에 대해 적분값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 482,
"split": "train"
} | 482 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( f \\)가 복소수의 열린 부분집합 \\( V \\)에서 연속인 함수이고 \\( z \\in V \\)일 때, 다음 극한값을 계산하시오:\n\\[\n\\lim_{h\\rightarrow 0} \\dfrac {e^{f(z+h)} - e^{f(z)}}{f(z+h) - f(z)}.\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{f(z)}",
"style": "rule"
} | {
"index": 483,
"split": "train"
} | 483 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "미분방정식 \\( \\frac{dy}{dx}=\\frac{y^3}{e^x +y^2} \\)로 정의된 곡선이 점 \\((0,2)\\)를 지난다. 직선 \\(x=\\ln 5\\)가 이 곡선과 만나는 점에서 \\(y=a\\), \\(y=b\\)일 때, \\(\\frac{4(a^2+b^2)}{53}\\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "5",
"style": "rule"
} | {
"index": 484,
"split": "train"
} | 484 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "차수가 \\(19^5\\)인 비동형 아벨 군의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "7",
"style": "rule"
} | {
"index": 485,
"split": "train"
} | 485 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$X_1, X_2, \\ldots, X_n$이 정규분포 \\(N(\\mu, \\sigma^2)\\)로부터의 임의표본(random sample)이라고 하자. 표본평균 \\(\\bar{x}\\)와 표본분산 \\(S^2\\)에 대하여, 확률변수 \\(Y = c(\\bar{x} - \\mu)^2 / S^2\\)를 정의한다. 이때, \\(Y\\)가 어떤 이름 있는 분포(named distribution)를 따르도록 하는 상수 \\(c\\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"ro... | math | {
"ground_truth": "n",
"style": "rule"
} | {
"index": 486,
"split": "train"
} | 486 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음과 같이 정의된 Cox-Ingersoll-Ross 과정의 분산을 \\( t \\rightarrow 0^+ \\)일 때 계산하시오:\n\\[ d X(t) = \\alpha (\\mu - X(t))dt + \\sigma \\sqrt{X(t)} dW(t) \\]\n분산은 다음과 같이 주어진다:\n\\[ Var(X(t))= X(0)\\bigg(\\frac{\\sigma^2}{\\alpha}\\bigg)(e^{-\\alpha t}-e^{-2\\alpha t}) + \\mu\\bigg(\\frac{\\sigma^2}{2 \\alpha}... | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 487,
"split": "train"
} | 487 | 7.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$C, D \\subseteq \\mathbb{R}$라고 하자. 만약 $C$가 콤팩트(compact)이고 $D$가 닫힌 집합(closed)이라면, $d(C, D) = |c - d|$를 만족하는 $c \\in C$와 $d \\in D$가 존재하는가? 그 이유를 설명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 488,
"split": "train"
} | 488 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$\\gamma$를 원점을 한 바퀴 도는 매끄러운 곡선이라고 하고, \\(M:= \\mathbb{R}^2 \\setminus \\{(0,0)\\}\\)에서 \\(\\gamma\\)의 상을 \\(N\\)이라 하자. \\(N\\)은 \\(M\\)의 부분 다양체라고 가정한다. \\(N\\)에 반시계 방향의 방향을 부여하였을 때, \\(\\alpha = \\frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}\\)이고 \\(i: N \\to M\\)이 포함 사상일 때, \\(\\int_N i^* \\alpha\\)를 계산하시오.\n단계별로 ... | math | {
"ground_truth": "2\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 489,
"split": "train"
} | 489 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 질량 함수가 다음과 같이 주어진 확률 변수 \\( a_n = \\frac{1+i}{2+n} \\)의 기댓값을 계산하세요:\n\\[\nP(i) = \\binom{n}{i} \\frac{(2i-1)!!(2(n-i)-1)!!}{(2n)!!}\n\\]\n기댓값 \\( E(a_n) \\)를 다음과 같이 나타내세요:\n\\[\nE(a_n) = \\sum_{i=0}^{n} \\frac{1+i}{2+n} \\binom{n}{i} \\frac{(2i-1)!!(2(n-i)-1)!!}{(2n)!!}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 ... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 490,
"split": "train"
} | 490 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(X\\)를 그 열린 집합들에 의해 생성된 Borel \\(\\sigma\\)-대수 \\(\\mathscr{B}\\)를 갖는 분리 가능한 거리 공간이라고 하자. 모든 \\(x \\in X\\)와 \\(q > 0\\)에 대하여 \\(\\mu(B_q(x)) > 0\\)인 확률 측도 \\(\\mu: \\mathscr{B} \\to [0,1]\\)가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 491,
"split": "train"
} | 491 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "어떤 \\( M > 0 \\)에 대하여 모든 \\( x > M \\)에 대해 \\( f(x) < \\log(x) \\)를 만족하는, 무한대로 발산하는 함수 \\( f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R} \\)가 존재하는지 여부를 결정하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 492,
"split": "train"
} | 492 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "방정식 \\(24xy = x^4 + 48\\)으로 정의된 곡선의 호의 길이를 \\(x = 2\\)에서 \\(x = 4\\)까지 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{17}{6}",
"style": "rule"
} | {
"index": 493,
"split": "train"
} | 493 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "폴란드 공간 \\(X\\)와 \\(X\\)의 증가하는 콤팩트 부분집합 열 \\((C_m)_{m \\in \\mathbb{N}}\\)이 주어져 있고, \\(C = \\bigcup_{m} C_m\\)이라 하자. 함수족 \\(\\{f_n : n \\in \\mathbb{N}\\}\\)는 \\(X\\)에서 \\([0,1]\\)로 가는 함수들로, \\(X\\)의 콤팩트 부분집합 위에서 등등연속(equicontinuous)이라고 하자. 아르젤à-아스콜리 정리에 의해, 각 \\(C_m\\) 위에서 균등 수렴하는 부분열 \\((f_{k_n})... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 494,
"split": "train"
} | 494 | 8.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "고전적인 Burgers 방정식 \\( u_t + uu_x = 0 \\)에 대한 초기값 문제를 고려하되, 초기 조건은 다음과 같다:\n\\[\n u(x,0) = \\phi(x) = \\begin{cases} \n 2, & x \\leq \\pi/2 \\\\\n \\sin x + 1, & \\pi/2 < x \\leq 3\\pi/2 \\\\\n 0, & x > 3\\pi/2 \n\\end{cases}\n\\]\n이 문제에 대한 파손 시간 \\( t_B \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어... | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 495,
"split": "train"
} | 495 | 8 | Mathematics -> Differential Equations -> Partial Differential Equations (PDEs) | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) = a^x + b^x + c^x \\)가 주어졌고, 여기서 \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\)는 알려지지 않은 0 이상의 정수라고 할 때, \n\\( f(1) = 6 \\), \\( f(2) = 14 \\), \\( f(3) = 36 \\)이 주어졌습니다. \n이때 \\( f(4) \\)의 값을 구하세요. 단, \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\)를 직접 구하지 말고, \\(x < 4\\)일 때 주어진 \\(f(x)\\)의 값만을 이용하여 \\(f(4)\\)를 구하는 방법이나 공식을 ... | math | {
"ground_truth": "98",
"style": "rule"
} | {
"index": 496,
"split": "train"
} | 496 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "포물선 \\(y^2 = 4x\\)와 원 \\((x-3)^2 + y^2 = 9\\)이 만나는 점들 중 원점이 아닌 점에서의 접선들의 교점을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(-2, 0)",
"style": "rule"
} | {
"index": 497,
"split": "train"
} | 497 | 5 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Angles | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "독립 확률 변수 열 \\(X_n \\sim U(1, 1+1/n)\\)가 거의 확실하게 수렴하는지 여부를 결정하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 498,
"split": "train"
} | 498 | 7.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "연속 미분 가능하며 함수 자체와 도함수가 모두 유계인 함수들의 공간 \\(C^1_b(B)\\)가 모든 \\(p \\ne \\infty\\)에 대해 \\(L^p(B, \\mu)\\)에서 조밀한가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 499,
"split": "train"
} | 499 | 8 | Mathematics -> Other | Hard |
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