question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงคำนวณ $\sqrt{75x} \cdot \sqrt{2x} \cdot \sqrt{14x}$ . เขียนคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $x$. | เขียนทุกอย่างในรูปของการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ, นิพจน์ที่กำหนดคือ $\sqrt{3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 5^2 \cdot x^2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot x)} = \boxed{10x \sqrt{21x}}$. | \sqrt{3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x^3} = \sqrt{(2^2 \cdot 5^2 \cdot x^2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot x)} = \boxed{10x \sqrt{21x}} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย (7,-6) และ (-3,4) | จุดกึ่งกลางคือ $\left(\frac{7+(-3)}{2},\frac{-6+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{-2}{2}\right)=\boxed{(2,-1)}$. | \left(\frac{7+(-3)}{2},\frac{-6+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{-2}{2}\right)=\boxed{(2,-1)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $(w+13)^2=(3w+7)(2w+4)$ จงหาค่าของ $w^2$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราขยายทั้งสองข้างเพื่อหาค่า
\begin{align*}
(w+13)(w+13)&=(3w+7)(2w+4)\\
w^2+26w+169&=3w(2w+4)+7(2w+4)\\
w^2+26w+169&=6w^2+12w+14w+28\\
w^2+26w+169&=6w^2+26w+28\\
w^2+169&=6w^2+28\\
141&=5w^2\\
\frac{141}{5}&=w^2.\\
\end{align*}
ดังนั้น คำตอบในรูปทศนิยมคือ $\frac{141}{5}=\boxed{28.2}$ | \frac{141}{5}=\boxed{28.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 0.$ แล้ว $\lceil x \rceil - x$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 0,$ เราจะเห็นว่า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม มิฉะนั้น ส่วนประกอบบนของ $x$ จะมากกว่าส่วนประกอบล่างของ $x.$ ดังนั้น $\lceil x \rceil = x$ และ $\lceil x \rceil - x = \boxed{0}.$ | $\lceil x \rceil - x = \boxed{0}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เมื่อ $$x^4-3x^3 + 5x^2-6x + 1$$คูณด้วย $$2x^3 - 3x^2 + 4x + 7$$ และนำพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเหมือนกันมารวมกันคือเท่าใด | แทนที่จะขยายผลคูณทั้งหมด เราสามารถดูเฉพาะพจน์ที่เมื่อคูณกันแล้วจะได้ $x^3$ เท่านั้น เราทราบว่า: $$x^3=x^3\cdot 1=x^2\cdot x=x\cdot x^2=1\cdot x^3$$ทราบว่า พจน์ $x^3$ ในการขยายจะเท่ากับผลรวมของพจน์ทั้งสี่นี้: $$(-3x^3)(7)+(5x^2)(4x)+(-6x)(-3x^2)+(1)(2x^3)$$เราทำให้ง่ายขึ้นเพื่อหา: \begin{align*}
&(-3x^3)(7)+(5x^2)(4x)+(... | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $a$ กี่ค่าที่เส้นตรง $y=x+a$ ผ่านจุดยอดของพาราโบลา $y=x^2+a^2$ ? | พาราโบลาที่กำหนดมีจุดยอดที่ $(0,a^2)$ เส้นตรง $y=x+a$ ผ่านจุดนี้ก็ต่อเมื่อ $a^2=0+a$ จัดสมการใหม่ได้ $a^2-a=0$ แยกตัวประกอบ $a$ ออกจากด้านซ้ายมือได้ $a(a-1)=0$ ดังนั้น $a=0$ หรือ $a=1$ ดังนั้นมี $\boxed{2}$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ต้นไม้ต้นหนึ่งสูงขึ้นเป็นสองเท่าทุกปี จนกระทั่งสูง 32 ฟุตเมื่อสิ้นสุดปีที่ 6 ต้นไม้สูงเท่าไรในปีที่ 3 | ถอยหลังกลับไป เราจะเห็นว่าต้นไม้สูง 32/2 = 16 ฟุตเมื่อสิ้นสุดปีที่ 5, 16/2 = 8 ฟุตเมื่อสิ้นสุดปีที่ 4 และ 8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}} เมื่อสิ้นสุดปีที่ 3 | 8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=f(2-x)$ สำหรับทุกค่าของ $x$ แล้วเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตรของกราฟ $y=f(x)$ (ให้สมการของเส้นตรงที่ง่ายที่สุด) | สำหรับจุด $(x,y)$ ใดๆ บนกราฟ $y=f(x)$ เราทราบว่า $(2-x,y)$ ก็อยู่บนกราฟ $y=f(x)$ เช่นกัน
เรามี $x = 1+(x-1)$ และ $2-x = 1-(x-1)$ ดังนั้นการแปลงทางเรขาคณิตที่นำ $(x,y)$ ไปยัง $(2-x,y)$ คือการสะท้อนผ่านเส้นตรงแนวตั้ง $\boxed{x=1}$. | \boxed{x=1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเกม Frood การปล่อย $n$ Froods จะได้คะแนนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ตัวแรก ตัวอย่างเช่น การปล่อย Froods ห้าตัวจะได้คะแนน $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ คะแนน การกิน $n$ Froods จะได้ $10n$ คะแนน ตัวอย่างเช่น การกิน Froods ห้าตัวจะได้ $10(5) = 50$ คะแนน จำนวน Froods น้อยที่สุดที่ต้องปล่อยเพื่อให้ได้คะแนนมากกว่าการกินคือเท่า... | การปล่อย $n$ Froods จะได้ $1 + 2 +\ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ คะแนน การกิน $n$ Froods จะได้ $10n$ คะแนน ดังนั้นเราต้องการหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\frac{n(n+1)}{2} > 10n$ แก้สมการจะได้ว่า $n > 19$ ดังนั้น $n = \boxed{20}$ เป็นคำตอบที่ต้องการ | n = \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากแผนภาพด้านล่าง จงหาผลต่างในพิกัด $x$ ที่เป็นบวก เมื่อเส้นตรง $l$ และ $m$ ตัดแกน $y$ ที่ $y = 15.$ [asy]
import cse5; import olympiad;
size(120);
add(grid(8,8));
draw((0,0)--(8,0),linewidth(1.2));
draw((0,0)--(0,8),linewidth(1.2));
label("$x$",(8,0),E);
label("$y$",(0,8),N);
draw((0,5)--(3,0),Arrows);
draw((0,2)--(7,... | เราเริ่มจากการหาสมการของเส้นตรง $l$ และ $m$ เนื่องจาก $l$ ผ่านจุด $(0,5)$ และ $(3,0)$ ดังนั้นความชันของเส้นตรง $l$ คือ $$\frac{0 - 5}{3 - 0} = -\frac{5}{3}.$$เนื่องจากเส้นตรง $l$ ผ่านจุด $(0,5)$ จุดตัดแกน $y$ คือ $(0,5)$ ดังนั้นสมการของเส้นตรง $l$ คือ $y = -\frac{5}{3}x + 5.$
เนื่องจาก $m$ ผ่านจุด $(0,2)$ และ $(7,0)$ ... | (-6) - (-45.5) = \boxed{39.5}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x) = 2$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด แล้วค่าของ $f(x + 2)$ คือเท่าใด | ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง $x+2$ ก็เป็นจำนวนจริงเช่นกัน ดังนั้น $f(x+2)=\boxed{2}$ | f(x+2)=\boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
หลักของเลขสองหลัก $AB$ ถูกกลับลำดับเพื่อสร้างเลขสองหลักที่สอง และเลขสองหลักที่น้อยกว่าถูกหักออกจากเลขสองหลักที่มากกว่า จงหาว่าจำนวนเฉพาะตัวใดต้องเป็นตัวประกอบของผลต่าง ถ้า $A\neq B$? | $AB -BA= 10\cdot A+B - (10\cdot B+A)= 9\cdot A-9\cdot B=3(3\cdot A-3\cdot B)$. ถ้า $A\neq B$ ผลต่างจะเป็นผลคูณของ 3 (ไม่ใช่ศูนย์) ดังนั้น $\boxed{3}$ ต้องเป็นตัวประกอบของ $AB -BA$. | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงคำนวณผลบวก $1 + 3 + 5 + \cdots + 15 + 17$ | ลำดับเลขคณิต 1, 3, 5, $\dots$, 17 มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2 ดังนั้นพจน์ที่ $n^{\text{th}}$ คือ $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$ ถ้า $2n - 1 = 17$ ดังนั้น $n = 9$ ดังนั้นลำดับเลขคณิตนี้มี 9 พจน์
ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลบวกคือ $(1 + 17)/2 \cdot 9 = \boxed{81}$ | (1 + 17)/2 \cdot 9 = \boxed{81} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สองเส้นตรงมีจุดตัดแกน $y$ ที่ไม่เป็นศูนย์เหมือนกัน เส้นตรงแรกมีค่าความชัน 10 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(s, 0)$ เส้นตรงที่สองมีค่าความชัน 6 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(t, 0)$ อัตราส่วนของ $s$ ต่อ $t$ เท่ากับเท่าใด? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สมการของเส้นตรงแรกคือ $y = 10x + b$ โดยที่ $b$ คือจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรงทั้งสอง เนื่องจาก $(s, 0)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ เราสามารถแทนค่านี้ลงในสมการของเส้นตรงเพื่อให้ได้ $0 = 10s + b\Rightarrow s = -\frac b{10}$ ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงที่สองมีสมการ $y = 6x + b$ แทนค่า $(t, 0)$ ลงในสมการนี้จะได้ $0 = 6t + b \Rightarrow t ... | $\frac st = -\frac b{10} \cdot - \frac 6b = \boxed{\frac 35}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ: $(17+10)^2-(17-10)^2$. | เราได้รับสมการในรูป $x^2 - y^2$ ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบสมการเป็น $(x+y)(x-y)$ เพื่อให้ได้ $(17+10+17-10)(17+10-17+10)$ ซึ่งจะ सरวมเป็น $34 \cdot 20 = \boxed{680}$ | 34 \cdot 20 = \boxed{680} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ม้าตัวหนึ่งอยู่ห่างจากศูนย์กลางของม้าหมุน 24 ฟุต ทำการหมุน 32 รอบ เพื่อที่จะเดินทางระยะทางเท่ากัน ม้าตัวหนึ่งที่อยู่ห่างจากศูนย์กลาง 8 ฟุต ต้องหมุนกี่รอบ? | รัศมีของเส้นทางกลมของม้าตัวที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางมากกว่ารัศมีของเส้นทางของม้าตัวที่อยู่ห่างจากศูนย์กลาง $\frac{1}{3}$ เนื่องจากเส้นรอบวงเป็นสัดส่วนโดยตรงกับรัศมี ความยาวของเส้นทางที่สั้นกว่าจึงเป็น $\frac{1}{3}$ ของความยาวของเส้นทางที่ยาวกว่า ดังนั้น จำนวนรอบที่ต้องทำ 3 เท่า เพื่อไประยะทางเท่ากัน ซึ่งก็คือ $32\times3=\b... | 32\times3=\boxed{96} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ห้องสมุดดนตรีมิวสิคดิจิทัลมีเพลงเก็บไว้ 12 วัน และใช้พื้นที่ดิสก์ 16,000 เมกะไบต์ ในเฉลี่ยแล้ว เพลง 1 ชั่วโมงในห้องสมุดนี้ใช้พื้นที่ดิสก์เท่าไร? แสดงคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | เนื่องจากมี 24 ชั่วโมงใน 1 วัน ดังนั้น 12 วันจะมี $12\cdot24$ ชั่วโมง 1 ชั่วโมงของเพลงใช้พื้นที่ดิสก์เท่ากับ $1/(12\cdot24)$ ของพื้นที่ดิสก์ที่ 12 วันใช้ ดังนั้น 1 ชั่วโมงของเพลงใช้พื้นที่ดิสก์ $16000/(12\cdot24)=500/(3\cdot3)\approx\boxed{56}$ เมกะไบต์ | 16000/(12\cdot24)=500/(3\cdot3)\approx\boxed{56} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นาตาลีมีต้นบลูเบอร์รีที่ให้ผลบลูเบอร์รีได้ 8 ถ้วยต่อต้น ถ้าเธอสามารถแลกเปลี่ยนบลูเบอร์รี 5 ถ้วยได้ 2 ฟักทอง เธอต้องเก็บบลูเบอร์รีจากต้นกี่ต้นจึงจะได้ฟักทอง 48 ฟักทอง | เรารู้สมการสองสมการต่อไปนี้: \begin{align*}
1\text{ ต้น} &= 8\text{ ถ้วย}\\
5\text{ ถ้วย} &= 2\text{ ฟักทอง}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 ฟักทอง ในรูปของต้น เราคูณด้วยเศษส่วนที่เท่ากับ 1 โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป ดังนั้น เราตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบ: $48\text{ ฟักทอง} = 48\te... | 48\text{ ฟักทอง} = 48\text{ ฟักทอง}\times \frac{5\text{ ถ้วย}}{2\text{ ฟักทอง}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถ้วย}}=\boxed{15} \text{ ต้น} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามก๊อกน้ำเติมน้ำในอ่าง 100 แกลลอนเต็มใน 6 นาที ใช้เวลานานเท่าไรเป็นวินาที หกก๊อกน้ำเติมน้ำในอ่าง 25 แกลลอน 假設ว่าทุกก๊อกน้ำปล่อยน้ำด้วยอัตราเดียวกัน | เนื่องจากก๊อกน้ำสามตัวสามารถเติมอ่าง 100 แกลลอนได้ใน 6 นาที หกตัวสามารถทำได้เร็วขึ้นสองเท่า นั่นคือ 3 นาที นอกจากนี้ อ่างมีขนาดเล็กกว่าหนึ่งในสี่ และจะเต็มเร็วขึ้นสี่เท่า ซึ่งจะได้ $3/4$ นาที หรือ $\boxed{45}$ วินาที | \boxed{45} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของสมการ $x^2-14x+3y+70=21+11y-y^2$ ที่อยู่ต่ำกว่าเส้นตรง $y=x-3$ | สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น \begin{align*}
x^2-14x+y^2-8y & =-49\\
x^2-14x+49+y^2-8y+16& =16\\
(x-7)^2+(y-4)^2 & =16
\end{align*}ดังนั้น บริเวณนี้เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(7,4)$ และรัศมี 4 เนื่องจาก $(7,4)$ อยู่บนเส้นตรง $y=x-3$ เส้นตรงนี้ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของวงกลมอยู่ต่ำกว่าเส้... | \boxed{8 \pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับฟีโบนักชีคือลำดับ 1, 1, 2, 3, 5, $\ldots$ โดยที่พจน์แรกและพจน์ที่สองมีค่าเท่ากับ 1 และพจน์ถัดไปแต่ละพจน์เป็นผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้า จงหาเศษที่เหลือเมื่อพจน์ที่ $100^{\mathrm{th}}$ ของลำดับหารด้วย 8 | เราสามารถพิจารณาพจน์ของลำดับฟีโบนักชีแบบโมดูโล 8 \begin{align*}
F_1 &\equiv 1\pmod{8}, \\
F_2 &\equiv 1\pmod{8}, \\
F_3 &\equiv 2\pmod{8}, \\
F_4 &\equiv 3\pmod{8}, \\
F_5 &\equiv 5\pmod{8}, \\
F_6 &\equiv 0\pmod{8}, \\
F_7 &\equiv 5\pmod{8}, \\
F_8 &\equiv 5\pmod{8}, \\
F_9 &\equiv 2\pmod{8}, \\
F_{10} &\equiv 7\pmod... | \boxed{3} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สิ่งมีชีวิตชนิดหนึ่งเริ่มต้นด้วยเซลล์ 3 เซลล์ เซลล์แต่ละเซลล์จะแบ่งตัวเป็น 2 เซลล์ในตอนท้ายของ 2 วัน ในตอนท้ายของอีก 2 วัน เซลล์ทุกเซลล์ของสิ่งมีชีวิตจะแบ่งตัวเป็น 2 เซลล์ กระบวนการนี้ดำเนินไปเป็นเวลา 8 วัน และไม่มีเซลล์ใดตายในช่วงเวลานี้ มีเซลล์ทั้งหมดกี่เซลล์ในตอนท้ายของวันที่ 8? | นี่คือลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรกเท่ากับ 3 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 ในตอนท้ายของวันที่ 8 เราอยู่ที่พจน์ที่ 5 ของลำดับนี้ ดังนั้นจึงมีเซลล์ $3\cdot2^4=\boxed{48}$ เซลล์ | $3\cdot2^4=\boxed{48}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลบวก $1 + 3 + 5 + \cdots + 15 + 17$ | ลำดับเลขคณิต 1, 3, 5, $\dots$, 17 มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2 ดังนั้นพจน์ที่ $n^{\text{th}}$ คือ $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$ ถ้า $2n - 1 = 17$ แล้ว $n = 9$ ดังนั้นลำดับเลขคณิตนี้มี 9 พจน์
ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลบวกคือ $(1 + 17)/2 \cdot 9 = \boxed{81}$ | (1 + 17)/2 \cdot 9 = \boxed{81} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $\frac{x+1}{x^2+6x+8}$. | เนื่องจากเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ค่าของ $x$ ที่ทำให้ส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์จะต้องถูกตัดออกจากโดเมน ดังนั้น เราต้องหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+6x+8=0$ ก่อน เนื่องจากสมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(x+4)(x+2)=0$ ค่าที่เราต้องตัดออกจากโดเมนมีเพียง $-4$ และ $-2$ เท่านั้น ดังนั้นเราได้คำตอบ $x\in\boxed{... | x\in\boxed{(-\infty,-4)\cup(-4, -2)\cup(-2,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามกระป๋องอะลูมิเนียมสามารถนำมารีไซเคิลเพื่อทำกระป๋องใหม่ได้ กระป๋องอะลูมิเนียม 243 กระป๋อง สามารถทำกระป๋องใหม่ได้กี่กระป๋อง (จงจำไว้ว่ากระป๋องใหม่ที่ทำขึ้นสามารถนำมารีไซเคิลเพื่อทำกระป๋องใหม่ได้อีก!) ไม่ต้องรวมกระป๋องเดิม 243 กระป๋อง ในการนับ | เราเริ่มต้นด้วย $243 = 3^5$ กระป๋อง หลังจากรีไซเคิลกระป๋องเหล่านี้แล้ว เราจะได้กระป๋องใหม่ $243\cdot\frac13 = 3^4$ กระป๋อง เราสามารถนำกระป๋องใหม่เหล่านี้มารีไซเคิลเพื่อทำกระป๋องใหม่ $3^4\cdot\frac13 = 3^3$ กระป๋อง ต่อไปนี้ เราต้องการหาผลรวม $3^4 + 3^3 + 3^2 + 3^1 + 3^0$ นี่คืออนุกรมเรขาคณิตจำกัดที่มีพจน์แรก 81 อัตราส่ว... | \frac{81\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{121} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $(-64)\div (-32)$ | เมื่อ $y$ ไม่เท่ากับศูนย์ เราได้ $(-x)\div (-y) = x\div y$ ดังนั้น \[(-64)\div (-32) = 64\div 32= \boxed{2}.\] | 2 | [
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าต่ำสุดของ $z$ คือเท่าใด ถ้า $z=x^2+2y^2+6x-4y+22?$ | ขั้นแรก จบกำลังสองดังนี้: $$z=x^2+2y^2+6x-4y+22=\left(x^2+6x\right)+2\left(y^2-2y\right)+22.$$เพื่อจบกำลังสอง เราต้องบวก $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9$ หลังจาก $6x$ และ $\left(\dfrac{2}{2}\right)^2=1$ หลังจาก $-2y.$ ดังนั้นเราจึงมี $$z+9+2(1)=\left(x^2+6x+9\right)+2\left(y^2-2y+1\right)+22.$$ซึ่งจะได้ $$z=\left(x+3\ri... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
มีสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เป็นบวกกี่รูป โดยที่จุดยอดของสามเหลี่ยมเป็นจุดในระนาบ $xy$ ซึ่งพิกัด $(x,y)$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ $1\le x\le 4$ และ $1\le y\le 4$?
$\text{(A) } 496\quad \text{(B) } 500\quad \text{(C) } 512\quad \text{(D) } 516\quad \text{(E) } 560$ | จุดยอดของสามเหลี่ยมถูกจำกัดอยู่บนตาราง $4\times4$ โดยมีจุดทั้งหมด $16$ จุด ทุกสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดย $3$ จุดที่เลือกจาก $16$ จุดนี้ รวมทั้งหมด $\binom{16}{3}=560$ อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันจะไม่มีพื้นที่เป็นบวก สำหรับแต่ละหลักหรือแถว จะมี $\binom{4}{3}=4$ สามเหลี่ยมชนิดนี้ มีทั้งหมด $8$... | 560-44=\boxed{516} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $g(x) = 3x + 7$ และ $f(x) = 5x - 9$ จงหาค่าของ $f(g(8))$ | $g(8)=3(8)+7=24+7=31$ ดังนั้น $f(g(8))=f(31)=5(31)-9=155-9=oxed{146}$ | f(g(8))=f(31)=5(31)-9=155-9=\boxed{146} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกที่หาร 5 ลงตัว และน้อยกว่า 100 กี่จำนวนที่มีหลักหน่วยเป็น 5 | จำนวนเต็มบวกที่หาร 5 ลงตัวจะมีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 โดยจำนวนเต็มบวกที่หาร 5 ลงตัวและน้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 มีทั้งหมด $100/5=20$ จำนวน ครึ่งหนึ่งของจำนวนนี้คือ $20/2=10$ จำนวน ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่หาร 5 ลงตัวและมีหลักหน่วยเป็น 5 ดังนั้นจึงมี $oxed{10}$ จำนวน | $oxed{10}$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x) = -7x^4 + 3x^3 + x - 5$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามซึ่งทำให้ดีกรีของ $f(x) + g(x)$ เป็น 1 แล้วดีกรีของ $g(x)$ คือเท่าใด | ดีกรีของ $f(x) + g(x)$ เป็น 1 และวิธีเดียวที่ $g(x)$ สามารถตัดทอนพจน์ $-7x^4$ ใน $f(x)$ ได้ก็ต่อเมื่อ $g(x)$ มีพจน์ $7x^4$ ดังนั้น ดีกรีของ $g(x)$ คือ $\boxed{4}$ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เมื่อ $3(x^2 - x^3) +2(x - 2x^2 + 3x^5) -(4x^3 - x^2)$ ถูกทำให้เรียบง่าย | เมื่อเราขยายพจน์จะได้ \begin{align*}
&3(x^2 - x^3) +2(x - 2x^2 + 3x^5) -(4x^3 - x^2) \\
&\qquad =3x^2 - 3x^3 +2x - 4x^2 + 6x^5 -4x^3 + x^2\\
&\qquad =6x^5-7x^3+2x.
\end{align*}สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $3-4+1=\boxed{0}$. | 3-4+1=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าผลรวมของพจน์ที่สองและพจน์ที่สี่ของลำดับเลขคณิตเท่ากับ 6 พจน์ที่สามคือเท่าใด | กำหนดให้พจน์ที่สองเป็น $a$ และผลต่างระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันสองพจน์เป็น $x$ ดังนั้นพจน์ที่สามคือ $a+x$ และพจน์ที่สี่คือ $a+2x$ การบวกพจน์ที่สองและพจน์ที่สี่จะได้ $2a+2x$ ซึ่งก็คือสองเท่าของพจน์ที่สาม ดังนั้นพจน์ที่สามคือ $\frac{6}{2} = \boxed{3}$ | \frac{6}{2} = \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ: $98 \times 102$. | สังเกตว่า $98 = 100-2$ และ $102 = 100+2$ ผลคูณของมันคือ $(100-2)(100+2)$ ซึ่งเท่ากับ $100^2 - 2^2$ สามารถคำนวณได้ง่ายๆ เป็น $10000 - 4 = \boxed{9996}$ | 10000 - 4 = \boxed{9996} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทศนิยม $0.76$ เท่ากับเศษส่วน $\frac{4b+19}{6b+11}$ โดยที่ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าของ $b$ | กำหนดให้ $\frac{4b+19}{6b+11}$ เท่ากับ $0.76=\frac{76}{100}=\frac{19}{25}$ เราได้ \begin{align*} \frac{4b+19}{6b+11}&=\frac{19}{25}
\\\Rightarrow\qquad 25(4b+19)&=19(6b+11)
\\\Rightarrow\qquad 100b+475&=114b+209
\\\Rightarrow\qquad -14b&=-266
\\\Rightarrow\qquad b&=\boxed{19}
\end{align*}. | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของฟังก์ชัน $y=p(x)$ ดังนี้:
[asy]
import graph; size(6cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.5,xmax=3.5,ymin=-4.25,ymax=6.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xm... | จุด $(1.5,4)$ อยู่บนกราฟ นั่นหมายความว่า $p(1.5)=\boxed{4}$. | p(1.5)=\boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ประเมินค่าของ $y(y-3x)$ เมื่อ $x=3$ และ $y=0$。 | เนื่องจาก 0 คูณกับจำนวนใดๆ จะเท่ากับ 0 เมื่อ $y=0$ เราได้ว่า $y(y-3x) = 0(y-3x) = \boxed{0}$。 | y(y-3x) = 0(y-3x) = \boxed{0} | [
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าจุด $(1,2)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f(x)}{2}$ แล้วจะมีจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ $y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | เนื่องจาก $(1,2)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f(x)}{2}$ เราทราบว่า $$2 = \frac{f(1)}{2},$$ซึ่งหมายความว่า $f(1)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(4)=1$ ซึ่งหมายความว่า $\left(4,\frac12\right)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ ผลรวมของพิกัดของจุดนี้คือ $\boxed{\frac 92}$ | \boxed{\frac 92} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น: $(\sqrt{5})^4$. | เรามี \[(\sqrt{5})^4 = (5^{\frac12})^4 = 5 ^{\frac12\cdot 4} = 5^2 = \boxed{25}.\] | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
สมมติว่า $a,b,$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 150$ จงหา $a+b+c$ | พิจารณา $P(a) = (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$ เป็นพหุนามใน $a$ จะได้ว่า $P(-b) = (b -b + c)^3 - (-b)^3 - b^3 - c^3 = 0$ ดังนั้น $a+b$ เป็นตัวประกอบของพหุนาม $P(a)$ โดยสมมาตร $(a+b)(b+c)(c+a)$ หาร $ (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$ ลงตัว; เนื่องจากทั้งสองนิพจน์มีดีกรี 3 ในตัวแปรของมัน ดังนั้น $$(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = ... | a+b+c = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ $5^{207}$ หารด้วย 7 แล้วจะเหลือเศษเท่าใด? | เราลองหาเศษที่เหลือเมื่อยกกำลังของ 5 หารด้วย 7 \begin{align*}
5^1\div 7 &\text{ จะเหลือเศษ } 5.\\
5^2\div 7 &\text{ จะเหลือเศษ } 4.\\
5^3\div 7&\text{ จะเหลือเศษ } 6.\\
5^4\div 7&\text{ จะเหลือเศษ } 2.\\
5^5\div 7&\text{ จะเหลือเศษ }3.\\
5^6\div 7 &\text{ จะเหลือเศษ }1.\\
5^7\div 7 &\text{ จะเหลือเศษ } 5.\\
5^8\div 7 ... | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 16 และ $2x$ กับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาดีกรีของพหุนาม $(3x^2 +11)^{12}$ | ดีกรีของพหุนามคือดีกรีของพจน์ที่มีกำลังสูงสุด เนื่องจากดีกรีของ $3x^2 +11$ คือ 2 และเนื่องจาก $(x^a)^{12} = x^{12a}$ สำหรับค่าคงที่ $a$ ที่เป็นบวกใดๆ คำตอบคือ $2 \cdot 12 = \boxed{24}$ | 2 \cdot 12 = \boxed{24} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a \ne b$ เป็นจำนวนจริงคู่หนึ่ง และกำหนดการดำเนินการ $\star$ ดังนี้ \[
(a \star b) = \frac{a + b}{a - b}.
\]จงหาค่าของ $((1 \star 2) \star 4)$ | ก่อนอื่นเรามี \[
(1 \star 2) = \frac{1 + 2}{1 - 2} = -3.
\]จากนั้น \[
((1 \star 2) \star 4) = (-3 \star 4) = \frac{-3 + 4}{-3 - 4} = \boxed{-\frac{1}{7}}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $x^2 + 8x$ ในจำนวนจริง | ทำการเติมกำลังสอง เราได้ $x^2 + 8x = (x^2 + 8x + 16) - 16 = (x + 4)^2 - 16$ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $-16$ | $-16$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดเส้นตรง $2y - 2a = 6x$ และ $y + 1 = (a + 6)x$ ถ้าเส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | แปลงสมการเส้นตรงแรกให้เป็นรูป $y = mx + c$ จะได้ $y = 3x + a$ แสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ 3 เช่นเดียวกัน สมการเส้นตรงที่สองจะได้ $y = (a + 6)x - 1$ แสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ $a + 6$ เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกัน จึงมีค่าความชันเท่ากัน ดังนั้น $3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3}$ | 3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เจนนี่มีสมุดสะสมแสตมป์ 8 เล่ม ซึ่งแต่ละเล่มมี 42 หน้า ทุกหน้าในสมุดของเธอมียี่ห้อแสตมป์ 6 อัน เจนนี่ตัดสินใจที่จะจัดระเบียบสมุดสะสมแสตมป์ของเธอใหม่เพื่อให้แต่ละหน้ามีแสตมป์ 10 อัน การทำเช่นนี้จะช่วยให้เธอมีพื้นที่ในการสะสมแสตมป์มากขึ้นโดยไม่ต้องซื้อสมุดใหม่ ภายใต้ระบบใหม่ของเธอ เจนนี่เติมสมุด 4 เล่มให้เต็ม ซึ่งยังคงมี ... | เนื่องจากระบบใหม่ของเจนนี่ในการจัดเรียงแสตมป์มี 10 อันต่อหน้า จำนวนหน้าสุดท้ายจะเป็นหลักหน่วยของจำนวนแสตมป์ทั้งหมดของเธอ (ในระบบฐาน 10) หลักหน่วยนั้นจะเหมือนกับหลักหน่วยของ $8 \cdot 2 \cdot 6 = 96$ ซึ่งก็คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เลขโดดที่เล็กที่สุดที่ไม่เคยปรากฏในหลักหน่วยของจำนวนคู่คือเลขโดดใด | จำนวนคู่มีหลักหน่วยเป็น 0, 2, 4, 6 หรือ 8 ดังนั้น เลขโดดที่เล็กที่สุดที่ไม่ปรากฏในรายการหลักหน่วยที่เป็นไปได้เหล่านั้นคือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผกผันของ $f(x)=4-5x$ | ถ้าให้ $g(x)$ แทนผกผันของ $f$ เราสามารถประเมิน $f$ ที่ $g(x)$ ได้ดังนี้ \[f(g(x))=4-5g(x).\]เนื่องจาก $g$ เป็นผกผันของ $f$ ด้านซ้ายจะเป็น $x$ และ \[x=4-5g(x).\]แก้หา $g(x)$ เราจะได้ $g(x) = \boxed{\frac{4-x}{5}}$. | g(x) = \boxed{\frac{4-x}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา $4^{-1} \pmod{35}$ ในรูปของเศษเหลือ modulo 35 (ให้คำตอบอยู่ในช่วง 0 ถึง 34) | เนื่องจาก $4 \cdot 9 = 36 \equiv 1 \pmod{35}$ ดังนั้น $4^{-1} \equiv \boxed{9} \pmod{35}$ | 4^{-1} \equiv \boxed{9} \pmod{35} | [
"ประยุกต์"
] |
โรเบิร์ตอ่านหนังสือได้ 90 หน้าต่อชั่วโมง เขาสามารถอ่านหนังสือที่มี 270 หน้าได้กี่เล่มในเวลา 6 ชั่วโมง | ใช้เวลา $270/90=3$ ชั่วโมงสำหรับโรเบิร์ตในการอ่านหนังสือที่มี 270 หน้า ดังนั้นเขาสามารถอ่านหนังสือที่มี 270 หน้าได้ $6/3=\boxed{2}$ เล่มในเวลา 6 ชั่วโมง | 6/3=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบนิพจน์ต่อไปนี้ให้完全に: $2x^2-8$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $2$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้ ซึ่งจะได้ $(2)(x^2-4)$ จากนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์ที่สองได้เนื่องจากเป็นผลต่างของกำลังสอง ซึ่งจะได้ $\boxed{(2) (x+2) (x-2)}$ | \boxed{(2) (x+2) (x-2)} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่าจุด $(1,2)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f(x)}2$ แล้วมีจุดหนึ่งซึ่งต้องอยู่บนกราฟของ $y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | เนื่องจาก $(1,2)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f(x)}2$ เราทราบว่า $$2 = \frac{f(1)}{2},$$ซึ่งหมายความว่า $f(1)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(4)=1$ ซึ่งหมายความว่า $\left(4,\frac12\right)$ อยู่บนกราฟของ $y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ ผลรวมของพิกัดของจุดนี้คือ $\boxed{\frac 92}$ | \boxed{\frac 92} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $p$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งทำให้สมการ $px^2-12x+4=0$ มีคำตอบเดียว | เมื่อสมการกำลังสองมีคำตอบเดียว ดิจมิแนนต์จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $(-12)^2-4 \cdot p \cdot 4 = 0$. แก้สมการได้ $(-12)^2-4 \cdot p \cdot 4 = 144-16p = 0$. ดังนั้น $144=16p$ จึงได้ $p=\boxed{9}$. | p=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $3p+4q=8$ และ $4p+3q=13$ แล้ว $q$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจากโจทย์ต้องการเฉพาะค่าของ $q$ เราสามารถเริ่มต้นด้วยการกำจัด $p$ เพื่อทำเช่นนั้น เราคูณสมการแรกด้วย 4 และสมการที่สองด้วย 3 ซึ่งจะทำให้เราได้ระบบสมการสองสมการที่มี 12 เป็นสัมประสิทธิ์ของ $p$ \begin{align*} 12p+16q&=32
\\ 12p+9q&=39
\end{align*}จากนี้ เราสามารถลบสมการที่สองจากสมการแรกได้ ซึ่งจะทำให้เราได้ $(12p+16q... | q=\boxed{-1} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
แซลลี่ทำการโยนลูกบาสเกตบอล 20 ครั้ง และทำได้ 55% หลังจากที่เธอโยนอีก 5 ครั้ง เปอร์เซ็นต์การทำประตูของเธอเพิ่มขึ้นเป็น 56% เธอทำประตูได้กี่ครั้งใน 5 ครั้งสุดท้าย? | ถ้าแซลลี่ทำประตูได้ 55% จากการโยน 20 ครั้ง เธอจะทำประตูได้ $0.55 \times 20 = 11$ ครั้ง ถ้าแซลลี่ทำประตูได้ 56% จากการโยน 25 ครั้ง เธอจะทำประตูได้ $0.56 \times 25 = 14$ ครั้ง ดังนั้นเธอทำประตูได้ $14-11=\boxed{3}$ ครั้งใน 5 ครั้งสุดท้าย | 14-11=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชันสองฟังก์ชัน: $$\begin{array}{ccc}
f(x) & = & 3x^2-2x+ 4\\
g(x) & = & x^2-kx-6
\end{array}$$ ถ้า $f(10) - g(10) = 10,$ จงหาค่าของ $k?$ | เราได้ว่า \begin{align*} f(x) - g(x) &= (3x^2-2x+ 4) - (x^2-kx-6) \\ &= 2x^2 + (k-2)\cdot x +10. \end{align*} ดังนั้น $f(10) - g(10) = 2\cdot 10^2 + (k - 2)\cdot 10 +10 = 10.$ ดังนั้น $-2\cdot 10^2 = (k-2)\cdot 10,$ และ $k = \boxed{-18}.$ | k = \boxed{-18}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 - 2x + 3 $ และ $B$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 + 4x + 10 $. จงหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ | การเติมกำลังสองในแต่ละสมการจะได้สมการ $y=(x - 1)^2 + 2 $ และ $y=(x + 2)^2 + 6$. ดังนั้น $A = (1, 2)$ และ $B = (-2, 6)$. เราสามารถหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ ได้เป็น $\sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5}$. | \sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ชมรมหมากรุกมีสมาชิก 26 คน แต่มีเพียง 16 คนเท่านั้นที่เข้าร่วมการประชุมครั้งล่าสุด: ครึ่งหนึ่งของเด็กผู้หญิงเข้าร่วมการประชุม แต่เด็กผู้ชายทุกคนเข้าร่วมการประชุม มีเด็กผู้หญิงในชมรมหมากรุกกี่คน? | ให้มี $B$ เด็กผู้ชายและ $G$ เด็กผู้หญิง เนื่องจากสมาชิกทุกคนเป็นเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิง $B+G=26$ นอกจากนี้เรายังมี $\frac{1}{2}G+B=16$ ลบสมการที่สองจากสมการแรก เราจะได้:
$\frac{1}{2}G=26-16=10\implies G=20$.
ดังนั้นมี $\boxed{20}$ เด็กผู้หญิงในชมรมหมากรุก | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(\sqrt[6]{4})^9$. | เราได้ว่า $$(\sqrt[6]{4})^9 = (4^{1/6})^9 = 4^{\frac{1}{6}\cdot 9} = 4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = \boxed{8}.$$ | 8 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนคี่ที่เล็กที่สุดที่มีตัวประกอบเฉพาะที่ต่างกัน 4 ตัว | จำนวนนั้นไม่สามารถมี 2 เป็นตัวประกอบได้ ดังนั้นจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดถัดมาคือ 3, 5, 7 และ 11 คูณเข้าด้วยกันจะได้ $\boxed{1155}$ | \boxed{1155} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $3^{2x} = \sqrt{27}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = (3^3)^\frac{1}{2} = 3^{\frac{3}{2}}$ เราได้ว่า $3^{2x}=3^{\frac{3}{2}}$ ดังนั้น $2x=\frac{3}{2}$ และ $x=\boxed{\frac{3}{4}}$ | x=\boxed{\frac{3}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีเลขจำนวนสามหลักกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่หลักที่สองเป็นค่าเฉลี่ยของหลักแรกและหลักสุดท้าย | หลักแรกและหลักสุดท้ายต้องเป็นเลขคี่ทั้งคู่หรือเลขคู่ทั้งคู่เพื่อให้ค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเต็ม มี $5 \cdot 5 = 25$ คู่ผสมของเลขคี่-เลขคี่สำหรับหลักแรกและหลักสุดท้าย มี $4 \cdot 5 = 20$ คู่ผสมของเลขคู่-เลขคู่ที่ไม่ใช้ศูนย์เป็นหลักแรก ดังนั้นผลรวมทั้งหมดคือ $\boxed{45}$ | \boxed{45} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจากเราสามารถเขียนได้ว่า $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ดังนั้น $x-y = oxed{2}$ | x-y = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาช่วงของ $y=|x+7|-|x-2|$ | ถ้า $x<-7$ ทั้ง $x+7$ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=-(x+7)-(-x+2)=-9.$$ ถ้า $x\geq 2$ ทั้ง $x+7$ และ $x-2$ เป็นไม่เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-x+2=9.$$ ถ้า $-7\leq x< 2$, $x+7$ เป็นไม่เป็นลบ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-(-x+2)=2x+5.$$ แล้ว $2(-7)+5=-9$ และ $2(2)+5=9$ ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและต่อเนื่อง ดังนั้นค่าทั้งหมดระหว่าง ... | y \in \boxed{[-9, 9]} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ส่วนของเศษส่วนน้อยกว่า 3 เท่าของส่วนของ tử 7 หน่วย ถ้าเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ ตัวเลขของส่วนของ tửคือเท่าใด | ให้ $x$ แทนส่วนของ tử ดังนั้นส่วนของเศษส่วนคือ $3x-7$ เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ เราได้ $x/(3x-7) = 2/5$ คูณทั้งสองข้างด้วย $5(3x-7)$ (หรือคูณไขว้) จะได้ $5x = 2(3x-7)$ ขยายข้างขวาจะได้ $5x = 6x - 14$ ลบ $6x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $-x = -14$ ดังนั้น $x = \boxed{14}$ | x = \boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x^2 - 5x + 6 = 0$ | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการนี้ได้เป็น $(x-2)(x-3) = 0$ ดังนั้น $x = 2$ หรือ $x = 3$ | x = 2, x = 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เลขหลักหน่วยที่เล็กที่สุดที่ไม่ปรากฏในหลักหน่วยของจำนวนคู่คือเลขใด | จำนวนคู่มีหลักหน่วยเป็น 0, 2, 4, 6 หรือ 8 ดังนั้นหลักหน่วยที่เล็กที่สุดที่ไม่ปรากฏในรายการหลักหน่วยที่เป็นไปได้เหล่านั้นคือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าเฉลี่ยของ $5,8$ และ $17$ เท่ากับค่าเฉลี่ยของ $12$ และ $y$ $y$ มีค่าเท่าใด? | เพื่อหาค่าเฉลี่ย เราบวกค่าทั้งหมดและหารด้วยจำนวนค่า ค่าเฉลี่ยของ $5, 8$ และ $17$ คือ $\frac{5+8+17}{3}=\frac{30}{3}=10$ เราตั้งค่านี้เท่ากับค่าเฉลี่ยของ $12$ และ $y$ และได้ $$10=\frac{12+y}{2}\qquad\Rightarrow 20=12+y\qquad\Rightarrow 8=y.$$ ค่าของ $y$ คือ $\boxed{8}$. | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x) = ax+b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัวจำนวนจริง และ $g(x) = 2x - 5$ สมมติว่าสำหรับทุกค่า $x$ เป็นจริงที่ $g(f(x)) = 3x + 4$ จงหาค่า $a+b$ | แม้ว่าเราสามารถแก้หา $a$ และ $b$ ได้แยกกัน แต่ก็ง่ายกว่าที่จะสังเกตว่า $f(1) = a + b$ ดังนั้น เมื่อแทนค่า $1$ ลงในสมการที่กำหนด เราจะได้ $$g(f(1)) = 3 \cdot 1 + 4 = 7.$$ ดังนั้น $$g(f(1)) = 2 \cdot f(1) - 5 = 7 \Longrightarrow f(1) = \boxed{6}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
แก้สมการหาค่า $x$: $$ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{x}.$$ | ลบ 1/3 จาก 1/2 โดยการหาตัวหารร่วม: \[
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.
\] แก้สมการ $\frac{1}{6}=\frac{1}{x}$ จะได้ $x=\boxed{6}$. | x=\boxed{6} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=8x-6y-20$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายพจน์ที่ไม่ใช่ค่าคงตัวจาก RHS ไป LHS จะได้ $x^2-8x+y^2+6y=-20$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(-8/2)^2=16$ เข้าไปในทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ เข้าไปในทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2-8x+y^2+6y&=-20\\
\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+6y+9&=5\\... | x+y=4+(-3)=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ 1,234,567,890 หารด้วย 99 | เราสามารถเขียน 1234567890 เป็น \[12 \cdot 10^8 + 34 \cdot 10^6 + 56 \cdot 10^4 + 78 \cdot 10^2 + 90.\] โปรดทราบว่า \[10^8 - 1 = 99999999 = 99 \cdot 1010101,\] หารด้วย 99 ลงตัว ดังนั้น $12 \cdot 10^8 - 12$ หารด้วย 99 ลงตัว
ในทำนองเดียวกัน, \begin{align*}
10^6 - 1 &= 999999 = 99 \cdot 10101, \\
10^4 - 1 &= 9999 = 99 \cd... | \boxed{72} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $2k+5 = 13$ เพื่อหาค่า $k$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างได้ $2k = 8$ และหารด้วย 2 ได้ $k = \boxed{4}$. | k = \boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $\det \mathbf{A} = -1,$ จงหา $\det (\mathbf{7A}).$ | โดยทั่วไป $\det (k \mathbf{A}) = k^2 \det \mathbf{A}.$ ดังนั้น,
\[\det (7 \mathbf{A}) = 7^2 (-1) = \boxed{-49}.\] | \det (k \mathbf{A}) = k^2 \det \mathbf{A}. | [
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $\dbinom{11}{8}$ | $$\dbinom{11}{8}=\dbinom{11}{3}=\dfrac{11 \times 10 \times 9}{3!} = \boxed{165}$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
สามเหลี่ยม $\triangle ABC$ มี $\angle A = 14^\circ$ ถูกจารึกไว้ในวงกลมโดยที่ $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มีมุม $\angle B$ กี่องศา | ถ้า $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง หมายความว่าสามเหลี่ยมต้องมีมุมฉากที่ $C$ ดังนั้นเราจึงมี \begin{align*}
\angle B &= 180^\circ - (\angle A + \angle C) \\
&= 180^\circ - (14^\circ + 90^\circ) = \boxed{76^\circ}.
\end{align*} | C. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดเซตของเวกเตอร์ $\left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} k \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$ เป็นเซตเวกเตอร์ที่ไม่ขึ้นต่อกัน จงหาค่า $k$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด แสดงคำตอบในรูปช่วง | สมมติว่าเซต $\left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} k \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$ เป็นเซตเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อกัน ดังนั้นจะมีค่าคงที่ $c_1$ และ $c_2$ ที่ไม่เท่ากับ 0 ซึ่งทำให้
\[c_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} k \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatr... | k \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{6}{7} \right) \cup \left( -\frac{6}{7}, \infty \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัมประสิทธิ์ของ $x^{50}$ ใน
\[(1 + x)^{1000} + 2x (1 + x)^{999} + 3x^2 (1 + x)^{998} + \dots + 1001x^{1000}\]สามารถเขียนในรูป $\binom{n}{k}.$ จงหาค่า $n + k$ ที่น้อยที่สุด | กำหนด
\[S = (1 + x)^{1000} + 2x (1 + x)^{999} + \dots + 1000x^{999} (1 + x) + 1001x^{1000}\]แล้ว
\begin{align*}
xS &= x (1 + x)^{1000} + 2x^2 (1 + x)^{999} + \dots + 1000x^{1000} (1 + x) + 1001x^{1001}, \\
(1 + x)S &= (1 + x)^{1001} + 2x (1 + x)^{1000} + \dots + 1000x^{999} (1 + x)^2 + 1001x^{1000} (1 + x).
\end{align*... | 1002 + 50 = \boxed{1052}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 มีจำนวนหารที่เป็นบวกและต่างกันちょうど 3 ตัวกี่จำนวน? | จากสูตรการหาจำนวนหารบวกทั้งหมด เราทราบว่าจำนวนธรรมชาติที่มีจำนวนหารบวกちょうど 3 ตัวจะอยู่ในรูป $p^{2}$ โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นเราต้องนับจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนหารบวกちょうど 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\boxed{11}$ ตัว คือ 2, 3, 5, 7, 11... | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $101^{3} - 3 \cdot 101^{2} + 3 \cdot 101 -1$ | นิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการกระจายของ $(101-1)^3$ โดยทั่วไป การกระจายของ $(a-b)^3$ เท่ากับ \[a^3-3\cdot a^2\cdot b+3\cdot a\cdot b^2-b^3\]
ในกรณีนี้ $a=101,b=1$ ดังนั้น $101^3-3\cdot 101^2+3\cdot 101-1=(101-1)^3$ ; เราสามารถคำนวณ $100^3=\boxed{1000000}$ ได้อย่างง่ายดาย | 100^3=\boxed{1000000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $a+b=7$ และ $a^3+b^3=42$ จงหาค่าของผลบวก $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ยกกำลังสามทั้งสองข้างของ $a+b=7$ จะได้ \[
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=343.
\] แทน 42 ด้วย $a^3+b^3$ และแยกตัวประกอบ $3ab$ ออกจากสองพจน์ที่เหลือ \begin{align*}
42+3ab(a+b)&=343 \implies \\
3ab(a+b)&=301 \implies \\
3ab(7)&=301 \implies \\
3ab&=43 \implies \\
ab&=\frac{43}{3}.
\end{align*} สุดท้าย $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{... | \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{43/3}=\boxed{\frac{21}{43}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $u,$ $v,$ $w$ เป็นรากของ $z^3 = 1.$ จงหาค่าของ $uv + uw + vw.$ | จากสูตรของ Vieta's formulas, $uv + uw + vw = \boxed{0}.$ | uv + uw + vw = \boxed{0}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ห้องเรียนของฉันมีแถวเก้าอี้ 11 แถว โดยมีเก้าอี้ 11 ตัวในแต่ละแถว เก้าอี้ในแต่ละแถวจะถูก編號จาก 1 ถึง 11 มีเก้าอี้กี่ตัวที่มีหมายเลขคี่? | แต่ละแถวมีเก้าอี้หมายเลขคี่ $1, 3, 5, 7, 9, 11$ รวมเป็นเก้าอี้หมายเลขคี่ 6 ตัวในแต่ละแถว เนื่องจากมีแถว 11 แถว จึงมีเก้าอี้หมายเลขคี่ทั้งหมด $11 \times 6 = \boxed{66}$ ตัว | 11 \times 6 = \boxed{66} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เส้นตรง $y=(3a+2)x-2$ และ $2y=(a-4)x+2$ ขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | เราหาความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้น และให้ค่าเท่ากัน เพราะเส้นตรงขนานกันจะมีความชันเท่ากัน นี่จะได้ $3a+2=\frac{a}{2}-2$ ซึ่งหมายถึง $a=\boxed{-\frac{8}{5}}$ | a=\boxed{-\frac{8}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $2^{2x} = 256^{\frac{1}{2}}$ | \begin{align*}
2^{2x} & =256^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^8)^{\frac{1}{2}} \\
2^{2x} & =(2^4) \\
2x & = 4 \\
x & = \boxed{2}
\end{align*} | 2 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 176 ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 5 รูปดังแสดงในแผนภาพ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
[/asy] | ให้ $x$ และ $y$ เป็นความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปตามลำดับ
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
label("$x$", (1,5), N);
label("$x$", (3,5), N);
label("$x$", (5,5), N);
label("$y$", (6,7/2... | 2x + 2y = \boxed{80} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นมุม โดยที่
\[\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} + \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -1.\]จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{\cos^3 \beta}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \beta}{\sin \alpha}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | กำหนดให้ $k = \frac{\cos \alpha}{\cos \beta}.$ ดังนั้น $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = -k - 1,$ ดังนั้น $\cos \alpha = k \cos \beta$ และ $\sin \alpha = -(k + 1) \sin \beta.$ แทนค่าลงใน $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1,$ เราได้
\[k^2 \cos^2 \beta + (k + 1)^2 \sin^2 \beta = 1.\]จากนั้น $k^2 \cos^2 \beta + (k + 1)^... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จัตุรัสที่มีจุดยอดที่ $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ และ $(1, 1)$ ถูกตัดโดยเส้นตรง $y=\frac{x}{2}+ 1$ เป็นรูปสามเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมมีกี่ตารางหน่วย แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | วาดจัตุรัสและเส้นตรงเพื่อให้เห็นว่าเส้นตรงตัดด้านบนและด้านซ้ายของจัตุรัส แทนค่า $y=1$ และ $x=-1$ ลงในสมการของเส้นตรง เราจะพบว่าจุดตัดคือ (0,1) และ $(-1,\frac{1}{2})$ ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านขวาที่ถูกตัดออก (แรเงาในรูป) มีขนาด 1 และ 1/2 หน่วย ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $\frac{1}{2}(1)\left(\frac{1}{2}\right)=\f... | 3.75 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ ที่ผกผันได้ modulo $2^n$ ถ้า $2^n\equiv 3\pmod{13}$ แล้วเศษจากการหาร $k$ ด้วย $13$ เท่ากับเท่าใด | เนื่องจาก $2^n$ เป็นกำลังของ $2$ ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียวของ $2^n$ คือ $2$ ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนผกผันได้ modulo $2^n$ และจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนไม่ผกผันได้ modulo $2^n$ ในจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ มีจำนวนเต็มคี่อยู่ $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ จำนวน ดังนั้น \[k=2^{n-1}\equiv 2^{-1}2^n\equiv 7\cdot 3\equi... | \frac{2^n}{2}=2^{n-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โดยการแยกเศษส่วนบางส่วน
$$\frac{7x-2}{x^2-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}.$$จงหา $A+B$. | คูณทั้งสองข้างด้วย $x^2-4=(x+2)(x-2)$ จะได้
$$7x-2 = A(x+2)+B(x-2).$$แทน $x=2$ จะได้ $12=4A$ ดังนั้น $A=3$.
แทน $x=-2$ จะได้ $-16=-4B$ ดังนั้น $B=4$. ดังนั้น $A+B=3+4=\boxed{7}.$
หรืออีกวิธีหนึ่ง เนื่องจากสมการ
$$7x-2 = A(x+2)+B(x-2)$$เป็นจริงสำหรับค่า $x$ ทั้งหมด สัมประสิทธิ์ของ $x$ ในทั้งสองข้างต้องเท่ากัน ดังนั้น... | A + B = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเมทริกซ์ $\mathbf{P}$ โดยที่สำหรับเวกเตอร์ $\mathbf{v}$ ใดๆ $\mathbf{P} \mathbf{v}$ คือการฉายภาพของ $\mathbf{v}$ ลงบนระนาบ $yz$ | การฉายภาพ $\mathbf{P}$ จะนำ $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ไปที่ $\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix}.$
[asy]
import three;
size(180);
currentprojection = perspective(6,3,2);
triple I = (1,0,0), J = (0,1,0), K = (0,0,1), O = (0,0,0);
triple V = (2.2,2.5,2.5), W = (0,2.5,2.5);
draw(V--W,dashed);
d... | \mathbf{w} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $80325$ หาร $n!$ ลงตัวคือเท่าใด | เราหาการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ $80325$ ซึ่งได้ $3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 17$ จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดในการแยกตัวประกอบคือ $17$ ดังนั้น $n$ มีค่าอย่างน้อย $17$ เนื่องจากมีสามตัวประกอบของ $3$ สองตัวประกอบของ $5$ และหนึ่งตัวประกอบของ $7$ ในการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ $17!$ ค่าต่ำสุดของ $n$ คือ $\boxed{17}$ | \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น
\[\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}.\] | เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x (1 - \sin x)}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} \\
&= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} \\
&= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x (1 - \sin x)}{\cos^2 x} \\
&= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1 - \sin x}{\cos x} \\
&= \frac{1}{\... | [
"ประยุกต์"
] | |
อายุของพ่อฉันคือ $1222_{3}$ ในระบบเลขฐานสาม ซึ่งแสดงถึงอวัยวะทั้งสามของเขา — สองขาและไม้เท้า เขาอายุเท่าไหร่ในระบบเลขฐานสิบ? | $1222_{3} = 2\cdot3^{0}+2\cdot3^{1}+2\cdot3^{2}+1\cdot3^{3} = 2+6+18+27 = \boxed{53}$. | 53 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สองจำนวนบวกที่ต่างกัน $a$ และ $b$ แต่ละจำนวนต่างจากส่วนกลับของมัน 1 หน่วย $a+b$ มีค่าเท่าใด | ถ้าจำนวนบวก $x$ ต่างจากส่วนกลับของมัน 1 หน่วย ดังนั้น $x - \frac{1}{x} = 1$ หรือ $\frac{1}{x} - 1 = 1.$
ถ้า $x - \frac{1}{x} = 1,$ แล้ว
\[x^2 - x - 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง
\[x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.\]เราต้องการ $x$ ที่เป็นบวก ดังนั้น $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.$
ถ้า $\frac{1}{x} - x = 1,$ แล้ว
\[x^2 + x - 1 = 0... | x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พนักงานสวนต้องการปลูกต้นแอปเปิ้ล Golden Delicious 2 ต้นเหมือนกันและต้นลูกแพร์ Bartlett 5 ต้นเหมือนกันเป็นแถวเดียวกัน มีวิธีจัดเรียงที่แตกต่างกันได้กี่วิธี? | เรามีที่ว่าง 7 ตำแหน่งสำหรับปลูกต้นไม้ในแถวของเรา เราสามารถเลือก 2 ตำแหน่งนี้เพื่อปลูกต้น Golden Delicious ได้ใน $\binom{7}{2}= \boxed{21}$ วิธี สำหรับแต่ละวิธีนี้ เราจะปลูกต้นลูกแพร์ในตำแหน่งที่เหลือ 5 ตำแหน่ง | \binom{7}{2}= \boxed{21} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปดาวห้าแฉกที่แสดงให้เห็น ตัวอักษร $A$, $B$, $C$, $D$, และ $E$ ถูกแทนที่ด้วยตัวเลข 3, 5, 6, 7, และ 9 แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนี้ ผลรวมของตัวเลขที่ปลายของส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, และ $\overline{EA}$ จะสร้างเป็นลำดับเลขคณิต แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับน... | แต่ละตัวเลขปรากฏในสองผลรวม ดังนั้นผลรวมของลำดับคือ \[
2(3+5+6+7+9)=60.
\]พจน์ที่อยู่ตรงกลางของลำดับเลขคณิตห้าพจน์คือค่าเฉลี่ยของพจน์ของมัน ดังนั้น $60/5=\boxed{12}$ คือพจน์ที่อยู่ตรงกลาง
รูปแสดงการจัดเรียงของตัวเลขห้าตัวที่ตรงตามข้อกำหนด
[asy]
pair A,B,C,D,E;
A=(0,10);
B=(5.9,-8.1);
C=(-9.5,3.1);
D=(9.5,3.1);
E=(-5.9... | 60/5=\boxed{12} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อแรชเชลหารเลขชื่นชอบของเธอด้วย 7 เธอจะได้เศษ 5 เศษที่เหลือจะเป็นเท่าไรถ้าเธอคูณเลขชื่นชอบของเธอด้วย 5 แล้วหารด้วย 7 | ให้ $n$ เป็นเลขชื่นชอบของแรชเชล ดังนั้น $n \equiv 5 \pmod{7}$ ดังนั้น $5n \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv \boxed{4} \pmod{7}$ | 5n \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv \boxed{4} \pmod{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เจเรมียห์กำลังนั่งรถที่วิ่งด้วยความเร็ว 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ด้วยอัตราเร็วนี้ เขาจะใช้เวลานานเท่าไรในการเดินทาง 20 ไมล์? | ระยะทางเท่ากับอัตราเร็วคูณด้วยเวลา ดังนั้นการเดินทางจะใช้เวลา $$\frac{20\text{ mi.}}{60\text{ mph}}=\frac{1}{3}\text{ hours}.$$ หนึ่งในสามของชั่วโมงคือ $\boxed{20}$ นาที | \boxed{20} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.