data_source stringclasses 1
value | prompt listlengths 1 1 | ability stringclasses 1
value | reward_model dict | extra_info dict | original_index int64 0 102k | difficulty float64 1 10 | topic stringclasses 82
values | difficulty_level stringclasses 3
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Korean-DeepMath | [
{
"content": "원통 좌표계를 사용하여 위쪽은 평면 \\( z = y \\)에 의해, 아래쪽은 포물면 \\( z = x^2 + y^2 \\)에 의해 경계지어진 입체의 부피를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{\\pi}{32}",
"style": "rule"
} | {
"index": 600,
"split": "train"
} | 600 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "벡터장 \\( F(x,y,z) = (xz - x\\cos(z), -yz + y\\cos(z), -4 - (x^2 + y^2)) \\)의 플럭스를 표면 \\( S_R = \\{ x^2 + y^2 + z^2 = R^2 , z \\geq 0 \\} \\)에 대해 최대화하는 \\( R \\in \\mathbb{R} \\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 601,
"split": "train"
} | 601 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\[ \\lim_{x \\to \\infty} \\left ( \\frac{1}{x} \\int_{0}^{x} e^{t^{2}} dt \\right ) \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\infty",
"style": "rule"
} | {
"index": 602,
"split": "train"
} | 602 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "측도 공간 \\(X\\)와 측도 \\(\\mu\\)가 \\(\\sigma\\)-유한하지 않다면, 이것이 \\(X\\)의 측도가 무한함을 의미하는가? 이에 대한 근거를 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 603,
"split": "train"
} | 603 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "콤팩트 가측 공간 \\(X\\)에서, 만약 닫히고 열려 있는 집합들의 불 대수(Boolean algebra)가 유한하다면, 연결 성분들에 의해 생성되는 불 대수도 유한한지 여부를 묻는 문제입니다. 이에 대한 답과 그 정당성을 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 604,
"split": "train"
} | 604 | 8 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "ZFC의 모델 \\(V\\)를 생각하자. 이 모델의 초곱집합(ultrapower) \\(M\\)을 취하면, \\(M\\)은 비표준 자연수를 포함하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 605,
"split": "train"
} | 605 | 8.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "각 확률 변수 \\( X_n \\)가 서로 독립이고 파라미터가 \\( n \\)인 포아송 분포를 따를 때, \\( \\frac{X_n}{n} \\)의 거의 확실한 극한값을 구하시오. 즉, \\( \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{X_n}{n} \\)를 거의 확실하게 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 606,
"split": "train"
} | 606 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( |z_0| \\le 1 \\)일 때, \\( z \\)가 단위원 위를 움직일 때 \\( \\log |z_0 - z| \\)의 평균값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 607,
"split": "train"
} | 607 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "수학 능력과 글쓰기 능력이 각각 [0, 1] 구간에서 독립적으로 균등 분포한다고 할 때, 두 능력의 합이 1보다 클 때에만 학생들이 대학에 진학한다고 하자. 대학에 진학한 학생들 사이에서 글쓰기 능력과 수학 능력 간의 상관 계수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-\\dfrac{1}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 608,
"split": "train"
} | 608 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( \\omega_1 \\)을 첫 번째 비가산 기수라고 할 때, \\( \\omega_1^\\beta = \\beta \\)를 만족하는 기수 \\( \\beta \\)가 존재함을 증명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\beta",
"style": "rule"
} | {
"index": 609,
"split": "train"
} | 609 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "밑면이 \\(xy\\)-평면에서 중심이 \\((1,1,0)\\)이고 반지름이 1인 원판인 원기둥의 부피를 구하시오. 윗면은 곡면 \\(z = ((x-1)^2 + (y-1)^2)^{3/2}\\)로 정의된다. 삼중 적분을 사용하여 부피를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{2\\pi}{5}",
"style": "rule"
} | {
"index": 610,
"split": "train"
} | 610 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "연속 함수 \\( w \\in C^0(\\Omega) \\)에 대하여, 모든 \\( x,y \\in \\Omega \\)에 대해 조건 \\( w \\left (\\dfrac{x+y}{2} \\right ) \\le \\dfrac{1}{2}(w(x) +w(y)) \\)가 성립하는 것이 \\( w \\)가 볼록함수(convex)임을 보장하는 충분조건인가요?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 611,
"split": "train"
} | 611 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(C_2 \\times C_2\\)의 자기동형군(automorphism group)이 다음 관계식들 \\(x^3 = 1\\), \\(y^2 = 1\\), 그리고 \\(xy = yx^2\\)로 정의되는 이면군(dihedral group) \\(D_6\\)과 동형(isomorphic)임을 증명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "D_6",
"style": "rule"
} | {
"index": 612,
"split": "train"
} | 612 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "측도 1인 가측 집합 \\( E \\subset \\mathbb{R} \\)에 대하여, 다음 조건을 만족하는 함수 \\( T: [0,1] \\to E \\)가 존재하는지 결정하시오: \n\\( T([0,1]) = E \\)이고, 임의의 르베그 적분 가능 함수 \\( f \\)에 대하여 \n\\[\n\\int_E f = \\int_{[0,1]} f \\circ T\n\\]\n가 성립한다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 613,
"split": "train"
} | 613 | 8.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$R$를 차원 $d$인 가환 환이며, $R$는 축소환(reduced)이고 노터리언이 아닌 환이라고 하자. 또한 $a$를 $R$의 영인자가 아닌 원소(non-zero divisor)라고 할 때, $R/(a)$의 크룰 차원(Krull dimension)이 최대 $d - 1$인지 묻는 문제입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 614,
"split": "train"
} | 614 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "어떤 집합이 조밀(dense)하다는 것이 그 집합이 셀 수 없음을 의미하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 615,
"split": "train"
} | 615 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "확률 변수 \\(X\\)와 \\(Y\\)가 결합 확률 밀도 함수 \\(f(x,y) = 8x(1-y)\\)를 가지며, 정의역은 \\(0 < y < 1\\) 그리고 \\(0 < x < 1-y\\)일 때, 조건부 확률 \\(P(Y < X \\mid X \\leq \\frac{1}{4})\\)를 계산하세요. 답은 단일 값으로 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{29}{93}",
"style": "rule"
} | {
"index": 616,
"split": "train"
} | 616 | 5.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "행렬 \\({\\bf A}\\)가 음의 정부호(negative definite) 행렬일 때, 행렬 \\({\\bf A}\\)의 트레이스 Tr\\({\\bf A}\\)가 0보다 작은가요? 여기서 Tr\\({\\bf A}\\)는 \\(n \\times n\\) 크기의 실수 원소로 이루어진 정방행렬 \\({\\bf A}\\)의 대각 원소들의 합을 나타내며, \\({\\bf A}\\)의 고유값 \\(\\lambda_n < 0\\)임을 가정합니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 617,
"split": "train"
} | 617 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 조건을 만족하는 양의 정수 \\(a\\)의 개수를 구하시오: \\(0 \\leq b \\leq 2002\\)인 정수 \\(b\\)가 존재하여 이차식 \\(x^2 + ax + b\\)와 \\(x^2 + ax + b + 1\\) 모두 정수 근을 갖는다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "44",
"style": "rule"
} | {
"index": 618,
"split": "train"
} | 618 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Quadratic Functions | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "특성 다항식이 \\( p(A) = (\\lambda+4)^5(\\lambda-2)^2 \\)인 행렬 \\( A \\in M_7(\\mathbb{C}) \\)에 대해 서로 다른 Jordan 표준형의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "14",
"style": "rule"
} | {
"index": 619,
"split": "train"
} | 619 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "임의의 \\( t > 0 \\)에 대해 다음 성질을 갖는 함수 \\( \\Lambda(t) \\)가 주어졌다고 하자:\n\n1. \\( \\Lambda(t) \\)는 미분 가능하다.\n2. \\( \\Lambda(t) \\)는 단조 증가 함수이다.\n3. 임의의 \\( T, S > 0 \\)에 대해 \\( \\Lambda(T) = \\Lambda(T+S) - \\Lambda(S) \\)를 만족한다.\n\n함수 \\( \\Lambda(t) \\)의 형태를 유도하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주... | math | {
"ground_truth": "\\Lambda(t) = kt",
"style": "rule"
} | {
"index": 620,
"split": "train"
} | 620 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다항식 \\(x^4 - x - 1\\)의 분해체에 대한 갈루아 군을 \\(\\mathbb{Q}\\) 위에서 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "S_4",
"style": "rule"
} | {
"index": 621,
"split": "train"
} | 621 | 8.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$n$명의 사람이 있고 $m$개의 작업이 있을 때, 각 사람은 0개에서 $m$개 사이의 작업을 처리할 수 있다고 할 때, 모든 $m$개의 작업이 완료되도록 작업을 배정하는 경우의 수를 구하세요. 예를 들어, $n=2$, $m=2$인 경우에는 유효한 배정 방법이 9가지입니다. 일반적인 $n$과 $m$에 대해 유효한 배정 방법의 수는 얼마입니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(2^n - 1)^m",
"style": "rule"
} | {
"index": 622,
"split": "train"
} | 622 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Counting Methods -> Combinations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "영역 \\( T = \\{(x,y,z) \\in \\mathbb{R}^3 \\mid (x+y+z)^2 + (x-y)^2 \\leq 1, 0 \\leq z \\leq 3 \\} \\)의 부피를 적분 \\( \\int_{T} \\,dx\\,dy\\,dz \\)를 계산하여 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{3\\pi}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 623,
"split": "train"
} | 623 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음과 같은 집합을 고려하라: \\( \\Xi_A = \\{ n \\in \\mathbb{N} \\mid \\exists k^2 \\in A : k^2 \\leq n \\} \\), 여기서 \\( A \\)는 임의의 재귀 열거 가능 집합이다. 다음 명제 중 옳은 것을 결정하시오:\n\nI) \\( \\Xi_A \\)는 결정 가능하다. \nII) \\( \\Xi_A \\)는 재귀 열거 가능하지만 결정 가능하지 않다. \nIII) \\( \\Xi_A \\)는 재귀 열거 가능하지 않으나, \\( \\Xi_A \\)의 여집합은 재귀... | math | {
"ground_truth": "I",
"style": "rule"
} | {
"index": 624,
"split": "train"
} | 624 | 8 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( X \\)와 \\( Y \\)가 서로 독립인 표준 정규 확률 변수일 때, 조건부 확률 \\( P(X > 0 \\mid X+Y > 0) \\)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{3}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 625,
"split": "train"
} | 625 | 5.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$[0,1]$ 구간에서 균등분포를 따르는 독립적인 표본 $n$개를 추출하여 그 표본 집합을 $N$이라 하자. $X$를 $N$에서 가장 큰 $K$개의 표본, $Y$를 $N$에서 가장 작은 $n-K$개의 표본이라고 정의하자. 이때, $X$의 평균이 $Y$의 평균보다 $k$배 클 확률은 얼마인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 626,
"split": "train"
} | 626 | 7 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "언어 \\( B = \\{a^n b^n c^n \\} \\)는 튜링 인식 가능한가? 이에 대한 근거를 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 627,
"split": "train"
} | 627 | 6 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Algorithms | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( F(t) = (x(t), y(t)) \\)가 \\( \\mathbb{R}^2 \\setminus \\{(0,0)\\} \\)에서 닫힌 연속 미분 가능 곡선일 때, 적분 \\( \\int_{0}^{2\\pi} \\frac{x(t)x'(t) + y(t)y'(t)}{x^2(t) + y^2(t)}dt \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 628,
"split": "train"
} | 628 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{n\\to\\infty}\\int_0^\\frac{1}{n} \\frac{e^{-t} \\sin{\\frac{t}{n}} \\, dt}{\\left(1+\\left(\\frac{t}{n}\\right)^2\\right)\\arctan{\\frac{t}{n}}} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 629,
"split": "train"
} | 629 | 7 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "한 남자가 실수 직선의 원점에 서서 동전 던지기 게임을 합니다. 앞면이 나오면 오른쪽으로 1단위 이동하고, 뒷면이 나오면 왼쪽으로 1단위 이동합니다. 그가 처음으로 -7 또는 10에 도달할 때까지 걸리는 예상 걸음 수는 얼마입니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "70",
"style": "rule"
} | {
"index": 630,
"split": "train"
} | 630 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 명제가 참인지 거짓인지 결정하시오: \\(X_n \\to X\\)가 \\(L^p\\)에서 성립하고 \\(Y_n \\to Y\\)가 \\(L^p\\)에서 성립할 때, \\(X_n Y_n \\to XY\\)가 \\(L^p\\)에서 성립하는가? 답을 증명이나 반례를 통해 정당화하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "거짓",
"style": "rule"
} | {
"index": 631,
"split": "train"
} | 631 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "항등 행렬이나 항등 행렬의 스칼라 배수가 아닌, 조건수가 1인 행렬이 존재하는지 여부를 결정하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 632,
"split": "train"
} | 632 | 6.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "곡선 \\(\\gamma\\)가 \\(g(t) = (\\cos t, \\sin t)\\)로 매개변수화되어 있고 \\(0 \\leq t \\leq 2\\pi\\)일 때, 선적분 \\( \\int_\\gamma x \\, dx \\)를 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 633,
"split": "train"
} | 633 | 4 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$n \\times n$ 실수 행렬들의 집합인 $M(n, \\mathbb{R})$의 부분집합 $S$를 다음과 같이 정의하자. 즉, $S$는 행렬의 고유값들의 절댓값이 모두 2 이하인 행렬들의 집합이다. 이 부분집합 $S$가 반드시 연결 공간인지 여부를 묻는 문제이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 634,
"split": "train"
} | 634 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(X\\)를 연결된 하우스도르프 공간이라고 하자. 모든 \\(n \\ge 1\\)에 대하여 \\(H_n(X, \\mathbb{Z}) = 0\\)이라고 할 때, 이것이 \\(X\\)가 경로 연결(path-connected)임을 의미하는가? 즉, \\(H_0(X, \\mathbb{Z}) = \\mathbb{Z}\\)인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 635,
"split": "train"
} | 635 | 8 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Manifolds | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$L/F$가 무한 차수의 체 확장이고, $L$이 대수적으로 닫혀 있다고 하자. 임의의 정수 \\( d \\geq 1 \\)에 대하여, \\( F \\subset K \\subset L \\)인 중간체 \\( K \\)가 존재하여 \\( K/F \\)가 유한 차수이면서 차수가 적어도 \\( d \\)인 경우가 있는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 636,
"split": "train"
} | 636 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( x, y, z \\in \\mathbb{R} \\)일 때, 다음 식의 최소값을 구하시오: \n\\[\n\\sqrt{x^2+1}+ \\sqrt {4+(y-z)^2} + \\sqrt{1+ (z-x)^2} + \\sqrt{9+(10-y)^2}\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\sqrt{149}",
"style": "rule"
} | {
"index": 637,
"split": "train"
} | 637 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 양의 정수 \\( n \\)에 대하여 \\(\\mathbb{Z}_n\\)과 동형인 부분군을 포함하는 군 \\( G \\)를 하나 찾으시오. 이러한 군의 예를 하나 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\mathbb{Q}/\\mathbb{Z}",
"style": "rule"
} | {
"index": 638,
"split": "train"
} | 638 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 명제가 참인지 여부를 판별하시오: 모든 \\(z \\in \\mathbb{S}^1\\) 및 \\(x, y \\in \\mathbb{S}^7\\)에 대하여, 여기서 \\(\\cdot\\)는 복소수 곱셈을, \\(\\ast\\)는 옥토니언 곱셈을 나타낼 때, 다음 식이 성립하는가? \n\\[ z \\cdot (x \\ast y) = (z \\cdot x) \\ast y. \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "거짓",
"style": "rule"
} | {
"index": 639,
"split": "train"
} | 639 | 9 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( f:[a,b] \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 연속 함수이고, 모든 \\( x \\in [a,b] \\)에 대해 \\( y \\in [a,b] \\)가 존재하여 \\( |f(y)| \\leq |f(x)|/2 \\)를 만족한다고 하자. 이때, \\( \\xi \\in [a,b] \\)가 존재하여 \\( f(\\xi) = 0 \\)임을 증명하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 640,
"split": "train"
} | 640 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 계산하시오: \\[\n\\lim_{n\\rightarrow \\infty} n \\int_0^n \\sin^2(\\pi x)\\left(\\frac{1}{(x-1)(x-2)} + \\frac{1}{(x+1)(x+2)}\\right) dx\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-1",
"style": "rule"
} | {
"index": 641,
"split": "train"
} | 641 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하시오: \\[ \\lim_{n\\to\\infty}\\dfrac{1}{n}\\left\\{\\dfrac{(2n)!}{n!}\\right\\}^{\\dfrac{1}{n}} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{4}{e}",
"style": "rule"
} | {
"index": 642,
"split": "train"
} | 642 | 6 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x\\to 0^+} x \\cosh^{-1}\\bigl(x \\sinh(\\frac{1}{x})\\bigr) \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 643,
"split": "train"
} | 643 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모듈로 \\(11^2\\)에 대한 원시근(primitive root)을 구하세요. 답은 하나의 정수로 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 644,
"split": "train"
} | 644 | 5 | Mathematics -> Number Theory -> Congruences | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "한 점이 원점에서 시작하여 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽으로 동일한 확률로 무작위로 이동한다. \\( n \\)번 이동한 후, 점의 위치는 위로 \\( x_1 \\) 단위, 아래로 \\( x_2 \\) 단위, 왼쪽으로 \\( x_3 \\) 단위, 오른쪽으로 \\( x_4 \\) 단위로 표현된다. 원점으로부터의 제곱 거리는 다음과 같다:\n\\[ D^2 = (x_4 - x_3)^2 + (x_1 - x_2)^2 \\]\n\\( n \\)번 이동 후의 기댓값 \\( E(D^2) \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\b... | math | {
"ground_truth": "n",
"style": "rule"
} | {
"index": 645,
"split": "train"
} | 645 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소적분 \\( \\int_C z^3\\exp{\\left(\\dfrac{-1}{z^2}\\right)} dz \\) 를 평가하시오. 여기서 \\( C \\)는 \\( |z|=5 \\)인 폐곡선이다. 잔여 정리(Residue Theorem)를 사용하여 적분값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\pi i",
"style": "rule"
} | {
"index": 646,
"split": "train"
} | 646 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음과 같이 \\([0,1]\\) 구간에서 정의된 함수열 \\(f_n(x)\\)를 고려하라:\n\\[\nf_n(x) = \\begin{cases} \n\\sin(n\\pi x), & \\text{if } x \\in [0,1/n], \\\\\n0, & \\text{if } x \\in (1/n,1].\n\\end{cases}\n\\]\n\\(f_n(x)\\)가 \\([0,1]\\)에서 가지는 수렴의 종류를 결정하시오:\n\n- 점별 수렴하지 않는다.\n- 점별 수렴하지만 극한 함수는 연속이지 않다.\n- 점별 수렴하지만 균등 수... | math | {
"ground_truth": "C",
"style": "rule"
} | {
"index": 647,
"split": "train"
} | 647 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "양의 항으로 이루어진 단조 감소 수열 \\(a_n\\)이 다음 조건을 만족한다고 하자:\n$$\\lim_{n\\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 0.$$\n이때, \\(\\lim_{n\\rightarrow \\infty} a_n = 0\\)임을 증명하시오. 증명은 모순법을 사용하여 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 648,
"split": "train"
} | 648 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "고정점이 전혀 없는 초월적 전해 함수(transcendental entire function)가 존재하는지 여부를 판단하고, 그에 대한 근거를 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 649,
"split": "train"
} | 649 | 8.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "유한 차수의 다항식이 무한히 많은 근을 갖는 환이 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 650,
"split": "train"
} | 650 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "쌍곡면 \\( S \\)의 매핑 클래스 군 \\( Mod(S) \\) 내에 서로 다른 의사-Anosov 원소 \\( f \\)와 \\( g \\)가 존재하여 그 스트레치 인자(stretch factor)가 같을 수 있는가, 즉 \\(\\lambda_f = \\lambda_g\\) 인 경우가 존재하는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 651,
"split": "train"
} | 651 | 9 | Mathematics -> Geometry -> Differential Geometry -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(2^{1093} - 2\\)가 \\(1093^2\\)로 나누어지는지 여부를 판단하고, 그에 대한 근거를 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 652,
"split": "train"
} | 652 | 8 | Mathematics -> Number Theory -> Prime Numbers | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소수 \\( z \\)가 단위원 위에 있다고 할 때, 즉 \\( |z| = 1 \\)일 때, 변환 \\( z \\to e^z \\)에 의해 형성되는 서로 다른 영역의 개수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 653,
"split": "train"
} | 653 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Complex Numbers | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 식을 계산하시오: \n\\[\n\\frac{100^2}{100!} + \\sum_{k=1}^{100} |(k^2 - 3k + 1)S_k|\n\\]\n단, \\( S_k \\)는 첫 번째 항이 \\(\\frac{k-1}{k!}\\)이고 공비가 \\(\\frac{1}{k}\\)인 무한 등비급수의 합이다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3",
"style": "rule"
} | {
"index": 654,
"split": "train"
} | 654 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$G$를 서로 다른 소수 \\(p, q, r\\)에 대해 \\(|G| = pqr\\)인 군이라고 하자. \\(G\\)가 차례로 \\(p\\)와 \\(q\\)의 차수를 갖는 원소들에 의해 생성된다고 할 때, \\(G\\)가 단순군(simple group)이 될 수 있는가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "아니오",
"style": "rule"
} | {
"index": 655,
"split": "train"
} | 655 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Group Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\[ \\lim_{x \\to 0} \\frac{e^{\\tan^2(x)} - \\cos(x)}{\\tan^2(x)} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{3}{2}",
"style": "rule"
} | {
"index": 656,
"split": "train"
} | 656 | 4 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "모든 무한 집합이 derangement를 가지는지 여부를 결정하시오. 여기서 derangement는 고정점이 없는 집합에서 자기 자신으로의 전단사 함수로 정의된다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 657,
"split": "train"
} | 657 | 9 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Combinatorics | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "유한체 \\(\\mathbb{F}_9\\) 위의 사영 공간 \\(\\mathbb{P}_3\\)에서 이차 곡면 \\(x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 0\\) 위의 점의 개수를 구하세요. 답은 하나의 정수로 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "100",
"style": "rule"
} | {
"index": 658,
"split": "train"
} | 658 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x\\to 0^+}{x^{x^x}} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 659,
"split": "train"
} | 659 | 5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 극한값을 구하세요: \\[ \\lim_{(x,y)\\to(0,0)}(x^2+y^2)^{x^2y^2} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1",
"style": "rule"
} | {
"index": 660,
"split": "train"
} | 660 | 5.5 | Mathematics -> Precalculus -> Limits | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( p(x) = 1 \\)과 \\( q(x) = x \\)에 모두 직교하는 이차 다항식을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "3x^2 - 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 661,
"split": "train"
} | 661 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "구간 [0,1]에서 균등 분포를 따르는 세 개의 확률 변수가 있다고 하자. 이들 중 최소값을 \\(X\\), 최대값을 \\(Y\\)라고 할 때, \\(X \\times Y\\)의 기댓값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{5}",
"style": "rule"
} | {
"index": 662,
"split": "train"
} | 662 | 5.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(S\\)와 \\(T\\)가 노름 벡터 공간에서 서로소이고 콤팩트한 집합이라고 하자. \\( f(S,T) = \\inf\\{||s-t|| : s \\in S, t \\in T\\} \\)로 정의할 때, \\( f(S,T) = ||s - t|| \\)를 만족하는 \\( s \\in S \\), \\( t \\in T \\)가 존재하는지 결정하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 663,
"split": "train"
} | 663 | 6.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Vectors | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 폐곡선 적분 \\( \\int_{R} ^{R+i \\pi} \\frac {1}{\\cosh x} \\, dx \\) 를 계산하고 결과를 검증하세요. 예상 결과는 0입니다. 만약 결과가 다르다면 계산 과정에서의 오류를 찾아내세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 664,
"split": "train"
} | 664 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Multi-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(\\omega\\)가 \\(\\omega^7 = 1\\)이고 \\(\\omega \\neq 1\\)인 복소수라고 하자. \\(\\alpha = \\omega + \\omega^2 + \\omega^4\\), \\(\\beta = \\omega^3 + \\omega^5 + \\omega^6\\)로 정의할 때, \\(\\alpha\\)와 \\(\\beta\\)가 이차방정식 \\(x^2 + px + q = 0\\)의 근이라면, 순서쌍 \\((p, q)\\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적... | math | {
"ground_truth": "(1, 2)",
"style": "rule"
} | {
"index": 665,
"split": "train"
} | 665 | 5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(X\\)가 표준 정규 확률 변수이고 \\(a > 0\\)가 상수일 때, 다음 극한값을 구하시오: \n\\[\n\\lim_{x \\to 0^+} \\mathbb{P}\\left(X > x + \\frac{a}{x} \\mid X > x\\right).\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 666,
"split": "train"
} | 666 | 8 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 명제가 참인지 거짓인지 판별하시오: 그래프가 \\(n\\)개의 정점과 \\(e\\)개의 간선을 가지고 있고, \\(e > 100n\\)일 때, 그 그래프는 항상 길이 100인 경로를 포함한다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "참",
"style": "rule"
} | {
"index": 667,
"split": "train"
} | 667 | 5.5 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Graph Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "표면 \\( S \\)가 \\([-1,1] \\times [-1,1] \\times [-1,1]\\)로 정의된 정육면체의 표면일 때, 표면적분 \\( \\iint_S z^2 \\, dS \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{40}{3}",
"style": "rule"
} | {
"index": 668,
"split": "train"
} | 668 | 5.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(z)=\\frac{\\sinh z}{z^4(1-z^2)} \\)의 \\( z=0 \\)에서의 잔여류(residue)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{7}{6}",
"style": "rule"
} | {
"index": 669,
"split": "train"
} | 669 | 7 | Mathematics -> Other | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "ZF 집합론과 모순되지 않으면서 대수적으로 독립인 실수들의 비가산 집합이 존재하지 않는 것이 가능한가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 670,
"split": "train"
} | 670 | 9 | Mathematics -> Discrete Mathematics -> Logic | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\((E_1,\\tau_1)\\)를 국소 볼록 공간(locally convex space)이라 하고, \\((E_2,\\tau_2)\\)를 완비 국소 볼록 공간(complete locally convex space)이라고 하자. \\(T : (E_1,\\tau_1) \\longrightarrow (E_2,\\tau_2)\\)가 위상 동형사상(topological isomorphism)이라고 할 때, \\((E_1,\\tau_1)\\)도 반드시 완비 공간인가?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 671,
"split": "train"
} | 671 | 7.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "복소 함수 \\( f(z) = \\cos(|z|^2) \\)가 \\( z = 0 \\)에서 미분 가능한지 결정하시오. 만약 미분 가능하다면, 그 점에서의 도함수 \\( f'(z) \\)를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 672,
"split": "train"
} | 672 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "대각행렬 \\(D\\)와 대칭행렬 \\(A\\)가 주어졌을 때, 행렬식 표현 \\(D - A^{-1}DA\\)를 간단히 하세요. 이 표현을 더 간단한 형태로 나타낼 수 있나요?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "-A^{-1}(DA - AD)",
"style": "rule"
} | {
"index": 673,
"split": "train"
} | 673 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Matrices | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$a$가 0, $\\pm 1$이 아니고 제곱인수가 없는 정수일 때, 다항식 \\(x^4 - a\\)의 갈루아 군을 \\(\\mathbb{Q}\\) 위에서 구하고, 그에 대한 근거를 제시하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "D_4",
"style": "rule"
} | {
"index": 674,
"split": "train"
} | 674 | 7 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Field Theory | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "점화식 \\( a_{n+1} = \\sin a_n \\)로 정의된 수열의 극한 \\( \\lim_{n \\to \\infty} a_n \\)을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 675,
"split": "train"
} | 675 | 4.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 적분 \\( \\int_{0}^{1}\\left\\{\\frac{1}{x}\\left\\lfloor\\frac{1}{x}\\right\\rfloor\\right\\}dx \\)를 닫힌 형태로 계산하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "1 - \\gamma",
"style": "rule"
} | {
"index": 676,
"split": "train"
} | 676 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "두 단위 일차식(leading coefficient가 1인) 다항식 \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)가 계수가 정수 \\(\\mathbb{Z}\\)이고, 유리수체 \\(\\mathbb{Q}\\) 위에서 서로 소(coprime)일 때, 정수 계수를 갖는 다항식 \\( u(x) \\)와 \\( v(x) \\)가 존재하여\n\n\\[\nf(x)u(x) + g(x)v(x) = 1\n\\]\n\n을 만족하는지 판단하시오. 답은 \"True\" 또는 \"False\"로 하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed... | math | {
"ground_truth": "거짓",
"style": "rule"
} | {
"index": 677,
"split": "train"
} | 677 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Abstract Algebra -> Ring Theory | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "실수 값을 갖는 확률 변수 \\( X \\)의 밀도가 \\( f(x) = 2xe^{-x^2} \\) (단, \\( x > 0 \\))일 때, \\( Y = X^2 \\)로 정의한다. \\( E[Y^n] \\)를 계산하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\Gamma(n + 1)",
"style": "rule"
} | {
"index": 678,
"split": "train"
} | 678 | 6.5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(y_i \\sim N(0,Q)\\)이 \\(i = 1, 2, \\ldots, N\\)에 대해 서로 독립이라고 할 때, \\(X = \\sum_{i=1}^N y_i^2\\)의 분산 \\(\\text{Var}(X)\\)를 구하세요. 답은 \\(N\\)과 \\(Q\\)를 사용하여 표현하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2NQ^2",
"style": "rule"
} | {
"index": 679,
"split": "train"
} | 679 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "L'Hopital의 법칙을 사용하지 않고 다음 극한을 구하세요: \\[ \\lim_{x\\to0}\\frac{\\sqrt{\\cosh{(3x^2)}}\\cdot e^{4x^3}-1}{x^2\\tan(2x)} \\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2",
"style": "rule"
} | {
"index": 680,
"split": "train"
} | 680 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "함수 \\( f(x,y) = 4x^2 + 7y^2 + 5xy + 14 \\)로 정의된 곡면에서 벡터 \\( 6\\hat{i} + 69\\hat{j} + 3\\hat{k} \\)가 접평면에 수직인 점들을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(1, -2, 36)",
"style": "rule"
} | {
"index": 681,
"split": "train"
} | 681 | 5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "초기값 문제(IVP) \\[ y' = y^2 + \\frac{1}{t}, \\quad y(1) = 1 \\]에 대해, 존재와 유일성 정리가 해 \\( y : J \\to \\mathbb{R} \\)의 존재와 유일성을 보장하는 최대 시간 구간 \\( J \\)를 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "(0, 2)",
"style": "rule"
} | {
"index": 682,
"split": "train"
} | 682 | 6.5 | Mathematics -> Differential Equations -> Ordinary Differential Equations (ODEs) | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "열린 집합 \\( U \\subset \\mathbb{R}^n \\)가 주어졌을 때, \\( f : \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R} \\)가 \\( U \\)의 모든 점에서 불연속이고, \\( \\mathbb{R}^n \\setminus U \\)에서는 연속인 함수가 존재하는가? 이에 대한 답과 그 이유를 제시하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 683,
"split": "train"
} | 683 | 8.5 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( a, b, c \\in \\mathbb{R^+} \\)이고 \\( a+b+c=12 \\)일 때, \n\\( S = \\left(a+\\frac{1}{b}\\right)^2 + \\left(b+\\frac{1}{c}\\right)^2 + \\left(c+\\frac{1}{a}\\right)^2 \\)의 최소값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{867}{16}",
"style": "rule"
} | {
"index": 684,
"split": "train"
} | 684 | 5.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "푸리에 급수가 음의 지수를 포함하여 표현될 때, 즉 \\( A(x) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} a_n e^{-inx} \\) 및 \\( B(x) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} b_n e^{-inx} \\)일 때도 파르세발 정리(Parseval's theorem)가 성립합니까?\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 685,
"split": "train"
} | 685 | 6.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Applications of Integrals | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_0^{+\\infty} \\frac{x\\ln x}{(1+x^2)^2} \\, dx \\) 의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 686,
"split": "train"
} | 686 | 7.5 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Techniques of Integration -> Single-variable | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다항식 \\((x^2 + x + 1)^{100} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \\ldots + a_{199}x^{199} + a_{200}x^{200}\\)가 주어졌을 때, 이 다항식의 근 \\(x_i\\)에 대하여 \\(\\sum_{i=1}^{200} \\frac{1}{1+x_i}\\)의 값을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "100",
"style": "rule"
} | {
"index": 687,
"split": "train"
} | 687 | 8 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$X$를 실수 바나흐 공간(real Banach space)이라 하고, \\( f: X \\to \\mathbb{R} \\)를 연속인 선형 함수라고 하자. 다음 명제가 참인지 판단하라:\n\n임의의 \\(\\varepsilon > 0\\)에 대하여, 어떤 \\(\\delta > 0\\)가 존재하여 모든 \\(x \\in X\\)에 대하여 \\(|f(x)| < \\delta\\)이면 \\(z \\in \\ker f\\)가 존재하여 \\(\\Vert x - z \\Vert < \\varepsilon\\)를 만족한다.\n\n증명 또는... | math | {
"ground_truth": "참",
"style": "rule"
} | {
"index": 688,
"split": "train"
} | 688 | 8 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Hard |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "연속 확률 변수 \\(X\\)와 \\(Y\\)가 다음 결합 밀도 함수 \\(f_{X,Y}(x,y)\\)를 가질 때:\n\\[\nf_{X,Y}(x,y) = \\begin{cases}\n24xy & \\text{if } 0 < x < 1, \\ 0 < y < 1, \\ 0 < x + y < 1 \\\\\n0 & \\text{otherwise}\n\\end{cases}\n\\]\n확률 변수 \\(Z = X + Y\\)의 확률 밀도 함수 \\(f_Z(z)\\)를 구하시오. 답은 \\(z\\)에 대한 함수로 제시하세요.\n단계별로 추론하... | math | {
"ground_truth": "4z^3",
"style": "rule"
} | {
"index": 689,
"split": "train"
} | 689 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\( a_1 = 1 \\)이고 \\( a_n = n(a_{n-1} + 1) \\) for \\( n = 2, 3, \\ldots \\)일 때, \\( P_n = \\left(1 + \\frac{1}{a_1}\\right)\\left(1 + \\frac{1}{a_2}\\right)\\cdots\\left(1 + \\frac{1}{a_n}\\right) \\)로 정의한다. \\( \\lim_{n \\to \\infty} P_n \\)을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"r... | math | {
"ground_truth": "e",
"style": "rule"
} | {
"index": 690,
"split": "train"
} | 690 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 미분방정식 \\(-u''(x) + u(x) = f(x)\\)를 \\(x \\in (-1,1)\\)에 대해 고려하시오. 여기서 \\(f \\in L^2(0,1)\\)이고, 거의 모든 \\(x \\in (-1,1)\\)에 대해 \\(f(x) = f(-x)\\)이다. 해 \\(u(x)\\)는 경계조건 \\(u(-1) = u(1) = 0\\)를 만족한다. 해 \\(u(x)\\)에 대하여 \\(u(x) = u(-x)\\)가 성립하는지 결정하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"ro... | math | {
"ground_truth": "u(x) = u(-x)",
"style": "rule"
} | {
"index": 691,
"split": "train"
} | 691 | 6.5 | Mathematics -> Differential Equations -> Ordinary Differential Equations (ODEs) | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$$(1+x+x^2+x^3+x^4)^{199}(x-1)^{201}$$의 전개식에서 \\(x^{103}\\)의 계수를 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 692,
"split": "train"
} | 692 | 6.5 | Mathematics -> Algebra -> Algebra -> Polynomial Operations | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "로피탈의 정리를 사용하지 않고 다음 극한값을 구하세요: \n\\[\n\\lim_{x \\to e} \\frac{x^{e^x} - e^{x^e}}{x - e}.\n\\]\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "e^{e^e + e - 1}",
"style": "rule"
} | {
"index": 693,
"split": "train"
} | 693 | 6 | Mathematics -> Calculus -> Differential Calculus -> Applications of Derivatives | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "적분 \\( \\int_{-1}^{1} \\text{sgn}(x) \\, dx \\)의 값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "0",
"style": "rule"
} | {
"index": 694,
"split": "train"
} | 694 | 2 | Mathematics -> Calculus -> Integral Calculus -> Integrals | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "\\(X\\)와 \\(Y\\)가 결합 연속 확률 변수이고, 조건부 밀도 함수가 \\(f_{X|Y}(x|y) = I_{(x,x+1)}(y)\\), 주변 밀도 함수가 \\(f_{X}(x) = I_{(0,1)}(x)\\)일 때, 확률 \\(P[X + Y < 1]\\)을 구하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{1}{4}",
"style": "rule"
} | {
"index": 695,
"split": "train"
} | 695 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "기댓값이 \\( \\mathbb{E}[X] < 0 \\)이고, 파라미터 \\( \\theta \\neq 0 \\)인 확률변수 \\( X \\)를 고려하자. 기댓값 \\( \\mathbb{E}[e^{\\theta X}] = 1 \\)일 때, \\( \\theta > 0 \\)인가를 판단하시오.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "참",
"style": "rule"
} | {
"index": 696,
"split": "train"
} | 696 | 6 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Mathematical Statistics | Medium |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "Alma와 Oscar는 매일 전화를 합니다. Alma의 전화 통화 길이는 Exponential(1) 분포를 따르고, Oscar의 전화 통화 길이는 Exponential(2) 분포를 따릅니다. 두 전화 통화 길이는 서로 독립입니다. \\(Z\\)를 두 통화 중 더 긴 통화의 길이라고 할 때, \\(Z\\)의 기댓값을 구하세요.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "\\dfrac{7}{6}",
"style": "rule"
} | {
"index": 697,
"split": "train"
} | 697 | 5 | Mathematics -> Applied Mathematics -> Statistics -> Probability -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "다음 점화식으로 정의된 함수의 닫힌 형태를 구하세요:\n\\[ f(n) = 2f(n-1) + n-1 \\quad \\text{for } n > 1, \\]\n초기 조건은 \\( f(n) = 0 \\) for \\( n < 1 \\)입니다.\n단계별로 추론하고, 최종 답변을 \\boxed{} 안에 적어주세요.",
"role": "user"
}
] | math | {
"ground_truth": "2^n - n - 1",
"style": "rule"
} | {
"index": 698,
"split": "train"
} | 698 | 3.5 | Mathematics -> Algebra -> Intermediate Algebra -> Other | Easy |
Korean-DeepMath | [
{
"content": "$n \\times p$ 행렬 $A$와 그에 대해 직교 변환된 행렬 $B = AQ$를 고려하자. 여기서 $Q$는 $p \\times p$ 정사각 행렬로, $QQ^T = I$를 만족하는 직교 행렬이다. $A$와 $B$는 모두 각 특성(feature)의 평균이 0인 centered 상태이다. 두 행렬 $A$와 $B$에 대해 각각 주성분분석(PCA)을 수행하면 다음과 같다:\n\n\\[\n\\frac{1}{n-1} A^T A = V_A L_A V_A^T\n\\]\n\\[\n\\frac{1}{n-1} B^T B = V_B L_B V_B... | math | {
"ground_truth": "예",
"style": "rule"
} | {
"index": 699,
"split": "train"
} | 699 | 6 | Mathematics -> Algebra -> Linear Algebra -> Linear Transformations | Medium |
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