question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ผลรวมของน้ำหนักของจิมและบ็อบเท่ากับ 180 ปอนด์ ถ้าลบน้ำหนักของจิมออกจากน้ำหนักของบ็อบ จะได้ครึ่งหนึ่งของน้ำหนักของบ็อบ บ็อบหนักเท่าไร? | ให้ $j$ แทนน้ำหนักของจิม และ $b$ แทนน้ำหนักของบ็อบ เราสามารถใช้ระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
j + b &= 180 \\
b - j &= \frac{b}{2} \\
\end{align*} การบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $2b = 180 + \frac{b}{2}$ แก้สมการเพื่อหา $b$ จะได้ $3b = 360$ หรือ $b = 120$ ดังนั้น บ็อบหนัก $\boxed{120}$ ปอนด... | \boxed{120} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $i^{600} + i^{599} + \cdots + i + 1$ เมื่อ $i^2=-1$ | แต่ละกลุ่มของ 4 พจน์ติดต่อกันของ $i$ จะบวกกันได้ 0: $i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i +1 = 0$, $i^5+i^6+i^7+i^8 = i^4(i+i^2+i^3+i^4) = 1(0) = 0$ และอื่นๆ เนื่องจาก 600 หารด้วย 4 ลงตัว เราทราบว่าถ้าเราเริ่มจัดกลุ่มกำลังของ $i$ ตามที่กลุ่มแรกและกลุ่มที่สองของเราแสดงไว้ เราจะไม่มีกำลังของ $i$ 'พิเศษ' เกิน $i^{600}$ เราจะม... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความยาวด้าน 25, 25 และ 48 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นตารางเซนติเมตร | [asy]
size(150);
pair A, B, C;
A=(0,0);
B=(24,7);
C=(48,0);
draw(A--B--C--A);
draw(B--(A+C)/2, red);
label("A", A, SW);
label("B", B, N);
label("C", C, SE);
label("D", (A+C)/2, S);
[/asy] เนื่องจาก $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $BD$ ตั้งฉากกับ $AC$ และแบ่ง $AC$ เป็นสองส่วนเท่ากัน ดังนั้น $AD=\frac{48}{2}=24$. ตอนนี้เราเ... | \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 7=24 \cdot 7=\boxed{168} \text{sq cm} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $y$ เท่ากันคือ 13 แต่มีพิกัด $x$ ต่างกัน จงหาผลรวมของความชันและจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสอง | ความชันของเส้นตรงคือ $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ในกรณีนี้ไม่มีความต่างของพิกัด $y$ ระหว่างจุด $A$ และ $B$ ดังนั้นเส้นตรงจะเป็นเส้นตรงแนวนอนที่มีความชันเท่ากับ 0 เนื่องจากเส้นตรงเป็นเส้นตรงแนวนอน จุดตัดแกน $y$ จะเท่ากับพิกัด $y$ ของจุดอื่นๆ บนเส้นตรง ซึ่งเท่ากับ 13 ดังนั้นผลรวมของความชันและจุดตัดแกน $y$ คือ $\boxed{13}$ | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(2x + 5)^2$ เมื่อ $x = 3$ | เรามี $(2x+5)^2 = (2\cdot 3 + 5)^2 = 11^2 = \boxed{121}$ | (2x+5)^2 = (2\cdot 3 + 5)^2 = 11^2 = \boxed{121} | [
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของนิพจน์ \[ \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-2} \cdot \frac{c + 8}{c+6} , \] โดยที่ $c = b-10$, $b = a+2$, $a = 4$, และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ | เราเริ่มต้นด้วยการแทนค่า $c$ เพื่อให้ได้ \[ \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-2} \cdot \frac{(b-10)+8}{(b-10)+6} \\
&= \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-2} \cdot \frac{b-2}{b-4} . \] เนื่องจากตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ เราสามารถลบ $(b-2)$ ออกได้ \[ \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-4} .\] ตอนนี้ โดยการแทนค่า $b= a+2$ เราจะ... | 3 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ใช้เวลา 24 นาที Jana เดิน 1 ไมล์ ถ้าเป็นอัตราเดียวกัน Jana จะเดินได้ไกลเท่าไรเป็นไมล์ใน 10 นาที? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่ tenths. | โดยใช้การวิเคราะห์มิติ เราได้ $\dfrac{1\mbox{ mile}}{24\mbox{ min}} \times 10\mbox{ min} = \dfrac{5}{12}$ ไมล์ หรือ $\boxed{0.4\mbox{ miles}}$ ปัดเศษเป็นหลักที่ tenths. | \boxed{0.4\mbox{ miles}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในตอนเริ่มขี่จักรยาน ผมรู้สึกดี จึงสามารถเดินทางได้ 20 ไมล์ต่อชั่วโมง ต่อมา ผมรู้สึกเหนื่อย และเดินทางได้เพียง 12 ไมล์ต่อชั่วโมง หากผมเดินทางทั้งหมด 122 ไมล์ ในเวลา 8 ชั่วโมง ผมรู้สึกดีเป็นเวลาเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | ให้ $x$ เท่ากับจำนวนชั่วโมงที่คุณรู้สึกดีขณะขี่จักรยาน จากนั้น $x$ ชั่วโมงใช้ในการเดินทางด้วยความเร็ว 20 ไมล์ต่อชั่วโมง และ $8-x$ ชั่วโมงใช้ในการเดินทางด้วยความเร็ว 12 ไมล์ต่อชั่วโมง ในช่วงเวลานี้ เดินทางไปทั้งหมด 122 ไมล์ จงจำไว้ว่า $d=r\cdot t$ เราสามารถบวกระยะทางทั้งสองเข้าด้วยกัน ตั้งค่าให้เท่ากับ 122 ไมล์ และแก้ส... | x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n > 2^3$ ตัวใดๆ ค่าตัวหารร่วมมากที่สุดของ $n^3 + 3^2$ และ $n + 2$ คือเท่าใด | สังเกตว่าจากการแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสาม $n^3 + 8 = (n+2)(n^2 - 2n + 4)$ เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย $n+2$ ลงตัว ดังนั้น
\begin{align*}
\text{gcd}\,(n^3 + 9, n+2) &= \text{gcd}\,(n^3 + 9 - (n^3 + 8), n+2) \\
& = \text{gcd}\,(1,n+2) \\
& = \boxed{1}.
\end{align*} | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เลขโดลเลขใดอยู่ในตำแหน่งทศนิยมหลักที่ 100 ของการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$? | การแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$ คือ $0.\overline{857142}$ ซึ่งซ้ำทุกๆ 6 หลัก เนื่องจาก 100 หารด้วย 6 มีเศษ 4 ดังนั้นหลักที่ 100 จะเหมือนกับหลักที่สี่หลังจุดทศนิยม ซึ่งคือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายและเขียนผลลัพธ์ในรูปเศษส่วนสามัญ: $$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}}$$ | ก่อนอื่นสังเกตว่า $4096=4^6$ เราสามารถเริ่มทำให้ง่ายขึ้นจากรากที่สองด้านในสุด: $$\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{4096}}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{64}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\boxed{\frac{1}{2}}$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x^2+1 &\text{ if }x>5, \\
2x-3 &\text{ if } -5 \le x \le 5, \\
3 &\text{ if } x <-5.
\end{array}
\right.\]จงหา $f(-7)+f(0)+f(7)$. | เนื่องจาก $-7<-5$ ดังนั้น $f(-7)=3$. เนื่องจาก $-5 \le 0 \le 5$ ดังนั้น $f(0)=2(0)-3=-3$. เนื่องจาก $7>5$ ดังนั้น $f(7)=7^2+1=50$. ดังนั้น $f(-7)+f(0)+f(-7)=3-3+50=\boxed{50}$. | f(-7)+f(0)+f(-7)=3-3+50=\boxed{50} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาความชันของเส้นตรง $2y = -3x + 6$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 จะได้ $y = -\frac{3}{2}x + 3$ ซึ่งอยู่ในรูปสมการเส้นตรงตัดแกน y สัมประสิทธิ์ของ $x$ คือความชันที่ต้องการ $ \boxed{-\frac32}$ | $\boxed{-\frac32}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าของ $x$ ที่ทำให้ $|3x+5|$ ไม่เป็นบวก คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | $|3x+5|$ ไม่เป็นบวกก็ต่อเมื่อมีค่าเท่ากับ 0 เท่านั้น เราจะได้ว่า $|3x+5| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $3x+5 = 0$ การแก้สมการนี้จะได้ $x = \boxed{-\frac{5}{3}}$ | x = \boxed{-\frac{5}{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับ $2048, 512, 128, x, y, 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{8},...$ แต่ละพจน์ที่ต่อเนื่องกันจะได้มาจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัว จงหาค่าของ $x + y$ | ให้ค่าคงตัวนี้เป็น $r$ เพื่อที่จะได้จาก $2$ ไปเป็น $\frac{1}{2}$ เราคูณด้วย $r$ ดังนั้น $2r = \frac{1}{2}$ หรือ $r = \frac{1}{4}$ เพื่อที่จะได้จาก 128 ไปเป็น $x$ เราคูณด้วย $\frac{1}{4}$ ดังนั้น $x = 128 \cdot \frac{1}{4} = 32$ เพื่อที่จะได้จาก 32 ไปเป็น $y$ เราคูณด้วย $\frac{1}{4}$ ดังนั้น $y = 32 \cdot \frac{1}{4} = ... | x + y = 32 + 8 = \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รายการของจำนวนเต็มบวกห้าจำนวนมีคุณสมบัติทั้งหมดดังต่อไปนี้:
$\bullet$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวในรายการที่ปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้งคือ $8,$
$\bullet$ ค่ามัธยฐานของมันคือ $9,$ และ
$\bullet$ ค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ย) ของมันคือ $10.$
จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่อาจปรากฏในรายการคือเท่าใด? | เราเขียนรายการของจำนวนเต็มห้าจำนวนในลำดับที่เพิ่มขึ้น. เราทราบว่าจำนวน $8$ ปรากฏอย่างน้อยสองครั้งในรายการ. เนื่องจากค่ามัธยฐานของรายการคือ $9,$ ดังนั้นจำนวนตรงกลาง (นั่นคือจำนวนที่สาม) ในรายการคือ $9.$ ดังนั้นรายการสามารถเขียนเป็น $a,$ $b,$ $9,$ $d,$ $e.$
เนื่องจาก $8$ ปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้งและจำนวนตรงกลางคือ $9,$ ดัง... | \boxed{15}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $g(x) = 2x^2 - 3$ และ $h(x) = 4x^3 +1$ จงหาค่าของ $g(h(-1))$ | ראשית คำนวณ $h(-1) = 4(-1)^3 + 1 = -3$. จากนั้น คำนวณ $g(-3) = 2(-3)^2 - 3 = \boxed{15}$ | g(-3) = 2(-3)^2 - 3 = \boxed{15} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
อลิซใช้เวลา 25 นาทีในการทำความสะอาดห้องของเธอ บ็อบใช้เวลา $\frac{2}{5}$ ของเวลาที่อลิซใช้ในการทำความสะอาดห้องของเขา ใช้เวลากี่นาทีในการทำความสะอาดห้องของบ็อบ? | จำไว้ว่า "of" หมายถึงการคูณ เราต้องการหา $\frac{2}{5} \times 25$ เนื่องจากการคูณสลับที่ได้: \[\frac{2}{5} \times 25 = \frac{25}{5} \times 2\]เศษส่วนเป็นอีกวิธีหนึ่งในการแทนการหาร ดังนั้น $\frac{25}{5} = 25\div5 = 5$ และ $5\times2 = \boxed{10}$ นาที | 5\times2 = \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น: $(2y-1)\cdot(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7).$ แสดงคำตอบในรูปของพหุนาม โดยมีดีกรีของพจน์เรียงลำดับจากมากไปน้อย | เราใช้การกระจายและทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: \begin{align*}
& (2y-1)\cdot(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7)\\
=& 2y\cdot(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7)-(4y^{10}+2y^9+4y^8+2y^7)\\
=& 8y^{11}+4y^{10}+8y^9+4y^8\\
&-4y^{10}-2y^9-4y^8-2y^7.
\end{align*}เราจะได้ $\boxed{8y^{11}+6y^9-2y^7}$. | \boxed{8y^{11}+6y^9-2y^7} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $|x-1| = |x-2|$ แล้วค่าของ $x$ เท่ากับเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สมการนี้บอกเป็นนัยว่า \[
x-1 = x-2\]หรือ \[ x-1 = -(x-2).\]สมการแรกไม่มีคำตอบ สมการที่สองมีคำตอบ $x= \boxed{\frac{3}{2}}$. | x= \boxed{\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
20 ตัวเลขแรกของแบบแผนแสดงไว้ด้านล่าง ตัวเลขที่ 40 ของแบบแผนนี้จะมีค่าเท่าใด ถ้าแบบแผนนี้ดำเนินต่อไป?
$\bullet$ แถวที่ 1: $2,$ $2$
$\bullet$ แถวที่ 2: $4,$ $4,$ $4,$ $4$
$\bullet$ แถวที่ 3: $6,$ $6,$ $6,$ $6,$ $6,$ $6$
$\bullet$ แถวที่ 4: $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8$ | เนื่องจากเราทราบว่ามี $20$ ตัวเลขใน $4$ แถวแรก เราต้องการหาตัวเลขที่ $20$ เริ่มต้นจากแถวที่ $5$ เนื่องจากมี $10$ ตัวเลขในแถวที่ $5$ และมี $12$ ตัวเลขในแถวที่ $6$ ตัวเลขที่ $20$ ถ้าเราเริ่มนับจากแถวที่ $5$ จะอยู่ที่ตำแหน่งที่ $10$ ของแถวที่ $6$ ซึ่งก็คือ $\boxed{12}$ | \boxed{12}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ในตาชั่ง, ลูกบอลสีเขียว 3 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 5 ลูก, และลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีขาว 4 ลูก. ต้องใช้ลูกบอลสีน้ำเงินกี่ลูกจึงจะสมดุลกับลูกบอลสีเขียว 4 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก? | เราจะกำหนดให้ น้ำหนักของลูกบอลแต่ละสีเป็นตัวแปรที่กำหนดโดยอักษรตัวแรกของสีนั้น. เราได้ว่า $3G=6B\implies 1G=2B$, $2Y=5B\implies 1Y=2.5B$, และ $6B=4W\implies 1W=1.5B$. ดังนั้น $4G+2Y+2W=4(2B)+2(2.5B)+2(1.5B)=8B+5B+3B=16B$, และคำตอบของเราคือ $\boxed{16}$. | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax+3 & \text{ if }x>0, \\
ab & \text{ if }x=0, \\
bx+c & \text{ if }x<0.
\end{array}
\right.\]ถ้า $f(2)=5$, $f(0)=5$, และ $f(-2)=-10$ และ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $2>0$ เราทราบว่า $f(2)=a(2)+3=5$ แก้สมการเพื่อหาค่า $a$ เราได้ว่า $a=1$ เมื่อ $x=0$ เราได้ว่า $f(0)=ab=5$ เราทราบแล้วว่า $a=1$ ดังนั้น $b=5$ เนื่องจาก -2 เป็นจำนวนลบ เราทราบว่า $f(-2)=b(-2)+c=(5)(-2)+c=-10$ นี่บอกเราว่า $c=0$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $a+b+c=1+5+0=\boxed{6}$ | a+b+c=1+5+0=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
3x^2 + 2&\text{ถ้า } x\le 3, \\
ax - 1 &\text{ถ้า } x>3.
\end{cases}
\]จงหาค่า $a$ ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ ต่อเนื่อง (หมายถึงสามารถวาดกราฟได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) | ถ้ากราฟของ $f$ ต่อเนื่อง กราฟของทั้งสองกรณีจะต้องมาบรรจบกันเมื่อ $x=3$ ซึ่ง (ในความหมายที่ไม่เคร่งครัด) เป็นจุดแบ่งระหว่างสองกรณี ดังนั้นเราต้องมี $3(3^2) + 2 = 3a - 1$ แก้สมการนี้จะได้ $a = \boxed{10}$ | a = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $i^6+i^{16}+i^{-26}$ | เราทราบว่า $i^6 = i^4\cdot i^2 = 1\cdot (-1) = -1$. นอกจากนี้ $i^{16} = (i^4)^4 = 1^4 =1$ และ $i^{-26} = 1/i^{26} = 1/(i^{24}\cdot i^2) = 1/[1\cdot (-1)] = -1$. ดังนั้น การบวกผลลัพธ์ทั้งสามนี้จะได้ $i^6 + i^{16} + i^{-26} = -1+1-1 = \boxed{-1}$. | $i^6 + i^{16} + i^{-26} = -1+1-1 = \boxed{-1}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนเฉพาะที่ต่างกันสี่จำนวนได้ | เราใช้จำนวนเฉพาะสี่จำนวนที่เล็กที่สุด: 2, 3, 5, 7. ผลคูณร่วมน้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้ก็คือผลคูณของมัน ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนเฉพาะที่ต่างกันสี่จำนวนได้คือ $2\cdot3\cdot5\cdot7=\boxed{210}$ | 2\cdot3\cdot5\cdot7=\boxed{210} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสามจำนวน $a$, $b$, และ $c$ เท่ากับ 99. ถ้าเราเพิ่ม $a$ ขึ้น 6, ลด $b$ ลง 6 และคูณ $c$ ด้วย 5, สามจำนวนที่ได้จะมีค่าเท่ากัน. จงหาค่าของ $b$ | กำหนดสมการ $a+b+c=99$ และ $a+6=b-6=5c$. แก้สมการ $b-6=5c$ เพื่อหา $b$ จะได้ $b=5c+6$ และแก้สมการ $5c=a+6$ เพื่อหา $a$ จะได้ $a=5c-6$. แทนค่าทั้งสองสมการนี้ลงใน $a+b+c=99$ จะได้ $(5c-6)+(5c+6)+c=99$. ทำให้ง่ายขึ้นทางด้านซ้ายมือ เราได้ $11c=99$ ซึ่งหมายความว่า $c=9$. แทนค่าลงใน $b=5c+6$ จะได้ $b=5(9)+6=\boxed{51}$. | b=5(9)+6=\boxed{51} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการจัดลูกบอล 5 ลูกลงในกล่อง 3 ใบกี่วิธี ถ้าลูกบอลต่างกันแต่กล่องเหมือนกัน? | เนื่องจากกล่องเหมือนกัน จึงมี 5 กรณีที่แตกต่างกันสำหรับการจัดเรียงจำนวนลูกบอลในแต่ละกล่อง: $(5,0,0)$, $(4,1,0)$, $(3,2,0)$, $(3,1,1)$ หรือ $(2,2,1)$.
$(5,0,0)$: มีเพียง $1$ วิธีในการใส่ลูกบอลทั้ง 5 ลงในกล่องเดียว
$(4,1,0)$: มี $\binom{5}{4} = 5$ วิธีในการเลือก 4 ลูกบอลลงในกล่องหนึ่ง
$(3,2,0)$: มี $\binom{5}{3} = 10$... | \boxed{41} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x$ เมื่อ $3(x - 4) + 4(7 - 2x^2 + 5x) - 8(2x - 1)$ ถูกทำให้เป็นรูปอย่างง่าย | สัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $3(x - 4) + 4(7 - 2x^2 + 5x) - 8(2x - 1)$ คือ $3 + 4 \cdot 5 - 8 \cdot 2 = \boxed{7}$ | 3 + 4 \cdot 5 - 8 \cdot 2 = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในนิพจน์ $c \cdot a^b - d$ ค่าของ $a$, $b$, $c$ และ $d$ คือ 0, 1, 2 และ 3 แม้ว่าไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์คือเท่าไร | ถ้า $d \neq 0$ ค่าของนิพจน์สามารถเพิ่มได้โดยการสลับ 0 กับค่าของ $d$ ดังนั้นค่าสูงสุดต้องเกิดขึ้นเมื่อ $d=0$ ถ้า $a = 1$ ค่าคือ $c$ ซึ่งคือ 2 หรือ 3 ถ้า $b=1$ ค่าคือ $c \cdot a = 6$ ถ้า $c=1$ ค่าคือ $a^b$ ซึ่งคือ $2^3 = 8$ หรือ $3^2 = 9$ ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=4x+12y-39$ คือจุด $(h,k)$ จงหาค่าของ $h+k$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2-4x+y^2-12y=-39$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(-4/2)^2=4$ เข้าทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(-12/2)^2=36$ เข้าทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2-4x+y^2-12y&=-39\\
\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-12y+36&=1\\
\Ri... | h+k=2+6=\boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้นและทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ: $$\frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}+1}}.$$ | เริ่มต้นด้วยพจน์ $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วนได้ $$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$จากนั้นเราสามารถแทนค่านี้กลับเข้าไปในนิพจน์เดิมของเราและคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $2$ เพื่อ... | \sqrt{3}-1 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นส่วนย่อยของ $\{1,2,3,...,50\}$ โดยที่ไม่มีคู่ของสมาชิกที่แตกต่างกันใน $S$ ที่มีผลรวมหารด้วย 7 ลงตัว จงหาจำนวนสมาชิกสูงสุดใน $S$?
$\text{(A) } 6\quad \text{(B) } 7\quad \text{(C) } 14\quad \text{(D) } 22\quad \text{(E) } 23$
| ข้อเท็จจริงที่ว่า $x \equiv 0 \mod 7 \Rightarrow 7 \mid x$ ถือว่าเป็นความรู้ทั่วไปในคำตอบนี้
ก่อนอื่น โปรดทราบว่ามี 8 จำนวนที่เท่ากัน modulo 7 และมี 7 จำนวนที่เท่ากัน modulo 2 ถึง 6
ประการที่สอง โปรดทราบว่าไม่มีคู่ของจำนวน $a$ และ $b$ เช่นนั้น $a \equiv -b$ mod 7 เพราะ $a+b | 7$ คู่เหล่านี้คือ $(0,0)$, $(1,6)$, $(2,5)$... | 1+8+14=\boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x^3 + x^2 + x + 1$ เมื่อ $x = 3$ | เราเห็นว่านิพจน์นี้เท่ากับ $3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40}$ | 3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x=2$ และ $y=3$ จงแสดงค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $$
\frac
{~\frac{1}{y}~}
{\frac{1}{x}}
$$ | เราได้ว่า \[\frac{\phantom{o}\frac1y\phantom{o}}{\frac1x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{1} = \frac{x}{y} = \boxed{\frac{2}{3}}.\] | [
"ประยุกต์"
] | |
ผลรวมของจำนวนเต็มบวก 18 จำนวนที่เรียงติดกันเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของผลรวมนี้ | ให้ $n, n+1, \dots , n+17$ เป็นจำนวนเต็มบวก 18 จำนวนที่เรียงติดกัน ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ \[\frac{n + (n + 17)}{2} \cdot 18 = 9(2n + 17).\]เนื่องจาก 9 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ $2n+17$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วย ค่าที่น้อยที่สุดของ $n$ ที่ทำให้เกิดขึ้นค... | 9(2n+17) = 9\cdot 25 = \boxed{225} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จัตุรัสวิเศษคือการจัดเรียงตัวเลขในตารางโดยที่ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว แต่ละหลัก และตามแนวเส้นทแยงมุมทั้งสองมีค่าเท่ากัน ตัวเลขในจัตุรัสวิเศษที่แสดงอยู่นี้ไม่ได้เขียนในระบบเลขฐานสิบ ฐานของระบบเลขใดที่ทำให้ตารางนี้เป็นจัตุรัสวิเศษ?
[asy]
unitsize(0.75cm);
for (int i=0; i<4; ++i) {
draw((0,i)--(3,i),linewidth(0.7));
draw... | ให้ $b$ เป็นฐานของระบบเลขที่ตัวเลขในตารางถูกแสดงออก ผลรวมของแถวแรกและหลักแรกต้องเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า $1+11_b = 4+3$ เขียน $11_b$ เป็น $b+1$ เราจะได้ว่า $1+b+1 = 7$ ซึ่งหมายความว่า $b=\boxed{5}$ | b=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $ (25 + 8)^2 - (8^2 + 25^2)$ | ขยายกำลังสองทางซ้าย เราจะเห็นว่านิพจน์ที่กำหนดให้เท่ากับ $25^2 + 2 \cdot 25 \cdot 8 + 8^2 - 8^2 - 25^2 = 2 \cdot 25 \cdot 8 = \boxed{400}$ | 400 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่า $m$ ใดที่สมการ $(x+4)(x+1) = m + 2x$ มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียว จงแสดงคำตอบของคุณในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราเริ่มต้นด้วยการทำให้ข้างซ้ายของสมการง่ายขึ้น และบวก $-m-2x$ ลงทั้งสองข้าง เราจะได้ $x^2+3x+(4-m)=0$ เพื่อให้สมการกำลังสองนี้มีรากจริงเพียงรากเดียว ตัวเลือก $b^2-4ac$ ต้องเท่ากับ $0$ ดังนั้นเราต้องใช้ $9-4(4-m) = 0$ แก้สมการแล้วเราจะได้ $m=\boxed{\frac{7}{4}}$ | m=\boxed{\frac{7}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รากที่สองของ $x$ มากกว่า 2 และน้อยกว่า 4 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | เราได้: $4 > \sqrt{x} > 2$. ยกกำลังสอง เราได้ $16 > x > 4$. ดังนั้น จำนวนเต็มตั้งแต่ 15 ถึง 5 รวมทั้ง 5 สอดคล้องกับอสมการนี้ นั่นคือจำนวนเต็มทั้งหมด $15-5+1=\boxed{11}$ จำนวน | 15-5+1=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนเต็มบวก $n$ กี่จำนวนที่ทำให้ $1 + 2 + \cdots + n$ หาร $6n$ ลงตัว | เนื่องจาก \[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2},
\]$1 + 2 + \cdots + n$ จะหารจำนวนเต็มบวก $6n$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ \[
\frac{6n}{n(n+1)/2} = \frac{12}{n+1}\ \text{เป็นจำนวนเต็ม.}
\]มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว $\boxed{5}$ จำนวน คือ 1, 2, 3, 5 และ 11 | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x^5 - 5x$ เมื่อ $x = 4$ | เราได้ว่า $x^5 - 5x = 4^5 - 5(4) = 1024 - 20 = \boxed{1004}$ | x^5 - 5x = 4^5 - 5(4) = 1024 - 20 = \boxed{1004} | [
"ประยุกต์"
] |
พจน์ที่ห้าของลำดับเรขาคณิตของจำนวนบวกคือ 11 และพจน์ที่สิบเอ็ดคือ 5 จงหาพจน์ที่แปดของลำดับนี้ แสดงคำตอบของคุณในรูปรากที่ง่ายที่สุด [asy]
size(150); defaultpen(linewidth(2));
real loc = 0;
for(int i = 0; i < 11; ++i) {
if(i == 4)
label("$\mathbf{\mathit{11}}$",(loc,0),(0.8,1.2),fontsize(14));
if(i == 10)
label("$\mat... | ให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จากนั้น พจน์ที่แปดของลำดับจะเท่ากับ $11r^3$ และพจน์ที่สิบเอ็ดของลำดับจะเท่ากับ $11r^6 = 5$ จากสมการที่สอง จะได้ว่า $r^6 = \frac{5}{11} \Longrightarrow r^3 = \sqrt{\frac{5}{11}}$ ดังนั้น $11r^3 = 11 \cdot \sqrt{\frac{5}{11}} = \sqrt{\frac{11^2 \cdot 5}{11}} = \boxed{\sqrt{55}}$
... | 11r^3 = 11 \cdot \sqrt{\frac{5}{11}} = \sqrt{\frac{11^2 \cdot 5}{11}} = \boxed{\sqrt{55}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $a,b,c,32,64$ | อัตราส่วนร่วมคือ $\frac{64}{32} = 2$ ดังนั้นพจน์แรกคือ $\frac{32}{2^3} = \frac{32}{8} = \boxed{4}$ | \frac{32}{2^3} = \frac{32}{8} = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของเจ็ดจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นผลคูณของ 9 | เราถูกขอให้คำนวณ $9+18+27+\cdots+63$. แยก 9 ออกมา และใช้เอกลักษณ์ $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ เพื่อหาว่า $9+18+\cdots+63=9(1+2+\dots+7)= 9 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} = \boxed{252}$. | 9+18+\cdots+63=9(1+2+\dots+7)= 9 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} = \boxed{252} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของน้ำหนักของจิมและบ็อบเท่ากับ 180 ปอนด์ ถ้าคุณลบน้ำหนักของจิมออกจากน้ำหนักของบ็อบ คุณจะได้ครึ่งหนึ่งของน้ำหนักของบ็อบ บ็อบหนักเท่าไร? | ให้ $j$ แทนน้ำหนักของจิม และ $b$ แทนน้ำหนักของบ็อบ เราสามารถใช้ระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแทนข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
j + b &= 180 \\
b - j &= \frac{b}{2} \\
\end{align*} การบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $2b = 180 + \frac{b}{2}$ แก้สมการเพื่อหา $b$ จะได้ $3b = 360$ หรือ $b = 120$ ดังนั้นบ็อบหนัก $\boxed{120}$ ปอนด์ | \boxed{120} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $m$ ใดที่สมการ $(x+4)(x+1) = m + 2x$ มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียว จงแสดงคำตอบของคุณในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราเริ่มต้นด้วยการทำให้สมการข้างซ้ายง่ายขึ้น และบวก $-m-2x$ เข้าทั้งสองข้าง เราได้ $x^2+3x+(4-m)=0$ เพื่อให้สมการกำลังสองนี้มีรากจริงเพียงรากเดียว ตัวเลือก $b^2-4ac$ ต้องเท่ากับ $0$ ดังนั้นเราต้องกำหนด $9-4(4-m) = 0$ แก้สมการได้ $m=\boxed{\frac{7}{4}}$ | m=\boxed{\frac{7}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ดีกรีของพหุนาม $(x^4+ax^7+bx+c)(x^3+dx^2+e)(x+f)$ คือเท่าใด เมื่อ $a$ ถึง $f$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์? | เพื่อที่จะหาดีกรีของพหุนาม เราต้องรู้เลขชี้กำลังที่มากที่สุดของตัวแปรในพหุนาม เมื่อเราคูณพหุนามนี้ เราจะได้ว่าพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดจะได้จากการคูณพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดในแต่ละพหุนามที่คูณกัน พจน์เหล่านี้คือ $ax^7$, $x^3$ และ $x$ การคูณพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน $ax^7\cdot x^3\cdot x=ax^{11}$ เราจะได้ว่าเลขชี... | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(2,2)$ และ $(17,10)$ ทั้งคู่สัมผัสแกน $x$ ระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือเท่าไร? | รัศมีของวงกลมวงแรกคือ 2 และรัศมีของวงกลมวงที่สองคือ 10 ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\sqrt{(17 - 2)^2 + (10 - 2)^2} = 17,$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือ $17 - 2 - 10 = \boxed{5}.$
[asy]
unitsize(0.3 cm);
draw((2,2)--(2,0),dashed);
draw((17,10)--(17,0),dashed);
draw((-1,0)--(28,0))... | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $A$, $B$, $C$, และ $D$ อยู่บนเส้นตรงตามลำดับ ถ้า $AB=2$ หน่วย, $BC=5$ หน่วย และ $AD=14$ หน่วย จงหาอัตราส่วนของ $AC$ ต่อ $BD$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | $AC = AB + BC = 7$. $BD = AD - AB = 12$. ดังนั้น $AC:BD=\boxed{\frac{7}{12}}$. | AC:BD=\boxed{\frac{7}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมมีจุดยอดที่พิกัด (2,2), (5,6) และ (6,2) ความยาวของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมีจำนวนหน่วยเท่าใด | เราต้องหาความ distanced ระหว่างคู่ของจุด
ความ distanced ระหว่าง (2, 2) และ (6, 2) คือ 4 เนื่องจากจุดทั้งสองนี้มีพิกัด y เดียวกัน
ความ distanced ระหว่าง (2, 2) และ (5, 6) คือ $\sqrt{(5 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
ความ distanced ระหว่าง (5, 6) และ (6, 2) คือ $\sqrt{(6 - 5)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{1 + 16} ... | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในวันหนึ่งที่เมืองซอลต์เลค รัฐยูทาห์ อุณหภูมิถูกกำหนดโดย $-t^2 +12t+50$ โดยที่ $t$ คือเวลาเป็นชั่วโมงที่ผ่านไปหลังเที่ยงวัน ค่า $t$ ที่ใหญ่ที่สุดที่อุณหภูมิเท่ากับ 77 องศาฟาเรนไฮต์ คือเท่าใด? | เราตั้งอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศาฟาเรนไฮต์: \begin{align*}
-t^2 +12t+50&=77\\
t^2-12t+27&=0\\
(t-3)(t-9)&=0
\end{align*}เราเห็นว่าอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศาฟาเรนไฮต์ สองครั้ง: ที่ $t=3$ และ $t=9$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว $3x$ นิ้ว และความกว้าง $x + 5$ นิ้ว มีสมบัติที่พื้นที่และเส้นรอบรูปมีค่าเท่ากัน จงหาค่า $x$ | ให้ $l$ แทนความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ $w$ แทนความกว้าง ดังนั้น $l = 3x$ และ $w = x + 5$ เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับเส้นรอบรูป เราได้ว่า $l \times w = 2l + 2w$ จากนั้นเราสามารถแทน $3x$ กลับเข้าไปใน $l$ และ $x + 5$ ใน $w$ เพื่อให้ได้ \begin{align*}
& (3x)(x+5) = 2(3x) + 2(x + 5) \\
\Rightarrow\qquad & ... | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เบ็ตตี้ไปร้านขายของชำเพื่อซื้อแป้งและน้ำตาล เธอซื้อแป้งอย่างน้อย 6 ปอนด์ มากกว่าครึ่งหนึ่งของน้ำตาลที่ซื้อ และไม่เกินสองเท่าของน้ำตาลที่ซื้อ จงหาจำนวนน้ำตาลที่น้อยที่สุดที่เบ็ตตี้จะซื้อได้ | สมมติว่าเบ็ตตี้ซื้อแป้ง $f$ ปอนด์ และน้ำตาล $s$ ปอนด์ จากโจทย์เราได้ $f \ge 6+s/2$ และ $f \le 2s$ นำมาต่อกันได้ $2s \ge f \ge 6 +s/2$ ดังนั้นนิพจน์ทางซ้ายสุดของโซ่ความไม่เท่ากันนี้ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $6+s/2$ ทางขวา ดังนั้น \[2s \ge 6 + s/2 \implies 3s/2 \ge 6 \implies s\ge \boxed{4}.\] | 6+s/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในอาณานิคมแบคทีเรียแห่งหนึ่ง จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกวัน อาณานิคมเริ่มต้นด้วยแบคทีเรีย 3 ตัว และมี 6 ตัวในตอนท้ายของวันแรก 12 ตัวในตอนท้ายของวันที่สอง และอื่นๆ วันแรกที่สิ้นสุดลงด้วยอาณานิคมที่มีแบคทีเรียมากกว่า 100 ตัวคือวันใด | จำนวนแบคทีเรียจะถูกคูณด้วย 2 ในตอนท้ายของแต่ละวัน ดังนั้นจำนวนแบคทีเรียในตอนท้ายของวัน $n$ คือ $3\cdot2^n$ เราต้องการ $3\cdot2^n > 100$ หรือ $2^n > 33\frac{1}{3}$ $n$ ที่เล็กที่สุดที่เกิดขึ้นคือ $n = \boxed{6}$ | n = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แต่ละพจน์ในลำดับ $2048, 512, 128, x,
y, 2, \frac 12, \frac 18,...$ ได้มาจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัว ค่าของ $x + y$ เท่ากับเท่าใด | ให้ค่าคงตัวนี้เป็น $r$ เพื่อที่จะได้จาก $2$ ไปยัง $\frac{1}{2}$ เราคูณด้วย $r$ ดังนั้น $2r = \frac{1}{2}$ หรือ $r = \frac{1}{4}$ เพื่อที่จะได้จาก 128 ไปยัง $x$ เราคูณด้วย $\frac{1}{4}$ ดังนั้น $x = 128 \cdot \frac{1}{4} = 32$ เพื่อที่จะได้จาก 32 ไปยัง $y$ เราคูณด้วย $\frac{1}{4}$ ดังนั้น $y = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$ ... | x + y = 32 + 8 = \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(3,17)$ และ $(9,-4)$ เป็นพิกัดของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงหาผลรวมของพิกัด $y$ ของอีก 2 จุดยอด | จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะตรงกัน ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ $(3,17)$ และ $(9,-4)$ ก็เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่ออีก 2 จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย พิกัด $y$ ของจุดกึ่งกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของจุดปลายทั้งสอง ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของ $(3... | 17+(-4)=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\&$ นิยามโดย $a \& b = (a+b)(a-b)$ จงหาค่าของ $6 \& 3$ | แทนค่าลงในนิยาม $6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27}$ | 6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สี่จำนวนเต็มบวก $A$, $B$, $C$ และ $D$ มีผลรวมเท่ากับ 36 ถ้า $A+2 = B-2 = C \times 2 = D \div 2$ จงหาค่าของผลคูณ $A \times B \times C \times D$? | เรามีว่า $A + B + C + D = 36$. แทนทุกอย่างในรูปของ $C$ เราพบว่า $(2C - 2) + (2C + 2) + C + (4C) = 36$ ซึ่งหมายความว่า $C = 4$ ดังนั้น $A = 6$, $B = 10$ และ $D = 16$ ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ $6\cdot 10\cdot 16\cdot 4 = \boxed{3840}$ | 6\cdot 10\cdot 16\cdot 4 = \boxed{3840} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x) = -\dfrac{1}{x},$ จงหาค่าของ $f(f(f(f(f(6)))))$ | เราเห็นว่า $f(f(x)) = -\dfrac{1}{-\frac{1}{x}} = x$ ดังนั้น $f(f(f(f(f(6))))) = f(f(f(6))) = f(6) = \boxed{-\dfrac{1}{6}}.$ | f(f(f(f(f(6))))) = f(f(f(6))) = f(6) = \boxed{-\dfrac{1}{6}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{x+1}{3x-4}$ จงหาค่าของ $f(5)$ | เราสามารถหาค่านี้ได้โดยการแทนค่า 5 ลงในฟังก์ชัน: \begin{align*} f(5)& = \dfrac{5+1}{3(5)-4}
\\ & = \dfrac{6}{15-4}
\\ & = \boxed{\dfrac{6}{11}}
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จำนวน $110n^3$ มีตัวหารจำนวนเต็มบวก 110 ตัว รวมถึง 1 และจำนวน $110n^3$ ด้วย จำนวน $81n^4$ มีตัวหารจำนวนเต็มบวกกี่ตัว?
$\textbf{(A) }110\qquad\textbf{(B) }191\qquad\textbf{(C) }261\qquad\textbf{(D) }325\qquad\textbf{(E) }425$
| เนื่องจากการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ 110 คือ $2 \cdot 5 \cdot 11$ เราได้ว่าจำนวนนี้เท่ากับ $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot n^3$ ซึ่งมี $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ ตัวประกอบเมื่อ $n=1$ จำนวนนี้ต้องเป็นทวีคูณของ 11 ตัวประกอบ ซึ่งเราสามารถทำได้โดยการกำหนด $n=2^3$ ดังนั้น $2^{10} \cdot 5 \cdot 11$ มี 44 ตัวประกอบ เพื่อให้ได้ตัวประ... | 5 \cdot 13 \cdot 5=\boxed{325} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(x+2)(x-3)=14$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ที่เป็นไปได้ | ขยายด้านซ้ายของสมการที่กำหนดให้ เราได้ $x^2-x-6=14 \Rightarrow x^2-x-20=0$ เนื่องจากในสมการกำลังสองที่มีรูปแบบ $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของรากคือ $-b/a$ ผลรวมของรากของสมการที่กำหนดคือ $1/1=\boxed{1}$ | 1/1=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เชวแบคก้ามีหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ 20 ชิ้น และหมากฝรั่งรสองุ่น 30 ชิ้น บางส่วนอยู่ในซองที่สมบูรณ์ ส่วนที่เหลือเป็นชิ้นหลวมๆ แต่ละซองที่สมบูรณ์มีหมากฝรั่ง $x$ ชิ้น ถ้าเชวแบคก้าทำหมากฝรั่งรสเชอร์รี่หายไป 1 ซอง อัตราส่วนของจำนวนหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ที่เขามีต่อจำนวนหมากฝรั่งรสองุ่นจะเป็นเท่ากันกับกรณีที่เขาพบหมากฝรั่งรสองุ่นเพิ่... | ถ้าเชวแบคก้าทำหมากฝรั่งรสเชอร์รี่หายไป 1 ซอง อัตราส่วนของจำนวนหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ที่เขามีต่อจำนวนหมากฝรั่งรสองุ่นคือ $(20-x)/30$ ถ้าเขาพบหมากฝรั่งรสองุ่นเพิ่ม 5 ซอง อัตราส่วนนี้จะเป็น $20/(30+5x)$ อัตราส่วนทั้งสองต้องเท่ากัน ดังนั้นเราจะได้ \begin{align*}
\frac{20-x}{30} &= \frac{20}{30+5x} \quad\implies\\
(20-x)(30+5x... | x=\boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของคำตอบของสมการ: $|y|=2(|y|-1)$. | จัดรูปสมการใหม่ได้ $|y|=2.$ ดังนั้น $y=\pm 2$ และผลคูณของคำตอบคือ $\boxed{-4}.$ | \boxed{-4}. | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
แผนผังขนาดของสวนแสดงว่า 1 นิ้วแทน 800 ฟุต เส้นส่วนในแผนผังที่มีความยาว 4.75 นิ้ว แทนระยะทางจริงกี่ฟุต | แต่ละนิ้วของเส้นส่วน 4.75 นิ้วแทน 800 ฟุต ดังนั้นเส้นส่วนทั้งหมดแทน $4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800}$ ฟุต | 4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ต้องเติมน้ำบริสุทธิ์กี่ออนซ์ลงในสารละลายกรด 30% ที่มีปริมาตร 30 ออนซ์ เพื่อให้ได้สารละลายที่มีความเข้มข้นของกรด 20%? | สมมติว่าจำนวนออนซ์ของน้ำบริสุทธิ์ที่จำเป็นเท่ากับ $w$ ดังนั้นปริมาณของเหลวทั้งหมดในส่วนผสมคือ $30 + w$ ปริมาณกรดในส่วนผสมจะเท่ากับ $30\% \times 30 = 9$ ออนซ์เสมอ ดังนั้นปริมาณกรดในส่วนผสมเท่ากับ $\frac{9}{30 + w}$ การตั้งค่าให้เท่ากับ $20\% = \frac 15$ จะได้ว่า $$\frac{9}{30+w} = \frac 15 \Longrightarrow 30+w = 45.$$ ด... | w = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าไฮดีสามารถทาสีผนังได้ใน 45 นาที เธอสามารถทาสีผนังได้กี่ส่วนของผนังใน 9 นาที | เนื่องจาก 9 นาทีเป็น 1/5 ของ 45 นาที เราสามารถหาส่วนของผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 9 นาทีโดยการหารปริมาณผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 45 นาทีด้วย 5 เนื่องจากไฮดีสามารถทาสีผนังทั้งหมดได้ใน 45 นาที ดังนั้นเธอสามารถทาสีได้ $\boxed{\frac{1}{5}}$ ของผนังใน 9 นาที | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รูป heptagon (รูปheptagon) มีด้าน 7 ด้าน มีเส้นทแยงมุมที่แตกต่างกันกี่เส้น? | จากจุดยอด $V$ แต่ละจุด เราสามารถวาดเส้นทแยงมุมได้ 4 เส้น: เส้นหนึ่งไปยังจุดยอดแต่ละจุดที่ไม่ใช่ $V$ และไม่ใช้ด้านร่วมกับ $V$ มีจุดยอด 7 จุดใน heptagon ดังนั้นเราอาจจะคิดว่าคำตอบคือ $7\times 4 = 28$ อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าสิ่งนี้คำนวณเส้นทแยงมุมแต่ละเส้นสองครั้ง ครั้งหนึ่งสำหรับจุดยอดแต่ละจุด ดังนั้นมีเส้นทแยงมุมที่แตก... | \frac{28}{2} = \boxed{14} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $8^{4x-6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$ สำหรับ $x$ | เนื่องจาก $8=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3(4x-6)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$. จากสมการนี้ เราจะเห็นว่า $-3(4x-6)=x+5$. เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
-12x+18&=x+5\\
\Rightarrow -13x+18&=5\\
\Rightarrow -13x&=-13\\
\Rightarrow x&=\boxed{1}.
\end{... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนสองจำนวนเท่ากับ 3780 และตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 18 ถ้าจำนวนหนึ่งเท่ากับ 180 จงหาอีกจำนวนหนึ่ง | เราใช้เอกลักษณ์ $\gcd(a,b) \cdot \mathop{\text{lcm}}[a,b] = ab$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ และ $b$ ทั้งหมด เราทราบว่า $\gcd(a,b) = 18$ และ $\mathop{\text{lcm}}[a,b] = 3780$ ดังนั้น $ab = 18 \cdot 3780$ ถ้าจำนวนหนึ่งเท่ากับ 180 อีกจำนวนหนึ่งคือ $18 \cdot 3780/180 = \boxed{378}$ | 18 \cdot 3780/180 = \boxed{378} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมการ $y = -6t^2 - 10t + 56$ อธิบายความสูง (เป็นฟุต) ของลูกบอลที่ถูกโยนลงมาด้วยความเร็ว 10 ฟุตต่อวินาที จากความสูง 56 ฟุตจากพื้นผิวดาวอังคาร ในเวลาเท่าไร ลูกบอลจะตกลงถึงพื้น? แสดงคำตอบของคุณเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด | กำหนดให้ $y$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้ดังนี้:
\begin{align*}
-6t^2 - 10t + 56 &= 0 \\
\Rightarrow \quad 6t^2 + 10t - 56 &= 0 \\
\Rightarrow \quad 3t^2 + 5t - 28 &= 0 \\
\Rightarrow \quad (3t-7)(t+4) &= 0.
\end{align*}เนื่องจาก $t$ ต้องเป็นบวก เราจะเห็นว่า $t = \frac{7}{3} \approx \boxed{2.33}.$ | t = \frac{7}{3} \approx \boxed{2.33}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าลำดับ $2, ~6, ~10, \ldots, ~x, ~y, ~26$ เป็นลำดับเลขคณิต จงหาค่าของ $x + y$ | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $6-2=4$ เนื่องจากระยะห่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันในลำดับเลขคณิตมีค่าเท่ากับค่านี้ ดังนั้น $y=26-4=22$ และ $x=26-2 \cdot 4 = 18$ ดังนั้น $x+y=22+18=\boxed{40}$ | x+y=22+18=\boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลิซ่ามีเพื่อน 10 คน และมีลูกแก้ว 34 ลูก เธอต้องการลูกแก้วเพิ่มอย่างน้อยที่สุดกี่ลูก เพื่อที่เธอจะสามารถให้ลูกแก้วแก่เพื่อนแต่ละคนอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีเพื่อนสองคนใดที่ได้รับลูกแก้วจำนวนเท่ากัน? | ลิซ่าต้องการลดจำนวนลูกแก้วที่เธอให้กับเพื่อนของเธอโดยไม่ต้องให้ลูกแก้วจำนวนเท่ากันแก่เพื่อนสองคน เธอสามารถให้ลูกแก้วได้อย่างน้อย 1 ลูกแก่เพื่อนคนหนึ่ง จากนั้นให้ 2 ลูกแก่เพื่อนอีกคน 3 ลูกแก่เพื่อนอีกคน และต่อเนื่องไปจนถึงเพื่อนคนสุดท้ายที่ได้รับ 10 ลูก จำนวนลูกแก้วทั้งหมดที่ลิซ่าให้ไปคือ $1+2+3+\cdots+10 = \frac{10 \cd... | 55-34=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปหลายเหลี่ยมปกติสองรูปมีเส้นรอบรูปเท่ากัน ถ้ารูปแรกมีด้าน 38 ด้าน และความยาวด้านยาวเป็นสองเท่าของรูปที่สอง รูปที่สองมีกี่ด้าน | ให้รูปแรกมีด้านยาว $2s$ และรูปที่สองมีด้านยาว $s$ ดังนั้นเส้นรอบรูปของรูปแรกคือ $38\cdot2s=76s$ เนื่องจากเส้นรอบรูปนี้เท่ากับเส้นรอบรูปของรูปที่สองด้วย รูปที่สองจึงมี $76s/s=\boxed{76}$ ด้าน | 76s/s=\boxed{76} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้กำลังสองของจำนวนเต็ม $x$ เท่ากับ 1521 จงหาค่าของ $(x+1)(x-1)$ | โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง เราจะเห็นว่า $(x+1)(x-1) = x^2-1$ เนื่องจากเราทราบว่า $x^2= 1521$ เราสามารถคำนวณ $x^2-1 = 1521-1 = \boxed{1520}$ ได้ | x^2-1 = 1521-1 = \boxed{1520} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แจคลิน มาร์เซล ซูซานนา และวันดา เป็นติวเตอร์ในห้องเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียนของพวกเธอ ตารางเวลาของพวกเขาเป็นดังนี้: แจคลินทำงานทุกๆ 3 วันโรงเรียน มาร์เซลทำงานทุกๆ 4 วันโรงเรียน ซูซานนาทำงานทุกๆ 6 วันโรงเรียน และวันดาทำงานทุกๆ 7 วันโรงเรียน วันนี้พวกเขาทั้งหมดทำงานในห้องเรียนคณิตศาสตร์ ในอีกกี่วันโรงเรียนนับจากวันนี้ พว... | จำนวนวันโรงเรียนจนกว่าพวกเขาจะมาด้วยกันอีกครั้งคือ ห.ร.ม. ของ $3$, $4$, $6$ และ $7$ ซึ่งก็คือ $\boxed{84}$ | \boxed{84} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาว $3x$ นิ้ว และความกว้าง $x + 5$ นิ้ว มีสมบัติที่พื้นที่และเส้นรอบรูปมีค่าเท่ากัน จงหาค่าของ $x$ | ให้ $l$ แทนความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ $w$ แทนความกว้าง ดังนั้น $l = 3x$ และ $w = x + 5$ เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับเส้นรอบรูป เราได้ว่า $l \times w = 2l + 2w$ จากนั้นเราสามารถแทน $3x$ กลับเข้าไปใน $l$ และ $x + 5$ เข้าไปใน $w$ เพื่อให้ได้ \begin{align*}
& (3x)(x+5) = 2(3x) + 2(x + 5) \\
\Rightarrow\qq... | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
던져진 두 개의 주사위에서 나온 눈의 합이 짝수일 확률은 얼마입니까? 답을 통분된 분수로 나타내세요. | 첫 번째 주사위가 굴러난 후, 다른 주사위는 여섯 가지의 가능한 결과를 가지고 있습니다. 세 가지는 한 가지 홀짝이고, 세 가지는 다른 홀짝입니다. 따라서 첫 번째 주사위가 무엇을 보여주든지, 합이 짝수 또는 홀수일 확률은 $\boxed{\frac12}$입니다. 굴러지는 주사위의 개수가 몇 개든 이는 항상 참입니다. | \boxed{\frac12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x)=3x+4$ และ $g(x)=2x-3$ ถ้า $h(x)=f(g(x))$ แล้ว ผกผันของ $h(x)$ คืออะไร? | \[h(x)=f(g(x))=3(2x-3)+4=6x-5.\]ให้แทน $h(x)$ ด้วย $y$ เพื่อความง่าย ดังนั้น \[y=6x-5.\]เพื่อหาผกผันของ $h(x)$ เราสามารถแก้สมการนี้เพื่อหา $x$ ได้ ซึ่งจะได้ \[y+5=6x\]หรือ \[x=\frac{y+5}{6}.\]เขียนในรูปของ $x$ จะได้ฟังก์ชันผกผันของ $h$ คือ \[h^{-1}(x)=\boxed{\frac{x+5}{6}}.\] | h | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแสดง $\frac{31}{2\cdot5^6}$ ในรูปทศนิยมที่ลงท้าย | เนื่องจากทศนิยมที่ลงท้ายสามารถเขียนในรูปของ $\frac{a}{10^b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม เราต้องการเขียนเศษส่วนใหม่ให้มีส่วนของ $10^b=2^b\cdot5^b$ \[ \frac{31}{2\cdot5^6}\cdot\frac{2^{5}}{2^{5}}=\frac{31\cdot2^{5}}{10^{6}}=\frac{992}{10^{6}}. \]เนื่องจากส่วนประกอบด้วย $10^6$ เท่านั้น ดังนั้นจะมี 6 หลักทางด้านขวาขอ... | \boxed{0.000992} | [
"ประยุกต์"
] |
ด้านที่อยู่ติดกันของรูปที่ 1 ตั้งฉากกัน ด้านทั้งสี่ของรูปที่ 1 ถูกนำออกเพื่อสร้างรูปที่ 2 ความยาวรวมของส่วนในรูปที่ 2 เป็นเท่าไร
[asy]
draw((0,0)--(4,0)--(4,6)--(3,6)--(3,3)--(1,3)--(1,8)--(0,8)--cycle);
draw((7,8)--(7,0)--(11,0)--(11,6)--(10,6));
label("Figure 1",(2,0),S);
label("Figure 2",(9,0),S);
label("8",(0,4),W... | ด้านเดียวของรูปที่ 2 ที่เราไม่มีข้อมูลคือด้านล่าง ด้านนี้เป็นผลรวมของส่วนแนวนอนด้านบนของรูปที่ 1 ซึ่งคือ $2+1+1=4$ ดังนั้น ความยาวของส่วนในรูปที่ $2$ คือ $8+4+6+1=\boxed{19}$ | 8+4+6+1=\boxed{19} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $f$ มีอินเวอร์ส (นั่นคือ $f^{-1}(x)$ มีอยู่สำหรับ $x$ ทั้งหมดในช่วงของ $f$)
ถ้ากราฟของ $y=f(x^2)$ และ $y=f(x^4)$ ถูกวาดขึ้น จุดตัดของกราฟทั้งสองมีกี่จุด? | มีจุดตัดสำหรับแต่ละ $x$ ซึ่ง $f(x^2)=f(x^4)$ เนื่องจาก $f$ มีอินเวอร์ส สมการนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x^2=x^4$ เท่านั้น ดังนั้นเราจึงนับคำตอบของสมการนั้น เราสามารถจัดเรียงสมการ $x^2=x^4$ ใหม่ดังนี้: \begin{align*}
0 &= x^4-x^2 \\
0 &= x^2(x^2-1) \\
0 &= x^2(x+1)(x-1)
\end{align*}การแยกตัวประกอบครั้งสุดท้ายแสดงให้เห็นว่าคำ... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,2)$ และ $(17,10)$ ทั้งคู่สัมผัสแกน $x$ ระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือเท่าไร? | รัศมีของวงกลมวงแรกคือ 2 และรัศมีของวงกลมวงที่สองคือ 10 ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\sqrt{(17 - 2)^2 + (10 - 2)^2} = 17,$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของวงกลมทั้งสองคือ $17 - 2 - 10 = \boxed{5}.$
[asy]
unitsize(0.3 cm);
draw((2,2)--(2,0),dashed);
draw((17,10)--(17,0),dashed);
draw((-1,0)--(28,0))... | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: $2x^2-8$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $2$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้ ซึ่งจะได้ $(2)(x^2-4)$ จากนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์ที่สองได้เนื่องจากเป็นผลต่างของกำลังสอง ซึ่งจะได้ $\boxed{(2) (x+2) (x-2)}$ | \boxed{(2) (x+2) (x-2)} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
จงหาการแทนค่าฐาน 4 ของจำนวนฐาน 2 $11011000_2$ | แทนที่จะแปลงเป็นฐาน 10 แล้วจึงแปลงเป็นฐาน 4 เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $2^2=4$ เราได้ $11011000_2=1\cdot2^7+1\cdot2^6+1\cdot2^4+1\cdot2^3$ $=2\cdot(2^2)^3+1\cdot(2^2)^3+1\cdot(2^2)^2+2\cdot(2^2)^1$ $=3\cdot4^3+1\cdot4^2+2\cdot4^1+0\cdot4^0=\boxed{3120_4}$. | =3\cdot4^3+1\cdot4^2+2\cdot4^1+0\cdot4^0=\boxed{3120_4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $g(2x)=2(g(x))$ แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | เนื่องจาก $g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$ เราทราบว่า $g(2x)=\sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}$ เช่นเดียวกัน เราเห็นว่า $2(g(x))=2\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}$ นี่ทำให้เราได้สมการ \begin{align*} \sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}&=2\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}
\\\Rightarrow\qquad\left(\sqrt[3]{\frac{2x+3}{4}}\right)^3&=\left(2\sqrt[3]{\frac{x+3}{4}}... | $-\frac{7}{2}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(6, 12)$ และ $(0, -6)$ | จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงคือ $\left(\frac{6+0}{2}, \frac{12+(-6)}{2}\right)$, ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $(3,3)$. ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ $\boxed{6}$. | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนเต็มประกอบ $n$ ทั้งหมด จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารผลต่างระหว่าง $n$ กับกำลังสามของ $n$ ได้เสมอ | สังเกตว่า $n^3 - n$ หาค่าได้เป็น $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$ เราสังเกตว่าในจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันติดกัน จะมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่หารด้วย $2$ ได้ และอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่หารด้วย $3$ ได้ ดังนั้นเราทราบว่า $6$ ต้องหาร $n^3 - n$ ได้เสมอ ในความเป็นจริง นี่คือจำนวนเต็มที่มากที่สุด; สำหรับ $n = 6$ จะได้ $n^3... | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $t(x) = 3x-8$ และ $s(t(x)) = x^2 + 3x - 2$ จงหา $s(1)$ | เราไม่ทราบ $s(x)$ ดังนั้นเราจึงไม่มีนิพจน์ที่สามารถแทนค่า $1$ เข้าไปเพื่อหาคำตอบได้ อย่างไรก็ตาม เราทราบว่า $s(t(x)) = x^2 +3x-2$ ดังนั้น หากเราสามารถหาค่า $x$ ที่ทำให้ $t(x) = 1$ เราจะสามารถใช้ $s(t(x))$ เพื่อหา $s(1)$ ได้
ถ้า $t(x) = 1$ จะได้ $3x-8=1$ ซึ่งจะได้ $x =3$ ดังนั้น $t(3)=1$ ดังนั้น $s(t(3)) = s(1)$ แต่... | s(t(3)) = 3^2 +3(3) -2 = \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมมีพื้นที่ $\pi$ ตารางหน่วย ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นเท่าไร หน่วย | ให้ความยาวของรัศมีเป็น $r$ หน่วย $r^2\pi=\pi$ ดังนั้น $r=1$ เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมี หรือ $\boxed{2}$ หน่วย | \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่เรียงติดกันเท่ากับ 7805 จงหาผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็มสามจำนวนเดิม | ถ้า $n$ คือจำนวนตรงกลางของจำนวนเต็มเหล่านี้ เราจะได้ $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 3n^2+2 = 7805$ หรือ $n^2 = 2601$ ซึ่งหมายความว่า $n=51$ ดังนั้นผลรวมของกำลังสามคือ $50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259}$ | 50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามในสี่ของจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $(5, 11)$, $(16, 11)$ และ $(16, -2)$ พื้นที่ของส่วนที่ตัดกันระหว่างบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้และบริเวณภายในกราฟของสมการ $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 9$ คือเท่าไร แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | ด้านของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับแกน ดังนั้น จุดยอดที่สี่ต้องทำเส้นแนวตั้งกับ (5,11) และเส้นแนวนอนกับ (16,-2); ซึ่งหมายความว่า จุดยอดที่สี่คือ (5,-2) กราฟของบริเวณภายในสมการคือวงกลมที่มีรัศมี 3 และจุดศูนย์กลาง (5,-2): [asy]
size(150);
defaultpen(linewidth(.8pt));
fill(Arc((5,-2),3,0,90)--(5,-2)--cycle,gray);
draw(Circ... | \frac14r^2\pi=\frac14\cdot3^2\pi=\boxed{\frac94\pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x^2-mx+24$ เป็นสมการกำลังสองที่มีราก $x_1$ และ $x_2$ ถ้า $x_1$ และ $x_2$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของ $m$ | โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ $x_1$ เป็นรากที่น้อยกว่า ในสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c$ รากจะรวมกันเป็น $\frac{-b}{a}$ และคูณกันเป็น $\frac{c}{a}$ ดังนั้น $x_1x_2=\frac{24}{1}=24$ และ $x_1+x_2=m$ เนื่องจาก $x_1$ และ $x_2$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม จึงมีเพียง 4 คู่ของจำนวนเต็มบวก $(x_1,x_2)$ ที่คูณกันได้ 24 -- $(1,24), (2,12), (3,8),... | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลรวมของเลขโดดในรูปทศนิยมของ $2^{2005} \times 5^{2007} \times 3$ | เราได้ $$2^{2005}\times5^{2007}\times3=(2\times5)^{2005}\times5^2\times3=75\times10^{2005},$$ ดังนั้นผลรวมของเลขโดดเท่ากับ $7+5=\boxed{12}$. | 7+5=\boxed{12} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เลขจำนวนสี่หลัก $3AA1$ หารด้วย 9 ลงตัว $A$ แทนเลขหลักใด | ถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของเลขโดดของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัวด้วย ผลรวมของเลขโดดในจำนวนนี้คือ $3+A+A+1=2A+4$ ลองแทนค่า $A$ ต่างๆ เพื่อดูว่าค่าใดทำให้ผลรวมของเลขโดดหารด้วย 9 ลงตัว เราจะพบว่าไม่มีค่าของ $A$ ใดที่ทำให้ $2A+4$ หารด้วย 9 ลงตัว ยกเว้น $A=7$ เราจะเห็นว่า $4+2A=18$ ดังนั้น $A=\boxed{7}$ | A=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่สิบในลำดับเรขาคณิต $9,3,1,\frac 13, \ldots$ | เราสามารถเขียนพจน์ทั้งหมดจนถึงพจน์ที่สิบได้ แต่เราสามารถหาสูตรสำหรับพจน์ที่ $n$ ในลำดับเรขาคณิตได้ เนื่องจาก 9 เป็นพจน์แรก และเราคูณด้วย $\frac{1}{3}$ เพื่อหาพจน์ถัดไป เราจึงได้ว่าสูตรสำหรับลำดับเรขาคณิตคือ $a_n=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}$ นั่นหมายความว่า $a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2... | a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{1}{3^7}=\boxed{\frac{1}{2187}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
โรงแรมแห่งหนึ่งคิดค่าห้องพักโดยคิดค่าคงที่สำหรับคืนแรก และเพิ่มค่าคงที่สำหรับคืนต่อๆ ไป ถ้าจอร์จจ่ายเงิน $155 สำหรับการพัก 3 คืน และโนอาห์จ่ายเงิน $290 สำหรับการพัก 6 คืน ค่าคงที่สำหรับคืนแรกคือเท่าไร | ให้ $f$ เป็นค่าคงที่สำหรับคืนแรก และ $n$ เป็นค่าคงที่สำหรับคืนต่อๆ ไป โปรดทราบว่าคืนแรกนั้นรวมอยู่ในค่าคงที่ เราสามารถสร้างระบบสมการสองสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดดังนี้:
\begin{align*}
f + 2n &= 155 \\
f + 5n &= 290 \\
\end{align*}วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำจัด $f$ คือแก้สมการสำหรับ $n$ และจากนั้นแก้สมการสำหรับ $f$ โดยใ... | \boxed{\$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อสก็อตทำให้สมการกำลังสอง $x^2 + 8x - 1 = 0$ อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ จะได้สมการในรูป $(x + a)^2 = b$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด | เราสามารถยกกำลังสองของ $x + 4$ เพื่อให้ได้ $x^2 + 8x + 16$ ดังนั้นสมการที่กำหนดจะกลายเป็น $x^2 + 8x - 1 = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 1 = (x + 4)^2 - 17 = 0$ ซึ่งหมายความว่า $(x + 4)^2 = 17$ เราจะเห็นว่า $b = \boxed{17}$ | b = \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่เรียงติดกันเท่ากับ 7805 จงหาผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็มสามจำนวนเดิม | ถ้า $n$ คือจำนวนตรงกลางของจำนวนเต็มเหล่านี้ เราจะมี $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 3n^2+2 = 7805$ หรือ $n^2 = 2601$ ซึ่งหมายความว่า $n=51$ ดังนั้นผลรวมของกำลังสามคือ $50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259}$ | 50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.