solution stringlengths 1 23 | prompt_tr stringlengths 0 3.2k |
|---|---|
0 | $q$ bir gerçek sayı olsun. Gugu'nun peçetesinde on adet birbirinden farklı gerçek sayı yazılıdır ve tahtaya gerçek sayılar halinde aşağıdaki üç satırı yazar:
1. Birinci satırda Gugu, peçetesindeki iki (farklı olmak zorunda olmayan) sayı $a$ ve $b$ için $a-b$ biçimindeki her sayıyı yazar.
2. İkinci satırda Gugu, birin... |
6 | Bir sınıfta $12$ öğrenci vardır; bunlardan $6$'sı Demokrat ve $6$'sı Cumhuriyetçidir. Her saat, öğrenciler siyasi tartışmalar için rastgele üçer kişilik dört gruba ayrılır. Eğer bir grup her iki partiden öğrenciler içeriyorsa, gruptaki azınlık tartışma sonunda çoğunluğun siyasi görüşüne döner. Tüm $12$ öğrencinin aynı ... |
30 | $ABC$ bir üçgendir ve $AB = 33$, $AC = 21$ ve $BC = m$ olup $m$ bir tam sayıdır. $AB$ ve $AC$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları vardır öyle ki $AD = DE = EC = n$, burada $n$ da bir tam sayıdır. $m$ değerini bulun. |
2 | p^2 + 2543'ün farklı pozitif bölenlerinin sayısı 16'dan az olan tüm asal p'leri bulun. |
24 | Yarıçapı $6$ olan bir çemberin içinde merkezleri $A$, $B$, $C$ ve $D$ olan dört küçük çember bulunmaktadır. Bu çemberler gösterildiği gibi birbirlerine temas etmektedir. Merkezleri $A$ ve $C$ olan çemberlerin birbirine temas ettiği nokta büyük çemberin merkezidir. $ABCD$ dörtgeninin alanını hesaplayın. |
14 | Akut üçgen $\triangle ABC$'de $D$, $E$ ve $F$ sırasıyla $A$, $B$ ve $C$'den indirilen yüksekliklerin ayakları olsun; $AF = 28$, $FB = 35$ ve $BD = 45$. $P$, $BE$ doğru parçası üzerinde öyle bir nokta olsun ki $AP = 42$. $CP$ uzunluğunu bulun. |
2 | Öyle pozitif tam sayılar $n$ bulunuz ki, bazı asal $p$ için $p^n - (p-1)^n$ sayısı 3'ün bir kuvveti olsun.
Not: 3'ün bir kuvveti, $a$ pozitif tam sayı olmak üzere $3^a$ biçimindeki sayıdır. |
86 | Çevresi $2008$ olan, kenarları tam sayı olan ikizkenar geniş açılı üçgenlerin sayısını bulun. |
73 | Zimmer kabilesinde, bir çocuk bir dizi yürüyüşten oluşan bir geçiş törenini tamamlayana kadar erkek sayılmaz. İlk yürüyüş ana yoldan yapılan $5$ kilometrelik bir yürüyüştür. İkinci yürüyüş yan yoldan yapılan $5\frac{1}{4}$ kilometrelik bir yürüyüştür. Her sonraki yürüyüş farklı bir yol boyunca olup, bir önceki yürüyüşt... |
2047 | $f(n)$, toplamadaki terimlerin sırasının önemli olduğu şekilde $n$'in $2$'nin kuvvetleri toplamı olarak yazılma yollarının sayısı olsun. Örneğin, $f(4) = 6$ çünkü $4$ şu şekilde yazılabilir:
- $4$
- $2 + 2$
- $2 + 1 + 1$
- $1 + 2 + 1$
- $1 + 1 + 2$
- $1 + 1 + 1 + 1$
$2013$'ten büyük ve $f(n)$'nin tek olduğu en küçük $... |
100902018 | Tek sayıda basamağa sahip ve orta basamağı çıkarılarak elde edilen $B$ sayısı ile birlikte hem $A$ hem de $B$ 2018'e tam bölünen en küçük pozitif tam sayı $A$'yı bulun. |
1 | Denklemin
\[
x^n + (2+x)^n + (2-x)^n = 0
\]
bir tamsayı çözümü bulunduğu tüm pozitif tam sayılar n'yi belirleyin. |
2023 | Matilda $12$ dörtgen çizdi. İlk dörtgen kenarları tam sayı olan bir dikdörtgendir, burada genişlik uzunluğun $7$ katıdır. Her seferinde bir dörtgen çizdiğinde, ardışık kenar çiftlerinin her birinin orta noktalarını bir doğru parçasıyla birleştirdi. Matilda'nın çizdiği son dörtgen, alanı $1$'den küçük olan ilk dörtgendi... |
2 | Denklemin tüm gerçek çözümlerini belirleyin:
\[
\frac{x^{2}}{x-1} + \sqrt{x-1} + \frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}} = \frac{x-1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}}.
\] |
4224 | Kenarları $x$, $65$ ve $65$ olan ikizkenar üçgenin alanının pozitif tam sayı olduğu $x$ değerlerinin sayısını bulun. |
0 | Tüm $x, y$ için $f(x+y) + f(x-y) = f(3x)$ koşulunu sağlayan $f : \mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını belirleyin. |
3 | $p$ bir asal sayı olsun. 1'den $p$'ye kadar olan tüm doğal sayılar artan sırayla yan yana yazılıyor. Bu dizinin, her bloğun toplamı eşit olacak şekilde birkaç ardışık sayı bloğuna ayrılabildiği tüm $p$ değerlerini bulun. |
3780 | Beş hava yolu şirketi 36 şehirden oluşan bir ülkede faaliyet göstermektedir. Her iki şehir arasındaki her bir çift için tam olarak bir şirket iki yönlü seferler düzenlemektedir. Eğer bir hava yolu şirketi şehirler $A, B$ ile $B, C$ arasında sefer düzenliyorsa, $A, B, C$ üçlüsünün uygun-bağlantılı olduğunu söylüyoruz. B... |
50 | Her hücrede, uzunluğu $100$ olan bir şerit bir pul değerindedir. Herhangi $2$ bitişik pulu yer değiştirebilir ve bunun için $1$ ruble ödeyebilirsiniz; ayrıca aralarında tam olarak $4$ pul bulunan herhangi $2$ pulu ücretsiz olarak yer değiştirebilirsiniz. Pulları ters sırada dizmek için en az kaç ruble harcamanız gereki... |
1 | Aşağıdaki koşulları sağlayan bir dikdörtgen tabloya $n$'nin tüm pozitif bölenlerinin yerleştirilebildiği tüm pozitif tam sayıları bulun:
- Her hücre farklı bir bölen içerir.
- Tüm satırların toplamları eşittir.
- Tüm sütunların toplamları eşittir. |
999 | *Winners Make Zeros* oyununda, bir çift pozitif tam sayı \((m,n)\) bir kağıda yazılır. Ardından oyun başlar; oyuncular aşağıdaki yasal hamleleri yaparlar:
- Eğer \(m \geq n\) ise, oyuncu \(m-cn \geq 0\) olacak şekilde pozitif bir tam sayı \(c\) seçer ve \((m,n)\) yerine \((m-cn,n)\) koyar.
- Eğer \(m < n\) ise, oyuncu... |
3825 | Varsayalım ki $f(a+b) = f(a) + f(b) + ab$ ve $f(75) - f(51) = 1230$. $f(100)$'ü bulun. |
1342 | Aşağıdakini sağlayan tüm $n > 1$ doğal sayılarını bulun: $n$ ile onun ikinci en büyük böleninin toplamı $2013$'tür. |
101 | Bir $n \times n$ tablonun karelerinden yüz bir tanesi maviye boyanmıştır. Aşağıdaki özelliğe sahip olarak, tablonun karelerinin sınırları boyunca dikdörtgenlere ayrılmasının tek bir şekilde yapılabildiği bilinmektedir: her dikdörtgen tam olarak bir mavi kare içerir. Olabilecek en küçük $n$ değerini bulun. |
4016 | Tahtaya konveks bir 2011-gon çizildi. Peter, onun köşegenlerini her yeni çizilen köşegenin daha önce çizilmiş köşegenlerden en fazla biriyle kesişecek şekilde çizmeye devam ediyor. Peter en çok kaç köşegen çizebilir? |
52 | Ondalık gösterimi sonlu olan $\frac{2n+1}{n(n-1)}$ kesrini veren tüm pozitif tam sayılar $n$'in toplamını bulun. |
11 | Hangi pozitif tam sayı $n$ için $\frac{n}{3} + \frac{40}{n}$ ifadesi en küçük olur? |
8102 | Bob boş bir beyaz tahta ile başlar. Ardından tekrar tekrar rakamlardan $1,2,\ldots,9$'u (eşit olasılıkla rastgele) seçer ve o anda yazılı olan sayının sonuna ekler. Bob, tahtadaki sayı $25$'in katı olduğunda durur. $E$'yi Bob'un yazdığı basamak sayısının beklenen değeri olarak tanımlayalım. Eğer $E=\frac{m}{n}$ ve $m,n... |
31 | Hari kübiklere takıntılıdır. Baş katsayısı 1, katsayıları rasyonel ve gerçek kökleri $0 < a < b < c < 1$ olan bir kübik polinom bulur. Aşağıdaki üç bilgiyi bilir:
1. $P(0) = -\frac{1}{8}$
2. Kökler $a, b, c$ sırasıyla bir geometrik dizi oluşturur.
3. \[ \sum_{k=1}^{\infty} (a^k + b^k + c^k) = \frac{9}{2} \]
$a + b +... |
20 | $A$ ve $B$, merkezi $C$ ve yarıçapı $20$ olan bir çember üzerindedir ve $\angle ACB = 60^\circ$. $D$ de çember üzerindedir; $\angle ACD = 160^\circ$ ve $\angle DCB = 100^\circ$ olacak şekilde seçilmiştir. $E$, $AC$ ve $BD$ doğrularının kesişimi olsun. $DE$ nedir? |
243 | Öyle bir $n > 3$ olan en küçük tam sayıyı bulun ki, $\{3, 4, \ldots, n\}$ kümesinin herhangi bir iki kümeye bölünmesinde, bu iki kümeden en az birinde $ab = c$ olacak üç (farklı olmak zorunda olmayan) $a, b, c$ sayısı bulunsun. |
35 | En uzun parçası en küçüğünün iki katını aşmayan $16$ farklı doğru parçasından (her üçgen üç parça ile oluşturulur) en fazla kaç tane geniş açılı üçgen oluşturulabilir? |
5 | Hem $4p^2+1$ hem de $6p^2+1$ asal olan tüm asal $p$'leri bulun. |
7 | Üçgen $ABC$'de $\angle A = 90^\circ$ ve iç merkez $I$ olsun. Merkezi $I$ olan ve $A$ noktasından geçen bir çember çizilir; bu çember $\overline{BC}$ ile $E$ ve $F$ noktalarında kesişir ve $BE < BF$ olacak şekilde. Eğer $\frac{BE}{EF} = \frac{2}{3}$ ise, $\frac{CF}{FE} = \frac{m}{n}$ olur; burada $m$ ve $n$ aralarında a... |
1374 | Pozitif tam sayı $n$'in tüm pozitif bölenlerinin ortalaması olarak $A(n)$'i tanımlayın. $A(n) = 42$ olan tüm çözümlerin toplamını bulun. |
8 | $f(x), g(x)$ iki adet ikinci dereceden üç terimli polinomdur ve $a, b, c, d$ bazı gerçek sayılardır. Aşağıdaki değerler verilmiştir:
- $f(a) = 2$
- $f(b) = 3$
- $f(c) = 7$
- $f(d) = 10$
- $g(a) = 16$
- $g(b) = 15$
- $g(c) = 11$
$g(d)$ değerini bulun. |
19 | $p^2 - p + 1$ ifadesi bir tam küp olduğunda tüm asal sayıları $p$ bulun. |
1 | Aşağıdaki özelliğe sahip derece 5 bir polinom $P$ vardır: eğer $z$ kompleks bir sayı olup $z^5 + 2004z = 1$ ise, o zaman $P(z^2) = 0$. $\frac{P(1)}{P(-1)}$ bölümünü hesaplayın. |
261 | Aşağıdaki koşulları sağlayan $a > 5$ olan en küçük tek sayıyı belirleyin: Pozitif tamsayılar $m_1, m_2, n_1, n_2$ öyle ki $a = m_1^2 + n_1^2$, $a^2 = m_2^2 + n_2^2$ ve $m_1 - n_1 = m_2 - n_2$. |
3 | Pozitif tamsayı olan tüm n'leri bulunuz öyle ki $\frac{(2n)!+1}{n!+1}$ sayısı bir pozitif tamsayı olsun. |
250000 | $1000 \times 1000$ boyutundaki bir tahtada, her bir domino tahtadaki tam olarak iki kareyi kaplayacak şekilde domino yerleştirilir. Ayrıca, iki domino bitişik olamaz; sadece köşede temas edebilirler. Bu şekilde tahtaya yerleştirilebilecek maksimum domino sayısını belirleyin. |
7 | Pozitif asal sayılar p ve q olmak üzere $$p^2 + pq + q^2 = r^2$$ denklemini sağlayan tüm pozitif tamsayı r'leri bulun. |
331 | Üçgen $ABC$'nin kenar uzunlukları $AB = 20$, $AC = 14$, ve $BC = 22$'dir. $B$'den çizilen medyan $AC$ ile $M$ noktasında kesişir, ve $C$'den çizilen açıortay $AB$ ile $N$ noktasında ve $B$'den çizilen medyan ile $P$ noktasında kesişir. Pozitif ve aralarında asal tam sayılar $p$ ve $q$ olmak üzere $\frac{p}{q} = \frac{[... |
2842 | Tamsayı katsayılarına sahip bir ikinci dereceden polinom $p(x)$, $p(41)=42$ koşulunu sağlar. Bazı tamsayılar $a,b>41$ için $p(a)=13$ ve $p(b)=73$ olur. $p(1)$ değerini hesaplayın. |
11 | Herhangi bir iki renge boyama durumunda $1$ ile $n$ arasındaki tam sayılardan mutlaka aynı renkte (birbirinden farklı olmak zorunda olmayan) $a$, $b$, $c$ ve $d$ bulunup $a + b + c = d$ olacak şekilde en küçük $n$ kaçtır? |
2 | Sergei iki farklı doğal sayı $a$ ve $b$ seçer. Defterine dört sayı yazar: $a$, $a+2$, $b$ ve $b+2$. Daha sonra defterindeki sayıların tüm altı ikili çarpımını tahtaya yazar. Tahtadaki tam karelerin sayısına $S$ diyelim. $S$'nin alabileceği maksimum değeri bulun. |
1 | $f(a) = a$ olacak şekilde $f(x) = x^4 - x^3 - x^2 + ax + 1$ fonksiyonunun bir göreli minimumu olan gerçel $a$'yı belirleyin. |
20 | Kenar uzunluğu $10$ olan $ABCD$ karesi verilsin, ve $P$ noktası $BC$ kenarı üzerinde olsun. Kağıdı $AP$ doğrusu boyunca katlayarak, şekilde görüldüğü gibi $B$ noktası $Q$ noktasına gelir. $PQ$ doğrusu $CD$ kenarını $R$ noktasında keser. Üçgen $PCR$'ün çevresini hesaplayın. |
9 | Denklemi çözün:
\[
\sin 9^\circ \sin 21^\circ \sin(102^\circ + x^\circ) = \sin 30^\circ \sin 42^\circ \sin x^\circ
\]
0 < x < 90 aralığındaki x değerlerini bulun. |
20 | Bir olimpiyata $100$ ülke katılıyor. $n$ pozitif bir tam sayı olsun ve $100$ ülkenin her birinin tam olarak $n$ dilde iletişim kurmaya istekli olduğunu varsayalım. Her $20$ ülke kümesinin tam olarak bir ortak dilde iletişim kurabildiği ve hiçbir dilin tüm $100$ ülkenin ortak dili olmadığı durumda, $n$'nin alabileceği e... |
7 | Cambridge'deki her kişi su ve elma suyu karışımından (muhtemelen farklı) $12$ onsluk bir içecek içer; her içecek her iki sıvıdan da pozitif miktar içerir. Cambridge'in belediye başkanı Marc McGovern içilen toplam su miktarının $\frac{1}{6}$sını ve içilen toplam elma suyu miktarının $\frac{1}{8}$ini içer. Cambridge'te k... |
1440 | Diyelim ki $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$'nin kökleri farklı negatif tam sayılardır. Eğer $a + b + c = 2014$, $c$'yi bulun. |
47 | Bir tam sayı $x$, bir doğal sayı $n$ ve bir asal sayı $p$ şu denklemi sağlasın: $7x^2 - 44x + 12 = p^n$. $p$'nin en büyük değerini bulun. |
9 | Üç adil altı yüzlü zar atılır. Atılan zarların medyanının beklenen değeri, $m$ ve $n$ aralarında asal tam sayılar olmak üzere $\frac{m}{n}$ şeklinde yazılabilir. $m+n$'yi bulun. |
56 | Bir üçgenin kenar uzunlukları $x$, $75$ ve $100$ olup $x < 75$, yükseklikleri ise $y$, $28$ ve $60$ olup $y < 28$'dir. $x + y$ kaçtır? |
2025 | Bir kare, hiçbir iki dikdörtgenin iç noktalarının ortak olmadığı şekilde $2022$ dikdörtgene bölünmüştür. Bu dikdörtgenlerin kenarları tarafından belirlenebilecek farklı doğru sayısının en fazla değeri nedir? |
118 | Şekilde, $\angle AOB = \angle BOC$ ve $\angle COD = \angle DOE = \angle EOF$. $\angle AOD = 82^\circ$ ve $\angle BOE = 68^\circ$ verilmiştir. $\angle AOF$'u bulun. |
10201 | Kurbağa Kermit arka bahçesindeki sonsuz kare ızgarada zıplamaktan hoşlanır. Kuzeye veya güneye bir adım zıplaması $1$ Joule enerji, doğuya veya batıya bir adım zıplaması da $1$ Joule enerji gerektirir. Bir sabah ızgarada $100$ Joule enerjiyle uyanır ve enerjisi $0$ olana kadar zıplar. Kaç farklı yere uyuyakalmış olabil... |
12376 | Bir tablo, $n$ satır ve $18$ sütundan oluşmaktadır. Her hücre ya $0$ ya da $1$ içerir. Tablo aşağıdaki özellikleri sağlar:
1. Her iki satır birbirinden farklıdır.
2. Her satırda tam olarak $6$ hücre $1$ içerir.
3. Her üç satır için, öyle bir sütun vardır ki o sütun ile bu üç satırın kesişimindeki (üç hücre) tümü $0$ i... |
7 | Başlangıçta, $K_{2024}$'ün tüm kenarları $13$ farklı renkle boyanmıştır. Başlangıçtaki boyama nasıl olursa olsun, seçilen bu $k$ renkle boyanan kenarlardan oluşan altgraf her zaman bağlı ise, $k$'nin alabileceği en küçük değeri bulun. |
3 | Bazı doğal sayılar $m$ ve $n$ için $1324 + 279m + 5^n$ ifadesinin bir doğal sayının $k$'inci kuvveti olduğu en küçük doğal $k$'yı bulun. |
39 | $a, b, c, d$ şu polinomun dört kökü olsun:
\[
x^4 + 3x^3 - x^2 + x - 2.
\]
Verildi ki:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{1}{2}
\]
ve
\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = -\frac{3}{4},
\]
şunun değeri:
\[
\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + \frac{1... |
1018 | $a$, $b$, $c$ ve $d$ gerçek sayılar olmak üzere, aşağıdaki denklem sistemini sağlayan gerçek sayı $k$'yı bulun:
\[
\begin{align*}
abcd &= 2007, \\
a &= \sqrt{55 + \sqrt{k+a}}, \\
b &= \sqrt{55 - \sqrt{k+b}}, \\
c &= \sqrt{55 + \sqrt{k-c}}, \\
d &= \sqrt{55 - \sqrt{k-d}}.
\end{align*}
\] |
5 | p değerini belirleyin öyle ki $p$, $4p^2 + 1$ ve $6p^2 + 1$ sayıların tamamı asal olsun. |
15 | İki yarım daire ortadaki bir daireye teğet olup, her iki yarım daire ve ortadaki daire gösterildiği gibi bir yatay doğruya teğettir. Eğer $PQ = QR = RS = 24$ ise, yarıçap $r$'nin uzunluğunu bulun. |
16 | Jack ve Jill bir şans oyunu oynuyorlar. Sırasıyla dönüşümlü olarak 1'den 6'ya kadar tamsayılarla etiketlenmiş adil bir altı yüzlü zar atıyorlar (adillik, sayıların eşit olasılıkla gelmesi anlamına gelir). Jack, kendi attığında asal bir sayı gelirse kazanır; Jill ise kendi attığında 1'den büyük bir sayı gelirse kazanır.... |
22 | Pozitif tam sayılardan oluşan sonlu bir $M$ kümesi, birbirinden farklı tam kareler ve $92$ sayısından oluşur. $M$ içindeki sayıların ortalaması $85$'tir. Eğer $92$'yi $M$'den çıkarırsak, ortalama $84$'e düşer. Eğer $N^2$, $M$'deki mümkün olan en büyük kare ise, $N$ kaçtır? |
0 | x^3 - x + a = 0 denkleminin üç farklı tam sayı çözümü olması için a'nın tüm değerlerini bulun. |
6 | Pozitif tam sayılarda aşağıdaki denklemi çözünüz:
$$ \left[ \sqrt{1} \right] + \left[ \sqrt{2} \right] + \left[ \sqrt{3} \right] + \ldots + \left[ \sqrt{x^2 - 2} \right] + \left[ \sqrt{x^2 - 1} \right] = 125, $$
burada $[a]$ gerçel sayı $a$'nın tam kısmını gösterir. |
3 | Varsayalım ki $x, y, z$ sıfır olmayan gerçek sayılar olup:
\[
\begin{cases}
x = 2 - \dfrac{y}{z} \\
y = 2 - \dfrac{z}{x} \\
z = 2 - \dfrac{x}{y}.
\end{cases}
\]
Tüm olası $T = x + y + z$ değerlerini bulun. |
3 | Pozitif bir tam sayı $m$, $1$ ve $m$ de dahil olmak üzere tüm pozitif bölenlerinin toplamı $2m$'ye eşitse mükemmel sayı olarak adlandırılır. $n^n + 1$'in mükemmel sayı olduğu pozitif tam sayılar $n$'yi belirleyin. |
6 | Negatif olmayan tam sayılardan oluşan sıralı üçlülerin $(a, b, c)$ sayısını bulun:
\[
(ab + 1)(bc + 1)(ca + 1) = 84.
\] |
100 | Kartezyen koordinat düzleminde nokta $A = (1,2)$ ve nokta $B = (3,4)$ verilmiştir. Nokta $P = (a, 0)$ $x$-ekseni üzerindedir. $P$, $AP + PB$ toplamı minimize edilecek şekilde seçildiğine göre, $60a$ değerini hesaplayın. |
3 | Tam sayılar $m$, $n$ ve $k$ şu denklemi sağlıyorsa $m^2 + n^2 + 1 = kmn$, $k$ hangi değerleri alabilir? |
2001 | $2001^k$'nın $2000^{2001^{2002}} + 2002^{2001^{2000}}$ ifadesini böldüğü en büyük $k$ değerini bulun. |
4 | Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 6x^2 + 17x$, eğer $f(a) = 16$ ve $f(b) = 20$ ise, $a + b$ değerini bulun. |
-3 | Varsayalım $a$ gerçek bir sayı olsun; $3a + 6$ $a$'ya eşit ya da ondan küçük olan en büyük tamsayı ve $4a + 9$ $a$'ya eşit ya da ondan büyük olan en küçük tamsayıdır. $a$'yı bulun. |
13 | İki çember, her ikisi de aynı yarıçapa $r$ sahip olacak şekilde, birbirlerini kesmeyecek biçimde düzlemde yerleştirilmiştir. Düzlemdeki bir doğru birinci çemberi $A, B$ noktalarında, diğerini ise $C, D$ noktalarında keser, öyle ki $|AB| = |BC| = |CD| = 14\text{ cm}$. Başka bir doğru çemberleri sırasıyla $E, F$ ve $G, H... |
6 | Bir masa tenisi kulübü bir dizi çiftler maçı düzenliyor ve şu kurallar geçerli:
1. Her oyuncu en fazla iki çifte dahildir.
2. Her iki farklı çift en fazla bir kez birbirleriyle maç yapar.
3. Aynı çiftteki oyuncular, başka oyuncularla eşleştirildiklerinde birbirlerine karşı oynamazlar.
Her oyuncu bu seride belli sayıda... |
15 | Dünya kusursuz bir küre olarak kabul edilsin ve çevresi $60$ birim olsun. Büyük çember, bir küre üzerindeki ve merkezinin aynı zamanda kürenin merkezi olduğu çemberdir. Dünya üzerinde üç büyük çember üzerinde üç tren hattı vardır. Bunlardan biri ekvator boyunca uzanmakta, diğer ikisi ise kutuplardan geçip birbirleriyle... |
100 | Bir masada başlangıçta tümü boş olan $100$ kırmızı ve $k$ beyaz kova bulunmaktadır. Her hamlede bir kırmızı ve bir beyaz kova seçilir ve her ikisine eşit miktarda su eklenir. Belirli sayıda hamleden sonra hiçbir kova boş değildir ve en az bir kez birlikte seçilmiş her kova çiftinde bu kovaların içindeki su miktarı aynı... |
5 | $n$ ardışık pozitif tam sayı bir sıraya dizilmiştir (sıralı olmak zorunda değildir) öyle ki sıradaki herhangi üç ardışık tam sayının toplamı üçlünün en solundaki sayıya tam bölünür. Satırdaki son sayı tek ise $n$'in alabileceği en büyük değeri belirleyin. |
0 | Her pozitif tam sayı $n$'ye aşağıdaki koşullar sağlanacak şekilde negatif olmayan bir tam sayı $f(n)$ atansın:
1. $f(rs) = f(r) + f(s)$
2. $f(n) = 0$, eğer $n$'in sağdan sola doğru ilk basamağı 3 ise.
3. $f(10) = 0$.
$f(1985)$ değerini bulun. Cevabınızı gerekçelendirin. |
1 | Aşağıdaki kutulara $1, 2, 3, \ldots, 16$ tamsayılarını yerleştirmenin tüm yollarını bulun; her tamsayı tam olarak bir kutuda yer almalı ve komşu her çiftin toplamı bir tam kare olmalıdır.
\begin{asy}
import graph;
real r=10;
size(r*cm);
picture square1;
draw(square1, (0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--cycle);
add(scale(r/31... |
1 | $n^4 + 8n + 11$ ifadesi iki veya daha fazla ardışık tam sayının çarpımı olan tüm tam sayı $n$ değerlerini bulun. |
12 | Princeton Jonglör Kulübü'ndeki yedi öğrenci bir buluşma odası arıyor. Ancak birbirlerinden en az $6$ fit uzakta olmaları gerekiyor ve ara sınavlar nedeniyle bulabildikleri tek boş odalar dairesel. Fit cinsinden, birbirlerinden en az $6$ fit uzakta olan yedi noktayı içine alabilecek herhangi bir çemberin en küçük çapı k... |
2 | Üç özdeş çember birim kare içine yerleştirilmiştir. Her biri diğerlerine teğet olup karenin en az bir kenarına teğettir. Eğer $r$ çemberlerin alabileceği maksimum yarıçapsa, $(2-\frac{1}{r})^2$ kaçtır? |
129 | Bir terkedilmiş kimya laboratuvarında Gerome, iki kefeli bir terazi ile üçer adet 1 gramlık, 5 gramlık ve 50 gramlık ağırlıklar buldu. Terazinin kefelerine bir yığın kimyasal ve gerektiği kadar ağırlık koyarak, Gerome yığındaki kimyasaldan çeşitli miktarları tartıp ölçebilir. Gerome'nin tartıp ölçebileceği farklı pozit... |
1 | Her pozitif tam sayı \(n\) için \( \{ n+1, n+2, \ldots, n+16 \} \) kümesinde \( n(n+17) \) ile aralarında asal en az \(k\) tane sayı bulunduğu en büyük \(k\) değerini bulun. |
1382 | $0 \le m,n \le 2^{2017}-1$ olan tam sayılar için, $\left\lfloor \frac{m}{2^k} \right\rfloor$ ve $\left\lfloor \frac{n}{2^k} \right\rfloor$ her ikisi de tek tam sayılar olan negatif olmayan tam sayılar $k$ sayısına $\alpha(m,n)$ diyelim. $2^{2017}\times 2^{2017}$ boyutunda, $(i,j)$ inci girdisi ( $1 \le i,j \le 2^{2017}... |
52 | $2^{3^{4^{\cdots^{2019}}}}$ sayısının son iki basamağı nedir? |
255 | Bir harf dizisi \( \mathcal{S} \)'nin \textit{alt dizi}'sini pozitif uzunlukta bir dizi olarak, \( \mathcal{S} \)'deki harflerin herhangi bir sayısını sırayla kullanarak oluşturulan şekilde tanımlayın. Örneğin, \( HARRISON \)'ın bir alt dizisi \( ARRON \)'dur. \( HARRISON \) içindeki alt dizilerin sayısını hesaplayın. |
64 | Pozitif tam sayılar $a$, $b$ ve $c$ bazı pozitif tam sayı $k$'nin kuvvetleridir. Bilinmektedir ki denklem $ax^2 - bx + c = 0$'ın tam olarak bir gerçek çözümü $r$ vardır ve bu $r$ değeri 100'den küçüktür. $r$'nin alabileceği en büyük değeri hesaplayın. |
69 | Varsayalım ki \(x\), \(y\) ve \(z\) pozitif gerçek sayılardır ve aşağıdaki denklem sistemini sağlarlar:
\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 64 \\
y^2 + yz + z^2 = 49 \\
z^2 + zx + x^2 = 57
\end{cases}
\]
O zaman \(\sqrt[3]{xyz}\) ifadesi \(\frac{m}{n}\) şeklinde yazılabilir; burada \(m\) ve \(n\) aralarında asa... |
16 | Denklemi \(p^2 - q^2 + p + q = 2014\) sağlayan sıralı tam sayı çiftleri \((p, q)\)'nin sayısını bulun. |
18 | Pozitif tam sayılardan oluşan bir $(a,b)$ çiftine "pupusa" denir eğer $a < 391$ ve \(\text{lcm}(a,b) > \text{lcm}(a,391)\). Tüm "pupusa" çiftleri arasında $b$'nin en küçük değerini bulun. |
8 | $x$'i $(0, \frac{\pi}{2})$ aralığında bir gerçek sayı olarak alalım öyle ki $\frac{1}{\sin x \cos x} + 2\cot 2x = \frac{1}{2}$. $\frac{1}{\sin x \cos x} - 2\cot 2x$ ifadesinin değerini bulun. |
2 | $f(x) = (x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 2x + 1)^5$ olsun. $f(p) = 418,195,493$ olan asal $p$'yi bulun. |
70 | Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan pozitif tamsayı sıralı üçlülerin $(a, b, c)$ sayısını belirleyin:
\[
[a, b] = 1000, \quad [b, c] = 2000, \quad [c, a] = 2000.
\]
Burada \([x, y]\) pozitif tamsayılar \(x, y\) için en küçük ortak katı (EKOK) anlamına gelir. |
250 | Haç-pentomino, bir birim kare ile bu ilk kareyle her biri farklı bir kenarı paylaşan dört diğer birim kareden oluşan bir şekildir. Eğer bir haç-pentomino yarıçapı $R$ olan bir çembere yazdırılırsa, $100R^2$ kaçtır? |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.