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177_拓扑线性空间与算子谱理论 | 定义 1.3 | 定义 1.3 后面的讨论知 \( \parallel x\parallel = 1 \) . 于是 \( \sigma \left( x\right) \subset \{ \lambda \in C : \left| \lambda \right| \leq 1\} \) . 另一方面, \( x \) 可逆, \( {x}^{-1} = {x}^{ * } \) ,故
\[
\left\{ {{\lambda }^{-1} : \lambda \in \sigma \left( x\right) }\right\} = \left\{ {\lambda : \lambda \in \sigma \left( {x}^{-1}\... |
1681_密码学与数论基础 | 定义 3 | 定义 3 对于整数 \( a,\left( {a, m}\right) = 1 \) ,若
\[
a \equiv {g}^{\gamma }\;\left( {\;\operatorname{mod}\;m}\right) ,\;0 \leq \gamma < \varphi \left( m\right) ,
\]
则称 \( \gamma \) 是以 \( g \) 为底的 \( a \) 对模 \( m \) 的指标,记为 \( \gamma = {\operatorname{ind}}_{g}a \) .
在不致引起误会的情况下,我们将略去记号 \( g \) ,即记 \( \gamma = \) ind \( a ... |
1697_常微分方程解法与建模应用选讲-化存才编著 | 定义 2.8 | 定义 2.8 设 \( k = \alpha + \mathrm{i}\beta \) 是任意复数,这里 \( \alpha ,\beta \) 是实数,而 \( x \) 为实变量. 定义
\[
{\mathrm{e}}^{kx} = {\mathrm{e}}^{\left( {\alpha + \mathrm{i}\beta }\right) x} = {\mathrm{e}}^{\alpha x}\left( {\cos {\beta x} + \mathrm{i}\sin {\beta x}}\right) .
\]
可以验证, \( \cos {\beta x} = \frac{1}{2}\left( {{\mathr... |
1474_常用不等式(匡继昌) | 定义 3 | 定义 3 设 \( f \) 在区间 \( D \) 上是正的并对 \( D \) 上任意两点 \( {x}_{1},{x}_{2} \) ,有
\[
{\left| f\left( \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2}\right) \right| }^{2} \leq f\left( {x}_{1}\right) f\left( {x}_{2}\right) ,
\]
\( \left( {1.3}\right) \)
则称 \( f \) 是区间 \( D \) 上弱对数凸函数.
若 \( f, g \) 都是区间 \( D \) 上的弱对数凸函数,则
\[
{\left| f\left( \fra... |
1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程 | 定义 17.23 | 定义 17.23 设 \( {G}_{1} \) 和 \( {G}_{2} \) 是群, \( \varphi \) 是 \( {G}_{1} \) 到 \( {G}_{2} \) 的映射. 若对于任意的 \( x, y \in G \) ,有
\[
\varphi \left( {xy}\right) = \varphi \left( x\right) \varphi \left( y\right) ,
\]
则称 \( \varphi \) 是群 \( {G}_{1} \) 到 \( {G}_{2} \) 的同态映射,简称同态.
可以证明, 若把群看作是具有一个可结合的二元运算、一个求逆元的一元运算和一个零元运算 (二元运... |
1767_12Hp空间论 | 定义 1.3 | 定义 1.3 设 \( f \in {C}^{\infty } \) 且有界, \( T \in \mathrm{{CZK}} \) . 则对任意 \( \psi \in {\mathcal{D}}_{0} \) , 任取 \( {y}_{0} \in \operatorname{supp}\psi, d \) 为 \( \operatorname{supp}\psi \) 的直径,任取 \( {\chi }_{0} \) 与 \( {\chi }_{1} \) ,使得 \( {\chi }_{0} + {\chi }_{1} \) \( = 1 \) ,且 \( {x}_{0} \in \mathcal{D},{x}_{0}\le... |
1246_[何书元] 应用时间序列分析 | 定义 2.3 | 定义 2.3
相合估计 \( §{4.1} \) 的 \( A \) Y
有限运动平均 \( \$ {1.3} \) 的 \( \mathrm{A} \)
有色噪声 \( \$ {7.1} \) 的 \( \left( {1.2}\right) ,\left( {1.32}\right) \)
有理谱密度 \( §{3.2} \) 的 \( D,§{3.2} \) 习题二
题 2.1
严平稳序列 \( §{1.5} \) 定义 5.1
严平稳遍历序列 \( §{1.5} \) 定理 5.1,
例 5.2
余弦波信号 § 1.3 例 3.1
依分布收敛 \( §{1.4} \) 的 \( \mathrm{B} \)... |
1243_[丘维声] 高等代数学习指导书(上册) | 定义 5 | 定义 5 数域 \( K \) 上的向量空间 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个映射 \( \sigma \) 如果保持加法和数量乘法,即 \( \forall \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta } \in {K}^{n}, k \in K \) ,有
\[
\sigma \left( {\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }}\right) = \sigma \left( \mathbf{\alpha }\right) + \sigma \left( \mathbf{\beta }\right) ,
\]
\[
\sigma \left... |
1248_[冯荣权&宋春伟] 组合数学 | 定义 7.4.2 | 定义 7.4.2 图 \( G \) 的色数是对其做真着色时所需最少颜色数,记做 \( \chi \left( G\right) \) .
例 7.4.3 对任意 \( n, m \in {\mathbb{Z}}^{ + } \) ,有
\[
\chi \left( {C}_{n}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 2, & n\text{ 是偶数,} \\ 3, & n\text{ 是奇数,} \end{array}\right.
\]
\[
\chi \left( {K}_{m, n}\right) = 2
\]
事实 7.4.4 对任意 \( n \) 阶图 \( G \) ,有
... |
155_实变函数论 周民强 | 定义 1.13 | 定义 1.13 设 \( f : X \rightarrow Y, g : Y \rightarrow W \) ,则由
\[
h\left( x\right) = g\left( {f\left( x\right) }\right) \;\left( {x \in X}\right)
\]
定义的 \( h : X \rightarrow W \) 称为 \( g \) 与 \( f \) 的复合映射.
集合之间的映射不仅其本身具有实际的意义, 而且是研究集合结构与性质的有效手段. 当 \( Y \) 是 \( \mathbf{R} \) 时, \( f : X \rightarrow Y \) 一般称为函数. 特别地,对于... |
1634_近代分析引论(苏维宜) | 定义 2.10 | 定义 2.10 设 \( X \) 为拓扑空间, \( \left\{ {{\mathcal{U}}_{X}\left( x\right) : x \in X}\right\} \) 为 \( X \) 的邻域滤系族, \( {X}_{0} \) 为 \( X \) 的一个非空子集. 记
\[
{\mathcal{U}}_{{X}_{0}} = \left\{ {V \subset {X}_{0} : V = U \cap {X}_{0}, U \in {\mathcal{U}}_{X}\left( x\right) }\right\} .
\]
易知,对每个 \( x \in {X}_{0},{\mathcal{U}}_{{X... |
1204_实变函数定理整理 | 定义 2.2 | 定义 2.2 设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n} \) . 若对任意的点集 \( T \subset {\mathbf{R}}^{n} \) ,有
\[
{m}^{ * }\left( T\right) = {m}^{ * }\left( {T \cap E}\right) + {m}^{ * }{\left( T \cap {E}^{c}\right) }^{ \oslash },
\]
(2.2)
则称 \( E \) 为 Lebesgue 可测集 (或 \( {m}^{ * } \) -可测集),简称为可测集 \( {}^{\text{③}} \) ,其中 \( T \) 称为试验集 (这一定... |
1613_几何学通论_0 | 定义 3.1 | 定义 3.1 在一平面 \( \left( \pi \right) \) 上任取一点 \( O \) ,由 \( O \) 作两条半线 \( h\text{、}k \) 。根据定理2.4，知道 \( \left( \pi \right) \) 被 \( h\text{、}k \) 分为两部分,大的一部分叫外部,小的一部分叫内部。 \( {hk} \) 及内部合称为角。 \( O \) 点叫 角顶。 \( h \) 及 \( k \) 叫角的两边,这角的大小用 \( \overset{⏜}{hk} \) 记之。
基本概念3.2 任何两个角 \( \overset{⏜}{hk} \) 及 \( \overset{⏜}{{h}^{\pr... |
1367_[高惠璇] 应用多元统计分析 | 定义 2.2.2 | 定义 2.2.2 若 \( p \) 维随机向量 \( X \) 的特征函数为
\[
{\Phi }_{X}\left( t\right) = \exp \left\lbrack {\mathrm{i}{t}^{\prime }\mu - \frac{1}{2}{t}^{\prime }{\sum t}}\right\rbrack \;\left( {\sum \geq 0}\right) ,
\]
则称 \( X \) 服从 \( p \) 元正态分布,记为 \( X \sim {N}_{p}\left( {\mu ,\sum }\right) \) .
性质 2 设 \( X \sim {N}_{p}\left( {\mu... |
158_实变函数论与泛函分析 下册 | 定义 4.7.2 | 定义 4.7.2 如果度量空间 \( R \) 中每个基本点列都收敛,称 \( R \) 是完备 (度量) 空间. 完备赋范线性空间又称为 Banach (巴拿赫) 空间. 如果 \( R \) 是度量空间, \( A \) 是 \( R \) 的子空间,当 \( A \) 作为度量空间是完备的,那么称 \( A \) 是 \( R \) 的完备子空间.
注意, 一个不完备的度量空间可以有完备的子空间.
容易证明: 完备度量空间的闭子集必是完备子空间; 任何度量空间的完备子空间必是闭子集.
例 1 一致离散的度量空间是完备的. 事实上,如果 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是基本点列,那么由一致离散... |
1789_大学基础数学自学丛书 有限数学引论 | 定义 6 | 定义 6 设 \( \mathbf{R}\text{、}\mathbf{S} \) 均为 \( X \) 到 \( Y \) 的关系,如果它们作为 \( X \) \( \times Y \) 的子集,有
\[
R \subset S,
\]
则称关系 \( \mathbf{R} \) 蕴涵关系 \( S \) ,意即: 对于 \( x \in X, y \in Y \) ,只要 \( x\text{、}y \) 有 \( \mathbf{R} \) 关系,则它们一定有 \( \mathbf{S} \) 关系 \( \lbrack \) 也就是:
若 \( x\mathbf{R}y \) ,则 \( x\mathbf{S}y\... |
1633_近代分析基础(胡适耕) | 定义 2.1.2 | 定义 2.1.2 设 \( F : D \subset X \rightarrow Y, x \in D, h \in X \) . 令
\[
{F}_{ + }^{\prime }\left( {x, h}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}{t}^{-1}{\Delta F}\left( {x,{th}}\right) ,
\]
(2.1.34)
\[
{F}_{ - }^{\prime }\left( {x, h}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ - }}}{t}^{... |
1279_[张恭庆&林源渠] 泛函分析讲义(上册) (第二版) | 定义 1.4.29 | 定义 1.4.29 \( {B}^{ * } \) 空间 \( \mathcal{X} \) 上的一个子集 \( A \) 称为是有界的,如果存在常数 \( c > 0 \) ,使得 \( \parallel x\parallel \leq c\left( {\forall x \in A}\right) \) .
推论 1.4.30 为了 \( {B}^{ * } \) 空间 \( \mathcal{X} \) 是有穷维的,必须且仅须其任意有界集是列紧的.
上述方法被 F. Riesz 用来导出如下非常有用的引理.
引理 1.4.31 (Riesz 引理) 如果 \( {\mathcal{X}}_{0} \) 是 \( {B... |
181_数学分析 第一卷 | 定义 16 | 定义 16. 量
\[
\omega \left( {f;E}\right) \mathrel{\text{:=}} \mathop{\sup }\limits_{{{x}_{1},{x}_{2} \in E}}\left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right|
\]
即任意两点 \( {x}_{1},{x}_{2} \in E \) 处的函数值之差的模的上确界,称为函数 \( f : X \rightarrow \mathbb{R} \) 在集合 \( E \subset X \) 上的振幅.
例 11. \( \omega \left( {{x}... |
1247_[何书元] 概率论 | 定义 1.1 | 定义 1.1 设 \( X \) 有概率分布
\[
{p}_{j} = P\left( {X = {x}_{j}}\right) ,\;j = 0,1,\cdots ,
\]
只要级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\infty }\left| {x}_{j}\right| {p}_{j} \) 收敛,就称
\[
\mathrm{E}\left( X\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\infty }{x}_{j}{p}_{j}
\]
(1.3)
## 为 \( X \) 的数学期望或均值.
在定义 1.1 中要求 \( \m... |
1199_《高等代数学》（教材 复旦第二版）（姚慕生） | 定义 9.4.2 | 定义 9.4.2 设 \( V \) 是欧氏空间,若 \( \varphi \) 是 \( V \) 上保持内积的线性变换,则称 \( \varphi \) 为 \( V \) 上的正交变换或正交算子. 若 \( U \) 是酉空间,则 \( U \) 上保持内积的线性变换称为酉变换或酉算子.
显然正交变换及西变换都是可逆线性变换. 由定理 9.4.1 知道, 正交变换可定义为把欧氏空间中一组标准正交基变成标准正交基的线性变换. 酉变换也类似.
定理 9.4.2 设 \( \varphi \) 是欧氏空间或酉空间上的线性变换,则 \( \varphi \) 是正交变换或酉变换的充分必要条件是 \( \varphi \) 非异,且... |
1248_[冯荣权&宋春伟] 组合数学 | 定义 7.1.2 | 定义 7.1.2 图 \( G \) 中,组成边 \( e \) 这个 2-子集中的顶点称为 \( e \) 的端点. 若边 \( e \) 的两个端点相同,则称 \( e \) 为环. 若边 \( {e}_{1} \) 和 \( {e}_{2} \) 具有完全相同的端点,则称其为重边. 若 \( G \) 既无环,也无重边,则称 \( G \) 为简单图.
例 7.1.3 以 \( \left\lbrack n\right\rbrack \) 为点集的简单图共有 \( {2}^{\left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right) } \) 个.
除非特别说明, 以下考察的均为简单图... |
1644_凸分析与非光滑分析(胡毓达) (1) | 定义 7.3.3 | 定义 7.3.3 设点 \( {\mathbf{x}}^{0} \in \mathcal{X},{\mathbf{y}}^{0} \in \psi \left( {\mathbf{x}}^{0}\right) ,\bar{D} \neq \varnothing ,\mathbf{p} \in \operatorname{int}K \) . 称集合
\[
{\partial }_{w}^{0}\psi \left( {{\mathbf{x}}^{0},{\mathbf{y}}^{0}}\right) ,
\]
\[
= \left\{ {{x}^{ * } \in {\mathcal{R}}^{ * }\left| {0 \in... |
169_微分拓扑新讲 | 定义 6.4 | 定义 6.4 设 \( {f}_{0},{f}_{1} : M \rightarrow N \) 是光滑映射, \( I = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 是实数区间. 如果存在光滑映射 \( F : I \times M \rightarrow N \) ,使得对于某个 \( \gamma \in (0,1/3\rbrack \) 有
\[
F\left( {t, x}\right) = {f}_{0}\left( x\right) ,\;\forall t \in \left\lbrack {0,\gamma }\right\rbrack, x \in M,
\]
\[
F\left(... |
167_微分几何讲义 | 定义 7.4 | 定义 7.4 设 \( M \) 是连通的 Finsler 流形; 如果 \( M \) 不能是另一个连通 Finsler 流形的真开子流形,则称 \( M \) 是不可延拓的.
定理 7.3 完备的 Finsler 流形是不可延拓的.
证明 设 \( M \) 是完备的 Finsler 流形. 若 \( M \) 是连通的 Finsler 流形 \( {M}^{\prime } \) 的真开子流形,则可取边界点 \( p \in \left( {{M}^{\prime } - M}\right) \cap \bar{M} \) . 根据引理 3,存在点 \( p \) 在 \( {M}^{\prime } \) 中的 \( \... |
183_数学分析新讲 | 定义 2 | 定义 2 设 \( E \) 是 \( X \) 的一个子集, \( {Q}^{\prime } = \{ V\} \) 是 \( X \) 的一族子集. 如果 \( E \) 中的任何一点都至少属于 \( {\mathcal{O}}^{\prime } \) 中的一个集合 \( V \) ,
\[
\left( {\forall x \in E}\right) \left( {\exists V \in \mathcal{V}}\right) \left( {x \in V}\right) ,
\]
那么我们就说集合族 \( \mathcal{O} \) 覆盖了集合 \( \mathbf{E} \) .
注记 作为约定,我们... |
1292_[徐明曜&曲海鹏] 有限p群 | 定义 5.4.2 | 定义 5.4.2 设 \( s \) 是正整数. 有限 \( p \) 群 \( G \) 叫做 \( {p}^{s} \) 拟正则的,若对任意的 \( a, b \in G \) ,
\[
{a}^{{p}^{s}} = {b}^{{p}^{s}} \Leftrightarrow {\left( {a}^{-1}b\right) }^{{p}^{s}} = 1
\]
或者等价地,
\[
{\left( ab\right) }^{{p}^{s}} = 1 \Leftrightarrow {a}^{{p}^{s}}{b}^{{p}^{s}} = 1.
\]
特别地, \( G \) 叫做拟正则的,若对 \( s = 1, G ... |
1292_[徐明曜&曲海鹏] 有限p群 | 定义 10.3.1 | 定义 10.3.1 称有限 \( p \) 群 \( G \) 的下述群列为 \( G \) 的方次数 \( p \) 的下中心群列 (lower exponent- \( p \) central series):
\[
G = {P}_{0}\left( G\right) > {P}_{1}\left( G\right) > \cdots > {P}_{c}\left( G\right) = 1,
\]
其中 \( {P}_{1}\left( G\right) = \left\lbrack {{P}_{0}\left( G\right), G}\right\rbrack {\mho }_{1}\left( G\right) ... |
1274_[屈婉玲&耿素云&张立昂] 离散数学 | 定义 10.5 | 定义 10.5 设 \( G \) 是群, \( H \) 是 \( G \) 的非空子集,如果 \( H \) 关于 \( G \) 中的运算构成群,则称 \( H \) 是 \( G \) 的子群,记作 \( H \leq G \) . 若 \( H \) 是 \( G \) 的子群,且 \( H \subset G \) ,则称 \( H \) 是 \( G \) 的真子群,记作 \( H < G \) .
例如, \( n\mathbf{Z} \) ( \( n \) 是自然数) 是整数加群 \( < \mathbf{Z}, + > \) 的子群. 当 \( n \neq 1 \) 时, \( n\mathbf{Z} \)... |
1697_常微分方程解法与建模应用选讲-化存才编著 | 定义 3.3 | 定义 3.3 给定 \( n \) 个条件:
\[
{x}_{1}\left( {t}_{0}\right) = {x}_{01},\;{x}_{2}\left( {t}_{0}\right) = {x}_{02},\;\cdots ,\;{x}_{n}\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0n},
\]
(3.6)
它们称为方程组 (3.2) 的初始条件. 一阶微分方程组 (3.2) 和初始条件 (3.6) 一起称为方程组 (3.2) 的初值问题.
与第 1,2 章中方程的情况一样, 如果已经求得 (3.2) 的通解, 而要求满足初始条件 (3.6) 的解,我们把 (3.6) 代入通解 (3.4) 之中... |
1337_[谭小江] 多复分析与复流形引论 | 定义 1.3.5 | 定义 1.3.5 设 \( S \) 是 \( {\mathbb{C}}^{n} \) 中子集在原点的芽,如果存在原点的邻域 \( U \) 和 \( U \) 中的解析子簇 \( \widetilde{S} \) ,使得 \( \widetilde{S} \) 是 \( S \) 的一个代表元素,则称 \( S \) 为解析子簇的芽.
这里我们将空集 \( \varnothing \) 也理解为解析子簇的芽.
在下面讨论中我们主要关心解析子簇的芽. 设 \( f \in {\theta }_{n} \) ,任取 \( f \) 的一个代表元 \( \widetilde{f} \) ,则 \( \widetilde{f} \) ... |
1990_实用数学手册 | 定义 20 | 定义 20 设 \( X \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{\infty } \) 向量场,则
\[
\parallel X\parallel = {\left( X \mid X\right) }^{1/2} = {\left( {g}_{ij}{X}^{i}{Y}^{j}\right) }^{1/2}
\]
称为 \( X \) 的模. 由
\[
\cos \theta = \frac{\left( X \mid Y\right) }{\parallel X\parallel \parallel Y\parallel } = \frac{{g}_{ij}{X}^{i}{Y}^{j}}{{\left( {g}_... |
192_无限维空间上的测度和积分—抽象调和分析 | 定义 4.2.1 | 定义 4.2.1 设 \( \Phi \) 是线性空间, \( \alpha \) 是 \( \Phi \) 上的特征标. 如果对每个 \( \varphi \in \Phi ,\alpha \left( {t\varphi }\right) \) 是实数全体 \( R \) (按欧几里得拓扑): \( - \infty < t < \infty \) 上的连续函数,那么称 \( \alpha \) 是拟连续的. 记 \( {\Phi }^{\prime } \) 为 \( \Phi \) 上拟连续特征标全体所成的乘法群.
对每个 \( f \in {\Phi }^{\Lambda } \) ,作 \( \Phi \) 上函数
... |
178_拓扑群引论 | 定义 1.3 | 定义 1.3. 我们说 \( G \) 的表示 \( \left( {\pi, E}\right) \) 是从 \( H \) 的表示 \( \left( {\tau, V}\right) \) 到 \( G \) 的诱导表示,如果存在连续线性映射 \( T : {\mathcal{C}}^{r} \rightarrow E \) ,使得
(1) \( T \) 是单映射, \( T\left( {\mathcal{C}}^{t}\right) \) 是 \( E \) 的稠密子集;
（2）对任意 \( x \in G \) ,有 \( \pi \left( x\right) T = {T\lambda }\left( x\ri... |
158_实变函数论与泛函分析 下册 | 定义 6.6.4 | 定义 6.6.4 设 \( \varphi \) 是内积空间 \( H \) 上的双线性泛函,如果有正的常数 \( c \) 使得
\[
\left| {\varphi \left( {x, y}\right) }\right| \leq c\parallel x\parallel \parallel y\parallel ,\;x, y \in H
\]
那么称 \( \varphi \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 是 \( H \) 上有界的双线性泛函. 当 \( \varphi \) 是有界的双线性泛函时,记 \( \parallel \varphi \parallel = \mathop... |
1990_实用数学手册 | 定义 15 | 定义 15 在平面上, 到定点的距离等于定长的所有点的集合称为圆, 定点称为圆心, 定长称为圆的半径. 圆上任意两点之间的部分称为圆弧. 连接圆弧的两个端点的线段称为弦. 过圆心的弦称为直径. 顶点在圆心的角称为圆心角. 顶点在圆上且两边都和圆相交的角称为圆周角. 一个角的顶点若在圆上, 而一边与圆相交, 另一边所在的直线与圆相切, 则该角称为弦切角. 顶点在圆内部的角称为圆内角. 顶点在圆外部的角称为圆外角.
定理 20 圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
定理 21 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
定理 22 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.
定理 23 圆内角的度数等于这个角所对的弧与其对顶角所对的弧... |
17_Al-jabr-2-partial | 定义 3.1.2 | 定义 3.1.2 (分次对象) 取 \( \mathcal{A} \) 为任意范畴,回忆积范畴 \( {\mathcal{A}}^{\mathbb{Z}} \) 的构造:
\( \diamond \) 其对象形如 \( X = {\left( {X}^{n}\right) }_{n \in \mathbb{Z}} \) ,其中 \( {X}^{n} \in \mathrm{{Ob}}\left( \mathcal{A}\right) \) ;
\( \diamond \) 其态射形如 \( f = {\left( {f}^{n} : {X}^{n} \rightarrow {Y}^{n}\right) }_{n \in \mat... |
1990_实用数学手册 | 定义 18 | 定义 18 动力系统 \( f \) 称为在某个平衡点或周期轨 \( P \) 是局部结构稳定的,若它限制在 \( P \) 的一个邻域内是结构稳定的.
定义 19 微分方程 \( \dot{x} = F\left( x\right) \) 的平衡点 \( {x}_{0} \) 称为双曲的,若它的线性化矩阵 \( {DF}\left( {x}_{0}\right) \) 的所有特征值都有非零实部.
定理 24(哈德曼-格鲁巴曼) 微分方程 \( \dot{x} = F\left( x\right) \) 的平衡点若是双曲的,则它局部结构是稳定的.
## 88.7 微分方程在力学、电学中的应用
## 8.7.1 机械系统的振动... |
136_初等数论 (Ⅰ) (陈景润) (z-lib.org) | 定义 3.3 | 定义 3.3 设 \( {\sum }_{0} \) 是 \( M \) 的一个开覆盖. 如果 \( M \) 的任意一个紧致子集只与 \( {\sum }_{0} \) 中有限多个成员相交,则称 \( {\sum }_{0} \) 是 \( M \) 的局部有限开覆盖.
定理 3.1 设 \( \sum \) 是流形 \( M \) 的一个拓扑基,则存在 \( \sum \) 的一个子集 \( {\sum }_{0} \) ,它是 \( M \) 的局部有限开覆盖.
证明 根据流形的定义, \( M \) 是局部紧致的. 已假定流形 \( M \) 满足第二可数公理,因此存在 \( M \) 的一个可数开覆盖 \( \left... |
1285_[张筑生] 微分动力系统原理 | 定义 2.3 | 定义 2.3 设 \( f : {S}^{1} \rightarrow {S}^{1} \) 连续, \( F : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 是其提升,则
\[
k = F\left( {x + 1}\right) - F\left( x\right) \in Z
\]
不依赖于提升 \( F \) 的选取,它不依赖于 \( {x}_{ * } \) 整数 \( k \) 由 \( f : {S}^{1} \rightarrow {S}^{1} \) 所唯一确定,称为 \( f \) 的映射度,记为
\[
\deg \left( f\right) = k\text{.}
\]
... |
1229_(李贤平) 概率论基础 | 定义 4.5.1 | 定义 4.5.1 如果 \( \xi \) 与 \( \eta \) 都是概率空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}, P}\right) \) 上的实值随机变量,则称 \( \zeta = \xi + \mathrm{i}\eta \) 为复随机变量.
从定义知道, 对复随机变量的研究本质上是对二维随机向量的研究. 这里举一个例子: 如果二维向量 \( \left( {{\xi }_{1},{\eta }_{1}}\right) \) 与 \( \left( {{\xi }_{2},{\eta }_{2}}\right) \) 是独立的,则我们称复随机变量 \( {\zeta }_{1} = {\xi... |
1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义 | 定义 3.2 | 定义 3.2 设 \( \left\{ {{X}_{n}, n \geq 0}\right\} \) 是随机序列,状态空间 \( E \) 至多可列, 若对任何 \( {i}_{0},{i}_{1},\cdots ,{i}_{n} \in E \) ,只要 \( P \mid {X}_{0} = {i}_{0},{X}_{1} = {i}_{1},\cdots ,{X}_{n - 1} = \) \( \left. {i}_{n - 1}\right\} \neq 0 \) ,就成立:
\[
P\left\{ {{X}_{n} = {i}_{n} \mid {X}_{0} = {i}_{0},{X}_{1} = {i}_{1},\... |
1341_[郭懋正] 实变函数与泛函分析 | 定义 4.2.13 | 定义 4.2.13 设函数系 \( \left\{ {\varphi }_{k}\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 中的一个标准正交系. 若每个 \( f \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,都可表成在 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 中收敛的级数
\[
f = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}{\varphi }_{k}
\]
则称 \( \left\{ {\varphi }_{k}\right\} \) 是空间 \( {L}^{2}\left( E\right)... |
153_实分析 | 定义 2.6.2 | 定义 2.6.2 设 \( G \) 是局部紧群, \( \mu \) 是 \( G \) 上的非零 Radon 测度. 若对于每个集 \( E \in \mathcal{B}\left( G\right) \) 和每点 \( x \in G,\mu \left( {xE}\right) = \mu \left( E\right) \) ,则称 \( \mu \) 是左 Haar 测度; 若对于每个集 \( E \in \mathcal{B}\left( G\right) \) 和每个点 \( x \in G,\mu \left( {Ex}\right) = \mu \left( E\right) \) ,则称 \( \mu \) ... |
1434_华章数学译丛 5 曲线和曲面的微分几何学 | 定义 3 | 定义 3 设 \( \alpha : I \rightarrow S \) 为 \( S \) 上的参数曲线. 沿 \( \alpha \) 的向量场 \( w \) 是一种对应,它将每一点 \( t \in I \) 对应于一个向量
\[
w\left( t\right) \in {T}_{\alpha \left( t\right) }\left( S\right)
\]
向量场 \( w \) 在 \( {t}_{0} \in I \) 可微,如果对于 \( S \) 在 \( \alpha \left( {t}_{0}\right) \) 附近的某一参数表示 \( x\left( {u, v}\right), w\lef... |
1285_[张筑生] 微分动力系统原理 | 定义 3.1 | 定义 3.1 在定理 2.3 的条件下,设 \( V \subset U \) 是 \( \Lambda \) 的一个紧致邻域, \( g \in \mathcal{U} \) ,则
\[
\Delta = \mathop{\bigcap }\limits_{{n \in Z}}{g}^{n}\left( V\right) \subset V
\]
是 \( g \) 在 \( V \) 中的极大不变集,并且 \( g \) 在 \( \Delta \) 上具有双曲构造,这样的 \( \Delta \) 称为是 \( g \) 在 \( V \) 中的极大双曲集.
本节的主要目的是证明极大双曲集具有某种形式的结构稳定性. 这里... |
1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程 | 定义 8.1 | 定义 8.1 (1) 通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称为欧拉通路;
（2）通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路；
（3）具有欧拉回路的图称为欧拉图；
（4）具有欧拉图通路但无欧拉回路的图称为半欧拉图.
以上定义既适合无向图又适合有向图. 其实, 欧拉通路是经过所有边的简单通路并且是生成通路 (经过所有顶点的通路), 同样地, 欧拉回路是经过所有边的简单生成回路.
另外, 规定平凡图为欧拉图.
判断一个图 (无向图或有向图)是否为欧拉图已有简单的判别法.
定理 8.1 设 \( G \) 是无向连通图,则下面三个命题是等价的:
(1) \( G \) 是欧拉图;
(2) \( G \... |
1633_近代分析基础(胡适耕) | 定义 6.5.2 | 定义 6.5.2 若 \( f \in {C}^{\infty }\left( {{\mathbb{R}}^{n}, E}\right) ,\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb{Z}}_{ + }^{n},{x}^{\alpha }{\partial }^{\beta }f\left( x\right) \) 在 \( {\mathbb{R}}^{n} \) 上有界,则称 \( f \) 为速降函数. 这种函数的全体记为 \( \mathcal{S}\left( {{\mathbb{R}}^{n}, E}\right) \) ,令 \( \mathcal{S}\left( {\mathbb{R}}^{... |
1274_[屈婉玲&耿素云&张立昂] 离散数学 | 定义 7.25 | 定义 7.25 设 \( < A, \leq > \) 为偏序集, \( B \subseteq A, y \in A \) .
(1) 若 \( \forall x\left( {x \in B \rightarrow x \leq y}\right) \) 成立,则称 \( y \) 为 \( B \) 的上界.
（2）若 \( \forall x\left( {x \in B \rightarrow y \leq x}\right) \) 成立,则称 \( y \) 为 \( B \) 的下界.
(3) 令 \( C = \{ y \mid y \) 为 \( B \) 的上界 \( \} \) ,则称 \( C \) ... |
1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程 | 定义 9.10 | 定义 9.10
其他 \( r \) 部图定义 7.10
\( A \) 优势于 \( B \) 定义 5.3
## 附录 2 第三编与第四编符号注释与术语索引
## 符号注释
\( \forall \) 全称量词 \( {\mathrm{R}}^{ * } \) 非零实数集
\( \exists \) 存在量词 \( {\mathrm{R}}^{1}\; \) 正实数集
\( \Leftrightarrow \) 当且仅当 C 复数集
\( \in \) 属于群 \( \mathrm{G} \) 的中心
（ ） 不属于 \( \% \; \) 循环码 \( C \) 对应的多项式集
n 包含 \( e \)... |
1306_[李文威] 高等代数 | 定义 2.6.5 | 定义 2.6.5 定义有理数集 \( \mathbb{Q} \) 为 \( \mathbb{Z} \times \left( {\mathbb{Z}\smallsetminus \{ 0\} }\right) \) 对以下等价关系的商集
\[
\left( {r, s}\right) \sim \left( {{r}^{\prime },{s}^{\prime }}\right) \Leftrightarrow r{s}^{\prime } = {r}^{\prime }s.
\]
记含 \( \left( {r, s}\right) \) 的等价类为 \( \left\lbrack {r, s}\right\rbrack \)... |
1341_[郭懋正] 实变函数与泛函分析 | 定义 2.2.1 | 定义 2.2.1 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 是可测集, \( f \) 是 \( E \) 上的函数,如果对于任意常数 \( t \) ,集合
\[
E\left( {f > t}\right) \overset{\text{ def }}{ = }\left\{ {x \in {\mathbb{R}}^{n} \mid x \in E, f\left( x\right) > t}\right\}
\]
\( \left( {2.2.1}\right) \)
都是可测集,则称函数 \( f \) 是 \( E \) 上的 Lebesgue 可测函数. 简称为 \( E \) 上的可测... |
1247_[何书元] 概率论 | 定义 1.2 | 定义 1.2 Borel 可测函数 \( §{2.1} \) 独立增量性 \( §{6.1}\mathrm{\;A} \) Borel 集 \( §{2.1} \) 独立增量过程 \( §{6.1}\mathrm{\;A} \) Borel 域 \( §{2.1} \) 独立同分布 \( §{3.5}\mathrm{\;A} \) \( B\left( {n, p}\right) \) \( §{2.2}\mathrm{\;B} \) 多项分布 §3.2 例 2.3 白噪声 \$6.3 B 对数分布 \( §{5.1} \) 练习 5.1 必然事件 \( §{1.1} \) 标准差 \( §{4.3} \) 定义 3.1 对数正态分... |
1365_[陈维桓] 微分流形初步 | 定义 1.3 | 定义 1.3 设 \( \left( {M, g}\right) \) 是一个 \( m \) 维黎曼流形, \( \gamma : \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \rightarrow M \) 是 \( M \) 中任意一条光滑曲线, \( X \in \mathcal{X}\left( M\right) \) . 如果
\[
{D}_{{\gamma }^{\prime }\left( t\right) }X = 0,\;\forall t \in \left\lbrack {0, l}\right\rbrack ,
\]
(1.16)
则称切向量场 \( X \) 沿曲线 \( \g... |
1899_[现代数学基础丛书].[数理逻辑引论与归结原理] | 定义 1.1.5 | 定义 1.1.5 设 \( \left( {P, \prec }\right) \) 是预序集,若 \( \prec \) 除满足反身性和传递性外还满足反对称性, 即
\[
\text{当}x < y\text{且}y < x\text{时}x = y\text{,}
\]
则称 \( < \) 为 \( P \) 上的偏序,称 \( \left( {P, < }\right) \) 为偏序集. \( x < y \) 读作 “ \( x \) 小于或等于 \( y \) ” 或 “ \( y \) 大于或等于 \( x \) ”或“ \( x \) 不大于 \( y \) ”或“ \( y \) 不小于 \( x \) ”. ... |
135_分析与代数原理及数论 第1卷 第2版 法兰西数学精品译丛 | 定义 9.2.1 | 定义 9.2.1 设 \( X \) 是个非空集合 (常称为空间). \( \mathcal{A} \subset {2}^{X} \) 称为 \( \sigma \) -代数, 假若它满足以下三个条件:
(i) \( \varnothing \in \mathcal{A} \) ;
(ii) \( A \in \mathcal{A} \Rightarrow {A}^{C} \in \mathcal{A} \)
(iii) \( \left( {\forall k \in \mathbf{N}\left( {{A}_{k} \in \mathcal{A}}\right) }\right) \Rightarrow \mathop... |
1199_《高等代数学》（教材 复旦第二版）（姚慕生） | 定义 9.2.3 | 定义 9.2.3 设 \( V \) 是 \( n \) 维内积空间, \( {V}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, k}\right) \) 是 \( V \) 的子空间. 如果对任意的 \( \mathbf{\alpha } \in {V}_{i} \) 和任意的 \( \mathbf{\beta } \in {V}_{j}\left( {j \neq i}\right) \) 均有 \( \left( {\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }}\right) = 0 \) ,则称子空间 \( {V}_{i} \) 和 \( {V}_{j} \) 正交. 若 \( V - {V}_... |
183_数学分析新讲 | 定义 2 | 定义 2 我们把满足定义 1 的唯一线性映射 \( A \) 叫做向量值函数 \( f \) 在点 \( {x}_{0} \) 的微分,记为
\[
\mathrm{D}f\left( {x}_{0}\right) = A\text{. }
\]
注记 我们介绍与 (7.1) 式等价的几种表述:
（1）对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得只要 \( 0 < \left| h\right| < \delta \) ,就有
\[
\left| {f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {x}_{0}\right) - {Ah}}\... |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 2.1 | 定义 2.1 设 \( A，B \) 为两个集合,由属于 \( A \) 而不属于 \( B \) 的元素组成的集合称为 \( B \) 对 \( A \) 的相对补集,记作 \( A - B \) ,称 “ - ” 为相对补运算符, \( A - B \) 可表示为
\[
A - B = \{ x : x \in A\text{ 且 }x \notin B\} ,
\]
也可称为 \( A \) 减 \( B \) 的差。
注: 设 \( E \) 为全集, \( A \subseteq E \) ,称 \( E - A \) 为 \( A \) 的补集,记作 \( \bar{A} \) 。
定义 2.2 设 \( A \... |
1555_非线性理论数学基础 | 定义 1.4.5 | 定义 1.4.5 一个非空集合 \( R \) 叫做一个环,假如 \( R \) 上有两个二元运算,常分别称作加法和乘法, 且
(1) \( R \) 是一个加群,即 \( R \) 对于那个叫做加法的代数运算来说成为一个交换群;
(2) \( R \) 又是一个乘法半群,即 \( R \) 对于另一个叫做乘法的代数运算来说成为一个半群;
(3)乘法对加法的左右两个分配律都成立, 即
\[
a\left( {b + c}\right) = {ab} + {ac},
\]
\[
\left( {b + c}\right) a = {ba} + {ca},
\]
对 \( R \) 中任意三个元 \( a, b, c \) ... |
1977_阿基米德全集+阿基米德着作 | 定义
1 | 定义
1. 如果一条直线在平面内绕着一个固定的端点匀速旋转, 并又回到出发的位置, 而同时有一个点从固定的端点出发, 沿着直线匀速运动,那么该动点在平面上将描出一条螺线 (éλt).
2. 在直线旋转时被固定的端点称作螺线的原点 \( {}^{\left\lbrack {11}\right\rbrack }\left( {{\alpha \rho }{\chi }_{\alpha }}\right) \) .
3. 直线开始旋转时所处的位置称作旋转起始线 \( {}^{\left\lbrack {12}\right\rbrack }\left( {\alpha \rho \chi \alpha \tau as}\right) ... |
1743_现代数值计算方法-肖筱南-清晰版 | 定义 2 | 定义 2 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵,若对任何非零 \( X \in {R}^{n} \) ,恒有 \( {\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{X} > 0 \) ,则称 \( \mathbf{A} \) 为对称正定矩阵.
由线性代数知,正定矩阵具有如下性质 (证明略):
（1）正定矩阵 \( \mathbf{A} \) 是非奇异的;
（2）正定矩阵 \( \mathbf{A} \) 的任一主子矩阵 \( {\mathbf{A}}_{r}\left( {r = 1,2,\cdots, n - 1}\right) \) 也必为正定矩阵;
（3）正定矩阵 ... |
124_代数学引论 第三卷 | 定义 3 | 定义 3 酉空间 \( V \) 中,两个非零向量 \( \alpha ,\beta \) 的夹角 \( \langle \alpha ,\beta \rangle \) 规定为
\[
\langle \alpha ,\beta \rangle = \arccos \frac{\left| \left( \alpha ,\beta \right) \right| }{\left| \alpha \right| \left| \beta \right| },
\]
(7)
于是
\[
0 \leq \langle \alpha ,\beta \rangle \leq \frac{\pi }{2}.
\]
从 \( \left... |
1369_[龙瑞麟] Hp鞅论 | 定义 4 | 定义 4 鞅 \( \varphi = {\left( {\varphi }_{n}\right) }_{n \geq 0} \) 称为跳跃有界的,如 \( \mathop{\sup }\limits_{n}{\begin{Vmatrix}\Delta {\varphi }_{n}\end{Vmatrix}}_{\infty } < \infty \) . 定义
\[
\mathrm{{BD}} = \left\{ {\text{ 鞅 }\varphi = \left( {\varphi }_{n}\right) : \parallel \varphi {\parallel }_{\mathrm{{BD}}} = \sup {\b... |
1274_[屈婉玲&耿素云&张立昂] 离散数学 | 定义 7.24 | 定义 7.24 设 \( < A, \leq > \) 为偏序集, \( B \subseteq A, y \in B \) .
(1) 若 \( \forall x\left( {x \in B \rightarrow y \leq x}\right) \) 成立,则称 \( y \) 为 \( B \) 的最小元.
(2) 若 \( \forall x\left( {x \in B \rightarrow x \leq y}\right) \) 成立,则称 \( y \) 为 \( B \) 的最大元.
（3）若 \( \forall x\left( {x \in B \land x \preccurlyeq y \rig... |
1346_[钱敏平&龚光鲁] 随机过程论 | 定义 1.4 | 定义 1.4 (转移概率族) 满足 \( {TP},1) - {TP},3 \) ) 的函数族
\[
\{ p\left( {s, x, t, A}\right) \mid s \leq t \in T.A \in \sum, x \in \mathcal{S}\}
\]
称为一个转移概率族.
一个自然的问题是, 给定一个转移概率族, 是否可以构造一个马氏过程 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}, P,\left( {{\xi }_{t},{\mathcal{F}}_{t};t \in T}\right) }\right) \) ,使得 \( \xi \) 以给定的 \( \{ p(s, x \) ;... |
1990_实用数学手册 | 定义 11 | 定义 11 设总体 \( \xi \) 的分布函数为 \( F\left( {x;\theta }\right) ,\theta \) 为未知参数, \( {\xi }_{1},\cdots ,{\xi }_{n} \) 为一样本. 建立两个统计量 \( {T}_{1}\left( {{\xi }_{1},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) 和 \( {T}_{2}\left( {{\xi }_{1},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) ,并满足 \( {T}_{1} < {T}_{2} \) ,则称 \( \left\lbrack {{T}_{1},{T}_{2}}\right\rb... |
1655_复解析动力系统(任福尧) | 定义 6.10 | 定义 6.10 集合
\[
{\mathcal{C}}_{d} = \left\{ {P \in {\operatorname{Poly}}_{d} \mid J\left( P\right) \text{ 是连通的 }}\right\}
\]
称为 \( {\operatorname{Poly}}_{d} \) 中的连通迹 (connectness locus).
\( {\mathcal{C}}_{2} \) 即为 Mandelbrot 集 \( M \) . 与 \( M \) 一样, Branner-Hubbard- \( {\text{Lavours}}^{\left\lbrack \mathrm{{BH}},\mat... |
1239_[丘维声] 高等代数(上册) | 定义 4 | 定义 4 由单位矩阵经过一次初等行 (列) 变换得到的矩阵称为初等矩阵.
\[
I\frac{\text{ 第 }i\text{ 行 }}{\text{ 第 }j\text{ 行 }}\left( \begin{matrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & & & 1 & & & \\ & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & 1 & \end{matrix}\right) \frac{\text{ ① } + \text{ ① }k}{\text{ 或... |
1899_[现代数学基础丛书].[数理逻辑引论与归结原理] | 定义 3.2.24 | 定义 3.2.24 一阶语言 \( \mathcal{L} \) 中不含自由出现的变元的公式叫闭公式.
一个公式中的自由变元是在赋值过程中真正起作用的变元. 这可由以下命题看出.
命题 3.2.25 设 \( \mathcal{Y} \) 是一阶语言, \( I \) 是 \( \mathcal{Y} \) 的一个解释, \( A \in \mathcal{F}, v \) 与 \( w \) 是 \( \mathcal{L} \) 在 \( I \) 中的两个赋值. 如果对 \( A \) 中的每个自由变元 \( {x}_{i} \) 都有 \( v\left( {x}_{i}\right) = w\left( {x}_{i}... |
1450_常微分方程内容、方法与技巧_11808737 | 定义 6.1 | 定义 6.1 如果方程组④的任何一个解 \( {y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) ,\cdots \) , \( {y}_{n}\left( x\right) \) 代入连续可微函数 \( \Phi \left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \) ,使函数 \( \Phi \left( {x,{y}_{1}\left( x\right) }\right. \) , \( \left. {{y}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{y}_{n}\left( x\right) }\right) \) ... |
155_实变函数论 周民强 | 定义 1.21 | 定义 1.21 设 \( E \subset {\mathbf{R}}^{n}, x \in {\mathbf{R}}^{n} \) . 若存在 \( E \) 中的互异点列 \( \left\{ {x}_{k}\right\} \) , 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\left| {{x}_{k} - x}\right| = 0,
\]
则称 \( x \) 为 \( E \) 的极限点 (或聚点). \( E \) 的极限点全体记为 \( {E}^{\prime } \) ,称为 \( E \) 的导集.
显然, 有限集是不存在极限点的.
定理 ... |
1719_基础拓扑学导引 李进金 李克典 林寿 | 定义 4.4.3 | 定义 4.4.3 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是度量空间. 如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在由 \( \varepsilon \) 球形邻域组成的 \( X \) 的有限覆盖,则称度量空间 \( \left( {X, d}\right) \) 是完全有界的 (totally bounded).
显然, 度量空间的完全有界性蕴含有界性, 反之未必成立. 如在标准有界度量 \( \bar{d}\left( {a, b}\right) = \min \{ \left| {a - b}\right| ,1\} \) 之下,实空间 \( \mathbb{R} \) 是有界的,但不是... |
1990_实用数学手册 | 定义 7 | 定义 7 设全体普生成函数所组成的集为 6. 在 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 的普生成函数 \( A\left( x\right) \) \( = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} \) 中,若对一切 \( n \geq 0 \) 均有 \( {a}_{n} = 0 \) ,则称此生成函数为 \( \mathcal{E} \) 中的零元,并记为 0 ; 若 \( {a}_{0} = 1 \) 且对一切 \( n \geq 1 \) 均有 \( {a}_{n} = 0 \) ,则称此生... |
1285_[张筑生] 微分动力系统原理 | 定义 6.4 | 定义 6.4 设 \( U \subset M \) 是开集, \( f \in {\mathrm{C}}^{\prime }\left( {U, M}\right) \) 是到其象集的微分同胚, \( p \in U \) . 我们说 \( f \) 在 \( p \) 点是局部结构稳定的,如果对于 \( p \) 点的任意邻域 \( V \subset U \) ,存在 \( f \) 在 \( {\mathrm{C}}^{r}\left( {U, M}\right) \) 中的邻域 \( \mathcal{V} \) ,使得任意 \( g \in {\Psi }^{ * } \) 都在某点 \( q \in V \) 与 \(... |
1685_组合密码学 | 定义 1 | 定义 1 (i) 一个非奇异函数 \( \widetilde{\tau }\left( n\right) \) ,若它的图中含有 \( {S}_{0} \rightarrow {S}_{0} \) \( \left( {{S}_{0} = \left( {0,0,\cdots ,0}\right) }\right) \) 环,则称 \( \widetilde{\tau }\left( n\right) \) 为含零环的,否则为非含 零环的.
(ii) 两个非奇异函数
\[
\widetilde{\tau }\left( n\right) = \left( {{\tau }_{1}, z \in {F}_{2}^{\left( n... |
1734_点集拓扑熊金城 | 定义 4.5.2 | 定义 4.5.2 设 \( X \) 是一个拓扑空间. 如果对于任何 \( x, y \) ,存在着 \( X \) 中的一条从 \( x \) 到 \( y \) 的道路 (或曲线),我们则称 \( X \) 是一个道路连通空间. \( X \) 中的一个子集 \( Y \) 称为 \( X \) 中的一个道路连通子集, 如果它作为 \( X \) 的子空间是一个道路连通空间.
实数空间 \( \mathbb{R} \) 是道路连通的. 这是因为如果 \( x, y \in \mathbb{R} \) ,则连续映射 \( f : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathb... |
1238_[丘维声] 群表示论 | 定义 5 | 定义 5 设 \( f \) 是定义在紧群 \( G \) 上的连续实值函数. 如果实数 \( p \) 具有下列性质: 对每一正数 \( \varepsilon \) 存在 \( G \) 的有限元素组 \( A \) ,使得对任一 \( x \in G \) ,有
\[
\left| {M\left( {A, f;x}\right) - p}\right| < \varepsilon
\]
(13)
那么称这种数 \( p \) 为函数 \( f \) 的右平均数.
引理 2 每一个定义在紧群 \( G \) 上的连续实值函数都至少有一个右平均数.
证明 设 \( f \) 为 \( G \) 上的一个连续实值函数. ... |
1661_近可积无穷维动力系统(郭柏灵) | 定义 6.6.15 | 定义 6.6.15 在 \( {\bar{S}}_{l}^{ + } \) 和 \( {\bar{S}}_{l}^{ - } \) 上定义 \( {S}_{l} \) 和 \( P\left( {S}_{l}\right) \) 的直径如下:
\[
{d}^{u}\left( {S}_{l}\right) \equiv \mathop{\sup }\limits_{C}\left\{ {\left| {{\bar{l}}_{u}\left( {q}_{1}\right) - {\bar{l}}_{u}\left( {q}_{2}\right) }\right| + \begin{Vmatrix}{{\bar{\xi }}_{u}^... |
166_微分几何与拓扑学简明教程 | 定义 4 | 定义 4 在流形 \( M \) 上给出两个图册 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 和 \( \left\{ {U}_{\beta }^{\prime }\right\} \) ,并且关于其中每一个图册, \( M \) 都是光滑流形. 若由图册 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 中的每一个局部坐标系到图册 \( \left\{ {U}_{j}^{\prime }\right\} \) 中的任何一个局部坐标系的转换函数都是连续可微的函数. 则称两个图册 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 和 \( \left\{ {U}_{j}^{\prime ... |
130_代数拓扑基础 (munkres) (z-lib.org) | 定义 4.3 | 定义 4.3 设 \( {X}_{1},{X}_{2},\ldots ,{X}_{n} \) 是 \( n \) 个随机变量,如果对任意 \( {a}_{i} < {b}_{i}(i = \) \( 1,2,\ldots, n) \) ,事件 \( \left\{ {{a}_{1} < {X}_{1} < {b}_{1}}\right\} ,\left\{ {{a}_{2} < {X}_{2} < {b}_{2}}\right\} ,\ldots ,\left\{ {{a}_{n} < {X}_{n} < }\right. \) \( \left. {b}_{n}\right\} \) 相互独立,则称 \( {X}_{1},{X}_... |
196_普林斯顿概率论读本 | 定义 19.6.2 | 定义 19.6.2 (矩母函数) 设 \( X \) 是一个概率密度函数为 \( f \) 的随机变量. \( X \) 的矩母函数记作 \( {M}_{X}\left( t\right) \) ,其定义为 \( {M}_{X}\left( t\right) = \mathbb{E}\left\lbrack {\mathrm{e}}^{tX}\right\rbrack \) . 具体地说,如果 \( X \) 是离散的,那
么
\[
{M}_{X}\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = - \infty }}^{\infty }{\mathrm{e}}^{t{x}_{m}}f\l... |
1681_密码学与数论基础 | 定义 4 | 定义 4 设 \( y = f\left( {{x}_{0},\cdots ,{x}_{n - 1}}\right) \) 是一个取整数值的 \( n \) 元函数. 对于给定的数值 \( {s}_{0},{s}_{1},\cdots ,{s}_{n - 1},{s}_{i} = 0 \) 或 \( 1,0 \leq i \leq n - 1 \) ,利用
\[
{s}_{n + i} = f\left( {{s}_{i},{s}_{i + 1},\cdots ,{s}_{i + n - 1}}\right) ,\;i \geq 0,
\]
依次地确定 \( {s}_{n},{s}_{n + 1},\cdots \) ,从而得到... |
1800_大学数学系自学丛书 近世代数 | 定义 5 | 定义 5 有恒等元的半群叫做亚群.
例 1 中的代数体系都是亚群.
定义 6 设 \( A \) 是亚群, \( S \) 是 \( A \) 的子集. 如果 \( S \) 关于 \( A \) 的乘法也构成亚群,而且 \( A \) 的恒等元是 \( S \) 的恒等元,则 \( S \) 叫做 \( A \) 的子亚群。
广群或半群 \( A \) 的子集 \( S \) 关于 \( A \) 的乘法构成亚群时, \( S \) 也叫做 \( A \) 的于亚群.
例 4 设 \( A \) 是任一非空集合, \( T\left( A\right) \) 是 \( A \) 的所有变换的集合. \( {S}_{n} \... |
1246_[何书元] 应用时间序列分析 | 定义 2.2 | 定义 2.2 在 \( \operatorname{ARMA}\left( {p, q}\right) \) 模型的定义 2.1 中,如果进一步要求 \( B\left( z\right) \) 在单位圆上无根:
\[
B\left( z\right) = 1 + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{q}{b}_{j}{z}^{j} \neq 0,\;\left| z\right| \leq 1,
\]
(2.22)
就称 \( \operatorname{ARMA}\left( {p, q}\right) \) 模型 (2.2) 为可逆的 ARMA 模型,相应的平稳解为可逆的 \( \opera... |
1323_[王长平] 几何学 | 定义 1.5 | 定义 1.5 设直线 \( l \) 垂直于两平行线 \( {l}_{1} \) 和 \( {l}_{2} \) . 则 \( {l}_{2} \circ {l}_{1} \) 是沿直线 \( l \) 方向的一个平移,且等距变换 \( \phi = l \circ \left( {{l}_{2} \circ {l}_{1}}\right) \) 是先沿直线 \( l \) 作一个平移,然后再对直线 \( l \) 作反射. 显然,有 \( l \circ \left( {{l}_{2} \circ {l}_{1}}\right) = \left( {{l}_{2} \circ {l}_{1}}\right) \circ l \) ... |
1349_[陈天权] 数学分析讲义1 | 定义 2.3.1 | 定义 2.3.1 设集合 \( A \subset \mathbf{R}.M \in \mathbf{R} \) 称为 \( A \) 的一个上界,假若 \( \forall x \in A\left( {x \leq M}\right) \) . 这时 \( A \) 称为上有界的,或称为有上界的.
定义 2.3.2 设集合 \( A \subset \mathbf{R}.m \in \mathbf{R} \) 称为 \( A \) 的一个下界,假若 \( \forall x \in A\left( {x \geq m}\right) \) . 这时 \( A \) 称为下有界的,或称为有下界的.
定义 2.3.3 既有上界又... |
1734_点集拓扑熊金城 | 定义 10.2.1 | 定义 10.2.1 设 \( X \) 是一个集合, \( \left( {Y,\rho }\right) \) 是一个度量空间. 记 \( {Y}^{X} \) 为从 \( X \) 到 \( Y \) 的所有映射的集合如常. 定义 \( \widetilde{\rho } : {Y}^{X} \times {Y}^{X} \rightarrow \mathbb{R} \) 使得对于任何 \( f, g \in {Y}^{x} \) ,
\[
\widetilde{\rho }\left( {f, g}\right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\text{ 存在 }x \in X\text{ 使... |
1267_[姜伯驹] 同调论 | 定义 5.1 | 定义 5.1
\[
= \left\langle {\alpha \otimes \beta ,\mathop{\sum }\limits_{{i + j = n}}{\rho }_{1\# }{\Delta }_{\# }\left( {{}_{i}\sigma }\right) \otimes {\rho }_{2\# }{\Delta }_{\# }\left( {\sigma }_{j}\right) }\right\rangle
\]
注记 5.2
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i + j = n}}\left\langle {\alpha ,{i\sigma }}\right\rangle... |
1283_[张恭庆] 变分学讲义 | 定义 5.1 | 定义 5.1 设 \( g = g\left( {t,{u}_{1},\cdots ,{u}_{N};{\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{N}}\right) \) 是 \( \mathrm{H} - \mathrm{J} \) 方程的一族依赖于 \( N \) 个独立参数 \( \left( {{\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{N}}\right) \in \Lambda \) 的解 (其中 \( \Lambda \subset {\mathbb{R}}^{N} \) 是一个区域). 如果 \( \det \left( {g}_{{u}_{i}{\lambda ... |
1520_Q过程的唯一性准则(侯振挺) | 定义 1 | 定义 1 若存在常数 \( 0 \leq c < + \infty \) ,使 \( - {q}_{11} \leq c\;\left( {i \in E}\right) \) 成立,则称 \( Q \) 为有界的.
引理 1 若 \( {\eta }_{j}\left( {j \in E}\right) \) 是方程
\[
\left. \begin{array}{l} \lambda {\eta }_{j} - \mathop{\sum }\limits_{{i \in K}}{\eta }_{i}{q}_{ij} = 0,\lambda > 0 \\ 0 \leq {\eta }_{j},\mathop{\sum }\li... |
1663_非线性动力系统的现代数学方法及其应用 | 定义 1 | 定义 1 设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个度量空间,如果映射 \( T \) 把定义域 \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X \) 中的任意开集映成值域 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) 亡 \( Y \) 中开集,则称 \( T \) 为开映射。
引理 1 设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个 Banach 空间, \( T : X \rightarrow Y \) 是有界线性算子,且 \( {TX} = Y \) ,则 \( T \) 必为开映射。
证明略。
定理 2 线性算子 \( T \) 的逆算子 \( {T}^{-1}... |
1619_现代几何学——方法与应用 第2卷 超清晰版 | 定义 14.1 | 定义 14.1. 高斯映射的度称为向量场 \( \xi \) 的孤立奇点 \( {x}_{0} \) 的指标:
\[
{\operatorname{ind}}_{{x}_{0}}\left( \xi \right) = \deg {f}_{{x}_{0}}
\]
可以证明,如果点 \( {x}_{0} \) 是非退化奇点,则这个定义与前面的定义是一致的.
定理 14.5. 对向量场 \( \xi \left( x\right) \) 的非退化奇点 \( {x}_{0} \) 成立
\[
\deg {f}_{{x}_{0}} = \operatorname{sgn}\det \left( {\left. \frac{\part... |
1633_近代分析基础(胡适耕) | 定义 5.2.1 | 定义 5.2.1 设 \( T \in L\left( X\right) \) . 若 \( \lambda \in \mathbb{C}, N\left( {{\lambda I} - T}\right) \neq \{ 0\} \) ,则称 \( \lambda \) 为 \( T \) 的特征值, 称 \( N\left( {{\lambda I} - T}\right) \) 为 \( T \) 关于特征值 \( \lambda \) 的特征子空间,其中的非零向量称为 \( T \) 关于 \( \lambda \) 的特征向量. 以 \( {\sigma }_{p}\left( T\right) \) 记 \( T \) ... |
1990_实用数学手册 | 定义 6 | 定义 6 设 \( \{ {\xi }_{k}\} \) 是随机变量序列,若
\[
P\left( {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {{\xi }_{k} - E{\xi }_{k}}\right) = 0}\right) = 1,
\]
\( \left( {{13.8} - 9}\right) \)
则称 \( \{ {\xi }_{k}\} \) 服从加强的大数定律.
(13. 8-9) 表示 \( \frac{1}{n}\mathop{\sum }\... |
1641_调和分析及其在偏微分方程中的应用(苗长兴) | 定义 2.1 | 定义 2.1 对每一个 \( {x}^{\prime } \in {\sum }_{n - 1} \) ,考虑 \( {\mathcal{H}}_{k} \) 上线性泛函 \( L \) 如下
:
\[
L\left( Y\right) = Y\left( {x}^{\prime }\right) ,\;Y \in {\mathcal{H}}_{k}
\]
\( \left( {2.30}\right) \)
因 \( {\mathcal{H}}_{k} \) 是有限维 Hilbert 的空间,必存在唯一 \( {Z}_{{x}^{\prime }}^{\left( k\right) }\left( {t}^{\prime ... |
1709_同调论(姜伯驹) | 定义 2.2 | 定义 2.2 下面的交换图表定义了一个双线性运算
\[
{H}^{q}\left( X\right) \times {H}_{p + q}\left( X\right) \overset{ \frown }{ \rightarrow }{H}_{p}\left( X\right)
\]
称为 \( X \) 的上下同调的卡积:
如果用链来描写,也要先取对角线映射 \( \Delta : X \rightarrow X \t... |
1277_[廖山涛] 同伦论基础 | 定义 6.2 | 定义 6.2 设 \( \chi : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是映射, \( {x}_{0} \in A \) , \( {y}_{0} = \chi \left( {x}_{0}\right) \in B \) . 对 \( a = \left\lbrack f\right\rbrack \in {\pi }_{n}\left( {X, A,{x}_{0}}\right), f : \left( {{\nabla }^{n},{S}^{n - 1}}\right. \) , \( \left. {p}_{0}\right) \rightarr... |
1274_[屈婉玲&耿素云&张立昂] 离散数学 | 定义 7.14 | 定义 7.14 设 \( R \) 是非空集合 \( A \) 上的关系, \( R \) 的自反 (对称或传递) 闭包是 \( A \) 上的关系 \( {R}^{\prime } \) ,使得 \( {R}^{\prime } \) 满足以下条件.
(1) \( {R}^{\prime } \) 是自反的 (对称或传递的);
(2) \( R \subseteq {R}^{\prime } \) ; (3) 对 \( A \) 上任何包含 \( R \) 的自反 (对称或传递) 关系 \( {R}^{\prime \prime } \) 有 \( {R}^{\prime } \subseteq {R}^{\prime \pr... |
1274_[屈婉玲&耿素云&张立昂] 离散数学 | 定义 10.4 | 定义 10.4 设 \( G \) 是群, \( a \in G \) ,使得等式 \( {a}^{k} = e \) 成立的最小正整数 \( k \) 称为 \( a \) 的阶 (或者周期), 记作 \( \left| a\right| = k \) ,这时也称 \( a \) 为 \( k \) 阶元. 若不存在这样的正整数 \( k \) ,则称 \( a \) 为无限阶元.
例如, \( \left\langle {{\mathbf{Z}}_{6}, \oplus }\right\rangle \) 中,2 和 4 是 3 阶元,3 是 2 阶元,而 1 和 5 是 6 阶元,0 是 1 阶元,而在 \( \langle... |
Subsets and Splits
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