question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
จะต้องเติมจำนวนใดลงใน 4750 เพื่อให้ได้จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ ? a ) 11 , b ) 15 , c ) 16 , d ) 17 , e ) 18 | 69 x 69 = 4761
4761 - 4750 = 11
ถ้าเติม 11 จะได้จำนวนกำลังสองสมบูรณ์
คำตอบ = a | a | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จอห์นทำงานรับค่าจ้าง $60 ต่อสัปดาห์ เขาได้รับการเลื่อนเงินเดือนและตอนนี้ได้ $72 ต่อสัปดาห์ การเพิ่มขึ้นเป็นเท่าไร? a) 20%, b) 16.66%, c) 16.56%, d) 17.66%, e) 18.1% | การเพิ่มขึ้น = (12 / 60) * 100 = (1 / 5) * 100 = 20% a | a | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
บ่อน้ำกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 เมตร ขุดลึกลงไป 10 เมตร ปริมาตรของดินที่ขุดขึ้นมาเท่าไร a) 32 m³ , b) 31.4 m³ , c) 40 m³ , d) 44 m³ , e) ไม่มีข้อใดถูก | วิธีทำ ปริมาตร = πr²h = (22/7 × 1 × 1 × 10) m³ = 31.4 m³ ตอบ b | b | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทีมบาสเกตบอลทีมหนึ่งที่ลงแข่งไปแล้ว 2/3 ของฤดูกาล มีสถิติชนะ 18 เกม และแพ้ 2 เกม จำนวนเกมที่ทีมสามารถแพ้ได้มากที่สุดในเกมที่เหลือ และยังคงชนะอย่างน้อย 3/4 ของเกมทั้งหมดคือเท่าใด? a) 7, b) 6, c) 5, d) 4, e) 3 | 18 เกมชนะ 2 เกมแพ้ รวมเป็น 20 เกมที่ลงแข่ง ทีมลงแข่งไปแล้ว 2/3 ของฤดูกาลทั้งหมด ดังนั้นจำนวนเกมทั้งหมดคือ 30 3/4 ของ 30 คือ 22.5 ดังนั้นทีมต้องชนะ 23 เกม และสามารถแพ้ได้มากที่สุด 7 เกม ทีมแพ้ไปแล้ว 2 เกม ดังนั้นสามารถแพ้ได้อีก 5 เกม คำตอบ (c) | c | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มาร์คซื้อหม้อปลูกดอกไม้ 6 ใบที่มีขนาดต่างกันในราคาทั้งหมด 7.80 ดอลลาร์ แต่ละใบมีราคาแพงกว่าใบถัดไป 0.25 ดอลลาร์ ใบที่ใหญ่ที่สุดมีราคาเท่าไรเป็นดอลลาร์ a) 1.75 ดอลลาร์ b) 1.93 ดอลลาร์ c) 2.00 ดอลลาร์ d) 2.15 ดอลลาร์ e) 2.30 ดอลลาร์ | คำถามนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีพีชคณิตหลายวิธี (ตามที่แสดงในโพสต์ต่างๆ) เนื่องจากคำถามถามถึงราคาของหม้อที่ใหญ่ที่สุด และคำตอบเป็นราคา เราสามารถทดสอบคำตอบได้ เราทราบว่ามีหม้อ 6 ใบ และแต่ละใบมีราคาแพงกว่าใบถัดไป 0.25 ดอลลาร์ ราคาหม้อทั้งหมดคือ 7.80 ดอลลาร์ เราถูกถามถึงราคาของหม้อที่ใหญ่ที่สุด (แพงที่สุด) เนื่องจากราคาทั้งหมดคือ 7.80 ดอลลาร์ (การเพิ่มขึ้น 0.25 ดอลลาร์) และความแตกต่างของราคาหม้อที่ต่อเนื่องคือ 0.25 ดอลลาร์ หม้อที่ใหญ่ที่สุดน่าจะมีราคาที่เพิ่มขึ้น 0.25 ดอลลาร์ จากตัวเลือกคำตอบ ฉันจะทดสอบคำตอบ c ก่อน (เนื่องจากคำตอบ b และ d ไม่ใช่การเพิ่มขึ้น 0.25 ดอลลาร์) ถ้า ... หม้อที่ใหญ่ที่สุด = 1.75 ดอลลาร์ หม้ออื่นๆ ... 1.75 ดอลลาร์ 1.50 ดอลลาร์ 1.25 ดอลลาร์ 1.00 ดอลลาร์ 0.75 ดอลลาร์ รวม = 7.80 ดอลลาร์ ดังนั้นนี่ต้องเป็นคำตอบ b | b | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ชายคนหนึ่งยืมเงินจากธนาคารที่อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 9 ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ย साधारण หลังจาก 3 ปี เขาต้องจ่ายดอกเบี้ยเพียง Rs. 5400 เท่านั้น สำหรับระยะเวลาดังกล่าว จำนวนเงินต้นที่เขาืมมาคือ: a) Rs. 2000, b) Rs. 10,000, c) Rs. 15,000, d) Rs. 20,000, e) ไม่มี | วิธีทำ: เงินต้น = Rs. (100 x 5400 / 9 x 3) = Rs. 20000. คำตอบ d | d | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $7a - 3b = 10b + 40 = -12b - 2a$ จงหาค่าของ $9a + 9b$ a) -5, b) -3, c) 0, d) 3, e) 5 | (i) $7a - 13b = 40$ (ii) $2a + 22b = -40$ บวก (i) และ (ii) : $9a + 9b = 0$ คำตอบคือ c. | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ราคาของหนังสือเพิ่มขึ้นจาก $300 เป็น $420 ค่าเปอร์เซ็นต์ของการเพิ่มขึ้นของราคาคือเท่าไร a) 10% b) 20% c) 40% d) 50% e) 60% | คำอธิบาย: การเปลี่ยนแปลงของราคา = 420 ดอลลาร์ - 300 ดอลลาร์ = 120 ดอลลาร์ เปอร์เซ็นต์ของการเพิ่มขึ้น = (การเปลี่ยนแปลงของราคา / ราคาเริ่มต้น) * 100 เปอร์เซ็นต์การเพิ่มขึ้นของราคา = (120 / 300) * 100 = 40% c | c | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนจำนวนคี่ระหว่าง 10 ถึง 1400 ที่เป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม a ) 14 , b ) 17 , c ) 20 , d ) 23 , e ) 26 | จำนวนเหล่านั้นเป็นกำลังสองของ 5 , 7 , 9 , . . . , 37 ซึ่งรวม 17 จำนวน ตอบ b | b | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
บุคคลหนึ่งต้องการแบ่งเงินจำนวน $2700 ให้แก่บุตร 3 คน คือ a, b, c ในอัตราส่วน 2 : 3 : 4 b จะได้รับเงินเท่าไร? a) $200, b) $900, c) $700, d) $600, e) $400 | หุ้นของ b = 2700 * 3 / 9 = $900 คำตอบคือ b | b | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนที่ใหญ่ที่สุดจากโจทย์ต่อไปนี้ผลต่างของสองจำนวนคือ 1365 เมื่อหารจำนวนที่ใหญ่กว่าด้วยจำนวนที่เล็กกว่า เราจะได้ผลหารคือ 6 และเศษคือ 35 a ) 1235 , b ) 1456 , c ) 1567 , d ) 1678 , e ) 1631 | ให้จำนวนที่เล็กกว่าเป็น x แล้วจำนวนที่ใหญ่กว่า = ( x + 1365 ) x + 1365 = 6x + 35 5x = 1330 x = 266 จำนวนที่ใหญ่กว่า = 266 + 1365 = 1631 e | e | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หาตัวหารร่วมมาก (H.C.F.) ของ 2 จำนวน ซึ่งตัวหารร่วมมากของ 2 จำนวนนี้คือ 23 และอีก 2 ตัวประกอบของตัวคูณร่วมน้อย (L.C.M.) ของมันคือ 13 และ 18 จำนวนที่ใหญ่กว่าคือ: a ) 276 , b ) 414 , c ) 322 , d ) 345 , e ) 355 | ชัดเจนว่าจำนวนทั้งสองคือ (23 x 13) และ (23 x 18) จำนวนที่ใหญ่กว่า = (23 x 18) = 414. ตอบ: ตัวเลือก b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถังน้ำมันเปล่าที่มีความจุ 212 แกลลอน ถูกเติมเชื้อเพลิง A บางส่วน จากนั้นเติมเชื้อเพลิง B จนเต็มถัง เชื้อเพลิง A มีเอทานอล 12% ตามปริมาตร และเชื้อเพลิง B มีเอทานอล 16% ตามปริมาตร ถ้าถังน้ำมันเต็มมีเอทานอล 30 แกลลอน มีเชื้อเพลิง A ถูกเติมไปกี่แกลลอน? a) 160, b) 98, c) 100, d) 80, e) 50 | สมมติว่ามีเชื้อเพลิง A a แกลลอนในถัง จากนั้นจะมีเชื้อเพลิง B 212 - a แกลลอน ปริมาณเอทานอลใน a แกลลอนของเชื้อเพลิง A คือ 0.12a; ปริมาณเอทานอลใน 212 - a แกลลอนของเชื้อเพลิง B คือ 0.16(212 - a) เนื่องจากปริมาณเอทานอลทั้งหมดคือ 30 แกลลอน ดังนั้น 0.12a + 0.16(212 - a) = 30 --> a = 98. คำตอบ: b. | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
10 เครื่องเย็บกระดาษสามารถเย็บหนังสือได้ 1400 เล่มใน 21 วัน จะต้องใช้เครื่องเย็บกระดาษกี่เครื่องในการเย็บหนังสือ 1800 เล่มใน 20 วัน? a ) 87, b ) 18, c ) 17, d ) 16, e ) 12 | เครื่องเย็บกระดาษ หนังสือ วัน 10 1400 21 x 1600 20 x / 10 = ( 1800 / 1400 ) * ( 21 / 20 ) = > x = 12 คำตอบ : e | e | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริษัทที่ส่งกล่องไปยังศูนย์กระจายสินค้าทั้งหมด 12 แห่งใช้การเข้ารหัสสีเพื่อระบุศูนย์แต่ละแห่ง หากเลือกใช้สีเดียวหรือคู่ของสีที่ต่างกันสองสีเพื่อแสดงศูนย์แต่ละแห่ง และหากศูนย์แต่ละแห่งถูกแสดงโดยการเลือกสีหนึ่งสีหรือสองสีนั้นเป็นเอกลักษณ์ จำนวนสีขั้นต่ำที่ต้องการสำหรับการเข้ารหัสคือเท่าใด (สมมติว่าลำดับของสีในคู่ไม่สำคัญ) a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24 | การแก้ปัญหาแบบย้อนกลับเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหานี้ คุณต้องการ 12 คอมบิเนชั่น (รวมถึงสีเดียว) หากเราเริ่มต้นจากตัวเลือก 1 -> 1 = > 4 c 2 + 4 = 10 (ไม่เพียงพอ) 2 = > 5 c 2 + 5 = 15 (เพียงพอ) เนื่องจากขอจำนวนขั้นต่ำ ดังนั้นควรเป็น 5 คำตอบ - b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ชายคนหนึ่งโกงทั้งตอนซื้อและขาย ขณะซื้อเขาจะเอา 10% มากกว่าที่เขาจ่ายจริง และขณะขายเขาจะให้ 20% น้อยกว่าที่เขาอ้าง จงหาเปอร์เซ็นต์กำไร ถ้าเขาขายต่ำกว่าราคาทุนของน้ำหนักที่อ้างถึง 11% a) 19.81% , b) 22.38% , c) 37.5% , d) 25% , e) 37.5% | มีวิธีการคำนวณแบบย่อด้วย มันต้องใช้ความคิดมากกว่าแต่ก็เร็วกว่า ชายคนนั้นเอา 10% มากกว่าที่เขาจ่ายจริง ดังนั้นถ้าเขาอ้างว่าจะเอา 100 ปอนด์ เขาจะจ่าย $100 แต่เขาจะเอา 110 ปอนด์จริง ๆ ซึ่งเขาจะเรียกเก็บจากลูกค้า $110 ดังนั้นในทางปฏิบัติก็มีการขึ้นราคา 10% ขณะขาย เขาขาย 20% น้อยกว่า หมายความว่าเขาอ้างว่าจะขาย 100 ปอนด์และได้ $100 แต่จริงๆแล้วขายได้เพียง 80 ปอนด์และควรจะได้เพียง $80 ดังนั้นนี่ก็เป็นการขึ้นราคา $20 บน $80 ซึ่งเป็น 25% แต่เขายังขายต่ำกว่า 11% ด้วย ( 1 + m 1 % ) ( 1 + m 2 % ) ( 1 - d % ) = ( 1 + p % ) 11 / 10 * 5 / 4 * 89 / 100 = ( 1 + p % ) เปอร์เซ็นต์กำไร = 22.38% b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลานจอดรถแห่งหนึ่ง 3% ของรถยนต์ถูกยกรถเนื่องจากจอดรถผิดกฎจราจร อย่างไรก็ตาม 80% ของรถยนต์ที่จอดรถผิดกฎจราจรไม่ได้ถูกยกรถ จอดรถผิดกฎจราจรคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของรถยนต์ทั้งหมดในลานจอดรถ a) 11 b) 13 c) 15 d) 60 e) 75 | ดังนั้นจำนวนรถยนต์ทั้งหมดที่จอดรถผิดกฎจราจร : 300 จำนวนรถยนต์ทั้งหมด : 2000 300 / 2000 * 100 ดังนั้น 15% ตอบ : c | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณดอกเบี้ยทบต้นของเงิน 6500 รูปี ที่อัตราดอกเบี้ย 5.5% ต่อปี ทบต้นครึ่งปีละ 1 ปี a) 369.42, b) 762.42, c) 162.42, d) 362.42, e) 333.42 | ดอกเบี้ยทบต้น: a = p ( 1 + r / n ) nt a = 6,862.42 ดอกเบี้ยทบต้น > > 6,862.42 - 6500 > > 362.42 รูปี คำตอบ: d | d | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าเส้นตรง 23 เส้นถูกวาดในระนาบ โดยที่ไม่มีเส้นตรงคู่ใดขนานกัน และไม่มีเส้นตรงสามเส้นที่ผ่านจุดเดียวกัน จงหาจำนวนจุดที่เส้นตรงเหล่านี้ตัดกัน a ) 176 , b ) 253 , c ) 342 , d ) 458 , e ) 560 | ถ้าเส้นตรงสองเส้นไม่ขนานกัน เส้นตรงทั้งสองจะตัดกันที่จุดเดียว เส้นตรงสามารถต่อออกไปได้ไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองจะต้องตัดกันในจุดหนึ่งหากไม่ขนานกัน เรายังทราบอีกด้วยว่าไม่มีเส้นตรงสามเส้นที่ผ่านจุดเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงสามเส้นจะไม่ตัดกันที่จุดเดียวกัน ดังนั้น คู่ของเส้นตรงที่เราเลือกมาแต่ละคู่จะมีจุดตัดที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งจะไม่เหมือนกับจุดตัดของเส้นตรงเส้นที่สาม จำนวนวิธีในการเลือกเส้นตรง 2 เส้นจาก 23 เส้นคือ 23 c 2 = 253 คำตอบคือ b | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขบวนรถไฟยาว 440 เมตร กำลังวิ่งด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง ในเวลาเท่าใดขบวนรถไฟจะผ่านชายคนหนึ่งที่วิ่งด้วยความเร็ว 6 กิโลเมตร/ชั่วโมง ในทิศทางตรงข้ามกับทิศทางการวิ่งของรถไฟ a ) 80 , b ) 26 , c ) 24 , d ) 54 , e ) 15 | ความเร็วของรถไฟสัมพันธ์กับชาย = 60 + 6 = 66 กิโลเมตร/ชั่วโมง . = 66 * 5 / 18 = 55 / 3 เมตร/วินาที . เวลาที่ใช้ในการผ่านชาย = 440 * 3 / 55 = 24 วินาที . ตอบ : c | c | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ขบวนรถไฟยาว 175 เมตร วิ่งด้วยความเร็ว 36 กม./ชม. ข้ามชานชาลาใน 40 วินาที ความยาวของชานชาลาเท่ากับเท่าไร a ) 271 , b ) 266 , c ) 225 , d ) 277 , e ) 232 | "ความยาวของชานชาลา = 36 * 5 / 18 * 40 = 400 – 175 = 225 ตอบ : c" | c | [
"นำไปใช้"
] |
ทอมสามารถทาสีห้องได้คนเดียวในเวลา 10 ชั่วโมง ปีเตอร์และจอห์นทำงานได้คนละคนละห้องในเวลา 5 ชั่วโมงและ 2 ชั่วโมงตามลำดับ ทอมเริ่มทาสีห้องและทำงานคนเดียวเป็นเวลา 2 ชั่วโมง จากนั้นปีเตอร์เข้ามาร่วมงานกับเขาและทำงานด้วยกันเป็นเวลา 2 ชั่วโมง สุดท้ายจอห์นเข้ามาร่วมงานกับพวกเขาและทั้งสามคนทำงานร่วมกันเพื่อทาสีห้องให้เสร็จสิ้น โดยแต่ละคนทำงานด้วยอัตราของตนเอง จงหาว่าปีเตอร์ทำส่วนใดของงานทั้งหมดเสร็จ a ) 1 / 3 , b ) 1 / 2 , c ) 1 / 4 , d ) 1 / 5 , e ) 1 / 6 | "ให้เวลาที่ทั้งสามคนทำงานร่วมกันเป็น t ชั่วโมง จากนั้น : ทอมทำงานเป็นเวลา t + 4 ชั่วโมง และทำส่วน 1 / 10 * ( t + 4 ) ของงาน ; ปีเตอร์ทำงานเป็นเวลา t + 2 ชั่วโมง และทำส่วน 1 / 5 * ( t + 2 ) ของงาน ; จอห์นทำงานเป็นเวลา t ชั่วโมง และทำส่วน 1 / 2 * t ของงาน : 1 / 10 * ( t + 4 ) + 1 / 5 * ( t + 2 ) + 1 / 2 * t = 1 - - > คูณด้วย 10 - - > ( t + 4 ) + ( 2 t + 2 ) + 5 t = 10 - - > t = 1 / 2 ; ดังนั้นปีเตอร์ทำ 1 / 5 * ( 1 / 2 + 2 ) = 1 / 5 * 5 / 2 = 1 / 2 ตอบ : b" | b | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ชายคนหนึ่งเริ่มเดินตั้งแต่เวลา 3 โมงเย็น เขาเดินด้วยความเร็ว 4 กม./ชม. บนพื้นราบ และ 3 กม./ชม. ขึ้นเขา 6 กม./ชม. ลงเขา และ 4 กม./ชม. บนพื้นราบอีกครั้ง เพื่อถึงบ้านเวลา 9 โมงเย็น เขาเดินทางไปทางเดียวระยะทางเท่าไร a) 10 กม. b) 12 กม. c) 14 กม. d) 16 กม. e) 18 กม. | ความเร็วเฉลี่ย = 2 * 3 * 6 / (3 + 6) = 4 ดังนั้นความเร็วของชายคนนั้น = 4 กม./ชม. ระยะทาง = 4 * 6 = 24 กม. เนื่องจากเราต้องการระยะทางไปทางเดียว ดังนั้นจะเป็น 24 / 2 = 12 กม. ตอบ: b | b | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าเหรียญถูกโยนขึ้นสู่อากาศ ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวคือ 1/2 ถ้าเหรียญถูกโยนขึ้น 5 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวขึ้น 4 ครั้งแรก แต่ไม่ขึ้นหัวในครั้งสุดท้ายคือเท่าใด? a) 1/2, b) 1/4, c) 1/8, d) 1/16, e) 1/32 | p (hhhht) = 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32 คำตอบคือ e. | e | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ยีราฟตัวหนึ่งไล่ตามเสือ 5 ชั่วโมงหลังจากเสือวิ่งไปแล้ว ยีราฟใช้เวลา 6 ชั่วโมงในการไล่ทันเสือ ถ้าความเร็วเฉลี่ยของยีราฟคือ 55 กม./ชม. ความเร็วเฉลี่ยของเสือเท่ากับเท่าไร a) 35 กม./ชม. b) 32 กม./ชม. c) 30 กม./ชม. d) 31 กม./ชม. e) 20 กม./ชม. | เสือใช้เวลา 11 ชั่วโมง และยีราฟใช้เวลา 6 ชั่วโมง ... ดังนั้นระยะทางที่ทั้งสองวิ่งไล่ตามกันคือ 55 * 6 ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยของเสือคือ (55 * 6) / 11 = 30 กม./ชม. คำตอบคือ c | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อายุเฉลี่ยของนักเรียนในชั้นเรียนหนึ่งคือ 15.8 ปี อายุเฉลี่ยของเด็กผู้ชายในชั้นเรียนคือ 15.8 ปี และอายุเฉลี่ยของเด็กผู้หญิงคือ 15.4 ปี อัตราส่วนของจำนวนเด็กผู้ชายต่อจำนวนเด็กผู้หญิงในชั้นเรียนคือ: a) 2 : 5, b) 2 : 3, c) 2 : 4, d) 1 : 1, e) 2 : 9 | ให้อัตราส่วนเป็น k : 1 แล้ว k * 16.2 + 1 * 15.4 = (k + 1) * 15.8 = (16.2 - 15.8)k = (15.8 - 15.4) = k = 0.4 / 0.4 = 1 / 1 อัตราส่วนที่ต้องการ = 1 / 1 : 1 = 1 : 1. คำตอบ: d | d | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เครื่องบินลำหนึ่งบินด้วยความเร็ว 240 กม./ชม. เป็นระยะทางหนึ่งใน 6 ชั่วโมง ถ้าจะบินระยะทางเดียวกันใน 1 2/3 ชั่วโมง เครื่องบินจะต้องบินด้วยความเร็วเท่าใด: ก) 520, ข) 620, ค) 820, ง) 740, จ) 864 | ระยะทาง = (240 x 6) = 1440 กม. ความเร็ว = ระยะทาง / เวลา ความเร็ว = 1440 / (5/3) กม./ชม. [เราสามารถเขียน 1 2/3 ชั่วโมง เป็น 5/3 ชั่วโมงได้] ความเร็วที่ต้องการ = (1440 x 3/5) กม./ชม. = 864 กม./ชม. ตอบ จ) 864 กม./ชม. | e | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า 16 เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนในโรงเรียนแห่งหนึ่งไปทัศนศึกษาด้านการตั้งแคมป์และนำเงินไปเกิน 100 ดอลลาร์ และ 75 เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนที่ไปทัศนศึกษาด้านการตั้งแคมป์ไม่ได้นำเงินไปเกิน 100 ดอลลาร์ นักเรียนกี่เปอร์เซ็นต์ของโรงเรียนไปทัศนศึกษาด้านการตั้งแคมป์? a) 95 b) 90 c) 85 d) 80 e) 64 | ให้ x เป็นจำนวนนักเรียนในโรงเรียน 0.16x นักเรียนไปทัศนศึกษาด้านการตั้งแคมป์และนำเงินไปเกิน 100 ดอลลาร์ พวกเขาประกอบด้วย (100 - 75) = 25% ของนักเรียนทั้งหมดที่ไปทัศนศึกษาด้านการตั้งแคมป์ ดังนั้น 0.16x / 0.25 = 0.64x นักเรียนไปทัศนศึกษาด้านการตั้งแคมป์ ซึ่งคิดเป็น 64% คำตอบคือ e | e | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ากระป๋องพีชขนาดเล็กมีแคลอรี่ 40 แคลอรี่ และเป็น 2% ของความต้องการแคลอรี่ประจำวันของบุคคล คนๆ หนึ่งต้องการแคลอรี่เท่าไรต่อวัน? | ถ้า 40 แคลอรี่ เท่ากับ 2%=\frac{2}{100}=\frac{1}{50} ของความต้องการแคลอรี่ประจำวันของบุคคล คนๆ หนึ่งต้องการแคลอรี่ต่อวัน: $$40\cdot 50=\boxed{2000}$$ | 2000 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พนักงานคนหนึ่งได้รับค่าจ้างรายปี 20,000 ดอลลาร์สหรัฐ ซึ่งเขาจะฝากเข้าบัญชีออมทรัพย์ที่สิ้นสุดของปีเสมอ ภายในสิ้นปีที่สาม (เมื่อเขาทำการฝากเงินครั้งที่สาม) เขาต้องการมีเงินอย่างน้อย 66,200 ดอลลาร์สหรัฐในบัญชีเพื่อใช้ในการซื้อบ้าน อัตราดอกเบี้ยทบต้นขั้นต่ำที่บัญชีออมทรัพย์ต้องให้คือเท่าใด แสดงคำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์ แต่ไม่ต้องใส่เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ | ถ้าอัตราดอกเบี้ยคือ $r$ จะตามมาว่า $$20000(1+r)^2 + 20000(1+r) + 20000 \ge 66200.$$ ถ้าเราตั้ง $x = 1+r$ และหารอสมการด้วย 200 จะได้ $$100x^2 + 100x - 231 \ge 0.$$ เนื่องจาก $231 = 11 \cdot 21$ เราสามารถแยกตัวประกอบสมการกำลังสองได้เป็น $(10x - 11)(10x + 21) \ge 0$ ดังนั้นจะได้ว่า $x \ge \frac {11}{10}$ หรือ $x \le \frac{-21}{10}$. เนื่องจากเราต้องการเปอร์เซ็นต์อัตราดอกเบี้ย ดังนั้น $x \ge \frac{11}{10} = 1.1$ และ $r = x - 1 = \boxed{10}\%$. | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ยกกำลัง 4 เท่าใดที่จะเท่ากับ 8? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราถูกขอให้แก้สมการ $4^x=8$ สำหรับ $x$ เขียน $4$ เป็น $2^2$ และ $8$ เป็น $2^3$ สมการจะกลายเป็น $(2^2)^x=2^3$ ด้านซ้ายจะเรียบง่ายเป็น $2^{2x}$ ดังนั้นเราสามารถตั้งค่าเลขชี้กำลังเท่ากันเพื่อให้ได้ $2x=3$ ซึ่งหมายความว่า $x=\boxed{\frac{3}{2}}$ | \frac{3}{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f$ เป็นพหุนาม ซึ่ง \[(x-1)\cdot f(x)=3x^4+x^3 - 25x^2 +38x -17.\]ดีกรีของ $f$ เท่ากับเท่าใด | เนื่องจากผลคูณของ $f$ กับพหุนามดีกรี 1 เท่ากับพหุนามดีกรี 4 เราทราบว่า $f$ เป็นพหุนามดีกรี $4-1=\boxed{3}$. | 3 | [
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่า $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 - 10x + y^2 + 6y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 1 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 34 - c$. เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 1 หน่วย เราจะต้องมี $34 - c = 1^2$. ดังนั้น $c = \boxed{33}$. | 33 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$, จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $f(x)$ มีค่าเป็นจำนวนจริง | เพื่อให้ $f(x)$ มีค่าเป็นจำนวนจริง, นิพจน์ภายในรากที่สองในตัวเศษต้องไม่เป็นลบ และตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงมีเงื่อนไขสองประการคือ $x-1\ge0 \Rightarrow x \ge 1$ และ $x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$. เราจะเห็นว่า $x=\boxed{1}$ เป็นค่าจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสอง | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_264$. | เนื่องจาก $2^6=64$ ดังนั้น $\log_2 64 = \boxed{6}$. | 6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ปริมาตรของกรวยคำนวณได้จากสูตร $V = \frac{1}{3}Bh$ โดยที่ $B$ คือพื้นที่ฐานและ $h$ คือความสูง พื้นที่ฐานของกรวยรูปหนึ่งมีขนาด 30 ตารางหน่วย และความสูงของมันคือ 6.5 หน่วย ปริมาตรของกรวยนี้มีกี่หน่วยลูกบาศก์ | กำหนดให้ $B = 30$ และ $h = 6.5$ และให้หา $\frac{1}{3}Bh$ เราพบว่า \[\frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}(30)(6.5) = (10)(6.5) = \boxed{65}.\] | 65 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $-6\leq a \leq -2$ และ $3 \leq b \leq 5$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{b}-a\right)$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เมื่อ раскрыนิพจน์ที่กำหนดจะได้ $\frac{1}{b^2} - a^2$ ดังนั้นเราต้องการให้ $b$ มีค่าสัมบูรณ์น้อยที่สุด และ $a$ ก็มีค่าสัมบูรณ์น้อยที่สุดเช่นกัน ค่าสูงสุดของนิพจน์นี้คือ $\frac{1}{3^2} - (-2)^2 = \boxed{-\frac{35}{9}}$ | -\frac{35}{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการกำลังสอง $x^2+(2.6)x+3.6$ สามารถเขียนในรูป $(x+b)^2+c$ โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $b+c$ (ในรูปทศนิยม) | เราทำการเติมกำลังสอง
เราได้ $(x+1.3)^2 = x^2 + (2.6)x + 1.69$ ดังนั้น
\begin{align*}
x^2+(2.6)x+3.6 &= (x+1.3)^2 - 1.69 + 3.6 \\
&= (x+1.3)^2 + 1.91.
\end{align*}ดังนั้น $b=1.3$ และ $c=1.91$ ซึ่งจะได้ $b+c = \boxed{3.21}$. | 3.21 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดอนุกรมเรขาคณิต $4+\frac{12}{a}+\frac{36}{a^2}+\cdots$ ถ้าผลบวกเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก | เราใช้สูตร $\left(\frac{\text{พจน์แรก}}{1-(\text{อัตราส่วนร่วม})}\right)$ สำหรับผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต เพื่อให้ได้ผลบวก $\left(\frac{4}{1-\frac{3}{a}}\right)=\frac{4}{\frac{a-3}{a}}=\frac{4a}{a-3}$. เราต้องการให้ $\frac{4a}{a-3}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ $b^2$ โดยที่ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นเราได้ $4a=b^2(a-3)$ และเริ่มทดสอบค่าของ $b$ จนกว่าจะได้ค่า $a$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า $b=1$ แล้ว $4a=a-3$ แต่ก็หมายความว่า $a=-1$
ถ้า $b=2$ แล้ว $4a=4(a-3)\qquad\Rightarrow 0=-12$.
ถ้า $b=3$ แล้ว $4a=9(a-3)\qquad\Rightarrow -5a=-27$ ซึ่งไม่ได้ให้ค่า $a$ ที่เป็นจำนวนเต็ม
ถ้า $b=4$ แล้ว $4a=16(a-3)\qquad\Rightarrow -12a=-48$ ดังนั้น $a=\boxed{4}$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก
หรือ
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่จะลู่เข้า อัตราส่วนร่วมต้องอยู่ระหว่าง $-1$ และ $1$ ดังนั้น $\frac{3}{a}$ ต้องน้อยกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า $a$ มากกว่า 3 เราลอง $a=4$ และได้ว่า $\left(\frac{4}{1-\frac{3}{4}}\right)=\left(\frac{4}{\frac{1}{4}}\right)=4\cdot4=16$ ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงระหว่าง $(-5,5)$ และ $(3,7)$ แสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ $(x,y)$ | การนำสูตรของจุดกึ่งกลางมาใช้จะได้ $$\left(\frac{-5+3}{2},\frac{5+7}{2}\right)=\boxed{(-1,6)}.$$ | (-1,6) | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $$
(3x-2)(4x+1)-(3x-2)4x+1
$$ เมื่อ $x=4$? | เนื่องจาก \begin{align*}
(3x-2)(4x+1)-(3x-2)4x+1 &=(3x-2)(4x+1-4x)+1 \\
&=(3x-2) \cdot 1 +1 =3x-1,
\end{align*} เมื่อ $x=4$ เราได้ค่า $3 \cdot 4 -1 =\boxed{11}$. | 11 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x^2 - x - 1 = 0$ แล้วค่าของ $x^3 - 2x + 1$ เท่ากับเท่าใด | จัดรูป $x^2 - x - 1= 0$ จะได้ $x^2 = x + 1$ ดังนั้น การแทน $x+1$ ลงใน $x^2$ ซ้ำๆ จะได้ \begin{align*}
x^3 - 2x + 1 &= x(x^2)-2x + 1\\
&=x(x+1) - 2x + 1\\
&= x^2 + x -2x + 1\\
&= x^2 - x + 1\\
&= (x+1) - x + 1\\
&=\boxed{2}
\end{align*} | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าจริงของ $x$ ที่ใดบ้างที่ไม่อยู่ในโดเมนของ
$f(x)=\frac{1}{|x^2+3x-4|+|x^2+9x+20|}$? | $x$ ไม่อยู่ในโดเมนของ $f$ หากส่วนเป็นศูนย์ เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ทั้งสองเป็นค่าไม่เป็นลบ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องเป็นศูนย์พร้อมกันจึงทำให้ส่วนเป็นศูนย์ ดังนั้น
\begin{align*}
0&=x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\Rightarrow x=-4\text{ หรือ }x=1\\
0&=x^2+9x+20=(x+4)(x+5)\Rightarrow x=-4\text{ หรือ }x=-5
\end{align*}
ค่าของ $x$ ที่ทำให้ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองเป็นศูนย์คือ $x=\boxed{-4}$ | -4 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีการลงทุนจำนวน $\$24,\!000$ ในพันธบัตรรัฐบาลที่จ่ายดอกเบี้ยร้อยละ $1$ ทุกสองเดือน (หมายความว่าการลงทุนจะเพิ่มขึ้นร้อยละ $1$ ทุกสองเดือน) ในสิ้นปีที่ 5 จะมีจำนวนเงินทั้งหมดเท่าไรในเงินลงทุนนี้?
แสดงคำตอบของคุณเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | ห้าปีมี 60 เดือน ดังนั้นดอกเบี้ยจะถูกทบต้น 30 ครั้ง นั่นหมายความว่าการลงทุนจะเติบโตเป็น $\$24,\!000 \cdot 1.01^{30} \approx \boxed{\$32,\!348}$ เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | \$32,\!348 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าเฉลี่ยของอายุของแอมี่, เบน และคริสคือ 6 ปี สี่ปีที่แล้ว คริสมีอายุเท่ากับแอมี่ในปัจจุบัน ในอีกสี่ปีข้างหน้า อายุของเบนจะเป็น $ rac{3}{5}$ ของอายุแอมี่ในขณะนั้น แอมี่มีอายุเท่าไร? | ให้ $a$, $b$, และ $c$ แทนอายุของแอมี่, เบน และคริส ตามลำดับ เรามีสมการดังนี้ \begin{align*} \tag{1}
\frac{a+b+c}{3}=6 \Rightarrow a+b+c&=18 \\ \tag{2}
c-4&=a\\ \tag{3}
b+4&=\frac{3}{5}(a+4)
\end{align*} จากสมการ (3) เราได้ $b=\frac{3}{5}(a+4)-4$ แทนสมการ (2) ลงในสมการ (3) เพื่อกำจัด $a$ เราจะได้ $b=\frac{3}{5}(c)-4$ แทนสมการนี้และสมการ (2) ลงในสมการ (1) เพื่อกำจัด $a$ และ $b$ เราจะได้ \[[c-4]+[\frac{3}{5}(c)-4]+c=18\] แก้สมการหา $c$ เราจะได้ $c=10$ ดังนั้นอายุของคริสคือ $\boxed{10}$. | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ระยะห่างที่น้อยที่สุดระหว่างจุดกำเนิดและจุดบนกราฟของ $y=\frac{1}{2}x^2-9$ สามารถแสดงเป็น $a$ จงหา $a^2$ | โดยสูตรระยะทาง เราพยายามที่จะย่อให้เล็กที่สุด $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^4-9x^2+81}$ โดยทั่วไป ปัญหาการย่อให้เล็กลงเช่นนี้ต้องการแคลคูลัส แต่หนึ่งในวิธีการปรับให้เหมาะที่สุดที่บางครั้งใช้ได้คือการพยายามทำให้สมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดยการดึงตัวประกอบ $\frac{1}{4}$ ออกจากรากที่สอง เราได้ \begin{align*}
\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+x^4-36x^2+324}&=\frac{1}{2}\sqrt{(x^4-32x^2+256)+68} \\
&= \frac{1}{2}\sqrt{(x^2-16)^2+68}
\end{align*}นิพจน์สุดท้ายนี้จะน้อยที่สุดเมื่อกำลังสองเท่ากับ $0$ นั่นคือเมื่อ $x^2=16$ จากนั้นระยะทางคือ $\frac{\sqrt{68}}{2}=\sqrt{17}$ ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ $\sqrt{17}^2 = \boxed{17}$ | 17 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{3x-1}}=\frac32$ จงแก้สมการหาค่า $x$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการคูณไขว้: \begin{align*} 3\sqrt{3x-1}&=2\sqrt{2x}
\\\Rightarrow \qquad (3\sqrt{3x-1})^2 &=(2\sqrt{2x})^2
\\\Rightarrow \qquad 9(3x-1)& =4(2x)
\\\Rightarrow \qquad 27x-9& =8x
\\ \Rightarrow \qquad19x&=9
\\ \Rightarrow \qquad x&=\boxed{\frac9{19}}.
\end{align*}ตรวจสอบพบว่าค่า $x$ นี้สามารถใช้ได้จริง ดังนั้นไม่ใช่คำตอบแปลกปลอม | \frac9{19} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ในลำดับ 0, 1, 1, 3, 6, 9, 27, ..., พจน์แรกคือ 0. พจน์ต่อ ๆ มาจะได้จากการบวกและคูณด้วยจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน เริ่มต้นด้วย 1. ตัวอย่างเช่น พจน์ที่สองได้จากการบวก 1 กับพจน์แรก พจน์ที่สามได้จากการคูณพจน์ที่สองด้วย 1 พจน์ที่สี่ได้จากการบวก 2 กับพจน์ที่สาม และต่อเนื่องไป. พจน์แรกที่มีค่ามากกว่า 125 มีค่าเท่าใด? | เมื่อดำเนินลำดับต่อจาก 27 เราจะบวกสี่เพื่อให้ได้ 31 จากนั้นคูณ 31 ด้วยสี่เพื่อให้ได้ 124 จากนั้นบวกห้ากับ 124 เพื่อให้ได้ 129 ดังนั้น $\boxed{129}$ คือพจน์แรกที่มีค่ามากกว่า 125 | 129 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $p$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสอง $0\ge 54p-144$ และ $0>12-20p$ เขียนคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง โดยลดเศษส่วนในคำตอบให้เป็นอย่างต่ำ | เราพิจารณาอสมการทีละสมการ โดยการบวก $144$ เข้าทั้งสองข้างของอสมการแรก เราได้ $$144\ge 54p,$$บ่งบอกว่า $$\frac{144}{54}\ge p.$$ลดเศษส่วนและสลับข้าง (พร้อมกับทิศทางของอสมการ) เราได้ $p\le\frac{8}{3}$.
เพื่อแก้สมการที่สอง เราบวก $20p$ เข้าทั้งสองข้าง: $$20p > 12$$หารทั้งสองข้างด้วย $20$ เราได้ $$p>\frac{12}{20}.$$ลดเศษส่วนให้ได้ $p>\frac{3}{5}$.
เราต้องการหา $p$ ที่สอดคล้องกับทั้งสองอสมการ จุดตัดของคำตอบข้างต้นคือ $\boxed{\left(\frac{3}{5},\frac{8}{3}\right]}$. | \left(\frac{3}{5},\frac{8}{3}\right] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวก $a$, $b$, และ $2009$ โดยที่ $a<b<2009$ สร้างเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนเป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a$ | การแยกตัวประกอบของ $2009$ คือ $2009 = 7\cdot 7\cdot 41$ เนื่องจาก $a<b<2009$ อัตราส่วนต้องเป็นบวกและมีค่ามากกว่า $1$ ดังนั้นจึงมีเพียงวิธีเดียวเท่านั้น คือ อัตราส่วนต้องเท่ากับ $7$ และ $b=7\cdot 41$ และ $a=\boxed{41}$ | 41 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $10x^2-x-24$ สามารถเขียนได้ในรูป $(Ax-8)(Bx+3)$ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่า $AB + B$? | เราเห็นว่า $10x^2-x-24=(5x-8)(2x+3)$ ดังนั้น $A = 5$ และ $B = 2$ ดังนั้น $AB + B = \boxed{12}$ | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงเขียนนิพจน์ \[\frac{4+6a}{5}-\frac{1+3a}{4}\] เป็นเศษส่วนเดียว | ตัวส่วนร่วมของ $5$ และ $4$ คือ $20$ ดังนั้นเราคูณส่วนบนและส่วนล่างของเศษส่วนแรกด้วย $4$ และคูณส่วนบนและส่วนล่างของเศษส่วนที่สองด้วย $5$ เราได้ \[\frac{4(4+6a)}{4 \cdot 5} - \frac{5(1+3a)}{4 \cdot 5} = \frac{16+24a}{20}-\frac{5+15a}{20}.\] เราบวกเศษส่วนเข้าด้วยกัน โดยระมัดระวังที่จะใส่ส่วนบนของเศษส่วนที่สองในวงเล็บ (เนื่องจากเราลบทั้งส่วนบน) ซึ่งจะได้ \[\frac{16+24a-(5+15a)}{20} = \frac{16+24a-5-15a}{20}=\boxed{\frac{11+9a}{20}}.\] | \frac{11+9a}{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของจำนวนเต็มบวก 27 จำนวนที่เรียงกันเป็น $3^7$ จงหาค่ามัธยฐานของจำนวนเหล่านั้น | มัธยฐานของเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงกันเท่ากับค่าเฉลี่ยของเซตของจำนวนนั้น ดังนั้นเราสามารถหาค่ามัธยฐานได้โดยการหารผลบวกด้วยจำนวนของจำนวนเต็ม: $3^7/3^3=3^4=\boxed{81}$ | 81 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น $4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r)$ และแสดงคำตอบของคุณในรูป $Ar^2 + Br + C$ โดยที่ $A$, $B$ และ $C$ เป็นจำนวนเต็ม | โดยใช้สมบัติการ distributive และการรวมพจน์ที่คล้ายกัน เราได้ $4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r) = 12r^3+20r-24-12r^3+6r^2-24r.$ ทำให้ सरलขึ้น เราได้ $\boxed{6r^2-4r-24}.$ | 6r^2-4r-24 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน และ $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ ถ้า $f(1)=2$, $f(2) = 6$, และ $f(3)=5$ แล้ว $f^{-1}(f^{-1}(6))$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $f(2) = 6$ เราได้ว่า $f^{-1}(6)=2$ (โปรดทราบว่าสมมติฐานที่ว่า $f$ มีฟังก์ชันผกผันหมายความว่าไม่มีค่าอื่นของ $x$ ที่ทำให้ $f(x) = 6$) ในทำนองเดียวกัน $f(1) =2$ หมายความว่า $f^{-1}(2)=1$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(6))=f^{-1}(2)=\boxed{1}$ | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ความต่างระหว่างรากที่สองบวกของ 64 กับรากที่สามของ 64 คือเท่าไร | รากที่สองบวกของ 64 คือ $\sqrt{64}=8$. รากที่สามของ 64 คือ $\sqrt[3]{64}=4$. ความต่างคือ $8-4=\boxed{4}$. | 4 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วิลเลียม ซิดนีย์ พอร์เตอร์พยายามคำนวณ $\frac{-3+4i}{1+2i}$ อย่างไรก็ตาม เขาพลาดเครื่องหมายลบโดยไม่ได้ตั้งใจ และพบว่า $\frac{3+4i}{1+2i}=\frac{11}{5}-\frac{2}{5}i$ เขาควรจะได้คำตอบอะไร? | ในการหารจำนวนเชิงซ้อน เราคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน ในกรณีนี้ คอนจูเกตของ $1+2i$ คือ $1-2i$ คูณ: \begin{align*}
\frac{-3+4i}{1+2i}&=\frac{(-3+4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}\\
&=\frac{-3+4i+6i-8i^2}{1+2i-2i-4i^2}\\
&=\frac{5+10i}{5}\\
&=\boxed{1+2i}
\end{align*} | 1+2i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$, แล้วค่าของ $f^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ คือเท่าใด? | $f^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ นิยามเป็นจำนวน $x$ ซึ่งทำให้ $f(x)=\frac{1}{5}$ ดังนั้น เราแก้สมการ $$\frac{2}{x+1} = \frac{1}{5}.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $5(x+1)$ จะได้ $$10 = x+1.$$ลบ $1$ จากทั้งสองข้างจะได้ $x=\boxed{9}$. | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนาม \[f(x)=3x^4+5x^2-9x-2.\] ถ้า $g(x)$ เท่ากับพหุนาม $f(x-1)$ ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของ $g$ คือเท่าใด | ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของ $g(x)$ สามารถหาได้จากการประเมินค่า $g(1)$ เนื่องจาก $g(x)=f(x-1)$ เราทราบว่า $g(1)=f(1-1)=f(0)$ ดังนั้นผลรวมของสัมประสิทธิ์เท่ากับ $f(0)=\boxed{-2}$ | -2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของค่า $a$ ที่สอดคล้องกับสมการ $$(3)5^2-4(5-a)^2 \div 3=63?$$ คือเท่าใด | ก่อนอื่นคูณทุกพจน์ในสมการด้วย 3 เพื่อหลีกเลี่ยงเศษส่วน แล้วแก้สมการหา $a$. \begin{align*}
9\cdot5^2-4(5-a)^2&=3\cdot63\quad\Rightarrow\\
-4(5-a)^2&=9\cdot21-9\cdot25\quad\Rightarrow\\
&=9(-4)\quad\Rightarrow\\
(5-a)^2&=9
\end{align*} ดังนั้น \begin{align*}
5-a=3\quad\text{ OR }\quad 5-a=-3\quad\Rightarrow\\
2=a \quad\text{ OR }\quad 8=a.
\end{align*} ผลรวมของค่า $a$ คือ $2+8=\boxed{10}$. | 10 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $y$ แปรผกผันกับ $\sqrt x$ และเมื่อ $x=24$ , $y=15$ จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $y=3$ | เนื่องจาก $y$ และ $\sqrt{x}$ มีค่าแปรผกผันกัน หมายความว่า $y\sqrt{x}=k$ สำหรับค่าคงตัว $k$ บางค่า เมื่อแทนค่า $x=24$ และ $y=15$ จะได้ $15\sqrt{24}=30\sqrt{6}=k$ ดังนั้น เมื่อ $y=3$ เราสามารถแก้หาค่า $x$ ได้ดังนี้ \begin{align*}
3\cdot\sqrt{x}&=30\sqrt{6}\\
\Rightarrow\qquad (\sqrt{x})^2&=(10\sqrt{6})^2\\
\Rightarrow\qquad x&=100\cdot6\\
&=\boxed{600}
\end{align*} | 600 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามดินสอและยางลบขนาดใหญ่มีราคา $\$1.24$. ห้าดินสอและยางลบขนาดใหญ่มีราคา $\$1.82$. ราคาไม่รวมภาษี ในเซ็นต์ ดินสอ一支มีราคาเท่าไร? | ให้ $p$ เป็นราคาของดินสอ一支 และ $e$ เป็นราคาของยางลบขนาดใหญ่ ในรูปของเซ็นต์ เราสามารถใช้ระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแทนข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
3p + e &= 124 \\
5p + e &= 182 \\
\end{align*} ลบสมการแรกจากสมการที่สองจะได้ $2p = 58$ หรือ $p = 29$ ดังนั้น ดินสอ一支มีราคา $\boxed{29}$ เซ็นต์ | 29 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริง $f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{x^2-5x+6}}$ | ฟังก์ชันจะนิยามเมื่อค่าที่อยู่ภายในรากที่สองเป็นบวก นั่นคือเราต้องมี $x^2-5x+6>0$ การแยกตัวประกอบจะได้ $(x-3)(x-2)>0$ ดังนั้นตัวประกอบทั้งสองทางซ้ายมือต้องเป็นลบ หรือเป็นบวก ตัวประกอบทั้งสองเป็นลบเมื่อ $x<2$ ตัวประกอบทั้งสองเป็นบวกเมื่อ $x>3$ ดังนั้นขอบเขตของ $f(x)$ คือ $x<2 \text{ หรือ } x>3$ หรือ $x \in \boxed{(-\infty, 2) \cup (3, \infty)}$ ในสัญกรณ์ช่วง | (-\infty, 2) \cup (3, \infty) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด $(6, 0)$ ไปยังเส้นตรง $y = 2x-2$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | เส้นตรงที่สั้นที่สุดจากจุด $(6,0)$ ไปยังเส้นตรงที่กำหนดจะตั้งฉากกับเส้นตรงนั้น เส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $y=2x-2$ จะมีค่าความชันเท่ากับ $-1/2$ ซึ่งจะทำให้มันอยู่ในรูป $y=-\frac{1}{2}x+b$ แทนค่าจุด $(6,0)$ ที่เราทราบว่าต้องอยู่บนเส้นตรงนี้ เราจะได้: $$0=-\frac{1}{2}\cdot 6 +b$$ $$3=b$$ สมการของเส้นตรงตั้งฉากคือ $y=-\frac{1}{2}x+3$ ตอนนี้เราสามารถหาจุดที่เส้นตรงทั้งสองตัดกันได้: $$-\frac{1}{2}x+3=2x-2$$ $$5=\frac{5}{2}x$$ $$x=2$$ แทนค่าลงในเส้นตรงใดเส้นตรงหนึ่ง เราจะได้จุดที่เส้นตรงตัดกันคือ $(2,2)$ ระนาบพิกัดตอนนี้จะดูเหมือน: [asy]
size(150);
draw((-.5,0)--(7,0));
draw((0,-3)--(0,5));
draw((-.5,-3)--(4,6),linewidth(.7));
draw((6,0)--(0,3),linewidth(.7));
label("$(6,0)$",(6,0),S);
label("$(2,2)$",(2.3,2.1),E);
dot((2,2));
dot((6,0));
[/asy] ระยะทางจากจุด $(6,0)$ ไปยังจุดนี้คือ: $$\sqrt{(6-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{16+4}=\boxed{2\sqrt{5}}$$ | 2\sqrt{5} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
รากที่สองของ $t$ มากกว่า 2 และน้อยกว่า 3.5 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้? | เรามี: $2 < \sqrt{t} < \frac{7}{2}$ ดังนั้นการยกกำลังสองของอสมการ (ซึ่งเราสามารถทำได้เนื่องจากทุกเทอมในอสมการเป็นบวก) จะได้ $4 < t <\frac{49}{4}=12.25$ ดังนั้น $t$ เป็นจำนวนเต็มระหว่าง 5 ถึง 12 รวมกัน ซึ่งเหลือจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ของ $t$ เท่ากับ $\boxed{8}$ | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2$。 | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$ หรือเทียบเท่ากับ $4<\sqrt{20}<5$ จำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $\sqrt{20}$ ต้องเป็น $5$ ดังนั้น $\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2=5^2=\boxed{25}$。 | 25 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ก้อนอิฐทองปลอมทำขึ้นโดยการ phủก้อนคอนกรีตลูกบาศก์ด้วยสีทอง ดังนั้น ค่าใช้จ่ายของสีจึงเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวของมันในขณะที่ค่าใช้จ่ายของคอนกรีตเป็นสัดส่วนกับปริมาตรของมัน หากก้อนลูกบาศก์ขนาด 1 นิ้วมีราคา $1.30 ในการผลิต ในขณะที่ก้อนลูกบาศก์ขนาด 2 นิ้วมีราคา $6.80 แล้วก้อนลูกบาศก์ขนาด 3 นิ้วจะมีราคาเท่าไร? | ให้ $x$ เป็นราคาต่อตารางนิ้วของสีทอง และให้ $y$ เป็นราคาต่อลูกบาศก์นิ้วของคอนกรีต เนื่องจากก้อนลูกบาศก์ขนาด 1 นิ้วมีพื้นที่ผิว 6 ตารางนิ้ว และปริมาตร 1 ลูกบาศก์นิ้ว ราคาทั้งหมดของมันจะเป็น $6x+y$ ดอลลาร์ ในทำนองเดียวกัน ก้อนลูกบาศก์ขนาด 2 นิ้วมีพื้นที่ผิว 24 ตารางนิ้ว และปริมาตร 8 ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้น ราคาทั้งหมดของมันจะเป็น $24x+8y$ ดอลลาร์ เราได้รับว่า \begin{align*} 6x+y &=\$1.30 \\ 24x+8y&= \$6.80 \end{align*} ลบ 4 เท่าของสมการแรกจากสมการที่สองจะได้ $4y=\$1.60$ ดังนั้น $y=\$0.40$. ดังนั้น $6x=\$0.90$ ดังนั้น $x=\$0.15$. เนื่องจากก้อนลูกบาศก์ขนาด 3 นิ้วมีพื้นที่ผิว 54 ตารางนิ้ว และปริมาตร 27 ลูกบาศก์นิ้ว ราคาทั้งหมดของมันจะเป็น $54(\$0.15)+27(\$0.40)=\boxed{\$18.90}$. | \$18.90 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | สำหรับฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนที่จะต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไปจะได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั้น $a+b=-3+3=\boxed{0}$ | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $(9, -5)$ และ $(-3, -1)$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงหาผลรวมของพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม | จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\left(\frac{9+(-3)}{2}, \frac{(-5)+(-1)}{2}\right) = (3, -3)$. ผลรวมของพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $3 + (-3) = \boxed{0}$. | 3 + (-3) = \boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชันที่กำหนดให้: $$\begin{array}{ccc}
f(x) & = & 5x^2 - \frac{1}{x}+ 3\\
g(x) & = & x^2-k
\end{array}$$ถ้า $f(2) - g(2) = 2$ ค่าของ $k$ คือเท่าใด? | เราแทนค่า $f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{45}{2}$ และ $g(2) = (2)^2 - k = 4 - k$ ดังนั้น $f(2) - g(2) = 2$ จะได้ $\frac{45}{2} - 4 + k=2$ แก้สมการหา $k$ จะได้ $k = \frac{4}{2} - \frac{45}{2} + \frac{8}{2}$ ดังนั้น $\boxed{k = \frac{-33}{2}}$ | \boxed{k = \frac{-33}{2}} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เบอเรงเงร์และเอมิลี นักเรียนแลกเปลี่ยนชาวอเมริกันของเธออยู่ที่ร้านเบเกอรี่ในปารีสที่รับทั้งยูโรและดอลลาร์สหรัฐอเมริกา พวกเขาต้องการซื้อเค้ก แต่ไม่มีใครมีเงินเพียงพอ ถ้าเค้กราคา 6 ยูโร และเอมิลีมีธนบัตร 5 ดอลลาร์ของอเมริกา เบริเรงเงร์ต้องจ่ายเงินกี่ยูโรเพื่อร่วมจ่ายค่าเค้กถ้า 1 ยูโร = 1.25 ดอลลาร์สหรัฐ? | วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือการแปลงทุกอย่างเป็นยูโร ธนบัตร 5 ดอลลาร์ของเอมิลีเทียบเท่ากับ $5\text{ USD} \times \frac{1\text{ euro}}{1.25\text{ USD}}=4\text{ euros}$. เนื่องจากเด็กผู้หญิงต้องการ 6 ยูโร เบริเรงเงร์ต้องจ่าย $6-4=\boxed{2 \text{ euros}}$. | 6-4=\boxed{2 \text{ euros}} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ทิมต้องการลงทุนเงินจำนวนหนึ่งในธนาคารซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกไตรมาสด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี $7\%$. เขาควรลงทุนเงินจำนวนเท่าไร (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม) หากต้องการมีเงินทั้งหมด $\$60,\!000$ ที่สิ้นสุด $5$ ปี? | นึกถึงสูตร $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ โดยที่ $A$ คือยอดคงเหลือสุดท้าย, $P$ คือเงินต้น, $r$ คืออัตราดอกเบี้ย, $t$ คือจำนวนปี และ $n$ คือจำนวนครั้งที่ดอกเบี้ยถูกคิดทบต้นในหนึ่งปี สูตรนี้แสดงถึงแนวคิดที่ว่าดอกเบี้ยถูกคิดทบต้นทุกๆ $1/n$ ปี ด้วยอัตรา $r/n$.
แทนค่าข้อมูลที่กำหนดให้ เราได้ \[60,\!000=P\left(1+\frac{0.07}{4}\right)^{4 \cdot 5}.\]แก้สมการหา $P$ จะได้ $P=42409.474...$ ซึ่งปัดเศษเป็นจำนวนเต็มจะได้ $\boxed{\$42409}$. | \boxed{\$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=x^3+3$ และ $g(x) = 2x^2 + 2x +1$ จงหาค่าของ $g(f(-2))$ | เราทราบว่า $f(-2)=(-2)^3+3=-5$ ดังนั้น $g(f(-2))=g(-5)=2\cdot(-5)^2+2\cdot(-5)+1=41$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{41}$ | \boxed{41} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
x/2 &\quad \text{if } x \text{ เป็นจำนวนคู่}, \\
3x+1 &\quad \text{if } x \text{ เป็นจำนวนคี่}.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $f(f(f(f(1))))$? | คำนวณค่าทีละขั้น $f(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$; $f(f(1)) = f(4) = 4/2 = 2$; $f(f(f(1))) = f(2) = 2/2 = 1$; และสุดท้าย $f(f(f(f(1)))) = f(1) = \boxed{4}$. | f(f(f(f(1)))) = f(1) = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จุด $(-1,4)$ และ $(2,-3)$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส | ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด หรือ $\sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือกำลังสองของความยาวด้าน หรือ $\boxed{58}$ | \boxed{58} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $(x+2)(x-3)=14$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ที่เป็นไปได้ | เมื่อขยายด้านซ้ายของสมการที่กำหนด เราได้ $x^2-x-6=14 \Rightarrow x^2-x-20=0$ เนื่องจากในสมการกำลังสองที่มีรูปแบบ $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของรากคือ $-b/a$ ผลรวมของรากของสมการที่กำหนดคือ $1/1=\boxed{1}$ | 1/1=\boxed{1} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $r$ และ $s$ ทั้งหมด กำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ $\#$ โดยให้เงื่อนไขต่อไปนี้ใช้: $r\ \#\ 0 = r, r\ \#\ s = s\ \#\ r$, และ $(r + 1)\ \#\ s = (r\ \#\ s) + s + 1$. ค่าของ $11\ \#\ 5$ เท่ากับเท่าใด | โดยใช้เงื่อนไขสองข้อแรก เราได้ว่า $0 \# 11 = 11 \# 0 = 11.$
โดยใช้เงื่อนไขข้อที่สาม โดยมี $r=0$ และ $s=11$ เราได้ว่า $1 \# 11 = (0 \# 11)+12=11+12.$
เมื่อเราเพิ่ม $r$ ขึ้น $1$ เราจะเพิ่ม $r \# 11$ ขึ้น $s+1=11+1=12$. เนื่องจากเราต้องการเพิ่ม $r$ $5$ ครั้งเพื่อหา $11 \#5 =5 \# 11$ เราต้องการเพิ่ม $0 \# 11$ ขึ้น $12$ ห้าครั้ง ดังนั้น เราได้ว่า $11 \# 5 = 5 \# 11 = 11+ 5 \cdot 12 = 11+60= \boxed{71}.$
โดยทั่วไป
\[a \# b = ab + a + b.\] | 11 \# 5 = 5 \# 11 = 11+ 5 \cdot 12 = 11+60= \boxed{71}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พจน์แรกและพจน์ที่สิบสามของลำดับเลขคณิตคือ 5 และ 29 ตามลำดับ จงหาพจน์ที่ห้าสิบ | ให้ $d$ เป็นผลต่างร่วมในลำดับเลขคณิตนี้ แล้วพจน์ที่ $13^{\text{th}}$ คือ $5 + 12d = 29$ แก้หา $d$ เราได้ $d = 2$ แล้วพจน์ที่ $50^{\text{th}}$ คือ $5 + 49 \cdot 2 = \boxed{103}$ | 5 + 49 \cdot 2 = \boxed{103} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แครอลขับรถอย่างต่อเนื่องตั้งแต่เวลา 09:40 น. จนถึง 13:20 น. ของวันเดียวกัน และครอบคลุมระยะทาง 165 ไมล์ ความเร็วเฉลี่ยของเธอเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นไมล์ต่อชั่วโมง) | ความเร็วเฉลี่ยถูกนิยามว่าเป็นระยะทางที่เดินทางหารด้วยเวลาที่เดินทาง แครอลขับรถ 165 ไมล์ ใน $3\frac{40}{60}=3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$ ชั่วโมง ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยของเธอคือ $\frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | \frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าที่มากที่สุดของจำนวนเต็ม $b$ ที่ทำให้นิพจน์ $\frac{9x^3+4x^2+11x+7}{x^2+bx+8}$ มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด | เพื่อให้นิพจน์มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด พหุนาม $x^2+bx+8 = 0$ ต้องไม่มีรากจริง ดิสคริมิแนนต์ของพหุนามนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = b^2 - 32$ พหุนามไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 32 < 0$ หรือ $b^2 < 32$ จำนวนเต็ม $b$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีค่าความชันเท่ากับ $-7$ และผ่านจุด $(3,0)$ สมการของเส้นตรงนี้สามารถเขียนในรูป $y = mx+b$ ได้ ค่าของ $m+b$ คือเท่าใด | ก่อนอื่นจงจำไว้ว่าความชันของเส้นตรงในรูป $y=mx+b$ เท่ากับ $m$ ดังนั้นเส้นตรงนี้ต้องอยู่ในรูป $y=-7x+b$ ต่อไปแทนค่าจุด $(3,0)$ และแก้หา $b$ : \begin{align*}
0&=-7(3)+b\\
\Rightarrow\qquad 0&=-21+b\\
\Rightarrow\qquad 21&=b
\end{align*} ดังนั้นค่าของ $m+b$ คือ $-7+21=\boxed{14}$ | -7+21=\boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = x^2-2x + m$ และ $g(x) = x^2-2x + 4m$ เมื่อ $x = 4$ จงหาค่าของ $m$ ที่ทำให้ $2f(4) = g(4)$ | $2f(4)=g(4)$ ดังนั้น $2\left(16-8+m\right)=16-8+4m$ กระจายข้างซ้ายจะได้ $16+2m=8+4m$ หรือ $8=2m$ และ $m=\boxed{4}$ | m=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $C$ เป็นวงกลมที่มีสมการ $x^2-6y-3=-y^2-4x$ ถ้า $(a,b)$ เป็นจุดศูนย์กลางของ $C$ และ $r$ เป็นรัศมี จงหาค่าของ $a+b+r$ | เราสามารถเขียนสมการ $x^2-6y-3=-y^2-4x$ ใหม่เป็น $x^2+4x+y^2-6y=3$ ทำการเติมกำลังสอง เราได้ $(x+2)^2-4+(y-3)^2-9=3$ หรือ $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ นี่คือสมการของวงกลมที่มีรัศมี $r=4$ และมีจุดศูนย์กลาง $(a,b)=(-2,3)$ ดังนั้น $a+b+r=-2+3+4=\boxed{5}$ | a+b+r=-2+3+4=\boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลคูณของค่าคงตัวทั้งหมด $t$ โดยที่สมการกำลังสอง $x^2 + tx - 10$ สามารถแยกตัวประกอบในรูป $(x+a)(x+b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม | ถ้า $x^2 + tx -10= (x+a)(x+b)$ แล้ว \[x^2 + tx -10 = x^2 + ax +bx +ab = x^2 +(a+b)x + ab.\]ดังนั้น เราต้องมี $ab = -10$ และสำหรับ $a$ และ $b$ ใดๆ เราจะมี $t = a+b$ ความเป็นไปได้ของเราคือดังนี้: \[\begin{array}{ccc}a&b&a+b\\\hline
-1 & 10 & 9\\
-2 & 5 & 3\\
-5 & 2 & -3\\
-10 & 1 & -9
\end{array}\]ผลคูณของค่าที่เป็นไปได้เหล่านี้ของ $t=a+b$ คือ $(9)(3)(-3)(-9) = 27^2 = \boxed{729}$ | (9)(3)(-3)(-9) = 27^2 = \boxed{729} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่า $q$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือ ผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | 9/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $d\not=0$. เราสามารถเขียน $\left(12d+13+14d^2\right)+\left(2d+1\right)$ ในรูป $ad+b+cd^2$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $a+b+c$ | การบวกพจน์ $d$ จะได้ $14d$ การบวกพจน์คงที่ จะได้ $14$ การบวกพจน์ $d^2$ จะได้ $14d^2$ การบวกพจน์ทั้งหมด จะได้ ${14d+14+14d^2}$ ดังนั้น $a+b+c = \boxed{42}$ | a+b+c = \boxed{42} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=-2x-10y-16$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS จะได้ $x^2+2x+y^2+10y=-16$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(2/2)^2=1$ ในทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(10/2)^2=25$ ในทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2+2x+y^2+10y&=-16\\
\Rightarrow x^2+2x+1+y^2+10y+25&=10\\
\Rightarrow (x+1)^2+(y+5)^2&=10
\end{align*} ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุด $(-1,-5)$ ดังนั้น $x+y=-1+(-5)=\boxed{-6}$ | x+y=-1+(-5)=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทำให้ง่ายขึ้นและทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ: $$\frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}+1}}.$$ | เริ่มต้นด้วยพิจารณาพจน์ $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วนได้ $$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$จากนั้นเราสามารถแทนค่านี้กลับเข้าไปในนิพจน์เดิมของเราและคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $2$ เพื่อให้ได้ \begin{align*}
\frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}+1}} & = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} \\
& = \frac{2}{2 + \sqrt{3} - 1} \\
& = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}.
\end{align*}ถ้าเราคูณตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์นี้ด้วย $\sqrt{3}-1$ และทำให้ सरल, เราจะได้ \begin{align*}\frac{2}{\sqrt{3} + 1} &= \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\&= \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \boxed{\sqrt{3}-1}.\end{align*} | \sqrt{3}-1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาช่วงของ $y=|x+7|-|x-2|$. | ถ้า $x<-7$ แล้ว $x+7$ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=-(x+7)-(-x+2)=-9.$$ ถ้า $x\geq 2$ แล้ว $x+7$ และ $x-2$ เป็นไม่เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-x+2=9.$$ ถ้า $-7\leq x< 2$ แล้ว $x+7$ เป็นไม่เป็นลบ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-(-x+2)=2x+5.$$ แล้ว $2(-7)+5=-9$ และ $2(2)+5=9$ ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและต่อเนื่อง ดังนั้นค่าทั้งหมดระหว่าง $-9$ และ $9$ ถูกสร้างขึ้น และไม่มีค่าอื่นๆ ช่วงคือ $y \in \boxed{[-9, 9]}$. | y \in \boxed{[-9, 9]} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดค่าของฟังก์ชัน $f(x)$ ในตารางต่อไปนี้
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $f(x)$ & 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \\ \hline
\end{tabular}ถ้า $f^{-1}$ มีอยู่ แล้ว $f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1)))$ มีค่าเท่าใด | เราสังเกตว่า $f(2) = 1$ ดังนั้น $f^{-1}(1) = 2$ ดังนั้น $$f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = f^{-1}(f^{-1}(2)).$$ต่อไป $f(5) = 2$ ดังนั้น $f^{-1}(2) = 5$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(2)) = f^{-1}(5)$ สุดท้าย $f(3) = 5$ ดังนั้น $f^{-1}(5) = 3$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = \boxed{3}.$ | f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x$ : $$5^{x + 4} = 125^x.$$ | เขียนข้างขวาด้วยฐาน 5 เราได้ $125^x = (5^3)^x = 5^{3x}$ ดังนั้นสมการของเราคือ: $$5^{x + 4} = 5^{3x}.$$ จากนั้นตั้งเลขชี้กำลังให้เท่ากัน เราได้ $$x + 4 = 3x.$$ นี้จะได้ $2x = 4 \implies \boxed{x = 2}$ | 2x = 4 \implies \boxed{x = 2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x>0$ ในลำดับเลขคณิตต่อไปนี้: $1^2, x^2, 3^2, \ldots$. | พจน์ $x^2$ คือค่าเฉลี่ยของ $1^2 = 1$ และ $3^2 = 9$ ดังนั้น $x^2 = (1 + 9)/2 = 5$ เนื่องจาก $x > 0$ ดังนั้น $x = \boxed{\sqrt{5}}$ | x = \boxed{\sqrt{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่ 100 ของลำดับเลขคณิต 6, 10, 14, 18, ... | ผลต่างร่วมคือ $10 - 6 = 4$ ดังนั้นพจน์ที่ 100 คือ $6+99\cdot 4=\boxed{402}$ | 6+99\cdot 4=\boxed{402} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดบ้างที่ทำให้ $x^2 - 5x - 4 \le 10$ เป็นจริง? แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | จัดรูปใหม่ $x^2 - 5x - 14 \le 0$. พหุนามกำลังสองทางซ้ายมือสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) \le 0$. ดังนั้น $x-7$ และ $x+2$ มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ดังนั้น $-2 \le x \le 7$ และ $\boxed{x \in [-2,7]}$ | \boxed{x \in [-2,7]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|5x - 1| = |3x + 2|$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | มีสองกรณี คือ เมื่อ $5x-1=3x+2$ และเมื่อ $5x-1=-(3x+2).$ สมการทั้งสองจะได้ $x=\frac{3}{2}$ และ $x=-\frac{1}{8}$ ตามลำดับ ซึ่ง $x=\boxed{-\frac{1}{8}}$ เป็นคำตอบที่น้อยกว่า | x=\boxed{-\frac{1}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นายมาดอฟลงทุนเงิน 1000 ดอลลาร์ในกองทุนที่คิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นประจำทุกปีที่อัตราดอกเบี้ยคงที่ หลังจาก 3 ปี การลงทุนของเขาก็เพิ่มขึ้นเป็น 1225 ดอลลาร์ อัตราดอกเบี้ยรายปีเป็นเท่าไร (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด) | ให้ $r$ เป็นอัตราดอกเบี้ยรายปี ดังนั้นหลังจาก 3 ปี การลงทุนของนายมาดอฟคือ $1000 \cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3$ ดังนั้น \[1000 \cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3 = 1225.\]จากนั้น \[\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3 = 1.225,\]ดังนั้น \[1 + \frac{r}{100} = \sqrt[3]{1.225} = 1.069987 \dots,\]ซึ่งหมายความว่า $r = \boxed{7}$, ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | r = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $(-8,6)$ ห่างจากจุดกำเนิดในระบบพิกัดกี่หน่วย | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{(-8 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{64 + 36} = \boxed{10}$.
- OR -
เราสังเกตว่าจุดกำเนิด จุด $(-8, 6)$ และจุด $(-8, 0)$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากต้องเท่ากับ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: \[
|x|+1>7\text{ and }|x+1|\le7.
\] | ก่อนอื่น เรามาจัดการกับ $|x| + 1 > 7$ ลบ 1 จากทั้งสองข้างจะได้ $|x| > 6$ ดังนั้นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ $|x| + 1 > 7$ คือจำนวนที่มากกว่า 6 และจำนวนที่น้อยกว่า $-6$ เนื่องจากอสมการเป็นแบบเข้ม ($>$, ไม่ใช่ $\ge$) $x$ ไม่สามารถเป็น 6 หรือ $-6$ ได้
ถัดไป เรามาดูที่ $|x+1| \le 7$ เขียนเป็น $|x-(-1)| \le 7$ เราจะเห็นว่า $x$ ต้องอยู่ภายใน $7$ ของ $-1$ บนเส้นจำนวน ซึ่งหมายความว่ามันต้องเป็นหนึ่งในจำนวนเต็มตั้งแต่ $-8$ ถึง 6 เนื่องจากอสมการไม่เข้ม ($\le$, ไม่ใช่ $<$) $x$ สามารถเป็น $-8$ หรือ 6 ได้
จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่สอดคล้องกับทั้งสองอสมการคือ $-8$ และ $-7$ และผลรวมของมันคือ $\boxed{-15}$ | \boxed{-15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่จำนวนเต็มที่ต่างกัน $a$, $b$, $c$ และ $d$ มีสมบัติที่เมื่อนำมาบวกกันเป็นคู่ จะได้ผลรวม $10, 18, 19, 20, 21$ และ $29$ จงหาสี่จำนวนเต็มนั้นตามลำดับจากน้อยไปมาก (ใส่เครื่องหมายจุลภาคและช่องว่างระหว่างจำนวนเต็ม) | โดยไม่เสียความ générales, ให้ $a<b<c<d$ ผลรวมที่น้อยที่สุดคือ $a+b=10$ ผลรวมที่รองลงมาคือ $a+c=18$ ผลรวมที่รองลงมาจากที่มากที่สุดคือ $b+d=21$ ผลรวมที่มากที่สุดคือ $c+d=29$ โดยสรุป, \begin{align*}\tag{1}
a+b&=10\\ \tag{2}
a+c&=18\\ \tag{3}
b+d&=21\\ \tag{4}
c+d&=29
\end{align*} ยังเหลือผลรวมสองผลรวมคือ $a+d$ และ $b+c$ เราจะแบ่งปัญหาข้อนี้เป็นสองกรณี กรณีแรกที่ผลรวมแรกน้อยกว่าผลรวมที่สอง และกรณีที่สองที่ผลรวมแรกมากกว่าผลรวมที่สอง
ในกรณีแรก \begin{align*} \tag{5}
a+d&=19\\ \tag{6}
b+c&=20
\end{align*} บวกสมการ (1) และ (6) และลบ (2) เราได้ $(a+b)+(b+c)-(a+c)=10+20-18\Rightarrow b = 6$ แทนค่า $b$ ลงในสมการ (1) เราจะได้ $a+6=10 \Rightarrow a=4$ แทนค่า $a$ ลงในสมการ (2) เราจะได้ $4+c=18 \Rightarrow c=14$ แทนค่า $c$ ลงในสมการ (4) เราจะได้ $14+d=29 \Rightarrow d=15$ ดังนั้น สี่จำนวนเต็มคือ $4,6,14,15$
ในกรณีที่สอง, \begin{align*} \tag{7}
b+c&=19\\ \tag{8}
a+d&=20
\end{align*} บวกสมการ (1) และ (7) และลบสมการ (2) เราได้ $(a+b)+(b+c)-(a+c)=10+19-18 \Rightarrow b=5.5$ กรณีนี้เป็นไปไม่ได้เพราะ $b$ ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเดียวคือ $\boxed{4,6,14,15}$ | \boxed{4,6,14,15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.