question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x^2}{x - 8}\]สำหรับ $x > 8.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{x^2}{x - 8} = \frac{x^2 - 64 + 64}{x - 8} = \frac{(x - 8)(x + 8) + 64}{x - 8} = x + 8 + \frac{64}{x - 8} = x - 8 + \frac{64}{x - 8} + 16.\]โดย AM-GM,
\[x - 8 + \frac{64}{x - 8} \ge 2 \sqrt{(x - 8) \cdot \frac{64}{x - 8}} = 16,\]ดังนั้น
\[\frac{x^2}{x - 8} \ge 32.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x... | \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ $f(1) = 1$ และ
\[f(x + y) = 3^y f(x) + 2^x f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด จงหาฟังก์ชัน $f(x)$. | สลับบทบาทของ $x$ และ $y$ เราจะได้
\[f(y + x) = 3^x f(y) + 2^y f(x).\]ดังนั้น,
\[3^y f(x) + 2^x f(y) = 3^x f(y) + 2^y f(x).\]แล้ว
\[(3^y - 2^y) f(x) = (3^x - 2^x) f(y),\]ดังนั้นสำหรับ $x \neq 0$ และ $y \neq 0,$
\[\frac{f(x)}{3^x - 2^x} = \frac{f(y)}{3^y - 2^y}.\]กำหนด $y = 1,$ เราจะได้
\[\frac{f(x)}{3^x - 2^x} = \frac{f... | x = 0. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + y + z = 1,$ และ $x \ge -\frac{1}{3},$ $y \ge -1,$ และ $z \ge -\frac{5}{3}.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1 + 1 + 1)(3x + 1 + 3y + 3 + 3z + 5) \ge (\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5})^2.\]ดังนั้น
\[(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5})^2 \le (3)(3 + 1 + 3 + 5) = 36,\]นั่นคือ $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5} \le 6.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $3x + 1 = 3y + 3 = 3z + 5... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[x^3 + a_2 x^2 + a_1 x - 11 = 0.\]ระบุรากจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพหุนามนี้ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ตามทฤษฎีบทรากจำนวนเต็ม รากจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือตัวหารทั้งหมดของ 11 (รวมถึงตัวหารลบ) ดังนั้นจึงเป็น $\boxed{-11, -1, 1, 11}.$ | \boxed{-11, -1, 1, 11}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $c_1,$ $c_2,$ $c_3$ เท่ากับ $1,$ $2,$ $3,$ $\dots,$ $9$ ในลำดับใดๆ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ
\[a_1 a_2 a_3 + b_1 b_2 b_3 + c_1 c_2 c_3.\] | กำหนดให้ $S = a_1 a_2 a_3 + b_1 b_2 b_3 + c_1 c_2 c_3.$ โดย AM-GM,
\[S \ge 3 \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3} = 3 \sqrt[3]{9!} \approx 213.98.\]เนื่องจาก $S$ เป็นจำนวนเต็ม $S \ge 214.$
สังเกตว่า
\[2 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 8 \cdot 9 + 3 \cdot 4 \cdot 6 = 214,\]ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $S$... | \boxed{214}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $2(x^2 + y^2) = x + y.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x - y.$ | เราสามารถเขียน $2(x^2 + y^2) = x + y$ เป็น $2x^2 + 2y^2 = x + y.$ ดังนั้น $2x^2 + 4xy + 2y^2 = x + y + 4xy,$ ดังนั้น
\[4xy = 2(x^2 + 2xy + y^2) - (x + y) = 2(x + y)^2 - (x + y).\]นอกจากนี้,
\begin{align*}
(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \\
&= (x + y)^2 - 4xy \\
&= (x + y) - (x + y)^2.
\end{align*}ทำการเติมกำลังสองใน $x +... | \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริง $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[a_n = a_{n - 1} a_{n + 1}\]สำหรับทุก $n \ge 2.$ ถ้า $a_1 = 1 + \sqrt{7}$ และ $a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ จงหาค่าของ $a_{2009}.$ | จากการกำหนดความสัมพันธ์ซ้ำ
\[a_{n + 1} = \frac{a_n}{a_{n - 1}}.\]กำหนด $a = a_1$ และ $b = a_2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_3 &= \frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}, \\
a_4 &= \frac{a_3}{a_2} = \frac{b/a}{b} = \frac{1}{a}, \\
a_5 &= \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/a}{b/a} = \frac{1}{b}, \\
a_6 &= \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/b}{1/a} = ... | a_7 = a_1, | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่ไม่ใช่พหุนาม상수 ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[P(P(x)) = (x^2 + x + 1) P(x).\] | ให้ $d$ เป็นดีกรีของ $P(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $P(P(x))$ คือ $d^2,$ และดีกรีของ $(x^2 + x + 1) P(x)$ คือ $d + 2,$ ดังนั้น
\[d^2 = d + 2.\]แล้ว $d^2 - d - 2 = (d - 2)(d + 1) = 0.$ เนื่องจาก $d$ เป็นบวก $d = 2.$
ให้ $P(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
P(P(x)) &= a(ax^2 + bx + c)^2 + b(ax^2 + bx + c) + c \\
&= ... | P(x) = \boxed{x^2 + x}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลคูณอนันต์ $(2^{1/3})(4^{1/9})(8^{1/27})(16^{1/81}) \dotsm.$ ใส่คำตอบในรูป "\sqrt[a]{b}", ซึ่งหมายถึง $\sqrt[a]{b}.$ | เราสามารถเขียนผลคูณได้ดังนี้
\begin{align*}
(2^{1/3})(4^{1/9})(8^{1/27})(16^{1/81}) \dotsm &= 2^{1/3} \cdot (2^2)^{1/9} \cdot (2^3)^{1/27} \cdot (2^4)^{1/81} \dotsm \\
&= 2^{1/3} \cdot 2^{2/3^2} \cdot 2^{3/3^3} \cdot 2^{4/3^4} \dotsm \\
&= 2^{1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + \dotsb}.
\end{align*}ให้
\[S = \frac{1}{3} + \f... | 2^{3/4} = \boxed{\sqrt[4]{8}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของ 10-tuples $(a_0, a_1, \dots, a_9),$ โดยที่แต่ละสมาชิกเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้น $S$ มี $2^{10}$ 10-tuples. สำหรับ 10-tuple $s = (a_0, a_1, \dots, a_9)$ ใดๆ ใน $S,$ ให้ $p_s(x)$ เป็นพหุนามดีกรีไม่เกิน 9 ซึ่ง
\[p_s(n) = a_n\]สำหรับ $0 \le n \le 9.$ ตัวอย่างเช่น $p(x) = p_{(0,1,0,0,1,0,1,0,0,0)}(x)$ เป... | กำหนดให้
\[p(x) = \sum_{s \in S} p_s(x).\]สำหรับ $n$ ใดๆ,$0 \le n \le 9,$
\[p(n) = \sum_{s \in S} p_s(n) = 2^9 = 512,\]เพราะ $p_s(n) = 0$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว และ $p_s(n) = 1$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว.
ดังนั้น $p(x) = 512$ สำหรับค่า $n = 0,$ 1, 2, $\dots,$ 9 จำนวน 10 ค่า. นอกจากนี้ $p(x)$ มี... | p(10) = \boxed{512}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^... | (x + 1)^3, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของ $2x^3 - 7x^2 - 6 = 0.$ จงหาค่าของ $rst.$ | จากสูตรของ Vieta's, $rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}.$ | rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
ในถุงริบบิ้นขนาดใหญ่ มีริบบิ้นสีแดง $\frac{1}{5}$ สีน้ำเงิน $\frac{1}{2}$ สีเขียว $\frac{1}{10}$ และที่เหลือ 30 อันเป็นสีขาว มีริบบิ้นสีเขียวกี่อัน? | เราบวกเศษส่วนของริบบิ้นที่ไม่ใช่สีแดง และได้ $\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=\frac{2+5+1}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ ดังนั้น 30 ริบบิ้นประกอบด้วย $1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$ ของริบบิ้นทั้งหมด และจำนวนริบบิ้นทั้งหมดคือ $5\times30=150$ ริบบิ้นสีเขียวเป็น $\frac{1}{10}$ ของจำนวนทั้งหมด และ $\frac{1}{10}\times150=... | \boxed{15} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ
\[(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2}) + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[(x + \sqrt{2})^3 + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ดังนั้น
\[(x + \sqrt{2})[(x + \sqrt{2})^2 + 1] = 0,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2}$ หรือ $(x + \sqrt{2})^2 = -1.$ สำหรับสมการหลัง
\[x + \sqrt{2} = \pm i,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2} \pm i.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}.$ | \boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y^2 + 2xy + 40|x|= 400$ แบ่งระนาบออกเป็นหลายบริเวณ จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบ | เพื่อจัดการกับพจน์ $|x|$ เราพิจารณาในกรณีของเครื่องหมายของ $x$:
ถ้า $x \ge 0$ เราได้ $y^2+2xy+40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y+40) = 400-y^2$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบเป็น \[2x(y+20) = (20-y)(y+20).\]ดังนั้น $y=-20$ หรือ $2x=20-y$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $y=20-2x$.
ถ้า $x < 0$ เราได้ $y^2+2xy-40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y-40)... | 40 \cdot 20 = \boxed{800} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^5 - x^4 + x^3 - px^2 + qx + 4$ หารด้วย $(x + 2)(x - 1)$ ลงตัว จงหาค่า $(p,q)$ | จากทฤษฎีบทเศษเหลือ พหุนามจะเป็น 0 เมื่อ $x = -2$ และ $x = 1$ ดังนั้น
\begin{align*}
(-2)^5 - (-2)^4 + (-2)^3 - p(-2)^2 + q(-2) + 4 &= 0, \\
1 - 1 + 1 - p + q + 4 &= 0.
\end{align*}ดังนั้น $-4p - 2q = 52$ และ $-p + q = -5$ แก้สมการจะได้ $(p,q) = \boxed{(-7,-12)}.$ | (p,q) = \boxed{(-7,-12)}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $c,$ โดยที่ $\lfloor c\rfloor$ เป็นคำตอบของ \[2x^2 + 17x - 55 = 0\]และ $\{ c \} = c - \lfloor c \rfloor $ เป็นคำตอบของ \[6x^2 - 23x + 7 = 0.\] | สมการกำลังสองตัวแรกแยกตัวประกอบได้เป็น \[(2x-5)(x+11) = 0,\]ดังนั้นรากของสมการคือ $\tfrac52$ และ $-11.$ เนื่องจาก $\lfloor c \rfloor$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $\lfloor c \rfloor = -11.$
สมการกำลังสองตัวที่สองแยกตัวประกอบได้เป็น \[(3x-1)(2x-7) = 0,\]ดังนั้นรากของสมการคือ $\tfrac13$ และ $\tfrac72.$ เนื่องจาก $0 \le \{c... | c = \lfloor c\rfloor + \{c\} = -11 + \tfrac13 = \boxed{-\tfrac{32}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[f(x) = x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\]สำหรับ $x > 0.$ | พิจารณาฟังก์ชัน
\[g(x) = x + \frac{1}{x}.\]ถ้า $1 \le x < y,$ แล้ว
\begin{align*}
g(y) - g(x) &= y + \frac{1}{y} - x - \frac{1}{x} \\
&= y - x + \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \\
&= y - x + \frac{x - y}{xy} \\
&= (y - x) \left( 1 - \frac{1}{xy} \right) \\
&= \frac{(y - x)(xy - 1)}{xy} \\
&> 0.
\end{align*}ดังนั้น $g(x)$ เป็... | x + \frac{1}{x} = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ
\[x^4 + 2px^3 + x^2 + 2px + 1 = 0\]มีรากจริงที่เป็นลบอย่างน้อยสองรากที่แตกต่างกัน | เราเห็นว่า $x = 0$ ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามได้ หารทั้งสองข้างด้วย $x^2$ เราได้
\[x^2 + 2px + 1 + \frac{2p}{x} + \frac{1}{x^2} = 0.\]ให้ $y = x + \frac{1}{x}.$ แล้ว
\[y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2},\]ดังนั้น
\[y^2 - 2 + 2py + 1 = 0,\]หรือ $y^2 + 2py - 1 = 0.$ ดังนั้น,
\[p = \frac{1 - y^2}{2y}.\]ถ้า $x$ เป็นลบ จาก AM-GM... | p | [
"unknown"
] |
จงหาค่าของผลคูณ \[\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{12} \dotsm \frac{4n+4}{4n} \dotsm \frac{2008}{2004}.\] | สังเกตว่า 8 ในเศษของเศษส่วนแรกจะตัดกันกับ 8 ในส่วนของเศษส่วนที่สอง, 12 ในเศษส่วนที่สองจะตัดกันกับ 12 ในส่วนของเศษส่วนที่สาม และเช่นเดียวกันไปเรื่อยๆ เราจะเหลือเพียง $\frac{2008}{4} = \boxed{502}$. | $\frac{2008}{4} = \boxed{502}$. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น
\[\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{1000}.\] | ก่อนอื่น
\[\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i.\]ดังนั้น
\[\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{1000} = i^{1000} = (i^2)^{500} = (-1)^{500} = \boxed{1}.\] | [
"ประยุกต์"
] | |
จงคำนวณ
\[\sum_{1 \le a < b < c} \frac{1}{2^a 3^b 5^c}.\](ผลรวมถูกคำนวณจากทุกรูปสาม $(a,b,c)$ ของจำนวนเต็มบวกที่ $1 \le a < b < c.$) | ให้ $x = a,$ $y = b - a,$ และ $z = c - b,$ ดังนั้น $x \ge 1,$ $y \ge 1,$ และ $z \ge 1.$ นอกจากนี้ $b = a + y = x + y$ และ $c = b + z = x + y + z,$ ดังนั้น
\begin{align*}
\sum_{1 \le a < b < c} \frac{1}{2^a 3^b 5^c} &= \sum_{x = 1}^\infty \sum_{y = 1}^\infty \sum_{z = 1}^\infty \frac{1}{2^x 3^{x + y} 5^{x + y + z}} \\
... | c = b + z = x + y + z, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนจริงบวกกี่คำตอบของสมการ $x^{10}+7x^9+14x^8+1729x^7-1379x^6=0$? | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการได้ดังนี้
\[x^6 (x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379) = 0.\]เนื่องจากเราต้องการหาคำตอบจริงบวก สมการจะลดรูปเป็น
\[x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.\]พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.$ ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นเมื่อ $x > 0.$ นอกจากนี้ $f(0) < 0$ และ $f(1) > 0,$ ดังนั้นมีคำตอบ... | (0,1). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของรากของสมการ \[(2x^3 + x^2 - 8x + 20)(5x^3 - 25x^2 + 19) = 0.\] | เมื่อคูณพหุนามทางซ้ายมือออก จะได้พหุนามดีกรี $6$ ตามสูตรของ Vieta ผลคูณของรากถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของ $x^6$ และพจน์คงตัว สัมประสิทธิ์ของ $x^6$ คือ $2 \cdot 5 = 10$ และพจน์คงตัวคือ $20 \cdot 19 = 380$ ดังนั้น ผลคูณของรากคือ $\tfrac{380}{10} = \boxed{38}.$ | \tfrac{380}{10} = \boxed{38}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นนอกจาก 1 ซึ่ง $\dfrac ab=\dfrac1{2^1}+\dfrac2{3^2}+\dfrac3{2^3}+\dfrac4{3^4}+\dfrac5{2^5}+\dfrac6{3^6}+\cdots$, โดยตัวเศษจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 และตัวส่วนสลับกันระหว่างกำลังของ 2 และ 3 โดยเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นทีละ 1 สำหรับพจน์ถัดไป คำนวณ $a+b$.
| เราสามารถแยกผลบวกออกเป็นสองกลุ่มของจำนวนที่เราต้องการบวก: $\tfrac12 + \tfrac{3}{2^3} + \tfrac{5}{2^5} \cdots$ และ $\tfrac{2}{3^2} + \tfrac{4}{3^4} + \tfrac{6}{3^6} \cdots$
ให้ $X$ เป็นผลบวกของลำดับแรก ดังนั้นเราจึงมี\begin{align*} X &= \frac12 + \frac{3}{2^3} + \frac{5}{2^5} \cdots \\ \frac{X}{4} &= 0 + \frac{1}{2^3} +... | a+b = \boxed{689}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยมีโดเมนของแต่ละฟังก์ชันกำหนดไว้ด้วย
A. $a(x) = \sqrt{2 - x},$ $x \in (-\infty,2].$
B. $b(x) = x^3 - x,$ $x \in \mathbb{R}.$
C. $c(x) = x + \frac{1}{x},$ $x \in (0,\infty).$
D. $d(x) = 2x^2 + 4x + 7,$ $x \in [0,\infty).$
E. $e(x) = |x - 2| + |x + 3|,$ $x \in \mathbb{R}.$
F. $f(x) = 3^x + 7... | A. ฟังก์ชัน $a(x) = \sqrt{2 - x}$ เป็นฟังก์ชันลดลง ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผัน
B. โปรดสังเกตว่า $b(0) = b(1) = 0,$ ดังนั้นฟังก์ชัน $b(x)$ จึงไม่มีฟังก์ชันผกผัน
C. โปรดสังเกตว่า $c \left( \frac{1}{2} \right) = c(2) = \frac{5}{2},$ ดังนั้นฟังก์ชัน $c(x)$ จึงไม่มีฟังก์ชันผกผัน
D. ฟังก์ชัน $d(x) = 2x^2 + 4x + 7 = 2(x + 1)... | \boxed{\text{A, D, F, G, H}}. | [
"unknown"
] |
ถ้า $f(x)$ เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1 ซึ่ง $f(-1)=-1$, $f(2)=-4$, $f(-3)=-9$, และ $f(4)=-16$ จงหา $f(1)$ | ให้ $g(x) = f(x) + x^2.$ ดังนั้น $g(x)$ เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1 และ $g(-1) = g(2) = g(-3) = f(4) = 0,$ ดังนั้น
\[g(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4).\]ดังนั้น $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4) - x^2.$ โดยเฉพาะ $f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}.$ | f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ นอกจากนี้ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[xy - \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = 3.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $(x - 1)(y - 1).$ | จากสมการที่กำหนดให้ $x^3 y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2 y^2,$ หรือ
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\]โดยแทน $a = xy,$ $b = -x,$ และ $c = -y,$ เราได้
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = (xy - x - y)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -... | \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับจำนวนจริงบวกทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $f(x) > 0$ สำหรับทุก $x > 0$ และ
\[f(x - y) = \sqrt{f(xy) + 2}\]สำหรับทุก $x > y > 0.$ จงหาค่าของ $f(2009).$ | เราจะพิสูจน์ก่อนว่ามีจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $x - y = xy = 2009.$ จากสมการเหล่านี้
\[x^2 - 2xy + y^2 = 2009^2,\]ดังนั้น $x^2 + 2xy + y^2 = 2009^2 + 4 \cdot 2009.$ แล้ว $x + y = \sqrt{2009^2 + 4 \cdot 2009},$ ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta's, $x$ และ $y$ เป็นรากของ
\[t^2 - (\sqrt{2009^2 + 4 \cdot 2009}) t + 2009 = 0... | a = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน
\[h(x) = \frac{2(x + 7)(x - 3)}{x + 7}.\] | ถ้า $x \neq -7,$ เราสามารถตัดตัวประกอบของ $x + 7$ ออกได้
\[h(x) = 2(x - 3).\]ถ้า $x$ อนุญาตให้เป็นจำนวนจริงใดๆ $2(x - 3)$ ก็สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่ได้นิยามสำหรับ $x = -7$ ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่สามารถรับค่า $2(-7 - 3) = -20$ ได้
ดังนั้น ช่วงของฟังก์ชันคือ $\boxed{(-\infty,-20) \cup (-20,\inf... | \boxed{(-\infty,-20) \cup (-20,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\begin{align*}
ab + 4b &= -16, \\
bc + 4c &= -16, \\
ca + 4a &= -16.
\end{align*}จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $abc$ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน จะได้
\[ab + ac + bc + 4(a + b + c) = -48.\]นำสมการทั้งสามไปคูณด้วย $c,$ $a,$ $b$ ตามลำดับ จะได้
\begin{align*}
abc + 4bc &= -16c, \\
abc + 4ac &= -16a, \\
abc + 4ab &= -16b.
\end{align*}นำสมการทั้งสามมาบวกกัน จะได้
\[3abc + 4(ab + ac + bc) = -16(a + b + c).\]ดังนั้น
\begin{align*}
3abc &= -4(ab ... | abc = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = 6x - 9$ และ $g(x) = \frac{x}{3} + 2$ จงหา $f(g(x)) - g(f(x))$ | เราได้ว่า
$$\begin{aligned} f(g(x)) &= f\left(\frac{x}{3} + 2\right) = 6\left(\frac{x}{3} + 2\right) - 9 \\
&= 2x + 12 - 9\\
&= 2x + 3
\end{aligned}$$และ
$$\begin{aligned} g(f(x)) &= g(6x-9) = \frac{6x-9}{3} + 2 \\
&= 2x -3 +2\\
&= 2x -1.
\end{aligned}$$ดังนั้น
$$f(g(x)) - g(f(x)) = 2x+3 - (2x-1) = 2x + 3 - 2x +1 = \bo... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $a + b + c = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{(a + 2b) + (b + 2c) + (c + 2a)}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}},\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \ge \frac{9}{3a + 3b + 3c} = \frac{9}{3} = 3.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = b = c = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\sqrt[3]{2 - x} + \sqrt{x - 1} = 1.\]เขียนคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยจุลภาค | ให้ $y = \sqrt[3]{2 - x}.$ แล้ว $y^3 = 2 - x,$ ดังนั้น $x = 2 - y^3.$ แล้ว
\[\sqrt{x - 1} = \sqrt{1 - y^3},\]ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้เป็น $y + \sqrt{1 - y^3} = 1.$ แล้ว
\[\sqrt{1 - y^3} = 1 - y.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้ $1 - y^3 = 1 - 2y + y^2,$ ดังนั้น $y^3 + y^2 - 2y = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได... | x = \boxed{1,2,10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงคำนวณค่าจำนวนเต็มสูงสุดของ
\[\frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}.\] | ראשית เราสามารถเขียนได้
\[\frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7} = \frac{(3x^2 + 9x + 7) + 10}{3x^2 + 9x + 7} = 1 + \frac{10}{3x^2 + 9x + 7}.\]ดังนั้น เราต้องการลดค่า $3x^2 + 9x + 7$ ลงให้น้อยที่สุด
โดยการเติมกำลังสอง เราได้
\[3x^2 + 9x + 7 = 3 \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{4},\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $3x^2 ... | 1 + \frac{10}{1/4} = \boxed{41}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $x^2 + 2x = i$ มีคำตอบเชิงซ้อนสองคำตอบ จงหาผลคูณของส่วนจริงของคำตอบทั้งสอง | เติมกำลังสองโดยการบวก 1 ลงในแต่ละข้าง แล้ว $(x+1)^2 = 1+i=e^{\frac{i\pi}{4}} \sqrt{2}$ ดังนั้น $x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2}$ ผลคูณที่ต้องการคือ
\begin{align*}
\left( -1+\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\sqrt[4]{2} \right) \left( -1-\cos\left( \frac{\pi}{8}\right) \sqrt[4]{2}\right) &= 1-\cos^2\left( \frac{\pi}... | x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $2005$ แต่ละพจน์ถัดมาเป็นผลรวมของเลขยกกำลังสามของหลักของพจน์ก่อนหน้า พจน์ที่ ${2005}^{\text{th}}$ ของลำดับนี้คืออะไร? | พจน์ที่ขึ้นต้นของลำดับคือ
\[2005, 133, 55, 250, 133.\]เนื่องจากแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น และพจน์ที่ห้าตรงกับพจน์ที่สอง ลำดับจึงเป็นคาบ มีคาบ 3
ดังนั้น พจน์ที่ 2005 เท่ากับพจน์ที่ 4 ซึ่งคือ $\boxed{250}.$ | \boxed{250}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ראשית,
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการประเมิน
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยผลต่างของกำลังสอง,
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n... | \boxed{3}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{70}$ ในการกระจายของ
\[(x - 1)(x^2 - 2)(x^3 - 3) \dotsm (x^{11} - 11)(x^{12} - 12).\] | ดีกรีของพหุนามคือ $1 + 2 + 3 + \dots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78.$
เมื่อเราขยาย $(x - 1)(x^2 - 2)(x^3 - 3) \dotsm (x^{11} - 11)(x^{12} - 12),$ เราเลือกพจน์หนึ่งจากแต่ละตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น จากตัวประกอบแรก $x - 1,$ เราสามารถเลือก $x$ หรือ $-1.$ จากตัวประกอบที่สอง $x^2 - 2,$ เราสามารถเลือก $x^2$ หรือ $-2,$ และอื... | (-8) + 34 + (-22) = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
\[x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.\] | โดย Cauchy-Schwarz,
\[(1 + 4 + 9)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) \ge (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 = 60^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \ge \frac{3600}{14} = \frac{1800}{7}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x_1 = \frac{x_2}{2} = \frac{x_3}{3}$ และ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ เราสามารถแก้สมการได้ $x_1 = \frac{30}{7},$ $x_2 = \frac{60}{7},$ และ $... | \boxed{\frac{1800}{7}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของ $2x^3 - 7x^2 - 6 = 0.$ จงหาค่าของ $rst.$ | จากสูตรของ Vieta's, $rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}.$ | rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
สัมประสิทธิ์ของพหุนาม
\[a_{10} x^{10} + a_9 x^9 + a_8 x^8 + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0\]เป็นจำนวนเต็ม และราก $r_1,$ $r_2,$ $\dots,$ $r_{10}$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด นอกจากนี้ รากของพหุนาม
\[a_0 x^{10} + a_1 x^9 + a_2 x^8 + \dots + a_8 x^2 + a_9 x + a_{10} = 0\]ก็คือ $r_1,$ $r_2,$ $\dots,$ $r_{10}$ เช่นกัน จงหาจำนว... | ให้ $r$ เป็นรากจำนวนเต็มของพหุนามตัวแรก $p(x) = a_{10} x^{10} + a_9 x^9 + a_8 x^8 + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$ ดังนั้น
\[a_{10} r^{10} + a_9 r^9 + \dots + a_1 r + a_0 = 0.\]เนื่องจาก $a_0$ ไม่เท่ากับ 0, $r$ ไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้ ดังนั้น เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $r^{10},$ เพื่อให้ได้
\[a_{10} + a_9 \cdot \f... | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=2x+1$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $f^{-1}(x)=f(x^{-1})$ | เพื่อหา $f^{-1}$ เราแทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ ซึ่งจะได้ \[f(f^{-1}(x))=2f^{-1}(x)+1.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สมการนี้จึงเทียบเท่ากับ \[x=2f^{-1}(x)+1,\]ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น \[f^{-1}(x)=\frac{x-1}2.\]ถ้าเราสมมติว่า $x$ เป็นคำตอบของ $f^{-1}(x)=f(x^{-1})$ เราจะได้ \[\frac{x-1}2=\frac 2x+1=\frac{2+x}x.\]ก... | -\frac{-3}{1}=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนเต็ม $\{a_k\}$ โดยที่ $a_1=1$ และ $a_{m+n}=a_m+a_n+mn,$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ และ $n$ ทั้งหมด จงหา $a_{12}$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
a_2 &= a_1 + a_1 + 1 = 3, \\
a_3 &= a_1 + a_2 + 2 = 6, \\
a_6 &= a_3 + a_3 + 9 = 21, \\
a_{12} &= a_6 + a_6 + 36 = \boxed{78}.
\end{align*} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] | |
กำหนดให้
\[f(x) = \frac{ax}{x + 1}.\]จงหาค่าคงตัว $a$ ที่ทำให้ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x \neq -1.$ | เรามี
\begin{align*}
f(f(x)) &= f \left( \frac{ax}{x + 1} \right) \\
&= \frac{a \cdot \frac{ax}{x + 1}}{\frac{ax}{x + 1} + 1} \\
&= \frac{a^2 x}{ax + x + 1}.
\end{align*}เราต้องการ
\[\frac{a^2 x}{ax + x + 1} = x\]สำหรับ $x \neq -1.$ จะได้
\[a^2 x = ax^2 + x^2 + x.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้ $a^2 = 1$ และ $a + 1 = ... | a = \boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของสมการ $x^4-4x^3+6x^2-4x=2005.$ | เราสังเกตเห็นส่วนหนึ่งของการกระจายของ $(x-1)^4$ ทางด้านซ้ายมือ เพิ่ม 1 ทั้งสองข้าง เราได้ \[x^4-4x^3+6x^2-4x+1=2006,\]ซึ่งหมายความว่า $(x-1)^4 = 2006.$ ดังนั้น \[x-1 = \sqrt[4]{2006}, i\sqrt[4]{2006}, -\sqrt[4]{2006}, -i\sqrt[4]{2006}.\]เนื่องจากเราต้องการรากที่ไม่ใช่จำนวนจริง เราจึงพิจารณาเฉพาะราก \[ x = 1 \pm i\sqrt[... | (x-1)^4 = 2006. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิคดีกรี 4 ซึ่ง $p(1) = 17,$ $p(2) = 34,$ และ $p(3) = 51.$ จงหา $p(0) + p(4).$ | กำหนดให้ $f(x) = p(x) - 17x.$ ดังนั้น $f(1) = f(2) = f(3) = 0.$ นอกจากนี้ $f(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิคดีกรี 4 ดังนั้น
\[f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r),\]สำหรับจำนวนจริง $r$ ใดๆ. ดังนั้น
\[p(x) = f(x) + 17x = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r) + 17x.\]ดังนั้น
\begin{align*}
p(0) + p(4) &= (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)(0 - r) +... | 92 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ทำให้ $5x^2 + 10xy = x^3 + 2x^2 y$ จงหาค่าของ $x$ | สังเกตว่าเราสามารถแยกตัวประกอบ $5x$ ออกจากพจน์ทางซ้ายมือได้เป็น $5x(x+2y)$ เช่นเดียวกัน เราสามารถแยกตัวประกอบ $x^2$ ออกจากพจน์ทางขวามือได้เป็น $x^2(x+2y)$ ดังนั้นเราจึงมี $5x(x+2y) = x^2(x+2y)$ เนื่องจาก $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $x(x+2y)$ ได้อย่างปลอดภัย ซึ่งจะได้ $x = \boxed{5}$ | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[a + b + c = ab + ac + bc = abc = 1.\]จงใส่ค่า $a,$ $b,$ $c$ ที่คั่นด้วยจุลภาค ในลำดับใดก็ได้ | จากสูตรของ Vieta's $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - x^2 + x - 1 = 0.\]เราสามารถเขียนได้เป็น $x^2 (x - 1) + (x - 1) = 0,$ หรือ $(x - 1)(x^2 + 1) = 0.$ รากคือ $\boxed{1,i,-i}.$ | \boxed{1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ซึ่งถูกแรเงาในรูปนี้ มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะมีค่าเท่าใด?
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--... | กราฟของ $y=f(x-2)$ คือ กราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ คือ กราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดโดยปัจจัย 3 ในทิศทางแนวตั้ง เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)... | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $2(x^2 + y^2) = x + y.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x - y.$ | เราสามารถเขียน $2(x^2 + y^2) = x + y$ เป็น $2x^2 + 2y^2 = x + y.$ แล้ว $2x^2 + 4xy + 2y^2 = x + y + 4xy,$ ดังนั้น
\[4xy = 2(x^2 + 2xy + y^2) - (x + y) = 2(x + y)^2 - (x + y).\]นอกจากนี้,
\begin{align*}
(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \\
&= (x + y)^2 - 4xy \\
&= (x + y) - (x + y)^2.
\end{align*}ทำการเติมกำลังสองใน $x + y,$... | \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $f(x) = 6x - 9$ และ $g(x) = \frac{x}{3} + 2$ จงหา $f(g(x)) - g(f(x))$ | เราได้ว่า
$$\begin{aligned} f(g(x)) &= f\left(\frac{x}{3} + 2\right) = 6\left(\frac{x}{3} + 2\right) - 9 \\
&= 2x + 12 - 9\\
&= 2x + 3
\end{aligned}$$และ
$$\begin{aligned} g(f(x)) &= g(6x-9) = \frac{6x-9}{3} + 2 \\
&= 2x -3 +2\\
&= 2x -1.
\end{aligned}$$ดังนั้น
$$f(g(x)) - g(f(x)) = 2x+3 - (2x-1) = 2x + 3 - 2x +1 = \bo... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ารากของ $x^3+3x^2+4x-11=0$ คือ $a$, $b$, และ $c$ และรากของ $x^3+rx^2+sx+t=0$ คือ $a+b$, $b+c$, และ $c+a$ จงหาค่า $t$ | โดยสูตรของ Vieta's \[t = -(a+b)(b+c)(c+a).\]จากพหุนามลูกบาศก์สมการแรก เราได้ว่า $a+b+c=-3$ ใช้สมการนี้เราสามารถเขียนใหม่ค่า $t$ เป็น \[t = -(-3-c)(-3-a)(-3-b).\]เพื่อคำนวณค่านี้ได้อย่างรวดเร็ว ให้สังเกตว่า สำหรับ $x$ ใดๆ \[x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = (x-a)(x-b)(x-c)\]โดยทฤษฎีบทปัจจัย แทน $x = -3$ เราได้ \[(-3)^3 + 3(-3)^2 ... | t = -(-23) = \boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับจำกัด $A=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ ของจำนวนจริง สัมประสิทธิ์ Cesaro ของ $A$ นิยามโดย
\[\frac{S_1+\cdots+S_n}{n},\]โดยที่ $S_k=a_1+\cdots+a_k$ และ $1\leq k\leq n$.
ถ้าสัมประสิทธิ์ Cesaro ของลำดับ 99 พจน์ $(a_1,\dots,a_{99})$ เท่ากับ 1000 สัมประสิทธิ์ Cesaro ของลำดับ 100 พจน์ $(1,a_1,\dots,a_{99})$ เท่ากับเท่าใด | นำนิยามไปใช้กับลำดับ $(a_1, a_2, \dots, a_{99}),$ เราได้
\[\frac{a_1 + (a_1 + a_2) + \dots + (a_1 + a_2 + \dots + a_{99})}{99} = 1000.\]ดังนั้น $99a_1 + 98a_2 + \dots + 2a_{98} + a_{99} = 99000.$
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ Cesaro ของ $(1, a_1, a_2, \dots, a_{99})$ คือ
\begin{align*}
\frac{1 + (1 + a_1) + (1 + a_1 + a_2) + \... | 991 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์
\[|\pi - |\pi - 7||.\]เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ $\pi,$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เนื่องจาก $\pi < 7,$
\[|\pi - 7| = 7 - \pi.\]ดังนั้น,
\[|\pi - |\pi - 7|| = |\pi - (7 - \pi)| = |2 \pi - 7|.\]เราทราบว่า $\pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2},$ ดังนั้น
\[|2 \pi - 7| = \boxed{7 - 2 \pi}.\] | \pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำนวณ \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor.
\](หมายเหตุ: $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$.) | เรามี \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left(2007 \cdot 2006 + \frac{1}{2005}\right)\cdot 2005!}{(2006+1)\cdot 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{2007\cdot 2006 + \frac{1}{2005}}{2007}\right\rfloor = \left\lfloor 2006 + \frac{1}{2005 \cdot 2007}\right\rfloor = ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้\[S=\sqrt{1+\dfrac1{1^2}+\dfrac1{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}}+\cdots+\sqrt{1+\dfrac1{2007^2}+\dfrac1{2008^2}}.\]จงหาค่าของ $\lfloor S^2\rfloor$.
| โดยใช้สัญกรณ์ผลรวม $S = \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{1 + \tfrac{1}{i^2} + \tfrac{1}{(i+1)^2}}$. โดยใช้พจน์ร่วมและทำให้ सरงขึ้น เราได้
\begin{align*} S &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{i^2 (i^2 + 2i + 1) + i^2 + 2i + 1 + i^2}{i^2 (i+1)^2} } \\ &= \sum_{i=1}^{2007} \sqrt{ \frac{i^4 + 2i^3 + 3i^2 + 2i + 1}{i^2 (i+1)^2} } \\ &... | \lfloor S^2\rfloor = \boxed{4032062} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $x^3 - 9x^2 + 8x +2 = 0$ มีรากจริงสามราก คือ $p$, $q$, $r$ จงหาค่าของ $\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2}$ | จากความสัมพันธ์ของ Vieta's เราได้ว่า $p+q+r = 9$, $pq+qr+pr = 8$ และ $pqr = -2$ ดังนั้น \begin{align*}
\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2} = \frac{(pq + qr + rp)^2 - 2 (p + q + r)(pqr)}{(pqr)^2} = \frac{8^2 - 2 \cdot 9 \cdot (-2)}{(-2)^2} = \boxed{25}.
\end{align*} | 25 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x + y + z = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x^3 y^2 z.$ | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y + z &= \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} + z \\
&\ge 6 \sqrt[6]{\frac{x^3 y^2 z}{108}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y + z = 1,$ จะได้
\[x^3 y^2 z \le \frac{108}{6^6} = \frac{1}{432}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z.$ ร่วมกับเงื่อน... | \boxed{\frac{1}{432}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4.\]จงหาค่าสูงสุดของ $a^3 + b^3 + c^3 + d^3.$ | จากสมการ $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4,$ จะได้ว่า $a^2 \le 4,$ ดังนั้น $a \le 2,$ หรือ $2 - a \ge 0.$ ดังนั้น
\[(2 - a) a^2 \ge 0,\]ดังนั้น $a^3 \le 2a^2.$ ทำนองเดียวกัน $b^3 \le 2b^2,$ $c^3 \le 2c^2,$ และ $d^3 \le 2d^2.$ นำอสมการทั้งหมดมาบวกกัน จะได้
\[a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \le 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 8.\]สมการเกิด... | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการอสมการ
\[-4x^2 + 7x + 2 < 0.\] | สมการอสมการตัวประกอบได้เป็น
\[-(4x + 1)(x - 2) < 0.\]ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}.$ | x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, และ $c$ เป็นรากที่ 3 ของ $x^3-x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$ | เราสามารถแทน $x=y-1$ เพื่อให้ได้พหุนามที่มีราก $a+1$, $b+1$, $c+1$ นั่นคือ
\[(y-1)^3-(y-1)+1=y^3-3y^2+2y+1.\]ผลบวกของส่วนกลับของรากของพหุนามนี้ โดยใช้สูตรของ Vieta's คือ $\frac{2}{-1}=\boxed{-2}$ | \frac{2}{-1}=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุด $(6,12)$ และพาราโบลาที่กำหนดโดยสมการ $x = \frac{y^2}{2}.$ | ให้ $P = \left( \frac{a^2}{2}, a \right)$ เป็นจุดบนพาราโบลา เราจะหาสมการของเส้นสัมผัสกับพาราโบลาที่จุด $P$ ก่อน
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real y;
pair P = (8,4);
path parab = ((-5)^2/2,-5);
for (y = -5; y <= 5; y = y + 0.01) {
parab = parab--(y^2/2,y);
}
draw(parab,red);
draw((P + (-4,-4/4))--(P + (4,4/4)),dashed... | \sqrt{(8 - 6)^2 + (4 - 12)^2} = \boxed{2 \sqrt{17}}. | [
"unknown"
] |
คูณ $(x^4 +18 x^2 + 324) (x^2-18)$ | เราเห็นว่านิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการแยกตัวประกอบ $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ของผลต่างของกำลังสาม $a^3-b^3$ โดยที่ $a=x^2$ และ $b=18$ ดังนั้นผลคูณคือ $a^3-b^3 = (x^2)^3-18^3=\boxed{x^6-5832}$ | a^3-b^3 = (x^2)^3-18^3=\boxed{x^6-5832} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[(12 - x)(10 - x)(12 + x)(10 + x).\] | ขยายและเติมกำลังสอง เราได้
\begin{align*}
(12 - x)(10 - x)(12 + x)(10 + x) &= (10 + x)(10 - x)(12 + x)(12 - x) \\
&= (100 - x^2)(144 - x^2) \\
&= x^4 - 244x^2 + 14400 \\
&= (x^2 - 122)^2 - 484.
\end{align*}ค่าต่ำสุดของ $\boxed{-484}$ เกิดขึ้นที่ $x = \pm \sqrt{122}.$ | x = \pm \sqrt{122}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่ากราฟของ \[2x^2 + y^2 + 8x - 10y + c = 0\]ประกอบด้วยจุดเดียว (ในกรณีนี้ เรียกกราฟว่าวงรีเสื่อม) จงหา $c.$ | เราพยายามเขียนสมการที่กำหนดให้อยู่ในรูปมาตรฐานสำหรับวงรี โดยการเติมกำลังสองในตัวแปรทั้งสอง เราได้ \[\begin{aligned} 2(x^2+4x) + (y^2-10y) + c &= 0 \\ 2(x^2+4x+4) + (y^2-10y+25) + c &= 33 \\ 2(x+2)^2 + (y-5)^2 &= 33-c. \end{aligned}\]เพื่อให้สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน เราปกติจะพยายามหารด้วย $33-c,$ และถ้า $33-c>0,$ แล้วเร... | c=\boxed{33}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 = 3,$ จงหา $r^3 + \frac{1}{r^3}.$ | ขยายพจน์ทางซ้ายมือ เราได้ $r^2 + 2 + \frac{1}{r^2} = 3,$ ดังนั้น
\[r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} = 0.\]จากนั้น
\[r^3 + \frac{1}{r^3} = \left( r + \frac{1}{r} \right) \left( r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} \right) = \boxed{0}.\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจำนวนเต็มที่แตกต่างกันในรายการ
\[\left\lfloor \frac{1^2}{1000} \right\rfloor, \ \left\lfloor \frac{2^2}{1000} \right\rfloor, \ \left\lfloor \frac{3^2}{1000} \right\rfloor, \ \dots, \ \left\lfloor \frac{1000^2}{1000} \right\rfloor.\] | ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว
\[\frac{(n + 1)^2}{1000} - \frac{n^2}{1000} = \frac{2n + 1}{1000}.\]ดังนั้น อสมการ $\frac{(n + 1)^2}{1000} - \frac{n^2}{1000} < 1$ เทียบเท่ากับ
\[\frac{2n + 1}{1000} < 1,\]หรือ $n < 499 + \frac{1}{2}.$
ดังนั้น สำหรับ $n \le 499,$ ผลต่างระหว่าง $\frac{n^2}{1000}$ และ $\frac{(n + 1)^2}{1000... | 251 + 500 = \boxed{751} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x^2}{y - 1} + \frac{y^2}{x - 1}\]สำหรับจำนวนจริง $x > 1$ และ $y > 1.$ | กำหนด $a = x - 1$ และ $b = y - 1.$ ดังนั้น $x = a + 1$ และ $y = b + 1,$ ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{x^2}{y - 1} + \frac{y^2}{x - 1} &= \frac{(a + 1)^2}{b} + \frac{(b + 1)^2}{a} \\
&= \frac{a^2 + 2a + 1}{b} + \frac{b^2 + 2b + 1}{a} \\
&= 2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) + \frac{a^2}{b} + \frac{1}{b} + \frac{... | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ \[2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0.\] จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$ | โดยสูตรของ Vieta's เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะทำให้เกิดพจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทน $ab+bc+ca=2$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,\... | ab+bc+ca=2, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสมการเส้นกำกับเอียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$?
ใส่นิพจน์คำตอบในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามให้ผลลัพธ์
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่... | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $(u_n)$ เป็นลำดับของจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
\[u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\]และ $u_3=9$ และ $u_6=128$ จงหาค่าของ $u_5$ | ให้ $u_4 = a.$ แล้ว $u_5 = 2u_4 + u_3 = 2a + 9$ และ $u_6 = 2u_5 + u_4 = 2(2a + 9) + a = 5a + 18 = 128.$ แก้สมการหาค่า $a,$ เราได้ $a = 22,$ ดังนั้น $u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}.$ | u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x + y) = f(x) + f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด และ $f(4) = 5.$ จงหา $f(5).$ | เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
f(4) &= f(3) + f(1) \\
&= f(2) + f(1) + f(1) \\
&= f(1) + f(1) + f(1) + f(1),
\end{align*}ดังนั้น $4f(1) = 5,$ ซึ่งหมายความว่า $f(1) =\frac{5}{4}.$ ดังนั้น,
\[f(5) = f(1) + f(4) = 5 + \frac{5}{4} = \boxed{\frac{25}{4}}.\] | f(1) =\frac{5}{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $p(x)$ สอดคล้องกับ
\[p(n) = \frac{1}{n^2}\]สำหรับ $n = 1, 2, 3,$ และ $4.$ จงหา $p(5).$ | ให้ $q(x) = x^2 p(x) - 1.$ แล้ว $q(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 5 และ $q(n) = 0$ สำหรับ $n = 1,$ 2, 3, และ 4, ดังนั้น
\[q(x) = (ax + b)(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)\]สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ บางค่า.
เราทราบว่า $q(0) = 0^2 \cdot p(0) - 1 = -1.$ แต่การตั้งค่า $x = 0$ ในสมการข้างต้น เราจะได้
\[q(0) = 24b,\]ดังนั้น $b = -\frac{... | p(x) = \frac{q(5) + 1}{25} = \boxed{-\frac{5}{12}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน จงทำให้อัตราส่วน
\[\frac{(x + a)^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x + b)^3}{(b - a)(b - c)} + \frac{(x + c)^3}{(c - a)(c - b)}.\]ให้ง่ายที่สุด | กำหนดให้
\[p(x) = \frac{(x + a)^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x + b)^3}{(b - a)(b - c)} + \frac{(x + c)^3}{(c - a)(c - b)}.\]แล้ว
\begin{align*}
p(-a) &= \frac{(-a + a)^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{(-a + b)^3}{(b - a)(b - c)} + \frac{(-a + c)^3}{(c - a)(c - b)} \\
&= \frac{(b - a)^3}{(b - a)(b - c)} + \frac{(c - a)^3}{(c -... | x. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1 = a_2 = a_3 = 1.$ สำหรับ $n > 3,$ กำหนดให้ $a_n$ เป็นจำนวนของจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[x^4 - 2a_{n - 1} x^2 + a_{n - 2} a_{n - 3} = 0.\]จงคำนวณผลรวม $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{1000}.$ | พิจารณาสมการกำลังสี่ของรูปแบบ $x^4 - 2px^2 + q = 0,$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ในรูป
\[(x^2 - p)^2 = p^2 - q.\]$\bullet$ ถ้า $p^2 - q < 0,$ จะมีรากจริง 0 ตัว
$\bullet$ ถ้า $p^2 - q = 0$ และ $p = 0$ (ดังนั้น $p = q = 0$), จะมีรากจริง 1 ตัว คือ $x = 0.$
$\bullet$ ถ้า $p^2 - ... | 2329 | [
"จำแนก",
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $n\geq 4$ ใดๆ ให้ $a_n$ แทนจำนวนฐาน-$n$ $0.\overline{133}_n$ ผลคูณ $a_4a_5 \dotsm a_{99}$ สามารถเขียนในรูป $ rac{m}{n!}$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $n$ มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ค่าของ $m$ คือเท่าใด | สังเกตว่า $n^3a_n= 133.\overline{133}_n = a_n + n^2 +
3n + 3$ ดังนั้น $a_n = \frac{n^2+3n+3}{n^3-1} =
\frac{(n+1)^3-1}{n(n^3-1)}.$ ดังนั้น \begin{align*}
a_4\cdot a_5 \cdots a_{99} &= \frac{5^3 - 1}{4(4^3-1)} \cdot \frac{6^3 - 1}{5(5^3-1)} \cdots \frac{100^3 - 1}{99(99^3-1)} \\
&= \frac{3!}{99!} \cdot \frac{100^3 ... | m=\boxed{962} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $b$ ทั้งหมดที่ทำให้ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบ $(x,y)$ ในจำนวนจริง:
\begin{align*}
\sqrt{xy} &= b^b, \\
\log_b (x^{\log_b y}) + \log_b (y^{\log_b x}) &= 4b^4.
\end{align*} | กำหนด $m = \log_b x$ และ $n = \log_b y.$ ดังนั้น $x = b^m$ และ $y = b^n.$ แทนค่าลงในสมการแรก เราจะได้
\[\sqrt{b^m \cdot b^n} = b^b,\]ดังนั้น $b^{m + n} = b^{2b},$ ซึ่งหมายถึง $m + n = 2b.$
สมการที่สองจะกลายเป็น
\[\log_b (b^{mn}) + \log_b (b^{mn}) = 4b^4,\]ดังนั้น $2mn = 4b^4,$ หรือ $mn = 2b^4.$
จากอสมการสามเหลี่ยม ... | \boxed{\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบจริงทั้งหมดของสมการ \[\sqrt{x} + \sqrt{\frac{4}{x}} + \sqrt{x + \frac{4}{x}} = 6.\] | เราต้องการยกกำลังสองสมการเพื่อกำจัดรากที่สอง ในการทำเช่นนั้น เราจะย้ายพจน์ $\sqrt{x+\frac4x}$ ไปทางขวามือ ก่อน ซึ่งจะได้ \[\sqrt{x} + \sqrt{\frac{4}{x}} = 6 - \sqrt{x+\frac{4}{x}}.\]ตอนนี้เราเห็นว่าการยกกำลังสองจะทำให้เกิดพจน์ร่วมกันมากมายที่ด้านซ้ายและขวา ซึ่งจะถูกยกเลิก: \[\begin{aligned} \\ \left(\sqrt{x} + \sqrt{\... | 64/9 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x) + 2f(1 - x) = 3x^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหา $f(3).$ | แทน $x = 3$ จะได้
\[f(3) + 2f(-2) = 27.\]แทน $x = -2$ จะได้
\[f(-2) + 2f(3) = 12.\]แก้สมการนี้เป็นระบบสมการใน $f(3)$ และ $f(-2)$ จะได้ $f(3) = \boxed{-1}$ และ $f(-2) = 14.$ | f(-2) = 14. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A = (-3, 0),$ $B=(-2,1),$ $C=(2,1),$ และ $D=(3,0).$ สมมติว่าจุด $P$ สอดคล้องกับ \[PA + PD = PB + PC = 8.\]แล้วพิกัด $y$ ของ $P,$ เมื่อทำให้ง่ายที่สุด, สามารถแสดงในรูป $\frac{-a + b \sqrt{c}}{d},$ โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก. จงหา $a + b + c + d.$ | เนื่องจาก $PA + PD = 8,$ จุด $P$ ต้องอยู่บนวงรีที่มีจุดโฟกัสที่ $A$ และ $D,$ และแกนเอกมีขนาด 8. เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $3 - (-3) = 6,$ แกนรองมีขนาด $\sqrt{8^2 - 6^2} = 2\sqrt{7}.$ ดังนั้นเซมิ-แกนมีขนาด 4 และ $\sqrt{7},$ ตามลำดับ, และจุดศูนย์กลางของวงรีคือ $(0,0),$ ดังนั้นสมการของวงรีนี้คือ \[\frac{x^2}{16}... | 7 + 2 + 21 + 5 = \boxed{35}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x) = |g(x^3)|$ ถ้า $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคู่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?
ใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งสองอย่าง" | $$f(-x) = |g((-x)^3)| = |g(-x^3)|$$เนื่องจาก $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $g(-x) = -g(x)$ ดังนั้น,
$$f(-x) = |-g(x^3)| = |g(x^3)| = f(x).$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง หนึ่งในรากของสมการ
\[x^3 + ax^2 - x + b = 0\]คือ $1 - 2i.$ จงหาคู่ลำดับ $(a,b).$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากคือสังยุคของ $1 - 2i$ นั่นคือ $1 + 2i.$ ให้ $r$ เป็นรากที่สาม แล้วพหุนามคือ
\[(x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i)(x - r) = x^3 - (r + 2)x^2 + (2r + 5)x - 5r.\]ดังนั้น $2r + 5 = -1$ ดังนั้น $r = -3.$ ดังนั้น $a = -(r + 2) = 1$ และ $b = -5r = 15$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(1,15... | (a,b) = \boxed{(1,15)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 1\] มีเส้นกำกับ $y = \pm mx,$ โดยที่ $m$ เป็นค่าบวก จงหา $m.$ | เพื่อหาสมการของเส้นกำกับ เราแทนที่ $1$ ทางด้านขวามือด้วย $0$ ซึ่งจะได้สมการ \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 0.\] (สังเกตว่าไม่มีจุด $(x, y)$ ใดที่สอดคล้องกับสมการนี้และสมการที่กำหนด ดังนั้นตามที่คาดไว้ ไฮเปอร์โบลาจะไม่ตัดกับเส้นกำกับของมัน) สมการนี้เทียบเท่ากับ $\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{4},$ หรือ $\frac{y}{3} = \pm \... | y | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x) y\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(3)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(3)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนดให้ $y = \frac{x^2 - f(x)}{2}.$ แล้ว
\[f \left( f(x) + \frac{x^2 - f(x)}{2} \right) = f \left( x^2 - \frac{x^2 - f(x)}{2} \right) + 4f(x) \cdot \frac{x^2 - f(x)}{2}.\]เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้
\[f \left( \frac{x^2 + f(x)}{2} \right) = f \left( \frac{x^2 + f(x)}{2} \right) + 2f(x) (x^2 - f(x)),\]ดังนั้น $f(x) (x^2... | n \times s = \boxed{18}. | [
"unknown"
] |
จงหาผลคูณของรากของสมการ \[(2x^3 + x^2 - 8x + 20)(5x^3 - 25x^2 + 19) = 0.\] | เมื่อคูณพหุนามทางซ้ายมือออก จะได้พหุนามดีกรี 6 ตามสูตรของเวียตา ผลคูณของรากถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของ $x^6$ และพจน์คงตัว สัมประสิทธิ์ของ $x^6$ คือ $2 \cdot 5 = 10$ และพจน์คงตัวคือ $20 \cdot 19 = 380$ ดังนั้น ผลคูณของรากคือ $\tfrac{380}{10} = \boxed{38}.$ | \tfrac{380}{10} = \boxed{38}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz}.\] | โดย AM-GM,
\[x^2 + 1 \ge 2x,\]ดังนั้น
\[\frac{x^2 + 3x + 1}{x} \ge \frac{5x}{x} = 5.\]ทำนองเดียวกัน,
\[\frac{y^2 + 3y + 1}{y} \ge 5\]และ
\[\frac{z^2 + 3z + 1}{z} \ge 5,\]ดังนั้น
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz} \ge 125.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{125}.$ | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $|z| = 2$ จงหาระยะห่างที่มากที่สุดระหว่าง $(3 + 4i)z^3$ และ $z^5$ เมื่อพล็อตในระนาบเชิงซ้อน | เราต้องการเพิ่มค่าสูงสุดของ
\[|(3 + 4i)z^3 - z^5| = |z^3| |3 + 4i - z^2| = |z|^3 |3 + 4i - z^2| = 8 |3 + 4i - z^2|.\]换句话说，我们希望最大化 $3 + 4i$ 和 $z^2$ 之间的距离。
เนื่องจาก $|z| = 2,$ เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีรูปแบบ $z^2$ จะอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $|z|^2 = 4.$ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ จะมากที่สุดเมื่อ $z^2$ อยู่บนเส้นตร... | 8 \cdot 9 = \boxed{72}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^2-3x$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(f(x)) = f(x)$ แสดงคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | การขยาย $f(f(x)) = f(x)$ จะได้ $$(x^2-3x)^2-3(x^2-3x)=x^2-3x.$$แทนที่จะขยาย เราสามารถลบ $x^2-3x$ จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $$(x^2-3x)^2-4(x^2-3x)=0.$$การแยกตัวประกอบ $x^2-3x$ จะได้ $(x^2-3x)(x^2-3x-4)=0$. การแยกตัวประกอบแต่ละกำลังสอง เราจะได้ $$x(x-3)(x+1)(x-4)=0.$$ดังนั้น ค่าของ $x$ คือ $\boxed{0, 3, -1, 4}$. | \boxed{0, 3, -1, 4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ $x^3 - 7x^2 + 5x + 2 = 0.$ จงหาค่าของ
\[\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1}.\] | จากสูตรของ Vieta's, $a + b + c = 7,$ $ab + ac + bc = 5,$ และ $abc = -2.$
เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} = \frac{a^2}{abc + a} + \frac{b^2}{abc + b} + \frac{c^2}{abc + c}.\]เนื่องจาก $abc = -2,$ ดังนั้นจะได้
\[\frac{a^2}{a - 2} + \frac{b^2}{b - 2} + \frac{c^2}{c - 2}.\]จาก... | \frac{x^2}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}, | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดวงกลม $C_1$ และ $C_2$ โดยสมการ $x^2 + y^2 = 1$ และ $(x - 2)^2 + y^2 = 16$ ตามลำดับ จงหาสถานที่ของจุดศูนย์กลาง $(a,b)$ ของวงกลมทั้งหมดที่สัมผัสภายนอกกับ $C_1$ และสัมผัสภายในกับ $C_2$ แสดงคำตอบของคุณในรูป
\[Pa^2 + Qb^2 + Ra + Sb + T = 0,\]โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม $P$ เป็นบวก และ $\gcd(|P|,|Q|,|R|,|S|,... | ให้ $(a,b)$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับ $C_1$ และ $C_2$ และให้ $r$ เป็นรัศมี
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, O, P, Q;
O = (0,0);
P = (2,0);
Q = (1,sqrt(21)/2);
A = intersectionpoint(O--Q,Circle(Q,1.5));
B = intersectionpoint(Q--interp(P,Q,2),Circle(Q,1.5));
draw(Circle(O,1));
draw(Circle(P,4));
draw(Circl... | \boxed{84a^2 + 100b^2 - 168a - 441 = 0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\mathcal P$ เป็นพาราโบลา และให้ $V_1$ และ $F_1$ เป็นจุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลาตามลำดับ ให้ $A$ และ $B$ เป็นจุดบน $\mathcal P$ โดยที่ $\angle AV_1 B = 90^\circ$ ให้ $\mathcal Q$ เป็นสถานที่ของจุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ ปรากฏว่า $\mathcal Q$ เป็นพาราโบลาเช่นกัน และให้ $V_2$ และ $F_2$ แทนจุดยอดและจุดโฟก... | เนื่องจากพาราโบลาทั้งหมดคล้ายกัน เราจึงสมมติได้ว่า $\mathcal P$ เป็นเส้นโค้ง $y = x^2$ ดังนั้น $V_1 = (0,0).$ จากนั้น ถ้า $A = (a, a^2)$ และ $B = (b, b^2)$ ความชันของเส้น $AV_1$ คือ $a$ และความชันของเส้น $BV_1$ คือ $b$ เนื่องจาก $\angle AV_1 B = 90^\circ,$ $ab = -1$. จากนั้น จุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ คือ \[
\lef... | \frac{F_1F_2}{V_1V_2} = \boxed{\frac78} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หนึ่งในรากของ $z^2 = -55 + 48i$ คือ $3 + 8i.$ รากอีกตัวคืออะไร? | รากอีกตัวเป็นเพียงค่าลบของ $3 + 8i$ ซึ่งก็คือ $\boxed{-3 - 8i}.$ | \boxed{-3 - 8i}. | [
"วิเคราะห์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $6x^4-14x^3-4x^2+2x-26$ หารด้วย $2x - 6.$ | เนื่องจาก $2x - 6 = 2(x - 3)$ ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ เราสามารถหาเศษเหลือได้โดยการแทน $x = 3$ ดังนั้น เศษเหลือคือ
\[6 \cdot 3^4 - 14 \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 - 26 = \boxed{52}.\] | 52 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x}\]สำหรับ $0 \le x \le 13.$ | โดย Cauchy-Schwarz นำไปใช้กับ $ \left( 1,\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right) $ และ $ (\sqrt{x+27},\sqrt{13-x},\sqrt{x}) $,
\[\left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) ((x + 27) + 3(13 - x) + 2x) \ge (\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x})^2.\]ดังนั้น,
\[(\sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x})^2 \le 121,\]ดังนั้น $\... | \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x|x|.$ จงหา $f^{-1}(4) + f^{-1}(-100).$ | เราสามารถเขียน $f(x)$ ได้ดังนี้:
\[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x^2 & \text{ถ้า $x > 0$}, \\
0 & \text{ถ้า $x = 0$}, \\
-x^2 & \text{ถ้า $x < 0$}.
\end{array}
\right.\]ดังนั้น $f^{-1}(4) + f^{-1}(-100) = 2 + (-10) = \boxed{-8}.$ | f^{-1}(4) + f^{-1}(-100) = 2 + (-10) = \boxed{-8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\binom{100}{0} - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \dots + \binom{100}{100}.\] | จากทฤษฎีบททวินาม
\[(x + y)^{100} = \binom{100}{0} x^{100} + \binom{100}{1} x^{99} y + \binom{100}{2} x^{98} y^2 + \dots + \binom{100}{100} y^{100}.\]แทนค่า $x = 1$ และ $y = -1$ เราได้
\[\binom{100}{0} - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \dots + \binom{100}{100} = \boxed{0}.\] | 0 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาเซตของจำนวนจริงที่ทำให้ฟังก์ชัน $g(x) = \frac{x^3-2x^2+4x+3}{x^2-4x+3}$ มีค่านิยาม. เขียนคำตอบในรูปของการรวมช่วงของจำนวนจริง | กำหนดให้ $p(x) = x^2-4x+3$. จำนวน $c$ จะไม่อยู่ในเซตของจำนวนจริงที่ทำให้ฟังก์ชัน $g$ มีค่านิยาม ก็ต่อเมื่อ $p(c) = 0$. ดังนั้นเราได้
$$c^2-4c+3=0.$$การแยกตัวประกอบจะได้
$$(c-3)(c-1) = 0.$$การแก้สมการหา $c$ จะได้ $1$ และ $3$. ดังนั้น เซตของจำนวนจริงที่ทำให้ฟังก์ชัน $g$ มีค่านิยามคือ $\boxed{(-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup... | \boxed{(-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.