book_name stringclasses 352
values | theorem_number stringlengths 3 11 | text stringlengths 642 10k |
|---|---|---|
1655_复解析动力系统(任福尧) | 定义 4.11 | 定义 4.11 有理函数 \( R : \widehat{\mathcal{C}} \mapsto \widehat{\mathcal{C}} \) 称为几何有限的,如果 \( R \) 的临界点集的正向轨道的闭包与 \( J\left( R\right) \) 只交于有限个点,即 \( \# \left( {\overline{\left( {O}_{R}\left( C\right) \right) } \cap }\right. \) \( J\left( R\right) ) < \infty \) .
定理 4.4 有理函数 \( R \) 是几何有限的充要条件是:
1) 每个属于 \( J\left( R\right... |
1902_[现代数学基础丛书].[算子代数] | 定义 6.3.3 | 定义 6.3.3 vN 代数 \( M \) 上的正泛函 \( \varphi \) 称为迹的,指
\[
\varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) = \varphi \left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in M.
\]
这时对任意的 \( a \in {M}_{ + } \) 及 \( M \) 的酉元 \( u \) ,
\[
\varphi \left( a\right) = \varphi \left( {{\left( u{a}^{\frac{1}{2}}\right) }^{ * } \cdot \left( {u{a}^{\frac{1}{2}... |
1641_调和分析及其在偏微分方程中的应用(苗长兴) | 定义 3.1 | 定义 3.1 设 \( T \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 到 \( X \) 上的等距线性算子，即
\[
\parallel {Tx}{\parallel }_{X} = \parallel x{\parallel }_{X},\;\text{ 对 }\;\forall \;x \in X.
\]
(3.10)
此处 \( \parallel \cdot {\parallel }_{X} \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 上的内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 所诱导的范数,如果 \( \mathcal{R}\left( T\right) = X \)... |
1545_对称性分岔理论基础(唐云) | 定义 4. 1.3 | 定义 4. 1.3 对 \( g \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) ,称群作用轨道 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) 和 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) 分别为 \( g \) 的 \( \Gamma \) 等价轨道和强 \( \Gamma \) 等价轨道; 称 \( g, h \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda } \) ( \( \Gamma \) ) 是 \( \Gamma \) 等价的,指 \( h... |
183_数学分析新讲 | 定义 10 | 定义 10 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( X \) 中的一个点列. 如果对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in \mathbf{N} \) ,使得只要
\[
n, p \in N,\;n > N,
\]
就有
\[
d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) < \varepsilon
\]
那么我们就说 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一个基本序列或柯西序列... |
1253_[吴岚&黄海&何洋波] 金融数学引论 | 定义 2.1 | 定义 2.1 若年金的现金流在第一个付款期末首次发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为期末年金.
定义 2.2 若每次的年金金额为 1 个货币单位, 现金流在第一个付款期末首次发生,共计 \( n \) 次,则称这种年金为 \( n \) 期标准期末年金.
由定义 2.2 知, \( n \) 期标准期末年金的时间流程图如下页图 2-1 所示.
图 2-1
通常用记号 \( {a}_{\overrightarrow{... |
1990_实用数学手册 | 定义 8 | 定义 8 如果黎曼空间 \( M \) 的点 \( x \) 处的所有截面曲率都等于一个常数,则称 \( M \) 在点 \( x \) 处是迷向的. 如果还有截面曲率是 \( M \) 上的常值函数,则称 \( M \) 的常曲率空间.
定理 \( {10M} \) 在点 \( x \) 处迷向的必要充分条件是存在常数 \( C \) ,使得在点 \( x \) 处
\[
{R}_{ijkl} = - C\left( {{g}_{ik}{g}_{jl} - {g}_{il}{g}_{jk}}\right) .
\]
定理 11 (舒尔) 设 \( M \) 是 \( n\left( { \geq 3}\right) \) 维... |
1634_近代分析引论(苏维宜) | 定义 2.15 | 定义 2.15 拓扑空间 \( X \) 称为紧空间,若对 \( X \) 的任一个开覆盖 \( {\left\{ {G}_{t}\right\} }_{t \in I} \) ,总存在有限子覆盖 \( \left\{ {{G}_{1},\cdots ,{G}_{n}}\right\} .X \) 的子集 \( A \) 称为紧集, 若 \( A \) 作为 \( X \) 的子空间是一个紧空间.
关于紧性, 有如下有用的结果.
定理 2.12 在拓扑空间 \( X \) 中,下列论断彼此等价
（1） \( X \) 是紧空间;
（2） \( X \) 中的闭集族 \( \mathcal{F} \) 若具有有限交性质,亦即若... |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 4.3 | 定义 4.3 对于由 \( {2}^{n} \) 个字长为 \( n \) 的不同二进制数组成的循环序列,如果每两个相邻的二进制数恰有一位数字不同, 则称该循环序列为格雷码 (Gray Code)。
每个格雷码对应着 \( n \) 立方体的一个哈密顿回路。
定义 4.4 若有向简单图 \( D \) 的基图是完全图,则称 \( D \) 为竞赛图。
定理 4.4 任意竞赛图 \( D\left( {n \geq 2}\right) \) 必有 \( H \) 道路。
证明: 对 \( D \) 的阶 \( n \) 施行归纳。当 \( n = 2 \) 时结论显然成立。假设当 \( n = k\left( {k \geq ... |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 3.6 | 定义 3.6 设 \( f \) 是网络 \( N\left( {V, E, C}\right) \) 的任一容许流,称道路 (作为无向道路) \( {v}_{{i}_{0}}{v}_{{i}_{1}}\cdots {v}_{{i}_{k}} \) 是 \( f \) 的增流路径, 如果
1. \( {v}_{{i}_{0}} = s,{v}_{{i}_{k}} = t \) ;
2. 当 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) \in E \) (称 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) \) 为向前边... |
1362_[陈维桓&李兴校] 黎曼几何引论(下册) | 定义 3.5 | 定义 3.5 设 \( \left( {E, M,\pi }\right) \) 是光滑流形 \( M \) 上的复向量丛, \( \Gamma \left( E\right) \) 是它的光滑截面的集合. 复向量丛 \( E \) 上的 复联络 是指满足下列条件的映射 \( \mathrm{D} : \Gamma \left( E\right) \times \mathfrak{X}\left( M\right) \rightarrow \Gamma \left( E\right) \) (其中对于任意的 \( \left( {\xi, X}\right) \in \Gamma \left( E\right) \times \ma... |
1760_06代数学(上册) | 定义 1.18 | 定义 1.18 设 \( S \) 为一集合. \( S \) 上一非负实数值的二元函数 \( D\left( {a, b}\right) \left( {a, b \in S}\right) \) ,如适合下列的条件,则称为距离:
1) \( D\left( {a, b}\right) = 0 \Leftrightarrow a = b \) ,
2) \( D\left( {a, b}\right) = D\left( {b, a}\right) \) ;
3) 三角不等式: \( D\left( {a, b}\right) + D\left( {b, c}\right) \geq D\left( {a, c}\right... |
1292_[徐明曜&曲海鹏] 有限p群 | 定义 7.1.2 | 定义 7.1.2 设 \( G \) 是有限 \( p \) 群. 称 \( G \) 为超特殊 \( p \) 群,如果 \( G \) 是非交换特殊 \( p \) 群,且 \( \left| {Z\left( G\right) }\right| = p \) .
尽管特殊 \( p \) 群是非常特殊的一类 \( p \) 群,它们的幂零类为 2,并且满足 \( G/{G}^{\prime } \) 是初等交换群,但给出它们的分类仍然是十分困难的,目前我们还做不到这一点. 然而,对于超特殊 \( p \) 群我们能够给出它们的同构分类. 为此,我们需要 \( n \) 个群的中心积的概念以及辛空间的概念.
回忆一下,称群 ... |
1267_[姜伯驹] 同调论 | 定义 1.2 | 定义 1.2 设 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是空间偶的映射. 链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( X\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( Y\right) \) 把子链复形 \( {S}_{ * }\left( A\right) \) 映入 \( {S}_{ * }\left( B\right) \) ,在商群上诱导的同态 \( \left\{ {{f}_{\# } : {S}_{q}\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{q}\... |
1351_[陈天权] 数学分析讲义3 | 定义 11.6.7 | 定义 11.6.7 设 \( M \) 是个局部紧的度量空间, \( G \) 是 \( M \) 中的一个开集. \( M \) 上具有紧支集的实值连续函数 \( c \) 称为 \( G \) 的一个容许函数,假若它满足以下两个条件:
(i) supp \( c \subset G \) ;
(ii) \( \forall x \in M\left( {c\left( x\right) \leq 1}\right) \) .
\( G \) 的全体容许函数组成的集合记做 \( \mathcal{A}\left( G\right) \) . 对应于正线性泛函 \( l \) 的开集 \( G \) 的体积 \( V\left... |
1990_实用数学手册 | 定义 4 | 定义 4 设有界闭区域 \( D\left( {D \subset {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 由连续曲线
\[
x = {\psi }_{1}\left( y\right), x = {\psi }_{2}\left( y\right) \;\left( {\forall y \in \left\lbrack {c, d}\right\rbrack ,{\psi }_{1}\left( y\right) < {\psi }_{2}\left( y\right) }\right)
\]
以及直线 \( y = c, y = d\left( {c < d}\right) \) 所围成,则称 \( D \... |
1471_同调代数引论,.佟文廷,.高等教育出版社,.1998._WPCBJ_.chs | 定义 1 | 定义 1 设 \( R \) 为任意环 \( B \in {\mathfrak{M}}_{R} \) . 若 \( B{}_{\bar{R}} \) 一为正合函子,则称 \( B \) 为平坦右 \( R \) -模,简称平坦模 (flat module),记为 \( B \in {\operatorname{Flat}}^{c}{\mathfrak{M}}_{R} \) .
类似地可定义平坦左 \( R \) -模. 它们的理论是平行的,为方便起见,下面主要讨论平坦右 \( R - \) 模.
由定义 1 可得如下命题.
命题 1 设 \( R \) 为任意环, \( B \in {\mathfrak{M}}_{R} \) ... |
1325_[程士宏] 测度论与概率论基础 | 定义 5.1.1 | 定义 5.1.1 定义在 \( \Omega \times \mathcal{F} \) 上的广义实值函数 \( p \) 称为是从可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{S}\prime }\right) \) 到 \( \left( {X,\mathcal{F}}\right) \) 的测度转移函数或简称转移函数,如果它满足下列条件:
(1) 对每个 \( \omega \in \Omega, p\left( {\omega , \cdot }\right) \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度;
（2）对每个 \( A \in \mathcal{F}, p\left( {\cdo... |
1336_[谭小江&伍胜健] 复变函数简明教程 | 定义 2 | 定义 2 复数序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 称为是一个 Cauchy 序列,如果 \( \forall \varepsilon > 0 \) , \( \exists N \) ,使得只要 \( n > N, m > N \) ,就有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) .
复数域的完备性是建立在实数域完备性的基础上的, 对此我们有下面的定理.
定理 1 (Cauchy 准则或复数域完备性定理) 复数序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 在 \( \mathbb{C} \) 中收敛的充分必要条件... |
1506_算子半群与发展方程(王明新) | 定义 2.2.1 | 定义 2.2.1 称 Banach 空间 \( X \) 中的线性算子 \( A \) 为 增生的 (accretive),如果对每一个 \( x \in D\left( A\right) \) ,都存在 \( f \in F\left( x\right) \) ,使得 \( \operatorname{Re}\langle {Ax}, f\rangle \geq 0 \) . 如果 \( - A \) 是增生的,则称 \( A \) 为耗散的. 这里 \( F\left( x\right) \) 为对偶集,其定义由 2.1 节中的 (2.1) 式给出.
命题 2.2.1 \( A \) 是增生的当且仅当
\[
\paralle... |
1701_《拓扑学基础》(作者)林金坤 科学1998年6月第1版 | 定义 8.1 | 定义 8.1 设 \( \left( {X,\mathcal{T}}\right) \) 是拓扑空间, \( \sim \) 是集合 \( X \) 上的等价关系. \( X/ \sim \) 是商集 (或等价类集合), \( p : X \rightarrow X/ \sim \) 定义为 \( p\left( x\right) = \left\lbrack x\right\rbrack \) ,即 \( x \) 的等价类, \( p \) 叫自然投射. \( X/ \sim \) 的子集族
\[
\mathcal{T}/ \sim = \{ W \subset X/ \sim \mid {p}^{-1}\left( W\ri... |
1337_[谭小江] 多复分析与复流形引论 | 定义 6.1.6 | 定义 6.1.6 设 \( \pi : Y \rightarrow X \) 是 \( X \) 上的层, \( {Y}_{1} \subset Y \) 是 \( Y \) 的开子集, 如果 \( {Y}_{1} \) 满足: 对于任意点 \( P \in X,{Y}_{1} \cap {\pi }^{-1}\left( P\right) \) 都是 \( {\pi }^{-1}\left( P\right) \) 的子群, 则称 \( {Y}_{1} \) 为 \( Y \) 的子层.
例如,当 \( M \) 是复流形时, \( M \) 上解析函数的芽层是 \( M \) 上光滑函数芽层的子层,而光滑函数的芽层是 \( M... |
1353_[陈家鼎&孙山泽&李东风&刘力平] 数理统计学讲义 | 定义 4.1 | 定义 4.1 称 \( x \) 的函数 \( {F}_{n}\left( x\right) \) 为 \( X \) 的经验分布函数.
注意，
\[
{F}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{I}_{( - \infty, x\rbrack }\left( {X}_{i}\right)
\]
这里 \( {I}_{A} \) 表示 \( A \) 的示性函数. 根据强大数律知
\[
P\left( {\mathop{\lim }\limits_{n}{F}_{n}\left( x\right) = F\left( x\ri... |
1248_[冯荣权&宋春伟] 组合数学 | 定义 9.5.1 | 定义 9.5.1 设 \( G \) 为一个 \( v \) 阶 Abel 群, \( G \) 上的一个 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集是 \( G \) 的一个 \( k \) -子集 \( D \) ,使得 \( G \) 中每个非零元素都在由 \( D \) 中元素的差组成的多重集 \( M \) 中出现 \( \lambda \) 次.
显然,若存在群 \( G \) 上的 \( \left( {v, k,\lambda }\right) \) -差集,则必有 \( \lambda \left( {v - 1}\right) = k\left( {k - 1}\right)... |
166_微分几何与拓扑学简明教程 | 定义 5 | 定义 5 对建立了图册 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 的流形 \( M \) ,若所有的坐标变换函数在其定义域中的所有的点是 \( {C}^{r} \) 类光滑函数,则称流形 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 类光滑流形.
今后,如果没有相反的说明,我们所讲的流形都是 \( {C}^{\infty } \) 类的光滑流形,而流形上的函数是 \( {C}^{\infty } \) 类光滑函数.
例 6 我们使例 5 改变样子. 在第二个图 \( {U}_{2} \) 中取坐标 \( {x}_{2} = x + x \cdot \left| x\right| \) . 于是流形是 \( {... |
1758_04Hp鞅论 | 定义 6 | 定义 6 设 \( f = {\left( {f}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 是满足 \( {f}_{0} = 0 \) 以及 \( 1 + \Delta {f}_{n} \geq h > 0 \) 的鞅. 定义 \( \mathcal{E}f = z = {\left( {z}_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 为如下鞅
\[
{z}_{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k \leq n}}\left( {1 + \Delta {f}_{k}}\right) ,\;{z}_{0} \equiv 1.
\]
(36)
\( z \) 被称为 \( f \... |
1208_数学分析习题演练1-周民强 | 定义 2.5.1 | 定义 2.5.1 对于定义在 \( X \subset \left( {-\infty ,\infty }\right) \) 上的函数 \( y = f\left( x\right) \) :
(1) 若存在实数 \( M \) ,使得 \( f\left( x\right) \leq M, x \in X \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上是上方有界的 (函数), \( M \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( X \) 上的上界.
（2）若存在实数 \( m \) ,使得 \( f\left( x\right) \geq m, x \in X \... |
1252_[包志强] 点集拓扑与代数拓扑引论 | 定义 1.2.3 | 定义 1.2.3 如果 \( x \) 的每个邻域中都含 \( A \smallsetminus \{ x\} \) 中的点,则称 \( x \) 为 \( A \) 的 聚点 或 极限点 (limit point 或 cluster point 或 point of accumulation). 全体聚点构成的集合 \( {A}^{\prime } \) 称为 \( A \) 的 导集 (derived set), \( \bar{A} = A \cup {A}^{\prime } \) 称为 \( A \) 的 闭包 (closure). 换言之, \( x \in \bar{A} \) 当且仅当 \( x \) 的每个邻域中都... |
1634_近代分析引论(苏维宜) | 定义 3.4 | 定义 3.4 是一个分布 \( f \in {D}^{ * }\left( \Omega \right) \) 与一个函数 \( \varphi \in D\left( \Omega \right) \) 的卷积. 现在我们定义两个分布的卷积.
定义 3.5 设 \( f, g \in {D}^{ * }\left( {R}^{n}\right) \) ,且至少有一个,例如 \( g \) ,具紧支集. 我们定义 \( f * g \) 为满足下式的一个 \( {D}^{ * }\left( {\mathbf{R}}^{n}\right) \) 分布
\[
\langle f * g,\varphi \rangle = \lef... |
1797_大学数学系自学丛书 概率论与数理统计 | 定义2.5.1 | 定义2.5.1 设随机变量 \( \xi \) 的分布列为
\[
\left( \begin{array}{l} {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{k},\cdots \\ {p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{i},\cdots \end{array}\right)
\]
若级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}{p}_{k} \)
\( \left( {2.5.1}\right) \)
绝对收敛,则定义级数 (2.5.1) 为 \( \xi \) 的均值 (或叫数学期望). 用 \( \mathrm{E}\b... |
1351_[陈天权] 数学分析讲义3 | 定义 11.6.14 | 定义 11.6.14 给定了局部紧的度量空间 \( M \) 及 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函 \( l.M \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) 称为 \( l \) -可积函数,假若 \( f\left( x\right) \in {\widetilde{L}}^{1} \) ,换言之,它是 \( {\mathcal{L}}^{1} \) 中某元素的实现.
设 \( l \) 是 \( {C}_{0}\left( M\right) \) 上的正线性泛函,测度 \( \mu \) 是 \( l \) -测度. 按第 10 章的理论,相对于这个测度 \( \mu ... |
1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义 | 定义 1.1 | 定义 1.1 是概率的频率定义 (又叫概率的统计定义). 至于概率 \( P\left( A\right) \) 的实际计算法,定义本身也给出了一种近似求法,即作大量的试验,计算事件 \( A \) 发生的频率. 虽然得到的是近似值,但我们相信读者不至于因为现实生活中某一数值的获得只是些近似值而感到不实在. 事实上, 我们周围许多量的测量完全是近似的, 如长度的概念并不会因为每次实测数值都是近似值而建立不起来, 也不会因为温度计读数都是近似值而怀疑起“温度”的客观存在性.
以下介绍概率的主观定义. 在现实世界里, 有一些事件是不能重复或不能大量重复的, 这时无法用上述定义 1.1 来定义概率. 怎么办? 一些统计学家认为, 这样的... |
1483_偏微分方程(陈祖墀) | 定义 8.4 | 定义 8.4 称 \( \left\{ {T}_{m}\right\} \subset {\mathcal{D}}^{\prime } \) 收敛到 \( {T}_{0} \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) ,是指:
\[
\left\langle {{T}_{m},\varphi }\right\rangle \rightarrow \left\langle {{T}_{0},\varphi }\right\rangle, m \rightarrow \infty ,\forall \varphi \in \mathcal{D}.
\]
记为 \( {T}_{m} \rightarrow {T}_{0... |
1759_05代数曲线 | 定义7.4 | 定义7.4 对于代数曲线 \( V \) 和 \( W \)
\[
\left( {V \cdot W}\right) \overset{\mathrm{d}{ef}}{ = }\mathop{\sum }\limits_{{p \in V \cap W}}{\left( V \cdot W\right) }_{p}
\]
下面, 我们来证明经典曲线论中的一个重要结果.
定理7.5 (Bezout) 设两平面代数曲线 \( C \) 和 \( E \) 无共同的曲线分支 (即表示 \( C \) 和 \( E \) 的方程的左端无公因式),那么
\[
\left( {C \cdot E}\right) = \mathop{... |
1793_大学数学系自学丛书 实变函数论 | 定义 1 | 定义 1 若 \( {f}^{ + }\left( x\right) ,{f}^{ - }\left( x\right) \) 都是 \( E \) 上非负可测函数,则称 \( f\left( x\right) \) 为 \( E \) 上的可测函数.
显然非负可测函数都是可测函数.
定理 1 可测集 \( E \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) 可测的充要条件是; 对任意实数 \( a,\{ x \mid f\left( x\right) > a\} \) 恒可测.
证明 必要性 已知 \( f\left( x\right) \) 可测,即 \( f\left( x\right) = {f}^{ +... |
1760_06代数学(上册) | 定义3.12 | 定义3.12 设 \( S \) 为一整环, \( a \) 为 \( S \) 的一非零非可逆的元素. 如 \( a \mid {\beta \gamma } \) 时,必有 \( a \mid \beta \) 或 \( a \mid \gamma \) ,则称 \( a \) 为一素元.
就像在第一章 \( §2 \) 与 \( §5 \) 的情形一样,要证明 \( S\left\lbrack x\right\rbrack - S \) 是唯一分解的整环——是唯一分解的整环,我们需要证明在 \( S\left\lbrack x\right\rbrack \) 中, 不可分解元与素元是一物的二名. 为此目的, 我们先作一些准备... |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 2.1 | 定义 2.1 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的生成树, \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{m - n + 1} \) 是 \( T \) 的弦,记 \( {C}_{r} \) \( \left( {1 \leq r \leq m - n + 1}\right) \) 是 \( T \) 加弦 \( {e}_{r} \) 产生的回路,称 \( {C}_{r} \) 为对应于弦 \( {e}_{r} \) 的基本回路,称 \( \left\{ {{C}_{1},\cdots ,{C}_{r}}\right\} \) 为生成树 \( T \) 对应的基本回路系统。
![c9f110dd-63... |
159_巴拿赫空间引论 | 定义 1 | 定义 1. 我们称两个赋范线性空间 \( E \) 和 \( {E}_{1} \) 等价,是指存在一个由 \( E \) 到 \( {E}_{1} \) 上的 “线性同构” 映象 \( \varphi \) (即有 “一一对应” 的映象 \( \varphi \) ,使得
\[
\varphi \left( {{\alpha x} + {\beta y}}\right) = {\alpha \varphi }\left( x\right) + {\beta \varphi }\left( y\right) ,\forall x, y \in E,\alpha ,\beta \in \mathbf{K}),
\]
并且这映象是“保... |
1633_近代分析基础(胡适耕) | 定义 6.6.1 | 定义 6.6.1 任何连续群同态 \( \varphi : G \rightarrow {\mathrm{S}}^{1} \) 称为 \( G \) 上的特征. 以 \( \widehat{G} \) 记 \( G \) 上特征的全体,它依乘法构成一个群,称为 \( G \) 的对偶群. 任给 \( f \in {L}^{1}\left( {G, E}\right) \) ,令
\[
f\left( \varphi \right) = \left( {f * \varphi }\right) \left( 0\right) = {\int }_{G}f\bar{\varphi }\mathrm{d}\mu ,\;\varphi \... |
1354_[陈家鼎&郑忠国] 概率与统计 (第一版) | 定义 2.1 | 定义 2.1 设有事件 \( A \) 和 \( B \) . 如果 \( A \) 发生,则 \( B \) 必发生,那么称事件 \( B \) 包含事件 \( A \) (或称 \( A \) 包含在 \( B \) 中),并记为
\[
A \subset B\text{ (或 }B \supset A\text{). }
\]
例如,投掷两枚匀称的硬币,令 \( A \) 表示“恰有一枚国徽朝上”, \( B \) 表示“至少一枚国徽朝上”,显然有 \( A \subset B \) .
定义 2.2 如果事件 \( A \) 包含事件 \( B \) ,同时事件 \( B \) 也包含事件 \( A \) ,则称事件 ... |
1293_[徐明曜&赵春来] 抽象代数2 | 定义 0.4 | 定义 0.4 设 \( K \) 是 \( F \) 的扩域, \( S \subseteq K \) . 所谓 \( F \) 上 由 \( S \) 生成的域是指 \( K \) 中包含 \( S \) 的最小的 \( F \) 的扩域,记为 \( F\left( S\right) \) . 若 \( K = F\left( S\right) \) , 则称 \( S \) 为 \( K \) 在 \( F \) 上的生成元集,亦称 \( K \) 在 \( F \) 上由 \( S \) 生成. 可以由有限集合生成的 \( F \) 的扩域称为 \( F \) 上有限生成的域,否则称为无限生成的域. 可以由一个元素组成的集合生... |
158_实变函数论与泛函分析 下册 | 定义 6.9.2 | 定义 6.9.2 设 \( H \) 和 \( G \) 是 Hilbert 空间, \( T \) 是 \( H \) 到 \( G \) 的稠定线性算子. 它的定义域为 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) ,记
\( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) = \left\{ {y \mid y \in G}\right. \) ,存在 \( {y}^{ * } \in H \) 使 \( \left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x,{y}^{ * }}\right) \) 对一切 \( x \in \mathcal{D}\left( T\... |
1238_[丘维声] 群表示论 | 定义 1 | 定义 1 环 \( A \) 的一个元素 \( e \) 称为幂等元,如果
\[
{e}^{2} = e \neq 0
\]
两个幂等元 \( {e}_{1},{e}_{2} \) 称为正交的,如果 \( {e}_{1}{e}_{2} = {e}_{2}{e}_{1} = 0 \) . 幂等元 \( e \) 称为本原的,如果它不能表示成 \( A \) 的两个正交幂等元的和.
定义 2 对于环 \( A \) ,令
\[
\mathrm{Z}\left( A\right) \mathrel{\text{:=}} \{ c \in A \mid {cx} = {xc},\forall x \in A\} ,
\]
则 \( ... |
1252_[包志强] 点集拓扑与代数拓扑引论 | 定义 4.7.2 | 定义 4.7.2 设 \( C \) 是一个集合,称形式表达式 \( w = {c}_{1}^{{\varepsilon }_{1}}\cdots {c}_{k}^{{\varepsilon }_{k}} \) (其中 \( \left. {{c}_{i} \in C,{\varepsilon }_{i} = \pm 1}\right) \) 为一个以 \( C \) 为字符集的 字 (word),称 \( k \) 为其 字长 (word length). 特别地, 我们规定: 存在唯一字长为零的字, 称为 空字 (empty word). 如果 \( w \) 中不含任何 \( c{c}^{-1} \) 或 \( {c}^{-1... |
1274_[屈婉玲&耿素云&张立昂] 离散数学 | 定义 9.4 | 定义 9.4 设。为 \( S \) 上的二元运算,如果对于任意的 \( x, y, z \in S \) 都有
\[
\left( {x \circ y}\right) \circ z = x \circ \left( {y \circ z}\right)
\]
则称运算。在 \( S \) 上是可结合的,或者说运算。在 \( S \) 上适合结合律.
普通的加法和乘法在自然数集 \( \mathbf{N} \) 、整数集 \( \mathbf{Z} \) 、有理数集 \( \mathbf{Q} \) 、实数集 \( \mathbf{R} \) 和复数集 \( \mathbf{C} \) 上都是可结合的. 矩阵的加法和乘法是... |
156_实变函数论 | 定义 2 | 定义 2 设两个函数 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 都是在集 \( E \) 上所定义的. 假如
\[
{mE}\left( {f \neq g}\right) = 0,
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 是等价的,用记号
\[
f\left( x\right) \sim g\left( x\right)
\]
表示 \( f\left( x\right) \) 和 \( g\left( x\right) \) 是等价的.
定义 3 设命题 \( S \) 对于点集 \( E - {E... |
155_实变函数论 周民强 | 定义 4.4 | 定义 4.4 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可测,则称
\[
f.\left( \lambda \right) = m\left( {\{ x \in E : \left| {f\left( x\right) }\right| > \lambda \} }\right) ,\;\lambda > 0
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的分布函数. 显然, \( {f}_{ * }\left( \lambda \right) \) 是 \( \left( {0, + \infty }\right) \) 上的递减函数.
定理 4.35 设 \(... |
1897_[现代数学基础丛书].[拓扑动力系统概论] | 定义 3.1.1 | 定义 3.1.1 系统 \( \left( {X, T}\right) \) 称为等度连续的是指函数族 \( \left\{ {{T}^{n} : n \in {\mathbb{Z}}_{ + }}\right\} \) 为等度连续的,即对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得当 \( d\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) < \delta \) 时, \( d\left( {{T}^{n}{x}_{1},{T}^{n}{x}_{2}}\right) < \varepsilon ,\forall n \in \) \( {\mathbb{Z}}_... |
183_数学分析新讲 | 定义 4 | 定义 4 设 \( a < c < b \) ,函数 \( f \) 在 \( \left\lbrack {a, c)\text{和}(c, b}\right\rbrack \) 有定义, 并设对任何 \( 0 < \eta < c - a,\;0 < {\eta }^{\prime } < b - c \) ,这函数在 \( \left\lbrack {a, c - \eta }\right\rbrack \) 和 \( \left\lbrack {c + {\eta }^{\prime }, b}\right\rbrack \) 常义可积. 如果积分
\[
{\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \ma... |
130_代数拓扑基础 (munkres) (z-lib.org) | 定义 1.3 | 定义 1.3 称决策 \( \delta = \delta \left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) \) 是容许的,如果不存在另一决策 \( \widetilde{\delta } \) 使得
\[
R\left( {\theta ,\widetilde{\delta }}\right) \leq R\left( {\theta ,\delta }\right) \;\forall \theta \in \Theta
\]
且对至少一个 \( \theta \) 成立严格不等式。
- 定义 1.4 称决策 \( {\delta }^{ * } \) 是 minimax 决... |
1238_[丘维声] 群表示论 | 定义 2 | 定义 2 群 \( G \) 上的 \( K \) -值函数 \( f \) 如果对于任给 \( a \in G \) ,有
\[
f\left( {{ga}{g}^{-1}}\right) = f\left( a\right) ,\;\forall g \in G,
\]
那么称 \( f \) 是 \( G \) 上的一个类函数.
群 \( G \) 的任一 \( K \) -表示提供的特征标都是 \( G \) 上的类函数.
群 \( G \) 的所有类函数组成的集合记作 \( C{f}_{K}\left( G\right) \) ,易验证它是线性空间 \( {K}^{G} \) 的一个子空间,也是环 \( {K}^{... |
1701_《拓扑学基础》(作者)林金坤 科学1998年6月第1版 | 定义 3.8 | 定义 3.8 单纯映射 \( \varphi : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 叫做映射 \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| L\right| \) 的 单纯逼近,如果对任 \( x \in \left| K\right| ,\varphi \left( x\right) \in {\operatorname{Car}}_{L}f\left( x\right) \) .
这就是说对每点 \( x \in \left| K\right| ,\varphi \left( x\right) \) 和 \( f\left( x\... |
1434_华章数学译丛 5 曲线和曲面的微分几何学 | 定义 5 | 定义 5 沿参数曲线 \( \alpha : I \rightarrow S \) 的向量场 \( w \) 称为平行,如果对所有 \( t \in I,\frac{Dw}{dt} = 0 \) .
图 4-10
对于平面的情形, 沿参数曲线的平行向量场就是沿曲线的常值向量场, 即向量的长度以及与一固定方向的交角均为常数 (图 4-10). 如下面的命题所述, 这些性质在任何曲面上也部份地成立.
命题 1 设 \( w... |
1353_[陈家鼎&孙山泽&李东风&刘力平] 数理统计学讲义 | 定义 3.1 | 定义 3.1 称矩阵 \( \Lambda = {\left( {\lambda }_{ij}\right) }_{n \times m} \) 是 \( {s}_{1} \times {s}_{2} \times \cdots \times {s}_{m} \) 型正交表 (记为 \( {L}_{n}\left( {{s}_{1} \times \cdots \times {s}_{m}}\right) \) ),若它满足下列条件:
(1) \( {\lambda }_{ij} \in \left\{ {1,2,\cdots ,{s}_{j}}\right\} \;\left( {1 \leq i \leq n,\;1 \leq... |
191_无变量微积分(Made By Septsea) | 定义 1.55 | 定义 1.55 我们称定义域为 \( A \) 的函数为 (定义在) \( A \) 上的函数.
借此机会, 我们再定义一个常用的说法.
定义 1.56 若 \( B \subset A, f \) 是 \( A \) 上的函数,我们说 \( f \) 在 \( B \) 上有定义.
采取上述约定后, 我们有下面的等式:
\[
f + g = g + f,\;{fg} = {gf},
\]
\[
\left( {f + g}\right) + h = f + \left( {g + h}\right) ,\;\left( {fg}\right) h = f\left( {gh}\right) ,
\]
\[
f\left... |
1434_华章数学译丛 5 曲线和曲面的微分几何学 | 定义 1 | 定义 1 如果给定 \( \epsilon > 0 \) ,总存在序列 \( {p}_{1},\cdots ,{p}_{i},\cdots \in {\mathbb{R}}^{n} \) 的一个指标 \( {\mathbf{i}}_{\mathbf{0}} \) ,使对所有的 \( \mathbf{i} > {i}_{\mathbf{0}},{p}_{i} \in {B}_{\varepsilon }\left( {p}_{\mathbf{0}}\right) ,{p}_{\mathbf{0}} \in {\mathbb{R}}^{n} \) ,就称此序列收敛于 \( {p}_{0} \) . 在这种情况下, \( {p}_{0} ... |
1341_[郭懋正] 实变函数与泛函分析 | 定义 1.3.13 | 定义 1.3.13 令 \( \mathcal{F} \) 是由集合 \( X \) 中一些子集所构成的集合组. 如果满足:
(1) \( \varnothing \in \mathcal{F} \) ;
(2) 若 \( A \in \mathcal{F} \) ,则 \( {A}^{\mathrm{c}} \in \mathcal{F} \) ;
(3) 若 \( {A}_{n} \in \mathcal{F}, n = 1,2,\cdots \) ,则 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{F} \) .
那么称 \( \... |
144_基础代数 （第二卷〉 | 定义 3.48 | 定义 3.48 内积空间 \( V \) 上的自伴随算子 \( \mathcal{A} \) 称为正定的(或半正定的) 如果二次型 \( q\left( x\right) = \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) \) 是正定的 (或半正定的),即: 对任意非零向量 \( x \in V \) ,有 \( \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) > 0 \) (或 \( \left( {\mathcal{A}x \mid x}\right) \geq 0 \) ).
由于自伴随算子 \( \mathcal{A} \) 在某个标准正交基的矩阵是实对角矩阵 \( A =... |
184_数学分析讲义 | 定义 5.1.1 | 定义 5.1.1 (极值点). 设 \( f \) 是定义在区间 \( I \) 中的函数, \( {x}_{0} \in I \) . 如果存在 \( \delta > 0 \) , 使得
\[
f\left( x\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) \left( {f\left( x\right) \leq f\left( {x}_{0}\right) }\right) ,\;\forall x \in \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) \cap I,
\]
则称 \( {x}_{0} \) 为 \( f \) 在 \( ... |
1800_大学数学系自学丛书 近世代数 | 定义 4 | 定义 4 设 \( A, B, C \) 是三个集合, \( \varphi : A \rightarrow B,\psi : B \rightarrow \) \( C \) ,则 \( A \) 到 \( C \) 的映射 \( \gamma : a \mapsto \psi \left( {\varphi \left( a\right) }\right) ,\forall a \in A \) ,叫做 \( \varphi \) 与 \( \psi \) 的合成,记为 \( {\psi \varphi } = \gamma \) .
例 7 设 \( A = \{ a, b\}, B = \{ 1,2,3,4\}, C = ... |
126_代数学方法 卷二草稿 | 定义 1.1.9 | 定义 1.1.9 设 \( D \subset {\mathbf{R}}^{n} \) . 若对 \( D \) 中任意两点,均可用连续曲 (折) 线联结起来,此曲线上的点均属于 \( D \) ,则称 \( D \) 为 (道路) 连通集; 若 \( D \) 是连通集又是开集,则称 \( D \) 是区域; 若 \( D \) 是区域,则称 \( \bar{D} \) 为闭区域.
定义 1.1.10 设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) . 若在 \( E \) 中任意两点 \( {\mathbf{X}}_{1},{\mathbf{X}}_{2} \) 之间,均可用属于 \( E \) 的直线段... |
1555_非线性理论数学基础 | 定义 1.2.2 | 定义 1.2.2 如果在非空集合 \( X \) 上定义了一个距离 \( d : X \times X \rightarrow \mathbf{R} \) ,则 \( X \) 与 \( d \) 一起,称为一个度量空间或距离空间,记作 \( \left( {X, d}\right) \) 或简记为 \( X.X \) 中元素和子集分别称为 \( \left( {X, d}\right) \) 中的点 (或元素) 和子集.
例 1.2.3 集 \( \mathrm{C}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 按例 1.2.2 中定义的距离 \( d \) 成为一个距离空间,常简记为 \( \math... |
1239_[丘维声] 高等代数(上册) | 定义 4 | 定义 4 设 \( f : S \rightarrow {S}^{\prime } \) ,如果存在一个映射 \( g : {S}^{\prime } \rightarrow S \) ,使得
\[
{fg} = {1}_{{s}^{\prime }},\;{gf} = {1}_{s},
\]
( 3 )
则称映射 \( f \) 是可逆的,此时称 \( g \) 是 \( f \) 的一个逆映射.
容易证明,如果 \( f \) 是可逆的,则它的逆映射是唯一的. 我们把 \( f \) 的逆映射记作 \( {f}^{-1} \) . 从 (3) 式得
\[
f{f}^{-1} = {1}_{{s}^{\prime }},... |
1306_[李文威] 高等代数 | 定义 2.2.1 | 定义 2.2.1 设 \( A \) 和 \( B \) 为集合. 从 \( A \) 到 \( B \) 的映射写作 \( f : A \rightarrow B \) 或 \( A\overset{f}{ \rightarrow }B \) 的形式. 用集合论的语言, \( f : A \rightarrow B \) 应当理解为 \( A \times B \) 的一个子集,记为 \( {\Gamma }_{f} \) ,它须满足以下条件: 对于每个 \( a \in A \) ,集合
\[
\left\{ {b \in B : \left( {a, b}\right) \in {\Gamma }_{f}}\right\}
... |
1800_大学数学系自学丛书 近世代数 | 定义 1 | 定义 1 是从 \( F\left( S\right) \) 与 \( E \) 的同时包含 \( F \) 和 \( S \) 的子域的关系来刻划 \( F\left( S\right) \) ; 而命题 1 则是从 \( F\left( S\right) \) 的元素的形式刻划 \( F\left( S\right) \) 。
命题 1 指出:
\[
F\left( S\right) = \left\{ {\begin{array}{l} f\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \\ g\left( {{\alpha }_{1},{... |
1245_[伍胜健] 数学分析 | 定义 13.1.5 | 定义 13.1.5 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n},\mathbf{x} \in {\mathbb{R}}^{n} \) .
(1) 若存在 \( \delta > 0 \) ,使得 \( U\left( {\mathbf{x},\delta }\right) \subset E \) ,则称 \( \mathbf{x} \) 是 \( E \) 的内点. 记 \( {E}^{ \circ } \) 为 \( E \) 中所有内点构成的集合,并称之为 \( E \) 的内部.
(2) 若存在 \( \delta > 0 \) ,使得 \( U\left( {\mathbf{x},\delta }\... |
1990_实用数学手册 | 定义 13 | 定义 13 设 \( H \) 是群 \( G \) 的正规子群, \( G/H \) 是 \( H \) 的一切陪集组成的集. 对 \( {xH},{yH} \) \( \in G/H \) ,令
\[
\left( {xH}\right) \left( {yH}\right) = \left( {xy}\right) H
\]
则 \( G/H \) 成为一个群,称为 \( G \) 关于正规子群 \( H \) 的商群.
定理 2 设 \( f \) 是群 \( G \) 到群 \( {G}^{\prime } \) 的一个同态,则 \( f \) 的像 \( \operatorname{Im}\left( f\righ... |
1636_典型群上的调和分析(龚升) | 定义 2 | 定义 2 群 \( G \) 的一表示类为表示的集合,在其中所有的表示都相互等价的.
由命题 1,对群 \( G \) 的每个表示类,有一 \( G \) 上的函数,即为此类中的任何表示的特征. 这个函数称为类的特征.
若 \( {\mathcal{K}}_{1} \) 与 \( {\mathcal{K}}_{2} \) 为群 \( G \) 的在域 \( K \) 上的二表示类,由第三节可知:
1) 表示 \( P \in {\mathcal{K}}_{1} \) ,其星表示 \( {P}^{ * } \in {\mathcal{K}}_{1}^{ * },{\mathcal{K}}_{1}^{ * } \) 只依赖于 \(... |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 4.3 | 定义 4.3 设 \( u \) 是根树的分支点,若可从 \( u \) 邻接到 \( v \) ,则称 \( v \) 为 \( u \) 的儿子, \( u \) 为 \( v \) 的父亲; 同一个分支点的所有儿子互称为兄弟; 若从 \( u \) 到 \( w \) 有一条有向道路,则称 \( w \) 是 \( u \) 的子孙, \( u \) 是 \( w \) 的祖先。从根到结点 \( v \) 的有向路的长度称为 \( v \) 的层数; 从根到树叶的最大层数称为根树的高度 (或深度)。
图 3.9 中,结点 1 是树根,结点 \( 1,2,3,4,5,7 \) 是分支点,结点 \( 6,8,9,{10},{11... |
1267_[姜伯驹] 同调论 | 定义 1.7 | 定义 1.7 设 \( K \) 是有限单纯复形, \( A, B \) 是两个子复形. 如果它们满足以下条件:
(1) \( K \) 的顶点集是 \( A \) 的顶点集与 \( B \) 的顶点集的不交并;
(2) \( K \) 的一组顶点 \( S \) 张成 \( K \) 的单形当且仅当其在 \( A, B \) 中的部分 \( S \cap A, S \cap B \) 都分别张成 \( A, B \) 中的单形,
我们就说 \( K \) 是 \( A, B \) 的统联,记作 \( K = A * B \) .
命题 1.13 统联的性质:
(1) 任给两个有限单纯复形 \( A, B \) ,一定能把... |
1769_14矩阵计算的理论与方法 | 定义1.2 | 定义1.2 迭代法 (1.2) 的平均收敛速度定义为
\[
{R}_{k}\left( G\right) = - \frac{1}{k}\ln \begin{Vmatrix}{G}^{k}\end{Vmatrix}.
\]
\( \left( {1.10}\right) \)
从定义1.2不难看出,平均收敛速 度 \( {R}_{k}\left( G\right) \) 不仅与迭代次数 \( k \) 有关,而且与所用的范数亦有关,这会在理论分析和实际应用中带来很大不便. 为此, 我们引进
定义 1.3 迭代法 (1.2) 的渐近收敛速度定义为
\[
R\left( G\right) = \mathop{\lim }\li... |
1272_[尤承业] 基础拓扑学讲义 | 定义 2.3 | 定义 2.3 设 \( \mathcal{U} \) 是列紧度量空间 \( \left( {X, d}\right) \) 的一个开覆盖, \( X\bar{ \in } \) \( \mathcal{U} \) . 称函数 \( {\varphi }_{\mathcal{U}} \) 的最小值为 \( \mathcal{U} \) 的 Lebesgue 数,记作 \( L\left( \mathcal{U}\right) \) .
命题 2.12 \( L\left( \mathcal{U}\right) \) 是正数; 并且当 \( 0 < \delta < L\left( \mathcal{U}\right) \) 时, \... |
1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义 | 定义 4.3 | 定义 4.3 若 \( {\varphi }_{1}\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) \) 和 \( {\varphi }_{2}\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) \) 都是 \( g\left( \theta \right) \) 的估计量, 满足
\[
{E}_{\theta }{\left\lbrack {\varphi }_{1}\left( {X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\right) - g\left( \theta \right) \right\rbrack }^... |
1990_实用数学手册 | 定义 1 | 定义 1 方程组.
\[
\frac{d{x}_{1}}{{X}_{1}} = \frac{d{x}_{2}}{{X}_{2}} = \cdots = \frac{d{x}_{n}}{{X}_{n}}
\]
\( \left( {{9.2} - 2}\right) \)
称为方程 (9.2-1) 的特征方程组. 如果曲线 \( l : {x}_{i} = {x}_{i}\left( t\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 满足特征方程组,则称曲线 \( l \) 为方程 (9.2-1) 的特征曲线 (或简称特征).
定义 2 如果函数 \( \psi \left( {{x}... |
1490_值分布论及其新研究(杨乐) | 定义 8.3 | 定义 8.3. 设 \( f\left( z\right) \) 于开平面亚纯,下级 \( \mu \) 有穷, \( \left( {r}_{i}\right) \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一列 \( \mu \) 级 Pólya 峰. 又设 \( \Lambda \left( r\right) \) 为一正值函数适合
\[
\Lambda \left( r\right) = o\left( {T\left( {r, f}\right) }\right) \;\left( {r \rightarrow \infty }\right) .
\]
(8.3.1)
对于每个 \( r \) ,在 \(... |
1650_实分析(陆善镇) | 定义1.1 | 定义1.1 设 \( X \) 是一个集合, \( \mathcal{R} \) 是 \( X \) 的一些子集构成的非空的族. 若 \( \mathcal{R} \) 满足下述条件:
(1) \( A, B \in \mathcal{R} \Rightarrow A - B \in \mathcal{R} \) ;
(2) \( {A}_{n} \in \mathcal{R}, n \in \mathbb{N} \Rightarrow \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{R} \) ,
则称 \( \mathcal{R} \) 是 ... |
136_初等数论 (Ⅰ) (陈景润) (z-lib.org) | 定义 1.5 | 定义 1.5 用 (1.41) 式给出的李群的同态 \( \mathrm{{Ad}} : G \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {r;\mathbf{R}}\right) \) 称为 \( r \) 维李群 \( G \) 的伴随表示.
由定理 1.5,伴随表示 \( \operatorname{Ad} : G \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {r;\mathbf{R}}\right) \) 的切映射诱导出李代数 \( {G}_{e} \) 到 \( \operatorname{gl}\left( {r;\mathbf{R}}\right) \) 的同态 ad,称之为李... |
1720_微分拓扑(徐森林) | 定义 2 | 定义 2 设 \( {T}_{p}M = \left\{ {{X}_{p} \mid {X}_{p}}\right. \) 为 \( p \) 点处的切向量 \( \} \) . 如果 \( {X}_{p},{X}_{1p} \) , \( {X}_{2p} \in {T}_{p}M,\lambda \in \mathbf{R} \) ,则我们在 \( {T}_{p}M \) 中定义
加法 \( \left( {{X}_{1p} + {X}_{2p}}\right) f = {X}_{1p}f + {X}_{2p}f \) ,
数乘 \( \left( {\lambda {X}_{p}}\right) f = \lambda {... |
1346_[钱敏平&龚光鲁] 随机过程论 | 定义3.4 | 定义3.4 (过份函数、调和函数) 设 \( f \) 是定义在 \( \mathcal{S} \) 上的一个函数 (可以取值 \( + \infty \) ),若 \( f \) 非负而且
\[
\mathbf{P}f \leq f\text{ (即 }{\sum }_{j}{p}_{ij}f\left( 1\right) \leq f\left( i\right) \text{ ),}
\]
则称 \( f \) 是 \( P \) (或 \( \xi \) )的过份函数. 我们称 \( f \) 是一个调和函数如果 \( \mathbf{P}f = f \) .
定义 3.5 (禁忌概率) 设有 \( \mathcal{... |
182_数学分析 第二卷 | 定义 9 | 定义 9. 我们说,集合 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 有 ( \( n \) 维勒贝格) 零测度,或称之为 (勒贝格) 零测度集,如果对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,集合 \( E \) 的由至多可数个 \( n \) 维区间组成的覆盖 \( \left\{ {I}_{i}\right\} \) 存在,并且这些区间的体积之和 \( \mathop{\sum }\limits_{i}\left| {I}_{i}\right| \) 不超过 \( \varepsilon \) .
引理 2. a) 单点集和有限个点的集合都是零测度集.
b) 有限个或可数个零测度集的并集是... |
1294_[徐树方&高立&张平文] 数值线性代数 | 定义 4.4.1 | 定义 4.4.1 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵,记 \( \mathcal{W} = \{ 1,\cdots, n\} \) . 称 \( A \) 是具有相容次序的矩阵,如果对某个 \( t \) ,存在 \( \mathcal{W} \) 的 \( t \) 个互不相交的子集 \( {\mathcal{S}}_{1},{\mathcal{S}}_{2},\cdots ,{\mathcal{S}}_{t} \) 满足 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i - 1}}^{t}{\mathcal{S}}_{i} = \mathcal{W} \) ,使得每个非零的非对角线元素 \( {a}_{... |
1645_亚纯函数唯一性理论 | 定义 1.4 | 定义 1.4 \( T\left( {r, f}\right) = m\left( {r, f}\right) + N\left( {r, f}\right) \) .
\( T\left( {r, f}\right) \) 称为 \( f\left( z\right) \) 的特征函数,显然它是非负函数.
设 \( a \) 为任一有穷复数,则 \( \frac{1}{f\left( z\right) - a} \) 在 \( \left| z\right| \leq R \) 上亚纯. 根据上述定义, Nevanlinna \( {}^{\left( 1,2\right) } \) 引进以下几个函数.
定义 \( {1.2... |
1738_数值分析-李庆扬 | 定义 5 | 定义 5 若一种数值方法在节点值 \( {y}_{n} \) 上大小为 \( \delta \) 的扰动,于以后各节点值 \( {y}_{m}\left( {m > n}\right) \) 上产生的偏差均不超过 \( \delta \) ,则称该方法是稳定的.
下面先以欧拉法为例考察计算稳定性.
例 4 考察初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} {y}^{\prime } = - {100y} \\ y\left( 0\right) = 1 \end{array}\right.
\]
其准确解 \( y\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{100x}} \) 是一个... |
1485_偏微分方程选讲(姜礼尚) | 定义 12 | 定义 12 我们用 \( {H}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 表示一切 \( u\left( x\right) \in {L}_{2}\left( \Omega \right) \) ,且具有一阶广义微商 \( \frac{\widehat{c}u}{\widehat{c}{x}_{i}} \in {L}_{2}\left( \mathbf{\Omega }\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 的函数的全体所组成的集合,即
\( {H}^{1}\left( \Omega \right) = \left\{ {u\left( x\right)... |
1899_[现代数学基础丛书].[数理逻辑引论与归结原理] | 定义 3.2.1 | 定义 3.2.1 设 \( \mathcal{L} \) 是一阶语言, \( \mathcal{Y} \) 的解释 \( I \) 的组成如下:
(i) 一个非空集 \( {D}_{I} \) ,叫解释 \( I \) 的论域.
(ii) \( {D}_{I} \) 中的一组与 \( \mathcal{Y} \) 中的个体常元 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 相对应的特定元 \( \overline{{a}_{1}},\overline{{a}_{2}},\cdots \) .
(iii) \( {D}_{I} \) 上的一组与 \( \mathcal{L} \) 中的谓词符号 \( \left\{ ... |
1252_[包志强] 点集拓扑与代数拓扑引论 | 定义 4.7.5 | 定义 4.7.5 群 \( < {C}_{1}^{\prime } \cup {C}_{2}^{\prime } \mid {R}_{1}^{\prime } \cup {R}_{2}^{\prime } > \) 称为群 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的 自由积 (free product),记为 \( {G}_{1} * {G}_{2} \) .
简单地讲,群 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 的自由积就是由所有无法进一步化简的形如 \( {w}_{1}\cdots {w}_{n} \) (其中每个 \( {w}_{i} \) 是 \( {G}_{1} \) 或者 \( ... |
1432_华章数学译丛 36 抽象代数基础教程].(美国)Rotman.扫描版 | 定义 1 | 定义 1 一个楣群是 \( \operatorname{Isom}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) 的一个固定一条直线 \( \ell \) 的子群 \( G \) ,即对所有 \( \varphi \in G,\varphi \left( \ell \right) = \ell \) 且 \( G \cap \operatorname{Trans}\left( {\mathbb{R}}^{2}\right) \) 是无限循环的.
每一个 \( \varphi \in G \) 固定一条直线 \( \ell \) 反映如下的事实: 一个楣也是一个带. \( G \cap \operatorname... |
194_普林斯顿数学分析读本 | 定义 3.1 | 定义 3.1 (集合). 集合是一堆元素的集体. 包含无穷多个元素的集合称为无限集. 例 3.2 (集合).
下面是一些集合及其符号的例子:
- \( \{ 1,2,3\} \)
包含数 \( 1\text{、}2 \) 和 3 的集合. 用 \( 1 \in \{ 1,2,3\} \) 来表示 1 是集合中的元素.
- \( A \)
名字为 \( A \) 的集合.
- \( A = \{ 1,2,3\} \)
包含数 1、2 和 3 的集合 \( A \) .
- \( \{ a, b, c\} \)
包含元素 \( a\text{、}b \) 和 \( c \) 的集合 \( A \) (这些元素不一定是数... |
1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程 | 定义 14.9 | 定义 14.9 在所有带权为 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{t} \) 的 \( t \) 片树叶的二叉树中,其权最小的二叉树称为最优二叉树, 简称最优树.
下面介绍求最优树的 Huffman 算法.
给定实数 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{t} \) ,且设 \( {w}_{1} \leq {w}_{2} \leq \cdots \leq {w}_{t} \) . 算法的步骤如下:
1 连接以 \( {w}_{1},{w}_{2} \) 为权的两片树叶,得到分支点带权为 \( {w}_{1} + {w}_{2} \) .
2 在 \( {w}_{1} + ... |
1322_[王耀东] 偏微分方程的L2理论 | 定义 3.6 | 定义 3.6 设 \( {\left\{ {A}_{i}\right\} }_{i = 1}^{m} \) 是区间 \( I \) 的互不相交的有有限 Lebesgue 测度 \( \left| {A}_{i}\right| \) 的一组子集, \( {\left\{ {b}_{i}\right\} }_{i = 1}^{m} \) 是 \( B \) 中一组点,由
\[
f\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{\chi }_{{A}_{i}}\left( t\right) {b}_{i}
\]
定义的 \( I \rightarrow B \) 的函数称为简... |
1446_偏微分方程现代理论引论_13922471 | 定义 5.4.10 | 定义 5.4.10 开集 \( \Omega \subseteq {\mathbf{R}}^{n} \) 上的拟微分算子 \( A \) 叫做是恰当支拟微分算子(properly supported pseudo-differential operator),如果 \( \operatorname{supp}{K}_{A} \) 是 \( \Omega \times \Omega \) 中的恰当子集.
例 4 由例 1 可知, 偏微分算子作为拟微分算子都是恰当支拟微分算子. 其次,设 \( P\left( {x, D}\right) \) 是例 3 中的拟微分算子,其中 \( \Omega = {\mathbf{R}}^{n} \... |
1656_微分动力系统原理(张筑生) | 定义 10.4 | 定义 10.4 我们沿用上面的记号. 对于 \( q \in U \) 和 \( \left| \xi \right| < \delta \) , 引入记号
\[
{\exp }_{q}\xi = \gamma \left( {1, q,\xi }\right) .
\]
我们把
\[
{\exp }_{q} : \left\{ {\xi \in {T}_{q}M\left| \right| \xi \mid < \delta }\right\} \rightarrow M
\]
(10.3)
称为指数映射.
注记 10.5 指数映射 (10.3) 是光滑的, 并且映射
\[
\exp : \left\{ {\xi \... |
177_拓扑线性空间与算子谱理论 | 定义 1.2 | 定义 1.2 设 \( H \) 是 Hilbert 空间, \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset H, T : \mathcal{D}\left( T\right) \rightarrow H \) 是线性算子. 若存在 \( y, z \in H \) 使得
\[
\left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x, z}\right) ,\;\forall x \in \mathcal{D}\left( T\right)
\]
(1.2)
令 \( z = {T}^{ * }y \) 并且记 \( y \in \mathcal{D}\left( {T}^{ * }... |
1215_李文威-代数学方法卷二：线性代数(2023.01.31) | 定义 8.5.4 | 定义 8.5.4 设 \( \mathcal{A} \) 是 Abel 范畴. 对 \( \mathcal{A} \) 中的半单纯形对象 \( X \) 和所有 \( n \in {\mathbb{Z}}_{ \geq 0} \) 和 \( 0 \leq k \leq n \) 定义
\[
{\left( \mathrm{N}X\right) }_{n} \mathrel{\text{:=}} \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{n}\ker \left\lbrack {{d}_{i} : {X}_{n} \rightarrow {X}_{n - 1}}\right\rbrack ,\;n \g... |
126_代数学方法 卷二草稿 | 定义 2.1.4 | 定义 2.1.4 设 \( x = \varphi \left( {u, v}\right), y = \psi \left( {u, v}\right) \) 是从 \( {uOv} \) 平面中区域 \( D \) 到 \( {xOy} \) 平面中区域 \( \Omega \) 的同胚变换 \( T \) . 若 \( \varphi \left( {u, v}\right) ,\psi \left( {u, v}\right) \) 在 \( D \) 上有一阶连续偏导数 (即偏导数是连续函数),则称行列式
\[
J = \left| \begin{array}{ll} \frac{\partial \varphi }{\... |
1656_微分动力系统原理(张筑生) | 定义 1.3 | 定义 1.3 (向量丛映射) \( {}^{3} \) 设 \( \left( {E,\pi, X,{\mathbf{R}}^{k}}\right) \) 和 \( \left( {{E}^{\prime },{\pi }^{\prime },{X}^{\prime }}\right. \) , \( \left. {\mathrm{R}}^{{k}^{\prime }}\right) \) 是两个向量丛 ( \( {\mathrm{C}}^{r} \) 向量丛), \( F : E \rightarrow {E}^{\prime } \) 和 \( f : X \rightarrow {X}^{\prime } \) 都是连续映射... |
1328_[聂灵沼&丁石孙] 代数学引论 | 定义 5 | 定义 5 如果一个群 \( G \) 的任一个有限递降子群列
\[
G = {G}_{0} > {G}_{1} > \cdots > {G}_{r} = \{ e\}
\]
(1)
满足: 每个 \( {G}_{i} \) 是其前一个 \( {G}_{i - 1} \) 的正规子群,则 (1) 称为 \( G \) 的一个 次正规子群列.(1) 的商群组
\[
{G}_{0}/{G}_{1},{G}_{1}/{G}_{2},\cdots ,{G}_{r - 1}/{G}_{r} \cong {G}_{r - 1}
\]
(2)
称为 (1) 的 因子群组.
如果一个次正规子群列 (1) 的每个因子群 \( {G}_{i... |
1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义 | 定义 3.1 | 定义 3.1 称 \( \{ {X}_{t}, t \in T\} \) 是马尔可夫过程,如果对于 \( T \) 中任何 \( n \) 个数 \( {t}_{1} < {t}_{2} < \cdots < {t}_{n}, E \) 中任何 \( n \) 个状态 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 及任何实数 \( x \) 均成立:
\[
P\left\{ {{X}_{{t}_{n}} \leq x \mid {X}_{{t}_{1}} = {x}_{1},{X}_{{t}_{2}} = {x}_{2},\cdots ,{X}_{{t}_{n - 1}} = {x}_{n - 1}}... |
1255_[吴崇试&高春媛] 数学物理方法 | 定义 17.1 | 定义 17.1 (定义在实数或复数域 \( \mathbb{K} \) 上的) 线性空间 \( V \) 中矢量 \( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{y} \) 的内积 \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) \) 是一个 \( V \times V \mapsto \mathbb{K} \) 的映射, \( \forall \mathbf{x} \in V,\forall \mathbf{y} \in V \) ,都存在数域 \( \mathbb{K} \) 内的唯一一个数与之对应,记为 \( \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right... |
1259_[周民强] 数学分析习题演练1 | 定义 4.1.1 | 定义 4.1.1 设函数 \( y = f\left( x\right) \) 在 \( U\left( {x}_{0}\right) \) 上定义,考虑自变量在 \( U\left( {x}_{0}\right) \) 内的一个变动,从 \( {x}_{0} \) 变到 \( x \) ,并估计差 \( f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) \) 与 \( x - {x}_{0} \) 的比值 (商):
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}.
\]
若在 \( x \rightarrow ... |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.