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1655_复解析动力系统(任福尧)
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定义 4.11
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定义 4.11 有理函数 \( R : \widehat{\mathcal{C}} \mapsto \widehat{\mathcal{C}} \) 称为几何有限的,如果 \( R \) 的临界点集的正向轨道的闭包与 \( J\left( R\right) \) 只交于有限个点,即 \( \# \left( {\overline{\left( {O}_{R}\left( C\right) \right) } \cap }\right. \) \( J\left( R\right) ) < \infty \) .
定理 4.4 有理函数 \( R \) 是几何有限的充要条件是:
1) 每个属于 \( J\left( R\right) \) 的临界轨道最终落于排斥或有理中性周期轨道;
2) 每个属于 \( F\left( R\right) \) 的临界轨道收敛于吸引、超吸引或有理中性周期轨道.
证明 充分性是显然的, 下面证明必要性. 由条件, 一个临界点若在 \( J\left( R\right) \) 内,则其轨道必有限,即最终落于 \( J\left( R\right) \) 内的周期轨道,但由 Sullivan 分类定理及定理 3.7 可知, \( R \) 没有 Cremer 点,故 1 ) 成立,又由定理 \( {3.6}, R \) 没有 Siegel 盘和 Herman 环,则由分类定理 2) 成立. 证毕.
## § 4.3 Julia 集的测度
我们知道,有理函数 \( R \) 的 Julia 集 \( J\left( R\right) \) 如果不是整个复球面,则一定没有内点,即 \( J\left( R\right) \) 是无处稠密的; 另一方面,从动力学角度来看, 我们也希望 Julia 集相对地小,因此,考虑 \( J\left( R\right) \) 的 Lebesgue 测度很有必要. Fatou 早在本世纪初就考虑过 Julia 集的测度, 并提出了下面的问题.
问题 4.1 如果有理函数 \( R \) 的 Julia 集 \( J\left( R\right) \neq \overset{\Lambda }{\mathcal{C}} \) ,是否有 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) ? 这里 mes 表示二维 Lebesgue 测度.
\( {\text{Brolin}}^{\text{[Br. }} \) 曾在一个条件 (所有临界点位于同一个 Fatou 集的吸引的不变分支内) 下,证明了 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) . 利用上节的度量方法可以证明对双曲或次双曲有理函数也成立 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) (见文献 \( {}^{\left\lbrack \mathrm{{DH}}1\right\rbrack } \) ). 本节我们将用分析的方法对较广的几何有限有理函数证明 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) , 证明的主要工具是熟知的 Koebe 的偏差定理和 Lebesgue 密度定理.
定理 4. 5 (Koebe 偏差定理) 记 \( {\Delta }_{r} = \{ \left| z\right| \leq r\} \) ,设 \( f : {\Delta }_{r} \mapsto \mathcal{C} \) 是一个单叶解析函数,对 \( 0 < t < 1 \) ,存在仅依赖于 \( t \) 的常数 \( K \) ,使得对任意 \( {z}_{1},{z}_{2} \in {\Delta }_{n} \) ,满足:
\[
\frac{1}{K} \leq \frac{\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{1}\right) \right| }{\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{2}\right) \right| } \leq K
\]
(4. 8)
称 \( f \) 在 \( {\Delta }_{n} \) 上有有界偏差 \( K \) .
如果 \( f : {\Delta }_{r} \mapsto \widehat{\mathcal{C}} \) ,则在 (4.8) 式中应使用球面导数的模.
记 \( {\Delta }_{r}\left( z\right) = \{ \zeta \left| \right| \zeta - z \mid < r\} \) ,那么,可测集 \( X \) 在 \( z \) 点的密度定义为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\operatorname{mes}\left( {X \cap {\Delta }_{r}\left( z\right) }\right) }{\pi {r}^{2}}
\]
(4.9)
若上式中的极限用 \( \overline{\lim } \) 或 \( \underline{\lim } \) 代替,则分别称为上密度和下密度.
定理 4. 6 (Lebesgue 密度定理) 设 \( X \) 是可测子集,若 \( \operatorname{mes}X > 0 \) , 则对几乎所有的 \( z \in X, X \) 在 \( z \) 点的 (上,下) 密度等于 1 .
下面考虑有理函数 \( R \) .
引理 4.4 如果 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{E}} \) ,那么,对几乎所有的 \( z \in J\left( R\right) \) ,其轨道的极限点集 \( {\left( {O}_{R}\left( z\right) \right) }^{\prime } \subset \overline{{O}_{R}\left( C\right) } \cap J\left( R\right) \) .
证明 由于 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{E}} \) ,因此在一个共形共轭后,可以假定 \( J\left( R\right) \) 是复平面上的一个紧集. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,记 \( {X}_{t} = \{ z \in J\left( R\right) \mid \) \( \mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}d\left( {{R}^{m}\left( z\right) ,\overline{{O}_{R}\left( C\right) }}\right) > {2\varepsilon }\} \) ,那么,对任意 \( z \in {X}_{\varepsilon } \) ,存在子列 \( {m}_{k} \) ,使得 \( d\left( {{R}^{mk}\left( z\right) ,\overline{{O}_{R}\left( C\right) }}\right) > {2\varepsilon } \) ,因此, \( {R}^{{m}_{k}} \) 在 \( {R}^{{m}_{k}}\left( z\right) \) 的 \( {2\varepsilon } \) -邻域 \( {\Delta }_{2\varepsilon }\left( {{R}^{{m}_{k}}\left( z\right) }\right) \) 内可取到单值逆分支 \( {R}_{k}^{-{m}_{k}} \) ,且将 \( {R}^{{m}_{k}}\left( z\right) \) 映成 \( z \) . 记 \( {D}_{k} = {\Delta }_{t}\left( {{R}^{m}\left( z\right) }\right) ,{C}_{k} = \) \( {R}_{k}{}^{{m}_{k}}\left( {D}_{k}\right) \) ,由 Koebe 偏差定理得, \( {R}^{{m}_{k}} \) 在 \( {C}_{k} \) 上有有界偏差 \( K, K \) 与 \( {C}_{k} \) 及 \( k \) 均无关,因此,
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{C}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{C}_{k}} \geq {K}^{-2}\frac{\operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{D}_{k}}.
\]
现在记 \( {R}_{k} \) 是包含 \( {C}_{k} \) 的 \( {\Delta }_{k}\left( z\right) \) 的最小半径, \( {r}_{k} \) 是包含在 \( {C}_{k} \) 内的 \( {\Delta }_{r}\left( z\right) \) 的最大半径,仍由 Koebe 偏差定理,得 \( {R}_{k} \leq K \cdot {r}_{k} \) ; 另一方面,由 Julia 集的齐性定理 (推论 2.11),必定有 \( {r}_{k} \rightarrow 0 \) ,从而 \( {R}_{k} \rightarrow 0,\left( {k \rightarrow \infty }\right) \) . 因此
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{{R}_{k}}\left( z\right) \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\pi {R}_{k}^{2}} \geq {K}^{-2}\frac{\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{{R}_{k}}\left( z\right) \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\pi {r}_{k}^{2}}
\]
\[
\geq {K}^{-2}\frac{\operatorname{mes}\left( {{C}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{C}_{k}}
\]
\[
\geq {K}^{-4}\frac{\operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{D}_{k}}.
\]
但是, \( J\left( R\right) \) 是紧集,可以被有限多个 \( {\Delta }_{\varepsilon }\left( {z}_{j}\right) \left( {j = 1,2,\cdots, N}\right) \) 所覆盖. 由于 \( J\left( R\right) \neq \mathcal{C}, b = \mathop{\min }\limits_{{1 \leq j \leq N}}\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{t}\left( {z}_{j}\right) \smallsetminus J\left( R\right) }\right) > 0 \) ,而每个 \( {D}_{k} \) 至少包含一个 \( {\Delta }_{\varepsilon }\left( {z}_{j}\right) \) ,故 \( \operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) \geq b > 0 \) ,因此
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{D}_{k}} \geq \frac{b}{\pi {\varepsilon }^{2}} > 0,
\]
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{{R}_{k}}\left( z\right) \cap J\left( R\right) }\right) }{\pi {R}_{k}^{2}} \leq 1 - \frac{b}{\pi {\varepsilon }^{2}{K}^{4}} < 1.
\]
这说明了 \( J\left( R\right) \) 在 \( z \) 点的下密度小于 1,由 Lebesgue 密度定理只能有 \( \operatorname{mes}{X}_{t} = 0 \) . 由于 \( \varepsilon \) 是任意取得的,即得对几乎所有的 \( z \in J\left( R\right) \) ,有 \( {\left( {O}_{R}\left( z\right) \right) }^{\prime } \subset \overline{{O}_{k}\left( C\right) } \cap J\left( R\right) \) . 证毕.
定理 4.7 如果 \( R \) 是几何有限的有理函数,那么或者
1) \( J\left( R\right) = \varepsilon \) ;
或者
2) \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) .
证明 若 \( R \) 是几何有限的,则 \( J\left( R\right) \cap \overline{{O}_{R}\left( C\right) } \) 仅由有限多个排斥周期轨道和有理中性周期轨道组成. 如果 \( J\left( R\right) \neq \overset{\Lambda }{\mathcal{C}} \) ,由上述引理可知,对几乎所有的 \( z \in J\left( R\right) \) ,其轨道将收敛于这些周期轨道,但是,由排斥周期轨道与有理中性周期轨道的局部性质 (定理 2.5 的注和定理 2.9) 可知,除非 \( z \) 属于这些周期点的大轨道. 这是不可能的,而有限多个周期点的大轨道是一个可列集,测度为零,因此,只能有 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = \) 0 . 证毕.
推论 4.1 双曲有理函数的 Julia 集具有零测度.
关于 Julia 集的测度,目前已有较大进展,就二次多项式 \( {P}_{c}\left( t\right) = \) \( {z}^{2} + c \) 而言,若 \( {P}_{c} \) 不是无穷可重正规化的,则 \( J\left( {P}_{c}\right) \) 的测度为零. 这样, \( \operatorname{mes}J\left( {P}_{c}\right) \neq 0 \) 的参数 \( c \) 至多只有可列多个 (参见文献 \( {}^{\left\lbrack \mathrm{{Lyu}}\right\rbrack } \) ). 但问题 4. 1 至今仍未完全解决,目前既没有最终证明当 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{C}} \) 时, \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) ; 也未能找到一个有理函数 \( R \) ,使 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{C}} \) ,但 mes \( J\left( R\right) > 0 \) .
注 本节证明中用到的 Koebe 偏差定理在复动力系统研究中起着很大的作用. 事实上, 本节的方法适用于考虑当 Julia 集包含在一条直线或圆周内时的线测度. 另外, Koebe 定理的推广已成为实动力系统的复方法中的主要工具之一.
## § 4.4 Julia 集的 Hausdorff 维数
除了几种特殊情况以外, Julia 集通常具有很复杂的结构, 是分形集合. 本节讨论 Julia 集的 Hausdorff 维数和 Hausdorff 测度, 先引进它们的定义.
设 \( X \) 是 \( {\mathcal{R}}^{n} \) 中的子集, \( \left\{ {U}_{i}\right\} \left( {i \in I}\right) \) 是 \( {\mathcal{R}}^{n} \) 中非空子集的有限或可数集族. 如果 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i \in I}}{U}_{i} \supset X \) ,且它们的直径 \( \operatorname{diam}{U}_{i} = \operatorname{Sup}\{ d\left( {x, y}\right) \mid x \) , \( y \in U,\} \) 满足 \( 0 < \operatorname{diam}U, \leq \delta \left( {i \in I}\right) \) ,则称 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 是 \( x \) 的一个 \( \delta \) -覆盖,这里 \( d \) 是 Euclid 度量.
定义 4.12 设 \( X \subset {\mathcal{R}}^{n}, s \geq 0 \) ,对 \( \forall \delta > 0 \) ,定义
\[
{H}_{\delta }^{ * }\left( X\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i \in I}}{\left( \operatorname{diam}{U}_{i}\right) }^{ * } \mid \left\{ {U}_{i}\right\} \left( {i \in I}\right) \text{ 是 }X\text{ 的 }\delta \text{- 覆盖 }}\right\} ,
\]
则 \( {H}_{\delta }^{t}\left( X\right) \) 是 \( \delta \) 的增函数,称极限
\[
{H}^{s}\left( X\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}{H}_{\delta }^{s}\left( X\right)
\]
(4.10)
为集合 \( X \) 的 \( s \) 维 Hausdorff 测度.
容易验证, \( I{I}^{s} \) 是 Borel 集上的测度. 特别地,当 \( s = n \) 时,如果 \( x \) 是 Borel 集, 则有
\[
{H}^{n}\left( X\right) = {c}_{n}\operatorname{mes}\left( X\right) ,
\]
(4.11)
这里 \( {c}_{n} \) 是仅与空间维数有关的常数, mes 是 \( n \) 维 Lebesgue 测度 (参见文献 \( {}^{\left\lbrack \mathrm{{Fall}}\right\rbrack } \) ).
进一步,易验证,对 \( t > s \) ,有
\[
{H}_{\delta }^{t}\left( X\right) \leq {\delta }^{t - s}{H}_{\delta }^{s}\left( X\right) ,
\]
因此,如果 \( {H}^{s}\left( X\right) < \infty \) ,则 \( {H}^{t}\left( X\right) = 0 \) ; 如果 \( {H}^{t}\left( X\right) > 0 \) ,则 \( {H}^{s}\left( X\right) = \infty \) ,于是存在 \( {d}_{0} \geq 0 \) ,当 \( s < {d}_{0} \) 时, \( {H}^{s}\left( X\right) = \infty \) ; 当 \( s > {d}_{0} \) 时, \( {H}^{s}\left( x\right) = 0 \) .
定义 4.13 称
\[
{d}_{0} = \inf \left\{ {s \mid {H}^{s}\left( X\right) = 0}\right\} = \sup \left\{ {s \mid {H}^{s}\left( X\right) = \infty }\right\}
\]
为集合 \( X \) 的 Hausdorff 维数,简称维数,记为 \( {\dim }_{H}X \) 或 \( \dim X \) .
当 \( s = \dim X \) 时, \( {H}^{s}\left( X\right) \) 可能为 0 或 \( \infty \) ,也可能满足 \( 0 < {H}^{s}\left( X\right) < \) \( \infty \) . 对后者讨论 Hausdorff 测度是有意义的.
下面我们要考虑的是 Julia 集的 Hausdorff 维数和测度, 即限制在复平面 \( \mathcal{C} \) 上考虑. 由于 Julia 集事实上是复球面 \( \mathcal{C} \) 中的紧集,我们对 Hausdorff 测度和维数的定义稍作修改, 将定义中的 Euclid 度量改为球面度量,即 \( \operatorname{diam}U \) 表示球面直径,此时 Hausdorff 维数的大小保持不变.
记 \( {B}_{r}\left( z\right) = \left\{ {\zeta \in \overset{\Lambda }{\mathcal{C}} \mid d\left( {z,\zeta }\right) \leq r}\right\} \) 为以 \( z \) 为心、 \( r \) 为半径的闭圆盘, 下面的引理是计算 Hausdorff 维数的有用工具之一.
引理 4.5 设 \( X \) 是 \( \widehat{\varepsilon } \) 中的紧集, \( \mu \) 是 \( X \) 上的有限测度 (支集在 \( X \) 上), \( 0 < \mu \left( X\right) < \infty \) ,设 \( s > 0 \) ,则
1) 如果存在 \( c > 0 \) ,使得当 \( r > 0 \) 充分小时,对任意 \( z \in X \) 都有 \( \mu \left
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1902_[现代数学基础丛书].[算子代数]
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定义 6.3.3
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定义 6.3.3 vN 代数 \( M \) 上的正泛函 \( \varphi \) 称为迹的,指
\[
\varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) = \varphi \left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in M.
\]
这时对任意的 \( a \in {M}_{ + } \) 及 \( M \) 的酉元 \( u \) ,
\[
\varphi \left( a\right) = \varphi \left( {{\left( u{a}^{\frac{1}{2}}\right) }^{ * } \cdot \left( {u{a}^{\frac{1}{2}}}\right) }\right) = \varphi \left( {{ua}{u}^{ * }}\right) .
\]
因此, \( \varphi \left( {ab}\right) = \varphi \left( {ba}\right) ,\forall a, b \in M \) .
引理 6.3.4 设 \( \varphi \) 是 \( M \) 上的正泛函,且有正常数 \( K \) ,使得对 \( M \) 的任意等价的投影 \( \dot{p}, q \) ,有 \( \varphi \left( p\right) \leq {K\varphi }\left( q\right) \) ,则
\[
\varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) \leq {K\varphi }\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in M.
\]
证. 设 \( a \in M \) ,且 \( \parallel a\parallel \leq 1 \) ,谱分解
\[
{a}^{ * }a = {\int }_{0}^{1}{\lambda d}{e}_{\lambda } = \mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}{p}_{i}^{\left( n\right) },
\]
这里 \( {p}_{i}^{\left( n\right) } = {e}_{\frac{i}{n}} - {e}_{\frac{i - 1}{n}},1 \leq i \leq n \) . 如果 \( a = {ub} \) 是 \( a \) 的极分解, 则 \( {p}_{i}^{\left( n\right) } \leq {u}^{ * }u,\forall n, i \) . 由于
\[
a{a}^{ * } = u{a}^{ * }a{u}^{ * } = \mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}u{p}_{i}^{\left( n\right) }{u}^{ * }
\]
以及 \( {\left( u{p}_{i}^{\left( n\right) }\right) }^{ * }\left( {u{p}_{i}^{\left( n\right) }}\right) = {p}_{i}^{\left( n\right) },\left( {u{p}_{i}^{\left( n\right) }}\right) {\left( u{p}_{i}^{\left( n\right) }\right) }^{ * } = u{p}_{i}^{\left( n\right) }{u}^{ * } \) ,于是
\[
\varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) = \mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}\varphi \left( {p}_{i}^{\left( n\right) }\right)
\]
\[
\leq K\mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}\varphi \left( {u{p}_{i}^{\left( n\right) }{u}^{ * }}\right)
\]
\[
= {K\varphi }\left( {a{a}^{ * }}\right) \text{.}
\]
证毕.
系 6.3.5 设 \( \varphi \) 是 \( M \) 上的正泛函,则 \( \varphi \) 是迹的,当且仅当,对 \( M \) 的任意等价的投影 \( p, q \) ,有 \( \varphi \left( p\right) = \varphi \left( q\right) \) .
引理 6.3.6 设 \( M \) 是有限的 \( \mathrm{{vN}} \) 代数, \( p \) 是 \( M \) 的非零投影, \( n \) 是正整数,则存在 \( M \) 的非零投影 \( {p}_{0} \) ,及 \( {M}_{0} = {M}_{{p}_{0}} \) 上忠实的正规态 \( {\varphi }_{0} \) ,使得
\[
{p}_{0} \leq p,{\varphi }_{0}\left( {{a}^{ * }a}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in {M}_{0}.
\]
证. 任意取 \( {M}_{p} \) 上的正规态 \( \phi \) ,命 \( \varphi \left( x\right) = \phi \left( {pxp}\right) ,\forall x \in M \) , 则 \( \varphi \) 是 \( M \) 上的正规态,并且其支持 \( s\left( \varphi \right) \leq p \) . 用 \( s\left( \varphi \right) \) 代替 \( p \) 考虑问题,可以认为 \( s\left( \varphi \right) = p \) ,即 \( {M}_{p} \) 上有忠实的正规态 \( \varphi \) .
如果对于 \( {M}_{p} \) 的任意等价投影 \( {q}_{1},{q}_{2} \) ,有 \( \varphi \left( {q}_{1}\right) = \varphi \left( {q}_{2}\right) \) ,依系 6.3.5,取 \( {\varphi }_{0} = \varphi ,{p}_{0} = p \) ,即满足要求. 若否,依 Zorn 辅理,在 \( {M}_{p} \) 中存在相互直交的投影极大族 \( \left\{ {e}_{l}\right\} ,\left\{ {f}_{l}\right\} \) ,使得
\[
{e}_{l} \sim {f}_{l},\varphi \left( {e}_{l}\right) > \varphi \left( {f}_{l}\right) ,\forall l.
\]
记 \( {e}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{l}{e}_{l},{f}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{l}{f}_{l} \) ,则 \( \varphi \left( {e}_{1}\right) > \varphi \left( {f}_{1}\right) \) ,特别地, \( {f}_{1} \leqq t \) . 由于 \( {\varepsilon }_{1} \sim {f}_{1} \) ,依命题 6.3.2, \( \left( {p - {\varepsilon }_{1}}\right) \sim \left( {p - {f}_{1}}\right) \) ,因此, \( {\varepsilon }_{1} \leqq p \) . 由于族 \( \left\{ {\varepsilon }_{l}\right\} ,\left\{ {f}_{l}\right\} \) 的极大性,对任意的等价投影 \( \varepsilon, f \) ,如果
\[
\varepsilon \leq p - {\varepsilon }_{1}, f \leq p - {f}_{1},
\]
则 \( \varphi \left( \sigma \right) \leq \varphi \left( f\right) \) . 命
\[
{\mu }_{0} = \inf \left\{ {\mu \left| {\;\begin{array}{l} \mu > 0,\text{ 对任意等价的投影 }e, f,\text{ 并且 } \\ e \leq p - {e}_{1}, f \leq p - {f}_{1},\text{ 有 }\varphi \left( e\right) \leq {\mu \varphi }\left( f\right) \end{array}}\right. }\right\} ,
\]
显然 \( {\mu }_{0} \leq 1 \) . 我们说 \( 0 < \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \leq {\mu }_{0} \) . 事实上,如果 \( \varphi (p - \) \( \left. {e}_{1}\right) > {\mu }_{0} \) ,则有 \( \mu ,{\mu }_{0} \leq \mu < \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \) ,使得对于任何等价的投影 \( e, f \) ,并且 \( e \leq p - {e}_{1}, f \leq p - {f}_{1} \) ,有 \( \varphi \left( e\right) \leq {\mu \varphi }\left( f\right) \) . 特别, \( \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \leq {\mu \varphi }\left( {p - {f}_{1}}\right) < \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \varphi \left( {p - {f}_{1}}\right) \) . 但显然 \( \varphi (p - \)
\( \left. {f}_{1}\right) < 1 \) ,矛盾. 因此, \( 0 < \varphi \left( {p - {\varepsilon }_{1}}\right) \leq {\mu }_{0} \) .
现在取 \( \varepsilon > 0 \) ,使得 \( 0 < {\left( {\mu }_{0} - \varepsilon \right) }^{-1}{\mu }_{0} \leq 1 + \frac{1}{n} \) . 依照 \( {\mu }_{0} \) 的定义,必存在等价的投影 \( {e}_{2},{f}_{2} \) ,并且 \( {e}_{2} \leq p - {e}_{1},{f}_{2} \leq p - {f}_{1} \) ,使得 \( \varphi \left( {e}_{2}\right) > \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( {f}_{2}\right) \) . 自然 \( {e}_{2},{f}_{2} \) 均非零. 今我们指出,存在等价的非零投影 \( {e}_{3},{f}_{3},{e}_{3} \leq {e}_{2},{f}_{3} \leq {f}_{2} \) ,使得对任何等价的投影 \( e, f \) ,并且 \( e \leq e,, f \leq {f}_{3} \) ,有 \( \varphi \left( e\right) \geq \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( f\right) \) . 事实上,如果这样的 \( {e}_{3},{f}_{3} \) 不存在,特别 \( {e}_{2},{f}_{1} \) 不能是这样的 \( {e}_{3},{f}_{3} \) ,因此有等价的投影 \( e, f, e \leq {e}_{2}, f \leq {f}_{2} \) ,而 \( \varphi \left( e\right) < \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( f\right) \) . 继而 \( {e}_{2} - e,{f}_{2} - f \) 也不能是这样的 \( {e}_{3},{f}_{3} \) ,又有 \( \cdots \) ,依 Zorn 辅理,可写 \( {e}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{i} \oplus {e}_{i},{f}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{i} \oplus {f}_{i},{e}_{i} \sim {f}_{i} \) ,并且
\[
\varphi \left( {\varepsilon }_{t}\right) < \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( {f}_{t}\right) ,\forall t.
\]
由于 \( \varphi \) 是正规的,因此, \( \varphi \left( {e}_{2}\right) < \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( {f}_{2}\right) \) ,这与 \( {e}_{2},{f}_{2} \) 的性质相矛盾. 所以,所要求的 \( {\varepsilon }_{3},{f}_{3} \) 必存在.
设 \( v \in {M}_{p},{v}^{ * }v = {c}_{3}, v{v}^{ * } = {f}_{3} \) ,并命
\[
\psi \left( x\right) = \varphi \left( {{v}^{ * }{xv}}\right) ,\forall x \in {f}_{3}M{f}_{3},
\]
由于 \( \varphi \) 在 \( {M}_{p} \) 上是忠实的,因此, \( \phi \left( {f}_{3}\right) = \varphi \left( {c}_{3}\right) > 0 \) . 如果 \( r, q \) 是 \( {f}_{3}M{f}_{3} \) 的等价投影,由于 \( {\left( {v}^{ * }q\right) }^{ * }\left( {{v}^{ * }q}\right) = q \) ,因此在 \( {M}_{p} \) 中, \( r \sim \) \( q \sim {v}^{ * }{qv} \) ,并且 \( {v}^{ * }{qv} \leq {c}_{3} \) . 依 \( {c}_{3},{f}_{3} \) 的性质及 \( {\mu }_{0} \) 的定义.
\[
\left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( r\right) \leq \varphi \left( {{v}^{ * }{qv}}\right) \leq {\mu }_{0}\varphi \left( r\right) .
\]
特别地, \( \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( r\right) \leq \varphi \left( {{v}^{ * }{rv}}\right) \leq {\mu }_{0}\varphi \left( r\right) \) . 从而,
\[
\phi \left( q\right) \leq {\mu }_{0}\varphi \left( r\right) \leq \frac{{\mu }_{0}}{{\mu }_{0} - \varepsilon }\phi \left( r\right)
\]
\[
\leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \phi \left( r\right)
\]
命 \( {p}_{0} = {f}_{3}\left( { \leq p}\right) \) ,及
\[
{\varphi }_{0}\left( x\right) = \phi {\left( {f}_{3}\right) }^{-1}\phi \left( x\right) ,\forall x \in {M}_{0} = {M}_{{p}_{0}},
\]
显然 \( {\varphi }_{0} \) 是 \( {M}_{0} \) 上的正规态,如果 \( x \in {M}_{0} \) ,使得 \( {\varphi }_{0}\left( {{x}^{ * }x}\right) = 0 \) ,由于 \( \varphi \) 在 \( {M}_{p} \) 上是忠实的,因此, \( {x\nu } = 0 \) . 从而, \( z = x{f}_{1} = {xv}{v}^{ * } = 0 \) , 即 \( {\varphi }_{0} \) 在 \( {M}_{0} \) 上是忠实的. 前面也已指出,对 \( {M}_{0} \) 的任何等价投影
\( r, q \) ,有
\[
{\varphi }_{0}\left( q\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( r\right)
\]
于是依引理 6.3.4, \( {\varphi }_{0}\left( {{a}^{ * }a}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in {M}_{0} \) . 证毕.
引理 6.3.7 设 \( M \) 是有限的 \( \mathrm{{vN}} \) 代数,则对任何的正整数 \( n \) , 有 \( M \) 上的正规态 \( {\phi }_{n} \) ,使得
\[
{\psi }_{n}\left( {{x}^{ * }x}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\phi }_{n}\left( {x{x}^{ * }}\right) ,\forall x \in M.
\]
证. 依引理 6.3.6,有 \( M \) 的非零投影 \( {p}_{0} \) ,及 \( {M}_{{p}_{0}} \) 上忠实的正规态 \( {\varphi }_{0} \) ,使得
\[
{\varphi }_{0}\left( {{a}^{ * }a}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in {M}_{{p}_{0}}.
\]
设 \( \left\{ {{p}_{1},\cdots ,{p}_{m}}\right\} \) 是 \( M \) 的相互直交的投影极大族,使得 \( {p}_{i} \sim {p}_{0} \) , \( 1 \leq i \leq m \) (注意 \( M \) 是有限的,因此, \( m \) 必有限). 依定理 1.5.4, 有 \( M \) 的中心投影 \( z \) ,使得
\[
\left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{i}{p}_{i}}\right) z \lesssim {p}_{0}z
\]
\[
{p}_{0}\left( {1 - z}\right) \lesssim \left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{i}{p}_{i}}\right) \left( {1 - z}\right)
\]
由于 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \) 的极大性, \( {p}_{0}z \neq 0 \) .
设 \( {v}_{i}^{ * }{v}_{i} = {p}_{0}z,{v}_{i}{v}_{i}^{ * } = {p}_{i}z,1 \leq i \leq m,{v}_{m + 1}^{ * }{v}_{m + 1} \leq {p}_{0}z \) ,而
\[
{v}_{m + 1}{v}_{m + 1}^{ * } = \left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{i}{p}_{i}}\right) z,
\]
并命
\[
{\varphi }_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{m + 1}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }x{v}_{i}}\right) ,\forall x \in M,
\]
于是对任意的 \( x \in M \) ,
\[
{\varphi }_{n}\left( {{x}^{ * }x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{m + 1}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }{x}^{ * }x{v}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{{m + 1}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }{x}^{ * }{v}_{j}{v}_{j}^{ * }x{v}_{i}}\right)
\]
\[
\leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \mathop{\sum }\limits_{{i, j}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{j}^{ * }x{v}_{i}{v}_{i}^{ * }{x}^{ * }{v}_{j}}\right)
\]
\[
= \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \mathop{\sum }\limits_{i}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }x{x}^{ * }{v}_{i}}\right)
\]
\[
= \left( {1 +
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1641_调和分析及其在偏微分方程中的应用(苗长兴)
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定义 3.1
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定义 3.1 设 \( T \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 到 \( X \) 上的等距线性算子，即
\[
\parallel {Tx}{\parallel }_{X} = \parallel x{\parallel }_{X},\;\text{ 对 }\;\forall \;x \in X.
\]
(3.10)
此处 \( \parallel \cdot {\parallel }_{X} \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 上的内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 所诱导的范数,如果 \( \mathcal{R}\left( T\right) = X \) ,称 \( T \) 是 \( X \) 上的酉算子.
注记 3.2 (i) (3.10) 等价于对 \( \forall x, y \in X \) ,有 \( \left( {{Tx},{Ty}}\right) = \left( {x, y}\right) \) .
(ii) \( T \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 上酉算子的充要条件是 \( {T}^{-1} = {T}^{ * } \) .
定理 3.2 Fourier 变换 \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 上的酉算子.
证明 因为 \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2} \) 上等距线性算子,仅需证明 \( \mathcal{F} \) 是到上的. 注意到 \( {L}^{2} \) 闭且 \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2} \) 上的等距算子,可知 \( \mathcal{R}\left( \mathcal{F}\right) \) 是 \( {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 的闭子空间. 若 \( \mathcal{R}\left( \mathcal{F}\right) \neq {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,则存在 \( g \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \smallsetminus \mathcal{R}\left( \mathcal{F}\right) \) ,且 \( \parallel g{\parallel }_{2} \neq 0 \) 使得
\[
\langle g,\mathcal{F}f\rangle = 0,\; \Rightarrow \langle \widehat{g}, f\rangle = 0,\;\forall f \in {L}^{2}.
\]
取 \( f = \widehat{g} \in {L}^{2} \) ,从而推得 \( \parallel \widehat{g}\parallel = 0 \) ,故 \( g = 0 \) . 此出矛盾.
定理 3.3 对一切 \( f \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,令 \( {\mathcal{F}}^{-1}f = \mathcal{F}f\left( {-x}\right) \) ,则 \( {\mathcal{F}}^{-1} \) 是 \( \mathcal{F} \) 的 Fourier 逆变换.
证明 仅需证明
\[
{\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f} = f
\]
(3.11)
对 \( \forall g \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,考虑
\[
\left\langle {{\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f}, g}\right\rangle = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f} \cdot \overrightarrow{g}\left( x\right) {dx} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\mathcal{F}\widehat{f}\left( {-x}\right) \bar{g}\left( x\right) {dx}
\]
\[
= {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi iy} \cdot x}\bar{g}\left( x\right) {dx}\widehat{f}\left( y\right) {dx}
\]
\[
= {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\overline{\widehat{g}}\widehat{f}{dx} = \langle \widehat{f},\widehat{g}\rangle = \langle f, g\rangle
\]
从而 (3.11) 成立.
总结前面结论, 有如下 Plancherel 定理 :
命题 3.4 对 \( \forall f, g \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,有
(i) \( \left( {\mathcal{F}f,\mathcal{F}g}\right) = \left( {{\mathcal{F}}^{-1}f,{\mathcal{F}}^{-1}g}\right) = \left( {f, g}\right) \) .
(ii) \( \mathcal{F}{\mathcal{F}}^{-1}f = {\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}f = f \) .
(iii) \( \left( {f,\mathcal{F}g}\right) = \left( {{\mathcal{F}}^{-1}f, g}\right) \) .
(iv) \( {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}{gdx} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}f\left( x\right) \widehat{g}\left( x\right) {dx} \) .
注记 3.3 (i) 对 \( \forall f \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,根据 Plancherel 定理,有
\[
f\left( x\right) = {\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f}\left( x\right) = \mathcal{F}\widehat{f}\left( {-x}\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( y\right) {dy},
\]
因而 \( {L}^{2} \) 中 Fourier 反演公式是非常简单而且完美.
(ii) Abel, Gauss 等求和方法在 \( {L}^{2} \) 的 Fourier 变换理论中仍然有效. 以 Gauss 求和方法来说明. 由点态收敛定理 1.6 及卷积的正则性定理
\[
{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{e}^{-4{\pi }^{2}\alpha {\left| y\right| }^{2}}{dy} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}W\left( {x - y,\alpha }\right) f\left( y\right) {dy}\xrightarrow[]{\text{ a.e. }}f\left( x\right) ,
\]
(3.12)
\[
{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{e}^{-4{\pi }^{2}\alpha {\left| y\right| }^{2}}{dy} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}W\left( {x - y,\alpha }\right) f\left( y\right) {dy}\overset{{L}^{2}}{ \rightarrow }f\left( x\right)
\]
\( \left( {3.13}\right) \)
这里 \( \alpha \rightarrow 0 \) . 另一方面,当 \( \widehat{f}\left( y\right) \in {L}^{1} \cap {L}^{2} \) 时,由控制收敛定理,
\[
{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{e}^{-4{\pi }^{2}\alpha {\left| y\right| }^{2}}{dy}\overset{\text{ a.e. }}{ \rightarrow }{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{dy},\;\alpha \rightarrow 0.
\]
(3.14)
从而
\[
f\left( x\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( y\right) {dy},\;\forall \widehat{f}\left( y\right) \in {L}^{1} \cap {L}^{2}.
\]
(3.15)
若 \( \widehat{f} \in {L}^{2} \) ,取
\[
{\widehat{f}}_{k} = \left\{ \begin{array}{ll} \widehat{f}, & \left| x\right| \leq k \\ 0, & \left| x\right| > k \end{array}\right.
\]
(3.16)
故 \( {\widehat{f}}_{k} \in {L}^{2} \cap {L}^{1} \) ,记 \( {f}_{k}\left( x\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}{\widehat{f}}_{k}\left( y\right) {dy} \) ,那么,据定理 3.1
得知
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{f}_{k}\left( x\right) \overset{{L}^{2}}{ = }{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( y\right) {dy} = \widetilde{f}\left( x\right) .
\]
(3.17)
下来证 \( f\left( x\right) = \widetilde{f}\left( x\right) \) . 任取 \( g\left( x\right) \in {L}^{2} \cap {L}^{1} \) ,有
\[
\left( {g,\widetilde{f}}\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}g\left( y\right) \overline{{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( x\right) {dxdy}},
\]
\[
= {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\left( {{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{ - {2\pi ix} \cdot y}g(y){dy}}\right) \overset{―}{\hat{f}}(x){dx}
\]
\[
= \left( {\mathcal{F}g,\widehat{f}}\right) = \left( {g, f}\right)
\]
(3.18)
故 \( f\left( x\right) = \widetilde{f}\left( x\right) \) . 所以, \( {L}^{2} \) 上的 Fourier 反演公式成立.
\( {L}^{p}\left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换
我们知道,当 \( 1 < p < 2 \) 时, \( {L}^{p} = {\left( {L}^{1},{L}^{2}\right) }_{\theta } \) . 因此,很容易根据 \( {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,{L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 上的 Fourier 变换来建立 \( {L}^{p}\left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换. 注意到 \( {L}^{p} \subset {L}^{1} + {L}^{2} \) ,而
\[
{L}^{1} + {L}^{2} = \left\{ {f \mid f = {f}_{1} + {f}_{2},{f}_{1} \in {L}^{1},{f}_{2} \in {L}^{2}}\right\} ,
\]
(3.19)
这样我们可以定义 \( {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换如下:
定义 3.2 对 \( \forall f \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,1 < p < 2 \) ,自然有
\[
f = {f}_{1} + {f}_{2},\;{f}_{1} \in {L}^{1},\;{f}_{2} \in {L}^{2},
\]
(3.20)
称 \( \widehat{f} = {\widehat{f}}_{1} + {\widehat{f}}_{2} \) 是 \( f\left( x\right) \) 的 Fourier 变换.
注记 \( {3.4f} \) 的分解是不唯一的,那么 \( \widehat{f} \) 的定义是否依赖于 \( f \) 的分解? 我们来说明 \( \widehat{f} \) 不依赖它的分解. 事实上,设 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 < p < 2}\right) \) ,若
\[
f = {f}_{1} + {f}_{2} = {g}_{1} + {g}_{2},\;{f}_{1},\;{g}_{1} \in {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,\;{f}_{2},\;{g}_{2} \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,
\]
就有 \( {f}_{1} - {g}_{1} \in {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,{g}_{2} - {f}_{2} \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) . 故
\[
{f}_{1} - {g}_{1} = {g}_{2} - {f}_{2} \in {L}^{1} \cap {L}^{2}
\]
(3.21)
此意味着 \( {\widehat{f}}_{1} - {\widehat{g}}_{1} = {\widehat{g}}_{2} - {\widehat{f}}_{2} \) ,从而 \( {\widehat{f}}_{1} + {\widehat{f}}_{2} = {\widehat{g}}_{1} - {\widehat{g}}_{2} \) .
同样,根据注记 \( {3.3},{L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换的反演问题同样可以用 Abel 平均或 Gauss 平均的办法来解决.
定理 3.5 若 \( f \in {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right), g \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,1 \leq p \leq 2 \) ,则 \( h = \) \( f * g \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 且对几乎处处 \( x \) 有
\[
\widehat{h} = \widehat{f} \cdot \widehat{g}
\]
(3.22)
证明 由 Young 不等式, \( h \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 \leq p \leq 2}\right) \) . 故根据 \( f \) 的 Fourier 变换, 直接验算就得 (3.22).
## \( §{1.4} \) 缓增广义函数及其 Fourier 变换
到目前为止, 讲述广义函数的最佳的方法仍是 Schwartz 的局部凸空间理论, 故在讨论缓增广义函数之前, 利用局部凸空间术语, 阐述一般广义函数论中的一些基本概念和基本结论, 作为很好的练习, 读者可给出详细的证明.
定义 4.1 设 \( E \) 是 \( K \) 上向量空间,若存在 \( E \) 的拓扑使得映射
\[
\left\{ \begin{array}{ll} & \left( {x, y}\right) \in E \times E \rightarrow x + y \in E, \\ & \left( {\lambda, y}\right) \in K \times E \rightarrow {\lambda x} \in E \end{array}\right.
\]
(4.1)
是连续的,则称此拓扑是向量空间 \( E \) 的相容拓扑. 一个装配有相容拓扑的向量空间称为是拓扑向量空间 (TVS).
注记 4.1 TVS 的拓扑可用局部邻域基来刻画,所谓 \( {x}_{0} \) 点的局部邻域基是指: 存在 \( \left\{ {{U}_{\alpha },\alpha \in I}\right\} \) (这里 \( I \) 是指标集) 满足
(i) \( {x}_{0} \in {U}_{\alpha },\;\alpha \in I \) ;
(ii) 设 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2} \in I \) ,则一定存在 \( {\alpha }_{3} \in I \) 使得 \( {U}_{{\alpha }_{1}} \cap {U}_{{\alpha }_{2}} = {U}_{{\alpha }_{3}} \) ;
(iii) 设 \( V \) 是 \( {x}_{0} \) 的一个邻域,则存在 \( \alpha \in I \) 使得 \( {U}_{\alpha } \subset V \) .
另一方面, 由于平移变换
\[
{\tau }_{y} : \;x \rightarrow y + x,\;y \in E\text{固定}
\]
和相似变换
\[
{\delta }_{\lambda } : \;x \rightarrow {\lambda x},\;\lambda \neq 0
\]
是 TVS \( E \) 上同胚映射,因此我们只需知道原点的局部邻域基就行了.
定义 4.2 可用半范数簇刻化局部邻域基的拓扑向量空间 \( E \) 就称是局部凸空间 (LCS).
注记 4.2 (i) 称拓扑向量空间 \( E \) 上的一个映射 \( p : E \rightarrow {\mathbb{R}}_{ + } \) 是半范数, 如果它满足
(1) \( p\left( {x + y}\right) \leq p\left( x\right) + p\left( y\right) ,\;\forall x, y \in E \) .
(2) \( p\left( {\lambda x}\right) = \left| \lambda \right| p\left( x\right) ,\;\forall x \in E,\;\forall \lambda \in K \) .
进而,若 \( p\left( x\right) \) 还满足 \( p\left( x\right) = 0 \) 当且仅当 \( x = 0 \) ,我们就称 \( p \) 是范数.
(ii) LCS 的具体定义 设 \( {\left( {p}_{i}\right) }_{i \in I} \) 是拓扑向量空间 \( E \) 的一族半范数,对每一个 \( {x}_{0} \in E \) ,正实数 \( \varepsilon \) ,以及 \( I \) 的有限子集 \( F \) ,定义 \( V\left( {{x}_{0},\varepsilon, F}\right) = \left\{ {x \in E : {p}_{i}\left( {x - {x}_{0}}\right) < \varepsilon, i \in F}\right\} \) . 显然集 \( V\left( {{x}_{0},\varepsilon, F}\right) \) 是对应于半范 \( {p}_{i}\left( {i \in F}\right) \) 的以 \( {x}_{0} \) 为中心、以 \( \varepsilon \) 为半径的球之交.
当 \( \varepsilon \) 遍历所有正实数集, \( F \) 遍历 \( I \) 中所有有限子集,由集 \( V\left( {{x}_{0},\varepsilon, F}\right) \) 所组成的集族就给出了 \( {x}_{0} \) 点的局部邻域基,它和 \( E \) 的向量空间结构相容. 装备有这一拓扑的向量空间 \( E \) ,就称为局部凸拓扑向量空间 (LCS).
命题 4.1 设 \( E \) 是拓扑向量空间. 则下列条件等价:
(1) \( E \) 是局部凸.
(2) 存在原点的局部凸邻域基.
(3) 存在原点的局部吸收平衡凸邻域基.
注记 4.3 命题 4.1 的证明详见 \( \left\lbrack \mathrm{
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1545_对称性分岔理论基础(唐云)
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定义 4. 1.3
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定义 4. 1.3 对 \( g \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) ,称群作用轨道 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) 和 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) 分别为 \( g \) 的 \( \Gamma \) 等价轨道和强 \( \Gamma \) 等价轨道; 称 \( g, h \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda } \) ( \( \Gamma \) ) 是 \( \Gamma \) 等价的,指 \( h \in \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) ,这时记 \( g \sim {}_{\Gamma }h \) ; 称 \( g, h \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 是强 \( \Gamma \) 等价的,指 \( h \in \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) ,这时记 \( g{ \sim }_{\Gamma }h \) .
注4. 1.3(a) 群 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 或 \( {\mathcal{D}}^{s}\left( \Gamma \right) \) 中元可看作空间 \( {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 到自身的线性同构. 易见 \( {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 是 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 和 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 不变的,而 \( (S, X \) , \( \Lambda ) \) 在 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 中所满足的条件可以保证 \( \left( {S, X,\Lambda }\right) g \) 仍是 \( \Gamma \) 等变分岔问题,且具有与 \( g \) 相同的定性性态.
(b) \( \Gamma \) 等价 \( h \sim \mathrm{r}g \) 的表达式
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) ,
\]
\( \left( {1.10}\right) \)
中 \( g \) 前面作用的线性算子 \( S\left( {x,\lambda }\right) \) 似乎可推广为下面更一般的形式
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = Q\left( {x,\lambda, g\left( {x,\lambda }\right) }\right) ,
\]
(1.11)
这里 \( Q : \mathrm{V} \times \mathbb{R} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V} \) 在原点附近满足对任意 \( \left( {x,\lambda }\right) \in \mathrm{V} \times \mathbb{R} \) ,
\[
y \mapsto Q\left( {x,\lambda, y}\right) : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V}
\]
(1.12a)
是微分同胚, 且
\[
Q\left( {x,\lambda ,0}\right) = 0,
\]
(1. \( {12}\mathrm{\;b} \) )
\[
Q\left( {{\gamma x},\lambda ,{\gamma y}}\right) = {\gamma Q}\left( {x,\lambda, y}\right) ,\;\forall \gamma \in \Gamma ,
\]
(1. \( {12}\mathrm{c} \) )
\[
{D}_{y}Q\left( {0,0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ }\text{.}
\]
(1.12d)
但下面命题指出满足 (1.11) 中的 \( h \) 和 \( g \) 是强 \( \Gamma \) 等价的.
命题4. 1.4 设紧 Lie 群 \( \Gamma \) 作用于空间 \( \mathrm{V} \) 上, \( {Q}_{1}(\mathrm{\;V} \times \mathbb{R} \times \mathrm{V} \) , \( 0) \rightarrow \mathrm{V} \) 满足条件 (1.12),且分岔问题 \( g, h \in {\mathcal{E}}_{z,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 满足 (1.11). 则存在 \( S \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) ,使 \( S\left( {0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ } \) ,且
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) .
\]
证明 由 \( \left( {{1.12}\mathrm{\;b},\mathrm{\;d}}\right) \) 可设 \( Q\left( {x,\lambda, y}\right) = A\left( {x,\lambda, y}\right) y \) ,其中 \( A\left( {x,\lambda, y}\right) \in \mathcal{L}\left( \mathrm{V}\right), A\left( {0,0,0}\right) = {D}_{y}Q\left( {0,0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ } \) . 由 (1. \( {12}\mathrm{c} \) ),
\[
A\left( {{\gamma x},\lambda ,{\gamma y}}\right) {\gamma y} = {\gamma A}\left( {x,\lambda, y}\right) y,\;\forall \gamma \in \Gamma .
\]
令 \( B\left( {x,\lambda, y}\right) = {\int }_{\Gamma }{\gamma }^{-1}A\left( {{\gamma x},\lambda ,{\gamma y}}\right) {\gamma d\gamma } \) . 则上式表明
\[
A\left( {x,\lambda, y}\right) y = B\left( {x,\lambda, y}\right) y.
\]
由 Haar 积分的平移不变性,对每个 \( \xi \in \Gamma \) ,
\[
B\left( {{\xi x},\lambda ,{\xi y}}\right) = {\int }_{\Gamma }{\gamma }^{-1}A\left( {{\gamma \xi x},\lambda ,{\gamma \xi y}}\right) {\gamma d\gamma }
\]
\[
= {\xi B}\left( {x,\lambda, y}\right) {\xi }^{-1}.
\]
(1.13)
令 \( S\left( {x,\lambda }\right) = B\left( {x,\lambda, g\left( {x,\lambda }\right) }\right) \) . 则上式表明 \( S \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) . 而
\[
S\left( {0,0}\right) = B\left( {0,0,0}\right) = A\left( {0,0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ },
\]
且 \( h\left( {x,\lambda }\right) = Q\left( {x,\lambda, g\left( {x,\lambda }\right) }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) \) .
## 4. 1. 4 关于等变向量场的稳定性问题
这一小节我们把 \( \Gamma \) 等变映射 \( g \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 看成微分方程
\[
\frac{dx}{dt} = g\left( {x,\lambda }\right)
\]
\( \left( {1.14}\right) \)
的向量场,来讨论经 \( \Gamma \) 等价
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) ,
\]
(1. 15)
\( \left( {S, X,\Lambda }\right) \in \mathcal{D}\left( \Gamma \right) ,\left( {1.14}\right) \) 的平衡解的线性稳定性是否能保持的问题. 设 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 为 \( h \) 的零点, \( h\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) = 0 \) . 则 \( \left( {{x}_{1},{\lambda }_{1}}\right) = \left( {X\left( {x}_{0}\right. }\right. \) , \( \left. {\left. {\lambda }_{0}\right) ,\Lambda \left( {\lambda }_{0}\right) }\right) \) 为 \( g \) 的零点,即 (1.14) 的平衡解. 问题归结为在这些平衡解处 \( g \) 和 \( h \) 的线性化矩阵的本征值实部符号是否会改变.
可以把 \( g \) 的 \( \Gamma \) 等价 (1.15) 分成两步:
(i) \( g\left( {x,\lambda }\right) \rightarrow g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) \) ;
(ii) \( g\left( {x,\lambda }\right) \rightarrow S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) \) .
我们指出, 步骤 (i) 可归结为 (ii). 事实上, 考虑
\[
\widetilde{g}\left( {x,\lambda }\right) = {\left( dX\right) }_{x,\lambda }^{-1}g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) .
\]
对 \( \widetilde{g} \) 在零点 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 处关于 \( x \) 求导,
\[
{\left( d\widetilde{g}\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} = {\left( dX\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}}^{-1}{\left( dg\right) }_{{x}_{1},{\lambda }_{1}}{\left( dX\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}}.
\]
可见 \( {dg} \) 和 \( d\widetilde{g} \) 在相应零点处的本征值不变. 这就将变换 (i) 归结为 (ii), 即有
命题4. 1.5 设 \( g \) 的平衡点在每个形如 \( S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) \) 的 \( \Gamma \) 等价下保持线性稳定性,则该平衡点在每个 \( \Gamma \) 等价下也保持线性稳定性.
于是,为讨论保持线性稳定性的条件,只要考虑步骤 (ii) 的 \( \Gamma \) 等价性. 因而, 比如对于第二章讨论过的单变量分岔问题, 在等价变换下总能保持其稳定性. 一般, 设
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) .
\]
则在 \( g \) 的零点 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 处
\[
{\left( dh\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} = S\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) {\left( dg\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}}.
\]
记 \( {S}_{0} = S\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) . 若 \( {x}_{0} \) 在 \( \Gamma \) 的不动点子空间 \( \operatorname{Fix}\left( \Gamma \right) \) 中,即 \( {\gamma }_{{x}_{0}} = \) \( {x}_{0},\forall \gamma \in \Gamma \) ,则 \( {S}_{0} \) 与 \( \Gamma \) 交换, \( \gamma {S}_{0} = {S}_{0}\gamma ,\forall \gamma \in \Gamma \) . 特别,若 \( \Gamma \) 绝对不可约地作用在空间 \( \mathrm{V} \) 上,则 \( {S}_{0} = {cI}, c \in \mathbb{R} \) ,且由于 \( {S}_{0} \in {\mathcal{L}}_{\Gamma }{\left( \mathrm{V}\right) }^{ \circ } \) , \( c > 0 \) . 这就是说,矩阵 \( {\left( dh\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} \) 和 \( {\left( dg\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} \) 相差一个正数 \( c \) 倍,它们的本征值实部符号都不变, 这就得到
命题4. 1.6 设 \( \Gamma \) 绝对不可约地作用在 \( \mathrm{V} \) 上, \( g \in {\mathcal{E}}_{x, k}\left( \Gamma \right) \) 且 \( g\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) = 0 \) . 若 \( {x}_{0} \in \operatorname{Fix}\left( \Gamma \right) \) ,则 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 的线性稳定性在 \( \Gamma \) 等价下保持不变.
## § 4.2 等价轨道切空间与等变限制切空间
本节中我们介绍轨道切空间的概念,它的两个特例,即 \( \Gamma \) 等价轨道切空间和等变限制切空间 (或强 \( \Gamma \) 等价轨道切空间),是我们在研究分岔问题的识别时的基本工具. 我们将详细讨论它们的代数结构, 并对几种重要的情形给出计算结果. 至于它们在识别问题中的具体应用则留在下节中介绍.
## 4. 2. 1 等价轨道切空间与等变限制切空间
设紧 Lie 群 \( \Gamma \) 作用于 ( \( n \) 维) 向量空间 \( \mathrm{V} \) 上. 我们把上一节的 \( \Gamma \) 等价群 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 和强 \( \Gamma \) 等价群 \( {\mathcal{D}}^{s}\left( \Gamma \right) \) 统一记作群 \( \mathcal{D} \) ,它作用于空间 \( {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 上.
定义4.2.1 对于 \( g \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) ,称
\[
\mathrm{T}\left( {g;\mathcal{D}}\right) = {\left. \{ \frac{d}{dt}\left( \Phi, g\right) \right| }_{t = 0} \in {\dot{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \mid {\Phi }_{t} \in \mathcal{D},{\Phi }_{0} = {Id}\}
\]
(2.1)
为 \( g \) 的 \( \mathcal{D} \) 轨道切空间. 特别,称 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 轨道切空间为 \( \Gamma \) 等价轨道切空间,称 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 轨道切空间为 \( \Gamma \) 限制切空间 (也称作强 \( \Gamma \) 等价轨道切空间), 并且记
\[
\widetilde{\mathrm{T}}\left( {g,\Gamma }\right) = \mathrm{T}\left( {g;\mathcal{Z}\left( \Gamma \right) }\right) ,
\]
\[
\operatorname{RT}\left( {g,\Gamma }\right) = \mathrm{T}\left( {g;{\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Gamma \right) }\right) .
\]
注意, \( \mathrm{T}\left( {g;\mathcal{D}}\right) \) 的几何意义为群作用轨道 \( \mathcal{D}g \) 在 \( g \) 处的 “切空间”,这也是“轨道切空间”名称的由来. 如果把 \( \mathcal{D} \) 看成一个 “Lie 群”,则 \( \mathrm{T}\left( {g;\mathcal{D}}\right) \) 就相当于相应的 “Lie 代数”.
现在我们来研究 \( \Gamma \) 等价轨道切空间和 \( \Gamma \) 限制切空间的代数结构.
设 \( g \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) ,{\Phi }_{t} = \left( {{S}_{t},{X}_{t},{A}_{t}}\right) \in \mathcal{D}\left( { = \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \text{或}{\mathcal{D}}^{t}\left( \Gamma \right) }\right) ,{\Phi }_{0} \) \( = {Id} \) . 则按 (1.9)式,
\[
{\left. \frac{d}{dt}\left( \Phi, g\right) \right| }_{t = 0} = {\left. \frac{d}{dt}\left( {S}_{t}\left( x,\lambda \right) g\left( {X}_{t}\left( x,\lambda \right) ,{\Lambda }_{t}\left( \lambda \right) \right) \right) \right| }_{t = 0}
\]
\[
= {S}_{0}\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) + {\left( dg\right) }_{x,\lambda }{X}_{0}\left( {x,\lambda }\right) + {g}_{\lambda }\left( {x,\lambda }\right) {\Lambda }_{0}\left( \lambda \right) ,
\]
其中 \( {\mathcal{S}}_{0} \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) ,{X}_{0} \in {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) ,{\Lambda }_{0} \in {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{\lambda } \) . 特别当 \( \mathcal{D} = \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 时, \( {\Lambda }_{0} \equiv 0 \) .
反之,对 \( S \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right)
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183_数学分析新讲
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定义 10
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定义 10 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( X \) 中的一个点列. 如果对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in \mathbf{N} \) ,使得只要
\[
n, p \in N,\;n > N,
\]
就有
\[
d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) < \varepsilon
\]
那么我们就说 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一个基本序列或柯西序列.
定理 \( 4\left( {X, d}\right) \) 中的收敛序列都是柯西序列.
证明 设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的收敛序列, \( \lim {x}_{n} = a \) . 则对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in \mathbb{N} \) ,使得只要 \( n > N \) ,就有
\[
d\left( {{x}_{n}, a}\right) < \frac{\varepsilon }{2}
\]
于是, 对于
\[
n, p \in \mathbb{N},\;n > N,
\]
就有
\[
d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) \leq d\left( {{x}_{n + p}, a}\right) + d\left( {a,{x}_{n}}\right)
\]
\[
< \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon
\]
定义 11 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间. 如果 \( \left( {X, d}\right) \) 中的任何基本序列都是收敛序列,那么我们就说距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 是完备的,或者说距离 \( d \) 是完备的.
例 3 在 \( {\mathbf{R}}^{m} \) 中用任何一种范数 \( N \) 来定义距离
\[
d\left( {x, y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x, y \in {\mathrm{R}}^{m}.
\]
这样得到的距离空间 \( \left( {{\mathbb{R}}^{n}, d}\right) \) 都是完备的.
例 4 设 \( X \) 是 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 的非空闭子集. 用 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 的任何一种范数 \( N \) 在 \( X \) 上定义距离
\[
d\left( {x, y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x, y \in X.
\]
这样得到的距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 也是完备的.
定义 12 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( \varphi : X \rightarrow X \) 是一个映射. 如果存在 \( \alpha \in \lbrack 0,1) \) ,使得
\[
d\left( {\varphi \left( x\right) ,\varphi \left( y\right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {x, y}\right) ,\;\forall x, y \in X,
\]
那么我们就说 \( \varphi \) 是一个压缩映射.
注记 显然压缩映射都是连续映射.
设 \( X \) 是一个集合, \( \varphi : X \rightarrow X \) 是一个映射. 如果 \( \xi \in X \) 使得
\[
\varphi \left( \xi \right) = \xi
\]
那么我们就说 \( \xi \) 是映射 \( \varphi \) 的一个不动点.
下面的重要定理被称为压缩映射原理或者巴纳赫 (Banach) 不动点原理.
定理 5 完备距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 的压缩映射 \( \varphi \) 必定有唯一的不动点.
证明 先证明不动点的存在性. 任取 \( {x}_{0} \in X \) ,按下式定义一个迭代序列
\[
{x}_{n + 1} = \varphi \left( {x}_{n}\right) ,\;n = 0,1,2,\cdots .
\]
因为 \( \varphi \) 是压缩映射,所以
\[
d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right) = d\left( {\varphi \left( {x}_{n}\right) ,\varphi \left( {x}_{n - 1}\right) }\right)
\]
\[
\leq {\alpha d}\left( {{x}_{n},{x}_{n - 1}}\right) ,\;\forall n \in \mathbf{N}.
\]
于是得到
\[
d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right) \leq {\alpha d}\left( {{x}_{n},{x}_{n - 1}}\right)
\]
\[
\leq {\alpha }^{2}d\left( {{x}_{n - 1},{x}_{n - 2}}\right)
\]
....................
\[
\leq {\alpha }^{n}d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) .
\]
利用这一估计可以证明 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是基本序列. 事实上,我们有
\[
d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) \leq d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n + p - 1}}\right) + \cdots + d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right)
\]
\[
\leq \left( {{\alpha }^{n + p - 1} + \cdots + {\alpha }^{n}}\right) d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right)
\]
\[
\leq \frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) .
\]
因为 \( \alpha \in \lbrack 0,1),\lim \frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) = 0 \) ,所以对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in N \) ,使得只要 \( n > N \) ,就有
\[
\frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) < \varepsilon
\]
这证明了 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是基本序列. 从空间 \( \left( {X, d}\right) \) 的完备性可知,点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是收敛的. 设
\[
\lim {x}_{n} = \xi \text{. }
\]
对等式
\[
{x}_{n + 1} = \varphi \left( {x}_{n}\right)
\]
取极限,利用 \( \varphi \) 的连续性就得到
\[
\xi = \varphi \left( \xi \right) \text{. }
\]
. 再来证明不动点的唯一性. 假设另有 \( {\xi }^{\prime } \in X \) 也使得
\[
{\xi }^{\prime } = \varphi \left( {\xi }^{\prime }\right)
\]
则有
\[
0 \leq d\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) = d\left( {\varphi \left( {\xi }^{\prime }\right) ,\varphi \left( \xi \right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) .
\]
但 \( 0 \leq \alpha < 1 \) ,要使上式成立,只能有
\[
d\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) = 0,
\]
即 \( {\xi }^{\prime } = \xi \) . 这证明了不动点的唯一性.
注记 压缩映射的定义即保证了它的不动点不能多于一个. 在上面定理唯一性部分的证明中, 并未用到空间完备性的条件. 但为了保证不动点的存在性, 空间完备这一条件却不能取消. 请看下面的反例:
例 5 在 \( X = (0,1\rbrack \) 上定义距离
\[
d\left( {x, y}\right) = \left| {x - y}\right| ,\;\forall x, y \in (0,1\rbrack .
\]
易见
\[
\varphi \left( x\right) = \frac{1}{2}x
\]
是一个压缩映射. 但 \( \varphi \) 在 \( X \) 中没有不动点 (因为 \( \frac{1}{2}x = x \) 的唯一解 \( x = 0 \) 不在 \( (0,1\rbrack \) 之中).
## \( §8 \) 紧致性
虽然我们主要关心的是空间 \( {R}^{m} \) 中的问题,但许多概念和结果, 可以在一般距离空间的框架中进行讨论.
定义 1 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( K \subset X \) . 如果 \( K \) 中的任何点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 都至少含有一个子序列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) ,这子序列 收敛于 \( K \) 中的某点,那么我们就说 \( K \) 是距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一个列紧集.
注记 如果 \( X \) 本身就是列紧的,那么我们说 \( \left( {X, d}\right) \) 是列紧空间 (或者就简单地说 \( X \) 是列紧空间).
例 1 空间 \( {R}^{m} \) 中的任何有界闭集 \( K \) 都是这空间中的列紧集.
定义 2 设 \( E \) 是 \( X \) 的一个子集, \( {Q}^{\prime } = \{ V\} \) 是 \( X \) 的一族子集. 如果 \( E \) 中的任何一点都至少属于 \( {\mathcal{O}}^{\prime } \) 中的一个集合 \( V \) ,
\[
\left( {\forall x \in E}\right) \left( {\exists V \in \mathcal{V}}\right) \left( {x \in V}\right) ,
\]
那么我们就说集合族 \( \mathcal{O} \) 覆盖了集合 \( \mathbf{E} \) .
注记 作为约定,我们认为: 空集 \( \phi \) 包含于任何集合 \( V \) 之中; 集合 \( E = \phi \) 能被任何集合族 \( \mathcal{O} = \{ V\} \) 所覆盖.
定义 3 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是一个距离空间, \( E \subset X,\mathcal{O} = \{ V\} \) 是 \( X \) 的一族开子集. 如果 \( \mathcal{V} \) 覆盖了 \( E \) ,那么我们就说 \( \mathcal{V} \) 是 \( E \) 的一个开覆盖。
定义 4 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( C \subset X \) . 如果 \( C \) 的任何开覆盖 \( {\mathcal{O}}^{\prime } \) 都至少含有一个有限子族 \( {\mathcal{O}}^{\prime \prime } \) ,这子族仍覆盖住 \( \mathcal{C} \) ,那么我们就说 \( C \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的紧致集.
注记 如果 \( X \) 本身就是紧致的,那么我们说 \( \left( {X, d}\right) \) 是紧致空间.
对于空间 \( {\mathbb{R}}^{m} \) 来说,“紧致集” “列紧集” 和 “有界闭集” 这三者完全是一回事. 为了证明这个重要的结论, 先要作一些准备。
设 \( {E}^{1},{E}^{2},\cdots ,{E}^{m} \) 是 \( m \) 个集合. 我们把集合
\[
E = \left\{ {\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \mid {x}^{1} \in {E}^{1},\cdots ,{x}^{m} \in {E}^{m}}\right\}
\]
称为集合 \( {E}^{1},{E}^{2},\cdots ,{E}^{m} \) 的直积,记为
\[
\mathbf{E} = {\mathbf{E}}^{1} \times {\mathbf{E}}^{2} \times \cdots \times {\mathbf{E}}^{m}.
\]
例如, \( {\mathbb{R}}^{m} \) 可以看成 \( m \) 个 \( \mathbb{R} \) 的直积
314
\[
{\mathrm{R}}^{m} = \underset{m\text{ 个因子 }}{\underbrace{\mathrm{R} \times \mathrm{R} \times \cdots \times \mathrm{R}}}
\]
定义 5 设 \( {I}^{1} = \left\lbrack {{a}^{1},{b}^{1}}\right\rbrack \subset \mathbf{R},{I}^{2} = \left\lbrack {{a}^{2},{b}^{2}}\right\rbrack \subset \mathbf{R},\cdots ,{I}^{2} = \) \( \left\lbrack {{a}^{m},{b}^{m}}\right\rbrack \subset \mathbb{R} \) . 我们把集合
\[
I = {I}^{1} \times {I}^{2} \times \cdots \times {I}^{m} \subset {\mathbb{R}}^{m}
\]
叫做 \( {R}^{m} \) 中的闭方块,并把实数
\[
l\left( I\right) = \max \left\{ {{b}^{1} - {a}^{1},\cdots ,{b}^{m} - {a}^{m}}\right\}
\]
叫做这闭方块的线度.
注记 用类似的方式还可以定义 \( {R}^{m} \) 中的开方块以及部分边界开、部分边界闭的方块. 这里不再一一细说了.
对于 \( {R}^{1} \) 中的闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,我们可以用中点 \( \frac{a + b}{2} \) 把它分成两个闭子区间, 其中每一个
图 11-3
闭子区间的长度为原区间长度的一半. 对于 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的闭矩形(闭方块 \( )I = \left\lbrack {{a}^{1},{b}^{1}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{a}^{2},{b}^{2}}\right\rbrack \) ,我们可以把它分成四个闭子矩形 (闭子方块), 其中每一个闭子矩形的边长为原矩形边长的一半 (图 11- 3 ) .
对更一般的情形, 我们有以下结果.
引理 1 设 \( I \) 是 \( {R}^{m} \) 中的闭方块, 则我们可以把它表示成 \( {2}^{m} \) 个闭子方块的并集:
\[
I = {J}_{1} \cup {J}_{2} \cup \cdots \cup {J}_{{2}^{m}},
\]
其中每一个闭子方块的线度为原方块线度的 \( \frac{1}{2} \) :
\[
l\left( {J}_{k}\right) = \frac{1}{2}l\left( I\right), k = 1,2,\cdots ,{2}^{m}.
\]
证明 设 \( I = {I}^{1} \times {I}^{2} \times \cdots \times {I}^{m} \) ,每一个 \( {I}^{i} = \left\lbrack {{a}^{i},{b}^{i}}\right\rbrack \) 是 \( \mathrm{R} \) 中的闭区间. 考察 \( {\mathbb{R}}^{m} \) 中的如下形式的闭方块:
\[
J = {J}^{1} \times {J}^{2} \times \cdots \times {J}^{m}
\]
这里的每一个因子 \( {J}^{i} \) 或者为 \( \left\lbrack {{a}^{i},\frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2}}\right\rbrack \) ,或者为 \( \left\lbrack \frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2}\right. \) ,
\( {b}^{i}\rbrack \left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) \) . 显然有
\[
l\left( J\right) = \frac{1}{2}l\left( I\right)
\]
容易看出 \( J \subset I \) . 还容易看出: \( I \) 中的每一点 \( x \) 至少包含在一个这种形式的闭子方块 \( J \) 中 (因为它的每一坐标 \( {x}^{i} \) 或者落入 \( \left\lbrack {{a}^{i},\frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2}}\right\rbrack \) 之中,或者落入 \( \left\lbrack {\frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2},{b}^{i}}\right\rbrack \) 之中).
所有这种形式的 \( J \) 总共有 \( {2}^{m} \) 个. 把它们编号为
\[
{J}_{1},{J}_{2},\cdots ,{J}_{2} \rightarrow
\]
则有
:
\[
I = {J}_{1} \cup {J}_{2} \cup \cdots \cup {I}_{{2}^{m}}
\]
\[
l\left( {J}_{k}\right) = \frac{1}{2}l\left( I\right) ,\;k = 1,2,\cdots ,{2}^{m}.
\]
定义 6 设 \( \{ I \) , \( \} \) 是 \( {R}^{m} \) 中的一串闭方块,满足条件
(1) \( {I}_{1} \supset {I}_{2} \supset \cdots {I}_{n} \supset {I}_{n + 1} \supset \cdots \) ,
(2) \( l\left( {I}_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,
则称这串闭方块为 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 中的一个闭方块套.
引理 2 (闭方块套原理) 设 \( \left\{ {I}_{n}\right\} \) 是 \( {R}^{n} \) 中的一个闭方块套,则有 \( {R}^{m} \) 中唯一的一点 \( c \) ,适合
\[
c \in {I}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}.
\]
证明 设 \( {I}_{n} = {I}_{n}^{1} \times {I}_{n}^{2} \times \cdots \times {I}_{n}^{m}, n = 1,2,\cdots \) . 容易看出: 闭方块套 \( \{ I \) , \( \} \) 在每一坐标轴上的投影
\[
{I}_{n}^{t}, n = 1,2,\cdots ,
\]
都构成 \( \mathrm{R} \) 中的一个闭区间套:
(1) \( {I}_{1}^{i} \supset {I}_{2}^{i} \supset \cdots \supset {I}_{n}^{i} \supset {I}_{n + 1}^{i} \supset \cdots \) ,
(2) \( l\left( {I}_{n}^{i}\right) \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow + \infty }\right) \) .
从 \( \mathbb{R} \) 中的闭区间套原理可知,存在唯一的 \( {c}^{i} \) ,适合
\[
{c}^{i} \in {I}_{n}^{i},\;\forall n \in \mathbf{N}.
\]
记
\[
c = \left( {{c}^{1},{c}^{2},\cdots ,{c}^{m}}\right)
\]
则显然 \( c \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中适合以下条件的唯一点:
\[
c \in {I}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}.
\]
在作了这些准备之后, 我们来证明本节的主要定理.
定理 1 对于空间 \( {R}^{m} \) 的子集 \( K \) ,以下三条陈述相互等价:
(1) \( K \) 是紧致集;
(2) \( K \) 是列紧集;
（3） \( K \) 是有界闭集.
证明 我们将循以下途径证明三条陈述相互等价:
\( \left( 1\right) \Rightarrow \left( 2\right) \Rightarrow
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1253_[吴岚&黄海&何洋波] 金融数学引论
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定义 2.1
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定义 2.1 若年金的现金流在第一个付款期末首次发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为期末年金.
定义 2.2 若每次的年金金额为 1 个货币单位, 现金流在第一个付款期末首次发生,共计 \( n \) 次,则称这种年金为 \( n \) 期标准期末年金.
由定义 2.2 知, \( n \) 期标准期末年金的时间流程图如下页图 2-1 所示.
图 2-1
通常用记号 \( {a}_{\overrightarrow{n} \mid i} \) 表示利率为 \( i \) ,比较日选为 0 时刻的 \( n \) 期标准期末年金的所有年金金额的现值之和 (简称 \( n \) 期标准期末年金的现值),其中 \( a \) 是年金的英文单词的第一个字母, \( n \) 表示年金现金流的次数, \( i \) 表示年金的利率. 有时也用记号 \( {a}_{\bar{n} \mid i} \) 代表利率 \( i \) 环境中的标准期末年金的现金流. 在不至于产生歧义的情况下,也将 \( {a}_{\bar{n} \mid i} \) 简单记为 \( {a}_{\bar{n}} \) . 根据 \( n \) 期标准期末年金的时间流程图,容易得到关于年金现值的基本计算公式:
\[
{a}_{\bar{n} \mid i} = v + {v}^{2} + \cdots + {v}^{n} = \frac{1 - {v}^{n}}{i},
\]
(2.1.1)
其中 \( v \) 为 \( i \) 对应的贴现因子.
对年金现金流为任意值 \( R \) 的一般 \( n \) 期期末年金,可以将其看做由 \( R \) 份 \( n \) 期标准期末年金组成,所以,它的现值为 \( R{a}_{\overline{n \mid }} \) .
由式(2.1.1)有
\[
1 = {ia}\frac{}{n} + {v}^{n}
\]
(2.1.2)
式(2.1.2)的含义如下:
0 时刻 1 个货币单位的价值
\( = (0, n\rbrack \) 上每次收入 (利息) \( i \) 的现金流价值 \( {ia}\frac{}{n \mid i} \)
\( + n \) 时刻 1 个货币单位的现值 \( {v}^{n} \) .
此外,自然有 \( \frac{1}{{a}_{\overline{n\rbrack }}} \cdot {a}_{\overline{n\rbrack }} = 1 \) . 这表明,可以用 \( \frac{1}{{a}_{\overline{n\rbrack }}} \) 代表 0 时刻 1 个货币单位对应的 \( n \) 期期末年金的现金流 (见图 2-2).
图 2-2
类似于年金现值,用记号 \( {s}_{\bar{n} \mid i} \) 表示利率为 \( i \) 的 \( n \) 期标准期末年金的所有年金金额在年金结束时刻的终值之和 (简称 \( n \) 期标准期末年金的终值). 有时将 \( {s}_{\bar{n} \mid i} \) 简记为 \( {s}_{\bar{n}} \) . 同样,根据 \( n \) 期标准期末年金的时间流程图, 容易得到关于年金终值的基本计算公式:
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = {\left( 1 + i\right) }^{n - 1} + {\left( 1 + i\right) }^{n - 2} + \cdots + \left( {1 + i}\right) + 1
\]
\[
= \frac{{\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{i}
\]
(2. 1.3)
另外, 经过简单的数学推导, 可以证明 (此处从略)
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{C}}_{n}^{k}{i}^{k - 1}.
\]
下面从现金流过程分析该表达式的含义.
第一步: 考虑年金现金流本身生成的利息流. 在每个 \( t(t = \) \( 1,\cdots, n - 1) \) 时刻的 1 个货币单位年金产生的利息流为从 \( t + 1 \) 时刻到 \( n \) 时刻的 \( i \) 元现金流,其时间流程示意图如图 2-3 所示. 将每个 \( t \) 时刻的利息流合并, 则合并为如图 2-4 所示的现金流. 对这些现金流直接求和,有 \( \mathop{\sum }\limits_{{t = 2}}^{n}\left( {t - 1}\right) i \) .
本金 
1 时刻年金的利息流 \( t \) 时刻年金的利息流
图 2-3
图 2-4
第二步: 重复上面的步骤, 将前面的利息流作为新的本金流, 考虑其生成的新的利息流 (见图 2-5). 同样将每个时刻的利息流合并, 则合并后相当于如图 2-6 所示的现金流. 对这些现金流求和, 有 \( \mathop{\sum }\limits_{{t = 3}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{t - 2}}k{i}^{2} \)
图 2-5
图 2-6
依此类推, 将上述求和后的值直接相加, 再加上原始本金, 则有
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{C}}_{n}^{k}{i}^{k - 1}.
\]
上面的现金流分析表示了标准期末年金的复利计息方式下的利息实现过程.
对年金现金流为任意值 \( R \) 的一般 \( n \) 期期末年金,易知其终值为 \( {Rs}\frac{}{n + i} \) .
结论 \( {2.1}\;{s}_{\bar{n} \mid i} \) 与 \( {a}_{\bar{n} \mid i} \) 有如下关系:
(1) \( {s}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n} \) ; (2) \( \frac{1}{{a}_{\bar{n} \mid i}} = \frac{1}{{s}_{\bar{n} \mid i}} + i \) .
证明 (1) 因为
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = \frac{{\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{i}
\]
\[
{a}_{\bar{n} \mid i} = \frac{1 - {v}^{n}}{i} = \frac{1 - {\left( 1 + i\right) }^{-n}}{i},
\]
所以
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n}.
\]
（2）由 (1) 知 \( {s}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n} \) ,所以
\[
\frac{1}{{s}_{\bar{n} \mid i}} + i = \frac{1}{{a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n}} + i = \frac{1 + {\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{{a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n}} = \frac{1}{{a}_{\bar{n} \mid i}}.
\]
例 2.1 现有 10 年期 500000 元贷款,年利率为 \( 8\% \) . 试计算以下三种还贷方式的应付利息:
（1）在第 10 年底一次还清;
（2）每年底偿还当年的利息, 本金最后一次还清;
（3）每年底偿还固定的金额, 10 年还清.
解 (1) 因为在第 10 年底的一次还款为
\[
{500000}{\left( 1 + {0.08}\right) }^{10}\text{ 元 } = {1079462.50}\text{ 元,}
\]
所以应付利息为
\[
\left( {{1079462.50} - {500000}}\right) \text{元} = {579462.50}\text{元.}
\]
（2）因为每年所付利息为
\[
{500000} \times {0.08}\text{元} = {40000}\text{元,}
\]
所以 10 年总的利息付出为
\[
{10} \times {40000}\text{元} = {400000}\text{元.}
\]
（3）设每年底的还款额为 \( R \) ,则有价值方程
\[
R{a}_{\overline{10}\overline{10}{.08}} = {500000}\text{元.}
\]
由 \( {a}_{\overline{10} \mid {0.08}} = {6.710081} \) 得
\[
R = \frac{500000}{{a}_{\overline{10} \mid {0.08}}}\text{ 元 } = \frac{500000}{6.710081}\text{ 元 } = {74514.54}\text{ 元,}
\]
进而有 10 年的付款总额为
\[
{10} \times {74514.54}\text{元} = {745145.4}\text{元,}
\]
所以应付利息为
\[
\text{(745145. 4 - 500000) 元} = {245145.4}\text{元.}
\]
注 这里的计算没有考虑利息的发生过程, 虽然三种利息结果不同, 但是所有还款的现值是相同的 (都是原始贷款).
## 2.1.2 期初年金
定义 2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为期初年金.
定义 2.4 若每次的年金金额为 1 个货币单位, 在合同生效时立即发生首次的现金流,共计 \( n \) 次,则称这种年金为 \( n \) 期标准期初年金.
由定义 2.4 知, \( n \) 期标准期初年金的时间流程图如下页图 2-7 所示.
图 2-7
与 \( n \) 期标准期末年金一样,对于 \( n \) 期标准期初年金,我们关心的是它的现值与终值. 一般 用记号 \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} \) 表示利率为 \( i \) 的 \( n \) 期标准期初年金的现值,用记号 \( {\ddot{s}}_{\overrightarrow{n} \mid i} \) 表示 \( n \) 期标准期初年金的终值. 有时也将 \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} \) 与 \( {\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} \) 分别简记为 \( {\ddot{a}}_{\overline{n \mid }} \) 与 \( {\ddot{s}}_{\overline{n \mid }} \) . 根据 \( n \) 期标准期初年金的时间流程图易得如下的基本计算公式:
\[
{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = 1 + v + {v}^{2} + \cdots + {v}^{n - 1} = \frac{1 - {v}^{n}}{d},
\]
(2.1.4)
\[
{\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} = \left( {1 + i}\right) + {\left( 1 + i\right) }^{2} + \cdots + {\left( 1 + i\right) }^{n}
\]
\[
= \frac{{\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{d}\text{. }
\]
(2. 1.5)
结论 2.2 \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} \) 与 \( {\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} \) 之间有如下关系:
(1) \( {\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} = {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n} \) ; (2) \( \frac{1}{{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i}} = \frac{1}{{\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i}} + d \) .
结论 2.2 的证明与结论 2.1 的证明相似.
结论 2.3 下面的关系式成立:
(1) \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = \left( {1 + i}\right) {a}_{\bar{n} \mid i},{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = 1 + {a}_{\overline{n - 1} \mid i} \) ;
(2) \( {\ddot{s}}_{\overline{n \mid }} = \left( {1 + i}\right) {s}_{\bar{n} \mid i},{\ddot{s}}_{\overline{n \mid }} = {s}_{\overline{n + 1} \mid i} - 1 \) .
证明 如果将标准期初年金看做金额为 \( 1 + i \) 的期末年金,然后对其求现值和终值, 则容易得到 (1), (2) 中的第一个式子. 而对于 (1), (2) 中的第二个式子显然成立.
与期末年金的情形类似, \( R{\ddot{a}}_{\overline{n\rbrack }} \) 与 \( R{\ddot{s}}_{\overline{n\rbrack }} \) 分别表示年金现金流为 \( R \) 的一般 \( n \) 期期初年金的现值和终值.
例 2.2 某人从现在开始每年定期地投入相同的一笔钱, 希望在第 12 年底 (下一年度定期投入的前一瞬间) 得到 1000000 元的回报. 如果年利率为 \( 7\% \) ,试计算每年的投入金额.
解 设每年的投入金额为 \( R \) ,则在第 12 年底的价值方程为
\[
R{\ddot{s}}_{\overline{12}|0,\text{ }{07}} = {1000000}\text{元.}
\]
由 \( {\ddot{s}}_{\overline{12} \mid {0.07}} = {19.14064} \) ,得
\[
R = \frac{1000000}{{\left. \ddot{\mathbf{s}}\right| }_{\overline{12} \mid {0.07}}}\text{ 元 } = \frac{1000000}{19.14064}\text{ 元 } = {52245}\text{ 元. }
\]
这个计算结果表明,如果年利率为 \( 7\% \) ,从现在开始每年初投入 52245 元, 到第 12 年底, 总累积值为 1000000 元.
## 2.1.3 递延年金
定义 2.5 若年金现金流的首次发生是递延了一段时间后进行的, 则称这种年金为递延年金.
由定义 2.5 知,递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期末年金的时间流程图如图 2-8 所示.
图 2-8
从图 2-8 中的现金流看,递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期末年金相当于一个 \( m + n \) 期标准期末年金扣除一个 \( m \) 期标准期末年金,所以,该递延年金的现值可以表示为
\[
{\left. \frac{a}{m + n}\right| }_{i} - {\left. a\right| }_{\overline{m \mid }i},
\]
(2. 1. 6)
即递延年金的现值为两个定期年金的现值之差. 同样,对于递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期初年金的现值也有类似的表示.
通过适当推导,递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期末年金的现值又可以表示为 \( {v}^{m}a\frac{}{n \mid i} \) .
## 2.1.4 永久年金
定义 2.6 若年金的支付 (现金流) 永远进行下去, 没有结束的日期, 则称这种年金为永久年金.
一般用 \( {a}_{\overline{\infty } \mid i} \) (或 \( {\ddot{a}}_{\overline{\infty } \mid i} \) ) 表示标准永久期末 (或初) 年金的现值,且有计算公式
\[
{a}_{\overline{\infty } \mid i} = v + {v}^{2} + \cdots = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{\bar{n} \mid i} = \frac{1}{i},
\]
(2.1.7)
\[
{\ddot{a}}_{\overline{\infty } \mid i} = 1 + v + {v}^{2} + \cdots = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = \frac{1}{d}.
\]
(2.1.8)
从图 2-9 中的现金流看, \( n \) 期标准期末年金可用一个标准永久期末年金扣除一个递延 \( n \) 期的标准永久期末年金表示,于是有现值公式
\[
{a}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\overline{\infty } \mid i} - {v}^{n}{a}_{\overline{\infty } \mid i}.
\]
(2. 1.9)
图 2-9
例 2.3 某人留下遗产 100000 元, 第一个 10 年将每年的利息付给受益人甲, 第二个 10 年将每年的利息付给受益人乙, 20 年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去, 均为年底支付. 如果年利率为 \( 7\% \) ,试计算三个受益人的相对受益比例.
解 甲的受益现值相当于 7000 份 10 年期标准期末年金的现值, 故其受益现值为
\[
{7000}\frac{}{10}{\rbrack }_{0.07}\text{元} = {7000} \times {7.0236}\text{元} = {49162}\text{元.}
\]
乙的受益现值相当于 7000 份递延 10 年的 10 年期标准期末年金的现值, 故其受益现值为
\[
{7000}\left( {{a}_{\overline{20}|{0.07}} - {a}_{\overline{10}|{0.07}}}\right) \text{元}
\]
\[
= {7000}\left( {{10.5940} - {7.0236}}\right) \text{元} = {24993}\text{元.}
\]
丙的受益现值相当于 7000 份递延 20 年的标准永久期末年金的现值, 故其受益现值为
\[
{7000}\left( {{a}_{\overline{\infty }{10.07}} - {a}_{\overline{20}{10.07}}}\right) \text{元}
\]
\[
= {7000}\left( {1/{0.07} - {10.5940}}\right) \text{元} = {25842}\text{元.}
\]
所以, 从现值的角度看, 甲、乙和丙的受益比例分别近似为 \( {49}\% ,{25}\% \) 和 \( {26}\% \) . 另外,因为 \( {100000}{\left( 1 + {0.07}\right) }^{-{20}} = {25842} \) ,所以丙相当于在 20 年后独自继承了这笔遗产.
## 2.1.5 剩余付款期不是标准时间单位的计算
由前面年金现值的计算可以发现, 大多数情况下年金的现值都不是整数, 这会使得现实的操作出现以下的不方便情况: 如果年金的现金流为整数, 则其现值不是整数; 如果年金的现值是整数, 则其现金流就很难保证为整数. 而为了操作上的方便, 当然希望现金流和现值都是整数, 于是需要对零碎的部分进行处理. 例如: 5 年期年利率为 \( 3\% \) 的年金,理想的状态是当前价值为 500 元,每年 100 元年金金额, 而由年金的计算得知, 若每年的现金流为 100 元, 则现值为 457.97 元,这种情况需要对 \( \left( {{500} - {457.97}}\right) \) 元 \( = {42.03} \) 元进行处理.
实际上,对于任意的 \( t\left( {0 \leq t \leq 1}\right) \) ,形式上可以定义下面的计算
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1990_实用数学手册
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定义 8
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定义 8 如果黎曼空间 \( M \) 的点 \( x \) 处的所有截面曲率都等于一个常数,则称 \( M \) 在点 \( x \) 处是迷向的. 如果还有截面曲率是 \( M \) 上的常值函数,则称 \( M \) 的常曲率空间.
定理 \( {10M} \) 在点 \( x \) 处迷向的必要充分条件是存在常数 \( C \) ,使得在点 \( x \) 处
\[
{R}_{ijkl} = - C\left( {{g}_{ik}{g}_{jl} - {g}_{il}{g}_{jk}}\right) .
\]
定理 11 (舒尔) 设 \( M \) 是 \( n\left( { \geq 3}\right) \) 维处处迷向的连通黎曼空间,则 \( M \) 是常曲率空间.
定理 12 常曲率空间是爱因斯坦空间.
## 15. 11.4 平行移动 测地线
定义 9 设 \( C : {x}^{k} = {x}^{k}\left( t\right) \left( {k = 1,\cdots, n;\alpha \leq t \leq \beta }\right) \) 是黎曼空间 \( M \) 中的一条光滑曲线, \( X = X\left( t\right) \) 是在 \( \mathbf{C} \) 上给定的向量场,则
\[
\frac{\delta {X}^{i}}{dt} = \frac{d{X}^{i}}{dt} + {\Gamma }_{jk}^{i}\frac{d{x}^{j}}{dt}{X}^{k}
\]
\( \left( {i = 1,2,\cdots, n,{X}^{i}\text{是}X\text{的分量}}\right) \) 称为 \( {X}^{i} \) 沿曲线 \( C \) 的共变导数. 如果 \( X \) 是 \( M \) 上的向量场, 则有
\[
\frac{\delta {X}^{i}}{dt} = \frac{d{x}^{j}}{dt}{\nabla }_{j}{X}^{i}
\]
如果 \( X \) 沿 \( C \) 的共变导数为零,即 \( \frac{\delta {X}^{i}}{dt} = 0\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,则称 \( X = X\left( t\right) \) 沿 \( C \) 是平行的. 如果 \( C \) 的切向量场沿 \( C \) 是平行的,则称 \( C \) 为测地线.
设沿 \( C \) 有 \( \frac{\delta {X}^{i}}{dt} = 0\left( {i = 1,\cdots, n}\right), X\left( \alpha \right) = A, X\left( \beta \right) = B \) ,则称 \( B \) 是向量 \( A \) 沿 \( C \) 平行移动到参数 \( t = \beta \) 的点所得到的向量. 令
\[
x = \left( {{x}^{1}\left( \alpha \right) ,\cdots ,{x}^{n}\left( \alpha \right) }\right), y = \left( {{x}^{1}\left( \beta \right) ,\cdots ,{x}^{n}\left( \beta \right) }\right) ,
\]
则使得 \( A \in {T}_{x}\left( M\right) \) 对应到 \( B \in {T}_{y}\left( M\right) \) 的映射是 \( {T}_{x}\left( M\right) \) 到 \( {T}_{y}\left( M\right) \) 上的一个同构.
定理 13 测地线 \( C \) 应满足微分方程组
\[
\frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\Gamma }_{\mu }^{i}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt} = 0\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
给定黎曼流形 \( M \) 上的点 \( p \) 与 \( p \) 处的一个切向量,恰有一条测地线过点 \( p \) 且在点 \( p \) 处与给定的向量相切.
定理 14 对于黎曼空间 \( M \) 中充分接近的两个点 \( p, q \) ,存在使得连 \( p, q \) 的曲线的长度达到最小值的测地线.
## 815.12 张量分析在离散质点系力学中的应用
## 15. 12.1 质点的自由运动
利用张量分析, 可以得到力学定律以不变形式表示的分析式, 特别是可以在任何曲线坐标系中写出质点与质点系的运动方程.
设自由质点的位置由径向量 \( r = r\left( {{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3}}\right) \) 确定,则点的速度
\[
v = \dot{r} = {\dot{x}}^{i}{e}_{i}
\]
其中
\[
{\mathbf{e}}_{i} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial {x}^{i}}\;\left( {i = 1,2,3}\right) .
\]
于是点的速度的反变分量为 \( {v}^{i} = {\dot{x}}^{i}\left( {i = 1,2,3}\right) \) . 这些分量也称作广义速度.
设质点加速度向量 \( a \) 的反变分量为 \( {a}^{1},{a}^{2},{a}^{3} \) ,则
\[
{a}^{i} = {\left( \frac{dv}{dt}\right) }^{i} = \frac{d{v}^{i}}{dt} + {\Gamma }_{jk}^{i}{v}^{j}{v}^{k} = \frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\Gamma }_{jk}^{i}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt}\left( {i = 1,2,3}\right) ,
\]
\( a \) 的共变分量为
\[
{a}_{i} = \frac{d{v}_{i}}{dt} - {\Gamma }_{k}^{i}{v}_{j}{v}^{k}\;\left( {i = 1,2,3}\right) .
\]
设作用在质点上的外力 \( \mathbf{F} \) 的反变与共变分量分别为 \( {F}^{i} \) 和 \( {F}_{i}\left( {i = 1,2,3}\right) \) ,则由牛顿第二定律, 自由质点的运动方程为
\[
m\left( {\frac{d{v}^{i}}{dt} + {\Gamma }_{jk}^{i}{v}^{j}{v}^{k}}\right) = {F}^{i},
\]
\[
m\left( {\frac{d{v}_{i}}{dt} - {\Gamma }_{k}^{i}{v}_{j}{v}^{k}}\right) = {F}_{i}\;\left( {i = 1,2,3}\right) ,
\]
其中 \( m \) 为质点的质量.
例 1 对于柱面坐标系 \( \left( {\rho ,\varphi, z}\right) \) ,由于 \( d{s}^{2} = d{\rho }^{2} + {\rho }^{2}d{\varphi }^{2} + d{z}^{2} \) ,所以 \( {g}_{11} = 1 \) , \( {g}_{22} = {\rho }^{2},{g}_{33} = 1,{g}_{ij} = 0, i \neq j \) . 于是
\[
{\Gamma }_{22}^{1} = - \rho ,{\Gamma }_{21}^{2} = {\Gamma }_{12}^{2} = \frac{1}{\rho },
\]
其余的联络系数都等于零. 因此质点在柱面坐标系中的运动方程为
\[
m\left( {\ddot{\rho } - \rho {\dot{\varphi }}^{2}}\right) = {F}_{\rho }, m\left( {\rho \ddot{\varphi } + 2\dot{\rho }\dot{\varphi }}\right) = {F}_{\varphi }, m\ddot{z} = {F}_{z},
\]
其中 \( {F}_{p},{F}_{\varphi },{F}_{z} \) 是外力在伴随质点运动的标架 \( {e}_{p},{e}_{\varphi },{e}_{z} \) 上的分量.
例 2 对于球面坐标系 \( \left( {r,\theta ,\varphi }\right) \) ,由于
\[
d{s}^{2} = d{r}^{2} + {r}^{2}d{\theta }^{2} + {r}^{2}{\sin }^{2}{\theta d}{\varphi }^{2},
\]
所以
\[
{g}_{11} = 1,{g}_{22} = {r}^{2},{g}_{33} = {r}^{2}{\sin }^{2}\theta ,{g}_{ij} = 0, i \neq j.
\]
因此
\[
{\Gamma }_{22}^{1} = - r,{\Gamma }_{12}^{2} = \frac{1}{r},{\Gamma }_{13}^{3} = \frac{1}{r},{\Gamma }_{33}^{1} = - r{\sin }^{2}\theta ,
\]
\[
{\Gamma }_{33}^{2} = - \sin \theta \cos \theta ,{\Gamma }_{23}^{3} = \cot \theta ,
\]
其余联络系数等于零. 因此质点在球面坐标系中的运动方程为
\[
m\left( {\ddot{r} - {\dot{\theta }}^{2} - r{\dot{\varphi }}^{2}{\sin }^{2}\theta }\right) = {F}_{r},\;{mr}\left( {\ddot{\theta } + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta } - \sin \theta \cos \theta {\dot{\varphi }}^{2}}\right) = {F}_{\theta },
\]
\[
{mr}\sin \theta \left( {\ddot{\varphi } + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi } + 2\dot{\theta }\dot{\varphi }\cot \theta }\right) = {F}_{\varphi }.
\]
## 15. 12.2 质点的约束运动
设质点约束在曲面 \( S : G\left( {x, y, z}\right) = 0 \) 上运动,其中 \( \left( {x, y, z}\right) \) 是直角坐标. 把曲面 \( S \) 看作理想约束, 在需要考虑摩擦时, 把摩擦力列入外力.
引进曲线坐标系 \( \left( {{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3}}\right) \) ,使 \( S \) 成为 \( {x}^{3} = 0 \) . 此时令
\[
d{s}^{2} = {g}_{11}{\left( d{x}^{1}\right) }^{2} + 2{g}_{12}d{x}^{1}d{x}^{2} + {g}_{22}{\left( d{x}^{2}\right) }^{2} + {\left( d{x}^{3}\right) }^{2},
\]
于是
\[
{v}^{3} = \frac{d{x}^{3}}{dt} = 0
\]
曲面对质点的反作用力 \( R = R{e}_{3} \) ,即 \( {R}^{1} = {R}^{2} = 0,{R}^{3} = R \) . 这时质点运动方程为
\[
m\left( {\frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\left( {\Gamma }_{jk}^{i}\right) }_{{x}^{3} = 0}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt}}\right) = {F}^{i}\left( {i, j, k = 1,2}\right) ,
\]
\[
{\left( {\Gamma }_{jk}^{3}\right) }_{{x}^{3} = 0}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt} = {F}^{3} + R\left( {j, k = 1,2}\right) .
\]
\( {\left( {\Gamma }_{kj}^{3}\right) }_{{x}^{3} = 0} \) 的值与 \( S \) 的曲率有关.
设外力 \( \mathbf{F} \) 沿 \( S \) 的法线方向,则 \( {F}^{1} = {F}^{2} = 0 \) ,于是
\[
\frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\left( {\Gamma }_{jk}^{i}\right) }_{{x}^{3} = 0}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt} = 0\left( {i = 1,2}\right) .
\]
这表明质点沿 \( S \) 上的测地线运动,而速度向量 \( v \) 沿运动轨迹作平行移动.
## 15. 12.3 质点系的约束运动
考虑由质量顺次为 \( {m}_{1},\cdots ,{m}_{n} \) 的 \( n \) 个质点构成的质点系. 引进变量 \( {\xi }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,{3n}}\right) \) 如下:
\[
{\xi }_{{3i} - 2} = \sqrt{{m}_{i}}{x}_{i},{\xi }_{{3i} - 1} = \sqrt{{m}_{i}}{y}_{i},{\xi }_{3i} = \sqrt{{m}_{i}}{z}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
其中 \( \left( {{x}_{i},{y}_{i},{z}_{i}}\right) \) 是第 \( i \) 个质点的笛卡儿坐标. 由
\[
{\dot{\xi }}_{{3i} - 2} = \sqrt{{m}_{i}}{\dot{x}}_{i},{\dot{\xi }}_{{3i} - 1} = \sqrt{{m}_{i}}{\dot{y}}_{i},{\dot{\xi }}_{3i} = \sqrt{{m}_{i}}{\dot{z}}_{i}
\]
确定的向量 \( v \) 称为点 \( P\left( {{\xi }_{1},\cdots ,{\xi }_{3n}}\right) \) 的速度,而由 \( {\ddot{\xi }}_{{3i} - 2},{\ddot{\xi }}_{{3i} - 1},{\ddot{\xi }}_{3i} \) 确定的向量 \( a \) 称为点 \( P \) 的加速度.
设质点系受到的约束为
\[
{\xi }_{i} = {\xi }_{i}\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{N}}\right) = {\xi }_{i}\left( {x}^{j}\right) \left( {i = 1,2,\cdots ,{3n}, j = 1,\cdots, N}\right) ,
\]
其中 \( N \) 是质点系的自由度. 这一约束可看作 \( {3n} \) 维空间中的超曲面 \( S \) 的方程 \( r = r\left( {x}^{i}\right) \) . 引进 \( {x}^{N + 1},\cdots ,{x}^{3n} \) ,使 \( S \) 的方程成为 \( {x}^{N + 1} = {x}^{N + 2} = \cdots = {x}^{3n} = 0 \) ,此时质点系的运动方程具有下面的形式:
\[
\frac{d{v}_{i}}{dt} - {\Gamma }_{u}^{i}{v}_{j}{v}^{k} = {X}_{i}\;\left( {i, j, k = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
\[
{\Gamma }_{k}^{i}{v}_{j}{v}^{k} = - {X}_{i}\;\left( {i = N + 1,\cdots ,{3n}, j, k = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
其中 \( {v}_{i} = {g}_{ij}{v}^{j},{v}^{i} \) 由
\[
v = \frac{dr}{dt} = {v}^{i}\frac{\partial r}{\partial {x}^{i}}\;\left( {i = 1,2,\cdots, N}\right)
\]
确定; \( {X}_{i} \) 是外力的共变分量.
如果令 \( T = \frac{1}{2}{g}_{ij}{v}^{i}{v}^{j} \) ,则第一组方程就是
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {v}^{j}} - \frac{\partial T}{\partial {x}^{i}} = {X}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
即力学中的第二类拉格朗日微分方程组.
## § 15.13 张量分析在连续介质力学中的应用
## 15. 13.1 应力张量
在物体中取法方向为 \( v \) 的微小平面元,该平面元两侧的物体部分在单位面积内的相互作用力称为关于所取平面的应力,记作 \( {\tau }_{\nu }\left( {{\tau }_{\nu }^{1},{\tau }_{\nu }^{2},{\tau }_{\nu }^{3}}\right) \) . 应力在垂直于平面的方向的分量称为正应力, 在平行于平面的方向的分量称为切应力. 设在物体内任何一点关于通过该点的三个正交平面的应力为
\[
{\tau }^{1}\left( {{\tau }^{11},{\tau }^{12},{\tau }^{13}}\right) ,\;{\tau }^{2}\left( {{\tau }^{21},{\tau }^{22},{\tau }^{23}}\right) ,\;{\tau }^{3}\left( {{\tau }^{31},{\tau }^{32},{\tau }^{33}}\right) ,
\]
则
\[
{\tau }_{\nu } = {\tau }^{1}\cos \left( {\nu, x}\right) + {\tau }^{2}\cos \left( {\nu, y}\right) + {\tau }^{3}\cos \left( {\nu, z}\right) .
\]
由 \( \left\{ {{\tau }^{ij} : i, j = 1,2,3}\right\} \) 构成的二次反变张量,称为应力张量. 由于 \( {\tau }^{ij} = {\tau }^{ji} \) ,所以应力张量是对称张量.
过物体中的每个点, 存在互相垂直的三个面元, 使得相应的应力沿着这些面元的法线方向. 这样的面元的法线方向称为应力张量的主方向或主轴. 设 \( {\tau }_{j}^{i} = {\tau }^{jk}{g}_{kj} \) ,则三个主方向的面元 \( d{A}_{i}\left( {i = 1,2,3}\right) \) 应满足 \( \left( {{\tau }_{j}^{i} - \tau {\delta }_{j}^{i}}\right) d{A}_{i} = 0(i = 1,2,3,{\delta }_{j}^{i} \) 是克罗内克记号). 由此 \( \tau \) 应是矩阵 \( \left( {\tau }_{j}^{i}\right) \) 的本征值. 求出本征值后,即可由上述方程求出主方向.
## 15. 13.2 应变张量
考虑物体在变形前与变形后的情况. 在变形前的物体中建立坐标系 \( \left( {{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3}}\right) \) , \( d{s}^{2} = {g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^{j} \) . 设变形后 \( d{\widetilde{s}}^{2} = {\widetilde{g}}_{ij}d{\widetilde{x}}^{i}d{\widetilde{x}}^{j} \) . 令 \( {\gamma }_{ij} = {\widetilde{g}}_{ij} - {g}_{ij} \) ,则当坐标系变换到 \( \left( {{\widetilde{x}}^{1},{\widetilde{x}}^{2},{\widetilde{x}}^{3}}\right) \) 时,有
\[
{\widetilde{\gamma }}_{ij} = \frac{\partial {x}^{k}}{\partial {\widetilde{x}}^{i}}\frac{\partial {x}^{l}}{\partial {\widetilde{x}}^{j}}{\gamma }_{kl}
\]
因而 \( \left\{ {r}_{ij}\right\} \) 是一个二次共变张量,称为应变张量. 应变张量是对称张量.
设 \( u \) 是变形前物体中一点的位置引到变形后同一质点的位置的位移向量, \( \left( {{u}^{1},{u}^{2},{u}^{3}}\right) ,\left( {{u}_{1},{u}_{2},{u}_{3}}\right) \) 分别是 \( u \) 的反变和共变分量,则
\[
{\gamma }_{ij} = \frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}^{j}} + \frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}^{i}} + \frac{\partial {u}^{k}}{\partial {x}^{i}}\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}^{j}}\;\left( {i, j = 1,2,3}\right) .
\]
如果忽略位移的二次项, 则得
\[
{\gamma }_{ij} = \frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}^{j}} + \frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}^{i}}\left( {i, j = 1,2,3}\right) .
\]
这称为运动学关系.
作为应变的度量,通常还用张量 \( \left\{ {\varepsilon }_{ij}\right\} \) ,其中 \( {\vare
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1634_近代分析引论(苏维宜)
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定义 2.15
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定义 2.15 拓扑空间 \( X \) 称为紧空间,若对 \( X \) 的任一个开覆盖 \( {\left\{ {G}_{t}\right\} }_{t \in I} \) ,总存在有限子覆盖 \( \left\{ {{G}_{1},\cdots ,{G}_{n}}\right\} .X \) 的子集 \( A \) 称为紧集, 若 \( A \) 作为 \( X \) 的子空间是一个紧空间.
关于紧性, 有如下有用的结果.
定理 2.12 在拓扑空间 \( X \) 中,下列论断彼此等价
（1） \( X \) 是紧空间;
（2） \( X \) 中的闭集族 \( \mathcal{F} \) 若具有有限交性质,亦即若闭集族
\[
\mathcal{F} = \left\{ {{F}_{l} \subset X : {F}_{l} = {\bar{F}}_{l}, l \in I}\right\}
\]
中任意有限多个闭集之交非空,则 \( \mathcal{F} \) 中全部闭集之交非空;
（3） \( X \) 中的每个格网都有收敛的子格网.
定理 2.13 在紧拓扑空间中,闭集为紧集; 而在 \( {T}_{2} \) 型拓扑空间中, 紧集为闭集.
定理 2.14 紧 \( {T}_{2} \) 型拓扑空间是 \( {T}_{4} \) 型的.
定理 2.15 设 \( X \) 为紧拓扑空间, \( f : X \rightarrow Y \) 为 \( X \) 到拓扑空间 \( Y \) 的连续映射,则 \( f\left( X\right) \) 为 \( Y \) 中的紧集. 又若 \( A \subset X \) 为紧集,则集合 \( f\left( A\right) \) 也是 \( Y \) 中紧集.
定理 2. 16 (Twxokos 定理) 设 \( \left\{ {{X}_{l} : l \in I}\right\} \) 为一族拓扑空间. 积空间 \( \mathop{\prod }\limits_{{t \in I}}{X}_{t} \) 是紧空间,当且仅当每个因子空间 \( {X}_{t} \) 是紧空间.
## 2. 5.2 局部紧性
定义 2.16 拓扑空间 \( X \) 称为局部紧空间,若 \( X \) 的每一点 \( x \) 都存在紧闭包邻域 (即此邻域的闭包是紧集).
拓扑空间 \( X \) 中的子集 \( A \) 若具有紧闭包,亦即 \( \bar{A} \) 在 \( X \) 中为紧集,则称 \( A \) 为相对紧集. 因此,局部紧空间就是每一点都有相对紧邻域的拓扑空间.
在 Hausdorff 空间中,紧闭包邻域可改为紧邻域. 亦即, \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型拓扑空间称为局部紧的,若 \( X \) 的每一点都存在紧邻域.
定理 2.17 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间. \( U \subset X \) 为开集,且 \( x \in \) \( U \) ,则存在 \( x \) 的紧邻域 \( V \) ,使得
\[
x \in V \subset U\text{.}
\]
定理 2.18 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间, \( K \subset U \subset X \) ,这里 \( K \) 为紧集, \( U \) 为开集. 则存在一个相对紧开集 \( V \) ,使
\[
K \subset V \subset \bar{V} \subset U.
\]
定理 2. 19(局部紧空间上的 Urysohn 引理) 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间, \( K \subset U \subset X \) ,这里 \( K \) 为紧集, \( U \) 为开集,则存在 \( X \) 上的连续函数 \( f \) ,使得
\[
{\left. f\right| }_{K} = 1,{\left. \;f\right| }_{\mathcal{C}V} = 0,\;0 \leq f \leq 1,
\]
其中 \( V \) 是 \( U \) 的某个紧子集.
定理 2.20(局部紧空间上的 Tietze 扩张定理) 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间, \( K \subset X \) 为紧集. 若 \( f \) 为 \( K \) 上的连续实函数,则存在 \( X \) 上的连续函数 \( g \) ,使 \( {\left. g\right| }_{K} = f \) .
定理 2.21 (单点紧化定理) 拓扑空间 \( X \) 有单点紧化空间 \( \widetilde{X} \) , 当且仅当 \( X \) 是 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间. 这里的 \( \widetilde{X} \) 是满足
\[
\widetilde{X} = X \cup \{ a\} ,\;a \notin X
\]
的 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型紧拓扑空间,称为 \( X \) 的单点紧化空间.
定理 2. 22 (Thxono 定理) 积空间 \( \mathop{\prod }\limits_{{l \in I}}{X}_{l} \) 是局部紧空间,当且仅当诸因子空间中, 除有限个是局部紧的外, 其余空间都是紧的.
## 2. 5.3 列紧性
由 Bolzano-Weierstrass 定理启发而得到的列紧性的概念可简要叙述如下.
定义 2.17 拓扑空间 \( X \) 称为列紧空间,若 \( X \) 的每个点列 \( {\left\{ {x}_{n}\right\} }_{n \in N} \) 都有收敛的子序列. \( X \) 的子集 \( A \) 称为列紧集,若 \( A \) 作为 \( X \) 的子空间是一个列紧空间.
定理 2.23 设 \( X \) 为列紧空间,则
（1） \( X \) 中任一渐缩非空闭集列 \( {F}_{1} \supset {F}_{2} \supset \cdots \) 有非空交;
（2） \( X \) 的任一可数开覆盖有有限子覆盖 (覆盖式列紧性);
（3） \( X \) 的任一无穷子集至少有一个聚点 (子集式列紧性).
定理 2.24 在列紧空间中,闭集为列紧集.
定理 2.25 设 \( X \) 为列紧空间, \( f : X \rightarrow Y \) 为 \( X \) 到拓扑空间 \( Y \) 的连续映射,则 \( f\left( X\right) \) 为 \( Y \) 中的列紧集. 又若 \( A \subset X \) 为列紧集,则 \( f\left( A\right) \) 也是 \( Y \) 中的列紧集.
第一和第二可数公理如下.
定义 2.18 设 \( \left( {X,\tau }\right) \) 为拓扑空间,这里 \( \tau \) 为 \( X \) 中的开集族. 我们称 \( X \) 中的开集族 \( \mathcal{B} \) 为 \( X \) 的开基,若 \( \mathcal{B} \subset \tau \) ,且 \( \tau \) 中每个开集都可表为 \( \mathcal{B} \) 中某些开集的并.
称拓扑空间 \( X \) 满足第二可数公理,若 \( X \) 具有可数开基
\[
\mathcal{B} = \left\{ {{U}_{1},{U}_{2},\cdots }\right\} .
\]
称拓扑空间 \( X \) 满足第一可数公理,若每个 \( x \in X \) 都有一个可数的邻域基. (一点 \( x \) 的邻域基 \( \mathcal{B}\left( x\right) \) 是 \( x \) 的一个邻域集族,它满足: 对包含 \( x \) 的任一开集 \( G \) ,存在 \( U \in \mathcal{B}\left( x\right) \) ,使得 \( x \in U \subset G \) .)
定理 2.26 紧性与列紧性有如下关系:
（1）在一般拓扑空间中,
紧性 \( \Rightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
列紧性 \( \Rightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
（2）在满足第二可数公理的拓扑空间中,
紧性 \( \Leftrightarrow \) 列紧性 \( \Leftrightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
（3）在满足第一可数公理的拓扑空间中,
列紧性 \( \Leftrightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
（4）在 \( {T}_{1} \) 型拓扑空间中,
覆盖式列紧性 \( \Leftrightarrow \) 子集式列紧性.
（5）在满足第一可数公理的 \( {T}_{1} \) 型拓扑空间中,
列紧性 \( \Leftrightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Leftrightarrow \) 子集式列紧性.
## 2. 5.4 仿紧性
定义 2.19 拓扑空间 \( X \) 的子集族 \( \mathcal{F} \) 称为局部有限的,若空间中的每一点 \( x \) 都存在一个邻域 \( U \) ,使 \( U \) 只与 \( \mathcal{F} \) 中有限多个集合相交.
设 \( {W}_{1} \) 与 \( {W}_{2} \) 为拓扑空间 \( X \) 的两个覆盖,我们称 \( {W}_{1} \) 为 \( {W}_{2} \) 的加细,若对每个 \( V \in {W}_{1} \) ,存在 \( U \in {W}_{2} \) ,使得 \( V \subset U \) .
称拓扑空间 \( X \) 为仿紧空间,若它的每个开覆盖总存在局部有限的加细开子覆盖.
仿紧集的定义方法与紧集相同.
由于有限覆盖必为局部有限的, 因此紧空间必为仿紧空间.
定理 2.27 在仿紧拓扑空间中,闭集为仿紧集.
定理 2.28 仿紧 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型拓扑空间是正规空间.
定理 2.29 由可数个紧集之并所构成的 \( {T}_{2} \) 型局部紧拓扑空间是仿紧空间. 从而 \( n \) 维欧氏空间 \( \left( {n \geq 1}\right) \) 为仿紧空间.
定理 2.30 距离空间是仿紧空间.
## 2. 6 可分性与连通性
## 2. 6.1 可分性
设 \( A \subset X \) 为拓扑空间 \( X \) 的子集,称 \( A \) 在 \( X \) 中稠密,若
\[
\bar{A} = X\text{.}
\]
称 \( A \) 为无处稠密的 (或疏的),若 \( \mathcal{C}\bar{A} \) 是 \( X \) 中的稠密集.
定义 2.20 我们称拓扑空间 \( X \) 为可分空间,若 \( X \) 含有一个可数的稠密集.
定理 2.31 满足第二可数公理的拓扑空间是可分的.
## 2. 6.2 连通性
连通空间与连通性反映了“连成一块”的直觉观念.
定义 2.21 拓扑空间 \( X \) 称为连通空间,若 \( X \) 中既开又闭的集合仅有空集 \( \varnothing \) 与 \( X \) 自身. 连通子集可如紧子集、仿紧子集等那样类似地定义.
定理 2.32 拓扑空间 \( X \) 是连通的,当且仅当 \( X \) 中不存在非空开集 \( A \) 与 \( B \) ,使
\[
A \cup B = X,\;A \cap B = \varnothing .
\]
定理 2.33 设 \( \left\{ {{A}_{l} : l \in I}\right\} \) 为拓扑空间 \( X \) 中的连通子集族. 若
\[
\mathop{\bigcap }\limits_{{l \in I}}{A}_{l} \neq \varnothing
\]
则 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{t \in I}}{A}_{t} \) 为连通集.
定理 2.34 设 \( A \) 为拓扑空间 \( X \) 的连通子集. 则满足 \( A \subset B \subset \) \( \bar{A} \) 的子集 \( B \) 也连通,从而 \( \bar{A} \) 连通.
定理 2.35 设 \( X \) 为拓扑空间, \( x \in X \) 为 \( X \) 中的任一点,记 \( P \) 为包含 \( x \) 的所有连通集的并,则 \( P \) 为闭连通集.
定义 2.22 设 \( X \) 为拓扑空间. 我们称包含 \( x \) 的所有连通子集的并为 \( x \) 的点的连通分支 (也称连通分支),记为 \( c\left( x\right) \) . 同样可定义一个集合的连通分支.
若 \( X \) 中的每个连通分支仅包含一点,即 \( c\left( x\right) = \{ x\} \) ,则称 \( X \) 为全不连通空间 (或称全断型空间).
定理 2.36 在拓扑空间 \( X \) 中,对于任意两点 \( x, y \) ,其连通分支 \( c\left( x\right) \) 与 \( c\left( y\right) \) 具下述性质: 若 \( y \in c\left( x\right) \) ,则
\[
c\left( x\right) = c\left( y\right)
\]
若 \( y \notin c\left( x\right) \) ,则
\[
c\left( x\right) \cap c\left( y\right) = \varnothing \text{.}
\]
从而连通空间 \( X \) 只有一个连通分支,就是 \( X \) 自身.
定理 2.37 设 \( X, Y \) 为拓扑空间. \( f : X \rightarrow Y \) 为连续映射,若 \( A \) 为 \( X \) 的连通集,则 \( f\left( A\right) \) 为 \( Y \) 中的连通集.
定理 2.38 积空间 \( \mathop{\prod }\limits_{{l \in I}}{X}_{l} \) 为连通空间,当且仅当每个因子空间 \( {X}_{t} \) 连通.
## 2. 6.3 局部连通性
定义 2.23 拓扑空间 \( X \) 称为局部连通的,若 \( X \) 中每一点都有由连通集组成的邻域滤系基.
连通空间未必局部连通, 有如下的例子.
例 设 \( X = {\mathbf{R}}^{2} \) 为二维欧氏空间. 集合 \( {S}_{a} \) 定义如下:
\[
{S}_{a} = \left\{ \begin{array}{ll} \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} : x = a,0 < y \leq 1}\right\} , & a\text{ 为有理数,} \\ \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} : x = a, - 1 \leq y \leq 0}\right\} , & a\text{ 为无理数. } \end{array}\right.
\]
\( {S}_{a} \) 作为 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 的子空间是连通空间,却并非局部连通.
局部连通空间也未必连通. 例如取 \( X = \mathbf{R} \) ,点集
\[
E = \left( {-1,0}\right) \cup \left( {0,1}\right)
\]
是局部连通的, 但却不连通.
定理 \( {2.39X} \) 为局部连通空间,当且仅当 \( X \) 的每个非空开集的连通分支是开集. 从而局部连通空间中的每个连通分支都是既开又闭的连通集.
定理 2.40 拓扑空间 \( X = {X}_{1} \times \cdots \times {X}_{n} \) 为局部连通的,当且仅当诸因子空间 \( {X}_{1},\cdots ,{X}_{n} \) 为局部连通的.
## § 3 多重线性映射空间, 连续映射空间
多重线性映射在 Banach 空间微分学、对偶理论及流形上的分析等很多部分都起着重要作用. 连续映射空间、Banach 代数, 以及 Stone-Weierstrass 定理、Arzela-Ascoli 定理更是近代分析学的基本内容和重要工具. 本章将对这些内容作稍为详细的介绍.
## 3. 1 多重线性映射
定义 3.1 设 \( \left( {{X}_{1},\parallel \cdot {\parallel }_{1}}\right) ,\cdots ,\left( {{X}_{n}\parallel \cdot {\parallel }_{n}}\right) ,\left( {Y,\parallel \cdot {\parallel }_{Y}}\right) \) 为赋范线性空间,积空间 \( X = {X}_{1} \times \cdots \times {X}_{n} \) 到 \( Y \) 的映射
\[
u : \left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \rightarrow y = u\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right)
\]
称为 \( n \) 重线性映射,若 \( u\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 关于它的每个变元都是线性的.
当 \( n = 1 \) 时,它就是赋范线性空间 \( \left( {X,\parallel \cdot {\parallel }_{X}}\right) \) 到赋范线性空间 \( \left( {Y,\parallel \cdot {\parallel }_{Y}}\right) \) 的线性映射 \( u\left( x\right) \) . 此时,如在泛函分析教程中那样,若线性算子 \( u \) 具有有界性: 即若存在常数 \( c > 0 \) ,使对每个 \( x \in \)
\( X \) ,有
\[
\parallel u\left( x\right) {\parallel }_{Y} \leq c\parallel x{\parallel }_{X},
\]
则称 \( u \) 为有界线性映射.
我们有熟知的定理.
定理 3.1 设 \( \left( {X,\parallel \cdot {\parallel }_{X}}\right) \) 与 \( \left( {Y,\parallel Y{\parallel }_{Y}}\right) \) 为赋范线性空间, \( u : X \rightarrow Y \) 为线性映射,则下列论断彼此等价
（1） \( u \) 为连续映射;
（2） \( u \) 在 \( X \) 的零元 \( \theta \) 连续;
（3） \( u \) 为有界映射.
对于多重线性映射, 我们有
定理 3.2 设 \( \left( {{X}_{1},\parallel \cdot {\parallel }_{1}}\right) ,\cdots ,\left( {{X}_{n},\parallel \cdot {\parallel }_{n}}\right) ,\left( {Y,\parallel \cdot {\parallel }_{Y}}\right) \) 为赋范线性空间, \( u \) 为积空间 \( {X}_{1} \times \cdots \times {X}_{n} \) 到 \( Y \) 的 \( n \) 重线性映射. 则 \( u \) 为连续映射,当且仅当存在常数 \( c > 0 \) ,使对任意的 \( \left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in \) \( X \) ,有
\[
{\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},\cdots ,{x}_{n}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} \leq c{\begin{Vmatrix}{x}_{1}\end{Vmatrix}}_{1}\cdots {\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{n}.
\]
证 仅就 \( n = 2 \) 情形证明.
必要性. 设 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \) 为连续映射,则 \( u \) 在 \( \left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2}}\right) \in X = {X}_{1} \times \) \( {X}_{2} \) 连续,这里 \( {\theta }_{1} \) 与 \( {\theta }_{2} \) 分别为 \( {X}_{1} \) 与 \( {X}_{2} \) 的零元. 于是取 \( \varepsilon = 1 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使当
\[
\max \left( {{\begin{Vmatrix}{x}_{1} - {\theta }_{1}\end{Vmatrix}}_{1},{\begin{Vmatrix}{x}_{2} - {\theta }_{2}\end{Vmatrix}}_{2}}\right) = \max \left( {{\begin{Vmatrix}{x}_{1}\end{Vmatrix}}_{1},{\begin{Vmatrix}{x}_{2}\end{Vmatrix}}_{2}}\right) \leq \delta
\]
时,
\[
{\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},{x}_{2}\right) - u\left( {\theta }_{1},{\theta }_{2}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} = {\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},{x}_{2}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} \leq 1.
\]
这表明
\[
{\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},{x}_{2}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} \leq 1
\]
(3. 1)
在闭球
\[
B \equiv B\left( {\left( {{\theta }_{1},{\th
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1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022)
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定义 4.3
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定义 4.3 对于由 \( {2}^{n} \) 个字长为 \( n \) 的不同二进制数组成的循环序列,如果每两个相邻的二进制数恰有一位数字不同, 则称该循环序列为格雷码 (Gray Code)。
每个格雷码对应着 \( n \) 立方体的一个哈密顿回路。
定义 4.4 若有向简单图 \( D \) 的基图是完全图,则称 \( D \) 为竞赛图。
定理 4.4 任意竞赛图 \( D\left( {n \geq 2}\right) \) 必有 \( H \) 道路。
证明: 对 \( D \) 的阶 \( n \) 施行归纳。当 \( n = 2 \) 时结论显然成立。假设当 \( n = k\left( {k \geq 2}\right) \) 时,结论成立。则当 \( n = k + 1 \) 时,设 \( V\left( D\right) = \left\{ {{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{k},{v}_{k + 1}}\right\} ,{v}_{k + 1} \) 的内邻点集为 \( {N}^{ - }\left( {v}_{k + 1}\right) = \left\{ {{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{r}}\right\} \) ,外邻点集 \( {N}^{ + }\left( {v}_{k + 1}\right) = \left\{ {{v}_{r + 1},{v}_{r + 2},\cdots ,{v}_{k}}\right\} \) ,则由归纳假设知, \( D\left\lbrack {{N}^{ - }\left( {v}_{k + 1}\right) }\right\rbrack \) 和 \( D\left\lbrack {{N}^{ + }\left( {v}_{k + 1}\right) }\right\rbrack \) 都有 \( H \) 道路,不妨分别设为 \( {v}_{1}{v}_{2}\cdots {v}_{r} \) 和 \( {v}_{r + 1}{v}_{r + 2}\cdots {v}_{k} \) 。则 \( {v}_{1}{v}_{2}\cdots {v}_{r}{v}_{k + 1}{v}_{r + 1}{v}_{r + 2}\cdots {v}_{k} \) 是 \( D \) 的 \( H \) 道路。
定理 4.5 任何强连通的竞赛图 \( D \) ( \( n \geq 3 \) ) 必是有向 \( H \) 图。
证明: 论证由下面两个事实组成。
其一: \( D \) 中存在有向回路。这是因为, \( D \) 是强连通图,一条从 \( {v}_{1} \) 到 \( {v}_{n} \) 的路径和一条从 \( {v}_{n} \)
到 \( {v}_{1} \) 的路径可拼接成一个闭路径,长度不为零的闭路径由若干个有向回路组成。
其二: \( D \) 中若存在长度为 \( k\left( {3 \leq k < n - 1}\right) \) 的有向回路,则必存在长度为 \( k + 1 \) 的有向回路。不妨设长度为 \( k \) 的有向回路为 \( C = {v}_{1}{v}_{2}\cdots {v}_{k}{v}_{1} \) 。 \( C \) 外的结点可分为两种情况:
（1） \( C \) 外存在某结点 \( u \) ,使得 \( C \) 上既有 \( u \) 的内邻点又有 \( u \) 的外邻点,此时存在 \( C \) 上两连续结点 \( {v}_{r} \) 和 \( {v}_{r + 1} \) ,使得 \( {v}_{r} \) 是 \( u \) 的内邻点,而 \( {v}_{r + 1} \) 是 \( u \) 的外邻点,于是 \( {v}_{1}\cdots {v}_{r}u{v}_{r + 1}\cdots {v}_{k}{v}_{1} \) 是 \( D \) 中长度为 \( k + 1 \) 的有向回路,如图 2.20(a)所示;
（2）否则,对 \( C \) 外任何结点来说 \( v \) ,要么 \( C \) 上的点全是 \( v \) 的内邻点,要么 \( C \) 上的点全是 \( v \) 的外邻点,设 \( {V}_{1} \) 是满足前者的结点构成的集合, \( {V}_{2} \) 是满足后者的结点构成的集合。因为 \( D \) 是强连通图,所以存在 \( u \in {V}_{1}, w \in {V}_{2} \) ,使得 \( {uw} \in E\left( D\right) \) ,于是 \( {v}_{1}{uw}{v}_{3}\cdots {v}_{k}{v}_{1} \) 是 \( D \) 中长度为 \( k + 1 \) 的有向回路,如图 2.20(b)所示。
图 2.20
## 作业
1. 设 \( G \) 为欧拉图, \( {v}_{0} \in V\left( G\right) \) ,若从 \( {v}_{0} \) 开始沿着 \( G \) 中的边 (不重复) 行走,无论走到哪个结点处,都可以接着走遍没走过的边,然后回到 \( {V}_{0} \) ,则称 \( {V}_{0} \) 是可以任意行遍的。证明: \( {v}_{0} \) 是可以任意行遍的当且仅当 \( G - {v}_{0} \) 中无回路。
2. 如何将 \( 9 \) 个 \( \alpha ,9 \) 个 \( \beta ,9 \) 个 \( \gamma \) 排成循环序列 \( {x}_{1}\cdots {x}_{27} \) ,使得对于字母表 \( \{ \alpha ,\beta ,\gamma \} \) 上任何长度为 3 的字 \( w \) ,都存在 \( i\left( {1 \leq i \leq {27}}\right) \) ,使得 \( {x}_{i}{x}_{i + 1}{x}_{i + 2} = w \) 。
3. 设 \( G \) 为 \( n \) 阶无向简单图,边数 \( m = \frac{1}{2}\left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) + 2 \) ,证明 \( G \) 为哈密顿图; 并举
例说明,当 \( m = \frac{1}{2}\left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) + 1 \) 时, \( G \) 不一定是哈密顿图。
4. 若二部图 \( G = \left( {{V}_{1},{V}_{2};E}\right) \) 中, \( \left| {V}_{1}\right| \neq \left| {V}_{2}\right| \) ,则 \( G \) 是非哈密顿图。
5. 对一个 \( 3 \times 3 \times 3 \) 的立方体,能否从一个角开始,通过所有 \( {27} \) 个 \( 1 \times 1 \times 1 \) 的小立方块各一次, 最后到达中心? 试说明理由。
6. 设 \( G \) 是无向简单图,若从 \( G \) 的任意一点 \( {V}_{0} \) 出发,沿着 \( G \) 的边随意走向任何尚未经过的结点,总能走出一条哈密顿道路,则称 \( G \) 是随意哈密顿图。 \( G \) 是随意哈密顿图当且仅当 \( G \) 是 \( {K}_{n},{C}_{n} \) 或 \( {K}_{n/2, n/2} \) 。
## 第三章 树
在各种各样的图中, 有一类简单的, 然而又是重要的图, 就是所谓的 “树”。树之所以重要, 不仅在于它在许多不同领域中有着广泛的应用, 而且还在于它在图问题的研究中所扮演的特殊角色。在图论中, 解决一些困难的问题往往首先从树入手, 打开缺口; 还有一些问题对一般的图未能解决或者没有简便方法, 而对于树则已圆满解决, 且方法较为简便。
树首先是作为无向图被讨论, 以下除非特别说明, 限于讨论无向图。
## \( §{3.1} \) 树的定义及其性质
定义 1.1 不含任何回路的连通图称为树。常用 \( T \) 表示树。 \( T \) 中的边称为树枝。度为 \( l \) 的结点称为树叶, 度大于 1 的结点称为分支点。
注 1: 只含一个结点的树称为平凡树。
注 2 ; 若图 \( G \) 的每个连通分支都是树,则称 \( G \) 为森林。森林是二部图。
注 3: 树的每条边都不属于任何回路, 这样的边称为割边。
定义 1.2 设 \( e \) 是 \( G \) 的一条边,若 \( G - e \) 的连通分支数比 \( G \) 多,则称 \( e \) 是 \( G \) 的一条割边,也称为桥。
注: 事实上,若 \( e \) 是 \( G \) 的割边,则 \( \kappa \left( {G - e}\right) = \kappa \left( G\right) + 1 \) 。
图 3.1
设割边 \( e = \left( {u, v}\right) \) ,从 \( G \) 中删去 \( e \) ,则将结点 \( u, v \) 所在的连通分支分割为两个连通分支, \( u \) 和 \( v \) 各在其一。
定理 \( {1.1e} = \left( {u, v}\right) \) 是 \( G \) 的割边,当且仅当 \( e \) 不属于 \( G \) 的任何回路。
证明: 必要性: 若 \( e = \left( {u, v}\right) \) 属于 \( G \) 的某个回路 \( C \) ,则 \( C - e \) 是 \( G - e \) 中 \( u \) 到 \( v \) 的一条道路, \( u \) 和 \( v \) 仍在同一连通分支, \( e \) 不是 \( G \) 的割边。
充分性: 若 \( e \) 不是 \( G \) 的割边,则 \( \kappa \left( {G - e}\right) = \kappa \left( G\right), u \) 和 \( v \) 在 \( G - e \) 中仍连通,即 \( G - e \) 中存在 \( u \) 到 \( v \) 的一条道路 \( P\left( {u, v}\right), P\left( {u, v}\right) + e \) 形成 \( G \) 中的一条回路。 为更充分地了解数地特性, 下面给出树的一些等价刻画。
定理 1.2 设 \( T \) 是阶不小于 2 的无向简单图,则下列说法等价。
（1） \( T \) 连通且无回路;
（2） \( T \) 连通且每条边都是割边;
（3） \( T \) 连通且有 \( n - 1 \) 条边;
（4） \( T \) 有 \( n - 1 \) 条边且无回路;
（5） \( T \) 的任意两结点间有唯一道路;
（6） \( T \) 无回路,但任意加上一条边后恰有一个回路。
证明: (1) \( \Leftrightarrow \) (2): 由定理 1.1 。
(2) \( \Rightarrow \) (3): 对 \( T \) 的结点数 \( n \) 施行归纳。当 \( n = 2 \) 时命题显然成立。假设当 \( n \leq k\left( {k \geq 2}\right) \) 时命题成立,则当 \( n = k + 1 \) 时,由于 \( T \) 的每条边都是割边,任取 \( T \) 的一条边 \( e \) ,则 \( T - e \) 有两个连通分支 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) ,设 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) 的结点数,边数分别为 \( {n}_{1},{m}_{1},{n}_{2},{m}_{2} \) ,由于 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) 都满足 (2) 且 \( {n}_{1} \leq k,{n}_{2} \leq k \) ,对 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) 分别应用归纳假设得, \( {m}_{1} = {n}_{1} - 1 \) , \( {m}_{2} = {n}_{2} - 1 \) ,从而 \( m = {m}_{1} + {m}_{2} + 1 = {n}_{1} - 1 + {n}_{2} - 1 + 1 = {n}_{1} + {n}_{2} - 1 = n - 1 \) 。
（3） \( \Rightarrow \) (4): 如果 \( T \) 有回路 \( C \) ,则任取 \( C \) 上任意一条边 \( e, T - e \) 仍连通,这与 \( T \) 的最小连通性矛盾。 （4） \( \Rightarrow \) (5): 首先证 \( T \) 是连通的。设 \( T \) 的连通分支数为 \( k \) ,这些连通分支的结点数和边数分别为 \( {n}_{i},{m}_{i}\left( {1 \leq i \leq k}\right) \) ,由 (1) \( \Rightarrow \) (3) 知, \( {m}_{i} = {n}_{i} - 1 \) ,所以 \( m = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{m}_{i} \)
\( = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\left( {{n}_{i} - 1}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{n}_{i} - k = n - k \) ,从而得知, \( k = 1 \) 。这说明 \( T \) 得任意两结点 \( u, v \) 之间存在道路 \( P\left( {u, v}\right) \) ,若 \( u, v \) 之间还有一条不同的道路 \( {P}^{\prime }\left( {u, v}\right) \) ,则 \( P\left( {u, v}\right) \oplus {P}^{\prime }\left( {u, v}\right) \) 至少含有一个回路,与 \( T \) 无回路矛盾。
\( \left( 5\right) \Rightarrow \left( 6\right) ,\left( 6\right) \Rightarrow \left( 1\right) \) 均显然。
推论 1.1 设 \( G \) 是结点数为 \( n \) 连通分支数为 \( k \) 的森林,则 \( G \) 的边数为 \( n - k \) 。
推论 1.2 非平凡树 \( T \) 至少存在两片树叶。
证明: 应用握手定理得, \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}d\left( {v}_{i}\right) = 2\left( {n - 1}\right) \) ,即 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {d\left( {v}_{i}\right) - 1}\right) = n - 2 \) ,由于 \( d\left( {v}_{i}\right) - 1 \)
非负,所以至少存在两个结点 \( v \) ,使得 \( d\left( v\right) - 1 = 0 \) ,即 \( v \) 是树叶。
定义 1.3 如果树 \( T \) 是图 \( G \) 的生成子图,则称 \( T \) 是 \( G \) 的一棵生成树,简称为 \( G \) 的树。 注 1: 当且仅当 \( G \) 是连通图时, \( G \) 有生成树。
图 3.2
注 2: 给定图 \( G \) 的一棵树 \( T \) ,我们称 \( G - T \)
(从 \( G \) 中删去 \( T \) 中各边后得到的图) 为 \( T \) 的
余树,用 \( \bar{T} \) 表示, \( \bar{T} \) 的边称为 \( T \) 的弦。
图 3.2 中, \( T = \left\{ {{e}_{1},{e}_{2},{e}_{5},{e}_{6},{e}_{8}}\right\} \) ,
\[
\bar{T} = \left\{ {{e}_{3},{e}_{4},{e}_{7},{e}_{9}}\right\}
\]
## 作业
1. 非平凡树中最长道路的端点一定是树叶。
2. 设 \( G \) 为 \( n\left( {n \geq 5}\right) \) 阶无向简单图,证明 \( G \) 或 \( \bar{G} \) 必含回路。
3. 设 \( {d}_{1},\cdots ,{d}_{n} \) 是 \( n\left( {n \geq 2}\right) \) 个正整数,证明: 若 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{d}_{i} = 2\left( {n - 1}\right) \) ,则存在一棵结点度分别为 \( {d}_{1},\cdots ,{d}_{n} \) 的 \( n \) 阶树 \( T \) 。
4. (1) 设树 \( T \) 包含 \( k \) 条边,无向简单图 \( G \) 满足 \( \delta \left( G\right) \geq k \) ,证明: \( T \) 是 \( G \) 的子图 (即 \( T \) 与 \( G \) 的某子图同构);
(2) 设树 \( T \) 包含 \( k \) 条边, \( n\left( {n > k}\right) \) 阶无向简单图 \( G \) 的边数
\[
m > n\left( {k - 1}\right) - \frac{1}{2}k\left( {k - 1}\right)
\]
证明: \( T \) 是 \( G \) 的子图。
## § 3.2 回路与割集
## 3.2.1 生成树与基本回路系统
定义 2.1 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的生成树, \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{m - n + 1} \) 是 \( T \) 的弦,记 \( {C}_{r} \) \( \left( {1 \leq r \leq m - n + 1}\right) \) 是 \( T \) 加弦 \( {e}_{r} \) 产生的回路,称 \( {C}_{r} \) 为对应于弦 \( {e}_{r} \) 的基本回路,称 \( \left\{ {{C}_{1},\cdots ,{C}_{r}}\right\} \) 为生成树 \( T \) 对应的基本回路系统。
图 3.3
注: 连通图 \( G \) 的生成树不唯一,从而基本回路系统不唯一,但基本回路的个数是相同的,
都是 \( m - n + 1 \) 。
给定连通图 \( G \) 的一棵生成树 \( T \) ，就确定 \( G \) 中的一个基本回路系统，那么 \( G \) 中任意一个回路与基本回路有什么关系呢?
首先来说明这 \( m - n + 1 \) 个基本回路是互相独立的。
定理 2.1 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的一棵生成树, \( {C}_{k} \) 是对应于弦 \( {e}_{k}\left( {1 \leq k \leq m - n + 1}\right) \) 的基本回路,对于任意 \( r,1 \leq r \leq m - n + 1 \) ,及任意序列 \( {i}_{1},\cdots ,{i}_{r} \) , \( 1 \leq {i}_{1} < \cdots < {i}_{r} \leq m - n + 1 \) ,有: \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{r}} \) 是 \( {C}_{{i}_{1}} \oplus {C}_{{i}_{2}} \oplus \cdots \oplus {C}_{{i}_{r}} \) 里的所有弦。
证明: 只需注意到弦 \( {e}_{{i}_{t}} \) 只在 \( {C}_{{i}_{t}} \) 中出现 \( \left( {1 \leq t \leq r}\right) \) 。
下面来说明 \( G \) 中任意回路都可由基本回路生成。
引理 2.1 设图 \( {G}_{1},{G}_{2} \) 的结点都是偶结点,则 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的结点也都是偶结点。
证明: 取 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的任意结点 \( v \) ,设 \( {e}_{1,1},\cdots ,{e}_{1, r} \) 是 \( {G}_{1} \) 中与 \( v \) 关联的边, \( {e}_{2,1},\cdots ,{e}_{2, s} \) 是 \( {G}_{2} \) 中与 \( v \) 关联的边,其中, \( r, s \) 都是偶数, \( \left| \left\{ {{e}_{1,1},\cdots ,{e}_{1, r}}\right\} \right| \cap \left\{ {{e}_{2,1},\cdots ,{e}_{2, s}}\right\} \mid = t \) ,则 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 中与 \( v \) 关联的边有 \( r + s - {2t} \) 条,即 \( v \) 是 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的偶结点。
定理 2.2 连通图 \( G \) 的任意回路 \( C \) 均可表示为生成树 \( T \) 的若干基本回路的环和。
证明: 设 \( C \) 中含 \( T \) 的 \( r\left( {1 \leq r \leq m - n + 1}\right) \) 条弦: \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{r}} \) ,令 \( {C}^{\prime } = {C}_{{i}_{1}}
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1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022)
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定义 3.6
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定义 3.6 设 \( f \) 是网络 \( N\left( {V, E, C}\right) \) 的任一容许流,称道路 (作为无向道路) \( {v}_{{i}_{0}}{v}_{{i}_{1}}\cdots {v}_{{i}_{k}} \) 是 \( f \) 的增流路径, 如果
1. \( {v}_{{i}_{0}} = s,{v}_{{i}_{k}} = t \) ;
2. 当 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) \in E \) (称 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) \) 为向前边) 时, \( {f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} < {c}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} \) ; 当 \( \left( {{v}_{{i}_{l + 1}},{v}_{{i}_{l}}}\right) \in E \) (称 \( \left( {{v}_{{i}_{l + 1}},{v}_{{i}_{l}}}\right) \) 为向后边) 时, \( {f}_{{i}_{t},{i}_{t + 1}} > 0 \) 。
注: 对于 \( f \) 的增流路径 \( {v}_{{i}_{0}}{v}_{{i}_{1}}\cdots {v}_{{i}_{k}} \) ,令
\[
{\delta }_{1} = \mathop{\min }\limits_{\left( {v}_{ij},{v}_{{ij} + 1}\right) }\left( {{c}_{{i}_{i},{i}_{l + 1}} - {f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}}}\right) ,\;{\delta }_{2} = \mathop{\min }\limits_{\left( {v}_{{ij} + 1},{v}_{ij}\right) }{f}_{{i}_{l + 1},{i}_{l}},\;\delta = \min \left( {{\delta }_{1},{\delta }_{2}}\right) ,
\]
对 \( f \) 作如下修改: 对向前边 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) ,{f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} \leftarrow {f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} + \delta \) ; 对向后边 \( \left( {{v}_{{i}_{l + 1}},{v}_{{i}_{l}}}\right) \) , \( {f}_{{i}_{l + 1},{i}_{l}} \leftarrow {f}_{{i}_{l + 1},{i}_{l}} - \delta \) ,则易知, \( f \) 仍是容许流,且流量增加了 \( \delta \) 。
定理 3.2 的证明: 我们用下列规则来构造结点子集 \( S : \left( 1\right) S \in S \) ; (2) 若 \( {v}_{i} \in S \) , \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in E,{f}_{i, j} < {c}_{i, j} \) ,则 \( {v}_{j} \in S \) ; (3) 若 \( {v}_{i} \in S,\left( {{v}_{j},{v}_{i}}\right) \in E,{f}_{j, i} > 0 \) ,则 \( {v}_{j} \in S \) 。 由 \( S \) 的构造规则可知:
1. \( t \notin S \) ,否则会得到 \( f \) 的一条增流路径,矛盾。所以 \( \left( {S,\bar{S}}\right) \) 是割切。
2. 当 \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in \left( {S,\bar{S}}\right) \) 时, \( {f}_{i, j} = {c}_{i, j} \) ; 当 \( \left( {{v}_{j},{v}_{i}}\right) \in \left( {\bar{S}, S}\right) \) 时, \( {f}_{j, i} = 0 \) 。依据式(3.1) 可知, \( w\left( f\right) = C\left( {S,\bar{S}}\right) \) 。所以, \( \left( {S,\bar{S}}\right) \) 是最小割切。
推论 3.1 容许流 \( f \) 是最大流的充分必要条件是不存在关于 \( f \) 的增流路径。
下面介绍求最大流的艾德蒙兹一卡普(Edmonds-Karp)算法。算法从一个初始容许流开始, 主要分为两个过程, 其一是标号过程, 试图找一个增流路径, 若找不到, 说明目前的容许流已是最大流, 否则转入第二个过程: 增流过程。
算法描述如下:
1. (初始化) 任选一个容许流 \( f \) ,可以对任意 \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in E \) ,取 \( {f}_{i, j} = 0 \) (零流)。
2. (标号过程开始) 给 \( S \) 标号 \( \left( {-,{\Delta }_{S}}\right) \) (其中 \( {\Delta }_{S} = \infty \) ), \( S \) 入队列 \( Q \) ;
3. 若 \( Q \) 为空,则停止,此时 \( f \) 已是最大流。否则,从 \( Q \) 中取出结点 \( {v}_{i} \) ,对 \( {v}_{i} \) 的所有未标号的邻点, 按下列规则标号。
a. 如果 \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in E \) 且 \( {f}_{i, j} < {c}_{i, j} \) ,则 给 \( {v}_{j} \) 标号 \( \left( {+{v}_{i},{\delta }_{j}}\right) \) ,其中 \( {\delta }_{j} = \min \left( {{\delta }_{i},{c}_{i, j} - {f}_{i, j}}\right) ,{v}_{j} \) 入队列 \( Q \) ;
b. 如果 \( \left( {{v}_{j},{v}_{i}}\right) \in E \) 且 \( {f}_{j, i} > 0 \) ,则给 \( {v}_{j} \) 标号 \( \left( {-{v}_{i},{\delta }_{j}}\right) \) ,其中 \( {\delta }_{j} = \min \left( {{\delta }_{i},{f}_{j, i}}\right) ,{v}_{j} \)
## 入队列 \( Q \) ;
4. 若 \( t \) 被标号,转 5,否则转 3 ;
5. (增流过程开始) 令 \( v = t \) ;
6. 设 \( v \) 的标号是 \( \left( {{Sv},{\Delta }_{v}}\right) \) ,
a. 若 \( {Sv} = + u \) ,则令 \( {f}_{u, v} = {f}_{u, v} + {\Delta }_{t} \) ;
b. 若 \( {Sv} = - u \) ,则令 \( {f}_{v, u} = {f}_{v, u} - {\Delta }_{t} \) ;
7. 若 \( u = s \) ,删去全部标号,将队列 \( Q \) 置空,转 2,否则令 \( v = u \) ,转 6 。
定理 3.3 Edmonds-Karp 最大流算法中,至多处理 \( \frac{m\left( {n + 2}\right) }{2} \) 条增流路径就会终止。
证明: \( \{ \) 见参考书 (2,戴一奇等), \( {110} - {111} \) 。 \( \} \) 证明过程较长,用到下面三个引理。
设 \( f \) 是网络 \( N \) 的一个容许流分布, \( P = {u}_{0}{e}_{1}{u}_{1}{e}_{2}{u}_{2}\cdots {u}_{k - 1}{e}_{k}{u}_{k} \) 是 \( f \) 的一条增流路径。令
\[
{\delta }_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} c\left( {e}_{i}\right) - f\left( {e}_{i}\right) , & \text{ if }{e}_{i}\text{ is a forward edge } \\ f\left( {e}_{i}\right) , & \text{ if }{e}_{i}\text{ is a backward edge } \end{array}\right.
\]
\[
\delta = \mathop{\min }\limits_{{1 \leq i \leq k}}{\delta }_{i}
\]
则必存在 \( i \) ,使得 \( {\delta }_{i} = \delta \) ,称对应的 \( {e}_{i} \) 是该路径的瓶颈。
假定标号法从初始流分布 \( {f}_{0} \) 开始。依照 Edmonds-Karp 算法依此构造容许流 \( {f}_{1},{f}_{2} \) , \( \cdots \) 。
设增流路径 \( P \) 的瓶颈是 \( e \) 。增流后,若 \( e \) 是向前边,它将饱和; 若 \( e \) 是向后边,则 \( f\left( e\right) \) 变为 0 。这个事实导致下述结论
引理 3.2 若 \( {k}_{1} < {k}_{2}, e \) 是从 \( {f}_{{k}_{1}} \) 变为 \( {f}_{{k}_{1} + 1} \) 以及 \( {f}_{{k}_{2}} \) 变为 \( {f}_{{k}_{2} + 1} \) 时的向前 (后) 边瓶颈, 则存在 \( l \) ,满足 \( {k}_{1} < l < {k}_{2} \) ,使得 \( e \) 是从 \( {f}_{l} \) 变为 \( {f}_{l + 1} \) 的增流路径的向后 (前) 边。
容许流为 \( f \) 时,从结点 \( u \) 到 \( v \) 的一条非饱和路径是指其中的向前边 \( e \) 都满足 \( f\left( e\right) < c\left( e\right) \) ,向后边 \( e \) 都满足 \( f\left( e\right) > 0 \) 。令 \( {\lambda }^{i}\left( {u, v}\right) \) 表示容许流为 \( {f}_{i} \) 时从 \( u \) 到 \( v \) 的最短非饱和路径的长度,若不存在 \( u \) 到 \( v \) 的非饱和路径,则约定 \( {\lambda }^{i}\left( {u, v}\right) = \infty \) 。
引理 3.3 对每个结点 \( v \) 及每个容许流 \( {f}_{k} \) ,恒有
\[
{\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right)
\]
\[
{\lambda }^{k}\left( {v, t}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {v, t}\right)
\]
引理 3.3 的证明: 只证明 \( {\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right) ,{\lambda }^{k}\left( {v, t}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {v, t}\right) \) 的证明是类似的。 若容许流为 \( {f}_{k + 1} \) 时不存在 \( s \) 到 \( v \) 的非饱和路径,则 \( {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right) = \infty \) ,不等式成立; 现假定 \( P = {u}_{0}{e}_{1}{u}_{1}{e}_{2}{u}_{2}\cdots {u}_{p - 1}{e}_{p}{u}_{p} \) 是 \( {f}_{k + 1} \) 中 \( s \) 到 \( v \) 的一条最短非饱和路径,其中 \( {u}_{0} = s \) , \( {u}_{p} = v \) 。只需证明对任意 \( 1 \leq i \leq p,{\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) 。因为由此可得
\[
{\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{p}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{p - 1}}\right) + 1 \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{p - 2}}\right) + 2
\]
\[
\leq \cdots \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{0}}\right) + p = p = {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right)
\]
如果 \( {e}_{i} \) 是 \( P \) 的一条向前边,则有 \( {f}_{k + 1}\left( {e}_{i}\right) < c\left( {e}_{i}\right) \) ,分两种情况来看
(a) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) < c\left( {e}_{i}\right) \) ,此时直接有 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) ;
(b) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) = c\left( {e}_{i}\right) \) ,此时 \( {e}_{i} \) 在 \( {f}_{k} \) 变为 \( {f}_{k + 1} \) 时充当了增流路径的向后边,所以有
\( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) + 1 \) ,从而 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) 。
如果 \( {e}_{i} \) 是 \( P \) 的一条向后边,则有 \( {f}_{k + 1}\left( {e}_{i}\right) > 0 \) ,同理分两种情况来看
(a) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) > 0 \) ,此时直接有 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) ;
(b) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) = 0 \) ,此时 \( {e}_{i} \) 在 \( {f}_{k} \) 变为 \( {f}_{k + 1} \) 时充当了增流路径的向前边,所以有
\( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) + 1 \) ,从而 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) 。
引理 3.4 如果边 \( e \) 是从 \( {f}_{k} \) 变为 \( {f}_{k + 1} \) 时增流路径的向前 (后) 边,同时也是 \( {f}_{l} \) 变为 \( {f}_{l + 1} \) 时 ( \( k < l \) ) 增流路径的向后 (前) 边,则有
\[
{\lambda }^{l}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{k}\left( {s, t}\right) + 2\text{。}
\]
引理 3.4 的证明 假定 \( e = \left( {u, v}\right) \) ,由于 \( e \) 是 \( {f}_{k} \) 的增流路径的向前边,所以
\[
{\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s, u}\right) + 1
\]
又由于 \( e \) 是 \( {f}_{l} \) 的增流路径的向后边,所以
\[
{\lambda }^{l}\left( {s, t}\right) = {\lambda }^{l}\left( {s, v}\right) + 1 + {\lambda }^{l}\left( {u, t}\right)
\]
利用引理 3.3
\[
{\lambda }^{l}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) + 1 + {\lambda }^{k}\left( {u, t}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s, u}\right) + 2 + {\lambda }^{k}\left( {u, t}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s, t}\right) + 2
\]
利用上述引理 3.2 和 3.4, 可以来证明定理 3.3 了。在 Edmonds-Karp 标号算法中, 每条增流路径都是当前最短的非饱和路径。对任意边 \( e \) ,设以 \( e \) 为增流路径向前边瓶颈的容许流为 \( {f}_{{k}_{1}},{f}_{{k}_{2}},\cdots \) ,其中 \( {k}_{1} < {k}_{2} < \cdots \) ,由引理 3.2,存在另一个容许流序列 \( {f}_{{l}_{1}},{f}_{{l}_{2}},\cdots \) ,使得 \( {k}_{1} < {l}_{1} < {k}_{2} < {l}_{2} < \cdots \) ,且 \( e \) 是 \( {f}_{{l}_{i}} \) 增流路径的向后边。由引理 3.4,
\[
{\lambda }^{{l}_{i}}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{{k}_{i}}\left( {s, t}\right) + 2,\;{\lambda }^{{k}_{i + 1}}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{{l}_{i}}\left( {s, t}\right) + 2\text{。}
\]
因此,
\[
{\lambda }^{{k}_{i + 1}}\left( {s, t \geq {\lambda }^{{k}_{i}}\left( {s, t}\right) + 4}\right.
\]
\[
{\lambda }^{{k}_{j}}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{{k}_{1}}\left( {s, t}\right) + 4\left( {j - 1}\right) \text{。}
\]
将
\[
{\lambda }^{{k}_{1}}\left( {s, t}\right) \geq 1,\;{\lambda }^{{k}_{j}}\left( {s, t}\right) \leq n - 1,
\]
代入上面不等式得
\[
n - 1 \geq 1 + 4\left( {j - 1}\right) ,
\]
\[
j \leq \frac{n + 2}{4}\text{。}
\]
即以 \( e \) 为增流路径向前边瓶颈的容许流最多 \( \left( {n + 2}\right) /4 \) 个,同理以 \( e \) 为增流路径向后边瓶颈的容许流也最多 \( \left( {n + 2}\right) /4 \) 个。由于网络共有 \( m \) 条边,故增流路径至多有 \( m\left( {n + 2}\right) /2 \) 条。
注 1: 定理 3.3 同时说明, 任何网络都存在最大流。
注 2: Edmonds-Karp 算法的时间复杂度为 \( O\left( {{m}^{2}n}\right) \) 。
例 3.2 如图 5.14 所示的网络, 求其最大流。
图 5.14
解: 利用 Edmonds-Karp 最大流算法求解。初始容许流取为零流。图 5.15 中, 每条边上的两个权值分别表示容量和流量分布。
图 5.15
图 5.15.1
图 5.15.2
图 5.15.3
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定义 3.5
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定义 3.5 设 \( \left( {E, M,\pi }\right) \) 是光滑流形 \( M \) 上的复向量丛, \( \Gamma \left( E\right) \) 是它的光滑截面的集合. 复向量丛 \( E \) 上的 复联络 是指满足下列条件的映射 \( \mathrm{D} : \Gamma \left( E\right) \times \mathfrak{X}\left( M\right) \rightarrow \Gamma \left( E\right) \) (其中对于任意的 \( \left( {\xi, X}\right) \in \Gamma \left( E\right) \times \mathfrak{X}\left( M\right) \) , 记 \( \left. {{\mathrm{D}}_{X}\xi = \mathrm{D}\left( {\xi, X}\right) }\right) \) : 对于任意的 \( \xi ,\eta \in \Gamma \left( E\right), X, Y \in \mathfrak{X}\left( M\right) ,\lambda \in \mathbb{C} \) ,以及 (实数值函数) \( f \in {C}^{\infty }\left( M\right) \) 有
(1) \( {\mathrm{D}}_{X + {fY}}\xi = {\mathrm{D}}_{X}\xi + f{\mathrm{D}}_{Y}\xi \) ;
(2) \( {\mathrm{D}}_{X}\left( {\xi + {\lambda \eta }}\right) = {\mathrm{D}}_{X}\xi + \lambda {\mathrm{D}}_{X}\eta \)
(3) \( {\mathrm{D}}_{X}\left( {f\xi }\right) = X\left( f\right) \xi + f{\mathrm{D}}_{X}\xi \) .
很明显,由于条件 (2),故条件 (3) 对于任意的复值光滑函数 \( f \) 也成立. \( {\mathrm{D}}_{X}\xi \) 称为光滑截面 \( \xi \) 关于切向量场 \( X \) 的协变导数.
把上述定义和第二章中的定义 8.1 相对照可知, 两者的区别在于条件 (2) 不只是对于任意的实数 \( \lambda \) 成立,而且对于任意的复数 \( \lambda \) 也成立, 即对于复向量丛上的复联络, 增加了条件
\[
{\mathrm{D}}_{X}\left( {\sqrt{-1}\xi }\right) = \sqrt{-1}{\mathrm{D}}_{X}\xi
\]
(3.11)
根据定义 3.1 后面的讨论,复向量丛 \( E \) 是具有复结构 \( J \) 的实向量丛 (参看 (3.2) 式), 从而由定义 3.5 和 (3.11) 式得知, 复向量丛上的复联络 \( \mathrm{D} \) 是在相应的实向量丛上满足条件
\[
{\mathrm{D}}_{X} \circ J = J \circ {\mathrm{D}}_{X},\;\forall X \in \mathfrak{X}\left( M\right)
\]
(3.12)
的联络. 将 \( J \) 看作定义在 \( M \) 上的张量场, \( {\mathrm{D}}_{X}J \) 是 \( J \) 沿切向量场 \( X \) 的协变导数,即 \( {\mathrm{D}}_{X}J \) 仍然是定义在 \( M \) 上的张量场,且对于任意的 \( \xi \in \Gamma \left( E\right) \) 有
\[
{\mathrm{D}}_{X}J\left( \xi \right) = {\mathrm{D}}_{X}\left( {J\xi }\right) - J\left( {{\mathrm{D}}_{X}\xi }\right) = \left( {{\mathrm{D}}_{X} \circ J - J \circ {\mathrm{D}}_{X}}\right) \left( \xi \right) .
\]
于是 (3.12) 式的含义是: 对于任意的 \( X \in \mathfrak{X}\left( M\right) \) ,有 \( {\mathrm{D}}_{X}J = 0 \) ,即 \( \mathrm{D}J = 0 \) . 因此复结构 \( J \) 关于复联络 \( \mathrm{D} \) 是平行的. 反之也然,于是有下面的命题:
命题 3.1 设 \( E = \left( {E, M,\pi }\right) \) 是光滑流形 \( M \) 上的复向量丛,复结构场是 \( J,\mathrm{D} \) 是该向量丛上的一个联络,则 \( \mathrm{D} \) 是复向量丛 \( E \) 上的复联络的充分必要条件是 \( \mathrm{D}J = 0 \) .
命题 3.1 的证明留给读者自己完成.
现设 \( E = \left( {E, M,\pi }\right) \) 是秩为 \( r \) 的复向量丛, D 是该向量丛上的一个复联络. 对于定义在开集 \( U \subset M \) 上的局部标架场 \( \left\{ {{s}_{a};1 \leq a \leq r}\right\} \) , 令
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
其中 \( {\omega }_{a}^{b}\left( {1 \leq a, b \leq r}\right) \) 是 \( U \) 上的复值 1 次微分式,称为 \( \mathrm{D} \) 在局部标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 下的联络形式. 当局部标架场变换时,联络形式的变换公式与实向量丛的情形是一样的 (参看第二章 \( §{2.8} \) 的 (8.4) 式).
特别地,如果 \( E \) 是全纯向量丛, \( \mathrm{D} \) 是该向量丛上的一个复联络, 则对于任意的 \( X \in \mathfrak{X}\left( M\right) \) ,协变导数算子 \( {\mathrm{D}}_{X} \) 是从光滑截面空间 \( \Gamma \left( E\right) \) 到其自身的映射. 假定 \( \left\{ {{s}_{a};1 \leq a \leq r}\right\} \) 是定义在开集 \( U \subset M \) 上的全纯标架场 (即它是由 \( r \) 个全纯截面构成的标架场), \( {\omega }_{a}^{b} \) 是 D 在标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 下的联络形式,即
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
(3.13)
则 \( {\omega }_{a}^{b} \) 只是 \( U \) 上的复值 1 次微分式,而不是 \( U \) 上的全纯微分式 (全纯微分式是指系数是全纯函数的 \( \left( {1,0}\right) \) 微分式,即余切丛 \( {T}^{ * }M \) 的全纯截面). 原因是,在定义 3.5 中只要求 \( {\mathrm{D}}_{X}{s}_{\alpha } \) 是 \( U \) 上的光滑截面,而不是全纯截面.
如果 \( \left\{ {{\widetilde{s}}_{a};1 \leq a \leq r}\right\} \) 是定义在 \( U \subset M \) 上的另一个全纯标架场, 则可设
\[
{\widetilde{s}}_{a} = {A}_{a}^{b}{s}_{b}
\]
(3.14)
其中 \( {A}_{a}^{b} \) 是 \( U \) 上的全纯函数. 若设 \( \mathrm{D} \) 关于标架场 \( \left\{ {\widetilde{s}}_{a}\right\} \) 的联络形式为 \( {\widetilde{\omega }}_{a}^{b},1 \leq a, b \leq r \) ,即
\[
\mathrm{D}{\widetilde{s}}_{a} = {\widetilde{\omega }}_{a}^{b}{\widetilde{s}}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
(3.15)
则由第二章的 (8.4) 式得到
\[
{A}_{c}^{b}{\widetilde{\omega }}_{a}^{c} = \mathrm{d}{A}_{a}^{b} + {\omega }_{c}^{b}{A}_{a}^{c},\;1 \leq a, b \leq r.
\]
(3.16)
由于 \( {A}_{a}^{b} \) 是全纯函数,在 \( U \) 上的复坐标系 \( \left\{ {z}^{i}\right\} \) 下有
\[
\mathrm{d}{A}_{a}^{b} = \frac{\partial {A}_{a}^{b}}{\partial {z}^{i}}\mathrm{\;d}{z}^{i}
\]
(3.17)
即 \( \mathrm{d}{A}_{a}^{b} \) 是 \( U \) 的全纯微分式. 由此可见,当 \( {\omega }_{a}^{b} \) 是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式时, \( {\widetilde{\omega }}_{a}^{b} \) 也必定是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式,即联络形式 \( {\omega }_{a}^{b} \) 是否为 \( \left( {1,0}\right) \) - 微分式与全纯标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 的选取无关. 此现象导致下面的定义:
定义 3.6 设 \( \left( {E, M,\pi }\right) \) 是复流形 \( M \) 上的全纯向量丛, D 是全纯向量丛 \( E \) 上的一个复联络. 如果对于定义在 \( M \) 的任意一个开子集 \( U \) 上的全纯标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) ,联络 \( \mathrm{D} \) 的联络形式 \( {\omega }_{a}^{b} \) 都是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式,则称 \( \mathrm{D} \) 是全纯向量丛 \( E \) 上的一个 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络.
定理 3.2 设 \( M \) 是 \( n \) 维复流形, \( \mathrm{D} \) 是复切丛 \( {T}^{h}M \) 上的一个复联络. 则 \( \mathrm{D} \) 是 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络,当且仅当 \( \mathrm{D} \) 的挠率形式是 \( M \) 上的 \( \left( {2,0}\right) \) - 微分式.
证明 设 \( \left\{ {e}_{i}\right\} \) 是 \( {T}^{h}M \) 的一个局部标架场, \( \left\{ {\omega }^{i}\right\} \) 是与之对偶的余切标架场,则在局部复坐标系 \( \left( {U;{z}^{i}}\right) \) 下有
\[
{e}_{i} = {A}_{i}^{j}\frac{\partial }{\partial {z}^{j}},\;\mathrm{\;d}{z}^{j} = {A}_{i}^{j}{\omega }^{i},
\]
(3.18)
其中 \( {A}_{i}^{j} \in {C}^{\infty }\left( U\right) \) ,且 \( \det \left( {A}_{i}^{j}\right) \neq 0 \) . 设
\[
\mathrm{D}{e}_{i} = {\omega }_{i}^{j}{e}_{j},\;1 \leq i \leq n
\]
(3.19)
则
\[
{\Omega }^{i} = \mathrm{d}{\omega }^{i} - {\omega }^{j} \land {\omega }_{j}^{i},\;1 \leq i \leq n
\]
(3.20)
是联络 \( \mathrm{D} \) 的挠率形式. 当局部标架场 \( \left\{ {e}_{i}\right\} \) 变换时, \( \left\{ {\Omega }^{i}\right\} \) 遵循反变向量分量的变换规律, 因而它们的类型与局部标架场的选取无关.
特别地,取 \( {e}_{i} = \frac{\partial }{\partial {z}^{i}},{\omega }^{i} = \mathrm{d}{z}^{i} \) ,则 \( \left\{ {e}_{i}\right\} \) 是全纯标架场. 此时,
(3.20) 式化为
\[
{\Omega }^{i} = - \mathrm{d}{z}^{j} \land {\omega }_{j}^{i}
\]
结合定义 3.6 便知, \( \mathrm{D} \) 是 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络当且仅当它的挠率形式 \( {\Omega }^{i} \) 是 \( \left( {2,0}\right) \) -微分式. 证毕.
定理 3.2 的意义在于,在判断联络是否是 \( \left( {1,0}\right) \) 联络时不必取全纯标架场,只要看它的挠率形式是否为 \( \left( {2,0}\right) \) -微分式就可以了.
定义 3.7 设 \( \left( {E, M,\pi, h}\right) \) 是光滑流形 \( M \) 上的 Hermite 向量丛, \( \mathrm{D} \) 是复向量丛 \( E \) 上的一个复联络. 如果对于任意的 \( \xi ,\eta \in \Gamma \left( E\right) \) ,以及任意的 \( X \in \mathfrak{X}\left( M\right) \) ,有
\[
X\left( {h\left( {\xi ,\eta }\right) }\right) = h\left( {{\mathrm{D}}_{X}\xi ,\eta }\right) + h\left( {\xi ,{\mathrm{D}}_{X}\eta }\right)
\]
(3.21)
则称联络 D 和 Hermite 结构 \( h \) 是相容的,或称 D 是 Hermite 结构 \( h \) 的 容许联络.
如所周知, Hermite 向量丛 \( E \) 的 Hermite 结构 \( h \) 具有 \( J \) -不变的实部 \( g \) 和虚部 \( k \) ,其中 \( g \) 是 \( E \) 上的 \( J \) -不变黎曼结构, \( k \) 由 \( g \) 唯一确定. 利用 (3.21) 式不难证明, \( E \) 上的复联络 \( \mathrm{D} \) 与 Hermite 结构 \( h \) 是相容的充分必要条件是 D 与作为 \( h \) 的实部的黎曼结构 \( g \) 是相容的.
定理 3.3 设 \( \left( {E, M,\pi, h}\right) \) 是复流形 \( M \) 上秩为 \( r \) 的 Hermite 全纯向量丛,则在 \( E \) 上存在唯一的一个与 Hermite 结构相容的 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络.
证明 在 \( M \) 的复坐标域 \( \left( {U;{z}^{i}}\right) \) 上取全纯向量丛 \( E \) 的全纯标架场 \( \left\{ {{s}_{a},1 \leq a \leq r}\right\} \) ,令
\[
{h}_{ab} = h\left( {{s}_{a},{s}_{b}}\right) ,\;1 \leq a, b \leq r.
\]
(3.22)
设 \( \mathrm{D} \) 是向量丛 \( \left( {E, M,\pi, h}\right) \) 上的容许联络, \( {\omega }_{a}^{b},1 \leq a, b \leq r \) 是 \( \mathrm{D} \) 关于 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 的联络形式,则有
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
并且
\[
\mathrm{d}{h}_{ab} = {\omega }_{a}^{c}{h}_{cb} + \overline{{\omega }_{b}^{c}}{h}_{ac}
\]
(3.23)
如果 \( \mathrm{D} \) 是 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络,即 \( {\omega }_{a}^{b} \) 是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式,则从 (3.23) 式得到
\[
\frac{\partial {h}_{ab}}{\partial {z}^{i}}\mathrm{\;d}{z}^{i} = {\omega }_{a}^{c}{h}_{cb}
\]
(3.24)
用 \( \left( {h}^{ab}\right) \) 表示矩阵 \( \left( {h}_{ab}\right) \) 的逆矩阵,假设
\[
{h}^{ac}{h}_{bc} = {\delta }_{b}^{a}
\]
(3.25)
则从 (3.24) 式得到
\[
{\omega }_{a}^{b} = {h}^{bc}\frac{\partial {h}_{ac}}{\partial {z}^{i}}\mathrm{\;d}{z}^{i}
\]
(3.26)
这就说明了与 Hermite 结构 \( h \) 相容的 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络是唯一的.
反过来,对于每一个全纯标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 可以用 (3.26) 式来定义一组 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式 \( {\omega }_{a}^{b},1 \leq a, b \leq r \) . 容易证明: 当 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 变换为全纯标架场 \( \left\{ {\widetilde{s}}_{a}\right\} \) 时,如果 \( {\widetilde{s}}_{a} = {A}_{a}^{b}{s}_{b} \) ,其中 \( {A}_{a}^{b} \) 是全纯函数,则有
\[
{\widetilde{h}}_{ab} = h\left( {{\widetilde{s}}_{a},{\widetilde{s}}_{b}}\right) = {A}_{a}^{c}\overline{{A}_{b}^{d}}{h}_{cd},\;{h}^{ab} = {A}_{c}^{a}\overline{{A}_{d}^{b}}{\widetilde{h}}^{cd},
\]
由 (3.26) 式不难得到
\[
{A}_{c}^{b}{\widetilde{\omega }}_{a}^{c} = \mathrm{d}{A}_{a}^{b} + {\omega }_{c}^{b}{A}_{a}^{c}
\]
这恰好是联络形式在标架场变换时的变换公式. 因此, 由
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b}
\]
在向量丛 \( \pi : E \rightarrow M \) 上定义了一个复联络,记为 D. 不难验证, D 是与 Hermite 结构 \( h \) 相容的 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络. 证毕.
推论 3.4 设 \( \left( {M, h}\right) \) 是 Hermite 流形,则 \( {T}^{h}M \) 作为 Hermite 全纯向量丛有唯一的一个 \( \left( {1,0}\right) \) 型容许联络,称为 \( \left( {M, h}\right) \) 上的 Hermite 联络.
设 \( \left( {U;{z}^{i}}\right) \) 是 Hermite 流形 \( \left( {M, h}\right) \) 的复坐标系, \( \left\{ \frac{\partial }{\partial {z}^{i}}\right\} \) 是自然的复标架场,它是全纯标架场. \( {\omega }_{i}^{j} \) 是 Hermite 联络 \( \mathrm{D} \) 关于 \( \left\{ \frac{\partial }{\partial {z}^{i}}\right\} \) 的
联络形式, 即
\[
\mathrm{D}\frac{\partial }{\partial {z}^{i}} = {\omega }_{i}^{j}\frac{\partial }{\partial {z}^{j}}
\]
(3.27)
如果
\[
h = {h}_{ij}\mathrm{\;d}{z}^{i} \otimes \mathrm{d}\overline{{z}^{j}},\;\text{ 其中 }{h}_{ij} = h\left( {\frac{\partial }{\partial {z}^{i}},\frac{\partial }{\partial {z}^{j}}}\right) ,
\]
(3.28)
则有 \( \left( {1,0}\right) \) 型容许联络形式 \( {\omega }_{i}^{j} \) 的表达式
\[
{\omega }_{i}^{j} = {h}^{jk}\frac{\partial {h}_{ik}}{\partial {z}^{l}}\mathrm{\;d}{z}^{l}
\]
(3.29)
这里 \( \left( {h}^{ij}\right) \) 是矩阵 \( \left( {h}_{ij}\right) \) 的逆矩阵,使得 \( {h}^{ij}{h}_{kj} = {\delta }_
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1760_06代数学(上册)
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定义 1.18
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定义 1.18 设 \( S \) 为一集合. \( S \) 上一非负实数值的二元函数 \( D\left( {a, b}\right) \left( {a, b \in S}\right) \) ,如适合下列的条件,则称为距离:
1) \( D\left( {a, b}\right) = 0 \Leftrightarrow a = b \) ,
2) \( D\left( {a, b}\right) = D\left( {b, a}\right) \) ;
3) 三角不等式: \( D\left( {a, b}\right) + D\left( {b, c}\right) \geq D\left( {a, c}\right) \) .
不难看出 \( {D}_{\infty }\left( {a, b}\right) \) 是一距离. 有了这个距离以后,我们将证明有理数集 \( \mathbf{Q} \) 的所有 “极限” 的集合即是实数集 \( \mathbf{R} \) . 然而,有理. 数集 \( \mathbf{Q} \) 还有其它的距离. 且看下面的定义.
定义1.19 设 \( p \in Z \) 为一素数. 设 \( a \in Q \) 为一非零的有理数. 命
\[
a = {p}^{l}\frac{m}{n},\;p \nmid m, p \nmid n, l, m, n \in Z.
\]
则 \( l \) 自然是由 \( a \) 唯一确定的. 定义 \( a \) 的 \( p \) 赋值为
\[
{v}_{p}\left( a\right) = {p}^{-1},
\]
又令 \( {v}_{p}\left( 0\right) = 0 \) . 两有理数 \( a, b \) 的 \( p \) 距离 \( {D}_{p}\left( {a, b}\right) \) 的定义是
\[
{D}_{p}\left( {a, b}\right) = {v}_{p}\left( {a - b}\right) .
\]
定理 \( {1.18p} \) 赋值 \( {v}_{p} \) 有如下的性质,
1) \( {v}_{p}\left( a\right) \geq 0,{v}_{p}\left( a\right) = 0 \Leftrightarrow a = 0 \) ,
2) \( {v}_{p}\left( {ab}\right) = {v}_{p}\left( a\right) {v}_{p}\left( b\right) \) ,
3) \( {v}_{p}\left( {a + b}\right) \leq \max \left( {{v}_{p}\left( a\right) ,{v}_{p}\left( b\right) }\right) \) .
\( p \) 距离 \( {D}_{p} \) 有如下的性质,
1) \( {D}_{p}\left( {a, b}\right) \geq 0,{D}_{p}\left( {a, b}\right) = 0 \Leftrightarrow a = b \) ,
2) \( {D}_{p}\left( {a, b}\right) = {D}_{p}\left( {b, a}\right) \) ;
3) 强三角不等式: \( \max \left( {{D}_{p}\left( {a, b}\right) ,{D}_{p}\left( {b, c}\right) }\right) \geq {D}_{p}\left( {a, c}\right) \) . 因此 \( {D}_{p} \) 是一个距离 (参考定义1.18).
证明 很容易自 \( p \) 赋值 \( {v}_{p} \) 的定义 1.19,导出 1),2). 现在看 \( {v}_{p} \) 的性质 3). 设
\[
a = {p}^{l}{}_{1}\frac{{m}_{1}}{{n}_{1}},\;b = {p}^{l}{}_{2}\frac{{m}_{2}}{{n}_{2}},
\]
又不妨假设 \( {l}_{1} \leq {l}_{2} \) . 于是有
\[
a + b = {p}^{1}1\left( {\frac{{m}_{1}}{{n}_{1}} + {p}^{1}{z}^{-1}1 - \frac{{m}_{2}}{{n}_{2}}}\right) = {p}^{1}1\frac{{m}_{1}{n}_{2} + {p}^{1}{z}^{-1}1{n}_{1}{m}_{2}}{{n}_{1}{n}_{2}}
\]
\[
= {p}^{{l}_{1}}\left( {{p}^{{l}_{3}}\frac{{m}_{3}}{{n}_{3}}}\right) ,\;{l}_{3} \geq 0.
\]
卸
\[
{v}_{p}\left( {a + b}\right) = {p}^{-1}{1}^{-1}s \leq {p}^{-1}1 = \max \left( {{p}^{-1}1,{p}^{-1}s}\right)
\]
\[
= \max \left( {{v}_{p}\left( a\right) ,{v}_{p}\left( b\right) }\right) .
\]
关于 \( p \) 距离 \( {D}_{p} \) 的三点性质. 1),2) 皆很显然. 性质 3) 同等于 \( {v}_{p} \) 的性质 3),即以
\[
\left( {a - b}\right) ,\;\left( {b - c}\right) ,\;\left( {a - c}\right) = \left( {a - b}\right) + \left( {b - c}\right)
\]
分别取代 \( {v}_{p} \) 的性质 3) 中的 \( a, b, a + b \) ,便得 \( {D}_{p} \) 的性质 3). 1
讨论 1) 在本书的后面关于 “赋值” 的讨论中读者将看出, \( \mathbf{Q} \) 的任意赋值皆 “同等” 于绝对值或 \( p \) 赋值 \( {v}_{p} \) 之一. 此 种 现象并不深奥, 然而此时还不适宜于读者, 所以暂时略去.
2) 适合强三角不等式的距离 \( D \) ,定义出一种奇异的几何学. 例如任意三角形皆等腰,即取 \( a, b, c \) 为三角形的三 \( \mathrm{{II}} \) 点,如 \( D\left( {a, b}\right) > D\left( {b, c}\right) > D\left( {a, c}\right) \) ,则
\[
\max \left( {D\left( {a, c}\right), D\left( {c, b}\right) }\right) < D\left( {a, b}\right)
\]
为不可能. 又例如圆內任意点皆是圆心,即如 \( a \) 是圆心, \( b \) 在圆内, \( c \) 在圆上,则有
\[
D\left( {a, c}\right) = r > D\left( {b, a}\right) ,
\]
\[
\max \left( {D\left( {a, b}\right), D\left( {b, c}\right) }\right) \geq D\left( {a, c}\right) ,
\]
必有
\[
D\left( {b, c}\right) = r\text{.}
\]
定理 1.19 令 \( {v}_{\infty }\left( a\right) = \left| a\right| \) ,则有
\[
{v}_{\infty }\left( a\right) \mathop{\prod }\limits_{p}{v}_{p}\left( a\right) = 1
\]
证明 显然.
定理1.20(赋值的独立性) 令 \( {v}_{\infty } \) 为绝对值. 任取 \( {v}_{\infty } \) 及 \( n \) 个 \( p \) 赋值 \( {v}_{{p}_{1}},{v}_{{p}_{2}},\cdots ,{v}_{{p}_{1}} \) . 任取 \( a,{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \in Q \) ,以及 \( \varepsilon > 0 \) , \( {p}^{-1}1,{p}^{-1}2,\cdots ,{p}^{-1}n \) ,则存在 \( b \in Q \) ,使
1) \( {v}_{\infty }\left( {b - a}\right) = \left| {b - a}\right| < {\varepsilon }_{3} \)
2) \( {v}_{{p}_{i}}\left( {b - {a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1}i, i = 1,2,\cdots, n \) .
证明 先用中国剩余定理来证明 2). 令 \( m \) 为 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m} \) 的最小公分母. 令
\[
{p}_{i}^{-1}t = {v}_{{p}_{i}}\left( m\right) ,\;{r}_{i} = {l}_{i} + {s}_{i},
\]
\[
r = \max \left\{ {1,{r}_{1},{r}_{2},\cdots ,{r}_{n}}\right\}
\]
根据中国剩余定理,可得出 \( - c \) ,使
\[
c \equiv m{a}_{i}\left( {\;\operatorname{mod}\;{p}_{i}^{r}}\right) ,\;i = 1,2,\cdots, n.
\]
蝍
\[
{v}_{{p}_{i}}\left( {c - m{a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1},\;{v}_{{p}_{i}}\left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1}!.
\]
令 \( q = {\left( {p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}\right) }^{i} \) ,取适当的整数 \( u, v \) ,使
\[
\left| {\frac{c}{m}\frac{1 + {uq}}{1 + {vq}} - a}\right| < \varepsilon
\]
令
\[
b = \frac{c}{m}\frac{1 + {uq}}{1 + {vq}}
\]
则 \( b \) 自然适合条件 1). 又由强三角不等式,有
\[
{v}_{{p}_{i}}\left( {b - {a}_{i}}\right) = {v}_{{p}_{i}}\left( {\left( {b - \frac{c}{m}}\right) + \left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) }\right)
\]
\[
\leq \max \left( {{v}_{{p}_{i}}\left( {b - \frac{c}{m}}\right) ,{v}_{{p}_{i}}\left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) }\right)
\]
\[
= {v}_{{p}_{i}}\left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1}1
\]
以上的两个定理是讨论各赋值的关系. 以下设 \( S \) 为一集合, \( D \) 为定义其上的一距离. 根据本节的内容,可令 \( S = Q, D = D \) _ 或 \( {D}_{p} \) . 然而,在本书后面的部分,我们将把同样的 讨论,引用到一些广义的 “环” 上. 为了避免重复论证起见, 我们讨论一广义的集合 \( S \) 。
定义 1.20 取可数无限个 \( S \) 的直积 \( \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}S \) ,其元素
\[
\left\{ {a}_{i}\right\} = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n},\cdots }\right)
\]
称为序列. 给定一个距离 \( D \) . 如序列 \( \left\{ {a}_{2}\right\} \) 适合以下的条件,则称为柯西序列,或 \( D \) 收敛序列: 对于任意有理数 \( \varepsilon > 0 \) ,有一正整数 \( N\left( { = N\left( \varepsilon \right) }\right) \) 存在,使当 \( m, n > N \) 时,
\[
D\left( {{a}_{m},{a}_{n}}\right) < \varepsilon \text{。}
\]
所有柯西序列的集合,称为柯西序列集 \( F\left( D\right) \) 。
定义 1.21 两柯西序列 \( \left\{ {a}_{i}\right\} ,\left\{ {b}_{i}\right\} \in F\left( D\right) \) ,如适合以下的条件, 则称有共同的极限, 用符号
\[
\left\{ {a}_{i}\right\} \overset{D}{ \sim }\left\{ {b}_{i}\right\}
\]
表示之: 对任意的有理数 \( \varepsilon > 0 \) ,有一正整数 \( N\left( { = N\left( \varepsilon \right) }\right) \) 存在, 使当 \( m > N \) 时, \( D\left( {{a}_{m},{b}_{m}}\right) < \varepsilon \) .
定理1.21 柯西序列的有共同极限的关系是一等价关系 (参考定义 1.4 的讨论).
证明 1) \( \left\{ {a}_{i}\right\} \overset{D}{ \sim }\left\{ {a}_{i}\right\} \) . 显然.
2) \( \left\{ {a}_{i}\right\} \overset{b}{ \sim }\left\{ {b}_{i}\right\} \) ,则 \( \left\{ {b}_{i}\right\} \overset{b}{ \sim }\left\{ {a}_{i}\right\} \) . 显然.
3) 设 \( \left\{ {a}_{i}\right\} \overset{p}{ \sim }\left\{ {b}_{i}\right\} \overset{p}{ \sim }\left\{ {c}_{i}\right\} \) . 给定 \( \varepsilon > 0 \) ,则有一 \( N \) 存在,使当 \( m > N \) 时,
\[
D\left( {{a}_{m},{b}_{m}}\right) < \frac{\varepsilon }{2},\;D\left( {{b}_{m},{c}_{m}}\right) < \frac{\varepsilon }{2}.
\]
用三角不等式, 得出
\[
D\left( {{a}_{m},{c}_{m}}\right) \leq D\left( {{a}_{m},{b}_{m}}\right) + D\left( {{b}_{m},{c}_{m}}\right) < \varepsilon .
\]
定义1.22 由等价关系 \( \overset{p}{ \sim } \) 所产生的柯西序列集的商集(参考定义1.4及其后的讨论)称为 \( S \) -的 \( D \) 完备化集. 每一个等价子集称为其元素的极限. 如 \( S = \mathbf{Q}, D \) 为由绝对值引生的距离 \( {D}_{\infty } \) ,则此完备化集称为实数集 \( R \) . 如 \( S = Q, D \) 为由 \( p \) 赋值 \( {v}_{p} \) 引生的距离 \( {D}_{p} \) ,则此完备化集称 \( p \) -adic 数集 \( {\mathbf{Q}}_{p} \) .
讨论 \( p \) -adic 数又称 \( p \) 进数. 然而二进数、十进数等又是实数的一些表示法. 如此,名词就混淆不清了. 为此本书中用 “ \( p \) - adic 数” 表示如上定义的 \( {\mathbf{Q}}_{p} \) ,用 \( p \) 进数表示实数的 \( p \) 进位制.
定义 1.22 给出了实数集 \( \mathbf{R} \) 及 \( p \) -adic 数集 \( {\mathbf{Q}}_{\mathbf{p}} \) 的严格与完整 \( i \) 的定义. 以下我们要进一步地阐明其意义.
定理 1.22 令 \( D \) 为 \( S \) 的一距离, \( {S}_{D} \) 为相应的完备化集. 则下列映射 \( \varphi : S \rightarrow {S}_{D} \) 是一单射:
\[
\varphi \left( a\right) = \left( {a, a,\cdots, a,\cdots }\right) = \{ a\} .
\]
证明 显然, \( \{ a\} \) 是一柯西序列. 如 \( a \neq b \) ,令 \( \varepsilon = D\left( {a, b}\right) \) , 则
\[
D\left( {a, b}\right) < \varepsilon ,
\]
即 \( \{ a\} ,\{ b\} \) 没有共同的极限.
如果我们把 \( Q \) 认同于 \( \varphi \left( Q\right) \) ,则 \( Q \) 成了 \( {Q}_{D} \) 的子集. 其次我们考虑怎样更具体地把 \( {Q}_{D} \) 写出来. 如 \( D = {D}_{\alpha } \) 时, \( {Q}_{D} = R \) ,我们有众所周知的十进位无穷小数表示法. 这创始于中国商代, 对于汉代的完美的数学工具是极重要的准备. 根据以上的讨论, 我们可以如下地理解这个十进位小数: 任取一柯西序列 \( \left\{ {a}_{1}\right\} \) ,取 \( {\varepsilon }_{1} \) \( = {10}^{-1} \) . 令 \( {N}_{j} \) 为有如下性质的正整数 (参考 定义 1.20): 如 \( m, m \) \( > {N}_{j} \) 时,
\[
{D}_{\infty }\left( {{a}_{m},{a}_{n}}\right) = \left| {{a}_{m} - {a}_{n}}\right| \leq {\varepsilon }_{j},
\]
即 \( {a}_{m} \) 的十进位小数展开式与 \( {a}_{{N}_{j} + 1} \) 的十进位小数展开式其小数点后 \( \left( {j - 1}\right) \) 位全同. 考 虑 \( {a}_{{N}_{i} + 1}, j = 1,2,3,\cdots, n,\cdots \) ,则小数逐渐确定了. 取其极限, 则得一无穷小数, 即一般实数的无穷小数展开式. 这种表示法并无唯一性. 例如, \( 1 = {0.999}\cdots 9\cdots \) . 用柯西序列来说, 即以下两个柯西序列
\[
\left( {1,1,1,\cdots ,1,\cdots }\right) \text{,}
\]
\[
\left( {0,{0.9},{0.99},\cdots ,{0.9999}\cdots 9,\cdots }\right)
\]
是有共同的极限的.
如同十进位无穷小数一样,我们可以同法得出 \( p \) -adic 数的展开式: 任取一分数 \( a \in \mathbf{Q}, a \neq 0 \) . 令
\[
a = {p}^{l}\frac{m}{n},\;p \nmid m, p \nmid n, l, m, n \in Z.
\]
因为 \( p, n \) 互素,所以存在 \( r, s \in Z \) ,使
\[
{sn} + {rp} = 1\text{. }
\]
令 \( t \) 为 \( {\left\lbrack sm\right\rbrack }_{p} \) 的主余数,则有
\[
{\left\lbrack s\left( m - nt\right) \right\rbrack }_{p} = {\left\lbrack sm - snt\right\rbrack }_{p} = {\left\lbrack sm - t\right\rbrack }_{p} = {\left\lbrack 0\right\rbrack }_{p},
\]
于是有
\[
p \mid m - {nt}
\]
\[
a - t{p}^{1} = {p}^{1}\left( {\frac{m}{n} - t}\right) = {p}^{1}\frac{m - {nt}}{n} = {p}^{1 + {1}^{\prime }}\frac{{m}^{\prime }}{n},
\]
\[
{D}_{p}\left( {a, t{p}^{1}}\right) \leq {p}^{-1 - 1} < {p}^{-1}.
\]
再以同法可以进一步展开 \( {p}^{l + {l}^{\prime }}\frac{{m}^{\prime }}{n} \) . 如此逐步展开后,可得一 \( p \) 的幂级数,其系数皆取自 \( \{ 0,1,2,\cdots, p - 1\} \) . 例如,令 \( p = 3 \) ,则 \( - 1/6 \) 的 \( p \) -adic 数的展开式是
\[
- \frac{1}{6} = {3}^{-1} + 1 + 3 + {3}^{2} + {3}^{3} + \cdots + {3}^{n} + \cdots ,
\]
却
\[
{D}_{p}\left( {-\frac{1}{6},\left( {{3}^{-1} + 1 + 3 + \cdots + {3}^{n}}\right) }\right) = {3}^{-\left( {n + 1}\right) } \rightarrow 0
\]
不难看出, \( {Q}_{p} \) 即
\[
\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{j = - n}}^{\infty }{c}_{j}{p}^{j} : 0 \leq j < p}\right\}
\]
不同于十进位小数的是 \( {Q}_{p} \) 的元素的 \( p \) -adic 数的展开式是唯一的.
定义 1.23 在 \( R \) 中定义不等式如下: 取 \( a,\beta \in R \) ,
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1292_[徐明曜&曲海鹏] 有限p群
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定义 7.1.2
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定义 7.1.2 设 \( G \) 是有限 \( p \) 群. 称 \( G \) 为超特殊 \( p \) 群,如果 \( G \) 是非交换特殊 \( p \) 群,且 \( \left| {Z\left( G\right) }\right| = p \) .
尽管特殊 \( p \) 群是非常特殊的一类 \( p \) 群,它们的幂零类为 2,并且满足 \( G/{G}^{\prime } \) 是初等交换群,但给出它们的分类仍然是十分困难的,目前我们还做不到这一点. 然而,对于超特殊 \( p \) 群我们能够给出它们的同构分类. 为此,我们需要 \( n \) 个群的中心积的概念以及辛空间的概念.
回忆一下,称群 \( G \) 为两个子群 \( A \) 和 \( B \) 的关联中心子群 \( K \) 的中心积,记做 \( G = A{ * }_{K}B \) ,如果 \( G = {AB}, K = A \cap B \) ,且换位子群 \( \left\lbrack {A, B}\right\rbrack = 1 \) (见定义 2.6.1). 如果 \( K \) 是 \( A, B \) 中至少一个的中心,则简记 \( G = A{ * }_{K}B \) 为 \( G = A * B \) .
称群 \( G \) 为子群 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 的关联中心子群 \( K \) 的中心积,如果对任意的 \( 1 \leq i < j \leq n,\left\langle {{A}_{i},{A}_{j}}\right\rangle = {A}_{i}{ * }_{K}{A}_{j} \) . 由于通常只考虑 \( K \) 是每个因子 \( {A}_{i} \) (或至多有一个例外) 的中心的情况,我们记此中心积为
\[
G = {A}_{1} * {A}_{2} * \cdots * {A}_{n}
\]
至于辛空间的概念, 在很多为研究生编写的抽象代数或线性代数书上都有介绍. 譬如可见 \( \left\lbrack {{624},§{5.2}}\right\rbrack \) . 但为了本书的完整性,我们给出下面的概念和结果.
定义 7.1.3 设 \( V = V\left( {n,\mathbb{F}}\right) \) 是域 \( \mathbb{F} \) 上的 \( n \) 维向量空间,定义了内积 \( f : V \times V \rightarrow \mathbb{F} \) ,满足
(1) \( f \) 是双线性的,即对于任意的 \( \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in V, a \in \mathbb{F} \) ,有
(i) \( f\left( {a\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = f\left( {\mathbf{u}, a\mathbf{v}}\right) = {af}\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) \) ;
(ii) \( f\left( {\mathbf{u} + \mathbf{w},\mathbf{v}}\right) = f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) + f\left( {\mathbf{w},\mathbf{v}}\right) ,\;f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v} + \mathbf{w}}\right) = f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) + f\left( {\mathbf{u},\mathbf{w}}\right) . \)
(2) \( f \) 是斜对称的,即对任意的 \( \mathbf{u} \in V \) ,成立 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{u}}\right) = 0 \) .
(注意: 若 char \( \mathbb{F} \neq 2, f\left( {\mathbf{u},\mathbf{u}}\right) = 0\left( {\forall \mathbf{u} \in V}\right) \) 等价于条件
\[
f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = - f\left( {\mathbf{v},\mathbf{u}}\right) ,\;\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in V.)
\]
称 \( V \) 为域 \( \mathbb{F} \) 上的 \( n \) 维辛空间.
又,称辛空间 \( V \) 为非退化的,如果由 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = 0,\forall \mathbf{v} \in V \) ,可得到 \( \mathbf{u} = \mathbf{0} \) .
设 \( V \) 为一辛空间, \( U, W \) 是 \( V \) 的子空间. 称 \( U \) 和 \( W \) 正交,并记做 \( U \bot W \) ,如果 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{w}}\right) = 0,\forall \mathbf{u} \in U,\mathbf{w} \in W \) .
定义 7.1.4 设 \( V = V\left( {n,\mathbb{F}}\right) \) 是域 \( \mathbb{F} \) 上的 \( n \) 维辛空间. 称 \( V \) 是子空间 \( {V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{s} \) 的正交和,记做
\[
V = {V}_{1} \bot {V}_{2} \bot \cdots \bot {V}_{s}
\]
如果 \( V = {V}_{1} \oplus {V}_{2} \oplus \cdots \oplus {V}_{s} \) ,且对任意的 \( i \neq j,{V}_{i} \bot {V}_{j} \) .
设 \( V \) 为一辛空间,称 \( X = \{ \mathbf{u},\mathbf{v}\} \) 为 \( V \) 中的一个双曲元偶,如果 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = 1 \) . 这时称 \( \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle \) 为 \( V \) 中的一个双曲平面.
如果
\[
V = \langle {\mathbf{v}}_{1},{\mathbf{v}}_{2}\rangle \bot \cdots \bot \langle {\mathbf{v}}_{{2m} - 1},{\mathbf{v}}_{2m}\rangle ,
\]
其中 \( \left\{ {{\mathbf{v}}_{{2i} - 1},{\mathbf{v}}_{2i}}\right\} \) 为 \( V \) 中的双曲元偶,则称 \( B = \left\{ {{\mathbf{v}}_{1},\cdots ,{\mathbf{v}}_{2m}}\right\} \) 是 \( V \) 的一组双曲基. 这时 \( V \) 可表为双曲平面之直和.
下面的不加证明的定理对于辛空间来说是基本的, 其证明可见 [285, II, Hilfsatz 9.8] 或 [624, 推论 2.10].
定理 7.1.5 设 \( V \) 是非退化辛空间,则 \( \dim V = {2m} \) ,且 \( V \) 是 \( m \) 个双曲平面的正交和. 若不计同构, \( V \) 被其维数 \( {2m} \) 唯一确定.
下面来研究超特殊 \( p \) 群. 设 \( G \) 是一超特殊 \( p \) 群,则 \( \bar{G} = G/Z\left( G\right) \) 是初等交换 \( p \) 群. 于是可把 \( \bar{G} \) 看成域 \( {GF}\left( p\right) \) 上的有限维向量空间. 它的元素,即向量的一般形状为 \( {xZ}\left( G\right) \) ,记做 \( \bar{x} \) . 设 \( {G}^{\prime } = \langle c\rangle \) . 因为
\( \left| {G}^{\prime }\right| = p \) ,任给 \( x, y \in G \) ,有 \( \left\lbrack {x, y}\right\rbrack = {c}^{\alpha } \) ,其中 \( \alpha \in {GF}\left( p\right) \) . 下面定义 \( \bar{G} \) 的内积 \( f \) :
\[
f\left( {\bar{x},\bar{y}}\right) = \alpha ,\;\text{ 如果 }\left\lbrack {x, y}\right\rbrack = {c}^{\alpha }.
\]
容易看出,这个内积 \( f \) 是良定义的,且在内积 \( f \) 下, \( \bar{G} \) 是域 \( {GF}\left( p\right) \) 上的有限维非退化辛空间 (验证从略). 由定理 \( {7.1.5},\bar{G} \) 是 \( m \) 个双曲平面的正交和,而 \( \bar{G} \) 的维数是偶数 \( {2m} \) . 设第 \( i \) 个双曲平面是 \( \left\langle {{\bar{x}}_{i},{\bar{y}}_{i}}\right\rangle \) ,则 \( {\bar{x}}_{i} \) 和 \( {\bar{y}}_{i} \) 的原像 \( {x}_{i} \) 和 \( {y}_{i} \) 满足 \( \left\lbrack {{x}_{i},{y}_{i}}\right\rbrack = c \) ,于是 \( {G}_{i} \mathrel{\text{:=}} \left\langle {{x}_{i},{y}_{i}}\right\rangle \) 是 \( {p}^{3} \) 阶非交换群,且对不同的 \( i, j \) ,有 \( \left\lbrack {{G}_{i},{G}_{j}}\right\rbrack = 1 \) . 于是我们得到下面的定理.
定理 7.1.6 设 \( G \) 是有限超特殊 \( p \) 群,则对某个 \( m \) 有 \( \left| G\right| = {p}^{{2m} + 1} \) , 且
\[
G = {G}_{1} * {G}_{2} * \cdots * {G}_{m}
\]
其中 \( {G}_{i} \) 是 \( {p}^{3} \) 阶非交换群.
为了进一步研究超特殊 \( p \) 群,我们区分 \( p = 2 \) 和 \( p > 2 \) 两种情形.
对于 \( p = 2 \) ,我们有下面的引理.
引理 7.1.7 \( {\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{Q}}_{8} \cong {\mathrm{D}}_{8} * {\mathrm{D}}_{8} \) .
证明 设 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}}\right\rangle * \left\langle {{a}_{2},{b}_{2}}\right\rangle \cong {\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{Q}}_{8} \) ,则易验证 \( {b}_{1}{a}_{2} \) 和 \( {a}_{1}{b}_{2} \) 均为 2 阶元,且 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rangle \left\langle {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rangle \) . 又,易验证 \( \left\lbrack {{a}_{1},{a}_{2}}\right\rbrack = \) \( \left\lbrack {{a}_{1},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rbrack = \left\lbrack {{b}_{1}{a}_{2},{a}_{2}}\right\rbrack = \left\lbrack {{b}_{1}{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rbrack = 1 \) ,故 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rangle * \left\langle {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rangle . \) 但 \( \left\lbrack {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rbrack \neq 1,\left\lbrack {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rbrack \neq 1 \) ,于是子群 \( \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rangle \) 和 \( \left\langle {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rangle \) 均同构于 \( {\mathrm{D}}_{8} \) ,引理证毕.
引理 \( {7.1.8}\;{\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{Q}}_{8} \ncong {\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{D}}_{8} \) .
证明 两个群中的 2 阶元个数不同, 从而结论成立. (细节从略, 并作为习题).
于是由定理 7.1.6 和引理 7.1.7, 引理 7.1.8 可推出下列结果.
定理 7.1.9 设 \( G \) 是有限超特殊 2 群,且 \( \left| G\right| = {2}^{{2m} + 1} \) ,则 \( G \) 有两种不同构的类型, 即
\[
G \cong \underset{m\text{ 个 }}{\underbrace{{\mathrm{Q}}_{8} * \cdots * {\mathrm{Q}}_{8}}}\text{ 和 }G \cong \underset{m - 1\text{ 个 }}{\underbrace{{\mathrm{Q}}_{8} * \cdots * {\mathrm{Q}}_{8}}} * {\mathrm{D}}_{8}.
\]
下面假设 \( p > 2 \) . 我们用 \( \mathrm{M} \) 和 \( \mathrm{N} \) 分别表示方次数为 \( {p}^{2} \) 和 \( p \) 的 \( {p}^{3} \) 阶非交换群,即 \( \mathrm{M} = {\mathrm{M}}_{p}\left( {2,1}\right) \) ,而 \( \mathrm{N} = {\mathrm{M}}_{p}\left( {1,1,1}\right) \) . 首先我们有下面的引理.
引理 7.1.10 \( \mathrm{M} * \mathrm{M} \cong \mathrm{M} * \mathrm{N} \) .
证明 设 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}}\right\rangle * \left\langle {{a}_{2},{b}_{2}}\right\rangle \cong \mathrm{M} * \mathrm{M} \) ,其中 \( o\left( {a}_{i}\right) = {p}^{2}, o\left( {b}_{i}\right) = p \) , \( {a}_{i}^{{b}_{i}} = {a}_{i}^{1 + p}, i = 1,2 \) ,于是有 \( {a}_{1}^{p} \in Z\left( G\right) ,{a}_{2}^{p} \in Z\left( G\right) \) . 用 \( {a}_{2} \) 的适当方幂代替 \( {a}_{2} \) ,可令 \( {a}_{1}^{p} = {a}_{2}^{p} \) . 令 \( {x}_{2} = {a}_{2}{a}_{1}^{-1} \) ,则 \( {x}_{2}^{p} = {\left( {a}_{2}{a}_{1}^{-1}\right) }^{p} = 1 \) . 易验证
\[
H \mathrel{\text{:=}} \left\langle {{b}_{2},{x}_{2}}\right\rangle \cong \mathrm{N},\;\text{ 且 }\;G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}}\right\rangle * H \cong \mathrm{M} * \mathrm{N}.
\]
定理 7.1.11 设 \( G \) 是有限超特殊 \( p \) 群, \( p > 2 \) ,且 \( \left| G\right| = {p}^{{2m} + 1} \) ,则 \( G \) 有两种不同构的类型,即
\[
G \cong \underset{m\text{ 个 }}{\underbrace{\mathrm{N} * \cdots * \mathrm{\;N}}}\text{ 和 }G \cong \underset{m - 1\text{ 个 }}{\underbrace{\mathrm{N} * \cdots * \mathrm{\;N}}} * \mathrm{M}.
\]
证明 区分 \( \exp \left( G\right) = p \) 和 \( \exp \left( G\right) = {p}^{2} \) 两种情况,细节从略.
## 习 题
7.1.1. 计算 \( {Q}_{8} * {Q}_{8} \) 和 \( {Q}_{8} * {D}_{8} \) 中的 2 阶元个数,并证明 \( {Q}_{8} * {Q}_{8} \ncong {Q}_{8} * {D}_{8} \) .
7.1.2. 找出超特殊 \( p \) 群交换子群阶的最大值.
## §7.2 Dedekind \( p \) 群
称群 \( G \) 为Dedekind 群,如果它的所有子群均在 \( G \) 中正规. Dedekind [150] (1897) 给出了有限 Dedekind 群的分类, 而 Baer [22] (1933) 则分类了无限 Dedekind 群. 他们证明, Dedekind 群或为交换群, 或为四元数群与无 4 阶元素的交换周期群的直积. (所谓周期群, 指的是没有无限阶元素的群). 这个结果的证明可见 M. Hall [231](1959) 的定理 12.5.4. 我们又称非交换的 Dedekind 群为Hamilton 群.
下面的定理给出了有限 Dedekind \( p \) 群的分类.
定理 7.2.1 设 \( G \) 是有限 Dedekind \( p \) 群,则下列结论之一成立:
(1) \( G \) 交换;
(2) \( p = 2 \) 并且 \( G \cong {\mathrm{Q}}_{8} \times {\mathrm{C}}_{2}^{n} \) ,其中 \( n \) 是非负整数.
证明 若 \( G \) 非交换,取 \( G \) 的一个内交换子群 \( H \) ,则 \( H \) 亦为 Dedekind 群,由定理 2.3.7, \( H \cong {\mathrm{Q}}_{8} \) . 令 \( H = \langle a, b\rangle \) ,则 \( o\left( a\right) = o\left( b\right) = 4 \) , \( {a}^{2} = {b}^{2} \) ,且 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack = {a}^{2} \) . 令 \( C = {C}_{G}\left( H\right) \) ,则 \( C = {C}_{G}\left( {\langle a\rangle }\right) \cap {C}_{G}\left( {\langle b\rangle }\right) \) . 由 \( N/C \) 定理, \( \left| {G : {C}_{G}\left( {\langle a\rangle }\right) }\right| = 2,\left| {G : {C}_{G}\left( {\langle b\rangle }\right) }\right| = 2 \) . 于是 \( \left| {G : C}\right| \leq 4 \) . 又, \( C \cap H = Z\left( H\right) = \left\langle {a}^{2}\right\rangle \) ,故由习题 1.1.1 得 \( {HC} = G \) . 下面证 \( \exp C = 2 \) . 如若不然,有 \( c \in C \) ,使得 \( o\left( c\right) = 4 \) . 因 \( G \) 中 2 阶子群皆正规,故 2 阶元属于中心. 而因 \( {ac} \notin Z\left( G\right) \) ,推出 \( o\left( {ac}\right) = 4 \) . 又因 \( \left\lbrack {{ac}, b}\right\rbrack = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack = {a}^{2} \) , 且 \( \langle {ac}\rangle \trianglelefteq G \) ,有 \( {a}^{2} \in \langle {ac}\rangle \) . 于是得 \( {a}^{2} = {\left( ac\right) }^{2} = {a}^{2}{c}^{2},{c}^{2} = 1 \) ,与 \( o\left( c\right) = 4 \) 矛盾. 这样我们证明了 \( C \) 是初等交换 2 群. 取 \( \left\langle {a}^{2}\right\rangle \) 在 \( C \) 中的补 \( D \) , 则 \( G = H \times D \) ,定理得证.
## 习 题
7.2.1. 如果有限群 \( G \) 的每个子群都是特征子群,证明 \( G \) 为循环群.
## §7.3 具有很多正规子群的 \( p \) 群
作为 Hamilton 群的推广, 很多作者研究在某种意义上来说具有 “很多” 正规子群的有限 \( p \) 群. 本节我们介绍 Passman 的工作. 其它相关的工作见第 12
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1267_[姜伯驹] 同调论
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定义 1.2
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定义 1.2 设 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是空间偶的映射. 链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( X\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( Y\right) \) 把子链复形 \( {S}_{ * }\left( A\right) \) 映入 \( {S}_{ * }\left( B\right) \) ,在商群上诱导的同态 \( \left\{ {{f}_{\# } : {S}_{q}\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{q}\left( {Y, B}\right) }\right\} \) 仍与边缘算子可交换,称为 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 所诱导的相对链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) . 映射 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 所诱导的相对同调的同态 \( {f}_{ * } : {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow \) \( {H}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) ,就是指链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) 所诱导的同调同态 \( {\left( {f}_{\# }\right) }_{ * } : {H}_{ * }\left( {{S}_{ * }\left( {X, A}\right) }\right) \rightarrow {H}_{ * }\left( {{S}_{ * }\left( {Y, B}\right) }\right) \) .
这样, 我们得到从拓扑空间偶的范畴到链复形的范畴的相对链函子 \( {S}_{ * } \) : \{空间偶,映射\} \( \rightarrow \) \{链复形,链映射 \} 和到分次 Abel 群范畴的相对同调函子 \( {H}_{ * } : \{ \) 空间偶,映射 \( \} \rightarrow \{ \) 分次群,同态 \( \} \) .
单个的拓扑空间 \( X \) 也可以看成一个空间偶 \( \left( {X,\varnothing }\right) \) ,所以空间的范畴 \{空间, 映射\} 可以看成空间偶范畴 \{空间偶, 映射\} 的子范畴. 我们现在做的, 就是把奇异链、奇异同调等等从空间推广到空间偶.
注记 1.1 相对链复形 \( {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \) 的基是集合 \( \{ X \) 中奇异单形 \( \} \) 减去 \( \{ A \) 中奇异单形 \( \} \) ,所以一个链 \( {\bar{c}}_{q} \in {S}_{q}\left( {X, A}\right) \) 也可以看成 \( X \) 上的链,但是忽略 (不去注意) 它在 \( A \) 中奇异单形上的系数. 它在 \( \left( {X, A}\right) \) 的边缘 \( {\partial }^{\left( X, A\right) }{\bar{c}}_{q} \) ,是从它在 \( X \) 上的边缘 \( {\partial }^{X}{\bar{c}}_{q} \) 忽略其在 \( A \) 中奇异单形上的部分而得,所以 \( {\bar{c}}_{q} \) 是相对闭链当且仅当它在 \( X \) 上的边缘 \( {\partial }^{\left( X, A\right) }{\bar{c}}_{q} \) 整个落在 \( A \) 中.
映射 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 诱导的链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) , 是把链 \( {\bar{c}}_{q} \in {S}_{q}\left( {X, A}\right) \) 先看成 \( X \) 上的链映到 \( Y \) 上的链 \( {f}_{\# }^{X}\left( {\bar{c}}_{q}\right) \) ,然后把其在 \( B \) 中奇异单形上的部分略去.
习题 1.1 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶. 设 \( X = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{X}_{\lambda } \) 是 \( X \) 的道路连通支分解, \( {A}_{\lambda } = A \cap {X}_{\lambda } \) . 证明: 有直和分解
\[
{H}_{ * }\left( {X, A}\right) = {\bigoplus }_{\lambda \in \Lambda }{H}_{ * }\left( {{X}_{\lambda },{A}_{\lambda }}\right)
\]
思考题 1.2 在每个维数 \( q \) 有链群的直和分解 \( {S}_{q}\left( X\right) = {S}_{q}\left( A\right) \oplus \) \( {S}_{q}\left( {X, A}\right) \) . 我们能不能说有链复形的直和分解 \( {S}_{ * }\left( X\right) = {S}_{ * }\left( A\right) \oplus {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \) 从而有同调群的直和分解 \( {H}_{ * }\left( X\right) = {H}_{ * }\left( A\right) \oplus {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \) ?
从以上的定义知道,对于空间偶 \( \left( {X, A}\right) \) 总有链复形的短正合序列
\[
0 \rightarrow {S}_{ * }\left( A\right) \overset{{i}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( X\right) \overset{{j}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow 0,
\]
其中 \( i : A \rightarrow X \) 和 \( j : \left( {X,\varnothing }\right) \rightarrow \left( {X, A}\right) \) 都是含入映射. 对于空间偶的映射 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 总有链复形与链映射的交换图表
\[
0 \rightarrow {S}_{ * }\left( A\right) \overset{{i}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( X\right) \overset{{j}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow 0
\]
\[
\left\lbrack \begin{array}{lll} {f}_{\# } & {f}_{\# } & {f}_{\# } \end{array}\right\rbrack
\]
\[
0 \rightarrow {S}_{ * }\left( B\right) \overset{{i}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( Y\right) \overset{{j}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \rightarrow 0
\]
所以我们有
定理 1.2 (空间偶的同调序列) 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶. 则下面的同调序列
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( X\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {X, A}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }\cdots
\]
是正合的.
与单个空间不同的是, 对于空间偶的 “简约” 相对同调没有给出新的东西,因为两个商链复形 \( {S}_{ * }\left( X\right) /{S}_{ * }\left( A\right) \) 与 \( {\widetilde{S}}_{ * }\left( X\right) /{\widetilde{S}}_{ * }\left( A\right) \) 完全相同. 把定理 1.2 中的同调群都换成简约同调群, 所得的 “简约同调序列” 仍是正合的. 也就是说, 有
推论 1.3 (空间偶的简约同调序列) 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶. 则有下面的正合同调序列
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{\widetilde{H}}_{q}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{\widetilde{H}}_{q}\left( X\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {X, A}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{\widetilde{H}}_{q - 1}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }\cdots .
\]
注记 1.4 空间偶同调序列中的边缘同态
\[
{\partial }_{ * } : {H}_{q}\left( {X, A}\right) \rightarrow {H}_{q - 1}\left( A\right)
\]
可以描述如下 (参看图 2.1). 设相对闭链 \( \bar{z} \in {Z}_{q}\left( {X, A}\right) \) 是同调类 \( \left\lbrack \bar{z}\right\rbrack \in \) \( {H}_{q}\left( {X, A}\right) \) 的代表. 则 \( \bar{z} \) 作为 \( \left( {X, A}\right) \) 的奇异链,可以看作 \( X \) 上的奇异链 (在 \( A \) 中奇异单形的系数随便取); 而作为相对闭链,它在 \( X \) 上的边缘 \( {\partial }^{X}\bar{z} \) 必须落在 \( A \) 中. 容易看出 \( {\partial }^{X}\bar{z} \in {Z}_{q - 1}\left( A\right) \) ,因为 \( {\partial }^{A}\left( {{\partial }^{X}\bar{z}}\right) = {\partial }^{X}\left( {{\partial }^{X}\bar{z}}\right) = 0 \) . 同调类 \( \left\lbrack {{\partial }^{X}\bar{z}}\right\rbrack \in {H}_{q - 1}\left( A\right) \) 就是 \( {\partial }_{ * }\left( \left\lbrack \bar{z}\right\rbrack \right) \) .
图 2.1 空间偶同调序列中的边缘同态
例 1.1 设 \( {x}_{0} \) 是空间 \( X \) 的一个点. 则 \( {H}_{ * }\left( {X,{x}_{0}}\right) \cong {\widetilde{H}}_{ * }\left( X\right) \) .
例 1.2 相对同调群
\[
{H}_{q}\left( {{D}^{n},{S}^{n - 1}}\right) \cong {\widetilde{H}}_{q - 1}\left( {S}^{n - 1}\right) \cong \left\{ \begin{array}{ll} \mathbf{Z}, & \text{ 当 }q = n, \\ 0, & \text{ 当 }q \neq n. \end{array}\right.
\]
定理 1.5 (空间偶同调序列的自然性) 设 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是空间偶的映射. 则有下面的交换图表:
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( X\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {X, A}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }\cdots
\]
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( B\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( Y\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {Y, B}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( B\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }.
\]
定理 1.6 (同伦不变性) 同伦的映射 \( f \simeq g : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 诱导相同的同调同态 \( {f}_{ * } = {g}_{ * } : {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {H}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) .
证明 设 \( F : \left( {X \times I, A \times I}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是联结 \( f, g \) 的同伦. 请读者重温上一章定理 3.8 的证明, 把它相对化. 关键的地方是, 当时在 (B) 段中构作的链同伦 \( P : {S}_{q}\left( X\right) \rightarrow {S}_{q + 1}\left( {X \times I}\right) \) 同时把 \( {S}_{q}\left( A\right) \) 映入 \( {S}_{q + 1}\left( {A \times I}\right) \) ,所以给出相对链同伦 \( P : {\iota }_{0\# } \simeq {\iota }_{1\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow \) \( {S}_{ * }\left( {X \times I, A \times I}\right) \) .
推论 1.7 (同伦型不变性) 设拓扑空间偶 \( \left( {X, A}\right) \) 与 \( \left( {Y, B}\right) \) 有相同的同伦型, \( \left( {X, A}\right) \simeq \left( {Y, B}\right) \) . 则它们的相对同调群同构, \( {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \cong \) \( {H}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) .
## 1.2 切除定理
定理 1.8 (切除定理) 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶,子集 \( W \subset A \) 使 \( \bar{W} \subset \operatorname{Int}A \) . 则含入映射 \( i : \left( {X - W, A - W}\right) \rightarrow \left( {X, A}\right) \) 诱导相对同调群的同构
\[
{i}_{ * } : {H}_{ * }\left( {X - W, A - W}\right) \overset{ \cong }{ \rightarrow }{H}_{ * }\left( {X, A}\right) .
\]
定理的名称可以从图 2.2 去体会: 从 \( X \) 与 \( A \) 中同时把 \( W \) 切去. 其实,换一个角度,这定理是下面定理的推论. (把 \( X - W \) 改写成 \( {X}_{1} \) ,把 \( A \) 改写成 \( {X}_{2} \) ,则 \( \operatorname{Int}{X}_{1} \cup \operatorname{Int}{X}_{2} = X \) ,所以根据上一章定理 \( {3.13},\left\{ {{X}_{1},{X}_{2}}\right\} \) 是 Mayer-Vietoris 耦.)
图 2.2 切除定理
定理 1.9 设 \( {X}_{1},{X}_{2} \) 是 \( X \) 的子空间. 那么, \( \left\{ {{X}_{1},{X}_{2}}\right\} \) 是 Mayer-Vietoris 耦的充分必要条件是,含入映射 \( i : \left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \rightarrow \left( {{X}_{1} \cup }\right. \) \( \left. {{X}_{2},{X}_{2}}\right) \) 诱导相对同调群的同构
\[
{i}_{ * } : {H}_{ * }\left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \overset{ \cong }{ \rightarrow }{H}_{ * }\left( {{X}_{1} \cup {X}_{2},{X}_{2}}\right) .
\]
证明 为排版方便起见,记 \( {S}_{ + }\left( X\right) \mathrel{\text{:=}} {S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) + {S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) \) . 注意,商链复形 \( {S}_{ + }\left( X\right) /{S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) = {S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) /{S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) \cap {S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) = {S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) /{S}_{ * }\left( {{X}_{1} \cap }\right. \) \( \left. {X}_{2}\right) = {S}_{ * }\left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \) . 在链复形偶 \( \left( {{S}_{ + }\left( X\right) ,{S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) }\right) \) 的正合同调序列中作这个替换, 我们得到正合序列的交换图表
\[
\rightarrow {H}_{q}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{S}_{ + }\left( X\right) }\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow
\]
\[
\rightarrow {H}_{q}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{X}_{1} \cup {X}_{2}}\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{X}_{1} \cup {X}_{2},{X}_{2}}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow
\]
其中没有标记的箭头都是含入映射所诱导. 然后用 “五引理” 就得到本定理的
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1351_[陈天权] 数学分析讲义3
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定义 11.6.7
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定义 11.6.7 设 \( M \) 是个局部紧的度量空间, \( G \) 是 \( M \) 中的一个开集. \( M \) 上具有紧支集的实值连续函数 \( c \) 称为 \( G \) 的一个容许函数,假若它满足以下两个条件:
(i) supp \( c \subset G \) ;
(ii) \( \forall x \in M\left( {c\left( x\right) \leq 1}\right) \) .
\( G \) 的全体容许函数组成的集合记做 \( \mathcal{A}\left( G\right) \) . 对应于正线性泛函 \( l \) 的开集 \( G \) 的体积 \( V\left( G\right) \) 定义为
\[
V\left( G\right) = \mathop{\sup }\limits_{{c \in \mathcal{A}\left( G\right) }}l\left( c\right)
\]
定理 11.6.4 开集的体积 \( V\left( G\right) \) 具有以下性质:
(i) 空集的体积为零: \( V\left( \varnothing \right) = 0 \) .
(ii) 体积 \( V \) 是单调集函数: 若 \( G \) 和 \( H \) 是开集,且 \( G \subset H \) ,则 \( V\left( G\right) \leq V\left( H\right) \) .
(iii) 体积 \( V \) 是次可数可加的: 若 \( {G}_{n} \) 是可数个开集,则
\[
V\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{G}_{n}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }V\left( {G}_{n}\right)
\]
(iv) 体积 \( V \) 是可数可加的: 若 \( {G}_{n} \) 是可数个两两不相交的开集,则
\[
V\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{G}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }V\left( {G}_{n}\right)
\]
(v) 假若开集 \( G \) 的体积有限: \( V\left( G\right) < \infty \) ,则对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,必有紧集 \( K \subset G \) ,使得 \( K \) 在 \( G \) 中的余集的体积 \( V\left( {G \smallsetminus K}\right) < \varepsilon \) .
为了证明这个定理, 我们需要如下的引理:
引理 11.6.1 设 \( c \in {C}_{0}\left( M\right) \) 是 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{N}{G}_{n} \) 的容许函数,其中 \( \left\{ {{G}_{1},\cdots ,{G}_{N}}\right\} \) 是有限个开集,则函数 \( c \) 有以下表示:
\[
c = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{c}_{n}
\]
(11.6.11)
其中 \( {c}_{n} \in \mathcal{A}\left( {G}_{n}\right), n = 1,\cdots, N \) .
证 对于任何 \( x \in \operatorname{supp}c \) ,有一个 \( n \in \{ 1,\cdots, N\} \) ,使得 \( x \in {G}_{n} \) . 因 \( {G}_{n} \) 是开集,有 \( {\varepsilon }_{x} > 0 \) ,使得以 \( x \) 为球心, \( {\varepsilon }_{x} \) 为半径的开球 \( \mathbf{B}\left( {x,{\varepsilon }_{x}}\right) \subset {G}_{n} \) . 对于每个 \( x \in \operatorname{supp}c \) 构造 \( M \) 上的函数 \( {b}_{x} \) 如下: 对于一切 \( y \in M \) ,令
\[
{b}_{x}\left( y\right) = {\left\lbrack {\varepsilon }_{x}/2 - \rho \left( y, x\right) \right\rbrack }^{ + } = \left\{ \begin{array}{ll} {\varepsilon }_{x}/2 - \rho \left( {y, x}\right) , & \text{ 若 }\rho \left( {y, x}\right) < {\varepsilon }_{x}/2, \\ 0, & \text{ 若 }\rho \left( {y, x}\right) \geq {\varepsilon }_{x}/2. \end{array}\right.
\]
易见,如上定义的函数 \( {b}_{x} \) 具有以下三条性质:
(1) \( {b}_{x} \) 在 \( M \) 上非负连续;
(2) \( \forall x \in \operatorname{supp}c\left( {{b}_{x}\left( x\right) > 0}\right) \) ;
(3) \( \forall x \in \operatorname{supp}c\exists n \in \{ 1,\cdots, N\} \left( {\operatorname{supp}{b}_{x} \subset {G}_{n}}\right) \) .
记 \( {O}_{x} = \left\{ {y \in M : {b}_{x}\left( y\right) > 0}\right\} ,{O}_{x} \) 是开集,且
\[
\operatorname{supp}c \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{x \in \operatorname{supp}c}}{O}_{x}
\]
因 \( \operatorname{supp}c \) 紧,有有限个点 \( {x}_{j}\left( {j = 1,\cdots, K}\right) \) ,使得
\[
\operatorname{supp}c \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 1}}^{K}{O}_{{x}_{j}}
\]
因而
\[
\forall y \in \operatorname{supp}c\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{K}{b}_{{x}_{j}}\left( y\right) > 0}\right) .
\]
把所有支集包含在 \( {G}_{n} \) 内的 \( {b}_{{x}_{j}} \) 之和记为 \( {b}_{n} \) . 显然,在 \( c \) 的支集上我们有 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n} > 0 \) . 令
\[
{c}_{n}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{b}_{n}\left( x\right) c\left( x\right) }{N}, & \text{ 若 }x \in \operatorname{supp}c, \\ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n}\left( x\right) & \\ 0, & \text{ 若 }x \notin \operatorname{supp}c, \end{array}\right.
\]
易见 \( {c}_{n} \) 在 \( M \) 上连续, \( 0 \leq {c}_{n} \leq 1 \) ,且 supp \( {c}_{n} \subset {G}_{n} \) ,换言之, \( {c}_{n} \) 是 \( {G}_{n} \) 的容许函数. 另一方面,易见 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{c}_{n} = c \) . 引理证毕.
注 请将以上的引理与 \( §{8.6} \) 的单位分解定理相比较: \( §{8.6} \) 中的讨论是在 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 上进行的,而我们这里是在局部紧度量空间 \( M \) 上进行的. §8.6 中研究的是可微函数的分解, 而我们这里研究的是连续函数的分解.
定理 11.6.4 的证明 (i) 和 (ii) 是显然的. 今证明 (iii) 如下: 设 \( c \) 是 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{G}_{n} \) 的容许函数,因 \( c \) 是紧支集的,必有 \( N \in \mathbf{N} \) ,使得 \( c \) 是 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{N}{G}_{n} \) 的容许函数. 由引理 11.6.1,有 \( {G}_{n} \) 的容许函数 \( {c}_{n}\left( {n = 1,\cdots, N}\right) \) ,使得方程 (11.6.11) 成立. 故有
\[
l\left( c\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}l\left( {c}_{n}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}V\left( {G}_{n}\right)
\]
因而
\[
V\left( G\right) = \mathop{\sup }\limits_{{c \in \mathcal{A}\left( G\right) }}l\left( c\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}V\left( {G}_{n}\right) .
\]
(iv) 给定了任何自然数 \( N \) ,对于任何自然数 \( n \leq N \) ,有 \( {G}_{n} \) 的容许函数 \( {c}_{n} \) , 使得
\[
V\left( {G}_{n}\right) - \frac{1}{{N}^{2}} \leq l\left( {c}_{n}\right)
\]
(11.6.12)
因 \( {G}_{n} \) 两两不相交, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{c}_{n} \) 是 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{N}{G}_{n} \) 的容许函数,故
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}l\left( {c}_{n}\right) = l\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{c}_{n}}\right) \leq V\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{N}{G}_{n}}\right) .
\]
注意到不等式 (11.6.12), 有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}V\left( {G}_{n}\right) - \frac{1}{N} \leq V\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{N}{G}_{n}}\right)
\]
让 \( N \rightarrow \infty \) ,便有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }V\left( {G}_{n}\right) \leq V\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{G}_{n}}\right)
\]
注意到 \( V \) 的次可数可加性,(iv) 证毕.
(v) 既然 \( V\left( G\right) < \infty \) ,则对于给定的 \( \varepsilon > 0 \) ,有 \( c \in \mathcal{A}\left( G\right) \) ,使得
\[
V\left( G\right) - \frac{\varepsilon }{2} \leq l\left( c\right) \leq V\left( G\right)
\]
记 \( K = \operatorname{supp}c \) ,显然, \( K \) 是紧集而 \( G \smallsetminus K \) 是开集. 假设 \( {c}_{1} \in \mathcal{A}\left( {G \smallsetminus K}\right) \) ,则 \( c + {c}_{1} \in \mathcal{A}\left( G\right) \) . 故有 \( l\left( {c + {c}_{1}}\right) \leq V\left( G\right) \) ,换言之, \( l\left( {c}_{1}\right) \leq V\left( G\right) - l\left( c\right) < \frac{\varepsilon }{2} \) . 所以, 我们有
\[
V\left( {G \smallsetminus K}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{{c}_{1} \in \mathcal{A}\left( {G \smallsetminus K}\right) }}l\left( {c}_{1}\right) \leq \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon .
\]
定理 11.6.5 (关于开集体积的 Chebyshev 不等式) 设 \( h \) 是个 \( M \) 上的非负连续函数, \( a \) 是个非负实数. 记 \( {G}_{a} = \{ x \in M : h\left( x\right) > a\} \) ,则
\[
V\left( {G}_{a}\right) \leq \frac{1}{a}l\left( h\right)
\]
证 我们先证明以下不等式: 对于任何 \( {G}_{a} \) 的容许函数 \( {c}_{a} \) ,有
\[
\forall x \in M\left( {{c}_{a}\left( x\right) \leq \frac{1}{a}h\left( x\right) }\right) .
\]
(11.6.13)
理由是: 当 \( x \notin {G}_{a} \) 时, \( {c}_{a}\left( x\right) = 0 \) 而 \( \frac{1}{a}h\left( x\right) \geq 0 \) ,以上不等式当然成立. 当 \( x \in {G}_{a} \) 时, \( \frac{1}{a}h\left( x\right) > 1 \) 而 \( {c}_{a}\left( x\right) \leq 1 \) ,以上不等式也成立. (11.6.13) 证得. 因 \( l \) 是正线性泛函, 故
\[
l\left( {c}_{a}\right) \leq \frac{1}{a}l\left( h\right)
\]
由此
\[
V\left( {G}_{a}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{{c}_{a} \in \mathcal{A}\left( {G}_{a}\right) }}l\left( {c}_{a}\right) \leq \frac{1}{a}l\left( h\right) .
\]
下面我们引进一个与正线性泛函 \( l \) 有关的外测度.
定义 11.6.8 设 \( S \subset M \) ,则 \( S \) (相对于正线性泛函 \( l \) ) 的 \( l \) -外测度定义为
\[
{\mu }^{ * }\left( S\right) = \mathop{\inf }\limits_{{\text{ 开集 }G \supset S}}V\left( G\right)
\]
若集合 \( N \subset M \) 的 \( l \) -外测度 \( {\mu }^{ * } \) 为零: \( {\mu }^{ * }\left( N\right) = 0 \) ,则称 \( N \) 为 \( \mu \) -零集(当 \( \mu \) 由上下文已不言自明时, 简称零集).
注 这里引进外测度的方法就是引理 9.3.1 引进外测度的方法: 这是因为开集之并仍是开集, 而开集之体积有次可加性, 故
\[
\mathop{\inf }\limits_{{\text{ 开集 }G \supset S}}V\left( G\right) = \mathop{\inf }\limits_{\substack{{{ \cup }_{n = 1}^{\infty }{G}_{n} \supset S} \\ {{G}_{n}\text{ 是开集 }} }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }V\left( {G}_{n}\right) .
\]
由定义 11.6.8 及体积 \( V \) 的单调性: 开集 \( {G}_{1} \subset \) 开集 \( {G}_{2} \Rightarrow V\left( {G}_{1}\right) \leq V\left( {G}_{2}\right) \) , 对于开集 \( G \) ,我们有 \( {\mu }^{ * }\left( G\right) = V\left( G\right) \) .
由引理 9.3.1,以上定义的 \( l \) -外测度 \( {\mu }^{ * } \) 是定义 9.3.1 意义下的外测度. 由这个外测度出发,可以用定义 9.4.1 (Carathéodory 的) 方法构筑 \( {\mu }^{ * } \) -可测集构成的 \( \sigma \) -代数及在这个 \( \sigma \) -代数上的测度 \( \mu \) . 换言之,第 9 章的测度理论中的定理 9.4.1(Carathéodory 定理) 可以用到这里来. 应注意的是: \( M \) 的全体开集并不构成代数, 故定理 9.4.2 并不能直接用上. 不过, 我们有以下定理:
定理 11.6.6 如上定义的 (相对于正线性泛函 \( l \) ) 的 \( l \) -外测度是度量外测度.
证 设 \( {S}_{1} \) 和 \( {S}_{2} \) 是 \( M \) 中的两个完全分离的集合,记
\[
\varepsilon = \mathop{\inf }\limits_{\substack{{x \in {S}_{1}} \\ {y \in {S}_{2}} }}\rho \left( {x, y}\right) > 0.
\]
令
\[
{G}_{i} = \left\{ {x \in M : \mathop{\inf }\limits_{{y \in {S}_{i}}}\rho \left( {x, y}\right) < \varepsilon /2}\right\} ,\;i = 1,2.
\]
易见, \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 是互不相交的两个开集. 由外测度的定义,对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,有 \( M \) 中的开集 \( O \supset {S}_{1} \cup {S}_{2} \) ,使得
\[
{\mu }^{ * }\left( {{S}_{1} \cup {S}_{2}}\right) \geq V\left( O\right) - \varepsilon .
\]
由此,
\[
{\mu }^{ * }\left( {{S}_{1} \cup {S}_{2}}\right) \geq V\left( {O \cap \left( {{G}_{1} \cup {G}_{2}}\right) }\right) - \varepsilon ,\;i = 1,2.
\]
由开集体积的可加性, 我们有
\[
{\mu }^{ * }\left( {S}_{1}\right) + {\mu }^{ * }\left( {S}_{2}\right) \leq V\left( {O \cap {G}_{1}}\right) + V\left( {O \cap {G}_{2}}\right)
\]
\[
= V\left( {O \cap \left( {{G}_{1} \cup {G}_{2}}\right) }\right) \leq {\mu }^{ * }\left( {{S}_{1} \cup {S}_{2}}\right) + \varepsilon .
\]
由 \( \varepsilon \) 的任意性,定理证毕.
这样, 第 9 章中关于度量外测度的结果, 特别是定理 9.5.1, 可以搬到这里来. 所以我们有以下的推论:
推论 11.6.1 假设局部紧度量空间 \( M \) 上给了一个正线性泛函 \( l \) ,相对于正线性泛函 \( l \) 用定义 11.6.8 的方法产生了 \( l \) -外测度 \( {\mu }^{ * } \) ,再用测度理论中的定理 9.4.1(Carathéodory 定理) 的方法产生测度 \( \mu \) 及相应的可测集类,则 \( M \) 中的 Borel 集皆 \( \mu \) 可测.
第 9 章中用开集和紧集夹住可测集的方法刻画可测集的定理 9.5.2 是只对 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 上的 Lebesgue-Stieltjes 测度表述的,现在我们可以将它推广为以下形式:
定理 11.6.7 局部紧度量空间 \( M \) 上给了一个正线性泛函 \( l \) . 假设 \( S \subset M \) 相对于 \( l \) -外测度 \( {\mu }^{ * } \) 是可测的,且集合 \( S \) 的闭包 \( \bar{S} \) 的 \( \mu \) 测度是有限的,则对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,有开集 \( U \) 和紧集 \( K \) ,使得 \( K \subset S \subset U
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1990_实用数学手册
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定义 4
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定义 4 设有界闭区域 \( D\left( {D \subset {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 由连续曲线
\[
x = {\psi }_{1}\left( y\right), x = {\psi }_{2}\left( y\right) \;\left( {\forall y \in \left\lbrack {c, d}\right\rbrack ,{\psi }_{1}\left( y\right) < {\psi }_{2}\left( y\right) }\right)
\]
以及直线 \( y = c, y = d\left( {c < d}\right) \) 所围成,则称 \( D \) 为 \( y \) 型区域.
图 6. 6-1
图 6. 6-2
定理 4 设 \( f \) 在 \( y \) 型区域 \( D \) 上连续,则
\[
{\iint }_{D}f\left( {x, y}\right) {dA} = {\iint }_{D}f\left( {x, y}\right) {dxdy} = {\int }_{c}^{d}{dy}{\int }_{{\psi }_{1}\left( y\right) }^{{\psi }_{2}\left( y\right) }f\left( {x, y}\right) {dx}.
\]
\( \left( {{6.6} - 2}\right) \)
## 3. 二重积分的变量替换
设 \( {1}^{ \circ }x\left( {u, v}\right), y\left( {u, v}\right) \) 都在 \( {O}^{\prime }{uv} \) 平面的某开集 \( {G}^{ * } \) 内具有连续的一阶偏导数; \( {2}^{ \circ } \) 雅可比行列式 \( \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {u, v}\right) } \) 在 \( {G}^{ * } \) 内恒不为零; 则变换
\[
T : x = x\left( {u, v}\right) ,\;y = y\left( {u, v}\right) \left( {\left( {u, v}\right) \in {G}^{ * }}\right)
\]
把 \( {G}^{ * } \) 一对一地变成 \( {Oxy} \) 平面的点集 \( G = T\left( {G}^{ * }\right) .T\left( {G}^{ * }\right) \) 是 \( {G}^{ * } \) 在变换 \( T \) 之下的象集.
定理 5 设 \( {D}^{ * } \) 是 \( {G}^{ * } \) 中的有界闭区域, \( D = T\left( {D}^{ * }\right) \) ,如果 \( f\left( {x, y}\right) \) 在 \( D \) 上连续,则
\[
{\iint }_{D}f\left( {x, y}\right) {dxdy} = {\iint }_{{D}^{ * }}f\left( {x\left( {u, v}\right), y\left( {u, v}\right) }\right) \left| \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {u, v}\right) }\right| {dudv}.
\]
\( \left( {{6.6} - 3}\right) \)
在 (6.6-3) 中,当 \( f\left( {x, y}\right) \equiv 1,\left( {x, y}\right) \in T\left( {D}^{ * }\right) \) ,有
\[
\operatorname{Area}\left( {T\left( {D}^{ * }\right) }\right) = {\iint }_{{D}^{ * }}\left| \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {u, v}\right) }\right| {dudv}
\]
\[
= {\left| \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {u, v}\right) }\right| }_{\left( \bar{u},\bar{v}\right) } \cdot \operatorname{Area}\left( {D}^{ * }\right) ,\left( {\bar{u},\widetilde{v}}\right) \in {D}^{ * }.
\]
当 \( {D}^{ * } \) 含有点 \( \left( {u, v}\right) \) ,且 \( d\left( {D}^{ * }\right) \rightarrow 0 \) 时,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{d\left( {D}^{ * }\right) \rightarrow 0}}\frac{\operatorname{Area}\left( {T\left( {D}^{ * }\right) }\right) }{\operatorname{Area}\left( {D}^{ * }\right) } = \left| \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {u, v}\right) }\right| .
\]
称 \( \left| \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {u, v}\right) }\right| \) 为 \( {O}_{uv} \) 平面到 \( {Oxy} \) 平面的映射 \( T \) 在点 \( \left( {u, v}\right) \) 的面积延伸系数.
例 1
\[
\left\{ \begin{array}{l} x = \rho \cos \varphi ,0 < \rho < + \infty ,0 \leq \varphi \leq {2\pi }; \\ y = \rho \sin \varphi . \end{array}\right.
\]
这里 \( \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {\rho ,\varphi }\right) } = \left| \begin{matrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{matrix}\right| = \rho \) ,于是
\[
{\iint }_{D}f\left( {x, y}\right) {dxdy} = {\iint }_{{D}^{ * }}f\left( {\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi }\right) {\rho d\rho d\varphi }.
\]
\( \left( {{6.6} - 4}\right) \)
(6. 6-4) 式就是二重积分在极坐标系下的计算公式.
## 6. 6.2 三重积分
## 1. 三重积分的概念
定义 5 设 \( f \) 是有界闭区域 \( \Omega \left( {\Omega \in {\mathbf{R}}^{3}}\right) \) 上的有界函数. 用分片光滑的曲面网把 \( \Omega \) 划分为 \( n \) 个子区域 \( {\Omega }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,称它为 \( \Omega \) 的一个划分 \( P \) . 用 \( \Delta {V}_{i} \) 表示 \( {\Omega }_{i} \) 的体积 \( \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) . 记 \( \lambda = \mathop{\max }\limits_{{1 \leq i \leq n}}\left\{ {d\left( {\Omega }_{i}\right) }\right\} \) ,其中
\[
d\left( {\Omega }_{i}\right) = \sup \left\{ {\parallel x - y\parallel : x, y \in {\Omega }_{i}}\right\} .
\]
取 \( {\xi }_{i} \in {\Omega }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,称 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {\xi }_{i}\right) \cdot \Delta {V}_{i} \) 为 \( f \) 的黎曼和. 如果存在一个实数 \( I \) , \( \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0 \) ,对 \( \Omega \) 的任何划分 \( P \) 以及 \( {\xi }_{i} \) 在 \( {\Omega }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 上的任意选取,只要 \( \lambda < \delta \) ,就有 \( \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {\xi }_{i}\right) \cdot \Delta {V}_{i} - I}\right| < \varepsilon \) ,则称 \( f \) 在 \( \Omega \) 上黎曼可积,简称可积. 称 \( I \) 为 \( f \) 在 \( \Omega \) 上的三重黎曼积分,简称三重积分,记为
\[
I = {\iiint }_{\Omega }f\left( {x, y, z}\right) {dV}.
\]
定理 6 有界闭区域 \( \Omega \left( {\Omega \subset {\mathbf{R}}^{3}}\right) \) 上的连续函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上可积.
定理 7 若 \( f \) 在有界闭区域 \( \Omega \left( {\Omega \subset {\mathbf{R}}^{3}}\right) \) 上连续,则至少存在一点 \( \xi \in \Omega \) ,使
\[
{\iiint }_{\Omega }f\left( {x, y, z}\right) {dV} = f\left( \xi \right) \cdot \operatorname{Vol}\left( \Omega \right) .
\]
式中 \( \operatorname{Vol}\left( \Omega \right) \) 表示 \( \Omega \) 的体积.
2. 三重积分在直角坐标系下的计算公式
设空间有界闭区域 \( \Omega \) 表示为
\[
\left\{ \begin{array}{l} {z}_{1}\left( {x, y}\right) \leq z \leq {z}_{2}\left( {x, y}\right) , \\ {y}_{1}\left( x\right) \leq y \leq {y}_{2}\left( x\right) , \\ a \leq x \leq b, \end{array}\right.
\]
\( \left( {{6.6} - 5}\right) \)
\( {y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数. 在 \( {Oxy} \) 平面上,由
\[
y = {y}_{1}\left( x\right), y = {y}_{2}\left( x\right) ,\;x = a,\;x = b
\]
所围成的平面区域记为 \( {\sigma }_{xy},{z}_{1}\left( {x, y}\right) ,{z}_{2}\left( {x, y}\right) \) 是 \( {\sigma }_{xy} \) 上的连续函数.
图 6. 6-3
定理 8 若 \( f \) 在由 (6.6-5) 所表示的有界闭区域 \( \Omega \) 上连续,则
\[
{\iiint }_{\Omega }f\left( {x, y, z}\right) {dV} = {\iiint }_{\Omega }f\left( {x, y, z}\right) {dxdydz}
\]
\[
= {\iint }_{\sigma xy}{dxdy}{\int }_{{z}_{1}\left( {x, y}\right) }^{{z}_{2}\left( {x, y}\right) }f\left( {x, y, z}\right) {dz}
\]
\[
= {\int }_{a}^{b}{dx}{\int }_{{y}_{1}\left( x\right) }^{{y}_{2}\left( x\right) }{dy}{\int }_{{z}_{1}\left( {x, y}\right) }^{{z}_{2}\left( {x, y}\right) }f\left( {x, y, z}\right) {dz}.
\]
\( \left( {{6.6} - 6}\right) \)
这里,将三重积分化为先对 \( z \) 再对 \( y \) 最后对 \( x \) 的累次积分.
类似地, 三重积分也可按别的次序化为累次积分.
## 3. 三重积分的变量替换
设 \( {1}^{ \circ }x\left( {u, v, w}\right), y\left( {u, v, w}\right), z\left( {u, v, w}\right) \) 都在 \( {O}^{\prime }{uvw} \) 空间的某开集 \( {G}^{ \circ } \) 内具有连续的一阶偏导数; \( {2}^{ \circ } \) 雅可比行列式 \( \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) } \) 在 \( {G}^{ \bullet } \) 内恒不为零; 则变换 \( T \) :
\[
x = x\left( {u, v, w}\right), y = y\left( {u, v, w}\right), z = z\left( {u, v, w}\right) ,\left( {u, v, w}\right) \in {G}^{ * },
\]
把 \( {G}^{ * } \) 一对一地变成 \( {Oxyz} \) 空间的点集 \( G = T\left( {G}^{ * }\right) .T\left( {G}^{ * }\right) \) 是 \( {G}^{ * } \) 在变换 \( T \) 之下的象集.
定理 9 设 \( {\Omega }^{ * } \) 是 \( {G}^{ * } \) 中的有界闭区域, \( \Omega = T\left( {\Omega }^{ * }\right) \) ,如果 \( f\left( {x, y, z}\right) \) 在 \( \Omega \) 上连续, 则
\[
{\iiint }_{\Omega }f\left( {x, y, z}\right) {dxdydz}
\]
\[
= {\iiint }_{{\Omega }^{ * }}f\left( {x\left( {u, v, w}\right), y\left( {u, v, w}\right), z\left( {u, v, w}\right) }\right) \cdot \left| \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) }\right| {dudvdw}.
\]
\( \left( {{6.6} - 7}\right) \)
在 \( \left( {{6.6} - 7}\right) \) 中,当 \( f\left( {x, y, z}\right) \equiv 1,\left( {x, y, z}\right) \in T\left( {\Omega }^{ * }\right) \) ,有
\[
\operatorname{Vol}\left( {T\left( {\Omega }^{ * }\right) }\right) = {\iiint }_{{\Omega }^{ * }}\left| \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) }\right| {dudvdw}
\]
\[
= {\left| \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) }\right| }_{\left( a,\widetilde{v},\widetilde{w}\right) } \cdot \operatorname{Vol}\left( {\Omega }^{ * }\right) ,\left( {\widetilde{u},\widetilde{v},\widetilde{w}}\right) \in {\Omega }^{ * }
\]
当 \( {\Omega }^{ * } \) 含有点 \( \left( {u, v, w}\right) \) ,且 \( d\left( {\Omega }^{ * }\right) \rightarrow 0 \) 时,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{d\left( {\Omega }^{ * }\right) \rightarrow 0}}\frac{\operatorname{Vol}\left( {T\left( {\Omega }^{ * }\right) }\right) }{\operatorname{Vol}\left( {\Omega }^{ * }\right) } = \left| \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) }\right| .
\]
称 \( \left| \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) }\right| \) 为 \( {O}^{\prime }{uvw} \) 空间到 \( {Oxyz} \) 空间的映射 \( T \) 在点 \( \left( {u, v, w}\right) \) 的体积延伸系数.
例 2
\[
\left\{ \begin{array}{l} x = \rho \cos \varphi ,\;0 < \rho < + \infty ,\;0 \leq \varphi \leq {2\pi },\; - \infty < z < + \infty , \\ y = \rho \sin \varphi , \\ z = z. \end{array}\right.
\]
这里
\[
\frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {\rho ,\varphi, z}\right) } = \left| \begin{matrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| = \rho ,
\]
于是
\[
{\iiint }_{\Omega }f\left( {x, y, z}\right) {dxdydz} = {\iiint }_{{\Omega }^{ * }}f\left( {\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi, z}\right) {\rho d\rho d\varphi dz}.
\]
\( \left( {{6.6} - 8}\right) \)
(6. 6-8) 式就是三重积分在柱面坐标系下的计算公式.
例 3
\[
\left\{ \begin{array}{l} x = r\sin \theta \cos \varphi ,\;0 < r < + \infty ,\;0 \leq \theta \leq \pi ,\;0 \leq \varphi \leq {2\pi } \\ y = r\sin \theta \sin \varphi , \\ z = r\cos \theta . \end{array}\right.
\]
这里
\[
\frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {r,\theta ,\varphi }\right) } = \left| \begin{matrix} \sin \theta \cos \varphi & r\cos \theta \cos \varphi & - r\sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & - r\sin \theta & 0 \end{matrix}\right| =
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1471_同调代数引论,.佟文廷,.高等教育出版社,.1998._WPCBJ_.chs
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定义 1
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定义 1 设 \( R \) 为任意环 \( B \in {\mathfrak{M}}_{R} \) . 若 \( B{}_{\bar{R}} \) 一为正合函子,则称 \( B \) 为平坦右 \( R \) -模,简称平坦模 (flat module),记为 \( B \in {\operatorname{Flat}}^{c}{\mathfrak{M}}_{R} \) .
类似地可定义平坦左 \( R \) -模. 它们的理论是平行的,为方便起见,下面主要讨论平坦右 \( R - \) 模.
由定义 1 可得如下命题.
命题 1 设 \( R \) 为任意环, \( B \in {\mathfrak{M}}_{R} \) ,则 \( B \in \operatorname{Flat}{\mathfrak{M}}_{R} \) 的充分必要条件是对 \( {}_{R}\mathfrak{M} \) 中任意的单同态 \( f,{I}_{B} \otimes f \) 也是单同态.
证 由上章 \( §5 \) 已知 \( B{\bigotimes }_{R} \) 一为右正合的,于是 \( B{\bigotimes }_{R} \) 一正合 (即 \( B \in {\operatorname{Flat}}^{n}{n}_{R} \) ) 的充分必要条件是 \( B{}_{R} \) 一保持单同态,即 \( f \) 单时 \( {I}_{B} \otimes f \) 也单.
命题 \( {2R} \in {\operatorname{Flat}}^{3}{\mathfrak{N}}_{R} \) 且 \( R \in {\operatorname{Flat}}_{R}\mathfrak{M} \) ,即对任一环 \( R, R \) 作为左、右 \( R \) -模都是平坦的.
证 设 \( f : {A}^{\prime } \rightarrow A \) 为 \( {}_{R}\mathfrak{M} \) 中的单同态. 来证 \( {I}_{R} \otimes f \) 单即可 (由命题 1). 事实上, 我们有交换图 (两竖直箭头为同构):
由此即知 \( {I}_{R} \otimes f \) 是单的.
例 1 由上章 \( §5 \) 例 3 或 \( §3 \) 例 5 已知 \( B = {\mathbb{Z}}_{2} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) 不保持单同态 \( f : \mathbb{Z} \rightarrowtail \mathbb{Q} \) ,因而 \( {\mathbb{Z}}_{2} \notin {\operatorname{Flat}}_{\mathbb{Z}}\mathfrak{M} \) . 同理知对任何 \( n \in \mathbb{Z}, n > 0 \) , \( {\mathbb{Z}}_{n} \notin {\operatorname{Flat}}_{\mathbb{Z}}\mathfrak{M} \) .
下面我们希望知道自由模、投射模是否一定为平坦的. 由命题 2 知, 这自然需要研究平坦性在直和之下是否保持. 为此我们先证如下结果.
定理 1 设 \( R \) 为任意环, \( {B}_{j} \in {\mathfrak{M}}_{R},\forall j \in J \) . 则
\[
\mathop{\coprod }\limits_{{j \in J}}{B}_{j} \in \mathrm{{Flat}}{\mathfrak{M}}_{R} \Leftrightarrow {B}_{j} \in \mathrm{{Flat}}{\mathfrak{M}}_{R},\;\forall j \in J
\]
证 在 \( {}_{R}\mathfrak{M} \) 中,若 \( {f}_{j} : {A}_{j}^{\prime } \rightarrow {A}_{j},\forall j \in J \) ,则由直和的泛性质 \( \left( {\mathrm{{UP}}}_{\mathrm{{II}}}\right) \) 知 (见上章 \( §6 \) ),必有唯一的 \( \varphi = \coprod {f}_{j} \) 使下图为交换图.
其中 \( \left( {\coprod {f}_{j}}\right) \left( \left( {a}_{j}^{\prime }\right) \right) = \left( {{f}_{j}\left( {a}_{j}^{\prime }\right) }\right) \) ,因此 \( \coprod {f}_{j} \) 单 \( \Leftrightarrow {f}_{j} \) 单, \( \forall j \in J \) .
由上章 \( §7 \) 定理 5 容易看出,对任意的 \( f : {A}^{\prime } \rightarrowtail A\left( R\right. \mathfrak{M} \) 中的单同态)有交换图:
\[
\left( {\mathop{\coprod }\limits_{{j \in J}}{B}_{j}}\right) \mathop{\bigotimes }\limits_{R}{A}^{\prime }\xrightarrow[]{\;{I}_{\mathrm{n}{Bj}}\bigotimes f\;}\left( {\mathop{\coprod }\limits_{{j \in J}}{B}_{j}}\right) \mathop{\bigotimes }\limits_{R}A
\]
\[
\simeq
\]
\[
\frac{\mathop{\prod }\limits_{{j \in J}}\left( {{B}_{j}\underset{R}{ \otimes }{A}^{\prime }}\right) }{\mathop{\prod }\limits_{{j \in J}}\left( {{I}_{{B}_{j}}\widehat{ \otimes }f}\right) } = \mathop{\prod }\limits_{{j \in J}}\left( {{B}_{j}\underset{R}{ \otimes }A}\right)
\]
注意两竖直箭头表示同构. 因此 \( {I}_{{II}{B}_{j}} \otimes f \) 单 \( \Leftrightarrow \coprod \left( {{I}_{{B}_{j}} \otimes f}\right) \) 单 \( \Leftrightarrow {I}_{{B}_{j}} \) \( \bigotimes f \) 单, \( \forall j \in J \) . 但由命题 1 知, \( {I}_{\Pi {B}_{j}} \otimes f \) 单 \( \Leftrightarrow \coprod {B}_{j} \in \) Flat \( {\mathfrak{M}}_{R};{I}_{{B}_{j}} \otimes \) \( f \) 单 \( \Leftrightarrow {B}_{J} \in \) Flat \( {\mathfrak{M}}_{R},\forall j \in J \) . 由此即得欲证.
由定理 1 可得
定理 2 对任意环 \( R,\mathrm{P}{\mathfrak{M}}_{R} \subseteq \mathrm{{Flat}}{\mathfrak{M}}_{R} \) . 因此任意 \( R - \) 模 \( M \) 都有平坦分解. 即有下形的 \( {\mathfrak{M}}_{R} \) 正合列
\[
\cdots \rightarrow {F}_{n} \rightarrow {F}_{n - 1} \rightarrow \cdots \rightarrow {F}_{1} \rightarrow {F}_{0} \rightarrow M \rightarrow 0
\]
其中 \( {F}_{j} \) 都是平坦的, \( j = 0,1,\cdots \) .
证. 由命题 2 知 \( R \in \operatorname{Flat}{\mathfrak{M}}_{R} \) ,再由定理 1 知 \( \mathop{\coprod }\limits_{{j \in J}}R \in \operatorname{Flat}{\mathfrak{M}}_{R} \) , 即自由模都是平坦的. 由于投射模为自由模的直和项. 再用一次定理 1 即知 \( {\mathrm{{PM}}}_{R} \subseteq {\mathrm{{FlatM}}}_{R} \) .
由此知,投射分解都是平坦分解,因此 \( M \) 的平坦分解总是存在的.
注 1 记 Free \( {\mathfrak{M}}_{R} \) 为自由右 \( R - \) 模类,则有
\[
{\operatorname{FreeM}}_{R} \subsetneqq {\operatorname{PM}}_{R} \subsetneqq {\operatorname{FlatM}}_{R}
\]
前一个“≠”已由本章 \( §1 \) 例 1 说明. 后一个“≠”可用 \( @{ \in }_{z}\mathfrak{M} \) 来说明. 可以证明 (见下章 \( §4 \) 例 1): \( \mathbb{Q} \in {\mathrm{{Flat}}}_{z}\mathfrak{M} \) 但 \( \mathbb{Q} \notin {\mathrm{P}}_{z}\mathfrak{M} \) (注意 \( \mathbb{Z} \) 是交换环,这里的 \( {}_{z}\mathfrak{M} \) 当然可写成 \( {\mathfrak{M}}_{z} \) ).
由定理 2 我们可仿投射维数与内射维数的定义给出
定义 2 在 \( {\mathfrak{M}}_{R} \) 中对任意的 \( M \in {\mathfrak{M}}_{R} \) ,记
\[
\operatorname{rfd}\left( M\right) = \inf \left\{ {n \mid 0 \rightarrow {F}_{n} \rightarrow \cdots \rightarrow {F}_{1} \rightarrow {F}_{0} \rightarrow M \rightarrow 0}\right. \text{正合,}
\]
\[
\left. {{F}_{j} \in \text{ Flat }{\mathfrak{M}}_{R}, j = 0,1,\cdots, n}\right\}
\]
且称之为 \( M \) 的右平坦维数 (right flat dimension). 当上述 \( n \) 不存在时,规定 \( \operatorname{rfd}\left( M\right) = \infty \) .
再记
\[
\operatorname{rWD}\left( R\right) = \sup \left\{ {\operatorname{rfd}\left( M\right) \mid M \in {\mathfrak{M}}_{R}}\right\}
\]
称之为环 \( R \) 的 (右) 弱维数 (weak dimension).
类似地可定义 \( M \in {}_{R}\mathfrak{M} \) 的左平坦维数 \( \operatorname{lfd}\left( M\right) \) 以及环 \( R \) 的 (左) 弱维数 \( \operatorname{IWD}\left( R\right) \) . 以后将证对任意环 \( R,\operatorname{rWD}\left( R\right) = \) \( \operatorname{IWD}\left( R\right) \) . 到那时将不再区分左、右弱维数,统称为弱维数,且记为 \( \mathrm{{WD}}\left( R\right) \) .
由定义 2 可得
定理 3 设 \( R \) 为任意环,则
(i) \( \operatorname{rfd}\left( M\right) = 0 \Leftrightarrow M \in {\operatorname{Flat}}_{R} \) ;
(ii) \( \operatorname{rfd}\left( M\right) \leq 1 \Leftrightarrow \) 有 \( {F}_{0}\text{、}{F}_{1} \in \) Flat \( {\mathfrak{M}}_{R} \) 使 \( M \simeq {F}_{0}/{F}_{1} \) ;
(iii) \( \operatorname{rWD}\left( R\right) = 0 \Leftrightarrow \) 一切右 \( R \) -模都是平坦的 (即 \( R \) 为下章 § 4 中介绍的 (von Neumann) 正则环);
(iv) \( \operatorname{rfd}\left( M\right) \leq \operatorname{rpd}\left( M\right) ,\forall M \in {\mathfrak{M}}_{R} \) ,因此 \( \operatorname{rWD}\left( R\right) \leq \operatorname{rpD}\left( R\right) \) (这就是弱维数中“弱”的含意).
证 (i)、(ii)与(iii)都可由定义直接得到.
(iv) 由于 \( {\mathrm{{PM}}}_{R} \subseteq {\mathrm{{Flat}}}^{3}{m}_{R}, M \in {\mathfrak{M}}_{R} \) 的任一投射分解都是平坦分解,因此 \( \operatorname{rfd}\left( M\right) \leq \operatorname{rpd}\left( M\right) \) . 取上确界即得 \( \operatorname{rWD}\left( R\right) \leq \operatorname{rpD}\left( R\right) \) .
对平坦模与张量积的关系, 可作如下的简单分析. 由定义 1 知, \( B \in \) Flat \( {\mathfrak{M}}_{R} \) 意指 \( B{\bigotimes }_{R} \) 一为正合函子. 由于正合函子的复合当然仍是正合的. 因此有
定理 4 对任意环 \( R \) 与 \( S \) ,设 \( B \in {}_{S}{\mathfrak{M}}_{R} \) 且 \( B \in {\mathrm{{Flat}}}_{S}\mathfrak{M}, C \in \) \( {\operatorname{Flat}}_{R}\mathfrak{M} \) ,则 \( B{\bigotimes }_{R}C \in {\operatorname{Flat}}_{S}\mathfrak{M} \) .
特别地,当 \( R \) 为交换环, \( M, N \in {\operatorname{Flat}}_{R}\mathfrak{M} \) 时, \( M{}_{R}N \) 仍为平坦 \( R \) -模.
关于此定理中的模结构可参看上章 \( §3 \) 命题 2.
下面来研究平坦模与内射模的关系, 为此需先证明同调代数中的一条重要定理. 为简单起见,将 \( X \in {}_{S}{\mathfrak{M}}_{R} \) 记为 \( {}_{S}{X}_{R} \) ,将 \( X \) \( { \in }_{R}\mathfrak{M} \) 记为 \( {}_{R}X \) ,对右模也作如此的记法.
定理 5 (伴随同构定理, adjoint isomorphism theorem).
设 \( R\text{、}S \) 为任意环,则
(i) 对任意的 \( \left( {{}_{R}A,{}_{S}{B}_{R},{}_{S}C}\right) \) 有 Abel 群同构
\[
{\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B{ \otimes }_{R}A, C}\right) \underset{AC}{\widetilde{ \simeq }}{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {A,{\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B, C}\right) }\right)
\]
(ii) 对任意的 \( \left( {{A}_{R},{}_{R}{B}_{S},{C}_{S}}\right) \) 有 Abel 群同构
\[
{\mathrm{{Hom}}}_{S}\left( {A\widehat{\underset{R}{ \otimes }}B, C}\right) \underset{\widetilde{AG}}{\overset{{t}^{\prime }}{ \cong }}{\mathrm{{Hom}}}_{R}\left( {A,{\mathrm{{Hom}}}_{S}\left( {B, C}\right) }\right)
\]
且 \( \tau \text{、}{\tau }^{\prime } \) 都是自然同构 (即,固定 \( A, B, C \) 中的两个,都是函子间的自然等价).
证 只需证(i),(ii)的证明是类似的.
由上章 \( §3 \) 知,(i) 中的 Hom, \( \otimes \) 的作用都是有意义的,比如 \( B \) \( {\bigotimes }_{R}A \in s\mathfrak{M} \) ,因此左端的 Hom 有意义.
任取 \( a \in A, b \in B, f \in {\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B{ \otimes }_{R}A, C}\right) \) ,可将 \( f\left( {b \otimes a}\right) \) 视为
\[
{f}_{a}\left( b\right) = f\left( {b \otimes a}\right) \in C
\]
于是有 \( {f}_{a} \in {\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B, C}\right) \) .
令 \( \bar{f}\left( a\right) = {f}_{a} \) ,可验知 \( \bar{f} \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {A,{\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B, C}\right) }\right) \) . 于是令 \( \tau : f \mapsto \bar{f} \) 即得加法 Abel 群同态
\[
\tau : {\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B{ \otimes }_{R}A, C}\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {A,{\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B, C}\right) }\right)
\]
再找出 \( \tau \) 的逆即知 \( \tau \) 为 Abel 群同构.
事实上, \( \forall \bar{g} \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {A,{\operatorname{Hom}}_{S}\left( {B, C}\right) }\right) \) ,定义 \( {\bar{g}}^{\prime } : B{}_{R}A \rightarrow C \)
使
\[
{\bar{g}}^{\prime }\left( {b \otimes a}\right) = \bar{g}\left( a\right) \left( b\right)
\]
令 \( \sigma : {\bar{g}}^{\prime } \mapsto {\bar{g}}^{\prime } \) ,则得与 \( \tau \) 反向的加法 Abel 群同态
\[
\sigma : {\mathrm{{Hom}}}_{R}\left( {A,{\mathrm{{Hom}}}_{S}\left( {B, C}\right) \rightarrow {\mathrm{{Hom}}}_{S}\left( {B{\bigotimes }_{R}A, C}\right) }\right.
\]
只需验证 \( {\sigma \tau },{\tau \sigma } \) 都是 (各自定义域上的) 恒等同态即可. 即对 \( {\sigma \tau }\left( f\right) = {\bar{f}}^{\prime } \) 证 \( {\bar{f}}^{\prime }\left( {b \otimes a}\right) = f\left( {b \otimes a}\right) ,\forall a \in A,\forall b \in B \) ,对 \( {\tau \sigma }\left( \bar{g}\right) = \) \( \overline{{g}^{\prime }} \) 证 \( \overline{{g}^{\prime }}\left( a\right) \left( b\right) = \bar{g}\left( a\right) \left( b\right) ,\forall a \in A,\forall b \in B \) . 这都是不难验证的. 即
\[
{\bar{f}}^{\prime }\left( {b \otimes a}\right) = \bar{f}\left( a\right) \left( b\right) = {f}_{a}\left( b\right) = f\left( {b \otimes a}\right)
\]
\[
\overline{{g}^{\prime }}\left( a\right) \left( b\right) = {\bar{g}}_{a}^{\prime }\
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1325_[程士宏] 测度论与概率论基础
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定义 5.1.1
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定义 5.1.1 定义在 \( \Omega \times \mathcal{F} \) 上的广义实值函数 \( p \) 称为是从可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{S}\prime }\right) \) 到 \( \left( {X,\mathcal{F}}\right) \) 的测度转移函数或简称转移函数,如果它满足下列条件:
(1) 对每个 \( \omega \in \Omega, p\left( {\omega , \cdot }\right) \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度;
（2）对每个 \( A \in \mathcal{F}, p\left( {\cdot, A}\right) \) 是 \( \mathcal{S} \) 上可测函数.
如果存在一个 \( \mathcal{F} \) 的可测分割 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) 使得 \( p\left( {\omega ,{A}_{n}}\right) < \infty \) 对每个 \( \omega \in \Omega \) 及每个 \( n = 1,2,\cdots \) 成立,称该转移函数是 \( \sigma \) 有限的. 如果对每个 \( \omega \in \) \( \Omega \) 均有 \( p\left( {\omega, X}\right) = 1 \) ,称 \( p \) 是概率转移函数.
转移函数这类东西大家并非没有见过. 事实上, 只要考查一下第四章 \( §5 \) 的定义就可以看出: 那里的正则条件概率正是一个从可测空间 \( \left( {X,\mathcal{G}}\right) \) 到 \( \left( {X,\mathcal{F}}\right) \) 的概率转移函数! 当时的问题是: 给定一个概率空间 \( \left( {X,\mathcal{F}, P}\right) \) 和一个子 \( \sigma \) 域 \( \mathcal{G} \) ,是否存在一个概率转移函数 (正则条件概率) \( p \) 使之满足一定的条件. 而现在要考虑的则是: 对于给定的测度空间 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1},{\mu }_{1}}\right) \) 和从 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 到可测空间 \( \left( {{X}_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 的转移函数 \( p \) ,是否能在乘积可测空间 \( \left( {{X}_{1} \times {X}_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 上产生一个测度? 这个问题的回答见下面的定理 5.1.6.
引理 5.1.5 如果 \( p \) 是从可测空间 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 到可测空间 \( \left( {X}_{2}\right. \) , \( \left. {\mathcal{F}}_{2}\right) \) 的 \( \sigma \) 有限转移函数,则对任何 \( \left( {{X}_{1} \times {X}_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 上的非负可测函数 \( f \) ,函数
\[
{g}_{f}\left( \cdot \right) = \frac{\mathrm{d}\mathrm{e}i}{}{\int }_{{X}_{2}}f\left( {\cdot ,{x}_{2}}\right) p\left( {\cdot ,\mathrm{d}{x}_{2}}\right)
\]
是 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 上的可测函数.
证明 采用典型方法,只需证明对任何 \( A \in {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) ,函数
\[
{g}_{{I}_{A}}\left( *\right) = {\int }_{{X}_{2}}{I}_{A}\left( {\cdot ,{x}_{2}}\right) p\left( {\cdot ,\mathrm{d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{X}_{2}}{I}_{A \mid .}\left( {x}_{2}\right) p\left( {\cdot ,\mathrm{d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
= p\left( {\cdot, A \mid .}\right)
\]
是 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 可测的 (请注意: 据定理 5.1.4, \( A \) 在 \( {x}_{1} \in {X}_{1} \) 处的截口 \( {\left. A\right| }_{{x}_{1}} \) 属于 \( {\mathcal{F}}_{2} \) ,因此 \( A \mid . = \left\{ {{\left. A\right| }_{{x}_{1}} : {x}_{1} \in {X}_{1}}\right\} \) 是一个定义在 \( {X}_{1} \) 上,取值于 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 的函数). 因 \( p \) 是 \( \sigma \) 有限的,故存在 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 的可测分割 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) ,使得 \( p\left( {{x}_{1},{A}_{n}}\right) < \infty \) 对每个 \( {x}_{1} \in {X}_{1} \) 和每个 \( n = 1,2,\cdots \) 成立. 表
\[
{g}_{{I}_{A}}\left( \cdot \right) = p\left( {\cdot ,\left( {A \mid .}\right) \cap \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }p\left( {\cdot ,\left( {A \mid .}\right) \cap {A}_{n}}\right) .
\]
易见: 为证 \( {g}_{{I}_{A}}\left( \cdot \right) \) 可测,只需证: 对每个 \( n = 1,2,\cdots, p( \cdot ,\left( {A \mid }\right) \) . \( \left. {\cap {A}_{n}}\right) \) 可测. 这表明,我们只需在 \( p\left( {{x}_{1}, A}\right) < \infty \) 对每个 \( {x}_{1} \in {X}_{1} \) 都成立的假设下来证明 \( p\left( {\cdot, A \mid .}\right) \) 关于 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 可测. 首先注意
\[
\mathcal{E}\mathop{=}\limits^{\text{ def }}\left\{ {A \in {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} : p\left( {\cdot, A \mid .}\right) \text{ 是 }{\mathcal{F}}_{1}\text{ 可测函数 }}\right\}
\]
是一个 \( \lambda \) 系. 其次注意当 \( A = {A}_{1} \times {A}_{2} \) 且 \( {A}_{1} \in {\mathcal{F}}_{1} \) 和 \( {A}_{2} \in {\mathcal{F}}_{2} \) 时,
\[
p\left( {\cdot, A \mid .}\right) = p\left( {\cdot ,{A}_{2}}\right) {I}_{{A}_{1}}\left( \cdot \right)
\]
(5. 1.3)
为 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 可测,从而
\[
\mathcal{E} \supset \mathcal{Q} = \left\{ {{A}_{1} \times {A}_{2} : {A}_{1} \in {\mathcal{F}}_{1},{A}_{2} \in {\mathcal{F}}_{2}}\right\} .
\]
于是,由定理 1.3.5 和命题 5.1.1 即知在上述假设下 \( p\left( {\cdot, A \mid \text{.}}\right) 关 \) 于 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 可测.
下面来回答前面的问题. 为了避免在累次积分时使用过多的 \( \{ \) \}号,再介绍一个文献中常用的符号: 对 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 上的测度 \( {\mu }_{1} \) ,如下式右端有意义, 则记
\[
{\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
\frac{\text{ def }}{}{\int }_{{X}_{1}}\left\{ {{\int }_{{X}_{2}}f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) }\right\} {\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) .
\]
定理 5.1.6 给定从可测空间 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 到 \( \left( {{X}_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 的 \( \sigma \) 有限转移函数 \( p \) .
(1) 对 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 上任何测度 \( {\mu }_{1} \) ,存在乘积空间 \( \left( {{X}_{1} \times {X}_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times }\right. \) \( \left. {\mathcal{F}}_{2}\right) \) 上的测度 \( \mu \) ,使对任何 \( {A}_{1} \in {\mathcal{F}}_{1} \) 和 \( {A}_{2} \in {\mathcal{F}}_{2} \) 有
\[
\mu \left( {{A}_{1} \times {A}_{2}}\right) = {\int }_{{A}_{1}}p\left( {{x}_{1},{A}_{2}}\right) {\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) ;
\]
(5. 1.4)
（2）如果 \( \left( {{X}_{1} \times {X}_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2},\mu }\right) \) 上可测函数 \( f \) 的积分存在,则
\[
{\int }_{{x}_{1} \times {x}_{2}}f\mathrm{\;d}\mu = {\int }_{{x}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{x}_{2}}f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) ;
\]
(5.1.5)
（3）如 \( {\mu }_{1} \) 是 \( \sigma \) 有限的,则使 (5.1.4) 式成立的测度 \( \mu \) 惟一而且 \( \sigma \) 有限.
证明 根据引理 5.1.5,对任何 \( A \in {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 可以定义
\[
\mu \left( A\right) = {\int }_{{X}_{1}}p\left( {{x}_{1},{\left. A\right| }_{{x}_{1}}}\right) {\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) .
\]
利用截口性质 (参见习题 5 之第 2 题),容易证明 \( \mu \) 是测度. 利用 (5.1.3) 式又容易证明 \( \mu \) 满足 (5.1.4) 式. (1) 得证.
以 \( \mathcal{M} \) 记由所有使 (5.1.5) 式成立的非负可测函数 \( f \) 组成的集合. 容易证明 \( \mathcal{M} \) 是一个非负函数的单调类. 此外,当 \( f = {I}_{A} \) 而 \( A \in \) \( {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 时,由 \( \mu \) 的定义知
\[
{\int }_{{x}_{1} \times {x}_{2}}f\mathrm{\;d}\mu = \mu \left( A\right) = {\int }_{{x}_{1}}p\left( {{x}_{1},{\left. A\right| }_{{x}_{1}}}\right) {\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}{I}_{{A}^{\prime }{x}_{1}}\left( {x}_{2}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}{I}_{A}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) ,
\]
可见 \( {I}_{A} \in \mathcal{M} \) . 这说明 (5.1.5) 式对所有非负可测函数 \( f \) 成立 (定理 1. 5.5). 于是,对任何可测函数 \( f \) ,有
\[
{\int }_{{X}_{1} \times {X}_{2}}{f}^{ \pm }\mathrm{d}\mu = {\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}{f}^{ \pm }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) .
\]
(5. 1. 6 )
如果 \( f \) 的积分存在,无妨设 \( {\int }_{{x}_{1} \times {x}_{2}}{f}^{ - }\mathrm{d}\mu < \infty \) ,则记
\[
{A}_{1} = \left\{ {{x}_{1} \in {X}_{1} : {\int }_{{X}_{2}}{f}^{ - }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) < \infty }\right\} ,
\]
由引理 5.1.5 和 (5.1.6) 式就可以推出 \( {A}_{1} \in {\mathcal{F}}_{1} \) 和 \( {\mu }_{1}\left( {A}_{1}^{c}\right) = 0 \) ,从而
\[
{\int }_{{X}_{1} \times {X}_{2}}f\mathrm{\;d}\mu = {\int }_{{X}_{1} \times {X}_{2}}{f}^{ - }\mathrm{d}\mu - {\int }_{{X}_{1} \times {X}_{2}}{f}^{ - }\mathrm{d}\mu
\]
\[
= {\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}{f}^{ + }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
- {\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}{f}^{ - }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{A}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}{f}^{ + }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
- {\int }_{{A}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}{f}^{ - }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{A}_{1}}\left\{ {{\int }_{{X}_{2}}{f}^{ + }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {-{\int }_{{x}_{2}}{f}^{ - }\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) }\right\} {\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{A}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right)
\]
\[
= {\int }_{{X}_{1}}{\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right) {\int }_{{X}_{2}}f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) p\left( {{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2}}\right) .
\]
可见 (2) 也成立.
如果 \( {\mu }_{1} \) 和 \( p \) 均 \( \sigma \) 有限,则取 \( \left( {{X}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 的可测分割 \( \left\{ {A}_{1, n}\right\} \) 和 \( \left( {{X}_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 的可测分割 \( \left\{ {A}_{2, m}\right\} \) ,它们分别使 \( {\mu }_{1}\left( {A}_{1, n}\right) < \infty \) 对每个 \( n = 1 \) , \( 2,\cdots \) 成立, \( p\left( {{x}_{1},{A}_{2, m}}\right) < \infty \) 对每个 \( {x}_{1} \in {X}_{1} \) 及 \( m = 1,2,\cdots \) 成立. 对每个 \( n, m, l = 1,2,\cdots \) ,令
\[
{B}_{n, m, l} = \left\{ {{x}_{1} \in {A}_{1, n} : l - 1 \leq p\left( {{x}_{1},{A}_{2, m}}\right) < l}\right\} ,
\]
则 \( \left\{ {{B}_{n, m, l} \times {A}_{2, m}, n, m, l = 1,2,\cdots }\right\} \) 构成了 \( \left( {{X}_{1} \times {X}_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 的可测分割, 而且
\[
\mu \left( {{B}_{n, m, l} \times {A}_{2, m}}\right) = {\int }_{{B}_{n, m, l}}p\left( {{x}_{1},{A}_{2, m}}\right) {\mu }_{1}\left( {\mathrm{\;d}{x}_{1}}\right)
\]
\[
\le
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1336_[谭小江&伍胜健] 复变函数简明教程
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定义 2
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定义 2 复数序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 称为是一个 Cauchy 序列,如果 \( \forall \varepsilon > 0 \) , \( \exists N \) ,使得只要 \( n > N, m > N \) ,就有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) .
复数域的完备性是建立在实数域完备性的基础上的, 对此我们有下面的定理.
定理 1 (Cauchy 准则或复数域完备性定理) 复数序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 在 \( \mathbb{C} \) 中收敛的充分必要条件是 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为一 Cauchy 序列.
证明 设 \( {z}_{n} = {x}_{n} + \mathrm{i}{y}_{n} \) ,由不等式
\[
\max \left\{ {\left| {{x}_{n} - {x}_{m}}\right| ,\left| {{y}_{n} - {y}_{m}}\right| }\right\} \leq \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \leq \left| {{x}_{n} - {x}_{m}}\right| + \left| {{y}_{n} - {y}_{m}}\right| ,
\]
我们得到复数序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为 Cauchy 序列等价于实数序列 \( \left\{ {\operatorname{Re}{z}_{n} = {x}_{n}}\right\} \) 和 \( \left\{ {\operatorname{Im}{z}_{n} = {y}_{n}}\right\} \) 为 Cauchy 序列. 而由实数的 Cauchy 准则得这等价于 \( \left\{ {\operatorname{Re}{z}_{n}}\right\} \) 和 \( \left\{ {\operatorname{Im}{z}_{n}}\right\} \) 在 \( \mathbb{R} \) 中收敛. 利用引理 2 得这与 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 在 \( \mathbb{C} \) 中收敛等价. 证毕.
例 1 设 \( z \in \mathbb{C} \) . 对 \( n = 1,2,\cdots \) ,令 \( {z}_{n} = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{{z}^{2}}{2!} + \cdots + \frac{{z}^{n}}{n!} \) ,得一序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) . 设 \( m > n \) ,有
\[
\left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \leq \frac{\left| {z}^{n + 1}\right| }{\left( {n + 1}\right) !} + \cdots + \frac{\left| {z}^{m}\right| }{m!}.
\]
而实数序列 \( \left\{ {{a}_{n} = 1 + \frac{\left| z\right| }{1!} + \frac{\left| {z}^{2}\right| }{2!} + \cdots + \frac{\left| {z}^{n}\right| }{n!}}\right\} \) 在 \( \mathbb{R} \) 中收敛于 \( {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } \) ,因而是 Cauchy 序列. 于是得 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 也是 Cauchy 序列,因而其在 \( \mathbb{C} \) 中收敛. 我们记其极限为 \( {\mathrm{e}}^{z} \) ,即 \( \forall z \in \mathbb{C} \) ,定义:
\[
{\mathrm{e}}^{z} = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{{z}^{2}}{2!} + \cdots + \frac{{z}^{n}}{n!}\cdots
\]
同理,利用 Cauchy 准则不难证明 \( \forall z \in \mathbb{C} \) ,下面两个级数
\[
z - \frac{{z}^{3}}{3!} + \frac{{z}^{5}}{5!} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{{2n} + 1}}{\left( {{2n} + 1}\right) !} + \cdots ,
\]
\[
1 - \frac{{z}^{2}}{2!} + \frac{{z}^{4}}{4!} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{2n}}{\left( {2n}\right) !} + \cdots
\]
都收敛. 我们将其极限分别记为 \( \sin z \) 和 \( \cos z \) . 由此得到指数函数和三角函数对复变量的推广. 利用直接计算不难看出 \( \forall z \in \mathbb{C} \) ,我们有下面的 Euler 公式:
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} = \cos z + \mathrm{i}\sin z.
\]
描述极限的另一方法是利用开集. 我们首先定义邻域的概念.
定义 3 设 \( {z}_{0} \in \mathbb{C} \) . 对于任意 \( \varepsilon > 0 \) ,令
\[
D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) = \left\{ {z\left| \right| z - {z}_{0} \mid < \varepsilon }\right\} ,
\]
称 \( D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \) 为 \( {z}_{0} \) 的 \( \varepsilon \) -圆盘邻域. 记
\[
{D}_{0}\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) = D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} ,
\]
称 \( {D}_{0}\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \) 为 \( {z}_{0} \) 的 \( \varepsilon \) -空心圆盘邻域.
利用邻域,序列收敛可表示为: 序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( {z}_{0} \) 的充分必要条件是对于任意 \( \varepsilon > 0,\exists N \) ,使得只要 \( n > N \) ,就有 \( {z}_{n} \in D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \) .
定义 4 集合 \( S \subset \mathbb{C} \) 称为开集,如果 \( \forall z \in S,\exists \varepsilon > 0 \) ,使得 \( z \) 的 \( \varepsilon \) -圆盘邻域 \( D\left( {z,\varepsilon }\right) = \{ w\left| \right| w - z \mid < \varepsilon \} \subset S \) .
空集 \( \varnothing \) 总认为是开集.
序列收敛利用开集可表示为:
引理 3 序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( {z}_{0} \) 的充分必要条件是对于任意包含 \( {z}_{0} \) 的任意开集 \( U,\exists N \) ,使得只要 \( n > N \) ,就有 \( {z}_{n} \in U \) .
由开集的定义不难得到:
定理 2 (1) \( \mathbb{C} \) 和空集 \( \varnothing \) 是开集;
（2）任意个开集的并是开集;
（3）有限个开集的交是开集.
定义 5 开集在 \( \mathbb{C} \) 中的余集称为闭集.
利用集合的运算关系
\[
A - \mathop{\bigcap }\limits_{i}{B}_{i} = \mathop{\bigcup }\limits_{i}\left( {A - {B}_{i}}\right) ,\;A - \mathop{\bigcup }\limits_{i}{B}_{i} = \mathop{\bigcap }\limits_{i}\left( {A - {B}_{i}}\right) ,
\]
则有:
定理 3 (1) \( \mathbb{C} \) 和空集 \( \varnothing \) 是闭集;
（2）任意个闭集的交是闭集;
（3）有限个闭集的并是闭集.
描述闭集的另一方法是利用极限点. 为此我们给出下面的定义.
定义 6 设 \( S \subset \mathbb{C} \) 是给定的集合,点 \( {z}_{0} \in \mathbb{C} \) 称为集合 \( S \) 的极限点, 如果 \( \forall \varepsilon > 0,{z}_{0} \) 的 \( \varepsilon \) -空心圆盘邻域 \( {D}_{0}\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) = D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 与 \( S \) 的交都不为空集.
由定义 6 不难得到:
引理 4 点 \( {z}_{0} \) 为集合 \( S \) 的极限点的充分必要条件是存在 \( S - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 中的序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) ,使得 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = {z}_{0} \) .
读者应该注意的是 \( {z}_{0} \) 是 \( S \) 的极限点与 \( {z}_{0} \) 是否属于 \( S \) 无关.
利用极限点, 我们可以给出闭集的等价描述.
引理 5 一个集合 \( F \subset \mathbb{C} \) 为闭集的充分必要条件是 \( F \) 包含其所有的极限点.
证明 如果 \( F \) 是闭集,则 \( \mathbb{C} - F \) 为开集. 因此 \( \forall {z}_{0} \in \mathbb{C} - F,\exists \varepsilon > \) 0,使 \( D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \subset \mathbb{C} - F \) . 于是得 \( D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \cap F = \varnothing \) . 所以 \( {z}_{0} \) 不能是 \( F \) 的极限点,从而得 \( F \) 包含其所有极限点.
反之,设 \( F \) 包含其所有极限点,则 \( \forall {z}_{0} \in \mathbb{C} - F,{z}_{0} \) 不是 \( F \) 的极限点,从而 \( \exists \varepsilon > 0 \) ,使得 \( D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \cap F = \varnothing \) . 所以 \( D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \subset \mathbb{C} - F \) ,即 \( \mathbb{C} - \) \( F \) 为开集. 由定义得 \( F \) 是闭集. 证毕.
有了上面关于开集和闭集的定义和性质, \( \mathbb{C} \) 中其他集合则可借助开集和闭集来进行讨论. 设 \( S \subset \mathbb{C} \) 为任意集合,我们考虑所有包含在 \( S \) 中的开集的并,记为 \( {S}^{0} \) . 显然 \( {S}^{0} \) 是包含在 \( S \) 中的唯一的最大开集,称为 \( S \) 的内点集. \( {S}^{0} \) 中的点称为 \( S \) 的内点. 我们令 \( \bar{S} \) 为所有包含 \( S \) 的闭集的交,则 \( \bar{S} \) 仍是闭集,其是包含 \( S \) 的最小闭集. 我们称 \( \bar{S} \) 为集合 \( S \) 的闭包.
由定义得
\[
{S}^{0} \subseteq S \subseteq \bar{S}
\]
令 \( \partial S = \bar{S} - {S}^{0}.\partial S \) 称为集合 \( S \) 的边界,而 \( \partial S \) 中的点称为 \( S \) 的边界点. 由定义容易看出: \( {z}_{0} \in \mathbb{C} \) 是 \( S \) 的边界点的充分必要条件是 \( \forall \varepsilon > 0 \) ,圆盘 \( D\left( {{z}_{0},\varepsilon }\right) \) 与 \( S \) 的交和与 \( \mathbb{C} - S \) 的交都不为空集. \( \partial S \) 中的点分为两类, 一类是不在 \( {S}^{0} \) 中的 \( S \) 的极限点,其余的称为 \( S \) 的孤立点. 不难看出: \( z \in S \) 是 \( S \) 的孤立点的充分必要条件是存在 \( \varepsilon > 0 \) ,使得
\[
D\left( {z,\varepsilon }\right) \cap S = \{ z\} \text{.}
\]
例 2 令 \( S = \{ z \mid 0 \leq \operatorname{Re}z < 1,0 < \operatorname{Im}z \leq 1\} \) ,则
\[
{S}^{0} = \{ z \mid 0 < \operatorname{Re}z < 1,0 < \operatorname{Im}z < 1\} ,
\]
\[
\bar{S} = \{ z \mid 0 \leq \operatorname{Re}z \leq 1,0 \leq \operatorname{Im}z \leq 1\} ,
\]
\[
\partial S = \{ z \mid \operatorname{Re}z = 0\text{ 或 }\operatorname{Re}z = 1\text{,而 }0 \leq \operatorname{Im}z \leq 1\}
\]
\[
\bigcup \{ z \mid 0 \leq \operatorname{Re}z \leq 1\text{,而 }\operatorname{Im}z = 0\text{ 或 }\operatorname{Im}z = 1\} \text{. }
\]
可见, \( \partial S \) 中有部分点在 \( S \) 内,有部分点不在 \( S \) 内.
设 \( F \subset \mathbb{C} \) 为任意不空的集合,我们定义 \( F \) 的直径 \( \operatorname{diam}F \) 为
\[
\operatorname{diam}F = \sup \{ \left| {z - w}\right| \mid z, w \in F\} .
\]
例如当 \( S \) 是上例中所给的集合时, \( \operatorname{diam}S = \sqrt{2} \) .
下面的定理是实数轴上的闭区间套定理在复平面上的推广.
定理 4 设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是 \( \mathbb{C} \) 中一列非空闭集. 若对于 \( n = 1,2,\cdots \) ,满足 \( {F}_{n + 1} \subset {F}_{n} \) ,并且 \( \operatorname{diam}{F}_{n} \rightarrow 0 \) ,则存在唯一的一个点 \( {z}_{0} \in \mathbb{C} \) ,使得
\[
\left\{ {z}_{0}\right\} = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}
\]
证明 对任意 \( n \) ,由于 \( {F}_{n} \) 非空,可取 \( {z}_{n} \in {F}_{n} \) . 由此得一序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) . 而由 \( \operatorname{diam}{F}_{n} \rightarrow 0 \) ,易于验证 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是一个 Cauchy 序列,因而 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是一个收敛序列. 设 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = {z}_{0} \) . 现证对任意的 \( m = 1,2,\cdots \) ,有 \( {z}_{0} \in {F}_{m} \) . 倘若结论不真,则存在 \( {m}_{0} \) 使得 \( {z}_{0} \notin {F}_{{m}_{0}} \) . 由于当 \( n \geq {m}_{0} \) 时 \( {z}_{n} \in {F}_{n} \subset {F}_{{m}_{0}} \) ,我们推知 \( {z}_{0} \) 是 \( {F}_{{m}_{0}} \) 的一个极限点. 注意到 \( {F}_{{m}_{0}} \) 是闭集,从而有 \( {z}_{0} \in {F}_{{m}_{0}} \) . 此矛盾便证明了我们的断言. 由此我们推知 \( {z}_{0} \in \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n} \) . 再由 \( \operatorname{diam}{F}_{n} \rightarrow 0 \) ,容易推出定理中 \( {z}_{0} \) 的唯一性. 证毕.
定理 4 的一个重要推论是有界闭集的紧性, 为此我们需要下面的定义.
定义 7 设 \( F \subset \mathbb{C} \) 是一给定的集合, \( F \) 的一个开覆盖是一簇开集 \( {\left\{ {U}_{a}\right\} }_{a \in A} \) ,使得 \( F \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{a \in A}}{U}_{a} \) ,其中 \( A \) 是一个指标集.
定义 8 我们称集合 \( F \subset \mathbb{C} \) 为紧集,如果对 \( F \) 的任意的开覆盖 \( {\left\{ {U}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) ,都存在 \( {\left\{ {U}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) 中有限个元素 \( {U}_{{\alpha }_{1}},{U}_{{\alpha }_{2}},\cdots ,{U}_{{\alpha }_{k}} \) ,使得集合 \( \left\{ {U}_{{\alpha }_{1}}\right. \) , \( \left. {{U}_{{a}_{2}},\cdots ,{U}_{{a}_{k}}}\right\} \) 也构成 \( F \) 的开覆盖.
定理 5 (开覆盖定理) \( \mathbb{C} \) 中任意有界闭集都是紧集.
证明 设 \( F \subset \mathbb{C} \) 是有界闭集, \( {\left\{ {U}_{a}\right\} }_{a \in A} \) 是 \( F \) 的一个开覆盖. 用反证法. 设不能从 \( {\left\{ {U}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) 中找到有限个元素使之也构成 \( F \) 的开覆盖. 由 \( F \) 有界,因而可假设 \( F \) 包含在一个闭矩形
\[
D = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {c, d}\right\rbrack = \{ z \mid a \leq \operatorname{Re}z \leq b, c \leq \operatorname{Im}z \leq d\}
\]
中. 连接矩形 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 边界对边的中点将其等分为四个闭矩形,其中必有一个与 \( F \) 的交不能被 \( {\left\{ {U}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) 中有限个元素覆盖,记其为 \( {D}_{1} \) . 再将 \( {D}_{1} \) 四等分,依次类推,我们得一列闭矩形 \( {\left\{ {D}_{n}\right\} }_{n = 1,2,\cdots } \) ,使得对每一个 \( n,{D}_{n} \cap F \) 都不能被 \( {\left\{ {U}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) 中有限个元素覆盖. 由定理 4 知,存在 \( {z}_{0} \) ,使得 \( \left\{ {z}_{0}\right\} = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {{D}_{n} \cap F}\right) \) . 特别地我们有 \( {z}_{0} \in F \) ,因此存在 \( \alpha \in A \) 使得 \( {z}_{0} \in \) \( {U}_{a} \) . 由于 \( {U}_{a} \) 是开集,而 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\operatorname{diam}\left( {{D}_{n} \cap F}\
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1506_算子半群与发展方程(王明新)
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定义 2.2.1
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定义 2.2.1 称 Banach 空间 \( X \) 中的线性算子 \( A \) 为 增生的 (accretive),如果对每一个 \( x \in D\left( A\right) \) ,都存在 \( f \in F\left( x\right) \) ,使得 \( \operatorname{Re}\langle {Ax}, f\rangle \geq 0 \) . 如果 \( - A \) 是增生的,则称 \( A \) 为耗散的. 这里 \( F\left( x\right) \) 为对偶集,其定义由 2.1 节中的 (2.1) 式给出.
命题 2.2.1 \( A \) 是增生的当且仅当
\[
\parallel x + {\lambda Ax}\parallel \geq \parallel x\parallel ,\;\forall x \in D\left( A\right) ,\lambda > 0.
\]
(2.4)
证明可参见文献 [12] 中第 1 章的定理 4.2 .
定理 2.2.2 设 \( A \) 是 Banach 空间 \( X \) 中的增生算子,若存在满足 \( \operatorname{Re}\lambda < 0 \) 的 \( \lambda \) ,使得 \( \mathcal{R}\left( {A - {\lambda I}}\right) = X \) ,那么所有满足 \( \operatorname{Re}\zeta < 0 \) 的 \( \zeta \) 都属于 \( A \) 的预解集,且有 \( \begin{Vmatrix}{\left( A - \zeta I\right) }^{-1}\end{Vmatrix} \leq 1/\left| {\operatorname{Re}\zeta }\right| \)
证明 显然 \( A - {\lambda I} \) 是到上的. 设 \( x \neq 0, f \in F\left( x\right) \) ,则有
\[
\parallel \left( {A - {\lambda I}}\right) x\parallel \cdot \parallel x\parallel = \parallel \left( {A - {\lambda I}}\right) x\parallel \cdot \parallel f\parallel \geq \left| {\langle f,\left( {A - {\lambda I}}\right) x\rangle }\right|
\]
\[
= \left| {\langle f,{Ax}\rangle - \lambda \langle f, x\rangle }\right| \geq \operatorname{Re}\langle {Ax}, f\rangle + \left| {\operatorname{Re}\lambda }\right| \cdot \parallel x{\parallel }^{2}.
\]
这表明, \( A - {\lambda I} \) 是 \( 1 - 1 \) 的且 \( \begin{Vmatrix}{\left( A - \lambda I\right) }^{-1}\end{Vmatrix} \leq 1/\left| {\operatorname{Re}\lambda }\right| \) . 于是 \( \lambda \in \rho \left( A\right) \) . 利用定理 2.1.10 和有限覆盖定理, 就可推知结论成立. 证毕.
定义 2.2.2 称 \( X \) 中的线性算子 \( A \) 是 \( \mathrm{m} - \) 增生的,如果
(1) \( A \) 是增生的;
(2) 对任意 \( \lambda > 0 \) 以及 \( y \in X \) ,都存在 \( x \in D\left( A\right) \) ,使得 \( x + {\lambda Ax} = y \) .
根据定义 2.2.2 和 (2.4) 式知,如果 \( A \) 在 \( X \) 中是 \( \mathrm{m} \) - 增生的,那么对任意 \( y \in X \) 以及 \( \lambda > 0 \) ,方程 \( x + {\lambda Ax} = y \) 存在唯一解 \( x \) . 因此,由命题 2.1.7 知, \( \left( {-\infty ,0}\right) \subset \rho \left( A\right) \) . 记这个解为 \( {J}_{\lambda }y \) 或 \( {\left( I + \lambda A\right) }^{-1}y \) ,即 \( x = {J}_{\lambda }y = {\left( I + \lambda A\right) }^{-1}y \) . 此外还有 \( \parallel x\parallel \leq \parallel y\parallel \) , 即 \( {J}_{\lambda } \in \mathcal{L}\left( X\right) \) 且 \( {\begin{Vmatrix}{J}_{\lambda }\end{Vmatrix}}_{\mathcal{L}\left( X\right) } \leq 1 \) . 利用定理 2.2.2,我们有
命题 2.2.3. 设 \( A \) 是 \( X \) 中的增生算子,则以下两个命题等价:
(1) \( A \) 是 \( \mathrm{m} \) - 增生算子;
(2) 存在 \( {\lambda }_{0} > 0 \) ,使得对任意 \( y \in X \) ,方程 \( x + {\lambda }_{0}{Ax} = y \) 有解 \( x \in D\left( A\right) \) .
命题 2.2.4 如果 \( A \) 是 \( \mathrm{m} \) - 增生的,那么 \( G\left( A\right) \) 在 \( X \) 中是闭的.
证明 因为 \( {J}_{1} \in \mathcal{L}\left( X\right), G\left( {J}_{1}\right) \) 是闭的,所以 \( G\left( {I + A}\right) \) 是闭的,从而 \( G\left( A\right) \) 是闭的. 证毕.
设 \( A \) 是 \( \mathrm{m} \) - 增生算子. 对每一个 \( x \in D\left( A\right) \) ,定义 图范数: \( \parallel x{\parallel }_{D\left( A\right) } = \parallel x\parallel + \parallel {Ax}\parallel \) . 那么 \( \left( {D\left( A\right) ,\parallel \cdot {\parallel }_{D\left( A\right) }}\right) \) 是 Banach 空间,且 \( A \in \mathcal{L}\left( {D\left( A\right), X}\right) \) . 以后就用 \( D\left( A\right) \) 表示 Banach 空间 \( \left( {D\left( A\right) ,\parallel \cdot {\parallel }_{D\left( A\right) }}\right) \) .
命题 2.2.5 设 \( A \) 是 \( \mathrm{m} \) - 增生的,则对任意 \( x \in \overline{D\left( A\right) } \) ,有 \( \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \searrow 0}}\begin{Vmatrix}{{J}_{\lambda }x - x}\end{Vmatrix} = 0 \) .
证明 首先,由 \( \begin{Vmatrix}{J}_{\lambda }\end{Vmatrix} \leq 1 \) 知, \( \begin{Vmatrix}{{J}_{\lambda } - I}\end{Vmatrix} \leq 2 \) . 根据稠密性,我们只需讨论 \( x \in D\left( A\right) \) 的情形. 因为
\[
{J}_{\lambda }x - x = {J}_{\lambda }\left( {x - \left( {I + {\lambda A}}\right) x}\right)
\]
所以当 \( \lambda \rightarrow 0 \) 时,有
\[
\begin{Vmatrix}{{J}_{\lambda }x - x}\end{Vmatrix} \leq 2\parallel x - \left( {I + {\lambda A}}\right) x\parallel = {2\lambda }\parallel {Ax}\parallel \rightarrow 0.
\]
证毕.
定义 2.2.3 设 \( A \) 是 \( \mathrm{m} \) - 增生算子. 对 \( \lambda > 0 \) ,定义算子 \( {A}_{\lambda } \) :
\[
{A}_{\lambda } = A{J}_{\lambda } = \frac{I - {J}_{\lambda }}{\lambda }
\]
显然, \( {A}_{\lambda } \in \mathcal{L}\left( X\right) \) ,且 \( {\begin{Vmatrix}{A}_{\lambda }\end{Vmatrix}}_{\mathcal{L}\left( X\right) } \leq 2/\lambda \) .
命题 2.2.6 设 \( A \) 是稠定的 \( \mathrm{m} \) - 增生算子,则当 \( \lambda \searrow 0 \) 时, \( {A}_{\lambda }x \rightarrow {Ax} \) 对所有 \( x \in D\left( A\right) \) 成立.
证明 任取 \( x \in D\left( A\right) \) . 由命题 2.2.5 知
\[
{J}_{\lambda }{Ax} - {Ax} \rightarrow 0\text{,当 }\lambda \searrow 0\text{ 时. }
\]
另一方面, 由定义 2.2.3 易得
\[
{A}_{\lambda }x = A{J}_{\lambda }x = {J}_{\lambda }\left( {I + {\lambda A}}\right) A{J}_{\lambda }x = {J}_{\lambda }A\left( {I + {\lambda A}}\right) {J}_{\lambda }x = {J}_{\lambda }{Ax}.
\]
于是,当 \( \lambda \searrow 0 \) 时,有
\[
\begin{Vmatrix}{{A}_{\lambda }x - {Ax}}\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}{{J}_{\lambda }{Ax} - {Ax}}\end{Vmatrix} \rightarrow 0.
\]
由 \( x \in D\left( A\right) \) 的任意性知,结论成立. 证毕.
## §2.3 延 拓
本节我们将证明, \( X \) 上的稠定 \( \mathrm{m} \) - 增生算子 \( A \) 可以延拓成一个较大空间 \( \bar{X} \) 上的 m- 增生算子 \( \bar{A} \) . 该结论对于发展方程弱解的特性的刻画非常重要.
定理 2.3.1 设 \( A \) 是 \( X \) 中的稠定的 \( \mathrm{m} \) - 增生算子,则存在一个较大的 Banach 空间 \( \bar{X} \) 以及 \( \bar{X} \) 上的 m- 增生算子 \( \bar{A} \) ,使得
(1) \( X \hookrightarrow \bar{X} \) ,并且这个嵌入是紧的;
(2) 对任意 \( x \in X, x \) 在 \( \bar{X} \) 中的范数等价于 \( \begin{Vmatrix}{{J}_{1}x}\end{Vmatrix} \) ;
(3) \( D\left( \bar{A}\right) = X \) ;
(4) \( \bar{A}x = {Ax},\;\forall x \in D\left( A\right) \) .
此外,满足上述性质 \( \left( 1\right) \sim \left( 4\right) \) 的 Banach 空间 \( \bar{X} \) 和算子 \( \bar{A} \) 在同构意义下是唯一的.
证明 对于 \( x \in X \) ,定义 \( \parallel \parallel x\parallel \begin{Vmatrix}{ = \begin{Vmatrix}{{J}_{1}x}\end{Vmatrix}}\end{Vmatrix} \) . 显然 \( \parallel \mid \cdot \parallel \mid \) 是 \( X \) 上的范数. 记 \( \bar{X} \) 是 \( X \) 在范数 \( \parallel \mid \cdot \parallel \parallel \) 下的完备化空间. 那么 \( \bar{X} \) 在同构意义下是唯一的,且嵌入 \( X \hookrightarrow \bar{X} \) 是紧的. 另一方面, 注意到
\[
{J}_{1}{Ax} = x - {J}_{1}x,\;\forall x \in D\left( A\right) ,
\]
所以
\[
\parallel \left| {Ax}\right| \parallel \leq \parallel \left| x\right| \parallel + \parallel x\parallel \leq 2\parallel x\parallel ,\;\forall x \in D\left( A\right) .
\]
于是, \( A \) 可以延拓成算子 \( \widehat{A} \in \mathcal{L}\left( {X,\bar{X}}\right) \) . 按如下方式定义 \( \bar{X} \) 中的线性算子 \( \bar{A} \) :
\[
D\left( \bar{A}\right) = X;\;\bar{A}x = \widehat{A}x,\;\forall x \in D\left( \bar{A}\right) .
\]
显然 \( \bar{A} \) 满足结论 (3) 和结论 (4). 下面证明 \( \bar{A} \) 是增生算子. 取 \( \lambda > 0, x \in D\left( A\right) \) ,并记 \( y = {J}_{1}x \) . 则有
\[
y + {\lambda Ay} = {J}_{1}\left( {x + {\lambda Ax}}\right)
\]
由于算子 \( A \) 是增生的,因此
\[
\parallel \left| {x + {\lambda Ax}}\right| \parallel = \parallel y + {\lambda Ay}\parallel \geq \parallel y\parallel = \parallel \left| x\right| \parallel ,\;\forall x \in D\left( A\right) ,\lambda > 0.
\]
利用 \( \widehat{A} \) 的连续性可推出
\[
\parallel \left| {x + \lambda \bar{A}x}\right| \parallel \geq \parallel \left| x\right| \parallel ,\;\forall x \in X.
\]
故算子 \( \bar{A} \) 是增生的. 现在证明算子 \( \bar{A} \) 是 \( \mathrm{m} \) - 增生的. 假设 \( f \in \bar{X},\left\{ {f}_{n}\right\} \subset X \) ,在 \( \bar{X} \) 中, \( {f}_{n} \rightarrow f\left( {n \rightarrow \infty }\right) \) . 记 \( {x}_{n} = {J}_{1}{f}_{n} \) . 因为 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 是 \( \bar{X} \) 中的 Cauchy 列,所以 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 也是 \( X \) 中的 Cauchy 列,从而存在 \( x \in X \) ,使得在 \( X \) 中, \( {x}_{n} \rightarrow x \) . 利用
\[
{f}_{n} = {x}_{n} + A{x}_{n} = {x}_{n} + \widehat{A}{x}_{n}
\]
以及 \( \widehat{A} \in \mathcal{L}\left( {X,\bar{X}}\right) \) 知, \( f = x + \widehat{A}x = x + \bar{A}x \) . 故 \( \bar{A} \) 是 m- 增生算子. \( \bar{A} \) 的唯一性可由 \( \widehat{A} \) 的唯一性推出. 证毕.
推论 2.3.2 假设定理 2.3.1 的条件成立. 如果 \( x \in X \) 满足 \( \bar{A}x \in X \) ,那么 \( x \in D\left( A\right) \) ,且 \( {Ax} = \bar{A}x. \)
证明 记 \( f = x + \bar{A}x \in X \) . 因为 \( A \) 是 \( \mathrm{m} \) - 增生的,所以存在 \( y \in D\left( A\right) \) ,使得 \( y + {Ay} = f \) . 从而由定理 2.3.1 的结论 (4) 知, \( \left( {x - y}\right) + \bar{A}\left( {x - y}\right) = 0 \) . 于是,由 \( \bar{A} \) 是增生的就可以推出 \( x = y \) . 证毕.
## \( §{2.4} \) Hilbert 空间中的线性算子
假设 \( H \) 是 Hilbert 空间, \( A \) 是 \( H \) 中的线性算子 (当 \( H \) 是复 Hilbert 空间时, \( A \) 是 \( H \) 中的 \( \mathbb{C} - \) 线性算子). 如果 \( H \) 是实 Hilbert 空间,就用 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 表示 \( H \) 中的实内积. 如果 \( H \) 是复 Hilbert 空间,那么存在一个连续的共轭双线性映射 \( b : H \times H \rightarrow \mathbb{C} \) , 满足
\[
b\left( {\mathrm{i}u, v}\right) = \mathrm{i}b\left( {u, v}\right) ,\;\forall u, v \in H,
\]
\[
b\left( {u, v}\right) = \overline{b\left( {u, v}\right) },\;\forall u, v \in H,
\]
\[
b\left( {u, u}\right) = \parallel u{\parallel }^{2},\;\forall u \in H.
\]
由此知, \( \langle \cdot , \cdot \rangle \mathrel{\text{:=}} \operatorname{Re}\left( {b\left( {u, v}\right) }\right) \) 是 \( H \) 中的实内积. 下面,无论 \( H \) 是实 Hilbert 空间还是复 Hilbert 空间,我们总用 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 表示 \( H \) 中的实内积.
定理 2.4.1 设 \( A \) 是 \( H \) 中的稠定线性算子,则 \( {\left\lbrack \overline{R\left( A\right) }\right\rbrack }^{ \bot } = \left\{ {y \in D\left( {A}^{ * }\right) }\right. \) : \( \left. {{A}^{ * }y = 0}\right\} \) .
证明 因为 \( \overline{D\left( A\right) } = H \) ,所以
\[
y \in {\left\lbrack \overline{\mathcal{R}\left( A\right) }\right\rbrack }^{ \bot } \Leftrightarrow \langle y,{Ax}\rangle = 0,\;\forall x \in D\left( A\right)
\]
\[
\Leftrightarrow y \in D\left( {A}^{ * }\right) \text{ 且 }\left\langle {{A}^{ * }y, x}\right\rangle = 0,\;\forall x \in D\left( A\right)
\]
\[
\Leftrightarrow y \in D\left( {A}^{ * }\right) \text{且}{A}^{ * }y = 0\text{.}
\]
证毕.
定理 2.4.2 线性算子 \( A \) 在 \( H \) 中是增生的当且仅当
\[
\langle {Ax}, x\rangle \geq 0,\;\forall x \in D\left( A\right) .
\]
(2.5)
证明 假设 \( A \) 是增生的,则有
\[
{2\lambda }\langle {Ax},\;x\rangle + {\lambda }^{2}\| {Ax}{\| }^{2} = \| x + {\lambda Ax}{\| }^{2} - \| x{\| }^{2} \geq 0,\;\forall \;\lambda > 0,\;x \in D\left(
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1701_《拓扑学基础》(作者)林金坤 科学1998年6月第1版
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定义 8.1
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定义 8.1 设 \( \left( {X,\mathcal{T}}\right) \) 是拓扑空间, \( \sim \) 是集合 \( X \) 上的等价关系. \( X/ \sim \) 是商集 (或等价类集合), \( p : X \rightarrow X/ \sim \) 定义为 \( p\left( x\right) = \left\lbrack x\right\rbrack \) ,即 \( x \) 的等价类, \( p \) 叫自然投射. \( X/ \sim \) 的子集族
\[
\mathcal{T}/ \sim = \{ W \subset X/ \sim \mid {p}^{-1}\left( W\right) \in T\}
\]
称为 \( \mathcal{T} \) 关于等价关系 \( \sim \) 的 高拓扑, \( \left( {X/ \sim ,\mathcal{T}/ \sim }\right) \) 称为 \( \left( {X,\mathcal{T}}\right) \) 关于等价关系 \( \sim \) 的 商空间.
命题 \( {8.2}\;p : X \rightarrow X/ \sim \) 是满映射,且商拓扑 \( \mathcal{T}/ \sim \) 是使自然投射 \( p \) 连续的最大拓扑.
证: 根据商拓扑的定义, \( X/ \sim \) 的任一开集 \( W \) ,必须有 \( {p}^{-1}\left( W\right) \) 是 \( X \) 的开集,故 \( p \) 连续且显然是满的.
另外,设 \( \mathcal{S} \) 是 \( X/ \sim \) 上拓扑使 \( p \) 连续. 若 \( V \in \mathcal{S} \) ,则 \( {p}^{-1}\left( V\right) \) 是 \( X \) 的开集,即 \( {p}^{-1}\left( V\right) \in \mathcal{T} \) . 由商拓扑的定义, \( V \in \mathcal{T}/ \sim \) . 故 \( \mathcal{S} \subset \mathcal{T}/ \sim \) .
下面是在商空间 \( X/ \sim \) 上定义连续映射的重要方法.
命题 8.3 设 \( f : X \rightarrow Y \) 为映射使当 \( x \sim {x}^{\prime } \) 有 \( f\left( x\right) = \) \( f\left( {x}^{\prime }\right) \) ,其中 \( x,{x}^{\prime } \in X, \sim \) 是 \( X \) 上等价关系. 则存在映射 \( g : X/ \sim \) \( \rightarrow Y \) 使 \( {gp} = f \) .
证: \( X/ \sim \) 的任一元素是 \( X \) 的某一点 \( x \) 的等价类 \( \left\lbrack x\right\rbrack \) ,定义 \( g\left\lbrack x\right\rbrack = f\left( x\right) \) . 对于 \( \left\lbrack x\right\rbrack \) 中的另一代表 \( {x}^{\prime } \) ,则 \( x \sim {x}^{\prime } \) . 由设, \( f\left( x\right) = f\left( {x}^{\prime }\right) \) ,因此 \( g \) 是唯一定义的,且显然有 \( {gp} = f \) . 下面证明 \( g \) . 连续. 对 \( Y \) 的任一开集 \( V,{p}^{-1}\left( {{g}^{-1}\left( V\right) }\right) = {\left( gp\right) }^{-1}\left( V\right) = \) \( {f}^{-1}\left( V\right) \) ,由 \( f \) 连续性, \( {f}^{-1}\left( V\right) \) 是 \( X \) 的开集. 由商拓扑的定义, \( {g}^{-1}\left( V\right) \) 是 \( X/ \sim \) 的开集,故 \( g \) 连续.
例 8.4 正方形 \( {I}^{2} \) 上定义等价关系: \( \left( {\varphi ,0}\right) \sim \left( {\varphi ,1}\right) ,\left( {0,\psi }\right) \) \( \sim \left( {1,\psi }\right) \) 而其它 \( \left( {\varphi ,\psi }\right) \sim \left( {{\varphi }^{\prime },{\psi }^{\prime }}\right) \) 当且仅当 \( \varphi = {\varphi }^{\prime },\psi = {\psi }^{\prime } \) ,其中 \( 0 \leq \varphi ,{\varphi }^{\prime } \leq 1,0 \leq \psi ,{\psi }^{\prime } \leq 1 \) ,商空间 \( {I}^{2}/ \sim \) 同胚于作为旋转面的环面 \( T \) (其参数方程见例 7.6),也同胚于乘积空间 \( {S}^{1} \times {S}^{1} \) , 我们证明如下.
根据例 7.6 中环面 \( T \) 的参数方程,我们有
\[
T = \left\{ {\left( {x, y, z}\right) \in {R}^{3}\; \mid \;x = \left( {2 + \cos {2\pi \varphi }}\right) \cos {2\pi \psi },}\right.
\]
\[
y = \left( {2 + \cos {2\pi \varphi }}\right) \sin {2\pi \psi }, z = \sin {2\pi \varphi }\} ,
\]
作对应 \( f : {I}^{2} \rightarrow T \) 为 \( f\left( {\varphi ,\psi }\right) = \left( {x, y, z}\right) \) ,则 \( f \) 连续,且 \( f\left( {\varphi ,0}\right) = \) \( f\left( {\varphi ,1}\right), f\left( {0,\psi }\right) = f\left( {1,\psi }\right) \) . 由命题 8.3,存在映射 \( g : {I}^{2}/ \sim \rightarrow T \) 使 \( {gp} = f \) ,即 \( g\left\lbrack {\varphi ,\psi }\right\rbrack = f\left( {\varphi ,\psi }\right) \) ,容易看出 \( g \) 是既单又满的映射. 因为 \( {I}^{2} \) 紧致, \( {I}^{2}/ \sim \) 是 \( {I}^{2} \) 在映射 \( p \) 之下的连续象,故 \( {I}^{2}/ \sim \) 紧致. \( T \) 是 \( {R}^{3} \) 的子空间,显然是 Haussdorff 空间. 由定理 \( {5.17}, g \) 是同胚.
同样的,作 \( {f}^{\prime } : {I}^{2} \rightarrow {S}^{1} \times {S}^{1} \) 使 \( {f}^{\prime }\left( {\varphi ,\psi }\right) = \left( {{e}^{i2\pi \varphi },{e}^{i2\pi \psi }}\right) \) . 因为 \( {S}^{1} \) 是单位圆周,它的每一点可用复数 \( {e}^{i2\pi \varphi }\left( {0 \leq \varphi \leq 1}\right) \) 表示,因此 \( {f}^{\prime }\left( {\varphi ,\psi }\right) \in {S}^{1} \times {S}^{1} \) ,而且 \( {f}^{\prime }\left( {\varphi ,0}\right) = {f}^{\prime }\left( {\varphi ,1}\right) ,{f}^{\prime }\left( {0,\psi }\right) = \) \( {f}^{\prime }\left( {1,\psi }\right) \) . 因此 \( {f}^{\prime } \) 导出既单又满的映射 \( {g}^{\prime } : {I}^{2}/ \sim \rightarrow {S}^{1} \times {S}^{1} \cdot {g}^{\prime } \) 也是同胚.
例 8.5 正方形一对对边反向粘合所得的商空间叫 Möbius 带: 
在正方形 \( {I}^{2} \) 上定义等价关系: \( \left( {0,{x}_{2}}\right) \sim \left( {1,1 - {x}_{2}}\right) \) ,其它的点 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \sim \left( {{x}_{1}^{\prime },{x}_{2}^{\prime }}\right) \) ,当且仅当 \( {x}_{1} = {x}_{1}^{\prime },{x}_{2} = {x}_{2}^{\prime } \) ,其中 \( 0 \leq {x}_{1} \) , \( {x}_{1}^{\prime } \leq 1,0 \leq {x}_{2},{x}_{2}^{\prime } \leq 1 \) ,则商空间 \( {I}^{2}/ \sim \) 就是 Möbius 带.
例 8.6 正方形一对对边同向粘合, 而另一对对边反向粘合, 则所得的商空间叫 Klein 瓶.
在 \( {I}^{2} \) 上定义等价关系: \( \left( {0,\psi }\right) \sim \left( {1,\psi }\right) ,\left( {\varphi ,0}\right) \sim \left( {1 - \varphi ,1}\right) \) ,其他的点 \( \left( {\varphi ,\psi }\right) \sim \left( {{\varphi }^{\prime },{\psi }^{\prime }}\right) \) 当且仅当 \( \varphi = {\varphi }^{\prime },\psi = {\psi }^{\prime } \) ,则商空间 \( {I}^{2}/ \sim \) 就是 Klein 瓶. 它是 \( {R}^{4} \) 的子空间 (证明从略),而在 \( {R}^{3} \) 中不可能实现. 上图只是一个示意图.
例 8.7 我们可通过三种途径得出射影几何中的重要研究对象 - 射影空间 \( R{P}^{n} \) .
(1) 作为 \( {R}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) 的粘合空间,在 \( {R}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) 中 \( x \sim y \) 当且仅当 \( x, y \) 在同一条过原点的直线上,即存在实数 \( \lambda \) 使 \( \lambda {x}_{i} = {y}_{i}\left( {1 \leq i \leq n + 1}\right) \)
(2) 作为 \( {S}^{n} \) 的粘合空间. \( {S}^{n} \) 中 \( x \sim y \) 当且仅当 \( x, y \) 是对径点,即 \( {x}_{i} = - {y}_{i}\left( {1 \leq i \leq n + 1}\right) \) .
(3) 作为 \( n \) 维球体 \( {E}^{n} \) 的粘合空间. \( {E}^{n} \) 的边界 \( {S}^{n - 1} \) 的每对对径点定义为等价, 此外每个点和自身等价.
容易看出, (1) 和 (2) 得出的商空间是一致的. 关于 (2) 和 (3) 可以这样理解. 由于球面 \( {S}^{n} \) 的对径点看作同一个点, 因此只须考虑半球面 \( {S}_{ + }^{n},{S}_{ + }^{n} \) 内部的点和自身等价而 \( {S}_{ + }^{n} \) 边界上每对对径点等价. 根据例 \( {4.9},{S}_{ + }^{n} \) 和 \( {E}^{n} \) 同胚,因此 (2) 和 (3) 得出的商空间一致.
例 8.8 空间 \( X \) 将子空间 \( A \) 所有点粘合为一个点所得的商空间常记为 \( X/A \) . 在 \( X \) 上定义等价关系: \( x \sim {x}^{\prime } \) 当且仅当 \( x,{x}^{\prime } \in A \) ,其它点和自身等价,则商空间 \( X/ \sim \) 就是 \( X/A \) . 例如 \( I/\{ 0,1\} \cong {S}^{1},{E}^{n}/{S}^{n - 1} \cong {S}^{n} \) ,其中同胚关系的证明留给读者. 我们将 \( X/A \) 叫做空间 \( X \) 对子空间 \( A \) 所作的商空间. 空间 \( X \) 和 \( Y \) 的不相交的并集 \( X \cup Y \) 对 \( \left\{ {{x}_{0},{y}_{0}}\right\} \) 所作的商空间 \( X \cup Y/\left\{ {{x}_{0},{y}_{0}}\right\} \) 叫做 \( X \) 与 \( Y \) 的 一点和,记为 \( X \vee Y \) . 这里 \( {x}_{0},{y}_{0} \) 分别是 \( X, Y \) 的给定的点.
最后我们讨论商映射及其一些性质.
定义 8.9 满映射 \( f : X \rightarrow Y \) 叫做 商映射 若对 \( Y \) 的每一子集 \( V, V \) 是 \( Y \) 的开集. \( \Leftrightarrow {f}^{-1}\left( V\right) \) 是 \( X \) 的开集.
显然,自然投射 \( p : X \rightarrow X/ \sim \) 是商映射,而且对任一商映射 \( f : X \rightarrow Y \) ,必存在 \( X \) 上的等价关系使 \( Y \cong X/ \sim \) .
命题 \( {8.10}\left( 1\right) \) 任意满开映射 (或满闭映射) 是商映射.
(2) 两个商映射的合成仍为商映射. (习题 1)
命题 8.11 设 \( f : X \rightarrow Y \) 为商映射, \( K \) 是局部紧 Hausdorff 空间,则 \( f \times {1}_{K} : X \times K \rightarrow Y \times K \) 仍是商映射.
证: 易知 \( f \times {1}_{K} \) 是满映射,故只须证明对 \( U \subset Y \times K \) 使 \( {\left( f \times {1}_{K}\right) }^{-1}\left( U\right) \) 是 \( X \times K \) 的开集, \( U \) 也是 \( Y \times K \) 的开集.
任 \( \left( {y, z}\right) \in U \) ,取一点 \( x \) 使 \( f\left( x\right) = y \) . 则 \( \left( {f \times 1}\right) \left( {x, z}\right) = \) \( \left( {y, z}\right) \) 且 \( \left( {x, z}\right) \in {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) . 因为这个集合是 \( X \times K \) 的开集,因此存在 \( X, K \) 的开集 \( {O}_{1},{O}_{2} \) 使 \( \left( {x, z}\right) \in {O}_{1} \times {O}_{2} \subset \) \( {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) . 由 \( K \) 局部紧,由 \( §5 \) 习题 9 中的定义易知, 存在开集 \( V \) 使 \( z \in V \subset \bar{V} \subset {O}_{2} \) 且 \( \bar{V} \) 紧致,故 \( x \times \bar{V} \subset \) \( {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) . 任 \( {z}^{\prime } \in \bar{V} \) ,存在 \( X, K \) 的开集 \( {A}_{{z}^{\prime }},{B}_{{z}^{\prime }} \) 使 \( \left( {x,{z}^{\prime }}\right) \in \) \( {A}_{{z}^{\prime }} \times {B}_{{z}^{\prime }} \subset {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) . 令 \( {\left\{ {B}_{{z}^{\prime }}\right\} }_{{z}^{\prime } \in \bar{V}} \) 是 \( \bar{V} \) 的开覆盖,有有限子覆盖 \( \left\{ {{B}_{{z}^{\prime }},\ldots ,{B}_{{z}^{\left( m\right) }}}\right\} \) . 令 \( W = {A}_{{z}^{\prime }} \cap \ldots \cap {A}_{{z}^{\left( m\right) }} \) ,这显然是 \( X \) 的开集,且 \( W \times \bar{V} \subset {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) . 我们取满足 \( W \times \bar{V} \subset {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) 的最大的 \( W \) ,仍记为 \( W \) . 可以证明 \( {f}^{-1}\left( {f\left( W\right) }\right) = W \) ,从而由 \( f \) 是商映射得出 \( f\left( W\right) \) 是 \( Y \) 的开集. 但 \( \left( {y, z}\right) \in f\left( W\right) \times V \subset U \) ,故 \( U \) 是 \( Y \times K \) 的开集.
一种下的只要证明 \( {f}^{-1}\left( {f\left( W\right) }\right) = W \) . 显然 \( W \subset {f}^{-1}\left( {f\left( W\right) }\right) \) . 反之任 \( {x}^{\prime } \in {f}^{-1}\left( {f\left( W\right) }\right) ,{z}^{\prime } \in \bar{V} \) 有 \( \left( {f \times 1}\right) \left( {{x}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) = \left( {f\left( {x}^{\prime }\right) ,{z}^{\prime }}\right) \in \) \( f\left( W\right) \times \bar{V} \subset U \) ,故 \( {x}^{\prime } \times \bar{V} \subset {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) . 和上面的方法相同,因此存在开集 \( {W}^{\prime } \) ,使 \( {W}^{\prime } \times \bar{V} \subset {\left( f \times 1\right) }^{-1}\left( U\right) \) . 由我们选取的 \( W \) 的最大性, \( {x}^{\prime } \in {W}^{\prime } \subset W \) ,因此 \( {f}^{-1}f\left( W\right) \subset W \) .
## 习 题
1. 证明: 命题 8.10.
2. 用商空间精确描述下列空间:
(1) 圆柱面将它的上底圆周和下底圆周同向粘合.
(2) 二维球面 \( {S}^{2} \) 将它的赤道圆粘合成一个点.
(3) 欧氏平面 \(
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1337_[谭小江] 多复分析与复流形引论
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定义 6.1.6
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定义 6.1.6 设 \( \pi : Y \rightarrow X \) 是 \( X \) 上的层, \( {Y}_{1} \subset Y \) 是 \( Y \) 的开子集, 如果 \( {Y}_{1} \) 满足: 对于任意点 \( P \in X,{Y}_{1} \cap {\pi }^{-1}\left( P\right) \) 都是 \( {\pi }^{-1}\left( P\right) \) 的子群, 则称 \( {Y}_{1} \) 为 \( Y \) 的子层.
例如,当 \( M \) 是复流形时, \( M \) 上解析函数的芽层是 \( M \) 上光滑函数芽层的子层,而光滑函数的芽层是 \( M \) 上连续函数芽层的子层.
如果 \( f : {Y}_{1} \rightarrow {Y}_{2} \) 是层同态,则不难看出 \( \operatorname{Im}\left( f\right) \) 是 \( {Y}_{2} \) 的子层,而如果令
\[
\operatorname{Ker}\left( f\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{P \in X}}\operatorname{Ker}\left\{ {f : {Y}_{1P} \rightarrow {Y}_{2P}}\right\}
\]
则 \( \operatorname{Ker}\left( f\right) \) 是 \( {Y}_{1} \) 的子层 (证明留给读者).
定义 6.1.7 设 \( {Y}_{1},{Y}_{2},{Y}_{3} \) 是拓扑空间 \( X \) 上的层, \( f : {Y}_{1} \rightarrow {Y}_{2} \) 和 \( g : {Y}_{2} \rightarrow {Y}_{3} \) 都是层同态,如果 \( f \) 和 \( g \) 满足 \( \operatorname{Im}\left( f\right) = \operatorname{Ker}\left( g\right) \) ,即对于任意点 \( P \in X \) ,恒有
\[
\operatorname{Im}\left\{ {{Y}_{1P}\overset{f}{ \rightarrow }{Y}_{2P}}\right\} = \operatorname{Ker}\left\{ {{Y}_{2P}\overset{g}{ \rightarrow }{Y}_{3P}}\right\}
\]
则称序列 \( {Y}_{1}\overset{f}{ \rightarrow }{Y}_{2}\overset{g}{ \rightarrow }{Y}_{3} \) 是层同态的正合序列.
正合序列的概念是层理论中经常用到的概念.
例 4 我们通常以 0 表示由 \( \widetilde{Y} = X \times \{ 0\} \) 得到的拓扑空间 \( X \) 上的层,称为 \( X \) 的零层. 对于 \( X \) 上任意的层 \( Y \) ,我们用 \( 0 \rightarrow Y \) 和 \( Y \rightarrow 0 \) 表示平凡同态. 现设 \( Y \) 是 \( X \) 上的 Abel 层, \( {Y}_{1} \) 是 \( Y \) 的子层,则 \( 0 \rightarrow \) \( {Y}_{1} \rightarrow Y \) 是正合序列. 反之,如果 \( 0 \rightarrow {Y}_{1} \rightarrow Y \) 是正合序列,则 \( {Y}_{1} \) 与 \( Y \) 的一个子层同构.
现设 \( {Y}_{1} \) 是 Abel 层 \( Y \) 的一个子层,对于任意点 \( P \in X \) ,由于 \( {Y}_{1P} \) 是 \( {Y}_{P} \) 的子群,令 \( {\left( Y/{Y}_{1}\right) }_{P} = {Y}_{P}/{Y}_{1P} \) ,
\[
Y/{Y}_{1} = \mathop{\bigcup }\limits_{{P \in X}}{\left( Y/{Y}_{1}\right) }_{P}
\]
而 \( \pi : Y/{Y}_{1} \rightarrow X \) 为投影,定义 \( h : Y \rightarrow Y/{Y}_{1} \) 为商映射 \( h : {Y}_{P} \rightarrow \) \( {\left( Y/{Y}_{1}\right) }_{P} \) . 利用这一映射,在 \( Y/{Y}_{1} \) 上定义拓扑为: \( U \subset Y/{Y}_{1} \) 为开集当且仅当 \( {h}^{-1}\left( U\right) \) 是 \( Y \) 中的开集. 在这些定义的基础上,不难得到 \( \pi \) : \( Y/{Y}_{1} \rightarrow X \) 也是 \( X \) 上的层. 为此只需证明 \( \pi : Y/{Y}_{1} \rightarrow X \) 是局部同胚,而 \( Y/{Y}_{1} \) 中的群运算是连续的. 我们将这些证明留给读者作为练习. 层 \( \pi : Y/{Y}_{1} \rightarrow X \) 称为层 \( Y \) 关于其子层 \( {Y}_{1} \) 的商层.
对于商层我们有正合序列
\[
Y \rightarrow Y/{Y}_{1} \rightarrow 0
\]
反之,如果我们有层同态的正合序列 \( Y \rightarrow {Y}_{2} \rightarrow 0 \) ,则层 \( {Y}_{2} \) 同构于商层 \( Y/\operatorname{Ker}\left\{ {Y \rightarrow {Y}_{2}}\right\} \) .
利用上面这些讨论,现在我们来研究预层与层的关系. 首先设 \( \pi \) : \( Y \rightarrow X \) 是 \( X \) 上的层,利用 \( Y \) 的截影群,我们得到 \( X \) 上的预层 \( \mathcal{W} = \) \( \left\{ {U,\Gamma \left( {U, Y}\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) ; 再利用这一预层的芽,我们又能构造出 \( X \) 上一个新的层 \( \widetilde{Y} \) . 这时对于任意 \( P \in X, y \in {Y}_{P} \) ,由于 \( \pi : Y \rightarrow X \) 是局部同胚, 因而总是存在 \( y \) 在 \( Y \) 中的一个邻域 \( U \) ,使得 \( \pi \) 限制在 \( U \) 上是同胚映射,而 \( \pi \) 的逆映射是 \( \pi \left( U\right) \) 上的截影,这一截影在 \( P \) 点的值是 \( y \) . 如果我们以 \( \widetilde{y} \) 表示这一截影对于预层 \( \mathcal{W} = \left\{ {U,\Gamma \left( {U, Y}\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 在 \( P \) 点确定的芽,则 \( \widetilde{y} \in {\widetilde{Y}}_{p} \) 由 \( y \) 唯一确定,我们得到了一个映射 \( y \mapsto \widetilde{y} \) ,由此得映射 \( Y \rightarrow \widetilde{Y} \) . 不难验证这一映射是单射,同时也是满射,因而是层的同构映射. 这样当我们从层出发, 利用其截影构造预层, 然后再用预层的芽构造层时, 我们得到的仍然是原来的层, 即
\[
Y \rightarrow \mathcal{W} = \left\{ {U,\Gamma \left( {U, Y}\right) ,{P}_{UV}}\right\} \rightarrow \widetilde{Y}
\]
是一同构过程.
反过来,设 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 是 \( X \) 上的一个预层, \( Y \) 是由 \( \mathcal{W} \) 构造的层, \( \widetilde{\mathcal{W}} = \left\{ {U,\Gamma \left( {U, Y}\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 是由 \( Y \) 的截影定义的预层. 这时对于任意开集 \( U \subset X \) ,以及任意 \( s \in G\left( U\right), P \in U \) ,令 \( s\left( P\right) \) 为 \( s \) 在 \( P \) 点定义的芽,则映射 \( P \mapsto s\left( P\right) \) 是层 \( Y \) 在 \( U \) 上的一个截影,由此我们得到一个预层的同态映射
\[
{f}_{U} : G\left( U\right) \rightarrow \Gamma \left( {U, Y}\right)
\]
一般来说, \( {f}_{U} : G\left( U\right) \rightarrow \Gamma \left( {U, Y}\right) \) 并不是同构映射. 我们关心的问题是: 在什么条件下, \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 与 \( \widetilde{\mathcal{W}} = \left\{ {U,\Gamma \left( {U, Y}\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 同构. 对此我们有下面的定义.
定义 6.1.8 拓扑空间 \( X \) 上的预层 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 称为完备预层,如果对于 \( X \) 的任意开集 \( U \) ,以及 \( U \) 的任意一个开覆盖 \( {\left\{ {V}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) ,下面两个条件成立:
(1) 如果 \( a, b \in G\left( U\right) \) 满足对于任意 \( \alpha \in A \) ,恒有 \( {P}_{U{V}_{\alpha }}\left( a\right) = \) \( {P}_{U{V}_{\alpha }}\left( b\right) \) ,则 \( a = b \) ;
(2) 如果对每一个 \( \alpha \in A \) ,能够选取一个元素 \( {s}_{\alpha } \in G\left( {V}_{\alpha }\right) \) ,满足当 \( {V}_{\alpha } \cap {V}_{\beta } \neq \varnothing \) 时,
\[
{P}_{{V}_{\alpha }\left( {{V}_{\alpha } \cap {V}_{\beta }}\right) }\left( {s}_{\alpha }\right) = {P}_{{V}_{\beta }\left( {{V}_{\alpha } \cap {V}_{\beta }}\right) }\left( {s}_{\beta }\right)
\]
则存在 \( s \in G\left( U\right) \) ,使得 \( {s}_{\alpha } = {P}_{U{V}_{\alpha }}\left( s\right) \) .
设 \( Y \) 是由预层 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 的截影构造的层,利用 \( Y \) ,上面关于完备预层的定义可以作如下的几何解释: 定义中的第一个条件表示完备预层中的两个元素如果局部相等, 则必须整体相等, 因而映射 \( G\left( U\right) \rightarrow \Gamma \left( {U, Y}\right) \) 是单射; 而定义中的第二个条件则表明局部给出的元素如果在公共部分相同, 则能够通过拼接得到一个整体的元素, 由此能够得到映射 \( G\left( U\right) \rightarrow \Gamma \left( {U, Y}\right) \) 是满射. 例如,由一个层 \( Y \) 的截影构造的预层 \( \mathcal{W} = \left\{ {U,\Gamma \left( {U, Y}\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 都是完备预层. 利用完备预层的这些性质, 我们有下面定理.
定理 6.1.1 设 \( Y \) 是由预层 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 构造的层, \( \widetilde{\mathcal{W}} = \) \( \left\{ {U,\Gamma \left( {U, Y}\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 是由 \( Y \) 的截影构造的预层,则预层 \( \mathcal{W} \) 与 \( \widetilde{\mathcal{W}} \) 同构的充分必要条件是预层 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 是完备预层.
定理 6.1.1 的证明留作练习, 以帮助读者进一步熟悉层的性质. 利用定理 6.1.1 , 我们得到完备预层与层之间是一一对应的. 在下面的讨论中, 我们总是假定所有考虑的预层都是完备预层.
下面我们给出一些在后面讨论中经常用到的层的例子.
例 5 设 \( M \) 是复流形,我们用 \( \theta \left( M\right) \) 和 \( a\left( M\right) \) 分别表示 \( M \) 上解析函数和光滑函数的芽层. 如果 \( \pi : E \rightarrow M \) 是 \( M \) 上的全纯向量丛,则我们用 \( \theta \left( E\right) \) 和 \( a\left( E\right) \) 分别表示 \( E \) 的全纯截影和光滑截影的芽层.
例 6 设 \( M \) 是复流形,对于任意开集 \( U \subset M \) ,令 \( G\left( U\right) \) 为由 \( U \) 上处处不为零的解析函数全体利用乘法运算构成的 Abel 群, \( {P}_{UV} \) 为限制映射,则 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 是 \( X \) 上的预层,由其定义的层表示为 \( {\theta }^{ * }\left( M\right) \) ,称为 \( M \) 上的处处不为零的解析函数的芽层.
例 7 设 \( M \) 是复流形, \( \pi : E \rightarrow M \) 是 \( M \) 上的全纯向量丛,我们用 \( {a}^{\left( p, q\right) }\left( M\right) \) 和 \( {a}^{\left( p, q\right) }\left( E\right) \) 分别表示 \( M \) 上光滑的 \( \left( {p, q}\right) \) - 形式的芽层和 \( M \) 上光滑的 \( E \) - 值 \( \left( {p, q}\right) \) - 形式的芽层,用 \( {\Omega }^{p}\left( M\right) \) 和 \( {\Omega }^{p}\left( E\right) \) 分别表示 \( M \) 上全纯的 \( \left( {p,0}\right) \) - 形式和全纯的 \( E \) - 值 \( \left( {p,0}\right) \) - 形式的芽层.
例 8 设 \( G \) 是一 Abel 群, \( G \) 上给定了离散拓扑. 设 \( X \) 是一拓扑空间,对于 \( X \) 中的任意开集 \( U \) ,令 \( G\left( U\right) \) 为由 \( U \) 到 \( G \) 的所有连续映射构成的 Abel 群,而对于开集 \( V \subset U \) ,令 \( {P}_{UV} \) 为限制映射, 则 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 是 \( X \) 上的预层,由这一预层定义的层称为 \( X \) 的 \( G \) 值连续函数的芽层.
例 9 设 \( G \) 是一 Abel 群, \( G \) 上给定了离散拓扑. 设 \( X \) 是一 Hausdorff 拓扑空间, \( {P}_{1},\cdots ,{P}_{n} \) 是 \( X \) 中任意给定的点. 对于 \( X \) 的任意开集 \( U \) ,如果存在 \( i \in \{ 1,\cdots, n\} \) ,使得 \( {P}_{i} \in U \) ,则令 \( G\left( U\right) = G \) ,否则令 \( G\left( U\right) = \{ 0\} \) ; 如果开集 \( V \subset U \) ,并且 \( G\left( U\right) = G\left( V\right) = G \) ,令 \( {P}_{UV} \) 为恒等映射,其他情况都令 \( {P}_{UV} \) 为零映射. 这时 \( \mathcal{W} = \left\{ {U, G\left( U\right) ,{P}_{UV}}\right\} \) 是 \( X \) 上的预层. 由 \( \mathcal{W} \) 定义的 \( X \) 上的层 \( Y \) 满足: \( {Y}_{{P}_{i}} = G, i = 1,\cdots, n \) ; 而如果点 \( P \notin \left\{ {{P}_{1},\cdots ,{P}_{n}}\right\} \) ,则 \( {Y}_{P} = \{ 0\} \) . 一般称如此定义的层为点 \( {P}_{1},\cdots ,{P}_{n} \) 上的摩天大厦层(skyscraper sheaf). 不难看出,这个层不是 Hausdorff 拓扑空间 (见下图 6.1.2).
图 6.1.2
## §6.2 层的同调理论 - Cech 同调群
这一节我们将给出层同调群的定义. 下面如果没有特别说明, 我们都假定所考虑的层是 Abel 层, 即层的群运算是可交换的.
上面我们在引入层的概念时, 特别说明了希望利用层来描述一个局部有解的问题在通过局部解来获得整体解时可能碰到的阻碍. 下面我们以复流形上的 Cousin 问题 II 为例来说明怎样定义层的同调群, 以及怎样将上面这种阻碍化为同调群中的元素.
Cousin 问题 II 设 \( M \) 是复流形,问 \( M \) 上是否存在亚纯函数使之具有给定的零点和极点.
对于 Cousin 问题 II, 首先假定问题是局部有解的, 因而 Cousin 问题 II 可以表示为: 设存在复流形 \( M \) 的一个开覆盖 \( \mathcal{U} = \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) ,并且在每一个 \( {U}_{\alpha } \) 上给定了一个亚纯函数 \( {f}_{\alpha } \) ,满足当 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \neq \varnothing \) 时, \( {f}_{\alpha }/{f}_{\beta } \) 在 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) 上是处处不为零的解析函数,问是否存在 \( M \) 上的亚纯函数 \( f \) ,使得在每一个 \( {U}_{\alpha } \) 上, \( {f}_{\alpha }/f \) 都是处处不为零的解析函数.
集合 \( \left\{ {{U}_{\alpha },{f}_{\alpha }}\right\} \) 就是 Cousin 问题 II 的局部解,问题是怎样通过它得到整体解 \( f \) 呢? 对此,我们需要考虑不同的局部解在公共部分上的差异. 因此当 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \neq \varnothing \) 时,在 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) 上,令
\[
{h}_{\alpha \beta } = \frac{{f}_{\alpha }}{{f}_{\beta }}
\]
则与 \( {f}_{\alpha } \) 的亚纯性不同, \( {h}_{\alpha \beta } \) 是 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) 上处处不为零的解析函数,而集合 \( \left\{ {h}_{\alpha \beta }\right\} \) 就构成了从局部解到整体解的阻碍. 这时 \( \left\{ {h}_{\alpha \beta }\right\} \) 是对开覆盖 \( \mathcal{U} = \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 中每一对交不为空集的元素 \( {U}_{\alpha } \) 和 \( {U}_{\beta } \) ,在开集 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) 上给定一个处处不为零的解析函数 \( {h}_{\alpha \beta } \) 后,由这些函数组成的集合,其中的函数满足
\[
{h}_{\alpha \beta } \cdot {h}_{\beta \alpha } = 1,\;{h}_{\alpha \beta } \cdot {h}_{\beta \gamma } \cdot {h}_{\gamma \alpha } = 1.
\]
\( \left( {6.2.1}\right) \)
现在我们希望用层与层同调论的语言来描述阻碍 \( \lef
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1353_[陈家鼎&孙山泽&李东风&刘力平] 数理统计学讲义
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定义 4.1
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定义 4.1 称 \( x \) 的函数 \( {F}_{n}\left( x\right) \) 为 \( X \) 的经验分布函数.
注意，
\[
{F}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{I}_{( - \infty, x\rbrack }\left( {X}_{i}\right)
\]
这里 \( {I}_{A} \) 表示 \( A \) 的示性函数. 根据强大数律知
\[
P\left( {\mathop{\lim }\limits_{n}{F}_{n}\left( x\right) = F\left( x\right) }\right) = 1\;\left( {-\text{切 }x}\right)
\]
这是经验分布函数逼近理论分布函数的理论根据. \( {F}_{n}\left( x\right) \) 的表达式可以写得更清楚些. 将 \( {X}_{1},\cdots ,{X}_{n} \) 按值从小到大排列,得到 \( {X}_{\left( 1\right) } \leq {X}_{\left( 2\right) } \leq \cdots \leq {X}_{\left( n\right) } \) 其中 \( {X}_{\left( i\right) } \) 叫做第 \( i \) 个次序统计量 \( (i = 1 \) , \( 2,\cdots, n) \) . 易知
\[
{F}_{n}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < {X}_{\left( 1\right) } \\ \frac{k}{n}, & x \in \left\lbrack {{X}_{\left( k\right) },{X}_{\left( k + 1\right) }}\right) \left( {k = 1,2,\cdots, n - 1}\right) \\ 1, & x \geq {X}_{\left( n\right) } \end{array}\right.
\]
我们有下列更强的结论:
定理 4.1 (Glivenko - Cantelli) 设 *
\[
{D}_{n} = \mathop{\sup }\limits_{x}\left| {{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) }\right|
\]
则
\[
P\left( {\mathop{\lim }\limits_{n}{D}_{n} = 0}\right) = 1
\]
证明: 设 \( \gamma \) 是任一正整数, \( k = 1,2,\cdots ,\gamma \) . 令
\[
{x}_{\gamma, k} = \inf \left\{ {x : F\left( x\right) \geq \frac{k}{\gamma }}\right\} \;\left( {\inf \varnothing = \infty }\right)
\]
设 \( x \in \left\lbrack {{x}_{\gamma, k},{x}_{\gamma, k + 1}}\right) \) ,则
\[
{F}_{n}\left( {x}_{\gamma, k}\right) \leq {F}_{n}\left( x\right) \leq {F}_{n}\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right)
\]
\[
F\left( {x}_{\gamma, k}\right) \leq F\left( x\right) \leq F\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right)
\]
于是
\[
{F}_{n}\left( {x}_{\gamma, k}\right) - F\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right) \leq {F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right)
\]
\[
\leq {F}_{n}\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right) - F\left( {x}_{\gamma, k}\right)
\]
由于
\[
F\left( {{x}_{\gamma, k} - 0}\right) \leq \frac{k}{\gamma } \leq F\left( {x}_{\gamma, k}\right) \leq F\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right)
\]
\[
\leq \frac{k + 1}{\gamma } \leq F\left( {x}_{\gamma, k + 1}\right)
\]
故
\[
0 \leq F\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right) - F\left( {x}_{\gamma, k}\right) \leq \frac{1}{\gamma }
\]
从而
\[
{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) \leq {F}_{n}\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right) - F\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right) + \frac{1}{\gamma }
\]
\[
{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) \geq {F}_{n}\left( {x}_{\gamma, k}\right) - F\left( {x}_{\gamma, k}\right) - \frac{1}{\gamma }
\]
于是
\[
\left| {{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) }\right| \leq \left| {{F}_{n}\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right) - F\left( {{x}_{\gamma, k + 1} - 0}\right) }\right|
\]
\[
+ \left| {{F}_{n}\left( {x}_{\gamma, k}\right) - F\left( {x}_{\gamma, k}\right) }\right| + \frac{1}{\gamma }
\]
其中 \( x \in \left\lbrack {{x}_{\gamma, k},{x}_{\gamma, k + 1}}\right) \left( {k = 1,2,\cdots ,\gamma - 1}\right) \) .
当 \( x < {x}_{\gamma ,1} \) 时,
\[
{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) \leq {F}_{n}\left( {{x}_{\gamma ,1} - 0}\right) \leq \left| {{F}_{n}\left( {{x}_{\gamma ,1} - 0}\right) - F\left( {{x}_{\gamma ,1} - 0}\right) }\right| + \frac{1}{\gamma },
\]
\[
F\left( x\right) - {F}_{n}\left( x\right) \leq F\left( {{x}_{\gamma ,1} - 0}\right) \leq \frac{1}{\gamma },
\]
从而
\[
\left| {{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) }\right| \leq \left| {{F}_{n}\left( {{x}_{\gamma ,1} - 0}\right) - F\left( {{x}_{\gamma ,1} - 0}\right) }\right| + \frac{1}{\gamma }
\]
当 \( x \geq {x}_{\gamma ,\gamma } \) 时, \( F\left( x\right) = 1 \) ,故
\[
\left| {{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) }\right| = F\left( x\right) - {F}_{n}\left( x\right) \leq F\left( {x}_{\gamma ,\gamma }\right) - {F}_{n}\left( {x}_{\gamma ,\gamma }\right)
\]
\[
= \left| {{F}_{n}\left( {x}_{\gamma ,\gamma }\right) - F\left( {x}_{\gamma ,\gamma }\right) }\right|
\]
(注意,我们规定 \( F\left( \infty \right) = {F}_{n}\left( \infty \right) = 1 \) ).
总之有
\[
\mathop{\sup }\limits_{x}\left| {{F}_{n}\left( x\right) - F\left( x\right) }\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\gamma }\left| {{F}_{n}\left( {{x}_{\gamma, k} - 0}\right) - F\left( {{x}_{\gamma, k} - 0}\right) }\right|
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\gamma }\left| {{F}_{n}\left( {x}_{\gamma, k}\right) - F\left( {x}_{\gamma, k}\right) }\right| + \frac{1}{\gamma }
\]
令
\[
{A}_{\gamma, k} = \left\{ {\mathop{\lim }\limits_{n}{F}_{n}\left( {{x}_{\gamma, k} - 0}\right) = F\left( {{x}_{\gamma, k} - 0}\right) }\right.
\]
且
\[
\left. {\mathop{\lim }\limits_{n}{F}_{n}\left( {x}_{\gamma, k}\right) = F\left( {x}_{\gamma, k}\right) }\right\} \;\left( {k = 1,2,\cdots ,\gamma }\right)
\]
由于
\[
{F}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{1}^{n}{I}_{( - \infty, x\rbrack }\left( {X}_{i}\right) ,{F}_{n}\left( {x - 0}\right) = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{1}^{n}{I}_{\left( -\infty, x\right) }\left( {X}_{i}\right)
\]
从强大数律知
\[
P\left( {A}_{\gamma, k}\right) = 1\;\left( {\gamma \geq 1, k = 1,\cdots ,\gamma }\right)
\]
令 \( A = \mathop{\bigcap }\limits_{{r = 1}}^{\infty }\mathop{\bigcap }\limits_{{k = 1}}^{r}{A}_{\gamma, k} \) ,易知 \( P\left( A\right) = 1 \) . 但是
\[
A \subset \left\{ {\mathop{\lim }\limits_{n}{D}_{n} = 0}\right\}
\]
所以
\[
P\left( {\mathop{\lim }\limits_{n}{D}_{n} = 0}\right) = 1
\]
证毕.
经过现代的深入研究,还可以证明: 对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在常数 \( C \) (与 \( n \) 无关),使得
\[
P\left( {{D}_{n} > \varepsilon }\right) \leq C{\mathrm{e}}^{-n{\varepsilon }^{2}}\;\left( {n \geq 1}\right)
\]
在实际工作中有时需要估计分布函数的分位数. 设 \( {x}_{p} \) 是 \( F\left( x\right) \) 的 \( p \) 分位数 \( \left( {0 < p < 1}\right) \) ,即
\[
F\left( {x}_{p}\right) \geq p \geq F\left( {{x}_{p} - 0}\right)
\]
(即 \( P\left( {X \leq {x}_{p}}\right) \geq p \geq P\left( {X < {x}_{p}}\right) \) )
若 \( {X}_{\left( 1\right) },\cdots ,{X}_{\left( n\right) } \) 是样本 \( {X}_{1},\cdots ,{X}_{n} \) 的次序统计量, \( \gamma = \left\lbrack {np}\right\rbrack + 1 \) ,我们可用第 \( r \) 个次序统计量 \( {X}_{\left( r\right) } \) 作为 \( {x}_{p} \) 的估计量. 可以证明,只要方程 “ \( F\left( x\right) = p \) ”至多一个根 (此时 \( {x}_{p} \) 唯一),则样本量无限增大时 \( {X}_{\left( r\right) } \) 就是 \( {x}_{p} \) 的强相合估计:
例 4.1 某食品厂用自动装罐机生产额定净重为 \( {345}\mathrm{\;g} \) 的午餐肉罐头, 由于随机性, 每个罐头的净重都有些差别. 现从生产线上随机抽取 10 个罐头, 秤其净重, 得下列数据 (单位: g):
\( \begin{array}{llllll} {344} & {336} & {345} & {342} & {340} & {338} \end{array} \)
344 343 344 343
试求该生产线上生产出的罐头的净重的分布函数, 并估计其中位数.
解 我们用经验分布函数 \( {F}_{10}\left( x\right) \) 作为分布函数的估计. 将样本值从小到大排列: \( {336},{338},{340},{342},{343},{343},{344},{344},{344} \) , 345,于是可得经验分布函数 \( {F}_{10}\left( x\right) \) 如下:
\[
{F}_{10}\left( x\right) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < {336} \\ \frac{1}{10}, & {336} \leq x < {338} \\ \frac{2}{10}, & {338} \leq x < {340} \\ \frac{3}{10}, & {340} \leq x < {342} \\ \frac{4}{10}, & {342} \leq x < {343} \\ \frac{6}{10}, & {343} \leq x < {344} \\ \frac{9}{10}, & {344} \leq x < {345} \\ 1, & x > {345} \end{matrix}\right.
\]
这就是分布函数的近似值. 注意 \( p = \frac{1}{2} \) 时, \( \left\lbrack {pn}\right\rbrack + 1 = 6 \) . 故可用 \( {x}_{\left( 6\right) } \) 作为中位数 \( {x}_{\frac{1}{2}} \) 的估计. 即罐头净重的中位数约为 \( {343}\mathrm{\;g} \) .
如果随机变量 \( X \) 有密度函数 \( p\left( x\right) \) ,则应研究密度函数 \( p\left( x\right) \) 如何估计. 因为密度函数更能直观地刻画出概率分布的特性 (如对称性、峰值等等), 如何估计的问题显得很重要. 特别是多维随机向量情形, 分布函数用处较小, 又不便于处理, 估计密度函数意义更大, 在图像识别及多元判决中要用到. 这里仅讨论一维随机变量的密度估计问题. 估计方法有很多种, 这里首先介绍历史悠久, 现在仍在广泛使用的直方图法, 然后介绍近 40 年发展起来的核估计法和最近邻估计法. 下面考虑的随机变量均是连续型的.
## (一) 直方图法
设 \( {X}_{1},\cdots ,{X}_{n} \) 是来自密度为 \( f\left( x\right) \) 的总体的样本,用 \( {R}_{n}\left( {a, b}\right) \) 表示诸 \( {X}_{i} \) 中落在区间 \( (a, b\rbrack \) 的个数. 显然积分 \( {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \) 可用频率 \( \frac{1}{n}{R}_{n}\left( {a, b}\right) \) 来估计. 由微分学中值定理知存在 \( {x}_{0} \in (a, b\rbrack \) 使得
\[
f\left( {x}_{0}\right) = \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
故可用
\[
{f}_{n}\left( {x}_{0}\right) = \frac{1}{n\left( {b - a}\right) }{R}_{n}\left( {a, b}\right)
\]
作为 \( f\left( {x}_{0}\right) \) 的估计值. 如果 \( f\left( x\right) \) 在 \( (a, b\rbrack \) 上连续,又 \( b - a \) 很小,则可用 \( {f}_{n}\left( {x}_{0}\right) \) 作为 \( f\left( x\right) \) 的近似值 (一切 \( x \in \left( {a, b\rbrack }\right) \) .
更确切地叙述如下: 设 \( \left\{ {{t}_{i} : i = 0,1,\cdots, m}\right\} \) 是 \( m + 1 \) 个数: \( - \infty < {t}_{0} < {t}_{1} < \cdots < {t}_{m} < \infty \) . 通常假定 \( {t}_{i + 1} - {t}_{i} \equiv h > 0(i = 0,1,\cdots \) , \( m - 1) \) . 令
\[
{f}_{n}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{nh}{R}_{n}\left( {{t}_{i},{t}_{i + 1}}\right) , & \text{ 当 }x \in \left( {{t}_{i},{t}_{i + 1}}\right\rbrack, i = 0,1,\cdots, m - 1 \\ 0, & \text{ 当 }x \leq {t}_{0}\text{ 或 }x > {t}_{m} \end{array}\right.
\]
(4.1)
用 \( {f}_{n}\left( x\right) \) 作为 \( f\left( x\right) \) 的估计. 这就是直方图估计法.
实际使用时,将样本值 \( {X}_{1},\cdots ,{X}_{n} \) 从小到大排列,得 \( {X}_{\left( 1\right) } \leq \cdots \) \( \leq {X}_{\left( n\right) } \) ,取 \( a \) 为比 \( {X}_{\left( 1\right) } \) 略小的数, \( b \) 为比 \( {X}_{\left( n\right) } \) 略大的数. 将区间 \( (a, b\rbrack m \) 等分. 分点
\[
{t}_{i} = a + i\frac{b - a}{m}\;\left( {i = 0,1,\cdots, m}\right)
\]
设样本落入 \( \left( {{t}_{i},{t}_{i + 1}}\right\rbrack \) 之频数为 \( {\nu }_{i} \) ,在数轴上作以 \( \left\lbrack {{t}_{i},{t}_{i + 1}}\right\rbrack \) 为底,以 \( {\nu }_{i}/\left( {nh}\right) \) 为高的长方形 (这里 \( h = {t}_{i + 1} - {t}_{i} = \left( {b - a}\right) /m \) ),这一列矩形叫做直方图. 注意
第 \( i \) 个长方形的面积 \( = \frac{{\nu }_{i}}{n} \doteq {\int }_{{t}_{i}}^{{t}_{i + 1}}f\left( y\right) \mathrm{d}y \)
在直方图法中 \( m \) 的大小没有硬性规定,当样本量 \( {n}^{r} \) 小时, \( m \)
也应小些; \( n \) 大时, \( m \) 则大些 (比如, \( n = {100} \) 时 \( m \) 可取 12). ①
我们详细叙述下列例子, 读者可从中掌握直方图法.
例 4.2 某炼钢厂生产了一种钢 \( {25}\mathrm{{Mn}}\mathrm{{Si}} \) ,由于各种偶然因素的影响,各炉钢的含 \( \mathrm{{Si}} \) 量是有差异的,因而应把含 \( \mathrm{{Si}} \) 量 \( X \) 看成一个随机变量, 现在看看它的概率密度函数是怎样的?
为了确定密度函数,记录了 120 炉正常生产的 \( {25}\mathrm{{Mn}} \) Si 钢的
<table><tr><td colspan="7">含 \( \mathrm{{Si}} \) 量的数据 (百分数).1</td></tr><tr><td></td><td>0.86</td><td>0.83</td><td>0.77</td><td>0.81</td><td>.0.81</td><td>0.
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1248_[冯荣权&宋春伟] 组合数学
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定义 9.5.1
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定义 9.5.1 设 \( G \) 为一个 \( v \) 阶 Abel 群, \( G \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集是 \( G \) 的一个 \( k \) -子集 \( D \) ,使得 \( G \) 中每个非零元素都在由 \( D \) 中元素的差组成的多重集 \( M \) 中出现 \( \lambda \) 次.
显然,若存在群 \( G \) 上的 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集,则必有 \( \lambda \left( {v - 1}\right) = k\left( {k - 1}\right) \) . 对 \( S \subseteq G \) 和 \( g \in G \) ,定义 \( S + g = \{ x + g \mid x \in S\} \) ,称之为 \( S \) 被 \( g \) 的平移或移位. 容易验证, \( D \) 是 \( G \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集当且仅当对任意 \( g \in G, g \neq 0 \) ,有 \( \left| {D \cap \left( {D + g}\right) }\right| = \lambda \) .
在进一步讨论差集之前, 先来看差集在通信领域的一个简单应用. 通信中序列的自相关性是判断序列好坏的一个重要指标. 设 \( s = \) \( \left( {{s}_{0},{s}_{1},\cdots ,{s}_{v - 1}}\right) \) 是 \( {\mathbb{F}}_{2} \) 上的一个周期为 \( v \) 的序列,它的自相关函数定义为
\[
{A}_{s}\left( i\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{v - 1}}{\left( -1\right) }^{{s}_{j} + {s}_{j + i\left( {\;\operatorname{mod}\;v}\right) }},\;\forall 0 \leq i \leq v - 1.
\]
取 \( G \) 为 \( v \) 阶循环群 \( {\mathbb{Z}}_{v}, D \subseteq G \) ,记 \( {s}_{D} \) 为 \( D \) 的特征向量 (序列). 若 \( D \) 为 \( G \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集,则有
\[
{A}_{{s}_{D}}\left( i\right) = \left\{ \begin{array}{ll} v, & i = 0 \\ v - 4\left( {k - \lambda }\right) , & i \neq 0 \end{array}\right.
\]
这表明差集的特征序列具有好的自相关性.
例 9.5.2 经过验算可知, \( D = \{ 1,2,4\} \) 是 \( {\mathbb{Z}}_{7} \) 上的一个 \( \left( {7,3,1}\right) \) -差集, \( D = \{ 0,1,3,9\} \) 是 \( {\mathbb{Z}}_{13} \) 上的一个 \( \left( {{13},4,1}\right) \) -差集, \( D = \{ 1,3,4,5,9\} \) 是 \( {\mathbb{Z}}_{11} \) 上的一个 \( \left( {{11},5,2}\right) \) -差集,
\[
D = \{ \left( {1,0}\right) ,\left( {2,0}\right) ,\left( {3,0}\right) ,\left( {0,1}\right) ,\left( {0,2}\right) ,\left( {0,3}\right) \}
\]
是 \( {\mathbb{Z}}_{4} \times {\mathbb{Z}}_{4} \) 上的一个 \( \left( {{16},6,2}\right) \) -差集,而
\[
D = \{ \left( {0,0,0,0}\right) ,\left( {0,0,0,1}\right) ,\left( {0,0,1,0}\right) ,\left( {0,1,0,0}\right) ,\left( {1,0,0,0}\right) ,\left( {1,1,1,1}\right) \}
\]
是 \( {\mathbb{Z}}_{2} \times {\mathbb{Z}}_{2} \times {\mathbb{Z}}_{2} \times {\mathbb{Z}}_{2} \) 上的一个 \( \left( {{16},6,2}\right) \) -差集.
设 \( G \) 为一个 \( v \) 阶 Abel 群. 对于 \( D \subseteq G \) ,定义
\[
\operatorname{Dev}\left( D\right) = \{ D + g \mid g \in G\}
\]
称其为 \( D \) 的展开.
定理 9.5.3 设 \( G \) 为一个 Abel 群, \( D \subseteq G \) ,则 \( D \) 是 \( G \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集当且仅当 \( \left( {G,\operatorname{Dev}\left( D\right) }\right) \) 是一个对称 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) 设计.
证明 \( D \) 是 \( G \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集当且仅当对任意 \( g \in G, g \neq \) 0,有 \( \left| {D \cap \left( {D + g}\right) }\right| = \lambda \) ,也当且仅当对任意 \( {g}_{1},{g}_{2} \in G,{g}_{1} \neq {g}_{2} \) , 有 \( \left| {\left( {D + {g}_{1}}\right) \cap \left( {D + {g}_{2}}\right) }\right| = \lambda \) ,由定理 9.3.11 后面的说明知这等价于 \( \left( {G,\operatorname{Dev}\left( D\right) }\right) \) 是一个对称 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) 设计.
当 \( 1 < k < v - 1 \) 时,差集称为非平凡的. \( \lambda = 1 \) 时的差集有时也称为平面差集 (因为由此差集得到的对称设计为射影平面).
定理 9.5.4 设 \( G \) 为一个 \( v \) 阶 Abel 群,则 \( G \) 中存在一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) - 差集等价于存在一个对称 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) 设计 \( \mathcal{D} \) ,它有一个与 \( G \) 同构的自同构群 \( \widetilde{G} \) ,且 \( \widetilde{G} \) 在 \( \mathcal{D} \) 的点集上的作用正则.
证明 设 \( D \) 是 \( G \) 中的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集,则
\[
\mathcal{D} = \left( {G,\{ D + g \mid g \in G\} }\right)
\]
为一个对称 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) 设计. 对任一 \( g \in G \) ,定义 \( G \) 上的一个置换 \( \widetilde{g} \) 为
\[
\widetilde{g}\left( x\right) = x + g,\;\forall x \in G,
\]
则 \( \widetilde{g} \in \operatorname{Aut}\left( \mathcal{D}\right) ,\widetilde{G} = \{ \widetilde{g} \mid g \in G\} \) 是 \( \mathcal{D} \) 的一个与 \( G \) 同构的自同构群且在 \( \mathcal{D} \) 的点集 \( G \) 上的作用正则.
反之,给定 \( G \) ,设 \( \mathcal{D} = \left( {X,\mathcal{B}}\right) \) 为一个对称 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) 设计, \( \widetilde{G} \leq \) \( \operatorname{Aut}\left( \mathcal{D}\right) ,\widetilde{G} \) 与 \( G \) 同构,且 \( \widetilde{G} \) 在 \( X \) 上的作用正则,我们只需构造 \( \widetilde{G} \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集即可. 取定一点 \( {x}_{0} \in X \) 和一个区组 \( {B}_{0} \in \mathcal{B} \) ,令 \( D = \left\{ {\sigma \in \widetilde{G} \mid \sigma \left( {x}_{0}\right) \in {B}_{0}}\right\} \) ,则 \( D \) 为 \( \widetilde{G} \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集. 事实
上,因为 \( \widetilde{G} \) 正则,且 \( \left| {B}_{0}\right| = k \) ,故 \( \left| D\right| = k \) . 设 \( \alpha \in \widetilde{G} \) ,且 \( \alpha \) 非单位,则
\[
\alpha + D = \{ \alpha + \sigma \mid \sigma \left( {x}_{0}\right) \in {B}_{0}\} = \{ \tau \mid \tau \left( {x}_{0}\right) \in \alpha \left( {B}_{0}\right) \} .
\]
所以
\[
D \cap \left( {D + \alpha }\right) = \left\{ {\tau \mid \tau \left( {x}_{0}\right) \in {B}_{0} \cap \alpha \left( {B}_{0}\right) }\right\} ,
\]
因为 \( \widetilde{G} \) 正则, \( \alpha \) 无不动点,从而 \( \alpha \) 也无固定区组 (见本章习题第 20 题),所以 \( \alpha \left( {B}_{0}\right) \neq {B}_{0} \) . 故 \( \left| {{B}_{0} \cap \alpha \left( {B}_{0}\right) }\right| = \lambda \) ,再由正则性有
\[
\left| {D \cap \left( {D + \alpha }\right) }\right| = \lambda \text{. }
\]
注 9.5.5 在上面定理的证明中, \( \widetilde{G} \) 与 \( G \) 同构,也是 Abel 群,所以 \( \widetilde{G} \) 中的运算也写为 “+”,即对于 \( \sigma ,\tau \in \widetilde{G},\sigma + \tau \) 定义为
\[
\left( {\sigma + \tau }\right) \left( x\right) = \sigma \left( {\tau \left( x\right) }\right) ,\;\forall x \in X.
\]
循环群 \( {\mathbb{Z}}_{v} \) 上的差集称为循环差集,所以存在一个循环 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集等价于存在一个对称 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) 设计,它有一个循环自同构,即一个包含全部 \( v \) 个点的轮换.
注意到 \( D \subseteq G \) 为一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集当且仅当 \( G \smallsetminus D \) 是一个 \( (v, v - \) \( k, v - {2k} + \lambda ) \) -差集,所以只看 \( k \leq v/2 \) 的情形就足够了. 注意 \( D \) 是一个差集当且仅当 \( D \) 的每个移位也是一个差集,并且若 \( \alpha \in \operatorname{Aut}\left( G\right) \) ,则 \( D \subseteq G \) 是一个差集当且仅当 \( \alpha \left( D\right) \) 是一个差集. 称 \( G \) 上的两个差集 \( {D}_{1} \) 与 \( {D}_{2} \) 等价,如果存在 \( \alpha \in \operatorname{Aut}\left( G\right) \) 和 \( g \in G \) ,使得 \( {D}_{2} = \alpha \left( {D}_{1}\right) + g \) (易验证这是一种等价关系). 例如, \( {\mathbb{Z}}_{7} \) 上的两个差集 \( \{ 1,2,4\} \) 和 \( \{ 3,5,6\} \) 是等价的.
下面来看几个已知的差集族. 一个 \( \left( {{4n} - 1,{2n} - 1, n - 1}\right) \) -差集常常称为一个 Hadamard 差集.
定理 9.5.6 (Paley, Todd) 设 \( q = {4n} - 1 \) 为一个素数幂,则 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 中的非零平方元组成的集合 \( D \) 是 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 的加法群上的一个 Hadamard 差集.
证明 显然 \( \left| D\right| = {2n} - 1 \) . 由于 \( D \) 在非零平方元的乘积作用下不变,因此由 \( D \) 中元素的差组成的多重集 \( M \) 在非零平方元的乘积作用下不变. 而 \( M \) 在 -1 的乘积作用下也不变. 因为 \( q \equiv 3\left( {\;\operatorname{mod}\;4}\right) \) , -1 是非平方元,又 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 中每个非零元或为非零平方元或为非零平方元的 -1 倍,从而 \( M \) 在 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 的非零元的乘积作用下不变,故 \( D \) 为一个 \( \left( {{4n} - 1,{2n} - 1,\lambda }\right) \) -差集. 再由 \( \lambda \left( {{4n} - 1 - 1}\right) = \left( {{2n} - 1}\right) \left( {{2n} - 1 - 1}\right) \) 可得 \( \lambda = n - 1 \) .
例如,在 \( {\mathbb{Z}}_{11} \) 中, \( 1,4,9,5,3 \) 为非零平方元,从而 \( D = \{ 1,3,4,5,9\} \) 是 \( {\mathbb{Z}}_{11} \) 上的一个 \( \left( {{11},5,2}\right) \) -差集.
定理 9.5.7 (Stanton, Sprott) 设 \( q \) 和 \( q + 2 \) 都是素数幂,则对于 \( {4n} - 1 = q\left( {q + 2}\right) \) ,在环 \( R = {\mathbb{F}}_{q} \times {\mathbb{F}}_{q + 2} \) 的加法群上存在一个 \( \left( {{4n} - 1,{2n} - 1, n - 1}\right) \) -差集.
证明 设 \( U = \{ \left( {a, b}\right) \in R \mid a \neq 0, b \neq 0\} \) 为 \( R \) 的全体可逆元所组成的群. 令
\( V = \{ \left( {a, b}\right) \mid a, b \) 分别是 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 和 \( {\mathbb{F}}_{q + 2} \) 中的非零平方元,
或者 \( a, b \) 分别是 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 和 \( {\mathbb{F}}_{q + 2} \) 中的非平方元 \( \} \) ,
则 \( V \) 是 \( U \) 的一个子群. 又 \( q \) 和 \( q + 2 \) 中恰有一个为 \( 1\left( {\;\operatorname{mod}\;4}\right) \) ,而另一个为 \( 3\left( {\;\operatorname{mod}\;4}\right) \) ,因此 \( \left( {-1, - 1}\right) \notin V \) . 所以 \( \left| {U : V}\right| = 2 \) . 再令 \( T = {\mathbb{F}}_{q} \times \{ 0\} \) , 则 \( D = T \cup V \) 就是所要求的差集. 证明细节略.
在 \( q \) 和 \( q + 2 \) 都是素数 (即它们为孪生素数) 时,定理 9.5.7 得到的是循环差集,因为当 \( \gcd \left( {s, t}\right) = 1 \) 时, \( {\mathbb{Z}}_{s} \times {\mathbb{Z}}_{t} \) 和 \( {\mathbb{Z}}_{st} \) 的加法群同构, \( x\left( {\;\operatorname{mod}\;{st}}\right) \mapsto \left( {x\left( {\;\operatorname{mod}\;s}\right), x\left( {\;\operatorname{mod}\;t}\right) }\right) \) 就是 \( {\mathbb{Z}}_{st} \) 与 \( {\mathbb{Z}}_{s} \times {\mathbb{Z}}_{t} \) 之间的一个同构. 例如,当 \( q = 3 \) 时,
\[
D = \{ \left( {1,1}\right) ,\left( {1,4}\right) ,\left( {2,2}\right) ,\left( {2,3}\right) ,\left( {0,0}\right) ,\left( {1,0}\right) ,\left( {2,0}\right) \}
\]
是 \( {\mathbb{F}}_{3} \times {\mathbb{F}}_{5} \) 的加法群上的一个 \( \left( {{15},7,3}\right) \) -差集; 利用上面的同构, \( \left( {1,1}\right) \mapsto \) \( 1,\left( {1,4}\right) \mapsto 4,\left( {2,2}\right) \mapsto 2,\left( {2,3}\right) \mapsto 8,\left( {0,0}\right) \mapsto 0,\left( {1,0}\right) \mapsto {10},\left( {2,0}\right) \mapsto 5, \) 则 \( D = \{ 1,4,2,8,0,{10},5\} \) 就是一个循环 \( \left( {{15},7,3}\right) \) -差集.
设 \( V \) 是 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 上的一个 \( n + 1 \) 维线性空间,取 \( V \) 的 1 维子空间为点, \( n \) 维子空间为区组 (即射影空间 \( {PG}\left( {n, q}\right) \) 的点和超平面),则得到一个对称设计, 其参数为
\[
v = \frac{{q}^{n + 1} - 1}{q - 1},\;k = \frac{{q}^{n} - 1}{q - 1},\;\lambda = \frac{{q}^{n - 1} - 1}{q - 1}.
\]
定理 9.5.8 对任意素数幂 \( q \) 和正整数 \( n \) ,在 \( v \) 阶循环群中存在一个具有上述参数的差集 \( D \) ,使得所得到的设计与上面那个对称设计同构.
证明 对应定理 9.5.4, 只需证明存在上述对称设计的一个自同构, 它是一个长度为 \( v \) 的轮换即可. 由于 \( V \) 的每一个可逆线性变换 \( T \) 都把一个子空间变成同维数的子空间,所以 \( T \) 是上述对称设计的自同构. 取 \( V = {\mathbb{F}}_{{q}^{n + 1}} \) ,设 \( \omega \) 为 \( {\mathbb{F}}_{{q}^{n + 1}} \) 的一个本原元,则 \( V \) 上的线性变换 \( T : x \mapsto {\omega x} \) 可逆且为一个长度为 \( v \) 的轮换.
定理 9.5.8 中构造的差集称为 Singer 差集 (Singer, 1938). 下面给出更具体的讨论和一个例子. 设 \( \omega \) 为 \( {\mathbb{F}}_{{q}^{n + 1}} \) 的一个本原元, \( v = \) \( \frac{{q}^{n + 1} - 1}{q - 1} \) ,则
\[
{\mathbb{F}}_{q} = \{ 0,{\omega }^{0} = 1,{\omega }^{v},{\omega }^{2v},\cdots ,{\omega }^{\left( {q - 2}\right) v}\} ,
\]
即 \( {\mathbb{F}}_{q} \) 中每个非零元 \( \alpha \) 必可表示成 \( {\omega }^{
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166_微分几何与拓扑学简明教程
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定义 5
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定义 5 对建立了图册 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 的流形 \( M \) ,若所有的坐标变换函数在其定义域中的所有的点是 \( {C}^{r} \) 类光滑函数,则称流形 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 类光滑流形.
今后,如果没有相反的说明,我们所讲的流形都是 \( {C}^{\infty } \) 类的光滑流形,而流形上的函数是 \( {C}^{\infty } \) 类光滑函数.
例 6 我们使例 5 改变样子. 在第二个图 \( {U}_{2} \) 中取坐标 \( {x}_{2} = x + x \cdot \left| x\right| \) . 于是流形是 \( {C}^{1} \) 类光滑流形,但不是 \( {C}^{2} \) 类光滑流形.
注 以后若无相反的声明,我们仅考察 \( {C}^{\infty } \) 类光滑流形,而在流形上的函数是 \( {C}^{\infty } \) 类光滑函数.
在例 1-4 中,我们所考察的带有图册的流形自然都是 \( {C}^{\infty } \) 类光滑流形.
在几何中还考虑给图册及其坐标变换函数以另外更强的条件. 例如, 若所有的坐标函数是实解析函数, 即在它有定义的每一点的邻域中能展为收敛的泰勒级数. 则此流形称为实解析流形. 实解析流形是 \( {C}^{\infty } \) 类光滑流形.
比较重要的一类流形是复解析流形. 设 \( M \) 是 \( {2n} \) 维流形, \( \left\{ {U}_{\beta }\right\} \) 是它的图册, \( {\varphi }_{\beta } : {U}_{\beta } \rightarrow {V}_{\beta } \subset {\mathbf{R}}^{2n} \) 是它的坐标同胚. 使 \( {2n} \) 维欧氏空间 \( {\mathbf{R}}^{2n} \) 与 \( n \) 维复线性空间 \( {\mathbf{C}}^{n} \) 等同,即认为点 \( \left( {{z}^{1},\cdots ,{z}^{n}}\right) \) 的复坐标给出了 \( {2n} \) 个实坐标 \( \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n},{y}^{1},\cdots ,{y}^{n}}\right) ,{z}^{k} = \) \( {x}^{k} + \mathrm{i}{y}^{k} \) . 那么在图 \( {U}_{\beta } \) 中的 \( {2n} \) 个坐标函数 \( {x}_{\beta }^{1}\left( P\right) ,\cdots ,{x}_{\beta }^{n}\left( P\right) ,{y}_{\beta }^{1}\left( P\right) ,\cdots ,{y}_{\beta }^{n}\left( P\right) \) 化为 \( n \) 个复值函数 \( {z}_{\beta }^{k} = {x}_{\beta }^{k}\left( P\right) + \mathrm{i}{y}_{\beta }^{k}\left( P\right) \) . 我们称函数 \( {z}_{\beta }^{k}\left( P\right) \) 为在图 \( {U}_{\beta } \) 中点的复坐标. 在两个图的交 \( {U}_{\beta } \cap {U}_{\gamma } \) 中,我们有从一个坐标系到另一个的转换函数
\[
{x}_{\beta }^{k} = {x}_{\beta }^{k}\left( {{x}_{\gamma }^{1},\cdots ,{x}_{\gamma }^{n},{y}_{\gamma }^{1},\cdots ,{y}_{\gamma }^{n}}\right) ,
\]
\[
{y}_{\beta }^{k} = {y}_{\beta }^{k}\left( {{x}_{\gamma }^{1},\cdots ,{x}_{\gamma }^{n},{y}_{\gamma }^{1},\cdots ,{y}_{\gamma }^{n}}\right) ,
\]
它们可以表示为 \( n \) 个独立的复变量的复值函数
\[
{z}_{\beta }^{k} = {z}_{\beta }^{k}\left( {{z}_{\gamma }^{1},\cdots ,{z}_{\gamma }^{n}}\right) .
\]
\( \left( {3.4}\right) \)
我们称函数 (3.4) 为复坐标转换函数或复坐标变换函数.
建立了图册 \( \left\{ {U}_{\beta }\right\} \) 和局部复坐标系 \( \left( {{z}_{\beta }^{1},\cdots ,{z}_{\beta }^{n}}\right) \) 的流形 \( M \) ,若所有的复坐标变换函数 (3.4) 是复解析函数, 即在它定义域的每一点的邻域中能展开为复变数的收敛泰勒级数,则称 \( M \) 为复解析流形.
我们考察二维球面 \( {S}^{2} \) ,并在其上专门构造一套图册,作为容许有复解析流形结构的流形的例子. 在第一章中已作出了球面 \( {S}^{2} = \left\{ {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 1}\right\} \) 从北极 \( {P}_{0} = \) \( \left( {0,0,1}\right) \) 到坐标平面 \( \left( {x, y}\right) \) 的球极射影. 我们用 \( {\varphi }_{0} \) 表示这个映射. 映射 \( {\varphi }_{0} \) 把球面 \( {S}^{2} \) 上除极点 \( {P}_{0} \) 以外的所有点,即开集 \( {U}_{0} = {S}^{2} \smallsetminus \left( {P}_{0}\right) \) 同胚地映射到整个平面 \( {V}_{0} = \) \( {\mathbf{R}}^{2} \) . 在笛卡儿坐标下,同胚 \( {\varphi }_{0} \) 为: \( {\varphi }_{0}\left( {x, y, z}\right) = \left( {\frac{x}{1 - z},\frac{y}{1 - z}}\right) \) . 所以在图 \( {U}_{0} \) 中引进一个用球面上点的笛卡儿坐标表示的复坐标 \( {w}_{0} = \frac{x + \mathrm{i}y}{1 - z} \) . 此外,考察南极 \( {P}_{1} = (0,0 \) , -1) 和从南极到同一个坐标平面 \( \left( {x, y}\right) \) 的球极射影 \( {\varphi }_{\mathrm{f}} \) . 映射 \( {\varphi }_{\mathrm{i}} \) 同胚地把集合 \( {U}_{1} \) \( = {S}^{2} \smallsetminus \left( {P}_{1}\right) \) 映射到整个平面 \( {V}_{1} = {\mathbf{R}}^{2} \) . 在笛卡儿坐标下,映射 \( {\varphi }_{1} \) 为: \( {\varphi }_{1}\left( {x, y, z}\right) = \) \( \left( {\frac{x}{1 + z},\frac{y}{1 + z}}\right) \) . 我们在图 \( {U}_{1} \) 中引进复坐标 \( {w}_{1} = \frac{x - \mathrm{i}y}{1 + z} \) . 那么在交 \( {U}_{0} \cap {U}_{1} \) 中得到
\[
{w}_{0} = {w}_{0}\left( {w}_{1}\right) = \frac{1}{{w}_{1}},{w}_{1} = {w}_{1}\left( {w}_{0}\right) = \frac{1}{{w}_{0}}.
\]
\( \left( {3.5}\right) \)
函数 (3.5) 是复解析函数. 就是说球面 \( {S}^{2} \) 是复解析流形.
## 3.1.3 光滑流形 微分同胚
设 \( {M}_{1} \) 和 \( {M}_{2} \) 是两个光滑流形, \( f : {M}_{1} \rightarrow {M}_{2} \) 是连续映射.
定义 6 光滑流形的映射 \( f : {M}_{1} \rightarrow {M}_{2} \) ,若对任意点 \( {P}_{0} \in {M}_{1} \) 的邻域中的任何局部坐标系 \( \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) \) 和点 \( {Q}_{0} = f\left( {P}_{0}\right) \in {M}_{2} \) 的邻域中的任何局部坐标系 \( \left( {{y}^{1},\cdots }\right. \) , \( \left. {y}^{m}\right) \) ,函数 \( f \) 的向量函数表示式 \( \mathbf{y} = \left( {y}^{k}\right) = \left( {{h}^{k}\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) }\right) = h\left( \mathbf{x}\right) \) 是 \( {C}^{t}(r = 1 \) , \( 2,\cdots ,\infty ) \) 类光滑的向量函数,则称映射 \( f \) 为 \( {C}^{r} \) 类光滑映射.
注意, \( {C}^{r} \) 类光滑映射的定义仅在流形 \( {M}_{1} \) 与 \( {M}_{2} \) 的光滑类数不小于 \( r \) 时才有意义.
设 \( f : {M}_{1} \rightarrow {M}_{2} \) 是流形的同胚. 若 \( f \) 是 \( {C}^{r} \) 类光滑映射,那么逆映射 \( {f}^{-1} \) 不一定是光滑映射. 若逆映射 \( {f}^{-1} : {M}_{2} \rightarrow {M}_{1} \) 也是 \( {C}^{\prime } \) 类光滑映射,则同胚 \( f \) 称为 \( {C}^{r} \) 类光滑同胚或 \( {C}^{\prime } \) 类微分同胚. 光滑流形间的微分同胚起着与拓扑空间中的同胚相同的作用. 若 \( f : {M}_{1} \rightarrow {M}_{2} \) 是微分同胚,则流形 \( {M}_{1} \) 和 \( {M}_{2} \) 称为微分同胚的流形.
定理 1 设 \( f : {M}_{1} \rightarrow {M}_{2} \) 是光滑流形的 \( {C}^{r} \) 类光滑同胚,则 \( \dim {M}_{1} = \dim {M}_{2} \) .
证明 在流形 \( {M}_{1} \) 上,取局部坐标 \( \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) \) ,在流形 \( {M}_{2} \) 上,点 \( {Q}_{0} \) 的邻域 \( {V}_{0} \) 上,取局部坐标 \( \left( {{y}^{1},\cdots ,{y}^{m}}\right) \) . 设 \( g = {f}^{-1} \) 是 \( f \) 的逆映射. 那么,映射 \( f \) 和 \( g \) 可用两个向量函数表示,它们用字母表示,即 \( y = f\left( x\right) \) 和 \( x = g\left( y\right) \) ,而且 \( g\left( {f\left( x\right) }\right) \equiv x, f\left( {g\left( y\right) }\right) \) \( \equiv \mathbf{y} \) . 换句话说,对函数 \( f \) 和 \( \mathbf{g} \) 有等式
\[
{gf} = I{d}_{x},{fg} = I{d}_{y},
\]
这里 \( I{d}_{x}, I{d}_{y} \) 是向量空间的恒等映射. 也就是说,对 Jacobi 矩阵有类似的等式:
\[
\left( {dg}\right) \left( {df}\right) = {E}_{x},\left( {df}\right) \left( {dg}\right) = {E}_{y},
\]
这里 \( {E}_{x},{E}_{y} \) 是相应维数的单位矩阵.
由线性代数知道,两个矩阵乘积的秩,不超过每个因子的秩. 所以, \( \operatorname{rank}{dh} \leq \) \( \min \left( {m, n}\right), d{h}^{-1} \leq \min \left( {m, n}\right) \) (矩阵 \( {dh}, d{h}^{-1} \) 是长方矩阵!),所以 \( \operatorname{rank}d{e}_{0} \leq \min (m \) , \( n) \) , \( \operatorname{rank}d{e}_{1} \leq \min \left( {m, n}\right) \) . 于是, \( m \leq \min \left( {m, n}\right), n \leq \min \left( {m, n}\right) \) ,或 \( \max \left( {m, n}\right) \leq \) \( \min \left( {m, n}\right) \) ,这就是说, \( m = n \) . 定理证毕.
最后, 我们引进关于图册的两个有名的论断.
引理 1 在光滑流形 \( M \) 中存在这样的图册 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) ,其每一个图 \( {U}_{i} \) 都与 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 微分同胚.
证明 首先证明可以作出这样的图册,其每一个图都与 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中某个半径为 \( \varepsilon \) 的开球微分同胚. 设 \( {P}_{0} \in M \) 是任意点, \( {U}_{\alpha } \ni {P}_{0},{\varphi }_{\alpha } : {U}_{\alpha } \rightarrow {V}_{\alpha } \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 是坐标同胚, \( {Q}_{0} = {\varphi }_{\alpha }\left( {P}_{0}\right) \) . 因为 \( {V}_{\alpha } \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中的开集,所以存在这样的数 \( \varepsilon \) ,使中心在点 \( {Q}_{0} \) ,半径为 \( \varepsilon \) 的开球包含在 \( {V}_{\alpha } \) 中. 用 \( {O}_{\varepsilon }\left( {Q}_{0}\right) \) 表示这个开球,而用 \( {W}_{P} \) 表示它的原像 \( {\varphi }_{\alpha }^{-1}\left( {{O}_{\varepsilon }\left( {Q}_{0}\right) }\right) \) . 开集族 \( \left\{ {W}_{P}\right\} \) 是流形 \( M \) 上的图册,并且每一个图 \( {W}_{P} \) 与 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 的开球微分同胚. 为完成引理的证明,我们证明半径是 \( \varepsilon \) 的开球与 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 微分同胚. 考虑 \( \varepsilon = 1 \) 的情形就够了. 于是,设 \( \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) \) 是半径为 1 的球中的点, \( {\left( {x}^{1}\right) }^{2} + {\left( {x}^{2}\right) }^{2} + \cdots + \) \( {\left( {x}^{n}\right) }^{2} < 1 \) . 设
\[
{y}^{k} = \frac{{x}^{k}}{\sqrt{1 - {\left( {x}^{1}\right) }^{2} - \cdots - {\left( {x}^{n}\right) }^{2}}},
\]
(3.6)
\[
{x}^{k} = \frac{{y}^{k}}{\sqrt{1 + {\left( {y}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {y}^{n}\right) }^{2}}}.
\]
函数 (3.6) 是光滑的函数,并且也是实现半径为 1 的球到 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 的互逆的映射. 引理证毕.
引理 2 设 \( M \) 是光滑的紧致流形, \( \left| {U}_{\alpha }\right| \) 是其图册. 则存在附属于覆盖 \( \left| {U}_{\alpha }\right| \) 的 1 的光滑分解 \( {\psi }_{\alpha } \) ,即
\[
0 \leq {\psi }_{\alpha } \leq 1,\sum {\psi }_{\alpha } = 1,\operatorname{supp}{\psi }_{\alpha } \subset {U}_{\alpha },
\]
证明 根据引理 1 可认为所有的图都与半径为 1 的球同胚. 设 \( {\varphi }_{\alpha } : {U}_{\alpha } \rightarrow {D}_{1}^{n} \subset \) \( {\mathbf{R}}^{n} \) 是坐标同胚 \( \Phi \) . 取这样的足够小的 \( \varepsilon > 0 \) ,使 \( \left| {{\varphi }_{\alpha }^{-1}\left( {D}_{\left( 1 - \varepsilon \right) }^{n}\right) }\right| \) 覆盖流形 \( M \) . 假设存在球 \( {D}_{1}^{n} \) 上的 \( {C}^{\infty } \) 类函数 \( f \) ,使 \( \operatorname{supp}f = {D}_{\left( 1 - \varepsilon \right) }^{n},0 \leq f \leq 1 \) . 设
\[
{\bar{\psi }}_{\alpha }\left( P\right) = \left\{ \begin{matrix} 0, & P \in {U}_{\alpha }, \\ f\left( {{\varphi }_{\alpha }\left( P\right) }\right) , & P \in {U}_{\alpha }. \end{matrix}\right.
\]
因为当 \( P \in {\varphi }_{\alpha }^{-1}\left( {D}_{\left( 1 - \varepsilon \right) }^{n}\right) \) 时, \( f\left( {{\varphi }_{\alpha }\left( P\right) }\right) = 0 \) . 所以函数 \( {\bar{\psi }}_{\alpha } \) 在流形 \( M \) 上是光滑函数, 而且 \( \operatorname{supp}{\bar{\psi }}_{\alpha } \subset {U}_{\alpha },0 \leq {\bar{\psi }}_{\alpha } \leq 1 \) . 此外还有 \( \operatorname{supp}{\psi }_{\alpha } \supset {\varphi }_{\alpha }^{-1}\left( {D}_{\left( 1 - \varepsilon \right) }^{n}\right) \) . 于是,函数 \( {\bar{\psi }}_{\alpha } \) 的和 \( \bar{\psi }\left( P\right) = \mathop{\sum }\limits_{\alpha }{\bar{\psi }}_{\alpha }\left( P\right) \) 在每一点都严格地大于 0 . 这时我们设 \( {\psi }_{\alpha }\left( P\right) = {\bar{\psi }}_{\alpha }\left( P\right) /\bar{\psi }\left( P\right) \) . 函数 \( {\psi }_{\alpha }\left( P\right) \) 组成了附属于覆盖 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 的 1 的光滑分解.
于是,就剩下构造 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中的 \( {C}^{\infty } \) 类函数 \( f \) ,使它的支集等于球 \( {D}_{\left( 1 - \varepsilon \right) }^{n} \) . 我们将寻找形式为 \( f\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) = h\left( {{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{n}\right) }^{2}}\right) \) 的函数 \( f \) . 于是作出单变量的光滑函数 \( h\left( x\right) \) ,使当 \( x > {\left( 1 - \varepsilon \right) }^{2} \) 时, \( h\left( x\right) = 0 \) ; 当 \( x < {\left( 1 - \varepsilon \right) }^{2} \) 时, \( h\left( x\right) > 0 \) 就足够了. 取函数
\[
h\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{l} {\mathrm{e}}^{-1/{\left( x - {\left( 1 - \varepsilon \right) }^{2}\right) }^{2}}, x < {\left( 1 - \varepsilon \right) }^{2}, \\ 0,\;x \geq {\left( 1 - \varepsilon \right) }^{2} \end{array}\right.
\]
作为所要求
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1758_04Hp鞅论
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定义 6
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定义 6 设 \( f = {\left( {f}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 是满足 \( {f}_{0} = 0 \) 以及 \( 1 + \Delta {f}_{n} \geq h > 0 \) 的鞅. 定义 \( \mathcal{E}f = z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 为如下鞅
\[
{z}_{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k \leq n}}\left( {1 + \Delta {f}_{k}}\right) ,\;{z}_{0} \equiv 1.
\]
(36)
\( z \) 被称为 \( f \) 的随机指数. 设 \( z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 是非负鞅,满足 \( {z}_{0} \equiv 1, z \in \) \( {S}^{ - } \) . 定义 \( \mathcal{L}z = f = {\left( {f}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 为如下鞅
\[
{f}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{1}^{n}\frac{\Delta {z}_{k}}{{z}_{k - 1}},\;{f}_{0} = 1.
\]
(37)
\( f \) 被称为 \( z \) 的随机对数.
注 1 易知上述 \( f \) 与 \( z \) 是通过如下方程
\[
\Delta {z}_{n} = {z}_{n - 1}\Delta {f}_{n},\;\forall n
\]
被互相给出. 对于连续参变量的情形, \( z, f \) 分别是下述随机积分方程的解:
\[
{z}_{t} : 1 + {\int }_{0}^{t}{z}_{u} - d{f}_{u}
\]
\( {\left( {36}\right) }^{\prime } \)
\[
{f}_{t} = {\int }_{0}^{t}\frac{1}{{z}_{n}}d{z}_{n}
\]
\( {\left( {37}\right) }^{\prime } \)
注 2 先给定 \( f \) ,然后通过式 (35) 定义 \( z \) ; 与先给定 \( z \) ,然后通过式(37)定义 \( f \) ,这两个步骤是互逆的. 这就是说,如连续作用这两个步骤则得恒等算子. 譬如,我们先给定鞅 \( f = {\left( {f}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 且满足 \( {f}_{0} \equiv 0 \) 以及 \( 1 + \Delta {f}_{n} \geq h > 0 \) . 通过式 (36) 我们得到了 \( z = \) \( {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) . 我们指出, \( z \) 是一个非负鞅,且满足 \( {z}_{0} \equiv 1 \) 以及 \( z \in {S}^{ - } \) . 事实上, 有
\[
{z}_{n} = {z}_{n - 1}\left( {1 + \Delta {f}_{n}}\right) \geq h{z}_{n - 1},\;\forall n.
\]
\[
E\left( {{z}_{n} \mid {\mathcal{F}}_{n - 1}}\right) = {z}_{n - 1}E\left( {1 + \Delta {f}_{n} \mid {\mathcal{F}}_{n - 1}}\right) = {z}_{n - 1},\;\forall n.
\]
第一式说明 \( z \in {S}^{ - } \) ,第二式说明 \( z \) 是一个鞅. 将所得之 \( z \) ,再利用式(37) 定义出 \( f \) ,则所得的 \( f \) 即为原来的 \( f \) ,因为它们满足相同的方程
\[
\Delta {f}_{n} = \frac{{z}_{n}}{{z}_{n - 1}} - 1,\;\forall n,\;\text{ 以及 }{f}_{0} \equiv 0.
\]
同样,如先给定非负鞅 \( z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) ,满足 \( {z}_{0} \equiv 1, z \in {S}^{ - } \) . 通过式(37) 定义出来的 \( f \) ,一定是一个满足 \( {f}_{0} \equiv 0 \) 与 \( 1 + \Delta {f}_{n} \geq h > 0 \) 的鞅. 再由式(35)定义出来的 \( z \) 一定也是原来的 \( z \) .
现在我们来讨论由定义 6 所定义的随机指数的 \( {A}_{p} \) 属性与随机对数的 BMO 属性之间的关系，我们有
定理 6 设 \( f = {\left( {f}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 与 \( z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 是通过式(36) 与(37) 联系的一对鞅. 若 \( z \in {S}^{ + } \cap {a}_{p}\left( {p > 1}\right) \) ,则 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ; 若 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ,则对某个 \( p > 1, z \in S \cap {a}_{p} \) . 并且此时 \( z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 还是 \( {L}^{1 + \varepsilon }\left( {\varepsilon > 0}\right) \) 中有界的鞅.
证明 注意 \( z \in {S}^{ - } \) 与 \( 1 + \Delta {f}_{n} \geq h \) 是先决条件. 如果还满足 \( z \in \) \( {S}^{ + } \) 或 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ,则都有
\[
- 1 + h \leq \Delta {f}_{n} \leq H,\;\forall n.
\]
(38)
首先考虑 \( z \in S \cap {a}_{p} \) 的情形. 由 \( z \in {a}_{p}\left( K\right) \) 可证对所有的 \( n \) ,停止于 \( n \) 的鞅 \( {z}^{\left( n\right) } \in {a}_{p + 1}\left( K\right) \) . 事实上,因 \( {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 是非负的鞅. 当然是一个 \( {L}^{1} \) 有界的非负上鞅,故 \( {z}_{\infty } \) 存在,且 \( {\left( {z}_{n}\right) }_{0 \leq n \leq \infty } \) 仍是一个非负上鞅. 因此
\[
E{\left( \left. {\left( \frac{{z}_{k}}{{z}_{n}}\right) }^{\frac{1}{p}}\right| \;{\mathcal{F}}_{k}\right) }^{p} \leq E{\left( \left. {\left( \frac{{z}_{k}}{{z}_{\infty }}\right) }^{\frac{{p}^{\prime }}{p}}\right| \;{\mathcal{F}}_{k}\right) }^{\frac{p}{p - 1}}E\left( {\left. \frac{{z}_{\infty }}{{z}_{n}}\right| \;{\mathcal{F}}_{k}}\right)
\]
\[
= E{\left( {\left( \frac{{z}_{k}}{{z}_{n}}\right) }^{\frac{1}{p - 1}}\left| {\mathcal{F}}_{k}{)}^{p - 1}E\left( E\left( \frac{{z}_{n}}{{z}_{n}}\right) {\mathcal{F}}_{n}\right) \right| {\mathcal{F}}_{k}\right) }^{1/p}
\]
\[
\leq K,\;\forall k \leq n.
\]
当用 \( {z}^{\left( n\right) } \) 代替 \( z \) 时,通过式 (37) 得到的即是停止于 \( n \) 的 \( f \) . 因为它是有限鞅,故是 \( {L}^{1} \) 中的鞅. 上面的讨论说明,我们无妨开始就设, 由给定的 \( z = \left( {z}_{n}\right) \) 通过式 (37) 所得到的 \( f = \left( {f}_{n}\right) \) 就是一个 \( {L}^{1} \) 中的鞅,特别地 \( {f}_{\infty } \) 是 a. e. 存在的,同时 \( S\left( f\right) < \infty \), a. e.,再由式(38)知, \( f = \left( {f}_{n}\right) \) 是跳跃有界的,因此为证 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ,只需证明
\[
E\left( {{S}^{2}\left( f\right) - {S}_{n}^{2}\left( f\right) \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right) \leq C < \infty ,\;\forall n.
\]
由 \( z = \left( {z}_{n}\right) \) 的 \( {a}_{p + 1}\left( K\right) \) 属性 (实际上,已将 \( z \) 变成了停止于有限时刻的鞅), 我们有
\[
E\left( {\left. {\left( \frac{{z}_{n}}{{z}_{\infty }}\right) }^{\frac{1}{p}}\right| \;{\mathcal{F}}_{n}}\right) \leq K
\]
\[
E\left( {\left. {\exp \left( {\frac{1}{p}\left( {{f}_{n} - {f}_{\infty }}\right) }\right) \mathop{\prod }\limits_{{k > n}}{\left( \frac{\exp \Delta {f}_{k}}{1 + \Delta {f}_{k}}\right) }^{\frac{1}{p}}}\right| \;{\mathcal{F}}_{n}}\right) \leq K.
\]
利用如下初等不等式(其证明见后)
\[
\frac{{e}^{x}}{1 + x} \geq {e}^{j{x}^{2}},\;x \in \left\lbrack {-1 + h, H}\right\rbrack \text{,对某个}j\text{,}
\]
(39)
我们得
\[
E\left( {\left. {\exp \left( {\frac{1}{p}\left( {{f}_{n} - {f}_{\infty }}\right) }\right) \exp \left( {\frac{j}{p}\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{\infty }{\left| \Delta {f}_{k}\right| }^{2}}\right) }\right| \;{\mathcal{F}}_{n}}\right)
\]
\[
\leq \mathbf{E}\left( {\exp \left( {\frac{1}{p}\left( {{f}_{n} - {f}_{\infty }}\right) }\right) \mathop{\prod }\limits_{{k > n}}{\left( \frac{\exp \Delta {f}_{k}}{1 + \Delta {f}_{k}}\right) }^{\frac{1}{p}} \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right) \leq K.
\]
再利用 Jensen 不等式得
\[
\exp \left( {E\left( {\left. {\frac{1}{p}\left( {{f}_{n} - {f}_{\infty }}\right) + \frac{j}{p}\left( {{S}^{2}\left( f\right) - {S}_{n}^{2}\left( f\right) }\right) }\right| \;{\mathcal{F}}_{n}}\right) }\right) \leq K,
\]
即
\[
E\left( {{\left| f - {f}_{n}\right| }^{2} \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right) = E\left( {{S}^{2}\left( f\right) - {S}_{n}^{2}\left( f\right) \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right) \leq \frac{p}{j}\log K.
\]
由此, 定理的第一部分获证.
现设 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ,满足 \( 1 + \Delta {f}_{n} \geq h > 0 \) . 则显然有 \( z \in S \) ,因为
\[
h \leq \frac{{z}_{n}}{{z}_{n - 1}} \leq 1 + \parallel f{\parallel }_{\mathrm{{BMO}}}.
\]
利用下面的初等不等式(其证明见后)
\[
\frac{{e}^{x}}{1 + x} \leq {e}^{j{x}^{2}},\;x \in \left\lbrack {-1 + h, H}\right\rbrack \text{,对某个}j\text{,}
\]
\( {\left( {39}\right) }^{\prime } \)
对待定的 \( \varepsilon > 0 \) . 我们有
\[
E\left( {\left. {\left( \frac{{z}_{n}}{{z}_{\infty }}\right) }^{s}\right| \;{\mathcal{F}}_{n}}\right)
\]
\[
= E\left( {\exp \left( {\varepsilon \left( {{f}_{n} - {f}_{\infty }}\right) }\right) \mathop{\prod }\limits_{{k > n}}{\left( \frac{\exp \Delta {f}_{k}}{1 + \Delta {f}_{k}}\right) }^{\varepsilon } \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right)
\]
\[
\leq E\left( {\exp \left( {\varepsilon \left( {{f}_{n} - {f}_{\infty }}\right) + {j\varepsilon }\left( {{S}^{2}\left( f\right) - {S}_{n}^{2}\left( f\right) }\right) }\right) \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right)
\]
\[
\leq E{\left( \exp \left( 2\varepsilon \left| {f}_{n} - {f}_{\infty }\right| \right) \mid {\mathcal{F}}_{n}\right) }^{2}
\]
\[
\cdot E{\left( \exp \left( 2j\varepsilon \left( {S}^{2}\left( f\right) - {S}_{n}^{2}\left( f\right) \right) \right) \mid {\mathcal{F}}_{n}\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
因为 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ,只要 \( \varepsilon > 0 \) 充分小便有 (见 5.1 节的定理 1 与 1 )
\[
E{\left( \exp \left( 2\varepsilon \left| f - {f}_{n}\right| \right) ;{\mathcal{F}}_{n}\right) }^{1/2} \leq {C}_{1},
\]
\[
E\left( {\exp \left( {{2j\varepsilon }\left( {{S}^{2}\left( f\right) - {S}_{n}^{2}\left( f\right) }\right) }\right) }\right) {\left| \;{\mathcal{F}}_{n}\right. }^{1/2} \leq {C}_{2}.
\]
因而有
\[
E\left( {{\left( \frac{{z}_{n}}{{z}_{\infty }}\right) }^{\prime } \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right) \leq {C}_{1}{C}_{2} < \infty ,\;\text{ a. e. },\forall n.
\]
此即 \( z \in {A}_{p}, p = 1 + 1/e \) . 定理之第二部分获证.
现证明定理的最后部分结论,即: 当 \( f \) 与 \( z \) 通过式(36)与(37) 互相联系, 并且等价条件之一
\[
\text{ “ }f \in \mathrm{{BMO}},1 + \Delta {f}_{n} \geq h > 0\text{ ” 或 “ }z \in S \cap {a}_{r}\text{” }
\]
成立时,则 \( z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n > 0} \) 是 \( {L}^{1 + \varepsilon }\left( {\varepsilon > 0}\right) \) 有界的. 事实上,因为
\( z = \left( {z}_{n}\right) \in {b}_{1}^{ + }\left( 1\right) \) (因 \( {\left( {z}_{n}\right) }_{0 \leq n \leq \infty } \) 是非负上鞅);
\[
z \in S \cap {a}_{2} = S \cap {b}_{\lambda }^{ - },\;\lambda = - \frac{1}{p - 1}.
\]
因此由定理 3 之第二部分知,存在 \( \varepsilon > 0 \) ,使
\[
E{\left( {z}_{\infty }^{1 + \varepsilon }\right) }^{1/\left( {1 + \varepsilon }\right) } \leq {CE}\left( {z}_{\infty }\right) .
\]
现在对任意的 \( n \) ,考虑 \( z \) 的停止鞅 \( {z}^{\left( n\right) } \) . 则对 \( n \) 一致地有
\[
{z}^{\left( n\right) } \in {b}_{1}^{ + } \cap S \cap {b}_{-1/p}^{ - }
\]
这里“一致”意味着,三个条件中出现的所有常数都是与 \( n \) 无关的. 这样,由上面的讨论知,对一切 \( n \) 存在同样的常数 \( \varepsilon \) 与 \( C \) ,使每个 \( {z}_{n}\left( { = {z}_{\infty }^{\left( n\right) }}\right) \) 都满足同样的不等式,即
\[
E{\left( {z}_{n}^{1 + \varepsilon }\right) }^{1/\left( {1 + \varepsilon }\right) } \leq {CE}\left( {z}_{n}\right) = C,\;\forall n.
\]
于是证明了 \( z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 是 \( {L}^{1 + \varepsilon } \) 中有界的. I
注 现在我们补充证明式(39)与 \( {\left( {39}\right) }^{\prime } \) . 因为
\[
{e}^{x} - 1 - x \leq \left( {e - 2}\right) {x}^{2},\;x \leq 1,
\]
因此有
\[
\frac{{e}^{x}}{1 + x} \leq 1 + \frac{e - 2}{1 + x}{x}^{2} \leq {e}^{{x}^{2}/h},\;h \leq 1 + x \leq 2.
\]
但当 \( x > 1 \) 时,只要取 \( j \) 适当的大,便有
\[
\begin{matrix} {e}^{x} \\ 1 + x \end{matrix} \leq {e}^{j{x}^{2}}
\]
因此对此 \( j \) 有
\[
\frac{{e}^{x}}{1 + x} \leq {e}^{j{x}^{2}},\;h \leq 1 + x < \infty .
\]
这就证明了式(39)’. 现证式(39). 因为
\[
{e}^{x} - 1 - x \geq \frac{{x}^{2}}{e},\;x \geq - 1,
\]
因此对 \( x \in ( - 1, H\rbrack \) ,我们有
\[
\frac{{e}^{x}}{1 + x} \geq 1 + \frac{{x}^{2}}{e\left( {1 + x}\right) } \geq 1 + \frac{{x}^{2}}{e\left( {1 + H}\right) }.
\]
注意在 \( ( - 1,0\rbrack \) 上, \( {e}^{j{x}^{2}} \sim 1 + j{x}^{2} \) ,故只要适当地取 \( j \) 小于 \( (e(1 + \) \( H){)}^{-1} \) ,便有
\[
\frac{{e}^{x}}{1 + x} \geq {e}^{j{x}^{2}}
\]
而在 \( \left\lbrack {0, H}\right\rbrack \) 上. 因为
\[
\log \left( {1 + \frac{{x}^{2}}{e\left( {1 + H}\right) }}\right) \geq \frac{\log \left( {1 + b}\right) }{b}\frac{{x}^{2}}{e\left( {1 +
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1208_数学分析习题演练1-周民强
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定义 2.5.1
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定义 2.5.1 对于定义在 \( X \subset \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 上的函数 \( y = f\left( x\right) \) :
(1) 若存在实数 \( M \) ,使得 \( f\left( x\right) \leq M, x \in X \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上是上方有界的 (函数), \( M \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上的上界.
（2）若存在实数 \( m \) ,使得 \( f\left( x\right) \geq m, x \in X \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上是下方有界的 (函数), \( m \) 称为 \( f\left( x\right) \) 的 \( X \) 上的下界.
（3）若存在正实数 \( M \) ,有 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq M, x \in X \) (即值域 \( R\left( f\right) \) 是有界集),则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上是有界的 (函数), \( M \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上的界.
不是有界的函数称为无界函数, 无界是有界的否定. 因此, 为了得到函数无界的正面明确陈述, 只要将定义有界的语句在数学含义上给予否定即可得出.
设 \( f\left( x\right) \) 是定义在数集 \( X \) 上的函数. 若对任意的正数 \( M \) (否定存在 \( M \) ),存在 \( {x}^{\prime } \in X \) (否定任意的 \( x \in X) \) ,有
\[
\left| {f\left( {x}^{\prime }\right) }\right| > M\text{ (否定 }\left| {f\left( x\right) }\right| \leq M\text{ ),}
\]
则说 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上是无界的.
注 1 上述函数的有界 (无界) 性, 往往出现在某点附近的邻域内. 此时也称函数在该点附近有界 (无界),如定义在 \( \left( {0,1}\right) \) 上的函数 \( f\left( x\right) = 1/x \) 在 \( x = 0 \) 附近无界.
注 2 设
\[
f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, x\text{ 是无理数,} \\ q, x = \frac{p}{q}\left( {p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N},\text{ 且 }p\text{ 与 }q\text{ 互素 }}\right) . \end{array}\right.
\]
则 \( f\left( x\right) \) 在任一区间 \( \left( {a, b}\right) \) 上均无界.
例 2.5.1 设 \( f\left( x\right) \) 定义在 \( \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 上,且有
\[
f\left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) = f\left( {x}_{1}\right) + f\left( {x}_{2}\right) ,\;{x}_{1},{x}_{2} \in \left( {-\infty ,\infty }\right) .
\]
若 \( f\left( x\right) \) 在某点 \( {x}_{0} \) 的邻域 \( {U}_{\delta }\left( {x}_{0}\right) \triangleq \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) \) 上有界,则 \( f\left( x\right) \) 在任一点 \( x \in \) \( \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 的邻域 \( {U}_{\delta }\left( x\right) \) 上有界.
证明 依题设不妨假定
\[
\left| {f\left( {x}^{\prime }\right) }\right| \leq M,\;{x}^{\prime } \in \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) .
\]
现在考察 \( \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 中任意取定点 \( x \) ,对于任意的 \( {x}^{\prime \prime } \in \left( {x - \delta, x + \delta }\right) \) ,令 \( {x}^{\prime \prime \prime } = \) \( {x}^{\prime \prime } - \left( {x - {x}_{0}}\right) \) ,则由 \( {x}^{\prime \prime \prime } - {x}_{0} = {x}^{\prime \prime } - x \) 可知 \( \left| {{x}^{\prime \prime \prime } - {x}_{0}}\right| < \delta \) . 从而得到 \( \left| {f\left( {x}^{\prime \prime }\right) }\right| \leq M \) . 由于
\[
\left| {f\left( {x}^{\prime \prime }\right) }\right| = \left| {f\left( {{x}^{\prime \prime \prime } + \left( {x - {x}_{0}}\right) }\right) }\right| = \left| {f\left( {x}^{\prime \prime \prime }\right) + f\left( {x - {x}_{0}}\right) }\right|
\]
\[
\leq \left| {f\left( {x}^{\prime \prime \prime }\right) }\right| + \left| {f\left( {x - {x}_{0}}\right) }\right| \leq \left| {f\left( {x}^{\prime \prime \prime }\right) }\right| + \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right|
\]
\[
\leq \left| {f\left( {x}^{\prime \prime \prime }\right) }\right| + \left| {f\left( x\right) }\right| + \left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| \leq {2M} + \left| {f\left( x\right) }\right| ,
\]
这里的 \( {x}^{\prime \prime } \) 是点 \( x \) 的邻域 \( \left( {x - \delta, x + \delta }\right) \) 中任意一点,由不等式
\[
\left| {f\left( {x}^{\prime \prime }\right) }\right| \leq {2M} + \left| {f\left( x\right) }\right| ,
\]
说明此函数在点 \( x \) 的邻域 \( {U}_{\delta }\left( x\right) \) 中有界.
例 2.5.2 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的上凸或 (下) 凸函数,则 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界函数.
证明 只需指出 (下)凸函数 \( f\left( x\right) \) 仅呈现下述两种情形:
(i) \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上递增或递减.
(ii) 存在子区间 \( \left\lbrack {p, q}\right\rbrack \) (或 \( p = q = {x}_{0} \) ),使得 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, p}\right\rbrack \) 上递减; 在 \( \left\lbrack {q, b}\right\rbrack \) 上递增; 在 \( \left\lbrack {p, q}\right\rbrack \) 上是常数.
事实上,若不出现 (i),则存在 \( c < {x}_{0} < d \) ,使得 \( f\left( c\right) > f\left( {x}_{0}\right) < f\left( d\right) \) (由于凸性). 从而当 \( {c}^{\prime \prime } > {c}^{\prime } < c \) 时必有 \( f\left( {c}^{\prime \prime }\right) \geq f\left( {c}^{\prime }\right) \) . 这说明 \( f\left( x\right) \) 在 \( \lbrack a, c) \) 上是递减的. 类似地可知 \( f\left( x\right) \) 在 \( (d, b\rbrack \) 上是递增的.
令 \( p = \sup \{ c : f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, c)\text{上递减}}\right\rbrack, q = \inf \{ d : f\left( x\right) \) 在 \( (d, b\rbrack \) 上递增 \( \} \) ,易知 \( p \) \( \leq q \) . 证毕.
例 2.5.3 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 上的凸函数. 若 \( f\left( x\right) \) 是有界函数,则 \( f\left( x\right) \) 是常数 (函数).
证明 由 \( f\left( x\right) \) 的凸性可知,若对 \( {x}_{1} < {x}_{2} \) 有 \( f\left( {x}_{1}\right) < f\left( {x}_{2}\right) \) ,
\[
f\left( x\right) \geq f\left( {x}_{1}\right) + \frac{f\left( {x}_{2}\right) - f\left( {x}_{1}\right) }{{x}_{2} - {x}_{1}}\left( {x - {x}_{1}}\right) ,\;x > {x}_{2},
\]
从而知 \( f\left( x\right) \) 是无界的,这与题设矛盾. 证毕.
例 2.5.4 试证明下列命题:
(1) 设定义在 \( \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 上的 \( f\left( x\right) \) 满足
\[
f\left( x\right) - \frac{1}{2}f\left( {x/2}\right) = {x}^{2},\;x \in \left( {-\infty ,\infty }\right) .
\]
若 \( f\left( x\right) \) 在 \( x = 0 \) 的某个邻域 \( U\left( 0\right) \) 上有界,则 \( f\left( x\right) = 8{x}^{2}/7 \) .
（2）设定义在 \( \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 上的 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 满足
\[
f\left( {x + y}\right) + g\left( {x - y}\right) = {2f}\left( x\right) g\left( y\right) ,\;x \in \left( {-\infty ,\infty }\right) .
\]
若 \( f\left( x\right) ≢ 0 \) 且有 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1 \) ,则 \( \left| {g\left( x\right) }\right| \leq 1 \) .
证明 (1) 易知 \( f\left( 0\right) = 0 \) ,且有
\[
f\left( x\right) = {x}^{2} + f\left( {x/2}\right) /2 = {x}^{2} + {x}^{2}/{2}^{3} + f\left( {x/{2}^{2}}\right) /{2}^{2}
\]
\[
= \cdots = {x}^{2} \cdot \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{1}{{2}^{3k}} + \frac{1}{{2}^{n}}f\left( \frac{x}{{2}^{n}}\right) .
\]
在上式中令 \( n \rightarrow \infty \) ,并注意 \( f\left( x\right) \) 在 \( U\left( 0\right) \) 上有界,可得
\[
f\left( x\right) = \frac{8}{7}{x}^{2} + \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{{2}^{n}}f\left( \frac{x}{{2}^{n}}\right) = \frac{8}{7}{x}^{2}.
\]
（2）反证法. 若存在 \( {t}_{0} \) ,使得 \( \left| {g\left( {t}_{0}\right) }\right| = a > 1 \) ,则当 \( f\left( x\right) \) 的上确界为 \( M = \) \( \sup \left\{ {\left| {f\left( x\right) }\right| : x \in \mathbf{R}}\right\} \) 时,我们有 \( {x}_{0} \in \mathbf{R} \) ,使得 \( \left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| > M/a \) ,故知
\[
\left| {f\left( {{x}_{0} + {t}_{0}}\right) }\right| + \left| {g\left( {{x}_{0} - {t}_{0}}\right) }\right| \geq \left| {f\left( {{x}_{0} + {t}_{0}}\right) + g\left( {{x}_{0} - {t}_{0}}\right) }\right|
\]
\[
= 2\left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| \left| {g\left( {t}_{0}\right) }\right| > 2\frac{M}{a}a = {2M}.
\]
因此,或 \( \left| {f\left( {{x}_{0} + {t}_{0}}\right) }\right| > M \) ,或 \( \left| {g\left( {{x}_{0} - {t}_{0}}\right) }\right| > M \) . 这均导致矛盾. 证毕.
例 2.5.5 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,{100}}\right\rbrack \) 上递增. 若 \( 0 < f\left( 0\right), f\left( {100}\right) < {100} \) ,试证明方程 \( f\left( x\right) = x \) 有解.
证明 作数集 \( E = \{ x \in \lbrack 0,{100}) : x - f\left( x\right) \leq 0\} \) ,易知 \( E \) 是有界集. 令 \( \sup E = \) \( {x}_{0} \) ,则对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( x \in E \) ,使得 \( x \leq {x}_{0} < x + \varepsilon \) . 从而有
\[
{x}_{0} - f\left( {x}_{0}\right) \leq {x}_{0} - f\left( x\right) < x + \varepsilon - f\left( x\right) \leq \varepsilon .
\]
由此得 \( {x}_{0} \leq f\left( {x}_{0}\right) \) . 现在假定 \( f\left( {x}_{0}\right) - {x}_{0} = \delta > 0 \) ,则对某个 \( x \in E \) ,有 \( x \leq {x}_{0} < {x}_{0} + \) \( \delta \) ,从而知
\[
x \leq {x}_{0} < f\left( {x}_{0}\right) - {x}_{0} + x + \delta .
\]
由此知 \( x \leq {x}_{0} < f\left( {x}_{0}\right) - {x}_{0} + x \) . 因为 \( f\left( x\right) \) 递增,所以有
\[
f\left( {x}_{0}\right) - {x}_{0} + x \leq f\left( {x}_{0}\right) \leq f\left\lbrack {f\left( {x}_{0}\right) - {x}_{0} + x}\right\rbrack .
\]
这说明 \( {x}_{0} < f\left( {x}_{0}\right) - {x}_{0} + x \in E \) ,但与 \( {x}_{0} \) 之定义矛盾. 证毕.
## 2.5.2 函数的极限概念
函数在点 \( {x}_{0} \) 处的极限
定义 2.5.2 设函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( {U}_{0}\left( {x}_{0}\right) \triangleq \left( {{x}_{0} - \eta ,{x}_{0}}\right) \cup \left( {{x}_{0},{x}_{0} + \eta }\right) \) 上有定义, \( A \) 是一个常数. 若对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得
\[
\left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon ,\;0 < \left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta ,
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 当 \( x \) 趋于 \( {x}_{0} \) (记为 \( x \rightarrow {x}_{0} \) ) 时趋于 \( A \) ,也称当 \( x \) 趋于 \( {x}_{0} \) 时 \( f\left( x\right) \) 以 \( A \) 为极限,记为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = A\text{,或 }f\left( x\right) \rightarrow A\;\left( {x \rightarrow {x}_{0}}\right) .
\]
又称为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 处存在极限,其极限值为 \( A \) .
图 2.1
定义 2.5.3 (1) 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left( {{x}_{0} - \eta ,{x}_{0}}\right) \) 上有定义, \( \eta > 0, A \) 是一个常数. 若对任给的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) \( \left( {\delta < \eta }\right) \) ,使得
\[
\left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon ,\;0 < {x}_{0} - x < \delta ,
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 的左极限存在 (图 2.1), \( A \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 的左极限值,记为
\[
f\left( {{x}_{0} - }\right) \triangleq \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} - }}f\left( x\right) = A.
\]
（2）设 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left( {{x}_{0},{x}_{0} + \eta }\right) \) 上有定义, \( \eta > 0, B \) 是一个常数. 若对任给的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0\left( {\delta < \eta }\right) \) ,使得
\[
\left| {f\left( x\right) - B}\right| < \varepsilon ,\;0 < x - {x}_{0} < \delta ,
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 的右极限存在 (图 2.1),其右极限值为 \( B \) ,并记为
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1252_[包志强] 点集拓扑与代数拓扑引论
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定义 1.2.3
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定义 1.2.3 如果 \( x \) 的每个邻域中都含 \( A \smallsetminus \{ x\} \) 中的点,则称 \( x \) 为 \( A \) 的 聚点 或 极限点 (limit point 或 cluster point 或 point of accumulation). 全体聚点构成的集合 \( {A}^{\prime } \) 称为 \( A \) 的 导集 (derived set), \( \bar{A} = A \cup {A}^{\prime } \) 称为 \( A \) 的 闭包 (closure). 换言之, \( x \in \bar{A} \) 当且仅当 \( x \) 的每个邻域中都含 \( A \) 中的点.
当然, 如果我们知道一个可以生成该拓扑结构的基准开邻域结构, 那么验证聚点时只要验证 \( x \) 的每个基准开邻域都含 \( A \smallsetminus \{ x\} \) 中的点就足够了.
另外请注意, 按照现在流行的大多数拓扑教材 (包括本书) 的定义," \( x \) 是 \( A \) 的极限点” 并不是 “ \( x \) 是含于 \( A \) 中的点列的极限” 的意思.
例 4 在度量空间中, \( x \in \bar{A} \) 当且仅当 \( \forall \varepsilon > 0,\exists y \in A \) 使得 \( d\left( {x, y}\right) < \varepsilon \) . 根据下确界的性质,这就是说 \( \mathop{\inf }\limits_{{y \in A}}d\left( {x, y}\right) = 0 \) .
就像闭集是开集的余集一样, 闭包和内部也是互余的一对概念, 准确地讲它们满足下面的重要性质:
命题 1.2.3 设 \( A \) 是全空间 \( X \) 的一个子集,则 \( {\left( {A}^{c}\right) }^{ \circ } = {\left( \bar{A}\right) }^{c} \) .
证明 \( x \notin \bar{A} \) 当且仅当 \( x \) 有一个邻域不含 \( A \) 中的点,也就是说这个邻域含于 \( {A}^{c} \) ,即 \( x \in {\left( {A}^{c}\right) }^{ \circ } \) .
于是, 所有关于内部的性质都可以用 De Morgan 定律翻译成关于闭包的性质.
命题 1.2.4 集合的闭包满足下述基本性质:
(1) \( \bar{A} = A \) 当且仅当 \( A \) 是闭集;
(2) \( \bar{A} \) 是包含 \( A \) 的所有闭集的交集,也是包含 \( A \) 的最小闭集;
(3) 若 \( A \subseteq B \) ,则 \( \bar{A} \subseteq \bar{B} \) ;
(4) \( \overline{{A}_{1} \cup \cdots \cup {A}_{n}} = {\bar{A}}_{1} \cup \cdots \cup {\bar{A}}_{n} \) ;
(5) \( \overline{\mathop{\bigcap }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{A}_{\lambda }} \subseteq \mathop{\bigcap }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{\bar{A}}_{\lambda } \) .
同样地, 需要注意结论 (4) 不能推广到无穷多个集合的并集, 并且结论 (5) 不能改成等号.
定义 1.2.4 如果 \( \bar{A} = X \) ,则称 \( A \) 在 \( X \) 中 稠密 (dense). 如果 \( X \) 有只含可数多个元素的稠密子集,则称 \( X \) 可分 (separable).
例 5 有理数集 \( \mathbb{Q} \) 是一维欧氏空间 \( {\mathbb{E}}^{1} \) 的一个可数子集,它的闭包是 \( {\mathbb{E}}^{1} \) . 因此, \( {\mathbb{E}}^{1} \) 可分. 类似可知, \( {\mathbb{E}}^{n} \) 也都可分.
例 6 用 \( {\tau }_{f} \) 表示 \( \mathbb{R} \) 上的余有限拓扑,则 \( \left( {\mathbb{R},{\tau }_{f}}\right) \) 可分, \( \mathbb{N} \) 就是它的一个可数稠密子集. 这是因为除全空间 \( \mathbb{R} \) 外的任何闭集都是有限集, 而 \( \overline{\mathbb{N}} \) 不可能是有限集. 于是 \( \overline{\mathbb{N}} = \mathbb{R} \) .
例 7 用 \( {\tau }_{c} \) 表示 \( \mathbb{R} \) 上的余可数拓扑,则 \( \left( {\mathbb{R},{\tau }_{c}}\right) \) 不可分. 这是因为任何可数集都是闭集,取闭包都不会变得更大,而 \( \mathbb{R} \) 是不可数的. 于是任何可数集的闭包都不等于 \( \mathbb{R} \) .
最后我们指出, 在一般拓扑空间中也可以定义序列的极限. 对于一个序列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) ,如果任取 \( a \) 的基准开邻域 \( U \) ,存在自然数 \( N \) ,使得当 \( n > N \) 时所有的 \( {x}_{n} \in U \) ,则称 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 收敛 (converge) 到 \( a \) ,记做 \( {x}_{n} \rightarrow a \) . 但是很多关于序列极限的美好性质都只能推广到度量空间, 而不能推广到一般的拓扑空间, 因此它也就失去了数学分析中的那种重要性. 比如映射的连续性就不能用序列极限来表达, 读者以后学到的时候应当特别注意.
## 习 题
1. 称 \( \partial A = \bar{A} \smallsetminus {A}^{ \circ } \) 为 \( A \) 的 边界 (boundary). 请证明:
(1) \( \partial A = \bar{A} \cap \overline{{A}^{c}} \) ;
(2) \( \partial A = \varnothing \) 当且仅当 \( A \) 既是开集又是闭集.
2. 考虑平面 \( {\mathbb{E}}^{2} \) 上的单位圆盘
\[
D = \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbb{R}}^{2} \mid {x}^{2} + {y}^{2} \leq 1}\right\} .
\]
求 \( D \) 的内部和闭包.
3. 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是一个度量空间, \( A \) 是 \( X \) 的非空子集,定义
\[
d\left( {x, A}\right) = \mathop{\inf }\limits_{{a \in A}}d\left( {x, a}\right) .
\]
证明如果 \( A \) 是闭集并且 \( d\left( {x, A}\right) = 0 \) ,则 \( x \in A \) .
4. 证明 \( {\left( A \smallsetminus B\right) }^{ \circ } = {A}^{ \circ } \smallsetminus \bar{B} \) .
5. 证明 \( \bar{A} \smallsetminus \bar{B} \subseteq \overline{A \smallsetminus B} \subseteq \bar{A} \smallsetminus {B}^{ \circ } \) . 举例说明两个包含号中的哪一个都不能换成等号.
6. 设 \( A \) 是 Cantor 三分集.
(1) 证明 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \smallsetminus A \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 的稠密子集;
(2) 证明 \( A \) 中的每个点都是 \( A \) 的聚点.
## * \( §{1.3} \) 集合的基数和可数集
对于一个空间来说, 比拓扑性质和概念更基本的是它作为集合的那些性质和概念. 那么仅仅有集合还能有什么概念呢? 实际上我们还可以数数看, 两个集合的元素哪个多哪个少, 即使是无限集的情形也可以进行比较. 而且无限集和有限集的最大差别就是, 在进行这种计数时对于无限集来说, 数漏一个元素并没有多大的影响. 基数就是元素个数在无限集情形下对应的概念.
有限集可以写成 \( \left\{ {{a}_{1},\cdots ,{a}_{n}}\right\} \) ,基数最小的无限集则可以写成 \( \left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\cdots }\right\} \) . 这两种集合都称为可数集,因为当我们想讨论这种集合的元素时, 可以用自然数对元素进行编号, 然后一个一个地数下来. 通常数学归纳法会是讨论这种问题的一个很好的工具, 如果是不可数集就不能这么做了.
定义 1.3.1 设 \( A, B \) 是两个集合. 如果存在双射 \( f : A \rightarrow B \) ,则称 \( A \) 和 \( B \) 的 基数 (cardinality) 或 势 (potency) 相等,记为 \( \parallel A\parallel = \parallel B\parallel \) . 否则记为 \( \parallel A\parallel \neq \parallel B\parallel \) .
例 1 如果 \( A, B \) 是有限集,则 \( \parallel A\parallel = \parallel B\parallel \) 当且仅当它们所含元素的个数相等.
证明 显然如果 \( \parallel A\parallel = \parallel B\parallel \) ,则它们所含元素的个数相等. 反过来,如果它们所含元素个数相等,则可不妨设 \( A = \left\{ {{a}_{1},\cdots ,{a}_{n}}\right\} \) , \( B = \left\{ {{b}_{1},\cdots ,{b}_{n}}\right\} \) . 从而有双射 \( f : A \rightarrow B \) ,把每个 \( {a}_{i} \) 对应到 \( {b}_{i} \) . 这就说明 \( \parallel A\parallel = \parallel B\parallel \) .
命题 1.3.1 集合 \( A \) 无限当且仅当它与一个真子集基数相等.
证明 如果 \( A \) 和自己的真子集基数相等,则由上面例子的讨论可知它不是有限集. 反过来,如果 \( A \) 不是有限集,就可以归纳地找到 \( A \) 的一系列元素 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) ,这些元素两两都不相等. 于是取 \( A \) 的真子集 \( B = A \smallsetminus \left\{ {a}_{1}\right\} \) ,就可以构造 \( A \) 到 \( B \) 的双射,把每个 \( {a}_{i} \) 对应到 \( {a}_{i + 1} \) ,并把除此之外的每个 \( b \in A \) 对应到 \( b \) .
定义 1.3.2 如果 \( B \) 有一个子集和 \( A \) 的基数相等,则记 \( \parallel A\parallel \leq \parallel B\parallel \) 或 \( \parallel B\parallel \geq \parallel A\parallel \) . 如果同时还有 \( \parallel A\parallel \neq \parallel B\parallel \) ,则记 \( \parallel A\parallel < \parallel B\parallel \) 或 \( \parallel B\parallel > \parallel A\parallel \) .
例 2 如果 \( A \) 是有限集而 \( B \) 是无限集,则 \( \parallel A\parallel < \parallel B\parallel \) . 而如果 \( A \) 和 \( B \) 都是有限集,则 \( \parallel A\parallel < \parallel B\parallel \) 当且仅当 \( A \) 的元素个数小于 \( B \) 的元素个数.
证明 不妨设 \( A = \left\{ {{a}_{1},\cdots ,{a}_{n}}\right\} \) . 如果 \( \parallel A\parallel < \parallel B\parallel \) ,则 \( B \) 一定有一个真子集与 \( A \) 一一对应,因此 \( B \) 要么是无限集,要么是元素个数超过 \( n \) 的有限集. 反过来,如果 \( B \) 是无限集或者元素个数超过 \( n \) 的有限集, 则可在其中选取元素 \( {b}_{1},\cdots ,{b}_{n} \) ,从而 \( \parallel A\parallel \leq \parallel B\parallel \) . 而此时 \( \parallel A\parallel = \parallel B\parallel \) 蕴涵 \( B \) 的元素个数为 \( n \) ,因此 \( \parallel A\parallel < \parallel B\parallel \) .
Cantor-Schröder-Bernstein定理 (Cantor-Schröder-Bernstein theorem) 如果不等式 \( \parallel A\parallel \leq \parallel B\parallel \) 和 \( \parallel A\parallel \geq \parallel B\parallel \) 同时成立,则 \( \parallel A\parallel = \parallel B\parallel \) . 特别地,这说明对于任意两个集合 \( A, B \) ,
\[
\parallel A\parallel < \parallel B\parallel ,\parallel A\parallel = \parallel B\parallel ,\parallel A\parallel > \parallel B\parallel
\]
这三个式子中至多只能有一个成立.
证明 假设存在双射 \( f : A \rightarrow {B}_{1} \subseteq B \) 以及双射 \( g : B \rightarrow {A}_{1} \subseteq A \) . 考虑 \( A \) 和 \( B \) 的 不交并 (disjoint union)
\[
A \sqcup B = \{ \left( {x, i}\right) \mid \text{ 要么 }x \in A, i = 0\text{,要么 }x \in B, i = 1\} ,
\]
也就是说,取 \( A \) 和 \( B \) 的不相交的拷贝然后求并集 (参见图 1.5). 这个集合可以划分成很多互不相交的子集的并集, 每一个子集是下列三种情况之一:
图 1.5 Cantor-Schröder-Bernstein 定理
(1) 上图中的某条闭合回路上的点, 即
\[
\left( {{a}_{1},0}\right) \rightarrow \left( {{b}_{1},1}\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \left( {{a}_{n},0}\right) \rightarrow \left( {{b}_{n},1}\right) \rightarrow \left( {{a}_{1},0}\right) ,
\]
其中每个 \( {b}_{i} = f\left( {a}_{i}\right) \) ,每个 \( {a}_{i} = g\left( {b}_{i - 1}\right) \) ,但是 \( {a}_{1} = g\left( {b}_{n}\right) \) ;
(2) 上图中的某条从 \( A \times \{ 0\} \) 里出发永远不重复地走下去的线路上的点, 即
\[
\left( {{a}_{1},0}\right) \rightarrow \left( {{b}_{1},1}\right) \rightarrow \left( {{a}_{2},0}\right) \rightarrow \left( {{b}_{2},1}\right) \rightarrow \cdots ,
\]
其中每个 \( {b}_{i} = f\left( {a}_{i}\right), i > 1 \) 时每个 \( {a}_{i} = g\left( {b}_{i - 1}\right) \) ;
(3) 上图中的某条从 \( B \times \{ 1\} \) 里出发永远不重复地走下去的线路上的点, 即
\[
\left( {{b}_{1},1}\right) \rightarrow \left( {{a}_{1},0}\right) \rightarrow \left( {{b}_{2},1}\right) \rightarrow \left( {{a}_{2},0}\right) \rightarrow \cdots ,
\]
其中每个 \( {a}_{i} = g\left( {b}_{i}\right), i > 1 \) 时每个 \( {b}_{i} = f\left( {a}_{i - 1}\right) \) .
不会出现从某一点 \( {p}_{1} \) 出发,但是走了一段时间后从 \( {p}_{n} \) 位置才开始绕圈的情况,因为那样指向 \( {p}_{n} \) 的箭头就有两个,和 \( f, g \) 是单射矛盾. 于是存在这样一个双射 \( h : A \rightarrow B \) ,在上述每一种情形下,都是把 \( {a}_{i} \) 映到 \( {b}_{i} \) . 因此 \( \parallel A\parallel = \parallel B\parallel \) .
例 \( 3\begin{Vmatrix}{2}^{\mathbb{N}}\end{Vmatrix} = \parallel \mathbb{R}\parallel \) .
证明 我们只需要构造两个单射 \( f : \mathbb{R} \rightarrow {2}^{\mathbb{N}} \) 以及 \( g : {2}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{R} \) ,则由上述定理便知 \( \begin{Vmatrix}{2}^{\mathbb{N}}\end{Vmatrix} = \parallel \mathbb{R}\parallel \) .
首先构造 \( f \) . 定义
\[
h : \mathbb{R} \rightarrow \left( {0,1}\right) ,\;x \mapsto \frac{1}{1 + {e}^{-x}},
\]
则易验证 \( h \) 是一个一一对应,因此 \( x = y \) 当且仅当 \( h\left( x\right) \) 和 \( h\left( y\right) \) 的 “正则” 二进制表示完全相同 (这里正则的意思是指不允许出现从某一位开始往后全是 1 的情形). 任取 \( x \in \mathbb{R} \) ,定义
\( f\left( x\right) = \{ n \in \mathbb{N} \mid h\left( x\right) \) 的二进制表示的小数点后第 \( n \) 位为 \( 1\} , \)
则 \( f \) 是从 \( \mathbb{R} \) 到 \( {2}^{\mathbb{N}} \) 的单射.
再来构造 \( g \) ,设 \( A = \left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\cdots }\right\} \) ,其中每个 \( {a}_{i} < {a}_{i + 1} \) ,定义
\[
g\left( A\right) = 0.\underset{{a}_{1}}{\underbrace{{11}\cdots 1}}0\underset{{a}_{2}}{\underbrace{{11}\cdots 1}}0\cdots
\]
(如果 \( A \) 是有限集则后面补零),则 \( g \) 是从 \( {2}^{\mathbb{N}} \) 到 \( \mathbb{R} \) 的单射.
命题 1.3.2 任取无限集 \( A \) ,则 \( \parallel A\parallel \geq \parallel \mathbb{N}\parallel \) . 换言之, \( \parallel \mathbb{N}\parallel \) 是无限集的最小基数.
证明 任取无限集 \( A \) ,我们可以归纳地在 \( A \) 中取出两两不同的元素 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) . 这样就可以归纳地定义一个单射
\[
f : \mathbb{N} \rightarrow A,\;n \mapsto {a}_{n + 1}.
\]
从而说明 \( \parallel \mathbb{N}\parallel \leq \parallel A\parallel \) .
注意,数学中通常把自然数集定义成 \( \{ 0,1,\cdots \} \) ,但是我们对可数集中的元素编号时, 实际上往往喜欢从 1 开始用正整数编号.
这个证明里面提到的归纳和数学归纳法看上去有些不太像, 这称为归纳定义原理 (principle of recursive definition), 就是说, 如果我们可以定义对象 \( {a}_{1} \) ,并且对于任意正整数 \( n \) 可以从对象 \( {a}_{1},\cdots ,{a}_{n}
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1634_近代分析引论(苏维宜)
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定义 3.4
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定义 3.4 是一个分布 \( f \in {D}^{ * }\left( \Omega \right) \) 与一个函数 \( \varphi \in D\left( \Omega \right) \) 的卷积. 现在我们定义两个分布的卷积.
定义 3.5 设 \( f, g \in {D}^{ * }\left( {R}^{n}\right) \) ,且至少有一个,例如 \( g \) ,具紧支集. 我们定义 \( f * g \) 为满足下式的一个 \( {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 分布
\[
\langle f * g,\varphi \rangle = \left\langle {f,\left\langle {g,{\varphi }_{-x}}\right\rangle }\right\rangle ,\;\varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) ,
\]
这里 \( {\varphi }_{-x}\left( y\right) = \varphi \left( {y - x}\right) \) 是 \( \varphi \) 的右平移.
为说明上述定义有意义, 我们证明
（1）作为 \( x \) 的函数, \( \psi \left( x\right) = \left\langle {g,{\varphi }_{-x}}\right\rangle \in D\left( {R}^{n}\right) \) .
其实, 据定理 3.10 知, 函数
\[
\psi \left( x\right) = \left\langle {g,{\varphi }_{-x}}\right\rangle = \left\langle {\widetilde{g},{\widetilde{\varphi }}_{-x}}\right\rangle = \widetilde{g} * \varphi \left( x\right)
\]
属于 \( {C}^{\infty }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) . 其次, \( \operatorname{supp}\left( \psi \right) \subset \operatorname{supp}\left( \widetilde{g}\right) + \operatorname{supp}\left( \varphi \right) \) 给出 \( \operatorname{supp}\left( \psi \right) \) 为紧集,故 \( \psi \in D\left( {R}^{n}\right) \) .
（2）由 \( \langle f * g,\varphi \rangle = \langle f,\psi \rangle \) 定义的 \( f * g \) 为 \( D\left( {R}^{n}\right) \) 上的连续线性泛函.
显然它是线性的,并且是 \( D\left( {R}^{n}\right) \) 上的泛函. 为证连续性,设在 \( D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 中, \( {\varphi }_{j} \rightarrow 0 \) . 由引理 3.2 知, \( {\psi }_{j}\left( x\right) = \left\langle {g,{\left( {\varphi }_{j}\right) }_{-x}}\right\rangle \rightarrow 0 \) 在 \( D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 中成立, 从而
\[
\left\langle {f * g,{\varphi }_{j}}\right\rangle \rightarrow 0,
\]
所以 \( f * g \in {D}^{ * }\left( {R}^{n}\right) \) .
我们指出,为引入分布的卷积 \( f * g \) ,在上述定义 3.5 中,“ \( f \) 与 \( g \) 二者至少有一个具紧支集”的条件还可以减弱. 详细情况就不再叙述了 (见参考书目 \( \left\lbrack {12}\right\rbrack \) 和 \( \left\lbrack {15}\right\rbrack \) ).
定理 3.13 设 \( f, g, h \in {D}^{ * }\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,且其中至少有一个具紧支集, 以保证以下所述卷积有意义, 则
（1）结合律: \( f * \left( {g * h}\right) = \left( {f * g}\right) * h \) ;
（2）交换律: \( f * g = g * f \) ;
（3）分配律:
\[
\left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) * h = {\alpha f} * h + {\beta g} * h;
\]
（4）单位元: \( f * \delta = \delta * f \) .
由此可知, \( {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 中具紧支集的元所生成的子集 \( {\mathcal{E}}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 关于加法、数乘与卷积成为一个可交换代数,其单位元为 \( \delta \) .
证 (1) 任取 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,我们有
\[
\langle f * \left( {g * h}\right) ,\varphi \rangle = \left\langle {f,\left\langle {g,\left\langle {h,{\left( {\varphi }_{-y}\right) }_{-x}}\right\rangle }\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f * g,\left\langle {h,{\varphi }_{-y}}\right\rangle }\right\rangle = \langle \left( {f * g}\right) * h,\varphi \rangle ,
\]
故 \( f * \left( {g * h}\right) = \left( {f * g}\right) * h \) .
（2）任取 \( \varphi ,\psi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,则 \( \varphi * \psi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) . 于是
\[
\left( {f * g}\right) * \left( {\varphi * \psi }\right) = \left( {f * g}\right) * \left( {\psi * \varphi }\right)
\]
\[
= f * \left( {g * \psi }\right) * \varphi
\]
\[
= \left( {f * \varphi }\right) * \left( {g * \psi }\right) = \left( {g * \psi }\right) * \left( {f * \varphi }\right)
\]
\[
= \left( {g * f}\right) * \left( {\psi * \varphi }\right)
\]
\[
= \left( {g * f}\right) * \left( {\varphi * \psi }\right) \text{. }
\]
以上推导中我们利用了结合性以及函数卷积的交换性,因为 \( f * \varphi \) 与 \( g * \psi \) 都属于空间 \( {C}^{\infty }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,故
\[
\left( {g * \psi }\right) * \varphi = \varphi * \left( {g * \psi }\right) ;
\]
\[
\left( {f * \varphi }\right) * \left( {g * \psi }\right) = \left( {g * \psi }\right) * \left( {f * \varphi }\right) ;
\]
对 \( \left( {g * f}\right) * \left( {\psi * \varphi }\right) \) 作同样的推导,得出
\[
\left( {g * f}\right) * \left( {\psi * \varphi }\right) = \left( {g * \psi }\right) * \left( {f * \varphi }\right) .
\]
为了最后得到可交换性,我们证明,若 \( {f}_{1},{f}_{2} \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 对任意 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 都有
\[
{f}_{1} * \varphi = {f}_{2} * \varphi
\]
则 \( {f}_{1} = {f}_{2} \) . 事实上,
\[
\left\langle {{f}_{1},\varphi }\right\rangle = \left( {{f}_{1} * \widetilde{\varphi }}\right) \left( 0\right) = {f}_{2} * \widetilde{\varphi }\left( 0\right) = \left\langle {{f}_{2},\varphi }\right\rangle .
\]
从而, \( {f}_{1} = {f}_{2} \) . 把此结论用于
\[
\left( {f * g}\right) * \left( {\varphi * \psi }\right) = \left( {g * f}\right) * \left( {\varphi * \psi }\right) ,
\]
便得到 \( f * g = g * f \) .
（3）显然.
（4） \( \operatorname{supp}\left( \delta \right) \) 为紧集,故对一切 \( f \in {D}^{ * }\left( {R}^{n}\right), f * \delta \) 有意义,据 (2), \( f * \delta = \delta * f \) . 现在任取 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,由
\[
\delta * \varphi \left( x\right) = \left\langle {\delta ,{\widetilde{\varphi }}_{x}}\right\rangle = {\widetilde{\varphi }}_{x}\left( 0\right) = \varphi \left( x\right) ,
\]
得
\[
\left( {f * \delta }\right) * \varphi = f * \left( {\delta * \varphi }\right) = f * \varphi .
\]
仿照 (2),推得 \( f * \delta = f \) ,即 (4) 得证.
若我们用 \( {\tau }_{h} \) 记平移算子: 对 \( {R}^{n} \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) ,定义
\[
\left( {{\tau }_{h}f}\right) \left( x\right) = f\left( {x - h}\right) .
\]
按照前面关于分布的运算 (3),分布 \( f \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 的平移定义为
\[
\left\langle {{\tau }_{h}f,\varphi }\right\rangle = \left\langle {f,{\tau }_{-h}\varphi }\right\rangle ,\;\varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) ,
\]
(3.9)
我们有
定理 3.14 对 \( f \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,有 \( {\tau }_{h}f = {\delta }_{h} * f \) ,这里 \( {\delta }_{h} \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 定义为
\[
\left\langle {{\delta }_{h},\varphi }\right\rangle = \varphi \left( h\right) .
\]
(3. 10)
于是, 如下论断成立:
（1）卷积与平移的可换性: 对任意 \( f, g \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,
\[
f * {\tau }_{h}g = {\tau }_{h}f * g = {\tau }_{h}\left( {f * g}\right) ;
\]
（2）反之,设 \( T : D\left( {R}^{n}\right) \rightarrow \mathcal{E}\left( {R}^{n}\right) \) 为连续线性算子. 若 \( T \) 与一切平移算子可换:
\[
T{\tau }_{h} = {\tau }_{h}T
\]
则存在唯一的 \( f \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,使得 \( {T\varphi } = f * \varphi \) 对于所有 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 成立.
证 先证 \( {\tau }_{h}f = {\delta }_{h} * f \) . 任取 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,有
\[
\left\langle {{\delta }_{h} * f,\varphi }\right\rangle = \left\langle {f * {\delta }_{h},\varphi }\right\rangle = \left\langle {f,\left\langle {{\delta }_{h},{\widetilde{\varphi }}_{x}}\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \langle f,\widetilde{\varphi }\left( h\right) \rangle = \left\langle {f,{\tau }_{-h}\varphi }\right\rangle = \left\langle {{\tau }_{h}f,\varphi }\right\rangle ,
\]
于是, \( {\delta }_{h} * f = {\tau }_{h}f \) .
为证 (1),任取 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,则
\[
\left\langle {{\tau }_{h}\left( {f * g}\right) ,\varphi }\right\rangle = \left\langle {f * g,{\tau }_{-h}\varphi }\right\rangle = \left\langle {f,\left\langle {g,{\left( {\tau }_{-h}\varphi \right) }_{-x}}\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f,\left\langle {g,{\tau }_{-h}\left( {\varphi }_{-x}\right) }\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f,\left\langle {{\tau }_{h}g,{\varphi }_{-x}}\right\rangle }\right\rangle = \left\langle {f * {\tau }_{h}g,\varphi }\right\rangle ,
\]
此即 \( {\tau }_{h}\left( {f * g}\right) = f * {\tau }_{h}g \) ; 同理也有
\[
{\tau }_{h}\left( {f * g}\right) = {\tau }_{h}f * g.
\]
对于 (2),先证唯一性. 因为若存在这样的 \( f \) ,则必有
\[
\langle f,\widetilde{\varphi }\rangle = \left( {f * \varphi }\right) \left( 0\right) = \left( {T\varphi }\right) \left( 0\right) ,\;\varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) ,
\]
故 \( f \) 是唯一的. 关于存在性,我们证明,对任何 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,由公式
\[
\left( {T\varphi }\right) \left( 0\right) = \langle f,\widetilde{\varphi }\rangle
\]
定义的 \( f \) ,亦即 \( f : \varphi \leftrightarrow \widetilde{\varphi } \rightarrow \left( {T\varphi }\right) \left( 0\right) \) ,是满足 (2) 所要求的连续线性泛函. 因为 \( T \) 的连续性与线性,知上述 \( f \) 是一个 \( {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 分布. 进而,利用 \( T \) 与 \( {\tau }_{-h} \) 的可换性,得
\[
\left( {T\varphi }\right) \left( h\right) = {\tau }_{-h}\left( {{T\varphi }\left( 0\right) }\right) = \left( {T{\tau }_{-h}\varphi }\right) \left( 0\right)
\]
\[
= \left( {f * {\tau }_{-h}\varphi }\right) \left( 0\right) = \left( {f * \varphi }\right) \left( h\right) .
\]
由于 \( h \) 的任意性,(2)得证.
关于卷积的微分, 我们有
定理 3.15 设 \( f, g \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,且 \( \operatorname{supp}\left( g\right) \) 为紧集,则对任意指标 \( \alpha \) ,有
\[
{\partial }^{\alpha }\left( {f * g}\right) = {\partial }^{\alpha }f * g = f * {\partial }^{\alpha }g.
\]
证 任取 \( \varphi \in D\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,则
\[
\left\langle {{\partial }^{a}\left( {f * g}\right) ,\varphi }\right\rangle = {\left( -1\right) }^{\left| a\right| }\left\langle {f * g,{\partial }^{a}\varphi }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f,{\left( -1\right) }^{\left| \alpha \right| }\left\langle {g,{\left( {\partial }^{\alpha }\varphi \right) }_{-x}}\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f,{\left( -1\right) }^{\left| \alpha \right| }\left\langle {g,{\tau }_{-x}\left( {{\partial }^{\alpha }\varphi }\right) }\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f,{\left( -1\right) }^{\left| \alpha \right| }\left\langle {g,{\partial }^{a}\left( {{\tau }_{-x}\varphi }\right) }\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f,\left\langle {{\partial }^{a}g,{\varphi }_{-x}}\right\rangle }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {f * {\partial }^{a}g,{\varphi }_{-s}}\right\rangle .
\]
等式另一部分可类似地得到.
最后,关于卷积的支集,我们也可写出: 当 \( f, g \in {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 时,
\[
\operatorname{supp}\left( {f * g}\right) \subset \operatorname{supp}\left( f\right) + \operatorname{supp}\left( g\right) .
\]
还可以讨论分布的张量积、流形上的分布等等, 但已属专门课题, 本教材不再进行介绍.
## \( §4 \) Fourier 分析
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1797_大学数学系自学丛书 概率论与数理统计
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定义2.5.1
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定义2.5.1 设随机变量 \( \xi \) 的分布列为
\[
\left( \begin{array}{l} {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{k},\cdots \\ {p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{i},\cdots \end{array}\right)
\]
若级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}{p}_{k} \)
\( \left( {2.5.1}\right) \)
绝对收敛,则定义级数 (2.5.1) 为 \( \xi \) 的均值 (或叫数学期望). 用 \( \mathrm{E}\bar{\xi } \) 表示.
一个随机变量的均值, 按其实际意义, 应当是一个确定的值, 因此它不应因改变级数项的顺序而改变. 这就是在均值定义中要求 (2.5.1) 绝对收敛的道理.
例2.5.1 常数 \( c \) 的均值等于它本身
\[
\mathrm{{Ec}} - \mathrm{c} \cdot 1 = \mathrm{c}
\]
例2.5.2 两点分布随机变量的均值为
\[
{E\xi } = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p
\]
例2.5.3 服从二项分布
\[
P\left( {\xi = k}\right) = \left( \begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) {p}^{k}{q}^{n - k}, k = 0,1,\cdots, n
\]
的随机变量的均值为
\[
{E\xi } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}k \cdot \left( \begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) {p}^{k}{\left( 1 - p\right) }^{n = k}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}k\frac{n!}{k!\left( {n - k}\right) !}{p}^{i}{q}^{n = k}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{np}\frac{\left( {n - 1}\right) !}{\left( {k - 1}\right) !\left( {\left( {n - 1}\right) - \left( {k - 1}\right) }\right) !}{p}^{k - 1}{q}^{\left( {n - 1}\right) - \left( {k - 1}\right) }
\]
\[
= {np}\mathop{\sum }\limits_{{1 = 1}}^{n}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right) {p}^{k = 1}{q}^{\left( {n = 1}\right) * \left( {k + 1}\right) }
\]
\[
= {np}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\left( \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}\right) {p}^{k}{q}^{\left( {n - 1}\right) - k}
\]
\[
= {np}{\left( p + q\right) }^{n - 1} = {np}
\]
如果已知每次射击的命中率为 \( p = {0.9} \) ,那么在 50 次射击中命中数 \( \xi \) 的均值就是 \( {50} \times {0.9} = {45} \) ,这个结果直观上是容易理解的.
例2.5.4 服从普阿松分布
\[
P\left( {\xi = k}\right) = \frac{{\lambda }^{k}}{k!}{e}^{k\lambda },\;k = 0,1,2,\cdots
\]
的随机变量的均值为
\[
E\underline{E} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }x,{p}_{i} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }k \cdot \frac{{\lambda }^{k}}{k!}{e}^{-\lambda } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k}}{\left( {k - 1}\right) !} - {e}^{-\lambda }
\]
\[
= \lambda {e}^{-\lambda }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k - 1}}{\left( {k - 1}\right) !} = \lambda {e}^{-1}{e}^{\lambda } = \lambda .
\]
例2.5.5 服从几何分布
\[
P\left( {\xi = k}\right) = {q}^{k - 1}p,\;k = 1,2,\cdots
\]
的随机变量的均值为
\[
{E\xi } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\prime }k \cdot {q}^{k - 1}p = p\left( {1 + {2q} + 3{q}^{2} + \cdots }\right)
\]
\[
= p{\left( q + {q}^{2} + {q}^{3} + \cdots \right) }^{\prime }
\]
\[
= p{\left( \frac{q}{1 - q}\right) }^{\prime } = p - \frac{1}{{\left( 1 - q\right) }^{2}} = \frac{1}{p}
\]
关于随机变量函数的均值, 我们有如下定理:
定理2.5.1 (1) 若 \( \xi \) 为一离散型随机变量,其分布为 \( P(\xi = \) \( \left. {x}_{i}\right) = p\left( {x}_{1}\right), f\left( x\right) \) 为一连续函数,若级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }f\left( {x}_{i}\right) p\left( {x}_{i}\right) \) 绝对收敛,则随机变量 \( f\left( \xi \right) \) 的均值为
\[
{Ef}\left( \xi \right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }f\left( {x}_{i}\right) p\left( {x}_{i}\right)
\]
( 2 ) 若 \( \left( {\xi ,\eta }\right) \) 为二维随机变量,联合分布为 \( P(\xi = x,,\eta = \) \( \left. {y}_{k}\right) = p\left( {x,,{y}_{k}}\right), f\left( {x, y}\right) \) 为二元连续函数,若级数 \( \sum \mathop{\sum }\limits_{k}f\left( {{x}_{1},{y}_{k}}\right) \) \( p\left( {{x}_{1},{y}_{k}}\right) \) 绝对收敛,则随机变量 \( \xi = f\left( {\xi ,\eta }\right) \) 的均值为
\[
{E\zeta } = \mathop{\sum }\limits_{i}\mathop{\sum }\limits_{k}f\left( {{x}_{i},{y}_{k}}\right) p\left( {{x}_{i},{y}_{k}}\right)
\]
(证明从略)
均值有下面几个性质
性质 1 对任一常数 \( c \) ,有
\[
E\left( {c\xi }\right) = {cE\xi }
\]
这性质由定义直接可得.
性质 2 对任意的 \( n \) 个随机变量 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n} \) ,若相应的均值存在, 则
\[
E\left( {{\xi }_{1} + {\xi }_{2} + \cdots + {\xi }_{n}}\right) = E{\xi }_{1} + E{\xi }_{2} + \cdots + E{\xi }_{1},
\]
\( \left( {2.5.2}\right) \)
就是说, 随机变量和的均值等于各随机变量均值的和.
证明 只对两个随机变量 \( \xi ,\eta \) 的情况来证明就够了.
设 \( \xi ,\eta ,\left( {\xi ,\eta }\right) \) 的概率分布分别为
\[
P\{ \xi = x,\} = g\left( {x}_{1}\right) ,
\]
\[
P\left\{ {\eta = {y}_{k}}\right\} = h\left( {y}_{v}\right) ,
\]
\[
P\left( {\xi = {x}_{1},\eta = {y}_{k}}\right) = p\left( {{x}_{1},{y}_{k}}\right)
\]
\[
j, k = 1,2,\cdots
\]
则
\[
{E\xi } + {E\eta } = \mathop{\sum }\limits_{i}{x}_{i}g\left( {x}_{i}\right) + \mathop{\sum }\limits_{k}{y}_{k}h\left( {y}_{k}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{i}{x}_{i}\mathop{\sum }\limits_{i}p\left( {{x}_{i},{y}_{i}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{i}{y}_{i}\mathop{\sum }\limits_{i}p\left( {{x}_{i},{y}_{i}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i, k}}{x}_{i}p\left( {{x}_{i},{y}_{k}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i, k}}{y}_{k}p\left( {{x}_{i},{y}_{k}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{j, k}}\left( {{x}_{1} + {y}_{k}}\right) p\left( {{x}_{j},{y}_{k}}\right)
\]
后式恰为随机变量 \( \xi + \eta \) 的均值 \( E\left( {\xi + \eta }\right) \) .
性质 3 若相互独立的随机变量 \( \xi \) 与 \( \eta \) 的均值存在,则
\[
E\left( {\xi \eta }\right) = {E\xi } \cdot {E\eta }
\]
\( \left( {2.5.3}\right) \)
就是说, 在独立的条件下, 随机变量积的均值等于各随机变量均值的积
证明 \( E\left( {\xi \eta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j, k}}{x}_{j}{y}_{k}p\left( {{x}_{j},{y}_{k}}\right) \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{j, k}}{x}_{j}{y}_{k}g\left( {x}_{j}\right) h\left( {y}_{k}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i, k}}\{ {x}_{i}g\left( {x}_{i}\right) \} \cdot \left\{ {{y}_{k} \cdot h\left( {y}_{k}\right) }\right\}
\]
\[
= \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{i}{x}_{1}g\left( {x}_{i}\right) }\right\} \cdot \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{k}{y}_{1}h\left( {y}_{k}\right) }\right\} = {E\xi } \cdot {E\eta }
\]
利用均值的性质, 可用另一方法求二项分布的均值.
若在每次试验中事件 \( A \) 出现的概率为 \( p \) ,以 \( \zeta \) 表示在 \( n \) 次独立试验中事件 \( A \) 出现的次数,而以 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots ,{\mu }_{n} \) 分别表示在第一次,第二次, \( \cdots \) ,第 \( n \) 次试验中 \( A \) 出现的次数. 显然,在 \( n \) 次试验中 \( A \) 出现的次数是 \( A \) 在各次试验中出现次数的和,即
\[
\zeta = {\mu }_{1} + {\mu }_{2} + \cdots + {\mu }_{n}
\]
因为在各次试验中 \( A \) 出现的次数,只有两个可能值: 0 与 1,而取 1 的概率为 \( p \) . 所以 \( {\mu }_{i} \) 的分布列为
\[
\left( \begin{array}{ll} 0, & 1 \\ q, & p \end{array}\right)
\]
因而 \( E{\mu }_{i} = p, i = 1,2,\cdots, n \) ,根据性质 2 则得
\[
{E\zeta } = E{\mu }_{1} + E{\mu }_{2} + \cdots + E{\mu }_{n} = {np}
\]
与用均值定义直接求的结果一致.
## (二) 方 差
在不少的实际问题里, 不仅需要知道随机变量的均值, 而且还需要知道随机变量取值与均值的偏差程度. 比如, 考虑两名射手打靶射击水平, 不仅要看他们各自平均击中环数, 而且还应当看他们击中环数的摆动程度. 假定两名射手甲与乙各射击了 5 次, 所得环数如下:
甲 乙
\[
4,8,7,{10},6,7,7,8,7,6
\]
平均环数都是 7 环, 但击中环数与平均环数的偏离程度确不一样. 从摆动的情况看乙比甲好. 随机变量的这一特性用均值反映不出来. 因此应当引进一个数, 用以刻划随机变量对它的均值的偏离程度.
对于上述例子可以这样做, 先求每个实际取值与平均值的差的平方: \( {\left( 4 - 7\right) }^{2},{\left( 8 - 7\right) }^{2},\cdots ,{\left( 6 - 7\right) }^{2} \) 及 \( {\left( 7 - 7\right) }^{2},{\left( 7 - 7\right) }^{2},\cdots ,(6 \) \( - 7{)}^{2} \) ,然后分别求它们的平均,
\[
\text{甲}\frac{1}{5}\left( {9 + 1 + 0 + 9 + 1}\right) = 4
\]
\[
\text{乙}\frac{1}{5}\left( {0 + 0 + 1 + 0 + 1}\right) = 2/5 = {0.4}
\]
由于 \( {0.4} < 4 \) ,所以乙比甲稳.
在这里为什么用实际取值与均值的差的平方, 而不用差本身, 这是因为差本身可能有正值也可能有负值, 正值与负值相互抵消, 因而反映不出偏离程度, 用差的平方就避免了这种情况.
由于这个例子启发,想到可用 \( {\left( \xi - E\xi \right) }^{2} \) 的均值 \( E{\left( \xi - E\xi \right) }^{2} \) 描述 \( \xi \) 对其均值 \( {E\xi } \) 的偏离程度,因而给出方差定义如下.
定义2.5.2 对于随机变量 \( \xi \) ,若 \( {\left( \xi - E\xi \right) }^{2} \) 的均值 \( E{\left( \xi - E\xi \right) }^{2} \) 存在,则称其为 \( \xi \) 的方差,用 \( {D\xi } \) 表示,即
\[
{D\xi } = E{\left( \xi - E\xi \right) }^{2}
\]
\( \left( {2.5.5}\right) \)
根据 \( \left( {2.5.5}\right) \) 可知
\[
{D\xi } = E{\left( \xi - E\xi \right) }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k - 1}}^{\infty }{\left( {x}_{k} - E\xi \right) }^{2}P\left( {\xi = {x}_{k}}\right)
\]
方差 \( {D\xi } \) 的开方 \( \checkmark {D\xi } \) 叫做 \( \xi \) 的标准差 (或均方差).
下面推导一个常用的计算方差的公式
\[
{D\xi } = E{\left( \xi - E\xi \right) }^{2} = E\left\lbrack {{\xi }^{2} - {2\xi } \cdot {E\xi } + {\left( E\xi \right) }^{2}}\right\rbrack
\]
\[
= E{\xi }^{2} - {2E\xi } \cdot {E\xi } + {\left( E\xi \right) }^{2} = E{\xi }^{2} - {\left( E\xi \right) }^{2}
\]
\( \left( {2.5.6}\right) \)
在计算方差时, 有时用 (2.5.6) 比用 (2.5.5) 方便.
方差有下面几个性质
性质 1 对任一常数 \( c \) ,有 \( D\left( {c\xi }\right) = {c}^{2}{D\xi } \) . 这性质由定义直接可得.
性质 2 对相互独立的随机变量 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n} \) ,若相应的方差存在, 则
\[
D\left( {{\xi }_{1} + {\xi }_{2} + \cdots + {\xi }_{n}}\right) = D{\xi }_{1} + D{\xi }_{2} + \cdots + D{\xi }_{n}
\]
\( \left( {2.5.7}\right) \)
就是说, 相互独立的随机变量和的方差等于各随机变量方差的和.
证明 只需对两个随机变量 \( \xi ,\eta \) 的情形进行证明就够了.
\[
D\left( {\xi + \eta }\right) = E{\left( \xi + \eta \right) }^{2} - {\left\lbrack E\left( \xi + \eta \right) \right\rbrack }^{2}
\]
\[
= E\left( {{\xi }^{2} + {2\xi \eta } + {\eta }^{2}}\right) - \left\lbrack {{\left( E\xi \right) }^{2} + {\left( E\eta \right) }^{2} + 2\left( {E\xi }\right) \left( {E\eta }\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \left\lbrack {E{\xi }^{2} - {\left( E\xi \right) }^{2}}\right\rbrack + \left\lbrack {E{\eta }^{2} - {\left( E\eta \right) }^{2}}\right\rbrack
\]
\[
+ 2\left\lbrack {{E\xi \eta } - \left( {E\xi }\right) \left( {E\eta }\right) }\right\rbrack
\]
由于 \( \xi \) 与 \( \eta \) 独立,所以, \( {E\xi \eta } = \left( {E\xi }\right) \left( {E\eta }\right) \)
因而有
\[
D\left( {\xi + \eta }\right) = {D\xi } + {D\eta }
\]
性质 3 若 \( c \neq {E\xi } \) ,,则
\[
{D\xi } < E{\left( \xi - c\right) }^{2}
\]
证明
\[
{D\xi } = E{\left( \xi - E\xi \right) }^{2} = E{\left\lbrack \left( \xi - c\right) - \left( E\xi - c\right) \right\rbrack }^{2}
\]
\[
= E{\left( \xi - c\right) }^{2} - 2{\left( E\xi - c\right) }^{2} + {\left( E\xi - c\right) }^{2}
\]
\[
= E{\left( \xi - c\right) }^{2} - {\left( E\xi - c\right) }^{2} < E{\left( \xi - c\right) }^{2}
\]
\( \left( {2.5.8}\right) \)
例2.5.6 常数 \( c \) 的方差等于 0
\[
{Dc} = {\left( c - c\right) }^{2} \cdot 1 = 0
\]
这结果是直观的, 因为常数对它自己本来就无任何偏差可言.
例2.5.7 两点分布随机变量的方差是 \( {pq} \)
\[
{D\xi } = {\left( 0 - p\right) }^{2}q + {\left( 1 - p\right) }^{2}p = {p}^{2}q + {q}^{2}p = {pq}\left( {p + q}\right) = {pq}
\]
也可用 (2.5.6) 来计算
\[
E{\xi }^{2} = {0}^{2}q + {1}^{2} \cdot p = p
\]
\[
{D\xi } = E{\xi }^{2} - {\left( E\xi \right) }^{2} = p - {p}^{2} = p\left( {1 - p}\right) =
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1351_[陈天权] 数学分析讲义3
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定义 11.6.14
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定义 11.6.14 给定了局部紧的度量空间 \( M \) 及 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函 \( l.M \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) 称为 \( l \) -可积函数,假若 \( f\left( x\right) \in {\widetilde{L}}^{1} \) ,换言之,它是 \( {\mathcal{L}}^{1} \) 中某元素的实现.
设 \( l \) 是 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函,测度 \( \mu \) 是 \( l \) -测度. 按第 10 章的理论,相对于这个测度 \( \mu \) 有可积函数的概念. 这个可积函数与定义 11.6.14 中的 \( l \) -可积函数之间的关系是怎样的? 本小节将证明: \( f\left( x\right) \) 是相对于 \( l \) -测度 \( \mu \) 的可积函数, 当且仅当 \( f\left( x\right) \) 是 \( l \) -可积函数. 在第 10 章中,相对于 \( l \) -测度 \( \mu \) 可积的函数 \( f\left( x\right) \) 有相对于 \( l \) -测度 \( \mu \) 的积分. 我们还将证明: 这个积分恰等于正线性泛函 \( l \) 在以 \( f\left( x\right) \) 为实现的元素 \( f \in {\mathcal{L}}^{1} \) 处的值.
定理 11.6.12 假设 \( M \) 是个局部紧的度量空间,给定了 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函 \( l,\mu \) 是 \( l \) -测度,则 \( M \) 上的 \( l \) -可积函数 \( f\left( x\right) \) 必是 \( \mu \) -可测的.
证 \( M \) 上的支集为紧集的连续函数当然可测,而 \( M \) 上的 \( l \) -可积函数 \( f\left( x\right) \) 必是一串支集为紧集的连续函数相对于 \( \mu \) 几乎处处收敛的极限. 作为一串相对于 \( \mu \) 几乎处处收敛的可测函数的极限, \( f\left( x\right) \) 也 \( {\mu }^{ * } \) -可测.
推论 11.6.6 假设 \( M \) 是个局部紧度量空间,给定了 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函 \( l,\mu \) 是 \( l \) -测度,则 \( M \) 上的 \( l \) -可积集 \( S \) 必是 \( \mu \) -可测集.
证 只要把定理 11.6.12 用到 \( S \) 的指示函数 \( {\mathbf{1}}_{S} \) 上就得到这个推论了.
定理 11.6.13 假设 \( M \) 是个局部紧的度量空间,给定了局部紧的度量空间 \( M \) 上全体紧支集的连续函数空间 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函 \( l,{\mu }^{ * } \) 是由 \( l \) 产生的外测度,假若 \( M \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) 关于测度 \( \mu \) 是可积的,则它必是 \( l \) -可积的,换言之,它是 \( {\mathcal{L}}^{1} \) 中某元素 \( f \) 之实现. 这时,我们有
\[
l\left( f\right) = \int f\left( x\right) {d\mu }
\]
证 记 \( \mathcal{L} \) 表示 \( M \) 上几乎处处非负的关于测度 \( \mu \) 可积的函数全体. 显然, \( \mathcal{L} \) 是半格. 令
\[
\mathcal{K} = \left\{ {f\left( x\right) \in \mathcal{L} : f\left( x\right) \text{是}l\text{-可积的,且}l\left( f\right) = \int f\left( x\right) {d\mu }}\right\} \text{.}
\]
记 \( \mathcal{P} = \{ E \subset M : E \) 是 \( \mu - \) 可测集 \( \} \) . 显然, \( \mathcal{P} \) 是 \( \sigma \) -代数,当然是 \( \pi \) -系. 在 \( \mu \left( M\right) < \infty \) 时,不难证明 \( \mathcal{K} \) 是 \( \mathcal{L} \) -系. 由引理 10.5.2, \( \mathcal{K} = \mathcal{L} \) . 在 \( \mu \left( M\right) = \infty \) 时,记 \( {S}_{n} = \{ x \in M : f\left( x\right) > 1/n\} \) . 因函数 \( f\left( x\right) \) 关于测度 \( \mu \) 是可积的,由 Chebyshev 不等式, \( \mu \left( {S}_{n}\right) < \infty \) . 一定有开集 \( {M}_{n} \supset {S}_{n} \) 使得 \( \mu \left( {M}_{n}\right) < \infty \) . 我们还可要求这串开集 \( {\left\{ {M}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 满足条件: \( \forall n \in \mathbf{N}\left( {{M}_{n} \subset {M}_{n + 1}}\right) \) . 作为 \( M \) 的度量子空间的开集 \( {M}_{n} \) 是局部紧的度量空间. 在 \( {M}_{n} \) 上对 \( f \) 在 \( {M}_{n} \) 上的限制 \( {f}_{{M}_{n}} \) 可以应用刚刚得到的结果,换言之,对于任何 \( f\left( x\right) \in \mathcal{L}, f\left( x\right) {\mathbf{1}}_{{M}_{n}}\left( x\right) \) 可以被支集是 \( {M}_{n} \) 内的紧集的连续函数列 \( \left\{ {{c}_{k}\left( x\right) }\right\} \) 在范数 \( {\left| \cdot \right| }_{l} \) 意义下逼近,且
\[
l\left( {f\left( x\right) {\mathbf{1}}_{{M}_{n}}\left( x\right) }\right) = {\int }_{{M}_{n}}f\left( x\right) {d\mu } = \int f\left( x\right) {\mathbf{1}}_{{M}_{n}}\left( x\right) {d\mu }.
\]
再注意到 \( f{\mathbf{1}}_{{M}_{n}} \) 单调不减地收敛于 \( f \) ,用 Beppo Levi 单调收敛定理和 Beppo Levi 关于列的单调收敛定理便得到定理的结论对于非负的 \( \mu \) -可积函数是成立的,换言之,对于任何 \( f\left( x\right) \in \mathcal{L}, f\left( x\right) \) 是 \( l \) 可积的,且
\[
l\left( {f\left( x\right) }\right) = \int f\left( x\right) {d\mu }
\]
一般的 \( \mu \) - 可积函数可以通过分解成正部与负部之差而得到定理的结论.
定理 11.6.14 假设 \( M \) 是个局部紧的度量空间,给定了 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函 \( l,\mu \) 是 \( l \) -测度,则 \( M \) 上的 \( l \) -可积函数 \( f\left( x\right) \) 必是关于测度 \( \mu \) 可积的,且
\[
l\left( f\right) = \int f\left( x\right) {d\mu }
\]
证 不妨设 \( f \geq 0 \) ,一般情形可以通过分解成正部与负部之差来解决. 定理 11.6.12 告诉我们: \( f \) 是 \( \mu \) -可测的. 我们只须证明 \( f\left( x\right) \) 关于测度 \( \mu \) 可积,因为定理 11.6.14 中最后的等式可由定理 11.6.13 得到. 假若 \( f\left( x\right) \) 关于测度 \( \mu \) 不可积,则有一串单调不减的非负简单可积函数 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) ,使得
\[
{f}_{n}\left( x\right) \leq f\left( x\right) ,\;\text{ 且 }\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\int {f}_{n}\left( x\right) {d\mu } = \infty .
\]
由定理 11.6.13,
\[
\infty > l\left( f\right) \geq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}l\left( {f}_{n}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\int {f}_{n}\left( x\right) {d\mu } = \infty .
\]
这个矛盾证明了 \( f\left( x\right) \) 关于测度 \( \mu \) 的可积性.
注 由以上的几个定理我们有: 对于任何 \( f \in {\mathcal{L}}^{1} \) 或 \( f \in {L}^{1} \) ,
\[
{\left| f\right| }_{l} = l\left( \left| f\right| \right) = \int \left| {f\left( x\right) }\right| {d\mu }
\]
定理 11.6.13 和定理 11.6.14 告诉我们, 当集合的外测度用包含该集合的开集的体积的下确界定义时, \( §{11.6} \) 中用泛函建立的在局部紧度量空间 \( M \) 上的积分概念与第 9 和第 10 章中用测度建立的积分概念是一样的. 还可以用泛函建立一般的 (无拓扑概念的) 空间上的积分概念, 这就是所谓的 Daniell积分的概念, 本讲义不想进入这个领域了.
## 11.6.7 Radon 泛函与 Jordan 分解定理
定义 11.6.15 设 \( M \) 是局部紧的度量空间, \( {C}_{0}\left( M\right) \) 表示 \( M \) 上具有紧支集的连续实值函数的全体. 一个定义在 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的实值线性泛函 \( l \) 称为 Radon泛函,假若对于任何支集包含在一个不依赖于 \( n \) 的紧集 \( K \) 内的连续实值函数列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) ,只要 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( M \) 上一致收敛于零,必有 \( l\left( {f}_{n}\right) \rightarrow 0 \) .
不难证明: 正线性泛函是 Radon 泛函. 这只要证明以下事实就可以了: 对于任何紧集 \( K \subset M \) ,可以构造一个函数 \( f \in {C}_{0}\left( M\right) \) ,使得
\[
\forall x \in K\left( {f\left( x\right) = 1}\right) \;\text{ 且 }\;\forall x \in M\left( {0 \leq f\left( x\right) \leq 1}\right) .
\]
证明的细节作为习题留给同学自行完成 (参看 \( §{11.8} \) 的第 9 题).
定义 11.6.16 设 \( M \) 是局部紧的度量空间, \( {C}_{0}\left( M\right) \) 表示 \( M \) 上具有紧支集的连续实值函数的全体. 两个定义在 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的 Radon 泛函 \( {l}_{1} \) 和 \( {l}_{2} \) 称为 \( {l}_{1} \leq {l}_{2} \) 的,假若 \( {l}_{2} - {l}_{1} \) 是正线性泛函,换言之,以下关系式成立:
\[
\forall f \in {C}_{0}\left( M\right) \left( {f \geq 0 \Rightarrow \left( {{l}_{2} - {l}_{1}}\right) \left( f\right) \geq 0}\right) .
\]
定理 11.6.15 (Jordan分解定理) 局部紧的度量空间 \( M \) 上的任何 Radon 泛函 \( l \) 均可表示成: \( l = {l}^{ + } - {l}^{ - } \) ,其中 \( {l}^{ + } \) 和 \( {l}^{ - } \) 均为正线性泛函. 而且,对于任何分解 \( l = {l}_{1} - {l}_{2} \) ,其中 \( {l}_{1} \) 和 \( {l}_{2} \) 均为正线性泛函,必有 \( {l}_{1} \geq {l}^{ + } \) 和 \( {l}_{2} \geq {l}^{ - } \) . 具有这样的性质的 \( {l}^{ + } \) 和 \( {l}^{ - } \) 是由 Radon 泛函 \( l \) 唯一确定的.
证 为了构造一个线性泛函 \( l \) ,只须对非负的 \( f \in {C}_{0}\left( M\right) \) 给出泛函 \( l \) 的值 \( l\left( f\right) \) 就可以了. 因为对于一般的 \( f \in {C}_{0}\left( M\right) \) 都有分解 \( f = {f}^{ + } - {f}^{ - } \) ,其中 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 是 \( f \) 的正部和负部,它们都是非负的 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 中的函数,而 \( l\left( f\right) = \) \( l\left( {f}^{ + }\right) - l\left( {f}^{ - }\right) \)
给了一个 Radon 泛函 \( l \) ,若 \( 0 \leq f \in {C}_{0}\left( M\right) \) ,令
\[
{l}^{ + }\left( f\right) = \mathop{\sup }\limits_{\substack{{0 \leq g \leq f} \\ {g \in {C}_{0}\left( M\right) } }}l\left( g\right)
\]
首先我们愿意指出: \( 0 \leq {l}^{ + }\left( f\right) < \infty \) . 理由如下: \( 0 \leq {l}^{ + }\left( f\right) \) 是由于 \( {l}^{ + }\left( f\right) = \)
\( \mathop{\sup }\limits_{\substack{{0 \leq g \leq f} \\ {g \in {C}_{0}\left( M\right) } }}l\left( g\right) \geq l\left( 0\right) = 0 \) . 我们用反证法证明 \( {l}^{ + }\left( f\right) < \infty \) . 若 \( {l}^{ + }\left( f\right) = \infty \) ,则
\[
\forall n \in \mathbf{N}\exists {g}_{n} \in {C}_{0}\left( M\right) \left( {0 \leq {g}_{n} \leq f\text{ 且 }l\left( {g}_{n}\right) \geq n}\right) .
\]
由此, \( \operatorname{supp}\left( {{g}_{n}/n}\right) \subset \operatorname{supp}f \) 且 \( {g}_{n}/n \) 一致地收敛于零. 而另一方面,
\[
\forall n \in \mathbf{N}\left( {l\left( {{g}_{n}/n}\right) \geq 1}\right) .
\]
这与 \( l \) 是 Radon 泛函的假设矛盾.
下面我们要证明: \( {l}^{ + } \) 是正线性泛函. 为此,我们先证明 \( {l}^{ + } \) 具有以下三条性质:
(1) \( \forall f \in {C}_{0}\left( M\right) \left( {f \geq 0 \Rightarrow {l}^{ + }\left( f\right) \geq 0}\right) \) ;
(2) \( \forall {f}_{1},{f}_{2} \in {C}_{0}\left( M\right) \left( {\min \left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right) \geq 0 \Rightarrow {l}^{ + }\left( {f}_{1}\right) + {l}^{ + }\left( {f}_{2}\right) \leq }\right. \) \( \left. {{l}^{ + }\left( {{f}_{1} + {f}_{2}}\right) }\right) \)
(3) \( \forall {f}_{1},{f}_{2} \in {C}_{0}\left( M\right) \left( {\min \left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right) \geq 0 \Rightarrow {l}^{ + }\left( {f}_{1}\right) + {l}^{ + }\left( {f}_{2}\right) \geq }\right. \) \( \left. {{l}^{ + }\left( {{f}_{1} + {f}_{2}}\right) }\right) \) .
性质 (1) 和 (2) 是显然的. 性质 (3) 证明如下: 设 \( {f}_{1} + {f}_{2} \geq g \in {C}_{0}\left( M\right) \) . 令 \( {g}_{1} = \min \left( {g,{f}_{1}}\right) ,{g}_{2} = g - {g}_{1} \) . 显然, \( 0 \leq {g}_{1} \in {C}_{0}\left( M\right) ,{g}_{2} \in {C}_{0}\left( M\right) \) ,而且 \( {g}_{1} \leq {f}_{1} \) . 另一方面,我们有
\[
{g}_{2} = g - \min \left( {g,{f}_{1}}\right) = g + \max \left( {-g, - {f}_{1}}\right) = \max \left( {0, g - {f}_{1}}\right) ,
\]
故 \( {g}_{2} \geq 0 \) . 注意到 \( {f}_{2} \geq 0 \) ,有 \( {g}_{2} = \max \left( {0, g - {f}_{1}}\right) \leq \max \left( {0,{f}_{2}}\right) = {f}_{2} \) . 由此,对于任何满足条件 \( {f}_{1} + {f}_{2} \geq g \in {C}_{0}\left( M\right) \) 的 \( g \) ,应有
\[
l\left( g\right) = l\left( {g}_{1}\right) + l\left( {g}_{2}\right) \leq {l}^{ + }\left( {f}_{1}\right) + {l}^{ + }\left( {f}_{2}\right)
\]
所以, 我们有
\[
{l}^{ + }\left( {{f}_{1} + {f}_{2}}\right) = \mathop{\sup }\limits_{\substack{{g \in {C}_{0}\left( M\right) } \\ {g \leq {f}_{1} + {f}_{2}} }}l\left( g\right) \leq {l}^{ + }\left( {f}_{1}\right) + {l}^{ + }\left( {f}_{2}\right) .
\]
(3) 证毕.
把 (2) 和 (3) 结合起来, 我们有
\[
\forall {f}_{1},{f}_{2} \in {C}_{0}\left( M\right) \left( {\min \left( {{f}_{1},{f}_{2}}\right) \geq 0 \Rightarrow {l}^{ + }\left( {f}_{1}\right) + {l}^{ + }\left( {f}_{2}\right) = {l}^{ + }\left( {{f}_{1} + {f}_{2}}\right) }\right) .
\]
另一方面,对于任意 \( c > 0 \) ,显然有 \( {l}^{ + }\left( {cf}\right) = c{l}^{ + }\left( f\right) \) .
设 \( {f}_{1} \in {C}_{0}\left( M\right) ,{f}_{2} \in {C}_{0}\left( M\right) \) ,有 \( {f}_{1} = {f}_{1}^{ + } - {f}_{1}^{ - },{f}_{2} = {f}_{2}^{ + } - {f}_{2}^{ - } \) ,其中 \( {f}_{1}^{ + } \) 和 \( {f}_{2}^{ + }
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1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义
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定义 1.1
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定义 1.1 是概率的频率定义 (又叫概率的统计定义). 至于概率 \( P\left( A\right) \) 的实际计算法,定义本身也给出了一种近似求法,即作大量的试验,计算事件 \( A \) 发生的频率. 虽然得到的是近似值,但我们相信读者不至于因为现实生活中某一数值的获得只是些近似值而感到不实在. 事实上, 我们周围许多量的测量完全是近似的, 如长度的概念并不会因为每次实测数值都是近似值而建立不起来, 也不会因为温度计读数都是近似值而怀疑起“温度”的客观存在性.
以下介绍概率的主观定义. 在现实世界里, 有一些事件是不能重复或不能大量重复的, 这时无法用上述定义 1.1 来定义概率. 怎么办? 一些统计学家认为, 这样的事件不能定义概率, 另一些统计学家 (主要是贝叶斯 (Bayes) 学派的学者) 则认为可以定义概率, 他们认为应采用以下定义:
定义 1.2 一个事件的概率是人们根据已有的知识和经验对该事件发生可能性所给出的个人信念,这种信念用 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中的一个数来表示, 可能性大的对应较大的数.
定义 1.2 就是概率的主观定义, 所定义的概率又叫做主观概率. 粗一看, 概率的主观定义很不科学, “个人信念”的主观色彩太浓. 但仔细一想, 现实世界中却有一些“可能性大小”是由个人信念来确定的, 而且这样确定的概率合乎实际, 对于人们的决策和行动有重要的指导作用. 例如, 一个企业家在某年某月某日说“此项产品在未来市场上畅销的概率是 0.8 ”. 这里的 0.8 是根据他自己多年的经验和当时的一些市场信息综合而成的个人信念. 如果这位企业家经验丰富, 又有多次成功的业绩, 我们就可以相信 “畅销的概率是 0.8 ".
又如一位外科医生要对一位心脏病患者做手术, 他认为成功的概率是 0.9 , 这是他根据手术的难易程度、该病人的身体状况以及自己的手术经验综合而成的个人信念. 如果这位医生经验丰富, 人们就会相信: 手术成功的概率是 0.9 .
这样的例子很多. 可见 “主观概率”在一些情况下不可或缺, 它是当事人对事件作了详细考察并充分利用个人已有的经验形成的 “个人信念”, 而不是没有根据的乱说一通. 当然, “个人信念”毕竟是个人主观的东西,应该谨慎对待. 我们的态度是, 在事件不能重复或不便多次重复的情形下, 采用概率的主观定义 (定义 1.2). 采用 “主观概率”时, “个人信念”中的“个人”应是有经验的人、专家或专家组. 概率的主观定义乃是前面的频率定义 (定义 1.1) 的一种补充 \( {}^{\left( 1\right) } \) .
## \( §2 \) 古典概型
上面介绍了概率的定义. 定义 1.1 既是概念, 同时又提供了近似计算概率的一般方法. 但是在某些特殊情况下, 并不需要临时做多次试验,也就是说临时多次实现条件组 \( S \) ,从而求得概率的近似值, 而是根据问题本身所具有的某种 “对称性”, 充分利用人类长期积累的关于“对称性”的实际经验, 分析事件的本质, 就可以直接计算其概率 (采用定义 1.2 可得到相同结果).
例如上节的例 1.1 , 即使我们不临时作大量的投掷试验, 我们也会想到, “正面朝上”与“正面朝下”出现的机会相等. 因此, 可以推测在大量试验中 “正面朝上” 这件事发生的频率在 0.5 左右, 即
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① 概率既是可能性大小的度量, 它不仅在自然科学、技术科学、社会科学中应用广泛, 在思维科学中也起着重要的作用. 大家知道, 演绎法和归纳法是最重要的两种推理方法,二者相互补充、缺一不可. 演绎推理的特点是,前提 \( A \) 与结论 \( B \) 间有必然关系: 若 \( A \) 成立,则 \( B \) 一定成立; 归纳推理的特点是,前提 \( A \) 与结论 \( B \) 间有或然关系: 若 \( A \) 成立,则 \( B \) 可能成立. 对于归纳推理 (日常生活和科学研究中的大量推理属于归纳推理) 来讲," \( B \) 成立的可能性有多大”十分重要. 在 \( A \) 成立的条件下 \( B \) 成立的概率就是所谓从 \( A \) 到 \( B \) 的 “归纳强度”. 对归纳法的深入研究离不开概率论. 本书后面要讲的 “统计推断”就是一种归纳推理.
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它的概率为 0.5 . 为什么 “正面朝上” 与 “正面朝下” 机会均等呢? 这是因为问题本身有一种对称性 (匀称的分币), 如果“朝上”与“朝下”出现的机会不相等, 那反倒与我们长期形成的“对称”的经验不相符了.
例 2.1 盒中装有五个球 (三个白球, 二个黑球) 从中任取一个, 问: 取到白球的概率是多少?
既然是“任取”, 那么五个球被取到的机会一样, 而白球有三个,因此,取到白球的概率应该是 \( 3/5 \) . 说得更清楚些,我们把五个球编上号如下 (其中白球为 \( 1,2,3 \) 号; 黑球为 4,5 号):
\( \begin{array}{l} \text{ (1) } \\ \text{ (2) } \\ \text{ (3) } \\ \text{ (4) } \\ \text{ (5) } \end{array} \)
因为是随便取一个, 所以
“取到 1 号球”, “取到 2 号球”, “取到 3 号球”
“取到 4 号球”, “取到 5 号球”
这些结果发生的机会一样, 而且是互相排斥的, 以及除此以外不可能有别的结果. 注意到 \( 1,2,3 \) 号球是白球,所以“取到白球”这个事件发生的频率会稳定在 \( 3/5 \) 左右,因此按概率定义,它的概率是 \( 3/5 \) .
例 2.2 盒中装有球的情况如上例, 现从中任取两个, 问两个球全是白球的概率是多少?
这个问题较为复杂, 不过仍可按上例的方法进行分析. 还是把五个球同样编号, 因为是随便取两个, 所以下列这些结果
\[
\text{“①, ②”}{}^{\left( 1\right) },\;\text{“①,③”}
\]
\[
\text{“①, ④”, “①, ⑤”}
\]
\[
\text{“②,③”, “②, ④”}
\]
\[
\text{"②, ⑤",}
\]
发生的机会一样, 而且是互相排斥的, 以及除此之外不可能有别的
① “①, ②”是“取到 1,2 号球”的缩写. 下同结果. 再注意到, 上列十种情况中, 有且仅有三种, 即“①, ②”, “①, ③”,“②,③”为全白. 因此“全白”发生的频率会稳定在 \( 3/{10} \) 左右. 于是,它的概率是 \( 3/{10} \) .
推而广之, 对上面几个例子所讨论的问题及解决问题的办法进行归纳, 可得出一般规律.
定义 2.1 称一个事件组 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 为一个等概完备事件组, 如果它具有下列三条性质:
(1) \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 发生的机会相同 (等可能性);
（2）在任一次试验中, \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 至少有一个发生 (也就是所谓“除此之外, 不可能有别的结果”) (完备性);
（3）在任一次试验中, \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 至多有一个发生 (也就是所谓“它们是互相排斥的”) (互不相容性).
等概完备事件组在这里也称为等概基本事件组; 其中任一事件 \( {A}_{1}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 称为基本事件.
(在例 1.1 中,等概基本事件组的 \( n = 2 \) ,它的两个基本事件是 “正面朝上”与“正面朝下”. 读者可对例 2.1 和例 2.2 分别找出等概基本事件组.)
若 \( {A}_{1},\cdots ,{A}_{n} \) 是一个等概基本事件组,而事件 \( B \) 由其中的某 \( m \) 个基本事件所构成 \( {}^{\mathbb{Q}} \) . 大量实践经验表明,事件 \( B \) 的概率应由下列公式来计算 \( {}^{\text{②}} \) :
\[
P\left( B\right) = m/n
\]
(2.1)
① 更确切地说,所谓事件 \( B \) 由事件 \( {A}_{{i}_{1}},{A}_{{i}_{2}},\cdots ,{A}_{{i}_{m}} \) 构成,是指当且仅当这 \( m \) 个事件中有一个发生时事件 \( B \) 才发生.
② 通常,如果试验只可能有有限个不同的试验结果 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) ; 而且它们发生的机会相同,则不难看出, \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 就是一个等概基本事件组. (因此,解决这类问题主要是把 \( n \) 和 \( m \) 数出来.)
“只可能有有限个不同的试验结果”中的“试验结果”一词, 是比较朴素的、直观的、 方便的, 一般而言, 也是不会引起混淆的 (今后我们有时也用这个词). 然而, 毕竟不够准确, 因此我们引进了等概完备事件组的概念
所谓古典概型就是利用关系 (2.1) 来讨论事件的概率的模型.
现在通过 (2.1) 式来讨论例 2.2. 考虑从三个白球两个黑球中任取两球,我们知道共有 \( {\mathrm{C}}_{5}^{2} = \frac{5 \times 4}{1 \times 2} = {10} \) 种不同的取法,它们出现的机会相同. 每一种取法对应一个基本事件, 所以等概基本事件组共含 \( n = {10} \) 个事件 (读者不难验证它的 “完备性” 和 “互不相容性”). 而取得两球均为白球,共有 \( m = {\mathrm{C}}_{3}^{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \) 种取法 (即由三个基本事件构成),由 (2.1) 有
\[
P\text{(取得两个白球)} = \frac{m}{n} = \frac{3}{10}
\]
下面再看几个例子.
例 2.3 设有一批产品共 100 件, 其中有 5 件次品, 现从中任取 50 件, 问: 无次品的概率是多少?
解 首先,从 100 件产品中任取 50 件,我们知道共有 \( {\mathrm{C}}_{100}^{50} \) 个不同的结果, 每一个结果就是一个事件. 容易验证这些事件是一个等概基本事件组 (是否等可能? 是否完备? 是否互不相容? 读者自己想一想).
现在来看 \( B = \) “任取 50 件其中无次品”,它由哪些基本事件所构成? 多少个? 很明显, 要所取的 50 件中无次品, 必须是从那 95 件正品中取来的. 可见这种无次品的取法共有 \( {\mathrm{C}}_{95}^{50} \) 种 (即事件 \( B \) 含 \( {\mathrm{C}}_{95}^{50} \) 个基本事件).
由关系式(2.1)得
\[
P\left( B\right) = {\mathrm{C}}_{95}^{50}/{\mathrm{C}}_{100}^{50}
\]
\[
= \frac{{95}!/\left( {{50}!{45}!}\right) }{{100}!/\left( {{50}!{50}!}\right) }
\]
\[
= \frac{{50} \cdot {49} \cdot {48} \cdot {47} \cdot {46}}{{100} \cdot {99} \cdot {98} \cdot {97} \cdot {96}}
\]
\[
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{47}{99} \cdot \frac{46}{97}
\]
\[
= \frac{1081}{38412} = {2.8}\%
\]
(请读者将本例跟例 2.2 进行比较.)
再考虑较为复杂的情形.
例 2.4 条件组 \( S \) 跟例 2.3 相同 (即还是 100 件产品,其中有 5 件次品, 从中任取 50 件), 问: 恰有两件次品的概率是多少?
解 等概基本事件组同例 2.3,总数 \( n = {\mathrm{C}}_{100}^{50} \) . 现在,问题的关键在于,计算出事件 \( A = \) “恰有两件次品”所包含的基本事件数.
取出的 50 件中, 恰有两件次品, 即有 48 件正品, 2 件次品. 这 48 件正品必是从 95 件正品中取出的,共有 \( {\mathrm{C}}_{95}^{18} \) 种; 而 2 件次品必是从 5 件次品中取出的,共有 \( {\mathrm{C}}_{5}^{2} \) 种. 因此,“恰有两件次品”共包含 \( {\mathrm{C}}_{95}^{48} \cdot {\mathrm{C}}_{5}^{2} \) 个基本事件.
于是, 据 (2.1) 得
\[
P\left( A\right) = {\mathrm{C}}_{95}^{48} \cdot {\mathrm{C}}_{5}^{2}/{\mathrm{C}}_{100}^{50}
\]
\[
= \frac{{95}!}{{48}!{47}!} \cdot \frac{5!}{2!3!}/\frac{{100}!}{{50}!{50}!}
\]
\[
= {0.32}
\]
就是说, 任取 50 件, 恰有两件次品的概率是 0.32 .
例 2.5 设一批产品共 \( N \) 个,其中次品共 \( M \) 个 (其他是正品). 现从中任取 \( n \) 个,问:恰好出现 \( m \) 个次品的概率是多少 \( (n - \) \( m \leq N - M\;0 \leq m \leq n, m \leq M)? \)
这是比例 2.4 更普遍的问题. 经过与例 2.4 同样的推理, 可以知道
\[
P\text{(恰好出现}m\text{个次品)} = \frac{{\mathrm{C}}_{N - M}^{n - m} \cdot {\mathrm{C}}_{M}^{m}}{{\mathrm{C}}_{N}^{n}}
\]
\( \left( {2.2}\right) \)
现在来讨论比例 2.5 更一般的情形, 我们可以证明一条在计算概率时十分有用的定理.
定理 2.1 设有 \( N \) 个东西分成 \( k \) 类,其中第 \( i \) 类有 \( N \) ,个东西 \( \left( {i = 1,\cdots, k}\right) ,{N}_{1} + \cdots + {N}_{k} = N \) ,从这 \( N \) 个东西中任取 \( n \) 个,而 \( n \) \( = {m}_{1} + {m}_{2} + \cdots + {m}_{k}\left( {0 \leq {m}_{i} \leq {N}_{i}, i = 1,\cdots, k}\right) \) ,则事件 \( A = \) “恰有 \( {m}_{1} \) 个属于第 1 类,恰有 \( {m}_{2} \) 个属于第 2 类, \( \cdots \) ,恰有 \( {m}_{k} \) 个属于第 \( k \) 类”的概率为
\[
P\left( A\right) = \frac{{\mathrm{C}}_{{\mathrm{N}}_{1}^{1}}^{{m}_{1}} \cdot {\mathrm{C}}_{{\mathrm{V}}_{2}^{2}}^{{m}_{2}} \cdot \cdots \cdot {\mathrm{C}}_{{\mathrm{N}}_{k}}^{{m}_{k}}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{N}}^{n}}
\]
(2.3)
证 我们可以用符号 \( {g}_{1},{g}_{2},\cdots ,{g}_{N} \) 表示这 \( N \) 个帆西. 任取 \( n \) 个,所有可能的结果共有 \( {\mathrm{C}}_{\mathrm{N}}^{n} \) 种. 每一种结果都是 \( n \) 个东西的组合. 每一种结果 (即每一个组合) 都看成一个基本事件,故共有 \( {\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}^{n} \) 个基本事件, 它们是等概的、互不相容的、完备的.
事件 \( A \) 包含多少个这样的基本事件呢? 这是关键问题. 根据事件 \( A \) 的定义,为使一个基本事件 (即一个 “组合”) 包含在 \( A \) 里, 必须且只需这个基本事件 (即这个 “组合”) 里恰有 \( {m}_{1} \) 个来自第 1 类, \( {m}_{2} \) 个来自第 2 类, \( \cdots ,{m}_{k} \) 个来自第 \( k \) 类. 从第 \( i \) 类任取 \( {m}_{t} \) 个东西,共有 \( {\mathrm{C}}_{{N}_{i}^{\prime }}^{m} \) 种结果 \( \left( {i = 1,\cdots, k}\right) \) . 把各类中取出的一种结果并在一起,所得到的 \( n \) 个东西正是包含在 \( A \) 中的基本事件. 按照乘法原理知 \( A \) 所含的基本事件数为 \( {\mathrm{C}}_{{N}_{1}^{1}}^{{m}_{1}} \cdot {\mathrm{C}}_{{N}_{2}^{2}}^{{m}_{2}}\cdots \cdot {\mathrm{C}}_{{N}_{k}^{k}}^{{m}_{k}} \) . 利用公式 (2.1) 即知公式(2.3)成立. 定理 2.1 证毕.
## 习 题 -
1. 求例 1.2 及例 1.3 中的 \( P\left( A\right), P\left( B\right) \) .
2. 袋中有红、黄、白色球各一个, 每次任取一个, 有放回地抽三次, 求下列事件的概率:
\( A = \) “三个都是红的” \( = \) “全红”, \( B = \) “全黄”, \( C = \) “全白”, \( D = \) “颜色全同”, \( E = \) “全不同”, \( F = \) “不全同”, \( G = \) “无红”, \( H = \) “无黄”, \( I = \) “无白”, \( J = \) “无红且无黄”, \( K = \) “全红或全黄”
3. 从一副扑克的 52 张牌中, 任意抽取两张, 问都是黑桃的概率有多大?
4. 在例 2.4 中, 求至少有两件次品的概率.
5. 五人排队抓阄, 决定谁取得一物 (即五个阄中有四个是白阄, 只有一个是有物之阄). (1) 问第三人抓到有物之阄的概率是多少? (2) 前三人之一抓到有物之阄的概率是多少? (3) 如果有两物 (即五个阄中有两个是有物之阄). 问后两个人都抓不到有物之阄的概率是多少?
## \( §3 \) 事件的运算及概率的加法公式
我们常常看到, 在一组条件之下, 有多个随机事件. 其中有些是比较简单的, 也有比较复杂的. 分析事件之间的关系, 从而找到它们的概率以及概率之间的关系, 这自然是必要的. 而其基本点还是要搞清楚事件间的关系.
## 1. 事件的包含与相等
设有事件 \( A \) 及 \( B \) . 如果 \( A \) 发生,那么 \( B \) 必发生,就称事件 \( B \) 包含事件 \( A \) ,并记作
\[
A \subset B\text{或}B \supset A
\]
例如投掷两枚匀称的分币,令 \( A \) 表示 “正好一个正面朝上”, \( B \) 表示“至少一个正面朝上”,显然有 \( A \subset B \) .
如果事件 \( A \) 包含事件 \( B \) ,同时事件 \( B \) 也包含事件 \( A \) ,那么就称事件 \( A \) 与 \( B \) 相等 (或称等价),并记作
\[
A = B
\]
## 2. 事件的并与交
定义 3.1 事件 “ \( A \) 或 \( B \) ” 称为事件 \( A \) 与事件 \( B \) 的并,记作 \( A \cup B \) 或 \( A + B \) ; 某次试验中 \( A \cup B \) 发生,即 “ \( A \) 或 \( B \) ”发生,它意味着 \( A, B \) 中至少有一个发生. 事件“ \( A \) 且 \( B \) ”称为事件 \( A \) 与 \( B \) 的交, 记作 \( A \cap B \) 或 \( {AB} \) 或 \( A \cdot B;A \cap B \) 发生,即 “ \( A \) 且 \( B \) ” 发生,它意味着 \( A, B \) 都发生.
例如, 投掷两枚匀称的分币, A 表示 “正好一个正面朝上” 的事件, \( B \) 表示 “正好两个正面朝上” 的事件, \( C \) 表示 “至少一个正面朝上”的事件. 于是有
\[
A \cup B = C,\;{AC} = A
\]
\[
{BC} = B,\;{AB} = V\text{ (不可能事件) }
\]
把事件的并与交的概念推广到多于两个事件的情形是不困难的, 请读者自行完成.
## 3. 对立事件及事件的差
定义 3.2 事件“非 \( A \) ”称为 \( A \) 的对立事件,记作 \( \bar{A} \) .
例如, 投掷两枚分币, 事件“至少一个正面朝上”是事件“两个都是正面朝下”的对立事件.
由该定义可知
\[
\left( \overline{\bar{A}}\right) = A
\]
即 \( A \) 也是 \( \bar{A} \) 的对立事件. 我们看到:
在一次试验中, \( A \) 和 \( \bar{A} \) 不会同时发生 (即它们互相排斥) 而且 \( A,\bar{A} \) 至少有一个发生. 就是说, \( A \) 和 \( \bar{A} \) 满足:
\[
A \cap \bar{A} = V
\]
\[
A \cup \bar{A} = U
\]
\( \left( {3.1}\right) \)
定义 3.3 事件 \( A \) 同 \( B \) 的差表示 \( A \) 发生而 \( B \) 不发生的事件, 记作 \( A \smallsetminus B \) .
由上述定义可知
\[
A \smallsetminus B = A \cap \bar{B}
\]
(3.2)
再举一个打靶的例子. 事件 \( A \) 代表命中图 1.1(a) 的小圆内,事件 \( B \) 代表命中图 1.1(b) 的大圆内. 则 \( A \cup B \) 代表命中图 1.1(c)
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定义 8.4
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定义 8.4 称 \( \left\{ {T}_{m}\right\} \subset {\mathcal{D}}^{\prime } \) 收敛到 \( {T}_{0} \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) ,是指:
\[
\left\langle {{T}_{m},\varphi }\right\rangle \rightarrow \left\langle {{T}_{0},\varphi }\right\rangle, m \rightarrow \infty ,\forall \varphi \in \mathcal{D}.
\]
记为 \( {T}_{m} \rightarrow {T}_{0}\left( {\mathcal{D}}^{\prime }\right) \) .
完全类似地可定义 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 和 \( {\mathcal{E}}^{\prime } \) 上弱 \( * \) 收敛性. 须注意到这种收敛性是十分弱的, 看下面几个例子.
例 8.11 在 \( {R}^{1} \) 上,函数列
\[
{f}_{m}\left( x\right) = \frac{1}{x}\frac{\sin {mx}}{x}, m = 1,2,\cdots ,
\]
是一串 \( {L}_{\text{loc }}^{1}\left( {R}^{1}\right) \) 函数,从而可看成是 \( {\mathcal{D}}^{\prime } \) 广义函数列,则有
\[
{f}_{m} \rightarrow \delta \left( {\mathcal{D}}^{\prime }\right) \text{.}
\]
证 对任意 \( \varphi \in \mathcal{D} \) ,有
\[
\left\langle {{f}_{m},\varphi }\right\rangle = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{m}\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{-A}^{A}{f}_{m}\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
其中, \( \operatorname{supp}\varphi \subset \left\lbrack {-A, A}\right\rbrack, A > 0 \) .
另外, 由
\[
\mathop{\lim }\limits_{{A \rightarrow + \infty }}\frac{1}{x}{\int }_{-A}^{A}\frac{\sin {mx}}{x}\mathrm{\;d}x = 1,
\]
故对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,可取 \( A \) 足够大,使 \( \left\lbrack {-A, A}\right\rbrack \) 不但包含 \( \varphi \) 的支集, 且有
\[
\left| {\frac{1}{x}{\int }_{-4}^{4}\frac{\sin {mx}}{x}\mathrm{\;d}x - 1}\right| < \frac{\varepsilon }{2}
\]
于是,
\[
\left| {\left\langle {{f}_{m},\varphi }\right\rangle - \varphi \left( 0\right) }\right| \leq \left| {\frac{1}{\pi }{\int }_{-4}^{4}\mathop{\sin }\limits_{x}\frac{mx}{x}\left\lbrack {\varphi \left( x\right) - \varphi \left( 0\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x}\right| + \frac{\varepsilon }{2}\left| {\varphi \left( 0\right) }\right|
\]
\[
= \frac{1}{\pi }\left| {{\int }_{0}^{4}\sin {mx}\frac{\varphi \left( x\right) + \varphi \left( {-x}\right) - {2\varphi }\left( 0\right) }{x}\mathrm{\;d}x}\right| + \frac{\varepsilon }{2}\left| {\varphi \left( 0\right) }\right| .
\]
固定 \( A \) ,由 Riemann-Lebesgue 定理,存在正整 数 \( {N}_{0} \) ,当 \( m > \) \( {N}_{0} \) 时,有
\[
\frac{1}{\pi }\left| {{\int }_{0}^{1}\sin {mx}\frac{\varphi \left( x\right) + \varphi \left( {-x}\right) - {2\varphi }\left( 0\right) }{x}\mathrm{\;d}x}\right| < \frac{\varepsilon }{2},
\]
从而 \( \left\langle {{f}_{m},\varphi }\right\rangle \rightarrow \varphi \left( 0\right) = \langle \delta ,\varphi \rangle \) ,也即 \( {f}_{m} \rightarrow \delta \left( {\mathcal{D}}^{\prime }\right) \) .
例 8.12 考虑 \( {R}^{N} \) 中函数
\[
{\delta }_{h}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\left| B\right| }, & \left| x\right| \leq h, \\ 0, & \text{ 其它,} \end{array}\right.
\]
其中, \( \left| B\right| \) 是 \( N \) 维球 \( {B}_{h}\left( 0\right) \) 的体积. 作为广义函数, \( {\delta }_{h} \rightarrow \delta \left( {h \rightarrow 0}\right) \) 在 \( {\mathcal{D}}^{\prime },{\mathcal{S}}^{\prime } \) 及 \( {\mathcal{E}}^{\prime } \) 中都成立. 这是因为无论在上述哪一个空间中, 对相应的基本空间的任一函数 \( \varphi \left( x\right) \) ,都有
\[
\left\langle {{\delta }_{h},\varphi }\right\rangle = {\int }_{{B}^{N}}{\delta }_{h}\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{{B}_{h}\left( 0\right) }{}^{\top }B\left( {\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = \varphi \left( {x}^{ * }\right) }\right) ,
\]
上面最后一步用了积分中值定理, \( {x}^{ * } \) 是 \( {B}_{h}\left( 0\right) \) 中某点. 令 \( h \rightarrow 0 \) 便得
\[
\left\langle {{\delta }_{h},\varphi }\right\rangle \rightarrow \varphi \left( 0\right) = \langle \delta ,\varphi {\rangle }_{ * }
\]
所以, \( {\delta }_{h} \rightarrow \delta \) 分别在 \( {\mathcal{D}}^{\prime },{\mathcal{S}}^{\prime } \) 和 \( {\mathcal{E}}^{\prime } \) 中 (当 \( \varphi \) 分别相应地属于 \( \mathcal{D},\mathcal{S} \) 和 \( \mathcal{E} \) 时).
例 8.13 设 \( {f}_{m}\left( x\right) \) 是 \( {R}^{N} \) 中局部可积函数列,并且对任一紧集 \( K \) ,存在常数 \( {M}_{K} > 0 \) ,使得
\[
\left| {{f}_{m}\left( x\right) }\right| \leq {M}_{K},\forall x \in K, m = 0,1,2,\cdots ,
\]
且当 \( m \rightarrow \infty \) 时, \( {f}_{m}\left( x\right) \) 几乎处处收敛到 \( {f}_{0}\left( x\right), x \in {R}^{N} \) . 则作为 \( {\mathcal{D}}^{\prime } \) 广义函数有 \( {f}_{m} \rightarrow {f}_{0}\left( {\mathcal{D}}^{\prime }\right) \) .
证 利用 Lebesgue 控制收敛定理即得。留作习题.
现在,我们可以考虑三个广义函数空间的关系了. 设 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) , \( {\varphi }_{m} \in \mathcal{D} \) . 因 \( \mathcal{D} \subset \mathcal{S} \) ,故 \( \left\langle {f,{\varphi }_{m}}\right\rangle \) 有意义. 若 \( {\varphi }_{m} \rightarrow 0\left( \mathcal{D}\right) \left( {m \rightarrow \infty }\right) \) , 则由定理 8.2 知 \( {\varphi }_{m} \rightarrow 0\left( \mathcal{S}\right) \) ,于是 \( \left\langle {f,{\varphi }_{m}}\right\rangle \rightarrow 0 \) . 所以 \( f \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) ,即 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \subset {\mathcal{D}}^{\prime } \) . 另外,若 \( \left\{ {f}_{m}\right\} \subset {\mathcal{S}}^{\prime } \) 且 \( {f}_{m} \rightarrow 0\left( {\mathcal{S}}^{\prime }\right) \left( {m \rightarrow \infty }\right) \) ,即对 任一 \( \varphi \in \mathcal{S} \) ,有 \( \left\langle {{f}_{m},\varphi }\right\rangle \rightarrow 0 \) . 由于 \( \mathcal{D} \subset \mathcal{S} \) ,故对任 \( - \varphi \in \mathcal{D} \) 也有 \( \left\langle {{f}_{m},\varphi }\right\rangle \) \( \rightarrow 0 \) ,即 \( {f}_{m} \rightarrow 0\left( {\mathcal{D}}^{\prime }\right) \) . 也就是说嵌入映照 \( I : {\mathcal{S}}^{\prime } \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime } \) 是连续的, 此即 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \subset {\mathcal{D}}^{\prime } \) . 同理可证 \( {\mathcal{E}}^{\prime } \subset {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,于是得到
定理 8.6 \( {\mathcal{E}}^{\prime } \subsetneq {\mathcal{S}}^{\prime } \subsetneq {\mathcal{D}}^{\prime } \) .
有了广义函数列的收敛概念. 类似于数学分析, 我们定义一个广义函数级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{f}_{j} \) 收敛到一个广义函数 \( f \) 的概念,它是指对任一个 \( \varphi \in \mathcal{D} \) 有
\[
\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{f}_{j},\varphi }\right) \rightarrow \left( {f,\varphi }\right), m \rightarrow \infty ,
\]
其中,所有广义函数是 \( {\mathcal{D}}^{\prime } \) 广义函数. 同样可定义 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 或 \( {\mathcal{E}}^{\prime } \) 空间上广义函数级数的收敛性.
## 2.3 自变量的变换
由广义函数的定义知道, 讲广义函数逐点的值是 没有意义的. 但它又是局部可积函数的推广,当 \( f\left( x\right) \) 局部可积时,我们就称它对应的广义函数是 \( f\left( x\right) \) . 那么,当 \( f\left( x\right) \) 作为局部可积函数作了自变量的线性变换或仿射变换时, 此时它所对应的广义函数作何理解呢? 为此我们有以下概念.
定义 8.5 对某广函空间元素 \( f\left( x\right) \) 和一个非奇异线性变换 \( A \) : \( {R}^{N} \rightarrow {R}^{N} \) ,规定 \( f\left( {Ax}\right) \) 仍为同一广函空间的元素,即对相应的基本空间中任一函数 \( \varphi \left( x\right) \) 有
\[
\langle f\left( {Ax}\right) ,\varphi \left( x\right) \rangle = \left| {\left| A\right| }^{-1}\right| \langle f\left( x\right) ,\varphi \left( {{A}^{-1}x}\right) \rangle ,
\]
其中, \( \left| A\right| \) 是变换矩阵 \( A \) 的行列式. 不难验证这个定义是确切的, 并且它是局部可积函数积分时自变量变换的合理推广.
对自变量的仿射变换, 上述定义同样适用, 只须用变换的 Jacobi 式代替 \( \left| A\right| \) .
例 8.14 对称变换 \( A : x \rightarrow - x,\left| A\right| = {\left( -1\right) }^{n} \) ,于是
\[
\langle f\left( {-x}\right) ,\varphi \left( x\right) \rangle = \langle f\left( x\right) ,\varphi \left( {-x}\right) \rangle .
\]
例 8.15 相似变换 \( A : x \rightarrow {\lambda x},\lambda > 0 \) 为常数, \( \left| A\right| = {k}^{n} \) ,故有
\[
\langle f\left( {\lambda x}\right) ,\varphi \left( x\right) \rangle = {\lambda }^{-n}\langle f\left( x\right) ,\varphi \left( {{\lambda }^{-1}x}\right) \rangle .
\]
以上二例都是线性变换, 下例是一个仿射变换.
例 8.16 平移变换 \( A : x \rightarrow x - h, h \) 是常数. 变换的Jacobi为 1 , 故有
\[
\langle f\left( {x - h}\right) ,\varphi \left( x\right) \rangle = \langle f\left( x\right) ,\varphi \left( {x + h}\right) \rangle .
\]
对 \( {R}^{2} \) 上的连续函数 \( f\left( {x, y}\right) \) ,固定一个 \( y \) 的值就得到一个一元连续函数 \( f\left( {x, y}\right) \) . 于是 \( f\left( {x, y}\right) \) 就确定了一个 \( {R}^{1} \rightarrow {R}^{1} \) 的连续映照. 对广义函数 \( f\left( {x, y}\right) \) ,我们有类似的结论. 以 \( {\mathcal{D}}^{\prime } \) 广函为例, 我们有
定理 8.7 设 \( x \in {R}^{N}, y \in {R}^{M}, T\left( {x, y}\right) \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {{R}^{N} \times {R}^{M}}\right) \) ,则广函 \( T\left( {x, y}\right) \) 确定了一个 \( \mathcal{D}\left( {R}^{M}\right) \) 到 \( {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {R}^{N}\right) \) 的线性连续映照.
证 对任一固定的 \( \psi \left( y\right) \in \mathcal{D}\left( {R}^{M}\right) \) ,定义 \( \langle T\left( {x, y}\right) ,\psi \left( y\right) \rangle \) 为
\[
\langle \langle T\left( {x, y}\right) ,\psi \left( y\right) \rangle ,\varphi \left( x\right) \rangle = \langle T\left( {x, y}\right) ,\varphi \left( x\right) \psi \left( y\right) \rangle ,
\]
\[
\forall \varphi \in \mathcal{D}\left( {R}^{N}\right) \text{.}
\]
此定义显然确定了一个 \( {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {R}^{N}\right) \) 广函. 事实上,线性是显然的. 又若 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \subset \mathcal{D}\left( {R}^{N}\right) \) 且 \( {\varphi }_{m} \rightarrow 0\left( \mathcal{D}\right) \) ,则 \( {\varphi }_{m}\psi \left( y\right) \rightarrow 0(\mathcal{D}({R}^{N} \times \) \( \left. {R}^{M}\right) \) ),于是
\[
\langle \langle T\left( {x, y}\right) ,\psi \left( y\right) \rangle ,{\varphi }_{m}\left( x\right) \rangle = \left\langle {T\left( {x, y}\right) ,{\varphi }_{m}\left( x\right) \psi \left( y\right) }\right\rangle \rightarrow 0, m \rightarrow \infty .
\]
这说明 \( \langle T\left( {x, y}\right) ,\psi \left( y\right) \rangle \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {R}^{N}\right) \) . 同理可知,当 \( \left\{ {\psi }_{m}\right\} \subset \) \( \mathcal{D}\left( {R}^{M}\right) \) 且 \( {\psi }_{m} \rightarrow 0\left( {\mathcal{D}\left( {R}^{M}\right) }\right) \) 时,必有 \( \left\langle {T\left( {x, y}\right) ,{\psi }_{m}}\right\rangle \rightarrow 0, m \rightarrow \infty \) ,即 \( T\left( {x, y}\right) \) 确定了一个 \( \mathcal{D}\left( {R}^{M}\right) \) 到 \( {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {R}^{N}\right) \) 的线性连续映照. 通过同样的分析,我们也可认为 \( T\left( {x, y}\right) \) 是一个 \( \mathcal{D}\left( {R}^{N}\right) \) 到 \( {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {R}^{M}\right) \) 的线性连续映照。
如果我们把 \( \delta \left( x\right) \delta \left( y\right) \) 规定为两个广函 \( \delta \left( x\right) \) 与 \( \delta \left( y\right) \) 作用的复合,即对基本空间的任一函数 \( \varphi \left( {x, y}\right) \) ,有
\[
\langle \delta \left( x\right) \delta \left( y\right) ,\varphi \left( {x, y}\right) \rangle = \lang
|
1759_05代数曲线
|
定义7.4
|
定义7.4 对于代数曲线 \( V \) 和 \( W \)
\[
\left( {V \cdot W}\right) \overset{\mathrm{d}{ef}}{ = }\mathop{\sum }\limits_{{p \in V \cap W}}{\left( V \cdot W\right) }_{p}
\]
下面, 我们来证明经典曲线论中的一个重要结果.
定理7.5 (Bezout) 设两平面代数曲线 \( C \) 和 \( E \) 无共同的曲线分支 (即表示 \( C \) 和 \( E \) 的方程的左端无公因式),那么
\[
\left( {C \cdot E}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{p \in C \cap E}}{\left( C \cdot E\right) }_{p} = \deg C \cdot \deg E.
\]
证明
第一步 如果
\[
C = {m}_{1}{C}_{1} + \cdots + {m}_{l}{C}_{l}
\]
\( {C}_{j}\left( {j = 1,\cdots, l}\right) \) 是不可约代数曲线,那么
\[
\left( {C \cdot E}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{i}{m}_{j}\left( {{C}_{j} \cdot E}\right) ,
\]
而
\[
\deg C = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{l}{m}_{j}\deg {C}_{j}
\]
\[
\deg C \cdot \deg E = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{l}{m}_{j}\deg {C}_{i}\deg E.
\]
因此只须对 \( C \) 是不可约代数曲线的情形证明定理即可.
第二步 如果 \( C = L \) 是 \( {P}^{2}C \) 中的一条直线,那么第一章的定理 8.6 用相交数的术语重新加以叙述就是
\[
\mathop{\sum }\limits_{{p \in L \cap E}}{\left( L \cdot E\right) }_{p} = \deg E\left( { = \deg L \cdot \deg E}\right) .
\]
第三步 设 \( C \) 不可约并且不是一条直线. 任取 \( k\left( {k = \deg E}\right) \) 条直线
\[
{L}_{j} = \left\{ {\xi \in {P}^{2}C \mid {L}_{j}\left( \xi \right) = 0}\right\} \;\left( {j = 1,\cdots, k}\right) ,
\]
则
\[
\left( {C \cdot {L}_{j}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{q \in C \cap {L}_{j}}}{\left( C \cdot {L}_{j}\right) }_{q} = \deg C
\]
\[
\left( {j = 1,2,\cdots, k}\right) \text{.}
\]
设 \( E = \left\{ {\xi \in {P}^{2}\mathbf{C} \mid H\left( \xi \right) = 0}\right\} \) ,则
\[
\varphi = \frac{H\left( \xi \right) }{{L}_{1}\left( \xi \right) \cdots {L}_{k}\left( \xi \right) }
\]
定义了 \( {P}^{2}C \) 上的一个半纯函数 (这由 \( \deg H = k \) 容易看出). 又设
\[
g : \widetilde{C} \rightarrow C
\]
是 \( C \) 的正则化,则
\[
{g}^{ * }\varphi = \varphi \circ g \in K\left( \widetilde{C}\right) ,
\]
而
\[
\deg \left( {\varphi \circ g}\right) = \deg \left( {\mathop{\sum }\limits_{{p \in C \cap E}}{\left( CE\right) }_{p}p}\right.
\]
注意到
\[
\left. {-\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}\mathop{\sum }\limits_{{q \in C \cap {L}_{j}}}{\left( C \cdot {L}_{j}\right) }_{q}q}\right) .
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{q \in C \cap {L}_{j}}}{\left( C \cdot {L}_{j}\right) }_{q} = \deg C\;\left( {j = 1,\cdots, k}\right) ,
\]
利用定理 7.2 , 我们得到
\[
0 = \deg \left( {\varphi \circ g}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{p \in C \cap E}}{\left( C \cdot E\right) }_{p}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}\mathop{\sum }\limits_{{q \in C \cap {L}_{j}}}{\left( C \cdot {L}_{j}\right) }_{q}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{p \in C \cap E}}{\left( C \cdot E\right) }_{p} - \deg C \cdot \deg E.
\]
例 1 一条不可约曲线 \( C \subset {P}^{2}C \) 称为是有理的. 如果它的正则化
\[
\widetilde{\mathbf{C}} = {P}^{1}\mathbf{C}
\]
利用 Bezout定理, 我们可以证明以下有趣事实: 具有一个通常奇点的不可约三次平面代数曲线是有理的.
证明概要 这奇点 \( p \) 必须是二重点 (具有三重点的三次代数曲线是可约的). 我们把 \( {P}^{1}C \) 与通过奇点 \( p \) 的直线的集合等同起来. 根据 Bezout 定理,除了过 \( p \) 点的 \( C \) 的两条切线 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 而外, 每一过 \( p \) 点的直线与 \( C \) 相交于另一点. 我们让每一条这样的直线同它与 \( C \) 的另一交点对应,而让过 \( p \) 点的两条切线分别表示不同曲线支上的 \( p \) 点,这样得到 \( {P}^{1}C \) 到 \( C \) 的对应关系:
\[
\begin{matrix} {P}^{1}C \smallsetminus \left\{ {{L}_{1},{L}_{2}}\right\} & \rightarrow {P}^{1}C \\ \downarrow & \downarrow \\ C \smallsetminus \{ {2p}\} & \rightarrow C \end{matrix}
\]
这正是 \( {P}^{1}C \) 作为 \( C \) 的正则化的几何说明.
习题7.5 如果一条 \( n \) 次曲线有 \( \left\lbrack {n/2}\right\rbrack + 1 \) 个奇点在一条直线 \( L \) 上,那么这条曲线必以 \( L \) 为一曲线分支.
提示 假设不是这样,考虑 \( \sum {\left( L \cdot C\right) }_{p} \) 并由 Bezout 定理导出矛盾。
习题7.6 试证具有四个奇点的四次曲线可约.
习题7.7 试证具有三个奇点的四次不可约曲线是有理的.
提示 设 \( {p}_{1},{p}_{2},{p}_{3} \) 是 \( C \) 的三个奇点而 \( {p}_{4} \) 是另一个固定点. \( {p}_{1},{p}_{2},{p}_{3} \) 应是二重点,而且这四点应处于一般位置. 于是我们可以设
\[
{p}_{1} = \left\lbrack {1,0,0}\right\rbrack ,\;{p}_{2} = \left\lbrack {0,1,0}\right\rbrack ,
\]
\[
{p}_{3} = \left\lbrack {0,0,1}\right\rbrack ,\;{p}_{4} = \left\lbrack {1,1,1}\right\rbrack .
\]
考虑通过这四点的二次曲线
\[
Q\left( \xi \right) = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 0}}^{2}{Q}_{ij}{\xi }^{i}{\xi }^{j} = 0,
\]
方阵 \( \left( {Q}_{ij}\right) \) 应具有以下形式
\[
\left( \begin{matrix} \dot{0} & {Q}_{01} & {Q}_{02} \\ {Q}_{01} & 0 & - {Q}_{01} - {Q}_{02} \\ {Q}_{02} & - {Q}_{01} - {Q}_{02} & 0 \end{matrix}\right)
\]
而 \( \left( {Q}_{ij}\right) \) 与 \( \left( {\lambda {Q}_{ij}}\right) \left( {\lambda \neq 0}\right) \) 表示同一二次曲线. 因而通 过 \( {p}_{1},{p}_{2},{p}_{3} \) , \( {p}_{4} \) 四点的二次曲线作成 \( {P}^{1}C \) . 又,按照 Bezout 定理
\[
\mathop{\sum }\limits_{{q \in C \cap Q}}{\left( C \cdot Q\right) }_{q} = 8
\]
由此得知 \( Q \) 与 \( C \) 还应相交于另一点,除非 \( Q \) 与 \( C \) 在奇 点 \( {p}_{1},{p}_{2},{p}_{3} \) 之一处的某曲线支有公切线. 我们取
\[
{P}^{1}C = \left\{ {\text{ 过 }{p}_{1},{p}_{2},{p}_{3},{p}_{4}}\right. \text{的二次曲线}\} \text{,}
\]
它可构成 \( C \) 的正则化.
## \( §8 \) 分歧因子, Riemann-Hurwitz公式
定义 8.1 设 \( C,{C}^{\prime } \) 是 Riemann 面,
\[
f : C \rightarrow {C}^{\prime }
\]
是全纯映射。对于由
\[
\left\{ {{U}_{a}^{\prime },{w}_{\alpha },{g}_{a}\left( {w}_{\alpha }\right) d{w}_{\alpha }}\right\}
\]
给出的 \( {C}^{\prime } \) 上的半纯微分 \( \omega \) ,取 \( C \) 的全纯坐标覆盖 \( \left\{ \left( {{U}_{i},{z}_{i}}\right) \right\} \) ,使得
\[
f\left( {U}_{i}\right) = {U}_{\alpha \left( i\right) }^{\prime }
\]
设 \( f \) 的局部坐标表示为
\[
{w}_{a} = {f}_{{a}_{i}}\left( {z}_{i}\right) \text{.}
\]
考虑
\[
\left\{ {{U}_{i},{z}_{i},{g}_{a}\left( {{f}_{{a}_{i}}\left( {z}_{i}\right) }\right) \frac{\mathrm{d}{f}_{{a}_{i}}\left( {z}_{i}\right) }{\mathrm{d}{z}_{i}}\mathrm{\;d}{z}_{i}}\right\} .
\]
容易验证,上式给出 \( C \) 上的一个半纯微分 (见下面习 题 8.1),我们把这半纯微分记为 \( {f}^{ * }\omega \) .
习题 8.1 验证上面定义中的论断.
下面,我们讨论从紧 Riemann 面 \( C \) 到紧 Riemann 面 \( {C}^{\prime } \) 的非常值全纯映射
\[
f : C \rightarrow {C}^{\prime }\text{. }
\]
设 \( f\left( p\right) = q \) ,我们可以选择 \( C \) 在 \( p \) 点邻近的局部坐标 \( z \) 和 \( {C}^{\prime } \) 在 \( q \) 点邻近的局部坐标 \( w \) ,使得
\[
z\left( p\right) = 0,\;w\left( q\right) = 0,
\]
并使 \( f \) 的局部表示形如
\[
w = {z}^{\nu },\;z \in \Delta, w \in {\Delta }^{\prime },\nu \geq 1.
\]
这样,对于 \( w \in {\Delta }^{\prime }, w \neq 0 \) ,我们有
\[
{f}^{-1}\left( w\right) = \{ C\text{上}\nu \text{个不同的点}\} \text{,}
\]
而
\[
{f}^{-1}\left( 0\right) = \nu \cdot 0\;\left( {0\text{ 计数 }\nu \text{ 次 }}\right) \text{. }
\]
我们称 \( \nu = {\nu }_{f}\left( p\right) \) 为 \( f \) 在 \( p \) 点的重数.
对任意 \( q \in {C}^{\prime } \) ,考虑
\[
\mathop{\sum }\limits_{{f\left( p\right) = q}}{v}_{f}\left( p\right)
\]
这是一个有限和 (因为 \( f \) 不是常值函数). 这和数对于 \( q \in {C}^{\prime } \) 是局部常值的,即对于邻近 \( q \) 的 \( {q}^{\prime } \in {C}^{\prime } \) 有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{f\left( {p, r}\right) = q}}{\nu }_{f}\left( {p}^{\prime }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{f\left( p\right) = q}}{\nu }_{f}\left( p\right)
\]
于是,由于 \( {C}^{\prime } \) 的连通性,和数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{p\left( p\right) = q}}{\nu }_{f}\left( p\right)
\]
对于 \( q \in {C}^{\prime } \) 是一常数.
定义 8.2 a) \( {f}^{-1}\left( q\right) \overset{\text{ d.f. }}{ = }\mathop{\sum }\limits_{{f\left( p\right) = q}}{v}_{f}\left( p\right) p \in \operatorname{Div}\left( C\right) \) ;
b) \( \deg f\underline{\underline{a \circ f}}\deg {f}^{-1}\left( q\right) = \mathop{\sum }\limits_{{f\left( p\right) = a}}{v}_{f}\left( p\right) \) .
我们称 \( \deg f \) 为 \( f \) 的映射度.
由前面的讨论可知,使得 \( {\nu }_{f}\left( p\right) > 1 \) 的点 \( p \) 是孤立的,因而
\[
\left\{ {p \in C \mid {\nu }_{f}\left( p\right) > 1}\right\}
\]
是有限集。
定义 8.3 我们称
\[
R = \mathop{\sum }\limits_{{p \in C}}\left( {{\nu }_{f}\left( p\right) - 1}\right) p \in \operatorname{Div}\left( C\right)
\]
为 \( f \) 的分歧因子.
定义 8.4 设 \( C \) 是一个紧 Riemann面, \( \omega \in {K}^{1}\left( C\right) \) 是非平凡半纯微分, 我们定义
\[
\left( \omega \right) = \mathop{\sum }\limits_{{p \in C}}{\nu }_{p}\left( \omega \right) \cdot p.
\]
定理 8.5 (Riemann-Hurwitz 公式) 设 \( C \) 和 \( {C}^{\prime } \) 是紧 Riemann 面, 它们的亏格分别为
\[
\text{ genus }\left( C\right) = g\text{ 和 }\operatorname{genus}\left( {C}^{\prime }\right) = {g}^{\prime }\text{,}
\]
而 \( f : C \rightarrow {C}^{\prime } \) 是一非常值全纯映射,其映射度为
\[
\deg f = n\text{;}
\]
以 \( R \) 记 \( f \) 的分歧因子
\[
R = \mathop{\sum }\limits_{{p \in c}}\left( {{\nu }_{f}\left( p\right) - 1}\right) p
\]
那么
\[
\deg R = 2\left( {g + n - n{g}^{\prime } - 1}\right) .
\]
证明 我们将利用以下事实: 任何紧Riemann 面上存在有非平凡的半纯微分.
取一个非平凡的半纯微分 \( \omega \in {K}^{1}\left( {C}^{\prime }\right) \) ,我们来计算 \( \left( {{f}^{ * }\omega }\right) \) . 局部地, \( f \) 表示为
\[
w = {z}^{\nu }
\]
而
\[
\omega = g\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
因而
\[
{f}^{ * }\omega = {\nu g}\left( {z}^{v}\right) {z}^{v - 1}\mathrm{\;d}z,
\]
\[
{\nu }_{f}{ * }_{▱}\left( p\right) = {\nu }_{f}\left( p\right) {\nu }_{▱}\left( {f\left( p\right) }\right) + {\nu }_{f}\left( p\right) - 1.
\]
由此, 我们得到
\[
\left( {{f}^{ * }\omega }\right) = \mathop{\sum }\limits_{p}{v}_{f}\left( p\right) {v}_{\omega }\left( {f\left( p\right) }\right) p + R
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{q}{\nu }_{\omega }\left( q\right) \mathop{\sum }\limits_{{f\left( p\right) = q}}{\nu }_{f}\left( p\right) p + R
\]
\[
= {f}^{-1}\left( \left( \omega \right) \right) + R
\]
这里
\[
{f}^{-1}\left( \left( \omega \right) \right) = {f}^{-1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{q}{v}_{0}\left( q\right) q}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{q}{\nu }_{0}\left( q\right) {f}^{-1}\left( q\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{q}{\nu }_{\omega }\left( q\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{f\left( p\right) = q}}{\nu }_{f}\left( p\right) p}\right) .
\]
于是我们有
\[
\deg \left( {{f}^{ * }\omega }\right) = \deg {f}^{-1}\left( \left( \omega \right) \right) + \deg R.
\]
由 Poincaré-Hopf 公式
\[
\deg \left( {{f}^{ * }\omega }\right) = {2g} - 2,\;\deg \left( \omega \right) = 2{g}^{\prime } - 2.
\]
经直接计算得到
\[
\deg {f}^{-1}\left( \left( \omega \right) \right) = \mathop{\sum }\limits_{q}{\nu }_{0}\left( q\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{f\left( p\right) = q}}{\nu }_{f}\left( p\right) }\right)
\]
\[
= \deg \left( \omega \right) \deg f
\]
\[
= \left( {2{g}^{\prime } - 2}\right) n\text{. }
\]
这样, 我们得到
\[
{2g} - 2 = \left( {2{g}^{\prime } - 2}\right) n + \deg R.
\]
由此立即得到Riemann-Hurwitz 公式
\[
\deg R = 2\left( {g + n - n{g}^{\prime } - 1}\right
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1793_大学数学系自学丛书 实变函数论
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定义 1
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定义 1 若 \( {f}^{ + }\left( x\right) ,{f}^{ - }\left( x\right) \) 都是 \( E \) 上非负可测函数,则称 \( f\left( x\right) \) 为 \( E \) 上的可测函数.
显然非负可测函数都是可测函数.
定理 1 可测集 \( E \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) 可测的充要条件是; 对任意实数 \( a,\{ x \mid f\left( x\right) > a\} \) 恒可测.
证明 必要性 已知 \( f\left( x\right) \) 可测,即 \( f\left( x\right) = {f}^{ + }\left( x\right) - {f}^{ - }\left( x\right) \) , 且 \( {f}^{ + }\left( x\right) ,{f}^{ - }\left( x\right) \) 皆非负可测,往证对任意实数 \( a,\{ x \mid f\left( x\right) > a\} \) 恒可测.
事实上,对任意实数 \( a \) ,若 \( a \geq 0 \) ,则
\[
\{ x \mid f\left( x\right) > a\} = \left\{ {x \mid {f}^{ + }\left( x\right) > a}\right\}
\]
因为 \( {f}^{ + }\left( x\right) \) 是非负可测函数,从而 \( \left\{ {x \mid {f}^{ + }\left( x\right) > a}\right\} \) 是可测集, 所以 \( \{ x \mid f\left( x\right) > a\} \) 是可测集.
若 \( a < 0 \) ,则
\[
\{ x \mid f\left( x\right) > a\} = \left\{ {x \mid {f}^{ - }\left( x\right) < - a}\right\}
\]
因 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) 非负可测,故 \( \left\{ {x \mid {f}^{ - }\left( x\right) < - a}\right\} \) 是可测集,所以 \( \{ x \mid f\left( x\right) > a\} \) 是可测集.
充分性 已知对于任意实数 \( a,\{ x \mid f\left( x\right) > a\} \) 恒可测,往证 \( f\left( x\right) \) 可测,即须证 \( {f}^{ + }\left( x\right) ,{f}^{ - }\left( x\right) \) 非负可测.
先看 \( {f}^{ + }\left( x\right) \) . 对任意实数 \( a \) ,若 \( a \geq 0 \) ,则有
\[
\left\{ {x \mid {f}^{ + }\left( x\right) > a}\right\} = \left\{ {x \mid f\left( x\right) > a}\right\}
\]
由于 \( \{ x \mid f\left( x\right) > a\} \) 可测,故 \( \left\{ {x \mid {f}^{ + }\left( x\right) > a}\right\} \) 可测.
若 \( a < 0 \) ,则
\[
\left\{ {x \mid {f}^{ + }\left( x\right) > a}\right\} = E
\]
由于 \( E \) 可测,故 \( \left\{ {x \mid {f}^{ + }\left( x\right) > a}\right\} \) 亦可测. 于是 \( {f}^{ + }\left( x\right) \) 是非负可测函数.
再看 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) . 对于任意实数 \( a \) ,若 \( a > 0 \) ,则
\[
\left\{ {x \mid {f}^{ - }\left( x\right) < a}\right\} = \{ x \mid f\left( x\right) > - a\}
\]
由于 \( \{ x \mid f\left( x\right) > - a\} \) 是可测集,所以 \( \left\{ {x \mid {f}^{ - }\left( x\right) < a}\right\} \) 必可测.
若 \( a \leq 0 \) ,则 \( \left\{ {x \mid {f}^{ - }\left( x\right) < a}\right\} = \phi \) ,因为 \( \phi \) 可测,所以 \( \left\{ {x \mid {f}^{ - }\left( x\right) < a}\right\} \) 也可测. 于是 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) 非负可测. 定理证毕.
推论 1 对于可测函数, §2 定理 1 的推论仍然成立.
推论 2 设 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 都是 \( E \) 上可测函数,则
\[
\{ x \mid f\left( x\right) > g\left( x\right) \}
\]
是可测集.
证明 \( {1}^{ \circ } \) 将全体有理数排成序列
\[
{r}_{1},{r}_{2},\cdots ,{r}_{n},\cdots
\]
则有
\[
\{ x \mid f\left( x\right) > g\left( x\right) \} = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\{ x \mid f\left( x\right) > {r}_{n}\} \cap \left\{ {x \mid g\left( x\right) < {r}_{n}}\right\} }\right)
\]
(1)
左 \( \subseteq \) 右 设 \( {x}_{0} \in \{ x \mid f\left( x\right) > g\left( x\right) \} \) ,则 \( f\left( {x}_{0}\right) > g\left( {x}_{0}\right) \) ,因有理数集在 \( {R}^{1} \) 中稠密,故存在有理数 \( {r}_{m} \) ,使
\[
f\left( {x}_{0}\right) > {r}_{n} > g\left( {x}_{0}\right)
\]
从而有
\[
{x}_{0} \in \left\{ {x \mid f\left( x\right) > {r}_{m}}\right\} \cap \left\{ {x \mid g\left( x\right) < {r}_{m}}\right\}
\]
于是
\[
{x}_{0} \in \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\{ x \mid f\left( x\right) > {r}_{n}\} \cap \left\{ {x \mid g\left( x\right) < {r}_{n}}\right\} }\right)
\]
左 \( \supseteq \) 右 设
\[
{x}_{0} \in \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\{ x \mid f\left( x\right) > {r}_{n}\} \cap \left\{ {x \mid g\left( x\right) < {r}_{n}}\right\} }\right)
\]
于是有 \( {r}_{k} \) ,使
\[
{x}_{1} \in \left\{ {x \mid f\left( x\right) > {r}_{k}}\right\} \cap \left\{ {x \mid g\left( x\right) < {r}_{k}}\right\}
\]
即
\[
f\left( {x}_{1}\right) > {r}_{k} > g\left( {x}_{1}\right)
\]
从而
\[
{x}_{0} \in \{ x \mid f\left( x\right) > g\left( x\right) \}
\]
\( {2}^{ \circ } \) 因 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 皆为可测函数,故对每个 \( {r}_{n} \) ,
\[
\left\{ {x \mid f\left( x\right) > {r}_{n}}\right\} ,\;\left\{ {x \mid g\left( x\right) < {r}_{n}}\right\}
\]
都是可测集, 从而
\[
\left\{ {x \mid f\left( x\right) > {r}_{n}}\right\} \cap \left\{ {x \mid g\left( x\right) < {r}_{n}}\right\}
\]
都是可测集,于是由 \( {1}^{ \circ } \) 中式 ( 1 ) 知
\[
\{ x \mid f\left( x\right) > g\left( x\right) \}
\]
是可测集, 推论证毕.
下面讨论可测函数的一些运算性质:
引理 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可测函数, \( c \) 是任意的一个常数, 则 \( {cf}\left( x\right), f\left( x\right) - \varepsilon \) 都是 \( E \) 上的可测函数.
证明 \( {1}^{ \circ } \) 若 \( f\left( x\right) \) 可测,则 \( {cf}\left( x\right) \) 可测.
当 \( c = 0 \) 时, \( {cf}\left( x\right) \) 恒为 0,可视为可测集 \( E \) 上的非负简单函数, 当然可测.
当 \( c > 0 \) 时,对于任意实数 \( a \) ,
\[
\left\{ {x \mid {cf}\left( x\right) > a}\right\} = \left\{ {x \mid f\left( x\right) > \frac{a}{c}}\right\}
\]
由于 \( \left\{ {x\left| {\;f\left( x\right) > \frac{a}{c}}\right. }\right\} \) 可测,故 \( \{ x \mid {cf}\left( x\right) > a\} \) 必可测.
当 \( c < 0 \) 时,对于任意实数 \( a \) ,
\[
\left\{ {x\left| {\;{cf}\left( x\right) > a}\right. }\right\} = \left\{ {x\left| {\;f\left( x\right) < \frac{a}{c}}\right. }\right\}
\]
因为 \( \left\{ {x\left| {\;f\left( x\right) < \frac{a}{c}}\right. }\right\} \) 可测,故 \( \left\{ {x\left| {\;{cf}\left( x\right) > a}\right. }\right\} \) 可测.
\( {2}^{ \circ } \) 若 \( h\left( x\right) = f\left( x\right) - c \) ,则对任意实数 \( a \) ,
\[
\{ x \mid h\left( x\right) > a\} = \{ x \mid f\left( x\right) > a + c\}
\]
由于 \( f\left( x\right) \) 是可测函数,故 \( \left\{ {x \mid f\left( x\right) > a + \iota }\right\} \) 是可测集,从而 \( \{ x \mid h\left( x\right) > a\} \) 是可测集,故 \( f\left( x\right) - c \) 是可测函数.
定理 2 设 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) \) 都是 \( E \) 上的可测函数,则 \( {f}_{1}\left( x\right) + \) \( {f}_{2}\left( x\right) \) 也是 \( E \) 上的可测函数.
证明 对任意实数 \( a \) ,由引理知 \( a - {f}_{2}\left( x\right) \) 是可测函数, 从而由推论 2 知
\[
\left\{ {x \mid {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right) > a}\right\} = \left\{ {x \mid {f}_{1}\left( x\right) > a - {f}_{2}\left( x\right) }\right\}
\]
是可测集,于是由定理 1 知, \( {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right) \) 是可测函数.
推论 \( {3f}\left( x\right) \) 是可测函数的充要条件是, \( f\left( x\right) \) 是两个非负可测函数之差.
证明 必要性 若 \( f\left( x\right) \) 可测,则由可测函数定义知, \( f\left( x\right) = {f}^{ + }\left( x\right) - {f}^{ - }\left( x\right) \) 且 \( {f}^{ + }\left( x\right) ,{f}^{ - }\left( x\right) \) 皆是非负可测函数.
充分性 若已知 \( f\left( x\right) \) 是两个非负可测函数 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) \) 之差,即 \( f\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) - {f}_{2}\left( x\right) \) ,于是由引理知 \( - {f}_{2}\left( x\right) \) 仍是可测函数, 故由定理 2 知,
\[
{f}_{1}\left( x\right) + \left( {-{f}_{2}\left( x\right) }\right)
\]
是可测函数,从而 \( f\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) - {f}_{2}\left( x\right) \) 是可测函数.
定理 3 若 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) \) 都是可测函数,则 \( {f}_{1}\left( x\right) \cdot {f}_{2}\left( x\right) \) 也是可测函数.
证明 因为 \( {f}_{1}\left( x\right) = {f}_{1}^{ + }\left( x\right) - {f}_{1}^{ - }\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) = {f}_{2}^{ + }\left( x\right) \) \( - f = \left( x\right) \) ,则
\[
{f}_{1}\left( x\right) \cdot {f}_{2}\left( x\right) = \left\lbrack {{f}_{1}^{ + }\left( x\right) - {f}_{1}^{ - }\left( x\right) }\right\rbrack \left\lbrack {{f}_{2}^{ + }\left( x\right) - {f}_{2}^{ - }\left( x\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \left\lbrack {{f}_{1}^{ + }\left( x\right) \cdot {f}_{2}^{ + }\left( x\right) + {f}_{1}^{ - }\left( x\right) \cdot {f}_{2}^{ - }\left( x\right) }\right\rbrack -
\]
\[
\left\lbrack {{f}_{1}^{ + }\left( x\right) \cdot {f}_{2}^{ - }\left( x\right) + {f}_{2}^{ + }\left( x\right) \cdot {f}_{1}^{ - }\left( x\right) }\right\rbrack
\]
于是由 \( §2 \) 定理 4 及推论 3 知, \( {f}_{1}\left( x\right) \cdot {f}_{2}\left( x\right) \) 是可测函数.
定理 4 若 \( f\left( x\right) \) 是可测函数,则 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \) 也是可测函数.
证明 因为 \( \left| {f\left( x\right) }\right| = {f}^{ + }\left( x\right) + {f}^{ - }\left( x\right) \) ,而 \( {f}^{ + }\left( x\right) ,{f}^{ - }\left( x\right) \) 都可测,故由定理 2 知, \( \left| {f\left( x\right) }\right| \) 必可测.
定理 5 若 \( f\left( x\right) \) 是可测函数,且几乎处处不为零,则 \( \frac{1}{f\left( x\right) } \) 也是可测函数.
证明 不妨设 \( f\left( x\right) \) 恒不为 0,即 \( f\left( x\right) \neq 0 \) . 只须证明对任意实数 \( a,\left\{ {x\left| {\;\frac{1}{f\left( x\right) } > a}\right. }\right\} \) 恒为可测集.
事实上,对任意实数 \( a \) ,
\( a > 0 \) 时,显然有
\[
\left\{ {x\left| {\;\frac{1}{f\left( x\right) } > a}\right. }\right\} = \left\{ {x\left| {\;0 < f\left( x\right) < \frac{1}{a}}\right. }\right\}
\]
(1)
\( a = 0 \) 时, \( \left\{ {x\left| {\;\frac{1}{f\left( x\right) } > a}\right. }\right\} = \{ x \mid f\left( x\right) > 0\} \)
( 2 )
\( a < 0 \) 时,则有
\[
\left\{ {x\left| {\;\frac{1}{f\left( x\right) } > a}\right. }\right\} = \left\{ {x \mid f\left( x\right) > 0}\right\} \bigcup \left\{ {{x}^{ \mid }f\left( x\right) < \frac{1}{a}}\right\}
\]
( 3 )
因为 \( f\left( x\right) \) 是可测函数,故上述式 (1),(2),(3) 的右端都是可测集, 从而其左端
\[
\left\{ {x\left| {\;\frac{1}{f\left( x\right) } > a}\right. }\right\}
\]
是可测集. 故 \( \frac{1}{f\left( x\right) } \) 是可测函数.
定理 6 设 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{n}\left( x\right) ,\cdots \) 是 \( E \) 上一列可测函数,且 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 也是 \( E \) 上可测函数.
证明 因 \( {f}_{n}\left( x\right) = {f}_{n}^{ + }\left( x\right) - {f}_{n}^{ - }\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 都是可测函数, 故由可测函数定义知
\[
{f}_{n}^{ + }\left( x\right) ,{f}_{n}^{ - }\left( x\right) \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right)
\]
都是 \( E \) 上非负可测函数.
又因, \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \) ,故有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ + }\left( x\right) ,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}^{ - }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) ,
\]
事实上,任取 \( {x}_{0} \in E \) ,分两种情况讨论:
若 (i) \( {f}^{ + }\left( {x}_{0}\right) > 0 \) ,则 \( {f}^{ + }\left( {x}_{0}\right) = f\left( {x}_{0}\right) \) . 因 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( {x}_{0}\right) = f
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1760_06代数学(上册)
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定义3.12
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定义3.12 设 \( S \) 为一整环, \( a \) 为 \( S \) 的一非零非可逆的元素. 如 \( a \mid {\beta \gamma } \) 时,必有 \( a \mid \beta \) 或 \( a \mid \gamma \) ,则称 \( a \) 为一素元.
就像在第一章 \( §2 \) 与 \( §5 \) 的情形一样,要证明 \( S\left\lbrack x\right\rbrack - S \) 是唯一分解的整环——是唯一分解的整环,我们需要证明在 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 中, 不可分解元与素元是一物的二名. 为此目的, 我们先作一些准备工作.
定理3.4 设 \( S \) 为唯一分解的整环,则 \( a \) 是不可分解元 \( \Leftrightarrow a \) 是素元. 反之, 如在一整环 \( S \) 中,每一元素皆可分解为不可分 解元的乘积,而且不可分解元与素元是一物的二名,则 \( S \) 是唯一分解的整环.
证明 设 \( S \) 为唯一分解的整环. 如 \( a \) 是不可分解元,且有 \( a \mid {\beta \gamma } \) ,即 \( a{a}^{\prime } = {\beta \gamma } \) . 取此式的分解式,
\[
{a}^{\prime } = {\delta }^{\prime }\left( {\mathop{\prod }\limits_{i}{u}_{i}^{1\prime }}\right)
\]
\[
\beta = {\varepsilon }_{1}\left( {\mathop{\prod }\limits_{i}{p}_{i}^{{n}_{i}}}\right)
\]
\[
\gamma = {\varepsilon }_{2}\left( {\mathop{\prod }\limits_{i}{q}_{i : }^{{m}_{i}}}\right)
\]
\[
a{a}^{\prime } = {\delta }^{\prime }a\mathop{\prod }\limits_{i}{u}_{i}^{\prime }{}^{\prime } = {\varepsilon }_{1}{\varepsilon }_{2}\left( {\mathop{\prod }\limits_{i}{p}_{i}^{{u}_{i}}}\right) \mathop{\prod }\limits_{i}{q}_{i}^{{m}_{i}}.
\]
则知 \( a \) 必与 \( {p}_{t} \) 或 \( {q}_{t} \) 之一相伴,于是 \( \alpha \) 必为 \( \beta \) 或 \( \gamma \) 的因元,所以 a 是素元.
又如 \( a \) 是素元时,设 \( a = {\beta \gamma } \) . 则 \( a \mid {\beta \gamma } \) ,于是 \( a \mid \beta \) 或 \( a \mid \gamma \) . 不妨即令 \( a \mid \beta \) . 于是
\[
\beta = {a\delta },\;a = {\beta \gamma } = a\left( {\delta \gamma }\right) .
\]
因 \( S \) 是整环,故得 \( {\delta \gamma } = 1 \) ,即 \( \gamma \) 为可逆元. 于是 \( a \) 必为不可分解元.
反之,设在整环 \( S \) 中,不可分解元与素元是一物的二 名,且每一元素皆可分解成不可分解元的乘积. 如有
\[
\alpha = \delta \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}{p}_{i}^{{m}_{i}} = \varepsilon \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{r}{q}_{i}^{{n}_{i}}
\]
则知
\[
{p}_{1} \mid {q}_{1}\left( {{q}_{1}^{{n}_{1} - 1}\mathop{\prod }\limits_{{i = 2}}^{i}{q}_{i}^{{n}_{i}}}\right)
\]
于是
\[
{p}_{1} \mid {q}_{1}\text{ 或 }{p}_{t}!{q}_{1}^{t{1}^{-1}}\mathop{\prod }\limits_{{j = 2}}^{t}{q}_{j}^{t\prime }.
\]
如此反复推导,经过有限次数后,可得一 \( i \) ,使 \( {p}_{1} \mid {q}_{i} \) ,即
\[
{p}_{1}\beta = {q}_{i}
\]
因 \( {q}_{i} \) 为不可分解元,于是 \( \beta \) 必为可逆元,即
\[
{p}_{1} \sim {q}_{1}
\]
以 \( {q}_{1} = {p}_{1}\beta \) 代入 \( \alpha \) 的分解式,两边消去 \( {p}_{1} \) 后,再用数学归纳 法. 不难证明,将 \( {q}_{1},{q}_{2},\cdots ,{q}_{l} \) 重新编组后,必有
\[
{p}_{i}\overset{ \bullet }{ \sim }{q}_{i},\;{m}_{i} = {u}_{1},\;n = l,
\]
即 \( S \) 是唯一分解的整环.
定义3.13 设 \( S \) 是唯一分解的整环. 令
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}{x}^{i} \in S\left\lbrack x\right\rbrack ,\;f\left( x\right) \neq 0.
\]
多项式 \( f\left( x\right) \) 的系数 \( {a}_{0},{a}_{1},\cdots ,{a}_{n} \) 的最大公因元的集合 G. C. D \( \left( {a}_{0}\right. \) , \( \left. {{a}_{1},\cdots ,{a}_{n}}\right) \) 定义为 \( f\left( x\right) \) 的内涵 \( C\left( {f\left( x\right) }\right) \) . 如果 \( \deg f\left( x\right) \geq 1 \) ,且 \( C\left( {f\left( x\right) }\right) \) 等于可逆元的集合,则称 \( f\left( x\right) \) 为本原多项式.
定理3.5(高斯引理) 设 \( S \) 是唯一分解的整环, \( f\left( x\right) \) 及 \( g\left( x\right) \) 是 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的非零多项式. 则有
\[
C\left( {f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) }\right) = C\left( {f\left( x\right) }\right) \cdot C\left( {g\left( x\right) }\right) .
\]
证明 不妨设 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 的次数不为零. 取 \( {d}_{1} \in C\left( {f\left( x\right) }\right) \) , \( {d}_{2} \in C\left( {g\left( x\right) }\right) \) . 令
\[
f\left( x\right) = {d}_{1}{f}^{ * }\left( x\right) ,\;g\left( x\right) = {d}_{2}{g}^{ * }\left( x\right) .
\]
则显然 \( {f}^{ * }\left( x\right) \) 及 \( {g}^{ * }\left( x\right) \) 皆是本原多项式. 如 能证明 \( {f}^{ * }\left( x\right) \cdot {g}^{ * }\left( x\right) \) 也是一本原多项式,则根据 \( f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) = {d}_{2}{d}_{2}\left( {{f}^{ * }\left( x\right) \cdot {g}^{ * }\left( x\right) }\right) \) , 即知
\[
{d}_{1}{d}_{2} \in C\left( {f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) }\right) .
\]
由定义 3.11 的讨论 1) , 立得
\[
C\left( {f\left( x\right) }\right) \cdot C\left( {g\left( x\right) }\right) = C\left( {f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) }\right) .
\]
以下证明 \( {f}^{ * }\left( x\right) \cdot {g}^{ * }\left( x\right) \) 也是一本原多项式. 设
\[
{f}^{ * }\left( x\right) = {a}_{0} + {a}_{1}x + \cdots + {a}_{n}{x}^{n},
\]
\[
{g}^{ * }\left( x\right) = {b}_{0} + {b}_{1}x + \cdots + {b}_{m}{x}^{m},
\]
其中 \( {a}_{n} \neq 0,{b}_{m} \neq 0 \) . 假设 \( {f}^{ * }\left( x\right) \cdot {g}^{ * }\left( x\right) \) 非本原多项式,取一素元 \( p \) 为其系数的公因元. 令 \( i, j \) 为由下式定义的二非负整数:
\[
i = \min \{ l : p \mid a,, : r = l + 1,\cdots, n\} ,
\]
\[
j = \min \{ l : p \mid b,, r = l + 1,\cdots, m\} .
\]
令
\[
{f}^{ * }\left( x\right) \cdot {g}^{ * }\left( x\right) = {c}_{0} + {c}_{1}x + \cdots + {c}_{n + m}{x}^{n + m}.
\]
则有
\[
{c}_{0} = {a}_{0}{b}_{0}
\]
\[
{c}_{1} = {a}_{0}{b}_{1} + {\dot{a}}_{1}{b}_{0}
\]
DOD DOD DOD DOD DOD DOD DOD DOD DOD DOD
\[
{c}_{i + j} = {a}_{i}{b}_{j} + \mathop{\sum }\limits_{{r = i + 1}}^{{i + j}}{a}_{r}{b}_{i + j - r} + \mathop{\sum }\limits_{{r = i + 1}}^{{i + j}}{a}_{i + j - r}{b}_{r},
\]
..............................
\[
{c}_{n + m} = {a}_{n}{b}_{m}
\]
考虑 \( {c}_{i + j} \) 的展开式. 已知
\[
p\left| {{c}_{i + j},\;p}\right| \mathop{\sum }\limits_{{r = i + 1}}^{{i + j}}{a}_{r}{b}_{i + j - r},
\]
\[
p \mid \mathop{\sum }\limits_{{r = j + 1}}^{{i + j}}{a}_{i + j - r}{b}_{r \cdot }
\]
于是推得
\[
p \mid {a}_{i}{b}_{j},\;p \mid {a}_{i}\text{ 或 }p \mid {b}_{j}.
\]
这与 \( i \) 或 \( j \) 的定义相矛盾. 由此知道 \( {f}^{ * }\left( x\right) \cdot {g}^{ * }\left( x\right) \) 的系数不可能有素元 \( p \) 为其公因元,也即 \( {f}^{ * }\left( x\right) \cdot {g}^{ * }\left( x\right) \) 为一本原多项式.
定理3.6 设 \( S \) 是唯一分解的整环,则任意非零非可逆的多项式 \( f\left( x\right) \in S\left\lbrack x\right\rbrack \) 皆可分解成不可分解的多项式的乘积.
证明 设 \( 0 \neq a \in S \) . 如果 \( a = g\left( x\right) h\left( x\right) \in S\left\lbrack x\right\rbrack \) ,我们考虑其次数, 得
\[
\begin{aligned} 0 & = \deg a = \deg \left( {g\left( x\right) h\left( x\right) }\right) \\ & = \deg g\left( x\right) + \deg h\left( x\right) , \end{aligned}
\]
于是必有 \( g\left( x\right), h\left( x\right) \in S\left\lbrack x\right\rbrack \) . 由此推知 \( S \) 中的不可分解元也是 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的不可分解元.
取 \( d \in C\left( {f\left( x\right) }\right) \) 。令 \( f\left( x\right) = d{f}^{ * }\left( x\right) \) . 则 \( d \) 在 \( S \) 中可分解成不可分解元的乘积. 根据上段的讨论, \( d \) 在 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 中也可分解成不可分解元的乘积. 以下求 \( {f}^{ * }\left( x\right) \) 的分解式.
如 \( {f}^{ * }\left( x\right) \) 为不可分解元,则本定理已证完. 如 \( {f}^{ * }\left( x\right) \) 可分解成
\[
{f}^{ * }\left( x\right) = y\left( x\right) h\left( x\right) ,
\]
此处 \( g\left( x\right), h\left( x\right) \) 皆不是可逆元. 根据定理3.5,
\[
C\left( {{f}^{ * }\left( x\right) }\right) = C\left( {g\left( x\right) }\right) C\left( {h\left( x\right) }\right) ,
\]
立得 \( g\left( x\right), h\left( x\right) \) 皆是本原多项式. 两者皆是不可逆元,必有
\[
\deg g\left( x\right) \geq 1,\;\deg h\left( x\right) \geq 1.
\]
于是有
\[
\deg g\left( x\right) < \deg {f}^{ * }\left( x\right) ,\;\deg h\left( x\right) < \deg {f}^{ * }\left( x\right) .
\]
用数学归纳法,已知 \( g\left( x\right) \) 及 \( h\left( x\right) \) 皆可分解成不可分解元的乘积. 并乘两者,得 \( {f}^{ * }\left( x\right) \) 也可分解成不可分解元的乘积.
定理3.7 设 \( S \) 是唯一分解的整环,则 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 的任意素元必是不可分解元.
证明. 设 \( f\left( x\right) \in S\left\lbrack x\right\rbrack \) 为一素元. 如果 \( f\left( x\right) = g\left( x\right) h\left( x\right) \) ,则
\[
f\left( x\right) \mid g\left( x\right) h\left( x\right) ,
\]
于是 \( f\left( x\right) \mid g\left( x\right) \) 或 \( f\left( x\right) \mid h\left( x\right) \) . 不妨令 \( f\left( x\right) \mid g\left( x\right) \) ,即
\[
g\left( x\right) = f\left( x\right) \delta \left( x\right) ,\;f\left( x\right) = g\left( x\right) h\left( x\right) = f\left( x\right) \delta \left( x\right) h\left( x\right) .
\]
因 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 是整环, \( f\left( x\right) \neq 0 \) ,自上式的左右两侧消去 \( f\left( x\right) \) ,得
\[
1 = \delta \left( x\right) h\left( x\right)
\]
于是 \( h\left( x\right) \) 是可逆元. 由此得知 \( f\left( x\right) \) 为不可分解元.
到此为止,欲证 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 是唯一分解的整环,根据定理 \( {3.4},{3.6} * \) 3.7,仅需证明 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 的不可分解元皆是素元. 我们先推广 “欧几里得算法”.
定理3.8(欧几里得算法) 设 \( S \) 为一交换环, \( f\left( x\right) \) 为 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的一非零多项式. 令
\[
f\left( x\right) = {a}_{0} + {a}_{1}x + \cdots + {a}_{n}{x}^{n},\;{a}_{n} \neq 0.
\]
任意给定一次数为 \( m \) 的多项式 \( g\left( x\right) \in S\left\lbrack x\right\rbrack \) . 令 \( l = \max \{ 0, m - n \) \( + 1\}, c = {a}_{n}^{1} \) . 则必存在 \( d\left( x\right), r\left( x\right) \in S\left\lbrack x\right\rbrack \) ,使
\[
{cg}\left( x\right) = d\left( x\right) f\left( x\right) + r\left( x\right) ,\;\deg r\left( x\right) < \deg f\left( x\right) .
\]
证明 如 \( \deg f\left( x\right) = n = 0 \) ,取 \( r\left( x\right) = 0, d\left( x\right) = {a}_{0}^{l - 1}g\left( x\right) \) , 即得本定理. 以下讨论 \( \deg f\left( x\right) = n > 0 \) 的情形.
如 \( \deg g\left( x\right) < \deg f\left( x\right) \) ,取 \( d\left( x\right) = 0, r\left( x\right) = {og}\left( x\right) \) ,即得本定理. 以下我们对 \( \deg g\left( x\right) \) 用数学归纳法.
令 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 的展开式如下:
\[
f\left( x\right) = {a}_{0} + {a}_{1}x + \cdots + {a}_{n}{x}^{n},\;{a}_{n} \neq 0,
\]
\[
g\left( x\right) = {b}_{0} + {b}_{1}x + \cdots + {b}_{m}{x}^{m},\;{b}_{m} \neq 0,
\]
此处 \( \deg f\left( x\right) = n \leq \deg g\left( x\right) = m \) 。令
\[
h\left( x\right) = {a}_{n}g\left( x\right) - {b}_{m}{x}^{m - n}f\left( x\right) ,
\]
不难看出
\[
\deg h\left( x\right) < \deg g\left( x\right) .
\]
根据数学归纳法,存在 \( {d}^{\prime }\left( x\right) \) 及 \( r\left( x\right) \) ,使
\[
{a}_{u}^{l - 1}h\left( x\right) = {d}^{\prime }\left( x\right) f\left( x\right) + r\left( x\right) ,\;\deg r\left( x\right) < \deg f\left( x\right) .
\]
于是
\[
{a}_{n}^{1}g\left( x\right) = {a}_{n}^{1 - 1}\left( {h\left( x\right) + {b}_{m}{x}^{m - n}f\left( x\right) }\right)
\]
\[
= \left( {{d}^{\prime }\left( x\right) + {b}_{m}{x}^{m - 1}}\right) f\left( x\right) + r\left( x\right) .
\]
系 如 \( S \) 是域,则在上定理中可取 \( c = 1 \) . 如此得出的 \( d\left( x\right) \) 及 \(
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1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022)
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定义 2.1
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定义 2.1 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的生成树, \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{m - n + 1} \) 是 \( T \) 的弦,记 \( {C}_{r} \) \( \left( {1 \leq r \leq m - n + 1}\right) \) 是 \( T \) 加弦 \( {e}_{r} \) 产生的回路,称 \( {C}_{r} \) 为对应于弦 \( {e}_{r} \) 的基本回路,称 \( \left\{ {{C}_{1},\cdots ,{C}_{r}}\right\} \) 为生成树 \( T \) 对应的基本回路系统。
图 3.3
注: 连通图 \( G \) 的生成树不唯一,从而基本回路系统不唯一,但基本回路的个数是相同的,
都是 \( m - n + 1 \) 。
给定连通图 \( G \) 的一棵生成树 \( T \) ，就确定 \( G \) 中的一个基本回路系统，那么 \( G \) 中任意一个回路与基本回路有什么关系呢?
首先来说明这 \( m - n + 1 \) 个基本回路是互相独立的。
定理 2.1 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的一棵生成树, \( {C}_{k} \) 是对应于弦 \( {e}_{k}\left( {1 \leq k \leq m - n + 1}\right) \) 的基本回路,对于任意 \( r,1 \leq r \leq m - n + 1 \) ,及任意序列 \( {i}_{1},\cdots ,{i}_{r} \) , \( 1 \leq {i}_{1} < \cdots < {i}_{r} \leq m - n + 1 \) ,有: \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{r}} \) 是 \( {C}_{{i}_{1}} \oplus {C}_{{i}_{2}} \oplus \cdots \oplus {C}_{{i}_{r}} \) 里的所有弦。
证明: 只需注意到弦 \( {e}_{{i}_{t}} \) 只在 \( {C}_{{i}_{t}} \) 中出现 \( \left( {1 \leq t \leq r}\right) \) 。
下面来说明 \( G \) 中任意回路都可由基本回路生成。
引理 2.1 设图 \( {G}_{1},{G}_{2} \) 的结点都是偶结点,则 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的结点也都是偶结点。
证明: 取 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的任意结点 \( v \) ,设 \( {e}_{1,1},\cdots ,{e}_{1, r} \) 是 \( {G}_{1} \) 中与 \( v \) 关联的边, \( {e}_{2,1},\cdots ,{e}_{2, s} \) 是 \( {G}_{2} \) 中与 \( v \) 关联的边,其中, \( r, s \) 都是偶数, \( \left| \left\{ {{e}_{1,1},\cdots ,{e}_{1, r}}\right\} \right| \cap \left\{ {{e}_{2,1},\cdots ,{e}_{2, s}}\right\} \mid = t \) ,则 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 中与 \( v \) 关联的边有 \( r + s - {2t} \) 条,即 \( v \) 是 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的偶结点。
定理 2.2 连通图 \( G \) 的任意回路 \( C \) 均可表示为生成树 \( T \) 的若干基本回路的环和。
证明: 设 \( C \) 中含 \( T \) 的 \( r\left( {1 \leq r \leq m - n + 1}\right) \) 条弦: \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{r}} \) ,令 \( {C}^{\prime } = {C}_{{i}_{1}} \oplus \cdots \oplus {C}_{{i}_{r}} \) ,
断言: \( {C}^{\prime } = C \) 。如果 \( {C}^{\prime } \neq C \) ,则 \( C \oplus {C}^{\prime } \) 非空。由定理 2.1 知, \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{r}} \) 都在 \( {C}^{\prime } \) 中, 所以 \( C \oplus {C}^{\prime } \) 只包含 \( T \) 上的边,但由引理 2.1 知, \( C \oplus {C}^{\prime } \) 的结点都是偶结点,必包含回路, 矛盾。
推论 2.1 设连通图 \( G \) 的回路个数为 \( c \) ,则 \( m - n + 1 \leq c \leq {2}^{m - n + 1} - 1 \) 。
注: 所以称 \( m - n + 1 \) 为连通图 \( G \) 的回路秩。
## 3.2.2 生成树与基本割集系统
定义 2.2 设 \( S \) 是连通图 \( G = \left( {V, E}\right) \) 的边子集,如果
（1） \( {G}^{\prime } = \left( {V, E - S}\right) \) 是分离图;
（2）对任意 \( {S}^{\prime } \subset S,{G}^{\prime \prime } = \left( {V, E - {S}^{\prime }}\right) \) 仍连通;
则称 \( S \) 是 \( G \) 的一个割集。
注: 割集 \( S \) 是这样一个边集: 若在 \( G \) 中去掉 \( S \) 的所有边后,则 \( G \) 变成具有两个连通分支的分离图,但是若在 \( G \) 中只去掉 \( S \) 的部分边后, \( G \) 仍然连通。由此可知,割集由 \( V\left( G\right) \) 的某一划分 \( {V}_{1} \) 与 \( {V}_{2} \) 之间的所有边组成,该划分使得 \( G\left\lbrack {V}_{1}\right\rbrack \) 和 \( G\left\lbrack {V}_{2}\right\rbrack \) 都是连通图。
如图 3.4 所示的图中, 边子集
图 3.4
\( \left\{ {{e}_{1},{e}_{2},{e}_{6}}\right\} ,\left\{ {{e}_{5},{e}_{6},{e}_{7},{e}_{8}}\right\} ,\left\{ {{e}_{3},{e}_{4},{e}_{8}}\right\} , \)
\( \left\{ {{e}_{2},{e}_{4},{e}_{5},{e}_{6}}\right\} ,\left\{ {e}_{9}\right\} \) 等都是割集。
定理 2.3 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的生成树,则 \( T \) 的每一树枝都对应 \( G \) 中的一个割集。
证明: 设 \( e \) 是 \( T \) 的任一树枝,从 \( T \) 中删去 \( e \) 得到二连通分支 \( {T}_{1},{T}_{2} \) ,设它们的结点集分别为 \( {V}_{1} \) 与 \( {V}_{2}, G \) 中所有端点分别在 \( {V}_{1} \) 与 \( {V}_{2} \) 的边组成的集合记为 \( {S}_{e} \) ,则 \( {S}_{e} \) 是仅包含 \( T \) 中一条边 \( e \) 的割集。
定义 2.3 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的生成树, \( n - 1 \) 个树枝对应的割集 \( {S}_{1},\cdots ,{S}_{n - 1} \) 称为对应 \( T \) 的基本割集,称 \( \left\{ {{S}_{1},\cdots ,{S}_{n - 1}}\right\} \) 为对应 \( T \) 的基本割集系统。
例 2.1 图 3.4 中,设 \( T \) 是边集 \( \left\{ {{e}_{5},{e}_{6},{e}_{7},{e}_{8},{e}_{9}}\right\} \) 确定的生成树,则 \( {e}_{5},{e}_{6},{e}_{7},{e}_{8},{e}_{9} \) 对应的割集分别是 \( \left\{ {{e}_{5},{e}_{1},{e}_{4}}\right\} ,\left\{ {{e}_{6},{e}_{1},{e}_{2}}\right\} ,\left\{ {{e}_{7},{e}_{2},{e}_{3}}\right\} ,\left\{ {{e}_{8},{e}_{3},{e}_{4}}\right\} ,\left\{ {e}_{9}\right\} \) 。
基本割集系统与基本回路系统有类似的性质。
定理 2.4 连通图 \( G \) 中的每个割集必包含 \( G \) 中每棵生成树的至少一个树枝。
定理 2.5 设 \( \left\{ {{S}_{1},\cdots ,{S}_{n - 1}}\right\} \) 为连通图 \( G \) 的对应于生成树 \( T \) 的基本割集系统,则 \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{k}} \) 是 \( {S}_{{i}_{1}} \oplus {S}_{{i}_{2}} \oplus \cdots \oplus {S}_{{i}_{k}} \) 中的所有树枝,其中, \( 1 \leq k \leq n - 1,1 \leq {i}_{1} < \cdots < {i}_{k} \leq n - 1 \) 。 本定理的证明类似于定理 2.1 。
定义 2.3 设 \( G = \left( {V, E}\right) \) 是一个无向图, \( {V}_{1} \) 是 \( V \) 的非空真子集,所有两端点分别在 \( {V}_{1} \) 和 \( \overline{{V}_{1}} \) 的边组成的集合记作 \( E\left( {{V}_{1} \times \overline{{V}_{1}}}\right) \) ,称为 \( G \) 的一个断集。
注: 割集显然是断集, 断集不一定是割集。
下面来说明 \( G \) 中任意割集都可由基本割集生成。
引理 2.2 设 \( {S}_{1},{S}_{2} \) 为无向图 \( G \) 的两个不同断集,则 \( {S}_{1} \oplus {S}_{2} \) 为 \( G \) 中的断集。
证明: 设 \( {S}_{1} = E\left( {{V}_{1} \times \overline{{V}_{1}}}\right) ,{S}_{2} = E\left( {{V}_{2} \times \overline{{V}_{2}}}\right) \) ,则
\[
{S}_{1} = E\left( {{V}_{1} \cap {V}_{2} \times \overline{{V}_{1}} \cap {V}_{2}}\right) \cup E\left( {{V}_{1} \cap \overline{{V}_{2}} \times \overline{{V}_{1}} \cap {V}_{2}}\right) \cup E\left( {{V}_{1} \cap {V}_{2} \times \overline{{V}_{1}} \cap \overline{{V}_{2}}}\right) \cup E\left( {{V}_{1} \cap \overline{{V}_{2}} \times \overline{{V}_{1}} \cap \overline{{V}_{2}}}\right)
\]
\( {S}_{2} = E\left( {{V}_{2} \cap {V}_{1} \times \overline{{V}_{2}} \cap {V}_{1}}\right) \cup E\left( {{V}_{2} \cap \overline{{V}_{1}} \times \overline{{V}_{2}} \cap {V}_{1}}\right) \cup E\left( {{V}_{2} \cap {V}_{1} \times \overline{{V}_{2}} \cap \overline{{V}_{1}}}\right) \cup E\left( {{V}_{2} \cap \overline{{V}_{1}} \times \overline{{V}_{2}} \cap \overline{{V}_{1}}}\right) \)
\( {S}_{1} \oplus {S}_{2} = E\left( {{V}_{1} \cap {V}_{2} \times \overline{{V}_{1}} \cap {V}_{2}}\right) \cup E\left( {{V}_{1} \cap \overline{{V}_{2}} \times \overline{{V}_{1}} \cap \overline{{V}_{2}}}\right) \cup E\left( {{V}_{2} \cap {V}_{1} \times \overline{{V}_{2}} \cap {V}_{1}}\right) \cup E\left( {{V}_{2} \cap \overline{{V}_{1}} \times \overline{{V}_{2}} \cap \overline{{V}_{1}}}\right) \)
记 \( {V}_{0} = \left( {{V}_{1} \cap {V}_{2}}\right) \cup \left( {\overline{{V}_{1}} \cap \overline{{V}_{2}}}\right) \) ,则
\[
\overline{{V}_{0}} = \left( {\overline{{V}_{1}} \cup \overline{{V}_{2}}}\right) \cap \left( {{V}_{1} \cup {V}_{2}}\right) = \left( {{V}_{1} \cap \overline{{V}_{2}}}\right) \cup \left( {\overline{{V}_{1}} \cap {V}_{2}}\right) ,\;{S}_{1} \oplus {S}_{2} = E\left( {{V}_{0} \times \overline{{V}_{0}}}\right) 。
\]
注意到 \( {V}_{0} \) 和 \( \overline{{V}_{0}} \) 都非空,所以
图 3.5
\( {S}_{1} \oplus {S}_{2} \) 是断集。
定理 2.6 连通图 \( G \) 的任一割集可表示为生成树 \( T \) 对应的若干基本割集的环和。
证明: 任取 \( G \) 的一个割集 \( S \) ,设 \( S \) 包含生成树 \( T \) 的 \( k \) 条边 \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{k}} \) ,则可以断言: \( S = {S}_{{i}_{1}} \oplus {S}_{{i}_{2}} \oplus \cdots \oplus {S}_{{i}_{k}} \) 。否则 \( S \oplus {S}_{{i}_{1}} \oplus {S}_{{i}_{2}} \oplus \cdots \oplus {S}_{{i}_{k}} \) 是一个断集,该断集不含 \( T \) 的任何边, 这是不可能的。
注: 所以称 \( n - 1 \) 为连通图 \( G \) 的割集秩。
推论 2.2 设连通图 \( G \) 的割集个数为 \( s \) ,则 \( n - 1 \leq s \leq {2}^{n - 1} - 1 \) 。
## 3.2.3 基本回路与基本割集
定理 2.7 任何一个回路和任何一个断集都有偶数条公共边。
证明: 对任意断集 \( S = E\left( {{V}_{1} \times \overline{{V}_{1}}}\right) \) 和任意回路 \( C \) 。若 \( C \) 上的结点都在 \( {V}_{1} \) (或 \( \overline{{V}_{1}} \) ) 中,则 \( S \cap C = \varnothing \) 。否则, \( C \) 上既有 \( {V}_{1} \) 也有 \( \overline{{V}_{1}} \) 中的结点,此时不妨设 \( {v}_{0} \in {V}_{1} \) 是 \( C \) 的起点, \( C \) 从 \( {v}_{0} \) 出发,只有经过偶数条 \( S \) 中的边才能重新回到 \( {V}_{1} \) 中,于是 \( C \) 中含有偶数条 \( S \) 中的边。
推论 3.3 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的生成树, \( e \) 是 \( T \) 的树枝, \( {e}^{\prime } \) 是 \( T \) 的弦,则有, \( e \in {C}_{{e}^{\prime }} \Leftrightarrow \) \( {e}^{\prime } \in {S}_{e} \) 。
推论的证明留作作业。
## 作业:
1. 完全图 \( {K}_{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 的所有边都赋以整数权,证明: \( {K}_{n} \) 的每个回路的权都是偶数当且仅当
\( {K}_{n} \) 的所有奇数权边诱导出一个空图或支撑完全二部图。
2. 证明推论 3.3 。
3. 设 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 是无向连通图 \( G \) 的两棵生成树, \( {e}_{1} \in E\left( {T}_{1}\right) - E\left( {T}_{2}\right) \) ,证明: 存在 \( {e}_{2} \in E\left( {T}_{2}\right) - E\left( {T}_{1}\right) \) ,使得 \( {T}_{1} - {e}_{1} + {e}_{2} \) 和 \( {T}_{2} - {e}_{2} + {e}_{1} \) 都是 \( G \) 的生成树。
## § 3.3 最小生成树
在赋权连通图中, 有时需要计算总长最小或最大的生成树, 这可归结为最小生成树问题。例如要在若干加油站之间铺设输油管道, 已知任意两个加油站之间输油管道的铺设费用, 如果要让每个站都能保障油的供应, 那么最少的铺设费用就是一个赋权图的最小生成树的权。
计算最小树的算法很多, 我们介绍两种常用的算法: Kruskal 算法和 Prim 算法。
## 3.3.1 基本树变换
在介绍两个算法之前, 首先介绍基本树变换的概念。
设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的一棵生成树, \( e \) 是 \( T \) 的一弦, \( {C}_{e} \) 是由 \( e \) 决定的基本回路。若 \( {C}_{e} \) 不是自环,则必存在边 \( {e}^{\prime } \in {C}_{e} - e \) 。于是, \( {T}^{\prime } = T \oplus \left\{ {e,{e}^{\prime }}\right\} \) 为 \( G \) 的另一棵生成树,且 \( T \) 与 \( {T}^{\prime } \) 只有一条边不同。
定义 3.1 设 \( {T}_{1} \) 与 \( {T}_{2} \) 都是 \( G \) 的生成树,若 \( {T}_{1} \) 与 \( {T}_{2} \) 恰有 \( k \) 条边不同,则称 \( {T}_{1} \) 与 \( {T}_{2} \) 的距离为 \( d\left( {{T}_{1},{T}_{2}}\right) = k \) 。
定义 3.2 设 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 是连通图 \( G \) 的距离为 1 的树, \( {T}_{1} - {T}_{2} = {e}_{1},{T}_{2} - {T}_{1} = {e}_{2} \) ,则 \( {T}_{2} = {T}_{1} \oplus \left\{ {{e}_{1},{e}_{2}}\right\} \) 称为 \( {T}_{1} \) 到 \( {T}_{2} \) 的基本树变换。
注: \( {e}_{2} \) 作为 \( {T}_{1} \) 的一条弦,决定一个基本回路 \( {C}_{{e}_{2}} \) ,必有 \( {e}_{1} \in {C}_{{e}_{2}} \) ,否则 \( {C}_{{e}_{2}} \subseteq {T}_{2} \) ,矛盾。
定理 3.1 设 \( {T}_{0} \) 是连通图 \( G \) 的一棵生成树,则 \( G \) 的任意其它生成树都可由 \( {T}_{0} \) 通过若干次基本树变换得到。
证明: 任取 \( G \) 的生成树 \( T \) ,设 \( d\left( {T,{T}_{0}}\right) = k \) 。任取 \( e \in T - {T}_{0} \) ,则 \( {T}_{0} \oplus e \) 包含回路 \( {C}_{e} \) 。 \( {C}_{e} \) 上必有属于 \( {T}_{0} \) 而不属于 \( T \) 的边 \( {e}^{\prime } \) ,作基本树变换 \( {T}_{1} = {T}_{0} \oplus \left\{ {e,{e}^{\prime }}\right\} \) ,则 \( d\left( {T,{T}_{1}}\right) = k - 1 \) 。由归纳可知,经过 \( k \) 次基本树变换,可由 \( {T}_{0} \) 变到 \( T \) 。
## 3.3.2 Kruskal 算法
Kruskal 算法可描述
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159_巴拿赫空间引论
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定义 1
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定义 1. 我们称两个赋范线性空间 \( E \) 和 \( {E}_{1} \) 等价,是指存在一个由 \( E \) 到 \( {E}_{1} \) 上的 “线性同构” 映象 \( \varphi \) (即有 “一一对应” 的映象 \( \varphi \) ,使得
\[
\varphi \left( {{\alpha x} + {\beta y}}\right) = {\alpha \varphi }\left( x\right) + {\beta \varphi }\left( y\right) ,\forall x, y \in E,\alpha ,\beta \in \mathbf{K}),
\]
并且这映象是“保范”的(即有 \( \parallel \varphi \left( x\right) \parallel = \parallel x\parallel ,\forall x \in E \) ),那么,我们称 \( \varphi \) 为等价映象.
注 1. 由定义我们显然可以看出, 一个等价映象必是一个“双方连续”的线性映象, 因此, 两个等价的赋范线性空间必是“线性同胚”的, 反之则未必成立, 我们可举一反例.
反例. 设 \( {C}^{\left( 1\right) }\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上具有连续导函数的函数全体, 我们引入两个范数:
\[
\parallel x{\parallel }_{1} = \mathop{\max }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {x\left( t\right) }\right| + \mathop{\max }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {{x}^{\prime }\left( t\right) }\right| ,
\]
\[
\parallel x{\parallel }_{2} = \left| {x\left( a\right) }\right| + \mathop{\max }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {{x}^{\prime }\left( t\right) }\right| ,\;\forall x \in {C}^{\left( 1\right) }.
\]
那么, \( {C}^{\left( 1\right) } \) 以范数 “ \( \parallel \cdot {\parallel }_{1} \) ” 与范数 “ \( \parallel \cdot {\parallel }_{2} \) ” 所成的两种赋范线性空间是“线性同胚”的, 但不是“等价”的.
验. 为验证上面前半段结果, 我们只要验证关系式
\[
{\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{1} \rightarrow 0 \Rightarrow {\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{2} \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right)
\]
和
\[
{\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{2} \rightarrow 0 \Rightarrow {\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{1} \rightarrow 0,\left( {n \rightarrow \infty }\right) ;\forall \left\{ {x}_{n}\right\} \subset {C}^{\left( 1\right) }
\]
就可以了. 事实上,从范数定义可知: \( \parallel x{\parallel }_{2} \leq \parallel x{\parallel }_{1},\forall x \in {C}^{\left( 1\right) } \) ,因此, 上面关系式的前一式显然成立. 另一方面, 注意到一致收敛函数列的逐项积分性质,当我们假设有函数列 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \subset {C}^{\left( 1\right) } \) 满足
\[
{\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{2} = \left| {{x}_{n}\left( a\right) }\right| + \mathop{\max }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {{x}_{n}^{\prime }\left( t\right) }\right| \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right)
\]
时, 便可得到
\[
{x}_{n}\left( a\right) \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right)
\]
及
\[
{x}_{n}\left( t\right) - {x}_{n}\left( a\right) = {\int }_{a}^{t}{x}_{n}^{\prime }\left( \xi \right) {d\xi }\xrightarrow[\left( -\text{ 致 }\right) ]{}0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) ,\forall t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack .
\]
从而得出
\[
{\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{1} = \mathop{\max }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {{x}_{n}\left( t\right) }\right| + \mathop{\max }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {{x}_{n}^{\prime }\left( t\right) }\right| \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) .
\]
这样,即证得 \( {C}^{\left( 1\right) } \) 对于上述两种范数所构成的赋范线性空间是“线性同胚”的.
至于该两赋范空间不等价的情形, 显然可由其不恒满足关系式 \( \parallel x{\parallel }_{1} = \parallel x{\parallel }_{2},\forall x \in {C}^{\left( 1\right) } \) 而得到. 验毕.
注 2. 由上面的反例, 我们利用本节习题 2 的结果可以看出: 虽然 \( {C}^{\left( 1\right) }\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的元在范 \( \parallel \cdot {\parallel }_{1},\parallel \cdot {\parallel }_{2} \) 下所成的两空间不等价 (不 “等距同构”), 但此两范数都是等价的. 也即有, 虽然在以上反例中不能有 \( \parallel \cdot {\parallel }_{1} = \parallel \cdot {\parallel }_{2} \) 恒成立,然而却可以找到一个正数 \( \alpha \) ,使得恒有关系式
\[
\alpha \parallel x{\parallel }_{1} \leq \parallel x{\parallel }_{2} \leq \parallel x{\parallel }_{1},\;\forall x \in {C}^{\left( 1\right) }
\]
成立. 特别可以得到下面有趣的结果: 存在一个正数 \( \alpha \) ,使得对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上任意具有 “Riemann 可积的导函数” 的函数 \( x\left( t\right) \) ,均有关系式
\[
\alpha \left( {\mathop{\sup }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {x\left( t\right) }\right| + \mathop{\sup }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {{x}^{\prime }\left( t\right) }\right| }\right) \leq \left| {x\left( a\right) }\right| + \mathop{\sup }\limits_{{a \leq t \leq b}}\left| {{x}^{\prime }\left( t\right) }\right|
\]
成立.
例 1. 在空间 \( \left( c\right) \) 或 \( \left( m\right) \) 或 \( \left( {l}^{p}\right) \) 中,若令 \( \varphi \) 为映象
\[
\left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},{\xi }_{3},\cdots ,{\xi }_{n},\cdots }\right) \overset{\varphi }{ \rightarrow }\left( {0,{\xi }_{1},{\xi }_{2},{\xi }_{3},\cdots ,{\xi }_{n},\cdots }\right)
\]
则它们均使空间“等价”于其内的一个真子空间. 其后者乃由第一个坐标恒为 0 的所有对应数列组成.
注 3. 上面的例子给出了与集合论中类似的一个性质, 即, 无穷维的赋范线性空间可以等价于它的真子空间. 同样地, 与集合论中该性质类似, 我们还可以得知: 对于有限维的空间而言, 上面的情况是不会发生的. 即, “有限维的赋范线性空间是绝不能与其真子空间等价的”, 这里, 我们就不详细论证了, 有兴趣的读者可以参看文献 [11].
例 2. 空间 \( {l}^{2} \) 与 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 等价.
验. 若设 \( {e}_{n}\left( t\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的完全规范正交组,则 \( \forall x\left( t\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {(a, b}\right\rbrack \) ,必有 \( x\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}{e}_{n}\left( t\right) \) (其中, \( {a}_{n} \) 是 \( x\left( t\right) \) 对 \( {e}_{n}\left( t\right) \) 的 Fourier 系数, \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ) \) 显然, \( x\left( t\right) = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}{e}_{n}\left( t\right) \) 与 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n},\cdots }\right) \) 是线性同构的,且由实变函数论中的 Riesz-Fischer 定理 (参看文献[111]第七章 \( \$ 3 \) ),我们又有 \( \parallel x\parallel = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left| {a}_{n}\right| }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} \) . 从而可知以上映象是保范的. 验毕.
注 4. 上例在量子力学中即表现为 Schrödinger 的“波动力学” 和 Heisenberg 的“矩阵力学”是等价的.
## \(\text{(二)}\)
下面我们转到一个赋范线性空间的完备化问题的讨论.
定理 1. 任何一个赋范线性空间 \( {E}_{1} \) 必可等价于一个 Banach 空间 \( \mathcal{E} \) 中的稠线性子空间 \( {\mathcal{E}}_{1} \) .
证. 首先, 我们设
\[
{\widehat{E}}_{1} = \left\{ {\left\{ {x}_{n}\right\} \mid \left\{ {x}_{n}\right\} }\right. \text{是}{E}_{1}\text{中的 Cauchy 列}\} \text{,}
\]
并且在 \( {\widehat{E}}_{1} \) 中定义其“元”间的运算如下:
\[
\left\{ {x}_{n}\right\} + \left\{ {y}_{n}\right\} = \left\{ {{x}_{n} + {y}_{n}}\right\} ,\alpha \left\{ {x}_{n}\right\} = \left\{ {\alpha {x}_{n}}\right\} ,
\]
\[
\forall \left\{ {x}_{n}\right\} ,\left\{ {y}_{n}\right\} \in {\widehat{E}}_{1},\alpha \in K.
\]
不难看出, \( {\widehat{E}}_{1} \) 构成一线性空间. 又对 \( {\widehat{E}}_{1} \) 中“元”定义范数.
\[
\begin{Vmatrix}\left\{ {x}_{n}\right\} \end{Vmatrix} = \lim \begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix},\forall \left\{ {x}_{n}\right\} \in {\widehat{E}}_{1}.
\]
(后面的极限是存在的,因为 \( \begin{Vmatrix}{\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix} - \begin{Vmatrix}{x}_{m}\end{Vmatrix}}\end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix}{{x}_{n} - {x}_{m}}\end{Vmatrix} \) ,并且注意到 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 Cauchy 列,从而由数列极限存在的 Cauchy 准则可知.) 显然, \( \begin{Vmatrix}\left\{ {x}_{n}\right\} \end{Vmatrix} \) 是满足范数定义的 (ii) 和 (iii) 的,并且它还是一个非负数, 因而知其构成一个“拟范”数. 下面, 如果设
\[
{\widehat{E}}_{0} = \left\{ {\left\{ {x}_{n}\right\} \mid \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix} = 0,\left\{ {x}_{n}\right\} \in {\widehat{E}}_{1}}\right\}
\]
\[
= \left\{ {\left\{ {x}_{n}\right\} \mid \begin{Vmatrix}\left\{ {x}_{n}\right\} \end{Vmatrix} = 0,\left\{ {x}_{n}\right\} \in {\widehat{E}}_{1}}\right\} ,
\]
那么,由 \( \$ {1.4} \) 定理 2 的推理. 可知相应的商空间 \( \mathcal{E} = {\widehat{E}}_{1}/{\widehat{E}}_{0} \) 必为一赋范线性空间.
下面,我们作 \( \mathcal{P} \) 的一个子空间 \( {\mathcal{E}}_{1} \) ,
\( {\mathcal{P}}_{1} = \left\{ {\{ \widetilde{x}\} \mid \text{ 存在 }{E}_{1}\text{ 的 “常驻列” }\left( {x, x,\cdots }\right) \in \{ \widetilde{x}\} ,\{ \widetilde{x}\} \in \mathcal{E}}\right\} . \) 首先,由 \( {\widehat{E}}_{0} \) 的假设及 \( \mathcal{S} \) 的构成,显然可知在 \( {\mathcal{E}}_{1} \) 的每一个 “元”(等价类) 中绝不会含有 \( {E}_{1} \) 的两个不同的“常驻列”. 而且,根据上面引用过的同一推理,我们还知道: 当设 \( \overset{⏜}{\{ x\} } \) 中含有 \( {E}_{1} \) 的“常驻列” 为 \( \{ x\} \) 时,我们总有关系式
\[
\parallel \widetilde{\{ x\} }\parallel = \parallel \{ x\} \parallel = \lim \parallel x\parallel = \parallel x\parallel ,\forall \widetilde{\{ x\} } \in {\mathcal{E}}_{1}.
\]
这样,我们可看出上面关于空间 \( {E}_{1} \) 与商空间 \( \mathcal{E} \) 的子空间 \( {\mathcal{E}}_{1} \) 之间的映象 \( x \leftrightarrow \widetilde{\{ x\} } \) 是 “保范” 的,此外,它显然还是一个线性同构映象,由此已导出原空间 \( {E}_{1} \) 与 \( {\mathcal{E}}_{1} \) 是等价的.
其次, \( \forall \widetilde{\left\{ {x}_{n}\right\} } \in \mathcal{P} \) ,如果设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \in \widetilde{\left\{ {x}_{n}\right\} } \) ,那么,由其为 Cauchy 列知 \( \forall \varepsilon > 0,\exists N \) (自然数),使得,只要 \( n \geq N \) ,就有 \( \begin{Vmatrix}{{x}_{n} - {x}_{N}}\end{Vmatrix} < \varepsilon /2 \) . 于是,当取一 “常驻列” \( \left\{ {x}_{N}\right\} = \left( {{x}_{N},{x}_{N},\cdots }\right) \in \widetilde{\left\{ {x}_{N}\right\} } \in {\mathcal{S}}_{1} \) 时,由上面各种范数的定义, 可导出
\[
\begin{Vmatrix}{\widetilde{\left\{ {x}_{n}\right\} } - \widetilde{\left\{ {x}_{N}\right\} }}\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}\widetilde{\left\{ {x}_{n} - {x}_{N}\right\} }\end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix}\left\{ {{x}_{n} - {x}_{N}}\right\} \end{Vmatrix}
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{{x}_{n} - {x}_{N}}\end{Vmatrix} \leq \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon .
\]
从而得到 \( {\mathcal{S}}_{1} \) 在 \( \mathcal{E} \) 中是稠密的.
最后,我们来证明空间 \( \mathcal{E} \) 是完备的. 事实上,如果设 “元” 列 \( \left\{ {\left\{ {x}_{n}^{\left( k\right) }\right\} \mid k = 1,2,\cdots }\right\} \) 是 \( \mathcal{E} \) 中的一 Cauchy 列,那么,由 \( {\mathcal{E}}_{1} \) 在 \( \mathcal{E} \) 中稠,知必有一“元”列 \( \left\{ \widetilde{{y}_{n}^{\left( k\right) }}\right\} \in {\mathcal{E}}_{1}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 使得
\[
\begin{Vmatrix}{\widetilde{\left\{ {x}_{n}^{\left( k\right) }\right\} } - \widetilde{\left\{ {y}_{n}^{\left( k\right) }\right\} }}\end{Vmatrix} < \frac{1}{k}\;\left( {k = 1,2,\cdots }\right) .
\]
(1)
于是再由
\[
\begin{Vmatrix}{\widetilde{\left\{ {y}_{n}^{\left( i\right) }\right\} } - \widetilde{\left\{ {y}_{n}^{\left( j\right) }\right\} }}\end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix}{\widetilde{\left\{ {y}_{n}^{\left( i\right) }\right\} } - \widetilde{\left\{ {x}_{n}^{\left( i\right) }\right\} }}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix}{\widetilde{\left\{ {x}_{n}^{\left( j\right) }\right\} } - \widetilde{\left\{ {x}_{n}^{\left( j\right) }\right\} }}\end{Vmatrix}
\]
\[
+ \begin{Vmatrix}{\widetilde{\left\{ {x}_{n}^{\le
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1633_近代分析基础(胡适耕)
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定义 6.6.1
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定义 6.6.1 任何连续群同态 \( \varphi : G \rightarrow {\mathrm{S}}^{1} \) 称为 \( G \) 上的特征. 以 \( \widehat{G} \) 记 \( G \) 上特征的全体,它依乘法构成一个群,称为 \( G \) 的对偶群. 任给 \( f \in {L}^{1}\left( {G, E}\right) \) ,令
\[
f\left( \varphi \right) = \left( {f * \varphi }\right) \left( 0\right) = {\int }_{G}f\bar{\varphi }\mathrm{d}\mu ,\;\varphi \in \widehat{G},
\]
(6.6.1)
则得到一个函数 \( \widehat{f} : G \rightarrow E \) ,称它为 \( f \) 的 Fourier 变式,而称映射 \( f \rightarrow \widehat{f} \) 为 Fourier 变换.
立刻看几个具体例子.
例 6.6.1 (i) \( \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} = \left\{ {{e}_{\xi } : \xi \in {\mathbb{R}}^{n}}\right\} \) . 显然 \( \left\{ {{e}_{\xi } : \xi \in {\mathbb{R}}^{n}}\right\} \subset \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} \) . 任取 \( \varphi \in \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} \) . 首先设 \( n = 1 \) . 必有 \( b \in \mathbb{R} \) ,使 \( \beta \triangleq {\int }_{0}^{b}\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x \neq 0.\forall x \in \mathbb{R} \) ,有
\[
\varphi \left( x\right) = \frac{1}{\beta }{\int }_{0}^{b}\varphi \left( x\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y = \frac{1}{\beta }{\int }_{x}^{x + b}\varphi \left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
这推出 \( {\varphi }^{\prime }\left( x\right) = {c\varphi }\left( x\right), c = {\beta }^{-1}\left\lbrack {\varphi \left( b\right) - 1}\right\rbrack \) . 由此解出 \( \varphi \left( x\right) = \varphi \left( 0\right) {\mathrm{e}}^{c \cdot x} = {\mathrm{e}}^{c \cdot x} \) . 然后由 \( \left| {\varphi \left( x\right) }\right| \equiv 1 \) 得 \( c = \mathrm{i}\xi ,\xi \in \mathbb{R} \) . 因此 \( \varphi = {e}_{\xi } \) . 其次设 \( n > 1 \) ,以 \( \left\{ {\varepsilon }_{j}\right\} \) 记 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 的标准基,则 \( \forall x \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,有
\[
\varphi \left( x\right) = \varphi \left( {\mathop{\sum }\limits_{j}{x}_{j}{\varepsilon }_{j}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{j}\varphi \left( {{x}_{j}{\varepsilon }_{j}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{j}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\xi {x}_{j}} = {e}_{\xi }\left( x\right) ,
\]
其中, \( \xi = \left( {\xi }_{j}\right) \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,可见 \( \varphi = {e}_{\xi } \) .
设 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 与 \( \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} \) 分别看成加群与乘法群,则
\[
{\mathbb{R}}^{n} \rightarrow \widehat{{\mathbb{R}}^{n}},\;\xi \rightarrow {e}_{\xi }
\]
显然是一群同构. 以 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 取代 \( \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} \) ,不妨就说 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 的对偶群就是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) . 但应注意,当将 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 看成 \( \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} \) 时, \( \xi \in {\mathbb{R}}^{n} \) 应理解为 \( {e}_{\xi } \) . 任给 \( f \in {L}^{1}\left( {{\mathbb{R}}^{n}, E}\right) ,\xi \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,由式(6.6.1) 有
\[
f\left( \xi \right) = \left( {f * {e}_{\xi }}\right) \left( 0\right) ,
\]
这恰与定义 6.5.1 一致.
(ii) \( {\widehat{\mathbb{T}}}^{n} = \left\{ {{e}_{k} : k \in {\mathbb{Z}}^{n}}\right\} \) . 注意 \( \varphi \in {\widehat{\mathbb{T}}}^{n} \Leftrightarrow \varphi \in \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} \) 且 \( \varphi \) 对每变元是以 \( {2\pi } \) 为周期的函数. 这就用 (i) 得出 \( \varphi = {e}_{k}, k \in {\mathbb{Z}}^{n} \) . 类似于对 \( \widehat{{\mathbb{R}}^{n}} \) 的讨论,不妨以 \( {\mathbb{Z}}^{n} \) 取代 \( {\widehat{\mathbb{T}}}^{n} \) 作为 \( {\mathbb{T}}^{n} \) 的对偶群,但将 \( {\mathbb{Z}}^{n} \) 看成 \( {\widehat{\mathbb{T}}}^{n} \) 时, \( k \in {\mathbb{Z}}^{n} \) 应理解为 \( {e}_{k} \) . 任给 \( f \in {L}^{1}\left( {{\mathbb{T}}^{n}, E}\right) \) ,依据式 (6.6.1) 有
\[
\widehat{f}\left( k\right) = \left( {f * {e}_{k}}\right) \left( 0\right) ,
\]
这与定义 6.4.1 相差因子 \( {\left( 2\pi \right) }^{-n} \) . 但若在 \( {\mathbb{T}}^{n} \) 上采用正规化 Haar 测度 \( \mathrm{d}\mu = \) \( {\left( 2\pi \right) }^{-n}\mathrm{\;d}x \) ,这一差别就消失了.
(iii) \( \widehat{{\mathbb{Z}}^{n}} = \left\{ {{e}_{\xi } : \xi \in {\mathbb{T}}^{n}}\right\} .\forall \varphi \in \widehat{{\mathbb{Z}}^{n}} \) ,有
\[
\varphi \left( k\right) = \varphi \left( {\mathop{\sum }\limits_{j}{k}_{j}{\varepsilon }_{j}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{j}{\left\lbrack \varphi \left( {\varepsilon }_{j}\right) \right\rbrack }^{{k}_{j}}
\]
\[
= \mathop{\prod }\limits_{j}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\xi {k}_{j}} = {e}_{\xi }\left( k\right)
\]
其中, \( \left\{ {\varepsilon }_{j}\right\} \) 仍为 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 的标准基, \( \xi = \left( {\xi }_{j}\right) \in {\mathbb{R}}^{n} \) . 注意当 \( {\xi }_{j} \equiv 0\left( {{\;\operatorname{mod}\;2}\pi }\right) \left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 时 \( {\dot{e}}_{\xi }\left( k\right) \equiv 1 \) ,故 \( \xi \) 应理解为 \( \xi \in {\mathbb{T}}^{n} \) . 同样可认为 \( {\widehat{\mathbb{Z}}}^{n} = {\mathbb{T}}^{n} \) ,只是将 \( {\mathbb{T}}^{n} \) 看成 \( {\widehat{\mathbb{Z}}}^{n} \) 时, \( \xi \in \) \( {\mathbb{T}}^{n} \) 应理解为 \( {e}_{-\xi }{}^{\mathbb{O}} \) . 任给 \( f \in {l}^{1}\left( {{\mathbb{Z}}^{n}, E}\right) \) ,依式 (6.6.1) 有
\[
f\left( \xi \right) = \left( {f * {e}_{-\xi }}\right) \left( 0\right) = \mathop{\sum }\limits_{k}f\left( k\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k \cdot \xi }.
\]
(6.6.2)
因式 (6.6.2) 中的级数绝对并一致收敛,故 \( \widehat{f} \in C\left( {{\mathbb{T}}^{n}, E}\right) \) . 这种形式的 \( \widehat{f} \) 已在例 5.1.1 (iv) 中提到了, 只是未将其称为 Fourier 变换罢了.
再回到一般群 \( G \) 上的 Fourier 变换. 命题 6.4.1 的那些性质,仍有一部分可推
① 这里用了群同构 \( {\mathbb{T}}^{n} \rightarrow \overset{⏜}{{\mathbb{Z}}^{n}},\xi \rightarrow {e}_{-\xi } \) . 用 \( {e}_{-\xi } \) 取代似乎更自然的 \( {e}_{\xi } \) ,意在使式 (6.6.2) 右端恰为 \( f\left( \xi \right) \) 的 Fourier 级数. 广到现在的一般情况.
命题 6.6.1 群 \( G \) 上的 Fourier 变换有以下性质:
(i) 卷积公式: 若 \( f \in {L}^{1}\left( {G, E}\right), g \in {L}^{1}\left( G\right) \) ,则
\[
{\left( f * g\right) }^{ \land } = \widehat{f}\widehat{g}.
\]
(6.6.3)
此外亦有 \( \overset{⏜}{{g}^{ * }} = \bar{g} \) . 因此 \( g \rightarrow \widehat{g} \) 是卷积代数 \( {L}^{1}\left( G\right) \) 上的一个 \( \left( *\right) \) 代数同态;
(ii) 平移规则: \( {\left( {\tau }_{a}f\right) }^{ \land }\left( \varphi \right) = \varphi \left( a\right) \widehat{f}\left( \varphi \right) ,{\left( \psi f\right) }^{ \land }\left( \varphi \right) = \widehat{f}\left( {\varphi \bar{\psi }}\right) (f \in {L}^{1}(G \) , \( E),\varphi ,\psi \in \widehat{G}, a \in G) \) .
证 证明是直接的,仅以证式 (6.6.3) 为例作说明. \( \forall \varphi \in \widehat{G} \) ,有
\[
{\left( f * g\right) }^{ \land }\left( \varphi \right) = {\int }_{G}\varphi \left( {-x}\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) {\int }_{G}f\left( {x - y}\right) g\left( y\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right)
\]
\[
= {\int }_{G}g\left( y\right) \varphi \left( {-y}\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right) {\int }_{G}f\left( {x - y}\right) \varphi \left( {y - x}\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right)
\]
\[
= \widehat{g}\left( \varphi \right) \widehat{f}\left( \varphi \right) \text{. }
\]
若令 \( \widetilde{\varphi }\left( f\right) = \widehat{f}\left( \varphi \right) \) ,则从式 (6.6.3) 推出: 给定 \( \varphi \in \widehat{G},\forall f, g \in {L}^{1}\left( G\right) \) ,有
\[
\widetilde{\varphi }\left( {f * g}\right) = \widehat{f}\left( \varphi \right) \widehat{g}\left( \varphi \right) = \widetilde{\varphi }\left( f\right) \widetilde{\varphi }\left( g\right) ,
\]
因而 \( \widetilde{\varphi } \) 是 \( {L}^{1}\left( G\right) \) 上的复同态. 这就预示着可建立 Fourier 变换与 Banach 代数的 Gelfand 表示的联系, 这一点似乎已早显端倪了.
定理 6.6.1 设 \( \Delta = \Delta \left( {{L}^{1}\left( G\right) }\right) ,\widetilde{\varphi }\left( f\right) = \widehat{f}\left( \varphi \right) \left( {\varphi \in \widehat{G}, f \in {L}^{1}\left( G\right) }\right) \) ,则 \( \beta : \widehat{G} \rightarrow \) \( \Delta ,\varphi \rightarrow \widetilde{\varphi } \) 是一双射.
证 给定 \( \varphi \in \widehat{G} \) ,已说明 \( \widetilde{\varphi } \) 是 \( {L}^{1}\left( G\right) \) 上的复同态. \( \forall f \in {L}^{1}\left( G\right) \) ,有
\[
\widetilde{\varphi }\left( {\left| f\right| \varphi }\right) = {\left( \left| f\right| \varphi \right) }^{ \land }\left( \varphi \right) = {\int }_{G}\left| f\right| \varphi \bar{\varphi }\mathrm{d}\mu = \parallel f{\parallel }_{1},
\]
可见 \( \widetilde{\varphi } \neq 0 \) ,因此 \( \widetilde{\varphi } \in \Delta \) .
其次证 \( \varphi \rightarrow \widetilde{\varphi } \) 是单射. 设 \( \varphi \in \widehat{G} \) ,取 \( f \in {L}^{1}\left( G\right) \) 使 \( \widetilde{\varphi }\left( f\right) = 1 \) ,则
\[
\varphi \left( x\right) = \varphi \left( x\right) \widehat{f}\left( \varphi \right) = {\left( {\tau }_{x}f\right) }^{ \land }\left( \varphi \right) = \widetilde{\varphi }\left( {f}_{x}\right) ,\;x \in G,
\]
( * )
其中用了命题 6.6.1 (ii). 这表明 \( \varphi \) 由 \( \widetilde{\varphi } \) 唯一决定.
最后证 \( \varphi \rightarrow \widetilde{\varphi } \) 是满射. 取定 \( h \in \Delta \) . 取 \( f \in {L}^{1}\left( G\right) \) ,使 \( h\left( f\right) = 1 \) . 令 \( \varphi \left( x\right) = \) \( h\left( {f}_{x}\right) \) (如此定义乃受式 \( \left( *\right) \) 之启发),则
\[
\varphi \left( {x + y}\right) = h\left( {f * {f}_{x + y}}\right) = h\left( {{f}_{x} * {f}_{y}}\right) = \varphi \left( x\right) \varphi \left( y\right) .
\]
由 \( {\left| \varphi \left( x\right) \right| }^{n} = \left| {\varphi \left( {nx}\right) }\right| \leq {\begin{Vmatrix}{f}_{nx}\end{Vmatrix}}_{1} = \parallel f{\parallel }_{1}\left( {\forall n \in \mathbb{Z}}\right) \) 推出 \( \left| {\varphi \left( x\right) }\right| = 1 \) ,因此 \( \varphi : G \rightarrow {\mathrm{S}}^{1} \) 是一群同态. 由 \( h \) 连续及 \( x \rightarrow {f}_{x} \) 连续 (由定理 6.1.3) 得出 \( \varphi \) 连续,因此 \( \varphi \in \widehat{G} \) . 余下证 \( h = \widetilde{\varphi } \) . 因 \( h \in {L}^{1}{\left( G\right) }^{ * } \) ,故由定理 3.5.2 有 \( w \in {L}^{\infty }\left( G\right) \) ,使得
\[
h\left( g\right) = {\int }_{G}{gw}\mathrm{\;d}\mu ,\;g \in {L}^{1}\left( G\right) .
\]
于是, \( \forall g \in {L}^{1}\left( G\right) \) 有
\[
h\left( g\right) = h\left( {f * g}\right) = {\int }_{G}w\left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) {\int }_{G}f\left( {x - y}\right) g\left( y\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right)
\]
\[
= {\int }_{G}g\left( y\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right) {\int }_{G}f\left( {x - y}\right) w\left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right)
\]
\[
= {\int }_{C}g\left( y\right) \varphi \left( {-y}\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right) = \widehat{g}\left( \varphi \right) = \widetilde{\varphi }\left( g\right) ,
\]
这得出 \( h = \widetilde{\varphi } \) ,如所要证.
一旦确定了 \( \widehat{G} \rightarrow \Delta ,\varphi \rightarrow \widetilde{\varphi } \) 为双射,两个自然的推论即随之而出. 其一是正好将 \( \Delta \) 上的 Gel
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1354_[陈家鼎&郑忠国] 概率与统计 (第一版)
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定义 2.1
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定义 2.1 设有事件 \( A \) 和 \( B \) . 如果 \( A \) 发生,则 \( B \) 必发生,那么称事件 \( B \) 包含事件 \( A \) (或称 \( A \) 包含在 \( B \) 中),并记为
\[
A \subset B\text{ (或 }B \supset A\text{). }
\]
例如,投掷两枚匀称的硬币,令 \( A \) 表示“恰有一枚国徽朝上”, \( B \) 表示“至少一枚国徽朝上”,显然有 \( A \subset B \) .
定义 2.2 如果事件 \( A \) 包含事件 \( B \) ,同时事件 \( B \) 也包含事件 \( A \) ,则称事件 \( A \) 与 \( B \) 相等 (或称等价),并记做 \( A = B \) .
显然, \( A = B \) 的含义是: 事件 \( A \) 发生当且仅当事件 \( B \) 发生.
## 2. 事件的并与交
定义 2.3 设 \( A \) 和 \( B \) 都是事件,则 “ \( A \) 或 \( B \) ” 表示这样的事件 \( C : C \) 发生当且仅当 \( A \) 和 \( B \) 中至少有一个发生. 这个事件 \( C \) 叫做 \( A \) 与 \( B \) 的并,记为 \( A \cup B \) .
例 2.1 在桌面上,投掷两枚匀称的硬币, \( A \) 表示“恰好一枚国徽朝上”, \( B \) 表示“两枚国徽朝上”, \( C \) 表示 “至少一枚国徽朝上”,则
\[
C = A \cup B\text{.}
\]
例 2.2 在桌面上 (或碗里) 投掷两颗骰子 (骰子是正六面体, 各面标有一些点子,点子数目分别是 \( 1,2,3,4,5,6) \) ,我们考察投掷后骰子朝上那一面所出现的点数. 设 \( A = \) “一颗骰子出现的点数不少于 2,另一颗骰子出现的点数是偶数”, \( B = \) “一颗骰子出现的点数不超过 2,另一颗骰子出现的点数是偶数”, \( C = \) “至少有一颗骰子出现的点数是偶数”,则不难看出, \( A \cup B = C \) .
注意,“ \( A \) 或 \( B \) ”中的 “或” 是可兼的 “或”,就是说,当 \( A \) 和 \( B \) 都发生时也认为 “ \( A \) 或 \( B \) ”发生.
对于“并”运算, 显然有下列性质:
\[
A \cup B = B \cup A;
\]
(2.1)
\[
A \cup U = U,\;A \cup V = A.
\]
\( \left( {2.2}\right) \)
(我们恒用 \( U \) 表示必然事件, \( V \) 表示不可能事件. )
定义 2.4 设 \( A \) 和 \( B \) 都是事件,则 “ \( A \) 且 \( B \) ”表示这样的事件 \( C : C \) 发生当且仅当 \( A \) 和 \( B \) 都发生. 这个事件 \( C \) 叫做 \( A \) 与 \( B \) 的交,记为 \( A \cap \) \( B \) ,也简记为 \( {AB} \) .
例如,在例 2.1 中, \( A \cap C = A, B \cap C = B, A \cap B = V \) ; 在例 2.2 中, \( A \cap C = A, B \cap C = B, A \cap B = \) “一颗骰子出现的点数是 2,另一颗骰子出现的点数是偶数”.
注意,“ \( A \) 且 \( B \) ”中的“且”就是“而且”,从我们的定义推知
\[
A \cap B = B \cap A\text{;}
\]
(2.3)
\[
A \cap U = A,\;A \cap V = V.
\]
\( \left( {2.4}\right) \)
(2.3) 式表明,“ \( A \) 且 \( B \) ”与“ \( B \) 且 \( A \) ”是相等的事件,这与日常生活语言里“而且”的用法有所不同. 例如, “她结了婚, 而且有了孩子”与“她有了孩子而且结了婚”这两句话可能有差异, 但对于“交”运算来讲, 却不管这种差异, 不管 “有孩子”与“结婚”的先后.
## 3. 事件的余与差
定义 2.5 设 \( A \) 是事件,称 “非 \( A \) ” 是 \( A \) 的对立事件 (或称余事件), 其含义是: “非 \( A \) ”发生当且仅当 \( A \) 不发生. 常用 \( \bar{A} \) 表示“非 \( A \) ”,也用 \( {A}^{c} \) 表示“非 \( A \) ”.
例如, 在桌面上投掷两枚硬币, 事件“至少一枚国徽朝上”就是事件 “两枚都是国徽朝下”的对立事件.
从定义知
\[
\overline{\left( \bar{A}\right) } = A,\;\bar{U} = V,\;\bar{V} = U,
\]
(2.5)
换句话说, \( A \) 是 \( \bar{A} \) 的对立事件, \( U \) 和 \( V \) 互为对立事件. 易知 \( A \) 和 \( \bar{A} \) 不会同时发生, \( A \) 与 \( \bar{A} \) 至少一个发生,因此有
\[
A \cap \bar{A} = V,\;A \cup \bar{A} = U.
\]
(2. 6)
定义 2.6 设 \( A \) 和 \( B \) 是两个事件,则两个事件的差 “ \( A \) 减 \( B \) ” 表示这样的事件 \( C : C \) 发生当且仅当 \( A \) 发生而 \( B \) 不发生. 这个事件 \( C \) 记为 \( A - B \) (或 \( A \smallsetminus B \) ).
从定义 \( {2.2},{2.4},{2.5},{2.6} \) 知
\[
A - B = A \cap \bar{B}\text{. }
\]
我们举一个打靶的例子, 帮助读者理解事件的几种运算.
图 1.2.1 事件运算示意图
事件 \( A \) 代表命中图 1.2.1 (a) 中的小圆内,事件 \( B \) 代表命中图 1. 2.1 (b) 中的大圆内,则 \( A \cup B \) 代表命中图 1.2.1 (c) 中的阴影, \( A \cap B \) 代表命中图 1.2.1 (d) 中的阴影, \( A - B \) 代表命中图 1.2.1 (e) 中的阴影, \( \bar{A} \) 代表命中图 1.2.1 (f) 中的阴影 (小圆之外).
## 4. 事件的运算规律
上述几种基本运算除了 (2.1) 至 (2.6) 式这几条规律外, 还有下列性质:
\( A \cup \left( {B \cup C}\right) = \left( {A \cup B}\right) \cup C \) (“并” 的结合律);
\( \left( {2,7}\right) \)
\( \left( {A \cap B}\right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C}\right) \) (“交”的结合律);
\( \left( {2.8}\right) \)
\( A \cap \left( {B \cup C}\right) = \left( {A \cap B}\right) \cup \left( {A \cap C}\right) \; \) (分配律);
(2.9)
\( A \cup \left( {B \cap C}\right) = \left( {A \cup B}\right) \cap \left( {A \cup C}\right) \; \) (分配律);
(2.10)
\( A \cup A = A,\;A \cap A = A; \)
(2. 11)
\( \overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \) (对偶律);
(2.12)
\( \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \) (对偶律).
(2.13)
这些等式都很易验证: 先说明等号左边的事件发生时等号右边的事件必发生, 再说明等号右边的事件发生时等号左边的事件必发生.
## 5. 多个事件的并与交
我们不难把上述两个事件的“并”与“交”的定义推广到多个事件的 “并”与“交”上去.
定义 2.7 设 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 是 \( n \) 个事件,则 “ \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 的并” 是指这样的事件: 它的发生当且仅当 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 中至少一个发生. 常用 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i} \) 表示 “ \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 的并”.
定义 2.8 设 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 是 \( n \) 个事件,则 “ \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 的交” 是指这样的事件: 它的发生当且仅当 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 这 \( n \) 个事件都发生. 用 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i} \) 表示 “ \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 的交”,也用 \( {A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n} \) 表示这个“交”.
基于实际工作和理论研究的需要, 还要定义无穷多个事件的并与交.
定义 2.9 设 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{i},\cdots \) 是一列事件, \( B \) 是这样的事件: 它的发生当且仅当这些 \( {A}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) 中至少一个发生. 这个 \( B \) 叫做诸 \( {A}_{i} \) 的并,记为 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i} \) ,有时也写为 \( {A}_{1} \cup {A}_{2} \cup \cdots \cup {A}_{i} \cup \cdots \) . (见注 1)
注 1 “并” 的更一般定义是: 设 \( \left\{ {{A}_{a},\alpha \in \Gamma }\right\} \) 是一族事件 (其中 \( \Gamma \) 是任何非空集,每个 \( \alpha \in \Gamma \) 对应一个事件 \( {A}_{a} \) ),这些 \( {A}_{a} \) 的 “并”是指这样的事件 \( B : B \) 发生当且仅当至少一个 \( {A}_{a} \) 发生. 这个 \( B \) 常记为 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{\alpha \in \Gamma }}{A}_{\alpha } \) . 类似地,可以定义一族事件的交 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{a \in \Gamma }}{A}_{a} \) .
例 2.3 一射手向某目标连续射击. 设 \( {A}_{1} = \) “第 1 次射击,命中”, \( {A}_{i} = \) “前 \( i - 1 \) 次射击都未中,第 \( i \) 次射击命中” \( \left( {i = 2,3,\cdots }\right), B = \) “终于命中”, 则从定义 2.9 知
\[
B = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}
\]
定义 2.10 设 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{i},\cdots \) 是一列事件, \( C \) 为这样的事件: \( C \) 发生当且仅当这些 \( {A}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) 都发生. 这个 \( C \) 称为诸 \( {A}_{i} \) 的交,记为 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i} \) ,有时也记为 \( {A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}\cdots \) .
例 2.4 一射手向某目标连续射击. 设 \( {A}_{i} = \) “第 \( i \) 次射击,未中目标” \( \left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) ,则 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i} = \) “每次不中目标”.
不难验证, 多个事件的并和交有下列运算规律 (我们只对可列个事件的并与交进行叙述, 对有限个事件的并与交有类似的公式, 从略):
\[
A \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{B}_{i}}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {A \cup {B}_{i}}\right) \text{ (分配律); }
\]
(2.14)
\[
A \cap \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{B}_{i}}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {A \cap {B}_{i}}\right) \;\text{ (分配律); }
\]
(2. 15)
\[
\overline{\left( \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}\right) } = \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{\bar{A}}_{i}\;\text{ (对偶律); }
\]
(2. 16)
\( \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{\bar{A}}_{i} \) (对偶律).
(2.17)
## 6. 互不相容的事件
定义 2.11 如果事件 \( A \) 与事件 \( B \) 不能都发生,即 \( A \cap B = V \) (不可能事件),则称 \( A \) 与 \( B \) 是互不相容的事件 (也叫互斥的事件).
例如, 投掷两枚硬币, 事件“恰好一枚国徽朝上”与事件“两枚都是国徽朝上”是互不相容的. 不难看出,对任何事件 \( A, A \) 与 \( \bar{A} \) 是互不相容的.
定义 2.12 称事件 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 是互不相容的,若对任何 \( i \neq j \) \( \left( {1 \leq i \leq n,1 \leq j \leq n}\right) ,{A}_{i} \) 与 \( {A}_{j} \) 互不相容.
以上讨论了事件的运算和关系, 以下研究事件的概率.
## 7. 概率的加法公式
概率的加法公式 (1) 如果事件 \( A \) 与事件 \( B \) 互不相容,则
\[
P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) .
\]
(2.18)
公式 (2.18) 表达了概率的最重要特性: 可加性. 它是从大量实践经验中概括出来的, 成为我们研究概率的基础与出发点. 我们把 (2.18) 式当作一条公理接受下来. 从概率的定义 1.1 来看, 这个公式的成立是很自然的. 设想把条件 \( S \) 重复实现了 \( n \) 次 ( \( n \) 充分大),其中事件 \( A \) 发生了 \( {\mu }_{1} \) 次,事件 \( B \) 发生了 \( {\mu }_{2} \) 次,由于 \( A \) 与 \( B \) 互不相容,故 \( A \cup B \) 发生了 \( {\mu }_{1} + {\mu }_{2} \) 次. 根据概率的定义 1.1, \( \frac{{\mu }_{1}}{n} \) 应该与 \( P\left( A\right) \) 很接近, \( \frac{{\mu }_{2}}{n} \) 应该与 \( P\left( B\right) \) 很接近, \( \frac{{\mu }_{1} + {\mu }_{2}}{n} \) 应该与 \( P\left( {A \cup B}\right) \) 很接近,然而
\[
\frac{{\mu }_{1} + {\mu }_{2}}{n} = \frac{{\mu }_{1}}{n} + \frac{{\mu }_{2}}{n}
\]
因此 \( P\left( {A \cup B}\right) \) 应该与 \( P\left( A\right) + P\left( B\right) \) 相等.
由于 \( A \cup \bar{A} = U, A \) 与 \( \bar{A} \) 互不相容,由加法公式 (2.18) 知
\[
P\left( A\right) + P\left( \bar{A}\right) = P\left( U\right) = 1.
\]
因此有
\[
P\left( \bar{A}\right) = 1 - P\left( A\right) .
\]
(2. 19)
这个公式虽然简单,却很有用. 因为事件 \( A \) 的概率 \( P\left( A\right) \) 有时难以直接求出,而对立事件 \( \bar{A} \) 的概率却比较好求,这时利用公式 (2.19) 就可得到 \( P\left( A\right) \) .
公式 (2.18) 不难推广到 \( n \) 个事件的情形. 设 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 互不相容 (即任何两个互不相容), 则
\[
P\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {A}_{i}\right)
\]
(2. 20)
公式 (2.20) 叫做概率的有限可加性. 它可从 (2.18) 式推导出来, 证明留给读者.
概率的加法公式 (2) 设 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots \) 是一列事件,两两不相容 (即对一切 \( i \neq j,{A}_{i} \) 与 \( {A}_{j} \) 互不相容),则
\[
P\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }P\left( {A}_{i}\right)
\]
(2.21)
这个公式也是从社会实践中概括抽象出来的, 不是用数学方法证明出来的 (更不是从公式 (2.18) 推导出来的), 它叫做概率的完全可加性. 它的正确性在于: 从未发现由它导出的结论与实际的事实相违背. 因而我们把 (2.21) 式当作一条公理接受下来 (见 \( §{1.4} \) ).
为了理解 (2.21), 我们考察一个例子. 设某射手向一边长为 1 的正方形 \( {ABCD} \) 进行射击. 假设在这个正方形里给定了一列两两无公共点的圆 \( {C}_{1},{C}_{2},\cdots \) (见图 1.2.2). 令
图 1.2.2 无穷个事件的并的示意图
\( {A}_{i} = \) “落点在圆 \( {C}_{i} \) 内” \( \;\left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) .
设 \( P\left( {A}_{i}\right) = \) 圆 \( {C}_{i} \) 的面积 \( \left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) . 很自然想到, 落点进入这些圆之一的概率等于这些圆的总面积. 所以应该有
\[
P\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }P\left( {A}_{i}\right)
\]
在使用加法公式 (2.18), (2.20) 及 (2.21) 时,应注意公式中诸事件 \( {A}_{i} \) 是两两互不相容的. 但是,我们可以证明: 对任何两个事件 \( A \) 和 \( B \) (不管是否互不相容), 均有
\[
P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) - P\left( {AB}\right) .
\]
(2.22)
实际上,不难看出 \( A \cup B = A \cup \left( {B \cap \bar{A}}\right) \) . 由于 \( A \) 与 \( B \cap \bar{A} \) 互不相容,从 (2.18)式知
\[
P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( {B \cap \bar{A}}\right) .
\]
(2. 23)
由于 \( B = \left( {B \cap A}\right) \cup \left( {B \cap \bar{A}}\right) \) ,而且 \( B \cap A \) 与 \( B \cap \b
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1293_[徐明曜&赵春来] 抽象代数2
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定义 0.4
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定义 0.4 设 \( K \) 是 \( F \) 的扩域, \( S \subseteq K \) . 所谓 \( F \) 上 由 \( S \) 生成的域是指 \( K \) 中包含 \( S \) 的最小的 \( F \) 的扩域,记为 \( F\left( S\right) \) . 若 \( K = F\left( S\right) \) , 则称 \( S \) 为 \( K \) 在 \( F \) 上的生成元集,亦称 \( K \) 在 \( F \) 上由 \( S \) 生成. 可以由有限集合生成的 \( F \) 的扩域称为 \( F \) 上有限生成的域,否则称为无限生成的域. 可以由一个元素组成的集合生成的扩域称为单扩张. 若 \( S = \left\{ {{\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{t}}\right\} \) ,则记 \( F\left( S\right) = F\left( {{\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{t}}\right) \) .
定义 0.5 设 \( E, F \) 是域 \( K \) 的子域,称 \( K \) 中包含 \( E \) 和 \( F \) 的最小的子域为 \( E \) 与 \( F \) 的合成,记为 \( {EF} \) .
定义 0.6 设 \( K/F \) 是域扩张, \( {t}_{1},\cdots ,{t}_{n} \in K \) . 如果存在系数在 \( F \) 中的非零多项式 \( f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) ,使得 \( f\left( {{t}_{1},\cdots ,{t}_{n}}\right) = 0 \) ,则称 \( {t}_{1},\cdots ,{t}_{n} \) 在 \( F \) 上代数相关,否则称 \( {t}_{1},\cdots ,{t}_{n} \) 在 \( F \) 上代数无关. 特别地,如果 \( K \) 中的一个元素 \( t \) 在 \( F \) 上是代数相关的 (即 \( t \) 是 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中某个非零多项式的零点),则称 \( t \) 是 \( F \) 上的代数元. \( K \) 中不是 \( F \) 上的代数元的元素称为 \( F \) 上的超越元. 如果 \( K \) 的所有元素都是 \( F \) 上的代数元,则称 \( K/F \) 为代数扩张; 否则称为超越扩张.
定义 0.7 设 \( F \) 是域. 称满足 \( p \cdot 1\left( { = \underset{p\text{个 }}{\underbrace{1 + \cdots + 1}}}\right) = 0 \) 的最小的
正整数 \( p \) (必为素数) 为域 \( F \) 的特征,并称 \( F \) 为特征 \( p \) 的域. 如果这样的正整数不存在,则称 \( F \) 为特征 0 的域. 域 \( F \) 的特征记为 \( \operatorname{char}F \) 或 \( \chi \left( F\right) \) .
命题 0.8 特征 \( p\left( {p > 0}\right) \) 的域必包含与 \( Z/{pZ} \) (记为 \( {\mathbb{F}}_{p} \) ) 同构的子域; 特征 0 的域必包含与 \( \mathbb{Q} \) 同构的子域. \( {\mathbb{F}}_{p} \) 和 \( \mathbb{Q} \) 称为素域.
推论 0.9 有限域的特征为素数 \( p \) .
定义 0.10 设 \( K/F \) 是域扩张, \( \alpha \in K \) 为 \( F \) 上的代数元. 称 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中满足 \( f\left( \alpha \right) = 0 \) 的次数最低的首项系数为 1 的非零多项式 \( f\left( x\right) \) 为 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的极小多项式,记为 \( \operatorname{Irr}\left( {\alpha, F}\right) \) .
\( \alpha \) 在 \( F \) 上的极小多项式必为 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的不可约多项式. 因此 \( \operatorname{Irr}\left( {\alpha, F}\right) \) 就是 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中以 \( \alpha \) 为零点的 (首项系数为 1 的) 不可约多项式.
定义 0.11 设 \( K/F \) 是域扩张,所谓 \( K/F \) 的扩张次数是指 \( K \) 作为 \( F \) 上的线性空间的维数,记为 \( \left\lbrack {K : F}\right\rbrack \) . 如果 \( \left\lbrack {K : F}\right\rbrack < \infty \) ,则称 \( K/F \) 为有限扩张; 否则称为无限扩张.
命题 \( {0.12K}/F \) 是有限扩张当且仅当 \( K/F \) 是有限生成的代数扩张.
命题 0.13 设 \( K/E \) 和 \( E/F \) 是域扩张,则 \( K/F \) 是有限扩张当且仅当 \( K/E \) 和 \( E/F \) 都是有限扩张. 此时有 \( \left\lbrack {K : F}\right\rbrack = \left\lbrack {K : E}\right\rbrack \left\lbrack {E : F}\right\rbrack \) .
定理 0.14 设 \( F \) 是域, \( f\left( x\right) \) 是 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的不可约多项式,则存在 \( F \) 的含有 \( f\left( x\right) \) 的零点的扩域 (此扩域可以具体地构造为 \( F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {f\left( x\right) }\right) \) ).
命题 0.15 设 \( K/F \) 是代数单扩张, \( K = F\left( \alpha \right), f\left( x\right) = \operatorname{Irr}\left( {\alpha, F}\right) \) , 则有 \( \left\lbrack {K : F}\right\rbrack = \deg f\left( x\right) \) .
推论 0.16 设 \( K/F \) 是代数单扩张,则保持 \( F \) 中每个元素都不动的 \( K \) 的自同构的个数不超过 \( \left\lbrack {K : F}\right\rbrack \) .
定义 0.17 设 \( K/F \) 是有限扩张, \( \alpha \in K.K \) (作为 \( F \) -线性空间) 上的线性变换
\[
K \rightarrow K
\]
\[
x \mapsto {\alpha x}
\]
的迹和范数分别称为 \( \alpha \) 在域扩张 \( K/F \) 下的迹和范数,记为 \( {\operatorname{tr}}_{K/F}\left( \alpha \right) \) 和 \( {\mathrm{N}}_{K/F}\left( \alpha \right) \) .
命题 0.18 设 \( K = F\left( \alpha \right) \) 是 \( F \) 的代数单扩张, \( \operatorname{Irr}\left( {\alpha, F}\right) = \) \( {x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{n} \) ,则
\[
{\operatorname{tr}}_{K/F}\left( \alpha \right) = - {a}_{1},\;{\mathrm{\;N}}_{K/F}\left( \alpha \right) = {\left( -1\right) }^{n}{a}_{n}.
\]
命题 0.19 设 \( K/E \) 和 \( E/F \) 是有限扩张, \( \alpha ,\beta \in K \) ,则
(1) \( {\operatorname{tr}}_{K/F}\left( \alpha \right) = {\operatorname{tr}}_{E/F}\left( {{\operatorname{tr}}_{K/E}\left( \alpha \right) }\right) \) ;
(2) \( {\mathrm{N}}_{K/F}\left( \alpha \right) = {\mathrm{N}}_{E/F}\left( {{\mathrm{N}}_{K/E}\left( \alpha \right) }\right) \) ;
(3) \( {\operatorname{tr}}_{K/F}\left( {\alpha \pm \beta }\right) = {\operatorname{tr}}_{K/F}\left( \alpha \right) \pm {\operatorname{tr}}_{K/F}\left( \beta \right) \) ;
(4) \( {\mathrm{N}}_{K/F}\left( {\alpha \beta }\right) = {\mathrm{N}}_{K/F}\left( \alpha \right) {\mathrm{N}}_{K/F}\left( \beta \right) \) ;
(5) \( {\operatorname{tr}}_{K/F}\left( a\right) = \left\lbrack {K : F}\right\rbrack a\;\left( {a \in F}\right) \) ;
(6) \( {\mathrm{N}}_{K/F}\left( a\right) = {a}^{\left\lbrack K : F\right\rbrack }\;\left( {a \in F}\right) \) .
## 3.0.2 正规扩张与分裂域
定义 0.20 设 \( K/F \) 是代数扩张. 如果对于 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中任一不可约多项式 \( f\left( x\right), K \) 含有 \( f\left( x\right) \) 的一个零点蕴含 \( K \) 含有 \( f\left( x\right) \) 的所有零点 (即: 如果 \( f\left( x\right) \) 在 \( K\left\lbrack x\right\rbrack \) 中有一个一次因子,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( K\left\lbrack x\right\rbrack \) 中能分解为一次因子的乘积),则称 \( K/F \) 为正规扩张.
定义 0.21 设 \( K/F \) 是域扩张, \( f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack, K \) 含有 \( f\left( x\right) \) 的所有的零点. 称 \( F \) 上由 \( f\left( x\right) \) 的所有的零点生成的 \( K \) 的子域为 \( f\left( x\right) \) 在 \( F \) 上的分裂域.
命题 0.22 设 \( F \) 是域, \( f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( F \) 上的分裂域存在, 并且在同构意义下是唯一的.
定理 \( {0.23K}/F \) 是有限正规扩张当且仅当 \( K \) 是 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中某个多项式在 \( F \) 上的分裂域.
## 3.0.3 可分扩张与 Galios 扩张
定义 0.24 设 \( F \) 是域, \( f\left( x\right) \) 为 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的不可约多项式, \( K \) 为 \( f\left( x\right) \) 在 \( F \) 上的分裂域. 如果 \( f\left( x\right) \) 在 \( K\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的所有因式都是单因式,则称 \( f\left( x\right) \) 是可分多项式,否则称为不可分多项式.
命题 0.25 设 \( F \) 是域, \( f\left( x\right) \) 为 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 中的不可约多项式,则 \( f\left( x\right) \) 是可分多项式当且仅当 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \neq 0 \) ,这里 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 是 \( f\left( x\right) \) 的形式导数.
推论 0.25 特征 0 的域上的不可约多项式都是可分多项式.
定义 0.27 设 \( K/F \) 是代数扩张, \( \alpha \in K \) . 如果 \( \operatorname{Irr}\left( {\alpha, F}\right) \) 是可分多项式,则称 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的可分元素,否则称为不可分元素.
定义 0.28 设 \( K/F \) 是代数扩张. 如果 \( K \) 的所有元素都是 \( F \) 上的可分元素,则称 \( K/F \) 为可分扩张. 否则称为不可分扩张.
命题 0.29 设 \( K/F \) 是有限扩张,则 \( K/F \) 是可分扩张当且仅当 \( {\operatorname{tr}}_{K/F} : K \rightarrow F \) 是加法群的满同态.
定义 0.30 正规可分扩张称为 Galois 扩张. 设 \( K/F \) 是 Galois 扩张,则称保持 \( F \) 的每个元素都不动的 \( K \) 的自同构 (在映射复合运算下构成的) 群为 \( K/F \) 的 Galois 群,记为 \( \operatorname{Gal}\left( {K/F}\right) \) .
## 3.0.4 有限域
定理 0.31 设 \( K \) 是特征 \( p \) 的有限域, \( \left\lbrack {K : {GF}\left( p\right) }\right\rbrack = n \) ,其中 \( {GF}\left( p\right) \) 表示 \( p \) 元有限域 (于是 \( K \) 由 \( {p}^{n} \) 个元素组成),则 \( K \) 是多项式 \( {x}^{{p}^{n}} - x \) 在 \( {GF}\left( p\right) \) 上的分裂域. 由 \( {p}^{n} \) 个元素组成的有限域记为 \( {GF}\left( {p}^{n}\right) \) .
推论 \( {0.32GF}\left( {p}^{n}\right) /{GF}\left( p\right) \) 是 Galois 扩张.
命题 \( {0.33GF}\left( {p}^{n}\right) \) 的非零元素乘法群是循环群.
命题 \( {0.34}\left( 1\right) \) 映射
\[
{GF}\left( {p}^{n}\right) \rightarrow {GF}\left( {p}^{n}\right)
\]
\[
\alpha \mapsto {\alpha }^{p}
\]
是 \( {GF}\left( {p}^{n}\right) \) 的自同构,称之为 Frobenius 自同构,记为 \( {\operatorname{Frob}}_{p} \) .
(2) \( \operatorname{Gal}\left( {{GF}\left( {p}^{n}\right) /{GF}\left( p\right) }\right) \) 是由 \( {\operatorname{Frob}}_{p} \) 生成的 \( n \) 阶循环群.
## \( §{3.1} \) 域 嵌入
本节用域嵌入的语言给出域扩张的正规性和可分性的刻画. 由于域只有两个平凡理想, 所以域 (作为环) 的同态只有零同态和单同态. 我们所说的域嵌入指的就是域的单同态, 也就是域到它在单同态下的像的同构.
如果 \( K \) 和 \( E \) 都是域 \( F \) 的扩域, \( \sigma : K \rightarrow E \) 是一个域嵌入,并且 \( \sigma \) 在 \( F \) 上的限制是恒同映射 (即 \( {\alpha }^{\sigma } = \alpha \left( {\forall \alpha \in F}\right) \) ),则称 \( \sigma \) 为一个 \( F \) - 嵌入. 如果进一步地, \( \sigma \) 是同构,则称 \( \sigma \) 是 \( F \) -同构.
我们引入一个重要的概念.
定义 1.1 一个域称为代数封闭的, 如果它没有非平凡的代数扩张. 域 \( F \) 的代数闭包 是指 \( F \) 上代数封闭的代数扩张.
容易看出,一个域 \( L \) 是代数封闭域当且仅当系数在 \( L \) 中任一多项式的全部零点都属于 \( L \) ,当且仅当系数在 \( L \) 中任一多项式在 \( L\left\lbrack x\right\rbrack \) 中可以分解为一次因式的乘积.
我们将证明域的代数闭包的存在唯一性. 为此先证明一个引理. 此引理在域扩张的讨论中也有基本的重要性.
引理 1.2 设 \( K/F \) 是代数扩张, \( \alpha \) 为 \( K \) 上的代数元, \( L \) 为 \( F \) 的扩域, \( \sigma : K \rightarrow L \) 为 \( F \) -嵌入. 又设 \( \alpha \) 在 \( K \) 上的极小多项式为 \( f\left( x\right), L \) 包含 \( {f}^{\sigma }\left( x\right) \) 的所有的零点 \( \left( {{f}^{\sigma }\left( x\right) }\right. \) 表示 \( \sigma \) 作用于 \( f\left( x\right) \) 的系数所得到的多项式). 则 \( \sigma \) 可以扩充为 \( K\left( \alpha \right) \) 到 \( L \) 的 \( F \) -嵌入. 进一步地,这种扩充与 \( {f}^{\sigma }\left( x\right) \) 的零点一一对应.
证明 对于 \( {f}^{\sigma }\left( x\right) \) 在 \( L \) 中的一个零点 \( {\beta }_{i} \) ,定义映射
\[
{\sigma }_{i} : K\left( \alpha \right) \rightarrow L
\]
\[
g\left( \alpha \right) \mapsto {g}^{\sigma }\left( {\beta }_{i}\right) \;\left( {g\left( x\right) \in K\left\lbrack x\right\rbrack }\right) ,
\]
其中 \( {g}^{\sigma }\left( x\right) \) 为 \( \sigma \) 作用于 \( g\left( x\right) \) 的系数所得到的多项式. 容易验证 \( {\sigma }_{i} \) 是 \( F \) -嵌入. 显然, \( {f}^{\sigma }\left( x\right) \) 的不同的零点 \( {\beta }_{i} \) 和 \( {\beta }_{j} \) 对应的 \( {\sigma }_{i} \) 和 \( {\sigma }_{j} \) 也不同. 又易见 \( \sigma \) 的任一扩充必然将 \( \alpha \) 映为 \( {f}^{\sigma }\left( x\right) \) 的一个零点. 这就证明了 \( \sigma \) 的扩充与 \( {f}^{\sigma }\left( x\right) \) 的零点一一对应.
定理 1.3 域 \( F \) 的代数闭包存在,并且在 \( F \) -同构意义下是唯一的.
证明 以 \( S \) 记 \( F \) 上的所有代数扩张组成的集合. 显然 \( S \neq \varnothing \) . 在 \( S \) 上定义偏序关系为包含关系,即对于 \( {K}_{1},{K}_{2} \in S \) ,
\[
{K}_{1} \leq {K}_{2} \Leftrightarrow {K}_{1} \subseteq {K}_{2}
\]
设
\[
{K}_{1} \leq {K}_{2} \leq \cdots
\]
为 \( S \) 中的一个全序链. 易见所有 \( {K}_{i} \) 的并集 \( \widetilde{K} = \mathop{\bigcup }\limits_{i}{K}_{i} \) 属于 \( S \) . 事实上,任一 \( \alpha \in \widetilde{K} \) 必属于某个 \( {K}_{i} \) ,因而是 \( F \) 上的代数元. 又 \( \widetilde{K} \) 是域,故 \( \widetilde{K} \) 是 \( F \) 的代数扩张,即 \( \widetilde{K} \in S \) . 显然 \( {K}_{i} \subseteq \widetilde{K}\left( {\forall i}\right) \) ,所以 \( \widetilde{K} \) 是上面的全序链在 \( S \) 中的一个上界. 根据 Zorn 引理, \( S \) 中有极大元. 设 \( L \) 为 \( S \) 中的一个极大元. 我们来证明 \( L \) 是 \( F \) 的代数闭包. 首先,因为 \
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158_实变函数论与泛函分析 下册
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定义 6.9.2
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定义 6.9.2 设 \( H \) 和 \( G \) 是 Hilbert 空间, \( T \) 是 \( H \) 到 \( G \) 的稠定线性算子. 它的定义域为 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) ,记
\( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) = \left\{ {y \mid y \in G}\right. \) ,存在 \( {y}^{ * } \in H \) 使 \( \left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x,{y}^{ * }}\right) \) 对一切 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) 成立 \( \} \) ,
并在 \( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 上作算子 \( {T}^{ * } : y \mapsto {y}^{ * }\left( {y \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) }\right) \) . 那么称 \( {T}^{ * } \) 为 \( T \) 的共轭算子 (或伴随算子).
由上所述, \( T \) 的共轭算子 \( {T}^{ * } \) 的意义是完全确定的,从共轭算子的定义可知, 对于任何 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) 及 \( y \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 成立着等式
\[
\left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x,{T}^{ * }y}\right)
\]
(6.9.3)
引理 2 设 \( H\text{、}G \) 是两个 Hilbert 空间. 共轭算子有下列性质.
(i) \( H \) 到 \( G \) 的稠定线性算子 \( T \) 的共轭算子 \( {T}^{ * } \) 是线性算子;
(ii) 设 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 是 \( H \) 到 \( G \) 的稠定线性算子,而且 \( \mathcal{D}\left( {T}_{1}\right) \cap \mathcal{D}\left( {T}_{2}\right) \) 也是 \( H \) 中稠密集,那么 \( {\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * } \supset {T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * } \) ;
(iii) 设 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 都是 \( H \) 到 \( G \) 的稠定线性算子,且 \( {T}_{1} \subset {T}_{2} \) ,那么 \( {T}_{1}^{ * } \supset {T}_{2}^{ * } \) ;
(iv) 设 \( T \) 是 \( H \) 到 \( G \) 的稠定线性算子. 那么
\[
\mathcal{N}\left( T\right) \subset \mathcal{R}{\left( {T}^{ * }\right) }^{ \bot },\;\mathcal{N}\left( T\right) \supset \mathcal{R}{\left( {T}^{ * }\right) }^{ \bot } \cap \mathcal{D}\left( T\right) ,
\]
\[
\mathcal{N}\left( {T}^{ * }\right) = \mathcal{R}{\left( T\right) }^{ \bot }
\]
证 (i) 如果 \( {y}_{1},{y}_{2} \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) ,\alpha ,\beta \) 是数,那么对任何 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) ,由 (6.9.3) 式,
\[
\left( {{Tx},{y}_{1}}\right) = \left( {x,{T}^{ * }{y}_{1}}\right) ,\;\left( {{Tx},{y}_{2}}\right) = \left( {x,{T}^{ * }{y}_{2}}\right)
\]
所以得到
\[
\left( {{Tx},\alpha {y}_{1} + \beta {y}_{2}}\right) = \bar{\alpha }\left( {{Tx},{y}_{1}}\right) + \bar{\beta }\left( {{Tx},{y}_{2}}\right)
\]
\[
= \bar{\alpha }\left( {x,{T}^{ * }{y}_{1}}\right) + \bar{\beta }\left( {x,{T}^{ * }{y}_{2}}\right) = \left( {x,\alpha {T}^{ * }{y}_{1} + \beta {T}^{ * }{y}_{2}}\right) ,
\]
因为上式对任何 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) 成立,由共轭算子的定义,即知
\[
\alpha {y}_{1} + \beta {y}_{2} \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) ,\;{T}^{ * }\left( {\alpha {y}_{1} + \beta {y}_{2}}\right) = \alpha {T}^{ * }{y}_{1} + \beta {T}^{ * }{y}_{2},
\]
所以 \( {T}^{ * } \) 是线性算子.
(ii) 如果 \( y \in \mathcal{D}\left( {T}_{1}^{ * }\right) \cap \mathcal{D}\left( {T}_{2}^{ * }\right) = \mathcal{D}\left( {{T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * }}\right) \) ,那么对任何 \( x \in \mathcal{D}\left( {T}_{1}\right) \cap \mathcal{D}\left( {T}_{2}\right) \) \( = \mathcal{D}\left( {{T}_{1} + {T}_{2}}\right) \)
\[
\left( {{T}_{1}x, y}\right) = \left( {x,{T}_{1}^{ * }y}\right) ,\;\left( {{T}_{2}x, y}\right) = \left( {x,{T}_{2}^{ * }y}\right)
\]
所以 \( \left( {\left( {{T}_{1} + {T}_{2}}\right) x, y}\right) = \left( {x,{T}_{1}^{ * }y + {T}_{2}^{ * }y}\right) = \left( {x,\left( {{T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * }}\right) y}\right) \) . 由共轭算子定义即知 \( y \in \mathcal{D}\left( {\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * }\right) \) 而且 \( {\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * }y = \left( {{T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * }}\right) y \) ,因此
\[
{\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * } \supset {T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * }
\]
(iii) 由共轭算子定义显然可得.
(iv) 证明完全仿定理 6.4.4. 证毕
系 如果 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 中有一个是全空间定义的有界线性算子,那么 (ii) 中的结论可改成 \( {\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * } = {T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * } \) .
证 设 \( {T}_{1} \) 是全空间定义的有界线性算子. 把 (ii) 的结论用于 \( {T}_{1} + {T}_{2} \) 和 \( - {T}_{1} \) ,可得 \( \mathcal{D}\left( {\left\lbrack \left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) - {T}_{1}\right\rbrack }^{ * }\right) \supset \mathcal{D}\left( {{\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * } + \left( {-{T}_{1}^{ * }}\right) }\right) \) ,即
\[
\mathcal{D}\left( {\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * }\right) \subset \mathcal{D}\left( {T}_{2}^{ * }\right) = \mathcal{D}\left( {{T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * }}\right)
\]
因此 \( {\left( {T}_{1} + {T}_{2}\right) }^{ * } \) 和 \( {T}_{1}^{ * } + {T}_{2}^{ * } \) 的定义域相同,所以等式成立. 证毕
引理 3 设 \( T \) 是 \( H \) 到 \( G \) 的稠定线性算子,那么 \( {T}^{ * } \) 是闭算子.
证 设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) ,{x}_{n} \rightarrow {x}_{0} \in G,{T}^{ * }{x}_{n} \rightarrow {y}_{0} \in H \) ,今证 \( {x}_{0} \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 而且 \( {T}^{ * }{x}_{0} = {y}_{0} \) . 事实上,对任何 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) ,\left( {{Tx},{x}_{n}}\right) = \left( {x,{T}^{ * }{x}_{n}}\right) \) . 令 \( n \rightarrow \infty \) ,就得到 \( \left( {{Tx},{x}_{0}}\right) = \left( {x,{y}_{0}}\right) \) . 因而由 \( {T}^{ * } \) 的定义得知 \( {x}_{0} \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 且 \( {T}^{ * }{x}_{0} = {y}_{0} \) . 证毕
例 3 在复 Hilbert 空间 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中,记
\( \mathcal{D} = \{ f \mid f\left( t\right) \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上全连续函数而且
\[
\left. {f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0,{f}^{\prime }\left( t\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right\}
\]
显然 \( \mathcal{D} \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中稠密的线性子空间,作以 \( \mathcal{D} \) 为定义域的 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中算子 \( T \) 如下:
\[
\left( {Tf}\right) \left( t\right) = \mathrm{i}{f}^{\prime }\left( t\right) ,\;f \in \mathcal{D},
\]
现在我们来求 \( T \) 的共轭算子 \( {T}^{ * } \) .
设 \( g \) 和 \( {g}^{ * } \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 使得
\[
\left( {{Tf}, g}\right) = \left( {f,{g}^{ * }}\right) ,\;f \in \mathcal{D},
\]
(6.9.4)
也就是 \( {\int }_{0}^{1}\mathrm{i}{f}^{\prime }\left( t\right) \overline{g\left( t\right) }\mathrm{d}t = {\int }_{0}^{1}f\left( t\right) \overline{{g}^{ * }\left( t\right) }\mathrm{d}t \) 对任何 \( f \in \mathcal{D} \) 成立. 记 \( {g}^{* * }\left( t\right) = \) \( {\int }_{0}^{t}{g}^{ * }\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau \) . 利用分部积分公式 (见 \( §{3.8} \) )
\[
\left( {{f}^{\prime }, - {g}^{* * }}\right) = \left( {f,{g}^{ * }}\right)
\]
(6.9.5)
由 (6.9.4) 及 (6.9.5) 式即得 \( \left( {{f}^{\prime }, - \mathrm{i}g + {g}^{* * }}\right) = 0 \) ,
我们注意,虽然 \( \left\{ {{f}^{\prime } \mid f \in \mathcal{D}}\right\} \) 并不在 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中稠密,但它和 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 只相差一维. 事实上,由于对任何 \( \varphi \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,函数
\[
f\left( t\right) = {\int }_{0}^{t}\varphi \left( {t}^{\prime }\right) \mathrm{d}{t}^{\prime } - t{\int }_{0}^{1}\varphi \left( {t}^{\prime }\right) \mathrm{d}{t}^{\prime }
\]
属于 \( \mathcal{D} \) ,而且 \( {f}^{\prime }\left( t\right) = \varphi \left( t\right) - {\int }_{0}^{1}\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t\left( { = \varphi - \left( {\varphi ,1}\right) 1}\right) \) ,反之,对任何 \( f \in \mathcal{D} \) ,作 \( \varphi \left( t\right) = {f}^{\prime }\left( t\right) - {\int }_{0}^{1}{f}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t \) ,便知
\[
\left\{ {{f}^{\prime } \mid f \in \mathcal{D}}\right\} \equiv \left\{ {\varphi - {\int }_{0}^{1}\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t \cdot 1 \mid \varphi \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right\}
\]
这里 1 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中元. 于是
\[
{\left\{ {f}^{\prime } \mid f \in \mathcal{D}\right\} }^{ \bot } = \{ c \cdot 1\}
\]
因为 \( - \mathrm{i}g + {g}^{* * } \in {\left\{ {f}^{\prime } \mid f\mathcal{D}\right\} }^{ \bot } \) 故存在复数 \( c \) ,使得 \( - \mathrm{i}g + {g}^{* * } = c \) ,即
\[
g = - i{g}^{* * } + \mathrm{i}c = - \mathrm{i}{\int }_{0}^{t}{g}^{ * }\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau + \mathrm{i}c
\]
(6.9.6)
记
\[
{\mathcal{D}}^{ * } = \left\{ {\widetilde{g} \mid \widetilde{g} \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,\widetilde{g}}\right. \text{是}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \text{上全连续函数,而且}
\]
\[
\left. {{\widetilde{g}}^{\prime }\left( t\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right\}
\]
由 (6.9.6),可知 \( g \in {\mathcal{D}}^{ * } \) ,且 \( {g}^{ * } = \mathrm{i}{g}^{\prime } \) . 反过来,当 \( g \in {\mathcal{D}}^{ * },{g}^{ * } = \mathrm{i}{g}^{\prime } \) 时,用分部积分法可以说明 (6.9.4) 式成立. 因此, \( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) = {\mathcal{D}}^{ * } \) ,而且
\[
{T}^{ * }g = \mathrm{i}{g}^{\prime },\;\left( {g \in {\mathcal{D}}^{ * }}\right) .
\]
3. 对称算子与自共轭算子 在例 3 中, \( T \subset {T}^{ * } \) . 但因为 \( \mathcal{D} \neq {\mathcal{D}}^{ * } \) ,所以 \( T \neq {T}^{ * } \) . 我们引进下面的概念.
定义 6.9.3 \( H \) 中的稠定线性算子 \( T \) ,如果有 \( T \subset {T}^{ * } \) ,就称 \( T \) 是对称的 (或 Hermite 的),又如果成立 \( T = {T}^{ * } \) ,就称 \( T \) 是自共轭的或自伴的.
显然自共轭算子必是对称算子, 但对称算子不一定是自共轭的, 例如例 3 中的算子 \( T \) . 显然由于 \( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) = {\mathcal{D}}^{ * } \supset \mathcal{D} = \mathcal{D}\left( T\right) \) ,并且当 \( f \in \mathcal{D} \) 时, \( {Tf} = {T}^{ * }f = \) \( \mathrm{i}{f}^{\prime } \) ,所以 \( T \) 是对称算子. 但是, \( {\mathcal{D}}^{ * } \neq \mathcal{D} \) ,所以 \( T \) 并不是自共轭算子. 如果将 \( T = \mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \) 的定义域适当扩大,就成为自共轭算子了.
例 3 (续) 在例 3 中取
\[
{\mathcal{D}}^{\prime } = \left\{ {f \mid f\left( t\right) }\right. \text{在}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \text{上全连续,且}{f}^{\prime }\left( t\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \text{,}
\]
\[
f\left( 0\right) = f\left( 1\right) \}
\]
取 \( {T}^{\prime } : \left( {{T}^{\prime }f}\right) \left( t\right) = \mathrm{i}{f}^{\prime }\left( t\right), f \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) . 那么 \( {T}^{\prime } \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的自共轭算子.
事实上,首先容易直接验证 (更方便的是用下面引理 4 验证) \( {T}^{\prime } \) 是对称算子,因此 \( {T}^{\prime } \subset {T}^{\prime * } \) . 又由于例 3 中的 \( \mathcal{D} \subset {\mathcal{D}}^{\prime } \) ,因此 \( T \subset {T}^{\prime } \) ,由引理 2,就得到 \( {T}^{\prime * } \subset {T}^{ * } \) . 从而
\[
T \subset {T}^{\prime } \subset {T}^{\prime * } \subset {T}^{ * }
\]
因为
\[
\mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) = \left\{ {f \mid f\left( t\right) \text{ 是 }\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \text{ 上全连续,而且 }{f}^{\prime }\left( t\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\rig
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1238_[丘维声] 群表示论
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定义 1
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定义 1 环 \( A \) 的一个元素 \( e \) 称为幂等元,如果
\[
{e}^{2} = e \neq 0
\]
两个幂等元 \( {e}_{1},{e}_{2} \) 称为正交的,如果 \( {e}_{1}{e}_{2} = {e}_{2}{e}_{1} = 0 \) . 幂等元 \( e \) 称为本原的,如果它不能表示成 \( A \) 的两个正交幂等元的和.
定义 2 对于环 \( A \) ,令
\[
\mathrm{Z}\left( A\right) \mathrel{\text{:=}} \{ c \in A \mid {cx} = {xc},\forall x \in A\} ,
\]
则 \( \mathrm{Z}\left( A\right) \) 称为 \( A \) 的中心.
显然, \( \mathrm{Z}\left( A\right) \) 是 \( A \) 的一个子环,且它含有 \( A \) 的单位元 1 .
定义 3 设 \( e \) 是环 \( A \) 的一个幂等元,如果 \( e \in \mathrm{Z}\left( A\right) \) ,那么称 \( e \) 是中心幂等元; \( A \) 的中心幂等元 \( e \) 称为本原的,如果它不能表示成 \( A \) 的两个正交的中心幂等元的和.
类比线性空间的直和分解, 我们猜测有下述命题.
命题 1 设 \( A \) 是有单位元 \( 1\left( { \neq 0}\right) \) 的环. 如果 \( A \) 能分解成有限多个非零左理想 \( {V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{s} \) 的直和:
\[
A = {V}_{1} \oplus {V}_{2} \oplus \cdots \oplus {V}_{s}
\]
(1)
设 \( 1 = {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{s} \) ,其中 \( {e}_{i} \in {V}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, s}\right) \) ,那么 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{s} \) 是 \( A \) 的一组两两正交的幂等元,并且 \( {V}_{i} = A{e}_{i}, i = 1,2,\cdots, s \) . 反之,如果 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{m} \) 是 \( A \) 的一组两两正交的幂等元,记 \( e = {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{m} \) ,那么
\[
{Ae} = A{e}_{1} \oplus A{e}_{2} \oplus \cdots \oplus A{e}_{m},
\]
(2)
其中 \( {Ae}, A{e}_{1}, A{e}_{2},\cdots, A{e}_{m} \) 都是 \( A \) 的左理想.
证明 对于 \( i \in \{ 1,2,\cdots, s\} \) ,由已知条件得
\[
{e}_{i} = {e}_{i}1 = {e}_{i}{e}_{1} + \cdots + {e}_{i}{e}_{i - 1} + {e}_{i}^{2} + {e}_{i}{e}_{i + 1} + \cdots + {e}_{i}{e}_{s}.
\]
由于 \( {V}_{j} \) 是左理想,且 \( {e}_{j} \in {V}_{j} \) ,因此 \( {e}_{i}{e}_{j} \in {V}_{j}, j = 1,2,\cdots, s \) . 由于 (1) 式是 \( A \) 的直和分解式,因此 \( {e}_{i} \) 的表示法唯一. 由于又有
\[
{e}_{i} = 0 + \cdots + 0 + {e}_{i} + 0 + \cdots + 0,
\]
因此 \( {e}_{i}{e}_{j} = 0 \) ,当 \( j \neq i;{e}_{i}^{2} = {e}_{i} \) . 于是 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{s} \) 是 \( A \) 的一组两两正交的幂等元.
由于 \( {e}_{i} \in {V}_{i} \) ,且 \( {V}_{i} \) 是左理想,因此对于任意 \( a \in A \) ,有 \( a{e}_{i} \in {V}_{i} \) . 从而 \( A{e}_{i} \subseteq {V}_{i} \) .
任取 \( {a}_{i} \in {V}_{i} \) ,有
\[
{a}_{i} = {a}_{i}1 = {a}_{i}{e}_{1} + \cdots + {a}_{i}{e}_{i - 1} + {a}_{i}{e}_{i} + {a}_{i}{e}_{i + 1} + \cdots + {a}_{i}{e}_{s},
\]
\[
{a}_{i} = 0 + \cdots + 0 + {a}_{i} + 0 + \cdots + 0.
\]
由于 \( {a}_{i} \) 的表示法唯一,因此 \( {a}_{i} = {a}_{i}{e}_{i} \in A{e}_{i} \) . 从而 \( {V}_{i} \subseteq A{e}_{i} \) . 于是 \( {V}_{i} = A{e}_{i}, i = \) \( 1,2,\cdots, s \) .
反之,设 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{m} \) 是 \( A \) 的一组两两正交的幂等元,记 \( e = {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{m} \) . 显然 \( {Ae}, A{e}_{1},\cdots, A{e}_{m} \) 都是 \( A \) 的左理想,我们有
\[
{e}^{2} = {\left( {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{m}\right) }^{2} = {e}_{1}^{2} + {e}_{2}^{2} + \cdots + {e}_{m}^{2} = e,
\]
\[
e{e}_{i} = \left( {{e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{m}}\right) {e}_{i} = {e}_{i}^{2} = {e}_{i},
\]
\[
{e}_{i}e = {e}_{i}\left( {{e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{m}}\right) = {e}_{i}^{2} = {e}_{i}.
\]
任取 \( a \in A \) ,有
\[
{ae} = a{e}_{1} + a{e}_{2} + \cdots + a{e}_{m} \in A{e}_{1} + A{e}_{2} + \cdots + A{e}_{m},
\]
因此 \( {Ae} \subseteq A{e}_{1} + A{e}_{2} + \cdots + A{e}_{m} \) .
任取 \( {a}_{1}{e}_{1} + {a}_{2}{e}_{2} + \cdots + {a}_{m}{e}_{m} \in A{e}_{1} + A{e}_{2} + \cdots + A{e}_{m} \) ,有
\[
{a}_{1}{e}_{1} + {a}_{2}{e}_{2} + \cdots + {a}_{m}{e}_{m} = {a}_{1}{e}_{1}e + {a}_{2}{e}_{2}e + \cdots + {a}_{m}{e}_{m}e
\]
\[
= \left( {{a}_{1}{e}_{1} + {a}_{2}{e}_{2} + \cdots + {a}_{m}{e}_{m}}\right) e \in {Ae},
\]
因此 \( A{e}_{1} + A{e}_{2} + \cdots + A{e}_{m} \subseteq {Ae} \) . 从而 \( {Ae} = A{e}_{1} + A{e}_{2} + \cdots + A{e}_{m} \) .
任取 \( {ae} \in {Ae} \) ,则 \( {ae} = a{e}_{1} + a{e}_{2} + \cdots + a{e}_{m} \) . 假如还有 \( {ae} = {b}_{1}{e}_{1} + {b}_{2}{e}_{2} + \cdots + {b}_{m}{e}_{m} \) . 在此式两边右乘 \( {e}_{j} \) 和
\[
a{e}_{j} = {b}_{j}{e}_{j},\;j = 1,2,\cdots, m,
\]
因此 \( {ae} \) 的表示法唯一. 从而 \( {Ae} = A{e}_{1} \oplus A{e}_{2} \oplus \cdots \oplus A{e}_{m} \) .
在命题 1 的后半部分中,如果 \( 1 = {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{m} \) ,那么 \( A = A{e}_{1} \oplus A{e}_{2} \oplus \cdots \oplus A{e}_{m} \) .
(2) 式中环 \( A \) 的左理想 \( A{e}_{i} \) 能不能进一步分解成 \( A \) 的两个非零左理想的直和? 为了表述简洁, 我们引进下述概念.
定义 4 环 \( A \) 的左理想 \( I \) 如果能表示成 \( A \) 的两个非零左理想的直和,那么称 \( I \) 是可分解的; 否则称 \( I \) 是不可分解的.
推论 1 设 \( e \) 是环 \( A \) 的幂等元且 \( e \neq 1 \) ,则 \( A \) 的左理想 \( {Ae} \) 是不可分解的当且仅当 \( e \) 是本原的.
证明 必要性. 设 \( {Ae} \) 不可分解. 假如 \( e \) 不是本原的,则存在正交的幂等元 \( {e}_{1},{e}_{2} \) ,使得 \( e = {e}_{1} + {e}_{2} \) . 根据命题 1 的后半部分得, \( {Ae} = A{e}_{1} \oplus A{e}_{2} \) . 矛盾. 因此 \( e \) 是本原的.
充分性. 设 \( e \) 是本原的幂等元. 假如 \( {Ae} \) 可分解,设 \( {Ae} = {V}_{1} \oplus {V}_{2} \) ,其中 \( {V}_{1},{V}_{2} \) 都是 \( A \) 的非零左理想. 再设
\[
e = {e}_{1} + {e}_{2}\;{e}_{1} \in {V}_{1},\;{e}_{2} \in {V}_{2}
\]
若能证 \( {e}_{1} \) 与 \( {e}_{2} \) 是正交的幂等元,则与 \( e \) 是本原的矛盾. 为此需要把 \( A \) 作直和分解.
由于 \( {\left( 1 - e\right) }^{2} = 1 - {2e} + {e}^{2} = 1 - e \) ,且 \( \left( {1 - e}\right) e = e - {e}^{2} = 0, e\left( {1 - e}\right) = 0 \) ,因此 \( 1 - e, e \) 是正交的幂等元,且 \( \left( {1 - e}\right) + e = 1 \) . 根据命题 1 的后半部分得,
\[
A = A\left( {1 - e}\right) \oplus {Ae} = A\left( {1 - e}\right) \oplus {V}_{1} \oplus {V}_{2}.
\]
由于 \( 1 = \left( {1 - e}\right) + {e}_{1} + {e}_{2} \) ,且 \( {e}_{1} \in {V}_{1},{e}_{2} \in {V}_{2} \) ,因此根据命题 1 的前半部分得, \( 1 - e,{e}_{1},{e}_{2} \) 是两两正交的幂等元. 矛盾. 因此 \( {Ae} \) 不可分解.
命题 1 和推论 1 合在一起表明: 环 \( A \) 分解成不可分解的非零左理想的直和等价于 \( A \) 的单位元分解成两两正交的本原幂等元之和.
下面来探讨环 \( A \) 到它的非零双边理想的直和分解问题,关于环分解成它的双边理想的直和的概念可参看 [24] 第 128 页定理 4.
命题 2 如果环 \( A \) 能分解成有限多个非零双边理想 \( {I}_{1},{I}_{2},\cdots ,{I}_{n} \) 的直和,即
\[
A = {I}_{1} \oplus {I}_{2} \oplus \cdots \oplus {I}_{n}
\]
(3)
设 \( 1 = {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{n} \) ,其中 \( {e}_{j} \in {I}_{j}\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,那么 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n} \) 是 \( A \) 的一组两两正交的中心幂等元,并且 \( {I}_{j} = A{e}_{j},{e}_{j} \) 是环 \( A{e}_{j} \) 的单位元, \( j = 1,2,\cdots, n \) . 反之,如果 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{m} \) 是 \( A \) 的一组两两正交的中心幂等元,记 \( e = {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{m} \) , 那么
\[
{Ae} = A{e}_{1} \oplus A{e}_{2} \oplus \cdots \oplus A{e}_{m},
\]
(4)
其中 \( A{e}_{j} = {e}_{j}A \) 是 \( A \) 的双边理想, \( j = 1,2,\cdots, n \) .
证明 双边理想 \( {I}_{j} \) 当然也是左理想,于是根据命题 1 的前半部分得, \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots \) , \( {e}_{n} \) 是 \( A \) 的一组两两正交的幂等元,并且 \( {I}_{j} = A{e}_{j}, j = 1,2,\cdots, n \) . 任取 \( a \in A \) ,我们有 \( {a1} = {1a} \) ,从而得
\[
a{e}_{1} + a{e}_{2} + \cdots + a{e}_{n} = {e}_{1}a + {e}_{2}a + \cdots + {e}_{n}a.
\]
(5)
由于 \( {I}_{j} \) 是双边理想,且 \( {e}_{j} \in {I}_{j} \) ,因此 \( a{e}_{j} \in {I}_{j} \) 且 \( {e}_{j}a \in {I}_{j} \) . 于是从 (3) 式和 (5) 式得, \( a{e}_{j} = {e}_{j}a \) . 这说明 \( {e}_{j} \in \mathrm{Z}\left( A\right), j = 1,2,\cdots, n \) . 对于 \( A{e}_{j} \) 中任一元素 \( x{e}_{j} \) ,其中 \( x \in A \) , 有
\[
{e}_{j}\left( {x{e}_{j}}\right) = \left( {x{e}_{j}}\right) {e}_{j} = x{e}_{j}^{2} = x{e}_{j},
\]
因此 \( {e}_{j} \) 是环 \( A{e}_{j} \) 的单位元, \( j = 1,2,\cdots, n \) .
反之, 根据命题 1 的后半部分得
\[
{Ae} = A{e}_{1} \oplus A{e}_{2} \oplus \cdots \oplus A{e}_{n}.
\]
由于 \( {e}_{j} \in \mathrm{Z}\left( A\right) \) ,因此 \( A{e}_{j} = {e}_{j}A \) . 从而 \( A{e}_{j} \) 是 \( A \) 的双边理想.
定义 5 环 \( A \) 的一个非零双边理想 \( I \) 如果可以表示成 \( A \) 的两个非零双边理想的直和,那么称 \( I \) 为可分解的,否则称 \( I \) 是不可分解的.
推论 2 设 \( e \) 是环 \( A \) 的中心幂等元且 \( e \neq 1 \) ,则非零双边理想 \( {Ae} \) 是不可分解的当且仅当 \( e \) 是本原的.
证明 必要性. 设 \( {Ae} \) 不可分解. 假如 \( e \) 不是本原的. 则存在两个正交的中心幂等元 \( {e}_{1},{e}_{2} \) ,使得 \( e = {e}_{1} + {e}_{2} \) ,根据命题 2 的后半部分得, \( {Ae} = A{e}_{1} \oplus A{e}_{2} \) ,其中 \( A{e}_{j} \) 是 \( A \) 的非零双边理想, \( j = 1,2 \) . 矛盾. 因此 \( e \) 是本原的.
充分性. 设 \( e \) 是本原的中心幂等元. 显然 \( 1 - e \) 也是中心幂等元且与 \( e \) 正交. 根据命题 2 的后半部分得
\[
A = A\left( {1 - e + e}\right) = A\left( {1 - e}\right) \oplus {Ae}.
\]
假如 \( {Ae} \) 能表示成 \( A \) 的两个非零双边理想 \( {I}_{1} \) 与 \( {I}_{2} \) 的直和,则 \( e = {e}_{1} + {e}_{2} \) ,其中 \( {e}_{1} \in {I}_{1},{e}_{2} \in {I}_{2} \) . 于是
\[
A = A\left( {1 - e}\right) \oplus {I}_{1} \oplus {I}_{2}
\]
且 \( 1 = \left( {1 - e}\right) + {e}_{1} + {e}_{2} \) ,根据命题 2 的前半部分得, \( {e}_{1} \) 与 \( {e}_{2} \) 是正交的中心幂等元. 这与 \( e \) 是本原的中心幂等元矛盾. 因此 \( {Ae} \) 是不可分解的.
命题 2 与推论 2 合在一起说明: 环 \( A \) 分解成不可分解的非零双边理想的直和等价于 \( A \) 的单位元分解成两两正交的本原中心幂等元之和.
本原的中心幂等元有下述性质.
命题 3 环 \( A \) 的两个本原的中心幂等元或者相等,或者正交.
证明 设 \( {e}_{1},{e}_{2} \) 是环 \( A \) 的两个本原的中心幂等元,则
\[
{e}_{1} = {e}_{1}\left( {{e}_{2} + 1 - {e}_{2}}\right) = {e}_{1}{e}_{2} + {e}_{1}\left( {1 - {e}_{2}}\right)
\]
\[
{\left( {e}_{1}{e}_{2}\right) }^{2} = {e}_{1}{e}_{2},\;{\left\lbrack {e}_{1}\left( 1 - {e}_{2}\right) \right\rbrack }^{2} = {e}_{1}\left( {1 - {e}_{2}}\right) ,
\]
\[
\left( {{e}_{1}{e}_{2}}\right) \left\lbrack {{e}_{1}\left( {1 - {e}_{2}}\right) }\right\rbrack = {e}_{1}^{2}{e}_{2}\left( {1 - {e}_{2}}\right) = {e}_{1}\left( {{e}_{2} - {e}_{2}^{2}}\right) = 0.
\]
\[
{e}_{1}{e}_{2} \in \mathrm{Z}\left( A\right) ,\;{e}_{1}\left( {1 - {e}_{2}}\right) \in \mathrm{Z}\left( A\right) .
\]
假如 \( {e}_{1}{e}_{2} \neq 0 \) 且 \( {e}_{1}\left( {1 - {e}_{2}}\right) \neq 0 \) ,则 \( {e}_{1} \) 表示成了 \( A \) 的两个正交的中心幂等元 \( {e}_{1}{e}_{2} \) 与 \( {e}_{1}\left( {1 - {e}_{2}}\right) \) 的和. 这与 \( {e}_{1} \) 是本原的矛盾. 因此 \( {e}_{1}{e}_{2} = 0 \) 或 \( {e}_{1}\left( {1 - {e}_{2}}\right) = 0 \) (即 \( \left. {{e}_{1} = {e}_{1}{e}_{2}}\right) \) . 同理可证 \( {e}_{2}{e}_{1} = 0 \) 或 \( {e}_{2}\left( {1 - {e}_{1}}\right) = 0 \) (即 \( {e}_{2} = {e}_{2}{e}_{1} \) ). 因此 \( {e}_{1} \) 与 \( {e}_{2} \) 正交, 或者 \( {e}_{1} = {e}_{1}{e}_{2} = {e}_{2}{e}_{1} = {e}_{2} \) .
推论 3 如果环 \( A \) 的单位元 1 能够表示成两两不等的本原中心幂等元 \( {e}_{1} \) , \( {e}_{2},\cdots ,{e}_{n} \) 的和,那么 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n} \) 是 \( A \) 的全部本原中心幂等元.
证明 由已知条件得, \( 1 = {e}_{1} + {e}_{2} + \cdots ,{e}_{n} \) . 假如 \( A \) 有一个本原中心幂等元 \( f \notin \left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\} \) ,则根据命题 3 得, \( f{e}_{j} = 0, j = 1,2,\cdots, n \) . 于是
\[
f = {f1} = f{e}_{1} + f{e}_{2} + \cdots + f{e}_{n} = 0,
\]
矛盾. 因此 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n} \) 是 \( A \) 的全部本原中心幂等元.
## 2.2 有限维半单代数的不可约左模
我们已经知道,当域 \( K \) 的特征不能整除有限群 \( G \) 的阶时,群代数 \( K\left\lbrack G\right\rbrack
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1252_[包志强] 点集拓扑与代数拓扑引论
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定义 4.7.2
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定义 4.7.2 设 \( C \) 是一个集合,称形式表达式 \( w = {c}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{k}^{{\varepsilon }_{k}} \) (其中 \( \left. {{c}_{i} \in C,{\varepsilon }_{i} = \pm 1}\right) \) 为一个以 \( C \) 为字符集的 字 (word),称 \( k \) 为其 字长 (word length). 特别地, 我们规定: 存在唯一字长为零的字, 称为 空字 (empty word). 如果 \( w \) 中不含任何 \( c{c}^{-1} \) 或 \( {c}^{-1}c\left( {c \in C}\right) \) 形式的片段, 则称 \( w \) 为一个 约化字 (reduced word).
显然字长为 0 或 1 的字都是约化字. 一个字 \( w \) 中如果含有一个 \( {c}_{i}{c}_{i}^{-1} \) 或 \( {c}_{i}^{-1}{c}_{i} \) 形式的片段,则可以去掉它并得到一个新的字 \( {w}^{\prime } \) . 这一操作称为 约化 (reduction). 每个字 \( w \) 都可以经过有限次约化得到一个约化字. 虽然约化的过程 (顺序) 可以有很多种不同的选择, 但是最后得到的约化字是由 \( w \) 唯一决定的.
定义 4.7.3 所有以 \( C \) 为字符集的约化字构成一个群 \( F\left( C\right) \) ,称为 \( C \) 生成 (generate) 的 自由群 (free group),这里群的幺元为空字,约化字 \( u = {a}_{1}^{{\lambda }_{1}}\cdots {a}_{i}^{{\lambda }_{i}} \) 和 \( v = {b}_{1}^{{\mu }_{1}}\cdots {b}_{j}^{{\mu }_{j}} \) 的乘积为字 \( {a}_{1}^{{\lambda }_{1}}\cdots {a}_{i}^{{\lambda }_{i}}{b}_{1}^{{\mu }_{1}}\cdots {b}_{j}^{{\mu }_{j}} \) 对应的约化字,约化字 \( w = {c}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{k}^{{\varepsilon }_{k}} \) 的逆元为 \( {w}^{-1} = {c}_{k}^{-{\varepsilon }_{k}}\cdots {c}_{1}^{-{\varepsilon }_{1}} \) . 如果 \( C \) 是 \( n \) 元有限集,则称 \( F\left( C\right) \) 为一个 有限生成自由群 (finitely generated free group),并称 \( n \) 为其 秩 (rank),记为 \( \operatorname{rank}F\left( C\right) \) .
特别地,当 \( C = \varnothing \) 时 \( F\left( C\right) \) 只含一个空字,是平凡群; 而当 \( C \) 只含一个元素时, \( F\left( C\right) \) 同构于自由循环群 \( \mathbb{Z} \) .
命题 4.7.1 若群 \( G \) 由子集 \( C \) 生成,则存在唯一同态
\[
\xi : F\left( C\right) \rightarrow G
\]
使得任取 \( a \in C,\xi \) 把 \( a \) (作为 \( F\left( C\right) \) 中字长为 1 的约化字) 映到 \( a \) (作为 \( G \) 中的元素).
现在设 \( G \) 是一个由 \( C \) 生成的群, \( \xi : F\left( C\right) \rightarrow G \) 是相应的同态. 则 \( \xi \) 是满同态, \( \operatorname{Ker}\xi \) 是 \( G \) 的正规子群,并且群的第一同构定理指出:
\[
G \cong F\left( C\right) /\operatorname{Ker}\xi
\]
定义 4.7.4 Ker \( \xi \) 中的元素称为 \( G \) 的 关系 (relator). 如果 \( R \subseteq F\left( C\right) \) 的元素都是 \( G \) 的关系,并且 \( F\left( C\right) \) 的包含 \( R \) 的最小正规子群就是 Ker \( \xi \) ,则称 \( R \) 为 \( G \) 的 生成关系组 (generating relators),并称表达式 \( \langle C \mid R\rangle \) 为 \( G \) 的一个 表出 (presentation). 我们也把商群 \( F\left( C\right) /\operatorname{Ker}\xi \) 记为 \( \langle C \mid R\rangle \) . 特别地,如果 \( C = \left\{ {{c}_{1},\cdots ,{c}_{m}}\right\} \) 和 \( R = \left\{ {{r}_{1},\cdots ,{r}_{n}}\right\} \) 都是有限集,则将该表出记为
\[
\left\langle {{c}_{1},\cdots ,{c}_{m} \mid {r}_{1},\cdots ,{r}_{n}}\right\rangle ,
\]
并称 \( G \) 为 有限表出群 (finitely presented group).
对于一个约化字 \( r = {c}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{k}^{{\varepsilon }_{k}},\xi \left( r\right) = 1 \) 的意思就是说,在 \( G \) 中等式 \( {c}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{k}^{{\varepsilon }_{k}} = 1 \) 成立. 这正是 “关系” 这个名称的由来. 而所谓的生成关系组, 就是要在一堆这样的等式中挑出一些比较重要的, 从它们可以推导出所有其他的等式.
命题 4.7.2 设 \( R \subseteq G,\left\lbrack R\right\rbrack \) 是由所有形如 \( {x}_{1}{r}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}{x}_{1}^{-1}\cdots {x}_{n}{r}_{n}^{{\varepsilon }_{n}}{x}_{n}^{-1} \) 的元素 (其中 \( {x}_{i} \in G,{r}_{i} \in R,{\epsilon }_{i} = \pm 1 \) ) 构成的集合,则 \( \left\lbrack R\right\rbrack \) 是包含 \( R \) 的最小正规子群.
证明 显然 \( \left\lbrack R\right\rbrack \) 对乘法封闭,并且
\[
y\left( {{x}_{1}{r}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}{x}_{1}^{-1}{x}_{2}{r}_{2}^{{\varepsilon }_{2}}{x}_{2}^{-1}\cdots {x}_{n}{r}_{n}^{{\varepsilon }_{n}}{x}_{n}^{-1}}\right)
\]
\[
= \left( {\left( {y{x}_{1}{r}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}{x}_{1}^{-1}{y}^{-1}}\right) \left( {y{x}_{2}{r}_{2}^{{\varepsilon }_{2}}{x}_{2}^{-1}{y}^{-1}}\right) \cdots \left( {y{x}_{n}{r}_{n}^{{\varepsilon }_{n}}{x}_{n}^{-1}{y}^{-1}}\right) }\right) y,
\]
即 \( y\left\lbrack R\right\rbrack \subseteq \left\lbrack R\right\rbrack y \) . 同理可知 \( \left\lbrack R\right\rbrack y \subseteq y\left\lbrack R\right\rbrack \) . 因此 \( \left\lbrack R\right\rbrack \) 是个正规子群.
设 \( N \) 是一个含 \( R \) 的正规子群,则任取 \( r \in R \subseteq N \) 及 \( x \in G \) ,存在 \( s \in N \) ,使得 \( {xr} = {sx} \) ,即 \( {xr}{x}^{-1} \in N \) . 结合子群对乘法以及求逆运算的封闭性要求便可知,每个形如 \( {x}_{1}{r}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}{x}_{1}^{-1}\cdots {x}_{n}{r}_{n}^{{\varepsilon }_{n}}{x}_{n}^{-1} \) 的元素都在 \( N \) 中. 因此, \( \left\lbrack R\right\rbrack \) 是含 \( R \) 的最小正规子群.
例 3 字符集 \( C \) 生成的自由群 \( F\left( C\right) \) 具有表出 \( \langle C \mid \varnothing \rangle \) .
例 4 有限循环群 \( {\mathbb{Z}}_{n} \) 可以由 \( \{ 1\} \) 生成. 注意,这里的 \( 1 \in {\mathbb{Z}}_{n} \) 并不是群的幺元,为了避免误导思路,我们暂时换个记号,用 \( c \) 来代表它, 并且按照通常群中乘法的记号习惯,用 \( {c}^{k} \) 来代表 \( k \in {\mathbb{Z}}_{n} \) . 于是有一个满同态 \( \xi : F\left( {\{ c\} }\right) \rightarrow {\mathbb{Z}}_{n} \) ,把 \( c \) 变到 \( c \) ,而
\[
\operatorname{Ker}\xi = \left\{ {{c}^{nk} \mid k \in \mathbb{Z}}\right\}
\]
注意到 \( \operatorname{Ker}\xi = \left\lbrack \left\{ {c}^{n}\right\} \right\rbrack \) ,因此 \( \left. { < c}\right| \;{c}^{n} > \) 就是 \( {\mathbb{Z}}_{n} \) 的一个表出.
假设有两个群 \( {G}_{1},{G}_{2} \) ,每个 \( {G}_{i} \) 具有表出 \( \left\langle {{C}_{i} \mid {R}_{i}}\right\rangle \) . 取 \( {C}_{1} \) 和 \( {C}_{2} \) 的相交为空集的拷贝 \( {C}_{1}^{\prime },{C}_{2}^{\prime } \) ,自然有同态 \( {\eta }_{i} : F\left( {C}_{i}\right) \rightarrow F\left( {{C}_{1}^{\prime } \cup {C}_{2}^{\prime }}\right) \) ,把每个字中的字符都替换成其拷贝. 设 \( {R}_{i}^{\prime } = {\eta }_{i}\left( {R}_{i}\right) \) .
定义 4.7.5 群 \( < {C}_{1}^{\prime } \cup {C}_{2}^{\prime } \mid {R}_{1}^{\prime } \cup {R}_{2}^{\prime } > \) 称为群 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的 自由积 (free product),记为 \( {G}_{1} * {G}_{2} \) .
简单地讲,群 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的自由积就是由所有无法进一步化简的形如 \( {w}_{1}\cdots {w}_{n} \) (其中每个 \( {w}_{i} \) 是 \( {G}_{1} \) 或者 \( {G}_{2} \) 中的元素) 的形式表达式构成的群. 在范畴那一节中我们还提到过, 自由积的同构类型可以不依赖于群的表出更抽象地刻画: 任取群 \( H \) 以及两个同态 \( {\phi }_{1} : {G}_{1} \rightarrow H \) , \( {\phi }_{2} : {G}_{2} \rightarrow H \) ,存在唯一同态 \( h : {G}_{1} * {G}_{2} \rightarrow H \) ,使得下述交换图表成立:
如果一个群 \( G \) 是交换群,则任取 \( a, b \in G,{ab} = {ba} \) ,等号两边同时右乘 \( {a}^{-1}{b}^{-1} \) 可得 \( {ab}{a}^{-1}{b}^{-1} = 1 \) ,即 \( {ab}{a}^{-1}{b}^{-1} \) 是个关系.
现在假设群 \( G \) 具有表出 \( \langle C \mid R\rangle \) ,但不是一个交换群,则也可以通过补充此类关系, 把它变成一个交换群:
定义 4.7.6 群 \( < C \mid R \cup \left\{ {{ab}{a}^{-1}{b}^{-1} \mid a, b \in C}\right\} > \) 称为群 \( G \) 的 交换化 (abelianization).
任取 \( a, b \in G,\left\lbrack {a, b}\right\rbrack = {ab}{a}^{-1}{b}^{-1} \) 称为 \( G \) 的一个 换位子 (commutator). \( G \) 的包含所有换位子的最小正规子群 \( \left\lbrack {G, G}\right\rbrack \) 称为 \( G \) 的 换位子群 (commutator). \( G \) 的交换化实际上就是商群 \( G/\left\lbrack {G, G}\right\rbrack \) .
值得注意的是, 同一个群可以有很多种不同的表出, 想要通过观察群的表出来证明两个群不同构, 在大多数情况下是一个不可能完成的任务. 此时交换化是一个可以利用的技巧.
大家是否还记得我们前面讲过, 代数学家通常在定义群的运算时, 把不满足交换律的运算称为乘法, 而把满足交换律的运算称为加法. 这样做是有好处的. 设 \( G = < {c}_{1},\cdots ,{c}_{n} \mid {r}_{1},\cdots ,{r}_{m} > \) 是一个有限表出群,我们可以把 \( G \) 的交换化中的群运算改写成加法,于是每个元素 \( g = {c}_{{i}_{1}}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{{i}_{k}}^{{\varepsilon }_{k}} \) 在交换化中对应的元素 \( \langle g\rangle \) 就可以被改写成 \( {\varepsilon }_{1}\left\langle {c}_{{i}_{1}}\right\rangle + \cdots + {\varepsilon }_{k}\left\langle {c}_{{i}_{k}}\right\rangle \) 的样子,然后可以合并各项系数,把它理解成一个整系数的形式线性组合
\[
\rho \left( g\right) = {g}_{1}\left\langle {c}_{1}\right\rangle + \cdots + {g}_{n}\left\langle {c}_{n}\right\rangle
\]
特别地,每个生成关系 \( {r}_{i} \) 对应一个向量 \( \rho \left( {r}_{i}\right) = {a}_{i1}\left\langle {c}_{1}\right\rangle + \cdots + \) \( {a}_{in}\left\langle {c}_{n}\right\rangle \) . 于是,整系数矩阵
\[
A = \left( \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ {a}_{m1} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix}\right)
\]
就完全决定了交换化的同构类,我们称 \( A \) 为该表出的 交换化系数矩阵 (coefficient matrix of abelianized relations). 在抽象代数中可以证明, 当 \( G \) 和 \( H \) 的交换化系数矩阵之间只差一系列整系数初等变换时,它们的交换化一定同构. 所谓的 整系数初等变换 (elementary matrix operation with integer coefficients) 包括:
(1) 把一行 (或列) 乘以整数倍, 然后加到另一行 (或列);
(2) 把一行 (或列) 自乘 -1 ;
(3) 交换两行 (或列).
因此, 我们只要会把交换化系数矩阵化标准型, 就可以化简一个有限表出群的交换化的表达方式, 进而判断它的同构类型.
例 5 群 \( G = < a, b \mid {a}^{2},{b}^{3} > \) 的交换化系数矩阵是 \( \operatorname{diag}\left( {2,3}\right) \) (这里 diag 表示对角矩阵), 可以作如下的整系数初等变换:
\[
\left( \begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 3 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{matrix} 0 & - 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right)
\]
\[
\rightarrow \left( \begin{array}{ll} 0 & 6 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 0 & 6 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right)
\]
而 \( \operatorname{diag}\left( {1,6}\right) \) 是群 \( H = < a, b \mid a,{b}^{6} > \) 的交换化系数矩阵,因此 \( G \) 的交换化 \( {\mathbb{Z}}_{2} \oplus {\mathbb{Z}}_{3} \) 同构于 \( H \) 的交换化 \( {\mathbb{Z}}_{6} \) .
对于上例中的记号 \( {\mathbb{Z}}_{2} \oplus {\mathbb{Z}}_{3} \) ,我们要稍微多解释几句.
定义 4.7.7 设 \( {G}_{1},{G}_{2} \) 都是交换群 \( G \) 的子群,并且任取 \( g \in G \) , 存在唯一一对 \( \left( {{g}_{1},{g}_{2}}\right) \in {G}_{1} \times {G}_{2} \) ,使得 \( g = {g}_{1} + {g}_{2} \) ,则称 \( G \) 为 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的 直和 (direct sum),记为 \( G = {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) . 如果 \( {H}_{1},{H}_{2} \) 是两个交换群,并且有同构 \( {G}_{1} \cong {H}_{1},{G}_{2} \cong {H}_{2} \) . 则称 \( G \) 为 \( {H}_{1} \) 和 \( {H}_{2} \) 的 外直和 (external direct sum),在不引起混淆的情况下也记成 \( G = {H}_{1} \oplus {H}_{2} \) .
有限生成交换群基本定理 (fundamental theorem of finitely generated abelian group) 任何一个有限生成交换群 \( G \) 一定具有一个如下形式的 (外) 直和分解:
\[
G = \underset{r}{\underbrace{\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}} \oplus {\mathbb{Z}}_{{t}_{1}} \oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{{t}_{k}}
\]
其中每个 \( {t}_{j} > 1 \) ,并且 \( {t}_{j} \) 整除 \( {t}_{j + 1} \) (可以相等). 这些 \( {t}_{j} \) 称为 \( G \) 的 挠系数 (torsion coefficient),而 \( r \) 称为 \( G \) 的 秩 (rank). 两个有限生成交换群同构当且仅当它们的秩以及挠系数 (计重数) 全部相同.
这个定理的证明比较复杂, 我们就不详细叙述了. 注意, 挠系数要求每个 \( {t}_{j} \) 整除 \( {t}_{j + 1} \) ,因此上例中的 \( {\mathbb{Z}}_{2} \oplus {\mathbb{Z}}_{3} \cong {\mathbb{Z}}_{6} \) 的挠系数就是 6,而不是 2 和 3 .
最后让我们来讨论一下群的表出是如何随同构变化的, 并定义一些临时性的记号. 在下一节的讨论中,我们会用到这些记号. 设 \( \phi : G \rightarrow H \) 是同构,并设 \( G \) 具有表出 \( \langle C
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1274_[屈婉玲&耿素云&张立昂] 离散数学
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定义 9.4
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定义 9.4 设。为 \( S \) 上的二元运算,如果对于任意的 \( x, y, z \in S \) 都有
\[
\left( {x \circ y}\right) \circ z = x \circ \left( {y \circ z}\right)
\]
则称运算。在 \( S \) 上是可结合的,或者说运算。在 \( S \) 上适合结合律.
普通的加法和乘法在自然数集 \( \mathbf{N} \) 、整数集 \( \mathbf{Z} \) 、有理数集 \( \mathbf{Q} \) 、实数集 \( \mathbf{R} \) 和复数集 \( \mathbf{C} \) 上都是可结合的. 矩阵的加法和乘法是可结合的,集合的 \( \cup , \cap \) 和 \( \oplus \) 运算是可结合的,还有函数的复合运算是可结合的.
对于适合结合律的二元运算, 在一个只由该运算的算符连接起来的表达式中, 可以把所有表示运算顺序的括号去掉. 例如,加法在实数集上是可结合的,对于任意实数 \( x, y, z \) 和 \( u \) ,可以写
\[
\left( {x + y}\right) + \left( {z + u}\right) = x + y + z + u
\]
定义 9.5 设。为 \( S \) 上的二元运算,如果对于任意的 \( x \in S \) 都有
\[
x \circ x = x
\]
则称该运算。适合幂等律.
如果 \( S \) 中的某些 \( x \) 满足 \( x \circ x = x \) ,则称 \( x \) 为运算 \( \circ \) 的 \( \mathbb{R} \) 等元. 易见如果 \( S \) 上的二元运算 \( \circ \) 适合幂等律,则 \( S \) 中的所有元素都是幂等元.
对于任何集合 \( A \) ,有 \( A \cup A = A \) 和 \( A \cap A = A \) ,集合的并和交运算适合幂等律, \( \oplus \) 运算和-运算一般不适合幂等律,但 \( \varnothing \) 是幂等元. 普通数的加法和乘法不适合幂等律,但 0 是加法的幂等元,0 和 1 是乘法的幂等元.
以上性质都是对一个二元运算来说的. 下面的分配律和吸收律是对两个二元运算来说的.
定义 9.6 设。和 \( * \) 是 \( S \) 上的两个二元运算,如果对任意的 \( x, y, z \in S \) 有
\[
x * \left( {y \circ z}\right) = \left( {x * y}\right) \circ \left( {x * z}\right)
\]
(左分配律)
\[
\left( {y \circ z}\right) * x = \left( {y * x}\right) \circ \left( {z * x}\right)
\]
(右分配律)
则称运算 * 对。是可分配的, 或者说 * 对。适合分配律.
实数集 \( \mathbf{R} \) 上的乘法对加法是可分配的,在 \( n \) 阶 \( \left( {n \geq 2}\right) \) 实矩阵的集合 \( {M}_{n}\left( \mathbf{R}\right) \) 上,矩阵乘法对于矩阵加法也是可分配的,而在幂集 \( P\left( S\right) \) 上 \( \cup \) 和 \( \cap \) 是互相可分配的.
在讲到分配律时应该指明哪个运算对哪个运算可分配, 不要笼统地讲它们适合分配律. 因为往往是一个运算对另一个运算可分配, 但反之不对. 例如, 普通乘法对加法可分配, 但普通加法对乘法不是可分配的.
使用归纳法不难证明,若 \( * \) 对。运算分配律成立,则 \( * \) 对。运算广义分配律也成立,即 \( \forall x,{y}_{1} \) ,
\( {y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \in S \) 有
\[
x * \left( {{y}_{1} \circ {y}_{2} \circ \cdots \circ {y}_{n}}\right) = \left( {x * {y}_{1}}\right) \circ \left( {x * {y}_{2}}\right) \circ \cdots \circ \left( {x * {y}_{n}}\right)
\]
\[
\left( {{y}_{1} \circ {y}_{2} \circ \cdots \circ {y}_{n}}\right) * x = \left( {{y}_{1} * x}\right) \circ \left( {{y}_{2} * x}\right) \circ \cdots \circ \left( {{y}_{n} * x}\right)
\]
成立.
定义 9.7 设。和 * 是 \( S \) 上两个可交换的二元运算,如果对于任意的 \( x, y \) 都有
\[
x * \left( {x \circ y}\right) = x
\]
\[
x \circ \left( {x * y}\right) = x
\]
则称。和 * 满足吸收律.
例如,幂集 \( P\left( S\right) \) 上的 \( \cup \) 和 \( \cap \) 运算满足吸收律. 即 \( \forall A, B \in P\left( S\right) \) 有
\[
A \cup \left( {A \cap B}\right) = A
\]
\[
A \cap \left( {A \cup B}\right) = A
\]
下面讨论有关二元运算的一些特异元素.
定义 9.8 设。为 \( S \) 上的二元运算,如果存在 \( {e}_{l} \) (或 \( {e}_{r} \) ),使得对任何 \( x \in S \) 都有
\[
{e}_{l} \circ x = x\;\left( {\text{ 或 }x \circ {e}_{r} = x}\right)
\]
则称 \( {e}_{l} \) (或 \( {e}_{r} \) ) 是 \( S \) 中关于 \( \circ \) 运算的一个左单位元 (或右单位元). 若 \( e \) 关于 \( \circ \) 运算既是左单位元又是右单位元,则称 \( e \) 为 \( S \) 上关于 \( \circ \) 运算的单位元. 单位元也可以称作幺元.
在自然数集 \( \mathbf{N} \) 上,0 是加法的单位元,1 是乘法的单位元. 在 \( {M}_{n}\left( \mathbf{R}\right) \left( {n \geq 2}\right) \) 上全 0 的 \( n \) 阶矩阵是矩阵加法的单位元,而 \( n \) 阶单位矩阵是矩阵乘法的单位元. 在幂集 \( P\left( S\right) \) 上, \( \varnothing \) 是 \( \cup \) 运算的单位元, \( S \) 是 \( \cap \) 运算的单位元. \( \varnothing \) 也是对称差运算 \( \oplus \) 的单位元,相对补运算没有单位元. 在 \( {A}^{A} \) 上,恒等函数 \( {I}_{A} \) 是关于函数复合运算的单位元.
考虑非零实数的集合 \( {\mathbf{R}}^{ * } \) ,定义的二元运算。如下:
\[
\forall a, b \in {\mathbf{R}}^{ * }, a \circ b = a
\]
则不存在 \( e \in {\mathbf{R}}^{ * } \) 使得 \( \forall b \in {\mathbf{R}}^{ * } \) 有 \( e \circ b = b \) . 所以 \( \circ \) 运算没有左单位元. 但对每一个 \( a \in {\mathbf{R}}^{ * } \) ,对任意 \( b \in {\mathbf{R}}^{ * } \) 都有 \( b \circ a = b \) ,所以 \( {\mathbf{R}}^{ * } \) 中的每一个元素 \( a \) 都是 0 运算的右单位元. \( {\mathbf{R}}^{ * } \) 中有无数多个右单位元,但任何右单位元都不是左单位元, \( {\mathbf{R}}^{ * } \) 中没有关于 \( \circ \) 运算的单位元.
定理 9.1 设 \( \circ \) 为 \( S \) 上的二元运算, \( {e}_{l} \) 和 \( {e}_{r} \) 分别为 \( \circ \) 运算的左单位元和右单位元,则有
\[
{e}_{l} = {e}_{r} = e
\]
且 \( e \) 为 \( S \) 上关于 \( \circ \) 运算的唯一的单位元.
证 \( {e}_{l} = {e}_{l} \circ {e}_{r}\;\left( {{e}_{r}\text{为右单位元}}\right) \)
\( {e}_{l} \circ {e}_{r} = {e}_{r}\;\left( {{e}_{l}\text{ 为左单位元 }}\right) \)
所以 \( {e}_{l} = {e}_{r} \) .
把 \( {e}_{l} = {e}_{r} \) 记作 \( e \) ,则 \( e \) 是 \( S \) 中的单位元. 假设 \( {e}^{\prime } \) 是 \( S \) 中的单位元,则有
\[
{e}^{\prime } = e \circ {e}^{\prime } = e
\]
所以 \( e \) 是 \( S \) 中关于 \( \circ \) 运算的唯一的单位元.
定义 9.9 设。为 \( S \) 上的二元运算,若存在元素 \( {\theta }_{l}\left( {\text{或}{\theta }_{r}}\right) \in S \) ,使得对于任意的 \( x \in S \) 有
\[
{\theta }_{l} \circ x = {\theta }_{l}\;\left( {\text{ 或 }x \circ {\theta }_{r} = {\theta }_{r}}\right)
\]
则称 \( {\theta }_{l} \) (或 \( {\theta }_{r} \) ) 是 \( S \) 上关于 \( \diamond \) 运算的左零元 (或右零元). 若 \( \theta \in S \) 关于 \( \diamond \) 运算既是左零元又是右零元,则称 \( \theta \) 为 \( S \) 上关于 \( \circ \) 运算的零元.
例如,自然数集 \( \mathbf{N} \) 上 0 是普通乘法的零元,而加法没有零元. \( {M}_{n}\left( \mathbf{R}\right) \left( {n \geq 2}\right) \) 上矩阵乘法的零元是全 0 的 \( n \) 阶矩阵,而矩阵加法没有零元. 在幂集 \( P\left( S\right) \) 上 \( \cup \) 运算的零元是 \( S, \cap \) 运算的零元是 \( \varnothing \) ,而对称差运算 \( \oplus \) 没有零元. 在 \( {\mathbf{R}}^{ * } \) 上如果定义运算。,使得对任意的 \( a, b \in {\mathbf{R}}^{ * } \) 有
\[
a \circ b = a
\]
那么 \( {\mathbf{R}}^{ * } \) 中的任何元素都是关于。运算的左零元,但没有右零元,从而也没有零元.
与定理 9.1 类似, 可以证明下面的定理.
定理 9.2 设。为 \( S \) 上的二元运算, \( {\theta }_{l} \) 和 \( {\theta }_{r} \) 分别为 0 运算的左零元和右零元,则有
\[
{\theta }_{l} = {\theta }_{r} = \theta
\]
且 \( \theta \) 是 \( S \) 上关于 \( \circ \) 运算的唯一的零元.
关于零元和单位元还有以下的定理.
定理 9.3 设。为 \( S \) 上的二元运算, \( e \) 和 \( \theta \) 分别为 \( \circ \) 运算的单位元和零元. 如果 \( S \) 至少有两个元素,则 \( e \neq \theta \) .
证 用反证法. 假设 \( e = \theta \) ,则 \( \forall x \in S \) 有
\[
x = x \circ e = x \circ \theta = \theta
\]
与 \( S \) 中至少含有两个元素矛盾.
定义 9.10 设。为 \( S \) 上的二元运算, \( e \) 为 0 运算的单位元,对于 \( x \in S \) ,如果存在 \( {y}_{l} \in S \) (或 \( \left. {{y}_{r} \in S}\right) \) ,使得
\[
{y}_{l} \circ x = e\;\left( {\text{ 或 }x \circ {y}_{r} = e}\right)
\]
则称 \( {y}_{t} \) (或 \( {y}_{r} \) ) 是 \( x \) 的左逆元 (或右逆元). 若 \( y \in S \) 既是 \( x \) 的左逆元又是 \( x \) 的右逆元,则称 \( y \) 是 \( x \) 的逆元. 如果 \( x \) 的逆元存在,则称 \( x \) 是可逆的.
在自然数集 \( \mathbf{N} \) 上只有 0 有加法逆元,就是 0 自己. 在整数集 \( \mathbf{Z} \) 上加法的单位元是 0 . 对任何整数 \( x \) ,它的加法逆元都存在,即它的相反数 \( - x \) . 在 \( n \) 阶 \( \left( {n \geq 2}\right) \) 实矩阵的集合 \( {M}_{n}\left( \mathbf{R}\right) \) 上, \( n \) 阶全 0 矩阵是矩阵加法的单位元. 对任何 \( n \) 阶实矩阵 \( \mathbf{M}, - \mathbf{M} \) 是 \( \mathbf{M} \) 的加法逆元,而 \( n \) 阶单位矩阵是 \( {M}_{n}\left( \mathbf{R}\right) \) 上关于矩阵乘法的单位元. 只有 \( n \) 阶实可逆矩阵 \( \mathbf{M} \) 存在乘法逆元 \( {\mathbf{M}}^{-1} \) . 在幂集 \( P\left( S\right) \) 上, 对于 \( \cup \) 运算, \( \varnothing \) 为单位元. 只有 \( \varnothing \) 有逆元,就是它本身,其他的元素都没有逆元. 类似地,对于 \( \cap \) 运算, \( S \) 为单位元,也只有 \( S \) 有逆元,即 \( S \) 本身,其他元素都没有逆元.
由上面的例子可以看出, 对于给定的集合和二元运算来说, 逆元与单位元、零元不同. 如果单位元或零元存在, 则一定是唯一的. 换句话说, 整个集合只有一个. 而逆元能否存在, 还与元素有关. 有的元素有逆元, 有的元素没有逆元, 不同的元素对应着不同的逆元. 如果运算是可结合的, 则对于集合中可逆的元素, 逆元是唯一的.
定理 9.4 设。为 \( S \) 上可结合的二元运算, \( e \) 为该运算的单位元,对于 \( x \in S \) 如果存在左逆元 \( {y}_{l} \) 和右逆元 \( {y}_{r} \) ,则有
\[
{y}_{l} = {y}_{r} = y
\]
且 \( y \) 是 \( x \) 的唯一的逆元.
证 由 \( {y}_{l} \circ x = e \) 和 \( x \circ {y}_{r} = e \) 得
\[
{y}_{l} = {y}_{l} \circ e = {y}_{l} \circ \left( {x \circ {y}_{r}}\right) = \left( {{y}_{l} \circ x}\right) \circ {y}_{r} = e \circ {y}_{r} = {y}_{r}
\]
令 \( {y}_{l} = {y}_{r} = y \) ,则 \( y \) 是 \( x \) 的逆元. 假设 \( {y}^{\prime } \) 也是 \( x \) 的逆元,则
\[
{y}^{\prime } = {y}^{\prime } \circ e = {y}^{\prime } \circ \left( {x \circ y}\right) = \left( {{y}^{\prime } \circ x}\right) \circ y = e \circ y = y
\]
所以 \( y \) 是 \( x \) 的唯一的逆元.
由定理 9.4 可知,对于可结合的二元运算来说,可逆的元素 \( x \) 只有唯一的逆元,通常把它记作 \( {x}^{-1} \) .
最后再给出一条关于二元运算的算律一一消去律.
定义 9.11 设。为 \( S \) 上的二元运算,如果对于任意的 \( x, y, z \in S \) ,满足以下条件:
(1) 若 \( x \circ y = x \circ z \) 且 \( x \neq \theta \) ,则 \( y = z \) ;
（2）若 \( y \circ x = z \circ x \) 且 \( x \neq \theta \) ,则 \( y = z \) ;
那么称。运算满足消去律, 其中 (1) 称作左消去律, (2) 称作右消去律.
注意被消去的 \( x \) 不能是运算的零元 \( \theta \) .
整数集合上的加法和乘法都满足消去律. 幂集 \( P\left( S\right) \) 上的并和交运算一般不满足消去律. \( \forall A, B, C \in P\left( S\right) \) ,由 \( A \cup B = A \cup C \) 不一定能得到 \( B = C \) . 但对称差运算满足消去律. ④运算不存在零元, \( \forall A, B, C \in P\left( S\right) \) ,都有
\[
A \oplus B = A \oplus C \Rightarrow B = C
\]
\[
B \oplus A = C \oplus A \Rightarrow B = C
\]
例 9.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算, 指出该运算的性质, 并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.
(1) \( {\mathbf{Z}}^{ + },\forall x, y \in {\mathbf{Z}}^{ + }, x * y = \operatorname{lcm}\left( {x, y}\right) \) ,即求 \( x \) 和 \( y \) 的最小公倍数.
(2) \( \mathbf{Q},\forall x, y \in \mathbf{Q}, x * y = x + y - {xy} \)
解 (1) * 运算可交换, 可结合, 是幂等的.
\( \forall x \in {\mathbf{Z}}^{ + }, x * 1 = x,1 * x = x,1 \) 为单位元.
不存在零元.
只有 1 有逆元, 是它自己, 其他正整数无逆元.
（2）* 运算满足交换律,因为 \( \forall x, y \in \mathbf{Q} \) ,有
\[
x * y = x + y - {xy} = y + x - {yx} = y * x
\]
* 运算满足结合律,因为 \( \forall x, y, z \in \mathbf{Q} \) ,有
\[
\left( {x * y}\right) * z = \left( {x + y - {xy}}\right) * z = x + y + z - {xy} - {xz} - {yz} + {xyz}
\]
\[
x * \left( {y * z}\right) = x * \left( {y + z - {yz}}\right) = x + y + z - {xy} - {xz} - {yz} + {xyz}
\]
所以
\[
x * \left( {y * z}\right) = x * \left( {y * z}\right)
\]
* 运算不满足幂等律,因为 \( 2 \in \mathbf{Q} \) ,但
\[
2 * 2 = 2 + 2 - 2 \times 2 = 0 \neq 2
\]
* 运算满足消去律,因为 \( \forall x, y, z \in \mathbf{Q}, x \neq 1 \) ( 1 为零元),有
\[
x * y = x * z
\]
\[
\Rightarrow x + y - {xy} = x + z - {xz}
\]
\[
\Rightarrow \left( {y - z}\right) = x\left( {y - z}\right)
\]
\[
\Rightarrow y = z\;\left( {x \neq 1}\right)
\]
由于 * 是可交换的, 右消去律显然成立.
\( \forall x \in \mathbf{Q} \) ,有
\[
x * 0 = x = 0 * x
\]
0 是 * 运算的单位元.
\( \forall x \in \mathbf{Q} \) ,有
\[
x * 1 = 1 = 1 * x
\]
1 是 * 运算的零元.
\( \forall x \in \mathbf{Q} \) ,欲使 \( x * y = 0 \) 和 \( y * x = 0 \) 成立,即
\[
x + y - {xy} = 0
\]
解得
\[
y = \frac{x}{x - 1}\;\left( {x \neq 1}\right)
\]
从而有 \( {x}^{-1} = \frac{x}{x - 1}\left( {x \neq 1}\right) \) .
例 9.7 设 \( A = \{ a, b, c\}, A \) 上的二元运算 \( * , \circ , \cdot \) 如表 9.6 所示.
(1) 说明 \( * \) ,。和・运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律.
（2）求出关于 \( * , \circ \) 和 \( \cdot \) 运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.
<table><thead><tr><th>*</th><th>\( a \)</th><th>\( b \)</th><th>\( c \)</th><
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156_实变函数论
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定义 2
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定义 2 设两个函数 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 都是在集 \( E \) 上所定义的. 假如
\[
{mE}\left( {f \neq g}\right) = 0,
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 是等价的,用记号
\[
f\left( x\right) \sim g\left( x\right)
\]
表示 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 是等价的.
定义 3 设命题 \( S \) 对于点集 \( E - {E}_{0} \) 中所有的点都成立. 假如 \( {E}_{0} \) 的测度是 0, 则称 \( S \) 在 \( E \) 上几乎处处成立,或称 \( S \) 在 \( E \) 中几乎所有的点成立.
特别, \( {E}_{0} \) 可以是空集.
现在可以说,如果在 \( E \) 上定义的两个函数是几乎处处相等的,那么它们是等价的.
定理 4 设 \( f\left( x\right) \) 是在 \( E \) 上所定义的可测函数,又设 \( g\left( x\right) \sim f\left( x\right) \) ,则 \( g\left( x\right) \) 也是可测的.
证明 设
\[
A = E\left( {f \neq g}\right) ,\;B = E - A,
\]
则因 \( {mA} = 0, B \) 是可测集. 从而得知 \( f\left( x\right) \) 在 \( B \) 上是可测的. 但是在 \( B \) 上而言, \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 毫无区别,因此 \( g\left( x\right) \) 在 \( B \) 上也是可测的. 由于 \( g\left( x\right) \) 在 \( A \) 上为可测 (因 \( {mA} = 0) \) ,从而 \( g\left( x\right) \) 在 \( E = A + B \) 上亦为可测.
定理 5 如果对于可测集 \( E \) 中所有的点 \( f\left( x\right) = c \) ,则 \( f\left( x\right) \) 是可测的.
事实上,当 \( a < c \) 时, \( E\left( {f > a}\right) = E \) ; 当 \( a \geq c \) 时, \( E\left( {f > a}\right) = 0 \) .
应该注意的是: 此定理中的 \( c \) 可以为 \( + \infty \) 或 \( - \infty \) .
设 \( f\left( x\right) \) 是在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上定义的函数,如果 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中有如下的有限个分点
\[
{c}_{0} = a < {c}_{1} < {c}_{2} < \cdots < {c}_{n} = b
\]
使在区间 \( \left( {{c}_{k},{c}_{k + 1}}\right) \left( {k = 0,1,2,\cdots, n - 1}\right) \) 中 \( f\left( x\right) \) 取常数值,则称 \( f\left( x\right) \) 是一阶梯函数. 由定理 5 , 得到下面的结果.
推论 阶梯函数是可测的.
定理 6 设 \( f\left( x\right) \) 是在 \( E \) 上所定义的可测函数,则对于任意的 \( a \) ,
\[
E\left( {f \geq a}\right) ,\;E\left( {f = a}\right) ,\;E\left( {f \leq a}\right) ,\;E\left( {f < a}\right)
\]
都是可测集.
证明 下面的等式是容易证明的:
\[
E\left( {f \geq a}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }E\left( {f > a - \frac{1}{n}}\right) .
\]
从而得知 \( E\left( {f \geq a}\right) \) 的可测性. 至于其他诸集的可测性,从诸关系式
\[
E\left( {f = a}\right) = E\left( {f \geq a}\right) - E\left( {f > a}\right) ,\;E\left( {f \leq a}\right) = E - E\left( {f > a}\right) ,\;E\left( {f < a}\right) = E - E\left( {f \geq a}\right)
\]
可以导出.
附注 设 \( E \) 是一可测集,如果对于所有的 \( a \) ,集
\[
E\left( {f \geq a}\right) ,\;E\left( {f \leq a}\right) ,\;E\left( {f < a}\right)
\]
(1)
中至少有一个常为可测,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上是可测的.
事实上, 从等式
\[
E\left( {f > a}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }E\left( {f \geq a + \frac{1}{n}}\right)
\]
知道: 如果对于任意的 \( a, E\left( {f \geq a}\right) \) 是可测的话,则 \( f\left( x\right) \) 是一可测函数. 相似的方法可以讨论其余的情形. 因此,可测函数的定义中,集 \( E\left( {f > a}\right) \) 可用 (1) 中任一个集来代替它.
定理 7 如果 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上所定义的可测函数, \( k \) 是一个有限数,则 1) \( f\left( x\right) + k \) , 2) \( {kf}\left( x\right) ,3)\left| {f\left( x\right) }\right| ,4){f}^{2}\left( x\right) ,5)\frac{1}{f\left( x\right) } \) (但 \( f\left( x\right) \neq 0 \) ) 都是可测函数.
证明 1) 从
\[
E\left( {f + k > a}\right) = E\left( {f > a - k}\right)
\]
即得 \( f\left( x\right) + k \) 的可测性.
2) 当 \( k = 0 \) 时由定理 5 知 \( {kf}\left( x\right) \) 是可测的. 至于对其他的 \( k \) ,可以从下列关系
\[
E\left( {{kf} > a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} E\left( {f > \frac{a}{k}}\right) & \left( {k > 0}\right) , \\ E\left( {f < \frac{a}{k}}\right) & \left( {k < 0}\right) \end{array}\right.
\]
得出 \( {kf}\left( x\right) \) 的可测性.
3) 从
\[
E\left( {\left| f\right| > a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} E & \left( {a < 0}\right) , \\ E\left( {f > a}\right) + E\left( {f < - a}\right) & \left( {a \geq 0}\right) , \end{array}\right.
\]
知 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \) 是一可测函数.
4) 从
\[
E\left( {{f}^{2} > a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} E & \left( {a < 0}\right) , \\ E\left( {\left| f\right| > \sqrt{a}}\right) & \left( {a \geq 0}\right) , \end{array}\right.
\]
知 \( {f}^{2}\left( x\right) \) 是一可测函数.
5) 因 \( f\left( x\right) \neq 0 \) ,故
\[
E\left( {\frac{1}{f} > a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} E\left( {f > 0}\right) & \left( {a = 0}\right) , \\ E\left( {f > 0}\right) \cdot E\left( {f < \frac{1}{a}}\right) & \left( {a > 0}\right) , \\ E\left( {f > 0}\right) + E\left( {f < 0}\right) \cap E\left( {f < \frac{1}{a}}\right) & \left( {a < 0}\right) . \end{array}\right.
\]
因此明白 \( \frac{1}{f\left( x\right) } \) 的可测性.
定理 8 在闭区间 \( E = \left\lbrack {A, B}\right\rbrack \) 上所定义的连续函数 \( f\left( x\right) \) 是可测的.
证明 首先我们证明
\[
F = E\left( {f \leq a}\right)
\]
是一闭集. 设 \( {x}_{0} \) 为该集之一极限点,又设 \( {x}_{n} \in F,{x}_{n} \rightarrow {x}_{0} \) ,则从 \( f\left( {x}_{n}\right) \leq a \) 以及 \( f\left( x\right) \) 的连续性,即得 \( f\left( {x}_{0}\right) \leq a \) . 因此 \( {x}_{0} \in F \) . 所以 \( F \) 是一闭集.
再由
\[
E\left( {f > a}\right) = E - E\left( {f \leq a}\right) ,
\]
可知 \( E\left( {f > a}\right) \) 是一可测集. 定理证毕.
可测函数的定义表明, 在不可测集上所定义的函数总是不可测的. 但容易找到在可测集上定义的函数也有不可测的.
定义 4 设 \( M \) 是 \( E = \left\lbrack {A, B}\right\rbrack \) 之一子集,
\[
{\varphi }_{M}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & x \in M \\ 0 & x \in E - M \end{array}\right.
\]
称 \( {\varphi }_{M}\left( x\right) \) 是集 \( M \) 的特征函数.
定理 9 集 \( M \) 与其特征函数 \( {\varphi }_{M}\left( x\right) \) 或都可测或都不可测.
证明 假如 \( {\varphi }_{M}\left( x\right) \) 可测的话,则由
\[
M = E\left( {{\varphi }_{M} > 0}\right)
\]
知 \( M \) 是一可测集.
其逆,如 \( M \) 是可测的话,则由
\[
E\left( {{\varphi }_{M} > a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \varnothing & \left( {a \geq 1}\right) , \\ M & \left( {0 \leq a < 1}\right) , \\ E & \left( {a < 0}\right) \end{array}\right.
\]
知 \( {\varphi }_{M}\left( x\right) \) 是一可测函数.
这里, 我们顺便得到了一个不连续的可测函数的例子.
## §2. 可测函数的其他性质
引理 1 设 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 是 \( E \) 上所定义的两个可测函数,则
\[
E\left( {f > g}\right)
\]
是一可测集.
事实上, 设有理数的全体是
\[
{r}_{1},{r}_{2},{r}_{3},\cdots
\]
则易于验证下面的等式:
\[
E\left( {f > g}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }E\left( {f > {r}_{k}}\right) \cdot E\left( {g < {r}_{k}}\right) ,
\]
由此即得引理的证明.
定理 1 设 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 是在 \( E \) 上所定义的两个有限可测函数,则 1) \( f\left( x\right) - \) \( g\left( x\right) ,2)f\left( x\right) + g\left( x\right) ,3)f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) ,4)\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } \) (但 \( g\left( x\right) \neq 0 \) ) 都是可测函数.
证明 1) 因为 \( a + g\left( x\right) \) ,对于任意的 \( a \) ,是可测的,所以根据引理, \( E\left( {f > a + g}\right) \) 是一可测集. 于是从
\[
E\left( {f - g > a}\right) = E\left( {f > a + g}\right)
\]
得到 \( f\left( x\right) - g\left( x\right) \) 的可测性.
2) 从
\[
f\left( x\right) + g\left( x\right) = f\left( x\right) - \left\lbrack {-g\left( x\right) }\right\rbrack
\]
知 \( f\left( x\right) + g\left( x\right) \) 是一可测函数.
3) 又从
\[
f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) = \frac{1}{4}\left\{ {{\left\lbrack f\left( x\right) + g\left( x\right) \right\rbrack }^{2} - {\left\lbrack f\left( x\right) - g\left( x\right) \right\rbrack }^{2}}\right\}
\]
和 \( §1 \) 中定理 7,即知 \( f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \) 的可测性.
4) 因 \( g\left( x\right) \neq 0 \) ,所以
\[
\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = f\left( x\right) \cdot \frac{1}{g\left( x\right) }
\]
是一可测函数.
这个定理表示, 对可测函数施行加减乘除的运算, 并不会得出可测函数族以外的函数. 下面的定理是就极限运算来说的.
定理 2 设 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots \) 是在 \( E \) 上所定义的一列可测函数. 如果对于每一点 \( x \in E \) ,存在极限 (有限或无穷)
\[
F\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right)
\]
则 \( F\left( x\right) \) 是一可测函数. (简言之,收敛可测函数列的极限函数是可测的).
证明 对于任意固定的 \( a \) ,两集
\[
{A}_{m}^{\left( k\right) } = E\left( {{f}_{k} > a + \frac{1}{m}}\right) \;\text{ 与 }\;{B}_{m}^{\left( n\right) } = \mathop{\prod }\limits_{{k = n}}^{\infty }{A}_{m}^{\left( k\right) }
\]
都是可测的. 因此只要证明下面的等式成立:
\[
E\left( {F > a}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n, m}}{B}_{m}^{\left( n\right) }.
\]
设 \( {x}_{0} \in E\left( {F > a}\right) \) ,则 \( F\left( {x}_{0}\right) > a \) . 所以有自然数 \( m \) 使 \( F\left( {x}_{0}\right) > a + \frac{1}{m} \) 成立. 又因 \( {f}_{k}\left( {x}_{0}\right) \rightarrow F\left( {x}_{0}\right) \) ,所以存在着 \( n \) ,使当 \( k \geq n \) 时,
\[
{f}_{k}\left( {x}_{0}\right) > a + \frac{1}{m}
\]
因此,对于所有的 \( k \geq n,{x}_{0} \in {A}_{m}^{\left( k\right) } \) . 于是 \( {x}_{0} \in {B}_{m}^{\left( n\right) } \) . 自然是 \( {x}_{0} \in \mathop{\sum }\limits_{{n, m}}{B}_{m}^{\left( n\right) } \) . 从而得到
\[
E\left( {F > a}\right) \subset \mathop{\sum }\limits_{{n, m}}{B}_{m}^{\left( n\right) }
\]
留下来的是要证明
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n, m}}{B}_{m}^{\left( n\right) } \subset E\left( {F > a}\right)
\]
\( \left( *\right) \)
设 \( {x}_{0} \in \mathop{\sum }\limits_{{n, m}}{B}_{m}^{\left( n\right) } \) ,则 \( {x}_{0} \) 属于某一 \( {B}_{m}^{\left( n\right) } \) . 因此,当 \( k \geq n \) 时, \( {x}_{0} \in {A}_{m}^{\left( k\right) } \) . 换言之,当
\( k \geq n \) 时
\[
{f}_{k}\left( {x}_{0}\right) > a + \frac{1}{m}
\]
于上式,令 \( k \) 无限增大,乃得
\[
F\left( {x}_{0}\right) \geq a + \frac{1}{m}
\]
从而 \( F\left( {x}_{0}\right) > a \) ,即 \( {x}_{0} \in E\left( {F > a}\right) \) . 因此证得 \( \left( *\right) \) 式.
此定理可拓广为如下的定理.
定理 3 设 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots \) 是在 \( E \) 上所定义的一列可测函数. 如果函数 \( F\left( x\right) \) 使关系
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = F\left( x\right)
\]
\( \left( {* * }\right) \)
在 \( E \) 中几乎所有的点成立,那么 \( F\left( x\right) \) 是一可测函数.
证明 假设 \( A \) 是 \( E \) 的子集,在 \( A \) 中任何点 \( \left( {* * }\right) \) 式不成立 (在这种点 \( x \) ,极限 \( \lim {f}_{n}\left( x\right) \) 可能根本不存在). 由假定, \( {mA} = 0 \) ,故 \( F\left( x\right) \) 在 \( A \) 上是可测的. 根据定理 \( 2, F\left( x\right) \) 在 \( E - A \) 上是可测的. 所以 \( F\left( x\right) \) 在 \( E \) 上是可测的.
## §3. 可测函数列、依测度收敛
设 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 是在 \( E \) 上所定义的函数, \( \sigma \) 是一正数. 本节研究的是下面两种形式的集:
\[
E\left( {\left| {f - g}\right| \geq \sigma }\right) ,\;E\left( {\left| {f - g}\right| < \sigma }\right) ,
\]
假如 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 对于 \( E \) 中的某些 \( x \) 取同号无穷大,这时 \( f\left( x\right) - g\left( x\right) \) 就没有意义. 严格地说,这些点不包含在任一集内. 我们约定这种 \( x \) 属于集 \( E{\left( \left| f - g\righ
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155_实变函数论 周民强
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定义 4.4
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定义 4.4 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可测,则称
\[
f.\left( \lambda \right) = m\left( {\{ x \in E : \left| {f\left( x\right) }\right| > \lambda \} }\right) ,\;\lambda > 0
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的分布函数. 显然, \( {f}_{ * }\left( \lambda \right) \) 是 \( \left( {0, + \infty }\right) \) 上的递减函数.
定理 4.35 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可测,则对 \( 1 \leq p < + \infty \) ,有
\[
{\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x = p{\int }_{0}^{+\infty }{\lambda }^{p - 1}{f}_{ * }\left( \lambda \right) \mathrm{d}\lambda .
\]
(4.17)
证明 作函数
\[
F\left( {\lambda, x}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \left| {f\left( x\right) }\right| > \lambda , \\ 0, & \left| {f\left( x\right) }\right| \leq \lambda . \end{array}\right.
\]
易知 \( F\left( {\lambda, x}\right) \) 作为 \( x \) 的函数是 \( \{ x \in E : \left| {f\left( x\right) }\right| > \lambda \} \) 上的特征函数,从而由 Tonelli 定理可得
\[
{\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x = {\int }_{E}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{\left| f\left( x\right) \right| }p{\lambda }^{p - 1}\mathrm{\;d}\lambda = {\int }_{E}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{+\infty }p{\lambda }^{p - 1}F\left( {\lambda, x}\right) \mathrm{d}\lambda
\]
\[
= {\int }_{0}^{\infty }p{\lambda }^{p - 1}\mathrm{\;d}\lambda {\int }_{E}F\left( {\lambda, x}\right) \mathrm{d}x = p{\int }_{0}^{+\infty }{\lambda }^{p - 1}{f}_{ * }\left( \lambda \right) \mathrm{d}\lambda .
\]
## 习 题 4
1. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 上几乎处处大于零的可测函数,且满足 \( {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0 \) ,试证明 \( m\left( E\right) = 0 \) .
2. 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上非负可积, \( f\left( 0\right) = 0 \) ,且 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) \) 存在,试证明存在积分
\[
{\int }_{\lbrack 0, + \infty )}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x.
\]
3. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 上的非负可测函数. 若存在 \( {E}_{k} \subset E \) , \( m\left( {E \smallsetminus {E}_{k}}\right) < 1/k\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,使得极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{{E}_{k}}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
存在,试证明 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可积.
4. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \mathbf{R} \) 上非负可积函数,令
\[
F\left( x\right) = {\int }_{( - \infty, x\rbrack }f\left( t\right) \mathrm{d}t,\;x \in \mathbf{R}.
\]
若 \( F \in L\left( \mathbf{R}\right) \) ,试证明 \( {\int }_{\mathbf{R}}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0 \) .
5. 设 \( {f}_{k}\left( x\right) \left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 上非负可积函数列. 若对任一可测集 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) ,都有
\[
{\int }_{E}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{E}{f}_{k + 1}\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
6. 设 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 是 \( E \subset \mathbf{R} \) 上的非负可测函数,且 \( m\left( E\right) = 1 \) . 若有 \( f\left( x\right) g\left( x\right) \geq 1, x \in E \) ,试证明
\[
\left( {{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \left( {{\int }_{E}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \geq 1
\]
(注意 \( \left( {{\int }_{E}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) {}^{2} \leq {\int }_{E}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x \cdot {\int }_{E}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x \) ).
7. 假设有定义在 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) . 如果对于任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( g, h \in L\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) ,满足 \( g\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq h\left( x\right) \left( {x \in {\mathbf{R}}^{n}}\right) \) ,并且使得 \( {\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}\left( {h\left( x\right) - g\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x < \varepsilon \) ,试证明 \( f \in L\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) .
8. 设 \( \left\{ {E}_{k}\right\} \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中测度有限的可测集列,且有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}\left| {{\chi }_{{E}_{k}}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x = 0,
\]
试证明存在可测集 \( E \) ,使得 \( f\left( x\right) = {\chi }_{E}\left( x\right) \), a. e. \( x \in {\mathbf{R}}^{n} \) .
9. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的递增函数,试证明对 \( E \subset \left\lbrack {0,1}\right\rbrack, m\left( E\right) \) \( = t \) ,有 \( {\int }_{\left\lbrack 0, t\right\rbrack }f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x \) .
10. 设 \( f \in L\left( {\mathbf{R}}^{n}\right), E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 是紧集,试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\left| y\right| \rightarrow \infty }}{\int }_{E+\{ y\} }\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x = 0.
\]
11. 证明下列等式:
(i) \( \frac{1}{\Gamma \left( \alpha \right) }{\int }_{\left( 0,\infty \right) }\frac{{x}^{\alpha - 1}}{{\mathrm{e}}^{x} - 1}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{n}^{-\alpha }\;\left( {\alpha > 1}\right) \) ;
(ii) \( {\int }_{\left( 0, + \infty \right) }\frac{\sin {ax}}{{\mathrm{e}}^{x} - 1}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{a}{{n}^{2} + {a}^{2}}\;\left( {a > 0}\right) \) .
12. 设 \( f \in L\left( \mathbf{R}\right), a > 0 \) ,试证明级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }f\left( {\frac{x}{a} + n}\right)
\]
在 \( \mathbf{R} \) 上几乎处处绝对收敛,且其和函数 \( S\left( x\right) \) 以 \( a \) 为周期,且 \( S \in \) \( L\left( \left\lbrack {0, a}\right\rbrack \right) \) .
13. 设 \( f \in L\left( \mathbf{R}\right), p > 0 \) ,试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{n}^{-p}f\left( {nx}\right) = 0,\;\text{ a. e. }x \in \mathbf{R}.
\]
14. 设 \( {x}^{s}f\left( x\right) ,{x}^{t}f\left( x\right) \) 在 \( \left( {0, + \infty }\right) \) 上可积,其中 \( s < t \) ,试证明积分
\[
{\int }_{\lbrack 0, + \infty )}{x}^{u}f\left( x\right) \mathrm{d}x,\;u \in \left( {s, t}\right)
\]
存在且是 \( u \in \left( {s, t}\right) \) 的连续函数.
15. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left( {0,1}\right) \) 上的正值可测函数. 若存在常数 \( c \) ,使得
\[
{\int }_{\left\lbrack 0,1\right\rbrack }{\left( f\left( x\right) \right) }^{n}\mathrm{\;d}x = c\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
试证明存在可测集 \( E \subset \left( {0,1}\right) \) ,使得 \( f\left( x\right) \) 几乎处处等于 \( {\chi }_{E}\left( x\right) \) . 再问: 若 \( f\left( x\right) \) 不是非负的又如何?
16. 设 \( f \in L\left( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \right) \) ,试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{\left\lbrack 0,1\right\rbrack }n\ln \left( {1 + \frac{{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}}{{n}^{2}}}\right) \mathrm{d}x = 0
\]
\( \left( {\ln \left( {1 + {x}^{2}}\right) \leq x, x \geq 0}\right) \) .
17. 设 \( {E}_{1} \supset {E}_{2} \supset \cdots \supset {E}_{k} \supset \cdots, E = \mathop{\bigcap }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{E}_{k}, f \in L\left( {E}_{k}\right) (k = 1 \) , \( 2,\cdots ) \) ,试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{{E}_{k}}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
18. 设 \( f \in L\left( E\right) \) ,且 \( f\left( x\right) > 0\left( {x \in E}\right) \) ,试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{\left( f\left( x\right) \right) }^{1/k}\mathrm{\;d}x = m\left( E\right) .
\]
19. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的非负可积函数列,且 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) . 若有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{\left\lbrack 0,1\right\rbrack }{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\left\lbrack 0,1\right\rbrack }f\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
试证明对 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 的任一可测子集 \( E \) ,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
20. 设 \( \left\{ {{f}_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上的非负可积函数列,且 \( {f}_{k}\left( x\right) \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \equiv 0 \) . 若有
\[
{\int }_{E}\max \left\{ {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{k}\left( x\right) }\right\} \mathrm{d}x \leq M\;\left( {k = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0.
\]
21. (依测度收敛型的 Fatou 引理) 设 \( \left\{ {{f}_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) 的非负可测函数列,试证明
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
22. 试证明: \( {\int }_{\lbrack 0,\infty )}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2xt}\mathrm{\;d}t = \frac{\sqrt{\pi }}{2}{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}}, t \in \mathbf{R} \) .
23. 设 \( f \in L\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) ,{f}_{k} \in L\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,且对于任一可测集 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) ,有
\[
{\int }_{E}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{E}{f}_{k + 1}\left( x\right) \mathrm{d}x\;\left( {k = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{f}_{k}\left( x\right) = f\left( x\right) ,\;\text{ a. e. }x \in {\mathbf{R}}^{n}.
\]
24. 设 \( \left\{ {{f}_{k}\left( x\right) }\right\} ,\left\{ {{g}_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 上的两个可测函数列,且有 \( \left| {{f}_{k}\left( x\right) }\right| \leq {g}_{k}\left( x\right), x \in E \) . 若
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{f}_{k}\left( x\right) = f\left( x\right) ,\;\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{g}_{k}\left( x\right) = g\left( x\right) ,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{g}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}g\left( x\right) \mathrm{d}x < + \infty ,
\]
试证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
25. 设 \
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1897_[现代数学基础丛书].[拓扑动力系统概论]
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定义 3.1.1
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定义 3.1.1 系统 \( \left( {X, T}\right) \) 称为等度连续的是指函数族 \( \left\{ {{T}^{n} : n \in {\mathbb{Z}}_{ + }}\right\} \) 为等度连续的,即对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得当 \( d\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) < \delta \) 时, \( d\left( {{T}^{n}{x}_{1},{T}^{n}{x}_{2}}\right) < \varepsilon ,\forall n \in \) \( {\mathbb{Z}}_{ + } \) 成立.
如果令 \( {d}_{T}\left( {x, y}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{n \in {\mathbb{Z}}_{ + }}}d\left( {{T}^{n}x,{T}^{n}y}\right) \) ,后面我们会说明当 \( \left( {X, T}\right) \) 为等度连续时, \( {d}_{T} \) 与 \( d \) 是等价的,并且它为 \( T \) 不变的,即 \( {d}_{T}\left( {{Tx},{Ty}}\right) = {d}_{T}\left( {x, y}\right) ,\forall x, y \in X \) . 直观上讲, 等度连续系统中的任何两个不同点随着时间的推移将保持同样的差距, 即它们的轨道是 “平行” 的. 所以我们有理由认为等度连续性是最简单的一种动力学性状.
例 3.1.2 (1) 设 \( {S}^{1} \) 为圆周, \( T \) 为圆周上的旋转映射,则 \( \left( {{S}^{1}, T}\right) \) 为等度连续的;
(2) 加法机器为等度连续的.
下面的定理说明,等度连续系统中的每个点按一致的步调回复. 系统 \( \left( {X, T}\right) \) 称为一致几乎周期的 是指对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 syndetic 集 \( A \) ,使得对任意 \( x \in X, n \in A \) , \( d\left( {x,{T}^{n}x}\right) < \varepsilon \) 成立. 注意到,我们用 \( C\left( {X, X}\right) \) 表示从 \( X \) 到 \( X \) 的全体连续映射.
定理 3.1.3 系统 \( \left( {X, T}\right) \) 为等度连续的当且仅当它为一致几乎周期的.
证明 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为等度连续的. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,根据 Ascoli 定理 \( \left\{ {{T}^{n} : n \in {\mathbb{Z}}_{ + }}\right\} \) 在 \( C\left( {X, X}\right) \) (取一致拓扑) 中为相对紧的,于是存在有限 \( \varepsilon \) 网 \( {\left\{ {T}^{n}\right\} }_{n = 1}^{k} \) . 即对任意 \( n \in {\mathbb{Z}}_{ + } \) ,存在 \( 1 \leq j \leq k \) ,使得
\[
\mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}d\left( {{T}^{n}x,{T}^{j}x}\right) < \varepsilon
\]
因 \( T \) 是满射,易见 \( \left\{ {n \in {\mathbb{Z}}_{ + } : \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}d\left( {{T}^{n}x, x}\right) < \varepsilon }\right\} \) 为以 \( k \) 为间距的 syndetic 集, 从而 \( \left( {X, T}\right) \) 为一致几乎周期的.
反之,设 \( \left( {X, T}\right) \) 为一致几乎周期的. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 syndetic 集 \( A \) ,使得对任意 \( x \in X, n \in A, d\left( {x,{T}^{n}x}\right) < \frac{\varepsilon }{3} \) 成立. 设 \( A \) 间距为 \( k \) . 取 \( \delta > 0 \) 使得对任意满足 \( d\left( {x, y}\right) < \delta \) 的 \( x, y, d\left( {{T}^{i}x,{T}^{i}y}\right) < \frac{\varepsilon }{3},\forall i = 1,2,\cdots, k \) .
下证对满足 \( d\left( {x, y}\right) < \delta \) 的 \( x, y, d\left( {{T}^{n}x,{T}^{n}y}\right) < \varepsilon ,\forall n \in {\mathbb{Z}}_{ + } \) 成立. 对任意 \( n \in {\mathbb{Z}}_{ + } \) , 存在 \( a \in A \) 及 \( i \in \left\lbrack {1, k}\right\rbrack \) ,使得 \( n = a + i \) . 于是
\[
d\left( {{T}^{n}x,{T}^{n}y}\right) \leq d\left( {{T}^{a}\left( {{T}^{i}x}\right) ,{T}^{i}x}\right) + d\left( {{T}^{i}x,{T}^{i}y}\right) + d\left( {{T}^{i}y,{T}^{a}\left( {{T}^{i}y}\right) }\right) < \frac{\varepsilon }{3} + \frac{\varepsilon }{3} + \frac{\varepsilon }{3} = \varepsilon .
\]
所以 \( \left( {X, T}\right) \) 为等度连续的.
从拓扑共轭的角度看, 等度连续系统相当于一个紧致交换群上的旋转. 为了说明这一点, 首先引入一些概念.
定义 3.1.4 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为动力系统,记 \( C\left( X\right) \) 为全体复值连续函数的集合. 称非零函数 \( f \in C\left( X\right) \) 为 \( T \) 的特征函数是指存在 \( \lambda \in \mathbb{C} \) ,使得 \( f\left( {Tx}\right) = {\lambda f}\left( x\right) \) . 此时称 \( \lambda \) 为相应于 \( f \) 的特征值.
命题 3.1.5 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为传递系统,则
(1) 如 \( f \in C\left( X\right) \) 为以 \( \lambda \) 为特征值的非零特征函数,则 \( \left| \lambda \right| = 1 \) 且 \( \left| f\right| = c, c \) 为常数;
(2) 如 \( f, g \) 为同一特征值的特征函数,则 \( f = {cg} \) ,其中 \( c \) 为常数;
(3) 在 \( C\left( X\right) \) 中,相应于不同特征值的特征函数为线性无关的;
(4) \( T \) 的全体特征值形成 \( {S}^{1} \) 的一个可数子群.
证明留作习题.
定义 3.1.6 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为动力系统,称之有拓扑离散谱 是指系统的特征函数张成了 \( C\left( X\right) \) .
由前命题可见,如 \( \left( {X, T}\right) \) 为有拓扑离散谱的传递系统,则存在可数个特征值 \( {\left\{ {\lambda }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 及线性无关组 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \subseteq C\left( X\right) \) ,使得 \( \operatorname{span}\left\{ {f}_{n}\right\} = C\left( X\right) \) 且 \( {f}_{n} \circ T = {\lambda }_{n}{f}_{n} \) . 对一个拓扑群 \( G \) ,我们用 \( \widehat{G} \) 表示从 \( G \) 到 \( {S}^{1} \) 的所有连续同态的集合. \( \widehat{G} \) 中的元素称为 \( G \) 的特征.
定理 3.1.7(Halmos-von Neumann) 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为可逆动力系统,则以下等价:
(1) \( T \) 为极小等度连续的;
(2) \( T \) 传递且存在 \( X \) 上的度量,使得 \( T \) 在此度量下为等距的;
(3) \( T \) 拓扑共轭于紧致交换群上的一个极小旋转;
(4) \( T \) 极小且有拓扑离散谱;
(5) \( T \) 传递且有拓扑离散谱.
证明 \( \left( 1\right) \Leftrightarrow \left( 2\right) \) 易证.
\( \left( 2\right) \Rightarrow \left( 3\right) \) 设 \( \rho \) 为等距度量, \( {x}_{0} \) 为传递点,所以 \( X = \overline{\operatorname{orb}\left( {x}_{0}\right) } \) . 定义运算:
\[
* : \operatorname{orb}\left( {x}_{0}\right) \times \operatorname{orb}\left( {x}_{0}\right) \rightarrow \operatorname{orb}\left( {x}_{0}\right) ,\;{T}^{n}{x}_{0} * {T}^{m}{x}_{0} \mapsto {T}^{n + m}{x}_{0}.
\]
因为
\[
\rho \left( {{T}^{n}{x}_{0} * {T}^{m}{x}_{0},{T}^{p}{x}_{0} * {T}^{q}{x}_{0}}\right) = \rho \left( {{T}^{n + m}{x}_{0},{T}^{p + q}{x}_{0}}\right)
\]
\[
\leq \rho \left( {{T}^{n + m}{x}_{0},{T}^{p + m}{x}_{0}}\right) + \rho \left( {{T}^{p + m}{x}_{0},{T}^{p + q}{x}_{0}}\right)
\]
\[
= \rho \left( {{T}^{n}{x}_{0},{T}^{p}{x}_{0}}\right) + \rho \left( {{T}^{m}{x}_{0},{T}^{q}{x}_{0}}\right) .
\]
所以 * 为一致连续的,于是可以唯一扩充为 \( * : X \times X \rightarrow X \) .
另外,因为 \( \rho \left( {{T}^{-n}{x}_{0},{T}^{-m}{x}_{0}}\right) = \rho \left( {{T}^{m + n}{T}^{-n}{x}_{0},{T}^{m + n}{T}^{-m}{x}_{0}}\right) = \rho \left( {{T}^{m}{x}_{0}}\right. \) ,
\( \left. {{T}^{n}{x}_{0}}\right) \) ,所以映射 \( {T}^{n}{x}_{0} \mapsto {T}^{-n}{x}_{0},\operatorname{orb}\left( {x}_{0}\right) \rightarrow \operatorname{orb}\left( {x}_{0}\right) \) 为一致连续的,于是可以唯一扩充到 \( X \rightarrow X \) 上.
这样,我们说明了 \( \left( {X, * }\right) \) 为拓扑群. 因为 \( \left\{ {{T}^{n}{x}_{0} : n \in \mathbb{Z}}\right\} \) 在 \( X \) 中稠密,所以 \( \left( {X, * }\right) \) 为交换的. 因为 \( T\left( {{T}^{n}{x}_{0}}\right) = T{x}_{0} * {T}^{n}{x}_{0},\forall n \in \mathbb{Z} \) ,所以 \( {Tx} = T{x}_{0} * x,\forall x \in X \) . 这说明 \( \left( {X, T}\right) \) 为 \( T \) 在群 \( \left( {X, * }\right) \) 上的 \( T{x}_{0} \) 旋转.
\( \left( 3\right) \Rightarrow \left( 4\right) \) 设 \( X \) 为紧交换群,且 \( {Tx} = {ax} \) . 则 \( X \) 的每个特征为 \( X \) 的特征函数 (因为如果 \( f \in \widehat{X} \) ,那么 \( f\left( {Tx}\right) = f\left( {ax}\right) = f\left( a\right) f\left( x\right) \) ). 设 \( A \) 为由所有特征的线性组合生成的代数,则 \( A \subseteq C\left( X\right) \) . 由于 \( A \) 包含常值函数、对共轭运算封闭并且分离点, 所以根据 Stone-Weierstrass 定理就有 \( \bar{A} = C\left( X\right) \) .
\( \left( 4\right) \Rightarrow \left( 5\right) \) 显然.
\( \left( 5\right) \Rightarrow \left( 2\right) \) 由前面分析,存在可数个特征值 \( {\left\{ {\lambda }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 及线性无关组 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \subseteq \) \( C\left( X\right) \) ,使得 \( \left| {f}_{n}\right| = 1,\operatorname{span}\left\{ {f}_{n}\right\} = C\left( X\right) \) 且 \( {f}_{n} \circ T = {\lambda }_{n}{f}_{n} \) . 定义 \( \rho \left( {x, y}\right) = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left| {f}_{n}\left( x\right) - {f}_{n}\left( y\right) \right| }{{2}^{n}} \) ,它为 \( X \) 上的伪度量. 由于 \( \operatorname{span}\left\{ {f}_{n}\right\} = C\left( X\right) \) ,所以 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 分离 \( X \) 的点. 于是 \( \rho \left( {x, y}\right) = 0 \) 蕴含 \( x = y \) ,即 \( \rho \) 为度量.
因为 \( \left| {\lambda }_{n}\right| = 1 \) ,所以有
\[
\rho \left( {{Tx},{Ty}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left| {\lambda }_{n}{f}_{n}\left( x\right) - {\lambda }_{n}{f}_{n}\left( y\right) \right| }{{2}^{n}} = \rho \left( {x, y}\right) .
\]
于是 \( \left( {X,\rho }\right) \) 为等距的.
设 \( d \) 为 \( X \) 的原始度量,以下说明 \( \left( {X, d}\right) \) 与 \( \left( {X,\rho }\right) \) 等价. 我们仅需证明恒同映射 \( \mathrm{{id}} : \left( {X, d}\right) \rightarrow \left( {X,\rho }\right) \) 连续即可.
对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,取 \( N \in \mathbb{N} \) ,使得 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{\infty }\frac{2}{{2}^{n}} < \frac{\varepsilon }{2} \) . 由于 \( {f}_{n} \) 连续,所以存在 \( \delta > 0 \) ,使得 \( d\left( {x, y}\right) < \delta \Rightarrow \left| {{f}_{n}\left( x\right) - {f}_{n}\left( y\right) }\right| < \frac{\varepsilon }{2},\forall 1 \leq n \leq N \) . 于是就有 \( d\left( {x, y}\right) < \delta \Rightarrow \rho \left( {x, y}\right) < \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{\varepsilon }{{2}^{n + 1}} + \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon \) . 所以 id 连续.
## 习 题 3.1
1. 任何等度连续系统的因子仍为等度连续的.
2. 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为等度连续的,则对任意 \( n \in \mathbb{N},\left( {X,{T}^{n}}\right) \) 也为等度连续的.
3. 试不用 Ascoli 定理直接证明等度连续系统为一致几乎周期的. 提示: 先证对任意 \( \varepsilon > 0 \) 以及有限点 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \in X \) ,存在 syndetic 集 \( A \) ,使得 \( d\left( {{x}_{i},{T}^{m}{x}_{i}}\right), i = 1,2,\cdots, n \) ; \( m \in A \) .
4. 证明命题 3.1.5.
## \( §{3.2} \) 几乎等度连续与初值敏感
等度连续概念的一个自然的推广是 “几乎等度连续”.
定义 3.2.1 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为动力系统,点 \( x \in X \) 称为等度连续的是指对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对任意满足 \( d\left( {x, y}\right) < \delta \) 的 \( y \) ,成立 \( d\left( {{T}^{n}x,{T}^{n}y}\right) < \varepsilon ,\forall n \geq 0 \) . 系统称为几乎等度连续的是指它为传递的且至少有一个等度连续点.
如果系统每个点都是等度连续点,那么由空间的紧性,系统为等度连续的. 在 \( X \) 上定义新的度量:
\[
{d}_{T}\left( {x, y}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{n \in {\mathbb{Z}}_{ + }}}d\left( {{T}^{n}x,{T}^{n}y}\right)
\]
这样 \( x \) 为等度连续点等价于对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对任意满足 \( d\left( {x, y}\right) < \delta \) 的 \( y \) ,有 \( {d}_{T}\left( {x, y}\right) < \varepsilon \) . 易见, \( \left( {X, T}\right) \) 为等度连续的当且仅当 \( d \) 与 \( {d}_{T} \) 为等价的.
由等度连续点的定义, 我们可以感觉到在等度连续点附近的点有 “一致” 的运动轨道,所以可以想象它应该有一些特殊的性质. 令 \( \Omega \left( {x, T}\right) = \left\{ {y \in X : \exists {x}_{k} \rightarrow x}\right. \) 及 \( \left. {{n}_{k} \rightarrow \infty \text{,使得}{T}^{{n}_{k}}{x}_{k} \rightarrow y}\right\} \) ,有
命题 3.2.2 设 \( \left( {X, T}\right) \) 为动力系统. 如果 \( x \in X \) 为等度连续点,则
(1) \( \omega \left( {x, T}\right) = \Omega \left( {x, T}\right) \) ;
(2) 如果 \( x \) 为非游荡点,则它为回复点;
(3) 如果它为极小点的极限点, 则它也为极小点.
证明 (1) 首先,易见 \( \omega \left( {x, T}\right) \subseteq \Omega \left( {x, T}\right) \) . 现设 \( y \in \Omega \left( {x, T}\right) \) ,那么 \( \exists {x}_{k} \rightarrow x \) 及 \( {n}_{k} \rightarrow \in
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183_数学分析新讲
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定义 4
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定义 4 设 \( a < c < b \) ,函数 \( f \) 在 \( \left\lbrack {a, c)\text{和}(c, b}\right\rbrack \) 有定义, 并设对任何 \( 0 < \eta < c - a,\;0 < {\eta }^{\prime } < b - c \) ,这函数在 \( \left\lbrack {a, c - \eta }\right\rbrack \) 和 \( \left\lbrack {c + {\eta }^{\prime }, b}\right\rbrack \) 常义可积. 如果积分
\[
{\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{ 和 }{\int }_{c}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
都收敛,那么我们就说广义积分 \( {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \) 收敛,并定义
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{c}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
注记 按照定义,为了考察有唯一瑕点 \( c \in \left( {a, b}\right) \) 的函数 \( f \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的广义可积性,必须检验以下两个极限是否存在并且有限:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\eta \rightarrow 0 + }}{\int }_{a}^{c - \eta }f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{ 和 }\mathop{\lim }\limits_{{\eta \rightarrow 0 + }}{\int }_{c + \eta }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
请注意,这里的两个极限过程 \( \eta \rightarrow 0 + \) 与 \( {\eta }^{\prime } \rightarrow 0 + \) 是彼此独立的. 如果只考虑 \( c - \eta \) 和 \( c + \eta \) 从 \( c \) 的两侧对称地趋于 \( c \) 的情形, 只检验是否存在有穷的极限
\( \left( {1.6}\right) \)
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\eta \rightarrow 0 + }}\left( {{\int }_{a}^{c - \eta }f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{c + \eta }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) ,
\]
那么就定义了另一种在较弱意义下的收敛性一一柯西主值意义下的收敛性,这时我们把极限值 (1.6) 称为广义积分 \( {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \) 的柯西主值, 记为
\[
\mathrm{{VP}}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\eta \rightarrow 0 + }}\left( {{\int }_{a}^{c - \eta } + {\int }_{c + \eta }^{b}}\right) f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
## \( §2 \) 牛顿一莱布尼兹公式的推广, 分部积分公式与换元积分公式
我们将牛顿-莱布尼兹公式推广到广义积分的情形.
定理 1 设函数 \( f \) 在 \( \lbrack a, + \infty ) \) 有定义并且连续,而函数 \( F \) 是 \( f \) 在 \( \lbrack a, + \infty ) \) 的原函数. 如果存在 (有穷或无穷) 的极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}F\left( x\right) \;\text{ (这极限记为 }F\left( {+\infty }\right) \text{ ),}
\]
那么就有
\[
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {+\infty }\right) - F\left( a\right) = {\left. F\left( x\right) \right| }_{a}^{+\infty }.
\]
证明 对任意 \( H > a \) ,我们有
\[
{\int }_{a}^{H}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( H\right) - F\left( a\right) .
\]
让 \( H \rightarrow + \infty \) 取极限,我们得到
\[
\mathop{\lim }\limits_{{H \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{H}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{H \rightarrow + \infty }}F\left( H\right) - F\left( a\right) ,
\]
即
\[
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {+\infty }\right) - F\left( a\right) = F\left( x\right) \left| {\;\begin{array}{l} + \infty \\ \cdot \end{array}.}\right.
\]
注记 对于积分
\[
{\int }_{-\infty }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{ 与 }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
也有相应的牛顿一菜布尼兹公式. 其证明与定理 1 类似, 这里就不再重复了, 仅将结论陈述如下:
设函数 \( f \) 在 \( ( - \infty, b\rbrack \) 连续,函数 \( F \) 是 \( f \) 在 \( ( - \infty, b\rbrack \) 的原函数. 如果存在极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}F\left( x\right) = F\left( {-\infty }\right) ,
\]
那么
\[
{\int }_{-\infty }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( b\right) - F\left( {-\infty }\right) = F\left( x\right) {\left. \right| }_{-\infty }^{b}.
\]
设函数 \( f \) 在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 连续,函数 \( F \) 是 \( f \) 在 \( ( - \infty \) , \( + \infty ) \) 的原函数. 如果存在极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\dot{F}\left( x\right) = F\left( {+\infty }\right) \text{ 和 }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}F\left( x\right) = F\left( {-\infty }\right) ,
\]
并且 \( F\left( {+\infty }\right) - F\left( {-\infty }\right) \) 有意义 (即 \( F\left( {+\infty }\right) \) 与 \( F\left( {-\infty }\right) \) 不为同号无穷大), 那么
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {+\infty }\right) - F\left( {-\infty }\right) = F\left( x\right) {\left. \right| }_{-\infty }^{+\infty }\text{. }
\]
关于瑕积分, 也有相应的牛顿-莱布 尼兹 公式. 例如, 对于以 \( b \) 点为瑕点的积分,我们有:
定理 2 设函数 \( f \) 在 \( \lbrack a, b) \) 连续,函数 \( F \) 是 \( f \) 在 \( \lbrack a, b) \) 的原函数. 如果存在极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow b - }}F\left( x\right) = F\left( {b - }\right) ,
\]
那么
\[
{\int }_{a}^{l}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {b - }\right) - F\left( a\right) .
\]
对于广义积分 (无穷限积分和瑕积分), 也有分部积分公式. 例如, 对于无穷上限的积分, 我们有:
定理 3 设 \( u, v \in {C}^{1}\lbrack a, + \infty ) \) ,则
\[
{\int }_{a}^{+\infty }u\left( x\right) \mathrm{d}v\left( x\right) = {\left. u\left( x\right) v\left( x\right) \right| }_{x}^{+\infty } - {\int }_{a}^{+\infty }v\left( x\right) \mathrm{d}u\left( x\right) .
\]
(这就是说: 如果上式右端的式子有意义, 那么上式左端也有意义, 并且等于右端的值. )
证明 我们有常义积分的分部积分公式
\[
{\int }_{a}^{H}u\left( x\right) \mathrm{d}v\left( x\right) = {\left. u\left( x\right) v\left( x\right) \right| }_{a}^{H} - {\int }_{a}^{H}v\left( x\right) \mathrm{d}u\left( x\right) .
\]
在这式中让 \( H \rightarrow + \infty \) ,就得到要证的结果.
对常义积分的换元公式取极限, 可以证明广义积分的换元公式. 例如, 对于以上限为瑕点的积分, 我们有:
定理 4 设函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( \lbrack a, b) \) 连续,函数 \( x = \varphi \left( t\right) \) 在 \( \lbrack \alpha ,\beta ) \) 有连续导数. 如果 \( {\varphi }^{\prime }\left( t\right) > 0,\forall t \in \left( {\alpha ,\beta }\right) ,\varphi \left( \left( {\alpha ,\beta }\right) \right) \)
\( \subset \left( {a, b}\right) ,\varphi \left( a\right) = a,\varphi \left( {\beta - }\right) = b \) ,那么
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{\beta }f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
(这就是说: 如果上式右端的式子有意义, 那么左端的式子也有意义, 并且等于右端的值).
证明 对任何 \( h \in \left( {0, b - a}\right) \) ,记
\[
\eta = \beta - {\varphi }^{-1}\left( {b - h}\right) .
\]
于是有
及
\[
{\varphi }^{-1}\left( {b - h}\right) = \beta - \eta
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0 + }}\eta = 0\text{. }
\]
利用定积分的换元公式可得
\[
{\int }_{a}^{b - h}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{{\varphi }^{-1}\left( {b - h}\right) }f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= {\int }_{a}^{\beta - \eta }f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
在这式中让 \( h \rightarrow 0 + \) 取极限就得到要证的结果.
下面介绍广义积分的一些例子.
例 1 设质量为 \( m \) 的火箭从地面发射. 试求 这火箭飞离地球引力范围所需做的功.
解 记地球的半径为 \( R \) ,则在离地心距离为 \( r \) 的地方,火箭所受到的地球引力 \( F \) 应满足
\[
\frac{F}{mg} = \frac{\frac{1}{{r}^{2}}}{\frac{1}{{R}^{2}}}.
\]
由此得到
\[
F = \frac{{mg}{R}^{2}}{{r}^{2}}.
\]
于是, 这火箭飞离地球引力范围所需做的功为
\[
W = {\int }_{R}^{+\infty }\frac{{mg}{R}^{2}}{{r}^{2}}\mathrm{\;d}r
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow + \infty }}{mg}{R}^{2}\left( {\frac{1}{R} - \frac{1}{r}}\right) = {mgR}\text{. }
\]
如果火箭达到速度 \( v \) 之后就熄火靠惯性继续飞行,为使这火箭能飞离地球引力范围,它的动能 \( \frac{1}{2}m{v}^{2} \) 至少要等于克服地球引力所需的功 \( {mgR} \) :
\[
\frac{1}{2}m{v}^{2} = {mgR}
\]
由此可知,速度 \( v \) 至少为
\[
v = \sqrt{2gR}\text{.}
\]
以
\[
g = {9.81}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2},\;R = {6371} \times {10}^{3}\mathrm{\;m}
\]
代入上式, 我们求得
\[
v = {11.2} \times {10}^{3}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}.
\]
每秒 \( {11.2}\mathrm{\;{km}} \) 一这就是物体从地面飞出地球引力圈所必须具有的速度. 人们把这样一个速度叫做第二宇宙速度.
例 2 我们有
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = {\left. \operatorname{arctg}x\right| }_{0}^{+\infty } = \frac{\pi }{2}.
\]
如果作变元替换 \( x = \operatorname{tg}t \) ,那么这积分就转化为常义积分:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{\;d}t = \frac{\pi }{2}.
\]
例 3 我们有
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}} = {\left. \arcsin x\right| }_{0}^{1} = \frac{\pi }{2}.
\]
如果作变元替换 \( x = \sin t \) ,那么这积分也转化为常义积分:
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}} = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{\;d}t = \frac{\pi }{2}.
\]
例 4 计算积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x\;\left( {a > 0}\right) .
\]
解 函数 \( f\left( x\right) = {e}^{-{ax}}\sin {bx} \) 的原函数为:
\[
F\left( x\right) = - {e}^{-{ax}}\frac{a\sin {bx} + b\cos {bx}}{{a}^{2} + {b}^{2}} + C,
\]
因而
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x = {\left. F\left( x\right) \right| }_{0}^{+\infty } = \frac{b}{{a}^{2} + {b}^{2}}.
\]
例 5 计算积分
\[
{\int }_{0}^{1}\ln x\mathrm{\;d}x
\]
解 据牛顿一菜布尼兹公式, 我们得到
\[
{\int }_{0}^{1}\ln x\mathrm{\;d}x = {\left. \left( x\ln x - x\right) \right| }_{1}^{1} = - 1.
\]
例 6 考察积分
\[
{\int }_{a}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}\;\left( {a > 0}\right) .
\]
解 因为
\[
\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}} = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x + C, & \text{ 若 }p = 1, \\ \frac{-1}{\left( {p - 1}\right) {x}^{p - 1}} + C, & \text{ 若 }p \neq 1, \end{array}\right.
\]
所以
\[
{\int }_{a}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}} = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty , & \text{ 若 }p \leq 1, \\ \frac{1}{\left( {p - 1}\right) {a}^{p - 1}}, & \text{ 若 }p > 1. \end{array}\right.
\]
我们看到: 所给的积分当 \( p > 1 \) 时收敛,而当 \( p \leq 1 \) 时发散. 例如, 以下积分都收敛:
\[
{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}},\;{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x}}
\]
而以下的积分都是发散的:
\[
{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x},\;{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}
\]
例 7 考察积分
\[
{\int }_{0}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}}.
\]
解 因为
\[
\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}} = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x + C, & \text{ 若 }q = 1, \\ \frac{1}{1 - q}{x}^{1 - q} + C, & \text{ 若 }q \neq 1, \end{array}\right.
\]
所以
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}} = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty , & \text{ 若 }q \geq 1, \\ \frac{1}{1 - q}{b}^{1 - q}, & \text{ 若 }q < 1. \end{array}\right.
\]
我们看到: 所给的积分当 \( q < 1 \) 时收敛,而当 \( q \geq 1 \) 时发散. 例如, 以下积分收敛:
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}},\;{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}
\]
而以下积分发散:
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x},\;{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}}.
\]
例 8 与上一例的情形类似, 容易求得
\[
{\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{{\left( x - a\right) }^{q}} = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty , & \text{ 若 }q \geq 1, \\ \frac{1}{1 - q}{\left( b - a\right) }^{1 - q}, & \text{ 若 }q < 1. \end{array}\right.
\]
因而瑕积分
\[
{\i
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130_代数拓扑基础 (munkres) (z-lib.org)
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定义 1.3
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定义 1.3 称决策 \( \delta = \delta \left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) \) 是容许的,如果不存在另一决策 \( \widetilde{\delta } \) 使得
\[
R\left( {\theta ,\widetilde{\delta }}\right) \leq R\left( {\theta ,\delta }\right) \;\forall \theta \in \Theta
\]
且对至少一个 \( \theta \) 成立严格不等式。
- 定义 1.4 称决策 \( {\delta }^{ * } \) 是 minimax 决策,若对一切决策 \( \delta \) 成立
\[
\mathop{\sup }\limits_{\theta }R\left( {\theta ,{\delta }^{ * }}\right) \leq \mathop{\sup }\limits_{\theta }R\left( {\theta ,\delta }\right)
\]
- minimax 是一种保守的决策, 目的是避免可能最大损失。
- 如果能了解哪些 \( \theta \) 可能性大,哪些 \( \theta \) 可能性小,就可以计算关于 \( \theta \) 的平均损失, 使这样的平均损失最小。
## 9.2 什么是贝叶斯统计
## 贝叶斯统计
- 在贝叶斯统计中,设总体 \( X \sim p\left( {x \mid \theta }\right) \) ,参数 \( \theta \) 也看成随机的,有先验分布 \( \pi \left( \theta \right) \) 。
- 有了样本 \( X \) 后,得条件分布
\[
p\left( {\theta \mid X}\right) = \frac{\pi \left( \theta \right) p\left( {x \mid \theta }\right) }{p\left( x\right) }
\]
叫做参数的后验分布。其中
\[
p\left( x\right) = \int p\left( {x \mid \theta }\right) \pi \left( \theta \right) {d\theta }
\]
- 先验分布也可以有参数, 叫做超参数。
## 贝叶斯统计的优点
- 可以利用先验知识。
- 很多问题比经典统计叙述更简单。
- 可以提出任意复杂的模型, 没有解析解时主要使用计算机模拟方法得到后验分布进行推断。
## 第十章 随机过程初步
## 10.1 随机过程的概念
## 随机过程介绍
- 定义 1.1 给定参数集 \( T \subset \left( {-\infty ,\infty }\right) \) ,如果对每个 \( t \in T \) ,对应一个随机变量 \( {X}_{t} \) ,则称随机变量族 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 为随机过程。
- 例 1.1 用 \( {X}_{t} \) 表示某电话机从时刻 0 开始到时刻 \( t \) 为止所接到的呼唤次数,则 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in \lbrack 0,\infty }\right\} \) 是随机过程。
- 例 1.2 对晶体管热噪声电压进行测量, 每隔一微秒测一次。测量时刻记作 \( 1,2,\ldots \) ,在时刻 \( t \) 的测量值记作 \( {X}_{t} \) ,则 \( \left\{ {{X}_{t}, t = 1,2,\ldots }\right\} \) 是随机过程。
- 例 1.3 布朗运动。 \( {X}_{t} \) 是花粉颗粒在 \( t \) 时刻所在位置的横坐标,则 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in \lbrack 0,\infty )}\right\} \) 是随机过程。
- 例 1.4 一根面纱中, \( {X}_{t} \) 表示 \( t \) 时刻纺出的纱的横截面直径。则 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in \lbrack 0,\infty )}\right\} \) 是随机过程。
- 考察随机现象如何随着时间而变, 就会遇到随机过程。
- 用 \( E \) 表示各 \( {X}_{t} \) 所可能取的值所组成的集合, \( E \) 叫做状态空间 (或相空间)。如果 \( {X}_{t} = x \) ,就称过程 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 在时刻 \( t \) 处于状态 \( x \) 。
- 当 \( T \) 是一个有限集或可列集时, \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 叫做离散时间的随机过程（随机序列）。最常见的情况是 \( T = \{ 0,1,2,\ldots \} \) 或 \( T = \) \( \{ \ldots , - 1,0,1,\ldots \} \) 。
- 当 \( T \) 是一个区间 (可以是无穷区间) 时, \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 叫做连续时间的随机过程。最常见的情况是 \( T = \lbrack 0,\infty ) \) 或 \( T = \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 。
- 给定 \( T \) 中 \( n \) 个数 \( {t}_{1},{t}_{2},\ldots ,{t}_{n} \) ,记 \( \left( {{X}_{{t}_{1}},{X}_{{t}_{2}},\ldots ,{X}_{{t}_{n}}}\right) \) 的分布函数为 \( {F}_{{t}_{1}{t}_{2}\ldots {t}_{n}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) \) ,这种分布函数的全体
\[
\left\{ {{F}_{{t}_{1}{t}_{2}\ldots {t}_{n}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) : n = 1,2,\ldots ,{t}_{1},{t}_{2},\ldots ,{t}_{n} \in T}\right\}
\]
叫做 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 的 有限维分布函数族,它描述了随机过程的概率特性。
- 随机过程也可以看成是二维函数:
\[
{X}_{t} = {X}_{t}\left( \omega \right) ,\;t \in T,\omega \in \Omega
\]
其中 \( \Omega \) 是条件组 \( S \) 下所有可能结果的集合。给定 \( \omega \in \Omega \) 后, \( {X}_{t}\left( \omega \right) \) 是 \( t \) 的函数,叫做随机过程的一个实现,或现实,或轨道。
## 10.2 独立增量过程
## 独立增量过程
- 定义 2.1 称 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 为独立增量过程,如果对任何 \( {t}_{1} < {t}_{2} < \cdots < \) \( {t}_{n}\left( {{t}_{i} \in T, i = 1,2,\ldots, n}\right) \) ,随机变量
\[
{X}_{{t}_{2}} - {X}_{{t}_{1}},{X}_{{t}_{3}} - {X}_{{t}_{2}},\ldots ,{X}_{{t}_{n}} - {X}_{{t}_{n - 1}}
\]
是相互独立的。
- 如果对独立增量过程 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) ,对任意 \( \tau > 0 \) 都有 \( {X}_{t + \tau } - {X}_{t} \) 的分布函数只依赖于 \( \tau \) 而不依赖于 \( t \) ,则称 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 为时齐的独立增量过程。
- 若 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 是独立增量过程, \( Y \) 是随机变量,则 \( \left\{ {{X}_{t} + Y, t \in T}\right\} \) 也是独立增量过程。所以独立增量过程可以假定 \( {X}_{0} \equiv 0 \) (当 \( 0 \in T \) 时)。
- 例 2.1 设 \( {X}_{1},{X}_{2},\ldots \) 是相互独立的随机变量列, \( {S}_{n} = {X}_{1} + {X}_{2} + \) \( \cdots + {X}_{n}\left( {n = 1,2,\ldots }\right) \) ,则 \( \left\{ {{S}_{n}, n = 1,2,\ldots }\right\} \) 是独立增量过程。若各 \( {X}_{1},{X}_{2},\ldots \) 还是同分布的,则 \( \left\{ {{S}_{n}, n = 1,2,\ldots }\right\} \) 是时齐的独立增量过程。
## 泊松过程
- 定义 2.2 称 \( \left\{ {{X}_{t}, t \geq 0}\right\} \) 是泊松过程,若它是独立增量的,而且 \( {X}_{t} \) 取值是非负整数,增量 \( {X}_{t} - {X}_{s}\left( {0 \leq s < t}\right) \) 服从泊松分布
\[
P\left( {{X}_{t} - {X}_{s} = k}\right) = {e}^{-\lambda \left( {t - s}\right) }\frac{{\left\lbrack \lambda \left( t - s\right) \right\rbrack }^{k}}{k!},\left( {k = 0,1,\ldots }\right)
\]
其中 \( \lambda \) 是与 \( t, s \) 无关的正常数。
- 定理 2.1 设 \( \left\{ {{X}_{t}, t \geq 0}\right\} \) 是取非负整数值的时齐的独立增量过程,满足
\[
P\left( {{X}_{0} = 0}\right) = 1
\]
\[
P\left( {{X}_{t + {\Delta t}} - {X}_{t} = 1}\right) = {\lambda \Delta t} + o\left( {\Delta t}\right) \;\left( {{\Delta t} \rightarrow 0 + }\right)
\]
\[
P\left( {{X}_{t + {\Delta t}} - {X}_{t} \geq 2}\right) = o\left( {\Delta t}\right)
\]
(这里 \( \lambda > 0 \) )。则 \( \left\{ {{X}_{t}, t \geq 0}\right\} \) 就是泊松过程。
## 维纳过程
- 定义 2.3 称独立增量过程 \( \left\{ {{X}_{t}, t \geq 0}\right\} \) 是维纳过程,如果对任何 \( s < t \) ,
\[
{X}_{t} - {X}_{s} \sim \mathrm{N}\left( {0,\left( {t - s}\right) {\sigma }^{2}}\right)
\]
这里 \( \sigma \) 是与 \( s, t \) 无关的正常数。
## 10.3 马尔可夫过程
## 马尔可夫过程
- 设 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 是一个随机过程,状态空间是 \( E \) ,我们可以把这个随机过程看成某系统的 “状态” 的演变过程。 “ \( {X}_{t} = x \) ” 表示该系统在时刻 \( t \) 处于状态 \( x \) 。
- 定义 3.1 称 \( \left\{ {{X}_{t}, t \in T}\right\} \) 是马尔可夫过程,如果对于 \( T \) 中任何 \( n \) 个数 \( {t}_{1} < {t}_{2} < \cdots < {t}_{n}, E \) 中任何 \( n \) 个状态 \( {x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n} \) 及任何实数 \( x \) 均成立
\[
P\left( {{X}_{{t}_{n}} \leq x \mid {X}_{{t}_{1}} = {x}_{1},{X}_{{t}_{2}} = {x}_{2},\ldots ,{x}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1}}\right)
\]
\[
= P\left( {{X}_{{t}_{n}} \leq x \mid {x}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1}}\right)
\]
(3.1)
- 即马尔可夫过程的特征是,如已知 “现在: \( {X}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1} \) ”,则 “将来: \( {X}_{{t}_{n}} \leq x \) ” 不依赖于 “过去: \( {X}_{{t}_{1}} = {x}_{1},{X}_{{t}_{2}} = {x}_{2},\ldots ,{x}_{{t}_{n - 2}} = {x}_{n - 2} \) ”。
- 这表达了过程的 “无后效性”。
- (3.1) 所表达的性质称为马氏性。马尔可夫过程简称马氏过程。
## 马尔可夫链
- 这里对 \( T = \{ 0,1,2,\ldots \}, E \) 为至多可列集的情形作初步介绍。
- 定义 3.2 设 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 是随机序列,状态空间 \( E \) 至多可列,若对任何 \( {i}_{0},{i}_{1},\ldots ,{i}_{n} \in E \) ,只要
\[
P\left( {{X}_{0} = {i}_{0},{X}_{1} = {i}_{1},\ldots ,{X}_{n - 1} = {i}_{n - 1}}\right) \neq 0
\]
就成立
\[
P\left( {{X}_{n} = {i}_{n} \mid {X}_{0} = {i}_{0},{X}_{1} = {i}_{1},\ldots ,{X}_{n - 1} = {i}_{n - 1}}\right)
\]
\[
= P\left( {{X}_{n} = {i}_{n} \mid {X}_{n - 1} = {i}_{n - 1}}\right)
\]
则称 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 为马尔可夫链,简称马氏链。
- 马氏链是一种特殊的马氏过程。
## 转移概率
- 条件概率 \( P\left( {{X}_{t} = j \mid {X}_{s} = i}\right) \) 称为转移概率,记作 \( {p}_{ij}\left( {s, t}\right) \) (这里 \( s \leq t \) )。
- 定理 3.1 设 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 是马氏链,则对 \( s < t < u \) ,有
\[
{p}_{ij}\left( {s, u}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k \in E}}{p}_{ik}\left( {s, t}\right) {p}_{kj}\left( {t, u}\right)
\]
(3.3)
- (3.3) 叫做 Chapman-Kolmogorov 方程。
## 时齐马氏链
- 若任意固定 \( i, j \) 后, \( {p}_{ij}\left( {s, t}\right) = {p}_{ij}\left( {s + \tau, t + \tau }\right) \) (对一切 \( \tau \geq 0 \) ),则称马氏链 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 是时齐的,也叫齐次的。以下只讨论时齐马氏链。
- 对时齐马氏链记
\[
{p}_{ij} = P\left( {{X}_{t + 1} = j \mid {X}_{t} = i}\right)
\]
称矩阵 \( P = \left( {{p}_{ij}, i, j \in E}\right) \) 为一步转移概率矩阵。
- 定理 3.2
\[
{p}_{ij} \geq 0
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j \in E}}{p}_{ij} = 1\;\left( {\forall i \in E}\right)
\]
- 只要一步转移概率 \( P = \left( {p}_{ij}\right) \) 知道了,则马氏链的转移概率特性就完全确定了。
- 记
\[
{p}_{ij}^{\left( n\right) } = P\left( {{X}_{s + n} = j \mid {X}_{s} = i}\right)
\]
表示 \( n \) 步转移概率。
- 矩阵 \( \left( {{p}_{ij}^{\left( n\right) }, i, j \in E}\right) = {P}^{n} \) 。
- 例 3.1 (自由随机游动) 某质点在整数点集 \( \{ \ldots , - 1,0,1,\ldots \} \) 上随机游动。设开始时指点在位置 0 , 以后每经过一个单位时间按下列概率规则改变一次位置:
- 如果它在某时刻位于点 \( i \) ,则它以概率 \( p\left( {0 < p < 1}\right) \) 转移到 \( i + 1 \) ,以概率 \( 1 - p \) 转移到 \( i - 1 \) 。
- 用 \( {X}_{n} \) 表示质点在时刻 \( n \) 所在的位置,则 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 就是一个马氏链, 转移概率为
\[
{p}_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} p & j = i + 1 \\ 1 - p & j = i - 1 \\ 0 & j = i\text{ 或 }j < i - 1\text{ 或 }j > i + 1 \end{array}\right.
\]
- 质点在整数点集 \( \{ 0,1,2,\ldots \} \) 上随机游动。
- 转移规律是:
- 若在某时刻处于位置 \( i > 0 \) ,则在下一步以概率 \( p\left( {0 < p < 1}\right) \) 转移到 \( i + 1 \) ,以概率 \( 1 - p \) 转移到 \( i - 1 \) 。
- 若某时刻处于位置 0 , 则下一步仍停留在位置 0 。
- 如果开始时质点位于 \( {i}_{0}\left( {{i}_{0} > 0}\right) \) ,在时刻 \( n \) 时位置记为 \( {X}_{n} \) ,则 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 是一个马氏链,其一步转移概率矩阵为
\[
P = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - p & 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 1 - p & 0 & p & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix}\right)
\]
- 例 3.3 (Ehrenfest 模型) 考察带有 \( m + 1 \) 个状态 (记为 \( 0,1,\ldots, m \) ) 的系统的转移问题。
- 其转移规律为:
- 若系统在某时刻处于状态 \( i\left( {1 \leq i \leq m - 1}\right) \) ,则在下一步以概率 \( \frac{i}{m} \) 转移到状态 \( i - 1 \) ,以概率 \( 1 - \frac{i}{m} \) 转移到状态 \( i + 1 \) ;
- 若某时刻处于状态 0 , 则下一步转移到状态 1 ;
- 若某时刻处于状态 \( m \) ,则下一步转移到状态 \( m - 1 \) 。
- 设开始时系统的状态是 \( {X}_{0} \) ,时刻 \( n \) 的状态为 \( {X}_{n} \) ,则 \( \left\{ {{X}_{n}, n = }\right. \) \( 0,1,2,\ldots \} \) 是马氏链。
- 这个马氏链的状态空间是有限集。
## 马氏链理论中的问题
- 1. 状态的性质怎样? 是否有些状态经常出现?
- 2. 转移概率 \( {p}_{ij}^{\left( n\right) } \) 当 \( n \rightarrow \infty \) 时是否有极限? 如果有极限,极限是什么?
- 3. 设马氏链 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 的一步转移概率矩阵 \( P = \left( {{p}_{ij}, i, j \in }\right. \)
\( E) \) ,什么条件下各 \( {X}_{n} \) 有相同的概率分布? 什么条件下序列 \( f\left( {X}_{0}\right), f\left( {X}_{1}\right) ,\ldots, f\left( {X}_{n}\right) ,\ldots \) 符合强大数律, 即
\[
P\left( {\mathop{\lim }\limits_{n}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\left| {f\left( {X}_{i}\right) - {Ef}\left( {X}_{i}\right) }\right| = 0}\right) = 1
\]
- 定义 3.3 称状态 \( i \) 是马氏链 \( \left\{ {{X}_{n}, n = 0,1,2,\ldots }\right\} \) 的常返状态,若
\[
P\left( {\text{存在}n > s\text{使}{X}_{n} = i \mid {X}_{s} = i}\right
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1238_[丘维声] 群表示论
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定义 2
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定义 2 群 \( G \) 上的 \( K \) -值函数 \( f \) 如果对于任给 \( a \in G \) ,有
\[
f\left( {{ga}{g}^{-1}}\right) = f\left( a\right) ,\;\forall g \in G,
\]
那么称 \( f \) 是 \( G \) 上的一个类函数.
群 \( G \) 的任一 \( K \) -表示提供的特征标都是 \( G \) 上的类函数.
群 \( G \) 的所有类函数组成的集合记作 \( C{f}_{K}\left( G\right) \) ,易验证它是线性空间 \( {K}^{G} \) 的一个子空间,也是环 \( {K}^{G} \) 的一个子环. 称 \( C{f}_{K}\left( G\right) \) 是 \( G \) 的类函数环.
命题 3 设 \( \left( {\varphi, V}\right) \) 和 \( \left( {\psi, W}\right) \) 都是群 \( G \) 的 \( K \) -表示,如果 \( \varphi \approx \psi \) ,那么 \( {\chi }_{\varphi } = {\chi }_{\psi } \) .
证明 若 \( \varphi \approx \psi \) ,则它们分别提供的矩阵表示 \( \Phi \) 与 \( \Psi \) 等价. 于是存在域 \( K \) 上的可逆矩阵 \( S \) ,使得
\[
\Psi \left( g\right) = {S\Phi }\left( g\right) {s}^{-1},\;\forall g \in G.
\]
从而
\[
{\chi }_{\psi }\left( g\right) = \operatorname{tr}\left\lbrack {\Psi \left( g\right) }\right\rbrack = \operatorname{tr}\left\lbrack {\Phi \left( g\right) }\right\rbrack = {\chi }_{\varphi }\left( g\right) ,\;\forall g \in G.
\]
因此
\[
{\chi }_{\psi } = {\chi }_{\varphi }
\]
从命题 3 得出,若 \( {\chi }_{\varphi } \neq {\chi }_{\psi } \) ,则 \( \varphi ≉ \psi \) . 这给出了判定群 \( G \) 的两个 \( K \) -表示不等价的一个方法. 进一步要问: 若 \( {\chi }_{\varphi } = {\chi }_{\psi } \) ,是否有 \( \varphi \approx \psi \) ? 这个问题待 \( §2 \) 来解决.
群 \( G \) 在域 \( K \) 上的主表示 \( {\varphi }_{0} \) 提供的特征标称为 \( G \) 的主特征标,记作 \( {\chi }_{0} \) . 由于 \( G \) 的主表示 \( {\varphi }_{0} \) 是 1 次平凡表示,因此对于任意 \( g \in G \) ,有
\[
{\chi }_{0}\left( g\right) = \operatorname{tr}\left( {{\varphi }_{0}\left( g\right) }\right) = 1.
\]
(4)
群 \( G \) 的主表示也记作 \( {1}_{G} \) ,由于 \( {1}_{G}\left( g\right) = 1,\forall g \in G \) ,因此 \( G \) 的主表示 \( {1}_{G} \) 提供的特征标 \( {\chi }_{0} \) 与 \( {1}_{G} \) 相等.
群 \( G \) 在域 \( K \) 上的不可约表示提供的特征标称为不可约特征标.
有限群 \( G \) 在域 \( K \) 上的正则表示 \( \rho \) 提供的特征标 \( {\chi }_{\rho } \) 有什么性质? 由命题 1 立即得到
\[
{\chi }_{\rho }\left( 1\right) = \left( {\deg \rho }\right) 1 = \dim \left( {K\left\lbrack G\right\rbrack }\right) 1 = \left| G\right| 1.
\]
(5)
当 \( g \neq 1 \) 时,对于任意 \( x \in G \) 有 \( \rho \left( g\right) x = {gx} \neq x \) . 因此线性变换 \( \rho \left( g\right) \) 在 \( K\left\lbrack G\right\rbrack \) 的一个基 (即 \( G \) 的全部元素) 下的矩阵,其主对角元都是 0 . 从而有
\[
{\chi }_{\rho }\left( g\right) = 0,\;\text{ 当 }g \neq 1.
\]
(6)
命题 4 设 \( \left( {\varphi, V}\right) \) 是群 \( G \) 的 \( K \) -表示,若 \( \varphi = {\varphi }_{U} \oplus {\varphi }_{W} \) ,则 \( {\chi }_{\varphi } = {\chi }_{{\varphi }_{U}} + {\chi }_{{\varphi }_{W}} \) .
证明 在 \( U, W \) 中分别取一个基,合起来成为 \( V \) 的一个基. \( \varphi ,{\varphi }_{U},{\varphi }_{W} \) 在相应基下提供的矩阵表示 \( \Phi ,{\Phi }_{U},{\Phi }_{W} \) 有下述关系:
\[
\Phi \left( g\right) = \left( \begin{matrix} {\Phi }_{U}\left( g\right) & 0 \\ 0 & {\Phi }_{W}\left( g\right) \end{matrix}\right) ,\;\forall g \in G.
\]
因此对于任意 \( g \in G \) ,有
\[
{\chi }_{\varphi }\left( g\right) = \operatorname{tr}\left\lbrack {\Phi \left( g\right) }\right\rbrack = \operatorname{tr}\left\lbrack {{\Phi }_{U}\left( g\right) }\right\rbrack + \operatorname{tr}\left\lbrack {{\Phi }_{W}\left( g\right) }\right\rbrack
\]
\[
= {\chi }_{{\varphi }_{U}}\left( g\right) + {\chi }_{{\varphi }_{W}}\left( g\right) = \left( {{\chi }_{{\varphi }_{U}} + {\chi }_{{\varphi }_{W}}}\right) \left( g\right) ,
\]
从而
\[
{\chi }_{\varphi } = {\chi }_{{\varphi }_{U}} + {\chi }_{{\varphi }_{W}}
\]
类似地, 可证明下述命题.
命题 5 设 \( \left( {{\varphi }_{1},{V}_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{\varphi }_{2},{V}_{2}}\right) \) 是群 \( G \) 的两个 \( K \) -表示,则
\[
{\chi }_{{\varphi }_{1}\dot{ + }{\varphi }_{2}} = {\chi }_{{\varphi }_{1}} + {\chi }_{{\varphi }_{2}}
\]
命题 4 和命题 5 都可以推广到有限多个表示的直和的情形.
从命题 5 看出,群 \( G \) 的任意两个特征标的和仍是 \( G \) 的特征标. 进一步可推广为: 群 \( G \) 的有限多个特征标的和仍是 \( G \) 的特征标.
有限群 \( G \) 的所有元素的阶的最小公倍数称为 \( G \) 的指数. 设有限群 \( G \) 的指数为 \( m, G \) 的复表示 \( \left( {\varphi, V}\right) \) 提供的特征标记作 \( \chi \) . 试问: 对于任意 \( g \in G,\chi \left( g\right) \) 是什么样的复数? 由于 \( \chi \left( g\right) = \operatorname{tr}\left( {\varphi \left( g\right) }\right) \) ,而 \( \operatorname{tr}\left( {\varphi \left( g\right) }\right) \) 等于 \( \varphi \left( g\right) \) 的特征多项式 \( f\left( \lambda \right) \) 的所有复根的和 (参看 [28] 第 73 页的例 16),因此需要调查 \( f\left( \lambda \right) \) 的复根是什么样子? 这需要调查线性变换 \( \varphi \left( g\right) \) 有什么性质. 由于 \( G \) 的指数为 \( m \) ,因此 \( {g}^{m} = 1 \) . 从而有 \( \varphi {\left( g\right) }^{m} = {1}_{V} \) . 于是 \( {\lambda }^{m} - 1 \) 是 \( \varphi \left( g\right) \) 的一个零化多项式. \( {\lambda }^{m} - 1 \) 的所有复根为 \( 1,\xi ,{\xi }^{2},\cdots ,{\xi }^{m - 1} \) ,其中 \( \xi = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{m}} \) . 由于 \( \varphi \left( g\right) \) 的最小多项式 \( m\left( \lambda \right) \mid {\lambda }^{m} - 1 \) ,因此 \( m\left( \lambda \right) \) 的复根都是 \( m \) 次单位根. 由于 \( m\left( \lambda \right) \) 与 \( f\left( \lambda \right) \) 有相同的复根 (重数可以不同),因此 \( f\left( \lambda \right) \) 的复根都是 \( m \) 次单位根. 从而 \( \chi \left( g\right) \) 等于 \( m \) 次单位根的和. 于是我们证明了下述命题.
命题 6 设有限群 \( G \) 的指数为 \( m, G \) 的任一复表示 \( \varphi \) 提供的特征标记作 \( \chi \) ,则 \( \chi \left( g\right) \) 等于 \( m \) 次单位根的和, \( \forall g \in G \) .
下面讨论 \( \chi \left( {g}^{-1}\right) \) 与 \( \chi \left( g\right) \) 有什么关系. 设 \( \deg \varphi = n,\varphi \left( g\right) \) 的 \( n \) 个特征值记作 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n} \) ,则 \( \varphi {\left( g\right) }^{-1} \) 的 \( n \) 个特征值为 \( {\lambda }_{1}^{-1},{\lambda }_{2}^{-1},\cdots ,{\lambda }_{n}^{-1} \) . 从命题 6 的证明过程知道, \( {\lambda }_{i} \) 是 \( m \) 次单位根. 因此 \( \left| {\lambda }_{i}\right| = 1 \) . 从而 \( {\lambda }_{i}^{-1} = {\bar{\lambda }}_{i}, i = 1,2\cdots, n \) . 因此
\[
\chi \left( {g}^{-1}\right) = \operatorname{tr}\left( {\varphi \left( {g}^{-1}\right) }\right) = \operatorname{tr}\left( {\varphi {\left( g\right) }^{-1}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }_{i}^{-1}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\bar{\lambda }}_{i} = \overline{\chi \left( g\right) }
\]
于是我们证明了下述命题.
命题 7 设 \( \chi \) 是有限群 \( G \) 的复表示 \( \varphi \) 提供的特征标,则
\[
\chi \left( {g}^{-1}\right) = \overline{\chi \left( g\right) },\;\forall g \in G.
\]
(7)
下面讨论 \( \left| {\chi \left( g\right) }\right| \) 有什么性质. 对于任意 \( g \in G \) ,有
\[
\left| {\chi \left( g\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }_{i}}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {\lambda }_{i}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}1 = n = \chi \left( 1\right) .
\]
(8)
什么时候 (8) 式取等号呢? 容易想到,若 \( \varphi \left( g\right) \) 是数乘变换 \( c{1}_{V} \) ,则 \( c \) 是 \( \varphi \left( g\right) \) 的特征值. 从而 \( c \) 是 \( m \) 次单位根. 于是
\[
\left| {\chi \left( g\right) }\right| = \left| {\operatorname{tr}\left( {\varphi \left( g\right) }\right) }\right| = \left| {\operatorname{tr}\left( {c{1}_{V}}\right) }\right| = \left| {nc}\right| = n = \chi \left( 1\right) .
\]
反之,设 \( \left| {\chi \left( g\right) }\right| = \chi \left( 1\right) \) ,则由 (8) 式得
\[
\left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }_{i}}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {\lambda }_{i}\right|
\]
(9)
我们知道,复数集 \( \mathbb{C} \) 与复平面上所有定位向量组成的集合 \( V \) 之间有一个一一对应, 且它是实线性空间 \( \mathbb{C} \) 到 \( V \) 的线性映射,从而它是 \( \mathbb{C} \) 到 \( V \) 的一个同构映射. 我们又知道,对于 \( a, b \in V \) ,且 \( a \neq 0,\left| {a + b}\right| = \left| a\right| + \left| b\right| \) 的充分必要条件为存在一个非负实数 \( r \) ,使得 \( b = {ra} \) . 于是对于 \( m \) 次单位根 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) ,从 \( \left| {{\lambda }_{1} + {\lambda }_{2}}\right| = \left| {\lambda }_{1}\right| + \left| {\lambda }_{2}\right| \) 可以推出 \( {\lambda }_{1} = {\lambda }_{2} \) . 假设从 \( \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}{\lambda }_{i}}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}\left| {\lambda }_{i}\right| \) 可以推出 \( {\lambda }_{1} = {\lambda }_{2} = \cdots = {\lambda }_{n - 1} \) . 我们来看 \( n \) 个 \( m \) 次单位根 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n} \) 的情形. 设 (9) 式成立,则
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {\lambda }_{i}\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }_{i}}\right| = \left| {\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}{\lambda }_{i}}\right) + {\lambda }_{n}}\right| \leq \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}{\lambda }_{i}}\right| + \left| {\lambda }_{n}\right| .
\]
于是有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}\left| {\lambda }_{i}\right| \leq \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}{\lambda }_{i}}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}\left| {\lambda }_{i}\right|
\]
从而有 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}\left| {\lambda }_{i}\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}{\lambda }_{i}}\right| \) . 由归纳假设得 \( {\lambda }_{1} = {\lambda }_{2} = \cdots = {\lambda }_{n - 1} \) . 于是从 (9) 式得
\[
\left| {\left( {n - 1}\right) {\lambda }_{1} + {\lambda }_{n}}\right| = \left| {\left( {n - 1}\right) {\lambda }_{1}}\right| + \left| {\lambda }_{n}\right| .
\]
(10)
从而存在一个非负实数 \( r \) ,使得 \( \left( {n - 1}\right) {\lambda }_{1} = r{\lambda }_{n} \) . 两边取模得, \( r = n - 1 \) . 因此 \( {\lambda }_{1} = {\lambda }_{n} \) . 于是 \( {\lambda }_{1} = {\lambda }_{2} = \cdots = {\lambda }_{n - 1} = {\lambda }_{n} \) . 从而 \( \varphi \left( g\right) \) 的全部特征值是 \( {\lambda }_{1}\left( {n\text{重}}\right) \) . 于是 \( m\left( \lambda \right) \) 的全部复根是 \( {\lambda }_{1} \) (重数不超过 \( n \) ). 由于 \( m\left( \lambda \right) \mid {\lambda }^{m} - 1 \) ,且 \( {\lambda }^{m} - 1 \) 没有重根. 因此 \( m\left( \lambda \right) \) 没有重根. 从而 \( m\left( \lambda \right) = \lambda - {\lambda }_{1} \) . 由此得出, \( \varphi \left( g\right) = {\lambda }_{1}{1}_{V} \) . 于是我们证明了下述命题.
命题 8 设有限群 \( G \) 的指数为 \( m,\chi \) 是 \( G \) 的 \( n \) 次复表示 \( \left( {\varphi, V}\right) \) 提供的特征标, 则对于任意 \( g \in G \) ,有 \( \left| {\chi \left( g\right) }\right| \leq \chi \left( 1\right) \) ,并且等号成立当且仅当 \( \varphi \left( g\right) = c{1}_{V} \) ,其中 \( c \) 是 \( m \) 次单位根.
什么时候 \( \chi \left( g\right) = \chi \left( 1\right) \) ? 显然当 \( \varphi \left( g\right) = {1}_{V} \) 时,有
\[
\chi \left( g\right) = \operatorname{tr}\left( {\varphi \left( g\right) }\right) = \operatorname{tr}\left(
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1701_《拓扑学基础》(作者)林金坤 科学1998年6月第1版
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定义 3.8
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定义 3.8 单纯映射 \( \varphi : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 叫做映射 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 的 单纯逼近,如果对任 \( x \in \left| K\right| ,\varphi \left( x\right) \in {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) .
这就是说对每点 \( x \in \left| K\right| ,\varphi \left( x\right) \) 和 \( f\left( x\right) \) 在同一个单形中,在某种程度上 \( \varphi \left( x\right) \) “逼近” \( f\left( x\right) \) .
对单形 \( \sigma \in K \) ,我们定义开星形 \( {\operatorname{st}}_{K}\sigma = { \cup }_{\sigma < \tau }\overset{ \circ }{\tau } \) ,即所有以 \( \sigma \) 为面的单形 \( \tau \) 的内部 \( \overset{ \circ }{\tau } \) 的并集. \( {\operatorname{st}}_{K}\sigma \) 是 \( \left| K\right| \) 的开子集.
命题 3.9 单纯映射 \( \varphi : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 是映射 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 的单纯逼近当且仅当对 \( K \) 的每一顶点 \( a \) 有 \( f\left( {{\operatorname{st}}_{K}a}\right) \subset {\operatorname{st}}_{L}\varphi \left( a\right) \) (称为 星形条件).
证: 必要性. 任意 \( x \in {\operatorname{st}}_{K}a = { \cup }_{a < \tau }\overset{ \circ }{\tau } \) ,则 \( x \in \overset{ \circ }{\tau } \) ,某个以 \( a \) 为顶点的单形 \( \tau \) ,即 \( \tau = {\operatorname{Car}}_{K}x, a < {\operatorname{Car}}_{K}x \) . 因此由 \( \varphi \) 是单纯映射得出 \( \varphi \left( a\right) < \varphi \left( {{\operatorname{Car}}_{K}x}\right) = {\operatorname{Car}}_{L}\varphi \left( x\right) \) . 另一方面, \( \varphi \) 是 \( f \) 的单纯逼近,因此, \( {\operatorname{Car}}_{L}\varphi \left( x\right) < {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) 从而有. \( \varphi \left( a\right) < {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) . 因此, \( f\left( x\right) \in {\operatorname{st}}_{L}\varphi \left( a\right) \) .
充分性. 任 \( x \in \left| K\right|, x \) 是唯一单形 \( \tau = \left( {{a}^{0},{a}^{1},\ldots ,{a}^{n}}\right) \) 的内点,因此 \( x \in {\operatorname{st}}_{K}{a}^{i} \) ,从而 \( f\left( x\right) \in f\left( {{\operatorname{st}}_{K}{a}^{i}}\right) \subset {\operatorname{st}}_{L}\varphi \left( {a}^{i}\right), i = \) \( 0,1,\ldots, n \) ,设 \( \eta \) 是以 \( \varphi \left( {a}^{0}\right) ,\ldots ,\varphi \left( {a}^{n}\right) \) 为面的 \( L \) 中的单形,则 \( f\left( x\right) \in \overset{ \circ }{\eta } \) ,从而 \( \varphi \left( x\right) \in \eta = {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) .
一般的,映射 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 不一定存在单纯逼近,下面是 \( f \) 有单纯逼近的充分条件.
定理 3.10 设 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 为映射,而且对 \( K \) 的每一顶点 \( a \) ,存在 \( L \) 的顶点 \( b \) 使 \( f\left( {{\operatorname{st}}_{K}a}\right) \subset {\operatorname{st}}_{L}b \) (称为星形条件), 则 \( f \) 有单纯逼近 \( \varphi : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 使 \( \varphi \left( a\right) = b \) .
证: 作顶点对应 \( \varphi : K \rightarrow L \) 定义为 \( \varphi \left( a\right) = b \) . 对 \( K \) 的单形 \( \tau = \left( {{a}^{0},{a}^{1},\ldots ,{a}^{n}}\right) \) ,设 \( x \in \overset{ \circ }{\tau } \) ,则 \( x \in \operatorname{st}{a}^{0} \cap \operatorname{st}{a}^{1} \cap \cdots \cap \operatorname{st}{a}^{n} \) . 由此得出 \( f\left( x\right) \in f\left( {\operatorname{st}{a}^{0}}\right) \cap \cdots \cap f\left( {\operatorname{st}{a}^{n}}\right) \subset \operatorname{st}\varphi \left( {a}^{0}\right) \cap \cdots \cap \operatorname{st}\varphi \left( {a}^{n}\right) \) , 从而有 \( f\left( x\right) \in \operatorname{st}\varphi \left( {a}^{i}\right), i = 0,1,\ldots, n \) . 另外 \( f\left( x\right) \in {\overset{ \circ }{\tau }}_{1} \) ,其中 \( {\tau }_{1} = {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) . 因此 \( {\tau }_{1} \) 以 \( \varphi \left( {a}^{0}\right) ,\ldots ,\varphi \left( {a}^{n}\right) \) 为它的顶点,从而 \( \varphi \left( {a}^{0}\right) ,\ldots ,\varphi \left( {a}^{n}\right) \) 必展成 \( L \) 的一个单形. 令 \( \varphi : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 定义为 \( \varphi \left( x\right) = \sum {\lambda }_{i}\varphi \left( {a}^{i}\right) \) ,当 \( x = \sum {\lambda }_{i}{a}^{i} \in \left( {{a}^{0},\ldots ,{a}^{n}}\right) \) ,则 \( \varphi \) 满足定义 3.5(a)-(c),是单纯映射,而且由命题 \( {3.9},\varphi \) 是 \( f \) 的单纯逼近.
定理 3.11 (1) 设 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 有单纯逼近 \( \varphi : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) , 则 \( f \simeq \varphi \;\operatorname{rel}A \) ,其中 \( A = \{ x \in \left| K\right| \mid f\left( x\right) = \varphi \left( x\right) \} \) .
(2) 若单纯映射 \( {\varphi }_{1},{\varphi }_{2} \) 是映射 \( {f}_{1} : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| ,{f}_{2} : \left| L\right| \rightarrow \left| M\right| \) 的单纯逼近,则 \( {\varphi }_{2}{\varphi }_{1} \) 是 \( {f}_{2}{f}_{1} \) 的单纯逼近.
证: (1) 根据单纯逼近定义, \( \varphi \left( x\right) \in {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) ,但是 \( f\left( x\right) \in {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) ,因此 \( \varphi \left( x\right) \) 和 \( f\left( x\right) \) 在 \( L \) 的同一个单形中, \( \varphi \left( x\right) \) 和 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left| L\right| \) 中可用线段连接. 由第一章 \( §9 \) 定理 9.3, \( f \simeq \varphi \) rel \( A \) .
(2) 的证明留给读者.
推论 3.12 设 \( f : \left( {\left| K\right| ,\left| L\right| }\right) \rightarrow \left( {\left| M\right| ,\left| N\right| }\right) \) 是多面体偶之间的映射. 若 \( \varphi : \left| K\right| \rightarrow \left| M\right| \) 是 \( f \) 的单纯逼近,则 \( \varphi \left( \left| L\right| \right) \subset \left| N\right| \) ,且 \( f \simeq \varphi : \left( {\left| K\right| ,\left| L\right| }\right) \rightarrow \left( {\left| M\right| ,\left| N\right| }\right) . \)
证: 任意 \( x \in \left| L\right| \) ,则 \( f\left( x\right) \in \left| N\right| \) ,从而 \( {\operatorname{Car}}_{M}f\left( x\right) \in N \) . 另一方面, \( \varphi \) 是 \( f \) 的单纯逼近,有 \( \varphi \left( x\right) \in {\operatorname{Car}}_{M}f\left( x\right) \) ,从而 \( \varphi \left( x\right) \in \mid N \mid \) . 和定理 3.11 证明类似, \( \varphi \left( x\right) \) 和 \( f\left( x\right) \) 在同一个单形中, \( f \simeq \varphi : \left( {\left| K\right| ,\left| L\right| }\right) \rightarrow \left( {\left| M\right| ,\left| N\right| }\right) \) .
例 3.13 设 \( K, L \) 为如下图所示的两个复形, \( f : \left| K\right| \rightarrow \) \( \left| L\right| \) 为映射将 1 维单形 \( \left( {{a}^{0},{a}^{1}}\right) \) 映射成图中的曲线. 容易看出 \( f\left( {\operatorname{st}{a}^{0}}\right) = f\left( \left\lbrack {{a}^{0},{a}^{1}}\right) \right) \) 不包含在任一个 \( {\operatorname{st}}_{L}{b}^{i} \) 中,即 \( f \) 不满足星形条件. 因此,一般的 \( f \) 不一定有单纯逼近. 但是若将 \( K \) 作二次重心重分 \( {K}^{\prime \prime } \) ,(即将闭区间 \( \left\lbrack {{a}^{0},{a}^{1}}\right\rbrack \) 四等分作成的复形),则 \( f \) 将会满足星形条件,从而 \( f \) 有单纯逼近. 这就是说, 尽管 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 不一定有单纯逼近,但当 \( n \) 充分大时, \( f : \left| {K}^{\left( n\right) }\right| \rightarrow \left| L\right| \) 会有单纯逼近. 这将是下面单纯逼近存在定理所叙述的.
定义 \( {3.14}\;\left( 1\right) \) 多面体 \( \left| K\right| \) 的子集族 \( \left\{ {{\operatorname{st}}_{K}a \mid a}\right. \) 为 \( K \) 的顶点 \( \} \) 称为 \( \left| K\right| \) 的 星形覆盖.
(2) \( \left| K\right| \) 的开覆盖 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 的网径 \( \operatorname{mesh}\left\{ {U}_{\alpha }\right\} = \sup \left\{ {\operatorname{diam}{U}_{\alpha }}\right\} \) .
(3) \( \left| K\right| \) 的网径 \( \operatorname{mesh}K = \operatorname{mesh}\left\{ {{\operatorname{st}}_{K}a \mid a}\right. \) 为 \( K \) 的顶点 \( \} \) .
命题 3.15 任给复形 \( K \) 和正数 \( \epsilon \) ,存在正整数 \( r \) 使 mesh \( {K}^{\left( r\right) } < \epsilon \)
证: 设 \( \lambda \) 为 \( K \) 的 1 维单形长度的最大值,则对 \( K \) 中每一单形 \( \sigma \) ,有 \( \operatorname{diam}\sigma \leq \lambda \) (习题 1). 设 \( a \) 为 \( K \) 的任一顶点, \( x \in \operatorname{st}a = { \cup }_{a < \tau }\overset{ \circ }{\tau } \) ,因此 \( x \in \overset{ \circ }{\tau } \) ,某个以 \( a \) 为顶点的单形 \( \tau \) ,从而 \( \rho \left( {x, a}\right) \leq \lambda ,\operatorname{diam}\left( {\operatorname{st}a}\right) \leq {2\lambda } \) . 因此 \( \operatorname{mesh}K \leq \) 2λ. \( {K}^{\prime } \) 的一维单形形如 \( \left( {{\widehat{\sigma }}_{1},{\widehat{\sigma }}_{0}}\right) ,{\sigma }_{0} < {\sigma }_{1} \) (参见定理 3.4). 令 \( {\sigma }_{0} = \left( {{a}^{0},{a}^{1},\ldots ,{a}^{p}}\right) ,{\sigma }_{1} = \left( {{a}^{0},{a}^{1},\ldots ,{a}^{p},\ldots ,{a}^{q}}\right) \) ,并且记 \( \tau = \) \( \left( {{a}^{p + 1},\ldots ,{a}^{q}}\right) \) ,因此有
\[
{\widehat{\sigma }}_{0} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{p}\frac{1}{p + 1}{a}^{i},\;\widehat{\tau } = \mathop{\sum }\limits_{{i = p + 1}}^{q}\frac{1}{q - p}{a}^{i}
\]
\[
{\widehat{\sigma }}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{q}\frac{1}{q + 1}{a}^{i} = \frac{p + 1}{q + 1}{\widehat{\sigma }}_{0} + \frac{q - p}{q + 1}\widehat{\tau }
\]
并且 \( \rho \left( {{\widehat{\sigma }}_{0},{\widehat{\sigma }}_{1}}\right) = \frac{q - p}{q + 1}\rho \left( {{\widehat{\sigma }}_{0},\widehat{\tau }}\right) \leq \frac{q}{q + 1}\lambda \leq \frac{n}{n + 1}\lambda \) ,其中 \( n \) 为 \( K \) 的维数. 这就是说, \( {K}^{\prime } \) 的 1 维单形的最大长度 \( \leq \frac{n}{n + 1}\lambda \) ,因此 \( \operatorname{mesh}{K}^{\left( r\right) } \leq 2\left\lbrack {K}^{\left( r\right) }\right. \) 的 1 维单形的最大长度 \( \rbrack \leq 2{\left( \frac{n}{n + 1}\right) }^{r}\lambda \) . 这个数字当 \( r \rightarrow \infty \) 趋向于 0 . 命题得证.
定理 3.16(单纯逼近存在定理) 任意映射 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) , 存在正整数 \( r \) 使 \( f : \left| {K}^{\left( r\right) }\right| \rightarrow \left| L\right| \) 有单纯逼近.
证: 设 \( \left\{ {{\operatorname{st}}_{L}b \mid b}\right. \) 为 \( L \) 的顶点 \( \} \) 是 \( L \) 的星形覆盖,则 \( \left\{ {{f}^{-1}{\operatorname{st}}_{L}b}\right\} \) 是 \( \left| K\right| \) 的开覆盖. 由 \( \left| K\right| \) 紧,存在 Legesgue 数 \( \delta > 0 \) ,使 \( \left| K\right| \) 中直径小于 \( \delta \) 的子集 \( S \) 包含在某一个 \( {f}^{-1}{\mathrm{{st}}}_{L}b \) 中. 取正整数 \( r \) 使 \( \operatorname{mesh}{K}^{\left( r\right) } < \frac{\delta }{2} \) ,则对 \( {K}^{\left( r\right) } \) 的任一顶点 \( a,{\operatorname{st}}_{K}a \) 的直径 \( < \delta \) 从而存在 \( b \) 使 \( {\operatorname{st}}_{{K}^{\left( r\right) }}a \subset {f}^{-1}\left( {{\operatorname{st}}_{L}b}\right) \) . 这就是说 \( f : \left| {K}^{\left( r\right) }\right| \rightarrow \left| L\right| \) 满足定理 3.10 的星形条件, \(
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1434_华章数学译丛 5 曲线和曲面的微分几何学
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定义 5
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定义 5 沿参数曲线 \( \alpha : I \rightarrow S \) 的向量场 \( w \) 称为平行,如果对所有 \( t \in I,\frac{Dw}{dt} = 0 \) .
图 4-10
对于平面的情形, 沿参数曲线的平行向量场就是沿曲线的常值向量场, 即向量的长度以及与一固定方向的交角均为常数 (图 4-10). 如下面的命题所述, 这些性质在任何曲面上也部份地成立.
命题 1 设 \( w \) 和 \( v \) 是沿 \( \alpha : I \rightarrow S \) 的平行向量场,则 \( \langle w\left( t\right) \) , \( v\left( t\right) \rangle \) 为常数. 特别地, \( \left| {w\left( t\right) }\right| \) 和 \( \left| {v\left( t\right) }\right| \) 是常数而且 \( v\left( t\right) \) 和 \( w\left( t\right) \) 的交角为常数.
证明 向量场 \( W \) 沿 \( \alpha \) 平行这句话的意思是 \( \frac{dw}{dt} \) 垂直于曲面在 \( \alpha \left( t\right) \) 处的切平面; 也就是说,
\[
\left\langle {v\left( t\right) ,{w}^{\prime }\left( t\right) }\right\rangle = 0, t \in I.
\]
另一方面, \( {v}^{\prime }\left( t\right) \) 也垂直于 \( S \) 在 \( \alpha \left( t\right) \) 的切平面. 因此,
\[
\langle v\left( t\right), w\left( t\right) {\rangle }^{\prime } = \left\langle {{v}^{\prime }\left( t\right), w\left( t\right) }\right\rangle + \left\langle {v\left( t\right) ,{w}^{\prime }\left( t\right) }\right\rangle = 0;
\]
即 \( \langle v\left( t\right), w\left( t\right) \rangle = \) 常数. 证毕.
当然,在一任意曲面上,从我们 \( {\mathbb{R}}^{3} \) 的直观来看平行向量场,也许显得很奇怪. 例如, 单位球面的子午线 (以弧长作参数) 的切向量场是 \( {S}^{2} \) 上的平行向量场 (图 4-11). 实际上,由于子午线是 \( {S}^{2} \) 上的大圆,这种向量场的普通导数垂直于 \( {S}^{2} \) . 因而,它的协变导数为零.
图 4-11 球面上的平行向量场
下面的命题表明: 沿着参数曲在一点 \( {t}_{0} \) 的值完全确定.
命题 2 设 \( \alpha : I \rightarrow S \) 是 \( S \) 上的一条参数曲线并设 \( {w}_{0} \in {T}_{\mathbf{\alpha }\left( {t}_{0}\right) }\left( S\right) \) , \( {t}_{0} \in I \) . 则沿 \( \alpha \left( t\right) \) 存在唯一的平行向量场 \( w\left( t\right) \) 使得 \( w\left( {t}_{0}\right) = {w}_{0} \) .
命题 2 的一个初等证明将在本节的后面给出. 但是, 熟悉 \( §3 - 6 \) 的内容的读者会注意到, 其证明是微分方程的存在唯一性定理的直接推论. 线 \( \alpha \left( t\right) \) ,总存在平行向量场,并由它
命题 2 使我们能论及一个向量沿参数曲线的平行移动.
定义 6 设 \( \alpha : I \rightarrow S \) 是一参数曲线. 并设 \( {W}_{0} \in {T}_{\alpha \left( {t}_{0}\right) }\left( S\right) ,{t}_{0} \) \( \in I \) . 设 \( W \) 为沿 \( \alpha \) 的平行向量场且有 \( w\left( {t}_{0}\right) = {w}_{0} \) . 则向量 \( w\left( {t}_{1}\right) \) , \( {t}_{1} \in I \) ,称为 \( {w}_{0} \) 沿 \( \alpha \) 到 \( {t}_{1} \) 点的平行移动.
应注意,如果曲线 \( \alpha : I \rightarrow S, t \in I \) ,是正则的,则平行移动不依赖于 \( \alpha \left( I\right) \) 的参数表示. 实际上,如果 \( \beta : J \rightarrow S,\sigma \in J \) ,是 \( \alpha \left( I\right) \) 的另一正则参数表示, 从方程 (1) 可得
\[
\frac{Dw}{d\sigma } = \frac{Dw}{dt}\frac{dt}{d\sigma }, t \in I,\sigma \in J.
\]
由于 \( \frac{dt}{d\sigma } \neq 0 \) ,所以 \( \mathbf{w}\left( t\right) \) 平行当且仅当 \( w\left( \sigma \right) \) 平行.
命题 1 包含了平行移动的一个有趣的性质. 固定两点 \( p, q \in \) \( S \) 和一条参数曲线 \( \alpha : I \rightarrow S \) ,使得 \( \alpha \left( 0\right) = p,\alpha \left( 1\right) = q \) . 映照 \( {p}_{\alpha } : {T}_{p}\left( S\right) \rightarrow {T}_{q}\left( S\right) \) 把每一向量 \( v \in {T}_{p}\left( S\right) \) 映成 \( v \) 沿 \( \alpha \) 平行移动到 \( q \) 的向量. 命题 1 说,这个映照是一等距映照.
平行移动的另一个有趣的性质是: 如果二曲面 \( S \) 和 \( \bar{S} \) 沿参数曲线 \( \alpha \) 相切, \( {w}_{0} \) 是 \( {T}_{\alpha \left( {t}_{0}\right) }\left( S\right) = {T}_{\alpha \left( {t}_{0}\right) }\left( \bar{S}\right) \) 的一个向量,则向量场 \( w\left( t\right) \) 是 \( {w}_{0} \) 关于曲面 \( S \) 的平行移动的充要条件是 \( w\left( t\right) \) 是 \( {w}_{0} \) 关于 \( \bar{S} \) 的平行移动. 实际上, \( w \) 的协变导数 \( \frac{Dw}{dt} \) 关于这二张曲面是一样的. 由于平行移动的唯一性, 所以结论成立.
利用上述性质, 我们能举一个简单、有益的例子来说明平行移动.
例 1 设 \( O \) 为定向单位球面上余纬度为 \( \varphi \) 的一条纬圆 (图 4-12). \( {w}_{0} \) 是 \( O \) 在一点 \( p \) 的单位切向量. 让我们来确定 \( {w}_{0} \) 沿 \( O \) 的平行移动,其中 \( C \) 以弧长 \( S \) 作参数且在 \( p \) 点 \( S = 0 \) .
考虑与球面沿 \( O \) 相切的锥面. 这个锥的锥顶角 \( \psi = \frac{\pi }{2} - \varphi \) . 根据上述性质,问题归结为确定 \( {w}_{0} \) 沿曲线 \( O \) 在切锥上的平行移动.
但是,这个锥去掉一条母线等距于平面的一个开集 \( U \subset {\mathbf{R}}^{2} \) (参看 \( §4 - 2 \) 的例 3), \( U \) 的极坐标形式为
\[
0 < \rho < + \infty ,\;0 < \theta < {2\pi }\sin \psi .
\]
由于在平面上,平行移动与普通的平移一致,所以得到,当 \( p \) 点移动了路程 \( S \) 时,切向量 \( t\left( S\right) \) 与平移向量 \( w\left( S\right) \) 之间的定向交角为 \( {2\pi } - \theta \) ,其中 \( \theta \) 是相应的中心角 (见图 4-13).
有时引进“折曲线”的概念是方便的. 叙述如下:
图 4-12
图 4-18
定义 7 映照 \( \alpha : \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \rightarrow S \) 是一分段正则的参数曲线,如果 \( \alpha \) 连续并且存在区间 \( \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \) 的一个分割
\[
0 = {t}_{0} < {t}_{1} < \cdots < {t}_{K} < {t}_{K + 1} = l
\]
使得 \( \alpha \) 限制到 \( \left\lbrack {{t}_{i},{t}_{i + 1}}\right\rbrack, i = 0,1,\cdots, K \) ,上为正则参数曲线. 每个 \( {\left. ,\alpha \right| }_{\left\lbrack {t}_{1},{t}_{i + 2}\right\rbrack } \) 叫作 \( \alpha \) 的正则弧.
平行移动的概念很容易推广到分段正则参数曲线. 比如说, 若初值 \( {w}_{0} \) 位于区间 \( \left\lbrack {{t}_{i},{t}_{i + 1}}\right\rbrack \) ,我们可照通常的办法在正则弧 \( {\left. \alpha \right| }_{\left\lbrack {t}_{i},{t}_{i + 1}\right\rbrack } \) 上作平行移动; 如果 \( {t}_{i + 1} \neq l \) ,我们把 \( w\left( {t}_{i + 1}\right) \) 作为初值在下一段正则弧 \( {\left. \alpha \right| }_{\left\lbrack {t}_{i + 1},{t}_{i + 1}\right\rbrack } \) 上作平行移动,并继续下去.
例 \( {\mathbf{2}}^{\lbrack i \pm \rbrack } \) 例 1 是用有趣的几何办法构造平行移动的一个特例. 设 \( C \) 是 \( S \) 上的正则曲线并设 \( O \) 处处不与渐近方向相切. 考虑 \( S \) 沿曲线 \( O \) 的切平面族的包络 \( \sum \) (参看 \( §3 - 5 \) 例 4). 在 \( O \) 的邻域中,包络 \( \sum \) 是正则曲面并且与曲面 \( S \) 沿 \( O \) 相切 (在例 1 中, \( \sum \) 可以看作一条围绕 \( O \) 的带子,这条带子在与球面沿 \( O \) 相切的锥面内). 因此,在点 \( p \in O \) 的任何向量 \( w \in {T}_{p}\left( S\right) \) 沿 \( O \) 的平行移动,无论对于 \( S \) 或对于 \( \sum \) 都一样. 更进一步,由于 \( \sum \) 是可展曲面,所以 Gauss 曲率恒为零.
本书的后面将要证明 Gauss 曲率恒为零的曲面局部等距于平
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【注】此例用到 \( §3 - 5 \) 中有关直纹面的内容.
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844 平行移动; 测地线
图 4-14 沿 \( C \) 的平行移动
面 (见 \( §4 - 6 \) 的 Minding 定理). 因此,我们可以将 \( p \) 点的邻域 \( V \subset \sum \) 通过等距对应 \( \varphi : V \rightarrow P \) 映到平面 \( P \) 内. 为了得到 \( W \) 沿 \( V \cap O \) 的平行移动,我们把向量 \( d{\varphi }_{p}\left( W\right) \) 在平面内作普通的平移, 然后再用 \( {d\varphi } \) 拉回到 \( \sum \) 上 (图 4-14).
这从几何上构造了沿 \( O \) 的一小段弧的平行移动. 留作习题证明这一构造方法可以逐步扩充到 \( O \) 的给定的弧. (利用 Heine-Borel 定理并如同折曲线的情形去作.)
对于平面中的参数曲线 \( \gamma : I \rightarrow {\mathbb{R}}^{2} \) ,如果切向量场 \( {\gamma }^{\prime }\left( t\right) \) 沿着 \( \gamma \) 平行,那末 \( \gamma \) 恰好是平面内的直线. 在曲面上满足类似条件的参数曲线叫作测地线.
定义 8 一条非常值的参数曲线 \( \gamma : I \rightarrow S \) 称为在 \( t \in I \) 是测地的,如果切向量场 \( {\gamma }^{\prime }\left( t\right) \) 沿 \( \gamma \) 在 \( t \) 处平行; 亦即
\[
\frac{D{\gamma }^{\prime }\left( t\right) }{dt} = 0
\]
\( \gamma \) 是参数测地线,如果 \( \gamma \) 对所有 \( t \in I \) 均是测地的.
根据命题 1 我们立刻得到 \( \left| {{\gamma }^{\prime }\left( t\right) }\right| = \) 常数 \( = C \neq 0 \) . 因此我们可以引进弧长 \( S = {Ct} \) 作为参数,并证明了参数测地线 \( \gamma \) 的参数 \( t \) 与 \( \gamma \) 的弧长成比例.
注意一条参数测地线可以自相交. (例 6 将说明这一点; 见图 4-20.) 但是, 它的切向量永不为零, 所以参数表示是正则的.
显然, 测地线是局部的概念. 上面的讨论使我们可以把测地线的定义拓广到 \( S \) 的由正则曲线构成的子集上去.
定义 8a 曲面 \( S \) 上的一条正则连通曲线 \( O \) 称为测地线,如果对每点 \( p \in O, O \) 在 \( p \) 的邻域中以弧长作参数的参数表示 \( \alpha \left( S\right) \) 是参数测地线; 亦即, \( {\alpha }^{\prime }\left( S\right) \) 是沿 \( \alpha \left( S\right) \) 的平行向量场.
注意曲面上的每条直线均适合定义 \( 8\mathrm{a} \) .
从曲面 \( S \) 的外部看,定义 \( 8\mathrm{a} \) 等于说 \( {\alpha }^{\prime \prime }\left( S\right) = {kn} \) 是切平面的法向量, 也就是说, 平行于曲面的法线. 换句话说, 一条正则曲线 \( C \subset S\left( {k \neq 0}\right) \) 是测地线的充要条件是 \( C \) 在每点 \( p \in O \) 的主法向量与曲面 \( S \) 在 \( p \) 点的法向量平行.
上述性质可以用来从几何上判定一些测地线, 如下例所示.
例 3 球面 \( {S}^{2} \) 的大圆是测地线. 实际上,大圆 \( O \) 是球面与通过球心 \( O \) 的平面的交线. 由于圆周 \( O \) 的圆心是 \( O \) ,所以 \( O \) 在点 \( p \in O \) 的主法线与直线 \( {OP} \) 一致. 因为 \( {S}^{2} \) 是球面,所以与 \( {S}^{2} \) 的法线处于同一方向, 因此结论成立.
本节的后面将证明一般的情形,对任意点 \( p \in S \) 和 \( {T}_{p}\left( S\right) \) 中的任意方向,正好存在一条测地线 \( C \subset S \) ,使得 \( C \) 通过 \( p \) 点并与给定方向相切. 对于球面而言, 过每一点, 正好存在一个大圆与给定方向相切. 正如上面已经证明了的, 这个大圆是测地线. 因此根据唯一性, 大圆是球面上仅有的测地线.
例 4 对于圆周 \( {x}^{2} + {y}^{2} = 1 \) 上的正圆柱面,圆柱面和垂直于轴的平面的交线显然是测地线. 理由是交线在任一点的主法线均与柱面在那点的法线相平行.
另一方面, 按照定义 \( 8\mathrm{a} \) 后面的注意,柱面上的直线 (母线) 也是测地线.
为了说明在柱面上还存在其它的测地线, 我们考虑柱面在一点 \( p \) 的邻域的参数表示 (见 \( §2 - 5 \) 例2),
\[
x\left( {u, v}\right) = \left( {\cos u,\sin u, v}\right), p = x\left( {0,0}\right) .
\]
利用这个表示,曲线 \( O \) 在 \( p \) 点附近可写成 \( x\left( {u\left( S\right), v\left( S\right) }\right) \) ,其中 \( S \) 是 \( O \) 的弧长. 如前所述 (参见 \( §4 - 2 \) 的例 1), \( x \) 是局部等距对应,它把 \( {uv} \) 平面中点 \( \left( {0,0}\right) \) 的邻域 \( v \) 映入柱面内. 因为测地线的定义是局部性的并在等距对应下保持不变,所以曲线 \( \left( {u\left( S\right), v\left( S\right) }\right) \) 必须是在 \( U \) 中过点 \( \left( {0,0}\right) \) 的测地线. 但是平面的测地线是直线, 因此, 除了已得到的情形以外, 还有
\[
u\left( S\right) = {aS}, v\left( S\right) = {bS},{a}^{2} + {b}^{2} = 1.
\]
由此可知,如果一条正则曲线 \( O \) 是柱面上的测地线(除了圆和直线), 则局部形式 (图 4-15) 为
\[
\left( {\cos {aS},\sin {aS},{bS}}\right) \text{,}
\]
这是一条螺旋线. 这样就确定了正圆柱面上的所有测地线.
注意在柱面上给定两点,如果不在平行于 \( {xy} \) 平面的同一圆上, 则可以有无穷多条螺旋线连结这两点. 这个事实说明, 柱面上的两点一般可由无穷多条测地线连结, 这是与平面上的情形不一样的. 但因为去掉一条母线的柱面等距于平面, 所以只有当测地线
图 4-15 柱面上的测地线
在柱面上兜“完整的圈子”时, 这种情况才能发生.
为了与平面作类比, 我们注意到平面上的测地线一一直线的特征是曲率为零的正则曲线. 定向平面曲线的曲率是曲线的单位切向量场导数的绝对
图 4-16 柱面上连结 \( p \) 和 \( q \) 的两条测地线
的关系 (参见 \( §1 - 5 \) 注 1). 为了把正负号也考虑进去, 引进下面的定义是有用的.
定义 9 设 \( w \) 为定向曲面 \( S \) 上沿参数曲线 \( \alpha : I \rightarrow S \) 的可微单位向量场. 由于 \( w\left( t\right) \) , \( t \in I \) ,是单位向量,所以 \( \frac{dw}{dt}\left( t\right) \) 与 \( w\left( t\right) \) 垂直, 因此, 值, 其正负号表示曲线的凹凸性与平面定向
\[
\frac{Dw}{dt} = \lambda \left( {N \land w\left( t\right) }\right)
\]
实数 \( \lambda = \lambda \left( t\right) \) ,记作 \( \left\lbrack \frac{Dw}{dt}\right\rbrack \) ,称为 \( w \) 在 \( t \) 的协变导数的代数值.
注意 \( \left\lbrack \frac{Dw}{dt}\right\rbrack \) 的正负号依赖于 \( S \) 的定向,并且 \( \left\lbrack \frac{Dw}{dt}\right\r
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1353_[陈家鼎&孙山泽&李东风&刘力平] 数理统计学讲义
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定义 3.1
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定义 3.1 称矩阵 \( \Lambda = {\left( {\lambda }_{ij}\right) }_{n \times m} \) 是 \( {s}_{1} \times {s}_{2} \times \cdots \times {s}_{m} \) 型正交表 (记为 \( {L}_{n}\left( {{s}_{1} \times \cdots \times {s}_{m}}\right) \) ),若它满足下列条件:
(1) \( {\lambda }_{ij} \in \left\{ {1,2,\cdots ,{s}_{j}}\right\} \;\left( {1 \leq i \leq n,\;1 \leq j \leq m}\right) \)
（2）对任何 \( {j}_{1} < {j}_{2}, u \in \left\{ {1,2,\cdots ,{s}_{{j}_{1}}}\right\}, v \in \left\{ {1,2,\cdots ,{s}_{{j}_{2}}}\right\} \) 有
\[
\# \left\{ {i : \left( {{\lambda }_{i{j}_{1}},{\lambda }_{i{j}_{2}}}\right) = \left( {u, v}\right) }\right\} = \frac{n}{{s}_{{j}_{1}} \cdot {s}_{{j}_{2}}}
\]
这里 \( \# A \) 表示集合 \( A \) 的元素个数. 当 \( {s}_{1} = {s}_{2} = \cdots = {s}_{m} = s \) 时,正交表记为 \( {L}_{n}\left( {s}^{m}\right) \) ,当 \( {s}_{2} = {s}_{3} = \cdots = {s}_{m} = s \) 时正交表记为 \( {L}_{n}\left( {{s}_{1} \times }\right. \) \( \left. {s}^{m - 1}\right) \) .
常用的正交表有 \( {L}_{4}\left( {2}^{3}\right) ,{L}_{8}\left( {2}^{7}\right) ,{L}_{9}\left( {3}^{4}\right) ,{L}_{16}\left( {2}^{15}\right) ,{L}_{16}\left( {4}^{5}\right) \) , \( {L}_{18}\left( {2 \times {3}^{7}}\right) ,{L}_{27}\left( {3}^{13}\right) \) 等,下面介绍 \( {L}_{4}\left( {2}^{3}\right) ,{L}_{8}\left( {2}^{7}\right) \) 和 \( {L}_{9}\left( {3}^{4}\right) \) ,其余的表可参看[1]和[5].
表 \( {L}_{4}\left( {2}^{3}\right) \) 是
\[
\left( \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right)
\]
表 \( {L}_{8}\left( {2}^{7}\right) \) 是
\[
\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \end{matrix}\right)
\]
表 \( {L}_{9}\left( {3}^{4}\right) \) 是这样的:
\[
\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}\right)
\]
构造正交表的方法多种多样,有些很容易,例如 \( {L}_{8}\left( {2}^{7}\right) \) , \( {L}_{16}\left( {2}^{15}\right) ,{L}_{9}\left( {3}^{4}\right) \) ; 有些则比较复杂,例如 \( {L}_{12}\left( {2}^{11}\right) \) . 有些参数对应的正交表是不存在的,例如没有 \( {L}_{36}\left( {6}^{4}\right) \) . 构造正交表的一般理论见[7].
我们指出, 正交表经过下列三种初等变换仍然是正交表: ① 任意两行互换, ② 任意两列互换, ③ 任何一列中将水平代号进行置换. 因此同型的正交表是很多的. 例如 \( {L}_{8}\left( {2}^{7}\right) \) 有很多张,上面所列的是其中一张 (叫做标准表). 值得注意的是, 可以证明所有的 \( {L}_{8}\left( {2}^{7}\right) \) 经过上述三种变换可变成上面介绍的那一张,但 \( {L}_{16}\left( {2}^{15}\right) \) 就没有这种唯一性.
如何利用正交表安排试验 (即进行正交设计) 呢? 我们只介绍不考虑因素间交互作用的情形, 此时方法十分简单. 至于考虑交互作用的情形如何进行正交设计, 方法比较复杂, 我们将在本节的末尾略作介绍, 以引起读者的注意. 若要更多了解考虑交互作用时的正交设计, 请参看[20]、[21]或[7].
从一个具体例子谈起.
例 3.1 烟灰砖试验的正交设计.
继续例 1.1 的讨论. 对因素和水平均用符号来表示. 共有三个因素: \( A \) (成型水分)、 \( B \) (碾压时间)、 \( C \) (一次碾压料重),每个因素取三个水平. \( A \) 的三个水平是: \( {A}_{1} \) (成型水分 \( 9\% : y,{A}_{2} \) (成型水分 \( {10}\% ),{A}_{3} \) (成型水分 \( {11}\% );{B}^{.} \) 的三个水平是: \( {B}_{1} \) (碾压时间 \( \left. {8}^{\prime }\right) ,{B}_{2} \) (碾压时间 \( {10}^{\prime } \) ), \( {B}_{3} \) (碾压时间 \( {12}^{\prime } \) ); \( C \) 的三个水平是: \( {C}_{1} \) (一次碾压 \( {330}\mathrm{\;{kg}} \) ), \( {C}_{2} \) (一次碾压 \( {360}\mathrm{\;{kg}} \) ), \( {C}_{3} \) (一次碾压 \( {400}\mathrm{\;{kg}} \) ).
所有的水平组合有 27 种, 如何选出有代表性的一小部分 (比如 9 种) 进行试验? 可用正交表 \( {L}_{9}\left( {3}^{4}\right) \) 来实现. 将三个因素 \( A\text{、}B \) 、 \( C \) 随便放在 \( {L}_{9}\left( {3}^{4}\right) \) 的三个列上,例如依次放在第 \( 1\text{、}2\text{、}3 \) 列上,则就得到一张试验计划表: 只要记住因素所在的列中的数字代表该因素的水平. 例如第 1 号试验从表的第 1 行 111 得到,即因素 \( A \) 取 1 水平即成型水分 \( 9\% \) ,因素 \( B \) 取 1 水平即碾压时间取 8 分钟,因素 \( C \) 取 1 水平即一次碾压的料重 \( {330}\mathrm{\;{kg}} \) ; 余类推: 一共 9 次试验, 这就是从 27 种水平组合中选出的有代表性部分.
试验计划与试验结果见表 3.1.
表 3.1
<table><thead><tr><th>列号 试验号</th><th>A (成型水分) 1</th><th>B (碾压时间) 2</th><th>C (一次碾压料重) 3</th><th>折断力</th></tr></thead><tr><td>1</td><td>1(9%)</td><td>\( 1\left( {8}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 1\left( {{330}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>16.9</td></tr><tr><td>2</td><td>1(9%)</td><td>\( 2\left( {10}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 2\left( {{360}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>19.1</td></tr><tr><td>3</td><td>1(9%)</td><td>\( 3\left( {12}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 3\left( {{400}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>16.7</td></tr><tr><td>4</td><td>\( 2\left( {{10}\% }\right) \)</td><td>\( 1\left( {8}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 2\left( {{360}\mathrm{\;{kg}}}\right) \) .</td><td>19.8</td></tr><tr><td>7 5</td><td>\( 2\left( {{10}\% }\right) \)</td><td>\( 2\left( {10}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 3\left( {{400}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>23.7</td></tr><tr><td>6</td><td>2(10%)</td><td>\( 3\left( {12}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 1\left( {{330}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>19.0</td></tr><tr><td>7</td><td>3(11%)</td><td>\( 1\left( {8}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 3\left( {{400}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>25.0</td></tr><tr><td>8</td><td>3(11%)</td><td>\( 2\left( {10}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 1\left( {{330}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>20.4</td></tr><tr><td>9</td><td>\( 3\left( {{11}\% }\right) \) .</td><td>\( 3\left( {12}^{\prime }\right) \)</td><td>\( 2\left( {{360}\mathrm{\;{kg}}}\right) \)</td><td>23.1</td></tr></table>
怎样分析试验结果呢? 首先想到直观分析法. 以成型水分为例, 可将三个水平下的平均折断力分别算出. 1 水平下的平均折断力是 17.6,2 水平下是 20.8,3 水平下是 22.8, 这就是说, 成型水分用 \( {11}\% \) 最好,最好的与最差的相差.5.3 (极差); 对于碾压时间,三个水平下的平均折断力是 20.7、21.1、19.6, 故碾压时间取 10 分最好, 极差是 1.5 ; 对于一次碾压的料重, 三个水平下的平均折断力是 \( {18.8}\text{、}{20.7}\text{、}{21.9} \) ,可见一次投料 \( {400}\mathrm{\;{kg}} \) 最好,极差是 3.1 .
综上所述, 有下列三条结果.
（1）成型水分影响最大, 其次是一次碾压的料重, 再次是碾压时间.
（2）成型水分是 \( {11}\% \) 好,碾压时间是 10 分钟好,一次料重是 \( {400}\mathrm{\;{kg}} \) 好.
（3）最好的工艺条件是: 成型水分取 \( {11}\% \) ,碾压时间取 10 分钟,一次料重取 \( {400}\mathrm{\;{kg}} \) .
值得注意的是, 所指出的最好工艺条件并未在所进行的 9 次试验中出现.
读者自然提出问题: \( {L}_{9}\left( {3}^{4}\right) \) 表的好处在哪里? 上述分析计算的理论根据何在?
下面对多因素试验进行一般性讨论. 首先介绍如何用正交表安排试验, 然后讨论数据的分析方法与理论基础. 本讲义只讨论最简单、也最有实用价值的情形一可加模型的正交设计.
什么是可加模型呢? 考虑因素 \( {F}_{1} \) (有 \( {s}_{1} \) 个水平), \( {F}_{2} \) (有 \( {s}_{2} \) 个水平), \( \cdots ,{F}_{m} \) (有 \( {s}_{m} \) 个水平) 对指标 \( a \) 的影响,用 \( a\left( {{\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{m}}\right) \) 表示 \( {F}_{1} \) 取水平 \( {\lambda }_{1},{F}_{2} \) 取水平 \( {\lambda }_{2},\cdots ,{F}_{m} \) 取水平 \( {\lambda }_{m} \) 时的真值,若 \( a\left( {{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{m}}\right) \) 有下列分解式:
\[
a\left( {{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{m}}\right) = {a}_{0} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{j}\left( {\lambda }_{j}\right)
\]
(3.1)
则称因素 \( {F}_{1},{F}_{2},\cdots ,{F}_{m} \) 适合可加模型. 可加模型的直观意义是: 各因素对指标 \( a \) 的影响是各个因素分别影响的叠加,因素间的交
互影响可以忽略. 可加模型当然是一种特殊的模型 \( {}^{\left( 1\right) } \) ,但实践经验表明, 它广泛地存在于实际工作中, 而且即使实际情况不完全适合可加模型, 但采用可加模型的正交设计安排试验常常也可得出有重要价值的试验结果, 特别是能找到比较优良的工程条件.
+ 要注意的是, 若分解式 (3.1) 存在, 则它不唯一, 但在下列条件下就唯一了.
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{\lambda }_{j} = 1}}^{{s}_{j}}{a}_{j}\left( {\lambda }_{j}\right) = 0\;\left( {j = 1,2,\cdots, m}\right)
\]
(3.2)
满足 (3.2) 的分解式 (3.1) 叫做标准分解式. 此时 \( {a}_{0} \) 正好是一般平均 \( {\beta }_{0},{a}_{j}\left( {\lambda }_{j}\right) \) 正好是因素 \( {F}_{j} \) 在水平 \( {\lambda }_{j} \) 时的主效应 \( {\beta }_{j}\left( {\lambda }_{j}\right) \) . 以下只考虑标准分解式.
可加模型下的正交设计是这样的. 设因素 \( {F}_{1},{F}_{2},\cdots ,{F}_{m} \) 分别有 \( {s}_{1},{s}_{2},\cdots ,{s}_{m} \) 个水平. \( {F}_{j} \) 的各水平由 \( 1,\cdots ,{s}_{j} \) 记之. 选一正交表,将 \( {F}_{1},{F}_{2},\cdots ,{F}_{m} \) 任意放于它的 \( m \) 个列上,但规定 \( {F}_{j} \) 必须放在水平数是 \( {s}_{j} \) 的列上, \( j = 1,2,\cdots, m \) . 将这些列保留,其他的列去掉,得到 \( {L}_{n}\left( {{s}_{1} \times \cdots \times {s}_{m}}\right) \) 型正交表 \( \Lambda = \left( {\lambda }_{ij}\right) \) ,于是 \( \Lambda \) 的各行就代表各号试验条件. 例如 \( \Lambda \) 的第 \( i \) 号试验条件 (水平组合) 是: 因素 \( {F}_{1} \) 取 \( {\lambda }_{i1} \) 水平, \( {F}_{2} \) 取 \( {\lambda }_{i2} \) 水平, \( \cdots ,{F}_{m} \) 取 \( {\lambda }_{im} \) 水平. 换句话说, \( \Lambda \) 实现了试验设计, \( \Lambda \) 叫做设计阵. 从上述可见,对可加模型来讲,只要找到了合适的正交表, 进行正交设计是十分容易的. 把各因素往表的各列上放, 有相当大的任意性.
现在来研究, 在可加模型的假定下, 如何根据正交设计得到的试验数据进行分析. 设各号试验条件下均进行了 \( r \) 次试验
① 比可加模型更复杂的是带简单交互作用的模型:
\[
a\left( {{\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{m}}\right) = {a}_{0} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{j}\left( {\lambda }_{j}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i \neq j}}{a}_{\imath j}\left( {{\lambda }_{\imath },{\lambda }_{j}}\right)
\]
本讲义不讨论这种模型下的正交设计. 所谓“不考虑交互作用时的正交设计”就是指当作可加模型时进行的正交设计.
\( \left( {r \geq 1}\right) \) ,第 \( i \) 号试验条件下的数据是 \( {y}_{ik}\left( {i = 1,\cdots, n, k = 1,\cdots, r}\right) \) . 于是有数学模型:
\[
{y}_{ik} = {\beta }_{0} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{\beta }_{j}\left( {\lambda }_{ij}\right) + {e}_{ik}\;\left( {i = 1,\cdots, n,\;k = 1,\cdots, r}\right)
\]
(3.3)
其中 \( \Lambda = \left( {\lambda }_{ij}\right) \) 是设计阵, \( {e}_{ik} \) 是试验误差,我们假定 \( \left\{ {e}_{ik}\right\} \) 是相互独立的,期望是 0,方差相等. 有时进一步假定 \( {e}_{ik} \sim N\left( {0,{\sigma }^{2}}\right) \) . 注意 (3.3) 中的未知参数满足约束条件:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{\lambda }_{j} = 1}}^{{s}_{j}}{\beta }_{j}\left( {\lambda }_{j}\right) = 0\;\left( {j = 1,2,\cdots, m}\right)
\]
(3.4)
我们的第一项任务是根据试验数据估计未知参数 \( \left\{ {{\beta }_{0},{\beta }_{j}\left( {\lambda }_{j}\right) }\right\} \) 的值,从而可估计出 \( a\left( {{\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{m}}\right) \) 的值.
(3.3) 乃是带有约束条件的线性模型, 我们可以利用第四章中的一般理论. 令
\[
{y}_{i} = {\bar{y}}_{i \cdot } = \frac{1}{r}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{r}{y}_{ik},{\varepsilon }_{i} = \frac{1}{r}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{r}{e}_{ik}\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right)
\]
\[
Y = \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{matrix}\right) ,\;{\beta }_{j} = \left( \begin{matrix} {\beta }_{j}\left( 1\right) \\ \vdots \\ {\beta }_{j}\left( {s}_{j}\right) \end{matrix}\right) ,\;j = 1,2,\cdots, m
\]
\[
\varepsilon = \left( \begin{matrix} {\varepsilon }_{1} \\ \vdots \\ {\varepsilon }_{n} \end{matrix}\right) ,\;{E}_{s} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right) \;\left( {s\text{ 个 }1}\right)
\]
\[
\beta = \left( \begin{matrix} {\beta }_{0} \\ {\beta }_{1} \\ \vdots \\ {\beta }_{m} \end{matrix}\right) ,\;{x}_{ik}^{\left( j\right) } = \delta \left( {{\lambda }_{ij}, k}\right)
\]
\[
{X}_{j} = {\le
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191_无变量微积分(Made By Septsea)
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定义 1.55
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定义 1.55 我们称定义域为 \( A \) 的函数为 (定义在) \( A \) 上的函数.
借此机会, 我们再定义一个常用的说法.
定义 1.56 若 \( B \subset A, f \) 是 \( A \) 上的函数,我们说 \( f \) 在 \( B \) 上有定义.
采取上述约定后, 我们有下面的等式:
\[
f + g = g + f,\;{fg} = {gf},
\]
\[
\left( {f + g}\right) + h = f + \left( {g + h}\right) ,\;\left( {fg}\right) h = f\left( {gh}\right) ,
\]
\[
f\left( {g + h}\right) = {fg} + {fh},\;\left( {f + g}\right) h = {fh} + {gh}.
\]
这里 \( f, g, h \) 都是 \( A \) 上的函数.
设函数 \( \ell \) 的值域是 \( A \) 的子集. 记 \( f/g = \frac{f}{g},{f}^{ \land }g = {f}^{g} \) . 设 \( * \) 是五文字 +, \( - , \cdot ,/, \land \) 的任意一个. 则
\[
\left( {f * g}\right) \circ \ell = \left( {f \circ \ell }\right) * \left( {g \circ \ell }\right) .
\]
上面的等式的验证并不难; 用函数的相等的定义验证即可. 比方说,
\[
\left( {\left( {f * g}\right) \circ \ell }\right) \left\lbrack x\right\rbrack = \left( {f * g}\right) \left\lbrack {\ell \left\lbrack x\right\rbrack }\right\rbrack = f\left\lbrack {\ell \left\lbrack x\right\rbrack }\right\rbrack * g\left\lbrack {\ell \left\lbrack x\right\rbrack }\right\rbrack
\]
\[
= \left( {f \circ \ell }\right) \left\lbrack x\right\rbrack * \left( {g \circ \ell }\right) \left\lbrack x\right\rbrack = \left( {\left( {f \circ \ell }\right) * \left( {g \circ \ell }\right) }\right) \left\lbrack x\right\rbrack .
\]
您可以按完全类似的套路论证关于 + 与. 的等式.
我们用一些简单的例结束本节; 顺便, 这些例也结束本章. 最后一个例在之后的微积分演算中有用, 故我建议您好好看看它.
例 1.57 我们知道,对任意实数 \( x \) ,都有 \( {\left( \cos \left\lbrack x\right\rbrack \right) }^{2} + {\left( \sin \left\lbrack x\right\rbrack \right) }^{2} = 1 \) . 那么, 无变量地, 我们可写此式为
\[
{\cos }^{2} + {\sin }^{2} = 1
\]
例 1.58 我们可写 “二倍角公式” 为
\[
\sin \circ 2\mathrm{t} = 2\cos \sin
\]
\[
\cos \circ 2\imath = {\cos }^{2} - {\sin }^{2}
\]
\[
= 2{\cos }^{2} - 1 = 1 - 2{\sin }^{2}
\]
\[
= \left( {\cos + \sin }\right) \left( {\cos - \sin }\right) \text{,}
\]
\[
\tan \circ 2\imath = \frac{\sin }{\cos } \circ 2\imath
\]
\[
= \frac{2\cos \sin }{{\cos }^{2} - {\sin }^{2}}
\]
\[
= \frac{2\tan }{1 - {\tan }^{2}}
\]
\[
= \frac{2\imath }{1 - {\imath }^{2}} \circ \tan
\]
例 1.59 值得注意的是, \( f\left( {g + h}\right) \) 并不是 \( f \circ \left( {g + h}\right) \) :
\[
2\cos \left( {\cos + \sin }\right) = 2{\cos }^{2} + 2\cos \sin
\]
\[
= \left( {\cos + \sin - 1}\right) \circ 2\mathrm{i}
\]
\[
= \left( {\cos + \sin }\right) \circ 2\mathrm{i} - 1
\]
\[
= \sqrt{2}\cos \circ \left( {1 - \frac{2\pi }{8}}\right) \circ 2\mathrm{i} - 1
\]
\[
= \sqrt{2}\cos \circ \left( {2\imath - \frac{2\pi }{8}}\right) - 1
\]
例 1.60 值得注意的是,本书的 \( {\sin }^{-1} \) 不是 \( \arcsin ,{\tan }^{-1} \) 也不是 \( \arctan \) . 那它们是什么呢? 请看:
\[
{\sin }^{-1} - {\tan }^{-1} = \frac{1}{\sin } - \frac{1}{\tan }
\]
\[
= \frac{1}{\sin } - \frac{\cos }{\sin }
\]
\[ = \frac{1 - \cos }{\sin }\]
\[
= \frac{2{\sin }^{2}}{2\cos \sin } \circ \frac{1}{2}
\]
\[
= \tan \circ \frac{1}{2}\text{. }
\]
例 1.61 我们看一些关于 arcsin 跟 arctan 的等式. 在本例, 我们约定, \( \sin ,\tan \) 分别表示 \( {\sin }_{\left\lbrack -2\pi /4,2\pi /4\right\rbrack } \) 与 \( {\tan }_{\left( -2\pi /4,2\pi /4\right) } \) . 这样,
\[
\sin \circ \arcsin = {\mathfrak{u}}_{\left\lbrack -1,1\right\rbrack }
\]
\[
\tan \circ \arctan = {\mathfrak{u}}_{\mathbb{R}}
\]
由此, 我们可以作出如下的计算:
\[
\cos \circ \arcsin = \cos \circ \left( {{\iota }_{\left\lbrack -2\pi /4,2\pi /4\right\rbrack } \circ \arcsin }\right)
\]
\[
= \left( {\cos \circ {\iota }_{\left\lbrack -2\pi /4,2\pi /4\right\rbrack }}\right) \circ \arcsin
\]
\[
= \left( {\operatorname{sqrt} \circ \left( {1 - {\iota }^{2}}\right) \circ \sin }\right) \circ \arcsin
\]
\[
= \left( {\operatorname{sqrt} \circ \left( {1 - {\imath }^{2}}\right) }\right) \circ \left( {\sin \circ \arcsin }\right)
\]
\[
= \text{sqrt} \circ \left( {1 - {\imath }^{2}}\right) \text{.}
\]
这里的 \( \mathfrak{l} \) 自然是 \( {\mathfrak{l}}_{\left\lbrack -1,1\right\rbrack } \) .
类似地,
\[
\cos \circ \arctan = \cos \circ \left( {{\mathfrak{i}}_{\left( -2\pi /4,2\pi /4\right) } \circ \arctan }\right)
\]
\[
= \left( {\cos \circ {\iota }_{\left( -2\pi /4,2\pi /4\right) }}\right) \circ \arctan
\]
\[
= \left( {\operatorname{sqrt} \circ \frac{{\cos }^{2}}{{\cos }^{2} + {\sin }^{2}}}\right) \circ \arctan
\]
\[
= \left( {\operatorname{sqrt} \circ \frac{1}{1 + {\iota }^{2}} \circ \tan }\right) \circ \arctan
\]
\[
= \left( {\operatorname{sqrt} \circ \frac{1}{1 + {\imath }^{2}}}\right) \circ \left( {\tan \circ \arctan }\right)
\]
\[
= \frac{1}{\operatorname{sqrt} \circ \left( {1 + {\imath }^{2}}\right) }\text{. }
\]
有了上面的公式, 我们可轻松地写出
\[
\sin \circ \arctan = \left( {\cos \tan }\right) \circ \arctan = \frac{1}{\operatorname{sqrt} \circ \left( {1 + {\iota }^{2}}\right) },
\]
\[\tan \circ \arcsin = \frac{\sin }{\cos } \circ \arcsin = \frac{\iota }{\operatorname{sqrt} \circ \left( {1 - {\iota }^{2}}\right) }.\]
注 1.62 或许, 您现在对无变量的函数演算不感到陌生. 不过, 就算我们模糊了函数及其限制的区别, 有些东西写起来还是稍繁的. 所以, 我们再引入一个记号: \( g\left\lbrack f\right\rbrack \) 表示 \( g \circ f \) . 比如说,我们可紧凑地写上例的结果为
\[
\cos \left\lbrack \arcsin \right\rbrack = \operatorname{sqrt}\left\lbrack {1 - {\imath }^{2}}\right\rbrack
\]
\[
\cos \left\lbrack \arctan \right\rbrack = \frac{1}{\operatorname{sqrt}\left\lbrack {1 + {\imath }^{2}}\right\rbrack }
\]
\[
\sin \left\lbrack \arctan \right\rbrack = \frac{\iota }{\operatorname{sqrt}\left\lbrack {1 + {\iota }^{2}}\right\rbrack }
\]
\[
\tan \left\lbrack \arcsin \right\rbrack = \frac{\iota }{\operatorname{sqrt}\left\lbrack {1 - {\iota }^{2}}\right\rbrack }
\]
虽然我已经用 \( f\left\lbrack a\right\rbrack \) 表示 \( a \) 在 \( f \) 下的像了,我自然地也用 \( f\left\lbrack C\right\rbrack \) 表示 \( C \) 的每个元在 \( f \) 下的像作成的集,但我的早期工作并没有用 \( g\left\lbrack f\right\rbrack \) 表示 \( g \circ f \) . 这是 Marian 提到的记号, 我觉得不错, 就拿来用了.
## 第二章 连续函数
本章简单地提及连续函数及其简单的性质; 这也是研究导数的基础.
若无特别说明,本章的函数的定义域与陪域都是 \( \mathbb{R} \) 的子集.
## 2.1 连续的定义
定义 2.1 设 \( x \in \mathbb{R} \) . 设 \( \delta \) 为正数. 则 \( N\left\lbrack {x;\delta }\right\rbrack = \left( {x - \delta, x + \delta }\right) \) 是 \( x \) 的一个邻域. 称 \( N\left\lbrack {x;\delta }\right\rbrack \smallsetminus \{ x\} = \left( {x - \delta, x}\right) \cup \left( {x, x + \delta }\right) \) 是 \( x \) 的一个去心邻域.
不难看出, \( N\left\lbrack {x;\delta }\right\rbrack \) 就是 \( \{ t\left| \right| t - x \mid < \delta \} \) ,而 \( N\left\lbrack {x;\delta }\right\rbrack \smallsetminus \{ x\} \) 就是 \( \{ t \mid 0 < \) \( \mid t - x \mid < \delta \} \) .
下面的不等式十分有用.
定理 2.2 对任意实数 \( x, y \) ,有
\[
\left| {x + y}\right| \leq \left| x\right| + \left| y\right|
\]
所以,对任意实数 \( a, b, c \) ,
\[
\left| {a - c}\right| = \left| {\left( {a - b}\right) + \left( {b - c}\right) }\right| \leq \left| {a - b}\right| + \left| {b - c}\right| .
\]
证 注意到, 一个实数的绝对值不低于自身; 再注意到, 比较二个非负数的大小, 相当于比较它们的平方的大小. 所以
\[
{\left( \left| x\right| + \left| y\right| \right) }^{2} - {\left| x + y\right| }^{2} = 2\left( {\left| {xy}\right| - {xy}}\right) \geq 0.
\]
证毕.
定义 2.3 设 \( f \) 是 \( A \) 上的函数. 设 \( x \in A \) . 若任给正数 \( \varepsilon \) ,存在正数 \( \delta \) 使 \( f\left\lbrack {A \cap N\left\lbrack {x;\delta }\right\rbrack }\right\rbrack \subset N\left\lbrack {f\left\lbrack x\right\rbrack ;\varepsilon }\right\rbrack \) ,则说 \( f \) 于 \( x \) 连续.
不难看出, \( f \) 于 \( x \) 连续的一个必要与充分条件是: 任给正数 \( \varepsilon \) ,存在正数 \( \delta \) 使 \( \left| {t - x}\right| < \delta \) 且 \( t \in A \) 时,必有 \( \left| {f\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack }\right| < \varepsilon \) .
定理 2.4 设 \( f, g \) 是 \( A \) 上的函数. 设 \( x \in A \) . 设 \( f, g \) 都于 \( x \) 连续. 设 \( * \) 是三文字 \( + , - , \cdot \) 的任意一个. 则 \( f * g \) 也于 \( x \) 连续.
证 以 \( * \) 为 + 或 - 时为例. 任取 \( \varepsilon > 0 \) . 这样,因为 \( f \) 于 \( x \) 连续,故存在正数 \( {\delta }_{1} \) 使
\[
\left| {t - x}\right| < {\delta }_{1}\text{ 且 }t \in A \Rightarrow \left| {f\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack }\right| < \frac{\varepsilon }{2}.
\]
因为 \( g \) 于 \( x \) 连续,故存在正数 \( {\delta }_{2} \) 使
\[
\left| {t - x}\right| < {\delta }_{2}\text{ 且 }t \in A \Rightarrow \left| {g\left\lbrack t\right\rbrack - g\left\lbrack x\right\rbrack }\right| < \frac{\varepsilon }{2}.
\]
取 \( \delta \) 为 \( {\delta }_{1},{\delta }_{2} \) 的较小者. 这样, \( \left| {t - x}\right| < \delta \) 且 \( t \in A \) 时,
\[
\left| {\left( {f * g}\right) \left\lbrack t\right\rbrack - \left( {f * g}\right) \left\lbrack x\right\rbrack }\right| = \left| {\left( {f\left\lbrack t\right\rbrack * g\left\lbrack t\right\rbrack }\right) - \left( {f\left\lbrack x\right\rbrack * g\left\lbrack x\right\rbrack }\right) }\right|
\]
\[
= \left| {\left( {f\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack }\right) * \left( {g\left\lbrack t\right\rbrack - g\left\lbrack x\right\rbrack }\right) }\right|
\]
\[
\leq \left| {f\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack }\right| + \left| {g\left\lbrack t\right\rbrack - g\left\lbrack x\right\rbrack }\right|
\]
\[
< \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon \text{. }
\]
* 为. 时就稍繁一些. 不过, 不要恐慌. 注意到
\[
\left( {fg}\right) \left\lbrack t\right\rbrack - \left( {fg}\right) \left\lbrack x\right\rbrack
\]
\[
= f\left\lbrack t\right\rbrack g\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack g\left\lbrack x\right\rbrack
\]
\[
= \left( {f\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack + f\left\lbrack x\right\rbrack }\right) g\left\lbrack t\right\rbrack + f\left\lbrack x\right\rbrack \left( {g\left\lbrack t\right\rbrack - g\left\lbrack x\right\rbrack + g\left\lbrack t\right\rbrack }\right)
\]
\[
= \left( {f\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack }\right) g\left\lbrack t\right\rbrack + f\left\lbrack x\right\rbrack \left( {g\left\lbrack t\right\rbrack - g\left\lbrack x\right\rbrack }\right) .
\]
所以,我们想办法,使 \( \left( {f\left\lbrack t\right\rbrack - f\left\lbrack x\right\rbrack }\right) g\left\lbrack t\right\rbrack \) 跟 \( f\left\lbrack x\right\rbrack \left( {g\left\lbrack t\right\rbrack - g\left\lbrack x\right\rbrack }\right) \) 的绝对值都不超过 \( \frac{\varepsilon }{2} \) 就好. 首先,存在正数 \( {\delta }_{3} \) 使
\[
\left| {t - x}\right| < {\delta }_{3}\text{ 且 }t \in A \Rightarrow \left| {g\left\lbrack t\right\rbrack - g\left\lbrack x\right\rbrack }\righ
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1434_华章数学译丛 5 曲线和曲面的微分几何学
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定义 1
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定义 1 如果给定 \( \epsilon > 0 \) ,总存在序列 \( {p}_{1},\cdots ,{p}_{i},\cdots \in {\mathbb{R}}^{n} \) 的一个指标 \( {\mathbf{i}}_{\mathbf{0}} \) ,使对所有的 \( \mathbf{i} > {i}_{\mathbf{0}},{p}_{i} \in {B}_{\varepsilon }\left( {p}_{\mathbf{0}}\right) ,{p}_{\mathbf{0}} \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,就称此序列收敛于 \( {p}_{0} \) . 在这种情况下, \( {p}_{0} \) 是序列 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \) 的极限,记作 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \rightarrow {p}_{0} \) .
下面的命题表达了收敛性与连续性的关系.
命题 1 映照 \( F : U \subset {\mathbb{R}}^{n} \rightarrow {\mathbb{R}}^{m} \) 在 \( {p}_{0} \in U \) 连续的充要条件是, 对 \( U \) 上的每一个收敛序列 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \rightarrow {p}_{0} \) ,序列 \( \left\{ {F\left( {p}_{i}\right) }\right\} \) 收敛于 \( F\left( {p}_{0}\right) \) .
证明 假设 \( F \) 在 \( {p}_{0} \) 是连续的,并设 \( \epsilon > 0 \) 是给定的. 由于连续性,故存在 \( \delta > 0 \) 使 \( F\left( {{B}_{\delta }\left( {p}_{0}\right) }\right) \subset {B}_{\varepsilon }\left( {F\left( {p}_{0}\right) }\right) \) . 设 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \) 是 \( U \) 上的一个序列, \( \left\{ {p}_{i}\right\} \rightarrow {p}_{0} \in U \) . 则对应于 \( \delta \) 存在一指标 \( {i}_{0} \) ,使对 \( i > {i}_{0} \) 有 \( {p}_{i} \in {B}_{\delta }\left( {p}_{0}\right) \) . 因此对 \( i > {i}_{0} \) ,有
\[
F\left( {p}_{i}\right) \in F\left( {{B}_{\delta }\left( {p}_{0}\right) }\right) \subset {B}_{\varepsilon }\left( {F\left( {p}_{0}\right) }\right) .
\]
这蕴涵 \( \left\{ {F\left( {p}_{i}\right) }\right\} \rightarrow F\left( {p}_{0}\right) \) .
现在,设 \( F \) 在 \( {p}_{0} \) 不连续. 则存在一个数 \( \epsilon > 0 \) ,使对每一个 \( \delta > 0 \) . 我们能找到一个点 \( p \in {B}_{\delta }\left( {p}_{0}\right) \) ,而 \( F\left( {p}_{i}\right) \notin {B}_{\varepsilon }\left( {F\left( {p}_{0}\right) }\right) \) . 固定这个 \( \epsilon \) ,并令 \( \delta = 1,1/2,\cdots ,1/i,\cdots \) ,则得一个收敛于 \( {p}_{0} \) 的序列 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \) . 然而,由于 \( F\left( {p}_{i}\right) \notin {B}_{\varepsilon }\left( {F\left( {p}_{0}\right) }\right) \) ,序列 \( \left\{ {F\left( {p}_{i}\right) }\right\} \) 不收敛于 \( F\left( {p}_{0}\right) \) . 证毕.
定义 2 如果 \( p \in {\mathbf{R}}^{n} \) 在 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中的每一个邻域总包含 \( A \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 的一个不同于 \( p \) 的点,则称点 \( p \) 是集合 \( A \) 的一个极限点.
为避免和序列的极限这一概念相混淆, 极限点有时称为聚点.
定义 2 等于说 \( p \) 的每一个邻域包含无限多个 \( A \) 的点. 事实上,令 \( {q}_{1} \neq p \) 是由定义 2 给出的 \( A \) 的点,并考虑一球 \( {B}_{\varepsilon }\left( p\right) \subset V \) , 使 \( {q}_{ \bot } \notin {B}_{\varepsilon }\left( p\right) \) . 于是存在一点 \( {q}_{2} \neq p,{q}_{2} \in A \cap {B}_{\varepsilon }\left( p\right) \) . 重复这个过程,我们得到 \( V \) 中的一个序列 \( \left\{ {q}_{i}\right\} \) ,这里 \( {q}_{i} \in A \) 是全部相异的. 由于 \( \left\{ {q}_{i}\right\} \rightarrow p \) ,此论证也说明,当且仅当 \( p \) 是由 \( A \) 中相异点组成的某个序列的极限时, \( p \) 是 \( A \) 的一个极限点.
例 1 序列 \( 1,1/2,1/3,\cdots ,1/i,\cdots \) 收敛于 0 . 序列 \( 3/2 \) , \( 4/3,\cdots ,\left( {i + 1}\right) /i,\cdots \) 收敛于 1 . “交错的”序列 \( 1,3/2,1/2,4/3 \) , \( 1/3,\cdots ,1 + \left( {1/i}\right) ,1/i,\cdots \) 不收敛,但有两个极限点,即 0 和 1 (图 A5-1).
图 A5-1
应该看到,收敛序列的极限 \( {p}_{0} \) 具有性质: \( {p}_{0} \) 的任一个邻域包含此序列中除了有限多个点以外的所有点，而一集合的极限点 \( p \) 具有较弱的性质: \( p \) 的任何一个邻域包含此集合中无限多个的点. 因此, 一个不包含常子序列的序列, 当且仅当它作为一个集合仅包含一个极限点时才是收敛的 [注].
有理数集 \( Q \) 给出了一个有趣的例子. 能够证明 \( Q \) 是可数的, 即能把 \( Q \) 排成一个序列. 由于在任一实数的任意近旁总存在有理数,因此序列 \( Q \) 的极限点的集合是实直线 \( R \) .
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[注] 必须加序列有界的条件,不然未必成立,如 \( \left\{ {1,1,2,\frac{1}{2},\cdots, n,\frac{1}{n},\cdots }\right\} \) . 一译者注
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定义 3 如果集合 \( F \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 的每一个极限点都属于 \( F \) ,则称 \( F \) 是闭集. \( A \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 的闭包是 \( A \) 和它的极限点的并集,记作 \( \bar{A} \) .
直观上,如果 \( F \) 包含它的所有收敛序列的极限,或者说如果 \( F \) 在极限运算下是不变的,那末 \( F \) 是闭集.
显然,一个集合的闭包是一个闭集. 为方便起见,约定空集 \( \varnothing \) 既是开集又是闭集.
在开集和闭集之间有一个很简单的关系.
命题 2 当且仅当 \( F \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 的余集 \( {\mathrm{R}}^{n} - F \) 是开集时 \( F \) 是闭集.
证明 假设 \( F \) 是闭集,并设 \( p \in {\mathbb{R}}^{n} - F \) . 由于 \( p \) 不是 \( F \) 的极限点,则存在一个不包含 \( F \) 中点的球 \( {B}_{\varepsilon }\left( p\right) \) . 因此 \( {B}_{\varepsilon } \subset {\mathbb{R}}^{n} - F \) ,所以 \( {\mathbb{R}}^{n} - F \) 是开集.
反之,假定 \( {\mathrm{R}}^{n} - F \) 是开集,且 \( p \) 是 \( F \) 的一个极限点,我们要证明 \( p \in F \) . 假如不是这样,则存在一个球 \( {B}_{\varepsilon }\left( p\right) \subset {\mathbf{R}}^{n} - F \) . 这说明 \( {B}_{\varepsilon }\left( p\right) \) 不包含 \( F \) 的点,与 \( p \) 是 \( F \) 的一个极限点这事实相矛盾. 证毕.
连续性也能用闭集的方式来表达, 这是下述事实的结果.
命题 3 映照 \( F : U \subset {\mathbb{R}}^{n} \rightarrow {\mathbb{R}}^{m} \) 连续的充要条件是对每个开集 \( V \subset {\mathbb{R}}^{m},{F}^{-1}\left( V\right) \) 是开集.
证明 设 \( F \) 是连续的,并设 \( V \subset {\mathbb{R}}^{m} \) 是 \( {\mathbb{R}}^{m} \) 中的一个开集. 如果 \( {F}^{-1}\left( V\right) = \varnothing \) ,则无需证明,因为我们已经约定空集是开集. 如果 \( {F}^{-1}\left( V\right) \neq \varnothing \) ,设 \( p \in {F}^{-1}\left( V\right) \) . 则 \( F\left( p\right) \in V \) . 而且因为 \( V \) 是开集,所以存在一个球 \( {B}_{6}\left( {F\left( p\right) }\right) \subset V \) . 根据 \( F \) 的连续性,存在一个球 \( {B}_{\delta }\left( p\right) \) 使
\[
F\left( {{B}_{\delta }\left( p\right) }\right) \subset {B}_{\varepsilon }\left( {F\left( p\right) }\right) \subset V.
\]
因此, \( {B}_{\delta }\left( p\right) \subset {F}^{-1}\left( V\right) \) ,所以 \( {F}^{-1}\left( V\right) \) 是开集.
现在假设对每一个开集 \( V \subset {\mathbb{R}}^{m},{F}^{-1}\left( V\right) \) 是开集. 设 \( p \in U \) , 给定 \( \epsilon > 0 \) ,则 \( A = {F}^{-1}\left( {{B}_{\epsilon }\left( {F\left( p\right) }\right) }\right) \) 是开集. 于是,存在 \( \delta > 0 \) ,使 \( {B}_{\delta }\left( p\right) \subset A \) . 因此
\[
F\left( {{B}_{\delta }\left( p\right) }\right) \subset F\left( A\right) \subset {B}_{\varepsilon }\left( {F\left( p\right) }\right) .
\]
所以 \( F \) 在 \( p \) 是连续的. 证毕
推论 \( F : U \subset {\mathbb{R}}^{n} \rightarrow {\mathbb{R}}^{m} \) 连续的充要条件是对每一个闭集 \( A \subset {\mathbb{R}}^{m},{F}^{-1}\left( A\right) \) 是闭集.
例 2 命题 3 及其推论,给出了描述 \( {R}^{n} \) 中开子集和闭子集的一种可能是最好的方法. 举个例子说,设 \( f : {\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) 由 \( f\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {{x}^{2}/{a}^{2}}\right) - \left( {{y}^{2}/{b}^{2}}\right) - 1 \) 给定. 由于 \( f \) 是连续的 \( 0 \in \mathbb{R} \) 是 \( \mathbb{R} \) 中的一个闭集, \( \left( {0, + \infty }\right) \) 是 \( \mathbb{R} \) 中的一个开集,因此集合
\[
{F}_{1} = \{ \left( {x, y}\right) ;f\left( {x, y}\right) = 0\} = {f}^{-1}\left( 0\right)
\]
在 \( {\mathbb{R}}^{2} \) 中是闭的,且集合
\[
{U}_{1} = \{ \left( {x, y}\right) ;f\left( {x, y}\right) > 0\} ,
\]
\[
{U}_{2} = \{ \left( {x, y}\right) ;f\left( {x, y}\right) < 0\}
\]
在 \( {\mathbb{R}}^{2} \) 中是开的. 另一方面,集合
\[
A = \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbb{R}}^{2};{x}^{2} + {y}^{2} < 1}\right\}
\]
\[
\cup \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbb{R}}^{2};{x}^{2} + {y}^{2} = 1, x > 0, y > 0}\right\}
\]
既不是开的, 也不是闭的 (图 A5-2).
 
图 A5-2
最后这个例子启发我们作下面的定义.
定义 4 设 \( A \subset {\mathbb{R}}^{n}.A \) 的边界 \( \operatorname{Bd}A \) 是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中这种点 \( p \) 的集合: \( p \) 的每一个邻域既包含 \( A \) 中的点又包含 \( {\mathbb{R}}^{n} - A \) 中的点.
因此,如果 \( A \) 是例 2 的集合,则 \( \operatorname{Bd}A \) 是圆 \( {x}^{2} + {y}^{2} = 1 \) . 显然, 当且仅当 \( \mathrm{{Bd}}A \) 的点不属于 \( A \) 时, \( A \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 是开集. 当且仅当 \( \mathrm{{Bd}}B \) 的所有点都属于 \( B \) 时, \( B \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 是闭集.
这些预备概念中的最后一个注: 这里和第二章的附录一样, 诸定义是在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 为 “外围” 空间的假定下给出的. 如同在第二章的附录中已经指出的那样,把这样的定义推广到任意集合 \( A \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 的子集上去, 常常会带来方便. 为做到这点, 我们采用下面的定义.
定义 5 设 \( A \subset {\mathbb{R}}^{n} \) . 我们称 \( V \subset A \) 是 \( A \) 中的开集,如果存在一个 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的开集 \( U \) 使 \( V = U \cap A.\;p \in A \) 在 \( A \) 中的邻域是 \( A \) 中包含 \( p \) 的一个开集.
有了这个 \( A \) 中的 “邻近” 的概念,就很容易把前面的一些定义推广到 \( A \) 的子集上去,并可验证已证明的各命题在这些新的定义下仍然成立.
现在我们回顾一下实数的基本性质. 我们需要一些定义.
定义 6 如果对实直线 \( \mathbb{R} \) 的一个子集 \( A \subset \mathbb{R} \) 存在 \( M \in \mathbb{R} \) ,使对所有的 \( a \in A \) 有 \( M \geq a \) ,则称 \( A \subset R \) 上有界,数 \( M \) 称为 \( A \) 的一个上界. 当 \( A \) 上有界时, \( A \) 的上确界或最小的上界 \( \sup A \) (或 1. u. b. \( A \) ) 是指满足下列条件的上界 \( M \) : 给定 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( a \in A \) 使 \( M - \epsilon < a \) . 改变上述不等式的符号,我们类似地定义 \( A \) 的下界和 \( A \) 的下确界 (或最大下界, \( \inf A \) (或 g. l. b. \( A \) ).
实数的完备性公理 设集 \( A \subset \mathbb{R} \) 非空且上(下)有界. 则存在 \( \sup A\left( {\inf A}\right) \) .
实数系的完备性这一基本性质, 有好几种等价的表达方式. 我们选择了上面这种, 它虽然不是最直观的, 但可能是最有效的一种.
为方便起见作以下的约定. 如果 \( A \subset R \) 不是上 (下) 有界,我们说 \( \sup A = + \infty \left( {\inf A = - \infty }\right) \) . 有了这个约定之后,上述的公理可以这样来叙述: 实数的每一个非空集合都有上确界和下确界.
例 3 集合 \( \left( {0,1}\right) \) 的上确界是 1,它不属于这个集合. 集合
\[
B = \{ x \in \mathbb{R};0 < x < 1\} \cup \{ 2\}
\]
的上确界是 2. 点 2 是 \( B \) 的一个孤立点,即它属于 \( B \) ,但不是 \( B \) 的极限点. 注意 \( B \) 的最大的极限点是 1,它不是 \( B \) 的上确界. 然而, 如果一有界集没有孤立点. 则其上确界肯定是它的一个极限
点.
实数完备性的一个重要的结果, 是下面的收敛性的 “内在” 特征, 它实际上是与完备性等价的 (然而, 我们不准备证明这点).
引理 1 对实数序列 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) ,如果给定 \( \epsilon > 0 \) ,存在 \( {i}_{0} \) ,使对所有为 \( i, j > {i}_{0} \) 有 \( \left| {{x}_{i} - {x}_{j}}\right| < \epsilon \) ,则称实数序列 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 是 Cauchy 序列. 当且仅当一个序列是 Cauchy 序列时, 此序列是收敛的.
证明 设 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \rightarrow {x}_{0} \) . 这时,如果给定 \( \epsilon > 0 \) ,存在 \( {i}_{0} \) ,使对 \( i > \) \( {i}_{0} \) 有 \( \left| {{x}_{i} - {x}_{0}}\right| < \epsilon /2 \) . 则对 \( i, j > {i}_{0} \) 我们有
\[
\left| {{x}_{i} - {x}_{j}}\right| \leq \left| {{x}_{i} - {x}_{0}}\right| + \left| {{x}_{j} - {x}_{0}}\right| < \epsilon
\]
所以 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 是一 Cauchy 序列.
反之,设 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 是一 Cauchy 序列. 很清楚,集合 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 是有界集. 设 \( {a}_{1} = \inf \left\{ {x}_{i}\right\} ,{\mathrm{b}}_{1} = \sup \left\{ {x}_{i}\right\} \) . 或者这两点中有一点是 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 的极限点,因而 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 收敛于此点,或者两点都是集合 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 的孤立点. 在后一种情况,考虑在开区间 \( \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right) \) 中的点的集合,并设 \( {a}_{2} \) 和 \( {b}_{2} \) 分别是它的下确界和上确界. 按照这个方法进行下去, 我们得到或者 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) 收敛,
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1341_[郭懋正] 实变函数与泛函分析
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定义 1.3.13
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定义 1.3.13 令 \( \mathcal{F} \) 是由集合 \( X \) 中一些子集所构成的集合组. 如果满足:
(1) \( \varnothing \in \mathcal{F} \) ;
(2) 若 \( A \in \mathcal{F} \) ,则 \( {A}^{\mathrm{c}} \in \mathcal{F} \) ;
(3) 若 \( {A}_{n} \in \mathcal{F}, n = 1,2,\cdots \) ,则 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{F} \) .
那么称 \( \mathcal{F} \) 是 \( X \) 的一个 \( \sigma \) 代数.
\( X \) 的 \( \sigma \) 代数总是存在的. 例如 \( {2}^{X} \) 是一个 \( \sigma \) 代数,它是最大的. 又如只有两个集合的子集族 \( \{ \varnothing, X\} \) ,也是 \( X \) 的一个 \( \sigma \) 代数,它是最小的. \( {2}^{X} \) 和 \( \{ \varnothing, X\} \) 称为平凡 \( \sigma \) 代数.
当 \( \mathcal{F} \) 是 \( X \) 的 \( \sigma \) 代数时,有 \( X \in \mathcal{F} \) ; 又若 \( {A}_{n} \in \mathcal{F}, n = 1,2,\cdots \) , 则有
\[
\mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{F},\;\underline{\lim }{A}_{n} \in \mathcal{F},\;\overline{\lim }{A}_{n} \in \mathcal{F}
\]
并且 \( \mathcal{F} \) 关于有限并运算封闭.
定义 1.3.14 设 \( \sum \) 是由集合 \( X \) 中一些子集构成的集合族,考虑包含 \( \sum \) 的 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{F} \) (即若 \( A \in \sum \) ,就有 \( A \in \mathcal{F} \) ). 记包含 \( \sum \) 的最小 \( \sigma \) 代数为 \( \mathcal{F}\left( \sum \right) \) ,称 \( \mathcal{F}\left( \sum \right) \) 是由 \( \sum \) 生成的 \( \sigma \) 代数.
定义 1.3.15 由 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中一切开集构成的开集族所生成的 \( \sigma \) 代数称为 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 的 Borel \( \sigma \) 代数,记为 \( {\mathcal{B}}^{n}.{\mathcal{B}}^{n} \) 中的元素称为 Borel 集.
显然,闭集、开集、 \( {F}_{\sigma } \) 集与 \( {G}_{\delta } \) 集皆是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的 Borel 集,任一 Borel 集的余集是 Borel 集. Borel 集合族的可列并、可列交、上极限与下极限构成的集合是 Borel 集.
## §1.3.3 开集的结构, 连续性
定理 \( {1.3.16}\mathbb{R} \) 中任一非空开集 \( G \) 是可数个互不相交的开区间之并.
证明 任给 \( x \in G \) ,因 \( x \) 是 \( G \) 的内点,必有 \( \left( {y, z}\right) \subset G \) ,使 \( x \in \left( {y, z}\right) \) . 令
\[
a = \inf \{ y \in \mathbb{R} \mid (y, x\rbrack \subset G\} ,\;b = \sup \{ z \in \mathbb{R} \mid \lbrack x, z) \subset G\} ,
\]
则 \( - \infty \leq a < x < b \leq + \infty \) . 令 \( {I}_{x} = \left( {a, b}\right) \) ,称 \( {I}_{x} \) 为 \( G \) 中的含 \( x \) 的构成空间. 任给 \( c \in \left( {a, x}\right) \) ,由 \( a \) 的定义知,有 \( y \in \left( {a, c}\right) \) ,使 \( (y, x\rbrack \subset G \) ,因此 \( (c, x\rbrack \subset G \) ,可见 \( (a, x\rbrack \subset G \) ; 同理 \( \lbrack x, b) \subset G \) ,故 \( {I}_{x} \subset G \) . 若 \( a \in G \) ,因 \( a \) 是内点,必有 \( y < a \) ,使 \( (y, a\rbrack \subset G \) ,从而 \( (y, x\rbrack \subset G \) ,这与 \( a \) 的定义矛盾. 因此 \( a\bar{ \in }G \) ; 同理 \( b\bar{ \in }G \) . 显然 \( G = \mathop{\bigcup }\limits_{{x \in G}}{I}_{x} \) .
若 \( {I}_{x} = \left( {a, b}\right) ,{I}_{y} = \left( {c, d}\right) \) 是 \( G \) 的两个不同的构成区间. 不妨设 \( b < d \) ,若 \( b > c \) ,则 \( b \in {I}_{y} \subset G \) ,这不可能,故 \( b \leq c \) . 因此
\[
{I}_{x} \cap {I}_{y} = \varnothing
\]
因每个构成区间中可指定一有理点,而有理点集可数,故 \( G \) 只有可数个互不相交的构成区间.
推论 1.3.17 若 \( F \subsetneqq \mathbb{R} \) 是闭集,则 \( F \) 是从 \( \mathbb{R} \) 中挖去互不相交的开区间后所得之集. 若 \( F \) 是有界闭集,则 \( F \) 是从一闭区间挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
证明 只需证后一结论. 设 \( F \) 是有界闭集. 令 \( a = \inf F, b = \sup F \) , 则 \( F \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 因 \( F \) 是闭集, \( a, b \in F \) ,故 \( G = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \smallsetminus F = \left( {a, b}\right) \cap {F}^{\mathrm{c}} \) 是开集. 由定理 1.3.16 即得所要结论.
例 Cantor 集. 考虑闭区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,如图 1.2 所示. 将 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 三等分,并移去中央那个开区间 \( \left( {1/3,2/3}\right) \) ,记留存部分为 \( {F}_{1} \) ,即
\[
{F}_{1} = \left\lbrack {0,\frac{1}{3}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {\frac{2}{3},1}\right\rbrack
\]
再将 \( {F}_{1} \) 中的区间
\[
\left\lbrack {0,\frac{1}{3}}\right\rbrack \text{ 及 }\left\lbrack {\frac{2}{3},1}\right\rbrack
\]
三等分,并移去中央那个三分之一的开区间 \( \left( {\frac{1}{9},\frac{2}{9}}\right) \) 及 \( \left( {\frac{7}{9},\frac{8}{9}}\right) \) ,再记 \( {F}_{1} \) 中留存的部分为 \( {F}_{2} \) ,即
\[
{F}_{2} = \left\lbrack {0,\frac{1}{9}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {\frac{2}{9},\frac{1}{3}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {\frac{2}{3},\frac{7}{9}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {\frac{8}{9},1}\right\rbrack .
\]
图 1.2
一般地说,设所得剩余部分为 \( {F}_{n}.{F}_{n} \) 是 \( {2}^{n} \) 个长为 \( \frac{1}{{3}^{n}} \) 的互不相交的闭区间的并集. 将每个闭区间三等分, 移去中央三分之一开区间, 再记其留存部分为 \( {F}_{n + 1} \) ,如此等等,得到集合列 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) . 作点集
\[
C = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{F}_{n}
\]
\( \left( {1.3.10}\right) \)
称 \( C \) 是 Cantor 集.
Cantor 集有下述基本性质:
(1) Cantor 集 \( C \) 是非空有界闭集.
因为每个 \( {F}_{n} \) 是非空有界闭集,故 \( C \) 是有界闭集,而 \( {F}_{n} \) 中每个闭区间的端点都没有移去,它们是 \( C \) 中的点,故 \( C \) 为非空集.
(2) \( C = {C}^{\prime } \) ( \( E = {E}^{\prime } \) 称为完全集).
设 \( x \in C \) ,则 \( \forall n, x \in {F}_{n} \) ,即对每个 \( n, x \) 属于长度为 \( 1/{3}^{n} \) 的某个闭区间中. \( \forall \delta > 0,\exists n \) ,满足 \( 1/{3}^{n} < \delta \) ,使得 \( {F}_{n} \) 中包含 \( x \) 的闭区间含于 \( \left( {x - \delta, x + \delta }\right) \) . 此闭区间的两个端点是 \( C \) 中的点,且总有一个不是 \( x \) ,这说明 \( x \) 是 \( C \) 的极限点,故得 \( {C}^{\prime } \supset C \) . 由 (1) 知 \( {C}^{\prime } = C \) .
(3) \( C \) 无内点.
设 \( G = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \smallsetminus C \) ,容易看出, \( \bar{G} = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,从而 \( {C}^{ \circ } = \varnothing \) .
(4) \( \left| C\right| = {2}^{{\aleph }_{0}} \) .
事实上,将 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中实数按三进位制小数展开,则 Cantor 集中的点 \( x \) 与三进位小数中元素 \( x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{i}}{{3}^{i}},{a}_{i} \in \{ 0,2\} \) 一一对应. 从而知 \( C \) 为连续势集.
一维开集的构造由定理 1.3.16 原则上已完全清楚了. 但是, 对于具体给定的开集, 要明确写出具体构造区间并不总是容易的. 例如, 设 \( \mathbb{Q} = \left\{ {{r}_{n} \mid n \in \mathbb{N}}\right\} \) 是全体有理数. 令
\[
G = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{r}_{n} - \frac{1}{n},{r}_{n} + \frac{1}{n}}\right)
\]
则 \( G \) 是一开集,但它的构成区间就无法具体写出来. 可见一维开集仍然可能呈现复杂面貌.
高维开集情况更为复杂. 我们将只给出下而的结论而略去证明.
定理 \( {1.3.18}{\mathbb{R}}^{n} \) 中任意非空开集 \( G \) 可表为可数个互不相交的 \( n \) 维半开矩体之并. (半开矩体是指积集 \( \left\lbrack {{a}_{1},{b}_{1}}\right) \times \left\lbrack {{a}_{2},{b}_{2}}\right) \times \cdots \times \left\lbrack {{a}_{n},{b}_{n}}\right) \) , 称 \( {b}_{i} - {a}_{i} \) 为矩体边长. 若各边长相等,则称为方体.)
下面考虑连续性问题. \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中任意点集上的连续函数概念是高等数学中熟悉的区间或区域上的连续函数概念的推广.
定义 1.3.19 设 \( f \) 是定义在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上的实值函数, \( a \in {\mathbb{R}}^{n} \) . 若对于任意 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( \delta > 0 \) ,使得当 \( x \in {B}_{\delta }\left( a\right) \) ,有 \( \left| {f\left( x\right) - f\left( a\right) }\right| < \varepsilon \) ,则称 \( f \) 在点 \( a \) 连续, \( a \) 是函数 \( f \) 的连续点. 若 \( f \) 在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上每点连续,则称 \( f \) 在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上连续.
连续性也可以用序列极限来刻画. 函数 \( f \) 在点 \( a \) 处连续的充要条件是,对于 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中任何收敛于 \( a \) 的点列 \( \left\{ {x}_{k}\right\} \) ,有 \( \lim f\left( {x}_{k}\right) = f\left( a\right) \) .
定理 1.3.20 设 \( f \) 是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上实值函数,则以下条件互相等价:
(1) \( f \) 在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上连续;
(2) \( \forall \lambda \in \mathbb{R},\{ x \mid f\left( x\right) < \lambda \} \) 与 \( \{ x \mid f\left( x\right) > \lambda \} \) 是开集;
(3) \( \forall \lambda \in \mathbb{R},\{ x \mid f\left( x\right) \leq \lambda )\} \) 与 \( \{ x \mid f\left( x\right) \geq \lambda \} \) 是闭集.
证明 显然有 \( \left( 2\right) \Leftrightarrow \left( 3\right) \) . 只需证 \( \left( 1\right) \Leftrightarrow \left( 2\right) \) . 设 \( f \) 在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上连续, \( \lambda \in \mathbb{R} \) . 任给 \( x \in {\mathbb{R}}^{n}, f\left( x\right) < \lambda \) . 由连续性,存在 \( \varepsilon > 0 \) ,使得当 \( y \in {B}_{\varepsilon }\left( x\right) \) ,有 \( f\left( y\right) < \lambda \) . 故 \( \{ x \mid f\left( x\right) < \lambda \} \) 的每一点是内点,从而它是开集. 同理可得 \( \{ x \mid f\left( x\right) > \lambda \} \) 也是开集.
其次,设 \( \forall \lambda \in \mathbb{R},\{ x \mid f\left( x\right) < \lambda \} \) 和 \( \{ x \mid f\left( x\right) > \lambda \} \) 是开集. 任取 \( a \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,今证 \( f\left( x\right) \) 在 \( a \) 点处连续. 令 \( f\left( a\right) = \beta .\forall \varepsilon > 0 \) ,因 \( \{ x \mid f\left( x\right) \) \( < \beta + \varepsilon \} \cap \{ x \mid f\left( x\right) > \beta - \varepsilon \} = G \) 是开集,显然 \( a \in G \) ,故有 \( \delta > 0 \) , 使 \( {B}_{\delta }\left( a\right) \subset G \) . 这说明当 \( y \in {B}_{\delta }\left( a\right) \) 时 \( \beta - \varepsilon < f\left( y\right) < \beta + \varepsilon \) ,即 \( \left| {f\left( y\right) - f\left( a\right) }\right| < \varepsilon \) . 可见 \( f \) 在 \( a \) 点处连续.
定理 1.3.20 是用点集论方法刻画函数性质的第一个重要定理. 与高等数学中分析方法相比, 点集论方法在风格上是很不相同的, 这可以从两方面应用定理 1.3.20. 首先, 由此定理可得大量开集和闭集的例子. 例如
\[
\left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbb{R}}^{2} \mid y < {x}^{2}}\right\}
\]
与
\[
\left\{ {x \in {\mathbb{R}}^{n}\left| {\parallel x - y\parallel < r,\forall y \in A}\right| }\right\}
\]
是开集,当将 \( < \) 改为 \( \leq \) 时以上两集合都是闭集. 一般地,若一点集 \( A \) 由一组关于连续函数的不等式定义,则当使用不等号 “ \( < \) ” 与 “ \( > \) ” 时是开集,当使用不等号 “ \( \leq \) ” 与 “ \( \geq \) ” 时是闭集. 例如 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上连续函数 \( f \) 的 “下方图形”: \( \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbb{R}}^{n + 1} \mid y \leq f\left( x\right) )}\right\} \) 是闭集. 另一方面,此定理可应用来判定连续性. 例如,设 \( {\mathbb{R}}^{n} = \cup {F}_{i} \) ,其中 \( {F}_{i}\left( {1 \leq i \leq k}\right) \) 是闭集, \( f : {\mathbb{R}}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) . 若 \( \forall \lambda \in \mathbb{R},\forall i \) ,集合 \( {F}_{i} \cap \{ f\left( x\right) \geq \lambda \} \) 与 \( {F}_{i} \cap \{ f\left( x\right) \leq \lambda \} \) 是闭集,则 \( f \) 是连续函数.
定义 1.3.21 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n}, f : E \rightarrow \mathbb{R}, a \in E \) . 若对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( \delta > 0 \) ,使得当 \( x \in E \cap {B}_{\delta }\left( a\right) \) ,有 \( \left| {f\left( x\right) - f\left( a\right) }\right| < \varepsilon \) ,就称 \( f \) 在点 \( a \) 处连续, \( a \) 是 \( f \) 的连续点. 如果 \( f \) 在 \( E \) 上处处连续,就称 \( f \) 在 \( E \) 上连续. 全体 \( E \) 上连续函数集合记为 \( C\left( E\right) \) .
定义 1.3.22 设 \( A \subset E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) . 如果存在开集 (或闭集) \( B \subset {\mathbb{R}}^{n} \) , 使得 \( A = E \cap B \) ,则称 \( A \) 相对于 \( E \) 是开集 (或闭集).
例 在 \( \mathbb{R} \) 上, \( A = \lbrack 0,1) \) 相对于 \( \lbrack 0,\infty ) \) 是开集 \( \left( {A = \lbrack 0,
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144_基础代数 （第二卷〉
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定义 3.48
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定义 3.48 内积空间 \( V \) 上的自伴随算子 \( \mathcal{A} \) 称为正定的(或半正定的) 如果二次型 \( q\left( x\right) = \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) \) 是正定的 (或半正定的),即: 对任意非零向量 \( x \in V \) ,有 \( \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) > 0 \) (或 \( \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) \geq 0 \) ).
由于自伴随算子 \( \mathcal{A} \) 在某个标准正交基的矩阵是实对角矩阵 \( A = \operatorname{diag}\left( {{\lambda }_{1},\cdots }\right. \) , \( \left. {\lambda }_{n}\right) \) ,所以在这个基下二次型 \( q\left( x\right) \) 有典范式
\[
q\left( x\right) = \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }_{i}{\left| {x}_{i}\right| }^{2}.
\]
于是 \( \mathcal{A} \) 正定 (半正定) 当且仅当它的特征值都是正实数 (非负实数). 我们将用记号 \( \mathcal{A} \succ 0 \) 表示 \( \mathcal{A} \) 是正定的,记号 \( \mathcal{A} \succcurlyeq 0 \) 表示 \( \mathcal{A} \) 是半正定的.
由于正定算子的特征值都是正实数, 所以正定算子是非退化的. 正定算子的非退化性也可以直接从柯西-施瓦茨不等式得出
\[
\left| \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) \right| \leq \parallel \mathcal{A}x\parallel \cdot \parallel x\parallel .
\]
另外, 非退化的半正定算子一定是正定的. 正定算子可以开方, 这和正数类似.
命题 3.49 内积空间 \( V \) 上的任何 (半) 正定算子 \( \mathcal{A} \) 都是另一个 (半) 正定算子 \( \mathcal{B} \) 的平方: \( \mathcal{A} = {\mathcal{B}}^{2} \) . (半) 正定算子 \( \mathcal{B} \) 是唯一的,称为 \( \mathcal{A} \) 的平方根,记作 \( \mathcal{B} = \sqrt{\mathcal{A}} \) .
证明 取 \( V \) 的标准正交基,使得 \( \mathcal{A} \) 在这个基下的矩阵是 \( A = \operatorname{diag}\left( {{\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{n}}\right) \) . 命 \( \mathcal{B} \) 是 \( V \) 上的算子,其在这个基下的矩阵是 \( B = \operatorname{diag}\left( {\sqrt{{\lambda }_{1}},\cdots ,\sqrt{{\lambda }_{n}}}\right) \) . 那么 \( \mathcal{B} \) 是 (半) 正定算子且 \( \mathcal{A} = {\mathcal{B}}^{2} \) . 存在性得证.
假设另有 (半) 正定算子 \( \mathcal{C} \) 使得 \( \mathcal{A} = {\mathcal{C}}^{2} \) . 那么 \( \mathcal{C} \) 的特征值 (按重数计算) 是 \( \sqrt{{\lambda }_{1}},\cdots ,\sqrt{{\lambda }_{n}} \) . 于是,对 \( \mathcal{A} \) 的任意特征值 \( \lambda \) ,有
\[
\{ v \in V \mid \mathcal{A}v = {\lambda v}\} = \{ v \in V \mid \mathcal{B}v = \sqrt{\lambda }v\} = \{ v \in V \mid \mathcal{C}v = \sqrt{\lambda }v\} .
\]
这迫使 \( \mathcal{B} = \mathcal{C} \) ,因为 \( \mathcal{B} \) 和 \( \mathcal{C} \) 都是特征子空间的直和.
命题 3.50 设 \( \mathcal{C} \) 是内积空间 \( V \) 上的 (不) 可逆算子. 那么 \( \mathcal{C}{\mathcal{C}}^{ * } \) 和 \( {\mathcal{C}}^{ * }\mathcal{C} \) 都是 (半) 正定算子.
证明 首先 \( \mathcal{C}{\mathcal{C}}^{ * } \) 是自伴随的: \( {\left( \mathcal{C}{\mathcal{C}}^{ * }\right) }^{ * } = {\left( {\mathcal{C}}^{ * }\right) }^{ * }{\mathcal{C}}^{ * } = \mathcal{C}{\mathcal{C}}^{ * } \) . 于是
\[
\left( {{\mathcal{{CC}}}^{ * }x \mid x}\right) = \left( {{\mathcal{C}}^{ * }x \mid {\mathcal{C}}^{ * }x}\right) \geq 0,\;\forall x \in V.
\]
这意味着 \( \mathcal{C}{\mathcal{C}}^{ * } \) 是半正定的. 当 \( \mathcal{C} \) 可逆时,对 \( V \) 中的非零向量 \( x \) ,有 \( {\mathcal{C}}^{ * }x \neq 0 \) ,于是 \( \left( {\mathcal{C}{\mathcal{C}}^{ * }x \mid x}\right) = \left( {{\mathcal{C}}^{ * }x \mid {\mathcal{C}}^{ * }x}\right) > 0 \) . 从而 \( \mathcal{C}{\mathcal{C}}^{ * } \) 是正定的. 类似可知 \( {\mathcal{C}}^{ * }\mathcal{C} \) 是 (半) 正定算子. \( ▱ \)
对半正定算子, 上面两个结论合在一起就是如下结论.
定理 3.51 对内积空间 \( V \) 上的线性算子 \( \mathcal{A} \) ,下列条件等价:
(1) \( \mathcal{A} = {\mathcal{B}}^{2} \) 且 \( {\mathcal{B}}^{ * } = \mathcal{B} \) ;
(2) \( \mathcal{A} = {\mathcal{{CC}}}^{ * } \) ;
(3) \( \mathcal{A} \) 自伴随且 \( \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) \geq 0\;\forall x \in V \) .
可以看出定理中的性质 (1), (2) 与非负实数在复数域中的性质是类似的.
## 习 题 3.3
1. 设 \( V \) 是内积空间, \( \mathcal{A} \) 是 \( V \) 上的线性算子. 证明: 如果 \( U \subset V \) 是 \( \mathcal{A} \) 的不变子空间,那么 \( U \) 的正交补是 \( {\mathcal{A}}^{ * } \) 的不变子空间.
2. 证明: 线性算子 \( \mathcal{A} \) 的核与像分别是 \( {\mathcal{A}}^{ * } \) 的像与核的正交补.
3. 设 \( \mu \left( t\right) = {a}_{0} + {a}_{1}t + \cdots + {a}_{m}{t}^{m} \) 是线性算子 \( \mathcal{A} \) 的极小多项式. 证明: \( \bar{\mu }\left( t\right) = {\bar{a}}_{0} + \) \( {\bar{a}}_{1}t + \cdots + {\bar{a}}_{m}{t}^{m} \) (小横杆表示复共轭) 是线性算子 \( {\mathcal{A}}^{ * } \) 的极小多项式.
4. 证明: 如果 \( \mathcal{A} \) 和 \( \mathcal{B} \) 都是向量空间 \( V \) 上的自伴随线性算子,则线性变换
\[
\mathcal{A} + \mathcal{B},\;i\left( {\mathcal{A}\mathcal{B} - \mathcal{B}\mathcal{A}}\right)
\]
也是自伴随的.
5. 设 \( \mathcal{A} \) 是内积空间 \( V \) 的沿着子空间 \( W \) 到子空间 \( U \) 的投影. 证明: \( \mathcal{A} \) 是自伴随的当且仅当 \( U \) 和 \( W \) 是正交的.
6. 设 \( \mathcal{A} \) 和 \( \mathcal{B} \) 是域 \( K \) 上的向量空间的算子. 证明: 如果它们交换且可对角化,那么,它们可同时对角化,也就是说,存在 \( V \) 的一个基,基中的向量既是 \( \mathcal{A} \) 的特征向量,也是 \( \mathcal{B} \) 的特征向量.
7. 证明: 如果 \( \mathcal{A} \) 和 \( \mathcal{B} \) 是正定算子且 \( \mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A} \) ,那么 \( \mathcal{A}\mathcal{B} \) 也是正定的.
8. 假设 \( A \) 是可逆斜对称实矩阵. 证明: \( - {A}^{2} \) 是对称的正定矩阵. 特别,斜对称实矩阵的非零特征值必为纯虚数.
9. 设 \( \mathcal{A} \) 和 \( \mathcal{B} \) 是两个半正定的自伴随算子,其中一个是可逆的. 证明: \( \mathcal{A}\mathcal{B} \) 的特征值都是非负实数.
10. 假设内积空间上线性算子在某个标准正交基下的矩阵如下:
(1) \( \left( \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \) , (2) \( \left( \begin{matrix} {11} & 2 & - 8 \\ 2 & 2 & {10} \\ - 8 & {10} & 5 \end{matrix}\right) \) , (3) \( \left( \begin{matrix} 5 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 5 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 5 \end{matrix}\right) \) ,
(4) \( \left( \begin{matrix} 3 & 2 + {2i} \\ 2 - {2i} & 1 \end{matrix}\right) ,\; \) (5) \( \left( \begin{matrix} 3 & - i \\ i & 3 \end{matrix}\right) \) .
求一个标准正交基使得线性算子在这个基下的矩阵是对角的.
11. 三维欧氏空间 \( V \) 上的 \( \mathcal{A} \) 在某个标准正交基下的矩阵是
\[
\left( \begin{matrix} {13} & {14} & 4 \\ {14} & {24} & {18} \\ 4 & {18} & {29} \end{matrix}\right)
\]
求 \( \mathcal{A} \) 的平方根 \( \mathcal{B} \) (即 \( \mathcal{B} \) 正定且 \( {\mathcal{B}}^{2} = \mathcal{A} \) ) 在这个基下的矩阵.
12. 找出把二次型化成典范式的一个保距变换:
(1) \( 6{x}_{1}^{2} + 5{x}_{2}^{2} + 7{x}_{3}^{2} - 4{x}_{1}{x}_{2} + 4{x}_{1}{x}_{3} \) ;
(2) \( 9{x}_{1}^{2} + 5{x}_{2}^{2} + 5{x}_{3}^{2} + 8{x}_{4}^{2} + 8{x}_{2}{x}_{3} - 4{x}_{2}{x}_{4} + 4{x}_{3}{x}_{4} \) ;
(3) \( 5{\left| {x}_{1}\right| }^{2} + i\sqrt{3}{x}_{1}{\bar{x}}_{2} - i\sqrt{3}{x}_{2}{\bar{x}}_{1} + 6{\left| {x}_{2}\right| }^{2} \) ;
(4) \( 2{\left| {x}_{1}\right| }^{2} + 2{\left| {x}_{2}\right| }^{2} + 2{\left| {x}_{3}\right| }^{2} - {2i}{x}_{1}{\bar{x}}_{2} + {2i3}{x}_{2}{\bar{x}}_{1} + {2i}{x}_{2}{\bar{x}}_{3} + {2i}{x}_{3}{\bar{x}}_{2} \) .
13. 给定欧氏空间上的二次型 \( f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }_{i}{x}_{i}^{2} \) . 证明
\[
\max \left\{ {\left| {\lambda }_{1}\right| ,\cdots ,\left| {\lambda }_{r}\right| }\right) = \mathop{\max }\limits_{{\left| x\right| = 1}}\left| {f\left( x\right) }\right| .
\]
设 \( q\left( x\right) \) 是欧氏空间 \( V \) 上的二次型. 问: 在单位球面 \( S = \{ x \in V \mid \parallel x\parallel = 1\} \) 上哪些点处二次型 \( q \) 能达到极大和极小. 更一般地,单位球面上哪些点是 \( q \) 的静止点 (stationary point), 即 \( q \) 在该点的各个方向的导数都是 0 ? 证明下述论断正确:
二次型 \( q\left( x\right) \) 在单位球面上的静止点恰是二次型 \( q\left( x\right) = \left( {\mathcal{F}x \mid x}\right) \) 确定的对称算子 \( \mathcal{F} \) 的单位特征向量.
特别,二次型 \( q\left( x\right) \) 在单位球面上的极大值就是 \( \mathcal{F} \) 的特征值中的最大者,极小值就是 \( \mathcal{F} \) 的特征值中的最小者. 也就是说,通过保距变换把 \( q\left( x\right) \) 化成典范式,那么典范式的系数中的最大者 (最小者) 就是二次型 \( q\left( x\right) \) 在单位球面上的极大值 (极小值).
14. 如往常, \( E \) 是 \( n \) 阶单位矩阵, \( {E}_{ij} \) 是在 \( \left( {i, j}\right) \) 处的值为 1,其他地方的值为 0 的 \( n \) 阶方阵. 验证: 矩阵族
\[
\mathfrak{S} = \left\{ {{E}_{ij} \mid 1 \leq i \leq \left\lbrack {n/2}\right\rbrack ,\left\lbrack {n/2}\right\rbrack + 2 \leq j \leq n}\right\} \cup \{ E\}
\]
含有 \( \left\lbrack {{n}^{2}/4}\right\rbrack + 1 \) 个元素,它们线性无关. 而且,对 \( {E}_{ij},{E}_{kl} \in \mathfrak{S} \) ,有 \( {E}_{ij}{E}_{kl} = {E}_{kl}{E}_{ij} = 0 \) . (对实数 \( a \) ,记号 \( \left\lbrack a\right\rbrack \) 表示比 \( a \) 小的整数中的最大者,即 \( \left\lbrack a\right\rbrack \) 是整数,且 \( 0 \leq a - \left\lbrack a\right\rbrack < 1 \) . 如 \( \left\lbrack {-{1.2}}\right\rbrack = - 2,\left\lbrack {3.1}\right\rbrack = 1,\left\lbrack {\pm 5}\right\rbrack = \pm 5 \) .)
15. [I. Schur,1905] 在复代数 \( {M}_{n}\left( \mathbb{C}\right) \) 中交换子代数的最大维数是 \( \left\lbrack {{n}^{2}/4}\right\rbrack + 1 \) . 实际上,可以证明更强的结论: 在 \( {M}_{n}\left( \mathbb{C}\right) \) 中如果一个向量组中的向量两两交换,那么这个向量组的秩不超过 \( \left\lbrack {{n}^{2}/4}\right\rbrack + 1 \) .
容易看出, \( \mathbb{C} \) 可以用任何域代替.
16. 设 \( V \) 是偶数 \( {2m} \) 维欧氏空间, \( f\left( {x, y}\right) \) 是 \( V \) 上的非退化斜对称双线性型. 证明: 可将 \( V \) 分解成两个 \( m \) 维子空间的直和 \( V = {V}_{1} \oplus {V}_{2} \) ,并找到一个对称的非退化线性算子 \( \mathcal{A} : V \rightarrow V \) 使得
\[
f\left( {x, y}\right) = \left( {{x}_{1} \mid \mathcal{A}{y}_{2}}\right) - \left( {{x}_{2} \mid \mathcal{A}{y}_{1}}\right)
\]
此处 \( x = {x}_{1} + {x}_{2}, y = {y}_{1} + {y}_{2},{x}_{i},{y}_{i} \in {V}_{i}, i = 1,2 \) .
## 3.4 内积空间上的线性算子, II- 保距算子
- 内积空间上的算子中最重要的部分很可能是保距算子.
定义 3.52 称内积空间 \( V \) 上的线性算子 \( \mathcal{A} \) 是保距的如果 \( \parallel \mathcal{A}x\parallel = \parallel x\parallel \) 对所有的 \( x \in V \) .
假设 \( \mathcal{A} \) 保距. 对 \( x, y \in V \) ,我们有 \( \parallel \mathcal{A}x - \mathcal{A}y\parallel = \parallel \mathcal{A}\left( {x - y}\right) \parallel = \parallel x - y\parallel \) ,即 \( \mathcal{A}x,\mathcal{A}y \) 之间的距离和 \( x, y \) 之间的距离相等. 这解释了保距的含义.
命题 3.53 内积空间 \( V \) 上的线性算子 \( \mathcal{A} \) 是保距的当且仅当它保持内积: \( \left( {\mathcal{A}x \mid \mathcal{A}y}\right) = \left( {x \mid y}\right) \) ,从而当且仅当 \( {\mathcal{A}}^{ * }\mathcal{A} = \mathcal{E} \) .
证明 如果 \( \mathcal{A} \) 保持内积,那么 \( \left( {\mathcal{A}x \mid \mathcal{A}x}\right) = \left( {x \mid x}\right) \) ,即 \( \parallel \mathcal{A}x\parallel = \parallel x\parallel \) . 反过来,假设 \( \mathcal{A} \) 是保距的,即 \( \parallel \mathcal{A}z\parallel = \parallel z\parallel \) ,对所有的 \( z \in V \) . 对埃氏空间,有
\[
2\left( {x \mid y}\right) = \parallel x + y{\parallel }^{2} + i\parallel x + {iy}{\parallel }^{2} - \left( {1 + i}\right) \left( {\parallel x{\parallel }^{2} + \parallel y{\parallel }^{2}}\right) ,
\]
所以
\[
2\left( {\mathcal{A}x \mid \mathcal{A}y}\right) = \parallel \mathcal{A}x + \mathcal{A}y{\parallel }^{2} + i\parallel \mathcal{A}x + i\mathcal{A}y){\parallel }^{2} - \left( {1 + i}\right) \left( {\parallel \mathcal{A}x{\parallel }^{2} + \parallel \mathcal{A}y{\parallel }^{2}}\right)
\]
\[
= \parallel \mathcal{A}\left( {x + y}\right) {\parallel }^{2} + i\parallel \mathcal{A}\left( {x + {iy}}\right) {\parallel }^{2} - \left( {1 + i}\right) \left( {\parallel \ma
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184_数学分析讲义
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定义 5.1.1
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定义 5.1.1 (极值点). 设 \( f \) 是定义在区间 \( I \) 中的函数, \( {x}_{0} \in I \) . 如果存在 \( \delta > 0 \) , 使得
\[
f\left( x\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) \left( {f\left( x\right) \leq f\left( {x}_{0}\right) }\right) ,\;\forall x \in \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) \cap I,
\]
则称 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 在 \( I \) 中的一个极小 (大) 值点, \( f\left( {x}_{0}\right) \) 称为极小 (大) 值.
如果 \( {x}_{0} \in I \) ,且
\[
f\left( x\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) \left( {f\left( x\right) \leq f\left( {x}_{0}\right) }\right) ,\;\forall x \in I,
\]
则称 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 在 \( I \) 中的一个最小 (大) 值点, \( f\left( {x}_{0}\right) \) 称为最小 (大) 值.
显然, 最小 (大) 值点是极小 (大) 值点. 我们把极小值点和极大值点统称为极值点, 极小值和极大值统称为极值, 最大值和最小值统称最值. 当定义中的不等号在 \( {x}_{0} \) 的空心邻域中严格成立时,相应的极值点称为严格极值点,相应的极值称为严格极值.
定理 5.1.1 (Fermat). 设 \( {x}_{0} \) 是函数 \( f \) 在 \( I \) 中的极值点,且 \( {x}_{0} \) 为 \( I \) 的内点. 如果 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 处可导,则 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0 \) .
证明. 不妨设 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 的极小值点 (不然
图 5.1 函数的极值点
可考虑 \( - f) \) . 由于 \( {x}_{0} \) 为 \( I \) 的内点,故存在 \( \delta > 0 \) ,使得 \( \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) \subset I \) . 当 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 的极小值点时,我们假设 \( \delta \) 充分小,使得
\[
f\left( x\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) ,\;\forall x \in \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) .
\]
特别地,当 \( x \in \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0}}\right) \) 时,
\[
{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}^{ - }}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} \leq 0,
\]
而当 \( x \in \left( {{x}_{0},{x}_{0} + \delta }\right) \) 时,
\[
{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}^{ + }}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} \geq 0,
\]
这说明 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0 \) .
注. (1) 如果 \( {x}_{0} \) 不是 \( I \) 的内点,则即使 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 处可导 (存在左导数或右导数), 导数也不必为零. 如定义在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的函数 \( f\left( x\right) = x \) 就是例子. 如果 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 在 \( I \) 中的极值点,但不是 \( I \) 的内点,则根据定理的证明可以得到下面的结论:
设 \( {x}_{0} \) 是 \( I \) 的左端点,如果 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 的极小 (大) 值点,则 \( {f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \geq 0\left( { \leq 0}\right) \) ; 设 \( {x}_{0} \) 是 \( I \) 的右端点,如果 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 的极小 (大) 值点,则 \( {f}_{ - }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \leq 0\left( { \geq 0}\right) \) ;
(2) 函数可能在不可导点处取极值,例如 \( f\left( x\right) = \left| x\right|, x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 在 \( {x}_{0} = 0 \) 处取到最小值,但 \( f \) 在 \( {x}_{0} = 0 \) 处不可导,当然就谈不上导数为零了.
(3) 我们把满足条件 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0 \) 的点称为 \( f \) 的驻点或临界点. 需要注意的是, 驻点不必为极值点,例如 \( f\left( x\right) = {x}^{3},{x}_{0} = 0 \) 为 \( f \) 的驻点,但不是极值点.
定理 5.1.2 (Darboux). (*) 设 \( f \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的可导函数,则 \( {f}^{\prime } \) 可以取到 \( {f}_{ + }^{\prime }\left( a\right) \) 与 \( {f}_{ - }^{\prime }\left( b\right) \) 之间的任意值.
证明. 设 \( k \) 是介于 \( {f}_{ + }^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {f}_{ - }^{\prime }\left( b\right) \) 之间的数. 考虑函数 \( g\left( x\right) = f\left( x\right) - {kx} \) ,则
\[
{g}_{ + }^{\prime }\left( a\right) \cdot {g}_{ - }^{\prime }\left( b\right) = \left( {{f}_{ + }^{\prime }\left( a\right) - k}\right) \left( {{f}_{ - }^{\prime }\left( b\right) - k}\right) \leq 0,
\]
如果上式为零,则 \( k \) 等于 \( f \) 在 \( a \) 或 \( b \) 处的导数; 如果上式小于零,不妨设 \( {g}_{ + }^{\prime }\left( a\right) > 0 \) , \( {g}_{ - }^{\prime }\left( b\right) < 0 \) ,则 \( g \) 在 \( a \) 或 \( b \) 处均取不到最大值,从而 \( g \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的内部某一点 \( \xi \) 处取到最大值. 由 Fermat 定理, \( {g}^{\prime }\left( \xi \right) = 0 \) ,即 \( {f}^{\prime }\left( \xi \right) = k \) .
注. 这个定理说明,如果 \( f \) 是区间 \( I \) 中的可导函数,则其导函数 \( {f}^{\prime } \) 的值域仍为区间. 特别地, Dirichlet 函数没有任何原函数.
例 5.1.1. 求函数 \( f\left( x\right) = {x}^{3} - x + 1 \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上的最小值和最大值.
解. 因为 \( f\left( x\right) = {x}^{3} - x + 1 \) 为连续函数,故它在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上可以取到最小值和最大值. 我们首先来求驻点: 方程
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = 3{x}^{2} - 1 = 0
\]
的解为 \( x = - \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}} \) . 因此 \( f \) 的可能极值点为 \( - 1, - \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},1 \) . 在这些点处计算 \( f \) 的值如下:
\[
f\left( {-1}\right) = 1, f\left( {-\frac{1}{\sqrt{3}}}\right) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}, f\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}, f\left( 1\right) = 1.
\]
这说明 \( f \) 的最大值为 \( 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}} \) ,最小值为 \( 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} \) .
在上面的例子中, 驻点正好也是最值点. 下面的例子正好相反.
例 5.1.2. 求函数 \( f\left( x\right) = {x}^{3} - {x}^{2} + 1 \) 在 \( \left\lbrack {-1,2}\right\rbrack \) 上的最小值和最大值.
解. 先求驻点: \( {f}^{\prime }\left( x\right) = 3{x}^{2} - {2x} = 0 \) 的解为 \( x = 0,\frac{2}{3} \) . 因此 \( f \) 的可能极值点为 \( - 1,0,\frac{2}{3},2 \) ,在这些点处计算 \( f \) 的值如下:
\[
f\left( {-1}\right) = - 1, f\left( 0\right) = 1, f\left( \frac{2}{3}\right) = \frac{23}{27}, f\left( 2\right) = 5.
\]
这说明 \( f \) 的最小值为 -1,最大值为 5 .
利用下一节的知识可以说明, 这个例子中的两个驻点中一个是极大值点, 另一个是极小值点.
以下我们给出在一般区间上定义的连续函数最值的一种判别方法.
命题 5.1.3. 设 \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) 为连续函数,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty \left( {-\infty }\right) ,
\]
则 \( f \) 在 \( \mathbb{R} \) 上达到最小 (大) 值.
证明. 我们不妨设 \( \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty \) . 由极限的定义,存在 \( M > 0 \) 使得当 \( \left| x\right| \geq M \) 时 \( f\left( x\right) > f\left( 0\right) + 1 \) . 因为 \( f \) 为连续函数,故在闭区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上取到最小值. 设 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 处取到此最小值,则 \( f\left( {x}_{0}\right) \leq f\left( 0\right) \) (因为 \( 0 \in \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) ). 另一方面,
\[
f\left( {x}_{0}\right) \leq f\left( 0\right) < f\left( 0\right) + 1 < f\left( x\right) ,\;\forall x \in \left( {-\infty, M}\right) \cup \left( {M, + \infty }\right) ,
\]
这说明 \( {x}_{0} \) 也是 \( f \) 在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上的最小值点.
显然,上述命题可以推广到其它非闭区间的情形,以 \( \left( {a, + \infty }\right) \) 为例,我们有如下结论: 如果连续函数 \( f \) 满足
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {a}^{ + }}}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty \left( {-\infty }\right)
\]
则 \( f \) 在 \( \left( {a, + \infty }\right) \) 上达到最小 (大) 值.
例 5.1.3. 设 \( {a}_{i}, i = 1,2,\cdots, n \) 为 \( \mathbb{R} \) 上的 \( n \) 个点. 在 \( \mathbb{R} \) 上求一点,使得它到 \( {a}_{i}\left( {1 \leq i \leq n}\right) \) 的距离的平方和最小.
解. 设 \( x \in \mathbb{R} \) ,考虑连续函数
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( x - {a}_{i}\right) }^{2},\;x \in \mathbb{R}.
\]
我们的问题就是求 \( f \) 的最小值点. 容易看出,当 \( \left| x\right| \rightarrow + \infty \) 时, \( f\left( x\right) \rightarrow + \infty \) ,因此由上面的命题, \( f \) 的最小值点的确存在. 又因为 \( f \) 可微,故最小值点必为驻点. 方程
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {x - {a}_{i}}\right) = 0
\]
的惟一解为
\[
x = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}
\]
因此它就是我们要求的点.
例 5.1.4. 设 \( p > 1 \) ,研究函数 \( f\left( x\right) = x - \frac{{x}^{p}}{p}, x \in \lbrack 0, + \infty ) \) 的极值.
解. 显然, \( f\left( 0\right) = 0 \) ,且 \( x \rightarrow + \infty \) 时, \( f\left( x\right) \rightarrow - \infty \) .
图 5.2 极值点与不等式
因此 \( f\left( x\right) \) 的最大值存在,最小值不存在. 因为
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = 1 - {x}^{p - 1} = 0
\]
只有一个解 \( x = 1 \) ,且 \( 0 = f\left( 0\right) < f\left( 1\right) = 1 - 1/p \) ,故 \( x = 1 \) 就是最大值点,从而有
\[
f\left( x\right) \leq f\left( 1\right) = 1 - \frac{1}{p},\;\forall x \geq 0.
\]
如果记 \( q = \frac{p}{p - 1} \) ,则上式可以改写为
\[
x \leq \frac{{x}^{p}}{p} + \frac{1}{q},\;\forall x \geq 0.
\]
设 \( a, b > 0 \) ,以 \( x = a{b}^{-\frac{1}{p - 1}} \) 代入上式,整理后得到
\[
{ab} \leq \frac{{a}^{p}}{p} + \frac{{b}^{q}}{q}
\]
这也就是 Young 不等式,等号成立当且仅当 \( {a}^{p} = {b}^{q} \) .
例 5.1.5. 光线的折射和反射原理.
设在 \( x \) 轴两侧有两种不同的介质 \( {M}_{1} \) 和 \( {M}_{2} \) ,光在介质 \( {M}_{1} \) 和 \( {M}_{2} \) 中的传播速度分别为 \( {v}_{1} \) 和 \( {v}_{2} \) . 设光从介质 \( {M}_{1} \) 中的 \( A = \left( {0, a}\right) \) 点经过 \( x \) 轴到达介质 \( {M}_{2} \) 中的 \( C = \left( {b, - c}\right) \) 点,这里 \( a, b, c > 0 \) . 我们要找出光线与 \( x \) 轴的交点. 因为光线服从 “最小原理”,即光线从 \( A \) 经过 \( x \) 轴到达 \( C \) 所经过的路径应该是所有可能的路径中花费时间最少的那一条,因此我们将问题转化为求时间函数的极值. 从 \( A = \left( {0, a}\right) \) 到 \( \left( {x,0}\right) \) 再到 \( C = \left( {b, - c}\right) \) 光线所需要的时间为
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{{v}_{1}}\sqrt{{a}^{2} + {x}^{2}} + \frac{1}{{v}_{2}}\sqrt{{c}^{2} + {\left( b - x\right) }^{2}}.
\]
显然,当 \( \left| x\right| \rightarrow + \infty \) 时 \( f\left( x\right) \rightarrow + \infty \) ,因此 \( f \) 的最小值存在. 对 \( f \) 求导,得
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{{v}_{1}}\frac{x}{\sqrt{{a}^{2} + {x}^{2}}} - \frac{1}{{v}_{2}}\frac{b - x}{\sqrt{{c}^{2} + {\left( b - x\right) }^{2}}},
\]
图 5.3 光线的折射
不难看出,满足 \( {f}^{\prime }\left( x\right) = 0 \) 的点必定属于开区间 \( \left( {0, b}\right) \) . 又因为
\[
{f}^{\prime \prime }\left( x\right) = \frac{1}{{v}_{1}}\frac{{a}^{2}}{{\left( {a}^{2} + {x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{v}_{2}}\frac{{c}^{2}}{{\left( {c}^{2} + {\left( b - x\right) }^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}} > 0,
\]
根据下一节开头的 Rolle 定理就知道 \( {f}^{\prime }\left( x\right) = 0 \) 的解最多只有一个. 总之, \( f\left( x\right) \) 的驻点是存在惟一的,它就是 \( f \) 的最小值点,即光线经过 \( x \) 轴的点,满足条件
\[
\frac{1}{{v}_{1}}\frac{x}{\sqrt{{a}^{2} + {x}^{2}}} = \frac{1}{{v}_{2}}\frac{b - x}{\sqrt{{c}^{2} + {\left( b - x\right) }^{2}}}.
\]
通常用入射角 \( \alpha \) 和折射角 \( \beta \) 将上式改写为
\[
\frac{\sin \alpha }{{v}_{1}} = \frac{\sin \beta }{{v}_{2}}\text{,或 }\frac{\sin \alpha }{\sin \beta } = \frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}.
\]
这就是光学中著名的折射定律.
类似地,如
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1800_大学数学系自学丛书 近世代数
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定义 4
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定义 4 设 \( A, B, C \) 是三个集合, \( \varphi : A \rightarrow B,\psi : B \rightarrow \) \( C \) ,则 \( A \) 到 \( C \) 的映射 \( \gamma : a \mapsto \psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) ,\forall a \in A \) ,叫做 \( \varphi \) 与 \( \psi \) 的合成,记为 \( {\psi \varphi } = \gamma \) .
例 7 设 \( A = \{ a, b\}, B = \{ 1,2,3,4\}, C = \{ x, y, z\} \) ,
\[
\varphi : a \mapsto 1, b \mapsto 3
\]
\[
\psi : 1 \mapsto x,2 \mapsto y,3 \mapsto z,4 \mapsto z
\]
则 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 分别是 \( A \) 到 \( B \) 和 \( B \) 到 \( C \) 的映射,它们的合成是
\[
{\psi \varphi } : a \mapsto \psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) = \psi \left( 1\right) = x
\]
\[
b \mapsto \psi \left( {\varphi \left( b\right) }\right) = \psi \left( 3\right) = z
\]
值得注意的是, 不是任何两个映射都可以做合成, 能做合成的两个映射必须而且只须第一个映射的值域与第二个映射的定义域相同. 还应注意,为了便于计算,在合成的记号 \( {\psi \varphi } \) 中, 把第一个映射 \( \varphi \) 列在第二个映射 \( \psi \) 的右边. 参加合成的两个映射的顺序一般不可颠倒,尽管 \( {\psi \varphi } \) 是映射合成,但是可能 \( {\varphi \psi } \) 无意义 ( \( \psi \) 的值域不等于 \( \varphi \) 的定义域) 例 7 便是如此. 有时虽然 \( {\varphi \psi } \) 有意义,但 \( {\varphi \psi } \neq {\psi \varphi } \) . 所以一般的映射合成不满足交换律. 然而映射合成满足结合律.
定理 1 设 \( A\overset{\varphi }{ \rightarrow }B\overset{\psi }{ \rightarrow }C\overset{\gamma }{ \rightarrow }D \) ,则
\[
\gamma \left( {\psi \varphi }\right) = \left( {\gamma \psi }\right) \varphi
\]
证明 首先,由所给条件知 \( \gamma \left( {\psi \varphi }\right) \) 和 \( \left( {\gamma \psi }\right) \varphi \) 是具有相同定义域 \( A \) 和相同值域 \( D \) 的两个映射.
其次证明这两个映射对 \( A \) 的每个元素的作用效果相同. \( \forall a \in A \) 有
\[
\left\lbrack {\gamma \left\lbrack {{\psi \varphi })}\right\rbrack \left( a\right) = \gamma \left\lbrack {\left( {\psi \varphi }\right) \left( a\right) }\right\rbrack = \gamma \left\lbrack {\psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) }\right\rbrack }\right\rbrack
\]
\[
\left\lbrack {\left( {\gamma \psi }\right) \varphi }\right\rbrack \left( a\right) = \left( {\gamma \psi }\right) \left( {\varphi \left( a\right) }\right) = \gamma \left\lbrack {\psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) }\right\rbrack
\]
即
\[
\left\lbrack {\gamma \left( {\psi \varphi }\right) }\right\rbrack \left( a\right) = \left\lbrack {\left( {\gamma \psi }\right) \varphi }\right\rbrack \left( a\right)
\]
由映射相等的定义得
\[
\gamma \left( {\psi \varphi }\right) = \left( {\gamma \psi }\right) \varphi
\]
证完.
关于映射合成,还有两个明显的性质: 其一是, \( A\overset{\varphi }{ \rightarrow } \) \( B\overset{\psi }{ \rightarrow }C \) ,则当 \( \varphi \text{、}\psi \) 都是单射时, \( {\psi \varphi } \) 必是单射; 当 \( \varphi \text{、}\psi \) 都是满射时, \( {\psi \varphi } \) 必是满射; 从而,当 \( \varphi \text{、}\psi \) 都是双射时, \( \psi \widetilde{\psi } \) 必是双射. 其二是,设 \( \varphi : A \rightarrow B \) ,则 \( \varphi {I}_{A} = \varphi ,{I}_{B}\varphi = \varphi \) , 其中 \( {I}_{A} \) 和 \( {I}_{B} \) 分别是 \( A \) 和 \( B \) 的恒等变换.
现证明,如果 \( A\overset{\varphi }{ \rightarrow }B\overset{\psi }{ \rightarrow }C \) ,则当 \( \varphi ,\psi \) 都是单射时, \( {\psi \varphi } \) 必是单射（其余的证明留给读者. ) 事实上, \( \forall a, b \in A \) , 如果 \( a \neq b \) ,则因 \( \varphi \) 是单射,有 \( \varphi \left( a\right) \neq \varphi \left( b\right) \) . 再因 \( \psi \) 是单射,有 \( \psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) \neq \psi \left( {\varphi \left( b\right) }\right) \) ,即 \( \left( {\psi \varphi }\right) \left( a\right) \neq \left( {\psi \varphi }\right) \left( b\right) \) . 于是 \( {\psi \varphi } \) 是单射.
下面利用映射合成给出映射是双射的判定条件, 为此先给出逆映射的概念.
定义 5 设 \( \varphi : A \rightarrow B \) ,如果存在 \( \psi : B \rightarrow A \) ,使得 \( {\psi \varphi } = {I}_{A} \) 且 \( {\varphi \psi } = {I}_{B} \) ,则 \( \psi \) 叫做 \( \varphi \) 的逆映射. 具有逆映射的映射叫做可逆映射。
初等函数中的指数函数, 对数函数, 线性代数中的可逆线性变换,本节例 3 中的 \( {\varphi }_{1} \) ,例 6 中的恒等变换 \( {I}_{A} \) 都是可逆映射.
由逆映射的定义可直接推得: 若 \( \psi \) 是 \( \varphi : A \rightarrow B \) 的逆映射,则对于任意的 \( a \in A,{a}^{\prime } \in B \) 有: \( \varphi \left( a\right) = {a}^{\prime } \Leftrightarrow \psi \left( {a}^{\prime }\right) = a \) .
事实上,如果 \( \varphi \left( a\right) = {a}^{\prime } \) ,则 \( \psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) = \psi \left( {a}^{\prime }\right) \) ,即 \( {I}_{A}\left( a\right) = \) \( \psi \left( {a}^{\prime }\right) \) ,所以, \( a = \psi \left( {a}^{\prime }\right) \) . 反之,如果 \( \psi \left( {a}^{\prime }\right) = a \) ,则 \( \varphi \left( {\psi \left( {a}^{\prime }\right) }\right) = \) \( \varphi \left( a\right) \) ,即 \( {I}_{B}\left( {a}^{\prime }\right) = \varphi \left( a\right) \) ,得 \( {a}^{\prime } = \varphi \left( a\right) \) .
由逆映射的定义还可直接推得: 如果 \( \varphi : A \rightarrow B \) 是可逆的,则 \( \varphi \) 的逆映射唯一.
事实上,设 \( \psi \text{、}{\psi }^{\prime } \) 都是 \( \varphi \) 的逆映射,则有
\[
{\psi \varphi } = {I}_{1} = {\psi }^{\prime }\varphi ,\;{\varphi \psi } = {I}_{B} = \varphi {\psi }^{\prime }
\]
于是
\[
\psi = {I}_{A}\psi = \left( {{\psi }^{\prime }\varphi }\right) \psi = {\psi }^{\prime }\left( {\varphi \psi }\right) = {\psi }^{\prime }{I}_{B} = {\psi }^{\prime }
\]
现把可逆映射 \( \varphi \) 的唯一的逆映射记为 \( {\varphi }^{-1} \) .
由逆映射的定义还可看出,如果 \( \varphi \) 是可逆映射,那么 \( {\varphi }^{-1} \) 也是可逆的,而且 \( \varphi \) 就是 \( {\varphi }^{-1} \) 的逆映射,即
\[
{\left( {\varphi }^{-1}\right) }^{-1} = \varphi
\]
现在我们来证明, 双射与可逆映射本质上的一致性.
定理 \( {2\varphi } : A \rightarrow B \) 是可逆映射必要而且只要 \( \varphi \) 是双射.
证明 充分性. 假设 \( \varphi \) 是双射, \( \forall {a}^{\prime } \in B \) ,当 \( \varphi \left( a\right) = {a}^{\prime } \) , \( a \in A \) ,令
\[
\psi : {a}^{\prime } \mapsto a\text{,即}\psi \left( {a}^{\prime }\right) = a
\]
下面说明 \( \psi \) 是 \( B \) 到 \( A \) 的映射. 按上面规定, \( B \) 中的元素 \( {a}^{\prime } \) 在 \( \psi \) 之下的象是 \( {a}^{\prime } \) 在 \( \varphi \) 之下的原象 \( a \) . 因为 \( \varphi \) 是双射,所以 \( B \) 中的任意元 \( {a}^{\prime } \) 在 \( A \) 中必有原象,而且唯一. 因此, \( \psi \) 是 \( B \) 到 \( A \) 的映射. 下面证明 \( \psi \) 是 \( \varphi \) 的逆映射.
显然 \( {\psi \varphi } \) 和 \( {I}_{A} \) 的定义域和值域都是 \( A,{\varphi \psi } \) 和 \( {I}_{B} \) 的定义域和值域都是 \( B \) . 而且,
\[
{\psi \varphi }\left( {\langle a)}\right) = \psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) = \psi \left( {a}^{\prime }\right) = a = {I}_{A}\left( a\right) ,\;\forall a \in A
\]
所以, \( {\psi \varphi } = {\mathrm{I}}_{A},\;\forall {a}^{\prime } \in B \) 有
\[
{\varphi \psi }\left( {a}^{\prime }\right) = \varphi \left( {\psi \left( {a}^{\prime }\right) }\right) = \varphi \left( a\right) = {a}^{\prime } - {I}_{B}\left( {a}^{\prime }\right)
\]
故
\[
{\varphi \psi } = {I}_{B}
\]
因此 \( \psi \) 是 \( \varphi \) 的逆映射.
必要性. 假设 \( \varphi \) 是可逆的,则存在逆映射 \( {\varphi }^{-1} \) ,使 \( {\varphi }^{-1}\varphi = \) \( {I}_{A},\varphi {\varphi }^{-1} = {I}_{B} \) . 于是 \( \forall {a}^{\prime } \in B \) ,有 \( {\varphi }^{-1}\left( {a}^{\prime }\right) = a \in A \) ;
\[
\varphi \left( a\right) = \varphi \left( {{\varphi }^{-1}\left( {a}^{\prime }\right) }\right) = \varphi {\varphi }^{-1}\left( {a}^{\prime }\right) : {I}_{B}\left( {a}^{\prime }\right) = {a}^{\prime }
\]
这说明 \( \varphi \) 是满射. \( \forall a, b \in A \) ,假设 \( \varphi \left( a\right) = \varphi \left( b\right) \) ,则
\[
{\varphi }^{-1}\left( {\varphi \left( a\right) }\right) = {\varphi }^{-1}\left( {\varphi \left( b\right) }\right)
\]
\[
{\varphi }^{-1}\varphi \left( a\right) = {\varphi }^{-1}\varphi \left( b\right) ,{I}_{A}\left( a\right) = {I}_{A}\left( b\right), a = b
\]
故 \( \varphi \) 是单射. 于是 \( \varphi \) 是双射,必要性得证. 证完.
定理 2 表明, 判断一个映射是否是可逆的, 可以通过判断它是否是双射来确定.
在本节最后部分, 我们讨论一类特殊的映射一定义域和值域相同的映射.
定义 \( 6\;A \) 到 \( A \) 的映射 \( \varphi \) 叫做 \( A \) 的一个变换. 当 \( \varphi \) 分别是单射、满射、双射时,则 \( \varphi \) 分别叫做 \( A \) 的单 (一一) 变换、满变换、双变换。
几何中的平移, 旋转, 位似都是变换, 线性空间的线性变换,矩阵的相似变换等也都是变换,一个集合 \( A \) 的恒等变换 \( {I}^{A} \) 是 \( A \) 的双变换.
前面对于映射的讨论自然也适用于变换,特别是: \( A \) 的任意两个变换 \( \varphi \text{、}\psi \) 都可以做合成,而且它们的合成 \( {\psi \varphi } \) 仍然是 \( A \) 的一个变换. 在下一节, 我们将看到, 正是由于这个性质, 合成确定 \( A \) 的所有变换集合的一个代数运算,它对研究该变换集合的代数性质将起重要作用.
如果 \( \varphi \text{、}\psi \) 分别都是单变换,满变换,双变换,那么 \( {\psi \varphi } \) 也分别是单变换, 满变换, 双变换.
假设 \( \varphi \) 是 \( A \) 的变换,如果 \( \varphi \) 是 \( A \) 到 \( A \) 的可逆映射,则 \( \varphi \) 叫做 \( A \) 的可逆变换. \( \varphi \) 的逆映射 \( {\varphi }^{-1} \) 叫做 \( \varphi \) 的逆变换. 由定理 2 知, \( \varphi \) 是可逆变换的充要条件是, \( \varphi \) 是双变换.
在第二章群论中, 有限集合的可逆变换将反复做为例子出现, 这里有必要做进一步讨论.
定理 3 设 \( A \) 是 \( n \) 元有限集合, \( \varphi \) 是 \( A \) 的一个变换,则 \( \varphi \) 是可逆变换 \( \Leftrightarrow \varphi \) 是单变换 \( \Leftrightarrow \varphi \) 是满变换.
证明 当 \( \varphi \) 是可逆变换,则由定理 2 知, \( \varphi \) 是单的,也是满的.
另一方面,设 \( \varphi \) 是 \( A \) 的单变换,则 \( \operatorname{im}\varphi \subseteq A \) 是 \( n \) 个元素的集合,于是 \( \operatorname{im}\varphi = A \) ,从而 \( \varphi \) 是满变换. 反之,设 \( \varphi \) 是满的, 则 \( \operatorname{im}\varphi = A \) . 如果 \( \varphi \) 不是单的,必有 \( A \) 中不同元素 \( a, b \) 使 \( \varphi \left( a\right) = \) \( \varphi \left( b\right) \) . 此时, \( \operatorname{im}\varphi \) 的元素个数必小于 \( n \) ,这与 \( \operatorname{im}\varphi = A \) 相矛盾, 所以 \( \varphi \) 必是单的. 总之,只若 \( \varphi \) 是单的或者是满的,那么 \( \varphi \) 就是可逆的. 证完.
今后把 \( n \) 元有限集合 \( A \) 的可逆变换叫做 \( A \) 的置换,也叫做 \( n \) 元置换. 对于置换,我们给出特殊的表示记号.
设 \( A = \left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right\} \) 是一个 \( n \) 元有限集合,为了书写简便,把元素 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 分别用 \( 1,2,\cdots, n \) 表示,于是 \( A = \{ 1,2,\cdots, n\} \) . 请读者记住,这里的数码只是抽象的元素记号, 去掉了它们本来的数字涵义.
设 \( \varphi \) 是 \( A \) 的一个置换, \( \varphi \) 可表示成
\[
\varphi : 1 \mapsto \varphi \left( 1\right)
\]
\[
2 \mapsto \varphi \left( 2\right)
\]
\[
i \mapsto \varphi \left( i\right)
\]
(1)
在这里, \( \mathbf{A} \) 的每个元素 \( \mathbf{i} \) 以及与它对应的象都明确地列出来,清楚地表现了置换 \( \varphi \) . 现将表 (1) 转置并略去 “ \( \mapsto \) ”, 改写成
\[
\left( \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & n \\ \varphi \left( 1\right) & \varphi \left( 2\right) & \cdots & \varphi \left( i\right) & \cdots & \varphi \left( n\right) \end{matrix}\right)
\]
( 2 )
这个表同样清楚地表现了置换 \( \varphi \) . 表的第一行记入 \( \mathbf{A} \) 的全部元素,在每个元素 \( i \) 的正下方第二行的位置上记入 \( i \) 的象 \( \varphi \left( i\right) \) . 今后我们便用 (2) 形的表表示置换. 例如
\[
\varphi = \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array}\right)
\]
表示是集合 \( A = \{ 1,2,3,4\} \) 的一个置换,而且 \( \varphi \left( 1\right) = 2 \) , \( \varphi \left( 2\right) = 4,\va
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126_代数学方法 卷二草稿
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定义 1.1.9
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定义 1.1.9 设 \( D \subset {\mathbf{R}}^{n} \) . 若对 \( D \) 中任意两点,均可用连续曲 (折) 线联结起来,此曲线上的点均属于 \( D \) ,则称 \( D \) 为 (道路) 连通集; 若 \( D \) 是连通集又是开集,则称 \( D \) 是区域; 若 \( D \) 是区域,则称 \( \bar{D} \) 为闭区域.
定义 1.1.10 设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) . 若在 \( E \) 中任意两点 \( {\mathbf{X}}_{1},{\mathbf{X}}_{2} \) 之间,均可用属于 \( E \) 的直线段 \( \overline{{\mathbf{X}}_{1}}\overline{{\mathbf{X}}_{2}} \) 联结起来,则称 \( E \) 为凸集.
定理 1.1.1 若 \( \left\{ {\mathbf{X}}_{k}\right\} \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中的收敛列,则 \( \left\{ {\mathbf{X}}_{k}\right\} \) 是有界点列; 有界点列必存在收敛子列.
定理 1.1.2 (收敛点列的充分必要条件) \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中点列 \( \left\{ {\mathbf{X}}_{k}\right\} \) 是收敛列的充分必要条件是: 对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \) ,使得 \( \begin{Vmatrix}{{\mathbf{X}}_{i} - {\mathbf{X}}_{j}}\end{Vmatrix} < \varepsilon \left( {i, j \geq N}\right) \) (即 Cauchy 列).
定理 1.1.3 设 \( \left\{ {F}_{k}\right\} \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中的非空闭集列. 若有
(i) \( {F}_{1} \supset {F}_{2} \supset \cdots \supset {F}_{k} \supset \cdots \) ,(ii) \( \operatorname{diam}\left\{ {F}_{k}\right\} \rightarrow 0\;\left( {k \rightarrow \infty }\right) \) ,
则存在唯一的 \( {\mathbf{X}}_{0} \in {F}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) .
定理 1.1.4(有限覆盖) 设 \( F \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 是非空有界闭集 (也称紧集), \( \mathcal{A} = \left\{ {G}_{a}\right\} \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中一族开集. 若对任意的 \( \mathbf{X} \in F \) ,均存在 \( {G}_{a} \in \mathcal{A} \) ,使得 \( \mathbf{X} \in {G}_{a} \) (此时称 \( \mathcal{A} \) 是 \( E \) 的开覆盖),则 \( \mathcal{A} \) 中存在有限个开集 \( {G}_{{\alpha }_{1}},{G}_{{\alpha }_{2}},\cdots ,{G}_{{\alpha }_{m}};E \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{G}_{{\alpha }_{i}} \) .
例 1.1.1 试证明下列命题:
（1）设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{2} \) ,则 \( \partial E \) 是闭集.
（2）设 \( f \in C\left( {\mathbf{R}}^{1}\right) \) ,则 \( E = \left\{ {\left( {x, f\left( x\right) }\right) : x \in {\mathbf{R}}^{1}}\right\} \) 是闭集.
（3）设 \( F \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 是非空闭集, \( G \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 是有界开集, \( F \subset G \) ,则存在开集 \( D \) ,使得 \( F \subset D \subset \bar{D} \subset G \) .
证明 (1) 只需指出 \( {\left( \partial E\right) }^{c} \) 是开集. 为此,设 \( \mathbf{X} \in {\left( \partial E\right) }^{c} \) .
(i) 若 \( \mathbf{X} \) 是 \( E \) 的内点,则存在 \( U\left( {\mathbf{X},\delta }\right) \subset E \) . 易知 \( U\left( {\mathbf{X},\delta }\right) \) 是开集,故 \( U\left( {\mathbf{X},\delta }\right) \cap \) \( \partial E = \varnothing \) ,即 \( \mathbf{X} \) 是 \( {\left( \partial E\right) }^{c} \) 之内点.
(ii) 若 \( \mathbf{X} \in E \) ,则由 \( \mathbf{X} \in {\left( \partial E\right) }^{c} \) 可知,存在 \( U\left( {\mathbf{X},\delta }\right) \cap E = \varnothing \) . 这说明 \( U\left( {\mathbf{X},\delta }\right) \subset \) \( E \) . 由于 \( U\left( {\mathbf{X},\delta }\right) \) 中点均非 \( E \) 之边界点,故 \( U\left( {\mathbf{X},\delta }\right) \in {\left( \partial E\right) }^{c} \) .
（2）设 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in {E}^{\prime } \) ,则存在 \( \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \in E\left( {n \in \mathbf{N},{y}_{n} = f\left( {x}_{n}\right) }\right) \) ,使得 \( \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \rightarrow \) \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {n \rightarrow \infty }\right) \) . 由此知 \( {x}_{n} \rightarrow {x}_{0}\left( {n \rightarrow \infty }\right) \) ,注意到 \( f \) 的连续性,故得 \( f\left( {x}_{n}\right) = {y}_{n} \rightarrow \) \( {y}_{0} \) . 即 \( {y}_{0} = f\left( {x}_{0}\right) \) ,这说明 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in {E}^{\prime } \) .
（3）对 \( \mathbf{X} \in F \) ,注意到 \( \partial G \) 是闭集且 \( {\mathbf{X}}_{0} \in \partial G \) ,故知 \( {d}_{\mathbf{X}} = d\left( {\mathbf{X},\partial G}\right) > 0 \) . 由于 \( \mathbf{X} \in \) \( G \) ,故存在邻域 \( {U}_{x} = U\left( {\mathbf{X}, d/2}\right) \subset G \) . 从而可得 \( F \) 的一个开覆盖 \( {\left\{ {U}_{x}\right\} }_{x \in F} \) ,并可选出有限覆盖 \( {U}_{{\mathbf{X}}_{i}}\left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) : F \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{U}_{{\mathbf{X}}_{i}} \triangleq D \) (开集). 因此,
\[
\bar{D} = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{\bar{D}}_{{\mathbf{x}}_{i}} \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}U\left( {{\mathbf{X}}_{i},{d}_{{\mathbf{x}}_{i}}}\right) \subset G.
\]
例 1.1.2 试证明下列命题:
（1）设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 是非空点集,则 \( d\left( {\mathbf{X}, E}\right) \) 作为 \( \mathbf{X} \in {\mathbf{R}}^{n} \) 的函数是一致连续的.
（2）设 \( F \subset {\mathbf{R}}^{n} \) 是非空闭集, \( {\mathbf{X}}_{0} \in {\mathbf{R}}^{n} \) ,则存在 \( {\mathbf{Y}}_{0} \in F \) ,使得 \( \begin{Vmatrix}{{\mathbf{X}}_{0} - {\mathbf{Y}}_{0}}\end{Vmatrix} = \) \( d\left( {{\mathbf{X}}_{0}, F}\right) \) .
（3）设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{2} \) 是凸集,则 \( \bar{E} \) 是凸集.
证明 (3) 设 \( {\mathbf{X}}_{1},{\mathbf{X}}_{2} \in E \) ,且不妨认定 \( {\mathbf{X}}_{i} \in \partial E \smallsetminus E\left( {i = 1,2}\right) \) . 现在假定过点 \( {\mathbf{X}}_{1} \) , \( {\mathbf{X}}_{2} \) 之直线段 \( \overline{{\mathbf{X}}_{1}{\mathbf{X}}_{2}} \) 中有点 \( {\mathbf{X}}_{0} : {\mathbf{X}}_{0} \in \bar{E} \) ,则存在邻域 \( U\left( {{\mathbf{X}}_{0},\delta }\right) : U\left( {{\mathbf{X}}_{0},\delta }\right) \cap \bar{E} = \varnothing \) .
再作 \( {U}_{1} = U\left( {{\mathbf{X}}_{1},\delta /2}\right) ,{U}_{2} = U\left( {{\mathbf{X}}_{2},\delta /2}\right) \) ,以及此两圆之平行公切线 \( \overline{{P}_{1}{P}_{2}} \) , \( \overline{{Q}_{1}{Q}_{2}} \) ,由于 \( {\mathbf{X}}_{1},{\mathbf{X}}_{2} \) 是 \( E \) 的极限点,故存在 \( {\mathbf{X}}_{1}^{\prime } \in {U}_{1} \cap E,{\mathbf{X}}_{2}^{\prime \prime } \in {U}_{2} \cap E \) ,且 \( \overline{{\mathbf{X}}_{1}^{\prime }{\mathbf{X}}_{2}^{\prime \prime }} \cap \) \( U\left( {{\mathbf{X}}_{0},\delta }\right) \neq \varnothing \) . 但根据 \( E \) 的凸性,必有 \( \overline{{\mathbf{X}}_{1}^{\prime }{\mathbf{X}}_{2}^{\prime \prime }} \subset E \) ,导致矛盾.
## 1.2 多元函数及其极限
设 \( E,\widetilde{E} \) 是两个集合, \( f \) 是一种对应规则: 对 \( X \in E \) ,可由 \( f \) 唯一确定 \( Y \in \widetilde{E} \) (称为对应着一个元 \( Y \) ). 这种从 \( E \) 到 \( \widetilde{E} \) 的对应规则 \( f \) 称为映射或变换,记作
\[
f : E \rightarrow \widetilde{E},\;Y = f\left( X\right) \in \widetilde{E}\;\left( {X \in E}\right) .
\]
此时,称 \( E \) 为 \( f \) 的定义域; \( \widetilde{E} \) 称为 \( f \) 的取值域,而点集 \( f\left( E\right) = \{ Y : Y = f\left( X\right), X \in E\} \) 称为 \( f \) 的值域.
定义 1.2.1 设 \( f : E \rightarrow \widetilde{E} \) . 若对 \( {X}_{1} \in E,{X}_{2} \in E \) ,总有 \( f\left( {X}_{1}\right) \neq f\left( {X}_{2}\right) \) ,则称 \( f \) 为单 (映) 射; 若 \( T\left( E\right) = \widetilde{E} \) ,则称 \( f \) 为满 (映) 射; 若 \( f \) 是单射且是满射,则称 \( f \) 为双射 ( \( E \) 与 \( \widetilde{E} \) 的元素之间存在一一对应); 此时可定义逆映射 (仍记为) \( {f}^{-1} : \widetilde{E} \rightarrow E \) 为 \( Y \in \widetilde{E},{f}^{-1}\left( Y\right) = X \in E \) (其中 \( f\left( X\right) = Y \) ). 易知 \( {f}^{-1}\left\lbrack {f\left( X\right) }\right\rbrack = X\left( {X \in E}\right) \) .
定义 1.2.2 设 \( \widetilde{E} \subset {\mathbf{R}}^{n} \) ,称 \( f : \widetilde{E} \rightarrow {\mathbf{R}}^{m} \) 为多元向量函数. 若 \( m = 1 \) ,则 \( f \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 上的多元 (实值) 函数. 如二元函数 \( z = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( \left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2}, z \in {\mathbf{R}}^{1} \) .
向量函数可用多元函数组成向量表示,例如 \( f : \widehat{E} \subset {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,则
\[
f\left( {x, y}\right) = \left( {{f}_{1}\left( {x, y}\right) ,{f}_{2}\left( {x, y}\right) }\right) ,\;{f}_{1} : \widetilde{E} \rightarrow {\mathbf{R}}^{1},\;{f}_{2} : \widetilde{E} \rightarrow {\mathbf{R}}^{1}.
\]
\( n \) 元函数 \( z = f\left( \mathbf{X}\right) = f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 可在 \( {\mathbf{R}}^{n + 1} \) 中用一个点集 \( \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, z}\right) : \left( {{x}_{1},\cdots }\right. }\right. \) , \( \left. {\left. {x}_{n}\right) \in \bar{E}, z \in {\mathbf{R}}^{1}}\right\} \) 表示. 二元函数的几何意义就是 \( {\mathbf{R}}^{3} \) 中通常意义下的曲面.
二元函数除用曲面表示外,也可用平面上一系列
图 1.1
等位线来表示. 称平面点集
\[
\{ \left( {x, y}\right) : f\left( {x, y}\right) = C\}
\]
为曲面 \( z = f\left( {x, y}\right) \) 的等位线或等高线,它是垂直于 \( z \) 轴的平面 \( z = C \) 与曲面 \( z = f\left( {x, y}\right) \) 的交线在 \( {xOy} \) 平面上的投影 (图 1.1).
三元函数 \( u = f\left( {x, y, z}\right) \) 是四维空间中的点集,用等位面的方法可以给出它在三维空间中的几何表示.
定义 1.2.3 设 \( f\left( {x, y}\right) \) 是定义在凸区域 \( D \subset {\mathbf{R}}^{2} \) 上的函数. 若对 \( D \) 内任意两点 \( {\mathbf{X}}_{1} = \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) ,{\mathbf{X}}_{2} = \) \( \left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) ,均有
\[
f\left\lbrack {t{x}_{1} + \left( {1 - t}\right) {x}_{2}, t{y}_{1} + \left( {1 - t}\right) {y}_{2}}\right\rbrack \leq {tf}\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) + \left( {1 - t}\right) f\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) ,
\]
则称 \( f\left( {x, y}\right) \) 是凸域 \( D \) 上的凸函数.
定义 1.2.4 设在 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 上的函数满足: 对任意的 \( t > 0 \) ,均有
\[
f\left( {t{x}_{1}, t{x}_{2},\cdots, t{x}_{n}}\right) = {t}^{k}f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,
\]
则称 \( f \) 是 \( k \) 次齐次函数.
定义 1.2.5 (重极限) 设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n}, f : E \rightarrow {\mathbf{R}}^{m},{X}_{0} \in {E}^{\prime },{Y}_{0} \in {\mathbf{R}}^{m} \) . 对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得
\[
\begin{Vmatrix}{f\left( \mathbf{X}\right) - {\mathbf{Y}}_{0}}\end{Vmatrix} < \varepsilon \;\left( {0 < \begin{Vmatrix}{\mathbf{X} - {\mathbf{X}}_{0}}\end{Vmatrix} < \delta }\right) ,
\]
则称 \( f\left( \mathbf{X}\right) \) 在点 \( \mathbf{X} \) 趋于 \( {\mathbf{X}}_{0} \) 时有极限 \( {\mathbf{Y}}_{0} \) ,记为
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{\mathbf{X} \rightarrow {\mathbf{X}}_{0}} \\ {\mathbf{X} \in E} }}f\left( \mathbf{X}\right) = {\mathbf{Y}}_{0}\;\left( {\mathbf{X}}_{0}\right. \text{是}E\text{之内点时,记为}\mathop{\lim }\limits_{{\mathbf{X} \rightarrow {\mathbf{X}}_{0}}}f\left( \mathbf{X}\right) = {\mathbf{Y}}_{0}\text{).}
\]
定理 1.2.1 设 \( f : E \subset {\mathbf{R}}^{n} \rightarrow {\mathbf{R}}^{m} \) ,则 \( \mathop{\lim }\limits_{\substack{{\mathbf{x} \rightarrow {\mathbf{X}}_{0}} \\ {\mathbf{X} \in E} }}f\left( \mathbf{X}\right) = {\mathbf{Y}}_{0} \) 当且仅当,对任意点列 \( \left\{ {\mathbf{X}}_{k}\right\} \subset E : {\mathbf{X}}_{k} \rightarrow {\mathbf{X}}_{0} \) \( \left( {k \rightarrow \infty }\right) \) ,必有 \( \mathop{\lim }\limits_{{k \r
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1555_非线性理论数学基础
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定义 1.2.2
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定义 1.2.2 如果在非空集合 \( X \) 上定义了一个距离 \( d : X \times X \rightarrow \mathbf{R} \) ,则 \( X \) 与 \( d \) 一起,称为一个度量空间或距离空间,记作 \( \left( {X, d}\right) \) 或简记为 \( X.X \) 中元素和子集分别称为 \( \left( {X, d}\right) \) 中的点 (或元素) 和子集.
例 1.2.3 集 \( \mathrm{C}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 按例 1.2.2 中定义的距离 \( d \) 成为一个距离空间,常简记为 \( \mathrm{C}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 今定义
\[
\rho \left( {x, y}\right) = {\int }_{a}^{b}\left| {x\left( t\right) - y\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t,\forall x, y \in \mathrm{C}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,
\]
则 \( \left( {\mathrm{C}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\rho }\right) \) 也是一个距离空间.
例 1.2.4 设 \( X \) 是任一非空集合,对任意的 \( x, y \in X \) ,定义
\[
d\left( {x, y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x = y, \\ 1, & x \neq y, \end{array}\right.
\]
则易验证 \( \left( {X, d}\right) \) 是一个距离空间,称之为离散距离空间.
设 \( A \) 是距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 的非空子集,则 \( d \) 在 \( A \times A \) 上的限制显然是 \( A \) 上的一个距离. 因此 \( \left( {A,{\left. d\right| }_{A \times A}}\right) \) 也是一个距离空间,称之为 \( \left( {X, d}\right) \) 的一个子空间,简记为 \( \left( {A, d}\right) \) 或 \( A \) .
从已知的距离空间引出新的距离空间,除作为子空间外,还可作为积空间. 设 \( \left( {{X}_{1},{d}_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{X}_{2},{d}_{2}}\right) \) 是两个距离空间,令 \( X = {X}_{1} \times {X}_{2} \) ,且令
\[
d\left( {\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,\left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right) }\right) = {\left( {\left\lbrack {d}_{1}\left( {x}_{1},{y}_{1}\right) \right\rbrack }^{2} + {\left\lbrack {d}_{2}\left( {x}_{2},{y}_{2}\right) \right\rbrack }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}},\forall \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,\left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right) \in X,
\]
则易验证 \( \left( {X, d}\right) \) 是一个距离空间,称为 \( \left( {{X}_{1},{d}_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{X}_{2},{d}_{2}}\right) \) 的积空间,记作
\[
\left( {{X}_{1},{d}_{1}}\right) \times \left( {{X}_{2},{d}_{2}}\right) \text{,或 }{X}_{1} \times {X}_{2}\text{. }
\]
上述空间的乘积可以推广到多于两个空间的情形. 这样, \( {\mathbf{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 可以理解为 \( n \) 个 \( \mathbf{R} \) 的乘积. 此外,常把 \( \mathbf{R} \) 写为 \( {\mathbf{R}}^{1} \) .
定义 1.2.3 如果距离空间 \( \left( {{X}_{1},{d}_{1}}\right) \) 与 \( \left( {{X}_{2},{d}_{2}}\right) \) 之间存在一个一一对应 \( f \) ,使得
\[
{d}_{1}\left( {x, y}\right) = {d}_{2}\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) ,\forall x, y \in {X}_{1}.
\]
则称 \( f \) 是从 \( \left( {{X}_{1},{d}_{1}}\right) \) 到 \( \left( {{X}_{2},{d}_{2}}\right) \) 上的等距映射,并称这两个距离空间是等距同构的.
开集、闭集、闭包和收敛点列是距离空间中的四个重要的基本概念, 我们在邻域的基础上给出它们的定义.
定义 1.2.4 设 \( {x}_{0} \) 是距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 中一点, \( \varepsilon \) 是一正数,则集
\[
B\left( {{x}_{0};\varepsilon }\right) = \left\{ {x \in X : d\left( {x,{x}_{0}}\right) < \varepsilon }\right\}
\]
称为以 \( {x}_{0} \) 为中心、以 \( \varepsilon \) 为半径的开球,也称为点 \( {x}_{0} \) 在 \( \left( {X, d}\right) \) 中的 \( \varepsilon \) 邻域或一个邻域; 集
\[
\widetilde{B}\left( {{x}_{0};\varepsilon }\right) = \left\{ {x \in X : d\left( {x,{x}_{0}}\right) \leq \varepsilon }\right\}
\]
称为以 \( {x}_{0} \) 为中心、以 \( \varepsilon \) 为半径的闭球.
“球”这个词来源于通常的三维空间 \( {\mathbf{R}}^{3} \) . 在一般的距离空间中,它不一定再具有球的外形了.
注 在距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 中的子集 \( A \) 也常称为某点 \( {x}_{0} \in X \) 的一个邻域,若存在 \( \varepsilon > 0 \) 使 \( B\left( {{x}_{0};\varepsilon }\right) \subset A \) .
例 1.2.5 在 \( \mathrm{C}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 按例 1.2.2 定义距离所成的距离空间中,若用 \( \theta \) 表示 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上恒等于零的函数,则 \( B\left( {\theta ;1}\right) \) 是所有图像在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上严格含于以横轴为中心线、宽度为 2 的矩形区域里的连续函数的全体.
例 1.2.6 在离散距离空间 \( X \) 中,如果 \( \varepsilon \in (0,1\rbrack \) ,则 \( B\left( {{x}_{0};\varepsilon }\right) = \left| {x}_{0}\right| \) ; 而如果 \( \varepsilon > 1 \) ,则 \( B\left( {{x}_{0};\varepsilon }\right) \) 是整个空间 \( X \) .
定义 1.2.5 设 \( A \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 的一个子集,若 \( x \in A \) 且存在一邻域 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \subset A \) ,则称 \( x \) 为 \( A \) 的一个内点. 若 \( x \in {A}^{\mathrm{C}} \) ,且存在一邻域 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \subset {A}^{\mathrm{C}} \) ,则称 \( x \) 为 \( A \) 的一个外点. 若 \( x \in X \) 既非 \( A \) 的内点也非 \( A \) 的外点,则称 \( x \) 为 \( A \) 的一个边界点. \( A \) 的内点全体称为 \( A \) 的内部,记为 \( {A}^{ \circ } \cdot A \) 的外点全体称为 \( A \) 的外部,记为 \( {A}^{e} \cdot A \) 的边界点全体称为 \( A \) 的边界,记为 \( {A}^{b} \) .
显然,对任一 \( A \subset \left( {X, d}\right), X = {A}^{a} \cup {A}^{e} \cup {A}^{b} \) .
定义 1.2.6 设 \( A \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 是一个子集,若 \( A = {A}^{ \circ } \) ,即对任 \( - x \in A \) 存在 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \subset A(\varepsilon \) \( > 0) \) ,则称 \( A \) 为 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一个开集; 若 \( {A}^{\mathrm{C}} = X - A \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的开集,则称 \( A \) 为 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一个闭集.
容易证明,距离空间中的任一开球 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \) (闭球 \( \widetilde{B}\left( {x;\varepsilon }\right) \) )都是开集 (闭集),这反映了它们的名称中用字“开(闭)”的合理性.
例 1.2.7 在 \( {\mathbf{R}}^{1} \) 中,设 \( a, b \in \mathbf{R} \) 满足 \( a < b \) ,则开区间 \( \left( {a, b}\right) \) 是开集,闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是闭集,而 \( \lbrack a, b) \) 既不是开集也不是闭集.
例 1.2.8 若 \( \left( {X, d}\right) \) 中集 \( X \) 是有限集 \( \left\{ {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right\} \left( {n \in \mathbf{N}}\right) \) ,令 \( \varepsilon \) 适合
\[
0 < \varepsilon < \mathop{\min }\limits_{{1 \leq i, j \leq n}}d\left( {{x}_{i},{x}_{j}}\right) ,
\]
则 \( B\left( {{x}_{i};\varepsilon }\right) = \left\{ {x}_{i}\right\}, i = 1,2,\cdots, n \) ,由此不难得出 \( X \) 中任一子集既是开集又是闭集.
定理 1.2.1 \( \left( {X, d}\right) \) 中开集具有下列三性质:
(1) \( X \) 与 \( \varnothing \) 是开集;
(2) \( A \) 与 \( B \) 是开集 \( \Rightarrow A \cap B \) 是开集;
(3) \( {A}_{\lambda }\left( {\lambda \in \Lambda }\right) \) 都是开集 \( \Rightarrow \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{A}_{\lambda } \) 是开集.
证明 (1) 由邻域及内点定义可知, \( X \) 中每一点都是 \( X \) 的内点,故 \( X \) 是开集. 空集的内部是空集, 故空集也是开集.
(2) 若 \( A \cap B = \varnothing \) ,由 (1) 知其为开集. 若 \( A \cap B \neq \varnothing \) ,因 \( A \) 与 \( B \) 是开集,故对任一 \( x \in \) \( A \cap B \) ,存在 \( B\left( {x;{\varepsilon }_{1}}\right) \subset A, B\left( {x,{\varepsilon }_{2}}\right) \subset B \) ,于是取 \( \varepsilon = \min \left( {{\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2}}\right) \) ,就有 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \subset A, B\left( {x;\varepsilon }\right) \) \( \subset B \) ,故 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \subset A \cap B \) ,从而 \( x \) 是 \( A \cap B \) 的内点. 所以 \( A \cap B \) 是开集.
(3) 对任一 \( x \in \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in A}}{A}_{\lambda } \) ,存在 \( {\lambda }_{0} \in \Lambda \) 使 \( x \in {A}_{{\lambda }_{0}} \) . 又因 \( {A}_{{\lambda }_{0}} \) 是开集,存在 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \subset {A}_{{\lambda }_{0}} \) ,从而 \( B\left( {x;\varepsilon }\right) \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{A}_{\lambda } \) ,故 \( x \) 是 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{A}_{\lambda } \) 的内点. 所以 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{A}_{\lambda } \) 是开集.
根据定义 1.2.6, 并利用 De Morgan 公式容易得出如下定理.
定理 1.2.2 \( \left( {X, d}\right) \) 中的闭集具有下列三性质:
(1) \( X \) 与 \( \varnothing \) 是闭集;
(2) \( A \) 与 \( B \) 是闭集 \( \Rightarrow A \cup B \) 是闭集;
(3) \( {A}_{\lambda }\left( {\lambda \in \Lambda }\right) \) 都是闭集 \( \Rightarrow \mathop{\bigcap }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{A}_{\lambda } \) 是闭集.
定义 1.2.7 设 \( A \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 的一个子集, \( x \in X \) . 如果 \( \forall \varepsilon > 0, B\left( {x;\varepsilon }\right) \cap \left( {A-\{ x\} }\right) \neq \varnothing \) , 则称 \( x \) 为 \( A \) 的一个聚点. \( A \) 的全体聚点所成集合称为 \( A \) 的导集,记为 \( {A}^{d} \) . 并集 \( A \cup {A}^{d} \) 称为 \( A \) 的闭包,记为 \( \bar{A} \cdot A - {A}^{d} \) 中的点称为 \( A \) 的孤立点. 若 \( A \) 是无孤立点的闭集,则称 \( A \) 为一个完全集.
对于 \( \left( {X, d}\right) \) 中两个子集 \( A \) 与 \( B \) ,若 \( \bar{A} \supset B \) ,我们称 \( A \) 在 \( B \) 中稠密. 特别,若 \( A \subset \left( {X, d}\right) \) 在 \( X \) 中稠密,则称 \( A \) 是 \( X \) 的一个稠子集. 另一方面,当 \( \bar{A} \) 的内部是空集时,称 \( A \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的疏子集,或说 \( A \) 是无处稠密的或是疏朗的.
显然,有理数集 \( \mathbf{Q} \) 是 \( {\mathbf{R}}^{1} \) 的稠子集; \( A = \left\{ {1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{n},\cdots }\right\} \) 是 \( {\mathbf{R}}^{1} \) 的疏子集,它有一个唯一的聚点 \( 0 \notin A \) .
下面的例子给出一个著名的疏朗的完全集.
例 1.2.9 Cantor 三分集 \( {A}_{0} \) 的构造过程如下: 将闭区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 用分点 \( \frac{1}{3},\frac{2}{3} \) 三等分,删去中间的开区间 \( {G}_{1}^{\left( 1\right) } = \left( {\frac{1}{3},\frac{2}{3}}\right) \) ,剩下两个闭区间 \( {I}_{0} = \left\lbrack {0,\frac{1}{3}}\right\rbrack ,{I}_{1}\left\lbrack {\frac{2}{3},1}\right\rbrack \) ,其长度均为 \( \frac{1}{3} \) ; 把剩下的两个闭区间分别再三等分,再分别删去中间的开区间: \( {G}_{1}^{\left( 2\right) } = \left( {\frac{1}{9},\frac{2}{9}}\right) ,{G}_{2}^{\left( 2\right) } = \left( {\frac{7}{9},\frac{8}{9}}\right) \) , 剩下四个闭区间: \( {I}_{00} = \left\lbrack {0,\frac{1}{9}}\right\rbrack ,{I}_{01} = \left\lbrack {\frac{2}{9},\frac{3}{9}}\right\rbrack ,{I}_{11} = \left\lbrack {\frac{6}{9},\frac{7}{9}}\right\rbrack ,{I}_{10} = \left\lbrack {\frac{8}{9},1}\right\rbrack \) . 其长度均为 \( \frac{1}{{3}^{2}} \) ,如此继续进行下去,在第 \( n \) 次三等分时删去 \( {2}^{n - 1} \) 个开区间 (称为第 \( n \) 级区间) 是: \( {G}_{1}^{\left( n\right) } = \) \( \left( {\frac{1}{{3}^{n}},\frac{2}{{3}^{n}}}\right) ,{G}_{2}^{\left( n\right) } = \left( {\frac{7}{{3}^{n}},\frac{8}{{3}^{n}}}\right) ,\cdots ,{G}_{2}^{\left( n\right) }{}^{1}{}^{1} = \left( {\frac{{3}^{n} - 2}{{3}^{n}},\frac{{3}^{n} - 1}{{3}^{n}}}\right) \) ,剩下的 \( {2}^{n} \) 个闭区间 \( {I}_{{00}\cdots 0},\cdots ,{I}_{{11}\cdots 1} \) 的长度均为 \( \frac{1}{{3}^{n}}, n = 1,2,\cdots \) . 这样便得到所谓 Cantor 三分集 \( {A}_{0} \) 与 Cantor 开集 \( {G}_{0} \) (所有被删去的开区间之并):
\[
{G}_{0} = {G}_{1}^{\left( 1\right) } \cup {G}_{1}^{\left( 2\right) } \cup {G}_{2}^{\left( 2\right) } \cup \cdots \cup {G}_{1}^{\left( n\right) } \cup {G}_{2}^{\left( n\right) } \cup \cdots \cup {G}_{2}^{\left( n\right) }{}^{{2}_{1}} \cup \cdots ,
\]
\[
{A}_{0} = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack - {G}_{0} = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \cap {G}_{0}^{c}.
\]
Cantor 三分集 \( {A}_{0} \) 有如下性质:
(1) \( {A}_{0} \) 是完全集. 因为 \( {A}_{0} \) 是闭集,只需再证 \( {A}_{0} \) 不含孤立点,即 \( {A}_{0} \subset {A}_{0}^{d} \) . 由 \( {A}_{0} \) 的定义知,在第 \( n \) 次删去 \( {2}^{n - 1} \) 个开区间后,剩下的 \( {
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1239_[丘维声] 高等代数(上册)
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定义 4
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定义 4 设 \( f : S \rightarrow {S}^{\prime } \) ,如果存在一个映射 \( g : {S}^{\prime } \rightarrow S \) ,使得
\[
{fg} = {1}_{{s}^{\prime }},\;{gf} = {1}_{s},
\]
( 3 )
则称映射 \( f \) 是可逆的,此时称 \( g \) 是 \( f \) 的一个逆映射.
容易证明,如果 \( f \) 是可逆的,则它的逆映射是唯一的. 我们把 \( f \) 的逆映射记作 \( {f}^{-1} \) . 从 (3) 式得
\[
f{f}^{-1} = {1}_{{s}^{\prime }},\;{f}^{-1}f = {1}_{s}.
\]
( 4 )
(4) 式表明,当 \( f \) 是可逆映射时,它的逆映射 \( {f}^{-1} \) 也可逆,并且
\[
{\left( {f}^{-1}\right) }^{-1} = f\text{.}
\]
( 5 )
定理 2 映射 \( f : S \rightarrow {S}^{\prime } \) 是可逆的充分必要条件为 \( f \) 是双射.
证明 必要性. 设 \( f : S \rightarrow {S}^{\prime } \) 是可逆的,则有逆映射 \( {f}^{-1} : {S}^{\prime } \rightarrow S \) ,并且有
\[
f{f}^{-1} = {1}_{{s}^{\prime }},\;{f}^{-1}f = {1}_{s}.
\]
任给 \( {a}^{\prime } \in {S}^{\prime } \) ,有 \( {f}^{-1}\left( {a}^{\prime }\right) \in S \) ,且
\[
f\left( {{f}^{-1}\left( {a}^{\prime }\right) }\right) = \left( {f{f}^{-1}}\right) \left( {a}^{\prime }\right) = {1}_{{S}^{\prime }}\left( {a}^{\prime }\right) = {a}^{\prime },
\]
因此 \( {a}^{\prime } \) 在 \( f \) 下有至少一个原象 \( {f}^{-1}\left( {a}^{\prime }\right) \) ,从而 \( f \) 是满射.
任给 \( {a}_{1},{a}_{2} \in S \) ,假如 \( f\left( {a}_{1}\right) = f\left( {a}_{2}\right) \) ,则
\[
{f}^{-1}\left( {f\left( {a}_{1}\right) }\right) = {f}^{-1}\left( {f\left( {a}_{2}\right) }\right) ,
\]
由于 \( {f}^{-1}\left( {f\left( {a}_{1}\right) }\right) = \left( {{f}^{-1}f}\right) \left( {a}_{1}\right) = {1}_{S}\left( {a}_{1}\right) = {a}_{1} \) ,同理 \( {f}^{-1}\left( {f\left( {a}_{2}\right) }\right) = {a}_{2} \) ,因此, \( {a}_{1} = {a}_{2} \) , 从而 \( f \) 是单射. 因此 \( f \) 是双射.
充分性. 设 \( f : S \rightarrow {S}^{\prime } \) 是双射. 则对于任意 \( {a}^{\prime } \in {S}^{\prime },{a}^{\prime } \) 在 \( f \) 下有唯一的一个原象 \( a \) ,此时 \( f\left( a\right) = {a}^{\prime } \) . 令
\[
g : {S}^{\prime } \rightarrow S
\]
\[
{a}^{\prime } \mapsto a,
\]
则 \( g \) 是 \( {S}^{\prime } \) 到 \( S \) 的一个映射,并且
\[
\left( {fg}\right) \left( {a}^{\prime }\right) = f\left( {g\left( {a}^{\prime }\right) }\right) = f\left( a\right) = {a}^{\prime },
\]
因此 \( {fg} = {1}_{{S}^{\prime }} \) .
任取 \( x \in S \) ,由映射 \( g \) 的定义知道, \( g\left( {f\left( x\right) }\right) = x \) . 因此
\[
\left( {gf}\right) \left( x\right) = g\left( {f\left( x\right) }\right) = x.
\]
从而 \( {gf} = {1}_{S} \) . 因此 \( f \) 是可逆的.
设 \( A \) 是数域 \( K \) 上 \( s \times n \) 矩阵,令
\[
A : {K}^{n} \rightarrow {K}^{s}
\]
\[
\alpha \mapsto {A\alpha }\text{.}
\]
(6)
则 \( \mathbf{A} \) 是 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个映射. 这个映射具有下列性质: \( \forall \alpha ,\beta \in {K}^{n}, k \in K \) ,有
\[
\mathbf{A}\left( {\alpha + \beta }\right) = A\left( {\alpha + \beta }\right) = {A\alpha } + {A\beta } = \mathbf{A}\left( \alpha \right) + \mathbf{A}\left( \beta \right) ,
\]
(7)
\[
\mathbf{A}\left( {k\alpha }\right) = A\left( {k\alpha }\right) = k\left( {A\alpha }\right) = k\mathbf{A}\left( \alpha \right) .
\]
(8)
前一条性质叫做 \( \mathbf{A} \) 保持加法,后一条性质叫做 \( \mathbf{A} \) 保持数量乘法. 由此抽象出下述概念:
定义 \( 5\;{K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个映射 \( \sigma \) 如果保持加法和数量乘法,即 \( \forall \alpha ,\beta \in {K}^{n} \) , \( k \in K \) ,有
\[
\sigma \left( {\alpha + \beta }\right) = \sigma \left( \alpha \right) + \sigma \left( \beta \right) ,
\]
(9)
\[
\sigma \left( {k\alpha }\right) = {k\sigma }\left( \alpha \right) ,
\]
(10)
则称 \( \sigma \) 是 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个线性映射.
用 (6) 式定义的映射 \( A\left( \alpha \right) = {A\alpha } \) 就是 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个线性映射. 这个线性映射很有用.
事实 1 数域 \( K \) 上 \( n \) 元线性方程组 \( {AX} = \beta \) 有解
\( \Leftrightarrow \) 存在 \( \gamma \in {K}^{n} \) ,使得 \( {A\gamma } = \beta \)
\( \Leftrightarrow \) 存在 \( \gamma \in {K}^{n} \) ,使得 \( A\left( \gamma \right) = \beta \)
\( \Leftrightarrow \beta \in \operatorname{Im}A \) .
由事实 1 得
事实 2 设 \( A \) 的列向量组是 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) ,则
\[
\beta \in \operatorname{Im}A
\]
\( \Leftrightarrow \) 线性方程组 \( {AX} = \beta \) 有解
\[
\Leftrightarrow \beta \in \left\langle {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right\rangle .
\]
因此
\[
\operatorname{Im}\mathbf{A} = \left\langle {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right\rangle .
\]
( 11 )
即,由 (6) 式定义的线性映射 \( \mathbf{A} \) 的象 (值域) 等于矩阵 \( A \) 的列空间. 从而 \( \operatorname{Im}\mathbf{A} \) 是 \( {K}^{s} \) 的一个子空间.
事实 3 设数域 \( K \) 上 \( n \) 元齐次线性方程组 \( {AX} = 0 \) 的解空间是 \( W \) ,则
\[
\eta \in W
\]
\[
\Leftrightarrow {A\eta } = 0
\]
\[
\Leftrightarrow A\left( \eta \right) = 0\text{.}
\]
由此受到启发, 引出下述概念.
定义 6 设 \( \sigma \) 是 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个映射,考虑 \( {K}^{n} \) 的一个子集:
\[
\left\{ {a \in {K}^{n} \mid \sigma \left( \alpha \right) = 0}\right\} ,
\]
( 12 )
称这个子集是映射 \( \sigma \) 的核,记作 Ker \( \sigma \) .
容易验证,如果 \( \sigma \) 是 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个线性映射,则 \( \operatorname{Ker}\sigma \) 是 \( {K}^{n} \) 的一个子空间.
对于线性映射 \( \mathbf{A}\left( \alpha \right) = {A\alpha } \) ,从上述讨论得
\[
\eta \in W
\]
\[
\Leftrightarrow \mathbf{A}\left( \eta \right) = 0
\]
\[
\Leftrightarrow \eta \in \operatorname{Ker}A\text{.}
\]
因此
\[
\operatorname{Ker}\mathbf{A} = W\text{.}
\]
( 13 )
即,由 (6) 式定义的线性映射 \( \mathbf{A} \) 的核等于齐次线性方程组 \( {AX} = 0 \) 的解空间.
试问: \( \dim \left( {\operatorname{Ker}\mathbf{A}}\right) \) 与 \( \dim \left( {\operatorname{Im}\mathbf{A}}\right) \) 有什么联系?
由于 \( \dim \left( W\right) = n - \operatorname{rank}\left( A\right) \) ,而且 \( \dim \left( W\right) = \dim \left( {\operatorname{Ker}\mathbf{A}}\right) \) ,
\[
\operatorname{rank}\left( A\right) = \dim \left\langle {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right\rangle = \dim \left( {\operatorname{Im}\mathbf{A}}\right) ,
\]
因此
\[
\dim \left( {\operatorname{Ker}\mathbf{A}}\right) + \dim \left( {\operatorname{Im}\mathbf{A}}\right) = \dim \left( {K}^{n}\right) .
\]
( 14 )
(14) 式是一个重要的公式. 注意 \( \operatorname{Ker}\mathbf{A} \) 是 \( {K}^{n} \) 的一个子空间,而 \( \operatorname{Im}\mathbf{A} \) 是 \( {K}^{s} \) 的一个子空间, 它们的维数却被公式 (14) 联系起来了, 这是一个多么漂亮的公式!
## 习题 4.7
1. 判别下列对应法则是否为 \( \mathbf{R} \) 到自身的映射,是否为单射,是否为满射.
(1) \( x \mapsto {x}^{3} \) ; (2) \( x \mapsto {x}^{2} - x \) ;
( 3) \( x \mapsto {2}^{x} \) ; ( 4 ) \( x \mapsto \ln x \) .
2. 设 \( f : S \rightarrow {S}^{\prime }, g : {S}^{\prime } \rightarrow {S}^{\prime \prime } \) . 证明: 如果 \( f \) 和 \( g \) 都是单射 (满射),则 \( {gf} \) 也是单射 (满射).
3. 设 \( f : S \rightarrow {S}^{\prime }, g : {S}^{\prime } \rightarrow {S}^{\prime \prime } \) . 证明: 如果 \( f \) 和 \( g \) 都是可逆的,则 \( {gf} \) 也是可逆的,并且有
\[
{\left( gf\right) }^{-1} = {f}^{-1}{g}^{-1}.
\]
4. 设 \( S \) 是一个有限集合. 证明: 如果映射 \( f : S \rightarrow S \) 是单射,则 \( f \) 一定是双射.
5. 证明: 一个有限集合到它自身的满射一定是双射.
6. 设 \( S \) 和 \( {S}^{\prime } \) 是两个有限集,证明: 如果存在 \( S \) 到 \( {S}^{\prime } \) 的一个双射 \( f \) ,则 \( \left| S\right| = \left| {S}^{\prime }\right| \) .
7. 设
\[
A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \end{array}\right)
\]
令
\[
A\left( \alpha \right) = {A\alpha },\;\forall \alpha \in {K}^{4}.
\]
(1) 求 \( \operatorname{Im}\mathbf{A} \) 的维数和一个基;
(2) 求 \( \operatorname{Ker}\mathbf{A} \) 的维数和一个基.
## 应用与实验课题: 区组设计的关联矩阵
本章开头讲了对于 7 个水稻品种如何安排试验田来比较它们的优劣. 这是区组设计的一个最简单的例子.一般地,一个区组设计是把 \( v \) 个不同的对象编进 \( b \) 个区组里的一种安排方法,要求满足下面两个条件:
\( {1}^{ \circ } \) 每个区组恰好包含 \( k \) 个不同对象 \( \left( {2 \leq k < v}\right) \) ;
\( {2}^{ \circ } \) 每两个不同的对象一起恰好出现在 \( \lambda \) 个区组里.
一个参数为 \( \left( {v, b, k,\lambda }\right) \) 的区组设计可以用一个 \( v \times b \) 矩阵 \( M \) 来表示,其中
\[
M\left( {i;j}\right) \overset{\text{ def }}{ = }\left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{ 当对象 }{P}_{i}\text{ 出现在区组 }{B}_{j}\text{ 里,} \\ 0, & \text{ 否则. } \end{array}\right.
\]
这个矩阵 \( M \) 称为区组设计的关联矩阵.
利用关联矩阵可以研究区组设计的性质.
1. 设 \( M \) 是参数为 \( \left( {v, b, k,\lambda }\right) \) 的区组设计的关联矩阵. 证明: \( M \) 的每一列元素的和 (简称为列和) 都等于 \( k, M \) 的每两行的内积等于 \( \lambda \) .
2. 设 \( M \) 是参数为 \( \left( {v, b, k,\lambda }\right) \) 的区组设计的关联矩阵. 证明: \( M \) 的每一行元素的和 (简称为行和) 是个常数,它等于 \( \frac{\lambda \left( {v - 1}\right) }{k - 1} \) ,把这个数记作 \( r \) .
3. 证明: 参数为 \( \left( {v, b, r, k,\lambda }\right) \) 的区组设计必满足
\[
\lambda \left( {v - 1}\right) = r\left( {k - 1}\right) ,{vr} = {bk}.
\]
4. 设 \( M \) 是参数为 \( \left( {v, b, r, k,\lambda }\right) \) 的区组设计的关联矩阵. 求 \( M{M}^{\mathrm{T}},\left| {M{M}^{\mathrm{T}}}\right| \) , \( \operatorname{rank}\left( {M{M}^{\mathrm{T}}}\right) \) .
5. 证明: 参数为 \( \left( {v, b, r, k,\lambda }\right) \) 的区组设计必满足
\[
v \leq b\text{.}
\]
## 第 5 章 矩阵的相抵与相似
从第 1 章至第 4 章, 我们多次使用了矩阵的初等行变换或初等列变换. 如果一个矩阵 \( A \) 经过初等行、列变换变成矩阵 \( B \) ,则我们称 \( A \) 与 \( B \) 是相抵的.
设 \( A \) 是数域 \( K \) 上一个 \( n \) 级矩阵, \( P \) 是数域 \( K \) 上一个 \( n \) 级可逆矩阵,我们称 \( A \) 与 \( {P}^{-1}{AP} \) 是相似的. 研究矩阵的相似关系的动力可看下册第 9 章 \( §3 \) 的定理 3 .
本章来讨论矩阵的相抵关系与相似关系. 首先,我们将在 \( §1 \) 一般地讨论集合的元素之间的关系.
## \( §1 \) 等价关系与集合的划分
为了考虑集合的元素之间的关系,我们首先引进一个概念: 设 \( S, M \) 是两个集合,下述集合
\[
\{ \left( {a, b}\right) \mid a \in S, b \in M\}
\]
称为 \( S \) 与 \( M \) 的笛卡儿积,记作 \( S \times M \) .
北京大学数学科学学院的本科生,在二年级上学期要分配到各个系. 用 \( S \) 表示当年北京大学数学学院二年级所有本科生组成的集合,分别用 \( {S}_{1},{S}_{2},{S}_{3},{S}_{4} \) , \( {S}_{5} \) 表示分配到数学系,概率统计系,科学与工程计算系,信息科学系,金融数学系的学生组成的集合,它们都是 \( S \) 的子集. 我们来考虑 \( S \) 的元素之间的一种关系: 系友 (指分在同一个系). 显然 \( S \) 里的两个学生要么是系友,要么不是系友,二者必居其一,且只居其一. 如何用数学语言刻画这一关系? 对于 \( a, b \in S \) ,我们有
\( a \) 与 \( b \) 是系友
\[
\Leftrightarrow \left( {a, b}\right) \in \left( {{S}_{1} \times {S}_{1}}\right) \cup \left( {{S}_{2} \times {S}_{2}}\right) \cup \left( {{S}_{3} \times {S}_{3}}\right) \cup \left( {{S}_{4} \times {S}_{4}}\right) \cup \left( {{S}_{5} \times {S}_{5}}\right)
\]
\[
\Leftrightarrow \left( {a, b}\right) \in \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{5}\left( {{S}_{i} \times {S}_{i}}\right) \text{.}
\]
令 \( W = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{5}\left( {{S}_{i} \times {S}_{i}}\right) \) . 显然 \( W \) 是 \( S \times S \) 的一个子集. 由上述知道
\[
a\text{与}b\text{是系友} \Leftrightarrow \left( {a, b}\right) \in W\text{.}
\]
于是我们干脆把 \( W \) 叫做系友关系. 由此抽象出下述概念:
定义 1 设 \( S \) 是一个非空集合,我们把 \( S \times S \) 的一个非空子集 \( W \) 叫做 \( S \) 上的一个二元关系. 如果 \( \left( {a, b}\right) \in W \) ,则称 \( a \) 与 \( b \) 有 \( W \) 关系; 如果 \( \left( {a, b}\right) \no
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1306_[李文威] 高等代数
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定义 2.2.1
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定义 2.2.1 设 \( A \) 和 \( B \) 为集合. 从 \( A \) 到 \( B \) 的映射写作 \( f : A \rightarrow B \) 或 \( A\overset{f}{ \rightarrow }B \) 的形式. 用集合论的语言, \( f : A \rightarrow B \) 应当理解为 \( A \times B \) 的一个子集,记为 \( {\Gamma }_{f} \) ,它须满足以下条件: 对于每个 \( a \in A \) ,集合
\[
\left\{ {b \in B : \left( {a, b}\right) \in {\Gamma }_{f}}\right\}
\]
是独点集,其中的唯一元素记为 \( f\left( a\right) \) ,称为 \( a \) 在 \( f \) 下的像.
我们经常以符号 \( f : a \mapsto b \) 或 \( a\overset{f}{ \mapsto }b \) 代表 \( f\left( a\right) = b \) ,以此区别集合及其元素在映射下的像. 映射 \( f : A \rightarrow B \) 所对应的 \( {\Gamma }_{f} \subset A \times B \) 称为 \( f \) 的图形,这是因为 \( {\Gamma }_{f} = \{ \left( {a, f\left( a\right) }\right) : a \in A\} . \)
多变元映射可以用集合的积来料理,不必另外定义,比如将 \( {a}_{1} \in {A}_{1} \) 连同 \( {a}_{2} \in {A}_{2} \) 映至 \( f\left( {{a}_{1},{a}_{2}}\right) \in B \) 的二元函数便可以诠释为 \( f : {A}_{1} \times {A}_{2} \rightarrow B \) ,依此类推.
定义包容 \( A \) 或 \( B \) 为空集的极端情形,这是以下练习的内容.
练习 2.2.2 根据上述定义,验证从空集 \( \varnothing \) 到任何集合 \( B \) 都恰有一个映射. 对于任意非空集 \( A \) ,验证不存在从 \( A \) 到 \( \varnothing \) 的映射.
提示〉根据积的定义,空集和任意集合的积仍是空集. 关于 \( {\Gamma }_{f} \) 的条件 (“对每个 a...") 在 \( A = \varnothing \) 时归于虚无.
谨介绍关于映射的几则标准术语和符号.
<table><thead><tr><th>术语</th><th>定义条件</th><th>符号</th></tr></thead><tr><td>单射 \( \left( \text{或嵌入}\right) \)</td><td>\( a \neq {a}^{\prime } \Longrightarrow f\left( a\right) \neq f\left( {a}^{\prime }\right) \)</td><td>\( f : A \hookrightarrow B \)</td></tr><tr><td>满射</td><td>对每个 \( b \in B \) 都存在 \( a \in A \) 使得 \( f\left( a\right) = b \)</td><td>\( f : A \rightarrow B \)</td></tr><tr><td>双射 \( \left( \text{或一一对应}\right) \)</td><td>既单又满</td><td>\( f : A\xrightarrow[]{1 : 1}B \)</td></tr></table>
对于任意映射 \( f : A \rightarrow B \) ,其像集记为
\[
\operatorname{im}\left( f\right) = f\left( A\right) \mathrel{\text{:=}} \{ f\left( a\right) : a \in A\} \subset B.
\]
所以 \( f \) 是满射当且仅当 \( \operatorname{im}\left( f\right) = B \) . 对任意子集 \( {A}^{\prime } \subset A \) ,记 \( {\left. f\right| }_{{A}^{\prime }} : {A}^{\prime } \rightarrow B \) 为 \( f \) 在 \( {A}^{\prime } \) 上的限制; 另外记 \( {A}^{\prime } \) 在 \( f \) 下的像为 \( f\left( {A}^{\prime }\right) \mathrel{\text{:=}} \operatorname{im}\left( {\left. f\right| }_{{A}^{\prime }}\right) \) .
映射 \( A\overset{f}{ \rightarrow }B \) 和 \( B\overset{g}{ \rightarrow }C \) 的合成记为 \( g \circ f : A \rightarrow C \) ,简记为 \( {gf} \) . 具体定义是
\[
\left( {gf}\right) \left( a\right) = g\left( {f\left( a\right) }\right) ,\;a \in A.
\]
映射的合成运算满足结合律: 对于任意映射
\[
A\overset{f}{ \rightarrow }B\overset{g}{ \rightarrow }C\overset{h}{ \rightarrow }D
\]
都有映射的等式
\[
h\left( {gf}\right) = \left( {hg}\right) f : A \rightarrow D,
\]
这是因为两边都映任意 \( a \in A \) 为
\[
h\left( {\left( {gf}\right) \left( a\right) }\right) = h\left( {g\left( {f\left( a\right) }\right) }\right) = \left( {hg}\right) \left( {f\left( a\right) }\right) .
\]
所以多个映射的合成可以省略括号,写作 \( {hgf} \) 之类的形式.
任意集合 \( A \) 到自身的恒等映射 \( a \mapsto a \) 记为 \( {\mathrm{{id}}}_{A} \) ,或简记为 \( \mathrm{{id}} \) . 显然地,对于任意映射 \( f : A \rightarrow B \) 都有
\[
f \circ {\operatorname{id}}_{A} = f = {\operatorname{id}}_{B} \circ f.
\]
回忆到双射 \( f \) 的逆映射 \( {}^{3} \) 映 \( f\left( a\right) \in B \) 为 \( a \in A \) . 此概念有进一步的推广.
定义 2.2.3 考虑一对映射 \( A\xleftarrow[g]{f}B \) . 若 \( {gf} = {\mathrm{{id}}}_{A} \) ,则我们称 \( g \) 是 \( f \) 的左逆,而 \( f \) 是 \( g \) 的右逆. 有左逆 (或右逆) 的映射称为是左可逆 (或右可逆) 映射.
练习 2.2.4 说明两个左可逆 (或右可逆) 映射的合成依然是左可逆 (或右可逆) 的.
左逆和右逆与映射在合成之下的消去律相关.
定义 2.2.5 考虑映射 \( f : A \rightarrow B \)
\( \star \) 若对于任意 \( C \) 和任一对映射 \( {g}_{1},{g}_{2} : C \rightarrow A \) 都有
\[
f{g}_{1} = f{g}_{2} \Rightarrow {g}_{1} = {g}_{2}
\]
则称 \( f \) 对映射合成具有左消去律.
\( \star \) 若对于任意 \( C \) 和任一对映射 \( {g}_{1},{g}_{2} : B \rightarrow C \) 都有
\[
{g}_{1}f = {g}_{2}f \Rightarrow {g}_{1} = {g}_{2}
\]
则称 \( f \) 对映射合成具有右消去律.
若 \( f \) 若有左逆 \( g \) ,则自动满足左消去律: 对于任一对 \( {g}_{1},{g}_{2} : C \rightarrow A \) ,
\[
f{g}_{1} = f{g}_{2} \Rightarrow g\left( {f{g}_{1}}\right) = g\left( {f{g}_{2}}\right) \Leftrightarrow \underset{ = {\operatorname{id}}_{A}}{\underbrace{\left( gf\right) }}{g}_{1} = \underset{ = {\operatorname{id}}_{A}}{\underbrace{\left( gf\right) }}{g}_{2},
\]
最后一个等式无非 \( {g}_{1} = {g}_{2} \) . 完全类似地, \( f \) 若有右逆 \( g \) 则自动满足右消去律: 对于任
\( {}^{3} \) 用函数的术语来说,逆映射就是反函数.
一对 \( {g}_{1},{g}_{2} : B \rightarrow C \) ,
\[
{g}_{1}f = {g}_{2}f \Rightarrow \left( {{g}_{1}f}\right) g = \left( {{g}_{2}f}\right) g \Leftrightarrow {g}_{1}\underset{ = {\mathrm{{id}}}_{B}}{\underbrace{\left( fg\right) }} = {g}_{2}\underset{ = {\mathrm{{id}}}_{B}}{\underbrace{\left( fg\right) }}.
\]
命题 2.2.6 对于映射 \( f : A \rightarrow B \) ,以下性质等价: (i) \( f \) 是单射,(ii) \( f \) 有左逆,(iii) \( f \) 满足左消去律.
类似地,以下性质等价: \( {\left( \mathrm{i}\right) }^{\prime }f \) 是满射, \( {\left( \mathrm{{ii}}\right) }^{\prime }f \) 有右逆, \( {\left( \mathrm{{iii}}\right) }^{\prime }f \) 满足右消去律.
证明 这类论证有一种常见的模式. 以单射情形为例,我们的目标是证 (i) \( \Rightarrow \) (ii) \( \Rightarrow \) (iii) \( \Rightarrow \) (i). 设 (i) 成立. 任选 \( {a}_{0} \in A \) ,然后定义 \( g : B \rightarrow A \) 为
\[
g\left( b\right) = \left\{ \begin{array}{ll} a, & \exists a \in A, b = f\left( a\right) , \\ {a}_{0}, & b \notin \operatorname{im}\left( f\right) ; \end{array}\right.
\]
由于 \( f \) 单,定义确实是合理的. 由定义容易看出对所有 \( a \in A \) 都有 \( {gf}\left( a\right) = a \) ,故 (ii) 成立.
先前已经说明 (ii) \( \Rightarrow \) (iii),接着设 (iii) 成立. 对于任意满足 \( f\left( {a}_{1}\right) = f\left( {a}_{2}\right) \) 的 \( {a}_{1},{a}_{2} \in A \) ,对 \( i \in \{ 0,1\} \) 定义 \( {g}_{i} : \{ 0\} \rightarrow A \) 使得 \( {g}_{i}\left( 0\right) = {a}_{i} \) ,则 \( f{g}_{1} = f{g}_{2} : \{ 0\} \rightarrow B \) , 从而左消去律蕴涵 \( {g}_{1} = {g}_{2} \) ,这也相当于说 \( {a}_{1} = {a}_{2} \) . 因此 (iii) \( \Rightarrow \) (i).
接着证明 \( {\left( \mathrm{i}\right) }^{\prime } \Rightarrow {\left( \mathrm{{ii}}\right) }^{\prime } \Rightarrow {\left( \mathrm{{iii}}\right) }^{\prime } \Rightarrow {\left( \mathrm{i}\right) }^{\prime } \) . 设 \( {\left( \mathrm{i}\right) }^{\prime } \) 成立. 对每个 \( b \in B \) ,由于 \( f \) 满,可取 \( a \in A \) 使得 \( f\left( a\right) = b \) ; 记如此选出的 \( a \) 为 \( g\left( b\right) \) ,然后让 \( b \) 变动,则 \( b \mapsto g\left( b\right) \) 确定的映射 \( g : B \rightarrow A \) 满足 \( {fg} = {\mathrm{{id}}}_{B} \) ,是为右逆,故 (ii) \( {}^{\prime } \) 成立.
先前已经说明 (ii)’ \( \Rightarrow {\left( \mathrm{{iii}}\right) }^{\prime } \) ,接着设 \( {\left( \mathrm{{iii}}\right) }^{\prime } \) 成立. 可以定义 \( {g}_{1},{g}_{2} : B \rightarrow \{ 0,1\} \) 使得对所有 \( b \in B \) 都有
\[
{g}_{1}\left( b\right) = 0,\;{g}_{2}\left( b\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & b \in \operatorname{im}\left( f\right) \\ 1, & b \notin \operatorname{im}\left( f\right) . \end{array}\right.
\]
于是 \( {g}_{1}f = {g}_{2}f \) 自动成立,右消去律蕴涵 \( {g}_{1} = {g}_{2} \) ,由此可知 \( \operatorname{im}\left( f\right) = B \) ,故此时 \( {\left( \mathrm{i}\right) }^{\prime } \) 成立.
定义 2.2.7 如果映射 \( f \) 左,右皆可逆,则称 \( f \) 是可逆映射. 此时存在唯一的 \( {f}^{-1} : B \rightarrow \) \( A \) 使得 \( {f}^{-1} \circ f = {\operatorname{id}}_{A} \) 而 \( f \circ {f}^{-1} = {\operatorname{id}}_{B} \) ,称之为 \( f \) 的逆.
定义的后半段需要一些论证,尽管这毫不困难. 首先设 \( f \) 可逆, \( {g}_{L} \) 为其左逆而 \( {g}_{R} \) 为其右逆. 映射合成的结合律导致
\[
{g}_{R} = {\operatorname{id}}_{A} \circ {g}_{R} = \left( {{g}_{L} \circ f}\right) \circ {g}_{R} = {g}_{L} \circ \left( {f \circ {g}_{R}}\right) = {g}_{L} \circ {\operatorname{id}}_{B} = {g}_{L}.
\]
这就说明可逆映射的左逆同时也是右逆. 如果 \( {g}_{L} \) 和 \( {g}_{L}^{\prime } \) 都是 \( f \) 的左逆, \( {g}_{R} \) 和 \( {g}_{R}^{\prime } \) 都是 \( f \) 的右逆,则将左/右逆的四种组合代入上式,可得
特别地, \( {g}_{L} = {g}_{L}^{\prime },{g}_{R} = {g}_{R}^{\prime } \) .
综上,在映射可逆的前提下,左逆和右逆是一回事,而且唯一,可以合理地记为 \( {f}^{-1} \) .
为了强化印象,我们再次重申 \( f \) 可逆的充要条件是存在反向映射 \( {f}^{-1} \) 使得 \( {f}^{-1}f = {\operatorname{id}}_{A} \) 而 \( f{f}^{-1} = {\operatorname{id}}_{B} \) ,如此的 \( {f}^{-1} \) 若存在则唯一.
命题 2.2.8 设映射 \( f : A \rightarrow B \) 可逆,则 \( {f}^{-1} : B \rightarrow A \) 也可逆,而且 \( {\left( {f}^{-1}\right) }^{-1} = f \) .
若映射 \( f : A \rightarrow B \) 和 \( g : B \rightarrow C \) 皆可逆,则合成映射 \( {gf} : A \rightarrow C \) 可逆,而且 \( {\left( gf\right) }^{-1} = {f}^{-1}{g}^{-1}. \)
证明 第一个断言来自逆映射的刻画 \( {f}^{-1}f = {\operatorname{id}}_{A} \) 和 \( f{f}^{-1} = {\operatorname{id}}_{B} \) : 将 \( {f}^{-1} \) 和 \( f \) 换位, 刻画不变.
对于第二个断言,以合成的结合律直接验证 \( \left( {{f}^{-1}{g}^{-1}}\right) \left( {gf}\right) = {f}^{-1}\left( {{g}^{-1}g}\right) f = \) \( {f}^{-1}f = {\operatorname{id}}_{A} \) 和 \( \left( {gf}\right) \left( {{f}^{-1}{g}^{-1}}\right) = g\left( {f{f}^{-1}}\right) {g}^{-1} = g{g}^{-1} = {\operatorname{id}}_{C} \) .
在集合的世界中,双射和可逆映射是一回事,而双射的逆映射就是以上定义的 \( {f}^{-1} \) . 细说如下.
命题 2.2.9 映射 \( f \) 是双射当且仅当 \( f \) 可逆,此时它的逆映射正是之前定义的 \( {f}^{-1} \) .
证明 设 \( f \) 是双射,记 \( {f}^{-1} : B \rightarrow A \) 为其逆映射,映 \( f\left( a\right) \) 为 \( a \) ,其中 \( a \in A \) . 这时显然有 \( {f}^{-1}f = {\operatorname{id}}_{A} \) 和 \( f{f}^{-1} = {\operatorname{id}}_{B} \) ,所以 \( f \) 可逆. 反之假定有 \( {f}^{-1} : B \rightarrow A \) 满足 \( {f}^{-1}f = {\operatorname{id}}_{A} \) 和 \( f{f}^{-1} = {\operatorname{id}}_{B} \) 有逆映射,则稍早的讨论说明 \( f \) 既单又满.
注记 2.2.10 在上述定义和论证中, 我们尽量地避免指涉集合的元素和它们在映射下的像, 这是因为许多性质只关乎映射合成运算的形式性质. 这里隐约体现了一种现代意义的 “代数感”, 它不再与解方程直接相关, 而是聚焦于定义在抽象对象上的运算 (例如映射的合成), 以及这些运算满足的规律 (例如合成的结合律, 左或右消去律).
符号 \( {f}^{-1} \) 可以方便地扩展到非双射的情形.
定义 2.2.11 对于映射 \( f : A \rightarrow B \) 和任意子集 \( {B}^{\prime } \subset B \) ,记
\[
{f}^{-1}\left( {B}^{\prime }\right) \mathrel{\text{:=}} \left\{ {a \in A : f\left( a\right) \in {B}^{\prime }}\right\}
\]
称为 \( {B}^{\prime } \) 对 \( f \) 的原像或逆像. 若 \( b \in B \) ,记
\[
{f}^{-1}\left( b\right) \mathrel{\text{:=}} {f}^{-1}\left( {\{ b\} }\right) = \{ a \in A : f\left( a\right) = b\} .
\]
练习 2.2.12 考虑映射 \( A\overset{f}{ \rightarrow }B\overset{g}{ \rightarrow }C \) .
(i) 设 \( f \) 为满射,说明 \( \operatorname{im}\left( {gf}\right) = \operatorname{im}\left( g\right) \) 成立.
(ii) 设 \( g \) 为单射,说明 \( {f}^{-1}\left( b\right) = {\left( gf\right) }^{-
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1800_大学数学系自学丛书 近世代数
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定义 1
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定义 1 是从 \( F\left( S\right) \) 与 \( E \) 的同时包含 \( F \) 和 \( S \) 的子域的关系来刻划 \( F\left( S\right) \) ; 而命题 1 则是从 \( F\left( S\right) \) 的元素的形式刻划 \( F\left( S\right) \) 。
命题 1 指出:
\[
F\left( S\right) = \left\{ {\begin{array}{l} f\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \\ g\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \end{array}{\alpha }_{1} \in S,\;f\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,}\right.
\]
\( g\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \neq 0 \) 是 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 在 \( F \) 上的多项式, \( n \) 是正整数 \( \} \)
显然 \( f\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 是 \( E \) 的元素,同时 \( g\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 是 \( E \) 的非零元素. 所以有理分式
\[
\frac{f\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{\pi }}\right) }{g\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{\pi }}\right) }
\]
也是 \( E \) 的元素. 于是 \( F\left( S\right) \) 是由下述元素组成: 对 \( S \) 中的任意 \( n \) 个元素 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) ,取遍它们的所有有理分式.
2 根据定义,如果 \( \alpha \in F \) ,则 \( F\left( a\right) = F \) . 进一步,对于 \( F\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n},\beta }\right) \) 来说,当 \( \beta \) 可被 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 在 \( F \) 上有理表示
(即 \( \beta \) 可表成 \( {\alpha }_{i} \) 的有理分式) 时,则可在添加元素中去掉 \( \beta \) , 即
\[
F\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n},\beta }\right) = F\left( {{\alpha }_{1}{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right)
\]
## 3 关于代数元和超越元的判定
要判定元素 \( a \) 是 \( F \) 上的代数元,一般方法是找出 \( F \) 上以 \( \alpha \) 为根的非零多项式 (后面将见到, 在特殊情况还有其它判定方法) . 要判定 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的超越元,一般是用反证法. 即假设存在 \( F \) 上的非零多项式以 \( \alpha \) 为根,由此推出矛盾.
4 关于 \( F \) 上代数元 \( \alpha \) 的最小多项式的存在性
这是显然的事实. 只须对 \( F \) 上所有以 \( \alpha \) 为根的非零多项式的次数应用自然数最小数原理,即可推得 \( \alpha \) 的最小多项式一定存在.
## 5 关于最小多项式的判定
设 \( \alpha \) 是域 \( F \) 的扩域中的元素, \( \varphi \left( x\right) \) 是 \( F \) 上的首系数是 1 的多项式,如果能证明 \( a \) 是 \( \varphi \left( x\right) \) 的根,再证明 \( \varphi \left( x\right) \) 在 \( F \) 上是不可约多项式,这样就可断言 \( \varphi \left( x\right) \) 是 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的最小多项式.
## \( §3 \) 单纯扩张
## (一) 内容提要
我们已经知道, 任何一个扩张都可由添加得到. 那么, 最简单的扩张自然是添加一个元素的扩张, 即单纯扩张. 本节将研究单纯扩张的结构, 特别是对于添加一个代数元的情形一单纯代数扩张将做更多的讨论. 下一节是讨论有限扩张, 届时将看到, 任一有限扩张可以通过有限次单纯扩张来实现. 所以掌握单纯扩张的结构是研究其它扩张必经之路. 本节主要内容
1 讲述两个基本概念: 单纯代数扩张和单纯超越扩张.
2 单纯扩张的结构定理 (定理 1 ) .
3 单纯代数扩张 \( F\left( a\right) \) 中元素的最简表达形式以及 \( F\left( x\right) \) 中元素间的运算法则.
4 对于任一域, 单纯扩张的存在性.
## (二) 补充说明
1 定理 1 是本节的中心结果. 其意义, 首先在于它清楚地告诉我们单纯扩张的代数结构: 对于任一元素 \( \alpha \) ,当 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的超越元时, \( F\left( \alpha \right) \) 与 \( F\left( x\right) \) 等同; 当 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的代数元时, \( F\left( \alpha \right) \) 与 \( F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {\varphi \left( x\right) }\right) \) 等同,其中 \( \varphi \left( x\right) \) 是 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的最小多项式. 由于 \( F\left( x\right) \) 及 \( F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {\varphi \left( x\right) }\right) \) 都是我们已经掌握其结构的具体的域, 于是我们对于单纯超越扩张和单纯代数扩张结构的研究即告完成.
定理 1 的意义还在于, 它说明了单纯扩张的唯一性, 亦即,对于确定的域 \( F, F \) 的单纯超越扩张只有一个 \( F\left( x\right) \) ; 对于确定的域 \( F \) 和 \( F \) 上的一个首项系数是 1 的不可约多项式 \( \varphi \left( x\right), F \) 只有一个单纯代数扩张 \( F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {\varphi \left( x\right) }\right) \) ,其中 \( \varphi \left( x\right) \) 是添加元素在 \( F \) 上的最小多项式. 结合本节最后部分关于单纯扩张存在性的论述,我们可以得出结论: 对于给定的域 \( F \) ,存在而且只存在一个单纯超越扩张; 对于给定的域 \( F \) 和 \( F \) 上的首项系数为 1 的不可约多项式 \( \varphi \left( x\right) \) ,存在而且只存在一个 \( F \) 的单纯代数扩张,其添加元素的最小多项式是 \( \varphi \left( x\right) \) .
2 本节新引入两个扩张: 单纯代数扩张和单纯超越扩张. 以后还将引入别种类型的扩张. 在引入一个新的扩张概念时, 读者应留意, 它与已讲过的扩张有什么关系. 比如单纯超越扩张 \( F\left( \alpha \right) \) ,由于 \( F\left( \alpha \right) \) 含有超越元 \( \alpha \) ,所以单纯超越扩张必是上节讲过的超越扩张. 同样应该考虑单纯代数扩张 \( F\left( a\right) \) 是代数扩张,还是超越扩张呢? 这要看 \( F\left( \alpha \right) \) 是否含有 \( F \) 上的超越元, 而对这个问题, 此刻我们还不能马上回答出来, 那就作为悬案, 留待以后解决. 但应明确, 这个问题必须解决. 在全章学完时, 对于所接触到的各种扩张之间的隶属关系, 应该有清楚地了解。
这里还应注意, 在确定两种扩张之间的关系时, 不要只由扩张的名称便加默认, 而不追求从定义出发的 严格论证. 比如, 在下节将证明单纯代数扩张是代数扩张, 而不能因为这种扩张的名称中有 “代数” 字样, 就 “显然” 是代数扩张了事.
3 设 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的代数元,其在 \( F \) 上的最小多项式为
\( \varphi \left( x\right) \) . 单纯代数扩张 \( F\left( \alpha \right) \) 的元素的一般形式是
\[
\begin{array}{l} f\left( a\right) \\ g\left( a\right) \end{array},\;g\left( a\right) \neq 0
\]
根据定理 2,存在次数小于 \( n \) 的 \( F \) 上的多项式 \( h\left( x\right) \) ,使得
\[
\frac{f\left( a\right) }{g\left( \alpha \right) } = h\left( \alpha \right)
\]
那么,对于给定的 \( \frac{f\left( \alpha \right) }{g\left( \alpha \right) } \) 如何求 \( h\left( \alpha \right) \) 呢?
上式可表成
\[
h\left( \alpha \right) = f\left( \alpha \right) {\left( g\left( \alpha \right) \right) }^{-1}
\]
这里 \( g\left( a\right) \) 也是 \( F\left( a\right) \) 中的元素. 因此上述问题就归结为求 \( a \) 的多项式 \( g\left( \alpha \right) \left( { \neq 0}\right) \) 的逆元问题. 现介绍求 \( g\left( \alpha \right) \) 的逆元的一般方法.
由于 \( g\left( \alpha \right) \neq 0 \) ,有 \( \varphi \left( x\right) \mid g\left( x\right) \) . 再因 \( \varphi \left( x\right) \) 是不可约多项式, 得 \( \left( {g\left( x\right) ,\varphi \left( x\right) }\right) = 1 \) . 用带余除法必能求得 \( u\left( x\right), v\left( x\right) \) 使
\[
g\left( x\right) u\left( x\right) + \varphi \left( x\right) v\left( x\right) = 1
\]
从而
\[
g\left( \alpha \right) u\left( \alpha \right) = 1\text{,即}u\left( \alpha \right) = {\left( g\left( \alpha \right) \right) }^{-1}
\]
例如,设 \( Q\left( \alpha \right) \) 是 \( Q \) 的单纯代数扩张, \( \alpha \) 在 \( Q \) 上的最小多项式为 \( \varphi \left( x\right) = {x}^{2} - x + 1 \) . 试将 \( Q\left( \alpha \right) \) 中的元素
\[
\theta = - \frac{{\alpha }^{2} + \alpha + 1}{3{\alpha }^{3} - 2{\alpha }^{2} + \alpha + 2}
\]
表为次数小于 2 的 \( \alpha \) 的多项式,此处
\[
f\left( a\right) = {a}^{2} + a + 1,\;f\left( x\right) = {x}^{2} + x + 1
\]
\[
g\left( a\right) = 3{a}^{3} - 2{a}^{2} + a + 2,\;g\left( x\right) = 3{x}^{3} - 2{x}^{2} + x + 2
\]
利用带余除法求得 \( u\left( x\right) = \widehat{x}, v\left( x\right) = - 3{x}^{2} - x + 1 \) 使
\[
g\left( x\right) u\left( x\right) + \varphi \left( x\right) v\left( x\right) = 1
\]
于是
\[
{\left( g\left( \alpha \right) \right) }^{-1} = u\left( \alpha \right) = \alpha
\]
故
\[
\theta - f\left( \alpha \right) {\left( g\left( \alpha \right) \right) }^{-1} = \left( {{a}^{2} + a + 1}\right) \alpha = {a}^{1} + {a}^{2} + \alpha = q\left( \alpha \right)
\]
再将 \( q\left( \alpha \right) \) 化为次数小于 2 的 \( \alpha \) 的多项式: 以 \( \varphi \left( x\right) \) 除 \( q\left( x\right) = \) \( {x}^{3} - {x}^{2} + x \) 得余式 \( h\left( x\right) = {2x} - 2 \) ,则
\[
\theta - h\left( a\right) = {2\alpha } - 2
\]
4 设 \( F\left( \alpha \right) \) 和 \( F\left( \beta \right) \) 是域 \( F \) 的单纯扩张,如果 \( \alpha \in F\left( \beta \right) \) 并且 \( \beta \in F\left( \alpha \right) \) ,那么 \( F\left( \alpha \right) = F\left( \beta \right) \) .
## \( §4 \) 有限扩张
## (一) 内容提要
本节讨论一类比较广泛的代数扩张——有限扩张, 讲述有限扩张的性质. 这部分内容与多项式根的理论关系密切. 主要内容:
1 给出两个基本概念: 有限扩张和无限扩张.
2 有限扩张的次数定理 (定理 1 及其推论) .
3 有限扩张必是代数扩张（定理 2）。
4 有限扩张的一个充分必要条件 (定理 3) .
## (二) 补充说明
1 设 \( E \) 是 \( F \) 的扩张. \( E \) 是不是 \( F \) 的有限扩张,是由 \( E \) 做为 \( F \) 上的向量空间时 \( E \) 的维数来决定的. 当 \( E \) 是 \( F \) 的有限扩张时, 确定扩张次数 \( \left( {E/F}\right) \) 的一个方法,是寻找 \( E \) 在 \( F \) 上的一组基底, 看基底的元素个数. 由于证明了 \( F \) 的有限扩张与在 \( F \) 上添加有限个代数元所得到的扩张的一致性（定理 3 ）, 使人容易误认为添加元素的个数就是扩张次数. 这是截然不同的两个概念, 切不可混淆.
2 由定理 3 和定理 2 可直接推得,在 \( F \) 上添加有限个代数元所得到的扩张是 \( F \) 的代数扩张. 这个结果也可推广到更一般情形: 设 \( E/F, S \subseteq E, S \) 的每个元素都是 \( F \) 上的代数元,则 \( F\left( S\right) \) 是 \( F \) 的代数扩张.
事实上, \( \forall \beta \in F\left( S\right) \) . 由 \( §2 \) 命题 1 知
\[
\beta = \frac{f\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) }{g\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) },\;{\alpha }_{i} \in S,\;g\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \neq 0
\]
其中 \( n \) 是正整数, \( {\alpha }_{1} \) 都是 \( F \) 上的代数元. 于是 \( F\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 是有限扩张,从而是代数扩张. 再因 \( \beta \in F\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) ,所以 \( \beta \) 是 \( F \) 上的代数元. 亦即 \( F\left( S\right) \) 是 \( F \) 的代数扩张.
上述论证表明,不找出以 \( \beta \) 为根的多项式有时也能判定 \( \beta \) 是代数元.
3 已讲过的几种扩张之间的关系如下表:
## \( §5 \) 分裂域
## (一) 内容提要
做为有限扩张理论的应用, 本节介绍了多项式的分裂域, 主要是论证任一域上的 \( n\left( { \geq 1}\right) \) 次多项式的分裂域的存在性和唯一性. 在本书学习指导的开始部分我们说过, 伽罗瓦理论全面论述了多项式求解公式的存在性问题. 分裂域的概念在伽罗瓦理论中起着重要作用. 限于篇幅, 我们不能介绍伽罗瓦理论. 然而, 了解一些分裂域的理论, 对提高多项式根的理论的认识是有益的, 本节主要内容:
1 给出分裂域和同构开拓两个概念.
2 分裂域的存在性 (定理 1 ) .
3 两个域之间的同构映射在它们的多项式环上存在同构开拓（引理 1）。
4 分裂域的唯一性 (定理 2 及其推论) .
## (二) 补充说明
1 定理 1 的证明,实质上是往 \( \mathrm{F} \) 上逐次添加 \( f\left( x\right) \) 的所有 \( n \) 个根而得到 \( f\left( x\right) \) 的分裂域.
对于具体的 \( F \) 上的 \( n\left( \geq \right) \) 次多项式 \( f\left( x\right) \) ,如果能够求出 \( f\left( x\right) \) 在 \( F \) 的一个扩域中的 \( n \) 个根,那么把这 \( n \) 个根添加到 \( F \) 上便得到 \( f\left( x\right) \) 的分裂域.
2 对于域 \( \mathrm{F} \) 上的 \( n\left( { \geq 1}\right) \) 次多项式 \( f\left( x\right) \) ,在第三章 \( §{10} \) 中已经知道,在 \( F \) 的任一扩域里 \( f\left( x\right) \) 根的个数不能超过 \( n \) . 本节的分裂域存在性表明,确有 \( F \) 的扩域恰好含有 \( f\left( x\right) \) 的 \( n \) 个根. 而且分裂域的唯一性表明,在 \( f\left( x\right) \) 的两个不同分裂域里,所含有的 \( f\left( x\right) \) 的两组根在运算性质上没有区别. 因此我们可以认为,对于域 \( F \) 上的 \( n\left( { \geq 0}\right) \) 次多项式 \( f\left( x\right) \) ,存在唯一的一组 \( n \) 个根。
3 引理 2 是说,如果城 \( F \) 与 \( \widetilde{F} \) 同构, \( \sigma : F \cong \widetilde{F} \) ,那么它们的单纯代数扩张 \( F\left( \alpha \right) \) 与 \( \widetilde{F}\left( \widetilde{\alpha }\right) \) 同构, \( {\sigma }^{\prime } : F\left( \alpha \right) \cong \widetilde{F}\left( \widetilde{\alpha }\right) \) ,其中 \( {\sigma }^{\prime } \) 是 \( \sigma \) 的同构开拓,并且 \( {\sigma }^{\prime }\left( \alpha \right) = \widetilde{\alpha } \) . 此结论成立的前提条件是 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的最小多项式 \( \varphi \left( x\right) \) 在 \( \sigma \) 之下对应着 \( \widetilde{\alpha } \) 在 \( \widetilde{F} \) 上的最小多项式 \( \widetilde{\varphi }\left( x\right) \) .
引理 2 证明的要点是: 首先由 \( §3 \) 定理 1 知,
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1245_[伍胜健] 数学分析
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定义 13.1.5
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定义 13.1.5 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n},\mathbf{x} \in {\mathbb{R}}^{n} \) .
(1) 若存在 \( \delta > 0 \) ,使得 \( U\left( {\mathbf{x},\delta }\right) \subset E \) ,则称 \( \mathbf{x} \) 是 \( E \) 的内点. 记 \( {E}^{ \circ } \) 为 \( E \) 中所有内点构成的集合,并称之为 \( E \) 的内部.
(2) 若存在 \( \delta > 0 \) ,使得 \( U\left( {\mathbf{x},\delta }\right) \cap E = \varnothing \) ,则称 \( \mathbf{x} \) 是 \( E \) 的外点. \( E \) 的所有外点构成的集合称为 \( E \) 的外部.
(3) 若对于 \( \forall \delta > 0 \) ,有 \( U\left( {\mathbf{x},\delta }\right) \cap E \neq \varnothing \) ,并且 \( U\left( {\mathbf{x},\delta }\right) \cap {E}^{c} \neq \varnothing \) ,则称 \( \mathbf{x} \) 是 \( E \) 的边界点,并用 \( \partial E \) 来记 \( E \) 的边界点集,称之为 \( E \) 的边界.
从定义可以看出, \( E \) 的内点一定属于 \( E;E \) 的外点则一定不属于 \( E \) ,并且 \( E \) 的外部即为 \( {E}^{c} \) 的内部 \( {\left( {E}^{c}\right) }^{ \circ } \) ; 而 \( E \) 的边界点则可以是 \( E \) 中的点,也可以不是 \( E \) 中的点; \( \mathbf{x} \) 为 \( E \) 的边界点的充分必要条件是: \( \mathbf{x} \) 既不是 \( E \) 的内点也不是 \( E \) 的外点.
例 13.1.4 设集合 \( E = \left\{ {\left( {x, y}\right) : {x}^{2} + {y}^{2} < 1, y \geq x}\right\} \) ,试求 \( {E}^{ \circ },{\left( {E}^{c}\right) }^{ \circ } \) 及 \( \partial E \) .
解 从定义容易得到 (参见图 13.1.1)
\[
{E}^{ \circ } = \left\{ {\left( {x, y}\right) : {x}^{2} + {y}^{2} < 1, y > x}\right\} = E \smallsetminus \{ \left( {x, y}\right) : y = x\} ,
\]
\[
{\left( {E}^{c}\right) }^{ \circ } = {\mathbb{R}}^{2} \smallsetminus \left\{ {\left( {x, y}\right) : {x}^{2} + {y}^{2} \leq 1, y \geq x}\right\}
\]
\[
\partial E = \left\{ {\left( {x, y}\right) : {x}^{2} + {y}^{2} = 1, y \geq x}\right\} \cup \left\{ {\left( {x, y}\right) : {x}^{2} + {y}^{2} < 1, y = x}\right\} .
\]
图 13.1.1
在一元微积分中,开区间与闭区间起着重要的作用. 在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中与它们密切相关的概念是开集与闭集. 开集与闭集是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中两类重要的子集, 在今后的学习中将常常遇到. 下面我们分别对它们加以介绍.
定义 13.1.6 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) ,若 \( E = {E}^{ \circ } \) ,则称 \( E \) 为开集.
另外,我们将空集 \( \varnothing \) 规定为开集.
显然, \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中每一个点的球形邻域与方形邻域都是开集. 在 \( n = 1 \) 时, \( \mathbb{R} \) 中的一个集合 \( E \) 若是一些开区间的并,则 \( E \) 是开集. 反过来,也容易证明 \( \mathbb{R} \) 中的任何一个开集是可数个开区间的并. 事实上,这可以从每个开区间都含有有理数这个事实推出. 在 \( {\mathbb{R}}^{2} \) 的情形,不是很严格地说, 可以认为开集是由平面内一些不带边界的集合组成. 例如:
\[
E = \left\{ {\left( {x, y}\right) : \left| {\left( {x, y}\right) - \left( {0, k}\right) }\right| < \frac{1}{2}, k \in \mathbb{Z}}\right\}
\]
就是一个开集, 它由无穷多个两两不交的圆盘组成. 另外, 我们要注意的是, 即使一个开集就由一块组成, 它的边界也可以是很复杂的. 例如,
设
\[
E = \left\{ {\left( {x, y}\right) : 1 \leq y \leq \frac{1}{2}, x = \frac{1}{k}, k = 1,2,\cdots }\right\} ,
\]
则 \( D = \left( {\left( {0,1}\right) \times \left( {0,1}\right) }\right) \smallsetminus E \) 的边界即为 \( E \cup \partial \left( {\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) . 容易看出 \( D \) 是一个开集.
定理 13.1.6 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的开集具有以下性质:
(1) \( {\mathbb{R}}^{n} \) 与 \( \varnothing \) 是开集;
(2) 任意个开集的并是开集;
(3) 有限个开集的交是开集.
定理 13.1.6 的证明是容易的, 只要根据开集的定义即可推出.
注 设 \( \mathbf{x} \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,容易看出
\[
\{ \mathbf{x}\} = \mathop{\bigcap }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}U\left( {\mathbf{x},\frac{1}{k}}\right)
\]
由此说明, \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的任意个开集的交未必一定是开集.
在 \( \mathbb{R} \) 中,闭区间的一个显著特征是它的余集是一个开集. 类似地, 我们引入下面的概念.
定义 13.1.7 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) ,若 \( {E}^{c} \) 是开集,则称 \( E \) 是闭集.
前面我们说过 \( \mathbb{R} \) 中的开集是一些开区间的并,因此一个 \( \mathbb{R} \) 中的闭集是 \( \mathbb{R} \) 中挖掉一些开区间后留下的部分. 在实变函数课程中,我们将知道, 闭集则不一定是可数个闭区间 (单点也作为闭区间) 的并.
对任何开集 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) ,若 \( F = E \cup \partial E \) ,则由闭集的定义容易看出 \( F \) 必为闭集.
定理 13.1.7 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的闭集具有以下性质:
(1) \( {\mathbb{R}}^{n} \) 与 \( \varnothing \) 是闭集;
(2) 有限个闭集的并是闭集;
(3) 任意个闭集的交是闭集.
此定理中的性质 (1) 成立是显然的. 对于性质 (2), (3), 读者可以直接利用闭集的定义加以证明, 也可以利用下面的德・摩根 (de Morgan) 公式并结合开集的相应性质来证明.
德・摩根公式 对于 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中任何一族集合 \( {\left\{ {E}_{\lambda }\right\} }_{\lambda \in \Lambda } \) ,其中 \( \Lambda \) 是一个指标集, 有
(1) \( {\left( \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{E}_{\lambda }\right) }^{c} = \mathop{\bigcap }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{E}_{\lambda }^{c} \) ;
(2) \( {\left( \mathop{\bigcap }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{E}_{\lambda }\right) }^{c} = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{E}_{\lambda }^{c} \) .
闭集还可以通过聚点来描述. 给定集合 \( E \) ,记 \( {E}^{\prime } \) 为 \( E \) 的全体聚点组成的集合,并称 \( {E}^{\prime } \) 为 \( E \) 的导集. 再记 \( \bar{E} = E \cup {E}^{\prime } \) ,并称 \( \bar{E} \) 为 \( E \) 的闭包. 我们有以下的结果.
定理 13.1.8 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) ,则 \( E \) 是闭集的充分必要条件是 \( E = \bar{E} \) .
证明 从 \( \bar{E} \) 的定义可以看出 \( E = \bar{E} \) 的充分必要条件是 \( {E}^{\prime } \subset E \) , 也就是说 \( E \) 的聚点含于 \( E \) 中,故只要证明 \( E \) 为闭集的充分必要条件是 \( {E}^{\prime } \subset E \) .
充分性 若 \( E \) 的聚点都在 \( E \) 中,则 \( {E}^{c} \) 中没有 \( E \) 的聚点. 因此对于 \( \forall \mathbf{x} \in {E}^{\mathrm{c}} \) ,存在 \( {\delta }_{\mathbf{x}} > 0 \) (这里我们用 \( {\delta }_{\mathbf{x}} \) 表示该 \( \delta \) 是依赖于 \( \mathbf{x} \) 的), 使得 \( U\left( {\mathbf{x},{\delta }_{\mathbf{x}}}\right) \cap E = \varnothing \) ,即 \( U\left( {\mathbf{x},{\delta }_{\mathbf{x}}}\right) \subset {E}^{c} \) . 这说明 \( {E}^{c} \) 是开集,从而由闭集的定义知 \( E \) 是闭集.
必要性 若 \( E \) 是闭集,即 \( {E}^{c} \) 是开集,则对于 \( \forall \mathbf{x} \in {E}^{c} \) ,存在 \( {\delta }_{\mathbf{x}} > 0 \) ,使得 \( U\left( {\mathbf{x},{\delta }_{\mathbf{x}}}\right) \subset {E}^{c} \) . 这说明 \( \mathbf{x} \) 不是 \( E \) 的聚点. 因此 \( {E}^{c} \) 中无 \( E \) 中的聚点,这就是说 \( E \) 的聚点在 \( E \) 中. 于是 \( E = E \cup {E}^{\prime } = \bar{E} \) . 证毕.
## 13.1.5 欧氏空间 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的基本定理
我们在第一册中曾经讨论过实数系的基本定理, 即完备性定理、闭区间套定理、聚点原理等. 下面我们在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中来讨论这些定理的推广.
## 1. 完备性
设 \( \left\{ {\mathbf{x}}_{k}\right\} \) 是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的一个点列,若对于 \( \forall \varepsilon > 0,\exists K \in \mathbb{N} \) ,当 \( {k}^{\prime },{k}^{\prime \prime } > \) \( K \) 时,有 \( \left| {{\mathbf{x}}_{{k}^{\prime }} - {\mathbf{x}}_{{k}^{\prime \prime }}}\right| < \varepsilon \) ,则称 \( \left\{ {\mathbf{x}}_{k}\right\} \) 为柯西点列. 在数学研究中,我们常常将 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的一些特别的子集作为一个空间,如 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 就是一个空间. 另外, \( U\left( {\mathbf{0},1}\right) \) 也是一个很有趣的空间. 以后我们还将遇到各式各样的空间. 如果一个空间 \( X \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 中的任何柯西点列都是收敛的,并且其极限属于 \( X \) ,则我们称空间 \( X \) 是完备的.
定理 13.1.9 欧氏空间 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 是完备的.
证明 设 \( {\mathbf{x}}_{k} = \left( {{x}_{1}^{k},{x}_{2}^{k},\cdots ,{x}_{n}^{k}}\right) \in {\mathbb{R}}^{n}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 是一个柯西点列,则 \( \left\{ {\mathbf{x}}_{k}\right\} \) 中的每个分量构成的序列 \( \left\{ {x}_{i}^{k}\right\} \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 是 \( \mathbb{R} \) 中的柯西序列. 因此定理 13.1.9 可由 \( \mathbb{R} \) 的完备性推得. 证毕.
\( \mathbb{R} \) 的完备性是极限理论中重要而基本的结果,这在一元微积分中读者应该有所体会. 同样地, \( {\mathbb{R}}^{n} \) 的完备性也将在多元微积分的理论中起着重要作用.
## 2. 闭集套定理
利用 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 的完备性,我们可以推广 \( \mathbb{R} \) 中的闭区间套定理. 设 \( E \subset \) \( {\mathbb{R}}^{n} \) 是一个非空集合,记 \( \operatorname{diam}\left( E\right) \) 为 \( E \) 的直径,它的定义为
\[
\operatorname{diam}\left( E\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\mathbf{x},\mathbf{y} \in E}}\{ \left| {\mathbf{x} - \mathbf{y}}\right| \}
\]
定理 13.1.10 设 \( {F}_{k} \subset {\mathbb{R}}^{n}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 是一列非空闭集,并且它们满足:
(1) 对于 \( \forall k \in \mathbb{N} \) ,有 \( {F}_{k} \supset {F}_{k + 1} \) ;
(2) \( \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\operatorname{diam}\left( {F}_{k}\right) = 0 \) ,
则存在唯一的 \( {\mathbf{x}}_{0} \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,使得对于 \( \forall k \in \mathbb{N} \) ,有 \( {\mathbf{x}}_{0} \in {F}_{k} \) ,即
\[
\left\{ {\mathbf{x}}_{0}\right\} = \mathop{\bigcap }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{F}_{k}
\]
证明 在 \( {F}_{k} \) 中任取一点 \( {\mathbf{x}}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,我们下面证明 \( \left\{ {\mathbf{x}}_{k}\right\} \) 是一个柯西点列. 事实上,由 (2),对于 \( \forall \varepsilon > 0,\exists K \in \mathbb{N} \) ,当 \( k > K \) 时, 有
\[
\operatorname{diam}\left( {F}_{k}\right) < \varepsilon
\]
因为当 \( {k}^{\prime \prime } > {k}^{\prime } > K \) 时,有 \( {\mathbf{x}}_{{k}^{\prime }} \in {F}_{{k}^{\prime }},{\mathbf{x}}_{{k}^{\prime \prime }} \in {F}_{{k}^{\prime \prime }} \subset {F}_{{k}^{\prime }} \) . 这样我们有
\[
\left| {{\mathbf{x}}_{{k}^{\prime }} - {\mathbf{x}}_{{k}^{\prime \prime }}}\right| \leq \operatorname{diam}\left( {F}_{{k}^{\prime }}\right) < \varepsilon
\]
即 \( \left\{ {\mathbf{x}}_{k}\right\} \) 为柯西点列. 由定理 13.1.9 知它为收敛点列. 令 \( {\mathbf{x}}_{0} = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\mathbf{x}}_{k} \) . 由于对于 \( \forall {k}_{0} \in \mathbb{N} \) ,当 \( k > {k}_{0} \) 时, \( {\mathbf{x}}_{k} \in {F}_{{k}_{0}} \) ,注意到 \( {F}_{{k}_{0}} \) 是闭集,从而 \( {\mathbf{x}}_{0} \in {F}_{{k}_{0}} \) . 由 \( {k}_{0} \) 的任意性知
\[
{\mathbf{x}}_{0} \in \mathop{\bigcap }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{F}_{k}
\]
另外,若存在 \( {\mathbf{x}}^{\prime } \in \mathop{\bigcap }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{F}_{k} \) ,则有
\[
\left| {{\mathbf{x}}^{\prime } - {\mathbf{x}}_{0}}\right| \leq \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\operatorname{diam}\left( {F}_{k}\right) = 0.
\]
因此 \( {\mathbf{x}}^{\prime } = {\mathbf{x}}_{0} \) . 证毕.
显然, \( \mathbb{R} \) 中一个闭区间套是一列满足定理 13.1.10 的闭集套,从而定理 13.1.10 推广了区间套定理. 由于闭集比闭区间更为广泛, 定理 13.1.10 的适用范围也比区间套定理要广泛得多.
对于 \( \mathbb{R} \) 中的区间套定理,我们不能把闭区间换成开区间. 同样,当 \( {F}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 不是闭集时,定理 13.1.10 的结论也可不真.
## 3. 聚点原理
在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中,我们同样有以下的聚点原理.
定理 13.1.11 (波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理) 设 \( \left\{ {x}_{k}\right\} \) 为 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的一个有界点列, 则它必存在收敛子列.
证明 注意到 \( \left\{ {{\mathbf{x}}_{k} = \left( {{x}_{1}^{k},{x}_{2}^{k},\cdots ,{x}_{n}^{k}}\right) }\right\} \) 为有界点列的充分必要条件是: 对于 \( \forall i\left( {1 \leq i \leq n}\right) ,\left\{ {x}_{i}^{k}\right\} \) 是 \( \mathbb{R} \) 中的有界序列. 因此 \( \left\{ {x}_{1}^{k}\right\} \) 存在收敛子列 \( \left\{ {x}_{1}^{{k}_{j}^{\prime }}\right\} \) ,而对 \( \left\{ {x}_{2}^{{k}_{j}^{\prime }}\right\} \) 又存在收敛子列 \( \left\{ {x}_{2}^{{k}_{j}^{\prime \prime }}\right\} ,\cdots \) ,经过 \( n \) 次取子列即可得到 \( \left\{ {\mathbf{x}}_{k}\right\} \) 的子列 \( \left\{ {\mathbf{x}}_{{k}_{j}}\right\}
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1990_实用数学手册
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定义 13
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定义 13 设 \( H \) 是群 \( G \) 的正规子群, \( G/H \) 是 \( H \) 的一切陪集组成的集. 对 \( {xH},{yH} \) \( \in G/H \) ,令
\[
\left( {xH}\right) \left( {yH}\right) = \left( {xy}\right) H
\]
则 \( G/H \) 成为一个群,称为 \( G \) 关于正规子群 \( H \) 的商群.
定理 2 设 \( f \) 是群 \( G \) 到群 \( {G}^{\prime } \) 的一个同态,则 \( f \) 的像 \( \operatorname{Im}\left( f\right) = f\left\lbrack G\right\rbrack \) 是 \( {G}^{\prime } \) 的子群, \( f \) 的核 \( \ker \left( f\right) = {f}^{-1}\left\lbrack \left\{ {e}^{\prime }\right\} \right\rbrack = \left\{ {x : f\left( x\right) = {e}^{\prime }}\right\} \) (其中 \( {e}^{\prime } \) 是 \( {G}^{\prime } \) 的单位元) 是 \( G \) 的正规子群.
定理 3(同态定理) 设 \( H \) 是群 \( G \) 的正规子群,对 \( x \in G \) ,令 \( f\left( x\right) = {xH} \) ,则 \( f \) 是 \( G \) 到商群 \( G/H \) 上的一个同态.
定理 4(同构定理) 设 \( f \) 是群 \( G \) 到群 \( {G}^{\prime } \) 上的同态 (即 \( f \) 是满射同态),令 \( H = \) \( \ker \left( f\right) \) ,对 \( {xH} \in G/H \) ,令 \( g\left( {xH}\right) = f\left( x\right) \) ,则 \( g \) 是商群 \( G/H = G/\ker \left( f\right) \) 到群 \( {G}^{\prime } \) 上的一个同构.
例 \( {11n} \) 个元的集的置换群,称为 \( n \) 次对称群,记作 \( {S}_{n}.{S}_{n} \) 有 \( n \) ! 个元. \( {S}_{n} \) 的元称为置换,它可看作 \( 1,2,\cdots, n \) 的一个排列. 对应偶 (或奇) 排列的置换称为偶置换 (或奇置换). 一切偶置换构成 \( {S}_{n} \) 的一个正规子群,称为 \( n \) 次交错群,记作 \( {A}_{n} \) . 对 \( \alpha \in {S}_{n} \) , 如果 \( \alpha \) 是偶置换,令 \( \sigma \left( \alpha \right) = 1 \) ,如果 \( \alpha \) 是奇置换,令 \( \sigma \left( \alpha \right) = - 1.\sigma \) 是 \( {S}_{n} \) 到由 \( 1, - 1 \) 两个数构成的乘法群上的一个同态. \( \ker \left( \sigma \right) = {A}_{n}.{S}_{n}/{A}_{n} \) 同构于乘法群 \( \{ 1, - 1\} \) .
例 12 一切 \( n \) 阶可逆复矩阵关于矩阵乘法构成一个群,记作 \( \mathrm{{GL}}\left( {n, C}\right) \) . 对 \( A \in \) \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathbf{C}}\right) \) ,令 \( \sigma \left( A\right) = \left| A\right| \) ,则 \( \sigma \) 是 \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathbf{C}}\right) \) 到一切非零复数构成的乘法群 \( {\mathbf{C}}^{ * } \) 上的同态. \( \ker \left( \sigma \right) \) 是一切行列式等于 1 的 \( n \) 阶复矩阵构成的群,记作 \( \mathrm{{SL}}\left( {n,\mathbf{C}}\right) \) ,它是 \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathbf{C}}\right) \) 的正规子群. \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathbf{C}}\right) /\mathrm{{SL}}\left( {n,\mathbf{C}}\right) \) 同构于 \( {\mathbf{C}}^{ * } \) .
## 14.2.4 循环群 有限群
定义 14 设 \( G \) 是群, \( a \in G \) ,则 \( G \) 中含有元 \( a \) 的最小子群,称为由 \( a \) 生成的循环群,记作 \( \langle a\rangle .\langle a\rangle \) 由元 \( {a}^{n}\left( {n \in N}\right), e \) 与 \( {\left( {a}^{-1}\right) }^{n}\left( {n \in N}\right) \) 组成. \( {\left( {a}^{-1}\right) }^{n} \) 记作 \( {a}^{-n} \) .
定义 15 具有有限个元的群称为有限群, 它的元的数目称为阶. 非有限群称为无限群.
定理 5 同阶的两个循环群是同构的.
定义 16 设 \( a \) 是群 \( G \) 的元,则当 \( \langle a\rangle \) 是 \( r \) 阶群时,称 \( a \) 为 \( G \) 的 \( r \) 阶元,当 \( \langle a\rangle \) 是无限群时,称 \( a \) 为无限阶元.
定理 6 设 \( G \) 是有限 \( r \) 阶循环群,则 \( G \) 的任一子群的阶是 \( r \) 的因子. 如果 \( s \) 是 \( r \) 的因子,则 \( G \) 有且仅有一个 \( s \) 阶子群.
定理 7 (拉格朗日) 阶为 \( r \) 的有限群的子群的阶是 \( r \) 的一个因子.
有限群的元的阶是所给群的阶的一个因子.
## 14. 2.5 环
定义 17 设在集 \( R \) 上定义了两种运算,一种称为加法,记作 +,一种称为乘法, 记作 - (但对 \( x \cdot y \) 常简记为 \( {xy} \) ),满足
(1) \( \left( {R, + }\right) \) 是交换群;
(2) \( \left( {R, \cdot }\right) \) 是半群;
（3）分配律: 对 \( x, y, z \in R \) ,有
\[
x\left( {y + z}\right) = {xy} + {xz},\left( {x + y}\right) z = {xz} + {yz};
\]
则称 \( \left( {R,+, \cdot }\right) \) 是一个环,也称 \( R \) 是一个环. 如果乘法是可交换的,即对任何 \( x, y \in X \) 有 \( {xy} = {yx} \) ,则称为交换环. 如果关于乘法具有单位元,则称为幺环或单式环.
定义 18 设 \( x \) 是环 \( R \) 的元, \( x \neq 0 \) ,如果存在 \( y \neq 0 \) ,使得 \( {xy} = 0 \) 或 \( {yx} = 0 \) ,则称 \( x \) 为零因子. 含有两个以上的元且没有零因子的幺环, 称为整环.
例 \( {13Z}, Q, R, C \) 关于加法与乘法是整环.
例 14 实 (或复) 系数多项式关于加法与乘法构成整环, 称为实 (或复) 系数多项式环.
例 15 一切 \( n \) 阶 (实或复) 矩阵关于矩阵的加法与乘法构成环.
定义 19 设 \( \widetilde{R} \) 是环 \( R \) 的子集,它关于 \( R \) 上的加法成为子群,而且对 \( R \) 上的乘法运算是封闭的,则称 \( \widetilde{R} \) 为 \( R \) 的子环.
定义 20 设 \( R,{R}^{\prime } \) 是环, \( f \) 是 \( R \) 到 \( {R}^{\prime } \) 的映射,满足: 对任何 \( x, y \in R \) ,有
\[
f\left( {x + y}\right) = f\left( x\right) + f\left( y\right), f\left( {xy}\right) = f\left( x\right) f\left( y\right) ,
\]
则称 \( f \) 为 \( R \) 到 \( {R}^{\prime } \) 的一个同态. 如果 \( f \) 还是一一映射,则称为同构. 存在一个同构的两个环称为同构的.
例 16 设 \( E \) 是 \( n \) 维 (实或复) 线性空间, \( E \) 到 \( E \) 中的一切线性变换构成的集在通常的变换加法和合成下是一个环,记作 \( \operatorname{End}\left( E\right) \) . 对 \( \varphi \in \operatorname{End}\left( E\right) \) ,如例 4 那样定义矩阵 \( f\left( \varphi \right), f \) 就是 \( \operatorname{End}\left( E\right) \) 到 \( n \) 阶矩阵构成的环上的一个同态.
## 14.2.6 理想 商环
定义 21 设 \( R \) 是环, \( I \) 是加法群 \( \left( {R, + }\right) \) 的子群,且对任何 \( x \in R, y \in I \) ,有 \( {xy} \in I \) , \( {yx} \in I \) ,则称 \( I \) 为 \( R \) 的一个理想.
定义 22 设 \( I \) 是环 \( R \) 的理想,加法群 \( R \) 关于 \( I \) 的一切陪集构成的集,记作 \( R/I \) , 对 \( x + I, y + I \in R/I \) ,令
\[
\left( {x + I}\right) + \left( {y + I}\right) = \left( {x + y}\right) + I,
\]
\[
\left( {x + I}\right) \left( {y + I}\right) = {xy} + I,
\]
则 \( R/I \) 形成一个环,称为 \( R \) 关于理想 \( I \) 的商环 (或差环).
例 17 取整数 \( m \) ,则 \( m \) 的一切倍数构成的集 \( \left( m\right) \) 是整数环 \( Z \) 的一个理想,商环 \( \mathbf{Z}/\left( m\right) \) 由 \( m \) 个元组成.
定理 8 设 \( f \) 是环 \( R \) 到环 \( {R}^{\prime } \) 的同态,则 \( f \) 的象 \( \operatorname{Im}\left( f\right) = f\left\lbrack R\right\rbrack \) 是 \( {R}^{\prime } \) 的子环; \( f \) 的核 \( \ker \left( f\right) = \{ x : f\left( x\right) = 0\} \) 是 \( R \) 的一个理想.
定理 9 设 \( I \) 是环 \( R \) 的理想,对 \( x \in R \) ,令 \( f\left( x\right) = x + I \) ,则 \( f \) 是 \( R \) 到 \( R/I \) 上的一个同态.
设 \( f \) 是环 \( R \) 到环 \( {R}^{\prime } \) 上的同态,令 \( I = \ker \left( f\right) \) ,对 \( x + I \in R/I \) ,令 \( g\left( {x + I}\right) = f\left( x\right) \) , 则 \( g \) 是 \( R/I = R/\ker \left( f\right) \) 到 \( {R}^{\prime } \) 上的一个同构.
## 14. 2.7 域
定义 23 如果环 \( R \) 至少含有两个元,且其非零元的集 \( {R}^{ * } \) 关于乘法构成一个群, 则称 \( R \) 为除环或体. 也就是说,一个环 \( R \) 称为除环,如果它至少有一个非零元,且存在单位元 \( e \) ,使对每个 \( x \in R \) ,有 \( {xe} = {ex} = x \) ,而当 \( x \neq 0 \) 时,存在 \( {x}^{-1} \in R \) ,使得 \( x{x}^{-1} = \) \( {x}^{-1}x = e \)
乘法可交换的除环称为域.
对域 \( F \) 的每个不等于 0 的元 \( x \) ,存在 \( y \in F \) ,使得 \( {xy} = {yx} = e \) ,即可进行除法运算.
例 18 有理数集 \( Q \) ,实数集 \( R \) ,复数集 \( C \) 关于加法与乘法是域.
例 19 取定四个元 \( 1, i, j, k \) ,令它们之间的乘法为
\[
\ddot{u} = \dot{j}\dot{j} = k\dot{k} = - 1,
\]
\[
{ij} = - {ji} = - 1,{jk} = - {kj} = - 1,{ki} = - {ik} = - 1\text{. }
\]
考虑集 \( Q = \{ a + {bi} + {cj} + {dk} : a, b, c, d \in \mathbf{R}\} \) ,按对应项相加定义 \( Q \) 上的加法,按通常相乘规则并利用上述乘法表定义 \( Q \) 上的乘法,就使 \( Q \) 成为一个除环,但 \( Q \) 不是域. \( Q \) 称为四元数环或四元数体. \( Q \) 的元称为四元数.
定理 10 多于一个元的交换整环可嵌入到一个域中. 具体地说,设 \( R \) 是这样的交换整环,令 \( E = \{ \left( {x, y}\right) : x, y \in R, y \neq 0\} \) 对 \( \left( {x, y}\right) ,\left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime }}\right) \in E \) ,定义 \( \left( {x, y}\right) \sim \left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime }}\right) \) 当且仅当 \( x{y}^{\prime } = {x}^{\prime }y. \sim \) 是 \( E \) 上的等价关系. 令 \( F = E/ \sim \) ,把 \( F \) 中 \( \left( {x, y}\right) \) 所在的元记作 \( x/y \) ,称为 “分式”. 按通常定义分数加法与乘法的方法定义 “分式”之和与积,则 \( F \) 成为一个域. 对 \( x \in R \) ,令 \( f\left( x\right) = {xa}/a = \bar{x} \) ,其中 \( a \) 是 \( R \) 中任一非零元,则 \( f \) 是 \( R \) 到 \( F \) 的子环 \( \{ \bar{x} : x \in R\} \) 上的同构 (这就是 “嵌入” 的含意).
\( R \) 嵌入于其中的最小的域不计同构是唯一的,即两个这样的域必同构.
## 14.2.8 模 向量空间 代数
定义 24 设 \( R \) 是幺环, \( M \) 是加法交换群,并且定义了 \( R \) 对 \( M \) 的标量乘法或纯量
乘法,即对 \( \alpha \in R, x \in M \) ,存在唯一的 \( {\alpha x} \in M \) 与之对应. 如果标量乘法满足 \( (\alpha ,\beta \in R \) , \( x, y \in M,1 \) 是 \( R \) 的单位元):
(1) \( \left( {\alpha + \beta }\right) x = {\alpha x} + {\beta x},\alpha \left( {x + y}\right) = {\alpha x} + {\alpha y} \) ;
(2) \( \alpha \left( {\beta x}\right) = \left( {\alpha \beta }\right) x \) ;
(3) \( {1x} = x \) ;
则称 \( M \) 为环 \( R \) 上的模,或 \( R \) 模.
定义 25 域 \( F \) 上的模称为 \( F \) 上的向量空间或线性空间. 详细地说,设 \( X \) 是一个集, \( F \) 是一个域,如果下列条件满足,则称 \( X \) 为 \( F \) 上的向量空间或线性空间:
（1）对 \( X \) 中任何一对元 \( x, y \) ,存在 \( X \) 中唯一的元 \( x + y \) 与之对应,且有
\( {1}^{ \circ } \) 对任何 \( x, y \in X, x + y = y + x \) .
\( {2}^{ \circ } \) 对任何 \( x, y, z \in X,\left( {x + y}\right) + z = x + \left( {y + z}\right) \) .
\( {3}^{ \circ } \) 存在 \( 0 \in X \) ,使对每个 \( x \in X \) ,有 \( x + 0 = x \) .
\( {4}^{ \circ } \) 对每个 \( x \in X \) ,存在 \( - x \in X \) ,使 \( x + \left( {-x}\right) = 0 \) .
\( \left( {{1}^{ \circ } - {4}^{ \circ }}\right. \) 表明 \( \left( {X, + }\right) \) 是交换群 \( ) \) .
（2）对 \( \alpha \in F \) 与 \( x \in X \) ,存在 \( X \) 中唯一的元 \( {\alpha x} \) 与之对应,且有
\( {1}^{ \circ } \) 对任何 \( \alpha ,\beta \in F, x \in X,\left( {\alpha + \beta }\right) x = {\alpha x} + {\beta x} \) .
\( {2}^{ \circ } \) 对任何 \( \alpha \in F, x, y \in X,\alpha \left( {x + y}\right) = {\alpha x} + {\beta y} \) .
\( {3}^{ \circ } \) 对任何 \( \alpha ,\beta \in F, x \in X,\left( {\alpha \beta }\right) x = \alpha \left( {\beta x}\right) \) .
\( {4}^{ \circ } \) 对任何 \( x \in X,{1x} = x \) (1 表示 \( F \) 的单位元). \( {\alpha x} \) 称为 \( \alpha \) 与 \( x \) 的标量乘积或纯量乘积.
当 \( F = \mathbf{R} \) 或 \( \mathbf{C} \) 时,分别称为实向量空间 (实线性空间) 或复向量空间 (复线性空间).
定义 26 设 \( X \) 是域 \( F \) 上的向量空间, \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \in X \) . 如果存在 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots \) , \( {\alpha }_{n} \in F \) ,且 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) 不全为零元,使得 \( {\alpha }_{1}{x}_{1} + {\alpha }_{2}{x}_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}{x}_{n} = 0 \) ,则称 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots \) , \( {x}_{n} \) 线性相关; 否则称为线性无关.
设 \( S \subset X \) ,如果 \( S \) 中任何有限个元都线性无关,则称 \( S \) 是线性无关的.
定义 27 设 \( X \) 是域 \( F \) 上的向量空间, \( Y \subset X \) ,如果 \( \alpha ,\beta \in F, x, y \in Y \) 蕴涵 \( {\alpha x} + {\beta y} \) \( \in Y \) ,则称 \( Y \) 为 \( X \) 的线性子空间,简称子空间.
设 \( S \subset X \) ,则 \( X \) 中包含 \( S \) 的所有子空间的交,称为由 \( S \) 生成的子空间或 \( S \) 的线性包. 它等于
\[
\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\alpha }_{k}{x}_{k} : n \in N,{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \in F,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \in S}\right\} .
\]
如果 \( X \) 的子集 \( B \) 是线性无关的,且 \( B \) 生成的子空间等于 \( X \) ,则称 \( B \) 是 \( X \) 的一个哈梅尔基, 有时也简称为基.
定理 \( {11X} \) 的任何哈梅尔基具有相同的基数.
定义 \( {28X} \) 的哈梅尔基的基数,称为它的维数. 有限维数的向量空间,称为有限维向量空间 (有限维线性空间); 否则称为无限维向量空间 (无限维线性空间).
关于有限维线性空间,参看 \( §{5.4} \) .
定义 29 设 \( R \) 是幺环, \( A \) 是 \( R \) 模,
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1636_典型群上的调和分析(龚升)
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定义 2
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定义 2 群 \( G \) 的一表示类为表示的集合,在其中所有的表示都相互等价的.
由命题 1,对群 \( G \) 的每个表示类,有一 \( G \) 上的函数,即为此类中的任何表示的特征. 这个函数称为类的特征.
若 \( {\mathcal{K}}_{1} \) 与 \( {\mathcal{K}}_{2} \) 为群 \( G \) 的在域 \( K \) 上的二表示类,由第三节可知:
1) 表示 \( P \in {\mathcal{K}}_{1} \) ,其星表示 \( {P}^{ * } \in {\mathcal{K}}_{1}^{ * },{\mathcal{K}}_{1}^{ * } \) 只依赖于 \( {\mathcal{K}}_{1} \) ;
2) 表示 \( {P}_{1} \in {\mathcal{K}}_{1},{P}_{2} \in {\mathcal{K}}_{2} \) 则 \( {P}_{1} + {P}_{2} \in {\mathcal{K}}_{1} + {\mathcal{K}}_{2} \) ,这只依赖与 \( {\mathcal{K}}_{1} \) 与 \( {\mathcal{K}}_{2} \) ,且 \( {\mathcal{K}}_{2} + {\mathcal{K}}_{1} = {\mathcal{K}}_{1} + {\mathcal{K}}_{2} \) ;
3) \( {P}_{2} \times {P}_{2} \in {\mathcal{K}}_{1} \times {\mathcal{K}}_{2} \) ,这只依赖于 \( {\mathcal{K}}_{1},{\mathcal{K}}_{2} \) ,且 \( {\mathcal{K}}_{2} \times \) \( {\mathcal{K}}_{1} = {\mathcal{K}}_{1} \times {\mathcal{K}}_{2} \)
加法运算及 Kronecker 乘法运算对表示类域是结合的, Kronecker 乘法对加法是分配的, 但表示类并不成环, 因为一般来说, 减法是不可能的.
以 \( {x}_{x} \) 记表示类 \( \mathcal{K} \) 的特征.
命题 2 若 \( {\mathcal{K}}_{1} \) 与 \( {\mathcal{K}}_{2} \) 为二表示类,则
\[
{\chi }_{{x}_{1} + {x}_{1}} = {\chi }_{{x}_{1}} + {\chi }_{{x}_{1}}
\]
\[
{\chi }_{{\mathcal{X}}_{1} \times {\mathcal{X}}_{2}} = {\chi }_{{\mathcal{X}}_{1}}{\chi }_{{\chi }_{1}}.
\]
证 若 \( \alpha ,\beta \) 为矩阵,则 \( \operatorname{tr}\left( {\alpha + \beta }\right) - \operatorname{tr}\alpha + \operatorname{tr}\beta ,\operatorname{tr}\alpha \times \beta \) \( = \operatorname{tr}\alpha \cdot \operatorname{tr}\beta \) .
若一表示类有一不可约 (或半单) 的表示, 则此类中每个表示均为不可约(或半单). 称此类为不可约的(或半单).
每个半单类 \( \mathcal{K} \) 可以表为 \( \mathop{\sum }\limits_{i}{x}_{i}{\mathcal{K}}_{i},{x}_{i} \) 为非负整数, \( {\mathcal{K}}_{i} \) 为不可约类; \( {x}_{i} \) 为类 \( {\mathcal{K}}_{i} \) 的一表示在类 \( \mathcal{K} \) 中的一表示中出现的次数,这个数只依赖于 \( \mathcal{K} \) 及 \( {\mathcal{K}}_{i} \) ,称为 \( {\mathcal{K}}_{i} \) 包在 \( \mathcal{K} \) 中的次数.
命题 3 若 \( {\mathcal{K}}_{1},{\mathcal{K}}_{2} \) 为紧致李群 \( G \) 在复数域上的二个不可约表示类, 积分
\[
{\int }_{G}{\chi }_{{\mathcal{X}}_{1}}\left( \sigma \right) {\bar{\chi }}_{{\mathcal{X}}_{2}}\left( \sigma \right) {d\sigma }
\]
等于 0,若 \( {\mathcal{K}}_{1} \neq {\mathcal{K}}_{2} \) ; 等于 1,若 \( {\mathcal{K}}_{1} = {\mathcal{K}}_{2} \) .
证 若 \( {P}_{i} \) 为类 \( {\mathcal{K}}_{i}\left( {i = 1,2}\right) \) 中的一表示. \( {\chi }_{{\mathcal{K}}_{i}}\left( \sigma \right) \) 为 \( {P}_{i}\left( \sigma \right) \) 的主对角线上元素之和,由定理 2 ,即得此结论.
系 1 紧致李群 \( G \) 的不可约表示类 \( {\mathcal{K}}_{1} \) 在类 \( \mathcal{K} \) 中出现的次数为
\[
{\int }_{G}{\chi }_{\mathcal{H}}\left( \sigma \right) {\bar{\chi }}_{{\mathcal{H}}_{1}}\left( \sigma \right) {d\sigma }
\]
证 若 \( \mathcal{K} = \mathop{\sum }\limits_{i}{x}_{i}{\mathcal{K}}_{i} \) ,就有 \( {\chi }_{\mathcal{H}} = \mathop{\sum }\limits_{i}{x}_{i}{\chi }_{{\mathcal{K}}_{i}} \) ,由命题 3 即得此结论.
系 2 紧致李群的二个表示类相一致当且仅当它们有相同的特征.
证 由系 1,二类 \( \mathcal{K},{\mathcal{K}}^{\prime } \) 有相同的特征,则每个不可约表示类在 \( \mathcal{K} \) 与 \( {\mathcal{K}}^{\prime } \) 中出现相同的次数,这就证明了系 2 .
## 7. 表示环
定义 1 紧致李群 \( G \) 的表示环是由 \( G \) 的表示的系数在复数域上生成的环.
换言之,表示环中的元素为 \( G \) 上的复值函数,且可表为 \( G \) 的表示的系数的多项式.
更一般地,若 \( \varepsilon \) 为 \( G \) 的表示的任意集合,记 \( O\left( \varepsilon \right) \) 为由 \( \varepsilon \) 中的表示的系数生成的环.
若 \( {\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2} \) 为二个表示集合,要寻找在什么条件下 \( O\left( {\varepsilon }_{1}\right) = \) \( O\left( {\varepsilon }_{2}\right) \) .
称 \( \varepsilon \) 为闭的. 若
1) \( {P}_{1} \in \varepsilon ,{P}_{2} \in \varepsilon \) 则 \( {P}_{1} + {P}_{2} \in \varepsilon ,{P}_{1} \times {P}_{2} \in \varepsilon \) ;
2) 若不可约表示 \( P \) 是包含在属于 \( \varepsilon \) 的一表示中,则 \( P \in \varepsilon \) ;
3) 与一属于 \( \varepsilon \) 的表示相等价的表示也属于 \( \varepsilon \) .
若 \( {\varepsilon }_{1} \) 为 \( G \) 的表示的任意集合,讨论所有包含在表示 \( {\Lambda }_{1} \times \cdots \) \( \times {\Lambda }_{h}\left( {{\Lambda }_{i} \in {\varepsilon }_{1},1 \leq i \leq h}\right) \) 中的不可约表示组成的集合 \( \mathcal{F} \) . 若 \( {P}_{1} \) 与 \( {P}_{2} \) 属于 \( \mathcal{F} \) ,则每个包在 \( {P}_{1} \times {P}_{2} \) 中的不可约表示也属于 \( \mathcal{F} \) . 若 \( \varepsilon \) 为由与形如 \( {P}_{1} + \cdots + {P}_{k} \) 的表示 \( \left( {{P}_{j} \in \mathcal{F},1 \leq j \leq k}\right) \) 相等价的表示组成的集合,显然 \( \varepsilon \) 为闭的,且为包有 \( {\varepsilon }_{1} \) 的最小表示闭集，
命题 1 若 \( {\varepsilon }_{1} \) 为 \( G \) 的表示的集合, \( \varepsilon \) 为包有 \( {\varepsilon }_{1} \) 的最小的表示的闭集, \( \varepsilon \) 中的不可约表示的系数的复系数线性组合的全体成为集合 \( A \) ,则 \( A \) 就是环 \( O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \) .
证 若 \( P \) 为属于 \( \varepsilon \) 的任意的不可约表示,则存在 \( {\Lambda }_{1},\cdots \) , \( {\Lambda }_{k} \in {\varepsilon }_{1} \) ,使得 \( P \) 是包含在 \( {\Lambda }_{1} \times \cdots \times {\Lambda }_{k} \) 中,即存在一个正则矩阵 \( r \) ,使得
\[
r\left( {{\Lambda }_{1} \times \cdots \times {\Lambda }_{h}}\right) {r}^{-1} = P + N,
\]
这里 \( N \) 为某个表示, \( {\Lambda }_{1} \times \cdots \times {\Lambda }_{k} \) 中的每个系数为 \( {\Lambda }_{1},\cdots ,{\Lambda }_{k} \) 的系数的乘积,故属于 \( O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \) . 故 \( P + N \) (特别是 \( P) \in O\left( {\varepsilon }_{2}\right) \) . 因此 \( A \subset O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \) .
若 \( \Lambda \) 为属于 \( \varepsilon \) 的任意表示,则 \( \Lambda \) 的系数属于 \( A \) . 事实上 \( \Lambda = \) \( \delta \left( {{P}_{1} + \cdots + {P}_{k}}\right) {\delta }^{-1},\delta \) 为正则矩阵, \( {P}_{1},\cdots ,{P}_{k} \) 为属于 \( \varepsilon \) 的不可约表示.
若 \( P,{P}^{\prime } \) 为属于 \( \varepsilon \) 的二个不可约表示,则 \( P \times {P}^{\prime } \in \varepsilon \) . 因此, \( P \) 的系数与 \( {P}^{\prime } \) 的系数相乘属于 \( A \) ,故 \( A \) 为一环. 由于 \( A \subset O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \) 且集合 \( {\varepsilon }_{1} \) 的表示的每个系数属于 \( A \) ,故 \( A = O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \) .
命题 2 若 \( {\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2} \) 为 \( G \) 的二个表示的集合, \( O\left( {\varepsilon }_{1}\right) - O\left( {\varepsilon }_{2}\right) \) 的主要条件为包有 \( {\varepsilon }_{1} \) 的最小的表示的闭集与包有 \( {\varepsilon }_{2} \) 的最小的表示的闭集相等.
证 命题 1 已证明了充分性, 现在来证必要性, 若存在一个不可约表示 \( P \) 属于包有 \( {\varepsilon }_{2} \) 的最小闭集,而不属于包有 \( {\varepsilon }_{1} \) 的最小闭集,若 \( f \) 为 \( P \) 的任意 \( \neq 0 \) 的系数,若 \( g \) 为属于包有 \( {\varepsilon }_{1} \) 的最小闭集的不可约表示的系数,由正交性
\[
{\int }_{G}g\left( \sigma \right) \bar{f}\left( \sigma \right) {d\sigma } = 0
\]
(1)
这对任意 \( g \in O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \) 都成立,由于
\[
{\int }_{G}f\left( \sigma \right) \bar{f}\left( \sigma \right) {d\sigma } > 0
\]
故 \( f \leq O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \) ,因此 \( O\left( {\varepsilon }_{1}\right) \neq O\left( {\varepsilon }_{2}\right) \) .
定义 \( {2G} \) 的表示的集合 \( \varepsilon \) 称为包有足够多的表示,如果包有 \( \varepsilon \) 的最小闭集为 \( G \) 的所有表示的集合.
由命题 2,这在且只在 \( O\left( \varepsilon \right) \) 为整个表示环时才发生,由命题 2 的证明可以看出,如果 \( \varepsilon \) 不是包有足够的表示,则一定存在 \( G \) 的一个不可约表示 \( P \) ,使得 \( \left( 1\right) \) 对每个 \( g \in O\left( \varepsilon \right) \) 及 \( P \) 的每个系数都成立.
命题 3 若 \( G \) 有一忠实表示 \( {P}_{0} \) ,则 \( \left\{ {{P}_{0},{\bar{P}}_{0}}\right\} \) 包有足够多的表示.
记 \( {P}_{0} \) 的阶为 \( {d}_{0},{P}_{0}\left( \sigma \right) = \left( {{t}_{ij}\left( \sigma \right) }\right) ,\left( {1 \leq i, j \leq {d}_{0}}\right) \) .
引理 1 若 \( f \) 为 \( G \) 上的任意连续函数, \( a \) 为 \( > 0 \) 的数,则由 \( 2{d}_{0}^{2} \) 个函数 \( {t}_{ij}\left( \sigma \right) ,\overline{{t}_{ij}}\left( \sigma \right) \) 生成的环,包有一个函数 \( {f}_{1} \) ,使对所有 \( \sigma \in G,\left| {f\left( \sigma \right) - {f}_{1}\left( \sigma \right) }\right| \leq a \) 都成立.
证 记 \( {d}_{0} \) 阶矩阵 \( \xi \) 的系数的实部与虚部为 \( {y}_{i + {d}_{0}\left( {i - 1}\right) }\left( \xi \right) \) , \( {y}_{i + {d}_{0}\left( {j - 1}\right) + {d}^{3}}\left( \xi \right) \left( {1 \leq i, j \leq d}\right) . \)
\( {P}_{0} \) 将 \( G \) 连续一一地映到 \( {GL}\left( {{d}_{0},\mathbf{C}}\right) \) 的一个子群 \( {G}_{1} \) 上,由于 \( G \) 为紧的及 \( {P}_{0} \) 为同胚,故 \( {G}_{1} \) 也是紧的,对每个 \( \sigma \in G \) ,有点 \( \varphi \left( \sigma \right) \in \) \( {\mathbf{R}}^{2{d}_{0}^{2}} \) 其坐标为 \( {y}_{1}\left( {{P}_{0}\left( \sigma \right) }\right) ,\cdots ,{y}_{2{d}_{0}^{3}}\left( {{P}_{0}\left( \sigma \right) }\right) \) ,于是得到 \( G \) 与 \( {\mathbf{R}}^{2{d}_{0}^{2}} \) 中一紧致子集 \( K \) 的同胚 \( \varphi \) . 记 \( {f}_{2} = f \circ {\varphi }^{-1} \) ,则 \( {f}_{2} \) 为定义在 \( K \) 上的连续函数,由 Teotze 扩充定理, \( {f}_{2} \) 可扩充为整个 \( {\mathbf{R}}^{2{d}_{0}} \) 上的连续函数,仍以 \( {f}_{2} \) 记之. 由于 \( K \) 为紧的,故有界, \( M \) 为 \( K \) 中的点的坐标的上界,由 Weierstrass 逼近定理,存在一个多项式 \( Q\left( {{y}_{1},\cdots ,{y}_{2{d}_{0}^{2}}}\right) = \) \( Q\left( y\right) \) ,使得 \( \left| {{f}_{2}\left( y\right) - Q\left( y\right) }\right| \leq a \) ,对所有满足 \( \left| {y}_{k}\right| \leq M(1 \leq \) \( k \leq 2{d}_{0}^{2} \) ) 的点都成立. 定义 \( {f}_{1} \) 为
\[
{f}_{1}\left( \sigma \right) = Q\left( {{y}_{1}\left( {{P}_{0}\left( \sigma \right) }\right) ,\cdots ,{y}_{2{d}_{0}^{2}}\left( {{P}_{0}\left( \sigma \right) }\right) .}\right.
\]
于是对于所有的 \( \sigma \in G \) ,有 \( \left| {f\left( \sigma \right) - {f}_{1}\left( \sigma \right) }\right| \leq a \) . 由于
\[
{y}_{i + {d}_{0}\left( {j - 1}\right) }\left( \xi \right) = \frac{1}{2}\left( {{x}_{ij}\left( \xi \right) + \overrightarrow{{x}_{ij}}\left( \xi \right) }\right) ,
\]
\[
{y}_{i + {d}_{0}\left( {j - 1}\right) + {d}_{0}^{2}}\left( \xi \right) = \frac{-1}{2}\sqrt{-1}\left( {{x}_{ij}\left( \xi \right) - \overline{{x}_{ij}}\left( \xi \right) }\right) .
\]
故 \( {f}_{1} \) 可表为 \( {t}_{ij}\left( \sigma \right) \) 及 \( \overline{{t}_{ij}}\left( \sigma \right) \) 的多项式,引理 1 证毕.
现在来证命题 3 若 \( \varepsilon \) 不包有足够多的表示,由命题 2,存在 \( G \) 上的一个连续函数 \( f \neq 0 \) ,使得 \( \left( 1\right) \) 式对每个 \( g \in O\left( \left\{ {{P}_{0},{\bar{P}}_{0}}\right\} \right) \) 都成立,若 \( m \) 为 \( \left| f\right| \) 的上界,由于 \( {\int }_{G}f\left( \sigma \right) f\left( \sigma \right) {d\sigma } > 0 \) ,故可找到一个数 \( a > 0 \) ,使得 \( {am} < {\int }_{G}f\left( \sigma \right) \overline{f\left( \sigma \right) }{d\sigma } \) 成立,由引理 1,存在函数 \( {f}_{1} \in O\left( \left\{ {{P}_{0},{\widetilde{P}}_{0}}\right\} \right) \) ,使得 \( \left| {f\left( \sigma \right) - {f}_{1}\left( \sigma \right) }\right| \leq a \) 对所有 \( \sigma \in G \) 都成立, 故
\[
\left| {{\int }_{G}f\left( \sigma \right) \overline{f\left( \sigma \right) }{d\sigma }}\right| = \left| {{\int
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1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022)
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定义 4.3
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定义 4.3 设 \( u \) 是根树的分支点,若可从 \( u \) 邻接到 \( v \) ,则称 \( v \) 为 \( u \) 的儿子, \( u \) 为 \( v \) 的父亲; 同一个分支点的所有儿子互称为兄弟; 若从 \( u \) 到 \( w \) 有一条有向道路,则称 \( w \) 是 \( u \) 的子孙, \( u \) 是 \( w \) 的祖先。从根到结点 \( v \) 的有向路的长度称为 \( v \) 的层数; 从根到树叶的最大层数称为根树的高度 (或深度)。
图 3.9 中,结点 1 是树根,结点 \( 1,2,3,4,5,7 \) 是分支点,结点 \( 6,8,9,{10},{11},{12} \) 是树叶, 结点 1 的层数是 0 , 结点 2,3 的层数是 1 , 结点 4, 5 ,
图 3.9
\( 6,7,8 \) 的层数是 2,结点 \( 9,{10} \) , 11, 12 的层数是 3 。根树的高度为 3 。
注意, 在画根树时, 层数小的结点画在上方, 这样有向边的方向都指向下方, 因而可以省略掉。
根树的概念非常重要, 因为它描述了一个离散结构的层次关系, 而层次结构是一种重要的数
据结构, 所以根树结构可应用于相当广泛的领域中。
有时候只需要考虑局部层次关系, 为此引入子树的概念。
定义 4.4 设 \( T \) 是一棵根树, \( u \) 是 \( T \) 的一个结点, \( u \) 及其子孙导出的子图 \( {T}_{u} \) 称为 \( T \) 的子树。
易知, \( {T}_{u} \) 是以 \( u \) 为根的根树。
如果要考虑分支点的儿子们的顺序 (在计算机科学的许多具体问题, 如编码理论, 程序语言中, 一定要考虑这种顺
图 3.10
序), 就形成了有序树的概念。
定义 4.5 如果对根树的每个内点的儿子们规定了顺序, 则称此根树为有序树。
图 3.10 中, (a), (b)所表示的有序树是不同构的。
定义 4.6 设 \( T \) 是一棵根树, \( m \geq 2 \) ,
（1）若 \( T \) 的每个分支点至多有 \( m \) 个儿子,则称 \( T \) 为 \( m \) 元树;
（2）若 \( T \) 的每个分支点都恰有 \( m \) 个儿子,则称 \( T \) 为正则 \( m \) 元树;
（3）若 \( m \) 元树 \( T \) 是有序的,则称 \( T \) 为有序 \( m \) 元树;
（4）若正则 \( m \) 元树 \( T \) 是有序的,则称 \( T \) 为有序正则 \( m \) 元树;
（5）若正则 \( m \) 元树的所有树叶均在同一层，则称 \( T \) 为完全 \( m \) 元树。
图 3.11
图 3.11 中, (a)是二元树; (b)是正则二元树; (c)是有序二元树; (d)是有序正则二元树; (e)是完全二元树。
有序正则二元树尤其重要, 它的每个分支点的两个儿子分别称为左儿子和右儿子。
例 4.1 算术表达式 \( a - \left( {b + \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}}\right) }\right) \) 可以用图 3.12 所示的有序正则二元树来表示。
图 3.12
定理 4.1 设 \( T \) 是一棵正则二元树,它的分支点数 \( i \) 和树叶数 \( t \) 满足: \( i = t - 1 \) 。
证明: 一方面,因为分支点数为 \( i \) ,所以几子数为 \( {2i} \) ; 另一方面,边数为 \( i + t - 1 \) ,每一边对应一个儿子,所以儿子数为 \( i + t - 1 \) ; 于是 \( {2i} = i + t - 1 \) ,即 \( i = t - 1 \) 。
定理 4.2 设 \( T \) 是一棵正则二元树, \( I \) 表示各分支点的层数之和, \( E \) 表示各树叶的层数之和, 则, \( E = I + {2i} \) 。其中 \( i \) 是 \( T \) 的分支点数。
证明: 对分支点数 \( i \) 施行归纳。 \( i = 1 \) 时, \( E = 2, I = 0, E = I + {2i} \) 成立。设 \( i = k \) \( \left( {k \geq 1}\right) \) 时等式成立,来考察 \( i = k + 1 \) 时的树 \( T \) 。设 \( T \) 的高度为 \( h \) ,因而存在兄弟树叶 \( {v}_{1} \) , \( {v}_{2} \) ,它们的层数是 \( h \) ,记其父结点为 \( v \) 。删除树叶 \( {v}_{1},{v}_{2} \) 得到正则二元树 \( {T}^{\prime }, v \) 为 \( {T}^{\prime } \) 的一片树叶。设 \( {T}^{\prime } \) 的分支点数为 \( {i}^{\prime } \) ，分支点层数之和为 \( {I}^{\prime } \) ，树叶层数之和为 \( {E}^{\prime } \) ，则易知 \( {i}^{\prime } = i - 1,{I}^{\prime } = I - \left( {h - 1}\right) ,{E}^{\prime } = E - {2h} + \left( {h - 1}\right) \) 。由归纳假设,在 \( {T}^{\prime } \) 中,等式 \( {E}^{\prime } = {I}^{\prime } + 2{i}^{\prime } \) 成立,即有 \( E - h - 1 = I - h + 1 + 2\left( {i - 1}\right) \) ,整理得 \( E = I + {2i} \) 。
推论 4.1 对正则 \( m \) 元树 \( T \) ,有: \( \left( {m - 1}\right) i = t - 1, E = \left( {m - 1}\right) I + {mi} \) 。其中, \( i \) 是 \( T \) 的分支点数, \( t \) 是树叶数, \( E \) 是各树叶的层数和, \( I \) 是各分支点的层数和。
## 作业
1. 证明推论 4.1 。
## \( §{3.5} \) 最优树
本节讨论树叶带权的赋权二元树
定义 5.1 设二元树 \( T \) 有 \( t \) 片树叶 \( {v}_{1},\cdots ,{v}_{t} \) ,分别带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) ( \( {w}_{i} \) 为正实数),则称 \( T \) 为赋权二元树,称 \( w\left( T\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{t}{w}_{i} \cdot l\left( {v}_{i}\right) \) 为二元树 \( T \) 的权,其中 \( l\left( {v}_{i}\right) \) 是树叶 \( {v}_{i} \) 的层数。
定义 5.2 在所有的含 \( t \) 片树叶且分别带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的二元树中,权最小的二元树称为最优二元树。
给定 \( t \) 个正实数 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) ,如何构造最优二元树呢? 哈夫曼 (Huffman) 给出一个算法。 在介绍 Huffman 算法之前, 先考查几个事实, 作为理解算法的依据。
首先说明,给定 \( t\left( {t \geq 2}\right) \) 个权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的情况下,最优二元树总是存在的。
1. 如果带权二元树 \( T \) 不是正则二元树,则总可以通过收缩 \( T \) 的只有一个儿子的分支点得到一正则二元树 \( {T}^{\prime } \) ,使 \( w\left( {T}^{\prime }\right) < w\left( T\right) \) 。
2. 带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的正则二元树 \( T \) 的数目 \( \leq {n}^{n - 2} \) (其中 \( n = {2t} - 1 \) 是 \( T \) 的结点数)。标定完全图 \( {K}_{n} \) 的生成树的数目为 \( {n}^{n - 2} \) (凯莱定理)。将 \( T \) 的根结点标记为 \( {v}_{0} \) ,带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的叶结点分别标记为 \( {v}_{1},\cdots ,{v}_{t} \) ,其余内结点按层数由小到大的顺序分别标以 \( {v}_{t + 1},\cdots ,{v}_{{2t} - 2} \) (同一层的内点标号大小由其最小标号的子孙而定),这样将带权正则二元树 \( T \) 对应到 \( {K}_{n} \) 的某个生成树,且对应是单射。从而带权正则二元树的数目不超过 \( {K}_{n} \) 的生成树的数目。
3. 既然带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的正则二元树 \( T \) 的数目有限,则必存在最优二元树。
定理 5.1 存在带权为 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) 的最优二元树 \( T \) ,使得带权为 \( {w}_{1},{w}_{2} \) 的两树叶为最深层的兄弟。
证明: 设 \( T \) 是带权为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优二元树,设带权 \( {w}_{i}\left( {1 \leq i \leq t}\right) \) 的树叶结点为 \( {v}_{i} \) , \( {v}_{i} \) 的层数为 \( {l}_{i} \) ,且设 \( T \) 的高度为 \( h \) 。因 \( T \) 是正则二元树,所以可取 \( T \) 的两个层数为 \( h \) 的兄弟树叶 \( {v}_{i},{v}_{j}\left( {i < j}\right) \) ,将它们的权分别与树叶 \( {v}_{1},{v}_{2} \) 的权互换,则 \( T \) 的权变化量为
\[
\left( {{w}_{1}h + {w}_{2}h + {w}_{i}{l}_{1} + {w}_{j}{l}_{2}}\right) - \left( {{w}_{1}{l}_{1} + {w}_{2}{l}_{2} + {w}_{i}h + {w}_{j}h}\right)
\]
\[
= \left( {{w}_{1} - {w}_{i}}\right) \left( {h - {l}_{1}}\right) + \left( {{w}_{2} - {w}_{j}}\right) \left( {h - {l}_{2}}\right) \leq 0,
\]
由 \( T \) 的最优性,上式应取等号,即调整权值后的 \( T \) 仍是最优树。
定理 5.2 设有一棵带权 \( {w}_{1} + {w}_{2},{w}_{3},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优二元树 \( {T}^{\prime } \) ,其中 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) , 在 \( {T}^{\prime } \) 中,让带权 \( {w}_{1} + {w}_{2} \) 的树叶产生两个儿子,分别带权 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) ,则得到的二元树 \( {T}^{ * } \) 是带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优二元树。
证明: 由定理中的条件可知,
\[
w\left( {T}^{ * }\right) = w\left( {T}^{\prime }\right) + {w}_{1} + {w}_{2}。
\]
(1)
设 \( T \) 是带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优二元树,而且在 \( T \) 中,分别带权 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 的二树叶 \( {v}_{1} \) 和 \( {v}_{2} \) 是层数最高的二兄弟。在 \( T \) 中,删除树叶 \( {v}_{1},{v}_{2} \) ,使它们的父结点带权 \( {w}_{1} + {w}_{2} \) ,则得带权 \( {w}_{1} + {w}_{2},{w}_{3},\cdots ,{w}_{t} \) 的二元树 \( \widetilde{T} \) ,显然
\[
w\left( T\right) = w\left( \widetilde{T}\right) + {w}_{1} + {w}_{2}\text{。}
\]
（2）
比较 (1),(2) 式且考虑到 \( {T}^{\prime } \) 的最优性知
\[
w\left( {T}^{ * }\right) \leq w\left( T\right) \text{。}
\]
(3)
再由 \( T \) 的最优性知上式等号成立,即 \( {T}^{ * } \) 是最优二元树。
给定正实数 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t}\left( {t \geq 2}\right) \) ,构造一棵带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优二元树的哈夫曼算法可描述如下:
1. (初始化) 令 \( S = \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{t}}\right\}, V = \left\{ {{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{t}}\right\}, E = \varnothing ,{v}_{i} \) 的权为 \( {w}_{i} \) \( \left( {1 \leq i \leq t}\right) \) ;
2. 从 \( S \) 中取出两个最小的权 \( {w}_{x},{w}_{y} \) ,令 \( {w}^{\prime } = {w}_{x} + {w}_{y} \) ;
3. \( S \leftarrow \left( {S - \left\{ {{w}_{x},{w}_{y}}\right\} }\right) \cup \left\{ {w}^{\prime }\right\}, V \leftarrow V \cup \left\{ {v}^{\prime }\right\} ,{w}^{\prime } \) 作为 \( {v}^{\prime } \) 的权,
\[
E \leftarrow E \cup \left\{ {\left( {{v}^{\prime },{v}_{x}}\right) ,\left( {{v}^{\prime },{v}_{y}}\right) }\right\}
\]
4. 判断 \( S \) 是否只含一个元素? 若是,则停止; 否则转 2 。
算法结束时, \( T = \left( {V, E}\right) \) 是带权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优二元树,注意
\[
w\left( T\right) = \mathop{\sum }\limits_{{v \in V, v\text{ 不是根 }}}w\left( v\right)
\]
这是从 (1) 式来的。
例 5.1 构造一棵带权 \( 2,3,5,7,9,{11} \) 的最优二元树,算法过程如图 3.13 所示。
由定义, \( w\left( T\right) = 2 \times 4 + 3 \times 4 + 5 \times 3 + {11} \times 2 + 7 \times 2 + 9 \times 2 = {89} \) ,
另外, \( w\left( T\right) = \mathop{\sum }\limits_{{v \in V, v\text{是内点}}}w\left( v\right) = 5 + {10} + {21} + {16} + {37} = {89} \) 。
第二种方法更简单, 因为内点数比树叶数少, 且只需加法。学过实变函数课程的同学, 也许容易看出两种算式的内在关系, 简单说, 好比是 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系。
图 3.13
我们还可以推广求最优二元树的 Huffmann 算法,给出求最优 \( m \) 元树的算法。
对于正则 \( m \) 元树来说,满足下面关系: \( i = \frac{t - 1}{m - 1} \) ,其中 \( i \) 为分支点数, \( t \) 为树叶数。
给定 \( t \) 个正实数 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{t} \) ,且 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) ,求一棵最优 \( m\left( {m \geq 3}\right) \) 元树的算法分下面两种情况
（1）若 \( \frac{t - 1}{m - 1} \) 为整数,说明所求的树 \( T \) 为正则 \( m \) 元树,此时可仿照求最优二元树的方法求最优 \( m \) 元树;
（2）否则,设 \( \frac{t - 1}{m - 1} \) 的余数为 \( r,1 \leq r \leq m - 1 \) ,先将 \( r + 1 \) 个较小的权 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{r + 1} \) 对应的树叶作为兄弟得到一父结点,然后将父结点看作赋权为 \( {w}_{1} + \cdots + {w}_{r + 1} \) 的树叶,对权 \( {w}_{1} + \cdots + {w}_{r + 1},{w}_{r + 2},\cdots ,{w}_{t} \) ,仿照求最优二元树的方法求最优 \( m \) 元树。
下面介绍最优二元树的一个重要应用问题: 编码。
在计算机存储和远程通讯中, 常用二进制编码来表示字符, 存储 (或传输) 的信息由有限个字符所组成。如果给定了这些字符的种类和出现的频率, 如何对它们进行二进制编码, 而使所占用的比特位最少? 这就是一个求最优二元树的问题。
我们首先来看编码必须满足的一些约束。
定义 5.3 设 \( {\alpha }_{1}\cdots {\alpha }_{n} \) 是长度为 \( n \) 的符号串,称其子串 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{1}{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{n - 1} \) 分别是 \( {\alpha }_{1}\cdots {\alpha }_{n} \) 的长度为 \( 1,2,\cdots, n - 1 \) 的前缀。
定义 5.4 设 \( A = \left\{ {{\beta }_{1},\cdots ,{\beta }_{m}}\right\} \) 是一个符号串集合,若对任意的 \( {\beta }_{i},{\beta }_{j} \in A, i \neq j \) ,都有 \( {\beta }_{i} \) 不是 \( {\beta }_{j} \) 的前缀,则称 \( A \) 为前缀码, \( A \) 中的符号串 \( {\beta }_{i}\left( {1 \leq i \leq m}\right) \) 称为码字。若 \( {\beta }_{i} \) \( \left( {1 \leq i \leq m}\right) \) 是二进制序列,则称 \( A \) 为二元前缀码。
例 5.2 \( \{ 1,{01},{001},{000}\} \) 是前缀码, \( \{ 1,{11},{001},{0011}\} \) 不是前缀码。
对给定的字符种类做的编码必须是前缀码, 才能用这些码字唯一地表示信息, 不致引起混淆。
例 5.3 做下列编码: \( A : 1, B : {01}, C : {001}, D : {000} \) ,那么, \( {11100101000001101} \) 只可能表示 \( {AAACBDCAB} \) 。但如果做下列编码： \( A : 1，B : {111}，C : {001}，D : {0001} \) ， 那么，1110010001既可能是 \( {AAACD} \) ，也可能是 \( {BCD} \) 。
下面来说明二元前缀码与二元树的关系。
定理 5.3 一个二元前缀码唯一对应着一棵有序二元树。
证明: 给定一棵有序二元树,从根开始,对每个分支点,指向左儿子的边上标记 0 , 指向右儿子的边上标记 1 。从根到每个树叶的路上边的标号组成的二元序列标记在该树叶上, 则所有这些二元序列组成一个前缀码。反过来, 给定一个二元前缀码, 设其中码字的最大长度为 \( h \) 。画一棵高度为 \( h \) 的有序完全二元树,每个分支点的指向左右儿子的边上分别标记 0 和 1, 从根到每个结点的路上边的标号组成的二元序列标记在该结点上。保留前
图 3.14
缀码中码字对应的结点及到根的路上所有的结点和边, 删去其余的结点和边, 便得到一棵有序二元树, 它
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1267_[姜伯驹] 同调论
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定义 1.7
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定义 1.7 设 \( K \) 是有限单纯复形, \( A, B \) 是两个子复形. 如果它们满足以下条件:
(1) \( K \) 的顶点集是 \( A \) 的顶点集与 \( B \) 的顶点集的不交并;
(2) \( K \) 的一组顶点 \( S \) 张成 \( K \) 的单形当且仅当其在 \( A, B \) 中的部分 \( S \cap A, S \cap B \) 都分别张成 \( A, B \) 中的单形,
我们就说 \( K \) 是 \( A, B \) 的统联,记作 \( K = A * B \) .
命题 1.13 统联的性质:
(1) 任给两个有限单纯复形 \( A, B \) ,一定能把它们同时嵌入某个有限单纯复形 \( K \) ,使得 \( K = A * B \) .
(2) 多面体 \( \left| {A * B}\right| \) 的每一点 \( w \) ,除非它本身在 \( \left| A\right| \) 里或者在 \( \left| B\right| \) 里,就一定有唯一的 \( x \in \left| A\right|, y \in \left| B\right| \) ,使得 \( w \) 在联结 \( x \) 与 \( y \) 的线段上. 换句话说, 映射
\[
\left| A\right| \times \left| B\right| \times I \rightarrow \left| {A * B}\right| ,\;\left( {x, y, t}\right) \mapsto \left( {1 - t}\right) x + {ty}
\]
是商映射,把形如 \( x \times \left| B\right| \times 0 \) 子集缩成一点,把形如 \( \left| A\right| \times y \times 1 \) 子集缩成一点, 除此以外是一对一的.
(3) 如果有同胚 \( \left| A\right| \cong \left| {A}^{\prime }\right| ,\left| B\right| \cong \left| {B}^{\prime }\right| \) ,那么 \( \left| {A * B}\right| \cong \left| {{A}^{\prime } * {B}^{\prime }}\right| \) . 因此我们可以谈论多面体的统联.
(4) 作为单纯复形的运算, 它有结合性和交换性, 即
\[
\left( {A * B}\right) * C = A * \left( {B * C}\right) ,\;A * B = B * A.
\]
*证明 (1) 设 \( A, B \) 分别有 \( k,\ell \) 个顶点. 取一个 \( k + \ell - 1 \) 维单形 \( \Delta \) ,把 \( A, B \) 分别嵌进去成为不相交的子复形. 按统联定义中的规定就能构造出单形 \( \Delta \) 的一个子复形 \( K = A * B \) .
(2) 用 \( A * B \) 上的重心坐标,每一点 \( w \in \left| {A * B}\right| \) 写成 \( w = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{a \in A}}{\lambda }_{a}\left( w\right) a + \mathop{\sum }\limits_{{b \in B}}{\lambda }_{b}\left( w\right) b \) ,其中 \( \mathop{\sum }\limits_{{a \in A}}{\lambda }_{a}\left( w\right) + \mathop{\sum }\limits_{{b \in B}}{\lambda }_{b}\left( w\right) = 1 \) ,每个 \( {\lambda }_{a}\left( w\right) \geq \) \( 0,{\lambda }_{b}\left( w\right) \geq 0.\left| A\right| \) 的特征是 \( \mathop{\sum }\limits_{{a \in A}}{\lambda }_{a}\left( w\right) = 1,\left| B\right| \) 的特征是 \( \mathop{\sum }\limits_{{b \in B}}{\lambda }_{b}\left( w\right) = 1 \) . 除这两种点外, 有唯一的表达式
\[
w = \left( {1 - t}\right) x + {ty}
\]
其中
\[
t = \mathop{\sum }\limits_{{b \in B}}{\lambda }_{b}\left( w\right) ,\;x = \mathop{\sum }\limits_{{a \in A}}\frac{{\lambda }_{a}\left( w\right) }{1 - t}a,\;y = \mathop{\sum }\limits_{{b \in B}}\frac{{\lambda }_{b}\left( w\right) }{t}b.
\]
(3) 结论是 (2) 的推论.
(4) 结论是显然的.
例 1.3 统联的典型例子.
(1) 0 维实心球 \( {D}^{0} \) 是一个顶点, \( {D}^{0} * A \) 就是以 \( A \) 为底的锥复形.
(2) 0 维球面 \( {S}^{0} \) 是两个顶点, \( {S}^{0} * A \) 就是 \( A \) 上的双角锥 \( {\sum S} \) .
(3) \( n \) 维球面 \( {S}^{n} \) 同胚于 \( n + 1 \) 个 \( {S}^{0} \) 的统联.
(4) \( {S}^{p} * {S}^{q} \cong {S}^{p + q + 1} \) .
(5) \( {D}^{p} * {D}^{q} \cong {D}^{p} * {S}^{q} \cong {D}^{p + q + 1} \) .
把统联的概念运用到星形上来, 我们从定义立即得到统联分解式:
命题 1.14 设 \( s \) 是正则胞腔复形 \( K \) 的胞腔. 则
(1) \( \overline{\mathfrak{S}}\left( s\right) = \operatorname{Sd}\dot{s} * \overline{\mathfrak{D}}\left( s\right) = \operatorname{Sd}\bar{s} * \dot{\mathfrak{D}}\left( s\right) \) .
(2) \( \dot{\mathfrak{S}}\left( s\right) = \operatorname{Sd}\dot{s} * \dot{\mathfrak{D}}\left( s\right) \) .
## 1.7 正则邻域
引理 1.15 设 \( K \) 是正则胞腔复形, \( L \) 是其子复形. 那么在空间 \( \left| {\operatorname{Sd}K}\right| \) 中,闭集 \( \left| {\operatorname{Sd}L}\right| \) 是开集 \( \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \) 的形变收缩核,闭集 \( \left| {\mathfrak{D}\left( {K - L}\right) }\right| \) 是开集 \( \left| {\operatorname{Sd}\left( {K - L}\right) }\right| \) 的形变收缩核.
* 证明 用 \( \operatorname{Sd}K \) 上的重心坐标,每一点 \( x \in \left| {\operatorname{Sd}K}\right| \) 写成 \( x = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{s \in K}}{\lambda }_{s}\left( x\right) \widehat{s} \) ,其中 \( \mathop{\sum }\limits_{{s \in K}}{\lambda }_{s}\left( x\right) = 1 \) ,每个 \( {\lambda }_{s}\left( x\right) \geq 0 \) . \( \left| {\operatorname{Sd}L}\right| \) 的特征是 \( \mathop{\sum }\limits_{{s \in L}}{\lambda }_{s}\left( x\right) = 1,\left| {\mathfrak{D}\left( {K - L}\right) }\right| \) 的特征是 \( \mathop{\sum }\limits_{{s \in K - L}}{\lambda }_{s}\left( x\right) = 1 \) ,所以都是闭集.
\( \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \) 的特征是 \( \mathop{\sum }\limits_{{s \in L}}{\lambda }_{s}\left( x\right) > 0,\left| {\operatorname{Sd}\left( {K - L}\right) }\right| \) 的特征是 \( \mathop{\sum }\limits_{{s \in K - L}}{\lambda }_{s}\left( x\right) > 0 \) , 所以都是开集.
从 \( \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \) 到 \( \left| {\operatorname{Sd}L}\right| \) 的收缩映射 \( r : \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \rightarrow \left| {\operatorname{Sd}L}\right| \) 和形变 \( {\left\{ {f}_{u}\right\} }_{0 \leq u \leq 1} : \mathrm{{id}} \simeq r : \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \rightarrow \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \) 可以取成 (参看图 5.7 的左图)
\[
r\left( x\right) = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{s \in L}}{\lambda }_{s}\left( x\right) \widehat{s}}{\mathop{\sum }\limits_{{s \in L}}{\lambda }_{s}\left( x\right) },\;{f}_{u}\left( x\right) = \left( {1 - u}\right) x + {ur}\left( x\right) .
\]
从 \( \left| {\operatorname{Sd}\left( {K - L}\right) }\right| \) 到 \( \left| {\mathfrak{D}\left( {K - L}\right) }\right| \) 的形变收缩可类似地构作 (参看图 5.7 的右图).
图 5.7 开正则邻域
定义 1.8 设 \( K \) 是正则胞腔复形, \( L \) 是其子复形. 我们称 \( \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \) 为 \( L \) 在 \( K \) 中的开正则邻域.
有了这个定义, 上面的引理可以改写成下面的形式.
命题 1.16 设 \( K \) 是正则胞腔复形, \( L \) 是其子复形. 那么在空间 \( \left| K\right| \) 中,闭集 \( \left| L\right| \) 是其开正则邻域 \( \left| {\mathfrak{D}\left( L\right) }\right| \) 的形变收缩核,开正则邻域的余集 \( \left| {\mathfrak{D}\left( {K - L}\right) }\right| \) 则是开集 \( \left| {K - L}\right| \) 的形变收缩核.
## §2 流形, Poincaré 对偶定理
## 2.1 胞腔流形的定义
定义 2.1 正则胞腔复形 \( M \) 称为 \( n \) 维胞腔流形,如果对于 \( M \) 的每一个 \( q \) 维胞腔 \( {s}^{q} \) ,它的环绕复形 \( \dot{\mathfrak{D}}\left( {s}^{q}\right) \) 同胚于 \( n - q - 1 \) 维球面 \( {S}^{n - q - 1} \) .
显然,这时胞腔复形 \( M \) 的维数是 \( n \) ,而且每个 \( n - 1 \) 维胞腔 \( {s}^{n - 1} \) 恰是两个 \( n \) 维胞腔的面.
这个定义的背景是一个基本事实 (Cairns 1930, Whitehead 1940):
事实 2.1 紧的 \( n \) 维微分流形必能单纯剖分成一个 \( n \) 维胞腔流形.
我们来证明
命题 \( {2.2n} \) 维胞腔流形 \( M \) 的多面体 \( \left| M\right| \) 是 \( n \) 维拓扑流形.
证明 根据命题 1.12,星形 \( \left| {\mathfrak{S}\left( s\right) }\right| \) 组成 \( \left| M\right| = \left| {\operatorname{Sd}M}\right| \) 的开覆盖. 设 \( s \) 是 \( q \) 维胞腔. 根据命题 1.14,胞腔流形的定义,命题 \( {1.13}\left( 3\right) \) 和例 1.3 , 复形
\[
\dot{\mathfrak{S}}\left( s\right) = \operatorname{Sd}\dot{s} * \dot{\mathfrak{D}}\left( s\right) \cong {S}^{q - 1} * {S}^{n - q - 1} \cong {S}^{n - 1}.
\]
于是
\[
\left| {\mathfrak{S}\left( s\right) }\right| = \left| {\overline{\mathfrak{S}}\left( s\right) - \dot{\mathfrak{S}}\left( s\right) }\right| = \left| {\widehat{s} * \dot{\mathfrak{S}}\left( s\right) - \dot{\mathfrak{S}}\left( s\right) }\right| \cong \left| {\widehat{s} * {S}^{n - 1} - {S}^{n - 1}}\right|
\]
同胚于 \( {S}^{n - 1} \) 上去掉了底的开锥形,因而同胚于 \( n \) 维欧氏空间 \( {\mathbf{R}}^{n} \) .
* 思考题 2.1 设 \( K \) 是单纯复形, \( s \in K \) 是其中的一个单形. 定义 \( K \) 中的单形集合
\[
\operatorname{st}\left( s\right) \mathrel{\text{:=}} \{ t \in K \mid t \succcurlyeq s\}
\]
\( \operatorname{St}\left( s\right) \mathrel{\text{:=}} \{ t \in K \mid t \) 与 \( s \) 的顶点共同张成 \( K \) 的单形 \( \} \) ,
\( \operatorname{Lk}\left( s\right) \mathrel{\text{:=}} \{ t \in \operatorname{St}\left( s\right) \mid t \) 与 \( s \) 无公共顶点 \( \} \) .
注意 \( \operatorname{St}\left( s\right) \) 与 \( \operatorname{Lk}\left( s\right) \) 都是 \( K \) 的子复形,而 \( \left| {\operatorname{st}\left( s\right) }\right| \) 是 \( \left| K\right| \) 中的开集. 试证明:
(1) \( \mathrm{{St}}\left( s\right) = \bar{s} * \mathrm{{Lk}}\left( s\right) ,\mathrm{{St}}\left( s\right) - \mathrm{{st}}\left( s\right) = \dot{s} * \mathrm{{Lk}}\left( s\right) \) .
(2) 有序单纯复形的等式或同构
\[
\overline{\mathfrak{S}}\left( s\right) = \operatorname{Sd}\operatorname{St}\left( s\right)
\]
\[
\dot{\mathfrak{S}}\left( s\right) = \operatorname{Sd}\left( {\operatorname{St}\left( s\right) - \operatorname{st}\left( s\right) }\right)
\]
\[
\dot{\mathfrak{D}}\left( s\right) \cong \operatorname{Sd}\operatorname{Lk}\left( s\right)
\]
* 思考题 2.2 设 \( K \) 是单纯复形. 证明: \( K \) 是 \( n \) 维胞腔流形的充分必要条件是,对于 \( K \) 的每一个 \( q \) 维单形 \( {s}^{q},\operatorname{Lk}\left( {s}^{q}\right) \) 同胚于 \( n - q - 1 \) 维球面 \( {S}^{n - q - 1} \) .
* 思考题 2.3 设 \( M \) 是单纯复形,并且是 \( n \) 维的胞腔流形. 证明: \( \operatorname{Sd}M \) 也是 \( n \) 维胞腔流形.
* 思考题 2.4 设 \( K, L \) 是两个有序单纯复形. 我们来定义一个有序单纯复形 \( K * L \) ,称为 \( K, L \) 的单纯乘积,具有以下性质:
(1) \( K * L \) 的顶点集 (0 维骨架) \( {\left( K * L\right) }^{0} \) 是 \( {K}^{0} \times {L}^{0} \) .
(2) \( \left| {K * L}\right| = \left| K\right| \times \left| L\right| \) .
(3) 对角线映射 \( \Delta : \left| K\right| \rightarrow \left| K\right| \times \left| K\right| \) 是一个保序的单纯映射 \( K \rightarrow K * K \) .
具体做法如下: 设 \( {K}^{0} = \left\{ {a}_{i}\right\} ,{L}^{0} = \left\{ {b}_{j}\right\} \) . 在集合 \( {K}^{0} \times {L}^{0} \) 中规定一个偏序: \( \left( {{a}_{i},{b}_{j}}\right) \leq \left( {{a}_{{i}^{\prime }},{b}_{{j}^{\prime }}}\right) \) 当且仅当 \( {a}_{i} \leq {a}_{{i}^{\prime }} \) 且 \( {b}_{j} \leq {b}_{{j}^{\prime }}.{K}^{0} \times {L}^{0} \) 的每个上升序列 \( \left( {{a}_{{i}_{0}},{b}_{{j}_{0}}}\right) < \cdots < \left( {{a}_{{i}_{r}},{b}_{{j}_{r}}}\right) \) 张成 \( \left| K\right| \times \left| L\right| \) 中的一个单形. 试证明: 所有这样的单形构成 \( \left| K\right| \times \left| L\right| \) 的一个单纯剖分. 这个单纯复形就是 \( K * L \) . 参看文献 [6] pp.66-69.
* 思考题 2.5 设 \( K, L \) 是正则胞腔复形. 试证明:
(1) \( K \times L \) 也是正则胞腔复形,并且 \( \operatorname{Sd}\left( {K \times L}\right) = \operatorname{Sd}K * \operatorname{Sd}L \) .
(2) 设 \( s, t \) 分别是 \( K, L \) 中的胞腔. 则作为 \( \operatorname{Sd}\left( {K \times L}\right) \) 的子复形, 有
\[
{\overline{\mathfrak{D}}}_{K \times L}\left( {s \times t}\right) = {\overline{\mathfrak{D}}}_{K}\left( s\right) * {\overline{\mathfrak{D}}}_{L}\left( t\right)
\]
\[
{\dot{\mathfrak{D}}}_{K \times L}\left( {s \times t}\right) = {\dot{\mathfrak{D}}}_{K}\left( s\right) * {\overline{\mathfrak{D}}}_{L}\left( t\right) \cup {\overline{\mathfrak{D}}}_{K}\left( s\right) * {\dot{\mathfrak{D}}}_{L}\left(
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1769_14矩阵计算的理论与方法
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定义1.2
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定义1.2 迭代法 (1.2) 的平均收敛速度定义为
\[
{R}_{k}\left( G\right) = - \frac{1}{k}\ln \begin{Vmatrix}{G}^{k}\end{Vmatrix}.
\]
\( \left( {1.10}\right) \)
从定义1.2不难看出,平均收敛速 度 \( {R}_{k}\left( G\right) \) 不仅与迭代次数 \( k \) 有关,而且与所用的范数亦有关,这会在理论分析和实际应用中带来很大不便. 为此, 我们引进
定义 1.3 迭代法 (1.2) 的渐近收敛速度定义为
\[
R\left( G\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{R}_{k}\left( G\right) = - \ln \rho \left( G\right) .
\]
\( \left( {1.11}\right) \)
(1.11)的最后一个等号用了第一章的定理3.10.
## \( §2 \) 基本迭代法
设已给定线性方程组
\[
{Ax} = b,
\]
\( \left( {2.1}\right) \)
其中 \( A \in {\mathbb{R}}^{n \times n} \) 和 \( b \in {\mathbb{R}}^{n} \) 已知, \( x \in {\mathbb{R}}^{n} \) 未知. 现在我们来考虑如何通过构造形如 (1.2) 的迭代法来求 (2.1) 的解.
首先, 我们自然希望构造出的迭代法 (1.2) 如果收敛, 其极限就是方程组 (2.1) 的解. 这就需要其迭代矩阵 \( G \) 和常向量 \( c \) 满足
\[
{QA} = I - G\text{ 和 }{Qb} = c,
\]
\( \left( {2.2}\right) \)
其中 \( Q \in {\mathbb{R}}^{n \times n} \) 是某一非奇异矩阵. 如果 (2.2) 成立,则称迭代法 (1.2) 与方程组 (2.1) 是相容的. 从实用的目的考虑, 当然我们只对相容的迭代法感兴趣.
现假定 \( A \) 有如下分裂
\[
A = M - N,
\]
\( \left( {2.3}\right) \)
其中 \( M \) 为非奇异矩阵. 令 \( G = {M}^{-1}N, c = {M}^{-1}b \) ,则由此产生的迭代法 (1.2) 必然是相容的. 此时,为了避免 \( {M}^{-1}N \) 和 \( {M}^{-1}b \) 的计算, 可按如下方式进行迭代:
\[
M{x}_{k} = N{x}_{k - 1} + b,\;k = 1,2,\cdots .
\]
\( \left( {2.4}\right) \)
但这样一来,每次迭代就必须解一个系数矩阵为 \( M \) 的线性方程组. 因此,我们自然希望 \( M \) 应具有某种特殊性,使这样的方程组易于求解; 比如, \( M \) 是对角形、上三角形、块对角形或块上三角形等.
基于这种思想,对 \( A \) 进行不同的分裂,就可构造出各种各样的相容的迭代法. 下面我们就列举其中最基本的四种迭代法.
设 \( A \) 分块为
\[
A = \left\lbrack \begin{matrix} {A}_{11} & {A}_{12} & \cdots & {A}_{1k} \\ {A}_{21} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{2k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {A}_{k1} & {A}_{k2} & \cdots & {A}_{kk} \end{matrix}\right\rbrack ,
\]
\( \left( {2.5}\right) \)
其中 \( {A}_{ii} \in {\mathrm{R}}^{{n}_{i} \times {n}_{i}} \) 非奇异且系数阵为 \( {A}_{ii} \) 的线性 方程组易于求解, \( {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{k} = n \) .
令
\[
D = \operatorname{diag}\left( {{A}_{11},{A}_{22},\cdots ,{A}_{kk}}\right) ,
\]
\( \left( {2.6}\right) \)
\[
{C}_{L} = - \left\lbrack \begin{matrix} 0 & & & & \\ {A}_{21} & 0 & & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & & \\ {A}_{k1} & \cdots & {A}_{k, k - 1} & 0 & \end{matrix}\right\rbrack ,
\]
\[
{C}_{U} = - \left\lbrack \begin{matrix} 0 & {A}_{12} & \cdots & {A}_{1k} \\ & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & {A}_{k - 1, k} \\ 0 & & & 0 \end{matrix}\right\rbrack ,
\]
\( \left( {2.7}\right) \)
\[
L = {D}^{-1}{C}_{L},\;U = {D}^{-1}{C}_{U}.
\]
\( \left( {2.8}\right) \)
则
\[
A = D - {C}_{L} - {C}_{U} = D\left( {I - L - U}\right) .
\]
\( \left( {2.9}\right) \)
1. Jacobi 迭代法 (亦称简单迭代法)
\( A \) 分裂为:
\[
A = {M}_{J} - {N}_{J}
\]
其中
\[
{M}_{J} = D,\;{N}_{J} = {C}_{L} + {C}_{U}.
\]
迭代矩阵为:
\[
J = {M}_{J}^{-1}{N}_{J} = {D}^{-1}\left( {{C}_{L} + {C}_{U}}\right)
\]
\[
= L + U = I - {D}^{-1}A\text{. }
\]
\( \left( {2.10}\right) \)
迭代格式为:
\[
D{x}_{m} = \left( {{C}_{L} + {C}_{U}}\right) {x}_{m - 1} + b,\;m = 1,2,\cdots .
\]
\( \left( {2.11}\right) \)
2. Gauss-Seidel 迭代法
\( A \) 分裂为:
\[
A = {M}_{G} - {N}_{G},
\]
其中
\[
{M}_{G} = D - {C}_{L},\;{N}_{G} = {C}_{U}.
\]
迭代矩阵为:
\[
{\mathcal{L}}_{1} = {\left( D - {C}_{L}\right) }^{-1}{C}_{U} = {\left( I - L\right) }^{-1}U.
\]
(2.12)
迭代格式为:
\[
\left( {D - {C}_{L}}\right) {x}_{m} = {C}_{U}{x}_{m - 1} + b,\;m = 1,2,\cdots .
\]
(2.13)
3. 超松弛迭代法 (简称 SOR 迭代法)
\( A \) 分裂为:
\[
A = {M}_{\omega } - {N}_{\omega }
\]
其中
\[
{M}_{\omega } = \frac{1}{\omega }D - {C}_{L},\;{N}_{\omega } = \frac{1 - \omega }{\omega }D + {C}_{U},
\]
\( \omega \) 为非零实数,称作松弛因子.
迭代矩阵为:
\[
{\mathcal{L}}_{\omega } = {M}_{\omega }^{-1}{N}_{\omega } = {\left( I - \omega L\right) }^{-1}\left( {{\omega U} + \left( {1 - \omega }\right) I}\right) .
\]
(2.14)
迭代格式为:
\[
\left( {D - \omega {C}_{L}}\right) {x}_{m} = \left( {\omega {C}_{U} + \left( {1 - \omega }\right) D}\right) {x}_{m - 1} + {\omega b}
\]
\[
\left( {m = 1,2,\cdots }\right) \text{.}
\]
\( \left( {2,{15}}\right) \)
当 \( \omega = 1 \) 时, SOR迭代法就是 Gauss-Seidel 迭代法. 因此,适当选择参数 \( \omega \) 可望 SOR 迭代法比 Gauss-Seidel 迭代法具有更快的收敛速度.
4. 对称超松弛法 (简称 SSOR 迭代法)
\( A \) 分裂为:
\[
A = {M}_{s} - {N}_{s},
\]
其中
\[
{M}_{\mathrm{s}} = \frac{1}{\omega \left( {2 - \omega }\right) }\left\{ {D - \omega \left( {{C}_{L} + {C}_{U}}\right) + {\omega }^{2}{C}_{L}{D}^{-1}{C}_{U}}\right\}
\]
\[
= \frac{1}{\omega \left( {2 - \omega }\right) }\left( {D - \omega {C}_{L}}\right) {D}^{-1}\left( {D - \omega {C}_{U}}\right) ,
\]
\[
{N}_{s} = \frac{1}{\omega \left( {2 - \omega }\right) }\left\{ {{\left( 1 - \omega \right) }^{2}D + \omega \left( {1 - \omega }\right) \left( {{C}_{L} + {C}_{U}}\right) + {\omega }^{2}{C}_{L}{D}^{-1}{C}_{U}}\right\}
\]
\[
= \frac{1}{\omega \left( {2 - \omega }\right) }\left\lbrack {\left( {1 - \omega }\right) D + \omega {C}_{L}}\right\rbrack {D}^{-1}\left\lbrack {\left( {1 - \omega }\right) D + \omega {C}_{U}}\right\rbrack ,
\]
迭代矩阵为:
\[
{\mathcal{S}}_{\omega } = {M}_{s}^{-1}{N}_{s} = {\mathcal{U}}_{\omega }{\mathcal{L}}_{\omega },
\]
其中
\[
{\mathcal{U}}_{\omega } = {\left( I - \omega U\right) }^{-1}\left( {{\omega L} + \left( {1 - \omega }\right) I}\right) ,
\]
\( {\mathcal{L}}_{\omega } \) 为 SOR 迭代矩阵.
迭代格式是:
\[
\left( {D - \omega {C}_{L}}\right) {x}_{m - \frac{1}{2}} = \left\{ {\omega {C}_{U} + \left( {1 - \omega }\right) D}\right\} {x}_{m - 1} + {\omega b},
\]
\[
\left( {D - \omega {C}_{U}}\right) {x}_{m} = \left\{ {\omega {C}_{L} + \left( {1 - \omega }\right) D}\right\} {x}_{m - \frac{1}{2}} + {\omega b}.
\]
由此可见, SSOR 迭代法实质上就是将 \( {C}_{L} \) 和 \( {C}_{U} \) 等同看待连续地使用两次 SOR 迭代. 这样做的好处是:
（1）可充分利用内外存交换时得到的信息, 减少内外存交换的次数, 提高计算效率;
（2）在某些特殊问题中SOR 迭代法不收敛, 但依然可构造出收敛的 SSOR 迭代法;
（3）SOR迭代法的渐近收敛速度对松弛因子 \( \omega \) 的选择一般来说非常敏感, 而 SSOR 迭代法却不敏感.
注 2.1 (1) 在上面列举的四种基本迭代法中,当所有的 \( {n}_{i} \) 都等于 1 时, 就是通常所讲的点迭代, 如点Jacobi迭代, 点SSOR 迭代等.
（2）对于SSOR和SOR 迭代法而言, 只有其松弛因子满足 \( 0 < \) \( \omega < 2 \) 时,才有可能收敛. 因此,今后我们总假定 \( \omega \) 满足这一条件.
## \( §3 \) 正定矩阵和某些迭代法的收敛性
迭代法构造出来之后, 一个必须考虑的问题就是这一迭代法是否收敛. 这一节和下一节我们就来介绍几个关于古典迭代法的收敛性定理.
引理3.1 设 \( A \in {\mathbb{C}}^{n \times n} \) 是Hermite矩阵,且 \( A \) 分裂为 \( A = M - \) \( N \) ,其中 \( M \) 为非奇异矩阵. 则 \( {M}^{ * } + N \) 是 Hermite 矩阵,且对任意的 \( x \in {\mathbb{C}}^{n} \) ,有
\[
{x}^{ * }{Ax} - {\widetilde{x}}^{ * }A\widetilde{x} = {u}^{ * }\left( {{M}^{ * } + N}\right) u,
\]
(3.1)
其中 \( \widetilde{x} = {M}^{-1}{Nx}, u = x - \widetilde{x} \) .
证明 由恒等式
\[
{M}^{ * } + N = {\left( A + N\right) }^{ * } + N = A + {N}^{ * } + N
\]
\[
= M + {N}^{ * } = {\left( {M}^{ * } + N\right) }^{ * }
\]
即知, \( {M}^{ * } + N \) 是 Hermite 矩阵,而且
\[
M = {M}^{ * } - {N}^{ * } + N.
\]
\( \left( {3.2}\right) \)
另一方面,由 \( M\widetilde{x} = {Nx} \) ,可得
\[
{Mu} = {Mx} - M\widetilde{x} = {Mx} - {Nx} = {Ax},
\]
\( \left( {3.3}\right) \)
\[
{Nu} = {Nx} - N\widetilde{x} = M\widetilde{x} - N\widetilde{x} = A\widetilde{x}.
\]
\( \left( {3.4}\right) \)
从(3.3) 和(3.4), 得
\[
{x}^{ * }{Ax} - {\widetilde{x}}^{ * }A\widetilde{x} = {x}^{ * }{Mu} - {\widetilde{x}}^{ * }{Nu}.
\]
\( \left( {3.5}\right) \)
将 (3.2) 代入 (3.5),并注意到 \( {x}^{ * }{N}^{ * } = {\widetilde{x}}^{ * }{M}^{ * } \) ,立即得 (3.1).
定理3.1 假设条件同引理 3.1. 则
（1） \( A \) 和 \( {M}^{ * } + N \) 正定 \( \Rightarrow \rho \left( {{M}^{-1}N}\right) < 1 \) ;
(2) \( \rho \left( {{M}^{-1}N}\right) < 1 \) 和 \( {M}^{ * } + N \) 正定 \( \Rightarrow A \) 正定.
证明 先证 (1). 设 \( \lambda \in \lambda \left( {{M}^{-1}N}\right) \) ,即存 在 \( x \in {\mathrm{C}}^{n} \) ,使得
\[
{M}^{-1}{Nx} = {\lambda x},\;x \neq 0.
\]
\( \left( {3.6}\right) \)
对 \( x,\widetilde{x} = {\lambda x} \) 和 \( u = \left( {1 - \lambda }\right) x \) 应用等式 (3.1),得
\[
\left( {1 - {\left| \lambda \right| }^{2}}\right) {x}^{ * }{Ax} = {\left| 1 - \lambda \right| }^{2}{x}^{ * }\left( {{M}^{ * } + N}\right) x.
\]
(3.7)
此外,必有 \( \lambda \neq 1 \) ; 否则 \( {Mx} = {Nx} \) ,从而 \( {Ax} = 0 \) ,这必有 \( x = 0 \) ,这与 \( x \neq 0 \) 的假设矛盾. 于是,由 \( A \) 和 \( {M}^{ * } + N \) 正定的假定,从 (3.7) 即知 \( \left| \lambda \right| < 1 \) . 注意到 \( \lambda \in \lambda \left( {{M}^{-1}N}\right) \) 的任意性,即有 \( \rho \left( {{M}^{-1}N}\right) < 1 \) .
再证 (2). 用反证法. 若 \( A \) 不是正定的,则必存在 \( {x}_{0} \in {\mathrm{C}}^{N} \) , 使
\[
\eta = {x}_{0}^{ * }A{x}_{0} < 0,
\]
(3.8)
此处用到了 \( \rho \left( {{M}^{-1}N}\right) < 1 \) 蕴含着 \( A \) 非奇异.
从这一 \( {x}_{0} \) 出发,定义
\[
{x}_{k} = {M}^{-1}N{x}_{k - 1},\;k = 1,2,\cdots ,
\]
则由 \( \rho \left( {{M}^{-1}N}\right) < 1 \) 的假定,知
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{k} = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\left( {M}^{-1}N\right) }^{k}{x}_{0} = 0.
\]
(3.9)
现在令
\[
{u}_{k} = {x}_{k} - {x}_{k - 1},\;k = 1,2,\cdots ,
\]
利用引理 3.1, 得
\[
{x}_{k - 1}^{ * }A{x}_{k - 1} - {x}_{k}^{ * }A{x}_{k} = {u}_{k}^{ * }\left( {{M}^{ * } + N}\right) {u}_{k}
\]
\( \left( {3.10}\right) \)
对一切自然数 \( k \) 都成立.
由 \( {x}_{0} \) 满足 (3.8) 可知 \( {u}_{1} \neq 0 \) . 事实上,若 \( {u}_{1} = 0 \) ,则
\[
- A{x}_{0} = M{u}_{1} = 0,
\]
这与 (3.8) 矛盾. 因此,对 \( k = 1 \) 应用 (3.10) 有
\[
{x}_{1}^{ * }A{x}_{1} = {x}_{0}^{ * }A{x}_{0} - {u}_{1}^{ * }\left( {{M}^{ * } + N}\right) {u}_{1}
\]
\[
< {x}_{0}^{ * }A{x}_{0} = \eta < 0,
\]
其中应用了 \( {M}^{ * } + N \) 正定的假定. 依此类推,可证
\[
{x}_{k}^{ * }A{x}_{k} < {x}_{k - 1}^{ * }A{x}_{k - 1} \leq \eta < 0
\]
对一切的自然数 \( k \) 成立. 这与 (3.9) 矛盾.
定理3.2 设 (2.5) 所给的矩阵 \( A \) 是正定对称矩阵. 则
（1）当 \( {2D} - A \) 正定时, Jacobi 迭代法收敛;
（2）当 \( 0 < \omega < 2 \) 时, SOR 和 SSOR 迭代法收敛.
证明 注意到,当 \( A \) 是实对称矩阵 时, \( {D}^{ * } = D,{C}_{L}^{ * } = {C}_{U} \) ,
就有
\[
{M}_{J}^{ * } + {N}_{J} = {D}^{ * } + {C}_{L} + {C}_{U} = D - A + D = {2D} - A;
\]
\[
{M}_{\omega }^{ * } + {N}_{\omega } = {\left( \frac{1}{\omega }D - {C}_{L}\right) }^{ * } + \left( {\frac{1 - \omega }{\omega }D + {C}_{U}}\right)
\]
\[
= \frac{2 - \omega }{\omega }D
\]
\[
{M}_{s}^{ * } + {N}_{s} = \frac{1}{\omega \left( {2 - \omega }\right) }\left\lbrack {\left( {D - \omega {C}_{L}}\right) {D}^{-1}\left( {D - \omega {C}_{U}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {+\left( {\left( {1 - \omega }\right) D + \omega {C}_{L}}\right) {D}^{-1}\left( {\left( {1 - \omega }\right) D + \omega {C}_{U}}\right) }\right\rbrack \text{.}
\]
而 \( A \) 正定义蕴含着 \( D \) 正定
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1272_[尤承业] 基础拓扑学讲义
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定义 2.3
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定义 2.3 设 \( \mathcal{U} \) 是列紧度量空间 \( \left( {X, d}\right) \) 的一个开覆盖, \( X\bar{ \in } \) \( \mathcal{U} \) . 称函数 \( {\varphi }_{\mathcal{U}} \) 的最小值为 \( \mathcal{U} \) 的 Lebesgue 数,记作 \( L\left( \mathcal{U}\right) \) .
命题 2.12 \( L\left( \mathcal{U}\right) \) 是正数; 并且当 \( 0 < \delta < L\left( \mathcal{U}\right) \) 时, \( \forall x \in X \) , \( B\left( {x,\delta }\right) \) 必包含在 \( \mathcal{U} \) 的某个开集 \( U \) 中.
证明 因为 \( X \) 列紧,所以 \( {\varphi }_{\mathcal{U}} \) 在某点 \( {x}_{0} \) 处达到最小值,即 \( L\left( \mathcal{U}\right) = {\varphi }_{\mathcal{U}}\left( {x}_{0}\right) > 0. \)
\( \forall x \in X,\delta < L\left( \mathcal{U}\right) \leq {\varphi }_{\mathcal{U}}\left( x\right) \) ,因此存在 \( U \in \mathcal{U} \) ,使得 \( d\left( {x,{U}^{c}}\right) \) \( > \delta \) ,从而 \( B\left( {x,\delta }\right) \subset U \) .
现在可以来证明主要结果了.
命题 2.13 列紧度量空间是紧致的.
证明 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是列紧度量空间. 要对它的开覆盖 \( \mathcal{U} \) 找出有限子覆盖. 不妨设 \( \mathcal{U} \) 中不包含 \( X \) ,从而有 Lebesgue 数 \( L\left( \mathcal{U}\right) \) . 取正数 \( \delta < L\left( \mathcal{U}\right) \) ,令 \( A = \left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right\} \) 是 \( X \) 的 \( \delta \) -网 (存在性由命题 2.11 保证). 于是 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}B\left( {{a}_{i},\delta }\right) = X \) . 由命题 \( {2.12},\forall i \) ,有 \( {U}_{i} \in \mathcal{U} \) , 使得 \( B\left( {{a}_{i},\delta }\right) \subset {U}_{i} \) . 于是 \( \left\{ {{U}_{1},{U}_{2},\cdots ,{U}_{n}}\right\} \) 是 \( \mathcal{U} \) 的一个有限子覆盖. 命题得证.
综合命题 2.10 和 2.13 , 得到
定理 2.5 若 \( X \) 是度量空间,则 \( X \) 列紧 \( \Leftrightarrow X \) 紧致.
于是有界闭区间是紧致的. 球面 \( {S}^{n} \) 和实心球 \( {D}^{n} \) 是紧致的. 一般地, \( {\mathbf{E}}^{n} \) 的子集 \( A \) 紧致的充分必要条件是 \( A \) 为有界闭集.
## 3. 3 紧致空间的性质
下面的讨论中常要涉及到拓扑空间的紧致子集. 一个拓扑空间 \( X \) 的子集 \( A \) 如果作为子空间是紧致的,就称为 \( X \) 的紧致子集. 这里在概念上并没有提出任何新思想. 下面介绍判断一个子集是否紧致的办法, 实用中它常常比定义方便些.
\( X \) 中一个开集族 \( \mathcal{U} \) 如果满足 \( A \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{U \in \mathcal{U}}}U \) ,则称 \( \mathcal{U} \) 是 \( A \) 在 \( X \) 中的一个开覆盖 (区别于 \( A \) 的开覆盖,后者由 \( A \) 中的开集构成).
命题 \( {2.14A} \) 是 \( X \) 的紧致子集 \( \Leftrightarrow A \) 在 \( X \) 中的任一开覆盖有有限子覆盖.
证明 \( \Rightarrow \) . 设 \( \mathcal{U} \) 是 \( A \) 在 \( X \) 中的开覆盖,则 \( {\mathcal{U}}_{A} = \{ U \cap A \) \( |U \in \mathcal{U}\rangle \) 是 \( A \) 的开覆盖. 因为 \( A \) 紧致,所以 \( {\mathcal{U}}_{A} \) 有有限子覆盖 \( \left\{ {{U}_{1} \cap A,{U}_{2} \cap A,\cdots ,{U}_{n} \cap A}\right\} \) . 则 \( \left\{ {{U}_{1},{U}_{2},\cdots ,{U}_{n}}\right\} \) 是 \( \mathcal{U} \) 的有限子覆盖.
\( < = \) . 设 \( \mathcal{V} \) 是 \( A \) 的开覆盖. 则由子空间拓扑的定义, \( \forall V \in \) \( \mathcal{V} \) ,取定 \( X \) 中开集 \( U \) ,使得 \( V = U \cap A \) . 所有得到的 \( U \) 构成 \( A \) 在 \( X \) 中的开覆盖 \( \mathcal{U} \) . 由条件, \( \mathcal{U} \) 有子覆盖 \( \left\{ {{U}_{1},{U}_{2},\cdots ,{U}_{n}}\right\} \) . 于是 \( \left\{ {{U}_{1} \cap }\right. \) \( \left. {A,{U}_{2} \cap A,\cdots ,{U}_{n} \cap A}\right\} \) 是 \( \mathcal{V} \) 的有限子覆盖. 这证明了 \( A \) 的紧致性.
命题 2.15 紧致空间的闭子集紧致.
证明 设 \( X \) 是紧致拓扑空间, \( A \) 是 \( X \) 的闭子集. 证 \( A \) 的紧致性只须证明 \( A \) 在 \( X \) 中的任一开覆盖 \( \mathcal{U} \) 有有限子覆盖. 因为 \( A \) 是闭集,所以 \( {A}^{c} \) 是开集. 于是 \( \mathcal{U} \) 中添加了 \( {A}^{c} \) 后得到 \( X \) 的一个开覆盖. 由于 \( X \) 紧致,它有子覆盖 \( \left\{ {{U}_{1},\cdots ,{U}_{n},{A}^{c}}\right\} \) . 于是 \( \left\{ {{U}_{1},\cdots ,{U}_{n}}\right\} \) 是 \( \mathcal{U} \) 的有限子覆盖 ( \( A \) 的覆盖).
命题 2.16 紧致空间在连续映射下的像也紧致.
证明 设 \( X \) 紧致,映射 \( f : X \rightarrow Y \) 连续. 要证明 \( f\left( X\right) \) 是 \( Y \) 的紧致子集. 设 \( \mathcal{U} \) 是 \( f\left( X\right) \) 在 \( Y \) 中的开覆盖,则 \( \left\{ {{f}^{-1}\left( U\right) \mid U \in \mathcal{U}}\right\} \) 是 \( X \) 的开覆盖,有子覆盖 \( \left\{ {{f}^{-1}\left( {U}_{1}\right) ,{f}^{-1}\left( {U}_{2}\right) ,\cdots ,{f}^{-1}\left( {U}_{n}\right) }\right\} \) ,即 \( X \) \( = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{f}^{-1}\left( {U}_{i}\right) \) . 于是 \( f\left( X\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{f}^{-1}\left( {U}_{i}\right) }\right) \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{U}_{i} \) . 因此 \( \left\{ {{U}_{1},{U}_{2},\cdots ,{U}_{n}}\right\} \) 是 \( \mathcal{U} \) 的子覆盖,根据命题 \( {2.14}, f\left( X\right) \) 紧致.
命题 2.16 的一个直接推论是: 紧致性是拓扑性质. 当然, 从定义就可得到这个论断.
推论 定义在紧致空间上的连续函数有界, 并且达到最大、最小值.
证明 设 \( X \) 紧致, \( f : X \rightarrow {\mathbf{E}}^{1} \) 连续. 根据命题 2.16, \( f\left( X\right) \) 是 \( {\mathbf{E}}^{1} \) 上的紧致子集,因此是 \( {\mathbf{E}}^{1} \) 的有界闭集,故 \( f \) 是有界的. 设 \( a, b \) 分别是 \( f\left( X\right) \) 的最大、最小值. 则有 \( {x}_{1},{x}_{2} \in X \) ,使得 \( f\left( {x}_{1}\right) = a \) , \( f\left( {x}_{2}\right) = b \) ,即 \( f \) 在 \( {x}_{1},{x}_{2} \) 处达到最大、最小值.
## 3. 4 Hausdorff 空间的紧致子集
下面讨论紧致和 \( {T}_{2} \) 公理共同作用下能得到的结果.
命题 2.17 若 \( A \) 是 Hausdorff 空间 \( X \) 的紧致子集, \( x\bar{ \in }A \) ,则 \( x \) 与 \( A \) 有不相交的邻域.
证明 \( \forall y \in A \) ,则 \( x \neq y \) .
图 2-4
\( X \) 是 Hausdorff 空间,因而 \( {x}^{ \cdot } \) 和 \( y \) 有不相交的开邻域 \( {U}_{y} \) 和 \( {V}_{y} \) (它们都随 \( y \) 而改变). \( \left\{ {{V}_{y} \mid }\right. \) \( y \in A\} \) 构成 \( A \) 在 \( X \) 中的开覆盖,有子覆盖 \( \left\{ {{V}_{{y}_{1}},{V}_{{y}_{2}},\cdots }\right. \) , \( \left. {V}_{{y}_{n}}\right\} \) . 记 \( V = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{V}_{{y}_{i}} \) (图 2-4), 则它们都是开集 \( (U \) 是开集仰仗于“有限”),并且分别是 \( A \) 和 \( x \) 的邻域. 因为 \( U \cap {V}_{{y}_{i}} \subset {U}_{{y}_{i}} \) \( \cap {V}_{{y}_{i}} = \varnothing \) ,所以 \( U \cap V = \varnothing .U \) , \( V \) 即为所求.
推论 Hausdorff 空间的紧致子集是闭集.
下面是一个常用的定理.
定理 2.6 设 \( f : X \rightarrow Y \) 是连续的一一对应,其中 \( X \) 紧致, \( Y \) 是 Hausdorff 空间,则 \( f \) 是同胚.
证明 要证明 \( {f}^{-1} : Y \rightarrow X \) 连续,只须证 \( f \) 是闭映射 (见第一章 \( §2 \) 的习题 11). 设 \( A \) 是 \( X \) 的闭集,由命题 2.15, \( A \) 是紧致的; 由命题 2.16, \( f\left( A\right) \) 是 \( Y \) 的紧致子集; 再由命题 2.17 的推论知 \( f\left( A\right) \) 是 \( Y \) 的闭集.
命题 2.18 Hausdorff 空间的不相交紧致子集有不相交的邻域.
证明 用命题 2.17 的方法和结果. 请读者自己补充证明细节.
命题 2.19 紧致 Hausdorff 空间满足 \( {T}_{3},{T}_{4} \) 公理.
证明 只用证满足 \( {T}_{4} \) 公理. 设 \( A \) 和 \( B \) 是紧致 Hausdorff 空间 \( X \) 的不相交闭子集,由命题 \( {2.15}, A, B \) 都紧致,再用命题 2.18, \( A \) 和 \( B \) 有不相交邻域. 这证明了 \( X \) 满足 \( {T}_{4} \) 公理.
## 3. 5 乘积空间的紧致性
容易看出,紧致性没有遗传性,例如闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 紧致,它的子集 \( \left( {a, b}\right) \) 不紧致. 但紧致性有可乘性,下面证明此结论.
引理 设 \( A \) 是 \( X \) 的紧
图 2-5
致子集, \( y \) 是 \( Y \) 的一点,在乘积空间 \( X \times Y \) 中, \( W \) 是 \( A \) \( \times \{ y\} \) 的邻域. 则存在 \( A \) 和 \( y \) 的开邻域 \( U \) 和 \( V \) ,使得 \( U \) \( \times V \subset W \) .
证明 \( \forall x \in A \) ,则 \( (x \) , \( y) \) 是 \( W \) 的内点,因此可作 \( x, y \) 的开邻域 \( {U}_{x},{V}_{x} \) ,使得 \( {U}_{x} \times {V}_{x} \subset W.\left\{ {{U}_{x} \mid x \in A}\right\} \) 是 \( A \) 在 \( X \) 中的开覆盖. 而 \( A \) 紧致, \( \left\{ {{U}_{x} \mid x \in A}\right\} \) 有子覆盖 \( \left\{ {{U}_{{x}_{1}},{U}_{{x}_{2}}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{U}_{{x}_{n}}}\right\} \) . 记 \( U = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{U}_{{x}_{i}}, V = \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{V}_{{x}_{i}} \) (见图 2-5),则 \( U \) 和 \( V \) 分别是 \( A \) 和 \( y \) 的开邻域,并且 \( U \times V \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{U}_{{x}_{i}} \times {V}_{{x}_{i}}}\right) \subset W \) .
定理 2.7 若 \( X \) 与 \( Y \) 都紧致,则 \( X \times Y \) 也紧致.
证明 设 \( \mathcal{U} \) 是 \( X \times Y \) 的开覆盖. 要说明它有有限子覆盖. \( \forall y \) \( \in Y \) ,则 \( X \times \{ y\} \cong X \) ,从而是紧致的. \( \mathcal{U} \) 也是它在 \( X \times \overset{\{ 1\} }{\mathcal{B}} \) 中的开覆盖,有有限子覆盖,即可选出 \( \mathcal{U} \) 中有限个开集,它们的并集 \( {W}_{y} \) 是 \( X \times \{ y\} \) 的邻域. 由引理,有 \( y \) 的开邻域 \( {V}_{y} \) ,使得 \( X \times {V}_{y} \subset {W}_{y} \) ,因而 \( X \times {V}_{y} \) 被 \( \mathcal{U} \) 中有限个开集所覆盖. \( \left\{ {{V}_{y} \mid y \in Y}\right\} \) 是紧致空间 \( Y \) 的开覆盖,有子覆盖 \( \left\{ {{V}_{{y}_{1}},{V}_{{y}_{2}},\cdots ,{V}_{{y}_{n}}}\right\} \) ,即 \( X \times Y = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}\left( {X \times {V}_{{y}_{i}}}\right) \) , 其中每个 \( X \times {V}_{{y}_{i}} \) 都被 \( \mathcal{U} \) 中有限个开集覆盖. 于是 \( X \times Y \) 也被 \( \mathcal{U} \) 中有限个开集所覆盖,即 \( \mathcal{U} \) 有有限子覆盖.
定理的结论容易推广到有限乘积的情形. 对无穷乘积情形, 有 TuxohoB 定理: 如果规定 \( \mathop{\prod }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{X}_{\lambda } \) 上的拓扑是乘积拓扑,则当每个 \( {X}_{\lambda } \) 都紧致时, \( \mathop{\prod }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{X}_{\lambda } \) 也紧致. 这个定理的证明要用到 Zorn 引理或与之等价的逻辑命题. 这里省略了.
## *3. 6 局部紧致与仿紧
紧致性是一种很好的拓扑性质, 但它毕竟太强了, 连欧氏空间 \( {\mathbf{E}}^{n} \) 也不是紧致的. 现在介绍紧致性的两种推广: 局部紧致和仿紧. 它们在拓扑学以及微分几何等学科中都是较常用到的. 但在本书中它们用得很少或不用, 这里只介绍它们的定义和最基本的性质.
定义 2.4 拓扑空间 \( X \) 称为局部紧致的,如果 \( \forall x \in X \) 都有紧致的邻域.
显然,紧致空间是局部紧致的; \( {E}^{n} \) 也是局部紧致的.
下面讨论局部紧致和 \( {T}_{2} \) 公理配合的结果.
命题 2.20 设 \( X \) 是局部紧致的 Hausdorff 空间,则
（1） \( X \) 满足 \( {T}_{3} \) 公理;
（2） \( \forall x \in X, x \) 的紧致邻域构成它的邻域基;
（3） \( X \) 的开子集也是局部紧致的.
证明 (1) 设 \( x \in X, U \) 是 \( x \) 的开邻域. 要证明存在 \( x \) 的开邻域 \( V \) ,使得 \( \bar{V} \subset U \) .
取 \( x \) 的紧致邻域 \( F \) ,因为 \( F \) 是紧致 Hausdorff 空间,所以满足 \( {T}_{3} \) 公理. 在 \( F \) 中, \( F \cap U \) 是 \( x \) 的开邻域,因此有 \( F \) 中开集 \( W, x \in \) \( W \) ,并且 \( {\bar{W}}_{F} \subset F \cap U \subset U \) . 又因为 \( F \) 是 \( X \) 的闭集 (见命题 2.17 的推论),所以 \( {\bar{W}}_{F} = \bar{W} \) (见第一章 \( §1 \) 习题 12 中 (1)). 记 \( V = \overset{ \circ }{F} \cap \) \( W \) ,它是 \( X \) 的开集,且 \( x \in V,\bar{V} \subset \bar{W} \subset U.V \) 即为所求.
（2）设 \( x \in X, U \) 是 \( x \) 的开邻域. 要证明存在 \( x \) 的紧致邻域 \( C \) \( \subset U \) .
作 \( x \) 的紧致邻域 \( F \) ,则 \( F \cap U \) 是 \( x \) 的邻域. 因为 \( X \) 满足 \( {T}_{3} \) 公理,所以有 \( x \) 的邻域 \( V \) ,满足 \( \bar{V} \subset F \cap U \subset U \) . 令 \( C = \bar{V} \) ,它是紧致空间 \( F \) 的闭集,因此紧致. \( C \) 即为所求.
（3）从（2）直接推出.
拓扑空间 \( X \) 的覆盖 \( \mathcal{U} \) 称为局部有限的,如果 \( X \) 的每一点有邻域 \( V \) ,它只同 \( \mathcal{U} \) 中有限个成员相交.
设 \( \mathcal{U} \) 和 \( {\mathcal{U}}^{\prime } \) 都是 \( X \) 的覆盖,如果 \( {\mathcal{U}}^{\prime } \) 的每个成员都包含在 \( \mathcal{U} \) 的某个成员中,则称 \( {\mathcal{U}}^{\prime } \) 是 \( \mathca
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1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义
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定义 4.3
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定义 4.3 若 \( {\varphi }_{1}\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) \) 和 \( {\varphi }_{2}\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) \) 都是 \( g\left( \theta \right) \) 的估计量, 满足
\[
{E}_{\theta }{\left\lbrack {\varphi }_{1}\left( {X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\right) - g\left( \theta \right) \right\rbrack }^{2} \leq {E}_{\theta }{\left\lbrack {\varphi }_{2}\left( {X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\right) - g\left( \theta \right) \right\rbrack }^{2}
\]
(对一切 \( \theta \in \Theta \) ),且存在 \( {\theta }_{0} \in \Theta \) 使上式左端严格小于右端,则说 \( {\varphi }_{1} \) 比 \( {\varphi }_{2} \) 有效.
从定理 2.1,2.2 知 \( {\bar{X}}_{k} = \frac{1}{k}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{X}_{i}\left( {k \leq n}\right) \) 是 \( E\left( X\right) \) (即 \( {E}_{\theta }\left( X\right) \) ) 的无偏估计量,而且 \( {\bar{X}}_{k} \) 比 \( {\bar{X}}_{k - 1} \) 有效 (当 \( D\left( X\right) \neq 0 \) 时).
定义 4.4 如果 \( \varphi \left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) \) 是 \( g\left( \theta \right) \) 的无偏估计量,而且不存在无偏估计量比 \( \varphi \) 有效,则称 \( \varphi \) 是 \( g\left( \theta \right) \) 的最小方差无偏估计量.
“最小方差无偏估计量”就是一种最优的估计量, 可惜它有时并不存在. 还有别的优良性标准, 这里就不介绍了.
## 2. 方差的点估计
\( D\left( X\right) \) 是描述 \( X \) 取值的分散程度,也就是 \( X \) 取值偏离 \( E\left( X\right) \) 的程度. 设 \( X \) 的样本值是 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) ,这些数大小不一的程度 (分散性) 显然是反映了 \( X \) 取值的分散性. 怎样描写 \( n \) 个数 \( {x}_{1} \) , \( {x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 大小不一的程度呢? 我们说,可以用这样的量: \( \frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2} \) . 这个量越大,表明这组数很参差不齐; 这个量越小,就表明这组数大小差不多. 特别地,这 \( n \) 个数要是全相等, 则 \( \frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2} = 0 \) ,这是显而易见的. 为什么要除以 \( n - 1 \) 不除以 \( n \) 呢?这个道理见下面定理. 量 \( \frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2} \) 叫做 “样本方差”,记作 \( {S}^{2} \) 或小写的 \( {s}^{2} \) .
定理 4.3 设 \( X \) 的方差存在,则
\[
E\left( {S}^{2}\right) = D\left( X\right)
\]
证 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{X}_{i}^{2} - 2{X}_{i}\bar{X} + {\bar{X}}^{2}}\right) \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{t = 1}}^{n}{X}_{t}^{2} - 2\bar{X}\mathop{\sum }\limits_{{t = 1}}^{n}{X}_{t} + n{\bar{X}}^{2}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i}^{2} - n{\bar{X}}^{2}
\]
(4.3)
于是
\[
E\left( {S}^{2}\right) = E\left\lbrack {\frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2}}\right\rbrack
\]
\[
= \frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{1 = 1}}^{n}E\left( {X}_{1}^{2}\right) - \frac{n}{n - 1}E\left( {\bar{X}}^{2}\right)
\]
\[
= \frac{n}{n - 1}\left\lbrack {E\left( {X}^{2}\right) - E\left( {\bar{X}}^{2}\right) }\right\rbrack
\]
但 \( E\left( {\eta }^{2}\right) = D\left( \eta \right) + {\left( E\eta \right) }^{2} \) . 故
\[
E\left( {S}^{2}\right) = \frac{n}{n - 1}\left\{ {D\left( X\right) + {\left( EX\right) }^{2} - \left\lbrack {D\left( \bar{X}\right) + {\left( E\bar{X}\right) }^{2}}\right\rbrack }\right\}
\]
\[
= \frac{n}{n - 1}{\left\lbrack D\left( X\right) + {\left( EX\right) }^{2} - \frac{D\left( X\right) }{n} - {\left( EX\right) }^{2}\right\rbrack }^{2}
\]
\[
= D\left( X\right)
\]
这个定理告诉我们,用 \( {S}^{2} \) 估计方差 \( D\left( X\right) \) ,虽然有时大些、 有时小些,但没有 “系统偏差”. 如果采用估计量 \( \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}({X}_{t} - \) \( \bar{X}{)}^{2} \) ,则这个估计量的期望等于 \( \frac{n - 1}{n}D\left( X\right) \) ,总比 \( D\left( X\right) \) 小. 不过 \( n \) 比较大时,这个估计量与 \( {S}^{2} \) 差异就不大了. 所以在 \( n \) 比较大时,也常采用 \( \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2} \) 作为 \( D\left( X\right) \) 的估计量.
## 3. 标准差的估计
如何估计总体的 “标准差” \( \sqrt{D\left( X\right) } \) (常记作 \( \sigma \) ) 呢? 既然 \( {S}^{2} = \) \( \frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2} \) 是方差 \( D\left( X\right) \) 的无偏估计量,自然想到用“样本标准差” \( S \triangleq \sqrt{\frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2}} \) 作为 \( \sqrt{D\left( X\right) } \) 的估计量. 可以用这个办法估计 \( \sqrt{D\left( X\right) } \) ,但要注意的是, \( S \) 一般不是 \( \sqrt{D\left( X\right) } \) 的无偏估计量. 实际上, 对于正态总体(利用附录二定理 5 的系) 可以证明
\[
E\left\lbrack {\frac{\Gamma \left( \frac{n - 1}{2}\right) \sqrt{n - 1}}{\Gamma \left( \frac{n}{2}\right) \sqrt{2}}S}\right\rbrack = \sqrt{D\left( X\right) } = \sigma
\]
换句话说, \( \frac{\Gamma \left( \frac{n - 1}{2}\right) \sqrt{n - 1}}{\Gamma \left( \frac{n}{2}\right) \sqrt{2}}S \) 才是 \( \sigma \) 的无偏估计量. (在应用中将 \( S \) 前面的系数的数值列成表,以便查用.)
4. 样本平均值 \( \bar{x} \) 及样本方差 \( {S}^{2} \) 的简化算法
当样本量 \( n \) 很大时,如何计算出 \( \bar{x},{S}^{2} \) 很值得考究. 技巧运用得好, 既省事又准确. 下面介绍一种有用的笔算法.
例 4.1 设有下列样本值:
\[
\text{0.497,0.506,0.518,0.524,0.488}
\]
\[
\text{0.510,0.510,0.515,0.512}
\]
求 \( \bar{x} \) 和 \( {S}^{2} \) .
解 令 \( {y}_{t} = {x}_{t} \times {1000} - {500} \) ,则 \( {y}_{t}\left( {i = 1,2,\cdots ,9}\right) \) 为 \( - 3,6 \) , \( {18},{24}, - {12},{10},{10},{15},{12} \) .
这些数是绝对值较小的整数, 便于计算, 易知
\[
\bar{y} = \frac{1}{9}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{9}{y}_{i} = \frac{80}{9} = {8.9}
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{9}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{9}{y}_{i}^{2} - \frac{1}{9}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{9}{y}_{i}\right) }^{2}
\]
\[
= \left\lbrack {{\left( -1\right) }^{2} + {6}^{2} + \cdots + {12}^{2}}\right\rbrack - \frac{{80}^{2}}{9}
\]
\[
= {946.9}
\]
容易求得 \( {}^{\left( 1\right) } \) :
\[
\bar{x} = \frac{{500} + \bar{y}}{1000} = \frac{{500} + {8.9}}{1000} = {0.5089}
\]
\[
{s}^{2} = \frac{1}{{1000}^{2}} \cdot \frac{1}{9 - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{9}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}
\]
\[
= \frac{1}{{10}^{6}} \cdot \frac{1}{8} \cdot {946.9}
\]
\[
= {0.000118}
\]
作为本节的末尾, 我们来简略地介绍一下所谓矩估计法 (简称矩法).
设随机变量 \( X \) 的分布密度是 \( p\left( {x;{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right) \) ,当然 \( X \) 的 \( k \) 阶原点矩 \( {\nu }_{k} = E\left( {X}^{k}\right) \) 也是 \( {\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m} \) 的函数,记 \( {g}_{k}\left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{\theta }_{m}}\right) = E\left( {X}^{k}\right) \left( {k = 1,2,\cdots, m}\right) \) . 假定从方程组:
\[
\left\{ \begin{array}{l} {g}_{1}\left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right) = {\nu }_{1} \\ {g}_{2}\left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right) = {\nu }_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {g}_{m}\left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right) = {\nu }_{m} \end{array}\right.
\]
① 我们用到下列事实: 若 \( {y}_{t} = {bx}, - a\left( {b \neq 0, i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,则
\[
\frac{\mathop{\sum }\limits_{1}^{n}{x}_{1}}{n} = \frac{1}{b}\left( {\frac{\mathop{\sum }\limits_{1}^{n}{y}_{1}}{n} + a}\right)
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{1}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2} = \frac{1}{{b}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{1}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}
\]
可求出:
\[
\left\{ \begin{array}{l} {\theta }_{1} = {f}_{1}\left( {{\nu }_{1},{\nu }_{2},\cdots ,{\nu }_{m}}\right) \\ {\theta }_{2} = {f}_{2}\left( {{\nu }_{1},{\nu }_{2},\cdots ,{\nu }_{m}}\right) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\theta }_{m} = {f}_{m}\left( {{\nu }_{1},{\nu }_{2},\cdots ,{\nu }_{m}}\right) \end{array}\right.
\]
设 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 是 \( X \) 的样本值,用
\[
{\widehat{\nu }}_{k} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}^{k}
\]
来估计 \( {\nu }_{k}\left( {k = 1,2,\cdots, m}\right) \) . 然后,用
\[
{\dot{\theta }}_{k} = {f}_{k}\left( {{\widehat{\nu }}_{1},{\widehat{\nu }}_{2},\cdots ,{\widehat{\nu }}_{m}}\right)
\]
来估计 \( {\theta }_{k}\left( {k = 1,2,\cdots, m}\right) \) .
这种估计未知参数的办法叫做矩估计法. (刚才考虑的是原点矩,某些 \( {\nu }_{k} \) 也可用中心矩 \( {\mu }_{k} = E{\left\lbrack X - E\left( X\right) \right\rbrack }^{k} \) 代替,然后进行相类似的讨论, 仍称矩法.)
例 4.2 设 \( X \sim N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right) ,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 是其样本值. 求 \( \mu \) , \( {\sigma }^{2} \) 的矩估计量.
解 易知 \( {\nu }_{1} = E\left( X\right) = \mu ,{\nu }_{2} = E\left( {X}^{2}\right) = {\sigma }^{2} + {\mu }^{2} \) ,由这两个方程解得
\[
\left\{ \begin{array}{l} \mu = {\nu }_{1} \\ {\sigma }^{2} = {\nu }_{2} - {\nu }_{1}^{2} \end{array}\right.
\]
\( \left( {4.4}\right) \)
用 \( {\widehat{\nu }}_{1} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i} \) 和 \( {\widehat{\nu }}_{2} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}^{2} \) 分别估计 \( {\nu }_{1} \) 和 \( {\nu }_{2} \) ,代入 (4.4) 就可得到 \( \mu ,{\sigma }^{2} \) 的矩估计量:
\[
\widehat{\mu } = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i} = \bar{x}
\]
\[
{\widehat{\sigma }}^{2} = {\widehat{\nu }}_{2} - {\widehat{\nu }}_{1}^{2} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}^{2} - {\left( \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}\right) }^{2}
\]
\[
= \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}
\]
对于正态分布的参数 \( \mu \) 和 \( {\sigma }^{2} \) 来说,矩估计量和最大似然估计量完全相同. 但对不少分布, 它们并不一样, 通常用矩法估计参数较方便,但样本量 \( n \) 较大时,矩估计量的精度一般不及最大似然估计量的高.
例 4.3 设 \( X \) 的密度函数是
\[
p\left( {x,\theta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\theta } & 0 \leq x \leq \theta \\ 0 & \text{ 其他 } \end{array}\right.
\]
这里 \( \theta \) 是未知的正数. 设 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 是 \( X \) 的样本. 不难看出 \( E\left( X\right) = \frac{\theta }{2} \) . 故 \( \theta \) 的矩估计 \( \widetilde{\theta } = \frac{2}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i} \) ,可以证明, \( \widetilde{\theta } \) 与 \( \widehat{\theta } \) 并不一样.
*例 4.4 台风可以引起内陆降雨. 下列 36 个数是 24 小时降雨量的实际观测数据 (单位: \( \mathrm{{mm}} \) ):
\[
{31.00},{2.82},{3.98},{4.02},{9.50},{4.50},{11.40}\text{,}
\]
\[
{10.71},{6.31},{4.95},{5.64},{5.51},{13.40},{9.72}\text{,}
\]
\[
{6.47},{10.16},{4.21},{11.60},{4.75},{6.85},{6.25}\text{,}
\]
\[
{3.42},{11.80},{0.80},{3.69},{3.10},{22.22},{7.43}\text{,}
\]
\( {5.00},{4.58},{4.46},{8.00},{3.73},{3.50},{6.20},{0.67} \)
凭以往知识知道这种降雨量一般服从 \( \Gamma \) 分布,其分布密度为
\[
p\left( {x;\alpha ,\beta }\right) = \left\{ \
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1990_实用数学手册
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定义 1
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定义 1 方程组.
\[
\frac{d{x}_{1}}{{X}_{1}} = \frac{d{x}_{2}}{{X}_{2}} = \cdots = \frac{d{x}_{n}}{{X}_{n}}
\]
\( \left( {{9.2} - 2}\right) \)
称为方程 (9.2-1) 的特征方程组. 如果曲线 \( l : {x}_{i} = {x}_{i}\left( t\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 满足特征方程组,则称曲线 \( l \) 为方程 (9.2-1) 的特征曲线 (或简称特征).
定义 2 如果函数 \( \psi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 沿特征方程组的任一特征曲线
\[
{x}_{i} = {x}_{i}\left( t\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right)
\]
取常数值, 即
\[
\psi \left( {{x}_{1}\left( t\right) ,{x}_{2}\left( t\right) ,\cdots ,{x}_{n}\left( t\right) }\right) = c,
\]
则称函数 \( \psi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 为特征方程组的一个首次积分.
定理 1 连续可微函数 \( u = \psi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 是一阶线性齐次方程 (9.2-1) 的解当且仅当它是特征方程组 (9.2-2) 的首次积分.
定理 2 设 \( {\psi }_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,\cdots ,{\psi }_{n - 1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 是特征方程组 (9.2-2) 的在 \( D \) 上的 \( n - 1 \) 个连续可微且无关的 (参看 6.2.3) 的首次积分,则
\[
u = \Phi \left( {{\psi }_{1},{\psi }_{2},\cdots ,{\psi }_{n - 1}}\right)
\]
\( \left( {{9.2} - 3}\right) \)
为线性齐次方程 (9.2-1) 的通解,其中 \( \Phi \) 为 \( n - 1 \) 个变量的任意连续可微函数.
例 1 求方程 \( {xz}\frac{\partial u}{\partial x} + {yz}\frac{\partial u}{\partial y} - \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \) 的通解.
方程所对应的特征方程组为
\[
\frac{dx}{xz} = \frac{dy}{yz} = - \frac{dz}{{x}^{2} + {y}^{2}}
\]
其两个无关的首次积分是
\[
{\psi }_{1}\left( {x, y}\right) = \frac{y}{x},{\psi }_{2}\left( {x, y}\right) = {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}.
\]
故
\[
u\left( {x, y}\right) = \Phi \left( {\frac{y}{x},{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right)
\]
为所给方程的通解,其中 \( \Phi \) 为任意函数.
## 9.2.2 一阶拟线性偏微分方程
一阶拟线性偏微分方程的一般形式为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{P}_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} = R\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) ,
\]
\( \left( {{9.2} - 4}\right) \)
其中 \( {P}_{i} \) 和 \( R \) 都是在 \( n + 1 \) 维空间区域 \( D \) 内的连续可微函数,且 \( {P}_{i} \) 不同时为零.
## 1. 一阶拟线性方程的通解
设由方程
\[
V\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) = 0
\]
所确定的函数 \( u \) 为方程 (9.2-4) 的解,于是
\[
\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} = - \frac{\partial V}{\partial {x}_{i}}/\frac{\partial V}{\partial u}\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
代人方程 (9.2-4),即化为对 \( V \) 的线性齐次方程:
\[
{P}_{1}\frac{\partial V}{\partial {x}_{1}} + {P}_{2}\frac{\partial V}{\partial {x}_{2}} + \cdots + {P}_{n}\frac{\partial V}{\partial {x}_{n}} + R\frac{\partial V}{\partial u} = 0.
\]
(9. 2-5)
设 \( {\psi }_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 为 (9.2-5) 的特征方程组的 \( n \) 个彼此无关的首次积分,则对于任意连续可微的函数 \( \Phi \) ,由隐式
\[
\Phi \left( {{\psi }_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) ,\cdots ,{\psi }_{n}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) }\right) = 0
\]
\( \left( {{9.2} - 6}\right) \)
所确定的函数 \( u \) 为方程 (9.2-4) 的通解.
## 2. 含有两个自变量的一阶拟线性方程的几何理论
（1）特征线与积分曲面
解方程
\[
P\left( {x, y, z}\right) {z}_{x} + Q\left( {x, y, z}\right) {z}_{y} - R\left( {x, y, z}\right) = 0,
\]
(9. 2-7)
即是求积分曲面 \( z = z\left( {x, y}\right) \) ,方程中的 \( P, Q, R \) 确定了一个向量场
\[
\mathbf{F} = P\left( {x, y, z}\right) \mathbf{i} + Q\left( {x, y, z}\right) \mathbf{j} + R\left( {x, y, z}\right) \mathbf{k},
\]
于是 (9.2-7) 表示积分曲面上点 \( \left( {x, y, z}\right) \) 处的法向量 \( \mathbf{n} = \left\{ {{z}_{x},{z}_{y}, - 1}\right\} \) 和在该点的向量 \( \mathbf{F} \) 正交. 而由特征方程组
\[
\frac{dx}{ds} = P\left( {x, y, z}\right) ,\frac{dy}{ds} = Q\left( {x, y, z}\right) ,\frac{dz}{ds} = R\left( {x, y, z}\right)
\]
\( \left( {{9.2} - 8}\right) \)
所解出的过点 \( \left( {x, y, z}\right) \) 的特征线恰与向量场 \( \mathbf{F} \) 在该点的方向相一致. 因此特征线分布在积分曲面上. 由特征线族构成的曲面一定是积分曲面. 反之, 积分曲面一定由特征线族所组成.
## （2）柯西问题
求方程 (9.2-7) 通过给定曲线 \( C : x = x\left( t\right), y = y\left( t\right), z = z\left( t\right) \) 的积分曲面的问题称为该方程的柯西问题,曲线 \( C \) 称为初始曲线. 问题的解法是通过初始曲线 \( C \) 上每一点作特征线, 由此得到单参数的特征线族
\[
x = x\left( {s, t}\right), y = y\left( {s, t}\right), z = z\left( {s, t}\right) .
\]
\( \left( {{9.2} - 9}\right) \)
如果用 (9.2-9) 的前两个方程能将 \( s, t \) 用 \( x, y \) 表示:
\[
s = s\left( {x, y}\right), t = t\left( {x, y}\right) ,
\]
则特征曲线族即形成一张积分曲面. 因此柯西问题有唯一解的充分条件是沿曲线 \( C \) 的雅可比行列式
\[
\frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {s, t}\right) } = {x}_{s}{y}_{t} - {y}_{t}{x}_{t} = P{y}_{t} - Q{x}_{t} \neq 0,
\]
这时初始曲线 \( C \) 不是特征线. 若在 \( C \) 上 \( \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {s, t}\right) } \equiv 0 \) ,则问题可能无解,在问题有解的情况下,初始曲线 \( C \) 本身就是特征线. 这时过曲线 \( C \) 的积分曲面有无穷多张.
例 2 求方程 \( \left( {1 + \sqrt{z - x - y}}\right) {z}_{x} + {z}_{y} - 2 = 0 \) 通过曲线
\[
C : x = t, y = 0, z = {2t}
\]
的积分曲面.
由于 \( P{y}_{t} - Q{x}_{t} = - 1 \neq 0 \) ,此柯西问题有唯一解. 这里特征方程组为
\[
\frac{dx}{ds} = 1 + \sqrt{z - x - y},\frac{dy}{ds} = 1,\frac{dz}{ds} = 2.
\]
解之, 得
\[
y = s + {C}_{1}, z = {2s} + {C}_{2},2\sqrt{z - x - y} + s = {C}_{3}.
\]
把初始条件 \( x\left( 0\right) = t, y\left( 0\right) = 0, z\left( 0\right) = {2t} \) 代人,得
\[
{C}_{1} = 0,{C}_{2} = {2t},{C}_{3} = 2\sqrt{t}.
\]
于是得积分曲面的参数方程:
\[
\left\{ \begin{array}{l} y = s, \\ z = 2\left( {s + t}\right) , \\ 2\sqrt{z - x - y} + s = 2\sqrt{t}. \end{array}\right.
\]
## 9.2.3 一阶非线性偏微分方程
考虑含两个自变量的一阶非线性偏微分方程
\[
F\left( {x, y, z, p, q}\right) = 0,
\]
(9. 2-10)
其中
\[
p = \frac{\partial z}{\partial x}, q = \frac{\partial z}{\partial y}
\]
1. 含两个相容的一阶方程的方程组
对于
\[
\left\{ \begin{array}{l} F\left( {x, y, z, p, q}\right) = 0 \\ G\left( {x, y, z, p, q}\right) = 0 \end{array}\right.
\]
(9. 2-11)
假定在被考查的区域内 \( \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, q}\right) } \neq 0 \) ,则由 (9.2-11) 解得
\[
\left\{ \begin{array}{l} p = f\left( {x, y, z}\right) \\ q = g\left( {x, y, z}\right) \end{array}\right.
\]
(9. 2-12)
若 \( \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z},\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial z} \) 存在且连续,则可得出方程组 (9.2-12) 相容的 (即方程组有解) 必要充分条件为
\[
\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}g = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial z}f
\]
(9. 2-13)
这时,先积分 (9.2-12) 的第一个方程,暂把 \( y \) 视作参数,设所得解的形式为 \( z = \) \( \varphi \left( {x, y, c\left( y\right) }\right) \) ,其中 \( c\left( y\right) \) 为任意函数,再把此解代入 (9.2-12) 的第二个方程,由此可确定 \( c\left( y\right), c\left( y\right) \) 中含一任意常数,于是 \( z = \varphi \left( {x, y, c\left( y\right) }\right) \) 为方程组 (9.2-12) 的解.
## 2. 普法夫方程
方程
\[
P\left( {x, y, z}\right) {dx} + Q\left( {x, y, z}\right) {dy} + R\left( {x, y, z}\right) {dz} = 0
\]
(9. 2-14)
称为普法夫方程. 其中 \( P, Q, R \) 在所考查的区域 \( D \) 内连续可微,且不同时为零.
假定 \( R \neq 0 \) ,则 (9.2-14) 可写成
\[
{dz} = - \frac{P}{R}{dx} - \frac{Q}{R}{dy}
\]
于是得方程组:
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{P}{R}, \\ \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{Q}{R}, \end{array}\right.
\]
使其相容的必要充分条件为
\[
P\left( {\frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y}}\right) + Q\left( {\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}}\right) + R\left( {\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}\right) = 0.
\]
(9. 2-15)
当条件 (9.2-15) 成立时, 称普法夫方程是完全可积的.
对于完全可积的普法夫方程,总有积分因子 \( \mu \) 存在,方程 (9.2-14) 乘上 \( \mu \) 后成为一个全微分方程
\[
{dU} = \mu \left( {{Pdx} + {Qdy} + {Rdz}}\right) = 0,
\]
从而得出方程 (9.2-14) 的通解为 \( U\left( {x, y, z}\right) = C \) .
特别地,当 \( \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \) 时,这时普法夫方程本身就是一个全微分方程.
完全可积的普法夫方程的积分曲面族与向量场 \( \mathbf{F} = \{ P, Q, R\} \) 正交. 例如在引力场或电场中, 常要研究等位面, 而等位面就是与力线或电力线正交的曲面. 因此普法夫方程在物理学中是有用的.
## 3. 一阶偏微分方程的完全解. 通解. 奇解
定义 3 方程(9.2-10)的含有两个独立的任意常数的解称为完全解或者全解.
完全解的隐式写作
\[
V\left( {x, y, z, a, b}\right) = 0.
\]
(9. 2-16)
方程 (9.2-10) 的一切解可以从完全解中用常数变易法得到. 即在完全解的隐式 (9.2-16) 中设 \( a, b \) 为 \( x, y \) 的函数,将 \( V\left( {x, y, z, a, b}\right) = 0 \) 分别对 \( x \) 和 \( y \) 求偏导数:
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial V}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial x} = 0, \\ \frac{\partial V}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial y} + \frac{\partial V}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial y} = 0. \end{array}\right.
\]
(9. 2-17)
再与 \( V = 0 \) 联立,便可确定出 \( a, b \) . 于是,可分下面三种情况:
（1）当 \( V = 0,\frac{\partial V}{\partial a} = 0,\frac{\partial V}{\partial b} = 0 \) 成立时,可确定出不含任意常数的解 \( z \) ,这样的解称为方程(9.2-10)的奇解.
（2）当 \( \frac{\partial V}{\partial a},\frac{\partial V}{\partial b} \) 不同时为零时,则由 (9.2-17) 可知雅可比行列式
\[
\frac{\partial \left( {a, b}\right) }{\partial \left( {x, y}\right) } = 0.
\]
若
\[
\frac{\partial a}{\partial x} = \frac{\partial a}{\partial y} = \frac{\partial b}{\partial x} = \frac{\partial b}{\partial y} = 0,
\]
于是 \( a, b \) 为常数,则得完全解 (9.2-16).
（3）当 \( \frac{\partial \left( {a, b}\right) }{\partial \left( {x, y}\right) } = 0 \) ,而行列式中元素不全为零时,则 \( a \) 与 \( b \) 之间存在函数关系,设 \( b = \varphi \left( a\right) \) ,于是得到
\[
\left\{ \begin{array}{l} V\left( {x, y, z, a,\varphi \left( a\right) }\right) = 0, \\ \frac{\partial V}{\partial a} + \frac{\partial V}{\partial b}{\varphi }^{\prime }\left( a\right) = 0. \end{array}\right.
\]
消去 \( a, b \) 即可得出方程 (9.2-10) 的解 \( z \) . 它不包含任意常数而含有一任意函数 \( \varphi \) . 这样的解称为方程(9.2-10)的通解. 通解中所包含的各个解 (给定特殊的 \( \varphi \) ) 称为特解.
因此, 只要知道方程 (9.2-10) 的完全解, 就可得到它的一切解. 为求完全解, 可用下述拉格朗日-沙比方法.
设给定一阶方程
\[
F\left( {x, y, z, p, q}\right) = 0,
\]
(9. 2-10)
再假定含有任意常数 \( a \) 的另一个方程
\[
G\left( {x, y, z, p, q}\right) = a,
\]
(9. 2-18)
使 (9.2-10),(9.2-18) 满足相容性条件,于是得出关于 \( G \) 的一阶线性齐次方程:
\[
{F}_{p}{G}_{x} + {F}_{q}{G}_{y} + \left( {p{F}_{p} + q{F}_{q}}\right) {G}_{z} - \left( {{F}_{x} + p{F}_{z}}\right) {G}_{p}
\]
\[
- \left( {{F}_{y} + q{F}_{z}}\right) {G}_{q} = 0.
\]
\( \left( {{9.2} - {19}}\right) \)
求出 (9.2-19) 的特征方程组的一个使 \( \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, q}\right) } \neq 0 \) 的首次积分
\[
G\left( {x, y, z, p, q}\right) ,
\]
以此作为方程 (9.2-18) 的左端, 然后联立 (9.2-10) 和 (9.2-18), 解得
\[
p
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1490_值分布论及其新研究(杨乐)
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定义 8.3
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定义 8.3. 设 \( f\left( z\right) \) 于开平面亚纯,下级 \( \mu \) 有穷, \( \left( {r}_{i}\right) \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一列 \( \mu \) 级 Pólya 峰. 又设 \( \Lambda \left( r\right) \) 为一正值函数适合
\[
\Lambda \left( r\right) = o\left( {T\left( {r, f}\right) }\right) \;\left( {r \rightarrow \infty }\right) .
\]
(8.3.1)
对于每个 \( r \) ,在 \( ( - \pi ,\pi \rbrack \) 上确定辐角值的集合 \( {E}_{A}\left( {r, a}\right) \) 使得
\[
{E}_{A}\left( {r, a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \left( {\theta : \left| {f\left( {r{e}^{i\theta }}\right) - a}\right| < {e}^{-A\left( r\right) }}\right) & a \neq \infty , \\ \left( {\theta : \left| {f\left( {r{e}^{i\theta }}\right) }\right| > {e}^{A\left( r\right) }}\right) & a = \infty . \end{array}\right.
\]
\( \left( {8.3.2}\right) \)
再置
以及
\[
{\sigma }_{\Delta }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{\frac{1}{i \rightarrow \infty }}\operatorname{mes}{E}_{\Delta }\left( {{r}_{i}, a}\right)
\]
(8.3.3)
\[
\sigma \left( a\right) = \mathop{\operatorname{Inf}}\limits_{A}{\sigma }_{A}\left( a\right) .
\]
\( \left( {8.3.4}\right) \)
这里的下确界是对满足条件(8.3.1)的所有的函数 \( \Lambda \left( r\right) \) 取的. \( \sigma \left( a\right) \) 称为函数 \( f\left( z\right) \) 关于值 \( a \) 的展布.
为了以下证明展布关系的需要, 我们来计算一个积分.
若 \( 0 < \tau < 1, P\left( {t, r,\theta }\right) = \frac{1}{\pi } \cdot \frac{r\sin \theta }{{t}^{2} + {2tr}\cos \theta + {r}^{2}} \) , 则
\[
{\int }_{0}^{\infty }{t}^{t}P\left( {t,1,\theta }\right) {dt} = \frac{\sin {t\theta }}{\sin {t\pi }}
\]
\( \left( {8.3.5}\right) \)
事实上取被积函数为
\[
\frac{1}{z} \cdot \frac{{z}^{2}\sin \theta }{{z}^{2} + {2z}\cos \theta + 1}
\]
取闭围线 \( \Gamma \) 如下图所示. \( {z}^{2} + {2z}\cos \theta + 1 = 0 \) 有二根 \( {z}_{1} = \) \( - {e}^{i\theta },{z}_{2} = - {e}^{-{i\theta }} \) 由残数定理有
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{\Gamma {z}^{2}}\frac{{z}^{z}\sin \theta }{{2z}\cos \theta + 1}{dz} = {2i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{2}\left( {{\operatorname{Res}}_{z = {z}_{k}}\frac{{z}^{z}\sin \theta }{{z}^{2} + {2z}\cos \theta + 1}}\right) .
\]
容易看出,当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,在 \( {\Gamma }_{s} \) 上的积分趋向于 0 ; 当 \( R \rightarrow \infty \) 时, 在 \( {\Gamma }_{R} \) 上的积分也趋向于 0 . 因此
\[
\frac{1}{\pi }\left\{ {{\int }_{0}^{\infty }\frac{{t}^{\tau }\sin \theta }{{t}^{2} + {2t}\cos \theta + 1}{dt} + {\int }_{\infty }^{0}\frac{{\left( t{e}^{2\pi t}\right) }^{\tau }\sin \theta }{{t}^{2} + {2t}\cos \theta + 1}{dt}}\right\}
\]
\[
= {2i}\frac{\left\{ -{\left( -{e}^{i\theta }\right) }^{t} + {\left( -{e}^{-{i\theta }}\right) }^{t}\right\} }{{e}^{i\theta } - {e}^{-{i\theta }}}\sin \theta .
\]
从而便有(8.3.5)
## 8.3.2. 展布关系
1965 年 A. Edrei \( {}^{\left\lbrack 3\right\rbrack } \) 曾猜测下述定理应该成立. 1973 年 A. Baernstein \( {}^{\left\lbrack t\right\rbrack } \) 给出了完全的证明.
定理 8.4. 设 \( f\left( z\right) \) 于开平面亚纯,下级 \( \mu \) 为有穷正数 \( {}^{1} \) . 若复数 \( a \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一个亏值,亏量为 \( \delta \left( {a, f}\right) \) ,则由定义 8.3 确定的 \( \sigma \left( a\right) \) 有
---
1) 当 \( \mu = 0 \) 时,可以证明 \( \sigma \left( a\right) = {2\pi } \) (例如参阅 Hayman [2]119 页),定理 8.4 也成立.
---
\[
\sigma \left( a\right) \geq \min \left\{ {{2\pi },\frac{4}{\mu }\arcsin \sqrt{\frac{\delta \left( {a, f}\right) }{2}}}\right\} .
\]
\( \left( {8,3,6}\right) \)
通常称 \( \left( {8.3.6}\right) \) 为展布关系.
证. 先考虑
\[
0 < \frac{4}{\mu }\arcsin \sqrt{\frac{\delta \left( {a, f}\right) }{2}} < {2\pi }
\]
(8.3.7)
的情况.
不失普遍性, 可以假设
\[
f\left( 0\right) = 1,\;a = \infty .
\]
(8.3.8)
当 \( \left( {8.3.8}\right) \) 不成立时,若 \( a \neq \infty \) ,则命
\[
g\left( z\right) = \frac{1}{f\left( z\right) - a}.
\]
若 \( f\left( 0\right) \neq 1 \) ,则适当选取整数 \( k \) 与常数 \( c \) 使
\[
f\left( z\right) = c{z}^{k}h\left( z\right) ,\;h\left( 0\right) = 1.
\]
由(8.3.7)有 \( \mu > 0 \) ,于是
\[
T\left( {r, f}\right) \sim T\left( {r, g}\right) \sim T\left( {r, h}\right) ,\;r \rightarrow \infty .
\]
从而 \( f\left( z\right), g\left( z\right), h\left( z\right) \) 具有相同的下级 \( \mu \) 和相同的 Pólya 峰. 这
时有
\[
{E}_{A}\left( {r, a;f}\right) = {E}_{A}\left( {r,\infty ;g}\right)
\]
以及
\[
{E}_{A}\left( {r,\infty ;f}\right) = {E}_{{A}_{1}}\left( {r,\infty ;h}\right) ,
\]
其中 \( {A}_{1}\left( r\right) = A\left( r\right) - k\log r - \log \left| c\right| \) . 而当 \( r \rightarrow \infty \) 时,
\[
\Lambda \left( r\right) = o\left( {T\left( {r, f}\right) }\right) \Leftrightarrow \Lambda \left( r\right) = o\left( {T\left( {r, g}\right) }\right)
\]
\[
\Leftrightarrow {\Lambda }_{1}\left( r\right) = o\left( {T\left( {r, h}\right) }\right) .
\]
于是
\[
\sigma \left( {a, f}\right) = \sigma \left( {\infty, g}\right) ,\;\sigma \left( {\infty, f}\right) = \sigma \left( {\infty, h}\right) .
\]
同时不难看出 \( \delta \left( {a, f}\right) = \delta \left( {\infty, g}\right) ,\delta \left( {\infty, f}\right) = \delta \left( {\infty, h}\right) \) .
这就表明无妨假定(8.3.8)成立.
记
\[
r = \frac{2}{\pi \mu }\arcsin \sqrt{\frac{\delta \left( {\infty, f}\right) }{2}}
\]
则 \( 0 < r < 1 \) . 设 \( \Lambda \left( r\right) \) 是适合(8.3.1)的一个正值函数,置
\[
{\sigma }_{j} = \operatorname{mes}{E}_{A}\left( {{r}_{j},\infty }\right) ,
\]
我们将证明
\[
\mathop{\lim }\limits_{{j \rightarrow \infty }}{\sigma }_{j} \geq {2\pi \gamma }
\]
\( \left( {8.3.9}\right) \)
若记
\[
{E}_{0}\left( r\right) = \left\{ {\theta : \left| {f\left( {r{e}^{i\theta }}\right) }\right| \geq 1}\right\} ,
\]
\[
{E}^{c}\left( r\right) = \left\{ {\theta : 1 \leq \left| {f\left( {r{e}^{i\theta }}\right) }\right| \leq {e}^{A\left( r\right) }}\right\} ,
\]
则
\[
T\left( {{r}_{i}, f}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{{E}_{0}\left( {r}_{i}\right) }\log \left| {f\left( {{r}_{i}{e}^{i\theta }}\right) }\right| {d\theta } + N\left( {{r}_{i}, f}\right)
\]
\[
= \frac{1}{2\pi }{\int }_{{E}_{A}\left( {{r}_{i},\infty }\right) }\log \left| {f\left( {{r}_{i}{e}^{i\theta }}\right) }\right| {d\theta } + N\left( {{r}_{i}, f}\right)
\]
\[
+ \frac{1}{2\pi }{\int }_{{E}^{c}\left( {r}_{i}\right) }\log \left| {f\left( {{r}_{i}{e}^{i\theta }}\right) }\right| {d\theta }
\]
\[
\leq {T}^{ * }\left( {{r}_{i}{e}^{\frac{1}{2}i{\sigma }_{i}}}\right) + \Lambda \left( {r}_{i}\right) .
\]
结合 \( {T}^{ * }\left( z\right) \leq T\left( {\left| z\right|, f}\right) \) 便有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{j \rightarrow \infty }}\frac{{T}^{ * }\left( {{r}_{j}{e}^{\frac{1}{2}i{\sigma }_{j}}}\right) }{T\left( {{r}_{j}, f}\right) } = 1
\]
(8.3.10)
再置
\[
v\left( z\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & z = 0, \\ {T}^{ * }\left( {z}^{\gamma }\right) & z \neq 0,\operatorname{Im}z \geq 0. \end{array}\right.
\]
(8.3.11)
于是 \( v\left( z\right) \) 在 \( \operatorname{Im}z > 0 \) 下调和,且连续到边界上. 考虑区域
\[
{D}_{R} = \left\{ {z = r{e}^{i\theta } : 0 < r < R,0 < \theta < x}\right\} .
\]
用 \( v\left( z\right) \) 在 \( {D}_{R} \) 的边界上的值作调和函数 \( h\left( z\right) \) ,
\[
h\left( z\right) = {\int }_{-R}^{R}v\left( t\right) A\left( {t, r,\theta, R}\right) {dt}
\]
\[
+ {\int }_{0}^{x}v\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) B\left( {\varphi, r,\theta, R}\right) {d\varphi },
\]
其中 \( {}^{1} \)
1) 关于半圆内调和函数的公式可参阅 ForbAGepr 与 OctpoackMi[1,16页]
\[
A\left( {t, r,\theta, R}\right) = \frac{1}{\pi }\frac{t\sin \theta }{{t}^{2} - {2tr}\cos \theta + {r}^{2}}
\]
\[
\sim \frac{1}{\pi }\frac{{R}^{2}r\sin \theta }{{R}^{4} - {2rt}{R}^{2}\cos \theta + {r}^{2}{t}^{2}},
\]
\[
B\left( {\varphi, r,\theta, R}\right) = \frac{{2Rr}\sin \theta }{\pi }\frac{\left( {{R}^{2} - {r}^{2}}\right) \sin \varphi }{{\left| {R}^{2}{e}^{2i\varphi } - 2rR{e}^{i\varphi }\cos \theta + {r}^{2}\right| }^{2}}.
\]
显然在 \( {D}_{R} \) 内部应有 \( v\left( z\right) \leq h\left( z\right) \) .
在 \( t > 0 \) 时,由(8.3.11) 与 \( {T}^{ * } \) 函数的定义有
\[
v\left( t\right) = {T}^{ * }\left( {t}^{r}\right) = N\left( {{t}^{r}, f}\right) ,
\]
\[
v\left( {-t}\right) = v\left( {t{e}^{t\pi }}\right) = {T}^{ * }\left( {{t}^{r}{e}^{t\gamma \pi }}\right) \leq T\left( {{t}^{r}, f}\right) ,
\]
以及当 \( 0 \leq \varphi \leq \pi \) 时有
\[
\nu \left( {R{e}^{i\varphi }}\right) = {T}^{ * }\left( {{R}^{\gamma }{e}^{i\gamma \pi }}\right) \leq T\left( {R}^{\gamma }\right) .
\]
注意 Poisson 核 \( A \) 和 \( B \) 都是正的,于是当 \( r{e}^{i\theta } \in {D}_{R} \) 时有
\[
v\left( {r{e}^{i\theta }}\right) \leq {\int }_{0}^{R}N\left( {{t}^{r}, f}\right) A\left( {t, r,\theta, R}\right) {dt}
\]
\[
+ {\int }_{0}^{R}T\left( {{t}^{t}, f}\right) A\left( {-t, r,\theta, R}\right) {dt}
\]
\[
+ T\left( {{R}^{\gamma }, f}\right) {\int }_{0}^{\pi }B\left( {\varphi, r,\theta, R}\right) {d\varphi }.
\]
\( \left( {8,3,{12}}\right) \)
从
\[
{\left| {R}^{2}{e}^{2i\varphi } - 2rR{e}^{i\varphi }\cos \theta + {r}^{2}\right| }^{2} = {\left| \left( R{e}^{i\varphi } - r{e}^{i\theta }\right) \left( R{e}^{i\varphi } - r{e}^{-{i\theta }}\right) \right| }^{2}
\]
\[
\geq {\left( R - r\right) }^{4} > \frac{{R}^{4}}{16}\;\left( {0 < r < \frac{R}{2}}\right) .
\]
可知
\[
B\left( {\varphi, r,\theta, R}\right) < \frac{32r}{\pi R}
\]
\[
\left( {0 < \theta < \pi ,0 < \varphi < \pi ,0 < r < \frac{R}{2}}\right) .
\]
由于
\[
{R}^{4} - {2rt}{R}^{2}\cos \theta + {r}^{2}{t}^{2} = {\left| {R}^{2} - rt{e}^{i\theta }\right| }^{2} > 0,
\]
\( \mathbf{A} \) 中的第二项是正的. 若记
\[
P\left( {t, r,\theta }\right) = \frac{1}{\pi }\frac{r\sin \theta }{{t}^{2} + {2tr}\cos \theta + {r}^{2}},
\]
则
\[
A\left( {t, r,\theta, R}\right) \leq P\left( {t, r,\pi - \theta }\right) ,
\]
\[
A\left( {-1, r,\theta, R}\right) \leq P\left( {1, r,\theta }\right) .
\]
将 \( A \) 和 \( B \) 的估计式代入(8.3.12)式就得到
\[
v\left( {r{e}^{i\theta }}\right) \leq {\int }_{0}^{R}N\left( {{t}^{r}, f}\right) P\left( {t, r,\pi - \theta }\right) {dt}
\]
\[
+ {\int }_{0}^{R}T\left( {{t}^{\gamma }, f}\right) P\left( {t, r,\theta }\right) {dt} + {32}\left( \frac{r}{R}\right) T\left( {{R}^{r}, f}\right)
\]
\[
\left( {0 < \theta < \pi ,0 < r < \frac{R}{2}}\right) .
\]
(8.3.13)
对于 Pólya 峰 \( \left( {r}_{t}\right) \) ,设 \( \left( {r}_{i}^{\prime }\right) \) 与 \( \left( {r}_{i}^{\prime \prime }\right) \) 为两个与其相关的序列. 置
\[
{s}_{i}^{\prime } = {\left( {r}_{i}^{\prime }\right) }^{\frac{1}{\gamma }},\;{s}_{i} = {\left( {r}_{i}\righ
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1650_实分析(陆善镇)
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定义1.1
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定义1.1 设 \( X \) 是一个集合, \( \mathcal{R} \) 是 \( X \) 的一些子集构成的非空的族. 若 \( \mathcal{R} \) 满足下述条件:
(1) \( A, B \in \mathcal{R} \Rightarrow A - B \in \mathcal{R} \) ;
(2) \( {A}_{n} \in \mathcal{R}, n \in \mathbb{N} \Rightarrow \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{R} \) ,
则称 \( \mathcal{R} \) 是 \( X \) 上的 \( \sigma \) 环. 若 \( \mathcal{A} \) 是 \( X \) 上的 \( \sigma \) 环使得 \( X \in \mathcal{A} \) ,则称 \( \mathcal{A} \) 为 \( X \) 上的 \( \sigma \) 代数.
很明显, \( \sigma \) 环 \( \mathcal{R} \) 必含有空集 \( \varnothing \) . 且由于可列交运算可用差运算及可列并运算表出:
\[
\mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} - \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{A}_{k} - {A}_{n}}\right)
\]
所以 \( \mathcal{R} \) 对可列交运算封闭. 但 \( \mathcal{R} \) 可以不含有 \( X \) ,所以 \( \mathcal{R} \) 不必对余运算封闭. 而 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{A} \) 必定对余运算封闭.
定义1.2 设 \( \mathcal{A} \) 是集 \( X \) 上的 \( \sigma \) 代数. 把 \( X \) 与 \( \mathcal{A} \) 合起来叫作可测空间,记作 \( \left( {X,\mathcal{A}}\right) \) .
我们象在实变函数论课程中做过的一样,规定 \( \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty ,\infty \} \) 为广义实数系,它比实数系 \( \mathbb{R} \) 多两个符号元素 \( - \infty ,\infty \) ,分别读作负无穷和正无穷. 它们本身不是数, 然而作为规定, 它们可与实数比较大小并参与适当的算术运算. 这里我们只强调指出, 规定零与无穷 \( \left( {-\infty \text{或}\infty }\right) \) 相乘的结果是零.
定义1.3 设 \( \mathcal{R} \) 是 \( X \) 上的 \( \sigma \) 环, \( \varphi \) 是 \( \mathcal{R} \) 到 \( \overline{\mathbb{R}} \) 的单值映射 (函数). 如果 \( \varphi \left( \varnothing \right) = 0 \) 且 \( \varphi \) 具有可列可加性,即当 \( {A}_{n} \in \mathcal{R}, n \in \mathbb{N} \) 且 \( {A}_{m} \cap {A}_{n} = \varnothing \left( {\forall m, n \in \mathbb{N}, m \neq n}\right) \) 时 \( \varphi \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\varphi \left( {A}_{n}\right) \) 成立,
则称 \( \varphi \) 是 \( \mathcal{R} \) 上的符号测度. 不取负值的符号测度叫作 测度. 如果 \( \left( {X,\mathcal{A}}\right) \) 是可测空间, \( \mu \) 是 \( \mathcal{A} \) 上的测度,则称三元序组 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为测度空间. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 是测度空间, \( \mathcal{A} \) 的元叫 \( \mu \) 可测集或简称为可测集.
一个测度空间 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 如果使零测度集的每个子集都可测,
就叫作是完全的 (或说 \( \mu \) 是完全的).
注 一个符号测度 \( \varphi \) 不可能同时取到值 \( \infty \) 和 \( - \infty \) . 不然的话,设 \( \varphi \left( A\right) = \infty ,\varphi \left( B\right) = - \infty \) ,则等式 \( \varphi \left( {A \cup B}\right) + \varphi \left( {A \cap B}\right) = \varphi \left( A\right) + \varphi \left( B\right) \) 不能成立.
定义1.4 设 \( \left( {X,\mathcal{A}}\right) \) 是可测空间, \( \varphi \) 是 \( \mathcal{A} \) 上的符号测度. 若 \( \varphi \) 只取有限的值,则称 \( \varphi \) 为 有限 的. 若 \( X \) 可表为 \( \mathcal{A} \) 中可列个集 \( {E}_{k}, k \in \mathbb{N} \) ,的并,使得 \( \varphi \left( {E}_{k}\right) \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N} \) ,则称 \( \varphi \) 为 \( \sigma \) 有限 的.
例 1 设 \( X \) 是集合,对于 \( A \subset X \) ,令
\[
\nu \left( A\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \bar{A}, & \text{ 若 }A\text{ 是有限集,} \\ \infty , & \text{ 若 }A\text{ 是无穷集. } \end{array}\right.
\]
则 \( \nu \) 是 \( {2}^{X} \) 上的测度,常称为 计数测度. 其中, \( \overline{\bar{A}} \) 表示集合 \( A \) 的势, \( {2}^{X} \) 为由 \( X \) 的一切子集所组成的集合.
例 2 设 \( X \) 是集合,对于 \( A \subset X \) ,令
\[
\mu \left( A\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \text{ 若 }A = \varnothing , \\ \infty , & \text{ 若 }A \neq \varnothing . \end{array}\right.
\]
则 \( \mu \) 是 \( {2}^{X} \) 上的测度 (这是一种退化的测度).
下面我们讨论一下测度的基本性质.
定理1.1 设 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 环 \( \mathcal{R} \) 上的测度,则当 \( A, B \in \mathcal{R} \) 且 \( A \subset B \) 时, \( \mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right) \) .
证 \( \mu \left( B\right) = \mu \left( A\right) + \mu \left( {B - A}\right) \geq \mu \left( A\right) \) . \( ▱ \)
定理1.2 设 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 环 \( \mathcal{R} \) 上的测度, \( {\left\{ {A}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是 \( \mathcal{R} \) 的单调增序列, 那么
\[
\mu \left( {\lim {A}_{n}}\right) = \lim \mu \left( {A}_{n}\right)
\]
证 令 \( {A}_{0} = \varnothing ,{B}_{n} = {A}_{n} - {A}_{n - 1}, n \in \mathbb{N} \) ,那么
\[
\lim {A}_{n} = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{B}_{n}
\]
且 \( {B}_{m} \cap {B}_{n} = \varnothing \left( {m, n \in \mathbb{N}, m \neq n}\right) ,{B}_{n} \in \mathcal{R} \) . 由测度的可列可加性
得
\[
\mu \left( {\lim {A}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( {B}_{n}\right) = \lim \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\mu \left( {B}_{k}\right) = \lim \mu \left( {A}_{n}\right) .▱
\]
定理1.3 设 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 环 \( \mathcal{R} \) 上的测度,若 \( {\left\{ {A}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是 \( \mathcal{R} \) 中的单调降序列且 \( \mu \left( {A}_{1}\right) < \infty \) ,则
\[
\mu \left( {\lim {A}_{n}}\right) = \lim \mu \left( {A}_{n}\right)
\]
证 令 \( {B}_{n} = {A}_{1} - {A}_{n} \) ,用定理 1.2,得
\[
\mu \left( {\lim {B}_{n}}\right) = \lim \mu \left( {B}_{n}\right) = \lim \left( {\mu \left( {A}_{1}\right) - \mu \left( {A}_{n}\right) }\right) = \mu \left( {A}_{1}\right) - \lim \mu \left( {A}_{n}\right) .
\]
注意到
\[
\lim {B}_{n} = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{A}_{1} - {A}_{n}}\right) = {A}_{1} - \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} = {A}_{1} - \lim {A}_{n}
\]
得到
\[
\mu \left( {A}_{1}\right) - \mu \left( {\lim {A}_{n}}\right) = \mu \left( {A}_{1}\right) - \lim \mu \left( {A}_{n}\right) ,
\]
\[
\mu \left( {\lim {A}_{n}}\right) = \lim \mu \left( {A}_{n}\right) .▱
\]
注 定理 1.3 的条件 \( \mu \left( {A}_{1}\right) < \infty \) 是不可少的. 例如对于 \( \mathbb{R} \) 上的 Lebesgue 测度 \( m \) ,及集列 \( \{ \left( {n,\infty }\right) {\} }_{n = 1}^{\infty } \) 有
\[
m\left( {\lim \left( {n,\infty }\right) }\right) = 0 < \lim m\left( \left( {n,\infty }\right) \right) = \infty .
\]
定理1.4 设 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 环 \( \mathcal{R} \) 上的测度, \( {A}_{n} \in \mathcal{R}, n \in \mathbb{N} \) ,那么
\[
\mu \left( {\underline{\lim }{A}_{n}}\right) \leq \underline{\lim }\mu \left( {A}_{n}\right)
\]
如果还知道 \( \mu \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) < \infty \) ,则
\[
\mu \left( {\overline{\lim }{A}_{n}}\right) \geq \overline{\lim }\mu \left( {A}_{n}\right)
\]
证 只要注意
\[
\mathop{\lim }\limits_{ \rightarrow }{A}_{n} = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mathop{\bigcap }\limits_{{k = n}}^{\infty }{A}_{k} = \lim \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{k = n}}^{\infty }{A}_{k}}\right)
\]
以及
\[
\bar{\lim }{A}_{n} = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mathop{\bigcup }\limits_{{k = n}}^{\infty }{A}_{k} = \lim \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{k = n}}^{\infty }{A}_{k}}\right)
\]
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{k = n}}^{\infty }{A}_{k} \supset {A}_{n}
\]
\[
\mathop{\bigcap }\limits_{{k = n}}^{\infty }{A}_{k} \subset {A}_{n}
\]
使用定理 1.1 、 1.2 及 1.3 便可.
## 习 题
1. 设 \( \Omega \) 是可列集, \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 的所有有限子集及它们的余集所成的族. 证明 \( \mathcal{F} \) 不是 \( \sigma \) 代数,然而 \( \mathcal{F} \) 对于有限次的集运算 (并,
交, 差, 余) 封闭 (这样的非空的集族叫作代数).
2. 设 \( \mu \) 是定义在 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{A} \) 上的非负的有限可加集函数 (即 \( A, B \in \) \( \left. {\mathcal{A}, A \cap B = \varnothing \Rightarrow \mu \left( {A \cup B}\right) = \mu \left( A\right) + \mu \left( B\right) }\right) \) . 证明,若 \( {\left\{ {A}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是 \( \mathcal{A} \) 的一个两两不交的集列,则
\[
\mu \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) \geq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( {A}_{n}\right)
\]
举出使上式中不等号成立的例子.
3. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 是有限测度空间,若 \( {E}_{1},{E}_{2} \in \mathcal{A} \) 使 \( \mu \left( {{E}_{1}\Delta {E}_{2}}\right) = 0 \) , 则视 \( {E}_{1} \) 与 \( {E}_{2} \) 为同一个集. 规定 \( d\left( {{E}_{1},{E}_{2}}\right) = \mu \left( {{E}_{1}\Delta {E}_{2}}\right) \) 为 \( {E}_{1} \) 与 \( {E}_{2} \) 的距离 \( \left( {{E}_{1},{E}_{2} \in \mathcal{A}}\right) \) . 证明 \( \left( {\mathcal{A}, d}\right) \) 是完备的距离空间.
## §2. 可测函数, 积分
定义2.1 设 \( \mathcal{A} \) 是集 \( X \) 上的 \( \sigma \) 代数, \( E \in \mathcal{A} \) . 设 \( f \) 是定义在 \( E \) 上的广义实值函数 (即 \( E \) 到 \( \overline{\mathbb{R}} \) 的单值映射). 如果, \( \forall a \in \mathbb{R} \) ,集 \( \{ x \in E : f\left( x\right) > a\} \in \mathcal{A} \) ,则称 \( f \) 是 \( E \) 上的 \( \mathcal{A} \) 可测函数 (简称为可测函数).
定理2.1 设 \( \mathcal{A} \) 是集 \( X \) 上的 \( \sigma \) 代数, \( E \in \mathcal{A} \) ,则
(1) \( E \) 上的只取有限值的 \( \mathcal{A} \) 可测函数全体构成实线性空间.
(2) 若 \( f \) 是 \( E \) 上的可测函数,则
\[
{f}^{ + } \triangleq \max \left( {f,0}\right) \triangleq f \vee 0,
\]
\[
{f}^{ * } \triangleq \min \left( {f,0}\right) \triangleq - \left( {f \land 0}\right)
\]
\[
\left| f\right| ,{\left| f\right| }^{p}\left( {p > 0}\right)
\]
皆为 \( E \) 上的可测函数,且若 \( f\left( x\right) \neq 0\left( {\forall x \in E}\right) \) ,则 \( \frac{1}{f} \) 亦为 \( E \) 上的可测函数,其中 \( \cong \) 意为定义式.
(3) 若 \( {f}_{n} \) 是 \( E \) 上的可测函数 \( \left( {n \in \mathbb{N}}\right) \) ,则
\[
\sup \left\{ {{f}_{n} : n \in \mathbb{N}}\right\} ,\inf \left\{ {{f}_{n} : n \in \mathbb{N}}\right\} ,\overline{\lim }{f}_{n},\underline{\lim }{f}_{n}
\]
皆为 \( E \) 上的可测函数.
(4) 若 \( f \) 和 \( g \) 在 \( E \) 上可测,则 \( {fg} \) 在 \( E \) 上可测.
证明甚易, 从略.
我们用 \( {\chi }_{E} \) 表示集 \( E \) 的特征函数.
定义2.2 设 \( \mathcal{A} \) 是集 \( X \) 上的 \( \sigma \) 代数, \( {E}_{1},\cdots ,{E}_{n} \) 是 \( \mathcal{A} \) 中 \( n \) 个两两不交的集合,使得 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{E}_{i} = X,{a}_{1},\cdots ,{a}_{n} \) 是 \( n \) 个互不相同的实数, 函数
\[
\varphi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{\chi }_{{E}_{i}}\left( x\right) ,\;x \in X
\]
(*)
叫做简单函数,简言之, \( X \) 上只取有限个实数值的可测 ( \( \mathcal{A} \) 可测) 函数叫作简单函数. 我们把 \( \left( *\right) \) 叫作简单函数 \( \varphi \) 的标准表示.
定理2.2 设 \( f \) 是可测集 \( E \) 上的非负可测函数,则存在一列非负简单函数 \( {f}_{n}, n \in \mathbb{N} \) ,使得在 \( E \) 上 \( {f}_{n} \nearrow f \) .
此定理的证明与 “实变函数论” 课程中学过的一样, 从略. 为便于行文, 我们在下面将大学 “实变函数论” 课程简称为《实变》.
定理2.3 (Eropon) 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 是测度空间, \( E \in \mathcal{A} \) 且 \( \mu \left( E\right) < \) \( \infty \) . 设 \( {f}_{n} \) 是 \( E \) 上的可测的 \( \mu - \) a.e. 有限 (即在 \( E \) 上去掉一个 \( \mu \) 测度为零的子集外处处取有限值) 函数 \( \left( {n \in \mathbb{N}}\right) \) .
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136_初等数论 (Ⅰ) (陈景润) (z-lib.org)
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定义 1.5
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定义 1.5 用 (1.41) 式给出的李群的同态 \( \mathrm{{Ad}} : G \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {r;\mathbf{R}}\right) \) 称为 \( r \) 维李群 \( G \) 的伴随表示.
由定理 1.5,伴随表示 \( \operatorname{Ad} : G \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {r;\mathbf{R}}\right) \) 的切映射诱导出李代数 \( {G}_{e} \) 到 \( \operatorname{gl}\left( {r;\mathbf{R}}\right) \) 的同态 ad,称之为李群 \( G \) 的李代数 \( {G}_{e} \) 的伴随表示. 这时, \( \mathrm{{gl}}\left( {r;\mathbf{R}}\right) \) 看作 \( {G}_{e} \) 到自身的线性变换的集合. 对于任意的 \( X \in {G}_{e} \) ,则 \( \operatorname{ad}\left( X\right) \) 是作用在 \( {G}_{e} \) 上的线性变换. 在下一节要证明:
\[
\operatorname{ad}\left( X\right) \cdot Y = - \left\lbrack {X, Y}\right\rbrack \text{.}
\]
(1.42)
## \( §2 \) 李氏变换群
变换群在几何中是十分重要的. 根据 Klein 的观点, 几何学研究的对象正是图形在一定的变换群作用下保持不变的性质; 由于所考虑的变换群不同, 就有欧氏几何、仿射几何和射影几何等各种不同的几何学. 李群在流形上的作用, 即所谓的李氏变换群则是上述典型变换群的推广, 这对近代微分几何学产生重要的影响.
定义 2.1 设 \( M \) 是 \( m \) 维光滑流形. 若有光滑映射 \( \varphi : R \times M \rightarrow \)
\( M \) ,对任意的 \( \left( {t, p}\right) \in \mathbf{R} \times M \) ,记
\[
{\varphi }_{t}\left( p\right) = \varphi \left( {t, p}\right) ,
\]
它们满足下列条件:
(1) \( {\varphi }_{0}\left( p\right) = p \) ;
（2）对任意的实数 \( s, t,{\varphi }_{s} \circ {\varphi }_{t} = {\varphi }_{s + t} \) ,
则称 \( \mathbf{R} \) 光滑地 (左) 作用在流形 \( M \) 上,或称 \( {\varphi }_{t} \) 是作用在 \( M \) 上的单参数可微变换群.
显然, \( {\varphi }_{t} : M \rightarrow M \) 是光滑映射. 根据上面的条件立即可得 \( {\varphi }_{t}^{-1} \) \( = {\varphi }_{-t} \) ,即每一个 \( {\varphi }_{t} \) 都是可逆的,所以 \( {\varphi }_{t} \) 是 \( M \) 到自身的可微同胚. 取 \( p \in M \) ,命
\[
{\gamma }_{p}\left( t\right) = {\varphi }_{t}\left( p\right)
\]
(2.1)
则 \( {\gamma }_{p} \) 是 \( M \) 上通过点 \( p \) 的一条参数曲线,叫做单参数变换群 \( {\varphi }_{t} \) 通过点 \( p \) 的轨线.
若用 \( {X}_{p} \) 表示轨线 \( {\gamma }_{p} \) 在点 \( p \) (即 \( t = 0 \) ) 的切矢量,于是得到流形 \( M \) 上的切矢量场 \( X \) ,称为单参数可微变换群 \( {\varphi }_{t} \) 在 \( M \) 上诱导的切矢量场. 显然 \( X \) 是光滑的. 设 \( f \) 是 \( M \) 上的光滑函数,则
\[
\left( {Xf}\right) \left( p\right) = {X}_{p}f
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{\gamma }_{p}\left( t\right) }\right) - f\left( p\right) }{t}
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{f\left( {\varphi \left( {t, p}\right) }\right) - f\left( p\right) }{t}
\]
\( \left( {2,2}\right) \)
所以 \( {Xf} \) 是 \( M \) 上的光滑函数,这就证明了 \( X \) 的光滑性. 要紧的是, 轨线 \( {\gamma }_{p} \) 是切矢量场 \( X \) 的积分曲线,即在轨线 \( {\gamma }_{p} \) 上任意一点 \( q = \) \( {\gamma }_{p}\left( s\right) ,{X}_{q} \) 正是轨线 \( {\gamma }_{p} \) 在 \( t = s \) 处的切矢量. 实际上,因为 \( {\gamma }_{q}\left( t\right) = \) \( {\gamma }_{p}\left( {t + s}\right) \) ,所以
\[
{X}_{q} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{{\gamma }_{q}\left( t\right) - q}{t} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{{\gamma }_{p}\left( {t + s}\right) - {\gamma }_{p}\left( s\right) }{t}.
\]
(2.3)
从 (2.3) 式得到
\[
{X}_{q}f = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{f\left( {\varphi \left( {t + s, p}\right) }\right) - f\left( {\varphi \left( {s, p}\right) }\right) }{t}
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{f \circ {\varphi }_{s}\left( {{\gamma }_{p}\left( t\right) }\right) - f \circ {\varphi }_{s}\left( p\right) }{t}
\]
\[
= {X}_{p}\left( {f \circ {\varphi }_{s}}\right) = \left( {{\left( {\varphi }_{s}\right) }_{ * }{X}_{p}}\right) f,
\]
即
\[
{\left( {\varphi }_{s}\right) }_{ * }{X}_{p} = {X}_{{r}_{{p}^{\left( s\right) }}}.
\]
(2.4)
反问题是: 在 \( M \) 上给定一个光滑的切矢量场 \( X \) ,是否存在 \( M \) 的单参数可微变换群 \( {\varphi }_{t} \) ,使 \( X \) 是 \( {\varphi }_{t} \) 所诱导的切矢量场? 换句话说, 切矢量场 \( X \) 是否决定一个单参数可微变换群? 定理 2.1 回答了这个问题.
定义 2.2 设 \( U \) 是光滑流形 \( M \) 的一个开邻域. 若有光滑映射 \( \varphi : \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \times U \rightarrow M \) ,对任意的 \( p \in U,\left| t\right| < \varepsilon \) ,记 \( {\varphi }_{t}\left( p\right) = \varphi \left( {t, p}\right) \) ,它们满足下列条件:
(1) 对任意的 \( p \in U,{\varphi }_{0}\left( p\right) = p \) ;
（2）若 \( \left| s\right| < \varepsilon ,\left| t\right| < \varepsilon ,\left| {t + s}\right| < \varepsilon \) ,并且 \( p,{\varphi }_{t}\left( p\right) \in U \) ,则
\[
{\varphi }_{s + t}\left( p\right) = {\varphi }_{s} \circ {\varphi }_{t}\left( p\right)
\]
那么 \( {\varphi }_{t} \) 叫做作用在 \( U \) 上的局部单参数变换群.
局部单参数变换群 \( {\varphi }_{t} \) 同样在 \( U \) 上诱导出光滑的切矢量场. 设 \( p \in U \) ,取 \( p \) 的局部坐标系 \( \left( {V;{x}^{i}}\right), V \subset U \) . 由于映射 \( \varphi \) 的光滑性,只要取充分小的 \( {\varepsilon }_{0} < \varepsilon \) ,则当 \( \left| t\right| < {\varepsilon }_{0} \) ,总是有 \( {\varphi }_{t}\left( p\right) \in V \) . 从 (2.2) 式可得
\[
{X}_{p} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{X}_{p}^{i}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right) }_{p}
\]
(2.5)
其中
\[
{X}_{p} = {\left. \frac{\mathrm{d}{x}^{i}\left( {{\gamma }_{p}\left( t\right) }\right) }{\mathrm{d}t}\right| }_{t = 0}.
\]
(2. 6)
在 \( p \) 和 \( q = {\gamma }_{p}\left( s\right) \) 都属于 \( V \) 时,我们也有
\[
{X}_{q} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{X}_{q}^{i}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right) }_{q}
\]
(2.7)
其中
\[
{X}_{q}^{\prime } = {\left. \frac{\mathrm{d}{x}^{i}\left( {{\gamma }_{p}\left( t\right) }\right) }{\mathrm{d}t}\right| }_{t = s}.
\]
(2.8)
定理 2.1 设 \( X \) 是定义在 \( M \) 上的光滑切矢量场,则在任意一点 \( p \in M \) 存在一个邻域 \( U \) 和作用在 \( U \) 上的局部单参数变换群 \( {\varphi }_{t} \) , \( \left| t\right| < \varepsilon \) ,使得 \( {\left. X\right| }_{U} \) 恰是 \( {\varphi }_{t} \) 在 \( U \) 上所诱导的切矢量场.
证明 取 \( p \) 的一个局部坐标系 \( \left( {V;{x}^{i}}\right) \) ,考虑常微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime }}{\mathrm{d}t} = {X}^{i},\;1 \leq i \leq m,
\]
\( \left( {2.9}\right) \)
其中 \( {X}^{\prime } \) 是切矢量场 \( X \) 关于自然基底 \( \left\{ {\frac{\partial }{\partial {x}^{i}},1 \leq i \leq m}\right\} \) 的分量,即
\[
X = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{X}^{i}\frac{\partial }{\partial {x}^{i}}
\]
根据常微分方程的理论,存在 \( {\varepsilon }_{1} > 0 \) 及 \( p \) 的邻域 \( l{J}_{1} \subset V \) ,使得对任意一点 \( q \in {U}_{1} \) ,方程组 (2.9) 有唯一的一条积分曲线 \( {x}_{q}\left( t\right) (\left| t\right| < \) \( \left. {\varepsilon }_{1}\right) \) 通过点 \( q \) ,即它满足下列方程和初始条件:
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}{x}_{q}^{i}\left( t\right) }{\mathrm{d}t} = {X}^{i}\left( {{x}_{q}\left( t\right) }\right) ,\;\left| t\right| < {\varepsilon }_{1},1 \leq i \leq m, \\ {x}_{q}\left( 0\right) = q, \end{array}\right.
\]
(2.10)
并且解 \( {x}_{q}\left( t\right) \) 对 \( \left( {t, q}\right) \) 是光滑依赖的. 命
\[
\varphi \left( {t, q}\right) = {\varphi }_{t}\left( q\right) = {x}_{q}\left( t\right) ,\;q \in {U}_{1},\left| t\right| < {\varepsilon }_{1}.
\]
(2. 11)
则 \( \varphi \) 是从 \( \left( {-{\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{1}}\right) \times {U}_{1} \) 到 \( M \) 的光滑映射. 现在要证明这是局部单参数变换群.
设 \( \left| t\right| < {\varepsilon }_{1},\left| s\right| < {\varepsilon }_{1},\left| {t + s}\right| < {\varepsilon }_{1} \) ,并且 \( q,{\varphi }_{s}\left( q\right) \in {U}_{1} \) . 因为 \( {x}_{q}(t + \) \( s) \) 和 \( {x}_{{p}_{s}\left( q\right) }\left( t\right) \) 都是方程组 (2.9) 的,通过 \( {x}_{q}\left( s\right) = {\varphi }_{s}\left( q\right) \) 的积分曲线, 于是根据解的唯一性得到
\[
{\varphi }_{t + s}\left( q\right) = {x}_{q}\left( {t + s}\right) = {x}_{{\varphi }_{t}\left( q\right) }\left( t\right) = {\varphi }_{t} \circ {\varphi }_{s}\left( q\right) ,
\]
所以 \( {\varphi }_{t} \) 是诱导出 \( {\left. X\right| }_{{U}_{1}} \) 的局部单参数变换群.
设在 \( p \) 点, \( {X}_{p} \neq 0 \) ,则根据第一章定理 4.3,在点 \( p \) 附近存在局部坐标 \( {u}^{i} \) ,使得 \( X = \frac{\partial }{\partial {u}^{1}} \) . 这时局部单参数变换群 \( {\varphi }_{t} \) 有特别简单的表达式:
\[
{\varphi }_{t}\left( {{u}^{1},\cdots ,{u}^{m}}\right) = \left( {{u}^{1} + t,{u}^{2},\cdots ,{u}^{m}}\right) ,
\]
(2.12)
即 \( {\varphi }_{t} \) 表现为在坐标的空间中沿 \( {u}^{1} \) -曲线的平移.
注记 显然, 方程组 (2.9) 与局部坐标的选择无关. 如果有两个坐标域 \( {V}_{1},{V}_{2} \) ,它们的交 \( {V}_{1} \cap {V}_{2} \) 不是空集,且有局部单参数变换群 \( {\varphi }_{t}^{\left( 1\right) } \) 和 \( {\varphi }_{t}^{\left( 2\right) } \) 分别作用在 \( {V}_{1} \) 和 \( {V}_{2} \) 上,但是它们是由同一个光滑切矢量场 \( X \) 决定的,则由方程组 (2.9) 的解的唯一性可知, \( {\varphi }_{t}^{\left( 1\right) } \) 和 \( {\varphi }_{t}^{\left( 2\right) } \) 在 \( {V}_{1} \cap {V}_{2} \) 上的作用是相同的.
系 设 \( X \) 是紧致的光滑流形 \( M \) 上的光滑切矢量场,则 \( X \) 在 \( M \) 上决定一个单参数可微变换群.
证明 由定理 2.1,对每一点 \( p \) 都有一个邻域 \( U\left( p\right) \) 和正数 \( \varepsilon \left( p\right) \) ,使得在 \( U\left( p\right) \) 上有局部单参数变换群 \( {\varphi }_{i}^{\left( p\right) } \) . 根据注记,在这些 \( U\left( p\right) \) 的两两重叠部分,相应的局部单参数变换群的作用是相同的. 因为 \( M \) 的紧致性,在 \( \{ U\left( p\right), p \in M\} \) 中必有有限的子覆盖, 设为 \( \left\{ {{U}_{\alpha },1 \leq \alpha \leq r}\right\} \) ,相应的正数记为 \( {\varepsilon }_{\alpha } \) . 命 \( \varepsilon = \mathop{\min }\limits_{{1 \leq \alpha \leq r}}{\varepsilon }_{\alpha } \) . 现在可以定义如下的映射 \( \varphi : \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \times M \rightarrow M \) : 若 \( p \in {U}_{a} \) ,则命
\[
\varphi \left( {t, p}\right) = {\varphi }_{t}^{\left( \alpha \right) }\left( p\right) ,\;\left| t\right| < \varepsilon .
\]
(2.13)
要把 \( \varphi \) 开拓成从 \( \mathbf{R} \times M \) 到 \( M \) 的映射是很容易的. 设 \( t \) 是任意实数, 必有正整数 \( N \) ,使 \( \left| t\right| /N < \varepsilon \) ,于是
\[
\varphi \left( {t, p}\right) = {\left\lbrack {\varphi }_{t/N}\right\rbrack }^{N}\left( p\right)
\]
(2.14)
与 \( N \) 的选取是无关的,右端表示变换 \( {\varphi }_{t/N} \) 在 \( M \) 上连续作用 \( N \) 次. 显然 \( \varphi : \mathbf{R} \times M \rightarrow M \) 是切矢量场 \( X \) 所决定的单参数可微变换群.
定理 2.2 设 \( {\varphi }_{t} \) 是作用在光滑流形 \( M \) 上的单参数可微变换群, \( X \) 是 \( {\varphi }_{t} \) 在 \( M \) 上所诱导的切矢量场. 若 \( \psi : M \rightarrow M \) 是可微同胚, 则 \( \psi .X \) 是单参数可微变换群 \( \psi \circ {\varphi }_{t} \circ {\psi }^{-1} \) 在 \( M \) 上诱导的切矢量场.
证明 设 \( f \) 是流形 \( M \) 上任意的光滑函数,则根据定义有
\[
\left( {\psi ,{X}_{p}}\right) f = {X}_{p}\left( {f \circ \psi }\right)
\]
\[
= {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f \circ \psi \left( {\varphi }_{t}\left( p\right) \right) \right| }_{t = 0}
\]
\[
= {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f\left( \psi \circ {\varphi }_{t} \circ {\psi }^{-1}\left( \psi \left( p\right) \right) \right) \right| }_{t = 0},
\]
即 \( \psi ,{X}_{p} \) 是单参数可微变换群 \( \psi \circ {\varphi }_{t} \circ {\psi }^{-1} \) 的通过点 \( \psi \left( p\right) \) 的轨线在该点的切矢量,所以 \( \psi .X \) 是 \( \psi \circ {\varphi }_{t} \circ {\psi }
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1720_微分拓扑(徐森林)
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定义 2
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定义 2 设 \( {T}_{p}M = \left\{ {{X}_{p} \mid {X}_{p}}\right. \) 为 \( p \) 点处的切向量 \( \} \) . 如果 \( {X}_{p},{X}_{1p} \) , \( {X}_{2p} \in {T}_{p}M,\lambda \in \mathbf{R} \) ,则我们在 \( {T}_{p}M \) 中定义
加法 \( \left( {{X}_{1p} + {X}_{2p}}\right) f = {X}_{1p}f + {X}_{2p}f \) ,
数乘 \( \left( {\lambda {X}_{p}}\right) f = \lambda {X}_{p}f \) .
易见 \( {X}_{1p} + {X}_{2p},\lambda {X}_{p} \in {T}_{p}M \) ,且 \( {T}_{p}M \) 关于上述加法和数乘满足向量空间的各个条件,使 \( {T}_{p}M \) 成为一个向量空间,称它为 \( p \) 点处的切空间.
定理 \( 1\;{T}_{p}M \) 为 \( n \) 维向量空间.
证明 设 \( \left( {U,\varphi }\right) ,\left\{ {{x}^{i} \mid i = 1,\cdots, n}\right\} \) 为 \( p \) 的局部坐标系,我们定义坐标向量 \( {\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{1}}\right| }_{p},\cdots ,{\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{n}}\right| }_{p} \) . 令
\[
{\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p} : {C}^{\infty }\left( p\right) \rightarrow \mathbf{R},{\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p}f = \frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }^{-1}}\right) }{\partial {x}^{i}}\left( {\varphi \left( p\right) }\right) ,
\]
容易验证 \( {\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p} \) 满足定义 1 的 \( \left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \) ,故 \( {\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p} \in {T}_{p}M \) .
如果 \( {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }^{i}\frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p} = {0}^{ - }\left( {0\text{为零切向量,即}{0f} = 0}\right) \) ,则有 
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\lambda }^{i}{\delta }_{i}^{j} = {\lambda }^{j},\;j = 1,\cdots, n,
\]
故 \( \left\{ {{\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{1}}\right| }_{p},\cdots ,{\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{n}}\right| }_{p}}\right\} \) 是线性无关的.
再证对任何 \( {X}_{p} \in {T}_{p}M \) ,有 \( {X}_{p} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{X}_{p}{x}^{i}}\right) {\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{{p}^{\prime }} \) 于是, \( \left\{ {{\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{1}}\right| }_{p},\cdots ,{\left. \frac{\partial }{\partial {x}^{n}}\right| }_{p}}\right\} \) 为 \( {T}_{p}M \) 的一个基,从而 \( {T}_{p}M \) 为 \( n \) 维向量空间.
对任意 \( \left( {f,{U}_{f}}\right) \in {C}^{\infty }\left( p\right) \) ,取 \( p \) 的局部坐标系 \( \left( {U,\varphi }\right) ,\left\{ {x}^{i}\right\} \) ,令 \( \varphi \left( p\right) = a,\varphi \left( q\right) = x \) ,则有
\[
f\left( q\right) = f\left( p\right) + f \circ {\varphi }^{-1}\left( x\right) - f \circ {\varphi }^{-1}\left( a\right)
\]
\[
\therefore \; = f\left( p\right) + {\int }_{0}^{1}\frac{d}{dt}f \circ {\varphi }^{-1}\left( {a + t\left( {x - a}\right) }\right) {dt}
\]
\[
= f\left( p\right) + {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }^{-1}}\right) }{\widetilde{c}{x}^{i}}\left( {a + t\left( {x - a}\right) }\right) \left( {{x}^{i} - {a}^{i}}\right) {dt}
\]
\[
= f\left( p\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}^{i} - {a}^{i}}\right) {\int }_{0}^{1}\frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }^{-1}}\right) }{\partial {x}^{i}}\left( {a + t\left( {x - a}\right) }\right) {dt}
\]
\[
= f\left( p\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}^{i} - {a}^{i}}\right) {\bar{g}}_{i}\left( x\right) = f\left( p\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{x}^{i}\left( q\right) - {a}^{i}}\right) {g}_{i}\left( q\right) ,
\]
其中 \( {g}_{i}\left( q\right) = {\bar{g}}_{i} \circ \varphi \left( q\right) = {\int }_{0}^{1}\frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }^{-1}}\right) }{\partial {x}^{i}}\left( {a + t\left( {\dot{x} - a}\right) }\right) {dt} \) ,
\[
{g}_{i}\left( p\right) = \frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }^{-1}}\right) }{\partial {x}^{i}}\left( a\right) .
\]
由 \( {X}_{p}1 = {X}_{p}\left( {1 \cdot 1}\right) = 1 \cdot {X}_{p}1 + 1 \cdot {X}_{p}1 = 2{X}_{p}1,{X}_{p}1 = 0 \) 立即可知 \( {X}_{p}\lambda = {X}_{p}\left( {\lambda \cdot 1}\right) = \lambda {X}_{p}1 = 0,\lambda \in \mathbf{R} \) . 再由定义 1 中的 \( \left( 2\right) ,\left( 3\right) \) 得到
\[
{X}_{p}f = {X}_{p}f\left( p\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{g}_{i}\left( p\right) \cdot {X}_{p}\left( {{x}^{i} - {a}^{i}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{a}^{i} - {a}^{i}}\right) \cdot {X}_{p}{g}_{i}
\]
\[
= 0 + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{X}_{p}{x}^{i}}\right) \frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }^{-1}}\right) }{\partial {x}^{i}}\left( a\right) + 0 = \left( {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {X}_{p}{x}^{i}\right) \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p}\right) f,
\]
\( {X}_{p} = {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {X}_{p}{x}^{i}\right) \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p}\; \) (图 17). \( \; \) #
图 17
注意: 由 \( M \) 和 \( f \) 的 \( {C}^{\infty } \) 性, \( {g}_{i} \) 也是 \( {C}^{\infty } \) 的,故 \( {X}_{p}{g}_{i} \) 有意义! 设 \( \left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }}\right) ,\left\{ {x}^{i}\right\} \) 和 \( \left( {{U}_{\beta },{\varphi }_{\beta }}\right) ,\left\{ {y}^{i}\right\} \) 为 \( p \) 点的两个局部坐标系, 由
\[
{\left. \frac{\partial }{\partial {y}^{j}}\right| }_{p}f = \frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }_{\beta }^{-1}}\right) }{\partial {y}^{j}}\left( {{\varphi }_{\beta }\left( p\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial \left( {f \circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}}\right) }{\partial {x}^{i}}\left( {{\varphi }_{\alpha }\left( p\right) }\right) \frac{\partial {x}^{i}}{\partial {y}^{j}}\left( {{\varphi }_{\beta }\left( p\right) }\right)
\]
\[
= \left( {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {x}^{i}}{\partial {y}^{j}}\left( {\varphi }_{\beta }\left( p\right) \right) \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p}\right) f
\]
得到坐标基变换公式 \( {\left. \frac{\partial }{\partial {y}^{j}}\right| }_{p} = {\left. \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial {x}^{i}}{\partial {y}^{j}}\left( {\varphi }_{\beta }\left( p\right) \right) \frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p} \) 和
\[
{\left( \begin{matrix} \frac{\partial }{\partial {y}^{1}} \\ \vdots \\ \frac{\partial }{\partial {y}^{n}} \end{matrix}\right) }_{p} = {\left( \begin{matrix} \frac{\partial {x}^{1}}{\partial {y}^{1}} & \cdots & \frac{\partial {x}^{n}}{\partial {y}^{1}} \\ \cdots & & \\ \frac{\partial {x}^{1}}{\partial {y}^{n}} & \cdots & \frac{\partial {x}^{n}}{\partial {y}^{n}} \end{matrix}\right) }_{{\varphi }_{\beta }\left( p\right) }\left( \begin{matrix} \frac{\partial }{\partial {x}^{1}} \\ \vdots \\ \frac{\partial }{\partial {x}^{n}} \end{matrix}\right) .
\]
再由 \( {\left. \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{b}^{j}\frac{\partial }{\partial {y}^{j}}\right| }_{p} = {X}_{p} = {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}^{i}\frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}^{i}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial {y}^{j}}{\partial {x}^{i}}\left( {{\varphi }_{\alpha }\left( p\right) }\right) \) .
\( {\left. \frac{\partial }{\partial {y}^{j}}\right| }_{p} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {y}^{j}}{c{x}^{i}}\left( {{\varphi }_{\alpha }\left( p\right) }\right) {a}^{i}}\right) {\left. \frac{\partial }{\partial {y}^{j}}\right| }_{p} \) ,得到切向量变换 公式
\( {b}^{j} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {y}^{j}}{\partial {x}^{i}}\left( {{\varphi }_{\alpha }\left( p\right) }\right) {a}^{i} \) 和
\[
\left( \begin{matrix} {b}^{1} \\ \vdots \\ {b}^{n} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} \frac{\partial {y}^{1}}{\partial {x}^{1}} & \cdots & \frac{\partial {y}^{1}}{\partial {x}^{n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial {y}^{n}}{\widetilde{c}{x}^{1}} & \cdots & \frac{\partial {y}^{n}}{\partial {x}^{n}} \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} {a}^{1} \\ \vdots \\ {a}^{n} \end{matrix}\right) ,
\]
其中 \( \left\{ {a}^{i}\right\} \) 和 \( \left\{ {b}^{i}\right\} \) 分别称为切向量 \( {X}_{p} \) 关于局部坐标系 \( \left\{ {x}^{i}\right\} \) 和 \( \left\{ {y}^{i}\right\} \) 的分量. 由此, 可用 “坐标” 观点定义切向量, 这就是所谓的古典观点,通常在物理学中习惯于这种定义: 设 \( {L}_{p} \) 为 \( p \) 点的局部坐标系的全体,如果映射 \( {X}_{p} : {L}_{p} \rightarrow {\mathbf{R}}^{n} \) 使得对任何 \( \left\{ {x}^{i}\right\} ,\left\{ {y}^{i}\right\} \in {L}_{p} \) 有 \( {X}_{p}\left( \left\{ {x}^{i}\right\} \right) = \left\{ {a}^{i}\right\} ,{X}_{p}\left( \left\{ {y}^{i}\right\} \right) = \left\{ {b}^{i}\right\} \) 且满足上述后一个变换公式,则称 \( {X}_{p} \) 为 \( p \) 点的一个切向量. 这定义的优点在于只要求 \( M \) 为 \( {C}^{r}(r \geq \) ) 流形.
在每一点 \( p \in M \) 有一个 \( n \) 维切空间,自然我们可以从沿 \( M \) 的这一族切空间得到一个秩 \( n \) 的向量丛,称为切丛,它是 \( {2n} \) 维 \( {C}^{\infty } \) 流形.
定义 3 设 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 为 \( n \) 维 \( {C}^{\infty } \) 流形,我们定义 \( M \) 的切丛 \( \xi = \) \( \left\{ {\underline{T}\underline{M},\underline{M},\pi ,\mathrm{{GL}}\left( {n,\mathbf{R}}\right) ,{\mathbf{R}}^{n},\mathcal{E}}\right\} \) 如下:
\[
{TM} = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{T}_{p}M
\]
\( \pi : {TM} \rightarrow M,\;\pi \left( {{T}_{p}M}\right) = \{ p\} \) ,即 \( \pi \left( {X}_{p}\right) = p,\;{X}_{p} \in {T}_{p}M \) . \( {\pi }^{-1}\left( {\{ p\} }\right) = {T}_{p}M \) 为 \( p \) 点处的纤维. 对于任何 \( \left( {U,\varphi }\right) ,\left\{ {x}^{i}\right\} \in \mathcal{D} \) ,定义
局部平凡化为 \( \psi : {\pi }^{-1}\left( U\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in U}}{T}_{p}M \rightarrow U \times {\mathbf{R}}^{n} \) ,
\( \psi \left( {X}_{p}\right) = \psi \left( {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}^{i}\frac{\partial }{\partial {x}^{i}}\right| }_{p}\right) = \left( {p;{a}^{1},\cdots ,{a}^{n}}\right) , \) 而 \( \psi \mid p : {\pi }^{-1}\left( {\{ p\} }\right) = \) \( {\mathbf{T}}_{p}M \rightarrow \{ p\} \times {\mathbf{R}}^{n} \) 为同构. 由 \( \psi \) 为一一映射,故从 \( U \times {\mathbf{R}}^{n} \) 的拓扑自然导出 \( {\pi }^{-1}\left( U\right) \) 的拓扑,使 \( \psi \) 为同胚. 显然, \( {\tau }^{ * } = \left\{ {{\pi }^{-1}\left( U\right) }\right. \) 中的开集 \( \{ \left( {U,\varphi }\right) \i
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1346_[钱敏平&龚光鲁] 随机过程论
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定义3.4
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定义3.4 (过份函数、调和函数) 设 \( f \) 是定义在 \( \mathcal{S} \) 上的一个函数 (可以取值 \( + \infty \) ),若 \( f \) 非负而且
\[
\mathbf{P}f \leq f\text{ (即 }{\sum }_{j}{p}_{ij}f\left( 1\right) \leq f\left( i\right) \text{ ),}
\]
则称 \( f \) 是 \( P \) (或 \( \xi \) )的过份函数. 我们称 \( f \) 是一个调和函数如果 \( \mathbf{P}f = f \) .
定义 3.5 (禁忌概率) 设有 \( \mathcal{S} \) 的非空真子集 \( H \) . 令
\[
{}_{H}{p}_{ij}\left( n\right) \triangleq P\left( {\omega : {\xi n}\left( \omega \right) = 1,{\xi }_{k}\left( \omega \right) \in H;0 < k < n \mid {\xi }_{0} = i}\right) .
\]
我们称 \( {}_{H}{p}_{ij}\left( n\right) \) 为由 \( t \) 到 \( t \) 的 \( n \) 步迴避 \( H \) 的禁忌转移概率.
事实上,我们前面所定义的 \( n \) 步首达概率 \( {f}_{ij}\left( n\right) \) 就是 迴避 \( H = \{ j\} \) 的禁忌概率: \( {f}_{ij}\left( n\right) = \ldots ,{p}_{ij}\left( n\right) \) .
命题3.5 令 \( {}_{H}{p}_{ij}^{ * } \triangleq \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{}_{H}{p}_{ij}\left( n\right) \) ; 则对 \( \forall {}_{H}{}^{A}{t}_{0} \in H,{}_{H}{p}_{ij}^{ * } < \) \( + \infty \) . 又令
\[
{}_{H}\mathbf{P}\left( n\right) \triangleq {\left( {}_{H}{p}_{i}j\left( n\right) \right) }_{i},{}_{j\overline{ \in }H},\;{}_{H}{\mathbf{P}}^{ * } = {\left( {}_{H}{p}_{i}^{ * }{}_{j}\right) }_{i},{}_{j\overline{ \in }H},
\]
则
\[
{}_{H}\mathbf{P} \triangleq {}_{H}\mathbf{P}\left( 1\right) = {\left( {p}_{ij}\right) }_{i, j\bar{ \in }H},\;{}_{H}\mathbf{P}\left( n\right) = {\left( {}_{H}\mathbf{P}\right) }^{ * };
\]
而且当 \( P \) 不可约时,我们有
\[
{\left( I - {}_{H}P\right) }^{-1} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{3}{\left( {}_{H}P\right) }^{n} = {}_{H}{P}^{ * },
\]
(3.3)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k \in H}}{\left( {\delta }_{ik} - {p}_{ik}\right) }_{H}{p}_{kj}^{ * } = {p}_{ij}\;\left( {\text{ 对 }i \in H, j \in H}\right) .
\]
证明 令
\[
\tau \triangleq \inf \left\{ {n \geq 1;{\xi }_{n} = {i}_{0}}\right\} ,\;{\eta }_{n} \triangleq {\xi }_{n \land \tau }.
\]
由于对 \( i, j \neq {i}_{0} \) ,我们有
\[
P\left( {{\eta }_{n + m} = 1 \mid {\mathcal{F}}_{m}}\right)
\]
\[
= P\left( {{\xi }_{n + m} = 1,{\xi }_{s} \neq {i}_{0};0 < s < n \mid {\mathcal{F}}_{m}}\right)
\]
\[
= P\left( {{\xi }_{n + m} = j,{\xi }_{s} \neq {i}_{0};0 < s < n \mid {\xi }_{m}}\right)
\]
\[
= \left\{ {i}_{0}\right\} {p}_{{\xi }_{m}j}\left( n\right)
\]
\( \left( {3.4}\right) \)
可见 \( \eta = \left\{ {\eta }_{n}\right\} \) 是一个以 \( \widetilde{P} = \left\{ {i}_{0}\right\} P \) 为转移阵的马氏链. 另一方面, 由 \( j \nearrow {i}_{0} \) ,可以知道,对 \( \forall j \neq {i}_{0} \) ,
\( {P}_{j}\left( {\eta \text{ 在有限时间不返回 }j}\right) \geq {P}_{j}\left( {\tau < + \infty }\right) = {f}_{j{i}_{0}}^{ * } > 0, \) 于是可见 \( 1 \) 对 \( \eta \) 是非常返状态,而且
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\widetilde{p}}_{ij}\left( n\right) < + \infty
\]
\( \left( {3,5}\right) \)
再注意到: 对 \( {i}_{0} \in H \) ,应有
\[
{}_{H}{p}_{ij}\left( n\right) = {P}_{i}\left( {{\xi }_{n} = j,{\xi }_{n}\bar{ \in }H;0 < s < n}\right)
\]
\[
\leq {P}_{i}\left( {{\xi }_{n} = j,{\xi }_{n} \neq {i}_{0};0 < s < n}\right)
\]
\[
= {}_{\left( {i}_{0}\right) }{p}_{ij}\left( n\right) = {\widetilde{p}}_{ij}\left( n\right) ,
\]
综合 (3.4) 与 (3.5) 就得到: 对一切 \( \jmath \in H,\jmath \nearrow H \) ,
\[
{}_{H}{p}_{ij}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{}_{H}{p}_{ij}\left( n\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{p}_{ij}\left( n\right) < + \infty .
\]
特别地,当 \( P \) 不可约,一切 \( j \nearrow H \) ,因而
\[
{}_{H}{p}_{ij}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{}_{H}{p}_{ij}\left( n\right) < + \infty ,
\]
而且
\[
{\left( I - {}_{H}P\right) }_{H}{P}^{ * } = \left( {I - {}_{H}P}\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{}_{H}{P}^{n} = I
\]
\[
= \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{H}^{n}}\right) \left( {I - {}_{H}P}\right) = {}_{H}{P}^{ * }\left( {I{}_{H}P}\right)
\]
即
\[
{\left( I - {}_{H}P\right) }^{-1} = {}_{H}{P}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{}_{H}{P}^{n}.
\]
又由于对 \( \jmath \in H, k \neq \jmath \) ,
\[
{}_{H}{p}_{kj}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{}_{H}{p}_{kj}\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{}_{H}{p}_{kj}\left( {n + 1}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{s\bar{s}H}}{}_{ti}{p}_{ks}\left( n\right) {p}_{sj}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{s\overrightarrow{ \in }H}}{}_{H}{p}_{ks}^{ * }{p}_{sj}
\]
再将此代入 \( \left( {3,3}\right) \) 式,就得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k \in H}}{\left( {\delta }_{ik} - {p}_{ik}\right) }_{H}{p}_{kj}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{s{\bar{\epsilon }}_{H}}}{\delta }_{is}{p}_{sj} = {p}_{ij}
\]
定理3.6 设 \( P \) 不可约,则 \( P \) 常返当且仅当 \( P \) 的一切过份函数都是常数.
证明 1) 设 \( \mathbf{P} \) 非常返. 由命题 3.5,取 \( H = \{ j\} \) ,应有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = j}}{p}_{ik}{}_{H}{p}_{kj}^{ * } + {p}_{ij} = {}_{H}{p}_{k}^{ * },\left( {{}_{H}{p}_{i}^{ * }, = {f}_{i}^{ * }{}_{j}}\right) .
\]
于是令 \( f\left( i\right) = {f}_{i, j}^{ * }\left( {i \neq j}\right), f\left( j\right) = 1 \) ,我们得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{k}{p}_{ik}f\left( k\right) = {f}_{ij}^{ * } \leq f\left( i\right) .
\]
可见 \( f \) 是一个过份函数. 事实上 \( f \) 一定不是常数,(假设不然, 即 \( {f}_{ij}^{ * } = 1\left( {1 \neq j}\right) \) ,就得到以下矛盾:
\[
1 > {f}_{ji}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{i \rightarrow j}}{p}_{ji}{f}_{ij}^{ * } + {p}_{jj} = \mathop{\sum }\limits_{i}{p}_{ji} = 1
\]
2) 设 \( P \) 常返. 如果 \( f\left( j\right) = + \infty \) ,那么存在 \( {n}_{0} \) ,使 \( {p}_{ij}\left( {n}_{0}\right) > 0 \) , 因而
\[
f\left( i\right) \geq \mathop{\sum }\limits_{k}{p}_{ik}\left( {n}_{0}\right) f\left( k\right) = + \infty \text{,即}f\left( i\right) \equiv + \infty \text{,}
\]
因此我们只需考虑 \( f \) 只取有限值的情况. 令 \( \xi \) 是以 \( P \) 为转移阵的马氏链,
\[
{\eta }_{n} \triangleq f\left( {\xi }_{n}\right) ,{\mathcal{F}}_{n} = \sigma \left( {{\xi }_{s};s \leq n}\right) ,
\]
于是
\[
E\left( {f\left( {\xi }_{n + 1}\right) \mid {\mathcal{F}}_{n}}\right) = E\left( {f\left( {\xi }_{n + 1}\right) \mid {\xi }_{n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{k}{p}_{\xi {k}^{k}}f\left( k\right) \leq f\left( {\xi }_{n}\right) .
\]
可见 \( \left\{ {{\eta }_{n},{\mathcal{F}}_{n}}\right\} \) 是非负上鞅,因而 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {\xi }_{n}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\eta }_{n} = \varphi \left( \omega \right) \) 一定存在. 另一方面,由于 \( P \) 常返不可约,我们有 (i ) 表示发生 \( \infty \) 次)
\[
{P}_{i}\left( {{\xi }_{n} = 1,\mathrm{i},0.}\right) = {P}_{i}\left( {{\xi }_{n} = k,\mathrm{i},0.}\right) = 1\left( {\forall k,1}\right) .
\]
因此,
\[
{P}_{i}\left( {f\left( {\xi }_{n}\right) = f\left( 1\right) ,\mathrm{i},\mathrm{o}.}\right) = {\Gamma }_{i}\left( {f\left( {\xi }_{n}\right) = f\left( k\right) ,\mathrm{i},\mathrm{o},}\right) = 1,
\]
即
\[
{P}_{i}\left( {f\left( k\right) = f\left( 1\right) = \varphi \left( \omega \right) }\right) = 1,
\]
可见 \( f\left( j\right) \) 与 \( j \) 无关.
推论 1 当 \( P \) 不可约,则它是非常返的当且仅当方程
\[
\mathop{\sum }\limits_{k}{p}_{ik}{y}_{k} = {y}_{i}\;\left( {1 \neq 1}\right)
\]
(3.6)
(对某个 \( j \) ) 有非常数有界解.
证明 1) 事实上,在定理 3.6 的证明中已给出非常返时 \( \left( {3.6}\right) \) 的一个有界非常数解.
2) 现往证 (3.6) 有非常数有界解时, \( \mathbf{P} \) 必非常返。设不然, 即 \( \mathbf{P} \) 常返而 (3.6) 有非常数有界解 \( \left\{ {{y}_{i}, i \in \mathcal{S}}\right\} \) . 由于常函数一定是 (3.6) 的解,所以不妨设 \( {y}_{i} \geq 0 \) ,(因为 \( \left\{ {{y}_{i} - \mathop{\inf }\limits_{k}{y}_{k} \geq 0}\right\} \) 就是 (3.6) 的一个非负有界非常数解). 令
\[
a = {y}_{j} - \mathop{\sum }\limits_{k}{p}_{jk}{y}_{k},\;c = \mathop{\sup }\limits_{k}{y}_{k} > \mathop{\inf }\limits_{k}{y}_{k} \geq 0.
\]
若 \( a \geq 0 \) ,那么 \( \left\{ {f\left( i\right) = {y}_{i}}\right\} \) 就是 \( P \) 的一个过份函数,由常返性得到 \( \left\{ {y}_{k}\right\} \) 是常数与所设矛盾. 但是 \( \alpha < 0 \) 也不可能,因为重复用 (3.6) \( n \) 次得到
\[
c \geq \mathop{\sum }\limits_{k}{p}_{jk}\left( n\right) {y}_{k} = {y}_{j} - a\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{{n - 1}}{p}_{jj}\left( m\right) \rightarrow + \infty .
\]
可见 \( P \) 不可能常返.
## \( §2 \) 弱遍历定理与不变测度
## 1. 弱遍历定理
定理3.7(弱遍历定理) 设 \( \xi \) 是一个马氏链,它的转移阵是 \( P, \) 令
\[
{L}^{\left( n\right) } = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{P}^{k}\left( {{L}^{\left( n\right) } = \left( {{L}_{ij}\left( n\right) }\right) }\right) .
\]
则极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{L}^{\left( n\right) } = L \geq 0\;\left( {L = \left( {L}_{ij}\right) }\right)
\]
存在, 而且满足方程
\[
{PL} = {LP} = L = {\dot{L}}^{2}.
\]
证明 由于
\[
0 \leq {L}_{ij}\left( n\right) = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = n}}^{{n - 1}}{p}_{ij}\left( k\right) \leq 1,
\]
可见存在子列 \( {n}_{k}\left( {i, j}\right) \rightarrow \infty \) 。使
\[
{L}_{ij}\left( {{n}_{k}\left( {i, j}\right) }\right) \rightarrow {L}_{ij}\left( {k \rightarrow + \infty }\right) .
\]
于是,可由对角线抽子列法得到 \( {n}_{k} \) ,使得 \( \forall i, j \)
\[
{L}_{ij}\left( {n}_{k}\right) \rightarrow {L}_{ : j}\left( {k \rightarrow + \infty }\right) ,
\]
即
\[
\text{2} : k \rightarrow 2\text{.}
\]
另一方面, 由于
\[
{L}^{\left( n\right) }P = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{P}^{i}P = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}P{P}^{i}
\]
\[
= P{L}^{\left( n\right) } = {L}^{\left( n\right) } + \frac{1}{n}\left( {{P}^{\left( n\right) } - I}\right) ,
\]
其中 \( I \) 是单位阵. 可见
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{L}^{\left( {n}_{k}\right) }P = L = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}P{L}^{\left( {n}_{k}\right) }.
\]
又由于 \( \mathop{\sum }\limits_{j}{p}_{ij}\left( n\right) = 1,0 \leq {L}_{ij} \leq 1 \) . 用有界收敛定理,就得到 \( \mathbf{L} = \) \( {PL} \) . 再用 Fatou 引理得
\[
{LP} = \left( {\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{L}^{\left( {x}_{k}\right) }}\right) P \leq \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{L}^{\left( {x}_{k}\right) }P
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}P{L}^{\left( {k}_{k}\right) } = {PL} = L\text{. }
\]
(3.7)
另外, 由
\[
{LP1} = {L1} \leq 1\text{(1 为元素全为 1 的列向量),}
\]
(3.8)
可见 \( \mathop{\sum }\limits_{j}\left( {{L}_{ij} - {\left( LP\right) }_{ij}}\right) = 0 \) ,于是再利用 (3.7),即 \( {L}_{ij} - {\left( LP\right) }_{ij} \geq 0 \) , 比有 \( {L}_{ij} = {\left( LP\right) }_{ij} \) . 即 \( L = {LP} \) . 进而,我们又可得到
\[
L = \frac{1}{{n}_{k}}\mathop{\sum
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182_数学分析 第二卷
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定义 9
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定义 9. 我们说,集合 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 有 ( \( n \) 维勒贝格) 零测度,或称之为 (勒贝格) 零测度集,如果对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,集合 \( E \) 的由至多可数个 \( n \) 维区间组成的覆盖 \( \left\{ {I}_{i}\right\} \) 存在,并且这些区间的体积之和 \( \mathop{\sum }\limits_{i}\left| {I}_{i}\right| \) 不超过 \( \varepsilon \) .
引理 2. a) 单点集和有限个点的集合都是零测度集.
b) 有限个或可数个零测度集的并集是零测度集.
c) 零测度集的子集本身也是零测度集.
d) 非退化区间 \( \Phi {I}_{a, b} \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 不是零测度集.
引理 2 的证明与第六章 \( §1 \) 第 \( 3\mathrm{\;d} \) 小节中对其一维情况的证明毫无区别,所以我们不再重复.
例 1. \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的有理点集 (所有坐标均为有理数的点的集合) 是可数集,因而是零测度集.
---
① 即区间 \( {I}_{a, b} = \left\{ {x \in {\mathbb{R}}^{n} \mid {a}^{i} \leq {x}^{i} \leq {b}^{i}, i = 1,\cdots, n}\right\} \) ,并且对于任何值 \( i \in \{ 1,\cdots, n\} \) ,严格不等式 \( {a}^{i} < {b}^{i} \) 都成立.
---
例 2. 设 \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) 是定义在 \( n - 1 \) 维区间 \( I \subset {\mathbb{R}}^{n - 1} \) 上的连续实值函数. 我们来证明它在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的图像是 \( n \) 维零测度集.
- 因为 \( f \) 在 \( I \) 上一致连续,所以对于 \( \varepsilon > 0 \) ,我们求出 \( \delta > 0 \) ,使得对于满足条件 \( \left| {{x}_{1} - {x}_{2}}\right| < \delta \) 的任何点 \( {x}_{1},{x}_{2} \in I \) ,总有 \( \left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| < \varepsilon \) . 如果现在取区间 \( I \) 的分割 \( P \) ,其参数 \( \lambda \left( P\right) < \delta \) ,则函数 \( f \) 在每个分割区间 \( {I}_{i} \) 上的振幅小于 \( \varepsilon \) . 所以, 如果 \( {x}_{i} \) 是区间 \( {I}_{i} \) 的任意一个固定点,则 \( n \) 维区间 \( {\widetilde{I}}_{i} = {I}_{i} \times \left\lbrack {f\left( {x}_{i}\right) - \varepsilon, f\left( {x}_{i}\right) + \varepsilon }\right\rbrack \) 显然包含函数 \( f \) 在区间 \( {I}_{i} \) 上的图像,而区间 \( {\widetilde{I}}_{i} \) 的并集 \( \mathop{\bigcup }\limits_{i}{\widetilde{I}}_{i} \) 覆盖函数 \( f \) 在 \( I \) 上的整个图像. 但是, \( \mathop{\sum }\limits_{i}\left| {\widetilde{I}}_{i}\right| = \mathop{\sum }\limits_{i}\left| {I}_{i}\right| \cdot {2\varepsilon } = {2\varepsilon }\left| I\right| \) (这里 \( \left| {I}_{i}\right| \) 是 \( {\mathbb{R}}^{n - 1} \) 中 \( {I}_{i} \) 的体积, \( \left| {\widetilde{I}}_{i}\right| \) 是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中 \( {\widetilde{I}}_{i} \) 的体积). 因此,只要减小 \( \varepsilon \) ,确实可以让覆盖的总体积任意接近于零.
附注 1. 通过对比引理 2 的命题 b) 和例 2 可以推出, 在一般情况下, 连续函数 \( f : {\mathbb{R}}^{n - 1} \rightarrow \mathbb{R} \) 或 \( f : M \rightarrow \mathbb{R} \) (其中 \( M \subset {\mathbb{R}}^{n - 1} \) ) 的图像是 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的 \( n \) 维零测度集.
引理 3. a) 零测度集类不会因为对定义 9 中集合 \( E \) 的覆盖的下述两种理解而有所改变. 第一种是通常意义下的覆盖,认为集合 \( E \) 被一组区间 \( \left\{ {I}_{i}\right\} \) 覆盖,即 \( E \subset \mathop{\bigcup }\limits_{i}{I}_{i} \) . 第二种是更严格意义下的覆盖,要求集合 \( E \) 的每个点至少是覆盖中的一个区间的内点 \( \Phi \) .
b) \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中的紧集 \( K \) 是零测度集的充分必要条件是: 对于任何 \( \varepsilon > 0, K \) 能被有限个区间覆盖,并且这些区间的体积之和小于 \( \varepsilon \) .
4 a) 如果 \( \left\{ {I}_{i}\right\} \) 是集合 \( E \) 的覆盖,即 \( E \subset \mathop{\bigcup }\limits_{i}{I}_{i} \) ,并且 \( \mathop{\sum }\limits_{i}\left| {I}_{i}\right| < \varepsilon \) ,则只要把每一个区间 \( {I}_{i} \) 替换为相对于其中心的位似区间 \( {\widetilde{I}}_{i} \) ,就得到满足条件 \( \mathop{\sum }\limits_{i}\left| {\widetilde{I}}_{i}\right| < {\lambda }^{n}\varepsilon \) 的一组区间 \( \left\{ {\widetilde{I}}_{i}\right\} \) ,其中 \( \lambda \) 是所有区间共同的位似系数. 如果 \( \lambda > 1 \) ,则显然 \( \left\{ {\widetilde{I}}_{i}\right\} \) 也覆盖集合 \( E \) ,并且 \( E \) 的任何一个点至少是该覆盖中的一个区间的内点.
b) 得自 a) 和关于紧集 \( K \) 的任何一个开覆盖都包含其有限覆盖的结论 (可以取一组开区间 \( \left\{ {{\widetilde{I}}_{i} \smallsetminus \partial {\widetilde{I}}_{i}}\right\} \) 作为这样的开覆盖,其中 \( \left\{ {\widetilde{I}}_{i}\right\} \) 是在 a) 中考虑过的那一组区间).
b. 康托尔定理的一个推广. 我们记得,量 \( \omega \left( {f;E}\right) \mathrel{\text{:=}} \mathop{\sup }\limits_{{{x}_{1},{x}_{2} \in E}}\left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| \) 称为函数 \( f : E \rightarrow \mathbb{R} \) 在集合 \( E \) 上的振幅,而量 \( \omega \left( {f;x}\right) \mathrel{\text{:=}} \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}\omega \left( {f;{U}_{E}^{\delta }\left( x\right) }\right) \) 称为函数 \( f \) 在点 \( x \in E \) 的振幅,其中 \( {U}_{E}^{\delta }\left( x\right) \) 是点 \( x \) 在集合 \( E \) 中的 \( \delta \) 邻域.
引理 4. 如果在紧集 \( K \) 的每个点,函数 \( f : K \rightarrow \mathbb{R} \) 都满足关系式 \( \omega \left( {f;x}\right) \leq {\omega }_{0} \) , 则对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,可以找到 \( \delta > 0 \) ,使不等式 \( \omega \left( {f;{U}_{K}^{\delta }\left( x\right) }\right) < {\omega }_{0} + \varepsilon \) 对于任何点 \( x \in K \) 都成立.
① 换言之, 定义 9 中的区间是闭区间还是开区间无关紧要.
当 \( {\omega }_{0} = 0 \) 时,这个引理化为关于紧集上的连续函数一致连续的康托尔定理. 引理 4 的证明完全重复康托尔定理 (第四章 \( §2 \) 第 2 小节) 的证明过程,所以我们不再赘述.
c. 勒贝格准则. 像以前一样,我们说某个性质几乎在集合 \( M \) 的所有点成立, 或者说在 \( M \) 上几乎处处成立,如果使这个性质不成立的 \( M \) 的子集有零测度.
定理 1 (勒贝格准则). \( f \in \mathcal{R}\left( I\right) \Leftrightarrow \left( {f\text{在}I\text{上有界}}\right) \land (f \) 在 \( I \) 上几乎处处连续).
必要性. 如果 \( f \in \mathcal{R}\left( I\right) \) ,则根据命题 1,函数 \( f \) 在 \( I \) 上有界. 设在 \( I \) 上 \( \left| f\right| \leq M \) .
我们来验证, \( f \) 几乎在 \( I \) 的所有点连续. 为此,我们来证明,如果函数间断点的集和 \( E \) 不是零测度集,则 \( f \notin \mathcal{R}\left( I\right) \) .
其实,把 \( E \) 表示为 \( E = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{E}_{n} \) 的形式,其中 \( {E}_{n} = \{ x \in I \mid \omega \left( {f;x}\right) \geq 1/n\} \) ,则根据引理 2 推出,如果 \( E \) 不是零测度集,就可以找到序号 \( {n}_{0} \) ,使集合 \( {E}_{{n}_{0}} \) 也不是零测度集. 设 \( P \) 是把区间 \( I \) 分为一组区间 \( \left\{ {I}_{i}\right\} \) 的任意分割. 把 \( P \) 的分割区间分为 \( A \) 和 \( B \) 两类,其中 \( A = \left\{ {{I}_{i} \in P \mid {I}_{i} \cap {E}_{{n}_{0}} \neq \varnothing \land \omega \left( {f;{I}_{i}}\right) \geq 1/\left( {2{n}_{0}}\right) }\right\}, B = P \smallsetminus A \) .
区间组 \( A \) 构成集合 \( {E}_{{n}_{0}} \) 的一个覆盖. 其实, \( {E}_{{n}_{0}} \) 的每个点或者位于某个区间 \( {I}_{i} \in P \) 的内部,这时显然 \( {I}_{i} \in A \) ,或者位于分割 \( P \) 的某些区间的边界上. 在后一种情况下, 函数至少在一个这样的区间上的振幅应当 (根据三角形不等式) 不小于 \( 1/\left( {2{n}_{0}}\right) \) ,所以该区间属于 \( A \) .
现在证明,只要在分割 \( P \) 的区间中用不同方式选择各标记点 \( \xi \) ,我们就可以显著改变积分和的值.
具体而言,我们选择两组标记点 \( {\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime } \) ,使属于 \( B \) 的区间上的相应标记点相同, 而属于 \( A \) 的区间 \( {I}_{i} \) 的相应标记点 \( {\xi }_{i}^{\prime },{\xi }_{i}^{\prime \prime } \) 满足
\[
\left| {f\left( {\xi }_{i}^{\prime }\right) - f\left( {\xi }_{i}^{\prime \prime }\right) }\right| > \frac{1}{3{n}_{0}}
\]
于是,
\[
\left| {\sigma \left( {f, P,{\xi }^{\prime }}\right) - \sigma \left( {f, P,{\xi }^{\prime \prime }}\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{{I}_{i} \in A}}\left( {f\left( {\xi }_{i}^{\prime }\right) - f\left( {\xi }_{i}^{\prime \prime }\right) }\right) }\right| {I}_{i}\left| \right| > \frac{1}{3{n}_{0}}\mathop{\sum }\limits_{{{I}_{i} \in A}}\left| {I}_{i}\right| > c > 0.
\]
因为区间组 \( A \) 覆盖集合 \( {E}_{{n}_{0}} \) ,我们又假设 \( {E}_{{n}_{0}} \) 不是零测度集,所以常数 \( c \) 存在.
因为 \( P \) 是区间 \( I \) 的任意一个分割,所以从柯西基本准则推出,当 \( \lambda \left( P\right) \rightarrow 0 \) 时, 积分和 \( \sigma \left( {f, P,\xi }\right) \) 不可能有极限,即 \( f \notin \mathcal{R}\left( I\right) \) .
充分性. 设 \( \varepsilon \) 是任意正数, \( {E}_{\varepsilon } = \{ x \in I \mid \omega \left( {f;x}\right) \geq \varepsilon \} \) . 根据条件, \( {E}_{\varepsilon } \) 是零测度集.
此外, \( {E}_{\varepsilon } \) 显然是 \( I \) 中的闭集,所以 \( {E}_{\varepsilon } \) 是紧集. 根据引理 3,在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 中存在有限个区间 \( {I}_{1},\cdots ,{I}_{k} \) ,使 \( {E}_{\varepsilon } \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{k}{I}_{i} \) ,并且 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\left| {I}_{i}\right| < \varepsilon \) . 取 \( {C}_{1} = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{k}{I}_{i} \) ,用 \( {C}_{2} \) 和 \( {C}_{3} \) 分别表示以 \( {I}_{i} \) 的中心为中心、位似系数为 2 和 3 的情况下区间 \( {I}_{i} \) 的位似区间的并集. 显然, \( {E}_{\varepsilon } \) 严格位于集合 \( {C}_{2} \) 的内部, \( {C}_{2} \) 的边界与 \( {C}_{3} \) 的边界之间的距离 \( d \) 是正的.
我们指出, \( {C}_{3} \) 中两两没有公共内点的任何有限个区间的体积之和不大于 \( {3}^{n}\varepsilon \) , 其中 \( n \) 是空间 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 的维数. 这得自集合 \( {C}_{3} \) 的定义和区间测度的性质 (引理 1).
我们再指出,区间 \( I \) 的任何直径小于 \( d \) 的子集或者包含于集合 \( {C}_{3} \) ,或者包含于紧集 \( K = I \smallsetminus \left( {{C}_{2} \smallsetminus \partial {C}_{2}}\right) \) ,其中 \( \partial {C}_{2} \) 是 \( {C}_{2} \) 的边界 (因而 \( {C}_{2} \smallsetminus \partial {C}_{2} \) 是集合 \( {C}_{2} \) 的内点的集合).
根据构造, \( {E}_{\varepsilon } \subset I \smallsetminus K \) ,所以 \( \omega \left( {f;x}\right) < \varepsilon \) 在任何点 \( x \in K \) 都应当成立. 根据引理 4,可以找到数 \( \delta > 0 \) ,使不等式 \( \left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| < {2\varepsilon } \) 对于任何相距不超过 \( \delta \) 的两个点 \( {x}_{1},{x}_{2} \in K \) 都成立.
上述构造现在可以让我们用以下方法证明可积条件的充分性. 取区间 \( I \) 的任意两个分割 \( {P}^{\prime },{P}^{\prime \prime } \) ,并且分割参数 \( \lambda \left( {P}^{\prime }\right) ,\lambda \left( {P}^{\prime \prime }\right) \) 都小于 \( \lambda = \min \{ d,\delta \} \) . 设 \( P \) 是由分割 \( {P}^{\prime },{P}^{\prime \prime } \) 的区间的交集构成的分割. 在自然的记号下, \( P = \left\{ {{I}_{ij} = {I}_{i}^{\prime } \cap {I}_{j}^{\prime \prime }}\right\} \) . 我们来比较积分和 \( \sigma \left( {f, P,\xi }\right) \) 与 \( \sigma \left( {f,{P}^{\prime },{\xi }^{\prime }}\right) \) . 利用 \( \left| {I}_{i}^{\prime }\right| = \mathop{\sum }\limits_{j}\left| {I}_{ij}\right| \) ,可以写出
\[
\left| {\sigma \left( {f,{P}^{\prime },{\xi }^{\prime }}\right) - \sigma \left( {f, P,\xi }\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{ij}}\left( {f\left( {\xi }_{i}^{\prime }\right) - f\left( {\xi }_{ij}\right) }\right) \left| {I}_{ij}\right| }\right|
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{1}\left| {f\left( {\xi }_{i}^{\prime }\right) - f\left( {\xi }_{ij}\right) }\right| \left| {I}_{ij}\right| + \mathop{\sum }\limits_{2}\left| {f\left( {\xi }_{i}^{\prime }\right) - f\left( {\xi }_{ij}\right) }\right| \left| {I}_{ij}\right|
\]
其中第一个求和式 \( \mathop{\sum }\limits_{1} \) 包括对分割 \( P \) 的一部分区间 \( {I}_{ij} \) 求和,这些区间位于既属于分割 \( {P}^{\prime } \) 又包含于集合 \( {C}_{3} \) 的区间 \( {I}_{i}^{\prime } \) 中,而第二个求和式 \( \mathop{\sum }\limits_{2} \) 包括对分割 \( P \) 的其余区间求和,这些区间必然全部包含在 \( K \) 中 (因为 \( \lambda \left( P\right) < d \) ).
因为在 \( I \) 上 \( \left| f\right| \leq M \) ,所以在第一个求和式中把 \( \left| {f\left( {\xi }_{i}^{\prime }\right) - f\left( {\xi }_{ij}\right) }\right| \) 替换为量 \( {2M} \) , 就得到,第一个求和式不超过 \( {2M} \cdot {3}^{n}\varepsilon \) .
因为在第二个求和式中 \( {\xi }_{i}^{\prime },{\xi }_{ij} \in {I}_{i}^{\prime } \subset K \) ,而 \( \lambda \left( {P}^{\pri
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1294_[徐树方&高立&张平文] 数值线性代数
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定义 4.4.1
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定义 4.4.1 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵,记 \( \mathcal{W} = \{ 1,\cdots, n\} \) . 称 \( A \) 是具有相容次序的矩阵,如果对某个 \( t \) ,存在 \( \mathcal{W} \) 的 \( t \) 个互不相交的子集 \( {\mathcal{S}}_{1},{\mathcal{S}}_{2},\cdots ,{\mathcal{S}}_{t} \) 满足 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i - 1}}^{t}{\mathcal{S}}_{i} = \mathcal{W} \) ,使得每个非零的非对角线元素 \( {a}_{ij} \neq \) \( 0\left( {i \neq j}\right) \) 的两个下标 \( i, j \) 满足: 若 \( i \in {\mathcal{S}}_{r} \) ,则当 \( j < i \) 时, \( j \in {\mathcal{S}}_{r - 1} \) ; 而当 \( j > i \) 时, \( j \in {\mathcal{S}}_{r + 1} \) .
作为一个例子,考虑模型问题的系数矩阵 \( {A}_{9 \times 9} \) . 若我们取
\[
{\mathcal{S}}_{1} = \{ 1\} ,\;{\mathcal{S}}_{2} = \{ 2,4\} ,\;{\mathcal{S}}_{3} = \{ 3,5,7\}
\]
\[
{\mathcal{S}}_{4} = \{ 6,8\} ,\;{\mathcal{S}}_{5} = \{ 9\}
\]
可以验证这些子集是满足定义的,也就是说 \( {A}_{9 \times 9} \) 是具有相容性次序的矩阵.
对具有相容性次序的矩阵,亦可建立矩阵 \( {L}_{\omega } \) 和 \( \omega \) 之间特征值的关系.
定理 4.4.6 设矩阵 \( A \) 具有相容次序,且对角元全不为零,并假定 Jacobi 迭代矩阵 \( B = I - {D}^{-1}A \) 的特征值均为实数,那么
(1) 若 \( \mu \neq 0 \) 是 \( B \) 的特征值,则 \( - \mu \) 也是 \( B \) 的特征值.
(2) 若 \( \mu \neq 0 \) 是 \( B \) 的特征值,则由 (4.4.5) 式所确定的两个 \( \lambda \) 是 \( {L}_{\omega } \) 的特征值; 反之,若 \( \lambda \neq 0 \) 是 \( {L}_{\omega } \) 的特征值,则由 (4.4.5) 式确定的两个 \( \mu \) 都是 \( B \) 的特征值.
(3) \( \rho \left( {L}_{1}\right) = {\left( \rho \left( B\right) \right) }^{2};{R}_{\infty }\left( {L}_{1}\right) = 2{R}_{\infty }\left( B\right) \) .
(4) 若 \( \rho \left( B\right) < 1,0 < \omega < 2 \) ,则 SOR 迭代法收敛,且最佳松弛因子 \( {\omega }_{\text{opt }} \) 由 (4.4.13) 式确定,相应的谱半径 \( \rho \left( {L}_{{\omega }_{\text{opt }}}\right) \) 由 (4.4.14) 式确定.
(5) \( {R}_{\infty }\left( {L}_{{\omega }_{\text{opt }}}\right) \sim 2\sqrt{2{R}_{\infty }\left( B\right) },\rho \left( B\right) \rightarrow 1 - 0 \) .
因为对角元非零,且具有相容次序的矩阵,按照 \( {\mathcal{S}}_{1},{\mathcal{S}}_{2},\cdots ,{\mathcal{S}}_{t} \) 重排次序就得到一个形如 (4.4.16) 式的矩阵, 并且将 SOR 迭代法应用于它们二者所得到的用分量表示的迭代公式是完全一样的, 相应的迭代矩阵相似, 因此 SOR 迭代法的这些结论自然成立.
最后我们再给出如下定理:
定理 4.4.7 如果矩阵 \( A \) 对称正定,并且具有相容次序, \( B = \) \( I - {D}^{-1}A \) ,则 \( B \) 的特征值全是实数,并且 \( \rho \left( B\right) < 1 \) .
证明 因为 \( D = \operatorname{diag}\left( {a}_{ii}\right) \) 为正定对角阵,故有
\[
B = I - {D}^{-1}A = {D}^{-\frac{1}{2}}\left( {I - {D}^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}}\right) {D}^{\frac{1}{2}},
\]
即 \( B \) 与对称矩阵 \( I - {D}^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}} \) 相似,因而 \( B \) 的特征值全为实数.
因为对正定对称矩阵来说, G-S 迭代法是收敛的, 所以由定理 4.4.6 即可推出 \( \rho \left( B\right) < 1 \) .
SOR 迭代法收敛的速度比 G-S 迭代法和 Jacobi 迭代法在量级上有改进,是一个很有效的方法. 还以模型问题为例,若取 \( h = {0.1} \) ,这时 \( {R}_{\infty }\left( B\right) \approx {0.05} \) ,而 \( {R}_{\infty }\left( {L}_{{\omega }_{\text{opt }}}\right) \approx {0.63} \) .
松弛因子的选择对计算也是很有影响的. 在实际计算中,因为 \( \rho \left( B\right) \) 不一定知道,所以 \( {\omega }_{\text{opt }} \) 也不知道. 如何求近似的 \( {\omega }_{\text{opt }} \) 呢? 通常是选用不同的 \( \omega \) 值,然后用相同的初始向量进行试算,迭代相同次数,比较它们的残向量,选择使残向量最小的 \( \omega \) 作为松弛因子. 另外,根据 \( \rho \left( {L}_{\omega }\right) \) 随 \( \omega \) 变化的曲线看,我们在不能得到准确的最佳松弛因子时,宁可取得稍大一些.
## 习 题
1. 设方程组 \( {Ax} = b \) 的系数矩阵为
\[
{A}_{1} = \left\lbrack \begin{array}{rrr} 2 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array}\right\rbrack ,\;{A}_{2} = \left\lbrack \begin{array}{rrr} 1 & 2 & - 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right\rbrack
\]
证明: 对 \( {A}_{1} \) 来说, Jacobi 迭代法不收敛,而 G-S 迭代法收敛; 对 \( {A}_{2} \) 来说, Jacobi 迭代法收敛, 而 G-S 迭代法不收敛.
2. 设 \( B \in {\mathbf{R}}^{n \times n} \) 满足 \( \rho \left( B\right) = 0 \) . 证明: 对任意的 \( g,{x}_{0} \in {\mathbf{R}}^{n} \) ,迭代格式
\[
{x}_{k + 1} = B{x}_{k} + g,\;k = 0,1,\cdots
\]
最多迭代 \( n \) 次就可得到方程组 \( x = {Bx} + g \) 的精确解.
3. 考虑线性方程组
\[
{Ax} = b,
\]
这里
\[
A = \left\lbrack \begin{array}{lll} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \end{array}\right\rbrack
\]
(1) \( a \) 为何值时, \( A \) 是正定的?
(2) \( a \) 为何值时, Jacobi 迭代法收敛?
(3) \( a \) 为何值时, G-S 迭代法收敛?
4. 证明: 若 \( A \in {\mathbf{R}}^{n \times n} \) 非奇异,则必可找到一个排列方阵 \( P \) ,使得 \( {PA} \) 的对角元均不为零.
5. 若 \( A \) 是严格对角占优的或不可约对角占优的,则 G-S 迭代法收敛.
6. 设 \( A = \left\lbrack {a}_{ij}\right\rbrack \in {\mathbf{R}}^{n \times n} \) 是严格对角占优的. 试证:
\[
\left| {\det \left( A\right) }\right| \geq \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {\left| {a}_{ii}\right| - \mathop{\sum }\limits_{{j \neq i}}\left| {a}_{ij}\right| }\right) .
\]
7. 设 \( A \) 是具有正对角元的非奇异对称矩阵. 证明: 若求解方程组 \( {Ax} = b \) 的 G-S 迭代法对任意初始近似 \( {x}^{\left( 0\right) } \) 皆收敛,则 \( A \) 必是正定的.
8. 若存在对称正定矩阵 \( P \) ,使得
\[
B = P - {H}^{\mathrm{T}}{PH}
\]
为对称正定矩阵, 试证: 迭代法
\[
{x}_{k + 1} = H{x}_{k} + b,\;k = 0,1,\cdots
\]
收敛.
9. 对 Jacobi 迭代法引进迭代参数 \( \omega > 0 \) ,即
\[
{x}_{k + 1} = {x}_{k} - \omega {D}^{-1}\left( {A{x}_{k} - b}\right) ,
\]
或者
\[
{x}_{k + 1} = \left( {I - \omega {D}^{-1}A}\right) {x}_{k} + \omega {D}^{-1}b,
\]
称之为 Jacobi 松弛法(简称 JOR 方法). 证明: 当 \( {Ax} = b \) 的 Jacobi 迭代法收敛时, JOR 方法对 \( 0 < \omega \leq 1 \) 收敛.
10. 证明: 若 \( A \) 为具有正对角元的实对称矩阵,则 JOR 方法收敛的充分必要条件是 \( A \) 及 \( 2{\omega }^{-1}D - A \) 均为正定对称矩阵.
11. 证明: 若系数矩阵 \( A \) 是严格对角占优的或不可约对角占优的,且松弛因子 \( \omega \in \left( {0,1}\right) \) ,则 SOR 迭代法收敛.
12. 证明: 矩阵
\[
A = \left\lbrack \begin{array}{rrrr} 4 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 4 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 4 \end{array}\right\rbrack
\]
是具有相容次序的.
13. 设 \( {T}_{n} \in {\mathbf{R}}^{n \times n} \) 是 (4.3.6) 式中的对称三对角阵.
(1) 给出 \( {T}_{n} \) 的 Cholesky 分解;
(2) 给出 \( {T}_{n} \) 的列主元的三角分解;
(3) 利用 \( {T}_{n} \) 的特征值和特征向量设计一种求解线性矩阵方程 (4.3.6) 的算法, 并计算出你所设计算法的运算量.
14. 设 \( A \) 为如下的块三对角阵:
\[
A = \left\lbrack \begin{matrix} {D}_{1} & {C}_{2} & & & \\ {B}_{2} & {D}_{2} & {C}_{3} & & \\ & {B}_{3} & {D}_{3} & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & {C}_{s} \\ & & & {B}_{s} & {D}_{s} \end{matrix}\right\rbrack ,
\]
其中 \( {D}_{i} \in {\mathbf{R}}^{{n}_{i} \times {n}_{i}} \) 非奇异, \( {n}_{1} + \cdots + {n}_{s} = n \) . 试证: 对任意的 \( \mu \in \mathbf{C} \smallsetminus \{ 0\} \) ,有
\[
\det \left( {D - \mu {C}_{L} - \frac{1}{\mu }{C}_{U}}\right) = \det \left( {D - {C}_{L} - {C}_{U}}\right) ,
\]
其中
\[
D = \operatorname{diag}\left( {{D}_{1},\cdots ,{D}_{s}}\right)
\]
\[
{C}_{L} = - \left\lbrack \begin{matrix} 0 & & & \\ {B}_{2} & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & {B}_{s} & 0 \end{matrix}\right\rbrack ,\;{C}_{U} = - \left\lbrack \begin{matrix} 0 & {C}_{2} & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & {C}_{s} \\ & & & 0 \end{matrix}\right\rbrack .
\]
15. 对于第 14 题所述的矩阵 \( A \) ,证明: 当 \( \omega \neq 1 \) 时, \( \lambda \in \lambda \left( {L}_{\omega }\right) \) 的充分必要条件是存在 \( \mu \in \lambda \left( B\right) \) ,使得
\[
\lambda = \frac{1}{4}{\left\lbrack \omega \mu + {\left( {\omega }^{2}{\mu }^{2} - 4\omega + 4\right) }^{\frac{1}{2}}\right\rbrack }^{2},
\]
其中
\[
B = {D}^{-1}\left( {{C}_{L} + {C}_{U}}\right) ,\;{L}_{\omega } = {\left( D - \omega {C}_{L}\right) }^{-1}\left\lbrack {\left( {1 - \omega }\right) D + \omega {C}_{U}}\right\rbrack .
\]
16. 设形如第 14 题所述的矩阵 \( A \) 使对应的 Jacobi 迭代矩阵 \( B \) 的特征值均为实数,并假定 \( \rho \left( B\right) < 1 \) . 试证:
(1) \( {R}_{\infty }\left( {L}_{1}\right) = 2{R}_{\infty }\left( B\right) \) ;
(2) \( \rho \left( {L}_{{\omega }_{b}}\right) = \mathop{\min }\limits_{{0 < \omega < 2}}\rho \left( {L}_{\omega }\right) = {\omega }_{b} - 1 \) ,其中
\[
{\omega }_{b} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho {\left( B\right) }^{2}}}
\]
(3) \( {2\rho }\left( B\right) {\left\lbrack {R}_{\infty }\left( {L}_{1}\right) \right\rbrack }^{\frac{1}{2}} \leq {R}_{\infty }\left( {L}_{{\omega }_{b}}\right) \leq {R}_{\infty }\left( {L}_{1}\right) + 2{\left\lbrack {R}_{\infty }\left( {L}_{1}\right) \right\rbrack }^{\frac{1}{2}} \) .
## 上机习题
1. 考虑两点边值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} \varepsilon \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = a,\;0 < a < 1, \\ y\left( 0\right) = 0, y\left( 1\right) = 1. \end{array}\right.
\]
容易知道它的精确解为
\[
y = \frac{1 - a}{1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{\varepsilon }}}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{\varepsilon }}}\right) + {ax}.
\]
为了把微分方程离散化,把 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 区间 \( n \) 等分,令 \( h = 1/n \) ,
\[
{x}_{i} = {ih},\;i = 1,\cdots, n - 1,
\]
得到差分方程
\[
\varepsilon \frac{{y}_{i - 1} - 2{y}_{i} + {y}_{i + 1}}{{h}^{2}} + \frac{{y}_{i + 1} - {y}_{i}}{h} = a,
\]
简化为
\[
\left( {\varepsilon + h}\right) {y}_{i + 1} - \left( {{2\varepsilon } + h}\right) {y}_{i} + \varepsilon {y}_{i - 1} = a{h}^{2},
\]
从而离散化后得到的线性方程组的系数矩阵为
\[
A = \left\lbrack \begin{matrix} - \left( {{2\varepsilon } + h}\right) & \varepsilon + h & & & \\ \varepsilon & - \left( {{2\varepsilon } + h}\right) & \varepsilon + h & & \\ & \varepsilon & - \left( {{2\varepsilon } + h}\right) & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & \varepsilon + h \\ & & & \varepsilon & - \left( {{2\varepsilon } + h}\right) \end{matrix}\right\rbrack .
\]
对 \( \varepsilon = 1, a = 1/2, n = {100} \) ,分别用 Jacobi 迭代法, G-S 迭代法和 SOR 迭代法求线性方程组的解, 要求有 4 位有效数字, 然后比较与精确解的误差.
对 \( \varepsilon = {0.1},\varepsilon = {0.01},\varepsilon = {0.0001} \) ,考虑同样的问题.
2. 考虑偏微分方程
\[
- {\Delta u} + g\left( {x, y}\right) u = f\left( {x, y}\right) ,\;\left( {x, y}\right) \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,
\]
其中边界条件为 \( u = 1 \) . 沿 \( x \) 方向和 \( y \) 方向均匀剖分 \( N \) 等份,令 \( h = 1/N \) ,并设应用中心差分离散化后得到差分方程的代数方程组为
\[
- {u}_{i - 1, j} + {u}_{i, j - 1} + \left( {4 + {h}^{2}g\left( {{ih},{jh}}\right) }\right) {u}_{i, j} - {u}_{i + 1, j} - {u}_{i, j + 1} = {h}^{2}f\left( {{ih},{jh}}\right) .
\]
取 \( g\left( {x, y}\right) \) 和 \( f\left( {x, y}\right) \) 分别为 \( \exp \left( {xy}\right) \) 和 \( x + y \) (此时离散解为 \( u = {\left( 1,1,\cdots ,1\right) }^{\mathrm{T}} \) ), 用 G-S 迭代法求解上述代数方程组,并请列表比较 \( N = {20},{40},{80} \) 时收敛所需要的迭代次数和所用的 CPU 时间. 迭代终止条件为 \( {\begin{Vmatrix}{x}_{k + 1} - {x}_{k}\end{Vmatrix}}_{2} < {10}^{-7} \) .
## 第五章 共轭梯度法
大家已经看到, 在使用 SOR 迭代法求解线性方程组时, 需要确定松弛因子 \( \omega \) ,而只有系数矩阵具有较好的性质时,才有可能找到最佳松弛因子 \( {\omega }_{\text{opt }} \) ,且计算 \( {\omega }_{\text{opt }} \) 时还需要求得对应的 Jacobi 迭代矩阵 \( B \) 的谱半径, 这常常是非常困难的.
这一章, 我们介绍一种不需要确定任何参数的求解对称正定线性方程组的方法 —— 共轭梯度法 (或简称 CG 法). 它是上世纪 50 年代初期由 Hestenes 和 Stiefel 首先提出的. 近 30 年来有关的研究得到了前所未有的发展, 目前有关的方法和理论已经相当成熟, 并且已经成为求解大型稀疏线性方程组最受欢迎的一类方法.
共轭梯度法可由多种途径引入, 这里我
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1645_亚纯函数唯一性理论
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定义 1.4
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定义 1.4 \( T\left( {r, f}\right) = m\left( {r, f}\right) + N\left( {r, f}\right) \) .
\( T\left( {r, f}\right) \) 称为 \( f\left( z\right) \) 的特征函数,显然它是非负函数.
设 \( a \) 为任一有穷复数,则 \( \frac{1}{f\left( z\right) - a} \) 在 \( \left| z\right| \leq R \) 上亚纯. 根据上述定义, Nevanlinna \( {}^{\left( 1,2\right) } \) 引进以下几个函数.
定义 \( {1.2}\prime \;m\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\log }^{-1}\frac{1}{\left| f\left( r{e}^{i\theta }\right) - a\right| }{d\theta } \) .
\( m\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) \) 也记为 \( m\left( {r, f = a}\right) \) 或 \( m\left( {r, a}\right) \) .
定义 \( {1.3}^{\prime }\;N\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) = {\int }_{0}^{r}\frac{n\left( {t,\frac{1}{f - a}}\right) - n\left( {0,\frac{\frac{1}{r}}{f - a}}\right) }{t}{dt} \)
\[
+ n\left( {0,\frac{1}{f - a}}\right) \log r
\]
这里 \( n\left( {t,\frac{1}{f - a}}\right) \) 表示在 \( !{x}^{ * } \leq t \) 上 \( f\left( z\right) - a \) 的零点个数,重级零点按其重数计算, \( n\left( {0,\frac{1}{f - a}}\right) \) 表示 \( f\left( z\right) - a \) 在原点的重级.
\( n\left( {t,\frac{1}{f - a}}\right) \) 也记为 \( n\left( {t, f = a}\right) \) 或 \( n\left( {t, a}\right), n\left( {0,\frac{1}{f - a}}\right) \) 也记为
\( n\left( {0, f = a}\right) \) 或 \( n\left( {0, a}\right), N\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) \) 有时记为 \( N\left( {r, f = a}\right) \) 或 \( N\left( {r, a}\right) \) ,称作 \( f\left( z\right) \) 的 \( a \) 值点的计数函数.
定义 \( {1.4}^{\prime }\;T\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) = m\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) + N\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) \) .
\( T\left( {r,\frac{1}{f - a}}\right) \) 称为 \( \frac{1}{f\left( z\right) - a} \) 的特征函数.
## 1. 1.2 函数的积与和的特征函数
为了讨论有限个亚纯函数的积与和的特征函数, 我们先注意正对数的几个性质.
设 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p} \) 为 \( p \) 个有穷复数,根据正对数的定义,容易推出
\[
{\log }^{ + }\left| {\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{p}{a}_{j}}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}{\log }^{ + }\left| {a}_{j}\right|
\]
及
\[
\log \cdot \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{p}{a}_{i}}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}{\log }^{ + }\left| {a}_{j}\right| + \log p.
\]
于是,若 \( {f}_{j}\left( z\right) \left( {j = 1,2,\cdots, p}\right) \) 为 \( p \) 个于 \( \left| z\right| < R \) 内的亚纯函数, 则对于 \( 0 < r < R \) 有
\[
m\left( {r,\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}m\left( {r,{f}_{j}}\right)
\]
\( \left( {1.1.1}\right) \)
及
\[
m\left( {r,\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}m\left( {r,{f}_{j}}\right) + \log p.
\]
\( \left( {1.1.2}\right) \)
此外对于 \( 0 < r < R \) 显然有
\[
n\left( {r,\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}n\left( {r,{f}_{j}}\right)
\]
\( \left( {1.1.3}\right) \)
及
\[
n\left( {r,\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}n\left( {r,{f}_{j}}\right) .
\]
(1.1.4)
若 \( R > 1 \) ,则对于 \( 1 \leq r < R \) ,显然有 \( \log r \geq 0 \) ,从 (1.1.3) 及 \( \left( {1.1.4}\right) \) 即可导出
\[
N\left( {r,\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}N\left( {r,{f}_{j}}\right)
\]
(1.1.5)
及
\[
N\left( {r,\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}N\left( {r,{f}_{j}}\right) .
\]
\( \left( {1.1.6}\right) \)
于是, 从 \( \left( {1.1.1}\right) ,\left( {1.1.2}\right) ,\left( {1.1.5}\right) ,\left( {1.1.6}\right) \) 即可得出不等式
\[
T\left( {r,\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}T\left( {r,{f}_{j}}\right)
\]
\( \left( {1.1.7}\right) \)
及
\[
T\left( {r,\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}{f}_{j}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}T\left( {r,{f}_{j}}\right) + \log p.
\]
\( \left( {1.1.8}\right) \)
若 \( {f}_{j}\left( 0\right) \neq \infty \left( {j = 1,2,\cdots, p}\right) \) ,则对于 \( 0 < r < R \) ,从 (1.1.3) 及 \( \left( {1.1.4}\right) \) 也可导出 \( \left( {1.1.5}\right) \) 及 \( \left( {1.1.6}\right) \) . 于是 \( \left( {1.1.7}\right) \) 及 \( \left( {1.1.8}\right) \) 也成立.
## 1. 1. 3 Poisson-Jensen 公式
在 Nevanlinna 理论中, 下述 Poisson-Jensen 公式起着十分重要的作用.
定理 1.1 设函数 \( f\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| \leq R\left( {0 < R < \infty }\right) \) 上亚纯, \( {a}_{\mu }(\mu \) \( = 1,2,\cdots, M),{b}_{v}\left( {v = 1,2,\cdots, N}\right) \) 分别为 \( f\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| < R \) 内的零点和极点. 若 \( z = r{e}^{i\theta } \) 为 \( \left| \zeta \right| < R \) 内不与 \( {a}_{\mu },{b}_{v} \) 相重的任意一点,则
\[
\log \left| {f\left( z\right) }\right| = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \left( {\theta - \varphi }\right) + {r}^{2}}{d\varphi }
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{\mu = 1}}^{M}\log \left| \frac{R\left( {z - {a}_{\mu }}\right) }{{R}^{2} - {\widetilde{a}}_{\mu }z}\right| - \mathop{\sum }\limits_{{\nu = 1}}^{N}\log \left| \frac{R\left( {z - {b}_{\nu }}\right) }{{R}^{2} - {\bar{b}}_{\nu }z}\right| .
\]
(1. 1.9)
证. 我们区分三种情形.
1) 假设 \( f\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| \leq R \) 上无零点和极点,故函数 \( \frac{{R}^{2} - {\left| z\right| }^{2}}{{R}^{2} - \bar{z}\zeta }\log f\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| \leq R \) 上全纯,于是由 Cauchy 公式有
\[
\log f\left( z\right) = \frac{1}{2\pi i}{\int }_{\left| \zeta \right| = R}\frac{{R}^{2} - {\left| z\right| }^{2}}{\left( {{R}^{2} - \bar{z}\zeta }\right) \left( {\zeta - z}\right) }\log f\left( \zeta \right) {d\zeta }.\;(1.
\]
在上式中,将圆周 \( \left| \zeta \right| = R \) 上的点以 \( \zeta = R{e}^{i\varphi }\left( {0 \leq \varphi < {2\pi }}\right) \) 表之,
于是 \( \left( {1.1.10}\right) \) 变成
\[
\log f\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \left( {\theta - \varphi }\right) + {r}^{2}}\log f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) {d\varphi }.
\]
(1.1.11)
取实部, 即得
\[
\log \left| {f\left( z\right) }\right| = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \left( {\theta - \varphi }\right) + {r}^{2}}{d\varphi }
\]
(1.1.12)
于是 \( \left( {1.1.9}\right) \) 成立.
2) 假设 \( f\left( \zeta \right) \) 仅在 \( \left| \zeta \right| = R \) 上有零点和极点,在 \( \left| \zeta \right| < R \) 内无零点和极点.
此时, (1.1.10) 式右端的被积函数仅仅具有对数奇性, 因而积分仍然有意义. 在每个零点和极点处,只需对积分线圆周 \( \left| \zeta \right| = \) \( R \) 稍许作些改动,然后通过极限过程,即可证明 (1.1.12) 式成立, 从而 (1.1.9) 式也成立.
3) 假设 \( f\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| < R \) 内有零点 \( {a}_{\mu }\left( {\mu = 1,2,\cdots, M}\right) \) 和极点 \( {b}_{\nu }\left( {v = 1,2,\cdots, N}\right) \) .
置
\[
F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) \frac{\mathop{\prod }\limits_{{\nu = 1}}^{N}\left\{ \frac{R\left( {\zeta - {b}_{\nu }}\right) }{{R}^{2} - {\bar{b}}_{\nu }\zeta }\right\} }{\mathop{\prod }\limits_{{\mu = 1}}^{M}\left\{ \frac{R\left( {\zeta - {a}_{\mu }}\right) }{{R}^{2} - {\bar{a}}_{\mu }\zeta }\right\} }.
\]
\( \left( {1.1.13}\right) \)
则易见 \( F\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| < R \) 内全纯,且无零点. 对 \( F\left( \zeta \right) \) 应用 (1.1.12) 式,并注意到,当 \( \zeta = R{e}^{i * },\left| a\right| < R \) 时,
\[
\left| \frac{R\left( {\zeta - a}\right) }{{R}^{2} - \bar{a}\zeta }\right| = \left| \frac{R{e}^{i\varphi } - a}{R - \bar{a}{e}^{i\varphi }}\right| = \left| \frac{R - a{e}^{-{i\varphi }}}{R - \bar{a}{e}^{i\varphi }}\right| = 1,
\]
则得到
\[
\log \left| {F\left( z\right) }\right| = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - 2\bar{R}r\cos \left( {\theta - \varphi }\right) + {r}^{2}}{d\varphi }.
\]
(1.1.14)
由 \( \left( {1.1.13}\right) \) 得
\[
\log \left| {F\left( z\right) }\right| = \log \left| {f\left( z\right) }\right| + \mathop{\sum }\limits_{{\nu = 1}}^{N}\log \left| \frac{R\left( {z - {b}_{\nu }}\right) }{{R}^{2} - {\bar{b}}_{\nu }z}\right|
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{\mu = 1}}^{M}\log \left| \frac{R\left( {z - {a}_{\mu }}\right) }{{R}^{2} - {\bar{a}}_{\mu }z}\right|
\]
将此代入 (1.1.14) 即得 (1.1.9).
定理 1.1 中的公式 (1.1.9) 是复分析中的一个重要公式, 由定理 1.1 可以推出
系 1. 在定理 1.1 的条件下,若 \( f\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| \leq R \) 上没有零点和极点,则对于任意点 \( z,\left| z\right| = r < R \) ,有
\[
\log \left| {f\left( z\right) }\right| = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \left( {\theta - \varphi }\right) + {r}^{2}}{d\varphi }.
\]
(1.1.15)
这就是 Poisson 公式.
系 2. 在定理 1.1 的条件下,若 \( f\left( 0\right) \neq 0,\infty \) ,则
\[
\log \left| {f\left( 0\right) }\right| = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| {d\varphi }
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{\mu = 1}}^{M}\log \frac{R}{\left| {a}_{\mu }\right| } + \mathop{\sum }\limits_{{\nu = 1}}^{N}\log \frac{R}{\left| {b}_{\nu }\right| }.
\]
(1.1.16)
这就是 Jensen 公式.
若 \( f\left( 0\right) = 0 \) 或 \( \infty \) ,设 \( f\left( \zeta \right) \) 在原点邻域内的 Laurent 展式为
\[
f\left( \zeta \right) = {c}_{\lambda }{\zeta }^{\lambda } + {c}_{\lambda + 1}{\zeta }^{\lambda + 1} + \cdots ,{c}_{\lambda } \neq 0,
\]
显然有
\[
\lambda = n\left( {0,\frac{1}{f}}\right) - n\left( {0, f}\right) .
\]
命
\[
g\left( \zeta \right) = \left\{ \begin{array}{ll} f\left( \zeta \right) {\left( \frac{R}{\zeta }\right) }^{\lambda }, & \zeta \neq 0 \\ {c}_{\lambda }{R}^{\lambda }, & \zeta = 0. \end{array}\right.
\]
显然 \( g\left( \zeta \right) \) 在 \( \left| \zeta \right| \leq R \) 上亚纯,且 \( g\left( 0\right) \neq 0,\infty \) . 对 \( g\left( \zeta \right) \) 应用 Jensen 公式 (1.1.16),并注意到 \( \left| {g\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| = \left| {f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| \) ,则得
\[
\log \left| {c}_{\lambda }\right| + \lambda \log R = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{e}^{i\varphi }}\right) }\right| {d\varphi }
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{0 < \left| {a}_{\mu }\right| < R}}\log \frac{R}{\left| {a}_{\mu }\right| } + \mathop{\sum }\limit
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1738_数值分析-李庆扬
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定义 5
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定义 5 若一种数值方法在节点值 \( {y}_{n} \) 上大小为 \( \delta \) 的扰动,于以后各节点值 \( {y}_{m}\left( {m > n}\right) \) 上产生的偏差均不超过 \( \delta \) ,则称该方法是稳定的.
下面先以欧拉法为例考察计算稳定性.
例 4 考察初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} {y}^{\prime } = - {100y} \\ y\left( 0\right) = 1 \end{array}\right.
\]
其准确解 \( y\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{100x}} \) 是一个按指数曲线衰减得很快的函数,如图 9-3 所示.
用欧拉法解方程 \( {y}^{\prime } = - {100y} \) 得
\[
{y}_{n - 1} = \left( {1 - {100h}}\right) {y}_{n}.
\]
若取 \( h = {0.025} \) ,则欧拉公式
图 9-3
的具体形式为
\[
{y}_{n + 1} = - {1.5}{y}_{n},
\]
计算结果列于表 9-4 的第 2 列. 我们看到, 欧拉方法的解 \( {y}_{n} \) (图 9-3 中用 \( \times \) 号标出) 在准确值 \( y\left( {x}_{n}\right) \) 的上下波动,计算过程明显地不稳定. 但若取 \( h = {0.005},{y}_{n + 1} = {0.5}{y}_{n} \) 则计算过程稳定.
再考察后退的欧拉方法, 取 \( h = {0.025} \) 时计算公式为
\[
{y}_{n + 1} = \frac{1}{3.5}{y}_{n}
\]
计算结果列于表 9-4 的第 3 列 (图 9-3 中标以・号), 这时计算过程是稳定的.
表 9-4 计算结果对比
<table><thead><tr><th>节 点</th><th>欧拉方法</th><th>后退欧拉方法</th></tr></thead><tr><td>0.025</td><td>\( - {1.5} \)</td><td>0.2857</td></tr><tr><td>0.050</td><td>2. 25</td><td>0.0816</td></tr><tr><td>0.075</td><td>\( - {3.375} \)</td><td>0.0233</td></tr><tr><td>0.100</td><td>5. 0625</td><td>0.0067</td></tr></table>
例题表明稳定性不但与方法有关,也与步长 \( h \) 的大小有关,当然也与方程中的 \( f\left( {x, y}\right) \) 有关. 为了只考察数值方法本身. 通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性, 模型方程为
\[
{y}^{\prime } = {\lambda y}
\]
(4.8)
其中 \( \lambda \) 为复数,这个方程分析较简单. 对一般方程可以通过局部线性化化为这种形式,例如在 \( \left( {\bar{x},\bar{y}}\right) \) 的邻域,可展开为
\[
{y}^{\prime } = f\left( {x, y}\right)
\]
\[
= f\left( {\bar{x},\bar{y}}\right) + {f}_{x}^{\prime }\left( {\bar{x},\bar{y}}\right) \left( {x - \bar{x}}\right) + {f}_{y}^{\prime }\left( {\bar{x},\bar{y}}\right) \left( {y - \bar{y}}\right) + \cdots ,
\]
略去高阶项,再做变换即可得到 \( {u}^{\prime } = {\lambda u} \) 的形式. 对于 \( m \) 个方程的方程组,可线性化为 \( {\mathbf{y}}^{\prime } = \mathbf{A}\mathbf{y} \) ,这里 \( \mathbf{A} \) 为 \( m \times m \) 的雅可比矩阵 \( \left( \frac{\partial {f}_{i}}{\partial {y}_{j}}\right) \) . 若 \( \mathbf{A} \) 有 \( m \) 个特征值 \( {\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{m} \) ,其中 \( {\lambda }_{i} \) 可能是复数,所以, 为了使模型方程结果能推广到方程组,方程 (4.8) 中 \( \lambda \) 为复数. 为保证微分方程本身的稳定性,还应假定 \( \operatorname{Re}\left( \lambda \right) < 0 \) .
下面先研究欧拉方法的稳定性. 模型方程 \( {y}^{\prime } = {\lambda y} \) 的欧拉公式为
\[
{y}_{n + 1} = \left( {1 + {h\lambda }}\right) {y}_{n}.
\]
(4.9)
设在节点值 \( {y}_{n} \) 上有一扰动值 \( {\varepsilon }_{n} \) ,它的传播使节点值 \( {y}_{n + 1} \) 产生大小为 \( {\varepsilon }_{n + 1} \) 的扰动值,假设用 \( {y}_{n}^{ * } = {y}_{n} + {\varepsilon }_{n} \) 按欧拉公式得出 \( {y}_{n + 1}^{ * } = {y}_{n + 1} \) \( + {\varepsilon }_{n + 1} \) 的计算过程不再有新的误差,则扰动值满足
\[
{\varepsilon }_{n + 1} = \left( {1 + {h\lambda }}\right) {\varepsilon }_{n}
\]
可见扰动值满足原来的差分方程 (4.9). 这样, 如果差分方程的解是不增长的, 即有
\[
\left| {y}_{n + 1}\right| \leq \left| {y}_{n}\right|
\]
则它就是稳定的. 这一论断对于下面将要研究的其他方法同样适用.
显然,为要保证差分方程 (4.9) 的解是不增长的,只要选取 \( h \) 充分小, 使
\[
\left| {1 + {h\lambda }}\right| \leq 1\text{.}
\]
(4.10)
在 \( \mu = {h\lambda } \) 的复平面上,这是以 \( \left( {-1,0}\right) \) 为圆心,1 为半径的单位圆域. 称为欧拉法的绝对稳定域, 一般情形可由下面定义.
定义 6 单步法 (4.1) 用于解模型方程 (4.8), 若得到的解 \( {y}_{n + 1} = E\left( {h\lambda }\right) {y}_{n} \) ,满足 \( \left| {E\left( {h\lambda }\right) }\right| < 1 \) ,则称方法 (4.1) 是绝对稳定的. 在 \( \mu = {h\lambda } \) 的平面上,使 \( \left| {E\left( {h\lambda }\right) }\right| < 1 \) 的变量围成的区域,称为绝对稳定域, 它与实轴的交称为绝对稳定区间.
对欧拉法 \( E\left( {h\lambda }\right) = 1 + {h\lambda } \) ,其绝对稳定域已由 (4.10) 给出,绝对稳定区间为 \( - 2 < {h\lambda } < 0 \) ,在例 5 中 \( \lambda = - {100}, - 2 < - {100h} < 0 \) , 即 \( 0 < h < 2/{100} = {0.02} \) 为绝对稳定区间,例 4 中取 \( h = {0.025} \) 故它是不稳定的,当取 \( h = {0.005} \) 时它是稳定的.
对二阶 R-K 方法, 解模型方程 (4.1) 可得到
\[
{y}_{n + 1} = \left\lbrack {1 + {h\lambda } + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{2}}{2}}\right\rbrack {y}_{n},
\]
故
\[
E\left( {h\lambda }\right) = 1 + {h\lambda } + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{2}}{2}.
\]
绝对稳定域由 \( \left| {1 + {h\lambda } + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{2}}{2}}\right| < 1 \) 得到,于是可得绝对稳定区间为 \( - 2 < {h\lambda } < 0 \) ,即 \( 0 < h < - 2/\lambda \) . 类似可得三阶及四阶的 \( \mathrm{R} - \mathrm{K} \) 方法的 \( E\left( {h\lambda }\right) \) 分别为
\[
E\left( {h\lambda }\right) = 1 + {h\lambda } + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{2}}{2!} + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{3}}{3!},
\]
\[
E\left( {h\lambda }\right) = 1 + {h\lambda } + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{2}}{2!} + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{3}}{3!} + \frac{{\left( h\lambda \right) }^{4}}{4!}.
\]
由 \( \left| {E\left( {h\lambda }\right) }\right| < 1 \) 可得到相应的绝对稳定域. 当 \( \lambda \) 为实数时则得绝对稳定区间. 它们分别为
三阶显式 R-K 方法: \( - {2.51} < {h\lambda } < 0 \) ,即 \( 0 < h < - {2.51}/\lambda \) .
四阶显式 \( \mathrm{R} - \mathrm{K} \) 方法: \( - {2.78} < {h\lambda } < 0 \) ,即 \( 0 < h < - {2.78}/\lambda \) .
从以上讨论可知显式的 R-K 方法的绝对稳定域均为有限域, 都对步长 \( h \) 有限制. 如果 \( h \) 不在所给的绝对稳定区间内,方法就不稳定.
例 \( 5{y}^{\prime } = - {20y}\;\left( {0 \leq x \leq 1}\right), y\left( 0\right) = 1 \) ,分别取 \( h = {0.1} \) 及 \( h = {0.2} \) 用经典的四阶 \( \mathrm{R} - \mathrm{K} \) 方法 (3.13) 计算.
解 本例 \( \lambda = - {20},{h\lambda } \) 分别为 -2 及 -4,前者在绝对稳定区间内, 后者则不在, 用四阶 R-K 方法计算其误差见下表:
<table><thead><tr><th>\( {x}_{n} \)</th><th>0.2</th><th>0.4</th><th>0.6</th><th>0.8</th><th>1. 0</th></tr></thead><tr><td>\( h = {0.1} \)</td><td>0. \( {93} \times {10}^{-1} \)</td><td>0. \( {12} \times {10}^{-1} \)</td><td>\( {0.14} \times {10}^{-2} \)</td><td>\( {0.15} \times {10}^{-3} \)</td><td>\( {0.17} \times {10}^{-4} \)</td></tr><tr><td>\( h = {0.2} \)</td><td>4. 98</td><td>25.0</td><td>125.0</td><td>625.0</td><td>3125.0</td></tr></table>
从以上结果看到,如果步长 \( h \) 不满足绝对稳定条件,误差增长很快.
对隐式单步法, 可以同样讨论方法的绝对稳定性, 例如对后退欧拉法, 用它解模型方程可得
\[
{y}_{n + 1} = \frac{1}{1 - {h\lambda }}{y}_{n}
\]
故
\[
E\left( {h\lambda }\right) = \frac{1}{1 - {h\lambda }}.
\]
由 \( \left| {E\left( {h\lambda }\right) }\right| = \left| \frac{1}{1 - {h\lambda }}\right| < 1 \) 可得绝对稳定域为 \( \left| {1 - {h\lambda }}\right| > 1 \) ,它是以 \( \left( {1,0}\right) \) 为圆心,1 为半径的单位圆外部,故绝对稳定区间为 \( - \infty < {h\lambda } < 0 \) . 当 \( \lambda < 0 \) 时,则 \( 0 < h < \infty \) ,即对任何步长均为稳定的.
对隐式梯形法, 它用于解模型方程 (4.8) 得
\[
{y}_{n + 1} = \frac{1 + \frac{h\lambda }{2}}{1 - \frac{h\lambda }{2}}{y}_{n}
\]
故
\[
E\left( {h\lambda }\right) = \frac{1 + {h\lambda }/2}{1 - {h\lambda }/2}.
\]
对 \( \operatorname{Re}\left( \lambda \right) < 0 \) 有 \( \left| {E\left( {h\lambda }\right) }\right| = \left| \frac{1 + \frac{h\lambda }{2}}{1 - \frac{h\lambda }{2}}\right| < 1 \) ,故绝对稳定域为 \( \mu = {h\lambda } \) 的左半平面,绝对稳定区间为 \( - \infty < {h\lambda } < 0 \) ,即 \( 0 < h < \infty \) 时梯形法均是稳定的.
## 9.5 线性多步法
在逐步推进的求解过程中,计算 \( {y}_{n + 1} \) 之前事实上已经求出了一系列的近似值 \( {y}_{0},{y}_{1},\cdots ,{y}_{n} \) ,如果充分利用前面多步的信息来预测 \( {y}_{n + 1} \) ,则可以期望会获得较高的精度. 这就是构造所谓线性多步法的基本思想.
构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法, 前者可直接由方程 (1.1) 两端积分后利用插值求积公式得到. 本节主要介绍基于泰勒展开的构造方法.
## 9.5.1 线性多步法的一般公式
如果计算 \( {y}_{n + k} \) 时,除用 \( {y}_{n + k - 1} \) 的值,还用到 \( {y}_{n + i}(i = 0,1,\cdots \) , \( k - 2) \) 的值,则称此方法为线性多步法. 一般的线性多步法公式可表示为
\[
{y}_{n + k} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{k - 1}}{\alpha }_{i}{y}_{n + i} + h\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{k}{\beta }_{i}{f}_{n + i},
\]
(5.1)
其中 \( {y}_{n + i} \) 为 \( y\left( {x}_{n + i}\right) \) 的近似, \( {f}_{n + i} = f\left( {{x}_{n + i},{y}_{n + i}}\right) ,{x}_{n + i} = {x}_{0} + {ih} \) , \( {\alpha }_{i},{\beta }_{i} \) 为常数, \( {\alpha }_{0} \) 及 \( {\beta }_{0} \) 不全为零,则称 (5.1) 为线性 \( k \) 步法,计算时需先给出前面 \( k \) 个近似值 \( {y}_{0},{y}_{1},\cdots ,{y}_{k - 1} \) ,再由 (5.1) 逐次求出 \( {y}_{k},{y}_{k + 1},\cdots \) . 如果 \( {\beta }_{k} = 0 \) ,称 (5.1) 为显式 \( k \) 步法,这时 \( {y}_{n + k} \) 可直接由 (5.1) 算出; 如果 \( {\beta }_{k} \neq 0 \) ,则 (5.1) 称为隐式 \( k \) 步法,求解时与梯形法 (2.7) 相同,要用迭代法方可算出 \( {y}_{n + k} \) . (5.1) 中系数 \( {\alpha }_{i} \) 及 \( {\beta }_{i} \) 可根据方法的局部截断误差及阶确定, 其定义为:
定义 7 设 \( y\left( x\right) \) 是初值问题 (1.1),(1.2) 的准确解,线性多步法 (5.1) 在 \( {x}_{n + k} \) 上的局部截断误差为
\[
{T}_{n + k} = L\left\lbrack {y\left( {x}_{n}\right) ;h}\right\rbrack
\]
\[
= y\left( {x}_{n + k}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{k - 1}}{\alpha }_{i}y\left( {x}_{n + i}\right) - h\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{k}{\beta }_{i}{y}^{\prime }\left( {x}_{n + i}\right) .
\]
(5.2)
若 \( {T}_{n + k} = O\left( {h}^{p + 1}\right) \) ,则称方法 (5.1) 是 \( p \) 阶的, \( p \geq 1 \) 则称方法 (5.1) 与方程 (1.1) 是相容的.
由定义 7,对 \( {T}_{n + k} \) 在 \( {x}_{n} \) 处做泰勒展开,由于
\[
y\left( {{x}_{n} + {ih}}\right) = y\left( {x}_{n}\right) + {ih}{y}^{\prime }\left( {x}_{n}\right) + \frac{{\left( ih\right) }^{2}}{2!}{y}^{\prime \prime }\left( {x}_{n}\right)
\]
\[
+ \frac{{\left( ih\right) }^{3}}{3!}{y}^{\prime \prime \prime }\left( {x}_{n}\right) + \cdots ,
\]
\[
{y}^{\prime }\left( {{x}_{n} + {ih}}\right) = {y}^{\prime }\left( {x}_{n}\right) + {ih}{y}^{\prime \prime }\left( {x}_{n}\right) + \frac{{\left( ih\right) }^{2}}{2!}{y}^{\prime \prime \prime }\left( {x}_{n}\right) + \cdots .
\]
代入 (5.2) 得
\[
{T}_{n + k} = {c}_{0}y\left( {x}_{n}\right) + {c}_{1}h{y}^{\prime }\left( {x}_{n}\right) + {c}_{2}{h}^{2}{y}^{\prime \prime }\left( {x}_{n}\right)
\]
\[
+ \cdots + {c}_{p}{h}^{p}{y}^{\left( p\right) }\left( {x}_{n}\right) + \cdots ,
\]
(5.3)
其中
\[
{c}_{0} = 1 - \left( {{\alpha }_{0} + \cdots + {\alpha }_{k - 1}}\right) ,
\]
\[
{c}_{1} = k - \left\lbrack {{\alpha }_{1} + 2{\alpha }_{2} + \cdots + \left( {k - 1}\right) {\alpha }_{k - 1}}\right\rbrack - \left( {{\beta }_{0} + {\beta }_{1} + \cdots + {\beta }_{k}}\right) ,
\]
\[
{c}_{q} = \frac{1}{q!}\left\lbrack {{k}^{q} - \left( {{\alpha }_{1} + {2}^{q}{\alpha }_{2} + \cdots + {\left( k - 1\right) }^{q}{\alpha }_{k - 1}}\right. }\right\rbrack
\]
\[
- \frac{1}{\left( {q - 1}\right) !}\left\lbrack {{\beta }_{1} + {2}^{q - 1}{\beta }_{2} + \cdots + {k}^{q - 1}{\beta }_{k}}\right\rbrack
\]
\[
q = 2,3,\cdots \text{.}
\]
\( \left( {5.4}\right) \)
若在公式 (5.1) 中选择系数 \( {\alpha }_{i} \) 及 \( {\beta }_{i} \) ,使它满足
\[
{c}_{0} = {c}_{1} = \cdots = {c}_{p} = 0,\;{c}_{p + 1} \neq 0.
\]
由定义可知此时所构造的多步法是 \( p \) 阶的,且
\[
{T}_{n + k} = {c}_{p + 1}{h}^{p + 1}{
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1485_偏微分方程选讲(姜礼尚)
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定义 12
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定义 12 我们用 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 表示一切 \( u\left( x\right) \in {L}_{2}\left( \Omega \right) \) ,且具有一阶广义微商 \( \frac{\widehat{c}u}{\widehat{c}{x}_{i}} \in {L}_{2}\left( \mathbf{\Omega }\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 的函数的全体所组成的集合,即
\( {H}^{1}\left( \Omega \right) = \left\{ {u\left( x\right) \mid u \in {L}_{2}\left( \Omega \right) ,\text{ 且广义微商 }\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \in {L}_{2}\left( \Omega \right) ,}\right. \) \( i = 1,2,\cdots, n\} \) .
(1.16)
并规定模
\[
{\left| u\right| }_{1} = {\left\lbrack {\int }_{\Omega }{u}^{2}\mathrm{\;d}x + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\int }_{\Omega }{\left( \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\right) }^{2}\mathrm{\;d}x\right\rbrack }^{1/2},
\]
(1.17)
称 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 为Sobolev空间.
定理 6 Sobolev空间 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 按内积
\[
{\left( u, v\right) }_{1} = {\int }_{\Omega }{uv}\mathrm{\;d}x + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\int }_{\Omega }\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \cdot \frac{\partial v}{\partial {x}_{i}}\mathrm{\;d}x
\]
(1.18)
是一个Hilbert空间.
证明 即需证明 \( {H}^{1}\left( \mathbf{\Omega }\right) \) 是一个完备空间.
设 \( \left\{ {{u}_{s}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 中的基本列,即当 \( k\text{、}l \rightarrow \infty \) 时, \( {\begin{Vmatrix}{u}_{k} - {u}_{l}\end{Vmatrix}}_{1} \rightarrow \) 0 , 从而也就有
\[
{\begin{Vmatrix}{u}_{k} - {u}_{l}\end{Vmatrix}}_{{L}_{t}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0,{\begin{Vmatrix}\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{l}} - \frac{\partial {u}_{l}}{\partial {x}_{l}}\end{Vmatrix}}_{{L}_{t}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0.
\]
由于 \( {L}_{2}\left( \Omega \right) \) 的完备性,存在函数 \( u\left( x\right) \) 和 \( {v}_{i}\left( x\right) \left( {i = 1,2,\cdots n}\right) \) ,使当 \( k \rightarrow \) \( \infty \) 时, 有
\[
{\begin{Vmatrix}{u}_{h} - u\end{Vmatrix}}_{{L}_{t}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0,{\begin{Vmatrix}\frac{\partial {u}_{h}}{\partial {x}_{i}} - {v}_{i}\end{Vmatrix}}_{{L}_{t}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0.
\]
由于
\[
{\int }_{\Omega }{u}_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{i}}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{\Omega }\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{i}}\varphi \mathrm{d}x,\;\forall \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right)
\]
于是, 有
\[
{\int }_{\Omega }u\frac{\widehat{c}\varphi }{\widehat{c}x}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{\Omega }{v}_{0}\varphi \mathrm{d}x,\;\forall \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right)
\]
从而证明了
\[
{v}_{i} = \frac{\widehat{c}u}{\widehat{c}{x}_{i}}\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
上述结果表明存在 \( u\left( x\right) \in {H}^{1}\left( \Omega \right) \) ,使得
\[
{\left| {u}_{k} - u\right| }_{1} \rightarrow 0\;\left( {k \rightarrow \infty }\right) ,
\]
所以 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 是完备的.
附注 \( {1}^{ \circ }{H}^{1}\left( \Omega \right) \) 也称为一阶Sobolev空间. 更一般地,可定义 \( m \) 阶Sobolev空间 \( {H}^{m}\left( \Omega \right) \) 为
\( {H}^{m}\left( \mathbf{\Omega }\right) = \left\{ {u\left( x\right) \mid u \in {L}_{2}\left( \mathbf{\Omega }\right) \text{,且广义微商}{\mathrm{D}}^{\gamma }u \in {L}_{2}\left( \mathbf{\Omega }\right) ,\forall \left| x\right| \leq m}\right\} \) ,
(1.19)
并规定内积
\[
{\left( u, v\right) }_{m} = {\int }_{\Omega }{uv}\mathrm{\;d}x + \mathop{\sum }\limits_{{x < m}}{\int }_{\Omega }\mathrm{D}u \cdot \mathrm{D}v\mathrm{\;d}x
\]
(1.20)
及模
\[
\parallel u{\parallel }_{m} = \sqrt{{\left( u, u\right) }_{m}}.
\]
(1.21)
特殊地, \( {H}^{0}\left( \Omega \right) = {L}_{2}\left( \Omega \right) \) .
\( {2}^{ \circ } \) 记函数集合
\[
{H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) = \left\{ {u\left( x\right) \mid u \in {H}^{1}\left( \Omega \right) ,{\left. \underline{\mathrm{H}}u\right| }_{\partial \Omega } = 0}\right\} ,
\]
(1.22)
显然有 \( {H}_{0}\left( \Omega \right) \subset {H}^{1}\left( \Omega \right) \) . 可以证明 \( {H}_{0}\left( \Omega \right) \) 也是完备的,且有下述的结论: \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 在 \( {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \) 中鹅蛮. 即若 \( u\left( x\right) \in {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \) ,则存在 \( \left\{ {{u}_{n}\left( x\right) }\right\} \in \) \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,使得当 \( n \rightarrow \infty \) 时,有
\[
{\begin{Vmatrix}{u}_{n}\left( x\right) - u\left( x\right) \end{Vmatrix}}_{H \times \Omega } \rightarrow 0.
\]
\( {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \) 中的模 \( {\left| \cdot \right| }_{H\left( \Omega \right) } \) 与 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 中的模 \( \parallel \cdot {\parallel }_{1} \) 取相同的形式.
## 三、嵌入定理
嵌入定理深刻地刻画了Sobolev空间与其它函数空间之间的关系,它在近代偏微分方程理论研究中起着重要作用. 设区域 \( \Omega \) 是 \( {\mathbf{R}}^{N} \) 中的开集,边界 \( \partial \mathbf{\Omega } \) 充分光滑,现把嵌入定理的结论叙述如下:
嵌入定理 1 从 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \) 到 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \left( {k > l}\right) \) 的嵌入算子 \( I : {H}^{k} \rightarrow {H}^{\prime } \) 是有界算子,即存在常数 \( M \) ,使得
\[
\parallel u{\parallel }_{l} \leq M{\left| u\right| }_{k},
\]
(1.23)
而且嵌入算子是完全连续的.
这个定理有三层意思:
\( {1}^{ \circ } \) “嵌入”是恒同嵌入. 是指 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \) 的元素 \( u \) . 必属于 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) . 即 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \subset {H}^{l}\left( \Omega \right) \) ;
\( {2}^{ \circ } \) 嵌入算子是有界的. 是指 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \) 中的收敛序列,不仅属于 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) ,而且亦是 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 中的收敛序列;
\( {3}^{ \circ } \) 嵌入算子是完全连续的. 即 \( {H}^{ * }\left( \Omega \right) \) 中的任一有界集,不仅在 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 中亦是有界集,而且存在在 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 意义下收敛的子序列(即具有紧致性).
这表明 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \) 比 \( {H}^{l}\left( \Omega \right) \) 有更强的结构.
嵌入定理 2 若 \( k > \frac{N}{2}, N \) 是区域 \( \Omega \) 所属空间的维数,则 \( {H}^{k} \) \( \left( \Omega \right) \) 嵌入 \( C\left( \bar{\Omega }\right) \) ,且存在常数 \( M \) ,使得
\[
\parallel u{\parallel }_{C{\bar{\Omega }}_{1}} \leq M\parallel u{\parallel }_{k},
\]
(1.24)
而且嵌入算子 \( I : {H}^{k}\left( \Omega \right) \rightarrow C\left( \bar{\Omega }\right) \) 是完全连续的.
这里除了前面讲的三层意思外, 还有一点需要特别提及: 我们说 \( {H}^{n}\left( \Omega \right) \) 嵌入 \( C\left( \bar{\Omega }\right) \) ,即指若一个平方可和函数只要它具有直到 \( k \) 阶平方可和的广义微商 \( \left( {k > \frac{N}{2}}\right) \) ,那么我们一定可以修改这个函数在零测集上的函数值,使它成为 \( \bar{\Omega } \) 上的连续函数,也就是它必然与一个连续函数对等.
嵌入定理 3 若有非负整数 \( l \) 满足 \( k - l > \frac{N}{2} \) ,则 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \) 嵌入 \( {C}^{t}\left( \bar{\Omega }\right) \) ,且存在常数 \( M \) ,使得
\[
\parallel u{\parallel }_{{c}_{1\Omega }} \leq M\parallel u{\parallel }_{k}
\]
(1.25)
嵌入算子 \( I : {H}^{k}\left( \Omega \right) \rightarrow {C}^{l}\left( \bar{\Omega }\right) \) 是完全连续算子.
## 四、迹定理
对于变分问题的解 \( u \) . 除了要求它属于某函数空间 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \) 以外,还要求它在边界 \( \partial \Omega \) 上满足一定的条件. 如果函数 \( u \in C\left( \bar{\Omega }\right) \) ,那么边值 \( {\left. u\right| }_{r\Omega } \) 的意义是明显的. 但若 \( u \notin C\left( \bar{\Omega }\right) ,{\left. u\right| }_{r\Omega } \) 的含意是什么呢? 如空间 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) ,由嵌入定理 2 可知,对于 \( N = 2 \) 或 3 维的区域 \( \Omega \) ,不能得到 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \subset C\left( \bar{\Omega }\right) \) ,这时如果说 \( {\left. u\right| }_{r\Omega } \) 取值为已知. 就必须给出确切的含意.
定理 7(迹定理) 在空间 \( {C}^{ * }\left( \bar{\Omega }\right) \) 上引进线性算子?: \( {yu} = \) \( {\left. u\right| }_{i\Omega } \) ,若令
\[
\parallel {\gamma u}{\parallel }_{k - 1 + \Omega } = {\left\lbrack \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{k - 1}}{\int }_{\zeta /\Omega }{\left| {\mathrm{D}}^{x}u\right| }^{2}\mathrm{\;d}s\right\rbrack }^{\frac{1}{2}}\;\left( {k \geq 1}\right) ,
\]
则存在只依赖于 \( \Omega \) 的常数 \( M \) ,使得
\[
\parallel {\gamma u}{\parallel }_{k - 1/\Omega } \leq M\parallel u{\parallel }_{k}
\]
(1.26)
对任一函数 \( u \in {H}^{k}\left( \Omega \right) \) ,可以找到序列 \( \left\{ {u}_{n}\right\} \subset {C}^{k}\left( \bar{\Omega }\right) \) ,使 \( {\begin{Vmatrix}{u}_{n} - u\end{Vmatrix}}_{k} \rightarrow 0 \) . 显然, \( \left\{ {u}_{n}\right\} \) 是 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) \) 的基本列. 由迹定理知 \( \left\{ {{\mathbf{D}}^{n}{u}_{n}}\right\} \) \( \left( {\left| \alpha \right| \leq k - 1}\right) \) 是 \( {L}_{2}\left( {\partial \Omega }\right) \) 中的基本列,故存在 \( {\varphi }_{2} \in {L}_{2}\left( {\partial \Omega }\right) \) ,使得
\[
{\begin{Vmatrix}{\mathrm{D}}^{2}{u}_{n} - {\varphi }_{n}\end{Vmatrix}}_{t, k,\Omega } \rightarrow 0,\;\forall \alpha : \left| \alpha \right| \leq k - 1.
\]
显然,当 \( u \in {C}^{ * }\left( \bar{\Omega }\right) \) 时, \( {\varphi }_{x} = {\mathrm{D}}^{2}u \mid \Omega \) ,对于一般的 \( u \in {H}^{ * }\left( \Omega \right) \) ,我们则称 \( \varphi \) 。为 \( {\mathrm{D}}^{x}u \) 的广义边值,并以算子 \( {\gamma }_{x} \) 表示:
\[
{\gamma }_{x}u = {\varphi }_{x} = {\left. {\mathbf{D}}^{x}u\right| }_{\Omega \cdot }
\]
以后凡提到取边值时, 都理解为这种广义边值.
算子 \( {\gamma }_{x}\left( {\left| \alpha \right| \leq k - 1}\right) \) 称为迹算子. 当 \( u \in {H}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) 时显然有 \( {\gamma }_{x}u = 0 \) \( \left( {\left| \alpha \right| \leq k - 1}\right) \) . 即 \( {H}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) 中的函数. 它本身直到 \( k - 1 \) 阶的一切广义微商都取零边值. 特别当 \( u \in {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \) 时,有 \( {\gamma }_{0}u = 0 \) ,或直接写为 \( u \mid n = 0 \) .
## 五、等价模定理
为了在后面研究插值逼近的误差的需要, 有必要引进Sobolev空间的等价模概念. 因为对于一个函数空间的模如果定义比较恰当, 将会对问题的研究带来方便. 而如果引进的模与原来所熟悉的模等价, 那就表示对于新的模, 空间的结构是不变的, 它保持了原来空间的性质.
对 \( u \in {H}^{1}\left( \Omega \right) \) ,若定义
\[
{\left| u\right| }_{1} = {\left\lbrack \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\int }_{\Omega }{\left( \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\right) }^{2}\mathrm{\;d}x\right\rbrack }^{\frac{1}{2}},
\]
(1.27)
则不难验证,除 \( {\left| u\right| }_{1} = 0 \) 不能导出 \( u = 0 \) 以外,它满足所有范数的条件 (1.2) (1.4), 因而它是“半模”.
定理 8 (等价模定理) 设 \( f\left( u\right) \) 是定义在 \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 上的有界线性泛函. 且对任意非零常数 \( c \) ,有 \( f\left( c\right) \neq 0 \) ,则模 \( \parallel u{\parallel }_{1} \) 与模 \( {\left( {\left| u\right| }_{1}^{2} + {\left| f\left( u\right) \right| }^{2}\right) }^{1/2} \) 等价. 即存在 \( \alpha \text{、}\beta > 0 \) . 使对一切 \( u \in {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 有
\[
\alpha {\left( {\left| u\right| }^{2} + {\left| f\left( u\right) \right| }^{2}\right) }^{1/2} \leq \parallel u{\parallel }_{1} \leq \beta {\left( {\left|
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1899_[现代数学基础丛书].[数理逻辑引论与归结原理]
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定义 3.2.1
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定义 3.2.1 设 \( \mathcal{L} \) 是一阶语言, \( \mathcal{Y} \) 的解释 \( I \) 的组成如下:
(i) 一个非空集 \( {D}_{I} \) ,叫解释 \( I \) 的论域.
(ii) \( {D}_{I} \) 中的一组与 \( \mathcal{Y} \) 中的个体常元 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 相对应的特定元 \( \overline{{a}_{1}},\overline{{a}_{2}},\cdots \) .
(iii) \( {D}_{I} \) 上的一组与 \( \mathcal{L} \) 中的谓词符号 \( \left\{ {A}_{i}^{n}\right\} \) 相对应的关系 \( \left\{ \overline{{A}_{i}^{n}}\right\} \) ,这里 \( \overline{{A}_{i}^{n}} \subset {D}_{I}^{n} \) , 即 \( \overline{{A}_{i}^{n}} \) 是 \( {D}_{I} \) 上的 \( n \) 元关系.
(iv) \( {D}_{I} \) 上的一组与 \( \mathcal{L} \) 中的函数符号 \( \left\{ {f}_{i}^{n}\right\} \) 相对应的函数 \( \left\{ \overline{{f}_{i}^{n}}\right\} \) ,这里 \( \overline{{f}_{i}^{n}} : {D}_{I}^{n} \rightarrow {D}_{I} \) 是 \( {D}_{I} \) 上的 \( n \) 元函数.
注 3.2.2 (i) 有了解释 \( I \) 之后, \( \mathcal{L} \) 中的变元 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots \) 就可以通过“赋值” (下面有正式定义)而被赋予以 \( {D}_{I} \) 中的值 (即 \( {D}_{I} \) 中的元). 这时一阶语言中的量词 \( \forall \) 与 \( \exists \) 是针对 \( {D}_{1} \) 中的元而讲的,而不是针对 \( {D}_{1} \) 的子集而讲的,这是一阶语言的特点. 还有所谓“二阶语言”,那里的量词是针对 \( {D}_{I} \) 的子集以及更一般的 \( {D}_{I} \) 上的关系而讲的. 比如, “自然数的每个非空子集都含有最小元”这句话就超出了一阶语言的表达范围, 因为它涉及到了“每个非空子集”. 这种语句是要用二阶语言才能表达的.
(ii) 一阶语言 \( \mathcal{L} \) 可以有多种不同的解释. 如果不管解释的好与坏,则任何 \( \mathcal{L} \) 都有如下的解释:
取 \( {D}_{I} \) 为任一非空集,在 \( {D}_{I} \) 中固定一个元 \( \bar{a} \) ,使 \( \mathcal{L} \) 中每个个体常元都被解释为 \( \bar{a} \) ,使 \( \mathcal{L} \) 中每个函数符号都被解释为取常值 \( \bar{a} \) 的函数,同时使 \( \mathcal{L} \) 中每个谓词符号都被解释为空关系.
显然,这是一个不好的、无用的解释,但它毕竟是一种解释,可见任何一阶语言 \( \mathcal{L} \) 一定有解释.
例 3.2.3 (i) 重新考虑例 3.1.4(i) 中描述自然数的语言 \( \mathcal{L} \) . 那里说可以用个体常元 \( {a}_{1} \) 表示自然数 0,用二元谓词符号 \( {A}_{1}^{2} \) 表示相等关系,等等. 现在可以用定义 3.2.1 将其规范化,即, \( {D}_{I} = \{ 0,1,2,\cdots \} ,{\bar{a}}_{1} = 0,\overline{{A}_{1}^{2}} \) 为 \( {D}_{I} \) 上的相等关系,等等, 这时公式
\[
\left( {\forall {x}_{1}}\right) \left( {\forall {x}_{2}}\right) \left( {\neg \left( {\forall {x}_{3}}\right) \left( {\neg {A}_{1}^{2}\left( {{f}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{3}}\right) ,{x}_{2}}\right) }\right) }\right)
\]
(3.2.1)
的解释 (把 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3} \) 分别改为 \( {D}_{I} \) 中的 \( x, y, z \) ) 就是:
“对任何自然数 \( x \) 与 \( y \) ,并非对所有的自然数 \( z \) 都有 \( x + z \neq y \) ”.
或等价地说
“对任何自然数 \( x \) 与 \( y \) ,总有自然数 \( z \) 使 \( x + z = y \) ”.
这就是上述解释下(3.2.1)式的意义. 可见在这种解释下(3.2.1)式是错误的.
(ii) 上述一阶语言 \( \mathcal{L} \) 还可用来表示整数及其运算. 这时相应的解释的论域当然要改为 \( {D}_{I} = \{ 0, \pm 1, \pm 2,\cdots \} \) ,其余不变. 这时 \( \left( {3.2.1}\right) \) 式的意义就成为
“对任何整数 \( x \) 与 \( y \) ,总有整数 \( z \) 使 \( x + z = y \) ”.
这显然又是对的了,可见一阶语言中可能有同一个公式 \( A \) ,它在某些解释下是真的, 而在另一些解释下却是假的.
## 习 题 八
1. 设 \( \mathcal{L} \) 是一阶语言,它有 1 个个体常元 \( {a}_{1},1 \) 个函数符号 \( {f}_{1}^{2} \) 和 1 个谓词符号 \( {A}_{1}^{2} \) ,设公式 \( A \) 为
\[
\left( {\forall {x}_{1}}\right) \left( {{A}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{a}_{1}}\right) \rightarrow {A}_{1}^{2}\left( {{f}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{1}}\right) ,{a}_{1}}\right) }\right) .
\]
(3.2.2)
(i) 设 \( \mathcal{L} \) 的解释 \( I \) 为: \( {D}_{I} = Z,\overline{{a}_{1}} = 0,\overline{{f}_{1}^{2}}\left( {x, y}\right) = {xy},\overline{{A}_{1}^{2}}\left( {x, y}\right) \) 为 “ \( x < y \) ”,问 (3.2.2)式在此解释下的意义是什么？是真还是假？
(ii) 把解释 \( I \) 稍作改变,设 \( \overline{{f}_{1}^{2}}\left( {x, y}\right) = x + y \) ,其余不变,问这时 (3.2.2) 式的意义是什么？是真还是假？
(iii) 把解释 \( I \) 再稍作改变,设 \( \overrightarrow{{A}_{1}^{2}}\left( {x, y}\right) \) 表示 “ \( x = y \) ”,问这时 (3.2.2) 式的意义是什么？是真还是假？
2. 设一阶语言 \( \mathcal{L} \) 与第 1 题相同,解释 \( I \) 为: \( {D}_{I} = Z,\overline{{a}_{1}} = 0,\overline{{f}_{1}^{2}}\left( {x, y}\right) = x - y \) ,
\( \overline{{A}_{1}^{2}}\left( {x, y}\right) \) 是 “ \( x < y \) ”. 设公式 \( A \) 是
\[
\left( {\forall {x}_{1}}\right) \left( {\forall {x}_{2}}\right) \left( {{A}_{1}^{2}\left( {{f}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,{a}_{1}}\right) \rightarrow {A}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) }\right) \text{.}
\]
\( \left( {3.2.3}\right) \)
问(3.2.3)式在此解释下的意义是什么? 是真还是假? 又, 试改变上述解释, 使 (3.2.3)式在新解释下的真、假情况与以上相反.
3. 设一阶语言中的公式 \( A \) 为
\[
\left( {\forall {x}_{1}}\right) \left( {{A}_{1}^{1}\left( {x}_{1}\right) \rightarrow {A}_{1}^{1}\left( {{f}_{1}^{1}\left( {x}_{1}\right) }\right) }\right) .
\]
\( \left( {3.2.4}\right) \)
公式 \( B \) 为
\[
\left( {\forall {x}_{1}}\right) \left( {{A}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \rightarrow {A}_{1}^{2}\left( {{x}_{2},{x}_{1}}\right) }\right) \text{.}
\]
\( \left( {3.2.5}\right) \)
试分别作出不同的解释使 \( A\left( B\right) \) 有时为真,有时为假.
4. 一阶语言中有没有一种公式 \( A \) ,它在任何解释下都是真的?
## \( §{3.2.2} \) 赋值与满足
一阶语言 \( \mathcal{Y} \) 在有了解释 \( I \) 之后, \( \mathcal{Y} \) 中的个体常元、函数符号、项、谓词符号等就有了在 \( {D}_{I} \) 中的明确涵义. \( \mathcal{L} \) 中的公式就成为论域 \( {D}_{I} \) 中关于它所含变元的一种论断,比如一个原于公式 \( {A}_{1}^{2}\left( {{t}_{1},{t}_{2}}\right) \) 经过解释 \( I \) 后成为 \( {D}_{I} \) 中的某种论断 \( \overline{{A}_{1}^{2}}\left( {\overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{2}}}\right) \) . 因为一般说来, \( {t}_{1} \) 与 \( {t}_{2} \) 中含有变元,所以关于 \( \overline{{t}_{1}},\overline{{t}_{2}} \) 的论断 \( \overline{{A}_{1}^{2}} \) 最终是关于变元的论断. 这个论断正确与否取决于所涉及的变元在 \( {D}_{I} \) 中被怎样赋值而定,比如,在例 3.1.4(i) 中,公式 \( {A}_{1}^{2}\left( {{f}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,{f}_{2}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) }\right) \) 被解释为 \( \overline{{A}_{1}^{2}}\left( {\overline{{f}_{1}^{2}}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,\overline{{f}_{2}^{2}}\left( {{x}_{1}\text{,}}\right. }\right. \) \( \left. \left. {x}_{2}\right) \right) \) ,即 “ \( {x}_{1} + {x}_{2} = {x}_{1}{x}_{2} \) ”. 这是关于变元 \( {x}_{1} \) 与 \( {x}_{2} \) 的论断,它是否成立要看 \( {x}_{1} \) 与 \( {x}_{2} \) 怎样在 \( N \) 中取值而定,变元的取值定下来之后才可以判断命题的真假.
定义 3.2.4 设 \( \mathcal{Y} \) 是一阶语言, \( I \) 是 \( \mathcal{Y} \) 的解释. \( \mathcal{L} \) 在 \( I \) 中的赋值 \( v \) 是从 \( \mathcal{Y} \) 的项集 \( \mathcal{T} \) 到 \( {D}_{I} \) 的一个映射 \( v : \mathcal{T} \rightarrow {D}_{I} \) ,满足条件
(i) \( v\left( {a}_{i}\right) = \overline{{a}_{i}} \) ,这里 \( {a}_{i} \) 是 \( \mathcal{L} \) 中的个体常元.
(ii) \( v\left( {{f}_{i}^{n}\left( {{t}_{1},\cdots ,{t}_{n}}\right) }\right) = \overline{{f}_{i}^{n}}\left( {v\left( {t}_{1}\right) ,\cdots, v\left( {t}_{n}\right) }\right) \) ,这里 \( {f}_{i}^{n} \) 是 \( \mathcal{L} \) 中的函数符号.
注 3.2.5 上面的条件 (i) 其实在作解释 \( I \) 时已经说过了,有时可能还需要给 \( \mathcal{L} \) 再增添几个备用的个体常元,其相应的 \( {D}_{I} \) 中的特定元视情况而定. 又, \( \mathcal{J} \) 中最简单的项是变元与个体常元, 而一般的项又可通过函数符号由它们来表示. 所以由条件(ii) 知,只要 \( v \) 在每个变元处的值 \( v\left( {x}_{1}\right), v\left( {x}_{2}\right) ,\cdots \) 给定了,那么 \( v \) 在每个项 \( t \) 处的值也都完全确定了,所以,如果用 \( X \) 表示全体变元之集,自然 \( X \subset \mathcal{T} \) ,且 \( \mathcal{Y} \) 在 \( I \) 中的赋值 \( v \) ,由 \( v \) 在 \( X \) 上的限制 \( v \mid X \) 而定.
例 3.2.6 考虑一阶语言 \( \mathcal{L} \) 及其自然数解释 \( I \) . 规定
\[
v\left( {x}_{1}\right) = 1, v\left( {x}_{2}\right) = 2, v\left( {x}_{n}\right) = 0, n = 3,4,\cdots \text{,}
\]
则 \( v \) 就决定了 \( \mathcal{L} \) 在 \( I \) 中的一个赋值,这时
\[
v\left( {{f}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) }\right) = \overline{{f}_{1}^{2}}\left( {v\left( {x}_{1}\right), v\left( {x}_{2}\right) }\right) = v\left( {x}_{1}\right) + v\left( {x}_{2}\right) = 3,
\]
\[
v\left( {{f}_{2}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) }\right) = \overline{{f}_{2}^{2}}\left( {v\left( {x}_{1}\right), v\left( {x}_{2}\right) }\right) = v\left( {x}_{1}\right) \times v\left( {x}_{2}\right) = 2.
\]
从而公式 \( {A}_{1}^{2}\left( {{f}_{1}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,{f}_{2}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) }\right) \) 在这种赋值下不成立. 但如果把赋值 \( v\left( {x}_{1}\right) \) 改为 2 , 则这个公式又成立了.
定义 3.2.7 设 \( \mathcal{Y} \) 是一阶语言, \( I \) 是 \( \mathcal{Y} \) 的一个解释, \( v \) 和 \( {v}^{\prime } \) 是 \( \mathcal{Y} \) 在 \( I \) 中的两个赋值. 若 \( v \) 与 \( {v}^{\prime } \) 满足条件
\[
\text{当}j \neq i\text{时}v\left( {x}_{j}\right) = {v}^{\prime }\left( {x}_{j}\right) ,\;j = 1,2,\cdots \text{.}
\]
(3.2.6)
则称赋值 \( v \) 与 \( {v}^{\prime } \) 是 \( i - \) 等价的.
通俗地说 \( {v}^{\prime } \) 与 \( {vi} - \) 等价时 \( {v}^{\prime } \) 除可能在一个变元 \( {x}_{i} \) 处的值与 \( v\left( {x}_{i}\right) \) 不同而外,在其他变元处的值全和 \( v \) 在那些变元处的值一样,即, \( {v}^{\prime } \) 和 \( {v}^{\prime \prime } \) 差不多”是一样的. 当然,不差也行,即, \( v \) 与自身也是 \( i \) -等价的 \( \left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) .
定义 3.2.8 设 \( \mathcal{Y} \) 是一阶语言, \( I \) 是 \( \mathcal{Y} \) 的解释, \( v \) 是 \( \mathcal{L} \) 在 \( I \) 中的一个赋值, \( A \) 是 \( \mathcal{L} \) 中的一个公式. 所谓 \( v \) 满足 \( A \) 可以归纳地定义如下:
(i) 若 \( A \) 是原子公式 \( {A}_{j}^{n}\left( {{t}_{1},\cdots ,{t}_{n}}\right) \) ,则 \( v \) 满足 \( A \) 指 \( \overline{{A}_{j}^{n}}\left( {v\left( {t}_{1}\right) ,\cdots, v\left( {t}_{n}\right) }\right) \) 是在 \( {D}_{I} \) 上为真的 \( n \) 元关系.
(ii) 若 \( A \) 是 \( \neg B \) ,则 \( v \) 满足 \( A \) 指 \( v \) 不满足 \( B \) .
(iii) 若 \( A \) 是 \( B \rightarrow C \) ,则 \( v \) 满足 \( A \) 指 \( v \) 满足 \( C \) 或 \( v \) 不满足 \( B \) .
(iv) 若 \( A \) 是 \( \left( {\forall {x}_{i}}\right) B \) ,则 \( v \) 满足 \( A \) 指每个与 \( {vi} - \) 等价的赋值 \( {v}^{\prime } \) 都满足 \( B \) .
注 3.2.9 由此定义知对任一公式 \( A \) 以及任一赋值 \( v, v \) 满足 \( A \) 与 \( v \) 满足 \( \neg A \) 二者必有一个且只有一个成立. 所以若 \( v \) 不满足 \( \neg \Lambda \) ,则 \( v \) 一定满足 \( A \) . 与命题演算系统 \( \mathbf{L} \) 不同,这里已经不谈论 \( v \) 在 \( A \) 处的“值” 了. 当然,为了方便起见约定 \( v\left( A\right) = 1 \) 当且仅当 \( v \) 满足 \( A \) 以及 \( v\left( \Lambda \right) = 0 \) 当且仅当 \( v \) 不满足 \( A \) 也是可以的, 而且
\[
v\left( {\neg A}\right) = \neg v\left( A\right), v\left( {A \rightarrow B}\right) = v\left( A\right) \rightarrow v\left( B\right) ,
\]
\[
v\left( {\left( {\forall {x}_{i}}\right) A}\right) = A\left| {{v}^{\prime }\left( A\right) }\right| {v}^{\prime }\text{与}{vi} - \text{等价}\} \text{.}
\]
(3.2.7)
这里三个等式右边的 \( \rightarrow \) , \( \rightarrow \) 和 \( \Lambda \) 都是 \( \{ 0,1\} \) 中的运算. 所以当 \( \mathcal{Y} \) 的解释 \( I \) 确定之后, \( \mathcal{Y} \) 在 \( I \) 中的赋值 \( v \) 也可以理解为一种满足(3.2.7)式的特殊同态 \( v : \mathcal{F} \rightarrow \{ 0,1\} \) .
例 3.2.10 (i) 设 \( \mathcal{L} \) 是表示自然数的语言,其解释 \( I \) 的论域 \( {D}_{I} = N \) . 考虑 \( \mathcal{F} \) 中的如下公式 \( A \) :
\[
{A}_{1}^{2}\left( {{f}_{2}^{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,{f}_{2}^{2}\left( {{x}_{3},{x}_{4}}\right) }\right) \text{.}
\]
在解释 \( I \) 之下 \( A \) 表示 “ \( {x}_{1}{x}_{2} = {x}_{3}{x}_{4} \) ”. 如果 \( \mathcal{L} \) 在 \( I \) 中的赋值 \( v \) 满足 \( v\left( {x}_{1}\right) = 2 \) , \( v\left(
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1252_[包志强] 点集拓扑与代数拓扑引论
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定义 4.7.5
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定义 4.7.5 群 \( < {C}_{1}^{\prime } \cup {C}_{2}^{\prime } \mid {R}_{1}^{\prime } \cup {R}_{2}^{\prime } > \) 称为群 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的 自由积 (free product),记为 \( {G}_{1} * {G}_{2} \) .
简单地讲,群 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的自由积就是由所有无法进一步化简的形如 \( {w}_{1}\cdots {w}_{n} \) (其中每个 \( {w}_{i} \) 是 \( {G}_{1} \) 或者 \( {G}_{2} \) 中的元素) 的形式表达式构成的群. 在范畴那一节中我们还提到过, 自由积的同构类型可以不依赖于群的表出更抽象地刻画: 任取群 \( H \) 以及两个同态 \( {\phi }_{1} : {G}_{1} \rightarrow H \) , \( {\phi }_{2} : {G}_{2} \rightarrow H \) ,存在唯一同态 \( h : {G}_{1} * {G}_{2} \rightarrow H \) ,使得下述交换图表成立:
如果一个群 \( G \) 是交换群,则任取 \( a, b \in G,{ab} = {ba} \) ,等号两边同时右乘 \( {a}^{-1}{b}^{-1} \) 可得 \( {ab}{a}^{-1}{b}^{-1} = 1 \) ,即 \( {ab}{a}^{-1}{b}^{-1} \) 是个关系.
现在假设群 \( G \) 具有表出 \( \langle C \mid R\rangle \) ,但不是一个交换群,则也可以通过补充此类关系, 把它变成一个交换群:
定义 4.7.6 群 \( < C \mid R \cup \left\{ {{ab}{a}^{-1}{b}^{-1} \mid a, b \in C}\right\} > \) 称为群 \( G \) 的 交换化 (abelianization).
任取 \( a, b \in G,\left\lbrack {a, b}\right\rbrack = {ab}{a}^{-1}{b}^{-1} \) 称为 \( G \) 的一个 换位子 (commutator). \( G \) 的包含所有换位子的最小正规子群 \( \left\lbrack {G, G}\right\rbrack \) 称为 \( G \) 的 换位子群 (commutator). \( G \) 的交换化实际上就是商群 \( G/\left\lbrack {G, G}\right\rbrack \) .
值得注意的是, 同一个群可以有很多种不同的表出, 想要通过观察群的表出来证明两个群不同构, 在大多数情况下是一个不可能完成的任务. 此时交换化是一个可以利用的技巧.
大家是否还记得我们前面讲过, 代数学家通常在定义群的运算时, 把不满足交换律的运算称为乘法, 而把满足交换律的运算称为加法. 这样做是有好处的. 设 \( G = < {c}_{1},\cdots ,{c}_{n} \mid {r}_{1},\cdots ,{r}_{m} > \) 是一个有限表出群,我们可以把 \( G \) 的交换化中的群运算改写成加法,于是每个元素 \( g = {c}_{{i}_{1}}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{{i}_{k}}^{{\varepsilon }_{k}} \) 在交换化中对应的元素 \( \langle g\rangle \) 就可以被改写成 \( {\varepsilon }_{1}\left\langle {c}_{{i}_{1}}\right\rangle + \cdots + {\varepsilon }_{k}\left\langle {c}_{{i}_{k}}\right\rangle \) 的样子,然后可以合并各项系数,把它理解成一个整系数的形式线性组合
\[
\rho \left( g\right) = {g}_{1}\left\langle {c}_{1}\right\rangle + \cdots + {g}_{n}\left\langle {c}_{n}\right\rangle
\]
特别地,每个生成关系 \( {r}_{i} \) 对应一个向量 \( \rho \left( {r}_{i}\right) = {a}_{i1}\left\langle {c}_{1}\right\rangle + \cdots + \) \( {a}_{in}\left\langle {c}_{n}\right\rangle \) . 于是,整系数矩阵
\[
A = \left( \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ {a}_{m1} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix}\right)
\]
就完全决定了交换化的同构类,我们称 \( A \) 为该表出的 交换化系数矩阵 (coefficient matrix of abelianized relations). 在抽象代数中可以证明, 当 \( G \) 和 \( H \) 的交换化系数矩阵之间只差一系列整系数初等变换时,它们的交换化一定同构. 所谓的 整系数初等变换 (elementary matrix operation with integer coefficients) 包括:
(1) 把一行 (或列) 乘以整数倍, 然后加到另一行 (或列);
(2) 把一行 (或列) 自乘 -1 ;
(3) 交换两行 (或列).
因此, 我们只要会把交换化系数矩阵化标准型, 就可以化简一个有限表出群的交换化的表达方式, 进而判断它的同构类型.
例 5 群 \( G = < a, b \mid {a}^{2},{b}^{3} > \) 的交换化系数矩阵是 \( \operatorname{diag}\left( {2,3}\right) \) (这里 diag 表示对角矩阵), 可以作如下的整系数初等变换:
\[
\left( \begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 3 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{matrix} 0 & - 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right)
\]
\[
\rightarrow \left( \begin{array}{ll} 0 & 6 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 0 & 6 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right)
\]
而 \( \operatorname{diag}\left( {1,6}\right) \) 是群 \( H = < a, b \mid a,{b}^{6} > \) 的交换化系数矩阵,因此 \( G \) 的交换化 \( {\mathbb{Z}}_{2} \oplus {\mathbb{Z}}_{3} \) 同构于 \( H \) 的交换化 \( {\mathbb{Z}}_{6} \) .
对于上例中的记号 \( {\mathbb{Z}}_{2} \oplus {\mathbb{Z}}_{3} \) ,我们要稍微多解释几句.
定义 4.7.7 设 \( {G}_{1},{G}_{2} \) 都是交换群 \( G \) 的子群,并且任取 \( g \in G \) , 存在唯一一对 \( \left( {{g}_{1},{g}_{2}}\right) \in {G}_{1} \times {G}_{2} \) ,使得 \( g = {g}_{1} + {g}_{2} \) ,则称 \( G \) 为 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的 直和 (direct sum),记为 \( G = {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) . 如果 \( {H}_{1},{H}_{2} \) 是两个交换群,并且有同构 \( {G}_{1} \cong {H}_{1},{G}_{2} \cong {H}_{2} \) . 则称 \( G \) 为 \( {H}_{1} \) 和 \( {H}_{2} \) 的 外直和 (external direct sum),在不引起混淆的情况下也记成 \( G = {H}_{1} \oplus {H}_{2} \) .
有限生成交换群基本定理 (fundamental theorem of finitely generated abelian group) 任何一个有限生成交换群 \( G \) 一定具有一个如下形式的 (外) 直和分解:
\[
G = \underset{r}{\underbrace{\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}} \oplus {\mathbb{Z}}_{{t}_{1}} \oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{{t}_{k}}
\]
其中每个 \( {t}_{j} > 1 \) ,并且 \( {t}_{j} \) 整除 \( {t}_{j + 1} \) (可以相等). 这些 \( {t}_{j} \) 称为 \( G \) 的 挠系数 (torsion coefficient),而 \( r \) 称为 \( G \) 的 秩 (rank). 两个有限生成交换群同构当且仅当它们的秩以及挠系数 (计重数) 全部相同.
这个定理的证明比较复杂, 我们就不详细叙述了. 注意, 挠系数要求每个 \( {t}_{j} \) 整除 \( {t}_{j + 1} \) ,因此上例中的 \( {\mathbb{Z}}_{2} \oplus {\mathbb{Z}}_{3} \cong {\mathbb{Z}}_{6} \) 的挠系数就是 6,而不是 2 和 3 .
最后让我们来讨论一下群的表出是如何随同构变化的, 并定义一些临时性的记号. 在下一节的讨论中,我们会用到这些记号. 设 \( \phi : G \rightarrow H \) 是同构,并设 \( G \) 具有表出 \( \langle C \mid R\rangle \) . 记
\[
{C}_{\phi } = \{ \phi \left( c\right) \mid c \in C\}
\]
则显然 \( {C}_{\phi } \) 生成 \( H \) ,并且可以定义同构
\[
{\phi }_{ * } : F\left( C\right) \rightarrow F\left( {C}_{\phi }\right) ,\;{c}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{n}^{{\varepsilon }_{n}} \mapsto \phi {\left( {c}_{1}\right) }^{{\varepsilon }_{1}}\cdots \phi {\left( {c}_{n}\right) }^{{\varepsilon }_{n}}.
\]
因为 \( \phi \) 是同构,所以在 \( G \) 中按表达式 \( r \) 计算得 1 当且仅当在 \( H \) 中按表达式 \( {\phi }_{ * }\left( r\right) \) 计算得 1,因此
\[
{R}_{\phi } = \left\{ {{\phi }_{ * }\left( r\right) \mid r \in R}\right\}
\]
也是 \( H \) 的生成关系. 综上所述:
命题 4.7.3 设 \( \phi : G \rightarrow H \) 是同构,并且 \( G \) 具有表出 \( \langle C \mid R\rangle \) , 则 \( H \) 具有表出 \( \left\langle {{C}_{\phi } \mid {R}_{\phi }}\right\rangle \) .
## 习 题
1. 设群 \( G \) 有一组生成元 \( {a}_{1},\cdots ,{a}_{k} \) ,而同态 \( f, g : G \rightarrow H \) 满足 \( f\left( {a}_{1}\right) = \) \( g\left( {a}_{1}\right) ,\cdots, f\left( {a}_{k}\right) = g\left( {a}_{k}\right) \) . 证明 \( f \equiv g \) .
2. 证明 \( \langle a, b \mid {ab}\rangle \) 也是自由循环群 \( \mathbb{Z} \) 的一个表出.
3. 设 \( G \) 表示平面 \( {\mathbb{E}}^{2} \) 上保持正方形 \( {\left\lbrack 0,1\right\rbrack }^{2} \) 不变的所有欧氏变换 (四个旋转和四个反射) 构成的群,群的乘法是映射的复合. 写出 \( G \) 的一个表出.
4. 设群 \( G \) 和 \( H \) 的交换化系数矩阵分别为 \( A \) 和 \( B \) ,证明 \( G * H \) 的交换化
系数矩阵为 \( \left( \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}\right) \) .
5. 设群 \( G \) 的表出为 \( \left\langle {a, b, c\left| {\;{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}\right. }\right\rangle \) ,求其交换化的秩和所有挠系数.
## §4.8 Van Kampen 定理
如果不考虑下一章要讲的复迭空间的话, 计算基本群的最主要工具就是基本群的同伦不变性以及 van Kampen 定理. 同伦不变性让我们可以把一个空间同伦等价到一个比较简单的样子再去计算, 而 van Kampen 定理则让我们可以把一个空间分割成比较规则的小块, 再通过各小块的基本群计算原来空间的基本群. 其核心思想是利用 \( X, Y \) 和 \( X \cap Y \) 的基本群的表出写出 \( X \cup Y \) 的基本群的表出,当然这里还需要加上一些技术条件,比如 \( X, Y, X \cap Y \) 都道路连通等等.
这个表出中用到的生成元和关系都有很明确的含义, Zariski 在研究代数曲线的拓扑时就很自然地找到了这些生成元和关系. 比较困难的是证明这些关系足以推导出 \( X \cap Y \) 的基本群中的所有关系, van Kampen 在访问 Zariski 时帮他解决了这个问题, 并把结论推广到了一般的拓扑空间的基本群上, 这才有了现在的 van Kampen 定理. 另一方面, 因为 Seifert 在 van Kampen 发表他的一般性结论之前, 对于具有有限单纯剖分的空间也证明了该结论 (不过是按照前面讲范畴那节最后一个例子的叙述形式), 所以它也被称为 Seifert-van Kampen 定理.
在讲范畴那一节我们提到过, Seifert-van Kampen 定理基本上是在说,任取群 \( H \) 以及同态 \( {\xi }_{X} : {\pi }_{1}\left( {X,{x}_{0}}\right) \rightarrow H,{\xi }_{Y} : {\pi }_{1}\left( {Y,{x}_{0}}\right) \rightarrow H \) ,如果下述交换图表去掉虚线箭头之后成立:
则存在唯一同态 \( \eta : {\pi }_{1}\left( {X \cup Y,{x}_{0}}\right) \rightarrow H \) ,使得在虚线箭头的位置添上 \( \eta \) 后交换图表仍然成立. 定理的这个形式虽然看上去很简洁直观, 但是实际计算中却会让人感觉无从下手, 让我们从生成元和关系的角度重新阐述如下:
Van Kampen 定理 (van Kampen theorem) 设 \( X, Y \) 都是 \( Z \) 的开子集, \( Z = X \cup Y, X \cap Y \) 非空并且道路连通. 设 \( i : X \cap Y \hookrightarrow X \) , \( j : X \cap Y \hookrightarrow Y, p : X \hookrightarrow X \cup Y, q : Y \hookrightarrow X \cup Y \) 是相应的含入映射.
在 \( X \cap Y \) 中取定基点 \( {x}_{0} \) ,并设 \( {\pi }_{1}\left( {X,{x}_{0}}\right) \) 具有表出 \( \langle C \mid R\rangle \) , \( {\pi }_{1}\left( {Y,{x}_{0}}\right) \) 具有表出 \( \langle D \mid S\rangle \) ,而交集的基本群 \( {\pi }_{1}\left( {X \cap Y,{x}_{0}}\right) \) 具有表出 \( < E \mid T > \) . 对于每个生成元 \( e \in E \) ,取定一个以 \( C \) 为字符集的字 \( {e}_{C} \) , 使得在 \( {\pi }_{1}\left( {X,{x}_{0}}\right) \) 中按 \( {e}_{C} \) 计算得 \( {i}_{\pi }\left( e\right) \) ,再取定一个以 \( D \) 为字符集的字 \( {e}_{D} \) ,使得在 \( {\pi }_{1}\left( {Y,{x}_{0}}\right) \) 中按 \( {e}_{D} \) 计算得 \( {j}_{\pi }\left( e\right) \) . 则 \( {\pi }_{1}\left( {X \cup Y,{x}_{0}}\right) \) 具有表出
\[
< {C}_{{p}_{\pi }} \cup {D}_{{q}_{\pi }} \mid {R}_{{p}_{\pi }} \cup {S}_{{q}_{\pi }} \cup \widetilde{E} >
\]
其中 \( \widetilde{E} = \left\{ {{p}_{\pi }{\left( {e}_{C}\right) }^{-1}{q}_{\pi }\left( {e}_{D}\right) \mid e \in E}\right\} \) . 或者等价地讲,
\[
{\pi }_{1}\left( {X \cup Y,{x}_{0}}\right) \cong \left( {{\pi }_{1}\left( {X,{x}_{0}}\right) * {\pi }_{1}\left( {Y,{x}_{0}}\right) }\right) /N
\]
其中 \( N \) 是自由积中包含所有形如 \( {i}_{\pi }{\left( e\right) }^{-1}{j}_{\pi }\left( e\right) \) 的字 (这里 \( e \in {\pi }_{1}(X \cap \) \( \left. \left. {Y,{x}_{0}}\right) \right) \) 的最小正规子群.
注意, \( X \cap Y \) 必须非空并且道路连通,否则有可能得出错误的结果. 比如说圆周 \( {S}^{1} \) 可以理解成两个弧段 \( X, Y \) 的并集,两个弧段都是单连通的, 但是并起来却并不单连通, 也就是说 van Kampen 定理中的公式不成立,这就是因为 \( X \cap Y \) 不道路连通. 关于 \( {C}_{{p}_{\pi }} \) 等记号的定义请参见上节最后一个命题的说明.
这个定理的叙述看上去好像非常复杂, 但是如果耐心地把下面这些解释看完, 就不会再觉得它那么复杂奇怪了.
首先, \( X \cup Y \) 的生成元集是 \( {C}_{{p}_{\pi }} \cup {D}_{{q}_{\pi }} \) ,这实际上是说, \( {\pi }_{1}\left( {X \cup Y,{x}_{0}}\right) \) 中的任何闭道路类都可以分解成一些完整包含于 \( X \) 或 \( Y \) 中的闭道路的乘积. 然后这些因子又可以由 \( C \) 和 \( D \) 中的闭道路类作求逆和乘法表达. 图 4.14 演示了一个简单的例子,把 \( \gamma \) 分解成了 \( {\gamma }_{1} \) 和 \( {\gamma }_{2} \) 的乘积.
图 \( {4.14X} \cup Y \) 的生成元
表出的生成关系则分两类: 一类是从原来 \( X \) 和 \( Y \) 的基本群表出上继承过来的 \( {R}_{{p}_{\pi }} \cup {S}_{{q}_{\pi }} \) 中的关系; 另一类则是 \( \widetilde{E} \) 中的关系,这类关系想表达的意思是: 如果表出一条道路的字 \( w \) 中包含形如 \( {p}_{\pi }\left( {e}_{C}\right) \) 的字段, 则完全可以用 \( {q}_{\pi }\left( {e}_{D}\right) \) 替代,反之亦然,因为这两个公式计算的其
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1432_华章数学译丛 36 抽象代数基础教程].(美国)Rotman.扫描版
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定义 1
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定义 1 一个楣群是 \( \operatorname{Isom}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) 的一个固定一条直线 \( \ell \) 的子群 \( G \) ,即对所有 \( \varphi \in G,\varphi \left( \ell \right) = \ell \) 且 \( G \cap \operatorname{Trans}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) 是无限循环的.
每一个 \( \varphi \in G \) 固定一条直线 \( \ell \) 反映如下的事实: 一个楣也是一个带. \( G \cap \operatorname{Trans}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) = \langle \tau \rangle \) 是无限循环的则反映下面的事实: 一个楣有某重复的设计 \( D \subseteq F \) ,它的 \( \langle \tau \rangle \) -轨道为 \( F \) 的全部.
引理 6.48 若 \( \varphi \in G \) ,其中 \( G \) 是一个楣群,则存在某实数 \( c \) 使得下列之一成立:
(i) 若 \( \varphi \) 是一个平移,则 \( \varphi \left( z\right) = z + c \) .
(ii) 若 \( \varphi \) 是一个旋转,则 \( \varphi \) 是一个半-翻转: \( \varphi \left( z\right) = - z + c \) .
(iii) 若 \( \varphi \) 是一个反射,则 \( \varphi \left( z\right) = \bar{z} \) 或 \( \varphi \left( z\right) = - \bar{z} + c \) .
(iv) 若 \( \varphi \) 是一个滑动反射,则 \( \varphi : z \mapsto \bar{z} + c \) ,其中 \( c \neq 0 \) .
证明 我们知道 \( \varphi : z \mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z + c \) 或 \( \varphi : z \mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\bar{z} + c \) . 因为 \( \varphi \left( \mathbb{R}\right) = \mathbb{R} \) ,所以我们有 \( c = \) \( \varphi \left( 0\right) \in \mathbb{R} \) 且 \( \varphi \left( 1\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } + c \in \mathbb{R} \) . 因此 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \in \mathbb{R} \) ,也就是 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \pm 1 \) ,从而 \( \varphi \left( z\right) = \pm \bar{z} + c \) 或者 \( \varphi \left( z\right) = \) \( \pm \bar{z} + c \) .
剩下的证明就是确定这些公式中的每一个所对应的等距同构的类型. 旋转 \( \theta \) 角度的旋转公式为 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z + c \) . 因为 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \pm 1 \) ,所以我们必有 \( \theta = \pi \) ,因此,此时旋转就是半旋转. 等距同构 \( \varphi : z \mapsto \) \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\bar{z} + c \) 是一个反射当且仅当 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\bar{c} + c = 0 \) ,此时 \( \bar{c} = c, c \) 是实的,所以 \( \bar{c} = c \) ,因此 \( \varphi \) 是一个反射. 若 \( c = 0 \) 或 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = - 1 \) ,因此对任意 \( c \in \mathrm{R} \) ,有 \( \varphi \left( z\right) = \bar{z} \) 或者 \( \varphi \left( z\right) = - \bar{z} + c \) . 最后,若 \( c \neq 0 \) , 且 \( \varphi \left( z\right) = \bar{z} + c \) ,则 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\bar{c} + c = {2c} \neq 0 \) 且 \( \varphi \) 是一个滑动反射.
我们打算用两种方式来规范化楣群的分类. 首先,不失一般性,假设被固定的直线 \( \ell \) 是实轴 \( \mathbb{R} \) ,因为我们可以在不改变对称性的情况下,改变坐标轴的位置. 其次,我们将忽略数量上的改变. 例如,图 6-3 中的楣 \( F \) 有一个无限循环对称群,也就是 \( \sum \left( F\right) = \langle \tau \rangle \) ,其中 \( \tau \) 是一个平移 \( \tau : z \mapsto z + 1 \) . 另一方面,若 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的每一个向量在大小上都变成两倍,则 \( F \) 变成了一个新的楣 \( \Phi \) ,且 \( \sum \left( \Phi \right) = \left\langle {\tau }^{\prime }\right\rangle \) ,其中 \( {\tau }^{\prime } : z \mapsto z + 2 \) ,因此 \( F \) 和 \( \Phi \) 实质上是同一个楣,只是在大小上不同,但它的对称群是不同的因为 \( \tau \notin \sum \left( \Phi \right) \) . 定义以 \( \omega : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 为 \( \omega \left( z\right) = {2z}.\omega \) 定义了同构 \( \sum \left( F\right) \rightarrow \sum \left( \Phi \right) : \rho \mapsto {w\varphi }{w}^{-1} \) . 注意
\[
{\omega \tau }{\omega }^{-1} : z \mapsto \frac{1}{2}z \mapsto \frac{1}{2}z + 1 \mapsto 2\left( {\frac{1}{2}z + 1}\right) = z + 2.
\]
我们第二个规范化的做法是假设 \( G \cap \operatorname{Trans}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) 的生成元 \( \tau \) 是平移 \( \tau : z \mapsto z + 1 \) . 由到目前为止的讨论, 只须分类规范化的楣群.
定义 2 一个正规化的楣群是一个子群 \( G \leq \operatorname{Isom}\left( {\mathrm{R}}^{2}\right) \) ,它固定 \( \mathrm{R} \) 且 \( G \cap \operatorname{Trans}\left( {\mathrm{R}}^{2}\right) = \langle \tau \rangle \) , 其中 \( \tau : z \mapsto z + 1 \) .
当我们假设楣群 \( G \) 是规范化的时候,引理 6.48 可以被简化. 若 \( \gamma : z \mapsto \bar{z} + c \) 是 \( G \) 中的一个滑动反射,则 \( {\gamma }^{2} \) 也是一个平移,事实上 \( {\gamma }^{2} : z \mapsto z + {2c} \) . 但 \( G \) 中所有的平移在 \( \langle \tau \rangle \) 中,所以对某些 \( n \in Z \) 有 \( {\gamma }^{2} = {\tau }^{n} : z \mapsto z + n \) . 从而 \( {2c} = n \) ,所以 \( c = m \) 或者对某 \( m \in Z \) 有 \( c = m + \frac{1}{2} \) . 因此若 \( c = m, G \) 包含 \( {\tau }^{-m}\gamma = \sigma \) ,也就是 \( \sigma \left( z\right) = \bar{z} \) ,或者若 \( c = m + \frac{1}{2},{\tau }^{-m}\gamma : z \mapsto \bar{z} + \frac{1}{2} \) . 为了将 \( \gamma \in G \) 与 \( \sigma \in G \) 区分开,我们选择 \( \gamma : z \mapsto \bar{z} + \frac{1}{2} \) 使得 \( {\gamma }^{2} = \tau \) . 我们也可以规范化半翻转 \( R \) 和反射 \( \rho \) 使得 \( R : z \mapsto - z + 1 \) 和 \( \rho : z \mapsto - \bar{z} + 1 \) .
若 \( \varphi \in \operatorname{Isom}\left( {\mathrm{R}}^{2}\right) \) ,让我们记 \( \varphi \left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{z}^{\epsilon } + c \) ,其中 \( \in = \pm 1,{z}^{1} = z \) 且 \( {z}^{-1} = \bar{z} \) . 若 \( \psi = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }{z}^{\eta } + \) \( d \) ,则易见
\[
{\varphi \psi }\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {\theta + \alpha }\right) }{z}^{ \in \eta } + {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }d + c.
\]
从而有函数 \( \pi : \operatorname{Isom}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \rightarrow {O}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \) ,定义如下
\[
\pi : \varphi \mapsto {\tau }_{\varphi \left( 0\right) }^{-1}\varphi
\]
它是一个同构 [当然, \( {\tau }_{\varphi \left( 0\right) }^{-1}\varphi : z \mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{z}^{\epsilon } \) ],且核 \( \ker \pi = \operatorname{Trans}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) ,所以 \( \operatorname{Trans}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \vartriangleleft \) Isom \( \left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) .
定义 设 \( \pi : \operatorname{Isom}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \rightarrow {O}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \) 是刚才定义的映射 (去掉平移中的常数). 若 \( G \) 是一个楣群,则它的点群是 \( \pi \left( G\right) \) .
由第二同构定理得出,若 \( T = G \cap \operatorname{Trans}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) ,则 \( T \vartriangleleft G \) 且 \( T \vartriangleleft G \) 且 \( G/T \cong \pi \left( G\right) \) .
推论 6.49 一个楣群 \( G \) 的点群 \( \pi \left( G\right) \) 是 \( \operatorname{im}\pi = \{ 1, f, g, h\} \leq {O}_{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的一个子群 (它与四元群 \( \mathbf{V} \) 同构),其中 \( f\left( z\right) = - z, g\left( z\right) = - \bar{z} \) 且 \( h\left( z\right) = \bar{z} \) .
证明 由引理 6.48,我们有 \( \operatorname{im}\pi = \{ 1, f, g, h\} \) .
我们现在来分类 (规范化的) 楣群,因为 \( \operatorname{im}\pi = \langle f, g, h\rangle \) 同构于四元群,所以它正好有 5 个子群 \( \{ 1\} ,\langle f\rangle ,\langle g\rangle ,\langle h\rangle \) 和 \( \langle f, g, h\rangle = \operatorname{im}\pi \) ,因此存在 5 个点群. 我们来应用习题 2.101. 设 \( \pi : G \rightarrow H \) 是满足 \( \ker \pi = T \) 的一个满同态. 若 \( H = \langle X\rangle \) ,且对每一个 \( x \in X \) ,选择满足 \( \pi \left( {g}_{x}\right) = x \) 的一个提升 \( {g}_{x} \in G \) ,则 \( G \) 由 \( T \cup \left\{ {{g}_{x} : x \in X}\right\} \) 生成. 而 \( T = G \cap \operatorname{Isom}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) = \langle \tau \rangle \) ,其中 \( \tau : z \mapsto \) \( z + 1 \) .
下面这个群会出现在楣群的分类中. 回忆到二面体群 \( {D}_{2n} \) 是由两个元素 \( a \) 和 \( b \) 生成的一个群,其中 \( {b}^{2} = 1,{a}^{2} = 1 \) 且 \( {bab} = {a}^{-1} \) .
定义 无限二面体群 \( {D}_{\infty } \) 是一个由两个元素 \( a \) 和 \( b \) 生成的一个无限群,其中 \( {b}^{2} = 1 \) 且 \( {bab} = \) \( {a}^{-1} \) .
由习题 6.51, 任意两个无限二面体群是同构的.
定理 6.50 至多存在 7 种楣群 \( G \) .
证明 我们用表 6-1 中的记号.
表 6-1 正规化的升提
<table><thead><tr><th>等距</th><th>同构公式</th><th>类型</th><th>升提</th><th>阶</th></tr></thead><tr><td>\( \tau \)</td><td>\( z + 1 \)</td><td>平移</td><td>1</td><td>8</td></tr><tr><td>\( R \)</td><td>\( - z + 1 \)</td><td>半一旋转</td><td>\( f \)</td><td>2</td></tr><tr><td>\( \rho \)</td><td>\( - \bar{z} + 1 \)</td><td>反射</td><td>\( g \)</td><td>2</td></tr><tr><td>\( \sigma \)</td><td>2</td><td>反射</td><td>\( h \)</td><td>2</td></tr><tr><td>\( \gamma \)</td><td>\( \frac{1}{z} + \frac{1}{2} \)</td><td>滑动反射</td><td>\( h \)</td><td>\( \infty \)</td></tr></table>
情形 \( {1\pi }\left( G\right) = \{ 1\} \) . 在这种情形下, \( G = {G}_{1} = \langle \tau \rangle \) . 当然 \( {G}_{1} \cong Z \) .
情形 \( {2\pi }\left( G\right) = \langle f\rangle \) . 此时, \( G = {G}_{2} = \langle \tau, R\rangle \) . 又 \( {R}^{2} = 1,{R\tau R} : z \mapsto z - 1 \) ,也就是 \( {R}_{\tau }R = {\tau }^{-1} \) . 因为 \( {G}_{2} \) 是无限群 (因为 \( \tau \) 的阶是无限的),所以 \( {G}_{2} \) 是无限二面体群,也就是 \( {G}_{2} \cong {D}_{\infty } \)
情形 \( {3\pi }\left( G\right) = \langle g\rangle \) . 在此时, \( {G}_{3} = \langle \tau ,\rho \rangle \) . 又 \( {\rho }^{2} = 1 \) 且 \( {\rho \tau \rho } : z \mapsto z - 1 \) ,也就是 \( {\rho \tau \rho } = {\tau }^{-1} \) . 513 因此 \( {G}_{3} \cong {D}_{\infty } \) .
群 \( {G}_{2} \) 也是无限二面体的,由习题 6.51,所以 \( {G}_{3} \cong {G}_{2} \) ,因此 \( {G}_{2} \) 和 \( {G}_{3} \) (从代数角度上看) 是一样的. 然而这些群在几何上是不同的,因为 \( {G}_{2} \) 仅包含平移和半翻转,群 \( {G}_{3} \) 包含一个反射.
情形 4 和情形 5 中, \( \pi \left( G\right) = \langle h\rangle \) . 存在两种可能的情景,因为 \( h \) 有两种可能的提升,也就是 \( \sigma \) 和 \( \gamma \) .
情形 \( 4{G}_{4} = \langle \tau ,\sigma \rangle \) . 注意 \( \tau \) 和 \( \sigma \) 是交换的,因为 \( {\sigma \tau } \) 和 \( {\tau \sigma } \) 中每一个均为 \( z \mapsto \bar{z} + 1 \) ,所以 \( {G}_{4} \) 是交换的. 进一步, \( {\sigma }^{2} = 1 \) . 从命题 2.127 易知:
\[
{G}_{4} = \langle \sigma \rangle \times \langle \tau \rangle \cong {\mathbb{I}}_{2} \times \mathbb{Z}.
\]
情形 \( 5{G}_{5} = \langle \tau ,\gamma \rangle \) . 注意 \( \gamma \) 和 \( \tau \) 交换,因为 \( {\gamma \tau } \) 和 \( {\tau \gamma } \) 中每一个均为 \( z \mapsto \ddot{z} + \frac{3}{2} \) ,所以 \( {G}_{5} \) 是交换的. 因为 \( {\gamma }^{2} = \tau \) ,所以 \( {G}_{5} = \langle \tau ,\gamma \rangle = \langle \gamma \rangle \) 是生成元为 \( \gamma \) 的循环群,也就是 \( {G}_{5} \cong Z \) .
\( {G}_{5} \) 和 \( {G}_{1} \) 在代数上是一样的,因为它们都是无限循环的,但这些群在几何上是不同的,因为 \( {G}_{5} \) 含有一个滑动反射而 \( {G}_{1} \) 只含有平移.
情形 6 和情形 7 中, \( \pi \left( G\right) = \langle f, g, h\rangle \) . 再一次,存在两个可能的情形因为 \( h \) 有两个可能的提升. 注意在四元群中,任意两个非单位元的乘积是第三个元素,所以 \( \langle \tau, R,\sigma \rangle \) 和 \( \langle \tau, R \) , \( \gamma \rangle \) 的点群都是 \( \langle f, g, h\rangle \) .
情形 \( 6{G}_{6} = \langle \tau, R,\sigma \rangle \) . 注意同情形 4 中一样, \( {\sigma \tau } = {\tau \sigma } \) . 而 \( {\sigma R} = {R\sigma } : z \mapsto - \bar{z} + 1 \) . 由此得出 \( \langle \sigma \rangle \vartriangleleft {G}_{6} \) 和 \( \langle \tau, R\rangle \vartriangleleft {G}_{6} \) . 因为 \( \langle \sigma \rangle \cap \langle \tau, R\rangle = \{ 1\} ,{G}_{6} \) 是由这两个子群生成,命题 2.127 表明 \( {G}_
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194_普林斯顿数学分析读本
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定义 3.1
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定义 3.1 (集合). 集合是一堆元素的集体. 包含无穷多个元素的集合称为无限集. 例 3.2 (集合).
下面是一些集合及其符号的例子:
- \( \{ 1,2,3\} \)
包含数 \( 1\text{、}2 \) 和 3 的集合. 用 \( 1 \in \{ 1,2,3\} \) 来表示 1 是集合中的元素.
- \( A \)
名字为 \( A \) 的集合.
- \( A = \{ 1,2,3\} \)
包含数 1、2 和 3 的集合 \( A \) .
- \( \{ a, b, c\} \)
包含元素 \( a\text{、}b \) 和 \( c \) 的集合 \( A \) (这些元素不一定是数).
- \( \{ A, B, C\} \)
包含元素 \( A\text{、}B \) 和 \( C \) 的集合. 集合通常用大写字母来表示,因此这个集合可能包含其他三个集合.
- \( \mathbb{R} \)
包含全体实数的集合. 例如, \( \pi \in \mathbb{R} \) . 这是一个无限集.
- \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 3\} \)
这个符号读作: “ \( \mathbb{R} \) 中所有小于 3 的 \( x \) 的集合”,因此这是全体小于 3 的实数的集合. 这也是一个无限集.
- \( \{ p \in A \mid p \neq 3\} \) 集合 \( A \) 中所有不等于 3 的元素的集合. 稍后将会看到,这个集合也可以表示为 \( A \smallsetminus \{ 3\} \) ,即集合 \( A \) 中去掉由单个元素 3 构成的集合.
- \( \varnothing \)
这个集合在每个数学家心中都占有特殊的位置. 它称为空集, 也就是: 没有元素的集合. 任何不是空集的集合都称为非空集.
- \( \left| A\right| = 3 \)
这个符号表示 \( A \) 的大小是 3,所以 \( A \) 包含 3 个元素. 注意, \( \left| {\{ A\} }\right| \) 不一定等于 \( \left| A\right| \) . 第一个集合只包含集合 \( A \) ,其大小是 \( \left| {\{ A\} }\right| = 1 \) ,但是如果 \( A \) 包含 100 个元素,那么 \( \left| A\right| = {100} \) .
定义 3.3 (索引族).
如果每一个 \( i \in I \) 都对应着一个集合 \( {A}_{i} \) ,那么 \( \mathcal{A} = \left\{ {{A}_{i} \mid i \in I}\right\} \) 就是索引集为 \( I \) 的集合 \( A \) 的索引族.
在某些情况下,当我们要处理任意索引集 (其元素为 \( \alpha \) ) 时,可以将集合的索引族写成 \( \left\{ {A}_{\alpha }\right\} \) . 这种类型的索引族也称为集合族.
例 3.4 (索引族).
对于所有 \( n \in \mathbb{N} \) ,如果 \( {A}_{n} = \left\{ {1,2,{n}^{2}}\right\} \) ,那么 \( {A}_{3} = \{ 1,2,9\} \) . 于是,如果
\[
\mathcal{A} = \left\{ {{A}_{n} \mid n \in \mathbb{N}, n \leq {10}}\right\} ,
\]
那么 \( \mathcal{A} \) 就是一组集合的集合,就像这样
\[
\mathcal{A} = \{ \{ 1,2,1\} ,\{ 1,2,4\} ,\cdots ,\{ 1,2,{100}\} \} .
\]
注意, 索引族不一定是有限集. 在这个例子中, 如果
\[
\mathcal{B} = \left\{ {{A}_{n} \mid n \in \mathbb{N}}\right\}
\]
那么 \( \mathcal{B} \) 是包含无穷多个集合的集合,就像这样
\[
\mathcal{B} = \{ \{ 1,2,1\} ,\{ 1,2,4\} ,\{ 1,2,9\} ,\cdots \} .
\]
不要被集合 \( \{ 1,2,1\} \) 迷惑. 它与集合 \( \{ 1,2\} \) 是一样的,只是书写方式更冗余而已. 例如,如果我们有一个集合 \( \{ 1\} \) ,那么你可以把它写成 \( \{ 1,1,1,1\} \) .
但是请不要这么做. 定义 3.5 (子集).
如果集合 \( A \) 中的每一个元素也都是集合 \( B \) 的元素,那么集合 \( A \) 就是集合 \( B \) 的子集,记作 \( A \subseteq B \) 或者 \( B \supseteq A \) . 此时, \( B \) 称为 \( A \) 的超集.
如果集合 \( A \) 与集合 \( B \) 具有完全相同的元素,那么集合 \( A \) 就等于集合 \( B \) , 记作 \( A = B \) . (如果两个集合相等,那么它们就是同一个集合. ) 这就相当于说 “ \( A \subseteq B \) 且 \( B \subseteq A \) ”.
如果集合 \( A \) 的每一个元素也都是集合 \( B \) 的元素,但集合 \( B \) 在集合 \( A \) 之外还有一些其他元素,那么集合 \( A \) 就是集合 \( B \) 的真子集,记作 \( A \subset B \) 或 \( B \supset A \) . 用符号表示即:
\[
A \subset B \Leftrightarrow A \subseteq B\text{且}A \neq B\text{.}
\]
例 3.6 (子集).
如果 \( A = \{ 1,2\} \) 且 \( B = \{ 1,2,3\} \) ,那么 \( A \subseteq B \) . 更进一步, \( A \subset B \) .
使用例 3.2 中的符号,我们有 \( \{ x \mid x \) 是实数 \( \} = \mathbb{R} \) . 另外,由于每个有理数都是实数,所以 \( \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \) . 更进一步, \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \) ,这是因为有些实数不是有理数 (例如 \( \sqrt{2} \) ).
奇怪的不精确的数学惯例. 出于某种原因,即使集合 \( A \) 可能等于集合 \( B \) ,传统的表示法也是写成 \( A \subset B \) 而不是 \( A \subseteq B \) . 我知道这与之前的写法相矛盾,这只是我采用的一种惯例, 从而使你能习惯大多数数学家的书写方式. 因此, 当你看到 \( A \subset B \) 时,除非明确声明,否则不要假定 \( A \) 是 \( B \) 的真子集.
为了进一步迷惑你. 注意, \( A \in B \) 和 \( A \subset B \) 这两种书写方式是有区别的. 前者意味着 \( B \) 是一组集合的集合,而集合 \( A \) 是其元素之一,而后者意味着 \( B \) 包含 \( A \) 中的所有元素.
例如,令 \( A = \{ 1,2\} \) . 为了得到 \( A \in B, B \) 必须形如 \( \{ \{ 1,2\} ,\{ 3,4\} ,\{ 1\} ,\{ {100}\} \} \) (所以 \( B \) 是由一组集合构成的集合). 如果 \( A \subset B \) ,那么 \( B \) 形如 \( \{ 1,2,3,{100}\} \) .
定理 3.7 (每个集合都包含空集). 对于任意集合 \( A \) ,有 \( \varnothing \subset A \) .
注意,我们不能说 “ \( \varnothing \) 是所有集合 \( A \) 的真子集”,因为 \( A \) 可能等于空集.
证明. 我们必须证明 \( \varnothing \) 的每个元素也都是 \( A \) 的元素. 但是 \( \varnothing \) 不包含元素,故其所有元素均在 \( A \) 中. 定义 3.8 (区间).
开区间 \( \left( {a, b}\right) \) 是集合
\[
\left( {a, b}\right) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} .
\]
闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是集合
\[
\left\lbrack {a, b}\right\rbrack = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} .
\]
半开区间是集合
\[
\lbrack a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\} ,
\]
或者集合
\[
(a, b\rbrack = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\} .
\]
有些人也称开区间为线段, 称闭区间为 (普通的) 区间, 但这个术语有点过时了 (而且更容易造成混淆 ). 为了保持一致性,我们将坚持使用术语开区间 \( \left( {a, b}\right) \) 和闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) .
例 3.9 (区间). \( \left( {-3,3}\right) \) 是开区间, \( \left\lbrack {0,{99.5}}\right\rbrack \) 是闭区间. 它们都是实数集的子集.
定义 3.10 (并集和交集).
集合 \( A \) 与 \( B \) 的并集是由 \( A \) 的所有元素和 \( B \) 的所有元素共同构成的集合.
\( A \) 与 \( B \) 的并集用符号来表示即:
\[
A \cup B = \{ x \mid x \in A\text{ 或 }x \in B\} .
\]
集合 \( A \) 与 \( B \) 的交集是由既包含在 \( A \) 中又包含在 \( B \) 中的所有元素构成的集合.
\( A \) 与 \( B \) 的交集用符号来表示即:
\[
A \cap B = \{ x \mid x \in A\text{且}x \in B\} \text{.}
\]
如果 \( A \cap B = \varnothing \) ,那么 \( A \) 与 \( B \) 不相交. 否则,我们说 \( A \) 与 \( B \) 相交. 例 3.11 (并集和交集).
并集 \( \{ 1,2,3\} \cup \{ 3,4,5\} \) 是 \( \{ 1,2,3,4,5\} \) ,也可以记作 \( \{ n \in \mathbb{N} \mid 1 \leq n \leq 5\} \) . 交集 \( \{ 1,2,3\} \cap \{ 3,4,5\} \) 是集合 \( \{ 3\} \) ,它由单个元素 3 组成.
由于区间都是集合,所以我们可以对区间取并集和交集. 例如, \( \left\lbrack {1,3}\right\rbrack \cup \left\lbrack {2,4}\right\rbrack = \) \( \left\lbrack {1,4}\right\rbrack ,\left\lbrack {1,3}\right\rbrack \cap \left\lbrack {2,4}\right\rbrack = \left\lbrack {2,3}\right\rbrack \) . 注意, \( \left( {1,3}\right) \cup \left( {3,5}\right) \neq \left( {1,5}\right) \) ,而是
\[
\left( {1,3}\right) \cup \left( {3,5}\right) = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 3\text{ 或 }3 < x < 5\} ,
\]
因此 \( \left( {1,3}\right) \cup \left( {3,5}\right) \) 是这个并集最简单的写法. 另外, \( \left( {1,3}\right) \cap \left( {3,5}\right) = \varnothing \) .
记住,由定义可知,区间只包含实数. 我们把 \( a \) 与 \( b \) 之间全体有理数的集合记作 \( \left( {a, b}\right) \cap \mathbb{Q} \) . 注意, \( \mathbb{Q} \cup \mathbb{R} = \mathbb{R} \) 且 \( \mathbb{Q} \cap \mathbb{R} = \mathbb{Q} \) .
最后一个例子是关于并集和交集的一些简单事实.
事实 1. 对于任意集合 \( A \) ,有
\[
A \cup A = A = A \cap A\text{.}
\]
事实 2. 如果 \( x \) 属于 \( A \) 或 \( x \) 属于 \( B \) ,那么我们也可以说 \( x \) 属于 \( B \) 或 \( x \) 属于 \( A \) (我们只是交换了顺序),这使得下面的交换律和结合律显然成立:
\[
A \cup B = B \cup A\text{ 且 }\left( {A \cup B}\right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C}\right) ,
\]
\[
A \cap B = B \cap A\text{ 且 }\left( {A \cap B}\right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C}\right) .
\]
事实 3. \( A \cup \varnothing = A \) 且 \( A \cap \varnothing = \varnothing \) . 因此,每个集合都与空集不相交.
定理 3.12 (并集和交集的性质).
对于任意集合 \( A \) 与集合 \( B \) ,下列性质均成立.
性质 1. \( A \subset \left( {A \cup B}\right) \) 且 \( A \supset \left( {A \cap B}\right) \) .
性质 2. 当且仅当 \( A \cup B = B \) 时 \( A \subset B \) .
性质 3. 当且仅当 \( A \cap B = A \) 时 \( A \subset B \) .
性质 4. 对于任意 \( n \in \mathbb{N} \) ,有
\[
A \cup \left( {{B}_{1} \cap {B}_{2} \cap \cdots \cap {B}_{n}}\right) = \left( {A \cup {B}_{1}}\right) \cap \left( {A \cup {B}_{2}}\right) \cap \cdots \cap \left( {A \cup {B}_{n}}\right) .
\]
性质 5. 对于任意 \( n \in \mathbb{N} \) ,有
\[
A \cap \left( {{B}_{1} \cup {B}_{2} \cup \cdots \cup {B}_{n}}\right) = \left( {A \cap {B}_{1}}\right) \cup \left( {A \cap {B}_{2}}\right) \cup \cdots \cup \left( {A \cap {B}_{n}}\right) .
\]
证明. 这些性质的证明都非常简单. 试着把性质 3 和性质 5 的证明补充完整.
性质 1. 令 \( x \in A \) . 那么 \( x \in A \) 或 \( x \in B \) .
对于第二个结果,令 \( x \in A \cap B \) . 那么 \( x \in A \) 且 \( x \in B \) ,因此 \( x \in A \) .
性质 2. 假设 \( A \subset B \) . 如果我们能证明 \( B \subset \left( {A \cup B}\right) \) 和 \( B \supset \left( {A \cup B}\right) \) ,那么就证明了 \( A \cup B = B \) . 根据刚刚证明的第一条性质, \( B \subset \left( {A \cup B}\right) \) 是成立的. 根据假设 \( A \subset B \) ,将该式两端同时与 \( B \) 做并集就会得到 \( \left( {A \cup B}\right) \subset \left( {B \cup B}\right) = B \) , 结论得证.
为了证明另一个方向,假设 \( A \cup B = B \) . 同样由第一条性质可得 \( A \subset \left( {A \cup B}\right) \) , 于是 \( A \subset \left( {A \cup B}\right) = B \) ,因此 \( A \subset B \) .
性质 3. 这个证明与上一个证明几乎相同.
## 定理 3.12 中性质 3 的证明
假设 \( A \subset B \) . 我们想要证明 \( A \subset \left( {A \cap B}\right) \) 和___. 第一个结果显然成立: 由于 \( A \subset B \) ,如果 \( x \in A \) ,那么___,因此,如果 \( x \in A \) ,那么 \( x \in A \) 且 \( x \in B \) . 第二个结果可以利用___ 得到.
反过来,假设___. 利用第一条性质, \( B \supset \) ___,于是有 \( A = \) ___C \( B \) .
性质 4. 下面给出一些符号, 用来简化我们要证明的内容:
\[
A \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i}}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {A \cup {B}_{i}}\right) .
\]
大交集符号与求和符号 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n} \) 的工作方式相同. 我们首先证明
\[
A \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i}}\right) \subset \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {A \cup {B}_{i}}\right)
\]
然后证明
\[
A \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i}}\right) \supset \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {A \cup {B}_{i}}\right)
\]
这条性质的说明见图 3.1. 通过绘制类似的文氏图, 你可以更好地理解并集和交集的概念. 作图时, 要确保图中包含所有可能的交集. 例如, 如果你画了另一个叫作 \( {B}_{3} \) 的区域,而它看起来只与 \( A \) 相交 (而与 \( {B}_{1} \) 和 \( {B}_{2} \) 都不相交),那么最后可能会得到关于这些集合的错误结论.
令 \( x \in A \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i}}\right) \) ,那么 \( x \in A \) 或 \( x \in \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i} \) . 如果 \( x \in A \) ,那么对于每一个 \( i \) 均有 \( x \in A \cup {B}_{i} \) (这是因为由第一条性质可知 \( A \subset \left( {A \cup {B}_{i}}\right) \) ),于是 \( x \in \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {A \cup {B}_{i}}\right) \) . 如果 \( x \in \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i} \) ,那么对于每一个 \( i \) 均有 \( x \in {B}_{i} \) ,因此对于每一个 \( i \) 都有 \( x \in A \cup {B}_{i} \) ,于是 \( x \in \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{i}\left( {A \cup {B}_{i}}\right) \) .
为了得到这个子集等式的另一个方向, 猜猜我们要做什么? 要做几乎完全一样的事情. 令 \( x \in \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {A \cup {B}_{i}}\right) \) ,那么对于每一个 \( i \) 均有 \( x \in A \cup {B}_{i} \) . 现在,我们将其分为两种可能的情形:
图 3.1 阴影区域是 \( A \cup \left( {{B}_{1} \cap {B}_{2}}\right) = \left( {A \cup {B}_{1}}\right) \cap \left( {A \cup {B}_{2}}\right) \)
情形 1. \( x \in A \) . 显然 \( x \in A \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i}}\right) \) . (为什么? 因为 \( A \subset A \cup \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i}}\right) \) . 看到我们是如何继续使用第一条性质了吗? )
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1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程
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定义 14.9
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定义 14.9 在所有带权为 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{t} \) 的 \( t \) 片树叶的二叉树中,其权最小的二叉树称为最优二叉树, 简称最优树.
下面介绍求最优树的 Huffman 算法.
给定实数 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{t} \) ,且设 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) . 算法的步骤如下:
1 连接以 \( {w}_{1},{w}_{2} \) 为权的两片树叶,得到分支点带权为 \( {w}_{1} + {w}_{2} \) .
2 在 \( {w}_{1} + {w}_{2},{w}_{3},{w}_{4},\cdots ,{w}_{t} \) 中再取两个最小的权,连接它们对应的顶点又得到新的分支点及所带的权,重复 2 直到形成 \( t - 1 \) 个分支点, \( t \) 片树叶为止.
【例 14.9】用 Huffman 算法求带权为 \( 2,3,5,7,8 \) 的最优二叉树.
解 求最优树的过程由图 14.14 给出.
图 14.14
\( W\left( T\right) = {55} \) .
为了证明 Huffman 算法的正确性, 先证下面定理.
定理 14.11 在带权为 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) 的所有最优树中,一定存在以权为 \( {w}_{1},{w}_{2} \) 的两顶点 \( {v}_{1},{v}_{2} \) 为兄弟,且 \( {v}_{1},{v}_{2} \) 的层数都是树高 \( h \) 的最优树.
本定理的证明留作习题.
定理 14. 12 (Huffman 定理) 设 \( {T}^{\prime } \) 是带权为 \( {w}_{1} + {w}_{2},{w}_{3},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优二叉树,其中 \( {w}_{1} \) \( \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) ,如果将 \( {T}^{\prime } \) 中带权为 \( {w}_{1} + {w}_{2} \) 的树叶作为分支点,使它带两个儿子,带权分别为 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) ,记所得树为 \( {T}^{ * } \) ,则 \( {T}^{ * } \) 是带权为 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优树.
证明 由定理 14.11 可知,存在带权为 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) 的最优树 \( \widetilde{T},{w}_{1},{w}_{2} \) 对应的顶点
\( {v}_{1},{v}_{2} \) 为兄弟且它们的层数为树高 \( h \) . 下面证明 \( W\left( {T}^{ * }\right) = W\left( \widetilde{T}\right) \) . 令 \( \widehat{T} = \widetilde{T} - \left\{ {{v}_{1},{v}_{2}}\right\} \) ,则 \( \widehat{T} \) 是带权 \( {w}_{1} + {w}_{2},{w}_{3},\cdots ,{w}_{t} \) 的二叉树. 易知:
\[
W\left( {T}^{ * }\right) = W\left( {T}^{\prime }\right) + {w}_{1} + {w}_{2},
\]
①
\[
W\left( \widetilde{T}\right) = W\left( \widehat{T}\right) + {w}_{1} + {w}_{2}.
\]
②
若 \( {T}^{ * } \) 不是最优树,则 \( W\left( {T}^{ * }\right) > W\left( \widetilde{T}\right) \) ,于是,
\[
W\left( {T}^{\prime }\right) > W\left( \widehat{T}\right) \text{.}
\]
这矛盾于 \( {T}^{\prime } \) 是带权为 \( {w}_{1} + {w}_{2},{w}_{3},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优树.
由 Huffman 定理易知 Huffman 算法是正确的.
定理 14.13 设 \( r\left( {r \geq 2}\right) \) 又正则树 \( T \) 的分支点数为 \( t \) ,树叶数为 \( t \) ,则 \( {\left( r - 1\right) }_{t} = t - 1 \) .
本定理的证明留作习题.
由定理 14.13, 可以推广 Huffman 算法.
给定 \( t \) 个实数 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) ,求带权为 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{t} \) 的最优 \( r \) 叉树可分以下两种情况讨论:
(1) 若 \( t - 1 \equiv 0\left( {{\;\operatorname{mod}\;\left( {r - 1}\right) }\text{,说明所求}r}\right. \) 叉树为正则树,可仿 Huffman 算法求出 \( r \) 叉正则树.
(2) 若 \( t - 1 \equiv s\left( {\;\operatorname{mod}\left( {r - 1}\right) ,1 \leq s \leq r - 2}\right. \) ,说明所求树不是正则树,可将 \( s + 1 \) 个较小的权对应的树叶为兄弟,放在最高层上,它们的父亲带权为 \( {w}_{1} + {w}_{2} + \cdots + {w}_{s} + {w}_{s + 1} \) ,然后仿 Huffman 算法.
【例 14.10】求最优 3 叉树.
(1) 权为 \( 1,1,2,3,3,4,5,6,7 \) .
（2）权为 \( 1,1,2,3,3,4,5,6,7,8 \) .
解 易知, (1) 中权对应的最优 3 叉树为正则的, (2) 中权对应的最优 3 叉树不是正则的. 画出的 3 叉树分别由图 14.15(a),(b)给出.
(a) 中树的权为 \( {61} \) ,(b) 中树的权为 81 .
图 14.15
下面介绍最优树的应用.
在通信工作中, 常用二进制数字 0,1 组成的符号串 (简称为二元码) 来表示数字、字母、汉字等,用长为 \( n \) 的二元码最多可表示 \( {2}^{n} \) 个符号. 若传输的符号出现的频率不同,用等长的码子传输它们就造成浪费, 因而想办法利用不等长的码子来传输.
定义 14.10 设 \( \beta = {\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{n} \) 为长为 \( n \) 的符号串,称其子串 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{1}{\alpha }_{2},\cdots {\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{n - 1} \) 分别为 \( \beta \) 的长为 \( 1,2,\cdots, n - 1 \) 的前缀. 设 \( B = \left\{ {{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{m}}\right\} \) ,若对于任意的 \( {\beta }_{i},{\beta }_{j} \in B, i \neq j,{\beta }_{i} \) 与 \( {\beta }_{j} \) 互不为前缀,则称 \( B \) 为前缀. 若 \( \beta \) ,中只出现 0 与 1,则称 \( B \) 为二元前缀码.
\( \{ 0,{10},{110},{1111}\} ,\{ 1,{01},{001},{000}\} \) 等均为前缀码,而 \( \{ 1,{11},{101},{001},{0011}\} \) 等不是前缀码.
用二叉树可以产生前缀码.
定理 14.14 一棵二叉树可以产生一个前缀码.
证明 给定一棵二叉树 \( T \) ,设 \( T \) 有 \( t \) 片树叶. 对于 \( T \) 的任意的分支点 \( {v}_{x} \) ,若 \( {v}_{x} \) 有一个儿子 \( {v}_{y} \) 将 \( {v}_{x} \) 引出的惟一的一条边 \( \left\langle {{v}_{x},{v}_{y}}\right\rangle \) 上标上 0 或 1 . 若 \( {v}_{x} \) 有两个儿子 \( {v}_{y},{v}_{x} \) ,且 \( {v}_{y} \) 在 \( {v}_{x} \) 的左边, 则在边 \( \left\langle {{v}_{x},{v}_{y}}\right\rangle \) 上标 \( 0,\left\langle {{v}_{x},{v}_{x}}\right\rangle \) 上标 1 . 从树根 \( {v}_{0} \) 到每片树叶的通路上所标的数字组成一个二元的符号串记在该片树叶处,于是得到 \( t \) 个符号串
图 14.16
\( {\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{t} \) ,记 \( B = \left\{ {{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{t}}\right\} \) ,则 \( B \) 为前缀码. 这是因为第 \( i \) 片树叶 \( {v}_{t} \) 处的符号串 \( \beta \) ,的前缀均在从树根 \( {v}_{0} \) 到 \( {v}_{1} \) 的通路上,所以任意 \( {\beta }_{1},{\beta }_{j} \in B,{\beta }_{1} \) 与 \( {\beta }_{J} \) 互不为前缀,即 \( B = \left\{ {{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{t}}\right\} \) 为前缀码.
推论 一棵二叉正则树可以产生惟一的一个前缀码.
图 14.16(a) 所示二叉树 (非正则) 产生的前缀码为 \( \{ {00},{0100},{0101},{0111},{10},{11}\} \) . 而 (b) 所示二叉树 (正则的) 产生的前缀码为 \( \{ {0000},{0001} \) , \( {001},{010},{011},{10},{11}\} \) .
如果在通信工作中用前缀码传输符号, 希望所用二进制数字越少越好, 于是就用最优树产生的前缀码, 称这样的前缀码为最佳前缀码. 具体做法如下:
设在通信工作中,符号 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{t} \) 出现的频率分别为 \( {p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{t} \) . 求传输它们的最佳前缀码的过程如下:
设 \( {w}_{t} = {100}{p}_{t}, i = 1,2,\cdots, t \) ,不妨设 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) . 用 Huffman 算法求最优树 \( T \) ,所得的前缀码 \( \left\{ {{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{t}}\right\} \) 为最佳前缀码, \( W\left( T\right) \) 为传输 100 个按给定频率所出现的符号所用的二进制数字的个数.
【例 14.11】在通信中,八进制数字 \( 0,1,2,\cdots ,7 \) 出现的频率为:
图 14.17
\[
0 : {30}\% \;1 : {20}\%
\]
\[
2 : {15}\% \;3 : {10}\%
\]
\[
4 : {10}\% \;5 : 5\%
\]
\[
6 : 5\% \;7 : 5\%
\]
求传输它们的最佳前缀码,并讨论传输 \( {10}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 个按所给频率出现八进制数字比“等长传输法”提高效率百分之几?
这里所说“等长传输法”是指用 000 传 0,001 传 \( 1,\cdots ,{111} \) 传 7 .
解 \( {w}_{i} = {100}{p}_{i}, i = 0,1,2,\cdots ,7 \) ,按从小到大顺序为 \( 5 \leq 5 \leq 5 \leq {10} \leq {10} \leq {15} \leq {20} \leq {30} \) ,所对应的最优树
为图 14.17 所示.
八进制数字对应的前缀码为
\[
\begin{array}{ll} 0 - - - {01} & 1 - - - {11} \end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll} 2 - - - {001} & 3 \cdot - - {100} \end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll} 4 - - - {101} & 5 - - - {0001} \end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll} 6 - - {00001} & 7 - - {00000} \end{array}
\]
\( W\left( T\right) = {275} \) ,说明传输 100 个八进数字用 275 个二进制数字,所以传输 \( {10}^{n} \) 个用 \( {275} \times \) \( {10}^{n - 2} = {2.75} \times {10}^{n} \) 个二进制数字. 而用 “等长的码子” 传 10 ” 个八进制数字用 \( 3 \times {10}^{n} \) 个二进制数字, 所以提高效率为
\[
\frac{3 \times {10}^{n} - {2.75} \times {10}^{n}}{3 \times {10}^{n}} \approx 8\% .
\]
还应该指出, 所求的最优树可能不只一棵, 但它们的权是相等的.
## 14. 6 货郎担问题
设有 \( n \) 个城市,城市之间均有道路,一个旅行商从某城市出发,经过其余 \( n - 1 \) 个城市一次且仅一次, 最后回到出发的城市, 他如何走才能使他所走的路程最短? 这就是著名的旅行商问题或货郎担问题. 这个问题可以化归如下的图论问题.
设 \( G = \langle V, E, W\rangle \) 是 \( n \) 阶完全带权图,各边的权非负,且有的边的权可以是 \( \infty \) . 求 \( G \) 中最短的哈密顿回路的问题就是货郎担问题.
在完全带权图 \( {K}_{n} \) 中,共有 \( n! \) 条不同的哈密顿回路,当只考虑所含边的同异,而不考虑通过顺序及始点 (终点) 时,还有 \( \frac{1}{2}\left( {n - 1}\right) \) ! 种不同的哈密顿回路. 对货郎担问题来说还要计算各条回路的长度, 然后还要进行比较, 这种问题的计算量是相当大的, 它同前几节讲的问题有本质的区别. 例如最短路问题、关键路径问题、中国邮递员以及最小生成树等问题, 它们的共同特点是计算复杂度都是关于图的顶点数 \( n \) 和边数 \( m \) 的多项式函数,这类问题统称为是有有效算法 (或好算法) 的问题. 而货郎担问题以及与它在算法上等价的问题至今没有找到有效的算法, 也没有证明没有有效算法 \( {}^{\left( 1\right) } \) . 于是人们就去寻找近似算法,在本节给出货郎担问题的三种近似算法.
## 1. 最邻近法
设 \( G = \langle V, E, W\rangle \) 为 \( n\left( {n \geq 3}\right) \) 阶无向完全带权图,各边所带权均为正数. 求从某顶点出发的哈密顿回路作为最短哈密顿回路的近似解的算法的大体步骤如下:
设 \( {v}_{{t}_{1}} \) 作为始点.
1 先访问 \( {v}_{{t}_{1}} \) ,形成初始路径 \( {P}_{1} = {v}_{{t}_{1}} \) .
2 若已访问完了第 \( k\left( {k \leq n - 1}\right) \) 个顶点,形成了路径 \( {P}_{k} = {v}_{{t}_{1}}{v}_{{t}_{2}}\cdots {v}_{{t}_{k}} \) ,下一步访问的顶点 \( {v}_{{t}_{k + 1}} \) 应该是 \( V - \left\{ {{v}_{{t}_{1}},{v}_{{t}_{2}},\cdots ,{v}_{{t}_{k}}}\right\} \) 中离 \( {v}_{{t}_{k}} \) 最近的顶点.
3 当访问完 \( G \) 中所有顶点后,形成路径 \( {P}_{n} = {v}_{{i}_{1}}{v}_{{i}_{2}}\cdots {v}_{{i}_{n}} \) ,得回路 \( C = {v}_{{i}_{1}}{v}_{{i}_{2}}\cdots {v}_{{i}_{n}}{v}_{{i}_{1}} \) 即为 \( G \) 中一条哈密顿回路, 它作为货郎担问题的近似解.
---
① 关于算法及问题的分类请参阅计算复杂性理论.
---
由于算法的每一步都是寻找离当前访问的顶点最近的顶点, 因而称此种算法为最邻近法. 此算法的复杂度为 \( O\left( {n}^{2}\right), n \) 为 \( G \) 的顶点数.
最邻近法的性能并不好, 用这种方法走出的哈密顿
图 14.18
回路可以是最优解 (即最短的哈密顿回路), 也可能走出最坏的解 (即最长的哈密顿回路). 请看下例.
【例 14.12】用最邻近法求图 14.18 所示完全带权图 \( {K}_{5} \) 中的哈密顿回路 (从不同的顶点出发).
解 由于 \( n = 5 \) ,所以图中存在 \( \frac{4!}{2} = {12} \) 条不同的哈密顿回路, 经过计算得知, 图中最优解 (如 \( {abcdea} \) 和 \( {ad} \) - cbea 等) 的权均为 36 . 而最坏的解 (如 abdeca 和 acebda 等) 的权为 48 .
下面用邻近法求始于各顶点的哈密顿回路. 始于 \( a \) 的有 4 条:
adbeca, 权为 48 ;
aedbca, 权为 41 ;
\( {aebdca} \) ,权为 41 ;
\( {abdeca} \) ,权为 48 (最坏情况).
始于 \( b \) 的有 2 条:
baedcb, 权为 36 (最好的情况);
badecb, 权为 43 .
始于 \( c \) 的有 2 条:
cdabec, 权为 43 ;
cdaebc, 权为 36 (最好情况).
始于 \( d \) 的有 2 条:
dabecd, 权为 43 ,
daebcd, 权为 36 (最好情况).
始于 \( e \) 的有 2 条:
\( {eabdc}{e}_{1} \) 权为 \( {42} \) ;
\( {\text{eadbce}}_{1} \) 权为 42 .
从本例可以看出, 最邻近法所求近似解与始点有关. 另外还可以看出这个算法可以走出最坏的情况, 当然也可以走出最优解. 最邻近法的性能由下面定理给出.
定理 14.15 设 \( G = \langle V, E, W\rangle \) 是 \( n \) 阶完全带权图,各边带的权均为正,并且对于任意的 \( {v}_{t},{v}_{j},{v}_{k} \in V \) ,边 \( \left( {{v}_{t},{v}_{j}}\right) ,\left( {{v}_{j},{v}_{k}}\right) ,\left( {{v}_{t},{v}_{k}}\right) \) 带的权 \( {w}_{tj},{w}_{jk},{w}_{ik} \) 满足三角不等式,即
\[
{w}_{ij} + {w}_{jk} \geq {w}_{ik},
\]
则
\[
\frac{d}{{d}_{0}} \leq \frac{1}{2}\left( {\left\lceil {{\log }_{2}n}\right\rceil + 1}\right) ,
\]
其中, \( {d}_{o} \) 是 \( G \) 中最短哈密顿回路的权,而 \( d \) 是用最邻近法走出的哈密顿回路的权.
本定理的证明较长, 此处略去.
从定理 14.15 可以看出, 最邻近法的性能不算好.
## 2. 最小生成树法
设 \( G = \langle V, E, W\rangle \) 为 \( n\left( {n \geq 3}\right) \) 阶无向完全带权图,任意的 \( {v}_{t},{v}_{j} \in V \) ,边 \( \left( {{v}_{t},{v}_{j}}\right) \) 的权 \( {w}_{ij} > 0 \) , 且对任意的 \( {v}_{1},{v}_{j},{v}_{k} \in V \) ,
\[
{w}_{ij} + {w}_{jk} \geq {w}_{ik}
\]
用最小生成树法求 \
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1322_[王耀东] 偏微分方程的L2理论
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定义 3.6
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定义 3.6 设 \( {\left\{ {A}_{i}\right\} }_{i = 1}^{m} \) 是区间 \( I \) 的互不相交的有有限 Lebesgue 测度 \( \left| {A}_{i}\right| \) 的一组子集, \( {\left\{ {b}_{i}\right\} }_{i = 1}^{m} \) 是 \( B \) 中一组点,由
\[
f\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{\chi }_{{A}_{i}}\left( t\right) {b}_{i}
\]
定义的 \( I \rightarrow B \) 的函数称为简单函数,这里 \( {\chi }_{{A}_{i}} \) 表示集合 \( {A}_{i} \) 的特征函数,它在 \( {A}_{i} \) 上取值为 1,在 \( {A}_{i} \) 外取值为零.
定义 3.7 设 \( f \) 是 \( I \rightarrow B \) a.e. 定义的抽象函数,若在 \( I \) 上存在简单函数列 \( {f}_{n} \) 使
\[
\begin{Vmatrix}{{f}_{n}\left( t\right) - f\left( t\right) }\end{Vmatrix} \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) ,\text{ a.e. }t \in I,
\]
则称 \( f \) 在 \( I \) 强可测. 若对每一 \( {b}^{\prime } \in {B}^{\prime } \) ,数值函数 \( {b}^{\prime }\left( {f\left( t\right) }\right) = \) \( \left( {{b}^{\prime }, f\left( t\right) }\right) \) 可测,则称 \( f \) 弱可测.
请读者自己证明 \( I \) 上的连续函数必强可测,又强可测函数必弱可测. 反之有
定理3.1(B.J.Pettis) 若 \( B \) 可分, \( f \) 弱可测必强可测.
定义3.8 设 \( f\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{\chi }_{{A}_{i}}\left( t\right) {b}_{i} \) 是 \( I \) 到 \( B \) 的简单函数, 则定义 \( f \) 在 \( I \) 上的 Bochner 积分为
\[
{\int }_{I}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{b}_{i}\left| {A}_{i}\right|
\]
定义 3.9 设 \( f \) 是 \( I \rightarrow B \) 的抽象函数,若存在简单函数列 \( {f}_{n} \) 满足
\[
\begin{Vmatrix}{{f}_{n}\left( t\right) - f\left( t\right) }\end{Vmatrix} \rightarrow 0,\text{ a.e. }t \in I,
\]
\[
{\int }_{I}\begin{Vmatrix}{{f}_{n}\left( t\right) - f\left( t\right) }\end{Vmatrix}\mathrm{d}t \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) ,
\]
则称 \( f \) 在 \( I \) 上 Bochner 可积,且其 Bochner 积分
\[
{\int }_{I}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{I}{f}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
容易验证,定义中的 \( f \) 强可测,极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{I}{f}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t \) 存在,且不依赖于序列 \( {f}_{n} \) 的选取。
定理3.2(Bochner) 强可测函数 \( f \) Bochner 可积的充分必要条件是 \( \parallel f\left( t\right) \parallel \) Lebesgue 可积.
定理 3.1 和 3.2 的证明, 请参见 Yosida 的《泛 函 分析》 V 的 \( 4\text{、}5 \) .
推论3.1 若 \( f \) 在 \( I \) 上 Bochner 可积,则
\[
\begin{Vmatrix}{{\int }_{I}f\left( t\right) \mathrm{d}t}\end{Vmatrix} \leq {\int }_{I}\parallel f\left( t\right) \parallel \mathrm{d}t.
\]
请读者自行证门。
推论3.2 设 \( T \) 只 Banach 空间 \( {B}_{1} \) 到 Banach 空间 \( {B}_{2} \) 的有界线性算子, \( f \cap I \rightarrow {B}_{1} \) 的Bochner 可积函 * *,则 \( {Tf} \) 是 \( \mathbf{I} \rightarrow {B}_{2} \) 的 Bochner 可积函数,且
\[
{\int }_{I}{Tf}\left( t\right) \mathrm{d}t = T{\int }_{I}f\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
\( \left( {3,1}\right) \)
特别若 \( {b}^{\prime } \in B \) ,则
\[
{\int }_{I}\left( {{b}^{\prime }, f\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t = \left( {{b}^{\prime },{\int }_{I}f\left( t\right) \mathrm{d}t}\right) .
\]
\( \left( {3,2}\right) \)
证明 由于 \( f \) 是 \( I \rightarrow {B}_{1} \) 的 Bochner 可积而言. 存在简单函数列 \( {f}_{n} : I \rightarrow {B}_{1} \) ,满足
\[
{\int }_{I}{\begin{Vmatrix}{f}_{n}\left( t\right) - f\left( t\right) \end{Vmatrix}}_{{B}_{1}}\mathrm{\;d}t \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) .
\]
\( \left( {3,3}\right) \)
以 \( \parallel T\parallel \) 让 \( \parallel T{\parallel }_{\mathcal{L}\left( {{B}_{1},{B}_{2}}\right) } \) ,则
\[
{\begin{Vmatrix}T{f}_{n}\left( t\right) - Tf\left( t\right) \end{Vmatrix}}_{{B}_{2}} \leq \parallel T\parallel {\begin{Vmatrix}{f}_{n}\left( t\right) - f\left( t\right) \end{Vmatrix}}_{{\Gamma }_{1}}.
\]
(3.4)
由
\[
{\begin{Vmatrix}{f}_{n}\left( t\right) - f\left( t\right) \end{Vmatrix}}_{{B}_{1}} \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) ,\text{ a.e. }t \in I
\]
得
\[
{\begin{Vmatrix}T{f}_{n}\left( t\right) - Tf\left( t\right) \end{Vmatrix}}_{{B}_{2}} \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) ,\text{ a.e. }t \in {I}_{ \bullet }
\]
又 \( T{f}_{n} \) 为 \( {B}_{2} \) 中的简单函数列,由 (3.2)、(3.4) 得
\[
{\int }_{I}{\begin{Vmatrix}T{f}_{n} - Tf\end{Vmatrix}}_{{B}_{2}}\mathrm{\;d}t \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) .
\]
故 \( {Tf} \) Bochner 可积且
\[
{\int }_{I}{Tf}\mathrm{\;d}t = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{I}T{f}_{n}\mathrm{\;d}t
\]
但对简单函数易见
\[
{\int }_{I}T{f}_{n}\mathrm{\;d}t = T{\int }_{I}{f}_{n}\mathrm{\;d}t
\]
令 \( n \rightarrow \infty \) 取极限,考虑到 \( T \) 的连续性即得 (3.1). I
定理3.3 设 \( {f}^{\left( n\right) }\left( t\right) \in C\left( {\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ;B}\right) = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow B \) 连续抽象而数全体, 则有 Taylor 公式
\[
f\left( b\right) = f\left( a\right) + {f}^{\prime }\left( a\right) \left( {b - a}\right) + \cdots + \frac{{f}^{\left( n - 1\right) }\left( a\right) }{\left( {n - 1}\right) !}{\left( b - a\right) }^{n - 1}
\]
\[
+ \frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\int }_{a}^{b}{\left( t - a\right) }^{n - 1}{f}^{\left( n\right) }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
\( \left( {3.5}\right) \)
证明 任取 \( {b}^{\prime } \in {B}^{\prime } \) ,考虑数值函数
\[
\varphi \left( t\right) = \left( {{b}^{\prime }, f\left( t\right) }\right) .
\]
易证 \( \varphi \in {C}^{\left( n\right) }\left( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \right) \) ,且 \( {\varphi }^{\left( k\right) }\left( t\right) = \left( {{b}^{\prime },{f}^{\left( k\right) }\left( t\right) }\right), k = 0 \) , \( 1,\cdots, n \) ,(见习题 4). 由带积分余项的数值函数的Taylor公式得
\[
\left( {{b}^{\prime }, f\left( b\right) }\right) = \varphi \left( b\right) = \varphi \left( a\right) + {\varphi }^{\prime }\left( a\right) \left( {b - a}\right) + \cdots
\]
\[
+ \frac{{\varphi }^{\left( n - 1\right) }\left( a\right) }{\left( {n - 1}\right) !}{\left( b - a\right) }^{n - 1} +
\]
\[
+ \frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\int }_{a}^{b}{\left( t - a\right) }^{n - 1}{\varphi }^{\left( n\right) }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= \left( {{b}^{\prime }, f\left( a\right) + {f}^{\prime }\left( a\right) \left( {b - a}\right) + \cdots }\right.
\]
\[
+ \frac{{f}^{\left( n - 1\right) }\left( a\right) }{\left( {n - 1}\right) !}{\left( b - a\right) }^{n - 1}
\]
\[
\left. {+\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\int }_{a}^{b}{\left( t - a\right) }^{n - 1}{f}^{\left( n\right) }\left( t\right) \mathrm{d}t}\right) .
\]
由 \( {b}^{\prime } \) 的任意性,基于 Hahn-Banach 定理即得 (3.5) 式.
推论3.3 设 \( f \in {C}^{1}\left( {\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ;B}\right) \) ,则有估计
\[
\parallel f\left( b\right) - f\left( a\right) \parallel \leq \mathop{\max }\limits_{\left\lbrack a, b\right\rbrack }\begin{Vmatrix}{{f}^{\prime }\left( t\right) }\end{Vmatrix}\left( {b - a}\right) .
\]
定义3.10 设 \( f : I \rightarrow B \) 强可测, \( p \geq 1 \) ,若 \( \parallel f\left( t\right) \parallel \in {L}^{\prime }\left( I\right) \) , 则称 \( f \in {L}^{\prime }\left( {I, B}\right) \) ,并定义
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}^{p}\left( {I;B}\right) } = {\left( {\int }_{I}\parallel f\left( t\right) {\parallel }^{p}\mathrm{\;d}t\right) }^{1/p}.
\]
若对任意 \( {I}^{\prime } \subset \subset I \) 有 \( f \in {L}^{\prime }\left( {{I}^{\prime };B}\right) \) ,则记 \( f \in {L}_{loc}^{\prime }\left( {I;B}\right) \) .
## 1.3 广义抽象函数
定义3.11 \( {C}_{0}^{\infty }\left( I\right) \rightarrow B \) 的一个连续线性映射 \( f \) 称为一个 \( B \) 值广义函数. \( f \) 在 \( \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( I\right) \) 取的值 记作 \( f\left( \varphi \right) = \left( {f,\varphi }\right) \) . \( B \) 值广义函数组成的空间记作 \( {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {I;B}\right) \) .
例 设 \( f \in {L}_{\text{loc }}^{1}\left( {I;B}\right) \) ,映射
\[
\varphi \rightarrow {\int }_{I}\varphi \left( t\right) f\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
定义一个 \( {C}_{0}^{\infty }\left( I\right) \rightarrow B \) 的连续线性映射,从而是一个 \( B \) 值广义函数,仍记为 \( f \) . 对可分 Banach 空间 \( B \) ,若 \( f, g \in {L}_{\text{loc }}^{1}\left( {I;B}\right) \) 定义同一个 \( B \) 值广义函数,必有 \( f\left( t\right) = g\left( t\right) \), a.e. 于 \( I \) . 仍以
\( f \) 记这一 \( B \) 值广义函数,即
\[
\left( {f,\varphi }\right) = {\int }_{I}\varphi \left( t\right) f\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
定义 3.12 设 \( f \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {I;B}\right) \) ,定义 \( f \) 的导数 \( {f}^{\prime } \) 为广义函数
\[
\left( {{f}^{\prime },\varphi }\right) = - \left( {f,{\varphi }^{\prime }}\right) ,\;\forall \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( I\right) .
\]
设 \( B \subset C, u \in {L}^{2}\left( {I;B}\right), v \in {L}^{2}\left( {I;C}\right) \) 满足
\[
{\int }_{I}u\left( t\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = - {\int }_{I}v\left( t\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t,\;\forall \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( I\right)
\]
则记 \( {u}^{\prime } = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}t} \in {L}^{2}\left( {I, C}\right) \) .
1.4 \( {L}^{2}\left( {{\mathbf{R}}^{1}, X}\right) \) 的 Fourier 变换和空间 \( {H}^{s}\left( {{\mathbf{R}}^{1}, X}\right) \) .
对 Hilbert 空间 \( X \) ,在 \( {L}^{2}\left( {{R}^{1}, X}\right) \) 引入内积
\[
\left( {f, g}\right) = {\int }_{{\mathbf{R}}^{1}}\left( {f\left( t\right), g\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t,
\]
\( {L}^{2}\left( {{R}^{1}, X}\right) \) 仍是 Hilbert 空间. 在 \( {L}^{2}\left( {{R}^{1}, X}\right) \) 上仿数值函数 定义 Fourier 变换
\[
\widehat{f}\left( \tau \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-{i\tau t}}f\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
它是 \( {L}^{2}\left( {{R}_{i}^{1};X}\right) \) 到 \( {L}^{2}\left( {{R}_{i}^{1}, X}\right) \) 的一个等距同构,即Parseval等式成立
\[
{\int }_{-\infty }^{\infty }\parallel \widehat{f}{\parallel }_{X}^{2}\mathrm{\;d}\tau = {\int }_{-\infty }^{\infty }\parallel f{\parallel }_{X}^{2}\mathrm{\;d}t
\]
\[
{\int }_{-\infty }^{\infty }\left( {\widehat{f},\widehat{g}}\right) \mathrm{d}\tau = {\int }_{-\infty }^{\infty }\left( {f, g}\right) \mathrm{d}t.
\]
并且反演公式成立
\[
f\left( t\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\tau t}}f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau .
\]
定义3.13 设 \( f \in {L}^{2}\left( {{R}^{1};X}\right) \) ,若 \( {\left| \tau \right| }^{s}\widehat{f}\left( \tau \right) \in {L}^{2}\left( {{R}^{1};X}\right) \) , 则称 \( f \in {H}^{s}\left( {{R}^{1} : X}\right) \) ,并定义其范数
\[
\parallel f{\parallel }_{{H}^{s}\left( {{\mathbf{R}}^{1};\mathbf{X}}\right) } = \left( {{\int }_{-\infty }^{\infty }
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1446_偏微分方程现代理论引论_13922471
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定义 5.4.10
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定义 5.4.10 开集 \( \Omega \subseteq {\mathbf{R}}^{n} \) 上的拟微分算子 \( A \) 叫做是恰当支拟微分算子(properly supported pseudo-differential operator),如果 \( \operatorname{supp}{K}_{A} \) 是 \( \Omega \times \Omega \) 中的恰当子集.
例 4 由例 1 可知, 偏微分算子作为拟微分算子都是恰当支拟微分算子. 其次,设 \( P\left( {x, D}\right) \) 是例 3 中的拟微分算子,其中 \( \Omega = {\mathbf{R}}^{n} \) . 假设每个 \( {p}_{j} \) 都可延拓成 \( {\mathbf{C}}^{n} \) 上的整解析函数并具如下性质: 存在常数 \( {A}_{j},{C}_{j} > 0 \) 使成立
\[
\left| {{p}_{j}\left( \zeta \right) }\right| \leq {C}_{j}{\left( 1 + \left| \zeta \right| \right) }^{{m}_{j}}{\mathrm{e}}^{{A}_{j}\left| {\operatorname{Im}\zeta }\right| },\;\forall \zeta \in {\mathbf{C}}^{n}
\]
\( \left( {j = 1,2,\cdots, N}\right) \) ,则由 Paley-Wiener-Schwartz 定理知 \( {\check{p}}_{j} \) 的支集包含于闭球 \( \left| x\right| \leq \) \( {A}_{j} \) ,从而由例 3 知 \( {K}_{P} \) 的支集是 \( {\mathbf{R}}^{n} \times {\mathbf{R}}^{n} \) 中的恰当子集,所以 \( P\left( {x, D}\right) \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 上的恰当支拟微分算子.
定理 5.4.11 设 \( A \) 是开集 \( \Omega \subseteq {\mathbf{R}}^{n} \) 上的恰当支拟微分算子. 则有下列结论:
(1) \( A \) 是映 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 到 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的连续线性算子;
(2) \( A \) 可延拓成映 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 到 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的连续线性算子;
(3) \( A \) 可延拓成映 \( {E}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 到 \( {E}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 的连续线性算子;
(4) \( A \) 可延拓成映 \( {D}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 到 \( {D}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 的连续线性算子.
证 结论 (1) 和 (3) 是定理 5.4.9 的直接推论. 为证明结论 (2),只需注意 \( A \) 可按以下方式延拓成映 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 到 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的连续线性算子:
\[
{Au}\left( x\right) = {\left\langle {K}_{A}\left( x, y\right), u\left( y\right) \right\rangle }_{y},\;\forall u \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) .
\]
上式右端对任意 \( x \in \Omega \) 都是有意义的,因为对每个给定的 \( x \in \Omega \) ,因集合 \( \{ y \in \Omega \) : \( \left( {x, y}\right) \in \operatorname{supp}{K}_{A}\} \) 都是 \( \Omega \) 的紧子集,说明对每个给定的 \( x \in \Omega \) 都有 \( {K}_{A}\left( {x, \cdot }\right) \in {E}^{\prime }\left( \Omega \right) \) , 所以它对 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 中函数的作用有意义. 至于函数 \( x \mapsto {\left\langle {K}_{A}\left( x, y\right), u\left( y\right) \right\rangle }_{y} \) 的无穷可微性,则是定理 5.4.8 的直接推论. 最后, \( A \) 可按以下方式延拓成映 \( {D}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 到 \( {D}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 的连续线性算子:
\[
\langle {Au}, v\rangle = {\left\langle {\left\langle {K}_{A}\left( x, y\right), v\left( x\right) \right\rangle }_{x}, u\left( y\right) \right\rangle }_{y},\;\forall u \in {D}^{\prime }\left( \Omega \right) ,\forall v \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) .
\]
因为由于 \( \operatorname{supp}{K}_{A} \) 是 \( \Omega \times \Omega \) 中的恰当子集,所以对任意 \( v \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,函数 \( x \mapsto \) \( {\left\langle {K}_{A}\left( x, y\right), v\left( x\right) \right\rangle }_{x} \) 都具有紧支集从而属于 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,所以任意广函 \( u \in {D}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 对它的对偶作用都有意义. 证毕.
根据以上定理,当 \( A \) 是恰当支拟微分算子时, \( A\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\right) \) (视 \( \xi \) 为参数) 有意义. 不难验证 \( \left( {x,\xi }\right) \mapsto A\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\right) \) 是 \( \Omega \times {\mathbf{R}}^{n} \) 上的无穷可微函数.
定义 5.4.12 设 \( A \) 是开集 \( \Omega \subseteq {\mathbf{R}}^{n} \) 上的恰当支拟微分算子. 则称函数 \( \left( {x,\xi }\right) \mapsto \) \( {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{x\xi }}A\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\right) \) 为 \( A \) 的符征,记作 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \) ,即
\[
{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{x\xi }}A\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\right) ,\;\forall \left( {x,\xi }\right) \in \Omega \times {\mathbf{R}}^{n}.
\]
\( \left( {5.4.16}\right) \)
注意由于 \( A\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\right) \) 是 \( \Omega \times {\mathbf{R}}^{n} \) 上的无穷可微函数,所以 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times {\mathbf{R}}^{n}}\right) \) .
定理 5.4.13 设 \( A \) 是开集 \( \Omega \subseteq {\mathbf{R}}^{n} \) 上的恰当支拟微分算子,符征为 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \) , 则有
\[
{Au}\left( x\right) = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \widetilde{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi ,\;\forall u \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) .
\]
(5.4.17)
证 对任意 \( u \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,有
\[
u\left( x\right) = {F}^{-1}\left\lbrack {\widetilde{u}\left( \xi \right) }\right\rbrack = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\widetilde{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi .
\]
把上式中的积分表示成简单函数积分的极限,则这些简单函数的积分作为变元 \( x \) 的函数是有限个 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 中函数的和. 易知这种极限运算按 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 拓扑收敛 (即对任意紧集 \( K \subset \subset \Omega \) 和任意 \( \alpha \in {\mathbf{Z}}_{ + }^{n} \) ,这些简单函数的积分作为有限个变元 \( x \) 的函数的和,其关于 \( x \) 的 \( \alpha \) 阶偏导数在取极限的过程中在 \( K \) 上一致收敛). 由于 \( A \) 是映 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 到 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的连续线性算子,且由于 \( A\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \) ,所以通过这样取极限的方法便得到
\[
{Au}\left( x\right) = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}\left( {A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}}\right) \widetilde{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \widetilde{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi .
\]
这就证明了 (5.4.17). 证毕.
以上定理说明, 恰当支拟微分算子都可表示成 (5.4.1) 的形式. 前面已经指出, \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times {\mathbf{R}}^{n}}\right) \) . 自然要问: 当 \( A \in {\Psi }_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) 时,是否 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {\Omega \times {\mathbf{R}}^{n}}\right) \) ? 这个问题后面将会给出肯定的回答.
对于定义在 \( \Omega \times \Omega \times {\mathbf{R}}^{n} \) 上的函数 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \) ,如果把它看作 \( \left( {x, y}\right) \) 的以 \( \xi \) 为参数的函数时,其支集包含在 \( \Omega \times \Omega \) 的一个与 \( \xi \) 无关的恰当子集中,则称 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \) 具有关于 \( \xi \) 一致恰当的支集. 显然,如果拟微分算子 \( A \) 具有表达式 (5.4.3),其中的振幅函数 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \) 具有关于 \( \xi \) 一致恰当的支集,则 \( A \) 是恰当支拟微分算子. 反过来的结论也正确, 即有下述定理:
定理 5.4.14 设 \( A \) 是开集 \( \Omega \subseteq {\mathbf{R}}^{n} \) 上的 \( {\Psi }_{\rho ,\delta }^{m} \) 类恰当支拟微分算子,具有表达式 (5.4.3). 则存在一个具有关于 \( \xi \) 一致恰当的支集的振幅函数 \( {a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) \in \) \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {\Omega \times \Omega \times {\mathbf{R}}^{n}}\right) \) ,它对每个固定的 \( \xi \in {\mathbf{R}}^{n} \) 在 \( \Omega \times \Omega \) 的对角线 \( \Delta \) 的某个邻域上与 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \) 相等,使得把 (5.4.3) 中的 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \) 换为 \( {a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) \) 时这个表达式仍然成立.
证 设 \( {K}_{A} \) 的支集为 \( G \) ,它是 \( \Omega \times \Omega \) 的恰当子集. 不难作一个函数 \( \varphi \in \) \( {C}^{\infty }\left( {\Omega \times \Omega }\right) \) ,它在 \( G \) 上等于 1,且支集也是 \( \Omega \times \Omega \) 的恰当子集 (见本节习题第 5 题). 令 \( {a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) = a\left( {x, y,\xi }\right) \varphi \left( {x, y}\right) \) . 由于 \( {K}_{A}\left( {x, y}\right) = {K}_{A}\left( {x, y}\right) \varphi \left( {x, y}\right) \) ,所以对任意 \( u, v \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 有
\[
\langle {Au}, v\rangle = \left\langle {{K}_{A}\left( {x, y}\right), v\left( x\right) u\left( y\right) }\right\rangle = \left\langle {\varphi \left( {x, y}\right) {K}_{A}\left( {x, y}\right), v\left( x\right) u\left( y\right) }\right\rangle
\]
\[
= \left\langle {{K}_{A}\left( {x, y}\right) ,\varphi \left( {x, y}\right) v\left( x\right) u\left( y\right) }\right\rangle
\]
\[
= \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {x - y}\right) \xi }a\left( {x, y,\xi }\right) \varphi \left( {x, y}\right) v\left( x\right) u\left( y\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
= \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {x - y}\right) \xi }{a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) v\left( x\right) u\left( y\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
= {\int }_{\Omega }\left( {\frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\int }_{\Omega }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {x - y}\right) \xi }{a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\xi }\right) v\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
所以
\[
{Au}\left( x\right) = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\int }_{\Omega }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {x - y}\right) \xi }{a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\xi ,\;\forall u \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) .
\]
证毕.
因此, 以后讲到恰当支拟微分算子时, 我们总假定它具有表达式 (5.4.3), 其中的振幅函数 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \) 具有关于 \( \xi \) 一致恰当的支集.
定理 5.4.15 任意拟微分算子都可写成同阶同型的恰当支拟微分算子与光滑化算子的和.
证 设 \( A \) 是开集 \( \Omega \subseteq {\mathbf{R}}^{n} \) 上的 \( {\Psi }_{\rho ,\delta }^{m} \) 类拟微分算子,具有表达式 (5.4.3),振幅为 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \) . 作一个函数 \( \varphi \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times \Omega }\right) \) ,它在 \( \Omega \times \Omega \) 的对角线 \( \Delta \) 的一个邻域中等于 1 , 且具有恰当的支集, 然后令
\[
{a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) = \varphi \left( {x, y}\right) a\left( {x, y,\xi }\right) ,\;{a}_{0}\left( {x, y,\xi }\right) = \left\lbrack {1 - \varphi \left( {x, y}\right) }\right\rbrack a\left( {x, y,\xi }\right) .
\]
再令 \( {A}_{1} \) 和 \( {A}_{0} \) 为分别以 \( {a}_{1}\left( {x, y,\xi }\right) \) 和 \( {a}_{0}\left( {x, y,\xi }\right) \) 为振幅的拟微分算子. 则显然 \( A = {A}_{1} + {A}_{0} \) . 不难看出, \( {A}_{1} \) 是 \( {\Psi }_{\rho ,\delta }^{m} \) 类恰当支拟微分算子, \( {A}_{0} \) 是光滑化算子. 这就证明了定理 5.4.15.
## 5.4.4 符征的渐近展开
把偏微分算子扩展成拟微分算子, 在一定程度上类似于把多项式扩展成幂级数即把多项式函数扩展成解析函数. 如同一般的偏微分算子都可分解成一些不同阶的齐次偏微分算子的和一样, 拟微分算子也往往可以分解成一些不同阶的具有某种齐次性的
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1656_微分动力系统原理(张筑生)
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定义 10.4
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定义 10.4 我们沿用上面的记号. 对于 \( q \in U \) 和 \( \left| \xi \right| < \delta \) , 引入记号
\[
{\exp }_{q}\xi = \gamma \left( {1, q,\xi }\right) .
\]
我们把
\[
{\exp }_{q} : \left\{ {\xi \in {T}_{q}M\left| \right| \xi \mid < \delta }\right\} \rightarrow M
\]
(10.3)
称为指数映射.
注记 10.5 指数映射 (10.3) 是光滑的, 并且映射
\[
\exp : \left\{ {\xi \in {T}_{U}M\left| \right| \xi \mid < \delta }\right\} \rightarrow M
\]
\[
\xi \mapsto {\exp }_{\pi \xi }\xi
\]
也是光滑的.
测地线的一个重要特点,是它具有某种“齐次”性质.
定理 10.6 对于 \( q \in U,\xi \in {T}_{q}M,\lambda \in \mathbf{R},\left| {\lambda \xi }\right| < \delta \) ,我们有
\[
r\left( {{\lambda t}, q,\xi }\right) = r\left( {t, q,{\lambda \xi }}\right) ,\forall t \in \left( {-2,2}\right) .
\]
证明. 我们注意到方程 (10.1) 具有某种 “齐次” 性质. 如果 \( x\left( t\right) \) 是 \( \left( {10.1}\right) \) 满足初值条件
\[
x\left( 0\right) = {x}_{0},\dot{x}\left( 0\right) = {\dot{x}}_{0},
\]
的解, 那么
\[
y\left( t\right) = x\left( {\lambda t}\right)
\]
就是方程 (10.1) 满足初值条件
\[
y\left( 0\right) = {x}_{0},\dot{y}\left( 0\right) = \lambda {x}_{0}
\]
的唯一解. 因而
\[
r\left( {{\lambda t}, q,\xi }\right) = r\left( {t, q,{\lambda \xi }}\right) .
\]
推论 10.7 过 \( q \) 点沿 \( \xi \) 方向的测地线可以表示为
\[
r\left( {t, q,\xi }\right) = {\exp }_{q}\left( {t\xi }\right) .
\]
证明. 我们有
\[
{\exp }_{q}\left( {t\xi }\right) = r\left( {1, q,{t\xi }}\right) = r\left( {1, q,\xi }\right) .
\]
口
定理 10.8 我们有
\[
{\left( D{\exp }_{q}\right) }_{0} = {id} : {T}_{q}M \rightarrow {T}_{q}M.
\]
因而对充分小的正数 \( \eta = {\eta }_{q} < \delta \) ,映射
\[
{\exp }_{q} : \left\{ {\xi \in {T}_{q}M\left| \right| \xi \mid < \eta }\right\} \rightarrow M
\]
是到 \( M \) 中包含 \( q \) 点的某一开集的微分同胚.
证明. 我们有
\[
{\exp }_{q}\left( {t\xi }\right) = r\left( {t, q,\xi }\right) .
\]
将上一等式两边对 \( t \) 微分并在 \( t = 0 \) 处计值,可得
\[
{\left( D{\exp }_{q}\right) }_{0}\xi = \dot{\gamma }\left( {0, q,\xi }\right) = \xi .
\]
因而
\[
{\left( D{\exp }_{q}\right) }_{0} = {id} : {T}_{q}M \rightarrow {T}_{q}M.
\]
下面, 我们来解释测地线的几何意义. 先引入曲线弧长的概念.
定义 10.9 (曲线的弧长) 设 \( \alpha : \left\lbrack {{\tau }_{0},\tau }\right\rbrack \rightarrow M \) 是分段光滑的连续曲线, 我们定义其弧长为
\[
l\left( \alpha \right) = {\int }_{{x}_{1}}^{x}\left| {\dot{a}\left( t\right) }\right| {dt}.
\]
这里 \( \left| \cdot \right| \) 表示由 Riemann 度量 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 引出的范数:
\[
\left| \xi \right| = \sqrt{\langle \xi ,\xi \rangle },\forall \xi \in {TM}.
\]
定义 10.10 设 \( M \) 是一个连通的光滑的 Riemann 流形. 对于 \( p, q \in M \) ,我们定义 \( d\left( {p, q}\right) \) 为联结 \( p, q \) 两点的一切分段光滑的曲线的弧长的下确界
\[
d\left( {p, q}\right) = \inf \{ l\left( \alpha \right) \mid \alpha \text{ 联结 }p, q\} .
\]
这样定义的 \( d \) 满足距离三公理:
(d) \( d\left( {p, q}\right) \geq 0 \) ,并且
\[
d\left( {p, q}\right) = 0 \Leftrightarrow p \rightarrow q;
\]
\( \left( {\mathbf{d}}_{2}\right) d\left( {p, q}\right) = d\left( {q, p}\right) ; \)
(d) \( d\left( {p, q}\right) \leq d\left( {p, r}\right) + d\left( {r, q}\right) \) .
注记 10.11 可以证明: 由上面定义的距离引出的拓扑, 与流形 \( M \) 原来的拓扑一致. (参看 [9],第 \( \mathrm{V} \) 章,定理 3.1.)
以下定理说明了测地线的几何意义。
定理 10.12 测地线在局部范围内是最短线,即: 当两点 \( p \) 和 \( q \) 充分接近时,联结它们的最短曲线是测地线.
定理 10.12 的证明请参看 [9] (第 VII 章, 第 7 节).
推论 10.13 对任意 \( p \in M \) ,存在 \( p \) 点的开邻域 \( U \) 和正数 \( \rho \) , 使得对于 \( q \in U,\xi \in {T}_{q}M,\left| \xi \right| < \rho \) ,有
\[
d\left( {{\exp }_{q}\xi, q}\right) = \left| \xi \right|
\]
证明. 我们知道
\[
r\left( {t, q,\xi }\right) \rightarrow {\exp }_{q}{t\xi }
\]
是联结 \( g \) 和 \( {\exp }_{q}\xi \) 的测地线,并且当 \( \left| \xi \right| \) 充分小时 \( {\exp }_{q}{t\xi } \) 充分接近 \( q \) . 于是
\[
d\left( {{\exp }_{q}\xi, q}\right) = l\left( r\right) .
\]
又因为沿测地线切向量的长度保持不变:
\[
\left| {\dot{\gamma }\left( {t, q,\xi }\right) }\right| = \left| {\dot{\gamma }\left( {0, q,\xi }\right) }\right| = \left| \xi \right| ,
\]
所以
\[
l\left( \gamma \right) = {\int }_{0}^{1}\left| \dot{\gamma }\right| {dt} = {\int }_{0}^{1}\left| \xi \right| {dt} = \left| \xi \right| .
\]
我们证明了
\[
d\left( {{\exp }_{q}\xi, q}\right) = \left| \xi \right| \text{.}
\]
对于 \( q \in M \) 和 \( r > 0 \) ,我们引入记号
\[
B\left( {q, r}\right) = \{ x \in M \mid d\left( {x, q}\right) < r\} .
\]
从定理 10.8 和推论 10.13 可以得到
定理 10.14 对任意 \( p \in M \) ,存在 \( p \) 点的开邻域 \( V = V \) ,和正数 \( \zeta = {\zeta }_{p} \) ,使得对任意的 \( q \in V \) ,映射
\[
{\exp }_{q} : \left\{ {\xi \in {T}_{q}M\left| \right| \xi \mid < \zeta }\right\} \rightarrow B\left( {q,\zeta }\right)
\]
是光滑微分同胚.
证明. 以 \( q \in U \) 为参变元,考虑映射
\[
{\exp }_{q} : \left\{ {\xi \in {T}_{q}M\left| \right| \xi \mid < \delta }\right\} \rightarrow M.
\]
在局部坐标下引用含参变元的逆映射定理 (第六章定理 9.7) 就得到本定理的证明.
推论 10.15 设 \( \Lambda \subset M \) 是紧致集,则存在正数 \( \rho = {\rho }_{\Lambda } \) ,使得
对任何 \( q \in \Lambda \) ,
\[
{\exp }_{q} : \left\{ {\xi \in {T}_{q}M\left| \right| \xi \mid < \rho }\right\} \rightarrow B\left( {q,\rho }\right)
\]
是光滑微分同胚.
## 第十三章 截面空间与映射流形
我们知道, 映射的局部线性化是分析研究中强有力的手段. 在微分动力系统大范围性态的研究中, 往往也采取某种形式的线性化作法. 这种线性化, 涉及一些向量丛的截面空间. 我们这里就来介绍有关的概念.
## \$1 截面空间
定义 1.1 向量丛 \( \left( {E,\pi, X,{\mathbf{R}}^{k}}\right) \) 的一个截面是一个映射
\[
\sigma : X \rightarrow E,
\]
它满足条件
\\
\[
\pi \circ \sigma = {id}.
\]
这就是说,截面是一个映射 \( \sigma : X \rightarrow E \) ,它把每一点 \( x \in X \) 映到这点上的纤维之中
\[
\sigma \left( x\right) \in {\pi }^{-1}\left( x\right) = {E}_{x},\forall x \in X.
\]
例 1.2 平凡丛 \( X \times {\mathrm{R}}^{k} \) 的一个截面,就是任何一个函数 \( f \) : \( X \rightarrow {\mathbf{R}}^{k} \) 的图象:
\[
\left( {{id}, f}\right) : X \rightarrow X \times {\mathbf{R}}^{k}.
\]
例 1.3 微分流形 \( M \) 的切丛 \( {TM} \) 的任何一个截面,就是 \( M \) 上的一个向量场.
注记 1.4 截面作为从底空间到全空间的映射, 可以讨论其连续性或可微性. 因而 “连续截面” 或 “C’ 截面” 这类说法有确定的含义.
设 \( \left( {E,\pi, X,{\mathbf{R}}^{k}}\right) \) 是一个具有 Finsler 构造的向量丛. 我们以 \( {\Gamma }^{0}\left( E\right) \) 或者 \( {\Gamma }^{0}\left( {x, E}\right) \) 表示 \( E \) 的所有连续截面的集合,即
\[
{\Gamma }^{0}\left( E\right) - {\Gamma }^{0}\left( {X, E}\right)
\]
\[
= \left\{ {\sigma \in {C}^{0}\left( {X, E}\right) \mid \pi \circ \sigma = {id}}\right\} .
\]
在 \( {\Gamma }^{0}\left( E\right) \) 上可以自然地引入线性结构: 对于 \( \sigma, r \in {\Gamma }^{0}\left( E\right), c \in \) \( \mathrm{R} \) ,我们定义 \( \sigma + \tau \) 和 \( {c\sigma } \) 如下:
\[
\left( {\sigma + \tau }\right) \left( x\right) = \sigma \left( x\right) + \tau \left( x\right) ,
\]
\[
\left( {c\sigma }\right) \left( x\right) = {c\sigma }\left( x\right) .
\]
如果 \( X \) 是紧空间,则还可以在 \( {\Gamma }^{ \circ }\left( E\right) \) 上引入范数:
\[
\parallel \sigma \parallel = \mathop{\sup }\limits_{{x \in x}}\parallel \sigma \left( x\right) \parallel
\]
容易验证 \( \left( {{\Gamma }^{0}\left( E\right) ,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是一个 Banach 空间.
定义 1.5 我们把 \( {\Gamma }^{0}\left( E\right) \) 或 \( \left( {{\Gamma }^{0}\left( E\right) ,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 称为是 \( E \) 的连续截面空间
有时候, 我们需要涉及不一定连续的有界截面, 即满足以下条件的截面:
\[
\mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\parallel \sigma \left( x\right) \parallel < + \infty .
\]
(1.1)
满足条件 (1.1) 的 \( E \) 的截面的集合记为 \( {\Gamma }^{b}\left( E\right) \) 或者 \( {\Gamma }^{b}\left( {X, E}\right) \) . 在 \( {\Gamma }^{b}\left( E\right) \) 中,也可以按照逐点运算的方式引入截面之间的线性运算. 还可以在 \( {\Gamma }^{b}\left( E\right) \) 上引入范数
\[
\parallel \sigma \parallel = \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\parallel \sigma \left( x\right) \parallel .
\]
这样, \( \left( {{\Gamma }^{b}\left( E\right) ,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 也成为一个 Banach 空间.
定义 1.6 我们把 \( {\Gamma }^{b}\left( E\right) \) 或 \( \left( {{\Gamma }^{b}\left( E\right) ,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 称为 \( E \) 的有界截面空间.
## § 2 Palais 引 理
定义 2.1 (沿纤维方向的微分) 设 \( \left( {E,\pi, X,{\mathrm{R}}^{k}}\right) \) 是具有 Finsler 构造的向量丛, \( Q \subset E \) 是 \( E \) 的开子集, \( F : Q \rightarrow E \) 是覆盖 \( f : \pi \left( Q\right) \rightarrow X \) 的保持纤维的映射, \( x \in \pi \left( Q\right) \) ,则
\[
F \mid {E}_{x} \cap Q : {E}_{x} \cap Q \rightarrow {E}_{f\left( x\right) }
\]
是从一个赋范线性空间的开子集到另一个赋范线性空间的映射, 因而可以讨论其可微性. 这样的微分称为沿纤维方向的微分, 记
为 \( \widetilde{D}F \) . 对于取定的 \( \xi \in {E}_{x} \cap Q \) ,
\[
\widetilde{D}F\left( \xi \right) : {E}_{x} \rightarrow {E}_{J\left( x\right) }
\]
\[
\eta \mapsto \widetilde{D}F{\left( \xi \right) }_{\eta }
\]
是一个线性映射:
\[
\widetilde{D}F\left( \xi \right) \in \mathrm{L}\left( {{E}_{x},{E}_{f\left( x\right) }}\right) .
\]
我们可以把 \( \mathrm{L}\left( {{E}_{x},{E}_{f\left( x\right) }}\right) \) 视为向量丛 \( \mathrm{L}\left( {E,{f}^{ * }E}\right) \) 在 \( x \) 点的纤维
\[
\mathrm{L}{\left( E,{f}^{ * }E\right) }_{x} = \mathrm{L}\left( {{E}_{x},{E}_{f\left( x\right) }}\right) .
\]
于是,当 \( \xi \) 在 \( Q \) 中变动时, \( \widetilde{D}F \) 定义了一个映射
\[
\widetilde{D}F : Q \rightarrow \mathrm{L}\left( {E,{f}^{ * }E}\right)
\]
\[
\xi \mapsto \widetilde{D}F\left( \xi \right) \text{.}
\]
如果这映射是连续的,我们就说 \( F \) 沿纤维的微分是连续的.
在局部平凡表示之下,一个保持纤维的映射 \( F \) 可表示为
\[
\left( {x,\xi }\right) \mapsto \left( {\varphi \left( x\right) ,\Phi \left( {x,\xi }\right) }\right) ,
\]
而 \( F \) 沿纤维的微分 \( \widetilde{D}F \) 表示为偏微分
\[
\left( {x,\xi }\right) \mapsto {D}_{\xi }\Phi \left( {x,\xi }\right) .
\]
如果这偏微分是连续的,那么 \( \widetilde{D}F \) 就是连续的.
以下定理对于 \( \Gamma \left( E\right) = {\Gamma }^{0}\left( E\right) \) 或 \( {\Gamma }^{b}\left( E\right) \) 两种情形都成立. 我们仅对 \( \Gamma \left( E\right) = {\Gamma }^{0}\left( E\right) \) 的情形陈述并证明. 对于 \( \Gamma \left( E\right) = {\Gamma }^{b}\left( E\right) \) 情形应作的改变, 则在注记 2.3 中予以说明.
定理 2.2 (Palais 引理) 设 \( \left( {E,\pi, X,{\mathbf{R}}^{k}}\right) \) 是一个具有 Finsler 构造的向量丛,其中 \( X \) 是紧致的. 又设 \( Q \subset E \) 是 \( E \) 的一个开子集, \( \pi \left( Q\right) = X, f : X \rightarrow X \) 是一个同胚, \( F : Q \rightarrow E \) 是覆盖 \( f \) 的一个保持纤维的映射. 我们还假设
\[
\Gamma \left( Q\right) = \{ \sigma \in \Gamma \left( E\right) \mid \operatorname{im}\sigma \subset Q\} \neq \varnothing .
\]
如果 \( F \) 沿纤维的微分 \( \widetilde{D}F \) 在 \( Q \) 中连续,那么截面空间的映射
\[
\widetilde{F} : \Gamma \left( Q\right) \rightarrow \Gamma \left( E\right)
\]
\[
\sigma \mapsto F \circ \sigma \circ {f}^{-1}
\]
是可微分的, 其微分表示如下
\[
D\widetilde{F}\left( \sigma \right) : \Gamma \left( E\right) \rightarrow \Gamma \left( E\right)
\]
\[
\tau \mapsto D\widetilde{F}\left( \sigma \right) \tau ,
\]
\[
\left( {D\widetilde{F}\left( \sigma \right)
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177_拓扑线性空间与算子谱理论
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定义 1.2
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定义 1.2 设 \( H \) 是 Hilbert 空间, \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset H, T : \mathcal{D}\left( T\right) \rightarrow H \) 是线性算子. 若存在 \( y, z \in H \) 使得
\[
\left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x, z}\right) ,\;\forall x \in \mathcal{D}\left( T\right)
\]
(1.2)
令 \( z = {T}^{ * }y \) 并且记 \( y \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) ,称 \( {T}^{ * } : \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \rightarrow H \) 是 \( T \) 的共轭算子.
容易验证 \( {T}^{ * } : \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \rightarrow H \) 是线性算子,此时
\[
\mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) = \{ y \in H : \exists z \in H,\left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x, z}\right) ,\forall x \in \mathcal{D}\left( T\right) \} .
\]
(1.3)
\( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 是 \( {T}^{ * } \) 的定义域. 我们已经知道在 \( \mathcal{D}\left( T\right) = H \) 和 \( T \) 是有界算子的情况, \( {T}^{ * } \) 是唯一确定的并且 \( \begin{Vmatrix}{T}^{ * }\end{Vmatrix} = \parallel T\parallel \) . 但是现在, \( {T}^{ * } \) 的存在性需要重新证明.
定理 \( {1.1}{T}^{ * } \) 是唯一的当且仅当 \( T \) 是稠定的. 若 \( T \) 是稠定的,则 \( {T}^{ * } \) 是闭算子. 若 \( S, T \) 都是稠定的, \( S \subset T \) ,则 \( {T}^{ * } \subset {S}^{ * } \) .
证 \( {T}^{ * } \) 是唯一的等价于 \( \forall x \in \mathcal{D}\left( T\right) ,\left( {x, z}\right) = 0 \) 则 \( z = 0 \) . 由 Hahn-Banach 延拓定理,这等价于 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) 在 \( H \) 中稠密.
现设 \( T \) 稠定,若 \( {y}_{n} \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) ,{y}_{n} \rightarrow y,{T}^{ * }{y}_{n} \rightarrow u \) ,则 \( \forall x \in \mathcal{D}\left( T\right) ,\left( {{Tx},{y}_{n}}\right) = \) \( \left( {x,{T}^{ * }{y}_{n}}\right) \) ,令 \( n \rightarrow \infty \) 便得出 \( \left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x, u}\right) \) . 这说明 \( y \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 并且 \( u = {T}^{ * }y \) , 即 \( {T}^{ * } \) 是闭的. 剩下的扩张关系是容易验证的.
定理 1.1 说明, 能够提供共轭算子的只有稠定算子. 并且由稠定算子确定的共轭算子是比有界算子更广泛的一类算子 - 闭算子. 鉴于共轭理论的重要性, 这就是我们把讨论对象限定在闭稠定算子的原因.
在上面关于算子加法和乘积的定义域规定之下, 可以证明下面定理.
定理 1.2 设 \( H \) 是 Hilbert 空间, \( T, S \) 是 \( H \) 中的闭稠定算子,则
(1) \( {\left( \alpha T\right) }^{ * } = \bar{\alpha }{T}^{ * },\forall \alpha \in \Phi \) .
(2) \( {S}^{ * } + {T}^{ * } \subset {\left( S + T\right) }^{ * } \) .
(3) \( {T}^{ * } \) 闭稠定并且 \( {T}^{* * } = T \) .
(4) 若 \( {ST} \) 也是稠定的,则 \( {T}^{ * }{S}^{ * } \subset {\left( ST\right) }^{ * } \) .
证 \( \left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 4\right) \) 可直接验证. 为证 (3),只需证明 \( {T}^{ * } \) 稠定. 在 \( H \times H \) 中定义内积
\[
\left( {\left\{ {{x}_{1},{y}_{1}}\right\} ,\left\{ {{x}_{2},{y}_{2}}\right\} }\right) = \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) + \left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right) ,
\]
这里右端的 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 是 \( H \) 中的内积. 例行的验证表明左端确实是 \( H \times H \) 上的内积, 并且使之成为 Hilbert 空间. 若 \( \mathcal{G}\left( T\right) \) 在 \( H \times H \) 中闭,则 \( \mathcal{G}\left( T\right) = \mathcal{G}{\left( T\right) }^{ \bot \bot } \) . 在 \( H \times H \) 上定义 \( V\{ x, y\} = \{ - y, x\} \) ,直接验证表明 \( V\mathcal{G}\left( {T}^{ * }\right) = \mathcal{G}{\left( T\right) }^{ \bot } \) ,从而
\[
V\mathcal{G}{\left( {T}^{ * }\right) }^{ \bot } = \mathcal{G}{\left( T\right) }^{ \bot \bot } = \mathcal{G}\left( T\right)
\]
这说明 \( V\mathcal{G}{\left( {T}^{ * }\right) }^{ \bot } \) 是某个线性算子的图像, \( {T}^{ * } \) 是闭稠定的.
由此又有 \( V\mathcal{G}\left( {T}^{* * }\right) = \mathcal{G}{\left( {T}^{ * }\right) }^{ \bot },{V}^{2} = - I \) ,从而
\[
\mathcal{G}\left( {T}^{* * }\right) = - {V}^{2}\mathcal{G}\left( {T}^{* * }\right) = - V\mathcal{G}{\left( {T}^{ * }\right) }^{ \bot } = - \mathcal{G}\left( T\right) = \mathcal{G}\left( T\right) .
\]
于是 \( {T}^{* * } = T \) .
定义 1.3 设 \( T : \mathcal{D}\left( T\right) \rightarrow H \) 是稠定线性算子. 称 \( T \) 是对称的,若
\[
\left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x,{Ty}}\right) ,\;\forall x, y \in \mathcal{D}\left( T\right) ,
\]
(1.4)
或者等价地, \( T \subset {T}^{ * } \) . 称 \( T \) 是自伴的,若 \( {T}^{ * } = T \) .
注意由定义知自伴算子一定是对称算子. 实际上, \( T \) 是自伴的当且仅当 \( T \) 是对称的,并且 \( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) = \mathcal{D}\left( T\right) \) . 特别地,自伴算子是闭的. 在 \( \mathcal{D}\left( T\right) = H \) 的情况, 对称算子与自伴算子是等价的, 但现在一般说来二者是不同的.
定理 1.3 若 \( T \) 是 \( H \) 中的对称算子,则
(1) \( \parallel {Tx} \pm {ix}{\parallel }^{2} = \parallel {Tx}{\parallel }^{2} + \parallel x{\parallel }^{2},\forall x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) .
(2) \( T \) 是闭算子当且仅当 \( \mathcal{R}\left( {T \pm {iI}}\right) \) 闭.
(3) \( \mathcal{N}\left( {{T}^{ * } \pm {iI}}\right) = \mathcal{R}{\left( T \mp iI\right) }^{ \bot } \) .
(4) 若 \( T \) 自伴, \( S \) 对称, \( T \subset S \) ,则 \( T = S \) .
(5) \( T \) 是自伴的当且仅当 \( \mathcal{R}\left( {T \pm {iI}}\right) = H \) .
证 \( {1}^{ \circ } \) 由展开式
\[
\parallel {Tx} \pm {ix}{\parallel }^{2} = \parallel {Tx}{\parallel }^{2} \pm \left( {{ix},{Tx}}\right) \pm \left( {{Tx},{ix}}\right) + \parallel x{\parallel }^{2}
\]
和 \( T \) 的对称性知所说的式子成立. 由此式还知道 \( x \mapsto {Tx} \pm {ix} \) 是一一映射,即 \( \mathcal{N}\left( {T \pm {iI}}\right) = \{ 0\} . \)
\( {2}^{ \circ } \) 由 \( {1}^{ \circ } \) 还知道 \( \left( {T \pm {iI}}\right) x \rightarrow \left( {x,{Tx}}\right) \) 是 \( \mathcal{R}\left( {T \pm {iI}}\right) \) 到 \( \mathcal{G}\left( T\right) \) 的等距,所以二者有相同的闭性.
\( {3}^{ \circ } \) 若 \( y \in \mathcal{N}\left( {{T}^{ * } \pm {iI}}\right) \) ,即 \( {T}^{ * }y \pm {iy} = 0 \) 或 \( y = \pm i{T}^{ * }y \) ,于是 \( y \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 并且
\[
\left( {\left( {T \mp {iI}}\right) x, y}\right) = \left( {x,\left( {{T}^{ * } \pm {iI}}\right) y}\right) = 0,\;\forall x \in \mathcal{D}\left( T\right) ,
\]
所以 \( y \in \mathcal{R}{\left( T \mp iI\right) }^{ \bot } \) ,这说明 \( \mathcal{N}\left( {{T}^{ * } \pm {iI}}\right) \subset \mathcal{R}{\left( T \mp iI\right) }^{ \bot } \) . 反过来的包含关系可以类似得到.
\( {4}^{ \circ } \) 对于 \( T = {T}^{ * }, S \subset {S}^{ * } \) 并且 \( T \subset S \) ,则 \( {S}^{ * } \subset {T}^{ * } \) ,从而 \( T \subset S \subset {S}^{ * } \subset \) \( {T}^{ * } = T \) .
\( {5}^{ \circ } \) 若 \( T \) 是自伴的,则 \( T = {T}^{ * }, T \) 是闭的以及 \( {1}^{ \circ } \) 说明
\[
\mathcal{N}\left( {{T}^{ * } \pm {iI}}\right) = \mathcal{N}\left( {T \pm {iI}}\right) = \{ 0\} .
\]
由 \( {2}^{ \circ },\mathcal{R}\left( {T \pm {iI}}\right) \) 闭,故
\[
\mathcal{R}\left( {T \pm {iI}}\right) = \mathcal{R}{\left( T \pm iI\right) }^{ \bot \bot } = \mathcal{N}{\left( {T}^{ * } \mp iI\right) }^{ \bot } = H.
\]
此推理是可逆的.
定义 1.4 设 \( T \) 是对称算子,称算子
\[
U = \left( {T - {iI}}\right) {\left( T + iI\right) }^{-1}
\]
(1.5)
为 \( T \) 的 Cayley 变换.
由于 \( T \) 是对称的,定理 1.3 的 (1) 表明 \( \mathcal{N}\left( {T \pm {iI}}\right) = \{ 0\} \) ,于是 \( {\left( T + iI\right) }^{-1} \) 存在,所以 \( U \) 是从 \( \mathcal{R}\left( {T + {iI}}\right) \) 到 \( \mathcal{R}\left( {T - {iI}}\right) \) 上的算子.
定理 1.4 设 \( U \) 是对称算子 \( T \) 的 Cauyley 变换,则
(1) \( U \) 是 \( \mathcal{R}\left( {T + {iI}}\right) \rightarrow \mathcal{R}\left( {T - {iI}}\right) \) 上的等距线性算子.
(2) \( U \) 是闭的当且仅当 \( T \) 是闭的.
(3) \( \mathcal{N}\left( {I - U}\right) = \{ 0\} \) ,并且 \( \mathcal{D}\left( T\right) = \mathcal{R}\left( {I - U}\right) \) ,
\[
T = i\left( {I + U}\right) {\left( I - U\right) }^{-1}.
\]
(1.6)
(4) \( U \) 是酉算子当且仅当 \( T \) 是自伴算子.
证 \( {1}^{ \circ } \) 由于对称性, \( T \pm {iI} \) 是一一的,并且当 \( \left( {T + {iI}}\right) x = y,\left( {T - {iI}}\right) x = z \) 时, \( z = \left( {T - {iI}}\right) {\left( T + iI\right) }^{-1}y = {Uy} \) ,此时
\[
\parallel y{\parallel }^{2} = \parallel \left( {T + {iI}}\right) x{\parallel }^{2} = \parallel {Tx}{\parallel }^{2} + \parallel x{\parallel }^{2} = \parallel \left( {T - {iI}}\right) x{\parallel }^{2} = \parallel z{\parallel }^{2}.
\]
所以 \( U \) 是等距算子.
\( {2}^{ \circ } \) 由定理 1.3 的 \( \left( 2\right), T \) 闭当且仅当 \( \mathcal{R}\left( {T + {iI}}\right) \) 闭. 又由 \( {1}^{ \circ } \) 知道 \( U \) 是闭算子当且仅当 \( \mathcal{D}\left( U\right) = \mathcal{R}\left( {T + {iI}}\right) \) 闭,故 (2) 成立.
\( {3}^{ \circ } \) 令 \( z = {Tx} + {ix},{Uz} = {Tx} - {ix} \) ,则 \( \left( {I - U}\right) z = {2ix},\left( {I + U}\right) x = {2Tx} \) ,前一式说明 \( I - U \) 是一一的并且 \( \mathcal{R}\left( {I - U}\right) = \mathcal{D}\left( T\right) \) . 从后一式又得出
\[
{2Tx} = \left( {I + U}\right) z = \left( {I + U}\right) {\left( I - U\right) }^{-1}{2ix},
\]
所以 (1.6) 成立.
\( {4}^{ \circ } \) 若 \( T \) 自伴,定理 1.3 的 (5) 说明 \( \mathcal{R}\left( {T \pm {iI}}\right) = H \) . 由 \( {1}^{ \circ } \) 知 \( U \) 是从 \( H \) 到 \( H \) 的等距算子, \( \parallel {Ux}\parallel = \parallel x\parallel ,\forall x \in H, U \) 是酉算子.
反之,若 \( U \) 是酉的,往证 \( {T}^{ * } \subset T \) ,如此则 \( T \) 是自伴的. 设 \( y \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) ,由 \( \mathcal{R}\left( {T + {iI}}\right) = \mathcal{D}\left( U\right) = H \) 知存在 \( {y}_{0} \in \mathcal{D}\left( T\right) \) ,使得
\[
\left( {{T}^{ * } + {iI}}\right) y = \left( {T + {iI}}\right) {y}_{0} = \left( {{T}^{ * } + {iI}}\right) {y}_{0},
\]
令 \( {y}_{1} = y - {y}_{0} \) ,由 \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 知 \( {y}_{1} \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) ,并且 \( \forall x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) ,
\[
\left( {\left( {T - {iI}}\right) x,{y}_{1}}\right) = \left( {x,\left( {{T}^{ * } + {iI}}\right) {y}_{1}}\right) = \left( {x,\left( {{T}^{ * } + {iI}}\right) y}\right) - \left( {x,\left( {{T}^{ * } + {iI}}\right) {y}_{0}}\right) = 0.
\]
即 \( {y}_{1} \bot \mathcal{R}\left( {T - {iI}}\right) = H \) ,故 \( {y}_{1} = 0, y = {y}_{0} \in \mathcal{D}\left( T\right) \) ,于是 \( {T}^{ * } \subset T \) .
定理 1.4 的 (4) 的结论提供给我们一个重要的信息, 即借助于上一章所说的有界酉算子的谱测度与谱积分, 可以建立起无界自伴算子的谱测度与谱积分.
关于 Hilbert 空间上的无界算子 \( T, T \) 的点谱,连续谱和剩余谱一如有界情况定义,并且仍以 \( {\sigma }_{p}\left( T\right) ,{\sigma }_{c}\left( T\right) ,{\sigma }_{r}\left( T\right) \) 记之,三者之并称为 \( T \) 的谱集,记为 \( \sigma \left( T\right) \) . 应该记住, \( T \) 不必是在全空间定义的. \( \sigma \left( T\right) \) 的余集称为正则集,仍以 \( \rho \left( T\right) \) 记之. 这一概念表示,对于其中的每个 \( \lambda ,{\left( \lambda I - T\right) }^{-1} \in \mathcal{L}\left( H\right) \) . 换句话说,无论 \( T \) 是否在全空间定义, \( {\left( \lambda I - T\right) }^{-1} \) 在全空间定义且有界.
在具体讨论无界算子的谱状况之前让我们先来考察两个例子. 量子力学中的某些可观测量是用算子来表达的, 那些算子通常都是无界的. 例如动量算子就是微分算子, 而位置算子体现为一种乘法算子. 我们来验证这两类算子都是闭稠定算子并且都是自伴的.
例 1.1 设
\[
\mathcal{D} = \left\{ {x \in {L}^{2}\left\lbra
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1215_李文威-代数学方法卷二：线性代数(2023.01.31)
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定义 8.5.4
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定义 8.5.4 设 \( \mathcal{A} \) 是 Abel 范畴. 对 \( \mathcal{A} \) 中的半单纯形对象 \( X \) 和所有 \( n \in {\mathbb{Z}}_{ \geq 0} \) 和 \( 0 \leq k \leq n \) 定义
\[
{\left( \mathrm{N}X\right) }_{n} \mathrel{\text{:=}} \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}\ker \left\lbrack {{d}_{i} : {X}_{n} \rightarrow {X}_{n - 1}}\right\rbrack ,\;n \geq 1,
\]
\[
{\left( \mathrm{N}X\right) }_{0} \mathrel{\text{:=}} {X}_{0}
\]
连同 \( {X}_{n}\overset{{d}_{0}}{ \rightarrow }{X}_{n - 1} \) 所诱导的态射族 \( \mathrm{N}{X}_{n} \rightarrow \mathrm{N}{X}_{n - 1} \) (请用 (8.1.2) 验证),合理地记为 \( {\partial }_{n} \) ,它们构成 \( {\operatorname{Ch}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) \) 的对象 \( \mathrm{N}X \) ,称为 \( X \) 对应的正规化链复形.
命题 8.5.5 对如上之 \( X \) 和每个 \( n \geq 0 \) ,记 \( {u}_{n} : {\left( \mathrm{N}X\right) }_{n} \hookrightarrow {X}_{n} \) 为自然嵌入,则 \( {\left( {u}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 构成 \( {\operatorname{Ch}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) \) 中的单态射 \( u : \mathrm{N}X \rightarrow \mathrm{C}X \) ,它对 \( X \) 满足函子性.
证明 直接来自 \( \mathrm{N}X \) 和 \( \mathrm{C}X \) 的定义.
后续几则结果是 Dold-Kan 定理 8.5.9 的必要铺垫.
引理 8.5.6 设 \( \mathcal{A} \) 是 Abel 范畴,则对所有 \( A \in \operatorname{Ob}\left( {{\operatorname{Ch}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) }\right) \) 和 \( n \geq 0 \) 皆有 \( \mathrm{N}\Gamma {\left( A\right) }_{n} = \) \( {A}_{n} \) . 这给出函子的同构 \( \eta : {\operatorname{id}}_{{\mathrm{{Ch}}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) }\overset{ \sim }{ \rightarrow }\mathrm{N}\Gamma \) .
证明 给定 \( t : \left\lbrack n\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack k\right\rbrack \) ,注意到当 \( k < n \) 时,总可以取 \( 1 \leq i \leq n \) 使得 \( {t}^{-1}\left( {t\left( i\right) }\right) \) 至少有两个元素,从而 \( t{\mathrm{\;d}}^{i} \) 满,使下图交换:
代入定义 8.5.3 遂知 \( \mathrm{N}\Gamma {\left( A\right) }_{n} \) 包含于 \( \mathrm{{id}} : \left\lbrack n\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack n\right\rbrack \) 对应的直和项 \( {A}_{n} \) . 然而易证该定义进一步蕴涵 \( \mathrm{N}\Gamma {\left( A\right) }_{n} = {A}_{n} \) ,而且 \( \mathrm{N}\Gamma {\left( A\right) }_{n + 1} \rightarrow \mathrm{N}\Gamma {\left( A\right) }_{n} \) 正是 \( {\partial }_{n + 1} : {A}_{n + 1} \rightarrow {A}_{n} \) . 证毕.
引理 8.5.7 设 \( \mathcal{A} \) 是 Abel 范畴,则先前定义的函子给出伴随对
\[
\Gamma : {\operatorname{Ch}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) \underset{ \leftarrow }{ \rightarrow }\mathbf{s}\mathcal{A} : \mathrm{N}
\]
\( \diamond \) 对应的单位态射是引理 8.5.6 的同构 \( \eta \) ;
\( \diamond \) 余单位态射 \( \epsilon : \Gamma \mathrm{N} \rightarrow {\mathrm{{id}}}_{\mathrm{s}\mathcal{A}} \) 描述如下: 给定 \( t : \left\lbrack n\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack k\right\rbrack \) ,在 \( \Gamma \mathrm{N}{\left( X\right) }_{n} \) 中相应的直和项 \( {\left( \mathrm{N}X\right) }_{k} \) 上, \( {\epsilon }_{X, n} \) 是 \( {\left( \mathrm{N}X\right) }_{k} \subset {X}_{k}\overset{{t}^{ * }}{ \rightarrow }{X}_{n} \) .
证明 给定 \( A \in \mathrm{{Ob}}\left( {{\mathrm{{Ch}}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) }\right) \) 和 \( X \in \mathrm{{Ob}}\left( {\mathrm{s}\mathcal{A}}\right) \) ,首要目标是证
\[
{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{s}\mathcal{A}}\left( {\Gamma \left( A\right), X}\right) \overset{\mathrm{N}}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{{\mathrm{{Ch}}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) }\left( {\mathrm{N}\Gamma \left( A\right) ,\mathrm{N}\left( X\right) }\right) \overset{{\eta }_{A}^{ * }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{{\mathrm{{Ch}}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) }\left( {A,\mathrm{N}\left( X\right) }\right)
\]
的合成为双射. 其逆具体定义如下. 给定 \( \phi = {\left( {\phi }_{n}\right) }_{n \geq 0} : A \rightarrow \mathrm{N}\left( X\right) \) ,定义态射
\[
{\Phi }_{n} : {\left( \Gamma A\right) }_{n} = {\bigoplus }_{t : \left\lbrack n\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack k\right\rbrack }{A}_{k} \rightarrow {X}_{n}
\]
使得它在对应 \( t : \left\lbrack n\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack k\right\rbrack \) 的直和项上是
\[
{A}_{k}\overset{{\phi }_{k}}{ \rightarrow }{\left( \mathrm{\;N}X\right) }_{k} \subset {X}_{k}\overset{{t}^{ * }}{ \rightarrow }{X}_{n}
\]
的合成. 对于如上之 \( t \) 和任意的 \( f : \left\lbrack m\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack n\right\rbrack \) ,作 \( {tf} \) 的满-单分解如 (8.5.1),并考虑 \( \mathcal{A} \) 中的图表 (参见定义 8.5.3):
左侧方块因正规化链复形 \( \mathrm{N}X \) 的定义而交换,中间方块显然交换,右侧方块因 \( {tf} = {vu} \) 交换. 因此 \( \Phi = {\left( {\Phi }_{n}\right) }_{n} \) 是 \( \mathrm{s}\mathcal{A} \) 的态射.
关于 \( {\eta }_{A}^{ * }\mathrm{\;N} \) 和 \( \phi \mapsto \Phi \) 互逆的验证不过是例行公事. 在 \( \phi \mapsto \Phi \) 的描述中取 \( \phi = {\operatorname{id}}_{\mathrm{N}X} \) , 结果正是断言中的 \( \epsilon \) .
引理 8.5.8 取 \( \mathcal{A} = \mathrm{{Ab}} \) ,则 \( \Gamma \) 是等价; 精确地说,伴随对 \( \Gamma : {\mathrm{{Ch}}}_{ \geq 0}\left( \mathrm{\;{Ab}}\right) \rightleftarrows \mathrm{{sAb}} : \mathrm{N} \) 是 \( \left\lbrack {{51}\text{,定理 2.6.12}}\right\rbrack \) 所谓的伴随等价.
证明 要点在于验证引理 8.5.7 描述的余单位态射 \( \epsilon \) 为同构. 选定 \( X \in \mathrm{{Ob}}\left( {\mathrm{s}\mathcal{A}}\right) \) ,兹断言 \( {\epsilon }_{X, n} : \Gamma {\left( \mathrm{N}X\right) }_{n} \rightarrow {X}_{n} \) 对每个 \( n \geq 0 \) 皆单. 设 \( x = {\left( {x}_{t}\right) }_{t} \) 属于左式,其中 \( t \) 遍历保序满射 \( \left\lbrack n\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack k\right\rbrack \) . 给定 \( t \) ,定义保序单射
\[
s = {s}_{t} : \left\lbrack k\right\rbrack \hookrightarrow \left\lbrack n\right\rbrack
\]
\[
i \mapsto \min {t}^{-1}\left( i\right)
\]
它满足 \( {ts} = {\operatorname{id}}_{\left\lbrack k\right\rbrack } \) . 现在假定 \( x \neq 0 \) ,记
\[
S \mathrel{\text{:=}} \left\{ {t : {x}_{t} \neq 0}\right\} \neq \varnothing .
\]
取最小的 \( k \) 使得存在属于 \( S \) 的 \( t : \left\lbrack m\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack k\right\rbrack \) ,再取如此之 \( t \) 使 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{k}\min {t}^{-1}\left( i\right) \) 尽量小, 并构造 \( s \) . 今将往证 \( {s}^{ * }\left( {{\epsilon }_{X, n}\left( x\right) }\right) = {x}_{t} \in {X}_{k} \) ,以此说明 \( {\epsilon }_{X, n}\left( x\right) \neq 0 \) .
基于 \( {\epsilon }_{X, n} \) 的具体描述,仅须对 \( {t}^{\prime } : \left\lbrack n\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack {k}^{\prime }\right\rbrack \) 证明 \( {s}^{ * }{\left( {t}^{\prime }\right) }^{ * }\left( {x}_{{t}^{\prime }}\right) \neq 0 \) 蕴涵 \( t = {t}^{\prime } \) 即可. 命 \( u \mathrel{\text{:=}} {t}^{\prime }s : \left\lbrack k\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack {k}^{\prime }\right\rbrack \) . 当 \( {t}^{\prime } \notin S \) 时 \( {x}_{{t}^{\prime }} = 0 \) ,故以下设 \( {t}^{\prime } \in S \) 满足 \( {s}^{ * }{\left( {t}^{\prime }\right) }^{ * }\left( {x}_{{t}^{\prime }}\right) = \) \( {u}^{ * }\left( {x}_{{t}^{\prime }}\right) \neq 0 \)
由于 \( t \) 保序而且满, \( \min {t}^{-1}\left( 0\right) = 0 \) ,对 \( {t}^{\prime } \) 亦然,故 \( u\left( 0\right) = 0 \) . 又由 \( {x}_{{t}^{\prime }} \in {\left( \mathrm{N}X\right) }_{{k}^{\prime }} \) 可推知仅当 \( \operatorname{im}\left( u\right) \supset \left\{ {1,\ldots ,{k}^{\prime }}\right\} \) 时才可能有 \( {u}^{ * }\left( {x}_{{t}^{\prime }}\right) \neq 0 \) . 故以下可设 \( u \) 满, \( k \) 的取法遂蕴涵 \( {k}^{\prime } = k \) 而 \( u = \mathrm{{id}} \) .
综之, \( {t}^{\prime }\left( {\min {t}^{-1}\left( i\right) }\right) = i \) 对 \( i = 0,\ldots, k \) 皆成立,故 \( \min {\left( {t}^{\prime }\right) }^{-1}\left( i\right) \leq \min {t}^{-1}\left( i\right) \) . 回顾 \( t \) 的取法可得 \( \min {\left( {t}^{\prime }\right) }^{-1}\left( i\right) = \min {t}^{-1}\left( i\right) \) 对所有 \( 0 \leq i \leq k \) 成立; 稍加思索,可知这相当于说 \( t = {t}^{\prime } \) . 至此证得 \( {\epsilon }_{X, n} \) 单.
以下对 \( n \) 递归地证明 \( {\epsilon }_{X, n} \) 满. 兹断言对所有 \( 0 \leq i \leq n \) 皆有
\[
\operatorname{im}\left( {\epsilon }_{X, n}\right) \supset X{\left( i\right) }_{n} \mathrel{\text{:=}} \mathop{\bigcap }\limits_{{i < j \leq n}}\ker \left( {d}_{j}\right) \subset {X}_{n}.
\]
当 \( i = 0 \) 时 \( X{\left( i\right) }_{n} = {\left( \mathrm{N}X\right) }_{n} \) ,上式容易从 \( {\epsilon }_{X, n} \) 的具体描述导出,而我们的目标是 \( i = n \) . 设 \( n \geq i \geq 1 \) 而 \( y \in X{\left( i\right) }_{n} \) . 关于 \( n - 1 \) 的递归假设和 \( {\epsilon }_{X, n} \) 的描述蕴涵
\[
{s}_{i - 1}{d}_{i}\left( y\right) \in {s}_{i - 1}\left( {\operatorname{im}\left( {\epsilon }_{X, n - 1}\right) }\right) \subset \operatorname{im}\left( {\epsilon }_{X, n}\right) .
\]
另一方面, 单纯形等式 (8.1.2) 蕴涵
\[
{d}_{i}{s}_{i - 1}{d}_{i} = {d}_{i}
\]
\[
j > i \Rightarrow {d}_{j}{s}_{i - 1}{d}_{i} = {s}_{i - 1}{d}_{j - 1}{d}_{i} = {s}_{i - 1}{d}_{i}{d}_{j}.
\]
故 \( y - {s}_{i - 1}{d}_{i}\left( y\right) \in X{\left( i - 1\right) }_{n} \) ,而关于 \( i - 1 \) 的递归假设说明它属于 \( \operatorname{im}\left( {\epsilon }_{X, n}\right) \) . 综之 \( y \in \operatorname{im}\left( {\epsilon }_{X, n}\right) \) ,明所欲证.
定理 8.5.9 (A. Dold, D. Kan) 对于任意加性范畴 \( \mathcal{A} \) ,函子 \( \Gamma : {\operatorname{Ch}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) \rightarrow \mathbf{s}\mathcal{A} \) 是全忠实的.
\( \diamond \) 若 \( \mathcal{A} \) 还是 \( §{2.5} \) 提及的 Karoubi 范畴,亦即所有幂等元都有核,则 \( \Gamma \) 是范畴等价.
\( \diamond \) 若进一步要求 \( \mathcal{A} \) 是 Abel 范畴 (因而也是 Karoubi 范畴),则 \( \mathrm{N} \) 是 \( \Gamma \) 的拟逆函子, \( \Gamma : {\operatorname{Ch}}_{ \geq 0}\left( \mathcal{A}\right) \rightleftarrows \mathrm{s}\mathcal{A} : \mathrm{N} \) 是伴随等价,伴随对的单位和余单位态射由引理 8.5.7 描述.
证明 考虑函子
\[
{\widetilde{h}}_{\mathcal{A}} : \mathcal{A} \rightarrow {\widetilde{\mathcal{A}}}^{ \land } \mathrel{\text{:=}} {\operatorname{Ab}}^{\left( {\mathcal{A}}^{\text{op }}\right) },\;Y \mapsto {\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}\left( {\cdot, Y}\right) .
\]
它和忘却函子 \( \mathrm{{Ab}} \rightarrow \) Set 合成等于 \( §\mathrm{A}{.1} \) 回顾的米田嵌入 \( {h}_{\mathcal{A}} : \mathcal{A} \rightarrow {\mathcal{A}}^{ \land } \) . 函子 \( {\widetilde{h}}_{\mathcal{A}} \) 是全忠实的, 这点不过是 Ab-充实版本的米田引理, 但也可以从原版推导: 对任意 \( {Y}_{1},{Y}_{2} \in \operatorname{Ob}\left( \mathcal{A}\right) \) ,合成映射
\[
{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}\left( {{Y}_{1},{Y}_{2}}\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{{\widetilde{\mathcal{A}}}^{ \land }}\left( {{\widetilde{h}}_{\mathcal{A}}\left( {Y}_{1}\right) ,{\widetilde{h}}_{\mathcal{A}}\left( {Y}_{2}\right) }\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{{\mathcal{A
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126_代数学方法 卷二草稿
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定义 2.1.4
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定义 2.1.4 设 \( x = \varphi \left( {u, v}\right), y = \psi \left( {u, v}\right) \) 是从 \( {uOv} \) 平面中区域 \( D \) 到 \( {xOy} \) 平面中区域 \( \Omega \) 的同胚变换 \( T \) . 若 \( \varphi \left( {u, v}\right) ,\psi \left( {u, v}\right) \) 在 \( D \) 上有一阶连续偏导数 (即偏导数是连续函数),则称行列式
\[
J = \left| \begin{array}{ll} \frac{\partial \varphi }{\partial u} & \frac{\partial \varphi }{\partial v} \\ \frac{\partial \psi }{\partial u} & \frac{\partial \psi }{\partial v} \end{array}\right| \;\left( {\text{ 也记为 }J = \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {u, v}\right) }}\right)
\]
为该变换 \( T \) 的 Jacobi (雅可比) 行列式. 同理,对于三个变量的情形:
\[
x = f\left( {u, v, w}\right) ,\;y = g\left( {u, v, w}\right) ,\;z = h\left( {u, v, w}\right) ,
\]
其 Jacobi 行列式为
\[
J = \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) } = \left| \begin{array}{lll} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} & \frac{\partial f}{\partial w} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} & \frac{\partial g}{\partial w} \\ \frac{\partial h}{\partial u} & \frac{\partial h}{\partial v} & \frac{\partial h}{\partial w} \end{array}\right|
\]
注 若 \( x, y, z \) 是 \( u, v, w \) 的函数,而 \( u, v, w \) 又是 \( \xi ,\eta ,\zeta \) 的函数,则有公式
\[
\frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {\xi ,\eta ,\zeta }\right) } = \frac{\partial \left( {x, y, z}\right) }{\partial \left( {u, v, w}\right) } \cdot \frac{\partial \left( {u, v, w}\right) }{\partial \left( {\xi ,\eta ,\zeta }\right) }.
\]
例 2.1.1 解答下列问题:
(1) 设 \( f\left( {x, y}\right) = \arctan \frac{x + y}{1 - {xy}} \) ,求 \( {f}_{x}^{\prime }\left( {0,0}\right) ,{f}_{y}^{\prime }\left( {0,0}\right) \) .
（2）设 \( f\left( {x, y}\right) = x + \left( {y - 1}\right) \arcsin \sqrt{x/y} \) ,求 \( {f}_{x}^{\prime }\left( {x,1}\right) \) .
（3）设 \( f\left( {x, y}\right) = {xy}\sin \left( {1/\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}\right) \) ,求 \( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \) .
解 (1) 注意到 \( f\left( {x,0}\right) = \arctan x \) ,故 \( {f}_{x}^{\prime }\left( {0,0}\right) = 1/\left( {1 + {\left. {x}^{2}\right| }_{x = 0} = 1\text{. 由对称性}}\right) \) 又知 \( {f}_{y}^{\prime }\left( {0,0}\right) = 1 \) .
（2）注意到 \( f\left( {x,1}\right) = x \) ,故 \( {f}_{x}^{\prime }\left( {x,1}\right) = 1 \) .
(3) \( \frac{\partial f\left( {x, y}\right) }{\partial x} = y\left\{ {\sin \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} + x\cos \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} \cdot \left( \frac{-x}{{\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{3/2}}\right) }\right\} \)
\[
= y\left\{ {\sin \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} - \frac{{x}^{2}}{{\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{3/2}}\cos \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}}\right\} .
\]
可用对称性立即写出 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) .
例 2.1.2 试证明下列命题:
(1) 设 \( z = \frac{x - y}{x + y}\ln \frac{y}{x} \) ,则 \( x{z}_{x}^{\prime } + y{z}_{y}^{\prime } = 0 \) .
（2）设 \( u = {\left( \frac{x}{y}\right) }^{z/y} \) ,则 \( x{u}_{x}^{\prime } + y{u}_{y}^{\prime } + z{u}_{z}^{\prime } = 0 \) .
（3）设 \( z = \arctan \left( \frac{{x}^{3} + {y}^{3}}{x - y}\right) \) ,则 \( x{z}_{x}^{\prime } + y{z}_{y}^{\prime } = \sin \left( {2z}\right) \) .
（4）设 \( f\left( t\right) \) 可微, \( z = f\left( {\ln x + 1/y}\right) \) ,则 \( x{z}_{x}^{\prime } + {y}^{2}{z}_{y}^{\prime } = 0 \) .
证明 (1) 因为我们有公式
\[
{z}_{x}^{\prime } = \frac{2y}{{\left( x + y\right) }^{2}}\ln \frac{y}{x} - \frac{x - y}{x + y}\frac{1}{x},\;{z}_{y}^{\prime } = \frac{-{2x}}{{\left( x + y\right) }^{2}}\ln \frac{y}{x} + \frac{x - y}{x + y}\frac{1}{y},
\]
所以 \( x{z}_{x}^{\prime } + y{z}_{y}^{\prime } = 0 \) .
（2）因为我们有公式
\[
{u}_{x}^{\prime } = u \cdot \frac{z}{xy},\;{u}_{y}^{\prime } = u \cdot \left( {-\frac{z}{{y}^{2}}\ln \frac{x}{y} - \frac{z}{{y}^{2}}}\right) ,\;{u}_{z}^{\prime } = u \cdot \frac{1}{y}\ln \frac{x}{y},
\]
所以 \( x{u}_{x}^{\prime } + y{u}_{y}^{\prime } + z{u}_{z}^{\prime } = 0 \) .
（3）因为 \( \sin \left( {2z}\right) = \frac{2\tan z}{1 + {\tan }^{2}z} = \frac{2\left( {x - y}\right) \left( {{x}^{3} + {y}^{3}}\right) }{{\left( x - y\right) }^{2} + {\left( {x}^{3} + {y}^{3}\right) }^{2}} \) ,以及
\[
{z}_{x}^{\prime } = \frac{2{x}^{3} - 3{x}^{2}y - {y}^{3}}{{\left( x - y\right) }^{2} + {\left( {x}^{3} + {y}^{3}\right) }^{2}},\;{z}_{y}^{\prime } = \frac{{x}^{3} + {3x}{y}^{2} - 2{y}^{3}}{{\left( x - y\right) }^{2} + {\left( {x}^{3} + {y}^{3}\right) }^{2}},
\]
所以得到
\[
x{z}_{x}^{\prime } + y{z}_{y}^{\prime } = \frac{2{x}^{4} - 2{x}^{3}y + {2x}{y}^{3} - 2{y}^{4}}{{\left( x - y\right) }^{2} + {\left( {x}^{3} + {y}^{3}\right) }^{2}} = \frac{2\left( {x - y}\right) \left( {{x}^{3} + {y}^{3}}\right) }{{\left( x - y\right) }^{2} + {\left( {x}^{3} + {y}^{3}\right) }^{2}} = \sin \left( {2z}\right) .
\]
（4）因为 \( {z}_{x}^{\prime } = {f}^{\prime }\left( {\ln x + 1/y}\right) /x,{z}_{y}^{\prime } = - {f}^{\prime }\left( {\ln x + 1/y}\right) /{y}^{2} \) ,所以有
\[
x{z}_{x}^{\prime } + {y}^{2}{z}_{y}^{\prime } = {f}^{\prime }\left( {\ln x + 1/y}\right) - {f}^{\prime }\left( {\ln x + 1/y}\right) = 0.
\]
例 2.1.3 解答下列问题:
(1) \( z = \frac{x + {2y}}{{2x} - y};x = {\mathrm{e}}^{t}, y = {\mathrm{e}}^{-t} \) ,求 \( \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}t} \) .
(2) \( z = \arctan \left( {x + y}\right) ;x = {2s} - {t}^{2}, y = {s}^{2}t \) ,求 \( {z}_{s}^{\prime },{z}_{t}^{\prime } \) .
(3) \( u = \arctan \left( {{xy}/z}\right) ;y = {\mathrm{e}}^{ax}, z = {\left( ax + 1\right) }^{2} \) ,求 \( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}x} \) .
解 (1) \( \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = \frac{-{5y}}{{\left( 2x - y\right) }^{2}}{\mathrm{e}}^{t} - \frac{5x}{{\left( 2x - y\right) }^{2}}{\mathrm{e}}^{-t} = - \frac{10}{{\left( 2{\mathrm{e}}^{t} - {\mathrm{e}}^{-t}\right) }^{2}} \) .
(2) \( {z}_{s}^{\prime } = \frac{{x}_{s}^{\prime }}{1 + {\left( x + y\right) }^{2}} + \frac{{y}_{s}^{\prime }}{1 + {\left( x + y\right) }^{2}} = \frac{2 + {2st}}{1 + {\left( 2s - {t}^{2} + {s}^{2}t\right) }^{2}} \) ,
\[
{z}_{t}^{\prime } = \frac{{x}_{t}^{\prime }}{1 + {\left( x + y\right) }^{2}} + \frac{{y}_{t}^{\prime }}{1 + {\left( x + y\right) }^{2}} = \frac{{s}^{2} - {2t}}{1 + {\left( 2s - {t}^{2} + {s}^{2}t\right) }^{2}}.
\]
(3) \( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x} \)
\[
= \frac{1}{1 + {x}^{2}{y}^{2}/{z}^{2}}\frac{y}{z} + \frac{1}{1 + {x}^{2}{y}^{2}/{z}^{2}}\frac{x}{z}{\mathrm{e}}^{ax}a + \frac{1}{1 + {x}^{2}{y}^{2}/{z}^{2}}\left( {-\frac{xy}{{z}^{2}}}\right) 2\left( {{ax} + 1}\right) a
\]
\[
= \frac{{z}^{2}}{{x}^{2}{y}^{2} + {z}^{2}}\left\{ {\frac{y}{z} + \frac{ax}{z}{\mathrm{e}}^{ax} - \frac{{2axy}\left( {{ax} + 1}\right) }{{z}^{2}}}\right\} = \frac{{\mathrm{e}}^{ax}\left( {{ax} + 1}\right) \left( {{a}^{2}{x}^{2} + 1}\right) }{{x}^{2}{\mathrm{e}}^{2ax} + {\left( ax + 1\right) }^{4}}.
\]
例 2.1.4 试用极坐标 \( x = r\cos \theta, y = r\sin \theta \) 换写下列微分方程:
(1) \( {\left( x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} - y\right) }^{2} = {2xy}\left( {1 + {\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}\right) }^{2}}\right) \) .
(2) \( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = y + {kx}\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = - x + {ky}\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \) .
解 (1) 因为 \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}\theta }/\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}\theta } \) ,所以得出
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \left( {\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{\;d}\theta }\sin \theta + r\cos \theta }\right) /\left( {\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{\;d}\theta }\cos \theta - r\sin \theta }\right) .
\]
从而原方程可改写为
\[
{\left( r\cos \theta \frac{{r}_{\theta }^{\prime }\sin \theta + r\cos \theta }{{r}_{\theta }^{\prime }\cos \theta - r\sin \theta } - r\sin \theta \right) }^{2} = 2{r}^{2}\sin \theta \cos \theta \left\lbrack {1 + {\left( \frac{{r}_{\theta }^{\prime }\sin \theta + r\cos \theta }{{r}_{\theta }^{\prime }\cos \theta - r\sin \theta }\right) }^{2}}\right\rbrack ,
\]
或 \( {r}^{2} = \sin {2\theta }{\left\lbrack {\left( {r}_{\theta }^{\prime }\right) }^{2} + {r}^{2}\right\rbrack }^{2} \) .
（2）注意到 \( r,\theta \) 都是 \( t \) 的函数,故可知
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{\;d}t}\cos \theta - r\sin \theta \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t},\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{\;d}t}\sin \theta + r\cos \theta \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}.
\]
由此导出
\[
\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{\;d}t} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t}\cos \theta + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t}\sin \theta ,\;\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t} = \frac{1}{r}\left( {-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t}\sin \theta + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t}\cos \theta }\right) .
\]
因为原微分方程组可写成 \( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = r\sin \theta + k{r}^{3}\cos \theta ,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = - r\cos \theta + k{r}^{3}\sin \theta \) ,所以原方程表示为 \( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{\;d}t} = k{r}^{3},\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t} = - 1 \) .
例 2.1.5 试证明下列命题:
(1) 设 \( a > b > 1 \) ,则 \( {a}^{{b}^{a}} > {b}^{{a}^{b}} \) .
(2) 设 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in {\mathbf{R}}^{n} \) ,则 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial W}{\partial {x}_{i}} = 0 \) ,其中
\[
W = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ {x}_{1} & {x}_{2} & \cdots & {x}_{n} \\ {x}_{1}^{2} & {x}_{2}^{2} & \cdots & {x}_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {x}_{1}^{n - 1} & {x}_{2}^{n - 1} & \cdots & {x}_{n}^{n - 1} \end{matrix}\right|
\]
（3）设 \( f\left( t\right) = \left( {g\left( t\right), h\left( t\right) }\right) \) 是 \( \left( {-1,1}\right) \) 上值域在 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的连续可微函数. 若有
\[
f\left( 0\right) = \left( {g\left( 0\right), h\left( 0\right) }\right) = \left( {0,0}\right) ,\;{f}^{\prime }\left( 0\right) = \left( {{g}^{\prime }\left( 0\right) ,{h}^{\prime }\left( 0\right) }\right) \neq 0,
\]
则存在 \( {\varepsilon }_{0}
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1656_微分动力系统原理(张筑生)
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定义 1.3
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定义 1.3 (向量丛映射) \( {}^{3} \) 设 \( \left( {E,\pi, X,{\mathbf{R}}^{k}}\right) \) 和 \( \left( {{E}^{\prime },{\pi }^{\prime },{X}^{\prime }}\right. \) , \( \left. {\mathrm{R}}^{{k}^{\prime }}\right) \) 是两个向量丛 ( \( {\mathrm{C}}^{r} \) 向量丛), \( F : E \rightarrow {E}^{\prime } \) 和 \( f : X \rightarrow {X}^{\prime } \) 都是连续映射 ( \( C \) 映射). 我们说 \( F \) 是覆盖 \( f \) 的一个向量丛映射. 如果
(1) \( F \) 是覆盖 \( f \) 的一个保持纤维的映射,即
\[
{\pi }^{\prime } \circ F = f \circ \pi
\]
（2）限制在任意一条纤维 \( {E}_{x} \) 之上, \( F \) 是线性映射.
例 1.4 乘积空间 \( X \times {\mathbf{R}}^{k} \) 是平凡的向量丛. 从 \( X \times {\mathbf{R}}^{k} \) 到 \( Y \times {\mathbf{R}}^{l} \) 的保持纤维的映射 \( F \) 可以表示为
\[
F\left( {x,\xi }\right) \leftarrow \left( {f\left( x\right) ,\Phi \left( {x,\xi }\right) }\right) .
\]
例 \( {1.5}{\mathrm{C}}^{r} \) 流形 \( M \) 的切丛 \( {TM} \) 是 \( {\mathrm{C}}^{r - 1} \) 向量丛. 从 \( {\mathrm{C}}^{r} \) 流形 \( M \) 到 \( {\mathrm{C}}^{r} \) 流形 \( N \) 的 \( {\mathrm{C}}^{r} \) 映射 \( f : M \rightarrow N \) 诱导出一个 \( {\mathrm{C}}^{r - 1} \) 向量丛映射
\[
{Tf} : {TM} \rightarrow {TN}\text{.}
\]
设 \( \left( {E,\pi, X,{\mathrm{R}}^{k}}\right) \) 是向量丛 ( \( {\mathrm{C}}^{r} \) 向量丛), \( {x}_{0} \in X \) ,考虑 \( {x}_{0} \) 的两个局部平凡化邻域 \( {U}_{a},{U}_{B} \) 和相应的局部平凡化
\[
{h}_{\alpha } : {\pi }^{-1}\left( {U}_{\alpha }\right) \rightarrow {U}_{\alpha } \times {\mathbf{R}}^{k},
\]
\[
{h}_{\beta } : {\pi }^{-1}\left( {U}_{\beta }\right) \rightarrow {U}_{\beta } \times {\mathbf{R}}^{k}.
\]
显然
\[
{h}_{\beta } \circ {h}_{a}^{-1} : \left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \times {\mathbf{R}}^{k} \rightarrow \left( {{U}_{a} \cap {U}_{\beta }}\right) \times {\mathbf{R}}^{k}
\]
是一个同胚 ( \( {\mathrm{C}}^{\prime } \) 同胚). 对于 \( x \in {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) ,
\[
{h}_{\beta } \circ {h}_{\alpha }^{-1} : \{ x\} \times {\mathbf{R}}^{k} \rightarrow \{ x\} \times {\mathbf{R}}^{k}
\]
是线性同构,因而 \( {h}_{\beta } \circ {h}_{\alpha }^{-1} \) 可以表示成
\[
{h}_{\beta } \circ {h}_{\alpha }^{-1}\left( {x,\xi }\right) = \left( {x,{g}_{\beta \alpha }\left( x\right) \xi }\right) ,
\]
1) 在有的文献中称之为向量丛同态.
这里 \( {g}_{\beta \alpha }\left( x\right) \) 是从 \( {\mathbf{R}}^{k} \) 到 \( {\mathbf{R}}^{k} \) 的线性同构
\[
{g}_{{\beta }_{0}}\left( x\right) : {\mathbf{R}}^{k} \rightarrow {\mathbf{R}}^{k}
\]
\[
\xi \mapsto {g}_{\beta \alpha }\left( x\right) \xi
\]
我们可以把
\[
{h}_{\sigma } \mid {\pi }^{-1}\left( x\right) : {\pi }^{-1}\left( x\right) \rightarrow \{ x\} \times {\mathbf{R}}^{k}
\]
和
\[
{h}_{\beta } \mid {\pi }^{-1}\left( x\right) : {\pi }^{-1}\left( x\right) \rightarrow \{ x\} \times {\mathbf{R}}^{k}
\]
视为纤维 \( {x}^{-1}\left( x\right) \) 上的坐标系. 于是 \( {g}_{\beta a}\left( x\right) \) 就是从一个坐标系到另一个坐标系的纤维坐标变换.
由上述讨论给出的连续映射 \( \left( {\mathrm{C}}^{\prime }\right. \) 映射 \( ) \)
\[
{g}_{\beta a} : {U}_{a} \cap {U}_{\beta } \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {\mathrm{R}}^{k}\right) ,
\]
应满足以下关系
\[
{g}_{\gamma \beta }\left( x\right) {g}_{\beta \alpha }\left( x\right) = {g}_{\gamma \alpha }\left( x\right) ,\forall x \in {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \cap {U}_{\gamma }.
\]
(1.1)
特别地,在 (1.1) 中取 \( r = \beta = \alpha \) 可得
\[
{g}_{aa}\left( x\right) = l,\forall x \in {U}_{a * }
\]
在 (1.1) 中取 \( r = a \) 可得
\[
{g}_{\alpha \beta }\left( x\right) = {\left( {g}_{\beta \alpha }\left( x\right) \right) }^{-1},\forall x \in {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }.
\]
定义 1.6 (转换函数系) 设 \( X \) 是拓扑空间 \( \left( {C}^{\prime }\right. \) 流形), \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 是 \( X \) 的一个开覆盖. 如果对任何使得 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \neq \varnothing \) 的 \( \alpha \) 和 \( \beta \) ,给定一个连续映射 \( \left( {\mathrm{C}}^{r}\right. \) 映射 \( ) \)
\[
{g}_{\beta \alpha } : {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {\mathbf{R}}^{k}\right) ,
\]
这些映射满足条件:
\[
{g}_{\gamma \beta }\left( x\right) {g}_{\beta \alpha }\left( x\right) = {g}_{\gamma \alpha }\left( x\right) ,\forall x \in {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \cap {U}_{\gamma },
\]
则称 \( \left\{ {g}_{\beta \alpha }\right\} \) 是与开覆盖 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 相关联的一个转换函数系.
前面我们已经看到, 向量丛底空间的任何一个局部平凡化覆盖决定了一个与之相关联的转换函数系, 其中的转换函数即纤维上的坐标变换. 下面我们将证明: 给定拓扑空间 \( \left( {\mathrm{C}}^{r}\right. \) 流形 \( )X \) 的任意一个开覆盖 \( \left\{ {U}_{a}\right\} \) 和与之相关联的一个转换函数系
\[
{g}_{\beta \alpha } : {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {\mathbf{R}}^{k}\right) .
\]
可以构造一个向量丛 ( \( {\mathrm{C}}^{\prime } \) 向量丛)
\[
\left( {E,\pi, X,{\mathbf{R}}^{k}}\right) ,
\]
它在各 \( {U}_{a} \) 上可以局部平凡化,并且按这局部平凡化所决定的 \( {\pi }^{-1}\left( x\right) \) 上的纤维坐标变换恰好为 \( {g}_{{\beta }_{\alpha }}\left( x\right) \) .
为此目的, 先介绍一些简单的引理.
引理 1.7 设 \( E = \cup {E}_{1} \) ,各 \( {E}_{2} \) 是拓扑空间 (拓扑为 \( {\mathcal{S}}_{2} \) ),如果对任意 \( \lambda ,\mu \in \Lambda ,{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu } \) 是 \( {E}_{\lambda } \) 及 \( {E}_{\mu } \) 中的开集,并且 \( {E}_{\lambda } \) 和 \( {E}_{\mu } \) 的拓扑在 \( {E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu } \) 中的限制是一致的,则可在 \( E \) 上引入拓扑,使得各 \( {E}_{\lambda } \) 都是开集,并且限制在各 \( {E}_{\lambda } \) 之中. \( E \) 的拓扑与 \( {E}_{\lambda } \) 的拓扑一致.
证明. 在 \( E \) 上定义拓扑
\[
\mathcal{S} = \left\{ {G \subset E \mid G \cap {E}_{\lambda } \in {\mathcal{S}}_{\lambda },\forall \lambda \in \Lambda }\right\} .
\]
对任意 \( H \in {\mathcal{S}}_{\lambda } \) ,我们有 \( H \cap \left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right) \in {\mathcal{S}}_{\lambda } \) . 因为
\[
H \cap {E}_{\mu } = H \cap \left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right) \subset {E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu },
\]
而 \( {E}_{1} \) 与 \( {E}_{\mu } \) 在 \( {E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu } \) 中的拓扑是一致的,所以
\[
H \cap {E}_{\mu } \in {\mathcal{S}}_{\mu }
\]
这里 \( \mu \in \Lambda \) 是任意的,因而
\[
H \in \mathcal{S}\text{.}
\]
这证明了
\[
{\mathcal{S}}_{\lambda } \subset \mathcal{S}\text{.}
\]
又,对任意 \( G \in \mathcal{S} \) ,如果 \( G \subset {E}_{\lambda } \) ,则
\[
G = G \cap {E}_{\lambda } \in {\mathcal{S}}_{\lambda }
\]
引理 1.8 设 \( {E}_{\lambda }\left( {\lambda \in \Lambda }\right) \) 是一族集合, \( \left( {{Y}_{\lambda },{\mathcal{F}}_{\lambda }}\right) \left( {\lambda \in \Lambda }\right) \) 是一族拓扑空间, \( {h}_{1} : {E}_{\lambda } \rightarrow {Y}_{\lambda }\left( {\lambda \in \Lambda }\right) \) 是一族单、满映射. 如果对任意 \( \lambda ,\mu \in \Lambda ,{h}_{\lambda }\left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right) \) 是 \( {Y}_{\lambda } \) 中的开集, \( {h}_{\mu }\left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right) \) 是 \( {Y}_{\mu } \) 中的开集, 并且
\[
{h}_{\mu } \circ {h}_{\lambda }^{-1} : {h}_{\lambda }\left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right) \rightarrow {h}_{\mu }\left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right)
\]
是同胚,则可以在 \( E = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{E}_{\lambda } \) 上引入拓扑,使得各 \( {E}_{\lambda } \) 是开集. 并且
\[
{h}_{\lambda } : {E}_{\lambda } \rightarrow {Y}_{\lambda }
\]
是同胚.
证明. 在各 \( {E}_{\lambda } \) 上定义拓扑
\[
{\mathcal{S}}_{\lambda } = \left\{ {H \subset {E}_{\lambda } \mid {h}_{\lambda }\left( H\right) \in {\mathcal{T}}_{\lambda }}\right\} ,
\]
再应用上一引理在 \( E = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in A}}{E}_{\lambda } \) 上引人满足我们要求的拓扑
\( \mathcal{S} \) .
引理 1.9 如果在引理 1.8 中的各 \( {Y}_{\lambda }\left( {\lambda \in \Lambda }\right) \) 是 \( {C}^{r} \) 流形,并且
\[
{h}_{\mu } \circ {h}_{\lambda }^{-1} : {h}_{\lambda }\left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right) \rightarrow {h}_{\mu }\left( {{E}_{\lambda } \cap {E}_{\mu }}\right)
\]
是 \( {\mathrm{C}}^{r} \) 同胚,则可在 \( E = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in A}}{E}_{\lambda } \) 上引入 \( {\mathrm{C}}^{r} \) 微分流形结构,使得各
\[
{h}_{\lambda } : {E}_{\lambda } \rightarrow {Y}_{\lambda }
\]
是 \( {\mathrm{C}}^{r} \) 微分同胚.
证明. 按照引理 1.8 中的作法赋予 \( E = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{E}_{\lambda } \) 拓扑结构. 对于任意 \( x \in {E}_{\lambda } \) ,设 \( \left( {V,\psi }\right) \) 是 \( {Y}_{\lambda } \) 中 \( {h}_{\lambda }\left( x\right) \) 邻近的局部坐标系,我们取
\[
\left( {{h}_{\lambda }^{-1}\left( V\right) ,\phi \circ {h}_{\lambda }}\right)
\]
为 \( x \) 邻近的局部坐标系. 以这种方式引进
\[
E = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{E}_{\lambda }
\]
的 \( {\mathrm{C}}^{r} \) 微分流形结构,就满足我们的要求.
定理 1.10（由转换函数系构造向量丛） 设 \( X \) 是拓扑空间 (C, 流形), \( {\left\{ {U}_{a}\right\} }_{a \in A} \) 是 \( X \) 的开覆盖, \( \left\{ {g}_{{\beta }_{a}}\right\} \) 是与之相关联的一个转换函数系. 则可构造以 \( X \) 为底的向量丛 ( \( {\mathrm{C}}^{r} \) 向量丛) \( E \) ,它以 \( \left\{ {U}_{a}\right\} \) 为其局部平凡化覆盖并以 \( \left\{ {{g}_{\beta a}\left( x\right) }\right\} \) 为相应的纤维坐标变换.
证明. 我们记
\[
\widetilde{E} = \mathop{\bigcup }\limits_{{a \in A}}\left( {{U}_{a} \times {\mathbf{R}}^{k}\times \{ \alpha \} }\right) ,
\]
并在 \( \widetilde{E} \) 上引入等价关系“ \( \sim \) ”:
\[
\left\{ \begin{array}{l} \left( {x,\xi ,\alpha }\right) \sim \left( {y,\eta ,\beta }\right) \\ \text{ 当且仅当 }x = y,\eta = {g}_{\beta \alpha }\left( x\right) \xi . \end{array}\right.
\]
然后按此等价关系作商集
\[
E = \widetilde{E}/ \sim \text{. }
\]
\( E \) 是由等价类 \( \left\lbrack \left( {x,\xi ,\alpha }\right) \right\rbrack \) 组成的集合. 属于同一等价类的 \( (x \) , \( \xi ,\alpha ) \) 和 \( \left( {y,\eta ,\beta }\right) \) 应满足 \( x = y \) . 因此可以定义
\[
\pi : E \rightarrow X
\]
\[
\left\lbrack \left( {x,\xi ,\alpha }\right) \right\rbrack \mapsto x.
\]
这是一个满映射.
集合 \( {\pi }^{-1}\left( {U}_{\alpha }\right) \) 的任何元素都可以唯一地表示为 \( \left\lbrack \left( {x,\xi ,\alpha }\right) \right\rbrack \) 的形式 (其中的标号为 \( \alpha \) ),因而可以定义
\[
{h}_{a} : {\pi }^{-1}\left( {U}_{a}\right) \rightarrow {U}_{a} \times {\mathrm{R}}^{k}
\]
\[
\left\lbrack \left( {x,\xi ,\alpha }\right) \right\rbrack \mapsto \left( {x,\xi }\right) \text{.}
\]
\( {h}_{\alpha } \) 显然满足
\[
{p}_{1} \circ {h}_{a} = \pi \text{.}
\]
这样定义的 \( {h}_{\alpha } \) 是单、满映射,并且
\[
{h}_{\beta } \circ {h}_{\alpha }^{-1} : \left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \times {\mathbf{R}}^{k} \rightarrow \left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \times {\mathbf{R}}^{k}
\]
\[
\left( {x,\xi }\right) \mapsto \left( {x,{g}_{{\beta }_{a}}\left( x\right) \xi }\right)
\]
是同胚 ( \( {\mathrm{C}}^{r} \) 微分同胚). 因而可以通过 \( {\left\{ {h}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) ,借助于 \( {U}_{\alpha } \times {\mathrm{R}}^{k} \) 的拓扑结构 ( \( {\mathrm{C}}^{r} \) 流形结构),定义 \( E = \mathop{\bigcu
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1328_[聂灵沼&丁石孙] 代数学引论
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定义 5
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定义 5 如果一个群 \( G \) 的任一个有限递降子群列
\[
G = {G}_{0} > {G}_{1} > \cdots > {G}_{r} = \{ e\}
\]
(1)
满足: 每个 \( {G}_{i} \) 是其前一个 \( {G}_{i - 1} \) 的正规子群,则 (1) 称为 \( G \) 的一个 次正规子群列.(1) 的商群组
\[
{G}_{0}/{G}_{1},{G}_{1}/{G}_{2},\cdots ,{G}_{r - 1}/{G}_{r} \cong {G}_{r - 1}
\]
(2)
称为 (1) 的 因子群组.
如果一个次正规子群列 (1) 的每个因子群 \( {G}_{i - 1}/{G}_{i} \) 都是单群,则 (1) 称为一个 合成群列.
在上述定义中 “次” 的意义是并不要求每个子群 \( {G}_{i} \) 为 \( G \) 的正规子群.
在 (1) 中可能有重复的项出现,也就是在 (2) 中可能有单位元群即 \( \{ e\} \) 出现. (2) 中非单位元的因子群的个数称为 (1) 的 长度.
单群 \( G \) 显然只有一个次正规子群列 \( G > \{ e\} \) ,它也是唯一的合成群列. 如果 \( G \) 不是单群,则它至少有两个次正规子群列. 但是一般的群则不一定有合成群列.
我们首先指出,每个有限群 \( G \) 至少有一个合成群列. 设 (1) 是 \( G \) 的一个无重复的次正规子群列. (1) 的长度 \( r \) 显然不超过 \( G \) 的阶. 因此不妨设 (1) 是 \( G \) 的一个无重复的具有最大长度的次正规子群列. 我们用反证法来证明它是一个合成群列. 假若有某个因子群 \( {G}_{i}/{G}_{i + 1} = \overline{{G}_{i}} \) 不是单群. 于是 \( \overline{{G}_{i}} \) 有一个非平凡的正规子群 \( \bar{H} \) . 根据 \( §1 \) 群同态定理,在 \( {G}_{i} \) 与 \( {G}_{i + 1} \) 之间存在一个子群 \( H \) 使得
\[
{G}_{i} \vartriangleright H \vartriangleright {G}_{i + 1}
\]
而且
\[
H/{G}_{i + 1} \cong \bar{H}
\]
然后在 (1) 中插入一项 \( H \) 使得
\[
G = {G}_{0} > \cdots > {G}_{i} > H > {G}_{i + 1} > \cdots > {G}_{r} = \{ e\} ,
\]
这是 \( G \) 的一个无重复的次正规子群列. 但是它的长度等于 \( r + 1 \) . 这与 (1) 为最大长度的假设矛盾. 所以每个因子群 \( {G}_{i}/{G}_{i + 1} \) 是单群,从而 (1) 是一个合成群列.
我们实际上是证明了,只要某一因子群 \( {G}_{i}/{G}_{i + 1} \) 不是单群,那么在 \( {G}_{i} \) 与 \( {G}_{i + 1} \) 之间就可以插入一个子群 \( H \) 使次正规子群列的长度增加. 因此,合成群列也就是不能再插入 (真正地) 任何一项的次正规子群列.
证明是严重地依赖于群的有限性. 至于无限群, 一般地就不一定有合成群列,如整数加法群 \( \mathbf{Z} \) (读者验证一下). 为了保证合成群列的存在,对无限群必须加适当的 “有限” 条件, 这在本书中就不讨论了.
在 \( §4 \) 中我们已经得到如下的结论:
1) 每个有限可解群 \( G \) 有一个合成群列
\[
G = {G}_{0} \vartriangleright {G}_{1} \vartriangleright \cdots \vartriangleright {G}_{r} = \{ e\}
\]
使得每个因子群 \( {G}_{i}/{G}_{i + 1} \) 都是素数阶循环群. 反之也成立.
2) 有限可解群 \( G \) 的任一个合成群列 (无重复项) \( G = {G}_{0} \vartriangleright {G}_{1} \vartriangleright \cdots \vartriangleright {G}_{r} = \) \( \{ e\} \) 的因子群组
\[
{G}_{0}/{G}_{1},{G}_{1}/{G}_{2},\cdots ,{G}_{r - 1}/{G}_{r}
\]
不计次序由 \( G \) 本身唯一决定,与合成群列的选取无关.
第一条是有限可解群类的特性, 用它可以判别一个有限群是不是可解的. 而第二条则不仅是有限可解群所独有的, 它是一般有限群类的共性. 这表现在
若尔当 - 赫德尔定理 有限群 \( G \) 的任意两个无重复项的合成群列有相同的长度, 而且它们的因子群组在同构意义下不计次序一一相等.
证明 设
\[
G = {G}_{0} \vartriangleright {G}_{1} \vartriangleright \cdots \vartriangleright {G}_{r} = \{ e\}
\]
(3)
和
\[
G = {H}_{0} \vartriangleright {H}_{1} \vartriangleright \cdots \vartriangleright {H}_{s} = \{ e\}
\]
(4)
是 \( G \) 的两个无重复项的合成群列. 求证 \( r = s \) 而且它们的因子群组
\[
G/{G}_{1},\cdots ,{G}_{r - 1}/{G}_{r}
\]
(5)
和
\[
G/{H}_{1},\cdots ,{H}_{s - 1}/{H}_{s}
\]
(6)
在同构意义下不计次序一一相等. 证明是对合成群列的长度作归纳法. 若 \( r = 1 \) , 则 \( G \) 为单群. 而单群只有一个合成群列,从而 (3),(4) 相同, \( r = s = 1 \) . 假设定理对于有一个长度 \( r - 1 \) 的合成群列的有限群成立,求证对于有一个长度 \( r \) 的合成群列的有限群定理也成立.
若 \( {G}_{1} = {H}_{1} \) ,则在 (3),(4) 中去掉第一项之后,它们就是同一个群 \( {G}_{1} = {H}_{1} \) 的合成群列,而且它们的长度分别为 \( r - 1 \) 和 \( s - 1 \) . 根据归纳法假设得 \( r - 1 = s - 1 \) , 从而 \( r = s \) ,而且在 (5),(6) 中去掉头一项之后的因子群组不计次序一一相等,因而 (5),(6) 也一一相等. 其次考虑一般情况,设 \( {G}_{1} \neq {H}_{1} \) . 我们利用 \( §1 \) 群同态定理,将一般情况归结为上面的情况,从而证明本定理. 由于 \( G/{G}_{1} \) 和 \( G/{H}_{1} \) 都是非平凡单群,因而 \( {G}_{1} \) 和 \( {H}_{1} \) 都是 \( G \) 的极大正规子群.
又因 \( {G}_{1} \neq {H}_{1} \) ,可知 \( {G}_{1} \cdot {H}_{1} \supset {G}_{1},{H}_{1} \) ,但 \( {G}_{1} \cdot {H}_{1} \neq {G}_{1},{H}_{1} \) . 从而
\[
G = {G}_{1} \cdot {H}_{1}
\]
令 \( {G}_{1} \cap {H}_{1} = {N}_{2} \) . 根据 \( §1 \) 同态定理有
\[
G/{G}_{1} \cong {H}_{1}/{N}_{2},\;G/{H}_{1} \cong {G}_{1}/{N}_{2}
\]
(7)
任意取定 \( {N}_{2} \) 的一个无重复的合成群列 \( {N}_{2} \vartriangleright {N}_{3} \vartriangleright \cdots \vartriangleright {N}_{t} = \{ e\} \) ,用它作出 \( G \) 的两个新的无重复的合成群列
\[
G = {G}_{0} \vartriangleright {G}_{1} \vartriangleright {N}_{2} \vartriangleright \cdots \vartriangleright {N}_{t} = \{ e\}
\]
(8)
和
\[
G = {H}_{0} \vartriangleright {H}_{1} \vartriangleright {N}_{2} \vartriangleright \cdots \vartriangleright {N}_{t} = \{ e\} .
\]
(9)
然后比较 (3) 和 (8),由于第二项相同,于是可归结为上面的情况,从而 \( r = t \) , 因而因子群组
\[
G/{G}_{1},{G}_{1}/{N}_{2},{N}_{2}/{N}_{3},\cdots ,{N}_{t - 1}/{N}_{t}
\]
(10)
和 (5) 不计次序一一相等. 再比较 (4) 和 (9), 第二项也相同, 于是又归结为上面的情况. 从而 \( s = t = r \) 而且因子群组
\[
G/{H}_{1},{H}_{1}/{N}_{2},{N}_{2}/{N}_{3},\cdots ,{N}_{t - 1}/{N}_{t}
\]
(11)
和 (6) 不计次序一一相等. 由 (7) 可知, (10) 和 (11) 不计次序一一相等, 所以因子群组 (5) 和 (6) 不计次序也一一相等. 这就证明了,定理对于有一个长度 \( r \) 的合成群列的有限群也成立. 由归纳法可知, 定理对任意有限群成立.
若尔当 - 赫德尔定理告诉我们,一个有限群 \( G \) 的任一合成群列的因子群组 (不计次序) 在同构意义下是由 \( G \) 唯一决定的,与合成群列的选取无关,因而这个因子群组也称为群 \( G \) 的因子群组,它由一组非平凡的单群组成. 人们自然要提出它的反问题,就是预先给定一组有限单群 \( S = \left\{ {{S}_{1},\cdots ,{S}_{r}}\right\} \) ,问以 \( S \) 为因子群组的有限群有多少种不同构的类型? 当 \( r = 1 \) 时,显然只有一种,就是 \( G \cong {S}_{1} \) . 当 \( r \geq 2 \) 时,这个问题就变得非常困难. 一般说来,它可以归结为如下的问题: 任意给定两个群 \( H \) 和 \( N \) ,试构造出所有不同构的群 \( G \) 使得 \( N \) 为 \( G \) 的正规子群而且商群
\[
G/H \cong H\text{.}
\]
这就是所谓的群扩张问题. 群扩张是群论中的一个重要的理论, 它超出本书讨论的范围.
## §10 幺半群
现在我们来介绍一个比群更广一点的概念, 即幺半群. 它虽然内容没有群那样丰富, 能得到的结果也不像群那样深刻, 但是它确实概括了不少重要的对象, 在理论与实际中有不少应用. 因之建立这个概念并讨论它的一些基本性质是有必要的.
定义 6 设 \( S \) 是一非空集合. 如果在 \( S \) 上定义了一个二元运算,记为 \( {ab} \) (读作乘法), 它适合条件:
1) \( a\left( {bc}\right) = \left( {ab}\right) c \) (结合律), \( a, b, c \in S \) ,
2) 在 \( S \) 中有一元素 \( e \) 具有性质
\[
{ea} = {ae} = a\text{,对所有的}a \in S\text{;}
\]
那么 \( S \) 就称为一幺半群.
当然,如果把二元运算记为 \( a + b \) ,那么就读成加法,这是无关紧要的. 显然, 所有的群都是幺半群. 下面来看几个例子.
例 1 设 \( R \) 是一个幺环. 于是 \( R \) 的元素对于乘法就成一个幺半群.
例 2 全体非负整数对于加法成一幺半群; 全体正整数对于乘法成一幺半群.
例 3 设 \( X \) 是任意一个非空集, \( M\left( X\right) \) 是 \( X \) 的全体到自身的映射组成的集合. \( M\left( X\right) \) 对于映射的乘法显然成一幺半群.
例 4 设 \( X \) 是任意一个非空集合, \( P\left( X\right) \) 是 \( X \) 的全部子集合组成的集合. \( P\left( X\right) \) 对于集合并 “ \( \cup \) ” 成一幺半群; \( P\left( X\right) \) 对于集合交 “ \( \cap \) ” 也成一幺半群.
例 5 设 \( G \) 是一个群. 在 \( G \) 外任取一个元素 0,定义 \( {0g} = {g0} = 0 \) ,对所有的 \( g \in G \) . 于是 \( G \cup \{ 0\} \) 成一幺半群.
在幺半群中, 容易证明, 适合条件 2) 的元素是唯一的, 这个元素称为单位元素.
如果幺半群 \( S \) 的运算进一步适合交换律,即 \( {ab} = {ba} \) ,那么 \( S \) 就称为交换幺半群. 例 2 与例 4 中的幺半群就是交换的.
如果 \( Q \) 是幺半群 \( S \) 的一个子集合,具有性质: 1) \( e \in Q,2)Q \) 对运算封闭,那么 \( Q \) 就称为 \( S \) 的一个 子幺半群. 幺半群 \( M\left( X\right) \) 的子幺半群称为集合 \( X \) 上的一个变换幺半群.
如果 \( \varphi \) 是幺半群 \( S \) 到幺半群 \( {S}^{\prime } \) 的一个映射,它适合条件: 1) \( \varphi \left( e\right) = {e}^{\prime } \) \( \left( {{S}^{\prime }\text{中的单位元素}}\right) ,2)\varphi \left( {ab}\right) = \varphi \left( a\right) \varphi \left( b\right) \) ,那么 \( \varphi \) 就称为 \( S \) 到 \( {S}^{\prime } \) 的一个 同态. 单一的, 映上的同态称为同构.
与群的情况一样, 可以证明
定理 20 任意一个幺半群 \( S \) 都与集合 \( S \) 的一个变换幺半群同构.
证明留给读者.
设 \( \varphi : S \rightarrow {S}^{\prime } \) 是幺半群的同态. 容易证明, \( \varphi \) 的象 \( \varphi \left( S\right) \) 是 \( {S}^{\prime } \) 的子幺半群. \( \varphi \) 的核
\[
\ker \left( \varphi \right) = \left\{ {a \in S \mid \varphi \left( a\right) = {e}^{\prime }}\right\}
\]
是 \( S \) 的子幺半群.
与群的情形不同, 我们不容易刻画出什么样的子幺半群可以是一个同态的核. 因而, 为了弄清楚幺半群的同态, 我们需要采用另外的办法.
定义 7 设 \( S \) 是一幺半群," \( \sim \) " 是定义在 \( S \) 上的一个等价关系. 如果 " \( \sim \) " 具有性质: 由 \( a \sim b, c \sim d \) 可以推知 \( {ac} \sim {bd} \) ,那么 “ \( \sim \) ” 称为 \( S \) 的一个 同余关系.
我们知道,全体非负整数对于加法成一幺半群. 取一正整数 \( m \) ,定义
\[
a \equiv b\left( {\;\operatorname{mod}\;m}\right) \text{,如果}m \mid \left( {a - b}\right) \text{.}
\]
显然这是一个同余关系. 我们以前讨论过, 在这个同余关系下, 全体非负整数被分成 \( m \) 个剩余类.
对于一般的幺半群, 因为同余关系是一等价关系, 所以可以分成若干等价类,在这里称为同余类. 设 \( A, B \) 是任意两个同余类, \( a \in A, b \in B \) . 由定义可知, \( {ab} \) 所在的同余类与 \( a, b \) 的选择无关,而是由 \( A, B \) 决定的. 我们把 \( {ab} \) 所在的同余类定义为同余类 \( A\text{、}B \) 的乘积,记为 \( {AB} \) . 对于这样定义的乘法,结合律是明显的. 如果 \( E \) 是单位元素 \( e \) 所在的同余类,那么显然有
\( {AE} = {EA} = A \) ,对所有的同余类 \( A \) .
定义 8 设 \( S \) 是一幺半群, \( \sim \) 是定义在 \( S \) 上的一个同余关系. 全体同余类在上面定义的运算下所成的幺半群称为 \( S \) 对于同余关系 \( \sim \) 的 商幺半群,记为 \( S/ \sim \) .
把幺半群的每个元素映到它所在的同余类. 这显然是幺半群到商幺半群的一个同态, 这个同态通常称为自然同态. 自然同态是满的. 这个事实说明, 每个同余关系都决定一个同态, 反过来我们有
定理 21 设 \( \varphi : S \rightarrow {S}^{\prime } \) 是幺半群 \( S \) 到 \( {S}^{\prime } \) 的一个同态. 在 \( S \) 上定义:
\[
a \sim b\text{当且仅当}\varphi \left( a\right) = \varphi \left( b\right) \text{.}
\]
\( \sim \) 是一个同余关系.
证明留给读者.
以上讨论表明, 幺半群上的同余关系与同态有紧密的联系. 单位元素所在的同余类就是自然同态的核, 它是一个子幺半群.
定理 22 设 \( \sim \) 是定义在幺半群 \( S \) 上的一个同余关系, \( \pi : S \rightarrow S/ \sim \) 是自然同态,而 \( \varphi : S \rightarrow {S}^{\prime } \) 是幺半群 \( S \) 到 \( {S}^{\prime } \) 的一个同态. 如果当 \( a \sim b \) 时必有 \( \varphi \left( a\right) = \varphi \left( b\right) \) ,那么存在唯一的同态 \( \psi : S/ \sim \rightarrow {S}^{\prime } \) 使
\[
{\psi \pi } = \varphi
\]
证明 设 \( A \) 是任意一个同余类. 由定理的条件可知,在同态 \( \varphi \) 下, \( A \) 的元素有相同的象. 我们定义
\[
\psi \left( A\right) = \varphi \left( a\right) \text{,其中 }a \in A\text{. }
\]
显然, \( \psi \) 是一个同态,而且 \( {\psi \pi } = \varphi \) ,且因 \( \pi \) 是满同态,所以适合这个条件的 \( \psi \) 是唯一的.
最后我们指出, 如果在幺半群的定义中不要求有单位元素, 换句话说, 对运算只要求结合律, 那么这样的代数结构通常称为 半群, 对此我们不打算作过多的讨论.
## §11 自由幺半群与自由群
作为本章的结束, 我们来介绍一下自由幺半群与自由群这两个概念. 它们不但在群论中, 而且在其它的数学分支中都有重要的应用.
设 \( X \) 是一非空集合,为了说起来简单一些,我们总限制 \( X \) 是有限集合,读者不难看出, 所有的讨论都很容易推广到任意集合的情形. 为了确定起见, 设
\[
X = \left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right\}
\]
任意一个有限长的序列
\[
{x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{i}\text{,其中 }{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{i} \in X,
\]
称为一个 字. 如 \( {a}_{1}{a}_{2}{a}_{1}{a}_{3},{a}_{1}{a}_{1}{a}_{3}{a}_{1}{a}_{2} \) 等都是字. 在序列中我们允许长度为零的情形. 就是所谓空字,记为 \( \Lambda \) . 由集合 \( X \) 中的元素组成的字的全体记为 \( \widetilde{X} \) . 在 \( \widetilde{X} \) 上,把两个字的串连定义为乘法,即
\[
\left( {{x}_{1}\cdots {x}_{i}}\right) \left( {{y}_{1}\cdots {y}_{j}}\right) = {x}_{1}\cdots {x}_{i}{y}_{1}\cdots {y}_{j}.
\]
结合律是明显的,而空字就是单位元素. \( \widetilde{X} \) 在这个运算下成一幺半群.
幺半群 \( \widetilde{X} \) 称为由集合 \( X \) 生成的自由幺半群.
自由幺半群的一个重要性质是
定理 23 设 \( X \) 是一有限非空集合, \( S \) 是一个幺半群. 对于任意一个映射 \( f : X \rightarrow S \) 都存在唯一的同态 \( \varphi : \widetilde{X} \rightarrow S \) 使
\[
\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) \text{,对所有的}x \in X\text{.}
\]
证明 定义 \( \varphi : \widetilde{X} \rightarrow S \) 为:
\[
\varphi \left( \Lambda \right) = e, e\text{为}S\text{的单位元素,}
\]
\[
\varphi \left( {{x}_{1}\cdots {x}_{i}}\right) = f\left( {x}_{1}\right) \cdots f\left( {x}_{i}\right) .
\]
这就是所要的同态. 唯一性是显然的.
为什么 \( \widetilde{X} \) 中的元素要叫做字呢? 假如集合 \( X \) 是由 26 个拉丁字母组成的
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1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义
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定义 3.1
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定义 3.1 称 \( \{ {X}_{t}, t \in T\} \) 是马尔可夫过程,如果对于 \( T \) 中任何 \( n \) 个数 \( {t}_{1} < {t}_{2} < \cdots < {t}_{n}, E \) 中任何 \( n \) 个状态 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 及任何实数 \( x \) 均成立:
\[
P\left\{ {{X}_{{t}_{n}} \leq x \mid {X}_{{t}_{1}} = {x}_{1},{X}_{{t}_{2}} = {x}_{2},\cdots ,{X}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1}}\right\} \text{①}
\]
\[
= P\left\{ {{X}_{{t}_{n}} \leq x \mid {X}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1}}\right\}
\]
(3.1)
换句话说,马尔可夫过程的特征是,如已知 “现在: \( {X}_{{t}_{n - 1}} \) \( = {x}_{n - 1} \) ”,则“将来: \( {X}_{{t}_{n}} \leq x \) ”不依赖于“过去: \( {X}_{{t}_{1}} = {x}_{1},{X}_{{t}_{2}} = {x}_{2},\cdots \) ,
---
① 这是条件概率. 当 \( P\left\{ {{X}_{{t}_{1}} = {x}_{1},{X}_{{t}_{2}} = {x}_{2},\cdots ,{X}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1}}\right\} \neq 0 \) 时,这种条件概率在第一章已讨论过. 当 \( P\left\{ {{X}_{{t}_{1}} = {x}_{1},{X}_{{t}_{2}} = {x}_{2},\cdots ,{X}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1}\} = 0}\right. \) 时,以前未处理过, 这要用测度论的知识才能进行比较严密的讨论. 这里只要求读者对条件概率有一个大致的、朴素的理解
---
\( {X}_{{t}_{n - 2}} = {x}_{n - 2} \) ”. 这表达了过程的“无后效性”.
(3.1) 式所表达的性质称为马尔可夫性, 简称马氏性. 马尔可夫过程简称马氏过程. 马尔可夫是俄罗斯数学家, 他在本世纪初研究过现在称之为马尔可夫过程的一种特殊情形.
马尔可夫过程论的内容十分丰富, 但很多讨论都涉及到较深的数学知识. 以下只就最简单的情况,即 \( T = \{ 0,1,2,\cdots \}, E \) 为至多可列集的情形,进行初步的讨论. (这里所谓 \( E \) 至多可列,是指 \( E \) 是有限集或者 \( E \) 的全体元素可排成一无穷序列.)
## 2. 马尔可夫链
定义 3.2 设 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 是随机序列,状态空间 \( E \) 至多可列, 若对任何 \( {i}_{0},{i}_{1},\cdots ,{i}_{n} \in E \) ,只要 \( P \mid {X}_{0} = {i}_{0},{X}_{1} = {i}_{1},\cdots ,{X}_{n - 1} = \) \( \left. {i}_{n - 1}\right\} \neq 0 \) ,就成立:
\[
P\left\{ {{X}_{n} = {i}_{n} \mid {X}_{0} = {i}_{0},{X}_{1} = {i}_{1},\cdots ,{X}_{n - 1} = {i}_{n - 1}}\right\}
\]
\[
= P\left\{ {{X}_{n} = {i}_{n} \mid {X}_{n - 1} = {i}_{n - 1}}\right\}
\]
(3.2)
则称 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 为马尔可夫链,简称马氏链. 可以验证,马尔可夫链是一种特殊的马氏过程.
通常称条件概率 \( P\left\{ {{X}_{t} = j \mid {X}_{s} = i}\right\} \) 为转移概率,记作 \( {p}_{y}{\left( s, t\right) }^{\left( 1\right) }\left( {\text{ 这里 }s \leq t}\right) . \)
定理 3.1 设 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 是马氏链,则对 \( s < t < u \) ,有
\[
{p}_{ij}\left( {s, u}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k \in E}}{p}_{ik}\left( {s, t}\right) {p}_{kj}\left( {t, u}\right)
\]
(3.3)
证 \( {p}_{y}\left( {s, u}\right) = P\left\{ {{X}_{u} = j \mid {X}_{s} = i}\right\} \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k \in E}}P\left\{ {{X}_{t} = k,{X}_{u} = j \mid {X}_{s} = i}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k \in E}}P\left\{ {{X}_{t} = k \mid {X}_{s} = i}\right\} P\left\{ {{X}_{u} = j \mid {X}_{s} = i,{X}_{t} = k}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k \in E}}P\left\{ {{X}_{t} = k \mid {X}_{s} = i\left| {P\left\{ {{X}_{u} = j \mid {X}_{t} = k}\right. }\right| }\right\}
\]
---
① 为简单计,以下假设 \( {p}_{ij}\left( {s, t}\right) \) 对所有 \( i, j \in E \) 都有定义.
---
\( = \mathop{\sum }\limits_{{k \in E}}{p}_{ik}\left( {s, t}\right) {p}_{kj}\left( {t, u}\right) \)
(3.3) 叫做 Chapman-Koлмогоров 方程.
若任意固定 \( i, j \) 后, \( {p}_{y}\left( {s, t}\right) = {p}_{y}\left( {s + \tau, t + \tau }\right) \) (对一切 \( \tau \geq 0) \) ,则称马氏链 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 是时齐的,也叫齐次的. 本节往下只讨论齐次马氏链,简称马氏链. 此时记 \( {p}_{ij} = P\left\{ {{X}_{t + 1} = j \mid {X}_{t} = }\right. \) \( i\} \) ,称矩阵 \( P = \left( {{p}_{y}, i, j \in E}\right) \) 为一步转移概率矩阵. \( P \) 有下列性质.
定理 3.2
\[
{p}_{y} \geq 0
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j \in E}}{p}_{ij} = 1\left( {i \in E}\right)
\]
证 显然.
我们说,只要一步转移概率矩阵 \( P = \left( {p}_{y}\right) \) 知道了,则马氏链的转移概率特性就完全确定了. 实际上,
\[
P\left\{ {{X}_{s + n} = j \mid {X}_{s} = i}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{n - 1} \in E}}P\left\{ {{X}_{s + n} = j,{X}_{s + 1} = {i}_{1},\cdots ,{X}_{s + n - 1} = {i}_{n - 1} \mid {X}_{s} = i}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{n - 1} \in E}}P\left\{ {{X}_{s + 1} = {i}_{1} \mid {X}_{s} = i}\right\} \cdot P\left\{ {{X}_{s + 2} = {i}_{2}\left| {{X}_{s + 1} = {i}_{1}}\right| }\right.
\]
\[
\cdots P\left\{ {{X}_{s + n} = j \mid {X}_{s + n - 1} = {i}_{n - 1}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n - 1} \in E}}{p}_{{u}_{1}}{p}_{{t}_{{1}^{\prime }2}}\cdots {p}_{{t}_{n - 1}},
\]
以下记 \( {p}_{y}^{\left( n\right) } = P\left\{ {{X}_{s + n} = j \mid {X}_{s} = i}\right\} \) ( \( n \) 步转移概率). 不难看出,矩阵 \( \left( {{p}_{y}^{\left( n\right) }, i, j \in E}\right) = {P}^{n} \) .
例 3.1 (自由随机游动) 某质点在整数点集 \( \{ \cdots , - 1,0 \) , \( 1,\cdots \} \) 上随机游动. 设开始时质点在位置 0,以后每经过一个单位时间按下列概率规则改变一次位置: 如果它在某时刻位于点 \( i \) ,则它以概率 \( p\left( {0 < p < 1}\right) \) 转移到 \( i + 1 \) ,以概率 \( 1 - p \) 转移到 \( i - 1 \) . 用 \( {X}_{n} \) 表示质点在时刻 \( n \) 所在的位置,则 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 便是一个马氏链, 其一步转移概率矩阵是
\[
P = \left( \begin{matrix} \ddots & \ddots & \ddots & & & & \\ & 1 - p & 0 & p & & & \\ & & 1 - p & 0 & p & & \\ & & & 1 - p & 0 & p & \\ & & & & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix}\right)
\]
例 3.2 (带吸收壁的随机游动) 质点在点集 \( \{ 0,1,2,\cdots \} \) 上游动,转移规律是: 若在某时刻处于位置 \( i > 0 \) ,则下一步以概率 \( p \) 转移到 \( i + 1 \) ,以概率 \( 1 - p \) 转移到 \( i - 1 \) ,若某时刻处于位置 0,则下一步仍停留在 0 . 如果开始时质点位于 \( {i}_{0}\left( {{i}_{0} > 0}\right) \) ,在时刻 \( n \) 时位置是 \( {X}_{n} \) ,则 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 是一马氏链,其一步转移概率矩阵是
\[
P = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \\ 1 - p & 0 & p & 0 & \\ 0 & 1 - p & 0 & p & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix}\right) \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \vdots \end{array}
\]
例 3.3 (Ehrenfest 模型) 我们考察带有 \( m + 1 \) 个状态 (记以 \( 0,1,\cdots, m) \) 的系统的转移问题. 其转移规律是: 若系统在某时刻处于状态 \( i\left( {1 \leq i \leq m - 1}\right) \) ,则下一步以概率 \( \frac{i}{m} \) 转移到状态 \( i - 1 \) ,以概率 \( 1 - \frac{i}{m} \) 转移到状态 \( i + 1 \) ; 若某时刻处于状态 0,则下一步转移到状态 1 ; 若某时间处于状态 \( m \) ,则下一步转移到状态 \( m - 1 \) .
设开始时系统的状态是 \( {X}_{0} \) ,时刻 \( n \) 的状态为 \( {X}_{n} \) ,则 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq }\right. \) \( 0\} \) 是马氏链. 这个链的状态空间是有限集.
这个链有一个有意义的物理解释. 在统计力学中, Ehrenfest 氏考虑了一个假想的实验: 有 \( m \) 个质点分布在两个容器 \( A, B \) 中, 在时刻 \( n \) ,随机地选择一个质点并把它从一个容器移到另一个容器中去,系统的状态由 \( A \) 中质点个数来决定. 假定在某一时刻,确实有 \( k \) 个质点在容器 \( A \) 中,在下一步,系统的状态将变为 \( k - 1 \) 或 \( k + 1 \) ,这要看是 \( A \) 中还是 \( B \) 中的质点被选取而定,相应的概率是 \( \frac{k}{m} \) 和 \( \frac{m - k}{m} \) . 这样,上述模型描述了 Ehrenfest 实验.
马氏链论里研究的问题很多, 我们简略地谈一谈下列三个重要问题.
\( {1}^{ \circ } \) 状态的性质怎样? 是否有些状态经常出现?
\( {2}^{ \circ } \) 转移概率 \( {p}_{n}^{\left( n\right) } \) 当 \( n \rightarrow \infty \) 时有无极限? 若有极限,极限是多少?
\( {3}^{ \circ } \) 设马氏链 \( \left( {{X}_{n}, n \geq 0}\right) \) 的一步转移概率矩阵 \( \mathbf{P} = \left( {p}_{v}\right. \) , \( i \in E, j \in E) \) ( \( E \) 是状态空间),什么条件下各 \( {X}_{n} \) 有相同的概率分布? 并问什么条件下,序列 \( f\left( {X}_{0}\right), f\left( {X}_{1}\right) ,\cdots, f\left( {X}_{n}\right) ,\cdots \) 符合强大数定律,即 \( P\left( {\mathop{\lim }\limits_{n}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\left\{ {f\left( {X}_{i}\right) - E\left\lbrack {f\left( {X}_{i}\right) }\right\rbrack }\right\} = 0}\right) = 1 \) ? (这里 \( f\left( x\right) \) 是任何有界函数).
为了回答上述问题, 先给出两个重要定义.
定义 3.3 称状态 \( i \) 是马氏链 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 的常返状态,若 \( P \mid \) 存在 \( n > s \) 使 \( {X}_{n} = i\left| {{X}_{s} = i}\right| = 1 \) . 否则的话,叫非常返状态.
换句话说,如果从状态 \( i \) 出发,将来还会出现 \( i \) 的概率是 1, 则称 \( i \) 为常返的.
定义 3.4 称马氏链 \( \left( {{X}_{n}, n \geq 0}\right) \) 是不可约的,若 \( i, j \) 是任二状态,必有 \( P \) (存在 \( n > s \) 使 \( \left. {{X}_{n} = j \mid {X}_{s} = i}\right) > 0 \) .
可以证明:
① 如果 \( i \) 是常返状态,则从 \( i \) 出发将来无穷多次出现 \( i \) 的概率等于 1 .
② 状态 \( i \) 常返的充要条件是 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{p}_{n}^{\left( n\right) } = \infty \) .
③ 如果 \( i \) 是常返的,又存在 \( n > s \) 使
\[
P\left\{ {{X}_{n} = j \mid {X}_{n} = i}\right\} > 0
\]
则 \( j \) 也是常返的.
关于 \( n \) 步转移概率 \( {p}_{y}^{\left( n\right) } \) ,有下列事实:
① \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}\frac{1}{N}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{p}_{y}^{\left( n\right) } = {\pi }_{y} \) 永远存在.
② 如果状态空间 \( E \) 是有限集,存在 \( {n}_{0} \) 使
\[
{p}_{y}^{\left( {n}_{0}\right) } > 0\;\text{ (对一切 }i, j \in E\text{ ) }
\]
则 \( \mathop{\lim }\limits_{n}{p}_{y}^{\left( n\right) } = {\pi }_{j} \) 存在 \( \left( {{\pi }_{j}\text{与}i\text{无关}}\right) \) ,而且 \( \left\{ {{\pi }_{j}, j \in E}\right\} \) 是下列方程组
\[
{x}_{j} = \mathop{\sum }\limits_{{i \in E}}{x}_{i}{p}_{ij}\;\left( {-\text{ 切 }j \in E}\right)
\]
的满足条件 \( {x}_{j} > 0,\mathop{\sum }\limits_{{j \in E}}{x}_{j} = 1 \) 的惟一解.
关于上述问题 \( {3}^{ \circ } \) ,可以证明当且仅当 \( {X}_{0} \) 的概率分布 \( \{ p \) , \( i \in E\} \left( {p, \triangleq P\left( {{X}_{0} = i}\right) }\right) \) 满足
\[
{p}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{k \in E}}{p}_{k}{p}_{k}\;\left( {-\text{ 切 }i \in E}\right)
\]
\( \left( {3.4}\right) \)
时每个 \( {X}_{n} \) 与 \( {X}_{0} \) 有相同的概率分布. 如果 (3.4) 成立而且马氏链 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 是不可约的,则可以证明强大数律成立,即有
\[
P\left\{ {\mathop{\lim }\limits_{n}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}f\left( {X}_{i}\right) = E\left\lbrack {f\left( {X}_{0}\right) }\right\rbrack }\right\} = 1,
\]
其中 \( f\left( x\right) \) 是任何有界函数.
上述各项结论的证明均可在[4]中找到. [4]中对马氏链有系统而深入的论述.
例 3.4 (两状态的马氏链) \( E = \{ 0,1\} \) ,一步转移概率矩阵是
\[
P = \left( \begin{matrix} {p}_{00} & {p}_{01} \\ {p}_{10} & {p}_{11} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 - a & a \\ b & 1 - b \end{matrix}\right)
\]
其中 \( a, b \) 已知, \( 0 < a < 1,0 < b < 1 \) .
我们来求出 \( {p}_{y}^{\left( n\right) } \) ,并研究 \( n \rightarrow \infty \) 时 \( {p}_{y}^{\left( n\right) } \) 的渐近性质.
用数学归纳法可以证明:
\( \left( {p}_{y}^{\left( n\right) }\right) = {P}^{n} \)
\[
= \left( \begin{array}{ll} \frac{b}{a + b} + \frac{a}{a + b}{\left( 1 - a - b\right) }^{n} & \frac{a}{a + b} - \frac{a}{a + b}{\left( 1 - a - b\right) }^{n} \\ \frac{b}{a + b} - \frac{b}{a + b}{\left( 1 - a - b\right) }^{n} & \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + b}{\left( 1 - a - b\right) }^{n} \end{array}\right)
\]
(也可用母函数法直接求出 \( {P}^{n} \) 的这个表达式).
因为 \( 0 < a + b < 2 \) ,故 \( - 1 < 1 - a - b < 1 \) ,从而
\( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left( 1 - a - b\right) }^{n} = 0 \) ,于是得:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{p}_{00}^{\left( n\right) } = \frac{b}{a + b},\mathop
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1255_[吴崇试&高春媛] 数学物理方法
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定义 17.1
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定义 17.1 (定义在实数或复数域 \( \mathbb{K} \) 上的) 线性空间 \( V \) 中矢量 \( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{y} \) 的内积 \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) \) 是一个 \( V \times V \mapsto \mathbb{K} \) 的映射, \( \forall \mathbf{x} \in V,\forall \mathbf{y} \in V \) ,都存在数域 \( \mathbb{K} \) 内的唯一一个数与之对应,记为 \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) \in \mathbb{K} \) ,满足:
1. \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) \) 与 \( \left( {\mathbf{y},\mathbf{x}}\right) \) 互为复共轭,即 \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) = {\left( \mathbf{y},\mathbf{x}\right) }^{ * } \) ;
2. \( \left( {\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y},\mathbf{z}}\right) = {\alpha }^{ * }\left( {\mathbf{x},\mathbf{z}}\right) + {\beta }^{ * }\left( {\mathbf{y},\mathbf{z}}\right) \) ,其中 \( \alpha \in \mathbb{K},\beta \in \mathbb{K} \) ;
3. 对于任何 \( \mathbf{x} \in V,\left( {\mathbf{x},\mathbf{x}}\right) \geq 0 \) ; 当且仅当 \( \mathbf{x} = \mathbf{0} \in \mathbf{V} \) 时, \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{x}}\right) = 0 \in \mathbb{K} \) .
定义了内积的线性空间称为内积空间. 具有内积的实线性空间称为欧氏 (Euclid) 空间 (Euclidean space); 具有内积的复线性空间称为酉空间 (unitary space).
例 17.1 若
\[
\mathbf{x} = \left( \begin{matrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ \vdots \\ {x}_{n} \end{matrix}\right) \;\text{ 和 }\;\mathbf{y} = \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{matrix}\right)
\]
是实数域上的 \( n \) 维列矢量,全体实数域上的 \( n \) 维列矢量的集合在矢量加法以及矢量和实数的乘法下构成一个
实数域上的线性空间. \( \mathbf{P} \) 为 (给定的) \( n \times n \) 实对角正定矩阵 \( {}^{\text{ ① }} \) ,可定义矢量 \( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{y} \) 的内积为
\[
\left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \left( \begin{matrix} {P}_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {P}_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {P}_{nn} \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{matrix}\right) .
\]
特别是,如果 \( \mathbf{P} \) 是单位矩阵,则矢量 \( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{y} \) 的内积即为
\[
\left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) = {x}_{1}{y}_{1} + {x}_{2}{y}_{2} + \cdots + {x}_{n}{y}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}{y}_{i}.
\]
可见, 内积是我们熟悉的矢量数量积的推广.
例 \( {17.2}\;0 \leq t \leq 1 \) 区间内的实变量 \( t \) 的所有复系数的多项式的集合,在多项式加法以及多项式和复数的乘法下构成一个复数域上的线性空间,记为 \( \mathcal{H}.\rho \left( t\right) \) 已知,它是定义在 \( 0 \leq t \leq 1 \) 区间内的非负函数,且不恒为 0,称为权函数 \( {}^{\text{②}} \) . 设 \( x\left( t\right) \) 和 \( y\left( t\right) \) 是线性空间 \( \mathcal{H} \) 中的两个元素 (也可称为矢量,在这里是多项式),它们的内积可以定义为
\[
\left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) = {\int }_{0}^{1}{x}^{ * }\left( t\right) y\left( t\right) \rho \left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
(17.1)
请读者证明对线性空间 \( \mathcal{H} \) 内的任意两个元素,内积 (17.1) 都存在而且满足内积定义中的三条要求.
根据内积定义中的第 1 条要求, 可以看出, 不论是欧氏空间或酉空间, 矢量和它自身的内积总是实数, 这样第 3 条要求中的不等式才有意义. 因此定义
\[
{\left( \mathbf{x},\mathbf{x}\right) }^{1/2} = \parallel \mathbf{x}\parallel
\]
(17.2)
为矢量 \( \mathbf{x} \) 的模 (即矢量 \( \mathbf{x} \) 的 “长度” ). 而由内积定义中的第 1 和第 2 条要求,有
\[
\left( {\mathbf{x},\alpha \mathbf{y}}\right) = \alpha \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right)
\]
(17.3)
因此
\[
\parallel \alpha \mathbf{x}\parallel = {\left( \alpha \mathbf{x},\alpha \mathbf{x}\right) }^{1/2} = {\left\lbrack \alpha {\alpha }^{ * }\left( \mathbf{x},\mathbf{x}\right) \right\rbrack }^{1/2} = \left| \alpha \right| \parallel \mathbf{x}\parallel .
\]
(17.4)
任何一个非零矢量除以它的模就成为 “单位长度” 的矢量, 或称为归一化的矢量,
\[
\left( {\frac{\mathbf{x}}{\parallel \mathbf{x}\parallel },\frac{\mathbf{x}}{\parallel \mathbf{x}\parallel }}\right) = 1
\]
在建立了内积定义后,就可以引入矢量正交的概念: 当且仅当 \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) = 0 \) 时,两矢量 \( \mathbf{x},\mathbf{y} \) 正交.
显然, 零矢量和任何矢量都正交.
任何一组线性无关 \( {}^{\text{③}} \) 的非零矢量 \( \left\{ {{\mathbf{y}}_{1},{\mathbf{y}}_{2},{\mathbf{y}}_{3},\cdots }\right\} \) ,均可通过标准步骤使之两两正交. 例如,作线性组合
\[
{\mathbf{x}}_{1} = {\mathbf{y}}_{1},\;{\mathbf{x}}_{2} = {\mathbf{y}}_{2} + {\alpha }_{21}{\mathbf{x}}_{1},\;{\mathbf{x}}_{3} = {\mathbf{y}}_{3} + {\alpha }_{31}{\mathbf{x}}_{1} + {\alpha }_{32}{\mathbf{x}}_{2},\;\cdots \cdots ,
\]
令它们两两正交:
\[
\left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{2}}\right) = \left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{y}}_{2} + {\alpha }_{21}{\mathbf{x}}_{1}}\right) = \left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{y}}_{2}}\right) + {\alpha }_{21}\left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{1}}\right) = 0,
\]
① 设 \( M \) 是 \( n \times n \) 矩阵,若对任何非零实矢量 \( z \) ,都有 \( {z}^{T}{Mz} > 0 \) ,其中 \( {z}^{T} \) 表示 \( z \) 的转置,则称 \( M \) 为正定矩阵. ② 准确地说,定义在区间 \( a \leq t \leq b \) 内的权函数 \( \rho \left( t\right) \) ,必须是非负可积函数,且 \( {\int }_{a}^{b}\rho \left( t\right) \mathrm{d}t > 0 \) . 以下出现的权函数均需满足此要求, 不再一一指明.
③ 如果当且仅当 \( {\alpha }_{1} = {\alpha }_{2} = \cdots = {\alpha }_{n} = 0 \) 时 \( n \) 个矢量 \( \left\{ {{\mathbf{y}}_{1},{\mathbf{y}}_{2},{\mathbf{y}}_{3},\cdots ,{\mathbf{y}}_{n}}\right\} \) 的线性组合 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\alpha }_{i}{\mathbf{y}}_{i} = \mathbf{0} \) ,则称这 \( n \) 个矢量 \( \left\{ {{y}_{1},{y}_{2},{y}_{3},\cdots ,{y}_{n}}\right\} \) 线性无关. 无穷个矢量的线性无关则定义为,从其中任意挑选有限个矢量,全部都线性无关.
\[
\left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{3}}\right) = \left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{y}}_{3} + {\alpha }_{31}{\mathbf{x}}_{1} + {\alpha }_{32}{\mathbf{x}}_{2}}\right) = \left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{y}}_{3}}\right) + {\alpha }_{31}\left( {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{1}}\right) = 0,
\]
\[
\left( {{\mathbf{x}}_{2},{\mathbf{x}}_{3}}\right) = \left( {{\mathbf{x}}_{2},{\mathbf{y}}_{3} + {\alpha }_{31}{\mathbf{x}}_{1} + {\alpha }_{32}{\mathbf{x}}_{2}}\right) = \left( {{\mathbf{x}}_{2},{\mathbf{y}}_{3}}\right) + {\alpha }_{32}\left( {{\mathbf{x}}_{2},{\mathbf{x}}_{2}}\right) = 0,
\]
所以
\[
{\alpha }_{21} = - \frac{\left( {\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{y}}_{2}\right) }{\left( {\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{1}\right) },\;{\alpha }_{31} = - \frac{\left( {\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{y}}_{3}\right) }{\left( {\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{1}\right) },\;{\alpha }_{32} = - \frac{\left( {\mathbf{x}}_{2},{\mathbf{y}}_{3}\right) }{\left( {\mathbf{x}}_{2},{\mathbf{x}}_{2}\right) }.
\]
更普遍的结果是
\[
{\alpha }_{jk} = - \frac{\left( {\mathbf{x}}_{k},{\mathbf{y}}_{j}\right) }{\left( {\mathbf{x}}_{k},{\mathbf{x}}_{k}\right) }.
\]
这样的步骤称为 Schmidt 正交化.
定义 17.2 若对于所有正整数 \( i \) 和 \( j \) ,都有 \( \left( {{\mathbf{x}}_{i},{\mathbf{x}}_{j}}\right) = {\delta }_{ij} \) ,则称矢量组 \( \left\{ {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{2},\cdots }\right\} \) 是正交归一的.
设在 \( n \) 维线性空间 \( V \) 中有一组正交归一矢量
\[
\left\{ {{\mathbf{x}}_{1},{\mathbf{x}}_{2},\cdots ,{\mathbf{x}}_{k}}\right\} ,\;k \leq n.
\]
对于任意一个矢量 \( \mathbf{x} \in V \) ,可求出 \( {\alpha }_{i} = \left( {{\mathbf{x}}_{i},\mathbf{x}}\right) \) . 显然,应当有
\[
{\begin{Vmatrix}\mathbf{x} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\alpha }_{i}{\mathbf{x}}_{i}\end{Vmatrix}}^{2} \equiv \left( {\mathbf{x} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\alpha }_{i}{\mathbf{x}}_{i},\mathbf{x} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\alpha }_{i}{\mathbf{x}}_{i}}\right)
\]
\[
= \left( {\mathbf{x},\mathbf{x}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\alpha }_{i}^{ * }{\alpha }_{i} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\alpha }_{i}{\alpha }_{i}^{ * } + \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{k}{\alpha }_{i}^{ * }{\alpha }_{j}{\delta }_{ij} = \left( {\mathbf{x},\mathbf{x}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\alpha }_{i}^{ * }{\alpha }_{i} \geq 0.
\]
由此就得到一个重要的不等式 —— Bessel 不等式:
\[
\left( {\mathbf{x},\mathbf{x}}\right) \geq \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\left| \left( {\mathbf{x}}_{i},\mathbf{x}\right) \right| }^{2},\;\text{ 即 }\;\parallel \mathbf{x}{\parallel }^{2} \geq \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\left| \left( {\mathbf{x}}_{i},\mathbf{x}\right) \right| }^{2}.
\]
(17.5)
由 Bessel 不等式可以推出 Schwarz 不等式: 若 \( \mathbf{x},\mathbf{y} \) 是内积空间中的两个矢量,则
\[
\left| \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) \right| \leq \parallel \mathbf{x}\parallel \cdot \parallel \mathbf{y}\parallel
\]
(17.6)
如果 \( \mathbf{y} \) 是零矢量, \( \mathbf{y} = \mathbf{0} \) ,上式中的等号成立. 如果 \( \mathbf{y} \neq \mathbf{0} \) ,则可在 Bessel 不等式 (17.5) 中的 \( k \) 取为 1,且
\( {\mathbf{x}}_{1} = \mathbf{y}/\parallel \mathbf{y}\parallel \) ,于是就有
\[
{\left| \left( \frac{\mathbf{y}}{\parallel \mathbf{y}\parallel },\mathbf{x}\right) \right| }^{2} \leq \parallel \mathbf{x}{\parallel }^{2}
\]
由此即可证得 (17.6) 式.
定义 17.3 在有限维线性空间中, 如果一组正交归一的矢量 (称为一个正交归一矢量集), 并不包含在另一个更大的正交归一矢量集之中, 则称该正交归一矢量集是完备的.
正交归一的矢量一定线性无关. 反之,任何一组线性无关的矢量都可以正交归一化. 所以 \( n \) 维线性空间中的任何一组 \( n \) 个正交归一矢量都可以构成此空间的基,称为正交归一基 (线性代数中称为正交标准基).
## \( {}^{ * }§{17.2} \) 函数空间
函数空间是一类特殊的线性空间: 空间的元素是函数, 更确切地说, 本课程中讨论的是定义在一定区间 (可) 以是有界区间、无界区间或半无界区间,为确定起见,以下不妨写为 \( a \leq x \leq b \) ) 上的复值平方可积 \( {}^{\text{①}} \) 函数
---
① 这里的平方可积定义为积分 \( {\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\rho \left( x\right) \mathrm{d}x \) 存在,其中 \( \rho \left( x\right) \) 已知,是定义在 \( a \leq x \leq b \) 区间上的权函数.
---
\( f\left( x\right) \) . 定义元素 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 的加法 \( {f}_{1} + {f}_{2} \) 就是两函数值相加,
\[
\left( {{f}_{1} + {f}_{2}}\right) \left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right)
\]
(17.7)
元素 \( f \) 和复数 \( \alpha \) 的数乘 \( {\alpha f} \) 是
\[
\left( {\alpha f}\right) \left( x\right) = {\alpha f}\left( x\right)
\]
(17.8)
可以证明, 两个平方可积函数之和仍是平方可积的, 这是因为
\[
{\left| {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right) \right| }^{2} + {\left| {f}_{1}\left( x\right) - {f}_{2}\left( x\right) \right| }^{2} = 2\left\lbrack {{\left| {f}_{1}\left( x\right) \right| }^{2} + {\left| {f}_{2}\left( x\right) \right| }^{2}}\right\rbrack ,
\]
所以
\[
{\left| {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right) \right| }^{2} \leq 2\left\lbrack {{\left| {f}_{1}\left( x\right) \right| }^{2} + {\left| {f}_{2}\left( x\right) \right| }^{2}}\right\rbrack .
\]
因此全体定义在 \( a \leq x \leq b \) 上的复值平方可积函数组成的集合,对于加法 (17.7) 和数乘 (17.8) 是封闭的,构成一个复数域上的线性空间,记为 \( \mathcal{H} \) .
定义 17.4 设 \( {f}_{1}\left( x\right) \) 和 \( {f}_{2}\left( x\right) \) 是函数空间 \( \mathcal{H} \) 中的两个函数,可以定义它们的内积为
\[
\left( {{f}_{1},{f}_{2}}\right) = {\int }_{a}^{b}{f}_{1}^{ * }\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) \rho \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
(17.9)
其中 \( \rho \left( x\right) \) 就是函数空间 \( \mathcal{H} \) 中定义函数平方可积概念时给定的权函数.
由于 \( {\
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1259_[周民强] 数学分析习题演练1
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定义 4.1.1
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定义 4.1.1 设函数 \( y = f\left( x\right) \) 在 \( U\left( {x}_{0}\right) \) 上定义,考虑自变量在 \( U\left( {x}_{0}\right) \) 内的一个变动,从 \( {x}_{0} \) 变到 \( x \) ,并估计差 \( f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) \) 与 \( x - {x}_{0} \) 的比值 (商):
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}.
\]
若在 \( x \rightarrow {x}_{0} \) 时,此比值的极限存在,则称 \( f\left( x\right) \) (关于变量 \( x \) ) 在点 \( {x}_{0} \) 处可导,而此极限值称为 \( f\left( x\right) \) (关于变量 \( x \) ) 在点 \( {x}_{0} \) 处的导数,并记为 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) :
\[
{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \triangleq \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}.
\]
\( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 处可导也称为导数 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 存在.
若在导数的定义中,记 \( x - {x}_{0} = h \) (可正可负),则极限 \( x \rightarrow {x}_{0} \) 就转化为 \( h \rightarrow 0 \) ,从而有
\[
{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{h}.
\]
这样,对于讨论函数在点 \( x \) 上的导数,记法上就清晰多了:
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h}.
\]
为了方便起见,我们有时也用记号 \( {y}_{x}^{\prime } \) 或 \( {y}^{\prime };{\left\lbrack f\left( x\right) \right\rbrack }_{x}^{\prime } \) 或 \( {\left\lbrack f\left( x\right) \right\rbrack }^{\prime } \) 表示 \( y = f\left( x\right) \) 在点 \( x \) 处的导数.
若比值
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}
\]
当 \( x \rightarrow {x}_{0} + \) 时极限存在,则称 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 处的右导数存在,并称此极限值为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 处的右导数,记为 \( {f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) :
\[
{f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \triangleq \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + }}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}.
\]
类似地可理解左导数 \( {f}^{\prime } - \left( {x}_{0}\right) \) :
\[
{f}^{\prime } - \left( {x}_{0}\right) \triangleq \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} - }}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}.
\]
显然,关于右 (左) 导数 \( {f}^{\prime } + \left( {x}_{0}\right) \left( {{f}^{\prime } - \left( {x}_{0}\right) }\right) \) ,只要求函数在点 \( {x}_{0} \) 的右 (左) 半邻域有定义即可. 此外,易知 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 存在当且仅当 \( {f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 和 \( {f}_{ - }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 存在且相等.
上述算式中的 \( h \) 用来描述自变量改变的大小,为了能明确地表示变量 \( x \) 的改变,更常用的记法是用 \( {\Delta x} \) 表示,称为 \( x \) 的改变量或增量,而随之引起的函数值的改变记为 \( {\Delta y} = f\left( {x + {\Delta x}}\right) - \) \( f\left( x\right) \) ,称为函数的改变量. 从而差商就成为改变量之比
\[
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f\left( {x + {\Delta x}}\right) - f\left( x\right) }{\Delta x}.
\]
\( h \rightarrow 0 \) 转化为 \( {\Delta x} \rightarrow 0 \) . 而函数在点 \( x \) 处的导数成为
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow 0}}\frac{\Delta y}{\Delta x}.
\]
即改变量之比的极限,且其极限值也记为 \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} \) ,即
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\]
注 若 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 存在,则 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left\lbrack {f\left( {{x}_{0} + 1/n}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right\rbrack = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) ,但反之不然 (例如 \( f\left( x\right) = x(x \) \( \in \mathbf{Q}), f\left( x\right) = 0\left( {x\bar{ \in }\mathbf{Q}}\right) ) \) .
定理 4.1.1 若 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 存在,则 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 必连续.
证明 根据等式
\[
\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow 0}}\left\lbrack {f\left( {{x}_{0} + {\Delta x}}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow 0}}\left\lbrack {\frac{f\left( {{x}_{0} + {\Delta x}}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\Delta x} \cdot {\Delta x}}\right\rbrack = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \cdot 0 = 0
\]
可知, \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 处连续.
例 4.1.1 证明下列命题:
(1) 设 \( f\left( x\right) \) 在点 \( x = {x}_{0} \) 的邻域 \( U\left( {x}_{0}\right) \) 上恒等于一个常数 \( c \) ,则 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0 \) .
（2）设 \( f\left( x\right) = \left| x\right| \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( x \neq 0 \) 处可导,且 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = x/\left| x\right| \) .
（3）函数 \( f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{l} {x}^{2}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{array}\right. \) ,在 \( x = 0 \) 处的导数为 0 .
（4）函数 \( f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{l} x\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{array}\right. \) ,在点 \( x = 0 \) 处不可导.
证明 (1) 因为我们有
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \frac{c - c}{x - {x}_{0}} = 0,\;x \in U\left( {x}_{0}\right) \text{ 且 }x \neq {x}_{0},
\]
所以当 \( x \rightarrow {x}_{0} \) 时,上式左端的极限值也为 0 . 即 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0 \) .
（2）对 \( {x}_{0} > 0 \) ,我们有
\[
{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{x - {x}_{0}}{x - {x}_{0}} = 1.
\]
类似地可知,对 \( {x}_{0} < 0 \) 有 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = - 1 \) . 这说明曲线 \( y = \left| x\right| \) 在 \( x \neq 0 \) 时有切线 \( y = x\left( {x > 0}\right) ;y = - x\left( {x < 0}\right) \) . 总之,当 \( x \neq 0 \) 时, \( {\left( \left| x\right| \right) }^{\prime } = \frac{x}{\left| x\right| }\left( {\text{或}\frac{\left| x\right| }{x}}\right) \) .
对 \( {x}_{0} = 0 \) ,因为
\[
{f}_{ + }^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{x - 0}{x} = 1,
\]
\[
{f}_{ - }^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - }}\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - }}\frac{-x - 0}{x} = - 1,
\]
\( {f}_{ + }^{\prime }\left( 0\right) \neq {f}_{ - }^{\prime }\left( 0\right) \) . 这说明在点 \( x = 0 \) 处导数不存在,或说曲线在点 \( x = 0 \) 处无切线. 这从几何上看十分明显,曲线 \( y = \left| x\right| \) 的图形在点 \( x = 0 \) 处有一个角点. 在这里,我们见到了导数不存在的一种几何形象.
（3）只需注意
\[
{f}^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{x}^{2}\sin \frac{1}{x}}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}x\sin \frac{1}{x} = 0.
\]
(4) 因为
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = \frac{x\sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \sin \frac{1}{x},
\]
而当 \( x \rightarrow 0 \) 时, \( \sin \frac{1}{x} \) 不存在极限,所以 \( f\left( x\right) \) 在点 \( x = 0 \) 处不可导.
例 4.1.2 解答下列问题:
(1) 设 \( f\left( x\right) = x\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \cdots \left( {x - {100}}\right) \) ,试求 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) \) .
（2）设 \( f\left( x\right) \) 在 \( x = 0 \) 处连续, \( {f}^{2}\left( x\right) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数值为 \( A \) ,试论 \( f\left( x\right) \) 在 \( x = \) 0 处的可导性.
（3）设定义在 \( U\left( {x}_{0}\right) \) 上的 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 满足
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}g\left( x\right) = 0,\;\left| {f\left( x\right) }\right| \leq M\left| {x - {x}_{0}}\right| ,\;x \in U\left( {x}_{0}\right) ,
\]
证明 \( F\left( x\right) = f\left( x\right) g\left( x\right) \) 在 \( x = {x}_{0} \) 处可导,且 \( {F}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0 \) .
（4）设 \( {xf}\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \neq 0 \) 处有导数 \( A \) ,证明存在 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) .
(5) 设 \( f\left( 0\right) = 0 \) . 试证明 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) \) 存在当且仅当存在 \( g\left( x\right), g\left( x\right) \) 在 \( x = 0 \) 处连续, 且使得
\[
f\left( x\right) = {xg}\left( x\right) ,\;{f}^{\prime }\left( 0\right) = g\left( 0\right) .
\]
(6) 设 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 在 \( x = {x}_{0} \) 处可导. 若有
\[
f\left( {x}_{0}\right) = g\left( {x}_{0}\right) = 0,\;{g}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \neq 0,
\]
则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \frac{{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) }{{g}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) }.
\]
解 (1) 根据定义 \( \left( {f\left( 0\right) = 0}\right) \) ,我们有
\[
{f}^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) }{x}
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \cdots \left( {x - {100}}\right) = {100}!\text{.}
\]
（2）(i) 若 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) ,则由
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = \frac{{f}^{2}\left( x\right) - {f}^{2}\left( 0\right) }{x}\frac{1}{f\left( x\right) + f\left( 0\right) }
\]
可知, \( {f}^{\prime }\left( 0\right) = A/{2f}\left( 0\right) \) . (ii) 若 \( f\left( 0\right) = 0 \) ,请读者思考.
（3）注意 \( f\left( {x}_{0}\right) = 0 \) ,且当 \( x \neq {x}_{0} \) 时有
\[
\left| \frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}\right| \leq M,\;x \in U\left( {x}_{0}\right) ,
\]
则可得
\[
{F}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{F\left( x\right) - F\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) g\left( x\right) }{x - {x}_{0}}
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}g\left( x\right) \frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = 0.
\]
（4）因为我们有
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \frac{x{x}_{0}f\left( x\right) - x{x}_{0}f\left( {x}_{0}\right) }{x{x}_{0}\left( {x - {x}_{0}}\right) }
\]
\[
= \frac{x{x}_{0}f\left( x\right) - {x}_{0}^{2}f\left( {x}_{0}\right) - x{x}_{0}f\left( {x}_{0}\right) + {x}_{0}^{2}f\left( {x}_{0}\right) }{x{x}_{0}\left( {x - {x}_{0}}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{x}\left( \frac{{xf}\left( x\right) - {x}_{0}f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}\right) - \frac{f\left( {x}_{0}\right) }{x},
\]
所以得到
\[
{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\left\lbrack {\frac{1}{x}\left( \frac{{xf}\lef
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Subsets and Splits
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