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1349_[陈天权] 数学分析讲义1 | 定义 1.7.2 | 定义 1.7.2 对于 \( a, b \in \mathbf{N} \) ,若 \( b = \underset{k \uparrow S}{\underbrace{S \circ S \circ \cdots \circ S}}\left( a\right) = {S}^{k}\left( a\right) \) ,即 \( b \) 是 \( a \) 经过 \( k \) 次后继映射的结果,则称 \( a \) 小于 \( b \) ,记做 \( a < b \) ,或称 \( b \) 大于 \( a \) ,记做 \( b > a \) . 我们还常用以下记法: \( a \leq b \) 表示 \( \left( {... |
1737_数值分析 | 定义 6.4 | 定义 6.4 一个数值方法用于解试验方程式 (6.22),若在 \( \mu = \) \( {\lambda h} \) 平面中的某个区域 \( R \) 中方法都是绝对稳定的,而在域 \( R \) 外,方法是不稳定的,则称区域 \( R \) 是该数值方法的绝对稳定域.
显然, 绝对稳定性区域越大, 该方法的绝对稳定性越好, 若某个方法的绝对稳定性区域包含 \( {\lambda h} \) 复平面的左半平面,则称此数值方法是 \( \mathbf{A} \) -稳定的.
例如, 对欧拉法:
\[
{y}_{n + 1} = {y}_{n} + {hf}\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) ,\... |
1655_复解析动力系统(任福尧) | 定义 2.5 | 定义 2.5 设 \( c \in \widehat{\mathcal{C}} \) ,如果 \( {R}^{\prime }\left( c\right) = 0 \) ,则称 \( c \) 为 \( R \) 的临界点. 临界点 \( c \) 的像 \( v = R\left( c\right) \) 称为临界值,即 \( {R}^{-1} \) 的支点. 临界点的轨道称为临界轨道.
直接计算表明,若 \( \deg R = d \) ,则 \( R \) 的临界点个数不超过 \( {2d} - 2 \) . 如果 \( z \in \mathcal{E} \) 不是 \( R \) 的临界点,那么 \( R \) 在 \... |
1656_微分动力系统原理(张筑生) | 定义 9.3 | 定义 9.3 满足引理 9.2 条件的 \( {D}_{t} : \mathcal{K}\left( r\right) \rightarrow \mathcal{K}\left( r\right) \) 称为沿曲线 \( r \) 的协变微商.
定义 9.4 如果 \( v \in \mathcal{X}\left( \gamma \right) \) 满足
\[
{D}_{t}v\left( t\right) = 0,\forall t \in \left\lbrack {{\tau }_{0},\tau }\right\rbrack ,
\]
则称向量场 \( v\left( s\right) \) 沿曲线 \( r \)... |
1339_[邓东皋&韩永生] Hp空间论 | 定义 1.1 | 定义 1.1 设 \( 0 < p \leq 1 \leq q \leq \infty, p < q, s \geq {s}_{0} = \left\lbrack {n\left( {\frac{1}{p} - 1}\right) }\right\rbrack \) , \( \varepsilon > \max \left\{ {\frac{s}{n},\frac{1}{p} - 1}\right\} \) . 记 \( a = 1 - \frac{1}{p} + \varepsilon, b = 1 - \frac{1}{q} + \varepsilon \) . 我们称 \( {L}^{q}\left( {R}^{n}\rig... |
1709_同调论(姜伯驹) | 定义 1.2 | 定义 1.2 设 \( \mathcal{C},\mathcal{D} \) 是范畴. 一个协变函子 \( F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D} \) 是一个对应:
(a) \( \mathcal{C} \) 的每个对象 \( X \) 对应于 \( \mathcal{D} \) 的一个对象 \( F\left( X\right) \) ;
(b) \( \mathcal{C} \) 的每个射 \( f : X \rightarrow Y \) 对应于 \( \mathcal{D} \) 的一个射 \( F\left( f\right) : F\left( X\right) \right... |
1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程 | 定义 18.15 | 定义 18.15 设 \( F\left\lbrack x\right\rbrack \) 为有限域 \( F \) 上的多项式环, \( f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack \) 是 \( n \) 次多项式, \( n \geq 1 \) . 令
\[
F\left\lbrack x\right\rbrack /f\left( x\right) = \{ g\left( x\right) \mid g\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack \land g\left( x\right) \text{的次数小于... |
1371_[龚光鲁] 随机微分方程引论 | 定义 7.17 | 定义 7.17 设 \( \left( {\mathcal{F}}_{t}\right) = \) Brown 参考族 \( \left( {\overline{\mathcal{F}}}_{t}^{0}\right) \) . 对于非负 \( {\mathcal{F}}_{\infty } \) 随机变量 \( \xi \) ,我们定义 (参见命题 2.13 ’ 推论 2 )
\[
{\mathcal{F}}_{\xi } \equiv \sigma \left\{ {{X}_{\xi } : X \in \mathcal{O}}\right\} \;\text{ (还可假定 }X\text{ 有界) }
\]
\[
= \s... |
1245_[伍胜健] 数学分析 | 定义 10.2.1 | 定义 10.2.1 设 \( f\left( x\right) ,{f}_{n}\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 为定义在 \( I \subset \mathbb{R} \) 上的函数. 若对于 \( \forall \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in \mathbb{N} \) ,当 \( n > N \) 时,对一切 \( x \in I \) ,有
\[
\left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| < \varepsilon
\]
则称函数序列 \( \... |
1447_复变函数论_12455123 | 定义 7.6 | 定义 7.6 设 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 是平面上的两点, \( C \) 为平面上的一个圆周.
（1）当 \( C \) 为直线时, \( {z}_{1} \) 和 \( {z}_{2} \) 关于 \( C \) 对称是指: \( {z}_{1} \) 和 \( {z}_{2} \) 分在直线 \( C \) 的两侧,且线段 \( \overline{{z}_{1}{z}_{2}} \) 垂直于 \( C,{z}_{1} \) 和 \( {z}_{2} \) 到 \( C \) 的距离相等,即直线 \( C \) 垂直平分线段 \( \overline{{z}_{1}{z}_{2}} \) ;
（2）当 ... |
1237_[丘维声] 简明线性代数 | 定义 7 | 定义 7 数域 \( K \) 上线性空间 \( V \) 如果指定了一个斜对称双线性函数 \( f \) ,则称 \( V \) 是一个辛空间,用 \( \left( {V, f}\right) \) 表示,称 \( f \) 是 \( V \) 上的一个内积 (或辛内积); 如果 \( f \) 是非退化的,则称 \( \left( {V, f}\right) \) 是正则的; 否则称为非正则的.
例如, \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中,对于 \( \alpha = \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) ,\beta = \left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right)... |
1990_实用数学手册 | 定义 14 | 定义 14 设 \( \xi \) 和 \( \eta \) 是两个随机变量, \( T\left( \xi \right) \) 是由 \( \xi \) 建立的一个统计量,且对 \( \eta \) 的任一估计量 \( {T}^{\prime }\left( \xi \right) \) 有
\[
E{\left\lbrack \eta - T\left( \xi \right) \right\rbrack }^{2} \leq E{\left\lbrack \eta - {T}^{\prime }\left( \xi \right) \right\rbrack }^{2},
\]
则称 \( T\left( \xi \ri... |
157_实变函数论与泛函分析 上册 | 定义 2.3.3 | 定义 2.3.3 设 \( \mu \) 是环 \( \mathbf{R} \) 上的测度, \( E \in \mathbf{R} \) . 如果 \( \mu \left( E\right) = 0 \) 就称 \( E \) 是 \( \mu \) -零集, 简称作零集.
显然, \( \mu \) -零集的子集,如果也属于 \( \mathbf{R} \) ,就必然也是零集. 但是对一般环 \( \mathbf{R} \) 上的测度 \( \mu ,\mu \) -零集的子集不一定属于 \( \mathbf{R} \) .
例 4 设 \( X \) 是一集, \( \mathbf{R} = \{ X,\varnothi... |
169_微分拓扑新讲 | 定义 3.3 | 定义 3.3 设 \( \left( {E, X,\pi ,{\mathbf{R}}^{k}}\right) \) 和 \( \left( {F, X,\rho ,{\mathbf{R}}^{l}}\right) \) 是同一底空间 \( X \) 上的两个 \( {C}^{r} \) 向量丛,则可赋予
\[
E \oplus F = \mathop{\coprod }\limits_{{x \in X}}\left( {{E}_{x} \oplus {F}_{x}}\right)
\]
确定的 \( k + l \) 维 \( {C}^{r} \) 实向量丛结构 (仍以 \( X \) 为底空间). 我们称这向量丛为 \( E ... |
1245_[伍胜健] 数学分析 | 定义 15.1.1 | 定义 15.1.1 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 是有界集合,若 \( E \) 满足
\[
m\left( E\right) = M\left( E\right)
\]
则称 \( E \) 是可求体积的,并称 \( m\left( E\right) = M\left( E\right) \) 是 \( E \) 的体积,记其为 \( V\left( E\right) \) .
为了刻画可求体积的集合, 我们给出下述定理.
定理 15.1.1 设 \( E \subset {\mathbb{R}}^{n} \) 是有界集合,则 \( E \) 可求体积的充分必要条件是 \( V\le... |
1356_[陈家鼎] 序贯分析 | 定义 1.2 | 定义 1.2 称 \( Q\left( {\cdot \mid x}\right) \) 是先验分布为 \( \xi, X\left( \omega \right) = x \) 条件下 \( \theta \) 的后验分布, 若它满足:
1) 对任何 \( x \in \mathcal{F}, Q\left( {\cdot \mid x}\right) \) 是 \( {\mathcal{B}}_{\theta } \) 上的概率测度;
2) 对任何固定的 \( B \in {\mathcal{B}}_{\theta }, Q\left( {B \mid x}\right) \) 是 \( x \) 的 \( {\mathca... |
1990_实用数学手册 | 定义 1 | 定义 1 给定 \( n \) 维随机向量 \( \mathbf{\xi } = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) ,如果 \( E{\xi }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 都存在,则称
\[
{E\xi } = \left( {E{\xi }_{1}, E{\xi }_{2},\cdots, E{\xi }_{n}}\right)
\]
(13. 5-1)
为 \( \xi \) 的数学期望.
例如,二维正态分布 (13.3-3) 中的参数 \( \left( {a, b}\right)... |
1299_[方企勤] 复变函数教程 | 定义 4 | 定义 4 设 \( r \) 为 Jordan 曲线,在 \( r \) 上依正向任意取定四点 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3},{z}_{4} \) . 则称 \( \gamma \) 内部是一以 \( {z}_{k}\left( {1 \leq k \leq 4}\right) \) 为顶点的曲线四边形,记作 \( Q\left( {{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3},{z}_{4}}\right) \) .
定理 8 设 \( Q\left( {{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3},{z}_{4}}\right) \) 为一曲线四边形,则存在 \( Q \) 内单叶解析函数 \( w... |
1760_06代数学(上册) | 定义 1.7 | 定义 1.7 设 \( \geq \) 为 \( S \) 的半序, \( T \) 为 \( S \) 的子集. 如果 \( S \) 的一个元素 \( s \) ,适合 \( s \geq t\left( {\forall t \in T}\right) \) ,则称 \( s \) 为 \( T \) 的一个上限. 如果 \( s \) 具有如下性质: \( \forall {s}_{1} \in S \) ,只要 \( {s}_{1} \geq s \) ,必有 \( {s}_{1} = s \) ,则称 \( s \) 为 \( S \) 的一个极大元素.
定义 1.8 设 \( S \) 为一集合, \( \geq \... |
155_实变函数论 周民强 | 定义 6.8 | 定义 6.8 设 \( \left\{ {\varphi }_{k}\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 中的正交系. 若 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 中不再存在非零元能与一切 \( {\varphi }_{k} \) 正交,则称 \( \left\{ {\varphi }_{k}\right\} \) 是 \( {L}^{2} \) 中的完全正交系. 换句话说,若 \( f \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,且 \( \left\langle {f,{\varphi }_{k}}\right\rangle = 0\left( ... |
1797_大学数学系自学丛书 概率论与数理统计 | 定义 3.2.1 | 定义 3.2.1 两个随机变量 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2} \) 的有序整体 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right) \) 称为二维随机变量 (或二维随机向量). 对于二维随机向量 \( \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right) \) ,如果存在二元非负可积函数 \( p\left( {x, y}\right) \) ,使得对平面 \( R \) 的任一区域 \( \Delta \) ,都有
\[
P\left( {\left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right) \in \Delta }\rig... |
1361_[陈维桓&李兴校] 黎曼几何引论(上册) | 定义 4.4 | 定义 4.4 线性映射 \( {F}_{ * } : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{F\left( p\right) }N \) 称为光滑映射 \( F \) 在 \( p \) 点的 切映射 或 微分; 它的对偶映射 \( {F}^{ * } : {T}_{F\left( p\right) }^{ * }N \rightarrow {T}_{p}^{ * }M \) 称为光滑映射 \( F \) 在 \( p \) 点的 余切映射 或 拉回映射.
由对偶映射的定义,余切映射 \( {F}^{ * } : {T}_{F\left( p\right) }^{ * }N \rightarrow {T}_{p}^{... |
1990_实用数学手册 | 定义 2 | 定义 2 两大圆弧相交所成的角称为球面角.
球面角可用两大圆弧在交点 \( A \) 的切线间的夹角来度量,也可用两圆弧所确定的两平面 \( {AOB},{AOC} \) 所构成的二面角来度量 (图 3.2-2).
球面角也像平面角一样,它的值可以介于 \( {0}^{ \circ } \) 到 \( {360}^{ \circ } \) 之间.
定义 3 球面上介于两个相邻半圆周中间的部分称为球面二角形(图 3.2-2 的阴影部分).
球面二角形的面积 \( {S}_{A} = 2{R}^{2}A \) ( \( A \) 为球面角,以弧度为单位).
定义 4 三个两两相交的大圆弧所围成的球面上的部分称为球面三角形 (如... |
197_曲线与曲面的微分几何 | 定义 2 | 定义 2 设 \( B \subset {\mathbb{R}}^{3},{\alpha }_{0} : \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \rightarrow B,{\alpha }_{1} : \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \rightarrow B \) 是 \( B \) 的两条弧,连接两点 \( p = {\alpha }_{0}\left( 0\right) = \) \( {\alpha }_{1}\left( 0\right) \) 和 \( q = {\alpha }_{0}\left( l\right) = {\alpha }_{1}\left... |
1199_《高等代数学》（教材 复旦第二版）（姚慕生） | 定义 5.9.1 | 定义 5.9.1 设 \( f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 是数域 \( \mathbf{K} \) 上的 \( n \) 元多项式,若对任意的 \( i \neq j\left( {1 \leq i, j \leq n}\right) \) ,均有
\[
f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{i},\cdots ,{x}_{j},\cdots ,{x}_{n}}\right) = f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{j},\cdots ,{x}_{i},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,
\]
... |
1662_随机无穷维动力系统(郭柏灵) | 定义 1.4.2 | 定义 1.4.2 如果 \( {h}_{0} = 1 \) ,且对 \( {2}^{k} \leq k < {2}^{k - 1}, n = 1,2,\cdots \) ,有
\[
{h}_{i}\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {2}^{i/2}, & \frac{k - {2}^{n}}{{2}^{i}} \leq t < \frac{k - {2}^{n} + 1/2}{{2}^{n}} \\ {2}^{i/2}, & \frac{k - {2}^{n} + 1/2}{{2}^{i}} < t \leq \frac{k - {2}^{n} - 1}{{2}^{i}} \\... |
1352_[陈家鼎&刘婉如&汪仁官] 概率统计讲义 | 定义 3.1 | 定义 3.1 给定小数 \( \alpha \left( {0 < \alpha < 1}\right) \) ,如果对一切 \( \theta \in {\Theta }_{0},{\alpha }_{w}\left( \theta \right) \leq \alpha \) ,则称 \( W \) 的检验水平 (也称显著性水平) 是 \( \alpha \) . ①也称 \( W \) 的检验水平不超过 \( \alpha \) .
在实际工作中常常这样提出问题: 在所有检验水平是 \( \alpha \) 的否定域中,如何找出犯第二类错误的概率尽可能小的否定域来?
这个问题是比较复杂的,需要对总体 \( X \) 的概率... |
159_巴拿赫空间引论 | 定义 4 | 定义 4. 设 \( E \) 为距离空间, \( N, M \) 为 \( E \) 中两个集. 我们称 \( N \) 构成 \( M \) 的 \( \varepsilon - \) 网 ( \( \varepsilon \) 为某一正数),是指 \( \forall x \in M,\exists {x}_{\varepsilon } \in N \) 使得 \( d\left( {x,{x}_{\varepsilon }}\right) \) \( < \varepsilon \) .
引理 1(Hausdorff). 设 \( E \) 为距离空间. 那么,如果集 \( F \) 是 \( E \) 中的列紧集,则 \... |
1339_[邓东皋&韩永生] Hp空间论 | 定义1.2 | 定义1.2 定义
\[
{H}^{p,\infty }\left( {R}^{n}\right) = \left\{ {f \in {\mathcal{S}}^{\prime }\left( {R}^{n}\right), f = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\lambda }_{j}{a}_{j},{a}_{j}}\right. \text{是}
\]
\[
\left( {p,\infty }\right) \text{ 原子,}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\left| {\lambda }_{j}... |
1767_12Hp空间论 | 定义 2.3 | 定义 2.3 定义在 \( {R}^{2} \) 上的可微函数 \( a\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \) 被称为矩形原子, 如果
（1） \( \operatorname{supp}a \subset R = I \times J \) ,其中 \( I, J \) 是 \( \mathbf{R} \) 上的区间;
（2） \( {\begin{Vmatrix}\frac{{\partial }^{a + \beta }}{\partial {x}_{1}^{a}\partial {x}_{2}^{\beta }}\end{Vmatrix}}_{\infty } \leq {\left| I\... |
1784_大学基础数学自学丛书 一元函数微分学 | 定义 1 | 定义 1 是借极限概念叙述的, 如果从 (3.1) 的意义直接用 \( \varepsilon - \delta \) 来叙述,便是:
定理 1 假设 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 的邻域里有定义. 它在 \( {x}_{0} \) 点连续的必然且充分的条件是: 对于任意小的正数 \( \varepsilon \) ,总有正数 \( \delta \) ,保证 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 的邻域 \( \left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta \) 内满足不等式
\[
\left| {f\left( ... |
1536_二次数域的高斯猜想 | 定义 1.7 | 定义 1.7 对一个素数 \( p \) 和两个非零的整数 \( a, b,{\;\operatorname{mod}\;p} \) 的 Hilbert 符号 \( {\left( a, b\right) }_{p} \) 定义为
\[
{\left( a, b\right) }_{p} = \begin{cases} 1, & \text{ 如 }a{x}^{2} + b{y}^{2}\text{ 能表出一个 }p\text{-adic 平方数; } \\ - 1, & \text{ 否则. } \end{cases}
\]
这里 \( a{x}^{2} + b{y}^{2} \) 能表出一个 \( p \) -adic 平方... |
1431_华章数学译丛 3 泛函分析 | 定义 3.2 | 定义 3.2(6)的“弱”积分曾被 B. J. Pettis 发展了, Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 44, pp. 277 304, 1938.
A. E. Taylor 评述过向量值全纯函数的历史, Amer. Math. Monthly, Vol. \( {78} \), pp. \( {331} \sim {342},{1971} \) .
定理 3.31. 弱全纯函数 (取值于复 Banach 空间) 是强全纯的是 \( \mathrm{N} \) . Dunford 证明的, Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 44, pp. 304 256, 1938.
定理 ... |
1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程 | 定义 7.18 | 定义 7.18 设 \( G \) 为无向标定图, \( G \) 中顶点与边的交替序列 \( \Gamma = {v}_{{t}_{0}}{e}_{{j}_{1}}{v}_{{t}_{1}}{e}_{{j}_{2}}\cdots {e}_{{j}_{1}}{v}_{t} \) 称为顶点 \( {v}_{{t}_{0}} \) 到顶点 \( {v}_{{t}_{l}} \) 的通路,其中 \( {v}_{{t}_{r - 1}},{v}_{{t}_{r}} \) 为 \( {e}_{{J}_{r}} \) 的端点, \( r = 1,2,\cdots, l,{v}_{{t}_{0}},{v}_{{t}_{l}} \) 分别称为 \(... |
1548_广义度量空间与映射 林寿 E2 | 定义 2.2.14 | 定义 2.2.14 \( {}^{\left\lbrack {19}\right\rbrack } \) 完全正则空间 \( X \) 称为 \( p \) 空间,若存在 \( {\beta X} \) 中开集族的序列 \( \left\{ {\mathcal{U}}_{n}\right\} \) ,满足
(1) \( {\mathcal{U}}_{n} \) 覆盖 \( X \) ;
(2) 对 \( x \in X,\mathop{\bigcap }\limits_{{n \in \mathbb{N}}}\operatorname{st}\left( {x,{\mathcal{U}}_{n}}\right) \subset ... |
1653_小波分析导论(崔锦泰) | 定义 3.22 | 定义 3.22 令 \( \psi \in {L}^{2}\left( \mathbb{R}\right) \) 是一个如公式 (3.5.12) 中生成 \( \left\{ {\psi }_{j, k}\right\} \) 的究-函数。那么
(i) \( \psi \) 称为是一个正交小波,如果 \( \left\{ {\psi }_{j, k}\right\} \) 满足正交性条件:
\[
< {\psi }_{j, k},{\psi }_{l, m} > = {\delta }_{j, l}{\delta }_{k, m},\;j, k, l, m \in \mathbf{Z}
\]
\( \left( {{3.6}.... |
1306_[李文威] 高等代数 | 定义 2.6.1 | 定义 2.6.1 定义整数集 \( \mathbb{Z} \) 为 \( {\mathbb{Z}}_{ \geq 0}^{2} \) 对 \( \sim \) 的商. 记 \( {\mathbb{Z}}_{ \geq 0}^{2} \) 中包含 \( \left( {m, n}\right) \) 的等价类为 \( \left\lbrack {m, n}\right\rbrack \) .
---
\( {}^{4} \) 除了以下介绍的方法,造 \( \mathbb{Z} \) 的另一进路是以无交并向 \( {\mathbb{Z}}_{ \geq 0} \) 添入负整数. 这么做虽然避开了商集,却会导致一些运算的定义变得做作,... |
1354_[陈家鼎&郑忠国] 概率与统计 (第一版) | 定义 7.4 | 定义 7.4 设 \( \mathbf{X} = {\left( {X}_{1},\cdots ,{X}_{n}\right) }^{\mathrm{T}} \) 和 \( \mathbf{Y} = {\left( {Y}_{1},\cdots ,{Y}_{m}\right) }^{\mathrm{T}} \) 为多维随机向量, 其期望向量和协方差阵分别由下列式子定义:
\[
\mathrm{E}\left( \mathbf{X}\right) = \left\lbrack \begin{matrix} \mathrm{E}\left( {X}_{1}\right) \\ \mathrm{E}\left( {X}_{2}\righ... |
1652_陶哲轩实分析 | 定义 5.5.1 | 定义 5.5.1(上界) 设 \( E \) 是 \( \mathbb{R} \) 的子集,并且 \( M \) 是实数. 我们说 \( M \) 是 \( E \) 的一个上界,当且仅当对于 \( E \) 的每个元素 \( x \) 都有 \( x \leq M \) .
例 5.5.2 设 \( E \) 是区间 \( E \mathrel{\text{:=}} \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1\} \) . 那么 1 是 \( E \) 的一个上界, 因为 \( E \) 的每个元素都小于或等于 1 . 当然 2 也是 \( E \) 的一个上界,并且实际上每个大于或等于 1 的数... |
1349_[陈天权] 数学分析讲义1 | 定义 6.7.1 | 定义 6.7.1 设 \( f : \lbrack a,\infty ) \rightarrow \mathbf{R} \) 对于任何 \( b > a \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是可积的, 若极限
\[
L = \mathop{\lim }\limits_{{b \rightarrow \infty }}{\int }_{a}^{b}f\left( t\right) {dt}
\]
存在且有限, 则称反常积分
\[
{\int }_{a}^{\infty }f\left( t\right) {dt}
\]
收敛, 并记
\[
{\int }_{a}^{\in... |
1911_现代数学研究丛书 模糊数学导论 | 定义 1.1 | 定义 1.1 设 \( X \) 是论域, \( \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}\left( X\right) \) 满足下列条件:
(1) \( X \in \mathcal{A} \) ;
(2) \( A \in \mathcal{A} \Rightarrow {A}^{\prime } \in \mathcal{A} \) ;
(3) \( \left\{ {{A}_{n}, n \geq 1}\right\} \subseteq \mathcal{A} \Rightarrow \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \... |
1245_[伍胜健] 数学分析 | 定义 17.2.1 | 定义 17.2.1 设函数 \( f\left( {x, y}\right) \) 在 \( E \times \lbrack c, + \infty ) \) 上有定义,其中 \( E \subset \mathbb{R} \) 是一个区间. 若对于 \( \forall \varepsilon > 0,\exists {A}_{0} > 0 \) ,当 \( A > {A}_{0} \) 时,对于 \( \forall x \in E \) ,有
\[
\left| {{\int }_{A}^{+\infty }f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y}\right| < \varepsilon
\]... |
1546_工科硕士研究生数学用书 应用数学基础（修订本） 上册 | 定义 5.2 | 定义 5.2 若方程组 (5.1) 系数矩阵 \( A \) 的条件数相对较小,则称这个方程组是良态的; 反之,若 \( A \) 的条件数相对较大,则称方程组是病态的. 同时称 \( A \) 为 (对解方程组而言) 良态矩阵或病态矩阵.
对于 Hilbert 矩阵
\[
{H}_{n} = \left( \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n + 1} \\ \cdots \cdots \cdots \... |
1419_[代数学].Thomas.Hungerford.清晰版 | 定义 8.3 | 定义 8.3 群族 \( \left\{ {{G}_{i} \mid i \in I}\right\} \) 的 (外) 弱直积 (表示成 \( \mathop{\prod }\limits_{{i \in I}}{}^{W}{G}_{i} \) ) 是集合
\( \left\{ {f \in \mathop{\prod }\limits_{{i \in I}}{G}_{i} \mid }\right. \) 除了有限个以外对所有 \( i \in I \) ,
\( f\left( i\right) = {e}_{i}\left( {{G}_{i}\text{ 中幺元素 }}\right) \} \)
如果所有的群 \( {... |
1661_近可积无穷维动力系统(郭柏灵) | 定义 6.6.1 | 定义 6.6.1 Poincaré 截面 \( \sum \) 。定义为约束
\[
{y}_{1} = 0,\;{\eta }_{1} < {x}_{1} < \eta
\]
\[
0 < {z}_{1} < \eta
\]
\[
{x}_{j}^{2} + {y}_{j}^{2} < {\eta }^{2},\;j = 2,3,\cdots, m
\]
\[
\left| {z}_{k}\right| < \eta ,\;k = 2,3,\cdots, n
\]
定义 6.6.2 Poincaré 截面 \( {\sum }_{1} \) 定义为约束
\[{z}_{1} = \eta \]
\[\left| {z}_... |
1293_[徐明曜&赵春来] 抽象代数2 | 定义 8.4 | 定义 8.4 设 \( G \) 是 \( \Omega = \{ 1,\cdots, n\} \) 上的传递置换群,它对点 1 的稳定子群 \( {G}_{1} \neq 1 \) ,但只有单位元素才有两个以上不动点,这时称 \( G \) 为 Frobenius 群. \( G \) 中没有不动点的元素称为正则元素.
设 \( G \) 是如上定义的 Frobenius 群,由 \( G \) 之传递性,稳定子群 \( {G}_{2},\cdots ,{G}_{n} \) 亦非单位群,并且对任意的 \( i \neq j \) 恒有 \( {G}_{i} \cap {G}_{j} = 1 \) . 令 \( H = {G}_{... |
1899_[现代数学基础丛书].[数理逻辑引论与归结原理] | 定义 8.3.1 | 定义 8.3.1 MV 代数是一个 \( \left( {2,2,1,0,0}\right) \) 型代数 \( \left( {X,+,\times ,*,0,1}\right) \) ,满足以下条件:
AX1 \( x + y = y + x \) , \( {\mathrm{{AXI}}}^{\prime }\;x \times y = y \times x, \)
AX2 \( \left( {x + y}\right) + z = x + \left( {y + z}\right) \) , AX \( {2}^{\prime }\;\left( {x \times y}\right) \times z = x \ti... |
1894_[现代数学基础丛书].[公理集合论导引] | 定义4.10 | 定义4.10 一序数函数 \( F \) ,如果我们有: 当 \( \alpha ,\beta \in \operatorname{dom}\left( F\right) \) 时,有 \( \alpha < \beta \rightarrow F\left( \alpha \right) < F\left( \beta \right) \) ,则称 \( F \) 为递增的。
定理4.13 若序数函数 \( F \) 是递增的,则对于每 \( - a \in \operatorname{dom}\left( F\right) \) , \( \alpha \leq F\left( \alpha \right) \) .
这一定... |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 5.3 | 定义 5.3 设 \( {\alpha }_{1}\cdots {\alpha }_{n} \) 是长度为 \( n \) 的符号串,称其子串 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{1}{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{n - 1} \) 分别是 \( {\alpha }_{1}\cdots {\alpha }_{n} \) 的长度为 \( 1,2,\cdots, n - 1 \) 的前缀。
定义 5.4 设 \( A = \left\{ {{\beta }_{1},\cdots ,{\beta }_{m}}\rig... |
1365_[陈维桓] 微分流形初步 | 定义 3.3 | 定义 3.3 设 \( {\omega }^{\alpha }\left( {l \leq \alpha \leq r}\right) \) 是定义在开子集 \( U \subset M \) 上的 \( r \) 个处处线性无关的一次微分式. 若对于任意一点 \( p \in U \), Pfaff 方程组
\[
{\omega }^{\alpha } = 0,\;1 \leq \alpha \leq r
\]
都有一个 \( h = m - r \) 维积分流形经过它,则称该方程组是完全可积的. 这里, \( m \) \( = \dim M \) .
下面的定理给出 Pfaff 方程组完全可积的条件, 它是 Froben... |
1760_06代数学(上册) | 定义 4.22 | 定义 4.22 设 \( A \) 为复数 \( n \times n \) 矩阵. 如果 \( {A}^{ * }A = I \) ,则称 \( A \) 为酉矩阵或正交矩阵.
定理4.37 设 \( K = \mathbf{R} \) 或 \( \mathbf{C},\dim V = n < \infty ,\langle \) , \( \rangle \) 是 \( V \) 的内积,又设 \( T \in {\operatorname{Hom}}_{K}\left( {V, V}\right) \) 为等距变换. 则对任取的正交 基, \( T \) 的矩阵表示式 \( B \) 恒为酉矩阵.
证明 参见定义 4.20... |
1361_[陈维桓&李兴校] 黎曼几何引论(上册) | 定义 7.1 | 定义 7.1 设 \( \left( {M,\mathrm{D}}\right) \) 是一个 \( m \) 维仿射联络空间, \( \gamma : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow M \) 是 \( M \) 中的一条光滑曲线, \( X \in \mathfrak{X}\left( M\right) \) . 如果沿曲线 \( \gamma \) 有
\[
{\mathrm{D}}_{{\gamma }^{\prime }\left( t\right) }X = 0,\;\forall t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,... |
1894_[现代数学基础丛书].[公理集合论导引] | 定义4.17 | 定义4.17 我们令 \( R \) 为一类关系, \( B \) 为一类,如果类关系
\[
R \cap B = R \cap \left( {B \times B}\right)
\]
是良基的,则称 \( R \) 在 \( B \) 上的良基的,这是就称 \( \langle B, R\rangle \) 是一良基结构.
下述三个定理的证明是平凡的.
定理4.20 一类关系 \( R \) 在类 \( C \) 上是良基的,当且仅当, \( C \) 的每一不空子集合 \( y \) 都有 \( R \) 极小元,并且对于每一 \( z \in c,\;\{ z \mid z \in c \land \) \( {z... |
1279_[张恭庆&林源渠] 泛函分析讲义(上册) (第二版) | 定义 2.5.22 | 定义 2.5.22 设 \( \mathcal{X},\mathcal{Y} \) 是 \( {B}^{ * } \) 空间. 又设 \( {T}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) , \( T \in \mathcal{L}\left( {\mathcal{X},\mathcal{Y}}\right) \)
(1) 若 \( \begin{Vmatrix}{{T}_{n} - T}\end{Vmatrix} \rightarrow 0 \) ,则称 \( {T}_{n} \) 一致收敛于 \( T \) ,记作 \( {T}_{n} \rightrightarrows T \) . 这时... |
1726_拓扑空间论(高国士) | 定义 5.1.12 | 定义 5.1.12 集族 \( v \) 称为垫状于 (cushioned in) 集族 \( \Psi \) ,如果存在映射 \( f : Y \rightarrow u \) ,如果对每一 \( V \subset v,{\left( U\left\{ V : V \in V\right\} \right) }^{ - } \subset \bigcup \{ f \) \( \left( V\right) : V \in {\Psi }^{\prime } \mid \) .
当 \( \mathcal{U} = \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 时, \( \mathcal{V} \) 垫状... |
1357_[陈家鼎] 生存分析与可靠性 | 定义 1.2 | 定义 1.2 设
\[
0 < {\tau }_{1} < \cdots < {\tau }_{N}\;\text{ 或 }\;0 < {\tau }_{1} < {\tau }_{2} < \cdots \text{ (无穷序列) }
\]
是一列递增的随机变量列, \( {\tau }_{0} = 0 \) ,令
① AMSAA 是 Army Materiel Systems Analysis Activity (美国陆军装备系统分析中心) 一语的字头连写, AMSAA 模型是该分析中心提出的.
\[
N\left( t\right) = \sup \left\{ {n : n \geq 0,{\tau }_{n} \l... |
1780_华章数学译丛 5 曲线和曲面的微分几何学 | 定义 5 | 定义 5 沿参数曲线 \( \alpha : I \rightarrow S \) 的向量场 \( w \) 称为平行,如果对所有 \( t \in I,\frac{Dw}{dt} = 0 \) .
图 4-10
对于平面的情形, 沿参数曲线的平行向量场就是沿曲线的常值向量场, 即向量的长度以及与一固定方向的交角均为常数 (图 4-10). 如下面的命题所述, 这些性质在任何曲面上也部份地成立.
命题 1 设 \( w... |
159_巴拿赫空间引论 | 定义 3 | 定义 3. (B)-代数 \( \mathfrak{u} \) 中的左(右、两侧) 幻称为极大左(右、两侧)幻,是指它不是 \( \mathfrak{u} \) 中任何其它左(右、两侧)幻的真子集.
注 4. 在非可易 (非交换) 的代数中. 极大左 (右) 幻也可能亦为其极大两侧幻; 例如,当取 \( \mathfrak{U} = \left\{ \left( \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} \\ 0 & {a}_{22} \end{matrix}\right) \right\} \) 时,则 \( \left\{ \left( \begin{array}{ll} a & b \\ 0 & ... |
166_微分几何与拓扑学简明教程 | 定义 3 | 定义 3 若光滑函数组 \( {x}^{1}\left( {{y}^{1},\cdots ,{y}^{n}}\right) ,\cdots ,{x}^{n}\left( {{y}^{1},\cdots ,{y}^{n}}\right) \) 给出区域 \( C \) 到欧氏空间 \( {\mathbf{R}}_{1}^{n} \) 的某个区域 \( A \) 上的双方单值的映射,并且映射的 Jacobi 行列式 \( J\left( f\right) \left( P\right) \) 在区域 \( C \) 的所有点不等于 0,则称此光滑函数组为欧氏空间 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中区域 \( C \) 的正... |
1736_数值代数 | 定义5.3.3 | 定义5.3.3 对秩为 \( r \neq 0 \) 的矩阵 \( A \in {R}^{m \times n} \) ,称分解式
\[
A = {BC}
\]
\( \left( {5.3.15}\right) \)
为 \( A \) 的秩分解式,其中 \( B \) 和 \( C \) 分别是列满秩阵和行满秩阵.
定义 5.3.4 若 \( A = {BC} \) 是非零矩阵 \( A \) 的秩分解式,则
\[
{C}^{T}{\left( C{C}^{T}\right) }^{-1}{\left( {B}^{T}B\right) }^{-1}{B}^{T}
\]
\( \left( {5.3.16}\right... |
1990_实用数学手册 | 定义 2 | 定义 2 如果把定义 1 条件 (2) 中的 \( C \) 类改为实解析 (即函数
\[
{\varphi }_{\beta } \circ \left( {{\varphi }_{\alpha }^{-1} \mid {\varphi }_{\alpha }\left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) }\right)
\]
在其定义域的每点的一个邻域中可展开为收敛的幂级数),则 \( \left( {M,\mathcal{A}}\right) \) 称为实解析流形, \( \mathcal{A} \) 称为实解析结构.
如果再把 \( {\mathbf{R}}^{n} \... |
1797_大学数学系自学丛书 概率论与数理统计 | 定义 3.5.5 | 定义 3.5.5 设 \( p, q \) 为正实数,函数
\[
B\left( {p, q}\right) = {\int }_{0}^{1}{x}^{p - 1}{\left( 1 - x\right) }^{q - 1}{dx}
\]
称为 Beta 函数.
可以证明 Gamma函数与 Bata 函数间存在下面重要关系:
\[
E\left( {p, q}\right) = \frac{\Gamma \left( p\right) \Gamma {\left( q\right) }^{ * }}{\Gamma \left( {p + q}\right) }
\]
\( \left( {{3.5},4}\right) ... |
1252_[包志强] 点集拓扑与代数拓扑引论 | 定义 5.1.2 | 定义 5.1.2 设 \( q : G \smallsetminus X \) ,定义等价关系 \( \overset{q}{ \sim } \) ,使得 \( x\overset{q}{ \sim }y \) 当且仅当存在 \( g \in G \) 满足 \( y = g\left( x\right) \) . 我们称每个等价类 \( \langle x\rangle \) 为 \( x \) 的 轨道 (orbit), 记为 \( {\mathcal{O}}_{x} \) ,并称商空间 \( X/\overset{q}{ \sim } \) (取商拓扑) 为该群作用的 轨道空间 (orbit space),记为 \( X/G ... |
1990_实用数学手册 | 定义 10 | 定义 10
\[
\zeta \left( z\right) = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{m, n}}^{\prime }\left( {\frac{1}{z - {\Omega }_{m, n}} + \frac{1}{{\Omega }_{m, n}} + \frac{z}{{\Omega }_{m, n}^{2}}}\right) ,
\]
\[
\sigma \left( z\right) = z\mathop{\prod }\limits_{{m, n}}{}^{\prime }\left( {\left( {1 - \frac{z}{{\Omega }_{m, n}... |
1348_[陈亚浙&吴兰成] 二阶椭圆型方程与椭圆型方程组 | 定义 1.1 | 定义 1.1. 设 \( u \in C\left( \Omega \right) \) ,其中 \( \Omega \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 的有界开区域,对于 \( y \in \Omega \) ,记集合
\[
\chi \left( y\right) = \left\{ {p \in {\mathbb{R}}^{ * } \mid u\left( x\right) \leq u\left( y\right) + p \cdot \left( {x - y}\right) ,\forall x \in \Omega }\right\} .
\]
(1.1)
\( \chi \) 定义了由 \... |
1292_[徐明曜&曲海鹏] 有限p群 | 定义 1.1.11 | 定义 1.1.11 除了群本身和平凡子群之外没有其它正规子群的群叫做单群.
因为交换群的每个子群都是正规子群, 容易看出, 交换单群只有素数阶循环群. 而非交换单群则有十分复杂的情形. 事实上, 决定所有有限非交换单群多年来一直是有限群论的核心问题, 这项工作公认于 1981 年才得以完成, 但它的最终完成是在 2003 年 Aschbacher 和 Smith 完成了所谓 “拟薄群” 的分类之后, 见 [18]. 单群分类定理对数学发展的影响是很巨大的.
定义 1.1.12 设 \( G \) 是群, \( M \subseteq G \) ,称
\[
{M}^{G} = \left\langle {{m}^{g} \mid... |
1633_近代分析基础(胡适耕) | 定义 5.5.2 | 定义 5.5.2 设 \( X \) 是一复 Banach 空间, \( T \in L\left( X\right) ,{T}_{\lambda } = {\lambda I} - T \) . 令
(5.5.22)
\[
{\sigma }_{r}\left( T\right) = \left\{ {\lambda \in \mathbb{C} : N\left( {T}_{\lambda }\right) = \{ 0\} ,\overline{R\left( {T}_{\lambda }\right) } \neq X}\right\} ,
\]
(5.5.23)
二者分别称为 \( T \) 的连续谱与剩余谱. 若... |
1906_[现代数学基础丛书].[非线性演化方程] | 定义 3 | 定义 3 集合 \( X \) 的豪斯多夫测度为
\[
{\mu }_{H}\left( {x, d}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}{\mu }_{H}\left( {X, d, s}\right)
\]
\[
= \mathop{\sup }\limits_{{s > 0}}{\mu }_{H}\left( {X, d,\varepsilon }\right) ,
\]
(23.12)
其中
\[
{\mu }_{H}\left( {X, d,\varepsilon }\right) = \inf \mathop{\sum }\l... |
1315_[柳彬] 常微分方程 | 定义 3.2 | 定义 3.2 设 \( \Lambda \) 是一个无限集合,集合 \( I \subseteq \mathbb{R} \) ,称定义在 \( I \) 上的函数族 \( {\left\{ {f}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in \Lambda } \) 在 \( I \) 上是等度连续的,如果对于任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对于任意的 \( x, y \in I,\left| {x - y}\right| < \delta \) 和任意的 \( \alpha \) ,有
\[
\left| {{f}_{\alpha }\lef... |
1314_[林源渠] 泛函分析学习指南 | 定义 4 | 定义 4 如果 \( \mathcal{X} \) 到 \( {\mathcal{X}}^{* * } \) 的自然映射 \( T \) 是满射的,则称 \( \mathcal{X} \) 是自反的,记做 \( \mathcal{X} = {\mathcal{X}}^{* * } \) .
定义 5 设 \( \mathcal{X} \) , \( \mathcal{Y} \) 是 \( {B}^{ * } \) 空间,算子 \( T \in \mathcal{L}\left( {\mathcal{X},\mathcal{Y}}\right) \) . 算子 \( {T}^{ * } : {\mathcal{Y}}^{ * } \... |
1306_[李文威] 高等代数 | 定义 1 | 定义 1 维子空间 \( {V}_{1} \mathrel{\text{:=}} \left\langle {v}_{1}\right\rangle \) ,另外记 \( \bar{V} \mathrel{\text{:=}} V/{V}_{1} \) ,则因为 \( T\left( {V}_{1}\right) \subset {V}_{1} \) ,推论 4.12.11 给出 \( \bar{T} : \bar{V} \rightarrow \bar{V} \) ,它映 \( v + {V}_{1} \) 为 \( {Tv} + {V}_{1} \) . 代入命题 5.10.2 可得
\[
{\operatorname{Cha... |
1292_[徐明曜&曲海鹏] 有限p群 | 定义 5.5.1 | 定义 5.5.1 有限群 \( G \) 的有序元素组 \( \left( {{b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{r}}\right) \) ,其诸元素的阶 \( o\left( {b}_{i}\right) = {n}_{i} > 1\left( {i = 1,2,\cdots, r}\right) \) 被称为是 \( G \) 的一组唯一性基底,如果对任意的 \( g \in G, g \) 均可唯一表成下列形式:
\[
g = {b}_{1}^{{m}_{1}}{b}_{2}^{{m}_{2}}\cdots {b}_{r}^{{m}_{r}},\;0 \leq {m}_{i} < {n}_{i},\;... |
1760_06代数学(上册) | 定义2.13 | 定义2.13 如果群 \( G \) 的心就是群 \( G \) 本身,换言之,我们有
\[
{g}_{1} * {g}_{2} = {g}_{2} * {g}_{1},\;\forall {g}_{1},{g}_{2} \in G,
\]
即运算的交换律成立,则称 \( G \) 为交换群. 反之,则称为非交换. 群.
例 11 § 1 例 1 中的群皆是交換群. 例 3 中的平面的平移群、反射群, 以及旋转群也皆是交换群, 而刚体运动群则是非交换群.
对于群 \( G \) 的心,我们还有另外一种理解方法,即 \( g \) 在群 \( G \) 的心中的充要条件是
\[
{\tau }_{g}\left( {g}_{... |
1990_实用数学手册 | 定义 6 | 定义 6 设图 \( G \) 有 \( n \) 个顶点,其连通分支数为 \( p \) ,则称 \( n - p \) 为图 \( G \) 的秩,记作 \( R\left( G\right) = n - p. \)
定义 7 起点与终点重合的通路称为回路.
定理 3 任一闭链必为回路或若干回路的直和.
定理 4 任一开链必为通路或通路与若干回路的直和.
例如,在图 20.2-2 中, \( w = \left( {{e}_{1},{e}_{2},{e}_{9},{e}_{7},{e}_{8}}\right) \) 为一开链,它是通路 \( \left( {{e}_{1},{e}_{8}}\right) \) 与回路 \... |
1566_强极限定理(林正炎) | 定义 1.3.2 | 定义 1.3.2 称函数 \( {a}_{2}\left( t\right) \left( {t \geq 0}\right) \) 属于过程 \( X\left( t\right) \) 的上下类,记作 \( {a}_{2} \in {ULC}\left( X\right) \) ,若对几乎所有 \( \omega \in \Omega \) ,存在数列 \( 0 < {t}_{1} = {t}_{1}\left( \omega \right) < {t}_{2} \) \( = {t}_{2}\left( \omega \right) < \cdots ,{t}_{i} \rightarrow \infty \left( {i ... |
1285_[张筑生] 微分动力系统原理 | 定义 3.3 | 定义 3.3 (极限集) 设 \( M \) 是紧流形, \( f \in \operatorname{Hon\kappa o}\left( M\right) \) . 记
\[
\mathrm{L}\left( f\right) - \mathop{\bigcup }\limits_{{x \in M}}\left( {{\omega }_{f}\left( x\right) \cup {\alpha }_{f}\left( x\right) }\right) .
\]
我们把 \( \mathrm{L}\left( f\right) \) 称为 \( f \) 的极限集.
命题 3.4 设 \( M \) 是紧流形, \(... |
1800_大学数学系自学丛书 近世代数 | 定义 2 | 定义 2 对于 \( R \) 一左模 \( M \) . 如果满足
\[
{RM} = M
\]
则称 \( M \) 为 \( R \) 上的左单式模.
定理 设 \( R \) 是有 \( 1 \neq 0 \) 的环,那么 \( R \) 上的左模 \( M \) 是单式的, 必要而且只要
( 4 ) \( {1x} = x,\;\forall x \in M \)
成立.
证明 若 ( 4) \( {1x} = x,\forall x \in M \) 成立. 则 \( \forall x \in M \) ,都有 \( x = {1x} \in {RM} \) ,故 \( M = {RM} \) . 于是知 ... |
1285_[张筑生] 微分动力系统原理 | 定义 2.1 | 定义 2.1 (滤子) 设 \( M \) 是紧致流形, \( f \in \operatorname{Homeo}\left( M\right) \) . 所谓 \( M \) 关于 \( f \) 的一个滤子 \( \mathcal{M} \) ,是一列紧致集
\[
\varnothing = {M}_{0} \subset {M}_{1} \subset \cdots \subset {M}_{l} = M,
\]
满足
\[
f\left( {M}_{\alpha }\right) \subset \operatorname{int}{M}_{\alpha }\left( {\alpha = 1,2,\cdots, l... |
1215_李文威-代数学方法卷二：线性代数(2023.01.31) | 定义 2.7.6 | 定义 2.7.6 对象 \( X \) 称为是
\( \diamond \) 半单的,如果存在一族单子对象 \( {\left( {X}_{i}\right) }_{i \in I} \) 使得 \( X = {\bigoplus }_{i \in I}{X}_{i} \) ;
\( \diamond \) 分裂的,如果所有短正合列 \( 0 \rightarrow {X}^{\prime } \rightarrow X \rightarrow {X}^{\prime \prime } \rightarrow 0 \) 皆分裂.
若所有对象皆半单 (或分裂),则称 \( \mathcal{A} \) 为半单 (或分裂) Abe... |
1513_遗传算法的数学基础(张文修) | 定义 3.1.4 | 定义 3.1.4 称 \( \{ \overrightarrow{X}\left( n\right) \} \) 几乎处处强收敛到全局最优解集,若
\[
P\left\{ {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {\overrightarrow{X}\left( n\right) \subset M}\right\rbrack }\right\} = 1
\]
\( \left( {3.1.4}\right) \)
记作 \( \overrightarrow{X}\left( n\right) \rightarrow M\left( \text{... |
1757_03微分几何讲义 | 定义 2.2 | 定义 2.2 设 \( M \) 是连通的黎曼流形, \( p, q \) 是 \( M \) 上任意两点. 命
\[
\rho \left( {p, q}\right) = \inf \overset{⏜}{pq},
\]
(2. 46)
其中 \( \overset{⏜}{pq} \) 指连结 \( p, q \) 两点的可求长曲线的弧长. \( \rho \left( {p, q}\right) \) 称为 \( p, q \) 两点之间的距离.
因为 \( M \) 是连通的,所以连结 \( p, q \) 的可求长曲线总是存在的, 故 (2. 46) 式总是有意义的,它定义了 \( M \times M \) 上的... |
1915_计算数学丛书 奇异摄动中的边界层校正法（苏煜城） | 定义 5 | 定义 5 关系式 \( f\left( \varepsilon \right) = O\left( {\varphi \left( \varepsilon \right) }\right) \left( {\varepsilon \rightarrow a}\right) \) 和 \( f\left( \varepsilon \right) = o\left( {\varphi \left( \varepsilon \right) }\right) \left( {\varepsilon \rightarrow a}\right) \) 称为阶的关系式.
定义 6 关系式
\[
f\left( \varepsilon \rig... |
1239_[丘维声] 高等代数(上册) | 定义 2 | 定义 2 数域 \( K \) 上两个 \( n \) 元二次型 \( {X}^{\mathrm{T}}{AX} \) 与 \( {Y}^{\mathrm{T}}{BY} \) ,如果存在一个非退化线性替换 \( X = {CY} \) ,把 \( {X}^{\mathrm{T}}{AX} \) 变成 \( {Y}^{\mathrm{T}}{BY} \) ,则称二次型 \( {X}^{\mathrm{T}}{AX} \) 与 \( {Y}^{\mathrm{T}}{BY} \) 等价,记作 \( {X}^{\mathrm{T}}{AX} \cong {Y}^{\mathrm{T}}{BY} \) .
定义 3 数域 \( K \)... |
159_巴拿赫空间引论 | 定义 2 | 定义 2. 由 \( E \) 上一非零线性 (分配) 泛函 \( f \) 所定义的集
\( {H}_{f} = \{ x \mid f\left( x\right) = c, x \in E\} \) ( \( c \) 为一固定常数) 称为 \( E \) 中的超平面.
注 1. 我们由定义 2 不难看出,上面的 “超平面” 定义即为有限维时平面概念的推广. 类似于 \( \$ {2.1} \) 中习题 9,我们可以推出
\[
{H}_{f} = {N}_{f} + {x}_{0}
\]
其中, \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 中使 \( f\left( {x}_{0}\right) = {c}_{0}... |
1349_[陈天权] 数学分析讲义1 | 定义 3.6.1 | 定义 3.6.1 假设函数 \( f\left( x\right) \) 的定义域是实轴上包含 \( \left( {a - A, a}\right) \cup \) \( \left( {a, a + A}\right) \) 的集合,其中 \( A \) 是某个正数. 函数 \( f\left( x\right) \) 的取值可以是复数.
函数 \( f\left( x\right) \) 被称为当 \( x \rightarrow a \) 时趋于 (或收敛于) 极限 \( \alpha \in \mathbf{C} \) ,假若
\[
\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0\f... |
1990_实用数学手册 | 定义 4 | 定义 4 定理 10 中的数 \( n\left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{t}, r}\right) \) 称为拉姆齐数.
定理 11 设 \( {i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{t} \) 是 \( \left\lbrack {1, t}\right\rbrack \) 的任一全排列,则拉姆齐数 \( n\left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{t}, r}\right) \) 满足等式
\[
n\left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{t}, r}\right) = n\left( {{p}_{{i}_{1... |
1990_实用数学手册 | 定义 5 | 定义 5 设 \( X\left( t\right) \) 是一随机过程,对于每一固定的 \( {t}_{1} \in T, X\left( {t}_{1}\right) \) 是一随机变量,则称
\[
{F}_{1}\left( {{x}_{1},{t}_{1}}\right) = P\left\{ {X\left( {t}_{1}\right) < {x}_{1}}\right\}
\]
为随机过程 \( X\left( t\right) \) 的一维分布函数.
对于连续型随机过程 \( X\left( t\right) \) ,存在函数 \( {f}_{1}\left( {{x}_{1},{t}_{1}}\right) ... |
1720_微分拓扑(徐森林) | 定义 3 | 定义 3 设 \( G \) 为 \( {G}^{r} \) 群, \( M \) 为 \( {C}^{r} \) 流形, \( r \in \{ 0,1,\cdots ,\infty ,\omega ) \) . 如果 \( {C}^{r} \) 映射 \( F : G \times M \rightarrow M,\left( {g, p}\right) \mapsto F\left( {g, p}\right) = {gp} \) 满足条件: (1) \( {ep} \) \( = p, p \in M, e \) 为 \( G \) 的单位元素; \( \left( 2\right) {g}_{1}\left( {{g}_{... |
1652_陶哲轩实分析 | 定义 2.2.1 | 定义 2.2.1(自然数的加法) 设 \( m \) 是自然数. 为使 \( m \) 加上零,我们定义 \( 0 + \) \( m \mathrel{\text{:=}} m \) . 现归纳的假定已定义好如何使 \( m \) 加上 \( n \) . 那么把 \( m \) 加于 \( n + + \) 则定义为 \( \left( {n + + }\right) + m \mathrel{\text{:=}} \left( {n + m}\right) + + . \)
于是 \( 0 + m \) 是 \( m,1 + m = \left( {0 + + }\right) + m \) 是 \( m + + ,2 + ... |
1215_李文威-代数学方法卷二：线性代数(2023.01.31) | 定义 1.4.1 | 定义 1.4.1 设 \( \mathbb{k} \) 为交换环. 若范畴 \( \mathcal{A} \) 中的 Hom 集都带有 \( \mathbb{k} \) -模结构,使得态射合成 \( \operatorname{Hom}\left( {Y, Z}\right) \times \operatorname{Hom}\left( {X, Y}\right) \rightarrow \operatorname{Hom}\left( {X, Z}\right) \) 对所有对象 \( X, Y, Z \) 都是 \( \mathbb{k} \) -双线性映射,或者换言之有交换图表
![89ade116-2964-47a0-9... |
1897_[现代数学基础丛书].[拓扑动力系统概论] | 定义 2.7.12 | 定义 2.7.12 称系统 \( X \) 为 \( Y \) 相对于 \( T \in \Gamma \) 的弱混合扩充是指 \( X{ \times }_{Y}X \rightarrow Y \) 为 \( Y \) 相对于 \( T \) 的遍历扩充. 记为 \( X \rightarrow Y \) 弱混合 (rel. \( T \) ). 如果 \( \phi \) 相对于每个 \( T \in \Gamma \) 为弱混合的,那么称 \( X \) 为 \( Y \) 相对于 \( \Gamma \) 的弱混合扩充.
引理 2.7.13 如果系统 \( X \) 为 \( Y \) 相对于 \( T \in \Gamm... |
1746_世界数学名题欣赏丛书-希尔伯特第十问题 | 定义 9.2 | 定义 9.2 函数类 \( R \) 称为是递归的 (或部分递归的), 如果它从初始函数出发, 使用复合, 原始递归式和最小 \( \mu \) 运算得到.
使用最小 \( \mu \) 运算产生出部分函数时对应着部分递归函数类. 这里我们将只用 \( h\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 是处处有定义的情形.
我们提出的一个重要问题是: 刁藩图函数和递归函数是什么关系? 在回答这个问题前, 我们再举一些显示各自能力的例子.
(一) 素数集合是刁藩图的
令 \( P \) 为素数集合,则.
\[
x \in P \Leftrightarrow x > 1\& {\left(... |
1761_06代数学(下册) | 定义 8.2 | 定义 8.2 任何一个整环,适合上面的条件 \( \left( {\mathrm{K}}_{1}\right) ,\left( {\mathrm{K}}_{2}\right) ,\left( {\mathrm{K}}_{3}\right) \) , \( \left( {\mathrm{K}}_{\mathrm{d}}\right) \) ,则称为一个 Krull 整环. \( F \) 中的赋值 \( v \) ,称为 \( D \) 的主要赋值.
讨论 1) 上面的讨论说明了, 任意的 Dedekind 整环都是 Krull 整环。
2) 可以证明, \( F = \left\{ {{D}_{0} : \operatorna... |
1305_[李文威] 模形式初步 | 定义 1.6.7 | 定义 1.6.7 (边, 顶点, 尖点) 我们规定:
\( \diamond D\left( {x}_{0}\right) \) 的边为形如 \( {\delta D}\left( {x}_{0}\right) \cap D\left( {x}_{0}\right) \) 而长度非零的测地线段 (容许无穷长),其中 \( \delta \in \bar{\Gamma } \smallsetminus \{ 1\} \)
\( \diamond \) 设 \( \xi \in D\left( {x}_{0}\right) \) ,若存在相异元 \( \delta ,{\delta }^{\prime } \in \bar{\Gam... |
1327_[耿素云&屈婉玲&王捍贫] 离散数学教程 | 定义 11.3 | 定义 11.3 设 \( G \) 为简单平面图,若在 \( G \) 的任意不相邻的顶点 \( u, v \) 之间加边 \( \left( {u, v}\right) \) ,所得图为非平面图,则称 \( G \) 为极大平面图.
\( {K}_{1},{K}_{2},{K}_{3},{K}_{5} - e \) (表示 \( {K}_{5} \) 删除任意一条边) 均为极大平面图. 从定义不难看出,极大平面图必是连通的. 另外,当阶数 \( n \geq 3 \) 时,有割点或桥的平面图不可能是极大平面图. 而极大平面的最大特点应由下面定理所提供.
定理 11.4 \( G \) 为 \( n\left( {n \geq ... |
1243_[丘维声] 高等代数学习指导书(上册) | 定义 6 | 定义 6 设 \( \sigma \) 是 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个映射, \( {K}^{n} \) 的一个子集
\[
\left\{ {\mathbf{\alpha } \in {K}^{n} \mid \sigma \left( \mathbf{\alpha }\right) = \mathbf{0}}\right\}
\]
称为映射 \( \sigma \) 的核,记作 Ker \( \sigma \) 。
容易验证,如果 \( \sigma \) 是 \( {K}^{n} \) 到 \( {K}^{s} \) 的一个线性映射,那么 \( \operatorname{Ker}\... |
1323_[王长平] 几何学 | 定义 3.2 | 定义 3.2 设 \( \Gamma \) 是平面上由二次方程
\[
F\left( {x, y}\right) = A{x}^{2} + {2Bxy} + C{y}^{2} + {2Dx} + {2Ey} + F = 0
\]
定义的二次曲线. 我们定义它的三个代数不变量 \( {I}_{1},{I}_{2},{I}_{3} \) 分别为
\[
{I}_{1} = A + C,\;{I}_{2} = \left| \begin{array}{ll} A & B \\ B & C \end{array}\right| ,\;{I}_{3} = \left| \begin{array}{lll} A & B & D \\ B &... |
1337_[谭小江] 多复分析与复流形引论 | 定义 4.3.5 | 定义 4.3.5 设 \( \pi : E \rightarrow M \) 是流形 \( M \) 上的一个复向量丛, \( E \) 上的一个Hermite 度量 \( \mathrm{d}{s}^{2} \) 是对每一点 \( P \in M \) ,在复向量空间 \( {E}_{P} \) 上给定的一个 Hermite 度量 \( \mathrm{d}{s}_{P}^{2} = {\left( ,\right) }_{P} \) ,满足对于 \( M \) 中的任意开集 \( U \) , 以及 \( E \) 在 \( U \) 上任意的可微截影 \( {w}_{1},{w}_{2} \) ,映射 \( P \mapsto... |
17_Al-jabr-2-partial | 定义 7.6.11 | 定义 7.6.11 考虑函子 \( G : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C} \) 和 \( \mathcal{D} \) 的一对态射 \( f, g : X \rightrightarrows Y \) . 如果存在态射 \( h : G\left( Y\right) \rightarrow Z \) 使得图表
\[
G\left( X\right) \xrightarrow[{Gg}]{Gf}G\left( Y\right) \overset{h}{ \rightarrow }Z
\]
是 \( \mathcal{C} \) 中的分裂叉,则称 \( \left( {f, g}\right... |
1293_[徐明曜&赵春来] 抽象代数2 | 定义 0.28 | 定义 0.28 设 \( K/F \) 是代数扩张. 如果 \( K \) 的所有元素都是 \( F \) 上的可分元素,则称 \( K/F \) 为可分扩张. 否则称为不可分扩张.
命题 0.29 设 \( K/F \) 是有限扩张,则 \( K/F \) 是可分扩张当且仅当 \( {\operatorname{tr}}_{K/F} : K \rightarrow F \) 是加法群的满同态.
定义 0.30 正规可分扩张称为 Galois 扩张. 设 \( K/F \) 是 Galois 扩张,则称保持 \( F \) 的每个元素都不动的 \( K \) 的自同构 (在映射复合运算下构成的) 群为 \( K/F \) 的 G... |
Subsets and Splits
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