data_source stringclasses 1
value | prompt listlengths 1 1 | ability stringclasses 1
value | reward_model dict | extra_info dict | original_index int64 0 102k | difficulty float64 1 10 | topic stringclasses 82
values | difficulty_level stringclasses 3
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$R$를 단위원을 갖는 교환환(commutative ring)이라고 하고, \\(A, B \\in \\operatorname{Mat}(n, R)\\)가 가역 행렬이라고 하자. 모든 자연수 \\(k, l > 1\\)에 대하여 \\(A^k B^l = B^l A^k\\)라고 할 때, 이것이 \\(AB = BA\\)를 의미하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 300,
"split": "train"
} | 300 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "선형 조건들의 집합 \\( \\mathcal{T} \\)에 몇 개의 선형 조건을 추가해야, 임의의 선형 조건 선택에 대해 \\( \\mathcal{T'} \\subseteq \\mathcal{T} \\)가 이들 선형 조건에 의해 정의될 때 다음 부등식이 성립하도록 할 수 있는지 구하시오:\n\\[\n|M_{\\gamma_{1}}(Q, \\mathcal{T'})| < |M_{\\gamma_{2}}(Q, \\mathcal{T'})|\n\\]\n단, \\(0 < \\gamma_1 < \\gamma_1 + 1 \\leq \\gamma_... | math | {
"ground_truth": "\\gamma_2 - \\gamma_1",
"style": "rule"
} | {
"index": 301,
"split": "train"
} | 301 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "회사 A는 뉴욕과 뉴어크 간에 버스를 운행하며, 24시간 동안 매 30분마다 뉴욕에서 출발하는 버스를 운행한다. 회사 B도 같은 노선에서 버스를 운행하지만, 버스 출발 간격은 고정되어 있지 않고 평균적으로 시간당 2대가 출발한다. 승객들이 버스 정류장에 도착하는 시간이 균등하게 무작위이며, 별도의 여행 계획 없이 도착한다고 할 때, 회사 A의 버스를 이용하는 승객이 회사 B의 버스를 이용하는 승객보다 평균 대기 시간이 더 짧은지 판단하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"rol... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 302,
"split": "train"
} | 302 | 3 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 적분을 계산하세요: \\( \\int_{0}^1 \\left( \\int_0^{1} f(x,y) \\, dx \\right) dy \\), 여기서 함수 \\( f(x,y) \\)는 다음과 같이 정의됩니다:\n\n\\[ f(x,y) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}, & \\text{if } x \\text{ is rational} \\\\ y, & \\text{if } x \\text{ is irrational} \\end{cases} \\]\n\n적분의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 303,
"split": "train"
} | 303 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "쌍곡 데카헤드럴 공간(hyperbolic dodecahedral space)이 3차원 초구(genus 3)의 하이거 분할(Heegaard splitting)을 허용하는지 판별하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 304,
"split": "train"
} | 304 | 9 | Mathematics -> Geometry -> Non-Euclidean Geometry -> Hyperbolic Geometry | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(x > 0\\)이고 \\(x \\neq 0\\)일 때, \\(g(x) = \\int_x^{x^2} \\frac{1}{\\ln t} \\, dt\\)로 정의되어 있다. 다음 부등식들이 주어져 있다:\n\n1. \\(t - \\frac{t^2}{2} \\leq \\ln(1+t) \\leq t\\)\n2. \\(\\frac{1}{t - \\frac{t^2}{2}} = \\frac{1}{t} + \\frac{\\frac{1}{2}}{1 - \\frac{t}{2}}\\)\n\n이때, \\(g(x)\\)가 \\(x \\to 1\\)일... | math | {
"ground_truth": "\\ln 2",
"style": "rule"
} | {
"index": 305,
"split": "train"
} | 305 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "행렬 \\(A=\\begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 3 & 2 \\end{bmatrix}\\)가 주어졌을 때, 벡터 내적 \\((.,.)\\)가 정의된 상황에서 \\(\\frac{|(Ax,x)|}{(x,x)}\\)의 최댓값을 구하시오. 여기서 최대화는 \\(\\sum_{i=1}^{3} x_i = 0\\)인 조건을 만족하는 모든 벡터 \\(x=\\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3\\end{bmatrix}^T \\in \\mathbb{R}^3\\)에 대해 수행... | math | {
"ground_truth": "3",
"style": "rule"
} | {
"index": 306,
"split": "train"
} | 306 | 6.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "반시계 방향으로 방향이 정해진 원 \\(|z|=2\\) 위에서 다음 적분을 계산하세요: \\( \\int_{|z|=2} \\frac{1}{z^2-1} \\, dz \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 307,
"split": "train"
} | 307 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 무한급수의 합을 구하세요: \\[ \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \\cdot \\left(\\frac{1}{2^n}\\right) \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sqrt{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 308,
"split": "train"
} | 308 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 비선형 상미분 방정식계의 모든 정지점을 구하시오:\n\\[ \\frac{dx}{dt} = -y + ax^3 \\]\n\\[ \\frac{dy}{dt} = x + ay^3 \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(0, 0)",
"style": "rule"
} | {
"index": 309,
"split": "train"
} | 309 | 5.5 | Mathematics -> Differential Equations -> Ordinary Differential Equations (ODEs) | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "비음수이며 동일 분포를 갖는 확률 변수들의 수열 \\(X_i\\)가 주어지고, 각 확률 변수의 기댓값이 \\(\\mu = \\mathbb{E}[X_i]\\)일 때, 합 \\(\\sum_{i=1}^k X_i\\)가 처음으로 임계값 \\(t\\)에 도달하거나 초과하는 시점의 기대 정지 시간 \\(\\tau\\)를 구하시오. \\(\\mathbb{E}[\\tau]\\)를 \\(t\\)와 \\(\\mu\\)로 표현하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{t}{\\mu}",
"style": "rule"
} | {
"index": 310,
"split": "train"
} | 310 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 변수 \\( X \\)가 파라미터 \\(\\lambda\\)를 갖는 포아송 분포를 따른다고 할 때, 기댓값 \\( E[2^{-X}] \\)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{-\\lambda/2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 311,
"split": "train"
} | 311 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "방정식 \\(x + 2y + 3z = 33\\)의 음이 아닌 정수 해의 개수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "108",
"style": "rule"
} | {
"index": 312,
"split": "train"
} | 312 | 3 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\theta_1 + \\theta_2 + \\phi = \\pi \\)이고 \\( 0 < \\phi < \\pi \\)일 때, 함수 \\( f = \\sin\\theta_1 + \\sin\\theta_2 \\)의 최소값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sin \\phi",
"style": "rule"
} | {
"index": 313,
"split": "train"
} | 313 | 4 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 실수 \\( x, y \\)에 대하여 \\( f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\)인 함수 \\( f \\)가 다음을 만족할 때, 모든 \\( f \\)를 구하시오:\n\\[\nf(f(x) - y) = f(x) + f(f(y) - f(-x)) + x.\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "f(x) = -x",
"style": "rule"
} | {
"index": 314,
"split": "train"
} | 314 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "곡선 \\( y = \\cosh(x) \\)로 주어진 카테나리 곡선 \\( C \\)의 길이 \\( L \\)를 구하시오. 구간은 \\(\\log(2) \\leq x \\leq \\log(3)\\)이다. 답은 알려진 함수나 상수로 표현하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{7}{12}",
"style": "rule"
} | {
"index": 315,
"split": "train"
} | 315 | 4.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\((x^3 + x^4 + x^5 + \\ldots + x^{10})^4\\)의 전개식에서 \\(x^{21}\\)의 계수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "204",
"style": "rule"
} | {
"index": 316,
"split": "train"
} | 316 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "각각 가산 기저를 갖는 위상 공간들의 가산 곱공간도 가산 기저를 갖는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 317,
"split": "train"
} | 317 | 7.5 | Mathematics -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "삼각형 \\(ABC\\)가 있고, 점 \\(D\\), \\(E\\), \\(F\\)가 각각 변 \\(BC\\), \\(AC\\), \\(AB\\) 위에 있으며, \\(BD : DC = 1 : 1\\), \\(CE : EA = 1 : 3\\), \\(AF : FB = 1 : 4\\)이다. 변 \\(AC\\) 위의 점 \\(G\\)는 \\(D\\)에서 \\(AB\\)에 평행한 직선을 그었을 때의 교점이다. 선분 \\(DG\\)와 \\(EF\\)가 교차하는 점을 \\(X\\)라 할 때, 삼각형 \\(ABC\\)의 넓이가 120일 때,... | math | {
"ground_truth": "13",
"style": "rule"
} | {
"index": 318,
"split": "train"
} | 318 | 4.5 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangulations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "부등식 \\( n^{\\sqrt{n+2}} > (n+1)^{\\sqrt{n+1}} \\)가 성립하는 정수 \\( n \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "n \\geq 9",
"style": "rule"
} | {
"index": 319,
"split": "train"
} | 319 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "항등적으로 0이 아니면서 영점이 무한히 많고, 그 영점의 개수가 셀 수 없는 집합인 전해 함수(holomorphic function)가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 320,
"split": "train"
} | 320 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "군 \\( \\mathbb{Z}_{30} \\oplus \\mathbb{Z}_{120} \\)에서 차수가 10인 서로 다른 순환 부분군의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "18",
"style": "rule"
} | {
"index": 321,
"split": "train"
} | 321 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "행렬 \\( A \\)가 \\( 5 \\times 4 \\) 크기이고 행렬 \\( B \\)가 \\( 4 \\times 5 \\) 크기이며, 행렬 \\( B \\)가 적어도 하나의 선형종속인 행(줄)을 가지고 있을 때, 곱 행렬 \\( AB \\)도 적어도 하나의 선형종속인 행을 가지는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 322,
"split": "train"
} | 322 | 3.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "유한 차원 리 군 \\(G\\)와 \\(G\\)의 동형인 부분군들의 두 공변류 \\(H\\)와 \\(I\\)를 고려하자. \\(H\\)와 \\(I\\)를 하나의 공변류로 합치는 유한 차원 리 군의 초군(overgroup)이 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 323,
"split": "train"
} | 323 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "수열 \\( \\{a_n\\} \\)이 \\( a_1 = 1 \\)이고 \\( a_{n+1} = (1 + a_1)(1 + a_2)\\cdots(1 + a_n) \\)로 정의될 때, 무한급수 \\( \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{1 + a_n} \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 324,
"split": "train"
} | 324 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\mathbb{F}_5\\) 위에서 다항식 \\(\\alpha^3 + \\alpha^2 + 1 = 0\\)의 근 \\(\\alpha\\)에 대하여, \\(2\\alpha(\\alpha + 1)^{-1}\\)을 차수가 2 이하이고 계수가 \\(\\mathbb{F}_5\\)에 속하는 \\(\\alpha\\)의 다항식으로 나타내세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2\\alpha^2 + 2",
"style": "rule"
} | {
"index": 325,
"split": "train"
} | 325 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "잔여 정리를 사용하여 적분 \\( \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{x \\sin(\\pi x)}{(x-3)(x-2)} \\, dx \\)를 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-5\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 326,
"split": "train"
} | 326 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\left(\\frac{1-i}{\\sqrt{2}}\\right)^n = 1\\)을 만족하는 가장 작은 양의 정수 \\( n \\)을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "8",
"style": "rule"
} | {
"index": 327,
"split": "train"
} | 327 | 3.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_0^{2\\pi} \\frac{x \\cos x}{2 - \\cos^2 x} \\, dx \\) 의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 328,
"split": "train"
} | 328 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정수 \\( n \\neq 0,1 \\)에 대하여 \\( \\pi_n(S^2) = 0 \\)인 경우가 존재하는지 판별하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 329,
"split": "train"
} | 329 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "재귀 관계식 \\( T(n) = 2nT(\\sqrt{n}) + 1 \\)을 풀어라.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\Theta(n^2 \\log n)",
"style": "rule"
} | {
"index": 330,
"split": "train"
} | 330 | 6 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Algorithms | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "장거리 전화 통화 시간 \\(Y\\) (단위: 분)는 다음과 같은 확률 변수를 갖는다: \\(P(Y=3)=0.2\\) 및 \\(P(Y=6)=0.1\\). 그 외에는 \\(Y\\)가 다음과 같은 연속 확률 밀도 함수를 가진다: \n\\[\nf(y)= \\begin{cases} \n(1/4)ye^{-y/2}, & y>0 \\\\ \n0, & \\text{그 외의 경우} \n\\end{cases}\n\\]\n임의로 선택한 장거리 전화 통화의 기대 지속 시간을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세... | math | {
"ground_truth": "4",
"style": "rule"
} | {
"index": 331,
"split": "train"
} | 331 | 4.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "군 \\(G\\)의 켤레류의 개수가, 모든 교환자 \\(g^{-1}h^{-1}gh\\)에 의해 생성된 정규 부분군 \\(N\\)에 대한 아벨화 \\(G/N\\)의 원소 개수와 같은가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 332,
"split": "train"
} | 332 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(x_1, x_2, x_3\\)을 방정식 \\(x^3 - x^2 - 1 = 0\\)의 근이라고 하자. 여기서 \\(x_1\\)은 실근이다. 다음 극한값을 구하시오: \n\\[\n\\lim_{n \\to \\infty} (x_2^n + x_3^n).\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 333,
"split": "train"
} | 333 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음과 같은 \\(3 \\times 3\\) 행렬 \\(A\\)가 주어졌을 때, \n\\[\n\\mathrm{adj}(A) = \\begin{pmatrix}3 & -12 & -1 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ -3 & -12 & 2\\end{pmatrix},\n\\] \n\\(\\det(A)\\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3",
"style": "rule"
} | {
"index": 334,
"split": "train"
} | 334 | 4 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Determinants | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$f$와 $g$가 서로 독립이고 동일한 분포(iid)를 가지는 확률 변수이며, $h$가 $f$와 $g$에 대해 선형 종속(linearly dependent)이라고 하자. 만약 $f$, $g$, $h$가 모두 같은 분포를 가진다면, 이들이 모두 정규 분포를 따른다고 결론지을 수 있는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 335,
"split": "train"
} | 335 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다항식 \\( g(x) = x^{15} + x^{14} + 1 \\)이 체 \\( \\mathbb{Z}_2 \\) 위에서 \\( x^n - 1 \\)을 나누도록 하는 최소 양의 정수 \\( n \\)을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "32767",
"style": "rule"
} | {
"index": 336,
"split": "train"
} | 336 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\{z_1,z_2,\\ldots,z_9\\}\\)을 1을 제외한 10제곱 단위근들의 집합이라고 하자. 다음 이중 합의 값을 계산하시오: \\[ \\sum_{r=0}^{37}\\sum_{i=1}^{9}z_i ^r \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 337,
"split": "train"
} | 337 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(a + b + c = 1\\), \\(a^2 + b^2 + c^2 = 2\\), 그리고 \\(a^3 + b^3 + c^3 = 3\\)일 때, \\(a^4 + b^4 + c^4\\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{25}{6}",
"style": "rule"
} | {
"index": 338,
"split": "train"
} | 338 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Algebraic Expressions | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 \\( P(x=10) = \\frac{\\binom{1000}{10}\\binom{n-1000}{140}}{\\binom{n}{150}} \\)를 최대로 만드는 \\( n > 1000 \\)의 값을 구하세요. 여기서 \\( n \\)은 상자 안에 있는 동일한 공의 총 개수입니다. 처음에 1000개의 공에 표시를 하고 다시 상자에 넣은 후, 150개의 공을 무작위로 뽑았습니다. 이 확률을 가장 크게 하는 \\( n \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"ro... | math | {
"ground_truth": "15000",
"style": "rule"
} | {
"index": 339,
"split": "train"
} | 339 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( A \\)가 가역인 \\( 3 \\times 3 \\) 행렬이고, \\( B \\)가 임의의 \\( 3 \\times 3 \\) 행렬일 때, \\( A + nB \\)가 가역이 되는 0이 아닌 정수 \\( n \\)가 존재하는지 판별하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 340,
"split": "train"
} | 340 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 식의 점근적 경계를 구하세요: \\( \\sum_{i=0}^{\\log(n)} 2^{i} \\sum_{k=0}^{\\frac{n}{2^{i}}} (k+2)^{2} + \\theta(n) \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\Theta(n^3)",
"style": "rule"
} | {
"index": 341,
"split": "train"
} | 341 | 7.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Algorithms | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하시오: \\[ \\lim_{x \\to 0^{+}} \\frac{\\sqrt{x}-\\sqrt[3]{x}}{\\sqrt[5]{x}-\\sqrt[7]{x}} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 342,
"split": "train"
} | 342 | 5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "비정상 미분방정식 \\( ydx + (2x - ye^y)dy = 0 \\)에 대해 적분인자 \\(\\mu(x,y) = x^m y^n\\)를 구하시오. 이 적분인자를 곱했을 때 방정식이 완전미분방정식이 되어야 합니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "y",
"style": "rule"
} | {
"index": 343,
"split": "train"
} | 343 | 5 | Mathematics -> Differential Equations -> Ordinary Differential Equations (ODEs) | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "행렬 \\( A = \\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -2 & -2 & 1 \\end{pmatrix} \\)와 \\( AX = XA \\)를 만족하는 3차 정사각 행렬 \\( X \\) (대각화 가능)를 고려할 때, \\( \\text{Tr}(AX) = d \\)일 때 \\( \\det(AX) \\)의 최대값을 구하세요. 단, \\( X \\)의 모든 고유값은 양수라고 가정합니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": ... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{d^3}{27}",
"style": "rule"
} | {
"index": 344,
"split": "train"
} | 344 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "누적분포함수 \\( F(x) \\)가 다음과 같이 정의된 확률변수 \\( X \\)에 대하여, \\( \\mathbb{E}[X 1_{X \\geq \\omega}] \\)의 기댓값을 구하시오: \n\\( F(x) = 0 \\) if \\( x < 1 \\), \\( F(x) = 1 - 1/x^p \\) if \\( 1 \\leq x < \\omega \\), 그리고 \\( F(x) = 1 \\) if \\( x \\geq \\omega \\), 여기서 \\( 0 < p < 1 \\)이고 \\( \\omega > 1 \\)이다.\... | math | {
"ground_truth": "\\omega^{1 - p}",
"style": "rule"
} | {
"index": 345,
"split": "train"
} | 345 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "거리 함수가 \\(d(f,g) = e^{-k}\\)로 정의되고, \\(k = \\min \\{ i : f(i) \\neq g(i) \\}\\)인 메트릭 공간 \\(X = \\prod_{i=1}^{\\infty} \\mathbb{R}\\)가 완비 공간인지 판단하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 346,
"split": "train"
} | 346 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 연립방정식을 만족하는 모든 실수 쌍 \\((x, y)\\)를 구하세요:\n\\[\n\\begin{align*}\n\\log_3{x} + \\log_2{y} &= 2, \\\\\n3^{x} - 2^{y} &= 23.\n\\end{align*}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(3, 2)",
"style": "rule"
} | {
"index": 347,
"split": "train"
} | 347 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소평면에서 양의 방향으로 정해진 단위원 \\( |z|=1 \\)을 경로 \\( C \\)로 할 때, 적분 \\( \\int_C \\frac{z + i}{z} \\, dz \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-2\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 348,
"split": "train"
} | 348 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_{0}^{2\\pi} e^{x\\cos \\theta + y\\cos \\theta} d\\theta \\) 에 대한 해석적 표현을 구하세요. 단, \\( \\int_{0}^{2\\pi} e^{x\\cos \\theta } d\\theta = 2\\pi I_0(x) \\) 임을 사용할 수 있으며, 여기서 \\( I_0 \\)는 수정 베셀 함수(modified Bessel function)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
... | math | {
"ground_truth": "2\\pi I_0(x + y)",
"style": "rule"
} | {
"index": 349,
"split": "train"
} | 349 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "구간 \\([0, 1]\\)에서 두 번 연속 미분 가능한 함수 \\( f \\) 중에서, 조건 \\( f(0) = f(1) = 0 \\) 및 \\( f'(0) = 2 \\)를 만족할 때, \\( \\int_0^1 (f''(x))^2 \\, dx \\)의 최소값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "12",
"style": "rule"
} | {
"index": 350,
"split": "train"
} | 350 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "유계 볼록 열린 집합 \\(\\Omega \\subset \\mathbf{R}^n\\)와 볼록 함수열 \\(P_n\\)이 주어졌고, 모든 \\(n\\)에 대해 \\(||P_n||_{L^2(\\Omega)} \\leq C\\)를 만족한다고 하자. 이때, \\(\\Omega\\)의 임의의 콤팩트 부분집합에서 \\(P_n\\)의 부분열이 균등 수렴하는지 여부를 결정하고, 그 이유를 설명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 351,
"split": "train"
} | 351 | 8.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "벡터장 \\(\\xi = \\left(\\frac{x}{\\sqrt{x^2 + y^2}}, \\frac{y}{\\sqrt{x^2+y^2}} \\right)\\)와 \\(\\eta = (-y, x)\\)의 리 괄호(Lie bracket)를 \\(\\mathbb{R}^2\\)에서 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(0, 0)",
"style": "rule"
} | {
"index": 352,
"split": "train"
} | 352 | 7 | Mathematics -> Differential Equations -> Ordinary Differential Equations (ODEs) | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "원통 좌표계에서 다음 편미분 방정식 계를 고려하라:\n\\[ \\partial_r b_2 - \\partial_{\\theta}b_1 = 0, \\\\\n\\partial_{\\theta} b_3 - \\partial_{z}b_2 = 0, \\\\\n\\partial_rb_3 - \\partial_{z}b_1 = \\xi(r, z), \\]\n여기서 \\(\\xi(r, z)\\)는 \\(r\\)과 \\(z\\)의 주어진 함수이고, \\(b_1, b_2, b_3\\)는 \\((r, \\theta, z)\\)의 미지 함수이다. 이 ... | math | {
"ground_truth": "b_2 = 0",
"style": "rule"
} | {
"index": 353,
"split": "train"
} | 353 | 8 | Mathematics -> Differential Equations -> Partial Differential Equations (PDEs) | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) = \\left[\\frac{3 \\sin x}{x}\\right] \\)에서, 여기서 \\([.]\\)는 최대 정수 함수(greatest integer function)를 나타내며 \\(x \\neq 0\\)일 때, \\(x=0\\)에서 함수 \\(f\\)가 연속이 되도록 하는 \\(f(0)\\)의 값을 구하세요. 답은 정수 하나로 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 354,
"split": "train"
} | 354 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "가산 무한차원 바나흐 공간 \\(B\\)와 연속적 선형 단사 사상 \\(f: E \\rightarrow F\\)를 고려하자. 여기서 \\(E\\)는 가산 핵공간(nuclear space), \\(F\\)는 가산 바나흐 공간으로 둘 다 무한차원이다. \\(\\otimes_{\\epsilon}\\)는 국소 볼록 공간(LCS)의 injective 텐서곱을 나타내며, \\(\\hat{\\otimes}_{\\epsilon}\\)는 그 완전화를 의미한다. 그렇다면 다음 사상\n\\[\n1_{B}\\hat{\\otimes}_{\\epsilo... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 355,
"split": "train"
} | 355 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 점에서 불연속이면서도 \\( |f(x)| \\)는 \\( \\mathbb{R} \\)에서 연속인 함수 \\( f(x) \\)가 존재하는지 여부를 결정하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 356,
"split": "train"
} | 356 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소수 사영공간 \\(\\mathbb{P}^{n-1}_{\\mathbb{C}}\\) 내의 사영 다양체 \\(X \\subseteq \\mathbb{P}^{n-1}_{\\mathbb{C}}\\)에 대하여, \\(X\\)의 차원 \\(\\dim X\\)에 대한 여차원(codimension)을 구하시오. 여차원은 \\((n - \\dim X)\\)인지, 아니면 \\((n-1 - \\dim X)\\)인지 판단하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "n - 1 - \\dim X",
"style": "rule"
} | {
"index": 357,
"split": "train"
} | 357 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "코시 주값(Cauchy Principal Value) 방법을 사용하여 적분 \\( PV \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2x+2)} \\, dx \\)의 주값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{2\\pi}{5}",
"style": "rule"
} | {
"index": 358,
"split": "train"
} | 358 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "급수 \\( \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{(-1)^n n^2}{n^p + 1} \\)가 수렴하는 \\( p \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "p > 2",
"style": "rule"
} | {
"index": 359,
"split": "train"
} | 359 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "측도 공간 \\((A, \\mathcal{E}_A)\\), \\((B, \\mathcal{E}_B)\\), \\((C, \\mathcal{E}_C)\\)를 고려하자. \\(f\\)를 \\((A, \\mathcal{E}_A)\\)에서 \\((B, \\mathcal{E}_B)\\)로 가는 마르코프 커널(Markov kernel), \\(g\\)를 \\((A, \\mathcal{E}_A)\\)에서 \\((C, \\mathcal{E}_C)\\)로 가는 마르코프 커널이라고 하자. \\(h_a\\)를 \\((B \\times C, \\ma... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 360,
"split": "train"
} | 360 | 8.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\Omega\\)를 \\(C^2\\) 영역(domain)이라 하고, \\(0 \\in \\partial \\Omega\\)이며, \\(e_n\\)가 \\(0\\)에서 \\(\\Omega\\)의 경계에 수직이라고 하자. \\(0\\)의 근방에서 \\(x_n\\)을 \\(C^2\\) 함수 \\(\\psi\\)에 대해 \\(x_n = \\psi(x_1, x_2, \\ldots, x_{n-1})\\)로 표현하라. 이때, \\(\\psi_i(0) = 0\\) (단, \\(i = 1, 2, \\ldots, n-1\\))임을 결론짓기... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 361,
"split": "train"
} | 361 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$p \\in (0,1)$일 때, $f, g \\in L^p$이면 $f+g \\in L^p$인가요?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 362,
"split": "train"
} | 362 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "참 또는 거짓: 함수 \\(f: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^m\\)가 연속 함수이고 \\(A\\)가 \\(\\mathbb{R}^n\\)에서 볼록 집합일 때, \\(f(A)\\)도 \\(\\mathbb{R}^m\\)에서 볼록 집합인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "B",
"style": "rule"
} | {
"index": 363,
"split": "train"
} | 363 | 4.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 있고, \\( |f| \\)가 측도 가능하다고 가정할 때, \\( f \\)도 반드시 측도 가능합니까? \"True\" 또는 \"False\"로 답하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "B",
"style": "rule"
} | {
"index": 364,
"split": "train"
} | 364 | 5.5 | Mathematics -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하시오: \\(A\\)가 \\(m \\times n\\) 행렬이고 \\(B\\)가 \\(m \\times p\\) 행렬이라고 하자. \\(X\\)가 미지의 \\(n \\times p\\) 행렬일 때, 연립방정식 \\(A^TAX = A^TB\\)는 항상 해를 갖는다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "참",
"style": "rule"
} | {
"index": 365,
"split": "train"
} | 365 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 식을 64로 나누었을 때 나머지를 구하시오: \n\\[\n\\sum^{2014}_{r=0}\\sum^{r}_{k=0}(-1)^k(k+1)(k+2)\\binom{2019}{r-k}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "62",
"style": "rule"
} | {
"index": 366,
"split": "train"
} | 366 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{n \\to \\infty }\\frac{(n!)^{1/n}}{n}. \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{e}",
"style": "rule"
} | {
"index": 367,
"split": "train"
} | 367 | 4.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\[ \\lim_{x\\to0}\\ln(e + 2x)^\\frac{1}{\\sin x} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{\\frac{2}{e}}",
"style": "rule"
} | {
"index": 368,
"split": "train"
} | 368 | 4 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "서로 다른 0이 아닌 수 \\(x(y - z)\\), \\(y(z - x)\\), \\(z(x - y)\\)가 공비 \\(r\\)인 등비수열을 이룰 때, \\(r\\)이 만족하는 방정식을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "r^2 + r + 1 = 0",
"style": "rule"
} | {
"index": 369,
"split": "train"
} | 369 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( C \\)가 양의 방향으로 한 바퀴 도는 원 \\( |z| = 2 \\)일 때, 코시 미분 공식(Cauchy Integral Formula for derivatives)을 이용하여 적분 \\( \\int_{C} \\frac{e^{iz}}{z^3} \\, dz \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\pi i",
"style": "rule"
} | {
"index": 370,
"split": "train"
} | 370 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "방정식 \\(a^2 + b^2 + c^2 = a^2 b^2\\)의 모든 정수 해를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(0, 0, 0)",
"style": "rule"
} | {
"index": 371,
"split": "train"
} | 371 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Equations and Inequalities | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "벡터장 \\( \\vec{F} = x^2\\hat{a}_x + y^2\\hat{a}_y + (z^2-1)\\hat{a}_z \\)에 대해 표면적분 \\( \\oint_S \\ \\vec{F} \\cdot \\vec{dS} \\) 를 계산하세요. 여기서 표면 \\( S \\)는 원통 좌표계로 \\( r = 2; 0 < z < 2; 0 \\leq \\Phi \\leq 2\\pi \\)로 정의됩니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 372,
"split": "train"
} | 372 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "곱위상을 가진 공간 \\( X = \\{0,1\\}^{\\mathbf{N}} \\)에서, 내부가 공집합인 두 번째 범주 집합 \\( S \\subseteq X \\)가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 373,
"split": "train"
} | 373 | 8.5 | Mathematics -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정수 계수를 가지는 비상수 다항식 \\(p_1, \\ldots, p_n\\)의 유한 수열이 주어져 있을 때, 정수 \\(x_1, \\ldots, x_n\\)의 유한 수열이 존재하여 정수 \\(p_1(x_1), \\ldots, p_n(x_n)\\)가 자명하지 않은 공약수를 가지는지 여부를 판단하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 374,
"split": "train"
} | 374 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "대수적 수 \\(a\\)와 \\(b\\)가 주어졌을 때, \\(a+b\\)의 모든 대수적 켤레들이 각각 \\(a'\\)와 \\(b'\\)가 \\(a\\)와 \\(b\\)의 대수적 켤레일 때, \\(a'+b'\\)의 형태로 나타낼 수 있는지 결정하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 375,
"split": "train"
} | 375 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$X$를 내적 공간(inner product space)이라고 하자. 만약 모든 \\(\\lambda \\in [0,1]\\)에 대하여 \\(\\|\\lambda x + (1-\\lambda)y\\| = \\|x\\|\\)가 성립한다면, \\(x = y\\)임을 증명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "x = y",
"style": "rule"
} | {
"index": 376,
"split": "train"
} | 376 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Vectors | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "리만 곡면 \\( w^3 = z(z-1)(z-2) \\) 위의 점 \\( p \\)에서, 여기서 \\( w = 0 \\)이고 \\( z = 1 \\)일 때, 미분 형식 \\( \\frac{dz}{w^3} \\)의 잔류(residue)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-3",
"style": "rule"
} | {
"index": 377,
"split": "train"
} | 377 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{n \\to \\infty}\\left(\\frac {\\sqrt[n]{a} + \\sqrt[n]{b}}{2}\\right)^{n} \\] 여기서 \\(a, b > 0\\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sqrt{ab}",
"style": "rule"
} | {
"index": 378,
"split": "train"
} | 378 | 5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "위상 공간 사이의 연속 함수 \\( f : X \\rightarrow Y \\)를 생각하자. 함수 \\(\\mathcal{O}(f) : \\mathcal{O}(Y) \\rightarrow \\mathcal{O}(X)\\)는 원상(preimage)을 취하는 함수로 정의되며, 이는 유한 교집합과 임의의 합집합을 보존하는 프레임 동형사상(frame homomorphism)임이 알려져 있다. 열린 집합 \\(U\\)의 의사여집합(pseudocomplement)은 \\(U\\)의 여집합의 내부로 정의된다. 이때 \\(\\mathcal{O... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 379,
"split": "train"
} | 379 | 8 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f \\)가 짝함수(even function)이다. \\( f\\left(\\frac{x+1}{3-x}\\right) = f(x) \\)를 만족하는 네 개의 값 \\( x_1, x_2, x_3, x_4 \\)가 있다고 할 때, \\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \\)의 값은 얼마인가?\n\nA) 0 \nB) 2 \nC) 4 \nD) 6\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "D",
"style": "rule"
} | {
"index": 380,
"split": "train"
} | 380 | 4 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Equations and Inequalities | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "직선 L이 다음 두 직선과 모두 수직으로 교차한다:\n\\[\n\\frac{(x+2)}{2} = \\frac{(y+6)}{3} = \\frac{(z-34)}{-10}\n\\]\n와\n\\[\n\\frac{(x+6)}{4} = \\frac{(y-7)}{-3} = \\frac{(z-7)}{-2}\n\\]\n원점에서 직선 L까지의 수선의 길이의 제곱을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "5",
"style": "rule"
} | {
"index": 381,
"split": "train"
} | 381 | 5 | Mathematics -> Geometry -> Solid Geometry -> 3D Shapes | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_{\\mathbb{R}} \\frac{1}{(1+|x|)^p} \\, d\\mathcal{L}(x) \\)가 유한해지는 \\( p > 0 \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "p > 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 382,
"split": "train"
} | 382 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$T\\colon X \\to Y$를 바나흐 공간 사이의 유계 선형 연산자라고 하자. 만약 $T$가 그 상으로의 동형사상(isomorphism)이라면, 이중 쌍대 연산자 $T^{**}\\colon X^{**} \\to Y^{**}$도 반드시 그 상으로의 동형사상인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 383,
"split": "train"
} | 383 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(m, n \\geq 0\\)이고 \\(m, n \\in \\mathbb{R}\\)일 때, 적분 \\(\\int_{0}^{\\infty} \\frac{x^{n}}{(1+x)^{m}}dx\\)가 수렴하기 위한 \\(m\\)과 \\(n\\)에 대한 조건을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "m > n + 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 384,
"split": "train"
} | 384 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\(f\\)가 전해석 함수(entire function)이고, \\(g(x, y) = |f(x + iy)|\\)가 \\(\\mathbb{R}^2\\) 위에서 적분 가능하다고 하자. 이때 \\(f \\equiv 0\\)임을 증명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 385,
"split": "train"
} | 385 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\[ \\lim_{(x,y)\\to(0,0)}\\frac{xy^4}{x^4+x^2+y^4} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 386,
"split": "train"
} | 386 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하시오: \\[ \\lim_{N\\rightarrow\\infty}N\\sum^{N}_{k=2}\\left(\\frac{k-1}{N}\\right)^{N^2} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 387,
"split": "train"
} | 387 | 7.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "중심극한정리를 사용하여 다음 극한을 구하시오: \n\\[ \\lim_{n\\to\\infty}p^{n}\\sum_{k \\geqslant{n(p^{-1}-1)}}^{\\infty}\\binom{n+k-1}{n-1}(1-p)^{k}. \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 388,
"split": "train"
} | 388 | 7.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x) = x\\sqrt{x} + \\frac{1}{x\\sqrt{x}} - 4\\left(x + \\frac{1}{x}\\right) \\)의 치역을 구하시오. 단, \\( x > 0 \\)이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "[-10, \\infty)",
"style": "rule"
} | {
"index": 389,
"split": "train"
} | 389 | 4.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( X \\)를 \\( n \\times (k+1) \\) 행렬이라고 하자. 단, \\( X^TX \\)가 가역행렬이라고 하자. \\( I \\)를 \\( n \\times n \\) 단위행렬이라 할 때, 행렬 \\( I - X(X^TX)^{-1}X^T \\)의 랭크를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "n - k - 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 390,
"split": "train"
} | 390 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정육면체 \\(ABCD.EFGH\\)에서, 점 \\(M\\)은 변 \\(AD\\) 위에 있으며 \\( |AM| = 2|MD| \\)를 만족한다. 평면 \\(BCF\\)와 \\(BGM\\) 사이의 각의 탄젠트를 구하시오. 다음 보기 중에서 정답을 고르시오:\n\n(A) \\(3 \\sqrt{2}\\) \n(B) \\(2 \\sqrt{2}\\) \n(C) \\(\\frac{3}{2} \\sqrt{2}\\) \n(D) \\(\\frac{1}{2} \\sqrt{2}\\) \n(E) \\(\\sqrt{2}\\)\n단계별로 추론하고... | math | {
"ground_truth": "C",
"style": "rule"
} | {
"index": 391,
"split": "train"
} | 391 | 4 | Mathematics -> Geometry -> Solid Geometry -> 3D Shapes | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(M=\\{(x,y,z) \\in \\mathbb{R}^3 : x+y=5, x+z=\\cos^2 y\\}\\)가 \\(\\mathbb{R}^3\\)의 부분 다양체라고 하자. 점 \\(p=(5,0,-4)\\)와 접벡터 \\(v=(-C,C,C) \\in T_{(5,0,-4)}M\\)를 고려하자. 매끄러운 사상 \\(F:M \\rightarrow S^1\\)를 \\(F(x,y,z) = \\left(\\frac{x}{\\sqrt{x^2+y^2}},\\frac{y}{\\sqrt{x^2+y^2}}\\right)\\)로 정의하자. \\(... | math | {
"ground_truth": "-\\dfrac{C}{5}",
"style": "rule"
} | {
"index": 392,
"split": "train"
} | 392 | 8 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Manifolds | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "초기 조건 \\( u_0 \\in [-1, 1] \\)이며 \\( u_0 \\neq 0 \\)이고, 점화식 \\( u_{n+1} = 2^{u_n} - u_n - 1 \\)로 정의된 수열 \\( \\{u_n\\} \\)을 고려하자. \\( n \\to \\infty \\)일 때 수열 \\( \\{u_n\\} \\)의 극한을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 393,
"split": "train"
} | 393 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "분수체가 \\( K \\)이고, \\( x \\in K \\setminus R \\)인 원환 \\( R \\)가 존재하여, \\( R[x] \\)의 임의의 극대 아이디얼 \\(\\mathfrak{m}\\)에 대해 \\( R \\)의 어떤 원소 \\( a \\)가 존재하여 \\( x - a \\in \\mathfrak{m} \\)이 되도록 할 수 있는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 394,
"split": "train"
} | 394 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(A = \\{a_n \\mid n \\in \\Bbb N \\}\\)가 \\(\\Bbb R\\)의 부분집합이고, \\(A\\)가 \\(\\Bbb Q\\)에 대해 무한 개의 선형 독립인 부분집합을 가진다고 가정하자. 이때 \\(A\\)가 \\(\\Bbb R\\)에서 조밀한 집합인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 395,
"split": "train"
} | 395 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\[ \\lim_{n\\to\\infty} \\exp(-n^2) \\sum_{j=n}^{4n} \\frac{n^j}{j!} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 396,
"split": "train"
} | 396 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "각 사람에게 최소 1개 이상, 최대 3개 이하의 과일을 나누어 주면서 15개의 과일을 6명에게 분배하는 경우의 수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "50",
"style": "rule"
} | {
"index": 397,
"split": "train"
} | 397 | 4 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "동전 게임에서 두 개의 그릇이 있습니다. 첫 번째 플레이어가 첫 번째 그릇에 100개의 동전을 놓습니다. 두 번째 플레이어는 두 번째 그릇에 몇 개의 동전을 놓을지 결정해야 합니다. 각 플레이어는 첫 번째 플레이어부터 시작하여 다음 세 가지 중 하나의 수를 선택하여 움직일 수 있습니다: 첫 번째 그릇에서 임의의 개수의 동전을 가져가거나, 두 번째 그릇에서 임의의 개수의 동전을 가져가거나, 두 그릇 모두에서 같은 개수의 동전을 가져갑니다. 승자는 자신의 차례 후에 두 그릇 모두에 동전이 남아 있지 않게 만든 플레이어입니다. 두 번... | math | {
"ground_truth": "162",
"style": "rule"
} | {
"index": 398,
"split": "train"
} | 398 | 5.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "급수 \\( \\sum_{k=0}^{n-1} \\binom{n+k}{n-k-1} \\)에 대해 닫힌 형태의 공식이 존재하는지 여부를 결정하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "F_{2n}",
"style": "rule"
} | {
"index": 399,
"split": "train"
} | 399 | 6 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Medium |
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