question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
กำหนดให้
\[z = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}.\]จงคำนวณ $z^6.$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
z^2 &= \left( \frac{-\sqrt{3} + i}{2} \right)^2 \\
&= \frac{3 - 2i \sqrt{3} + i^2}{4} = \frac{3 - 2i \sqrt{3} - 1}{4} \\
&= \frac{2 - 2i \sqrt{3}}{4} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}.
\end{align*}จากนั้น
\begin{align*}
z^3 &= z \cdot z^2 \\
&= \frac{-\sqrt{3} + i}{2} \cdot \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \\... | z^6 = i^2 = \boxed{-1}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $|(4\sqrt{2}-4i)(\sqrt{3}+3i)|$ | เราทราบว่า $|(4\sqrt{2}-4i)(\sqrt{3}+3i)| = |4\sqrt{2}-4i||\sqrt{3}+3i|.$ การคำนวณขนาดจะได้ $\sqrt{32+16} \cdot \sqrt{3+9} = \sqrt{48} \cdot \sqrt{12} = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \boxed{24}$ | 24 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x > 1$ จงคำนวณ
\[\sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{x^{2^n} - x^{-2^n}}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{1}{x^{2^n} - x^{-2^n}} = \frac{x^{2^n}}{x^{2^{n + 1}} - 1}.\]กำหนดให้ $y = x^{2^n}.$ ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{x^{2^n}}{x^{2^{n + 1}} - 1} &= \frac{y}{y^2 - 1} \\
&= \frac{(y + 1) - 1}{y^2 - 1} \\
&= \frac{y + 1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y^2 - 1} \\
&= \frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y^2 - 1} \\
... | y = x^{2^n}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[a = \frac{b + c}{x - 2}, \quad b = \frac{a + c}{y - 2}, \quad c = \frac{a + b}{z - 2},\]และ $xy + xz + yz = 5$ และ $x + y + z = 3,$ จงหา $xyz.$ | เราได้ว่า
\[x - 2 = \frac{b + c}{a}, \quad y - 2 = \frac{a + c}{b}, \quad z - 2 = \frac{a + b}{c},\]ดังนั้น
\[x - 1 = \frac{a + b + c}{a}, \quad y - 1 = \frac{a + b + c}{b}, \quad z - 1 = \frac{a + b + c}{c}.\]แล้ว
\[\frac{1}{x - 1} = \frac{a}{a + b + c}, \quad \frac{1}{y - 1} = \frac{b}{a + b + c}, \quad \frac{1}{z - ... | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $x^3 - 9x^2 + 8x +2 = 0$ มีรากจริงสามราก คือ $p$, $q$, $r$ จงหาค่าของ $\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2}$ | จากความสัมพันธ์ของ Vieta's เราได้ว่า $p+q+r = 9$, $pq+qr+pr = 8$ และ $pqr = -2$ ดังนั้น \begin{align*}
\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2} = \frac{(pq + qr + rp)^2 - 2 (p + q + r)(pqr)}{(pqr)^2} = \frac{8^2 - 2 \cdot 9 \cdot (-2)}{(-2)^2} = \boxed{25}.
\end{align*} | 25 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $a_3$ เป็นสามพจน์แรกของลำดับเรขาคณิต ถ้า $a_1 = 1$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $4a_2 + 5a_3$ | กำหนดให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม แล้ว $a_2 = r$ และ $a_3 = r^2$ ดังนั้น
\[4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2 = 5 \left( r + \frac{2}{5} \right)^2 - \frac{4}{5}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{-\frac{4}{5}}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $r = -\frac{2}{5}.$ | r = -\frac{2}{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[z^2 + |z|^2 = 3 - 5i.\]จงหา $|z|^2.$ | กำหนดให้ $z = a + bi,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2$ และ $|z|^2 = a^2 + b^2,$ ดังนั้น
\[a^2 + 2abi - b^2 + a^2 + b^2 = 3 - 5i.\]เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราได้
\begin{align*}
2a^2 &= 3, \\
2ab &= -5.
\end{align*}จากสมการแรก $a^2 = \frac{3}{2}.$ จากสมการที่สอง,
\... | a^2 = \frac{3}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
\[x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1 + 4 + 9)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) \ge (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 = 60^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \ge \frac{3600}{14} = \frac{1800}{7}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x_1 = \frac{x_2}{2} = \frac{x_3}{3}$ และ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ เราสามารถแก้สมการได้ $x_1 = \frac{30}{7},$ $x_2 = \frac{60}{7},$... | \boxed{\frac{1800}{7}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่า $c$ กี่ค่าในช่วง $[0, 1000]$ สมการ \[7 \lfloor x \rfloor + 2 \lceil x \rceil = c\]มีคำตอบสำหรับ $x$? | เราพยายามแก้สมการสำหรับค่าทั่วไปของ $c.$ ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $\lfloor x\rfloor = \lceil x \rceil = x,$ ดังนั้นเราได้สมการ \[ 7x + 2x = c,\]ดังนั้น $x = \frac{c}{9}.$ เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็มในกรณีนี้ คำตอบนี้ मान्य ถ้าหาก $c$ เป็นพหุคูณของ $9.$
ถ้า $x$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $\lceil x \rceil = \lfloor x\rfloo... | c. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ
\[x^5 - x^2 - x - 1 = p_1(x) p_2(x) \dotsm p_k(x),\]โดยที่ $p_i(x)$ เป็นพหุนามไม่คงตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีดีกรีเป็น 1 ซึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกในจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $p_1(2) + p_2(2) + \dots + p_k(2).$ | เราสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการจับคู่ $x^5$ และ $-x,$ และ $-x^2$ และ $-1$:
\begin{align*}
x^5 - x^2 - x - 1 &= (x^5 - x) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^4 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^2 + 1)(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= (x^2 + 1)(x^3 - x - 1).
\end{align*}ถ้า $x^3 - x - 1$ แยกตัวประกอบได้อีก ก็ต้องมีตัวประกอบเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าม... | (2^2 + 1) + (2^3 - 2 - 1) = \boxed{10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[z = \frac{(-11 + 13i)^3 \cdot (24 - 7i)^4}{3 + 4i},\]และให้ $w = \frac{\overline{z}}{z}.$ จงคำนวณ $|w|.$ | เนื่องจาก $|\overline{z}| = |z|$ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ใดๆ,
\[|w| = \left| \frac{\overline{z}}{z} \right| = \frac{|\overline{z}|}{|z|} = \boxed{1}.\] | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ที่ค่าใดของ $a$ กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียว? | กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียวเมื่อสมการ
$$ax^2+3x+1=-x-1$$มีคำตอบเดียว สมการนี้จะลดรูปเป็น $ax^2+4x+2=0$ ซึ่งมีคำตอบเดียวเมื่อค่าพจน์ discriminant เท่ากับ 0, กล่าวคือ,
$$4^2-4(a)(2)=0.$$แก้สมการหา $a$ จะได้ $a=\boxed{2}$. | a=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของวงรีที่กำหนดโดย $x^2 + 6x + 4y^2 - 8y + 9 = 0.$ | ทำให้สมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[(x + 3)^2 + 4(y - 1)^2 = 4.\]ดังนั้น
\[\frac{(x + 3)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{1} = 1,\]แกนกึ่งเอกมีค่า 2, แกนกึ่งโทมีค่า 1 และพื้นที่มีค่า $\boxed{2 \pi}.$ | \boxed{2 \pi}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แยกตัวประกอบ $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 5x - 6)$ เป็นผลคูณของพหุนามสองตัวที่ไม่ใช่ค่าคงตัว | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ และ $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).$ แล้วพหุนามที่กำหนดคือ
\begin{align*}
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + (x^2 + 5x - 6) &= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + (x^2 + 5x - 6) \\
&= (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 5x - 6).
\end{align*}ให้ $y = x^2 + 5x.$ แล้ว
\begin... | y = x^2 + 5x. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คอลเลกชันของบัตรที่ถูกจัดลำดับหมายเลข มีบัตรหนึ่งใบที่มีหมายเลข 1, บัตรสองใบที่มีหมายเลข 2 และอื่นๆ ไปจนถึง $n$ ใบที่มีหมายเลข $n$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จงหา $n$ ถ้าค่าเฉลี่ยของบัตรในคอลเลกชันนี้คือ 2017 | จำนวนของบัตรคือ $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ และผลรวมของค่าของบัตรทั้งหมดคือ
\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.\]ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของบัตรคือ
\[\frac{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}{\frac{n(n + 1)}{2}} = \frac{2n + 1}{3}.\]กำหนดให้ค่านี้เท่ากับ 2017 และแก้สมการ เราจะได้ $n = \boxed... | n = \boxed{3025}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม สมมติว่า $f(1)=0$, $50<f(7)<60$, $70<f(8)<80$, $5000k<f(100)<5000(k+1)$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ כלשהשהו จงหาค่าของ $k$ | จาก $f(1) = 0,$ $a + b + c = 0,$ ดังนั้น $c = -a - b.$ แล้ว
\[f(7) = 49a + 7b + c = 48a + 6b = 6(8a + b),\]ดังนั้นจาก $50 < f(7) < 60,$
\[50 < 6(8a + b) < 60.\]ผลคูณของ 6 ที่อยู่ในช่วงนี้คือ 54 ซึ่งนำไปสู่ $8a + b = 9.$
นอกจากนี้,
\[f(8) = 64a + 8b + c = 63a + 7b = 7(9a + b),\]ดังนั้นจาก $70 < f(8) < 80,$
\[70 < 7(9a... | k = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $x = -\frac{1}{12} y^2.$ | ความทรงจำว่าพาราโบลาถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน
เนื่องจากพาราโบลา $x = -\frac{1}{12} y^2$ สมมาตรรอบแกน $x$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(f,0).$ ให้ $x = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (-1/4,0);
P = (-1,1);
Q = (-1/4,1);
real... | \boxed{(-3,0)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(x + f(y)) = x + y\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | กำหนด $x = -f(y),$ เราได้
\[f(0) = -f(y) + y,\]ดังนั้น $f(y) = y - f(0)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จากนั้นสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดจะกลายเป็น
\[f(x + y - f(0)) = x + y,\]หรือ $x + y - f(0) - f(0) = x + y$ ดังนั้น $f(0) = 0$ ดังนั้น $f(x) = x$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลคูณของรากของสมการ \[x^3 - 12x^2 + 48x + 28 = 0.\] | โดยสูตรของ Vieta ผลคูณของรากเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของพจน์คงที่หารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุด ($x^3$) ดังนั้น คำตอบคือ \[\frac{-28}{1} = \boxed{-28}.\] | -28 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ โดยที่ $x$ ไม่เท่ากับศูนย์ และจำนวน $\{x\},$ $\lfloor x \rfloor,$ และ $x$ เป็นลำดับเลขคณิตในลำดับนั้น (เราให้ $\{x\} = x - \lfloor x\rfloor.$) | เราต้องมี \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = x - \lfloor x \rfloor,\]หรืออย่างง่ายคือด้านขวา \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = \{x\}.\]ดังนั้น \[\lfloor x \rfloor = 2\{x\}.\]เนื่องจากด้านซ้ายเป็นจำนวนเต็ม $2\{x\}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราทราบว่า $0 \le \{x\} < 1$ ดังนั้น $\{x\} = 0$ หรือ $\{x\} = \tfrac12$ ถ้า $\{x\} = 0$ แล้ว $\l... | x = 1 + \tfrac12 = \boxed{\tfrac32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามดีกรีสามที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 และ $r$ เป็นจำนวนจริง สองรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกตัว จงหาค่า $r$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ,
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางจำนวน
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทุกตัว
แทน $x = r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x = r + 9$ เราได... | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และกำหนด
\[x = \frac{b}{c} + \frac{c}{b}, \quad y = \frac{a}{c} + \frac{c}{a}, \quad z = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}.\] จงทำให้ $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ง่ายขึ้น | แทนค่าและขยาย, เราได้
\begin{align*}
x^2 + y^2 + z^2 - xyz &= \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right)^2 + \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right)^2 + \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^2 - \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right) \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{(a - b)(c - d)}{(b - c)(d - a)} = \frac{2}{5}.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)}.\] | จากสมการที่กำหนดให้ $5(a - b)(c - d) = 2(b - c)(d - a),$ ซึ่งขยายเป็น
\[5ac - 5ad - 5bc + 5bd = 2bd - 2ab - 2cd + 2ac.\]สมการนี้สามารถลดรูปเป็น $2ab + 3ac + 3bd + 2cd = 5ad + 5bc,$ ดังนั้น
\[ad + bc = \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}.\]จากนั้น
\begin{align*}
\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)} &= \frac{ab - ad - bc + ... | 2ab + 3ac + 3bd + 2cd = 5ad + 5bc, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x) = x^2 + bx + c,$ โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้า $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ จงหาค่าของ $p(1)$ | เนื่องจาก $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ ดังนั้น $p(x)$ ต้องเป็นตัวประกอบของ
\[3(x^4 + 6x^2 + 25) - (3x^4 + 4x^2 + 28x + 5) = 14x^2 - 28x + 70 = 14(x^2 - 2x + 5).\]ดังนั้น $p(x) = x^2 - 2x + 5,$ และ $p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}.$ | p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากของสมการ \[x\sqrt{x} - 6x + 7\sqrt{x} - 1 = 0,\]กำหนดว่ารากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ | สมการที่กำหนดให้ไม่ใช่สมการพหุนาม ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้สูตรของ Vieta ได้โดยตรง เพื่อสร้างสมการพหุนามที่เกี่ยวข้อง เราแทน $y = \sqrt{x},$ หรือ $x = y^2,$ ให้ \[y^3 - 6y^2 + 7y - 1 = 0.\]สำหรับค่าของ $y$ แต่ละค่าที่สอดคล้องกับสมการนี้ ค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการเดิมคือ $x = y^2.$ ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของกำลังส... | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ \[\frac{x^2}{x+1} \ge \frac{2}{x-1} + \frac{5}{4}.\] | นำพจน์ทางขวามือมารวมกัน เราจะได้ \[\frac{x^2}{x+1} \ge \frac{5x+3}{4(x-1)}.\]จากนั้นย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือและรวมตัวส่วนอีกครั้ง เราจะได้ \[\begin{aligned} \frac{x^2}{x+1} - \frac{5x+3}{4(x-1)} &\ge 0 \\ \frac{4x^2(x-1)-(x+1)(5x+3)}{(x+1)(x-1)} &\ge 0 \\ \frac{4x^3-9x^2-8x-3}{(x+1)(x-1)} &\ge 0. \end{aligned}\]เราพ... | x ∈ (-1, 1) ∪ [3, ∞) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นรากของ $3x^3 - 3x^2 + 11x - 8 = 0.$ จงหา $ab + ac + bc.$ | โดยสูตรของ Vieta's, $ab + ac + bc = \boxed{\frac{11}{3}}.$ | ab + ac + bc = \boxed{\frac{11}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $a + b + c = 11$ และ $ab + ac + bc = 25,$ จงหาค่าของ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.\] | เรามีการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\] squaring the equation $a + b + c = 11,$ เราได้
\[a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 121.\]แล้ว $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 121 - 3(ab + ac + bc) = 121 - 75 = 46,$ ดังนั้น
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 11 \cdot 46 = \boxed... | 46 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{3}{2x^{6}-5}$ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
กรอก "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่" | $$f(-x) = \frac{3}{2(-x)^{6}-5} = \frac{3}{2x^{6}-5} = f(x)$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}.$ | \boxed{\text{คู่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ต่อไปนี้: $1 - 4 + 7 - 10 + 13 - \cdots - 46 + 49 - 52 + 55$ | จับคู่พจน์ละสองพจน์ เริ่มตั้งแต่พจน์แรก เราจะเห็นว่าผลบวกของแต่ละคู่คือ $-3$ มี $(49+5)/6=9$ คู่ ดังนั้นผลบวกของทุกคู่คือ $-3\cdot9=-27$ นำผลบวกนั้นมาบวกกับพจน์สุดท้ายของอนุกรม ผลรวมของอนุกรมทั้งหมดคือ $-27+55=\boxed{28}$ | -27+55=\boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^5 - x^4 + x^3 - px^2 + qx + 4$ หารด้วย $(x + 2)(x - 1)$ ลงตัว จงหาคู่อันดับ $(p,q)$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ พหุนามจะเท่ากับ 0 เมื่อ $x = -2$ และ $x = 1$ ดังนั้น
\begin{align*}
(-2)^5 - (-2)^4 + (-2)^3 - p(-2)^2 + q(-2) + 4 &= 0, \\
1 - 1 + 1 - p + q + 4 &= 0.
\end{align*}แล้ว $-4p - 2q = 52$ และ $-p + q = -5$ แก้สมการจะได้ $(p,q) = \boxed{(-7,-12)}.$ | (p,q) = \boxed{(-7,-12)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อพหุนาม $p(x)$ หารด้วย $x + 1$ แล้วเหลือเศษ 5 เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $x + 5$ แล้วเหลือเศษ $-7$ จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x + 1)(x + 5)$ | เศษที่เหลือเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x + 1)(x + 5)$ อยู่ในรูป $ax + b$ ดังนั้นเราสามารถสมมติได้ว่า
\[p(x) = (x + 1)(x + 5) q(x) + ax + b,\]โดยที่ $q(x)$ คือ thươngใน phépหาร
โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ $p(-1) = 5$ และ $p(-5) = -7$ แทน $x = -1$ และ $x = -5$ ในสมการข้างต้น เราจะได้
\begin{align*}
-a + b &= 5, \\
-5a + b &= -7.
\en... | \boxed{3x + 8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $|r| < 2,$ และกำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[z + \frac{1}{z} = r.\]จงหา $|z|.$ | จากสมการ $z + \frac{1}{z} = r,$ จะได้ $z^2 + 1 = rz,$ ดังนั้น
\[z^2 - rz + 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง,
\[z = \frac{r \pm \sqrt{r^2 - 4}}{2} = \frac{r \pm i \sqrt{4 - r^2}}{2}.\]ดังนั้น
\[|z| = \sqrt{\left( \frac{r}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{4 - r^2}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{4 - r^2}{4}} = \boxe... | z^2 + 1 = rz, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z,$ $v,$ $w$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 + z^2 + v^2 + w^2 = 2016.$ ให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของ
\[xz + 2yz + 3zv + 7zw,\]และให้ $x_M,$ $y_M$, $z_M,$ $v_M,$ $w_M$ เป็นค่าของ $x,$ $y,$ $z,$ $v,$ $w,$ ตามลำดับ ที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดของ $M.$ จงหา $M + x_M + y_M + z_M + v_M + w_M.$ | สังเกตว่า $xz + 2yz + 3zv + 7zw = z(x + 2y + 3v + 7w).$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
x + 2y + 3v + 7w &\le \sqrt{(1 + 4 + 9 + 49)(x^2 + y^2 + v^2 + w^2)} \\
&= \sqrt{63 (x^2 + y^2 + v^2 + w^2)} \\
&= 3 \sqrt{7(2016 - z^2)},
\end{align*}ดังนั้น $z(x + 2y + 3v + 7w) \le 3z \sqrt{7(2016 - z^2)} = 3 \sqrt{7z^2... | w = 28. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 5 ข้อ:
$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
$a^2 > b^2$
$a < b$
$a < 0$
$b < 0$
ข้อความสูงสุดที่เป็นจริงสำหรับค่าของ $a$ และ $b$ ใดๆ มีได้กี่ข้อ? | สมมติว่า $a < 0,$ $b < 0,$ และ $a < b.$ แล้ว
\[\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} > 0,\]ดังนั้น $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}.$ ดังนั้น ไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งหมด 5 ข้อ
ถ้าเราให้ $a = -2$ และ $b = -1,$ ข้อความทั้งหมดจะเป็นจริงยกเว้นข้อความแรก ดังนั้นจำนวนสูงสุดของข้อความที่เป็นจริงคือ $\boxed{4}.$ | \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $b,c$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งรากของพหุนาม $x^2-x-1$ เป็นรากของพหุนาม $x^5-bx-c$ ด้วย จงหาผลคูณ $bc$ | กำหนดให้ $r$ เป็นรากของ $x^2-x-1$ ดังนั้น เมื่อจัดรูปใหม่ จะได้
$$r^2 = r+1.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $r$ และแทนค่า จะได้
\begin{align*}
r^3 &= r^2+r \\
&= (r+1)+r \\
&= 2r+1.
\end{align*}ทำซ้ำกระบวนการนี้สองครั้ง จะได้
\begin{align*}
r^4 &= r(2r+1) \\
&= 2r^2+r \\
&= 2(r+1)+r \\
&= 3r+2
\end{align*}และ
\begin{align*}
r^5 &... | bc = 5\cdot 3 = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเลขคณิตสามพจน์ โดยที่ทุกพจน์เป็นบวก และ $abc = 64$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $b$ | โดย AM-GM,
\[\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{64} = 4.\]เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเลขคณิต $\frac{a + b + c}{3} = b,$ ดังนั้น $b \ge 4.$
สมการเป็นจริงเมื่อ $a = b = c = 4$ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดของ $b$ คือ $\boxed{4}.$ | \boxed{4}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[x^2 + 4x + 4x \sqrt{x + 3} = 13.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดได้เป็น
\[x^2 + 4x \sqrt{x + 3} + 4(x + 3) = 25.\]ดังนั้น
\[(x + 2 \sqrt{x + 3})^2 = 25,\]ดังนั้น $x + 2 \sqrt{x + 3} = \pm 5.$ จากนั้น
\[-x \pm 5 = 2 \sqrt{x + 3}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้ $x^2 \pm 10x + 25 = 4x + 12.$
ในกรณี $+$, เราจะได้
\[x^2 + 6x + 13 = 0,\]ซึ่งไม่มีคำตอบจริง
ใ... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวก $a$, $b$, และ $c$ ถูกเลือกมาโดยที่ $a<b<c$ และระบบสมการ \[
2x + y = 2003\quad\text{and}\quad y = |x-a| + |x-b| + |x-c|
\]มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว จงหาค่าต่ำสุดของ $c$ | เนื่องจากระบบสมการมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว กราฟของสมการทั้งสองต้องตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น ถ้า $x<a$ สมการ $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ เทียบเท่ากับ $y =-3x + (a+b+c)$ โดยการคำนวณที่คล้ายกัน เราได้
\[
y =
\begin{cases}
-3x + (a+b+c), &\text{if }x<a\\
-x + (-a+b+c), &\text{if }a\le x<b\\
x + (-a-b+c), &\text{if }b\le x<... | \boxed{1002} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[
2 < \frac{x - y}{x + y} < 5.
\]ถ้า $\frac{x}{y}$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของมัน | กำหนดให้ $\frac{x}{y} = t$ แล้ว $x = ty$ ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า \[\frac{x-y}{x+y} = \frac{ty-y}{ty+y} = \frac{t-1}{t+1}.\]ดังนั้นเราได้ \[2 < \frac{t-1}{t+1} < 5,\]ซึ่งเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: \[\begin{aligned} 2 < 1 &- \frac{2}{t+1} < 5 \\ 1 <&-\frac{2}{t+1} < 4 \\ -\frac{1}{2} > &\frac{1}{t+1} > -2. \end{ali... | \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $ a$, $ b$, $ c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $ a+b+c=0$ และ $ a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ จงหาค่าของ $ a^2+b^2+c^2$ | จากการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc),\]เราทราบว่า $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$
เนื่องจาก $a + b + c = 0,$ $c = -a - b,$ ดังนั้น
\begin{align*}
a^5 + b^5 + c^5 &= a^5 + b^5 - (a + b)^5 \\
&= -5a^4 b - 10a^3 b^2 - 10a^2 b^3 - 5ab^4 \\
&= -5ab(a^3 + 2a^2 b + 2ab^2 + b^3)... | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[\frac{(a - b)(c - d)}{(b - c)(d - a)} = \frac{2}{5}.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)}.\] | จากสมการที่กำหนดให้ $5(a - b)(c - d) = 2(b - c)(d - a),$ ซึ่งจะขยายเป็น
\[5ac - 5ad - 5bc + 5bd = 2bd - 2ab - 2cd + 2ac.\]สมการนี้จะ सरpcap เป็น $2ab + 3ac + 3bd + 2cd = 5ad + 5bc,$ ดังนั้น
\[ad + bc = \frac{2ab + 3ac + 3bd + 2cd}{5}.\]จากนั้น
\begin{align*}
\frac{(a - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)} &= \frac{ab - ad - bc +... | 2ab + 3ac + 3bd + 2cd = 5ad + 5bc, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x > 0$ ในลำดับเลขคณิตต่อไปนี้: $1^2, x^2, 3^2, \ldots$. | พจน์ $x^2$ คือค่าเฉลี่ยของ $1^2 = 1$ และ $3^2 = 9$ ดังนั้น $x^2 = (1 + 9)/2 = 5$ เนื่องจาก $x > 0$ ดังนั้น $x = \boxed{\sqrt{5}}$ | x = \boxed{\sqrt{5}} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ว่า สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ ในโดเมนของมัน $1/x$ ก็อยู่ในโดเมนของมันเช่นกัน และ \[
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = x.
\]เซตของจำนวนจริงที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในโดเมนของ $f$ คือเซตใด?
(a) ${\{x\mid x\ne0\}}$
(b) ${\{x\mid x<0\}}$
(c) ${\{x\mid x>0\}}$
(d) ${\{x\mid x\ne-1\ \text{and... | เงื่อนไขของ $f$ หมายความว่า \[
x = f(x) + f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right)\]และ \[\frac{1}{x} = f\left(\frac{1}{x}\right) +
f\displaystyle\left(\frac{1}{1/x}\displaystyle\right) = f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right) + f(x).
\]ดังนั้น ถ้า $x$ อยู่ในโดเมนของ $f$ แล้ว $x = 1/x$ ดังนั้น $... | \boxed{E} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(xy) + f(xz) - f(x) f(yz) \ge 1\]สำหรับจำนวนจริง $x,$ $y,$ และ $z$ ทั้งหมด | กำหนด $x = y = z = 0,$ เราได้
\[f(0) + f(0) - f(0)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(0)^2 - 2f(0) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(0) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(0) = 1.$
กำหนด $x = y = z = 1,$ เราได้
\[f(1) + f(1) - f(1)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(1)^2 - 2f(1) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(1) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(1) = 1.$
กำหนด $y = z = 0... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $\frac 1p$ -array เป็นการจัดเรียงจำนวนอนันต์แบบมีโครงสร้าง ตัวอย่างเช่น $\frac 13$ -array ถูกสร้างขึ้นดังนี้:
\begin{align*} 1 \qquad \frac 13\,\ \qquad \frac 19\,\ \qquad \frac 1{27} \qquad &\cdots\\ \frac 16 \qquad \frac 1{18}\,\ \qquad \frac{1}{54} \qquad &\cdots\\ \frac 1{36} \qquad \frac 1{108} \qquad &\cdo... | สังเกตว่าค่าในแถวที่ $r$ และหลักที่ $c$ ถูกกำหนดโดย $\left(\frac{1}{(2p)^r}\right)\left(\frac{1}{p^c}\right)$. เราต้องการประเมินผลรวมเหนือ $r,c$ ทั้งหมด ดังนั้นผลรวมจะถูกกำหนดโดยใช้สูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์:
\begin{align*}\sum_{r=1}^{\infty}\sum_{c=1}^{\infty} \left(\frac{1}{(2p)^r}\right)\left(\frac{1}{p^c}\righ... | \boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าสัมบูรณ์ของ $7-24i$ | เราได้ว่า $|7-24i| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \boxed{25}$ | |7-24i| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ \[\lfloor 1 \rfloor + \lfloor 1.6 \rfloor + \lfloor 2.2 \rfloor + \lfloor 2.8 \rfloor + \dots + \lfloor 99.4 \rfloor + \lfloor 100 \rfloor,\]โดยที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นเป็นลำดับเลขคณิต | เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ สำหรับทุก $x.$ ดังนั้น เราเพียงแค่คำนวณผลรวมของลำดับเลขคณิตเอง \[1 + 1.6 + 2.2 + \dots + 100,\]แล้วลบผลรวมของส่วนเศษ \[\{1\} + \{1.6\} + \{2.2\} + \dots + \{100\}.\]ความต่างร่วมของลำดับเลขคณิตคือ $0.6,$ ดังนั้นจำนวนพจน์คือ $1 + \frac{100 - 1}{0.6} = 166.$ จากนั้น ... | 5 \cdot 0.6 = 3, | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0$ สมมติว่า $a + \frac{1}{b}$ และ $b + \frac{1}{a}$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0$ จงหาค่าของ $q$ | จากสูตรของ Vieta's, $ab = 2.$ ดังนั้น
\[q = \left( a + \frac{1}{b} \right) \left( b + \frac{1}{a} \right) = ab + 1 + 1 + \frac{1}{ab} = 2 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{9}{2}}.\] | $ rac{9}{2}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ $1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\cdots$. | กำหนดให้
\[S = 1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\dotsb.\]แล้ว
\[1998S = 1998 + 2 + \frac{3}{1998} + \frac{4}{1998^2} + \dotsb.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[1997S = 1998 + 1 + \frac{1}{1998} + \frac{1}{1988^2} + \dotsb = \frac{1998}{1 - 1/1998} = \fr... | S = \boxed{\frac{3992004}{3988009}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ $1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\cdots$. | ให้
\[S = 1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\dotsb.\]แล้ว
\[1998S = 1998 + 2 + \frac{3}{1998} + \frac{4}{1998^2} + \dotsb.\]ลบสมการทั้งสองสมการ เราจะได้
\[1997S = 1998 + 1 + \frac{1}{1998} + \frac{1}{1988^2} + \dotsb = \frac{1998}{1 - 1/1998} = \frac{3992004... | S = \boxed{\frac{3992004}{3988009}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชันตรรกยะ $\frac{p(x)}{q(x)}$ ดังรูป ถ้า $q(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง $p(3)=3$ และ $q(2) = 2$ จงหา $p(x) + q(x)$.
[asy]
size(8cm);
import graph;
Label f;
f.p=fontsize(6);
//xaxis(-5,5,Ticks(f, 1.0));
//yaxis(-5,5,Ticks(f, 1.0));
draw((-5,0)--(5,0));
draw((0,-5)--(0,5));
int i;
for (i = -5; i <= 5; ... | เนื่องจาก $q(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง และเรามีเส้นกำทายแนวนอนที่ $y=0$ เราทราบว่า $p(x)$ ต้องเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
เนื่องจากเรามีรูที่ $x=0$ ต้องมีตัวประกอบของ $x$ ในทั้ง $p(x)$ และ $q(x)$ สุดท้าย เนื่องจากมีเส้นกำทายแนวตั้งที่ $x=1$ ตัวส่วน $q(x)$ ต้องมีตัวประกอบของ $x-1$ ดังนั้น $p(x) = ax$ และ $q(x) = bx(x-1)$ สำหรับค... | p(x) + q(x) = \boxed{x^2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f_0(x)=x+|x-100|-|x+100|$, และสำหรับ $n\geq 1$, กำหนด $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1$. จงหาจำนวนค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f_{100}(x)=0$? | สำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 1$ และ $k \ge 0,$ ถ้า $f_{n - 1}(x) = \pm k,$ แล้ว
\[f_n(x) = |f_{n - 1}(x)| - 1 = k - 1.\]นั่นหมายความว่าถ้า $f_0(x) = \pm k,$ แล้ว $f_k(x) = 0.$
ยิ่งกว่านั้น ถ้า $f_n(x) = 0,$ แล้ว $f_{n + 1}(x) = -1,$ และ $f_{n + 2}(x) = 0.$ ดังนั้น $f_{100}(x) = 0$ ก็ต่อเมื่อ $f_0(x) = 2k$ สำหรับจำนวนเต็ม $... | 2 + 2 + 3 \cdot 99 = \boxed{301}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 2)}.\] | โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน,
\[\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n + 2}.\]ดังนั้น,
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 2)} &= \left( \frac{1/2}{1} - \frac{1/2}{3} \right) + \left( \frac{1/2}{2} - \frac{1/2}{4} \right) + \left( \frac{1/2}{3} - \frac{1/2}{5} \right) + \left( \frac{1/2}{4} - \fra... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาพิกัดของจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา \[\frac{(2y-2)^2}{5^2} - \frac{(3x-4)^2}{4^2} = 1.\] | รูปแบบมาตรฐานของสมการไฮเปอร์โบลาที่วางแนวตั้งซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ $(h, k)$ คือ \[\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1.\]แต่สมการที่กำหนดให้ไม่ใช่รูปแบบมาตรฐาน เพราะพจน์ $2y$ และ $3x$ ปรากฏแทน $y$ และ $x$ ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบ $2^2$ และ $3^2$ จากสองพจน์ทางซ้ายมือ ให้ \[\frac{2^2(y-1)^2}{5^2} - \frac{3^2(x-... | \boxed{\left(\frac43, 1\right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $p, q,$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์สามจำนวน ซึ่ง $p + q + r = 26$ และ\[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{360}{pqr} = 1,\] จงคำนวณ $pqr$.
| \begin{align*} \frac {1}{p} + \frac {1}{q} + \frac {1}{r} + \frac {360}{pqr} & = 1 \\ pq + pr + qr + 360 & = pqr \\ 360 & = pqr - pq - pr - qr \\ & = (p - 1)(q - 1)(r - 1) - (p + q + r) + 1 \\ & = (p - 1)(q - 1)(r - 1) - 25 \\ 385 & = (p - 1)(q - 1)(r - 1) \\ \end{align*}
จากตรงนี้ คุณสามารถแยกตัวประกอบ $385$ เป... | 6 \cdot 8 \cdot 12=\boxed{576} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1,$ $x_2,$ $\dots,$ $x_{100}$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x_1 + x_2 + \dots + x_{100} = 1$ และ
\[\frac{x_1}{1 - x_1} + \frac{x_2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}}{1 - x_{100}} = 1.\]จงหาค่าของ
\[\frac{x_1^2}{1 - x_1} + \frac{x_2^2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}^2}{1 - x_{100}}.\] | โดยทั่วไป
\[\frac{x^2}{1 - x} = \frac{x^2 - x + x}{1 - x} = \frac{x(x - 1) + x}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} - x,\]ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{x_1^2}{1 - x_1} + \frac{x_2^2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}^2}{1 - x_{100}} &= \frac{x_1}{1 - x_1} + \frac{x_2}{1 - x_2} + \dots + \frac{x_{100}}{1 - x_{100}} - (x_1 + x_2 + \d... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่ง $n + i,$ $(n + i)^2,$ และ $(n + i)^3$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีพื้นที่มากกว่า 2015 | เรามี
\[(n + i)^2 = n^2 + 2ni + i^2 = (n^2 - 1) + (2n)i,\]และ
\[(n + i)^3 = n^3 + 3n^2 i + 3ni^2 + i^3 = (n^3 - 3n) + (3n^2 - 1)i.\]โดยทฤษฎีเชือกลาย, พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(n,1),$ $(n^2 - 1,2n),$ และ $(n^3 - 3n,3n^2 - 1)$ คือ
\begin{align*}
&\frac{1}{2} \left|(n)(2n) + (n^2 - 1)(3n^2 - 1) + (n^3 - 3n)(1) ... | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนพจน์ในนิพจน์ที่เรียบง่ายของ \[(x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006}\]โดยการขยายนิพจน์และรวมพจน์ที่คล้ายกัน | มีพจน์เดียวพอดีในนิพจน์ที่เรียบง่ายสำหรับโมโนเมียลของรูป $x^ay^bz^c$ โดยที่ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $a$ เป็นจำนวนคู่ และ $a+b+c=2006$ มีค่า $a$ ที่เป็นจำนวนคู่ 1004 ค่า โดยที่ $0\leq a\leq 2006$ สำหรับค่า $a$ แต่ละค่า $b$ สามารถเป็นค่าจำนวนเต็ม $2007-a$ ค่าใดๆ ระหว่าง 0 ถึง $2006-a$ รวมทั้งค่าของ $c$ จะ... | c | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ $9^x - 3^x + 1$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด | ให้ $y = 3^x.$ ดังนั้น
\[9^x - 3^x + 1 = y^2 - y + 1 = \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{3}{4}}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $y = \frac{1}{2}$ หรือ $x = \log_3 \frac{1}{2}.$ | x = \log_3 \frac{1}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนจริงบวก $x,$ $y,$ และ $z,$ จงคำนวณค่าสูงสุดของ
\[\frac{xyz(x + y + z)}{(x + y)^2 (y + z)^2}.\] | โดย AM-GM,
\[xz + (xy + y^2 + yz) \ge 2 \sqrt{xz(xy + y^2 + yz)} = 2 \sqrt{xyz(x + y + z)}.\]แต่ $xz + (xy + y^2 + yz) = (x + y)(y + z),$ ดังนั้น
\[(x + y)(y + z) \ge 2 \sqrt{xyz(x + y + z)}.\]จากนั้น $(x + y)^2 (y + z)^2 \ge 4xyz(x + y + z),$ ดังนั้น
\[\frac{xyz(x + y + z)}{(x + y)^2 (y + 2)^2} \le \frac{1}{4}.\]สมการ... | \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
วงรี $x^2+4y^2=4$ และ अतिเย pcb $x^2-m(y+2)^2 = 1$ สัมผัสกัน จงหาค่า $m$ | เราพยายามที่จะแก้สมการ $x^2+4y^2=4$ และ $x^2-m(y+2)^2=1$ พร้อมกัน เพื่อกำจัด $x$ เราสามารถลบสมการที่สองจากสมการแรกได้ ซึ่งจะได้ \[4y^2 + m(y+2)^2 = 3,\]หรือ \[(m+4)y^2 + (4m) y + (4m-3) = 0.\]เพื่อที่วงรีและ अतिเย pcb จะสัมผัสกัน สมการนี้ต้องมีคำตอบสำหรับ $y$ เพียงคำตอบเดียว ดังนั้น เงื่อนไขจำเป็นต้องเป็นศูนย์: \[(4m)... | $ rac{12}{13}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แสดงค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ:
$\left(1-\frac12\right)\cdot\left(1-\frac13\right)\cdot\left(1-\frac14\right) \dotsm \left(1-\frac1{n+1}\right) \dotsm \left(1-\frac1{100}\right)$ | เมื่อทำให้ง่ายขึ้นแต่ละพจน์ในผลคูณ เราได้ \[\left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{3}{4} \right) \dotsm \left( \frac{98}{99} \right) \left( \frac{99}{100} \right) . \]ส่วนของแต่ละเศษส่วนจะยกเลิกกับเศษของเศษส่วนถัดไป ดังนั้นผลคูณคือ $\boxed{\frac{1}{100}}.$ | \boxed{\frac{1}{100}}. | [
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
แปลงจุด $(0,3)$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว ใส่คำตอบในรูป $(r,\theta),$ โดยที่ $r > 0$ และ $0 \le \theta < 2 \pi.$ | เรามีว่า $r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3.$ นอกจากนี้ ถ้าเราลากเส้นเชื่อมจุดกำเนิดและ $(0,3)$ เส้นนี้จะทำมุม $\frac{\pi}{2}$ กับแกน $x$ ที่เป็นบวก
[asy]
unitsize(0.8 cm);
draw((-0.5,0)--(3.5,0));
draw((0,-0.5)--(0,3.5));
draw(arc((0,0),3,0,90),red,Arrow(6));
dot((0,3), red);
label("$(0,3)$", (0,3), W);
dot((3,0), red);
[/... | \boxed{\left( 3, \frac{\pi}{2} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ
\[8\cos^210^\circ - \dfrac{1}{\sin 10^\circ}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[8 \cos^2 10 ^\circ - \frac{1}{\sin 10^\circ} = \frac{8 \cos^2 10^\circ \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ}.\]จากสูตรมุมสองเท่า $2 \cos 10^\circ \sin 10^\circ = \sin 20^\circ,$ ดังนั้น
\[\frac{8 \cos^2 10^\circ \sin 10^\circ - 1}{\sin 10^\circ} = \frac{4 \sin 20^\circ \cos 10^\circ - 1}{\sin 10^\cir... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $2k+5 = 13$ เพื่อหาค่า $k$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างจะได้ $2k = 8$ และหารด้วย 2 จะได้ $k = \boxed{4}$ | k = \boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $\det \mathbf{A} = -1,$ จงหา $\det (\mathbf{7A}).$ | โดยทั่วไป $\det (k \mathbf{A}) = k^2 \det \mathbf{A}.$ ดังนั้น,
\[\det (7 \mathbf{A}) = 7^2 (-1) = \boxed{-49}.\] | -49 | [
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sin 1755^\circ$. | การหมุน $360^\circ$ เท่ากับการไม่ทำอะไร ดังนั้นการหมุน $1755^\circ$ เท่ากับการหมุน $1755^\circ - 4\cdot 360^\circ = 315^\circ$ ดังนั้น $\sin 1755^\circ = \sin (1755^\circ - 4\cdot 360^\circ) = \sin 315^\circ$.
ให้ $P$ เป็นจุดบนวงกลมหน่วยที่หมุนจาก $(1,0)$ ทวนเข็มนาฬิกา $315^\circ$ และให้ $D$ เป็นจุดบนแกน $x$ ที่ลากตั้... | $\sin 1755^\circ = \sin 315^\circ = \boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สัมประสิทธิ์ของ $x^{50}$ ใน
\[(1 + x)^{1000} + 2x (1 + x)^{999} + 3x^2 (1 + x)^{998} + \dots + 1001x^{1000}\]สามารถเขียนได้ในรูป $\binom{n}{k}.$ จงหาค่า $n + k$ ที่น้อยที่สุด | กำหนด
\[S = (1 + x)^{1000} + 2x (1 + x)^{999} + \dots + 1000x^{999} (1 + x) + 1001x^{1000}\]แล้ว
\begin{align*}
xS &= x (1 + x)^{1000} + 2x^2 (1 + x)^{999} + \dots + 1000x^{1000} (1 + x) + 1001x^{1001}, \\
(1 + x)S &= (1 + x)^{1001} + 2x (1 + x)^{1000} + \dots + 1000x^{999} (1 + x)^2 + 1001x^{1000} (1 + x).
\end{align*... | 1002 + 50 = \boxed{1052}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เส้นมัธยฐาน $\overline{AD}$ และ $\overline{BE}$ ตั้งฉากกัน ถ้า $AC = 22$ และ $BC = 31$ แล้วจงหา $AB$ | เรารู้ว่า $D$ และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{BC}$ และ $\overline{AC}$ ตามลำดับ ดังนั้น
\[\overrightarrow{D} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \quad \text{และ} \quad \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2}.\][asy]
unitsize(0.2 cm);
pair A, B, C, D, E;
B = (0,0);
... | c = \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า
$$\frac{5x-7}{(x-1)^3} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3},$$จงหา $A+B+C$. | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $(x+1)^3$. ซึ่งจะได้
$$5x-7=A(x-1)^2+B(x-1)+C.$$ขยายและจัดเรียงข้างขวาจะได้
$$5x-7 = Ax^2+(B-2A)x-A-B+C.$$โดยการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราทราบว่า $A=0$, $B-2A=5$, และ $-A-B+C=-7.$ ดังนั้น $B=5$ และ $C=-7+5=-2$. ดังนั้น $A+B+C=\boxed{3}.$
หรืออีกวิธีหนึ่ง เราสามารถแทน... | A + B + C = 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บนระนาบ $xy$ จุดกำเนิดถูกกำหนดให้เป็น $M$ จุด $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ และ $(0,-1)$ ถูกกำหนดให้เป็น $A$ จุด $(2,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$, $(-1, 1)$, $(-2, 0)$, $(-1, -1)$, $(0, -2)$ และ $(1, -1)$ ถูกกำหนดให้เป็น $T$ จุด $(3,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0, 3)$, $(-1, 2)$, $(-2, 1)$, $(-3, 0)$, $(-2,-1)$, $(-1,-2)$, $(0, -3)$... | จาก M เราสามารถดำเนินการไปยัง A ได้สี่แบบ โปรดทราบว่าตัวอักษรทั้งหมดสมมาตรกัน ดังนั้นเราสามารถนับกรณีเดียว (เช่น กรณีที่เคลื่อนที่จาก M ไปยัง A ล่าง) และคูณด้วยสี่
จาก A ล่าง เราสามารถดำเนินการไปยัง T ใดๆ ได้สามตัว จาก T สองตัวที่อยู่ด้านข้างของ A เราสามารถดำเนินการไปยัง H หนึ่งตัวได้ จาก T ที่อยู่ใต้ A เราสามารถดำเนิ... | 4 \cdot 7 = \boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้ายทางด้านขวาของจุดทศนิยมในทศนิยมของ $\frac{141}{400}$ | สังเกตว่า $400 = 4 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^4 \cdot 5^2$ ดังนั้น $\frac{141}{400} = \frac{141}{2^4 \cdot 5^2}$ ถ้าเราคูณเศษส่วนนี้ด้วย $10^4$ เราจะเลื่อนตัวเลขทั้งหมด $4$ ตำแหน่งไปทางซ้าย ดังนั้น $\frac{141}{2^4 \cdot 5^2} \cdot 10^4 = 141 \cdot 5^2 = 3525$ ดังนั้นหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้ายคือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a+b=7$ และ $a^3+b^3=42$ จงหาค่าของผลบวก $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ยกกำลังสามของทั้งสองข้างของ $a+b=7$ จะได้ \[
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=343.
\] แทน 42 ด้วย $a^3+b^3$ และแยกตัวประกอบ $3ab$ ออกจากสองพจน์ที่เหลือ. \begin{align*}
42+3ab(a+b)&=343 \implies \\
3ab(a+b)&=301 \implies \\
3ab(7)&=301 \implies \\
3ab&=43 \implies \\
ab&=\frac{43}{3}.
\end{align*} สุดท้าย $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\f... | \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{43/3}=\boxed{\frac{21}{43}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $101^{3} - 3 \cdot 101^{2} + 3 \cdot 101 -1$ | นิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการกระจายของ $(101-1)^3$ โดยทั่วไป การกระจายของ $(a-b)^3$ เท่ากับ \[a^3-3\cdot a^2\cdot b+3\cdot a\cdot b^2-b^3\]
ในกรณีนี้ $a=101,b=1$ ดังนั้น $101^3-3\cdot 101^2+3\cdot 101-1=(101-1)^3$ ; เราสามารถคำนวณ $100^3=\boxed{1000000}$ ได้อย่างง่ายดาย | 100^3=\boxed{1000000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนตัวหารที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว มีกี่จำนวน | จากสูตรการหาจำนวนตัวหารทั้งหมด เราทราบว่าจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป $p^{2}$ โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะมีจำนวนตัวหารที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว ดังนั้นเราต้องนับจำนวนจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนตัวหารที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\box... | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อลันเก็บเงิน 500 ดอลลาร์ในบัญชีธนาคารที่ให้ดอกเบี้ยทบต้น 3 เปอร์เซ็นต์ต่อปี หากไม่มีธุรกรรมอื่นๆ หลังจาก 10 ปี จะมีเงินในบัญชีธนาคารของอลันเท่าไร (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด) | หลังจากสิบปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี 3 เปอร์เซ็นต์ บัญชีธนาคารจะเติบโตเป็น $500 \cdot 1.03^{10} = \boxed{672}$ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | 500 \cdot 1.03^{10} = \boxed{672} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ $x^2- 14x + 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราเริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าไม่น้อยกว่า 0 เราได้ $$(x-7)^2\ge 0,$$โดยที่ $(x-7)^2 =0$ เฉพาะเมื่อ $x=7$. ดังนั้น $(x-7)^2 - ... | x=\boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เส้นตรง $y=(3a+2)x-2$ และ $2y=(a-4)x+2$ ขนานกัน ค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด | เราหาความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้นแล้วให้เท่ากัน เนื่องจากเส้นตรงขนานกันจะมีความชันเท่ากัน นี่จะได้ $3a+2=\frac{a}{2}-2$ ซึ่งหมายถึง $a=\boxed{-\frac{8}{5}}$ | a=\boxed{-\frac{8}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 176 ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 5 รูปดังแสดงในรูปภาพ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปเท่ากับเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
[/asy] | ให้ $x$ และ $y$ เป็นความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปตามลำดับ
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
label("$x$", (1,5), N);
label("$x$", (3,5), N);
label("$x$", (5,5), N);
label("$y$", (6,7/2... | 2x + 2y = \boxed{80} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปหกเหลี่ยมปกติถูกตัดเพื่อสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมปกติโดยการตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันออกจากมุมทั้งหกของมัน ร้อยละเท่าใดของพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมเดิมถูกตัดออก แสดงคำตอบของคุณเป็นทศนิยมตำแหน่งที่ใกล้เคียงที่สุด | โดยไม่เสียความทั่วไป ให้ความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยมเท่ากับ 1 หน่วย และให้ $u$ เป็นความยาวของด้านที่เท่ากันในสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ถูกตัดออก กำหนดจุด $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ และ $F$ ดังที่แสดงในรูป สามเหลี่ยม $CDB$ เป็นสามเหลี่ยม 30-60-90 ดังนั้น $CD=u/2$ และ $DB=u\sqrt{3}/2$ นอกจากนี้ $AB=1-2u$ เพราะ $CF=1$ และ $CB=AF... | 7.2% | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จัตุรัสที่มีจุดยอด $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ และ $(1, 1)$ ถูกตัดโดยเส้นตรง $y=\frac{x}{2}+ 1$ เป็นรูปสามเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมมีกี่ตารางหน่วย แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | วาดจัตุรัสและเส้นตรงเพื่อให้เห็นว่าเส้นตรงตัดด้านบนและด้านซ้ายของจัตุรัส แทนค่า $y=1$ และ $x=-1$ ลงในสมการของเส้นตรง เราจะพบว่าจุดตัดคือ (0,1) และ $(-1,\frac{1}{2})$ ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านขวาที่ถูกตัดออก (แรเงาในรูป) มีความยาว 1 และ 1/2 หน่วย ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $\frac{1}{2}(1)\left(\frac{1}{2}\right)... | 3.75 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นมุม โดยที่
\[\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} + \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -1.\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{\cos^3 \beta}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \beta}{\sin \alpha}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | กำหนดให้ $k = \frac{\cos \alpha}{\cos \beta}.$ ดังนั้น $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -k - 1,$ ดังนั้น $\cos \alpha = k \cos \beta$ และ $\sin \alpha = -(k + 1) \sin \beta.$ แทนค่าลงใน $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1,$ เราจะได้
\[k^2 \cos^2 \beta + (k + 1)^2 \sin^2 \beta = 1.\]จากนั้น $k^2 \cos^2 \beta + (k + 1... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P=(a,b)$ เป็นจุดตัดของเส้นตรง $y=2x-10$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด $(7,8)$ และ $(9,0)$ จงคำนวณ $a+b$ | ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(7,8)$ และ $(9,0)$ คือ $\frac{8-0}{7-9}=\frac{8}{-2}=-4$. ดังนั้น เส้นตรงมีสมการ $y=-4x+b$ สำหรับค่า $b$ บางค่า เนื่องจาก $B(9,0)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ เราได้ $0=-4(9)+b \Rightarrow b=36$ ดังนั้น สมการของเส้นตรงคือ $y=-4x+36$.
เพื่อหาจุดตัดระหว่างเส้นตรงที่มีสมการ $y=-4x+36$ และ $y=2x-10$ เราใ... | a+b=\frac{23}{3}+\frac{16}{3}=\frac{39}{3}=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $80325$ หาร $n!$ ลงตัว | เราหาการแยกตัวประกอบของ $80325$ ซึ่งได้ $3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 17$ จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดในการแยกตัวประกอบคือ $17$ ดังนั้น $n$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $17$ เนื่องจากมีสามตัวประกอบของ $3$ สองตัวประกอบของ $5$ และหนึ่งตัวประกอบของ $7$ ในการแยกตัวประกอบของ $17!$ ค่าต่ำสุดของ $n$ คือ $\boxed{17}$ | \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ด้าน $CD$ ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มีความยาว 12 เมตร ดังแสดงในรูป สามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้าน $CD$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสามรูป จงหาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาทั้งหมด แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด [asy]
import olympiad; size(150); defaultpen(linewidth(0.8));
fill((2,2*sqrt(3))--(4,0)--(6,2*sqrt(3))--cycle^^(6,2*s... | สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่อยู่ปลายสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถนำมาต่อกันได้เพื่อสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งเหมือนกับสามเหลี่ยมด้านเท่าอื่นๆ ในรูป ดังนั้น $AB$ เท่ากับความยาวรวมของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า 3 ด้าน ดังนั้นแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด $12/3 = 4$ ดังนั้นปัญหาของเราคือการหาพื้นที่รวมของสามเหลี่ยมด้านเท่าสอ... | 2(4\sqrt{3}) = \boxed{8\sqrt{3}} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปดาวห้าแฉกที่แสดงให้เห็น ตัวอักษร $A$, $B$, $C$, $D$, และ $E$ ถูกแทนที่ด้วยตัวเลข 3, 5, 6, 7, และ 9 แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนี้ ผลรวมของตัวเลขที่ปลายของส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, และ $\overline{EA}$ สร้างเป็นลำดับเลขคณิต แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนี... | แต่ละจำนวนปรากฏในสองผลรวม ดังนั้นผลรวมของลำดับคือ \[
2(3+5+6+7+9)=60.
\]พจน์กึ่งกลางของลำดับเลขคณิตห้าพจน์คือค่าเฉลี่ยของพจน์ ดังนั้น $60/5=\boxed{12}$ คือพจน์กึ่งกลาง
รูปแสดงการจัดเรียงของห้าตัวเลขที่ตรงตามข้อกำหนด
[asy]
pair A,B,C,D,E;
A=(0,10);
B=(5.9,-8.1);
C=(-9.5,3.1);
D=(9.5,3.1);
E=(-5.9,-8.1);
draw(A--B--C--... | 60/5=\boxed{12} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดยอดดังต่อไปนี้: $$(5,4), (-5,4), (-5,-4), (5,-4).$$ จงหาจำนวนจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ | รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 10 หน่วย x 8 หน่วย ทำให้มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 8 x 6 อยู่ภายใน ซึ่งสร้างเป็นแถวของจุดตาข่าย 9 x 7 นั่นคือมีจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม $\boxed{63}$ จุด ดังแสดงในรูป [asy]
import olympiad; size(150); defaultpen(linewidth(0.8));
add(grid(10,8));
draw((1,1)--(9,1)--(9,7)--(1,7)--cycle,linewidth... | \boxed{63} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาเมทริกซ์ $\mathbf{M}$ ที่ทำให้
\[\mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}.\] | อินเวอร์สของ $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ คือ
\[\frac{1}{(1)(4) - (-2)(1)} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.\]ดังนั้น การคูณด้วยอินเวอร์สนี้ทางด้านขวา เราได้
\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \fra... | \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เจอเรมียร์กำลังนั่งรถที่กำลังวิ่งด้วยความเร็ว 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ด้วยอัตราเร็วนี้ เขาจะใช้เวลานานเท่าไรในการเดินทาง 20 ไมล์? | ระยะทางเท่ากับอัตราเร็วคูณด้วยเวลา ดังนั้นการเดินทางครั้งนี้จะใช้เวลา $$\frac{20\text{ mi.}}{60\text{ mph}}=\frac{1}{3}\text{ hours}.$$ หนึ่งในสามของชั่วโมงคือ $\boxed{20}$ นาที. | \boxed{20} | [
"นำไปใช้"
] |
วงกลมมีจุดศูนย์กลางเดียวกันกับวงรี และผ่านจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ ของวงรี เส้นโค้งทั้งสองตัดกันที่ 4 จุด ให้ $P$ เป็นจุดตัดใดๆ ถ้าแกนเอกของวงรียาว 15 และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PF_1 F_2$ เท่ากับ 26 จงคำนวณระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส | ให้ $x = PF_1$ และ $y = PF_2.$ ดังนั้น $x + y = 15$ และ $\frac{1}{2} xy = 26,$ ดังนั้น $xy = 52.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
path ell = xscale(5)*yscale(3)*Circle((0,0),1);
pair P = intersectionpoints(ell,Circle((0,0),4))[1];
pair[] F;
F[1] = (-4,0);
F[2] = (4,0);
draw(ell);
draw(Circle((0,0),4));
draw((-5,0)--(5,0),... | F_1 F_2 = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยม $ABCD$ มีด้านยาว 4 นิ้ว และสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายในแต่ละรูปถูกสร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอก มีพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาในหน่วยตารางนิ้วเท่าไร?
[asy]
draw( (-1,-1)--(1,-1) -- (1,1) -- (-1,1)--cycle); draw( (-2,-2)--(2,-2) -- (2,2) -- (-2,2)--cycle);
draw( (-2, -2) -- (2, ... | การเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม ดังนั้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของ $ABCD$ มีพื้นที่ $\frac12\cdot 4^2 = 8$ ตารางนิ้ว สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุดในแผนภาพถูกสร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของสี่เหลี่... | 8-4=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ: $0.\overline{7}-0.\overline{4}+0.\overline{2}$. เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | โดยทั่วไป เพื่อแสดงจำนวน $0.\overline{n}$ ในรูปเศษส่วน เราให้มันเท่ากับ $x$ แล้วลบออกจาก $10x$: $$\begin{array}{r r c r@{}l}
&10x &=& n&.nnnnn\ldots \\
- &x &=& 0&.nnnnn\ldots \\
\hline
&9x &=& n &
\end{array}$$ นี่แสดงว่า $0.\overline{n} = \frac{n}{9}$.
ดังนั้น ปัญหาเดิมของเราจึงลดเหลือการคำนวณ $\frac 79 - \frac 49 +... | \frac 79 - \frac 49 + \frac 29 = \boxed{\frac 59} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แผ่นกระดาษขนาด 10 นิ้ว x 12 นิ้ว มีขอบกระดาษกว้าง 1.5 นิ้ว ที่ทุกด้าน เศษส่วนของพื้นที่กระดาษที่ถูกขอบกระดาษครอบคลุมเท่ากับเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | กระดาษขนาด 10 นิ้ว x 12 นิ้วจะมีพื้นที่ $10 \cdot 12 = 120$ ตารางนิ้ว ถ้ากระดาษนั้นมีขอบกระดาษกว้าง 1.5 นิ้ว ที่ทุกด้าน ส่วนของกระดาษที่ไม่ถูกขอบกระดาษครอบคลุมจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว $12 - 2(1.5) = 9$ นิ้ว และความกว้าง $10 - 2(1.5) = 7$ นิ้ว ดังนั้น $9 \cdot 7 = 63$ ตารางนิ้วของกระดาษจะไม่ถูกขอบกระดาษครอบ... | \dfrac{57}{120}=\boxed{\dfrac{19}{40}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $817_9 - 145_9 - 266_9$ แสดงคำตอบในระบบเลขฐานเก้า | $817_9 - 145_9 - 266_9 = 817_9 - (145_9 + 266_9) = 817_9 - 422_9 = \boxed{385_9}$ | 817_9 - 145_9 - 266_9 = 817_9 - (145_9 + 266_9) = 817_9 - 422_9 = \boxed{385_9} | [
"นำไปใช้"
] |
มีวิธีการเรียงลำดับตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ได้กี่วิธี โดยที่เมื่อกำหนดตัวเลขใดๆ ในลำดับ ตัวหารทั้งหมดของตัวเลขนั้น (ไม่รวมตัวเลขนั้นเอง) จะต้องปรากฏทางซ้ายมือของตัวเลขนั้น | เราเริ่มต้นด้วยการหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ในการเรียงลำดับตัวเลข 1, 2, 3 และ 6 มีเพียงสองลำดับเท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหา นั่นคือ $(1, 2, 3, 6)$ และ $(1, 3, 2, 6)$ ตอนนี้เราจะแทรกตัวเลข 4 เข้าไปในลำดับ โดยต้องคำนึงว่ามันต้องปรากฏทางด้านขวาของ 1 และ 2 มีตำแหน่งที่เป็นไปได้สามตำแหน่งในกรณีแรก และสองตำแหน่งในกรณ... | \boxed{25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มาร์คอฟเล่นเกมเป็นเวลาสามตา. ในแต่ละตา เขาจะเลือกโยนลูกเต๋าหกหน้าที่เป็นธรรม หรือพลิกเหรียญที่เป็นธรรม ถ้าเขาโยนได้ 1 หรือ 2 เขาจะเปลี่ยนไปใช้เหรียญในตาถัดไป และถ้าเขาพลิกได้ก้อย เขาจะเปลี่ยนไปใช้ลูกเต๋าในตาถัดไป ถ้ามาร์คอฟเริ่มต้นด้วยการโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่เขาจะพลิกเหรียญในตาที่สามคือเท่าใด? | เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการแบ่งออกเป็นกรณี ถ้ามาร์คอฟโยนได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะพลิกเหรียญในตาที่สอง เขาต้องพลิกหัวเพื่อพลิกเหรียญในตาที่สาม มีความน่าจะเป็น $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ ที่กรณีนี้จะเกิดขึ้น ถ้ามาร์คอฟไม่ได้โยนได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะโยนลูกเต๋าในตาที่สอง เขาต้องโยนได้ 1 หรือ 2 ในตาที... | \frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\boxed{\frac{7}{18}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{a},$ $\mathbf{b},$ $\mathbf{c}$ เป็นเวกเตอร์สามเวกเตอร์ โดยที่
\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{a} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 18 \end{pmatrix}.\... | ขยายได้ดังนี้
\begin{align*}
(2 \mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (3 \mathbf{c} + \mathbf{a}) &= 6 \mathbf{b} \times \mathbf{c} + 2 \mathbf{b} \times \mathbf{a} - 3 \mathbf{a} \times \mathbf{c} - \mathbf{a} \times \mathbf{a} \\
&= 6 \mathbf{b} \times \mathbf{c} - 2 \mathbf{a} \times \mathbf{b} - 3 \mathbf{a} \times \math... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาจำนวนกำลังสองที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 225 ซึ่งเป็นพหุคูณของ 9 | เพื่อให้จำนวนใดๆ เป็นพหุคูณของ 9 ผลรวมของหลักของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัว เนื่องจาก $225 = 15^2$ จำนวนกำลังสองที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 225 คือ $14^2 = 196$ อย่างไรก็ตาม $1 + 9 + 6 = 16$ ซึ่งไม่หารด้วย 9 ลงตัว จำนวนกำลังสองที่มากที่สุดถัดไปที่น้อยกว่า 225 คือ $13^2 = 169$ แต่ $1 + 6 + 9$ ก็ไม่หารด้วย 9 ลงตัว ต่อไป $... | \boxed{144} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาณานิคมของแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง ในเวลา 13:00 น. มีแบคทีเรีย 10 ตัวอยู่ในจานเพาะเชื้อ ในเวลา 21:00 น. ของวันเดียวกัน ประชากรแบคทีเรียมีจำนวนเท่าไร | ทุกชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะถูกคูณด้วย 2 ในเวลา 14:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าครั้งหนึ่ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2$ ตัว ในเวลา 15:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าสองครั้ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2$ ตัว เป็นต้น ในเวลา 21:00 น. อาณานิคมแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า 8 ครั้ง ดังนั้นจึงมี $10\c... | 2560 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.