data_source stringclasses 1
value | prompt listlengths 1 1 | ability stringclasses 1
value | reward_model dict | extra_info dict | original_index int64 0 102k | difficulty float64 1 10 | topic stringclasses 82
values | difficulty_level stringclasses 3
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Korean-DeepMath | [
{
"content": "차원이 \\(2n+1\\)인 하이젠베르크 리 대수 \\( \\mathfrak{h}_n \\)의 아벨 리 부분대수의 최대 가능한 차원을 구하시오. 하이젠베르크 리 대수 \\( \\mathfrak{h}_n \\)는 기저 \\( x_1, \\dots, x_n, y_1, \\dots, y_n, c \\)를 가지며, 리 괄호는 \\([x_i, y_j] = \\delta_{ij}c, [x_i, x_j] = [y_i, y_j] = [x_i, c] = [y_j, c] = 0\\)로 정의된다. 여기서 \\(1 \\le i, j \\le n\\)... | math | {
"ground_truth": "n + 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 700,
"split": "train"
} | 700 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Lie Algebras | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( X \\sim \\mathrm{Poisson}(n) \\)이고 \\( Y \\sim \\mathrm{Poisson}(2n) \\)이며 두 확률변수는 독립일 때, \\( \\lim_{n \\to \\infty} \\mathbb{P}(X + n = Y) \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 701,
"split": "train"
} | 701 | 7 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 식 \\( 16\\tan^{-1}\\left(\\frac{1}{5}\\right) - 4\\tan^{-1}\\left(\\frac{1}{239}\\right) = \\pi \\)와 테일러 다항식을 이용하여 \\( \\pi \\)를 소수점 이하 6자리까지 근사하시오. 해답에는 오차 추정도 포함하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3.141593",
"style": "rule"
} | {
"index": 702,
"split": "train"
} | 702 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률변수 \\( X \\)의 누적분포함수가 \\( F_X(x) = \\frac{1}{1+e^{-x}} \\) (단, \\( x \\geq 0 \\))일 때, \\( k \\)-번째 절대적 모멘트 \\( E[|X|^k] \\)가 유한한 가장 큰 \\( k \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 703,
"split": "train"
} | 703 | 7 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "두 명의 플레이어 Q와 A가 하는 게임에서, 각 시점 \\( i \\)에 플레이어 Q는 집합 \\( Q_i \\subset \\mathbb{R} \\)를 선택하고, 플레이어 A는 \\( A_i \\)를 다음과 같이 선택한다: \\( A_i = Q_i \\) 또는 \\( A_i = Q_i^c \\) (여기서 \\( Q_i^c \\)는 \\( Q_i \\)의 여집합). \n\n다음과 같이 정의하자: \n\\[\nC(i) = \\bigcap_{k < i} A_k, \\quad C(\\infty) = \\bigcap_{k \\in \\... | math | {
"ground_truth": "A",
"style": "rule"
} | {
"index": 704,
"split": "train"
} | 704 | 8 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 함수들 중 편미분 방정식 \\( u_{tt} = 2(u_{xx} + u_{yy}) \\)의 해가 되는 것을 구하시오:\n\n1) \\( u(x, y, t) = t \\sin(x + y^2) \\) \n2) \\( u(x, y, t) = t \\cos(x + y^2) \\sin(x + y^2) \\) \n3) \\( u(x, y, t) = \\cos x \\cos y \\cos 2t \\)\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3",
"style": "rule"
} | {
"index": 705,
"split": "train"
} | 705 | 7 | Mathematics -> Differential Equations -> Partial Differential Equations (PDEs) | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "체 $F = \\mathbb{Z}_5[x]/(x^3 - x^2 - 1)$를 $\\mathbb{Z}_5$ 위의 확장으로 생각할 때, $u = [x]$를 이용하여 $F$의 기저를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\{1, u, u^2\\}",
"style": "rule"
} | {
"index": 706,
"split": "train"
} | 706 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int\\limits_{\\mathbb{R}^n} -\\Delta \\Phi(x) \\, dx \\)를 평가하세요. 여기서 \\( \\Phi(x) = \\frac{1}{\\alpha(n)}\\big((\\lvert x\\rvert^2 + 1)^{\\frac{-n-2}{2}}\\lvert x\\rvert^2 + (\\lvert x\\rvert^2 + 1)^{-n/2}\\big) \\)이며, \\( x \\in \\mathbb{R}^n \\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요... | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 707,
"split": "train"
} | 707 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\( \\lim\\limits_{x \\to \\infty} \\left( x - \\log(\\cosh(x)) \\right) \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\ln 2",
"style": "rule"
} | {
"index": 708,
"split": "train"
} | 708 | 5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하시오: \n$$\\lim_{n\\to \\infty}\\left(\\cfrac{1^p+2^p+\\cdots +n^p}{n^p}-\\cfrac{n}{p+1}\\right),$$ \n단, \\(p \\in \\mathbb{N}\\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 709,
"split": "train"
} | 709 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "치환 \\(x=r\\cos{\\theta}\\), \\(y=r\\sin{\\theta}\\)를 사용하여 미분방정식 \\(x+py=(x-y)\\sqrt{p^2+1}\\)에서 특이해(singular solution)를 구하세요. 여기서 \\(p=\\frac{dy}{dx}\\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "y = 0",
"style": "rule"
} | {
"index": 710,
"split": "train"
} | 710 | 7 | Mathematics -> Differential Equations -> Ordinary Differential Equations (ODEs) | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$\\gamma$가 $\\mathbb{R}^3$ 내의 원(circle)이고, $S^3 = \\mathbb{R}^3 \\cup \\{\\infty\\}$가 $\\mathbb{R}^3$의 한 점 콤팩트화(one-point compactification)일 때, $S^3 - \\gamma$의 기본군(fundamental group)을 구하시오. 답은 군(group)으로 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\mathbb{Z}",
"style": "rule"
} | {
"index": 711,
"split": "train"
} | 711 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "만약 \\(A\\)가 노터리언 정역이고, 어떤 소원소 \\(p\\)에 대하여 \\(A_p\\)가 유니크 인수 분해 정역(UFD)이라면, \\(p\\)에 포함되지 않는 원소 \\(f\\)가 존재하여 국소화 \\(A_f\\)가 UFD가 되는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 712,
"split": "train"
} | 712 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "직교 좌표평면에 꼭짓점이 \\((2, 2)\\), \\((-2, 2)\\), \\((-2, -2)\\), \\((2, -2)\\)인 정사각형이 그려져 있다. 한 입자가 \\((0,0)\\)에서 시작한다. 매초마다 입자는 현재 위치에서 가장 가까운 8개의 격자점(정수 좌표를 갖는 점) 중 하나로, 이전 움직임과 독립적으로 동일한 확률로 이동한다. 다시 말해, 입자가 \\((x, y)\\)에 있을 때 \\((x, y + 1)\\), \\((x + 1, y + 1)\\), \\((x + 1, y)\\), \\((x + 1, y - 1... | math | {
"ground_truth": "39",
"style": "rule"
} | {
"index": 713,
"split": "train"
} | 713 | 5.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 조건을 만족하는 함수 \\( f : \\mathbb{R} \\to [0, \\infty) \\)를 구하세요:\n\\[ f(x+y) - f(x-y) = f(x) \\cdot (f(y) - f(-y)) \\]\n\\[ f'(0) = \\log a \\]\n\\[ f(0) = 1 \\]\n단, \\( x, y > 0 \\)이고 \\( x, y \\neq 1 \\)이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "a^x",
"style": "rule"
} | {
"index": 714,
"split": "train"
} | 714 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$n \\geq 2$이고 $k$가 체일 때, $K = k(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$라고 하자. 이때, 유리 함수체(rational function field)가 아닌 $K$의 부분체(subfield)가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 715,
"split": "train"
} | 715 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 변수 \\( X \\sim \\operatorname{Exp}(1) \\)이고 \\( Y \\sim N(0,1) \\)이며, \\( X \\)와 \\( Y \\)가 독립일 때 확률 \\( P(X < Y+1) \\)를 계산하세요. 그리고 \\( P(X < Y+1) = \\Phi(1) - \\frac{1}{2\\sqrt{e}} = 0.5377346701 \\)임을 검증하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\Phi(1) - \\frac{1}{2\\sqrt{e}}",
"style": "rule"
} | {
"index": 716,
"split": "train"
} | 716 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "급수 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(2n)!\\,x^n}{2^{2n}(n!)^2} \\)가 수렴하는 \\( x \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "[-1, 1)",
"style": "rule"
} | {
"index": 717,
"split": "train"
} | 717 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(a, b, c\\)를 세제곱방정식 \\(x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0\\)의 근이라고 하자. 다음 식의 값을 구하시오:\n\\[ \\sqrt[3]{a+b} + \\sqrt[3]{b+c} + \\sqrt[3]{a+c} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 718,
"split": "train"
} | 718 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "군 \\(\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} / \\langle (2, 2)\\rangle\\)에서 원소 \\((1, 1) + \\langle(2, 2)\\rangle\\)의 차수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 719,
"split": "train"
} | 719 | 3 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정삼각형 \\( \\triangle ABC \\) 안에 점 \\( M \\)이 위치해 있으며, \\( AM = 3 \\) 단위, \\( BM = 5 \\) 단위, \\( CM = 4 \\) 단위일 때, \\( \\angle AMC \\)의 크기를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "150^\\circ",
"style": "rule"
} | {
"index": 720,
"split": "train"
} | 720 | 5 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangulations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "방정식 \\(a^x = x + 2\\)가 정확히 2개의 실근을 가질 때의 양의 \\(a\\) 값을 구하시오. 다음 선택지 중에서 고르시오:\n\nA. \\((1, \\infty)\\) \nB. \\((0, 1)\\) \nC. \\(\\left(\\frac{1}{e}, e\\right)\\) \nD. \\(\\left(\\frac{1}{e^e}, e^e\\right)\\) \nE. \\((e^{\\frac{1}{e}}, \\infty)\\)\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"... | math | {
"ground_truth": "A",
"style": "rule"
} | {
"index": 721,
"split": "train"
} | 721 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "실수 계수를 갖고 순수 허근을 가지는 이차방정식 \\( p(x) = 0 \\)를 고려하자. 방정식 \\( p(p(x)) = 0 \\)의 근의 성질을 구하시오.\n\n선택지: \n(a) 순수 허근만 가진다. \n(b) 모두 실근이다. \n(c) 두 개의 실근과 두 개의 순수 허근을 가진다. \n(d) 실근도 순수 허근도 아니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "D",
"style": "rule"
} | {
"index": 722,
"split": "train"
} | 722 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "한 변의 길이가 1인 정육각형이 주어졌을 때, 자만 사용하여 길이가 \\(\\sqrt{7}\\)인 선분을 작도하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sqrt{7}",
"style": "rule"
} | {
"index": 723,
"split": "train"
} | 723 | 5.5 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Polygons | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( n \\)개의 문제가 있고 \\( m \\)명의 참가자가 치른 대회에서, 각 문제는 일정한 양의 양수 점수를 가지며 부분 점수는 주어지지 않는다고 하자. 채점 후, 문제 점수 배점을 재조정함으로써 참가자들의 순위를 원하는 대로 만들 수 있다고 한다. 이때 가능한 \\( m \\)의 최대값은 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "n",
"style": "rule"
} | {
"index": 724,
"split": "train"
} | 724 | 6.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하시오: \\[ \\lim _ {y\\rightarrow + \\infty } \\int _ { 1 } ^ { 2 } \\frac { \\ln ( x + y ) } { \\ln \\left(x^{2}+y^{2} \\right) } d x \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 725,
"split": "train"
} | 725 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "수열 \\(a_n = \\sqrt[n]{4^{2n} - 5^{n+2} - \\sin(\\sqrt{n})}\\)의 극한을 \\(n\\)이 무한대로 갈 때 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "16",
"style": "rule"
} | {
"index": 726,
"split": "train"
} | 726 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "급수 \\( \\sum_{n=2}^\\infty \\frac{(-1)^n x^n}{n(n-1)} \\)의 수렴 구간을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "[-1, 1]",
"style": "rule"
} | {
"index": 727,
"split": "train"
} | 727 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소수 \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\)가 주어져 있다. \\(a_1\\)은 \\(a\\)를 중심 \\(b\\)에 대해 시계 방향으로 \\(90^\\circ\\) 회전시킨 상이다. \\(a_2\\)는 \\(a_1\\)을 중심 \\(c\\)에 대해 반시계 방향으로 \\(90^\\circ\\) 회전시킨 상이다.\n\n그러면 \\(a_2\\)는 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다:\n$$a_2 = pa + qb + rc$$\n어떤 복소수 \\(p\\), \\(q\\), \\(r\\)에 대하여. \\(p^2 + q^2 + r^2... | math | {
"ground_truth": "1 - 4i",
"style": "rule"
} | {
"index": 728,
"split": "train"
} | 728 | 6 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Angles | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(a_n\\)이 다음을 만족하는 수열이라고 하자: \n\\[\n\\sum_{n=1}^\\infty \\left(na_n-\\frac{n^2+1}{2n+1} \\right)=3.\n\\]\n\\(\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(a_n^2+2a_n+2)\\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{13}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 729,
"split": "train"
} | 729 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 \\( n \\in \\mathbb{N} \\)에 대하여 \\( f(f(f(n))) + f(f(n)) + n = 3f(n) \\)를 만족하는 함수 \\( f: \\mathbb{N} \\rightarrow \\mathbb{N} \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "f(n) = n",
"style": "rule"
} | {
"index": 730,
"split": "train"
} | 730 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_0^i e^z \\, \\mathrm{d}z \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^i - 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 731,
"split": "train"
} | 731 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Integrals | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "집합 \\( A = \\{a_1, a_2, \\ldots, a_{2016}\\} \\)가 주어져 있을 때, 원소의 개수가 4로 나누어떨어지는 부분집합의 개수를 \\( M \\), 원소의 개수가 2로 나누어떨어지나 4로는 나누어떨어지지 않는 부분집합의 개수를 \\( N \\)이라고 하자. \\( M - N \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2^{1008}",
"style": "rule"
} | {
"index": 732,
"split": "train"
} | 732 | 5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(A = \\{4z^4 : \\sin^2 z = \\sinh^2 z\\}\\)일 때, \\(\\sup(A \\cap \\mathbb{R})\\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 733,
"split": "train"
} | 733 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "방정식 \\(x^8 - mx^4 + m^4 = 0\\)이 등차수열을 이루는 네 개의 서로 다른 실근을 갖도록 하는 매개변수 \\(m\\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{9}{82}",
"style": "rule"
} | {
"index": 734,
"split": "train"
} | 734 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 변수 \\( g \\)가 구간 \\([a, b]\\)에서 유계 변동(bounded variation)이 아닐 경우, 리만-스틸체스 적분 \\( I = \\int_{a}^{b} f(x) \\, dg(x) \\)가 존재할 수 있나요?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 735,
"split": "train"
} | 735 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "행렬 \\(A\\)에 대한 행렬식의 도함수의 닫힌 형태 표현을 구하세요:\n\\[\n\\frac{\\partial \\det\\bigl(X - XA'(AXA')^{-1}AX\\bigr)}{\\partial A}\n\\]\n여기서 \\(X\\)는 \\(n \\times n\\) 정칙 행렬이고, \\(A\\)는 \\(m \\times n\\) 행렬이며 \\(m \\le n\\)이고, \\(X\\)와 \\(A\\)의 랭크는 각각 \\(\\operatorname{rank}(X) = n\\), \\(\\operatorname{rank}(... | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 736,
"split": "train"
} | 736 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 무한급수를 계산하시오: \n$$\\sum_{n=0}^\\infty \\frac{(2n)!}{(n!)^2(2n+1)4^n}$$\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 737,
"split": "train"
} | 737 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\varphi : R[u,v] \\to R[x,1/x] \\)로 정의된 환 준동형사상 \\(\\varphi(p(u,v)) = p(x,1/x)\\)의 핵(kernel)을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(uv - 1)",
"style": "rule"
} | {
"index": 738,
"split": "train"
} | 738 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "구간 \\([-2, 2]\\)에서 함수 \\( f(x) = |\\sin(x) + \\cos(x)| \\)의 Lipschitz 상수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sqrt{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 739,
"split": "train"
} | 739 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "거리 함수 \\( d(x,y) = |x - y| \\)를 갖는 유리수 집합 \\( \\mathbb{Q} \\)로 이루어진 거리 공간의 완비화를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\mathbb{R}",
"style": "rule"
} | {
"index": 740,
"split": "train"
} | 740 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소 방정식 \\( z^4 - 5z + 1 = 0 \\)의 근 중에서 환 영역 \\( 1 \\leq |z| \\leq 2 \\) 안에 위치하는 근의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3",
"style": "rule"
} | {
"index": 741,
"split": "train"
} | 741 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$G$를 $g$차원 리 군이라고 하고, $H$를 $G$의 $h$차원 정규 리 부분군(normal Lie subgroup)이라고 하자. 이때 몫군 \\(G / H\\)의 차원이 항상 \\(g - h\\)인가? 그 이유를 설명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "g - h",
"style": "rule"
} | {
"index": 742,
"split": "train"
} | 742 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "15명의 참가자가 있는 모의 재판에서, 각 참가자는 \"유죄(guilty)\", \"무죄(not guilty)\", 또는 \"기권(abstain)\" 중 하나에 투표합니다. 투표는 \"유죄\" 투표가 전체 투표의 절반 이상이 되는 순간 즉시 중단됩니다. 발생할 수 있는 모든 가능한 투표 순서의 총 개수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "13663745",
"style": "rule"
} | {
"index": 743,
"split": "train"
} | 743 | 4.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$f$가 위상 공간 $X$의 연속 자기 함수이며 $f \\circ f = f$일 때, $X$가 그 상 $f(X)$와 동치(호모토픽)인지 여부를 묻는 문제입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 744,
"split": "train"
} | 744 | 8 | Mathematics -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "비가환 환 \\((R,+,\\cdot)\\)에서, \\(a \\in R\\)가 가역원이고 \\(x \\in R\\)가 가역원이 아니라고 할 때, 곱 \\(ax\\)가 반드시 가역원이 아닌가? 이에 대한 근거를 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 745,
"split": "train"
} | 745 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "삼각형 \\(ABC\\)에서, 점 \\(D\\)와 \\(E\\)는 각각 변 \\(BC\\)와 \\(CA\\) 위에 있으며, 점 \\(F\\)와 \\(G\\)는 변 \\(AB\\) 위에 있고 \\(G\\)는 \\(F\\)와 \\(B\\) 사이에 있다. 선분 \\(BE\\)와 \\(CF\\)는 점 \\(O_1\\)에서 교차하고, 선분 \\(BE\\)와 \\(DG\\)는 점 \\(O_2\\)에서 교차한다. \\(FG = 1\\), \\(AE = AF = DB = DC = 2\\), 그리고 \\(BG = CE = 3\\)일 때, \\(... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{7}{26}",
"style": "rule"
} | {
"index": 746,
"split": "train"
} | 746 | 6 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangulations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_0^{\\pi/2} \\sin(2nx) \\cot x \\, dx \\) 를 평가하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 747,
"split": "train"
} | 747 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$H$가 정규 직교 기저 $\\{e_n\\}_{n=1}^{\\infty}$를 갖는 가산적 힐베르트 공간이라고 하자. $p_n$을 $\\{e_1, \\ldots, e_n\\}$에 의해 생성되는 부분공간으로의 사영(projection)이라고 하자. $a$를 $H$ 위의 양의 트레이스 급(operator of trace class) 연산자라고 하자. 다음을 증명하거나 반례를 제시하시오: \n\\[\n\\|a - p_n a p_n\\|_1 = \\operatorname{Tr}(|a - p_n a p_n|) \\to 0 \\quad \... | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 748,
"split": "train"
} | 748 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소수 \\( x \\in \\mathbb{C} \\) 중에서 \\( x^{10} + x^5 + 1 = 0 \\)을 만족하는 모든 \\( x \\)를 구하시오. \n주어진 식 \\( x^{10} + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) = 0 \\)를 이용하여, 다항식 \\( x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 \\)의 근들을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role"... | math | {
"ground_truth": "e^{\\frac{2\\pi ik}{15}}",
"style": "rule"
} | {
"index": 749,
"split": "train"
} | 749 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 계산하시오: \n$$ \\lim_{v \\rightarrow +\\infty} \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{\\lambda^{n}}{(n !)^v} $$ \n그리고 $\\lambda > 0$일 때 이 값이 $1 + \\lambda$임을 확인하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1 + \\lambda",
"style": "rule"
} | {
"index": 750,
"split": "train"
} | 750 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Exponential Functions | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( 0 < |x| < 1.414 \\)일 때, \n\\[\n\\sin^{-1}\\left(x - \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^4}{4} + \\cdots \\right) + \\cos^{-1}\\left(x^2 - \\frac{x^4}{2} + \\frac{x^6}{4} + \\cdots \\right) = \\frac{\\pi}{2}\n\\]\n를 만족하는 \\( x \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
... | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 751,
"split": "train"
} | 751 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다항식 \\((x+1)^{4n+3} + x^{2n}\\) 와 \\(x^3 - 1\\) 의 최대 공약수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "x^2 + x + 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 752,
"split": "train"
} | 752 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( C[0,1] \\)를 연속 함수 \\( f: [0,1] \\to \\mathbb{R} \\)의 공간으로 하고, 노름을 \\( \\|f\\| = \\max\\{|f(x)| : x \\in [0,1]\\} \\)로 정의하자. \\( T: C[0,1] \\to \\mathbb{R} \\)를 \\( T(f) = \\int_0^1 f(x)\\,dx \\)로 주어진 사상이라고 할 때, \\( \\|T\\| \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
... | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 753,
"split": "train"
} | 753 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 동치식을 만족하는 \\(\\mathbb{Z}_{11}[x]\\)에서의 다항식 \\(f(x)\\)를 구하시오: \n\\[\n(x^2 - 1)f(x) \\equiv (x^3 + 10x) \\pmod{x^6 + x^5 + x + 1}.\n\\]\n답은 \\(\\mathbb{Z}_{11}[x]\\)에서의 다항식으로 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "x",
"style": "rule"
} | {
"index": 754,
"split": "train"
} | 754 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 세 개의 정점으로 유도된 부분그래프가 트리인 차수 \\( n \\geq 4 \\)인 그래프 \\( G \\)를 모두 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "C_4",
"style": "rule"
} | {
"index": 755,
"split": "train"
} | 755 | 7 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Graph Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하시오: \\[\n\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\int_0^n \\left( 1- \\frac{x}{n}\\right)^n \\log \\left(2+\\cos\\left( \\frac{x}{n}\\right)\\right)\\, dx\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\log 3",
"style": "rule"
} | {
"index": 756,
"split": "train"
} | 756 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "두 정규 행렬 \\(F_1\\)과 \\(F_2\\)가 서로 가환하여 \\(F_1F_2 = F_2F_1\\)라고 하자. 다음 집합을 고려하자:\n\\[\nW(F_1,F_2) = \\{(\\langle F_1 y , y \\rangle, \\langle F_2 y , y \\rangle) : y \\in F, \\|y\\| = 1\\}.\n\\]\n이때, 집합 \\(W(F_1,F_2)\\)는 볼록한가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 757,
"split": "train"
} | 757 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "변의 길이가 \\(a, b, c\\), 각이 \\(A, B, C\\), 그리고 외접원의 반지름이 \\(R\\)인 삼각형에서, 식 \\(a \\cos A + b \\cos B + c \\cos C\\)가 \\(4R \\sin A \\sin B \\sin C\\)와 같아질 수 있는지 여부를 판정하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 758,
"split": "train"
} | 758 | 6 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangulations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x,y) = \\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \\)를 \\( x, y \\in \\mathbb{R} \\)에 대해 최댓값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 759,
"split": "train"
} | 759 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "두 직사각형의 변의 길이를 각각 구간 [0,1]에서 균등하게 선택한다. 두 번째 직사각형이 첫 번째 직사각형 안에 들어갈 확률은 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{3}",
"style": "rule"
} | {
"index": 760,
"split": "train"
} | 760 | 3.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(X_1, X_2, X_3, \\ldots\\)를 i.i.d. uniform \\((0,1)\\) 확률 변수들의 열이라고 하자. 다음 값을 계산하시오: \\[\n\\lim_{n \\to \\infty} P\\left(-\\ln(1-X_1) - \\ln(1-X_2) - \\cdots - \\ln(1-X_n) \\geq n\\right).\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 761,
"split": "train"
} | 761 | 7.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정수 \\(a, b, c\\)가 구간 \\([-k, k]\\)에 속하고 \\(a \\neq 0\\)일 때, 방정식 \\(a + b + c = 0\\)의 정수 해의 개수를 구하시오. 여기서 \\(k\\)는 양의 정수이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3k^2 + k",
"style": "rule"
} | {
"index": 762,
"split": "train"
} | 762 | 3.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\mathbb{Z}_a \\rightarrow \\mathbb{Z}_{ab}\\)에서 \\([k]_a \\mapsto [kb]_{ab}\\)로 주어진 준동형의 상 \\(N\\)에 대해, 몫군 \\(\\mathbb{Z}_{ab}/N\\)을 익숙한 군과 동형인 군으로 나타내시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\mathbb{Z}_b",
"style": "rule"
} | {
"index": 763,
"split": "train"
} | 763 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\((a_n)_{n \\in \\mathbb{N}}\\)을 \\(\\mathbb{R}\\)에 속하는 수열이라고 하자. 모든 \\(r \\in \\mathbb{R}\\)에 대해, \\((a_n)_{n \\in \\mathbb{N}}\\)의 축적점 \\(b \\in \\mathbb{R} \\cup \\{-\\infty\\}\\)가 존재하여 \\(b < r\\)를 만족한다고 하자. 이때 \\(-\\infty\\)가 \\((a_n)_{n \\in \\mathbb{N}}\\)의 축적점임을 증명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 ... | math | {
"ground_truth": "-\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 764,
"split": "train"
} | 764 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정적분 \\( \\int_0^\\pi e^{2\\cos(\\theta)}\\cos(2\\sin(\\theta) - \\theta)\\,d\\theta \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 765,
"split": "train"
} | 765 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$R$를 가환환(commutative ring)이라 하고, $p$를 0이 아닌 소아이디얼(prime ideal)이라고 하자. 만약 어떤 자연수 $m, n \\in \\mathbb{N}$에 대하여 $p^m = p^n \\neq 0$이라면, 이것이 $m = n$을 의미하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 766,
"split": "train"
} | 766 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( z_1=2\\sqrt{3}\\operatorname{cis}\\left(\\frac{3\\pi}{2}\\right) \\)이고 \\( z_2=2\\operatorname{cis}\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) \\)일 때, \\( \\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)^n \\in \\mathbb{R}^+ \\)가 되도록 하는 가장 작은 양의 정수 \\( n \\)을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "use... | math | {
"ground_truth": "12",
"style": "rule"
} | {
"index": 767,
"split": "train"
} | 767 | 4.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "하우스도르프 위상 벡터 공간 \\( X \\)에서 정의된 함수 \\( g: [a,b] \\to X \\)에 대한 유계 변동(bounded variation)의 개념이, 만약 \\( X \\)가 바나흐 공간일 때 표준적인 유계 변동 정의와 일치하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 768,
"split": "train"
} | 768 | 8.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다중적분을 계산하시오: $$\\int_0^1 \\int_0^1 \\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \\, \\text{d}y \\, \\text{d}x$$\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 769,
"split": "train"
} | 769 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "만약 \\(A\\)와 \\(B\\)가 부분 순서 집합(partially-ordered sets)이고, \\(A\\)에서 \\(B\\)로 그리고 \\(B\\)에서 \\(A\\)로 각각 단사(order-preserving) 사상이 존재한다면, 반드시 \\(A\\)와 \\(B\\) 사이에 전단사(order-preserving bijection)가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 770,
"split": "train"
} | 770 | 8 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정규 사면체의 두 면 사이의 예각 이면각을 구하고, 소수점 첫째 자리까지 반올림하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "70.5",
"style": "rule"
} | {
"index": 771,
"split": "train"
} | 771 | 4 | Mathematics -> Geometry -> Solid Geometry -> 3D Shapes | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "숫자 0과 9만을 사용하여 주어진 정수 \\( n \\)의 배수가 되는 가장 작은 양의 정수를 만드세요. 예를 들어, \\( n = 7 \\)일 때, 가장 작은 수는 9009입니다. 주어진 \\( n \\)에 대해 이 수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "9009",
"style": "rule"
} | {
"index": 772,
"split": "train"
} | 772 | 4 | Mathematics -> Number Theory -> Congruences | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "곡선 \\( y = x^3 \\)를 고려하자. 이 곡선 위의 한 점 \\( C_1 \\)에서 그린 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 \\( C_2 \\)라 하자. \\( C_2 \\)에서의 접선이 곡선과 만나는 점을 \\( C_3 \\)라 하고, 이 과정을 계속하여 점 \\( C_1, C_2, C_3, \\ldots, C_n \\)의 x좌표가 등비수열을 이룬다고 한다. 삼각형 \\( C_1C_2C_3 \\)의 넓이와 삼각형 \\( C_2C_3C_4 \\)의 넓이의 비를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{}... | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{16}",
"style": "rule"
} | {
"index": 773,
"split": "train"
} | 773 | 7.5 | Mathematics -> Geometry -> Plane Geometry -> Triangulations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "양의 실수로 이루어진 무한 수열 \\(\\{a_n\\}\\)가 있고, 이 수열은 발산하며 \\(\\lim_{n \\to \\infty} (a_{n+1} - a_n) = 0\\)이라 하자. 이때, 어떤 수열 \\(\\{b_k\\}\\)가 존재하여 \\(\\lim_{k \\to \\infty} b_k = 0\\)이고 \\(\\sum_{k=1}^\\infty b_k = \\infty\\)를 만족하며, \\(a_n\\)를 \\(\\sum_{k=1}^n b_k\\)의 부분합으로 나타낼 수 있는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\b... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 774,
"split": "train"
} | 774 | 8 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "오차가 0.001보다 작은 \\(\\ln(1.25)\\) 근사를 위해 \\( x = 1 \\)을 중심으로 하는 \\(\\ln(x)\\)의 테일러 다항식의 차수를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3",
"style": "rule"
} | {
"index": 775,
"split": "train"
} | 775 | 4.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( x \\in [0, 1] \\)에 대하여 극한값 \\( \\lim_{n \\to \\infty} n^3 x^n (1-x)^4 \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 776,
"split": "train"
} | 776 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( 2^n \\mid 3^{1024} - 1 \\)을 만족하는 최대 정수 \\( n \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "12",
"style": "rule"
} | {
"index": 777,
"split": "train"
} | 777 | 5.5 | Mathematics -> Number Theory -> Factorization | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( A \\)와 \\( B \\)를 \\( 2 \\times 2 \\) 행렬이라고 할 때, \\( A^2 = B^2 = (AB)^2 = 0 \\)일 경우, \\( AB = 0 \\)인가요?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 778,
"split": "train"
} | 778 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하시오: \n$$\\lim_{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1^3+3^3+5^3+7^3+...+\\left(2n-1\\right)^3}{\\left(1+3+5+7+...+\\left(2n-1\\right)\\right)^2} \\right)$$\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 779,
"split": "train"
} | 779 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "기본군 \\( \\pi_1(S^1 \\times (0,\\infty)) \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\mathbb{Z}",
"style": "rule"
} | {
"index": 780,
"split": "train"
} | 780 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "클로버, 다이아몬드, 하트, 스페이드 각 무늬별로 잭, 퀸, 킹, 에이스 카드만으로 이루어진 카드 덱을 고려하자. 처음에는 네 장의 잭을 모두 손에 들고 있다. 각 라운드마다 손에 있는 네 장의 카드 중 하나를 무작위로 선택하고, 그 카드와 같은 무늬의 나머지 세 장 중 하나를 동일한 확률로 골라 교체한다. 다시 네 장 모두 잭을 손에 들게 될 때까지 필요한 교체 횟수의 기댓값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "256",
"style": "rule"
} | {
"index": 781,
"split": "train"
} | 781 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "직선 방정식 \\( y = (2+\\sqrt{3}) \\cdot x \\)와 기저 \\( B = \\left\\{ \\begin{pmatrix} \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ \\frac{1}{2} \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} -\\frac{1}{2} \\\\ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\end{pmatrix} \\right\\} \\)가 주어졌을 때, 기저 \\( B \\)에 대한 좌표 \\( x', y' \\)로 표현된 직선 \\( g \\)의 방정식을 구하시오.\n... | math | {
"ground_truth": "y' = x'",
"style": "rule"
} | {
"index": 782,
"split": "train"
} | 782 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "Stolz-Cesaro 정리를 이용하여 다음 극한을 구하세요: \n\\[\n\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1 \\times 3 + 3 \\times 5 + \\dots + (2n - 1) \\times (2n + 1)}{n^2}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 783,
"split": "train"
} | 783 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "파티에 소녀 20명과 소년 20명이 있습니다. 소년끼리, 소녀끼리 춤을 출 수 있을 때, 만들 수 있는 춤 파트너 조합은 몇 개입니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "780",
"style": "rule"
} | {
"index": 784,
"split": "train"
} | 784 | 2 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\[ \\lim_{n \\to +\\infty} \\left(0.999 + \\frac{1}{n}\\right)^{n+3} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 785,
"split": "train"
} | 785 | 4 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "주어진 푸리에 변환 성질을 이용하여 적분 \\( \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{\\sin^2 x}{x^2} \\, dx \\)를 평가하세요. 함수 \\( f(x) = \\Theta(x + 1) - \\Theta(x - 1) \\)의 푸리에 변환은 \\( \\widetilde{f}(k) = 2\\frac{\\sin k}{k} \\)이며, 여기서 \\( \\Theta(x) \\)는 헤비사이드 계단 함수이고, 푸리에 변환은 \\( \\widetilde{f}(k) = \\int_{-\\infty}^{\\i... | math | {
"ground_truth": "\\pi",
"style": "rule"
} | {
"index": 786,
"split": "train"
} | 786 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 \\( \\mathbb{F}^n \\)의 초평면(hyperplane)이 다음과 같이 표현될 수 있는가? \n\\[\n\\{(x_1, \\dots, x_n) \\in \\mathbb{F}^n \\mid a_1x_1 + \\dots + a_nx_n = 0\\}\n\\]\n여기서 계수 \\( a_1, \\dots, a_n \\) 중 적어도 하나는 \\( 0 \\)이 아니라고 하자. 단, 초평면은 주어진 공간의 차원보다 1 작은 차원을 갖는 부분공간(subspace)으로 정의한다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 787,
"split": "train"
} | 787 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "주기점들의 집합이 \\( \\Lambda \\) 내에서 조밀하지 않은 쌍곡 집합(hyperbolic set) \\( \\Lambda \\)가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 788,
"split": "train"
} | 788 | 9 | Mathematics -> Geometry -> Non-Euclidean Geometry -> Hyperbolic Geometry | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "비정규(non-normal) 트레이스 클래스 연산자 \\(X_n\\)의 수열이 존재하여, 어떤 직교 정규 기저 \\(\\{ v_i \\}_{i \\in \\mathbb{N}}\\)에 대하여 다음 조건이 성립하는가:\n\\[\n\\sum_{i=1}^\\infty \\vert \\langle v_i, X_n v_i \\rangle \\vert \\to 0 \\quad \\text{as } n \\to \\infty\n\\]\n그리고 동시에 모든 \\(n \\in \\mathbb{N}\\)에 대해 \\(\\| X_n \\|_{tc} ... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 789,
"split": "train"
} | 789 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "정팔각형의 변을 빨간색과 파란색 두 가지 색으로 각각 정확히 네 번씩 칠하는 서로 다른 경우의 수를 구하시오. 여기서 두 가지 색칠이 동일하다고 간주되는 경우는 한 쪽을 회전시켜 다른 쪽과 같게 만들 수 있을 때이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "10",
"style": "rule"
} | {
"index": 790,
"split": "train"
} | 790 | 5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 식 \\( \\Sigma a^{2}(b^{4}-c^{4}) \\)를 인수분해 하세요. 아래 선택지 중 올바른 인수분해를 고르시오:\n\n(a) \\((a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}\\)\n\n(b) \\((a-b)(a+b)(b-c)(b+c)(c-a)(c+a)\\)\n\n(c) \\((a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\\)\n\n(d) 해당 사항 없음\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "B",
"style": "rule"
} | {
"index": 791,
"split": "train"
} | 791 | 4 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Algebraic Expressions | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\text{Com}(\\mathbb{R}^2) \\)를 평면 위의 공집합이 아닌 콤팩트 부분집합들의 공간으로, 하우스도르프 거리(Hausdorff metric)로 장착된 공간이라고 하자. 연속 경로 \\( S_\\bullet:[0,1]\\to\\text{Com}(\\mathbb{R}^2) \\)가 주어졌을 때, 만약 \\( p\\in S_0 \\)라면, \\( \\gamma:[0,1]\\to\\mathbb{R}^2 \\)로서 \\( \\gamma(0)=p \\)이고 모든 \\( t\\in[0,1] \\)에 대해 \\( ... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 792,
"split": "train"
} | 792 | 8.5 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Manifolds | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "구의 반지름이 \\( r \\)과 \\( R \\)인 구역 \\( E \\)에 대해, 적분 \n\\[\n\\iiint_E \\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{n/2}} \\, dV\n\\]\n가 \\( r \\to 0^+ \\)일 때 극한을 갖는 \\( n \\)의 값을 구하시오. 이 적분의 값은 \n\\[\n4\\pi\\left(\\frac{R^{3-n}}{3-n} - \\frac{r^{3-n}}{3-n}\\right)\n\\]\n이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
... | math | {
"ground_truth": "n < 3",
"style": "rule"
} | {
"index": 793,
"split": "train"
} | 793 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "두 확률 분포 사이의 Kullback-Leibler (KL) 발산의 최대 가능한 값은 얼마입니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 794,
"split": "train"
} | 794 | 5.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 계산하세요: \\( \\lim_{x \\to 0} \\sqrt[x]{1+\\sin x} \\).\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e",
"style": "rule"
} | {
"index": 795,
"split": "train"
} | 795 | 3.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "군 \\( D \\)에는 정확히 100개의 서로 다른 11차 원소가 있다. \\( D \\)에 존재하는 11차 부분군의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "10",
"style": "rule"
} | {
"index": 796,
"split": "train"
} | 796 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "세 명의 트레이더가 하루가 끝날 때 받는 수익이 각각 $0에서 $100 사이의 균등분포를 따른다. 트레이더 A의 수익이 트레이더 B의 수익보다 크고, 트레이더 B의 수익이 트레이더 C의 수익보다 클 확률은 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{6}",
"style": "rule"
} | {
"index": 797,
"split": "train"
} | 797 | 3 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "벡터장 \\( \\mathbb{v} = (x^2-2xz, -2xy, z^2 - x) \\)의 플럭스를 아래 방향으로, 포물면 \\( z = 1 - x^2 - y^2 \\) (단, \\( x \\geq 0 \\) 및 \\( z \\geq 0 \\))를 통해 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{2}{3}",
"style": "rule"
} | {
"index": 798,
"split": "train"
} | 798 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "살인 사건 조사에서 세 명의 용의자, 즉 Adam, Ben, Charlie가 있습니다. 각 용의자는 자신이 Dave를 죽이지 않았다고 주장합니다. Adam은 Dave가 Ben과 친구였고 Charlie는 Dave를 좋아하지 않았다고 말합니다. Ben은 자신이 Dave를 알지 못했고 살인 당일에 도시를 떠나 있었다고 주장합니다. Charlie는 범죄 당일에 Adam과 Ben 둘 다 Dave와 함께 있는 것을 보았으며, 범인은 Adam 아니면 Ben 중 하나라고 주장합니다. 세 명 중 두 명은 진실을 말하고 한 명은 거짓말을 하며, ... | math | {
"ground_truth": "Ben",
"style": "rule"
} | {
"index": 799,
"split": "train"
} | 799 | 3 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Easy |
Subsets and Splits
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